Integra Educativa 08 by IIICAB

Integra Educativa

Revista de Investigaci贸n Educativa

Instituto Internacional de Integración Convenio Andrés Bello

Integra Educativa Revista de Investigación Educativa

Tema: Educación Matemática

Integra Educativa Revista de investigación educativa del III- CAB La Revista Integra Educativa es una publicación cuatrimestral, la idea original pertenece al Instituto Internacional de Integración del Convenio Andrés Bello. Tiene como objetivo fundamental el tratamiento y divulgación de temáticas educativas en los diferentes pueblos de América Latina, el Caribe y resto del mundo. Es una revista indexada internacionalmente en el IRESIE (Índice de Revistas de Educación Superior e Investigación Educativa) de la Universidad Nacional Autónoma de México, con registro de ISSN internacional. Asimismo, con el Centro de Información de la Educación Superior ANUIES-México, la Cátedra de Complejidad y Transdisciplinariedad Educativa CCTE y otras instituciones educativas nacionales e internacionales, con las que mantiene intercambios periódicos.

Gobierno Bolivariano de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Comandante Hugo Rafael Chávez Frías Presidente de la República Bolivariana de Venezuela Lic. Jennifer Gil Laya Ministra del Poder Popular para la Educación

Idea original: III-CAB Dirección general de la Revista: David Mora

Junta Administradora del IPASME

Coordinación general de la Revista: David Mora

Prof. Favio Manuel Quijada Saldo Presidente

Octavo tema: Educacion matemática

Ing. José Alberto Delgado Vice-presidente

Edición General: Mario Rodrigo Días

Prof. Pedro Miguel Sampson Williams Secretario

Imagen de la portada: Diseño del III-CAB El III no se hace responsable ni comparte necesariamente las opiniones expresadas por los autores. REVISTA INTEGRA EDUCATIVA DEL III-CAB Prohibida su reproducción total o parcial © Integra Educativa, 2010 © Instituto Internacional de Integración/ 2010 Mayo 2010 DL: 4-3-1-08 ISSN: 1997-4043 Edición y publicación: INSTITUTO INTERNACIONAL DE INTEGRACIÓN Av. Sánchez Lima Nº 2146, Sopocachi. La Paz - Bolivia Casilla 7796/Fax (591) (2) 2411741/Tel (591) (2) 2410401 – (591) (2) 2411041 Fondo Editorial Ipasme Locales Ipasme, final Calle Chile con Av. Victoria (Presidente Medina), Urbanización Las Acacias, Municipio Bolivariano Libertador, Caracas, Distrito Capital, Venezuela Apartado Postal: 1040 Teléfonos: +58(212) 633 53 30 - Fax: +58(212) 632 97 65 E-mail: fondoeditorial.ipasme@yahoo.com Página Web: http://fondoeditorialipasme.wordpress.com

Fondo Editorial IPASME Lic. José Gregorio Linares Presidente Comité Editorial José Gregorio Linares Sagrario De Lorza Alí Ramón Rojas Olaya Ángel González

Índice Editorial ........................................................................................................................................................................................ 9 Formación matemática como parte de la educación integral básica (eib) de todas las personas David Mora................................................................................................................................................................................15 Las venas abiertas de la matemática financiera Alí Ramón Rojas Olaya......................................................................................................................................................73 Componente matemático del diseño curricular del sistema educativo bolivariano Orlando Mendoza...............................................................................................................................................................117 Investigación-acción participativa, crítica y transformadora Un proceso permanente de construcción Rosa Becerra Hernández Andrés Moya Romero.......................................................................................................................................................133 De lo real a lo formal en matemática Darwin Jesús Silva Alayón..........................................................................................................................................157 Educación matemática y dialéctica. Bases para una investigación científica Walter O. Beyer K.............................................................................................................................................................179 Formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal Mariagabriela Gracia......................................................................................................................................................235 Currículo, internet y matemáticas escolares Rovimar Serrano Gómez Hermelinda Torrealba Wladimir Serrano Gómez............................................................................................................................................263 La educación matemática. Su presencia y futuro en la universidad del zulia Hugo Parra S........................................................................................................................................................................279

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Editorial El octavo número de la revista cuatrimestral Integra Educativa del Instituto Internacional de Integración, como institución especializada del Convenio Andrés Bello con sede en la ciudad de La Paz-Bolivia, está dedicado al tema de la educación matemática. Este número, en cierta forma especial, constituye un aporte del IIICAB al séptimo Congreso Venezolano de Educación Matemática (COVEM), el cual tiene lugar en el mes de octubre de 2010 en la ciudad de Caracas, República Bolivariana de Venezuela. Este importante congreso está dedicado al currículo de educación matemática. Los espacios de la universidad Pedagógica Experimental Libertador, en especial del Instituto Pedagógico de Caracas, servirán de sede para el evento más importante de la comunidad de educación matemática de la República Bolivariana de Venezuela. Entre los objetivos del Congreso, podríamos destacar los siguientes: fortalecer y fomentar el incipiente contacto y la escasa relación entre la denominada comunidad de educadores/as matemáticos/as universitarios/as y las amplias y olvidadas comunidades de maestros/as y profesores/as del campo de la educación matemática que trabajan cotidianamente en escuelas, liceos y otros centros educativos; presentar y discutir públicamente propuestas pedagógico-didácticas y resultados de investigaciones concretas en el campo del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en los diversos ámbitos del sistema educativo venezolano, en muchos casos con repercusiones importantes fuera de nuestras fronteras; establecer mecanismos de reflexión y acción sociopolítica, con la finalidad de producir importantes y profundos procesos de transformación en los contextos y realidades concretas de nuestros países; contribuir a los cambios curriculares iniciados por el gobierno revolucionario de la República Bolivariana de Venezuela en el campo curricular, particularmente en el mundo de la educación matemática; incorporar a la población de estudiantes y docentes, de todos los niveles educativos, a la discusión e implementación de un currículo sociocrítico con énfasis en una concepción educativa sociocultural, políticamente comprometida con los procesos de cambio y socialmente transformadora; conocer con mayor profundidad las problemáticas inherentes al desarrollo curricular que tienen lugar en las prácticas concretas de nuestros sistemas educativos; y, finalmente, mostrar la posibilidad real de que es necesario, urgente e indispensable pensar en una educación matemática desde la perspectiva de la interculturalidad crítica, la teoría crítica revolucionaria, la interdisciplinariedad didáctica y, por supuesto, la orientación de los procesos de aprendizaje y enseñanza orientados en la investigación, con lo cual se podría superar la imposición eurocéntrica-colonizadora de la elementarización y transposición didáctica. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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La idea básica de la edición de la presente revista ha estado sujeta al interés, cada vez más creciente, despertado en diversos ámbitos del sistema educativo en cuanto a la conformación de una educación matemática que supere la concepción generalizada de las matemáticas como supuesta herramienta para el desarrollo del pensamiento lógico, cuyo objetivo está centralizado en el tratamiento de las intramatemáticas, descuidando con ello la importancia de las matemáticas en relación con el extenso, dinámico y complejo mundo exterior a ellas, es decir, la educación extramatemática, pero obviamente ligada estrechamente a las matemáticas como disciplina científica. En consecuencia, nos inclinamos hacia la conformación de un concepto amplio de educación matemática que contribuya a la conformación de un espectro complejo de formación general básica en cada persona, independientemente de su edad o escolarización. Esto no quiere decir que descuidemos las matemáticas como parte del uso de la razón crítica para emprender caminos diversos en el tratamiento de situaciones problemáticas al interior de las matemáticas, de otras disciplinas científicas y, especialmente, de la vida social y natural. Nuestra intención básica consiste en conseguir un cierto balance entre el tratamiento de las matemáticas como una herramienta heurística fundamental en el desarrollo de habilidades y destrezas para la solución de problemas múltiples y, por supuesto, como medio adecuado para la modelación y explicación de los diversos niveles de abstracción de la realidad. Las matemáticas, por otra parte, son parte esencial e inseparable de la cultura de cada pueblo en cada momento histórico. Ellas no sólo han permitido la matematización del mundo en todos sus sentidos, sino que además han contribuido enormemente con la conformación de todo un sistema de orientación del pensamiento, el conocimiento y sus respectivas consecuencias para el tránsito de interacciones simples con el mundo de la realidad a relaciones mucho más complejas, dinámicas y significativas, especialmente en el plano de las abstracciones. Las matemáticas no sólo constituyen un amplificador altamente potente del pensamiento de todas las personas con respecto a la cotidianidad, sino que han ido desarrollándose como una forma adecuada y necesaria, para todas las culturas, de orientar su pensamiento y reflexión en torno a los diversos quehaceres, desde los más concretos y simples hasta los de mayor complejidad conceptual y práctica. Al considerar las matemáticas como parte del pensamiento y del hacer de nuestras culturas, estaríamos también asumiendo que éstas han existido, existen y existirán mientras haya presencia del ser humano en el planeta tierra. No se trata de un capricho sino, más bien, de un imperativo de la relación estrecha entre el desenvolvimiento de los sujetos, la naturaleza, la economía, la sociedad y la tecnología, todo lo cual determina, en última instancia, la vida del mundo actual en casi todos los rincones del globo terráqueo. 10

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En la mayor parte de los trabajos que componen la revista Integra Educativa se muestra la posibilidad concreta de que los procesos de aprendizaje y enseñanza estén orientados en una concepción intercultural de la educación, lo cual se complementa con la noción central de la atención educativa en un sistema interconectado de ideas sociocríticas, políticas e investigativas como esencia fundamental de la educación liberadora y transformadora, siempre unido al dinamismo de las sociedades y la naturaleza. Ello significa que el desarrollo de las clases de matemáticas, dentro y fuera de las aulas de clases, debe estar orientado a reconocer a las matemáticas, por un lado, como parte de la cultura de los pueblos, así como la preocupación fundamental de los seres humanos por cultivar el conocimiento y, por el otro, como componente de la formación general básica orientada en las necesidades e intereses de nuestras poblaciones. La educación matemática, desde una perspectiva sociocrítica y política, permite entre muchas otras cosas el fortalecimiento de la personalidad crítica de los sujetos y, muy especialmente, la disposición-responsabilidad de las personas con respecto a otras personas, colectividad y el ambiente. Las matemáticas, tal como son percibidas por la mayor parte de los/as autores/as que escriben en la presente revista, contribuyen a la construcción de una identidad cultural, la cual coadyuva a la sincronización de aspectos inherentes a la coherencia y sostenimiento cultural de nuestros pueblos. Esto significa, según los/as autores/ as, que la educación matemática debe trascender la simplicidad de la transmisión de conocimientos, en muchos casos memorísticos y escasamente significativos, de unas personas, denominadas docentes o científicos, a otras supuestamente desprovistas de ideas, saberes y conocimientos matemáticos básicos e importantes para sus vidas. La idea central de asumir las matemáticas como parte sustantiva de la cultura, nos permite considerar que todo proceso de aprendizaje y enseñanza de las mismas debe integrar, sin menoscabo del cultivo del pensamiento complejo matemático, las concepciones del mundo de cada sujeto al sistema de orientación colectiva en toda sociedad. Esto quiere decir que las matemáticas, y por supuesto su educación, deberían estar estrechamente vinculadas con las orientaciones suministradas por los seres humanos al mundo de vida, producción e interacción sociocultural. Con ello es sumamente importante y significativo, también, el desarrollo de una conciencia sociocrítica y política, ya que los sistemas de orientación podrían estar focalizados o centralizados en intereses y necesidades no necesariamente coherentes con la permanencia de la vida en nuestro planeta y mucho menos con la superación de las grandes desigualdades socioeconómicas impuestas por el desarrollo histórico del mundo capitalista, el cual obviamente ha usado a las matemáticas con la finalidad de mantenerse, fortalecerse y optimizarse, en perjuicio de las grandes mayorías en diversas partes del mundo. Consideramos que cualquier modelo para el desarrollo de la educación matemática debe orientar inexorablemente el aprendizaje y la enseñanza Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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intercultural como parte esencial de una educación matemática insurgente y agitadora, cuya finalidad esté centrada, por un lado, en la formación integral del sujeto y, por el otro, en las interacciones interculturales matemáticas, con énfasis en las contradicciones socioeconómicas, es decir, desde la perspectiva de la interculturalidad crítico-política tal como se expresa en algunos de los artículos expuestos en el presente número de la revista Integra Educativa. Ciertamente, la revista no trata en profundidad el tema de una educación matemática con un enfoque en la interculturalidad, menos si ésta es asumida sobre la base crítica y política, tal como ocurre con las últimas discusiones relacionadas en la educación intercultural; sin embargo, sí es muy importante indicar que la estructuración curricular en el campo de la educación matemática crítica exige la incorporación de algunos aspectos básicos y fundamentales, propios de la pedagogía y didáctica intercultural, al proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en todos los ámbitos de nuestros sistemas educativos. No se trata simplemente de un aspecto puramente normativo o deseado por teóricos de la interculturalidad y/o de la educación matemática, sino más bien de una necesidad educativa, cada vez con mayor fuerza y relevancia práctica y conceptual. Ello muestra claramente que es indispensable e indiscutible elaborar unidades didácticas de matemáticas con un alto contenido socionatural, para lo cual tendríamos que seleccionar temáticas propias de los contextos concretos donde tienen lugar los procesos de aprendizaje y enseñanza, sin descuidar aquellos temas más abstractos y correspondientes a realidades más lejanas a tales contextos. Todo ello nos permitirá obviamente la incorporación al proceso educativo cotidiano, y al respectivo esclarecimiento de diferencias, desigualdades e injusticias, formas de pensamiento, manejo de conceptos y terminologías y diversas maneras de relacionar los saberes y conocimientos con el manejo de la cotidianidad y la complejidad de las respectivas realidades. En este sentido, vemos con entusiasmo el creciente enfoque de la educación matemática como parte de una concepción filosófica y epistemológica sociocrítica, cuyo elemento central está en asumir que cultivar las matemáticas es un hecho fundamentalmente cultural. Con ello estaríamos estableciendo un estrecho vínculo entre matemáticas y realidad, para lo cual es indispensable la profundización de los procesos de modelación matemática, resolución de problemas y la orientación en la investigación. Al tratar el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas desde la perspectiva de la interculturalidad crítica, estaríamos asumiendo entonces una posición muy clara y precisa con respecto a la idea prevaleciente de la educación matemática centrada en sus estructuras, conceptos, terminología, etc. Particularmente, superaríamos la tradición del desarrollo de actividades de aprendizaje y enseñanza focalizadas simplemente en la transmisión-transposición memorística de conocimientos descontextualizados de un sujeto a una multitud de sujetos excluidos de toda posibilidad de participación, cooperación y colaboración en el proceso de aprendizaje y enseñanza. 12

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La educación matemática, tal como la asume el Grupo de Investigación y Difusión de la Educación Matemática (GIDEM), trasciende ideas normativas y prescriptivas curriculares, en la mayoría de los casos desprendidas de los espacios donde ocurren las prácticas educativas. Se desea, por el contrario, comprender, describir, analizar y fortalecer los procesos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas con énfasis en las realidades socioculturales. Independientemente de la estructuración didáctica dentro y fuera de los centros educativos, no se puede por ningún motivo apartar la influencia de la carga cultural que porta cada grupo o sujeto que participa en toda práctica educativa específica. Cada participante proporciona no sólo sus experiencias y conocimientos previos, sino también parte de su cultura, de sus contextos y realidades concretas. Hoy podemos confirmar, a raíz del desarrollo de diversas investigaciones en el campo de las interacciones sociomatemáticas, que existe una alta relación directa entre el interés por las matemáticas y la incorporación de elementos subjetivos e intersubjetivos del conglomerado de los sujetos que participan en el hecho educativo. En la mayor parte de los trabajos que componen el presente trabajo asoma un enorme potencial pedagógico, didáctico e investigativo, particularmente cuando se asume una concepción de la educación matemática totalmente diferente a la impuesta por la tradición del mundo educativo colonizador y eurocentrista. Consideramos que los aportes de estos trabajos al mundo de la educación matemática venezolana, latinoamericana, caribeña y mundial en general, podrán fortalecer y fundamentar un proceso revolucionario en el campo del desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza concretos con los/as niños/as, jóvenes, adolescentes y adultos/as. La idea educativa, pedagógica, curricular y didáctica consiste precisamente en innovar una educación matemática intramatemática y extramatemática. La innovación de esta última desde una orientación interdisciplinaria e investigativa podría superar las divergencias entre el denominado pensamiento matemático abstracto y el pensamiento matemático cotidiano. Falta, entonces, después de tantas reflexiones, impulsar cambios sustantivos en la elaboración de propuestas curriculares concretas y, por supuesto, prácticas educativas alternativas, tal como lo intuye y manifiesta la mayor parte de los/as autores/as de los respectivos artículos de la presente revista Integra Educativa. Los trabajos que componen el presente número de esta revista son: a) formación matemática como parte de la educación integral básica de todas las personas, de David Mora, b) las venas abiertas de la matemática financiera, de Alí Rojas; c) componente matemático del diseño curricular del sistema educativo bolivariano, de Orlando Mendoza; d) investigación-acción participativa, crítica y transformadora, un proceso permanente de construcción, de Rosa Becerra y Andrés Moya; e) de lo real a lo formal en matemáticas, de Darwin Silva; f) educación matemática y dialéctica, bases para una investigación científica, de Walter Beyer; g) formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal, de Mariagabriela Gracia; h) currículo, internet y matemáticas escolares, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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de Rovimar Serrano, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano y finalmente i) la educación matemática, su presencia y futuro en la universidad del Zulia, de Hugo Parra. Es importante resaltar que estos diez trabajos muestran el avance de las discusiones y reflexiones de un importante grupo de colegas en el campo de la educación matemática, quienes trabajan en diversos espacios de la República Bolivariana de Venezuela, pero también están comprometidos/as con los procesos de cambio educativo y político en nuestros países de América Latina y el Caribe, especialmente en relación con la educación matemática como derecho fundamental de tos nuestros pueblos. Esperamos que estos diez trabajos contribuyan no sólo con la difusión de la gran cantidad de temáticas presentadas y discutidas en el séptimo COVEM, sino que además sirvan de apoyo para la consolidación definitiva del currículo en matemáticas escolares desde una concepción crítica y políticamente comprometida.

Formación matemática como parte de la educación integral básica (eib) de todas las personas David Mora

Director Ejecutivo Instituto Internacional de Integración

Resumen

Dr. David Mora Director Ejecutivo Instituto Internacional de Integración

El contenido del presente artículo está referido concretamente a la reflexión conceptual, social, política, pedagógica y didáctica acerca del papel que juegan las matemáticas en los procesos de cambio y transformación en los diversos contextos y espacios socioculturales, como un hecho histórico y material afectado por las múltiples interacciones de los sujetos que conforman determinadas colectividades. Para ello, tratamos de discutir dos temas esenciales: a) los propósitos y tareas de las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje en cualquier momento histórico y grupo social determinado; y b) las matemáticas como parte esencial de las interacciones socioculturales y sus consecuencias ideológicas dominantes o liberadoras, según se realice su tratamiento y orientación. En el primer caso, discutimos diez puntos básicos que obviamente no cierran la posibilidad de ampliación, puesto que las relaciones entre las matemáticas y el mundo socionatural son múltiples y altamente complejas. En el segundo caso, desarrollamos la reflexión a través de cinco aspectos fundamentales que naturalmente tienen una estrecha relación con los diez de la primera parte. Es importante resaltar, además, que hemos recurrido a fuentes diversas en el campo de la pedagogía y didáctica críticas, como sustento teórico profundamente necesario para el esclarecimiento de contradicciones y el establecimiento de propuestas consistentes, coherentes y transformadoras.

Abstract The contents of this article are referred concretely to the didactic, pedagogic, political, social and conceptual thought about the mathematics role in the transformation and change processes in diverse cultural-social spaces and contexts, as a material and historic fact influenced by the multiple interactions between the subjects that shape some collectivities. In order to do this, we try to discuss two essential themes: a) the mathematics’ purposes and duties, its teaching and learning at any historic moment and specific social group; and b) mathematics as an essential part of cultural-social interactions and its dominating or liberating ideological consequences, according how it is treated and oriented. In the first case, we discuss ten basic points that obviously can be extended to more, because the connections between mathematics and socio-natural world are many-sided and highly complex. In the second case, we develop the reflection trough five fundamental aspects that, naturally, are tightly related with the ten of the first part. It is important to highlight, besides, that we have taken different sources in the critic pedagogy and didactics field, as a theoretical support deeply necessary to contradictions explaining and transforming, coherent and consistent proposals setting up.

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1. Introducción Para el desarrollo del presente trabajo queremos partir de la premisa, cada vez con mayor respaldo teórico y empírico, de que las matemáticas en términos generales, y la educación matemática en particular, están actualmente sujetas, por un lado, a un proceso de avance y transformación profundo y, por otro, a una profunda apatía de diversos sectores de las comunidades escolares y extraescolares. Podríamos decir que, en el primer caso, está la comunidad directamente vinculada con las matemáticas y su investigación, la cual se encuentra apartada del mundo de la realidad concreta donde ocurren los procesos de aprendizaje y enseñanza, seguramente porque los docentes están concentrados/as en el “deber ser” de las matemáticas y su educación, sujetos a la idealización de lo que para ellos/as significaría aprender y enseñar matemáticas, sean éstas abstractas o vinculadas con el mundo real socionatural. Es muy probable que este grupo esté altamente descontextualizado y apartado del mundo del quehacer educativo concreto, o que simplemente considere que sus reflexiones y aportes teóricos o los resultados de sus estudios empíricos tendrán algún día cierta resonancia y relevancia en las prácticas concretas y en las realidades específicas, tanto en la vida comunitaria como en las relaciones y procesos productivos. En el segundo grupo se encuentra realmente el gran conglomerado de personas, podríamos decir que más del 99% de la población en cualquier parte del mundo, que sólo conoce o ha oído la palabra matemáticas, independientemente de su grado de escolaridad o “alfabetización matemática”. Con esta afirmación no pretendemos ser exagerados, ni tampoco crear una alarma innecesaria, sólo deseamos resaltar y hacer explícita una realidad latente, subyacente e innegable en nuestras sociedades. Es simplemente así y, aunque nos duela profundamente, quienes amamos a las matemáticas, nos hemos formado en ellas y con ellas, las defendemos y en muchos casos las cultivamos, debemos aceptar esta situación real concreta y asumir, entonces, una posición sociocrítica y política en torno a tal situación problemática, con la finalidad de investigar, proponer y practicar algunas estrategias de cambio sustantivas, cuyo objetivo consiste en revertir esta situación preocupante, pero existente e irrefutable. Los/as educadores/as matemáticos/as críticos/as nos hemos propuesto una tarea titánica, cuya meta no está en convencer a la población de que las matemáticas convencionales y su educación bancaria es importante para la vida de todas las personas, el desarrollo de su pensamiento lógico-matemático, necesario para el progreso científico y tecnológico o para el bienestar de la población. Estas afirmaciones simplistas no son más ni pertinentes ni creíbles, dado que, desde el punto de vista matemático, en su sentido abstracto, pedagógico y didáctico, la educación matemática simplemente ha fracasado, puesto que ellas sólo son 16

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importantes y significativas, desde la perspectiva burguesa, para un reducido número de ciudadanos/as. Este hecho real y palpable lo vivimos permanentemente, pero pocos lo analizamos crítica y políticamente, siendo que de este análisis podríamos obtener algunas respuestas fundamentales para impulsar profundos procesos de transformación tanto de la concepción que tenemos de las matemáticas escolares como del desarrollo del proceso de aprendizaje y enseñanza. En el presente trabajo, asumimos una postura, en relación con las matemáticas, totalmente diferente a las posiciones convencionales de la mayor parte de las personas que se ocupan de las reflexiones sobre educación matemática, especialmente de aquéllos/as que están interesados/as sólo en indagar y proponer, desde una mirada puramente teórica, supuestas soluciones didácticas para optimizar el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas de acuerdo con una concepción puramente intradisciplinaria, cuya finalidad se centra en mejorar el rendimiento estudiantil, sin preocuparse del desarrollo de potencialidades y cualificaciones múltiples en los/as participantes del proceso educativo. Nuestra práctica, acción y reflexión educativas están sujetas a las necesidades, intereses y realidades tanto de las comunidades internas de los centros educativos autónomos comunitarios, como de las comunidades externas a ellos, influyentes directa e indirectamente en los procesos de comprensión y transformación sociocultural. Nuestras ideas pedagógicas y didácticas, en el campo concreto de la educación matemática, podrían estar orientadas en dos direcciones; por una parte, consideramos que se requiere de una formación general básica, la cual está estrechamente vinculada con los contextos y realidades concretas, cercanas o lejanas de los espacios donde ocurren los procesos de aprendizaje y enseñanza, y abstractas, pero que obedecen a representaciones y niveles de abstracción de la realidad, en su sentido amplio. Esta formación será producto del tratamiento de los temas generadores de aprendizaje y enseñanza, mismos que forman parte de la concepción dinámica del currículo en particular y de toda la educación en general. Esta meta educativa será lograda, desde el punto de vista didáctico, a través de procesos de aprendizaje y enseñanza basados en la investigación. En segundo lugar, nos encontramos con la necesidad de alcanzar una formación, también científica, al interior de las disciplinas, sobre la base de la didáctica intradisciplinaria; en nuestro caso particular, se trata de lograr una preparaciónformación en el mundo de las matemáticas escolares, lo cual requiere una didáctica especial, la didáctica de las matemáticas. Ambos componentes están directamente relacionados, puesto que la integración y unión de conocimientos nos lleva directamente a la necesidad de profundizar en el conocimiento matemático, y éste también nos puede orientar al tratamiento de situaciones matemáticas interesantes mediante, por ejemplo, los procesos de Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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modelación de realidad-matemática y las aplicaciones. Por último, es necesario resaltar que, en ambos casos, la indagación como herramienta de la investigación y el método de proyectos constituyen las herramientas básicas fundamentales, desde la perspectiva metodológica, para el tratamiento de situaciones de aprendizaje y enseñanza en ambas direcciones. Por supuesto que la fundamentación y concreción de estas dos orientaciones serán tratadas en otra oportunidad.

2. Propósitos y tareas básicas Las instituciones escolares, en términos generales y en cualquier sociedad, tienen como tarea fundamental brindar una formación integral básica a toda la población, sin ningún tipo de exclusión o discriminación. Esta educación incluye, por supuesto, una sólida formación matemática en el sentido pragmático y sociocrítico (Xie y Carspecken, 2008). Una de sus tareas consiste en preparar a los/as jóvenes y adultos/ as en el mundo del trabajo y para el trabajo, como una de las funciones sustantivas de la escuela. En este trabajo preferimos hablar de una educación matemática inclusiva, que permita, entre otras cosas, la configuración del proyecto de vida individual, familiar y social por parte de cada sujeto, especialmente de quienes han estado marginados del mundo educativo (Freire, 2002). No se trata simple y llanamente de la transmisión de conocimientos aislados y desprendidos del mundo real de los/as participantes en la praxis educativa, sino de una formación general y, en particular, matemática, que responda verdaderamente a los intereses, potencialidades y necesidades de los sujetos en el sentido individual y de toda la sociedad, en el sentido colectivo (Mora, 2005). La comprensión matemática (Perkins, 1995, 1997 y 2003) a la cual nos referimos en este documento podría escapar, evidentemente, de las convenciones normalmente aceptadas o asumidas por los respectivos sistemas educativos en la mayor parte del mundo. Aquí nos inclinamos por una educación matemática formal, informal y no formal, presente tanto en los conocimientos sistemáticos acumulados por el desarrollo científico de diversas culturas a lo largo de la historia de la humanidad, como en los saberes populares, ancestrales y sociales recreados frecuentemente a través de la gran variedad de interacciones productivas y comunitarias existentes, por supuesto, en cada grupo cultural en cualquier rincón de nuestro planeta1, todo lo cual ocurre en un mundo de relaciones e interacciones personales y sociales, lo que también determina las acciones vinculadas con el mundo socionatural. Leontiev, por ejemplo, señala al respecto lo siguiente:

otras personas. Su actividad siempre forma parte de estas relaciones, incluso en aquellos casos en que exteriormente se queda solo. La relación social en su forma exterior original, en la forma de actividad conjunta o en la forma de comunicación oral, o incluso sólo en el pensamiento, constituye la condición necesaria y específica de la vida del hombre en la sociedad. La relación social constituye también la condición necesaria para la formación en el niño, y en cada hombre por separado, de la actividad adecuada a aquella, que, al parecer, llevan en sí los objetos y los fenómenos que registran los avances del desarrollo de la cultura material y espiritual de la humanidad. De este modo, la relación social constituye la segunda condición obligatoria de la asimilación, su “mecanismo” por decirlo así. (1973: 27-28)

Consideramos que la educación matemática, además de formar parte de la estructura educativa convencional de nuestros sistemas educativos, tiene que convertirse definitivamente en un verdadero pilar educativo en la formación general básica de toda la población, desde muy temprana edad hasta el final de la vida de cada sujeto, es decir, educación para toda la vida. Para que ello ocurra, será necesario cambiar, por una parte, la concepción que se tiene aún de las matemáticas, su educación y relación con el mundo y, por otra, iniciar un proceso profundo de reflexión y transformación de las prácticas educativas existentes en cuanto a la educación productiva, comunitaria y liberadora (Mora, 2009 y 2010; Freire, 1973 y 1985; Leontiev, 1978 y 1979). Durante muchos años, especialmente en el transcurso de la segunda mitad del siglo XX, se escribió, investigó y profundizó ampliamente en lo que debería ser la educación matemática a finales de ese siglo y principios del presente (Winter; Heymann, 1996, Bauer, 1990; Bauersfeld, 1983; Bishop, 1988a y 1988b; Ernest, 1998; Fischer, 1982, 1988 y 1998; Fischer y Malle, 1985; Freudenthal, 1973; Hersh, 1997; Mora, 1998, 2009 y 2010; Schroeder, 2000; Steiner,1989; Wille, 1995). Hoy, después de transcurrida una décima parte del siglo XXI, continuamos prácticamente en las mismas condiciones de hace treinta o cuarenta años. A pesar de esta lamentable situación y la permanente crisis de la educación matemática en nuestros países latinoamericanos y caribeños, pero también en muchas otras partes del mundo, pensamos que es necesario seguir insistiendo en el tema de la formación general básica en matemáticas como parte de la educación integral de toda nuestra población (Mora, 2005 y 2009).

1 En cuanto a la educación formal, informal y no formal, recomendamos ver los trabajos de Belle Thomas (1987) y David Mora (2007).

De allí que, siguiendo en cierta forma los planteamientos de Bishop (1988), Heymann (1996) y Mora (1998 y 2009), resumimos a continuación diez principios básicos que deberían caracterizar la educación matemática en correspondencia con la formación integral crítica, política, comunitaria, liberadora y productiva. Es decir, que las matemáticas en general y la educación matemática, en particular, deberían contribuir a la formación en cuanto:

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El hombre, en general, se halla solo ante el mundo que lo circunda. Sus relaciones con él se hallan siempre mediatizadas por sus relaciones con

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1) Comprensión y dominio de las problemáticas cotidianas. 2) Mantenimiento de los saberes y conocimientos matemáticos como parte de la herencia cultural de los pueblos. 3) Orientación en la complejidad de los procesos de interacción internacional, especialmente en relación con las situaciones de injusticia, desigualdad, pobreza y discriminación.

cada una de las interacciones socioproductivas y comunitarias (Hernández y Ventura, 2002; Hidalgo, 2009; Wass, 1992 y Sacristán, 1995). Debemos trascender la idea de que las matemáticas sólo son importantes para los especialistas y profesionales que las aplican o usan en sus respectivas actividades; ellas deben formar parte del quehacer permanente del sujeto y de la colectividad, en sentido general (Mora, 1998, 2005 y 2009).

7) Fortalecimiento de la independencia y autodeterminación del sujeto con respecto al aprendizaje.

Para la educación matemática, en términos específicos y generales, en los diversos espacios en los que están estructurados nuestros sistemas educativos en el mundo de la educación formal, informal y no formal, estos diez principios conceptuales básicos de educación general permiten, obviamente, el establecimiento de conceptos curriculares y estrategias metódicas de aprendizaje y enseñanza, siempre dentro de la orientación comunitaria, productiva, crítica, sociopolítica y transformadora (Freire, 1973; McLaren, 1997, 1998 y 2001; Apple, 1982, 1979 y 1996; Giroux, 1992, 1993, 2001 y 2003; etc.). Aunque cada uno de estos diez principios es muy amplio y su explicación analítica requiere, especialmente, un tratamiento extenso, intentaremos mostrar a continuación una caracterización sucinta de cada uno de ellos, para lo cual recurriremos a la bibliografía básica que los sustenta, particularmente desde una perspectiva sociocrítica y revolucionaria de la educación.

8) Capacitación permanente de los/as participantes en el mundo de la educación productiva y comunitaria.

2.1. Comprensión y dominio de las problemáticas cotidianas

4) Preparación sociocrítica, política y transformadora de toda la población, especialmente de los menos favorecidos. 5) Desarrollo de actitudes y aptitudes relacionadas con la responsabilidad individual y colectiva. 6) Fomento de las prácticas participativas, cooperativas, colaborativas y comunicativas en procesos de interacción incluyentes y democráticos.

9) Desarrollo de cualificaciones interdisciplinarias e investigativas de todos/as los/as integrantes del proceso educativo. 10) Cambios revolucionarios de los diversos ámbitos del sistema educativo, incorporando activamente a toda la comunidad educativa. Estos principios fundamentales de la educación matemática, según nuestro punto de vista, están estrechamente relacionados entre sí, tanto de manera horizontal como verticalmente; de la misma manera, ellos coexisten en cada una de las situaciones problemáticas de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, en cualquier ámbito del sistema educativo. Proporcionan, además, un marco amplio de orientación pedagógica y didáctica, adecuado para impulsar la práctica educativa concreta al interior y exterior de las matemáticas (intra-matemáticas y extra-matemáticas), siempre desde una perspectiva sociocrítica, interdisciplinaria, investigativa y transformadora (Mora, 1998, 2005, 2009 y 2010).

La educación matemática y sus objetivos no deben reducirse simplemente a la adquisición de las denominadas “competencias de cálculo” burguesas, bajo la premisa de que estas competencias son las requeridas por una población alfabetizada, matemáticamente hablando. Es decir, unas matemáticas necesarias para la vida cotidiana privada y pública, pero centradas esencialmente en la reproducción de las estructuras sociales establecidas en nuestras sociedades capitalistas, orientadas en una concepción de desarrollo y consumo en contra de los intereses y necesidades de las mayorías, pero también basada en altos niveles de consumo de energía, recursos naturales de toda naturaleza, todo lo cual representa un alto peso para nuestra madre tierra. Por supuesto que es sumamente importante una alfabetización matemática en esos términos (Skovsmose, 1994 y Serrano, 2005 y 2009); sin embargo, ella tiene que trascender el mundo de los requerimientos del sistema capitalista, el cual simplemente necesita trabajadores/as formados/as en el campo de la producción y reproducción de las estructuras de desigualdad y dependencia, y cuyo objetivo básico consiste en imponer la ideología dominante, tal como lo señala Peter McLaren (2005: 281).

La idea básica consiste, más allá de la discusión de propuestas para el mejoramiento de la educación matemática y el rendimiento en términos capitalistas-comparativos, en lograr una verdadera transformación de la praxis educativa y del acercamiento positivo hacia las matemáticas como parte esencial de la vida cotidiana y científica de todas las personas en el mundo de la escuela, en su sentido amplio, o fuera de ella, en

El concepto ideología dominante se refiere a los patrones de creencias y valores compartidos por la mayoría de los individuos. Casi todos los estadounidenses -tanto los ricos como los pobres- comparten la creencia de que el capitalismo es mejor

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sistema que el socialismo democrático, por ejemplo, o que los hombres, en general, son más capaces de desempeñarse en posiciones de mando que las mujeres, o que las mujeres deberían ser más pasivas y hogareñas. Aquí debemos reconocer que el sistema económico actual requiere de la ideología del capitalismo consumidor para naturalizarlo y presentarlo como “de sentido común”. La ideología del patriarcado también es necesaria para mantener a salvo y segura la naturaleza de la economía en la hegemonía prevaleciente. Hemos sido “alimentados” con estas ideologías dominantes durante décadas, mediante los medios masivos de comunicación, las escuelas y la socialización de la familia. Las ideologías oposicionales existen, no obstante, e intentan desafiar a las ideologías dominantes y resquebrajar los estereotipos existentes. En algunas ocasiones, la cultura dominante es capaz de manipular ideologías alternativas y oposicionales de forma que la hegemonía pueda ser más efectivamente asegurada. Al contrario, se trata de trabajar las matemáticas desde una concepción más sociocrítica e ideológicamente alterna a la ideología dominante; este trabajo debe hacerse tanto al interior de las matemáticas mismas, lo cual va más allá del simple cálculo aritmético, como en el mundo extra-matemático, cuyo objetivo básico consiste en considerar situaciones problemáticas realistas interdisciplinarias con un enfoque investigativo, tal como lo veremos más adelante. Entre la multiplicidad de aspectos que deben ser considerados desde este punto de vista, podríamos mencionar, por ejemplo, los siguientes: a) Aproximaciones, estimaciones, registros intuitivos de situaciones de interés individual y colectivo, manejo apropiado de magnitudes múltiples, percepciones matemáticas implícitas y explícitas en el mundo del trabajo cotidiano de cada persona en sus diversos espacios de acción diaria e interacción sociocognitiva. b) elaboración, discusión y aplicación de modelos matemáticos sencillos, especialmente aquellos implícitos en el mundo de las prácticas laborales de cada sujeto, no necesariamente estandarizados en el mundo de las prácticas matemáticas formales de todas las personas. c) Elaborar, leer, interpretar, analizar críticamente y construir, cuando sea posible, diversas gráficas y dibujos técnicos que requieren un conjunto de ideas, saberes y conocimientos matemáticos no convencionales, diferentes a aquellos establecidos en el mundo de las denominadas “matemáticas formales”. d) Uso y aplicación de las matemáticas como parte esencial de los diversos medios de comunicación disponibles por todas las personas para establecer interacciones comunicativas con los demás, siempre desde una visión críticoreflexiva del mundo y sus contradicciones. 22

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e) Desenvolvimiento apropiado con datos estadísticos, en lo posible elaborados por los/as propios/as participantes, interpretación crítica de afirmaciones probabilísticas y estadísticas en correspondencia con situaciones reales problemáticas social y cognitivamente significativas. f) Manejo crítico y profesional de medios de ayuda tales como calculadoras populares y científicas, computadoras y sus respectivos programas matemáticos y/o interdisciplinarios, donde las matemáticas juegan un papel fundamental (Fischer y Malle, 1985; Freudenthal, 1973; Howson y Bryan, 1986; Niss, 1987; Mora, 2005 y 2009; entre otros/as). Todos estos aspectos deben quedar claramente reflejados y establecidos en los diversos ámbitos de la formación general básica de todas las personas, donde se tiene que ver las matemáticas de manera reflexiva y estrechamente unidas a las actividades diarias de cada sujeto, independientemente de sus acciones y profesiones en el mundo de la producción comunitaria de carácter sociopolítico e histórico. La teoría de la actividad, por ejemplo, nos suministra la posibilidad conceptual necesaria para el desarrollo de la educación matemática desde esta perspectiva, puesto que la misma explica claramente cómo se aprende y se enseña en correspondencia con las prácticas concretas y los contextos específicos. Así, por ejemplo, Lave nos proporciona la siguiente idea básica sobre el particular: En la perspectiva de la teoría de la actividad, el análisis del «contexto» empieza con las contradicciones que surgen históricamente y caracterizan a todas las instituciones y relaciones sociales concretas. A diferencia de otras tradiciones, también inspiradas en los principios marxistas, la teoría de la actividad enfatiza el carácter no determinado de los efectos de las estructuras sociales objetivas. Las diferencias en la posición social de los actores son inherentes a las estructuras político-económicas y se elaboran dentro de prácticas socioculturales específicas. Las diferencias de poder, intereses y posibilidades de acción son omnipresentes. Toda acción particular se constituye socialmente y recibe su significado de su ubicación en sistemas de actividad generados social e históricamente. El significado no se crea por las intenciones individuales, sino que se constituye mutuamente en las relaciones entre sistemas de actividad y personas que actúan, y tiene un carácter relacional. El contexto puede ser considerado como las relaciones concretas históricamente constituidas entre situaciones y dentro de ellas. Como afirma Engeström (en este volumen): «Los contextos son sistemas de actividad. Un sistema de actividad integra al sujeto, el objeto y los instrumentos (herramientas materiales y también signos y símbolos) en un todo unificado (...) [que incluye relaciones de producción y comunicación, distribución, intercambio y consumo]». Dreier (en este volumen) sostiene que: «La situación se basa en determinadas conexiones con la estructura social general de posibilidades, significados y acciones que produce y reproduce la formación social concreta (...) Por lo tanto, las conexiones inmediatas “internas” de la situación están también socialmente mediatizadas de una manera concreta y particular». (2001: 30) Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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2.2. Mantenimiento de los saberes y conocimientos matemáticos como parte de la herencia cultural de los pueblos

sociomatemáticos al interior de los procesos educativos formales, correspondientes a los requerimientos de la sociedad capitalista.

La matemática tiene que superar, en el campo de la formación general básica, su papel puramente histórico en el sentido de su derecho adquirido como disciplina científica de alto uso y aplicación en los diversos campos del saber y del actuar de todas las personas en cualquier momento, espacio y acción del cosmos donde se desenvuelve la humanidad. Aquí consideramos que las matemáticas no pueden reducirse simple y llanamente a una acumulación o colección de técnicas y procedimientos especializados, particularmente algorítmicos, sino que deben verse como parte esencial de una forma de pensamiento y acción, así como una capacidad de resolución de problemas de connotación local y universal.

Es muy importante resaltar que la intención de las ideas fundamentales no debe contener nuevamente las intencionalidades de la sociedad burguesa con respecto al logro de competencias individuales matemáticas, con la finalidad de garantizar un adecuado desenvolvimiento de los/as trabajadores/as en el mundo de las relaciones de producción capitalistas, las cuales obviamente requieren de las matemáticas. Por supuesto que no se trata de un ataque o rechazo al trabajo en sí mismo; el mismo Vigotsky (1926/2005: 293) era un defensor de la relación entre trabajo y estudio como medio apropiado para un mejor aprendizaje, con mayor sentido y significado social y cognitivo; este autor nos señala, entre otras afirmaciones importantes sobre el particular, lo siguiente:

Aquí aparece como altamente relevante la discusión histórica de muchas décadas del pensamiento y la problemática de la educación matemática desde la mirada de las ideas fundamentales, las cuales proporcionan un vínculo altamente sustantivo entre las matemáticas “puras” y aquéllas propias de la cultura extra-matemática (realidad concreta) donde todos/as nos desenvolvemos. Este es el camino ejemplar que deberíamos seguir en el mundo de las matemáticas escolares y, por supuesto, de las matemáticas necesarias en el campo de la alfabetización matemática general de toda la población en cada rincón del planeta (Bruner, 1987, 1988 y 1997; Lave, 2001; Bishop, 1999 y 2000; Skovsmose, 1994; Serrano, 2005 y 2009; Heymann, 1996; Mora, 1998 y 2009; etc.). En tal sentido, podemos insistir brevemente en este aspecto fundamental: la educación matemática debe orientarse en el mundo de las ampliamente conocidas ideas fundamentales, universales o centrales, sobre las que muchos/as autores/as han escrito a lo largo del siglo XX y, muy especialmente, durante el inicio del presente siglo (Bruner, 1987, 1988 y 1997; Lave, 2001; Bishop, 1999 y 2000; Heymann, 1996; Mora, 1998 y 2009; Schweiger, 1992; Tietze, Klika y Wolpers, 1982 y 1997; etc.). Entre esas ideas fundamentales de la educación matemática, podemos mencionar las siguientes: 1) idea de número, 2) idea de la medida, 3) idea de la dependencia funcional, 4) idea de la probabilidad, 5) idea de la estructuración espacial, 6) idea del algoritmo, 7) idea de la modelación matemática, 8) idea de la comunicación intra y extra-matemática, 9) idea de la resolución de problemas intra y extra-matemáticos, y 10) idea de la matemática productiva y comunitaria.

En el trabajo industrial, el niño tropieza desde el comienzo con las formas superiores de elaboración de los materiales naturales y aprende a seguir el largo camino por el que pasa el material en bruto, desde el momento que entra en la fábrica hasta que sale de ésta como producto elaborado y terminado. En el t r a n s c u r s o de este largo camino, el material tiene que poner de manifiesto casi todas sus propiedades esenciales y principales, t i e n e que evidenciar en los hechos que se supedita a todas las leyes de la física y la química, y por lo tanto el proceso de elaboración de cualquier materia prima es algo así como la demostración de estas leyes especialmente organizadas para el alumno. A la vez, las propias características del material que lo distinguen de otros no desempeñan un papel esencial. El material actúa, ante todo, como material en general, como portador de ciertas propiedades comunes que de acuerdo con el tipo de producción, se modifican c u a n t i t a t i v a pero no cualitativamente. Ya sea que operemos con madera o metal, con lana o algodón, con piedra o hueso, en todos estos casos nos vemos ante c i e r t a magnitud, densidad, elasticidad, deformación del material y otras propiedades del misino. Por lo tanto, el carácter de la producción moderna permite discriminar de todos los más diversos materiales sus partes comunes y generalizar palpablemente ante los ojos del alumno los atributos comunes de la materia. En la producción moderna -y éste es su rasgo esencial- el material no aparece como tal con todas sus características individuales y específicas, sino c o m o cuerpo físico o conglomerado químico y, en este sentido, ante los alumnos, no sólo en las páginas del manual, sino también en las páginas de la vida, se revelan los rasgos comunes que son inherentes por igual, pero en diferente cantidad, tanto a las más f i n a s hebras de algodón como al más duro acero. Por consiguiente, las leyes generales de la f í s i c a y la química de la sustancia universal pasan ante los alumnos en el proceso del t r a b a j o industrial con una fuerza totalmente d i r e c t a e impactante.

Estas diez ideas básicas de la educación matemática pudieran ser consideradas como la relación más estrecha y directa entre las matemáticas y la complejidad cultural de cada pueblo a lo largo y ancho del mundo. El verdadero significado e importancia de las matemáticas debe ilustrarse mediante el tratamiento de situaciones problemáticas completamente diferentes al mundo de las matemáticas “convencionales”, normalmente practicadas en la cotidianidad de los momentos

No menos importante es el hecho de que, en el proceso de esa producción, pasan ante los alumnos también las principales leyes de elaboración de ese material, que están estructuradas teniendo en cuenta la mecánica científica y que le descubren no

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una ciencia natural estática, sino una ciencia práctica dinámica. El conocimiento de las tres partes de la fábrica moderna presupone necesariamente que el alumno posea el más preciso conocimiento de mecánica y la habilidad de dirigir esas máquinas está basada, en última instancia, en estos conocimientos. 2.3. Complejidad internacional y superación de las desigualdades Podríamos decir que la transformación de la educación matemática debe tomar en cuenta, primeramente, una orientación educativa centrada en el trabajo creador de la población, pero también en garantizar posibilidades reales y concretas de un empleo digno y liberador, contrario al trabajo inhumano y explotador propio de las sociedades liberales y neoliberales. Por otra parte, esta educación matemática debe tomar en cuenta las realidades y problemáticas del cambio climático como parte de la vida actual de todas las personas, pero también de los peligros potenciales que encierra actualmente el mundo de las contradicciones sociopolíticas de la sociedad capitalista, impuesta prácticamente en todo nuestro planeta. Estos dos aspectos constituyen los elementos sustantivos e irrenunciables de una educación matemática contemporánea. Al tratar en las clases de matemáticas intra y extraescolares estas temáticas, estaríamos tomando en cuenta, por otro lado, buena parte de lo que realmente necesitan nuestras sociedades en su sentido complejo y sistémico. No se trata sólo de un planteamiento puramente racional, sino también de un componente espiritual, puesto que las matemáticas, su aprendizaje y enseñanza están asociadas al mundo de la vida compleja de todos/as nosotros/as, también de nuestro mundo interior, catalogado por algunos como la vida intrínseca, a veces incomprensible, de nuestra personalidad individual, pero también de la conciencia colectiva de cada sujeto, independientemente de sus propias caracterizaciones. El aprendizaje, en particular de las matemáticas, se constituye en un proceso que ayuda inexorablemente a comprender las realidades, pero también a transfórmalas, así como a transformar al sujeto, puesto que éste forma parte de las realidades sociales y naturales, encontrándose permanentemente en un proceso dinámico de cambio y transformación tanto del sujeto como de la colectividad comunitaria. Wenger, por ejemplo, nos ilustra claramente este punto de visita en la siguiente cita: Como el aprendizaje transforma quiénes somos y lo que podemos hacer, es una experiencia de identidad. No es sólo una acumulación de detalles e información, sino también un proceso de llegar a ser, de convertirse en una persona determinada o, a la inversa, de evitar convertirse en determinada persona. Incluso el aprendizaje que realizamos totalmente por nuestra cuenta acaba contribuyendo a convertirnos en una clase específica de persona. Acumulamos capacidades e información, pero no en abstracto, como un fin en sí mismo, sino al servicio de una identidad. En esa formación de una 26

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identidad el aprendizaje se puede convertir en una f u e n t e de significado y de energía personal y social. Visto como una experiencia de identidad, el aprendizaje supone tanto un proceso como un lugar. Supone un proceso de transformación de conocimiento, además de un contexto en el que d e f i n i r una identidad de participación. En consecuencia, apoyar el aprendizaje no sólo supone apoyar el proceso de adquirir conocimiento, sino también ofrecer un lugar donde se puedan plasmar nuevas maneras de conocer la forma de esa identidad. En consecuencia, si alguien no aprende como se espera, puede ser necesario considerar, además de los posibles problemas que pueda tener el proceso, la falta de un lugar como el mencionado y la competición de otros lugares. Para redirigir el aprendizaje, con frecuencia puede ser necesario ofrecer a los aprendices formas alternativas de participación que sean una fuente de identidad en la misma medida que las fuentes que encuentran en otros lugares. La práctica transformadora de una comunidad de aprendizaje ofrece un contexto ideal para desarrollar nuevas comprensiones porque la comunidad sustenta el cambio como parte de una identidad de participación. (2001: 260)

En el caso de las matemáticas, concretamente, se hace indispensable encontrar medios de aprendizaje cooperativo, colaborativo y participativo con el que se puedan alcanzar estas transformaciones. La idea de la modelación matemática, por ejemplo, puede ayudar considerablemente en el fortalecimiento de la concepción de las matemáticas como herramienta central para comprender buena parte de los acontecimientos locales, regionales, nacionales, internacionales y mundiales, pero también para transformarlos. Podríamos decir que lo decisivo no está en la aplicación, por muy crítica que ésta pueda ser, de modelos matemáticos previamente construidos, muy probablemente en contextos ajenos a nuestras propias realidades socioculturales, sino la conformación de modelos altamente contextualizados y profundamente específicos. De esta manera se podrá reflexionar sobre el proceso de elaboración del modelo, el modelo propiamente dicho y sus consecuencias reales, prácticas y transformadoras durante y después de sus respectivas aplicaciones. Al asumir la educación matemática desde este punto de vista, podríamos estar garantizando, por un lado, el aprendizaje de las matemáticas en su ámbito interior y, en segundo lugar, sobre las realidades extra-matemáticas, pero también altamente significativas para quienes actúan y participan en ellas, siempre con la perspectiva de poder alcanzar altos grados de comprensión del dinamismo de la realidad práctica (Pollak, 1979; Oberliesen, 1998; Oberliesen y Reuel, 2003; Maaß, 1988; Lange, 1987 y 1996; Mora, 1998, 2005 y 2009; etc.). La educación matemática permite ver una gran cantidad de situaciones y fenómenos cotidianos con otros ojos, es decir, mediante la complejidad de las estructuras fundamentales que determinan, en última instancia, las relaciones entre los componentes al interior de las matemáticas y de las realidades concretas, como también al interior de las acciones y pensamientos de las personas. Si Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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logramos popularizar una visión diferente de las matemáticas, pero también de las realidades, entonces habríamos ganado considerablemente una nueva visión de la transformación de esas realidades; estaríamos en presencia de un mundo, visto desde las matemáticas, altamente diferenciado y complejo, con necesidades de tratamiento y soluciones diferentes a las creencias y concepciones comúnmente aceptadas por las comunidades de educadores/as matemáticos/as y de la población en general. Por supuesto que no todo lo que es importante en la vida puede y debe ser modelado o matematizado, pero sí puede verse a través de lentes críticos, lógicos y reflexivos, todo lo cual podría ser producto del tratamiento matemático de situaciones reales complejas, ejemplares, reales y, muy particularmente, significativas en lo cognitivo, cognoscitivo y social. Esto quiere decir que cada ejemplo problemático tratado dentro o fuera de la escuela sirve como experiencia y conocimiento básico para la comprensión-transformación de otras situaciones problemáticas similares o de mayor complejidad. Esta concepción de la educación matemática cambia totalmente nuestras estructuras mentales, altamente socializadas y acomodadas a un mundo trivializado por las repeticiones y producciones cotidianas de los conocimientos. En consecuencia, la educación matemática debe permitir la acumulación de experiencias múltiples, es así como podemos elaborar verdaderos procesos de modelación intra y extra-matemáticos, conseguir una mejor comprensión de los fenómenos dentro y fuera de las matemáticas, del significado de estas modelaciones, en especial en correspondencia con el mundo de las actividades cotidianas de los sujetos y, muy particularmente, del dominio primario de hechos y fenómenos aparentemente ajenos a las matemáticas, pero que al tratarlos con herramientas y explicaciones matemáticas podamos ver su incesante y compleja interacción con ellas. Con la finalidad de precisar estas apreciaciones, citaremos a continuación a Perrone (2003: 55-56), quien a su vez hace referencia al National Council of Teachers of Mathematics: El Consejo Nacional de Docentes de Matemática (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) ha convertido la comprensión de los usos de la matemática en su centro de atención. Desafía de tal manera la separación tradicional de la matemática en las materias independientes álgebra, geometría, trigonometría, análisis, estadística y probabilidad, proclamando que los alumnos de todos los niveles deberían entender la matemática como un campo de investigación plenamente integrado, que apunta a ayudarlos a resolver problemas, comunicarse, razonar y hacer conexiones. Tales metas significan que “los alumnos deberían estar expuestos a numerosas y diversas experiencias interrelacionadas que los alienten a valorar la empresa matemática, a desarrollar hábitos mentales matemáticos y comprender y valorar el papel de la matemática en los asuntos humanos; que debería motivárselos a explorar, calcular y hasta cometer y corregir errores para que tengan confianza en su capacidad para resolver problemas complejos; que deberían leer, escribir y 28

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discutir matemática y que deberían conjeturar, probar y construir argumentos sobre la validez de una conjetura”. Aunque recomiendan que se enseñen contenidos particulares en cada conjunto de niveles, las normas del NCTM no estipulan requisitos curriculares detallados. En cambio, ponen el énfasis en integrar tópicos para que los estudiantes comprendan las ideas matemáticas relacionadas entre sí y en relación con el mundo de todos los días. Las “normas piden que se cambie el énfasis de un currículo dominado por la memorización de hechos y procedimientos aislados y por la solvencia en las habilidades con papel y lápiz, a uno que enfatice la comprensión conceptual, las representaciones y conexiones múltiples, la modelación matemática y la resolución matemática de problemas”. Una orientación más integradora y funcional hacia la matemática también está respaldada en On the Shoulders of Giants [En los Hombros de Gigantes], el informe de la Junta de Ciencias Matemáticas del Consejo Nacional de Investigación, Academia Nacional de Ciencias: “Lo que los seres humanos hacen con el lenguaje de la matemática es describir modelos. La matemática es una ciencia exploratoria que busca entender todo tipo de modelos: modelos que aparecen en la naturaleza, modelos inventados por la mente humana e inclusive modelos creados por otros modelos. Para crecer desde el punto de vista matemático, los niños deben ser expuestos a una rica variedad de modelos adecuados a sus propias vidas, por medio de los cuales puedan ver variedad, regularidad e interconexiones”.

2.4. Preparación sociocrítica, política y transformadora de toda la población, especialmente de los menos favorecidos Todos/as sabemos que las matemáticas forman parte del gran bagaje cultural de la humanidad, producto de largos años de trabajo individual y compartido en diversas partes del mundo; cada cultura ha aportado enormemente a la construcción del gran mundo que representan hoy los saberes y conocimientos matemáticos (Freudenthal, 1973; Burkhardt, 1981; Bishop, 1999 y 2000; Skovsmose, 1994 y 2005; Serrano, 2005 y 2009; Greeno, 1998; Gellert, 1998; Mora, 1998, 2005 y 2009; etc.), mismos que van desde las matemáticas elementales propias del quehacer cotidiano, cultivadas por buena parte de la población, hasta las matemáticas de mayor complejidad, propias de quienes dedican buena parte de sus vidas a su comprensión y desarrollo, los/as matemáticos/as profesionales. Entre ambos extremos existe obviamente un espectro muy grande de niveles de complejidad matemática y, por lo tanto, de posibilidades de abstracción y aplicación. Lamentablemente, por razones de espacio no podemos extendernos en el análisis de estos niveles de dinamismo horizontal y vertical de las matemáticas. Quienes hemos estado vinculados con las matemáticas desde hace muchos años, pretendemos con o sin razón conformar una disciplina científica que se acerque realmente a la explicación “verdadera” de fenómenos naturales, sociales y propios del mundo de las mismas matemáticas. Esta percepción no es arbitraria, ni tampoco Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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obedece a una visión positivista de la ciencia, puesto que también aquéllos paradigmas más subjetivos, como el caso del interpretativo-naturalista y el sociocrítico, también usan un tipo de razonamiento lógico inductivo, deductivo o abductivo que tiene que ver mucho con las matemáticas. Dentro de la comunidad de matemáticos/as denominados/as “puros/as” y educadores/as matemáticos/as existen, por lo menos, dos tendencias: quienes consideran que esta disciplina está libre de toda contradicción, posición predominante y anhelada por la mayor parte de los/as matemáticos/as, y quienes consideran que toda obra construida por el ser humano no está exenta de ellas. Paradójica y muy lamentablemente, la mayor parte de las personas que han estado relacionadas con las matemáticas considera que son incomprensibles y no entienden absolutamente nada de ellas ni de sus aplicaciones, llegándose a considerar que es posible estudiar, analizar y transformar el mundo sin las matemáticas. Esta trivialidad epistemológica no sólo es mal intencionada, sino que carece de toda veracidad y consistencia conceptual, llegando inclusive a un estado de desinformaron incomprensible. Por el contrario, cada cultura ha necesitado y seguirá requiriendo de las matemáticas, en muchos casos vinculadas con el mundo de la política, la producción y las relaciones de poder. Esto lo demuestra, por ejemplo, Gary Urton en su trabajo de investigación sobre “una antología de los números y la filosofía de la aritmética quechuas”, quien afirma que: De otro lado, lo que una devaluación de la moneda como la que acabo de mencionar habría hecho es violar los principios de la aritmética de la rectificación. Esto es, cuando el Estado cambiaba el valor de la moneda que circulaba mediante un acto como la devaluación del circulante, ello violaba el pacto entre el portador de las monedas y el Estado, y minaba por extensión los sistemas económicos y filosóficos de los valores sobre los cuales se llevaban a cabo los intercambios a todo nivel de la sociedad en forma cotidiana. El punto aquí, claro está, es que los referentes primarios de la aritmética de la rectificación eran relaciones sociales, políticas económicas y de otro tipo mantenidas (idealmente) en un estado de balance, armonía y equilibrio. Para hacer correcciones -mediante la aplicación de los “procedimientos correctivos” (yapa) de la suma, resta, multiplicación y división-, la necesidad de las mismas debía ser comprendida y evidente para las dos partes de la relación contractual. Por ejemplo, en su obligación de cumplir servicios laborales para el Estado inca, la disminución de la población de una comunidad habría sido reconocida tanto por ésta como por el Estado, y se habría hecho una corrección (como la reducción en el número de trabajadores requeridos para los provectos estatales). Del mismo modo, si el Estado necesitaba un input laboral adicional estaba obligado a incrementar su largesse recíproca. Sin embargo, en la economía política del Estado colonial, el rey podía decidir que necesitaba elevar la producción (incrementando, por lo tanto, más trabajadores), o que necesitaba vender más de su producción en el mercado 30

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colonial (como con el repartimiento)1, y efectuar las correcciones necesarias en su relación con sus súbditos. Mas, en estos casos, los comuneros de los pueblos y aldeas andinas afectados por esos “procedimientos correctivos” no formaban parte del proceso de toma de decisiones, ni tampoco gozaban de beneficio alguno con su implementación; más bien eran simplemente los receptores de los mandatos del Estado. Aún más importante es que esta abreviación que la administración colonial hacía de lo que hemos encontrado eran ciertos principios filosóficos comunes y esenciales de la matemática de la rectificación -esto es, la estandarización, la equidad, el equilibrio, y la idoneidad- constituía una violación de la relación del Estado con las comunidades locales; estos actos fueron recibidos durante todo el período colonial con el desacato, la resistencia y ocasionalmente con la rebelión abierta. (2003: 215)

Podríamos mencionar múltiples ejemplos de la relación de las matemáticas con la producción, la vida comunitaria, las ciencias, la tecnología, etc., pero también podríamos enumerar una gran cantidad de afirmaciones, muchas de ellas sin sentido alguno, que atacan a las matemáticas, inclusive desde una mirada “profesional” y supuestamente “científica”. Ahora bien, ¿dónde podríamos encontrar entonces una respuesta a esta profunda contradicción? Por una parte, consideramos que la explicación estaría relacionada con el tratamiento de las matemáticas escolares, desvinculadas de la vida y la realidad de los sujetos que participan en el quehacer educativo, lo cual no trataremos detalladamente en este documento. En segundo lugar, se podría bosquejar también una posible explicación en el mundo extra-matemático, pero obviamente lleno de matemáticas social y cognitivamente significativas, escasamente incorporado al proceso de aprendizaje y enseñanza. Este último aspecto lo tratamos indirecta y tangencialmente en el presente documento, quedando abierta, sin embargo, la búsqueda de una explicación mucho más profunda a este fenómeno. Aquí nos interesa pensar, entonces, en una matemática política, social, crítica y significativa para toda la población, que permita de alguna manera la emancipación del sujeto y la transformación profunda de nuestras realidades. Para poder alcanzar este objetivo se requiere, además de la tradicional afirmación del desarrollo del pensamiento crítico, unas matemáticas (y su praxis) totalmente diferentes a las convencionales, practicadas durante muchos años en la educación formal e informal. Una de esas posibilidades consiste en prestarle atención a situaciones problemáticas y fenómenos socionaturales del mundo cotidiano, de nuestras propias realidades, permitiendo con ello la realización de juicios bien argumentados y justificados no a través de fórmulas, ecuaciones o demostración de teoremas abstractos, sino mediante razonamientos matemáticos comprensibles, puesto que ellos también forman parte esencial del pensamiento y las explicaciones que hace, con una alta frecuencia, cada persona en relación con sus mundos. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Este tipo de matemáticas, su aprendizaje y enseñanza es totalmente posible, sólo hace falta iniciar un proceso de búsqueda y construcción de esas matemáticas diferentes, más humanas y reales. Si una de las tareas básicas de la educación matemática consiste en hacer uso apropiado de la razón en cualquier momento de acción e interacción de los sujetos en correspondencia con sus propias problemáticas, entonces son más importantes la precisión y la ejemplificación profunda que el dominio memorístico de unas matemáticas imponentes e impresionantes, pero escasamente comprensibles y significativas (Andelfinger, 1996; Blum, 1993; Böer, 1996; Borba, 1990; Bishop, 1999 y 2000; Mora, 2005 y 2009).

disciplinas, desde la perspectiva intradisciplinaria, o de la unión de muchas disciplinas, desde la perspectiva de la inter y transdisciplinariedad, con la intención de alcanzar el mismo objetivo, es decir, la formación de ciudadanía, siempre desde la perspectiva crítica y política. Como se puede apreciar en esta cuarta característica de las diez que conforman nuestro repertorio, el tema trasciende, además, a la simple relación entre matemática y realidad; el mismo tiene que ver, evidentemente, con la concepción pedagógica y didáctica, lo cual veremos más adelante. Por el momento citaremos a Cerda y otros (2004: 241-242), quienes manifiestan la importancia y necesidad del proceso reflexivo como vía apropiada para la conformación y fortalecimiento de la ciudadanía:

Una condición importante para la comprensión matemática, en el sentido que le hemos dado en este documento, consiste en la creación de puentes entre los pensamientos cotidianos de quienes participan en el quehacer educativo, especialmente los/as estudiantes, y el conjunto de explicaciones matemáticas concretas “formalmente” explicadas por los/as docentes a partir del desarrollo de las actividades producto del tratamiento complejo de los Temas Generadores de Aprendizaje y Enseñanza Interdisciplinarios e Investigativos (TGAEII) (Freire, 1973 y Mora, 2010).

El tema de la reflexividad en nuestra sociedad, que se expresa en la capacidad de tener conciencia de sí y de los demás, se constituye progresivamente en una capacidad fundamental para comprender los contextos societales en cambio constante. La adecuada comprensión de la sociedad en que se vive, está directamente relacionada con las posibilidades de interactuar con otros y de participar creativamente en la solución de las necesidades personales y colectivas. De igual manera, la estructura productiva de la actual sociedad del conocimiento demanda el desarrollo de capacidades y habilidades reflexivas, como garantía de integración a ésta. Junto a ello se afirma que las exclusiones sociales se definirán en un futuro cercano, en gran medida, por la posesión o carencia de capacidades básicas de pensamiento. Generar un proceso reflexivo en forma espontánea no es fácil, observándose frecuentemente que se llega a una demanda por opinión, lo que los alumnos realizan a partir de su sentido común. Problematizar estos sentidos comunes, que significa avanzar en procesos reflexivos, es difícil realizarlo si no existe, conscientemente en los docentes, el objetivo de la reflexión. Esto implica, a su vez, tener claridad en la secuencia del pensamiento reflexivo y entregar orientaciones específicas a los alumnos que enmarquen el ámbito de debate. La dispersión en las opiniones y la ausencia de diálogos fluidos entre el docente y los alumnos, y entre ellos mismos, van obturando las posibilidades reflexivas, a pesar de la intención de los docentes por implementarlas. En aquellas escuelas donde la planificación del trabajo en el aula se realiza metódicamente y las secuencias planificadas se implementan, se suele observar dinámicas reflexivas más consistentes y productivas. En estos casos, es frecuente también que se incorpore objetivos específicos de reflexión, en el marco de los contenidos curriculares que se está trabajando.

En la actualidad tenemos amplios conocimientos con respecto al comportamiento de las personas a la hora de enfrentarse a hechos o fenómenos socionaturales aparentemente difíciles o con altos niveles de complejidad. Uno de los comportamientos más comunes consiste en dejar de lado tales situaciones, aunque consciente o inconscientemente se considere que esta es una actitud totalmente incorrecta. Otra reacción tiene que ver con un comportamiento de rechazo, odio o aversión hacia aquéllos objetos/sujetos que causan de alguna manera dificultades sociocognitivas a los sujetos. Estos dos comportamientos se pueden observar en la relación de las personas, especialmente de quienes asisten a la escuela de manera formal, con las matemáticas. La tarea de los/as educadores/as matemáticos/as tiene que ver con la superación de estos y otros comportamientos contrarios al cultivo crítico y reflexivo de las matemáticas, en relación con los contextos reales concretos cercanos al sujeto o alejados del mismo. Por ello, se debería suministrar tiempo suficiente y buenas oportunidades de combatir estos comportamientos, con la finalidad analizar profundamente las situaciones problemáticas desde diversas miradas y razonamientos, muchas de ellas con altos contenidos matemáticos, a veces sorprendentes. De esta manera, se podría tener una gran oportunidad para la popularización de las matemáticas, siempre en beneficio de la formación metódica, investigativa, interdisciplinaria, crítica, política y emancipadora.

2.5. Desarrollo de actitudes y aptitudes relacionadas con la responsabilidad individual y colectiva

Es necesario hacer uso de las matemáticas cotidianamente para interpretar, conocer y cambiar la sociedad; de la misma forma, podemos hacer uso de otras

La concepción convencional que se tiene de la calidad de la educación matemática, en cuanto a rendimiento y competencia, no está dentro de nuestras prioridades ni mucho menos forma parte de los propósitos básicos de la educación y la formación en sentido amplio. La calidad de la educación matemática, en caso de considerar

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una posición alterna a la tradicional, no dependería entonces del contenido matemático propiamente dicho, sino del método, de las estrategias didácticas con que se debería manejar esos contenidos matemáticos dentro y fuera de las aulas de clase. En principio, la concepción pedagógica y didáctica puesta en práctica por los/ as docentes durante el desarrollo del proceso de aprendizaje y enseñanza forma parte, también, de la responsabilidad que tienen los/as docentes con las prácticas educativas, por un lado, y con los/as estudiantes y la comunidad en general, por otro. Esto significa que, para poder exigir responsabilidad de los/as demás, se requiere en primera instancia dar el ejemplo y éste no sólo debe estar caracterizado por la palabra y el discurso pedagógico del “deber ser”, sino del “ser” propiamente dicho. Aquí el/la docente es la primera persona que está en la obligación moral y social de actuar responsablemente. De la misma manera, los/as estudiantes deben desarrollar un conjunto de actitudes y aptitudes que les permitan asumir situaciones frecuentes de manera seria y responsable, tanto desde el punto de vista individual como colectivo. Estas capacidades, destrezas y habilidades no podrán ser alcanzadas, tampoco, sin la ejemplificación por parte de los/as estudiantes. Para ello es necesario, por supuesto, el trabajo serio y responsable de cada sujeto, en el sentido individual, pero también de grupos, en el sentido colectivo. La educación matemática tradicional, centrada en los contenidos matemáticos, en su mayoría irrelevantes, y en los/as docentes, quienes ejercen el poder de sus acciones y discursos, no brinda oportunidades a los/as participantes en la praxis educativa para que cultiven actitudes y aptitudes responsables con el estudio, las matemáticas, la comunidad, la sociedad y el trabajo. A veces nos encontramos con afirmaciones de profesionales, tales como abogados o sociólogos, por ejemplo, que se ufanan de decir que nunca les gustaron las matemáticas, o que con frecuencia obtuvieron bajas calificaciones en matemáticas durante el tránsito de su formación general básica. Estas afirmaciones forman parte, precisamente, de comportamientos y actitudes irresponsables en relación con el estudio, la sociedad y las mismas matemáticas. Por supuesto que estos profesionales “irresponsables” son producto también de una educación altamente “irresponsable”, en la cual existe una gran cantidad de cómplices, unos con mayor o menor grado de irresponsabilidad. Miguel de Guzmán, por ejemplo, hace al respecto la siguiente apreciación: La sociedad se encuentra, por tradición de siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia sus componentes humanísticos. Cultura parece ser sinónimo de literatura, pintura, música, etc. Muchas de nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su profunda ignorancia 34

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respecto de los elementos más básicos de la matemática y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello sin pesar ninguno. Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos aún no se han percatado de que las ciencias, y en particular las matemáticas, constituyen ya en nuestros días uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como afirma Whitehead, «si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática». Sería muy deseable que todos los miembros de la comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por hacer patente ante la sociedad la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura. Una sociedad con el conocimiento cabal de lo que la ciencia representa para su desarrollo se hará colectivamente más sensible ante los problemas que la educación de los más jóvenes en este sentido representa. En la comunidad matemática internacional, se viene prestando recientemente una gran atención a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios de todos los órdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo debido, ciencia y matemática. (2007: 55)

Independientemente de estas reflexiones, debemos insistir en que la educación matemática podría contribuir considerablemente, más de lo que piensa la mayoría de la gente, a la formación integral y responsable de todas las personas que tienen la oportunidad de participar en clases de matemáticas realmente interesantes, problematizadoras, realistas y significativas en el orden social y cognitivo. Esta formación responsable y para la responsabilidad individual y colectiva, sólo es posible mediante el tratamiento de situaciones problemáticas que requieran indagación, investigación, experimentación, discusión, reflexión y elaboración compartida de ideas matemáticas y extra-matemáticas. Si un grupo de cuatro estudiantes, por ejemplo, tiene la oportunidad de trabajar, investigativa e interdisciplinariamente sobre un tema complejo socionatural, entonces ellos/as estarán formados/as adecuadamente para argumentar, explicar y sustentar responsablemente sus descripciones y afirmaciones. En ningún momento deberían atreverse a mostrar conclusiones poco originales o escasamente respaldadas con saberes y conocimientos matemáticos, muchos de ellos resultantes de sus mismas investigaciones (Capon y Kuhn, 1979; Carraher, 1991; Carraher, Carraher y Schliemann 1982 y 1985; y Civil, 1992). 2.6. Fomento de las prácticas participativas, cooperativas, colaborativas y comunicativas en procesos de interacción incluyentes y democráticos La educación matemática, tal como la concebimos en este y otros documentos, cumple un doble papel fundamental: por un lado posibilita que los/as participantes, mediante la realización de investigaciones en el marco de los TGAEII, tengan que Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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trabajar en equipos pequeños durante el trabajo e interactuar permanentemente con los/as demás miembros de la comunidad intra y extraescolar. Todo trabajo educativo práctico, a través de los temas generadores de aprendizaje y enseñanza (TGAE), requiere necesariamente del desarrollo de acciones compartidas, en grupos de por lo menos dos participantes. En la medida en que se da esta forma de estudio, siempre vinculada con la realización de actividades investigativas, en esa misma medida surge un conjunto de relaciones con docentes, el colectivo de la clase, el personal directivo, las demás clases y el personal administrativo al interior del centro educativo comunitario autónomo (Mora y Oberliesen, 2004). En cuanto al mundo exterior a la institución escolar, de la misma manera los/ as estudiantes, como investigadores/as, establecen un conjunto de interacciones con la comunidad externa involucrada directa o indirectamente en el quehacer investigativo como esencia del desarrollo mismo de los procesos de aprendizaje y enseñanza. En segundo lugar, es ampliamente conocido que el trabajo educativo grupal permite considerablemente el desarrollo y fortalecimiento de un conjunto muy importante de cualidades de carácter colaborativo, cooperativo y participativo. Al respecto, Jonson, Jonson y Jonson (1994/1999: 113) señalan lo siguiente: En la escuela de producción masiva, los docentes están organizados, fundamentalmente, de manera horizontal (en equipos por años o departamentos). Los estudiantes pasan de una materia a otra y se educan por partes (por ejemplo, de una clase de matemáticas a una de ciencias y luego a otra de estudios sociales o de 1o año a 2o año y luego a 3o). Cada docente es responsable de una pequeña parte de la educación de sus alumnos. Hay barreras que separan a los docentes y los obligan a concentrar toda su atención en una pequeña porción del programa general. En una escuela cooperativa, los equipos no son optativos. Son algo dado. Todo el trabajo importante se hace en ellos. El equipo de docentes asume simultáneamente la educación y la enseñanza. Los docentes constituyen equipos verticales (interdisciplinarios) en los que varios docentes son responsables de los mismos alumnos a lo largo de varios años. Los equipos verticales rompen las barreras que separan a los docentes, los niveles de año y los departamentos académicos y aseguran que todos los docentes puedan ver el proceso general al que aportan sus esfuerzos. Un equipo docente puede estar integrado por dos maestros principales y dos maestros secundarios, que reciben la responsabilidad de educar a unos 120 estudiantes en un período de 6 años. Otro equipo secundario puede estar integrado por un profesor de lengua, uno de matemáticas, uno de ciencias, uno de estudios sociales y uno de lengua extranjera, que deben educar a 120 alumnos durante 3 años (por ejemplo, desde 7° hasta 9° año).

