Tiziana Zampese
MatVacanze Matematica e Scienze ü ü
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Novità esclusiva: proposte di prove esperte. Non solo regole, ma anche relazioni matematica/ vita reale. Scienza, come conoscenza di animali in via di estinzione e piante rare.
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Tiziana Zampese
MatVacanze Matematica e Scienze
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Redazione: Mario Carpinelli Progetto grafico, impaginazione e copertina: Anna di Ianni
L’attenzione e la cura necessaria per la realizzazione di un libro spesso non sono sufficienti a evitare completamente la presenza di sviste o di piccole imprecisioni. Invitiamo pertanto il lettore a segnalare le eventuali inesattezze riscontrate. Ci saranno utili per le future ristampe. Tutti i diritti sono riservati ©2019 www.lanavedeisogni.com info@lanavedeisogni.com è vietata la riproduzione dell’opera o di parti di esse con qualsiasi mezzo, comprese stampa, fotocopie e memorizzazione elettronica se non espressamente autorizzate dall’Editore. Nel rispetto delle normative vigenti, le immagini che rappresentano marchi o prodotti commerciali hanno esclusivamente valenza didattica. L’Editore è a disposizione degli aventi diritto con i quali non è stato possibile comunicare, nonché per eventuali omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti. Ristampa 6 5 4 3 2 1
2024 2023 2022 2021 2020 2019
3 PARTE 1a
indice
Gli insiemi Gli insiemi Esercizi Caratteristiche degli insiemi Esercizi Operazioni con gli insiemi Esercizi
5
Le quattro operazioni Addizione e sottrazione Proprieta’ Moltiplicazione e divisione Esercizi Prove esperte Un po’ di svago Pillole di saggezza: il tilacino.
13
PARTE 2a
Le potenze Elevamento a potenza Esercizi La notazione esponenziale Esercizi Per gioco Prove esperte
27
La divisibilità I criteri di divisibilita’ Esercizi Il crivello di eratostene Esercizi La scomposizione in fattori primi Esercizi Prova esperta Mcd e m.c.m Esercizi Prove esperte Un po’ di svago Pillole di saggezza: il tuatara.
35
4 PARTE 3a
Le frazioni Frazioni proprie, improprie, apparenti Esercizi Prove esperte Frazioni complementari Frazioni riducibili e irriducibili Applicazione proprieta’ invariantiva Esercizi Addizione e sottrazione con le frazioni Esercizi Moltiplicazione e divisione con le frazioni Le operazioni di potenza Esercizi Prove esperte Esercizi Pillole di saggezza: la medusa piu’ pericolosa al mondo
51
Gli enti geometrici fondamentali 1° Punto, retta, piano Esercizi Semiretta e segmenti Esercizi Problemi Un po’ di svago
68
PARTE 4a
Gli enti geometrici fondamentali 2° Gli angoli Angoli concavi e convessi; adiacenti e consecutivi Classificazione degli angoli Esercizi Angoli complementari, supplementari, esplementari Esercizi I poligoni e gli esercizi I triangoli Punti notevoli di un triangolo Esercizi I quadrilateri: la classificazione
sercizi E Le prove esperte Pillole di saggezza: l’archaeopteryx
78
5
PARTE 1a GLI INSIEMI Un insieme, in senso matematico, si può definire tale solo se si può affermare con certezza l'appartenenza o la non appartenenza di un elemento all'insieme. Le vocali dell'alfabeto italiano sono un insieme. Le giornate più belle non sono un insieme matematico perché non sappiamo con certezza se sono belle o no: possono essere belle per te ma non per me. A .a .i .o
.u
A = {x/x sia una vocale dell’alfabeto}
.e
Le persone, cose, animali fiori... che appartengono ad un insieme sono gli elementi dell'insieme, per indicare i quali si usano le lettere minuscole. Per indicare gli insiemi si usano invece le lettere maiuscole. B B = {x/x sia un primate}
Considerando l'insieme delle vocali dell'alfabeto italiano e chiamandolo insieme A avremo: A = {a, e, i, o, u} che si legge "l'insieme A formato dagli elementi a, e, i, o, u". Per indicare l'appartenenza di un elemento ad un insieme si usano i simboli: Appartiene ∈
Non appartiene ∉
Se a è un elemento di A allora a appartiene ad A e si scrive a ∈ A; Se b non è un elemento di A allora b non appartiene ad A e si scrive b ∉ A. Possiamo avere insiemi: finiti, infiniti, vuoti.
Sono... vuoto?
L'insieme dei fiori della mia aiuola è un insieme finito. L'insieme dei numeri naturali maggiori di 20 è un insieme infinito. L'insieme degli elefanti con le ali è un insieme vuoto e si indica Ø.
6 Vediamo ora i 3 modi in cui possono essere rappresentati gli insiemi. consideriamo l'insieme A dei fiori della mia aiuola: « per elencazione (si scrivono entro parentesi graffa tutti gli elementi dell'insieme, separati dal punto e virgola) A = {margherita, ortensia, dalia, garofano} « per caratteristica (si scrive entro parentesi graffa la proprietà comune a tutti gli elementi dell'insieme) A = {a/a è un fiore della mia aiuola}. Il simbolo / si legge "tale che" quindi leggiamo "L'insieme A formato dagli elementi a tali che ogni a è un fiore della mia aiuola" « graficamente (con i diagrammi di Eulero-Venn): A « «
« «
esercizi
1. Indica quali delle seguenti frasi definiscono in modo corretto un insieme: I vulcani dell'Italia; I giardini più belli d'Italia; Le squadre di basket italiane più forti; Le squadre della serie A di calcio; Le città italiane più importanti; I comuni della Lombardia; 2. Indica quali insiemi sono infiniti, finiti o vuoti: {I capoluoghi di regione italiani}
........................
{I numeri dispari maggiori di 100}
........................
{I numeri naturali minori di 10 formati da due cifre}
........................
{Gli alunni della classe 1A della Scuola Media "G. Galilei"}
........................
{gli abitanti della Cina}
........................
{I numeri naturali maggiori di 20}
........................
7 3. Rappresenta l'insieme dei mesi dell’anno: « per elencazione « per caratteristica « graficamente Ricorda: Consideriamo ora questi insiemi e rappresentiamoli graficamente: A = {a/a è lettera della parola cuore} B = {b/b è una lettera della parola ore} C = {c/c è una lettera della parola dati} .a .d
.u
A
C
B
.i
.e
.c
.t
.r
.o
Come certamente ricordi, se un insieme è incluso in un altro insieme, si definisce sottoinsieme e si indica: B ⊂ A e si legge B è contenuto in A. C invece non ha nulla in comune con A quindi non è un sottoinsieme di A allora si indica C ⊄ A e si legge C non è contenuto in A:
«
« ***... e io???
« «
«
A
«
«
8 esercizi
1. Stabilisci, usando il linguaggio appropriato, quali dei seguenti insiemi sono sottoinsiemi dell'insieme A. A
=
{a/a è un uccello}
B
=
{trota; carpa; tinca; sogliola}
C
=
{gabbiano; picchio; rondine; canarino}
D
=
{falco; sparviero}
E
=
{corvo; fagiano; cane}
Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo da l’unione e l’intersezione. Consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni: Caso 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune. B
A
Caso 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B, e si indica C = A ∩ B. A
B C
Caso 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme. A
B
9 RICORDA L’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo ∪. A ciascuno di questi casi applichiamo l’operazione di unione. esercizi
1.Risolvi il seguente esercizio. Caso 1 Considera l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}. Rappresenta per elencazione: A = {.................................}
B = {.................................}
I due insiemi A e B sono …………, cioè non ci sono elementi in comune. «
Rappresenta graficamente l’unione dei due insiemi, l’insieme C = A ∪ B C
A
B
2. Risolvi il seguente esercizio. Caso 2 Considera i seguenti insiemi per elencazione: A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia} B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto} I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
10 «
Rappresenta graficamente l’unione dei due insiemi, l’insieme C = A ∪ B. C A
B
«
Rappresenta anche per elencazione l’insieme C = A ∪ B = {…………………
«
Rappresenta per Elencazione e Graficamente l’insieme C = A ∪ B.
Dove A = B = A ∪ B
A = {x/x sia una lettera della parola “archibugio”} B = {x/x sia una lettera della parola “archetipo”} {............................................... {............................................... {...............................................
3. Risolvi il seguente esercizio. Caso 3: Consideriamo per elencazione: A = {Marmo; Basalto; Arenaria; Granito; Silice; Dolomia} B = {Marmo; Basalto; Silice} L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme. «
Rappresenta graficamente l’unione dei due insiemi, l’insieme C = A ∪ B A
B
11 RICORDA L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo ∩.
4. Qual è il significato di questi simboli? C∪D C∩D 5. Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn:
A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m} B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a} A .mare .mento .miele
Scrivi per elencazione: A={ B={ C=A∪B={ CI = A ∩ B = {
.mora .mela
.martello
ü ü ü ü
C
.musa
.barca .sedia .pasta
B .stufa
12 6. Dati questi due insiemi: A = {mela; pera; albicocca; mora} B = {pesca; prugna; mora} Rappresenta per elencazione e graficamente: A∪B A∩B
7. Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn: A
.o .n
B
.d .i
.a .v
A = {a/a è una lettera della parola “divano”} B = {b/b è una lettera della parola “diva”} Scrivi per elencazione: A = {............................................... B = {............................................... A ∪ B {............................................... CI = A ∩ B = {...............................................
13 LE QUATTRO OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI L’addizione: sommando due numeri appartenenti ad N il totale sarà un altro numero ancora appartenente a N: possiamo quindi dire che l’addizione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. Un po’ di lessico:
RICORDA
l’addizione gode delle seguenti proprietà: Commutativa, la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Associativa, la somma di 3 o più addendi non cambia associando a 2 o più addendi la loro somma. …e ancora: lo Zero è l’elemento neutro per l’addizione: esempio 23 + 0 = 23 0 + 23 = 23
La sottrazione eseguendo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione. Un po’ di lessico:
la sottrazione gode della proprietà: Invariantiva, la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo.
14 La moltiplicazione: moltiplicando due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N, oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Un po’ di lessico:
La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione: commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori. associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto. Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà: distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun termine della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti. …e ancora: l’uno è l’elemento neutro per l’addizione: esempio 23 x 1 = 23
1 x 23 = 23
La divisione: se dividiamo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N, oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione. Un po’ di lessico:
La divisione gode della proprietà: Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero. Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.
