Tema 1 introduccion

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Dinámica de Estructuras IC-0905 II Semestre 2013 6 setiembre 2013

Estructuras sencillas • Pérgola • Tanque elevado • Sencillas porque se pueden idealizar como formadas por una masa m concentrada y apoyadas sobre una estructura de rigidez k sin masa • Sistema idealizado:

mu  ku  0 IC-0905/II-2013

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Esta pérgola en el Hotel Macuto-Sheraton cerca de Caracas, Venezuela fue dañada por el terremoto del 29 de julio de 1967. El evento de magnitud 6.5, con epicentro a unos 25 km del hotel, sobreesforzó las columnas de tubos de acero. (Foto de G.W. Housner).

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Este tanque de concreto reforzado sobre una única columna de 12 m de altura, ubicada en el Aeropuerto de Valdivia, no sufrió daño debido al terremoto de mayo de 1960. Cuando el tanque está lleno, la estructura puede ser analizada como un sistema de un grado de libertad.

(Fotografía de la Colección Steinbrugge, del Centro de Investigaciones en Ingeniería Sísmica de la Universidad de California en Berkeley.)

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mu  ku  0 (a) Pérgola idealizada; (b) tanque de agua idealizado; (c) oscilación libre debida a desplazamiento inicial.

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Pruebas experimentales en laboratorios: (a)

(b)

(a) Fotografía de pórticos de aluminio y de plexiglass montados en una mesa vibratoria usada para docencia en la Universidad de California en Berkeley;

(c)

(b) registro de vibración libre del modelo de aluminio; (c) registro de vibración libre del modelo de plexiglass.

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Sistema de un grado de libertad (UGL) Grados de Libertad: Número de desplazamientos independientes requeridos para definir la posición de cada masa (configuración deformada) con respecto a la posición inicial (configuración de referencia).

Sistema UGL sometido a los dos tipos de excitación dinámica a considerar en este curso: fuerza externa lateral p(t) y movimiento sísmico ug(t).

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Relación Fuerza-Desplazamiento (respuesta estática)

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Sistemas elásticos lineales:

k

 columnas

f S  ku

12 EI c EI  24 3c h3 h

Ejemplo: para L = 2h y EIb = EIc:

k

k



columnas

3EI c EI  6 3c h3 h

96 EI c 7 h3

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Ejemplo 1.1 Calcular la rigidez lateral para el marco mostrado suponiendo que los elementos que lo conforman sean axialmente rígidos.

Solución.

Esta estructura se puede analizar con cualquiera de los métodos estándar, incluyendo distribución de momentos. Se usan coeficientes de influencia de rigidez.

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Ejemplo 1.1 Para el caso en el que Ib=Ic se tiene:

EI c h3

 24 6h  2  6h 6h  6h h 2 

6h  u1   f S      h 2  u2   0  6h 2  u3  0 

A partir de las ecuaciones 2 y 3, se pueden expresar las rotaciones en los nudos en términos de los desplazamientos laterales:  6h 2 u2      2 u3  h

1

h 2   6h  6 1    u1     u1 7 h 1 6h 2   6 h 

Y así:

 24 EI EI 6 1  96 EI c f S   3 c  3c u1 6h 6h    u1  h 7h 7 h3 1   h

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k

24 EI c 12   1 Ib ,   h3 12   4 4Ic

Variación de la rigidez lateral, k, con la razón rigidez viga-columna, ρ

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Sistemas inelásticos • La curva de carga inicial no es lineal ante las amplitudes de desplazamiento mayores y las curvas de descarga y recarga difieren de la rama de carga inicial.

• La fuerza fs(u) no es biunívoca y depende de la historia de desplazamientos y de si los desplazamientos están creciendo (velocidad positiva) o decreciendo (velocidad negativa):

f S  f S  u , u 

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Sistemas inelásticos:

f S  f S  u, u 

Relación fuerza-deformación para un componente estructural de acero. (Tomado de H. Krawinkler, V.V. Bertero, y E.P. Popov, “Inelastic Behavior of Steel Beam-to-Column Subassemblages,” Reporte No. EERC 71-7, University of California, Berkeley, Calif. 1971.)

