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Tercera Época Número 15 Año 2009
EDITORIAL El presente número de Anales del IAE, incluye 9 colaboraciones de 20 autores investigadores de la Ciencia Actuarial y Financiera. El artículo Modelo de Proyección de Seguros aplicado al Ramo de Decesos del Dr. Sergio Real demuestra, mediante un modelo de proyección de flujos probables de primas y siniestros sobre un asegurado tipo, que una dotación de la provisión matemática del 7,5% sobre primas es, en general, insuficiente para valorar las obligaciones asumidas por el asegurador. El autor incluye entre las propuestas para solventar esta dificultad la eliminación del impuesto sobre primas en el ramo de decesos a cambio de que se dedique íntegramente este importe a dotar adicionalmente las reservas o provisiones matemáticas del ramo. (cartera anterior a 1999). El trabajo Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad con heterogeneidad inobservable del profesor Antonio Fernández aborda una cuestión no muy frecuentemente contemplada en la literatura actuarial, como es, en los modelos de mortalidad, la consideración de factores de riesgo no observables, por ejemplo la propensión congénita al fallecimiento o a la enfermedad. El autor parte del modelo multiplicativo de Vaupel (1979) e introduce el valor añadido de utilizar en las estimaciones los métodos de ajuste de los modelos no lineales generalizados a través del software desarrollado por Turner y Firth (2007). Este análisis emplea dos familias de modelos: Makeham-Gamma y Makehan-Inversa Gaussiana, resultando que los ajustes obtenidos según el sexo son mas satisfactorios en la población andaluza masculina que en la femenina, mientras que en los resultados por familia de modelo son semejantes, reflejando un nivel de heterogeneidad moderado. En el artículo La media geométrica, como principio de cálculo de primas, de los profesores Cristina Lozano y Jose Luis Vilar, plantea y resuelve un problema recurrente en la teoría y en la práctica actuarial, como es el cálculo de primas para distribuciones de siniestralidad con cola muy gruesa, caso de la Pareto con D 1.La solución propuesta en el artículo consiste en tomar como prima base la media geométrica, la cual presenta importantes ventajas, existe siempre para cualquier valor de D; su percentil es constante; si se aplica como principio de cálculo de primas una función de pérdida logarítmica se obtiene precisamente la media geométric0a y, finalmente, al poder ser deducida directamente de una función de pérdida, tiene un fundamento teórico Bayesiano. Los autores concluyen con una interesante aplicación práctica en un seguro de lucro cesante a partir de los datos de Zajdenweber (1996), llegando a la conclusión que las primas media geométrica son muy inferiores a las calculadas por el citado autor, pero también tiene menor recorrido y menor coeficiente de variación. En definitiva, frente a la solución clásica de acotar el soporte de la distribución que permita obtener una esperanza finita, el artículo recoge una solución novedosa y sin necesidad de fijar hipótesis suplementarias, aunque se requiera establecer un recargo sobre la media geométrica para garantizar la suficiencia de la prima. En cuanto al trabajo del profesor Ubaldo Nieto, Estabilidad, Caos y Crisis Financiera, analiza el origen y evolución de la crisis financiera global iniciada en 2007. Su riguroso análisis se basa en la metodología de la teoría del caos y los fractales financieros para terminar considerando la ruta termodinámica de la crisis (cisne gris). El autor pone de relieve como los modelos, métodos y estrategias prevalentes para gestionar los problemas actuales en economía y finanzas no resultan ya adecuados en la crisis actual. En efecto, para los sistemas abiertos que, en los procesos de integración se disipan (Prigogine), no parece aún existir el homólogo de Keynes en la concepción darwiniana de la evolución a la complejidad que caracteriza a las organizaciones modernas. Los profesores J. Iñaki de la Peña, I. Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo, en su colaboración Provisión matemática a tipos de interés de mercado, abordan un aspecto de gran importancia en la práctica actuarial como es el cálculo de las provisiones matemáticas en los seguros de vida utilizando los modelos de inmunización de casamiento de flujos y de congruencia por duraciones (duration matching). En el primer caso se trata de un modelo de inmunización consistente en la igualación en cuantía y tiempo de pagos e ingresos, provenientes estos últimos de la cartera de inversiones asignada a cada producto en cuestión. El segundo modelo consiste en estructurar la cartera de inversiones a través de la igualación de los plazos medios de los pagos y de los ingresos probables futuros, con el fin de construir una cartera de títulos inmunizada al riesgo del tanto de interés. El artículo concluye con un caso práctico que pone de relieve la importancia de la gestión integrada activos-pasivos, una de cuyas aplicaciones es, precisamente, la posibilidad de valorar las provisiones matemáticas a tipos de interés de mercado.
Una aplicación de gran importancia en el ámbito de los seguros no vida como, por ejemplo, el seguro del automóvil, figura recogida en el artículo La distribución Poisson-Beta: Aplicaciones y propiedades en la teoría del riesgo colectivo, de la que son autores los profesores Emilio Gómez, José María Sarabia y Faustino Prieto. Se parte de las principales propiedades de la distribución de Poisson ponderada por una distribución Beta para, a continuación, analizar con detalle diversos métodos de estimación y estudiar las principales características del modelo de riesgo colectivo donde la distribución primaria es de tipo PoissonBeta y la distribución secundaria una de carácter discreto arbitraria. En las aplicaciones numéricas con datos reales se obtienen ajustes a la distribución de la cuantía total reclamada, en general, bastante satisfactorios, lo que avala a nivel operativo el cálculo de las primas de riesgo, colectiva y Bayes cuya formulación se recoge en el presente artículo. La colaboración Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos. Un análisis a largo plazo, de las profesoras Maite Mármol, M. Mercé Claramunt y Anna Castañer, sigue las lineas de investigación de las autoras sobre esta temática desde hace años. A partir del modelo clásico de la teoría de la ruina en la matemática y en la estadística actuarial, se analizan las modificaciones que surgen al introducir un reaseguro proporcional y un reparto de dividendos con barrera constante. Este estudio se particulariza para el caso en que la cuantía individual del siniestro es una distribución exponencial unitaria, para llevar a cabo, a continuación, una completa aplicación numérica. En dicha aplicación las autoras proponen introducir una función de utilidad tipo Cobb-Douglas donde figure el parámetro “q”, el cual mide la preferencia del gestor entre retrasar el momento de ruina o repartir mayores dividendos. En cuanto al trabajo de los profesores M. A. Pons y F. J. Sarrasí, Solvencia en un reaseguro finite risk, se estudia la solvencia dinámica de la cuenta de experiencia de cada una de las cedentes que integran la cartera del reasegurador. En este sentido hay que tener presente que el reaseguro finite-risk no solo incluye el riesgo de suscripción de la cedente sino también el riesgo de interés y el “timing risk”. El artículo desarrolla analíticamente dos modelos: el modelo sin revisión y el modelo con revisión. En el primer caso se establece la hipótesis que los parámetros de las funciones de distribución y el resto de variables del modelo son conocidos en el origen del contrato y se mantienen constantes a lo largo del plazo. En el segundo modelo, los parámetros de las correspondientes funciones de distribución se revisan anualmente de acuerdo con la siniestralidad conocida de cada cedente. El trabajo concluye con una aplicación numérica muy ilustrativa para un reaseguro “finite risk” a cinco años y con tres compañías cedentes. Criterios de selección de modelo en crédit scoring. Aplicación del análisis discriminante basado en distancias, original de los profesores Eva Boj, Mª Mercé Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana, es una colaboración que contiene el importante valor añadido de utilizar el análisis discriminante basado en distancias (ADBD) como un método adicional de scoring y cuya aplicación se realiza con los datos reales de dos entidades financieras de Alemania y Australia. El artículo compara esta metodología con otras más usuales, no paramétricas y paramétricas, mediante criterios de selección basados en las probabilidades de clasificación errónea y en función de costes del error. Se concluye considerando que no existe un método óptimo para todas las carteras, pero de la aplicación numérica del trabajo se observa que, aunque los costes de ADBD no son, en general, los más bajos, especialmente comparados con determinados modelos de redes neuronales, sin embargo sí se obtienen intervalos de variación, en general, más pequeños que los resultantes de aplicar otras metodologías usuales. Finalmente, me complace comunicar a nuestros lectores que nuestra revista se va a incluir en Índice Español de Ciencia y Tecnología, así como en los índices latinos ISOC, LATINDEX, RESH Y DICE. Quiero igualmente agradecer a todos los autores y referees su colaboración en este número y animar a los actuarios y demás profesionales vinculados al área financiero-actuarial que envíen originales de carácter académico y/o profesional.
Jesús Vegas Asensio Director
MODELO DE PROYECCIÓN DE SEGUROS APLICADO AL RAMO DE DECESOS Dr. Sergio Real Campos.1
Resumen Este artículo propone un modelo de proyección de flujos probables de primas y siniestros sobre un asegurado tipo de decesos para demostrar que la provisión de la cartera antigua del mencionado ramo se manifiesta insuficiente para salvaguardar los intereses de los asegurados, si sólo se provisiona el 7,5% de las primas tal y como dicta el Reglamento de Ordenación del Seguro Privado de 1998 (en adelante ROSSP) en su disposición transitoria tercera.
Palabras Clave. Decesos, modelo de proyección, provisión de decesos.
Abstract. This article proposes a model for projecting likely flows of premiums and claims on an insured rate of deaths to show that the reserve of the old portfolio that class appears insufficient to safeguard the interests of policyholders, if only provisioned on 7, 5% of premiums as dictated by the Regulations on Administration of Private Insurance, 1998 (hereinafter ROSSP) in its third transitional disposition.
Keywords. Deceases, model of projection, reserve of deceases.
Quiero agradecer al Dr. D. Luis Latorre Llorens su colaboración, correcciones y enseñanzas para poder elaborar este artículo. 1 Director del área de Información analítica de gestión de Mapfre Familiar. Doctor en Ciencias del Seguro por la Universidad Pontificia de Salamanca y por la Facultad de Ciencias del Seguro de la Fundación Mapfre Estudios. Licenciado en Ciencias Económicas y Empresariales. Licenciado en Ciencias Actuariales y Financieras. Mail: srealca@mapfre.com.
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
1. INTRODUCCIÓN. Uno de los aspectos que intenta transmitir este artículo es que los profesionales del sector seguros y del Estado nos vemos obligados a completar algunas lagunas existentes en la legislación actual del seguro privado. A pesar de todo lo que se ha avanzado en la última década del siglo XX, se tiene que seguir progresando hacia una regulación más técnica que la que hasta el momento presente hay en el seguro de enterramiento. El avance que ha supuesto el ROSSP de 1998, es incuestionable, pero hay que evolucionarlo porque se ha logrado el objetivo de tecnificar el seguro de decesos, pero no en la justa medida que la protección del asegurado exige respecto a la solvencia necesaria que requiere este ramo en nuestro mercado de seguros contemporáneo. Los criterios de Solvencia II y NIIF nos están haciendo catalogar y cuantificar los riesgos, como nunca se había hecho, pero lamentablemente el tiempo nos devora la capacidad de reacción para adecuar este ramo a las futuras exigencias de solvencia que van a llegar. Este seguro por ser peculiar de nuestro país hace que tengamos mucho que decir y mucho que trabajar en el ámbito nacional y europeo para que se nos escuche y entienda. La armonización de este ramo empieza en nuestra casa. En este artículo se presenta la proyección de flujos probables de primas y siniestros sobre un asegurado tipo de decesos considerando la acumulación financiera de los excesos de prima sobre siniestros de los primeros años que permite el equilibrio actuarial de la operación. Posteriormente se aplica al modelo planteado la disposición transitoria tercera referente a la constitución o dotación de la provisión del 7,5% de las primas, para mostrar la insuficiencia de la medida regulada. Ante tal insuficiencia de provisión se vuelve a lanzar el modelo con el recálculo de la provisión necesaria que conjugue desequilibrios y con la propuesta de la necesaria disminución de recargos de gestión, que permita disponer de mayor prima pura que soporte durante más años los siniestros y así permita acumular más provisión antes de proceder a realizar consumos de la misma. El siguiente paso es introducir al modelo la probabilidad de caída de cartera, haciendo algunos escenarios de sensibilidad de resultados ante un intervalo de la misma que vaya del 0% al 3%. Este artículo cuestiona la solvencia del seguro de decesos futura con el tratamiento actual. Dicho así en frío parece un artículo alarmante, pero nada más lejos de la realidad. Este ramo de seguro tendrá que cumplir con una serie de exigencias legales novedosas, como Solvencia II y que son un auténtico impacto para el mundo asegurador. Los requisitos legales no se dictan con la finalidad de crear obstáculos, sino de perfeccionar los medios
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Sergio Real Campos
tĂŠcnicos actuariales que se tienen al alcance hoy en dĂa, poniendo los mismos al servicio de la propia instituciĂłn aseguradora, del sector de decesos y de los profesionales que se dedican a la gestiĂłn del mismo.
2. PROYECCIĂ“N DE FLUJOS PROBABLES DE PRIMAS Y SINIESTROS SOBRE UN ASEGURADO TIPO. Primeramente se va a tratar la modelizaciĂłn de la proyecciĂłn de los flujos futuros probables de primas y siniestros de un asegurado tipo2 que permita una fĂĄcil comprensiĂłn del modelo a tratar. Este modelo sobre un asegurado tipo se puede hacer extensible a una cartera de asegurados de decesos. Se pretende mostrar la distribuciĂłn temporal de la siniestralidad y su periodificaciĂłn en la cuenta de resultados sin llegar a considerar gastos de adquisiciĂłn, administraciĂłn ni otros recargos, que se incorporarĂĄn en sucesivos apartados. Dadas las siguientes caracterĂsticas de la pĂłliza de decesos y sus bases tĂŠcnicas se determina la siguiente evoluciĂłn esperada probable de las primas y siniestros hasta la extinciĂłn de la pĂłliza. FormulaciĂłn considerada: Se denomina “coste probable o coste esperadoâ€? a la prima de un seguro temporal renovable, la denominada prima natural:
Ct ˜ X
Pt
1
2
˜ q x t
La siniestralidad o gasto tĂŠcnico se formula para cada periodo “tâ€? de la siguiente forma:
St
Pt ˜t p x
2
VĂŠase Otero GonzĂĄlez, Luis; FernĂĄndez LĂłpez, Sara; RodrĂguez SandĂas, Alfonso (2003).
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Modelo de proyecciĂłn de seguros aplicado al ramo de decesos
Donde tpx es la probabilidad de sobrevivir a la edad x+t, en t=0,, tpx=1, para el resto de t: t
px
(1 q x t 1 )˜t 1 p x
La prima de ingreso probable o el ingreso tĂŠcnico es: (Pnx es la prima nivelada).
Pi prob _ t
It
Pnx ˜t p x
La acumulaciĂłn financiera se considera la diferencia entre el ingreso tĂŠcnico y el gasto tĂŠcnico, capitalizada financieramente en cada “tâ€?; se aplica la siguiente formulaciĂłn:
Sdot Af t
I t St Af t 1 ˜ (1 i ) Sdot
Como se observa, primero se calcula el saldo tĂŠcnico resultado de la diferencia entre el ingreso tĂŠcnico y la siniestralidad (probable) en cada “tâ€?. La acumulaciĂłn financiera en el periodo “tâ€? se compone del saldo o resultado tĂŠcnico de “t-1â€?capitalizado una anualidad mĂĄs el saldo tĂŠcnico del periodo “tâ€?. AsĂ para calcular el valor actual de la acumulaciĂłn financiera en el momento cero, se aplicarĂĄ la siguiente fĂłrmula:
w
VAf 0
ÂŚ
Sdot ˜ (1 i ) t
t 0
El siguiente ejemplo es de una pĂłliza con las siguientes caracterĂsticas: ‰ ‰ ‰ ‰
Edad del asegurado en el efecto de la pĂłliza: 50 aĂąos. Sexo : varĂłn. Suma asegurada: 1.000 euros constantes. Primas constantes (se ha calculado la prima pura).
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Sergio Real Campos ‰ ‰
Tabla de mortalidad GKM95. Tipo de interĂŠs tĂŠcnico: 3,5%.
Siguiendo la formulaciĂłn considerada anteriormente se reflejan los cĂĄlculos para la edad de 51 aĂąos: Prima natural:
C1 ˜ X
P1
1
2
˜ q51
1.000¡(1,035)^ 0,5 ˜0,004761 4,679
Siniestralidad o gasto tĂŠcnico:
P1 ˜1 p50
S1
4,679 ˜ 0,9957
4,659
Prima de ingreso probable o el ingreso tĂŠcnico:
Pi prob _ 1
I1
Pnx ˜1 p50
23,33 ˜ 0,9957
23,23
AcumulaciĂłn financiera:
Sdo1 Af1
I1 S1
23,23 4,659 18,57
Af 0 ˜ (1 i) Sdo1 19,09 ˜ (1,035) 18,57 38,33
Los datos mĂĄs relevantes de la proyecciĂłn efectuada son: 1. Los pagos por siniestros no presentan un perfil homogĂŠneo y constante durante la vigencia de la pĂłliza. En tĂŠrminos probables, la siniestralidad del primer aĂąo se sitĂşa en 4,235 euros y va creciendo aĂąo tras aĂąo, hasta alcanzar 37,431 euros a la edad de 80 aĂąos, momento a partir del cual vuelve a descender paulatinamente hasta la terminaciĂłn. 2. Los ingresos probables por primas, por un lado van decreciendo en la medida que determina la probabilidad de supervivencia del asegurado (si ĂŠste fallece, ya no satisface mĂĄs primas). El resultado de ese efecto es que los ingresos probables por primas parten de 23,33 euros, y van decreciendo, hasta que a la edad de 68 aĂąos, los ingresos esperados son sistemĂĄticamente inferiores a los pagos a satisfacer.
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
La única forma de conseguir el equilibrio actuarial de la operación, es acumular en un fondo los excesos de ingresos, de los primeros años, frente a los pagos por siniestros. Dichos excesos no son beneficio sino que técnicamente equivalen a la siniestralidad futura de la cartera. La acumulación financiera de dichos excedentes es la que permite enjugar los desequilibrios que se presentan a partir de los 68 años de edad. Al final de la operación el saldo de la provisión constituida es nulo. Este efecto descrito y analizado para un solo asegurado se produce en el conjunto de pólizas de una cartera tomadas una a una, independientemente de la edad de contratación. Es importante destacar que la acumulación financiera no se constituye para hacer frente a desviaciones aleatorias de siniestralidad de carácter esporádico. Los ejercicios en que se produce que los siniestros esperados son superiores a las primas esperadas obedecen a fenómenos probables determinados en valores medios. En el desarrollo o evolución de la operación se alcanza un punto en que los siniestros serán sistemáticamente mayores que los ingresos por primas. A esta situación sólo se puede hacer frente si los primeros años, en que los ingresos superan a los pagos, se han constituido las correspondientes provisiones técnicas o matemáticas con la parte de las primas de reserva correspondiente. Se adjuntan los cálculos realizados, donde en las cabeceras se muestran títulos descriptivos.
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Sergio Real Campos
Tabla 1. Evaluación de los flujos probables de primas, siniestros e ingresos ténicos. Fuente: Elaboración propia.
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
Gráfico 1. Proyección de flujos probables de ingresos técnicos, siniestralidad y el resultado de la diferencia de las anteriores partidas.
Gráfico 2. Proyección de flujos probables de ingresos técnicos, siniestralidad, el resultado de la diferencia de las anteriores partidas y la acumulación financiera.
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Sergio Real Campos
¿Qué diferencia hay entre la partida acumulación financiera y la reserva matemática? Se muestran gráficamente ambas partidas:
Gráfico 3. Evolución de acumulación financiera y de la provisión matemática
La partida de acumulación financiera en cada t constituye la diferencia entre los ingresos probables y la siniestralidad probable, capitalizados ambos hasta el instante t. Lo que representa la proyección de flujos es la distribución probable de los siniestros y de los ingresos a lo largo de la operación. A partir de un momento t ocurre que los siniestros probables superan a los ingresos probables, por lo que se necesita la provisión matemática para enjugar esos desequilibrios, por eso la acumulación financiera hacia el final de la operación tiene saldo cero. Si se suma la
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
siniestralidad esperada o probable “siniestralidad gasto técnico” su valor sumado alcanza el capital asegurado o la reserva matemática en t =118.
3. PROYECCIÓN DE FLUJOS PROBABLES DE PRIMAS, SINIESTROS Y PROVISIÓN DEL 7,5% SOBRE UN ASEGURADO TIPO. Antes de 1999, la práctica habitual en las entidades aseguradoras especializadas en decesos era no dotar provisión matemática sino dotar provisión para desviaciones de la siniestralidad llamada provisión para envejecimiento. Como se ha visto, la razón de constituir provisión matemática es constituir año tras año el fondo necesario, compuesto por la prima de ahorro de cada año más los intereses, para hacer frente al final previsto del seguro, que es otorgar la prestación correspondiente que se cubre con el capital asegurado en la póliza y que es la traducción monetaria o económica de la prestación del servicio. También la provisión sirve para cubrir el defecto de prima de riesgo existente en la prima del seguro a partir de un determinado punto de inflexión, como también se ha analizado con detalle. Se ha llegado también a la conclusión de que la provisión matemática y la provisión para desviaciones de siniestralidad son conceptos distintos, ni la constitución de una de ellas suple a la constitución de la otra. No obstante el ROSSP, para las carteras anteriores a 1999, establece en la disposición transitoria tercera que las entidades que habían dotado esta provisión de envejecimiento o estabilización tienen que integrar el importe de la misma en provisión de decesos. Se observa que el ROSSP ha optado, debido a la dificultad financiera que supone dotar la provisión matemática en contratos en curso, por intentar una solución más de ir inculcando cambio de mentalidad del sector decesos, que puramente técnica, ya que el realizar una dotación del 7,5% de las primas devengadas se intuye como insuficiente según el desarrollo actuarial del modelo de seguro vida entera planteado en este documento. Para contrastar la idea intuitiva, se ha planteado, partiendo del ejemplo anterior, realizar la evolución de las magnitudes probables de primas y siniestros considerando la dotación de la provisión de decesos del 7,5%, y tomando el mismo punto modelo de una cartera (model point): 9 Edad del asegurado en el efecto de la póliza: 50 años. 9 Sexo: varón.