15 LE QUATTRO OPERAZIONI CON I NUMERI DECIMALI
ATTENZIONE
esercizi
le quattro operazioni con i numeri decimali godono delle stesse proprieta’ dei “cugini” naturali; bisognera’ prestare attenzione alla posizione in colonna dei decimali, nelle operazioni di somma e differenza, e al posizionamento della virgola per la moltiplicazione. per la divisione, prima di operare, non dimentichiamo di applicare la proprieta’ invariantiva!!
1.Metti in colonna e scrivi il risultato.
72,154 + 7,003 + 3,519 = 61,84 + 1,5 + 2,88 + 78,62 = 3860,47 – 317,31 = 9376 – 482,313 =
2. Quali delle seguenti operazioni non sono possibili nell'insieme N?
8+ 0= 5– 0= 10 – 13 = 12 – 8 = 0– 2=
16 3. Esegui in colonna e controlla se il risultato indicato delle operazioni è corretto o no. Corretto
81,063 + 8,92 + 4,428 = 94,411
Non corretto
70,93 + 2,4 + 3,79 + 69,53 = 14,665 4971,58 - 226,43 = 4745,15 8467 - 391,404 = 8 065,596
4. Completa la seguente tabella.
1° addendo
2° addendo
somma
9
25
34
12
22
5 234
225 0
5. Completa la seguente tabella. a
b
c
5
2
11
32
12
9
213
11
10
541
59
20
222
128
128
a+b
b+c
a+b+c
17 6. Esegui le seguenti addizioni applicando la proprietà commutativa. 25 + 27 + 5 + 3 = 10 + 38 + 12 + 2 + 22 = 26 + 45 + 34 + 15 + 25 = 123 + 59 + 27 + 11 = 89 + 19 + 111 + 51 =
7. Esegui le addizioni applicando la proprietà associativa. 23 + 47 + 35 = 36 + 44 + 15 + 5 = 89 + 11 + 12 + 28 = 67 + 33 + 25 + 15 = 44 + 86 + 89 +1 + 10 =
8. Per gioco. La signora Luisa in vacanza raccoglie i fiori per poi essiccarli e ottenere del materiale con cui creare delle composizioni. Luisa non raccoglie lo stesso numero di fiori ogni estate, lo calcola con un simpatico gioco matematico! Anno 1959
Anno 1961
Anno 1968
fiori 240
fiori 170
fiori 240
Anno 1989
Anno 1993
Anno 2019
fiori 270
fiori 220
fiori .......
18 9. Completa la seguente tabella a doppia entrata. –
35
42
63
64 86 98 321 456 10. Completa la seguente tabella. minuendo
sottraendo
differenza
91
79 11
306
23
121
252
104
11. Esegui le seguenti sottrazioni applicando la proprietà invariantiva. 72 – 16 = 46 – 34 = 350 – 25 = 453 – 321 = 897 – 567 =
19 12. Trova il numero che corrisponde a ciascun simbolo. “a numeri uguali corrispondono simboli uguali”
RICORDA
=8
+
= ......................
+
+
= 36
= ......................
+
+
= 212
= ......................
–
–
= ......................
+
–
= ......................
13. Calcolo rapido. Trova una strategia per eseguire velocemente le seguenti operazioni. 6 + 19 = 33 + 15 + 7 = 45 + 28 = 833 + 270 = 75 – 48 = 92 – 31 = 280 – 14 – 80 = 145 – 22 – 53 = 65 – 23 = 78 + 44 + 22 = 14. prova esperta. Le prime piante con i fiori sono comparse sulla Terra nel Mesozoico tra la fine del Giurassico e l’inizio del Cretacico, circa 200 milioni di anni fa.
20 « Calcola quanti secoli sono passati.
15. Risolvi il seguente problema. Marco sta trascorrendo le vacanze, con gli amici, in un piccolo paese di montagna, spesso però chiama a casa i famigliari per condividere con loro le meravigliose esperienze vissute. In quest’ultima settimana la sua scheda telefonica conteneva 18,40 euro, dopo l’ultima conversazione gli rimangono sulla scheda 5,80 euro. « Quanto ha speso in conversazioni?
esercizi
1. Completa le seguenti serie, fino al settimo numero. ü 5, 10, 15,...................................................................................................................................... ü 11, 22, 33, ,................................................................................................................................. ü 12, 24, 36,................................................................................................................................... ü 7, 14, 21, ,.................................................................................................................................... ü 25, 50, 75,................................................................................................................................... ü 9, 18, 27,...................................................................................................................................... ü 35, 70, 105,................................................................................................................................
21 2. Risolvi il problema. Giacomo regala le sue 132 macchinine modello a tre amici. « Calcola quante macchinine riceve ogni amico.
3. Calcola in colonna. 44 × 12 = 88 × 3 = 112 × 111 = 58 × 36 = 63 × 481 = 1344 : 24 = 3828 : 29 = 5428 : 23 = 19000 : 100 = 720000 : 9000 = 6400 : 800 = 3200 : 400 =
22 4. Osserva la figura.
Lisa è uscita a fare shopping con 200,00 €, ha speso 35,00 € per una sciarpa e le sono rimasti 5,00 €. « Calcola quanto ha speso per il cappotto.
Ricorda l'ordine delle parentesi.
Per primi si eseguono i calcoli nelle parentesi tonde, ( ) poi nelle quadre [ ], infine nelle graffe { }. All’interno di ogni parentesi bisogna rispettare la priorità delle operazioni!
5. Calcola le seguenti espressioni. [(23 – 2 × 3) × (8 – 6)] : [41 – (14 × 2 – 2 × 2)] = {9 – (9 × 8) : [5 × 8 – 2 – (4 × 7 – 13 × 2)] + 2 × 7} : 3 =
23 6. Prova esperta. Osserva la foto. Nicolò deve pavimentare un piccolo bagno quadrato la cui area misura 4 m2. Se ogni mattonella ha l’area di 25 cm2, calcola: « Quante mattonelle sono necessarie. « A quanto ammonta la spesa se ogni scatola di mattonelle costa 23,00 euro e ne contiene 50.
7. Prova esperta.
Alessandra ha dovuto sostituire il bordo rifinito della sua piscina, sapendo che ogni pezzo è lungo 90 cm e ne sono occorsi 30, calcola: « Quanto misura il perimetro della piscina? « Ogni pezzo di rifinitura costa € 67,00, a quanto ammonta la spesa?
8. Risolvi le seguenti espressioni. 8 + (14 : 2 – 5) × {24 : 4 + [64 : (5 + 3) + (37 – 2) : 5] : 5} – 20 = (6 × 5 + 12) × {3 × [22 × 14 : 11 – (7 × 2 + 6)] - 9} : 35 – 9 × (17 15) =
24 UN PO’ DI SVAGO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2
3
4
5
6
7
Orizzontali 1/1: dentro; 9/1: Unità Europea; 12/1: un tipo di musica; 12/3: primo; 9/4: forma il micelio; 1/5: colpevole; 13/5: il primo e l’ultimo di vento; 13/6: personaggio di Spielberg; 1/7: somma; 13/7: Il terzo e il quarto di venti; 11/8: 2 × 4; 1/9: lo è anche ..d’interesse; 11/10: compongono lo scheletro; 1/11: Vicenza; 1/12: 365 giorni; 6/12: fuoriesce dal vulcano; 11/12: sette in greco; 1/14: proprietà di addizione e moltiplicazione;
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticali 1/1: proprietà della divisione e della sottrazione; 2/11: Quello di Mameli; 5/1: differenza; 7/1: un’operazione; 9/3: il risultato della sottrazione; 12/1: simbolo dell’addizione; 14/1: il risultato della moltiplicazione; 4/12: misura la resistenza; 11/6: il risultato della divisione senza resto; 13/5: 9 × 3;
25 PILLOLE DI SAGGEZZA: L’ULTIMO TILACINO Tratto e adattato da Query – La scienza indaga i mysteri.
Tra gli animali scomparsi in epoche recenti pochi hanno emozionato l’opinione pubblica quanto il tilacino (Thylacinus cynocephalus), anche conosciuto come tigre della Tasmania o lupo marsupiale. In passato era molto diffuso in Australia continentale, dove si estinse circa 2.000 anni fa in seguito alla caccia da parte degli aborigeni (per i quali rappresentava una risorsa alimentare) e, in una fase successiva, alla competizione innescata dall’introduzione del dingo. Tuttavia gli ultimi esemplari sopravvissero sino agli anni ‘30 del Novecento in Tasmania, dove la loro popolazione, a causa dell’habitat non ideale rappresentato dall’isola, probabilmente non fu mai molto numerosa. Lungo 180 centimetri dal naso alla punta della coda e alto al garrese 60 per un peso di circa 30 kilogrammi, possedeva un manto di colore marrone adornato da una serie di strisce nere, in genere da 13 a 20, che dalla base della coda si estendevano terminando poco prima delle spalle. Anche se l’aspetto generale ricordava quello di un canide, era un marsupiale e i suoi parenti viventi più prossimi animali come il diavolo della Tasmania (Sarcophilus harrisii) e il dasiuro maculato (Dasyurus maculatus). Non ci è dato di sapere molto sul suo comportamento in natura, ma a dispetto dell’immagine di animale feroce e aggressivo con la quale fu dipinto dai primi coloni europei (probabilmente anche a causa di una del-
26 le sue caratteristiche più salienti: poter spalancare le fauci oltre i 120 gradi, come si vede nell’immagine), era una creatura molto timida ed elusiva nei confronti dell’uomo. Gli esemplari catturati in genere non opponevano resistenza e in molti casi morivano subito dopo, apparentemente per via del forte shock. Il declino di questi predatori nella loro ultima roccaforte coincise con l’introduzione della pastorizia. Infatti nonostante poche prove al riguardo, il tilacino fu accusato di essere un feroce razziatore di bestiame domestico. Inoltre l’abbattimento delle foreste per favorire lo sviluppo agricolo ne causò la distruzione di gran parte dell’habitat. Nel 1886 il governo australiano varò una vera e propria campagna di sterminio che prevedeva il pagamento di una ricompensa per ogni esemplare abbattuto. Ventitré anni dopo le taglie riscosse ammontavano già a oltre 5.000. Ad aggravare la situazione subentrò poi un’epidemia con effetti paragonabili a quelli del cimurro. Nel 1910 le condizioni del tilacino erano talmente compromesse da indurre il governo a cessare gli abbattimenti, ma nonostante questo con il passare degli anni gli avvistamenti divennero sempre più sporadici. L’ultimo esemplare di cui si abbia ufficialmente notizia in natura fu abbattuto nel 1930 dal fattore Wilf Batty. Nel 1936, con imperdonabile ritardo, il tilacino fu dichiarato specie protetta, ma ormai l’ultimo esemplare conosciuto, al quale era stato dato il nome Benjamin, era confinato presso lo zoo di Hobart, dove morì poco tempo dopo.
