Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques by Institut d'Estudis Catalans

BUTLLETÍ

DE LA SOCIETAT CATALANA DE MATEMÀTIQUES

Institut d’Estudis Catalans

Volum 38 • Número 2 • Desembre 2023 BARCELONA

Editat per la Societat Catalana de Matemàtiques filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47 08001 Barcelona

Text original revisat lingüísticament per la Unitat d’Edició del Servei Editorial de l’IEC

Compost per Rosa M. Rodríguez

Imprès a Ediciones Gráficas Rey, SL

ISSN: 0214-316-X

Dipòsit Legal: B 19272-1987

Els continguts del butlletí de la societat catalana de matemàtiques estan subjectes —llevat que s’indiqui el contrari en el text o en el material gràfic— a una llicència Reconeixement - No comercial - Sense obres derivades 3.0 Espanya de Creative Commons, el text complet de la qual es pot consultar a https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/deed.ca. Així, doncs, s’autoritza el públic en general a reproduir, distribuir i comunicar l’obra sempre que se’n reconegui l’autoria i l’entitat que la publica i no se’n faci un ús comercial ni cap obra derivada.

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.38,núm.2,2023

Índex

RosaCamps,XavierMoraiLaiaSaumell

Elmètoded’EneströmiPhragménperaelegirunòrganderepresentació mitjançantllistesobertes..........................................................113

NúriaFagellaiJoanPorti

DosteoremesiunademostraciódeDennisSullivan.............................143

GuillemPerarnau

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada.............................165

Englishsummaries.....................................................................201

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.38,núm.2,2023.Pàg.113–142. DOI:10.2436/20.2002.01.110

Elmètoded’EneströmiPhragménperaelegirun òrganderepresentaciómitjançantllistesobertes

RosaCamps,XavierMoraiLaiaSaumell

Resum: L’elecciód’unòrganderepresentaciómitjançantunavotaciódellistes obertesrequereixunalgorismeadientperadeterminarquinscandidatsresulten seleccionats.L’opciódeseleccionarelsmésvotatstéelgreuinconvenientquepot deixarmoltselectorssenserepresentació.Enaquesttreballestudiemunalgorisme alternatiumésjustquevaserproposataltombantdelssegles xix i xx perGustaf EneströmiEdvardPhragmén.EncomúambaltrespropostesdelmateixPhragmén,se suposaqueelsvotantss’expressenmitjançantelvotd’aprovació,ésadir,cadaelector indicaunallistanoordenadadelscandidatsquelisemblenbécomarepresentants seus.Adiferènciad’altresmètodesdelmateixtipus,aquíescomençafixantunaquota, ésadir,elnombredevotsquedonendretaunescó.Defet,elmètoded’Eneström iPhragménespotveurecomunaextensiódelmètodedelesrestesmajorsallistes obertesenllocdellistestancades,otambécomunaadaptaciódelvotúnictransferible alvotd’aprovacióencomptesdelvotpreferencial.Lespropietatsd’aquestmètode s’estudieniescomparenamblesd’altresmètodesdelmateixtipus.

Paraulesclau: llistesobertes,elecciód’unòrganderepresentació,eleccionsparlamentàries,representacióproporcional,mètoded’EneströmiPhragmén.

ClassificacióMSC2020: 91B12,91B14.

Introducció

Peraelegirunòrganderepresentaciómitjançantllistesobertesnoordenades noésapropiattriarelsmésvotats,jaqueaquestspodencorrespondrenomésa unapartdel’electorat,potserfinsitotminoritàriaencomparacióambeltotal. Suposem,perexemple,queestractad’elegirquatrerepresentantsiqueels votssóncomsegueix:

38 abcd, 33 klmn, 29 pqrs, (1) onvolemdirque38electorsadmetriencomarepresentantsseusqualssevoldelscandidats a, b, c, d,mentreque33electorsindiquenelscandidats k, l, m, n,iunsaltres29electorsespronuncienper p, q, r , s.Aquests Aquestarticleésunaadaptacióalcatalàdelnostremanuscrit«ThemethodofEneströmand Phragménforparliamentaryelectionsbymeansofapprovalvoting»(https://arxiv.org/abs/ 1907.10590).

votstenenl’aspectedecorrespondreaunesllistestancades.Tanmateix,també sóncompatiblesambunplantejamentdellistesobertes,jaqueaquestplantejamentnoimpedeixquediversoselectorsvotinlamateixallista.Siguicom sigui,ambelsvots (1) laregladelsmésvotatselegeixelscandidats b d

Figura 1: ExempledebutlletadellistaobertasegonsD’Hondt[6].L’electorpotmarcarfinsasiscandidatsqualssevol,possiblementdellistes diferents.Alternativament,potmarcarunadelescasellesdelapart superior,queequivalamarcartotselscandidatsd’aquellallista.

Elmètodedel votúnictransferible utilitzael votpreferencial,ésadir,cada electorindicanonoméselseucandidatpreferit,sinóquetambépotdonar unasegonaopció,unatercera,iaixísuccessivamentfinsoncreguioportú.Per adeterminarquinscandidatssónelegits,escomençaperfixarlaquota,ésa dir,elnombredevotsquehad’aconseguirosuperaruncandidatpertalde resultarelegit.Enprincipi,cadacandidatténoméselsvotsonapareixcoma primeraopció.Tanmateix,quanuncandidatsuperalaquotairesultaelegit, cadascundelsvotssobrantséstransferitalcandidatqueocupaelllocsegüent enlabutlleta.Laideaésaplicaraquestprocésreiteradamentfinsquequedin assignatstotselsesconsquehihaviaperrepartir.Sienalgunmoments’escau quenohihacapcandidatqueassoleixilaquota,aleshoress’eliminaelque enaquellmomenttémenysvotsicadascund’aquestsvotséstransferital candidatsegüentenlabutlleta.Isinomésrestenenpeutantscandidatscom esconspendentsderepartir,llavorss’admetentotsaquestscandidats,sigui quinsiguielseunombredevots.Peramésdetallsremetemellectora[39].

Elmètodedeles restesmajors suposaqueelselectorseslimitenatriar entrediversesllistestancades,ésadir,unesllistesdisjuntesdecandidatsles qualshanestatplantejadesprèviament.Apartirdelsvotsobtingutspercada llista,estractadedeterminarquantsrepresentantscorresponenacadascuna d’elles.Ambaquestafinalitat,esprenelnombredevotsdecadallistaies divideixperlaquota.D’entrada,cadallistareptantsesconscomindicala partenteradelquocient.Siaixònoadjudicatotselsescons,llavorselsque quedensónassignatsunaunalesllistesqueobtenenelsresidusmajorsen lesdivisionsprecedents.

Elmètodequeestudiemenaquestarticlevaserformulatclaramentper Eneströmel1896[7].Posteriorment,GustavCasselvadescriureelmateix procedimentel1903[5]sotaelnomde«primermètodedePhragmén».De fet,laideabàsicadelprocedimentéspresentenunaressenyaalapremsa d’unaconferènciaquePhragménhaviapronunciatel1893[24](totiquela propostafinald’aquellaconferènciaesbasavaenelvotpreferencial).Enels anyssegüents,Phragménesvaconcentrarenunaideadiferent,sensecap comentarisobreeltreballd’Eneström[7](quedebensegurqueconeixia;vegeu lescartesalsdiarisd’EneströmiPhragmén[8, 28],publicadesconjuntament elmateixdia).Tanmateix,méstardvatornaralaideainicial(peròentermes delvotd’aprovació)ivaconsiderardiversesvariacions.Aixòesvaferentres memòriesdedifusiómoltlimitadade1906[30,31,32].

AquestesmemòriesvansermotivadesperunapeticiódeFinlàndiaarran d’unareformaparlamentària.Aquestapeticiós’haviadirigitaGöstaMittagLefflerialsseuscol.leguesmatemàticsd’Estocolm,quetambéestaveninteressatseneltemaperalcasdeSuèciamateix[36,p.512–513].

Ditaixò,niFinlàndianiSuècianovanadoptarlapropostadePhragmén. EnelcasdeFinlàndia,esvaadoptar(1907)unmètodebasatenelvot preferencial.Concretament,esvaadoptarelmètodedeBordaharmònic,que descrivimal’apartat5.5.

EnelcasdeSuècia,esvaadoptar(1909)unmètodebasatenelvotd’aprovació.Totiqueenprincipinoeraobligatori,alapràcticalamajorpartdels electorsrestringienlasevallistaaunpartit,elqualindicavenenelseuvot. L’algorismeesreduïallavorsessencialmentaaplicarlaregladeD’Hondtjunt ambunesreglessuplementàriesperadeterminarquinscandidatsconcrets s’elegiendecadapartit.Unad’elleséslareglad’addiciódeThiele,laqual descrivimal’apartat5.2.1.

Peramésdetallshistòricsremetemellectora[13,apèndixs iii, iv],aixícom a[15].

Comveurem,elmètoded’EneströmiPhragmén—mésconcretament,la variantquedetallaremacontinuació—gaudeixd’unespropietatsdeproporcionalitat(teoremes2.1i2.2)quenotenennielmètodedeBordaharmònic, llavorsadoptatperFinlàndia,nield’addiciódeThiele,llavorsadoptatperSuècia.D’altrabanda,lacomparacióamblapropostadePhragménde1894–1899 —anomenada«segonmètodedePhragmén»perCassel[5]—ésmésdisputada, ambalgunavantatgeafavordelmètoded’EneströmiPhragménpelquefaala simplicitat.

Amésdecandidatsindividuals,tambépermetremqueuncandidatsigui unconjuntformatperdiversosindividus.Aixòésadequatperatractarelcas, hipotèticperòambproudesentit,enquèlesopcionsquesesotmetenalvot d’aprovaciónosóncandidatsindividuals,sinóunescandidaturescol.lectives disjuntes(similarmenta[12],onesfaunapropostad’aquesttipusperòusantel votpreferencial).Enaquestcas,s’esperaqueelmètoderesponguialapregunta dequantsesconss’hand’assignaracadacandidatura.

1Elprocediment

1.1Preliminars

Elprocedimentd’EneströmiPhragménreparteixunnombredeterminatd’esconsentrediversoscandidatsquehanestatsotmesosaunvotd’aprovacióper unconjuntd’electors.Téuncaràcteriteratiu.Encadapass’assignaunescóal candidatambelmajornombredevotsielsvotsutilitzatsperdenunafracció delseuvalord’acordambunaquotafixadaprèviament.

Utilitzaremla notació següent:

n nombred’esconsarepartir

I conjuntdecandidatselegibles

i uncandidat

mi capacitatdelcandidat i,ésadir,nombred’esconsquepotomplir (= 1peracandidatsindividuals)

k un«tipus»devots(oelectors)

Ak conjuntdecandidatsaprovatspelselectors k (suposem Ak ≠ )

k √ i unaaltramaneradedirque i ∈ Ak

v nombretotaldevots

vk nombredevotsdetipus k ( k vk = v)

wi nombredevotsqueaproven i: wi = k √ i vk

ni nombred’esconsassignatsalcandidat i (ni ≤ mi)

J

unsubconjuntdecandidats

mJ capacitatdelconjunt J: mJ = i∈J mi

vJ nombredevotsqueaprovenexactamentelconjunt J: vJ = k,Ak=J vk yJ nombredevotsqueaproventotselscandidatsde J: yJ = k,Ak⊇J vk, evidentment, vJ ≤ yJ

nJ nombretotald’esconsassignatsamembresde J: nJ = i∈J ni

q quota,ésadir,nombredevotsquedonendretaunescó

s númeroordinalenelprocésiteratiud’assignaciód’escons x[s] valorde x desprésd’assignarl’escó s,on x potser v,vk,wi,ni,... I[s] conjuntdecandidatsencaraelegiblesdesprésd’assignarl’escó s, ésadir,talsque ni[s]<mi

1.2Versióbàsica

Lesobresd’EneströmiPhragméncontenendiferentsvariacionsendiversos aspectes.Pertald’aconseguirmillorspropietats,hemtriatlacombinacióparticularqueesdescriuacontinuació(quenoésexactamentcapdelesversions consideradesperaquestsautors).

Percomençar,s’adoptalaquota(noarrodonida)deDroopiHagenbachBischoff[33]: q = v/(n + 1).

Els n esconss’assignenmitjançantunprocedimentiteratiu.D’araendavant, s seràuncomptadorqueaugmentaràde0a n.Comencemamb s = 0, vk[0] = vk (elnombredevotsdecadatipus k), ni[0] = 0(nos’haassignatcapescó)i I[0] = I (totselscandidatssónelegibles).

Peracada s icada i ∈ I[s] (elscandidatselegibles)estenenencompteels votsactualmentexistentsafavordelcandidat i: wi[s] = k √ i vk[s].

L’escó s + 1s’assignaauncandidat i∗ ∈ I[s] quemaximitziaquestnombrede vots,ésadir,talque wi∗ [s] = max i∈I[s] wi[s] =: w∗[s] (sihihadiversosmaximitzadors,espermetqualsevold’ells).Pertant, ni∗ [s + 1] = ni∗ [s] + 1, iaquestcandidatdeixadeserelegiblesihaexhauritlasevacapacitat: I[s + 1] = I[s] \{i∗}, si ni∗ [s + 1] = mi∗ .

L’assignaciódel’escó s + 1alcandidat i∗ esfaacanvid’unadeterminada fracciódels w∗[s] votsquelidonensuport.Mésconcretament,elsvotsafavor de i∗ perdenvalord’acordambunfactorcomú:

vk[s + 1] = 1 q w∗[s] vk[s], si k √ i∗ i w∗[s] ≥ q,(2)

vk[s + 1] = 0, si k √ i∗ i w∗[s]<q,(3)

vk[s + 1] = vk[s], si k √ i∗.(4)

Comespotcomprovarfàcilment,enelcas w∗[s] ≥ q escompleixenles igualtatssegüents:

i∗ [s + 1] = wi∗ [s] q, (5) v[s + 1] = v[s] q. (6)

Ésadir,l’escó s + 1s’haassignatexactamentacanvid’unaquota.

Enelcas w∗[s]<q,l’escós’assignaacanvidetotselsvotsexistentsafavor de i∗,malgratquenocompletinunaquota.Pertant,enaquestcasesté wi∗ [s + 1] = 0, v[s + 1]>v[s] q.

Si s + 1 = n,jahemacabat.Encascontrari,esrepeteixelprocediment canviant s per s + 1.

Observació 1.1. Estemsuposantqueelconjuntdecandidats i talsque wi > 0 contéalmenys n elements.

Observació 1.2. Delesigualtats (2)–(4) se’ndedueixque vk[s], wi[s] i w∗[s] sónfuncionsnocreixentsde s

Mésavallseràd’utilitatellemasegüent,queésconseqüènciaimmediata de(6)idelfetquemaxi vi[n] ≤ i vi[n]:

Lema 1 1 Si w∗[s] ≥ q peratota s<n,llavors w∗[n] ≤ v[n] = v[0] nq = q.

Exemple 1 1 Considereml’elecciódetresrepresentantsentreelsnoucandidats a, b, e, f , u, v, x, y, z ambelsvotsd’aprovaciósegüents:

s = 0:21 abx, 20 abef, 19 efuv, 13 uv, 10 xy, 15 z, 2 aeu.

Elnombretotaldevotsés v = 100.Pertant,laquotaés q = v/(n + 1) = 100/4 = 25.Segonsaquestsvots,elsuport wi quetécadacandidat i ésel següent:

s = 0: a 43,b 41,e 41,f 39,u 34,v 32,x 31,y 10,z 15

Elvalormésaltéseldelcandidat a,que,pertant,resultaescollit.D’acord amb (2),elsvotsquecontenen a veuenreduïtelseuvalorsegonselfactor (1 25/43) = 0 419.Aixòdonacomaresultatlesxifressegüentsdevots:

s = 1:8.791 abx, 8.372 abef, 19 efuv, 13 uv, 10 xy, 15 z, 0.837 aeu.

Elsuportquetéaracadacandidatéselsegüent,onutilitzemparèntesispera indicaraquellscandidatsquejahanestatelegitsi,pertant,janosónelegibles:

s = 1: (a 18),b 17.163,e 28.209,f 27.372,u 32.837, v 32,x 18.791,y 10,z 15.

Aixídoncs,elsegoncandidatescollités u.Elsvotsquecontenenaquest candidatesredueixenarapelfactor (1 25/32 837) = 0 239:

s = 2:8.791 abx, 8.372 abef, 4.535 efuv, 3.103 uv, 10 xy, 15 z, 0.200 aeu, quedonallocalsvalorssegüentsde wi:

s = 2: (a 17.363),b 17.163,e 13.107,f 12.907, (u 7.837),v 7.637,x 18.791,y 10,z 15.

Pertant, x éselegitentercerlloc,totitenirmenysd’unaquota.Elstres candidatstriatssón,doncs, a, u i x.Totiquejasabemquihaestattriat,més endavant(secció7)necessitaremconèixertambéelsvotsromanents,quesón elssegüents:

s = 3:0 abx, 8 372 abef, 4 535 efuv, 3 103 uv, 0 xy, 15 z, 0 200 aeu.

1.3Variants

1.3.1Fraccionssimples. A[30, 31, 32]lesequacions (2)–(3) sónsubstituïdes perlasegüent: vk[s + 1] = 1 1 ⌈w∗[s]/q⌉ vk[s], pera k √ i∗.(7)

Noteuqueaquestaequaciócoincideixamb (2)–(3) enelcas w∗[s] ≤ q.Tanmateix,quan w∗[s]/q noésenterisupera1,l’escós’assignaacanvidemenys d’unaquota;enaltresparaules,elssignesd’igualtatde (5) i (6) sesubstitueixen per«≥».Probablement,elfactorracionalde (7) estavapensatperafacilitar elcàlculamà.Unaaltrapossiblemotivaciópodriaserlacomparacióambel mètoded’addiciódeThiele(vegeul’apartat5.2.1).

1.3.2Altresquotes. Lesversionsinicialsd’aquestmètode[7, 30, 31](vegeutambé[5,p.47–50])usavenlaquotadeHare(tambéanomenada quota simple) q = v/n.Ambaquestaquota,elprocedimentanteriorésunaextensió delmètodeestàndarddelesrestesmajors.SegonsMittag-Leffler[21],laquotadeDroopiHagenbach-Bischoffaconsegueixresultatsmillorsencomparació ambelmètoded’addiciódeThiele(vegeulespropietatsdeproporcionalitatque estudiemalasecció2ilasevamancaal’apartat5.2.1).D’altrabanda,també calnotarquelaquotadeDroopiHagenbach-Bischoffjahaviaestatutilitzada perPhragménel1893[24]encàlculsanàlegsa(2)–(4).

1.3.3Quotaactualitzadaacadapas. [30]utilitzalafórmula (7),peròla quota(deHare) q = v[0]/n esvaactualitzantd’acordambl’expressió q′[s] = v[s]/(n s) (comsicadavegadatornéssimacomençarambelsvotsiescons quequedenenaquellmoment).Noteuque q′[s] nodifereixde q finsqueno s’assignenesconspermenysd’unaquota.

1.3.4Elsvotsdeixendecomptarquanquedenbuits (aquestavariantnoméscanvialescosesquanescombinaambl’anterior). Enaquestavariant, l’equació (2) noméss’utilitzaquanelsvotsdetipus k contenenméscandidats elegibles,ésadir,quan Ak ∩ I[s + 1] ≠ ;encascontrari,esposa vk[s + 1] = 0.

1.3.5Condiciódellindar. Quanhihaungrannombredecandidats,llavorspotpassarfàcilmentque w∗[s] siguimoltméspetitque q i,pertant, i∗ aconsegueixiunescóambmoltmenysd’unaquota.Enrelacióambaixò, Phragmén([31,32])proposavad’exigirunacondiciódelaforma w∗[s]/q ≥ α peraalgunllindar α ∈ [0, 1] fixatprèviament;sinoescompleixaquesta condició,elprocediments’aturariaiesconvocariennoveseleccions.Mésconcretament,vasuggerir α = 3/4[31, 32]o α = 1/2[30].Enlanostraversió bàsicanoheminclòsaquestacondició,laqualcosaequivalaprendre α = 0 (talcompassaamblaformulacióhabitualdelmètodedelesrestesmajors).

1.3.6Nombresnegatiusdevots. Aquestavariantaplica (2) independentmentdesi w∗[s] ésmésgranoméspetitque q.Aixòpotdonarllocavalors negatiusde vk[s + 1] pera k √ i∗.Totiaixí,podriatenirsentitperaevitaruna sobrerepresentaciódelselectorsdetipus k enpassosposteriors.

1.4Votuninominal

Lesproposicionssegüentsespecifiquenelcomportamentdelmètode d’Eneström-Phragménenelcasdelvotuninominal,ésadir,quancadaelector aprovauncandidatinomésun.Laprimeraproposició,laprovadelaqualés òbvia,esrefereixalcasdecandidatsindividuals.Lasegonaesrefereixalcas decandidatscol.lectiusdisjunts(llistestancades).

Proposició 1 1 Suposemquetotselscandidatstenencapacitat 1 iquecada electorn’aprovauninomésun.Enaquestcas,elmètoded’Eneström-Phragmén consisteixaseleccionarels n candidatsmésvotats.

Enelcasdecandidatsindividuals,lasituacióuninominaléscertamentpoc desitjableenl’esperitdelarepresentacióproporcional,perquèunamajoria simpled’electorspodriaorganitzar-seperaaconseguirmésesconsdelsqueli corresponen.Noobstantaixò,enaquestasituaciónohihamilloropcióquetriar elscandidatsmésvotats.Afortunadament,alapràctica,elselectorsesveuran conduïtsaaprovarmésd’uncandidat.Elsquetinguinunaopinióminoritària hofaranperproporcionarcandidatsalternatiusambméspossibilitats.Iels quetinguinunaopiniómajoritàriahofaranperobtenirmésrepresentants.

Enelcasdelesllistestancades(disjuntes),lasituacióuninominalsíque permetunresultatenl’esperitdelarepresentacióproporcional:

Proposició 1 2 Suposemquetotselscandidatstenencapacitatillimitadai quecadaelectorn’aprovauninomésun.Enaquestcas,elmètoded’EneströmPhragménequivalalmètodedelesrestesmajorsamblaquotadeDroop.

Demostració. Aquícadatipus k corresponaunsolcandidat i iviceversa.Per tant,podemescriure vi enllocde vk o wi.Acontinuaciódistingiremdoscasos.

Cas(a): w∗[n]<q.Consideremelnúmero

t = min{s | w∗[s]<q}, (8)

isigui ti elnombred’esconsquehanestatassignatsa i enelsprimers t passos delprocediment,ésadir,pera s = 0 ...t 1.Lahipòtesiquedefineixaquestcas garanteixque t ≤ n.Segonsladefinicióde t,pera s<t cadaescóésassignat acanvid’unaquotaexacta.Pertant, vi[t] = vi[0] ti q,o,equivalentment, vi[0] = ti q + vi[t], on0 ≤ vi[t]<q

Aquí,ladesigualtatestrictadeladretaéscertaperquè vi[t] ≤ w∗[t]<q.Així doncs, vi[t] éselresidudedividirelnombredevots vi[0] perlaquota q.Si t = n,llavorsnohihamésesconsperassignari ni = ti.Si t<n,aleshoresper a t ≤ s<n cadaescóésassignatacanvidelresidu vi[t] (laqualcosanomés potpassarunavegadaperacadacandidat).Pertant,aquests n t esconssón assignatsals n t candidatsamblesrestesmajors vi[t]

Cas(b): w∗[n] ≥ q.Comque w∗[s] nocreixamb s (observació1.2),,d’això se’ndedueixque w∗[s] ≥ q peratota s<n.Apartird’aquí,ellema1.1 garanteixque w∗[n] ≤ v[n] = q.I,combinant-hoamblahipòtesid’aquest cas(b),tenim,pertant, w∗[n] = q = v[n].Aixòimplical’existènciad’algun candidat j talque vj [n] = q,mentreque vi[n] = 0pera i ≠ j.Aixídoncs, j haobtingutunescómenysqueelnombredequotescontingudesa vj [0]. Iqualsevol i ≠ j haobtinguttantsesconscomelnombreexactedequotes contingudesa vi[0] (jaque vi[0] = vi[n] + ni q = ni q).Aixídoncs,els nombresinicialsdevotsdelsdiferentscandidatserentotsellsmúltiplesenters

de q.Llevatdelcasd’unanimitattotal,aixòimplicaqueelprocésd’assignació d’esconss’hatrobatambcertessituacionsd’empatquepermetentransferirel dèficitd’unescódesde j aqualsevolaltrecandidat i ambunnombrepositiude vots,benbécomenelmètodedelesrestesmajors(amblaquotadeDroop).✷

2Propietatsdeproporcionalitat

SegonsPhragmén[31],«perallectorversatenmatemàtiques,elcaràcterproporcionaldelareglaproposadadereducciódelaforçadelsvotshauriad’estar clarsensemésexplicació».

Enelcasdellistestancades(idisjuntes),elsvotsclassifiquenelselectors demaneratotalmentparal lelaalscandidats.Aixòpermetcomptarexactament quantselectorshihadecadaclasseiplantejar-sesiunrepartimentdeterminat delsesconsentrelesdiferentsllistesésmésomenysproporcionalaladistribuciódevotsentreelles.Tindríemproporcionalitatexactasielsquocients delsnombresrespectius(devotsid’escons)fossintotsexactamentiguals.Això difícilmentespotaconseguir,perquèestemparlantdenúmerosenters,però existeixendiversosalgorismes—restesmajors,D’Hondt,Sainte-Laguë—que busquenlamanerad’acostar-setantcomespugui(enuncertsentitquevaria segonsl’algorisme)alaproporcionalitatexacta.

Aquestplantejamentnoéspossibleengeneralenelcasdellistesobertes,ja quellavorsnohihaunaclassificacióbendefinida,nidecandidatsnid’electors. Ditaixò,totseguitveuremqueelmètoded’EneströmiPhragméntélapropietat següent:sialgunselectorsaprovenexactamentelsmateixoscandidatsiel nombredetalselectorssupera ℓ vegadeslaquota,llavorsaquestconjunt decandidatsproporcionaalmenys ℓ representants.Osigui,queenaquesta situacióespecialdevotsexactamentiguals,laquotaactuarealmentcoma constantdeproporcionalitatentrevotsiescons.

Aquestapropietatdeixad’estargarantidasielselectorsenqüestióaproven tambéaltrescandidats(amésdelsqueaprovenencomú).Perexemple,enel cas

10 ab, 10 ac, 19 b, 18 c,n = 2, elnombred’electorsqueaprovenelcandidat a és20,quesuperalaquota57/3 = 19;tanmateix,elmètoded’EneströmiPhragménnoelegeixpas a, sinó b i c.Noteu,percert,queaquestaeleccióestàdonantrepresentacióatots elselectors,adiferènciadelcasd’elegir a iunaltrecandidat.Comveuremmés avall,ensituacionsd’aquesttipusestàgarantitquesielnombred’electorsen qüestiósupera ℓ vegadeslaquota,llavorselsrepresentantselegitsn’inclouen almenys ℓ queestrobenenlauniódelsconjuntsaprovatsperaquellselectors.

Recordemdel’apartat1.1que,donatunconjunt J decandidats, mJ ésla sevacapacitat,i vJ i yJ signifiquen,respectivament,elnombredevotsque aprovenexactamentelconjunt J ielnombredelsqueaproven almenys el conjunt J.Enrelacióambaixò,usaremtambélanotaciósegüent:

J ∗ = {Ak | k talque Ak ⊇ J}.

Aixídoncs, i ∈ J ∗ siinoméssi i ésaprovatperalmenysunelectorquetambé aprovatotselselementsde J.

Teorema 2.1. Peraqualsevolsubconjunt J decandidatsiqualsevol ℓ ≤ min(n,mJ ),si vJ >ℓq,llavors nJ ≥ ℓ

Teorema 2.2 (vegeutambé[35,p.4–6]). Peraqualsevolsubconjunt J decandidatsiqualsevol ℓ ≤ min(n,mJ ),si yJ >ℓq,llavors nJ∗ ≥ ℓ

Preparacióperalesdemostracions. Enllocdelnúmero t de (8),aquíconsideraremelsegüent:

p = min{s | w∗[s] ≤ q}. (9)

Afirmemque p ≤ n,ésadir, w∗[s] ≤ q peraalguna s ≤ n.Enefecte,si suposemelcontrari,ésadir, w∗[s]>q peraqualsevol s ≤ n,ellema1.1permetdeduirladesigualtat w∗[n] ≤ q,quecontradiulahipòtesidereduccióa l’absurd.

Peraqualsevolsubconjunt J decandidats,consideraremelnombre pJ de candidatsde J quesónelegitsenelsprimers p passosdelprocediment,és adir,pera s = 0 ...p 1.Òbviament, pJ ≤ nJ .Pertant,peraestablirels teoremes2.1i2.2bastaràdemostrarrespectivamentlesdesigualtats pJ ≥ ℓ i pJ∗ ≥ ℓ.

Enlesdemostracionsquesegueixenlimitemlanostraconsideracióa s = 0 ...p 1,valorsperalsqualsestàasseguratque w∗[s]>q.Elcandidatque éselegitenelpas s eldenotaremamb i∗[s].

Demostraciódelteorema 2.1. Comque vJ = Ak=J vk,quan i∗[s] ∈ J, l’equació(2)implica vJ [s + 1] = 1 q w∗[s] vJ [s] ≥ vJ [s] q, onhemusatelfetque w∗[s] = wi∗ [s][s] ≥ vJ [s].D’altrabanda,quan i∗[s] ̸∈ J, l’equació (4) implicaque vJ [s + 1] = vJ [s].Pertant,escompleixladesigualtat vJ [p] ≥ vJ pJ q.

Suposemaraqueescompleixlahipòtesi vJ >ℓq itambélanegaciódela conclusió,ésadir, pJ ≤ ℓ 1.Comqueestemsuposant ℓ ≤ mJ ,existeixalgun candidat j ∈ J quesegueixessentelegibledesprésdelpas p.Aixòpermet escriurelacadenadedesigualtatssegüent,encontradiccióambladefinició de p: w∗[p] ≥ wj [p] ≥ vJ [p] ≥ vJ pJ q ≥ vJ (ℓ 1)q>q. ✷

Demostraciódelteorema 2 2 Aquíestemconsiderant yJ = Ak⊇J vk iel conjunt J ∗ = Ak⊇J Ak.Unelementde J ∗ noestàcontingutnecessàriamenten

totsaquestsconjunts Ak.Tanmateix,quan i∗[s] ∈ J ∗,lesequacions (2) i (4) encarapermetendeduirladesigualtat yJ [s + 1] =

k[s] ≥ yJ [s] q,

onhemusatelfetque w∗[s] = wi∗ [s] ≥ k √ i∗ ,Ak⊇J vk[s].D’altrabanda,quan i∗[s] ̸∈ J ∗,l’equació(4)garanteixque yJ [s + 1] = yJ [s].Pertant, yJ [p] ≥ yJ pJ∗ q.

Anàlogamentalademostraciódelteorema2.1,aquestadesigualtat,combinada ambleshipòtesis vJ >ℓq i pJ∗ ≤ ℓ 1,aquestaúltimaessentlanegaciódela conclusió,contradiuladefinicióde p,jaquepodemescriurelacadenade desigualtatssegüent,on j representaqualsevolelementde J quesegueix essentelegibledesprésdelpas p (talelementexisteixperlahipòtesi ℓ ≤ mJ ): w∗[p] ≥ wj [p] ≥ yJ [p] ≥ yJ pJ∗ q ≥ yJ (ℓ 1)q>q. ✷

Observació 2.1. Utilitzant (8) enllocde (9),espottractardemanerasimilar lahipòtesimésfeble vJ ≥ ℓq,resp. yJ ≥ ℓq,perademostrarqueladesigualtat nJ ≥ ℓ,resp. nJ∗ ≥ ℓ,noméspotfallarencertscasossingularsque permetendiversesassignacionsdiferents(del’estilquehemvistalfinaldela proposició1.2).Finsitotllavors,algunesd’aquestesassignacionscompleixen laigualtat nJ = ℓ,resp. nJ∗ = ℓ.

