Elisabeta Eriksen er førsteamanuensis i matematikk ved Høgskolen i Oslo og Akershus, og underviser på grunnskolelærerutdanningen og på videreutdanningskurs for lærere. Hun deltok i forskningsprosjektet mellom teori og praksis i grunnskolelærerutdanningen og er spesielt interessert i algebraisk tenkning på barne-
Bjørn Smestad er dosent i matematikkdidaktikk ved Høgskolen i Oslo og Akershus. Smestad har et bredt interessefelt innen lærerutdanning og har blant annet forsket på matematikkhistoriens plass i matematikkundervisning. Han har også deltatt i forskningsprosjektet hvordan studenter utvikler seg til profesjonsutøvere gjennom teori- og praksisstudier. Han har en rekke publikasjoner både nasjonalt og internasjonalt innen matematikkdidaktikk. Ida Heiberg Solem er førstelektor i matematikk ved Høgskolen i Oslo og Akershus. Hun er opptatt av betydningen av kommunikasjonen i matematikklasserommet knyttet til undring og resonnement, argumentasjon og begrunnelse. Solem er forfatter av Det matematiske barnet og Tall og tanke: Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn, lærebøker for barnehage- og grunnskolelærerutdanning, og har publikasjoner nasjonalt og internasjonalt innen matematikkdidaktikk.
Forfatterne legger vekt på klassesamtaler i matematikk, og de gir mange forslag til hvordan gode samtaler kan initieres og hvordan lærere kan utfordre elevenes matematiske tenkning. Boka inneholder mange rike oppgaver som engasjerer elevene og utvikler vesentlig kompetanse, med eksempler på elevarbeider som viser elevenes løsningsmetoder og strategier. Her er egne kapitler om de sentrale områdene elevene skal arbeide med: • • • • • • •
multiplikasjon og divisjon geometri måling rasjonale tall forhold og proporsjonalitet algebra statistikk
Boka bygger videre på Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn. Boka henvender seg til matematikklærere og studenter i lærerutdanning.
TALL OG TANKE 2
fra Warwick University (Storbritannia).
www.gyldendal.no/akademisk
Alseth er forfatter av læreverket Multi og Tall og tanke: Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn.
Tall og tanke 2 viser hvordan god matematikkundervisning på 5., 6. og 7. trinn kan gjennomføres, basert på internasjonal forskning og praktiske erfaringer fra norske klasserom. Boka har en bred tilnærming til faget, der elevers tenkning og argumentasjon står sentralt.
Heiberg Solem • Alseth • Eriksen • Smestad
Bjørnar Alseth er læremiddelutvikler. Han har doktorgrad i barns læring av matematikk og har en bred interesse for matematikk, undervisning og elevers læring. Han har tidligere arbeidet med grunn- og videreutdanning av matematikklærere og utvikling av nasjonale kartleggingsprøver i matematikk. Han var leder for
Ida Heiberg Solem Bjørnar Alseth Elisabeta Eriksen Bjørn Smestad
TALL OG TANKE 2
Matematikkundervisning på 5. til 7. trinn
1: Klassekultur, oppgavetyper og matematisk tenkning 2: Argumentasjon, begrunnelse og bevis 3: Multiplikasjon og divisjon 4: Geometri 5: Måling 6: Rasjonale tall 7: Forhold og proporsjonalitet 8: Algebra 9: Statistikk
Ida Heiberg Solem, Bjørnar Alseth, Elisabeta Eriksen og Bjørn Smestad
tall og tanke 2 – Matematikkundervisning på 5. til 7. trinn
© Gyldendal Norsk Forlag AS 2017 1. utgave, 1. opplag 2017 ISBN 978-82-05-46283-0 Omslagsdesign: Eivind Vetlesen Layout og sats: Eivind Vetlesen Illustrasjoner og figurer: Víctor Paiam, Erik Ødegaard og Eivind Vetlesen (Basta illustrasjon & design – www.basta.no) Brødtekst: Minion Pro 10,5/14 pkt Papir: 90 g Amber graphic Trykk: Opolgraf, Polen 2017 Alle henvendelser om boka kan rettes til Gyldendal Akademisk Postboks 6730 St. Olavs plass 0130 Oslo www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no Bjørnar Alseth og Ida Heiberg Solem har mottatt støtte fra Det faglitterære fond. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo
Innhold Forord............................................................................................................................ 5 1: Klassekultur, oppgavetyper og matematisk tenkning ............................ 7 1.1 Klassekultur, sosiale og sosiomatematiske normer ....................................................................... 9 1.2 Lærerens spørsmål ........................................................................................................................... 21 1.3 Matematiske problemstillinger ....................................................................................................... 28
2: Argumentasjon, begrunnelse og bevis.......................................................... 45 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Logiske slutninger − bevisenes byggesteiner ................................................................................ Bevis på barnetrinnet ...................................................................................................................... Empirisk argumentasjon og bevis .................................................................................................. Generisk eksempel og representasjonsbasert bevis ..................................................................... Om å ta utgangspunkt i det som alt er bevist ...............................................................................