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Sistemas inelásticos • Dos caminos para la relación fuerza desplazamiento: – Estructuras de acero con - conocido – Idealización a partir de resultados de laboratorio

Interesa estudiar la respuesta dinámica de sistemas inelásticos porque muchas estructuras son diseñadas con la expectativa de que sufran agrietamiento, cedencia y daño durante un movimiento sísmico intenso.

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Fuerza de amortiguamiento • Mecanismo de disipación de energía • Para estructuras sencillas la disipación es calórica debido a ciclos o fricción interna cuando el sólido se deforma.

• En estructuras reales: fricción en conexiones de acero, abertura y cierre de microgrietas en concreto, fricción entre estructura y elementos no-estructurales IC-0905/II-2013

Fuerza de amortiguamiento • Estructuras reales: Imposible describir o identificar analíticamente todos y cada uno de los mecanismos de disipación de energía.

• Usar modelo viscoso lineal con una apropiada escogencia del coeficiente de amortiguamiento c.

• Resultado: coeficiente viscoso equivalente IC-0905/II-2013

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f D  cu

El amortiguamiento viscoso equivalente pretende modelar la disipación de energía para amplitudes de desplazamiento dentro del límite elástico lineal de la estructura como un todo.

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Fuerza de amortiguamiento • Se disipa energía adicional debido al comportamiento inelástico de la estructura La disipación de energía se considera mediante la utilización de la relación fuerza-desplazamiento en la solución de la ecuación del movimiento.

La energía de amortiguamiento disipada en un ciclo entre los límites de deformación ±uo está dada por el área del ciclo histerético abcda.

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Ecuación del movimiento: Fuerza externa Segunda ley de Newton: Las fuerzas que actúan sobre la masa en un instante de tiempo dado son la fuerza externa p(t), la fuerza de restauración fS y la fuerza de amortiguamiento fD.

p  t  , u  t  , u  t  y u t   0 para x  0 Las fuerzas de restauración y de amortiguamiento se oponen al desplazamiento y la velocidad generadas por la fuerza externa. Por lo tanto,

p  f S  f D  mu o mu  f D  f S  p  t  IC-0905/II-2013

Ecuación del movimiento: fuerza externa • Segunda Ley de Newton Caso elástico lineal

mu  cu  ku  p  t 

La derivación puede extenderse para cubrir sistemas inelásticos: Caso inelástico

mu  cu  f S  u, u   p  t 

• Equilibrio dinámico (Principio D’Alembert) Incluir fuerza inercial ficticia en el cuerpo libre de sistema.

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Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa: • Visualizar el sistema como la combinación de tres componentes puros: – Rigidez: marco sin masa ni amortiguamiento – Amortiguamiento: marco sin rigidez ni masa – Masa: masa sin rigidez ni amortiguamiento

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Ejemplo 1.2

Edificio industrial, 2020 en planta con marcos N-S y arriostres E-W. Peso de la estructura 30 lb/ft2 concentrado en el nivel de techo. Columnas W824 con Ix = 82.8 in4 y Iy = 18.3 in4. E = 29,000 ksi. Los arriostres son de barras de 1 in de diámetro. Formular la ecuación que gobierna la vibración libre en las direcciones N-S y E-W.

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Ejemplo 1.2 Solución: La masa concentrada en el nivel de techo es

m

w 30  30  20   46.63 lb-s 2 in  0.04663 kips-s 2 in g 386

Debido a los arriostres horizontales cruzados, el techo puede considerarse como un diafragma rígido.

Dirección N-S:

12  29 10   82.8   12 EI  k N-S  4  3 x   4  38.58 kips in 3  h  12 12  y la ecuación del movimiento es 3

mu   k N-S  u  0

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Ejemplo 1.2 Dirección E-W: Considerar un diseño en el cual el marco ordinario soporta cargas gravitacionales y el sistema de arriostre es considerado como una cercha que resiste las fuerzas laterales. La rigidez lateral del marco arriostrado resultaría de la suma de las rigideces laterales de los arriostres.