Observació 2.2. Enparticular,enelcasdedospartitsambunsnombresde votsigualsrespectivamenta ℓq i (n + 1 ℓ)q,caladmetrelapossibilitatqueel primerpartitnoarribiaobtenir ℓ representants(oelsegonnoarribiaobtenirne n+1 ℓ).Pertant,tenintencompteque q = v/(n+1),elmètoded’Eneström iPhragméncompleix sup{vJ /v | nJ <ℓ}= sup{yJ /v | nJ∗ <ℓ}= ℓ/(n + 1), on sup esrefereixalquepotpassarenunaeleccióarbitrària.Enlanotacióde Janson[16] πsame(ℓ,n) = πPJR(ℓ,n) = ℓ/(n + 1)

Corol.lari 2 1 (Mantenimentdelamajoria). Si n éssenar(resp.parell), mJ ≥ (n + 1)/2 (resp. mJ ≥ n/2)i vJ >v/2 (resp. vJ ≥ v/2),llavors nJ >n/2 (resp. nJ ≥ n/2).Anàlogamentpassaamb yJ i nJ∗ enllocde vJ i nJ

Demostració. Bastanotarquelahipòtesi vJ >v/2(resp. vJ ≥ v/2)implica vJ >ℓq amb ℓ = (n + 1)/2 >n/2(resp. ℓ = n/2). ✷

Observació 2 3 Aquestapropietatpotfallarquans’usalaquotadeHare enllocdeladeDroop.Perexemple[18,p.171]suposemqueestractade

repartir7esconsentretresllistes A, B1 i B2 queobtenen,respectivament,900, 480i400vots.LaquotadeHareés1780/7 = 254.3ielsquocientsrespectius són3 539,1 888i1 573,demaneraquelaregladelesrestesmajorsacaba donant,respectivament,3,2i2escons,sensemajoriaabsolutad’esconsper a A,totiqueteniamajoriaabsolutadevots.Ésmés,lesllistes B1 i B2 podrien correspondreaunmateixpartit,queaixíaconsegueixunescómésqueamb unasolallista B i880vots.

Afinalsdelsegle xix aixòvaportardiversesinstitucionssuïssesaadoptar elmètodedelesrestesmajorsamblaquotadeDroopiHagenbach-Bischoff (vegeu[18,p.171,197,276]i[19,apartat3.2]).

Observació 2.4. Acanvidelapropietatprecedent,noespotevitarlapossibilitatdetenir vJ <v/2,però nJ >n/2.Perexemple,pera n = 5elsvots56 A, 34 B,30 C donencomaresultatelsescons3 A,1 B,1 C,on A témenysdela meitatdelsvotsperòmésdelameitatdelsescons.

Observació 2 5 Peralmètoded’optimitzacióglobaldeThiele(vegeul’apartat5.2)s’hademostratqueenlescondicionsdelteorema2.2estàgarantidala propietataddicionalsegüent[16,teorema7.6]:Existeixuntipus k d’electors talque Ak ⊇ J i Ak contéalmenys ℓ candidatselegits.Aquestapropietatnola compleixelmètodeminimaxiteratiudePhragmén[16,exemple7.4].Nitampoc nolacompleixelmètodequeestudiemaquí.Uncontraexempleéselsegüent:

21 abc1, 21 abc2, 22 c1 c2 c3, 1 c1 c3, 15 c3,n = 3.

Elsesconssónassignatsa c1, c2 i c3,enaquestordre.Comespotveure,la propietatesmentadafallaperalconjunt J ={a,b},peralqual yJ = 42 > 2q.

Observació 2 6 Lavariant1.3.1nocompleixelteorema2.1.Uncontraexempleéselsegüent:

95 A, 79 B, 75 C, 7 AB, 56 AC,n = 3.

Comespotcomprovar,amblavariantesmentadaelpartit B noobtécapescó totiquetémésd’unaquota.

Observació 2.7. L’exemplesegüent,tretde[31,p.14],mostraqueelteorema2.2noescompleixsienllocdelahipòtesi ℓ ≤ mJ esconsidera ℓ ≤ mJ∗ :

120 a1 a2 a3 a4 a5, 86 b1 b2 b3 b4, 24 a2 a3 a4 a5,n = 7.

Laquotaés q = 230/8 = 28 75.Elsesconssónassignatsa a2, a3, a4, b1, a5, b2 i b3,enaquestordre.Pera J ={a2,a3,a4,a5} esté J ∗ ={a1,a2,a3,a4,a5} i yJ = 144 > 5 q.Tanmateix, nJ∗ = 4 < 5.

3Diferentstipusdemonotonia,olasevamanca

Lespropietatsdemonotoniaconsiderenl’efectedemodificaralgunsvots afavord’uncandidatdeterminatidemanenqueaquestcandidatnosigui perjudicatenelresultat.

3.1Monotoniaperacandidatsindividuals

Teorema 3.1. Consideremunaeleccióambcandidatsindividualsiunamodificaciódelsvotsqueconsisteixnomésaafegiraprovacionsafavord’uncandidat determinat,sensecapvariacióenlesaprovacionsquerebenelsaltrescandidats nienelnombretotaldevotsnienelnombrederepresentantsaelegir.Siabans delamodificaciós’assignavaunescóaaquestcandidat,llavorstambéseli assignaràunescódesprésdelamodificació.

Demostració. Acontinuacióutilitzemunatitllaperareferir-nosalesquantitatsquecorresponenadesprésdelamodificaciódelsvots.Sigui i elcandidat queobtéaprovacionsaddicionals.Aixídoncs, wi >wi,mentreque wj = wj peraqualsevol j ≠ i.Suposemqueperalsvotsoriginals i éselegitquan s prenelvalor t.Consideremaraelsvotsmodificats.Afirmemque i éselegit peraalgun s ≤ t.Aixòésobvienelcas t = 0,demaneraqueapartird’ara considerarem t ≥ 1.Suposemquenoéselegitperacap s ≤ t 1ivegemque llavorséselegitpera s = t.Enefecte,lahipòtesiqueestemfentimplica,per inducció,elsfetssegüentspera s ≤ t: ˜ wi[s] ≥ wi[s]; ˜ wj [s] = wj [s] pera qualsevol j ∈ I[s] \{i};elscandidatselegitssónelsmateixosqueambelsvots originals.Aixòdonaelresultatdesitjat,jaque ˜ wi[t] ≥ wi[t] ≥ wj [t] = ˜ wj [t] peraqualsevol j ∈ I[t] \{i} ✷

Observació 3.1. Noespotprescindirdelahipòtesiqueelnombredevots esmantéconstant.Silesnovesaprovacionserenabansvotsbuitsiaquests noerencomptatsenelnombretotaldevots,llavorselcandidatenqüestió potdeixardeserelegitacausadel’augmentqueexperimentalaquota.Per exemple,l’elecciódetresrepresentantsambelsvots

8 b, 7 ab, 4 c, 9 bc, 9 ad, 1 bd, 3 acd, 8 bcd

donaelstresesconssuccessivamenta b, c, a.Iambunvotaddicionalque aprovanomés a,llavorsresultenelegitssuccessivament b, d, c.

Observació 3.2. Enelcasd’empatspotpassarquetantelsvotsoriginalscom elsmodificatsadmetinunaassignacióenquèelcandidatenqüestióéselegiti unaaltraenquèno.Enaquestcas,depenentdequinaassignacióésescollida abansidesprésdelamodificació,potferlasensacióerròniad’unamancade monotonia.

Observació 3.3. Elteorema3.1novalperalavariant1.3.6,quepermetqueel nombredevotsarribiaprendrevalorsnegatius.Unexempleeldonal’elecció dedosrepresentantsambelsvotssegüents:

7 a, 3 b, 2 c, 1 di (i = 1 ... 18).

Laquotaés q = 10.Comespotcomprovar,lavariant1.3.6determinal’elecció de a i b.Tanmateix,sitresdelsvotsquenomésaproven a passenaaprovar també b,llavorsresultenelegits a i c

3.2Mancademonotoniaperacandidaturescol.lectives

Consideremaralasituacióanàlogaenquèelscandidatssónllistesdepartit enllocdecandidatsindividuals.Suposemquehihaunallistaqueésafegidaen algunsvotsqueabansnolaincloïen(mentrequelesaltresllistesmantenen exactamentlesmateixesaprovacionsqueabans).Enaquestasituaciós’esperaria queelpartitenqüestiómantinguésalmenyselmateixnombred’escons.Però nosempreésaixí.

Considerem,perexemple,elcassegüent:

5 A, 4 B, 6 AC, 4 BC,n = 3.

Comespotcomprovar,elprocedimentd’Eneström-Phragménassignaelsesconssuccessivamenta A, B i A.Peròsiundelsvotsquearaaprovennomés B esmodificaiaprovatambé A,llavorselsesconssónassignatssuccessivament a A, C i B.

L’exemplesegüentil.lustraunfenomendelmateixtipusqueenl’observació3.1demésamunt(oncanviaelnombredevots,i,pertant,laquota):

5 A, 3 B, 3 AB, 8 AC, 7 BC,n = 3

Comespotcomprovar,elsesconssónassignatssuccessivamenta A, B i A. Suposemaraqueelsvotsquenomésaproven A augmentenenunaunitat. Desprésd’aquestamodificació,elsesconssónassignatssuccessivamenta A, C i B

Aquestsfenòmenspodenserjustificatsargumentantqueelprocediment d’EneströmiPhragménnomésbuscaqueelconjuntderepresentantsestigui benrepartitentreelselectors.Comqueelsvotsnomésexpressenaprovació, noimportasiunelectorésrepresentatperuncandidatoperunaltre,sempre queambdóscandidatstinguinl’aprovaciód’aquellelector.

3.3Mancademonotoniarespectealamidadelacambra

D’altrabanda,elprocedimentestàadreçataunvalorconcretdelnombretotal d’escons,elqualdeterminalaquota.Noéscapsorpresa,doncs,queelpasde n a n + 1esconsnosempreconsisteixisimplementenafegiruncandidat.Així, l’exemple1.1amb n = 3donacomaresultatl’elecciósuccessivade a, u i x. Encanvi,elsmateixosvotsamb n = 4donencomaresultatl’elecciósuccessiva de a, u, b i z.

4Comportamentasimptòticquan n →∞ enelcasdedos partits

Enaquestasecciósuposemquenoméshihadospartits, A i B —pertant, cadaelectoraprovaobé A obé B ototsdospartits—ienspreguntempel comportamentasimptòticde nA/n i nB /n quan n →∞ ilasevadependència

respectealnombredevotsdecadatipus, vA, vB , vAB .Comqueelselectors queaproventant A com B sónindiferentsentretoteslesproporcionsd’escons entre A i B,elcomportamentidealésreproduirlaproporcióentre vA i vB ,ésa dir,tenirlimn→∞ nA/n = vA/(vA + vB ).

MoraiOliver([22])vanobservarqueelmètodeminimaxiteratiude Phragménesdesviad’aquestcomportamentideal.Defet,ladependènciade limn→∞ nA/n respectea vA, vB , vAB téuncaràctersimilaralafunciódeCantor. AquestfenomenhaestatanalitzatmatemàticamentperJansoniÖberg[17]. Enaquestaseccióveuremqueelmètoded’EneströmiPhragménescomporta millor.

Usaremlanotaciósegüent:

α[s] = vA[s]/v,β[s] = vB [s]/v,ζ[s] = vAB [s]/v; ρ = q/v = 1/(n + 1).

Pera α[0] = β[0] = 0esveufàcilmentqueelprocedimentpermetqualsevol distribuciód’esconsentre A i B.Pera α[0] = 0 <β[0] —resp. β[0] = 0 <α[0] tambéesveufàcilmentquetotselsesconsesdonena B —resp. A. Pertant,a partird’arasuposarem α[0],β[0]> 0. Pelquefaa ζ[0],devegadestractarem separadamentelscasos ζ[0]> 0i ζ[0] = 0(aquestúltimhaestatconsiderata l’apartat1.4).

Encomptesde α[s], α[s + 1], α[s + 2],acontinuacióescriurem α, α′ , α′′ , isimilarmentamb β i ζ.Commostraellemasegüent,sempresomenel cas w∗[s]>q i,pertant,lesassignacionsd’esconsgastensempreunaquota sencera.Mésconcretament,pera s ≤ n 1elsvalorsde (α′,β′,γ′) romanen positiusiestanrelacionatsamb (α,β,γ) delamanerasegüent:

Enelprimercas,l’escóhaestatassignata A ienelsegona B.Pera α = β es permetenlesduespossibilitats.

Lema 4 1 Suposemque ζ[0]> 0.Llavorsescompleixenelsfetssegüents:

(α + ζ,β + ζ)>ρ

s ≤ n 1, (11) (α′,β′ ,γ ′) estanrelacionadesamb (α,β,γ) per (10) ∀s ≤ n 1, (12)

+ β + ζ = 1 sρ = (n + 1 s)ρ

Demostració. Pera s = 0, (13) escompleixperladefinicióde α, β, ζ,ila desigualtat (14) éscertaperhipòtesi.Encarapera s = 0, (11) escompleix perquèaltramenttindríem α + ζ ≤ ρ i β + ζ ≤ ρ,d’onesdeduïriaque α + β + ζ<α + β + 2 ζ ≤ 2ρ,ésadir, (n + 1)ρ< 2ρ,i,pertant, n< 1.

D’altrabanda,peraqualsevol s escomprovafàcilmentque (11) implica (10) i queelsvalorsresultantsde (α′,β′,γ′) satisfan (13) (amb s substituïdaper s +1) i(14).

Pertant,nomésrestademostrarque (11) esmantévàlidapera s ≤ n 1. Sigui s l’últimavegadaqueescompleix (11) isuposemquefos s ≤ n 2.Talcom acabemdeveureenelparàgrafprecedent,aixòimplica α′ + β′ + ζ ′ = (n s)ρ i α′,β′,ζ ′ > 0.Peròestemsuposantque max(α′ + ζ ′,β′ + ζ ′) ≤ ρ.Sense pèrduadegeneralitat,podemsuposartambéque max(α′ +ζ ′,β′ +ζ ′) = α′ +ζ ′ . Combinantaquestsfetsambelvalorconegut α′ + β′ + ζ ′ = (n s)ρ,s’obté que β′ = (n s)ρ (α′ + ζ ′) ≥ (n s 1)ρ ≥ ρ,onhemutilitzatlahipòtesique s ≤ n 2.Tenintencompteque ζ ′ > 0,sesegueixque β′ + ζ ′ >ρ,en contradiccióamblahipòtesianteriormax(α′ + ζ ′,β′ + ζ ′) ≤ ρ. ✷

Lema 4.2. Suposemque ζ[0]> 0.Sil’escó s + 1 s’assignaa A il’escó s + 2 s’assignaa B,aleshoresl’escó s + 3 s’assignanecessàriamenta A (sempreque s + 3 ≤ n).Anàlogamentsiintercanviem A i B.

Demostració. Assignarl’escó s + 1a A il’escó s + 2a B implicalesigualtats

′ = 1

′′ = α ′,β′′ = 1

′ + ζ ′

+ ζ ζ;

′,ζ ′′ = 1 ρ β′ + ζ ′ ζ ′ , itambélesdesigualtats α/β ≥ 1(i α′/β′ ≤ 1).Hauremacabatsidemostrem que α′′/β′′ >α/β (queimplica α′′/β′′ > 1).Comque α′′ β′′ = 1 (1 ρ/(β′ + ζ ′))

′

′ = (1 ρ/(α + ζ)) (1 ρ/(β′ + ζ ′)) α β , n’hihaprouambveureque (1 ρ/(α + ζ)) (1 ρ/(β′ + ζ ′)) > 1.Peròaixòequivalala desigualtat β′ + ζ ′ <α + ζ, ésadir, β + 1 ρ α + ζ ζ<α + ζ, laqualcosaescompleixperquè β ≤ α i ζ> 0(per(14)). ✷

Observació 4 1 Elscàlculsprecedentsmostrenquesi α/β = 1il’escó s + 1és assignata A,llavors α′/β′ = (1 ρ/(α + ζ))α/β< 1il’escó s + 2ésassignat necessàriamenta B (suposantque s + 2 ≤ n).Amés, α′′/β′′ >α/β = 1i l’escó s + 3ésassignatnecessàriamenta A (suposantque s + 3 ≤ n).Continuant ambelmateixargument, α′′′/β′′′ < 1, α′′′′/β′′′′ > 1,etcètera.Aixídoncs,enel cas ζ[0]> 0unempatdelaforma α/β = 1noméspotocórrerunasolavegada.

Lema 4.3. Suposemque ζ[0] = 0 iquel’escó s + 1 ésobjected’unempat,ésa dir, α = β.Siaquestescóésassignata A,llavorsl’escó s + 2 ésassignata B (suposantque s + 2 ≤ n)il’escó s + 3 tornaaserobjected’unempat(suposant que s + 3 ≤ n).Anàlogamentsiintercanviem A i B.

Demostració. N’hihaprouambcomprovarque α′/β′ = (α ρ)/β< 1ique α′′/β′′ = (α ρ)/(β ρ) = 1.L’únicproblemapodriaserquetinguéssim α = ρ i β = ρ,peròaixòimplicaquetotselsesconsanteriorss’handonatacanvi d’unaquotasencera ρ;tenintencompteque (n + 1)ρ = 1ique α + β = 2ρ, se’ndedueixqueenaquestmomentjahemassignat n 1escons,demanera quel’escó s + 1ésl’últim. ✷

Tantenelcas ζ[0]> 0comenelcas ζ[0] = 0elsfetsprecedentstenenla conseqüènciasegüent:

Proposició 4.1. Sigui k elmàximenternonegatiutalqueels k primersescons sónassignatstotsellsalmateixpartitsenseempats(si α = β,llavors k = 0). Aleshores,els n k esconsrestantsesreparteixenobéperigual,obéambun escódediferènciaentreelsdospartits.

Elnostreobjectiuésaracalcularelslímitsde nA/n i nB /n quan n →∞.El resultatseràelsegüent:

Proposició 4 2

Demostració. Elcàlculd’aquestslímitspassaràperestimarelvalordel’enter k queesdefineixenlaproposició4.1.Acontinuaciósuposaremqueel primerescóésassignata A

Enlarestad’aquestasecciótornemautilitzarlanotació α[s], β[s], ζ[s] per asignificarelsvalorsenelpas s,i α, β, ζ tornenasignificarelsvalorsinicials (quecompleixen α + β + ζ = 1).Lahipòtesiqueelprimerescóésassignata A implicaque α ≥ β.

D’acordamblasevadefinició, k éselprimerentertalque α[k] ≤ β[k].El seuvalorespotcalculardelamanerasegüent.Percomençar,delfetqueels primers k esconssiguinassignatstotsellsa A se’ndedueixque

α[k] + ζ[k] = α + ζ kρ. (17)

(18)

Cadascund’aquestsesconshacomportatunfactordereduccióqueafectatant elsvotsquenomésaproven A comelsqueaprovenambdóspartits.D’aixòse’n dedueixque α[k] α = α[k] + ζ[k]

Combinant(17)i(18)s’obtéque

= 1

D’altrabanda,sabemque β[k] = β.Aquestesigualtatspermetendeterminarel primerenter k quecompleix α[k] ≤ β[k],asaber,

= (α

+ ζ) αρ , on ⌈x⌉ significaelméspetitdelsenterssuperiorsoigualsa x.Comque ρ = 1/(n + 1),obtenimque

Finalment,nomésrestatenirencompteque k estàrelacionatamb nA dela manerasegüent: nA = k + (n k)/2pera n k parell, nA = k + (n k ± 1)/2 pera n k senar(elsigne«+»esdonaenelcasd’empats).D’aquestsfetsse’n dedueix (15).Larestricció α ≥ β queapareixa (15) corresponalahipòtesi demésamuntqueelsprimersesconsvanaparara A.Enelcascontrari,la fórmulaanàlogaperalimn→∞ (nB /n) portaa(16). ✷

Figura 2: Dependènciadelimn→∞(nA/n) respectea α pera ζ = 0.376.

Enparticular, (15) i (16) coincideixenadonar limn→∞ (nA/n) = 1/2 pera α = β.D’altrabanda,pera ζ = 0ambduesfórmulesesredueixena limn→∞(nA/n) = α (jaque α + β = 1).

Lafigura2mostraladependènciadellímitrespecte α peraunvalorfixat de ζ (aleshores β = 1 ζ α).

5Comparacióambaltresmètodes

Enaquestasecciólespropietatsprecedentsdelmètoded’Eneströmi Phragmén sóncomparadesamblesdelsprincipalsmètodesalternatiusperaeleccions parlamentàriesmitjançantelvotd’aprovació.Enparticular,consideraremtant elmètodeminimaxiteratiudePhragmén[25, 26, 27, 29]comelsmètodesde Thiele[38],elsqualssóntotsellsextensionsdelaregladeD’Hondtalcasde llistesobertes.Tambéensreferiremal’anomenat mètodedepartsiguals [23], elqualtécertspuntsencomúambeld’EneströmiPhragmén,peròenrealitat ésproudiferent.Finalment,totiquenoutilitzaelvotd’aprovaciósinóelvot preferencial,consideraremtambéelmètodedeBordaharmònic,queenelseu momentFinlàndiavapreferiralmètoded’EneströmiPhragmén.

5.1ElmètodeminimaxdePhragmén

ElmètodeminimaxdePhragménconsideraquecadarepresentant,ésadir, cadacandidatelecte,esreparteixentreels«seus»electors,ésadir,elsque l’hanaprovat.Idealmentestractariaqueaquestrepartiment,nonecessàriamentuniforme,minimitzésladesigualtatentreelectorspelquefaaltotalde representacióobtingudapercadascund’ells.Mésconcretament,aquíPhragmén preteniaminimitzarlamàximarepresentacióobtingudaperunelector.Enel casgeneraldelesllistesobertes,aquestaoptimitzaciónoésfàcildecalcular. Ésperaquestmotiuque,enllocd’això,Phragménvaproposarunprocediment seqüencial«voraç»enquèacadapasesbuscaunrepresentantaddicionalque minimitziaquestarepresentaciómàxima.

Aquestcriteridemínimadesigualtatderepresentacióentreelectorsestà relacionatamblanocióderepresentacióproporcional.Encaraquenoparteix decapquota,resultaqueelmètodeminimaxiteratiudePhragménsatisfà tambéelsteoremes2.1i2.2amb q = v/(n + 1).Ditdemaneraequivalent, assoleixelsvalorsòptimsdelsíndexs πsame i πPJR de[16,apartat7.2](vegeu també[14,sats13.5.(ii)]).

Pelquefaalamonotonia,elmètodeminimaxiteratiudePhragménescomportacomeld’EneströmiPhragmén:lamonotoniaperacandidatsindividuals esmanté[22,proposició7.10]ilamonotoniaperallistesdepartitfalla[22, apartat7.5].Lamonotoniarespectealamidadelparlamentéscertamentuna altraqüestió,jaqueelmètodeminimaxiteratiudePhragméncompleixaquesta propietatperconstrucció.

D’altrabanda,pelquefaalcomportamentasimptòticenelcasdedospartits, elmètodeminimaxiteratiudePhragménpresentauncomportamentespecial enquè,perexemple,lacorbasuaudelafigura2sesubstitueixperunafunció similaraladeCantorenquècadavalorracionaléslaimatged’uninterval demesurapositiva(vegeu[22,apartat7.7]i[17,apartat11.4]).Amésdel caràctersingular,elmètodeminimaxiteratiutambééspitjorqueeld’EneströmPhragménenlamagnituddelesdesviacionsrespectealcomportamentideal (vegeulafigura3de[22]).

5.2ElsmètodesdeThiele

ElsmètodesdeThiele([38])pretenenmaximitzarlasatisfacciótotaldels electors.Enrelacióambaixò,espostulaquelasatisfacció σ d’unelectornomés depèndelnombre h decandidatselectesquehanestataprovatsperaquest elector;aquestadependènciasesuposanodecreixentamb σ(0) = 0i σ(1) = 1.

Mésconcretament,Thielevaprestaratencióespecialalcasenquèaquesta dependènciatélaformasegüent:

σ(h) = 1 + 1 2 +···+ 1 h , amb σ(0) = 0.

Comespotveurefàcilment,aquestafunciótélapropietatque,enelcasdeles llistesdepartit,elcriteridemaximitzaciódelasatisfacciótotalcondueixala regladeD’Hondt.

Comal’apartat5.1,lacomplexitatcomputacionaldelcasgeneraldeles llistesobertesvaportarThieleasubstituirelcriterid’optimitzacióoriginalper certesversionsseqüencialsvoraces,queesconeixen,respectivament,coma mètodesd’addicióid’eliminaciódeThiele.

5.2.1Mètoded’addiciódeThiele. Enaquestcasescomençaambelconjunt buiticadapasbuscaunrepresentantaddicionalqueprodueixiunincrement màximdesatisfacció.

Sielcomparemambelmètoded’EneströmiPhragmén,convéassenyalar queelmètoded’addiciódeThieletambéespotveureentermesd’unareducció progressivadelvalordecadavotcadavegadaques’utilitzaperatriarunnou candidat.Defet,suposal’esquemadereducciósegüent:unapaperetaesredueix a1/2delseuvalorquans’utilitzaperprimeravegadaperaelegirundelsseus candidats.Quans’escullunsegoncandidatd’unapapereta,elvalord’aquesta paperetaesredueixa1/3delseuvalorinicial,oequivalentment,a2/3delseu valoranterior.Delamateixamanera,quans’esculluntercercandidatd’una papereta,elvalord’aquestapaperetaesredueixa1/4delseuvalorinicial,o equivalentment,a3/4delseuvaloranterior.Iaixísuccessivament.

Aixòtéunacertasimilitudambelmètodequehemestatdiscutint,especialmentlasevavariacióde«fraccionssimples»(apartat1.3.1).Tanmateix,els factorsdereducciódelmètodedeThielenotenenresaveureambelnombrede paperetesquevandonarsuportalcandidatelegit,imoltmenysambcomparar aquestnombreambqualsevolquotaprefixada.Pertant,aquestasemblança ésnoméssuperficial.EnparaulesdePhragmén[30,p.4],lareglad’addicióde Thiele«ésunageneralitzaciópuramentformaldelaregladeD’Hondti,per tant,notéunajustificaciógenuïna».

Enparticular,lespropietatsdeproporcionalitatcomelsteoremes2.1i2.2 deixendetenirllocquanelsvotss’allunyendelcasdellistesdepartitsdisjunts. Considerem,perexemple,elcassegüent,deguta[37]:

1 a, 9 ab, 9 ac, 9 b, 9 c, 13 klm, (19) elqualcompararemamb 37 abc, 13 klm. (20)

Suposemque n = 3.Laquotaés q = 50/4 = 12 5.Aixídoncs,leshipòtesisdel teorema2.1escompleixenamb J ={k,l,m} i ℓ = 1.Siaquestteoremafos cert,hauríemdetenir nJ ≥ 1.Aixòescompleixenelcasde (20),on a, b i k resultenelegitsenaquestordre(comenlaregladeD’Hondt).Tanmateix,en elcasde (19),elmètoded’addiciódeThieleelegeixsuccessivament a, b i c (mentrequeelmètoded’EneströmiPhragménelegeixsuccessivament a, k i b). Vistaixò,podemimaginarque (20) sónvotssincersique (19) ésunaestratègia quepermetalpartit abc aconseguirelstresescons.Enelmarcde[16],el fetqueelmètoded’addiciódeThielenocompleixelsteoremes2.1i2.2es tradueixenelfetqueelsseusvalorsde πsame(ℓ,n) i πPJR(ℓ,n) sónsuperiors alvaloròptim ℓ/(n + 1) (vegeu[16,apartat7.4]).

Pelquefaalamonotonia,elmètoded’addiciódeThieleescomporta exactamentcomelminimaxiteratiudePhragmén:lamonotoniaperacandidats individualsesmanté[15,teorema14.2],lamonotoniadelesllistesdepartit fallailamonotoniarespectealamidadelparlamentesmantéperconstrucció.

Finalment,pelquefaalcomportamentasimptòticenelcasdedospartits,el mètoded’addiciódeThielecompleixellímitideal limn→∞ nA/n = α/(α + β) = α/(1 ζ) [17,exemple12.10].

5.2.2Mètoded’eliminaciódeThiele. Adiferènciadelprocedimentd’addició,aquíescomençaambelconjuntdetotselscandidatsicadapasbuscaquin d’ellss’had’eliminarperaobtenirunmínimdecrementdesatisfacció.

Aquestprocedimentcompleixelteorema2.1perònoel2.2[16,apartat7.5]. Enelcasparticularde (19),resulteneliminatssuccessivament m, l i a,de maneraqueromanenelegits b, c i k (percert,aquestconjuntoptimitzatambé elcriterideThieledemaneraglobal,nonomésseqüencial).Aquestresultat concordaambelteorema2.1,queconcedeixunescóalconjunt J ={k,l,m}. Tanmateix,tambééscertqueaquestconjuntdecandidatselectesnoinclou elmésvotat,ésadir, a.Aquestfetespotveurecomundefecteimportant d’aquestmètode(puntdevistaquevaseradoptatperPhragmén[29,p.301–302]).Unaltredefected’aquestprocedimentésqueincompleixfinsitotla propietatdelamonotoniaperalscandidatsindividuals.

Tambécalnotarqueelsexperimentscomputacionalssobreelcomportamentasimptòticenelcasdedospartitsindiquenqueelmètoded’eliminació deThielecompleixelcomportamentlímitideal limn→∞ nA/n = α/(α + β) = α/(1 ζ).

Detotesmaneres,elprocedimentd’eliminaciónoésgaireadequatenel casqueelselementsques’aprovenonosiguinpartits.Enefecte,enaquest cas,aquestprocedimenthadecomençarpertenirencomptequantscandidats s’inclouenenunallistadepartit,quanaquestaxifrahauriadeserirrellevant.

5.3Elmètodedepartsiguals

Recentments’haproposat[23](vegeutambé[20])unnoumètodequetébastantspuntsencomúambelmètoded’EneströmiPhragmén.Elsseusautors l’anomenen mètodedepartsiguals (equalshares enanglès;inicialmentendeien ruleX ).

Talcomelmètoded’Eneström-Phragmén,eldepartsigualsésunprocedimentseqüencialenquècadarepresentantéselegitacanvid’uncertnombre devotsielsvotsvanessentdescomptatsamesuraques’utilitzen.Coma Eneström-Phragmén,elprimerqueesfaésfixarlaquota,ésadir,elnombre devotsqueesbescanviaranperunescó;enrelacióambaixò,laversióoriginal utilitzalaquotadeHare,peròtambéseriaraonableferservirlaquotade Droop.EncaraencomúambEneström-Phragmén,noestàasseguratqueaquest preupuguisermantingutperatotselsescons,sinóqueengeneralpotser necessàriauna«liquidació»finalamb«rebaixes».

Adiferènciad’Eneström-Phragmén,però,elprocedimentidealsenserebaixesnotéunageneralitzacióòbviaal’escenariderebaixes,demaneraqueo bés’aturaelprocediment,sensehavercompletatelnombredesitjatderepresentants,obésesegueixambunaltremètode(típicamentelmètodeminimax dePhragmén).Ditaixò,ladiferènciaprincipalentreelmètoded’EneströmPhragménieldepartsigualsestrobajaencadapasdelprocedimentideal senserebaixes;concretament,radicaenlamaneradetriaruncandidatcom arepresentantiderepartirlaquotaentreelsvotsquel’aproven:aixícomel mètoded’Eneström-Phragménmultiplicaaquestsvotsperunmateixfactor ≤ 1, eldepartsigualsrestaunamateixaquantitatatotselselectorsquehiarriben (aaquestaquantitat)ideixaazeroelsaltres.

