Tiziana Zampese
MatVacanze Matematica e Scienze ü ü
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Novità esclusiva: proposte di prove esperte. Non solo regole, ma anche relazioni matematica/ vita reale. Scienza, come conoscenza di animali in via di estinzione e piante rare.
Tiziana Zampese
MatVacanze Matematica e Scienze
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Redazione: Mario Carpinelli Progetto grafico, impaginazione e copertina: Anna di Ianni
L’attenzione e la cura necessaria per la realizzazione di un libro spesso non sono sufficienti a evitare completamente la presenza di sviste o di piccole imprecisioni. Invitiamo pertanto il lettore a segnalare le eventuali inesattezze riscontrate. Ci saranno utili per le future ristampe. Tutti i diritti sono riservati ©2019 www.lanavedeisogni.com info@lanavedeisogni.com è vietata la riproduzione dell’opera o di parti di esse con qualsiasi mezzo, comprese stampa, fotocopie e memorizzazione elettronica se non espressamente autorizzate dall’Editore. Nel rispetto delle normative vigenti, le immagini che rappresentano marchi o prodotti commerciali hanno esclusivamente valenza didattica. L’Editore è a disposizione degli aventi diritto con i quali non è stato possibile comunicare, nonché per eventuali omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti. Ristampa 6 5 4 3 2 1
2024 2023 2022 2021 2020 2019
3 PARTE 1a
indice
La numerazione decimale I numeri razionali Esercizi I numeri decimali finiti Esercizi I numeri periodici Esercizi Prove esperte Le radici Le operazioni di radice Uso delle tavole nel calcolo di radice Esercizi Proprietà delle radici Esercizi Un po' di svago
5
17
PARTE 2a
Rapporti e proporzioni I rapporti Esercizi Le proporzioni Proprietà delle proporzioni Esercizi Prova esperta
25
Le funzioni e la loro rappresentazione Funzione matematica e funzione empirica Esercizi I rompicapo Un po’ di svago Pillole di saggezza: l’equiseto
38
PARTE 3a
Le figure geometriche: perimetri e aree
49
4 I triangoli Esercizi La formula di erone Esercizi I quadrilateri Prova esperta Le isometrie Le trasformazioni sul piano cartesiano Esercizi Un po' di svago Pillole di saggezza: il diavolo della tasmania .
60
PARTE 4a
Il teorema di pitagora Dimostrazione e approfondimento Esercizi Applicazione del teorema di pitagora Esercizi Prove esperte Un po’ di svago Prova esperta: la goccia d'acqua I teoremi di euclide (primo e secondo) Esercizi Prove esperte
65
La circonferenza e il cerchio Esercizi I poligoni inscritti Triangoli e quadrilateri Poligoni circoscritti Triangoli e quadrilateri I poligoni regolari Esercizi Prove esperte Un po' di svago Pillole di saggezza: il celacanto Pillole di saggezza: ritorno al Triassico
78
71
5
PARTE 1a LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI Nell’insieme dei numeri naturali N non sempre la divisione tra due numeri interi dà come risultato un numero interno ad N. Esempio: 10 : 2 = 5; 22 : 11 = 2; 49 : 7 = 7 hanno un quoziente che appartiene ad N, mentre 7 : 2 = 7/2; 11 : 22 = 1/2; 5 : 9 = 5/9 non hanno un quoziente che appartiene ad N, ma possono essere scritte sotto forma di frazione. L’insieme che racchiude tali numeri si chiama Insieme dei numeri razionali o frazionari positivi e si indica con Q+. In breve possiamo dire che l’insieme N, è un sottoinsieme di Q+ e si scrive: N ⊂ Q+ Quindi da una divisione tra due numeri interi diversi da zero, posso ottenere tre tipi di numeri razionali: ü I numeri naturali 16 : 4 = 4 ü I numeri decimali limitati 7 : 2 = 3,5 ü I numeri decimali illimitati 10 : 3 = 10/3 o 11 : 6 = 11/6 numeri razionali
Frazioni proprie e improprie
frazioni apparenti
numeri naturali
numeri decimali
limitati
Periodici semplici
illimitati
Periodici misti
6 esercizi
1. Calcola a mente il risultato delle seguenti divisioni, scrivilo nello spazio apposito, ed indica con una crocetta l’insieme corretto di appartenenza N o Q+. operazioni 16 : 4
risultato
N
Q+
=
operazioni 81 :9
=
23 : 22 =
81 :9
=
56 : 6
169 : 13 =
=
100 : 1 =
48 : 8 =
55 : 11 =
144 : 12
risultato
N
Q+
2. Completa la tabella inserendo i numeri in modo corretto.
22,1 - 45 - 0, (3) - 67 - 12, 7(31) - 89,5 - 19 - 8 - 32, 5 (12) - 56,9 - 33,5 - 1, (2) - 7, 3 (27) - 15, (3) numero naturale
numero decimale
numero decimale illimitato
limitato
periodico semplice
periodico misto
Il momento dello svago: in montagna. Osserva le immagini di alcune sezioni di tronco sulle quali si sono aperte delle crepe. Considerando le linee principali, scrivi la frazione corrispondente per ogni parte fissurata.
fig.1
fig. 1 fig. 2 fig. 3
fig.2
il tronco risulta formato da .................................. parti il tronco risulta formato da .................................. parti il tronco risulta formato da .................................. parti
fig.3
7 I NUMERI DECIMALI FINITI Come riconoscere una frazione generatrice di un numero decimale finito. Una frazione sarà generatrice di un numero decimale finito se, ridotta a forma normale, presenta un denominatore formato dal prodotto dei fattori 2 e 5 da soli o insieme. quindi otterrò come risultato 2,75 Esempio 11/4 sarà 11 : 22 Come trasformare un numero decimale finito nella sua frazione generatrice. Per trasformare un numero decimale finito nella sua frazione generatrice bisogna trascrivere al numeratore il numero decimale senza la virgola, ed al denominatore un numero formato da 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola. Subito dopo se possibile bisogna ridurre la frazione ottenuta, ai minimi termini. Esempio: 2,75 sarà 275/100
ovvero
275
ridotta a forma normale 11/4. 100 Ricordati che una frazione decimale è una frazione che ha al denominatore il numero 10 o una sua potenza! esercizi
3. Riconosci quali delle seguenti frazioni generano un numero decimale finito. a) b)
7 4 12 25
=
c)
=
d)
18 6 9 5
=
e)
=
f)
7 15 21 30
= =
4. Trasforma le seguenti frazioni nelle equivalenti decimali. a) b)
13 5 21 25
=
c)
=
d)
19 20 73 125
= =
e) f)
76 250 9 15
= =
5. Risolvi la seguente espressione. 34,5 - {[ 2,5 x (1 + 4 x 5,25) + 7 x (5,2 : 4 + 2,5) – 5,6] : 38} =
8 I NUMERI PERIODICI Come riconoscere una frazione generatrice di un numero periodico semplice o misto. Periodici semplici Una frazione generatrice di un numero periodico semplice, ridotta in forma normale, presenta un denominatore che scomposto in fattori primi, risulta il prodotto di qualsiasi fattore ad eccezione di 2 e 5, da soli o insieme. N° periodico semplice = Parte Intera, (periodo)
1,(5)
generato da 14/9
14/9 = il denominatore 9, scomposto, diventa 32, quindi 3 x 3 e genererà un periodico semplice. Periodici misti Una frazione generatrice di un numero periodico misto, ridotta in forma normale, presenta un denominatore che scomposto in fattori primi risulta il prodotto di qualsiasi fattore con 2 e 5, da soli o insieme. N° periodico misto = Parte intera, Antiperiodo (Periodo)
2,2(3) generato da 67/30
67/30 = il denominatore 30, scomposto, diventa 2 x 3 x 5, quindi genererà un periodico misto. Come ottenere una frazione generatrice partendo dal numero periodico semplice o misto. La frazione generatrice di un periodico: a) semplice Si scrive una nuova frazione che avrà al numeratore la differenza tra il numero periodico trascritto senza la virgola e tutto ciò che precede il periodo, al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Esempio:
1,(5) =
15 – 1 9
=
14 9
b) misto Si scrive una nuova frazione che avrà al numeratore la differenza tra il numero periodico trascritto senza la virgola e tutto ciò che precede il periodo (compreso l’antiperiodo), al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
9 Esempio:
1,5(31) =
1531 – 15 990
=
1516 990
È infine sempre necessario semplificare. Se si vogliono eliminare le numerose cifre decimali di un numero bisogna seguire la tecnica dell’arrotondamento: a) scelgo a quale cifra dopo la virgola devo fermarmi, se quella successiva è 5; 6; 7; 8; o 9 dovrò aumentare di 1 la cifra scelta; se invece la successiva è composta da 0; 1; 2; 3; 4; o 5 non dovrò modificare nulla. Il primo arrotondamento viene chiamato “per eccesso” il secondo “per difetto”.
esercizi
1. Riconosci quali frazioni elencate nella tabella sottostante sono le generatrici di un numero periodico semplice o misto. Ricordati di semplificare! n° periodico semplice
frazione
n° periodico misto
1/3 17/15 22/46 111/30 2. Risolvi le seguenti espressioni.
a) 1 –
1+
1
2 2x5
=
b)
1+
1 4
×
1 3
Ricordati di trasformare il risultato nel numero decimale corrispondente!
:
1 6
=
10 3. Completa e risolvi:
0,(3)
+
0,1(3)
1/3 + 12/90 ...
:
28/25
= ... =
...
Ricordati di semplificare! Trasformare il risultato nel numero decimale corrispondente! 1,(3)
+
0,(6)
2,(3)
–
1,(4)
21/9 – 13/9
12/9 + 6/9 ...
.................. : = ...
=
..................
Ricordati di semplificare! Trasformare il risultato nel numero decimale corrispondente!
4. La moltiplicazione di un numero naturale qualsiasi diverso da 0, per 0,4 darà come risultato un numero… a)
pari alla metà del numero di partenza;
b)
pari ad un quarto del numero di partenza;
c)
pari ai due quinti del numero di partenza;
d)
pari al quadruplo del numero di partenza;
11 5. Risolvi il seguente problema. La famiglia di Marco ha affittato per le vacanze in montagna una piccola malga. Marco è un appassionato di giochi matematici, durante le sue lunghe passeggiate trova il modo di inventarne, utilizzando incredibili suggerimenti naturali.
Un prato di margherite!
1
2
Marco camminando ha osservato una piantina di margherite con 7 bottoni fiorali ben evidenti, fig.1 e si è domandato quante piantine uguali a quelle osservate sono necessarie per ottenere un prato omogeneo come quello rappresentato in fig.2, considerando che il particolare del prato fotografato è la milionesima parte del prato reale. Ricordati di approssimare!
12 6. Marco ha osservato e fotografato uno scorcio di un altro prato, durante le sue passeggiate. Prova a determinare quanti sono i fiori gialli o i fiori viola. Calcola le frazioni corrispondenti alla loro quantità. (ricorda che il totale dei fiori è l’unità). Utilizza la quantità di fiori presenti dell’unità d’area rossa, nell’unità gialla come misura standard, calcola la media delle due, utilizza questo dato per ipotizzare il numero di fiori presenti nello scorcio di prato.
