Extrait pdf actuariat

En trente ans, l’actuariat s’est adapté voire transformé et a vu naître la gestion actif-passif. L’entrée en vigueur de « Solvabilité 2 » au 1er janvier 2016 bouleverse complètement les repères construits au fil des ans, au profit d’une approche nouvelle de la mesure des risques, plus économique et moins réglementée, donnant à l’actuariat une responsabilité accrue et un rôle clé chez l’assureur.

Quels sont les principes de l’actuariat ? Quelles fonctions recouvre-t-il ?

Dans quels domaines ? Comment ceux qui n’en sont pas experts, peuventils comprendre ses rouages pour assurer une meilleure complémentarité des savoirs ? Par quelle pédagogie, l’actuaire, moins rodé à l’échange transversal, peut-il obtenir de spécialistes d’autres disciplines, l’information pertinente dont il a besoin pour piloter son risque ?

L’objectif de cet ouvrage est d’établir une passerelle entre les métiers en rendant la matière actuarielle accessible aux professionnels non spécialistes ainsi qu’aux étudiants en assurance. Il expose les principes de base de l’actuariat vie, de l’actuariat non-vie, de la gestion actif-passif et du pilier quantitatif de Solvabilité 2. Il en pose les fondements juridiques et les illustre, sans prétendre traiter de tous les cas ni des plus complexes. En limitant la partie théorique à l’essentiel et en multipliant les applications pratiques que chacun peut ainsi s’approprier, cet ouvrage est rendu opérationnel et abordable.

Édith Bocquaire, économiste et actuaire, bénéficie de plus de 25 ans d’expérience à des postes de direction en assurances de personnes. Consultante, elle enseigne aujourd’hui en MBA et en Master à l’École nationale d’assurance, Institut du CNAM, et assure des formations en entreprises.

Elle est également l’auteure de Relever les défis de l’assurance dépendance et la coauteure avec Roger Millot et Alice Rudelle-Waternaux de Assurance de santé : acteurs et garanties publiés aux Éditions L’Argus de l’assurance.

E. Bocquaire

Les grands principes de l’actuariat

Les grands principes de l’actuariat

Les FONDAMeNTAUX Les grands principes de l’actuariat

Édith Bocquaire

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PRÉFACE Solvabilité deux, ou Solvency two, voire Solvency deux…

Le monde de l’assurance, des mutuelles et des institutions de prévoyance ne parlait plus que de cette directive européenne, depuis son adoption le 25 novembre 2009.

La grande question était de savoir quand elle allait s’appliquer en France. La réponse en forme de gag était : « dans six mois », et lorsqu’on reposait plus tard la même question, la réponse était : « je vous l’ai déjà dit, dans six mois ! ». Aujourd’hui on le sait, le texte européen s’appliquera le 1er janvier 2016.

Le présent ouvrage tombe au bon moment car il traite du sujet en vogue dans ses aspects actuariels, mais pas uniquement. Le titre « Les grands principes de l’actuariat » lui donne un objet plus ambitieux et moins circonstanciel. Il s’adresse d’abord à ceux qui veulent devenir actuaires (en 1889, ils furent appelés par les pouvoirs publics « ingénieurs des finances »), c’est-à-dire les spécialistes de l’évaluation des risques dans les organismes qui font métier de les prendre en charge, en l’occurrence les organismes d’assurance.

Conçu comme un traité qui rassemble tous les textes utiles, avec l’aide de nombreux contributeurs, il pourrait constituer un ouvrage de référence, analogue à un code juridique, dans les services d’actuariat.

Les sujets traités et particulièrement bien documentés sont classiquement ceux de la tarification, du calcul des provisions, de la réassurance, de la gestion actif passif et des exigences de marge de solvabilité.

La présentation du livre reste classique par la distinction des risque vie et non vie ; ce qui l’est moins est la présence, dans un même ouvrage, des deux séries de renseignements.

Le nouveau paradigme introduit par Solvabilité 2 consiste à séparer clairement, d’une part ce qui est l’estimation moyenne des engagements pris au titre des contrats au passif du bilan, et d’autre part les fluctuations maximales probables envisagées au-delà de la précédente estimation, ce qui permettra la constitution d’un chiffre théorique permettant de juger de la solvabilité de l’assureur. Par rapport à la situation antérieure, une première nouveauté est l’abandon du principe de prudence comptable qui faisait que les provisions recélaient des bénéfices futurs ; ainsi les bilans sous le régime actuel de Solvabilité I et les bilans sous le régime prochain de Solvabilité II ne sont pas facilement comparables, même pour des rubriques qui porteront le même nom.

Une seconde nouveauté consiste en l’analyse fine des événements créant dans l’avenir les fluctuations du passif comme de l’actif, suivie par une estimation actuarielle des larges fluctuations.

Pour arriver à l’édification de cette ambitieuse construction il fallait un maître d’œuvre particulièrement expérimenté, Édith Bocquaire. Elle fait partie d’une espèce rare d’actuaires qualifiés, ceux qui ont été diplômés par le Conservatoire National des Arts et Métiers (le CNAM) avant 2002, du temps où je m’occupais de cette filière en tant que Professeur. C’est en 1976 qu’elle a soutenu avec succès son mémoire de fin d’études. Une des caractéristiques des actuaires du CNAM est d’avoir été imprégnés, dès l’origine de leur formation, par les réalités concrètes et de les préférer aux élucubrations théoriques. On trouvera le bénéfice de cet état d’esprit dans le recours systématique aux exemples d’applications numériques qui constituent la trame pédagogique de l’ouvrage.

Je voudrais maintenant faire deux digressions inspirées par la lecture des « Grands Principes de l’Actuariat », l’une en forme de mise en garde sur l’usage immodéré du franglais et de la siglomanie, l’autre comme une réflexion sur l’avenir de la profession d’actuaire, en prolongement de la conclusion d’Édith Bocquaire.

Il est normal que les praticiens d’une technique aussi particulière que l’actuariat aient besoin de mots spécialisés. Deux conditions me paraissent nécessaires pour l’utilisation d’un tel langage : la première est www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat que les mots choisis soient sans ambiguïté pour les spécialistes, et la seconde est que le « jargon » ne soit pas utilisé en dehors de leur cercle restreint. À cet égard il faut rappeler que les actuaires ont un devoir de communication aussi bien vis-à-vis des contractants que des entreprises, le troisième « pilier » de Solvabilité II étant d’ailleurs explicitement consacré à la communication financière.

Il faut bien constater que les britanniques sont à l’origine du métier d’actuaire, l’appellation « actuaire » étant la transposition du terme « actuary ». D’autre part, en matière de Finances, la place de Londres est prédominante et on y voit souvent l’apparition d’innovations. Il était donc inéluctable que dans le domaine qui nous concerne, l’anglais soit la langue privilégiée. Au surplus, la complication des notions en cause entraîne la création de dénominations démesurées, et pratiquement on les remplace par des sigles plus courts. Par exemple, le concept d’espérance des profits futurs sur primes futures, « Expected Profits Included in Future Premiums » est désigné par EPIFP. Le danger est que certains se donnent une apparence de technicité en abusant du vocabulaire particulier de la directive et des sigles correspondants, sans être capables d’expliquer en français ce qu’ils signifient, parce qu’ils en ignorent le sens précis. Il ne suffit pas de dire « best estimate » pour expliquer le nouveau calcul des provisions techniques ; la simple traduction, « meilleure estimation », n’apporte d’ailleurs rien de plus et il faut pouvoir détailler sur un exemple la recette de fabrication avec tous ses ingrédients.

L’expérience que j’ai eue des évolutions de la profession d’actuaire en France depuis le début des années 60 m’autorise à imaginer la poursuite des tendances observées en fonction des transformations probables de l’environnement économique et réglementaire de l’assurance.

Pendant longtemps, la protection tutélaire de l’État sur un large secteur nationalisé et le contrôle des prix ont entretenu un grand conservatisme sur un marché qui s’organisa grâce à des ententes tarifaires. Sans concurrence intérieure ou extérieure, les entreprises ne cherchaient pas l’innovation et on se désintéressait quelque peu des actuaires. Leur recrutement à l’IAF (Institut des Actuaires Français, devenu l’Institut des Actuaires) devenait de plus en plus parcimonieux, les promotions annuelles n’étant plus que de 1 ou 2 individus. L’année 1967 est, à cet égard, la plus désastreuse puisqu’aucun candidat ne fut admis.

La construction européenne s’est poursuivie dans l’esprit d’une libéralisation de l’économie, et simultanément on a pu observer un renouveau actuariel. La première directive sur la liberté d’établissement date de 1973 et suite à la création du Centre d’Études Actuarielles, ce n’est pas moins de 23 actuaires qui ont rejoint, en 1972, l’IAF. La première directive sur la solvabilité, encore en vigueur, date de 1979. En France, les contrôles a priori des contrats et des tarifs par l’État avaient commencé à être supprimés à partir de 1986. L’instauration d’un régime de concurrence, les dénationalisations, l’ouverture du marché, ont incité les entreprises qui n’étaient plus sous tutelle à développer leurs services d’actuariat.

La complexité annoncée de la nouvelle directive, ainsi que les demandes explicites faites aux associations d’actuaires, ont provoqué une demande très forte d’actuaires par les sociétés et les mutuelles.

La conjoncture actuellement très favorable pour l’emploi va-t-elle se prolonger ?

Les mêmes causes conduisant aux mêmes effets, je pense qu’il y a lieu d’être optimiste. La tendance à la libéralisation et l’internationalisation de l’économie de l’assurance va demeurer longtemps. Il n’en serait pas ainsi en cas de fermeture des frontières, de retour aux nationalisations et aux contrôles a priori par l’administration ; qui peut croire vraisemblable un tel scénario? Ceci ne veut toutefois pas dire que la forte croissance de la demande d’actuaires, nécessaire pour constituer des équipes suffisantes, va se prolonger indéfiniment. Une fois que les besoins les plus flagrants auront été satisfaits, le développement des effectifs ne devrait pas dépasser celui de l’économie de l’assurance.

L’évidence est qu’en restant amarré au quai dans une rade, un bateau est protégé des tempêtes, mais s’il veut poursuivre son activité de commerce, il lui faut sortir au large et se faire aider par un pilote. Ici, le pilote dont on a besoin est un actuaire suffisamment averti des dangers de l’aventure, avec une carte des récifs et la connaissance des manœuvres à accomplir. Avant d’appareiller qu’il se munisse du présent manuel.

Pierre Petauton Membre agrégé de l’Institut des Actuaires

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Remerciements « Tout seul, on va plus vite. Ensemble, on va plus loin. » (proverbe africain)

Cet ouvrage est le fruit d’un long travail, que je n’aurais pu réaliser seule. En effet, au-delà des éléments de théorie nécessaires à la compréhension de la matière, les cas pratiques nécessitent une expérience avérée que l’on ne peut trouver chez un seul interlocuteur.

Je souhaite donc exprimer ma reconnaissance à toutes les personnes qui m’ont généreusement apporté leur aide et leur temps en me donnant accès à l’information qu’elles détenaient. Bien entendu, leur responsabilité ou celle de la marque qu’elles représentent ne saurait être engagée par cette participation. À cet égard, une mention particulière doit être décernée à Marion Le Camus, sur laquelle j’ai pu m’appuyer entièrement pour la rédaction du chapitre consacré à la gestion actif passif, technique qu’elle maîtrise particulièrement.