Mésconcretament,perapassardelmètoded’Eneström-Phragménalde partsigualsbastasituar-seenl’escenarique k indexaelectorsindividualsen llocdetipusd’electors(demaneraque vk[0] = 1peraqualsevol k)iferels doscanvissegüents:(a)Redefinir wi coma wi = q/ρi,on ρi éslasolucióde l’equació

k √ i min(ρi,vk) = q;(21)

si k √ i vk <q,llavorsaquestaequaciónotésolució,ienaquestcasposem wi = 0.I(b)canviarl’equació(2)per

vk[s + 1] = vk[s] min(ρ∗,vk[s]), (22)

on ρ∗ = mini ρi. Sialesequacions (21) i (22) canviem min(x,y) per xy,llavorstenim exactamentelmètoded’EneströmiPhragmén.

Figura 3: Dependènciade limn→∞(nA/n) respectea α pera ζ = 0 376 enelmètodedepartsiguals.Compareuaquestafiguraamblafigura2.

Lespropietatsdelmètodedepartsigualshanestatestudiadesa[23]i sóndiscutidesa[20](vegeu-nelestaules3.1i4.1).Aquínomésafegirem queelcomportamentasimptòticenelcasdedospartitsesdesviaforçadel comportamentideal.Enefecte,elsexperimentscomputacionalsmostrenque, enllocdelvalor α/(α+β), limn→∞ nA/n ésiguala α pera α<(1 ζ)/2,mentre queésiguala1 β pera α>(1 ζ)/2,ambunsaltdemida ζ = 1 α β quan α travessaelvalor (1 ζ)/2(i β travessaelmateixvalorensentitcontrari).

5.4Tauladecomparació

Lataula1resumeixelsresultatsanteriorsperalsmètodesqueconsideren elvotd’aprovació.Alacolumna«Tipus»indiquemelcomportamentencas devotacióuninominalentermesdellistesdepartit:«Dr»significalesrestes majorsamblaquotadeDroop,i«D’H»significalaregladeD’Hondt.Les columnes«Tma.2.1»i«Tma.2.2»indiquensiaqueststeoremesescompleixen ono.Alacolumna«Mono»,elvalor«ind»significaquelamonotonias’aplicaals candidatsindividuals,perònoalesllistesdepartits(vegeulasecció3),mentre que«×»significaquelamonotoniafallafinsitotperacandidatsindividuals. Lacolumna«2Lim»esrefereixalcomportamentasimptòticenelcasdedos partits;aquíelvalor«√»significaqueellímitéslafraccióideal α/(α + β), elvalor«×»estàmotivatpelfenomendelafunciódeCantorenelmètode minimaxiteratiudePhragménielvalor«∼»significaunafunciósuaunotan diferentdelaideal.Finalment,lacolumna«Simpl»intentacategoritzarendos nivellslasimplicitatdelmètodeperaunpúblicampli:«∼»–acceptable,i«×» –unamicacomplex.Enelcasdelmètodedepartsiguals,enslimitemales propietatsquenodepenendelprocedimentutilitzatenlafasederebaixes.

Eneström-Phragmén

Partsiguals

Taula 1: Comparaciódediferentsmètodeselectoralsbasatsenelvot d’aprovació.

5.5ElmètodedeBordaharmònic

Totiquenoutilitzaelvotd’aprovaciósinóelvotpreferencial,acontinuació comentembreumentelmètodequeFinlàndiavaadoptarel1907enllocd’altres propostes,unadelesqualseraelmètoded’EneströmiPhragmén.Aquest

Tipus Tma.2.1 Tma.2.2 Mono 2Lim Simpl

mètodeconsisteixenelsegüent:cadabutlletacomptacom1votperalcandidat quehifiguraenprimerlloc,1/2votperalsegon,1/3peraltercer,etcètera.Pera cadacandidatsesumenelsvotsifraccionsdevotqueobtéentoteslesbutlletes. Fetaixò,s’elegeixencomarepresentantselscandidatsquetotalitzenmésvots comptatsd’aquestamanera.Enelcasparticulardellistestancades,aquest algorismeequivalalaregladeD’Hondt[6].Tanmateix,laversiógeneralque acabemdedescriureperallistesobertes(ordenades)jahaviaestatconsiderada bastantabans(vegeu[10,p.21,54–55],[4],[11,apèndixC]i[9]).1 Seguint Janson[14,16],l’anomenem mètodedeBordaharmònic. Enelcasquearaestemconsiderantdellistesordenadesésdesitjablela propietatsegüent,similaralteorema2.1(vegeu[16]):suposemquehiha u electorsquevotenexactamentlamateixallistaordenada;si u>ℓq ilallista inclou ℓ candidatsomés,llavorsresultenelegitsalmenys ℓ candidatsd’aquesta llista.ElmètodedeBordaharmònicnocompleixpasaquestapropietat.Coma exemplepodenservirelsvots (19),onentenemquel’ordredepreferènciaentre candidatsencadavotésl’ordreenquèapareixenescritsd’esquerraadreta. Comespotcomprovar,elrecomptedeBordaharmònicdonacomaresultatels nombresdevotssegüents: a 19, b 13.5, c 13.5, k 13, l 6.5, m 4.33,demanera queels13últimselectorsnoobtenencaprepresentanttotiquesuperenuna quota q = 12.5.

Delasevadefinicióse’ndedueiximmediatamentqueaquestmètodegaudeixdela—enprincipidesitjable—propietatdemonotonia:uncandidatno potdeixardeserelegitsiésafegitopujadeposicióenunomésvots.

Tanmateix,potserquellavorsdeixideserelegitunaltrecandidatque figuramésamuntenaquestsvots.Perexemple,si n = 1ielsvotssón60 a, 40 b,llavorssurtelegit a;peròsielsvotssón60 ab,40 b,llavorssurtelegit b. Aixòtél’inconvenientqueincitaelselectorsavotarnomésuncandidat,laqual cosaperjudicalaproporcionalitat.

D’altrabanda,italcomobservavajaHare[11,p.188,305],engeneral aquestmètodeesprestaaestratègiesquecondueixenaresultatsartificiosos.

Quantasimplicitat,éscertamentunmètodeprousenzill,peròacostadels efectesindesitjablesqueestemdient.Laqüestiódelcomportamentasimptòtic enelcasdedospartitsladeixemdebanda,jaquenotésentitperalvot preferencial.

6Unintentnoreeixitdepassaraunmètodededivisor

Perallistestancadesdisjuntes,lesreglesdelesrestesmajorsideD’Hondt estanrelacionadesentreellesdelamanerasegüent:ladeD’Hondtcorrespona ajustarlaquotademaneraques’assigninexactament n esconssenseferús delesrestes.Enelcasqueestemconsiderantdellistesobertes(possiblement nodisjuntes),espotintentarferelmateixdesdelprocedimentd’Eneströmi

1 Defet,aquestprocedimenthaviaestatutilitzatjaenelsegle xvi enl’elecciód’abatsals PaïsosBaixos[34,p.325–326].

Phragmén,ésadir,ajustarlaquotademaneraques’assigninexactament n escons,cadascundelsqualsacanvid’unaquota,iquecapdelsaltrescandidats noassoleixiunaquota.Enlanostranotació,itenintencomptelapossibilitat d’empats,aixòequivaladirquelaquota q ielnombred’escons n hand’estar relacionatsdelamanerasegüent:

onelsvalors w∗[s] sónobtingutsmitjançantl’algorismedelasecció1,i,per tant,depenende q.

Observació 6 1 Lesdesigualtatsprecedentssónanàloguesalessegüentsper alaregladeD’Hondt(vegeu[33,apartat4.6]):

i vi/ni ≥ q ≥

i vi/(ni + 1).

Malauradament,aquestplaesveuobstaculitzatperdiversesdificultats.Per començar,peraun n donathipothaverdiversosvalorsde q quesatisfan (23) peròcondueixenadiferentsassignacionsdels n escons.Peraferfronta aquestadificultat,espotpensaraespecificarmés q,perexemple,exigintque siguialmésgranpossible.Tanmateix,aquestacondiciónoésfàcildecalcular. Defet,potsemblarqueestractaderesoldrel’equació w∗[n 1] = q (onel costatesquerredepènde q),peròdevegadesaquestaequaciónotécapsolució.

Aquestesdificultatsesdonen,perexemple,enelcassegüent,on A, B i C sóntresllistesdepartit:

7 A, 10 B, 5 AB, 17 C, 13 AC, 4 BC. (24)

Figura 4: w∗[n 1] enfuncióde q peral’exemple (24) idiversosvalors de n.

Lafigura4mostraladependènciade w∗[n 1] enfuncióde q pera n = 2,..., 9.Comespotveure,pera n = 2, 3lescorbescorresponentsnoarribena ladiagonal w∗[n 1] = q.D’altrabanda,pera n = 6lacorbacorresponent presentaunadiscontinuïtatques’associaambelfetqueelresultatcanvia de4 C,1 A,1 B a3 C,2 A,1 B

7Provisiódesubstituts

Alapràctica,calpreveurelapossibilitatquealgundelscandidatselegits deixid’estardisponibleenalgunmomentihagidesersubstituït.Pertalde mantenirlarepresentativitatdelconjuntdecandidatselegits,l’idealseria queelsubstitutdonésrepresentacióalsmateixoselectorsqueelcandidatque hadeixatd’estardisponible.Perallistestancades,lasolucióésòbvia:basta prendrecomasubstitutunaltrecandidatdelamateixallista.Aixòvalfins itotquanespermetquel’electoraprovimésd’unallista,semprequeladel candidatasubstituircontinguiencaraalguncandidatnoelegit(altrament caldràconsiderarelsvotsequivalentsentermesdecandidatsindividuals).

Enelcasgenerallasoluciónoéstanfàcil.Peralmètodeques’haexposaten aquestarticleésnaturalprocedirdelamanerasegüent:1.Alsvotsifraccions devotromanentsdesprésd’haverassignatels n escons,s’hireintegrentotsels votsifraccionsdevotacanvidelsqualshaviaestatelegitelcandidatqueha deixatd’estardisponible.2.Fetaixò,s’executaunavegadaméselprocediment d’assignaciód’unnouescó,ambl’únicaconsideracióqueaquellcandidatnoés consideratelegible.

Vegemcomfaríemaixòenl’exemple1.1delap.118.Suposemquedeixa d’estardisponibleelcandidat a.Aquesthaviaestatelegitenprimerlloc,a canvide25vots,concretamentels vk[0] vk[1] ques’especifiquentotseguit, ques’obtenenapartirdels43votsenquèapareix a aplicantelfactor25/43:

12.209 abx, 11.628 abef, 1.163 aeu.

Perelegirelsubstitut,reintegremaquestsvotsalsquehavienquedatalfinal (p.119);elresultatsónelsvalorssegüentsde vk[3] + vk[0] vk[1]:

12 209 abx, 20 abef, 4 535 efuv, 3 103 uv, 0 xy, 15 z, 1 363 aeu.

Elsuportquetéaracadacandidatéselsegüent,onelsparèntesisindiquen candidatsnoelegibles(jaelegitsonodisponibles): (a 33 572),b 32 209,e 25 898,f 24 535, (u 9),v 7 637,(x 12 209),y 0,z 15

Delscandidatselegibles,elquetémésvotsés b,que,pertant,resultaelegit ensubstitucióde a.Aixònoéscapsorpresa,jaqueaquestsdoscandidats apareixengairebésemprejunts.Similarmentpassaamb u i v,demaneraque,

enelcasdedeixard’estardisponible, u éssubstituïtper v,talcoms’obtéen considerarelsvalorsde vk[3] + vk[1] vk[2].Encanvi, x,elcandidatelegit entercerlloc,apareixacompanyatunesvegadesper y ialtresvegadesper b (i a);siapliquemelprocedimentproposat,hemdeconsiderar vk[3] + vk[2] vk[3] = vk[2],ambelsvalorsqueestanrecollitsalapàgina119,onesveuque comportenl’eleccióde b comasubstitutde x.

Observació 7 1 Elprocedimentproposatnoésequivalentafercórrertot l’algorismedesdelprincipidesprésd’haversuprimitelcandidatquehadeixatd’estardisponible.Enefecte,feraixòpodriacomportarvariacionsenels candidatselegitssubsegüentment.

Observació 7.2. Sielscandidatsquedeixend’estardisponiblessónmésd’un, llavorstampocnoéselmateixtractar-lossuccessivamentenunordreoaltre nitampoctractar-lostotsalhora.Pertant,alapràcticacaldràqueelreglament especifiquiunad’aquestesdiferentsalternatives.

Observació 7.3. Phragmén([30, 31, 32])proposaunprocedimentdiferent quesuposaquecadaelectorpuguiespecificarjaelsseus«suplents»,que s’entendriencomunscandidatsaddicionalsquel’electorencaraadmetriacom arepresentantsseus,peròensegonainstància.Tanmateix,lanostraproposta demésamuntésconceptualmentmésclaraitéunaaplicabilitatmésgeneral (perexemple,sideixad’estardisponibleuncandidatquejaensubstituïaun altre).

Referències

[1] Brams,S.J.;Kilgour,D.M.;Potthoff,R.F. «Multiwinnerapprovalvoting: anapportionmentapproach». PublicChoice,178(2019),67–93.

[2] Brill,M.;Freeman,R.;Janson,S.;Lackner,M. «Phragmén’svotingmethodsandjustifiedrepresentation». Math.Program.,203(1-2)(2024),47–76.

[3] Brill,M.;Laslier,F.;Skowron,P. «Multiwinnerapprovalrulesasapportionmentmethods». JournalofTheoreticalPolitics,30(2018),358–382.

[4] Burnitz,G.;Varrentrapp,G. Methode,beijederArtvonWahlensowohl derMehrheitalsdenMinderheitendieihrerStärkeentsprechendeZahl vonVertreternzusichern.Frankfurt:I.D.Sauerländer,1863.[Traducció anglesa:«Amethodofassuringtotheminoritiesaswellastothemajority, atallkindsofelections,thenumberofrepresentativescorrespondingto theirstrength».ApèndixBdeMatthiasN. Forney, PoliticalReformbythe RepresentationofMinorities (NovaYork),1894,159–174]

[5] Cassel,K.G. ProportionellaVal Systematiskframställning.Estocolm: IsaacMarcus’Boktryckeri-Aktiebolag,1903.

[6] D’Hondt,V. SystèmePratiqueetRaisonnédeReprésentationProportionnelle.Brussel les:C.Muquardt,1882.

[7] Eneström,G.H. «Omaritmetiskaochstatistiskametoderförproportionellaval». ÖfversigtafKongligaVetenskaps-AkademiensFörhandlingar,53 (1896),543–570.

[8] Eneström,G.H. Cartaal’editor. Aftonbladet (23febrer1896).

[9] Gigon,A. «Lareprésentationdesminorités». Journaldeséconomistes, 3èmesérie,33(1874),61–73.

[10] Hare,T. TheMachineryofRepresentation.2aed.Londres:W.Maxwell, 1857.

[11] Hare,T. TheElectionofRepresentatives,ParliamentaryandMunicipal 3aed.Londres:Longman,1865.

[12] Hill,I.D. «Partylistsandpreferencevoting». VotingMatters,29(2011), 15–19.

[13] Humphreys,J.H. ProportionalRepresentation.Londres:Methuen,1911.

[14] Janson,S. ProportionellaValmetoder.Uppsala:UppsalaUniversitet,2012–2018.[Disponibleenlíniaa: http://www2.math.uu.se/~svante/papers/ sjV6.pdf]

[15] Janson,S. «Phragmén’sandThiele’selectionmethods».Preprint(2016). [Disponibleenlíniaa: https://arxiv.org/abs/1611.08826]

[16] Janson,S. «Thresholdsquantifyingproportionalitycriteriaforelection methods».Preprint(2018).[Disponibleenlíniaa: https://arxiv.org/abs/ 1810.06377]

[17] Janson,S.;Öberg,A. «Apiecewisecontractivedynamicalsystemand Phragmén’selectionmethod». Bull.Soc.Math.France,147(3)(2019), 395–441.

[18] Klöti,E. «DieProportionalwahlinderSchweiz.Geschichte,Darstellung undKritik». ZeitschriftfürSchweizerischeStatistik,37(1901),157–310.

[19] Kopfermann,K. MathematischeAspektederWahlverfahren.Mannheim: BibliographischesInstitut,1991.

[20] Lackner,M.;Skowron,P. Multi-WinnerVotingwithApprovalPreferences. Cham:Springer,2023.(SpringerBriefsIntell.Syst.)

[21] Mittag-Leffler,G. [SkrivelsetillJustitiedepartementet,Finland,med redovisningförresultatetavengranskningutav“tvänneförslagtillproportionelvalmetod”iFinland—inlämnadetilldepartementetavA.Lindstedt ochE.Phragmen—somavMittag-LefflerutförtspåuppdragavChefenför Justitiedepartementet].Manuscrit.Estocolm:KungligaBiblioteket,1906. (GöstaMittag-LefflerPapper;L62:55,n.2)

[22] Mora,X.;Oliver,O. «Eleccionsmitjançantelvotd’aprovació.Elmètode dePhragménialgunesvariants». ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques,30(1)(2015),57–101.

[23] Peters,D.;Skowron,P. «Proportionalityandthelimitsofwelfarism».Preprint(2019).[Disponibleenlíniaa: https://arxiv.org/abs/1911.11747]

[24] Phragmén,E. «Omproportionellaval».Conferènciaimpartidaal’associacióStudenterochArbetare.Resum: StockholmsDagblad (14març1893).

[25] Phragmén,E. «Suruneméthodenouvellepourréaliser,danslesélections,lareprésentationproportionnelledespartis». ÖfversigtafKongliga Vetenskaps-AkademiensFörhandlingar,51(3)(1894),133–137.

[26] Phragmén,E. ProportionellaVal · Envaltekniskstudie.Svenska Spörsmål 25.Estocolm:LarsHökerbergs,1895.

[27] Phragmén,E. «Surlathéoriedesélectionsmultiples». ÖfversigtafKongligaVetenskaps-AkademiensFörhandlingar,53(1896),181–191.

[28] Phragmén,E. Cartaal’editor. Aftonbladet (23febrer1896).

[29] Phragmén,E. «Tillfråganomenproportionellvalmethod». StatsvetenskapligTidskrift,2(1899),297–308(n.2:88–98).

[30] Phragmén,E. «Utkasttillföreskrifterbeträffandevalavriksdagsmäniandrakammarenochderassuppleanter».Estocolm:KungligaBoktryckeriet, 1906.

[31] Phragmén,E. «Promemoriabeträffandeenförenkladformafdenaf undertecknadföreslagnavalmetoden».Manuscrit.Estocolm:Kungliga Biblioteket,1906.(GöstaMittag-LefflerPapper;L62:55,n.4)

[32] Phragmén,E. Incipit:«a§.Valskerefteruppropt».Manuscrit.Estocolm: KungligaBiblioteket,1906.(GöstaMittag-LefflerPapper)

[33] Pukelsheim,F. ProportionalRepresentation.ApportionmentMethodsand theirApplications.2aed.Cham:Springer,2017.

[34] Reusens,E.;Kuyl,P.D.;DeRidder,C.B. «Analectespourserviral’Histoire EcclésiastiquedelaBelgique».Lovaina:Ch.Peeters;Brussel les:H.Goemaere,1868.

[35] Sánchez-Fernández,L.;Elkind,E.;Lackner,M. «Committeesproviding EJRcanbecomputedefficiently».Preprint(2017).[Disponibleenlíniaa: https://arxiv.org/abs/1704.00356]

[36] Stubhaug,A. GöstaMittag-Leffler.Amanofconviction.Berlín:SpringerVerlag,2010.

[37] Tenow,N.B. «FelaktigheterideThieleskavalmetoderna». StatsvetenskapligTidskrift,15(1912),145–165.

[38] Thiele,T.N. «Omflerfoldsvalg». OversigtoverdetKongeligeDanske VidenskabernesSelskabsForhandlinger,1895(4)(1895),415–441.[Resum enfrancès:«Surlathéoriedesélectionsmultiplesetsurquelquesrègles d’applicationpratique». Ibídem, xv–xviii]

[39] Tideman,N. «Thesingletransferablevote». JournalofEconomicPerspectives,9(1)(1995),27–38.

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona

{Rosa.Camps,Xavier.Mora,Laia.Saumell}@uab.cat

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.38,núm.2,2023.Pàg.143–164. DOI:10.2436/20.2002.01.111

DosteoremesiunademostraciódeDennisSullivan NúriaFagellaiJoanPorti

Resum: El1983DennisSullivantancàunproblemadedinàmicaholomorfa,sobre aplicacionsracionalsdel’esferadeRiemann,quefeiamésdeseixantaanysqueestava obert.Amblesmateixestècniquesvaferunanovademostraciód’unteoremad’Ahlfors sobregrupskleinians,ivainiciarunperíoded’intensaactivitatiinteraccióentreles duesàrees.

Paraulesclau: dinàmicaholomorfa,transformacióracional,dominierrant,grupkleinià, superfíciedeRiemann.

ClassificacióMSC2020: 37F31,37F32,30F40.

1Introducció

Delsdosteoremesalsqualsfemreferènciaeneltítoldel’article,unéssobre grupskleiniansil’altresobredinàmicaholomorfa.Iparlemd’unaúnicademostracióperquèel1983SullivanresolguéelcèlebreproblemadeFatou-Julia sobredominiserrants,endinàmicaholomorfa,iessencialmentambelmateix argumentdonàunanovademostraciódelteoremadefinitudd’Ahlfors,en grupskleinians.D’aquestamaneracomençavaunaintensacol.laboracióentre lesduesàrees,ihovolemexplicarenaquestarticle.

Comencemperlateoriade grupskleinians,iniciadaafinalsdelsegle xix ambelstreballsdeFelixKlein[18]iHenriPoincaré[30](quelidonàelnom enhonordeKlein).Ungrupkleinià Γ ésungrupdiscretdetransformacions deMöbius,ohomografies,del’esferadeRiemann C = C ∪{∞}≊ CP1,ésa dir,aplicacionsdelaforma γ(z) = (az + b)/(cz + d).Quanparlemdel’òrbita d’unpunt z ∈ C,ensreferimalconjunt Γ z :={γ(z),γ ∈ Γ }.Peratotgrup kleinià Γ tenimunapartició dinàmica del’esferadeRiemann C = C ∪{∞} en dosconjunts invariants

C = Λ(Γ ) ⊔ Ω(Γ ),

Aquestarticlehaestatescritambelsuportde(1)l’AgenciaEstataldeInvestigaciónatravésdels projectesPID2020-118281GB-C32iPID2021-125625NB-100ielprogramaSeveroOchoaiMaría deMaeztuperacentresiunitatsd’excel lènciaenR+DCEX2020-001084-M;(2)laGeneralitatde Catalunyaatravésdelprojecte2021-SGR-01015ielprogramaICREAAcadèmia2020.

on Λ(Γ ) (tancat)denotael conjuntlímit oconjuntdepuntsd’acumulaciód’una òrbita Γ z ⊂ C qualsevol(nodepèndel’òrbitaescollida),mentrequeelseu complementari Ω(Γ ) ésl’obertconegutcoma conjuntordinari,o normal,o tambécoma dominidediscontinuïtat,jaque Γ actuademanerapròpiament discontínuaa Ω(Γ ) (ésadir,toteslesòrbitessónconjuntsdiscretsdepunts a Ω(Γ )).Sovint,elconjuntlímitd’ungrupkleiniàésunconjuntfractal,com perexempleeldelafigura1.

Figura 1: Exempledeconjuntlímitd’ungrupkleinià.(Font:ChrisKing.)

Aladècadade1960hivahavercontribucionsmoltrellevantsambels treballsdeLarsAhlforsiLipmanBers[1, 2, 3],que,inspirant-seenresultats previsdeTeichmüller,vandesenvoluparlateoriadedeformacionsquasiconformesperagrupskleinians,relacionant-losamblessuperfíciesdeRiemann. Undelsprincipalsteoremesésel teoremadefinitudd’Ahlfors [1],undels dosprotagonistesdeltextqueensocupa.Aquestresultatestableixqueel quocientdeldominidediscontinuïtat Ω(Γ ) perl’acciódelgrup Γ téunnombre finitdecomponentsquesónsuperfíciesdeRiemannde tipusfinit,ésadir, conformementequivalentsaunasuperfíciecompactamenysunnombrefinit depunts.

Paral lelament,acomençamentsdelsegle xx,imotivatsperprocessositeratiuscomelsgeneratspelmètodedeNewton,aixícomperlessolucionsd’equacionsfuncionals,PierreFatou([13])iGastonJulia([16])desenvoluparenlateoria d’iteraciódefuncionsholomorfes.Enaquestcontext,si f = P/Q ésunafunció racional(irreductible)degrau d ≥ 2,on d = grau(f) = max{grau(P), grau(Q)}, l’òrbita d’unpunt z0 ∈ C vedonadaperl’aplicaciósuccessivade f ,quedona llocalasuccessió

O(z0) ={z0,z1,...,zn,... }, on zn := f n(z0) := f ◦ n) ···◦ f(z0),pera n ≥ 1.Observemque,adiferència delasituacióanterior,aquílesòrbitesvenenambunarelaciód’ordre,iens preocupem,doncs,delseucomportamentasimptòticquan n tendeixainfinit. Anàlogamentalcasdelsgrupskleinians,l’esferadeRiemanntambéesdescomponendosconjuntstotalmentinvariants(ésadir,invariantsper f iperles diferentsbranquesde f 1),

C =J(f) ⊔F (f),

on F (f) denotael conjuntnormal ode Fatou oconjuntdepuntsperalsquals lasuccessiód’iterats (fn)n ésequicontínua(onormal),mentrequeelseu complementari, J(f),esconeixavuicoma ,iéselconjunten què f téuncomportament caòtic (vegeulafigura2).Intuïtivament,podem veurel’analogiadelconjuntdeJuliaambelconjuntlímitd’ungrupkleinià considerantelgrupgeneratperlesdiferentsbranquesdelainversade f (allà onestiguinbendefinides), Γ =⟨f1,...,f ,jaque,enefecte,esdonaque J(f) coincideixambelspuntsd’acumulaciódel’òrbitadequalsevolpuntsotal’acció de Γ (enelsentitdefinitanteriorment).

Figura 2: Ennegre,elconjuntdeJuliadelafunció f(z) = z3 0 12 z3 .

Fentúsdelateoriadefamíliesnormals,quePaulMontel([24])haviadesenvolupatfeiapoc,FatouiJuliavanarribaraobtenirunaclassificacióexhaustiva delspossiblescomponentsconnexos periòdics delconjuntdeFatou,ésadir, d’aquellscomponents U ⊂F (f) talsque f p(U) = U peraalguna p ≥ 1.Van deixaroberta,noobstantaixò,lapossibleexistènciadels dominiserrants,ésa dir,componentsdelconjuntnormalquenofossinperiòdicsniantiimatgesde componentsperiòdics.Aquestproblema,juntambd’altres,varomandreobert durantmésdeseixantaanys,unperíodeletàrgicdeladinàmicacomplexaen esperadenoveseinesperseguiravançant.

El1985SullivanvapublicarlasoluciódelproblemadeFatou-Juliasobredominiserrants.Enunarticleexcepcional[33],Sullivannonomésresoliaaquesta qüestiódedinàmicaholomorfaquefeiatanttempsqueestavaoberta,sinó que,ambunargumentmoltsemblant(usantdeformacionsquasiconformes), feiaunanovademostraciódelteoremadefinitudd’Ahlfors.Lademostracióde Sullivanvadescobrirpuntsencomúentreelsdostemesderecercaidonàlloc alques’anomena diccionarideSullivan,queestableixanalogiesentreobjectes, resultatsiideesdelsdoscamps.

L’impactequevateniraquestresultatvasermajúscul,notantpelteorema ensimateix(quetambé),sinóperquèvaobrirvasoscomunicantsentredues àreesquefinsaleshoress’havienconsideratdiferents,fetquevaprovocar unaexplosiódenousavençosenaquestesdisciplines(moltsd’ellsdelmateix Sullivan)alllargdefinalsdelsegle xx.Lateoriadefuncionsquasiconformes haviapenetratambforçaaladinàmicacomplexa—latècnicaqueesconeixcom a cirurgiaquasiconforme [10]ésavuipartdelaformacióbàsicadequalsevol estudiantdedoctoratal’àrea.

DennisSullivanvarebreelpremiAbel2022ivampensarqueseriauna bonaocasióperescriureelpresentarticle.

Larestadel’articleestàdivididaentresseccionsmés.Alasegonasecció, introduímelsgrupskleiniansilesnocionsnecessàriesperenunciarelteorema definitudd’Ahlfors;alatercerasecció,femelmateixambladinàmicaholomorfaielteoremadenoexistènciadedominiserrants.Finalment,alasecció4 presentemunesbòsdelesduesdemostracions,quesónduesaplicacionsd’una mateixaidea,fentservireinesqueserveixentantperadinàmicaholomorfacom peragrupskleinians.HoaprofitemperacabarambeldiccionarideSullivan, queestableixanalogiesentreelsdoscamps.

2Grupskleiniansielteoremadefinitudd’Ahlfors

2.1Grupskleinians

Enaquestasecciófemunabreuintroduccióalsgrupskleinians,ésadir,grups discretsdetransformacionsdeMöbiusohomografiesdel’esferadeRiemann (olarectaprojectivacomplexa) C = C ∪{∞}≊ CP1.Aquesteshomografiessón transformacionsracionalsdegrau1,ésadir,aplicacionsdelaforma z az+b cz+d Mitjançantelscoeficients a, b, c i d,elgrupd’homografiess’identificade maneranaturalalgrupdematrius PSL2(C),ésadir,elgrupdematrius2 × 2a coeficientscomplexosideterminant1,llevatdesigne(vegeu,perexemple,[6]).

Exemple. Consideremelgrupmodular Γ = PSL2(Z),queésdiscreti,pertant, ungrupkleinià.Ésadir,elgrupdetransformacionsconformes z az+b cz+d , amb a,b,c,d ∈ Z i ad bc = 1.Aquestgrupactuademanerapròpiament discontínuaenelsemiplàsuperior {z ∈ C | Im(z)> 0}.Alafigura3en representemundominifonamental.Desdelpuntdevistadelsgrupskleinians, ensmirem Γ comungrupdetransformacionsdetotal’esferadeRiemann C. Elgrup Γ actuademanerapròpiamentdiscontínuaalssemiplanssuperiori inferior {z ∈ C | Im(z) ≠ 0} ilesòrbitess’acumulenalcerclereal R = R ∪{∞}.

{z ∈ C | Im(z)> 0}

Figura 3: Eldomini D = z ∈ C |− 1 2 ≤ Re(z) ≤ 1 2 , |z|≥ 1 ésun dominifonamentalperalgrupmodular Γ = PSL2(Z):cadaòrbitade Γ en elsemiplà {z ∈ C | Im(z)> 0} tallaunsolpuntdel’interiorde D,obé enunodospuntsdelavorade D.

DosteoremesiunademostraciódeDennisSullivan 147

Recordemdelaintroduccióqueelconjuntdepuntsd’acumulaciód’una òrbita Γ x ⊂ C s’anomena conjuntlímit iesdenotaamb Λ(Γ ).Enelcasque Γ siguifinit,seguimlaconvencióque Λ(Γ ) = .Recordemtambéqueel domini dediscontinuïtat d’ungrupkleiniàéselcomplementdelconjuntlímit Ω(Γ ) = C Λ(Γ ).Tenimunaparticiódinàmica C = Ω(Γ ) ∪ Λ(Γ ),perquèl’accióde Γ a Ω(Γ ) éspròpiamentdiscontínuaieltancat Λ(Γ ) éselsubconjuntdepunts d’acumulaciódequalsevolòrbita Γ x ={γx | γ ∈ Γ }. Enl’exempledelgrupmodular Γ = PSL2(Z),tenimque Λ(Γ ) = R ésuncercle ique Ω(Γ ) ={z ∈ C | Im(z) ≠ 0} consisteixendosdiscs,talcomespotveure alafigura4.

