FLERVARIABEL ANALYSE MED LINEÆR ALGEBRA
Tom Lindstrøm
Klara Hveberg
TomLindstrømogKlaraHveberg
FLERVARIABEL ANALYSEMED LINEÆRALGEBRA
«Geometrikunnega an,tilnødogsa mengdelære,menalgebra...for Jonasvaralgebraogabrakadabra likeverdigeord.»
JanKjærstad: Forføreren (Aschehoug,1993)
# GyldendalNorskForlagAS2015
2.utgave,1.opplag2015
1.utgave # PearsonEducationLimited2011
ISBN978-82-05-47240-2
Omslagsdesign:GyldendalAkademisk
Omslagsfoto: # SherryBowen
Layoutogsats:GammagrafiskAS(VegardBrekke)
Figurer:ForfatterneogGammagrafiskAS(VegardBrekke)
Brødtekst:MinionProOT10,7pt/13dd
Papir:80gMySolMatt
Trykk:Dimograf,Polen2015
Allehenvendelserombokenkanrettestil GyldendalAkademisk
Postboks6730St.Olavsplass
0130Oslo
www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no
Detmåikkekopieresfradennebokenistridmedåndsverkloveneller avtaleromkopieringinngåttmedKOPINOR,interesseorganfor rettighetshaveretilåndsverk.Kopieringistridmedlovelleravtalekan medføreerstatningsansvaroginndragning,ogkanstraffesmedbøter ellerfengsel.
AlleGyldendalsbøkererprodusertimiljøsertifisertetrykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo
FORORD
Somtittelensier,handlerdennebokenførstogfremstomflervariabelanalyse,altsåom detsomharågjøremedderivasjonogintegrasjonavfunksjoneravflerevariabler. Fordensomikkekjennerstoffetfrafør,kandettevirkesometbegrensetoglitt kjedeligtema,mendeterslettikketilfellet–tvertimoterdenneteoriengrunnlaget fordeallerflesteanvendelseneavmatematikkinaturvitenskapogsamfunnsfag. Nestenalleinteressantefenomeneridenvirkeligeverdenavhengeravmerenne ´ n variabelstørrelse,ognårslikefenomenerskalanalyseres,erdetflervariabelanalyse somerredskapet,gjerneikompaniskapmedlineæralgebra.
Noeavdetsomskillerdennebokenfradeflesteandre,eratdentarforholdettil lineæralgebrapåalvor:Itilleggtilalledevanligetemaeneiflervariabelanalyse, inneholderbokenogsåenfullverdiginnføringilineæralgebrai °n .Detertogrunner tildette.Fordetførstegirlineæralgebraossetspråksomgjørdetmyeenklereå uttrykkeendelgrunnleggendeprinsipperiflervariabelanalyse–formleneblirkortere, degeometrisketolkningeneblirnaturligere,ogsammenhengenmeddetilsvarende prinsippeneie´n-variabelanalysekommerklarerefrem.Denandregrunnenerat dagensdatateknologigjørdetmuligåbrukenumeriskemetodertilåløseproblemer iflervariabelanalysesomtidligerevarutilgjengelige,ogdisseproblemenemåsomregel omformulerestilproblemerilineæralgebraførdekanbehandlesnumerisk.Samspillet mellomflervariabelanalyseoglineæralgebraharderformyestørrepraktisk betydning enntidligere,ogdeterviktigatstudentenefrastartenavfårsedenflervariable analysenienspråkdraktsomliggersånæropptillineæralgebrasommulig.
Enannentingsomskillerdennebokenframangeandre,eratdentarnumeriske metoderpåalvor.Deflestemodernebøkeriflervariabelanalysebrukerdataverktøy tilgraftegningogsymbolbehandling,menvitaretskrittvidereogoppmuntrer studentenetilålageegneprogrammeriMATLABellerPythonsomennaturligdelav oppgaveløsningen.Mankangodtbrukebokenutenålastudenteneprogrammereselv, menmatematiskprogrammeringerblittendelavhverdagenimangefag,ogdeteren fordelatstudenteneblirkjentmeddegrunnleggendeprogrammeringsverktøyeneog programmeringsteknikkenemensdelærermatematikken.ViharvalgtMATLABsom hovedprogramsidendetharendominerendeposisjonimangemiljøersomanvender matematikkipraksis,mensidenMATLAB-lisensererforholdsvisdyre,harvilagetet alternativtoppleggmedgratisprogrammetPython(senettsidene).Vektleggingenav numeriskemetoderharogsåfåttkonsekvenserforinnholdetiboken–kapittel5girfor eksempeleninnføringiiterativemetodersomeratskilliggrundigereenndetsom ervanligforenbokpådettenivået.