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Sergio Real Campos
9 Suma asegurada: 1.000 euros constantes. 9 Primas constantes (se ha utilizado la prima de tarifa de la Orden de 1958, incluyendo el correspondiente recargo externo). La prima pura “real” de la cartera que va a permitir pagar siniestros se ha obtenido descontando los porcentajes observados de gastos, según datos del sector. Los recargos de gastos del sector considerados, excluyendo el recargo de beneficio, son3: Gastos de adquisición: 34 %. Gastos de administración: se considera el 6 %. 9 Se ha considerado para la proyección de la siniestralidad la tabla de mortalidad GKM95. 9 Tipo de interés técnico: 3,5%. La provisión no se ha capitalizado, ya que se pretende mostrar la aplicación de lo que regula el ROSSP. Así pues, se va a proyectar la siniestralidad de acuerdo a la tabla de mortalidad actualizada y la proyección de las primas se lleva a cabo con la tarificación de la Orden de 1958, de esta manera se obtienen los siguientes resultados:
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Véase Icea. Informe de “Evolución del Mercado Asegurador”(2008). Estadística 2007.
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Modelo de proyecciรณn de seguros aplicado al ramo de decesos
Tabla 2. Evoluciรณn de los flujos probables de primas, siniestralidad, provisiรณn del 7,5%, fondo acumulado y de la diferencia de prima pura y siniestralidad.
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el saldo resultado
Sergio Real Campos
Siguiendo la formulaciĂłn considerada en el epĂgrafe anterior se reflejan los cĂĄlculos para la edad de 51 aĂąos: 9 Prima nivelada Orden del 58 (Columna Pâ€? orden 58): Como es una prima nivelada se toma la tasa de la edad de entrada de 50 aĂąos, segĂşn el ejemplo que nos ocupa. La tasa se muestra mensual, por eso se multiplica por 12, para hacer los cĂĄlculos anualizados.
P " _ orden _ 58 Tasa50 ˜ 12 ˜ C
(4,73 / 1000) ˜ 12 ˜ 1.000
56,76
9 Prima de ingreso probable o el ingreso tÊcnico (columna P� probable):
Pi prob _ 1
Px ˜1 p50
I1
56,76 ˜ 0,9957
56,52
9 Prima pura probable (columna prima pura probable):
Pr ima _ pura _ probable
Pi prob _ 1 ˜ (1 rec _ adq rec _ adm porc _ prov
56,52 ˜ (1 0,34 0,06, 0,075)
29,67
Donde: rec_adq = recargo gastos de adquisiciĂłn. rec_adm = recargo gastos de administraciĂłn. porc_prov = porcentaje de provisiĂłn. 9 Siniestralidad o gasto tĂŠcnico (columna Siniestralidad):
S1
P1 ˜1 p50
4,679 ˜ 0,9957
4,659
9 ProvisiĂłn 7,5%:
Pr ovisiĂłn _ 7,5%1
Pi prob _ 1 ˜ 7,5% 56,52 ˜ 0,075 4,24
9 Fondo acumulado provisiĂłn:
Fondo _ acumulado _ Pr ovisiĂłn1
Pr ovisiĂłn _ 7,5% 0 Pr ovisiĂłn _ 7,5%1
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4,26 4,24 8,50
Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
9 Saldo Primas puras probables menos siniestralidad (columna PS):
P1 S1
Pr ima _ pura _ probable S1
29,67 4,659
25,01
9 Ratio Acumulado sobre primas probables (columna Ratio Acum. / Primas Probables): Muestra el ratio del fondo acumulado provisión sobre P” probable. Se observan algunas conclusiones del análisis del cuadro de cálculos: 9 A la edad de 70 años, o lo que es lo mismo para un momento “t” igual a 20 años transcurridos, los siniestros superan a las primas puras, por lo que hay que comenzar a realizar sucesivas aplicaciones de provisiones. 9 El fondo acumulado de la provisión de decesos alcanza un máximo de 81,07 €. No se ha considerado oportuno aplicar el límite de la disposición transitoria tercera: Una vez llegado al 150% de las primas del último año se sigue dotando provisión. Si se aplicase el límite del 150%, el fondo máximo de provisión se alcanza a la edad de 67 años y asciende a 71,70 € (el porcentaje del 150% se obtiene del ratio: fondo acumulado sobre primas probables ya que la provisión el 7,5% se gira sobre la prima probable). Los años en los que se ha alcanzado el límite del 150% de las primas no se dota provisión, lo que agrava la situación como se verá en el valor actual de la pérdida patrimonial comentado más abajo. 9 El fondo acumulado de provisión se agota a la edad de 79 años, a partir de ese momento la compañía tendrá que poner de su patrimonio recursos propios para soportar la siniestralidad. 9 El valor actual de la pérdida patrimonial en este caso asciende a 95,27 €. Esta cifra se obtiene de actualizar al 3,5% de interés, los flujos negativos del agotamiento del “fondo acumulado provisión”. Si se considerase aplicar el límite de la disposición transitoria tercera del 150% de las primas el valor actual de la perdida patrimonial ascendería a 101,32 €. 9 Se ha partido de considerar que se comienza a dotar provisión a la fecha de efecto de la póliza, momento t=1. Para estas carteras se sabe que se ha comenzado a dotar provisión para un “t” más avanzado. Se muestran los gráficos resultado de los datos calculados.
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Sergio Real Campos Grรกfico 4. Proyecciรณn de flujos probables de prima de tarifa, de prima pura, siniestralidad, provisiรณn del 7,5% y el saldo resultado de la diferencia de prima pura y siniestralidad.
Grรกfico 5. Proyecciรณn del fondo acumulado, siniestralidad y del saldo que representa la prima pura y siniestralidad.
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
Con este sencillo modelo se observa que no es suficiente la dotación del 7,5% de la provisión de decesos. ¿Qué se puede hacer al respecto? La respuesta es relativamente sencilla de exponer, pero difícil de aplicar. Se necesita aplicar un porcentaje mayor de provisión y disminuir los gastos de explotación para tener una prima pura mayor que soporte durante más años los siniestros. De esta manera se puede acumular mayor fondo de provisión de decesos. El impuesto sobre primas de seguro (IPS) debería ser eliminado, siempre que las compañías lo destinasen a provisión de decesos, así se tendría un reforzamiento del 6% que se puede dedicar a dicha provisión que junto con el 7,5% el total asciende a 13,5% (7,5%+6%=13,5%). Si introducimos los anteriores parámetros en el modelo presentado de flujos esperados se tiene que el equilibrio se consigue constituyendo la provisión del 28,88% anual sobre primas (en este porcentaje esta incluido el IPS) y consiguiendo que los gastos de explotación disminuyan hasta el 18,62%. Se muestran los cálculos, como en las anteriores ocasiones, el cuadro muestra los mismos cálculos excepto en la columna provisión reforzada, la cual asciende a 28,88%:
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Sergio Real Campos
Tabla 3. Evoluciรณn de los flujos probables de primas, siniestralidad, provisiรณn reforzada, fondo acumulado y el saldo resultado de la diferencia de prima pura y siniestralidad. Fuente: Elaboraciรณn propia.
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Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
Se observan algunas conclusiones del análisis del cuadro de cálculos: 9 A la edad de 70 años, o lo que es lo mismo para un momento t igual a 20 años transcurridos, los siniestros superan a las primas puras, por lo que hay que comenzar a realizar sucesivas aplicaciones de provisiones. 9 El fondo acumulado de la provisión de decesos alcanza un máximo de 331,14 €. 9 El fondo acumulado de provisión se agota a la edad de 118 años. El valor actual de la pérdida patrimonial en este caso asciende a 0, que era el objetivo buscado. 9 Se ha partido de considerar que se comienza a dotar provisión a la fecha de efecto de la póliza, momento t=1. Para estas carteras se sabe que se ha comenzado a dotar provisión para un t más avanzado. Se muestran el gráfico resultado de los datos calculados. Gráfico 6. Evolución del fondo acumulado, de la siniestralidad y el saldo resultado de la diferencia de prima pura.
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El modelo realizado supone que el asegurado de 50 aĂąos va a permanecer en la cartera hasta que suceda el fallecimiento. Probablemente sea asĂ, ya que en esta cartera el ROSSP ha blindado la permanencia del cliente en la misma, y no se permite traspasar4 los asegurados a otra compaĂąĂa aseguradora respetando la prima nivelada con la que entrĂł en el colectivo original, antiguamente esto se realizaba con bastante regularidad. El modelo es mĂĄs realista si se introduce la hipĂłtesis de probabilidad de caĂda de cartera o anulaciĂłn. Esto se realiza retomando la formulaciĂłn del modelo general. AsĂ se tenĂa: Donde tpx es la probabilidad de sobrevivir a la edad x+t, en t=0,, tpx=1, para el resto de t: t
px
(1 q x t 1 )˜t 1 p x
Si se introduce la caĂda de cartera, se tendrĂa que modificar la anterior fĂłrmula quedando: t
perx
(1 q x t 1 c x t 1 )˜t 1 perx
Donde a la variable tperx se podrĂa denominar persistencia en el seguro a la edad x+t. Si se realizan escenarios de diferentes tasas de caĂda de cartera se obtiene la sensibilidad de resultados que se muestra a continuaciĂłn:
4
Antes de 1999, las compaĂąĂas aseguradoras de decesos captaban parte de su nueva producciĂłn a base de “robarâ€? asegurados a la competencia, traspasĂĄndolos de la compaĂąĂa “hurtadaâ€? a la compaĂąĂa captora mediante el sistema de respetar la prima que pagaba el asegurado en la compaĂąĂa origen.
19
Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
Tabla 4. Presentación de resultados del valor actual de la pérdida patrimonial ante variaciones de la tasa de caída de cartera. Provisión reforzada que consigue enjugar la pérdida patrimonial.
Como se observa tomando un intervalo de hipótesis de tasa de caída de cartera entre el 0%, algo difícilmente creíble, y el 3% tenemos que la provisión máxima acumulada del 7,5 % se encuentra en un intervalo de 81,07 a 61,63 euros. Igualmente el valor actual de la pérdida patrimonial que se provoca como consecuencia del agotamiento del fondo de provisión acumulada va desde 95,27 a 22,13 euros.
4. CONCLUSIÓN.
Las normas de ordenación y supervisión del Seguro Privado se dictan como garantía para la solvencia de las entidades aseguradoras y como seguridad de que cumplirán las obligaciones del contrato de seguro para con los asegurados. El “interés público” de la protección de los asegurados es lo que legitima el control sobre las entidades aseguradoras, con el fin de que éstas puedan mantener el estado de solvencia adecuado que permita cumplir dicho objetivo de interés público y de utilidad social, pero: ¿qué ocurre cuándo las normas de ordenación a cumplir presentan lagunas a la solvencia?. Este es la auténtica motivación de este artículo, desvelar si el tratamiento técnico de la cartera de decesos anterior a 1999 es adecuado. En la lectura del artículo se observa que la labor de velar por la solvencia de la entidad aseguradora es una de las más nobles y meritorias tareas que puede
20
Sergio Real Campos
realizar un actuario, y tal vez por esta razón surja la elaboración del mismo: la preocupación actuarial e intelectual sobre la solvencia futura del seguro de decesos tal y como hoy en día está regulado en el ROSSP. Debido al desfase que presentaba este ramo, antes de 1999, entre las obligaciones de las entidades con sus asegurados y las provisiones constituidas al efecto se insertaron en el Reglamento medidas que afectan al mismo, y a las carteras constituidas hasta 1999. Básicamente la medida consiste en provisionar las carteras de asegurados constituidas hasta el 31 de diciembre de 1998 con un tratamiento peculiar que se dicta en la Disposición Transitoria Tercera de ROSSP que consiste en dotar el 7,5% de las primas devengadas del ejercicio. Para demostrar la escasa solvencia de la cartera anterior a 1999, se elabora un modelo de proyección de un asegurado tipo que permite observar la pérdida patrimonial que puede suponer la aplicación de la actual provisión. Se propone la nueva provisión que hay que alcanzar para lograr el equilibrio y el nuevo tratamiento del modelo actuarial del cálculo de la provisión de decesos. Como se observa la provisión del 7,5% se muestra insuficiente. Es necesario reforzar la provisión, a la vez que se conjuga esta acción con la reducción de los gastos de explotación. En este último aspecto el sector está concienciado de que, dado el envejecimiento que sufre esta cartera, se deben ir reduciendo los gastos reales en el tiempo, para poder disponer de mayor prima pura y así conseguir soportar la siniestralidad de cada año durante más tiempo, así como disponer de más años de acumulación de provisión. De esta forma, de la formulación presentada se desprende, dependiendo de la tasa de caída de cartera que se dé para este model point, que la provisión necesaria tendría un recorrido del 28,88% hasta el 15,41%, teniéndose que conjugar ésta con la reducción de los gastos de explotación, éstos tendrían que situarse entre el 18,62% y el 32,09%. Como conclusión a este documento hay que tener en cuenta que en el mismo se cuestiona la solvencia del seguro de decesos futura con el tratamiento actual, pero se presenta la solución para superar la dificultad y poder salvaguardar los intereses de los Tomadores – asegurados. Por último decir que este artículo es una manifestación personal del compromiso de responsabilidad que asumo no sólo con la entidad para la que trabajo sino también con los
21
Modelo de proyección de seguros aplicado al ramo de decesos
tomadores – asegurados que permiten mi subsistencia y la de mi familia.
Bibliografía.
Cozar Llorens, Luis. Algunas consideraciones de puertas adentro en temas de seguros (1983). Madrid, D.L. (Gráficas San Marcos). Dias, Stephen. Valuation of insurance company shares (2005). Fundación MAPFRE Estudios. p. 33. Madrid. Fundación Mapfre (2008). “El mercado español de seguros 2007”. Madrid. Gallegos Díaz de Villegas, José Elías (1991). La Necesaria reforma actuarial del seguro de decesos. En: Previsión y seguro. Nº 9, p. 95-118. Madrid. Icea. Informe de “Evolución del Mercado Asegurador”(2008). Estadística 2007. Madrid. Icea. Informe de “Evolución del Mercado Asegurador”(2007). Estadística 2006. Madrid. Prieto Pérez, Eugenio (1985). Bases Técnicas y tarifas del seguro de enterramiento. Unespa. Orden Ministerial del 4 de febrero de 1958. Tarifas Obligatorias de Primas o cuotas técnicas mínimas para el seguro de enterramientos. Otero González, Luis; Fernández López, Sara; Rodríguez Sandías, Alfonso (2003). La orientación de la actividad aseguradora de vida hacia la creación de valor. En: Revista galega de Economía. Santiago de Compostela. Vol. 12 nº 2, p. 1-21. Real Decreto 2486/1998, de 20 de Noviembre, por el que se aprueba el Reglamento de Ordenación y Supervisión de Seguros Privados. Real Campos, Sergio (2008). Modelo de Proyección de Carteras de Seguros para el Ramo de Decesos. Tesis Doctoral. UPS. Vegas Asensio, Jesús (1993). Matemática Actuarial. Fundación Mapfre Estudios. Madrid.
22
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD EN ANDALUCÍA CON MODELOS DE MORTALIDAD CON HETEROGENEIDAD INOBSERVABLE Antonio Fernández Morales1 Profesor Titular de Universidad Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría 68), Universidad de Málaga
Abstract The aim of this paper is to make use of generalized non-linear models to graduate mortality data from Andalucía allowing for unobserved heterogeneity. Two families of frailty models have been considered, Makeham-Gamma and Makeham-Inverse Gaussian. Both models give similar results, indicating a moderate level of heterogeneity in the investigated populations. Key words Frailty, mortality, graduation, unobserved heterogeneity, generalized non-linear models. Resumen En este artículo se emplean los modelos generalizados no lineales para la graduación de los datos de mortalidad de Andalucía admitiendo la presencia de heterogeneidad no observable. Se han considerado dos familias de modelos: Makeham-Gamma y Makeham-Inversa Gaussiana. Ambos tipos de modelos ofrecen resultados similares, reflejando un nivel moderado de heterogeneidad en las poblaciones investigadas. Palabras clave Frailty, mortalidad, graduación, heterogeneidad no observable, modelos no lineales generalizados.
1
Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría 68) Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de Málaga, C/ El Ejido, nº 6, 29071 Málaga. Email: afdez@uma.es
23
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
1. INTRODUCCIÓN Los modelos de mortalidad que se utilizan habitualmente en el ámbito actuarial del seguro de vida tienen en cuenta la heterogeneidad de la población objetivo mediante la consideración de factores de riesgo observables, tales como el género, la edad o los hábitos relativos al tabaco, siendo poco frecuente contemplar fuentes de heterogeneidad no observables, como la propensión congénita a la supervivencia o a la enfermedad. Sin embargo, en el ámbito actuarial de la rama no vida es más frecuente el uso de modelos con efectos aleatorios no observables, como el modelo PoissonGamma para el número de siniestros. Los motivos por los que la modelización en la rama vida no incluye habitualmente los factores de riesgo no observables son variadas. Olivieri (2006) señala en particular la dificultad inherente de la representación de factores que no pueden observarse, junto a la duración de largo plazo del contrato de seguro de vida, que requiere modelos multi-periodo y las tendencias a largo plazo de las tasas de mortalidad. La representación de la heterogeneidad no observable puede realizarse mediante dos aproximaciones (Pitacco, 2004 a): un enfoque discreto o un enfoque continuo. Con el enfoque discreto, se plantean modelos de mortalidad como una mixtura discreta de términos aplicables a subpoblaciones homogéneas con distribuciones de probabilidad distintas y proporciones poblacionales que se actualizan con la edad (como el modelo de Keyfitz y Littman, 1979 o el modelo de Redington, 1969). Estos modelos son básicamente estáticos y están altamente parametrizados, por lo que el enfoque continuo iniciado por Vaupel et al. (1979) ha recibido más atención en el ámbito actuarial. Este enfoque continuo supone la caracterización de los factores de riesgo no observables mediante una variable aleatoria continua no negativa, denominada frailty (fragilidad) (o longevity en estudios más antiguos, Pitacco, 2004 a). La idea central de este enfoque consiste en que los individuos con mayor “fragilidad”, ya sea genética o adquirida (Yashin y otros, 1994) fallecen por término medio antes que los que tienen un menor valor de esta variable. Bajo este enfoque se pueden desarrollar diferentes modelos, algunos de los cuales tienen interesantes aplicaciones actuariales. En el ámbito actuarial, Olivieri (2006) ha investigado como la no consideración de la heterogeneidad debida a factores no observables en una cartera de vida resulta en una subestimación de los pasivos tanto en valor esperado como en la cola derecha, ya que la distribución de la mortalidad en
24
Antonio Fernández Morales
una población heterogénea es distinta a la correspondiente a un grupo homogéneo, especialmente en las edades más avanzadas. Dicha subestimación afecta a la cartera en conjunto, por lo que resulta en un riesgo sistemático para el proveedor (Olivieri, 2006). Así mismo, Olivieri (2006) encuentra que la no consideración de la heterogeneidad no observable conlleva una subestimación de la provisión matemática y que la cantidad de capital extra requerido por carteras heterogéneas en las que no se considera la heterogeneidad revela un mayor riesgo que en una cartera homogénea. Desde un punto de vista puramente demográfico, recientemente se viene observando que el perfil exponencial de las tasas de mortalidad respecto a la edad, habitualmente asumido en las edades más altas, parece no responder a la realidad actual en los países occidentales. Se observa una ”deceleración” en las tasas de crecimiento de la mortalidad en dichas edades, Horiuchi y Wilmoth (1998), Zen Yi y Vaupel (2003). Es decir, la tasa de crecimiento exponencial en estas edades extremas no es constante, como ocurre con la ley de Gompertz, comúnmente aceptada en estudios anteriores, sino que decrece (Pitacco, 2004 b). Una de las posibles explicaciones de esta “deceleración” puede basarse en la hipótesis de la heterogeneidad no observable2. Bajo esta hipótesis, la selección de los individuos con mayor “fragilidad” o “frailty”, que fallecen con edades más jóvenes, conlleva que los supervivientes a las edades más altas tengan, por término medio, valores más reducidos de la variable que describe la frailty (Horiuchi y Wilmoth, 1998). Por otro lado, la tendencia decreciente en el tiempo de la mortalidad observada en muchos países occidentales, más acentuada en las edades adultas y muy avanzadas, ha generado la necesidad de emplear modelos de mortalidad dinámicos que proyectan la mortalidad para su uso en contratos de larga duración, como pensiones o rentas. Autores como Olivieri (2006) o Pitacco (2004 b), indican que la mortalidad proyectada subestima con frecuencia la evolución observada, argumentando que una posible causa de dicha subestimación puede ser la no inclusión de la heterogeneidad en la modelización. Pitacco (2004 b) considera que la modelización con heterogeneidad no observable puede constituir una herramienta muy útil para los problemas detectados en las proyecciones de mortalidad en edades muy altas.
2
Horiuchi y Wilmoth (1998) mencionan otra hipótesis que denominan de riesgo individual que también es compatible con la deceleración observada (aunque menos plausible según sus resultados empíricos). Esta hipótesis supone que el incremento del riesgo de mortalidad en las edades ancianas decelera por una o varias razones, que pueden ser biológicas, psicológicas e incluso evolutivas.
25
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
En este artículo se revisan los modelos de mortalidad con heterogeneidad no observable, siguiendo el enfoque continuo iniciado por Vaupel et al. (1979), en la sección 2. En la sección 3 se describen los métodos de estimación apropiados para dichos modelos y en la sección 4 se realiza una estimación de estos modelos para la población andaluza en 2004-2005. Finalmente, la sección 5 incluye las principales conclusiones obtenidas en este trabajo.