Que tous, ici nommés, contributeurs directs, reçoivent l’expression de ma profonde gratitude : – Khedija Abdelmoula et Lamia Laraoui, Actuaires, respectivement Manager et Consultante au sein du cabinet Actuaris, pour leur apport sur le cas touchant la modélisation des provisions des personnes en arrêt de travail, y compris celles du maintien de la garantie décès ; – Mathilde Auzias, Actuaire et Consultante au sein d’un grand cabinet d’audit et de conseil. Sa connaissance pointue des passifs sociaux m’a été très utile pour le cas correspondant ; – Hasna Bagui, titulaire d’un Master de Recherche en Gestion des Risques en Assurance et Finance à l’ISFA, Cadre technique chez Swiss Life. Elle est à l’origine des travaux de refonte des lois de maintien en incapacité et invalidité, synthétisés en étude de cas ; – Laurence Bailly, Actuaire et Dirigeante d’Actu.R.M : Expert Risk Management. Elle a réalisé les principes de construction du cas de calcul de SCR pour des contrats non vie ; – Anne-Charlotte Bongard, Actuaire, Expert ERM et Associée responsable pôle IARD au sein du cabinet Actuaris, pour sa contribution technique sur les cas de tarification et de provisionnement en assurance dépendance ; – Laurence Chrébor, Avocate associée et spécialiste de la protection sociale au sein du cabinet FromontBriens. Le Code de la mutualité commenté (éd. L’Argus) dont elle est coauteur établit des correspondances indispensables entre les articles des différents codes, reprises avec son aide dans ce livre ; – Emmanuel Dubreuil, Actuaire et Managing Director chez Guy Carpenter courtier en réassurance. Il a su transmettre avec simplicité quelques clés de la réassurance non vie, dont le champ technique est complexe et en constante évolution. David Dubois, Actuaire Head of Business Developement and Marketing au sein du réassureur RGA, a complété sur le tableau de synthèse vie ; – Jean-Claude Kahané, Enseignant en mathématiques et statistiques à l’université Paris VIII et à l’École Nationale d’Assurances, pour sa relecture éclairée de l’annexe sur les lois statistiques en non vie ; – Philipe Lalot, Actuaire et CEO Onze Consulting au sein du groupe Pack Solutions spécialiste d’outils informatiques permettant de gérer les produits complexes, et d’accompagner les évolutions réglementaires. Sa connaissance opérationnelle du contrat Eurocroissance a été d’un grand appui pour le cas correspondant ; www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat – Marion Le Camus : Actuaire consultante au cabinet MLC Actuaire Conseil, et Maître de conférences associée à l’ENASS en actuariat et comptabilité. Nous partageons nos visions sur l’enseignement, ses méthodes et la meilleure façon de faire aimer l’actuariat aux étudiants ; – Anne Marion : Actuaire et Dirigeante du cabinet Actuarielles. Sa légitimité en prévoyance d’entreprise a permis d’illustrer par un exemple pratique le provisionnement en assurance santé ; – Laurent Monsigny : Actuaire, Dirigeant de Lectio Actuariat Conseil et Enseignant à l’Institut du Risk Management. Outre sa relecture attentive des exemples chiffrés, sa connaissance opérationnelle du fonctionnement des régimes en points a été très précieuse pour le cas qui leur est consacré ; – Henri Pierre Rodrigues : Actuaire et Responsable d’actuariat en compagnie. Son expertise rare des contrats en unités de compte, de la tarification et du provisionnement des garanties plancher en cas de décès a permis de développer en particulier le cas correspondant.

La réflexion sur les évolutions de l’actuariat a été conduite en s’appuyant sur des rencontres à haut niveau.

Que soient chaleureusement remerciés pour le temps qu’ils m’ont consacré : – Thomas Behar, Actuaire IA, Directeur Technique Groupe – Chief Actuary Officer chez CNP Assurances et Président de l’Institut des Actuaires. Il m’a communiqué sa vision des nouveaux challenges de demain, pour les actuaires, dans un espace mondial en pleine mutation ; – Philippe Marie-Jeanne, Actuaire et Head of the Data innovation Lab, au GIE AXA. Son expertise très pointue et opérationnelle du « Big Data » m’a permis de comprendre les changements de métier à en attendre à court terme.

Enfin, j’ai une pensée chaleureuse pour les anciens étudiants en Master 2 de l’École Nationale d’Assurance qui m’ont accueillie avec bienveillance pour ma première année d’enseignement, et en particulier le groupe « test » qui a relu de façon constructive et pertinente les épreuves : – Osanne Houlle : Assistant contrôleur à la Banque de France ; – Hachem Saidi : Chargé de risques opérationnels chez Malakoff Mederic ; – Antoine Spezzati : Consultant chez Bearing Point, Président « Enass entreprises », qui a coordonné la relecture et les propositions.

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Les principes de tarification

A – Probabilité de survie et de décès Le principe de calcul de la probabilité de survie, pour une personne d’âge x à l’époque n, consiste à comparer le nombre de personnes vivantes d’âge x et le nombre de personnes vivantes d’âge x + n.

Ce principe se base, en actuariat vie, sur la loi des grands nombres en vertu de laquelle, lorsque le nombre d’observations sur des risques homogènes est grand, la probabilité de réalisation d’un événement rejoint la fréquence observée.

Probabilité de survie d’un individu d’âge x pendant 1 an :

Probabilité que l’individu d’âge x soit vivant dans n années :

Tables de mortalité INSEE – TH 00-02 (hommes), TF 00-02 (femmes) – Nombre de vivants par âge

La comparaison de ces deux courbes met en évidence la longévité de la population féminine, notamment à partir de 60 ans.

La probabilité pour une personne d’âge x d’être décédée à l’époque n est le complément à 100 % de la probabilité d’être en vie à l’époque n : – probabilité de décès d’un individu d’âge x dans l’année :

– probabilité de décès d’un individu d’âge x au cours des n prochaines années :

– probabilité de décès d’un individu d’âge x entre les périodes t et t + t’ :

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L’actuariat vie Tables de mortalité INSEE – TH 00-02 (hommes) – TF 00-02 (femmes) – Nombre de décès par âge

L’observation de cette courbe fait apparaître la forte mortalité infantile. Entre 20 et 30 ans, le taux de mortalité des hommes est trois fois plus élevé que celui des femmes, puis deux fois plus élevé jusqu’à 85 ans. Il est démontré cependant qu’un homme en couple vit plus longtemps qu’un homme seul.

Exemple : Sachant que le nombre de vivants à 60 ans, estimé à partir de la table TH 00-02, est de 85 538 et celui à 50 ans de 92 736, la probabilité de survie à 60 ans d’un homme de 50 ans est de (85 538 /92 736) = 92,24 %.

Sa probabilité de décès pendant cette période est donc de 1 – 92,24 % = 7,76 %.

Sachant que le nombre de vivants à 55 ans estimé à partir de la table TH 00-02 est de 89 665, la probabilité pour un homme de 50 ans de décéder entre 55 ans et 60 ans est de : 89 665 /92 736 – 85 538 /92 736 = 96,69 % - 92,24 % = 4,45 %.

B – Les tables de mortalité Différentes tables, établies sur des données démographiques, servent à calculer les probabilités de survie et de décès.

Les tables rétrospectives sont de simples « transcriptions » du passé, les tables prospectives anticipent les évolutions de la longévité.

1° Les tables rétrospectives Ces tables sont à utiliser pour établir les tarifications en cas de décès. Du fait de leur auto-sélection, les assurés en cas de décès ont une mortalité plus élevée que les assurés en cas de vie. Les tables réglementaires en vigueur au 1er janvier 2015 sont les tables TH 00-02 et TF 00-02.

Pour les tarifications en cas de vie, elles sont utilisées avec un mécanisme de décalage d’âge, explicité ultérieurement. Les tables réglementaires en vigueur au 1er janvier 2015 sont les tables TH 00-02 vie et TF 00-02 vie.

Des tables sont mises en place chaque année par l’INSEE à partir de l’enregistrement des décès. Elles sont utilisées par les actuaires pour évaluer les engagements sociaux de type « indemnités de fin de carrière » ou « médailles du travail » des entreprises.

2° Les tables prospectives Dans ces tables, les taux de mortalité par âge sont déterminés pour une génération donnée. Les tables de génération comprennent en fait autant de tables de mortalité qu’il y a d’années de naissance jusqu’à la période d’observation. Les tables réglementaires en vigueur au 1er janvier 2015 sont les tables TGH 05 (hommes) et TGF 05 (femmes).

Une génération peut servir de référence, les autres en découlant par un mécanisme de décalage de génération (ex : table TPG 93 génération 1950).

Soit

le nombre de personnes d’âge x nées dans l’année n,

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Exemple : La tarification précédente, soit 84 728,32 € est exprimée ici en prime annuelle.

Soit en reprenant les valeurs du tableur, l’annuité de paiement pendant 8 ans d’avance s’écrit :

Contrôle par les commutations : Il est possible de retrouver les résultats des points A et B, grâce aux nombres de commutations, dont les formules ont été données précédemment et générées facilement avec le tableur :

C - Calcul de la prime unique pure avec contre-assurance Soit un capital différé payable à un assuré, d’âge x à la souscription : - si l’assuré est vivant au bout de n années ; - si l’assuré est décédé pendant ces n années (mais le capital est payable au terme des n années), il s’agit d’une opération de contre-assurance.

Appliquée à chaque année de la vie du contrat, la formule revient à une opération purement financière qu’il est facile de vérifier :

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Section VI – Étude

de cas : prévoyance collective tarification décès Il s’agit de tarifer les salariés d’une entreprise, en décès, décès accidentel, invalidité absolue et définitive et double effet. Les éléments de démographie donnés permettent de calculer le qx :

CVD = Célibataire, Veuf, Divorcé.

Pour les hommes, la table TH 00-02 est retenue, soit (95 606 - 95 295) / 95 606 = 0,33 %.

Pour les femmes, la table TF 00-02 est retenue, soit (97 872 - 97 724 ) / 97 872 = 0,15 %.

La moyenne pondérée par les effectifs soit 0,33 % * 78 % + 0,15 % * 22 % = 0,287 % est ensuite abattue de 20 % (population ETAM : employés, techniciens et agents de maîtrise).

Il faut ensuite calculer le capital moyen garanti (CMG) qui s’exprime en fonction des tranches de revenus et qui est différent selon la composition familiale :

CVD = Célibataire, Veuf, Divorcé.

Pour les enfants, le poids de 432/325 = 1,33 %, conduit à un CMG de 50 % * 1,33 = 66,4 % * TA, TB. Pour les mariés, le poids de 221/325 = 68 %, conduit à un CMG de 68 % * 150 % = 102,0 % * TA, TB. Pour les isolés avec enfants à charge, le poids de 72 /325 = 22 % conduit à un CMG de 22 % * 150 % = 33,0 % * TA, TB. Pour les isolés sans enfants à charge, le poids de (325 – 221 – 72) / 325 = 10 % conduit à un CMG de 10 % * 100 % = 10 % * TA, TB. Le CMG total s’élève à 66,4 % + 102,0 % + 33,0 % + 10 % = 211,4 % des tranches A et B. La prime décès pure s’élève donc à : 0,287 % * 80 % * 211,4 % = 0,49 % des tranches A et B.

Le contrat est assorti de la garantie décès accidentel (complémentaire) tarifée entre 0,04 % et 0,07 % selon les populations, de la garantie Invalidité Absolue et Définitive (IAD), et de la garantie double effet qui couvre le décès du conjoint survivant en cas de décès simultané ou postérieur.

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(PM = provisions mathématiques)

Section IV – É tudes de cas I – É pargne individuelle en euros et unités de compte A – Cas d’un contrat multi-supports en vie universelle Dans un contrat exprimé en unités de compte, le cours de celles-ci peut varier à la hausse comme à la baisse. C’est l’assuré et non l’assureur qui supporte le risque de placement, sauf s’il investit sur le fonds en euros proposé la plupart du temps comme support sur ce type de contrats.

En cas de décès, le montant de la provision mathématique peut se retrouver inférieur au cumul des versements nets investis sur le contrat. Le principe de la vie universelle consiste à garantir au souscripteur que le capital versé en cas de décès ne peut être inférieur à une certaine somme qui peut être : - le cumul des versements nets : c’est la garantie plancher ; - le cumul des versements nets cliqueté au plus haut de l’épargne du contrat : c’est la garantie cliquet ; - le cumul des versements nets indexé à un taux d’évolution annuel : c’est la garantie indexée ; - un montant forfaitaire.

La garantie décès peut être tarifée de deux manières : - tarification a priori : l’assureur fixe un taux de frais sur encours lui permettant de couvrir ce risque (il supporte alors le risque de décès et le risque de volatilité des unités de compte). Cette tarification induit un provisionnement assez complexe. Un cas est présenté à la troisième partie de la partie actuariat vie ; - tarification a posteriori, à la prime de risque : chaque période (généralement le mois), l’assureur calcule une prime naturelle, sur la base du capital sous risque. Le capital sous risque est la différence positive entre la garantie décès et la provision mathématique du contrat. Dans le cas d’une garantie décès plancher, la garantie décès correspond au cumul des versements nets diminué lors des rachats dans les mêmes proportions que l’épargne.