Desde el momento en que los/as participantes en el hecho educativo socializan colectivamente un conjunto de iniciativas, con la finalidad de tomar algunas decisiones importantes en cuanto a los temas generadores que serán trabajados durante un determinado tiempo, hasta la finalización de todas las actividades teórico-prácticas, 36

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se está trabajado principalmente de forma cooperativa y colaborativa, puesto que la gran cantidad de acciones y actividades requeridas durante el proceso investigativo no pueden estar centradas sólo en el trabajo individual de los/as participantes. Todo esto significa que la participación, cooperación y colaboración son indispensables en los procesos de comprensión de las matemáticas, pero también forman parte del desarrollo del aprendizaje y la enseñanza. Por otra parte, este tipo de práctica educativa no puede existir sin poner en funcionamiento alguna forma comunicativa entre los/as actores principales del quehacer educativo. Esto significa que el trabajo participativo, cooperativo y colaborativo está estrechamente unido a los procesos comunicativos, en su sentido amplio (Damerow, 1986; Howson y Bryan, 1986; Joseph, 1993; Mora, 2005 y 2009). Cada acción colectiva implica automáticamente un mensaje, intencional o no, hacia los/as demás, quienes a su vez responden mediante otro mensaje, expresado mediante una determinada acción o a través de una respuesta directa y precisa al mensaje recibido. Por ello, podríamos afirmar que todo trabajo participativo, cooperativo y colaborativo está estrechamente unido a un proceso comunicativo, el cual hace posible, evidentemente, que se entablen esas interacciones interpersonales alrededor de un conjunto de acciones concretas. Éstas no serían posibles sin la existencia de diversas formas comunicativas, muchas de ellas diferentes al lenguaje verbal comúnmente usado por los seres humanos en los procesos comunicativos (Mora, 2010). Es muy importante resaltar que la cualidad comunicativa lograda a través de la educación matemática participativa, cooperativa y colaborativa, no sólo se refiere al desarrollo de habilidades, destrezas y capacidades comunicativas en el sentido convencional de la comunicación, sino especialmente al uso apropiado de las matemáticas escolares básicas para poder manejar apropiadamente informaciones y argumentos sobre el comportamiento de la realidad, sus interacciones y posibilidades concretas de transformación. Esto significa que las matemáticas se han convertido realmente en un medio apropiado e indispensable para fortalecer los procesos comunicativos entre las personas, siempre en correspondencia con hechos reales y situaciones concretas. El uso apropiado de las matemáticas facilita enormemente las interacciones, informaciones y comunicaciones entre quienes participan activamente en una determinada comunidad (Serrano, 2003, 2005a, 2005b, 2006 y 2009). 2.7. Fortalecimiento de la independencia y autodeterminación del sujeto con respecto al aprendizaje Aunque hay quienes consideran que el desarrollo del proceso de aprendizaje y enseñanza individualizado, en términos generales, proporciona a los/as sujetos participantes en el hecho educativo las herramientas procedimentales, afectivas Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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y cognitivas necesarias para el desenvolvimiento de las personas de manera independiente y autodeterminada, consideramos que estas cualificaciones pueden ser altamente potenciadas por el mismo sujeto, siempre que se trabaje profundamente en el campo de las matemáticas realistas, con sentido social y cognitivo; igualmente, si este trabajo matemático tiene lugar en espacios abiertos con altos niveles de participación, cooperación y colaboración, tal como lo expusimos ampliamente en el punto anterior, entonces el interés y la motivación serán multiplicados. El programa de matemáticas realistas que venimos impulsando desde diversos espacios en América Latina y el Caribe, está centrado en el trabajo investigativo de los/as estudiantes sobre temáticas de interés individual y colectivo, siempre vinculadas con diversos contextos locales, regionales, nacionales e internacionales. Estas matemáticas realistas requieren, por un lado, pero también se fortalecen, por otro, de las capacidades de independencia y autodeterminación de los sujetos en relación con la descripción, análisis y transformación del mundo, aunque este proceso de transformación sea a mediano o largo plazo. Pensamos que éste no tendrá lugar mediante el desarrollo de una educación escolástica, dependiente, bancaria y castradora de la creatividad del sujeto. Para lograr nuestro objetivo liberador y emancipador de todas las personas, o lo que es lo mismo, de la sociedad en su conjunto, se requiere necesaria e indispensablemente de un tratamiento de las matemáticas y de su educación totalmente distinto a aquél al que hemos estado acostumbrados/as durante muchas décadas. Nuestra concepción teórica, pero también nuestras prácticas educativas, están orientadas hacia el tratamiento de problemáticas reales, muy especificas y nuestras, para lo cual obviamente se exige de todos/as los/as participantes altos niveles de compromiso y trabajo liberador, y esto contradice ampliamente la idea básica de una educación reproductiva y colonizadora (Bigott, 2010). Además, es sumamente importante pensar en los/as excluidos/as, marginados/as, oprimidos/as y olvidados/as de este mundo, con quienes tenemos una inmensa deuda no sólo social, económica y política, sino también ética: se trata simple y llanamente de hacer una justicia real con los/as abandonados/as de este mundo, cuya situación es producto del desarrollo de un sistema capitalista demoledor de las personas, de la mayor parte de la humanidad. Para superar estas grandes injusticias, es necesario e indispensable asumir una postura crítica, ideológica y dialéctica, como por ejemplo en el caso de los procedimientos evaluativos basados en la simple selección social de las personas, tal como lo señala Gimeno Lorente en su trabajo crítico sobre el mantenimiento del sistema de opresión mediante la evaluación; es decir: A la teoría pedagógica se le piden soluciones. Como profesores necesitamos fórmulas y acciones prácticas que nos ayuden a desarrollar nuestro trabajo de cada día. El problema reside en que, en una tarea profesional de claro contenido simbólico como el nuestro, cualquier acción práctica (de enseñanza 38

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o de evaluación) responde a un esquema axiológico acerca de la cultura, la sociedad y el individuo y por tanto no pueden existir “fórmulas mágicas” ni “soluciones” a los problemas cotidianos que se generan en el quehacer del aula. Cada opción ideológica conllevará su propuesta de acción educativa y didáctica. Por ello, desde esta perspectiva teórico-crítica, se propone que cualquier opción o estrategia docente que se nos ocurra sea pasada inmediatamente por el tamiz de la crítica ideológica; es decir, si nos planteamos utilizar un determinado instrumento de evaluación deberemos reflexionar críticamente sobre las consecuencias que tal instrumento tiene en la forma de considerar el conocimiento de la materia y en los alumnos. Pero, para poder cuestionarnos las acciones didácticas necesitaremos recurrir a unos criterios de carácter ideológico (concepciones de la cultura, de la sociedad y del individuo) que nos sirvan como criterios referentes para la crítica. Valorar una acción humana es una acción cognitiva atribuible a cualquier acto que realice el hombre. Valorar es simplemente atribuir valor a algo teniendo como referente un criterio de aquello que es correcto/incorrecto, verdadero/falso, bueno/malo, etc. (2001: 162)

Como se puede observar, nuestra filosofía en el campo de la educación matemática trasciende el mundo de las convenciones pedagógicas, didácticas e ideológicas que sostienen las estructuras de exclusión-explotación que han estado histórica y culturalmente aferradas a la imposición y transmisión de conocimientos previamente elaborados por unas cuantas personas, impidiendo con ello que la ciencia, la tecnología y los conocimientos, en particular aquéllos inherentes a las matemáticas, formen parte del pensar y hacer de grandes colectividades a lo largo y ancho del planeta. En la medida en que las personas trabajen individual y colectivamente sobre temáticas reales, significativas, necesarias e interesantes para el sujeto, pero también para el colectivo, en esa misma medida podríamos hablar de independencia y autodeterminación cognitiva, cognoscitiva y práctica, tanto en el ámbito individual como colectivo. En este sentido, pensamos realmente que cada persona, además de ser responsable por sus actos y acciones de toda naturaleza, tal como lo hemos explicado anteriormente, también debe alcanzar niveles importantes de comprensión de manera independiente y autodeterminada, cuyas consecuencias no sólo serán positivas en el ámbito de los aprendizajes, sino básicamente en el campo de los cambios necesarios e indispensables que requieren nuestro pueblos (Apple, 1982, 1979 y 1996; Carr y Kemmis, 1988; Jackson, 1996 y 2002; Carr, 1990; Kemmis, 1992 y 1996; Frankenstein, 1997; Grundy, 1998; Bernstein, 1990, 1997 y 1998; Torres, 1994 y 2001; Giroux, 1990 y 2003; y Magendzo, 1996 y 2003), todo ello para poder establecer una filosofía sobre educación, pedagogía, didáctica y currículum totalmente diferente a los paradigmas tradicionales, los cuales hemos Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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analizado y criticado en otros trabajos relacionados con estas temáticas (Mora, 2005 y 2010). 2.8. Capacitación permanente de los/as participantes en el mundo de la educación productiva y comunitaria Generalmente estamos acostumbrados/as al desarrollo de una educación matemática, prácticamente en todos los ámbitos del sistema educativo, desde una visión puramente intelectual, o sea, desde una perspectiva centrada en aspectos cognitivos y cognoscitivos, dejando de lado las diversas formas de práctica que podrían estar relacionadas con los procesos de aprendizaje y enseñanza. Es muy probable que esta tradición tenga sus orígenes, por un lado, en la influencia griega en cuanto a la idea de la producción de conocimientos y, por otro, a raíz de los aportes al método científico impulsado por René Descartes, especialmente a través de su famoso libro El Método. Estas influencias tuvieron su auge objetivista, teórico, racional y cuantitativo con el advenimiento de la corriente positivista (Adorno, 1973; Viaña, 2009). Toda esta influencia racionalista en las matemáticas quedó plenamente reflejada en su enseñanza, reproduciéndose, además de una concepción positivista intradisciplinaria de las ciencias, concepciones puramente abstractas de las matemáticas. Podríamos decir que la historia de la educación matemática está impregnada de la creencia, equivocada por cierto, de que las matemáticas son producto sólo del pensamiento de sujetos individuales, descuidando por completo los saberes matemáticos existentes en cada cultura durante toda la historia de la humanidad. Esta dualidad, altamente contradictoria, aún no se ha resuelto, particularmente cuando se trata de educación matemática escolar; por una parte, insistimos en señalar, obedeciendo a constataciones irrefutables concretas, que el desarrollo histórico de las matemáticas ha respondido a la necesidad que ha tenido el ser humano de estudiar y explicar situaciones propias de las realidades, lo cual obviamente ha permitido que la matemática, como disciplina científica, haya sufrido un avance independiente y abstracto sumamente importante, el cual a su vez ha contribuido a la solución de problemas posteriores muy reales y concretos de interés colectivo. Por otro lado, los procesos de aprendizaje y enseñanza no tienen que ver con la primera parte del análisis anterior, sino que nos hemos quedado sólo el tratamiento intra-matemático, señalando con frecuencia que tales contenidos pueden ser aplicados en lo inmediato o en el futuro en diversos campos de las ciencias o en la solución problemas concretos de la realidad, especialmente mediante procesos de modelación de la realidad con herramientas matemáticas. A pesar de estas reiteradas afirmaciones, las prácticas educativas en la mayor parte de los países 40

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del mundo están totalmente alejadas de una verdadera relación entre el mundo de las matemáticas y el mundo exterior a ellas; Corbalán, por ejemplo, expresa al respecto lo siguiente: Tenemos que poner de manifiesto los estrechos vínculos entre las matemáticas y la vida cotidiana (además de los medios de comunicación a los que acabamos de referirnos), ahora y en el pasado (para lo que habrá que dar importancia a la Historia de las matemáticas). Y algo más profundo: mostrar mediante la utilización de todos los instrumentos a nuestro alcance que las matemáticas son un instrumento imprescindible para entender el mundo que nos rodea y para poder diseñar modelos que nos permitan plantear y/o resolver los problemas que se nos presenten. Constatando la actual invisibilidad social de las matemáticas (intervienen en una gran cantidad de aspectos de la vida diaria pero casi nunca los ciudadanos normales son conscientes de ello), es un aspecto en el que los profesores de matemáticas (nexo entre matemáticas y sociedad) tenemos que hacer esfuerzos colectivos, conscientes y planificados, para acabar con esa situación. Tenemos que utilizar el entorno próximo de los alumnos (que es su vida diaria) para poner de manifiesto el papel de las matemáticas en esos contextos. Los alumnos no detectan muchos ejemplos de uso fuera de las aulas, aparte de organizar el (poco) dinero que tienen, constatar que los objetos tienen formas geométricas sencillas y medir el tiempo. No saben aplicar a su vida lo que estudiaron en clase ni son capaces de detectar como matemáticas muchas de las tareas que realizan en su trabajo; y lo que es más grave, muchas veces ni se enteran de que saben matemáticas. (2000: 74)

Esta situación se agrava si tomamos en cuenta los procesos de transformación educativa impulsados en buena parte por los países de América Latina y el Caribe, especialmente aquéllos que han asumido la construcción del socialismo como única posibilidad real y concreta de luchar contra los males irreversibles acumulados por el sistema capitalista internacional, tales como los países de la Alianza Bolivariana para los Pueblos de nuestra América (ALBA). Los cambios educativos, particularmente desde una nueva concepción del currículo (Mora, 1998, 2009 y 2010; Grundy, 1998; Stenhouse, 1984 y 1987; Carr y Kemmis, 1988; Freire, 1973, 1985 y 2002; etc.), están orientados hacia una educación productiva y comunitaria. Por supuesto que esta idea básica no puede estar desprendida de una concepción sobre producción y comunidad totalmente contraria a la idea impuesta por el capitalismo sobre estos dos constructos, especialmente sobre producción. La educación matemática tiene que responder, entonces, a una idea de comunidad, no exclusivamente de carácter agrario y/o campesino, sino más bien en el sentido de la interacción social al interior de grupos que comparten espacios, intereses, necesidades, aspiraciones, contradicciones, formas diversas de relación y producción; esta idea de comunidad no sólo tiene lugar en aquéllos lugares donde se practica una economía rural-campesina-agraria, sino en cualquier espacio urbano, semi-urbano, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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etc. Consideramos que la complejidad estructural de las comunidades está presente y continuará acomodándose espacial y socialmente; sin embargo, lo que hace falta es construir organizaciones y redes de interacción comunitaria, tal como podría ocurrir con los consejos comunales o las organizaciones vecinales comunitarias, en sus diversas manifestaciones, existentes en algunos países de América Latina y el Caribe, lo cual obviamente tendrá consecuencias importantes en el desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza (Wenger, 2001; Delanty, 2003; etc.). La educación matemática, por lo tanto, debe estar vinculada a las comunidades exteriores al mundo de la escuela. La única forma, según nuestras apreciaciones, consiste realmente en tratar, durante el desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, problemas interdisciplinarios que requieran un tratamiento investigativo, en lo posible vinculados directamente con las comunidades donde están ubicados los centros educativos comunitarios autónomos, sobre los cuales hemos escrito en varias oportunidades (Mora, 2004 y 2019). Esto quiere decir, en consecuencia, que hace falta una educación matemática comunitaria, siempre unida a los procesos de producción al interior de los centros educativos, de las comunidades extraescolares, de la realidad nacional y de las interacciones complejas internacionales. Por supuesto que esta educación matemática también debe estar determinada por una concepción muy diferente de la idea producción en contraposición con la concepción manejada históricamente por el sistema capitalista local o global. No se trata de seguir produciendo con la finalidad de acumular capital y/o bienes puramente materiales, en la mayoría de los casos innecesarios. Esta idea de producción, unida por supuesto a una concepción de desarrollo extractivo y acumulativo, no tiene en el tiempo el suficiente sustento energético y material sobre el que apoyar sus pilares, además de las consecuencias negativas para el planeta como resultado de las grandes cantidades de residuos tóxicos y contaminantes generados por la producción y consumo de bienes materiales, muchos de ellos suntuarios. La idea de producción, considerada en este trabajo como relevante y apropiada, está asociada a la elaboración solamente de bienes materiales e inmateriales necesarios para el vivir bien de toda la población, y ello estaría caracterizado por: vivienda digna y adecuada, vestimenta suficiente, salud, educación, servicios básicos indispensables, transporte público masivo, alimentación saludable y balanceada, recreación y satisfacción intelectual, todo lo cual debe ser producido a bajos costos para la “madre tierra” y con muy bajos niveles de consumo de energía, en los posible no contaminantes. Si nos pudiésemos poner de acuerdo con algunas matrices básicas esenciales de producción, especialmente comunitarias, entonces avanzaríamos significativamente hacia la permanencia de la vida en la tierra, con altas posibilidades de que toda la 42

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población del mundo viva en armonía con la naturaleza, por un lado, pero sobre todo sin sufrir las grandes calamidades a las cuales está sometida más del cuarenta por ciento de la población mundial, por otro. La educación matemática, por lo tanto, tiene obligatoriamente que estar orientada hacia la concepción de la educación comunitaria y productiva, en los términos antes mencionados sobre comunidad y producción. Al igual que en el caso de la educación matemática comunitaria, aquí estamos en presencia de una educación matemática productiva no sólo al interior de las mismas matemáticas, sino también en correspondencia con el mundo de la producción de bienes materiales e inmateriales en los diversos ámbitos en que tenga lugar, es decir, en la escuela, la comunidad extraescolar, las ciudades, las regiones, el país y el ámbito internacional. Finalmente, queremos destacar que es indispensable la conformación de una Educación Matemática Comunitaria y Productiva (EMCP) para que todos/ as vivan bien, lo cual sólo será posible en una sociedad socialista, como tránsito hacia la sociedad comunista, para lo cual se requiere, obviamente, entender que la educación no puede estar aislada, descontextualizada y desligada de la lucha de las contradicciones sociales que caracterizan actualmente al mundo capitalista, puesto que el ser humano no es un sujeto pasivo ante el dinamismo del mundo socionatural, sino que él lo transforma y se transforma así mismo, siempre en relación con los demás. Aquí es necesario recordar las palabras de Gmurman y Korolev: Al elaborarse los problemas del materialismo histórico, Marx y Engels se dedicaron directamente a la teoría de la educación como fenómeno social. Incluso los más insignes pensadores, no sólo de los tiempos antiguos, sino también de los modernos, no podían explicar las leyes o regularidades esenciales de la educación como uno de los fenómenos de la vida social. El carácter limitado de sus concepciones filosóficas inmovilizaba sus pensamientos y los subordinaba a las condiciones transitorias de la sociedad de clases antagónicas. El marxismo también en esta esfera llegó a «conclusiones a las que no podían arribar individuos limitados por los marcos burgueses o atados por las ligaduras de los prejuicios burgueses». Pero siendo así, no despreció las valiosas conquistas del pensamiento científico del pasado sino que «lo reelaboró, sometió a crítica y comprobó en el movimiento obrero». Marx y Engels tuvieron en alta estimación todo lo nuevo que los materialistas franceses introdujeron en la teoría de la educación: en las experiencias de Owen veían el germen de la educación del futuro. Las conquistas de los pensadores avanzados fueron utilizadas y de forma crítica fueron reelaboradas. Marx y Engels criticaron el materialismo unilateral mecanicista, que consideraba al hombre como un producto pasivo de la influencia del medio, de las circunstancias, de la educación. Aun explicando que las circunstancias crean a los hombres en cierta medida, y en otra cierta medida, los hombres crean las circunstancias, los fundadores del marxismo llegaron a [la] genial conclusión de que el hombre, en el proceso de su gestión activa sobre la naturaliza y Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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la sociedad, cambia su naturaleza social. La importancia de dicha conclusión teórica es extraordinaria y multilateral. Precisamente esta tesis es la que iluminó como un proyector la perspectiva de la educación de las masas explotadas en el curso de la revolución socialista. Al basarse en esta comprensión de las leyes que rigen la formación de la psicología de los hombres, los fundadores del marxismo pudieron afirmar con seguridad: “… tanto para el surgimiento masivo de la conciencia comunista como para el logro del propio objetivo, es necesario un cambio masivo de los hombres, lo cual sólo es posible en el movimiento práctico, «en la revolución»; por consiguiente, la revolución es necesaria, no sólo por el hecho de que no hay otro camino para desalojar a las «clases explotadoras» del poder, sino también porque la clase «explotada» puede liberarse de su ignominia y hacerse capaz de crear la nueva base social sólo en la propia revolución”. (1967: 77)

2.9. Desarrollo de cualificaciones interdisciplinarias e investigativas en todos/as los/as integrantes del proceso educativo Ya hemos mencionado en varias oportunidades, en este y otros documentos, que nuestra propuesta didáctica, también en el campo de la educación matemática, consiste en desarrollar la praxis educativa a través de los Temas Generadores de Aprendizaje y Enseñanza Interdisciplinarios e Investigativos (TGAEII), lo cual no significa que no se pongan en práctica también otras estrategias didácticas, como por ejemplo la resolución de problemas o el método por proyectos intra y extramatemáticos. Este tema ha sido trabajado ampliamente en la segunda parte del libro Didácticas de las Matemáticas, publicado por el Instituto Internacional de Integración del Convenio Andrés Bello (Mora, 2010). El tratamiento de los TGAEII incluye realmente todos los demás principios pedagógicos y didácticos de la educación matemática que hemos venido desarrollando en el presente documento. Se trata concretamente de seleccionar una temática problemática de interés colectivo, con la finalidad de buscarle solución mediante un proceso investigativo con una mirada metódica y conceptual de carácter interdisciplinario. Esto significa, obviamente, que todos/as los/as participantes del quehacer educativo logran una formación en dos direcciones, por un lado al interior de las disciplinas que intervienen en la realización de las actividades investigativas, las cuales podrían estar clasificadas normalmente en matemáticas, ciencias naturales, ciencias sociales, ciencias humanas, ciencias del movimiento y artes en general; y por otro, lograrían una formación integral interdisciplinaria, a través de la unión de saberes y conocimientos de estos seis grandes campos científicos.

dinámica (Mora, 2009). Esta doble formación posibilita el logro de un amplio conocimiento general, por un lado, y por otro la profundización en el conocimiento de cada disciplina participante, así como la incorporación de los saberes ancestrales, populares, individuales y sociales en el tratamiento de los problemas generales y específicos interdisciplinarios e investigativos. Para ello, sin embargo, se requiere de tres condiciones fundamentales: en primer lugar, romper con la idea que tenemos actualmente de las matemáticas escolares y su aprendizaje-enseñanza; en segundo lugar, es necesario transformar profundamente las características imperantes actuales del sistema educativo, especialmente de los Centros Educativos Comunitarios Autónomos (CECA); y en tercer lugar, se necesita una formación integral de los/as docentes, directivos/as de los centros educativos, personal de apoyo educativo, instancias ministeriales, comunidad extraescolar, etc., puesto que la gran estructura educativa local, nacional e internacional, incluyendo todas las personas que trabajan en los diversos ámbitos del sistema educativo, están claramente identificadas y socializadas en el marco de la concepción educativa tradicional, positivista y capitalista. La formación de los/as docentes es más exigente, amerita un mayor esfuerzo tanto por parte de quienes tienen a su cargo liderar los procesos de transformación educativa, como de los/as docentes dedicados/as a la preparación-actualizacióncapacitación, en cascada y desde las bases, de la gran mayoría de los/as maestros/as y profesores/as que podrán en práctica la nueva concepción curricular. Por supuesto que estos cambios profundos no pueden tener lugar de la noche a la mañana o simplemente por decreto; es indispensable, sin embargo, recorrer ese largo camino, en algunos casos altamente problemático, y mantener una línea clara, persistente, consecuente y revolucionaria en el tiempo y en los espacios en que tienen lugar los nuevos procesos educativos. Se trata realmente de una verdadera revolución socioeducativa. 2.10. Cambios revolucionarios de los diversos ámbitos del sistema educativo, incorporando activamente a toda la comunidad educativa

Como se puede apreciar, la idea consiste en un movimiento con cuatro dimensiones fundamentales: formación intradisciplinaria, interdisciplinaria y transdisciplinaria, todo ello en un espacio-contexto determinado y un tiempo específico, puesto que se asume definitivamente una concepción curricular

En la mayoría de los países latinoamericanos y caribeños hemos vivido, directa o indirectamente, procesos importantes de reforma educativa; sin embargo, estos no han generado cambios profundos en los diversos aspectos que conforman la vida escolar dentro y fuera de los centros educativos. Este potencial y real fracaso se debe, en la mayoría de los casos, al escaso compromiso asumido por el Estado Docente como principal responsable y promotor de la educación de un país, a la escasa participación educativa de los diversos grupos de poder existentes en nuestras sociedades, cada vez más imbuidos en el mundo del consumo y la trivialidad, a la prácticamente nula acción de las comunidades extraescolares de donde provienen

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los/as estudiantes que hacen su vida en las escuelas, a la poca reflexión sociopolítica de los/as docentes tanto dentro de sus centros educativos como fuera de los mismos, a la escasa capacidad de dirección por parte del equipo directivo de nuestros centros educativos, etc. A estas razones se suma la imposición e influencia de los sectores de la economía nacional e internacional, interesados sólo en convertir la educación en un buen negocio, lo cual ha tenido en América Latina y el Caribe un espacio de ensayo muy exitoso durante las últimas décadas, especialmente en momentos del auge neoliberal (Torres, 2001; Sotelo Valencia, 2000; Pérez Gómez, 1998).

que ver con la producción material necesaria y con la producción inmaterial, también indispensable, para el funcionamiento adecuado de nuestras sociedades, especialmente para la satisfacción de las necesidades básicas materiales y espirituales de toda la población. Para poder lograr este objetivo tan importante en cada uno de los rincones de la geografía internacional se requiere, necesariamente, la incorporación activa y participativa de las comunidades intra y extraescolar, lo cual hemos denominado, en términos generales, como comunidad escolar, puesto que la comunidad es en esencia el centro y motor del interés educativo de cada nación, todo lo cual ocurre independientemente de la formalidad del sistema educativo.

En este sentido, consideramos que es necesario impulsar, más que pequeñas reformas educativas circunstanciales, determinadas en última instancia por el mercantilismo educativo, revoluciones educativas de carácter nacional e internacional, mismas que deben romper definitivamente con las concepciones mentales de la educación castradora y reproductiva de las condiciones desiguales de vida y acción, así como con las estructuras sociopolíticas centradas en la dominación de unos pocos sobre la mayoría, particularmente de las personas excluidas de la educación y de otros derechos fundamentales (Flecha, 1997; Berstein y otros, 1997; Araujo de Freire, 2004).

Para terminar este apartado, debemos destacar que nuestras inquietudes y exigencias en el campo de la participación comunitaria en el quehacer educativo no están referidas única y exclusivamente a los primeros niveles del los respectivos sistemas educativos, sino también a aquéllos caracterizados tradicionalmente por sus comportamientos y acciones elitistas, como ocurre, por ejemplo, con la educación universitaria o de mayor especialización, la cual ha estado aislada de las comunidades y restringida sólo a grupos relacionados con sectores esencialmente académicos o dueños del poder económico, lo que les ha permitido comprar de una u otra forma el conocimiento científico especializado o, en última instancia, los resultados de tales conocimientos, como ocurre, por ejemplo, con la medicina.

Por ello, una revolución educativa trasciende el mundo de las pequeñas acciones o cambios temporales en algunos centros educativos, municipios o espacios de acción socioeducativa particulares, pequeñas acciones o cambios que, en la mayoría de los casos, se convierten sólo en proyectos piloto muy particulares, cuyas consecuencias no abarcan la totalidad de las escuelas y/o comunidades, quedando como simples ejemplos muy particulares para la academia o los políticos de turno que pretenden justificar algunas de sus escasas acciones dentro del mundo de la burocracia educativa.

Pensamos, en consecuencia, que es indispensable democratizar la educación y con ello la ciencia, la tecnología, los saberes y los conocimientos de toda naturaleza; si lográramos este objetivo, entonces estaríamos alcanzando realmente una profunda transformación educativa, es decir, una revolución educativa con la participación, en primera línea, de la comunidad, en sus diversas formas de acción y representación sociopolítica.

Nuestra concepción sobre las revoluciones educativas trasciende los espacios particulares de los proyectos piloto o las simples experimentaciones. Aquí consideramos que es necesario e indispensable desarrollar acciones compartidas entre el Estado Docente, los Centros Educativos Comunitarios Autónomos (Mora, 2004), el magisterio en su totalidad, de acuerdo con sus diversas formas organizativas, los/as estudiantes, sobre la base de sus estructuras orgánicas, y muy especialmente la comunidad extraescolar donde está ubicado cada uno de los respectivos centros educativos. Si asumimos definitivamente acciones revolucionarias altamente participativas, que incorporen en igualdad de condiciones a los diversos actores vinculados directa e indirectamente con la educación, entonces estamos totalmente seguros de que en efecto lograríamos cambios sustantivos y efectivos en toda la estructura educativa de cada uno de nuestros países.

En el caso concreto de las matemáticas, creemos sin temor a equivocarnos que éstas tendrán un mayor significado y relevancia social si están al servicio de la comunidad y si ésta participa activamente en el campo de las matemáticas, en su sentido amplio. Ello quiere decir que las comunidades deben ser protagonistas de la construcción del conocimiento matemático y de la popularización de los saberes matemáticos propios de cada cultura; de igual manera, las matemáticas deben servir como herramienta indispensable del desarrollo integral del sujeto, en el sentido particular, y del colectivo, en términos más sociales.

Estos cambios, por supuesto, tienen que ver con el mundo de la educación productiva y comunitaria (productiva en su sentido más amplio), lo cual tiene

Todo ello será posible si y sólo si impulsamos desde las bases una verdadera revolución educativa, más que simples cambios reformistas, propios de las sociedades que desean perpetuar sus estructuras sociopolíticas sin impórtales mucho las consecuencias altamente negativas tanto para el ambiente como para los seres humanos. La revolución educativa comunitaria asumida en nuestros documentos, desde diversos ángulos y perspectivas de análisis, debe afectar, además de al campo

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de la gestión y organización educativas, a los procesos de aprendizaje y enseñanza, así como a los contenidos generales y específicos referidos a conocimientos y saberes, sean ellos disciplinarios, interdisciplinarios o transdisciplinarios. Lo más importante, a nuestro entender, consiste en crear expectativas, intereses e inquietudes, siempre desde las perspectivas de quienes participan en el quehacer educativo; de esta manera, tanto las matemáticas y las ciencias naturales como las demás disciplinas podrán ser interesantes y significativas para toda la población intra y extraescolar (Mora, 2010). Muchos/as autores/as han trabajado esta temática, proponiendo diversas categorías y terminologías que en esencia guardan una estrecha relación. Así por ejemplo, Osborne habla de las “historias explicativas” al referirse a un tipo de aprendizaje que estaría focalizado también en ideas fundamentales, es decir: En primer lugar, debemos abandonar cualquier i n t e n t o de reconstruir el conocimiento c i e n t í f i c o de abajo hacia arriba, ladrillo a ladrillo. En su lugar, tenemos que reconocer que en el centro de la aportación cultural de la ciencia hay un conjunto de ideas importantes sobre los objetos del mundo y sobre cómo se comportan, por ejemplo, el modelo de partículas de la materia, la teoría del germen de las enfermedades infecciosas, el modelo genético de la herencia, el modelo heliocéntrico del sistema solar, etc. Por consiguiente, estas ideas y estos temas deben ocupar un lugar preeminente en el currículo de ciencias y son estas ideas las que hay que esperar que constituyan el destilado que permanece como residuo de cualquier educación científica. La conclusión es también que estas ideas, a las que decidimos llamar «historias explicativas», se deben mostrar, suscribir y nombrar con claridad y celebrar como una de las funciones evidentes de la formación científica, más que presumir que su adquisición se producirá por un puro proceso de difusión. Estas «historias explicativas» se enmarcan en los lemas generales de la vida y los seres vivientes, la materia, el universo y de cómo está hecho el mundo. Todas ellas son áreas en las que la ciencia t i e n e algo fundamental que decir y juntas muestran una gran parte de la diversidad que cabe encontrar en las ideas y el pensamiento científicos. Nuestra propuesta es, pues, que la educación científica debe u t i l i z a r mucho más una de las formas de comunicación de ideas más poderosas y omnipresentes en el mundo: la forma narrativa, reconociendo que su objetivo primordial es presentar una serie de «historias explicativas». Con ello queremos decir que la ciencia cuenta con una explicación que puede ofrecer una respuesta a preguntas del tipo: «¿Cómo se contrae las enfermedades?», «¿cuántos años tiene la Tierra y cómo llegó a existir?», «¿cómo es que existe tal variedad desordenada de seres vivos en la Tierra?». Son estas explicaciones (las «historias explicativas») y sus amplios elementos los que interesan y atraen a los alumnos y, por consiguiente, son estas explicaciones las que cualquier currículo de ciencias nunca debe perder de vista como objetivo propio. La palabra «historias» no pretende sugerir que las explicaciones que proporciona la ciencia sean «meras ficciones». Al contrario: el valor de la narración está en su capacidad de comunicar ideas 48

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haciéndolas coherentes, memorables y significativas. Así pues, creo que presentar los contenidos de conocimientos del currículo como un conjunto de «historias explicativas» t i e n e un valor y unas ventajas considerables. (2001: 54-55)

3. Las matemáticas como parte esencial de las interacciones socioculturales 3.1. Matemáticas y comprensión-transformación de la cotidianidad La educación matemática y sus objetivos no deben limitarse simple y llanamente al logro del denominado “cálculo burgués”, propio de las sociedades orientadas a la producción-consumo de bienes materiales en la mayoría de los casos superfluos, o el simple dominio de operaciones matemáticas básicas elementales, de las cuales requieren en promedio los/as jóvenes y adultos/as para su vida cotidiana tanto profesional como privada, en su mayoría desde la perspectiva de las más elementales aplicaciones. Por el contrario, se trata de la disponibilidad conceptual, metódica y operativa que permita ponderar matemáticamente diversas actividades sociopolíticas útiles para el individuo y la colectividad, incorporando todas las formas posibles de pensar y actuar con la ayuda de las matemáticas. Entre este conjunto de potenciales actividades de pensamiento y acción podrían estar, entre otras, las siguientes: a) aproximaciones, redondeos, registro intuitivo de magnitudes pequeñas y grandes; b) traducción de problemas cotidianos a modelos matemáticos sencillos y viceversa; c) interpretación y elaboración de representaciones gráficas y dibujos técnicos; d) el uso de las matemáticas como medio de comunicación; e) manejo de datos estadísticos e interpretación de afirmaciones probabilísticas en contextos reales y cotidianos; f) manejo comprensible de medios técnicos, tales como calculadoras y computadoras, los cuales deberían estar reflejados en cada clase de matemáticas en todos los ámbitos del sistema educativo en la medida en que aumentan los niveles de exigencia matemática y de la situaciones problemáticas tratadas dentro y fuera de las aulas; etc. De esta manera se podrá no sólo entender los fenómenos socionaturales, sino esencialmente transformar el mundo de la cotidianidad cercana y/o lejana de cada sujeto participante en el proceso educativo. Esto significa, evidentemente, que debemos situar a las matemáticas, en términos generales, y a la educación matemática, como vínculo entre las matemáticas y la educación en su alta connotación, en una perspectiva mucho más social, sin que ello signifique descuidar los aspectos relevantes y altamente influyentes de la psicología y otras ciencias afines al aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Sobre este particular, es muy importante citar, como ejemplo de tales reflexiones, a Apple, quien haciendo una crítica al predominio de los análisis internalistas sobre los externalistas, señala lo siguiente: Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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La mayoría de las discusiones sobre el contenido y la organización de los curricula y la enseñanza en áreas como las matemáticas son sorprendentemente internalistas. O, cuando se acude a fuentes “externas” distintas de la disciplina misma de las matemáticas, se desplazan, pero a las cercanías: a la psicología. Parece que existe la fuerte convicción de que uniendo las mejores matemáticas con las nuevas teorías psicológicas, se resolverá las mayor parte de los problemas del rendimiento educativo y de la equidad. Esto prolonga una historia muy larga en las ciencias de la educación de intentos de tomar nuestros paradigmas básicos de un conjunto muy limitado de marcos disciplinarios. La psicologilización de la teoría y las prácticas educativas, aunque haya traído consigo ciertos beneficios -como demuestran algunos programas nuevos de matemáticas, descritos en los capítulos de Silver y Nelson, de Carey, Fennema, Carpenter y Franke y de Khisty, en su interesante y aún más sociopsicológico análisis del usos del lenguaje-, por desgracia, también ha traído un conjunto de importantes efectos limitadores. Ha supuesto, en un plano profundo, la eliminación de consideraciones culturales, políticas y económicas críticas de la esfera de las deliberaciones curriculares. En el proceso de individualización de su visión de los estudiantes, ha perdido todo sentido serio de las estructuras sociales y de las relaciones de raza, género y clase social, que configuran a estos individuos. Es más, de este modo, es incapaz de situara áreas como la educación matemática en un contexto social más amplio que incluya unos programas globales para una educación democrática y una sociedad más democrática. Por último, a causa de estos factores, nos deja unas visiones debilitadas de la práctica crítica. (1997: 348)

3.2. Conformación de la coherencia sociocultural a través del tratamiento de ideas matemáticas fundamentales Las matemáticas tienen realmente sentido, en el marco de la formación general básica, si son entendidas más allá de la simple colección de técnicas especiales de orientación procedimental; es decir, ellas tienen sentido de ser y existir en la programación educativa general si posibilitan realmente el desarrollo del pensamiento críticoreflexivo y suministran, al mismo tiempo, las herramientas básicas esenciales para la resolución de problemas con consecuencias locales y universales en el sujeto, en su sentido individual, y de la colectividad, en el sentido de la complejidad de interacciones entre sus participantes. Aquí se pone de manifiesto, nuevamente, el pensamiento discutido durante muchas décadas sobre desarrollar las clases de matemáticas en términos de ideas matemáticas fundamentales2, lo cual tiene como horizonte básico establecer una conexión directa entre las matemáticas propiamente dichas y la cultura externa a ellas, es decir, el mundo extra-matemático (Mora, 2009; Corbalán, 2000; Reverand, 2010; Ortega, 2005; Rojas y Algara, 2009; Giménez, Díez-Palomar y Civil, 2007; Goñi y otros, 2006; etc.).

Esta temática será analizada a mayor profundidad en otros documentos referidos al tema de las ideas fundamentales tanto en matemáticas como en otras disciplinas. Por el momento, consideramos que se hace indispensable, cada vez más, orientar la educación matemática al mundo complejo donde ocurren los procesos educativos, pero también de los contextos y hábitat de los/as participantes en las diversas prácticas educativas matemáticas, especialmente en relación con situaciones problemáticas externas a las mismas matemáticas, en correspondencia con los adelantos de la inter y transdisciplinariedad didáctica. Entre las ideas matemáticas fundamentales podríamos señalar, por ejemplo, las siguientes: a) idea del número; b) idea de la medida; c) idea de la dependencia funcional; d) idea de la probabilidad; e) idea de la estructuración espacial; f) idea del algoritmo; g) idea de la modelación sociomatemática. Es importante resaltar que esta concepción de la educación matemática, constituida básicamente por siete grandes ideas fundamentales, coincide con los planteamientos de Bishop (1988a y 1988b, 1999 y 2000), Stenhouse (1987) y Mora (2005 y 2009); sin embargo, desde el punto de vista del tratamiento pedagógico y didáctico de las matemáticas, los tres planteamientos no son exactamente sinónimos3. Estas siete ideas matemáticas fundamentales podrían ser consideradas, en cierto modo, como cortes fronterizos entre las matemáticas y la totalidad del mundo socionatural. Su significado debe ser ilustrado mediante el tratamiento de temas matemáticos completamente diferentes a la caracterización tradicional de las clases de matemática, a las cuales generalmente estamos acostumbrados. Se debe garantizar claramente, sin embargo, que las ideas matemáticas fundamentales no caigan en la trampa de repetir nociones matemáticas básicas profesionales, tal como ha ocurrido con la implementación didáctica de algunas propuestas hechas en el campo de la educación matemática durante las últimas décadas, las cuales han caído en la tradicional concepción de la orientación puramente matemática con algunos pequeños disfraces realistas. Un aspecto sumamente interesante e importante del planteamiento de una educación matemática centrada en las ideas fundamentales, consiste en fortalecer, desde el punto de vista pedagógico y didáctico, la relación entre las matemáticas y una visión compleja de la realidad; hacer esto equivale a lograr una mirada más crítica y compleja del mundo en sus aspectos globales, pero básicamente en sus elementos más particulares. Al respecto, Zabala señala lo siguiente: Comprender, analizar, interpretar… para actuar, implica siempre haber resuelto situaciones en que nunca los problemas que se presentan son simples, las respuestas nunca se reducen a una sola área de conocimiento, algo que

2 También se habla de ideas centrales o ideas universales matemáticas. En este trabajo, preferimos hablar de ideas matemáticas fundamentales.

3 Desde nuestra perspectiva educativa, consideramos que el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas debería desarrollarse tomando en cuenta estas tres orientaciones, las cuales tienen que ver con un acercamiento muy estrecho entre las matemáticas y el mundo externo a ellas.

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solamente se da en el ámbito restringido de la escuela, y más concretamente en las pruebas que ésta propone en las evaluaciones, en las cuales los problemas se plantean de manera simple. Los problemas relevantes para los ciudadanos y ciudadanas siempre son globales y complejos. El sentido del conocimiento incluido en las diferentes ciencias, y sus problemas internos y específicos, no son los problemas relevantes para las personas. El saber científico únicamente puede tener sentido educativo cuando se dispone al servicio del desarrollo humano en sus vertientes personales y sociales. Cuando la opción educativa es la del conocimiento para la acción crítica, la enseñanza ha de orientarse al planteamiento de un saber escolar complejo. Se tiene que construir un currículum que refleje el nivel de incertidumbre presente en la vida, en el cual es imposible conseguir siempre una única respuesta válida y verdadera para los múltiples problemas que surgen en una realidad en la cual se interrelacionan múltiples y diferentes variables y dimensiones. Es decir, una formación que facilite una visión más compleja y crítica del mundo, superadora de las limitaciones propias de un conocimiento parcelado y fragmentado, que demuestra que es inútil para afrontar la complejidad de los problemas reales del ser humano. Un conocimiento que sea global, integrador, contextualizado, sistémico, capaz de afrontar las cuestiones y los problemas abiertos y difusos que plantea la realidad. (1999: 47)

3.3. Utilización de las matemáticas como parte de la realidad local y global El concepto educativo basado en la orientación a las aplicaciones, especialmente relacionadas con situaciones problemáticas sociales y naturales, constituye el elemento irrenunciable de una clase de matemática moderna y progresista, en términos emancipadores y sociocríticos. Por supuesto que las matemáticas no están explícitas en tales situaciones problemáticas, sino que pueden ser encontradas de manera inmanente. Deben ser didácticamente visibles, haciéndolas, al mismo tiempo, accesibles y racionalmente tratadas en los espacios y tiempos propios de las clases inter y transdisciplinarias. La idea de la modelación matemática puede ayudar a relacionar las matemáticas, en su forma profesional convencional, con las realidades socionaturales de quienes participan en el quehacer educativo. Con esto estamos insistiendo en la relación entre las matemáticas y el mundo exterior a ellas, lo cual constituye un altísimo avance en la comprensión-transformación socionatural y en la significación cognitiva crítica por parte de los/as estudiantes en cualquier ámbito de los sistemas educativos (Blum, 1985; Burscheid, 1983). Lo decisivo para desarrollar el gusto por las matemáticas y un excelente aprendizaje de las mismas no es la presentación unilateral, es decir, por parte de los/as docentes, de modelos matemáticos previamente elaborados o existentes en los libros de texto, sino brindar posibilidades y ocasiones de construir modelos 52

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matemáticos a partir de las situaciones problemáticas planteadas en correspondencia con los contextos específicos o de interés para todos/as los/as participantes. Con ello se podría reflexionar no sólo sobre el modelo matemático propiamente dicho, sino sobre el proceso de modelación, sus complejidades, su belleza y, sobre todo, su importancia sociocognitiva. Aquí los/as participantes en el proceso de aprendizaje y enseñanza comprenden algo de las matemáticas y de una parte o corte de la realidad tratada, sea ésta natural o social (Blum y Niss, 1991; Kaiser, 1995). Muchas veces no se entiende realmente que las matemáticas permiten ver fenómenos cotidianos de toda naturaleza con otra perspectiva, con los ojos de las estructuras básicas complejas e interdisciplinarias, visión que estaría altamente limitada en ausencia de las matemáticas, aunque éstas sean muy elementales. Si se incorpora esta visión matemática del mundo, se estaría ganando un concepto del mismo profundamente diferenciado; si se excluye a las matemáticas sociales de la formación integral del sujeto, entonces estaríamos en presencia de un empobrecimiento de nuestra formación y del tratamiento científico de las situaciones problemáticas de interés común, se estaría desembocando en la trivialidad de las interpretaciones, construcciones científicas y transformaciones. Por supuesto que no todo lo que es importante en la vida está sujeto a la modelación matemática, pero esto no implica que buena parte de la realidad no sea matemáticamente tratable. Toda actividad educativa, materializada concretamente en procesos de aprendizaje y enseñanza, especialmente en el campo de las matemáticas, debe permitir la vivencia de experiencias múltiples y diversas con la finalidad de lograr una mejor comprensión y un dominio complejo de fenómenos inicialmente no matemáticos; para ello, es indispensable pensar y actuar matemáticamente, lo cual, a su vez, es posible mediante los procesos de modelación matemática. Sobre este particular hemos reflexionado profundamente en varias oportunidades, especialmente en el campo de las matemáticas escolares y universitarias (Mora, 2009). Por supuesto que los procesos de modelación, como estrategia pedagógica y didáctica para el desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza, están referidos escasamente al mundo intra-matemático, sus contenidos son esencialmente realistas, del mundo cercano, intermedio o lejano a los/as participantes en el quehacer educativo, aunque en efecto puedan existir situaciones intra-matemáticas consideradas o tratadas mediante las herramientas comúnmente usadas para la modelación de problemáticas básicamente realistas, a diferencia de la teoría de las aplicaciones matemáticas. A este respecto, es importante resaltar lo que nos dice Da Ponte: Finalmente, el contexto constituye una dimensión importante que debe tenerse en cuenta. En este punto, los polos vienen determinados por las tareas encuadradas en un contexto de la realidad y las tareas formuladas en términos Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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puramente matemáticos. Skovsmose (2000), en un interesante artículo, todavía distingue un tercer contexto, que designa como semirealidad, que es extremadamente frecuente en los problemas y ejercicios de matemáticas. Aunque aparentemente se pongan en entredicho situaciones reales, para el alumno, éstas pueden no significar gran cosa. Dejando de lado este aspecto, la mayoría de las propiedades reales de las situaciones no se tienen en cuenta. La atención apenas se focaliza en la propiedad o propiedades que interesan a quien ha enunciado la cuestión y es en éstas donde se supone que debe centrase el alumno. Por eso, para el alumno acaba por ser un contexto tan abstracto como el contexto de las matemáticas puras… Las llamadas tareas de modelación son, en el fondo, tareas que se presentan en un contexto de realidad. Dichas tareas, en general, entrañan una naturaleza problemática y desafiante, además de dar lugar a problemas o investigaciones, de acuerdo con el grado de estructuración del correspondiente enunciado. También es frecuente hablar de aplicaciones de las matemáticas. Según su naturaleza, se trata de ejercicios o problemas de aplicación de conceptos e ideas matemáticas. Asimismo, hay que señalar que los ejercicios, problemas, investigaciones y exploraciones, tanto pueden surgir en contextos de realidad como de semirealidad o de matemáticas puras. (2004: 32)

3.4. Comprender las matemáticas y desarrollar el pensamiento sociocrítico para superar la ideología dominante Todos sabemos que las matemáticas representan una realidad, abstracta en muchos casos, construida por los seres humanos; ellas no tienen realmente ningún carácter arbitrario, ni mucho menos casual. Están caracterizadas por la necesidad y los esfuerzos de aclaración de las contradicciones, por la coherencia y consistencia de sus modelos, por la precisión de sus argumentaciones, por su fuerza explicativa, por la belleza y precisión de sus encadenamientos conceptuales y algorítmicos, etc. Por estas razones, son comprensibles por quienes entran paciente y consecuentemente en contacto con sus diversas manifestaciones. Paradójicamente, para mucha gente que ha estado, en algún momento de su vida, en contacto directo o indirecto con las matemáticas, éstas han dejado de ser comprensibles, hasta el punto de que muchas personas las odian, las rechazan y escasamente las usan en sus vidas.

de las interacciones sociales; por ello hablamos con frecuencia de la sociomatemática y de la equidad e igualdad entre todas las personas que participan en los procesos educativos, especialmente en aquellos vinculados a las matemáticas, dentro y fuera de las respectivas instituciones de formación, capacitación, preparación, acción, producción y reflexión sociopolítica en todos los ámbitos de nuestros sistemas educativos. La educación matemática, entonces, puede efectivamente contribuir al esclarecimiento de muchas contradicciones sociopolíticas de nuestros tiempos, así como ayudar a establecer mayor igualdad socioeconómica en todos los pueblos del mundo. Siguiendo las palabras de Skovsmose y Valero (2007): La educación matemática proporciona nuevas oportunidades a las personas, pero podría también llegar a ser una obstrucción para ciertos grupos en términos del avance social. La educación matemática presupone recursos, y creemos que es necesario preguntar cómo estos recursos -humanos y materiales- crean oportunidades y, más esencialmente, cómo se distribuyen los recursos y las oportunidades alrededor del mundo. Al mismo tiempo, se podría reconocer la educación matemática como un recurso económico de la sociedad, pues apoya el desarrollo tecnológico. Y estos potenciales políticos y económicos de la educación matemática podrían operar de maneras muy distintas en diferentes contextos sociopolíticos.

Las matemáticas, obviamente, podrían ayudar considerablemente a explicar y aclarar fenómenos difusos y complejos del mundo cotidiano, especialmente en el ámbito social, sustituyendo con ello prejuicios por juicios argumentados y bien justificados, sustituyendo la alienación por la formación política, sustituyendo la educación bancaria por la liberadora. Si asumimos definidamente que la educación matemática debe tener entre sus objetivos fundamentales la contribución a la conformación de un pensamiento sociocrítico, entonces la precisión y profundización del tratamiento matemático de la realidad es más importante que la memorización simplista de contenidos impuestos por la escuela conservadora, tal como lo analizaba amplia y sabiamente Paulo Freire (1973).

Podríamos afirmar, con mucha certeza, que las matemáticas no comprendidas dejan escasos recuerdos significativos en los sujetos, no les proporcionan absolutamente nada de su potencial creador y utilitario, dejan escasas huellas de la relación entre matemáticas y realidad y mucho menos del pensamiento crítico reflexivo, del cual se habla con frecuencia. Esta apreciación no significa, de ninguna manera, que nos olvidemos de las matemáticas como medio apropiado para el logro de actitudes y aptitudes emancipadoras, democráticas y liberadoras en todas las personas pertenecientes a una comunidad determinada.

Una premisa básica para comprender esta importante tarea es considerar que los/ as participantes en el proceso de aprendizaje y enseñanza deben constituir puentes entre sus pensamientos cotidianos, aprendidos durante sus procesos de socialización y enculturación, y el pensamiento matemático supuesto para ellos/as por quienes conocen y están encargados de la constitución del currículum matemático. Los/ as participantes en actividades matemáticas tienen que enfrentar y aceptar en la mayoría de los casos situaciones poco agradables en relación con las matemáticas, no por culpa de sus supuesta dificultad, sino esencialmente por la concepción pedagógica y didáctica predominante.

Por el contrario, debemos insistir en la posibilidad real y concreta de incorporar radicalmente las matemáticas al mundo de la cotidianidad de cada persona, al mundo

Se trata fundamentalmente de impulsar un cambio radical en el mundo de la educación matemática, en cuanto la aceptación definitiva de que todas las

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personas han estado o están vinculadas con las matemáticas, de una u otra forma, independientemente de su procedencia sociocultural, formación o relación con el mundo y las normas productivas (Mora, 2005 y 2009). Lo que se desea es comprender que, en efecto, todas las personas hacen matemáticas, en la mayoría de los casos sin darse cuenta, y que ellas constituyen parte de sus vidas, de sus formas argumentativas y comunicativas. Sobre el particular, Knijnik señala lo siguiente: Discutir las posibilidades de incluir en el currículo escolar las historias de aquellos que son definidos como los otros en términos de clase social, raza/ etnia, género, etc., considerando sus modos de razonar matemáticamente, no es una operación neutra, meramente técnica: implica optar por una política del conocimiento que subvierta la política del conocimiento dominante, que atribuye supremacía, por ejemplo, a la escritura, tornando invisible la oralidad matemática de otras culturas... (2007: 78)

Con frecuencia, quienes entran en contacto con las matemáticas, especialmente en el ámbito de la educación formal, tienen que asumir comportamientos sociocognitivos contrarios a sus formas de comprensión, particularmente aquellas que tienen que ver con sus procesos de enculturación y socialización histórica y contextual, así como con sus formas de vida, producción e interacción sociocultural. En muchas oportunidades ellos/as tienen que dominar estrategias de resolución de problemas matemáticos o extra-matemáticos, pero con la ayuda de unas matemáticas que no coinciden con sus formas particulares e independientes de enfrentar y resolver problemas sencillos y complejos de su cotidianidad. La escuela, entonces, no toma en cuenta los denominados conocimientos previos, pero tampoco sus contextos sociocognitivos específicos, puesto que ella, en nuestras sociedades capitalistas, obedece sencillamente a un aparato de dominación, control y opresión sociocognitiva, es decir, la escuela es, esencialmente, un medio de imposición de la ideología dominante.

ideológica de los sistemas capitalistas opresores, siendo precisamente el Estado el encargado de esta masificación curricular-ideológica en todos los ámbitos del sistema educativo, ideología que sólo sirve a los sectores dominantes, dueños del poder político, económico y militar. El trabajo de Moreno, Ideología y Educación Matemática. El proceso de infusión ideológica, es ampliamente esclarecedor en el tema de las matemáticas y su educación como medio de imposición de la ideología dominante; es decir: Según el modelo de infusión ideológica, los diseños curriculares y los profesores (por medio de las relaciones de aula) transmiten ideología inconscientemente a los alumnos al crear con ellos un conjunto de representaciones y presupuestos ideológicos que utilizarán para la interpretación de situaciones sociales. La política participa de esta infusión ideológica contribuyendo a la elaboración del diseño curricular y en la formación y selección del profesorado. Los fines políticos, los valores jurídicos y el sistema económico definirán las finalidades de la educación matemática y la ubicación de las matemáticas como materia de enseñanza en la estructura del currículo educativo. La fragmentación del currículum en asignaturas, entre ellas la de matemáticas, oculta las relaciones de poder y asegura estabilidad al presentar los conflictos como problemas técnicos. Al mismo tiempo, las finalidades justifican adecuadamente la decisión deliberada de construir las matemáticas escolares como las matemáticas. Los planteamientos de la estructura de poder quedan ocultos en los diseños curriculares y difuminados en el proceso de formación y selección del profesorado. La transmisión ideológica se convierte entonces en infusión ideológica. (2004: 85)

3.5. Momentos subjetivos de las clases de matemáticas

Esta realidad del mundo de la escuela debe ser transformada radicalmente, incorporando una ideología liberadora y emancipadora. De esta crítica se desprende, en consecuencia, la oportunidad de superar formas pedagógicas y didácticas contrarias a la vida y formas de comprender de cada persona, como individuo, pero también como parte de un colectivo que aprende y enseñanza simultáneamente; con ello se permitiría, por lo tanto, el desarrollo de aptitudes y actitudes complejas y liberadoras en cada una de las personas que participa directa o indirectamente en el proceso educativo. Se debería brindar suficiente tiempo y oportunidades para que la comprensión de los conceptos matemáticos sea realmente significativa en los aspectos cognitivos y sociales, lo cual será posible sólo si existe una relación profunda con los fenómenos sociales y naturales tratados o relacionados con los conceptos matemáticos explícitos o subyacentes.

En su desarrollo, los procesos de aprendizaje y enseñanza de matemáticas son tan subjetivos como los de otras disciplinas, tales como aquéllas referidas al campo de las ciencias sociales. Quienes hemos estado vinculados con estas temáticas, sabemos que el movimiento positivista intentó imprimir a la ciencia toda una connotación objetivista de los saberes populares, convirtiéndolos en conocimientos supuestamente científicos, avalados por la racionalidad de la ciencia. Por supuesto que el positivismo científico permitió, y aún permite, el avance del conocimiento, las disciplinas y la ciencia en general, pero también se ha convertido en un arma de dominación, explotación y desigualdad local e internacional. Las matemáticas, entonces, son usadas como medio ideal para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, para que proporcionen mayores ganancias a los países y/o grupos internacionales que dominan industrial y técnicamente más del 90% de la economía, la política, la ciencia y la tecnología alrededor del mundo.

En este sentido, consideramos que, en última instancia, el currículo de las matemáticas escolares se convierte en el caballo de batalla de la imposición

Consecuentemente, nuestra tarea consiste en generar también, con la ayuda de las matemáticas, mecanismos de liberación y emancipación nacional

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e internacionalmente hablando, es decir, apropiarnos de las matemáticas para lograr nuestros objetivos, que tienen que ver con la formación sociopolítica y la formación metódica, técnica y científica. Con ello estaríamos superando en buena medida momentos de imposición ideológica subjetivos, disfrazados de tecnificismo, objetividad, dificultad, supremacía y veracidad absoluta del conocimiento matemático, con lo que se pretende imponer neutralidad sustantiva a las matemáticas y, con ello, a buena parte de las ciencias (Mora, 1998, 2005 y 2009; Moreno, 2004).

entre la profundidad de las disciplinas particulares o específicas y la inter y/o transdisciplinariedad conceptual, con la finalidad de encontrar un equilibrio entre la particularidad y la generalidad. Este es un problema esencialmente pedagógico y didáctico, cuya solución nos permitirá conseguir un paradigma educativo que posibilite en buena medida la formación general o integral de toda la colectividad, pero también la formación científica disciplinaria, con la finalidad de apropiarnos del conocimiento, democratizarlo y hacerlo útil para todos nuestros pueblos.

El problema sustantivo de esta corriente epistemológica consiste en asumir una supuesta neutralidad de la ciencia como parte de la denominada “objetividad científica”. Por suerte ha existido, a lo largo de la segunda mitad del siglo anterior y principios del presente, un movimiento crítico muy importante que ha develado profundamente esta falacia epistemológica, reconociéndose en la actualidad que la ciencia contiene una gran carga política y que ella obedece a hechos sociohistóricos, cargados a su vez de una gran carga ideológica, obedeciendo con frecuencia a los intereses y necesidades de los grupos dominantes, en la mayor parte de los casos, aquellos sectores poseedores de las riquezas financieras y económicas en cada grupo cultural y momento histórico a lo largo y ancho de nuestro planeta.

No debemos caer en la trampa, también ideológica, de que la transdisciplinariedad es la solución absoluta al dominio y control de la ciencia y la tecnología de unos pocos sobre la gran mayoría de la población mundial; debemos formarnos también en todos los campos de las ciencias y la tecnología, lo cual requiere la profundización en el campo de las disciplinas y sub-disciplinas altamente especializadas, lo que algunos peyorativamente denominan híper-especialización o súper-especialización.

En este sentido, al conocimiento científico, particularmente a las matemáticas impuestas, por ejemplo, en los libros de texto, se la impregnado ese carácter de objetividad, neutralidad, credibilidad y aceptación acrítica. Es decir, se ha afianzado en los sujetos una forma de representación y reproducción de una supuesta verdad. Pérez, Mateos, Scheuer y Martín afirman, por ejemplo, que: En cuanto a lo del segundo aspecto, hace referencia a las creencias sobre la fuente del conocimiento, que irían desde la creencia [de que] el conocimiento es externo al sujeto que conoce y reside en una autoridad (los problemas matemáticos sólo tienen un método de solución correcto y es el que viene en el libro de texto o ha expuesto el profesor) a la creencia en el propio sujeto como constructor de conocimiento (un problema sobre un área se puede resolver aritméticamente, midiendo directamente, por medio de dibujos, etc.; la forma en que se resuelva dependerá del interés, los conocimientos, etc. de quien lo resuelva), así como también a las creencias sobre el papel de la evidencia y los procesos de justificación, que irían desde la aceptación del conocimiento (lo pone en el libro) a la conciencia de la necesidad de justificar el conocimiento (demostración argumentada de cualquier solución). (2007: 72)

Otra crítica importante tiene que ver con la concepción unilateral de las disciplinas científicas, apartando toda posibilidad de intercambio disciplinario, la multidisciplinariedad, la interdisciplinariedad y la transdisciplinariedad. Por supuesto que nuestra posición filosófica en cuanto al desarrollo del conocimiento científico, especialmente en el campo de las matemáticas, tiene que ver con la complementariedad científica, la cual consiste en buscar puntos de encuentro 58

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Por supuesto que las matemáticas, al igual que las demás disciplinas, no siempre están determinadas por altos niveles de objetividad conceptual, por ello asumimos una concepción amplia de las matemáticas, apegadas a las formas diversas y múltiples de producir y reproducir ciencia por parte de las diversas culturas en cualquier ámbito de nuestro planeta, desde la antigüedad hasta nuestros días. Cada pueblo ha construido unas matemáticas muy particulares, con características específicas de acuerdo a sus necesidades e intereses, siempre vinculadas con sus realidades específicas. Por ello, consideramos que las matemáticas también obedecen a orientaciones subjetivas, entre otras cosas, porque están sujetas a altos niveles de aproximaciones, suposiciones, avances y retrocesos, comprobaciones, etc. La idea del desarrollo de una educación matemática crítica, tal como la hemos analizado en otras oportunidades (Mora, 2005 y 2009), tiene como consecuencia inmediata que, tanto en los procesos de aplicación y modelación matemática como en la resolución de problemas intra y extra-matemáticos, se tome en cuenta procesos sociomatemáticos altamente interactivos entre todas las personas que participan en el hecho educativo dentro y fuera de las aulas de clase. Al desarrollar los procesos de aprendizaje y enseñanza desde este punto de vista, estaríamos considerando momentos de subjetividad variables, alternos y profundamente dialécticos, lo cual superaría la idea de las matemáticas acabadas, objetivas y exentas de toda posibilidad de ensayo, error e improvisación conceptual, y esto es necesario e indispensable para la comprensión profunda de las ideas matemáticas explícitas o implícitas en su relación con situaciones problemáticas de interés colectivo. Para culminar, queremos recalcar que la cualidad de las clases de matemáticas no es, en primera línea, dependiente de los contenidos, sino, en sentido amplio, de los métodos, de las formas en que se trata en las clases concretas ese contenido matemático y cómo se establece interacciones sociocríticas entre todos/as los/ Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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as participantes en el desarrollo de una cultura de aprendizaje y enseñanza participativa, cooperativa y colaborativa. Creemos, sin temor a equivocarnos, que la comunidad educativa intra y extraescolar tiene un papel central en este proceso de transformación, y para desempeñarlo es indispensable trabajar permanentemente y en igualdad de condiciones con los/as docentes, puesto que son ellos/as los motores fundamentales de los cambios dentro y fuera de los centros educativos comunicaros autónomos (Mora, 2004). Sobre esto, Parra nos dice: La escuela es una configuración institucional específica que podemos abstraer de las organizaciones concretas en las que intervienen personas: alumnos, familias, directivos, docentes, personal auxiliar, etcétera. Pero cada una de ellas es un componente necesario para que la escuela sea lo que es y también puede ser un camino para transformarla en otra cosa. Por eso, puestos a pensar alternativas para el futuro de las escuelas, necesitamos ineludiblemente pensar en los sujetos que las integran. Cada cual piensa, siente y actúa1 en la cotidianidad escolar aportando direcciones y contrapesos, colaborando en la conformación de un proyecto que será necesariamente colectivo, pero no por eso indiscriminado. La mirada de cada docente sobre la tarea y sobre su modo particular de vivirla se asienta en representaciones sobre lo que la escuela puede y tiene que hacer y comunica una concepción del espacio público escolar. Por eso, en este caso, nos interesa indagar la trama subjetiva de los docentes. En sus historias de vida, en sus preguntas abiertas y respuestas narrativas, el carácter político de la educación puede hallar un anclaje específico. Según Daniel Korinfeld «El acto es el nudo que liga la posición del educador y la producción subjetiva al educar, es decir que el acto educativo no se sostiene sólo desde el conocimiento, sino desde el propio ser del docente y que sólo desde allí puede alcanzar su dimensión política, su dimensión transformadora... (2005: 239).

3.6. Conclusiones A lo largo del presente trabajo hemos insistido reiteradamente en los aspectos sociales, formativos y políticos que están directa e indirectamente relacionados con las matemáticas propiamente dichas y con la educación matemática, tanto desde la perspectiva del aprendizaje y la enseñanza como de los correspondientes programas de investigación que la caracterizan. Por supuesto que este trabajo no pretende agotar, ni mucho menos, esta extensa y necesaria discusión, la cual evidentemente debe continuarse y profundizarse en todos los espacios interiores de los centros educativos de cualquier ámbito del sistema, pero también en el conjunto de la sociedad, en muchos casos apartada de las matemáticas, de sus beneficios y de sus profundas contradicciones, tales como su fundamento científico y tecnológico o su mecanismo de dominación y alienación sociocultural.

matemática de nuestro tiempo, siempre en correspondencia con el dinamismo y los cambios que caracterizan a las sociedades, en diversas partes del mundo, así como las transformaciones, innatas o provocadas por los seres humanos, de la naturaleza. El primero tiene que ver con la importancia que tienen las matemáticas y su tratamiento educativo, en cuanto a comprender las problemáticas cotidianas, relacionadas directamente con el mundo de la vida de todas las personas en un determinado grupo cultural. Este proceso de comprensión no sólo se refiere a una mirada externa al mundo de las realidades y sus posibles connotaciones matemáticas, sino más bien a reconocer la existencia de diversos niveles de comprensión, los cuales están obviamente asociados a los mismos procesos de cambio que influyen directamente en la misma actividad de aprendizaje y enseñanza. En segundo lugar, hemos tratado la temática vinculada con la necesidad de mantener, cultivar, criticar y seguir desarrollando los saberes matemáticos propios de cada cultura, como parte esencial de la relación de los seres humanos con otros seres humanos en procesos altamente interactivos, y como parte de las herramientas culturales para transformar la naturaleza y la sociedad. Este aspecto ha sido analizado desde una posición profundamente crítica, puesto que no todo quehacer matemático es beneficioso para todas las personas y para el mundo natural en su profunda complejidad. En tercer lugar, consideramos aspectos relacionados con el papel que juegan las matemáticas en el estudio de la complejidad internacional y el esclarecimiento de las desigualdades socioculturales, en algunos casos fortalecidas por la ideología dominante que recubre el pensamiento y la acción de las matemáticas burguesas. Como cuarto componente, hemos considerado importante resaltar que las matemáticas escolares pueden contribuir enormemente a la preparación sociocrítica, política y transformadora de la población, particularmente de quienes han sido excluidos de los beneficios de la ciencia y la tecnología, considerándolos no como simples consumidores de los productos altamente tecnificados, cuya producción reporta grandes ingresos a las trasnacionales del conocimiento y a los países que se han apoderado de él, sino como analistas críticos de ese conocimiento y productores de conocimientos propios, siempre en correspondencia con las problemáticas contextuales de cada sociedad y grupo cultural. Aquí consideramos que las matemáticas deben estar definitivamente al servicio de los intereses y necesidades de los excluidos y olvidados de este mundo injusto y profundamente inhumano.

En la mayor parte de las páginas que componen este documento se analiza, con cierto detalle, diez propósitos o tareas fundamentales que debe tener la educación

El quinto aspecto tiene que ver con el aporte de la educación matemática al desarrollo de actitudes y aptitudes altamente significativas en lo social, cultural y cognitivo, para el desarrollo de altos niveles de responsabilidad individual y colectiva, tan necesarios en nuestras sociedades impregnadas por las desigualdades, imposiciones y opresiones. Como sexto componente, hemos tratado elementos sustantivos del desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza, que tienen

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que ver con el fomento de las prácticas participativas, cooperativas, colaborativas y comunicativas en procesos de interacción incluyentes y democráticos. En cuanto al séptimo aspecto, creemos que las matemáticas y su tratamiento escolar permitirán el fortalecimiento de la independencia y autodeterminación de las personas, para que puedan aprender y enseñar de manera independiente, responsable, crítica y reflexiva, con lo cual se alcanzará importantes cotas de comprensión y transformación. En el octavo punto nos concentramos en establecer una relación fundamental entre la educación productiva, la comunidad y los procesos educativos, básicamente de las matemáticas. Aquí nos encontramos con un reto sumamente importante, puesto que nuestras instituciones escolares, los libros de texto y las prácticas docentes niegan, consciente o inconscientemente, el papel que juegan las matemáticas en el mundo de la producción sociocomunitaria, hasta el punto de considerar la inexistencia de tal relación. En este sentido, pensamos que está pendiente una tarea sumamente urgente en cuanto a la necesidad de desarrollar una educación productiva tanto en el mundo comunitario institucional como extraescolar, siempre con la incorporación las matemáticas como parte esencial de la ciencia, la tecnología y la producción. Como noveno aspecto, vinculado directamente con todos los anteriores, hemos tratado la temática del desarrollo de cualificaciones interdisciplinarias e investigativas en todos/as los/as integrantes del proceso educativo, como un medio adecuado para un mejor y mayor aprendizaje. Este aspecto tiene que ver con la corriente pedagógica y didáctica que venimos impulsando desde hace algún tiempo, en cuanto a la necesidad de que las prácticas educativas concretas estén centradas en actividades de investigación, ricas, necesarias y motivadoras tanto para la comunidad extraescolar como para los actores directos del proceso educativo. Por último, hemos considerado sumamente importante la necesidad de fortalecer las revoluciones educativas, no sólo en el aspecto organizativo, administrativo e institucional, lo cual obviamente es muy necesario, sino básicamente con respecto al desarrollo de los procesos de aprendizaje y enseñanza propiamente dichos. Para ello es necesario incorporar activamente a toda la población, organizada en comunidades donde se ubiquen los respectivos centros educativos comunitarios y autónomos. En la segunda parte del presente trabajo tratamos, también con cierta profundidad en el análisis y la reflexión sociocrítica, las matemáticas como parte esencial de las interacciones socioculturales, insistiendo en los aspectos de carácter ideológico. Al igual que en la primera parte, aquí también nos hemos apoyado en una diversidad de autores/as que, aunque no todos/as se refieren exclusivamente a las matemáticas, sí nos proporcionan elementos sustantivos y argumentativos para poder elaborar algunos constructos teóricos críticos sobre tales interacciones. Analizamos aspectos como, por ejemplo, la utilidad de las matemáticas para comprender y transformar la cotidianidad del sujeto, en su sentido individual y colectivo, la importancia que 62

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tienen las ideas matemáticas fundamentales en la formación sociocrítica de las personas en cualquier momento histórico y espacio sociocultural, o el tratamiento de las matemáticas como parte esencial de los diversos niveles de abstracción de la realidad, pero también desde las realidades locales y globales, ambas altamente influyentes en la conformación de una ciudadanía crítica. También hemos considerado importante apuntar que la comprensión apropiada de las matemáticas permitirá desarrollar el pensamiento sociocrítico para superar la ideología dominante. Por último, tratamos de estudiar la caracterización de los momentos subjetivos de la educación matemática. Todo lo anterior ha sido analizado y estudiado con la ayuda de la bibliografía pertinente y disponible sobre las respectivas temáticas. Bibliografía Adorno, T. (1973). “Sobre la lógica de las ciencias sociales”. En: AA. VV. La disputa del positivismo en la sociología alemana. Barcelona: Grijalbo. Andelfinger, B. (1996). Allgemeine Mathematik - Sanfter Mathematikunterricht - Allgemeine Mathematikdidaktik. Trends und Perspektiven in einem Wechselwirkungsfeld. Ulm. Apple, M. (1997). “Tomar en serio el poder: nuevas orientaciones en la equidad en la educación matemática y más allá”. En: Secada, W.; Fenema, E. y Adajian, L. Equidad y enseñanza de las matemáticas: nuevas tendencias. Madrid: Morata. Apple, M. (1979). Ideology and Curriculum. New York/Londres: Routledge y Kegan Paul. Apple, M. (1982). Education and Power. New York/Londres: Routledge y Kegan Paul. Apple, M. (1996). Política cultural y educación. Madrid: Morata. Araujo Freire, A. (2004) (ed.). La pedagogía de la liberación en Paulo Freire. Barcelona: Editorial Graó. Barton, B. (1999). Ethnomathematics and Philosophy. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. 3. Bauer, L. (1990). Mathematikunterricht und Reflexion. Mathematik Lehren. 38. Bauersfeld, H. (1988). ¿Quo Vadis? Zu den Perspektiven der Fachdidaktik. Mathematica didactica. 11. Bauersfeld, H. (1983). Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. Lernen und Lehren von Mathematik, Aulis, Köln. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Las venas abiertas de la matemática financiera Alí Ramón Rojas Olaya

Departamento de Matemática y Física Instituto Pedagógico de Caracas Universidad Pedagógica Experimental Libertador rojasolaya@yahoo.es ; olaya902@gmail.com

Si yo, por ejemplo, le sugiero a mis alumnos que hagan la siguiente actividad: ustedes tienen 10.000 dólares y los llevan al banco, donde obtendrán 3% por concepto de intereses, ¿cuánto tendrán dentro de seis meses? Algunos piensan que es solamente una actividad de cálculo, pero realmente esa tarea tiene que ver algo con política e ideología. Es una pregunta capitalista; en tal sentido, tú les suministras a tus alumnos la representación del valor capitalista. Yo le pregunto a ustedes: ¿dónde está la neutralidad de la Matemática? Freire, 1981

Resumen Este artículo recoge algunos aspectos de la didáctica crítica estudiados y abordados en el proyecto de investigación Didáctica Crítica de la matemática financiera, que dirige la profesora Dra. Rosa Becerra en el Instituto Pedagógico de Caracas. El epicentro temático de este artículo es la deuda histórica que Europa mantiene con Latinoamérica y el Caribe, calculada matemáticamente de forma continua y discreta, pero desde una perspectiva sociocrítica. Palabras clave: Multidisciplinariedad, educación matemática crítica, paradigma socio-crítico, capitalismo, socialismo, gran capital, valores, antivalores, casas de empeño.

Abstract This article summarizes some aspects of the critical didactics suggested and studied in the Critical Didactics of the Financial Mathematics research project, guided by Professor Dr. Rosa Becerra in the Pedagogic Institute of Caracas. The main topic of this article is the political debt Europe keeps with the Caribbean and the Latin-American countries. It is mathematically handled in a continuous and discrete way but from a socio-critical perspective. Keywords: Multidisciplinary, critical mathematics education, socio-critical paradigm, capitalism, socialism, great capital, values, anti-values, pawn shops.