7. Osserva le due finestre di un ricovero per bovini:
1
2
La signora Anna proprietaria della masseria, mentre le sue bovine sono al pascolo, ha ripulito le finestre adiacenti alla mangiatoia. Il lavoro però non è ancora concluso. Calcola in frazione la parte mancante, trasformala in percentuale. Se Anna ha impiegato 25 minuti per ripulire la prima parte, quanto tempo in tutto sarà necessario per eseguire il lavoro? Per trasformare una frazione in percentuale basta eseguire la divisione e scrivere il risultato come una frazione in centesimi 1/5 = 0,20 = 20/100 = 20%
13
8. Prova esperta. Le bovine della signora Anna sono di razza Simmenthal o pezzata rossa, producono circa 13 litri di latte ad ogni ciclo di mungitura ciascuna. In una giornata si compiono due cicli di mungitura. La signora Anna ne possiede 20. Tre di queste bovine non sono in lattazione, (asciutta), altre due sono manze che non hanno ancora partorito. Quanto latte produce mensilmente l’azienda della signora Anna? Se il latte prodotto venisse venduto a 50 centesimi il litro, quale sarebbe il ricavo della signora Anna?
9. La moltiplicazione di un numero naturale qualsiasi diverso da 0, per 0,5 darà come risultato un numero… a)
pari al doppio del numero di partenza;
b)
pari alla metà del numero di partenza;
c)
pari ad un quinto del numero di partenza;
d)
pari a cinque volte il numero di partenza.
10. Risolvi l’espressione dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali. [( 1 – 0,(3) )2 : ( 1 + 0,(3) )2 ] x 1,25 =
14 11. Risolvi l’espressione dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali. 3,(2) + 2,0(5) x [ 18,6 – (0,5 x 2,8 – 1,2) + 3,2 : 2] x 0,(135) – 8,(7) = 12. Risolvi l’espressione dopo aver trasformato in frazione i numeri decimali. [( 0,5 + 0,(6) – 0,25) x 2,4] : ( 0,25 + 0,(3) – 0, 41(6) – 3,2 = 13. Quando un numero si dice “Razionale Assoluto”: a)
Quando è formato solo dalla parte intera.
b)
Quando è decimale.
c)
Quando è trascrivibile sotto forma di frazione.
d)
Non esiste nei numeri questa distinzione.
14. Calcola la radice dei seguenti numeri utilizzando le tavole numeriche. N° naturale
radice
N° naturale
144
998.001
10.000
2.500
505.521
19.600
662.596
484
6.561
7225
855.625
841
921.600
900
15. Dati i due numeri 81 e 36, scrivi e calcola: a)
La differenza dei loro quadrati.
b)
La differenza delle loro radici.
c)
Il quadrato della loro differenza.
d)
La radice della loro differenza.
radice
15 16. Prova esperta. Risolvi il problema. Un terreno è per il 3/5 coltivato ad ortaggi, il resto è edificato con abitazioni rurali e ricoveri per animali ed attrezzi. La superficie agricola misura 6000 m2. Quanto misura la superficie edificata? Il terreno è circondato da 20.000 m2 di bosco. Quale è il rapporto tra le superfici?
1
2 17. Risolvi il seguente problema. Una bottiglia di olio d’oliva, da tre quarti di litro, direttamente acquistata al frantoio, costa 3,75 €. Quanto costerà una bottiglia da litro dello stesso olio? Quanto costeranno 6 damigiane da 5 litri dello stesso olio?
16 18. Osserva e risolvi: Quanti saranno i quadretti colorati: 2)
3)
1)
4)
ü Nella 7a configurazione? ü Nella 8a configurazione? ü Nella n-esima configurazione?
19. Osserva e rifletti: 1+3=
.................
1+3+5=.
................
1+3+5+7=. 1+3+5+7+9=
................
Cerca la regola… pensa al valore ottenuto di volta in volta, della somma 1 + 3 + 5 +……..
.................
20. Risolvi il problema: Un pezzo di formaggio di 650 grammi contiene il 29% di proteine, il 30% di grassi, l’1% di calcio. Calcola il loro peso in grammi.
21. Prova esperta: risolvi il seguente problema. Ogni tassello di legno che forma la superficie rettangolare di questo bancale misura 6 cm. Calcola l’area complessiva dei tasselli di legno costruendo un’ espressione con le potenze.
17 OPERAZIONI DI RADICE
L’operazione di radice è una delle due operazioni inverse della potenza. In una operazione di potenza si legge 52 = 25; 53 = 125. La prima indica che il quadrato di 5 è uguale a 25, la seconda che il cubo di 5 è uguale a 125. Se invece fosse necessario sapere da quale numero, elevato al quadrato, ottengo 25 o elevato al cubo ottengo 125, allora debbo considerare l’operazione inversa o estrazione di radice. Esempio:
√25 = 5;
3
√125 = 5.
Nel primo caso si tratta della radice quadrata di 25; nel secondo caso si tratta della radice cubica di 125 3 esponente
√125 = 5
radice
radicando Segno di radice
Il numero 125 si era infatti ottenuto dal prodotto 5 x 5 x 5 = 125; L’esponente invece ci indica quante volte la radice è stata moltiplicata per ottenere il radicando. Nelle radici quadrate l’esponente normalmente non viene scritto. Esistono invece radici come la radice terza o cubica, radice quarta e così via, dove l’esponente deve sempre essere indicato. esercizi
1. Completa la tabella con le operazioni di potenza e le rispettive inverse. potenza
… = 81 132 = …3 = 343 106 = 1000000 25 = 2
radice
√81 = √… = 3 √… = 6 √… = 5 √… =
18 uso delle tavole numeriche per il calcolo della radice. All'interno del tuo libro di testo sono riportate le tavole numeriche dei primi mille numeri, così organizzate: In prima colonna, con indicazione n, sono riportati i numeri naturali da 1 a 1000; in seconda colonna con simbolo n2 sono riportati i quadrati di quei numeri; in terza colonna sono riportate le radici quadrate dei numeri con simbolo √n scritti in prima colonna; in terza colonna sono riportate le radici cubiche degli stessi numeri con simbolo 3√.
Ricorda: tienile sempre con te I risultati delle radici dei primi 1000 numeri si possono leggere direttamente in terza colonna, partendo da sinistra verso destra. Se invece il numero del quale dobbiamo calcolare la radice è superiore a 1000, bisogna controllare se compare in seconda colonna, allora la radice sarà leggibile in prima colonna da destra verso sinistra. Ricorda! I numeri in seconda colonna sono quadrati perfetti, se il numero del quale dobbiamo calcolare la radice non vi compare non è un quadrato perfetto, per calcolarne la radice dobbiamo approssimarne il risultato tra il quadrato perfetto antecedente e quello conseguente.
Esempio 600 < n < 1681 se n fosse 1645 si calcola così √ : 1600 < √1645 < √1681 40 < n < 41 e cioè 40 < 40,6 < 41 Sopra il segno di radice a volte è presente l’indicazione 0,1; 0,01; 0,001…ecc. relativa alla cifra decimale considerata per il calcolo approssimato di una radice, nel primo caso ci fermeremo ai decimi, nel secondo caso ai centesimi, nel terzo ai millesimi e così via. esercizi
1. Risolvi le seguenti espressioni: a) (√6)4 =
b)
0,9 0,02 x 5
=
c)
2. Quale numero può prendere il posto della x ? 3x = 32 2+ x a) b) =3
252 – 2 x 52 5
c)
4x
x
+ 29 =
=1
Proprieta’ delle radici. Come riconoscere un quadrato perfetto con il metodo della scomposizione in fattori primi. Ogni numero naturale composto è a sua volta scomponibile in fattori primi, una volta eseguita tale scomposizione osserva gli esponenti dei fattori che lo compongono, se sono tutti pari allora il numero considerato è un quadrato perfetto.
19 a) L’operazione di potenza e quella di radice con lo stesso esponente, sul medesimo radicando si annullano a vicenda. 2
√52 = 5 ;
Esempi:
( √6 ) 2
22
= 36
( √ 36( 2
2
= 36
in generale
2
√n2 = n
b) La radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici dei singoli fattori. 2
2
2
√4 x 9 =
Esempio:
√4 x √9
=2x3=6
c) Il prodotto di due radici è uguale alla radice del prodotto dei due radicandi. 2
2
√25 x √4
Esempio:
2
2
√ 25 x 4 = √100 = 10
=
d) La radice di un quoziente è uguale al quoziente delle singole radici del dividendo e del divisore. 2
2
2
√81/36 = √81 : √36 = 9/6 = 3/2
Esempio:
e) Il quoziente di due radici è uguale alla radice del quoziente dei due radicandi. Esempio:
2
2
2
2
√ 45 : √ 5 = √45/5 = √ 9 = 3
esercizi
1. Risolvi applicando le proprietà delle radici. ü 26 x √121/169 = ... ;
ü
√4 x 36 = ... ;
ü
√4 x 8 + √6 x 4 – √64 =
ü
ü Un terzo di
√ 3 x √ 15 x √ 5
√9
=
=
2. Con la formula √(h/5) si possono calcolare quanti secondi un oggetto in caduta libera impiega ad arrivare a terra se cade da h metri di altezza. Quanti secondi circa impiegherà Alessandra a raggiungere la superficie dell’acqua tuffandosi a bomba da un trampolino fisso dall’altezza di 10 metri?
20 3. Scomponi in fattori primi il radicando, estrai tutti i fattori con esponente pari, indica il risultato applicando le proprietà delle potenze. Ricorda √12 = √4 × √3 = √2² × √3 = 2 × √3
«
√300 =
«
√ 100×400 =
« √2000 =
«
√
121 144
x 81 =
4. Calcola il valore delle seguenti espressioni arrotondando il risultato come indicato. 0,1 3 5 7 1 1 1 1 + – : 1+ + : 2+ x 1– = 4 3 6 2 12 4 12
√( √[(
1
7
5
(( ( ( (
2
( [(
((
[[ ( ((
([
5 5 3 2 :3– : : 1–1+ x1– 4 4 14 8 4 4 3 2 5. Risolvi il seguente problema: :
+
+
3
([
=
Arturo deve frenare improvvisamente per evitare un gatto, la sua frenata è di 4 metri. Per calcolare a che velocità andava la macchina, bisogna applicare la formula: v = 13 × √s, dove v = velocità in km/h, s = spazio in metri dell’impronta di frenata. Se il limite era di 20 km/h, Arturo viaggiava entro tale limite?
6. Risolvi il seguente problema: Lisa, una biologa marina, osservando nella vasca dei pesci carnivori la cattura delle prede, ha formulato un quesito enigmatico. 2 Il peso del pesce più grande è √390.625, i pesi dei più piccoli sono a loro volta le radici quadrate dei radicandi ottenuti. Quanto pesa il pesce più piccolo? Considera il peso in ettogrammi.