Λ(Γ ) C

Figura 4: Elconjuntlímitdelgrupmodular PSL2(Z) és Λ(Γ ) = R,que representemcoml’equadoralafigura.

Lema 1 Lacardinalitatdelconjuntlímit |Λ(Γ )| és 0, 1, 2 o ∞

Definició 2. Ungrupkleinià Γ esdiuqueés elemental quan |Λ(Γ )|≤ 2i no elemental quan |Λ(Γ )| > 2,ésadir,quan |Λ(Γ )|=∞

Elsgrupselementalstenenunadinàmicamoltsenzilla:si |Λ(Γ )|= 2,la dinàmicaésd’atractor/repulsor,isi |Λ(Γ )|= 1,ladinàmicaésparabòlica.A més,algebraicamentelsgrupselementalssónobéfinits(aleshores, Λ(Γ ) = ), obéunaextensiófinitade Z (aleshores, |Λ(Γ )|= 1o2)ode Z2 (aleshores, |Λ(Γ )|= 2).Lateoriadegrupskleinianssecentraenelsgrupsnoelementalsi d’araendavantsuposaremquetotselsgrupskleinianssón noelementals

Proposició 3. Si Γ ésungrupkleinià,aleshores Λ(Γ ) éscompacte,perfectei minimal.

Quanesdiuque Λ(Γ ) ésperfecte,voldirquenotépuntsaïllats,iquesigui minimalvoldirquequalsevolòrbitas’acumulaentot Λ(Γ )

Exemple. Un grupfuchsià ésungrupdiscretde PSL2(R),ésadir,ungrup d’isometriesdelplahiperbòlicenelmodeldelsemiplà {z ∈ C | Im(z)> 0}.El nomtambéésdegutaPoincaré[29],enhonordelstreballsdeLazarusFuchs.

Delamateixamaneraqueperalgrupmodular,mitjançantlainclusió PSL2(R) ⊂ PSL2(C),ungrupfuchsiàespotveurecomungrupkleinià,iel conjuntlímit Λ(Γ ) ésunsubconjuntdelcercle R.Aixòinclouelsgrupsde superfíciedegènere g> 1;enaquestcaselconjuntlímités Λ(Γ ) = R,comala figura4.

Exemple. Els grupsdeSchottky prenenelnomdelsprimersexemplesde FriedrichSchottky[31].Consideremquatrediscsdisjunts A,B,C,D ⊂ C,coma lafigura5.Siguin γ1,γ2 ∈ PSL2(C) automorfismesconformestalsque: γ1(C B) = A i γ2(C C) = D.

Figura 5: GrupdeSchottky,generatper γ1,γ2 ∈ PSL2(C),quecompleixen γ1(C B) = A i γ2(C C) = D

Figura 6: Òrbitesdelscercles,ques’acumulenenunconjuntdeCantor Λ(Γ ).Enparticular, Ω(Γ ) = C Λ(Γ ) ésunasuperfícieplanarconnexa d’àreainfinita.

Ésadir, γ1 defineixunhomeomorfismeentrel’exteriorde B il’interior de A,i γ2 hofaentrel’exteriorde C il’interiorde D.Enparticular, γ1(A) ⊂ A i γ2(C) ⊂ C

Perconstrucció, γ1(A), γ1(C) i γ1(D) sóncerclesdisjuntsal’interiorde A, itenimafirmacionssimilarspera γ 1 1 i γ 1 2 .Siiteremaquestprocés,obtenim inclusionssuccessivesamblesqualsdemostremque γ1 i γ2 generenungrup lliurequeésdiscret.Amés,elconjuntlímit Λ(Γ ) enaquestcasésunconjuntde Cantor,queésellímitdelesiteracionsdecercles,representatalafigura6.El dominidediscontinuïtat Ω(Γ ) = C Λ(Γ ) ésconnex,peròtétopologiainfinita. Lasuperfície Ω(Γ )/Γ ésunasuperfíciecompactadegènere2.

Peralproperexemplenecessitemunadefinicióques’utilitzatantengrups kleinianscomendinàmicaholomorfa,iquefaremservirenseccionsposteriors.Lanociódequasiconformitatésunarelaxaciódelaconformitat.Siuna aplicacióconformeportacerclesacercles(anivellinfinitessimal),unaaplicació quasiconformeportacerclesacorbesquepotsernosóncercles,peròqueestan contingudesentredoscerclesderadicontrolat.

Definició 4 (Homeomorfismequasiconforme). Unhomeomorfisme φ : U → V entredosobertsde C s’anomena K-quasiconforme si,peratot x ∈ U ,es compleix

Diemque φ és quasiconforme quanés K-quasiconformeperaalgun K ≥ 1.Ser 1-quasiconformeequivalaserholomorfaoantiholomorfa.

Geomètricament,siunaaplicacióconformepreservaangles,unadequasiconformepotdistorsionar-los,peròdemaneracontrolada.

Exemple. Ungrup quasifuchsià ésungrupkleiniàpelqualexisteixunhomeomorfismequasiconforme φ : C → C talque φΓ φ 1 ésfuchsià,onelconjugat φΓ φ 1 denotaelgrupformatperelementsdelaforma φγφ 1 amb γ ∈ Γ Espotdemostrar(perexemplea[17,teorema8.17])queungrupésquasifuchsiàsiinoméssielseuconjuntlímitéslaimatged’unacircumferènciaper unhomeomorfismequasiconforme,comalafigura7.

Figura 7: Conjuntlímitd’ungrupquasifuchsiàrepresentatalpla C ⊂ C. Eldominidediscontinuïtat Ω(Γ ) tédoscomponentshomeomorfsadiscs. (Font:DaveDumas.)

Exemple. Lesdeformacionsdel’exempleanteriors’anomenen quasiconformes. Espodenconstruirdeformacionsd’ungrupkleinià Γ quenosónnecessàriamentquasiconformes.Consideremrepresentacionsde Γ en PSL2(C) fidels idiscretes(ésadir,morfismesdegrup Γ → PSL2(C) injectiusambimatge discreta).D’aquestamanera,espodendeformargrupsquedeixindeserquasifuchsiansiobtenirconjuntslímitquejanosóncorbessimples.Enparticular,

pothaver-higrups«ambcusps»,comalafigura8,ogrupsques’anomenen degenerats,comalafigura9,tambépotserunamaneradeconstruircorbes dePeanode C,ésadir,aplicacionscontínuesdelcercle S 1 a C ≊ S 2 que sónequivariantsperl’acciód’ungrupdeMöbius.AquestescorbesdePeano s’anomenen aplicacionsdeCannon-Thurston [23]is’obtenencomaaplicació delconjuntlímitd’ungrupfuchsià,queés S 1,alconjuntlímitdelgrupkleinià, quepotsertot C ≊ S 2 .

Figura 8: Conjuntlímitd’ungrupquenoésquasifuchsià,representata l’esfera C.Eldominidediscontinuïtat Ω(Γ ) téinfinitscomponents,que sóndiscs.(Font:CurtMcMullen.)

Figura 9: Conjuntlímitd’ungrupkleiniàdegenerat.Enaquestcasel dominidediscontinuïtat Ω(Γ ) ésconnex.(Font:JeffBrock.)

Elsgrupskleiniansestanrelacionatsamblesvarietatshiperbòliquesde dimensiótres,perquèl’esferadeRiemann C ésla fronteraideal del’espai hiperbòlic H3.Amés, PSL2(C) éselgrupd’isometriesdel’espaihiperbòlic quepreservenl’orientació:totaisometriade H3 s’esténdemaneranaturala unaúnicatransformaciódeMöbiusde C.Mitjançantaquestarelació,l’estudi delsgrupskleiniansvarenovarelseuinterèsaladècadadel1980,apartirdels treballsdeThurstonenvarietatshiperbòliquestridimensionals[35].Sensdubte, l’embranzidaquelivadonarSullivanvaser-neunaaltradelescauses.

2.2Elteoremadefinitudd’Ahlfors

Persimplificarl’exposició,consideremgrupskleinians Γ < PSL2(C) queno tenenelementsd’ordrefinit,ésadir,elements γ ∈ PSL2(C) notrivialsque compleixenque γn éstrivialperauncert n ∈ N.Totselsenunciatsespoden formularsensedificultatenelcasque Γ tinguielementsd’ordrefinit,però l’exposicióésunamicamésllarga.Amés,pellemadeSelbergtotgrupkleinià Γ < PSL2(C) téunsubgrup Γ0 < Γ d’índexfinitsenseelementsd’ordrefinit, imoltsargumentsesredueixenaaquestcas[17].

Sigui Γ < PSL2(C) ungrupkleiniàambdominidediscontinuïtat Ω(Γ ). Comque Ω(Γ ) ésunobertdel’esferadeRiemann,possiblementambinfinits componentsoambtopologiainfinita, Ω(Γ ) ésunasuperfícieconforme(ésa dir,unasuperfícieambunatlesconformeoholomorf).Amés,l’accióde Γ a Ω(Γ ) ésconformeipròpiamentdiscontínuai,comquesuposemquenohiha elementsd’ordrefinit,l’accióde Γ a Ω(Γ ) notépuntsfixos.Enconseqüència,el quocient Ω(Γ )/Γ ésunasuperfíciedeRiemann.

Teorema 5 (Finitudd’Ahlfors, 1964 [1]). Sigui Γ ungrupkleiniàambun nombrefinitdegeneradors.Aleshoreslasuperfície Ω(Γ )/Γ éshiperbòlicade tipusconformefinit.

Unadelesconseqüènciesdelteoremaésque Ω(Γ )/Γ téunnombrefinit decomponents,laqualcosaespotveurecomunresultatanàlegalteoremade Sullivansobrelanoexistènciadedominiserrants.

UnasuperfíciedeRiemannpotserel.líptica(siésl’esferadeRiemann C), parabòlica(siés C, C/Z,o C/Z2)ohiperbòlica(totalaresta).

Definició 6 (Tipusconformefinitihiperbolicitat). Unasuperfíciede Riemannésde tipusconformefinit siésconformementequivalentaunasuperfíciedeRiemanncompacta,possiblementmenysunnombrefinitdepunts.

SiunasuperfíciedeRiemannés hiperbòlica,aleshoreséselquocientd’un discperungrupdiscretdetransformacionsconformes,ilamètricadePoincaré deldiscindueixunamètricahiperbòlicadelasuperfíciedeRiemann.Serde tipusfinitésequivalentateniràreahiperbòlicafinita.

Donatuncomponentconnex Ω0 deldominidediscontinuïtat Ω(Γ ),denotem amb Γ0 elseuestabilitzadora Γ , Γ0 ={γ ∈ Γ | γΩ0 = Ω0}.Lapartmésinteressant delademostraciódelteoremadefinitudd’Ahlforséslaproposiciósegüent.

Proposició 7. Percadacomponentconnex Ω0 de Ω(Γ ),elconjuntlímitdelseu estabilitzador Γ0 éstotalafronterade Ω0, Λ(Γ0) = ∂Ω0.

Comque Γ0 estabilitza Ω0,elconjuntlímit Λ(Γ0) ésunsubconjuntde ∂Ω0, Λ(Γ0) ⊆ ∂Ω0,ilateoriaclàssicadesuperfícieshiperbòliquesensdiuquetenim igualtat, Λ(Γ0) = ∂Ω0,siinoméssi Ω0/Γ0 ésunasuperfíciedeRiemannde tipusfinit.Aquestaproposicióespodriaveurecomunaconseqüènciadel teoremadefinitudd’Ahlfors,peròenrealitatésunaetapamoltimportantdela

demostració.Ensfixemenaquestaproposicióienelfetque Ω/Γ téunnombre finitdecomponents,perquèésonSullivanvaferunanovademostracióen l’articlededinàmicaholomorfa,comexplicaremmésendavant.

3DinàmicaholomorfaielteoremadeSullivan

3.1Transformacionsracionals:dinàmicaholomorfa

Donadaunafuncióracional f(z) = P(z) Q(z) ,on P i Q sónpolinomissensetermes encomú,hompotconsiderarelsistemadinàmicgeneratperlaiteracióde f , ésadir,les òrbites (zn := f n(z0))n delesdiferentscondicionsinicials z0 ∈ C. Processositeratiusd’aquestamenaapareixendemaneranaturalenmodelar fenòmensqueevolucionenentempsdiscrets,oenalgorismesnumèricsde,per exemple,càlculaproximatd’arrelsdepolinomis,compodriaserelconegut mètodedeNewton.

Lafuncióracional f ,i,pertant,elsistemadinàmic,s’esténdemanera naturalal’esferadeRiemann C := C ∪∞,equipadaamblamètricaesfèrica, estenent f percontinuïtatalszerosde Q (polsde f )ial’infinit.Lesòrbites de f podencomportar-sedemaneresdiferents.Aixídoncs,entreellestrobem els equilibrisdelsistema,ésadir,les òrbitesperiòdiquesdeperíode p,quan zn = zn+p peraalguna p ≥ 1iperatota n ∈ N ∪{0};olesquetendeixena unaòrbitaperiòdica;o,bendiferentment,lesqueescomportendemanera aparentmenterràticaocaòtica,comperexempleomplintdemaneradensa algunapartdel’esfera.

L’objectiudelssistemesdinàmicsengeneral,ideladinàmicaholomorfaen particular,ésestudiariclassificarelcomportamentasimptòticdelesòrbites entermesdelacondicióinicial.DonatquelestransformacionsdeMöbius tenenunadinàmicaforçasimple,consideraremsemprequeel grau dela funcióracional, d := max{grau(P), grau(Q)},ésmésgranoigualque2,on d coincideixambelnombred’antiimatgesdequalsevolpuntde C,comptades ambmultiplicitat.

Talcomhemesbossatalaintroducció,l’esferaesdivideixendosconjunts totalmentinvariants(ésadir,formatsperòrbitesquenoesbarregenentre elles),queesdefineixencomsegueix.

Definició 8. El conjuntdeFatou d’unafuncióracional f éselconjuntobert mésgrande C talquelafamíliad’iterats {f n}n ésunafamílianormalo equicontínua(enlamètricaesfèrica),ésadir,

F(f) ={z0 ∈ C |{f n}n ésnormalenalgunentornde z0}.

Elseucomplementari,el conjuntdeJulia de f ,esdefineix,pertant,com

J(f) = C \ F(f) ={z0 ∈ C |{f n}n noésnormalencapentornde z0}.

Veuremalasecció4.4que,eneldiccionarideSullivan,elconjuntdeFatou ésl’anàlegdelconjuntdediscontinuïtatd’ungrupkleinià,mentrequeel conjuntdeJuliacorresponalconjuntlímit.

Elconceptedefamílianormalenunobert U foudesenvolupatperMontel[24]tambéacomençamentsdelsegle xx,iidentificaaquestesfamíliesde funcionscomaquellesperalesqualsqualsevolparcialentéunaqueconvergeix uniformementencompactesde U .Lesòrbitesde F(f) són,doncs,lesòrbites estables,enelsentitqueescomportendemanerasimilaralessevesòrbitesveïnes.Contràriament,lesòrbitesde J(f) tenenuncomportamentinestable o caòtic.Uncasparticulardelesprimeresserienaquellesquepertanyena una concad’atracció,ésadir,alsobertsqueenvoltenlesòrbitesperiòdiques atractores,que,comelseunomindica,atrauentoteslesòrbitesdelseuvoltant.

Exemple(Lafunció z2). Eldiscunitat(obert) D peralafunció f(z) = z2,que consisteixenòrbitesqueconvergeixenen z = 0sotaiteració,ésunexemple d’unaconcad’atracció.Obé,enaquestmateixexemple,tambéhoéselcomplementarideldisctancat C \ D,formatperòrbitesqueconvergeixenuniformementenelpuntdel’infinit.Aquestsdosconjuntsformenelconjuntde Fatou(oconjuntestable)delafunció f(z) = z2.Elseucomplementari,elcercle unitat,és,doncs,elconjuntdeJulia,iéssenzillcomprovarqueés totalment invariant (ésadir, f(S1) = f 1(S1) = S1),iquelessevesòrbitesescomporten d’unamaneraradicalmentdiferentalesdescritesanteriorment.Mencionarem, perexemple,que S1 contéunconjuntdensd’òrbitesperiòdiquesdeperíodes arbitràriamentalts,enaquestcasrepulsores,ésadir,querepel.leixenlesòrbitesproperes;peròtambéquequalsevolentornd’unpuntde S1 cobreix,sota iteracionssuccessives,totselspuntsdel’esferaexcepteelzeroil’infinit.

Aquestaúltimapropietats’anomena propietatdesuperexpansió (blow-up enanglès),ijuntamentambladensitatdelspuntsperiòdicsimoltesaltres característiquesinteressants(associadesalconceptede caos)nosónparticulars de z z2,sinóquesóncertesperalconjuntdeJuliadequalsevolfunció racional(i,defet,demésgeneralsitot).

Enanalogiaamblespropietatsdelconjuntlímitd’ungrupkleinià,mencionarem,perexemple,queelconjuntdeJulia J(f) ésunconjuntperfecte(ésa dir,sensepuntsaïllats)decardinalinfinit;oquelessuccessivesantiimatgesde qualsevolpuntdel’esferas’acumulensempreentotelconjuntdeJulia,fetque escriuríemformalmentcom

J(f) ⊆ {w ∈ C | f n(w) = z, peralgun n ∈ N}, peraqualsevol z ∈ C (exceptecomamàximdospunts),ionesdonalaigualtat si z ∈ J(f)

DeconjuntsdeJulian’hihaunaimmensavarietat,ambpropietatsanalítiques,geomètriquesitopològiquesbendiferents:hihaconjuntsdeJulia connexos,disconnexosiconjuntsdeCantor;continusindescomponibles;de mesurazeroodemesurapositiva;localmentconnexosonolocalmentconnexos;ambqualsevoldimensiódeHausdorffpredeterminadaentre1i2,etc. Larelacióentreaquestespropietatsicertescaracterístiquesdinàmiquesde lafunció f ,avegadesnomésrelativesaunspocspunts,haninteressatels matemàticsdesdel1900finsavuidia,ihanconnectatladinàmicacomplexa ambdiferentsàmbitsdelesmatemàtiques,comlatopologia,l’anàlisi,lateoria geomètricadefuncionsolateoriadenombres.

Lapropietatdesuperexpansiójuntamentamblainvariànciadelconjuntde Juliaielfetquelesfuncionsholomorfessónfuncionslocalmentconformes exceptealvoltantd’unnombrefinitdepuntsfanqueelsconjuntsdeJulia exhibeixinunaestructurafractaloautosemblant,quedonallocaimatgestan interessantscomlesdelafigura10.TotiqueFatouiJuliajavanintuiraquestacomplexitat,novaserfinsal’apariciódelsordinadorsgràfics,alvoltant del1980,queaquestsconjuntsvanpoderservisualitzats.Aquestfetvaprovocarunrenaixementdelateoria,quevaatraurematemàticsdemoltesàrees diferents,entreellsJohnMilnor,Jean-ChristopheYoccozielmateixDennis Sullivan.Expliquenelsprotagonistesdel’èpocaquevaserdurantlatardor del1981,enunseminarial’InstitutdesHautesÉtudesScientifiques(IHES), quanSullivanvaexposarlaconnexióentrelesdeformacionsquasiconformes desuperfíciesdeRiemann,lateoriadegrupskleiniansiladinàmicacomplexa, amblaqualcosaobrialaportaamultitudd’aplicacionsposteriors.

Perauntractamentrigorósdeladinàmicadefuncionsracionalspodem consultar,perexemple,[7,11,22].

Figura 10: Adalt,al’esquerra,conjuntdeJulia(ennegre)d’unpolinomi degrau2ambunaòrbitaperiòdicadeperíodemoltgran;aladreta, funcióracionaldibuixadaal’esferadeRiemann(conquesd’atraccióen colorsclars).Abaix,al’esquerra,conjuntdeJulia(ennegre)d’unafunció racional;aladreta,conjuntdeJulia(ennegre)d’unpolinomidegrau2 ambunaòrbitaperiòdicaatractoradeperíode9.Lafigurasuperiordreta éscortesiad’ArnaudCheritat.

3.2ElscomponentsdeFatouielteoremadeSullivan

Partintdeladefinició,veiemqueelconjuntdeFatouésunobert.Perala funció f(z) = z2 (i,defet, zd peraqualsevol d amb |d|≥ 2),hemvistque F(f) téexactamentdoscomponentsconnexos.Peròaquestssóncasosben especials(sónels productesdeBlaschke,anàlegsdelsgrupsfuchsians),jaque, peraqualsevolaltrafuncióracional,elconjuntdecomponentsde F(f) és infinit(numerable),cadaundelsqualsanomenat componentestableodeFatou delafunció f .Enanalogiaalconjuntdediscontinuïtatdegrupskleinians,se sapqueelnombredecomponentsdeFatouéssempre0,1,2o ∞.

LatotalinvariànciadelconjuntdeJulia(alqualpertanylafronteradequalsevolcomponentdeFatou)faquesi U ésuncomponentdeFatou, f(U) també hosigui,essent f : U → f(U) unafunciópròpia(ésadir,unafuncióambgrau finitbendefinitimésgranoiguala1,iqueenvialafronterade U alafrontera de f(U)).S’estableixaixíunsistemadinàmicentreelscomponentsestables, elsqualsespodenclassificarenprimerainstànciadelamanerasegüent.

Definició 9 Sigui U uncomponentconnexde F(f).Diemque U és

(a) periòdic,si f p(U) = U peraalgun p ≥ 1(anomenat invariant

(b) preperiòdic,si ésperiòdicperaalgun k> 1,però

Elscomponentsperiòdicsvanserclassificatsambmésdetall,entermes delcomportamentasimptòticdelsiterats n U ,essentaquestelcontingutdel teoremadeclassificaciódeFatou[13](vegeulafigura11).

Figura 11: ElsdiferentstipusdecomponentsdeFatou:concad’atracció, concaparabòlica,discdeSiegelianelldeHerman(componentengroc). Elgràficmostratambéalgunesòrbitesdinsdelscomponentsinvariants.

Teorema 10 (ClassificaciódecomponentsdeFatou). Sigui U uncomponentestablede f deperíode p.Aleshores,

(a) U éspartd’una concad’atracciód’unaòrbitaperiòdicaatractora,ésadir, f pn |U → z0 ∈ U ,amb |(f p)′(z0)| < 1;obé

(b) U éspartd’una concad’atracciód’unaòrbitaperiòdicaparabòlica,ésa dir, f pn |U → z0 ∈ ∂U ,amb |(f p)′(z0)|= 1;obé

(c) U ésun dominiderotació,ésadir,elsiterats f pn sónconformement conjugatsaunarotaciórígida z e2πiα,amb α ∈ R \ Q.Enaquestcas U noméspotsersimplementconnex( discdeSiegel)odoblementconnex ( anelldeHerman).

FatouiJuliaesbasarenenlateoriadeMontelperestabliraquestteoremade classificació,mitjançantunestudiexhaustiudelespossiblesfuncionslímit defamíliesnormalsd’iterats.Malgrataquestavenç,novansaberdeterminar sitotesellesenrealitatexistien.Novaserfinsal1942[32]queSiegelva demostrarl’existènciadediscsderotacióifinsal1979[15]queHermanvafer elmateixambelsanellsqueavuiportenelseunom.Aquestésundelspunts enquèladinàmicaconnectaambl’aritmètica,enlacercadelescondicions sobreelnúmeroderotació α ∈ R \ Q queassegurenlapresènciad’aquests objectes.Valadirquelescondicionsòptimessónencaraavuiunproblema noresoltquehaestatcentralaltreballdematemàticscomJean-Christophe Yoccoz[37,36]oRicardoPérez-Marco[27,28],entred’altres.

Uncopestablertalaclassificaciódelscomponents(pre)periòdics,varomandreobertdurantunsseixantaanysméselproblemadelapossibleexistència dedominiserrantsperafuncionsracionals,ambrespostaincertadesque NoelBakerel1976vatrobarlaprimerafuncióholomorfa(noracional)ambun dominierrant[5].Comjahemmencionatanteriorment,vaseralvoltantdels anysvuitantaqueDennisSullivanvaadonar-sequelesdeformacionsquasiconformes,japresentsalateoriadegrupskleinians,podienserutilitzadesper provarelresultatquetancarialaconjecturadeFatouiqueavuiesconeixcom ateoremadenoexistènciadedominiserrants(nowanderingdomainstheorem enanglès)osimplementcoma teoremadeSullivan

Teorema 11 (Noexistènciadedominiserrants, 1985 [33]). Sigui f una funcióracionali U uncomponentde F(f).Aleshores U ésperiòdicaopreperiòdica,ésadir,existeixen n,m ∈ N ∪{0}, n ≠ m,talsque f n(U) = f m(U)

Ambelsmateixosarguments,Sullivanredemostravatambéelteoremade finitudd’Ahlfors,iobrialaconnexióentrelateoriadegrupskleiniansila dinàmicaholomorfa.

4DeformacionsquasiconformesilademostraciódeSullivan 4.1FuncionsquasiconformesicoeficientsdeBeltrami

Comhemvistaladefinició4,laquasiconformitatrepresentaunaversiómés febledelaconformitat;talcoms’hacomentat,lesfuncionsconformesconser-

venelsangles,mentrequelesfuncionsquasiconformeselspodendistorsionar, totiquedemaneralimitada.Sónhomeomorfismesnonecessàriamentdiferenciables,totiquehosónengairebétotpunt.Malgrataquestalimitació, moltsteoremessobrefuncionsconformes,quansónexpressatsadequadament, mantenenlavalidesaperafuncionsquasiconformes.

ElcoeficientdeBeltramiésunaeinaclauperal’estudid’homeomorfismes quasiconformes.

Definició 12 (CoeficientdeBeltrami). Sigui µ : U → C unafunciómesurable.Diemque µ ésun k-coeficientdeBeltrami en U si

||µ(z)||∞ ≤ k< 1gairebéperatot z ∈ U.

Diemque µ ésuncoeficientdeBeltramisi µ ésun k-coeficientdeBeltramiper aalgun k< 1.DoscoeficientsdeBeltramien U sónequivalentssicoincideixen engairebétotpuntde U.

Proposició 13 (QuasiconformitaticoeficientdeBeltrami). Unhomeomorfisme φ : U → V entredosobertsde C quepreserval’orientacióés Kquasiconformesiinoméssi φ téderivadesgeneralitzades(enelsentitdeles distribucions)a L2 loc i

µφ(u) := ∂zφ(u) ∂zφ(u)

ésun k-coeficientdeBeltramiamb k = 1 K 1+K

Si φ : U → C ésunafuncióquetéderivades L2 loc i ∂zφ(u)/∂zφ(u) ésun kcoeficientdeBeltrami(peròpotser φ noésunhomeomorfismeamblaimatge), diemque φ ésunafunció K-quasiregular.

D’algunamanera, µφ(u) mesuracomdellunyestroba φ deserunafunció conformeenelpunt u i,pertant,depreservarangles—observemqueles equacionsdeCauchyRiemann ∂zφ(u) = 0correspondriena µ(u) = 0.

VegemacontinuaciócomelscoeficientsdeBeltramipodensertransportats mitjançantlesfuncionsquasiregulars.Aquestaoperaciós’anomena transport enrere (pullback enanglès).

Definició 14 (Transportenrereiinvariància). DonatuncoeficientdeBeltrami µ en V iunafuncióquasiregular f : U → V ,definimeltransportenrere de µ per f comelcoeficientdeBeltramidefinita U per

f ∗µ(u) = ∂zf(u) + µ(f(u))∂zf(u) ∂zf(u) + µ(f(u))∂zf(u)

Diemque µ és f -invariant si f ∗µ = µ,entèscomque µ(u) = f ∗µ(f(u)) gairebé peratot u ∈ U

Observemque,enelllenguatgedels pullbacks,elcoeficientdeBeltrami µφ definitperlafunció φ s’escriucom

µφ = φ∗µ0, on µ0 ≡ 0éselques’anomena estructuracomplexaestàndard.Esdedueixdel lemadeWeyl[2, 19]queunafunció f quasiregularésholomorfasiinoméssi f ∗µ0 = µ0

Definició 15 (EquaciódeBeltramiiintegració). Donatuncoeficientde Beltrami µ,l’equacióenderivadesparcials ∂zφ = µ(z)∂zφ

esconeixcoma equaciódeBeltrami. Integrar µ voldirtrobarunafunció quasiconforme φ queresolguil’equaciódeBeltramio,equivalentment,trobar φ talque µφ = µ = φ∗µ0,enquèrecordemquetotesaquestesigualtatshande complir-segairebéperatotpunt.

ElscoeficientsdeBeltramitenenunainterpretaciógeomètrica:pensem que µ(z) codificalainformaciód’unael.lipseinfinitesimaltangenta z (mòdul reescalament),demaneraque µ ésuncampmesurabled’el.lipsestangents aunobert U,definitgairebépertot,ilesexcentricitatssónuniformement acotades.Unaaplicacióquasiconforme f : U → V ésderivablegairebépertot ilasevadiferencialpotutilitzar-seperfereltransportenreredecadauna delesel.lipsesinfinitesimalstangentsaunpuntde V ,iobtenirunnoucamp d’el.lipsestangentsa U.L’estructuracomplexaestàndard µ0 ≡ 0corresponaun campdecerclesitotaaplicacióholomorfa preserva µ0,ésadir,portacercles infinitesimalsacerclesinfinitesimals.Espotveure,doncs,queuncoeficientde Beltramiindueixunaestructuracomplexaal’obert U (oenunasuperfície deRiemann,siesdefineixenapropiadament).Noentraremendetallenaquesta direccióiremetemellectora[10].

Elfamósteoremad’integrabilitato measurableRiemannmappingtheorem (MRMT)demostratperMorrey,Bojarski,AhlforsiBers[26, 9, 3]ensdiu quetotsels k-coeficientsdeBeltramisónintegrables.

Teorema 16 (Teoremad’integrabilitatoMRMT). Sigui µ un k-coeficientde Beltramien U ,peraalgun k< 1,on U = C (resp. U = C o U ≃ D).Aleshores existeixunafuncióquasiconforme φ : U → C (resp. φ : U → C o φ : U → D)tal que µφ = µ gairebépertot.Amés,qualsevolaltra ψ quecompleixi µψ = µ ésde laforma ψ = f ◦ φ,on f ésunisomorfismeconformede C (resp.de C o D).

Femnotarelperquèdelnomd’aquestteoremaobservantquesi µ = µ0 ≡ 0, i U ésconformementequivalentaldisc(ésadir, U ⊊C simplementconnex), aleshoreslafuncióquasiconforme φ : U → D queensdonaelteoremacompleix que φ∗µ0 = µ0 i,pertant,ésconformepellemadeWeyl.Enaltresparaules, φ ésexactamentlafunciódeRiemannqueenvia U aldiscunitat.Valadir,per acabar,queladefiniciódelscoeficientsdeBeltramial’esferadeRiemann C (o enunasuperfíciedeRiemanngeneral)requereixl’úsdecartesidelanotació adequada(vegeu,perexemple,[12,capítol13]o[10,secció1.3.7]).

4.2L’espaidedeformacionsquasiconformes

Enaquestaseccióconstruïmespaisdedeformacionsquasiconformestantper afuncionsracionalscomperagrupskleinians.

Donadaunafuncióracional f ,diemque g ésuna deformacióquasiconforme de f si g éstambéunafuncióracional conjugada a f mitjançantunaaplicació quasiconforme,ésadir,siexisteixunafuncióquasiconforme φ : C → C talque g = φ ◦ f ◦ φ 1 .