27
PARTE 2
a
L’ELEVAMENTO A POTENZA Un’altra operazione molto importante in N è l’elevamento a potenza. Di che si tratta? Di un modo più semplice di scrivere numeri molto grandi o molto piccoli, hai mai sentito parlare di crescita esponenziale? E di distanze astronomiche? Conosci la misura di un batterio? ELEVAMENTO A POTENZA L’esponente indica il numero di volte che il fattore va moltiplicato per se stesso. Esponente Base a La base indica il fattore che deve essere moltiplicato per se stesso. Partiamo con un esempio. “Una biblioteca ha 4 corridoi destinati alla vendita dei libri. In ogni corridoio ci sono 4 scaffali. Ogni scaffale è composto da 4 ripiani. Su ogni ripiano vengono messe 4 confezioni sigillate di libri ed ogni confezione contiene 4 libri. Quanti sono in tutto i libri?” L’operazione risolutiva è 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024, cioè il fattore 4 moltiplicato per sé stesso 5 volte. Potremmo esprimere questa operazione anche così: 45 Un po’ di lessico. 4 si legge “quattro alla quinta” 5
esponente
45 = 1024
potenza
base
Anche le potenze godono di alcune proprietà: « Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. 34 x 35 = 34+5 = 39 « Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi. 24 x 34 = (2 x 3)4 = 64 « Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. 45 : 43 = 45-3 = 42
28 « Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi. 64 : 34 = (6 : 3)4 = 24 « Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti. (34)2 = 34 x 2 = 38
RICORDA
La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 1 è uguale al numero stesso: 51 = 5 La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 0 è sempre uguale ad 1: 50 = 1 Elevando un numero alla zero si ottiene 1 come risultato? Per esempio 30 = 1
PERCHE’?
Perché corrisponde al quoziente di due numeri uguali. 33 : 32 = 32 – 2 = 30 = 1 9:9=1 Applicando la proprietà fondamentale delle frazioni si arriva allo stesso risultato. 32 : 32 = 32/32 = 9 : 9 = 1 Ogni numero fratto se stesso è sempre uguale a uno. esercizi
1. Scegli il risultato corretto. 63 = 42 = 34 = 71 = 90 =
18 16 9 7 9
216 8 81 1 12
29 2. Scrivi il risultato applicando le proprietà delle potenze. 63 x 66 = 85 : 83 = 63 x 23 x 33 = (23)4 = 454 : 94 (65 x 64) : 63 = (42)4 x (42)3 = (78 : 73) x 74 = (32)5 : (33)3 = 3. Esegui le seguenti espressioni, applicando, quando possibile, le proprietà delle potenze e scrivi il risultato. a.
6 × 22 - 24 - 28 : 26 - 25 : 23 + 23 × 33 - 32 + 33 =
b. (44 : 43 + 62 - 20) : 4 + (2 × 2 + 23 : 22)2 = c. [(32 – 2) x 5 – 32] : 13 + [(34 : 3 + 5 ) : 24 + 16] : 18 = d. {[(42)3 : 44 ]2} :{(22)6 × [(1 + 1)2]5 : (23)6} – (22)2 = 100 = 1
ricordi... le potenze di 10?
101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 … 1010 = 10 000 000 000 Come vedi i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall'esponente. Le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale.
30 Consideriamo il numero: 4 567 703 1. proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale: 4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1 2. sostituiamo con la notazione esponenziale: 4 x 106 + 5 x 105 + 6 x 104 + 7 x 103 + 7 x 102 + 3 x 100 Proviamo la notazione esponenziale con numeri che terminano tutti con uno o più zeri. 80 000 000 000 = 8 x 1010 25 000 000 000 000 = 25 x 1012 (dopo le cifre 25 ci sono 12 zeri) 1 200 = 12 x 102 Le potenze ci permettono di scrivere anche numeri molto piccoli in modo semplificato attraverso la notazione esponenziale. ma… se ricordi 101 : 102 = 101-2 = 10-1 101 : 102 = 10 : 100 = 0,1 Quindi 0,1 = 10-1 0,01 = 10 -2 esercizi
1. Indica quali tra le seguenti potenze sono esatte e correggi quelle errate a. 103 = 1 000 b. 108 = 10 000 000 c. 105 = 10 000 d. 107 = 10 000 000 e. 10-3 = 0,0001 f. 10-2 = 0,01 g. 10-5 = 0,00001
31 2. Osserva la figura.
Utilizzando gli oggetti rappresentati, inventa un problema da risolvere con le potenze.
3. Indica se le seguenti uguaglianze sono corrette (V) o no (F). A
7 506 = 7 × 103 + 5 × 102 + 6 × 100
Vero
Falso
B
650 000 = 6 × 105 + 5 × 104
Vero
Falso
C
40 573 = 4 × 104 + 5 × 103 + 7 × 102 + 3 × 101
Vero
Falso
4. Indica se le seguenti potenze sono esatte (V) o no (F). A 102 = 10 000
Vero
Falso
B 106 = 10 000 000
Vero
Falso
C 109 = 1 000 000 000
Vero
Falso
D 10-1 = 0,1
Vero
Falso
E 10-2 = 0,001
Vero
Falso
32 5. Scrivi usando la notazione esponenziale i seguenti numeri. 843 000 = 250 000 000 = 6 100 000 000 000 = 0,0008 = 0,0000000006 = 6. Risolvi ora il seguente quesito: (prova INVALSI) La massa del pianeta Saturno è 5,68∙ 1026 kg, quella del pianeta Urano 8,67∙ 1025 kg e quella del pianeta Nettuno 1,02∙ 1026 kg. Metti in ordine i tre pianeti da quello di massa minore a quello di massa maggiore.
7. Osserva la figura.
(5 + 5) : 5 + 5 x 5 = 27
Riscrivi l’operazione utilizzando, dove puoi, le potenze.
33 8. Osserva la figura. Riscrivi l’operazione utilizzando dove puoi le potenze. (4 : 4 + 4) x 4 = 20
9. PER GIOCO
+
= ............ ;
+
+
= ............ ;
+
= ............
–
+
+
= ............ ;
= ............
= ............
34 10. Prova esperta. Osserva la figura.
Quelli che vedi, sono i libri antichi di uno scaffale di un settore in una biblioteca metropolitana (conta i libri). La biblioteca per testi di questo genere ha a disposizione tanti scaffali quanti sono i libri contenuti in quello rappresentato. « Quanti sono i libri in tutto?
11. Prova esperta. Osserva la figura.
Marco è un grande appassionato di libri sulla storia dell’architettura, all’interno del suo studio ne possiede n6. Sapendo che n rappresenta il numero di libri dell’immagine. « Calcola il totale dei libri di Marco.
35 RICORDA!
LA DIVISIBILITà
Possiamo dire che un numero x è divisibile per un numero y se x : y dà un numero intero senza resto. Se così è, possiamo dire che: x è divisibile per y, quindi x è un multiplo di y. y è un divisore di x, quindi y è un sottomultiplo di x. I multipli di un numero sono infiniti, mentre i sottomultipli sono in numero finito. I criteri di divisibilità stabiliscono se un numero è divisibile per un altro. Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari:
264 è divisibile per 2 380 è divisibile per 2 673 non è divisibile per 2
Un numero è divisibile per 3 se, sommando tutte le sue cifre otteniamo 3 o un suo multiplo:
111 è divisibile per 3 639 è divisibile per 3 542 non è divisibile per 3
Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono due “zeri” o sono multipli di 4:
200 è divisibile per 4 316 è divisibile per 4 531 non è divisibile per 4
Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 0 o 5: 35 è divisibile per 5.
35 è divisibile per 5 260 è divisibile per 5 139 non è divisibile per 5
36 RICO R il cri DA... ve Erato llo di stene
DA! RICOR tà per isibili la div 10; 100; ; 11; 25 0... 100
Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso: 7; 13: 17; 19…… 1. Utilizza il Crivello di Eratostene, per evidenziare, dopo aver applicato i criteri di divisibilità, i numeri primi da 2 a 100. 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Un aiuto: ….inizia con tutti i numeri pari tranne 2… poi i multipli di 3… etc Un numero che non sia primo, si dice composto: ad esempio 18 è un numero composto:
18 = 9 x 2 18 = 3 x 3 x 2
dri nn ...... ..!!! !
37 Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi. Il numero composto 18 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 3 × 2. Come possiamo ottenere la scomposizione in fattori primi di un qualunque numero, ad esempio 1200? 1200 2 × 5 Il n° 1200 risulta così scomposto nel prodotto dei seguenti fattori primi: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 da cui 24 × 3 × 52 120 2 × 5 12 2 Prova da solo a scomporre i numeri: 345; 2300; 280. 6 2 3 3 1
Utilizzando la fattorizzazione possiamo scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità. ü Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale. ü 45 : 15 45 = 3 × 3 × 5 15 = 3 × 5 45 è divisibile per 15, in quanto tutti i fattori che compongono 15 sono presenti con esponente uguale o minore nel 45. 1.
Rispondi alle seguenti domande:
ü Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b? ü Quando possiamo dire che un numero a è multiplo del numero b? ü Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b? ü Quando un numero si dice primo?
38 2. Al posto dei puntini inserisci “è divisibile per” oppure “è divisore di”. 54 ..................................................................... 9 4
..................................................................... 32
13 ..................................................................... 26 3 ..................................................................... 18 6
..................................................................... 24
8 ..................................................................... 4 3. Quali tra questi numeri sono divisibili per 2? 8371
5396
7958
1738
6417
1130
9907
5866
7512
5145
4. Quali tra questi numeri sono divisibili per 3? E quali sono divisibili contemporaneamente per 2 e per 3? 7431
818
2586
9021
8208
4171
8501
8515
3838
9113
6138
9008
1500
8112
5. Quali tra questi numeri sono divisibili per 4? 3336
7972
5331
8009
520
6532
39 6. Quali tra questi numeri sono divisibili per 5? E quali sono divisibili contemporaneamente per 4 e per 5? 7520
2028
1735
1340
6185
6575
8915
3635
7. Quali tra questi numeri sono divisibili per 11? 5577
4577
5500
3550
999
9119
8. In questa serie di numeri quali sono i numeri primi? 21
23
3
51
75
9. Scomponi in fattori primi: 235 – 640 – 564 – 6230
82
100
7
89
13
2
8800
9480
40 10. Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente. 756 e 63 7007 e 539 41503 e 539 3245 e 65
m.c.m. M.C.D.
m.c.m.