21
7. Risolvi il seguente problema: Una piscina a forma quadrata ha un’area di 49 m2 a tutto pieno. Quanto misura il bordo della piscina? La piscina è circondata da un bordo a mosaico, i cui lati superano di 2 m quelli della piscina. Quanto misura la superficie piastrellata? Se i tasselli del mosaico costano 83€ al metro quadro, quanto è costata la pavimentazione?
8. Prova esperta: risolvi il seguente problema: Marco deve sostituire i tasselli in vetro-cemento di un punto luce del suo cottage, deteriorati da un corpo contundente. Lo spazio occupato dalla struttura in vetro-cemento misura 64 cm di lunghezza e 47 cm di altezza. Gli spazi tra le piastrelle o “fughe” misurano 1 cm di spessore. Quanto misura la sola superficie dei tasselli? Se un tassello costa 22 €, quanto spende Marco se li sostituisce tutti? Se solo quelli deteriorati? Quanto risparmierebbe?
22 UN PO’ DI SVAGO
Cruciverba. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
«1/1 verticale: lo sono i numeri positivi; 4/2 verticale: lo è un numero con il periodo; 2/9 verticale: il n° primo pari; 6/8 verticale: una delle operazioni inverse alla potenza; 10/8 verticale: il cubo di 2; 10/1 verticale: il denominatore di tutti i numeri naturali; 9/2 verticale: raggi ultravioletti; 14/5 verticale: tavole per il calcolo; 10/8 verticale: il punto triplo dell’acqua; 9/5 verticale 1kg diviso in 10; 3/12 verticale: monossido di carbonio. 12/2 verticale: Au in chimica; 1/12 verticale: ione ossidrile. «3/3 orizzontale: un numero preceduto da un segno; 1/5 orizzontale: numero frazionario; 11/13 orizzontale: il quadrato di 3; 4/8 orizzontale: inverso di razionale; 1/10 orizzontale un n° alla terza; 5/13 orizzontale: 5x4; 9/2 orizzontale: A U B; 3/13 orizzontale: formula base idrocarburi; 5/1 orizzontale: la radice della radice di 81.
23 PILLOLE DI SAGGEZZA
IL DIAVOLO DELLA TASMANIA o diavolo orsino.
Tratto e adattato da: Informazione ambiente.it
Il diavolo della Tasmania può ricordare un cane piccolo anche se in realtà è un mammifero marsupiale. Si tratta di un carnivoro, il quale ha una grande testa e una pelliccia scura color nero. Fisicamente si presenta come un piccolo predatore, infatti i maschi raggiungono gli 8 kg circa di peso. Dispone di una coda spessa e allo stesso tempo ruvida, un animale timido ma territoriale. Conosciuto anche come “diavolo orsino” è in grado di sostenere una velocità di circa 13 km/h. Ricordiamo che come abbiamo detto in precedenza non è un grande mammifero, infatti il maschio leggermente più grande della femmina può arrivare a misurare fino a 65 centimetri di lunghezza. Ma se si dimostra timido e non è neppure un grande predatore, perché questo nome bizzarro? Pare che i primi colonizzatori europei durante la notte sentivano strani rumori, urla e ringhi che non si rivelavano affatto rassicuranti. Questo dava a pensare che vi fossero delle creature diverse dalle altre, forse qualcosa che l’uomo non aveva mai visto prima. Ma in realtà non c’era nessun demone o diavolo nascosto, ma ben sì questo piccolo marsupiale dall’aspetto tenero. Il diavolo della Tasmania attualmente è una specie protetta Il diavolo orsino può nutrirsi di bacche e frutta, tuttavia resta un’animale carnivoro. Tra le sue prede possiamo trovare pecore giovani, piccoli canguri, ratti etc. Si adatta molto bene a quello che trova, per esempio un’animale malato o addirittura una carogna possono essere cibo interessante e quindi da prediligere in mancanza di altro.
24 Il diavolo della Tasmania si ciba anche di pesce. In base alla zona cambia la sua alimentazione, sulle coste principalmente consuma pesci morti o piccoli animali rimasti intrappolati nella sabbia. Addirittura il diavolo della Tasmania mangia animali domestici, infatti nelle zone urbane entra facilmente nelle abitazioni, si accontenta anche della spazzatura all’occorrenza. Questo mammifero marsupiale si trova in tutta la Tasmania, terra appunto da cui prende il nome. Anche l’isola vicina che prende il nome di “Robbins
Island” è abitata da questo grazioso animale. Ricordiamo che nei momenti di bassa marea, l’isola si collega grazie a un ponte di terra che riemerge. Gli esperti sono propensi a credere che il diavolo della Tasmania prediliga le aree temperate della Tasmania nord-occidentale. Anche se così fosse, gli avvistamenti avvengono un po’ ovunque dalle foreste, alla costa fino ai centri urbani.
25
PARTE 2
a
I RAPPORTI I confronti tra grandezze devono stabilire quante volte una grandezza è maggiore di un’altra o quante volte è contenuta in un’altra. l’operazione di riferimento per la prima valutazione è la sottrazione perché si evidenzia una differenza, nel secondo caso invece l’operazione di riferimento è la divisione, perché si evidenzia un rapporto. Esempio: 1) Paolo ha 10 figurine più di Luca. Esempio: 2) il lato di un rettangolo è il triplo della sua altezza/e viceversa. Nel caso 1) le due grandezze devono essere necessariamente dello stesso tipo, quindi omogenee. Nel caso 2) invece, le grandezze possono essere omogenee, ( metri/metri) ma anche non omogenee (spazio/tempo). I due termini di un rapporto si chiamano antecedente e conseguente. Se nel rapporto rispetto il loro ordine ne ottengo uno diretto, se scambio i termini, invece, ne ottengo uno inverso. antecedente conseguente antecedente Rapporto Diretto:
12 : 3 = 4
oppure
12/3 = 4
conseguente Rapporto Inverso:
3 : 12 = 0,25
oppure
3/12 = 0,25
Ricorda: il rapporto diretto o inverso tra un numero e se stesso è sempre 1. esercizi
1. Dati i seguenti rapporti trasformali nel loro inverso. Rapporto diretto
Rapporto inverso
Rapporto diretto
12/4
5/3
44/11
10
7/21
26/13
150
8/16
81/9
56/7
Rapporto inverso
26 2. Prova esperta. In una scuderia ci sono 200 cavalli, 30 sono yearlings, di questi 10 sono femmine e 20 sono maschi; 60 sono puledri di 3 anni, di cui 40 maschi e 20 femmine, 80 sono cavalli di 4 anni, di cui 60 maschi e 20 femmine, 30 sono cavalli anziani (con più di 4 anni) di cui 25 sono maschi e 5 sono femmine. Calcola i rapporti dei cavalli: a) età rispetto al totale; b) per sesso in ogni fascia d’età; c) in totale. Tot. horses Yearlings 3 years old
4 years old
Over
200 200 200 200 Male Female Tot. horses
Male Female Male
Male Female
Male Female Female
Come quantifichi il rapporto tra cavalli maschi e femmine in questa scuderia?
Maschi quasi il doppio delle femmine.
Femmine quasi il doppio dei maschi.
Maschi la metà delle femmine.
Parità tra maschi e femmine.
27 3. Quali tra queste frasi sono relative ad un rapporto tra grandezze? a)
Questi stivali costano il doppio dei tuoi.
si
no
b) Alessandra è più alta di Lucia.
si
no
c)
Via Roma è meno lunga di via Pisa.
si
no
d)
Mancano 10 minuti all’incontro.
si
no
e)
Beatrice è alta il doppio di Maria.
si
no
f)
Marco ha vinto il triplo dei premi di Ugo.
si
no
g) Carlotta ha 45 libri meno di Lisa.
si
no
h)
si
no
Il formaggio ha 14 parti su 100 di proteine.
4. Una banca dà l’interesse del 5% l’anno. Se si depositano 2000,00€, quanti soldi ci saranno in tutto dopo 5 anni?
5. In una covata di pulcini si sono schiuse il 46% circa delle uova. Quante uova, in percentuale, devono ancora schiudersi? (Osserva la figura) Quanti saranno i pulcini in totale?
28 6. La percentuale. Calcola le percentuali relative alle figure e collegale alle seguenti tabelle.
……%
……%
……% 7. Prova esperta. Calcola il prezzo dei seguenti materiali di scuderia e abbigliamento per l’equitazione, sapendo lo sconto applicato e il prezzo iniziale.
Sella 1400 € Coperta da Briglia 85 € - 5%
Sottosella 90 € cadauno - 10%
Stivali 650 €
poddok 85 €
- 20%
- 10%
- 35%
Sottopancia 90 €
Mangiatoia 60 €
- 15%
- 15%
29
LE PROPORZIONI
Una proporzione è una eguaglianza tra due rapporti. 3
Esempio:
4
=
12 16
oppure 3 : 4 = 12 : 16
E si legge: “tre sta a quattro come dodici sta a sedici” antecedenti medi
3 : 4 = 12 : 16 conseguenti
estremi
1°membro
=
2° membro
In una proporzione se uno dei termini è incognito, la sua risoluzione sarà una equazione. Esempio:
3 : x = 12 : 16
quindi x =
3 x 16 12
x=4
Proprieta’ delle proporzioni. Proprieta’ fondamentale: In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 3 : 4 = 12 : 16
4 × 12 = 3 × 16
48 = 48
Proprieta’ dell’invertire: In una proporzione se inverto ogni antecedente con il suo conseguente ottengo ancora una proporzione. 4 : 3 = 16 : 12
3 × 16 = 4 × 12
48 = 48
30 Proprieta’ del permutare: In una proporzione se scambio tra loro i medi o gli estremi o entrambi ottengo ancora una proporzione. 3 : 12 = 4 : 16
o
16 : 4 = 12 : 3
12 × 4 = 3 × 16 12 × 4 = 16 × 3
48 = 48 48 = 48
4 × 12 = 16 × 3
o
16 : 12 = 4 : 3 48 = 48
Proprieta’ del comporre: In una proporzione la somma dell’antecedente con il suo conseguente, del primo membro, sta all’antecedente o al conseguente come la somma dell’antecedente con il suo conseguente, del secondo membro, sta all’antecedente o al conseguente. (3 + 4) : 3 = (12 + 16) : 12 (3 + 4) : 4 = (12 + 16) : 16 7 : 3 = 28 : 12 3 × 28 = 7 × 12 7 : 4 = 28 : 16 4 × 28 = 7 × 16 Proprieta’ dello scomporre: In una proporzione la differenza tra l’antecedente e il suo conseguente, del primo membro, sta all’antecedente o al conseguente come la differenza tra l’antecedente e il suo conseguente, del secondo membro, sta all’antecedente o al conseguente Attenzione! Con lo scomporre devo poterlo fare, altrimenti preparo la proporzione applicando la proprietà dell’invertire. 3 : 4 = 12 : 16 che diventerà 4 : 3 = 16 : 12 (4 – 3) : 4 = (16 – 12) : 16 1 : 4 = 4 : 16 1 × 16 = 4 × 4
(4 – 3) : 3 = (16 – 12) : 12 1 : 3 = 4 : 12 1 × 12 = 3 × 4
Risoluzione di una proporzione con un termine incognito: Nelle proporzioni con un termine incognito, per procedere alla risoluzione bisogna considerare se il termine incognito è un medio o un estremo. Se il termine incognito è un medio, la sua soluzione sarà: prodotto degli estremi fratto l’ altro medio. Se il termine incognito è un estremo, la sua soluzione sarà: prodotto dei medi fratto l’altro estremo. 3 : x = 12 : 16
x=
3 x 16 12
3 : 4 = 12 : y
y=
4 x 12 3
31 Le proporzioni continue. Sono definite continue quelle proporzioni che presentano lo stesso valore o per i medi o per gli estremi, dove i medi prenderanno il nome di medio proporzionale e gli estremi di quarto proporzionale.