Alconjuntdedeformacionsde f ,introduïmunarelaciód’equivalènciadefinint que g1 ∼ g2 si g1 = φ1 ◦

2 ◦ f ◦ φ 1 2 sónconjugadesperuna aplicacióconforme,ésadir,si φ2 ◦ φ 1 1 ésconforme.

Anàlogament,donatungrupkleinià Γ finitamentgenerat,diemque Γ ′ és unadeformacióquasiconformede Γ sitambéésungrupkleiniàitotelement γ′ ∈ Γ ′ ésconjugataalgunelement γ ∈ Γ mitjançantunhomeomorfisme quasiconforme,quenodepènde γ′.Equivalentment,existeixunhomeomorfismequasiconforme φ : C → C talque,peratot γ′ ∈ Γ ′ ,

(1) peraalgun γ ∈ Γ .Observemquen’hihaprouqueaquestacondicióescompleixi peralsgeneradorsdelgrupique Γ ′ hadetenirelmateixnombredegeneradors que Γ .Delamateixamaneraqueenelcasracional,duesdeformacions Γ ′ i Γ ′′ sónequivalentssiaquestessónconformementconjugades,osihosónles aplicacionsquasiconformesquelesdefineixen.

Lesdemostracionsdelsdosteoremesqueensocupen(elteoremadefinitud d’AhlforsieldenoexistènciadedominiserrantsdeSullivan)esbasenenl’anàlisidel’espaidedeformacionsquasiconformes Def(f) d’unafuncióracional f , od’ungrupkleinià Γ ,Def(Γ ),mòdullarelaciód’equivalènciaquehemdescrit.

Perentendremillorlespropietatsd’aquestsespais,ésconvenientadonar-se queelteoremad’integrabilitatenspermetreformular-neladefinició.Enefecte, suposemquetenimuncoeficientdeBeltrami µ a C queés f -invariant,ésa dir,que f ∗µ = µ.Aplicantelteoremad’integrabilitat,obtenimunafunció quasiconforme φ talque µ = µφ,o,equivalentment,talque φ∗µ0 = µ.Siara definimlafunció g = φ ◦ f ◦ φ 1,veiemque g ésquasiconformeique g∗µ0 = (φ 1)∗(f ∗(φ∗µ0

, delaqualcosadeduïm,pellemadeWeyl,que g ésholomorfa,i,pertant, racional.Aixòensdiuqueexisteixunabijeccióentre Def(f) iels k-coeficients deBeltrami f -invariants,amb k< 1,ésadir,

B1(f) ={coeficientsdeBeltrami µ ∈ L∞ f -invariantsamb ||µ||∞ < 1}.

Aixòenspermetdotarl’espai Def(f) d’unaestructuradevarietatcomplexa,ja que B1(f) éslabolaunitatdel’espaideBanachde k-coeficientsdeBeltrami f -invariants,equipatamblanormainfinit.

Enelcasd’ungrupkleinià Γ ,perentendrel’espaidedeformacionsquasiconformes Def(Γ ) definitper (1) podemferservircoeficientsdeBeltramiiel teoremad’integrabilitat.Concretament,triemcoeficientsdeBeltrami µ ∈ L∞(C) invariantsper Γ : γ∗µ = µ peratot γ ∈ Γ .D’aquestamaneragarantimquesi φ : C → C ésunaaplicacióquasiconformeambcoeficientdeBeltrami µ,ésadir, compleix ∂zφ = µ(z)∂zφ,aleshores φ ◦ Γ ◦ φ 1 ésungrupdiscretdeMöbius, ésadir, φ ◦ Γ ◦ φ 1 ∈ Def(Γ ).

4.3Ideadelademostraciódelsdosteoremes

EnaquestaseccióexposemlaideadelademostraciódeSullivan,queserveix peralsdosteoremes,iveiemcoms’aplicaencadacas.

Comencempelteoremadenoexistènciadedominiserrants.Sigui f una funcióracionaldegrau d ≥ 2.Recordemqueundominierrantper f és uncomponentdeFatou U talque f n(U) ≠ f m(U) peraqualsevol m ≠ n.

Observemprimerque Ratd,l’espaidefuncionsracionalsdegrau d,potser identificat(viaelscoeficientsicertesnormalitzacions)amb C2d+1,ésadir,amb unespaivectorialcomplexdedimensiófinita.

Suposemaraque U ésuncomponenterrantde F(f).Aleshores,Sullivan demostraqueexisteixunespaidecoeficientsdeBeltrami«noequivalents»amb suporta U ,dedimensióarbitràriamentalta.Hompotferservir f perestendre aquestscoeficientsatot F(f) demaneracompatibleambladinàmica,idefet atot C.Aixòpermetaplicarelteoremad’integrabilitatMRMT(teorema16)per obtenirunespaidedeformacionsquasiconformesde f noequivalentsentre ellesdedimensióarbitrària,i,pertant,unsubespaide Ratd dedimensiótan grancomvulguem,laqualcosaésunacontradicció.

Acontinuacióconsiderem Γ ungrupkleiniàambunnombrefinitdegeneradors.EnaquestcasvolemexplicarlademostraciódeSullivandelaproposició7: volemveureque,peratotcomponentconnex Ω0 ⊂ Ω(Γ ) deldominidediscontinuïtat,elconjuntlímitdel’estabilitzador Γ0 ={γ ∈ Γ | γΩ0 = Ω0} éstotala frontera ∂Ω0.Anàlogamentalcasdefuncionsracionalsdegraudonat,l’espai dedeformacionsquasiconformesde Γ , Def(Γ ),tédimensiófinita.Elmotiu ésque Def(Γ ) ésunsubconjuntdel’espaiderepresentacions hom(Γ , PSL2(C)), queésunconjuntalgebraicdedimensiófinitaquan Γ ésfinitamentgenerat(un morfismede Γ a PSL2(C) estàdeterminatperlaimatgedelsgeneradors,ésa dir,perunnombrefinitdematriusdePSL2(C) [4,17]).

Percontradicció,suposemqueelconjuntlímitde Γ0 noéstotalafronterade Ω0, Λ(Γ0) ≠ ∂Ω0.Comque Λ(Γ0) éstancat,existeixunsubconjunt obert V ⊂ C amb V ∩ ∂Ω0 ≠ i V ∩ Λ(Γ0) = .Demaneraanàlogaalteoremadecomponentsnoerrants,Sullivanconstrueixunespaidecoeficients deBeltramidedimensióinfinitaquesón Γ -equivariants.Elfetquel’obert V siguidisjuntdelconjuntlímitde Γ0 permetescollirelscoeficientsdeBeltrami ques’anul linen V ∩ Ω0.Pertant,laintegraciód’aquestscoeficientssónfuncionsholomorfesa V ∩ Ω0,iaixòenspermetconstruircoeficientsque,quan elsintegrem,difereixena V ∩ ∂Ω0.D’aquestamaneraesconstrueixunespaide

funcionsquasiconformesdedimensióinfinita, dim(Def(Γ )) =∞,is’obtéuna contradicció.

Addicionalment,observemque,comqueladimensióde Def(Γ ) ésfinita,si Ω/Γ tinguésunnombreinfinitdecomponentsconnexos,aleshoresgairebétots hauriendeserrígids,ésadir,tenirespaidedeformacionstrivials.Lesúniques superfíciesdeRiemannrígidesdetipusfinitsónesferessensetrespunts,i Greenbergdonàunargumentalgebraicperveurequen’hihaunnombrefinit a Ω/Γ [14].

Peraunademostraciórigorosadecadaundelsteoremespodemconsultar[33],otambé[1,8,21,10,17].

4.4EldiccionarideSullivan

Alfinaldel’article,Sullivanobservaqueelsdosteoremessóndosresultatsde finitudensistemesdinàmicsconformesbasatsenelteoremad’integrabilitato measurableRiemannmappingtheorem.Peròl’analogiavamésllunyienun articleposteriora ActaMathematica [34]aplicaideesdefuncionsholomorfesi dinàmicade[20]peral’estudidegrupskleinians.

Ellectordeuhaverobservatlasemblançadelesfiguresdeconjuntslímit degrupskleiniansiconjuntsdeJuliad’aplicacionsracionals.Nonoméss’assemblenvisualment,sinóquecomparteixenpropietatscomarasertancatsi perfectes.Alaintroducciódelmateixarticledequèestemparlant[33],Sullivan remarcaaquestaialtressemblancesiformulaun«diccionari».Eldiccionari proposal’analogiaentreunatransformacióracional f degrau d ≥ 2iungrup kleiniànoelemental Γ de n generadors.Enelprimercas,l’espaidedeformacionsde f té2d 2paràmetrescomplexos;enelsegoncas, γ enté3n 3. ElconjuntdeJulia J(f) escorresponalconjuntlímit Λ(Γ ) icomparteixenla propietatabansesmentadadesertancatsiperfectes.ElconjuntdeFatou F(f) i eldominidediscontinuïtat Ω(Γ ) tambéescorresponenenaquestdiccionari, icomparteixenelfetquetantelnombredecomponentsconnexosde F(f) com el Ω(Γ ) podenser0,1,2o ∞.Elsdosteoremes,eldefinitudd’Ahlforsieldeno existènciadedominiserrantsdeSullivan,formenunaanalogiaaldiccionari.El diccionariésmoltmésllargihaevolucionantambeltempsdesdelaproposta original;ellectorinteressatpotconsultar,perexemple,[10]o[25].

Peracabar,esperemhaverjustificatambunexempleelquediuladarrera frasedelacitaciódelpremiAbelsobreDennisSullivan:«hiscapacitytosee analoguesbetweendiverseareasofmathematicsandbuildbridgesbetween them,hasforeverchangedthefield».

Referències

[1] Ahlfors,L.V. «FinitelygeneratedKleiniangroups». Amer.J.Math.,86 (1964),413–429.

[2] Ahlfors,L.V. LecturesonQuasiconformalMappings.2aed.AmbcapítolssuplementarisdeC.J.Earle,I.Kra,M.ShishikuraiJ.H.Hubbard.

Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,2006.(Univ.LectureSer.; 38)

[3] Ahlfors,L.;Bers,L. «Riemann’smappingtheoremforvariablemetrics». Ann.ofMath.(2),72(1960),385–404.

[4] Anderson,J.W. «AbriefsurveyofthedeformationtheoryofKleinian groups».A: TheEpsteinbirthdayschrift.Coventry:Geometry&Topology Publications,1998,23–49.(Geom.Topol.Monogr.;1)

[5] Baker,I.N. «Anentirefunctionwhichhaswanderingdomains». J.Austral. Math.Soc.Ser.A,22(2)(1976),173–176.

[6] Bayer,P- «LescontribucionsdePoincaréal’aritmètica». Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques,21(1)(2006),5–38.

[7] Beardon,A.F. IterationofRationalFunctions.ComplexAnalyticDynamical Systems.NovaYork:Springer-Verlag,1991.(Grad.TextsinMath.;132)

[8] Bers,L. «OnSullivan’sproofofthefinitenesstheoremandtheeventual periodicitytheorem». Amer.J.Math.,109(5)(1987),833–852.

[9] Boyarski˘i,B.V. «HomeomorphicsolutionsofBeltramisystems». Dokl. Akad.NaukSSSR(N.S.),102(1955),661–664.(Enrus)

[10] Branner,B.;Fagella,N. QuasiconformalSurgeryinHolomorphicDynamics.Cambridge:CambridgeUniversityPress,2014.(CambridgeStud.Adv. Math.;141)

[11] Carleson,L.;Gamelin,T.W. ComplexDynamics.NovaYork:SpringerVerlag,1993.(UniversitextTractsMath.)

[12] Donaldson,S. RiemannSurfaces.Oxford:OxfordUniversityPress,2011. (Oxf.Grad.TextsMath.;22)

[13] Fatou,P. «Surleséquationsfonctionnelles». Bull.Soc.Math.France,47 (1919),161–271.

[14] Greenberg,L. «OnatheoremofAhlforsandconjugatesubgroupsof Kleiniangroups». Amer.J.Math.,89(1967),56–68.

[15] Herman,M.-R. «Surlaconjugaisondifférentiabledesdifféomorphismes ducercleàdesrotations». Inst.HautesÉtudesSci.Publ.Math.,49(1979), 5–233.

[16] Julia,G. «Mémoiresurl’itérationdesfonctionsrationnelles». J.Math. PuresAppl.(8),1(1918)47–245.

[17] Kapovich,M. HyperbolicManifoldsandDiscreteGroups.Boston,MA: BirkhäuserBoston,Inc.,2001.(Progr.Math.;183)

[18] Klein,F. «NeueBeiträgezurRiemann’schenFunctionentheorie». Math. Ann.,21(2)(1883),141–218.

[19] Lehto,O.;Virtanen,K.I. QuasiconformalMappingsinthePlane.2aed. Traduïtdel’alemanyperK.W.Lucas.NovaYork;Heidelberg:SpringerVerlag,1973.(DieGrundlehrendermathematischenWissenschaften;126)

[20] Mañé,R.;Sad,P.;Sullivan,D. «Onthedynamicsofrationalmaps». Ann. Sci.ÉcoleNorm.Sup.(4),16(2)(1983),193–217.

[21] McMullen,C.T.;Sullivan,D.P. «Quasiconformalhomeomorphismsand dynamics.III.TheTeichmüllerspaceofaholomorphicdynamicalsystem». Adv.Math.,135(2)(1998),351–395.

[22] Milnor,J. DynamicsinOneComplexVariable.3aed.Princeton,NJ:PrincetonUniversityPress,2006.(Ann.ofMath.Stud.;160)

[23] Mj,M. «Cannon-Thurstonmapsforsurfacegroups». Ann.ofMath.(2), 179(1)(2014),1–80.

[24] Montel,P. «Surlesfamillescomplexesetleursapplications». ActaMath., 49(1-2)(1926),115–161.

[25] Morosawa,S.;Nishimura,Y.;Taniguchi,M.;Ueda,T. Holomorphic Dynamics.Traduïtdel’originaljaponèsde1995irevisatpelsautors. Cambridge:CambridgeUniversityPress,2000.(CambridgeStud.Adv. Math.;66)

[26] Morrey,C.B.,Jr. «Onthesolutionsofquasi-linearellipticpartialdifferentialequations». Trans.Amer.Math.Soc.,43(1)(1938),126–166.

[27] PérezMarco,R. «Surlastructuredesgermesholomorphesnonlinéarisables». C.R.Acad.Sci.ParisSér.IMath.,312(7)(1991),533–536.

[28] Pérez-Marco,R. «Fixedpointsandcirclemaps». ActaMath.,179(2) (1997),243–294.

[29] Poincaré,H. «Théoriedesgroupesfuchsiens». ActaMath.,1(1)(1882), 1–76.

[30] Poincaré,H. «Mémoiresurlesgroupeskleinéens». ActaMath.,3(1)(1883), 49–92.

[31] Schottky,F. «UeberdieconformeAbbildungmehrfachzusammenhängenderebenerFlächen». J.ReineAngew.Math.,83(1877),300–351.

[32] Siegel,C.L. «Iterationofanalyticfunctions». Ann.ofMath.(2),43(1942), 607–612.

[33] Sullivan,D. «Quasiconformalhomeomorphismsanddynamics.I.Solution oftheFatou-Juliaproblemonwanderingdomains». Ann.ofMath.(2), 122(3)(1985),401–418.

[34] Sullivan,D. «Quasiconformalhomeomorphismsanddynamics.II.StructuralstabilityimplieshyperbolicityforKleiniangroups». ActaMath., 155(3-4)(1985),243–260.

[35] Thurston,W.P. «Three-dimensionalmanifolds,Kleiniangroupsand hyperbolicgeometry». Bull.Amer.Math.Soc.(N.S.),6(3)(1982),357–381.

[36] Yoccoz,J.-C. «Structuredesorbitesdehoméomorphismesanalytiques posedantunpointcritique».[Inèdit]

[37] Yoccoz,J.-C. «Linéarisationdesgermesdedifféomorphismesholomorphesde (C, 0)». C.R.Acad.Sci.ParisSér.IMath.,306(1)(1988),55–58.

NúriaFagella

DepartamentdeMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona

GranViadelesCortsCatalanes, 585

08007 Barcelona

iCentredeRecercaMatemàtica EdificiC,CampusdelaUAB 08193 Bellaterra(CerdanyoladelVallès) nfagella@ub.edu

JoanPorti

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona

iCentredeRecercaMatemàtica EdificiC,CampusdelaUAB 08193 Bellaterra(CerdanyoladelVallès) joan.porti@uab.cat

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.38,núm.2,2023.Pàg.165–200. DOI:10.2436/20.2002.01.112

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada

GuillemPerarnau

Resum: Desdel’apariciódelanociódexarxescomplexes,elsgrafsaleatorishan resultatunaeinafonamentalpermodelar-lesiestudiar-les.Enaquestarticletractarem l’estudidelsgrafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada,enquèelgraudecada vèrtexésfixat apriori perdespréstriarunainstànciaaleatòriaquerespectiaquestes restriccions.Elnostreobjectiuésintroduirenaquesttemaellectorquenohiestà familiaritzat,enunciantelsresultatsmésrellevantsenl’àreaiexplicantperquèsón certs,sensedonar-neprovesrigoroses.

Paraulesclau: grafsaleatoris,seqüènciadegraus,modelsperaxarxescomplexes, componentsconnexes,distànciesengrafs,enumeraciódegrafs,mostreigdegrafs aleatoris.

ClassificacióMSC2020: 05C80,05C82.

1Introducció

Elsgrafsaleatorissónestructurescombinatòriesdiscretesquedesdelseu naixementhantrobatnombrosesaplicacionsenunaàmpliagammadedisciplinescientífiques,desdelainformàticailesmatemàtiquesfinsalabiologiai lesciènciessocials.Originatseneltreballseminald’Erd˝osiRényialadècada de1960,lateoriadelsgrafsaleatorishaevolucionat,finsatransformar-seen uncampric,diversienconstantcreixementiesdevenirunaeinafonamental perestudiardiversosfenòmensenlaciènciamoderna.

Recentment,l’estudidelsgrafsaleatoriss’halligatdemaneramésestretaa l’anàlisidelesxarxescomplexes.Les xarxescomplexes modelensistemescaracteritzatsperelementsinterconnectats(nodesconnectatsatravésd’arestes),i apareixenendominisdiversoscomaralesxarxessocials,lesxarxesbiològiques,lesxarxesneuronals,lesxarxesdetransportolesxarxesdelainformació (Internet,5G,etc.).Elsdesenvolupamentstecnològicsdelesúltimesdècades enshanproporcionatlacapacitatcomputacionalperprocessaraquestesxarxes demidaingent,ihanfetpalesalanecessitatcreixentdecomprendre-lesdesdel puntdevistateòric.Aixòhaplantejatl’ambiciósreptededesenvoluparianalit-

zarmodelsdexarxesqueencaixinambelques’observaalarealitat.Lateoria delsgrafsaleatorisofereixunmarcidoniperaaquestobjectiu,permetentnosextreureinformaciósobrelessevespropietatsestructurals,estudiar-ne l’evoluciódinàmicaomesurarlarobustesadavantdepertorbacions.

Objectesdedefiniciósenzilla,comaraelgrafaleatoribinomial,proporcionenunmodelbàsicinicialperalesxarxescomplexes.Totilasevasimplicitat, aquestmodelmostraunariquesaestructuralextraordinària,capturant,per exemple,dosfenòmenscomsónl’existènciadetransicionsdefaseenl’estructuradelescomponentsconnexes,olapropietatpetit-món(small-world enanglès), queasseguraquequalsevolparelldevèrtexsespodenconnectaratravésdela xarxaambpocspassos.Noobstantaixò,aquestmodelnoaconsegueixcapturar algunesdelesaltrespropietatsessencialsqueapareixenenlesxarxesdel mónreal,comaral’heterogeneïtatolescorrelacionsentrearestes(clustering). Defet,lesxarxesquetrobemalmónrealexhibeixenunatopologiatanrica idiversaquetépocsentitintentarconstruirunsolobjectequelesmodeli atotes.Perexemple,lespropietatsd’unaxarxasocialcomInstagramtenen poquescosesencomúamblesdelesxarxeselèctriques,fortamentmarcades perlesrestriccionsgeogràfiques.Aixòjustificalanecessitatd’introduirnous models,méssofisticatsqueeldelgrafaleatoribinomial,quedonenlloclloca unaàreaderecercanovaidinàmicaenlaintersecciódelafísicaestadística,la informàticateòricailesmatemàtiques.

Enaquestarticleenscentraremenl’objectiud’introduirheterogeneïtatals modelsdexarxes,ihofarematravésdelanociódegrau.Elgraud’unnodeen unaxarxaéselnombredenodesalsqualsestàconnectat.Perexemple,enuna xarxasocialelgraud’unapersona(representadaperunnode)éselnombre d’amicsd’aquestapersonaenlaxarxa.Ésbensabutquelamajoriadexarxes exhibeixenseqüènciesdegrausparticularsoambfortespropietatsestructurals. Unexempleésl’existènciade nodesconcentradors (hubs enanglès),nodesde laxarxaquetenenungraumoltsuperioralaresta;perexemple,Frankfurt ésunhubalaxarxadetransportaeri.D’altrabanda,hihaxarxesenquè laseqüènciadegraussegueixunacertalleideprobabilitat;perexemple,a lesxarxesanomenades invariantsd’escala (scale-free enanglès),elsgraus segueixenunadistribuciódelleidepotències.

Aquestsexemplesmotivenlacreaciód’unmodelparametritzatpelsgraus delsseusnodes.Ésadir,fixantelsgraus apriori,volemestudiarungraf aleatoricadavèrtexdelqualtinguielgrauqueselihaassignat.Aaquestefecte, sivolemgenerarungrafamb n vèrtexs,podemprendreunaseqüènciade graus dn delongitud n idesprésprendre Gn = Gn,dn quesiguiungraftriat uniformemental’atzarde Gn,dn ,elconjuntdetotselsgrafsamb n vèrtexsi seqüènciadegraus dn.Aquestobjectecombinatoris’anomena grafaleatori ambunaseqüènciadegrausdonada iseràelnostreprincipalobjected’estudi.

Calfernotarqueaquestmodelnoseràelmésadequatperaxarxesque exhibeixen clustering,elfenomenqueesdonaquanelsveïnsd’unvèrtextenen tendènciaaestarconnectats.Entalcas,hihaaltresmodelsaleatorisdexarxes, comelsgrafsgeomètricsaleatorisoelsgrafshiperbòlicsaleatoris,quecapturen aquestfenomen.

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 167

Perallectorinteressatenl’evoluciódelateoriadegrafsilasevarelacióamb elsgrafsaleatoris,referimal’articledeRué[47].D’altrabanda,caldestacarque tambéhihamodelsdeterministesdexarxescomplexes;vegeuComellas[9].

1.1Unaprimeramiradaalsgrafsaleatoris

Totiqueaquestmodeldonaunarepresentaciómésrealistadelesxarxes complexes,lasevadescripcióendificultal’anàlisiteòrica.Abansdeplantejarnoscomelpodemestudiardesdelformulismematemàtic,discutiremels principalsobstaclesquepresentaladefiniciódelmodelicomsuperar-los.

Unaprimeraopcióperentendreaquestmodelésdonar-hiunenfocament algorísmici/oprobabilístic:trobarunprocedimentquegeneri Gn iquesigui prousimpleperseranalitzat.Perexemple,elgrafaleatoribinomialespot generarseleccionantindependentmentcadaarestaambprobabilitat p,com veuremmésendavant.

Éstemptadorvolergenerar Gn delamanerasegüent:començantambel grafbuitamb n vèrtexs,acadapas,seleccionem«aleatòriament»dosvèrtexs diferentsinoadjacents u, v talsqueelsseusgrausactualssiguinméspetits queelsseusgrausfinals du, dv ihiafegimunaarestaqueelsconnecti.Siun provadefer-ho,ràpidaments’adonaràqueaquestprocedimentpodriaquedar bloquejatabansdegenerarungrafamblaseqüènciadegrausdesitjada,ja quetoteslesparellesdevèrtexssusceptiblesdesertriadespodrienjaestar unidesperunaaresta.Iencaraqueelprocéstinguésèxit,podriaserquenoes generessintotselsgrafsde Gn,dn amblamateixaprobabilitat.

Podemmodificarelprocedimentanteriorseleccionantqualssevol u, v, semprequeelsseusgrausactualssiguinméspetitsqueelsseusgrausfinals, permetentllaçosiarestesmúltiples.Aixòesconeixcoma modeldeconfiguració is’introduiràendetallmésendavant.Unalgorismesenzill,conegutcoma mostreigperrebuig,consisteixaexecutarrepetidamentaquestprocediment finsques’obtéungrafsimple(sensellaçosniarestesmúltiples).Espotprovar queaquestalgorismedemostreiggeneraungraffinalambladistribució uniformea Gn,dn .Addicionalment,silaseqüènciadegraustédeterminades bonespropietats,elprocedimentaleatoriéscomputacionalmenteficient.

Unasegonaopcióésdonar-hiunenfocamentcombinatori.Comqueestem considerantunmodeluniforme,peraqualsevolpropietatdelgraf,laprobabilitatque Gn tinguiaquestapropietatéslaraóentreelnombredegrafsa Gn,dn quesatisfanaquestapropietatielnombretotaldegrafsa Gn,dn .Aquestaidea ésforçaútilenmodelscomelgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi Gn,m,onelnombre d’arestes m esfixacomaparàmetredelmodel.Estimarelnombredegrafs ambunaseqüènciadegrausdonadaquesatisfacinunadeterminadapropietat noésunatascafàcil.Defet,determinar |Gn,dn | ésunproblemafamósenenumeracióqueencaranoestàcompletamentresoltiquetractaremalapartfinal d’aquestarticle.Totiaixò,resultaqueespotaproximarlaraóentreaquests dosconjuntsutilitzantunsenzilltrucdedoblerecompte.

Pertant,undelsprincipalsobstaclesenl’estudide Gn éslamancad’un bonmodel.Totiqueelsenfocamentsalgorísmic,probabilísticicombinatori

méssimplestenenmolteslimitacions,veuremcomespodenmodificarper permetrel’anàlisid’aquestsgrafsaleatoris.

1.2Contingutiorganització

Enaquestarticledonaremunavisiógeneralsobreelsgrafsaleatorisambuna seqüènciadegrausdonada,qued’araendavantanomenaremsimplement grafs aleatoris

L’articles’estructuradelamanerasegüent.Dediquemprimerlasecció2a introduirlanotacióbàsicaenteoriadegrafs,probabilitat,asimptòticaigrafs aleatorisquefaremserviralllargdel’article.Lasecció3introdueixelmodelde configuració,unmodelmoltútilperestudiargrafsaleatorisambpoquesarestes. Enaquestaseccióparlaremdelescondicionssuficientssobrelaseqüènciade grauspertalqueelgrafgeneratsiguisimpleambunaprobabilitatpositiva. Continuemalasecció4establintlaconnexióentreelsveïnatgeslocalsenun grafaleatoriielsprocessosderamificació.Alasecció5discutiml’estructurade lescomponentsconnexesdelgrafaleatori,introduintelcriterideMolloy-Reed icobrinttemescomlapercolacióilaconnectivitat.Lasecció6estàdedicada al’estudidelesdistànciesengrafsaleatoris.Finalment,lasecció7tracta sobregrafsaleatorisambmoltesarestes,introduintelmètodedecommutació (switching enanglès)idiscutint-nelesaplicacionsal’enumeracióialmostreig.

Elnostreobjectiuésproporcionarunabonaintuïciósobreelsresultatsmés rellevantsenlaliteratura.Enaquestarticlenodonaremprovesd’aquestsresultats,peròhihadiversesrevisionsillibresqueinclouendemostracionsdel contingutqueespresentaaquíiresultatsaddicionals.Consulteu,perexemple, lesreferènciessegüents:modeldeconfiguració[21, 26],estructuradecomponentsconnexesidistàncies[27],subgrafs[40],enumeració[52],mostreig[23].

D’altrabanda,aquestsgrafsaleatorishanatretl’atenciódebonapartdela comunitatcientíficaperlasevaversatilitatal’horademodelarxarxes.Actualmentesfanservirperatottipusdexarxesenquèlainformaciósobreelsgraus espotextreureempíricamentd’unesdades.La teoriadexarxescomplexes és unabrancadelafísicaestadísticaqueesdedicaainterpretaraquestesxarxes desd’unpuntdevistafísiciesbasaenanàlisisheurístiquesisimulacions numèriquessobremodelsdegrafsaleatoriscomelqueestudiaremenaquest article.Podeuconsultarelsarticlesd’AlbertiBarabási[1]odeNewman[45]per entendreelsgrafsaleatorisdesd’aquestpuntdevista,aixícompertrobar-hi nombrososexemplesd’aplicacionsconcretes.

Finalment,enaquestarticlenoenscentraremenfamíliesespecífiquesde seqüènciesdegraus,sinóquetractaremlesseqüènciesalnivellmésgeneral possible.Pertaldefer-ho,identificaremunconjuntcomúd’hipòtesis(vegeu lahipòtesiA)sotalesqualsespodenenunciarlamajoriadelsresultats,amb l’excepciódelsresultatsdelasecció7,idestacaremijustificareml’úsdecondicionsaddicionalssemprequesiguinecessari.Elslectorsinteressatsenfamílies particularsdeseqüènciesdegraus,elsremetemal’articledeWormald[51]per aseqüènciesregulars,ialsllibresdevanderHofstad[26, 27]peraseqüències degrausquesegueixenunalleidepotència.

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada

2Notació

Abansdecomençardiscutintelsresultatssobregrafsaleatoris,introduïmla notacióbàsicaquefaremservirenaquestarticle.

2.1Grafs

Denotemamb G = (V,E) ungrafambconjuntdevèrtexs V = V(G) iconjunt d’arestes E = E(G) ⊆ V 2 ,unconjuntdeparellesnoordenadesd’elements de V .L’ordre delgrafés v(G) =|V(G)| ilaseva mida, e(G) =|E(G)|.Al llargdel’articlefemservir«:=»perdenotarunadefinicióusantunaequació.Per a n ∈ N,denotem [n] :={1,...,n}.Totselsgrafsd’aquestarticletenenconjunt devèrtexs V(G) = [n] iparlemde grafsetiquetats,enelsqualsl’etiquetad’un vèrtexéselvalor j ∈ [n] queseliassigna.Enparticular, v(G) = n sempre quenoesdiguielcontrari.Un subgraf de G ésungraf H = (VH ,EH ) talque VH ⊆ [n] i EH ⊆ VH 2 ∩ E ihodenotemamb H ⊆ G.El grau d’unvèrtex v ∈ [n], d(v),éselnombred’arestesincidentsa v en G Podemdefiniruna distància sobreelsvèrtexsde G.Donat v,w ∈ [n], denotemamb dist(u,v) lalongituddelcamíméscurtqueuneix v i w encas queexisteixi,altrament dist(v,w) =∞.El diàmetre d’ungraf, diam(G),es defineixcomelmàximdelesdistànciesentrevèrtexsde G.Ungrafés connex siperatot v,w ∈ [n], dist(v,w)< ∞.Siungrafnoésconnex,aleshores tésentitparlardelessevescomponentsconnexes.La componentconnexa d’unvèrtex v éselsubgrafmaximalquecontétotselsvèrtexs w talsque dist(v,w)< ∞.Denotemlacomponentconnexamésgran(enordre)de G amb C1(G);encasd’haver-n’himésd’una,escollimlaquecontéelvèrtexamb l’etiquetaméspetita.