M.C.D.
m.c.m. M.C.D.
M.C.D. M.C.D.
m.c.m.
Che cos’è il Massimo Comune Divisore? Il Massimo Comune Divisore fra due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. Il Massimo Comune Divisore si abbrevia con M.C.D. Es: qual è il M.C.D. tra 24 e 32? Cerchiamo tutti i divisori di 24 D (24) = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) Cerchiamo tutti i divisori di 32 D (16) = (1, 2, 4, 8, 16, 32) I due numeri 24 e 32 hanno dei divisori comuni: 1, 2, 4, 8. Il maggiore di questi divisori è 8, quindi il M.C.D. (24, 16) = 8 Il M.C.D. può essere calcolato, agevolmente, con il metodo degli insiemi o con la scomposizione in fattori primi.
41 Esaminiamo il calcolo con il metodo degli insiemi. Vogliamo trovare il M.C.D. fra 55, 120 e 80. Elenchiamo tutti i divisori di 55. D (55) = (1, 5, 11, 55) Elenchiamo tutti i divisori di 120. D (120) = (1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30, 40, 60, 120) Elenchiamo tutti i divisori di 80. D (80) = (1, 2, 4, 5, 10, 20, 40, 80) Calcoliamo l’insieme dei divisori comuni, cioè l’insieme intersezione contenente gli elementi comuni ai tre insiemi precedenti. D (55) ∩ D (120) ∩ D (80) = {1, 5} M.C.D. (55, 120, 80) = 5
Esaminiamo il calcolo con il metodo della scomposizione in fattori primi. Se ne raccomanda l’utilizzo se i numeri sono alti. Scomponiamo in fattori i seguenti numeri: 81, 162, 243 da cui 81 = 34 162 = 34 × 2 243 = 34 × 3 Ora consideriamo i fattori primi comuni ai tre numeri e prendiamo una volta sola quello ad esponente minore. 34 34 è il M.C.D. dei tre numeri.
Con il metodo degli insiemi, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei divisori dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione dove l’elemento comune con il valore maggiore sarà il M.C.D.
Con il metodo della scomposizione in fattori primi, il M.C.D. tra due o più numeri, sarà il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta, con l’esponente più basso.
esercizi
1. Rispondi alle seguenti domande: « Che cos’è il M.C.D. fra due o più numeri? « Quando due o più numeri si dicono primi tra loro? 2. Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo della scomposizione in fattori primi. a) 60, 32, 48; b) 84, 42, 24; c) 65, 30; d) 10, 20, 30
42 3. Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico. a) 60, 32, 48; b) 84, 42, 24; c) 65, 30; d) 10, 20, 30;
4. Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi: a) 60, 85;
b) 452, 260;
c) 150, 675;
d) 78, 126, 214;
e) 324, 722, 686;
f) 180, 280, 680;
g) 180, 300, 500, 650;
h) 125, 225, 375, 405;
5. Prova esperta. Osserva e ragiona. A
B
C
Un editore vuole pubblicare, a fascicoli settimanali, la ristampa di tre antichi libri che hanno rispettivamente 400 (A), 384 (B) 320 (C), pagine. L’editore vuole che ogni fascicolo contenga lo stesso numero di pagine e che il numero totale dei fascicoli sia il maggiore possibile per coprire un arco di tempo maggiore. Calcola da quante pagine dovrà essere composto ciascun fascicolo.
43 6. Risolvi queste espressioni. 103 : (5 × 2)2 + 5 × 2 – (5 + 2 )0 = [(6 × 22 + 52) : (76 : 74)0] – 52 : 50 =
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati, escludendo lo zero. Esaminiamo ora il calcolo con il metodo degli insiemi. Vogliamo trovare il m.c.m. fra 5 e 15. Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 5. M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 ....} Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 15. M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …}
Con il metodo degli insiemi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei multipli comuni, si considerano gli elementi comuni e il m.c.m sarà quello, con il valore minore dell’insieme intersezione.
Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei due insiemi precedenti. M (5) ∩ M (15) = {15, 30, 45, ...} m.c.m. (5, 15) = 15 Con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si scompongono i numeri dati in fattori primi e il m.c.m. sarà il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente più alto.
Esaminiamo ora il metodo della scomposizione in fattori primi, Vogliamo trovare il m.c.m. fra 12, 16 e 18. Scomponiamo in fattori primi i tre numeri: 12 = 22× 3 16 = 24 18 = 2 × 32 il m.c.m. sarà: 24 × 32
144
44 esercizi
1. Che cos’è il m.c.m. fra due o più numeri?............................................................................... 2. Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:
a) 12, 24, 36; c) 15, 30, 45;
b) 12, 15, 60; d) 16, 32, 40;
3. Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 25, 40; c) 350, 550, 770;
b) 135, 315; d) 315, 216, 504;
4. Calcola il M.C.D. ed il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 360, 450, 720;
b) 270, 405, 540;
45 Problemi con M.C.D. e m.c.m. 5.Osserva e leggi il testo. In una piccola azienda agrituristica dell’Alto Adige si sono raccolti 150 kg di mele, 110 kg di pere e 200 kg di pesche. In occasione di una grande festa devono essere disposte in piccole ceste uguali, contenenti lo stesso tipo di frutta con lo stesso peso. Quanto peserà ogni cassetta? Quante cassette possono essere preparate?
6. Osserva e leggi bene il testo.
Alessandro, Laura, Nicolò e Beatrice percorrono più volte una pista di atletica leggera, partendo tutti e quattro dallo stesso punto e allo stesso momento. I quattro ragazzi non hanno però la stessa velocità, Alessandro ritorna al punto di partenza ogni 10 minuti, Laura ogni 9 minuti, Nicolò ogni 6 minuti e Beatrice ogni 4 minuti. Calcola dopo quanti minuti si ritrovano tutti insieme al punto di partenza.
46 7 Prova esperta
In una biblioteca ci sono vecchi libri da ordinare: 60 libri di filosofia, 45 libri di epica e 40 libri di letteratura russa. Si decide di sistemarli in parti uguali nel maggior numero possibile di scaffali che contengano ciascuno i tre tipi di libri. Quanti scaffali si dovranno usare? In ogni scaffale quanti libri di filosofia, epica e letteratura russa si dovranno mettere?
8. Prova esperta. Le classi II A e II B partono per una gita sulla neve, vengono contati 62 alunni. Gli alunni sono accompagnati da più insegnanti. Gli alunni di II A più gli insegnanti sono 32, gli alunni della II B più gli insegnanti sono 38. Calcola quanti sono gli insegnanti, gli alunni di II A e quelli di II B.
9. Prova esperta. Massimo, Sara e Lisa per una gita in montagna hanno comperato, al supermercato, una bottiglia di succo di mele, del pane, uva e della verdura. Hanno speso in tutto 16€. Sapendo che il succo di mele è costato 1€ più dell’uva, l’uva 2€ più del pane e il pane 1€ più della verdura. Quanto è costato ogni singolo alimento?
47 UN PO’ DI SVAGO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Orizzontali
Verticali
1/1: 9/3: 2/4: 13/4: 5/6: 1/7: 13/7: 2/10: 10/11: 1/12: 8/13: 12/13 1/14:
2/1: …notazione; 5/3: 51; 9/1: se x2= 9….x?; 14/1: lo è una frazione; 8/6: 4 × 8; 11/5: è formata da una base e un esponente; 12/11: 2 × 3;
il divisore in una frazione; la riflessione del suono; lo è quello di grandezza; Emirati Arabi; 22; sopra; sotto; antico strumento di calcolo; una parte della potenza; strumento per ingrandire o rimpicciolire; n0; ...uguale; numero razionale;
48 PILLOLE DI SAGGEZZA: IL TUATARA tratto e adattato da Wikipedia
foto 1 tuatara maschio (sphenodon punctatus)
Tuatara sono rettili endemici in Nuova Zelanda. Sebbene assomiglino alla maggior parte delle lucertole, fanno parte dell'ordine Rhynchocephalia. Il loro nome deriva dalla lingua Maori e significa "picchi sulla schiena". La singola specie di Tuatara è l'unico membro superstite del suo ordine, che prosperò circa 200 milioni di anni fa. Per questo motivo, i Tuatara sono interessanti per lo studio dell'evoluzione di lucertole e serpenti e per la ricostruzione dell'aspetto e delle abitudini dei primi diapsidi, un gruppo di tetrapodi amnioti che comprende anche dinosauri, uccelli e coccodrilli. I Tuatara sono marrone verdastro e grigio, e misurano fino a 80 cm, dalla testa alla coda e pesano fino a 1,3 kg con una cresta spinosa lungo la schiena, particolarmente pronunciata nei maschi. Hanno due file di denti nella mascella superiore che si sovrappongono su di una fila nella mascella inferiore, che è unica tra le specie viventi. Sono anche insoliti nell'avere un occhio fotorecettivo pronunciato, il terzo occhio, che si ritiene sia coinvolto nell'impostazione dei cicli circadiani e stagionali. Sono in grado di ascoltare, anche se non sono presenti orecchie esterne e hanno caratteristiche uniche nel loro scheletro, alcune delle quali apparentemente derivate dai pesci. Il Tuatara, insieme ad altri membri ormai estinti dell'ordine Sphenodontia, appartiene al superordine Lepidosauria, l'unico sopravvissuto all'interno di Lepidosauromorpha.
Squamates e Tuatara mostrano entrambi autotomia caudale (perdita della punta della coda quando minacciata) e presentano fenditure cloacali trasversali. Anche se tuatara assomigliano a lucertole, la somiglianza è superficiale, perché la famiglia ha diverse ca-
49 ratteristiche uniche tra i rettili. Tuatara è stato indicato come fossile vivente, e cioè un animale attualmente vivente che conserva ancora molte caratteristiche relative e proprie di rettili estinti. Tuttavia, il lavoro tassonomico su Sphenodontia ha dimostrato che questo gruppo ha subito una varietà di cambiamenti in tutto il Mesozoico. C'era anche un gruppo di successo di Sphenodontians acquatico noto come Pleurosauro, che differiva notevolmente dal Tuatara vivente, ma si è estinto.