2. MODELOS DE MORTALIDAD CON HETEROGENEIDAD INOBSERVABLE El modelo biométrico homogéneo usado tradicionalmente en el ámbito actuarial está basado, entre otras, en la hipótesis de homogeneidad en la mortalidad experimentada por todos los individuos del colectivo. Esta hipótesis simplificadora puede mantenerse dividiendo la población en subpoblaciones homogéneas, por ejemplo, población masculina y femenina, fumadores y no fumadores, y aplicando un modelo diferenciado a cada subpoblación. No obstante, este procedimiento elimina sólo muy parcialmente la heterogeneidad subyacente. Las fuentes de heterogeneidad, o factores de riesgo observables, pueden incorporarse en los modelos de mortalidad a través de covariables. Pero hay otras fuentes de heterogeneidad que no admiten este tratamiento, porque no se dispone de información sobre ellas, o porque la información es insuficiente, o porque simplemente no pueden ser observadas. Los modelos de mortalidad que incluyen los riesgos derivados de estas fuentes no observables suelen denominarse modelos de mortalidad con heterogeneidad no observable. El modelo más común en este ámbito es el modelo multiplicativo de Vaupel y otros (1979). En este modelo, se especifica una variable Zx, denominada frailty (fragilidad), con función de densidad fx(z), que refleja la heterogeneidad de la población a la edad x, a través de la definición del tanto instantáneo de mortalidad a la edad x, para un individuo cuyo valor de Zx es igual a z: P x | Z x z Px z z Px . (2.1) En esta expresión, Px(z) representa el tanto instantáneo de mortalidad de un individuo de edad x y nivel de frailty z ; y Px es el tanto instantáneo de mortalidad estándar, correspondiente a un individuo “estándar”, cuyo valor de z (por convención) es igual a 1.
26
Antonio Fernández Morales
La variable Z se considera una variable aleatoria no observable no negativa, que recoge todos los factores (distintos de la edad) que afectan a la mortalidad de los miembros del colectivo. En esta versión del modelo, se asume, así mismo, que existe un valor único z asociado a cada individuo3. Los individuos con mayor valor de z tienen mayores probabilidades de muerte y es más probable que su fallecimiento ocurra antes que los individuos con menor valor de z. La función de supervivencia, condicionada al nivel de z , se obtiene:
S x | Z x
§ x · § x · z exp¨ ³ P t | z dt ¸ exp¨ ³ z Pt dt ¸ © 0 ¹ © 0 ¹ exp zH x exp H x | z
.
(2.2)
En esta expresión, Hx, describe la función de riesgo acumulada “estándar”. La función de densidad de la variable edad de muerte, condicionada a z se deriva de la definición del tanto instantáneo de mortalidad:
f x | Z x
z
f x | z P x | z S x | z .
(2.3)
Por otro lado, la función de densidad conjunta de la edad de muerte y de Z tiene la forma:
f x, z
f x | z f 0 z P x | z S x | z f 0 z , f x, z P x | z S x, z
(2.4)
donde f0(z) es la función de densidad de z a la edad x=0 y S(x,z) es la función de supervivencia conjunta dependiendo de la edad x y de z. Para la cohorte con edad cumplida x, la función de densidad de la variable Zx (condicionada a la supervivencia a la edad x) se obtiene como (Butt y Haberman, 2004):
3
Esto no quiere decir que los individuos con el mismo valor de z sean idénticos, sino simplemente que tienen la misma probabilidad de fallecimiento, Vaupel y otros (1979).
27
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
f x z
f
f
f
x f
x
x
f
0
0
³ f t,z dt
³ f t,z dt
³ S x,z dz ³ S x | z f
0
³ f t,z dt
(z)dz
S x
,
(2.5)
donde S x representa la función de supervivencia de la cohorte a la edad x no condicionada a la variable Z. Teniendo en cuenta que: f
f
³ f t,z dt ³ z P e
f
zH t
t
x
f 0 z dt
f 0 z ³ z Hct e zH t dt
x
x
f 0 z e zH x
f 0 z S x | z ,
la función de densidad de Zx se puede expresar como:
f x z
f 0 z S x | z
. S x
(2.6)
La ecuación anterior nos muestra que la función de densidad de la variable Zx viene dada por la función de densidad de Z0 ajustada por el ratio S x | z / S x , es decir por la proporción de supervivientes a la edad x con frailty igual a z respecto del total de supervivientes a dicha edad en toda la población (Olivieri, 2006). Por otro lado, el tanto instantáneo de mortalidad de la población a la edad x (no condicionado) se obtiene como: f
P x
³
f
f x,z dz
0
³ P x | z S x | z f z dz 0
0
S x
P x
S x
Px E Z x Px z x ,
f
Px ³ z f x z dz , 0
(2.7)
donde z x es el valor esperado de la variable Z entre los supervivientes a la edad x. Por tanto, P x es la esperanza de P(x|z) respecto a la función de densidad de z, fx(z) (Lancaster, 1990). Este resultado es considerado por
28
Antonio FernĂĄndez Morales
Vaupel y Yashin (1985) el teorema fundamental de los modelos con heterogeneidad, ya que relaciona la mortalidad del individuo “estĂĄndarâ€? con la mortalidad de la poblaciĂłn. Generalmente, se toma la funciĂłn de densidad marginal de z para la edad x=0 de tal forma que z 0 1, de manera que en el momento del nacimiento el tanto instantĂĄneo de mortalidad “estĂĄndarâ€? es igual al tanto instantĂĄneo de mortalidad de la poblaciĂłn (no condicionado):
P 0 P0 .
(2.8)
Una de las implicaciones de mayor interĂŠs de este modelo consiste en que el valor esperado de la variable Zx ( z x ) varĂa con la edad en sentido decreciente. La esperanza de Zx se obtiene como: f
Âł z f z exp z H dz x
0
zx
0 f
.
(2.9)
Âł f z exp z H dz x
0
0
La derivada de z x respecto a x es de signo negativo (Lancaster, 1990):
d zx dx
2 ª f ¡ º §f 2 2  ³ z f 0 z exp z H x dz ¨ ³ z f 0 z exp z H x dz ¸  ¸  ¨  P x  0 f ¨ 0f ¸  ¨  f 0 z exp z H x dz ¨ ³ f 0 z exp z H x dz ¸¸   ³0 š Ÿ Š 0 
P x E Z x2 >E Z x @ , d zx dx
2
P xV x2 ( z ) 0 ,
(2.10)
donde Vx2(z) representa la varianza condicionada de z entre la poblaciĂłn que estĂĄ viva con edad x. Esto significa que la media de Zx disminuye con la edad, ya que los fallecimientos van eliminado de la poblaciĂłn aquellos individuos con mayores valores de z. La principal implicaciĂłn de esta caracterĂstica es que el tanto instantĂĄneo de mortalidad individual crece con la edad mĂĄs rĂĄpidamente que el de una cohorte heterogĂŠnea (Vaupel y 29
GraduaciĂłn de la mortalidad en AndalucĂa con modelos de mortalidad‌
Yashin, 1985) y por tanto la esperanza de vida de un individuo estĂĄndar serĂĄ sobreestimada si no se tiene en cuenta el efecto de la heterogeneidad al estimarla en cohortes heterogĂŠneas. En palabras de Vaupel et al. (1979), los estudios de mortalidad humana basados en datos de cohortes heterogĂŠneos pueden estar sistemĂĄticamente sesgados. El modelo bĂĄsico especificado mĂĄs arriba consta de dos componentes: (i) un modelo que describe la relaciĂłn entre Px y x, y (ii) un modelo que describe la distribuciĂłn de probabilidad de Z0. La elecciĂłn de estos dos componentes determina las principales caracterĂsticas del modelo, siendo las mĂĄs habituales los modelos de Gompertz y Makeham para (i) y las distribucions de probabilidad Gamma e Inversa Gaussiana para (ii) (Hougaard, 1984, Butt y Haberman, 2004, Olivieri, 2006). (i) Modelos de Gompertz y Makeham y para describir la funciĂłn Px: El modelo de Gompertz especifica el tanto instantĂĄneo de mortalidad estĂĄndar con la funciĂłn
Px
P(x,Z 1) E e px .
(2.11)
La funciĂłn de riesgo acumulada correspondiente a esta especificaciĂłn tiene, por tanto, la forma
Hx
x
x
Âł Pt dt
Âł Ee
0
0
pt
E
dt
p
e
px
1 .
(2.12)
Para emplear el modelo de Makeham (generalizaciĂłn del modelo de Gompertz, que se considera caso particular cuando D=0), se especifica el tanto instantĂĄneo de mortalidad condicionado, de acuerdo a la siguiente funciĂłn, que difiere ligeramente de la especificaciĂłn inicial de Px(z), en (2.1): Px (z) D z E e px . (2.13) La funciĂłn de riesgo acumulada condicionada a z es igual, segĂşn esta especificaciĂłn a
H ( x | z)
x
x
Âł P t | z dt
Âł D zE e
0
0
px
dt Dx z
E
e p
px
1 .
El tanto instantĂĄneo de mortalidad para la cohorte de edad x es ahora
30
Antonio FernĂĄndez Morales
f
P(x)
f
Âł P x | z f (z)dz Âł D zEe f (z)dt px
x
x
0
D z x Ee px .(2.14)
0
Con ambos modelos, la funciĂłn de densidad de Zx (y por tanto su esperanza) es idĂŠntica (Butt y Habermann, 2004). ii) Distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana para describir la distribuciĂłn de probabilidad de Zx: Para describir la distribuciĂłn de probabilidad de Zx se ha propuesto un conjunto variado de modelos. Hougaard (1984) generalizĂł los resultados de Vaupel et al. (1979) a un grupo de distribuciones de la familia exponencial no negativa que incluye las distribuciones Gamma, Poisson, Inversa Gaussiana, normal truncada y F2 no central, entre las cuales son la distribuciĂłn Gamma y la Inversa Gaussiana las mĂĄs habituales. Este autor demostrĂł que si la distribuciĂłn de la variable Z0 pertenece a la familia exponencial no negativa con z como estadĂstico canĂłnico,
f 0 ( z)
m( z ) z G Tz e . M (G , T )
P G , T
(2.15)
Entonces, la distribución de Zx pertenece a la misma familia pero con paråmetros modificados P(GѽT+Hx). Por tanto, si se describe la función de densidad de Z0 con un modelo Gamma,
f 0 (z)
TG zG 1 Tz e , *(G )
(2.16)
la distribuciĂłn de la variable Zx, la fragilidad entre los supervivientes a la edad x se obtiene como G
f x (z)
T H x
*(G )
zG 1
e z T H x .
Y el valor esperado de las variables Z0 y Zx es, respectivamente,
31
(2.17)
GraduaciĂłn de la mortalidad en AndalucĂa con modelos de mortalidad‌
z0
G , zx T
G T Hx
.
(2.18)
El parĂĄmetro de forma de la distribuciĂłn Gamma, G, tiene una interpretaciĂłn clara como indicador de la extensiĂłn de la heterogeneidad, ya que la variable Z0 tiene coeficiente de variaciĂłn igual a 1 / G . AsĂ, cuando Go 0, el coeficiente de variaciĂłn de la variable que describe la heterogeneidad se anula y los tantos instantĂĄneos de mortalidad de la poblaciĂłn e individuales se igualan. Y cuanto menor sea el valor de G, mĂĄs importante serĂĄ la heterogeneidad en la poblaciĂłn. AdemĂĄs, se puede incorporar estĂĄ relaciĂłn en la ecuaciĂłn que liga el tanto instantĂĄneo de mortalidad de la poblaciĂłn con la funciĂłn de riesgo individual del modelo de Gompertz, obteniendo:
P( x ) z x Px
G T Hx
Px T
GEe px E px p
e
.
(2.19)
1
Por otro lado, si se emplea la especificaciĂłn correspondiente al modelo de Makeham, se obtendrĂa
P(x) D z x Ee
px
D
G T Hx
Ee
px
GpEe px D . (2.20) Tp E Ee px
Si la distribuciĂłn probabilĂstica de Z0 se describe mediante una distribuciĂłn Inversa Gaussiana, la funciĂłn de densidad de esta variable se puede escribir como 1
\ 1 Tz § \ ¡ 2 f 0 ( z) ¨ 3 ¸ e 4\T 2 e z . Š Sz š
(2.21)
Por tanto, segĂşn los resultados obtenidos por Hougaard (1984), la densidad de la variable Zx, la fragilidad entre los supervivientes a la edad x, se obtiene como 1
§ \ ¡ 2 >4\ T H x @ 12 T H x z \z f x (z) ¨ 3 ¸ e e . Š Sz š
32
(2.22)
Antonio FernĂĄndez Morales
De aquĂ que las medias de las variables Z0 y Zx son, respectivamente, 1
1
z0
§ \ ¡ 2 ¨ ¸ , z x Š T š
§ \ ¡ 2 ¨ ¸ . Š T H x š
(2.23)
Emplear la distribuciĂłn Inversa Gaussiana implica que el coeficiente de 1/ 4
variaciĂłn de la variable Zx es igual a 2 1/ 2 >\ T H x @ , que no es constante respecto a la edad. Esta caracterĂstica es netamente diferencial respecto al uso del modelo Gamma para representar la distribuciĂłn probabilĂstica de Zx. Mientras que en el caso del modelo Gamma la heterogeneidad de la poblaciĂłn mantiene constante la dispersiĂłn relativa, el caso de la Inversa Gaussiana redunda en un modelo con heterogeneidad de dispersiĂłn decreciente con la edad, es decir, una poblaciĂłn mĂĄs homogĂŠnea a medida que crece x. A pesar de que Hougaard (1984) considera la dispersiĂłn decreciente mĂĄs apropiada para este tipo de modelos, como un efecto de la selecciĂłn progresiva, hay autores como Manton y Stallard (1984) para los que una dispersiĂłn constante es adecuada, justificĂĄndolo en la oposiciĂłn entre el efecto de la selecciĂłn frente al efecto de la difusiĂłn en procesos estocĂĄsticos. Combinando el modelo Makeham para el tanto instantĂĄneo de mortalidad con la distribuciĂłn Inversa Gaussiana inversa para Zx, de manera anĂĄloga a como se ha realizado para la distribuciĂłn Gamma, se llega a la expresiĂłn siguiente para P( x ) correspondiente al modelo de Makeham (la expresiĂłn del modelo de Gompertz se obtiene para el caso particular D=0): 1
§ ¡ 2 px \pE 2 P(x) D ¨ e . px ¸ Š T p E E e š
(2.24)
Para concluir este epĂgrafe, debemos seĂąalar que la expresiĂłn de P( x ) derivada del modelo multiplicativo con heterogeneidad no observada Gamma y tanto de mortalidad individual Makeham coincide con uno de los miembros de la familia de curvas propuesta por Perks (1932) para la graduaciĂłn de la mortalidad, posteriormente empleada en la graduaciĂłn de las tablas britĂĄnicas E.L.T. 11 y 12 (Benjamin y Pollard, 1970). Por este motivo, Pitacco (2004 a) considera los modelos de Perks como el antecedente actuarial de la modelizaciĂłn de la heterogeneidad no observable de la mortalidad.
33
GraduaciĂłn de la mortalidad en AndalucĂa con modelos de mortalidad‌
3. MÉTODOS DE ESTIMACIĂ“N La estimaciĂłn de modelos matemĂĄticos para la graduaciĂłn de la mortalidad presenta ciertas dificultades tĂŠcnicas conocidas en la literatura (Forfar y otros, 1988, Renshaw, 1995, entre otros). El mĂŠtodo de estimaciĂłn de los mĂnimos cuadrados no lineales, muy usado en este ĂĄmbito presenta el problema de la exigencia de varianza constante y distribuciĂłn normal de los errores, las cuales no se cumplen de forma exacta en la graduaciĂłn del tanto instantĂĄneo de mortalidad o del nĂşmero de fallecimientos, por lo que se suele acudir a ponderaciones, generalmente con el inverso de la varianza. Dado que en la modelizaciĂłn del nĂşmero de fallecimientos, se puede asumir una distribuciĂłn esperada de los errores de Poisson, diversos autores (Renshaw 1991, 1995 y Haberman y Renshaw 1996) proponen el uso de modelos lineales generalizados (GLM) para la estimaciĂłn y ajuste de modelos en el campo de la graduaciĂłn actuarial de la mortalidad. Los modelos lineales generalizados explican el vector de respuestas y=(yi), i=1,2,‌n, tratado como una muestra aleatoria de la variable aleatoria independiente o respuesta Y, con una estructura sistemĂĄtica definida a travĂŠs del vector de medias m=E(Y). Éste Ăşltimo es explicado a su vez por un conjunto de variables predictoras xj , j=1,2,‌,p, a travĂŠs de una combinaciĂłn lineal, denominada predictor lineal, K 6jxjEj. La relaciĂłn entre m y K puede ser cualquier funciĂłn monĂłtona g continua y diferenciable, denominada link, K o m=g-1( K g(m)= K K). La principal diferencia con el mĂŠtodo clĂĄsico de la regresiĂłn consiste en que la distribuciĂłn normal se generaliza a una serie mĂĄs amplia de modelos de la clase exponencial, haciendo depender la varianza de la media de la variable respuesta (no necesariamente constante) mediante una relaciĂłn conocida a priori. Por tanto, se asume que la variable respuesta observada es una muestra aleatoria de Y con densidad
§ yT b(T ) ¡ f Y ( y,T,M ) exp¨ c ( y,M )¸ , š Š k (M )
(3.1)
donde las funciones k, b y c definen la estructura del modelo. Para un paråmetro M conocido, la expresión anterior define la familia exponencial con paråmetro canónico T. La media y la varianza de Y vienen dadas por E(Y)=b’(T) y Var(Y)=k(M)b’’(T).
34
Antonio FernĂĄndez Morales
Se puede obtener un modelo GLM Ăłptimo para la funciĂłn link denominada link canĂłnico que verifica la condiciĂłn g(m)= T T. Por ejemplo, las funciones link identidad y logarĂtmica son canĂłnicas para la distribuciĂłn normal y Poisson, respectivamente. La estimaciĂłn de los parĂĄmetros definidos en K se realiza maximizando el logaritmo neperiano de la funciĂłn de verosimilitud. Y la medida habitual del grado de ajuste es la deviance (escalada), que consiste en dos veces la diferencia entre el logaritmo neperiano de la funciĂłn de verosimilitud del modelo saturado y el modelo ajustado.
^
`
ˆ ,M ) ˜ ,M ) l(y, T ˆ D * (y, m) 2 l(y, T
 º ½ ˆ b(T ˆ) Ëœ b(T Ëœ) Âş n ÂŞ y T ° n ÂŞ y T ° i i 2ÂŽ ÂŚÂŤ i i c(y i ,M )Âť ÂŚÂŤ i i c(y i ,M )Âť ž , (3.2) ° Âź i 1 ÂŹ k i (M ) Âź ° ÂŻ i 1 ÂŹ k i (M ) Âż donde el parĂĄmetro canĂłnico correspondiente al modelo saturado y al ˆ T (m Ëœ T(y) y T ˆ ). modelo ajustado son, respectivamente, T La estimaciĂłn del modelo que describe al tanto instantĂĄneo de mortalidad se realiza habitualmente aplicando la metodologĂa descrita al nĂşmero observado de fallecimientos, Ax, procedentes de una exposiciĂłn central al riesgo rx. Se considera que las variables Ax son variables aleatorias de Poisson con esperanzas iguales a rx¡Px (Forfar y otros, 1988). Por tanto, la estructura del modelo para una variable respuesta YaP(m) en cada intervalo de edad considerado, con densidad
f Y (y,T,M ) exp y ˜ Ln(m) m Ln(y!) , tiene las caracterĂsticas siguientes
E Y m , Var Y k(M )m , T Ln m , b T exp T , de donde obtenemos que el link canĂłnico es g m T
Ln m .
Dado que la metodologĂa de los GLM especifica un predictor lineal para el link de mi, sĂłlo los modelos matemĂĄticos para Px lineales en los parĂĄmetros, o linealizables mediante logaritmos, permiten la aplicaciĂłn directa de la
35
GraduaciĂłn de la mortalidad en AndalucĂa con modelos de mortalidad‌
metodologĂa de los GLM, como es el caso de los modelos GMx(0,s) de Forfar y otros (1988), de los que el modelo de Gompertz es un caso particular. Si la especificaciĂłn matemĂĄtica de Px no es lineal o linealizable, se la denomina generalmente modelo no lineal generalizado, GNM, y se hace necesario aplicar tĂŠcnicas aptas para predictores no lineales. Los modelos no lineales generalizados, GNM, por tanto, se pueden considerar una extensiĂłn de los modelos lineales generalizados en la cual algunos tĂŠrminos del predictor son no lineales en los parĂĄmetros, o tambiĂŠn como una extensiĂłn de los modelos de regresiĂłn no lineales en los cuales la varianza de la respuestas puede ser dependiente de la media. Para estimar este tipo de modelos GNM, en el ĂĄmbito de la graduaciĂłn actuarial de la mortalidad en modelos con heterogeneidad no observable, Butt y Haberman (2004) emplean dos tĂŠcnicas alternativas, por un lado usan una expansiĂłn de Taylor para aproximar la parte no lineal del predictor y por otro desarrollan una funciĂłn link “parametrizadaâ€?, que genera un perfil de la deviance, que minimizan para obtener el Ăłptimo, pero esta segunda tĂŠcnica impide la estimaciĂłn del error estĂĄndar para el parĂĄmetro de la funciĂłn link. En este trabajo hemos optado por aplicar las rutinas desarrolladas recientemente por Turner y Firth en la Universidad de Warwick para el software estadĂstico R. Estas rutinas, agrupadas bajo la denominaciĂłn gnm para R, estĂĄn basadas en un algoritmo de ajuste que puede trabajar incluso con representaciones sobreparametrizadas de modelos. Los parĂĄmetros de los modelos se estiman mediante un algoritmo basado en mĂnimos cuadrados ponderados iterativos, usando la pseudo inversa de Moore-Penrose para tratar las matrices de diseĂąo con problemas de rango (Turner y Firth, 2007). Por defecto, gnm aplica sĂłlo restricciones de identificabilidad mĂnimas. La estimaciĂłn que se realiza en este trabajo corresponde al modelo de Makeham para el tanto instantĂĄneo de mortalidad estĂĄndar, con los modelos Gamma e Inversa Gaussiana para la distribuciĂłn de la variable Zx. Es conveniente estandarizar las expresiones bĂĄsicas obtenidas en el epĂgrafe anterior, estableciendo que z 0 1, lo cual implica que G=T y \=T respectivamente. AdemĂĄs, reparametrizamos las expresiones anteriores como sigue, obteniĂŠndose para las distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana de Zx, respectivamente:
P(x) D
e d px a , P (x) D , 1 e b px 1 e c px
36
(3.3)
Antonio FernĂĄndez Morales
donde
E
a , T 1 e b
a , p
(3.4)
en el caso de seleccionar el modelo Gamma para la distribuciĂłn de Zx y:
e d
E
1 e c
, T
e d e c
1 e b . p
(3.5)
en caso de seleccionar la distribuciĂłn Inversa Gaussiana. En ambos casos resulta, tal y como se ha asumido, que E=P0= P(0) .