Pera h ∈ N,definimel h-veïnatge iel (≤ h)-veïnatge de v,respectivament, com

Nh(v) :={w ∈ [n] :dist(v,w) = h}, N≤h(v) :={w ∈ [n] :dist(v,w) ≤ h}

Denotaremamb ⃗ G = (V, ⃗ E) un grafdirigit (o digraf )ambconjuntdevèrtexs V = [n] iconjuntd’arcs ⃗ E = ⃗ E(G),unconjuntdeparelles ordenades d’elementsde V .El graud’entrada de v, d (v),éselnombred’arcs (w,v) ∈ ⃗ E amb w ∈ [n],iel graudesortida de v, d+(v),éselnombred’arcs (v,w) ∈ ⃗ E amb w ∈ [n].Podemdefinirunadistàncianosimètricaa ⃗ G: dist(u,v) ésla longituddelcamídirigitméscurtquevadesde v finsa w encasqueexisteixi, altrament dist(v,w) =∞.Definimla componentfortamentconnexa de v ∈ [n] comelsubdigrafmaximalquecontéelsvèrtexs w ∈ [n] talque dist(v,w)< ∞ i dist(w,v)< ∞.Denotemlacomponentfortamentconnexamésgran(enordre)de ⃗ G amb C1( ⃗ G);encasd’haver-n’himésd’una,escollimlaquecontéel vèrtexambl’etiquetaméspetita.

Parlemde multigrafs G = (V,E) perdenotarungrafenquè E ésunmulticonjuntdeparellesd’elementsde V nonecessàriamentdiferents.Sitenimuna

aresta {v,v}∈ E,aleshoresdiemqueaquestaarestaésun llaç a v.Sitenim dues,tresoquatrearestes {v,w} a E,aleshoresparlemd’una arestadoble, triple o quàdruple,respectivament;engeneraldiemqueésuna arestamúltiple

2.2Probabilitat

Denotaremun espaideprobabilitatfinita amb (Ω, A, P),on Ω ésunconjunt finit, A ésuna σ -àlgebrasobre Ω i P : A→ R ésunafunciódeprobabilitat.

Faremservir X perdenotaruna variablealeatòria en (Ω, A, P), E[X] pera laseva esperança i Var(X) peralaseva variància.Faremreferènciaaalguna delesdistribucionsdeprobabilitatdiscretaméshabituals,comla distribució binomial Bin(n,p),on n ∈ N i p ∈ [0, 1],ila Poisson Po(λ),on λ> 0.Usarem (Xt )t≥0 perdenotarun procésestocàstic en (Ω, A, P)

Enscaldràconsiderarseqüènciesd’espaisdeprobabilitatfinits (Ωn,An,Pn)n∈N, on |Ωn|→∞ quan n →∞.Pertald’alleugerirlanotacióésestàndardusar P = Pn iaixíhofarem.Donadaunaseqüènciad’esdeveniments (An)n∈N talque An∈ An,diemque (An)n∈N sesatisfà ambaltaprobabilitat(aap) si

lim n→∞ Pn(An) = 1.

Donadaunaseqüència (Xn)n∈N,on Xn ésunavariablealeatòriadefinida a (Ωn, An, Pn) i X ésunavariablealeatòriadefinidaa (Ω, A, P),diemque Xn convergeixa X endistribució (o Xn d → X)si

lim n→∞ Pn(Xn ≤ x) = P(X ≤ x), peratot x ∈ R.

D’altrabanda,donadaunaconstant c ∈ R,diemque Xn convergeixa c en probabilitat (o Xn p → c)siperatot ϵ> 0

lim n→∞ Pn(|Xn c|≥ ϵ) = 0.

2.3Notacióasimptòtica

Pera f,g : N → N,diemque f(n) = O(g(n)) si limsup n→∞ f(n) g(n) < ∞,

ique f(n) = Θ(g(n)) si f(n) = O(g(n)) i g(n) = O(f(n))

Diemque f(n) = o(g(n)) si

lim n→∞ f(n) g(n) = 0,

enparticular f(n) = o(1) denotaquelimn→∞ f(n) = 0.

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 171

Finalment,diemque f(n) ∼ g(n) si

lim n→∞ f(n) g(n) = 1.

Quanparlemderesultatsasimptòticssobreseqüènciesd’espaisdeprobabilitat, faremservirexpressionsdel’estil«f(n) = O(g(n)) aap»;formalmentaixòcal entendre-hocom:existeixunaconstant c> 0talque

lim n→∞ Pn(f(n) ≤ cg(n)) = 1, isimilarmentperal’altranotacióasimptòtica.

2.4Grafsaleatoris

Una seqüènciadegraus delongitud n ésunaseqüència dn = (di)i∈[n],on di ésunnúmeroenterpositiu1 amb di ≤ n 1peratot i ∈ [n] i mn := i∈[n] di ésparell.Definim ∆n := maxi∈[n] di.

Redefinim Gn,dn comelconjuntdegrafsambconjuntdevèrtexs [n] i onelvèrtex i tégrau d(i) = di.Unaseqüènciadegraus dn és factible si Gn,dn ≠ .Donadaunaseqüènciadegrausfactible dn,sigui Gn,dn ungraf triatuniformemental’atzarde Gn,dn .Anomenem Gn,dn un grafaleatoriamb seqüènciadegraus dn.Quanlaseqüènciadegrausalaqualfemreferència siguiclarapelcontext,escriuremsimplement Gn = Gn,dn ienshireferirem coma grafaleatori.Donat d = d(n) amb1 ≤ d ≤ n 1,un grafaleatori d-regular,denotatper Gn,d,éselgrafaleatori Gn on di = d peratot i ∈ [n]. Una seqüènciadeseqüènciesdegraus ésunaseqüència d = (dn)n∈N,on peracada n ∈ N, dn = (dn,i)i∈[n] ésunaseqüènciadegrausdelongitud n Definim nk = nn,k :=|{i ∈ [n] | dn,i = k}| comelnombredevèrtexsdegrau k en dn.Donada d,definimla seqüènciadegrafsaleatoris Gd = (Gn,dn )n∈N

Alllargdel’article,compararemelcomportamentdelgrafaleatori Gn ambeldel grafaleatoribinomial, Gn,p,elqualtéelconjuntdevèrtexs [n] ienquècadaarestas’afegeixindependentmentambprobabilitat p ∈ [0, 1] Sovintconsideraremprobabilitats p = pn → 0quan n →∞.Finalment,pera m ∈ 0,..., m 2 ,introduïmel grafaleatorid’Erd˝os-Rényi, Gn,m,queésungraf triatuniformementdetotselsgrafsambconjuntdevèrtexs [n] i m arestes. Alaliteratura,sovints’anomena Gn,p elgrafaleatorid’Erd˝os-Rényi,fetque potcomportarunalleuconfusió.Totiquelesdefinicionssóndiferents,si m = n 2 p, Gn,p i Gn,m escomportendemaneramoltsimilar,d’aquíl’abúsde notació.

1 Engeneral,lesseqüènciesdegrauspodencontenirvèrtexsdegrauzero.Totiaixò,notenen cappaperenl’estructuradelgrafaleatoriiespodeneliminardelaseqüènciadegrausreduinta lavegada n,d’aquíl’assumpció.

3Elmodeldeconfiguració

Alasubsecció1.1hemproposatelsegüentalgorismepergenerargrafsambla seqüènciadegrausdonada:començantambelgrafbuit,escollimdosvèrtexsa l’atzarquenotinguinelseugrausaturatiafegimunaarestaentreells.Aquest procedimentsempreacaba,totiquepotgenerargrafsquenosónsimples. Totiaixò,laidead’aparellarvèrtexsdedosendosésmoltútil,iéslabase principaldelmodeldeconfiguració.

El modeldeconfiguració (tambéconegutcoma modeld’aparellament) ambseqüènciadegraus dn,denotatper CMn,dn (osimplement CMn sila seqüènciadegrausésclarapelcontext)iintroduïtperBollobása[5](vegeu també[3, 4, 49, 50]),éselmultigrafaleatoriambconjuntdevèrtexs [n] que s’obtéassignant di semiarestes acadavèrtex i ∈ [n],idesprésaparellant-les totesuniformemental’atzarpercrearlesarestes(vegeulafigura1).Elnombre d’aparellamentsqueespodenrealitzarés mn!!:= mn(mn 2)(mn 4)... 2.

Figura 1: Exempledelmodeldeconfiguracióamb dn = (3,1,2,2,1,4,3,2): (a)aparellamentdelessemiarestes,representadescomapunts;(b)multigrafresultant.

Observeuqueunasemiarestaincidenta v espotaparellarambunaaltra semiarestatambéincidenta v,iproduiraixíunllaçenaquestvèrtex.Demanera similar,mésd’unasemiarestaincidenta u espotaparellarambsemiarestes incidentsa v,iproduirunaarestamúltiple.Alafigura1,aquestéselcasperal vèrtex6(llaç)ientreelsvèrtexs3i7(arestadoble).Peraquestaraó,engeneral, elmodeldeconfiguraciónodonallocaungrafsimple,sinóaunmultigraf.No obstantaixò,proporcionaunmodelfàcilmentanalitzablequegeneraexemples amblaseqüènciadegrauscorrecta.

Donatunmultigraf G ambconjuntdevèrtexs [n] iseqüènciadegraus dn, hihamoltsaparellamentsqueelgeneren.Concretament,

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 173

on ai éselnombredellaçosincidentsalvèrtex i,i bi,j éselnombred’arestes entreelsvèrtexs i i j.Fem,doncs,elcàlculdelnombred’aparellamentsque donenlloca G.Fixemunordrearbitraridelesarestesde G.Llavorspodem ordenarlessemiarestesincidentsalvèrtex i de di!maneresiaparellar-les segonsaquestordreil’ordredelesarestes.Acausadelsllaçosidelesarestes múltiples,unaparellamentparticularapareixerà i∈[n] 2ai ai! 1≤i<j≤n bi,j !vegades.Finalment,laprobabilitatd’aparellarlesduessemiarestescorrectesal pas t és 1 mn 2t+1 id’aquís’obtélafórmula(1).

Observeuque,donada dn,laprobabilitaten (1) nomésdepèndelnombre dellaçosiarestesmúltiplesde G,demaneraquelaprobabilitatdequalsevol grafsimpleéslamateixa.Aixídoncs, CMn condicionatal’esdevenimentdeser simplei Gn tenenlamateixalleideprobabilitat,ésadir,

P(CMn = G | CMn éssimple) = P(Gn = G). (2)

Aquestaésl’observacióclauqueenspermetestudiargrafsaleatorisutilitzant elmodeldeconfiguració.Peraqualsevolpropietat P degrafssimples,

P(Gn ∈P) = P(CMn ∈P| CMn éssimple) =

P(CMn ∈P)

P(CMn éssimple) (3) i,entenentlaprobabilitatqueelmodeldeconfiguracióprodueixiungrafsimple, podemtransferirlesprobabilitatsdelmodeldeconfiguracióalsgrafsaleatoris. Abansdedonarunaexpressióperalaprobabilitatque Gn siguisimple, parlembreumentdeladistribuciódellaçosiarestesmúltiples.Siguin Ln i Mn variablesaleatòriesquecompten,respectivament,elnombredellaçosi deparellesd’arestesdoblesquenosónllaçosa CMn.Podemescriure Ln := i∈[n] 1≤r<s≤di Xi,r,s ,on Xi,r,s éslavariablealeatòriaindicadoraquela rèsimaila s-èsimasemiarestesincidentsalvèrtex i s’hanaparellat,d’ones desprènque E[Xi,r,s ] = 1 mn 1 .Espotobtenirunaexpressiósimilarpera Mn Perlinealitatdel’esperança,

E[Ln] = 1 2(mn 1) i∈[n]

di(di 1) = νn 2 (1 + O(1/mn)),

E[Mn] = 1 4(mn 1)(mn 3) i,j∈[n],i≠j

di(di 1)dj (dj 1)

= 1 4 (ν 2 n κn)(1 + O(1/mn)), (4) on

νn := 1 mn i∈[n]

di(di 1),

κn := 1 m2 n i∈[n]

d2 i (di 1)2 .

Elsparàmetres νn i κn espodenexpresarcomacombinaciólinealdemoments delaseqüènciadegraus.Comveuremmésendavant, νn ésunparàmetre clau,notansolspercontrolarelnombredellaçosiarestesdobles,sinó tambéperentendrel’estructuradecomponentsilesdistànciesdinsdelgraf aleatori.D’altrabanda, κn jugaunpaperméssecundarii,peralagranmajoria deseqüènciesdegraus,estéque κn = o(νn).Arribatsaaquestpunt,ésútil establiralgunescondicionssobrelaseqüènciadegrausconsiderada.Donada dn, definimla distribuciódegraus Dn = Dn(dn) comlavariablealeatòriasobre N queindicaelgraud’unvèrtextriatuniformemental’atzar,ésadir,

P(Dn = k) = λn,k := nn,k n , peratot k ≥ 1. (5)

Enunciemara,doncs,lesnostreshipòtesissobrelaseqüènciadegrausque suposaremperalamajoriadelsresultatspresentatsenaquestarticle.

HipòtesiA. Existeixunadistribuciódeprobabilitat D = D(d) sobre N amb λk := P(D = k) peratot k ≥ 1 i

1. Dn d → D,ésadir, limn→∞ λn,k = λk peratot k ≥ 1;

2. limn→∞ E[Dn] existeix,ésfinitiésiguala λ := E[D];

3. limn→∞ E[D2 n] existeix,ésfinitiésiguala E[D2]

Observació 1 (DiscussiósobrelahipòtesiA). Laprimerahipòtesienspermetdescriure CMn entermesdelsparàmetreslímit.Lasegonahipòtesirestringeixelnombred’arestes,enparticular, mn = Θ(n).Finalment,latercera hipòtesicontrolalavariànciadeladistribuciódelsgraus.Definim ν := E[D(D 1)] E[D] = 1 λ k≥1 k(k 1)λk.

Lahipòtesiimplicaque lim n→∞ νn = ν ∈ [0, ∞), (6) iqueelgraumàximcompleix ∆n = o(√n).

Observació 2 (Hipòtesisalaliteratura). Cadaresultatsobreelsgrafsaleatorisalaliteraturautilitzaelseupropiconjuntd’hipòtesissobrelaseqüència degrausdonada,sovintsobrecaracterístiquescomlasuavitat,laconvergència (uniforme)ol’acotaciódecertsparàmetrescomelgraumàximielgraumínim. Aquesteshipòtesisacostumenasertècniquesicomplicadesd’enunciar.Tanmateix,unagranpartdelsresultatssesatisfansotahipòtesismoltsimilars alahipòtesiA.Defet,lesnostrescondicionssónessencialmentlescondicionsmésfeblessobre d sotalesquals CMd téunadescripciólocalsimple (vegeulasecció4).Pertant,escollimlahipòtesiAcomunmarccomúpera

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 175

totselsresultatsdonatsenaquestarticle.Eventualment,algunsdelsresultats requerirancondicionsaddicionals;entalcaslesdestacaremienjustificaremla necessitat.Enaltrescasos,adaptaremalgunsresultatsaseqüènciesdegraus mésenllàdelescobertesperlesnostreshipòtesisprincipals.Enparticular,la secció7estaràdedicadaaseqüènciesdegraussenserestriccionsenelsegon moment.

Tornantalaprobabilitatqueelmodeldeconfiguraciósiguisimple,sotala hipòtesiA,elnombreesperatdellaçosiarestesmúltiplesésconstant:de (4) endeduïm

[Ln] ∼ ν/2i E[Mn] ∼ ν 2/4, onhemutilitzat (6),ique κn = o(1),jaque νn = O(1).Pera n prougran,els llaçosilesarestesdoblesprobablementapareixeranllunyelsunsdelsaltres, mostrantcorrelacionsfeblesques’esvaniranenellímit.Lesvariablesaleatòries quecomptenelnombred’aparicionsindependentsd’esdevenimentsambpoca probabilitatsegueixendistribucionsdePoisson.Aixídoncs,enellímit, Ln i Mn esdevenenvariablesaleatòriesdePoissonindependentsambparàmetres ν/2 i ν 2/4,respectivament.

Unllaçespotentendrecomuncicledelongitud1,iunaarestadoble,com uncicledelongitud2.Donem,doncs,elsegüentresultatmésgeneralpera ladistribuciódeciclescurtsenelmodeldeconfiguració(vegeu[26]peruna demostracióusantelmètodedelsmoments).

Teorema 3. Suposemque d satisfàlahipòtesiA.Pera k ∈ N,sigui Xn,k el nombredeciclesdelongitud k en CMn.Aleshores,peraqualsevolseqüència finita k1,...,kl d’entersnonegatius,elvectoraleatori (Xn,k1 ,...,Xn,kl ) convergeixendistribucióaunvectordevariablesdePoissonindependentsamb paràmetres ξki := ν ki /2ki,respectivament.

Comaconseqüènciadelteoremaanteriori (3),obtenimelresultatsegüent.

Teorema 4. Suposemque d satisfàlahipòtesiA.Llavors, lim n→∞ P(CMn éssimple) = e ν 2 ν2 4 > 0.

Enparticular,qualsevolesdevenimentqueescompleixiambaltaprobabilitat pera CMn tambéescompliràambaltaprobabilitatpera Gn.

Lademostracióoriginald’aquestresultatésdeBenderiCanfield[4]per a ∆n = O(1) ideBollobás[5]pera ∆n ≤ 2log n 1.Lademostraciódel teoremasotalesnostreshipòtesisésdeJanson[31].

Si X ésunavariabledePoissonambparàmetre λ> 0,laprobabilitatque X = 0és e λ.Laprobabilitatque CMn siguisimpleésequivalenta Ln = 0 i Mn = 0.Laprimerapartdelteoremaencaixaambelfetque,enellímit, Ln i Mn sónvariablesaleatòriesdePoissonindependentsambparàmetres ν/2 i ν 2/4,respectivament.Lasegonapartjustifical’úsdelmodeldeconfiguració peraestudiarlespropietatstípiquesdelsgrafsaleatoris.

Alllargd’aquestarticle,enscentraremenresultatssobreelgrafaleatori Gn quepassenambaltaprobabilitat.Lagranmajoriasóndemostratsprimerpel modeldeconfiguració CMn idespréstransferitsa Gn utilitzantelteorema4.

Observació 5 (Grafsaleatorisbinomials). Elgraud’unvèrtexen Gn,p es distribueixcomunadistribucióbinomial Bin(n 1,p).Si p = pn = λ/n per a λ ∈ (0, ∞),llavorselgrauconvergeixendistribucióaunaPoisson Po(λ) Observeuquelaseqüènciadegrausde Gn,p ésunaseqüènciaaleatòriai,per tant, Gn,p noésuncasparticularde Gn,dn ,enquèlaseqüènciadegraus dn estàfixada apriori.Totiaixò,laseqüènciadeseqüènciesdegrausde Gn,p satisfàlahipòtesiAambaltaprobabilitat.Pertant,qualsevolesdeveniment queescompleixiambaltaprobabilitaten CMn tambéescompliràambalta probabilitaten Gn,p.Aquestargumentespotestendreals grafsaleatoris generalitzats (vegeu,perexemple,[26,secció7]).

4Aproximacióperprocessosderamificació

AssumintlahipòtesiAisegonselteorema3,esperemunnombreconstantde ciclesdelongitudacotada.Aixídoncs,ambaltaprobabilitat,elveïnatged’un vèrtexaleatorid’unaprofunditatconstantésunarbreconstruïtdemanera aleatòria.Aquestaéslaprincipalmotivacióperutilitzarprocessosderamificació.Aquestasecciócontéunabreuintroduccióalsprocessosderamificació is’explicacomespodenacoblarambl’exploraciódelveïnatged’unvèrtex a CMn.

4.1Processosderamificació

Consideremunavariablealeatòria ξ sobreelsentersnonegatiusisiguin (ξi,t )i≥1,t≥0 còpiesindependentsiidènticamentdistribuïdesde ξ.El procésde ramificació (Xt )t≥0 ambdistribuciódedescendència ξ (tambéconegutcoma arbredeBienaymé-Galton-Watson)esdefineixcom X0 = 1i,si t ≥ 0, Xt+1 := Xt i

Elsprocessosderamificaciósolenrepresentar-secomaarbresarrelats.Pera qualsevol t ≥ 0iqualsevolelement i comptatper Xt ,liassignem ξi,t fills,que representenelselementscomptatsper Xt+1.Aleshores,la t-èsimageneració delprocéséselconjuntd’elementsadistància t del’arrel,quetémida Xt . Enalgunesdelesaplicacionsd’aquestarticle,l’arreldelprocéstindràuna distribuciódedescendènciadiferentdelarestad’elementsdelprocés;ental cashodestacarem.

Definiml’esdevenimentd’extinció ila probabilitatd’extinció,respectivament, com

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 177

Observeuquesi η = 1,llavorselprocéss’extingeixquasisegurament(amb probabilitat1),mentrequesi η< 1,hihaunaprobabilitatpositivaqueelprocés sobrevisqui.Undelsresultatsmésnotorissobreelsprocessosderamificació endeterminalaprobabilitatd’extinció.

Teorema 6 Sigui (Xt )t≥0 unprocésderamificacióquetédistribuciódedescendència ξ.Aleshores η éslasoluciónonegativaméspetitade z = k≥0 P(ξ = k)zk.Enparticular:

(i) si E[ξ] ≤ 1 i P(ξ = 1)< 1,llavors η = 1;

(ii) si E[ξ]> 1 o P(ξ = 1) = 1,llavors η< 1.

Descartantelcasdegenerat P(ξ = 1) = 1,elteoremaestableixque,si elnombreesperatdedescendentsdecadavèrtexéscomamàxim1,llavorsel procéss’extingeixquasisegurament.

La distribucióconjugada de ξ,denotadaper ˆ ξ,esdefineixcom

P( ˆ ξ = k) := ηk 1P(ξ = k), peratot k ≥ 0

Lesdistribucionsconjugadess’utilitzenperdescriureelsprocessosde ramificaciócondicionatsal’extinció.

Lema 7. Sigui (Xt )t≥0 unprocésderamificacióambdistribuciódedescendència ξ quecompleix η> 0.Condicionata E, (Xt )t≥0 télamateixadistribucióque unprocésderamificacióambdistribuciódedescendència ˆ ξ.

Aquestlemaespotinterpretardelasegüentmanera:comquelaprobabilitat d’extinció η éspositiva,potserqueelprocéss’extingeixi.Aquestesdeveniment esdefineixdemaneraglobali,pertant, apriori,elprocéscondicionata l’extinciópodriatenirunalleideprobabilitatcomplicada.Elresultatdiuque aquestnoéselcas;lasevadescripcióésmoltsenzillajaquenodeixadeserun procésderamificacióambunaaltradistribuciódedescendència.Enparticular, mantétoteslespropietatsd’independènciaintrínsequesd’aquestsprocessos.

Lesdemostracionsdelsresultatsd’aquestapartespodentrobar,perexemple,a[26,secció3].

4.2Acoblamentambelveïnatged’unvèrtex

Elveïnatgelocald’unvèrtexenelmodeldeconfiguraciópotseracoblatamb unprocésderamificacióambdistribucióprovinentdelaseqüènciadegraus, demaneraquel’acoblamenttinguièxitambaltaprobabilitat.

Recordeuladefiniciódeveïnatgealasecció2.Elnostreobjectiuésestudiar elprocésestocàstic (|Nt (v)|)0≤t≤h,peralqualnecessitemintroduirunprocés d’exploracióde CMn.Aixòenspermetràestudiaraquestmodelatravésde l’estudidelsprocessosderamificació.

Donadaunaregladeprioritat R sobrelessemiarestes,consideremelsegüentprocésquegenera CMn:

(i) triemunasemiarestasenseemparellar e (sin’hihaalguna)segons R; (ii) triemunasemiarestasenseemparellar f ≠ e uniformemental’atzar; (iii) emparellem e i f ,iprosseguim.

Totiqueaquestprocedimentgeneraelmodeldepunt,éssenzilld’analitzar, jaqueelconjuntdesemiarestessenseemparellarenuncertmomentésaleatori idepèndeleseleccionsfetesanteriorment.Enllocd’aquestprocésinicial, considereml’objecte CM∗ n generatpelprocedimentanteriorsubstituint(ii)pel passegüent:

(ii∗) triemunasemiaresta f uniformemental’atzarentre totes lessemiarestes.

Calobservarqueen CM∗ n lessemiarestesespodenemparellarmésd’uncop, demaneraquel’objecteresultantésunconjuntdeparellesdesemiarestes(no necessàriamentdiferents).Enaquestobjectehipodemdefinirunadistància,2 i tésentitconsiderarels h-i (≤ h)-veïnatgesde v en CM∗ n.

Perdeterminar N≤h(v),executemelprocésd’exploraciócomençanta v i amblaregladeprioritatdonadaperl’ordreBFS(breadthfirstsearch):encada momenttriemunadelessemiarestes e mésproperesa v queencaranohagi estatemparellada,isitoteslessemiarestesestanadistànciainfinitade v, triemllavorslaquetinguil’etiquetaméspetita.Comquenomésnecessitem generarelveïnatgede v finsaunaprofunditat h,aturaremelprocésquan toteslessemiarestessenseemparellarestiguinaunadistànciamésgranoigual que h de v

Definim Ah(v) coml’esdevenimenten CM∗ n que,finsalpasquedetermina completament N≤h(v),capsemiarestaemparelladanilasemiaresta e seleccionadaalpas(i)nos’hanseleccionatalpas(ii∗).Condicionatsa Ah(v), CMn i CM∗ n tenenlamateixadistribucióipodemconsiderarl’acoblamentnatural entreelsdos.

Definim Bh(v) coml’esdevenimenten CMn (oen CM∗ n)enquènos’ha creatcapciclefinsalpasquedetermina N≤h(v).Si Bh(v) escompleix, N≤h(v) indueixunarbrea CMn (oa CM∗ n).

Enaquestpuntpodemrelacionarl’exploraciódelveïnatgelocalde v a CMn ambelprocésderamificaciócorresponent.Sigui U elvèrtex(aleatori)incident a f ,lasemiarestaques’hatriatalpas(ii∗).Comquetriem f delconjuntde totes lessemiarestes,peratot u ∈ [n],laprobabilitatque U = u és du/mn Enparticular,laprobabilitatque U tinguigrau k és

P(dU = k) = u:du=k du m = k · nn,k m =: P(D∗ n = k),

on D∗ n ésconegudacomla distribucióesbiaixadaperlamida de Dn,i Dn es defineixcoma(5).

Comque v estàfixat, |N1(v)|= dv .Sigui2 ≤ t<h isuposemquesomal pasjustdesprésque Nt 1(v) hagiestatdeterminat.Elnombredesemiarestes

2 Ladistànciaentre v i w en CM∗ esdefineixcomlalongituddelaseqüènciaméscurtade parellesdesemiarestestalquecadaduesparellesconsecutivestenenduessemiarestesincidents aunmateixvèrtex,laprimeraparellaésincidenta v il’últimaésincidenta w.

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 179

incidentsaaquestconjuntiencaranoaparelladesésmesurablerespecteala històriaactualdelprocésd’exploració,mentreque Nt (v) encaraésaleatori.

Siescompleix Ah(v) ∩Bh(v),hiha |Nt (v)| semiarestesincidentsa Nt 1(v) (jaquenohihaciclescurts)icadascunad’elless’aparellaràaunasemiaresta aleatòria,incidentaunvèrtexelgraudelqualesdistribueixsegons D∗ n .Com quenohihacicles,totsaquestsvèrtexssóndiferentsi |Nt+1(v)|= |Nt (v)| i=1 ξi,t ,

on ξi,t sónvariablesaleatòriesindependentsambdistribució D∗ n 1.Aquí, el 1descomptalasemiarestaadjacentacadavèrtexde Nt (v) queconnecta amb Nt 1(v).

Pertant,siescompleix Ah(v) ∩Bh(v), (|Nt (v)|)0≤t≤h espotacoblaramb elprocés (Xt )0≤t≤h,quecompleix X1 = dv .

Restacalcularlaprobabilitatquequalsevoldelsesdevenimentsfalli.Com quelaprobabilitatdetriar f incidentamb u enunpasdonatés du/mn iaixò produeixunincrementde (du 1) semiarestesnovesquepodrienferque l’acoblamentfallés,elnombreesperatdesemiarestesconflictives3 afegidesa cadapasés

E[D∗ n 1] = n i=1 di(di 1) mn = νn, queestàacotatperlahipòtesiA.Pertant,enelnombredepassosquees requereixenperrevelarelveïnatgede v finsaunaprofunditatconstant,el nombreesperatdesemiarestesconflictivesésconstantiésimprobableque aquestessiguintriadescomasemiarestes f durantelprocés.Aquestessón lesideesprincipalsquehihadarreredelresultatsegüent,quedetermina asimptòticamentlalleidelamidadelveïnatgelocald’unvèrtex.

Lema 8 (Primerlemad’acoblament). Suposemque d satisfàlahipòtesiA. Sigui v ∈ [n].Considerem (Xt )t≥0 unprocésderamificacióambdescendència D∗ n 1 quecompleix X1 = dv .Peraqualsevol h ∈ N,hihaunacoblament entreelprocésd’exploracióde CMn començanta v i (Xt )t≥0,demaneraque

P((|Nt (v)|)0≤t≤h = (Xt )0≤t≤h) = 1 O(1/n). (9)

Calobservarquelaprobabilitatquel’acoblamentfalliésmassagranper demostrarquetotselsveïnatgesdeprofunditatacotada h sónarbres.Això encaixabéambelteorema3,queimplicaqueelnombredeciclescurtsés positiuambprobabilitatpositiva.

Ellemaanteriordescriuelveïnatged’unvèrtex v fixat apriori,peròes potadaptaralveïnatged’unvèrtex Vn triatuniformemental’atzarde [n].En aquestúltimcas, X1 segueixladistribució Dn,i,pertant,definimelsprocessos següents.

3 Lessemiarestesconflictivessónaquellesincidentsavèrtexsquetenenunasemiaresta incidentjaemparellada,jaqueaquestespodriendonarllocaciclesoserreaparelladesa CM∗ n

Definició 9 Sigui (Yn,t )t≥0 elprocésderamificacióambdistribuciódedescendència D∗ n 1,onl’arreltédistribuciódedescendència Dn.Sigui (Yt )t≥0 elprocésderamificacióambdistribuciódedescendència D∗ 1,onl’arrelté distribuciódedescendència D.Aquí D∗ denotaladistribucióesbiaixadaperla midade D,ésadir,

P(D∗ = k) := kλk λ , peratot k ≥ 1,

queenparticularsatisfà E[D∗ 1] = ν. (10)

Lema 10 (Segonlemad’acoblament). Suposemque d satisfàlahipòtesiAi sigui (Yn,t )t≥0 comenladefinició9.Peraqualsevol h ∈ N,hihaunacoblament entreelprocésd’exploracióde CMn quecomençaenunvèrtex Vn escollit uniformemental’atzari (Yn,t )t≥0,demaneraque

P((|Nt (Vn)|)0≤t≤h = (Yn,t )0≤t≤h) = 1 O(1/n). (11)

Observació 11. Allema10podemsubstituir (Yn,t )t≥0 per (Yt )t≥0 acostade reemplaçar1 O(1/n) per1 o(1),fentmésfeblelaconclusió.Defet,la probabilitatquel’acoblamentfallidepèndelavelocitatdeconvergènciaenles condicionsdelahipòtesiA.

Elslemesd’acoblamentanteriorsespodenestendresi h = hn →∞ quan n →∞,semprequeel (≤ hn)-veïnatgetinguimida o(√n);enaquest cas,laprobabilitatd’èxita(9)i(11)s’hadereemplaçarper1 o(1)

5Estructuradelescomponentsconnexes

Undelsproblemesfonamentalsengrafsaleatorisésdescriurelasevaestructura decomponentsconnexesenfunciódelsvalorsdelsseusparàmetres.Defet, unadelesaplicacionsprincipalsdelsgrafsaleatoriséslamodelitzacióde fenòmensestudiatsperlafísicaestadística,especialmentenrelacióambles transicionsdefase.Aquestfenomentéllocquanunsistemafísicexperimenta uncanviabrupteiqualitatiuenrespostaapetitesvariacionsenunparàmetre extern,comaralatemperaturaolapressió.Unexempled’aquestatransicióde faseespotobservarenelpasentreelsdiferentsestatsdel’aigua,elsquals espodenmodelarmitjançantgrafsaleatorisdiferents;vegeu,perexemple, larevisiódeDuminil-Copin[15].Enaquestsgrafs,elsparàmetresexternses representenatravésdelsparàmetresdelmodel.