Il Tuatara mostra adattamenti del clima freddo che gli consentono di prosperare sulle isole della Nuova Zelanda; questi adattamenti sono stati singolari per i Tuatara poiché i loro antenati Sphenodontiani vivevano nei climi molto più caldi del Mesozoico. I Tuatara sono animali notturni, che abitano in tane che accolgono un solo esemplare, e sono particolarmente attivi tra i 17°C e i 20°C (temperature ancora troppo basse per altri rettili). La loro attività è inoltre regolata dagli agenti atmosferici (ad esempio, dato che gli Sfenodonti soffrono molto la disidratazione, sono particolarmente attivi durante le giornate piovose dopo una lunga siccità). Il Tuatara trascorre le ore del giorno nelle cavità delle rocce, che spesso divide con una procellaria. Poiché lo spazio è poco, i due animali hanno imparato a vivere in comune: la procellaria costruisce il nido e il Tuatara, formidabile divoratore di insetti, provvede a tenerlo pulito. Così due animali molto diversi possono convivere in armonia. Durante la notte, invece, questo animale va a caccia delle sue prede principalmente vermi, lumache e insetti, ma non disdegna granchi o pesciolini arenati) in mezzo alle rocce o sulla spiaggia; per stanare il cibo scava la sabbia con le zampe anteriori o smuove le rocce nascoste. Lo Sfenodonte caccia tramite appostamento, catturando la prima preda commestibile che gli passa davanti: se questa è piccola, l'afferra con la lingua inghiottendola intera, mentre se è più grande e coriacea esso la smembra con i denti. Questo rettile, infatti è dotato di una sola fila di denti nella mandibola inferiore che si incastra con una
50 doppia fila di denti nella mandibola superiore. Durante l'inverno e la primavera si iberna, per risvegliarsi solamente all'inizio di giugno. Nella stagione riproduttiva i maschi delimitano il proprio territorio e si mettono in mostra per attirare eventuali compagne. Quando due maschi rivali si incontrano, possono confrontarsi con rituali e lotte. Nel primo caso, i Tuatara si allineano fianco a fianco spalancando lentamente la bocca e richiudendola con uno scatto. Se ciò non sortisce effetto, inizia la vera e propria lotta con morsi e trascinamenti. L'accoppiamento ha luogo tra la fine dell'estate e l'inizio dell'autunno australe (da gennaio a marzo). La femmina depone da 2 a 15 uova in una tana da essa scavata. Queste uova, lunghe circa 3 cm e rivestite di un guscio che pare pergamena, schiuderanno solo dopo 13-15 mesi. Le uova non contengono albume e il tuorlo riempie tutto il guscio. Così come nei coccodrilli, i piccoli Tuatara hanno sul muso una protuberanza (detta "dente da uovo") che li aiuta a fendere l'involucro dell'uovo per uscirne. I piccoli appena nati misurano da 15 a 17 centimetri di lunghezza. Il sesso dei nascituri dipende dalla temperatura dell'incubazione: le uova più calde tenderanno a far schiudere tuatara maschi, quelle più fredde tuatara femmine. Il Tuatara è il rettile con il più lungo periodo di crescita: questo rettile aumenta le sue dimensioni fino ai 35 anni di età. I Tuatara sono tra gli animali più longevi, i maschi infatti possono vivere per più di 100 anni. 1. Prova esperta. ”Il sesso dei nascituri dipende dalla temperatura dell'incubazione delle uova: le uova più calde tenderanno a far schiudere i tuatara maschi, quelle più fredde i tuatara femmine. Le uova incubate a 21 °C hanno una probabilità del 50% di essere sia maschio che femmina, ma già a 22 °C, si ha l'80% delle probabilità che il piccolo sia maschio. A 20 °C, c'è l'80% di probabilità che i piccoli siano femmine; a 18 °C tutti i piccoli saranno femmine”. In un incubatoio presso il dipartimento di Scienze Naturali, sono state raccolte 10.000 uova di Tuatara. Calcola il numero di Tuatara maschi e femmine che nasceranno con incubazioni alle differenti temperature. ( 18°; 20°; 21°; 22°).
51
PARTE 3a LE FRAZIONI Se suddivido in parti uguali un intero… lo fraziono, produco cioè parti uguali la cui somma mi ricostruisce l’intero. Il quadrato rappresentato è stato suddiviso in parti uguali, 25 quadrettini, ognuno dei quali compone la venticinquesima parte della figura intera. 25
1 o l’intero
25
1 rappresenta una sola parte su 25 25 o unità frazionaria Le unità frazionarie indicano quindi una sola delle parti in cui è diviso un intero. Osserviamo ora queste altre figure: La pizza qui rappresentata era stata divisa in 8 parti uguali, ne sono state consumate 3, quante parti rimangono da consumare? Possiamo contare 5 fette. Quindi
3
5 + 8 8 3
5 e 8 8
=1 sono frazioni.
La seconda pizza è stata divisa in 4 parti e ne abbiamo presa una. Quindi
1 4
e
1 4 3 4
+
3 4
=1
sono frazioni.
La frazione è quindi un operatore che divide un intero in parti uguali e ne considera alcune di esse.
52 Possiamo classificare le frazioni in: proprie, improprie, apparenti. Frazioni proprie
Guardiamo questi esempi. 3
8
e
5 8
sono frazioni proprie.
Una frazione è propria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza minore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni proprie perché il numeratore è minore del denominatore. Frazioni improprie
5 4
è una frazione impropria.
Una frazione è impropria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza maggiore di quella di partenza.
RICORDA
Riconosciamo le frazioni improprie perché il numeratore è maggiore del denominatore. Una frazione impropria origina sempre un numero misto. Frazioni apparenti 8 8
è una frazione apparente.
Una frazione è apparente quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza congruente o multipla di quella di partenza. +
Riconosciamo le frazioni apparenti perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
53 esercizi
1. Osserva la figura. Come classifichi le frazioni rappresentate in figura? Completa le parti mancanti.
6 4 ... 8 ... ...
2. Osserva la figura.
...
...
4
...
...
...
...
...
Come classifichi le frazioni rappresentate in figura? Completa le parti mancanti.
3. Osserva la figura. Come classifichi le frazioni rappresentate in figura? Completa le parti mancanti. 1
...
4
...
...
...
...
...
54 4. Osserva la figura. 9 4
Come classifichi le frazioni rappresentate in figura? Scrivi le frazioni complementari necessarie per ottenere gli interi di riferimento.
8 3 7 4 5. Prova esperta. Osserva la figura. 2 8
Anna vuole festeggiare il suo compleanno, per l’occasione ha preparato una crostata di mirtilli. Gli amici con i quali condividerla sono arrivati, due di essi si sono già serviti. Quanti amici di Anna possono ancora mangiare la torta?
6. Prova esperta. Osserva la figura.
,
Marco durante le vacanze ha visitato molte capitali e non ha mai perso l’occasione di trasformare dei particolari strutturali in esercizi di matematica. Marco ha notato che nella finestra considerata, sono da sostituire alcuni pezzi di vetrocemento rotti. Quale frazione rappresenta l’intero? Quante parti dell’intero sono da sostituire? Quante parti dell’intero sono ancora integre?
55 FRAZIONI COMPLEMENTARI
fig.1
fig.2 3
Osserva le figure. Nella figura 1 sono evidenziate 3 parti su 8 5
completare l'intero dovremo aggiungere 5 parti su 8 3
da cui
8
+
5 8
=
8 8
8
e per
8
1
Nella figura 2 sono rappresentate due pizze con delle parti mancanti. In entrambe ne manca la metà, ma in una tale quantità è rappresentata dalla frazione invece è rappresentata dalla sua equivalente 1 2
+
1 2
=
2 2
=1
2 4 2 4
1 2
e nell’altra
. +
2 4
=
4 4
= 1
Due frazioni sono complementari quando, operando con esse si ottiene l’intero di partenza. esercizi
1. Rispondi alle seguenti domande: Quando possiamo dire che due frazioni sono complementari? Fra le seguenti coppie di frazioni cerchia quelle complementari: 3/8 e 5/8; 5/10 e 5/10; 2/11 e 8/11; 4/9 e 5/9; 6/10 e 6/10; 4/7 e 3/7; 3/10 e 9/10; Quando possiamo dire che una frazione è propria? Quando possiamo dire che una frazione è impropria? Quando possiamo dire che una frazione è apparente?
56
2. Osserva la figura e rispondi alle domande. Considera l’insieme: Q+
Frazioni improprie Frazioni apparenti
Frazioni proprie
N
A{
4
;
7
;
7
;
7
;
15
;
12
;
13
;
7
;
17
5 2 10 10 5 12 8 17 9 e scrivi per elencazione i seguenti sottoinsiemi: B = {x/x ∈A ed è frazione propria} C = {x/x ∈ A ed è frazione impropria} D = {x/x ∈ A ed è frazione apparente}
Ora consideriamo le seguenti frazioni:
;
27 9
}
Nella figura 1 è rappresentata la frazione 2
mentre nella figura 2 è rappresen6 1 tata la frazione . 3 Come ben si nota tali frazioni indicano la stessa quantità, possiamo quindi dire che sono equivalenti. Fig.1
Ad esempio
18
fig.2
Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.
è una frazione riducibile perché posso dividere numeratore e denomina36 tore per uno stesso numero, 18, cioè il loro M.C.D. 1 18 : 18 = 1 36 : 18 = 2 la frazione ottenuta sarà e tale 2 frazione è irriducibile. 18 Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 36
57 Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini, significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile. 1x2 3x2
=
2 6
oppure
1x5 3x5
=
5
RICORDA
15
...godono della proprietà invariantiva! ü proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data. ü Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette utilizzi molto importanti. . ü Ad esempio permette di semplificare una frazione. ü Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.
esercizi
1. Rispondi alle seguenti domande. ü Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni? ü Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile? ü Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti 3/5; 6/10; 4/6; 3/2; 6/8; 12/16; 12/18; 18/12; ü Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili 22/32; 5/7; 4/12; 7/19; 6/24; 16/32; 28/56; 40/21; 6/13; 2/66 ü Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili 12/16; 6/9; 3/11; 9/19; 7/14; 7/5; 14/15; 8/24
58 RICORDA
La proprieta’ invariantiva serve sia per la riduzione ai minimi termini sia per trasformare due o piu’ frazioni nelle equivalenti a ugual denomimatore.
esercizi
1. Osserva la figura.
A quale frazione corrisponde la somma delle parti in figura? Quale è la frazione complementare?
