Tema 2 oscilacion libre en sistemas ugl

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Dinámica de Estructuras Tema 2 I Semestre 2012 8 marzo 2012

Oscilación libre • Se dice que una estructura está sometida a oscilación libre cuando es perturbada de su posición de equilibrio estático y luego se le permite oscilar sin ninguna excitación dinámica externa alguna.

• La oscilación libre permite establecer las principales características dinámicas del sistema: frecuencia natural de oscilación y razón de amortiguamiento.

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Oscilación libre no-amortiguada • La oscilación libre está gobernada por

mu  ku  0 • Perturbación del equilibrio estático implica u  u  0

u  u  0 

• La respuesta del sistema es u  t   u  0  cos nt 

u  0 

n

sin nt donde n 

k m

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Movimiento de oscilación libre.

Oscilación libre de un sistema no-amortiguado

Período natural de oscilación, Tn: tiempo requerido para completar un ciclo.

Frecuencia natural (circular) de oscilación:

n 

2 m  2  2 f n Tn k

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1967 Office Builiding 1 Maritime Plaza Skidmore Owings & Merrill Bethlehem Steel Co. 114 m Braced Frame structure 2-26 Floors, Moment Frame 1 Floor N-S and Shear Walls E-W 27 floors above ground

Edificio Alcoa, San Francisco, California.

Los períodos naturales de oscilación de este edificio de acero de 27 pisos son 1.67 s. para oscilación N-S (longitudinal) y 2.21 s. para oscilación E-W (transversal) y 1.12 s. para oscilación torsional alrededor del eje vertical. Estos datos fueron obtenidos mediante pruebas de vibración forzada.

Structurae, N.Janberg, 2006

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1972 Office Building 600 Montgomery, Moment Frame 1 Floor, Street Space Truss System 2-5 Floors, Steel Moment Resisting Space Frame Floors 5-60, Mat Foundation 2.75 m thick. Chin & Hensolt Engineers, Inc. 60 floors 257 m

Edificio Transamerica, San Francisco, California.

Los períodos naturales de oscilación de este edificio piramidal de acero de 60 pisos son 2.94 s. en ambas direcciones y 2.24 s. en torsión. Estos datos fueron obtenidos por EERC, (UC Berkeley 1972) mediante pruebas de vibración forzada.

Structurae, N.J. Darger, 2001 Structurae, N.Janberg, 2006

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1984 Vertical Load Carrying System: Concrete over steel decking supported by steel frames. Lateral Force Resisting System: Perimeter moment resisting steel frames. Foundation Type: Concrete pile caps at each column (precast, prestressed piles) with grade beams.

Medical Center Building, Richmond, California.

Los períodos naturales de oscilación para este edificio de acero de tres pisos son 0.63 s. para oscilación longitudinal, 0.74 s. para oscilación transversal y 0.46 s. para oscilación torsional alrededor del eje vertical. Estos datos fueron obtenidos a partir de acelerogramas obtenidos durante el terremoto de Loma Prieta en 1989.

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Pine Flat Dam on the Kings River, near Fresno, California.

El período natural de oscilación de esta represa de gravedad de 120 m de alto, obtenido mediante pruebas de vibración forzada, es de 0.288 s. con el nivel de reservorio a 94 m y de 0.306 s. con el nivel de reservorio a 105 m.

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1937 Main span 1280 m Total length 2737 m Tower height 227 m Clearance 67 m. Suspension bridge gravity anchored Joseph B. Strauss, Eng.

Structurae, N.Janberg, 2003

Golden Gate Bridge, San Francisco, California.

Los períodos naturales de oscilación de este puente colgante con una luz principal de 1280 m son 18.2 s. para oscilación transversal, 10.9 s. para oscilación vertical, 3.81 s. para oscilación longitudinal y 4.43 s. para oscilación torsional. Estos datos fueron obtenidos a partir de registros de movimiento debidos a condiciones ambientales (viento, tránsito, etc.).

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Chimenea de concreto reforzado, ubicada en Aramon, Francia.

El período natural de oscilación de esta chimenea de 250 m de alto es de 3.57 s.; medido a partir de registros de oscilación inducidos por viento.