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1. Introducción El capital privado tiende a concentrarse en pocas manos (…). El resultado de este proceso es una oligarquía del capital privado cuyo enorme poder no se puede controlar con eficacia incluso en una sociedad organizada políticamente de forma democrática. Esto es así porque los miembros de los cuerpos legislativos son seleccionados por los partidos políticos, financiados en gran parte o influidos de otra manera por los capitalistas privados quienes, para todos los propósitos prácticos, separan al electorado de la legislatura. La consecuencia es que los representantes del pueblo, de hecho no protegen suficientemente los intereses de los grupos no privilegiados de la población. Por otra parte, bajo las condiciones existentes, los capitalistas privados inevitablemente controlan, directa o indirectamente, las fuentes principales de información (prensa, radio, educación). Es así extremadamente difícil, y de hecho en la mayoría de los casos absolutamente imposible, para el ciudadano individual obtener conclusiones objetivas y hacer un uso inteligente de sus derechos políticos… La producción está orientada hacia el beneficio, no hacia el uso. (Albert Einstein, 1949)

La matemática financiera constituye un complejo universo de saberes matemáticos, contables y económicos que históricamente ha fortalecido las estructuras de dominación imperantes en la mayoría de los países del mundo. Su didáctica tradicional ha transitado realidades educativas poco eficientes y distorsionantes. Partiendo de estas premisas, este artículo propone el aprendizaje de la matemática financiera desde el paradigma sociocrítico, es decir, la didáctica crítica de la matemática financiera. Para ello, describimos un punto de vista sobre el papel protagónico que cumple y debería cumplir la matemática financiera y su didáctica en el desarrollo de profundos procesos de concienciación social, lo cual significa que no se debe descuidar los aspectos formativo y político de la matemática (Mellin-Olsen, 1987; Skovsmose, 1999; Freire, 1997 y Valero, 2007) para constituir elementos básicos de la didáctica crítica (Rodríguez Rojo, 1997; Klafki, 1986 y Schaller, 1986). El concepto “dinero” es utilizado en este artículo como idea generadora de aprendizaje. De su pedagogía y didáctica se tocan aristas sociológicas, políticas, químicas, matemáticas, financieras, históricas, literarias, geográficas, estadísticas, geopolíticas, étnicas e internacionalistas.

2. La moneda y el papel moneda En el régimen capitalista quien labra la tierra, maneja máquinas, construye edificios, mantiene transportes y comunicaciones, sabe que las obras de sus manos y de su inteligencia no son para él, sino para los propietarios del dinero y de los instrumentos de trabajo. En el sistema socialista, el que se dedica a cualquier labor sabe que su esfuerzo, al aumentar el patrimonio de la colectividad, aumenta el suyo. Bajo el capitalismo, la inmensa mayoría de los 74

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individuos son constructores de lo ajeno. En el socialismo son creadores de lo propio. (Quintero)

Ya desde la invención de la moneda, existe la matemática financiera. Las primeras monedas que se conoce se acuñaron en Lidia, la actual Turquía, en el siglo VII a.C. De acuerdo con Herodoto, el pueblo lidio fue el primero en introducir el uso de monedas de oro y plata en la economía y, el primero también en establecer tiendas de cambio en locales permanentes. Se cree que fueron los primeros en acuñar monedas estampadas, durante el reinado de Giges, en la segunda mitad del siglo VII a.C. Otros numismáticos remontan la acuñación al reinado de Ardis II. La primera moneda fue hecha de electro (aleación de oro y plata), con un peso de 4,76 gramos, para poder pagar al ejército de un modo regulado. El motivo del estampado era la cabeza de un león, símbolo de la realeza. El estándar lidio era de 14,1 gramos de electrón, que constituía la paga de un soldado por un mes de servicio; a esta medida se le llamó estátera. Fue necesaria una larga evolución en el uso del dinero para llegar a un momento en el que los estados empezaran a emitir billetes y monedas que daban derecho a su portador a intercambiarlos por oro o plata de las reservas del país. La evolución del respaldo del papel moneda es el siguiente: En los siglos XVIII y XIX, muchos países tenían un patrón bimetálico, basado en oro y plata. Entre 1870 y la Primera Guerra Mundial, fue adoptado principalmente el Patrón Oro, de forma que cualquier ciudadano podría transformar el papel moneda en una cantidad de oro equivalente. En el periodo entre guerras mundiales, se intentó volver al Patrón Oro, pero la situación económica y la crisis del 29 terminaron con la convertibilidad de los billetes en oro para particulares. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, los aliados establecieron un nuevo sistema financiero en los acuerdos de Breton Woods, en los cuales se establecía que todas las divisas serían convertibles en dólares estadounidenses y sólo el dólar estadounidense sería convertible en lingotes de oro, a razón de 35 dólares por onza para los gobiernos extranjeros. En 1971, las políticas fiscales expansivas de los Estados Unidos, determinadas fundamentalmente por el gasto bélico de Vietnam, provocaron una gran abundancia de dólares, lo cual generó dudas acerca de su convertibilidad en oro. Esto hizo que los bancos centrales europeos intentasen convertir sus reservas de dólares en oro, creando una situación insostenible para los Estados Unidos. Ante ello, en diciembre de 1971, el presidente de Estados Unidos, Richard Nixon, suspendió Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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unilateralmente la convertibilidad del dólar en oro y devaluó el dólar un 10%. En 1973, el dólar volvió a ser devaluado en otro 10%, hasta que, finalmente, ese año se termina con la convertibilidad del dólar en oro. Desde 1973 hasta nuestros días, el dinero que usamos tiene un valor que reside en la creencia subjetiva de que será aceptado por los demás habitantes de un país, o zona económica, en alguna forma de intercambio. Las autoridades monetarias y bancos centrales no pretenden defender ningún nivel particular de tipo de cambio, pero intervienen en los mercados de divisas para suavizar las fluctuaciones especulativas de corto plazo, con el objetivo de mantener la estabilidad de precios a corto plazo y evitar situaciones como la hiperinflación, que hace que el valor de ese dinero se destruya al desaparecer la confianza en el mismo, o la deflación. Recientemente, en Latinoamérica y el Caribe se implementó el Sucre, como una respuesta necesaria ante la crisis financiera mundial ya que, en la medida en que se vaya sustituyendo el uso del dólar, se irá fortaleciendo la independencia económica, monetaria y financiera de nuestros pueblos. En febrero de 2010 empezaron las transacciones usando este mecanismo. En la primera operación comercial con el Sucre, Venezuela exportó 360 toneladas de arroz a Cuba. Durante las primeras semanas del año 2010, los países que integran la Alianza Bolivariana para los Pueblos de Nuestra América (ALBA) concretaron las discusiones para la puesta en marcha del Sistema Único de Compensación Regional de Pagos (Sucre). El mecanismo tiene el mismo nombre de la antigua moneda ecuatoriana, sustituida por el dólar estadounidense a finales de los años noventa. Además, hace referencia al libertador Antonio José de Sucre, quién tuvo una destacada participación en las guerras independentistas contra el imperio español. El Sucre es una unidad monetaria para el comercio entre los miembros del bloque, y no una moneda como tal. No circulará y solamente será utilizado por los bancos centrales como forma de contabilizar el intercambio comercial. Su valor fue definido en 1,25 dólares estadounidenses, aunque podría haber sido definido en 7,42 dólares. En otras palabras, el dólar estadounidense sigue siendo la referencia. Quizá, con el tiempo, sea posible ir sustituyendo el papel de la moneda estadounidense por una canasta de monedas o determinados bienes de referencia, como el petróleo, por ejemplo. Lo importante es que el Sucre tendrá la función de registrar y compensar el intercambio comercial entre los países, sirviendo como alternativa a la utilización del dólar.

también participará activamente en ese proceso. Antigua y Barbuda, Dominica, Honduras y San Vicente y Granadinas todavía realizan gestiones para ingresar en el sistema.

2. ¿Qué es la matemática financiera? El capitalismo ha dejado de coincidir con el progreso… En el período de la libre concurrencia, el aporte de la ciencia hallaba enérgico estímulo en las necesidades de la economía capitalista. El inventor, el creador científico, concurrían al adelanto industrial y económico, y la industria excitaba el proceso científico. El régimen del monopolio tiene distinto efecto. La industria, las finanzas, comienzan a ver un peligro en los descubrimientos científicos. El progreso de la ciencia se convierte en un factor de inestabilidad industrial. Para defenderse de este riesgo, un trust puede tener interés en sofocar o secuestrar un descubrimiento. (José Carlos Mariátegui, 1976)

La Matemática, como sistema de conocimientos organizados en continua expansión, es aplicada en casi todas las disciplinas del saber y en particular en las Ciencias Fiscales (Mehl, 1964). Permite modelar la realidad y utilizar el sentido lógico para arribar a generalizaciones, a través de la simbolización. En consecuencia, la asignatura Matemática Financiera está orientada a estimular el desarrollo de destrezas y habilidades cognoscitivas que, en una fase posterior, se traducen en capacidades analíticas y críticas. Desde el punto de vista matemático, la base de la matemática financiera es explorar el cambio que se genera en uno o varios capitales a través del tiempo. La matemática financiera, como su nombre lo indica, es la aplicación de la Matemática a las finanzas, centrándola en el estudio del valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. La matemática financiera se relaciona con la contabilidad, ya que se apoya en información razonada generada por los registros contables; es también una herramienta auxiliar de la ciencia política, ya que es utilizada en el estudio y resolución de problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, lo que auxilia a esta disciplina en la toma de decisiones de inversión, presupuesto y ajustes económicos. La matemática financiera tiene una aplicación eminentemente práctica, su estudio está íntimamente ligado a la solución de problemas de la vida cotidiana en el área de negocios.

Con miras a implementar este sistema en el marco del ALBA, los gobiernos de Bolivia, Cuba, Ecuador, Nicaragua y Venezuela han creado un Consejo Monetario Regional, que administrará tres estructuras: la moneda virtual Sucre, la Cámara de Compensación de Pagos entre los bancos centrales y un Fondo de Reservas y Convergencia Comercial. Además de los bancos centrales, el Banco del ALBA

La importancia de la matemática financiera radica en la teoría del valor trabajo, desarrollada por Ricardo (1959), quien afirmaba que los precios eran consecuencia de la cantidad de trabajo que se necesitaba para producir un bien. Marx (1976) se sirve esta teoría y otras dos fuentes, la dialéctica hegeliana y la exposición de la revolución industrial, para realizar una genial síntesis de la teoría del valor, es decir, la transformación de la mercancía en dinero. El trabajo es la fuente de creación de valor,

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dicho por Ricardo (1959) y retomado por Marx (1976). Según esta teoría, el valor sólo existe objetivamente en forma de dinero.

3. ¿Qué es la didáctica crítica? Las trasnacionales son propietarias de todo. El gran capital se traga el mundo. En tiempos de globalización, cuando el poder financiero se une a la tecnología informática, el planeta entero es la comida de unos pocos propietarios insaciables. Su ambición es un inmenso estómago que todo lo digiere. Todo es triturado por sus gigantescas mandíbulas. El planeta es el vertedero donde bota sus desechos. A todas partes llegan sus toxinas. La humanidad vive en un basurero producido por la codicia de los grandes ricos. Los pobres recogen los desperdicios. (José Gregorio Linares, 2010)

La Didáctica Crítica es considerada la ciencia que permitiría redefinir importantes aspectos de la actividad pedagógica relacionada con el aprendizaje de la matemática financiera. La didáctica crítica, según la entiende Klafki (1986), es la ciencia de la praxis para la praxis, comparte con la pedagogía la responsabilidad de nuestra generación y la futura de apoyar determinados procesos de aprendizaje. Los objetos de estudio de la didáctica crítica propuesta por Klafki (1986) son dos: en primer lugar, descubrir las manifestaciones y razones de los obstáculos con que se encuentra la enseñanza y el aprendizaje respecto al desarrollo de las capacidades de autodeterminación, autonomía colectiva1 y solidaridad de y entre las alumnas y alumnos; y en segundo lugar, descubrir la posibilidad de determinar, proyectar, realizar y experimentar esos procesos de enseñanza y aprendizaje. Para Rodríguez Rojo, la relación entre teoría y práctica de la didáctica crítica no se reduce a ilustrar la conciencia de lo práctico sobre los límites de la acción pedagógica, sino que incluye preconceptos de la teoría, modelos y concepciones de una praxis educativa diferente, de una escuela y de una enseñanza más humanas y democráticas, así como de formas de cooperación entre la praxis y la teoría. Este educador español define la didáctica crítica de la siguiente manera: “Se entiende por Didáctica Crítica la ciencia teórico-práctica que orienta la acción formativa, en un contexto de enseñanza-aprendizaje, mediante procesos tendencialmente simétricos de comunicación social, desde el horizonte de una racionalidad emancipadora" (1997: 140). Para Schaller (1986), la didáctica crítica es el concepto de la práctica frente a la teoría clásica de la educación. Para Carr y Kemmis (1988), una didáctica crítica se consigue ubicando el uso de la investigación-acción en el corazón de la enseñanza, 1 La expresión autonomía colectiva aparece en Mora (2005: 49). Rodríguez Rojo (1997) la sustituye por el término co-determinación.

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esto es, atribuirle a la educación, para que sea crítica, cinco características: 1) visión dialéctica de la realidad, 2) desarrollo sistémico de las categorías interpretativas de los enseñantes, 3) utilización de la crítica ideológica para superar las interpretaciones distorsionadas, 4) identificación de las situaciones sociopolíticas que impiden conseguir los fines racionales de la enseñanza educativa, construyendo teorías que ayuden a superar esas situaciones, y 5) creación de comunidades autorreflexivas, que garanticen la unión de la teoría con la práctica. El autor del presente artículo comparte esa idea de educación con visión dialéctica, con categorías interpretativas de las y los estudiantes relacionadas sistémicamente, con una crítica ideológica para superar distorsiones, con capacidad para identificar situaciones sociopolíticas que obstaculicen la enseñanza y con creación de comunidades autorreflexivas sobre la unión entre la teoría construida y la práctica, esos cinco pasos que constituyen la esencia de la investigación-acción y que han sido asumidos también como base de este trabajo.

4. Carácter multidisciplinario de la matemática financiera Las consecuencias políticas y sociales de esta globalización son una figura de oxímoron reiterada y compleja: menos personas con más riquezas, producidas con la explotación de más personas con menos riquezas, la pobreza de nuestro siglo es incomparable con ninguna otra. No es, como lo fuera alguna vez, el resultado natural de la escasez, sino de un conjunto de prioridades impuestas por los ricos al resto del mundo. Para unos cuantos poderosos el planeta se abrió de par en par, para millones de personas el mundo no tiene lugar y vagan errantes de uno a otro lado. (Subcomandante Marcos, 2000)

Dado el carácter multidisciplinario de la matemática financiera, la didáctica crítica de esa asignatura es una actividad compleja, pues, estando relacionada con diversas ciencias sociales como la contabilidad, el derecho, la economía, la ciencia política, la sociología y las finanzas, y apoyada en la ingeniería y en la informática, debe asumir también los cinco pasos propuestos por Carr y Kemmis (1988). Como apuntamos antes, la matemática financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica, la matemática financiera se relaciona multidisciplinariamente con varias disciplinas, por ejemplo: • Con la contabilidad, por cuanto ésta le suministra, en momentos precisos o determinados, información razonada en base a registros técnicos de las operaciones realizadas por un ente privado o público que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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• Con el derecho, porque las leyes regulan las ventas, instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, propiedad de los bienes, forma en que se pueden adquirir, contratos de compra venta, hipotecas y préstamos con intereses. • Con la economía, en tanto que brinda a ésta la posibilidad de determinar los mercados en los que un negocio o empresa podría obtener mayores beneficios económicos. • Con la ciencia política, ya que a ésta, que estudia y resuelve problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos del Estado, la matemática financiera le brinda auxilio en la toma de decisiones en cuanto a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población. • Con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. • Con la informática, que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones. • Con la sociología, ya que la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a aquélla las herramientas necesarias para que las empresas produzcan mayores beneficios económicos, que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad. • Con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos de valores, bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de la matemática financiera. Por todo ello, esta disciplina es eminentemente práctica y su estudio está íntimamente ligado a la resolución de problemas. 5. Educación matemática crítica El gran capital, en su fase de máxima concentración, ya no tolera, como en los comienzos de su desarrollo, la existencia de formas de gobierno democráticos; exige, por el contrario, novedosas modalidades de gobiernos “fuertes” que, amparados en la supuesta defensa de los intereses de la nación y la ciudadanía, promueven políticas de Estado de corte fascista donde reina el “pensamiento único” y la obediencia absoluta al poder. Así, la concentración de la propiedad de los medios de producción en muy pocas manos demanda la concentración del poder político y cultural en una élite intolerante y violenta. (José Gregorio Linares, 2010) 80

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La matemática y, en particular la matemática financiera, tienen un papel protagónico en la comprensión de los procesos históricos. Su didáctica debe estar acorde con el desarrollo de procesos profundos de concienciación social, lo cual significa no descuidar los aspectos formativo y político de la matemática, bandera de la Educación Matemática Crítica (EMC). En el siguiente párrafo, el historiador José Gregorio Linares (2010) aborda el problema de que la gran propiedad, la acumulación de capital y la maximización de las ganancias son temas históricos y geopolíticos, pero también matemáticos. Un reducido número de familias criollas o transnacionales es dueño de la gran propiedad privada. Éste grupo se opone a todas las otras formas de propiedad. Es contrario a todo aquello que va en desmedro de la acumulación de su capital y de la maximización de sus ganancias. En ese sentido, los grandes propietarios son enemigos de la mayoría de la población, de los desheredados. No quieren que haya otros propietarios. Pretenden el acaparamiento de la propiedad. Sólo desean que existan trabajadores a su servicio, sometidos a su explotación, con derecho simbólico, pero sin posibilidad real, de poseer medios de producción propios. Hombres y mujeres que produzcan plusvalía, a quienes el fruto de su trabajo les es ajeno. El gran capital es enemigo de la pequeña y mediana propiedad privada, de la propiedad estatal y, especialmente, de la propiedad social. Auspicia los trusts y los monopolios. A través de sus ideólogos, escamotea la expropiación de que han sido víctima los desheredados.

Y decimos que el tema acá tratado es matemático, porque “la Educación Matemática es un campo de estudio de los procesos sociales, históricamente situados, a través de los cuales seres humanos concretos se involucran en la creación y recreación de diversos tipos de conocimiento y razonamiento asociado con la Matemática” (Valero, 2007: 2). Esta importante educadora colombiana hace cinco justificaciones de esta perspectiva, a saber: a) La Matemática no es un conocimiento neutral, sino que es un conocimiento o poder del cual las personas hacen uso en diversas situaciones de la vida social para promover una visión determinada del mundo. b) La Matemática no es un conocimiento único, sino que existe una diversidad de conocimientos matemáticos asociados a diversas prácticas sociales y culturales2. c) Las prácticas de la educación matemática no se pueden definir exclusivamente en términos de procesos de pensamiento individual. Los problemas no están solamente en la “cabeza” de los individuos, sino en la 2 Postulado de la Etnomatemática.

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manera cómo colectivamente y a través de la historia se construyen ideas sobre lo que es válido y legítimo como acción y como pensamiento. De esta manera, los problemas se encuentran tanto en el nivel de la acción individual como en el nivel de la acción colectiva de grupos de personas y de sistemas sociales. d) La investigación de esas prácticas requiere un examen minucioso del poder en relación con las prácticas de la educación matemática. e) La investigación de esas prácticas requiere la indagación de los actores involucrados en la creación y recreación de los diversos conocimientos matemáticos, en una diversidad de contextos, no sólo en el aula. En este inicio del siglo XXI, cuando la ciencia, la tecnología y la matemática juegan un papel esencial en la construcción de la realidad social y material, la educación matemática, para Skovsmose (1999), requiere de especial atención porque no trata sólo de buscar cómo hacer una educación matemática para todas y todos, sino también, de manera particular, de pensar cómo ofrecer una educación matemática que permita a las ciudadanas y ciudadanos ser parte activa de una sociedad democrática. Según este autor, la participación democrática depende de la competencia de las ciudadanas y ciudadanos para juzgar y criticar, con base en modelos tecnológicos y matemáticos, las acciones y decisiones de quienes gobiernan. Esta competencia, según Skovsmose (1999), motiva y justifica pensar la educación matemática como en un área de la educación que tiene una importancia enorme y crucial en la sociedad actual: la educación matemática puede ofrecer herramientas indispensables para ejercer una ciudadanía crítica. Hay matemática políticamente comprometida en el discurso del ecólogo brasileño Leonardo Boff, pronunciado el 22 de abril de 2008 ante la Asamblea General de la ONU: El PNUD [Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo] del año pasado lo confirma: el 2% de los más ricos absorbe el 82,4% de las riquezas mundiales, mientras que el 20% de los más pobres tiene que contentarse solamente con el 1,6%. Es decir, una ínfima minoría monopoliza el consumo y controla los procesos económicos que implican devastación de la naturaleza y gran injusticia social.

Hay matemática políticamente comprometida en las palabras del periodista y escritor uruguayo Eduardo Galeano, cuando dice: Nunca ha sido menos democrática la economía mundial como ahora, nunca ha sido el mundo tan escandalosamente injusto como en la actualidad. En 1960, el 20% de la humanidad, el más rico, tenía treinta veces más que el 20% 82

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más pobre. En 1990, la diferencia era de sesenta veces. Desde entonces se ha seguido abriendo la tijera: en el año 2000, la diferencia era de noventa veces (…). Y sigue la brecha. Diez personas, los diez opulentos más opulentos del planeta, tienen una riqueza equivalente al valor de la producción total de 50 países, y 447 multimillonarios suman una fortuna mayor que el ingreso anual de la mitad de la humanidad (…). Las diez mayores multinacionales amasan actualmente un ingreso mayor que el de cien países juntos. América Latina es la región más injusta del mundo. Ejemplos: un sólo mexicano posee una riqueza equivalente a la que suman 17 millones de mexicanos pobres. Brasil fue bautizado por expertos como Belindia…, una minoría consume como los ricos de Bélgica, mientras la mayoría vive como los pobres de la India. (1998: 28-37)

Según este autor suramericano, “la economía mundial es la más eficiente expresión del crimen organizado”. Nos dice, en toda una cátedra de matemática financiera: Los organismos internacionales que controlan la moneda, el comercio y el crédito, practican el terrorismo contra los países pobres, y contra los pobres de todos los países, con una frialdad profesional y una impunidad que humillan al mejor de los tirabombas... Los pistoleros que se alquilan para matar realizan, en plan minorista, la misma tarea que cumplen, en gran escala, los generales condecorados por crímenes que se elevan a la categoría de glorias militares... Los violadores que más ferozmente violan la naturaleza y los derechos humanos, jamás van presos. Ellos tienen las llaves de las cárceles. En el mundo tal cual es, mundo al revés, los países que custodian la paz universal son los que más armas fabrican y los que más armas venden a los demás países; los bancos más prestigiosos son los que más narcodólares lavan y los que más dinero robado guardan; las industrias más exitosas son las que más envenenan el planeta; y la salvación del medio ambiente es el más brillante negocio de las empresas que lo aniquilan. Son dignos de impunidad y felicitación quienes matan la mayor cantidad de gente en el menor tiempo, quienes ganan la mayor cantidad de dinero con el menor trabajo y quienes exterminan la mayor cantidad de naturaleza al menor costo. (: 123)

Sobre la distribución del ingreso en Latinoamérica y el Caribe, Eduardo Galeano (1998) afirma: La miseria masiva es el precio que los países pobres pagan para que el seis por ciento de la población mundial pueda consumir impunemente la mitad de la riqueza que el mundo entero genera. Es mucho mayor la distancia, el abismo que en América Latina se abre entre el bienestar de pocos y la desgracia de muchos.

Su punto de vista coincide con los datos recopilados por el educador venezolano Humberto González: Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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El 5% de la población de América Latina es dueña del 25% del ingreso nacional. Del otro lado, el 30% de la población sólo tiene un 7,5% del ingreso nacional. Es la mayor brecha del planeta. Superior aún a la de África, 23,9% vs 10,3%, y muchísimo mayor a la de los países desarrollados, 13% vs 12,8%. Para medir desigualdad se usa con frecuencia el llamado Coeficiente de Gini. Cuánto más se acerca a 1, peor es. El de los países más equitativos del mundo, como los nórdicos, está entre 0,20 y 0,25, el de los países desarrollados en 0,30, el promedio mundial, considerado muy malo, en 0,40, el de América Latina es 0,57, el peor del orbe. (2010: 13; citado en Kliksberg, 2002: 28)

En todas estas citas, la matemática no es un mero lugar cerebral donde fluyen abstracciones. Para Mora (2005: 148), la Educación Matemática Crítica “busca un equilibrio entre la matemática, su humanización y su realización exitosa a través de procesos de aprendizaje y enseñanza dialécticos”. Y más que pretender orientar el trabajo que viene realizando la EMC hacia la elaboración de un repertorio de técnicas para alcanzar un supuesto éxito en la comprensión de contenidos matemáticos... la idea se inclina por la construcción de un modelo conceptual, teóricopráctico, para la Educación Matemática desde una concepción crítica y liberadora de la educación, la cual necesariamente tiene que estar vinculada con las condiciones reales y las experiencias concretas de quienes interactúan permanentemente con las prácticas educativas concretas (: 148).

Becerra (2005: 199), por su parte, llega a importantes momentos conclusivos: 1) en la EMC el aprendizaje no puede basarse en la manipulación de los medios para alcanzar los objetivos de la enseñanza, sino que se trata de la incentivación de un razonamiento complejo y productivo realizado a través de una autorreflexión permanente en acción; 2) es imprescindible potenciar la racionalidad comunicativa y dialógica en el aula, para estimular el pensamiento crítico; 3) es indispensable revisar y analizar los valores que son enseñados en el aula.

El libertador Simón Bolívar A pesar de su origen “mantuano”, Simón Bolívar fue superando los estrechos intereses de su clase, la cual defendía la gran propiedad territorial y los privilegios que de ella se desprenden, como por ejemplo la esclavitud, la servidumbre de los indígenas y los prejuicios antipopulares propios de los “ricos”. En una carta que escribe a los veinte años y envía al padre de Fanny du Villars, ya se quejaba: Hoy no soy más que un rico, lo superfluo de la sociedad, el dorado de un libro, el brillante del puño de la espada de Bonaparte, la toga del orador. No soy bueno más que para dar fiestas a los hombres que valen alguna cosa. Es una condición bien triste. (Pereira, s/f: 34)

Su mentalidad no se corresponde a la del “mantuanaje”, del cual se deslinda al calor de la lucha emancipadora. Por eso, según José Gregorio Linares (2010): ... la clase social a la cual pertenece no le perdona. Mientras dura la lucha por la independencia le apoya, siempre y cuando no afecte sus intereses económicos. En virtud de que la principal fuerza de trabajo en sus latifundios era la mano de obra esclava, los mantuanos se opusieron a los proyectos abolicionistas de Bolívar. Porque necesitaban a los indios en calidad de siervos se opusieron a sus decretos de reparto de tierras y de nuevas condiciones de trabajo para ellos. Querían el poder político pero sin afectar las relaciones de producción predominantes. Anhelaban la independencia de España, mas no deseaban alterar los beneficios que le aportaban sus grandes propiedades.

En palabras del periodista, ensayista, político, etnohistoriador y docente Miguel Acosta Saignes: Pidieron incesantemente el libre comercio, el gobierno propio, la autodeterminación nacional. No deseaban la modificación del sistema latifundista, pero enarbolaron para 1811 el principio liberal de los gobiernos federales, porque era más semejante a la influencias regionales de sobresaliente importancia para los grandes propietarios de haciendas, cada una de las cuales era un pequeño dominio, con derecho a escoger sus vías de exportación y sus preferencias para el intercambio pues algunos eran importadores, otros exportadores, tenían influencias en distintas regiones geográficas, apoyaron mucho los gobiernos federales y nunca pensaron naturalmente en la abolición de la esclavitud. (2002: 113)

Y es precisamente incentivación de un razonamiento complejo y productivo, realizado a través de una autorreflexión permanente en acción, estudiar, por ejemplo, el pensamiento anticapitalista en Simón Bolívar, Simón Rodríguez, Antonio José de Sucre y Ezequiel Zamora, personajes que la didáctica tradicional honra sólo como figuras muertas, inmortalizadas en estatuas. Según José Gregorio Linares (2010), no se puede ensalzar a ninguno de estos protagonistas de la historia de Latinoamérica y el Caribe “sin destacar sus puntos de vista y sus medidas contra los grandes propietarios, sus luchas por la redistribución de la gran propiedad y su pasión por la justicia social”. Leer a estos visionarios significa potenciar la racionalidad comunicativa y dialógica en el aula para estimular el pensamiento crítico a través de la historia “que nunca nos contaron”, revisando y analizando los valores de cuatro de las figuras más importantes de la historia patria y esa su visión en contra de la gran propiedad.

Una vez concluida la independencia, al viejo “mantuanaje” se le unió una nueva “aristocracia de la lanza”, tan ambiciosa de propiedad, de esclavos y de siervos indígenas como la antigua, con la que se integró hasta hacer un solo bloque cuya única ambición era, según Linares (2010), explotar a los negros y a los indios, acumular riquezas y mantenerse en el poder para, desde allí, seguir acrecentando su fortuna a través de los nuevos caminos que se le abrían, entre ellos el peculado, las

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comisiones, los negocios con el gobierno, la banca, el comercio internacional y los lazos de familia. Este historiador venezolano nos dice: No se crea que, como nos lo quiere hacer ver cierta historiografía de ojos vendados, la oposición a Bolívar por parte de Páez y Santander, por ejemplo, tiene carácter personal. Por supuesto que en todo hecho humano el elemento individual tiene alguna importancia en los conflictos, pero la razón profunda de la contradicción es de clase: una oligarquía integrada por antiguos y nuevos grandes propietarios enfrentada a un sector encabezado por Bolívar, quien había superado sus estrechos intereses de clase y ya comenzaba a defender los intereses de un pueblo que se había sacrificado en las batallas y que, una vez finalizada la contienda militar, seguía tan pobre y tan despreciado como antes.

Por eso Bolívar, en opinión de Linares, fue vilipendiado, traicionado y condenado al exilio. Por eso sus planes fueron boicoteados y sus bienes confiscados. Por esa razón se le intentó matar en varias oportunidades. Al Libertador, según Acosta Saignes: ... su clase social lo perseguía, como si hubiese sido un animal dañino. Sólo porque no se había plegado a las ambiciones de los antiguos y nuevos gobernantes, porque había querido constantemente la libertad de los esclavos, la redención de los indígenas, la economía organizada racionalmente. (2002:101)

Las propuestas de Bolívar, explica el autor, socavaban el poder de la oligarquía, minaban las relaciones de producción sobre las que se fundaba la gran propiedad, le quitaban sus prerrogativas sobre la fuerza de trabajo esclava e indígena, atentaban contra la gran propiedad territorial. Según este autor: ... Bolívar decretó en junio de 1816 al regresar de Haití: “La libertad absoluta de los esclavos que han gemido bajo el yugo español en los tres siglos pasados”, su única condición era que se enrolaran en el ejército patriota y junto con sus hermanos lucharan por la independencia. Luego, en julio del mismo año ratifica: “La naturaleza, la justicia y la política piden la emancipación de los esclavos”. En el Congreso de Angostura en 1819 dijo a los legisladores: “Yo imploro la confirmación de la libertad absoluta de los esclavos, como imploraría mi vida y la vida de la República”. En julio de 1821 formula la siguiente petición al Congreso de Cúcuta: “El Congreso General (…) puede decretar la libertad absoluta de todos los [esclavos] colombianos al acto de nacer en el territorio de la República (…). Sírvase V. E. elevar esta solicitud de mi parte al Congreso de Colombia, para que se digne concedérmela en recompensa de la batalla de Carabobo, ganada por el Ejército Libertador, cuya sangre ha corrido solo por la libertad”.

He conservado intacta la ley de las leyes, la igualdad (…). A sus pies he puesto, cubierta de humillación, a la infame esclavitud. Legisladores: la infracción de todas las leyes es la esclavitud. La ley que la conservara sería la más sacrílega. ¿Qué derecho se alegaría para su conservación? Mírese este delito por todos los aspectos y no me persuado que haya un solo boliviano tan depravado que pretenda legitimar la insigne violación de la dignidad humana. ¡Un hombre poseído por otro! ¡Un hombre propiedad! (…). ¡Dios ha destinado al hombre a la libertad!”.

Cada medida que tomaba Bolívar en materia social, según Linares (2010), era recibida con recelo y antipatía. Ni siquiera las conveniencias políticas del momento los hacían renunciar a sus intereses de clase. De inmediato echaban mano de toda su sabiduría legal para desnaturalizar cualquier medida popular, o todo el poder de la malicie y la burocracia para entorpecerla. Los grandes propietarios -herederos de los conquistadores que les arrebataron sus tierras a los indígenas- y los nuevos dueños -usurpadores de los derechos de los soldados de la independencia y de los pequeños propietarios- constituyeron una sólida oligarquía, propietaria de los latifundios y de la mano de obra esclava que constituía la fuerza de trabajo que producía la riqueza. De allí que cualquier decisión que tomara el Libertador con respecto a los esclavos, afectaría a la gran propiedad y, en consecuencia, sería rechazada y combatida por los terratenientes y los políticos que les servían. Otro tanto puede decirse de los decretos que promulgó Bolívar contra la servidumbre de los indígenas y a favor de repartirles tierras. También esto fue mal visto por los oligarcas. Los indios eran su propiedad, aunque no hubiese títulos que así lo acreditaran. Pero a quién le importaban los papeles, total, esos indios no sabían leer ni escribir. Simón Rodríguez, el Robinson de América Simón Rodríguez, en un alegato contra los grandes propietarios, decía: “el país no es, ni será jamás, propiedad de una persona, de una familia, ni de una jerarquía, ante familias y jerarquías que se creen dueñas no sólo del suelo sino de sus habitantes”. Y agregaba: “no es país libre el que teme la igualdad de derechos, ni próspero el que cuenta millones de miserables. No hay libertad donde hay amos, ni prosperidad donde la casualidad dispone de la suerte social”.

Luego, en el mensaje introductorio del proyecto de Constitución de la República de Bolivia, señaló:

El insigne maestro de Bolívar explica que “En Toda Ocupación… En Toda Empresa, ha de regir la idea de la Sociabilidad”. Y es que para nuestro Robinson, la propiedad debía tener un fin social y estar sometida al control de las autoridades. Se oponía a las grandes empresas que, aprovechándose de la libre competencia, acababan con sus pequeños y medianos competidores. Fue un adelantado en contra de los monopolios. Enfatizaba: “Nadie tiene derecho para arruinar la industria

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ajena por establecer la suya”. Asimismo, denunciaba las perversiones del modo de producción y distribución predominante, que propiciaba el atraso de nuestras naciones, afirmando: “En el sistema antieconómico (…) de concurrencia o de oposición, el productor es la víctima del consumidor, y ambos lo vienen a ser del capitalista especulador”. A los que ya entonces sacralizaban el derecho a la propiedad, les recriminaba su deseo de: ... convertir la usurpación en posesión natural o civil; la posesión, en propiedad y, de cualquier modo, gozar con perjuicio de tercero, sea quien fuere el tercero, a título de legitimidad (y la legitimidad es un abuso tolerado) todo en virtud de enredos evasivos, dilatorios y otros, de juicios posesorios, petitorios, y otros.

Simón Rodríguez critica la codicia de los propietarios que olvidan la justicia social, “la práctica de las naciones cultas, que amparan en la actual posesión y protegen la propiedad de cosas mal adquiridas, mal transmitidas y mal empleadas, por leyes que atienden más al por conviene que al porque es justo”. Pero no sólo se enfrenta a los oligarcas, sino que propone alternativas para sustituir la propiedad privada de los medios de producción por la propiedad social de los mismos. Decía: Si los americanos quieren que la revolución política… les traiga verdaderos bienes, hagan una revolución económica… Venzan la repugnancia a asociarse para emprender y el temor de aconsejarse para proceder. Formen sociedades económicas que establezcan escuelas de agricultura y maestranzas… Designen el número de aprendices, para que los maestros no hagan de sus discípulos sirvientes domésticos. No consientan que el comercio asalarie por su cuenta a los obreros, para reducirlos a la condición de esclavos.

Insistía -y esto es sumamente importante como medida para romper la espina dorsal de la gran propiedad territorial, mediante la redistribución de la tierra- en que “la intención no era (como se pensó) llenar al país de artesanos rivales o miserables, sino instruir, y acostumbrar al trabajo, para hacer hombres útiles, asignarles tierras y auxiliarlos en su establecimiento”. Simón Rodríguez alude expresamente a los medios de producción y, de forma didáctica, nos explica que la no posesión de éstos por parte de los pueblos es la “causa del desorden social”, de las rebeliones. El principio es éste: Las necesidades piden satisfacciones.

Porque en todas partes es la causa del desorden social.

El maestro insiste en que la propiedad no es asunto exclusivo de propietarios y comerciantes, sino que debe estar al servicio social y, por consiguiente, el Estado debe establecer controles en defensa de los ciudadanos y el bien común. La noción de propiedad no puede estar al margen de la ética. Todos los que compran y venden son comerciantes, pero los gobiernos deben considerar el comercio de otro modo que el mercader. El mercader observa las necesidades y, para satisfacerlas, calcula sus ganancias. El gobierno considera las conveniencias económicas, morales y políticas del comercio, para no exponer los intereses del productor, del consumidor y del propagador mismo. Paralelamente a su propuesta de “socialización” de la economía, desarrolló visionariamente sus puntos de vista contra la alienación. Decía: “La división de trabajos, en la confección de las obras, embrutece a los obreros. Si por tener tijeras superfinas y baratas hemos de reducir al estado de máquinas a quienes las hacen, más valdría cortarnos las uñas con los dientes”. Simón Rodríguez cuestiona a la gran propiedad, la cual, desde las naciones imperiales, avasalla a las naciones pobres, perjudica su economía y le hace daño a la población. No se come el cuento de que las metrópolis realizan una misión “civilizatoria”: No sé lo que entienda por civilización el que habla de pueblos civilizados, tal vez creerá que deban reputarse por tales, porque son cultos, ilustrados o sabios. Tal vez tomará por prosperidad la preponderancia que adquieren algunas naciones en MASA a costa de la conveniencia individual.

Simón rodríguez fue un profundo crítico de las depravaciones de la propiedad privada, de los males inherentes a la “gran propiedad”. Vislumbró el camino a seguir para superar el sistema económico basado en la explotación. Nos enseñó que la alternativa era eso que él, en aquella época, llamaba “socialización” y que hoy nosotros llamamos “socialismo”, donde: “debemos emplear medios tan nuevos como es nueva la idea de ver por el bien de todos, donde la misión del gobierno sea cuidar de todos, sin excepción para que… cuiden de sí mismos después, y cuiden de su gobierno”. ¡Excelente definición de socialismo! Antonio José de Sucre, el Abel de América

Las satisfacciones piden cosas que satisfagan. Y las cosas que han de satisfacer piden medios de adquirirlas. 88

La adquisición de estos medios es otra necesidad, cuya satisfacción debe consultarse ¡MUCHO!

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Antonio José de Sucre, siendo Presidente de Bolivia, se opuso al acaparamiento de minas por parte de los monopolios. Expresó: “Yo creo que tanto para la felicidad Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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de las rentas, como para el provecho del país y la seguridad del gobierno, sería conveniente prohibir la venta de todas las minas a una sola compañía (Carta al secretario general del Libertador, fechada el 10 de Noviembre de 1825, Sucre). También prohibió la usurpación de tierras indígenas y se planteó el rescate de la propiedad comunal y el reparto de tierras entre las comunidades originarias. “Los pueblos indios prefieren ser gobernados por el sistema anterior al de la constitución española y por lo tanto mandan que V.S. comunique las órdenes necesarias para que se restablezca aquel sistema, puesto que ellos lo desean” (12 de octubre de 1820). Ordenó: Que los gobernadores de los cantones… formen un cómputo de las tierras de comunidad repartible a los naturales, para saber si después de dada a cada uno la cantidad de tierras que determinen los artículos 5, 6, 7 y 8, quedan algunas sobrantes y cuántas son, para que el gobierno determine sobre ellas, bien haciendo alguna repartición o bien aplicándolas a establecimientos en beneficio de los mismos pueblos. (Circular a los presidentes de los departamentos, 26 de noviembre de 1825)

En virtud del enorme poder de la Iglesia -dueña de latifundios y de esclavos, aunado esto a la prerrogativa de someter a los indios a condiciones de servidumbre con sus correspondientes abusos- el Mariscal dispone una serie de medidas, entre ellas la prohibición de obligar a los indígenas a pagar las fiestas religiosas. No puede Ud. pensar las infamias que hacían los curas para exigir a los indios el pago de estas fiestas; llegaba el caso de que cuando un pobre no podía pagar los cincuenta o cien pesos de su fiesta, le quitaban una hija, la más bonita, para venderla al uso del primero que pagara… Estoy convencido de que [a los curas] no les satisface sino dejarles sus inmunidades, las riquezas todas del país, y aun creo que sería preciso entregarles el Gobierno mismo para que fueran bien contentos.

La propiedad es un robo cuando no es consecuencia del trabajo. No es lo mismo la propiedad del Marqués de Pumar que las propiedades de los vegueros de El Totumal; en una tiene que haber robo, porque cómo consiguieron estas tierras los señores del Pumar y como las consiguieron nuestros amigos compañeros, los vegueros de El Totumal; es una cosa que tenemos que averiguar… La tierra no es de nadie, es de todos en uso y costumbres, y además, antes de la llegada de los españoles (los abuelos de los godos de hoy) la tierra era común, como lo es el aire, el agua y el sol… La propiedad del pueblo se respeta, es sagrada, lo que debe secuestrarse son los bienes de los ricos porque con ellos hacen la guerra al pueblo… Venezuela no será patrimonio de ninguna familia ni persona… Luchamos para proporcionar una situación feliz a los pobres… Los pobres nada tienen que temer, no tienen nada que perder, que tiemblen los oligarcas, no habrá ricos ni pobres, la tierra es libre, es de todos. No habrá pobres ni ricos, ni esclavos ni dueños, ni poderosos ni desdeñados, sino hermanos que sin descender la frente se traten bis a bis, de quien a quien… Todo con el propósito de infundir a la tropa amor al pueblo y odio a los ricos, aunque fueran liberales. (Citado en Britto García, 2008: 36)

Recogió el descontento de los campesinos, a quienes la oligarquía les había arrebatado las tierras. Partiendo de la premisa de que “los explotados forman parte de una sola familia”, enarbola la consigna “Tierra y Hombres Libres”, y lanzó el grito que aún hoy infunde miedo a los enemigos de la igualdad social: “Oligarcas, temblad, ¡viva la libertad!”. Entre las medidas de orden práctico que impulsó Ezequiel Zamora, encontramos las siguientes: 1. Prohibición del pago de rentas por el cultivo de la tierra, con lo cual, en los hechos, le estaba cediendo la propiedad de la tierra a los jornaleros y limitando el derecho a la propiedad a los latifundistas, quienes le demandan y combaten por atentar contra sus intereses.

Ezequiel Zamora, General del Pueblo Soberano

2. Confiscación de las tierras de los latifundistas para distribuirlas entre los campesinos, medida dirigida no sólo contra los terratenientes del partido enemigo, sino contra todos los “terrófagos”, fuesen del bando que fuesen. Unas pocas familias, descendientes de la antigua oligarquía criolla, y unos cuantos caudillos provenientes de la guerra de independencia, reunieron en su poder inmensas propiedades y sometieron a la explotación y al desprecio a los campesinos. El ejército dirigido por Zamora se proponía acabar con esta oligarquía.

En Venezuela, el “General del Pueblo Soberano”, Ezequiel Zamora (1817-1860), inspirado por profundos ideales de justicia, lideró una revolución campesina que intentó acabar con las desigualdades sociales y repartir equitativamente las tierras entre quienes las trabajaban. Afirmaba:

3. Abolición del peonaje y la tienda de raya, ya que este sistema convierte a los campesinos en una suerte de siervos de la gleba, atados de por vida a las haciendas por medio de un régimen de trabajo y deudas que los mantiene en la miseria. Sustitución de estas inicuas relaciones de producción por otras, basadas en la

Sucre se enfrentó a quienes detentaban la gran propiedad: los dueños de las minas y los latifundistas. Respaldó a los trabajadores, a los indígenas, a los más pobres. Este es el Sucre que nos quieren ocultar, el revolucionario que fue asesinado en Berruecos por representantes de las mismas oligarquías que hoy pretenden emboscar nuestros anhelos de justicia y redención.

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justicia social. En efecto, los esclavos liberados en 1854, se encontraron sin tierras, sin instrumentos de trabajo y sin ayuda para incorporarse activamente a la vida económica. Estos ex-esclavos, ahora convertidos en peones, tuvieron que permanecer al servicio de sus antiguos amos, quienes fijaron los salarios y las condiciones de trabajo a su antojo. Frente a esta situación, Zamora predicaba: No haya más un veguero esclavo o medio esclavo (…). El veguero también es un esclavo, tan esclavo como lo era el negro Mindonga o Manuel Camejo hasta el decreto de marzo de 1854 (…). Los indios sin sus resguardos y tierras de comunidad también son esclavos. La papeleta de libertad sin libertad económica lleva a los manumisos nuevamente al botalón del amo. (Citado en Britto García, 2008: 36)

4. Creación de espacios comunales para el usufructo de toda la población. “Cinco leguas de tierra a la redonda y por los cuatro puntos cardinales” para uso común de los habitantes de cada pueblo, villa o caserío. Con ello promovía la estructuración de una mentalidad y una praxis orientada al bien común. 5. Incluso algunos decretos parecen más un acto de amor y de preocupación por los niños y niñas desposeídos que medidas de carácter político. Entre ellas: “que los amos del hato empotren diez vacas paridas, de modo permanente, en las tierras del común, para suministrar diariamente y de modo gratuito, una botella de leche a los hogares pobres. (Ibíd.) Todo ello iba a generar un certero golpe contra la gran propiedad territorial y las relaciones sociales de producción que allí se desarrollan. Tal como lo explica Brito García (2008): Tales consignas plantean una transformación total del modo de producción: el paso de la propiedad privada sobre hombres y tierras detentadas por una clase minoritaria, a la propiedad colectiva o bien en pequeñas parcelas trabajadas por hombres libres en su propio beneficio. (: 32)

El grito de guerra de Zamora contra los oligarcas retumbó en el corazón de todos los explotados de América que combaten la gran propiedad. Frente a esta gran propiedad territorial -que ha generado baja productividad de los suelos, pobreza de los jornaleros, mayor dependencia alimentaria en relación con las metrópolis, entre otras cosas- el pueblo campesino lucha por trabajo, mejoras salariales y por establecer distintas formas de propiedad social y comunitaria.

6. Modelación matemática Después de revisar la visión sociopolítica de estos cuatro libertadores venezolanos en materia de capitalismo, entraremos en un ejercicio geopolítico e histórico en el que, con la ayuda de la matemática financiera, obtendremos el valor de la deuda histórica que Europa tiene con nuestra América. Para entender este ejercicio, hablaré primero sobre la modelación matemática. Skovsmose (1999) sostiene que el modelo matemático se puede concebir como una manera potente por medio de la cual la matemática ejerce su poder formativo, ya que en un proceso de modelaje la matemática no sólo toca la realidad, sino que también la exprime y transforma. Para este educador danés, las abstracciones se materializan, y lo explica de la siguiente manera: El modelaje se convierte en un acto tecnológico y en una manera de introducir los sistemas a la realidad. Al concentrarse en el modelaje, la discusión sobre la reflexión no sólo se especifica sino que también se restringe. Empero, el modelaje matemático constituye un problema en la evaluación de las tecnologías porque el lenguaje matemático aparentemente transparente crea la paradoja de Vico3 en todo su esplendor.

Toda estrategia constituye un tipo de análisis de características muy especiales, si se considera la posibilidad de elaborar un modelo matemático que permita estudiar con rigor la lógica de sus proposiciones. En primer lugar, cualquier modelo de la realidad social debe trabajar con una cantidad muy grande de variables y relaciones. En segundo lugar, una representación del proceso social debe incluir elementos cualitativos y cuantitativos, lo que plantea la cuestión de la coherencia de los elementos cualitativos entre sí y de los

Esto significaba, según José Gregorio Linares (2010), una lanza dirigida al corazón de los grandes propietarios y, por ello, Zamora fue traicionado por representantes de la oligarquía de su propio partido. Murió asesinado por la espalda. “Zamora tenía bajo su mando, al momento de su muerte, a 23.500 soldados de los tres ejércitos federales que lo habían reconocido como Jefe. Luego de Santa Inés, la oligarquía caraqueña inició planes urgentes para huir hacia las Antillas” (Brito Figueroa, 1981: 435). Los federalistas llegaron al poder sin Zamora, es decir, sin propuestas sociales. Las consignas que habían enarbolado no se convirtieron en un programa de gobierno. Los luchadores campesinos que seguían a Zamora perdieron al líder de una revolución que se planteaba liquidar la gran propiedad territorial y transformar las relaciones de producción basadas en la injusticia.

3 La paradoja de Vico es explicada por Skovsmose (1999) de la siguiente manera: “Lo que despliega las dificultades para llegar a asir las características básicas de una sociedad tecnologizada es especialmente el cambio de enfoque de percibir la tecnología como una relación entre seres humanos y naturaleza, a percibirla como una relación entre seres humanos en sí. Tal relación se especifica en los diferentes tipos de tecnología. Esta dificultad puede resumirse como la Paradoja de Vico. Giambatista Vico fue el filósofo italiano que formuló la idea de que las únicas cosas que los seres humanos pueden comprender son las que ellos mismos han creado. Esto representa un ataque al cartesianismo, que hace de la naturaleza el objeto del conocimiento infalible. Vico expresó sus reservas acerca de la habilidad de los seres humanos en aprehender la naturaleza. Dudó de que fuéramos alguna vez capaces de comprender nuestras propias creaciones.

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cuantitativos por otro lado, además del problema como tal. En tercer lugar, se dan relaciones recíprocas entre cualidad y cantidad mediante algún tipo de funciones que las vinculen, de donde surge a su vez el problema de un método para estudiar la coherencia de conjunto de un modelo mixto que combine elementos cuantificables con los que no lo son. En cuarto lugar, como el proceso social es algo vivo y discontinuo, requiere de un modelo esencialmente dinámico para que tenga alguna representatividad. En quinto lugar, por ser incierta la realidad, cualquier modelo de estrategia deberá operar con funciones de probabilidad. Por último, como la realidad es cambiante y los errores, por falta de representatividad del modelo, pueden acumularse con rapidez, el sistema de cálculo matemático que sirva de base al modelo que la interpreta debe ser lo bastante flexible como para incorporar periódicamente nuevos elementos y corregir los ya incluidos, pues en caso contrario pierde fácilmente validez interpretativa y no puede aprovechar las enseñanzas de la propia historia para corregir su representación. Si al razonamiento se aplica el lenguaje común, resulta notablemente insuficiente para abordar los problemas enunciados. La respuesta a esa insuficiencia debería ser el lenguaje matemático y su sistematización en un modelo matemático. Pero hasta ahora la matemática ha resultado más bien limitante del análisis social, y el lenguaje corriente, aún cuando es menos sistemático y difícilmente riguroso, es más rico en matices y procedimientos. Sin embargo: ... es fácil confundir la matemática con lo que hacen los matemáticos más conocidos. Esto impide ver las posibilidades potenciales de la matemática y coloca al científico social en la situación pasiva de ensayar los instrumentos que la matemática ya conoce, en vez de demandar los que necesita. Y eso es tan poco eficiente como si los exploradores de la selva quisieran usar sólo las técnicas de los exploradores del mar, entusiasmados por la brújula y alguno que otro instrumento de uso común a ambos. (Varsavsky, 1968)

La matemática se desarrolló para tratar de satisfacer la demanda de los físicos y uno de los principales impulsos para este desarrollo provino de los mismos físicos. Varsavsky (1968) señala que hombres como Newton, Heisenberg, Dirac y Einstein tuvieron que elaborar especialmente sus propios instrumentos matemáticos, pues no tuvieron a su disposición los métodos matemáticos que necesitaban. Esas características del mundo físico centraron el avance de la matemática en campos muy particulares, que no eran por cierto los únicos ni menos aún los más apropiados para el estudio de los procesos sociales. Este autor señala: Cuando las actividades sociales comenzaron a estudiarse científicamente, la matemática ortodoxa ya estaba muy desarrollada y gozaba del enorme prestigio de sus éxitos en la física. Nada más natural, pues, que los primeros científicos sociales trataran de utilizarla tal como la encontraron… Las pocas aplicaciones aisladas de la matemática ortodoxa sólo confirman esta 94

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afirmación. Se han usado teoremas de punto fijo para demostrar la existencia de equilibrio económico en ciertas condiciones, y técnicas aun más finas para ver la equivalencia de varios axiomas para el valor o preferencia; la lucha por la vida se ha estudiado con ecuaciones diferenciales o integrales lineales, y las no lineales se han usado en modelos macrocionales (sic) de dos sectores. Pero en todos los casos el problema ha sido simplificado artificialmente y es casi imposible extraer aplicaciones concretas.

Sin embargo, las conclusiones sobre la aplicación de modelos matemáticos a los procesos sociales no pueden ser pesimistas. Varsavsky (1968) agrega a lo anterior: Mi tesis es que estos argumentos no demuestran la imposibilidad de una ciencia rigurosa de los sistemas sociales, sino sólo la ineficiencia de la matemática ortodoxa como instrumento para ello, y señalan la necesidad de que los mejores cerebros matemáticos comiencen a prestar más atención a las demandas específicas de estas ciencias (…). Lo más promisorio hasta ahora, desde este punto de vista, es esa ciencia amorfa llamada investigación operativa, y es en ella donde deben buscarse los gérmenes de la nueva matemática. Nacida con el objetivo concreto de ayudar en la toma de decisiones, se vio obligada a introducir muchas veces conceptos nuevos, pero parece que lo hiciera con vergüenza, y la mayoría de sus cultores aprovechan toda oportunidad de emplear el lenguaje más avanzado y abstracto de la matemática ortodoxa.

Skovsmose (1999) hace una distinción entre dos tipos de modelaje: el modelaje puntual y el modelaje extendido. “En el caso de modelaje puntual, el problema al que nos enfrentamos se transforma en un lenguaje formal, en términos del cual tratamos de solucionar el problema original”. Mientras que, para este autor, en el modelaje extendido “la terminología matemática no se usa para describir un problema específico, sino que se usa para proveer una base genérica para un proceso tecnológico”. Este importante teórico afirma: La Matemática hace parte del marco conceptual a través del cual interpretamos y reacomodamos la realidad. Como ejemplo podemos pensar en la distinción entre valor de cambio y valor de uso, que es fundamental en la organización capitalista de la vida económica y que se lleva a cabo a través del sistema de contabilidad por partida doble, que hace importante establecer unos cálculos generales de los valores en términos de un sistema monetario abstracto. En este caso el modelo de cálculos matemáticos ofrece un medio para transformar y manejar una situación compleja. En el tipo de modelaje extendido, la Matemática se encuentra imbuida en las partes de nuestro sistema conceptual básico para manejar los asuntos sociales. La Matemática se convierte en una condición trascendental para los fenómenos individuales y también para los tipos de modelos puntuales.

El método de modelos, según Matus (1972), está fundado en el razonamiento analógico: partiendo de la semejanza de los caracteres de algunos fenómenos comprensivos de una totalidad analítica, se infiere la semejanza de otros. Tal Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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razonamiento sólo produce un conocimiento probable, pero sistemático y explícito en sus supuestos. Ahora bien, si una teoría no explica satisfactoriamente el proceso social, un modelo matemático no puede mejorar esa teoría; sólo podría exhibirla en toda su desnudez, con sus implicaciones, coherencias e incoherencias internas, de manera que entre modelo y realidad hay siempre una teoría, sea ésta buena, regular o mala. Como dice Varsavsky (1968), “en física las teorías eran tan buenas y la matemática tan bien adaptada a ellas que no era muy útil establecer esa tricotomía realidadteoría-modelo”. En el proceso social las teorías son mucho más difíciles y, existan o no “buenas” teorías, hay que tomar decisiones. Quien decide racionalmente, maneja siempre algún modelo implícito conforme al cual llega a conclusiones. El político estadista opera normalmente con un modelo in mente, aunque puede ocurrir que ese modelo implícito sea erróneo y que la realidad así lo pruebe posteriormente. Sin embargo, a falta de una teoría más perfeccionada que pueda conducir a un modelo mejor, siempre será útil la elaboración de tal modelo, aunque sólo sea una representación clara, completa y rigurosa del modelo implícito. Ello permitirá descubrir sus lagunas e inconsistencias, hacerlo conocido y, por lo tanto, criticado. Desde el momento en que este modelo se somete a una confrontación con la realidad, puede irse mejorando su representatividad por las propias enseñanzas de la historia. Por consiguiente, para que sea dinámicamente útil, debe poder acumular las experiencias y éstas, poco a poco, redefinir las bases de la construcción misma del modelo (Matus, 1984). En este sentido, Skovsmose (1999) aclara: Un modelo matemático debe basarse en una interpretación específica de la realidad. Otras posibilidades no existen. No podemos entrar en contacto con una “realidad” sin estructurarla. Este enunciado se ha enfatizado en la filosofía de la ciencia como una reacción a la doctrina del positivismo lógico, para el cual la objetividad y neutralidad son objetivos posibles, aunque difíciles, de obtener… Un modelo nunca puede ser un modelo de la realidad. Tenemos que seleccionar elementos de la realidad que concibamos como los importantes; también tenemos que decidir qué relaciones entre ellos son esenciales. De esta manera creamos un sistema, que no en sí una parte de la realidad. El sistema es una entidad conceptual creada por medio de ciertas interpretaciones de la realidad, es decir, por medio de un cierto marco teórico para mirar la realidad y teniendo en cuenta ciertos intereses para constituir un conocimiento.

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7.1. La fiebre del oro El oro ha tenido desde la antigüedad una gran importancia para el hombre. Ya en el segundo milenio a.C. era utilizado como patrón del valor. La relativa facilidad de su obtención, su inalterabilidad y su fácil manejo han hecho de él uno de los metales más preciados. En la antigüedad, el oro se utilizó principalmente con fines ornamentales y de culto. A partir del Renacimiento, adquirió el papel de reserva monetaria y se empezó a almacenar en lingotes. Las primeras monedas acuñadas en este metal datan del 600 a.C. A lo largo de la historia, el oro, metal duradero y noble que mantiene su lustre indefinidamente y es de difícil falsificación, se ha utilizado como moneda de cambio. En la actualidad, cerca del 90% de la producción mundial de este metal es destinado a los fondos de reservas oficiales de los diferentes países, mientras que el 10% restante es empleado en la joyería, la industria, la química y la odontología. Su número atómico es 79, su masa atómica es 179,2 y su peso específico 19.32 gr/cm3. Es en extremo maleable (se pueden confeccionar láminas de pan de oro de un grosor de una diezmilésima de milímetro) y muy dúctil, por lo que a menudo es aleado con otros metales (cobre, níquel, plata, etc.) para incrementar su dureza; la aleación de 50% de plata y otro tanto de oro da lugar al denominado oro blanco. La ley (cantidad de oro) de las aleaciones se expresa en quilates: 24 quilates indica un 100% de oro; 18 quilates, un 75%, y así sucesivamente. 7.2. El saqueo: deuda histórica Un caso interesante en matemática financiera, que da lugar a fórmulas de mucha aplicación en el trabajo analítico y teórico, es el supuesto de que la frecuencia de capitalización es extraordinariamente grande, tendiendo a infinito. Se dice en estos casos que se trata de un caso de capitalización continua. Haremos un ejercicio tomado de la vida real, que no debería ser ajeno a quienes vivimos en Latinoamérica y el Caribe. Se trata de la resolución de un problema histórico-político y geopolítico. Veamos. Entre los años 1503 y 1660 llegaron a Sanlúcar de Barrameda, España, 185 mil kilogramos de oro y 16 millones de kilogramos de plata, provenientes del continente Abya Yala, conocido desde 1492 como América4. Los datos, de consulta pública,

Ya conociendo lo que es un modelo matemático, expondremos en esta parte del artículo un ejemplo político histórico, estudiado desde la didáctica crítica.

4 Entre los muchos nombres que recibe Latinoamérica y el Caribe, se encuentran: Tierra de los mosquitos, Indias Occidentales, Hispanoamérica, Iberoamérica, América Meridional, Latinoamérica o América Latina. O más geográficamente: América del Sur, Suramérica (o Sudamérica), Centroamérica, el Caribe. En su proyecto integracionista, Francisco de Miranda la llamó Colombeia. Sin embargo, el nombre América viene de Amerrique, nombre indígena dado a las montañas situadas entre Juigalpa y La Libertad, departamento

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fueron obtenidos del Archivo de Indias. Por la época del mayor holocausto de la historia, Sanlúcar de Barrameda se convirtió en puerto de referencia en Europa. De allí partió Cristóbal Colón en su tercer viaje y Magallanes en el primer viaje de circunnavegación mundial, entrando esta ciudad andaluza en el momento de mayor apogeo económico de su historia, gracias al saqueo, la devastación y el genocidio de los que fue víctima el Abya Yala por el colonialismo europeo. Particularmente, la actividad en esta ciudad era propiciada por los duques de Medina Sidonia. El desarrollo del capitalismo y de la actual civilización europea se debe única y exclusivamente a este saqueo. Ahora bien, supongamos que el Abya Yala le prestó al Reino de España un capital de 185 mil kilos de oro y 16 millones de kilos de plata. La idea del problema es calcular cuánto le debe España a Latinoamérica y el Caribe, o Nuestra América, como la llamó José Martí. Los datos son los siguientes: Capital Inicial = 185.000 kilos de oro y 16.000.000 de kilos de plata; tiempo inicial = 1660; tiempo actual = 2010. Supongamos una tasa anual del 5% y una capitalización continua. En vista de que el capital está en dos valores distintos, realicemos dos cálculos, uno para un capital inicial de 185 mil kilos de oro, al cual llamaremos Cau, y otro para un capital inicial de 16 millones de kilos de plata, al cual llamaremos Cag. Como ambos capitales iniciales no están en unidades monetarias, haremos los siguientes ejercicios de conversión. El gramo (símbolo g) es la unidad principal de masa del Sistema Cegesimal de Unidades. Originalmente, fue definido como la masa de un centímetro cúbico de agua a 3,98 °C. Actualmente es el tercer submúltiplo del kilogramo (la unidad básica de masa del Sistema Internacional de Unidades) y se interpreta como la milésima parte de éste. 1 g = 0,001 kg = 10 kg −3

La onza es una unidad de masa usada desde la Antigua Roma para pesar con mayor precisión las mercancías y otros artículos, especialmente si su peso era menor que una libra romana. La onza todavía se usa corrientemente en los países anglosajones (aunque está destinada a desaparecer, tras la introducción gradual pero obligatoria del SI5) y antiguamente su uso estaba más extendido en toda Europa. nicaragüense de Chontales. En maya quiché, Amerrique significa “país del viento”, “país donde el viento sopla siempre”. Los tripulantes del cuarto y último viaje de Colón (1502-03) fueron los primeros en divulgar con persistencia la voz Amerrique, entre ellos, el piloto mayor Vespucci. Éste dejó de llamarse Alberico y adoptó el nombre de Amerigo, nombre desconocido en Europa pero dado por sus marineros a propósito de Amerrique o Amerique (en francés suavizado). Es decir, que en lugar de tener el honor de dar su nombre al “Nuevo Mundo”, de éste salió el nombre que lo hizo célebre. 5 Abreviado del francés: Le Système International d’Unités también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayoría de los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como “sistema métrico”, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol.

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Onza se traduce como ounce en inglés, abreviada Oz y de símbolo (Unicode U+2125). Actualmente sólo se usan 2 tipos de onza: La onza avoirdupois (de uso común): es la dieciseisava parte de una libra avoirdupois y equivale a 28,349523125 gramos, además de: 437,5 granos 16 dracmas avoirdupois 0,0625 libras avoirdupois La onza troy (usada únicamente en joyería, orfebrería y numismática para pesar metales preciosos): es la doceava parte de una libra troy y equivale a 31,1034768 gramos, además de: 480 gramos 20 pennyweights 8 dracmas troy 0,0833333333333333 libras troy Existe otra unidad anglosajona en uso, llamada onza líquida (fluid ounce), que no es de masa sino de volumen. Otras onzas, ya en desuso, son la onza castellana y la onza farmacéutica: La onza castellana equivalía a 28,7558 gramos, y estaba dividida en 16 adarmes; en farmacia, estaba dividida en 8 dracmas; y en ambos casos, en 576 granos. La onza farmacéutica era utilizada en la farmacología anglosajona. Es la doceava parte de una libra farmacéutica y equivale a 31,1034768 gramos, además de:

480 granos 24 escrúpulos 8 dracmas farmacéuticos 0,0833333333333333 libras farmacéuticas En el ejemplo didáctico que presentamos, hablaremos de onza troy. Tabla 1: Conversión de onzas troy a gramos y viceversa Onzas Troy 1 2 3 4

Gramos

Onzas Troy

31,1034768 62,2069536 93,3104304 124,4139072

1 2 3 4

0,032150746568628 0,064301493137256 0,0964522397058839 0,128602986274512

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Alí Ramón Rojas Olaya 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 500 1000

155,517384 186,6208608 217,7243376 248,8278144 279,9312912 311,034768 466,552152 622,069536 777,58692 933,104304 1088,621688 1244,139072 1399,656456 1555,17384 1866,208608 2177,243376 2488,278144 2799,312912 3110,34768 4665,52152 6220,69536 7775,8692 15551,7384 31103,4768

5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 500 1000

0,16075373284314 0,192904479411768 0,225055225980396 0,257205972549024 0,289356719117652 0,32150746568628 0,48226119852942 0,64301493137256 0,803768664215699 0,964522397058839 1,12527612990198 1,28602986274512 1,44678359558826 1,6075373284314 1,92904479411768 2,25055225980396 2,57205972549024 2,89356719117652 3,2150746568628 4,8226119852942 6,4301493137256 8,037686642157 16,075373284314 32,150746568628

Caso continuo La razón de cambio del valor del préstamo que le hizo Latinoamérica y el Caribe a dC

España es , y esta cantidad es igual a la rapidez con la que se acumula el interés, dt lo cual es la tasa de interés multiplicada por el valor actual del préstamo C(t). Por tanto, dC = iC dt

(1)

Es la ecuación diferencial que rige el proceso y que funge de modelo matemático. Como también conocemos el valor del préstamo en algún instante particular, en nuestro caso, en al año 1660, que por razones de hacer más comprensible la resolución del problema llamaremos t = 0, es decir que el actual año 2010 será t = 350. C(t = 0) = Co

dC = idt C

Y esto se puede resolver mediante integrales

# dCC = # idt = i # dt Quedando ln C = it + K

Y despejando C C=e

it + K

(3)

it K = e $e

Pero se sabe que cuando t = 0, C = Co, es decir C(0)=Co, luego: e

C (t) C (0) C0 it = i $ 0 = 1 = C0 e e

Y sustituyendo este valor en (3), llegamos a la fórmula C (t) = C0 $ e

i$t

(4)

La histórica deuda con interés compuesto en forma continua, crece exponencialmente. El año 2010, la deuda en oro es Cau = 185000 • 39.824.784,40 = 7.367.585.113.551,60 kilogramos de oro y la deuda en plata es Cag = 16.000.000 • 39.824.784,40 = 637.196.550.361.219,60 kilogramos de plata. Cau = 7.367.585.113.551,60 kilogramos de oro Cag = 637.196.550.361.219,60 kilogramos de plata

Para saber el valor en dólares estadounidenses, podemos hacer una conversión de kilogramos (1.000 gramos) a onza troy. En la tabla 1 tenemos que 1 kg equivale a 32,150746568628 onza troy. Ahora veamos en los gráficos 1 y 2 los valores en dólares estadounidenses de 32,150746568628 onzas troy en oro y en plata, respectivamente.

(2)

Entonces, la solución del problema (1) con valor inicial (2), da el balance C(t) de la cuenta en cualquier instante t. Este problema con valor inicial se resuelve con facilidad. Basta escribir (1) como 100

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Gráfico 1: Cotización de la onza de oro a 26 de julio de 2010

La onza troy de oro está cotizada (el 26 de julio de 2010) en 1.180 $us. y la onza troy de plata está cotizada (el 26 de julio de 2010) en 18 $us. Como sabemos que 1 kg equivale a 32,150746568628 onzas troy, tenemos que: Cau (t = 2010) = 236873361808593,84 onzas troy Cag (t = 2010) = 20486344805067579,65 onzas troy

Y finalmente, hacemos el cálculo en dólares estadounidenses para saber a cuánto asciende la deuda del Reino de España con Latinoamérica y el Caribe. Para ello, multiplicamos la deuda en onzas troy por 1.180 $us. en el caso del oro y por 18 en el caso de la plata. Cau (t = 2010) = 236.873.361.808.593,84 $us. Cag (t = 2010) = 368.754.206.491.216.433,67 $us.

Fuente: http://www.raulybarra.com/notijoya/archivosnotijoya3/3cotizacion_oro.htm

La suma de ambas cantidades es 368.991.079.853.025.027,51. Estamos hablando de un monto que asciende a casi 369 mil billones de dólares estadounidenses. Y nótese que la deuda es sólo por concepto del oro y la plata. C(t=2010) = 368.991.079.853.025.027,50 $us.

Gráfico 2: Cotización de la onza de plata a 26 de julio de 2010

El problema no termina allí, ya que esa deuda es la que tiene sólo España. El escritor uruguayo Eduardo Galeano (1971), en su libro Las venas abiertas de América Latina, nos brinda datos importantes para calcular la deuda europea: Un memorial francés de fines del siglo XVII nos permite saber que España sólo dominaba, por entonces, el cinco por ciento del comercio con “sus” posesiones coloniales de más allá del océano, pese al espejismo jurídico del monopolio: cerca de una tercera parte del total estaba en manos de holandeses y flamencos, una cuarta parte pertenecía a los franceses, los genoveses controlaban más del veinte por ciento, los ingleses el diez y los alemanes algo menos. América era un negocio europeo.

Con estos datos históricos podemos construir, a manera de conclusión, la siguiente tabla. Tabla 2: Deuda europea con América Reinos Fuente: http://www.raulybarra.com/notijoya/archivosnotijoya3/3cotizacion_plata.htm

102

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Fracción

C(t=2010/US$)

Holanda y Bélgica

33,33

1/3

2.459.940.532.353.500.183,43

Francia

1/4

1.844.955.399.265.125.137,58

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103

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Génova

1/5

1.475.964.319.412.100.110,06

Inglaterra

1/10

737.982.159.706.050.055,03

Alemania

6,67

1/15

491.988.106.470.700.036,69

España

1/20

368.991.079.853.025.027,50

Total

100

1 = 60/60

7.379.821.597.060.500.550,29

Gráfico 2: Deuda europea con América Holanda y Bélgica Francia Génova Inglaterra Alemania España

Si el interés se compone dos veces al año, entonces al término de seis meses el 2 i i valor de la inversión es C0 b 1 + l , y al cabo de un año es C0 b 1 + l . Entonces, 2 2 después de t años se tiene

i 2t C (t) = C0 b 1 + 2 l En nuestro caso, Cau = 185.000 (1 + 0,025)700 = 5.941.245.558.595,76 kg. de oro Y Cag = 16.000.000 (1 + 0,025)700 = 513.837.453.716.389,87 kg. de plata En general, si el interés se compone m veces al año, entonces

i mt C (t) = C0 b 1 + m l

(5)

La relación entre las fórmulas (3), (4) y (5) se aclara si utilizamos la definición del número e: La deuda europea con América asciende a más de 7 trillones de dólares estadounidenses. Caso discreto Aquí haremos un paréntesis para hablar de la periodicidad de la capitalización. La mayoría de los comercios y entidades financieras pactan la tasa de interés a cobrar en dos períodos, uno relativamente corto (oscila entre 6 meses y un año) y otro a tasa de mercado. Compárense ahora los resultados del modelo continuo que acaba de describirse con la situación en que la composición ocurre en forma discreta, es decir, a intervalos de tiempo finitos. Si el interés se compone una vez al año, entonces al cabo de n años, C (t) = C0 ]1 + ig

En este caso, tenemos que Cau = 185.000 (1 + 0,05)350 = 4.824.212.202.818,86 kg. de oro Y Cag = 16.000.000 (1 + 0,05)350 = 417.229.163.487.036,45 kg. de plata 104

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i lmt i$t b lim C 1 + 0 m"3 m = C0 $ e En la tabla 3 se muestra el efecto de cambiar la frecuencia de composición para una tasa de interés i del 5%. La segunda y tercera columnas se calcularon con base en la ecuación (5) para una composición trimestral y diaria, respectivamente, y la cuarta se calculó con base en la ecuación (4) para una composición continua. Los resultados muestran que, en la mayor parte de los casos, la frecuencia de composición no tiene una importancia particular. Por ejemplo, durante un período de 10 años la diferencia entre la composición trimestral y la continua es de Bs. 5,102 por cada Bs. 1.000 invertidos, o sea, algo más que un realito (Bs. 0,50) anuales. La diferencia sería un tanto mayor para tasas de interés más elevadas y sería menor para tasas más bajas. Con base en el primer renglón de la tabla se ve que, para la tasa de interés de i = 5%, el rendimiento anual para una composición trimestral es de 5,09% y para una composición diaria o continua es de 5,12%. Algunos bancos anuncian un rendimiento anual incluso más alto que el que se obtiene con composición continua. Esto se logra al calcular una tasa de interés diaria con el uso de un año nominal (360 días) y luego al componer esta tasa a lo largo del año matemático (365 días). Al aplicar este método para una tasa de interés i, e ignorando los años bisiestos, se encuentra que

i 365 $ t C (t) = C0 b 1 + 360 l Integra Educativa Vol. III / Nº 2

(6) 105

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En nuestro caso

Si Europa hubiese pagado anualmente parte de su deuda, otra sería la historia. Si se vuelve ahora al caso de la composición continua, supóngase que además de la acumulación de interés pueden hacerse depósitos o retiros. Si se supone que los depósitos o retiros se efectúan con una cuota constante k, entonces la ecuación (1) se sustituye por

Cau = 185.000 (1 + 0,05/360)365·350 = 9.383.130.985.909,54 kg. de oro Y Cag = 185.000 (1 + 0,05)350 = 811.514.031.213.797,81 kg. de plata. En la última columna de la tabla 3 se dan los resultados de la ecuación (6), para una tasa de interés de i = 5%. Obsérvese que el rendimiento anual efectivo es del 5,19%.

dC dt = iC + k

Donde k es positiva para los depósitos y negativa para los retiros. La solución general de la ecuación (7) es

Tabla 3: Crecimiento del capital a una tasa de interés de i = 5% para varios modos de composición Años (t)

k C (t) = ce it - i

(8)

Donde c es una constante arbitraria. Para satisfacer la condición inicial (2) debe

C(t) / C0 m = 4 (5)

m=365(5)

(4)

(6)

1,050945

1,051267

1,051271

1,051998

1,104486

1,105163

1,105171

1,106699

1,282037

1,284003

1,284025

1,288469

1,643619

1,648665

1,648721

1,660152

2,701485

2,718096

2,718282

2,756105

4,440213

4,481229

4,481689

4,575553

7,298021

7,388044

7,389056

7,596115

350

35730956,4327

39777082,1615

39824784,3976

50719626,9509

7.3. Si Europa hubiese pagado: rentas o anualidades Del mismo modo como se ha luchado contra la gran propiedad de la tierra, la lucha ha estado dirigida, también, contra la gran propiedad en otras áreas de la economía. En América Latina los grandes propietarios han controlado todos los poderes públicos. Los gobernantes han sido sus marionetas. Los congresistas sus amanuenses. Los jueces sus cómplices. El ejército y la policía sus perros bravos. El poder electoral, cuando lo hay, no es más que el instrumento de sus designios. Igualmente, los medios de comunicación, voceros de sus intereses de clase y de su odio por los humildes, manipulan, mienten, desfiguran, ocultan, adoctrinan. Y el aparato escolar, especialmente la universidad, se ha convertido en el gran productor de ideología que, por medio de un “currículo oculto”, reproduce los valores y prejuicios que favorecen los intereses de las oligarquías y dificulta que se devele su carácter antinacional, antiecológico, antipopular e incluso ineficaz, si nos regimos por parámetros exclusivamente administrativos y económicos. (José Gregorio Linares, 2010) 106

(7)

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elegirse c = C0 +

k i

Por tanto, la solución del problema (7) con valor inicial (2) es

k C (t) = C0 e i $ t + i ]e i $ t - 1g

(9)

El primer término de la expresión (9) es la parte de C(t) debida al interés pagado sobre la cantidad inicial C0, mientras que el segundo es la parte debida a la cuota de depósito o retiro k. Lo atractivo de plantear el problema de esta manera general, sin valores específicos C0, i ó k, reside en la generalidad de la fórmula resultante (9) para C(t). Con esta fórmula es fácil comparar los resultados de diferentes programas de inversión o tasas de interés. Por ejemplo, supóngase que se apertura una cuenta individual de retiro (CIR) a la edad de 25 años, con una inversión inicial de BsF.� 2 mil y que, a partir de ese momento, se efectúan depósitos anuales de BsF. 2.000, de manera continua. Si se supone una tasa de interés del 8%, ¿cuál será el balance de la CIR a la edad de 65 años? Se tiene C0 = BsF. 2.000, i = 8% = 0,08 y k = BsF. 2.000, y se desea determinar C(t=40). Con base en la ecuación (9), se tiene C (40) = 2000e 3,2 + 25000]e 3,2 - 1g = Bs . F .49065 + BsF .588313 = BsF .637378 Es interesante observar que la cantidad total invertida es de BsF. 82.000, de modo que la cantidad restante de BsF. 555.378 resulta del interés acumulado.