Entredjetingsomskillerdennebokenfradeflesteandre,eratdentarteorienpå alvor.Medunntakavnoenfåavanserteteoremerivektoranalysenbliralleresultater fullstendigbevist,ogforinteresserteogambisiøsestudenterkanbokenderforfungere somenførsteinnføringireellanalyse.Foråfåetteoretiskgrunnlagforstudietav iterasjonerinnledesforeksempelkapittel5medengrundigbehandlingavkompletthet av °n .Vierimidlertidfullstendigklaroveratikkeallestudentervilhabehoveller forutsetningerforålesealt,ogviharderforsupplertdeformellebevisenemedfyldige, intuitiveforklaringer.Demestkomplisertebevisene(sombevisetforspektralteoremeti kapittel4,bevisetforKantorovitsj’teoremikapittel5ogbevisetforskifteavvariabeli dobbeltintegralerikapittel6)ersålangeogkompliserteatmansannsynligvisikkebør prøveådekkedemiundervisningen,menoverlatedemtilselvstudiumforengasjerte studenter.Uansettbørmanværeklaroveratbokenforutsetteratstudenteneharvært gjennomenlittteoribetontversjonave´n-dimensjonalkalkulus.Avnaturligegrunner ervårstandardreferanseTomLindstrøm: Kalkulus,Universitetetsforlaget,2006,men mangeandreinnføringsbøkervilgjøresammenytten.
Itilleggtildetsomernytt,dekkerdennebokenalledetradisjonelletemaene iflervariabelanalyse,ogviharlagtvektpååfinnefremtilanvendelsersomillustrerer teorienogviserhvordandenbrukesiandrefag.Oppgavererenviktigdelavenhver matematikkbok,ogviharværtsåheldigeåfåbrukegamleeksamensoppgaverfra UniversitetetiOslo.Vieropptattavåtavarepåden«norske»tradisjonenmedlange, flerleddedeoppgaversomgjørdetmuligåledestudentenefremtilnyeresultater ogtroverdigeanvendelser,ogsomgirdemenforsmakpåhvadetvilsiåbruke matematikkistørreprosjekter.Samtidigserviverdienavkortere,merdrillpregede oppgaversomhjelperstudenteneidenførsteinnlæringsfasen.
Bokenharsekskapitlerogetappendikssomalleerdeltinniseksjoner. Definisjoner,setningerogeksemplerernummerertfortløpende,ogiseksjon2.6finner manf.eks.definisjon2.6.2etterfulgtavsetning2.6.3,korollar2.6.4ogeksempel2.6.5. Figurerernummerertforseg.Vibruker & tilåmarkeresluttenpåetbevisog
| tilåmarkeresluttenpåeteksempel.Påettpunktfravikervinorskstandard–vibrukerdesimalpunktumogikkedesimalkomma.Desimalkommafungererdårlig sammenmedvektorer,matriserogMATLAB.
Undervisningsopplegg
Flervariabelanalyseerenstorsuksess–nestenallekvantitativefagønskeratderes studenterskalfåeninnføringiemnet.Påmangemåtererdennesuksessenogså emnetsstørsteproblemfordidetersåmangeforskjelligeinteressentersomønsker at«deres»temaerskalbehandlessåinngåendeogsåtidligsomoverhodetmulig.
Sammenmede´n-variabelanalyseoglineæralgebrautgjørflervariabelanalyseden «grunnpakken»avmatematikkunnskapersomdeflesterealfags-,økonomi-og ingeniørstudentertrenger,menderdetoandrefagområdenegjernefårlovtilåutvikle segifredogfordragelighet,erdetofteetstortytrepresspådenflervariableanalysen–noenfagområdervilhalinjeintegralersåfortsommulig,forandreermultiple
Forord iv
integraleratskilligviktigere,mensatterandreermestopptattavåfåoptimeringsteorienpåplass.Samtidigfalleremnetvanskeligformangestudenter,ogdeterikke nødvendigvisslikatdenmestlogiskestoffrekkefølgenogsåerdenmestpedagogiske.