47 60 70 75 80
3: Multiplikasjon og divisjon ............................................................................... 87 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
«15 delt på 3 blir 14 på hver» .......................................................................................................... 88 Multiplikativ tenkning og multiplikative strukturer ................................................................... 88 Delings- og målingsdivisjon ........................................................................................................... 92 Regnelovene ...................................................................................................................................... 94 Faktorisering og delelighet .............................................................................................................. 98 Gangetabellenes hemmeligheter .................................................................................................. 107 Multiplikasjon med flersifrete tall − elever bruker og utvikler metoder ................................ 112 Elever bruker og utvikler metoder i divisjon ............................................................................. 121 Ulike standardalgoritmer .............................................................................................................. 128
4: Geometri ............................................................................................................... 131 4.1 4.2 4.3 4.4
Begreper i todimensjonal geometri ............................................................................................. To og tre dimensjoner .................................................................................................................... Plassering og bevegelse .................................................................................................................. Avbildninger og symmetrier .........................................................................................................
132 159 168 171
5: Måling ................................................................................................................... 179
5.1 Vinkelen .......................................................................................................................................... 180 5.2 Å bli bedre kjent med måleenhetene ........................................................................................... 199
5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Areal og omkrets ............................................................................................................................ Volum og overflate ......................................................................................................................... Formler ............................................................................................................................................ Sammensatte måleenheter ............................................................................................................ Måleusikkerhet ...............................................................................................................................
203 206 207 215 216
6: Rasjonale tall .................................................................................................... 219 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Om brøkbegrepet ........................................................................................................................... Sentrale ideer i arbeid med brøkbegrepet ................................................................................... Likeverdige brøker ......................................................................................................................... Rasjonale tall på desimalform ...................................................................................................... Addisjon og subtraksjon med brøk ............................................................................................. Multiplikasjon og divisjon med brøk ..........................................................................................
221 233 239 244 247 257
7: Forhold og proporsjonalitet ........................................................................ 271 7.1 7.2 7.3 7.4
Multiplikativ eller additiv sammenheng ..................................................................................... Forhold mellom to tall ................................................................................................................... Proporsjonalitet .............................................................................................................................. Å regne med forhold ......................................................................................................................
276 283 289 294
8: Algebra ................................................................................................................. 303 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
Algebraisk tenkning ....................................................................................................................... Algebra som språk ......................................................................................................................... Generalisere struktur ..................................................................................................................... Likhetstegnets egenskaper ............................................................................................................ Relasjonell tenkning ...................................................................................................................... Variabelbegrepet ............................................................................................................................. Funksjonstenkning ........................................................................................................................
306 309 311 322 329 337 341
9: Statistikk ............................................................................................................. 365 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Introduksjon: statistikk versus matematikk ............................................................................... Statistisk prosess ............................................................................................................................. Utvalg ............................................................................................................................................... Distribusjon .................................................................................................................................... Representere data med diagram ................................................................................................... Variasjon og variabilitet .................................................................................................................
366 369 377 383 395 407