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La frecuencia natural circular, la frecuencia natural cíclica y el período natural se pueden expresar también como

n 

g

 st

fn 

1 2

g

 st

Tn  2

g

 st

donde

 st  mg k Para el marco de un piso usado de ejemplo, st es el desplazamiento lateral de la masa debido a la fuerza mg.

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Movimiento de oscilación libre Amplitud del movimiento:

 u  0   uo  u  0       n 

2

2

La frecuencia natural de oscilación para un marco de un piso como el analizado anteriormente es:

n 

k m

k

24 EI c 12   1 h3 12   4

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Para los casos extremos de rigidez infinita y rigidez nula:

n    

24 EI c mh3

n  0 

6 EI c mh3

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Oscilación libre con amortiguamiento viscoso Ecuación del movimiento:

mu  cu  ku  0 Se puede transformar a:

u  2n u  n2u  0

con

n 

k m

 

c c  2mn ccr

Con lo anterior se puede definir el coeficiente de amortiguamiento crítico como

ccr  2mn  2 km 

2k

n

y  como razón de amortiguamiento o fracción de amortiguamiento crítico.

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Tipos de movimiento:

Oscilación libre de sistemas subamortiguados, críticamente amortiguados y sobreamortiguados

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Derivación 2.2 La solución de la ecuación diferencial (2.2.1b) tiene la forma

u  e st Sustituyendo en la ecuación (2.2.1b) da

s

2

 2n s  n2  e st  0

Lo cual es satisfecho por todos los valores de t si

s 2  2n s  n2  0 La ecuación (b), denominada la ecuación característica, tiene dos raíces:



s1,2  n   i 1   2



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Derivación 2.2 Por lo tanto la solución general es

u  t   A1e s1t  A2e s2t la cual después de sustituir la ecuación (c) se convierte en

u  t   e nt  A1eiD t  A2 e  iD t  donde A1 y A2 son constantes aun por definir y

 D  n 1   2

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Derivación 2.2 Igual que en la Derivación 2.1, el término entre paréntesis en la ecuación (d) puede reformularse en términos de funciones trigonométricas para obtener

u  t   ent  A cos D t  B sin D t  donde A y B son constantes aun por definir. Estas pueden ser expresadas en términos de las condiciones iniciales usando el mismo procedimiento empleado en la Derivación 2.1:

A  u 0

B

u  0   nu  0 

D

Sustituyendo A y B en la ecuación (f) se obtiene la solución dada en la ecuación (2.2.4).

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Oscilación libre con amortiguamiento viscoso  u  0   n u  0   u  t   ent u  0  cos D t  sin D t   D  

 D  n 1   2

Efecto del amortiguamiento en la oscilación libre

TD 

Tn 1  2

 u  0   n u  0    D  

2

  u  0     2

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Efecto del amortiguamiento sobre la frecuencia natural de oscilación

El efecto del amortiguamiento sobre la frecuencia natural o el período natural de oscilación es depreciable para razones de amortiguamiento de menos de 20%:

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El efecto más importante del amortiguamiento se mide en la tasa en la cual la oscilación libre decae. Esto se puede observar en esta figura:

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Oscilación libre con amortiguamiento viscoso Caída del movimiento: la variación del movimiento cuando pasa de un instante t a un instante t + TD se puede expresar como:  2  u t   exp nTD   exp    1  2  u  t  TD   

Para picos sucesivos se tiene:

 2  ui   exp   1  2  ui 1  

Con lo cual se puede definir el decremento logarítmico:   ln

Para valores pequeños de  se puede aproximar como:

ui 2  ui 1 1  2

  2

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Caída del movimiento para varios máximos sucesivos separados por períodos TD:

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Si la caída del movimiento es lenta (amortiguamiento leve) se puede relacionar la razón de dos amplitudes separadas por varios ciclos:

u u1 u u u  1 2 3  j  e j u j 1 u2 u3 u4 u j 1   1 j  ln  u1 u j 1   2

j50%  0.11 

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Pruebas de oscilación libre.