AE  . Por estática f S  p cos  y por cinemática u   cos  L Sustituyendo p  f S cos  y   u cos  se tiene p

f S  kbraceu cos   20

AE cos 2  L

122  202  0.8575, A  0.785 in 2 , L  23.3 ft y

0.785  29  103 

 0.8575   59.8 kips in 23.3  12  2  59.8  119.6 kips in

kbrace  kE-W

kbrace 

2

y la ecuación del movimiento es mu   kE-W  u  0

Error por no incluir la rigidez de las columnas 6.7%:

kcol  12 EI y h3  2.13 kips in versus kbrace  59.8 kips in IC-0905/II-2013

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Ejemplo 1.3

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Ejemplo 1.3 Considerar un puente de viga cajón de concreto de 375 ft sobre cuatro apoyos—dos bastiones y dos marcos colocados simétricamente. El área de la sección transversal de la superestructura es 123 ft2. El peso del puente se toma como concentrado y ubicado al nivel la superestructura.

Peso unitario del concreto: 150 lb/ft3. Se puede despreciar el peso de los marcos. Cada marco consiste de tres columnas de 25 ft de alto, de sección circular con Iy = Iz = 13 ft4. Establecer la ecuación del movimiento para vibración libre en la dirección longitudinal. Ec = 3000 ksi.

Solución: El peso total de la superestructura es

w  123 ft 2  0.150 kips ft 3  375 ft  6919 kips y la masa correspondiente es w 6919 m=   214.9 kips-s 2 ft g 32.2

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Ejemplo 1.3 La rigidez longitudinal del puente se calcula suponiendo que la superestructura se desplaza rígidamente. Cada columna del marco se comporta como doblemente empotrada. La rigidez longitudinal provista por cada marco es

 12  3000  144 13   12 EI z '   kmarco  3  3    12,940 kips ft  3 3    h   25   La rigidez total provista por los dos marcos es

k  2  kmarco  2 12,940  25,880 kips ft La ecuación que gobierna el desplazamiento longitudinal u es

mu  ku  0 IC-0905/II-2013

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Sistema UGL: Sistema clásico masa-resorte-amortiguador que considera resorte y amortiguador sin masa, la masa como rígida y todo el movimiento apuntando en la dirección x. La ecuación de movimiento derivada anteriormente vale también para este sistema.

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Ejemplo 1.4 Derive la ecuación de movimiento para el peso w suspendido de un resorte en el extremo libre de un voladizo de acero. E = 29,000 ksi.

Desprecie las masas de la viga y del resorte.

Solución: El desplazamiento total de la masa se mide desde su posición inicial (configuración no deformada). El equilibrio de fuerzas que actúan en la masa da

mu  f S  w  p  t  con f S  keu y ke rigidez efectiva.

Por lo tanto, mu  keu  w  p  t  .

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Ejemplo 1.4

Configuración no deformada

u se puede expresar como u   st  u ,

 st desplazamiento estático del peso w y u medido desde posición de equilibrio estático.

Como u  u y ke st  w entonces mu  keu  p  t 

Equilibrio estático

El anterior resultado justifica la formulación del problema de análisis dinámico para un sistema lineal usando la posición de equilibrio estático como la posición de referencia (marco de referencia). El desplazamiento u(t) y las fuerzas internas correspondientes representan la respuesta dinámica del sistema. Las fuerzas y desplazamientos totales se obtienen sumando a la respuesta dinámica las correspondientes cantidades estáticas.

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Ejemplo 1.4 La rigidez efectiva ke relaciona la fuerza estática fS con el desplazamiento total según,

f S  keu donde u   spring   beam Además,

f S  k spring  kbeam beam Por lo tanto,

fS f f kkbeam  S  S ke  ke k kbeam k  kbeam

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Ejemplo 1.4 Finalmente,

k  20 lb in y kbeam

4 6   3EI 3  29 10   1 4   3   39.54 lb in 3 L 10 12 

Sustituyendo estos valores en la expresión para ke

ke  13.39 lb in Se pueden omitir las fuerzas gravitacionales en la formulación de la ecuación del movimiento para este sistema, siempre y cuando u sea medido desde la posición de equilibrio estático y las cargas gravitacionales no actúan como fuerzas restauradoras o desestabilizadoras.

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Ejemplo 1.5 Derivación de la ecuación del movimiento libre de un péndulo simple que consiste de una masa puntual suspendida de una cuerda ligera de longitud L. Solución: La posición deformada del péndulo se define mediante un ángulo  medido desde la posición vertical (posición de referencia). Las fuerzas que actúan en la masa son el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza ficticia de D’Alembert.