27 : 9 = 9 : 3
92 = 27 × 3
9=
27 × 3
In una catena di rapporti la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente. x : 10 = y : 8 = z : 6 dove
(x + y + z) : (10 + 8 + 6) = x : 10 (x + y + z) : (10 + 8 + 6) = y : 8 (x + y + z) : (10 + 8 + 6) = z : 6
Sarà necessario sapere la somma delle incognite per poterle definire.
esercizi
1. Osserva i numeri dati e dopo aver applicato la proprietà fondamentale delle proporzioni verifica che tali numeri, presi nell’ordine dato, siano delle proporzioni. a) 3, 6; 12; 24 b) 2; 5; 6; 15 c) 3; 4; 1; 12 d) 20; 10; 25; 6 Considera i gruppi di numeri il cui ordine non consente di ottenere una proporzione. Puoi riordinarli? Utilizzando quale proprietà? Quali proporzioni potrai ottenere? 2. Osserva la tabella e completa. Proporzione
3:6=1:2 30 : 6 = 15 : 3 4 : 5 = 60 : 75 14 : 28 = 4 : 8 18 : 6 = 9 : 3
Antecedenti Conseguenti
Medi
Estremi
Rapporto
32 3. Scegli il valore adatto.
12
10
2
9
7
8 45
25
18 : 6 = x : 4
x : 18 = 2 : 4
x : 49 = 1 : x
14 : 28 = x : 16
6: 10 = 15 : x
8 : 16 = 5 : x
x : 3 = 30 : 2
40 : 8 = 10 : x
4. Osserva la seguente tabella, come sono tra loro il prezzo e la quantità di farina? Quantità kg
Prezzo €
16
32
19
x
Risolvi il problema costruendoti la proporzione. Attenzione! Leggi la tabella seguendo il verso delle frecce.
5. Osserva la seguente tabella. Come sono tra loro il prezzo e la quantità di mele? Quantità kg
Prezzo €
30
15
55
x
Risolvi il problema costruendoti una proporzione.
33 6. Osserva la seguente tabella. Come sono tra loro la quantità e il prezzo del formaggio? Quantità gg.
Prezzo €
350
10,5
x
22,5
1500
y
Risolvi il problema costruendoti la proporzione... ricorda... le frecce!
7. Prova esperta. Un camper a pieno carico consuma 85 litri di gasolio per percorrere 680 km. Il serbatoio di tale camper può contenere fino a 120 litri di gasolio. Calcola quale distanza riesce a percorrere con un pieno e con tre rifornimenti. Distanza Km
Consumo litri
680
85
x
120
y
...........
8. Risolvi il problema. Un certo tipo di ottone si produce mescolando rame, nichel e zinco nel rapporto di 30 : 9 : 11. Quale quantità in grammi di ciascun metallo sarà presente in un candelabro del peso di 950 gg?
34 Ricorda (x + y + z) : (30 + 9 +…..) = x : 30 In questo caso la somma di x, y, z è il peso del candelabro!
9. Prova esperta. Risolvi il problema. Un cavallo al galoppo percorre 1000 metri in 58 secondi. V media = s/t spazio/tempo
a) Calcola la velocità media del cavallo al galoppo (velocità media = metri al secondo). b) Ricava il tempo t dall’equazione della velocità media. c) Se il cavallo continua a correre alla stessa velocità media, quanto tempo impiegherà per percorrere 3 km?
10. Risolvi le seguenti equazioni, applicando le opportune proprietà. 4
a) 12 : x = 6 : 15
c)
b) 32 : x = x : 18
d) x : 0,1 = 5 :
25
:x=x:9 3 4
11. Risolvi il seguente problema. Il rapporto tra due numeri è invece è 68. Calcola il valore dei due numeri.
11 23
; la loro somma
35 12. Osserva la seguente tabella, dove sono elencate le preferenze relative a 1000 persone riguardo i luoghi di vacanza. Completala indicando anche le frequenze.
Luoghi di vacanza
n° persone/totale
Mare (1) Montagna (2) Collina (3) Grandi capitali (4) 13. Risolvi il problema. Osserva la tabella relativa agli sport preferiti da alcuni ragazzi, durante il periodo delle vacanze scolastiche. Completa le frasi sotto elencate.
Sport N° ragazzi
equitazione 30
nuoto 18
tennis 30
vela 12
Determina: a) Il totale dei ragazzi................... b) L’ampiezza del settore corrispondente ad ogni singolo ragazzo è.................................... c) L’ampiezza del settore corrispondente ai ragazzi che preferiscono l’equitazione....................... d) L’ampiezza del settore corrispondente ai ragazzi che preferiscono il nuoto...................... e) L’ampiezza del settore corrispondente ai ragazzi che preferiscono il tennis................................. f) L’ampiezza del settore corrispondente ai ragazzi che preferiscono la vela..................................
36 14. Con riferimento all’ideogramma inerente al numero di CD acquistati da un gruppo di amici in vacanza, rispondi. = 6 cd Marco = ½ della quantità Lisa Martina
Carlotta Laura Alessandra 15. Calcola il termine incognito dopo aver applicato le opportune proprietà delle proporzioni. 1 5 1 3 a) x : +x :x= + : 1– 12 6 3 4
b) x : 5 + 0,(3) = 2 +
1 3
–
1 4
:x
16. Risolvi il seguente problema. Tra l’età di Sara e quella di Matteo ci sono 12 anni di differenza. Quanti anni hanno Sara e Matteo? Io ho il triplo degli anni di Matteo
37 17. Prova esperta. Osserva la figura.
Questa è una pianta di bamboo Moso appartenente alla famiglia delle Poaceae, può arrivare a 20 m di altezza e 20 cm di diametro. In casi eccezionali il Moso può raggiungere i 30 m d’altezza e i 30 cm di diametro. ü Calcola in percentuale la quantità del bamboo Moso con le dimensioni massime in una coltivazione di 10500 esemplari, dove 450 bamboo rispondono alle richieste citate. ü Se un segmento di tale pianta misura 65 cm, che percentuale rappresenta rispetto l’intero fusto? Approssima ai decimi.
38 LE FUNZIONI E LA LORO RAPPRESENTAZIONE Date due grandezze che chiameremo x e y, dipendenti tra loro, si dice che y è in funzione di x se ad ogni valore di x arbitrariamente scelto, ne corrisponde uno ed uno solo di y. Si scrive
y = f (x) e si legge: y è in funzione di x.
La grandezza x è la variabile indipendente, la grandezza y è la variabile dipendente. Se la funzione che ci permette di esprimere i valori delle due variabili si articola in formule matematiche, allora la funzione si definisce matematica; se invece la funzione che lega le due grandezze non utilizza per la sua definizione formule matematiche, allora si definisce funzione empirica. Funzione matematica: Funzione empirica:
y = 4x temperatura C°(y) in una città alle ore (x)
Il sistema di riferimento per rappresentare le funzioni di proporzionalità diretta ed inversa è il sistema di riferimento Cartesiano. Si chiama piano cartesiano il piano formato dall’incrocio delle due rette ortogonali x o asse delle ascisse e y o asse delle ordinate. unità di misura u 2
y o ordinate P(1; 1)
1 0
1
2
x o ascisse
39 esercizi
1. Dati gli assi cartesiani x ed y rappresenta, scegliendo come unità di misura il quadretto,i seguenti punti: A (0; 5)
B (3; 4)
C (6; 0)
D (2; 1)
E (1; 1)
F (0; 0)
2. Rappresenta sul piano cartesiano le funzioni y = 2x e y = 2x + 3. Che tipo di rette hai ottenuto? y
0
unità di misura u
x
40 3. Rappresenta il grafico della funzione y = 4x + y
1 4
unità di misura u
0
x
4. Rappresenta con un grafico cartesiano i seguenti punti: A (3; 2) B (3;5) C (8; 5) D (8; 2). Che figura hai ottenuto? Calcola il perimetro e l’area della figura utilizzando come unità di misura il quadretto. y
0
unità di misura u
x
41 5. Risolvi il problema. Ad una gara di atletica, Alessandra ha corso i 1000 metri in 180 secondi. a) Calcola la velocità media di Alessandra. b) Quanto impiega Alessandra a percorrere, ipotizzando costante la velocità, una distanza di 600 metri? c) Dall’equazione della velocità ricava quella dello spazio e quella del tempo. d) Ipotizzando che Alessandra possa correre alla stessa velocità media per 10 minuti, quale distanza percorrerebbe?
6. Risolvi il problema. 450 grammi di cioccolatini sono costati 12 €. Quanto costerebbe 1 kg degli stessi cioccolatini?
Peso cioccolatini g
Prezzo cioccolatini €
450
12
....................
x diretta o inversa?
42 7. Risolvi il problema. MELONI Quantità (kg)
Prezzo (€)
5
12
3
x
y
19,20
a) Calcola il prezzo indicato con x b) Calcola la quantità con y
1. Rompicapo a) c) b)
a) Peso totale dei 3 oggetti = 900 gr. b) Peso totale dei 3 oggetti = 600 gr c) Peso totale dei 3 oggetti = 850 gr. Quanto pesa un pompelmo? Un barattolo di conserva? Il lumino?
43 2. Rompicapo +
+
= = =
Considera: tutti i meloni hanno la stessa massa; tutti i gatti hanno la stessa massa. Quanto pesano i meloni? Quanto pesano i gatti? Quanto pesa il sacco di patate?
3. Rompicapo 80 Kg
20 Kg +
=
+
Quanto pesa una sfera?
Calcola a quanti bicchieri corrisponde la massa di una bottiglia, sapendo che i bicchieri hanno tutti la stessa massa, così come le bottiglie, le palle da tennis e i barattoli di CocaCola.
4. Rompicapo
=
=
=?
=
44 UN PO’ DI SVAGO 1
Cruciverba.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
2
Orizzontali
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Verticali 1/1: confronto; 11/1: il primo; 1/1: lo sono anche quelle degli alberi; 8/2: √9; 3/1: operazioni con esponente; 1/3: il contenuto di un problema; 8/1: 23; 8/4: 24×5; 10/2: sette... in greco; 3/5: √81; 1/8: √36; 13/6: monossido di C; 4/7: √49; 3/7: lo sono due termini di una proporzione; 6/7: divisione con…; 8/9: la proporzionalità; 8/7: lo sono i termini di una proporzione; 8/10: dentro; 13/6: 102; 13/10: ossigeno; 13/1: ossidrilione; 2/11: √4; 9/9: può esserlo un numero; 8/12: 42; 11/12: le prime di italiano; 1/14: 92; 5/13: terminale amminico.