Examínense ahora las hipótesis establecidas en el modelo. En primer lugar, se ha supuesto que el interés se compone continuamente y que el capital adicional se invierte continuamente. En una situación financiera real, ninguna de estas hipótesis es verdadera, aunque las discrepancias no suelen ser significativas. Lo más importante es que ha supuesto que la tasa de interés i es fija o constante durante todo el período considerado, mientras que, de hecho, las tasas de interés fluctúan de manera considerable. Aunque es imposible predecir de modo confiable las tasas futuras de Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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interés, puede aplicarse la expresión (9) para determinar el efecto aproximado de las proyecciones diferentes de esas tasas. También es posible considerar que i y k de la ecuación (7) son funciones de t, en vez de constantes; por supuesto, en ese caso la solución puede ser mucho más complicada que la ecuación (9). Así mismo, vale la pena hacer notar que el problema (7) con valor inicial (2) y la solución (9) también pueden aplicarse al análisis de diversas situaciones financieras, incluyendo anualidades, hipotecas y préstamos para cooperativas, consejos comunales y comunas, entre otras. Skovsmose (1999) resume: Hemos indicado las siguientes, como actividades incluidas en el proceso del modelaje matemático puntual, identificación de un problema, desarrollo de un sistema, matematización, algoritmación e interpretación, que incluye la puesta en práctica… Es obvio que el proceso de modelaje involucra muchos bucles; pero lo más importante es que no necesariamente debe existir un orden secuencial en estas actividades… Las actividades de modelaje descritas pueden verse como una especificación posible de una ruta que conduce de las abstracciones mentales a las materializadas.

antivalores es, a todas luces, equivocado, porque no sólo nos deshumaniza y nos degrada, sino que nos hace merecedores del desprecio, la desconfianza y el rechazo por parte de nuestros semejantes, cuando no del castigo por parte de la sociedad. Escribir sobre los valores que son transmitidos a las/os estudiantes remite a escribir sobre los antivalores. En la usura subyacen la deshonestidad, la injusticia y la indiferencia; este es un tema que tiene particular importancia durante el desarrollo del proceso de aprendizaje y enseñanza de la asignatura Matemática Financiera y que puede fungir de unidad generadora de aprendizaje. El autor del presente trabajo sugiere a los docentes recomendar a sus estudiantes bibliografía que aborde la usura, por ejemplo, Dostoievski (1968), Dante Aliguieri (1978), Moliere (1940), Santo Tomás de Aquino (2003), etc., así como estudiar documentos hemerográficos que versen sobre políticas crediticias neoliberales como los créditos indexados o mexicanos, y sobre la modalidad cuota balón, que se implementaron en Venezuela en la última década del siglo XX, o sobre las casas de empeño. Las casas de empeño (montes de empeño): crimen y castigo

8. Valores y antivalores Los grandes empresarios no sólo son enemigos de los socialistas, sino también de los medianos y pequeños empresarios, de los propietarios comunitarios y sociales, de los trabajadores en general, de los gobiernos nacionalistas y soberanos, del planeta y sus recursos, del futuro inmediato de la humanidad. Esto debiera ser evidente para todo aquel que quisiera analizar este tema de manera objetiva. El mundo es como una inmensa balanza. De un lado, un pequeño grupo de familias insaciables movidas por la codicia; del otro, el resto de la humanidad, víctima de su ambición e inconsciencia. Por tanto, la pregunta fundamental es la siguiente: ¿Qué intereses defendemos, los de una minoría indolente y depredadora que actúa en contra del resto de la humanidad o los de la población mayoritaria de cada país y el mundo? Casi es una cuestión de matemáticas. (José Gregorio Linares, 2010)

La esencia de la educación, para Schumacher, “es la transmisión de valores, pero los valores no nos ayudan a elegir nuestro camino en la vida salvo que ellos hayan llegado a ser parte nuestra, una parte por así decirlo de nuestra conformación mental” (1983: 84).

La novela Crimen y Castigo, del escritor ruso Fiodor Dostoievski, pone sobre el tapete el interesante caso de una señora que regenta una Casa de Empeño. La novela trata del posible castigo interior de la propia conciencia del protagonista, al provocar la muerte de una anciana para obtener dinero. Impuesta su decisión por la miseria y por creer que pertenece a un grupo especial de personas que puede transgredir la ley para conseguir sus objetivos, por tratarse de superhombres, decide matar a una anciana avara y dedicada a la usura. Rodion Romanovich Raskolnikov, estudiante de derecho, nace y vive en la Rusia zarista y encontrará un cambio en su vida gracias al amor y a la fe. Crimen y Castigo es la primera de las novelas importantes de este autor, y plantea con desesperación sus obsesiones. La usura y la corrupción, la antropología urbana y la introspección, la dependencia cultural y la identidad patria, la ideología del superhombre enfrentado a la masa y los métodos de reforma social.

Así como hay una escala de valores morales, también la hay de antivalores. La deshonestidad, la injusticia, la intransigencia, la intolerancia, la traición, el egoísmo, la irresponsabilidad, la indiferencia, son ejemplos de antivalores que rigen la conducta de las personas inmorales. Una persona inmoral, o persona sin escrúpulos, es aquella que se coloca frente a la tabla de valores en actitud negativa, para rechazarlos o violarlos. Suele ser fría, calculadora e insensible al entorno social. El camino de los

El crédito prendario, como lo conocemos actualmente, fue concebido en el norte y centro de Italia en el siglo XV con el nombre de Montes de Piedad, a iniciativa de los franciscanos, como una forma de apoyar a los agricultores, artesanos, pequeños comerciantes y pobres. Recibieron su nombre antiguo debido a que la palabra “monte” hacía ya referencia a una caja pública o a una masa metálica de dinero. Y la denominación “de piedad” (di Pietá) se agrega para diferenciarlas de otros tipos de montes, como los que ayudaban a sustentar el gasto público, ya que éstas cumplían con fines caritativos y benéficos.

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Las casas de empeño atendían las demandas de las clases sociales más necesitadas de protección, a través de la concesión de préstamos. Estos eran garantizados con alhajas y ropa; para conseguir su finalidad, las casas de empeño antiguas necesitaban recursos, los cuales obtenían, sobre todo, de la captación de depósitos en metales de oro; también obtenían fondos provenientes de las limosnas, ayudas de la Corona y celebraciones religiosas, lo que colaboraba a que se formara este fondo común. Puesto que pronto se manifestaron insuficientes los recursos, se hizo necesario cobrar intereses, con el apoyo de la Iglesia Católica, aun en contra de la ética cristiana simbolizada en el relato de Jesús sacando a los mercaderes del templo. Para remediar este problema se acordó, en el Concilio de Letrán (1515), la posibilidad de establecer los intereses por los préstamos prendarios. Aun así, las críticas siguieron hasta la proclamación del Concilio de Trento (1545-1563). Para ese entonces ya se había reconocido el carácter benéfico de las casas de empeño. A partir del siglo XVIII, los montes de empeño estaban patrocinados por la benevolencia real, todavía manteniendo su funcionamiento e inspiración benéfico-religiosa. Hoy en día, siguen siendo casas que lucran con la emergencia y la necesidad de las personas víctimas de una sociedad capitalista que asfixia a quien no tiene dinero. La usura no sólo se propone un objetivo antinatural, sino que hace un uso erróneo del dinero en sí, pues el dinero fue creado para el intercambio, no para ser incrementado con la usura. La usura es la reproducción antinatural de dinero con dinero. Glosario de términos relacionados con las casas de empeño Almoneda: Venta de los bienes que los clientes perdieron por no pagar, remate o subasta. Contrato Prendario o Contrato de Empeño: Documento único que comprueba la operación prendaria realizada entre la institución y el deudor prendario. Cláusulas del Contrato de Prenda: Es un contrato de mutuo acuerdo, redactado al reverso del anterior, mediante el cual el titular del contrato y la institución se sujetan a las cláusulas que lo integran. Demasías o Remanentes: Es la cantidad que queda a favor del pignorante, después de que la institución descuenta del monto de la venta el préstamo, los intereses devengados, los gastos de almacenaje y los gastos de operación. Demasías o Remanentes Caducados: Es la cantidad no cobrada por los pignorantes dentro del plazo establecido en el contrato y que, a partir de 110

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haberse efectuado la venta de su prenda, después de este plazo, las demasías caducadas se registran como un producto para la institución. Finiquito o Desempeño: Es el proceso mediante el cual el interesado o pignorante, luego de haber cumplido lo pactado en el contrato de prenda y de acuerdo a las condiciones del contrato de empeño, puede recuperar la prenda depositada en garantía, mediante el pago del préstamo, los intereses devengados y lo correspondiente a gastos de almacenaje. Derecho de Almacenaje: Es el porcentaje mensual nominal que se cobra sobre la base del préstamo, cuando las prendas desempeñadas no son recogidas en los quince días hábiles siguientes. Empeño: Es el proceso mediante el cual el interesado o pignorante recibe en forma inmediata una suma de dinero en efectivo, a cambio de dejar en depósito y como garantía, una prenda de su propiedad. Empeño por Refrendo: Es una operación que se realiza con referencia al contrato anterior. Gastos de Almacenaje: Es un porcentaje mensual nominal que se cobra sobre la base del avalúo determinado en el contrato y/o boleta de empeño, por el resguardo de la prenda en depósito. Gastos de operación: Es el porcentaje único que se carga sobre el precio de venta de las prendas. Interés Semanal Nominal: Tasas de interés calculado por semanas completas, independientemente de la fecha en que se realice el empeño o refrendo. Interés Prendario: Es el porcentaje que se cobra sobre la base del préstamo determinado en el contrato y/o boleta de empeño. Partida: Se le denomina a la(s) prenda(s) que corresponden a una operación de empeño; sinónimo del número de transacciones realizadas en el empeño, desempeño, refrendo y venta. Pases a Venta: Traslado de las prendas no desempeñadas o refrendadas a la almoneda. Pignorante: Persona que solicita un préstamo con garantía prendaría. Pignorar: Dejar en prenda un objeto como fianza de un préstamo. Refrendo: Es el proceso mediante el cual el interesado o pignorante, luego de haber cumplido lo pactado en el contrato de prenda y de acuerdo a las condiciones del contrato de empeño puede, mediante el pago de los intereses Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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devengados y lo correspondiente al costo del almacenaje, refrendar a un nuevo contrato. Reposición de Contrato: Es la cantidad que se cobra por la reposición de un contrato. A manera de conclusión Resulta vergonzoso observar cómo los grandes propietarios asumen que las naciones latinoamericanas son sus haciendas o empresas privadas. Los ciudadanos, sus peones u obreros. Los políticos, sus caporales y gerentes. Y los revolucionarios que se le oponen, forajidos que pretenden robarles lo que es de su exclusiva propiedad: la riqueza de la nación, sus recursos naturales, los grandes contratos, las ganancias exorbitantes, el lujo y el bienestar. (José Gregorio Linares, 2010)

Optamos por una educación inclusiva, comprometida de manera muy particular con los sectores de la sociedad formados por quienes simplemente sobreviven, como dice Freire (1970, 1990 y 1997). La apropiación de la matemática financiera por estos sectores es fundamental para salir de la simple sobrevivencia. Conocer la historia a través de la matemática financiera, deja de ser un mero conocimiento para convertirse en un estremecimiento de conciencia sociohistórica. Cómo se definan la pedagogía y las prácticas que de ella se deriven juega un papel muy importante en la sobrevivencia. Ello conlleva la redefinición de aspectos de la actividad pedagógica que garanticen una educación equitativa para todas las personas. La bibliografía existente, al menos hasta el año 2007, se beneficia de una semiótica dispar de términos y fórmulas; muchos de los problemas utilizan unidades monetarias ajenas a nuestra realidad y en desuso (muchos de los textos son españoles y usan las pesetas); existen problemas que, aunque parezcan extraídos de la realidad, rebosan de excesos que conducen a complicaciones gramaticales y lógicas. Los docentes proponen una bibliografía básica contextualizada pero desactualizada (Jaguán, 1998; universidad Nacional Abierta, 1986 y Redondo, 1982) y otra descontextualizada (Portus, 1998; Cissell, Cissell y Flaspohler, 1999; Díaz Mata y Aguilera Gómez, 1999; Hernández Hernández, 1998 y Motoyuki Yasakawa, 2000). El autor espera que la resolución del problema de Sanlúcar de Barrameda contribuya a fortalecer los resultados de la investigación y la práctica educativa sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática financiera y, para ello, propone la Didáctica Crítica de esta asignatura. Aspira a que se tomen en cuenta los supuestos básicos, las metas y objetivos de la Educación Matemática Crítica y el marco de conocimientos en que tiene lugar el aprendizaje y la enseñanza. Así, la pregunta de Paulo Freire podría transformarse de “ustedes tienen 10.000 dólares y los llevan al banco donde obtendrán 3% por concepto de intereses, ¿Cuánto 112

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tendrán dentro de seis meses?” a “los habitantes de una comuna han producido 215.000 bolívares fuertes (el equivalente a 10.000 dólares) y los llevan al banco, donde obtendrán el 3% por concepto de intereses que serán reinvertidos para el desarrollo endógeno de la comuna y así colaborar con el fortalecimiento del socialismo bolivariano, ¿cuánto tendrán dentro de seis meses?”. Son las mismas fórmulas a utilizar (dependiendo de si la capitalización es discreta o continua) y pareciera ser la misma pregunta, lo que varía es la posición asumida por la/el docente. Aquí ésta/e logra que la/el estudiante alcance a convertirse en docente de sí misma/o y que, al mismo tiempo, tome conciencia de que la lucha que libra en la escuela por su emancipación debe estar unida a la lucha por la emancipación de todas/os las/os oprimidas/os insertas/os en la sociedad. En suma, el autor, en concordancia con el Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática (GIDEM), al cual pertenece, considera que se debe asumir la Educación Matemática desde una perspectiva crítica y política de las relaciones sociales, económicas, culturales e históricas. Vivimos el siglo XXI, año 2010. Las cifras en dólares estadounidenses de la deuda europea a Latinoamérica y el Caribe, que hemos obtenido gracias a la matemática financiera, sabemos que es impagable en su totalidad. En pocas palabras, en lo que respecta al Reino de España, no sólo no va a pagar lo que debe, sino que tiene el tupé de: Tener en la parte posterior de la portada de los pasaportes de la Comunidad Europea estampada la figura de las tres carabelas: la Niña, la Pinta y la Santa María. Tratar mal a las personas de Latinoamérica y el Caribe, a quienes llaman, despectivamente, sudacas. Mandar a callar a presidentes elegidos por el pueblo, a través de reyes puestos por dictadores fascistas. Termino este artículo con un extracto del poeta, periodista y editor venezolano Gonzalo Fragui (2009) sobre el literato indigenista y antropólogo José María Arguedas (1911-1969): Nunca he visto mayor dolor que el del escritor peruano José María Arguedas. Todos sabían que se iba a suicidar, pero no podían evitarlo. Un día unos amigos cercanos se atrevieron a conversar sobre el tema. -¿Arguedas, qué hacemos para que no te mates?- preguntaron los amigos. Y Arguedas respondió con -posiblemente- la más triste de las frases en lengua castellana: -Eviten la llegada de los españoles-. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Resumen La Educación Bolivariana es, entre otras cosas, una manera de abordar la construcción del pensamiento emancipador y, en consecuencia, es necesario sustituir el diseño curricular anterior por la nueva manera de comprender la formación del nuevo republicano y la refundación de la República. Una parte de este diseño curricular en desarrollo la constituye el Componente Matemático, el cual permea todo el sistema, desde la Educación Inicial hasta la Educación Media General y Técnica. En este artículo se muestra los elementos constitutivos del diseño en esta área del conocimiento, su vinculación con los ejes integradores y áreas de aprendizaje donde se encuentran los contenidos, la estructura general del mismo y se detalla las modificaciones efectuadas en relación con el modelo anterior. Se destaca también, comparativamente, los elementos estructurales del área y los grados donde estos son más evidentes. Palabras clave: sistema educativo bolivariano, currículo, matemáticas.

Abstract Bolivarian Education is a way to focus the emancipator thought construction and, consequently, it is necessary to replace the previous curricular design for the new understanding way about the new republican’s formation and the Republic’s re-foundation. A part of this curriculum design development is the mathematic component, which permeates the entire system, since the Initial Education till the General Media and Technical Education. This article lists containing elements of the design in this knowledge area, its association with system integrator axes and the learning areas where contents are. Also, shows the general structure of the new design and details the made modifications related to the previous model, and highlights, in a comparative way, the structural elements of the area and the grades where these are more evident. Keywords: bolivarian educational system, curriculum, mathematics.

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1. Introducción Una de las grandes preocupaciones en el país, en los últimos años, ha sido la construcción de un diseño curricular pertinente, acorde con los diferentes procesos de cambio que surgen en la complejidad de una sociedad en continua transformación. Tal preocupación se manifiesta en algunos hechos concretos ocurridos en el tránsito de este camino, entre los que se encuentran: la convocatoria a una Asamblea Constituyente Educativa (1999), que fue impulsada con objeto de revisar los contenidos del diseño curricular en Educación Básica y Educación Media Diversificada y Profesional (EMDYP); la creación de la figura de un Coordinador Curricular en diversas instituciones y algunas zonas educativas del país; la creación de comisiones curriculares institucionales y municipales, a fin de realizar la construcción colectiva del currículo; la publicación de las resoluciones 9, de febrero de 2004, y 64, de octubre de 2004, por parte del entonces Ministerio de Educación y Deportes, que norman aspectos filosóficos, metodológicos y operativos de los ensayos curriculares desde cada institución pública; la difusión de documentos llamados Orientación para la Construcción Curricular, de publicación anual; y las reuniones permanentes que se realizaban con los actores del hecho educativo en diversos momentos del año escolar, entre otros. Asimismo, debemos destacar la publicación de un conjunto de documentos elaborados por el antiguo Ministerio de Educación y Deportes (actualmente Ministerio del Poder Popular para la Educación), como ser: La Educación Bolivariana, Liceo Bolivariano; Adolescencia y Juventud para el Desarrollo Endógeno y Soberano (septiembre, 2004); Proyecto Simoncito, Educación Inicial de Calidad, Básico Curricular (noviembre, 2004); Sistema Educativo Bolivariano (noviembre, 2005); Escuelas Técnicas Robinsonianas (noviembre, 2004); Misión Rivas, Tomos I, II y III (abril ,2005); Misión Robinson, Tomos I y II (abril, 2005); Educación Inicial, Evaluación y Planificación (febrero, 2005). Y más recientemente: Sistema Educativo Bolivariano, versión preliminar (agosto, 2007); Currículo Nacional Bolivariano, Diseño Curricular del Sistema Educativo Bolivariano, Subsistema de Educación Inicial Bolivariana, Currículo y Orientaciones Metodológicas (septiembre, 2007); Subsistema de Educación Secundaria Bolivariana, Liceo Bolivariano; Currículo Nacional Bolivariano, Diseño Curricular del Sistema Educativo Bolivariano; Currículo del Subsistema de Educación Primaria Bolivariana; La evaluación en el Sistema Educativo Bolivariano. Estos últimos documentos tratan, de alguna forma, de compendiar los otros, que han servido de base para la discusión del currículo durante más de siete años. En la actualidad, la discusión en torno al currículo de educación básica y EMDYP se ha centrado en los aspectos filosóficos de su diseño. La construcción del mismo, implica alcanzar acuerdos en cuanto al tipo de ciudadano que se quiere que egrese de las instituciones públicas y esto se halla reflejado en la Constitución de la 118

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República Bolivariana de Venezuela (1999), la Ley Orgánica de Educación (2009) y el Proyecto Nacional Simón Bolívar, Primer Plan Socialista (PPS) 2007-2013. Se considera que en ellos se encuentran los elementos directrices que compendian los aspectos filosóficos y legales que rigen la refundación de la República Bolivariana de Venezuela. El diseño curricular en discusión orientará la formación de todos los venezolanos por un período de tiempo importante. El abordaje de la discusión de cualquier diseño curricular, implica la revisión de un numeroso grupo de aspectos que constituyen la malla de relaciones que lo definen: los objetivos de la escuela, las asignaturas o materias que conformarán los planes curriculares, los contenidos de ellas y las experiencias de aprendizajes que guiarán la práctica docente en el aula para promover la comprensión de los contenidos desarrollados, entre otras. Asimismo, han de considerarse los aspectos filosóficos, psicológicos e ideológicos que delinearán la naturaleza del hombre o mujer a egresar del sistema educativo en el que este diseño curricular está siendo desarrollado, la naturaleza del aprendizaje, los objetivos de la cultura, sus valores, sus principios, su ética y, en fin, la persona que actúa y actuará en la sociedad. En este documento se aborda solamente los aspectos relacionados con la educación en el área de matemáticas que está en la propuesta de la Educación Bolivariana, en el subsistema Liceo Bolivariano. Se presenta, de manera sucinta, una revisión de los contenidos que se desarrollan en el diseño, se realiza una revisión comparativa con el diseño anterior y se ejemplifica el análisis con la revisión en profundidad de los contenidos del séptimo grado en el área de matemática y/o primer año del Liceo Bolivariano. Para ello, partimos de la descripción de la estructura del diseño curricular de la Educación Bolivariana en general y, en particular, en el área de matemáticas. Seguidamente, describimos los niveles de educación inicial, primaria y educación media general en el área de aprendizaje de Matemática, Ciencias Naturales y Sociedad. Mostramos los contenidos del diseño curricular en el área de matemáticas que regían antes del diseño bolivariano para Educación Media (sétimo, octavo y noveno grado) y, finalmente, comparamos los diseños a objeto de precisar algunos de los cambios dispuestos entre uno y otro. Esperamos que este trabajo permita la reflexión constructiva en relación a la propuesta de un camino por el que transitan los y las estudiantes y los y las docentes, en servicio y en formación.

2. Organización del sistema educativo venezolano El sistema educativo venezolano está organizado de la siguiente manera: 1) El Subsistema de Educación Básica, integrado por los niveles de Educación Inicial, Educación Primaria, Educación Media General y Educación Media Técnica. El nivel de Educación Inicial comprende las etapas de maternal y preescolar, con edades comprendidas entre cero y seis años. Los niveles de Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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2) El Subsistema de Educación Universitaria, que comprende los niveles de Pregrado y Postgrado universitarios (Art. 25, LOE, 2009). Para responder a las exigencias de los diferentes niveles educativos y, atender a las personas que por características y condiciones específicas de su desarrollo requieren adaptaciones curriculares de forma permanente o temporal, se estipula en el sistema educativo bolivariano las modalidades del mismo, entre las que se encuentran las de Educación Especial, Educación de Jóvenes, Adultos y Adultas (incluye la Misión Robinson I, “Yo, sí puedo”, La Misión Robinson II “Yo, sí puedo seguir” y la Misión Rivas), Educación en Fronteras, Educación Rural, Educación para las Artes, Educación Militar, Educación Intercultural e Intercultural Bilingüe (Art. 26, LOE, 2009).

3. Diseño curricular de la educación bolivariana en el área de matemáticas En septiembre de 2007, el MPPPE anunció que el diseño curricular que orientará la formación de los estudiantes en EB y en EMDYP se implementará en un período de evaluación, finalizado el cual se considerarán las observaciones que los docentes en servicio, las universidades y la sociedad en general tengan a bien realizar, producto de sus evaluaciones y reflexiones. A partir de ese momento, se iniciará en las universidades y en otros sectores de la vida nacional, una discusión reflexiva relacionada con el contenido que tenían los documentos que delineaban el currículo en un próximo período de implementación. Estos contenidos estaban desglosados en los siguientes documentos: • Currículo Nacional Bolivariano, Diseño Curricular del Sistema Educativo Bolivariano. • Subsistema de Educación Inicial Bolivariana, Currículo y Orientaciones Metodológicas. • Subsistema de Educación Primaria Bolivariana. • Subsistema de Educación Secundaria Bolivariana, Liceo Bolivariano. • La evaluación en el Sistema Educativo Bolivariano. Cada uno de estos documentos contiene una particularidad del diseño curricular y, en suma, conforman la estructura que define el currículo para la nación en el Subsistema de Educación Básica. De entre estos documentos, hemos seleccionado aquellos referidos a los aspectos relacionados con los contenidos de matemáticas 120

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en los niveles de educación inicial, primaria y media, los cuales se describe a continuación de manera integrada y correlacionada con cada componente, para ilustrar su pertinencia y coherencia de manera global.

4. Nivel de Educción Inicial, básicos curriculares El currículo de Educación Inicial está sustentado en la CRBV y planteado como producto de una de construcción cultural (Grundy, 1997) y elemento dinamizador para la transformación social (Kemmis, 1996), que valora la participación y acción de las personas en una comunidad, destacando la producción social de significados culturales. El currículo de Educación Inicial está orientado al desarrollo integral de la población, desde la gestación hasta el ingreso al primer grado del nivel de Educación Primaria (MED, 2005). En la estructura curricular de Educación Inicial se contempla los siguientes elementos: ejes curriculares, áreas de aprendizaje, componentes y aprendizajes esperados, como puede observarse en el gráfico 1. Grafico 1 Estructura curricular Ejes Curriculares

Lúdico Afectividad (aquí falta algo que no se entiende)

Educación Primaria, Educación Media General y Educación Media Técnica tienen una duración de seis, cinco y seis años respectivamente.

Áreas de aprendizaje

Formación personal y social

Relación con el ambiente

Comunicación y representacion

Componentes

Aprendizajes Esperados

Identidad y Genero. Autoestima, autonomía, expresión de sentimientos, Cuidado y seguridad personal. Convivencia: interacción social, normas, deberes y derechos, costumbres, tradiciones y valores.

Definidos para maternal y preescolar

Tecnología y calidad de vida, Características, cuidado y preservación del ambiente. Relación entre objetos, eres vivos y situaciones del entorno. Procesos matemáticos: Relaciones espaciales y temporales, medida, forma, cuantificación, peso, volumen, serie numérica.

Definidos para maternal y preescolar

Lenguaje oral Lenguaje escrito Expresión plástica Expresión corporal Expresión musical Imitación y juego de roles

Definidos para maternal y preescolar

Fuente: MED, Educación Inicial Basico curriculares, 2005

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Los ejes curriculares están definidos en tres dimensiones: la afectividad, lo lúdico y la inteligencia, asociados a los aprendizajes que permitirán el desarrollo del ser social definidos en el perfil del niño o niña. La afectividad tiene como fin potenciar el desarrollo social, emocional y moral, cognitivo y del lenguaje; el eje lúdico busca promover el aprendizaje a través del juego; y el eje inteligencia está orientado a desarrollar las potencialidades tanto psicológicas como intelectuales que son inherentes en el niño y lo vinculan con el mundo físico, cultural y social (MED, 2005: 62). Los ejes curriculares permean todo el diseño y, a la vez, contienen las aéreas de aprendizajes, que pretenden dar un sentido de globalidad a los procesos de enseñanzaaprendizaje a ser vividos en los intercambios educativos. El objetivo de estas áreas es organizar las situaciones propicias para el niño y la niña, a fin de lograr aprendizajes esperados y facilitar la planificación y sistematización del trabajo docente (MED, 2005: 64). Cada área de aprendizaje supone una serie de componentes, que determinan los elementos en que se debe trabajar y profundizar para avanzar en el desarrollo y aprendizaje de los niños y niñas. Estos deben verse de forma integral, ya que los mismos no son específicos de un componente particular, además que los/las discentes abordan los saberes de manera global e integrada (MED, 2005).

5. Nivel de Educación Inicial. Área de aprendizaje: relación con el ambiente-procesos matemáticos El enfoque didáctico de la matemática en la Educación Inicial de la Educación Bolivariana, está sustentado en el hecho de que los niños y niñas construyen ciertas nociones matemáticas a partir de la interacción con su entorno y con los adultos que las utilizan, razón por la cual es necesario considerar estas en los intercambios educativos formales y no formales. Esta visión presenta una novedad frente al diseño curricular anterior. La orientación de aquel partía de la consideración del niño aún como tabula rasa en el área matemática, por lo que había que desarrollar y ejercitar el aprendizaje de esta materia de acuerdo al orden de la serie natural, centrando el trabajo didáctico únicamente en los aspectos lógicos, obviando la diversidad de relaciones cotidianas que son contentivas de temas matemáticos. La propuesta que se está aplicando en Venezuela admite los señalamientos de Vernaugd (1994) correspondientes a la necesaria contextualización de las situaciones didácticas, a fin de que los niños y niñas puedan considerar sus experiencias previas para integrar nuevos conocimientos a los ya existentes (MED, 2005b: 6). Sustentado a su vez en la concepción curricular definida anteriormente, el nuevo diseño curricular para Educación Inicial considera 122

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que la matemática es también un proceso en construcción, por lo que los niños y niñas deben explorar, practicar procedimientos y desarrollar diferentes acciones sistemáticas encaminadas a apropiarse de los aprendizajes matemáticos bajo la mediación de un/a docente. Los procesos matemáticos básicos que debe abordar el/la docente en la Educación Inicial, tanto en el nivel de Maternal como en Preescolar, incluyen: espacio y formas geométricas, la medida y sus magnitudes (peso, capacidad, tiempo, longitud), y la serie numérica. En cuanto a espacio y formas geométricas, se plantea que los niños vayan construyendo progresivamente las relaciones espaciales a partir de la estructuración del mundo que los rodea, al realizar la organización mental y representación del mismo. La propuesta expresa la necesidad de platearles a los y las estudiantes problemas sencillos que, en combinación con lo lúdico, se conviertan en situaciones didácticas que generen conflictos cognitivos superables, que garanticen la motivación del niño/a y la construcción de saberes. Para favorecer la apropiación del conocimiento espacial, así como de las formas geométricas, se orienta a los y las docentes a que consideren los elementos del entorno. En esta sección se considera, además, la enseñanza-aprendizaje de la geometría (figuras y cuerpos geométricos) e incluye la identificación de los atributos de los objetos en estudio y las relaciones espaciales. En cuanto al tiempo, el planteamiento propone la consideración de referencias externas, manteniéndose los contenidos que tienen que ver con clasificación y seriación y la serie numérica, y plantea que esta última se realice desde los diferentes contextos en que los números se utilizan y la función que desempeñan, incluyendo la cuantificación, el cálculo y la escritura numérica. La medida y sus magnitudes comprende el trabajo con longitud, peso, tiempo y capacidad, incluyendo la estimación y la utilización de diversas unidades de medida. Estas nociones no estaban incluidas de forma explícita en el diseño anterior; sin embargo, en este nuevo diseño se plantea el estudio sistemático de las mismas, las unidades de medida no convencionales y los instrumentos utilizados para medir socialmente conocidos en los contextos de los educandos.

6. Nivel de Educación Primaria. Área de aprendizaje: matemáticas, ciencias naturales y sociedad El nivel de Educación Primaria es el que debe atender a la población cuya edad esté comprendida entre los 6 y 12 años, o hasta su ingreso en el siguiente nivel. Al igual que el resto de los niveles, se sustenta en los pilares de la Educación Bolivariana: aprender a crear, aprender a convivir y participar, aprender a valorar y aprender a reflexionar, y en la CRBV. En él estan definidos las diferentes áreas de aprendizaje, siendo el área de matemáticas, ciencias naturales y sociedad la que desarrolla y Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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describe los contenidos del área de Matemáticas. Esta estructura está reflejada en el gráfico 2. Gráfico 2 Diseño curricular 2007

* FORMACIÓN PERSONAL, SOCIAL Y COMUNICACIÓN *RELACIÓN ENTRE LOS COMPONENTES DEL AMBIENTE *LENGUAJE, COMUNICACIÓN Y CULTURA

NIVELES

*MATEMÁTICAS, CIENCIAS NATURALES Y SOCIEDAD

INICIAL PRIMARIA

ÁREAS DE APRENDIZAJE

*CIENCIAS SOCIALES, CIUDADANÍA E IDENTIDAD

SECUNDARIA

*EDUCACIÓN FÍSICA DEPORTE Y RECREACIÓN *LENGUAJE COMUNICACIÓN Y CULTURA *SER HUMANO Y SU INTERACCIÓN CON OTROS COMPONENTES DEL AMBIENTE *CIENCIAS SOCIALES Y CIUDADANÍA *DESARROLLO ENDÓGENO EN, POR Y PARA EL TRABAJO LIBERADOR *ED. FÍSICA, DEPORTE Y RECREACIÓN *FILOSOFÍA, ÉTICA Y SOCIEDAD

APRENDER A: CREAR CONVIVIR Y PARTICIPAR VALORAR REFLEXIONAR

PILARES AMBIENTE Y SALUD EJES INTEGRADORES

INTEGRAL INTERCULTURALIDAD TIC TRABAJO LIBERADOR

Una revisión del área de matemáticas, ciencias naturales y sociedad para este nivel permite afirmar que el mismo presenta rasgos característicos de la etnomatemática (D´Ambrosio, 2008) y la enculturación matemática (Bishop, 1991). La justificación de esto, desde el punto de vista de la educación matemática o de la investigación en esta disciplina, se diluye en el discurso de la descripción de la praxeología sugerida al docente para llevar a cabo la acción de enseñar el área. Hay una diversidad de elementos sugeridos a los/las enseñantes en el diseño propuesto que tienen que ver con la observación del entorno y la comprensión de las relaciones propias del mismo, cargadas de elementos matemáticos, que pueden ser utilizados en la práctica docente para llevar a cabo los encuentros didácticos en esta área. Comparando este diseño con el del año 1997 (MED), vemos que el enfoque sugerido en aquel era el de resolución de problemas, mismo que se presentaba de manera explícita en el eje transversal Desarrollo del Pensamiento, que reconocía la debilidad en el área y la necesidad de mejorar su enseñanza. La resolución de problemas orienta la construcción de un pensamiento crítico y reflexivo y centra su atención en el corazón de la matemática, como lo esboza Halmos (1980). En el nuevo diseño propuesto, se plantea de forma similar en los componentes del área, para los grados primero a tercero, el desarrollo del pensamiento a través 124

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de números, formas, espacio y medidas y, la exploración y aplicación de procesos y conocimientos matemáticos y de ciencias naturales, valorando su importancia para la sociedad. Para los grados cuarto a sexto, la interpretación, aplicación y valoración de los números, las medidas, el espacio y los procesos estadísticos, y la identificación, formulación, algoritmización, estimación, proposición y resolución de problemas y actividades a través de operaciones matemáticas, indagación, elaboración, valoración y aplicación de conceptos científicos provenientes de las ciencias naturales. El diseño curricular propuesto el 2007 para la Educación Primaria, ubica lo relacionado con la matemática, según la estructura del nivel, en el área de Desarrollo lógico matemático, cuyo contenido plantea: la interrelación entre la simbología que se utiliza en matemáticas y las situaciones cotidianas; el conocimiento de los números naturales, los enteros negativos y las fracciones, así como el sistema de numeración decimal, sistema de numeración posicional y algoritmos de cálculo; la geometría, construcción de cuerpos geométricos y dibujo y medición de figuras planas; los sistemas de medidas, sistema monetario, estimaciones y toma de decisiones en la vida familiar y social; y el estudio de estadística y probabilidad para interpretar situaciones ambientales y sociales. Los aspectos innovadores que se puede desatacar en la propuesta del diseño curricular bolivariano para la Educación Primaria, es la explicitación de temas deseables a desarrollar por parte del docente en el aula, tales como: la resolución de problemas que permitan identificar el significado práctico de las operaciones básicas, la descripción de objetos y figuras geométricas del entorno escolar, familiar y comunitario, el uso de medidas convencionales y no convencionales y, la recolección de información sustentada en experiencias familiares y escolares. Igualmente, se encuentra en el diseño propuesto elementos con características similares a las de Cuentos con Cuentas (Guzmán, 1994), e inclusive la relación entre la matemática y la literatura al estilo de Rodari (2006), la poesía y los juegos con énfasis en la resolución de problemas elaborados en base al entorno. En los contenidos específicos de Educación Primaria se puede subrayar: “Formular y resolver problemas aritméticos interpretando la información cuantitativa que recibe, desarrollar habilidades de cálculo con números y cantidades de magnitudes y en solución de ecuaciones, así como sus conocimientos acerca del porcentaje y la proporcionalidad”. Otro de los aspectos que cabe resaltar en el diseño curricular propuesto es el énfasis que se hace en el desarrollo de contenidos en el área de geometría, como se evidencia en los objetivos específicos del currículo de Educación Primaria: Identificar y describir las figuras y cuerpos geométricos que aparecen representadas en objetos del medio que los rodea, mediante el conocimiento de sus propiedades esenciales, deducir, nuevas propiedades a partir de ellas, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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argumentar proposiciones y poder establecer relaciones, tales como: la igualdad geométrica, el paralelismo y la perpendicularidad entre sus elementos, a fin de que pueda apropiarse de estrategia de pensamiento lógico.

En la parte correspondiente a las áreas, en los núcleos de contenido, se puede destacar: la importancia que se le atribuye a la comprensión y utilización del uso de los números y las operaciones aritméticas en el entorno familiar y en la vida cotidiana y, la geometría relacionada con la resolución de problemas a través de las relaciones geométricas; la utilización de los diferentes sistemas de medida para la toma de decisiones adecuadas ante sucesos concretos de la comunidad; y la utilización de la estadística y la probabilidad como herramientas para el análisis de informaciones obtenidas de la realidad. Otro aspecto novedoso en el nuevo currículo propuesto consiste en la incorporación de valores en la enseñanza de la matemática, en particular, la honestidad en situaciones de intercambio comercial, el análisis de los resultados desde el punto de vista cualitativo y para la toma de decisiones, la defensa del medio ambiente, la salud, la promoción de una sociedad más justa y equitativa, y una mejor calidad de vida.

7. Nivel de Educación Media General. Área de aprendizaje: matemáticas, ciencias naturales y sociedad El programa de estudio de Educación Básica para la tercera etapa, propuesto por el Ministerio de Educación para el año 1987, que se está implementando actualmente, propone de forma sucinta los contenidos que se muestran en el siguiente cuadro: Cuadro 1 Programa de estudio y manual del docente. Tercera Etapa. Educación Básica Séptimo grado

Octavo grado

Noveno grado

Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita en N, en Z.

Funciones. Funciones entre conjuntos numéricos. Función biyectiva. Funciones afines, representación gráfica.

(R, +, . , <). Representación gráfica de números irracionales, aproximaciones racionales a números reales.

Conjuntos numéricos: Z, (Z. +, . ,<); (Q, +, . , <).

Resolución de problemas en Z. Resolución de problemas en Q.

Resolución de problemas.

Potenciación en Z, con exponente natural y propiedades. Potenciación en Q, con exponente enteros. Notación científica.

Proyecciones ortogonales de puntos y segmentos sobre una recta. Sistema de ejes de coordenadas rectangulares.

Potencia de número reales con exponente entero. Potencia de números reales con exponente racional. Operaciones con radicales, leyes de potenciación. Racionalización.

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Relaciones “divide a” y “es múltiplo de” en Z, mcm, mcd.

Vectores. Vectores equipolentes, (V, +), enfoque geométrico y enfoque analítico. Producto de un número real por un vector.

Raíz enésima de un número real. Cálculo de la raíz cuadrada.

Resolución de problemas para cada uno de los contenidos anteriores.

Traslaciones de figuras planas, rotación.

Valor absoluto. Ecuaciones con valor absoluto.

Geometría plana: circunferencia, círculo, rectas y segmentos de rectas; triángulos y cuadriláteros; polígonos y sus elementos; resolución de problemas; cálculo de áreas; volumen, relaciones de medida de volumen y capacidad. Resolución de problemas.

Simetría axial a figuras planas.

Distancia entre dos puntos en la recta. Sistema de coordenadas cartesianas. Distancia entre dos puntos del plano.

Probabilidad básica y estadística descriptiva.

Congruencia de figuras planas. Congruencia de triángulos.

Intervalos en R, notación, representación gráfica. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones con valor absoluto, sistema de inecuaciones.

Algoritmos, introducción al procesamiento de datos, estructura y funcionamiento de los computadores, aplicaciones.

Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos determinados por una secante que corta a dos rectas paralelas.

Funciones reales. Estudio de la función afín. Estudio de la función cuadrática. Ecuación de segundo grado.

Polinomios. Función polinómica. (Q[x], +, .), división de polinomios, valor numérico. Productos notables.

Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Sucesos independientes. Probabilidad compuesta de sucesos independientes. Medidas de tendencia central con datos agrupados.

Teorema de Pitágoras. Teorema de Euclides. Teorema de Thales. Resolución de problemas.

Diagramas de flujo. Resolución de problemas con ayuda del computador. Lenguajes del computador.

Semejanza de triángulos. Nociones elementales de estadística y probabilidad. Elementos de un computador. Elementos fundamentales de Programación.

Al revisar y comparar los contenidos propuestos en el diseño del año 1987 con los del diseño del Liceo Bolivariano, observamos que éste: incorpora de forma temprana los conceptos de estadística y su utilización en la interpretación del entorno escolar, familiar, comunitario y nacional; ubica los contenidos geométricos correspondientes Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Componente matemático del diseño curricular

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a movimientos en el plano en el primer y segundo año de bachillerato e introduce el sistema de ejes cartesianos; y agregan, además, el estudio de los ángulos que se forman cuando una secante corta a dos paralelas. Estos conceptos estaban incluidos en el programa de segundo año de bachillerato. En el mismo está propuesto el estudio del concepto de semejanza, aplicaciones del álgebra vectorial y el conocimiento de los números reales, como en el diseño actual para noveno grado. Se incorpora de manera explícita el concepto y estudio de funciones, incluyendo las operaciones con estos entes matemáticos. Permanece el estudio de los polinomios. Para tercer año de bachillerato, se ubica la trigonometría (que estaba propuesta para el cuarto año), el estudio de los conceptos de congruencia y semejanza de triángulos, teoremas de Pitágoras, Euclides y Thales, y se plantea el estudio de construcciones con regla y compás de manera explícita. El cálculo de ecuaciones e inecuaciones con una incógnita lineales y no lineales (cuadráticas), con dos incógnitas y la utilización de paquetes de cálculo para su resolución. Asimismo, se plantea el estudio de la estadística hasta las medidas de dispersión (desviación estándar y varianza). Para cuarto año, se propone los conceptos de variaciones y combinaciones, binomio de Newton y Probabilidad (ubicadas anteriormente en quinto año), y profundizar en los conceptos de trigonometría y funciones logarítmicas y exponenciales, así como en las aplicaciones de estos conceptos. Para el quinto año, se mantiene el estudio de las cónicas, referenciándolas con la astronomía, así como también el estudio de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordán, las matrices y sus aplicaciones. Se introduce las ideas de límite, continuidad y derivada, y las propiedades y operaciones con estos objetos. Estos últimos conceptos son todos nuevos para el nivel y, generalmente, son introducidos en los primeros semestres de estudio en las universidades nacionales.

Cálculo con números racionales. Operaciones básicas de cálculo con interpretación geométrica. Concepto de número entero y número racional. Representación en la recta numérica de números racionales. Orden. Conjuntos numéricos: Z, (Z. +, . , < ); (Q, +, . , <).

Orden de los números racionales. Identificación e interpretación de números en los que se expresan cantidades de objetos y magnitudes en diferentes contextos de la vida cotidiana. Potenciación en Z, con exponente natural y propiedades. Potenciación en Q, con exponente entero. Notación científica. Relaciones “divide a” y “es múltiplo de” en Z, mcm, mcd. Resolución de problemas para cada uno de los contenidos anteriores.

Primer año

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Resolución de problemas numéricos de construcción, cálculo y demostración de propiedades de figuras geométricas. Las figuras planas, sus propiedades y relaciones (segmentos, rectas, ángulos, triángulos, cuadriláteros, circunferencia y círculo). Notación de objetos geométricos. Estimación y cálculo de magnitudes (perímetros y áreas). Sistema Internacional de Unidades. Nociones de frecuencia absoluta, relativa, acumulada, media aritmética, mediana, media geométrica, moda y media ponderada.

Probabilidad descriptiva.

básica

estadística

Área: Desarrollo lógico matemático Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita en N, en Z.

Estos conceptos están propuestos a ser estudiados en la escuela primaria.

Estimación y cálculos de perímetros y áreas. Trabajo con fórmulas

Cuadro 2

Séptimo grado

Interpretación de datos cuantitativos.

Estimación y cálculos de magnitudes (perímetro y área).

En el siguiente cuadro mostramos, a modo de ejemplo, la comparación entre el sétimo grado del diseño de 1987 y el primer año del diseño propuesto en septiembre de 2007, descrita anteriormente.

Comparación entre el sétimo grado (diseño 1987) y el primer año (Liceo Bolivariano 2007)

Operaciones básicas de cálculo con números racionales e interpretación geométrica.

Cálculo de la media aritmética, la mediana, la moda, media geométrica y ponderada. Trabajo con fórmulas. Construcción de tablas y gráficos empleando las tecnologías de la información y la comunicación. Organización y procesamiento de datos cuantitativos en situaciones diversas, aplicando conceptos básicos de la estadística descriptiva. Situaciones del entorno escolar, comunitario y nacional.

Utilización de variables en el cálculo con números naturales, enteros, fraccionarios y racionales. Resolución de ecuaciones lineales. Interpretación de las variables en los diferentes dominios numéricos.

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Componente matemático del diseño curricular

Orlando Mendoza

Ministerio de Educación y Deportes. (2005). Educación Inicial. Básicos Curriculares. Caracas: Torino.

Algoritmos, introducción al procesamiento de datos, estructura y funcionamiento de los computadores, aplicaciones.

Ministerio de Educación y Deportes (2005). Educación Inicial. Procesos Matemáticos. Caracas: Autor.

Ubicación en la recta numérica. Movimientos del plano: traslación, rotación y simetría axial. Procedimientos para la construcción de figuras planas en situaciones de la vida práctica.

8. Conclusiones El diseño curricular de la Educación Bolivariana en el área de Matemática, propuesto en el 2007, posee una estructura uniforme en cuanto a lo que constituyen las orientaciones legales, filosóficas, epistemológicas, sociológicas, educativas y pedagógicas, característica que no poseía el diseño anterior. Su implementación viene realizándose de manera paulatina en los liceos bolivarianos. En este desarrollo, se ha modificado la estructura tradicional de asignaturas y horarios rígidos, a objeto de poder implementar el diseño con la estructura de proyectos de aprendizaje. Entre las dificultades que se presentan encontramos la falta de concentración de los profesores en la misma institución y la formación de los mismos, que responde al paradigma conductista y a la segmentación del conocimiento. La uniformidad en el diseño permite avanzar en los objetivos del currículo; sin embargo, aún se presentan diferencias entre la preparación que reciben los docentes en algunas universidades encargadas de esta tarea y el docente necesario para el Sistema Bolivariano en desarrollo.

Ministerio de Educación. Dirección General Sectorial de Educación Básica, Media Diversificada y Profesional. Dirección de Educación Básica. (1998). Currículo Básico Nacional. Programa de Estudio de Educación Básica. Segunda Etapa. Sexto Grado. Caracas: Autor. Ministerio de Educación. Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto. División de Currículo. (1987). Programa de Estudio y Manual del Docente. Tercera Etapa. Educación Básica. Asignatura Matemática-Física. Caracas: Autor. Ministerio de Educación Cultura y Deportes. (1998). Currículo Básico Nacional. Programa de Estudio de Educación Básica. Primera Etapa. Tercer grado. Caracas: Autor. Ministerio del Poder Popular Para la Educación. (2007). Diseño Curricular del Sistema Educativo Bolivariano. Caracas: Autor. Posner, G. J. (2002). Análisis del Currículo. Docente del siglo XXI. México: McGrawHill. Rodari, G. (2006). Gramática de la fantasía: Introducción al arte de contar historias. Barcelona: Bronce.

Bibliografía Guzmán, M. (1984). Cuentos con cuentas. Barcelona: Labor. Grundy, S. (1997). Producto o Praxis del Currículum. Madrid: Taurus. Kemmis, S. (1993). El currículum: más allá de la teoría de la reproducción. Madrid: Morata. Mendoza, O. (2002). Diagnóstico del Fracaso de la Educación Matemática en Educación Básica. Una perspectiva curricular. Tesis de maestría no publicada. Caracas: universidad Pedagógica Experimental Libertador. Ministerio de Educación. Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto. División de Currículo. (1987). Programa de Estudio y Manual del Docente. Tercera Etapa. Educación Básica. Asignatura Matemática-Física. Caracas: Autor. 130

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Investigación-acción participativa, crítica y transformadora

Investigación-acción participativa, crítica y transformadora Un proceso permanente de construcción Rosa Becerra Hernández

Instituto Pedagógico de Caracas UPEL-IPC Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática (GIDEM) República Bolivariana de Venezuela rosabecerra3@yahoo.com

Andrés Moya Romero

Instituto Pedagógico de Miranda UPEL-IPMJMSM Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática (GIDEM) República Bolivariana de Venezuela moyaromer@yahoo.com

Resumen En la actualidad, existe una reacción contra un proceso de acumulación de conocimientos que responde a modelos de investigación que han legitimado estructuras de poder que, a su vez, han perpetuado conflictos no resueltos, en particular en nuestra sociedad latinoamericana. En este trabajo, proponemos una alternativa de investigación enmarcada en una visión crítica y emancipadora, planteando una serie de elementos que permitan la emergencia de una forma distinta de asumir la relación teoría-práctica, considerando el conocer como un proceso signado por el diálogo entre iguales, por lo que la reflexión y la construcción del conocimiento se consolidan como un hecho social, dentro del ámbito de un quehacer educativo profundamente humano. Esta forma de concebir la investigación conduce a la formación de valores democráticos y, por tanto, de una nueva concepción de ciudadanía. En esta propuesta, el investigador es un ser social e histórico, comprometido con una aspiración ética y política. Consideramos que la puesta en práctica de un modelo de investigación-acción participativa y transformadora, del que la crítica y la reflexión sean partes esenciales, puede ayudar en los necesarios procesos de cambio y emancipación, aspiración legítima de una sociedad que lucha por ser protagonista de su propio destino. Palabras clave: investigación-acción, visión crítica, participación, transformación, emancipación.

Abstract At the present time, there is a reaction to a process of knowledge accumulation that responds to research models that have legitimized power structures which, at its turn, have perpetuated unsolved conflicts, in particular, in our latin american society. This paper proposes an alternative research framework placed in a critical and emancipator vision, setting up a series of elements which enable to emerge a different way to assume the relationship between theory and practice, considering knowledge Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Rosa Becerra Hernández - Andrés Moya Romero

as a process marked by dialogue between equals, so the thinking and knowledge construction becomes a social fact, within the scope of an educational work of profound humanity. This way of conceiving the research leads to the formation of democratic values and, therefore, to a new conception of citizenship. In this proposal, the investigator is seen as a social and historical human been, committed with ethical and political aspirations. We believe that the implementation of a transforming and participative action-research model, where critics and reflexivity are essential parts of it, can support the necessary change and emancipation processes, a legit aspiration of a society struggling to be protagonist of his own destiny. Keywords: action-research, critical vision, participation, transformation, emancipation.

1. Introducción El conocimiento, tal como lo plantea Stavenhagen (2006), se ha venido convirtiendo cada vez más en un elemento de poder. La acumulación de conocimientos no ha significado, para la mayoría de los países latinoamericanos, una mejora en las condiciones de vida de sus habitantes. Dicha acumulación ha sido usufructuada por sectores minoritarios que, apropiándose de ese conocimiento para sus fines particulares, han permitido la continuidad de situaciones tales como alta mortalidad infantil, deserción y exclusión escolar, analfabetismo, desempleo y relaciones asimétricas en la distribución de ingresos, entre otras muchas problemáticas que nos aquejan. Ese proceso va de la mano con un modelo de investigación que privilegia la generación de información sin pertinencia social, contribuyendo al mantenimiento de patrones que han entronizado sociedades regidas por conductas individuales, ajenas a los intereses colectivos y que son el soporte para perpetuar estructuras de poder. En este trabajo, planteamos una ruptura con esa concepción de la investigación que sólo se ha ocupado de esa mera acumulación de conocimientos. Postulamos una forma de investigar ligada a nuestra práctica educativa, una educación regida por una condición profundamente humana que implica una comprensión cabal de la sociedad en que estamos inmersos y que nos permita la construcción de una conciencia crítica que, conjuntamente la comprensión e interpretación de las situaciones, conduzca a la ejecución de planes de acción que permitan una verdadera transformación de una realidad que nos ha sido impuesta por diversos mecanismos de poder. Estamos de acuerdo con Freire (1990) en que “sustituir simplemente una percepción ingenua de la realidad por otra crítica no es suficiente para que los oprimidos se liberen”, pero resulta un deber ineludible de los que creemos que un mundo mejor es posible creando los espacios necesarios para avanzar hacia una investigación que esté comprometida con el saber y con el hacer, con la participación y con la acción, con el desarrollo de una conciencia crítica que conduzca hacia procesos de transformación. 134

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2. Una visión crítica y emancipadora de la investigación Como formadores de docentes e investigadores en el campo de la educación, consideramos indispensable ubicar al lector en lo que concebimos como nuestra práctica educativa, vista como un hecho social determinado a través del tiempo. Para que esta práctica educativa, en un contexto social determinado, alcance su nivel más alto y se vuelva dinámica y fructífera debe incluir, como plantean Ruiz y Rojas Soriano (2001), la investigación. Esta unión indisoluble de docencia e investigación está respaldada por Freire, quien asegura que “Educación e investigación temática, en la concepción problematizadora de la educación, se tornan momentos de un mismo proceso” (1974: 131-132). Por lo tanto, concebimos la investigación aunada a la práctica educativa, agregándole a ésta un valioso instrumento de reflexión y acción que permitirá al docente-investigador mejorar su intervención educativa. Este tipo de práctica educativa conducirá, como plantean Ruiz y Rojas Soriano, a “formar individuos críticos de su realidad histórica e interesados en la construcción del conocimiento a través de su participación en procesos concretos de investigación” (2001: 118). Así, un primer elemento que caracteriza nuestra idea de investigación será el papel preponderante de ésta al recrear y transformar el quehacer docente. El segundo elemento lo constituye el reconocimiento de la concepción de la relación teoría-práctica y el intento de constituirla en una sola unidad dialógica, en la que la consideración educacional de la teoría queda determinada por la manera en que se relaciona con la práctica y esta práctica modifica a su vez nuestras referencias teóricas. Debemos tomar conciencia de la supuesta dicotomía teoría-versus-práctica; para nosotros, ella constituye un falso dilema a ser resuelto (Becerra y Moya, 2008a). Un obstáculo fundamental a superar es la concepción inicial de que la teoría es lo ideal, mientras que la práctica es lo real, lo concreto, lo verdadero. Ello produce un divorcio entre la teoría y la práctica, porque desde esa perspectiva los docentes se sienten “amenazados” por la teoría (Elliot, 2000a). Esta separación entre teoría y práctica ha sido una de las características fundamentales del paradigma positivista. La crítica más importante que realizan Carr y Kemmis (1988: 91) ante la característica definitoria de este enfoque es el hecho que la teoría orienta la práctica. Así: ... el problema de la teoría y la práctica descansa en la convicción de que es posible producir explicaciones científicas de las situaciones educacionales, de tal manera que aquellas sean utilizables para tomar decisiones objetivas en cuanto a las posibles líneas de acción.

Este planteamiento implica que al científico-investigador de la educación le compete recomendar las políticas educativas a instrumentar y al educador ejecutarlas, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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lo que, desde nuestro punto de vista, reduce al docente casi exclusivamente al papel de aplicar el producto del conocimiento que otros han generado. Con base en la crítica que hacen Carr y Kemmis, surge la opción de la investigación en el paradigma socio-crítico, como una forma de indagar que intenta incorporar una comprensión de la naturaleza indisoluble de la unidad teoría-práctica. Se plantea así que esta relación teoría-práctica no puede limitarse, por una parte, a prescribir una práctica sobre la base de una teoría y, por la otra, a informar el juicio práctico. Carr y Kemmis sostienen (y nosotros compartimos esta posición) que la ciencia social crítica considera la unidad dialéctica de lo teórico y lo práctico. Para explicar esto, siguen los planteamientos de Habermas referidos a la “organización de la ilustración”, que constituye “el proceso social por medio del cual se interrelacionan las ideas de la teoría y las exigencias de lo práctico” (Carr y Kemmis, 1988: 157). Esto último se da gracias a las funciones mediadoras entre lo teórico y lo práctico que señala Habermas. Desde la relación teoría-práctica, consideramos un tercer elemento, que está relacionado con el hecho de que toda investigación implica un deseo de conocer, un querer saber sobre algo; por tanto, es necesario detallar nuestras consideraciones acerca de lo que significa una comprensión profunda del tema que se está abordando. En primera instancia, asumimos que el conocer siempre se trata de un proceso que no termina con la culminación de una investigación. Los resultados de las distintas investigaciones son aproximaciones sucesivas que permiten ir conformando verdades temporales y compartidas. Esto lleva a una desmitificación del conocimiento como algo estático e inmutable, a considerarlo como algo que está por hacer, en proceso, en tránsito, in vía (Bigott, 1992). Como investigadores, estamos comprometidos con la búsqueda de una verdad, proceso en el que el propio investigador es un sujeto de conocimiento y, en términos epistemológicos, compartimos la posición de Freire en cuanto a que “el objeto de conocimiento no es un término de conocimiento para el sujeto de conocimiento, sino una mediación de conocimiento” (1990: 113). En función de lo anterior, entendemos el conocer como un proceso dialéctico donde “mi visión” no impera sobre la “visión del otro”, donde mis creencias no tienen mayor validez que las creencias de los otros. Esto llevaría a la constitución de un cuarto elemento, el diálogo. Este es una herramienta fundamental de la investigación, entendido como algo más que una simple conversación o un animado intercambio de ideas. Ese diálogo implica la confrontación de puntos de vista distintos acerca de intereses comunes, no con la intención de imponer una idea sobre otra que consideremos menos acertada, sino con la finalidad de entender, de conocer y de avanzar en la búsqueda de la verdad que se comparte con otros (Fierro, Fortoul y Rosas, 1999). 136

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Un quinto elemento fundamental de nuestro quehacer investigativo es que la reflexión y construcción no se realizan en solitario: el hombre es un ser social, un ser histórico. Para nosotros, dentro de las dimensiones ontológicas, epistemológicas y axiológicas que marcan nuestro quehacer como investigadores, la búsqueda del conocimiento es un hecho social. La construcción del conocimiento cobra sentido dentro de su posibilidad cierta de pertinencia social. El sexto elemento es la relación, no siempre respetada por el pluralismo metodológico, entre epistemología y metodología, en el marco de una educación que pretendemos, además de crítica y constructiva, definitivamente humana. En nuestro andar investigativo intentamos comprender y explicar cómo obtenemos conocimiento de la realidad, cómo desentrañamos las interpretaciones que realizamos y las comprensiones a las que arribamos (Becerra, 2003 y 2006; Moya, 2008). En ese mismo orden, en las últimas décadas del siglo XX, se gestó un proceso mundial de reformas económicas basadas en parámetros neoliberales y en la globalización de las economías nacionales. Es así como se erige un icono del conocimiento: la concepción de “verdad única”, impoluta, ligada a la modernidad. Al respecto, Kincheloe, en su obra Hacia una revisión crítica del pensamiento docente, asegura: “Seducidos por su proclamada neutralidad, científicos y educadores utilizan la epistemología cartesiano-newtoniana en su búsqueda de la tierra prometida de la verdad impoluta” (2001: 14) y, en nombre de esa neutralidad de la que nos habla este autor, se ha asumido como visión y misión de la escuela la transmisión de cultura sin comentarios, para lo cual se ha dividido los conocimientos con la intención de insertarlos uno a uno en la mente de los estudiantes. Ante este panorama, creemos nuestro deber dejar muy clara la racionalidad que sustentamos. Asumimos una perspectiva en la que, a partir de la interacción de los sujetos con la realidad y la dialógica entre ellos mismos, emergen los significados. Creemos que los individuos pueden construir entendimientos diferentes de una misma realidad pero que, al propiciar el diálogo y las argumentaciones sinceras entre ellos, pueden en su interacción construir conocimientos sociales pertinentes a ellos mismos y a su propia realidad, superando de esta manera los autoentendimientos distorsionados. Así, nos alejamos de la falsa dicotomía sujeto-objeto, ya que objetividad y subjetividad, desde la perspectiva epistemológica asumida, son mutuamente constitutivos. Un séptimo elemento que guía nuestra idea de investigación, está ligado al inalienable derecho a participar activa y conscientemente en la construcción de una nueva ciudadanía, de incrementar esa nuestra participación y la de nuestros estudiantes en el marco de una investigación y una educación comprometidas con el desarrollo pleno del hombre como ser social (Becerra y Moya, 2008b). El alcance de esa ciudadanía nos impone la construcción de un marco ideológico en el cual Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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debe propiciarse el surgimiento de una concepción de un ciudadano comprometido plenamente con su sociedad. Así, orientamos la investigación en pro del desarrollo de docentes críticos que, como plantea Martín, perciban “la interdependencia entre hechos y fenómenos aparentemente inconexos”; un tipo de docente que, reconociéndose como individuo mediado por la sociedad, su formación y la comunidad de práctica, haga uso del pensamiento dialéctico en el que, al plantear “las consecuencias de un acto o fenómeno, piensa en términos de posibilidades de un signo (qué beneficios genera y a quién) y del signo contrario (qué perjuicios provoca y a quién)” (1997: 24-25). Como octavo y último elemento, pero no menos importante, de ninguna manera asumimos una concepción de investigación pensándonos neutrales. De acuerdo con el paradigma socio-crítico, la investigación no puede considerarse como un ámbito neutral, ya que en toda investigación, de manera consciente o inconsciente, se eligen las reglas que guiarán la misma y ningún investigador escapa a ellas. Compartimos entonces lo señalado por Kincheloe: “La revelación de la teoría crítica sobre las presuposiciones ideológicas ocultas dentro de la investigación educativa, marcó el fin de nuestra inocencia” (2001: 228). Bigott, en su libro Investigación alternativa y educación popular en América Latina, presenta la visión más cercana a la idea que sostenemos del proceso de investigación en educación. Este docente venezolano concibe la investigación como “… un proceso de producción de conocimientos que se socializa y produce rupturas en el monopolio del saber” (1992: 106). Este autor responde así, de manera coherente con su concepción de investigación, a dos preguntas fundamentales: ¿para quién? y ¿para qué? investigar. La respuesta a la primera interrogante está ligada a los “actores de la actividad educacional” y la respuesta a la segunda, al hecho de que “se produzcan cambios significativos”. La conjunción de los ocho elementos mencionados nos lleva a proponer la investigación-acción participativa, crítica y transformadora como una alternativa para el desarrollo de nuestra práctica educativa, una opción que se enfrenta a concepciones anquilosadas del conocer y el saber, que lucha por romper un statu quo que ha enmascarado realidades y que ha conllevado a procesos de domesticación. Nos comprometemos con una investigación que comprenda e interprete realidades pero que se atreva a ir más allá, que trascienda la necesaria comprensión de la realidad para avanzar hacia procesos de transformación de esa realidad.

activo en la mejora de sus condiciones de vida, cuyos orígenes intelectuales llegan a Aristóteles, aunque lo ubique en el siglo XX como proyecto particular en las naciones democráticas de occidente, situando entonces a la investigación-acción como una “derivación salida de la raíz del método científico que se remonta al movimiento de la Ciencia de la Educación de finales del siglo XIX” (1999: 28). Igualmente, afirma la existencia de datos que demuestran la utilización de la investigación-acción en iniciativas sociales anteriores a Lewin y respalda su afirmación al citar al Comisionado de EE.UU. para Asuntos Indios, Collier, quien en 1945 escribió: “de práctica hagan uso del pensamiento dialéctico, en donde al plantear las consecuencias de un acto o fenómeno, piensa en términos de posibilidades de un signo (qué beneficios genera y a quién) y de signo contrario (qué perjuicios provoca y a quién)”. Puesto que el administrador y el profano deben poner en práctica los resultados de la investigación y criticarlos por medio de su experiencia, ellos mismos deben participar creativamente en la investigación impulsada ya a partir de su propia área de necesidad (McKernan, 1999: 28). A pesar de esta aparente divergencia sobre los orígenes de la investigaciónacción, la vigencia de los principios enunciados por Lewin en 1946 es mostrada por Pérez Serrano (1998: 139) al asegurar que en la investigación-acción “el carácter participativo, el impulso democrático y la contribución simultánea al cambio social y a la ciencia social” se hacen realidad. Esos principios, en los que la investigación-acción es entendida como investigación-intervención, han sido desarrollados posteriormente por quienes como Carr y Kemmis (1988), Cohen y Mannion (1990), Pérez Serrano (1998), Grundy (1998), Mora (2002) y otros, muestran cómo el carácter participativo de este tipo de investigación se evidencia en la acción que involucra y desdibuja fronteras entre los sujetos sociales de la misma. Estos autores le asignan también un carácter democrático, ya que los involucrados asumen roles activos y toman decisiones conjuntas en cada etapa de la investigación, pudiendo compararse esta dimensión democratizadora de la investigación-acción con el proceso de concienciación sustentado por Freire (1974).

Elliott (2000a) y Pérez Serrano (1998) mencionan a German Kurt Lewin como pionero de la investigación-acción; sin embargo, Mckernan la presenta como un paradigma de investigación social en el que los individuos desempeñan un rol

Kemmis y McTaggart (1988) enuncian la investigación-acción como una forma de indagación introspectiva colectiva, asumida por los actores sociales en una determinada situación, con miras a mejorar la racionalidad y justicia de sus prácticas sociales o educativas, así como también la comprensión de esas prácticas y de los ambientes donde se desarrollan. Escudero, por su parte, plantea que la investigaciónacción va más allá de unas normas establecidas que guían una investigación educativa, que es “... un método de trabajo, no un procedimiento; una filosofía, no una técnica; un compromiso moral, ético, con la práctica de la educación, no una simple manera de hacer las cosas de otra manera” (citado en Pérez Serrano, 1998: 151).

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3. La investigación-acción: orígenes y perspectivas

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De esta forma, la investigación-acción que proponemos realizar se manifiesta en una acción deliberada y, como hemos postulado anteriormente, la actividad investigativa en nuestra aula y en los diversos espacios de nuestras instituciones está nuevamente “orientada a la solución de un problema en particular, el cual puede ser guiado de manera individual, pero que sin embargo adquiere una connotación más amplia en el trabajo colectivo, en donde es un grupo quien conduce la investigación” (Becerra, 2003: 38).

investigadores críticos, al identificar algunas de las terminologías utilizadas por estos últimos en las primeras ideas de Lewin, tales como colaboración, dinámica de grupo, y espiral de ciclos reflexivos de acción. Sin embargo, las semejanzas mostradas llegan sólo hasta allí, pues este autor no establece claramente la vinculación en términos de la emancipación de los individuos involucrados en la acción investigativa, lo que constituye un elemento irreductible de la investigación con fundamento en la teoría crítica.

4. Modelos teóricos del proceso de investigación-acción

Modelo 2: investigación-acción práctico-deliberativa

Mckernan (1999) propone tres tipologías determinadas en las que divide el proceso de investigación-acción, la primera basada en la visión científica de la resolución de problemas, la segunda en los procesos de interpretación, denominada por el autor práctico-deliberativa, y la tercera de naturaleza crítico-emancipadora, postulada por investigadores de la universidad de Deakin, Australia, con sustento teórico en los postulados de la teoría social crítica.

El objetivo de los investigadores identificados con esta corriente es la interpretación de la práctica para la resolución inmediata de problemas. En este tipo de investigaciónacción, los procesos son definitivamente más relevantes que los productos finales. La preocupación por lo práctico mostrada por Oakeshott (1962), establece la relación entre el deseo de todo ser humano de mejorar y la práctica misma:

Modelo 1: investigación-acción científica En esta primera tipología desarrollada por Mckernan, se puede encontrar fundamentos del método científico de Taba y Noel (1957), que enuncian: El desarrollo de los proyectos de investigación-acción tiene que avanzar por ciertos pasos que están indicados en parte por los requisitos de un proceso de investigación ordenado, en parte por el hecho de que los investigadores aprenden mientras avanzan, y en parte porque, esencialmente, está indicado un procedimiento inductivo. (Citados en Mckernan, 1999: 36)

Se desarrolló, bajo esta visión, un modelo liderado por Lewin y sus colaboradores que se centró en el problema de la toma de decisiones en grupo para propiciar cambios sociales. Este modelo muestra las modificaciones que se puede introducir en un proceso social y la observación científica de esos cambios. Mckernan (1999) afirma que a Lewin se le podía denominar como teórico-práctico, puesto que abogaba por una interacción entre la teoría y los hechos desarrollando una serie de pasos de acción que constituirían su propuesta, a saber: planificación, identificación de hechos, ejecución y análisis. El proceso de investigación-acción, según Lewin, comienza con una idea o problema seguido por la identificación de los hechos, lo cual converge en un plan general de acción puesto en práctica y evaluado mediante un proceso de supervisión, que permitirá revisar la efectividad del plan, su ejecución y modificación posterior.

Así pues, en la actividad práctica, toda imagen es el reflejo de un yo (self) deseante, comprometido en construir su mundo y en continuar reconstruyéndolo de tal manera que le proporcione placer. El mundo aquí consiste en lo que es bueno para comer y lo que es venenoso, lo que es amistoso y lo que es hostil, lo que es susceptible de control y lo que se resiste a él. Y cada imagen se reconoce como algo de lo que hacer uso o que explotar. (Citado en Mckernan, 1999: 41)

En el Reino Unido, Stenhouse (1968a, 1968b) propuso el modelo de “proceso” y, por lo tanto, se lo considera representante de esta corriente, debido también a varias de sus ideas fundamentales, como la del investigador-presidente neutral y, especialmente, la del Humanities Currículum Project. Según los investigadores identificados con este tipo de investigación-acción, los ciclos individuales de investigación son utilizados solamente para plasmar algunos significados, pero el asiento de la investigación se evidencia a través de más evaluaciones y una experimentación adicional. Por su parte, Schön (1998) generó una especialidad en el campo del profesor-investigador en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts, por sus siglas en inglés), al desarrollar el concepto del profesional reflexivo.

Mckernan afirma la existencia de un vínculo efectivo entre la tipología de la investigación-acción llevada adelante por Lewin y el desarrollo efectuado por

En este tipo de investigación-acción, destacan dos elementos (Pérez Serrano, 1998), la espiral del proceso y el foco en el plan de acción, que permiten ampliar y clarificar el diagnóstico de la situación problematizada. En el marco de esta corriente, encontramos los trabajos elaborados por Elliott (2000a, 2000b), de orientación eminentemente diagnóstica, en los que la comprensión que el profesor tenga del problema juega un papel preponderante. Para Elliott, la investigaciónacción forma parte de un paradigma moral desarrollado por los profesores y no por los investigadores intelectuales, paradigma en el que la reflexión sobre la práctica se percibe en términos diferentes a aquella que involucra investigadores externos.

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Modelo 3: investigación-acción educativa-crítica-emancipadora En adición a los planteamientos anteriores, Carr y Kemmis (1988) enuncian que la investigación-acción, más que una acomodación de la teoría a la práctica, o viceversa, es “... una transición de lo irracional a lo racional, del hábito a la reflexión, de la dependencia a la emancipación crítica” y nos ofrecen una dimensión particular de la investigación-acción, en la que se “... da prioridad a una crítica de las prácticas que frustran el logro racional de metas” (Mckernan, 1999: 45). Este tipo de reflexión sobre la práctica con especial atención en la crítica de la misma, resulta de especial significado para nuestra concepción de investigación-acción y su implementación en la formación del profesorado, lo cual involucra también la formación permanente de los docentes miembros del grupo de investigación al cual pertenecemos. Entre las actividades propuestas en este modelo, tenemos la identificación de estrategias de acción planteadas, el llevarlas a cabo y someterlas sistemáticamente a la observación, reflexión y cambio. Esta última corriente tiene su base en la construcción de un paradigma distinto al del positivismo y en el que se evidencia la clara influencia de Habermas (1982), quien nos habla de dos intereses constitutivos del conocimiento conocidos como el práctico y el emancipador.

Gráfico 1 Espiral de autorreflexión de la investigación-acción RECONSTRUCTIVO

DISCURSO Entre participantes

PRÁCTICA En el contexto social

Carr y Kemmis (1988) revisan este tipo de investigación, detallando cuatro características que ella debe tener en el marco de una ciencia educativa crítica: 1. Visión dialéctica de la racionalidad: En este tipo de investigación-acción, el “objeto” lo constituyen las prácticas educativas y el entendimiento de las mismas. Por tanto, existe una estrecha relación entre el sujeto y el objeto de la investigación. Debido a esta relación indisoluble, se rechaza la visión instrumental de la relación teoría-práctica y se auspicia una comunidad autocrítica, debido a la doble dialéctica expresada en los binomios pensamiento-acción, individuo-sociedad y teoría-práctica, existiendo y propiciándose también una relación dialéctica de suma importancia: el análisis retrospectivo y la acción prospectiva. En la espiral de autorreflexión diseñada por los autores (gráfico 1) se incluyen los momentos de la investigación-acción: la planificación, la acción propiamente dicha, la observación y la reflexión. Estos momentos, están integrados en el plan, el cual se presenta “prospectivo con respecto a la acción y retrospectivo con respecto a la reflexión sobre la cual se construye” (Carr y Kemmis, 1988: 197), todo en el contexto social de la práctica educativa y en una relación dialógica entre los participantes.

CONSTRUCTIVO

4. Reflexión

1. Planificación

3. Observación

2. Acción

Fuente: Carr y Kemmis (1988).