L’application au capital sous risque du taux de prime mensuel donne la prime correspondant à la garantie décès. Cette prime est directement prélevée sur la PM du contrat.

Ce fonctionnement suppose un contrôle régulier (en général mensuel) du capital sous risque (CSR).

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B – Régimes complémentaires en points Dans le régime complémentaire (ARRCO, AGIRC), le salaire de référence (s) différent du salaire de référence utilisé pour le calcul de la retraite de base, et indexé sur le salaire moyen des cotisants actifs, est le prix d’achat du point.

La valeur du point (v) appliqué au nombre de points acquis détermine le montant de la pension annuelle.

Le rendement d’équilibre est le rapport v/s.

En répartition annuelle, les recettes doivent financer les dépenses, frais compris.

Avec : A, le nombre d’actifs, R le nombre de retraités, Cm la cotisation moyenne, θ le taux de frais de gestion et Pm la pension moyenne.

L’équation d’équilibre s’écrit : Les droits dérivés sont les pensions de réversion et d’orphelins, estimés comme un % majorant de la rente à servir.

Comme dans un régime en points : avec

Il en découle naturellement que : avec nr le nombre de points servis est fonction du nombre d’années de carrière d’où

Le rapport démographique est le quotient du nombre d’actifs par le nombre de retraités. Multiplié par l’inverse du nombre d’années de carrière , cela devient le rendement démographique.

Exemple : Soit dans un régime par répartition en points, une population constituée de 5 000 entrées par an, à l’âge moyen de 30 ans. La liquidation de la retraite se fait à 67 ans, les sorties sont supposées liées uniquement aux décès, selon la table TPRV 93, génération 1950. L’analyse préalable du régime suppose de bien connaître le nombre annuel de liquidations de retraites, le nombre annuel de cotisants et le stock de retraités en portefeuille :

Ainsi, on peut calculer que pour 5 000 entrées, il y aura 5 000 * 86 882 / 94 491 = 4 597 personnes qui prendront leur retraite. Le nombre total de cotisants, soit 5 000 par an pendant 37 ans, correspond à 5 000 * (N30- N67)/ D30 = 5 000 * (5 398 492 – 1 995 999) / 94 991 = 180 043. Le nombre de retraités total correspond à une annuité viagère différée de 37 années, soit 5 000 * 1 995 999 / 94 491 = 105 618. (Ce résultat peut être également obtenu en appliquant une annuité viagère non différée au nombre de retraités soit 4 597 * 1 995 999 / 86 882 = 105 618).

Le rapport démographique est égal à 180 043 / 105 618 = 1,7.

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Les principes de provisionnement Chaque cotisant bénéficie de 100 points de retraite dont la valeur d’acquisition est de 40 € en 2015.

Les retraites annuelles sont proportionnelles au nombre de points acquis. Il s’agit de déterminer la valeur de service du point en appliquant l’équation d’équilibre :

Ainsi, les recettes annuelles s’élèvent à 180 043 * 100 * 40 € * (1 – 5 %) = 684 163 400 €. Elles doivent financer exactement les dépenses, ce qui fixe la valeur de service du point par année à : 684 163 400 / 105 618 /100 / 40 ans * (1 – 3 %) = 1,57 €. Le rendement d’équilibre vaut 1,57 / / 40 € = 3,93 %.

Il est vérifiable en partant du rapport démographique avec la formule : 1,7 / 40 * (1-5 %) * (1 – 3 %) = 3,93 %.

En réalité, l’évaluation prospective du rendement démographique est complexe notamment en raison du rapport démographique A/R à projeter. Le nombre d’entrants n’est pas constant d’une année sur l’autre et la loi « d’élimination » dépasse la loi de mortalité, puisque les actifs peuvent démissionner, entrer en invalidité ou être au chômage. Le principe appliqué est d’analyser chaque génération séparément et de la projeter en utilisant des outils mathématiques et des diagrammes (Schéma de LEXIS).

Il apparaît clairement que le rendement d’équilibre v/s dépend de l’âge d’entrée dans le régime, de la durée de carrière, du taux de croissance des recrutements et du niveau des prélèvements de gestion.

La question se pose, philosophiquement et mathématiquement, de comparer ce rendement en répartition avec celui qui serait obtenu par la capitalisation.

Exemple : L’objectif est de comparer le montant de la rente viagère constituée en répartition à celle qui serait obtenue à la même date en capitalisation. Les cotisations de l’exemple précédent ont été investies en capitalisation, 40 ans avant 2015. Le taux technique du contrat est de 2 %, et l’augmentation moyenne des cotisations et des retraites liée à l’inflation de 1 %.

La première chose à faire est de reconstituer les commutations correspondant à un taux technique de 2 % et une progression géométrique de 1 %, afin de travailler sur des montants croissants. Avec le taux i’ = (1 + 2 %) / (1 + 1 %) - 1 = 1,29 %, les commutations sont générées :

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Les principes de partage des risques Le plein de rétention ou de conservation est la somme maximale que l’assureur peut payer en cas de sinistre, sur un risque unique ou sur un événement.

La rétention est d’autant plus élevée que l’assureur dispose d’un portefeuille de grande taille et bien homogénéisé, et qu’il dispose de réserves substantielles.

Capacité de souscription = conservation (rétention) + capacité des traités de réassurance Il existe deux types de réassurance : la réassurance proportionnelle et la réassurance non proportionnelle.

I – La réassurance proportionnelle La réassurance proportionnelle à un caractère obligatoire ou facultatif.

A – Le principe de la cession en quote-part 1° Fonctionnement La réassurance en quote-part est la cession au réassureur d’une partie des engagements en contrepartie du versement proportionnel d’une partie des primes. Le traité peut être obligatoire avec possibilité de traitement facultatif de certains contrats jugés non standards en termes de niveaux de risque ou de capitaux assurés. Le traité peut être un traité facultatif-obligatoire (pour le réassureur) ou facultatif pour les deux parties.

Le traité de réassurance définit les niveaux minimal et maximal de cession : - la capacité automatique par tête du traité (ou « binding limit ») ; - la limite supérieure du montant total des capitaux assurés (ou « jumbo limit ») ; - et comporte des indications des risques à traiter sur une base facultative (risques aggravés, capitaux élevés...).

Bâti sur le principe du partage de sort entre la cédante et le réassureur, ce type de traité présente l’avantage technique de soutenir des cessions de risques pouvant être déséquilibrés par une diminution généralisée des engagements. Cela entraîne une diminution de l’exigence de marge de solvabilité.

Le traité en quote-part n’offre aucune protection de l’assureur en cas de sinistre catastrophique.

Le réassureur verse une commission de réassurance à l’assureur (la cédante) pour participer aux frais d’acquisition et de gestion des contrats.

Exemple : Soit le portefeuille d’assurance en cas de décès, dont les capitaux assurés et les sinistres observés sont indiqués ci-après. L’assureur est réassuré en quote-part au taux de 30 %. Il s’agit de déterminer le niveau des sinistres pris en charge par le réassureur, conservés par l’assureur, ainsi que la prime de réassurance.

NB : Le total des sinistres concernant l’ensemble des polices assurées pour une valeur < 250 000 € est de 300 000 €, le plus gros sinistre s’élevant à 18 750 €.

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L’actuariat vie Les capitaux réassurés, les primes cédées, et sinistres réassurés sont proportionnels au taux de cession, dans la limite de la capacité du traité. Par exemple, le capital assuré de 2 500 000 € (3e ligne) est réassuré pour 2 500 000 € * 30 % = 750 000 €. La prime de réassurance est proportionnelle à ce capital, soit 3 000 € * 750 000 /2 500 000 = 900 €. Le sinistre réassuré vaut 2 500 € * 750 000 /2 500 000 = 750 €. Le sinistre retenu par l’assureur est donc 2 500 – 750 = 1 750 €.

Mais le capital de 8 750 000 € (1re ligne) qui devrait être réassuré pour 8 750 000 * 30 % = 2 625 000 € est limité à 2 500 000 € par la capacité du traité. C’est pourquoi, il faut partir des proportions de capitaux assurés et réassurés pour déterminer les primes de réassurance et les sinistres à charge du réassureur. Les sinistres de la dernière ligne correspondent à des capitaux dont la valeur unitaire est inférieure au plein.

La prime de réassurance totale est le total des primes individuelles, soit 340 921 € et le sinistre total pris en charge par le réassureur la somme des sinistres individuels, soit 298 875 €. Cela ne correspond pas à la simple application du taux de quote-part aux primes (et sinistres de base), du fait de l’application des limites du traité.

La prime conservée par l’assureur est égale à 1 136 938 € - 340 921 € = 796 017 €.

Capitaux réassurés dans l’exemple de quote-part

Sinistres pris en charge dans l’exemple de quote-part

2° Principe de calcul du taux de conservation L’assureur conserve une fraction q des primes p’’i et des sinistres xi de l’assuré i. Il reçoit de la part du réassureur une commission de réassurance au taux cr , fonction des primes cédées.

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Les principes de partage des risques

Note d’information portant sur les états C8 et C9 et sur la politique de réassurance – Source ACPR – extraits « Le neuvième scénario considéré (ligne 29) concerne les garanties plancher associées aux contrats en unités de compte. Les hypothèses financières retenues pour ce scénario sont identiques à celles retenues dans le cadre du test d’exigibilité introduit à l’article R. 344-4. Par conséquent, les hypothèses consistent par rapport à leur moyenne respective constatée sur les trois dernières années : • en une baisse de l’indice boursier de référence de 30 %, • en une hausse (et non une baisse comme cela apparaît dans le texte de l’arrêté du 16 avril 2004) de deux points des taux d’intérêt de l’obligation de référence, • et en une baisse de 20 % du prix des transactions immobilières.

Ces évolutions sont supposées se produire sans transition et la situation atteinte se maintenir indéfiniment.

La charge de sinistres à renseigner correspond ici à la valeur actuelle probable, calculée au 1er janvier de l’exercice en cours, des prestations (nettes des prélèvements effectués au titre de ces garanties) associées aux garanties plancher jusqu’à leur extinction sous les hypothèses financières précédentes. Le taux d’actualisation à retenir est égal au minimum entre 3, 5 % et 60 % du TME. Entre la table de mortalité TD 88-90 et la table TV 88-90 doit être retenue celle donnant la valeur actuelle probable des prestations la plus élevée. Pour le calcul de la charge nette, sont prises en compte les primes cédées et les prestations cédées, en valeur actuelle probable, et sont appliquées les conditions des traités en vigueur, notamment celles concernant la durée de la garantie, sans tenir compte des renouvellements éventuels de ces traités ».

Section II – É tude de cas : provisionnement d’une couverture « garantie plancher en cas de décès » Remarque : Ce cas peut également trouver sa place dans le chapitre 2 consacré aux principes de provisionnement en vie.

Les réassureurs sont toutefois précurseurs dans la prise en charge de telles couvertures exprimées en pourcentage des provisions mathématiques et de leur provisionnement.

Les contrats d’épargne en unités de compte offrent souvent des garanties d’assurance complémentaires, dites « garanties plancher », qui protègent les bénéficiaires, en cas de décès de l’assuré, contre une éventuelle baisse des unités de compte et garantissent au minimum l’intégralité des primes investies (ou payées).

Le provisionnement de la garantie plancher en cas de décès se fait selon la méthode classique de calcul des provisions mathématiques : il s’agit de la différence entre les valeurs actuelles probables (VAP) des engagements respectivement pris par l’assureur et par l’assuré.

Provisionnement = VAP (engagement assureur) – VAP (engagement assuré) Dans le cas où la tarification se fait en vie universelle (par rapport au capital sous risque), ce provisionnement est nul ; les deux engagements étant égaux.

Dans le cas d’une tarification en pourcentage des provisions mathématiques, il y a lieu de constater une provision.

Pour simplifier, le cas étudié correspond au contrat d’un assuré comprenant un seul support financier (unité de compte). La généralisation à un produit multi-supports se fait naturellement en considérant la moyenne et l’écart-type du portefeuille de supports du contrat d’assurance comme indiqué à la fin de l’étude de cas. www.argusdelassurance.com

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Les principes de tarification Fréquence, coût moyen et prime pure des accidents de responsabilité civile automobile selon le sexe du conducteur principal et son ancienneté de permis en 2011

« En distinguant, dans la population des assurés, les conducteurs novices (moins de 2 ans de permis) des autres conducteurs, l’écart sur le risque observé entre les hommes et les femmes est particulièrement important : d’une part la fréquence est supérieure pour les hommes (232 contre 210 pour les femmes), d’autre part le coût moyen est 1,2 fois supérieur pour les contrats souscrits par les hommes (133 contre 108 pour les femmes). On retrouve dans ce résultat le nombre important d’accidents très graves occasionnés par de jeunes conducteurs masculins.