45 PILLOLE DI SAGGEZZA Mito, storia e tradizione dell’equiseto (tratto e adattato da wikipedia)
Equiseto: pianta preistorica e alleato prezioso in numerose preparazioni fitoterapiche. L’Equiseto è l’unico discendente delle piante giganti simili alle felci ed è un organismo che, grazie ad alcuni ritrovamenti di resti fossili, si è attestato fosse già ampiamente diffuso in epoca paleozoica, vale a dire quasi 345 milioni di anni fa. Il suo nome scientifico “Equisetum arvense“ deriva dal latino equus: cavallo e saeta: setola, crine, perché la pianta adulta ricorda proprio la coda del cavallo ed infatti è anche conosciuta con il nome “coda cavallina”; arvense deriva da arvum: campo, in relazione al fatto che la pianta cresce in zone campestri e non è infrequente trovarla su terreni umidi e incolti, lungo fossati e scarpate. Altro nome attribuito a questa antichissima pianta è “erba del diavolo” infatti si narra che un giorno il diavolo, osservando la grande quantità di fiori e piante che Dio aveva creato, pensò di crearne una anche lui, convinto che non fosse complicato. Il diavolo unì parti di piante già esistenti e si presentò a Dio, il quale, accortosi dell’inganno, decise di lasciare in vita quella pianta, donando alla natura una nuova specie. Le sue proprietà benefiche sono note fin dall’antichità. Si narra che 5000 anni fa i Sumeri ne facessero uso per curare edemi e ferite subite in battaglia. Inoltre era utilizzata nell’antichità per lucidare i legni ed i metalli grazie alla superficie ruvida delle sue foglie. A tale scopo veniva anche commercializzata sotto forma di polvere finissima per forbire le casseruole e per pulire le delicate opere di legno o di metallo degli artigiani.
46
Fin dai tempi antichi le citazioni per l’utilizzo di Equiseto lo descrivono come una pianta fondamentale per la salute e le fonti principali risalgono ai tempi di greci e romani. Come sempre, prima di procedere con i diversi usi fitoterapici è bene parlare dell’aspetto botanico. L’Equiseto è una pianta erbacea perenne appartenente alla famiglia delle Equiseteceae e alla divisione delle Pteridofite (piante senza fiori, frutti o semi). Originaria dell’Europa, in Italia è comune dalla regione mediterranea a quella subalpina, lungo le sponde di corsi d’acqua, in terreni pietrosi, incolti e umidi. Possiede un lungo rizoma strisciante, da cui si originano i fusti sterili e fertili alti 15-30 cm, privi di clorofilla e di colore bianco-gialliccio alla base e bruno-rossiccio superiormente, al cui apice si formano le spighe ovali che contengono le spore per la riproduzione. Gli equiseti fanno parte, assieme alle felci, delle “crittogame vascolari” che, pur risultando prive di fiori e di semi, sono provviste di radici e fronde differenziate; in esse la propagazione avviene per mezzo di spore che si formano negli sporangi. Quando si raccoglie? I fusti sterili si raccolgono a primavera inoltrata o d’estate, quando sono ormai ben sviluppati e cosi consistenti, tagliandoli 5 – 10 cm al di sopra del terreno. Come si conserva? Gli steli si essiccano al sole oppure in forno e si conservano in luoghi secchi ed asciutti ponendoli all’interno di sacchi di carta o di tela. Le speciali proprietà dell’Equiseto…
47 Pianta medicinale molto antica, conosciuta dai farmacisti del Medioevo, l’Equiseto svolge un’importantissima azione remineralizzante per l’intero organismo. Ricca di acido salicilico che contribuisce ad aumentare l’elasticità dei tessuti e partecipa alla ricostruzione dello scheletro, rendendosi così utile nella cura di fratture ossee, e svolgendo inoltre un’ottima azione cicatrizzante e astringente. Per via interna è un potentissimo diuretico e depurativo, aumenta infatti il volume delle urine in caso di ritenzione idrica e idropisia; svolge un’azione antiemorragica in caso di emorragie di qualsiasi natura. Possiede inoltre particolari proprietà emopoietiche, cioè è in grado di stimolare la produzione di globuli rossi e bianchi, molto utile in caso di infezioni e malattie in corso. I consigli dell’erborista. Dopo shampoo per rinforzare i capelli: far bollire 50 g di Equiseto in 2 litri di acqua calda per 10 minuti. Filtrare e usare con l’acqua del risciacquo. Per formare il callo osseo nelle fratture: far bollire 4 cucchiai colmi in un litro di acqua fredda per 5 minuti. Filtrare e bere a sorsi durante il giorno, La cura prosegue sino alla formazione del callo. Un bagno contro la ritenzione idrica: far bollire 30 g di equiseto in 2 litri di acqua fredda per 15 minuti. Filtrare e versare nell’acqua della vasca. Il bagno deve durare per 20 minuti. Se ne possono fare 2-3 alla settimana. Un diuretico efficace: versare 2 cucchiai in mezzo litro di acqua calda e far bollire per 5 minuti. Filtrare e berne una tazza al mattino a digiuno ed una alla sera prima di dormire. è anche un valido emostatico.
48 Concludiamo con una ricetta culinaria… I fusti fertili di equiseto vanno raccolti quando sono più succosi, togliendo la spiga terminale e le guaine intercaulinari. Si puliscano con attenzione lasciandoli a bagno in acqua e limone per qualche ora. Poi vengono cotti e consumati come gli asparagi, pur possedendo un sapore decisamente diverso. Polpettine gratinate di equiseto. Ingredienti per 4 persone: ü 400 grammi di fusti fertili giovanissimi di equiseto; ü 200 grammi di ricotta; ü 1 cucchiaio di formaggio grattugiato; ü 6 cucchiai di pangrattato; ü 1 spicchio d’aglio; ü Uova (2); ü Sale; ü Peperoncino ( ½) e 50 grammi di burro. Procedimento: Raccogliete, pulite, lavate 400 grammi di fusti fertili giovanissimi di equiseto; cuoceteli al dente in acqua, scolateli, tritateli; aggiungete 1 spicchio d’aglio tritato, 200 grammi di ricotta, 1 cucchiaio di formaggio grattugiato, 6 cucchiai di pangrattato, sale q.b., a piacere, il peperoncino e le uova quante servono per ottenere un impasto lavorabile. Fatene delle polpettine schiacciate che si immergono in acqua bollente per 3 minuti, quindi scolate, lasciate sgrondare, mettetele in una pirofila imburrata, guarnitele con riccioli di burro e passate la pirofila in forno a gratinare. Servitele calda. esercizi
1. Prova esperta. Osserva la ricetta preparata per 4 persone e considera se tu dovessi preparare le polpettine per 8 persone? E per 12?
49
PARTE 3a LE FIGURE GEOMETRICHE: PERIMETRI E AREE i Triangoli I triangoli sono figure geometriche con tre lati e tre angoli. Si classificano secondo la tipologia degli angoli o dei lati, avremo quindi triangoli acutangoli, rettangoli, ottusangoli o scaleni, isosceli ed equilateri. Il perimetro di un triangolo è dato dalla somma dei suoi lati. C
A
B
Perimetro = AB + BC + CA Perimetro = AB + 2 × BC Perimetro = 3 × AB
triangolo scaleno triangolo isoscele triangolo equilatero
L’unità di misura è il metro, con i multipli e i sottomultipli. m; hm; km; m; cm; mm… esercizi
1. Osserva questo tangram a) Elenca quante e quali figure conti. b) Costruisci e colora 5 figure utilizzando come modello i tasselli del tangram.
50 2. Osserva la figura e calcola il perimetro. Dati: C AC = 7 cm
AB = 8 cm
BC = 9cm
A B L’area di un triangolo è calcolata moltiplicando la misura della base per l’altezza, dividendo il prodotto ottenuto per due. base × altezza Area = da cui le formule 2 inverse: C 2 × area Base = altezza Altezza =
A
B
2 × area base
L’unità di misura è il metro quadrato, con i multipli e i sottomultipli. m2; hm2; km2; m2; cm2; mm2…
Un diverso modo per calcolare l’area di un triangolo è l’utilizzo della formula di Erone. 3. Osserva questo tangram. Una curiosità…. quante e quali figure conti?
La formula di Erone mi consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solo i suoi lati.
51 C
AB + BC + CA = perimetro (AB + BC + CA) p = semiperimetro ovvero 2 2 Formula di ERONE Area= B
A
√
p 2
x
(
p 2
((
–a x
p 2
( (
–b x
p 2
–c
(
4. Attenzione! Risolvi Con riferimento all’esercizio 2, utilizza i dati di quel triangolo e calcola l’area con la formula di Erone.
Il triangolo rettangolo I lati di questo triangolo si distinguono in cateti e ipotenusa.
C
I cateti formano l’angolo di 90°, l’ipotenusa è il lato opposto a tale angolo. L’area può essere quindi calcolata come:
cateto x cateto 2
allora l’area sarà:
h
; se il triangolo rettangolo è isoscele
cateto2 2
Il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato. B Altezza relativa all’ipotenusa h.
A esercizi
C
1. Calcola l’area del triangolo disegnato, sapendo che: la base AB = 25cm e l’altezza h = 12cm.
h
A
B
52 2. In un triangolo rettangolo l’area è di 120 cm2 e un cateto è i 5/3 dell’altro. Calcola l’area di un triangolo rettangolo isoscele, avente il cateto congruente a quello maggiore del primo triangolo. C1 C
A
B
3. Osserva la figura.
Il triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 45°. Il cateto misura 38 cm. Calcola l’area. Ammettendo che l’ipotenusa misuri 53,7 cm, quale sarà il suo perimetro?
C
A
B1
A1
B
4. Calcola il perimetro e l’area del triangolo con le dimensioni riportate. C Dati: AB = 12 cm
A
B
BC = 10 cm
AC = 8 cm
53 5. Calcola perimetro e area del triangolo rappresentato. C Dati: AC = 20 cm AB = 24 cm
AC = CB
h = 2/3 AB
Calcola il perimetro e area. h
A
B
6. Osserva la figura. C
Calcola l’area del triangolo ABC, sapendo che i cateti misurano 18 cm e 22 cm.
B
A 7. Osserva la figura. C
A
Il triangolo ABC ha l’area di 184 m2, la base è lunga 23 m. Calcola quanto misura l’altezza.
B
54 8. Osserva il tangram. Costruisci e colora altre 5 composizioni geometriche utilizzando come modello i tasselli del tangram.
I quadrilateri: trapezi, parallelogrammi, rombi, rettangoli, quadrati. D C Per un ripasso: (base maggiore + base minore) x altezza « Area trapezio = 2 h (ab + dc) x h A
2
B D
Formule inverse: (base maggiore+base minore) = 2 × area/altezza
C
2 × area / (base max + base min)
« Area parallelogramma = base × altezza
h A
D
Formule inverse: base = area/ altezza
B
« Area rombo =
AB × h
altezza = area/ base
diag. mag. x diag. min.