2. Desarrollo de las categorías interpretativas del enseñante: Es la segunda característica de toda ciencia educativa crítica. Implica mejorar los entendimientos que los practicantes se forman acerca de sus propias prácticas. Stenhouse (1968a) plantea que “usar la Investigación quiere decir hacer la Investigación”, colocando en manos de los prácticos las riendas de la investigación. De igual manera, Carr y Kemmis señalan que el entendimiento racional de la práctica sólo se obtiene mediante la reflexión sistemática sobre la acción por parte del agente afectado. La investigación-acción se convierte así en un proceso deliberado, tendente a emancipar a los practicantes de las limitaciones que emanan de los hábitos, la ideología y las pre-concepciones. 3. Crítica ideológica: La ciencia social crítica intenta, como plantean Carr y Kemmis, localizar en la ideología los equívocos colectivos de los grupos sociales. Así, distingue las ideas distorsionadas por la ideología de las que no lo están. Siendo la ideología el medio a través del cual una sociedad muestra las relaciones que la caracterizan, esta se crea y mantiene mediante los procesos de comunicación, trabajo y toma de decisiones. Por lo tanto, según estos autores, los criterios de racionalidad, justicia y acceso a una vida plena y satisfactoria, proporcionan patrones de

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información que permiten evaluar las prácticas de comunicación, toma de decisiones y trabajo de una comunidad. Esto permite evaluar las prácticas educativas que los investigadores activos examinan para determinar en qué medida se apartan de esos valores. 4. De la organización de la ilustración a la organización de la acción: En cuanto a esta condición, los autores recogen el planteamiento de Habermas, quien enfatizaba que la organización de la acción se justificaba no sólo por la interpretación retrospectiva de la vida social, sino que también exigía la creación de condiciones democráticas. Identifican, así mismo, las contradicciones entre las prácticas educacionales y las institucionales, y despiertan el sentido de ellas. Con la afirmación de Habermas (1987): “En el proceso de la Ilustración sólo puede haber participantes”, se pretende enfatizar la superación de la separación institucionalizada entre el saber y la acción. Sin embargo, Carr y Kemmis le imprimen a la investigación-acción crítica emancipadora su carácter político, en el que los participantes luchan por formas más justas y democráticas de guiar la educación. Por lo tanto, los participantes revisan sus propias prácticas y la creación de teorías provenientes de la reflexión y acción sobre esas mismas prácticas está en manos de esos mismos participantes. Los autores muestran cómo los profesionales que se involucran en este tipo de investigación-acción no sólo consideran, en el desarrollo de su trabajo, los contenidos del currículo, sino también la estructura social en la que trabajan y viven, develando los códigos de esta estructura social para una mejor comprensión y transformación de sus prácticas. El análisis que acabamos de realizar, nos completa la visión de los diferentes enfoques de investigación-acción que han surgido y, nos proporciona una mejor comprensión de las nociones que hemos venido asumiendo en nuestro quehacer investigativo. De esta manera, Elliott nos confirma a la investigación-acción críticaemancipadora como la opción metodológica que mejor pareciera responder a nuestra búsqueda, al definirla como “el estudio de una situación social que trata de mejorar la calidad de la acción en la misma” (2000b: 88). Complementa esta posición lo enunciado por Cohen y Mannion al indicar que el rango de acción y reflexión de este modelo de investigación es “la intervención a pequeña escala en el funcionamiento del mundo real y un examen próximo de los efectos de tal intervención” (1990: 271).

permitiendo el análisis de las acciones humanas y las situaciones sociales experimentadas, entre las que se encuentran: a) aquellas que son inaceptables en algunos aspectos, b) las que son susceptibles de cambio, y c) las que requieren una respuesta práctica inmediata. En la caracterización y análisis que acabamos de hacer se evidencia, sin lugar a dudas, lo acertado de la decisión que nos ha llevado a considerar la investigaciónacción como opción metodológica en nuestras investigaciones. Sin embargo, dado que la acción educativa es un acto social, tienen una importancia evidente las características de tipo colaborativa, participativa, emancipadora y que propicia el diálogo, ya que son rasgos claves de este modelo de investigación-acción. Con respecto a esta última característica, hemos mostrado en investigaciones anteriores (Becerra, 2003 y 2006; Moya, 2008) el valor de la comunicación en el aula y del respeto por las opiniones contrarias: “El proceso de confrontación de ideas y concepciones, reflexión y toma de posición, fue potenciado por las estrategias grupales utilizadas y por el ambiente de respeto que se propició” (Becerra, 2003: 82). En ese proceso de confrontación y reflexión, proponemos una alternativa a la espiral de autorreflexión de Carr y Kemmis, opción que hemos venido utilizando en diversos trabajos signados por la metodología de investigación-acción y que, desde nuestro punto de vista, abre perspectivas para potenciar las decisiones y acciones inherentes a la comprensión y superación de los problemas que se detecten. En el gráfico 2, se puede observar que la dinámica del proceso de investigación-acción permite la confrontación teórica con la realidad que se vive, en la cual estamos inmersos. Hay implícito un pensar en conjunto, una profundización en los análisis y una disminución del trabajo en solitario, al potenciar la capacidad de actuar en y por el colectivo. Gráfico 2 Espiral de autorreflexión de la investigación-acción de Becerra y Moya Rol del facilitador en la investigación-acción emancipadora Nuevo problema o redefinición del anterior

Problema práctico Propuesta de accion y realización de la misma

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Nueva recogida de evidencia

Análisis de datos y reflexión

En esta misma línea de razonamiento, Elliott (2000b) enumera las características esenciales de la investigación-acción en la escuela, mismas que podemos identificar claramente en las investigaciones que hemos venido desarrollando en nuestros centros de trabajo, al centrar nuestra atención en los seres humanos y las relaciones entre ellos, 144

Análisis del problema y recogida de datos

Fuente: Elaboración propia.

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Además de las características que hemos revisado hasta ahora, la intervención del facilitador o moderador también ha suscitado críticas dentro de las diferentes corrientes que responden a este tipo de investigación. Así, Carr y Kemmis (1988) muestran la diversidad de roles que pueden asumir estos facilitadores y cómo ello da lugar, siguiendo el concepto habermasiano de los intereses constitutivos del saber, a diferentes géneros de investigación-acción. A continuación analizamos cómo es asumido el rol de facilitador o mediador en la investigación-acción emancipadora: En la investigación-acción emancipadora: el grupo de practicantes asume conjuntamente el desarrollo de la práctica, la reflexión y la acción sobre la misma, se explora en este tipo de investigación-acción los hábitos, los usos, las tradiciones, el control y las rutinas burocráticas y se saca a relucir las contradicciones. La investigación-acción emancipadora admite rasgos de la investigación-acción práctica pero en un contexto colaborativo, ya que los protagonistas asumen la tarea de cambiarse a sí mismos para poder cambiar las instituciones. A pesar de las críticas al papel del mediador en este tipo de investigación-acción, Carr y Kemmis indican que este puede “revestir un tipo de papel facilitador en el establecimiento de comunidades autorreflexivas de investigadores activos” (1988: 215). Werner y Drexler describen la función del moderador de la siguiente manera: ... ayuda a los practicantes a problematizar y modificar sus prácticas, a identificar y desarrollar sus autoentendimientos y a asumir la responsabilidad colaborativa en cuanto a la acción dirigida a cambiar situaciones; pero es responsabilidad de la comunidad misma, una vez formada, el sostener y desarrollar su propia labor. (Citados en Carr y Kemmis, 1988: 215)

La investigación-acción emancipadora es activista, en el sentido en que induce a los practicantes a tomar partido en función de la autorreflexión y de la reflexión colectiva, pero también es prudente, puesto que no atropella e introduce los cambios a un ritmo marcado por la reflexión y por la práctica de los actores involucrados. En función de esta premisa, recibe críticas por no ser lo suficientemente radical en los cambios y la rapidez con que estos se efectúen. Sin embargo, esta misma característica de prudencia, a nuestro entender, permite una mejor reflexión sobre las prácticas y una mayor profundidad en los cambios al ser estos internalizados por los practicantes, y proporciona, como plantean Carr y Kemmis, “un modelo de cómo un interés humano emancipatorio puede hallar expresión concreta en el trabajo de los practicantes y cómo puede suscitar mejoras en la educación mediante los esfuerzos de estos” (1988: 216). De esta manera proponemos que, al llevar adelante un proyecto de acción educativa, hay que hacerlo con el pleno convencimiento de poder transformar la 146

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realidad, planteándolo como una tarea del colectivo, implicando a la totalidad de miembros que conformen el grupo de investigación. Esta última característica debemos asumirla conscientes de enfrentar lo que Moya (1987) denominó ‘obstáculos que limitan la conformación de equipos de investigación en el ámbito universitario y escolar en general’. Por lo tanto, y a pesar de esos inconvenientes estructurales para la constitución y desarrollo de los grupos de investigación, hemos considerado indispensable visualizar éstos como base fundamental del trabajo que debe desarrollarse. En el caso particular de las investigaciones que hemos realizado dentro de la formación de docentes, nos hemos apoyado, entre otros, en el planteamiento de Davini (2001: 129), quien postula que: La formación de los docentes [...] requiere del desarrollo de estrategias grupales en las cuales los sujetos discutan y analicen las dimensiones sujetas a estudio y contrasten sus puntos de vista. Si bien el aprendizaje es un resultado individual, el contexto del estudio sobre la práctica implica un trabajo en la esfera de lo grupal.

4. Procesos de la investigación-acción-emancipadora Los procesos que caracterizan la investigación-acción emancipadora difieren en varios aspectos de los de una investigación de otro tipo. Es por ello que hemos considerado como una opción válida la secuencia desarrollada por el educador venezolano Carlos Lanz, en su obra El Poder de la Escuela (1994): a. Contextualizar la situación: Lanz plantea en este punto el acercamiento entre los participantes mediante conversaciones abiertas, la realización de exposiciones sobre los puntos críticos que afectan al grupo o a la praxis instaurada y propicia igualmente la indagación sobre los principales problemas que se confrontan. b. Objeto de Estudio: se procede a determinar con mayor precisión qué es lo que se quiere investigar, se diseña objetivos de acción y se establece inicialmente los planes de acción. c. Delimitación del objeto de estudio: Se responde en este momento preguntas como: Qué, Quién, Dónde y Cuándo, tratando de precisar lo que ha de ser el problema de investigación. En este orden se delimitan: la acción social problematizada, los sujetos sociales involucrados en la investigación, tanto de manera directa como indirecta, y se determina tanto la dimensión espacial como el ámbito temporal de la misma. d. Reconstrucción del objeto de estudio: se privilegia aquí los elementos de síntesis y se combina, por una parte, la ubicación de algunos aspectos internos del objeto y, por otra, la medición del conocimiento. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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e. Perspectiva teórico-metodológica: se examina y discute la perspectiva teóricofilosófica bajo la cual se hace la investigación. También en este momento se esboza las principales premisas de la investigación-acción y se define las claves teóricas que provienen de la matriz de este tipo de investigación. f. Direccionalidad de la investigación: de define el cambio propuesto. A partir del análisis y reflexión de la praxis colectiva, se formula los objetivos cognoscitivos e, igualmente, se establece algunas de las estrategias de articulación. g. Diseño operacional: la definición de las técnicas e instrumentos de recolección de datos que toman en cuenta las características del objeto de estudio, así como las formas de presentación de esa información, caracterizan esta etapa. Todo lo anterior converge en el análisis e interpretación de los datos, que comprende la clasificación de la información por unidades temáticas, la categorización de esa información y, por último, la elaboración teórica bajo un enfoque explicativo-comprensivo. h. Conclusiones y resultados: se presenta los resultados evaluando la estrategia de intervención utilizada. La investigación-acción en educación propicia la re-evaluación de teorías y, por tanto, sus resultados tienen una gran influencia en lo que se conoce acerca del aprendizaje y la educación en general.

5. La investigación-acción en la formación docente ‘Reflexionar sobre la práctica’. Esta frase ha sido quizá el motor primordial que ha movido a la comunidad educativa mundial para llegar al concepto del docente como investigador. Mundialmente, después de la reforma de la Educación Básica que en Venezuela dio lugar a la ley de Orgánica de Educación de 1980, se ha incorporado la función de investigador a las ya definidas funciones del docente. La sistematización y mejora de la práctica educativa en aula, que es donde el docente actúa, guían las reflexiones educativas. Emerge así la investigación-acción en nuestras aulas de Educación Básica, caracterizándose por ser una acción deliberada, una investigación orientada a la solución de un problema en particular que puede ser guiada de manera individual, pero que sin embargo adquiere una connotación más amplia en el trabajo colectivo, donde es un grupo quien conduce la investigación. Este tipo de investigación ha sido empleado con propósitos variados, entre los que se encuentra el desarrollo de un currículo centrado en la escuela, como una estrategia de desarrollo profesional, en cursos de pre y post grado en educación y, en la planificación y desarrollo de políticas educativas, entre otros.

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6. Estrategia de articulación En el contexto venezolano, Lanz (1994) propone como estrategia de articulación para la investigación-acción el método INVEDECOR, integrado por cuatro componentes, a saber: • La investigación-acción, tal y como lo planteábamos anteriormente, intentando afianzar la relación indisoluble sujeto-objeto, teoría-práctica y propiciando también la relación dialéctica entre el análisis retrospectivo y la acción prospectiva. • En cuanto al educar, este se enfatiza al asumir teorías del aprendizaje significativo por descubrimiento, método inductivo, tomando en cuenta tanto la participación activa de los estudiantes como las ideas que poseen sobre los contenidos a trabajar. • La comunicación en el aula y el respeto por las opiniones contrarias, lo cual debe explicitarse desde el día en que se inicie el trabajo con el curso. Se debe crear espacios de comunicación entre estudiantes, en pequeños grupos, con la incorporación momentánea del docente y también espacios de discusión colectiva en los que se propicie el diálogo y la confrontación de ideas. • La organización física y social del salón de clases fue tomada en cuenta y se favoreció la interacción, tratando de no delimitar espacios específicos.

7. Una experiencia desde la formación docente A continuación, presentamos algunos pormenores de una investigación llevada a cabo en la universidad Pedagógica Experimental Libertador (Becerra, 2003). En ella, los sujetos sociales con quienes se trabajó fueron estudiantes-docentes de la carrera de Educación Integral, quienes tendrían a su cargo la formación de niños y niñas de los primeros seis grados de educación básica venezolana. Se planteó, como proyecto de investigación, la construcción de una estrategia metodológica participativa en el curso de Geometría del currículo de formación del docente integrador. Se diseñó planes de acción flexibles, los cuales podían ser modificados en función del trabajo realizado durante el curso. Para la recolección, procesamiento y análisis de la información, se siguieron las pautas de la Investigación Cualitativa y, específicamente, de la Investigación-Acción como opción metodológica, ya que esta nos permitía una descripción más completa de la situación y la incorporación de las opiniones y reflexiones de los participantes tal y como ellos las expresaban. Como técnicas de recolección de información, se utilizó la observación participante y las entrevistas en profundidad, algunos estudiantes fueron seleccionados al inicio Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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del curso como informantes claves y, para cada actividad específica, se nombraba observadores participantes en cada grupo. A continuación presentamos algunas de las redes construidas al triangular la información proveniente de diferentes actores. Analizaremos dos de estas redes debido a la relación entre ellas, la primera denominada “Elaborando conjeturas” y la segunda “Situaciones problematizadas”. Una de las estrategias utilizadas en clase durante esta investigación fue la elaboración de conjeturas mediante el trabajo en pequeños grupos, con un máximo de tres estudiantes. Esta estrategia consistió en el planteamiento de talleres, los cuales contenían una serie de ejercicios y problemas en los que se debía realizar determinadas actividades, por ejemplo: intentar construir triángulos y discutir los procedimientos hasta terminar elaborando algunas conjeturas (las conjeturas elaboradas por los estudiantes se referían a los teoremas y relaciones matemáticas correspondientes a los contenidos conceptuales de las unidades de Triángulos y Cuadriláteros). Durante el desarrollo de los talleres algunos de los estudiantes manifestaron no sentirse capaces de elaborar las conjeturas, por lo que se les recomendó que sacaran conclusiones en cada grupo y que las conjeturas las intentaríamos elaborar en una plenaria con toda la clase. En esas plenarias un representante de cada grupo expuso las conclusiones a las que había arribado su equipo y luego se realizó el trabajo de análisis sobre las conclusiones de cada grupo. En algunos casos, cuando la conclusión no era relevante a los ejercicios presentados en todos los grupos, se intentó, mediante la técnica de la pregunta, que los estudiantes se dieran cuenta de la poca relevancia de la conclusión y la descartasen o modificasen de acuerdo al caso; de esta manera se pudo elaborar todas las conjeturas que se solicitó, que no eran otras que los enunciados de los teoremas apropiados al contenido estudiado. Cada grupo debía hacer entrega de su trabajo en el taller, incluyendo las conjeturas elaboradas y las justificaciones que sustentaban las mismas. Al revisar los trabajos entregados al finalizar cada taller, quizá lo más destacable fue el dominio que tenían de las justificaciones. Las conjeturas elaboradas, en la mayoría de los casos, eran las adecuadas, aún cuando hubiesen tenido dificultades para resolver el problema. Veamos algunas de las consideraciones hechas al respecto.

Gráfico 3 Elaborando conjeturas [5: 1][2] Informante Clave: Julmi --------------------Al principio nos costó bastante, pero después, poco a poco, fuimos integrando y fuimos sacando postulados y teoremas y fue algo que no teníamos que leer y aprender de memoria, sino que usamos muchas estrategias para ver si lo que estábamos diciendo cada grupo se iba cumpliendo; probando cada cosa, sí nos costó un poquito, pero más adelante fuimos viéndolo y comprobando. [6: 1][1] Observador participante G1 --------------------Observador participante del Grupo 1: Se puede decir que al principio es sencillo pero a la vez confuso, luego se va haciendo cada vez más complejo, hasta el punto que no sabía que hacer. Al final sacamos una conclusión y no podíamos creer que eso era una conjetura.

Elaborado Conjenturas

[7:1][1] Observador participante G4 --------------------Observador participante del Grupo 4: Elaborar las conjeturas resultó muy difícil, solamente al final pudimos sacar unas conclusiones, con las preguntas de la profesora se fue aclarando todo y nos dimos cuenta que eso lo habíamos hecho en el grupo

SOPORTE [4:1][2] Entrevista: Nery --------------------uste, si estábamos errados nos hacía preguntas y no nos corregía, sino que con las preguntas uno caía en cuenta de que estaba equivocado

EXPANDE [2: 1][2] Entrevista: Alejandro --------------------Cuando vimos que la profesora tomó nuestras conclusiones y las escribió en la pizarra diciéndonos que eso era un Teorema, nos sentimos como matemáticos, y eso es lo que uno piensa pero sin decirlo, uno solo se da cuenta de las cosas, eso es lo que me parece fuera de lo común y así eso nunca se me va a olvidar.

EXPANDE

EXPANDE [1:1][2] Entrevista: Katiuska --------------------Nosotros sacamos conclusiones y con usted íbamos tomando ideas de cada uno y construíamos una idea global.

[3:1][2] Entrevista: Betty --------------------La verdad es que siempre supe de los teoremas y otros enunciados directamente de los libros, o que el profesor los dictara, después que nosotros hicimos eso en clases, yo revisé los libros y vi que en verdad lo que habíamos sacado como conclusión en clase era eso que estaba escrito en el libro. Pero la manera de explicarlo, de visualizarlo y ver de donde salía eso no lo conseguí en el libro y nunca en la manera en que usted nos los mostró.

El gráfico 3 muestra las opiniones de los estudiantes, obtenidas mediante diferentes técnicas de recolección de información. En este caso en particular, se trianguló las opiniones de los observadores participantes en los grupos G1 y G4 mostradas en las citas [6:l][1] y [7:l][1] respectivamente; un informante clave, Julmi, cita [5:l][2]; y entrevistas a los estudiantes Nery, Katiuska, Alejandro y Betty, citas [4:l][2], [1:l][2], [2:l][2] y [3:l][2] respectivamente. El informante clave Julmi y el observador participante del G4, con sus opiniones, dan cuenta de lo difícil que la implementación de este tipo de estrategias resultó para los estudiantes y de su alta complejidad. Se evidencia también la poca experiencia que tienen los estudiantes al resolver un problema y obtener conclusiones al respecto, o al intentar obtener conclusiones comunes a varios problemas. En las entrevistas, Nery y Katiuska nos reportan igualmente que, a través de las preguntas de la docente-investigadora, se logró incentivar la formulación de

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conclusiones pertinentes a los teoremas que se quería recrear. La intervención de la docente en las discusiones en grupos pequeños y plenarias permitía guiar a sus estudiantes con preguntas y problemas, para que fuesen descubriendo poco a poco los elementos fundamentales del pensamiento geométrico. Los estudiantes percibieron el trabajo con esta secuencia didáctica como algo “fuera de lo común” y algunos mostraron su incredulidad ante el hecho de haber recreado un teorema.

Algunos de los planteamientos realizados en la sección anterior están reflejados nuevamente en el gráfico 4, correspondiente a las situaciones problematizadas. En él se presenta las dificultades al resolver problemas y cómo esas dificultades fueron canalizadas a través de preguntas formuladas por la docente, las anotaciones de los informantes claves de los grupos 4 y 1, o las sugerencias dadas al grupo 2, mostradas por el informante clave de ese grupo.

Esto último está ejemplificado en las consultas efectuadas por otra estudiante en una entrevista, en las que afirma “yo revisé los libros y vi que en verdad lo que habíamos sacado como conclusión en clase era eso que estaba escrito en el libro”.

Sin embargo, a pesar de los cambios que muestran estas opiniones, el informante clave del grupo 3 señala un punto muy interesante y digno de tomarse en cuenta, cuando plantea: “Para la próxima oportunidad, el docente debe explicar por lo menos uno (problema) de cada situación para, de esta manera, realizarlo de manera más fluida”. Esta opinión nos alerta acerca de la tendencia de nuestros estudiantes a quedarse con aquellos problemas cuya resolución requiera el mínimo esfuerzo, el educando clama por lo que estamos intentando romper: “el problema tipo”. La solicitud de este participante responde a las creencias de los estudiantes, los cuales esperan que el docente demuestre la “regla” a utilizar previamente en clase, antes de resolver los problemas.

Los planteamientos reseñados en este análisis muestran la transformación que tiene lugar cuando, en el acto educativo, son los estudiantes los verdaderos actores de su aprendizaje y se hacen conscientes de sus potencialidades; no se trata de dejar a los estudiantes solos, sino de preparar el terreno educativo para que ellos sean los protagonistas y se apropien del conocimiento con la intervención oportuna y clarificadora, mas no impositiva, de su docente. Gráfico 4 Situaciones problematizadas [2:1][4] Entrevista Nery --------------------Aprendimos de donde salían las cosas, fue muy interesante lo que hicimos..

Situaciones Problematizadas

[6: 1][5] Informante Clave G3 --------------------En la construcción de un triángulo dado dos lados y el ángulo entre ellos, ruvimos muchos problemas, hasta que a uno del grupo se le ocurrió dibujar el ángulo y medir los lados.

[4:1][5] Entrevista Julmi --------------------...nosotros mismos teníamos que ver con sus preguntas cual era la respuesta correcta, y de verdad me pareció bastante bien, nosotros desde el principio teníamos idea de algo y con usted lo vimos de muchas formas.

[8: 1][6] Informante Clave G5 --------------------Primero intentamos trazar las bisectrices, no llegamos a nada, y luego trazamos las mediatrices y así resolvimos el primer problema

[6:2][10] Informante Clave G3 --------------------Para la próxima oportunidad el docente debe explicar por lo menos uno (problema) de cada situación para, de esta manera, realizarlo de manera más fluida. [7: 1][6]Informante Clave G4 --------------------Discutimos primero ¿cómo resolver el problema?, luego hubo muchas dudas y desesperación. Se llegó a una conclusión pero no era correcta. Se acercó la profesora y nos hizo unas preguntas, así nos dimos cuenta dónde estaba lo malo.

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8. Reflexiones finales de un proceso en construcción

[3:2][4] Informante Clave G1 --------------------Cuando empezamos a hacer los problemas nos dijimos ¿qué es esto?, no entendíamos que teníamos que hacer, luego decidimos entre todos leer el problema y nos dijimos que cada uno sería una conuquera, intentamos buscar el centro pero lo hicimos súper mal, la profesora se acercó y nos hizo algunas preguntas y nos dimos cuenta que teníamos que hacer.

[5:2][5] Informante Clave G2 --------------------Al principio, muchas dudas, tuvimos un poquito de problemas para visualizar el ejercicio, pero despuñes que lo trazamos vimos que en nuestro caso salía un triángulo equilátero (entre las cas de las conuqueras) y entonces allí nos preguntamos como haríamos para que todas las casas estuvieran a la misma distancia de donde colocaríamos la parabólica, y la profesora nos sugirió el uso de los instrumentos de geometría y los conceptos vistos en clases, entonces buscamos donde centrar el compás para que la distancia a las casa fueran las mismas, marcamos bisectrices y la circunferencia y nos quedó perfecto.

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Ante todo, no podemos ignorar que vivimos en una sociedad capitalista y, aunque no pensemos que las relaciones económicas y las dinámicas de clase puedan explicar todo lo que es especialmente importante para la investigación, tampoco podemos ignorar, como plantea Apple (1997: 177), que olvidarnos de “su influencia significa dejar de lado algunas de las herramientas analíticas más perspicaces que poseemos”. Por lo tanto, estamos en el deber de formar a los futuros investigadores de forma que sean capaces de romper el monopolio del saber, establecido dentro de organizaciones que reproducen las relaciones de clase desiguales de nuestra sociedad y, en consecuencia, puedan hacer de ellas instituciones más democráticas e igualitarias. En ese camino, la propuesta de una investigación-acción participativa, crítica y transformadora tiene un papel ejemplar que jugar. Una propuesta de investigación como la que hemos estado construyendo, caracterizada por la crítica, la reflexividad y una visión emancipadora y de respeto al hombre y a la mujer, no puede ni debe estar consolidada. El sostenimiento de la misma implica cambios actitudinales, de funcionamiento y de organización que, si bien es cierto que ya se han iniciado en algunos espacios, no es menos cierto que los cambios más profundos necesitan tiempo para permear las organizaciones y romper con las estructuras rígidamente impuestas desde diversas esferas de poder. Esta transformación produce, de forma ineludible, un cúmulo de incertidumbre y dudas; sin embargo, creemos que, en el caso de quienes estamos comprometidos con la formación de docentes y consustanciados con una forma de investigar, este es el camino Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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para constituirnos como un referente teórico-metodológico con auténtica aspiración ético-política en el marco de esa razón dialógica de la que nos hablaba Habermas:

Cohen, L. y Mannion, L. (1990). Métodos de investigación educativa. Madrid: La Muralla.

La institucionalización de la reflexión cooperativa sobre la práctica docente (investigación-acción) dentro del sistema educativo, es condición necesaria para el desarrollo del profesorado como profesión. Si los docentes continúan relegando sus propios puntos de vista a la categoría de cuestiones privadas, sin elevarlas al dominio público, y aceptan que este sea el terreno de los investigadores especializados, nunca conseguirán el conjunto de saberes prácticos que caracterizan a cualquier grupo profesional (1982: 80).

Davini, M. (2001). La formación docente en cuestión: política y pedagogía. Buenos Aires: Paidós.

Las características de cualquier proceso de investigación-acción-reflexiónemancipación como el que proponemos, no pueden ser desarrolladas de manera atropellada, los cambios y transformaciones que puedan comenzar a vislumbrarse irán profundizándose y permeando las diversas organizaciones, tanto formales como no formales, en la medida en que cada miembro del colectivo los vaya asimilando y el resto del grupo proporcione el aliento y soporte suficientes para seguir avanzando.

Elliott, J. (2000a). El cambio educativo desde la investigación-acción. Madrid: Morata. Elliott, J. (2000b). La investigación-acción en educación. Madrid: Morata. Fierro, C., Fortoul, B. y Rosas, L. (1999). Transformando la práctica docente. Una propuesta basada en la investigación-acción. México: Paidós. Freire, P. (1974). Pedagogía del oprimido. México: Siglo XXI. Freire, P. (1990). La naturaleza política de la educación. Cultura, poder y liberación. Barcelona: Paidós. Grundy, S. (1998). Producto o praxis del currículo. Madrid: Morata.

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Habermas, J. (1987). Teoría de la acción comunicativa I y II. Madrid: Taurus.

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Kemmis, S. y McTaggart, R. (1988). Cómo planificar la investigación acción. Barcelona: Alertes.

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De lo real a lo formal en matemática

Rosa Becerra Hernández - Andrés Moya Romero

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De lo real a lo formal en matemática Darwin Jesús Silva Alayón

Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto Pedagógico de Caracas República Bolivariana de Venezuela

Resumen

Stenhouse, L. (1968a). Culture and education. Londres: Nelson. Stenhouse, L. (1968b). The humanities curriculum project. Journal of curriculum studies. 23 (1).

El presente trabajo es parte de una investigación más amplia, de tipo cualitativo, en la que se aplicó la investigación-acción crítica y que pretendió, fundamentalmente, desarrollar una primera aproximación a los proyectos educativos relacionados con el problema de la valoración de las distintas fuentes de energía, que permitieran adquirir conocimientos matemáticos a los y las estudiantes de tercer año de educación media1. Entre las conclusiones del estudio podemos destacar: 1) a partir del problema de la valoración de las distintas fuentes de energía, se logró desarrollar el concepto de función; y 2) los y las estudiantes utilizan representaciones, procedimientos y conceptos matemáticos para interpretar la situación planteada, pero además se apoyan en el fenómeno analizado para comprender las ideas matemáticas. Palabras clave: enseñanza de la matemática, estudio de situaciones de crisis y fenómenos naturales, investigación-acción.

Abstract The present article is just a part of a wider qualitative investigation, which have used the critic actionresearch method and have pretended, most of all, to develop a first approach to the educational projects related to the different energy sources valuation problem, designed to allow the students of the third grade of Medium Education2 the acquisition of mathematical knowledge. These are some remarkable conclusions of this investigation: 1) beginning from the different energy sources valuation problem, we got to develop the “function” concept; and 2) the students use mathematical concepts, procedures and representations, in order to understand the established situation, but also they use the analyzed issue in order to understand mathematical concepts. Keywords: mathematical teaching, study of crisis situations and natural events, action-research.

1 Tercer año de educación media es equivalente al tercer año de educación secundaria. 2 Third grade of Medium Education is equivalent to third year of high school. (T. N.)

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1. Introducción Es impostergable el desarrollo de una educación matemática vinculada a las realidades de nuestra patria latinoamericana. Para ello, se hace necesario superar la enseñanza basada exclusivamente en pasos y algoritmos completamente descontextualizados y, avanzar hacia la producción de ideas matemáticas basadas en el estudio de fenómenos naturales o sociales, donde la capacidad de abstracción es necesaria pero sin perder jamás de vista la tierra firme. La matemática, con sus conceptos, procedimientos, técnicas y representaciones, aporta elementos para la comprensión y la transformación de la realidad, mientras que esta misma realidad, a su vez, ofrece fenómenos naturales y sociales que permiten la producción de ideas matemáticas. El proceso de enseñar y aprender matemática debe fundarse en metodologías formativas con base en la realidad experimental de la vida escolar y comunitaria, donde se promueva el trabajo cooperativo y en equipo, se favorezca el desarrollo de capacidades para la resolución de problemas, se impulse la concepción interdisciplinar de las ciencias, se vincule el aprendizaje con los medios de producción material y se potencie la integración afectiva y social de los responsables. Apoyados en lo anterior y convencidos como estamos de que la educación venezolana debe ser transformada, presentamos nuestro trabajo, el cual esperamos sea de utilidad para nuestras(os) compañeras(os) docentes de matemática interesadas(os) en comprender y cambiar el estado actual de la educación matemática en nuestros países latinoamericanos.

2. Educación, matemática y sociedad ¿“Por qué” y “para qué” debe educarse a los habitantes de una nación?, ¿será acaso para domesticarlos y hacerlos cumplir, de manera irreflexiva, cada una de las ordenes de la clase dominante?, ¿tiene sentido un proceso educativo apartado de la vida, centrado en la palabra sin sentido y preocupado, casi exclusivamente, por los procesos económicos?, ¿podemos construir una patria verdaderamente democrática con una educación no acostumbrada al diálogo, apartada de la investigación y sin amor por el estudio?

Desarrollar una nueva cultura política fundamentada en la participación protagónica y el fortalecimiento del Poder Popular, en la democratización del saber y en la promoción de la escuela como espacio de formación de ciudadanía y de participación comunitaria, para la reconstrucción del espíritu público en los nuevos republicanos y en las nuevas republicanas con profunda conciencia del deber social.

A partir de lo anterior, podemos decir que la educación debe permitir que el hombre y la mujer participen en los procesos de transformación social; dichas transformaciones deben siempre responder a los intereses de las mayorías y nunca a los de las clases económicamente dominantes e históricamente opresoras, pero sin dejar de reconocer los derechos que los miembros de estas ostentan como seres humanos. Para ello, es necesario avanzar hacia la formación de un ser crítico y apto para convivir en una sociedad democrática; para Skovsmose (1999: 16) “ser crítico significa prestarle atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar frente a ella”. Ser crítico se refiere en parte a ser analítico ante cualquier situación, pero además, la idea de crítica está enmarcada en la necesidad de producir cambios y esclarecer las contradicciones presentes en nuestras sociedades. Skovsmose (1999: 11) afirma que “mientras crítica y educación se mantengan separadas, la segunda fácilmente puede tomar la forma de una entrega de información, o la función de socializar a la juventud dentro de la cultura existente”. La educación debe ser el proceso mediante el cual el individuo aprenda y comprenda los valores y tradiciones de su cultura, para comprender su sociedad y ser capaz de transformarla. De acuerdo con Barreiro (1975, citado en Freire, 1975: 14), “la alfabetización, y por ende toda la tarea de educar, sólo será auténticamente humanista en la medida en que procure la integración del individuo a su realidad nacional, en la medida en que le pierda miedo a la libertad, en la medida en que pueda crear en el educando un proceso de recreación, de búsqueda, de independencia y, a la vez, de solidaridad”. La educación debe contribuir a alcanzar una sociedad más democrática y participativa, donde cada persona encuentre las condiciones y oportunidades para su liberación. La escuela tiene que enseñar a los estudiantes a practicar, apreciar y defender valores básicos como el amor patrio, la equidad, la democracia, la fraternidad y la tolerancia.

Las preguntas anteriores no son de sencillo abordaje, ante todo porque las respuestas que se puede ofrecer son muchas. Por lo tanto, en las líneas siguientes presentaremos lo mencionado en distintas fuentes sobre los puntos centrales de las interrogantes anteriores.

Según Freire (1975: 92), “la democracia y la educación democrática se fundan en la creencia del hombre, en la creencia de que ellas no sólo pueden sino que deben discutir sus problemas, el problema de su país, de su continente, del mundo, los problemas de su trabajo, los problemas de la propia democracia”.

En el artículo 15, numeral dos de la Ley Orgánica de Educación (2009) venezolana, se establece como uno de los fines de la educación el siguiente:

La escuela no puede continuar “maravillada por la sonoridad de la palabra, por la memorización de los fragmentos, por la desvinculación de la realidad, por la

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tendencia a reducir los medios de aprendizaje a formas meramente nacionales” (: 57), lo cual sin duda no es más que una posición ingenua de nuestras sociedades latinoamericanas. El ciudadano común debe ser capaz de comprender, analizar, utilizar y transformar el orden económico, cultural, social, político, ambiental, científico y tecnológico imperante en su sociedad. Pero esto es imposible si la ciencia en general y la matemática en particular, son vistas solamente como un conjunto de ejecuciones aisladas, donde en muchos casos no se ofrece ninguna imagen, ni siquiera parcial o limitada, del mundo. Es necesario que nuestros estudiantes al, estudiar matemáticas, sientan que están estudiando un mundo real, donde los fenómenos sociales, políticos, económicos y culturales son considerados al momento de indagar, experimentar, errar, discutir, maravillar, dudar, crear, aplicar, generalizar, abstraer y formalizar. Es importante que los(as) alumnos(as) y también los(as) profesores(as) reconozcan que el conocimiento matemático se puede producir a partir de actos creativos e imaginativos, vinculados con métodos de búsqueda científica. Según De Guzmán (1993: 6), “la matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido”; esta afirmación permite vincular la enseñanza de la matemática a la resolución de problemas, los cuales deben tener como contexto el mundo político, económico y social en el cual están inmersos los y las estudiantes. El proceso de aprender y enseñar matemáticas debe estar vinculado a la vida cotidiana de los actores del proceso, lo que significa que la matemática debe estar al servicio del entorno cultural, social, político, económico y natural. “… los problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos matemáticos…, luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y generalizar… y volver a aplicar lo aprendido…, y reinventar la matemática” (De Lange, 1986, citado en Alsina s/f: 8). Una educación matemática vinculada a la realidad, es sin duda una tarea interesante y compleja. El método de proyectos y la modelación son dos importantes concepciones didácticas que hacen viable el binomio matemática-realidad. 3. El método de proyectos El método de proyectos tiene sus inicios a mediados del siglo XVII, cuando se funda en París la Academia Real. En dicha institución los estudiantes, para poder culminar los estudios de arquitectura, debían presentar un trabajo práctico vinculado a un problema de diseño para una construcción (Knoll, 1997). 160

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En Venezuela, las primeras referencias vinculadas al método de proyectos las podemos encontrar dentro del marco de la Escuela Nueva. Para el año 1933, la Educación Primaria contaba con nuevos programas, y en ellos podemos encontrar algunas pequeñas referencias a principios y métodos de la escuela activa. El método de proyectos es incorporado en los programas de urbanidad e higiene a partir del 3er grado. El año 1997, con la reformas de las primeras dos etapas de Educación Básica, el método de proyectos es introducido como estrategia de planificación central del currículo. De esta manera surgen el Proyecto Pedagógico de Plantel (PPP) y el Proyecto Pedagógico de Aula (PPA). La experiencia más reciente con el método de proyectos, en nuestro país, está la relacionada con el Proyecto Educativo Integral Comunitario (PEIC), el Proyecto de Aprendizaje (PA) y el Proyecto de Desarrollo Endógeno, propuestos por el Sistema Educativo Bolivariano como una manera de organizar la gestión escolar a partir de la investigación de situaciones reales de la vida diaria y la participación integrada de todos los actores del proceso educativo (Ministerio del Poder Popular Para la Educación, 2007: 66). El Sistema Educativo Bolivariano propone los proyectos como una forma de organización de los aprendizajes, pero, ¿en qué consiste el método de trabajo por proyectos? Según Mora (2004: 114), “podemos definir el método de proyectos como una búsqueda organizada de respuestas, por parte del trabajo cooperativo entre estudiantes, docentes, padres, a un conjunto de interrogantes en torno a un problema o tema relevante desde el punto de vista social, individual y colectivo”. Los proyectos educativos representan una forma de organización escolar que propone estudiar la realidad para intervenir en ella. En el mismo orden de ideas, Aravena y Jiménez (2002) mencionan, con respecto a los proyectos, que: • Contribuyen al desarrollo de la autonomía. Este es un concepto clave en la forma de aprendizaje que se basa en la reflexión sobre la propia experiencia. • Ayudan al desarrollo de la motivación. La relación entre motivación y aprendizaje desempeña un papel crucial en el trabajo por proyectos. • Estimulan el uso de capacidades cognitivas y metacognitivas en los alumnos y alumnas. • Favorecen, en la formación del estudiante, la capacidad para enfrentarse con flexibilidad y confianza a problemas nuevos y complejos, en un mundo que está en cambio permanente. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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• Reflejan una integración de los contenidos aprendidos y permiten reconocer y mejorar concepciones del alumno sobre el propio papel del contenido matemático como ayuda a la modelación, promoviendo un proceso de regulación importante. Según Schulz (1973 y 1980, citado en Mora, 2004: 31), una unidad basada en proyectos debe estar constituida por las siguientes características: 1. Un proyecto de enseñanza debe partir de las necesidades de los alumnos. 2. Dominio de situaciones concretas de la vida, las cuales no solamente están inmersas en el mundo cerrado de la escuela, sino aquellas que sean relevantes precisamente en la realidad cotidiana. 3. Orientado hacia la producción no solamente del conocimiento intelectual, sino además la producción y uso de tecnología en la elaboración de cosas útiles para el mismo aprendizaje y para beneficio de los estudiantes. 4. Superación de la frontera entre el tratamiento de las especificidades inherentes a cada disciplina científica, lo cual significa enseñanza basada en la interdisciplinariedad. 5. La enseñanza orientada en proyectos debe ser socialmente relevante y significativa para todos los individuos. 6. Este tipo de enseñanza requiere del trabajo en grupos. La educación guiada por la metodología de trabajo por proyectos pareciera ser sumamente ambiciosa por lo que, tal vez, se ha ganado muchas enemistades y ha suscitado una gran desconfianza entre quienes defienden el trabajo disciplinar y especializado de los conocimientos científicos. Se dice que los proyectos son poco sistemáticos, lo que, para algunos, no beneficia el aprendizaje de conocimientos vinculados con las ciencias naturales y las matemáticas. Otros aseguran que la educación por proyectos beneficia la formación integral y crítica de las personas. Nuestra intención es determinar el grado de veracidad de esas afirmaciones a través de la práctica social.

Por su parte, Skovsmose (1999) no considera este último punto como una condición indispensable del método de proyectos. Las condiciones establecidas por este autor son las siguientes: a) el tema tiene que ser bastante conocido para los educandos, la situación escogida debe poderse formular y discutir en el lenguaje natural; b) los educandos deben poder desarrollar el tema aún si sus habilidades fuesen bastante diferentes entre sí; c) el tema debe poseer un valor por sí mismo, no debe convertirse en una mera introducción a una parte de una nueva teoría matemática o de alguna otra área del conocimiento; d) el trabajo debe crear conceptos matemáticos, físicos, biológicos, sociales, culturales, etc., así como también debe procurar que el estudiante identifique dónde y cómo aplicar o usar ideas matemáticas, físicas, biológicas, etc. Con respecto a cómo decidir cuáles serán los objetivos del trabajo, Mora (2004) plantea tres posibilidades: a) los alumnos, de manera independiente, formulan problemas y objetivos; b) los alumnos y los profesores deciden los objetivos conjuntamente; c) los alumnos escogen algunos objetivos de entre los presentados por el profesor. Si bien es necesario establecer unos objetivos iniciales que guíen el desarrollo del proyecto, también es importante atender los problemas y objetivos no considerados en la planificación inicial. Estas nuevas situaciones pueden ser abordadas en el desarrollo del mismo proyecto, o pueden ser el punto de partida de uno nuevo. Otro elemento importante que se debe considerar durante la realización de proyectos educativos, es la evaluación. Generalmente, evaluar es una actividad poco amigable, de hecho pareciera ser más interesante desarrollar un proyecto que evaluarlo, lo que en ocasiones no es nada sencillo. Pero, a pesar de todo esto, no es concebible un proyecto educativo sin una evaluación y esto se debe a que este proceso permite determinar: a) el grado de desarrollo del proyecto; b) si es necesaria una reorientación; c) cuáles son los procesos y productos logrados por los estudiantes; d) a qué necesidades y a qué contexto responde el proyecto; y e) cuál es el desenvolvimiento de los participantes. Cuando se habla de evaluación de los aprendizajes, generalmente se hace referencia a dos modalidades: la formativa y la sumativa. Refiriéndose al tema de los proyectos, Abrantes, P., Bastos, R., Brunheira, L. y da Ponte, J. (1998: 24) afirman que:

Con respecto a la elección de los temas y contenidos de un proyecto, Mora (2004: 41) nos dice que un proyecto, en sentido estricto, debe permitir que los alumnos determinen los temas y contenidos. Nosotros consideramos dos variantes de esta propuesta inicial: la primera deja que los alumnos y profesores fijen en conjunto los temas de trabajo; y la segunda permite que los estudiantes escojan los temas a partir de una presentación previa, que debe ser bastante variada, efectuada por los profesores. Es importante señalar que Mora no considera como un proyecto aquel en que el docente impone el tema sin tomar en cuenta la opinión de los estudiantes.

No podemos evaluar un proyecto educativo mediante una prueba de tiempo fijo, es importante que el(los) encargado(s) del proceso evaluativo documente(n),

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... la evaluación formativa se realiza en cualquier punto del proceso y tiene por objetivo verificar como andan las cosas..., la evaluación sumativa corresponde al balance final que se hace sobre un proyecto, inventariando la calidad de sus productos y aprendizajes.

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empezando en el mismo momento en que se elige el problema, desde la revisión bibliográfica, el diseño de la investigación y la descripción del modelo, hasta la entrega del informe final. La información que se debe registrar y cómo hacerlo, de seguro estará determinada en gran medida por las creencias del docente y las particularidades individuales y colectivas de los grupos de trabajo. Sin embargo, creemos importante que, durante la ejecución del proyecto, en lo que a matemática se refiere, se registren: “datos cognitivos (producción de conocimientos matemáticos), epistemológicos (connotaciones matemática-realidad) y heurísticos (estrategias utilizadas en la resolución del problema)” (Fortuny y Gómez, 2002). Por otra parte, consideramos necesario registrar las características socio-afectivas (motivación, participación, capacidad comunicativa) de todos los estudiantes que toman parte en las diferentes etapas del proyecto. La evaluación debe ser un proceso que permita mejorar profundamente la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, así como también una manera de registrar y analizar información relevante que permita conocer qué, cómo, cuándo y cuánto aprenden los educandos. Ya para finalizar, un elemento que puede hacer viable la enseñanza de la matemática basada en el método de proyectos, es el de la modelación, cuyo punto de partida es el planteamiento de un problema que puede provenir de la matemática o del mundo real.

4. Modelación matemática Una forma de esquematizar el proceso de modelación planteado por D’ Ambrosio (1985), se puede evidenciar en el gráfico 1 que presentamos a continuación: Gráfico 1 Modelación matemática Problema del mundo real

Análisis Investigación

Formulación del problema Análisis

Evaluación

Interpretación de los resultados obtenidos

Modelo Matemático Algoritmos de trabajo Decisiones

Solución del problema matemático Fuente: D’Ambrosio (1985).

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El esquema expuesto en este gráfico está diseñado de tal manera que se comience con un problema que provenga de la realidad. La experiencia educativa de un(a) alumno(a) estará incompleta mientras no tenga ocasión de resolver problemas que estén vinculados con su localidad, región o país y que, además, sean de interés para la comunidad. En un primer momento, es normal que exista un enunciado vago de lo que se quiere, será a partir del análisis y de la investigación de los elementos vinculados con la situación real que se enunciará el problema con todo detalle. Las situaciones realistas deben contener informaciones ricas en contenidos para las y los estudiantes, incluir diversas interrogantes, incorporar diferentes áreas del conocimiento científico y permitir el tratamiento de amplios y variados contenidos matemáticos. Las situaciones problemáticas prácticas tomadas de la realidad siempre deben ser mostradas en forma de tareas verbales. Los estudiantes deben construir el modelo matemático de la tarea expresada de forma verbal. No es lo mismo contar desde el principio con el modelo, que elaborarlo. La misión de construcción no es sencilla. En este momento, lo que se realiza es la sustitución de palabras por símbolos propios de la especificidad matemática (ecuaciones, inecuaciones, relaciones, funciones, etc.). Fortuny y Gómez (2002: 9) mencionan al respecto lo siguiente: “De esta forma se consigue una formulación matemática del problema y, de una manera natural, se establece el problema en términos matemáticos”. Normalmente, los estudiantes tienen problemas para resolver modelos matemáticos (Fortuny y Gómez, 2002; Orellana, 2004). Es preciso resolver el modelo usando las herramientas adecuadas. Por ello, es importante auto-regular y controlar las decisiones globales referidas a la implementación de recursos y estrategias. Resulta importante que el estudiante se dé cuenta de que, para llegar a resolver un problema usual de su ámbito social, necesita del aprendizaje de conceptos, términos, definiciones, procedimientos y algoritmos propios del saber matemático que proporcionen respuestas al modelo establecido. “De esta manera, el alumno alcanza un grado fuertemente elevado de interés por el aprendizaje de las matemáticas, ya que visualiza su utilidad” (Fortuny y Gómez, 2002: 9). Un estudiante motivado estará en condiciones de empezar a desarrollar su independencia cognitiva. Es importante acotar que, en este trabajo, el desarrollo de procesos mentales es entendido principal, aunque no exclusivamente, como un medio para la compresión y transformación de las estructuras sociales en crisis. Por último, es necesario interpretar y reescribir los resultados numéricos obtenidos en términos del problema propuesto y, también, saber escoger, si hay diferentes soluciones, la más adecuada al problema real inicial. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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5. Habilidades matemáticas En los años 70 comenzó a surgir, entre los educadores matemáticos, una fuerte reacción contra la existencia de un currículo único y la forma impuesta de presentar la matemática en todos los países. La matemática moderna, con la sustitución de buena parte de la geometría por el álgebra, convirtió a la matemática escolar en puras generalidades sobre conjuntos y lógica, dejando de lado temas y problemas muy interesantes. Además, esta reforma no dejaba espacio a la valorización del conocimiento que el niño trae hacia la escuela. Después del fracaso, desde el punto de vista de la enseñanza, de la matemática moderna, ha surgido en el mundo una gran discusión en torno a cuáles matemáticas se debe enseñar y de qué manera se debe enseñarlas. Con respecto a este asunto, De Guzmán (1993: 5) afirma que: La filosofía de la matemática actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera parte del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática, para enfocar su atención en el carácter cuasi empírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder).

En su obra Pruebas y Refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático (1978), Lakatos postula que la matemática deben ser desarrolladas siguiendo el patrón de las conjeturas, las pruebas y las refutaciones. Según Gazcón (s/f), el punto de partida para este patrón debe ser un problema (no necesariamente matemático) en el que la atención se fija en los momentos más oscuros e informales de la teoría matemática en elaboración. Lo más importante, desde esta postura, son los procedimientos (no necesariamente algorítmicos): conjeturar, probar, contrastar, refutar, buscar contraejemplos, comparar con problemas similares, etc. Bajo este punto de vista, las matemáticas dejan de ser un conjunto de verdades eternas, infalibles, sagradas, dogmáticas y se convierten en una manifestación humana que se vale de los argumentos por analogía, del significado físico de algunos conceptos, del mundo real, de la intuición, la deducción, el análisis, la síntesis, la particularidad, la generalidad y la lógica para su conformación y evolución. Es necesario motivar a los y las estudiantes para que reflexionen sobre sus pensamientos y actividades. Las situaciones problemáticas deben permitir que los educandos no se limiten a buscar la respuesta correcta, sino que traten de hallar las razones por las cuales un procedimiento, algoritmo o teorema es o no útil para la resolución del problema estudiado.

generalización y la demostración. Este autor advierte que estos no son los únicos procesos presentes al momento de pensar matemáticamente. Cantoral (2000) se aproxima a la definición de pensamiento matemático, comparándolo con las formas en las que piensan los matemáticos profesionales. Habilidades de pensamiento como particularizar, generalizar, conjeturar, argumentar, analizar, clasificar, sintetizar y explicar deben ser una referencia para cualquier programa que se interese por presentar a las matemáticas como una manera de conocer y rehacer el mundo real. Una educación matemática preocupada por desarrollar en los estudiantes habilidades matemáticas que les permitan comprender y participar de manera activa en su entorno y entender la matemática como un sistema, debe considerar los elementos expuestos por Lakatos y Tall, pero además es necesario que se interese por estudiar los problemas de la matemática como disciplina científica, su desarrollo histórico, la veracidad de las proposiciones y por reflexionar entorno a preguntas como: • ¿De qué manera la matemática contribuye a la comprensión de fenómenos sociales y naturales?, ¿qué tan próximos a la realidad son los resultados arrojados por un análisis matemático?, ¿se hubiese podido llegar a una conclusión similar sin matemáticas?, ¿el mundo exterior a las matemáticas aporta elementos para su desarrollo?, ¿se puede prescindir de las técnicas matemáticas a la hora de resolver un modelo matemático?, ¿la enseñanza de la matemática responde a intereses políticos y económicos?, ¿las matemáticas son una manera de legitimar la desigualdad educativa? Una enseñanza de la matemática y de las ciencias naturales vinculada con situaciones problemáticas reales y significativas para la sociedad y, por lo tanto, para las y los estudiantes, ¿puede contribuir a un cambio en las condiciones materiales de producción y al desarrollo de la conciencia de los ciudadanos venezolanos? Los y las estudiantes de nuestra educación media, ¿están preparados cognitiva, física y emocionalmente para el estudio del mundo real, que es su mundo? Las preguntas anteriores son fáciles de formular, pero difíciles de responder científicamente y la única manera de contestar correctamente es participando en la práctica que modifica la realidad.

Tall (1991) caracteriza al pensamiento matemático a través de procesos como la clasificación, la representación, la deducción, la abstracción, la visualización, la

Si realmente existe un interés por alcanzar una enseñanza de la matemática vinculada a la comprensión y transformación de situaciones en crisis, es necesario aprovechar el marco conceptual de las matemáticas y el de las ciencias naturales para obtener una interpretación específica de un modelo de la realidad, para que, posteriormente, las mismas matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología desarrollen e incorporen modelos que contribuyan a intervenir en la realidad.

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6. Una experiencia de investigación-acción crítica basada en el método de proyectos

la representación y la formalización, a partir del estudio de algún fenómeno proveniente del mundo real.

Toda investigación responde al enfoque, modelo conceptual o paradigma que se asuma, lo cual condicionará los procedimientos que se desarrollen en la misma. Cada enfoque tiene una conceptualización diferente de cómo, qué, para qué, dónde y por qué investigar. En nuestro caso, asumimos como enfoque de investigación el paradigma sociocrítico, que parte de supuestos emancipatorios y se vale de la investigación para comprender e intervenir en la realidad.

Los sujetos involucrados en esta investigación fueron:

Para Carr y Kemmis (1988), bajo el marco de una Ciencia Social Crítica, la relación entre lo teórico y lo práctico no puede limitarse exclusivamente a prescribir una práctica en base a una teoría, ni a informar el juicio práctico. Para estos autores, la teoría debe ser el resultado de un proceso llevado a cabo por una persona o grupo con el fin de entender sus propias prácticas, así como las situaciones en que se realizan. Con base en lo anterior, se hace indispensable una investigación educativa que se ocupe del mejoramiento de las prácticas, de la comprensión de las mismas y de las situaciones en que se llevan a cabo, para hallar la nueva educación a través de la crítica de la antigua. Según Mckernan (2001: 47), “la investigación-acción crítica se ve como un proceso que da poder político a los participantes; la lucha es por formas más racionales, justas y democráticas de educación”. No es suficiente que unos pocos “expertos” se encarguen de investigar externamente la educación, con el fin de producir teorías educativas que luego serán puestas en práctica por los profesionales en ejercicio, lo cual crea una insalvable separación entre la teoría y la práctica; es necesario que el currículo se alimente de la investigación realizada por los docentes dentro de la escuela, se debe respetar el derecho que tienen los profesores y las profesoras de adquirir y producir conocimientos a partir de la reflexión sobre su práctica. Además, se debe reivindicar a la escuela como el centro de la investigación educativa.

• 25 estudiantes de tercer año de educación media, alumnos de la Unidad Educativa Nacional General José Francisco Bermúdez, la cual está ubicada en la comunidad de El Rodeo, en el estado Miranda. • El docente del curso, Magister en Educación Mención Enseñanza de la Matemática, con siete años de experiencia docente.

7. Presentación y análisis de los resultados A continuación presentamos algunos de los análisis crítico-reflexivos elaborados a partir de los diarios, los talleres escritos, las pruebas escritas y los cuadernos de cinco estudiantes de tercer año de educación media que participaron en el desarrollo de los proyectos educativos, que tenían como tema generador La valoración de las distintas fuentes de energía. A partir de lo establecido por Becerra (2006) y Moya (2008), en nuestra investigación omitimos los nombres y el género de los estudiantes participantes, que serán identificados desde Estudiante 1 (E1) hasta Estudiante 5 (E5). La información está organizada en categorías, que son una especie de etiquetas creadas para agrupar la información vinculada entre sí, respetando la naturaleza de la misma. Categoría 1: Concepto de función Esta categoría se refiere a las formas en la que los estudiantes producen y se apropian del concepto de función. En el gráfico 2, se observa lo dicho por las(os) estudiantes sobre este importante concepto de la matemática.

En esta investigación, nos interesamos por reflexionar, analizar y describir los datos que emergiesen de la interacción entre los estudiantes, el profesor, las situaciones problemáticas y las matemáticas, con la intención de intervenir en la realidad del estudiante, del profesor y en el diseño curricular de las matemáticas escolares. A través de este trabajo hemos aportado elementos que permitirán desarrollar unas matemáticas escolares que sean útiles para la comprensión y transformación de situaciones en crisis y, por ello, deseamos desarrollar en los estudiantes habilidades matemáticas tales como la reflexión, la argumentación, la visualización, 168

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Gráfico 2 Categoría: Concepto de función

Figura 1 Taller escrito 2

Concepto de función [2:22][89] E2, Explicar --------------------Esa clase si que era difícil, dígame cuando nos mandaron a explicar eso, si no lo realice del tiro por lo difícil que era. Bueno sólo explicarlo, por que de representarlo eso si es fácil hicimos representaciones. [1: 37][76] E1. Correspondencia uno a uno --------------------Vimos como determinar el punto medio de un segmento de varias formas, 1era) sumando el punto de un lado del segmento + el otro punto del otro lado del segmento entre dos lo que nos diera era el punto medio de x segmento. 2da) viendo cuál es la distancia que hay entre un punto y otro esa distancia la dividimos dos y ese es punto y medio de x segmento.

[2: 24][103] E2. Concepto de función --------------------E2: Después teníamos que decir si esa gráfica definía una función o no, eso si era bastante fácil [3: 19][72] E3. Concepto de función --------------------Ya que para que pueda decir que es función es necesario que cada elemento de ˚C este relacionado con un único elemento de ˚F. [2:23][101] E2. Representación gráfica --------------------Dígame para expresar la relación en un gráfico, eso si que fue bastante complicado.

En el comentario aportado por el Estudiante 2, podemos observar que el establecimiento de variables y la representación gráfica de la relación establecida entre ellas no resultó ser una actividad sencilla, esto se evidencia en la cita [2:23] [101] “Dígame para expresar la relación en un gráfico, eso sí que fue bastante complicado”; la relación a la que hace referencia el Estudiante 2 es la que viene dada por las variables Kilovatios/hora (Kw/h.) y costo en bolívares (Bs.), sobre datos tomados de una factura emitida por Electricidad de Caracas. Lo importante aquí es observar cómo, a partir de un “recibo de luz” y de la necesidad que tiene el estudiante de conocer qué características tiene el consumo de energía eléctrica en su hogar, comienza a producir elementos vinculados con la matemática; en este caso, se apoya en una representación gráfica de tipo cartesiana que le permite comprender la situación planteada. Además, la representación en el plano cartesiano no aparece como resultado de un procedimiento mecánico de construcción punto a punto, sino que es una construcción con una intencionalidad, que consiste en representar una situación de una forma particular.

En la figura 1 podemos observar cómo los estudiantes, a partir de los datos analizados en cada uno de los proyectos, se apoyan en representaciones, procedimientos y conceptos matemáticos que les permiten interpretar la situación problemática planteada. El Estudiante 3 afirma que [3:19] [72] “... ya que, para que pueda decir que es función, es necesario que cada elemento de ºC esté relacionado con un único elemento de ºF”; en este caso, utiliza un sistema de tipo verbal para justificar que la relación es una función. Consideramos importante señalar que no es conveniente hablar de un sólo registro representativo para algunos conceptos cuya naturaleza admite la posibilidad de diferentes representaciones, lo que nos permite hablar de sistemas de representación (Vernaugd, 1990). La consideración exclusiva y absoluta de un modo de representación puede obstaculizar la plena comprensión del concepto. Según Bagni (2004), “el concepto de función se vincula, a menudo, directamente con la gráfica cartesiana de la relación examinada; para muchos alumnos, tal conexión es esencial para decidir si una relación es una función”. El autor afirma a continuación que: ... tal situación, intuitiva y didácticamente importante, debe ser controlada por el profesor, una exagerada presentación visual podría llevar a los alumnos a malos entendidos a propósito del carácter de algunas relaciones que no se considerarían funciones en cuanto no pueden visualizarse como curvas.

El Estudiante 2 continúa diciendo en la cita [2:24] [103]: “... después teníamos que decir si esa gráfica definía una función o no, eso sí que era bastante fácil”; en este caso, el estudiante utilizó, como se observa en la figura 1, el criterio de la línea vertical (cualquier recta de ecuación x = a, con a R, que corte a la curva en uno y sólo en un punto) para justificar que la gráfica define una función.

En la figura 2 se puede ver cómo uno de los estudiantes representa la relación Kw/h-Bs. de distintas maneras y se apoya en ellas para justificar que la relación define una función. Al estudiar este concepto, es importante considerar diferentes formas de representación, tales como: la descripción verbal, el modelo físico, la tabla de valores, el diagrama de Venn, el gráfico cartesiano y las fórmulas o ecuaciones, de manera que la diversidad de representaciones permita al estudiante una mejor comprensión del objeto representado.

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Además, menciona algunos atributos de este concepto, lo que le permite ir apropiándose de esta idea matemática; de acuerdo con Skovsmose (2000), “el significado también puede verse, primero que todo, como una característica de las acciones y no sólo de los conceptos”. Para este autor, haber escuchado la definición conceptual no garantiza la comprensión del concepto. Según Vinner (1991), adquirir un concepto significa tener una imagen conceptual de él. En esta investigación, intentamos resolver el problema de la comprensión conceptual planteando situaciones a ser analizadas por medio de procedimientos, representaciones y conceptos de la matemática que los estudiantes debían aprender cómo y cuándo utilizar.

Figura 2 Taller escrito 2

Para aproximarnos de mejor manera al significado que le han asignado los estudiantes a este concepto, analicemos lo realizado por ellos en uno de los talleres escritos. Figura 3 Taller escrito 1

El Estudiante 2 nos dice, en la cita [2:22] [89], que “esa clase sí que era difícil, dígame cuando nos mandaron a explicar, eso si no lo realicé del tiro por lo difícil que era. Bueno, sólo explicarlo, porque de representarlo eso sí que es fácil, hicimos representaciones”. En este punto el estudiante expresa claramente que tiene dificultad para realizar la explicación de un hecho en matemáticas, lo que se debe a: 1) que explicar no es una actividad común dentro del aula de matemáticas, generalmente los estudiantes realizan unos cuantos ejercicios de forma mecánica, pero sin enterarse del por qué y el para qué de esta actividad, a lo que se ha denominado paradigma del ejercicio (Skovsmose, 1999); y 2) que explicar está vinculado al por qué de las cosas, lo cual es una actividad cognitivamente exigente. Bishop nos dice que explicar es una actividad que conduce al desarrollo de las matemáticas, y la considera como “la actividad que eleva la cognición humana por encima del nivel asociado a la mera experiencia del entorno” (1999: 71). Observemos cómo el Estudiante 1 [1:37] [76] se preocupa por explicar lo que para él significa punto medio de un segmento: “Vimos cómo determinar el punto medio de un segmento de varias formas, 1era) sumando el punto de un lado del segmento + el otro punto del otro lado del segmento entre dos, lo que nos diera era el punto medio de x segmento; 2da) viendo cuál es la distancia que hay entre un punto y otro, esa distancia la dividimos entre dos y ese es punto medio de x segmento”. El estudiante, al explicar cómo se calcula el punto medio de un segmento, produce un algoritmo que le será útil en futuras tareas. 172

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En la figura 3 podemos observar cómo se establece la relación entre las escalas Fahrenheit y Kelvin considerando sus equivalentes; para ello, se utiliza un concepto geométrico como el de punto medio, lo cual ofrece la posibilidad de que los estudiantes reconozcan la conexión que hay entre las distintas áreas de las matemáticas (Geometría- Álgebra) y que se beneficien de la comprensión de cómo se ha establecido la relación entre las variables. Categoría 2: Papel del estudiante Para la conformación de esta categoría, hemos utilizado los comentarios realizados por el Estudiante 2 en su diario de clase, los cuales hacen referencia a un aspecto Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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del papel que les corresponde tomar a los educandos durante el desarrollo de los proyectos educativos. Estas opiniones están reseñadas en el gráfico 3. El Estudiante 2, en la cita [2:17] [176], refiriéndose a unos comentarios realizados por el profesor del curso durante el desarrollo de una de las actividades de los proyectos, indica: “se lo dije que no hablara con ese tono, que bajara más la voz, porque asustaba a uno, entonces pone nervioso a uno. Y bajó la voz y todo se normalizó”, y agrega en la cita [2:15] [168] “pero hasta lo irrespetuosa se me quería salir, es que provocaba lanzarle la regla que tenía para que dejara la criticadera y el quejar, pero como yo sé que son críticas constructivas, no me molestó”. Gráfico 3 Categoría: Papel del estudiante Papel del estudiante

[2: 17][176] E2. Tono de voz del profesor --------------------Se lo dije; que no hablara con ese tono, que bajara más la voz, por que asustaba a uno, entonces pone nervioso a uno. Y bajo la voz y todo se normalizó.

[2: 16][170] E2. Voy a estudiar --------------------Dije tenlo por seguro que esta no se la paso, ya va a ver lo que voy a hacer, le voy a estudiar hasta lo que no vimos, para que quede boqui abierto.

[2: 15][168] E2. Críticas constructivas --------------------Pero hasta lo irrespetuosa se me quería salir, es que provocaba lanzarle la regla que tenía para que dejara la criticadera y el quejar, pero como yo sé que son críticas constructivas o me molesto..

[2: 14][174] E2. Autoevaluación --------------------Me la descobré, le hice la exposición bien, le dije hasta lo que no estudiamos je. Y dijo que estaba bien.

De las afirmaciones anteriores, podemos deducir que el estudiante está inconforme con el comportamiento del profesor, lo que despierta en él la necesidad de reclamar un mejor trato, pero no lo hace de una forma irrespetuosa, sino que enfrenta la situación y al profesor con argumentos que le hacen comprender al docente que su actitud no está beneficiando el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Bajo una estructura clásica de la escuela, el profesor o la profesora son la máxima instancia de poder y autoridad dentro del aula, lo que lo o la convierte en una figura que no puede ser cuestionada. Esta corriente considera que los y las estudiantes son meros receptores de la acción docente, lo que entra en plena contradicción con una educación democrática y participativa, donde los estudiantes tienen derecho a expresar sus ideas en torno a qué aprender y cómo aprenderlo. 174

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Es cierto que, dentro del marco de una enseñanza de la matemática guiada por la metodología de trabajo por proyectos, el líder debe seguir siendo el docente, pero esto no quiere decir que sus decisiones y acciones no puedan ser cuestionadas por los estudiantes, o que no puedan existir líderes entre ellos que contribuyan a un mejor desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Es indispensable que la escuela enseñe a los educandos a enfrentar, de forma colectiva, legal, justa, consciente y sin importar la estructura de poder que los sustente, a cualquier acto o persona que vulnere valores y derechos como el respeto, la libertad, la vida, la libre expresión, el acceso a la educación, a la salud, a la vivienda, a la recreación, al transporte público, etc. Para ello, es indispensable que nuestras(os) estudiantes posean conocimientos científico-tecnológicos y que estén en la creencia de que pueden participar productivamente en su proceso educativo y en la formación de una patria mejor. Con base en lo anterior, se hace necesario tener mucho cuidado de que, con el pretexto de garantizar la prosecución escolar, nuestros y nuestras estudiantes avancen en el sistema educativo sin obtener los conocimientos necesarios que les permitan analizar fenómenos naturales o comprender, criticar y transformar las situaciones de crisis que se presentan en su medio social; no podemos entregarles a la razón universal o a una ética carente de hechos, información y conciencia, negándoles la posibilidad de juzgar, participar y transformar el mundo, del que cada uno de nosotros es parte. Es indispensable generar en los educandos el compromiso y amor por aprender, en esto los y las docentes jugamos un papel fundamental. En nuestro caso particular, si bien es cierto que en algunos momentos nos equivocábamos en la forma de guiar el proceso de enseñanza-aprendizaje, tal como lo expresa el estudiante 2, nos agrada saber que los estudiantes no se detuvieron en su responsabilidad de aprender, lo cual se evidencia en la cita [2:16] [170] del Estudiante 2, quien comenta: “dije, ‘tenlo por seguro que ésta no se la paso, ya va a ver lo que voy a hacer, le voy a estudiar hasta lo que no vimos para que quede boquiabierto’” y continúa diciendo, en la cita [2:14] [174], que “me la descobré, le hice la exposición bien, le dije hasta lo que no estudiamos. Y dijo que estaba bien”. Algunos dirán que la motivación del estudiante por aprender se origina en un sentimiento de revancha contra el profesor, pero nos atrevemos a asegurar, apoyados en todas las citas presentadas y en los documentos completos que reflejan las opiniones del Estudiante 2, que este estilo de escribir es una forma de expresar su compromiso con todas las actividades del proyecto, sus compañeros y el profesor. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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8. Conclusiones

Alsina, C. (s/f). Geometría y Realidad. Disponible en: http://www.upc.es/ea-smi/ personal/claudi/documents/geometria_realidad.pdf [Consultado el 20 de abril de 2006].

A continuación presentamos un conjunto de consideraciones finales que pretenden dar cuenta de los hallazgos de este estudio. Esperamos que, a partir de ellos, se continúe desarrollando otras investigaciones que permitan la transformación del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática correspondiente al nivel de educación media. Aprendizajes vinculados con el concepto de función: Los y las estudiantes, a partir de la necesidad que tienen de conocer las características de las situaciones planteadas en cada uno de los proyectos, por ejemplo el comportamiento que tiene el consumo de energía en su hogar, comienzan a generar representaciones, procedimientos e ideas matemáticas de manera contextualizada e intencional. De esta forma, cuestiones como representar gráficamente funciones, calcular la distancia entre dos puntos o determinar el punto medio de un segmento no son el resultado de un procedimiento mecánico.

Aravena, M. y Jiménez, J. (2002). Evaluación de procesos de modelización polinómica mediante proyectos. Uno Revista de Didáctica de las matemáticas. Nº 31. Bagni, G. (2004). Una experiencia didáctica sobre funciones en la escuela secundaria. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol. 7, Nº 1. Becerra, R. (2006). La formación del docente integrador bajo un enfoque interdisciplinario y transformador. Desde la perspectiva de los Grupos Profesionales en Educación Matemática. Tesis Doctoral no publicada. Caracas: universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico de Caracas. Bishop, A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural. Barcelona: Paidós.

Los educandos hacen uso de diferentes representaciones gráficas, tales como la descripción verbal, la tabla de valores, el diagrama de Venn, el gráfico cartesiano y las formulas o ecuaciones, para interpretar la situación planteada pero, además, las diversas representaciones permiten visualizar las características del concepto.

Cantoral, R. (coord.) (2000). Desarrollo del pensamiento matemático. México: Trillas.

A lo largo del desarrollo del proyecto La energía en la casa, los estudiantes se dan cuenta de la necesidad de utilizar procedimientos matemáticos que les permitan ir analizando la situación no matemática, el contexto extra-matemático funciona como una forma de representación de los conceptos matemáticos.

D’Ambrosio, U. (1985). Aspectos sociológicos de la Enseñanza de la Matemática. Vol. 3. España: Thales.

Papel del estudiante: A medida que el desarrollo de los proyectos avanzaba, el grado de compromiso de los y las estudiantes era mayor, ellos y ellas se convirtieron, cada vez más, en los protagonistas de las experiencias de aprendizaje, aportaban ideas relacionadas con el tema abordado y, aunque existieron ciertas dificultades, se preocupaban por tener los materiales necesarios para el desarrollo de las actividades. A pesar de la poca tradición de trabajar en equipo, colaboraban entre sí durante el desarrollo de cada uno de los proyectos, lo que no significó que alguien realizara el trabajo correspondiente a otro compañero o compañera. También lograron superar la barrera impuesta por nuestra educación, el no confrontar con argumentos los excesos y las faltas del profesor. En una educación democrática y participativa, los y las estudiantes tienen derecho a enfrentar cualquier instancia de poder que vulnere sus derechos.

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Educación matemática y dialéctica. Bases para una investigación científica Walter O. Beyer K.

Maestría en Educación, mención Enseñanza de la Matemática (IPC-UPEL)

Resumen Este artículo está centrado en la realización de una profunda crítica a buena parte de las investigaciones en el área de las ciencias humanas, particularmente dentro del campo de la educación matemática, las cuales pecan de un exacerbado subjetivismo amparándose en un errado enfoque socio-cultural y, además, presentando una marcada superficialidad, como consecuencia de un relativismo cultural a ultranza y de un apego al anarquismo epistemológico y a la adopción de ciertas propuestas postmodernas. Como alternativa, proponemos tomar como método el análisis dialéctico y, sobre la base de éste, se muestra aquí diversos constructos teóricos, los cuales podrían servir de fundamento para emprender investigaciones -profundas, bien fundamentadas, con resultados constatables, intersubjetivas- sobre temas importantes dentro del campo de la educación matemática. Palabras clave: investigación en educación matemática, educación matemática y dialéctica, enfoque sociocultural.

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Abstract This article is focused on a deep critic of a large amount of the researches in the human sciences area, particularly in the mathematics education field, which have an exacerbate subjectivism supported in a wrong cultural-social approach and, besides, with a remarked superficiality, as a consequence of a radical cultural relativism and an inclination to the epistemological anarchism and to some postmodern proposals assumption. As an alternative, our proposal is to choose the method of the dialectic analysis and, over this base, we show different theoretical constructions which could be used as a groundwork to start deep and well founded researches over important themes in the mathematics education field.

Keywords: research in math education, math education and dialectics, cultural-social approach.