4. RESULTADOS En esta secciĂłn se presentan los resultados del ajuste de los modelos de mortalidad con heterogeneidad no observable descritos en la secciĂłn 3 a la poblaciĂłn andaluza masculina y femenina para los aĂąos 2004 y 2005. Los tantos instantĂĄneos de mortalidad brutos, para el rango de edades 20-99 se han estimado con la informaciĂłn demogrĂĄfica del I.N.E. Los estimadores de los tantos instantĂĄneos de mortalidad brutos se han obtenido, asumiendo la distribuciĂłn uniforme de los fallecimientos durante el aĂąo, segĂşn la expresiĂłn habitual, usada en otros trabajos como DebĂłn y otros (2005) o Escuder y otros (2008),
Pˆ x
Dx ,t 1 Dx ,t , 1 1 Px ,t 1 Px ,t Px ,t 1 2 2
(4.1)
donde Dx,t es el nĂşmero de fallecimientos con edad cumplida x ente 1 de enero del aĂąo t y 1 de enero del aĂąo t+1, y Px,t es la poblaciĂłn con edad cumplida x a 1 de enero del aĂąo t. Los parĂĄmetros estimados de los modelos Makeham-Gamma (M-G) y Makeham-Inversa Gaussiana (M-IG) se muestran en la tabla 1, para las poblaciones masculina y femenina, junto con los errores estĂĄndar de las estimaciones. En dicha tabla se han incluido, en primer lugar las estimaciones de los parĂĄmetros D, a, b y p del modelo M-G y de los
37
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
parámetros D, c, d y p del modelo M-IG, obtenidas mediante el método de los modelos no lineales generalizados descrito en la sección 3. En segundo lugar, se han obtenido los valores de los parámetros E y G resultantes de las estimaciones anteriores.
Tabla 1. Parámetros estimados de los modelos Makeham-Gamma (M-G) y Makeham-Inversa Gaussiana (M-IG)
D a
Población masculina M-G M-IG 4,838 10-4 4,819 10-4
Población femenina M-G M-IG 3,283 10-4 3,250 10-4
(2,589 10-5)
(2,628 10-5)
(1,321 10-5)
(1,33 10-5)
2,527
-
2,352
-
(0,6367 )
b
(0,4351)
-
11,60 (0,2145)
c
-
14,17
10,88
-
(0,2515 )
d
-
10,67
E T
13,48 (0,184)
-
(0,05397)
p
-
(0,1421)
13,28 (0,06558)
0,1019
0,1088
0,1288
0,1285
(7,625 10-4)
(8,052 10-4)
(8,474 10-4)
(8,933 10-4)
2,316 10-5 24,79
2,323 10-5 12,12
1,650 10-6 18,26
1,708 10-6 9,51
Nota: Entre paréntesis errores estándar.
Los resultados obtenidos revelan que, tanto en el caso de la población masculina como en el de la población femenina, la elección de la distribución Gamma o la Inversa Gaussiana para representar la distribución de probabilidad de la variable Zx no afecta seriamente a los resultados obtenidos en cuanto a la parte del modelo que representa el tanto instantáneo de mortalidad estándar, un modelo de Makeham en nuestro caso. Esto se refleja en estimaciones muy parecidas de los parámetros D, E y p en los dos modelos para la población masculina y en los dos modelos estimados para la población femenina. Los valores obtenidos del parámetro de perfil de la distribución Gamma que describe la distribución de la variable Zx son algo superiores a los obtenidos por Butt y Haberman (2004) con datos de asegurados y rentistas del C.M.I. Bureau, los cuales estiman modelos Gompertz-Gamma, Makeham-Gamma y Gompertz-Inversa Gaussiana. Por otra parte, la estimación realizada por
38
Antonio Fernández Morales
Damaskos (1988) con información de las tablas E.L.T. (usando una especificación Gompertz-Gamma) resulta en valores del parámetro de perfil de la gamma más cercanos a los obtenidos en este trabajo, llegando a alcanzar el valor 27,7 para la población femenina 30-90 con la E.L.T. 14. El grado de heterogeneidad no observable obtenido en las estimaciones en este trabajo es, por tanto, inferior al encontrado por Butt y Haberman (2004). En nuestro caso, los coeficientes de variación de la distribución de la variable Zx estimados con el modelo M-G son 0,201 y 0,204, respectivamente para la población masculina y femenina, siendo los estimados por Butt y Haberman (2004) superiores, aunque todos ellos menores que 0,45. Las medidas del grado de ajuste obtenido en las estimaciones se muestran en la tabla 2. En la tabla se han incluido las medidas habituales en la graduación paramétrica (Forfar y otros, 1988): el número de desviaciones relativas absolutas mayores que 2 (DRA>2) y mayores que 3 (DRA>3), los estadísticos de signos y rachas, los coeficientes de autocorrelación serial de orden 1, 2 y 3 (R1, R2 y R3), el estadístico F2, el test de Kolmogorov-Smirnov de dos muestras (KS). Tabla 2. Estadísticos de ajuste de los modelos estimados: Makeham (M), MakehamGamma (M-G) y Makeham-Inversa Gaussiana (M-IG).
DRA>2 DRA>3 Test signos Test rachas R1 R2 R3 F2 Deviance KS
Población masculina M M-G M-IG 16 14 14 4 2 3 35 37 40
Población femenina M M-G M-IG 44 44 43 19 17 15 39 39 39
(0,079)
(0,144)
(0,272)
(0,23)
(0,28)
24
28
22
15
11
(0,28)
11
(4,5 10-5)
(0,001)
(4,76 10-5) (1,24 10-9)
(3,7 10-12)
(3,7 10-12)
0,454
0,4116
0,4143
0,81
0,797
0,800
(1,35 10-5)
(6,34 10-5)
(5,78 10-5)
(1,9 10-13)
(3,4 10-13)
(2,9 10-13)
0,435
0,4015
0,4065
0,79
0,791
0,793
(3,08 10-5)
(9,79 10-5)
(9,16 10-5)
(7,3 10-13)
(7,2 10-13)
(6,1 10-13)
0,246
0,2192
0,220
0,68
0,694
0,699
(0,008)
(0,0136)
(0,0134)
(4,8 10-10)
(2,8 10-10)
(2,2 10-10)
179,24 181,18 0,008
163,39 164,77 0,007
164,18 164,18 0,0077
528,17 530,12 0,0159
505,96 501,22 0,0143
506,27 504,71 0,0142
Nota: Entre paréntesis p-values.
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Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
En general se observa un grado de ajuste notablemente superior en el caso de la población masculina respecto a la población femenina. Esto se debe, en parte a que, como se observa en las figuras 1 y 2, el perfil (en escala logarítmica) de la evolución del tanto instantáneo de mortalidad bruto con la edad en el caso femenino presenta una prominencia entre los 30 y los 50 años (menos acusada en el caso de la población masculina), que no puede ser “captada” por modelos como los usados en este trabajo4. La presencia de esta mortalidad superpuesta en el tramo de edades mencionado, teniendo en cuenta que el modelo de Px que describe la mortalidad estándar no incorpora una componente específica para este fenómeno, es la causante de la significatividad de los tests de autocorrelación serial y de rachas. En la tabla 2 se ha incluido, adicionalmente, los estadísticos de ajuste de un modelo de Makeham sin heterogeneidad (M), cuyos parámetros han sido estimados con el mismo procedimiento que los modelos que sí la incorporan, Makeham-Gamma (M-G) y Makeham-Inversa Gaussiana (M-IG), de los que se puede considerar como un caso particular. Se puede constatar que al añadir la heterogeneidad, se produce un incremento significativo del grado de bondad del ajuste, medido con la deviance, tanto en la población masculina como en la población femenina. Por último, para interpretar correctamente los resultados, es necesario recordar que existe un problema de identificación es este tipo de modelos. La distribución de la variable Z no es identificable, dado que se define como un componente individual y sólo sería identificable si fuera común para grupos de individuos (Hougaard, 1984). Es decir, diferentes modelos de mortalidad y diferentes distribuciones de la variable que representa la frailty podrían producir el mismo patrón observado de mortalidad (Hoem, 1990).
4
Para captar la mortalidad superpuesta al perfil general en los tramos de edad juveniles y adultos atribuibles principalmente, aunque no exclusivamente, a los accidentes de tráfico que viene denominándose “accident hump” en la literatura anglosajona se suele añadir al modelo un componente aditivo que incrementa notablemente el número de parámetros del modelo. El modelo de Heligman y Pollard (1980) y sus derivados se cuentan entre los más usados en este campo.
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Antonio Fernรกndez Morales
Figura 1. Ajustes de los modelos M-G (a) y M-IG (b) a la poblaciรณn masculina.
a)
b)
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Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
Figura 2. Ajustes de los modelos M-G (a) y M-IG (b) a la población femenina.
a)
b)
42
Antonio Fernández Morales
Dada la importancia que desde el punto de vista actuarial tiene la distribución de la variable que representa la heterogeneidad, sobre todo teniendo en cuenta su influencia sobre la distribución de probabilidad de la edad de muerte individual, se ha representado en la figura 3 la función de densidad de x condicionada a varios valores de z (0,5; 0,75; 1 y 1,5) estimada para las poblaciones masculina y femenina a partir de los 60 años. En estos dos gráficos se ha incluido también, con fines comparativos, los valores observados con una línea de puntos. Respecto a las densidades estimadas según el valor de z, las funciones correspondientes a individuos de mayor valor de z muestran una mortalidad superior a aquellos con un valor de z menor, con unas diferencias de una magnitud considerable, tanto en la población masculina como en la población femenina. En todos los casos, las curvas de la población femenina presentan un perfil con valor modal claramente superior a su correspondiente en el caso de la población masculina, denotando una mayor “expansión” de la mortalidad en edades avanzadas en la población femenina. La función estimada para z=1 corresponde a la mortalidad de un individuo estándar, que al ser comparada con la función promedio f (x) (no condicionada a z), refleja una mortalidad mayor. Esta diferencia es causada por el efecto de selección, que provoca que los individuos que poseen un valor de z mayor tienden a morir con edades más tempranas, manteniéndose en la cohorte individuos con una mortalidad individual progresivamente menor. Sin embargo, la diferencia entre ambas funciones no es de una gran magnitud. Ello se debe a que el grado de heterogeneidad estimado no es muy elevado. Las estimaciones obtenidas del grado de heterogeneidad no observable están en consonancia con la desviación de la mortalidad observada respecto a la generada por los modelos Gompertz-Makeham en las edades más altas del rango de datos (20, 99). El tanto instantáneo de mortalidad correspondiente a un modelo Makeham se hace lineal en su logaritmo para las últimas edades, en tanto que un modelo con heterogeneidad no observable predice una desviación de dicho comportamiento lineal, debido al efecto de la selección. En los gráficos de las figuras 1 y 2 se puede contemplar que dicha desviación, aún estando presente no es de una gran magnitud. Para analizar con más detalle este fenómeno, se estimará la LAR (life-table aging rate) observada para compararla con la generada con los modelos estimados.
43
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
Figura 3. Función de densidad f(x|z) estimada para diversos valores de z de la población masculina (a) y femenina (b).
a)
b)
44
Antonio FernĂĄndez Morales
La heterogeneidad no observable se ha propuesto como una de las causas de la deceleraciĂłn de la mortalidad en las edades mĂĄs elevadas, como se seĂąalĂł en la introducciĂłn. Una tĂŠcnica habitual para la comprobaciĂłn de la presencia e intensidad de esta deceleraciĂłn consiste en la comparaciĂłn de la LAR observada con la generada por un modelo Gompertz, que tiene un perfil horizontal (Horiuchi y Wilmoth, 1998). En el caso de aplicar un modelo con heterogeneidad no observable la LAR presenta un perfil decreciente en las Ăşltimas edades. La LAR se define como el incremento relativo de la intensidad de la mortalidad con la edad. Tal y como la definen Hioruchi y Coale (1990), que la denotan como k(x), la LAR es
k( x)
dLn P( x )
. dx
(4.1)
Un crecimiento de la LAR con la edad indica una aceleraciĂłn de la mortalidad con la edad, mientras que un decrecimiento de la LAR implica una deceleraciĂłn de la mortalidad. AsĂ, la LAR es una medida muy Ăştil para cuantificar con precisiĂłn la extensiĂłn e intensidad de la deceleraciĂłn de la mortalidad en edades altas (Horiuchi y Wilmoth, 1998). La edad a partir de la cual se produce esta deceleraciĂłn es una cuestiĂłn de gran interĂŠs en las investigaciones demogrĂĄficas actuales. En el modelo de Makeham con heterogeneidad no observable distribuida segĂşn un modelo Gamma, para la parametrizaciĂłn de (3.3) la LAR es igual a
ap k( x)
b px
1 . e a D 1 e b px
(4.2)
En la figura 4 se muestra para las poblaciones masculina y femenina la LAR observada (suavizada con una media mĂłvil) y la que genera el modelo (4.2). AdemĂĄs, se muestra la LAR correspondiente al modelo Makeham sin heterogeneidad observada, que se aproxima al perfil horizontal del modelo de Gompertz con la edad. En dichos grĂĄficos se puede constatar que la desviaciĂłn de la LAR observada respecto al perfil horizontal estĂĄ presente en ambas poblaciones, aunque con una magnitud no muy elevada, lo cual es coherente con las estimaciones del grado de heterogeneidad no observable obtenidas.
45
Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
Figura 4. LAR estimada con el modelo M-G para la población masculina (a) y femenina (b).
a)
b)
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Antonio Fernández Morales
5. CONCLUSIONES La consideración de la heterogeneidad no observable en los estudios de mortalidad, a pesar de las dificultades técnicas que implica, parece de una gran importancia, tanto en la determinación de las tendencias que experimenta la mortalidad, como en la estimación de las tasas para edades muy avanzadas. Un número creciente de investigadores, Butt y Haberman (2004), Vaupel y otros (1979), Congdon (1994) inciden en que la no inclusión de la heterogeneidad en los modelos de mortalidad puede redundar en una incorrecta estimación de las mejoras de la mortalidad observada en las edades más avanzadas en los últimos años. Desde el punto de vista puramente actuarial, autores como Olivieri (2006) o Pitacco (2004 a) sugieren que la inclusión de la heterogeneidad no observable en la modelización de la mortalidad puede ser una herramienta de gran importancia para evitar sesgos sistemáticos en las valoraciones de los costes asociados a las carteras de vida, sesgos que se pueden acentuar en las edades más avanzadas. En esta línea se sitúa la propuesta de Horiuchi y Wilmoth (1998) cuando sugieren que para evaluar el progreso en la reducción de la mortalidad es más conveniente cuantificar dicho progreso en términos de la mortalidad de individuos estándar en lugar de hacerlo con la mortalidad experimentada por cohortes heterogéneas. Una implicación de la presencia de heterogeneidad para las empresas del sector asegurador, para evitar los sesgos mencionados consiste en la necesidad de recopilar más información de los clientes que contratan seguros, rentas o pensiones, de forma que las covariables responsables de la heterogeneidad sean identificadas y cuantificadas. Esto sería una réplica de la práctica habitual en la rama no vida (como por ejemplo en automóvil, en la que se incluye una amplia gama de variables en la evaluación del riesgo). Para rentas y pensiones hay poca tradición de evaluación del riesgo (para la aseguradora) de la propensión a la longevidad (valores bajos de la variable que cuantifica la frailty). Sin embargo, la posibilidad de una clasificación mas detallada del riesgo en la rama vida puede generar discusiones éticas y políticas que exceden el ámbito estrictamente técnico. De las diversas propuestas existentes en la literatura, en este trabajo se ha optado por seguir el modelo multiplicativo de Vaupel y los posteriores desarrollos de Butt y Haberman. No obstante, a diferencia de los trabajos anteriores en esta línea, en este artículo se ha empleado para realizar la estimación los métodos de ajuste de los modelos no lineales generalizados
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Graduación de la mortalidad en Andalucía con modelos de mortalidad…
(GNM) directamente, a través del software desarrollado por Turner y Firth (2007). Los ajustes obtenidos para la población andaluza son más satisfactorios en la población masculina que en la femenina, donde encontramos algunos problemas en el análisis de los residuos. No obstante hay que tener en cuenta que el modelo base especificado para la mortalidad estándar, modelo de Makeham, es un modelo poco parametrizado y los datos observados, sugieren una forma funcional más compleja que la especificada, resultando ésta una interesante línea de investigación futura, consistente en la inclusión de heterogenedidad no observable en modelos más complejos. Respecto a las dos especificaciones de la frailty, usadas en este trabajo, distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana, ambos modelos ofrecen en este caso propiedades de ajuste similares. No obstante, desde el punto de vista teórico, parece más razonable, según diversos autores, el modelo Gamma, ya que predice poblaciones heterogéneas en edades avanzadas (al contrario que la especificación Inversa Gaussiana, que formula una población que se hace cada vez más homogénea con la edad). El grado de heterogeneidad estimado en ambas poblaciones no es muy elevado, siendo ligeramente superior en la población femenina. Esta apreciación está en consonancia con la desviación que muestra la LAR observada respecto de la esperada por un modelo de Gompertz en las edades más elevadas, que en el caso de la población femenina presenta además una mayor expansión de la curva de densidad de fallecimientos a partir de los 65 años.
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LA MEDIA GEOMÉTRICA, COMO PRINCIPIO DE CÁLCULO DE PRIMAS
Cristina Lozano-Colomer Departamento de Métodos Cuantitativos Universidad Pontificia de Comillas (ICADE). clozano@cee.upcomillas.es José L. Vilar-Zanón Departamento de Economía Financiera y Actuarial. Universidad Complutense de Madrid
Resumen Este artículo estudia el problema del cálculo de primas para distribuciones de siniestralidad con cola gruesa como Pareto con parámetro de forma D d 1 , en las que la esperanza matemática no existe. Se plantea la media geométrica como un principio de prima basado en el enfoque de las funciones de pérdida. Esto se aplica a un seguro de lucro cesante. Palabras Clave Principios de cálculo de primas, colas gruesas, media geométrica, distribución de Pareto, seguro de lucro cesante Abstract This paper discusses the problem of premium calculation of a heavy-tailed claim size distribution, like Pareto distribution with a shape parameter D d 1 , therefore expectation does not exist. The geometric mean is set up in order to obtain a premium principle based on the loss function approach. This is applied to business interruption insurance Keywords Premium calculation principles, heavy tail, geometric mean, Pareto distribution, business interruption insurance.
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La media geomĂŠtrica, como principio de cĂĄlculo de primas
1-Introducción Si se supone que la pÊrdida total correspondiente a una póliza de seguros estå dada por una variable aleatoria no negativa X con función de distribución F(x) = P (X ” x) el principio del cålculo de primas mås utilizado en la literatura de seguros es el principio de la prima neta, en el cual la prima de riesgo Ȇ es igual al siguiente valor esperado, si existe: f
3
E( X )
Âł x dF ( x)
(1.1)
0
Cuando se considera un contrato de reaseguro XL con una prioridad u, en este caso la prima neta de riesgo estĂĄ dada por f
3 (u)
Âł x dF(x)
(1.2)
u
En las aplicaciones a reaseguro a menudo nos encontramos con sucesos extremos, de baja frecuencia pero con una cuantĂa elevada. En este caso de grandes siniestros la metodologĂa de Valores Extremos permite modelizar la cola de la distribuciĂłn, mediante una teorĂa asintĂłtica que proporciona un modelo paramĂŠtrico, para los excesos sobre un umbral suficientemente alto. El Teorema de Balkema- De Haan – Pickands (Coles. (2001)), establece que para un umbral suficientemente grande, la distribuciĂłn de probabilidad de los excesos sobre este umbral puede ser aproximada por la DistribuciĂłn Generalizada de Pareto, con funciĂłn de distribuciĂłn:
G [ ,V (x)
 § [x ¡ 1/ [ °1 ¨ 1 ¸ [ z 0 con Ž Š V* š °1 e x / V* [ 0 con ¯
[x ! 0, V* ! 0 V* x Â? R , V* ! 0
1
(1.3)
Los tres submodelos de la familia Generalizada de Pareto son, para Č&#x;< 0 la distribuciĂłn Beta, Č&#x;= 0 la distribuciĂłn Exponencial y Č&#x;> 0 la distribuciĂłn de Pareto.