Para una prueba de oscilación libre con amortiguamiento leve, la razón de amortiguamiento se puede obtener con las relaciones:

 

u 1 ln i 2 j ui  j

o  

u 1 ln i 2 j ui  j

Válida para casos de amortiguamiento leve

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Pruebas de oscilación libre • El período natural TD del sistema puede obtenerse también a partir del registro de oscilación libre midiendo el tiempo requerido para completar un ciclo de oscilación. La comparación de este dato con el período natural obtenido a partir de la rigidez y la masa calculadas con un modelo idealizado habla sobre la precisión en el cálculo de estas propiedades y de qué tan buena es la representación de la estructura real.

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Ejemplo 2.5 Encuentre el período natural de oscilación y la razón de amortiguamiento del marco de plexiglass, presentado anteriormente, a partir del registro de aceleraciones para oscilacion libre.

Solución: Los valores máximos de aceleración y los tiempos en los que ocurren pueden ser obtenidos del registro. Los datos son:

TD 

Máximo

Tiempo, ti (s)

Máximo, ui (g)

1

1.110

0.915

11

3.844

0.076

3.844  1.110 1 0.915 g  0.273 s   ln  0.0396 o 3.96% 10 2 10  0.076 g

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Ejemplo 2.6 Una prueba de oscilación libre se lleva a cabo en un tanque elevado vacío como el mostrado en la fotografía. Un cable atado al tanque aplica una fuerza lateral (horizontal) de 16.4 kips y hala el tanque una distancia horizontal de 2 in. El cable es cortado súbitamente y se registra la oscilación libre resultante.

Al final de cuatro ciclos completos, el tiempo es 2 s y la amplitud es 1 in. Con estos datos calcule: (a) razón de amortiguamiento; (b) período natural de oscilación no-amortiguada; (c) rigidez; (d) peso; (e) coeficiente de amortiguamiento; y (f) número de ciclos requerido para que la amplitud disminuya a 0.2 in.

Solución: (a) Sustituyendo ui = 2 in., j = 4, y ui+j = 1 in. en la ec. (2.2.14a) da

 

1 2 ln  0.0276 o 2.76% 2  4  1

El requisito de amortiguamiento liviano implícito en la ec. (2.2.14a) es válido.

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Ejemplo 2.6 2.0  0.5 s; Tn  TD  0.5 s 4 16.4  8.2 kips in. (c) k  2 2 2   12.57 rad s; (d) n  Tn 0.5 (b) TD 

m

k



8.2

 0.0519 kip-s 2 in ;

12.57  w   0.0519  386  20.03 kips n2



2



(e) c   2 km  0.0276  2 8.2  0.0519    0.0360 kip-s in   1 u1 1 2  13.28 ciclos  13 ciclos ln j ln (f)   2 j u1 j 2  0.0276  0.2

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Ejemplo 2.7 El peso del agua requerida para llenar el tanque del Ejemplo 2.6 es 80 kips.

Determine el período natural de oscilación y la razón de amortiguamiento de la estructura con el tanque lleno.

Solución:

w  20.03  80  100.03 kips m

100.03  0.2591kip-s 2 in ; 386

m 0.2591  2 1.12 s k 8.2 c 0.0360   0.0123  1.23 %   2 km 2 8.2  0.2591 Tn  2

Observar que la razón de amortiguamiento es ahora menor (1.23% comparado con 2.76% en Ejemplo 2.6) porque la masa del tanque lleno es mayor y por lo tanto el coeficiente de amortiguamiento crítico es mayor.

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Composición energética de la oscilación libre EI 

2 2 1 1 k u  0    m u  0   2  2

EK  t  

u  0    1 EK  t   mn2  u  0  sin nt  cos nt   2 n  

2

2 1 m u  t   2 

ES  t  

ES  t  

2 1 k u  t   2 

u  0   1  k u  0  cos n t  sin nt  n 2  

2

Resolviendo estas expresiones se tiene que la energía total en cualquier instante t es: 2 2 1 1 EK  t   ES  t   k u  t    m u  t   2 2 Por lo tanto, la energía total es independiente del tiempo e igual a la energía de entrada. Para sistemas con amortiguamiento viscoso decrecerá con el tiempo. De 0 a t1, la energía disipada es:

   cu 2 dt ED   f D du    cu  udt t1

t1

0

0

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