Db X AC
2
2
C
A
altezza =
Formule inverse: diagonale maggiore = 2 × area/diagonale minore
B
D
C
diagonale minore = 2 × area/diagonale maggiore
« Area rettangolo = base × altezza Formule inverse: base = area/altezza
A
D
C
B
« Area quadrato = lato × lato Formula inversa: lato =
A
B
AB ×CB
altezza = area/base
l2
ll
2
I perimetri dei quadrilateri sono la somma delle dimensioni dei lati.
55 D esercizi
11cm
H
8cm
C
h=12cm
B H2 H1 1. Osserva la figura, calcola la superficie totale dei due quadrilateri di costruzione DHAHI e HCBH2 dove AB // DC. Il trapezio è isoscele, la distanza AH1 misura 4 cm. A
C
D
A
2. Calcola il perimetro del riquadro colorato sapendo che il quadrato ABCD ha un lato di 36 cm e il riquadro ha una superficie di 81 cm2. Calcola la superficie della parte non colorata.
B
Figure equivalenti hanno la stessa superficie e quindi la stessa area! D 3. Un rombo ha l’area di 630 m2, le due diagonali sono una i 7/5 dell’altra. Calcola l’area di un rettangolo le cui dimensioni sono rispettivamente il doppio e il triplo della diagonale minore. A
C
B
56 4. Osserva il tangram.
Calcola la superficie della figura sapendo che il lato del quadrato misura 4 cm, come il cateto dei due triangoli rettangoli più piccoli, l’area del parallelogramma giallo è equivalente all’area del triangolo rettangolo rosa. I due triangoli rettangoli più grandi sono equivalenti.
5. Osserva l’immagine, come sarà l’area dei tre parallelogrammi? Giustifica la tua risposta. Se AB misura 2 cm e AD misura 5 cm, quanto misurerà l’area? E H G D F C r
s
A
B
6. Osserva la figura. Come sono tra loro questi due triangoli? Giustifica la tua risposta. Calcola l’area dei triangoli ABC; DEF e dei trapezi di costruzione ABHI; DEKJ. C F L’unità di misura corrisponde a 2 cm. J H I K r La base minore del trapezio h è uguale alla metà dell’unità di misura più un quarto della stessa. A E M L B D
57 7. Osserva la figura. Calcola l’area delle superfici di rettangolo e parallelogramma. Unità di misura = un quadretto = 1 cm. D C H G Calcola l’area delle due figure di coK r struzione sapendo che la distanza CK J M L misura 1,75 cm. Come sono tra loro le A B E F figure? Giustifica la tua risposta.
8. Osserva il tangram. La sua superficie è equivalente a quella del tangram precedente? Giustifica la risposta.
9. Osserva il disegno, da quali figure geometriche è composto? Come sono tali figure? C 6 3.4 3°
K
r
Come sono tra loro i triangoli ABC e KLC? Calcola la misura di tutti gli angoli nelle figure di costruzione e dimostra il perché.
L
57
°
7 1.
A
45°
10. Osserva le figure.
B
58 10. Osserva le figure.
Tali figure sono equivalenti?. Possono essere anche isoperimetriche? Giustifica la tua risposta. misura i contorni col righello.
11. Osserva la figura, come sono fra loro le sezioni che la compongono? Riproducila raddoppiando le dimensioni.
12. Osserva i tangram sottostanti, misurali con il righello, (approssima all’unità) e crea un problema sulle superfici equivalenti.
59 13. Prova esperta. Osserva la figura. Si deve posizionare lungo il contorno di questa parete a forma di trapezio un profilo di rame ( 45,5 € al m). La parete ha un’area di 10 m2. Sapendo che il lato perpendicolare alle basi misura 5 m ed è il quadruplo della base minore, calcola: « « «
14.Prova esperta.
la lunghezza della base minore. il perimetro della figura sapendo che il lato obliquo misura 5,25 m.; la spesa da sostenere per il contorno in rame.
Per una analisi su interventi di restauro con fine ergonomico (analisi dispersione calore), calcola l’area del prospetto di facciata qui a fianco, sapendo che: la facciata è formata da un rettangolo e un triangolo isoscele con i lati congruenti di 5 metri, la base misura 6 m; il rettangolo ha un’altezza di 8 m. Il tetto, tipico di case europee del 1800, è a gradoni, si rende necessario sostituire la tegola ad impianto di rifinitura orizzontale; ne servono due sovrapposte per ogni impianto. Ogni tegola costa 45 €. Calcola la spesa per la rifinitura.
60 LE ISOMETRIE Se rappresentiamo una figura geometrica nel piano cartesiano e abbiamo anche gli elementi che caratterizzano una isometria, per esempio un vettore per una traslazione o l’asse di simmetria per la simmetria assiale, è possibile eseguire la trasformazione nel piano cartesiano individuando le coordinate della nuova figura trasformata. Da ciò si conferma che la figura trasformata, mantiene le caratteristiche di quella originale come l’area o il perimetro.
61 1 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione B. Simmetria centrale C. Traslazione D. Simmetria assiale
F1
F2
2 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione B. Simmetria centrale C. Traslazione
F1
D. Simmetria assiale
F2
62 3 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione B. Simmetria centrale C. Traslazione
F1
D. Simmetria assiale
F2
4 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione B. Simmetria centrale C. Traslazione D. Simmetria assiale
F1
F2
63 5 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione
F1
B. Simmetria centrale C. Traslazione D. Simmetria assiale F2
6 - Quale trasformazione isometrica è stata applicata ad F1 per ottenere F2?
A. Rotazione B. Simmetria centrale
F1
C. Traslazione D. Simmetria assiale
F2
64 UN PO’ DI SVAGO
Cruciverba.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2
3
4
5
6
7
Orizzontali 1/1: trasformazione geometrica, 8/3: poligono a 6 lati; 1/5: contorno; 1/7: suffisso di perpendicolare; 6/7: contrario di out; 11/8: uno “specchio” delle simmetrie; 6/10: figura geometrica a tre lati; 2/9: argento; 1/12 Au; 6/12: congiunzione latina; 11/12: i segmenti di una poligonale; 1/14: elemento di una traslazione.
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticali 2/1: trasformazione geometrica; 6/1: quadrilatero con 2 lati paralleli; 9/1: dogma matematico; 12/1: prefisso per uguale; 14/2: quadrilatero equilatero; 11/3: unità di misura; 3/9: angolo di 360°; 7/10: enti geometrici; 9/10: tipo di angolo; 13/12: √9
65
PARTE 4
a
IL TEOREMA DI PITAGORA Nel VI secolo a. C. il famoso filosofo e matematico Pitagora, teorizzò con un teorema che prende il suo nome, una caratteristica geometrica che accomuna tutti i triangoli rettangoli. in un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa (q) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. (q1 + q2) Da ciò si deduce che in ogni triangolo rettangolo (AB)2 = (AC)2 + (CB)2 Formule inverse: (AC)2 = (AB)2 – (CB)2 (CB)2 = (AB)2 – (AC)2 Quindi:
Osserva le figure, sapendo che il secondo triangolo ha come dimensioni 3, 4, 5, prova a dimostrare l’equivalenza del teorema di Pitagora.
66
Approfondimento… da pitagora a fermat… Dato che (AB)2 = (AC)2 + (BC)2 il matematico Fermat dimostrò che pitagora aveva ragione ma….. (AB)x = (AC)x + (BC)x solo quando x è uguale a due! Questo disegno rappresenta L’albero di pitagora: Analizza facendo personali considerazioni sulle figure geometriche che lo compongono
Algebricamente dopo aver applicato il teorema di Pitagora, possiamo calcolare il valore incognito di un lato del triangolo rettangolo. C
Riassumendo, in ogni triangolo rettangolo dove uno dei lati sia incognito, è possibile calcolarne il valore con le seguenti formule:
A
B
ipotesusa (CB) =
(CA)2 + (AB)2
cateto
(CA) =
(CB)2 – (AB)2
cateto
(AB) =
(CB)2 – (CA)2
67 esercizi
Dato il triangolo rettangolo ABC, dove i cateti CA e CB misurano rispettivamente 5 cm e 12 cm:
C
ü Quanto misura l’ipotenusa? ü Calcola l’area del triangolo. ü Calcola il perimetro del triangolo.
1.Osserva la figura.
A
B Dato il triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa e un cateto misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm:
C
ü Quanto misura l’altro cateto? ü Calcola l’area del triangolo. ü Calcola il perimetro del triangolo.
2. Osserva la figura.
A
B
B
Dato il triangolo rettangolo ABC, avente l’area di 180 cm2, il cateto AB misura 40 cm:
3. Osserva la figura.
ü Calcola la misura dell’altro cateto. ü Calcola il perimetro della figura.
A
B
68 Il triangolo rettangolo ABC ha un’area di 384 cm2, il cateto maggiore è 4/3 del minore:
C
ü Calcola il perimetro del triangolo. 4. Osserva la figura.
A
B
C D AD = 280 cm Applicazioni teorema di pitagora BH = CK =
150 cm
5. Osserva la figura e calcola i datiACrichiesti. = 250 cm
A
H
K
EI = 64 cm ? = A trapezio B ? = P trapezio
lo
Os s rit erv ro ve a... rem o
69
6. Prova esperta. Si deve eseguire un restauro murario.
Analizza e quantifica le spese, sapendo che il muro a forma di trapezio ha le seguenti dimensioni: lunghezza 4 m; base minore 1,5; base maggiore 2 m: ü Calcola la dimensione della superficie da intonacare. ü Il lato obliquo deve essere rifinito con coppi, Quanti ne servono? Un coppo è lungo 35 cm. ü Calcola la spesa totale sapendo che il muro a lavoro finito costa 30 € al m2.
Il parallelogramma ABCD, avente un’area di 192 cm2, l’altezza misura 8 cm. Sapendo che AH è C 1/2 della metà di AB, calcola il perimetro del parallelogramma.
D 7. Osserva la figura.
A
H
B
70
8. Prova esperta. Restauro di un edificio trasformato in LOFT.
Osserva il modulo di costruzione, (triangolo rettangolo, riquadri in cemento e cordoli in rilievo) si devono rivestire con liste di rame brunito i bordi in evidenza, asportare i riquadri di cemento e sostituirli con riquadri in vetro-cemento. all’interno dello spazio relativo al triangolo, il muro deve essere intonacato: ü Analizza e quantifica la spesa sapendo che un cateto e l’ipotenusa misurano rispettivamente 6 m, 10 m, la lista di rame larga quanto i bordi in rilievo costa 6 € al m. ü Il vetro cemento costa, finito, 45 € al m2, l’altezza del riquadro è di 4 m.
D
Calcola perimetro e area della figura ABCD sapendo che AH misura 5 cm.
C
Calcola la misura della diagonale CA. Approssima ai decimi.