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Cristina Lozano Colomer y JosĂŠ L. Vilar ZanĂłn
El caso que nos ocupa corresponde a distribuciones con cola gruesa, que son el caso Č&#x;> 0 correspondiente a la distribuciĂłn de Pareto
2. DistribuciĂłn de Pareto 2.1 FunciĂłn de distribuciĂłn Tomando la reparametrizaciĂłn
1 > 0, y considerando el umbral u D
[
como parĂĄmetro de escala (Reiss y Thomas (2001)), la funciĂłn de distribuciĂłn y la funciĂłn de densidad tienen la forma:
y¡ § Fu (y) 1 ¨ 1 ¸ uš Š D§ u ¡ f u (y) ¨ ¸ uŠu yš
D
con y ! 0,
D!0
con y ! 0,
D!0
(2.1)
D 1
La distribuciĂłn de la variable
Xu
X X ! u , cuantĂa por encima del
umbral u, se puede obtener de la relaciĂłn
Xu
Y u , Y ! 0 ,
de la siguiente forma:
P(X u d x) P(Y u d x) P(Y d x u) Fu (x u) x u¡ § 1 ¨1 ¸ u š Š §x¡ 1 ¨ ¸ Šuš
D
D
, x ! u , D, u ! 0
Su funciĂłn de densidad es
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(2.2)
La media geomĂŠtrica, como principio de cĂĄlculo de primas
f u (x )
D uD x D 1
x tu !0
,
(2.3)
Se puede tomar la variable exceso normalizado Z
X con Z ! 1 , u
obteniĂŠndose asĂ una funciĂłn de distribuciĂłn que depende de un solo parĂĄmetro D
G (z )
P Z d z
§X ¡ P¨ d z¸ Š u š P X d u z
F u (u z ) § u ¡ 1 ¨ ¸ Šuzš
( 2.4 ) D
§1¡ 1 ¨ ¸ Šzš
D
, z ! 1 , D ! 0.
2.2 Medidas de PosiciĂłn Vamos a analizar los momentos y otras medidas de tendencia central a partir de las expresiones (2.3) y (2.4) La funciĂłn cuantil tiene la forma
F
1
(q )
u (1 q )
1 D
0 q 1
(2.5)
La funciĂłn de densidad de Pareto tiene una cola derecha polinomial inversa, que es mas gruesa cuanto menor es el valor de D, lo que implica que solo existen momentos de orden bajo, en particular el k-ĂŠsimo momento de la distribuciĂłn de Pareto existe solo si k<D . La esperanza matemĂĄtica y la varianza tienen la forma:
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Du D 1
E (X ) V ar(X )
, D !1 Du
( 2 .6 )
2
D ( D 1) 2 ( D 2 )
, D ! 2
( 2 .7 )
De (2.6) y (2.7) se deduce que para distribuciones con cola extremadamente gruesa (D 1) no es posible utilizar la esperanza matemática como medida de localización. Se tratará entonces de utilizar otra medida de tendencia central, otro promedio si es que existen, o una medida de posición como la mediana. Partiendo de las definiciones de media geométrica, de media armónica y de su relación con la media aritmética de la Estadística Descriptiva para una distribución de frecuencias, vamos a derivar las definiciones de media geométrica y armónica para una distribución de probabilidad de una variable aleatoria, comprobando su existencia en el caso de distribuciones con cola extremadamente gruesa. Dada una distribución de frecuencias, r
(x i , n i ,i 1....r) con
¦n
i
N
x i ! 0 i
i 1
donde las x i representan los diferentes valores de la variable, con i =1...r, ni las frecuencias absolutas de dichos valores y N el número total de datos. Entonces se define así la media geométrica: r
G
N
x 1n 1 x 2n 2 ......x rn r
( x in i ) 1 / N
( 2 .8 )
i 1
Tomando logaritmos se obtiene la siguiente relación:
Ln G
1 r ¦ n i Ln x i G exp Ln x
Ni1
(2.9)
Donde la barra representa la media aritmética. Por similitud introducimos la media geométrica para una distribución de probabilidad de la siguiente forma:
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La media geomĂŠtrica, como principio de cĂĄlculo de primas
G
e x p E ( L n X )
( 2 .1 0 )
En el caso de la distribuciĂłn de Pareto se obtiene fĂĄcilmente, integrando por partes: f
E > LnX @
Âł
Ln x
u
D uD x
D 1
1
G
Ln u LnX D e> @ e
u
Ln u
dx 1 D e
1 D
2.11
u ! 0, D ! 0
Como se puede ver en la expresiĂłn (2.11) la media geomĂŠtrica existe cualquiera que sea el valor de D, y por tanto es posible calcular este promedio incluso para distribuciones de cola muy gruesa. Dada una distribuciĂłn de frecuencias r
(x i , n i ,i 1....r) con
ÂŚn
i
N
x i ! 0 i
i 1
la media armĂłnica queda definida asĂ
H
1 1 N
r
ÂŚ
i 1
1 1 ni xi
( 2 .1 2 )
x 1
Similarmente la media armĂłnica para una distribuciĂłn de probabilidad se define de la siguiente forma:
H
^E X ` 1
1
( 2 .1 3 )
Para la distribuciĂłn de Pareto la media armĂłnica es
1 H u (1 ) D
u ! 0, D ! 0
De la funciĂłn cuantil (2.5) se obtiene que:
56
(2.14)
Cristina Lozano Colomer y JosĂŠ L. Vilar ZanĂłn
1. La media geomĂŠtrica es
1-
1 e
0, 632 - ĂŠsimo cuantil cualquiera que
sea el valor de D. Por tanto, cuanto mĂĄs gruesa sea la cola de la distribuciĂłn, es decir cuanto menor sea D, mayor serĂĄ el valor de este cuantil, segĂşn se aprecia en la siguiente figura:
G D
ÄŽ Figura 1: G(ÄŽ), media geomĂŠtrica de una distribuciĂłn de Pareto, en funciĂłn del parĂĄmetro de forma ÄŽ.
§ D 1¡ 2. La media armónica es el 1 ¨ ¸ Š D š 3. La mediana es M e
F
1
0,5
u
D
-ĂŠsimo cuantil.
1 D 2
4. Se comprueba fĂĄcilmente (MartĂn Pliego, J. (2004)) que:
H d G d E(X) 5. De 1 y 2 se deduce que G > Me 57
(2.15)
La media geomĂŠtrica, como principio de cĂĄlculo de primas
Por tanto, el promedio mĂĄs grande en el caso que la esperanza matemĂĄtica sea infinita es la media geomĂŠtrica de la distribuciĂłn.
2.3 EstimaciĂłn mĂĄximo verosĂmil Dada una muestra aleatoria simple de tamaĂąo n, el estimador mĂĄximo verosĂmil para el parĂĄmetro de forma de la distribuciĂłn de Pareto, con el umbral u conocido, es igual:
DË&#x2020;
n
(2.16)
n
x ÂŚ log ui i 1
A partir de esta estimaciĂłn se pueden obtener la media geomĂŠtrica estimada de la distribuciĂłn de Pareto sustituyendo esta estimaciĂłn en (2.11) n
Ë&#x2020; u G
1 D eË&#x2020;
x
ÂŚ log ui
n
i 1
ue
n
ue
log(Â&#x2013; i 1
x i 1n ) u
n
u
n
x Â&#x2013; ui i 1
n n
Â&#x2013; xi
(2.17)
i 1
Como se ve el estimador de la media geomĂŠtrica poblacional coincide con la media geomĂŠtrica muestral. Conviene destacar que no depende del umbral u, sino Ăşnicamente de los valores muestrales elegidos. Para obtener la estimaciĂłn de la media armĂłnica procedemos de la misma forma, sustituyendo la estimaciĂłn de D en (2.11)
Ë&#x2020; u (1 1 ) H DË&#x2020;
n § x ¨ Œ log i u u ¨1 i 1 ¨ n ¨¨ Š
58
¡ ¸ ¸ ¸ ¸¸ š
(2.18)
Cristina Lozano Colomer y José L. Vilar Zanón
3. Principios de cálculo de primas 3.1 Métodos para la obtención de las primas En la matemática actuarial el procedimiento del cálculo de primas se modeliza de la siguiente forma. La cuantía aleatoria de la siniestralidad (de un contrato en un periodo, por ejemplo) se especifica por medio de una variable aleatoria X, a la que denominaremos el riesgo. Definición: Un principio de cálculo de primas es un funcional H que asigna a un riesgo X un número real H [X], que será la prima a cobrar a cambio de asumir el riesgo X. Dado que el riesgo X es una variable aleatoria, el principio del cálculo de la prima dependerá de la distribución de probabilidad de dicha variable. En Gómez Déniz E., Sarabia Alegría J.M. (2008) se describen diferentes principios de cálculo de primas, siendo los más utilizados: 1. Principio de la Prima Neta : H(X) = E[X] 2. Principio de la Prima del Valor Esperado H(X) = E[X](1+T), para algún T>0
3. Principio de la Prima de la Varianza H(X) = E[X]+DVar[X]), para algún Į>0 4. Principio de la Prima de la Desviación H(X) = E[X]+ E Var[X] para algún E>0 5. Principio de la Prima Exponencial H[X]
1 ln E[eDX ] D
algún Į>0 6. Principio de la Prima Esscher H[X]
7. Principio de la Prima Wang
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E[XehX ] E[ehX ]
h ! 0.
Típica
para
La media geomĂŠtrica, como principio de cĂĄlculo de primas
f
H[X]
Âł g >SX (t)@ dt
g :[0,1] o [0,1] creciente y concava con SX (t) Pr(X ! t)
0
La funciĂłn g se denomina funciĂłn de distorsiĂłn 8. Principio de utilidad equivalente. La prima H[X] deberĂĄ de satisfacer u(Z) E[u(Z X H)]
Donde u (.) es la funciĂłn de utilidad del asegurador o del asegurado (dependiendo del punto vista del cual se quiera calcular el valor de la prima), que es creciente y cĂłncava , y donde Z representa la riqueza inicial. Es claro que todos estos principios de cĂĄlculo de primas solo se pueden aplicar si la distribuciĂłn de probabilidad de la variable riesgo X verifica que E [X] < f , y en los casos 2 y 3 E [X2] < f . En el caso exponencial se verifica
E > X @ f Â&#x; D ! 0 E[eDX ] f E > X @ f Â&#x; D ! 0 E[XeDX ] f Por tanto, la no existencia de momentos finitos, como ocurre con las distribuciones de cola muy gruesa como la de Pareto con parĂĄmetro de forma D <1, impide aplicar los principios anteriores del cĂĄlculo de primas. Esto hace necesario buscar otro mĂŠtodo de cĂĄlculo que proporcione un resultado finito para la prima. 3.1 Prima de riesgo y funciones de pĂŠrdida
Bajo el enfoque del cĂĄlculo de primas basado en funciones de pĂŠrdida se obtienen varios de los principios de cĂĄlculo de primas conocidos y otros nuevos. Este enfoque estĂĄ basado en la metodologĂa de la decisiĂłn bayesiana cuyo procedimiento consiste en definir una funciĂłn de pĂŠrdida
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Cristina Lozano Colomer y José L. Vilar Zanón
L :\2 o \ (X, P) o L(X, P) Tal que a cada par (X, P) le hace corresponder la pérdida L(X, P) en la que incurre un decisor, que toma la acción P y se encara con el resultado X de algún experimento aleatorio. Lógicamente está función de pérdida es una variable aleatoria y se determina la prima de forma que se minimice la pérdida esperada: f
Min ³ L(X, P) dFX (x) Min E[L(X, P) ]
(3.1)
P
P 0
En muchos casos este punto mínimo puede determinarse derivando (3.1), resolviendo la ecuación
§ w · E ¨ L(X, P) ¸ © wP ¹
0
(3.2)
En el contexto presente, X es el riesgo y P la prima cobrada por asumir dicho riesgo. Heilmann, W. (1989) considera varias funciones de pérdida obteniendo como resultados principios para el cálculo de primas obtenidas por otros métodos como son: x
Pérdida cuadrática. Si se considera la función de pérdida cuadrática dada por
L(X, P)
(X P) 2
Resulta: P=E [X] el principio de prima neta o equivalencia. x
Pérdida Exponencial Si se considera la función de pérdida exponencial dada por
L(x, P)
1 Dx DP 2 (e e ) con D ! 0 D
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La media geométrica, como principio de cálculo de primas
Resulta que P
1 LogE[eDX ] coincide con el principio de D
utilidad exponencial. x
Pérdida cuadrática ponderada. Si se considera la función de pérdida cuadrática ponderada por eD x con D>0 dada por
L(x-P)= eDx (x-P)2
E XeDX Resulta que P
E e DX
coincide con el principio de Esscher
Este mismo autor hace notar que las funciones de pérdida que se han utilizado en los casos anteriores son del tipo
L(x, P) g(x)(h(x) h(P)) 2
(3.3)
Obteniendo que en este caso se verifica el siguiente resultado para el valor de la prima. Teorema.
Si h(x) es estrictamente creciente y diferenciable (por tanto existe su inversa) y si g(x) es no negativa, se sigue que para riesgos X con E [g(X)] <f y E [g(X) h(X)] <f, se verifica:
P
§ E[g(x)h(x)] · h 1 ¨ ¸ © E[g(x)] ¹
(3.4)
En el articulo de Heilmann, W. (1989) se proponen otras dos funciones de pérdida, la primera propuesta por Clevenson y Zidek (1975) tiene la forma
L(X, P)
(X P) 2 con X ! 0 y la Pr(X ! 0) 1 X
Aplicando las expresiones (3.3) y (3.4)
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g(x)
1 x
h(x)
x
x!0
se tiene que h 1 (x) x por tan to ª 1 º E[ (X) ] » « P[X] h 1 « X 1 » « E[ ] » X ¼ ¬
ª 1 º h 1 « 1 » ¬ E[X ] ¼
ª 1 º « 1 » ¬ E[X ] ¼
E[X 1 ] 1
(3.6)
La prima coincide pues con la media armónica. La segunda función de pérdida fue sugerida por Gary Venter (en una comunicación privada tal y como se indica en el artículo de Heilmann, W. (1989)), y tiene la forma:
L(X, P)
(ln X ln P)2 con X ! 0 , P ! 0 y Pr(X ! 0) 1
En este caso es evidente que la función de pérdida tiene la forma dada en (3.3) con
g(x) 1 , h(x) ln x Y como h(x) es estrictamente creciente y diferenciable y g(x) positiva, por tanto se puede aplicar el teorema..
Dado que h 1 (x) exp(x) , sustituyendo en la expresión (3.4), se obtiene la prima fácilmente:
§ E[LnX] · P h 1 ¨ ¸ exp(E[LnX]) © E[1] ¹
(3.7)
Que coincide con la expresión de la media geométrica G dada en (2.10). Por tanto con una función de pérdida logarítmica, se ha comprobado que se obtiene el principio de prima media geométrica.
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La media geométrica, como principio de cálculo de primas
Esto tiene gran importancia ya que se ha encontrado que la prima media geométrica es un principio de cálculo de prima que siempre es posible aplicar, aún en los casos en que el resto de los principios de cálculo de primas dan como resultado una prima infinita. Este es el caso de los riesgos con distribuciones de probabilidad con cola gruesa como la de Pareto con D d 1 . Además al poder ser deducida directamente de una función de pérdida, la media geométrica resulta tener un fundamento desde el punto de vista Bayesiano.
4. Aplicación al seguro de lucro cesante (Business Interruption)
En este epígrafe se va a aplicar la media geométrica como principio de cálculo de prima al caso de un seguro de lucro cesante, donde generalmente la distribución de probabilidad del daño asegurado carece de momentos, aprovechando los resultados obtenidos por Zajdenweber, D. (1996). Un seguro de lucro cesante Castelo, J. Guardiola A. (2008) (Diccionario Mapfre de Seguros) es aquel que garantiza al asegurado la pérdida de rendimiento económico que hubiera podido alcanzarse en un acto o actividad, caso de no haberse producido el siniestro descrito en la póliza. Se denomina también seguro de interrupción de negocios o seguro de pérdida de beneficios. La indemnización a satisfacer según la ley, salvo pacto en contrario, será: x x x
La pérdida de beneficios que produzca el siniestro durante el plazo previsto en la póliza. Los gastos generales que continúen gravando al asegurado después de la producción del siniestro. Los gastos que sean consecuencia directa del siniestro.
Zajdenweber, D. (1996), plantea la hipótesis de que en este tipo de seguro la distribución de probabilidad de la cuantía es Pareto con parámetro de forma D=1. Y analiza en su artículo la distribución de la cuantía de la siniestralidad anual, en este ramo de lucro cesante, para el mercado francés durante los años 1975 a 1992, encontrando que es Pareto, a partir de un umbral común para todos los años de 330.000$, con un rango de valores anuales estimados del parámetro de forma D, entre 0,8854 y 1,2510, centrado alrededor de un valor medio 1,033, por tanto muy cerca del valor hipotético de 1.
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Las estimaciones realizadas indican que la varianza teórica no existe , ya que el valor de D es menor que 2 , y el mismo dato indica que incluso la esperanza no existe ya que en 6 años de los 16 estudiados el valor de D es menor que 1, y solo durante 4 años es mayor que 1.1. El autor apunta que la elección de un modelo estadístico correcto es fundamental a la hora de tarificar, pero los datos no son demasiado numerosos y no dan un criterio seguro para la elección de un valor preciso de D . El autor toma el D = 1, y lo justifica con el hecho de que el promedio es cercano a 1 y con la idea de que el procedimiento matemático es el mismo para todo D 1. Esto supone, que la esperanza es infinita, y por tanto no es posible encontrar el valor de la prima. Así que el autor evita este problema acotando el soporte de la variable aleatoria mediante un valor máximo para la cuantía de 330 millones de dólares, que considera razonable, ya que es aproximadamente dos veces la cuantía del máximo siniestro obtenido en la muestra. En este caso se obtiene una media y una varianza finita que para el caso D = 1 se escriben de la siguiente forma:
E[X] Mm(ln M ln m)(M m) 1
mdxdM
V[X] Mm[1 Mm(LnM ln m)2 (M m) 2 ]
mdxdM
(4.1) (4.2)
A continuación vamos a comparar las primas obtenidas si se utiliza el principio de prima media geométrica con las primas obtenidas si se utiliza el método de Zajdenweber. Para ello se han simulado 100 muestras de tamaño 100, procedentes de una distribución de Pareto, de la forma siguiente: 1. Se simulan 100 números aleatorios D uniforme dentro del intervalo (0,8854, 1,2510) que es el rango estimado por Zajdenweber. 2. Para cada valor de D simulado y con el valor del umbral u 330.000$ , se simulan 100 valores de una distribución de Pareto
65
La media geométrica, como principio de cálculo de primas
Para cada muestra obtenida se han calculado dos primas, una la media geométrica de los datos y otra con la expresión (4,1), tomando como m = 330.000 y como M el doble del máximo valor muestral, siguiendo las indicaciones de Zajdenweber. Los resultados del análisis estadístico de las 100 geométricas obtenidas se resumen en la siguiente tabla.
Media Aritmética
776.688
Mediana
777.967
Desviación estándar
84.275
Curtosis
0,51
Coeficiente de asimetría
0,39
Recorrido
443.490
Mínimo
574.603
Máximo
1.018.093
Coeficiente de variación
0,109
primas
medias
Tabla 1. Análisis estadístico descriptivo de las primas medias geométricas de las 100 muestras simuladas
Media Aritmética
1.668.003
Mediana
1.677.601
Desviación estándar
304.634,88
Varianza de la muestra
92.802.407.246
Coeficiente de variación
0,183
Curtosis
0,08
Coeficiente de asimetría
0,33
Recorrido
1.617.930
Mínimo
880.186
Máximo
2.498.117
Tabla 2. Análisis descriptivo de las primas según la expresión (4.1), de las 100 muestras simuladas con soporte acotado por dos veces el máximo valor muestral
Los resultados de las tablas 1 y 2 nos indican: 1. Los valores de las primas media geométrica son muy inferiores a de las obtenidas con, el método de Zajdenweber, prácticamente la mitad.
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Cristina Lozano Colomer y José L. Vilar Zanón
2. La distribución de las primas utilizando el método de Zajdenweber tiene mayor dispersión relativa que si se utiliza la media geométrica, como indica el hecho de que el coeficiente de variación es mayor. 3. El recorrido en el caso de las primas Zajdenweber es casi cuatro veces el recorrido para las primas media geométrica. 4. Ambas distribuciones tienen una ligera asimetría a la derecha, ya que los coeficientes de asimetría son positivos y pequeños Con el fin de comparar de manera gráfica las dos tipos de primas obtenidas para las 100 muestras, estas se han ordenado de forma creciente, tomando como criterio de ordenación el máximo valor muestral, de forma que la muestra 1 es la que lo tiene más pequeño y la muestra 100 la que lo tiene mayor. E[X]
3.000.000
Media Geométrica
2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 0 1
12
23
34
45
56
67
78
89
100
Figura 2. Valores de las primas para las 100 muestras obtenidas con los dos métodos
Mirando a la figura 2 podríamos concluir que: 1. La distribución de las primas media geométrica es poco sensible a los valores máximos muestrales, aunque los máximos muestrales crezcan los valores de la media geométrica se mantienen dentro del mismo rango. 2. Los valores de las primas obtenidas con soporte acotado crecen cuando el máximo valor muestral crece, tal y como es de esperar.
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La explicación de estos resultados está en el hecho de que la prima media geométrica es función de todos los datos muestrales mientras que el método de acotar el soporte de la distribución depende únicamente del umbral y del extremo superior del soporte de la distribución M, como se puede ver en (4.1). Además como se ha comprobado en el apartado 2.2 la media geométrica constituye el cuantil constante 0,632 lo cual contribuye a su estabilidad. Este valor de M es desconocido y es necesario realizar alguna hipótesis respecto de este valor, hipótesis que puede estar basada en la experiencia histórica o en el juicio subjetivo. En el caso de Zajdenweber, este autor opta por vincular M a los valores muestrales tomando el valor del doble del máximo valor muestral, lo que parece bastante arbitrario.