Cette population de jeunes conducteurs de moins de 2 ans de permis représente peu de contrats en portefeuille (2 % dans l’échantillon) mais le risque afférent est important puisque ces contrats totalisent 5 % de la charge des sinistres de RC ».

Section VI – Études de cas Les deux cas ci-après portent sur des risques plutôt longs, relevant de l’assurance de personnes et proches, dans la méthode utilisée, de l’assurance sur la vie.

I–P révoyance collective : tarification incapacité, invalidité et santé La tarification de la garantie décès y compris accidentel, de l’invalidité absolue et définitive (IAD), du double effet, des rentes de conjoint et d’éducation d’un contrat de prévoyance collective, est étudiée dans la partie 1 – L’actuariat vie, tarifications courantes.

Le contrat de prévoyance comporte une composante non vie parce qu’il couvre également le risque de pertes de revenus en cas d’arrêt de travail, d’invalidité, d’accident du travail et rembourse les frais de soins complémentaires à la sécurité sociale dans le cadre de la couverture santé.

La tarification de ces garanties suppose que soient préalablement définies les notions suivantes :

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L’actuariat non vie Contrairement à la prévoyance lourde où les garanties sont exprimées en fonction du salaire ou de tranches de salaires, la garantie santé dépend du niveau des frais de soins déboursés, de la garantie choisie et du remboursement par les régimes de base. Certains remboursements sont exprimés en fonction d’indices externes comme le Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale (PMSS).

La prime santé est donc naturellement exprimée en euros. Toutefois, dans un contrat collectif, ce montant peut être ramené au salaire, ou tranches de salaires, ou au Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale, ce qui est justifié lorsque des garanties y font référence.

Par exemple, avec un salaire moyen mensuel par salarié de 1 300 €, la prime famille est de 169,6 /1 300 € = 0,13 % du salaire.

Avec un PMSS 2015 de 3 170 €, la prime famille n’est plus que de 0,05 % du PMSS.

Selon une enquête menée par la FFSA-GEMA en 2012, concernant les prestations santé de l’exercice 2011, « les prestations moyennes des femmes sont supérieures à celles des hommes quels que soient la classe d’âge et le niveau de garantie considérés hormis pour les moins de 18 ans.

L’écart moyen est de l’ordre de + 25 %. L’écart peut atteindre jusqu’entre + 55 % et + 70 % pour les 18 – 39 ans avant de diminuer avec l’âge. Les frais de maternité n’expliquent qu’une toute petite partie de cet écart. En effet, même en neutralisant les frais de maternité, l’écart sur les classes d’âge de 18 – 29 ans et de 30 – 39 ans reste compris entre + 50 % à + 70 %.

Les classes d’âges « moins concernées » par la maternité indiquent aussi une surconsommation de soins des femmes par rapport aux hommes.

Globalement, les prestations moyennes des femmes sont supérieures à celles des hommes quels que soient la classe d’âge et le niveau de garantie considérés (sauf pour les moins de 18 ans des contrats « Entrée de gamme ») avec un écart maximum pour les classes d’âges 18-39 ans.

En effet, l’écart moyen est compris entre + 25 % et + 30 %. Pour les 18 – 39 ans, l’écart peut atteindre jusqu’a + 75 % ».

II – L’assurance dépendance L’assurance dépendance est un cas particulier. Classée dans l’assurance non vie, c’est un risque à horizon long dont la technique est très proche de celle de l’assurance vie.

Le produit considéré s’adresse aux personnes non dépendantes souhaitant se prémunir contre le risque de perte d’autonomie. L’assureur s’engage à verser une rente viagère au moment de l’entrée en dépendance.

En contrepartie, l’assuré s’engage à verser une cotisation tant qu’il est vivant et autonome. L’assureur peut proposer une garantie dépendance composée, c’est-à-dire à plusieurs niveaux de prestations selon l’état de dépendance atteint.

Chaque année, un individu autonome peut rester en vie, devenir dépendant (partiel ou total) ou décéder. Un dépendant partiel peut survivre dans le même état de dépendance, passer en dépendance totale ou décéder.

Un dépendant total peut, quant à lui, survivre en dépendance totale ou décéder. Dans ce schéma, l’entrée en état de dépendance est considérée comme définitive, sans rémission possible. Cette hypothèse peut être remise en cause selon la définition donnée à la dépendance partielle dans le produit proposé.

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L’actuariat non vie

III – La provision pour risques en cours (PREC) La provision pour risques en cours, définie par l’article R. 331-6 du Code des assurances, est destinée à couvrir pour l’ensemble des contrats en cours, la charge des sinistres et des frais afférents aux contrats, pour la période s’écoulant : - entre la date de l’inventaire et la date de la première échéance de prime, pouvant donner lieu à révision de la prime par l’assureur ; - ou, à défaut, entre la date de l’inventaire et le terme du contrat, pour la part de ce coût qui n’est pas couverte par la provision pour primes non acquises.

Son mode de calcul est fixé par la réglementation.

Article A. 331-17 du Code des assurances La provision pour risques en cours est calculée dans les conditions fixées au présent article.

L’entreprise calcule, contrat par contrat ou par des méthodes statistiques, séparément pour chacune des catégories définies à l’article A. 344-2 du présent code, le montant total des charges des sinistres rattachés à l’exercice écoulé et à l’exercice précédent, et des frais d’administration autres que ceux immédiatement engagés et frais d’acquisition imputables à l’exercice écoulé et à l’exercice précédent ; elle rapporte ce total au montant des primes brutes émises au cours de ces exercices corrigés de la variation, sur la même période, des primes restant à émettre, des primes à annuler et de la provision pour primes non acquises ; si ce rapport est supérieur à 100 %, l’écart constaté par rapport à 100 % est appliqué au montant des provisions pour primes non acquises et, le cas échéant, des primes qui seront émises, au titre des contrats en cours à la date de l’inventaire, pendant la période définie au 2° bis de l’article R. 331-6 ; le montant ainsi calculé est inscrit en provision pour risques en cours. Pour l’application du présent alinéa, les sinistres sont rattachés : - à l’exercice de survenance pour les catégories 20 à 31 et pour les acceptations couvrant ces catégories ; - à l’exercice de souscription pour les catégories 35 à 38 et pour les acceptations couvrant ces catégories. [...]

Exemple : L’observation des exercices en cours et écoulés permet de calculer le S/P global :

Sur les exercices 2013 et 2014, le rapport S/P s’élève à 112,75 %. Le complément à 100 % est donc de 12,75 %.

Si la provision pour primes non acquises (PPNA) de l’exercice en cours s’élève à 200 000 €, le montant de la provision pour risques en cours (PREC) à constituer est de 12,75 % * 200 000 € = 25 490 €. Au total, l’assureur doit constituer 200 000 € + 25 490 € = 225 490 €.

IV – L a provision pour sinistres à payer (PSAP) En assurance non vie, la provision pour sinistre à payer est la valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés,

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Les principes de provisionnement y compris les capitaux constitutifs des rentes non encore mises à la charge de l’entreprise. Elle est calculée dossier par dossier, en incluant les frais, et elle est nette de recours. S’y ajoute une provision pour les sinistres survenus mais non encore déclarés, les tardifs (IBNR ou Incurred But Not Reported). Par exemple, le sinistre n’est pas déclaré parce que trop récent. Mais aussi, lorsque le contrat comporte une franchise, le sinistre peut être déclaré après la période de franchise, comme au 91e jour en cas d’arrêt de travail. Des retards de gestion sont aussi à l’origine de la constitution de telles provisions.

En non vie, les sinistres sont réglés plus lentement qu’en vie, notamment en automobile sur les corporels graves, en responsabilité civile automobile et générale. Leur analyse doit donc être faite par exercice de survenance et non par exercice comptable. Les états C10 et C11 permettent de déterminer la charge de sinistre par exercice de survenance. Des boni et mali sont constatés par rapport aux provisions antérieurement constituées. L’analyse sur plusieurs exercices permet de connaître in fine le coût réel d’un exercice et vérifier la pertinence du tarif correspondant.

La provision est calculée dossier par dossier mais aussi au travers de méthodes statistiques mises en place par les actuaires. Trois méthodes sont principalement utilisées : - la méthode des cadences (Chain Ladder) : la méthode suppose que le rythme des paiements rapportés à la charge totale soit stable d’une année de survenance sur l’autre ; - la méthode du coût moyen : dans l’hypothèse où les coûts sont prévisibles, le coût de l’exercice est le nombre de sinistres déclarés et non déclarés que multiplie le coût moyen ; - la méthode liquidative : elle consiste à projeter sur le futur les boni ou mali de liquidation observés sur les exercices passés.

A – La méthode des cadences (méthode dite « Chain Ladder ») Le principe consiste à construire des triangles des paiements où figurent les paiements effectués, par année de survenance du sinistre, en tenant compte du délai écoulé. Ces triangles permettent d’établir un rapport entre le sinistre déjà payé et la charge totale de sinistres connue à la fin des développements. Ce rapport est la cadence de règlements. Cette méthode est adaptée aux branches d’assurance à liquidation assez rapide pour lesquelles la cadence a du sens.

La méthode de Chain Ladder, la plus utilisée, est simple : dans un tableau sont consignés les paiements de sinistres Ci,j cumulés pour l’exercice de survenance i au bilan j, soit sur 4 exercices : Exercice de survenance 1 2 3 4

1er bilan

2e bilan

3e bilan

4e bilan

C1,1 C2,1 C3,1 C4,1

C1,2 C2,2 C3,2

C1,3 C2,3

C1,4

Pour chaque exercice de déroulement, est calculé un coefficient de passage fj indépendant de i tel que :

Pour l’exercice de survenance i, le montant de la provision méthode Chain Ladder (CL) est tel que :

avec

à constituer à la fin de l’année j par la

le symbole « produits » appliqué aux différents coefficients de passage.

Exemple : Le tableau ci-après indique le déroulé des paiements correspondant aux exercices de survenance de 2010 à 2014 pour une assurance automobile. L’observation de l’exercice 2010 et de son déroulé permet d’avoir www.argusdelassurance.com

Grands principes de l'actuariat.indb 251

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L’actuariat non vie Table de maintien en invalidité Années Age à l’entrée

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

53

10 000,00

9 895,00

9 735,00

9 523,00

9 242,00

8 983,00

Par exemple, la 5e année, cette probabilité est de 8 983 /10 000 = 0,8983 et le produit est égal à 0,8983 -5 * (1 + 1,48 %) = 0,8347.

Le produit de ce coefficient par le montant garanti donne la provision d’invalidité, soit 7,8268 * 44 163 € * 70 % = 241 958 €.

- Le coefficient de maintien de la garantie décès pour l’invalidité de 0,1222 se calcule en faisant la somme, jusqu’à la fin de la table, des termes combinant la probabilité d’être dans l’état d’invalidité, le coefficient d’actualisation (en utilisant le taux vie) et la probabilité de décès.

Table de mortalité des invalides Années Age à l’entrée

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

53

10 000,00

9 846,00

9 699,00

9 557,00

9 417,00

9 278,00

Par exemple, au bout de 4 ans, le terme vaut 0,9242 * (1 + 0,75 %) -4,5 * (1 – 9 278 /9 417) = 0,01319 La provision mathématique est le produit du coefficient par le montant garanti, soit 0,1222 * 44 163 € = 5 397 .

La provision totale est égale à 241 958 € + 5 397 € = 247 355 €.

b) Au bout de 3 ans d’invalidité

PM = provision mathématique ; MGDC = maintien de la garantie décès.

c) Au bout de 5 ans d’invalidité

PM = provision mathématique ; MGDC = maintien de la garantie décès

Les calculs sont établis de manière identique à ceux de l’entrée dans le risque, mais au bout de 3 ans puis de 5 ans d’invalidité.

III – R isque long : provisionnement en assurance dépendance A – Provision pour risques croissants Le raisonnement est le même qu’en actuariat vie.