Foratbokenskalkunnetilpassesulikebehov,harviprøvdåbyggedenoppslik atkapitlenekangjennomgåsiforskjelligerekkefølger.VedUniversitetetiOslohar vigjerneundervistkapitleneirekkefølgen1-2-3-6-4-5fordiandrefagerinteressertiå fådenmultipleintegrasjonenikapittel6såtidligsommulig.Ønskermanåbevisealle resultateneifulldetalj,betyrdetteatmanmanglernoenredskaperfrakapittel5 (spesieltuniformkontinuitet)ikapittel6,menipraksiserdettesjeldennoeproblem. Enannenmuligheteråvelgerekkefølgen1-4-2-3-5-6slikatmanfårheledenlineære algebraenførst.
Stoffrekkefølgenviharvalgtiboken,kannoenstedervirkeunaturlig.Hvorforhar viforeksempelfordeltlineæralgebrapåkapittel1og4ogikkebaresamletalt ibegynnelsenavboken,oghvorforharvivalgtåutsetteendelstoffomfølgerog kontinuitettilkapittel5nårdetlogisksettkunnehapassetvelsågodtikapittel2? Viharprøvdåfølgetregrunnleggendeprinsipper:Fordetførsteharviprøvd åbyggeoppstoffetienlogiskrekkefølgeslikatviharredskapenepåplassnårvi trengerdem.Fordetandreønskerviånåfremtilendelsentraleresultatersåraskt sommulig–inklusjonenavlineæralgebragjøratviibegynnelsenbrukerlengretidpå åbyggeoppteorienennmangeandreforfattere,ogerfaringenviseratdetdakanvære lurtådeledenlineærealgebraenitodelerslikatmanlikevelkommerrelativtfortfrem tilderesultateneiflervariabelanalysesomikkeforutsetterdyperekjennskaptil matriseroglineæreligningssystemer.Fordettredjeharviønsketåspredeteoretiske vanskeligheteneslikatviikkefårlangepartiersomfallertungtformangestudenter–selvomendelavstoffetibegynnelsenavkapittel5passergodtinnikapittel2,innser viatkapittel2alleredeersåpassteoritungtatdetkanværelurt ålastoffetsynkelittførvigårvidere.
Somsagtharmanstorfrihettilåbytteompåstoffrekkefølgeniundervisningen. Figurenviserdenlogiskesammenhengenmellomkapitlene.Denstipledepilen fra5til6viserteoretiskeavhengighetersomsannsynligvisikkevilspillenoensærlig rolleipraksis(iOsloharvisomnevntpleidåundervisekapittel6førkapittel5).
1 2 3 6 4 5
Forord v
OgsåMATLABkanintegreresiundervisningenpåenfleksibelmåte.Ved UniversitetetiOsloharviavpraktiskeårsakerventetmedMATLAB-opplæringen tilsluttenavkapittel2,ogdetharfungertutmerket.SidenMATLABeret matrisebasertprogram,vilnokdeflesteuansettventemedåinnføreprogrammettilde harintrodusertmatriseriseksjon1.5.PådenannensidespillerMATLABersentral rolleiutforskingenaviterativesystemerikapittel4ogkapittel5,ogdeterenfordel omstudenteneerkomfortablemedprogrammetførmankommersålangt.
DensystematiskeinnføringeniMATLABerlagttiletappendikssomkaninnpasses iundervisningennårmanselvønsker,menviharsupplertdenneinnføringenmed kortebemerkningerihovedtekstenforåvisekoblingenmellomMATLABog deforskjelligematematisketemaene.Foråtilretteleggeforulikemåteråbruke bokenpå,finnesnoenpassasjerbådeiappendiksetogihovedteksten.
FordemsomønskeråbrukePythonistedenforMATLAB,harØyvindRyan utarbeidetenPython-versjonavMATLAB-appendikset.Foratdennebokenikke skalblialtforomfangsrik,erPython-versjonenlagtutelektronisk.1
DenførsteutgavenavdennebokenbleutgittavPearsonEducationi2011.Idenne andreutgavenpåetnyttforlagharvirettetoppfeiliførsteutgavenogforbedretmange formuleringerogforklaringer,menellersikkegjortstoreendringer.Detburdederfor ikkeværenoeproblemåbrukeførsteogannenutgavesideomside.Toendringerer littmeromfattendeenndeandre:Viharskrevetomseksjon4.9omdeterminanterfor åfåenmeroversiktlignotasjon,ogviharisamarbeidmedØyvindRyanutvideten delavMATLAB-kommentareneiteksten.