El equilibrio de momento alrededor de O permite encontrar la ecuación

mL2  mgL sin   0 Esta es una ecuación diferencial no-lineal de la variable .

g Para pequeñas rotaciones sin    y por lo tanto     0 L

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Ejemplo 1.6 Derivar la ecuación del movimiento para un sistema compuesto por un peso w adherido a una barra de longitud L sin masa y unida en su apoyo por un resorte rotacional de rigidez k.

Solución: La posición deformada del sistema se define mediante un ángulo  medido desde la posición vertical (posición de referencia). Las fuerzas que actúan en la masa son el peso w, el momento en el resorte fS = k y la fuerza ficticia de D’Alembert.

El equilibrio de momento alrededor de O permite encontrar la ecuación

f I L  f S  mgL sin  w 2  L   k  wL sin  g Para pequeñas rotaciones sin    y por lo tanto w 2  L    k  wL   0 g IC-0905/II-2013

Ecuación de movimiento: excitación sísmica u t  t   u  t   ug  t  Principal problema para ingenieros estructurales: comportamiento de estructuras sujetas a movimiento basal inducido por sismos.

fI  fD  fS  0

f I  mut Utilizando equilibrio dinámico se puede derivar la ecuación del movimiento para el sistema UGL, tanto el caso particular elástico como el caso general inelástico:

mu  cu  ku  mug  t 

mu  cu  f S  u, u   mug  t 

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Ecuación de movimiento: excitación sísmica Se puede substituir el movimiento basal por una fuerza sísmica efectiva peff(t)

La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración sísmica (aceleración del terreno) y actúa en la misma dirección pero en sentido opuesto a ella.

peff  t   mug  t  IC-0905/II-2013

Ecuación de movimiento: excitación sísmica

u t  t   u  t   h g  t  La ecuación del movimiento para este sistema en este caso es:

mu  cu  ku  mhg  t 

con

peff  t   mhg  t 

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Ejemplo 1.7

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Ejemplo 1.7 Una losa rígida uniforme de masa total m está apoyada sobre cuatro columnas de altura h conectadas rígidamente con la losa de techo y con la losa de fundación. Las columnas son rectangulares con segundo momento de área Ix e Iy para flexión en los ejes x y y respectivamente.

Determinar la ecuación de movimiento para este sistema sometido a una rotación ug de la fundación alrededor de un eje vertical. Despreciar la masa de las columnas.

Solución: El torque elástico resistente o momento torsional fS que actúa sobre la masa se puede expresar como (2da Ley Newton)

 f S  I O ut donde ut  t   u  t   u g  t 

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Ejemplo 1.7 Aquí u es la rotación de la losa de techo relativa al terreno y I O  m  b  d  12 es el momento de inercia de la losa de techo alrededor del eje perpendicular a la losa por el centro de masa O. 2

2

La relación entre el torque fS y la rotación relativa u es f S  k u La rigidez torsional se calcula como:

 d d   b b 2 2 k  4  k x   4 ky   kx d  k yb  2 2   2 2

 I O u   k x d 2  k y b 2  u   I O ug

donde k x  12 EI y h3 k y  12 EI x h3

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Planteamiento del problema y fuerzas en los elementos • Dados m, k o fS(u,ů), p(t) o peff(t), el problema fundamental de la dinámica estructural consiste en determinar la respuesta de un sistema UGL. • Respuesta es usado en sentido general para incluir desplazamiento, velocidad o aceleración de la masa; también fuerzas o esfuerzos internos en la estructura.

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Planteamiento del problema y fuerzas en los elementos • Para excitación sísmica se podrían requerir tanto valores absolutos como valores relativos de la respuesta.

• El desplazamiento relativo u(t) asociado a la deformación de la estructura es el más importante debido a que las fuerzas internas en la estructura están directamente relacionadas con u(t).

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Fuerzas en los elementos • Se puede realizar un análisis estático para obtener las fuerzas internas y los esfuerzos necesarios para el diseño estructural. Surgen dos posibles visualizaciones del análisis estático: – Para cada instante t, se conoce u asociado con rotaciones en los nudos. A partir de éstos se pueden calcular las fuerzas internas y los esfuerzos.