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22/04/15 19:51

L’actuariat non vie Le huitième scénario considéré (ligne 28) correspond à la simulation d’un événement majeur de type « accidents technologiques ». Cette simulation, que seules les entreprises agréées pour les opérations visées au 1° de l’article L. 310-1 doivent effectuer, porte sur la mise en jeu, en cas d’accident technologique majeur, des garanties en cas de décès souscrites par l’entreprise. Il s’agit pour l’entreprise de retenir, au regard de son portefeuille actuel de risques, un événement défavorable de type « accidents technologiques » (rupture d’un barrage, crash d’un avion, explosion d’une usine…) permettant d’apprécier le degré de protection que lui confèrent ses couvertures en réassurance. Il peut notamment s’agir d’un événement défavorable que retient l’entreprise afin d’établir et d’analyser son programme de réassurance.

D – La part des réassureurs dans les sinistres : état C13 Cet état permet à l’ACPR d’analyser la part des réassureurs dans les sinistres par année de survenance.

Section II – É tude de cas : responsabilité civile automobile - la réassurance des rentes En dommages corporels, les rentes versées sont calculées et provisionnées conformément à l’article A. 331-10 du Code des assurances : « 1° Une loi de survie en invalidité définie par la table TD 88-90 homologuée par l’arrêté du 27 avril 1993 réactualisant les tables de mortalité ; […] 2° Un taux d’actualisation qui ne peut excéder 60 % du taux moyen au cours des vingt-quatre derniers mois des emprunts de l’État français, sans pouvoir dépasser 3,5 % ; […] ».

En responsabilité civile automobile, les rentes sont indexées sur l’indice des accidents du travail. Pour les accidents de circulation postérieurs à janvier 2013, la revalorisation n’est plus à charge du FGAO (Fonds de garantie des assurances obligatoires de dommages) mais de l’assureur et du réassureur.

Exemple : Sur la base de la table TD 88-90, une victime de 40 ans a 86,42 % de chances d’atteindre l’âge de 60 ans.

Au taux de 3,5 % et pour verser 1 euro dans 5 ans à une personne de 40 ans aujourd’hui, il suffit de provisionner 0,8276 €. Pour verser 100 000 € viagèrement chaque année d’avance et jusqu’au décès de l’individu, il faut constituer 100 000 € * (N40/D40) = 100 000 * 20,01759 = 2 001 759,50 €.

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La gestion actif passif et la maîtrise des risques

Section I – La modélisation de l’actif et du passif I – L a dimension financière A – Les risques financiers Les placements des assureurs sont composés d’actifs financiers diversifiés, afin de maximiser la rentabilité des investissements tout en gardant un niveau de risque acceptable.

Pour faire face à ses engagements, l’assureur investit donc dans des actifs de différents types : obligations, actions, immobilier, monétaire...

Les actifs d’assurance représentent 2 070 milliards d’euros à fin 2013. La répartition des actifs par type d’assurance et leur composition est la suivante :

Source : Banque de France- ACPR, Etats détaillés des placements (TCEP) après mise en transparence .

Cette allocation est obtenue après mise en équivalence des OPCVM, c’est-à-dire après avoir remplacé les titres d’OPCVM présents dans les portefeuilles des assureurs, par les titres dans lesquels ces OPCVM investissent.

La principale tendance est la forte allocation obligataire. Les obligations sont plébiscitées parce qu’elles allient rentabilité et risque, notamment pour garantir chaque année le taux minimum garanti aux assurés des contrats en euros.

L’asset liability management (ALM) est un processus clé de l’assureur pour la maîtrise des risques financiers, en particulier le risque de taux, le risque de crédit, le risque actions, le risque immobilier, le risque de concentration et le risque de liquidité.

1° Le risque de taux Il s’agit du risque lié aux variations des taux d’intérêt sur le marché obligataire. Ces risques sont répartis en deux cas : un risque à la baisse des taux qui s’apparente à un risque de réinvestissement et un risque à la hausse des taux qui s’apparente davantage à un risque de liquidation.

S’agissant du risque à la baisse des taux : si les taux baissent, le taux de rendement de l’actif se dilue, le rendement des nouveaux investissements étant plus faible. Le risque pour l’assureur est de ne plus être en mesure de servir les taux minimum garantis sur les contrats.

Pour le risque à la hausse des taux, le risque pour l’assureur est de subir une forte diminution de sa richesse, du fait de la perte de valeur sur son portefeuille obligataire. En cas de forte hausse, l’assureur peut ne plus avoir de plus-values latentes permettant de satisfaire les contraintes de solvabilité. L’autre risque est de

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La gestion actif passif et la maîtrise des risques La première année, les rachats s’élèvent cette fois à 3 % de l’encours, soit 3 % * 1 000 M € = 30 M€.

La PM (provision mathématique) en fin d’année correspond aux contrats toujours en portefeuille, qui sont revalorisés à 3 %, soit (1 000 – 30) * (1 + 3 %) = 999,10 M€. On suppose pour cela que les rachats ont lieu en début d’année et que les contrats rachetés ne reçoivent donc pas de revalorisation.

Les rachats survenus au début de l’année 1 sont donc 999,10 * 3 %, soit 29,97 M€. À la fin de l’année 1, la PM est donc de (999,10 - 29,97) * (1 + 3 %) = 998,20 M€.

Et ainsi de suite.

Chacun de ces flux est ensuite actualisé et pondéré.

La duration de ce passif s’obtient en rapportant la somme de ces flux actualisés pondérés par année à la somme des flux actualisés, soit : Duration D = 8 489,95 M€/1 000 M € = 8,49.

Ces deux hypothèses de taux de rachat envisagés permettent d’obtenir une fourchette de la duration, entre 6,5 et 8,5. Cependant, la présence des options cachées rend le passif particulièrement instable et susceptible de variations importantes.

B – L’adossement des flux de trésorerie Ces modèles statiques permettent d’anticiper les « gaps de trésorerie » et ainsi de planifier la stratégie d’investissement ou d’arbitrage de l’assureur.

Le « gap de trésorerie » est la différence entre les flux de l’actif (coupons, remboursements, dividendes, loyers, intérêts monétaires) et les flux de passif, pour chacune des échéances futures.

La projection de ces flux d’actif et de passif nécessite de faire des hypothèses.

La principale hypothèse est que le portefeuille est en run-off, c’est-à-dire qu’aucune prime nouvelle n’est encaissée. Cette approche peut être poursuivie jusqu’à la liquidation des contrats en portefeuille. Cependant, seule sa vision à moyen terme permet réellement d’envisager des investissements (en cas de gap positif) ou des désinvestissements des actifs (en cas de gap négatif).

Cette procédure d’immunisation est la plus simple et permet d’apprécier le risque de liquidité et de taux. En effet, quand tous les gaps de trésorerie sont nuls, l’assureur n’est pas soumis aux risques de liquidité ou de taux, parce qu’il n’a pas besoin d’effectuer d’investissements ou de désinvestissements et par conséquent de se soumettre aux conditions de marché.

Une telle approche statique fait apparaître un excédent ou une impasse de trésorerie selon que le signe du gap de trésorerie est positif ou négatif. Quand les gaps de trésorerie sur chaque période (total des entrées de flux – total des sorties de flux) sont positifs ou nuls, l’actif est dit adossé au passif.

L’actif est dit parfaitement adossé au passif lorsque les revenus liés aux placements ont lieu aux mêmes moments que les paiements aux assurés.

Illustration 1 : Ce cas est représenté par le graphique suivant :

Dans ce cas, si les projections des flux de passif se confirment, l’assureur ne risque pas de devoir désinvestir des actifs placés et est protégé, en 1re intention contre le risque de taux.

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Les principes de la gestion actif passif

Dans ce cas, si les projections des flux de passif se confirment, l’assureur doit, chaque année, désinvestir des actifs placés.

Les gaps de trésorerie permettent de guider les investissements, afin d’atteindre un adossement des flux de bonne qualité. Cependant, la question des réinvestissements des flux d’actifs est au cœur de ces projections.

En assurance vie et principalement en retraite, la duration de l’actif est souvent plus courte que celle du passif, ce qui nécessite un réinvestissement des arrivées à échéance des titres.

Illustration 2 : Soit un portefeuille de retraite collective placé à 100 % en obligations. Les projections de flux d’actif et de passif sont les suivantes :

Le gap de trésorerie doit être réinvesti lorsqu’il est positif aux meilleures conditions de marché.

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La gestion actif passif et la maîtrise des risques

Le tableau D correspond au tableau des cessions. Le cumul des soldes de trésorerie du tableau B est ici reporté.

Les liquidités disponibles sont déduites de ce cumul des soldes afin d’obtenir le montant des cessions à effectuer .

Dans cet exemple, le scénario de référence fait apparaître un montant de cessions à effectuer de 3 481 779 €.

Pour ce scénario, la valeur de réalisation dégradée des placements étant de 31 546 960 €, cela représente 11,04 % de cessions nécessaires afin de combler le solde négatif. Les plus ou moins-values latentes sur les placements, hors disponibilités et actifs échus dans les 5 ans, représentent 648 372 €. Le résultat de cessions est donc de 648 372 € * 11,04 %, soit 71 560 €.

Ce calcul de cessions est ensuite effectué pour chaque scénario.

Section III – Application pratique : valorisation d’un portefeuille épargne en euros Un assureur commercialise des contrats de type épargne. Le portefeuille est composé de 100 000 contrats, tous identiques. Les caractéristiques du contrat sont les suivantes :

Le calcul est déroulé par année, les hypothèses de rendement financier et de rachat peuvent naturellement être différentes d’une année sur l’autre.

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Les principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 1 calcul du passif. Le taux d’actualisation doit être compatible avec les caractéristiques du passif en termes d’échéance, de devise et de liquidité. L’approche descendante (top down), partant des rendements des obligations observés sur les marchés, est privilégiée par le secteur, parce que limitant les incohérences entre actifs et passifs et reflétant mieux l’illiquidité des passifs d’assurance.

B – L’ajustement pour risque C’est la marge que demanderait un acteur du marché pour gérer le risque lié au passif d’un portefeuille de contrats. Il s’agit donc de la compensation exigée au titre des incertitudes sur le montant et le calendrier des flux de trésorerie auxquels donne lieu l’exécution du contrat. Cet ajustement doit être recalculé à chaque clôture. Sa variation est comptabilisée dans le compte de résultat, au fur et à mesure que l’assureur est libéré du risque.

C – La marge de service contractuelle La marge de service contractuelle (Contractual Services Margin ou CSM) représente l’estimation du stock de profits futurs sur un portefeuille de contrats. Cette marge, qui fait partie des passifs d’assurance, est calibrée sur la prime versée par l’assuré de façon à ce qu’aucun résultat ne soit dégagé à la souscription : les profits seront dégagés au fil de l’eau et intégrés dans le compte de résultat en fonction du service rendu par l’assureur à l’assuré, sur la période de couverture. La marge de service contractuelle (CSM) ne peut pas être négative : si un contrat est déficitaire, la perte est immédiatement reconnue dans le compte de résultat.

Section IV – Application pratique : calcul d’une provision d’assurance vie en normes IFRS Soit un contrat de capital différé avec contre-assurance de la provision mathématique en cas de décès, souscrit le 31 décembre 2013, présentant les caractéristiques suivantes :

Le calcul de la provision en normes IFRS immédiatement après la souscription du contrat consiste à dérouler les flux probables et à les actualiser à partir de la courbe des zéros coupons (ici, courbe IA 31/12/2013).

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Les principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 2 pour traduire à un instant donné l’illiquidité des marchés financiers. Cette illiquidité permettrait à l’assureur d’investir volontairement dans des actifs illiquides bénéficiant d’un rendement supérieur à celui des actifs liquides dès lors que ses engagements envers ses assurés lui permettent une assez bonne prévisibilité des flux futurs et ne le forcent pas à devoir vendre les actifs illiquides de façon imprévue et dans des conditions de marché défavorables.

III – Le risque de contrepartie (default) Il s’agit du risque de perte liée à la défaillance ou la détérioration de qualité de contreparties.

IV – Le risque opérationnel (operational) Il s’agit du risque lié à la défaillance de processus internes, du système d’information ou d’événements extérieurs.

V – Le risque sur actifs incorporels (intangible) Il s’agit du risque de perte liée à la volatilité de la valeur d’actifs incorporels (brevets, marques).