Resumen y conclusiones
Nos hemos planteado el problema del cálculo de la prima para distribuciones de cola muy gruesa, en concreto para la distribución de Pareto con un parámetro de forma D d 1 , lo que supone una esperanza de la variable infinita. Por lo tanto, por esta razón y dado que todos los principios de cálculo de prima generalmente utilizados dependen, de alguna manera, de la esperanza de la distribución de probabilidad del riesgo que se quiere asegurar, resulta que, en el caso que nos ocupa estos principios no son aplicables. En la bibliografía consultada, en la que se ha planteado este problema, la forma de resolverlo ha sido acotando el soporte de la distribución de la variable con el fin de obtener una esperanza finita que permitiera tarificar pero, a nuestro entender, esta forma de proceder es arbitraria ya que supone realizar una hipótesis sobre el valor de la pérdida máxima posible. Por este motivo hemos valorado la posibilidad de aplicar otro principio de cálculo de prima, que no dependiera de la esperanza de la variable, al que no le afectara el hecho de que D d 1 , y que no precisara de la utilización de hipótesis suplementarias.
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Para ello analizamos otras medidas de tendencia central de la distribución de Pareto: la media geométrica, la media armónica y la mediana, encontrando que las tres son siempre calculables cualquiera que sea el valor del parámetro de forma y que de las tres, la media geométrica es la mayor y, además, constituye el 0,632-ésimo cuantil, propiedades por las que nos ha parecido que era la forma de calcular la prima mas adecuada. Para justificar esta elección de la media geométrica como principio de cálculo de primas, hemos utilizado la metodología bayesiana basada en las funciones de pérdida, comprobando que la prima media geométrica es la que minimiza la pérdida esperada siempre que la función de pérdida sea la función logarítmica. Tenemos presente que existe el inconveniente de que la media geométrica no es una medida de riesgo coherente ya que, por su forma logarítmica, no verifica las propiedades de subaditividad e invarianza frente a las traslaciones (Gómez Déniz E., Sarabia Alegría J.M. (2008)) pero, en la situación de distribuciones sin momentos, la mayoría de las medidas de riesgo que se utilizan generalmente, como dependen de dichos momentos, no son calculables. Por tanto se plantea un principio de prima de media geométrica para distribuciones de cola muy gruesa basado en una función de pérdida logarítmica, que puede evitar la necesidad de acotar el soporte de la distribución y qué, presenta las siguientes ventajas: x
Siempre existe en las distribuciones de Pareto incluso cuando el resto de principios de cálculo de primas no proporcionen una prima finita.
x
La media geométrica se obtiene de forma sencilla.
x
No necesita acotar el soporte de la distribución y, por lo tanto, no es necesario realizar ninguna hipótesis respecto del siniestro máximo posible.
x
Constituye el cuantil 0,632-ésimo de la distribución cualquiera que sea el valor del parámetro de forma.
x
Se obtiene un valor más estable, sin depender excesivamente de las fluctuaciones muestrales.
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La media geométrica, como principio de cálculo de primas
Referencias:
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ESTABILIDAD, CAOS Y CRISIS FINANCIERA Ubaldo Nieto de Alba
ABSTRACT: In this paper, the origin and evolution of the current crisis are analyzed, one that has originated in the process of creation, sale, division and globalization of risks that, compared with actuarial procedures and methods applied to insurance, the oldest institution that markets, divides and universalizes risk, this work points out technical-financial errors committed. Crises like the present one keep professionals in the economy somewhat disoriented. Predictions fail, crises do not respond to known models. We are living in moments of turbulence and chaos. Prevailing charts, models, methods and strategies to manage today’s problems in politics, economics and finance are not necessarily the appropriate ones. The paper focuses on chaos theory and financial fractals in order to end up analyzing the thermodynamic route of the current financial crises. All of these, coming from this unifying synthesis that the author had already set out in earlier works in which linear systems for the conventional economy become mere intermittent evolutionary processes heading towards more complex organized orders; that lead to new management models wherein instability and turbulence of the hidden model are assumed to be innovative and creative forces.
KEYWORDS: Solvency, stability, regulation, turbulence, quants, butterfly effect, no linearity, chaos, financial fractals, entropy and thermodynamics.
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Doctor en Ciencias Económicas y Actuario de Seguros. Catedrático de Economía Financiera y exDecano de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Complutense de Madrid, ha sido, también, Catedrático de Matemáticas y Estadística de Escuelas Universitarias y Profesor del ICADE y del CUNEF. Perteneciente a los Cuerpos Superiores de Estadística y de Finanzas del Estado, presidió la Comisión de Economía y Hacienda del Senado desde 1977 a 1982. Desde 1982, es Consejero del Tribunal de Cuentas, titular del Departamento Financiero y Presidente de la Institución desde 1997 a 2007. anales@actuarios.org
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RESUMEN En este trabajo se analiza el origen y la evolución de la actual crisis financiera, crisis que ha tenido su origen en un proceso de creación, comercialización, división y globalización de riesgos que se compara con los procedimientos y métodos actuariales aplicados en el seguro, la institución más antigua en la comercialización, división y universalización de riesgo, poniendo de manifiesto los errores técnico-financieros cometidos. Crisis como la actual mantienen un poco desorientados a los profesionales de la economía. Las predicciones fallan, las crisis no responden a modelos conocidos, se viven momentos de turbulencias y caos. Los esquemas, modelos, métodos y estrategias prevalentes para gestionar los problemas de hoy en política, economía y finanzas no resultan ya adecuados. El trabajo se adentra en la teoría del caos y los fractales financieros para terminar analizando la ruta termodinámica de la crisis financiera actual. Todo ello partiendo de esa síntesis unificadora, que el autor ya ha expuesto en trabajos anteriores, en la que los sistemas lineales de la economía convencional pasan a ser meras intermitencias de procesos evolutivos hacia órdenes organizativos más complejos; lo que conduce a nuevos modelos de gestión en los que las inestabilidades y turbulencias del modelo oculto se asumen como fuerzas innovadoras y creativas.
PALABRAS CLAVE: Solvencia, estabilidad, regulación, turbulencias, quants, efecto mariposa, no linealidad, caos, fractales financieros, entropía y termodinámica.
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1. SOLVENCIA Y TURBULENCIAS FINANCIERAS La mayor interrelación, integración y globalización de los mercados financieros ha elevado su grado de complejidad, y también su inestabilidad. El progreso tecnológico y las innovaciones financieras han dado lugar a grandes operadores en toda clase de activos. Además, al estar interrelacionadas todas las componentes del mercado, la realimentación entre ellas produce elementos nuevos a considerar. Precisamente, la desintegración del orden en turbulencia comenzó cuando los mercados se convirtieron en más integrados, globalizados e interrelacionados. Esta situación choca con la heterogeneidad, en las economías locales, de sus respectivos marcos institucionales, en los que se encuentran los llamados reguladores financieros. La complejidad de lo global no siempre se debe a causas complejas, pues cualquier actuación microscópica puede dar lugar, por el mencionado “efecto mariposa”, a grandes acontecimientos. Para nuestro análisis, la importancia de lo pequeño, de lo “micro”, como fuente de inestabilidad, viene dada por el nacimiento de esas mariposas financieras que, en su proceso de evolución, se han vuelto turbulentas. En efecto, las mariposas financieras nacen en el ámbito de lo “micro”, con los productos financieros; en nuestro caso, con los créditos hipotecarios. El primer nivel de riesgo moral emerge cuando estos productos se comercializan mediante operaciones financieras. Al igual que una sola golondrina no hace verano, una operación aislada no hace mercado. No vale sólo con que el riesgo de la operación aislada sea objetivamente medible, sino que su comercialización no incida en esa objetividad. Este aspecto técnicoinstitucional lo encontramos en la institución del seguro, la más antigua en la comercialización de riesgos, la cual contempla una serie de contrapesos institucionales (regla proporcional, franquicias, participación del asegurado en el coste del siniestro, etc.) que evitan lo que ahora se llama riesgo moral. A pesar de estos contrapesos, las estadísticas siempre acusan una mayor siniestralidad en los colectivos asegurados. Pero, al estar basados los cálculos actuariales en datos de estos colectivos, las primas de riesgo no trasladan al mercado riesgos mal valorados. En los productos financieros subprime, que se extendieron a instrumentos derivados como los CDS (credit default swap), los tipos de interés contenían una prima de riesgo (r) encaminada a cubrir los costes de fallidos, morosidad y demás contingencias de activos, cuya estimación, para ahorrarse tasaciones individuales que atendieran a incertidumbres y riesgos subjetivos no probabilizables, se basaba en porcentaje de fallidos. Posteriormente se fueron revisando en función de cómo evolucionaba el mercado, que era el que fijaba los precios. Cuando los precios de los CDS crecen, ello indica que el riesgo se eleva. Para ello, se utilizaron modelos
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basados más en los precios que en datos reales, asumiendo que el mercado fijaba concretamente la prima de riesgo. Así, la estimación de las primas de riesgo no se fundamentaba en probabilidades asociadas al número de fallidos y a sus cuantías de manera que permitieran estudiar la estabilidad del pool o cartera de riesgos. El segundo nivel de riesgo reside en la entidad financiera, que debe responder a unos niveles de solvencia, de acuerdo con los riesgos de su actividad. Por tratarse de actividades basadas fundamentalmente en la confianza, las entidades financieras son muy sensibles al efecto de contagio ante cualquier anormalidad o crisis. De aquí emergen externalidades o bienes públicos no puros a proteger, tales como la macroestabilidad del sistema, la transparencia y la protección de los depositantes y ahorradores, que garanticen la confianza en el sistema, lo que ha dado lugar a los llamados Reguladores o Supervisores financieros. Esta supervisión no ha de confundirse con la regulación o intervención del mercado, pues debe ir solamente encaminada a proteger las externalidades o bienes públicos no puros que emergen de la actividad financiera, respetando la libertad de mercado, que es la encargada de ejercer la vigilancia de contraparte. El ámbito asegurador, donde se presta especial atención al riesgo, cuenta con normas que van, desde el acceso a la actividad y la transparencia de las operaciones, hasta las bases técnicas de actuación, y con un riguroso control inspector de seguimiento. Esta situación hace que el margen de autorregulación financiera, en la gestión óptima de los riesgos, cuente con un marco normativo y una eficaz supervisión que actúa de contrapeso. Este planteamiento está sirviendo de modelo al resto de la supervisión financiera, prestando especial atención a los riesgos. Así, lo primero que hay que anotar en esta crisis es que hubo fallos de regulación y de supervisión. El primer fallo lo encontramos en que la mayor parte de los originadores de créditos hipotecarios llamados “subprime” eran entidades no reguladas y/o supervisadas, sin haber previsto que de su actividad emergerían bienes públicos a proteger, dada la forma en que estos préstamos se titulizaron y eran remitidos al mercado para ser adquiridos por inversores institucionales, por hedge funds e, incluso, por entidades de depósito. Esta actuación generó una demanda de títulos que provocó un relajamiento en las exigencias de calidad y solvencia en la concesión de nuevas hipotecas y que se vio alimentada por los precios en alza del “boom” inmobiliario (hipotecas NINJA). Esta retroalimentación entre las facilidades de crédito y el valor de las garantías se produjo con el solo aval de unas agencias de ra-
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ting que no valoraron ese riesgo moral, al que ha contribuido la mediación de brokers poco escrupulosos. El segundo nivel de riesgo reside en la entidad financiera que debe responder a unos niveles de solvencia de acuerdo con los riesgos que integran el pool de su actividad. Consideremos la variable aleatoria “X” asociada a la cartera de la entidad, y que todos los ingresos por primas de riesgo, para un periodo determinado, ascienden a “P”. El suceso que marca la quiebra técnica, sin tener en cuenta los aspectos comerciales, viene dado por X > P + S, siendo “S” el margen de solvencia de la entidad, cuya probabilidad P ( X > P + S) = İ, recibe el nombre de índice de estabilidad. La teoría del riesgo colectivo nos dice que existe una relación entre las variables solvencia (S), prima de riesgo (r), y estructura de riesgo de la cartera (R), tal como aparece en la Figura 1. Si la estructura de riesgos pasa de R0 a R1 (cartera más arriesgada), para mantener el mismo índice de estabilidad (İ) hay que aumentar la solvencia de So a S1, o incrementar los precios, de ro a r1.
- Figura 1-
Pero, si se quiere mantener el mismo nivel de solvencia (S0) y la misma prima de riesgo (r0) es preciso reducir la estructura de riesgo de R1 a R0. Esto es
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lo que se hizo sacando los riesgos de los balances. Siguiendo el vuelo de estas mariposas, al desaparecer de los balances de las entidades originadoras, el riesgo se transfirió a los adquirentes de los títulos, dando lugar a que las mariposas financieras se volvieran tramposas. El Regulador norteamericano no detectó a tiempo su presencia, antes de introducir en los mercados secundarios riesgos mal valorados, lo que ha propiciado que, además de tramposas, se volvieran turbulentas. La falta de transparencia y de confianza -que dio lugar, como se ha señalado, a que se interrumpiera la pirámide que sustentaba el sistema- condujo a una crisis de confianza, resultando, de este modo, afectada la externalidad más importante a proteger en toda actividad financiera. Todo este proceso es muy diferente al seguido en la actividad aseguradora, no sólo en materia de brokers1, sino en la valoración de los riesgos, tanto de las operaciones como de la estabilidad de la entidad, que está encomendada a los actuarios de seguros, quienes, además, se ocupan de los problemas de la división y cesión de riesgos en el mercado secundario del reaseguro. Cualquiera que sea el sistema seguido (cuota parte, excess-loss o stop-loss)2, el asegurador directo no transfiere al mercado del reaseguro la totalidad del riesgo y el riesgo transferido siempre responde a cálculos actuariales. Además, en el ámbito de la actividad aseguradora, los riesgos se universalizan, pero no se globalizan. A través de cesiones y retrocesiones, el proceso de división y diversificación de un elevado riesgo puede dar la vuelta al mundo, pero sin salir del ámbito asegurador. Esto no ha ocurrido en el caso que nos ocupa, en el que el riesgo no sólo se ha introducido en el mercado secundario interbancario, sino que se ha globalizado, afectando a todo el ámbito financiero. Puso en peligro a las aseguradoras de bonos municipales y de hipotecas y, por tanto, introdujo en el mercado secundario del reaseguro riesgos técnicamente mal valorados. Así, estos dos mercados secundarios que cumplen funciones tan distintas, uno regular la liquidez bancaria y otro dividir y dispersar los riesgos asegurados, resultaron contaminados. Por debajo de determinadas técnicas avanzadas de ingeniería financiera laten siempre principios de rentabilidad, riesgo y solvencia (valoración, comercialización y diversificación) que, en un riguroso análisis financiero, suelen aparecer violentados. Además, lo que empezó con hipotecas subprime se extendió a todas las obligaciones de deuda colateral. La inversión en CDOs (collateralized debt obli1
En España, los brokers de seguros deben cumplir determinados requisitos de acuerdo con las normas de mediación. 2 Ver Nieto de Alba, U. y Vegas Asensio, J. “Matemática actuarial”. Ed. Mapfre. Madrid, 1993, pág. 328.
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gations) se hizo a través de vehículos especiales (SIV) y “conduits” que se financiaban con papel a corto plazo, estaban altamente apalancados y eran, con frecuencia, dependientes de la financiación bancaria. Así, los compromisos de los bancos de inversión con respecto a las compras apalancadas se convirtieron en obligaciones. Ello dio lugar a que los bancos se vieran obligados a administrar sus propios recursos y a que, ante la falta de transparencia sobre el grado de exposición real de los bancos a los créditos “subprime”, dejaran de confiar en los demás. La interrupción de los préstamos en el mercado interbancario propició fuertes tensiones de liquidez, hasta el punto de que, en agosto del 2007, se paralizaron, a nivel global, las operaciones en este mercado, lo que obligó a intervenir a los Bancos Centrales. En el esquema de la Figura 2 aparecen representadas, a la izquierda, la emergencia de los riesgos (operaciones, solvencia, mercado secundario y liquidez) y, a la derecha, su dinámica acumulativa hasta la crisis global: PROCESO DE LA CRISIS FINANCIERA
Crisis inmobiliaria
RIESGOS Mercado inmobiliario
Operaciones
Solvencia
Hipotecas
Entidades prestamistas (originators)
Dejan de solicitar hipotecas
Dejan de demandar Mercado Secundario
Mercado Secundario
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CRISIS
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Diversificación
Globalización
Liquidez
Titulizaciones MBS-Issuers
Dejan de titularizar
Compradores CDO-Issuers
Dejan de comprar
- Comprador de CDO: Inversores institucionales, Issuers de CDO2, Hedge Funds, Inversores agresivos, incluso, Entidades de depósito. - Financiación: Papel comercial a corto plazo Apalancamiento por entidades financieras.
Infravaloración de precios. Falta de transparencia. Sobrevaloración, temor, falta de confianza
Mercado Global (Turbulencias)
Entidades financieras. En muchos casos, promotoras de vehículos especiales de inversión, contrayendo con ellos compromisos de liquidez y financiación. Con instrumentos especiales que permitían sacar carteras de riesgo fuera de balance Incertidumbres: Falta de transparencia sobre sus activos y solvencia (provisiones) Mercado interbancario Crisis de liquidez
Fallos regulatorios sobre: Solvencia Transparencia
Bancos Centrales Confusión de objetivos: Gestión liquidez; (para mantener estabilidad) Gestión política monetaria (inflación).
- Figura 2 78
Crisis de crédito
División
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Estos fallos del Regulador norteamericano, que, junto a la SEC, habían hecho del rating una parte formal de la evaluación de la calidad crediticia, han obligado a la FED a priorizar la gestión de la liquidez del sistema para subsanar fallos de estabilidad y solvencia que caen de lleno en el ámbito de la supervisión prudencial. Los mercados monetarios, cada vez más globalizados, que perciben esta contradicción, presionan a los Bancos Centrales para que rebajen los tipos de interés, priorizando la gestión de la liquidez y de la estabilidad financiera sobre el control de la inflación. La complejidad técnica, tanto a nivel de operaciones como de estabilidad, ha escapado no sólo a los llamados analistas cuánticos, sino también a los analistas de la macroestabilidad del sistema. La mecánica cuántica maneja magnitudes observables, ciertas e inciertas, que no siempre varían de una manera continua y donde las probabilidades asociadas a cada valor provienen de un azar objetivo. La incertidumbre o indefinición no proviene de ignorancia y, en consecuencia, la definición del estado es completa3. Es decir, se trata de una incertidumbre probabilizable objeto de estimación mediante inferencia estadística. Así, en su aplicación al caso de una operación de seguros de vida, tendría para el momento (t,t+1), la ecuación de equivalencia dinámica: P(x,t) + C(x,t) = VK(t)qx+t + VC(x,t+1) px+t , V = (1+i) -1, donde P(x,t) es la prima del periodo, el capital asegurado K(t) para caso de fallecimiento y las reservas matemáticas acumuladas C(x,t+1) constituyen valores con probabilidades objetivas qx+t y px+t, respectivamente. Esta ecuación es integrable y las condiciones del contorno C(x,0) y C(x,n) nos permiten la definición completa del sistema que permite calcular C(x,t) tanto por el método retrospectivo como por el prospectivo. Cuando se trata de operaciones novida existen dos distribuciones de probabilidad básicas, una asociada al número de siniestros (tipo Poisson de contagio) y otra a las cuantías de los siniestros (siempre alejada del modelo normal). La distribución de la cuantía total correspondiente a la cartera aparece asociada a un proceso de Poisson no elemental compuesta por ambos. Muchos de estos procesos proceden de la física cuántica, pues todo ello está enmarcado en el ámbito del paradigma estadístico que no contempla procesos de realimentación no lineal. Este no ha sido el caso de los riesgos contenidos en la hipotecas subprime, ni en los CDS, en los que el proceso de comercialización descrito produjo una 3
Sánchez del Río, C. (2002): El significado de la física. Pág. 183. Ed. Complutense.
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realimentación en el sistema (feed-back), haciendo que la incertidumbre no sea objetivamente probabilizable y que la no-linealidad, al impedir la integrabilidad, conduzca a que la definición del sistema ya no sea completa en términos prospectivos, es decir, falla la predicción. Como veremos más adelante, la no-linealidad también hace fallar las hipótesis de las expectativas racionales (H.E.R.) y de la eficiencia de los mercados (H.E.M) sobre los que se apoya la teoría neoclásica de las modernas finanzas sobre la que se ha construido la gran pirámide de la actual crisis financiera. En el ámbito de la macroestabilidad, los Bancos Centrales, como la FED, se han visto obligados a gestionar una crisis financiera de naturaleza caótica que, habiendo tenido su origen y evolución en las complejidades de inestabilidades microeconómicas propias de la supervisión prudencial de su ámbito competencial como Regulador, han resultado descuidadas por quienes todavía están instalados en modelos que, como el neoclásico y neokeynesiano, constituyen una descripción de un mundo sin inestabilidades y turbulencias. Aquí podía encontrar aplicación la anécdota del macroeconomista como creador del caos financiero. Se trata de la idea del caos como desorden y confusión que aparece reflejada en esta anécdota, ya clásica, sobre la antigüedad de su profesión, discutida por un médico, un abogado y un economista: El médico argumentaba que era más antigua la suya, la cirugía, ya que de una costilla de Adán surgió Eva; el abogado invocaba la función reguladora del derecho, gracias a la cual se ordenó el caos, pero el triunfo correspondió al economista, que reivindicó la creación del caos. Afortunadamente, el caos en el nuevo paradigma de la complejidad nos conduce a nuevos modelos de gestión que dan respuesta a esas inestabilidades, para las cuales el reduccionismo neoclásico y neokeynesiano ni siquiera admiten preguntas.
2. PREDICCIÓN, NO LINEALIDAD Y CAOS La ciencia heredada de la modernidad, basada en el sistema newtoniano, aspiraba a descubrir leyes en las que no tenían cabida los cambios evolutivos (flecha del tiempo). La dinámica de las trayectorias contaba con dos estrategias metodológicas basadas en el paradigma matemático -donde la integrabilidad del sistema permitía predicciones muy precisas-, y en el paradigma estadístico. A medida que avanzaba el siglo XX, fue adquiriendo importancia en economía la metodología estadística: La macroeconomía y la econometría.