1 http://www.gyldendal.no/Faglitteratur/Ingenioerfag/Fellesemner/Flervariabel-analyse-med-lineaer-algebra
Forord vi
Takk
Deterengledeåtakkeallesomharkommetmedinnspilltilboken,bådeførog etterdenbleutgittførstegang.SpesieltønskerviåtakkeErikBedos,IngerChristin Borge,HansBrodersen,GeirDahl,MatsDesaix,TorbjørnKolsrud,JohnRognesog ElisabethSeland.ØyvindRyanharforfattetbådedenelektroniskePython-versjonen avMATLAB-appendiksetogbokenmedløsningsforslag,ogsamtidigståttforden tekniskeorganiseringenavdeulikemanuskriptene.Entidligereversjonavdetoførste kapitleneharliggetpånettetsomtilleggskapitlertil Kalkulus,ogdeterengledeåtakke Universitetsforlagetforatvifårlovtilåbrukedettestoffetheriomarbeidetform.
Enavgrunnenetilatdennebokenidetheletattbleskrevet,eratprosjektet «ComputinginScienceEducation»vedUniversitetetiOslotvangosstilåtenke gjennomsamspilletmellommatematikkogberegninger.Viertakknemligforalle diskusjonermedandremedlemmeravprosjektet,ogspesieltforlangesamtaler medKnutMørkenomutalligetemaer.
PåforlagssidenharMortenFuglevandpuffetossfremoverbådeforPearson EducationogGyldendalNorskForlag.Deterengledeåtakkeham,JuneTolsby, GroTrudeGjestrudogVegardBrekkeforhyggeligsamarbeidomdenneannenutgaven.
Blindern,20.april2015
TomLindstrømogKlaraHveberg
Forord vii
1Vektorerogmatriser 13
1.1Algebrafor n-tupler 14
1.2Geometrifor n-tupler 19
1.3Komplekse n-tupler 31
1.4Vektorproduktet 35
1.5Matriser 46
1.6Multiplikasjonavmatriser 57
1.7Identitetsmatriserog
1.8Determinanter,arealerogvolumer 74
4Lineæralgebrai Rn 265 4.1Noeneksemplerpå
INNHOLD
inversematriser
68
1.10.1Determinantensom forstørrelsesfaktor 98 2Funksjonerfra Rn til Rm 102 2.1Funksjoneravflerevariable 102 2.1.1Eksempler 103 2.1.2Grafiskfremstilling 104 2.2Kontinuerligefunksjoner 106 2.3Grenseverdier 114 2.4Derivasjonavskalarfelt 118 2.5Partiellderiverteavhøyereorden 132 2.6Derivasjonavvektorvaluerte funksjoner 136 2.7Kjerneregelen 142 2.8Linearisering 153 3Kurverogflater 159 3.1Parametrisertekurver 159 3.2Kjerneregelenfor parametrisertekurver 177 3.2.1Middelverdisetningenfor funksjoneravflerevariable 180 3.3Linjeintegralerforskalarfelt 182 3.4Linjeintegralerforvektorfelt 191 3.5Gradienterogkonservativefelt 201 3.6Kjeglesnitt 209 3.6.1Parabler 210 3.6.2Ellipser 216 3.6.3Hyperbler 221 3.6.4Dandelinsiskrembevis 228 3.7Grafiskfremstillingavskalarfelt 235 3.7.1Funksjoneravtrevariable 243 3.7.2Nivåflaterogtangentplan 246 3.7.3Grafiskefremstillinger vedhjelpavMATLAB 250 3.8Grafiskfremstillingavvektorfelt 254 3.9Parametriserteflater 260 3.9.1Parametriserteflater iMATLAB 263
Gauss-eliminasjon
4.2.1Ligningssystemerpå trappeform 279 4.2.2Ligningssystemermed sammevenstreside 282 4.3Reduserttrappeform 288 4.3.1Reduserttrappeform iMATLAB 291
1.8.13 3-determinanter 81 1.8.2 n n-determinanter 84 1.9Lineæravbildninger 87 1.9.1Egenverdier 92 1.10Affinavbildninger 97
266 4.2Trappeform 274
4.4Matriseligninger 296
4.4.1Homogeneligninger 300
4.4.2Simultaneløsningerav matriseligninger 301
4.5Inversematriser 305
4.5.1Enmetodeforåfinne inversematriser 308
4.5.2Inversematriser iMATLAB 311
4.6Lineærkombinasjonerogbasiser 315
4.6.1Lineæruavhengighet 318
4.6.2Basiser 322
4.6.3Basiseroglineæravbildninger 326 4.7Underrom 331 4.7.1Rangentilenmatrise 336