Section II – L es exigences de marge : le SCR (capital de solvabilité requis) I – Le bilan prudentiel Dans Solvabilité 2, le bilan de l’assureur est établi de façon tout à fait différente de celui de Solvabilité 1, puisqu’il cherche à établir la valeur économique de l’activité. C’est le bilan prudentiel. À la notion de marge de solvabilité se substitue la notion de solvency capital requirement (SCR ou capital de solvabilité requis). À la notion d’exigence minimale de solvabilité (EMS) se substitue la notion de minimal capital requirement (MCR ou capital minimum requis).

Solvabilité 1

Solvabilité 2

Source : Altia, cabinet d’actuariat conseil (VNC = valeur nette comptable ; PT = provisions techniques ; FP = fonds propres ; SCR = capital de solvabilité requis, SII = Solvabilité 2).

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Les principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 2 D’une façon générale pour un risque i, le capital requis suite à un choc est tel que : (SCR)i = diminution de l’actif + augmentation du passif soit ici : + 21 M€ + 49 M€ = 70 M€

II – L e calcul du SCR A – Le SCR réglementaire Le SCR (capital de solvabilité requis) est calculé de manière à ce que la probabilité de non ruine à 1 an soit au moins de 99,50 %. C’est une value at risk (VaR) au seuil de 99,50 %, à horizon 1 an, de la perte actualisée.

La Value at Risk définit la perte maximale potentielle qui ne doit être atteinte qu’avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné Graphique représentant une Value At Risk au seuil de 95 % sur 1 jour (loi Normale)

Si la variable aléatoire « résultat » suit une loi normale, les développements exposés aux chapitres tarification vie et non vie s’appliquent. Il s’agit de calculer le coefficient de sécurité β tel que (rappel des 1ers chapitres vie et non vie) :

soit :

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La gestion actif passif et la maîtrise des risques La capacité d’absorption des pertes par la PB peut être estimée à 157,43 M€ (PB calculée précédemment) – 139,90 M€€ = 17,53 M€€.

Le SCR requis est le SCR de base, diminué de la capacité d’absorption des pertes : soit : SCR = 69,87 M€€ - 17,53 M€€ = 52,34 M€.

II – C as de contrats non vie Soit un portefeuille non vie dont les bilans S1 et S2 s’établissent de la manière suivante.

Les actifs de placements sont supposés garder la même valeur dans les deux référentiels :

À l’actif du bilan S2, les provisions cédées sont calculées en best estimate (BE) comme les provisions directes au passif (calculs ci-après).

Pour le passif, s’y ajoute une marge de risque (MR) de 6 % des besoins de SCR calculés ci-après (hors risque de marché) que multiplie la duration du passif , soit ici en année N : 15 409 * 2,068 * 6 % = 1 912,47.

En conséquence et par différence, les fonds propres sont modifiés : par exemple en année N : Fonds propres = 83 943,70 (valeur de l’actif tenant compte des provisions cédées en best estimate) – 51 923,51 (provisions BE) – 3 126,15 (impôts différés) - 1 081,73 (impôts) = 27 812,30. La réserve de réconciliation permettant de passer du bilan S1 au bilan S2 est égale à 27 812,30 – 21 465,26 = 6 347,04. Les impôts différés correspondent à 33 % du résultat, soit lié ici à l’augmentation des fonds propres entre les deux référentiels et tenant compte des impôts déjà réglés : 33 % * (83 943,70 -51 923,51 – 1 081,73 – 21 465,26) = 3 126,15.

Le compte de résultat se décline de la manière suivante. Les placements sont supposés rapporter 3,5 %.

Les primes, prestations versées, frais sont indiquées ci-après. Ils gardent la même valeur sous Solvabilité 1 et 2.

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Annexe I

Glossaire

Actualisation

Détermination de la valeur d’aujourd’hui d’une ou plusieurs sommes futures pour refléter « la valeur temps de l’argent ». La valeur actuelle se calcule à partir de taux d’intérêt déterminés dits « taux d’actualisation ». Lorsque le versement de la somme future est conditionné par un aléa (ex : risque de mortalité), elle devient la valeur actuelle probable (VAP).

Âge moyen actuariel

Âge moyen du groupe au regard des risques assurés en prévoyance collective. Cet âge actuariel n’est pas égal à la moyenne arithmétique des âges des différents salariés mais est pondéré par les salaires.

Ajustement (en statistiques)

Remplacement, dans une série de données, des valeurs observées par d’autres, obtenues par la théorie, ce qui permet de donner une représentation (graphique ou analytique) de la loi de variation du phénomène étudié.

Aléa moral

Possibilité qu’un assuré augmente sa prise de risque, par rapport à la situation où il supporterait entièrement les conséquences négatives d’un sinistre : l’assuré détermine son niveau d’effort pour éviter le risque, en tenant compte du fait qu’il est assuré, et ce niveau d’effort dépend du niveau d’indemnisation.

ALM Asset and Liability Management ou gestion actif passif

Analyse de la situation du bilan et son évolution probable sur un horizon de planification, en fonction de variables (taux d’intérêt, développement commercial, indicateurs macro-économiques et autres variables de marché).

Estimation et pilotage de l’équilibre entre les ressources et les emplois au regard des risques pris par l’assureur, sous contrainte d’un niveau de rentabilité et d’un cadre réglementaire.

Anti-sélection

Résultat de l’asymétrie d’information entre l’assureur et l’assuré, l’assureur ne connaît pas suffisamment les caractéristiques du risque à assurer pour le tarifer au juste prix ou le refuser.

Asymétrie d’information

Déséquilibre entre les informations de l’assureur et de l’assuré, l’un disposant d’informations pertinentes et pas l’autre. L’asymétrie d’information rend possible des comportements opportunistes.

Avance

Prêt à intérêts consenti au souscripteur pendant la vie du contrat d’assurance vie et limité à un pourcentage de la valeur de rachat du contrat.

A

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Table des matières Préface..........................................................................................................................................................................5 Remerciements..........................................................................................................................................................7 Introduction................................................................................................................................................................9 Sommaire...................................................................................................................................................................11 Avant-propos..........................................................................................................................................................13

Première partie - L’actuariat vie Chapitre Ier - Les principes de tarification .............................................................................................. 21 Section I – L a dimension financière........................................................................................................... 21 I – Les principes des intérêts simples ................................................................................................................21 II – Le principe des intérêts composés..............................................................................................................22 Section II – La dimension risque .................................................................................................................23 I – L’aléa viager ...........................................................................................................................................................23 A – Probabilité de survie et de décès...........................................................................................................25 B – Les tables de mortalité................................................................................................................................26 1° Les tables rétrospectives ................................................................................................................ 26 2° Les tables prospectives ................................................................................................................... 26 3° Les tables d’expérience.................................................................................................................... 27 4° Les tables de mortalité des personnes en arrêt de travail .................................................. 27 5° Les tables de mortalité des dépendants .................................................................................. 29 C – Cas de plusieurs assurés..............................................................................................................................30 D – Espérance de vie............................................................................................................................................31 E – Vie probable......................................................................................................................................................32 II – L a sélection et l’anti-sélection ....................................................................................................................32 III – La marge de sécurité ......................................................................................................................................32 IV – L e principe de la prime pure .......................................................................................................................35 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat Section III – L a dimension coûts de gestion .........................................................................................36 I – Les chargements sur primes............................................................................................................................38 A – Le chargement de gestion g.....................................................................................................................38 B – Le chargement d’acquisition α....................................................................................... 38 II – Les chargements sur encours........................................................................................................................39 III – Les chargements sur les rentes...................................................................................................................39 IV – Les autres chargements..................................................................................................................................39 Section IV – L a tarification.............................................................................................................................40 I – La valeur actuelle probable (VAP)................................................................................................................40 II – Calcul de la prime pure en cas de vie ou de décès ............................................................................40 A – Engagement viager en cas de vie .........................................................................................................40 1° Le capital différé (sans contre-assurance)................................................................................ 40 2° La rente viagère ................................................................................................................................ 42 B – Engagement viager en cas de décès ...................................................................................................43 1° La temporaire annuelle en cas de décès.................................................................................... 43 2° La vie entière ..................................................................................................................................... 45 3° La temporaire de durée limitée ................................................................................................... 46 III – Calcul de la prime d’inventaire ..................................................................................................................46 IV – Calcul de la prime commerciale.................................................................................................................46 V – Calcul des primes périodiques ou fractionnées....................................................................................47 VI – La réglementation en vigueur sous Solvabilité 1...............................................................................48 A – La dimension financière ............................................................................................................................48 B – La dimension risque ....................................................................................................................................50 C – La dimension coûts de gestion ..............................................................................................................54 Section V – A pplications pratiques ............................................................................................................55 I – Capital différé sans et avec contre-assurance – cas des contrats en unités de compte....55 A – Calcul de la prime unique pure sans contre-assurance..............................................................55 B – Calcul de la prime annuelle pure sans contre-assurance...........................................................55 C - Calcul de la prime unique pure avec contre-assurance..............................................................56 D – Calcul de la prime annuelle pure avec contre-assurance..........................................................57 E – Calcul de la prime annuelle d’inventaire et commerciale sans contre-assurance...........57 F – Calcul de la prime annuelle d’inventaire et commerciale avec contre-assurance..........57 G – Cas des contrats exprimés en unités de compte ...........................................................................58 II – Rente viagère sans ou avec réversion – cas des contrats se dénouant en rente..................59 A – Rente viagère individuelle à terme échu ..........................................................................................59 B – Rente viagère individuelle payable d’avance...................................................................................60 C – Rente viagère individuelle payable à terme échu ou d’avance, fractionnée ...................60 D – Rente viagère payable à terme échu ou d’avance réversible ..................................................61 E – Prime d’inventaire et commerciale de rente viagère....................................................................62 F – Cas des contrats se dénouant en rente, exemple d’un contrat multi-supports...............63 494

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Table des matières III – Temporaire décès – cas de la tarification collective ........................................................................64 A – Calcul de la prime unique pure :............................................................................................................64 B – Calcul de la prime annuelle pure...........................................................................................................64 C – Cas d’un contrat lié à un emprunt .......................................................................................................65 D – Cas d’un contrat de prévoyance collective ....................................................................................66 E – Calcul de la prime annuelle d’inventaire et commerciale d’un contrat en cas de décès..............................................................................................................................................68 F – Cas de la tarification en « vie universelle » .......................................................................................68 IV – V ie entière – cas du contrat « obsèques »..............................................................................................69 A – Calcul de la prime unique pure .............................................................................................................69 B – Calcul de la prime annuelle pure ..........................................................................................................70 C – Calcul de la prime d’inventaire et commerciale ...........................................................................71 D – Cas particulier du contrat « obsèques » ..........................................................................................72 1° Calcul de la prime unique pure ................................................................................................... 72 2° Calcul de la prime d’inventaire et commerciale tenant compte du coefficient d’anti-sélection et du fractionnement ......................................................................................74