60° 9. Osserva la figura. 45° A
30°
H
B
71
I teoremi di Euclide... Primo teorema CB x HB
In un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. CB : AB = AB : HB da cui (AB)2 = CB × HB AB = CB : CA = CA: CH (CA)2 = CB X CH Tale formula si applica ad CAcateto, = CB X CH ogni quindi: ( )
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo ha come dimensioni In un triangoloche rettangolo l’altezza relativa la proiezione del cateto sull’ipotenusa all’ipotenusa, è medio proporzionale etra l’ipotenusa stessa. le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. BH : AH = AH : HC da cui (AH)2 Secondo = BH × HC teorema: AH = BH x HC In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo, che ha come dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Q2 = R
72 esercizi
In un triangolo rettangolo, un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa misurano, rispettivamente, 16 cm e 12,8 cm. ü Calcola il perimetro del triangolo. ü Calcola l’area del triangolo. 1. Osserva la figura.
In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa 75 cm e la proiezione del cateto minore, HB, sulla stessa è di 27 cm:
C
ü Calcola il perimetro della figura. ü Calcola l’area della figura. 2. Osserva la figura. A
B
H
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma del cateto CA e della sua proiezione AH sull’ipotenusa misura 182,4 cm e sono uno i 15/9 dell’altro:
C
ü Calcola il perimetro della figura. ü Calcola l’area della figura. 3. Osserva la figura. A
H
B
73 Nel triangolo rettangolo ABC, le proiezioni dei cateti, AH e HB, misurano rispettivamente 112 e 63 cm:
C
ü Calcola la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa. ü Calcola il perimetro del triangolo. ü Calcola l’area della figura.
4. Osserva la figura. A
H
B
5. Prova esperta. Osserva bene la figura. Si deve restaurare questo edificio, trasformandolo in soluzione abitativa. Il tetto ha la forma di due triangoli rettangoli uguali. Le dimensioni del cateto minore e della sua proiezione sull’ipotenusa, sono rispettivamente 3 m e 1,8 m. L’altezza del muro, a forma rettangolare al livello dei vertici dei cateti, è di 2,5 m. ü Calcola la superficie della facciata da intonacare a marmorino, sapendo che i due rettangoli sono separati da uno spazio di 50 cm. (non si considera lo spazio imbiancato relativo al muro confinante). ü Il marmorino costa 120 € al m2. ü Calcola la lunghezza del cornicione di rifinitura di contorno al tetto.
74
6. Prova esperta. Osserva la figura.
Si deve ridipingere la facciata di questa casa nello spazio relativo al tetto, che è a forma di triangolo equilatero. Dopo aver asportato i riquadri scuri, si dovrà uniformare lo spazio in spatolato di calce bianca. Le due finestre misurano rispettivamente 20 × 40 cm e 50 × 100. Lo spatolato di calce costa 35,50 € al m2. ü Calcola la superficie da spatolare, sapendo che il triangolo equilatero ha una altezza di 2,25 m. ü Calcola la spesa da sostenere.
Si deve restaurare questo particolare di prospetto di un edificio, composto da un tettuccio a forma di triangolo isoscele con un murolaquadrato sottostante. Il lavoroadeve essere spa7. Prova esperta. Osserva figura, siamo in Inghilterra, Marco, un eseguito giovane in archi2 tolato di calce (35,5 € al m ). Le cornici scure interne saranno tetto, è stato commissionato un lavoro di recupero di un cottage. ricoperte dallo spatolato, mentre saranno mantenute quelle di contorno riverniciate con impregnante e pittura da esterni (15,5 € al m). I bordi di contorno sono sovrapposti allo spatolato: ü Calcola la superficie totale da trattare a calce, sapendo che il lato obliquo del triangolo isoscele misura 1,7 m, l’altezza del triangolo è di 1,3 m. La finestrella interna misura 40 × 60 cm. ü Calcola la lunghezza totale del bordo esterno in legno. ü Calcola la spesa totale da sostenere.
75
8. Prova esperta. Osserva la figura. Si deve restaurare questo edificio industriale e trasformarlo in loft. il prospetto della facciata è composto da due moduli architettonici dove le dimensioni dell’uno sono i 3/4 dell’altro, tranne l’altezza della struttura rettangolare. Geometricamente ogni modulo è formato da un triangolo equilatero (considera il limite delle frecce) sopra un impianto a rettangolo, dove la base del maggiore è di 20 m, l’altezza di entrambi è 30 m. Considera l’area di ogni finestra pari ad 1 m2. Si dovranno aprire cinque porte d’entrata rettangolari uguali, per entrambi i moduli, al posto di quelle indicate dalle frecce con un arco a tutto tondo. Le porte avranno le seguenti dimensioni: altezza 2,15 m, larghezza 3 m. ü Calcola la superficie piena della facciata da intonacare. ü Elabora attraverso l’utilizzo di una assonometria, l’impianto tridimensionale dell’edificio, sapendo che la profondità è il doppio dell’altezza.
76 1
UN PO’ DI SVAGO
Cruciverba.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Verticali
11
12
13
14
1/1: i lati di un triangolo rettangolo; 6/2: un famoso teorema; 2/5: le….ortogonali; 5/7: uno dei due famosi teoremi; 8/6: 5 e 6 di angolo; 1/12: un poligono con due lati paralleli; 10/11: moduli algebrici in…..come alcuni circuiti; 7/14: Un famoso matematico che ha dimostrato il valore dell’esponente due nel teorema di Pitagora.
Orizzontali 3/3: 5/2: 1/6 10/5 11/8: 2/9: 5/10: 4/13;
√9; la somma dei lati di un poligono; un lato del triangolo rettangolo; la formula per calcolare la dimensione di una superficie; √81; spazi compresi tra due rette incidenti; unità di misura per la velocità …marittima; trasformazioni geometriche.
77 PROVA ESPERTA: MISURIAMO UNA GOCCIA D'ACQUA
Procedimento: Procurati questo materiale: «
una provetta graduata;
«
un contagocce;
«
acqua, quanto basta.
Versa dentro la provetta graduata contando il numero delle gocce, fino a quando si raggiunge il livello di 1 cm3. Esegui una equivalenza trasformando 1 cm3 nei corrispettivi mm3, poi suddividi il risultato ottenuto per il numero delle gocce.
78 LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO La circonferenza è una linea chiusa formata da infiniti punti tutti equidistanti da un unico punto del piano, chiamato centro. ü La distanza di un punto qualsiasi della circonferenza dal centro si chiama raggio (r). ü La distanza tra due punti opposti della circonferenza si chiama diametro (2r o d). ü La distanza tra due punti qualsiasi della circonferenza si chiama corda, il diametro è la corda che passa per il centro o corda massima. ü La distanza tra un estremo e l’altro della corda sulla circonferenza, si chiama arco. ü L’insieme dei punti interni alla circonferenza e quelli della circonferenza, formano il cerchio.
ARCO
SETTORE r
O
Si chiama settore circolare la parte del cerchio delimitata da due raggi e un arco.
79 Quadrante circolare
Settore circolare
Semicerchio
Si chiama segmento circolare ad una base, la parte del cerchio limitata da un arco e dalla corda che lo sottende. La semicirconferenza è un segmento circolare ad una base dove la corda è il diametro.
r
Si chiama corona circolare, la parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche.
R
Corona circolare
3,14...
Diametro
1
3,14 ...
2 CIRCONFERENZA RETTIFICATA
3
!# UFFF!
0,14
Il rapporto tra diametro e la sua circonferenza è sempre uguale a 3,14 (π pi-greco)
80 esercizi
1. Dato il segmento AB = 3 cm, disegna due circonferenze di centro O e O1 aventi come raggi AB e A1B1, dove A1B1 = 1/3 AB.
A
B
2. Disegna due circonferenze con i raggi rispettivamente di 3 e 4 cm, quanto misureranno i diametri?
3. Disegna una circonferenza, sapendo che la misura del raggio è 2/22 della misura del raggio di un’altra circonferenza, il cui diametro misura 88 cm.
81 4. In una circonferenza di centro O e di diametro AB = 12 cm, disegna la corda CD tale che: CD = 1/2 AB. Costruisci il triangolo COD. ü Di che triangolo si tratta? Giustifica la tua risposta. ü Calcola perimetro e area del triangolo. Per l’area approssima all’unità.
5. Un cerchio è diviso in quattro settori; l’ampiezza del primo è la metà di quella del secondo, l’ampiezza del terzo è il triplo di quella del primo e l’ampiezza del quarto è il doppio di quella del secondo. Calcola le ampiezze dei quattro settori.
82 I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Poligoni inscritti: Un poligono è inscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. Il raggio della circonferenza circoscritta al poligono diventa il raggio del poligono stesso. Un poligono è inscrittibile ad una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto chiamato circocentro, che sarà il centro della circonferenza circoscritta e il centro del poligono. « I triangoli sono sempre inscrittibili ad una circonferenza.
Quadrilateri inscritti ed inscrittibili: ü Un quadrilatero inscritto ad una circonferenza presenta angoli opposti supplementari. ü Un quadrilatero è inscrittibile ad una circonferenza se e soltanto, se i suoi angoli opposti sono supplementari. Quadrato, rettangolo, trapezio isoscele, sono poligoni inscrittibili.
Studia memor e izza
83 Poligoni circoscritti: Un poligono è circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza stessa. (la tangente è una retta che tocca in un solo punto la circonferenza, formando con il raggio della stessa, che tocca il punto di tangenza, un angolo di 90°). In un poligono circoscritto ad una circonferenza, il raggio della circonferenza inscritta al poligono diventerà l’apotema del poligono stesso.
,
Un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto chiamato incentro, che coincide con il centro della circonferenza inscritta. ü I triangoli sono sempre circoscrittibili ad una circonferenza.
Quadrilateri circoscritti e circoscrittibili: ü Un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza presenta la somma di due lati opposti uguale alla somma degli altri due. ü Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se presenta uguale la somma dei lati opposti.
84
I poligoni regolari sono sempre inscrittibili e circoscrittibili contemporaneamente ad una circonferenza circoscritta al poligono e ad una inscritta nello stesso.
ü Nei poligoni regolari il raggio della circonferenza inscritta è l’apotema del poligono. ü Nei poligoni regolari, il raggio della circonferenza circoscritta è il raggio del poligono. ü Il centro del poligono, coincide con il centro delle due circonferenze. Il calcolo dell’area nei poligoni regolari: L’area nei poligoni regolari si ottiene moltiplicando la misura del perimetro per quella dell’apotema, ,, dividendo il prodotto ottenuto per due. A = (P × a )/2 dove P = perimetro; a = apotema. Formule inverse: P = (2 × A)/a a = (2 × A)/P Il rapporto tra la misura dell’apotema e quella del lato di un poligono regolare è costante e dipende dal numero dei lati. a/l=f da cui a=l×f
85 Studia e memoriz za
1. Disegna un triangolo con i lati lunghi rispettivamente 4 cm, 5 cm, 6 cm e costruisci la circonferenza circoscritta ad esso. Con quale punto notevole del triangolo coincide il centro della circonferenza?
2. Disegna una circonferenza di raggio 3 cm, costruisci poi un triangolo rettangolo inscritto. ü A che cosa corrisponde l’ipotenusa del triangolo? ü Dove si trova il centro della circonferenza? Giustifica la tua risposta.