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1. Introducción En los tiempos actuales, se han puesto de moda una serie de concepciones educativas de corte relativista, las cuales están ancladas, supuestamente, en las tendencias de corte socio-cultural. Pareciera, y muchos lo señalan así, que asociarse a ellas es un indicativo de progresismo y de radicalización política. Sin embargo, como demostraremos en el presente artículo, no siempre la afiliación a estas concepciones es un acto de avanzada. Ellas pueden esconder una trampa ideológica y encerrar incluso las ideas más reaccionarias. Muchas concepciones actuales del pensamiento pedagógico se amparan en la nefasta frase de Feyerabend: “todo vale”. Decía éste que “hay solamente un principio que puede ser defendido bajo cualquier circunstancia y en todas las etapas del desarrollo humano. Me refiero al principio todo vale” (Feyerabend, 1984: 24). Nosotros, por el contrario, abogamos claramente por el método y afirmamos rotundamente que no todo vale. Afirmamos, sin lugar a dudas, que ni la especulación ni la opinión pueden ser sinónimos de conocimiento científico. Los peligros que encierra la adopción acrítica de tales ideas son enormes, implican realmente un retroceso en el conocimiento más que un avance en el campo pedagógico. Muchos creen que adoptando en buena parte el lenguaje y las categorías del postmodernismo, nos curamos de las tendencias positivistas. Sin embargo, la enorme carga de subjetividad que encierra buena parte de las supuestas investigaciones realizadas por el “nuevo” “paradigma” (nótese que ponemos cada término entre comillas por separado), no conducen en realidad a ninguna parte, o más bien son un camino de franco retroceso. Además, existen y existían antes del postmodernismo, tendencias de pensamiento alternativas al positivismo, como es el caso del pensamiento marxista que, sin caer en el subjetivismo, aborda el estudio de los fenómenos desde lo social y emplea como método la poderosa herramienta de la dialéctica. Adicionalmente, habría que señalar también que es un absurdo afirmar o descartar totalmente el uso de elementos de la metodología positivista, por cuanto ésta, en ciertas circunstancias, podría ser útil. Afirmar lo contrario sería muestra de profundo sectarismo y dogmatismo. Por fortuna, muchos pensadores actuales no siguen este camino equivocado y nos presentan vías de acción alternativas, que nos evitan el quedarnos entrampados en el dualismo positivismo/postmodernismo. Uno de ellos, de indudable pensamiento progresista, es Ezequiel Ander-Egg. Señalaba él, muy acertadamente, refiriéndose a la interdisciplinariedad aunque aplicable a otros rubros, lo siguiente: 180

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Cuando un término, concepto o tema se pone de moda, y en algunos ambientes hasta queda bien utilizarlo, su uso indiscriminado termina por vaciarlo de un contenido preciso y bien delimitado. Esto ocurre con el concepto de interdisciplinariedad; basta leer lo que se escribe bajo este rótulo, para encontrarnos en un mundo de significados y alcances muy diversos. Esto nos enfrenta a un problema semántico. Pero, además del uso indiscriminado del término, puede darse otro hecho o circunstancia: el concepto de moda queda reducido a un slogan o a un comodín verbal, que se aplica a cuestiones conexas o similares a lo que el término designa en sentido estricto. (1994: 17)

Buena prueba de esto es el trabajo realizado por los conocidos físicos Sokal y Bricmont, quienes señalan: Mostramos que famosos intelectuales como Lacan, Kristeva, Irigaray, Baudrillard y Deleuze han hecho reiteradamente un empleo abusivo de diversos conceptos y términos científicos, bien utilizando ideas científicas sacadas por completo de contexto, sin justificar en lo más mínimo ese procedimiento -quede claro que no estamos en contra de extrapolar conceptos de un campo del saber a otro, sino sólo contra las extrapolaciones no basadas en argumento alguno-, bien lanzando al rostro de sus lectores no científicos montones de términos propios de la jerga científica, sin preocuparse para nada de si resultan pertinentes, ni siquiera de si tienen sentido. (1999: 14)

Pero más allá de lo semántico, lo cual ya es suficientemente preocupante, tras el mal uso y/o abuso terminológico se esconden en buena medida la ignorancia y las tendencias reaccionarias vestidas de progresismo. Además, como bien lo señalan Sokal y Bricmont (1999: 15), ellos formulan una “crítica del relativismo epistemológico y de las erróneas concepciones sobre la «ciencia posmoderna»” Expresan también que se ocupan de la “mistificación, del lenguaje deliberadamente oscuro, la confusión de ideas y el mal uso de conceptos científicos” (Ibíd.). Es justamente en esta dirección, pero dentro del campo pedagógico, que queremos movernos en este trabajo. Es de interés para el tema que nos ocupa reseñar, por ejemplo, el frecuente símil que pretende establecerse entre la investigación en ciencias sociales y la mecánica cuántica, principalmente con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. Como una muestra de lo antes afirmado, consideremos lo expresado por un autor bastante citado, Martínez Miguélez, quien afirma: Por esto, el mismo Heisenberg (1958a) dice que “la realidad objetiva se ha evaporado” y que “lo que nosotros observamos no es la naturaleza en sí, sino la naturaleza expuesta a nuestro método de interrogación” (1958b, pág. 58). Estos principios se aplican a partículas y acontecimientos microscópicos; pero estos acontecimientos tan pequeños no son, en modo alguno, insignificantes. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Son precisamente el tipo de acontecimientos que se producen en los nervios y en el cerebro, como también en los genes, y, en general, son la base que constituye toda materia del cosmos y todo tipo de movimiento y forma de energía. Si todo esto es cierto para la más objetivable de las ciencias, la física, con mayor razón lo será para las ciencias humanas, que llevan en sus entrañas la necesidad de una continua autorreferencia, y donde el hombre es sujeto y objeto de su investigación. El observador no sólo no está aislado del fenómeno que estudia, sino que forma parte de él. El fenómeno lo afecta, y él, a su vez, influencia al fenómeno. (2003: 4)

Aquí podría hacerse dos grandes observaciones. En primer lugar, este principio de la física no tiene nada que ver con la investigación en ciencias sociales, salvo el hecho de los humanos estamos conformados por átomos a los cuales les es aplicable la mecánica cuántica. En segundo lugar, la pretendida crítica formulada a la ciencia de base positivista en que ésta seguía servilmente la metodología de la física y, por ende, el necesario establecimiento de un nuevo paradigma queda desvirtuado, por cuanto hay un retorno a seguir un modelo físico. Todo este galimatías que se ha ido agregando al discurso de la educación y la pedagogía ha producido, en la práctica, el desarrollo de un gran manto de subjetividad que recubre el campo. Adicionalmente, algunos optan por la incorporación, supuestamente para darle un cariz progresista a sus planteamientos, de una verborrea de tipo pretendidamente político, pero que en la práctica no pasa de ser un nominalismo ramplón ajeno a toda capacidad liberadora y transformadora del hombre y de su sociedad. Padrón Guillén, muy acertada y argumentativamente, expresa opiniones similares a las antes esbozadas. Éste universitario venezolano critica de manera precisa y contundente la concepción de ciencia asumida por buena parte de los que pretenden seguir el “paradigma emergente”, considerándola como “cualquier cosa”, sometida a un “libertinaje intelectual”, teñida de anarquía, subjetivismo y relativismo, adornada por una enorme capa de palabreo banal, signada por el uso de términos carentes de definición alguna, llena de ambigüedades que, lejos de alejarnos de la dominación y del atraso secular de nuestros pueblos -afirma él sin ambages-, constituye “el más reciente e inteligente artificio de las clases dominantes para confundir y subyugar” (1997: 22). Podríamos, pues, decir con Morín que se ha instaurado una especie de: opinionitis u opiniomanía: decir ser o conocer algo y creer ciega y obstinadamente en ello, hasta que se produzca la metamorfosis, sin choque ni violencia, es decir, hasta que la ficción y lo imaginario se vuelvan realidad, hasta que el error y la falsedad se vuelvan verdad . [...] De este modo, lo más importante de todo es el relativismo caprichoso de las opiniones comprometidas. (1975: 20-21) 182

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Concordamos plenamente con Sokal y Bricmont, cuando aclaran que su libro “no va contra el radicalismo político, sino contra la confusión intelectual. Nuestro objetivo no es criticar a la izquierda, sino ayudarla a defenderse de un sector de ella misma que se deja arrastrar por la moda” (1999: 17). Una vez realizada esta fuerte crítica a buena parte del movimiento pedagógico actual, por supuesto, es necesario presentar algunos elementos de otra índole que sirvan de marco de referencia para el análisis de ciertas problemáticas educativas. Nuestro interés particular se centrará en la problemática asociada con la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. Hablar de la educación matemática como de un amplio proceso de difusión y de estudio del saber matemático dentro una sociedad, y también como de un campo del saber que a su vez estudia y analiza la educación matemática, obliga a la reflexión acerca del propio conocimiento matemático. Significa también abordar el proceso de génesis de dicho saber, así como su escolarización. En consecuencia, hay que ubicar en un marco más objetivo los procesos de transposición didáctica y de construcción del currículo escolar, con una adecuada definición de los términos y mediante una precisa caracterización de los procesos allí involucrados y, así, poder interpretarlos dentro de una formación socio-histórica particular. La tarea propuesta en las líneas anteriores, evidentemente, no es fácil y se enfrenta a numerosos escollos de orden teórico-metodológico. Adicionalmente, debemos aclarar que en este escrito no eludimos, para nada y en momento alguno, la presencia de la contradicción, ya que, como decía Mao TseTung (1967: 41), “negar la contradicción de las cosas es negarlo todo”. En este sentido, por ejemplo, enfrentamos y resolvemos, por la vía del análisis crítico, la contradicción o disyuntiva presente entre seguir la visión eurocéntrica del desarrollo de las matemáticas o acogerse a un relativismo cultural extremo al estilo del planteado por Spengler (1976). A los efectos de todo lo antes señalado, elementos clave en el planteamiento que se formula en este artículo lo constituyen conceptos como el de cultura, conocimiento matemático, Weltanschauung (o cosmovisión) del educador, modelo pedagógico, currículo, transposición didáctica. Muchos de los puntos antes citados han sido analizados en secciones específicas de este trabajo. Sin embargo, algunos de ellos son líneas directrices que recorren gran parte de la exposición y vertebran la discusión. Hemos considerado un buen número de fuentes de diversa procedencia y de épocas distintas. Las ideas de diferentes autores han sido exploradas, analizadas, contrastadas y, en ocasiones, intentamos hacer una nueva síntesis a partir de ellas. Algunos elementos fueron tomados de otras áreas disciplinares. Así, por ejemplo, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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debemos señalar que la noción de Weltanschauung es un préstamo del campo de la filosofía, aunque dicho término también fue empleado por Sigmund Freud en algunos de sus escritos. La base metodológica está centrada en el empleo del método dialéctico. Un objetivo fundamental que este trabajo persigue es la realización de un análisis crítico de muchas de las tendencias y propuestas de investigación actuales, las cuales, apoyadas en supuestos socio-críticos, se revisten de un halo de falso progresismo y, cubiertas de un grueso manto de subjetividad, pretenden explicar aspectos complejos del ser humano como la adquisición y transmisión del conocimiento dentro de un ámbito social determinado. Otro de nuestros objetivos relevantes es la propuesta de un marco teóricometodológico alternativo que, partiendo de lo socio-cultural pero evitando a toda costa los subjetivismos estériles, pueda servir de base para sustentar nuevas investigaciones -profundas, bien fundamentadas, con resultados constatables, intersubjetivas- sobre temas importantes de las ciencias humanas, especialmente dentro del campo de la educación matemática. Realizamos en primer lugar una discusión crítica de cada uno de los elementos fundamentales que sustentan el trabajo, para luego emplearlos integralmente como herramientas de análisis de algunos aspectos críticos del tema que nos ocupa.

2. Matemáticas y cultura: una mirada crítica Ante la visión a-cultural, tradicional y eurocéntrica de la evolución de las matemáticas que ha predominado durante mucho tiempo, actualmente se han puesto muy en boga las visiones socio-culturales de este campo del saber. No obstante, ni ellas son nuevas ni tampoco necesariamente son progresistas. Comenzaremos diciendo que la historia tradicional de la matemática asume que el desarrollo de esta disciplina se inicia en la antigüedad griega, avanzando en el tiempo de manera lineal y acumulativa hasta nuestros días. Es una historia centrada en los grandes hombres y que presenta la evolución de esta área del conocimiento, aunque suene paradójico, de una manera a-histórica, partiendo de la cultura griega clásica. Además, su centro de acción se localiza fundamentalmente en Europa. Adicionalmente, dentro de esta concepción se desconoce y se desecha las circunstancias de tiempo y de lugar dentro de las cuales surge el conocimiento matemático.

que esta disciplina, tanto en su génesis como en su evolución, es absolutamente independiente del ámbito cultural dentro del cual se ha generado. Ante estas visiones parciales e incompletas, numerosos estudiosos (Joseph, 1996; Bishop, 1999) se han opuesto, planteando enfoques alternativos del desarrollo de este campo del conocimiento. Sin embargo, asomar la idea de que las matemáticas son un hecho cultural no es algo nuevo y, en este sentido, son muy claras y precisas las consideraciones que al respecto manifiesta el matemático francés Chapelon: No se puede emitir un juicio válido sobre el desarrollo de las matemáticas aislando arbitrariamente este desarrollo de su contexto, de su medio ambiente. Pues el proceso de este desarrollo es demasiado complejo y está demasiado ligado al devenir general de la humanidad para que, al aislarlo, no se lo mutile profundamente hasta el punto de llegar a ser ininteligible. No se puede hacer abstracción del carácter humano y social de las matemáticas, pues los matemáticos y las sociedades en las cuales éstos evolucionan forman un todo inseparable. Por el contrario, es reintegrando la evolución de las matemáticas al desarrollo social que es posible comprender cómo, nacidas de las necesidades técnicas de la sociedad, han adquirido poco a poco una amplitud prodigiosa y una preeminencia soberana, y cómo, en fin, en la sociedad actual, por uno de esos retornos tan frecuentes en la historia, se han convertido en uno de los cimientos ideológicos fundamentales de nuestra civilización. Necesitamos, por tanto, recurrir a la historia para aclarar las interacciones entre el desarrollo de las matemáticas y el desarrollo social. (1948: 546)

Es muy aleccionador el carácter dialéctico de esta concepción acerca de la evolución de la matemática. Pero, aún antes1 que Chapelon, expresaba Spengler que: ... no hay una matemática; hay muchas matemáticas. Lo que llamamos historia de la matemática, supuesta realización progresiva de un ideal único e inmutable, es en realidad, si damos de lado la engañosa imagen de la historia superficial, una pluralidad de procesos cerrados en sí, independientes, un nacimiento repetido de distintos y nuevos mundos de la forma, que son incorporados, luego transfigurados y, por último, analizados hasta sus elementos finales. (1976: 254-255)

Debemos aclarar, además, que la aproximación que hace Spengler a la matemática está muy centrada en la idea de número y ésta la asocia con “medir, contar, dibujar, pesar, ordenar, dividir” (1976: 251). Este autor agrega que: ... la matemática antigua, teoría de magnitudes intuitivas, no quiere interpretar sino los hechos del presente palpable; por lo tanto, limita su investigación y su vigencia a ejemplos próximos y pequeños. En esto, la matemática antigua es perfectamente consecuente consigo misma. (1976: 261)

Como dicha visión del “desarrollo histórico” -fundamentalmente eurocéntricode la matemática incluso desconoce el contexto histórico-social en el que se desarrolló la matemática que tratan de historiar dentro del mundo europeo, daría la impresión

1 La obra cumbre de Oswald Spengler, La Decadencia de Occidente, fue terminada en 1917 y publicada en 1918.

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Surgen entonces, de manera natural, las siguientes interrogantes: ¿Existe un sólo cuerpo de conocimientos que se llama matemática?, o ¿son varios los cuerpos de conocimiento que llevan tal denominación, como señala Spengler? A su vez, ¿qué significa la diversidad cultural para las matemáticas?

Spengler opina que “el estilo de una matemática naciente depende, pues, de la cultura en que arraiga, de los hombres que la construyen” (: 253) Hasta aquí podemos acompañar esa reflexión, al situar la matemática dentro de la cultura y moldeada por ésta; pero también llega a afirmar que “no hay ni puede haber número en sí. Hay varios mundos numéricos porque hay varias culturas. Encontraremos diferentes tipos de pensamiento matemático y, por lo tanto, diferentes tipos de números. [...] Hay, por tanto, más de una matemática” (: 253). Esto último es expresión de un relativismo extremo que no compartimos. Lo planteado por Spengler proporciona las respectivas respuestas, desde su punto de vista, a cada una de las interrogantes antes formuladas. Pero, ¿podemos estar de acuerdo con esta posición de relativismo cultural extremo? Hemos de afirmar que no lo estamos, como tampoco compartimos la visión eurocéntrica de las matemáticas. Pareciera que hubiésemos llegado a una contradicción insalvable. Poder deshacer el aparente nudo gordiano de esta situación involucra, de hecho, pensar en qué es la matemática. Conduce indisolublemente a otras interrogantes, como las que plantea White: ¿Existen verdaderas matemáticas en el mundo exterior, para ser allí descubiertas por el hombre, o son inventos humanos? La realidad matemática, ¿posee una existencia y validez independientes de la especie humana, o es una mera función del sistema nervioso de los hombres? (1976: 283)

Por supuesto que no pretendemos, en este breve ensayo, responder a estas últimas interrogantes. Ellas han suscitado una ardorosa polémica desde hace mucho tiempo y, en la próxima sección, señalaremos algunas posturas asumidas al respecto. Sin embargo, adoptaremos una posición con respecto a la relación de la matemática con la sociedad y con la cultura, la cual permitirá, a nuestro entender, aclarar el papel de esta disciplina dentro de la cultura de cada pueblo y explicar su aparente diversidad, sin necesidad de caer en un relativismo cultural que conlleve a pensar en una multiplicidad de matemáticas. En virtud de ello, es menester abordar otro punto candente: la definición de cultura, término altamente polisémico. En la Conferencia Mundial sobre las Políticas Culturales, celebrada en México en 1982, el término cultura fue definido como “el conjunto de rasgos distintivos, espirituales y materiales, intelectuales y afectivos que caracteriza una sociedad o 186

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grupo social. Ella engloba, además de las bellas artes y las letras, los sistemas de valores, las tradiciones y las creencias”. Por su parte, Tylor asevera que “la cultura o civilización, tomada en un sentido etnográfico amplio, es esa totalidad compleja que incluye conocimientos, creencias, artes, moralidades, leyes, costumbres y cualesquiera otras capacidades y hábitos adquiridos por el hombre como miembro de la sociedad” (Citado en Bishop, 1999: 21). En consecuencia, al ser las matemáticas un conocimiento y un producto intelectual, ellas forman, sin lugar a dudas, parte indisoluble de la cultura de una sociedad determinada. En ello coinciden actualmente muchos estudiosos, como por ejemplo Bishop, autor que, basado en una multiplicidad de estudios interculturales, constata que “las matemáticas son un fenómeno pancultural: es decir, existen en todas las culturas” (1999: 37), y que se puede determinar en ellas la presencia (con diferentes grados de evolución) de un conjunto de actividades y procesos que conducen a su desarrollo. Las actividades que se ha podido establecer son, fundamentalmente, seis: contar, medir, localizar, diseñar, jugar y explicar. Hemos de volver a los planteamientos de Chapelon, quien expresaba que: Los comienzos de las matemáticas son los de toda ciencia; la presión de las necesidades sociales eleva poco a poco al nivel de la especulación científica lo que primitivamente no era más que una colección de recetas empíricas. El desarrollo inicial de las matemáticas está condicionado, pues, por las fuerzas productivas de una sociedad en continua transformación. Esta influencia de las fuerzas productivas va más allá del período inicial y domina toda la historia de las matemáticas. Las particularidades del progreso matemático corresponden a las particularidades del progreso social. (1948: 552)

¡He aquí el quid de la cuestión! El desarrollo de las fuerzas productivas de una sociedad en un momento histórico determinado, es clave para dilucidar el problema planteado y resolver la contradicción presentada. Chapelon agrega que “las matemáticas nacieron cuando las necesidades de la vida material exigieron su existencia, cuando la técnica de una sociedad alcanzó un cierto nivel” (1948: 546). Bishop, por su parte, con respecto a las seis actividades antes señaladas, plantea que todas “están motivadas por necesidades relacionadas con el entorno y, al mismo tiempo, ayudan a motivar estas necesidades” (1999: 43). Para entender mejor esto, necesariamente tenemos que apelar a lo expresado por Marx y Engels, quienes señalan que: El modo como los hombres producen sus medios de vida depende, ante todo, de la naturaleza misma de los medios de vida con que se encuentran y que se Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Figura 1

trata de reproducir. Este modo de producción no debe considerarse solamente en cuanto es la reproducción de la existencia física de los individuos. Es ya, más bien, un determinado modo de la actividad de estos individuos, un determinado modo de manifestar su vida, un determinado modo de vida de los mismos. Tal y como los individuos manifiestan su vida, así son. Lo que son coincide, por consiguiente, con su producción, tanto con lo que producen como con el modo cómo producen. Lo que los individuos son depende, por tanto, de las condiciones materiales de su producción. (1971: 19-20)

El concepto de número nació de la necesidad técnica de alcanzar el número cardinal. El primer matemático fue quizás un pastor de genio que, para contar los animales de su ganado, ideó una técnica de enumeración o de correspondencia, llegando en el fondo a captar el número cardinal por intermedio del número ordinal.

Estos determinados modos de la actividad y de manifestación de la vida no son otra cosa que la expresión de la cultura de una comunidad. Más aún, Marx y Engels clasifican las sociedades a partir de los distintos modos de producción y, además, la estructura social queda determinada por este modo de producción y por las relaciones sociales que de él se derivan. Sobre este aspecto, Marx explica que los hombres contraen ciertas relaciones de producción, las cuales: ... corresponden a una determinada fase de desarrollo de sus fuerzas productivas materiales. El conjunto de estas relaciones de producción forma la estructura económica de la sociedad, la base real sobre la que se levanta la superestructura jurídica y política y a la que corresponden unas determinadas formas de conciencia social. El modo de producción de la vida material condiciona el proceso de la vida social, política y espiritual en general. (1859: 343)

A nuestro juicio, las ideas antes expuestas aclaran suficientemente el tema del nexo entre matemáticas y cultura en una sociedad dada, así como queda también explicada la diversidad de desarrollos matemáticos que han podido encontrarse en distintas sociedades. No obstante, en la sección destinada a discutir el conocimiento matemático, tocaremos temas que tienen una vinculación estrecha con los aspectos aquí tratados.

Entonces, si aceptamos estos planteamientos de los fundadores del materialismo histórico, el desarrollo de la cultura en general y, de la ciencia y de la técnica en particular (y por ende las matemáticas), dentro de una sociedad específica, queda sujeto al desarrollo de sus fuerzas productivas. Por lo tanto, los disímiles grados de desarrollo de distintos grupos humanos han tenido como consecuencia lógica diferentes grados de evolución en su conocimiento matemático.

Finalmente, adelantándonos a otros temas a ser tratados en el presente ensayo, debemos señalar que esta concepción materialista de la sociedad permite también ubicar y aclarar el papel que juegan dentro de ella instituciones como la escuela, estudiar la evolución de las matemáticas escolares y analizar procesos como la transposición didáctica.

En este sentido, Kedrov y Spirkin señalan que “los conocimientos pueden ser de diferentes clases: cotidianos, pre-científicos y científicos, empíricos y teóricos” (1968: 8). Considerar esta distinción es útil a nuestros propósitos, justamente porque explica buena parte de la variabilidad del conocimiento (matemático) presente en distintas sociedades, sin necesidad alguna a apelar al expediente de la existencia de una multiplicidad de matemáticas, como hace Spengler.

3. El conocimiento matemático: tipología y características En la segunda sección del presente trabajo ya habíamos aludido a la existencia de diferentes tipos de conocimiento. Aquí volvemos sobre el tema, pero enfocándonos más específicamente en el campo de las matemáticas. Retomamos este asunto por cuanto “la discusión sobre ¿qué es el conocimiento matemático? no es trivial y afecta profundamente al diseño y desarrollo del currículo de matemáticas.” (Rico, 1997: 382) 3.1. Tipos de conocimiento El conocimiento, como parte integrante de la cultura desarrollada por una sociedad particular, puede estar en alguno de los tres estadios de desarrollo señalados por Kedrov y Spirkin (1968), a saber: conocimiento cotidiano, conocimiento pre-

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científico y conocimiento científico. Por supuesto que en aquellas sociedades que han alcanzado el nivel del conocimiento científico, coexisten con él los otros dos niveles.

Figura 3

Chapelon expresa, refiriéndose al surgimiento de las matemáticas, que en sus inicios éstas sólo tuvieron un carácter empírico, pre-científico, pero que luego se elevaron al nivel de una ciencia. Justifica su anterior afirmación aduciendo que “la más rudimentaria de las economías agrícolas necesita informes numéricos acerca de las estaciones. Esto implica la resolución de problemas ligados al establecimiento de un calendario” (1948: 547). Más aún, podemos retroceder en el tiempo para encontrar rastros de conteo en comunidades muy primitivas, fundamentalmente mediante marcas realizadas sobre huesos. Así por ejemplo, Barrow señala que: La reliquia más antigua con muescas forma parte de un hueso de babuino, encontrado en las montañas de Swazilandia, que data aproximadamente del 35.000 a.C. Presenta 29 muescas y probablemente se trata de un arma en la que el cazador anotaba sus piezas. (1997: 31-32)

Otro hallazgo del mismo tipo fue el realizado en Vestonice, actualmente República Checa, donde fue encontrado ... un hueso de lobo, de unos 18 centímetros de longitud, que data aproximadamente del 30.000 a.C. Presenta una hilera de 25 muescas, luego dos marcas mayores, seguidas de otras 30 muescas, y muestra algún indicio de agrupamiento de las muescas de cinco en cinco (Barrow, 1997: 32) (Ver figura 2)

El pueblo que hizo las muescas en el hueso dejó rastros que permiten aseverar que se dedicaba a la caza y a la pesca como base de su subsistencia, teniendo como hábitat las orillas del lago. Su desaparición fue causada por una erupción volcánica. La afirmación anterior sobre la notoriedad de este objeto arqueológico está justificada por la cantidad de estudios y conjeturas que sobre él se ha realizado. Así, Barrow nos dice que “las muescas están agrupadas de una forma sorprendente que ha dado lugar a hipótesis fantasiosas” (1997: 32-33). Por otra parte, los estudios de la evolución humana y los realizados con niños de nuestra época permiten aseverar, como hacen Campiglio y Eugeni, que “la percepción visual consiente al hombre reconocer modestas cantidades de objetos sin contar. Está comprobado que podemos individualizar, con un golpe de ojo, y sin contar, hasta tres objetos, excepcionalmente 4” (1992: 38) y, además, que “los niños aprenden a muy temprana edad los términos que designan los números […], y su «contar» está generalmente asociado al uso de los dedos” (1992: 37).

Figura 2

Pero tal vez el más notorio de estos descubrimientos sea el del hueso de Ishango, encontrado a orillas del lago Eduardo, en los límites de la actual República Democrática del Congo. Ambos lados del objeto están representados en la figura 3.

Más aún, investigaciones recientes han permitido corroborar que, de manera innata, niños de apenas pocos meses son capaces de diferenciar pequeñas cantidades. Así por ejemplo, Haith, Vasta y Miller hacen referencia a diferentes estudios sobre este aspecto. En uno de ellos: ...se muestra primero al bebé, varias veces, colecciones de un tamaño específico hasta que decae su atención. Se le presenta entonces un conjunto de tamaño nuevo. ¿Notan los bebés el cambio? Mientras la medida de los conjuntos es pequeña, bebés de sólo 3 meses aparentemente lo notan. (2008: 318)

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Lo anterior es un hecho notable. Pero, “todavía lo es más la posibilidad de que los bebés puedan ser capaces de operaciones muy simples de aritmética” (Ibíd.), posibilidad sugerida por algunas investigaciones como las realizadas por Wynn2, a principios de la década de los 90.

Figura 5 En Nueva Guinea diversas comunidades cuentan usando distintas partes de su cuerpo. En su meduloso libro, Ifrah (1997) estudia con detenimiento una multiplicidad de sistemas de conteo empleados por grupos humanos de todo el mundo.

Así, “los seres humanos, e incluso algunos animales, parecen poseer un sentido natural del número que les permite detectar la presencia o ausencia de cantidades pequeñas” (Barrow, 1997: 28). Además, para los humanos, “es posible contar sin tener ningún sentido del número en absoluto. Esto se consigue generalmente mediante marcas” (: 30), como en los casos de los huesos antes citados. También, otros tipos de representaciones concretas como el empleo de nudos en cuerdas o de piedras, sirven a esta finalidad (ver figura 4).

Beyer (2005), por su parte, hace un recuento de algunos estudios acerca de este tema y enfatiza en ciertos sistemas de conteo de pueblos aborígenes venezolanos.

Figura 4

Campiglio y Eugeni señalan que “partiendo de capacidades perceptivas análogas a las de los animales, el hombre crea el concepto de número, y los números, en momentos sucesivos” (1992: 41). Sin embargo, debemos advertir que, para alcanzar el concepto de número, la humanidad tuvo que recorrer un largo camino. Además, ello tiene que ver con un proceso que parte de lo perceptivo y evoluciona hacia lo cognitivo. No obstante, en el estudio de culturas que tienen poco desarrollo tecnológico, “hay que tener cuidado en no confundir la inexistencia de palabras numerales con la inexistencia del sentido del número […], ya que existen culturas primitivas que poseen pocas palabras numerales pero que cuentan mediante gestos” (Barrow, 1997: 36). Incluso, no sólo debemos atender al lenguaje verbal, ya que el grabar marcas (como señalamos arriba) es la forma más antigua conocida del sentido numérico en los seres humanos.

La discusión anterior, relacionada con la progresión del conocimiento matemático desde la fase cotidiana hasta la científica, así como con el hecho de que compartamos con otros seres vivos la posesión de un sentido numérico desde los primeros meses de nuestra vida, pasa por entender que diferentes especies animales (el hombre incluido) tienen la capacidad de formar preceptos, pero luego sólo los humanos tenemos la capacidad de pasar a una etapa superior, la de la formación de conceptos. Señala Mosterín que “los preconceptos perceptuales o preceptos son los patrones o plantillas de nuestro sistema neurosensorial, que nos permiten identificar formas perceptuales cada vez que se presentan en el continuo de nuestras sensaciones”. Por otra parte, tenemos los conceptos ordinarios, que “son las unidades de representación simbólica del mundo de que disponemos en nuestro habla y en nuestro pensamiento articulado”. Por último, están los conceptos científicos, que son “o bien precisiones extraordinarias de conceptos ordinarios, o bien unidades simbólicas de nueva creación, establecidas por convención de la comunidad científica pertinente” (1981: 13). En todo lo que llevandos dicho en la presente sección del trabajo, aún no hemos mencionado el hecho educativo y el papel que éste juega dentro del marco social, así como el tipo de conocimiento allí involucrado. A continuación, nos ocupamos de ello. Lundgren apunta, muy acertadamente, desde nuestro punto de vista, que:

2 Wynn, K. (1992). Addition and substraction by human infants. Nature. 358.

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... la producción social implica no sólo producción de las necesidades de la vida y de los objetos materiales, sino también la producción de los símbolos, el orden y la evaluación de objetos y, a la vez, la producción de las condiciones Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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de la sociedad en las que ésta continúa. Incluye, por tanto, trabajo manual y mental. (1997: 16)

Y continúa afirmando que: ... cuando los procesos de producción y de reproducción están unidos de un modo inextricable, el problema de la reproducción está íntimamente relacionado con los problemas de producción. El niño aprende el conocimiento y las destrezas necesarias para la producción participando en ella. No hay necesidad de tener un lenguaje especial para la educación; ni de pensar en términos de objetivos, fines o métodos de enseñanza. El problema de aprender es una parte de la producción. (: 18)

Pero, ¿qué ocurre cuando los procesos de producción y de reproducción se separan? Esta situación la ilustra Lundgren (1997: 19) mediante el siguiente gráfico (figura 6). Figura 6

División del trabajo Contexto social de la producción

Contexto social de la reproducción Problema de la representación

Procesos de producción

Procesos de reproducción

Textos Este investigador explica dicha situación indicando que: Cuando los procesos de producción están separados de los de reproducción, se forman dos contextos sociales: uno para la producción y otro para la reproducción. [...] Cuando el niño no participa en la producción, el conocimiento y las destrezas necesarios para ésta tienen que ser clasificados, seleccionados y transformados en textos que pueden utilizarse en el contexto de la reproducción. (Lundgren, 1997: 19)

El significado de lo que él denomina “textos” lo aclara al expresar que “detrás de cualquier currículum debe haber un conjunto de principios según los cuales se formen la selección, la organización y los métodos de transmisión. [...] Yo denominaré al conjunto homogéneo de tales principios código curricular.” (: 21), señalando además 194

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que “el primer tipo de código curricular, en el sentido de un texto producido para la educación y que organiza diversos campos del conocimiento, lo encontramos en la cultura de la antigua Grecia” (: 35). Siguiendo estas ideas expuestas por Lundgren (1997), mismas que tienen consonancia con el planteamiento general que hemos venido formulando, podemos percibir que, en una institución creada ex profeso a los fines del proceso de reproducción, como lo es la escuela, se maneja en ella un tipo distinto de conocimiento. Este tipo diferenciado de conocimiento no es otra cosa que el conocimiento escolar, presente en un currículo determinado y que es producido por ese proceso de clasificación, selección y transformación al que alude Lundgren, proceso que en el fondo no es otro que el de transposición didáctica. Sobre este último punto, el referido a la transposición didáctica, volveremos posteriormente. De momento sólo discutiremos algunos elementos importantes vinculados con el conocimiento escolar, sus características y sus diferencias con otros tipos de conocimiento. Diversas fuentes hacen referencias o menciones a términos como “conocimiento escolar”, “matemáticas escolares” o expresiones análogas. Así por ejemplo, el National Council of Teachers of Mathematics, en un importante documento publicado en 1980, plantea que “consideran los tres ‘tipos’ de matemáticas: (I) etnomatemáticas, (II) matemáticas escolares, (III) matemáticas elevadas (puras)” (NCTM, 1986: 33). En distintos documentos, conferencias y artículos, es bastante usual encontrar referencias a “diversos tipos de matemáticas”. D’Ambrosio (2009), en la conferencia que dictara en el VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, se pregunta si la matemática académica y la escolar son las mismas o son diferentes, y así titula su exposición. Por su lado, Dowling también marca las diferencias entre ambas categorías al señalar -en una nota- que “las matemáticas escolares han de distinguirse de otras actividades matemáticas, tales como las matemáticas académicas” (1996: 412). Si enlazamos y/o contrastamos algunos de estos diferentes planteamientos e ideas, podemos identificar fácilmente, por ejemplo, lo que Kedrov y Spirkin (1968) denominan conocimiento (matemático) cotidiano y lo que el NCTM (1986) señala como etnomatemáticas. En su investigación, Díez Palomar (2004: 37) nos presenta un cuadro de diferencias entre las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real, siendo estas últimas esencialmente lo mismo que antes denomináramos etnomatemáticas o conocimiento matemático cotidiano (ver figura 7).

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Figura 7 Matemáticas académicas Representación y relación entre medias y fórmulas

Matemáticas de la vida real

Producción de regularidades

Identificación de matemáticas específicas en contextos generales Esquematización y visualización de problemas

Definición e integración de modelos

Descubrimiento de relaciones y regularidades

Generalización

Reconocimiento de similitudes entre diferentes problemas Cuadro 2.1. Diferencia entre las matemáticas académicas y las matemáticas de la vida real . Elaboración propia a partir de OCDE, 2002a.

Por su parte, Qualding realiza una diferenciación de tres “categorías” de matemáticas, que denomina “matemáticas de la vida corriente”, “matemáticas prácticas” y “matemáticas de los matemáticos”. A las primeras las señala como aquellas “que necesitamos para ocuparnos de nuestros asuntos diarios y aprovechar convenientemente nuestros ratos de esparcimiento” (Qualding, 1982: 443). Como podemos apreciar en la discusión precedente, hay bastante consenso en la consideración de diversos tipos y/o niveles de conocimiento matemático. Sin embargo, es bastante común el uso libre de algunos términos, empleados por ciertos autores sin precisar detalladamente sus alcances. 3.2. El conocimiento escolar Para nuestros fines, es de particular interés un conocimiento específico: el conocimiento matemático escolar. Pero, ¿qué se quiere decir con conocimiento (matemático) escolar o con matemáticas escolares?, ¿se diferencia éste de otros tipos de conocimiento? Chervel justifica el uso del término “disciplinas escolares” para referirse al conocimiento escolar organizado, especificando que: ... con este término, los contenidos de la enseñanza se conciben como entidades «sui generis», propias de la clase, independientes hasta cierto punto de cualquier realidad cultural ajena a la escuela y dotadas de una organización, una economía propia y una eficacia que sólo parecen deber a sí mismas, es decir, a su propia historia. (1991: 63)

No obstante, este autor aclara que, para evitar malos entendidos en torno a la relativa independencia de las disciplinas escolares señalada en la cita anterior, “suele admitirse que los contenidos de la enseñanza vienen impuestos como tales a la escuela por la sociedad que la rodea y por la cultura en la que está inserta” (: 64).

Hay una gran diferencia entre lo que llamamos Matemática Académica, o simplemente Matemática, y la Matemática que se enseña en la escuela, que llamo Matemática Escolar. La verdad, ellas son diferentes en sus objetivos, métodos y contenidos, aunque pueda haber alguna coincidencia entre estos tres componentes, particularmente en contenidos básicos que aparecen en ambas.

A continuación y con base en lo planteado por Beyer (2009), procuramos establecer una tipología cuyas categorías integrantes son el conocimiento matemático académico, el escolar y el cotidiano. Además, puede hacerse una comparación entre ellas y establecer las distinciones y características esenciales de cada uno de estos conocimientos. Sintetizando la discusión propuesta por este autor, podemos señalar algunos elementos básicos que caracterizan los tres tipos de conocimiento matemático mencionados en el párrafo anterior. En el cuadro 1 mostramos estas características. Cuadro 1 Conocimiento Matemático

Académico

Escolar

Cotidiano

Nivel formal

Alto

Intermedio

Bajo

Grados de abstracción

Generalmente alto

Ocasionalmente alto

Bajo

Escolaridad

Universitaria y postgrado

Nivel primario y secundario

No requiere

Institucionalización

Alta

Escasa

Se encuentra en

El currículo universitario de carreras de matemáticas, ingeniería y afines; obras especializadas, revistas, congresos

El currículo escolar, las obras didácticas

La vida diaria, los oficios

Ámbito

Universidades, centros de investigación, academias

La escuela

La sociedad en general

Nivel de contextualización

Generalmente muy descontextualizado

Poco contextualizado

Muy contextualizado

Practicidad

Teórico, poco intuitivo, aplicable en contextos específicos

Más o menos práctico, aunque no necesariamente útil, poco intuitivo, de escasa aplicabilidad

Muy práctico, intuitivo, de gran aplicabilidad

D’Ambrosio (2009) afirma que: 196

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Como podemos apreciar, sólo se ha tomado en cuenta algunos elementos, los más importantes, para caracterizar cada tipo de conocimiento y así poder realizar una contrastación entre ellos. Los elementos considerados no son todos los involucrados, pero permiten hacer una notoria diferenciación entre estos distintos tipos de conocimiento. Otra observación necesaria en este momento es que existe un complejo de relaciones entre los tres tipos de conocimiento antes señalados. Ellos se retroalimentan e influyen mutuamente. Estas influencias recíprocas, de acuerdo con lo que hemos venido planteando, van a estar marcadas y sujetas a variables y fenómenos de índole socio-cultural.

Así, podemos mencionar que se la ha considerado ciencia, estudio, arte y hasta como un juego o lenguaje. Hay quien la ha tomado como parte de la lógica y también se la ha asociado con la cantidad, la magnitud, el orden, los patrones, la medida, el razonamiento y las formas (Beyer, 2009: 258). Esta variedad de definiciones de matemática queda patente en el siguiente comentario de Newman:

Figura 8

Conocimiento Matemático Académico

Debemos advertir que no vamos a tratar de dilucidar los aspectos filosóficos subyacentes en la matemática, como los de tipo ontológico. Sólo nos dedicaremos a revisar algunas de las principales concepciones que sobre este campo del saber se han realizado en el transcurso del tiempo. Además, son disímiles y hasta curiosas las tan variadas definiciones y/o caracterizaciones que se han propuesto sobre esta rama del saber.

Conocimiento Matemático Escolar Matemáticas

Felix Klein la describe como la ciencia de las cosas que son evidentes por sí mismas; Benjamin Pierce, como la ciencia que obtiene conclusiones necesarias; Aristóteles, como el estudio de la “cantidad”; Whitehead, como el desarrollo “de todos los tipos de razonamiento formal, necesario y deductivo”; Descartes, como la ciencia del orden y la medida; Bacon, como el estudio que hace a los hombres “sutiles”; Bertrand Russell, identificándola con la lógica; David Hilbert, como un juego formal sin significación. Ninguna de esas afirmaciones permite una captación plena del tema, aunque una o dos sean de verdadera importancia. (1976: 217-218)

Acerca de las dificultades definitorias, Haussman señala que: ... luego de haber dedicado este capítulo a ilustrar lo que es ella [la matemática], sería justo terminarlo con una definición. Y sin embargo no lo haremos en razón de la dificultad de la empresa: no existe una definición de la matemática que hasta ahora haya sido generalmente aceptada, sin estar expuesta a muy serias críticas. (1968: 86)

Conocimiento Matemático Cotidiano

El la figura 8 representamos esquemáticamente las mutuas interrelaciones existentes entre los tres tipos de conocimiento matemático y destacamos una en particular, la transposición didáctica (TD), que fundamentalmente vincula el conocimiento matemático académico con el escolar y a la cual dedicamos un apartado en este artículo.

A continuación y de manera sintética, haremos un recorrido por algunas de las concepciones más notables que se han elaborado sobre esta disciplina. 4.1 Las concepciones provenientes de la Grecia clásica

Históricamente, y aún en la actualidad, ha habido distintas concepciones acerca de ese cuerpo de conocimientos llamado matemática, especialmente para lo que hemos denominado conocimiento matemático académico o científico y que algunos también gustan en llamar saber sabio.

El mismo término “matemática” es de origen griego y se atribuye a Pitágoras la iniciativa en su uso. Este personaje, mezcla de misticismo y de creación intelectual, planteó la idea de que la explicación del mundo estaba fundada en las matemáticas y llegó a la conclusión de que “todo es número”. Es decir, que los números eran el principio último de todas las cosas. Puede apreciarse aquí una orientación especulativa de la disciplina alejada de la práctica y de la aplicabilidad de tal conocimiento. Ello marca una diferencia sustancial entre la matemática griega y las de otras culturas como la egipcia y la mesopotámica, cuyos enfoques eran eminentemente prácticos.

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4. Una aproximación a diferentes concepciones de las matemáticas (académicas)

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Señala Anatolio, quien fuese obispo de Laodicea, que “los pitagóricos aplicaron, así se cuenta, el nombre de la matemática más en propiedad a la geometría y a la aritmética solamente; que en tiempos anteriores, cada una de ellas tenía nombre aparte, sin nombre alguno común a ambas” (García Bacca, 1961: 15). Dentro de su concepción del mundo, los pitagóricos redujeron la música a simples relaciones numéricas, de lo cual devino la creación de la escala musical, e hicieron lo mismo con los movimientos de los astros. Al respecto, Kline señala que “puesto que los pitagóricos «reducían» la astronomía y la música a números, se las podía relacionar con la aritmética y la geometría, y los cuatro temas eran considerados como matemáticas” (1985: 14). Estos cuatro elementos es lo que se conoce como el Quadrivium. Aristóteles, en su Metafísica, señala esta visión numérica del mundo por parte de los pitagóricos, expresando que: ... veían semejanzas de las cosas que existen o pueden existir con números […] dado que las variaciones y las proporciones de las escalas musicales eran expresables con números; puesto que, además, todas las otras cosas parecían estar en toda su naturaleza modeladas con números, y los números parecían ser la primera de las cosas de la naturaleza, ellos supusieron que los elementos numéricos eran los elementos de todas las cosas y que los cielos eran una escala musical y un número. (Citado en Kline, 1985: 14-15)

García Bacca comenta un texto de Porfirio en una nota, señalando que: El Quadrivium pitagórico se componía, según Nicómaco, Teón de Esmirna y Proclo, de aritmética, música, geometría y esférica. Por esférica parece deber entenderse la astronomía, o geometría de la esfera en relación a las esferas celestes, cual ejemplar real modélico de realización acabada de la esfera pura. (1961: 75)

Esta concepción de la matemática ha tenido una influencia notoria, tanto dentro del campo de la disciplina como fuera de ella y pervive aún en nuestros tiempos. Otro de los grandes pensadores griegos, Platón, tuvo y tiene también una enorme importancia en lo que a concepciones de la matemática se refiere. Se interesó por las matemáticas, como muchos de los filósofos, escribiendo en el frontispicio de la Academia “Nadie entre aquí sin saber geometría”. Su concepción del mundo tenía como base la creencia de que a nuestros conceptos corresponde, fuera de la mente, una realidad objetiva semejante al objeto representado en aquellos y a esta realidad la llama idea. En consecuencia, las ideas a las que se refiere Platón son cosas extra-mentales, las únicas auténticas realidades, según él, situadas fuera del mundo sensible; éstas son inmutables y eternas. Además, no son conceptos intelectuales, pero son susceptibles de manifestarse al intelecto y se aprehenden con la inteligencia. A esta doctrina filosófica se la conoce como realismo, por cuanto sostiene que los universales realmente existen. A esta postura se opuso, durante la Edad Media, la corriente denominada nominalismo, para la cual las especies y los géneros, y en general los universales, no son realidades anteriores a las cosas, como sostenía el realismo. Para los nominalistas, las ideas generales no son otra cosa que nombres. Dada la enorme influencia ejercida por Platón en el pensamiento occidental, evidentemente éste impactó de manera decidida en las concepciones de matemáticas. Así, “varios matemáticos interpretan los métodos del platonismo en el sentido del realismo conceptual, postulando la existencia de un mundo de objetos ideales que incluye todos los objetos y relaciones de la matemática” (Bernays, 1982: 20).

Todos estos conocimientos, que estaban englobados dentro de las matemáticas, “formaban parte del programa de estudios y siguieron siéndolo hasta la época medieval, en que recibieron el nombre de cuadrivio” (Kline, 1985: 14).

Bajo esta concepción, que Bernays denomina platonismo, el matemático ni inventa ni crea, sólo descubre, ya que los objetos matemáticos son preexistentes a él. Para aclarar un poco más la situación, señala que “Euclides habla de construir figuras, mientras que para Hilbert los sistemas de puntos, rectas y planos existen desde el principio” (Bernays, 1982: 16).

Puede observarse que se va delineando progresivamente la estructura disciplinar de las matemáticas (matemática académica), pero que también toma cuerpo la estructura del conocimiento a ser transmitido, a ser enseñado: el Quadrivium.

Por su parte, para Aristóteles la matemática era la ciencia de la cantidad. Hacemos notar aquí que la cantidad es una de las diez categorías de la filosofía aristotélica. En este sentido, Escoto Eriúgena, filósofo y teólogo del siglo IX, apunta:

Godínez Cabrera apunta que: ... desde Platón se llamó matemáticas a la agrupación de la geometría, la aritmética y la astronomía, aunque los pitagóricos habían incluido también a la música. Posteriormente, durante el tiempo de Arquímedes (siglo III, a.C.) se incluían también la mecánica, la óptica, la geodesia y la logística . [...] Esta agrupación no prosperó y se siguió considerando posteriormente la agrupación pitagórica. (1997: 46) 200

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Aristóteles -según dicen, el más agudo entre los griegos en mostrar la distinción de las cosas naturales- clasificó en diez géneros las innumerables variedades de cosas que existen a partir de Dios y creadas por Él; y los denominó categorías o predicamentos. [...] Los griegos los denominaron: ousía, posótes, poiótes, prós ti, keîsthai, héxis, tópos, chrónos, práttein y patheîn, que en latín se llaman: esencia, cantidad, cualidad, relación, situación, hábito, lugar, tiempo, acción, pasión. (1984: 74) Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Aristóteles dedica un capítulo completo de su Lógica a explicar qué es la cantidad. Señala que “la cantidad es o bien discreta, o bien continua” (Aristóteles, 1977: 237) Entre las cantidades discretas señala el número, pero también incluye la locución o frase. En las continuas señala la línea, la superficie, el sólido y añade el tiempo y el lugar. En su obra Metafísica retoma este tema, dedicándole nuevamente un capítulo completo y en ella vuelve a definir lo que es cantidad, indicando que: Se llama cantidad a lo que es divisible en elementos constitutivos, de los cuales cada uno o por lo menos uno es naturalmente apto para poseer una existencia propia. La pluralidad, por tanto, es una cantidad si se puede contar, y una magnitud lo es si puede ser medida. Se llama pluralidad al conjunto de seres que es divisible en potencia en seres discontinuos, y magnitud a lo que es divisible en partes continuas. Una magnitud continua en un sólo sentido se llama longitud; la que lo es en dos sentidos, latitud, y la que lo es en tres, profundidad. Una multitud finita es el número, una longitud finita es la línea, una latitud determinada es una superficie, una profundidad limitada es un cuerpo. (1977: 969-970)

Abundando en sus razonamientos acerca de la cantidad, Aristóteles expresa que “hay cuatro clases de cambios, el de esencia, el de cualidad, el de cantidad, el de lugar, y a su vez el cambio […] de la cantidad puede ser de aumento o de disminución” (: 1049). Por otra parte, en un pasaje de su obra precisa el tipo de estudio que le toca hacer al matemático. Indica allí que: El matemático opera sobre puras abstracciones pues realiza su estudio especulativo abstrayendo todos los caracteres sensibles, por ejemplo, la pesantez y la ligereza, la dureza y su contrario, lo mismo el calor y el frío y todas las demás contrariedades sensibles, y deja tan solo la cantidad y la continuidad, y esas en una, dos o tres dimensiones; y estudia las modificaciones de la cantidad y el continuo, en cuanto cantidad y continuo, sin estudiarlos en otras relaciones; y estudia además, sus posiciones relativas y lo que conllevan estas posiciones, en unas la conmensurabilidad o la inconmensurabilidad, en otras sus proporciones, sin que por ello consideremos que es más de una ciencia, que es la Geometría, la que se ocupa de todo esto. (1977: 1036)

Para Aristóteles, “la ciencia matemática es también una ciencia teórica o especulativa, que trata además de seres permanentes o inmutables, pero no independientes de la materia” (: 1041). En diversas partes de su obra, refuta el pensamiento pitagórico. Entre sus críticas expresa: Los filósofos llamados pitagóricos se sirven de los principios y de los elementos de una manera más rara aún que los naturalistas o físicos. La razón de ello está en que toman sus principios de fuera del mundo de las cosas sensibles; los seres matemáticos, en efecto, carecen de movimiento o cambio, excepto aquellos que caen bajo el dominio de la astronomía. [...] Pero no dicen nada sobre cuál será el origen del movimiento ni sobre si hay otras sustancias fuera 202

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de lo finito y lo infinito, lo par y lo impar. Tampoco explican cómo pueden verificarse sin cambio la generación y la destrucción, o cómo se realizan las revoluciones de los cuerpos astronómicos. (: 923)

Es necesario aclarar aquí que las concepciones pitagórica y aristotélica difieren en aspectos fundamentales. Para Aristóteles, todo cuanto existe en el espacio y en el tiempo está compuesto de materia y forma, las cuales no existen por separado sino como una unidad sintética que le da realidad a la sustancia. Así, para él la naturaleza está formada por los seres compuestos de materia y forma y no sobre la base de los números, como pretendían los pitagóricos. Sin embargo, ambas posiciones coinciden al estar impregnadas de un carácter idealista y, en consecuencia, su visión de la matemática también. Asimismo, la doctrina platónica tiene un carácter plenamente idealista. 4.2. Del Medioevo a la modernidad Estudiando a los autores citados en este apartado, podemos notar cómo las diversas concepciones griegas de la matemática persistieron en el tiempo. En torno al tema que se discute, es interesante la visión que en el siglo IX tenía Escoto Eriúgena. En su obra, el maestro le pregunta al alumno: ¿Te parece que la propiedad característica de la cantidad puede ser otra que el número de las partes, o espacios, o medidas, tanto si se trata de partes continuas, como es el caso para las líneas, los tiempos y demás que se cuentan entre las cantidades continuas, como si son discontinuas, separadas por determinados límites naturales, tal como los números, o aquella multitud de cosas en las que es manifiesto que se da una cantidad discreta? (1984: 87-88)

Ahonda este autor en el tema, señalando que “el número de [medir] los espacios y las líneas de los cuerpos geométricos se asigna a la cantidad” (: 118). Como se puede apreciar, subyacen aquí tanto el viejo aforismo pitagórico: “Todo se puede conocer con el número. Nada se puede conocer sin el número”, como las ideas de Aristóteles en torno a la cantidad. En el Medioevo, en pensadores como Isidoro de Sevilla, se nota esta influencia del pensamiento griego. Además de indicar que la matemática está formada por cuatro ciencias, este autor da una definición de ella: ciencia que estudia la cantidad abstracta. Durante toda la Edad Media, esta definición y agrupación de la matemática se continuó utilizando (Godínez Cabrera, 1997: 46). Ya ubicados en el Renacimiento, las concepciones griegas acerca de las matemáticas se mantienen vivas. Así, Luca Pacioli (1445-1514), respecto a lo que debe entenderse por los vocablos “matemática” y “disciplinas matemáticas”, anota en el Capítulo III de su insigne obra de 1509, La divina proporción, que: Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Este vocablo, Excelso Duque, es griego, derivado de la palabra que en nuestra lengua significa disciplinable; y, para nuestro propósito, por ciencias y disciplinas matemáticas se entienden la aritmética, la geometría, la astronomía, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía, así como cualquier otra dependiente de éstas. Sin embargo, comúnmente, los sabios consideran como tales a las cuatro primeras, es decir, la aritmética, geometría, astronomía y música, llamando a las demás subalternas, es decir, dependientes de estas cuatro. Así lo quieren Platón y Aristóteles, Isidoro en sus Etimologías y Severino Boecio en su Aritmética. (Pacioli, 1991: 38)

En otros estudiosos, como el gran erudito español del siglo XVI Juan Luis Vives (1492-1540), se sigue notando claramente la pervivencia de las ideas de los griegos acerca de las matemáticas, en particular las de Pitágoras y las de Aristóteles. Señala Vives que: Aquellas artes que versaban acerca de la cuantidad llamáronlas los griegos matemáticas, que equivale decir disciplinadas. A la cuantidad hiciéronla doble, de volumen y de número. Única es la disciplina que trata de la cuantidad de volumen, a la que de la medida de la tierra llamáronla geometría. Única es también la disciplina que trata de la cuantidad de número, a saber: la aritmética, cuya etimología da a entender materia. La geometría trasladada a la esfera celeste hizo la astronomía. El número aplicado a la armonía hizo la música. (1985: 213)

En este breve recorrido histórico, puede apreciarse la pervivencia de las ideas griegas en torno a las matemáticas, las cuales alcanzan a influir aún en nuestra época. Sin embargo, al llegar el siglo XVII se suceden cambios trascendentales en el conocimiento matemático. Es el siglo en el cual se desarrolla el cálculo infinitesimal, la geometría analítica, la teoría de las probabilidades y otras importantes ramas de las ciencias exactas. Es la matemática del movimiento, con una visión ligada a los problemas que planteaban tanto la física como la astronomía. Se da aquí una total revolución de la disciplina, iniciándose un nuevo período: el de la “formación de las magnitudes variables”, el cual Kolmogorov (1936) sitúa entre la aparición de las nuevas concepciones aportadas por Newton, Descartes y otros científicos importantes, y finales del siglo XIX.

El preámbulo a esta revolución dentro de la matemática, ligada en buena parte a la física, estuvo enmarcado por los albores de la ciencia experimental, destacándose en ella el gran científico Galileo Galilei (1564-1642). El genio expresa, en su célebre obra Saggiatore (El Ensayador, 1610), que: La filosofía [la naturaleza] está escrita en ese gran libro que tenemos siempre delante de nuestros ojos -quiero decir el universo-, pero no podemos entenderla si primero no aprendemos el lenguaje y captamos los símbolos con los que está escrita. El libro está escrito en el lenguaje matemático y los símbolos son los triángulos, los círculos y otras figuras sin cuya ayuda es imposible entender una sola palabra sin la que caminamos errantes por un oscuro laberinto. (Citado en Dudley, 1993: 157)

Es ésta una concepción de acuerdo a la cual la matemática se convierte en un lenguaje para la ciencia, que serviría para describir las leyes que rigen el mundo. Cierta ruptura con el pensamiento tradicional griego se percibe en matemáticos como George Boole (1815-1864), quien expresaba que “no es la esencia de la matemática ocuparse de las ideas de número y de cantidad [pues la matemática trata de] operaciones consideradas en sí mismas, independientemente de las materias diversas a las que puedan ser aplicadas” (citado por García Borrón, 1987: 105). 4.3. ¿Qué hay en los tiempos más recientes? A pesar de la distancia en el tiempo, el platonismo ejerció una notable influencia en pleno siglo XX y a él se acogieron bastantes matemáticos. Entre éstos puede citarse a Frege, Russell en sus Principia, y Lukasiewicz y Scholz. Bernays (1982) también ubica dentro de esta tendencia a Hilbert. Con el paso de los años, surgirían otras formas de concebir las matemáticas. En este sentido, Barrow señala que: ... del campo empirista emerge el credo del invencionismo, que ve las matemáticas como ni más ni menos lo hacen los matemáticos. Se trata de una invención de la mente humana con fines concretos, que pueden ser de carácter práctico o estético. Las entidades matemáticas tales como «conjuntos» o «triángulos» no existirían si no hubiera matemáticos. Nosotros inventamos las matemáticas, no las descubrimos. (1997: 8)

La introducción del estudio de las magnitudes variables como parte de la matemática, respondió en gran medida a la necesidad de resolver los problemas que planteaba el desarrollo socioeconómico alcanzado en el siglo XVII. A estos fines, una matemática como la griega, de carácter estático, no era la más adecuada. Además, en otras áreas más bien ligadas al comercio, ya se había ido imponiendo fuera de las instituciones académicas una aritmética práctica, basada en el sistema de numeración decimal y habían proliferado las obras de aritmética comercial.

Como consecuencia de la famosa “crisis de los fundamentos”, se originaron tres grandes escuelas, a saber: la logicista, la intuicionista y la formalista. Hacemos notar que “estas escuelas se contraponen no sólo en relación al problema de la consistencia lógica de las matemáticas; también en otros puntos de sus fundamentos” (Chela, 1986: 46)

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Esta es una visión diametralmente opuesta a la del realismo platónico.

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Los logicistas, como Russell, plantean la reducción de las matemáticas a la lógica. Para Russell “si una hipótesis no tiene relación con una o varias cosas particulares, sino con cualquier objeto, tales inferencias constituyen las matemáticas” (Guétmanova, 1989: 295-296). Así, las matemáticas puras representan “un conjunto de inferencias formales, independientes de cualquier contenido, es decir, una clase de enunciados que se expresan exclusivamente en términos de variables y en constantes solamente lógicas” (: 296). Como reacción a estos planteamientos, encontramos a la escuela intuicionista, la cual “se niega a utilizar la abstracción del infinito actual, rechaza la lógica como ciencia antecedente a las matemáticas y enfoca la claridad y convicción intuitivas (‘intuición’) como el definitivo fundamento de las matemáticas y la lógica” (Guétmanova, 1989: 298). Asimismo, el intuicionismo, para evitar las antinomias, niega el principio del tercero excluido. Debemos señalar que logicistas e intuicionistas difieren tanto en la concepción de los entes matemáticos como en el aparato deductivo que emplean. La tercera escuela, la formalista, considera las expresiones matemáticas como meros símbolos o signos carentes de toda significación concreta, excepto la que el signo mismo tiene por su figuración propia. Estos signos se combinan estrictamente por las reglas de inferencia que se adopta y que constituyen la lógica del sistema (Chela, 1986: 48). Acotamos que puede reencontrarse, dentro de las escuelas antes estudiadas, los rasgos básicos de varias de las corrientes filosóficas que disputaban la preeminencia en la Edad Media. Quine afirma que “la gran controversia medieval de los universales ha vuelto a encenderse en la moderna filosofía de la matemática” (1984: 40), y agrega: Los tres puntos de vista principales en la Edad Media a propósito de los universales, han recibido de los historiadores los nombres de realismo, conceptualismo y nominalismo. Las mismas tres doctrinas vuelven esencialmente a aparecer en los resúmenes de la filosofía de la matemática en el siglo XX, bajo los nombres de logicismo, intuicionismo y formalismo. (: 41)

El apareamiento antes expresado lo explica Quine estableciendo analogías entre las corrientes: Realismo, cuando la palabra se usa en el contexto de la controversia medieval sobre los universales, es la doctrina platónica de que los universales, o entidades abstractas, tienen un ser independiente de la mente; ésta puede descubrirlos, pero no crearlos. El logicismo, representado por Frege, Russell, 206

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Whitehead, Church y Carnap, permite usar variables ligadas para referirse indiscriminadamente a entidades abstractas conocidas o desconocidas, especificadas o no. El conceptualismo sostiene que hay universales, pero que son producidos por la mente. El intuicionismo, asumido en los tiempos modernos, de un modo u otro, por Poincaré, Brower, Weyl, etc., defiende el uso de variables ligadas para referirse a entidades abstractas sólo en el caso de que tales entidades puedan ser elaboradas a partir de ingredientes previamente especificados. (: 41)

Quine aborda la corriente del formalismo que, aún cuando considera poco satisfactorio el enfoque logicista, tampoco comulga con la solución dada por los intuicionistas. Sobre ella señala: ... al igual que el antiguo nominalista, [el formalista] puede negarse en redondo a admitir entidades abstractas, incluso en el sentido restringido de entidades producidas por la mente. […] el formalista concibe la matemática clásica como un juego de notaciones no significantes. (: 42)

Veamos a continuación cómo los materialistas dialécticos enfocan este asunto. Guétmanova señala que, para Brouwer, “las matemáticas puras representan la libre creación de la razón y nada tienen que ver con los hechos experimentales. Para los intuicionistas, la intuición es la única fuente de las matemáticas” (1989: 299), y agrega que: ... en 1936, A. Kolmogorov, matemático soviético, critica las bases idealistas subjetivas del intuicionismo, afirmando que no se podía estar de acuerdo con los intuicionistas cuando hablaban de que los objetos matemáticos eran producto de la actividad constructiva de nuestro espíritu, ya que los objetos matemáticos son abstracciones de las formas existentes en la realidad independiente de nuestro espíritu. (: 299-300)

Aquí renace la vieja polémica filosófica entre idealismo y materialismo. Guétmanova asienta los puntos de contacto, así como las sustanciales diferencias entre la posición asumida por los intuicionistas y la de los materialistas (principalmente soviéticos, quienes se apoyan en el materialismo dialéctico), en temas como las bases metodológicas. Más aún, para separar ambos punto de vista, a la escuela soviética muchas veces se la menciona como constructivista. Sobre el enfoque materialista, señala Labérenne que: El materialismo dialéctico […] permite también comprender de dónde provienen los súbitos enriquecimientos. Su análisis fundado en la interdependencia de las ciencias y en los lazos de acción y reacción entre el espíritu y la naturaleza, elimina el carácter “gratuito” y puramente “formal” que se da a menudo a algunos descubrimientos. (1948: 411) Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Por su parte, dentro de la matemática académica, una de las tendencias que fue ganando importancia con el paso del tiempo y que tuvo un enorme ímpetu durante el siglo XX es la estructuralista. Dentro de ésta, como su nombre lo indica, lo esencial son las estructuras. Sobre esto, Marshall Stone dice: Un matemático moderno preferiría caracterizar positivamente su campo como el estudio de sistemas generales abstractos, cada uno de los cuales se construye con elementos abstractos específicos y está estructurado por la presencia de relaciones arbitrarias pero inequívocas entre ellos. (Citado en Kline, 1976: 137)

Dentro de esta misma óptica, Bosch indica que “la matemática actual es el estudio de las diversas estructuras y de las relaciones entre ellas” (1971: 121). Los grandes promotores de este enfoque fueron los integrantes del grupo Bourbaki. Sin embargo, muchos subsumen está visión dentro de la corriente formalista. La influencia de este grupo fue enorme, no sólo dentro del propio campo de las matemáticas, sino también en el de la educación, ya que dio pie al vasto movimiento de la Matemática Moderna, el cual envolvió a un gran número de países. Bourbaki, en su clásico artículo La arquitectura de las matemáticas, explica su posición. Basa su punto de vista en la consideración de tres grandes tipos de estructuras (las estructuras-madres): algebraicas, de orden y topológicas. Asimismo, adopta el método axiomático. Señala que “codificar este lenguaje [el propio de la matemática], ordenar su vocabulario y clarificar su sintaxis es cumplir una tarea muy útil, que constituye efectivamente un aspecto del método axiomático” (1948: 38). Además, agrega que “el principio ordenador será la concepción de una jerarquía de estructuras, que va de lo simple a lo complejo, de lo general a lo particular” (: 45). Debemos anotar, sin embargo, que Bourbaki no constituye una escuela filosófica de las matemáticas, como sí lo son el logicismo, el intuicionismo y el formalismo. Ello se desprende de su propia afirmación: No pretenderemos examinar las relaciones de las matemáticas con lo real o con las grandes categorías del pensamiento; es en el seno de la matemática en donde pensamos quedarnos para buscar, analizando sus propios vericuetos, una respuesta a la pregunta que nos hemos planteado. (1948: 37)

Por si fueran pocas las dificultades de diversos órdenes a las cuales se ha hecho mención en este apartado, han emergido muchas otras visiones acerca de las matemáticas.

formalismo). Una teoría cuasi-empírica se desarrolla de manera muy diferente, parte de problemas, le siguen las soluciones arriesgadas y después vienen los tests severos, las refutaciones. El vehículo del progreso se encuentra en las especulaciones audaces, la crítica, la controversia entre teorías rivales, los cambios de problemas y la atención se centra siempre en los bordes oscuros. La matemática cuasi-empírica es una matemática conjetural y especulativa, cuya regla principal es la formulación de hipótesis atrevidas con gran potencia explicativa y heurística. Dentro de los enfoques socio-culturales está, por ejemplo, la propuesta de la etnomatemática, la cual, en una de sus versiones radicales, asume que “en verdad, uno debería considerar cualquier tipo de matemática, incluyendo la ‘matemática de la escuela’, la ‘matemática universitaria’, o la ‘matemática profesional’ (la matemática concebida y practicada por la comunidad de matemáticos profesionales) como formas de Etnomatemática” (Mtetwa, 1992: 65). Por último, hemos de agregar visiones como las del interaccionismo simbólico y otros, quienes conciben a las matemáticas como un lenguaje. Dentro de esta óptica podemos situar a Skovsmose, que afirma: “las matemáticas pueden ser caracterizadas de diferentes maneras -incluyendo como un lenguaje-. Como tal, ellas se convierten en un instrumento de desarrollo de conocimiento y en un intérprete de la realidad social” (1994: 4).

5. La weltanschauung (cosmovisión) del educador La weltanschauung (cosmovisión) del docente es un concepto escasamente empleado o usado con bastante laxitud en el ámbito educativo, sin proponer una definición explícita que demarque el contenido y alcances que dicho término encierra dentro de este contexto. Uno de los objetivos del presente trabajo es, justamente, darle cuerpo a este concepto para que pueda ser extensivamente empleado como herramienta de análisis del hecho educativo. Emprendemos a continuación una breve discusión sobre el particular, a fin de determinar el sentido que le atribuimos a tal término. 5.1. ¿Qué es la weltanschauung? El término weltanschauung proviene del campo de la filosofía, a través del alemán

Wilhelm Dilthey (1833-1911). A este respecto, Frischeisen-Köhler y Dilthey delimitaban la noción de weltanschauung, señalando que debe entenderse por ello a la suma o

Entre estas otras visiones, destacamos la propuesta de Imre Lakatos (1987) quien opone las teorías cuasi-empíricas a las teorías euclídeas (logicismo, intuicionismo,

también [...] el complejo de todas las opiniones y de los juicios, las declaraciones y las confesiones que fueron expresadas sobre la naturaleza y el significado del mundo entero con inclusión de la humanidad” (2009: 173).

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Esta weltanschauung (que puede traducirse literalmente como concepción de mundo, visión de mundo o cosmovisión), para estos filósofos, está referida a la

estructura psíquica que cada individuo o conglomerado de personas se forma sobre la base de sus experiencias religiosas, artísticas y filosóficas, para articular su manera de comprender y dar sentido a la vida y al mundo en el seno de una determinada cultura o civilización; o resumidamente, constituye una visión comprehensiva o filosofía personal acerca de la vida humana y del universo. Recientemente, el académico Funk ha discutido este concepto. Postula que “en el corazón del conocimiento de cada individuo está su propia visión del mundo o weltanschauung” (2001). A la interrogante de “qué es la Weltanschauung” con que titula su reflexión, responde que “una cosmovisión es el conjunto de creencias acerca de aspectos fundamentales de la Realidad que cimentan e influencian todas nuestras percepciones, pensamientos, conocimientos y acciones” (Ibíd.). Su análisis, como él mismo señala, está basado en buena medida en la ideas de Hunter Mead. Para aclarar el concepto, emplea dos diagramas: en uno está la relación del individuo (y su cosmovisión) con los demás individuos (y con sus respectivas cosmovisiones) y con el mundo (figura 9); y en el otro muestra al individuo conjuntamente los elementos que influyen en y/o conforman su cosmovisión en el contexto de sí mismo (figura 10). Figura 9

Los otros Mundo/ Universo

Intuición (?)

Revelación (?)

Conocimiento

Sentir

Pensar

Intuición (?)

Revelación (?)

Conocimiento

Cosmovisión

Estímulo

Sentir ver, oir gustar, tocar.

Pensar emoción, percepción, razón, solución, juicio, decisión, control

Estímulo sentido

Actuar

orientar, mover, manipular, comunicar

Respuestas

Control motor Uno mismo

Podemos observar que Funk discrimina (en los diagramas) el conocimiento con respecto a la cosmovisión. Además, desintegra aquél en opiniones, creencias y certidumbres, mientras que separa a ésta en diversos elementos: epistemología, metafísica, cosmología, teleología, teología, antropología, axiología. En su definición, señala explícitamente que la weltanschauung “está en el corazón del conocimiento de cada individuo” y, a su vez, que ésta influencia ese conocimiento. Sin embargo, nosotros preferimos ir un poco más allá, dando un paso adelante, y considerar que también el conocimiento influencia y modifica (¿puede modificar?) la cosmovisión. Es decir, asumimos un punto de vista dialéctico al respecto, de mutuas interrelaciones entre ambos aspectos. Funk explica los diversos elementos constituyentes y/o interrelacionados con la cosmovisión. En torno a las creencias que conforman la cosmovisión del individuo, señala las siguientes: • epistemología: engloba las creencias acerca de la naturaleza y de las fuentes del conocimiento, su base y su validación;

Cosmovisión

Estímulo

Figura 10

Actuar

Respuestas

Uno mismo

• metafísica: creencias acerca de la naturaleza última de la realidad, acerca de qué es la verdad; • cosmología: creencias acerca del origen y naturaleza del universo, de la vida y, especialmente, del hombre; • teleología: creencias acerca del significado y propósito del universo, sus elementos inanimados y sus habitantes;

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• teología: creencias acerca de la existencia y naturaleza de Dios; • antropología: creencias acerca de la naturaleza y propósito del hombre en general y de uno en particular; • axiología: creencias acerca de la naturaleza de los valores, de lo que es bueno o malo, correcto o errado. No vamos a analizar en detalle cada una de ellas ni sus implicaciones. Sin embargo, tenemos que recalcar que estas creencias afectan directamente el pensar y el actuar del individuo. Por otra parte, los elementos componentes de la cosmovisión están altamente interrelacionados y ciertas creencias pueden influir unas sobre las otras. Debemos subrayar que, en muchas oportunidades, la cosmovisión de un individuo no es explícita y debe ser inferida a partir de su comportamiento y sus acciones. Sin embargo, no por ello deja de existir y de influir en su pensamiento y en su actuación, y aún en sus percepciones. 5.2. La cosmovisión del educador Partiendo de la definición proporcionada por Funk, creemos que dicha noción, con sus respectivas adecuaciones, en especial al campo pedagógico, puede ser un buen instrumento de análisis. El “uno mismo” que nos va a interesar es aquel individuo que funge como un actor vinculado al mundo educativo. Podría tratarse del planificador, del legislador o del político que decide sobre el hecho educativo, como también del alumno o del docente. Pero, más específicamente, abordaremos el caso del docente. Ahora pasamos a considerar algunos elementos que son clave como estructurantes de la cosmovisión del educador matemático. Ya en el apartado anterior entablamos una discusión en torno a diferentes concepciones de la matemática. En dicha discusión aparecieron elementos vinculados con lo que Funk considera el nivel de epistemología y de metafísica. Afirmamos entonces que la visión (explícita o implícita) que un educador tenga de la matemática conforma necesariamente un elemento de trascendencia dentro de su cosmovisión. Asimismo, al conocimiento matemático se le atribuye o asocia valores, vale decir que estamos ante la presencia de un componente axiológico. Sobre este último rubro, es clarificador lo que escribió Bertrand Russell en sus Principles of social reconstruction, en 1916. Decía lo siguiente:

por los grupos opuestos y una indiscutida credulidad, una aceptación pasiva de la sabiduría del docente. Todos estos hábitos van contra la vida [...]. La satisfacción con el statu quo y la subordinación del alumno a las metas políticas, debido a la indiferencia respecto de las cosas de la mente, son las causas inmediatas de estos males; pero, por debajo de estas causas, hay una más fundamental, el hecho de que se encara la educación como medio para adquirir poder sobre el alumno, no como medio para nutrir el desarrollo de éste. (Citado en Rubinstein y Stoneman, 1976: 15)

Por otra parte, la visión que el educador posea con respecto a la educación y a la educación matemática en particular, ha de ser otro de los elementos a ser considerados. Por supuesto, este elemento no es independiente de la concepción que tenga el individuo sobre la matemática. En lo que concierne a la educación podemos referirnos a la cultura del aula. En este sentido, Grouws señala que “cada clase de matemáticas asume su propia cultura de acuerdo con el conocimiento único, creencias y valores que los participantes traen al salón” (1996: 84). De acuerdo con esto, observamos que las interacciones que tienen lugar al interior del aula están ciertamente mediadas por las respectivas cosmovisiones de todos los actores del acto educativo. Freire señala que “en todo el proceso de comprensión del mundo hay un proceso de producción y comprensión del conocimiento. En todo proceso de producción del conocimiento está implícita la posibilidad de comunicar lo que fue comprendido” (2006: 91). La dinámica de la cultura del aula tiene que ver con un proceso de producción y comprensión de conocimiento, y la comunicación de ese conocimiento se vuelve una necesidad. Como consecuencia de ello, dicha cultura está enmarcada por un complejo sistema comunicacional. Michel Pêcheux, con base en la sociología marxista y la lingüística de Roman Jakobson, propone un modelo de comunicación en el cual desempeñan un papel central tanto las condiciones de producción del proceso comunicativo como también los efectos de sentido que se logran. En principio, viendo solamente las partes integrantes del modelo, pareciera que éste no tuviera nada de novedoso. Sin embargo, lo importante del modelo radica en el uso e interpretación que realiza Pêcheux de las interrelaciones entre los actores del proceso y del inter-juego basado en las cosmovisiones de cada uno de ellos. Rodríguez Diéguez (1985) emplea este modelo para el análisis del acto didáctico. En la figura 11 puede verse los elementos constituyentes del modelo de Pêcheux (1995).

Aquellos que se dedican a la educación inculcan ciertos hábitos mentales: obediencia y disciplina, crueldad en la lucha por el éxito mundano, desprecio 212

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y percepciones, vale decir la cosmovisión de cada quien, que influye de manera determinante en la acción de cada uno de estos actores.

Figura 11 (L) D

Si nos situamos en el ámbito del aula y pensamos por un momento que el emisor es el docente y el receptor el educando, tomando como referente el conocimiento matemático escolar, entonces podríamos interpretar, por ejemplo, I(A)R e I(B)R como las respectivas concepciones que tienen docente y alumno acerca del conocimiento matemático escolar. Mientras que I(A)(I(B)R) sería la percepción (creencia o supuesto) que el docente tiene acerca de la concepción que el estudiante tiene de dicho conocimiento.

R A

= Emisor

= Receptor

= Referente

(L) = Código lingüístico (común a A y a B) = Contacto establecido entre A y B " D

= Secuencia verbal enviada por A a B

De acuerdo con lo antes señalado, Pêcheux (1995) explicita en su modelo algunas relaciones entre los individuos participantes del acto comunicativo. Así, cada uno de ellos tiene una imagen de cada elemento que estructura el modelo, como se muestra a continuación: I(A)B: la imagen que tiene A de B I(A)A: la imagen que tiene A de A

Por último, pero no menos importante, como ingrediente de la cosmovisión del educador, debemos tomar en cuenta su percepción de la sociedad. Dentro de ésta tienen cabida los distintos elementos considerados por Funk; lógicamente, las creencias sobre el origen del universo y de la vida, del significado que ello pudiera tener, así como las creencias religiosas, de una u otra manera configuran la actuación pedagógica del docente. Asimismo, el cuerpo de valores aceptados por el individuo será otro determinante de su acción educativa. Todo ello va a conjuntarse con la apreciación que el docente tiene de lo que es aprendizaje, enseñanza, conocimiento, etc. A la larga, asuntos trascendentes como equidad en el ámbito educativo, participación, democracia, ciudadanía y otros van a depender en gran medida de este inter-juego de cosmovisiones dentro de la cultura del aula. Los aspectos considerados como partes integrantes de la cosmovisión del docente (concepción de la matemática, la educación y la sociedad), por supuesto no agotan el conjunto de elementos que la conforman. Aquí sólo se ha mencionado algunos que consideramos muy importantes, con el ánimo de mostrar las potencialidades de tomar la cosmovisión como un instrumento de análisis.