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- Figura 3 -
Para encontrar un terreno común entre lo matemático y lo aleatorio hay que recurrir a la dinámica no lineal4 donde una misma ecuación Yt = f (K, Yt-1), según el valor del parámetro K, pasa por las etapas que se indican en la Figura 3. En la etapa K < K3, de equilibrio y periodicidad, de orden y estabilidad, es posible la predicción y una gestión convencional basada en las expectativas racionales. Aquí las trayectorias matemáticas o estadísticas de promedio dan lugar, en el espacio de fases, a atractores puntuales (Figura 4) o periódicos (Figura 5) (modelo de la telaraña). En las predicciones econométricas, se suele suponer que las variables que captan la aleatoriedad operacional y las variables desconocidas no incluidas en el modelo son normales (ruido blanco gaussiano), lo que permite una gran precisión en la predicción estadística, ya que los errores de predicción están muy acotados en torno a los valores medios.
4 Este descubrimiento se debe al meteorólogo E. Lorenz investigando sobre la dinámica del tiempo climático. Sobre los límites de la predicción existen precedentes de Poincaré y Hadamard.
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Trayectoria (equilibrio)
Yt
t Atractor (puntual) Yt+1
Yt
- Figura 4 -
Tayectoria (periodicidad) Yt
t
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Atractor (periódico) Yt +1
Yt
- Figura 5 -
Al aumentar el valor de K, que traduce la evolución del entorno en la cual incide la gestión convencional del equilibrio y de las expectativas racionales (lo que Soros llama reflexividad), la sencillez de la linealidad empieza a desaparecer para K > K3. En su ruta hacia el caos, para dos puntos muy próximos, las trayectorias correspondientes (Figura 6) se hacen rápidamente divergentes5. Trayectoria (caótica)
- Figura 6 5 En el caso de la logística Yt+1 = KYt (1-Yt), donde K = 1 + r representa la tasa de reproducción positiva (r > 0) o negativa (r < 0), para valores próximos a K3 = 4.
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De este modo, pequeños errores en la medición inicial ocasionan grandes diferencias en los resultados, lo que se denomina sensibilidad a las condiciones iniciales o “efecto mariposa”. Esta pérdida de información inicial impide hacer predicciones, a veces, más allá de días, e, incluso, de horas, tal como podemos observar en los momentos de crisis. Sin embargo, aunque no sea posible la predicción del futuro, ni siquiera en términos estadísticos, si consideramos la globalidad del sistema en su dinámica, aparece un patrón, un modelo, llamado “atractor extraño” (ni puntual, ni periódico), que se caracteriza por ser de inestabilidad limitada, por un desorden ordenado y por una irregularidad regular, capaz de captar las nuevas realidades y valores que emergen de un sistema globalmente considerado (empresa, economía nacional, sistema financiero, etc.), en el que las correlaciones, a diferencia de lo que ocurre en la economía del pensamiento lineal, son ya macroscópicas y no locales. A medida que aumenta el “grado de extrañeza” del atractor, casos a), b) y c) de la Figura 7, el sistema se hace más sensible a esa pérdida de información que reduce el tiempo de predicción y hace más “oculto” el modelo de gestión. Atractores (extraños)
a)
b)
Yt+1
c)
Yt+1
Yt+1
Yt Yt
Yt
- Figura 7 -
En nuestra herencia del principio causa-efecto los conceptos de linealidad, localidad y globalidad están íntimamente relacionados. La linealidad está estrechamente relacionada con la localidad, pues supone que los casos que ocurren en un lugar y en un momento determinado están causados por lo que
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acontece en su proximidad espacial y temporal6. Se considera que son los sucesos más locales los que ejercen una influencia sobre los resultados, las llamadas correlaciones locales. La linealidad y la localidad de los fenómenos observados fueron esenciales para empezar a entender la globalidad, pues el entendimiento comienza en lo local que, por un proceso de agregación o integración, hace que el todo sea la suma de las partes. Esto es lo que nos lleva a los sistemas dinámicos integrables, en cuyo primer plano se encuentran los lineales, que nos permiten extender al futuro los datos del presente, es decir, la predicción. Pero en el mundo de la incertidumbre (principio de Heinsenberg) el observador-decisor incide en la realidad observada. En los fenómenos sociales las interacciones de la no-linealidad hacen que, en su evolución, las partes mejor aisladas se confundan con el sistema en su totalidad. Así, el sistema va acumulando incertidumbre y el atractor “clima económico” (sostenibilidad, productividad, competencia, ahorro, marco institucional, ...) va aumentando su grado de extrañeza y acortando los tiempos de predicción. En la modelización matemática la noción de trayectoria es fundamental y la predicción es exacta, cualquiera que sea el momento del tiempo reversible t. En la modelización estadística, reductible a trayectorias, a medida que el tiempo de predicción se alarga, el intervalo de predicción se hace más amplio. En la modelización caótica el comportamiento del sistema con atractor extraño es tal que las trayectorias que salen de dos puntos muy próximos x0 y x'0 en el espacio de estados (Fig. 8) se alejan unas de otras de manera exponencial en el curso del tiempo. Las distancias İ entre estos dos puntos pertenecientes a dichas trayectorias crece proporcionalmente a la función eIJ, en donde IJ, positivo para sistemas caóticos, es el llamado exponente de Lyapunov.
6 Nieto de Alba, U. (1998): Historia del tiempo en economía. Predicción, caos y complejidad, pág. 43. Ed. McGraw-Hill. Madrid.
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- Figura 8 -
Después de un tiempo de evolución, el conocimiento del estado inicial del sistema pierde valor para predecir su trayectoria futura más allá de ese horizonte temporal (meses, días, incluso horas) que define el tiempo de predicción. Para prolongar este tiempo de predicción sería preciso pagar el elevado precio de aumentar la precisión de las condiciones iniciales hasta límites prácticamente irrealizables, dependiendo ello de los exponentes de Lyapunov. Aquí aparece un nuevo concepto, el llamado tiempo de Lyapunov, definido por el valor inverso del exponente IJ, es decir 1/IJ, que marca el tiempo de predicción en los sistemas caóticos. La gran novedad que nos ha aportado este descubrimiento es que, a medida que aumenta el valor del parámetro, una misma ecuación nos proporciona, nuevamente, estabilidad y equilibrio, lo que parece indicar que el orden y el caos de un sistema son característicos de un proceso indivisible. Entrar en el caos, salir de él y volver a un caos de mayor complicación -característica de las familias de sistemas dinámicos no lineales- corresponde, también, a los
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sistemas reales. Aunque normalmente contemplamos el mundo desde la perspectiva del orden, ahora podemos ver las cosas desde otra perspectiva, según la cual el orden aparece como intermitencias de un atractor extraño que capta las nuevas realidades y valores del entorno en la evolución global del sistema. Ello nos proporciona el modelo científico para una gestión preventiva y compleja, en la que la inestabilidad y los desequilibrios constituyen procesos autoorganizativos conducentes a un nuevo orden. Se trata de procesos que llevan el germen de lo que Schumpeter llamó “destrucción creativa”, lo que no ha sucedido en el caso de la crisis actual. 3. FRACTALES FINANCIEROS La gestión convencional en el estudio sobre el cambio de los precios suele distinguir los cambios pequeños y transitorios de esos otros cambios grandes y a largo plazo. Sin embargo, en la gestión caótica no cabe esta dicotomía, ya que no separa, sino que une, los pequeños cambios a corto plazo con los grandes a largo. Ello se debe a que la localidad espacial y temporal, por efecto de la no linealidad, se va confundiendo con la evolución global del sistema. Lo que nos enseña el descubrimiento de los atractores extraños respecto a las predicciones y pronósticos estadísticos es que la aleatoriedad no viene generada solamente por causas exógenas, sino también por la propia dinámica del sistema. Así, las cotizaciones y1, y2, ..., yt, ..., en el mercado bursátil están influidas por las predicciones y conjeturas sobre los rendimientos futuros r1, r2, ..., rt, ..., de los títulos; pero, a su vez, las cotizaciones afectan a los rendimientos, razonamiento que resulta válido, asimismo, para otros mercados, como el de divisas. De aquí, que los fundamentos (balances, beneficios, dividendos, etc.) dejen de ser una variable independiente con la que las cotizaciones se puedan corresponder. Cuando las decisiones de inversión no se corresponden con los fundamentos, no se forman esos valores normales del mercado que definen el equilibrio. Al desvincularse las cotizaciones de esos elementos de juicio que entran en las expectativas de los actores, la variable yt se caotiza, de modo que el punto de equilibrio se mueve en esa zona de inestabilidad limitada contenida en el atractor extraño. Ello hace que fallen las hipótesis de las expectativas racionales basadas en los principios de linealidad y equilibrio. Suponiendo que los agentes económicos conocen el verdadero modelo subyacente en la realidad económica, por ejemplo, un modelo lineal yt = Įyt-1 + ȕ + ut, donde la estabilidad del modelo exige que -1<Į<+1, siendo ut, con E(ut) = 0, la variable aleatoria de ruido blanco (normalmente gaussiano) que
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explica los schocks aleatorios exógenos. En este ejemplo estamos ante una ecuación integrable y, por tanto, podemos calcular la predicción de yt, es decir E(yt), en función del pasado (método retrospectivo) si conocemos la condición de contorno para t = 0, por ejemplo y0 (valor fijo):
1−α t E ( yt ) = α t y + β 0 1−α Pero en el caso de la H.E.R. los valores de la magnitud yt (precios, cotizaciones, etc.) dependen de las conjeturas sobre yt+1, éstas a su vez de las de yt+2, ....,y así sucesivamente. En este caso sería preciso conocer la condición del contorno final para calcular la predicción de yt en función del futuro. Este valor tendría que ser el correspondiente al punto de equilibrio para t → ∞, es decir:
E ( yt ) →
1 β 1− α
(Fig. 4)
Sin embargo, si la dinámica es caótica, con aleatoriedad endógena, el modelo permanecer oculto, falla la integrabilidad y el principio del equilibrio, de manera que la impredicibilidad hace de las expectativas racionales algo más difícil de aceptar sin incurrir en contradicciones. También hace que falle la teoría de los mercados eficientes, tan vinculados al principio de equilibrio y del ruido blanco. La hipótesis de los mercados eficientes supone que las cotizaciones de los títulos y1, y2, ..., yt, ... , reflejan (descuentan) toda la información que está disponible para los inversores del mercado, en el que no hay costes para operar ni operadores dominantes. Según Fama (1965), si la teoría del mercado eficiente es válida, el análisis técnico es más bien astrología y carece de valor para el inversor. Dependiendo de la cantidad de información tenemos las tres formas siguientes: • Forma débil: Se presenta cuando las cotizaciones y1, y2, ..., yt, ..., incorporan expectativas racionales sobre los rendimientos r1, r2, ..., rt, ..., que se comportan aleatoriamente (randon walk); (rt = εt, siendo εt, la variable que refleja los shocks aleatorios exógenos). Su corroboración empírica se hace a través de tests convencionales, como el de correlogramas próximos a cero, o mediante espectros de potencia con bandas casi planas que permiten identificar la existencia de procesos puramente aleatorios. • Forma intermedia: En este caso las cotizaciones incorporan una información sobre los rendimientos esperados, que se estiman mediante un mode88
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lo lineal autorregresivo del tipo rt = Ert-1 + D + Ht, en el que la variable aleatoria Ht sigue representando los shocks aleatorios exógenos. La estimación de los parámetros y la corroboración empírica del modelo se hace por los métodos de la econometría convencional. x Forma fuerte: Esta hipótesis admite que toda la información del entorno y privada se halla totalmente reflejada en las cotizaciones y1, y2, ..., yt, ..., es decir, que nadie puede tener nueva información sobre los rendimientos futuros r1, r2, ..., rt, ..., superior a la normal. Su comprobación empírica se fundamenta en que la “performance” de las carteras gestionadas por cualificados profesionales no sea superior a la “performance” de la cartera del mercado. Aplicando este método a la gestión de fondos llevada a cabo por G. Soros nos encontramos con una “performance” próxima a la gestión del caos. Así, en vez de prever las fluctuaciones estudiadas por los análisis convencionales, se trata de invertir de forma diferente al saber aceptado y, cuanto mayor sea esta diferencia, mayor será el beneficio absoluto, no el relativo. Para ello, se apuesta por hipótesis de expansión/depresión no triviales, donde el potencial de beneficio es muy superior al que se obtiene en situaciones próximas al equilibrio. En estas zonas, dice G. Soros, no sólo se ven afectados los precios, sino también los fundamentos, y se parecen más a un terremoto que sale fuera del territorio del equilibrio. Incluso añade que las pautas producidas son recursivas (las configuraciones irregulares se repiten a todas las escalas), de modo muy parecido a los fractales de Mandelbrot. En cuanto a la racionalidad que preconiza, consiste en admitir la falibilidad, aceptar el fracaso de sus hipótesis y poner a prueba otras nuevas. Aunque en alguna parte de su libro menciona la aproximación a la teoría del caos, sin embargo, la desconoce. George Soros, ya había publicado hace unos diez años el libro “Crisis del Capitalismo”, en el que trataba la reflexividad y cuestionaba el fundamentalismo de la teoría del equilibrio. En una carta mía, de marzo de 1999, le decía: “La reflexividad en los mercados financieros, en donde el futuro que intentan prever las decisiones depende de las propias decisiones, es uno de los aspectos más sugestivos de lo que yo llamo la gestión estratégica del caos. Esta teoría, que nos señala los límites de la predicción, nos dice que, cuando la información se degrada rápidamente, los tiempos de predicción se reducen, incluso, a horas o minutos. Pues bien, al trasladar esto al campo de la gestión financiera, la información que sirve de base para la predicción (función cognitiva), al estar contaminada por las decisiones de los actores (función ejecutiva), se vuelve variable endógena, de tal forma que es el pro-
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pio gestor el que crea el futuro, a diferencia del gestor fundamentalista que intenta anticiparlo mediante una información exógena (principio del equilibrio y teoría de las expectativas racionales)”.También le decía: “La evolución hacia la globalización habría que contemplarla como un proceso creativo, integrador y de aprendizaje, con una gestión estratégica que, asumiendo inestabilidades limitadas, evite que el sistema se deslice hacia una inestabilidad explosiva (auténtica crisis sistémica) y, al mismo tiempo, lo empuje hacia un nuevo orden más estable, aunque con un mayor nivel de complejidad”. Le felicitaba por ser un gestor que había sabido exponer la necesidad de un nuevo paradigma científico para el cual el principio del equilibrio pasa a ser un caso particular. En su amable carta de agradecimiento por las publicaciones enviadas me decía que estábamos en la misma onda (we are in the same wave). El nuevo libro, dedicado a la actual crisis financiera, ya lo titula “El nuevo paradigma de los mercados financieros”. Así, es preciso, pues, considerar que la información va surgiendo de la propia dinámica interna del sistema y pasa a ser una variable endógena, al depender de las propias decisiones de los inversores que la van creando. En base a la información endógena del sistema (cotizaciones, plazos, mercados, ...), que se degrada en cuestión de minutos, los inversores toman decisiones en tiempo real, dando lugar a entornos inciertos que el analista convencional y la prensa intentan relacionar con alguna causa o información exógena del entorno (I.P.C., tipos de interés, P.I.B., ...). Si la serie temporal de índices bursátiles o de cotizaciones y1, y2, ..., yt, ..., la representamos en la Fig. 6, podemos visualizar los atractores extraños a), b) y c) en el espacio de fases (Figura 7), sus cuencas de atracción y el grado de ocupación, lo que constituye los llamados “fractales financieros”. Aquí es donde aparece ligada la aleatoriedad con la geometría fractal de B. Mandelbrot. El concepto de dimensión fractal es un instrumento importante conducente a caracterizar cuantitativamente el atractor caótico. Dadas las dificultades de cálculo, se obtiene la dimensión de correlación a través de la integral de correlación. Si el sistema es puramente aleatorio (ruido blanco) la dimensión de correlación tiende a infinito. Un atractor con dimensión 2´4 quiere decir que está inmerso en un espacio de, al menos, tres dimensiones. Ello significa que un conjunto de tres variables independientes es suficiente para definir el sistema. En las series económicas y financieras se buscan atractores de baja dimensión (generalmente, menos de cinco); pero la medida más importante
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es la llamada entropía de información, que mide la velocidad a la que el sistema dinámico destruye información, y que también se puede calcular a través de la integral de correlación7. Mientras en los atractores puntuales o periódicos (Figs. 4 y 5) la entropía de información es cero, en el caso de la Figura 7 tendríamos que la mayor entropía de información correspondería al caso c). Tiempo de predicción. Consideremos una serie de cotizaciones de N = 1.300, calculadas con una aproximación de dos cifras decimales, lo que supone una indeterminación sobre los valores observados tal que la revelación de la cifra siguiente nos proporcionaría una información adicional de uno sobre diez, es decir, que nuestra precisión sobre el estado del sistema se reduce a N/10 = 130; en otras palabras, que nuestro conocimiento a priori antes de iniciar la sesión es equivalente a log2 130 = 7 bits de información. Si el atractor tiene una entropía de información de K = 0'5, es decir, una pérdida de información de medio bit por día, tendríamos que el tiempo de predicción sería 0'5 t = 7, o sea, t = 14 días. En un sistema unidimensional con un solo exponente de Lyapunov podemos escribir K = W > 0, de modo que el tiempo de Lyapunov será 1/W = 1/K = 2 días; esto es, frente a la predicción, por cada dos días se pierde un bit de información inicial. Si quisiéramos ampliar el horizonte de predicción del sistema, por ejemplo a un mes, necesitaríamos disponer de una información inicial equivalente a 15 bits. En nuestro caso, manteniendo la misma aproximación para cada dato, tendríamos que ampliar el número de observaciones a N = 10.215, lo cual resulta prácticamente imposible. Ello nos muestra los límites de la predicción y nos obliga a un diálogo constante con la realidad observada si no queremos quedar atrapados en alguna parte del atractor en completa incertidumbre. Nassim N. Taleb, autor del libro “El Cisne Negro”, que goza de una gran experiencia en el campo de las predicciones bursátiles, al criticar la teoría neoclásica de las finanzas y de los mercados eficientes, basada en modelos lineales con ruido blanco gaussiano, y que nos hace confiar en que dominamos la incertidumbre, nos recuerda fracasos como el de Long-Term Capital Management (LTCM), gestionado con la participación de Robert C. Merton y Myron S. Scholes, quienes habían obtenido el premio Nobel apoyados en el método gaussiano y mediante fórmulas matemáticas compatibles con las teorías sobre el equilibrio financiero. Previamente, lo habían logrado Harry M. Markovitz y William F. Sharpe por su teoría de la cartera de valores moderna. Según Merton, antes de esta teoría las finanzas eran una serie de 7 Ver Nieto de Alba, U. (1998): Historia del tiempo en economía (Predicción, caos y complejidad), pág. 90 y Apéndice. Ed. McGraw-Hill. Madrid.
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anécdotas, reglas generales y manipulación de datos contables, y, a partir de entonces, estas teorías acapararon la atención de los profesores de finanzas y de los masters en administración de empresas, así como la venta de software, por millones de dólares, de métodos avalados por premios Nobel. Para huir de la aleatoriedad domesticada (Cisne blanco) en juegos esterilizados, como en los casinos (falacia lúdica), este autor la vincula con la geometría fractal8 que nos permita situar el Cisne Negro en nuestro campo de posibilidades y poder reducir su efecto sorpresa convirtiéndolo en un Cisne Gris. Para ello, contrapone a los modelos gaussiano y exponencial, donde la probabilidad de las desviaciones a la media va disminuyendo significativamente (mediocristan), una distribución de tipo potencial que llama mandelbrotiana o fractal. En esta distribución define el fractal como la ratio de dos “excedencias” (probabilidad de valores mayores que x y x+n), independiente para valores grandes de x. El autor muestra una aproximación vaga de exponentes para varios fenómenos. El exponente, el que acusa mayor valor, aproximadamente 3, corresponde a una distribución escalable (extremistan), atribuida a los movimientos de Bolsa. También reconoce que el hecho de saber que estamos en un entorno de leyes potenciales no nos dice mucho, dada la dificultad de medir los exponentes, mayor todavía que en el sistema gaussiano; pero considera que es una forma general de ver el mundo, pues el mero hecho de saber que la distribución es escalable o fractal es suficiente para poder operar y tomar decisiones. Si bien la fractalidad no convierte al Cisne Negro en un suceso predecible, mitiga sus efectos, lo convierte en un Cisne Gris. Pero, insistimos, esta vinculación de la aleatoriedad con Mandelbrot hay que contemplarla a través de la fractalidad del atractor caótico (ni puntual, ni periódico) que, al tener asociada una entropía de información, nos va a permitir disponer de una síntesis científica para describir los cambios y la evolución global del sistema, tal como veremos seguidamente.
8 La geometría fractal, propia de la naturaleza, trata de estructuras que proporcionan la clave de la dinámica no lineal, cuya belleza se inspira en la armoniosa disposición del orden y del desorden, tal como aparecen en los objetos naturales: nubes, árboles, ríos o copos de nieve. Al observar esta complejidad, apreciamos que también está organizada y que por autosimilitud reproduce a pequeña escala lo que observamos a nivel global. Para ello necesitamos una idealización matemática basada en una estética diferente a la que hemos heredado de la filosofía griega, del ideal platónico de las formas euclídeas (longitudes, áreas, volúmenes, etc.), que nos permiten descubrir la naturaleza tal como es. Su principal creador fue Benoît Mandelbrot, que utilizó los ordenadores para estudiar la fractalidad.