V – Autres tarifications............................................................................................................................................75 A – Annuité viagère de 1 payable à terme échu, différée de m années.....................................75 B – Annuité viagère de 1 payable d’avance différée de m années .............................................75 C – Annuité temporaire de 1 payable à terme échu pendant n années, différées de m années ................................................................................................................................76 D – Annuité croissante en progression arithmétique de raison 1..................................................76 E – Annuité temporaire de durée n, à terme échu, valant 1 la première année et croissant de 1 chaque année ................................................................................................77 F – Annuité viagère à terme échu de 1 la première année et croissant de 1 chaque année, différée de m années........................................................................................77 G – Annuité d’avance croissante en progression géométrique de raison r................................78 H – Annuité fractionnée en k termes égaux dans l’année ...............................................................78 1° À terme échu ..................................................................................................................................... 78 2° D’avance............................................................................................................................................... 79 I – Assurance décès différée de m années puis temporairement de 1 an .................................79 1° Sans différé ..................................................................................................................................... 79 2° Avec différé de m années .............................................................................................................. 79 J – Assurance décès différée de m années puis temporairement de n années .......................80 K – Assurance mixte.............................................................................................................................................80 L–C ontre-assurance des primes (progression arithmétique)..........................................................80 M–R entes de survie viagère avec entrée en jouissance à la date anniversaire de souscription du contrat...........................................................................................81 Section VI – Étude

de cas : prévoyance collective - tarification décès ...................................82 Chapitre II - Les principes de provisionnement.....................................................................................85 Section I – Les provisions techniques .....................................................................................................86 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat I – La provision mathématique (PM).................................................................................................................87 A – Le principe de calcul des provisions – méthode prospective....................................................87 1° Le capital différé sans contre-assurance ................................................................................. 88 2° La temporaire décès de durée limitée ....................................................................................... 89 B – Le principe de calcul des provisions – méthode rétrospective.................................................90 1° Le capital différé sans contre-assurance ..................................................................................91 2° La temporaire décès de durée limitée ........................................................................................91 C – Le principe de calcul des provisions – méthode de récurrence ............................................92 1° Le capital différé sans contre-assurance ................................................................................. 92 2° La temporaire décès de durée limitée ....................................................................................... 93 D – Les provisions mathématiques au bilan sous Solvabilité 1 ......................................................94 1° Les principes de calculs................................................................................................................... 94 2° Les normes réglementaires en vigueur sous Solvabilité 1................................................... 96 E – Le principe des droits de l’assuré sur la provision mathématique .........................................97 1° La valeur de rachat ou de transfert ........................................................................................... 97 2° L’avance ............................................................................................................................................... 98 3° La réduction ....................................................................................................................................... 98 4° La transformation ............................................................................................................................ 99 5° La liquidation de l’assureur ........................................................................................................ 100 II – L a provision pour participations aux bénéfices (excédents) (PPB ou PPE)........................... 101 A – Le principe de calcul de la provision................................................................................................. 101 1° Le compte technique...................................................................................................................... 103 2° Le compte financier ...................................................................................................................... 103 3° Le compte de participation ......................................................................................................... 104 B – Les normes réglementaires....................................................................................................................108 III – La provision globale de gestion (PGG).................................................................................................109 A – Le principe de calcul de la provision ................................................................................................109 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................111 IV – L a provision pour aléas financiers (PAF)...............................................................................................112 A – Le principe de calcul de la provision .................................................................................................112 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................113 V – La provision pour frais d’acquisition reportés (PFAR)......................................................................114 A – Le principe de calcul de la provision .................................................................................................114 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................115 VI – L a provision pour égalisation (PE)...........................................................................................................115 A – Le principe de calcul de la provision .................................................................................................115 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................116 VII – L a provision de diversification (PD).......................................................................................................117 A – Le principe de calcul de la provision .................................................................................................117 1° Le calcul préalable de la provision mathématique .............................................................. 118 2° La provision technique de diversification (PTD) ................................................................... 118 496

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Table des matières 3° La provision collective de diversification différée (PCDD) ................................................ 119

B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................119 VIII – La réserve de capitalisation.....................................................................................................................121 A – Le principe de calcul de la réserve.....................................................................................................121 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................122 IX – La provision pour risque d’exigibilité des engagements techniques ....................................122 A – Le principe de calcul de la provision.................................................................................................122 B – Les normes réglementaires en vigueur ..........................................................................................123 Section II – Les outils de contrôle et de pilotage .............................................................................123 I – Les principaux états réglementaires sous Solvabilité 1...................................................................123 A – Le compte de résultat technique vie ..............................................................................................123 B – Le compte de résultat non technique .............................................................................................123 C – Le résultat technique par contrats : état C1..................................................................................123 D – Le provisionnement des rentes en service : état C7 ................................................................124 E – Le mouvement des capitaux en euros ou unités de compte et des rentes : état C20 ..........................................................................................................................124 F – L’état récapitulatif des provisions techniques : état C21 ........................................................124 II – L es marges en assurance vie.......................................................................................................................124 A – La marge d’un contrat en cas de décès ..........................................................................................124 B – La marge d’un contrat en cas de vie en euros .............................................................................125 C – La marge d’un contrat en cas de vie en unités de compte ...................................................126 III – La rentabilité et la valorisation d’un portefeuille d’assurance vie...........................................128 A – Le taux de rendement interne (TRI)...................................................................................................128 B – La valeur actuelle nette (VAN) ............................................................................................................128 Section III – Applications pratiques..........................................................................................................129 I – Capital différé sans et avec contre-assurance – cas des contrats en unités de compte.129 A – Calcul de la provision mathématique pure sans contre-assurance ..................................129 B – Calcul de la provision mathématique pure avec contre-assurance...................................130 C – Cas des contrats exprimés en unités de compte.........................................................................132 II – R ente viagère sans ou avec réversion – cas des contrats se dénouant en rente...............133 A – Provision mathématique de rente viagère individuelle ..........................................................134 B – Provision mathématique de rente viagère à terme échu ou d’avance, réversible.......135 III – Temporaire décès – cas d’un contrat lié à un emprunt................................................................135 IV – Vie entière – cas du contrat « obsèques »...........................................................................................136 Section IV – É tudes de cas............................................................................................................................138 I – Épargne individuelle en euros et unités de compte.........................................................................138 A – Cas d’un contrat multi-supports en vie universelle...................................................................138 B – Cas d’un contrat euro croissance........................................................................................................143 II – Retraite collective par capitalisation......................................................................................................147 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat A – Cas d’un passif social ...............................................................................................................................147 B – Cas d’un contrat en points relevant de l’article L. 441 du Code des assurances.......................................................................................................................................................150

III – La retraite par répartition...........................................................................................................................154 A – Régimes de base, en % du salaire.....................................................................................................154 B – Régimes complémentaires en points................................................................................................156 Chapitre III - Les principes de partage des risques ..........................................................................161 Section I – Les types de traités de réassurance..................................................................................162 I – La réassurance proportionnelle..................................................................................................................163 A – Le principe de la cession en quote-part..........................................................................................163 1° Fonctionnement .............................................................................................................................163

2° Principe de calcul du taux de conservation ....................................................................................164 B – Le principe de la cession en excédent de plein ...........................................................................166 1° Fonctionnement .............................................................................................................................166 2° Principe de calcul du plein de réassurance ..........................................................................168

II – L a réassurance non proportionnelle.......................................................................................................169 A – Le principe du traité en excédent de sinistre par tête (XS par tête) .................................169 1° Tarification à partir de l’expérience.......................................................................................... 170 2° Tarification à partir de modèles probabilistes.......................................................................172 3° La prime commerciale ..................................................................................................................172 4° Clauses particulières......................................................................................................................173 5° Fonctionnement...............................................................................................................................173

B – Le principe du traité en excédent de sinistre par événement (XS événement).............174 C – Le principe du stop loss (ou excédent de perte annuelle).......................................................175 III – Synthèse des types de réassurance........................................................................................................177 IV – Le contrôle par l’État....................................................................................................................................177 A – Les acceptations et cessions en réassurance – état C3............................................................177 B – Le plan de réassurance vie – état C8 ...............................................................................................177 C – La dispersion des réassureurs et la simulation d’événements – état C9 .............................178 Section II – É tude de cas : provisionnement d’une couverture « garantie plancher en cas de décès » .....................................................................................................................179 I – Le modèle de Black & Scholes....................................................................................................................181 A – L’engagement de l’assureur...................................................................................................................181 B – L’engagement de l’assuré........................................................................................................................183 II – L e modèle déterministe................................................................................................................................184 A – L’engagement de l’assureur...................................................................................................................184 B – L’engagement de l’assuré........................................................................................................................184 III – Le provisionnement adopté.......................................................................................................................184 498

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Table des matières Deuxième partie - L’actuariat non vie Chapitre Ier - Les principes de tarification.............................................................................................197 Section I – L a dimension financière.........................................................................................................197 I – Les spécificités des assurances non vie à risque court.....................................................................197 II – Le cas particulier des assurances non vie à risque long................................................................197 Section II – La dimension risque ...............................................................................................................199 I – La mesure du risque.........................................................................................................................................199 A – Le principe du modèle individuel ......................................................................................................200 B – Le principe du modèle collectif .........................................................................................................200 C – La modélisation du nombre de sinistres .........................................................................................201 1° La loi binomiale .............................................................................................................................. 201 2° La loi de Poisson ............................................................................................................................. 201 3° Les autres lois de probabilité ..................................................................................................... 202 D – La modélisation du montant de sinistres ......................................................................................203 1° La loi normale N (m, s) ou loi de Laplace-Gauss.................................................................203 2° La loi de Pareto P (a, α) ................................................................................................................203 3° Les autres lois de probabilité .....................................................................................................204 II – L a sélection et l’anti-sélection...................................................................................................................204 A – L’asymétrie d’information .....................................................................................................................204 B – L’aléa moral .................................................................................................................................................. 207 C – L’autoassurance .......................................................................................................................................... 207 III – La marge de sécurité..................................................................................................................................... 207 IV – Le principe de la prime pure..................................................................................................................... 210 Section III – L a dimension coûts de gestion ....................................................................................... 211 I – Les chargements sur primes..........................................................................................................................211 A – Le ratio combiné .........................................................................................................................................211 B – Le rapport sinistres à primes ................................................................................................................212 C – Les chargements de gestion par catégorie ...................................................................................213 II – L es autres chargements et contributions.............................................................................................213 Section IV – L a tarification ..........................................................................................................................214 I – La méthodologie d’élaboration d’un tarif.............................................................................................214 A – La segmentation des risques ................................................................................................................214 1 ° Principe général.............................................................................................................................. 214 2° Le modèle additif............................................................................................................................ 216 3° Le modèle multiplicatif ................................................................................................................ 218 B – L’écrêtement des sinistres ......................................................................................................................220 II – C alcul de la prime pure.................................................................................................................................220 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat A – La densité de distribution .....................................................................................................................220 B – L’espérance mathématique du coût de sinistres ........................................................................221 C – Variance et écart type du coût de sinistres....................................................................................222 D – Le calcul de la prime pure à partir de la fréquence et du coût moyen............................222 E – L’impact d’une franchise .......................................................................................................................223 F – L’impact d’un plafond ............................................................................................................................224 G – Le scoring ....................................................................................................................................................224 H – Le bonus-malus .........................................................................................................................................225 III – Le calcul de la prime commerciale.........................................................................................................226 IV – Le calcul de la prime fractionnée...........................................................................................................226 V – La théorie de la crédibilité...........................................................................................................................227 Section V – Applications pratiques ..........................................................................................................229 I – L’assurance multirisques habitation.........................................................................................................229 II – L’assurance automobile................................................................................................................................231 Section VI – Études de cas............................................................................................................................233 I – Prévoyance collective : tarification incapacité, invalidité et santé...........................................233 II – L’assurance dépendance...............................................................................................................................238 Chapitre II - Les principes de provisionnement...................................................................................243 Section I – L es provisions techniques .....................................................................................................243 I – La provision mathématique des rentes...................................................................................................244 A – Les rentes autres que celles relevant des dommages corporels ..........................................244 B – Les rentes relevant des dommages corporels ...............................................................................245 1° Provisions pour rentes d’incapacité ou d’invalidité..............................................................245 2° Provisions pour rentes en assurance dépendance................................................................249 II – La provision pour primes non acquises (PPNA).................................................................................249 III – La provision pour risques en cours (PREC)..........................................................................................250 IV – La provision pour sinistres à payer (PSAP).........................................................................................250 A – La méthode des cadences (méthode dite « Chain Ladder ») .................................................251 B – La méthode des coûts moyens ...........................................................................................................255 C – La méthode liquidative ...........................................................................................................................256 D – Les autres méthodes ................................................................................................................................257 V – La provision pour risques croissants (PRC)...........................................................................................259 A – L’assurance santé .......................................................................................................................................259 B – L’assurance dépendance .......................................................................................................................262 VI – La provision pour égalisation (PE)..........................................................................................................262 VII – La réserve de capitalisation......................................................................................................................263 A – Le principe de calcul de la réserve ....................................................................................................263 B – Les normes réglementaires en vigueur ...........................................................................................263 500