86 3. Un trapezio isoscele è inscritto ad una circonferenza C, la base maggiore coincide con il diametro AB. ü Dimostra perché le diagonali del trapezio sono perpendicolari al lato obliquo. D
C
B
A
4. Osserva la figura.
Un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza ha due lati opposti che misurano rispettivamente 18 cm e 27 cm. Gli altri due lati sono uno i 5/4 dell’altro. ü Calcola la misura dei due lati. ü Calcola il perimetro della figura.
5. Osserva la figura.
Un quadrato circoscritto ad una circonferenza ha l’area di 676 cm2. ü Calcola la misura del raggio della circonferenza.
87 6. Osserva la figura.
Un trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza, ha l’area di 1728 m2 e il perimetro di 192 m. ü Calcola la misura dell’altezza.
7. Osserva la figura. Un esagono regolare è inscritto in una circonferenza che ha il raggio di 16 cm. Tale esagono è isoperimetrico ad un quadrato. ü Calcola la misura del lato del quadrato. ü Calcola l’area del quadrato. Considera il quadrato ottenuto come inscritto ad una circonferenza. ü Calcola la misura dell’apotema e giustifica la tua risposta. La misura del suo raggio come sarà?
88 8. Osserva la figura.
Dato il pentagono ABCDE, sapendo che l’apotema e un lato misurano rispettivamente 1,72 dm e 2,5 dm, calcola:
D
ü L’area. C
E a
A 9. Osserva la figura.
B Dato l'ottagono ABCDEFGH, sapendo che l'apotema e un lato misurano rispettivamente 4,828 dm e 4 dm, calcola: ü L’area. ü Ridisegna la figura inserendo le lettere.
10. Prova esperta. Osserva la figura.
La figura che vedi è stata ottenuta costruendo sui lati di un poligono regolare altri poligoni uguali. ü Da quali poligoni è composta? (l’angolo indicato misura 300°). ü Calcola il contorno della figura, sapendo che ogni lato misura 12 cm. ü Calcola l’area della figura.
89
11. Prova esperta. Osserva la figura. La figura che vedi è stata ottenuta costruendo sui lati di un poligono regolare dei triangoli equilateri. Sapendo che il lato del quadrato (sono due quadrati sovrapposti) misura 36 cm calcola: ü Il contorno della figura. ü L’area della figura interna. ü L’area delle figure di contorno. ü Quante e quali figure distingui?
90 UN PO’ DI SVAGO
Cruciverba
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Orizzontali:
1/1: 7/3: 5/7: 2/10: 1/12:
la x e la y; la y; la y….dalla x; la rappresentazione di una funzione direttamente proporzionale; in geometria sono ..fondamentali;
Verticali: 1/1: indicano gli spostamenti sul piano cartesiano; 3/3: la rappresentazione di una funzione inversamente proporzionale; 9/1: lo è la x; 11/1: 5×4; 14/1: segmento che congiunge due vertici non consecutivi; 6/4; l’asse delle x; 12/8: sono individuati da tre punti non allineati; 3/12: 81 4
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91 PILLOLE DI SAGGEZZA: IL CELACANTO tratto e adattato da “ Le scienze”
Foto n°1 Questo pesce, rimasto pressoché identico ai suoi antenati di 300 milioni di anni fa e a lungo ritenuto estinto già nel Cretaceo, è uno dei parenti più prossimi dei vertebrati terrestri, ma in maniera differente rispetto a questi, il suo patrimonio genetico muta con estrema lentezza, grazie alla stabilità dell'ambiente in cui vive. L'analisi dei suoi geni permetterà di fornire con chiarezza le ipotesi dei passaggi fondamentali riguardanti la colonizzazione della terraferma da parte degli animali marini, molti scienziati infatti ritengono che le caratteristiche uniche del celacanto rappresentino un gradino iniziale nell'evoluzione del pesce verso gli animali terrestri a quattro zampe, come gli anfibi. Latimeria Chalumnae l Lprimo ritrovamento in Sudafrica La prima prova dell'esistenza di celacanti viventi si ebbe nel 1938 quando Marjorie Courtenay-Latimer, curatrice di un museo di East London, Sudafrica, nell'esaminare il bottino di pescatori locali, alla ricerca di fauna marina , si imbatté in uno strano pesce blu pescato nell'Oceano Indiano all'altezza della foce del fiume Chalumna. Dopo aver riportato il pesce al museo, si accorse che non era in grado di classificarlo e così decise di chiedere informazioni al collega professor James Leonard Brierley Smith; nel frattempo il pesce fu imbalsamato da un tassidermista e quando Smith ne vide le spoglie lo identificò come un
92 celacanto, un genere noto a quel tempo solo da esemplari fossili. (vedi foto n°1) La specie del pesce fu chiamata Latimeria Chalumnae, in onore della scopritrice e delle acque in cui fu pescato, e da allora il celacanto viene considerato un fossile vivente. La caratteristica più sorprendente di questo "fossile vivente" è rappresentata da due pinne sostenute da ossa che si estendono dal corpo come gambe e si muovono in maniera alternata, come un cavallo al trotto. Altre caratteristiche uniche sono costituite dal giunto intercraniale, che permette al pesce di allargare la bocca per ingoiare prede di grandi dimensioni e dalla notocorda, che funziona da colonna vertebrale; dalle squame spesse, proprie solamente di pesci oramai estinti, e da un “rostro” elettro-sensoriale posto nella parte anteriore del cranio, che serve, probabilmente, per individuare potenziali prede. I celacanti sono creature inafferrabili delle profondità marine, vivono fino a 700 metri di profondità. Possono raggiungere dimensioni molto grandi: due metri o più di lunghezza e un peso di 90 chilogrammi. Secondo le stime degli esperti, i celacanti possono vivere fino a 60 anni circa. Il numero dei celacanti esistenti, come prevedibile, non è quantificabile, ma alcuni studi compiuti nelle isole Comore suggeriscono che vi abitino soltanto mille esemplari. I celacanti sono considerati una specie in via d’estinzione. Il loro sistema riproduttivo è tuttora argomento di studio. Latimeria Chalumnae
foto 2 Un gruppo internazionale di ricercatori ha sequenziato il genoma del celacanto africano immutato per circa 300 milioni di anni. Il celacanto “ Latimeria” rappresenta quindi una testimonianza vivente delle specie ancestrali di pesci che hanno dato origine alle prime creature anfibie dotate di quattro zampe in grado di conciliare la vita acquatica con quella terrestre. Il confronto fra il genoma del celacanto e quello di una ventina di altre specie di vertebrati
93 ha permesso inoltre di identificare le sequenze genetiche interessate da significative modifiche nel passaggio dalla vita acquatica a quella terrestre. In particolare, i ricercatori ne hanno scoperto numerose a carico dei geni che controllano l'olfatto, sicuramente evolute per poter percepire in modo efficiente le sostanze volatili presenti nell'aria e non nell'acqua. Numerose modificazioni hanno interessato anche i geni che controllano il sistema immunitario, intervenute per rispondere ai nuovi agenti patogeni incontrati sulla terraferma. Il terzo grande cambiamento osservato riguarda il ciclo dell'urea: mentre i pesci eliminano i prodotti del catabolismo delle proteine sotto forma di ammoniaca, gli animali terrestri convertono rapidamente questa sostanza altamente tossica in urea o in acido urico.
foto 3
1. Riproduci il pesce rappresentato nella foto 3, utilizzando una scala 1:10; sapendo che tale pesce è lungo 2 metri.
94 2. Osserva la figura. Sempre con riferimento al pesce sopra descritto, calcola il rapporto proporzionale tra la misura del pesce in relazione ad un uomo, ad un cavallo..ecc. (2 cm = 1m). Approssima all’unità e usa il righello.
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= .........................................................
= .........................................................
= .........................................................
95 PILLOLE DI SAGGEZZA: RITORNO AL TRIASSICO. L’ovest dell’Argentina, paesaggi da sogno.
L’Ovest dell’Argentina è un altro Paese, alla vista del turista lontano anni luce dalla europea Buenos Aires. Una escursione che, se fatta in auto, permette i tagliare la parte centrale dell’Argentina, molto vicina ai racconti di decenni fa. La Valle della Luna è Sudamerica ‘vero’, nei paesaggi, nell’assenza di comodità rispetto alle linee metro della Capitale. Lo stesso nome del luogo è un racconto di un passato lontanissimo, precoloniale. Ischigualasto, difatti, secondo l’ipotesi più accreditata, ha origine quechua e significa “luogo ove tramonta la luna”. Si tratta di una affascinante formazione geologica situata nella provincia di San Juan, vicina al confine con il Cile. Sulla stessa formazione geologica si estendono sia il Parco provinciale Ischigualasto che il Parco nazionale Talampaya. Entrambi sono nell’elenco dei patrimoni dell’umanità dell’Unesco.
96 Il Parco di Ischigualasto si estende su un’area di 603 chilometri quadrati a un’altitudine di circa 1.300 metri. La vegetazione è tipica dei paesaggi desertici (arbusti, cactus e rari alberi) che copre un quinto dell’area. Il clima di Ischigualasto è molto secco, con piogge concentrate durante l’estate e temperature estreme (minime di -10 e massime di 45 gradi gradi). Un territorio arido, dunque, che ha portato alla definizione di Valle della Luna a causa del loro aspetto aspro, lunare. Gli studi geologici hanno rilevato che nell’era del Carnico era una pianura alluvionale vulcanicamente attiva, dominata da fiumi e con forti piogge stagionali. La presenza di tronchi pietrificati di Protojuniperoxylon ischigualastianus dell’altezza di oltre 40 metri sono la testimonianza che, in quell’epoca, vi era una ricca vegetazione.
I ritrovamenti più comuni sono rappresentati da fossili tetrapodi e da cinodonti. Benché i dinosauri rappresentino solo il 6 per cento dei ritrovamenti, nel Parco sono stati trovati antichi esemplari di entrambi i grandi ordini di dinosauri, gli ornitischi e i saurischi. I fossili più numerosi di questi dinosauri sono rappresentati dagli herrerasauri, arcosauri carnivori.
e z n a c a V t a M à di questo « Le prove esperte, le vere novit come la matemamanuale. Esse mirano a dimostrare in Saper fare, tica permetta di tradurre il Sapere strette fra la maalfine di favorire relazioni sempre più tematica e la quotidianità. strutturati come un « Gli esercizi di ripasso sono atico, partendo gioco di allenamento matem nda. dalla osservazione di ciò che ci circo ico e allo stesso « Con un linguaggio chiaro, sintet piante rare e tempo accattivante, si conosceranno finanche al animali in via di estinzione, risalenti mesozoico. lla con le soluzioni di Per il docente: una guida agile e sne gli esercizi proposti.
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ISBN 978-88-32178-12-8
Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato) è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art 17 c. 2 L.633/1941). Esente da I.V.A. (D.P.R. 26/10/1972, n° 633, art.2 lett. d). Esente da bolla di accompagnamento (D.P.R. 6/10/1978, n° 627, art.4 n°6).
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