2. Osserva la figura. Calcola quanti metri dello stesso percorso hanno già superato Martina e 450 metri Linda.
450 metri 3. Osserva le figure.
59 Scrivi a quale frazione corrisponde la parte colorata.
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI: ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Consideriamo la tavoletta formata da lego colorati e proviamo a sommare quelli di colore uguale. I rossi sono 4 su 12, i gialli sono 3 su 12, i blu sono 3 su 12, il bianco è 1 su 12 come il verde. riassumendo: 4 12
+
3 12
+
3 12
+
1 12
+
1 12
=
12 12
Possiamo ricavare la regola: La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore, è una frazione che avrà ancora lo stesso denominatore, mentre il numeratore sarà la somma dei numeratori.
fig.1
fig.2
fig3
Osserviamo ora le figure sopra rappresentate e proviamo a sottrarre le parti colorate dall’intero (parti colorate + parti senza colore). ü Fig. 1) è formata in totale da 6 parti, quindi ü Fig. 2) è formata in totale da 7 parti, quindi ü Fig. 3) è formata in totale da 8 parti, quindi
6 6 7 7 8 8
-
1 6 4 7 3 8
= = =
5 6 3 7 5 8
60 Possiamo ricavare la regola: La differenza fra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore, è una frazione che avrà ancora lo stesso denominatore, mentre il numeratore sarà la differenza dei numeratori. 1. Risolvi le seguenti operazioni: a)
d)
g)
1 3 20 27 7 8
1
+
5 1
–
+
+
1 2
=
b)
=
3 3 16
+
e)
1 4
–
15 32
4 5
+
7 8
–
1 2 3 4
+
–
5 6 1 20
=
c)
=
f)
5 12 4 5
+
–
7 9 2 25
+
–
7 18 1 15
+
1 6
=
=
=
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI: MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
Queste sono 16 mele, 3/4 di queste mele sono verdi, 1/4 sono invece rosse. Quante mele sono verdi? Quante mele sono rosse?
3 4
1 4
× 16 = 12
× 16 = 4
mele verdi
mele rosse
61 Dall’esempio possiamo ricavare una regola generale che vale per le operazioni di moltiplicazione con le frazioni: il prodotto di due o più frazioni è un’altra frazione che avrà per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. A... zioni D R a O RIC sono fr re 1. to ri inte omina ° n i den con
La divisione tra due frazioni deve essere trasformata in una moltiplicazione tra la frazione dividendo e l’inverso della frazione divisore. 5 7
:
25 14
=
5 7
×
14 25
=
70 175
=
2 5
La regola generale ci dice che: Per dividere due frazioni, si moltiplica la prima per l’inverso della seconda. Possiamo ora approfondire anche l’operazione di potenza con le frazioni: 3 5
2
=
9 25
da cui possiamo ricavare la regola:
Per calcolare la potenza di una frazione, occorre scrivere un’altra frazione che avrà per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore. Si utilizzano le proprietà delle potenze anche per le frazioni. RICORDA
Per calcolare un’espressione aritmetica con le frazioni, occorre ricordare ed utilizzare le stesse regole già apprese per le espressioni con i numeri naturali: ü semplificare le frazioni quando è possibile; ü calcolare prima le potenze; ü eseguire le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine con cui si presentano; ü eseguire addizioni e sottrazioni nell’ordine con cui si presentano; ü se ci sono parentesi, si eseguono prima le operazioni nelle parentesi tonde (con le precedenze indicate sopra), poi quelle nelle quadre ed infine quelle nelle graffe.
62 esercizi
1. Risolvi le seguenti espressioni:
3–
{[
[
15 4
1 2 –
1
+
–
6 2 3
1 4
+ 2–
[ {
+1 –
11
12
–
1 2 1 4
– 2–
2 3
[
=
=
2. Osserva bene le figure.
Al mercato della frutta, nella bancarella degli ortaggi, sono state vendute di prima mattina 1/3 delle cassette rappresentate, successivamente ne sono state vendute 1/4 delle rimanenti, nel pomeriggio, infine, sono state vendute i 5/6 di quelle rimaste. Quante cassette sono state vendute negli intervalli di tempo? Quante cassette sono rimaste invendute?
3. Osserva la figura. Al compleanno di Martina, Mauro mangia 1/4 di torta, Lisa ne mangia invece la metà di quella di Mauro. Carlotta mangia una quantità di torta pari al doppio di quella di Lisa. Martina mangia 3/12 della stessa torta. Quanta torta rimane da mangiare?
63
4. Risolvi il problema. La bottiglia contiene 5 litri di olio. Ne sono stati consumati 2 litri e 3/4, successivamente sono stati consumati i 7/4 del rimanente. Quanto olio è rimasto?
5.Prova esperta. Osserva la figura e conta gli elementi. Nella cassetta di frutta a fianco le mele hanno tutte la stessa massa, ogni arancia ha la stessa massa di una mela più 50 gr.; ogni kiwi aggiunto alla sua metà pesa come una mela. Il peso complessivo della cassetta è di 3 chili più 850 gr. La tara è di gr. 200. Quanto pesano le arance, i kiwi, le mele?.
6. Risolvi le seguenti espressioni.
1+
5−
3 5 2 4
: 1− −
3 5
{ [ 18
27
:
×
1 36 3 5
+
+ 5 15
5 8 −
+
25 30
1 2 :
: 10 15
9 24 :
=
18 20
[{
=
64
{[ {[
2
3
3 10 8
+
3
×
2 3 9
−
[[
3
:
14 24
8
1 2 :
4
:
25 30
1 2 −
4
[ { [
16
24
−
1 4
×
2
+2= 1 5
−
1 6
{
3
–
1 5
3
=
7. Prova esperta.
Alessandra e Lisa molto spesso compiono lunghe passeggiate a cavallo sulle colline intorno a casa. Alessandra monta il suo pony Withe Star, Lisa il suo cavallo Courage. La copertura sul terreno di un tempo di galoppo di un pony è pari a due terzi di quella di un cavallo. Il tempo di galoppo di un cavallo copre una distanza di 9 metri. Calcola quanti tempi di galoppo occorrono a Withe Star per compiere un tragitto di 3600 metri, ed esprimi il risultato come potenza. Calcola quanti tempi di galoppo occorrono a Courage per compiere il medesimo tragitto, ed esprimi il risultato come potenza.
65
8. Osserva la figura.
Ogni vasetto rappresentato contiene 1/4 di litro di yogurt. Quanto yogurt sarà contenuto in 50 vasetti?
9. Prova esperta.
10. Risolvi il problema
Calcola il contenuto, in litri di latte delle bottiglie a fianco rappresentate, sapendo che la più piccola ha una capacità pari ai 2/3 della seconda, questa ha una capacità pari ai 2/3 della terza, la terza ha una capacità di 1,6 litri.
Tre amiche per giocare tagliano da una corda un pezzo lungo 6 metri, che corrisponde ai 3/7 della corda intera. Calcola la misura della corda intera.
66 PILLOLE DI SAGGEZZA: LA MEDUSA PiU’ PERICOLOSA AL MONDO Box jellyfish o Cubomedusa: la medusa più velenosa del mondo adattato da: natura e animali salute.
La Box Jellyfish o Cubomedusa è la medusa più pericolosa del mondo per l’uomo: le tossine che inietta nel nostro corpo quando veniamo in contatto con i suoi tentacoli, portano ad arresto cardiaco e morte in pochissimo tempo. I sopravvissuti raccontano di aver provato dolore lancinante per settimane e riportano evidenti cicatrici. Come riconoscere queste particolari meduse?
foto 1
La Cubomedusa, Cubozoa, Box Jellyfish o Vespa di mare, è la medusa più letale del mondo per l'uomo. Possiamo incontrarla nell'Oceano Indiano e Pacifico, ma anche nell'Atlantico, in California, in Nuova Zelanda, in Australia e in Giappone. Ecco cosa c'è da sapere sulla Cubomedusa. Perché si chiama Cubomedusa: La Cubomedusa, chiamata anche ‘vespa di mare', è una medusa trasparente che prende il suo nome dalla forma della sua campana a sezione quadrangolare (la testa). Possiede fino a 15 tentacoli che possono raggiungere anche i 3 metri di lunghezza e ognuno di questi è coperto da circa mezzo milione di cnidociti ( le meduse infatti sono dei cnidari o celenterati) che contengono gli organi urticanti che arpionano la preda e iniettano il veleno che le rende così pericolose. I pericoli della Cubomedusa:
67 Queste meduse posseggono un veleno, o biotossina, che raggiunge immediatamente il cuore, il sistema nervoso e le cellule della pelle. Il dolore che provocano quando si attaccano ad una persona è lancinante e porta a shock, le vittime muoiono quindi per annegamento o per insufficienza cardiaca in pochissimo tempo. I sopravvissuti raccontano di aver provato dolori forti anche le settimane successive all'incontro con la Cubomedusa e riportano cicatrici evidenti nei punti in cui si sono avvolti i tentacoli. Meduse “intelligenti”
Queste meduse hanno sviluppato una grande capacità di movimento e riescono a raggiungere anche notevoli velocità in acqua. Su ogni lato della campana, le Cubomeduse hanno sei occhi, ognuno dei quali dotato di lente sofisticata, retina, iride e cornea, anche se non hanno un sistema nervoso centrale: per questo gli scienziati non sanno ancora come sia organizzato il loro spazio visivo.
68 GLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI 1° Per un ripasso: La geometria studia la forma, la grandezza e la posizione degli oggetti materiali che ci circondano. Gli enti geometrici fondamentali sono tre: il punto, la retta ed il piano.
Il punto geometrico: non ha alcuna grandezza, ma solo una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto. • A • B Un insieme infinito e continuo di punti che hanno sempre la stessa direzione costituisce una retta. La retta ha un’unica dimensione: la lunghezza.
Il piano è un insieme continuo ed infinito di rette, privo di spessore, con due sole dimensioni: lunghezza e larghezza. Per indicarlo si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, δ, ...).
69
PROPRIETA’ DEGLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI Per un ripasso: Per un punto passano infinite rette.
Assioma della retta. Per due punti passa una ed una sola retta.
70 Per una retta passano infiniti piani.
B
A
C
Per tre punti non allineati passa un solo piano.
Le posizioni reciproche di due rette. Due rette complanari che si incontrano in un punto si dicono incidenti.
r s P
71 Due rette complanari che non si incontrano mai si dicono parallele.
Due rette incidenti che formano 4 angoli di 90° si dicono perpendicolari. Due rette non complanari che non hanno alcun punto in comune si dicono sghembe.
esercizi
Quante e quali sono le dimensioni della retta? Quante rette passano per un punto?