337
5.3Noenkonsekvenseravkompletthet 427 5.3.1Uniformkontinuitet 427
5.3.2*Operatornormog inverterbarhet 433
5.4Iterasjonavfunksjoner 440
5.5Konvergensmotetfikspunkt 450
5.6Newtonsmetodeiflerevariable 462
5.6.1KonvergensavNewtons metode 466
5.6.2*BevisforKantorovitsj’ teorem 470
5.7Omvendteogimplisittefunksjoner 483
5.7.1Implisittfunksjonsteorem 486
4.8Elementærematriser 342
4.9Determinanter 346
4.9.1Determinanterog radoperasjoner 349
4.9.2Determinantentil etprodukt 355
4.9.3Utviklinglangs
358
5.7.2*Bevisforomvendt funksjonsteorem 493
5.8Ekstremalverdisetningen 500
5.9Maksimums-ogminimumspunkter 502
5.9.1Taylorsformel 507
5.9.2Annenderiverttesten 512
5.9.3Uoppstilteproblemer 517
5.10Lagrangesmultiplikatormetode 528
5.10.1Lagrangesmultiplikatormetode medflerebibetingelser 538
5.10.2Økonomisktolkningav lagrangemultiplikatorer 545
5.11Gradientmetoden 553
4.12.1Symmetriskelineær-
4.7.2Ortonormalebasiser
raderogsøyler
4.10Egenvektorerogegenverdier 362 4.10.1Multipleegenverdier 366 4.10.2Komplekseegenverdier 371 4.10.3Egenverdiertil symmetriskematriser 373 4.10.4Diagonaliseringavmatriser 374 4.10.5EgenverdiermedMATLAB 376
381
4.11Egenvektoreripraksis
4.12Spektralteoremet 401
avbildninger
408
404 4.12.2Bevisforspektralteoremet
5Iterasjonogoptimering 410 5.1Litttopologii °m 411
5.1.1Følgeri °m 413 5.2Kompletthetav °m 421
Innhold x
6Integrasjon 557
6.1Dobbeltintegraleroverrektangler 558
6.1.1Integrasjonavkontinuerlige funksjoner 561
6.1.2Itererteintegraler 563
6.1.3Dobbeltintegraler iMATLAB 568
6.2Dobbeltintegralerover begrensedeområder 570
6.2.1Meromdobbeltintegraler iMATLAB 577
6.3Dobbeltintegraler ipolarkoordinater 580
6.4Anvendelseravdobbeltintegraler 588
6.4.1Arealberegningeriplanet 588
6.4.2Massemiddelpunkt 590
6.4.3Arealettilflater 592
6.4.4Flateintegraleravskalarfelt 596
6.5Greensteorem 601
6.6Jordan-målbaremengder 617
6.7Skifteavvariableidobbeltintegral 623
6.7.1*Bevisforskifteavvariabel idobbeltintegraler 632
6.8Uegentligeintegraleriplanet 646
6.9Trippelintegraler 652
6.9.1Trippelintegralerovermer generelleområder 656
6.10Skifteavvariableitrippelintegraler 662
6.10.1Integrasjonisylinderkoordinater 665
6.10.2Integrasjonikulekoordinater 666
6.10.3Integrasjoni R n 669
6.11Anvendelseravtrippelintegraler 673
6.12Flateintegraleravvektorfelt 678
6.12.1Uavhengighetavparametrisering ogikke-orienterbareflater 686
6.13Divergensogcurl 692
6.14Divergensteoremet 697
6.14.1Bevisfordivergensteoremet ietspesialtilfelle 700
6.14.2Divergensteoremetfor områdermedhull 702
6.14.3Divergensteoremetgeneraliserer Greensteorem 704
6.14.4Fysisktolkningav divergensen 705
6.15Stokes’teorem 708
6.15.1UtvidelseravStokes’teorem 714
6.15.2Stokes’teoremsomen generaliseringav Greensteorem 718
6.15.3Fysisktolkningavcurl 719
AInnføringiMATLAB 726
A.1Detallerenkleste 727
A.2Matriserogvektorer 729
A.3Komponentviseoperasjoner 732
A.4Grafer 735
A.5Tredimensjonalegrafer 738
A.6Merommatriser 739
A.7RadoperasjoneriMATLAB 742
A.8Tavarepåarbeidetditt 746
A.9ProgrammeringiMATLAB 747
A.10m-filer,funksjonerogscript 752
A.11Anonymefunksjonerog linjefunksjoner 755
A.12Symbolskeberegninger 757
A.13Feilsøking 759
BFasit 761
CRegister 803
Innhold xi