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Table des matières VIII – La provision pour risque d’exigibilité (PRE) des engagements techniques......................264 A – Le principe de calcul de la provision.................................................................................................264 B – Les normes réglementaires en vigueur............................................................................................264 Section II – L es outils de pilotage et de contrôle .............................................................................264 I – Les principaux états réglementaires sous Solvabilité 1...................................................................264 A – Le compte de résultat technique non vie ....................................................................................264 B – Le compte de résultat non technique .............................................................................................264 C – Le résultat technique comptable par contrats : état C1..........................................................264 D – Le provisionnement des rentes en service : état C7 ................................................................265 E – Le résultat technique par année de survenance : état C10....................................................265 F – Les sinistres par années de survenance : état C11.......................................................................265 G – Les sinistres et résultats par année de souscription : état C12 ...........................................265 II – Les marges en assurance non vie.............................................................................................................265 III – La rentabilité et la valorisation d’un portefeuille d’assurance non vie.................................266 A – Le taux de rendement interne (TRI)...................................................................................................266 B – La valeur actuelle nette (VAN) ...........................................................................................................267 Section III – É tudes de cas ...........................................................................................................................268 I – Assurance incapacité-invalidité – construction de nouvelles tables........................................268 A – Démarche de construction des lois de maintien ........................................................................268 B – Observations.................................................................................................................................................269 1° En incapacité de travail.................................................................................................................269 2° En invalidité ..................................................................................................................................... 270 C – Construction des estimateurs ..............................................................................................................270 D - Lissage des taux bruts ............................................................................................................................ 271 E – Certification par un cabinet d’actuaires indépendant ...........................................................273 F – Exemples.........................................................................................................................................................274 II – R isque long : provisionnement en incapacité-invalidité – provisionnement du maintien de la garantie décès......................................................................................................... 278 A – Rappel des formules.................................................................................................................................278 1° Provision mathématique d’incapacité en cours.....................................................................278 2° Provision mathématique d’invalidité en attente...................................................................278 3° Provision mathématique d’invalidité en cours.......................................................................279 4° Provision mathématique de maintien des garanties décès (PM « MGDC »).................279 B – Cas étudié ....................................................................................................................................................281 1° Provisionnement incapacité à l’entrée dans le risque .......................................................282 2° Provisionnement invalidité .........................................................................................................283 III – Risque long : provisionnement en assurance dépendance........................................................284 A – Provision pour risques croissants .......................................................................................................284 B – Provisions pour rentes..............................................................................................................................285

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Chapitre III - Les principes de partage des risques............................................................................287 Section I – Les types de traités de réassurance ...............................................................................289 I – La réassurance proportionnelle..................................................................................................................290 A – Le principe de la cession en quote-part..........................................................................................290 1° Fonctionnement .............................................................................................................................290 2° Principe de calcul du taux de conservation............................................................................ 291 B – Le principe de la cession en excédent de plein ...........................................................................294 1° Fonctionnement .............................................................................................................................294 2° Principe de calcul du plein...........................................................................................................295 II – L a réassurance non proportionnelle.......................................................................................................296 A – Le principe du traité en excédent de sinistre par risque (XS par risque)................................296 1° Tarification à partir de l’expérience .........................................................................................298 2° Tarification à partir de modèles probabilistes.......................................................................298 3° Autres tarifications ........................................................................................................................299 4° La prime commerciale ..................................................................................................................299 5° Les clauses particulières................................................................................................................299 6° Le fonctionnement.........................................................................................................................300 B – Le principe du traité en excédent de sinistre par événement (XS par événement).... 301 C – Le principe du stop loss (ou excédent de perte annuelle).......................................................305 1° Tarification à l’expérience............................................................................................................306 2° Tarification à l’exposition.............................................................................................................306 III – Le cas des branches à développement long...................................................................................... 307 IV – La synthèse des types de réassurance...................................................................................................308 V – Le contrôle par l’État......................................................................................................................................308 A – Les acceptations et cessions en réassurance : état C3..............................................................308 B – Le plan de réassurance non vie : état C8 ......................................................................................308 C – La dispersion des réassureurs et la simulation d’événements : état C9 ...............................309 D – La part des réassureurs dans les sinistres : état C13 ................................................................. 310 Section II – Étude de cas : responsabilité civile automobile - la réassurance des rentes..310 Principes de base de l’actuariat non vie...................................................................................................314

Troisième partie - La gestion actif passif et la maîtrise des risques Chapitre Ier - Les principes de la gestion actif passif.......................................................................321 Section I – L a modélisation de l’actif et du passif............................................................................322 I – La dimension financière.................................................................................................................................322 A – Les risques financiers................................................................................................................................322 1° Le risque de taux.............................................................................................................................322

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Table des matières 2° Le risque de crédit..........................................................................................................................323 3° Le risque actions..............................................................................................................................323 4° Le risque immobilier.......................................................................................................................325 5° Le risque de concentration...........................................................................................................325 6° Le risque de liquidité......................................................................................................................325

B – Les emprunts obligataires.......................................................................................................................325 C – Le taux de rendement actuariel..........................................................................................................327 D – Le taux de rendement comptable et financier des actifs.......................................................329 1° Le taux de rendement comptable des actifs .........................................................................329 2° Le taux de rendement financier des actifs ............................................................................330

E – La réglementation des actifs.................................................................................................................331 II – La dimension risque........................................................................................................................................332 A – Les risques viagers et options cachées.............................................................................................332 1° En assurance vie..............................................................................................................................332 2° En assurance non vie ....................................................................................................................333

B – La modélisation du comportement des assurés : lois de chutes, de rachats..................333 1° Les décès............................................................................................................................................333 2° Les rachats.........................................................................................................................................333 3° Les lois de cadencement des sinistres......................................................................................334

Section II – L es outils de suivi et de contrôle......................................................................................334 I – Approche statique ou flux de trésorerie................................................................................................334 A – L’adossement des durations..................................................................................................................335 1° Duration et sensibilité d’un actif................................................................................................335 2° Duration d’un passif.......................................................................................................................336 3° Gap de duration...............................................................................................................................336

B – L’adossement des flux de trésorerie...................................................................................................338 C – La notion de surplus..................................................................................................................................340 II – L ’approche dynamique : scénarios déterministes et stochastiques.........................................341 A – Les scénarios déterministes...................................................................................................................341 B – Les scénarios stochastiques...................................................................................................................344 III – L’embedded value – l’appraisal value – la MCEV............................................................................347 A – L’embedded value (ou valeur intrinsèque).....................................................................................347 B – L’appraisal value (ou valeur actuarielle)...........................................................................................348 C – La Market Consistent Embedded Value – MCEV – ....................................................................349 IV – Les états réglementaires sous Solvabilité 1........................................................................................351 A – La simulation actif passif : état T3.....................................................................................................352 B – Le test d’exigibilité : état C6 bis...........................................................................................................353 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat Section III – A pplication pratique : valorisation d’un portefeuille épargne en euros.....356 Chapitre II - Les principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 1......................................361 Section I – Les différents risques de l’assureur..................................................................................363 I – Le risque de souscription...............................................................................................................................363 II – Le risque de marché.......................................................................................................................................364 III – Le risque de contrepartie............................................................................................................................364 IV – Le risque opérationnel.................................................................................................................................364 Section II – L es exigences de marge.........................................................................................................364 I – L’exigence minimale de marge en assurance vie...............................................................................366 II – L’exigence minimale de marge en assurance non vie....................................................................369 Section III – L es outils de contrôle et de pilotage.............................................................................372 I – Les principaux états réglementaires sous Solvabilité 1...................................................................372 A – La représentation des engagements privilégiés : état C5 ......................................................372 B – L’exigence minimale de marge : état C6 ........................................................................................372 II – Les rapports complémentaires au dossier annuel............................................................................373 A – Le rapport de solvabilité..........................................................................................................................373 1° Le niveau suffisant des provisions techniques......................................................................373 2° La politique de réassurance ........................................................................................................373 3° La gestion des placements ..........................................................................................................374 4° La gestion actif passif ..................................................................................................................375 5° La marge de solvabilité ................................................................................................................375 B – Le rapport sur le contrôle interne.......................................................................................................377 III – Les normes IFRS..............................................................................................................................................379 A – Le best estimate liability (meilleure estimation des passifs) .................................................380 B – L’ajustement pour risque........................................................................................................................381 C – La marge de service contractuelle......................................................................................................381 Section IV – Application pratique : calcul d’une provision d’assurance vie en normes IFRS.381 Chapitre III - Les principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 2....................................383 Section I – Les différents risques de l’assureur .................................................................................385 I – Le risque de souscription...............................................................................................................................386 A – Le risque de souscription non vie (non life)...................................................................................386 B – Le risque de souscription vie (life)......................................................................................................386 C – Le risque de souscription santé (health).........................................................................................386 II – L e risque de marché (market)....................................................................................................................386 III – Le risque de contrepartie (default).........................................................................................................387 IV – Le risque opérationnel (operational).....................................................................................................387 504

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Table des matières V – Le risque sur actifs incorporels (intangible)........................................................................................387 Section II – L es exigences de marge : le SCR (capital de solvabilité requis) ......................387 I – Le bilan prudentiel...........................................................................................................................................387 II – Le calcul du SCR...............................................................................................................................................389 A – Le SCR réglementaire ..............................................................................................................................389 B – Le SCR par risques – modèle standard.............................................................................................390 C – Le SCR par risques – modèle interne................................................................................................395 III – Le calcul du MCR (capital minimum requis).....................................................................................398 Section III – L es outils de contrôle et de pilotage ..........................................................................398 I – Les principaux états réglementaires sous Solvabilité 2...................................................................399 A – Le bilan prudentiel.....................................................................................................................................400 1° L’état S.02.01....................................................................................................................................400 2° L’état S.12.01....................................................................................................................................403 3° L’état S.17.01....................................................................................................................................404 4° L’état S.23.01 ...................................................................................................................................405 B – Le calcul du SCR.......................................................................................................................................... 407 1° L’état S.25.01 ................................................................................................................................... 407 2° L’état S.26.01.................................................................................................................................... 407 3° L’état S.26.02....................................................................................................................................408 4° L’état S.26.03 ..................................................................................................................................409 5° L’état S.26.04....................................................................................................................................409 6° L’état S.26.05....................................................................................................................................409 7° L’état S.26.06.................................................................................................................................... 410 8° L’ état S.27.01....................................................................................................................................411 C – Le calcul du MCR .....................................................................................................................................413 1° L’état S.28.01.................................................................................................................................... 413 2° L’état S.28.02.................................................................................................................................... 414 II – L es rapports complémentaires au dossier annuel ...........................................................................414 A – Le RSR (Regular Supervisory Report) ou rapport régulier au superviseur .....................414 B – Le SFCR (Solvency and Financial Conditions Report) ou rapport sur les conditions de solvabilité et financières.............................................................................415 Section IV – A pplications pratiques : impact sur les provisions techniques .......................415 I – Assurance vie......................................................................................................................................................416 II – Assurance santé................................................................................................................................................417 III – Assurance non vie..........................................................................................................................................418 Section V – Études de cas ...........................................................................................................................419 I – Cas de contrats vie en euros – calcul du SCR......................................................................................419 A – La chute des taux ......................................................................................................................................420 www.argusdelassurance.com

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Les grands principes de l'actuariat B – La hausse des taux.....................................................................................................................................420 C – La perte boursière .....................................................................................................................................421 D – La corrélation des risques.......................................................................................................................421 E – La capacité d’absorption par la participation aux bénéfices.................................................421 II – Cas de contrats non vie................................................................................................................................422 A – Le calcul du SCR de souscription........................................................................................................424 1° Calcul du best estimate « primes nouvelles »........................................................................424 2° Calcul du best estimate provisions de sinistres ....................................................................429 3° Calcul du SCR non vie....................................................................................................................430 B – Calcul du SCR de marché ......................................................................................................................433 C – Calcul du SCR de base ..........................................................................................................................434 D – Calcul de l’exigence totale ................................................................................................................434 Principes de base de la gestion actif passif et de la maîtrise des risques.................................436 Conclusion

.......................................................................................................................................................439

Annexes Annexe I - Glossaire .........................................................................................................................................447 Annexe II - Principaux symboles actuariels en assurance vie......................................................457 Annexe III - Tables de mortalité TF-TH 00-02, TGF-TGH 05 (extraits)....................................461 Annexe IV - Principales lois de probabilité en assurance non vie et estimateurs ............469 Annexe V - Lois de maintien en incapacité – invalidité 2010-2013........................................473 Annexe VI - Principales formules ou lois en actif passif et finance.........................................483 Annexe VII - Courbes des taux zéro coupon (IA) et sans risque (EIOPA) 31/12/2014.....487 Annexe VIII - Tableau de concordance entre les textes des différents codes.......................489 Bibliographie ........................................................................................................................................................491 Sitographie ......................................................................................................................................................492 Table des matières...............................................................................................................................................493 Index alphabétique.............................................................................................................................................507

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