Enaquestaseccióensendinsemenl’estudidelatransiciódefaseperla propietatdel’existènciad’unacomponentconnexamacroscòpicaenelgraf, encontrastambungrafaltamentfragmentat.Elresultatfundacionalimés importantenlateoriadegrafsaleatorisvaserprovatperErd˝osiRényi[16]: essent C1(Gn,p) lacomponentmésgrandelgrafaleatoribinomial Gn,p,si p = p(n) = λ/n pera λ> 0,tenimelsegüent:

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada

• si λ< 1,llavors v(C1(Gn,p)) = Θ(log n) aap;

• si λ = 1,llavors v(C1(Gn,p)) = Θ(n2/3) aap;

• si λ> 1,llavors v(C1(Gn,p)) = Θ(n) aap.

Aquestestresfasessónconegudes,respectivament,comelsrègims subcrític, crític i supercrític.Enelrègimsupercrític,lacomponentconnexad’ordrelineal ésconegudacomla componentgegant itoteslesaltrescomponentstenen ordre O(log n).Aquestresultatesconeixinformalmentcomel doblesalt,degut al’evoluciódel’ordredelacomponentmésgranalvoltantde p = 1/n.

Unfenomensimilaremergeixenelsgrafsaleatorisambunaseqüènciade grausdonada.Enelnostrecas,elparàmetredelmodel Gn,dn éslaseqüència degraus dn.Aixídoncs,l’objectiuprincipald’aquestaseccióésdeterminarles seqüènciesdegraus dn peralesquals v(C1(Gn)) = o(n) aap,iaquellespera lesquals v(C1(Gn)) = Θ(n) aap.

5.1ElcriterideMolloy-Reed

Enaquestasecciópresentemuncriteriperdeterminarl’existènciad’unacomponentgegantqueésvàlidsotalahipòtesiA.Abansdepresentar-lo,donem unaintuïcióperentendre’l.

Sigui Vn unvèrtextriatuniformemental’atzarde [n].Pellema10il’observació11,aapelveïnatgelocalde Vn escomportacomlesprimeresgeneracions de (Yt )t≥0.Lasub/supercriticalitatd’aquestprocésnodepèndeladistribuciódedescendènciadel’arrel,queés D,sinónomésdeladistribucióde descendènciadelsaltreselements,queés D∗ 1iquetéesperança ν segons l’equació (10).Pelteorema6,elvalorde ν determinasielprocéss’extingeix quasiseguramentositéprobabilitatpositivadesobreviure.Aquestaésla intuïcióquehihadarreredelresultatsegüent.

Teorema 12 (CriterideMolloy-Reed). Suposemque d satisfàlahipòtesiA. Aleshores,

(i) si ν< 1,llavors v(C1(Gn)) = o(n) aap;

(ii) si ν> 1,llavors v(C1(Gn)) = Θ(n) aap.

Laprimerademostraciód’aquestteoremaésdeMolloyiReed[43],però requereixcondicionsmésfortessobrelaseqüènciadegraus.Elresultatcom espresentaaquíésconseqüènciad’unresultatdeJansoniLuczak[32]que discutiremambdetallmésendavant.

Observació 13. Alaliteraturatambés’utilitzenelsparàmetres

Mentreque νn ésaproximadamentelnombreesperatdenousveïnsdecada vèrtexenlesprimeresetapesdelprocésd’exploració, Qn espotinterpretar

delamanerasegüent.Sigui Et elnombred’arestesentreelsconjuntsde vèrtexsexploratsidenoexploratsenelpas t delprocés.Si t ésproupetit, Qn ∼ Et (Et Et 1),on Et ésl’esperançacondicionada,oncondicionemala històriageneradapelsprimers t 1passosdelprocés.

5.2Elrègimsubcrític

Elcas ν< 1(o Q< 0)esconeixcoma règimsubcrític.D’unabanda,si Dn ∼ Po(λ) amb λ< 1,elgrafaleatoris’assemblaaun Gn,p amb p = λ/n, quesatisfà v(C1(Gn,p)) = Θ(log n) aap.D’altrabanda,demaneradeterminista, v(C1(Gn)) ≥ ∆n + 1,quepotcréixermésràpidamentquedemanera logarítmica.

Perdeterminarl’ordredelacomponentmésgran,enscentraremenl’estudi delacomponentd’unvèrtextriatuniformemental’atzar.Sigui (Yn,t )t≥0 com enladefinició9.PerladesigualtatdeMarkov,laprobabilitatqueelprocésde ramificaciósobrevisquifinsalageneració t ≥ 1és

P(Yn,t ≥ 1) ≤ E[Yn,t ] = E[Dn]E[D∗ n 1]t 1 = mn n ν t 1 n ,

quetéundecreixementexponencialen t.Si t ésmésgranque log n |log νn| ∼ log n |log ν| , aleshoresobtenimquelaprobabilitatquealgunvèrtexa CMn tinguivèrtexsa distància t ésacomamàxim

v∈[n] dv ν t 1 n = mnν t 1 n = o(1).

Totiqueaixòindicaqueeldiàmetredecadacomponentéslogarítmic,bé podriaserelcasqueelnombredevèrtexsenaquestescomponentsfosmolt mésgran.Elresultatsegüentdemostraquenoésaixí.

Teorema 14. Suposemque d satisfàlahipòtesiA.Si ν< 1,llavorsaap

v(C1(Gn)) = O(∆n log n).

MolloyiReed[43]anteriormenthaviendemostratque v(C1(Gn))=O(∆2 nlog n) iaquestamilloraenlacotasuperiorhaestatprovadarecentmentperCoulsoni l’autor[12].

5.3Elrègimsupercrític

Elcas ν> 1(o Q> 0)esconeixcoma règimsupercrític.Elteorema12 garanteixl’existènciad’unacomponentgegant,peròquinéselseuordreila sevamida?Perdeterminar-ho,estudiaremlaprobabilitatqueunvèrtextriat uniformement Vn pertanyialacomponentgegant.

Perobtenirunaintuïciópodemusarl’acoblamentambprocessosderamificaciódescritenlasecció4.Sigui (Yt )t≥0 comaladefinició9.Comque ν> 1,

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 183

hihaunaprobabilitatpositivaqueelprocéssobrevisquiindefinidament.D’una banda,sielprocéss’extingeix,hofaràtípicamentenunnombreconstantde passos,i Vn pertanyeràaunacomponentpetita.D’altrabanda,sielprocés sobreviu,lacomponentde Vn creixeràfinsaunpuntenquèjanoespodràacoblaramb (Yt )t≥0.Enaquestpunt,lacomponentexposadaseràsuficientment graniaapformaràpartdelacomponentgegant.

Totiqueelcomportamentsub/supercríticde (Yt )t≥0 nodepèndeladistribuciódedescendènciadel’arrel,laprobabilitatd’extinciósíqueendepèn.Sigui η laprobabilitatd’extinciód’unprocésderamificacióambdescendència D∗ 1. Condicionata Y1 = k, (Yt )t≥0 noméss’extingiràsitotsels k subprocessosindependentsquecomencenalaprimerageneraciós’extingeixen,cosaquepassa ambprobabilitat ηk.Comque P(Y1 = k) = λk,tenimquelaprobabilitatde supervivènciade (Yt )t≥0 és

Pelquefaalnombred’arestescontingudesalacomponentgegant,lasituació ésdiferent.Sigui En unaarestatriadauniformemental’atzar,i Un undels extremsde En.Llavors,peraqualsevol u ∈ [n],laprobabilitatque Un = u ésproporcionalalnombredesemiarestesincidentsa u.Així,elgrau dUn es distribueixsegons D∗ n ,ques’aproximaper D∗.Elveïnatgede En éslaunió delsveïnatgesdelsseusdosextrems.Encontrastambelsveïnatgesdevèrtexs, aquíl’extrem Un donalloca dUn 1arestesnovesenelprimerpas(jaque En noescompta).Pertant,elveïnatgede En espotacoblarambunprocésde ramificació (Xt )t≥0 ambdistribuciódedescendència D∗ 1i X0 = 2.D’aquíes dedueixquelaprobabilitatqueunaaresta En pertanyialacomponentgegant és1 η2 . Ladiscussióanteriorproporcionalaintuïcióquehihadarreredelteorema següent.

Teorema 15 Suposemque d satisfàlahipòtesiA.Si ν> 1,llavors

lim n→∞ v(C1(Gn)) n = 1 k≥1 ηkλk, enprobabilitat, (12)

lim n→∞ e(C1(Gn)) n = λ 2 (1 η2), enprobabilitat, on η éslaprobabilitatd’extinciód’unprocésderamificacióambdistribucióde descendència D∗ 1. Amésamés,peraqualsevolaltracomponent C de Gn,

lim n→∞ v(C) n = 0, enprobabilitat.

Elteorema15vaserdemostratinicialmentperMolloyiReed[44]sota condicionsmésfortessobrelaseqüènciadegraus;elresultatcoms’indica aquíésdeJansoniLuczak[32].Defet, (12) tambéescompleixsieliminem lahipòtesiA.3idemanemque P(D ≥ 3)> 0,comvandemostrarBollobási Riordan[6](vegeutambévanderHofstad[27,secció4]).

5.4Elrègimcrític

Elcas ν = 1(o Q = 0),conegutcoma règimcrític,hageneratmoltd’interèsen laliteratura.Aquestrègimesdivideixentressubrègims:el quasisubcrític,la finestracrítica iel quasisupercrític.Enparaules,lafinestracríticaéselconjunt deparàmetresquefanqueelgrafaleatoriescomporticomunobjectecrític. Aleshores,elsubrègimquasisubcrític(oquasisupercrític)éselsubrègimentre elrègimsubcrític(osupercrític)ilafinestracrítica.Perdistingirentreelstres règims,calconsiderarlavelocitatalaqual Qn convergeixa Q quan n →∞ i utilitzarinformacióaddicionalsobreelprocés.

Definim Rn := 1 mn i∈[n] di(di 2)2 .

Recordeuladefinicióde Et al’observació13.Pera t proupetit, Qn ∼ Et (Et Et 1) i Rn ∼ Et ((Et Et 1)2).Si Qn → 0prouràpidament,llavorseltemps quetriga Et aserzero(momentenquès’acabal’exploraciód’unacomponent connexa)nomésdepèndelesfluctuacionsdelprocés,donadesper Rn ino per Qn.HatamiiMolloy([25])vantrobarlacondiciónecessàriaisuficient perquèaixòpassi,establintl’ampladadelafinestracríticasotalahipòtesiA(i unparelldecondicionsaddicionalsmés):peraqualsevol λ,ϵ> 0existeix C> 1 talquesi Qn → 0i |Qn|3n/R2 n ≤ λ,llavors

P v(C1(Gn)) R 1/2 n n2/3 ∉ (C 1,C) ≤ ϵ.

Observeuquesi Rn = O(1),llavorslafinestracríticaescomportacomla delgrafaleatoribinomial Gn,p,quan p = 1 n + O(n 4/3),fetquedonalloca componentsdemida Θ(n2/3).

Ladistribuciólímitdelsordresdelescomponentsmésgrans,adequadament normalitzats,haestatestudiadaen[13, 14, 35].Riordan([46])vadonarla descripciócompletadelsdossubrègimsperaseqüènciesdegrausacotats. Aquestsresultatss’hanestèsrecentmentperseqüènciesdegrausnoacotatsper alsubrègimquasisubcrític[12]ielquasisupercrític[28,32].

5.5Uncriteriuniversal

ElcriterideMolloy-Reednoescompleixdemanerageneralperaseqüènciesde grausmésenllàdelesquecompleixenlahipòtesiA.Comesmostraa[6, 27], lahipòtesiA.3espoteliminardelescondicions,peròaixònopassaamb

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 185

lesaltressuposicions.Joos,Rautenbach,Reedil’autor([34])vanproposarel criterisegüent,quefuncionaperatoteslesseqüènciesdegraus dn.Fixem dn i assumimque d1 ≤···≤ dn (altrament,podemreetiquetarelsvèrtexsperquè aixísia)idefinimelsparàmetressegüents:

mn := di≠2 di,

Entermesd’aquestsparàmetres,espotdonarlasegüentclassificaciódeseqüènciesperal’existènciad’unacomponentgegant.

Teorema 16 (Criteriuniversalperalacomponentgegant). Peraqualsevolseqüènciadegraus dn,

(i) si ˆ mn →∞ i Sn = o(n),llavors v(C1(Gn)) = o(n) aap; (ii) si ˆ mn →∞ i Sn = Θ(n),llavors v(C1(Gn)) = Θ(n) aap; (iii) si ˆ mn = O(1),llavors,peracada ϵ> 0,existeix δ> 0 talque P v(C1(Gn)) n ≤ ϵ ≥ δ, P v(C1(Gn)) n ≥ 1 ϵ ≥ δ.

5.6Grafsaleatorisdirigits

Moltesdelesxarxesqueenstrobemenelmónrealsóndirigides,ésadir,elfet queunvèrtexesconnectiambunaltrenonecessàriamentimplicaqueelsegon estiguiconnectatambelprimer.Algunsexemplessónla worldwideweb (xarxa d’Internetonlesarestessónhiperenllaçosd’unapàginaaunaaltra),laxarxade citacionsenarticlescientífics,algunesxarxessocials(Instagram,Twitter,etc.) olaxarxadecarreteresd’unaciutat.Elsgrafsdirigitstenensimilitudsamb elsnodirigits,peròalgunesnocions,aixícomelsresultatsquelesestudien, canviendràsticament.Enaquestasecciódiscutimbreumentl’estructuradeles componentsfortamentconnexesdelsgrafsaleatorisdirigits,peròprimerens caldefinir-los.

Una seqüènciadedigraus delongitud n ésunaseqüència ⃗ dn=((di ,d+ i ))i∈[n], on di i d+ i sónnúmerosentersnonegatiusamb di ,d+ i ≤ n 1,peratot i ∈ [n]. Toteslesdefinicionsinotacionsbàsiquesperalcasnodirigit,s’adaptende formanaturalagrafs(aleatoris)dirigits.Donadaunaseqüènciadedigraus factible ⃗ dn, ⃗ Gn = ⃗ Gn, ⃗ dn ésungrafdirigittriatuniformementaleatòriament entretotselsgrafsdirigitsambconjuntdevèrtexs [n] iambseqüènciade digraus ⃗ dn

Sigui ⃗ Dn = (Dn ,D+ n ) elgraud’unvèrtextriatuniformemental’atzara [n]

PodemestablirhipòtesisanàloguesalahipòtesiAperaseqüènciesdedigraus: existeixunadistribuciódeprobabilitat ⃗ D = (D ,D+) a Z2 ≥0 talque ⃗ Dn d → ⃗ D i peratotselsnúmerosentersnonegatius a, b amb a + b ≤ 2,

Definim

Llavors ⃗ ν controlasilacomponentfortamentconnexamésgrantéordrelineal (vegeu[11,7]):si ⃗ ν> 1,

ζ>

5.7Percolació

Donadaunapropietatd’unaxarxa,ésnaturalplantejar-noscomésderobusta davantdedeterminatscanvisenl’ambient.Enelnostrecas,homesurarema travésdelconceptede percolació:sicadaarestaéseliminadaambunacerta probabilitat,quinaéslaprobabilitatquelapropietatesperdi?Ensfocalitzarem enlapropietatdecontenirunacomponentgegant;pertant,assumiremque ν> 1pertalqueelgrafaleatoriinicialmentsatisfaciaquestapropietataap. Aleshoresestudiaremquinaéslamínimaprobabilitatd’eliminacióquefaque lapercolaciócanvial’estructuradecomponentsdemanerasubstancial.Aquestanociótémúltiplesaplicacions,perexemple,enl’estabilitatdelssistemes ecològicsoenlaresistènciad’unaxarxadecomunicacióaatacsaleatoris.

Donatungraf G i p ∈ [0, 1],el graf p-percolat Gp ésungrafaleatoriobtingutapartirde G mantenintcadaarestaindependentmentambprobabilitat p Perexemple,si G = Kn éselgrafcompletamb n vèrtexs,llavors Gp = Gn,p és elgrafaleatoribinomial.

Quanconsiderem Gp n,primercalobservarquehihadosnivellsd’aleatorietat:primertriemungrafaleatori Gn idespréspercolemcadaaresta independentmentambprobabilitat p.Noobstantaixò,l’heurísticasegüent ésvàlidasemprequelaseqüènciadegraussatisfacilahipòtesiA.Construïm unaseqüència(aleatòria)degrauspercolats dp n mantenintcadasemiaresta delaseqüènciadegrausoriginal dn independentmentambprobabilitat p. Suposantquelasumadelsgrauspercolatssiguiparell(condiciónecessàriaper serseqüènciadegraus),podemconsiderarelmodeldeconfiguració CMn,dp n Llavors, CMn,dp n télamateixalleideprobabilitatque (CMn,dn )p . Aleshores,la probabilitatcríticadepercolació pc esdefineixcoml’ínfim delesprobabilitats p quefanqueelgrafaleatoripercolat Gp n tinguiuna

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 187

componentgegantaap.Elgrauen dp n d’unvèrtexdegrau ℓ en dn estàdistribuït comaBin(ℓ,p).Pertant,elnombreesperatdevèrtexsdegrau k en dp n és

p k := ℓ≥k

ℓ ℓ k pk(1 p)ℓ k ,

ipodemcalcularelgraumitjàesperatde dp n

ℓ k pk(1 p)ℓ k

onhemutilitzatque E[Bin(ℓ,p)] = ℓp.Demanerasimilarpodemferservir queVar(Bin(ℓ,p)) = ℓp(1 p) perobtenir k≥1 k(k 1)λp k = p2

Definim

pν.

Segonsl’heurísticaintroduïdaenlesseccionsanteriors,lacondiciópera lasupercriticalitatdelgrafaleatoripercolatés ν p > 1,queésequivalent a p> 1/ν,comestableixelteoremasegüent.

Teorema 17. Suposemque d satisfàlahipòtesiAamb ν> 1.Sigui pc := 1/ν ∈ (0, 1).Llavors, (i) si p<pc ,llavors v(C1(Gp n)) = o(n) aap; (ii) si p>pc ,llavors v(C1(Gp n)) = Θ(n) aap.

AquestresultatvaserdemostratperFountoulakis[20]sotacondicionsmés fortesenlaseqüènciadegrau,il’enunciatdonataquíésdeJanson[30],que tambévacalcularl’ordeasimptòticde C1(Gp n) quan p>pc .

5.8Connectivitat

Mésenllàdelllindarperal’existènciad’unacomponentgegant,arribemal llindarperalaconnectivitatdelgraf.Recordemqueungrafésconnexsi totselsvèrtexsestanadistànciafinitaelsunsdelsaltres.Laconnectivitat ésunapropietatdesitjableenmoltesxarxes.Perexemple,enunaxarxade telecomunicacions,comlaxarxa5G,laconnectivitatcertificaquedosnodes qualssevolespodencomunicaratravésd’ella.

Łuczak([37])vademostrarquesi di ≥ 3peratot i ∈ [n] (ielgraumàxim noésmassagran),llavors Gn ésconnexaap.Desdelpuntdevistaintuïtiu,si cadavèrtexestàconnectatcomamínimambtresmés,aixòensgaranteixque típicamenttotselsveïnatgescreixenaunavelocitatexponencial,iacabenper formarpartdelamateixacomponent.Aixídoncs,ésnaturalpreguntar-nos quantsvèrtexsdegrau1igrau2podempermetreenlaseqüènciadegraus abansqueelgrafaleatorideixideserconnexaap.

Recordemquelanostrahipòtesiimplicaque mn = Θ(n).D’unabanda,suposemquehiha k vèrtexsdegrau1.Laprobabilitatquecapdelessemiarestes incidentsavèrtexsdegrau1s’aparellientreelles,formantunaarestaaïllada, és

sempreque k nosiguimassagran.Aixídoncs,si k ésd’ordremésgranoigual que √n,laprobabilitatqueexisteixiunaarestaaïllada,ique,pertant,elgraf nosiguiconnex,éspositiva.Aixòespotveurecomunexempledelproblema clàssicenprobabilitatdiscretaconegutcoma paradoxadelsaniversaris;vegeu [18,p.33].

D’altrabanda,recordeuque λ2 éslaproporciódevèrtexsdegrau2.Pera k ≥ 3fixat,laprobabilitatqueunvèrtexdegrau2concretpertanyiauncicle delongitud k aïllatés

Pertant,si λ2 > 0,elnombreesperatdeciclescurtsaïllatsdequalsevollongitud constantéspositiu.Encasquealgund’ellsexisteixi, Gn noseriaconnex. Siellímitexisteix,definim

1 := lim n→∞ n1,n √n ∈ [0, ∞].

Teorema 18. Suposemque d satisfàlahipòtesiAique ρ1 existeix.Llavors, lim n→∞ P(Gn ésconnex) =

on λ esdefineixalpunt2delahipòtesiA.Enparticular,

(i) si ρ1 =∞ o λ2 = 1,llavors Gn noésconnexaap;

(ii) si ρ1 = 0 i λ2 = 0,llavors Gn ésconnexaap.

AquestresultatvaserdemostratperFedericoivanderHofstad[17].

6Distàncies

Unadelescaracterístiquesmésimportantsdelesxarxescomplexeséselfenomenpetit-món(small-world):éspossibleconnectardosnodesqualssevolde laxarxaatravésd’uncamísorprenentmentcurt.Ésbenconegutl’experiment deMilgram,quevaestudiarladistànciamitjanadelapoblaciódelsEstats Unitsd’Amèricaatravésdelasevaxarxadeconeguts.D’aquíenvasortirel conceptedels sisgrausdeseparació:entreduespersonesqualssevolsemprehi haunaconnexióatravésdesisomenyspersonesconegudesentreelles.Per tant,ésimportantqueelsgrafsaleatorisqueutilitzempermodelaraquestes xarxestinguintambéaquestacaracterística.Comveuremenaquestasecció,la distànciatípicaentredosvèrtexsaleatoris,aixícomeldiàmetredelgraf Gn, sónd’ordrelogarítmicen n,queésmoltmenorquel’ordredelgraf.

6.1Distànciatípica

Siguin Un i Vn triatsindependentmentidemanerauniformede [n].Elnostre objectiuésestudiarlavariablealeatòria dist(Un,Vn),conegudacoma distància típica,onladistànciaesmesuraa Gn coms’hadescrital’inicidelasecció2. Si ν< 1,lagranmajoriadeparellesnoestanconnectades,aixíqueenslimitarem alcassupercrític ν> 1.Comqueelnostregrafaleatoripotnoserconnex, tésentitcondicionar Un i Vn apertànyeralamateixacomponentconnexa,la gegant.

Donaremunargumentheurísticpercalcularladistànciatípica.Segonsel lema8,elsveïnatgesde Un i Vn creixenalamateixavelocitatqueunprocésde ramificacióambdistribuciódedescendència D∗ 1(ladescendènciadel’arrel noésrellevantperaaquestaanàlisi),on D∗ s’haintroduïtaladefinició9,de maneraquelamidaesperadadel h-veïnatged’unvèrtexésdel’ordrede ν h . Lamidadelsveïnatgesnoestàconcentradaalvoltantdelasevaesperança; defet,hihamoltsvèrtexsambveïnatgesrelativamentpetits.Noobstantaixò, condicionatalfetque Un i Vn pertanyinalacomponentgegant,lamidadelsdos veïnatgessíqueestàconcentradaalvoltantde ν h.Fixant h = log n 2log ν ,cadascun delsdos h-veïnatgestenenunamidaaproximadade √n.Amésamés,donats dosconjuntsfixatsdemida √n,hihaunaprobabilitatconstantdeteniruna arestaentreells,connectantaquestsdosveïnatgesicreantuncamíentre Un i Vn.Aixídoncs,ladistànciatípicahauriadeseraproximadament2h. Elresultatsegüentdeterminaladistànciatípicaengrafsaleatorisenel règimsupercrític.Lasevaprovaformalitzal’heurísticaanterioriespottrobar a[27,secció6].

Teorema 19. Suposemque d satisfàlahipòtesiAi ν> 1.Si Un i Vn estrien independentmentidemaneraaleatòriade [n],condicionatsalfetque Un i Vn estiguinalacomponentgegantde Gn,aleshores

dist(Un,Vn) ∼ log n log ν

SilahipòtesiA.3falla,enparticularsi E[D2] =∞,elresultatencaraésvàlid idist(Un,Vn) = o(log n).

6.2Diàmetre

Recordeuqueeldiàmetred’unacomponentconnexaésladistànciamésgran entredosdelsseusvèrtexs.Enelrègimsubcrític ν< 1,l’argumentusatala subsecció5.2donaunaideadelfetqueeldiàmetremésgrand’unacomponent ésasimptòticamentiguala log n |log ν| .Enelrègimsupercrític ν> 1,totiquelacomponentgeganttéordrelineal,elseudiàmetreésd’ordrelogarítmic,comla distànciatípica.Noobstantaixò,eldiàmetreiladistànciatípicadifereixenper unaconstantmultiplicativa.Descartantelcasdegenerat λ1 = 0,on λ1 està definitalahipòtesiA,donemunadiscussióinformalsobreaquestaconstant abansd’enunciarelresultat.

Alrègimsupercrític,típicament,elveïnatged’unvèrtexobécreixràpidamentobés’extingeixenunnombrepetitdepassos.Noobstantaixò,hiha veïnatgesatípicsquenis’expandirannis’extingirandurantmoltspassos.Per donarunaintuïciósobreaquestfenomen,consideremunprocésderamificació supercrític (Xt )t≥0 ambdistribuciódedescendència ξ.Sigui ˆ ξ ladistribució conjugadade ξ,definidacoma(8);podemescriure

ˆ ν := E[ ˆ ξ] = 1 λ k≥1 k(k 1)η

queindicaelcreixementesperatdelprocés (Xt )t≥0 condicionatalaseva extinció.Enparticular,comque ˆ ν< 1,elprocéscondicionatéssubcrític.

Diemqueunelementdelprocésté descendènciainfinita sielsubarbre queenpenjanos’extingeix.Sigui (X′ t )t≥0 elsubprocésdelselementsamb descendènciainfinita.Podemcalcularlaprobabilitatque,condicionatalaseva supervivència,elprocésnoméstinguiunelementambdescendènciainfinitaa lageneració t,ésadir, X′ t = 1.Recordeuque E ésl’esdevenimentd’extinciói η éslasevaprobabilitat;vegeu(7).Tenim

P(X′ 1 = 1 | E) = P(X′ 1 = 1) P(E) = k≥1 P(ξ = k)k(1 η)ηk 1 1 η = ˆ ν.

Aquestafórmulatél’explicaciósegüent:l’arrelpottenirqualsevolnombre positiu k defills,distribuïtsd’acordamblalleide ξ.Llavorshiha k opcions perseleccionarelfillquetindràdescendènciainfinita,cosaquepassaamb probabilitat (1 η).D’altrabanda,cadascundelsaltres (k 1) fillstéprobabilitat η ques’extingeixilasevadescendència.Comquetotselsesdeveniments anteriorssónmútuamentindependents,sen’obtélafórmula.

Noteuque (X′ t )t≥0 ésunprocésnodecreixent.Pertant,si X′ t = 1,llavors X′ s = 1peratot s ∈ [t].Comque {X′ 0 = 1}= E,usantlapropietatmarkoviana delsprocessosderamificació,tenimque:

P(X′ t = 1 | E) = t s=1 P(X′ s = 1 | X′ s 1 = 1) = (P(X′ 1 = 1 | E))t = ˆ ν t (16)

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 191

L’equació (16) resultaserunabonaaproximaciódelaprobabilitatqueel veïnatged’unvèrtexnis’expandeixinis’extingeixidurant t passos.

Comqueelsveïnatgesespodenacoblarambprocessosderamificacióamb distribuciódedescendència D∗ 1(ladescendènciadel’arrelnoésrellevant peraaquestaanàlisi)i λ1 > 0implica η> 0,tenimquelaprobabilitatd’un veïnatgeatípicament«prim»delongitud t ésasimptòticament ˆ ν t ,on

Comquehihaunnombrelinealdevèrtexsalacomponentgegant,aaptindrem vèrtexsambveïnatges«prims»delongitud t = log n |log ν| .Elsvèrtexsalfinal d’aquestsveïnatges«prims»escomportarancomavèrtexstriatsuniformement al’atzar,ilasevadistànciavindràdonadapelteorema19.

FernholziRamachandran([19])vandemostrarqueaquestaintuïcióés correctaieldiàmetreésd’ordrelogarítmicamblaconstantprincipaldonada perlescontribucionsanteriors.

Teorema 20. Suposemque d satisfàlahipòtesiA.Si ν< 1,

n | log ν| . Si ν> 1 i λ1 > 0,

(C1(Gn)) ∼

(C1(Gn

6.3Grafsaleatorisdirigits

Sotaleshipòtesisdescritesalasubsecció5.6,podemestudiarlesdistàncies típiques[29]ieldiàmetre[8]delsgrafsaleatorisdirigitsenelrègimsupercrític, donatper ⃗ ν> 1;vegeu(13)–(14).

Siguin Un i Vn triatsindependentmentidemanerauniformede [n].Condicionatalfetque Un i Vn estiguinalamateixacomponentfortamentconnexa de ⃗ Gn,aap dist(Un,Vn) ∼

| log n, on ˆ ν i ˆ ν + sónconstantsques’obtenencomaesperancesdecertesdistribucionsdedescendènciarelacionadesamblaseqüènciadedigraus,esbiaixada perlamida(vegeu[8]peraunadefinicióprecisa).

7Grafsaleatorisdensos

Lagranmajoriadelsresultatspresentatsenlesseccionsanteriorssónper aseqüènciesdegrausquesatisfanlahipòtesiA,laqualcosaenparticular implicaqueelgraftépoquesarestes.Totiquelesxarxesquetrobemal mónrealacostumenatenirrelativamentpoquesconnexionscomparatambel nombred’elements,desdelpuntdevistacombinatori,ésinteressantentendre aquellscasosenquèelnombremitjàdeconnexionstendeixcapainfinit quan n tambéhofa.Enaquestasecciódiscutiremalgunsresultatsperagrafs aleatorisdensos,lesseqüènciesdegrausdelsqualspodentenirvariància,ofins itotesperança,noacotada.Elprincipalentrebancal’horad’estudiaraquestes seqüènciesésquelaprobabilitatqueelmodeldeconfiguraciósiguisimple tendeixràpidamentazero(vegeuelteorema4).Explicaremcomsuperaraquest obstacleintroduintelmètodedecommutacióidiscutiremcoms’aplicaaquesta tècnicaendoscontextos:l’enumeracióielmostreigdegrafsambunaseqüència degrausdonada.

7.1Elmètodedecommutació(switching)

ElmètodedecommutacióperagrafsaleatorisvaserintroduïtperMcKay[38]. Estractad’unaformaparticulardel’argumentclàssicdedoblerecomptei,enel contextdelsgrafsaleatoris,espotdescriurecomsegueix.Sigui Pn =Pn,dn elconjuntdegrafsde Gn,dn quesatisfancertapropietat.Elnostreobjectiués calcularlaprobabilitatqueungrafaleatorisiguia Pn,ésadir, P(Gn ∈Pn) = |Pn,dn |

on α =|Pn|/|Pc n| éslaraóentreelnombredegrafsquetenenlapropietatiels quenolatenen.