72 Quante rette passano per due punti? Quante e quali sono le dimensioni di un piano? Disegna tre punti A, B e C in un piano ω, se tali punti appartengono tutti alla stessa retta, come devono essere? Disegna tre rette a, b, c appartenenti allo stesso piano e che godano di queste proprietà a∩b∩c=A
Come sono tra loro le rette?
Disegna tre rette a, b, c appartenenti allo stesso piano e che godano di queste proprietà a∩b∩c=∅
Come sono tra loro le rette?
Guarda la figura e completa le uguaglianze:
a ∩ b = ….. d ∩ c = ….. a ∩ d = ….. b ∩ c = …..
“La semiretta è una parte della retta che ha un punto di origine ed è infinita”.
Il segmento è una parte della retta compresa tra due punti chiamati estremi del segmento.
73 Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune solo un punto: l'estremo. A
B
Estremo comune
C
Due segmenti sono invece adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, appartengono alla stessa retta. A B C
r
Una linea formata da più segmenti consecutivi può essere definita SPEZZATA. Una SPEZZATA può essere aperta, chiusa, intrecciata aperta e intrecciata chiusa. esercizi
1. Disegna due semirette opposte a due semirette con la stessa origine, ma non opposte.
74 2. Osserva le immagini e rispondi. C
B
A
G
B
M
F
I
E
L
C A
D
H
1) Come sono tra loro AB e BC? 2) Come sono tra loro AB e BC? 3) Come sono tra loro DE e FG? 4) Come sono tra loro HL, LI, IM?
3. Osserva le immagini e rispondi. a)
b)
d)
Come classifichi le figure riprodotte?
c)
75 4. Rispondi alle domande. Come definisci una semiretta? Come definisci un segmento? Quando due segmenti si dicono congruenti? Cosa significa AB < CD ? Cosa significa AB > CD ?
5. Osserva la figura e risolvi i quesiti.
La somma (S) dei due segmenti a e b è uguale a 35 cm. La loro differenza (D) e uguale a 5 cm. Quanto misurano i due segmenti?
76 6. Osserva la figura e rispondi.
12 cm
A
B
C
D
Quanto misurano i segmenti AB e CD?
7. Osserva la figura e rispondi
AB - CD = BD
A
B
A C
D
C
D
B
Il segmento AB misura 15 cm, il segmento BD è la sua terza parte. Quanto misurano i due segmenti?
8. Osserva la figura e rispondi. C D
Quanto misurano i due segmenti?
B
A 24 cm
77 9. Osserva la figura e rispondi. A
La somma dei segmenti AB + CD + EF è di 1700 mm.
B
C
Quanto misurano i tre segmenti? Trasforma il risultato in cm.
D 300
E
F 300
500
UN PO’ DI SVAGO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2
3
4
5
6
7
Orizzontali 1/1: parte di una retta; 10/1: …infiniti punti allineati; 1/4: si applica per ridurre ai minimi termini una frazione; 1/6: …quello geometrico; 3/8: 15/5; 8/8: spazio compreso tra due rette incidenti; 5/10: due rette che non si incontrano mai; 3/13: le parti opposte di una retta che originano da un punto; 1/14: 24/12;
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticali 1/1: la metà di un cerchio; 9/2: perpendicolari; 12/1: termine di cronologia geologica; 14/1: postulato; 4/3: una dimensione di una figura piana; 6/3: ente geometrico fondamentale; 3/11: …di simmetria; 5/10: numero senza divisori tranne se stesso e uno; 14/11: 9/9;
78
PARTE 4a ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI 2° Gli angoli Due semirette aventi la stessa origine, dividono il piano in due parti, tali parti prendono il nome di angoli. L’angolo è dunque una delle due parti di piano determinate da due semirette con la stessa origine e giacenti sullo stesso piano. Le due semirette diventeranno i lati, mentre il punto di origine si chiamerà vertice.
Gli angoli si dicono convessi se non contengono il prolungamento dei lati e concavi se, invece, li contengono.
angolo concavo
angolo convesso
Attenzione: ecco come si possono indicare gli angoli. b A
angolo angolo angolo angolo angolo
O B a
Ô, angolo aÔb, angolo α, angolo AÔB, angolo ab, angolo
Ǒ ; aǑ b; β; A ǑB; ba;
79 L’angolo ha una sola dimensione: l’ampiezza (non ha spessore, né lunghezza né larghezza). Può anche essere indicato con una lettera dell’alfabeto greco. Un angolo, secondo l’ampiezza, può essere: « Giro = 360° (i lati sono semirette coincidenti). « Piatto = 180° (i lati sono semirette adiacenti). « Retto = 90° (i lati sono semirette tra loro perpendicolari). « Acuto = minore di 90°. « Ottuso = maggiore di 90°.
Due angoli inoltre sono: « Consecutivi, se hanno in comune un vertice ed un lato.
b
a
c
O
« Adiacenti, se sono consecutivi ed i due lati non comuni appartengono alla stessa retta. b
a
O
c
« Opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte. b
c O a
d
80 esercizi
1. Completa: L’angolo è una delle due parti di ......................... determinata da due ......................... aventi la stessa origine e giacenti sullo stesso ......................... . Il punto di origine si dice ......................... e le due semirette diventeranno i ......................... . 2. Osserva e rispondi. c)
a)
Come classifichi gli angoli rappresentati?
b) e) d)
a
A
O B
b
ü ü ü ü ü
a) ................................ b) ................................ c) ................................ d) ................................ e) ................................
Due angoli consecutivi possono essere: complementari se: α + β = 90°; supplementari se α + β = 180°; esplementari se : α + β = 360° RICORDA
esercizi
1. Rispondi alle domande. Due angoli si dicono congruenti quando .................................................................................... Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è .............................................. Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è ................................................ Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è .................................................. Una coppia di angoli acuti possono essere supplementari? .................................................. Perché? ............................................................................................................................................. 2. Calcola l’ampiezza dell’angolo α. 1.
3. 2.
81 Sapendo che: nel disegno 1) β misura 38°............................................................................................................ nel disegno 2) β misura 102°......................................................................................................... nel disegno 3) β misura 100° ........................................................................................................ 3. Osserva le figure e risolvi. ,
Angolo ottuso
Angolo acuto
B B
O O
Calcola l’angolo differenza e l’angolo somma, sapendo che l’ angolo acuto di uguale ampiezza in entrambe le figure misura 43°.
A
A
4. Osserva la figura e rispondi. Calcola il valore dell’angolo aOd, multiplo secondo il numero 3 dell’angolo aOb. L’angolo aOb è la quarta parte di un angolo retto.
.
5. Osserva la figura e rispondi
Calcola e costruisci l’angolo somma BAC + EDF, sapendo che l’angolo EDF misura 123° ed è il doppio aumentato di 33° rispetto all’angolo BAC.
82 Calcola l’angolo differenza cOd sapendo che l’angolo aOd misura 75° e l’angolo aOb misura 33°.
6. Osserva la figura e rispondi. d
c b
O
a
7. Osserva la figura e rispondi.
Calcola il valore degli angoli α, β, γ, δ sapendo che l’angolo β misura 35°.
RETTE PARALLELE TAGLIATE DA TRASVERSALE Due rette parallele appartenenti allo stesso piano ed una terza retta incidente ad entrambe, formano 8 angoli che a coppie godono di alcune proprietà: r
1 2 3 4 5 7
a
6 8
b
83 RICORDA L’angolo 1 è congruente all’angolo 4 perché angoli opposti al vertice; è congruente all’angolo 8 perché angoli alterni esterni; è congruente all’angolo 5 perché angoli corrispondenti. L’angolo 3, è congruente all’angolo 2 perché angoli opposti al vertice; è congruente all’angolo 6 perché angoli alterni interni; è congruente all’angolo 7 perché angoli corrispondenti. In sintesi: 1≡4≡5≡8 2≡3≡6≡7 Gli angoli 3, 5 e gli angoli 4, 6 sono coniugati interni supplementari. Gli angoli 1, 7 e gli angoli 2, 8 sono coniugati esterni supplementari. esercizi
1. Osserva la figura. Definisci correttamente ogni coppia di angoli.
2. Osserva la figura.
Gli angoli in E ed in F sono alterni interni uguali, misurano 48°. Calcola l’ampiezza di tutti gli altri.
84 I POLIGONI
RICORDA Si definisce poligono la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata chiamata Poligonale.
Poligono E ora un po’di lessico.
Non poligono
Non poligono
Completa le seguenti proposizioni con le corrette definizioni sotto riportate. (contrassegnate con 1,2…etc): I lati di un poligono sono .............................................................................................................. I vertici di un poligono sono ......................................................................................................... Gli angoli interni di un poligono sono ....................................................................................... La diagonale di un poligono è .................................................................................................... Il perimetro di un poligono è ....................................................................................................... 1. Il segmento che collega due vertici non consecutivi. 2. I segmenti che formano la linea spezzata. 3. La misura della spezzata che fa da contorno. 4. Gli estremi dei segmenti. 5. Gli angoli formati da due segmenti consecutivi.
85 RICORDA « In un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati. « Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero. « Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo. « Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare. « Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo. Inoltre in ogni poligono: « la somma degli angoli esterni è sempre 360°; « la somma degli angoli interni segue la regola (n° lati – 2) angoli piatti.
I TRIANGOLI RICORDA
Un poligono con 3 lati e 3 angoli si chiama triangolo. La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè 180°.
Possiamo classificare i triangoli sulla base della congruenza dei lati o l’ampiezza degli angoli. Secondo i lati Acutangolo
Rettangolo
Ottusangolo Secondo gli angoli
Scaleno
Isoscele
Equilatero
86 Inoltre... A) Definizione di altezza (segmento perpendicolare ad un lato e che ha origine dal vertice opposto), poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze. In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro. O = Ortocentro
B Definizione di bisettrice (semiretta che partendo dal vertice opposto ad ogni lato divide l’angolo a metà), poiché un triangolo ha 3 vertici e tre angoli , le bisettrici di un triangolo saranno sempre 3. In ogni triangolo le tre bisettrici si incontrano in un unico punto detto incentro, che essendo equidistante da ciascun lato è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. I = Incentro
C) Definizione di mediana ( segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto), poiché un triangolo ha 3 lati , le mediane di un triangolo saranno sempre 3. In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro.
