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Dinámica de Estructuras Tema 8 Sistemas de MGL Ecuaciones del movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Sistema sencillo: Edificio de corte de dos niveles
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Figura 9.1.1
(a) Edificio de corte de dos niveles; (b) fuerzas que actúan en las dos masas.
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Uso de la 2a ley de Newton p j f Sj f Dj m j uj m j uj f Dj f Sj p j (t ) m1 0
0 u1 f D1 f S 1 p1 (t ) m2 u2 f D 2 f S 2 p2 (t )
f D fS p(t) mu
Ecuación 9.1.11
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Equilibrio dinรกmico
Figura 9.1.2
Diagramas de cuerpo libre.
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Figura 9.1.3
(a) Sistema de dos grados de libertad; (b) diagramas de cuerpo libre.
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Ejemplo 9.1a Establezca las ecuaciones del movimiento para una estructura de corte de dos niveles mostrado en la figura.
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Example 9.1 (continued)
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Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa
Figura 9.1.4 (a) Sistema; (b) componente de rigidez; (c) componente de amortiguamiento; (d) component de masa.
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Enfoque general para sistemas lineales
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Figura 9.2.1 Grados de libertad: (a) con deformaci贸n axial, 18 DOFs; (b) sin deformaci贸n axial, 8 DOFs.
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Figura 9.2.2
Fuerza din谩micas externas, p(t).
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Figura 9.2.3 (a) Componente de rigidez para el marco; (b) coeficientes de influencia de rigidez para u1 = 1; (c) coeficientes de influencia de rigidez para u4 = 1.
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Figura 9.2.4 Componente de amortiguamiento del marco.
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Figura 9.2.5 (a) Componente de masa del marco; (b) coeficientes de influencia de masa para 체1 = 1; (c) coeficientes de influencia de masa para 체4 = 1.
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Figura 9.2.6
Concentraci처n de la masa en los nodos estructurales.
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Figura 9.2.7 Grados de libertad para diafragma de piso r铆gido en el plano con masa distribuida.
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Figura 9.2.8 Areas tributarias para la distribuci贸n de la masa del diafragma a los nodos.
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Ejemplo 9.1b Establezca las ecuaciones del movimiento para una estructura de corte de dos niveles mostrado en la figura usando coeficientes de influencia.
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Example 9.1 (continued)
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Ejemplo 9.1b
Figura E9.1b
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Example 9.1 (continued)
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Example 9.2
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Figure E9.2
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Example 9.2 (continued)
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Example 9.2 (continued)
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Example 9.2 (continued)
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Ejemplo 9.3
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Figure E9.3
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Example 9.3 (continued)
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Example 9.3 (continued)
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Example 9.3 (continued)
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Example 9.4
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Example 9.4 (continued)
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Figura E9.4
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Example 9.4 (continued)
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Example 9.4 (continued)
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Example 9.4 (continued)
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Example 9.5
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Figura E9.5
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Example 9.5 (continued)
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Example 9.5 (continued)
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Example 9.6
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Figura E9.6
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Example 9.6 (continued)
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Example 9.7
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Figura E9.7
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Example 9.7 (continued)
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Example 9.7 (continued)
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Condensación estática • El método de condensación estática se usa en el análisis dinámico de una estructura para eliminar gdl’s para los cuales no se ha asignado masa. – Sin embargo, todos los gdl’s están incluidos en el análisis estático.
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Figura 9.3.1 (a) Grados de libertad (DOFs) para fuerzas elásticas—despreciando deformaciones axiales; (b) GDL’s para fuerzas inerciales.
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Condensación estática • Ecuaciones del movimiento para un sistema no amortiguado: ém ê tt êë 0
üï ék 0 ù ìï u ú í t ý + ê tt 0 ïþ ëêk 0t 0 úû ïîu
k t 0 ù ìï ut üï ïìpt (t ) ïü úí ý = í ý k 00 ûú ïîu 0 ïþ ïî 0 ïþ
donde u 0 denota los GDL's con masa cero y k t 0 = k T0t
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Condensación estática • Las dos ecuaciones particionadas son: t + k tt ut + k t 0u 0 = pt (t ) m tt u
k 0t u t + k 00u 0 = 0
Como no hay inercias o fuerzas externas asociadas con u 0 , la segunda ecuación permite establecer una relación estática entre u 0 y ut : -1 u 0 = -k 00 k 0t ut
Sustituyendo u 0 en la primera ecuación se tiene -1 t + kˆ tt ut = pt (t ) donde kˆ tt = k tt - k T0t k 00 m tt u k 0t kˆ es la matriz de rigidez condensada tt
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Example 9.8
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Example 9.8 (continued)
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Example 9.9
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Example 9.9 (continued)
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Example 9.9 (continued)
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Sistemas planos o simĂŠtricos en planta: Movimiento del terreno
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Figure 9.4.1
(a) Building frame; (b) tower.
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Figure 9.4.2
Effective earthquake forces.
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Figure 9.4.3 Influence vector Κ: static displacements due to ug = 1.
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Figure 9.4.4 (a) L-shaped frame; (b) influence vector Κ: static displacements due to ug = 1; (c) effective earthquake forces.
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Figure 9.4.5 (a) jth floor plan with DOFs noted; (b) frame i, x-direction, with lateral forces and displacements shown.
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Figure 9.4.6 (a) Frame; (b) influence vector Κ: static displacements due to θg = 1; (c) effective earthquake forces.
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Figure 9.5.1
One-story system considered: (a) plan; (b) frame A; (c) frames B and C.
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Figure 9.5.2 Evaluation of stiffness matrix of a one-story, two-way unsymmetric system.
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Figure 9.6.1 Multistory system: (a) plan; (b) frame i, ydirection; (c) frame i, x -direction.
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Figure 9.7.1
Definition of superstructure and support DOFs.
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Example 9.10
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Figure E9.10
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Example 9.10 (continued)
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Example 9.10 (continued)
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Example 9.10 (continued)
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Figure 9.11.1
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