– Usar una fuerza estática equivalente. Para cada instante t esta fuerza fS es la fuerza estática externa aplicada (lentamente) que producirá la deformación u obtenida mediante el análisis dinámico.

f S  t   ku  t  con k  rigidez lateral

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Combinación de respuestas estática y dinámica • Para sistemas elásticos lineales se pueden calcular las repuestas por separado para luego combinarlas.

• Para sistemas inelásticos no se pueden separar las respuestas. En este caso, el análisis dinámico debe incluir las fuerzas y las deformaciones existentes antes del inicio de la excitación dinámica (rigidez inicial) IC-0905/II-2013

Métodos de solución de la ecuación diferencial • • • •

Solución clásica Integral de Duhamel Método de dominio de frecuencia Métodos numéricos

mu  cu  ku  p  t  más condiciones iniciales IC-0905/II-2013

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Solución clásica • Suma de la solución complementaria uc(t) y la solución particular up(t)

u  t   uc  t   u p  t 

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Ejemplo 1.8 Considere una fuerza escalón: p(t) = po, t  0. En este caso, la ecuación diferencial de movimiento para un sistema sin amortiguamiento (i.e., c = 0) es mu  ku  po

La soluciones particular y complementaria para esta ecuación son p u p  t   o y uc  t   A cos nt  B sin nt con n  k m k La solución completa está dada por u  t   A cos nt  B sin nt 

po k

Para u  0   u  0   0 se tiene que A  

po k

B0

Finalmente, la respuesta del sistema es u t  

po 1  cos nt  k

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Integral de Duhamel • Se representa la fuerza aplicada como una serie de impulsos infinitesimalmente cortos. La suma de todas las respuestas individuales el inicio (t = 0) hasta un tiempo t es u t  

1 mn

 p   sin   t    d t

0

n

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Ejemplo 1.9 Usando la integral de Duhamel, se determina la respuesta de un sistema UGL ante una fuerza escalón p(t) = po, t  0, suponiendo que se encuentra inicialmente en reposo. En este caso la integral de Duhamel se puede expresar como

p u t   o mn

 t

p  cos n  t     p 0 sin n  t    d  mo n  n   ko 1  cos nt   0 t

Este resultado es igual al obtenido utilizando la solución clásica.

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Método de dominio de frecuencia • Transformadas de Laplace y Fourier son muy eficaces para la solución de ecuaciones diferenciales lineales, en particular para la ecuación de movimiento para un sistema UGL lineal.

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Método de dominio de frecuencia La transformada de Fourier P() de la función de excitación p(t) se define como 

P      p  t     p  t  eit dt 

La transformada de Fourier U() de la solución de la ec. dif. u(t) está dada por

U    H    P   donde la función de respuesta compleja H() describe la respuesta del sistema ante excitación armónica. Finalmente, la respuesta del sistema es

u t  

1 2







H   P   e  it d 

La integración de esta última expresión es de contorno en el plano complejo.

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Método de dominio de frecuencia • La evaluación de las integrales de transformación se volvió acequible con las computadoras de alta velocidad.

• Transformada Rápida de Fourier es el algoritmo más usado (desde 1965) • Especialmente útil para análisis dinámico de estructuras que interactúan con espacios semi-infinitos IC-0905/II-2013

1) Respuesta sísmica donde interacción con el suelo portante es significativa:

Estas dos estructuras de contención de concreto reforzado encierran los reactores nucleares de la Planta de Generación de San Onofre, California. El período natural de vibración se calculó en 0.15 s suponiendo base rígida y 0.50 s suponiendo la flexibilidad del suelo. La diferencia hace ver la importancia de considerar la interacción estructura-suelo para este tipo de estructuras.

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2) Respuesta sísmica de represas de concreto que interactúan con el agua almacenada:

La represa Morrow Point es de arco y de 142 m de altura (río Gunnison, Colorado). Las pruebas de vibración forzada daban un período para el modo antisimétrico de 0.268 s con el reservorio parcialmente lleno y de 0.303 s con el reservorio lleno.

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Métodos numéricos • Los métodos de análisis anteriores solo se pueden usar en sistemas lineales. No se pueden usar para determinar el comportamiento inelástico de estructuras durante terremotos, si el movimiento sísmico es intenso.

• Usar métodos numéricos (Newmark).

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