B = Baricentro
87 D) Definizione di asse (retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio), poiché un triangolo ha 3 lati, gli assi di un triangolo saranno sempre 3. In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro, che essendo equidistante da ogni C vertice è il centro della circonferenza circoscritta. T = Circocentro
N
R
A
T
B
M
esercizi
1. Risolvi utilizzando il grado angolo. 26° 12’ 25” + 6° 10’ 35”= 26° 50’34” + 39° 15’40”= 62° 59’ 44” – 12° 32’ 47”= 70°15’ 14” – 40° 29’ 35”= 120° 20’ 22” x 3= 56° 26’ 36” x 5= 67° 32’ 20” : 5= 34° 16’ 24” : 3=
RICORDA... poligoni concovi e convessi!
2. Osserva:
C
Che cosa rappresenta la figura? Giustifica la tua risposta, per questo triangolo notevole.
88 3. Osserva la figura. C
Che cosa rappresenta la figura? Giustifica la tua risposta. S
T
I
A
R
B
4. Osserva la figura. Che cosa rappresenta la figura? Giustifica la tua risposta.
C
T
A
S G
R
B
5. Disegna un triangolo che sia contemporaneamente isoscele e rettangolo.
6. Osserva la figura. Che cosa rappresenta la figura? Giustifica la tua risposta.
89 7. Calcola la misura del terzo angolo. C F 60°
A 80°
I
B 25°
E
D
G 120°
H 40°
8. Prova esperta. Osserva la figura. Questo triangolo equilatero è suddiviso in triangoli equilateri più piccoli, la sua base ne conta 4. Il lato di ogni triangolino misura 2 cm. Calcola il perimetro del triangolo. Da quanti triangolini sarà composto un triangolo equilatero che alla base ne conta 8?
9. Risolvi il problema. In un triangolo scaleno gli angoli interni sono uno il doppio, uno il triplo dell’angolo minore.
C
Quanto misurano gli angoli?
A
B
90 10. Risolvi il problema. C
In un triangolo isoscele la base misura 7 cm, il perimetro invece misura 27 cm. Calcola quanto misurano i lati del triangolo.
A
B
11. Risolvi il problema. C
Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 86 cm e un cateto è lungo 23 cm. Calcola la lunghezza dell’altro cateto, sapendo che la mediana relativa all’ipotenusa misura 18,5 cm. La mediana relativa all’ipotenusa è uguale alla metà dell’ipotenusa stessa.
B
A
12. Risolvi il problema. C
A
RICORDA
B
D
F Il lato del triangolo equilatero ABC è congruente alla base del triangolo isoscele DEF, che ha un perimetro di 86 cm. I lati congruenti del triangolo DEF misurano 35 cm. E
Calcola il perimetro del triangolo equilatero.
91 I QUADRILATERI I quadrilateri sono poligoni con 4 lati, 4 vertici e 4 angoli (ricorda le regole dei poligoni per stabilire il numero di diagonali e l’ampiezza degli angoli interni). Nell’insieme Q dei quadrilateri convessi, troviamo innanzitutto il sottoinsieme dei Non trapezi (se non hanno lati paralleli ) e il suo sottoinsieme T dei trapezi (se hanno due lati opposti paralleli).
Non trapezi Q
trapezi
Non trapezi Q
trapezi
Parallelogrammi
Nel sottoinsieme dei parallelogrammi, troviamo poi l’ulteriore sottoinsieme dei Rettangoli che sono parallelogrammi equiangoli, (hanno 4 angoli retti) e il sottoinsieme dei Rombi (che sono parallelogrammi equilateri e hanno 4 lati uguali).
Non trapezi
Q
Parallelogrammi
Quadrati
Q
Non trapezi
trapezi Parallelogrammi
Rettangoli
Rombi
Come puoi vedere l’insieme dei Rettangoli e quello dei Rombi, hanno degli elementi comuni: si tratta di parallelogrammi equiangoli (4 angoli retti) ed equilateri (4 lati uguali), avrai sicuramente capito che si tratta dell’insieme dei Quadrati.
trapezi
Rettangoli
Nell’insieme T dei trapezi troviamo poi il sottoinsieme P dei parallelogrammi (se hanno le due coppie di lati opposti paralleli e congruenti).
Rombi
92 esercizi
1. Che cos’è un quadrilatero? ü ü ü ü ü
RICORDA... i quadrilateri hanno due diagonali.
Qual è la misura della somma degli angoli interni di un quadrilatero? Qual è la misura della somma degli angoli esterni di un quadrilatero? Quante diagonali in tutto possiamo tracciare in un quadrilatero? Quante diagonali partono da ciascun vertice? Stabilisci con quali di queste lunghezze, riferite a 4 segmenti, è possibile costruire un quadrilatero. a. 3, 6, 8, 13; b. 6, 8, 10, 28; c. 11, 9, 6, 17; d. 11, 16, 10, 39;
2 In un quadrilatero gli angoli possono essere tutti e 4 acuti? Tutti e 4 retti? Tutti e 4 ottusi? Giustifica la tua risposta. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 3. Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno 4 angoli retti? Trapezio rettangolo Trapezio isoscele Romboide Rombo Quadrato Rettangolo 4. Osserva la figura e risolvi. Calcola il valore delle ampiezze degli angoli interni nel rombo rappresentato in figura.
93 5. Osserva la figura e risolvi. D
Calcola il perimetro della figura sapendo che la base minore misura 12 cm.
C
A
B
6. Osserva la figura e risolvi.
Nel trapezio ABCD la somma delle ampiezze dei due angoli adiacenti alla base maggiore misura 136° e la loro differenza è di 42°. Calcola l'ampiezza degli angoli del trapezio.
7. Osserva la figura e risolvi. D C La diagonale minore divide il rombo in due triangoli equilateri aventi ciascuno il perimetro di 69 cm. Calcola il perimetro del rombo.
A
B
8. Osserva la figura e risolvi. Una dimensione del rettangolo rappresentato è il doppio del lato del quadrato avente il perimetro di 62 cm. Sapendo che il perimetro del rettangolo è di 93 cm, calcola la misura: Del lato del quadrato. Dei lati del rettangolo.
94 9. Osserva la figura e risolvi.
Un quadrato, un rettangolo e un rombo, sono isoperimetrici. Sapendo che le dimensioni del rettangolo sono una un quarto dell’altra e la loro somma è di 25 cm, calcola le dimensioni: Del Rettangolo Del quadrato Del rombo
10. Prova esperta: Si rende necessario sostituire i rettangoli di vetro che compongono la vetrata di un capannone industriale. Le dimensioni della vetrata sono 2 metri e 85 cm; 1 metro e 90 cm. Ogni pezzo di vetro costa 18,00 €. Calcola le dimensioni dei singoli pezzi di vetro. Calcola la spesa complessiva.
11. Prova esperta:
Il quadrato in vetrocemento è formato da singoli pezzi di vetro quadrati. Il perimetro di ogni singolo pezzo misura 48 cm. Il costo di ogni elemento è di 34.50 €. Calcola il perimetro del muro in vetrocemento. Calcola la spesa complessiva da sostenere per costruirne tre uguali a quello rappresentato.
95 PILLOLE DI SAGGEZZA:
Il volo "da fagiano" di Archaeopteryx tratto e adattato da Science Photo Library / AGF) Questo animale bizzarro vissuto nel Giurassico volava attivamente, sia pure per brevi tratti e con uno stile differente da quello degli uccelli odierni. Lo ha scoperto una ricostruzione 3D della struttura delle sue ossa, simili a quelle di uccelli come i fagiani, e della sua anatomia, forma e struttura alare. Archaeopteryx era in grado di volare attivamente, quindi non sfruttava le sue ali solo per planare. Tuttavia il suo stile di volo era differente da quello evoluto dagli uccelli di oggi. Gli uccelli moderni discendono da dinosauri estinti appartenenti al gruppo dei tetrapodi, ma molte domande sulla loro evoluzione iniziale e sullo sviluppo della capacità di volo non hanno ancora ottenuto una risposta chiara. Fra queste vi era una domanda sulla capacità di volo attivo, ossia ad ali battenti, ben più impegnativo del semplice volo planato, di Archaeopteryx, vissuto circa 150 milioni di anni fa, il più antico rappresentante del lignaggio da cui hanno avuto origine anche gli uccelli moderni, sebbene da un ramo evolutivo collaterale. L'analisi dei dati ottenuti e il loro confronto con quelli relativi a un'ampia serie di animali estinti (compresi gli pterosauri, dinosauri volanti evolutivamente ben più distanti dagli uccelli moderni rispetto ad Archaeopteryx) e viventi ha inoltre mostrato un forte somiglianza fra le ossa Archaeopteryx e quelle di uccelli che, come i fagiani, usano occasionalmente il volo attivo per superare ostacoli o sfuggire ai predatori; le ossa di Archaeopteryx differiscono però da quelle utili per il veleggiamento, un adattamento tipico di molti rapaci e di alcuni uccelli marini che restano in aria per periodi anche molto lunghi. "Per rispondere alla domanda su come questa icona dell'evoluzione usasse le ali, dovremo studiare ancora più fossili". Un risultato però è chiaro: Archaeopteryx è un rappresentante della prima ondata di strategie di volo dei dinosauri, che alla fine è andato estinto, lasciando in corsa solo il tipo di volo che possiamo osservare oggi.
96
Prova esperta: Analizza le varie figure dell’Arcaeopteryx, rileva e descrivi particolari strutture anatomiche non più esistenti negli uccelli attuali, soprattutto riguardanti il becco, le ali e la coda. Ricerca nel vocabolario il significato di Ornitischi; Saurischi.
e z n a c a V t a M à di questo « Le prove esperte, le vere novit come la matemamanuale. Esse mirano a dimostrare in Saper fare, tica permetta di tradurre il Sapere strette fra la maalfine di favorire relazioni sempre più tematica e la quotidianità. strutturati come un « Gli esercizi di ripasso sono atico, partendo gioco di allenamento matem nda. dalla osservazione di ciò che ci circo ico e allo stesso « Con un linguaggio chiaro, sintet piante rare e tempo accattivante, si conosceranno finanche al animali in via di estinzione, risalenti mesozoico. lla con le soluzioni di Per il docente: una guida agile e sne gli esercizi proposti.
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Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato) è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art 17 c. 2 L.633/1941). Esente da I.V.A. (D.P.R. 26/10/1972, n° 633, art.2 lett. d). Esente da bolla di accompagnamento (D.P.R. 6/10/1978, n° 627, art.4 n°6).
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