Elmètodedecommutacióenspermetestimar α mitjançantunargument basatenunaoperaciósimpleanomenadacommutació(switch).Pera G ∈Pn i H ∈Pc n,sigui d(G,H) elnombredemaneresenquè H espotobtenirapartir de G mitjançantunacommutació,idefinim d(G) = H∈Pc n d(G,H).Demanera similar,podemdefinir d(H) comelnombredemaneresenquè H espotobtenir apartird’ungrafde Pn.Llavors,

d(Pn)|Pn|= G∈Pn d(G) = H∈Pc n d(H) = d(Pc n)|Pc n|,

on d(A) éselgraumitjàalconjunt A.Aleshores α = d(Pc n)/d(Pn) i,estimant aquestesduesquantitats,podemobtenirunaaproximacióde α

Comaoperació,unacommutacióésunamodificaciólocaldelgraf.Lacommutaciómésusadaéseldelcicledelongitud4:donat G ∈Pn amb vw,xy ∈ E(G) i vx,wy ∉ E(G),obtenimelgraf H ∈Pc n eliminantlesarestes vw, xy iafegintlesarestes vx, wy (vegeulafigura2(a)).Unaaltrapossible operacióéslacommutaciósobreuncicledelongitud6:donat G ∈Pn amb

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 193

vw,x1y1,x2y2 ∈ E(G) i vx1,wy2,x2y1 ∉ E(G),obtenimelgraf H ∈Pc n eliminantlesarestes vw, x1y1, x2y2 iafegintlesarestes vx1, wy2, x2y1 (vegeulafigura2(b)).Aquestsdossónexemplesdecommutacionssenzilles;a laliteraturas’hanutilitzatcommutacionsméscomplexespersuperarcertes dificultatstècniquesiestendrel’aplicabilitatdelmètode.

Figura 2: L’operaciódecommutació;lesarestesrepresentadesamb líniescontínuessónreemplaçadesperlesrepresentadesamblíniesdiscontínues:(a)commutaciósobreuncicledelongitud4;(b)commutació sobreuncicledelongitud6.

Peril.lustrarelmètode,araendonemunexemple.Donada dn i v,w ∈ [n] diferents,sigui Pn elconjuntdegrafsquecontenenl’aresta vw.Faremcommutacionssobreciclesdelongitud6perestimarlaprobabilitatque vw ∈ E(Gn).Per unabanda,donatungraf G ∈Pn,hemdetrobar x1y1,x2y2 ∈ E(G) talsque vx1,wy2,x2y1 ∉ E(G).Hiha m2 n opcionspera x1y1,x2y2 ∈ E(G) qualssevol, d’on

• acomamàxim dv ∆nmn d’elles, x1 ésincidenta v;

• acomamàxim dw ∆nmn d’elles, y2 ésincidenta w;

• acomamàxim ∆2 nmn d’elles, y1 ésincidenta x2

Aixídoncs,elnombretotaldecommutacionsés m2 n(1 + O(∆2 n/mn)) i d(Pn) = m2 n(1 + O(∆2 n/mn)). D’altrabanda,donatungraf H ∈Pc n,hemdetrobar vx1,wy2,x2y1 ∈ E(H) talsque x1y1,x2y2 ∉ E(H).Hiha dv dw mn opcionspera vx1,wy2,x2y1 ∈ E(H) qualssevol,d’on

• acomamàxim dv dw ∆2 n d’elles, y1 ésincidenta x1;

• acomamàxim dv dw ∆2 n d’elles, x2 ésincidenta y2.

Aixídoncs,elnombretotaldecommutacionsés dv dw mn(1 + O(∆2 n/mn)) i d(Pc n) = dv dw mn(1 + O(∆2 n/mn)).Per(17),obtenim

P(vw ∈ E(Gn)) ∼ dv dw mn , (18)

sempreque ∆2 n = o(mn).Animemellectoracomprovarlalimitaciódeles commutacionssobreciclesdelongitud4percalcularlaprobabilitatanterior.

Veientelresultat (18),espotdeduirqueelmètodedecommutaciópermetrà estudiarseqüènciesdegraussemprequeelseugraumàximnosiguimassagran respectealnombred’arestes.Enlesseccionssegüentsapareixerancondicions similarsa ∆2 n = o(mn).

7.2Enumeració

Undelstemesfonamentalsenmatemàticadiscretaésl’enumeraciód’objectes combinatoris.Enelnostrecas,ensagradariacomptarquantsgrafshihaamb conjuntdevèrtexs [n] iseqüènciadegraus dn,ésadir,calcular |Gn,dn |.En aquestasecciófaremunaintroduccióaltema.Remetemellectorinteressata l’articledeWormald[52]peraunaanàlisimésdetallada.

Unapossiblemanerad’enfocaraquestproblemaésferservirelmodel deconfiguració CMn = CMn,dn encombinacióamblesestimacionssobrela probabilitatqueelgrafgeneratsiguisimple.Elnombretotald’aparellaments deles mn semiarestesés (mn 1)!!,peròhihamésd’unaparellamentque donallocalmateixgrafetiquetat;vegeu (1).Totiaixò,comqueelnombre d’aparellamentsquedonenllocalmateixgrafnomésdepèndelnombrede llaçosiarestesmúltiples,éselmateixperatotselsgrafssimplesiobtenimel resultatsegüent:

|Gn,dn |= (mn 1)!! i∈[n] di!

P(CMn éssimple). (19)

Comhemexposatalasecció3,assumintlahipòtesiA,elnombredellaçosi d’arestesdoblesespotaproximarperdistribucionsdePoissonindependents ambparàmetres νn/2i ν 2 n/4,iobteniraixíelteorema4,quereformulemara entermesde νn:

P(CMn éssimple) ∼ exp νn 2 ν 2 n 4 > 0. (20)

Combinatamb (19),ensdonaelnombreasimptòticdegrafsambunaseqüència degrausdonadasemprequesesatisfacilanostrahipòtesi.

Unalíniaderecercacentralengrafsaleatorisésentendrecomaquesta fórmulas’esténaaltresseqüènciesdegrausperalesquals νn →∞.Enla restad’aquestasecció,discutiremlaprobabilitatdesersimpleentermesde larelacióentre ∆n i mn

Definimelssegüents momentsfactorials de Dn:

γn := 1 mn i∈[n] di(di 1)(di 2), µn := 1 mn i∈[n] di(di 1)(di 2)(di 3).

Grafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonada 195

Perobtenirunaintuïciósobrequanl’apariciódellaçosiarestesdoblesperdel seucomportamentpoissonià,miraremelnombredellaçosdobles DLn,arestes triples Tn iarestesquàdruples Qn,elnombreesperatdelesqualsespot calcularseguintelsmateixospassosqueen (4).Siassumimque i∈[n] dk i = o i∈[n] di k pera k ∈{2, 3, 4},llavorstenim:

queimplica

Pertant,si ∆4 n = o(mn),noesperemnillaçosdoblesniarestestriples,de maneraqueelsllaçosilesarestesdoblesapareixendemaneradisjuntailes correlacionsentreellssónfebles.Pertant,l’aproximaciódePoissondonada per(20)continuasentvàlida,comvademostrarMcKay[39].

Si ∆3 n = o(mn),noesperemnillaçosdoblesniarestesquàdruples,peròel nombred’arestestriplesnoésnegligible,demaneraqueelnombred’arestes doblesjanoescomportaràcomunaPoisson.

Teorema 21. Suposemque dn satifà ∆3 n = o(mn).Llavors,

P(CMn éssimple) ∼

Aquestresultat,provatperMcKayiWormald[42],ésl’estimaciómésgeneral conegudaperaaquestproblema.

Laprovadelteorema21esbasaenelmètodedecommutació.Laidea principalésobtenirunvalorasimptòticpera |Pn(ℓ,d,t)|,elnombredeconfiguracionsamb ℓ llaços, d arestesdoblesi t arestestriples,estimantlesraons següents:

|Pn(ℓ,d,t)| |Pn(ℓ,d,t 1)| , |Pn(ℓ,d, 0)| |Pn(ℓ 1,d, 0)| i |Pn(0,d, 0)| |Pn(0,d 1, 0)| .

Pertaldefer-hos’utilitzendiferentstipusdecommutacionspercrearodestruir llaços,arestesdoblesoarestestriples.

7.3Mostreig

Undelsreptescentralsenlaciènciadelacomputacióteòricaésdesenvolupar algorismesaleatoriseficientspergenerarobjectescombinatorisd’acordamb unadistribucióespecífica.Unalgorismeesconsideraeficientsielseutemps (otempsesperat)d’execucióésunpolinomionlavariableéslamidade l’entrada.Aquíestudiaremlageneraciódegrafsde Gn,dn entemps(otemps esperat)polinomialen n.Parlaremdeduesfamíliesd’algorismesdemostreig:

mostreiguniforme,enquèesgenerengrafsaleatorisseguintladistribució uniforme,i mostreigquasiuniforme,enquèesgenerengrafsaleatorisd’una distribuciódeprobabilitatmoltproperaalauniforme.Enaquestasecció presentembreumentelsmètodesmésprominentsiremetemellectorinteressat al’articledeGreenhill[23].

Unalgorismesenzillpermostrejaraquestsgrafsésgenerarunexemple utilitzantelmodeldeconfiguració.Sielparellresultantéssimple,per (2),serà ungrafaleatoriuniforme.Encascontrari,eldescartemirepetiml’experiment finsqueaquesttinguièxit.Aquestalgorismeesconeixcoma mostreigper rebuig ielseutempsd’execucióesperatestàdeterminatperlaprobabilitatque elmodeldeconfiguracióprodueixiungrafsimple.Usantelteorema4,podem deduirquel’algorismeéseficientperaseqüènciesdegrausquesatisfanla hipòtesiA.Defet,permetmostrejarentempspolinomialqualsevolseqüència degrausquecompleixi ∆n = O( log n). McKayiWormald([41])vanproposarunalgorismebasatencommutacions querealitzacommutacionsaleatòriespereliminarllaçosiarestesdobles.Per tald’obtenirladistribucióuniforme,calafegiruna probabilitatderebuig a cadapas.Enelcontextmésgeneraldemostrejaraparellamentsperfectesde grafs,JerrumiSinclair([33])vanintroduirunalgorismequefuncionapera seqüènciesdegraus P -estables,ésadir,seqüències dn enquèelnombrede grafsambaquestaseqüènciadegrausésestablesotapetitespertorbacions delaseqüència.D’altrabanda,Kannan,TetaliiVempala([36])vanintroduirla cadenadecommutacions (switchingchain enanglès),unacadenadeMarkov ambespaid’estats Gn,dn itransicionsobtingudesmitjançantlarealitzaciód’una commutaciótriadauniformemental’atzar.Esconjecturaquelacadenaésun mostrejadorquasiuniformeeficientperaqualsevolseqüènciadegraus.Cooper, DyeriGreenhill([10])vandemostrarlaconjecturaperagrafs d-regulars,per aqualsevol1 ≤ d ≤ n 1.Greenhill([22])haestèsaquestresultatpera seqüènciesdegrausdonadesquesatisfan ∆2 n = O(mn),i,juntamentamb Sfragara[24],agrafsdirigits.

Finalment,StegeriWormald([48])vanproposarunalgorismesimilaral modeldeconfiguraciópergenerargrafsaleatorisquasiuniformes d-regulars, quehaestatestèsagrafsaleatorisambunaseqüènciadegrausdonadaper Bayati,KimiSaberi[2].

Agraïments

L’autordonalesgràciesaOriolSerrapelscomentarisquehanajudatamilloraraquestarticle.L’autord’aquestarticleharebutsuportdel’Agencia EstataldeInvestigaciónatravésdelprojectePID2020-113082GB-I00,delprojecteRED2022-134947-T,idelprogramaSeveroOchoaiMaríadeMaeztupera centresiunitatsd’excel.lènciaenR+D(CEX2020-001084-M).

L’autorexpressaelseuagraïmentpelscomentarisd’unrevisoranònim,així comalscorrectorsd’estil,alatècnicad’edicióicomposicióialseditorsdela revista,quehancontribuïtsignificativamentamilloraraquestarticle.

Referències

[1] Albert,R.;Barabási,A.-L. «Statisticalmechanicsofcomplexnetworks». Rev.ModernPhys.,74(1)(2002),47–97.

[2] Bayati,M.;Kim,J.H.;Saberi,A. «Asequentialalgorithmforgenerating randomgraphs». Algorithmica,58(4)(2010),860–910.

[3] Békéssy,A.;Békéssy,P.;Komlós,J. «Asymptoticenumerationofregular matrices». StudiaSci.Math.Hungar.,7(1972),343–353.

[4] Bender,E.A.;Canfield,E.R. «Theasymptoticnumberoflabeledgraphs withgivendegreesequences». J.CombinatorialTheorySer.A,24(3)(1978), 296–307.

[5] Bollobás,B. «Aprobabilisticproofofanasymptoticformulaforthe numberoflabelledregulargraphs». EuropeanJ.Combin.,1(4)(1980), 311–316.

[6] Bollobás,B.;Riordan,O. «Anoldapproachtothegiantcomponent problem». J.Combin.TheorySer.B,113(2015),236–260.

[7] Cai,X.S.;Perarnau,G. «Thegiantcomponentofthedirectedconfigurationmodelrevisited». ALEALat.Am.J.Probab.Math.Stat.,18(2)(2021), 1517–1528.

[8] Cai,X.S.;Perarnau,G. «Thediameterofthedirectedconfiguration model». Ann.Inst.HenriPoincaréProbab.Stat.,59(1)(2023),244–270.

[9] Comellas,F. «Modelsdeterministesdexarxescomplexes». Butlletídela SocietatCatalanadeMatemàtiques,22(1)(2007),23–43.

[10] Cooper,C.;Dyer,M.;Greenhill,C. «Samplingregulargraphsanda peer-to-peernetwork». Combin.Probab.Comput.,16(4)(2007),557–593.

[11] Cooper,C.;Frieze,A. «Thesizeofthelargeststronglyconnectedcomponentofarandomdigraphwithagivendegreesequence». Combin.Probab. Comput.,13(3)(2004),319–337.

[12] Coulson,M.;Perarnau,G. «Largestcomponentofsubcriticalrandom graphswithgivendegreesequence». Electron.J.Probab.,28(2023),article núm.34,28p.

[13] Dhara,S.;vanderHofstad,R.;vanLeeuwaarden,J.S.H.;Sen,S. «Criticalwindowfortheconfigurationmodel:finitethirdmomentdegrees». Electron.J.Probab.,22(2017),articlenúm.16,33p.

[14] Dhara,S.;vanderHofstad,R.;vanLeeuwaarden,J.S.H.;Sen,S. «Heavy-tailedconfigurationmodelsatcriticality». Ann.Inst.HenriPoincaré Probab.Stat.,56(3)(2020),1515–1558.

[15] Duminil-Copin,H. «Sharpthresholdphenomenainstatisticalphysics». Jpn.J.Math.,14(1)(2019),1–25.

[16] Erd˝os,P.;Rényi,A. «Ontheevolutionofrandomgraphs». Bull.Inst. Internat.Statist.,38(1961),343–347.

[17] Federico,L.;vanderHofstad,R. «Criticalwindowforconnectivityinthe configurationmodel». Combin.Probab.Comput.,26(5)(2017),660–680.

[18] Feller,W. AnIntroductiontoProbabilityTheoryandItsApplications.Nova York:JohnWiley,1968.

[19] Fernholz,D.;Ramachandran,V. «Thediameterofsparserandom graphs». RandomStructuresAlgorithms,31(4)(2007),482–516.

[20] Fountoulakis,N. «Percolationonsparserandomgraphswithgivendegreesequence». InternetMath.,4(4)(2007),329–356.

[21] Frieze,A.;Karo´nski,M. IntroductiontoRandomGraphs.Cambridge: CambridgeUniversityPress,2016.

[22] Greenhill,C. «TheswitchMarkovchainforsamplingirregulargraphs (extendedabstract)».A: ProceedingsoftheTwenty-SixthAnnualACM-SIAM SymposiumonDiscreteAlgorithms.Filadèlfia,PA:SocietyforIndustrial andAppliedMathematics(SIAM),2015,1564–1572.

[23] Greenhill,C. «Generatinggraphsrandomly».A: SurveysinCombinatorics 2021.Cambridge:CambridgeUniversityPress,2021,133–186.(London Math.Soc.LectureNoteSer.;470)

[24] Greenhill,C.;Sfragara,M. «TheswitchMarkovchainforsampling irregulargraphsanddigraphs». Theoret.Comput.Sci.,719(2018),1–20.

[25] Hatami,H.;Molloy,M. «Thescalingwindowforarandomgraphwith agivendegreesequence». RandomStructuresAlgorithms,41(1)(2012), 99–123.

[26] vanderHofstad,R. RandomGraphsandComplexNetworks.Vol.1. Cambridge:CambridgeUniversityPress,2017.(Camb.Ser.Stat.Probab. Math.;43)

[27] vanderHofstad,R. RandomGraphsandComplexNetworks.Vol.2. Cambridge:CambridgeUniversityPress,2024.(Camb.Ser.Stat.Probab. Math.)

[28] vanderHofstad,R.;Janson,S.;Luczak,M. «Componentstructureof theconfigurationmodel:barelysupercriticalcase». RandomStructures Algorithms,55(1)(2019),3–55.

[29] vanderHoorn,P.;Olvera-Cravioto,M. «Typicaldistancesinthedirectedconfigurationmodel». Ann.Appl.Probab.,28(3)(2018),1739–1792.

[30] Janson,S. «Onpercolationinrandomgraphswithgivenvertexdegrees». Electron.J.Probab.,14(5)(2009),87–118.

[31] Janson,S. «Theprobabilitythatarandommultigraphissimple». Combin. Probab.Comput.,18(1-2)(2009),205–225.

[32] Janson,S.;Luczak,M. «Anewapproachtothegiantcomponentproblem». RandomStructuresAlgorithms,34(2)(2009),197–216.

[33] Jerrum,M.;Sinclair,A. «Fastuniformgenerationofregulargraphs». Theoret.Comput.Sci.,73(1)(1990),91–100.

[34] Joos,F.;Perarnau,G.;Rautenbach,D.;Reed,B. «Howtodetermineif arandomgraphwithafixeddegreesequencehasagiantcomponent». Probab.TheoryRelatedFields,170(1-2)(2018),263–310.

[35] Joseph,A. «Thecomponentsizesofacriticalrandomgraphwithgiven degreesequence». Ann.Appl.Probab.,24(6)(2014),2560–2594.

[36] Kannan,R.;Tetali,P.;Vempala,S. «SimpleMarkov-chainalgorithms forgeneratingbipartitegraphsandtournaments». RandomStructures Algorithms,14(4)(1999),293–308.

[37] Łuczak,T. «Sparserandomgraphswithagivendegreesequence».A: RandomGraphs.Vol.2(Pozna´n,1989).NovaYork:JohnWiley&Sons,Inc., 1992,165–182.(Wiley-Intersci.Publ.)

[38] McKay,B.D. «Subgraphsofrandomgraphswithspecifieddegrees». Congr. Numer.,33(1981),213–223.

[39] McKay,B.D. «Asymptoticsforsymmetric0-1matriceswithprescribed rowsums». ArsCombin.,19(1985),15–25.

[40] McKay,B.D. «Subgraphsofrandomgraphswithspecifieddegrees».A: ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematicians.VolumeIV. NovaDelhi:HindustanBookAgency,2010,2489–2501.

[41] McKay,B.D.;Wormald,N.C. «Uniformgenerationofrandomregular graphsofmoderatedegree». J.Algorithms,11(1)(1990),52–67.

[42] McKay,B.D.;Wormald,N.C. «Asymptoticenumerationbydegreesequenceofgraphswithdegrees o(n1/2)». Combinatorica,11(4)(1991), 369–382.

[43] Molloy,M.;Reed,B. «Acriticalpointforrandomgraphswithagiven degreesequence». RandomStructuresAlgorithms,6(2-3)(1995),161–179.

[44] Molloy,M.;Reed,B. «Thesizeofthegiantcomponentofarandomgraph withagivendegreesequence». Combin.Probab.Comput.,7(3)(1998), 295–305.

[45] Newman,M.E.J. «Thestructureandfunctionofcomplexnetworks». SIAM Rev.,45(2)(2003),167–256.

[46] Riordan,O. «Thephasetransitionintheconfigurationmodel». Combin. Probab.Comput.,21(1-2)(2012),265–299.

[47] Rué,J. «Delateoriadegrafsclàssicaal’anàlisidelesgransxarxes». Butlletí delaSocietatCatalanadeMatemàtiques,38(1)(2023),67–105.

[48] Steger,A.;Wormald,N.C. «Generatingrandomregulargraphsquickly». Combin.Probab.Comput.,8(4)(1999),377–396.

[49] Wormald,N.C. «Someproblemsintheenumerationoflabelledgraphs». Tesidoctoral.Newcastle:UniversityofNewcastle,1978.

[50] Wormald,N.C. «Theasymptoticdistributionofshortcyclesinrandom regulargraphs». J.Combin.TheorySer.B,31(2)(1981),168–182.

[51] Wormald,N.C. «Modelsofrandomregulargraphs».A: SurveysinCombinatorics,1999.Cambridge:CambridgeUniversityPress,1999,239–298. (LondonMath.Soc.LectureNoteSer.;267)

[52] Wormald,N.C. «Asymptoticenumerationofgraphswithgivendegreesequence».A: ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematicians— RiodeJaneiro2018.Vol.IV.Invitedlectures.Hackensack,NJ:WorldScientificPublishingCo.Pte.Ltd.,2018,3245–3264.

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya CampusDiagonalSud,EdificiU,C.dePauGargallo, 14, 08028 Barcelona iCentredeRecercaMatemàtica EdificiC,CampusdelaUniversitatAutònomadeBarcelona, 08193 Bellaterra(CerdanyoladelVallès) guillem.perarnau@upc.edu

ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques Vol.38,núm.2,2023.Pàg.201–202

Englishsummaries

RosaCamps,XavierMoraandLaiaSaumell

ThemethodofEneströmandPhragménforelectingabodyofrepresentatives bymeansofopenlists

Theelectionofabodyofrepresentativesthroughopenlistvotingrequiresa suitablealgorithmtodeterminewhichcandidatesareselected.Theoptionof selectingthemostvotedcandidateshastheseriousdrawbackofpotentiallyleavingmanyvoterswithoutrepresentation.Inthispaper,westudyanalternative, faireralgorithmthatwasproposedattheturnofthe19thcenturybyGustaf EneströmandEdvardPhragmén.IncommonwithotherproposalsbyPhragmén himself,itisassumedthatthevotersexpressthemselvesbymeansofapproval voting,thatis,eachvoterindicatesanunorderedlistofthecandidatesthathe deemssuitabletorepresenthim.Unlikeothermethodsofthesametype,here onestartsbysettingaquota,thatis,thenumberofvotesthatgivetherightto aseat.Infact,EneströmandPhragmén’smethodmaybeseenasanextension ofthemethodoflargestremainderstoopenlistsinsteadofclosedlists,oralso asanadaptationofthesingletransferablevotetoapprovalvotinginsteadof preferentialvoting.Thepropertiesofthismethodarestudiedandcompared withthoseofothermethodsofthesametype.

Keywords: openlists,electingabodyofrepresentatives,parliamentaryelections,proportionalrepresentation,methodofEneströmandPhragmén.

MSC2020SubjectClassification: 91B12,91B14.

NúriaFagellaandJoanPorti

TwotheoremsandoneproofbyDennisSullivan

In1983,DennisSullivansolvedaprobleminholomorphicdynamicsconcerning rationalmapsoftheRiemannsphere,whichremainedunsolvedformorethan 60years.Usingthesametechniques,heprovidedanewproofforatheorem onKleiniangroupsduetoAhlfors.Thisinitiatedaperiodofintenseactivity andinteractionbetweenbothareas.

Keywords: holomorphicdynamics,rationaltransformation,wanderingdomain, Kleiniangroup,Riemannsurface.

MSC2020SubjectClassification: 37F31,37F32,30F40.

GuillemPerarnau

Randomgraphswithagivendegreesequence

Sincetheemergenceofthenotionofcomplexnetworks,randomgraphshave becomeafundamentaltoolfortheirmodelingandanalysis.Inthispaperwe addressthestudyofrandomgraphswithagivendegreesequence,wherethe degreeofeachvertexispredeterminedandarandominstancethatmeetsthese constraintsischosen.Ouraimistointroducethenewcomerstothistopicby presentingthemostrelevantresultsinthisareaandprovidingintuitionasto whytheyarevalid,withoutdelvingintorigorousproofs.

Keywords: randomgraphs,degreesequence,modelsforcomplexnetworks, connectedcomponents,graphdistances,graphenumeration,randomgraph sampling.

MSC2020SubjectClassification: 05C80,05C82.

Instruccionsperalsautors

Elsarticlessotmesosapublicaciós’hand’enviaralseditorsoaqualsevol membredelcomitèeditorialpercorreuelectrònic,preferentmentenformat PDF.Elsoriginalshandecontenirlaversióanglesadeltítol,unresumbreuen catalàienanglès,paraulesclauencatalàienanglèsielscodisdelaclassificació permatèriesMSC2020.

Lesversionsdefinitivesdelsarticlesacceptatss’handepresentarencodiTEX, preferentmentenl’estilLATEXpropidel butlletí.Aquestestilespotobtenira lespàgineswebdelaSocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM).Esrecomana unaextensiód’entre15i35pàgines.Femnotarqueenaquestapublicació s’utilitzapreferentmentelpuntperaseparardecimals,enllocdelacoma recomanadaperl’IEC,perapoderfacilitarlacomprensiódelesexpressions matemàtiques.Pertald’accelerarelprocésdeproducció,espregaalsautors quesegueixinlesindicacionscontingudeseneldocumentd’exemple.

Laversióenpaperdel butlletí s’imprimeixenblancinegre.Quanunarticle continguifiguresencoloriesconsidericonvenient,l’autorproporcionaràuna versiódelsgràficssubstituintelcolorpertonsdegrisosilíniesdegruix variable.Aixímateix,modificaràelscomentarisquefacinreferènciaalcolorde lesfigures.Enqualsevolcas,el butlletí publicaràl’originalencolorenelseu formatelectrònic.

Lapropietatintel lectualdelsarticlesésdelsrespectiusautors.

Elsautors,enelmomentdelliurarelsarticlesal butlletí perasol.licitar-ne lapublicació,acceptenelstermessegüents:

—ElsautorscedeixenalaSCM(filialdel’Institutd’EstudisCatalans)els dretsdereproducció,comunicaciópúblicaidistribuciódelsarticlespresentats peraserpublicatsal butlletí.

—ElsautorsresponendavantlaSCMdel’autoriail’originalitatdelsarticles presentats.

—Ésresponsabilitatdelsautorsl’obtenciódelspermisosperalareproducciódetotelmaterialgràficinclòsenelsarticles.

—LaSCMestàexemptadetotaresponsabilitatderivadadel’eventual vulneraciódedretsdepropietatintel.lectualperpartdelsautors.

CadaautorrebràunacòpiaenPDFd’altaqualitatdelaversiódigitaldelseu articleiunexemplarimprèsdelnúmerodel butlletí enelqualespubliqui.

Lacorrespondènciaadministrativarelacionadaambel butlletí s’had’adreçaralaSCM.

Pelquefaalaprotecciódedadespersonals,l’Institutd’EstudisCatalans(IEC) compleixelqueestableixelReglamentgeneraldeprotecciódedadesdelaUnió Europea(Reglament2016/679,del27d’abrilde2016).Deconformitatamb aquestanorma,s’informaque,ambl’acceptaciódelesnormesdepublicació, elsautorsautoritzenquelessevesdadespersonals(nomicognoms,dadesde contacteidadesdefiliació)puguinserpublicadesenelcorresponentvolum del butlletí.

Aquestesdadesseranincorporadesauntractamentqueésresponsabilitat del’IECamblafinalitatdegestionaraquestapublicació.Únicaments’utilitzaranlesdadesdelsautorsperagestionarlapublicaciódel butlletí ino serancedidesatercers,niesproduirantransferènciesatercerspaïsosoorganitzacionsinternacionals.Uncoppublicatel butlletí,aquestesdadeses conservarancomapartdelregistrehistòricd’autors.Elsautorspodenexercir elsdretsd’accés,rectificació,supressió,oposició,limitacióeneltractament iportabilitat,adreçant-seperescrital’Institutd’EstudisCatalans(carrerdel Carme,47,08001Barcelona),obéenviantuncorreuelectrònical’adreça dades.personals@iec.cat,enquès’especifiquidequinapublicacióestracta.

Comitèeditorial

AntoniGuillamon(editorencap) DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya antoni.guillamon@upc.edu

CarmeCascante

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona cascante@ub.edu

BartomeuColl

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdelesIllesBalears tomeu.coll@uib.cat

NúriaFagella

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona fagella@maia.ub.es

ArmengolGasull

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona armengol.gasull@uab.cat

GáborLugosi

ICREAiDepartamentd’Economia UniversitatPompeuFabra gabor.lugosi@upf.edu

RosaCamps(editoraadjunta)

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona rosa.camps@uab.cat

MarcNoy

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya marc.noy@upc.edu

FrancescPlanas

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatPolitècnicadeCatalunya francesc.planas@upc.edu

JoanSaldaña

Dep.d’Informàtica,Mat.AplicadaiEstadística UniversitatdeGirona joan.saldana@udg.edu

MartaSanz-Solé

Dep.deMatemàtiquesiInformàtica UniversitatdeBarcelona marta.sanz@ub.edu

GilSolanes

DepartamentdeMatemàtiques UniversitatAutònomadeBarcelona gil.solanes@uab.cat

SocietatCatalanadeMatemàtiques

La SocietatCatalanadeMatemàtiques(SCM) ésunasocietatfilialdel’Institutd’EstudisCatalansquecontinualesactivitatsdelaSecciódeMatemàtiques delaSocietatCatalanadeCiències,quefoufundadaperl’Institutl’any1931. Lesfinalitatsdela SCM són:elconreudelesciènciesmatemàtiques,l’extensió delseuconeixementenlasocietatcatalana,elfomentdelseuensenyament idelasevainvestigacióteòricaiaplicada,aixícomlapublicaciódetotamena detreballsques’adeqüinaaquestsobjectius.La SCM desenvolupalesseves activitatsenlesterresdellenguaiculturacatalanes.Elcatalàés,doncs,la llenguapròpiadela SCM ilaqueésusadanormalmententotselsseusactesi publicacions.

La SCM editalespublicacionsperiòdiques SCM/Notícies, ButlletídelaSocietatCatalanadeMatemàtiques, NouBiaix (encol.laboracióamblaFEEMCAT)i Reports@SCM.Elssocisdela SCM reben,gratuïtament,aquestespublicacions.

La SCM téconvenisdereciprocitatambdiversessocietatsmatemàtiques d’arreudelmón,mitjançantelsqualselssocisdela SCM obtenenunareduccióenlaquotadesocid’aquestessocietats.Aixímateix,elssocisdela SCM podenfer-sesocisdelaSocietatMatemàticaEuropeapagantunaquota complementària.

LaJuntaDirectivadela SCM estàconstituïdaperlespersonessegüents:

Presidenta:MontserratAlsinaiAubach

Vicepresident:JosepVivesiSanta-Eulàlia

Secretària:MargaridaMitjanaiRiera

Tresorer:AlbertGranadosiCorsellas

Vocals:ClaraMateoCampo,LauraPratBaiget,DavidVirgiliCorreas

Delegatdel’IEC:JoaquimBrunaiFloris

L’adreçadela SCM éscarrerdelCarme,47,08001Barcelona.Telèfon: 933248583.Fax:932701180.Correuelectrònic: scm@iec.cat.Adreçaweb: https://scm.iec.cat