I(A)R: la imagen que tiene A de R I(B)B: la imagen que tiene B de B I(B)A: la imagen que tiene B de A I(B)R: la imagen que tiene B de R A su vez, podemos considerar la imagen que tiene alguno de ellos, por ejemplo el emisor A, de cada una de las relaciones del otro (por ejemplo el receptor) consigo mismo, con el referente y con el emisor, esto es: I(A)( I(B)B) la imagen que tiene A de la imagen que tiene B de B I(A)( I(B)R) la imagen que tiene A de la imagen que tiene B de R I(A)( I(B)A) la imagen que tiene A de la imagen que tiene B de A

Hay que recordar, además, que el hecho educativo no se restringe al acontecer del aula y aspectos como el currículo y el proceso de transposición didáctica resultan mediados por la cosmovisión de quienes los llevan a cabo más allá del contexto escolar. Cabe afirmar, finalmente, que la weltanschauung del docente, esa “lente” con que ve el mundo y lo interpreta, referida al ámbito de su campo de acción, se materializa en un modelo pedagógico específico.

6. El currículo escolar y los modelos pedagógicos

Como los papeles de emisor y receptor se intercambian (o pueden intercambiarse) durante el acto comunicativo, tenemos entonces unas relaciones duales. Detrás de estas interacciones están hechos, pero también, en alto grado, creencias

Desde el surgimiento de una institución diferenciada dentro de la sociedad, encargada del hecho educativo (la escuela), progresivamente ha ido estructurándose un cuerpo de conocimientos a ser enseñados, metodologías para la consecución de los fines de

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esta institución, libros especialmente realizados para su empleo en la enseñanza, y en fin, el currículo. Más aún, como señala Flórez Ochoa, se ha ido conformando toda una estructura para “reglamentar y normativizar el proceso educativo, definiendo ante todo qué se debería enseñar, a quiénes, con qué procedimientos, a qué horas, bajo qué reglamento disciplinario, para moldear ciertas cualidades y virtudes de los alumnos” (1996: 161); vale decir, diferentes modelos pedagógicos según la época y la sociedad de que se trate. El cuadro 2 muestra parcialmente cómo era esa estructura en la Roma antigua. Cuadro 2 Edad de los Alumnos

Clase o Grado

Título del Profesor

Programa

6/7 a 11/12

Ludus

Ludi Magister

Lectura, Escritura, Aritmética

12/13 a 16/18

De Gramática

Grammaticus

Gramática, Literatura

14/16 a 18/19

De Retórica

Rhetor

Gramática, Retórica, Dialéctica

21/25 a 40/45

Estudios Superiores Profesionales

Professor

Filosofía, Derecho, Medicina, Arquitectura, Matemáticas, Retórica Fuente: Lozano (1990: 22).

Previamente hicimos mención al Quadrivium, el cual dio forma al currículo medieval. En el cuadro 3 podemos ver de forma resumida la evolución del currículo escolar europeo, desde la Alta Edad Media hasta el siglo XVII. Cuadro 3

DRIVIUM

QUADRIVIUM

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Alta Edad Media

Baja Edad Media

Renacimiento

Siglos XVI y XVII

1. Gramática

Gramática

Literatura Gramática Historia

2. Retórica

Retórica

3. Dialéctica

Dialéctica

Lógica

4. Aritmética

Aritmética

Aritmética Álgebra

Geometría Geografía

Geometría Geografía Trigonometría Zoología Botánica

5. Geometría

Geometría Geografía

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6. Astronomía

Astronomía Física

Astronomía Mecánica Física, Química

7. Música

Música

Fuente: Lozano (1990: 42)

Collette afirma que: ... sirviéndose libremente de los trabajos de Euclides, Nicómaco y Tolomeo, [... los] primeros autores latinos, entre los que se puede mencionar a Boecio, Casiodoro, Isidoro de Sevilla, Beda el Venerable y Alcuino, ejercieron una gran influencia sobre la enseñanza de las matemáticas en las escuelas medievales hasta finales del siglo X [...]. El advenimiento de las universidades, a finales del siglo XII y en el curso del XIII, favorecerá, al menos en teoría, el desarrollo de las matemáticas y su difusión entre un mayor número de personas. Al principio, el programa de las universidades se basa esencialmente en las siete artes liberales, abandonando el quadrivium en gran parte en beneficio del trivium. (1986: 219 y 234)

Taton describe esta enseñanza así: Si bien la enseñanza de las Matemáticas constituyó siempre parte del currículum de la Facultad de Artes de las universidades medievales, su nivel no fue nunca muy elevado. [...] En los siglos XIV y XV, la enseñanza de las ciencias matemáticas y físicas se reducía a un poco de Aritmética (algorismo), algo de Geometría y un poco de Astronomía. A decir verdad, poco. (1972: 39)

Posteriormente, refiriéndose al período 1450-1580, Hofmann apunta que: ... el cálculo práctico es, en gran parte, asunto de la enseñanza de los profesores de cálculo en las escuelas municipales o comunales; naturalmente, se enseña también en colegios de latín. La enseñanza consta, en primer lugar, de una instrucción oral y desarrolla el estudio mecánico y memorístico. Los libros de cálculo impresos son generalmente colecciones de reglas, ejemplos y problemas. […] la tradición escolástica se mantiene más tiempo en España. (1960: 97-98)

El mismo autor señala: ... en el campo matemático se realiza la orientación hacia la Edad Moderna, sobre todo por la consideración de puntos de vista puramente prácticos. El interés histórico-científico ya no se concentra en el fraile docto o el profesor de universidad, sino en el maestro de cálculo, en una de las muchas ciudades del norte de Italia, del sur de Alemania y francesas, el cual se junta con sus colegas formando un gremio. (1960: 87)

Cabe destacar aquí que, con el paso del tiempo, se sucedió un proceso de migración de ciertos conocimientos, enseñados inicialmente en las universidades, Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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hacia niveles inferiores de la escolaridad. Ello es explicable en virtud del desarrollo de las fuerzas productivas, lo cual hacía necesario que dichos conocimientos fuesen alcanzados a más temprana edad y por un número más elevado de personas.

Bajo las premisas antes señaladas, es posible no sólo hacer la reconstrucción histórica del desarrollo del currículo escolar, particularmente en lo referido al conocimiento matemático, sino que además se puede establecer las causas y las motivaciones que le dieron origen, así como determinar las fuerzas sociales que lo motivaron y estructuraron. Para poder hacer este análisis, creemos que es de inmensa utilidad la noción de modelo pedagógico que emplea Flórez Ochoa, quien parte de cinco grandes interrogantes, a saber: a) qué tipo de hombre interesa formar; b) cómo o con qué estrategias técnicometodológicas; c) a través de qué contenidos, entrenamientos o experiencias; d) a qué ritmo debe adelantarse el proceso de formación; y e) quién predomina o dirige el proceso, si el maestro o el alumno. (1996: 164)

En una línea de pensamiento similar a la que hemos venido siguiendo, Flórez Ochoa señala que las respuestas a los interrogantes anteriores “varían en cada obra pedagógica, asumen diferentes valores en la multiplicidad de contextos sociohistóricos y culturales” (Ibíd.).

RO LL O SA R

MAESTRO

Pedagógico CONTENIDOS

MÉTODO

Transposición didáctica

Sin embargo, habría que acotar que no sólo fue el “aumento del caudal de saber” lo que motivó esa migración del conocimiento universitario hacia el currículo de las matemáticas escolares, hubo también necesidades muy claras y manifiestas de la sociedad y de la evolución económica que forzaron a ello. Aún podríamos argüir que el mismo aumento de ese caudal de conocimientos también tiene estrecha relación con el desarrollo de las fuerzas productivas.

ALUMNO Modelo

... fue natural que la organización tradicional de las matemáticas se convirtiese en el modelo adoptado en el plan de estudios de las matemáticas escolares. Lo primero que el adulto necesitaba saber eran los rudimentos del manejo de los números para contar y calcular, a los efectos de aplicarlos en sus negocios o en sus relaciones sociales. Durante los siglos XIV y XV estos conocimientos constituyeron el tema principal de las matemáticas que se enseñaban en las universidades europeas. Como consecuencia del aumento del caudal de saber que se iba incorporando a los estudios universitarios, la aritmética descendió de los escaños de la universidad a los de las escuelas secundarias, y finalmente tomó asiento al ras de los bancos de la escuela primaria. (1971: 5)

METAS

Contexto socio-cultural

Sobre este aspecto, Fehr y otros opinan que:

Figura 12

Conocimiento científico

Fuente: Elaboración propia, con base en el esquema de Flórez Ochoa (1996).

Partiendo de esta teorización, Flórez Ochoa establece cinco grandes modelos pedagógicos: el tradicional, el conductista, el romántico, el desarrollista y el socialista. Sobre estos modelos, hacemos notar que, en muchas oportunidades, no están en estado puro y es frecuente encontrar hibridaciones de ellos. Por otra parte, hay quienes agregan un sexto elemento: la evaluación asociada a cada uno de estos modelos. Adicionalmente, es importante destacar, como lo hace el propio Flórez Ochoa, que los modelos no deben ser interpretados en ningún momento como estructuras rígidas o compartimientos estancos, sino como sistemas abiertos en permanente dinámica. Así mismo, se puede discrepar de las características que propone este autor para cada uno de los modelos por él descritos, o aún considerar otros modelos diferentes a los señalados, como han hecho otros investigadores. Ello no les resta relevancia.

En la figura 12 mostramos, con algunos agregados nuestros, el esquema básico de Flórez Ochoa.

El punto que hemos querido destacar aquí es la estructura analítica propuesta por el colega neogranadino, la cual es de innegable utilidad. En sus palabras, ellos evidencian un compromiso ideológico del hecho educativo y se convierten “en interesantes objetos de estudio sociohistórico y etnográfico [… y] constituyen herramientas conceptuales para entender mejor los fenómenos de la enseñanza” (Flórez Ochoa, 1996: 174).

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En el cuadro 4 mostramos las características más importantes que definen a cada uno de los modelos descritos.

Conductista

Romantico

Desarrollista

Socialista

Metas

Humanismo metafísico- religioso Formación del carácter

Moldeamiento de la conducta técnico- productiva

Máxima autenticidad, espontaneidad y libertad individual

Acceso al nivel superior de desarrollo intelectual, según las condiciones biosociales de cada uno

Desarrollo pleno del individuo para la producción socialista (material y cultural)

De cualidades innatas (facultades y carácter) a través de la disciplina

Acumulación de aprendizajes Tecnología educativa Skinner

Natural, espontáneo y libre

Progresivo y secuencial a estructuras mentales cualitativa y jerárquicamente diferenciadas

Progresivo y secuencial pero impulsado por el aprendizaje de las ciencias

Disciplinas y autores clásicos resultados de la ciencia

Conocimientos técnicos: códigos, destrezas y competencias observables

Ninguna programación. Sólo lo que el alumno solicite

Experiencias que faciliten al acceso a estructuras superiores de desarrollo. El niño constituye sus propios contenidos de aprendizaje

Científico-técnicos, polifacético y politécnico

Transmisionista Imitación del buen ejemplo Ejercicio y repetición

Fijación, refuerzo y control de los aprendizajes (objetivos “instruccionales”) Transmisión parcelada de saberes

Suprimir obstáculos e interferen cias que inhiban la libre expresión

Creación de ambientes y de experiencias de afianzamiento según cada etapa. El niño “investigador”

Variado según el nivel de desarrollo de cada uno y de acuerdo con el método de cada ciencia. Énfasis en el trabajo productivo

Maestro intermediario- ejecutor

Maestro es un auxiliar

Facilitador estimulador de experiencias

Relación maestro alumno

Métodos

Contenidos

Tradicional

Desarrollo

Cuadro 4

Relación vertical Maestro transmisior, dicta clases

El maestro dirige el proceso

Alumno receptor Fuente: Flórez Ochoa (1996).

7. Una mirada crítica a la transposición didáctica

En cambio, otras corrientes de la educación matemática, como las socioculturales, en muchas ocasiones tienden a obviar la importancia de nociones como la transposición didáctica, las cuales, para ciertas tradiciones teóricas, están fundamentalmente motivadas más desde el interior mismo de las matemáticas que desde los contextos sociales que circunscriben el hecho educativo. Sin embargo, creemos que tal constructo es de gran utilidad, tiene un enorme potencial explicativo y puede ser reelaborado adecuadamente. Evidentemente, la propuesta original de esta posición -ligada a una entidad metafísica como la Noosfera- produce cierto choque en quien piensa las matemáticas vinculándolas al contexto sociocultural. Sin embargo, es posible replantear dicha noción considerándola inmersa dentro de la evolución social de las culturas y de los pueblos. No somos los únicos que rescatamos la noción de transposición didáctica para otros puntos de vista de la educación matemática. Así por ejemplo, Díaz Arce señala que se puede: ... efectuar una doble lectura del concepto Transposición Didáctica acuñado por Chevallard (SIC) (1985) y partir de la cual es posible efectuar dos interpretaciones diametralmente opuestas. La primera de ellas cercana y fiel a los preceptos más bien positivistas del creador del concepto, y la segunda inserta en el enfoque socio-constructivista, el que a su vez abre una mirada distinta ante las consecuencias que acarrea situar la transposición didáctica en este enfoque epistemológico. (2003: 37)

Mientras que, por su parte, Cornejo (2006) apunta que: La transposición didáctica de la ciencia académica al ámbito escolar, incluye variados aspectos tales como la selección social de los contenidos científicos que se enseñan en la escuela, el grado de actualización presentado por los mismos, la renovación metodológica y las innovaciones en la didáctica, así como las formas ideológicas y la relación del poder con los contenidos escolares.

Como puede apreciarse en la última cita, hay allí algunos agregados importantes con respecto al tratamiento que hace Chevallard (2000). 7.1. El punto de vista de Chevallard y algunas de sus interpretaciones

Uno de los conceptos centrales dentro de algunas tendencias de investigación es el de transposición didáctica. Así por ejemplo, los seguidores de la didáctica fundamental y los que se adhieren al punto de vista de la socioepistemología lo emplean con frecuencia.

Para Chevallard, la transposición didáctica, en sentido restringido, designa “el paso del saber sabio al saber enseñado” (2000: 22). Es pues la conversión de un contenido del “saber sabio” en una versión didáctica de éste. En un sentido más amplio, es el paso de un objeto de saber a un objeto a enseñar y luego la conversión de este último en un objeto de enseñanza. La figura 13 representa este proceso.

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Figura 13 Objeto de saber Conocimiento cientifico

Objeto a enseñar

Objeto de enseñanza

Los colegas mexicanos amplían su posición, recalcando que:

Conocimiento escolar

Cantoral y Farfán señalan que: Se puede describir, en particular, un trabajo de transposición que lleva el saber “erudito” al saber a enseñar, consignado bajo la forma, por ejemplo, de capítulos de libros de texto escolar. Sin embargo, el trabajo de transposición no se detiene en la puerta de la clase sino que, por el contrario, marca todos los actos de enseñanza. Sin embargo, en este punto, él está condicionado de una manera crucial por los términos del contrato didáctico. (2004: 2)

La interpretación realizada por estos autores explica las “dos fases” mostradas en la figura 13. Le toca pues al docente jugar un importante papel en la segunda fase: el paso del “objeto a enseñar” al “objeto de enseñanza”. Esta segunda fase puede asociarse con algunos de los niveles curriculares que presenta Gimeno Sacristán (1998), principalmente con el “currículo moldeado por los profesores”. Podemos afirmar ahora que es justamente aquí donde entra en acción de manera determinante la cosmovisión del docente. Aún más, hay que agregar que el primer paso de la transposición tampoco es inocente: se produce como parte de la definición de un modelo pedagógico que se estructura dentro del marco de un contexto socio-cultural específico (ver figura 12). Gimeno Sacristán también hace notar rol del docente cuando señala que: ... adquieren un papel de primera importancia las concepciones de los profesores en la modelación de los contenidos y, en general, todas aquellas perspectivas profesionales que se liguen más directamente con las decisiones que el profesor toma cuando lleva a cabo una práctica. (1998: 216)

Otra acotación importante es la realizada por Cantoral y Farfán, quienes especifican: Los objetos destinados a enseñar no pueden en ningún caso analizarse como simplificaciones de objetos más complejos proporcionados por la sociedad científica. Por el contrario, son el resultado de ajustes didácticos, de una construcción, que les hace diferir cualitativamente de sus saberes de referencia. (2004: 3) 222

Esta puntualización es altamente importante, por cuanto marca una distinción neta entre lo que en otra parte de este artículo denominamos “conocimiento científico” y “conocimiento escolar”, respectivamente.

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... “el objeto de saber” se establece en el dominio del “saber erudito”, es decir, aquel que es reconocido como tal por una comunidad científica, aunque no se enseña bajo esa forma. Mecanismos precisos deben asegurar su extracción del dominio “culto” y su inserción en un discurso didáctico. Una vez que se realiza este tratamiento, el saber didáctico es intrínsecamente diferente del saber erudito que le ha servido de referencia. Su ambiente epistemológico en particular es diferente, y así también la misma significación como la portadora de los conceptos que le estructuran. (Ibíd.)

Compartimos esta interpretación del resultado del proceso de transposición. Sin embargo, habría que explicar cómo se logra esto, quién(es) lo hace(n) y por qué se hace. 7.2. La transposición didáctica, el entorno social y la Noosfera Aunque Chevallard afirme que “las relaciones entre el sistema de enseñanza y su entorno, entre la sociedad y su escuela, son ciertamente de una impresionante complejidad” (2000: 33), de lo que se deduce que él está consciente de la existencia de dichas relaciones, en la práctica termina obviándolas o, en el mejor de los casos, dejándolas en segundo plano, tal vez por esa misma complejidad que él manifiesta. Como consecuencia de lo anterior, termina teniendo una visión del proceso de transposición didáctica que está, por una parte, muy circunscrita a lo que acontece al interior del saber sabio (la matemática académica, en nuestro caso), lo cual se evidencia cuando afirma que “puede incluso que cierta cuestión, que ocupaba un lugar importante en los programas, bruscamente se considere de interés a la luz de nuevos desarrollos o cambios en las problemáticas del campo científico considerado” (: 31). Por otra parte, este autor le da la preeminencia a una entidad que denomina la Noosfera, que según él “es el centro operacional del proceso de transposición” (: 34) y que además opta prioritariamente por un reequilibrio por medio de la manipulación del saber. Es ésta, pues, la que va a proceder a la selección de los elementos del saber sabio que, designados como ‘saber a enseñar’, serán sometidos al trabajo de transposición (: 36). Pero, ¿qué es esta Noosfera?, ¿quién(es) la integra(n)?, ¿qué motiva su actividad?, ¿cómo opera? Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Chevallard parte del sistema didáctico, conformado por tres elementos: un docente, los alumnos y un saber matemático (el saber enseñado) y además entran en juego las interrelaciones entre ellos. Este sistema es considerado abierto y en relación con un ámbito exterior. El autor especifica que: El entorno inmediato de un sistema didáctico está constituido inicialmente por el sistema de enseñanza, que reúne el conjunto de sistemas didácticos y tiene a su lado un conjunto diversificado de dispositivos estructurales que permiten el funcionamiento didáctico y que intervienen en él en diversos niveles. (: 27)

Y a continuación indica: El sistema de enseñanza […] posee a su vez un entorno, que podemos denominar, si lo deseamos, la sociedad, la sociedad “laica”, por contraste con esa sociedad de expertos que es el sistema de enseñanza/educativo. Ese entorno se caracteriza por una estructuración en extremo compleja. (Ibíd.)

En este entorno sitúa a los padres, a los matemáticos y a las instancias gubernamentales encargadas de lo educativo (como el respectivo Ministerio). Chevallard reconoce lo incompleto de su formulación, amén de la complejidad que envuelve el asunto. A raíz de ello, decide agregar a su esquema una instancia mediadora entre el sistema de enseñanza y el entorno social más general. Esta entidad mediadora es justamente la Noosfera. Es éste un término de origen metafísico, acuñado inicialmente por el ruso Vladimir Ivanovich Vernadsky y empleado posteriormente por el teólogo cristiano Pierre Teilhard de Chardin. La figura 14 recoge el esquema planteado por Chevallard. Figura 14

ENTORNO Noosfera SD Sistema de enseñanza stricto sensu

Para nosotros resulta totalmente ambiguo ese “todos aquellos” y la lista anterior, en lugar de aclarar, sólo sirve para afianzar ese carácter etéreo de la Noosfera, el cual queda más remarcado aún cuando se la caracteriza como “la esfera donde se piensa el funcionamiento didáctico”. Siguen pues sin respuesta las interrogantes que formuláramos más arriba. El qué es y el quiénes la integran han quedado en un limbo difuso e insalvable. Para Chevallard, el proceso de transposición se activa en virtud de que “la distancia correcta que el saber enseñado debe guardar respecto del saber sabio y también respecto del saber banalizado resulta poco a poco erosionada” (: 30). Podemos reconocer éste como uno de los factores involucrados, baste recordar la afirmación del eminente matemático Jean-Pierre Kahane, quien señaló que “en ninguna otra ciencia, como en las matemáticas, la distancia entre lo nuevo y lo que se enseña es tan grande”, pero ni es el único factor ni tampoco necesariamente el más importante. La investigación histórica de la matemática (Struik, 1960, 1967) y la evolución de las matemáticas escolares muestran un panorama bastante distinto. Si se hace un seguimiento de cómo diversos contenidos, como los relacionados con la aritmética comercial, los decimales, el sistema métrico decimal, los logaritmos y la matemática moderna, fueron progresivamente formando parte de las matemáticas escolares, se puede encontrar causas muy marcadas, provenientes del entorno social, que motorizaron dicho proceso. En el caso de la matemática moderna, es evidente el hecho de que el lanzamiento del Sputnik, la guerra fría y otros factores promovieron la reforma en los años 60. Sorando Muzás lo expresa claramente en su obra Origen del movimiento de la matemática moderna (2002):

Fuente: Chevallard (2000)

El autor le adjudica a esta instancia intermediaria el enfrentarse y solucionar los conflictos que surgen entre el sistema didáctico y su entorno (la sociedad en 224

general). Los agentes de esta actividad mediadora son “todos aquellos que, en tanto ocupan los puestos principales del funcionamiento didáctico, se enfrentan con los problemas que surgen del encuentro de la sociedad y sus exigencias” (: 28). Seguidamente incluye allí desde el docente hasta sus asociaciones, desde los padres de los alumnos, pasando por los didactas, hasta incluso los factores políticos.

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El lanzamiento en 1957 del primer Sputnik por la URSS propició en EE.UU. la alarma sobre la inferioridad nacional en los campos científico y tecnológico. En esa coyuntura, al constatar el bajo nivel norteamericano en educación matemática, surgió la idea, secundada en los ámbitos políticos y económicos, de que era necesaria una reforma. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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7.3. Otras interpretaciones Diferentes investigadores, en contextos diversos y con cosmovisiones distintas, dan disímiles interpretaciones a la transposición didáctica, así como a la forma de funcionamiento de dicho proceso, sus causas y motivaciones. Veamos algunos elementos de éstas. Rogers plantea algo bastante diferente a lo indicado por Chevallard: El estudio de lo que es transmitido y cómo se transmite se ve en las necesidades percibidas, motivos, contextos social y económico, preferencias y prioridades del período particular. Pero no solamente esto, yo afirmo que hay conjuntos de creencias epistemológicas subyacentes que guían la clase de prácticas de transmisión que podemos ser capaces de descubrir mirando los textos mismos. (2002)

Sobre este mismo aspecto se expresan Sierpinska y Lerman, quienes coinciden en lo esencial con lo señalado por Rogers: En cuanto a los contenidos curriculares, éstos han sido tan toscos como el de la escolarización general de la Inglaterra del siglo diecinueve, en el que a los chicos se les enseñaba la suficiente aritmética para capacitarles para que desempeñaran su papel de trabajadores en la sociedad industrial y no lo suficiente como para que pudieran desafiar a esa sociedad. A las chicas se les enseñaba sólo la aritmética requerida para capacitarles a gestionar la economía de sus familias. (Sierpinska y Lerman, 1996: 10)

Las citas anteriores remiten a causas y motivaciones sociales la estructuración del currículo y la selección de los contenidos a ser enseñados en la escuela. Clements, por su parte, afirma: Los historiadores de la educación y los expertos en educación comparada saben que en todo el mundo los currículos de matemáticas para la enseñanza secundaria, y parte de los de primaria, se formularon en el siglo XIX, en un tiempo en que los alumnos de clase media eran los únicos que asistían a la escuela secundaria. En aquella época, eran los matemáticos universitarios, a veces de acuerdo con los líderes de la burocracia educativa y los políticos, quienes definían las matemáticas escolares. (2000: 73)

Bishop, partiendo de la premisa de que la educación (en particular la matemática) es un hecho social, distingue cinco niveles diferenciados en los cuales esta educación tiene lugar, a saber: cultural, societal (que él refiere a aspectos sociales de un grupo en particular), institucional, pedagógico e individual. Este estudioso expone claramente que en el nivel más general, el cultural, las matemáticas: ... tienen una naturaleza claramente suprasocial. Las matemáticas se utilizan en todas las sociedades. […] En el nivel societal, las matemáticas están mediatizadas por las diversas instituciones de la sociedad y están sometidas a las fuerzas políticas e ideológicas de esa sociedad. (1999: 32)

Como consecuencia de lo anterior, puede observarse que las sociedades “emplean sus distintas instituciones educativas formales e informales para dar forma a la enseñanza de las matemáticas en función de sus aspiraciones y sus metas sociales” (Ibíd.). Vimos anteriormente que estas aspiraciones y metas de una sociedad dada son uno de los elementos estructurantes de un modelo pedagógico. En ninguno de los planteamientos anteriores constatamos la necesidad de acudir a entidades metafísicas para poder explicar el proceso de transposición, ni tampoco de acudir sólo al desfase entre el conocimiento académico y el escolar como causa motora del proceso. Este proceso es perfectamente explicable utilizando otros elementos de análisis.

8. Encajando las piezas del rompecabezas y abriendo nuevos caminos A lo largo de la exposición precedente, hemos ido tratando de concatenar lo más posible los diferentes asuntos tratados. Razones de espacio nos impiden entrar en mayores detalles sobre algunos de los aspectos considerados, ni analizar implicaciones importantes como las referidas al problema de la equidad en educación y cómo la enseñanza de las matemáticas puede convertirse en un mecanismo de selección social y de ejercicio del poder. No obstante, en este último apartado realizaremos algunos comentarios finales para ahondar en los nexos que queremos resaltar entre los diversos elementos discutidos.

Hay aquí una identificación expresa de los actores involucrados en el proceso de transposición. Además, en los tiempos que corren, esos mismos actores siguen teniendo gran parte del peso del proceso de transposición, especialmente los últimos. Habría que sumar a los docentes de aula y a los autores de obras didácticas, conjuntados éstos con la empresa editorial, cuyos mecanismos comerciales en ocasiones imponen aspectos curriculares.

Gran parte de nuestro discurso ha estado dedicado a demostrar las relaciones vivas, dinámicas y objetivas ente el conocimiento matemático y el desarrollo de las sociedades. Este conocimiento ha sido considerado tanto en sus diferentes niveles de evolución, los cuales marchan acordes con el nivel de sofisticación alcanzado por la cultura dentro de la cual ese conocimiento se origina o se adopta y/o adapta de otros pueblos, como en relación con tres tipos bien diferenciados según su ámbito de acción sea el escolar, la comunidad científica o el más general de la sociedad en su vida cotidiana.

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Así mismo, hemos hecho un llamado de atención hacia el hecho de que este vínculo entre el conocimiento matemático en todas sus vertientes y el quehacer socio-cultural de los pueblos no debe llevarnos a la realización de apreciaciones cargadas de subjetivismo y de un relativismo cultural exacerbado, las cuales sólo conducen a afirmaciones y “teorías” totalmente especulativas, de tinte idealista y sin objetividad ni validez científica. Como contrapartida, proponemos recurrir a la concepción materialista de la historia, al método dialéctico que permite encajar de manera coherente y lógica, además de explicar, el desarrollo en el tiempo del conocimiento matemático y así crear una base teórico-metodológica que haga posible una investigación de corte científico, objetiva, dentro del campo de la educación matemática. En función de lo anterior fue que discutimos algunas de las corrientes filosóficas y concepciones de la matemática que en el transcurso del tiempo han ido marcando las visiones que de las ciencias exactas se ha tenido, mismas que han penetrado en buena parte la educación matemática. Estas concepciones, en conjunto con otros elementos resaltantes, conforman lo que aquí hemos denominado la cosmovisión del docente. Esta cosmovisión es determinante en la actividad del maestro o profesor, al momento de intervenir en el proceso de transposición didáctica y de su acción docente dentro del sistema didáctico. Por otro parte, en cada sociedad la educación juega un rol específico, creándose a partir de cierto momento instituciones ex profeso para tal fin. Aparece entonces un modelo pedagógico particular que entre sus componentes tiene unos contenidos determinados a ser enseñados, los cuales son consecuencia de un proceso de transposición desde otros saberes (especialmente a partir del saber científico). Este proceso de transposición no es una mera simplificación, sino una transformación radical de estos saberes y puede ser estudiado en todas sus facetas dentro de la concepción investigativa que aquí se propone. A todo lo antes señalado, tendríamos que agregar aún algunas especificidades de los países de lo que se llegó a denominar “Tercer Mundo”. En algunos de estos países, como ha sido el caso de Venezuela, en diferentes momentos históricos, buena parte del proceso de transposición didáctica no fue autóctono y se produjo como efecto de una transculturización impuesta por la circunstancia de ser un país periférico, fundamentalmente en el ámbito de producción científico-tecnológica. Caso emblemático de esto fue la reforma que condujo a la introducción de la matemática moderna, hecho que estuvo mediado por las Conferencias Interamericanas de Educación Matemática y que llegó a tierras americanas vía Estados Unidos, en un paquete integrado que contenía también las concepciones del conductismo de Skinner. 228

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Beyer (2009) hizo un estudio sistemático de la evolución de la educación matemática en Venezuela durante un período bastante prolongado, y pudo constatar cómo ese proceso transculturizador es una pauta constante a través del tiempo. Es lo que Bonfil-Batalla (1991) llama “cultura impuesta”, la cual se produce cuando se adoptan elementos culturales ajenos y las decisiones para su adopción son esencialmente ajenas: ... la naturaleza de la sociedad capitalista, acentuada por la industrialización, implica un proceso creciente de enajenación e imposición cultural sobre el mundo subalterno, al que se quiere ver convertido en un consumidor de cultura y no en creador de ella. (Ibíd.)

En conclusión, debemos abrir pues las puertas a nuevos caminos, a “nuevos” rumbos de investigación. Escribimos el término nuevos entre comillas ya que muchos de los elementos aquí propuestos no lo son para nada y ya han sido aplicados con bastante éxito. El único mérito al que aspiramos es el de haber juntado las piezas de un rompecabezas, piezas que insignes pensadores ya habían mostrado a través de sus brillantes reflexiones e investigaciones, como puede apreciarse en la extensa bibliografía y en la profusión de citas en que nos hemos apoyado. Los caminos hay que abrirlos, insistimos, para enfocar la investigación en educación matemática con directrices diferenciadas que apoyen la transformación y el progreso de nuestros pueblos latinoamericanos. Creemos que ya basta de repetir la frase del Maestro Simón Rodríguez: “¡O inventamos o erramos!”. Ésta debe dejar de ser un slogan y un mero decir, ha de convertirse en luz que ilumine nuestro andar, en guía y estímulo para la acción.

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Formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal Mariagabriela Gracia mg_alzuarde@yahoo.es

Resumen El presente estudio pretende, fundamentalmente, diseñar y aplicar una propuesta para la enseñanza de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales, con base en la resolución de problemas reales, a docentes de matemática en formación, para lo cual utilizamos el método de investigación-acción. Con esta intención, diseñamos situaciones de aprendizaje que luego fueron aplicadas en el curso de Introducción al Álgebra Lineal con un grupo de estudiantes de matemática del Instituto Pedagógico de Miranda José Manuel Siso Martínez. Para la recolección de los datos obtenidos durante el proceso de implementación de esta propuesta didáctica, aplicamos la técnica de la entrevista en profundidad, de tipo semi-estructurada; por otra parte, los estudiantes llevaron diarios de clase. Todos los datos recogidos con estos instrumentos fueron analizados con ayuda de la aplicación denominada Atlas-Ti, a partir de procesos de categorización (Martínez, 2007) y triangulación (Ferrer y Jiménez, 2006). Entre las conclusiones del estudio podemos destacar: 1) Una de las principales dificultades en la formulación de problemas a partir de un contexto real, consiste en la organización de los datos reales y la complejidad que para los estudiantes presenta la realidad. 2) Los estudiantes opinan que los problemas de programación lineal permiten trabajar simultáneamente diversos temas de la matemática, dándoles un sentido de aplicación a la realidad. 3) Este tipo de estrategias de resolución y formulación de problemas de contexto real, debe y puede ser llevada al aula de clases para su aplicación en el bachillerato, tanto por las competencias matemáticas que permiten desarrollar como por la motivación que despierta en los estudiantes. Palabras clave: resolución de problemas, enseñanza del álgebra lineal, formación docente en matemática, enseñanza de la matemática.

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Abstract

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The present study’s purpose is to design and apply a proposal, based on real problems solving, for the teaching of matrixes and lineal equations systems to the in training math teachers so, in order to do it, we have used the action-research method. Whit this intention, we have designed learning situations which were applied later in the Introduction to Lineal Algebra course on a group of math students of the José Manuel Siso Martínez Pedagogical Institute of Miranda. In order to collect the data obtained during the implementation process of this pedagogic project, we have applied the mid- structured depth interview technique; by the other side, the students wrote class diaries. All the data collected with these instruments was analyzed using an applet called Atlas-Ti, beginning from categorization (Martínez, 2007) and triangulation (Ferrer y Jiménez, 2006) processes. Within the conclusions of this study, we can highlight: 1) One of the main difficulties in the formulation of problems that become from a real context is the real data organization and the complexity that the reality presents to the

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students. 2) The students think that the lineal programming problems allow the work over diverse math themes, giving them an over the reality meaning. 3) This type of strategies for real context problems formulation and solving must and can be carried to the classroom for its use in high school, both the math skills that allow getting and the motivation it raises in the students. Keywords: problems solving, lineal algebra teaching, teacher’s math training, math teaching.

1. Formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal La matemática en la educación primaria, en el bachillerato e inclusive en la universidad, tiene características similares: se desarrolla de forma muy marcada dentro del paradigma del ejercicio (Skovsmose, 1999: 65), pues se aplica muy pocas veces la resolución de problemas; falta una conexión entre los contenidos matemáticos desarrollados y los contextos reales y cercanos al estudiante, entre otras cosas. Los estudiantes de los distintos niveles del sistema educativo, consideran que la matemática es un cuerpo acabado de conocimientos y algoritmos ininteligibles cuyo campo de acción no supera el salón de clases, que sólo es utilizado por el profesor para otorgar una calificación y por los alumnos para obtener un título (Skemp, 1993; Gasquet, 1997). De esta situación no escapan los estudiantes de educación en la especialidad de matemática quienes, en muchas ocasiones, consideran que lo que aprenden sobre matemática en la universidad nada tiene que ver con lo que necesitarán para desempeñar su rol de profesores de matemática. Es por ello que se han desarrollado diversas corrientes sobre educación matemática alrededor del mundo. Entre ellas podemos encontrar la didáctica Fundamental en Francia, la socioepistemología en México, la educación matemática crítica en Dinamarca y Venezuela, la etnomatemática en Brasil y España, el pensamiento matemático avanzado en EE.UU., la educación matemática realista en Holanda, etc. La educación matemática crítica, por su parte, promueve y argumenta el poder formativo de las matemáticas en términos de las competencias democráticas y la alfabetización matemática, dándole así un carácter político a su aprendizaje pues está basada en considerar el papel de las matemáticas en la sociedad y su poder formativo, es decir que los principios que guían la educación matemática no provienen más de ella misma, sino de su contexto social (Skovsmose, 1999: 130).

vinculando sus diferentes disciplinas con el mundo social y natural a través de la experimentación directa, para la transformación de la realidad con base en una explicación de los elementos que intervienen en el proyecto. En este sentido, podemos decir que el trabajo por proyectos requiere de un nivel de comunicación profundo entre las disciplinas, un trabajo interdisciplinar que sólo es posible mediante la implicación activa de los participantes (profesores, estudiantes, comunidad escolar y extraescolar) en todas las actividades que implica el proyecto. Sin embargo, la formación que recibe la mayoría de los docentes en las universidades latinoamericanas tiene un gran contenido disciplinar, que no permite siquiera reconocer la relación existente entre matemática y realidad. Entonces, mucho menos permitirá reconocer la importancia de la forma de trabajo interdisciplinar conducente dar solución a un problema social o explicación a un fenómeno natural o social. Los estudiantes de educación matemática no han recibido formación en las competencias necesarias para el trabajo por proyectos, ni en las técnicas que permiten la matematización de las situaciones reales, tales como la modelación matemática. Podemos citar como ejemplo el caso venezolano de la universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL), donde la autora de esta investigación se formó como docente de matemática y ahora se desempeña como tal aplicando el mismo currículo. En Venezuela, la UPEL es una de las universidades más importantes en lo que se refiere a formación de docentes de matemática, pues cuenta con ocho institutos pedagógicos ubicados en distintos puntos del territorio nacional1. En esta universidad, tal como lo explicamos en otra obra (Gracia, 2009), el plan de estudios para los estudiantes de matemática tiene 4 componentes, a saber: 1) formación general; 2) formación pedagógica; 3) formación especializada; y 4) práctica profesional. El componente de formación especializada, está compuesto a su vez por todos los cursos que corresponden a la formación en matemática que recibirán los futuros docentes durante su carrera; mientras que, por otra parte, el componente de formación pedagógica se encarga de formarlos en las áreas teórico-educativas y metodológicas. Pero son los cursos de formación especializada los que verdaderamente influyen en las concepciones de estos estudiantes acerca de cómo se enseña y cómo se aprende matemática. Este tipo de estructura curricular para la formación inicial de los docentes de matemática hace que la enseñanza científica quede restringida al estudio de la materia específica, mientras que la formación pedagógica se circunscribe a los límites de lo teórico e instrumental (Davini, 2001).

Esta concepción de la educación matemática, en los distintos niveles del sistema educativo del mundo, puede ponerse en práctica a través de diversas metodologías de trabajo, una de las cuales es el trabajo por proyectos. Esta metodología requiere que la educación matemática esté orientada hacia los intereses de los estudiantes,

1 Instituto Pedagógico de Miranda, Instituto Pedagógico de Caracas, Instituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio, Instituto Pedagógico de Barquisimeto, Instituto Pedagógico de Maracay, Instituto Pedagógico del Mácaro, Instituto Pedagógico Gervasio Rubio e Instituto Pedagógico de Maturín.

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En este trabajo, procuramos hacer aportes concretos a la implementación de las ideas sobre resolución de problemas y matemática y realidad; para ello, pretendemos elaborar una propuesta para el trabajo con contenidos propios de este curso: matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones, a través de la resolución y formulación de problemas de programación lineal en contextos realistas y reales. 2. Algunos referentes teóricos de nuestro trabajo

Cuadro 1 Tradiciones en la formación docente Tradición

Orígenes

Normalizadora El buen maestro

Uno de los cursos del componente de formación especializada, en la UPEL, es Introducción al Álgebra Lineal (IAL-0813), que se imparte en el cuarto período académico de la carrera, de acuerdo con la matriz de ubicación y secuencia del plan de estudios de la especialidad de matemática. Los contenidos contemplados en este curso tienen una estrecha relación con los que corresponden al 5º año del bachillerato venezolano; por esta razón, este curso se perfila como un escenario ideal para proponer e implementar las situaciones de aprendizaje centradas en la resolución de problemas realistas y reales en matemática.

y, por último, la eficientista (el docente técnico). A continuación presentamos un cuadro en el que resumimos el origen, la visión de la educación, la visión del docente y la visión de la formación docente de cada una de estas “tradiciones”.

La cantidad de personas que migraron del campo a la ciudad, producto de la industrialización, hizo necesario para la filantropía del siglo XIX la introducción de la pedagogía para “normalizar” los comportamientos de estos sujetos.

Académica El docente enseñante

Es necesario que, en los cursos de formación especializada, se presenten situaciones de aprendizaje en las que los estudiantes vivan diversas formas de abordar el conocimiento matemático a partir de contextos reales y, lleguen a la resolución y formulación de problemas contextualmente reales e interesantes para ellos. Consideramos, tal como señala Mora, que esta tendencia a trabajar con el planteamiento y resolución de problemas reales y problemas de aplicaciones “no será entendida como contenidos de aprendizajes extras, sino que ellos se han de conectar con el tratamiento cotidiano de los planes de aprendizaje y enseñanza ya existentes” (2001: 4). Esto permitirá al docente en formación ampliar su concepción acerca de la relación entre la matemática y otras áreas del quehacer humano, identificar situaciones sociales y naturales susceptibles de ser interpretadas y transformadas a partir de la matemática, e incorporar a su práctica educativa las experiencias de aprendizaje matemático adquiridas durante su formación inicial como docente.

En América Latina se sustenta en Flexner (1930) y sus seguidores.

Tradiciones en la formación docente

Visión de educación - Orientada a disciplinar la conducta, los comportamientos y costumbres de las masas, más que a desarrollar el pensamiento, la formación de habilidades, o el desarrollo del conocimiento. - Basada en la filosofía positivista y en el espiritualismo pedagógico.

- Es un sistema que permite la “transposición” del conocimiento, considerado como legítimo por la dirigencia y las corporaciones de expertos en las distintas disciplinas, al ciudadano común.

Visión del docente

- Rol socializador y moralizador. - Difusor de cultura, entendida como las formas de comportamiento aceptables, y por el conocimiento básico y mínimo que pudiera ser de utilidad para la mayoría.

- Persona con profundos conocimientos disciplinarios en la materia que enseña, encargado de la transposición didáctica. - Reproductor del conocimiento producido por “los expertos”.

Visión de la formación docente

- Basada en la filosofía positivista y en el espiritualismo pedagógico. - Se desarrolló principalmente en las escuelas normales, de las cuales egresaban los maestros normalistas.

- Se considera triviales los cursos de formación pedagógica, sin rigor científico. Las competencias necesarias para la enseñanza se los logra en la práctica. - Se privilegia la enseñanza de la disciplina

Las tradiciones en la formación docente es un término acuñado por Davini, investigadora de la universidad de Buenos Aires con una larga trayectoria de trabajo y estudios en este campo. Esta autora las define como “configuraciones de pensamiento y de acción que, construidas históricamente, se mantienen a lo largo de tiempo, en cuanto están institucionalizadas, incorporadas a las prácticas y a la conciencia de los sujetos” (2001: 20). La autora señala tres tradiciones hegemónicas en la formación docente: la normalizadora-disciplinadora (el buen maestro), la académica (el docente enseñante) 238

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Modelos docentes y modelos epistemológicos del conocimiento matemático

Cuadro 1 (cont.)

Eficientista El docente técnico

Tradición

Orígenes

Visión de educación

Visión del docente

Se inició en los años sesenta con las ideas de alcanzar el desarrollo económico y la sociedad industrial. Se preveía un estadio de despegue, otro de impulso hacia la madurez y una etapa de alto consumo de masas.

- Vinculada a la economía, vista como una inversión o para formar el recurso humano necesario para la industria y negocios. Implanta la división técnica del trabajo escolar.

- Un técnico que trae a la práctica, simplificadamente, un currículo determinado por objetivos de conducta y medición de rendimientos.

- Apoyada en el conductismo, centra la enseñanza en la definición de objetivos operativos y control de resultados.

- Pierde el control de las decisiones en la enseñanza, pues se consolida la desconexión entre la concepción y la ejecución de la educación.

Visión de la formación docente - Marcada por la lógica tecnicista. - Invadida por temas como planificación, recursos Instruccionales, evaluación objetiva, enseñanza audiovisual.

En este apartado nos referiremos a un artículo escrito por Gazcón (2001), en el que estudia la correspondencia entre los modelos epistemológicos generales que han existido a lo largo de la historia de las matemáticas y algunos modelos docentes más o menos estructurados que, en cierta forma, cohabitan entremezclados en las diferentes instituciones educativas, incluyendo las instituciones de formación docente. El autor describe dos grupos de teorías epistemológicas generales: las euclídeas y las cuasi-empíricas2, y añade un tercer grupo de teorías epistemológicas, las constructivistas. Cuadro 2 Modelos docentes y teorías epistemológicas de la matemática

- Enfocada en la modernización, desarrollo, formación de recursos humanos (capital humano)

Modelos docentes Euclidianismo

Davini también hace referencia a lo que denomina tendencias no consolidadas en tradiciones, que define como “proyectos ideológicos pedagógicos de los docentes, como formas de resistencia a los proyectos de dominación de las tradiciones hegemónicas” (2001: 42), apoyadas en las propuestas más liberadoras construidas a partir del pensamiento pedagógico contemporáneo para la práctica pedagógica en la escuela, la enseñanza y la formación de los docentes. Entre estas tendencias no consolidadas menciona las propuestas hechas desde la “Pedagogía de la Educación para la Democracia de Dewey y Kilpatrick, pasando por los diversos desarrollos de la Escuela Activa, del constructivismo piagetiano y pospiagetiano, de la crítica antiautoritaria de Neil y de las líneas de Pedagogía Humanista, hasta los aportes de la Pedagogía Institucional” (Ibíd.). Estas propuestas, aunque muy importantes y enriquecedoras, no han logrado producir programas concretos de formación inicial de docentes con perfiles curriculares propios y han sido implementadas dentro de prácticas y mensajes contradictorios. Por ejemplo, se enseñan a través del método expositivo los principios de la Escuela Activa, se promueve el constructivismo piagetiano junto con técnicas de planificación basadas en el conductismo. Según Davini, “para formar docentes compenetrados con estos enfoques, ellos mismos deberían pasar por la experiencia de aprendizaje institucional semejante” (2001: 43).

Teorías Epistemológicas

Fuente: Davini (2001).

El conocimiento matemático se deduce de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). Cuasi-empirismo El origen y el método de la matemática, e incluso su propia justificación, ha de provenir de la experiencia… en un sentido más sofisticado de experiencia matemática

Características principales

Papel de la resolución de problemas

Teoricismo

Pone el acento en los conocimientos acabados y cristalizados en ‘teorías’ no considerando la actividad matemática, sólo el fruto final de ésta.

Actividad auxiliar en el aprendizaje de las teorías, no constitutiva del pensamiento matemático. Usados para aplicar, ejemplificar, consolidar teorías, introducir conceptos, motivar o justificarlos.

Tecnicismo

Identifica implícitamente “enseñar y aprender matemática” con “enseñar y aprender técnicas algorítmicas”

Trivializados por su fijación en las técnicas, especialmente algorítmicas. Consideran problemas no rutinarios y fuera del contexto en el que se originan

Modernismo

Identifica “enseñar y aprender matemáticas” con enseñar y aprender esta actividad exploratoria, libre y creativa, de problemas no triviales.

Hacer ensayos, conjeturas, formular planes de resolución, establecer contraejemplos. El enunciado no indica el procedimiento para su solución, y el dominio conceptual en el que se encuentran es familiar al estudiante.

Procedimentalismo

El fin principal del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas el dominio de técnicas no algorítmicas (heurísticas).

Se centra en el desarrollo, utilización y dominio de “estrategias complejas” para resolver problemas.

2 Caracterización tomada de Lakatos, I. (1978), Mathematics, science and epistemology: philosophical papers. Volumen II.

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• “Una cuestión que causa perplejidad o que presenta dificultad” (Webster, 1979, citado en Schoenfeld, 1992).

Cuadro 2 (cont.) Modelos docentes

Teorías Epistemológicas

Constructiv i s m o psicológico Constructivismo

Los mecanismos e instrumentos que establecen la transición de un período de la matemática a otro se corresponden con los que establecen el paso de un “tránsito psicogenético” al siguiente.

Constructiv i s m o matemático

Características principales

Papel de la resolución de problemas

El conocimiento matemático se obtiene a través de un proceso exclusivamente psicológico. No se refieren explícitamente la naturaleza matemática, la construcción del conocimiento, ni el contexto en el que ésta se realiza.

Instrumento para la construcción de conocimientos nuevos. En los problemas propuestos el conocimiento que se pretende que el estudiante construya debe constituir el insumo más conveniente para su resolución.

El estudiante construye el conocimiento a través de la formulación de un modelo matemático, de un sistema intra o extra-matemático.

Tiene como objetivo primordial la obtención de conocimientos sobre el sistema modelizado.

Fuente: Gazcón (2001).

El cuadro anterior resume los modelos docentes derivados de asumir ciertas teorías epistemológicas de la matemática, haciendo hincapié en el papel que cumple la resolución de problemas en cada uno de ellos. Consideramos que este último modelo docente, el constructivismo matemático, es el más idóneo para el trabajo en la enseñanza de matemática basada en contextos reales. Según Gazcón, en este modelo la resolución de problemas “pasa siempre por la construcción explícita de un modelo del sistema subyacente y tiene como objetivo la producción de conocimientos relativos a ese sistema” (2001: 150). Es por ello que esta relación, entre el sistema y su modelo, tiene gran importancia al generar conocimiento matemático referente al sistema modelizado. La limitación más importante de este modelo docente es que se deja de lado el papel de la técnica, y su dominio por parte del estudiante, en la construcción del conocimiento matemático y en la actividad matemática en sí misma. Estaremos atentos a la limitación señalada por este autor sobre el descuido de la técnica, del conocimiento y de la actividad matemática, para ello pretendemos formalizar los conocimientos matemáticos que deriven de los problemas planteados. Resolución de problemas

• “Una situación que exige la aplicación de un plan de acción con objeto de transformarla” (McDermott, 1978, citado en Puente, 1994). • “Una tarea que plantea al individuo la necesidad de resolverla y ante la cual no tiene un procedimiento fácilmente accesible para hallar la solución” (Lester, 1983, citado en Pérez, 1987). • “Para Schoenfeld (1989), una actividad de aprendizaje es un verdadero problema si el alumno se interesa en ella y no tiene medios matemáticos de fácil acceso para alcanzar la solución”. En el marco de este trabajo, consideraremos que una situación presentada al estudiante es un problema matemático si, frente a ella, el estudiante siente interés por resolverla y requiere de un proceso reflexivo y de aplicación de elementos propios de la matemática para llegar a la solución. Matemática realista A finales de la década de los sesenta se empezó a implementar la denominada Matemática Moderna, vista como la solución a los problemas económicos surgidos inmediatamente después de la segunda guerra mundial (Mora, 2001). Entre los cambios fundamentales que llevó a cabo esta reforma de la enseñanza de la matemática, encontramos el dominio en los programas de la teoría de conjuntos3 en el currículo, “llegándose hasta el punto de decir que en el futuro toda la enseñanza elemental de la matemática debería estar fundamentada en ella” (: 10). Por ello, muchos de los contenidos matemáticos en la escuela debieron ser traducidos al sistema de expresión propio de la teoría de conjuntos, y las aplicaciones basadas en la realidad no fueron tomadas en cuenta durante el desarrollo de esta matemática. Vredenduin (1972, citado en Torres, 2002: 11) opinaba: “la matemática moderna es un edificio maravilloso, pero no creo que haya un solo estudiante que comparta esta visión”. Este rechazo generó, a nivel internacional, un movimiento que exigía desarrollar una educación matemática importante y de utilidad para los estudiantes. La persona que tuvo una actuación decisiva en este movimiento de rechazo a la matemática moderna fue el holandés Hans Freudenthal, al convocar un encuentro en Utrech en el que exigía una educación matemática distinta, basada en su relación con la realidad y que partiera de aplicaciones pues, según él, la enseñanza de la matemática tiene justificación si ella es útil y divertida.

Con el ánimo de avanzar hacia una definición de problema adaptada a nuestra investigación, presentamos a continuación una lista de definiciones tomada de Juidías y Rodríguez (2007):

3 Llamada en nuestro país “la conjuntivitis”, a manera de chanza.

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En el siguiente cuadro resumimos los objetivos fundamentales de la educación matemática realista. Cuadro 3 Objetivos fundamentales de la educación matemática realista Tipo de Objetivo

Descripción

Objetivos de contenido

La realidad y el campo de la experiencia son los puntos iniciales para la enseñanza y el aprendizaje de términos y métodos matemáticos.

Objetivos pedagógicos

Consolidación de la enseñanza de la matemática como un agente que contribuya a la formación de un ciudadano crítico, que participa en la solución de problemas sociales y ambientales. Desarrollo de competencias para ejercer una relación responsable con su ambiente.

Objetivos de utilidad

Desarrollo de habilidades y destrezas para aplicar procesos de modelaje en la solución de problemas sociales, científicos, ambientales, etc. Consolidación de una visión de interdependencia entre la matemática y la realidad.

Objetivos psicológicos

Fomento de la motivación y de una actitud positiva hacia la matemática.

Objetivos orientados a la ciencia

Formar una imagen realista de las matemáticas, como una ciencia desarrollada históricamente.

Objetivos sociales

Reflexionar acerca de los problemas de la sociedad que pueden tratarse a partir de la matemática. Fuente: Mora (2001)

De acuerdo con Torres, en 1962 fue publicado un memorando en Mathematics Teacher y American Mathematics Monthly, en el que se afirmaba que las matemáticas alejadas de las otras ciencias dejan de producir interés y motivación. Además, se plantea en este memorando que “se debe motivar y aplicar un nuevo concepto si uno desea convencer a un joven inteligente de que el concepto vale la pena” (2002: 12). Por lo tanto, para introducir conceptos y términos matemáticos se debe trabajar, en primer lugar, en lo concreto, para continuar con aplicaciones genuinamente interesantes, desechando la tendencia a emplear material inconcreto. Según este autor, la declaración publicada sentó los principios básicos para la elaboración de un currículo basado en la matemática realista. Estos son: 1. La matemática debe ayudar a constituir el acervo cultural de todos los estudiantes, además de proporcionar una formación profesional a posteriores usuarios. 2. Se debe evitar las discrepancias entre saber matemática y utilizar matemática. 244

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3. “La matematización conceptual está acentuada extrayendo el concepto apropiado de la situación concreta” (Torres, 2002: 12). 4. Las matemáticas no deben estar aisladas de las otras ciencias. Nos referimos a la matematización en el sentido que le da Alsina a este término, al considerarla como un proceso mediante el cual se trabaja la realidad mediante ideas y conceptos matemáticos. Este trabajo se realiza en dos direcciones: a partir de un contexto real, diseñar “esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas..., y trabajando entonces matemáticamente, hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado” (2007: 91). De acuerdo con Mora (2005), es necesario reforzar las conexiones internas de la matemática, además de fortalecer la incorporación de contextos extramatemáticos como basamento de los procesos de aprendizaje y enseñanza de la matemática, a través de aplicación de técnicas como la modelación matemática. Además, este autor considera como uno de los aspectos que, generalmente, se descuidan durante el desarrollo de la educación matemática realista, el proceso de formalización de los contextos, que constituye una condición necesaria para la consolidación de conocimientos matemáticos, y la fundamentación de nuevos conocimientos. Es por ello que los docentes deben trabajar explícitamente los conceptos y procedimientos matemáticos específicos y generales que subyacen en las actividades prácticas.

3. Los problemas de programación lineal En primer lugar, escogimos el trabajo con problemas de programación lineal, también conocidos como problemas de optimización lineal, pues reconocimos en ellos varias características, como ser: 1. Son problemas que permiten el trabajo con diversos contextos realistas y reales de interés para los estudiantes. 2. Para la resolución de los problemas de optimización lineal se requiere la aplicación de varias técnicas, procedimientos y conceptos matemáticos que atraviesan casi todos los años del bachillerato y que además son propios del curso Introducción al Algebra Lineal, como por ejemplo las operaciones elementales por filas en las matrices, el método de reducción por filas de Gauss-Jordán y la resolución de sistemas de ecuaciones. Otros conocimientos matemáticos necesarios son: • Representación de puntos en el plano • Ecuación general de la recta Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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• Solución de inecuaciones en el plano • Intersección de regiones en el plano • Funciones lineales • Funciones de dos variables Las situaciones reales que pueden ser modeladas a través de la optimización lineal son bastante frecuentes en la realidad directa del estudiante. Además, los métodos escogidos para la resolución de estos problemas de programación lineal son el método gráfico y una variante sencilla del método simplex.

4. Etapas diseñadas 4.1. Etapa I: Resolución de problemas de programación lineal con contextos realistas Durante esta etapa, pretendíamos que los estudiantes: 1. Resuelvan problemas realistas de programación lineal en los cuales reconozcan el uso de diversos conceptos, técnicas y procedimientos matemáticos, entre ellos matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones, además de los descritos anteriormente. 2. Aprendan a resolver problemas de programación lineal aplicando el método gráfico y el método simplex. 3. Comprendan la definición de matriz. 4. Realicen operaciones elementales por filas en una matriz, con el fin de reducirla por filas, aplicando el método de Gauss-Jordán. 5. Reconozcan las interconexiones existentes entre diversas ramas de la matemática como la geometría, el cálculo y el álgebra. 6. Reconozcan la estructura de los problemas de programación lineal y los elementos que lo componen. Algunos de los problemas de programación lineal4 que propusimos para el trabajo con los estudiantes fueron los siguientes:

4 Tomados del libro “Las Matemáticas en la vida cotidiana del COMAP”.

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a) Una compañía de reciclado usa papel y tela desechados para elaborar dos tipos diferentes de papel reciclado. Una tanda de papel reciclado de grado A se fabrica con 40 Kg. de tela y 180 Kg. de papel, mientras que una tanda de papel reciclado de tipo B se hace con 10 Kg. de tela y 150 Kg. de papel. La compañía dispone de 100 libras de tela y 660 de papel. Una tanda de papel de tipo A produce un beneficio de 500 Bs., mientras que una de tipo B arroja un beneficio de 250 Bs. ¿Qué cantidad deberá hacerse de cada tipo para conseguir el máximo rédito? b) Una panificadora produce pan y tortas. Elaborar una torta requiere 1 hora de horno (h/h) y 2 horas de preparación/decoración (h/p/d). En un día determinado se dispone 12 h/h y 16 h/p/d. Puesto que la panificadora obtiene un beneficio de 0,50 Bs. por cada pan y 2,50 Bs. por cada torta, ¿debería producir únicamente tortas?, ¿cuál debería ser su política de producción? c) Un embotellador utiliza tres clases de zumo puro -piña, naranja y parchita- para hacer dos jugos mezclados, piña-naranja y piña-parchita, que se venden en cartones de 1/4 litro. El beneficio es de 0,50 Bs. por cada cartón de piña-naranja y 0,40 Bs. por cada uno de piña-parchita. Cada mezcla se obtiene mezclando cantidades iguales de cada uno de los zumos que la componen. La cantidad de zumo disponible es de 100/4 l. de zumo de piña, 70/4 l. de zumo de parchita y 70/4 l. de zumo de naranja. ¿Qué cantidad de cada mezcla de zumos deberá hacerse para obtener el máximo beneficio? d) La compañía Animales Salvajes cría guacharacas y turpiales para repoblar el bosque y dispone de infraestructura para criar hasta 100 pájaros. Cuesta 20 Bs. criar una guacharaca y 30 un turpial. La fundación Vida Animal paga a Animales Salvajes por los pájaros, dejándole un beneficio de 14 Bs. por guacharaca y 16 Bs. por turpial. La compañía Animales Salvajes dispone de Bs. 2.400 para cubrir los costos. ¿Qué cantidad deberá criarse de cada pájaro? Durante esta etapa, las sesiones de clase tuvieron las siguientes fases: 1. Inicio de la clase: Los estudiantes se agruparon en grupos pequeños, de no más de tres personas cada uno, para la resolución de los problemas propuestos. A cada grupo se le presentó un problema distinto para su resolución. 2. Desarrollo de la clase: En esta fase, cada estudiante aportó sus ideas, en los pequeños grupos, para la resolución de los problemas. En caso de considerarlo necesario, podían presentar el problema que les había correspondido al grupo completo para que los demás equipos aporten ideas acerca de su resolución. Durante esta fase los estudiantes debían emplear de los recursos conceptuales Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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y procedimentales que se requieren para resolver problemas de matemática; sin embargo, los contenidos de matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones no fueron abordados antes del trabajo con los problemas de programación lineal. Estos fueron tocados a medida que se los necesitó para la resolución de problemas y, a partir de esta actividad, se los formalizó. 3. Cierre de la clase: El cierre de la clase consistía, principalmente, en las reflexiones grupales acerca de lo que se había aprendido sobre la resolución de problemas en general, sobre la importancia y utilidad de la programación lineal y sobre los contenidos propios del álgebra, desarrollados a partir de la resolución de los problemas. 4.2. Etapa II: Formulación de un problema de programación lineal a partir de un contexto real En este momento del trabajo, los estudiantes debieron: 1. Identificar una situación problemática de su interés para plantearla como un problema real de programación lineal. 2. Resolver el problema planteado aplicando los métodos estudiados en la etapa anterior, gráfico y simplex.

5. Tipo de investigación Tal como señala Becerra, “a la investigación la concebimos aunada a la práctica educativa, agregándole a ésta un valioso instrumento de reflexión y acción que le permitirá al docente-investigador mejorar su intervención educativa” (2006: 98). Es por ello que, para la realización de este trabajo, aplicamos la investigación-acción, pues nuestra investigación estuvo centrada en un curso de Introducción al Álgebra Lineal, administrado por la autora de este trabajo, en el cual se pretendía implementar la resolución de problemas e interrelacionar las nociones de matemática y realidad. Esto concuerda con el planteamiento de Carr y Kemmis, cuando afirman que “los ‘objetos’ de la investigación-acción (las cosas que los investigadores investigan y se proponen mejorar) son sus propias prácticas educativas y su entendimiento de dichas prácticas, así como de las situaciones que se practican” (1988: 191).

Un grupo de investigación-acción debe estar integrado por personas que comparten y viven una misma situación. En nuestro caso, los nueve estudiantes y la profesora, quien guía esta investigación, del curso Introducción al Álgebra Lineal del período académico 2009-I. Este curso corresponde al cuarto período académico y, se ubica en el componente de formación especializada de la especialidad de Matemática del Instituto Pedagógico de Miranda José Manuel Siso Martínez.

6. Recolección y análisis de la información Los estudiantes llevaron diarios de clase en los cuales reportaban, en orden cronológico, sus reflexiones, anécdotas, dudas, inquietudes, comentarios, interpretaciones, etc. surgidos durante la investigación. Además de estos diarios, se analizó una evaluación escrita presentada por los estudiantes durante la implementación de las situaciones de aprendizaje diseñadas. Por otra parte, se realizó entrevistas en profundidad, definidas por Taylor y Bogdan como “encuentros cara a cara entre el investigador y los informantes, encuentros estos dirigidos hacia la comprensión de las perspectivas que tienen los informantes respecto de sus vidas, experiencias o situaciones, tal como las expresan con sus propias palabras” (1994: 101). En nuestra investigación, estas entrevistas fueron realizados antes y después de la aplicación de las situaciones de aprendizaje diseñadas. Esta información fue categorizada tal como lo propone Martínez: “categorizar es clasificar, conceptualizar o codificar mediante un término o expresión breve que sean claros e inequívocos (categoría descriptiva), el contenido o idea central de cada unidad temática” (2007: 141). Según él, estas unidades temáticas están constituidas por uno o varios párrafos o escenas audiovisuales, lo que en nuestro caso se correspondería con los documentos descritos anteriormente y con las entrevistas realizadas. Luego, se realizó la triangulación de la información recolectada que, de acuerdo con Ferrer y Jiménez, “tiene un carácter convergente y dialéctico en la legitimación de la información que emerge de la investigación; también se constituye en un proceso de relacionalidad de diferentes puntos de vista sobre el fenómeno estudiado” (2006: 46).

Es por ello que escogimos el trabajo con la investigación-acción participativa, porque queremos, tal como lo describe Bigott (1992, citado en Becerra, 2006: 102), producir cambios significativos en nuestras prácticas docentes, y consideramos que con este tipo de investigación se asume, de acuerdo con Pérez Serrano, “un compromiso moral, ético, con la práctica de la educación, no una simple manera de hacer las cosas de otra manera” (1998, citado en Becerra, Ibíd.).

Para el procesamiento de la información recolectada utilizamos una versión demo, descargada gratuitamente de Internet, del programa denominado AtlasTi, el cual permitió almacenar los datos originales en los denominados primary documents (documentos primarios), incluidos en las hermeneutic units (unidades hermenéuticas), lo que nos aseguraba un acceso rápido y fácil a estos datos y nos permitía la creación de las networks o redes que se tejían a partir de las relaciones que

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se establecían entre las categorías. De acuerdo con Becerra, “esta aplicación resulta de especial importancia debido a que tanto los datos originales, como las relaciones que establezcamos entre ellos, soportados en estas argumentaciones constituyen el conocimiento generado a través de esta investigación” (2006: 123).

7. Algunos resultados 7.1. Categoría visión del álgebra lineal. Sub-categoría aplicaciones en la realidad Esta categoría pone de manifiesto cómo la concepción del álgebra lineal que tenían los estudiantes, basada en experiencias previas, fue cambiando de una visión de tipo estructuralista y abstracta a una visión más cercana al realismo científico. Aquí podemos observar cómo las situaciones de aprendizaje basadas en la resolución de problemas realistas y en la formulación de un problema real influyó claramente en su concepción del álgebra, dándoles herramientas para aplicarla en situaciones problemáticas reales que pueden plantear a sus futuros estudiantes durante su práctica profesional como docentes. Gráfico 1 Sub-categoría aplicaciones en la realidad APLICACION EN LA REALIDAD [5:10][90] ABSTRACCIÓN-APLICACIÓN --------------------A4: Bueno, yo cuando comencé el curso, pensé que esto iba a ser algo más o menos como instrucción al álgebra que era más abstracta, ahorita, que ya tenemos unas semanas más de clase, veo que es algo que podemos manejar en la vida cotidiana, podemos utilizar un lenguaje común, ya es más entendible, más comprendible

APOYA

[5:12][100] A6: ABTRACCIÓN-APLICACIÓN --------------------Yo también pensaba que el álgebra lineal era igual que introducción a la álgebra, que iba a ser así más abtracta, pero en realidad, como todas han comentado, eso algo que se puede aplicar en la realidad, y así, fácilmente como ya han dicho todos, pero es algo que lo vemos, que lo vemos así que cotidianamente lo utilizamos pero lo pudimos poner en consciencia, cotidianamente siempre estamos minimizando, siempre maximizamos, inconsciente pero lo hacemos.

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AMPLIA

[2:5][45] APLICACIÓN --------------------A3: Yo creo que el álgebra lineal debe tener aplicaciones, solo que yo no las conozco

APOYA

[5:9][88] A5: APLICACIÓN --------------------Al principio no entendia bien, pero debido a la metodologia utilizada uno se interesa por le tema al ver que uno lo puede aplicar en distintas ramas, y podemos aplicar más facilmente el método gráfico, el método de armar matrices, eso facilita más, este , la resolución de problemas al llevarlo a la vida real, y no estar alejado de ella

EXPLICA

[5:2][78] A7: APLICACIÓN-INTERÉS --------------------Muchas veces uno como estudiante se PREGUNTA ¿para qué carrizo me sirve lo que estoy aprendiendo? Y muchos más si la veia como yola veia antes, ¿qué es eso? No entrndia nada, y ahora estoy viendo lo mismo pero veo como se aplica, de qué mepuedo servir, cómo lo puedo utilizar, y así, de cierta forma, uno como que se va despertando y la cuestión lo va como que atrayendo más a uno y uno se interesa más por eso.

AMPLIA

[5:6][86] A1: APLICACIÓN A LA VIDA --------------------Apara qué nos va a servir la matemática en general, no nada más el álgebra sino la matemática en general. Y buena, en el curso de álgebra lineal, con los temasque estamos viendo ahorita que es programación linela, se ve precisamente eso pues, de que todo lo que es por lo menos, el álgebra lineal es aplicada a diario a la vida

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7.2. Categoría recursos conceptuales. Sub-categoría contenidos anteriores Según Iglesias, Paredes y Ortiz (2007: 91), entre los elementos que generan debilidades en la apropiación de conceptos algebraicos tenemos el “uso del formalismo, el agobio ante las nuevas definiciones y la pérdida de conexión con lo que los alumnos ya saben de matemáticas”, así como la escaza vinculación de los contenidos trabajados durante su formación inicial como docentes con “el nivel de Educación Básica, Media y Diversificada, que es donde se desenvolverán los futuros docentes” (Ibíd.). Por ello, el estudio de la programación lineal en contextos reales es tan importante para trabajar en la resolución de sistemas de ecuaciones y matrices con los docentes en formación, pues estos pueden combinar otros contenidos de matemática relacionados con el nivel en el que trabajarán. Gráfico 2 Sub-categoría contenidos anteriores Contenidos anteriores

[6: 10][19] CONTENIDOS ANTERIORES --------------------A7: Al resolver algunos problemas de programación lineal se pueden notar algunos contenidos estudiados con anterioridad que se encuentran inmersos en la resolución de los mismo, tales como: sistema de ecuaciones, plano cartesiano y representación de puntos en el plano cartesiano rectas y puntos de intersección (geometría), conjuntos y subconjuntos, matrices, ecuación de la recta, inecuaciones, funciones, ecuaciones.

amplía [6: 17][24]A7: SISTEMA DE ECUACIONES --------------------Pude apreciar fácilmente la íntima relación que este tipo de problemas guarda con funciones lineales y sistema de ecuaciones, contenidos que nos permiten dar mas fácilmente con la solución de problemas de programación lineal, y más aún cuando su representación gráfica cuenta con más de una sola recta y muchos puntos de intersección entre ellas.

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[6: 24][39] A1: ECUACIONES --------------------No solo utilizamos ecuaciones, signos de menor, mayor igualdad, sino utilizamos fórmulas para hallar un punto sobre la recta con el objetivo de graficar el problema, o cual es importante para el ejercicio.

explica [6: 30][54] ECUACIÓN DE LA RECTA --------------------A6: Recordé lo de la ecuación de la recta, aprendí a calcular un punto de una coordenada a través de la ecuación de la recta y el punto conocido de esa coordenada, recordé la graficación de una función constante.

amplía [6: 5][9] A5: Artificios matemáticos --------------------A5:Artificios matemáticos: 1) Ecuaciones, 2) sistemas de coordenadas, 3) graficación, 4) punto de intersección, 5) análisis 6) desigualdadesinecuaciones, 7) despejes.

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7.3. Familia formulación del problema. Categoría dificultades Sub-categoría buscar los datos Este método de plantear problemas es nuevo para los estudiantes y mucho más en este caso, pues deben buscar los datos en situaciones reales que les sean familiares y/o de interés. Es por ello que, siguiendo a Sepúlveda y Santos, “se requiere la participación del profesor en momentos precisos que contribuyan a destrabar posibles controversias, de manera que se avance en el aprendizaje” (2006: 1419). Por ello, las intervenciones del docente deben guiar a los estudiantes en el reconocimiento de datos relevantes, tanto desde el punto de vista de la situación problemática como desde el matemático, además del reconocimiento de verdaderos problemas en los que se requiera el uso de una herramienta matemática, que en este caso era la programación lineal.

decodificación a la que hacen referencia los autores, está relacionada en nuestro caso más bien al planteamiento de los datos, de manera tal que cualquier persona que no esté familiarizada con la situación problemática como nuestros estudiantes, pueda comprenderla y darle solución a partir de la utilización de los métodos para trabajar con problemas de programación lineal. La autora de este trabajo participó como mediadora en varios momentos, con la idea de guiar y orientar esta redacción de los problemas. Gráfico 4 Sub-categoría redacción Redacción

Gráfico 3 Sub-categoría buscar los datos

[5: 27][66] A5: REDACCIÓN --------------------Otra parte que es así complicadita es la redacción, a la hora de armar todos esos datos, cuál es una restricción y cómo se va a trabajar en sí.

Buscar los datos

apoya [6: 26][41] FALTA DE CLARIDAD --------------------A1:... la asesoría se trataba de un ejercicio que nos mandó la profe...al llegar mi turno le presenté mis datos, no tenía muy claro lo que quería hacer, así que le mostré dos tipos de ejercicios a la profe...

apoyo [5: 20][60] TOMAR LOS DATOS --------------------A2: Por lo menos a mí se me hizo difícil porque al principio no tenía muy claro lo que yo tenía, y eso me costó pues, en esa parte. Hasta que más o menos empecé a tomar los datos. Y después que yo el pregunté a usted fue que más o menos usted me dijo

[6: 21][33] DIFICULTAD --------------------A1:... También la profesora nos mandó a realizar un ejercicio de programación lineal sacado de la vida cotidiana, algo que me parece un poco complicado pero vamos a ver cómo me va.

[5: 69][72] A8: DIFICULTAD EN REDACCIÓN --------------------Lo que a mí se me hizo difícil fue los datos y eso, el tiempo y la redacción que todavía estoy en eso.

amplía [5: 70][70] NO ES PROGRAMACIÓN LINEAL --------------------A3: A mí particularmente si me costó más. Los dos primeros problemas que plantee no eran problemas de programación lineal

Sub-categoría redacción Pozo y Postigo consideran que, al plantear problemas, “se activan procedimientos que ponen en juego capacidades relacionadas con la adquisición e interpretación de la información, … por un lado se incorpora la información nueva a la que ya se posee y por otro lado se posibilita la decodificación” (1994: 306). Esta 252

apoya

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[5: 21][60] A2: REDACCIÓN DEL PROBLEMA --------------------Y ahorita, por lo menos a redactarlo es lo que me va a costar pues. Realmente ya lo demás si se me hizo un poco sencillo.

7.5. Categoría visión de su práctica Sub-categoría actitudes de los estudiantes Consideramos, al igual que Calvo, que es necesario cambiar las prácticas docentes para lograr la erradicación de la concepción de la matemática como una materia aburrida y difícil, pues generalmente las clases de matemática carecen de significado para los estudiantes, al ser desarrolladas en contextos alejados de sus vivencias y “como consecuencia de ello, se les dificulta reconocer la importancia de la matemática y los lleva a preguntarse ¿para qué sirve esta materia?” (2008: 125). Este cambio en la enseñanza de la matemática no es algo fácil. Pues, de acuerdo con Gil, Pessoa, Fortuny y Azcárate, el peso de la enseñanza tradicional “por su carácter reiterado y por su naturaleza de ejemplo vivo, real, mucho más eficaz que Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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cualquier explicación” (2001: 26), hace que, a falta de nuevas formas de trabajar la matemática en la escuela, “los estudiantes hagan uso de esa forma, incluso si, en su etapa de alumnos, rechazaban ese tipo de docencia” (Ibíd.). Por ello, resulta imperante que una formación docente que pretenda transformar esta realidad escolar no sólo ponga en evidencia las insuficiencias de la enseñanza recibida, sino que ofrezca alternativas realmente viables; lo que “obliga a que las propuestas de renovación sean vividas, vistas en acto” por los futuros docentes (ver gráfico 5).

problemas, así como otras tendencias en la enseñanza de la matemática, de manera tal que vea cristalizadas las teorías educativas estudiadas en otros cursos, distintos a los de la formación especializada (ver gráfico 6). Gráfico 6 Sub-categoría Matemática y realidad Matemática y realidad

Gráfico 5 Sub-categoría actitudes de los estudiantes Actitud de los Estudiantes

[5:52][106] APLICARLO EN EL TRABAJO --------------------A8: Yo creo que aplicando este tipo de cosas cuando uno ejerce, en los trabajos, yo creo que sería un poquito más factible, los productos hacia los muchachos vendrían mucho mejor porque hay alumnos en mi pueblo que toman a clase de matemáticas como una ladilla, se fastidian y entonces lo que van es a dormir y eso.

amplia

[5:62][116]ESTUDIANTES FASTIDIADOS --------------------A5: Eh, bueno, yo creo que es una realidad lamentable que todos los estudiantes lleguen a la clase de matemática con fastidio, con flojera. Y estas son el tipo de cosas que, me imagino, que muchos docentes saben y no las aplican en el salón de clases.

amplia

[5:56][110] A4: CREAR ESTARATEGIAS --------------------Uno puede crear estrategias para que sea más accesible para los muchachos, y para o hacer la clase tan monótona, tan magistral, porque eso es lo que le hace falta a uno inculcarle a los muchachos, esa chispa para que se interesen en la matemática, que vean que es algo que no es fastidioso, ni que tú estás loco porque tú estudiaste eso, no, sino que es algo muy bonito, muy interesante que lo podemos aplicar en la vida diaria, utilizarlo por medio de la naturaleza, muchas cosas, lo podemos relacionar con todo en nuestra vida.

apoya

[6:34][21] A7: DESINTERÉS ACTUAL --------------------Actualmente el desinterés y la falta de la misma se ha vuelto un verdadero problema en los planteles educativos.

amplia

[5:72][114] A1: ESTUDIANTES PREDISPUESTOS --------------------Los estudiantes ahorita llegan predispuestos a la clase de matemática, y si no llegan predispuestos vienen con la mentalidad de vamos a memorizar para pasar el curso, pero realmente no entienden la aplicación de la matemática.

amplía [5:50][104] UTILIZAR EL MISMO MÉTODO --------------------A6: Bueno, la verdad que al igual que usted no solicitó a nosotros que hiciéramos un problema, nosotros también, cuando demos ecuaciones podemos utilizar el mismo método, o sea no de la misma manera pero como que sí lo podemos utilizar. Porque al igual que nosotros buscamos variables verdaderas, datos verdaderos, los estudiantes también lo pueden hacer

[6:13][20] CONTENIDO MATEMÁTICOREALIDAD --------------------A7: Como estudiante el tema de programación lineal me parece muy interesante y provechoso, ya que además de poder utilizando en la realidad podemos llevarlo a nuestra realidad más cercana, y de esta manera dar respuesta, como en muy pocas ocasiones, a una pregunta muy común entre los estudiantes de matemática y sobre todo de la tercera etapa de educación básica y diversificada: ¿para qué me sirve lo que estoy aprendiendo? Debido a que muchas veces no se nos presentan este tipo de problemas que nos ayuden a relacionar contenidos matemáticos con la realidad, sobre todo en el bachillerato.

apoya [5:73][114] A1: APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA.. Realmente no entienden la aplicación de la matemática como el profesor deberá explicarla, o sea, la aplicación a la vida cotidiana, que eso les va a servir para un futuro, para su profesión, para su vida diaria.

[5:54][108] APLICAR LA MATEMÁTICA --------------------A3: Bueno yo creo que si es posible aplicarlo con los alumnos para que ellos vean como se puede aplicar la matemática en la vida diaria.

apoya

[5:58][112] CAMBIAR ESTRATEGIAS --------------------A5: Bastante productivo sería que estos ejercicios trabajándolos en la vida cotidiana, porque es como cambiar las estrategias y la forma de enseñar la matemática al muchacho.

[5:42][86] A1: LLEVARLO AL SALÓN Al llevar eso a un salón de clases, podemos ver que todo eso lo hacemos y que podemos utilizar estas herramientas esas operaciones que hacemos básicas diarias, que son necesarias para la vida.

Sub-categoría motivación

Sub-categoría Matemática y realidad Iglesias, Paredes y Ortiz afirman que la formación docente en “un área determinada, implica no sólo el dominio profundo de los contenidos, sino la búsqueda y utilización permanente de estrategias que permitan satisfacer las exigencias del nivel de enseñanza donde labore el docente” (2007: 90), por lo que consideramos fundamental que el docente en formación experimente situaciones que le permitan vivir el aprendizaje de la matemática a partir de contextos reales y de la resolución de 254

[5:63][116] A5: MATEMÁTICAREALIDAD --------------------Que provechoso sería si nos preocupáramos un poquito más, como futuros docentes, de hacer ver la matemática tan bonita como la estamos viendo aquí ahorita, y como se puede aplicar a la realidad, yo creo que eso sería una herramienta que ayudaría a potenciar bastante el potencial que tienen los estudiantes hoy en día.

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Skovsmose afirma que las habilidades de los estudiantes “aumentan bastante” cuando intentan hacer algo que realmente quieren hacer. Además, agrega que existe una diferencia abismal entre hacer y querer hacer, pues “una gran energía epistémica se libera cuando el niño decide la orientación” (1999: 79), dándole un sitio preferencial a la motivación del estudiante a partir del trabajo orientado hacia sus intereses (ver gráfico 7).

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El álgebra como formalizadora de la matemática:

Gráfico 7 Sub-categoría motivación MOTIVACIÓN

apoyo [5:53][106] A8: CAMBIO DE RUTINA --------------------Con este tipo de estrategias y motivando a los muchachos, haciendo algo que cambie la rutina de la clase sobre matemática vendría bien este tipo de trabajos.

[5:64][118] A2: INECENTIVAR AL ALUMNO --------------------Porque lo que estamos viviendo nosotros ahorita como estudiantes, futuros profesores en formación, es decir, este tipo de estrategias llevarla al aula sería muy productivo, y aparte que esto incentiva al alumno

amplia [6:33][21] A7: MEJOR DISPOSICIÓN --------------------De este modo quizás podamos incentivar a los educandos para que muestren una mejor disposición para con las matemáticas y lograr un mejor rendimiento en la asignatura de matemáticas

[5:61][114] A1: TEMAS DE INTERÉS --------------------El llevar esto que hemos visto a un salón de clases, el docente podría, usando algo de interés de los estudiantes, ponerlos a que ellos apliquen eso en su clase de matemática, y así los motivaría a que aprendieran un poco de la materia porque ya con la predisposición que llevan, pero poniendo a algún alumno, por ejemplo, que haga deporte, ponerle algún ejercicio donde él tenga que plantear algo que él sepa sobre el deporte, realmente eso lo va a incentivar a que trate de hacerlo, ponga toda la disposición.

apoya apoyo

amplia [5:59][112] A5: ACERCAMIENTO AL TEMA --------------------Les permitiría a ellos acercarse al tema, tener un mayor conocimiento y entender toda la programación lineal, equis, que se halla en la tercera etapa.

[5:51][104] A6: INTERÉS EN LA BUSQUEDA --------------------Cuando uno mismo, el alumno, busca los datos y la cosa uno se intersa un poquito, y ellos tal vez así se interesen y lo hagan con más interés, con un poquito más de cariño.

[5:55][108] A3: APLICACIÓN --------------------Les da mayor motivación al realizar los ejercicios, y ven en qué o pueden aplicar y en qué no, y así les da curiosidad, y con esa curiosidad ellos van introduciéndose en el mundo matemático

8. Algunas conclusiones

En este sentido, ven al álgebra como la rama de las matemáticas que permite demostrar teoremas, propiedades, etc., pues es durante los cursos de álgebra cuando comprueban que, en efecto, las propiedades se cumplen para todos los elementos y se hace las demostraciones de los teoremas, lo que les permite conectar el álgebra con otras ramas de la matemática y comprender otros problemas matemáticos. Esta visión del álgebra lineal tiene relación con la concepción estructuralista de las matemáticas, bajo la cual los contenidos estudiados son presentados siguiendo secuencias lógicas que conllevan a una gran consistencia interna, garantizando el equilibrio del álgebra; por ello, estos contenidos se presentan de manera formal, ordenada y sistemáticamente. El álgebra lineal aplicable a la realidad: Esta concepción del álgebra lineal está relacionada con sus aplicaciones en contextos extra-matemáticos, con el poder del álgebra en la comprensión y solución de situaciones problemáticas reales. Esta visión se fue fortaleciendo a lo largo del desarrollo de las situaciones de aprendizaje implementadas con los estudiantes; al principio, esperaban que el curso estuviera marcado por la tendencia estructuralista, e incluso admitían que el álgebra lineal tenía aplicaciones que ellos desconocían. Esto ocurre, generalmente, cuando sólo repetimos la frase vacía que reza “la matemática está en todas partes” pero muchos profesores de matemática desconocemos las verdaderas aplicaciones de la matemática en contextos reales y, por ende, no podemos emplearlos en nuestra práctica educativa. Por ello, consideramos de suma importancia que el trabajo con matemáticas a partir de contextos reales sea implementado no sólo en el álgebra, sino en todos los cursos del componente de formación especializada, con miras al establecimiento de relaciones matemática-realidad.

8.1. Sobre la concepción del álgebra lineal de los estudiantes Las concepciones de los estudiantes sobre el álgebra lineal pueden ser divididas en tres grandes grupos: El álgebra lineal como expresiones matemáticas: Considerándolas, por una parte, como expresiones que no toman valores pero siguen un patrón; y por otro, como expresiones matemáticas que permiten la representación en lenguaje matemático de situaciones o problemas reales, permitiendo hallar una solución. Esta visión coincide con la concepción del álgebra como el lenguaje de la matemática, pues inclusive se habla de traducir una situación al lenguaje matemático. Reconocemos la importancia que tiene el álgebra lineal como lenguaje, pero consideramos que, como futuros docentes de matemática, nuestros estudiantes deben tener una visión mucho más amplia de esta rama de las matemáticas. 256

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8.2. Sobre las dificultades en la formulación de problemas reales de programación lineal En un principio, los estudiantes no tenían muy claro lo que se les pedía, pues era la primera vez que se enfrentaban a la tarea de formular un problema a partir de un contexto real. Inclusive, llegaron a plantear situaciones que no representaban problemas posibles de resolver con matemática mucho más elemental que el modelo de programación lineal. En este sentido, las orientaciones del docente, durante este proceso de formulación de problemas a partir de datos reales, deben guiar al estudiante hacia el reconocimiento de verdaderos problemas que requieran para su resolución el uso de la herramienta matemática. En este proceso de reconocimiento de los datos relevantes para el problema de programación lineal, los estudiantes encontraron dificultades en la identificación Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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y planteamiento de las restricciones a las que estaba sujeta la función que querían optimizar, obtenida de los datos reales que manejaban. En este sentido, consideramos necesario que los estudiantes hagan un análisis profundo de los datos, guiados por el docente, para que puedan identificar los elementos de la situación real necesarios para crear el modelo matemático de programación lineal. Además, la mayoría de los estudiantes presentó dificultades para la redacción del problema en lenguaje natural, de manera tal que cualquier otra persona pudiera leerlo y comprender la situación problemática a la que se quiere dar solución. Estas dificultades en la redacción de problemas vienen dados porque a nuestros estudiantes no suele asignárseles como tarea el planteamiento de problemas matemáticos, bien sea con datos reales o no, por lo que consideramos necesario que se incorpore este elemento de forma transversal en algunos cursos del componente de formación especializada, de lo contrario, durante su práctica docente, nuestros graduados se verán obligados a siempre consumir problemas propuestos por otros autores, ajenos a su contexto social, cultural, geográfico y educativo.

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Currículo, internet y matemáticas escolares Rovimar Serrano Gómez

Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto Pedagógico de Caracas rovimars@gmail.com

Hermelinda Torrealba

Unidad Educativa Nacional Bolivariana Armando Zuloaga Blanco Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática (GIDEM) hermetms@gmail.com

Wladimir Serrano Gómez

Instituto Pedagógico de Miranda UPEL-IPMJMSM Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática (GIDEM) wserranog@gmail.com Resumen En este trabajo discutimos algunos de los problemas inherentes al uso de Internet en el marco de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas, en especial ciertas concepciones que asocian el acceso a Internet con el “alto rendimiento”, con “la” fuente del conocimiento, con la tesis de la inmediatez y con la creencia postmoderna de que ello garantiza la naturaleza democrática de la sociedad. Además, se muestran estos problemas como un reflejo de la sociedad que empuja hacia la superficialidad, el a-criticismo y la fragmentación del sujeto. Es justo en este debate que pueden y deben potenciarse usos de Internet, en el marco curricular de las matemáticas, que respondan a ideas más completas del sujeto y de la sociedad. Palabras clave: Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC), sociedad de la información, políticas educativas, logros académicos. Abstract In this paper we have made a discussion about some issues inherent to the use of Internet in the mathematics teaching-learning process, especially over certain conceptions that associate the Internet access with the “high efficiency”, with “the” knowledge source, with the “close to” thesis and with the postmodern belief that this access grants the society democratic nature. Besides, we show these issues as reflect of a society that pushes the subject into the superficiality, the a-criticism and the fragmentation of himself. Right in this debate is where the use of Internet, in mathematics curricular mainframe, must and can be promoted so it respond to more complete concepts about subject and society. Keywords: Communication-Information Technologies (TIC1), information society, education policies, academic achievements. 1 By its spanish abbreviation (T.N.).

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

1. El Sputnik, el movimiento de la matemática moderna y algunas discusiones curriculares Uno de los cambios curriculares en Ciencias Naturales y Matemáticas, en la Escuela y en el Liceo venezolanos, que mayor repercusión tuvo en el ámbito internacional fue motivado por el lanzamiento del Sputnik por parte de la Unión Soviética y el consecuente surgimiento de la Matemática Moderna. La carrera espacial, el desarrollo tecnológico y, en el fondo, el afianzamiento de los Estados Unidos de América como súper-potencia mundial, derivó en tan significativos cambios. Ni las atrocidades cometidas durante las dos guerras mundiales, el lanzamiento de las bombas atómicas, el impulso armamentista (atómico y no-atómico), la naturaleza del mundo tras la Guerra Fría, el impacto de la globalización económica, del capitalismo, de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación o, más recientemente, la invasión a Irak, Afganistán, Palestina o a los países de centro y sur América, desencadenaron tal interés y tales cambios curriculares en el campo de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas o las ciencias. En el fondo, prevalece la idea de que las matemáticas y, particularmente, las matemáticas escolares, son “neutras”, esto es, que las matemáticas nada tienen que hacer ante esta compleja realidad -si es que ésta es develada a la conciencia colectiva-. Sólo desde la pedagogía crítica, la educación matemática crítica2 y desde los aportes práctico-filosóficos de Paulo Freire en América del Sur, por poner tres ejemplos, se ha abordado el problema del papel sociopolítico de la educación y, particularmente, de la educación matemática en el mundo moderno. En Venezuela, así como en otros países de América del Sur, se ha impulsado transformaciones curriculares orientadas por el papel que puede desempeñar la educación en la formación de un nuevo hombre que pueda reestructurar en la praxis la realidad (en particular, en cuanto a fenómenos como la opresión, la violencia y las desigualdades). Las matemáticas son entendidas entonces, al menos en estos documentos curriculares, desde una visión inter y transdisciplinar. Otras tesis, que han motivado cambios más puntuales en el currículo escolar de matemáticas en Venezuela, tienen que ver con los niveles de rendimiento y con ciertos estándares internacionales (cabe señalar, por ejemplo, los estudios del Ministerio de Educación, 1998a, 1998b, 1999; PISA y TIMSS). También, ya desde la última década del siglo XX, las TIC (en especial el uso de Internet) han sido tema central de las discusiones curriculares. Las políticas educativas en nuestro país, así como en el ámbito internacional, se han orientado a fomentar el uso del PC y de Internet por parte de la población estudiantil. El

impacto creciente de las nuevas tecnologías ha impulsado el uso de Internet y de paquetes como Maple, Mathlab, Cabrí, SPSS, Excel y Atlas-Ti, entre muchos otros, la consulta de páginas web, grupos de discusión on-line, “redes sociales” (que integran chat, videos y foros), así como el uso de calculadoras simples, graficadoras o estadísticas en cursos de la escuela, el liceo y la universidad. En Venezuela, el acceso a Internet en los espacios educativos es una política de Estado desde principios del siglo XXI. Ya en estos diez años del milenio que comienza, nuestro país cuenta con más o menos 2.000 centros informáticos, entre los que se cuentan Centros Bolivarianos de Informática y Telemática (CBIT), Centros de Gestión Parroquial (CGP) y súper-aulas, entre otros. Cabe destacar también la dotación, desde 2009, de 350.000 computadores lap-top a buena parte de los primeros grados de la Escuela Básica de las escuelas oficiales del Subsistema de Educación Primaria Bolivariana, en especial las que se ubican en las zonas y regiones más desfavorecidas del país (Proyecto Canaima Educativo). Por otra parte, podemos preguntarnos por el papel del Internet (y de las TIC) en la actualidad internacional. Para algunos, el mundo moderno puede catalogarse como sociedad de la información y del conocimiento, sosteniendo además que ésta es más igualitaria y democrática que las anteriores, argumentando que la información, gracias a las TIC, Internet, etc., es accesible a “todos”. No obstante, las estadísticas de acceso a Internet en el mundo muestran las grandes desigualdades que al respecto existen. El Foro Mundial Económico3 en su Reporte Global sobre Tecnología de la Información 2007-2008, presenta el panorama sobre el acceso a Internet y otros avances relacionados; para ello, compara variables políticas, sociales y económicas de 125 países. El país que lidera el uso de la WWW es Dinamarca, seguido de Suecia, Suiza y Estados Unidos. En este estudio, que refleja las posibilidades que tiene las personas de acceder a la información y a los procesos de la globalización, la República Bolivariana de Venezuela aparece en el puesto 66, lo que indica que la incorporación al uso de Internet entre la población mundial aún no es equitativa. Por otra parte, cerca del 97% de la población de África no tiene acceso a Internet ni a otras tecnologías modernas; además, cerca del 65% de los usuarios de Internet se encuentran entre EE.UU. y Europa. La brecha tecnológica entre nuestros pueblos es simplemente una de las nuevas formas de exclusión y desigualdad. Mora (2003) señala que el uso de la computadora y del Internet como una de las recientes tendencias de la enseñanza de la matemática,

2 En Venezuela, estos aportes provienen fundamentalmente del Grupo de Investigación y Difusión en Educación Matemática.

3 El World Economic Forum (Foro Mundial Económico, FEM), es una organización que tiene como objetivos “configurar las agendas mundial, regional e industrial”.

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

aún con el intenso debate en el ámbito académico, ha tenido muy poca repercusión en los sistemas educativos de nuestro continente, “a pesar de las grandes expectativas que se han desarrollado en el marco de las reformas educativas”. Ahora bien, la falsa tesis que describe a la sociedad actual como más igualitaria y democrática que las anteriores (tal es el caso de la sociedad industrial, por ejemplo), precisamente por el hecho de que “todos” pueden acceder a la información y al conocimiento, deja de lado los grandes problemas en el acceso a Internet (y a las TIC en general) de buena parte de la población mundial, problemas que se ven no sólo en los primeros años de la escuela, sino también en nivel de secundaria y en la universidad. Esta falsa tesis concuerda con la visión postmoderna que ha calado de manera significativa en los espacios universitarios, movida por el “vacío epistémico” que cobija construcciones teóricas inconsistentes y ejemplifican el “todo vale” que describió Feyerabend. En estos escenarios, las estructuras de opresión, las inequidades, las desigualdades y la libertad de los mercados y del capital, constituyen una especie de status quo, son parte de la complejidad. Así, las visiones académicas postmodernas sostienen, implícitamente o no, la “neutralidad política” de la educación. Las TIC y el uso educativo de Internet son uno de los ejes curriculares comunes en los sistemas educativos de Latinoamérica. No obstante, los problemas de acceso a estas tecnologías aún no están superados. Resulta curioso que, siendo el lanzamiento del Sputnik (o más bien la carrera de dominio espacial que este lanzamiento inició) un hecho histórico y político que implicó tan grandes cambios y transformaciones curriculares en el mundo, sea paradójicamente poco conocido por la comunidad de profesores y técnicos del currículo, y siendo el Internet la punta de lanza de quienes defienden la sociedad de la información y la herramienta que ha impulsado cambios curriculares importantes en el ámbito internacional, sea justo una de las que presenta, ya entrado el siglo XXI, importantes dificultades de acceso para los estudiantes en Latinoamérica. Sin embargo, ante este panorama, podemos preguntarnos, ¿cuáles son algunas de las implicaciones educativas del uso de Internet por buena parte de la población estudiantil, en países en los que esta brecha tecnológica se supone superada (al menos en lo que al rendimiento o resultados de evaluación se refiere)? Más aún, ¿qué paradojas podemos mostrar en este sentido? La siguiente sección apunta en esa dirección.

2. El caso TIMSS. Sobre el acceso a Internet y sus vínculos con el “rendimiento en matemáticas” El TIMSS es uno de los más amplios estudios internacionales de evaluación de competencias de los estudiantes en ciencias y matemáticas. Este estudio estuvo motivado en los procesos de globalización y los vínculos que sus promotores encuentran con las políticas educativas y el desarrollo de los sistemas educativos. Uno de los resultados de este trabajo fue la publicación de un ranking comparativo en el que se evalúa los logros académicos de los estudiantes en los países en que fue realizado. “These comparisons shed light on a host of policy issues, from access to education and equity of resources to the quality of school outputs. They provide policymakers with benchmarks to assess their systems performances and to identify potential strategies to improve student achievement and system outputs”. Estas comparaciones arrojaron luz sobre gran cantidad de problemas en las políticas educativas, desde el acceso a la educación y la igualdad de los recursos, hasta la calidad educativa. Proporcionan directrices políticas con puntos de referencia para evaluar la actuación de los sistemas de educación y, para identificar potenciales estrategias para mejorar el rendimiento escolar y la calidad de la educación. Una de las hipótesis más comunes, aunque no formulada explícitamente, fue que países como Canadá, Francia, Alemania, Italia, Japón, la Federación Rusa, el Reino Unido y los Estados Unidos de América, estarían en los primeros lugares del ranking que reportó el TIMSS. Sin embargo, esto no fue así en todos los casos. Ni siquiera Dinamarca, que tiene un ingreso per cápita superior al promedio de los países con mayor desarrollo tecnológico e industrial y lidera el uso de la WWW, ocupó los primeros lugares de esta evaluación. Por ejemplo, el cuadro 1 muestra los resultados del TIMSS en otros países comparados con los de EE.UU. Al respecto, cabe preguntarse ¿por qué países fuera del grupo del G8 o de las cabezas de las listas de acceso a Internet en los últimos diez o quince años, obtuvieron una diferencia significativa superior o los mismos resultados que EE.UU.? (por poner un caso). Esto es, ¿por qué algunos países en los que la mayoría de la población no tiene acceso a Internet o a un PC en su hogar, no tuvieron diferencias significativas con respecto a países en los que la brecha tecnológica no está acentuada o en los que la mayor parte de la población tiene facilidades de acceso a Internet y a las TIC en general? Podemos plantearnos preguntas similares con respecto a la incidencia de los niveles de desarrollo tecnológico e industrial y al ingreso per cápita.

Uno de los puntos que queremos destacar es que, aún cuando existe la concepción generalizada de que el Internet es parte medular de todos los procesos y estructuras sociales, sus vínculos con la educación que se imparte en nuestras instituciones escolares son bastante pobres. Otro es que estudiar el currículo desde una “lente tecnológica” ofrece una mirada bastante parcial de la sociedad moderna.

Los resultados del TIMSS sorprendieron a la comunidad internacional de investigadores, así como a los diseñadores de políticas educativas de cada uno de los países participantes, e incluso, de los no participantes. Al parecer, el acceso a las TIC y a Internet por sí solo no es un factor importante para el desarrollo de competencias en matemáticas (y en ciencias) de los estudiantes del Liceo (o Escuela Secundaria). Si éste fuese el caso, ¿qué papel desempeña el uso que de Internet se

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

haga en el aprendizaje de los estudiantes, así como en la enseñanza?, ¿de qué manera afectan estos resultados a la tesis de que la sociedad de la información y del conocimiento es más igualitaria y democrática que las sociedades anteriores?, ¿estamos en realidad inmersos en tal tipo de sociedad? La República Bolivariana de Venezuela no participó en el TIMSS. Sin embargo, los estudios del SINEA (Ministerio de Educación 1998a, 1998b, 1999) en el ámbito nacional revelan también (aunque no es un estudio comparativo como el TIMSS) importantes deficiencias en el desarrollo de competencias en matemáticas al término de los grados 3º, 6º y 9º. Naturalmente, también podrían compararse el tipo de problemas matemáticos propuestos a los estudiantes de 8º grado en el TIMSS, con los que comúnmente se propone en ese grado en los países participantes, el enfoque y naturaleza de los libros de texto de matemáticas que utilizan los educandos, las ideas matemáticas involucradas en las actividades, los procesos cognitivos potencialmente asociados y el o los modelos de evaluación que se implementan en la práctica, entre otros aspectos importantes. Cuadro 1 Logros académicos de los estudiantes de 8º grado en Matemática y Ciencias - 1999 Mathematics

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Science

Malaysia

519

Russian Federation

529

Bulgaria

511

Bulgaria

518

Larvia- Lss

505

United States

515

United States

502

New Zeland

510

England

496

Latvia- LSS

503

New Zealand

491

Italy

493

Lithuania

482

Malaysia

492

Italy

479

Lithuania

488

Cyprus

476

Thailand

482

Romania

472

Romania

472

Moldova

469

Israel

468

Thailand

467

Cyprus

460

Israel

466

Moldova

459

Tunisia

448

Macedonia, Republic of

458

Macedonia, Republic of

447

Jordan

450

Turkey

429

Iran, Islamic Republic of

448

Jordan

428

Indonesia

435

Iran, Islamic Republic of

422

Turkey

433

Indonesia

403

Tunisia

430

Chile

392

Chile

420

Philippies

345

Philippines

345

Morocco

337

Morocco

323

South Africa

275

South Africa

243

Nation

Average

Nation

Average

Singapore

604

Chinese Taipei

569

Korea, Republic of

587

Singapore

568

Chinese Taipei

585

Hungary

552

Hong Kong SAR

582

Japan

550

Japan

579

Korea, Republic of

549

Belgium- Flemish

558

Netherlands

545

Netherlands

540

Australia

540

Slovak Republic

534

Czech Republic

539

Fuente: TIMSS

Hungary

532

England

538

Cabada

531

Finland

535

Skivebua

530

Slovak Republic

535

Russian Federation

526

Belgium- Flemish

535

Australia

525

Slovenia

533

En cierta forma, los resultados del TIMSS abren un espacio de reflexión acerca del currículo en matemáticas (y ciencias) en gran parte del mundo (Mora, 1999). Así, estadísticas como el número de PC’s, de usuarios de Internet, de líneas telefónicas, de disponibilidad y uso de la banda ancha, por cada cien habitantes, deben ser vistos desde una óptica distinta a raíz de los resultados del TIMSS.

Finland

520

Canada

533

Czech Republic

520

Hong Kong SAR

530

Integra Educativa Vol. III / Nº 2

Average is significantly higher than the U.S. Average Average does not differ significantly from U.S. Average Average is significantly lower than the U.S. Average

Otro de los aspectos importantes a considerar en estos reportes, es precisamente cuáles son las organizaciones que apoyan e impulsan este tipo de estudios en el ámbito internacional, así como sus intereses. De hecho, casi un centenar de Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

empresas multinacionales figuran como socias del FEM. La globalización y la conformación de mecanismos de hiper-control económico y cultural, constituyen dos de los aspectos asociados a estos estudios internacionales. No debemos olvidar que la visión de las empresas capitalistas es justamente la acumulación de capital y, la cosificación del hombre y la mujer como simples elementos participantes en el proceso de producción-consumo. Estas consideraciones no pueden quedar fuera de la discusión curricular en nuestros países. Por otra parte, los resultados del TIMSS, así como de otros estudios internacionales de esta naturaleza, apuntan hacia el establecimiento de estándares curriculares en matemáticas y ciencias en el mundo; esto es, la idea de globalizar el currículo, los objetivos educativos en estos campos y el concepto de educación en sí mismo. Este es quizás el motivo central por el que los resultados del TIMSS generaron un intenso debate, fundamentalmente en el seno de las universidades (no así en las escuelas y liceos).

otros, 2007). Por ejemplo, la idea de “aprender a conocer” (Delors, Almufte y otros, 1996) está basada en el concepto de Sociedad del Conocimiento y de la Información que defienden los teóricos de la educación -postmodernos y conservadores-; el conocer, además, es desnaturalizado al estar separado de la realidad. Gráfico 1 ¿Una sociedad de la información?

Entre las tesis subyacentes en algunos de estos estudios de evaluación de competencias, podemos encontrar las siguientes: 1. Una visión eurocéntrica de las Matemáticas. El desconocimiento o invisibilización de las matemáticas que son propias a las culturas originarias de América y África, e incluso de Asia y Oceanía. 2. La tesis de globalización de los estándares curriculares. Fuente: http://jumber.files.wordpress.com/2007/02/20070201071031-socierdad-informacion.jpg

3. La idea de que el saber matemático es un saber sabio. 4. Las competencias matemáticas se entienden desde lo intramatemático. Las competencias que expone la IEA (en el TIMSS) en cada uno de los niveles matemáticos, se apoyan en una visión “encerrada” en la propia matemática. Con ello se desconoce el aporte de la educación matemática en su evolución como disciplina científica y, particularmente, el desarrollo de su perspectiva crítica. Se desconoce también el importante papel que la matemática puede desempeñar en nuestras sociedades, en la formación del ser crítico. 5. El concepto de educación matemática como proceso de transmisión del saber matemático (del saber sabio). 6. El acceso a Internet es una herramienta que potencia el aprendizaje matemático. En Latinoamérica, esto se puede comprobar revisando el apoyo del Banco Mundial, Banco Interamericano de Desarrollo y UNESCO a las reformas curriculares en Educación Básica, el papel de los libros de texto en el currículo que se concreta o no en la práctica, y también las intenciones socio-político-económicas explícitas y no explícitas en informes como el de Delors, Almufte y otros (1996) o el informe final del proyecto Tuning América Latina 2004-2007 (Beneitone y 270

Integra Educativa Vol. III / Nº 2

3. Las calculadoras y el Internet: sobre el temor, la falta de tiempo y de capacitación, así como algunas de sus potencialidades Las calculadoras son, precisamente, una de las TIC más representativas por su bajo costo, su popularidad en los diversos aspectos de la vida cotidiana y su temprana presencia en el currículo de muchos países -mucho antes del vertiginoso impulso al uso del Internet en los espacios educativos, desde las políticas y documentos curriculares-. Sin embargo, es justo mencionar que su incorporación al currículo en muchos países pasó y pasa por grandes resistencias, aún cuando ya a principios de los 80 los educadores matemáticos recomendaron su incorporación desde la escuela. Estas resistencias frecuentemente son asociadas a creencias o concepciones sobre el temor, la tesis de la falta de tiempo en clase y la falta de capacitación al respecto. Estos y otros temores y creencias no deben ser ignorados, pero de ningún modo pueden sostener la falta de uso de calculadoras en la escuela, liceo e incluso universidad. El uso de la calculadora, en el contexto de las aulas de matemáticas (así como en otros cursos de la escuela, el liceo y la universidad), en ocasiones incluso llegó a estar prohibido por algunos profesores. Parte de las concepciones de la comunidad Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

de profesores de matemáticas, inducía a la penalización del uso de calculadoras en el aula. Para ellos, la calculadora era el medio infalible por el que los estudiantes hallaban la respuesta a su pregunta, sin aplicar en ese hallazgo ningún conocimiento propio. Naturalmente, esto tiene que ver con la manera en que se entiende la matemática, la actividad matemática que debe y puede desarrollar el estudiante, el conocimiento matemático en sí mismo y la enseñanza; o sea, tiene que ver con las concepciones construidas desde las posiciones teórico-metodológicas asumidas y, la actividad práctica en el contexto del aula, así como con los conceptos que se tenga de las matemáticas y de la educación matemática. Si la actividad matemática del estudiante está siempre restringida a operatorias que pueden ser ejecutadas inmediatamente usando una calculadora, entonces es en un marco como éste que puede comprenderse la penalización del uso de la calculadora. En cambio, cierto tipo de prácticas docentes, apoyadas en visiones distintas de las matemáticas, pueden aprovechar el uso de la calculadora como una herramienta importante para: a) facilitar la operatoria, b) detectar regularidades, c) construir conjeturas, d) buscar contraejemplos, e) comprender algunos conceptos, f) identificar casos particulares en determinadas proposiciones generales, g) visualizar el gráfico de alguna relación, h) ensayar estrategias de resolución de problemas, i) contribuir en la evaluación de ciertos modelos matemáticos construidos por los estudiantes en sus proyectos. Este es el caso de la Resolución de Problemas, la Etnomatemática, la Educación Matemática Crítica y la Matemática Educativa, entre otras.

originarias de nuestro continente. Cabe mencionar, por ejemplo, el Quipu (sistema nemotécnico incaico para llevar la contabilidad) y la Yupana (o ábaco inca), o bien los diversos sistemas de numeración propios de nuestras culturas aborígenes, sus unidades de medida y capacidad, entre otras; y no sólo los aportes de Europa a partir de la Edad Media. Gráfico 2 Algunas tecnologías de cálculo aritmético de nuestras culturas originarias UMILLON

Yupana

51 en Yupana

Quipu Fuente: Elaboración propia

Gráfico 3 Wekui (contador a base de nudos). Etnia Pemón, República Bolivariana de Venezuela

De hecho, en cualquiera de los desarrollos que se han configurado desde el pasado siglo para la educación matemática, se puede plantear actividades de aula en las que la calculadora sea un recurso muy bien aprovechado. Además, hoy en día calculadoras muy potentes se encuentran disponibles (gratuitamente) en Internet -lo cual hace que no siempre sea necesario adquirir la propia calculadora-. Éstas permiten realizar operatorias en muchas de las áreas que comprende la formación profesional y escolar en matemáticas. Ciertamente, la penalización al uso de calculadoras obedece a algunas tradiciones sobre la didáctica y la educación matemática que han calado profundamente en el currículo de matemáticas en el ámbito internacional, en las que se asocia, por ejemplo, a las matemáticas con el simple cálculo operatorio, con lo exclusivamente algorítmico, amputándose así casi la totalidad de las matemáticas escolares y universitarias (salvo al menos, naturalmente, la formación profesional en matemáticas y en educación matemática, y las experiencias didácticas que siguen otros enfoques).

Fuente: Sánchez (2009)

4. La tesis del Internet como fuente (y fin) del conocimiento

El Internet puede acercarnos al conocimiento y/o estudio de tecnologías de cálculo aritmético, geométrico y astronómico que desarrollaron las culturas

Uno de los aspectos considerados relevantes en la sociedad moderna desde el currículo y las políticas educativas, tal como hemos mostrado, es el acceso a Internet por parte de los estudiantes. No obstante, este fenómeno también ha conllevado a que el conocimiento matemático pueda ser entendido por algunos estudiantes como un “objeto”, una “cosa acabada” que está disponible en línea y que su relación con

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Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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Currículo, internet y matemáticas escolares

Rovimar Serrano Gómez, Hermelinda Torrealba y Wladimir Serrano Gómez

el estudiante consiste en su búsqueda, almacenamiento y reporte. De esta manera, el conocimiento es despojado de su naturaleza, de su relación con el sujeto y la realidad: es sólo información y lo importante es su manejo y el hecho de poder acceder a ella desde cualquier punto geográfico. Ello se puede asociar con la educación bancaria que describió Freire (1970). Si el conocimiento o saber es algo ya “acabado” (disponible), entonces el profesor juega un papel similar al de Internet en el almacenamiento, la provisión o transmisión de éste al estudiante o navegante de la www. El discurso del profesor, como medio de transmisión del saber, puede compararse con el texto, gráficos y video (entre otros medios) que se despliegan en el PC u otros equipos desde Internet. Entonces, ciertos usos de Internet han derivado en asociar al conocimiento con ese producto “de otros”, con un “lugar” (o enlace) en la www. Es éste el conocimiento despersonalizado, ha perdido sus vínculos con la actividad del sujeto en el medio que le rodea. Así, el Internet es el medio que soporta al conocimiento e, incluso, su fuente. Esta es una conclusión a la que pueden llegar los estudiantes en cualquiera de los niveles y modalidades de la educación. Gráfico 4 El modelo de la educación bancaria con apoyo en la tecnología

educación, como la compartimentación en estancos separados de las áreas en las que está organizado el currículo. El currículo sumativo es, justamente, la forma más simple, lógica y óptima administrativamente, de realizar cambios en los programas y planes de formación en el ámbito universitario; y el esquema establecido de construcción del currículo en la escuela y el liceo, desde mediados del siglo XX, alrededor del mundo. Un ejemplo de esto es, precisamente, la incorporación al plan de estudios de cursos que se correspondían más bien con ejes transversales, tal es el caso de los cursos de entrenamiento en el uso del PC, de Internet o de ciertos paquetes de cómputo (o bien, de ética y valores, entre otros). El internet es el espacio en el que es divulgada buena parte del conocimiento producido en el seno de las universidades. Las revistas, periódicos y boletines de ámbito universitario han sido alentados de manera intensiva, desde principios del siglo XXI, a publicarse en-línea; muchas plataformas, redes y bases de datos han sido creadas a tal efecto. En Venezuela, por ejemplo, el Ministerio del Poder Popular para la Ciencia y la Tecnología, a través del Fondo Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación (FONACIT), ha apoyado la producción de conocimiento científico y tecnológico, durante los últimos seis años, a través del aporte de más de 200 millardos de Bolívares (lo cual incluye, por ejemplo, fondos para la programación, edición y hospedaje en-línea de las revistas establecidas). La universidad es la institución educativa que más se ha acercado al uso de Internet como medio de divulgación del conocimiento y promoción de la investigación (local, nacional e internacionalmente); no así la escuela y el liceo. De hecho, uno de los factores que hemos citado antes, los problemas de acceso a Internet, junto con la visión generalizada del profesor de las primeras etapas de educación como “un dador de clase”, redundan en esta situación.

Ciertamente, esta posición sobre el saber o el conocimiento aún encuentra espacios importantes; algunas de las tesis que la soportan son justamente el cientifismo que describió Habermas, el saber como una posesión de algunas clases sociales, la idea de la escuela o institución escolar como escenario de reproducción de lo establecido que describió Freire, y la superficialidad, a-criticismo y fragmentación que envuelven al sujeto postmoderno.

La tesis del acceso a la información y al conocimiento ha derivado en la idea de “medir” la productividad de los profesores universitarios en investigación: la cantidad de artículos o ensayos publicados en revistas especializadas y/o disponibles en ciertas redes o bases de datos internacionales, así como su proporción en el tiempo. Esto es, el Internet pasa a ser fuente y fin de la investigación, parte de la vida académica del profesor es medida dentro de estos parámetros y concepción de productividad. Es el “publica o muere”, acuñado en Europa, es la sobrevaloración del artículo por encima del libro. De hecho, no es difícil encontrar en nuestras universidades profesores con un gran número de artículos publicados, pero ningún libro. Parte de la cultura de investigación en nuestras universidades ha fortalecido estructuras en las que esto es posible. Un análisis similar puede hacerse en el caso de los reportes orales de investigación (ponencias, etc.).

El conocimiento está pues dividido en múltiples partes. El grado de especialización y desarrollo de las disciplinas (científicas o no) del saber se ha traducido, en

Es en este marco que el Internet como el “fin” del conocimiento (como la simple divulgación), encuentra sentido. El conocimiento es así, bajo esta lógica,

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Currículo, internet y matemáticas escolares

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una mercancía más, pierde su unidad total y su naturaleza, es ahora una serie de bits en nuestra computadora o terminal conectado a la www, es ya algo material y ha perdido su conexión con el sujeto. Este planteamiento no es una defensa de un mundo a-tecnológico, sino más bien la descripción de una de las paradojas en que han derivado ciertos usos del Internet en el contexto curricular (invisible a las miradas técnicas).

5. La inmediatez Ciertos estudios de mercadeo, posteriores al desarrollo de la telemática y la informática, orientados a aumentar los márgenes de ganancia de las corporaciones y empresas que emplean el Internet como medio de promoción de sus productos y/o servicios, han mostrado la importancia que tiene la psicología del color en el diseño de la interfaz de los sitios web, la manera de escribir en ambientes virtuales y las velocidades de carga de las páginas que contribuyan a aumentar los tiempos de visualización por parte del usuario de Internet. La información o idea central está expuesta de manera que el usuario la obtenga lo más rápido posible (la técnica de la “pirámide invertida”). Incluso, se ha estudiado el número de clics que un usuario efectúa en una página durante su visita a ella. El usuario ha sido entrenado para esto. Esta lógica también ha signado algunos de los usos educativos de Internet. El estudiante ha asociado el acceso al conocimiento con la inmediatez, considera que puede acceder a éste tras unos pocos clics. Recordemos que fue después de la masificación del uso del teléfono que se originó la concepción de la necesidad de obtener respuestas inmediatas a las diversas situaciones o acontecimientos de la cotidianidad. Situación 1 - Minuto cero: A envía un mensaje de correo electrónico a B con un avance de solución de un problema. - Minuto uno: A escribe un mensaje de texto (vía teléfono celular) a B notificando el correo electrónico enviado antes. - Minuto tres: A envía otro mensaje de texto ansioso por una respuesta. - Minuto quince: Si B no responde el correo electrónico o los mensajes de texto, A llama por teléfono a B. Situación 2 - Minuto cero: A está conectado a la página web que el profesor le indicó, e intenta responder algunas preguntas sobre álgebra. A no puede responder a esas preguntas de forma rápida. 276

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- Minuto 5: A intenta buscar respuestas en otras páginas. Minuto 15: Si A aún no ha encontrado respuestas a las preguntas, desiste de su búsqueda y contacta a algún compañero para saber si éste las encontró. Estas situaciones hipotéticas ejemplifican la idea que expusimos antes. La inmediatez ha sido adicionada como una propiedad más del conocimiento en sí; he allí uno de los nuevos problemas a que ha sido enfrentado el sujeto tecnológico propio del postmodernismo. Este sujeto vincula el saber con algo inmediato; así, paradójicamente, pueden marcarse mayores distancias con la producción de conocimiento. Sin embargo, generalmente, esta situación no se presenta en las ciudades y regiones donde no hay acceso a redes de telefonía fija o móvil. En ellas, la vorágine postmoderna no ha incidido en las percepciones del conocimiento y de las relaciones de éste con el sujeto, la inmediatez no es una característica forzada del conocimiento. Allí, el conocimiento en general, y las matemáticas en particular, son inherentes al contexto social e histórico de cada una de las culturas. Estos son problemas medulares de cualquier discusión curricular sobre el uso educativo de Internet en la educación matemática.

6. La desactualización de la información Otro de los fenómenos presentes en el modelo de sociedad basada en las TIC, es la creencia de la desactualización de la información obtenida a través de diversos medios. La tesis de la desactualización es concebida como la pérdida de valor de la información y del conocimiento. Ello responde a ciertas estructuras y mecanismos que exaltan “lo nuevo” por encima de “lo viejo”. Así, en las universidades es común encontrar profesores que recomiendan buscar referencias no anteriores a los años noventa; algunos libros de cálculo, por ejemplo, son editados año tras año, otros tantos de matemáticas para el liceo venezolano omitían imprimir el año de edición y publicación con la intención de “no perder vigencia”, los programas de cálculo y geometría tienen versiones inacabadas, etc. El bombardeo de información es el signo de Internet. La desactualización responde a la dinámica acelerada y cambiante de las grandes ciudades y a los fuertes intereses económicos de ciertas estructuras. No obstante, debemos aclarar aquí que esta creencia no es compartida por todos.

7. A manera de conclusión Ciertamente, las ideas de la inmediatez, desactualización y fragmentación del conocimiento (matemático y no matemático), del saber como algo producido por Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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otros disponible en algún site, y las ya expuestas dificultades de acceso, son algunos de los problemas que presenta el uso de Internet para el diseño y desarrollo curricular de las matemáticas escolares, en especial para los pueblos, regiones y naciones que se ven afectadas por procesos de dominación cultural y económica y que poseen una rica fuente de saber matemático. Este debate alcanza la reflexión sobre los modelos de sujeto y sociedad que nos envuelven.

La educación matemática. Su presencia y futuro en la universidad del zulia Hugo Parra S.

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Resumen A partir de la necesidad de realizar una recuperación histórica de la educación matemática en Venezuela, se presenta una síntesis de la enseñanza de esta disciplina en la región zuliana, particularmente en el contexto de la universidad del Zulia. Para la recopilación y sistematización de la información se consideró cuatro referentes: el aspecto organizativo de la comunidad de educadores matemáticos, las actividades vinculadas a ella, los problemas educativos matemáticos o matemáticos que centraron el interés de los protagonistas y, por último, la manera de abordar dichos problemas. Palabras clave: historia de la educación matemática, ASOVEMAT.

Abstract From the need to perform a historical recovery of the Mathematical Education in Venezuela, one presents a synthesis of this discipline in the zulian region, particularly in the context of the University of the Zulia. For the infomation summary and systematizing, they were considered to be four modals: the organizational aspect of the math teachers community, the activities linked to them, the math educational or mathematical issues that centered the interest of the protagonists and, finally, the way of approaching the above mentioned issues.

Serrano, W. (2005). La alfabetización matemática. En: Mora, D. (ed.) y otros. Didáctica crítica, educación crítica de las matemáticas y etnomatemática. Perspectivas para la transformación de la educación matemática en América Latina. Bolivia-Venezuela: GIDEM-Campo Iris.

Keywords: history of mathematics education, ASOVEMAT.

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1. Introducción La organización y desarrollo de la comunidad educativa matemática en Venezuela, tiene sus orígenes en el siglo XX. En el caso de la región zuliana, se podría decir que los primeros pasos se dieron al momento de fundarse el Departamento de Matemática de la Facultad de Humanidades y Educación de la universidad del Zulia y, hoy en día, esta institución sigue siendo un referente clave para comprender su génesis y desarrollo. En razón de ello, queremos en este escrito estudiar la evolución histórica de nuestra comunidad educativa matemática, tomando como referente principal la universidad del Zulia y, de esta manera, el conocer e interpretar los sucesos del pasado nos ayudará a comprender los sucesos del presente y anticipar los tiempos que están por venir (Beyer, 2008). Es importante señalar previamente que las ideas aquí presentadas han sido nutridas no sólo por la experiencia de quien escribe, sino también por la experiencia de tantos otros compañeros relacionados con la universidad del Zulia1. Intentamos identificar e interpretar los hechos ocurridos, mostrando un balance tanto de los aciertos como de los errores y debilidades presentes a lo largo de estos años. Para ello, consideramos aquí los siguientes cuatro referentes al momento de organizar la información recopilada: el aspecto organizativo de la comunidad de educadores matemáticos, las actividades vinculadas a ellas, los problemas educativos matemáticos o matemáticos que centraron el interés de los protagonistas y, por último, la manera de abordar dichos problemas.

2. Orígenes (1962-1980) Los antecedentes del desarrollo de la investigación en educación matemática en la universidad del Zulia se remontan a la década de los 60. La Licenciatura en Educación mención Ciencias Matemáticas se funda en el año 1962 y en 1965, respondiendo a la necesidad de crear un centro de investigación, se funda el Centro de Estudios Matemáticos (CEM) de la Facultad de Humanidades y Educación, bajo la tutela del Departamento de Matemática, hoy denominado Departamento de Matemática y Física. Su primer director fue el profesor Ernesto Battistella, matemático proveniente de la Argentina, quien formó parte del equipo de profesores fundadores de la mención en la universidad del Zulia (CEMAFI, 2007). Una de las primeras actividades que se recuerda se remonta al año 1965, cuando se dio inicio a la publicación de la revista Studia Matemática, como parte de las 1 Al respecto, debo agradecer la colaboración de los profesores Darío Durán, Fredefinda Nava y María Escalona por los datos suministrados de manera verbal, escrita o a través de material, que ayudaron a enriquecer el artículo. Igualmente, aclaro que cualquier interpretación de los hechos es de completa responsabilidad del autor.

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actividades del recién creado Centro de Investigación (CEMAFI, 2007) y que posteriormente se editó con el nombre de Boletín del Centro de Estudios Matemáticos (ver figura 1). La revista, desde sus inicios, centró su atención en trabajos que abordaban exclusivamente problemas de índole matemática. Este énfasis en los artículos exclusivamente matemáticos, era reflejo de la actividad de los profesores que conformaban en aquel momento la comunidad académica. Los artículos publicados en la revista y otras producciones escritas de entonces, más que investigaciones propiamente dichas, eran artículos de reflexión teórica, monografías o guías para los estudiantes. En aquella época, la relación de las matemáticas con otras disciplinas se limitaba tan sólo a la filosofía, muestra de ello es la publicación de un artículo del profesor Battistella, el año 1972, en la revista Boletín de Filosofía -hoy denominada Revista de Filosofía- cuya temática versaba sobre el teorema de Gödel (Battistella, 1972), dejando de lado cualquier referencia a temas o problemas educativos matemáticos y de otras ciencias como la psicología, la sociología o la lingüística, entre otras. Es evidente que, en este período inicial, el foco de las actividades en el Centro de Estudios Matemáticos y el Departamento eran las reflexiones en torno a problemas exclusivamente de orden matemático, y el contexto de su acción era exclusivamente el de la universidad del Zulia.

3. Segunda etapa. Una mirada hacia dentro (1980-1986) Al final de la década de los 70 e inicios de la siguiente, el Centro de Estudios Matemáticos disminuyó su actividad. La partida del profesor Batistella, a mediados de la década de los 80, pudo haber influido en ello. La revista Studia Matemática dejó de publicarse. Sin embargo, la disminución de la actividad del Centro no significó una parálisis en la actividad académica. Se percibe -por la poca información de eventos y publicaciones que se posee - que el contacto con la comunidad académica, tanto regional como nacional e internacional, por parte de la comunidad de educadores matemáticos disminuyó, más no se detuvo, prueba de ello es que se siguió participando en congresos organizados por la Asociación Matemática de Venezuela y uno de ellos se realizó en la ciudad de Maracaibo, en el año 1980 (Araujo & Ortega, 1994). Este descenso del protagonismo del Departamento de Matemática en la Facultad de Humanidades, se evidencia en el hecho de que el liderazgo en la promoción de la creación de la Licenciatura en Matemáticas en la universidad del Zulia fue detentado fundamentalmente por profesores de la Facultad de Ingeniería. Es importante hacer notar que, en este período, aunque se nota un cambio al disminuir las publicaciones y participaciones en eventos, la problemática se mantiene. Integra Educativa Vol. III / Nº 2

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El énfasis de las producciones intelectuales en los problemas matemáticos no varía. Éstas se centran en la formación matemática y en la producción de materiales de apoyo a la docencia. En cuanto a la formación y actualización del personal docente y de investigación, se avanza. Los miembros del Departamento de Matemática realizan estudios de postgrado en matemática o física. La mayoría de ellos realizaron sus estudios de maestría en el Programa de Estudios Avanzados en Matemática (PEAM), adscrito a la Facultad de Ingeniería de la universidad del Zulia, que había sido fundado el año 1976. Un líder importante de este programa de estudios de postgrado fue el profesor Shyam L. Kalla, matemático proveniente de la India y de reconocida trayectoria académica en la comunidad matemática internacional. El profesor Kalla fundó, el año 1976, el Grupo de Matemática Aplicada que posteriormente dio inicio al Centro de Estudios de Matemática Aplicada de la Facultad de Ingeniería (Nieto y Peña, 2000), el año 1992. Este profesor marcó profundamente en sus estudiantes la vocación por el estudio de problemas matemáticos, lo que condujo a la publicación de artículos por parte de éstos en revistas nacionales e internacionales. En este mismo período, especialmente en la década de los 70, se incorporan a la universidad del Zulia algunos profesores extranjeros, en su mayoría provenientes del sur del continente. Varios de ellos se iniciaron en la novel Licenciatura en Matemáticas, adscrita a la recién creada Facultad Experimental de Ciencias en el año 1973 (Nieto y Peña, 2000). A la Facultad de Humanidades y Educación llegan los profesores Fabio Gutiérrez, proveniente de Colombia y con postgrado de matemática en la universidad de Lovaina, Bélgica, y el profesor Enrique Mardones, chileno, interesado en el área de computación. Ambos aportaron a la Facultad con su experiencia; en el caso del profesor Mardones, la incorporación de la tecnología computacional se debe en parte a él, hecho que se va a profundizar posteriormente, en el siguiente período que vamos a describir, con la creación del Proyecto Thales.

3. Tercera etapa. Los inicios de la identidad disciplinaria (1986-1992)

El primero de ellos fue el arribo, el año 1986, del primer PhD en Matemáticas al Departamento, profesor Víctor Martínez, hecho que contribuyó a elevar el nivel académico del Departamento. El profesor Martínez se incorpora, casi inmediatamente después de su llegada, como Director del Centro de Estudios Matemáticos, y su principal responsabilidad consistía reactivarlo. Una evidencia de ello es la formalización del primer proyecto de investigación que abordaba una problemática educativa matemática, mismo que fue presentado por las profesoras María Escalona y Fredefinda Nava, el año 1987. La investigación tenía la finalidad de evaluar -a petición del CENAMEC- la implementación del proyecto Modulo de Resolución de Problemas en la región zuliana, propuesto por la mencionada institución. El camino para conseguir su financiación no fue del todo fácil; al momento de solicitarlo, el Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico (CONDES) -ente responsable del financiamiento de la investigación en la universidad del Zuliasolicitó numerosas aclaratorias que fueron proporcionadas por las profesoras antes mencionadas, quienes contaron con el apoyo irrestricto del profesor Martínez. La causa de esta situación fue, posible y seguramente, la inexistencia de precedentes de proyectos en esta área del conocimiento en el organismo al que se solicitó financiación y, por tanto, resultaba difícil -desde su punto de vista- justificar el financiamiento en este campo del saber. Hoy, este argumento pudiera parecer insólito, pero visto en el tiempo, sugiere que en aquella época la investigación educativa matemática era desconocida o minusvalorada. En el presente esta imagen ha evolucionado, el reconocimiento como área del conocimiento es ya evidente y problemas como el señalado no se presentan, desde aquel momento en que se reconoció al proyecto de investigación mencionado su identidad y se lo financió. En este mismo año de 1987, se crea la maestría en Matemática mención Docencia, adscrita a la División de Estudios para Graduados de la Facultad de Humanidades y Educación, bajo la coordinación del profesor Darío Durán. En el marco de esta maestría, los seminarios de investigación fueron planificados y coordinados por personal adscrito como investigador al Centro de Estudios Matemáticos y los mismos dieron lugar a los Trabajos Especiales de Grado, que contaron con la tutoría de docentes del Departamento de Matemática. Posteriormente, a principios de la década de los 90, se consolida este vínculo con la maestría al dejar en manos del Centro de Estudios Matemáticos la total responsabilidad de los Seminarios de Investigación.

Se inicia en esta época una etapa caracterizada por la incursión de docentes e investigadores en el estudio de problemas educativos matemáticos. A finales de la década de los 80, cinco hechos relevantes suceden casi simultáneamente: la culminación de los estudios doctorales en Matemática de un miembro del personal docente y de investigación del Departamento de Matemáticas, la inscripción del primer trabajo de investigación enmarcado en la educación matemática, la creación de la Maestría en Matemática mención Docencia, la aprobación por parte del Consejo Universitario de la universidad del Zulia del reglamento del Centro de Estudios Matemáticos, y la creación del proyecto Thales.

Por último, el año 1989 se crea, bajo los auspicios del Centro de Estudios Matemáticos, el Laboratorio de Computación y, con él, el Proyecto Thales (Madueño y Ruiz, 2002); el mencionado proyecto, en palabras de dos de sus fundadores:

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…nace como una inquietud frente a la necesidad de dar respuesta a una serie de interrogantes que planteaban algunos docentes de la Educación Media 283

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del Estado Zulia sobre el uso adecuado de esta innovación, y que debían enfrentarse al manejo y administración de Laboratorios de Informática que las escuelas y liceos privados de la región zuliana estaban incorporando en su que hacer educativo. (Madueño y Ruiz, 2002: 31).

Es importante hacer notar que, si bien la iniciativa del proyecto Thales nace desde el Centro de Estudios Matemáticos y, en el desarrollo de sus actividades contempla el abordaje de la problemática de la educación matemática, su marco de acción aborda también otras áreas educativas, lo que sin embargo no lo excluye de la problemática de nuestra disciplina académica. Este conjunto de eventos muestra la permanencia, por aquel entonces, del protagonismo por parte del personal docente y de investigación del Departamento de Matemática y del Centro de Estudios Matemáticos de la universidad del Zulia, pero con la variante de que surgen ya proyectos vinculados a la educación matemática, lo que daría bases para una siguiente etapa de consolidación de la educación matemática en la universidad del Zulia.

4. Inicio del proceso de consolidación. De la Matemática a la educación matemática (1992-2001) La problemática en torno a la matemática sigue estando presente en este período, prueba de ello es la participación de algunos profesores de la Facultad de Humanidades y Educación en las tres ediciones de los Coloquios de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones, organizados por el Centro de Investigaciones de Matemática Aplicada de la Facultad de Ingeniería en los años 1992, 1995 y 1997, respectivamente (Nieto y Peña, 2000); sin embargo, también en este período se inicia la consolidación de la educación matemática en la región. La preocupación por la problemática educativa matemática se acentúa, mas éste no es un hecho aislado. En Venezuela, por entonces se producen una serie de eventos en los que, por igual, la comunidad educativa matemática muestra definitivamente su interés por encaminarse hacia su organización. De esta situación no sólo la universidad del Zulia es reflejo, sino que además, participa en el proceso.

privilegió el modelo cuasi-experimental, así lo demuestra una revisión documental realizada en la base de datos de tesis electrónicas del Servicio Bibliotecario de la universidad del Zulia (SERBILUZ, 2010). Respecto al soporte teórico de estas investigaciones, éstas están estrechamente relacionadas con la psicología, sobre todo en lo que respecta a la referencia teórica aportada por el piagetismo. Aquel mismo año se realiza en la ciudad de Maracaibo, bajo los auspicios del Departamento de Matemática de la Facultad de Ingeniería y la coordinación de la profesora Estrella Suárez, un seminario que contó con la presencia del profesor Claude Gaulin2, de la universidad Laval (Québec, Canadá); en ese seminario fueron expuestos los resultados de los Trabajos Especiales de Grado de la Maestría de LUZ hasta entonces culminados y el trabajo de grado realizado por el profesor Hugo Parra, quien acababa de finalizar su maestría en la universidad Laval. La oportunidad fue propicia no sólo para intercambiar información, sino para reflexionar acerca de las producciones en investigación, ya que se contó con la presencia de un observador externo con visiones diferentes a las presentes en ese momento en la universidad del Zulia. Un año después -1993-, el mismo Departamento de Matemática de la Facultad de Ingeniería, el Departamento de Matemática de la Facultad de Humanidades y docentes de Educación Media unieron esfuerzos a objeto de organizar el I Encuentro de Educación Matemática Región Zuliana, siendo éste el primero de este tipo en la región (Suarez, 1994). El mismo se llevó a cabo el mes de abril de 1994 y contó con la participación de más de doscientos participantes. Durante ese mismo año, se llevó a cabo el I Congreso Venezolano de Educación Matemática (COVEM) en la ciudad de Maturín (Aguilera & León, 1994). Este evento clave en la historia de la educación matemática del país, contó con la participación de una delegación de la Universidad del Zulia conformada por docentes y estudiantes. El papel jugado por ese grupo de participantes de la región, si bien no fue protagónico en el sentido de liderar las diferentes mesas de trabajo (ver informe del COVEM en Enseñanza de la Matemática Vol. 3, No. 2 del año 1994), si tuvo relevancia en la presentación de diversos trabajos. Hay que hacer notar aquí la participación de estudiantes de Licenciatura en Educación Matemática en esa oportunidad, una evidencia de esto es el hecho de que en el Volumen 3, Número 2 de la revista de Enseñanza de la Matemática, aparece un trabajo cuya autoría es de tres estudiantes de aquella época (Chacón, Nucete, Petit; 1994).

En este marco contextual, se destaca inicialmente la participación de una delegación de la universidad del Zulia en el II Encuentro de Profesores de Matemática de las regiones Nor-Oriental, Insular y Guayana, realizado el año 1992 en la ciudad de Maturín (León, 1992). Así mismo, ese año egresa la primera promoción de la maestría en Matemática mención Docencia. Las primeras tesis muestran, desde un principio, su ubicación en el campo de la educación matemática, al problematizar e investigar sobre ésta. En lo que se refiere a su metodología, las tesis iniciales se caracterizaron por su ubicación en el paradigma positivista, especialmente, se

2 El profesor Claude Gaulin previamente había asistido al II Encuentro de Profesores de Matemática de las Regiones Nor-Oriental, Insular y Guayana, realizado en la ciudad de Maturín en septiembre de 1992.

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El año 1994 sucede igualmente un hecho importante, la fundación del Capítulo Zulia de la ASOVEMAT. La primera Junta Directiva estuvo presidida por la

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profesora Leyda de Pereira, acompañada por el profesor Hugo Parra como Secretario General, el profesor Rafael Luque como Tesorero y los vocales, profesores Nancio Olivares y Claudio Hurtado. Durante esta etapa inicial, el Capítulo realizó una marcada actividad en la región, numerosos talleres fueron ofrecidos a los docentes y se organizó igualmente eventos regionales como los subsiguientes dos Encuentros de Educación Matemática del Estado Zulia, los años 1994 (Suárez, 1994) y 1998, así como el III COVEM, realizado el año 2000 (Escalona, 2000).

los del nivel universitario. Esta participación se refleja en la primera directiva del Capítulo de ASOVEMAT y en la organización y participación en el I Encuentro de Educación Matemática del Estado Zulia. En cuanto a la problemática que los trabajos abordaron, ésta se dirige casi por completo a la problemática educativa matemática. Este conjunto de situaciones nos lleva a concluir que, en este período, el proceso de identidad profesional comienza a gestarse.

La actividad de investigación continuó su desarrollo; durante los años que siguieron, los Trabajos Especiales de Grado de la maestría aumentaron y los proyectos de investigación también. La problemática planteada en ellos siguió estando relacionada con la problemática educativa matemática y la metodología se ampliaba, incorporando trabajos que recurrían a metodologías de corte interpretativo, en especial la etnografía. Por su parte, el Centro de Estudios Matemáticos -bajo la dirección de la Profesora Xiomara Arrieta- cambia de nombre, el año 2000, a Centro de Estudios Matemáticos y Físicos, e incorpora la problemática de la enseñanza de la Física como consecuencia directa del cambio de la Licenciatura en Educación mención Ciencias Matemáticas a la mención Matemática y Física.

5. Entre la consolidación de la identidad disciplinaria y la debilidad organizacional de la comunidad educativa matemática (2002-2008)

El año 1997, la Facultad de Humanidades y Educación crea su primer Programa de Doctorado; el mismo se contempló de manera amplia, para dar cabida a todas las áreas de conocimiento administradas por la Facultad. En razón de lo señalado, este primer doctorado se denominó Programa de Doctorado en Ciencias Humanas y el mismo determinó que su especificidad se sustentara en las Líneas de Investigación. Una de estas Líneas fue la denominada “Didáctica de las Matemáticas”. Esta Línea se apoyó en el Centro de Estudios Matemáticos y Físicos e invitó a la profesora Blanca Quevedo3 para que la coordinara y brindará su apoyo como tutora de la tesis que desarrolló la Prof. María Escalona, directora del Centro por aquel entonces. De igual manera, el profesor Fredy González -docente investigador de la UPELcolaboró con la Línea al ser el tutor de la tesis doctoral del Prof. Hugo Parra S. En diciembre del año 2001, la profesora Escalona obtiene su título en el Programa de Doctorado en Ciencias Humanas en el área de Didáctica de las Matemáticas, convirtiéndose en la primera egresada del área; seguidamente, en julio de 2002 el profesor Hugo Parra obtiene igual grado académico en el mencionado Programa de Doctorado.

En este período puede destacarse tres eventos: el ingreso de algunos profesores del Departamento de Matemática y Física al Programa de Doctorado en Ciencias humanas en el área de la Didáctica de las Matemáticas, la realización de los simposios de Didácticas de las Ciencias y la organización de la XXI Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (XXI RELME). Pero, junto a estos hechos se registra -aunque parezca contradictorio- un debilitamiento organizacional de la comunidad educativa matemática. Este debilitamiento se evidencia en la disminución de las actividades propias de la ASOVEMAT Capítulo Zulia y de la cantidad de miembros activos del personal docente de LUZ, lo que hizo más difícil la organización y desarrollo de la comunidad educativa matemática. En lo que respecta a la Línea de Investigación en Didáctica de las Matemáticas, el año 2002 pasa a denominarse Línea de Investigación en Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales, nombrándose Coordinadora a la profesora María Escalona. El cambio de nombre es consecuencia de la incorporación de investigadores de Didáctica de la Física, de la Biología y de la Química, preocupados igualmente por la problemática de las didácticas específicas y con la esperanza de ir abriendo caminos en la perspectiva de la interdisciplinaridad. Posteriormente, el año 2005 se nombra como Coordinador de la Línea al profesor Hugo Parra S. y el año 2006 se vuelve a cambiar el nombre a Línea de Investigación en Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Naturales, nombre que permanece hasta la fecha. Actualmente y desde el año 2009, la profesora Yanette Arteaga, del área de Biología, tiene a su cargo la coordinación de la Línea.

3 La Dra. Blanca Quevedo realizó su doctorado en Didáctica de las Matemáticas en Francia, bajo la tutoría del Dr. Guy Brousseeau.

Los cambios de nombre no fueron fortuitos; como señalamos anteriormente, ellos obedecieron a la intención, por parte de los educadores matemáticos, de tender puentes con los investigadores de Didáctica de las Ciencias Naturales, como una manera de ir constituyendo equipos interdisciplinarios y de ganar espacio en la Escuela de Educación. Sin embargo, hay que reconocer que las acciones conjuntas se han centrado en el desarrollo de actividades docentes, de extensión y de formación, donde profesores de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Naturales han participado por igual; mas, en lo que se refiere a proyectos de investigación conjuntos, no se han concretado aun, quedando esta tarea pendiente.

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Respecto a esta etapa, se evidencia el mantenimiento del liderazgo académico de la Facultad de Humanidades y Educación a través del Departamento de Matemática y el Centro de Estudios Matemáticos y Físicos, pero con la variante de que, al crearse la ASOVEMAT, se cuenta con la participación de profesores diferentes a

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La educación matemática. Su presencia y futuro en la universidad del zulia

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En esta etapa, iniciada el año 2002, también hay que señalar que se crearon y consolidaron tres programas de investigación al interior de la Línea de Investigación: “Representaciones del Conocimiento Matemático”, “Nuevas Tecnologías en la Enseñanza de las Ciencias” y “Pensamiento y Acción del docente de Matemática y de las Ciencias Naturales”. Cada programa de investigación, a su vez, ha venido desarrollando proyectos de investigación y sus miembros, en su mayoría, asesoran y coordinan trabajos de Grado de maestrías y tesis doctorales. Además, el año 2005 se elaboró el primer reglamento interno de la Línea y se constituyó el Consejo Técnico, como organismo de tipo operativo y vinculante de los tres programas. También se ha venido realizando actividades de formación en apoyo al doctorado y a la maestría; para ello, se ha invitado profesores para dictar seminarios y conferencias. Este conjunto de actividades antes descrito, evidencia una dinámica caracterizada más por el énfasis en consolidarse internamente que por una proyección hacia la comunidad. El reflejo de esta situación se hace presente cuando observamos un proceso de desarrollo de la Línea de Investigación en desmedro de las actividades hacia fuera del ámbito universitario y, en la disminución de la cantidad de miembros de la comunidad educativa matemática externos a la universidad. Esto condujo a que el liderazgo académico de ASOVEMAT-Zulia se redujese. En realidad, sucedió que parte de la directiva de ASOVEMAT asumió las riendas de la Línea, pero ASOVEMAT, como organización, disminuyó su presencia. En cuanto a los eventos regionales como los simposios, el primero se realiza en el año 2001 y repite los años 2002 y 2003; sin embargo, a partir de este último se suspenden y, posteriormente, se asume la responsabilidad de la organización de la XXI RELME, el año 2007. La idea era que este evento incorporara a los profesores y estudiantes del Departamento en su organización. El logro fue parcial; se contó con la presencia de los estudiantes, mas la de los profesores fue muy reducida, no sólo en la organización del evento, sino también en la participación con trabajos, evidenciando de esta manera una gran debilidad organizativa de la comunidad.

Una tercera acción fue la reformulación de la maestría actual, de manera que la nueva respondiese a las necesidades de la época y a los retos del futuro. La cuarta ha consistido en profundizar el apoyo de miembros de la Línea a los seminarios de investigación de pregrado y postgrado, con miras a ir estableciendo una cultura de la participación en equipos de investigación. Otra acción ha sido el relanzamiento del Simposio de Investigación, logrando que en la última edición, realizada el año 2008, se contara con una presencia significativa de estudiantes de pregrado. Esta participación no sólo se limitó a la tradicional colaboración de los estudiantes en la logística del evento, sino que además se contó con la presentación de trabajos de investigación que se estaban realizando en los seminarios de investigación contemplados en sus estudios para lograr la Licenciatura en Educación Matemática. Para el presente año 2010, se espera mantener la tendencia en el aumento de la participación tanto de estudiantes de pregrado y postrado con sus trabajos de investigación, como de docentes que trabajan en el nivel preuniversitario. Por último, nos hemos propuesto el aumento de nuestra participación en el VII COVEM; de un solo trabajo presentado en la última edición del evento, se tiene previsto la presentación de más de una decena, así como el aumento de nuestra participación, previendo una asistencia de alrededor de una veintena de participantes. Para apoyar este proceso, se renovó la Junta Directiva del Capítulo Zulia de la ASOVEMAT. En ese sentido, el año en curso se realizó la elección de la nueva Junta Directiva para el período 2010-2012; la misma quedó constituida por el profesor Hugo Parra como Presidente, la profesora Elsa Rojas como Secretaria General, el profesor Carlos Guedez como Tesorero y los profesores Franklin Colina y Yaneth Ríos como vocales. Cabe destacar que en la nueva Junta Directiva tres de sus miembros, la Secretaria General, el Tesorero y un Vocal son egresados de los últimos diez años y ejercen la docencia en diferentes institutos de educación secundaria. La idea es que una nueva generación asuma en el mediano plazo el liderazgo de la comunidad académica en el Estado Zulia.

6. Hacia la consolidación de la identidad disciplinaria y el fortalecimiento organizacional de la comunidad educativa matemática

7. ¿Qué nos enseñan los hechos relatados?

Ante la debilidad organizativa, se planteó el fortalecimiento de la misma. La poca participación de actores de los diferentes niveles educativos era la consecuencia de una debilidad institucional. En razón de ello, se comenzó un trabajo pensado a largo plazo, planteándose seis acciones. Una, animar a dos de los egresados de la universidad del Zulia a cursar estudios doctorales fuera del país; ambos están desarrollando en la actualidad su doctorado en la universidad de Alicante, España. La segunda fue la captación de futuros miembros a través de la incorporación de estudiantes a los programas de investigación de la Línea.

Al principio señalábamos nuestra coincidencia con Beyer (2008), cuando resaltábamos la importancia de la historia como una fuente de información de hechos ya sucedidos que nos ayuda a comprender los sucesos del presente y anticipar los tiempos que están por venir. Con base en este presupuesto y los tres referentes considerados en este escrito, a saber, el aspecto organizacional, los problemas educativos matemáticos o matemáticos que centraron el interés de los protagonistas y la manera de abordar dichos problemas en el contexto de la universidad del Zulia, consideramos algunas de las enseñanzas que pudieran derivarse de lo relatado.

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En cuanto a lo organizacional, se observa un paulatino crecimiento de la comunidad de educadores matemáticos en la región zuliana y una articulación que ha vivido momentos de gloria y momentos de mengua, demostrando que, en los momentos de mayor participación articulada, los resultados de sus acciones han sido mucho mejores. Prueba de ello fueron los diferentes eventos y actividades que se realizaron en la década de los años noventa. Otro aspecto organizacional es el de los tipos de participantes, aún se observa un fuerte predominio de los actores universitarios. No se trata de cambiar radicalmente de postura y excluir a éstos, sino de incorporar protagónicamente a diferentes tipos de actores, esto es, profesores de los diferentes niveles y modalidades educativas, a objeto de lograr una mayor legitimidad en la comunidad educativa matemática.

Bibliografía Aguilera & León. (1994). Informe sobre el I Congreso Venezolano de Educación Matemática (I COVEM). Enseñanza de la Matemática. Vol. 3 (2). Araujo, O. y Ortega, J. (1994). Acerca del origen de la Asociación Matemática Venezolana. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. I (1). Disponible en: http://www.ma.usb.ve/~bol-amv/contenido.html [Consultado el 10 de abril de 2009]. Battistella, E. (1972). Las ideas básicas de los Teoremas de Gödel. Boletín de Filosofía. No. 1. Beyer, W. (2008). Análisis de textos primarios: la obra de Boris Bossio Vivas. Enseñanza de la Matemática. Vol. 17 (1).

Respecto al estudio de la problemática educativa matemática, la misma se ha venido consolidando. En una mirada a la fecha inicial que se tomó como referencia para este escrito -el año 1962- comparando aquél con el momento actual, se observa una progresiva transferencia en el foco de atención. Inicialmente, la comunidad de educadores matemáticos centró su atención en los problemas matemáticos y, paulatinamente, se fue incorporando la problemática educativa matemática, hasta el punto de que hoy la misma articula una Línea de Investigación y los diferentes proyectos de investigación del Centro de Estudios Matemáticos. Esta problemática debe ahora encaminarse hacia un acercamiento a la escuela, para así legitimarse en el conglomerado de las instituciones educativas de la región. Este acercamiento a la problemática educativa del día a día de nuestras escuelas, debe estar acompañado de un fortalecimiento de la teoría que la sustente.

Chacón, N., Nucete, G. y Petit, V. (1994). La enseñanza de la matemática en la etnia Wayuu. Enseñanza de la Matemática. Vol. 3 (2).

Al respecto, se puede hacer notar que, en los trabajos de investigación, se observa un progresivo avance hacia su independencia de la psicología como referente único; falta aún un trabajo por ir incorporando a los mismos referentes teóricos propios de nuestra disciplina científica. Respecto a la manera de abordar esta problemática, se observa un progresivo desprendimiento de metodologías sustentadas en el positivismo y una progresiva incorporación de metodologías de tipo críticointerpretativas. Esta realidad, a nuestro entender, es positiva y debe ahora mejorar cualitativamente.

Nieto, J. H. y Peña, A. J. (2000) Boletín de la Asociación Matemática Venezolana Vol. VII (1 y 2). Disponible en: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol7/ nietopena.pdf [Consultado el 28 de agosto de 2010].

Finalmente, queremos expresar que lo aquí escrito pretendió, desde un principio, recuperar parte de nuestra historia como comunidad académica. La invitación es a continuar en esta tarea, abrir el debate y continuar indagando en las fuentes de información, pero siempre sin olvidar que esta mirada al pasado debe servir para ir consolidando nuestra cotidiana tarea de fortalecer una educación matemática de calidad, accesible para todas y todos los que habitan esta región y país.

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Centro de Estudios Matemáticos y Físicos de la universidad del Zulia CEMAFI. Recuperado el 02 de abril de 2007. http://www.cemafiluz.com/

Escalona, M. (ed.) (2000). Informe del III Congreso Venezolano de Educación Matemática (III COVEM). Madueño, L. y Ruiz, M. (2002) La organización del proyecto THALES: una propuesta de informática educativa. Revista Latinoamericana de Tecnología Educativa. Vol. 1(2). Disponible en: http://campusvirtual.unex.es/cala/editio/index.php?journal=rela tec&page=issue&op=view&path[]=2 [Consultado el 26 de agosto de 2010].

Servicios Bibliotecarios de La universidad Del Zulia - SERBILUZ (2010)

http://www.serbi.luz.edu.ve/index.php?option=com_content&task=view&id=127&Item id=202

Suárez, E. (ed.) (1994). Informe del I Encuentro de Educación Matemática del Zulia. universidad del Zulia.

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