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4. LA RUTA TERMODINÁMICA DE LA CRISIS De acuerdo con la Figura 3, una vez que a partir de K3 el sistema abandona el orden, la regularidad y la estabilidad y deja paso al desorden, la irregularidad y la inestabilidad, se va haciendo presente el Cisne Gris a través de la evolución global del sistema. La dinámica lineal del Cisne Blanco (teoría económica y econometría) ya no permite descripciones en las que se hace presente la flecha del tiempo. Si queremos descubrir cambio y evolución tenemos que recurrir a la biología (aproximación a Darwin) o a la termodinámica. En economía esta división de la ciencia supone que para la evolución y los cambios hay que recurrir a la estructura y a la historia. Sin embargo, en los últimos años se ha producido una confluencia de estas dos dinámicas, de cambio y evolución global, que ya nos permite disponer de una síntesis científica que, abarcando orden-desorden, estabilidad-inestabilidad y equilibrio-no equilibrio, ha unido las piezas que había separado la ciencia clásica9. No se trata ni de imitar a la física ni de una transferencia directa de conocimientos a la economía; pero, aunque no exista una transferencia directa de una ciencia a otra, sin embargo es admisible una transferencia indirecta siempre que el conocimiento en los correspondientes campos se pueda derivar de algún principio de lógica universal, de modo que los fenómenos puedan ser interpretados de forma diferente en cada uno de ellos. Tal es el caso del principio de entropía, que encuentra tan amplia aplicación en campos de la física, la estadística, la comunicación, la ingeniería y la economía. La transformación de la realidad por medio de la acción humana, que conduce a nuevas formas de pensamiento, está ligada al campo de la termodinámica, que rompe completamente con el sistema mecanicista. En su primera versión clásica -la termodinámica de los sistemas cerrados (Carnot)- y de acuerdo con su segundo principio, el sistema evoluciona de lo organizado a lo desorganizado, lo que viene medido por el incremento de entropía. Esta versión la conoció Marx cuando predijo la destrucción del sistema capitalista: En términos económicos, el movimiento del mundo hacia la máxima entropía es equivalente al movimiento de autodestrucción que actúa sobre el sistema capitalista. Así, en la sociedad, como en la termodinámica, la dirección del tiempo conduce al estado de equilibrio térmico, la sociedad sin clases. De la misma forma que un sistema alcanzaría un estado uniforme de máxima entropía, todas las clases diferentes, todas las estructuras y todas las contradicciones que generaran movimientos tenderían a desaparecer. 9 Precisamente, el conseguir esta síntesis ha sido el objeto de mis dos libros citados “Historia del tiempo en economía” y “Efecto mariposa y crisis financiera. Fallos regulatorios”.
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En la segunda versión -la termodinámica de los sistemas abiertos próximos al equilibrio (Onsager y Shrödinger)- se puede crear orden introduciendo información, entropía negativa, también llamada negentropía, mediante la acción humana. El ejemplo clásico, donde el conocido diablo de Maxwell ha desplazado al demonio de Laplace del paradigma determinista, considera un recipiente de moléculas calientes y frías. Con la información que dispone va cerrando o abriendo el paso a las moléculas calientes y frías, consiguiendo así un sistema más ordenado (de un lado, todas las moléculas calientes y del otro todas las frías). En economía, esta versión de los sistemas abiertos viene dada por la intervención del Estado del modelo keynesiano (tipos de interés, presión fiscal, gasto público, ...). En un sistema abierto en relación con su entorno la evolución hacia el estado estacionario (equilibrio con su entorno) exige que la incertidumbre (entropía) interna del sistema sea mínima y compensada con la correspondiente información (negentropía) de la política económica, para que el sistema pueda ser descrito, en su evolución hacia el equilibrio, en dinámica lineal del ruido blanco. La síntesis keynesiana constituye una descripción situada en un mundo sin cabida para las inestabilidades y turbulencias. Pero, ¿qué pasa cuando la producción de incertidumbre (entropía) del sistema se eleva y su transferencia al entorno no resulta compensada por la política económica, por ejemplo por las recetas keynesianas?. Aquí, las fluctuaciones, en vez de regresar, se amplifican, invadiendo el sistema global (como el caso de la actual crisis financiera) y dando lugar a esas turbulencias que durante mucho tiempo se han venido produciendo, como desórdenes, caos y crisis sistémicas. En tal caso el sistema ya no puede ser descrito en dinámica lineal y gestionado desde estrategias propias de la economía próxima al equilibrio. Ello nos obliga a recurrir a la tercera versión de la termodinámica, la de los llamados sistemas disipativos (Prigogine) que, lejos del equilibrio, atraviesan puntos críticos en los cuales el sistema se reestructura. Así, el sistema, en su dinámica evolutiva global, pasa de la estabilidad a la inestabilidad y de la proximidad al equilibrio al alejamiento del mismo, manifestado a través de un incremento de incertidumbre interna del sistema que destruye la información que recibe del entorno, medida por la entropía interna del sistema. A partir de aquí la incertidumbre del sistema ya no puede ser compensada por actuaciones de política económica convencional de “más de lo mismo”. Poniendo en conexión esta evolución con la expuesta en la Fig. 3, donde una misma ecuación no lineal (como la logística) pasa por las etapas señaladas la de pequeñas inestabilidades (K < K3), en que el incremento de incerti-
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dumbre puede ser compensado con información y pequeños cambios desde el entorno, “más de lo mismo”, y le es aplicable la dinámica estadística (todavía lineal)-, hasta que, para mayores valores del parámetro (K > K3), el desorden y la fractalidad del Cisne Gris (dinámica caótica) se van haciendo presentes, ello se corresponde con la historia de un sistema que, en contacto con las nuevas realidades y valores de su entorno (en el caso del sistema financiero, la innovación y la globalización), siente la llama seductora del atractor caótico. Aunque era corriente hablar del incremento de entropía política, social y económica para expresar procesos de degradación o de desorden, sin embargo, resultaba demasiado arduo en su aplicación a sistemas distintos de los físicos de energía, razonablemente bien definida en términos de calor y temperatura. Ahora, nos encontramos con que los atractores caóticos, al tener asociada su entropía de información, han dado un giro desafiante al problema de medir la entropía de ámbitos colaterales, como el de la economía. Con ello también llegó a la economía la cuestión de relacionar estas dos descripciones y, al igual que en la física, disponer de una síntesis que nos permita captar la evolución global del sistema desde el orden, la estabilidad y la aproximación al equilibrio, pasando por la etapa de inestabilidad caótica, alejada del equilibrio, hacia un nuevo orden más complejo de estabilidad y aproximación al equilibrio. Ello nos permite situarnos en la zona del Cisne Gris (K3 < K < K4) y gestionar la evolución global del sistema hacia un nuevo orden de mayor complejidad pero más estable. Es decir, pasar de la inestabilidad fractal a un nuevo orden de estabilidad, tal como se indica en la Figura 3, a partir del valor de K > K4. En esta zona de fractalidad hay que prescindir de las condiciones iniciales de las ecuaciones, ya que las trayectorias de la dinámica de los cambios no pueden captar los procesos de autoorganización que se dan a la largo de la evolución global del sistema (evolución de la evolución). Los productos financieros y los sucesivos efectos a través de los mercados han ido produciendo un incremento de incertidumbre (que en la Figura 9 se representa por ¨Hi) enviada al entorno global. El entorno, a través de la política monetaria, ha ido introduciendo información -que representaremos por (¨He)- para compensar este sucesivo incremento de incertidumbre. Mientras el balance resultaba favorable a la información del entorno, es decir, ¨Hi +¨He<0, el sistema financiero (SF1) estaba en esa zona de proximidad al equilibrio, donde la gestión de la política económica, siguiendo la ruta a) de la Figura 9, responde a una dinámica lineal, es decir, a las recetas keynesianas para conseguir esa estabilidad macro que, como resumen de lo micro por un proceso de agregación lineal, considera que las perturbaciones son exó-
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genas (ruido blanco). Tengamos en cuenta que la econometría convencional descansa mucho en el modelo gaussiano, en el que la suma de pequeñas causas (teorema central del límite) constituye perturbaciones de ruido blanco. Se trata de una arquitectura bella, donde la estabilidad del modelo supone la estabilidad del mundo real, pues no tiene en cuenta que en la complejidad de lo global el “todo” no es la mera suma de las partes y que las correlaciones macroscópicas pueden dar lugar a efectos de retroalimentación con aleatoriedad endógena (ruido caótico) que aleja el sistema de esa senda del equilibrio que le señala el modelo. La famosa fórmula del chino David Li, la Cópula gaussiana, que venía a resolver el problema más irresoluble de los cuánticos de Wall Street, la correlación existente entre incumplimientos de las obligaciones de pago, estaba basado en que los mercados financieros no funcionaban aisladamente, es decir, que las correlaciones no son locales, lo que ocurría a un determinado producto o en un determinado lugar, geográficamente muy lejano, afectaba al conjunto, es decir, que estábamos ante correlaciones macroscópicas donde se hace presente la complejidad de lo global. Pero la Cópula gaussiana se basa en los paradigmas de la econometría actuarial convencional, tal como lo expuso el autor en un Congreso cuántico (2003) donde se dieron cita las luminarias de las finanzas cuánticas. Así, al error de los físicos cuánticos considerando que toda incertidumbre es probabilizable como los juegos de casino, se añade el error de un actuario del espacio educativo anglosajón, hacia el cual mira el llamado proceso de Bolonia, calculando probabilidades condicionadas de impagos como si fueran seguros de vida, y considerando que la aleatoriedad asociada a la estabilidad del Pool o Cartera de riesgos es ruido blanco gaussiano y no ruido caótico mandelbrotiano. Eso sí, todo ello con sueldos de Wall Street.
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EVOLUCIÓN Y CRISIS DEL SISTEMA FINANCIERO
Entorno ∆Hi
Emergencia hacia un nuevo orden. ∆He Hacia el nuevo SF2 en equilibrio con su entorno. (Κ>Κ4)
SF2
Gestión compleja (modelo oculto) (Κ3<Κ<Κ4)
Entorno
∆He
∆Hi SF1
a) Próximo al equilibrio (Κ<Κ3) (Dinámica lineal) Gestión convencional. (Cisne blanco)
b) Alejado del equilibrio (Κ>Κ3) (Dinámica no lineal) (Cisne gris)
∆Hi + ∆He ≤ 0
El sistema se disipa. (Crisis)
∆Hi + ∆He > 0
Gestión convencional (Crisis explosiva) (Cisne negro)
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SF1 vigente Nuevo SF2 ¨Hi
Incremento de incertidumbre (+)
¨He
Incremento de información (- )
- Figura 9 -
En el caso del sistema financiero (SF1) que estamos analizando su evolución hacia la crisis ha ido incrementando incesantemente la incertidumbre (¨Hi), introduciendo riesgos mal valorados en el mercado global, con falta de transparencia en los balances de las entidades de depósito, hasta generar una crisis de confianza en el mercado interbancario. Todo ello ha dado lugar a que el balance, tras esa tensión evolutiva, resulte favorable a la incertidumbre frente a la información (que tiene signo negativo), ¨He. A partir de aquí, el SF1 se fue adentrando en la zona fractal del Cisne Gris (ruta hacia el caos). La crisis financiera deviene cuando el incremento de incertidumbre en el sistema global cambia de signo, es decir, ¨Hg = ¨Hi + ¨He > 0, percibida ya claramente cuando las turbulencias (agosto 2007) señalaron con nitidez la entrada en la zona de inestabilidad10, al reducir las predicciones a días, incluso a horas. Ello hubiera exigido, siguiendo la ruta b) (Fig. 9), situarse en el Cisne Gris, tomar medidas preventivas para mantener la confianza en el sistema bancario, garantizando los depósitos y avalando el funcionamiento del mercado interbancario. Y esto no más tarde de agosto de 2007. Tomadas estas medidas preventivas, la gestión del Cisne Gris hacia el nuevo sistema financiero (SF2) requería seguir el protocolo de la complejidad. En esta gestión lo exógeno deja paso a lo endógeno, la predicción a la descripción y a la creación y en ella la estabilidad del sistema exige nuevas reglas de juego que, incorporando valores compartidos emanados de la evolución del propio sistema,
10 Así lo pusimos de manifiesto en la primavera de 2008, tal como lo exponemos en el libro “Efecto mariposa y crisis financiera. Fallos regulatorios”. Ediciones 2010. Madrid, 2008.
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definan acciones, limitaciones y costes a asumir de las externalidades a proteger, que permitan internalizar los costes de estabilidad de sistema. Sin embargo, esto no es lo que ha ocurrido, pues la gestión de la crisis ha seguido la gestión convencional de la ruta a) de la Figura 9: Aproximación al equilibrio, información exógena, econometría convencional, expectativas racionales, mediante recetas keynesianas de más de lo mismo. Las sucesivas rebajas de los tipos de interés pasaron de “variable causa” a “variable efecto” hasta aproximarse a cero, es decir, el modelo de gestión propio de la econometría convencional, que está basada en principios de estabilidad y proximidad al equilibrio, predominio de los modelos lineales, distinción entre variables endógenas, exógenas y aleatorias de ruido blanco, normalmente gaussiano por aplicación del teorema central del límite; y, lo que no es menos importante, la insuficiencia de datos para ajustar y contrastar el modelo. Pero estamos en presencia de un atractor caótico que, con su doble mecanismo de expansión y contracción, nos señala los límites de la predicción y nos conduce a la econometría caótica. Esta ya no se basa en la estabilidad y el equilibrio, al admitir que la dinámica económica puede tener carácter endógeno. No distingue entre variables endógena y exógenas, no se presenta el problema de la identificación y la inferencia no es paramétrica. Todo ello, en vez de alejarnos, nos fue adentrando más en la crisis global. Para hablar de la duración de la crisis tenemos que recurrir a los conceptos de tiempo histórico y tiempo creación. El primero viene marcado por el balance positivo entre el incremento de entropía (incertidumbre) y el incremento de información; pero, como este balance está en función de la capacidad de gestión que reduce o acelera el ritmo del tiempo histórico, las crisis durarán tanto más cuanto más dure la crisis de gestión. Los esquemas, modelos, métodos y estrategias prevalentes para gestionar los problemas de hoy en política, sociedad, economía y finanzas no resultan ya adecuados. Para cualquier observador neutral es obvio que los esquemas utilizados para abordar estos problemas no son los apropiados. Esta falta de ajuste con la realidad afecta también a nuestras creencias y valores, envolviendo por completo el paradigma del pensamiento lineal de la economía convencional, que no permite enfrentarse con las tensiones e inestabilidades que caracterizan los sistemas económicos complejos. Mientras las ciencias físicas y biológicas ya se han desembarazado de las clásicas visiones mecanicistas y lineales y están evolucionando según la dialéctica de la complejidad, en el orden social y económico, por efecto de ideologías con pretensiones de globalidad, está durando más esta legalidad científica del pensamiento lineal.
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La historia del tiempo en economía nos muestra cómo en su evolución la disipación del sistema cerrado neoclásico (Carnot-Marx) se decanta hacia un sistema abierto próximo al equilibrio (Srödinger-Keynes). Pero, para los sistemas abiertos que, en los procesos de integración y globalización se disipan (Prigogine), todavía no se cuenta con el homólogo de Keynes en esa línea de evolución darwiniana hacia formas más diferenciadas, organizadas y complejas.
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PROVISIÓN MATEMÁTICA A TIPOS DE INTERÉS DE MERCADO J. Iñaki De La Peña (1); Iván Iturricastillo(2); Rafael Moreno(3); Eduardo Trigo(4)
RESUMEN En seguros de vida se determina habitualmente la provisión matemática a través del método prospectivo bajo las mismas hipótesis con las que se ha determinado el coste o primas a abonar. Sin embargo la existencia de una normativa amplia y específica, tanto a nivel de la Unión Europea como en España, sobre la aplicación de técnicas inmunizadoras en el mundo asegurador permite asignar activos financieros a los compromisos adquiridos por la compañía de seguros en sus contratos de vida. En este trabajo se desarrolla el procedimiento de cálculo de la provisión matemática para seguros vida bajo la premisa de los dos modelos inmunizadores prácticos que contempla normativa española: casamiento de flujos, cashflow matching o congruencia absoluta, y congruencia por duraciones, positive matching o duration matching. Una conclusión de este trabajo es la conveniencia de establecer una base técnica normalizada que permita la correcta gestión integrada de activos – pasivos en las empresas aseguradoras con el fin de determinar la provisión matemática a tipos de interés de mercado.
ABSTRACT Actuarial liability corresponding to life insurance products is usually determined throguh the prospective method and using the same hypothesis employed to determine the premiums. Nevertheless, there is specific and 1
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Profesor Titular de Universidad. Departamento Economía Financiera I. Universidad del País Vasco. Dirección Avda. Lehendakari Aguirre, 83. 48.015 – BILBAO. Email: jinaki.delapena@ehu.es Profesor Laboral Interino. Departamento Economía Financiera I. Universidad del País Vasco. Dirección c/ Comandante Izarduy, 23. 01.006 – VITORIA. Email: ivan.iturricastillo@ehu.es Profesor Titular de Universidad. Departamento de Finanzas y Contabilidad. Universidad de Málaga. Campus de El Ejido, s/n. 29.071 - MALAGA.. Email: moreno@uma.es Profesor Asociado. Departamento de Finanzas y Contabilidad. Universidad de Málaga. Campus de El Ejido, s/n. 29.071 - MALAGA. Email: etrigom@uma.es
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Provisión matemática a tipos de interés de mercado
extensive regulation in the European Union and Spain about the use of immunization procedures into the insurance business, which allow matching liabilities arising from life insurance contracts and financial assets. In this paper we develop the procedure to obtain the actuarial liability using two different immunization procedures: cash-flow matching and duration matching. We focus on developing a practical immunization model winch incorporates the specific constrains established by the Spanish Law. We underline the need to develop the technical bases which allows a correct and successful asset – liability management in life incurance business.
PALABRAS CLAVE Inmunización. Gestión de Activos-Pasivos. Tipo de interés técnico. Riesgo de interés. Valor de mercado.
KEY WORDS Immunization. Asset-Liability Management. Technical interest rate. Interest rate risk. Fair value.
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J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
1.
INTRODUCCIÓN. OBJETO DEL TRABAJO.
Con el fin de fomentar a la industria aseguradora en España, el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados aprobado por incluyó normativa específica que, en base al principio de suficiencia de las provisiones técnicas, regula el tipo de interés aplicable en las operaciones de seguro de vida en particular, así como a la vinculación y afección de compromisos y activos y la asunción del riesgo de inversión por el asegurado. De hecho, el tipo de interés utilizado tanto en la base técnica del seguro como en el cálculo de la provisión matemática y la posibilidad de que éste sea diferente al planteado inicialmente en la equivalencia financieroactuarial para la determinación de la prima correspondiente al producto, tienen un reconocimiento expreso y detallado en el artículo 33 del mencionado Reglamento. Este artículo fue desarrollado en la Orden Ministerial de 23 de diciembre de 1998 por la que se desarrollan determinados preceptos de la normativa reguladora de los seguros privados y se establecen las obligaciones de información como consecuencia de la introducción del euro. Posteriormente, el Real Decreto 239/2007, de 16 de febrero de 2007, por el que se modifica el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los seguros privados, modifica el método para la estimación del tipo de interés para el cálculo de la provisión de los seguros de vida. A lo largo de esta normativa se establecen: 1.
2.
3.
Requisitos que deben reunir las inversiones a asignar a las operaciones de seguro de vida para que pueda considerarse que aquéllas resultan adecuadas a éstas; Márgenes prudenciales que deben establecerse entre la rentabilidad de las inversiones y el tipo de interés técnico a utilizar en el cálculo de la provisión matemática, los cuales vienen impuestos por la Tercera Directiva de dichos seguros y resultan necesarios para garantizar que la operación se lleve a cabo en condiciones adecuadas, teniendo en cuenta la complejidad que conllevan estos sistemas; Procedimientos y periodicidad de los controles a realizar con la finalidad de evitar o corregir las posibles desviaciones que se puedan producir respecto de las hipótesis demográficas, financieras o económicas.
Por lo que al primer aspecto se refiere, las inversiones, además de los necesarios requisitos en cuanto a su seguridad, liquidez y predeterminación
103
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
del rendimiento, deben resultar adecuadas a la operación de seguro atendiendo a dos criterios alternativos, conforme se establece en el Real Decreto de 2007: a)
b)
Que exista coincidencia suficiente, en tiempo y cuantía, de los flujos de cobro para atender al cumplimiento de las obligaciones derivadas de la póliza o un grupo homogéneo de pólizas. Que exista una adecuada relación, dentro de unos márgenes establecidos, entre los valores actuales de las inversiones y de las obligaciones derivadas de las operaciones de seguro a las que aquéllas están asignadas, y el correcto tratamiento de los riesgos inherentes a la operación.
El primero de los criterios citados disfruta de una amplia experiencia en su utilización por las entidades aseguradoras y en su control por la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones. El segundo de los criterios resulta novedoso en la normativa reguladora del seguro privado, y encuentra su base en las técnicas de inmunización de carteras que ya se aplican en un buen número de entidades financieras, y cuya utilización por las entidades aseguradoras requiere un alto grado de tecnificación y profesionalización en la gestión de sus activos. Con la aplicación de estos modelos inmunizadores la entidad aseguradora puede operar de forma más sólida y rentable al coordinar adecuadamente su activo y su pasivo a través de una gestión integrada. Este proceso continuo de formular, supervisar y relacionar al pasivo con el activo viene marcado por una serie de restricciones prácticas a las que se deben añadir las restricciones legales desarrolladas en la Orden EHA/339/2007, de 16 de febrero, cuyo fin es el de alcanzar un objetivo financiero prefijado. Además, hay que situar la aplicación de estos modelos en el nuevo marco para la evaluación de la solvencia de las entidades aseguradoras, conocido en Europa como proyecto “Solvencia II”, en el cual se pretende que la entidad aseguradora mantenga, en todo momento, de un nivel adecuado de provisiones técnicas, por una parte, y de una cifra de capital adecuada a los riesgos a los que está expuesta la entidad, por otra. Por tanto, en realidad se trata de que la entidad disponga en todo momento de unos recursos financieros globales materializados en activos adecuados, que le permitan hacer frente a sus obligaciones con las pólizas –provisiones técnicas- y al conjunto de riesgos a los que está expuesta la entidad, los cuales pueden
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J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
provocar fluctuaciones en las magnitudes relevantes que podrían no estar adecuadamente cubiertas con las provisiones técnicas. Esta consideración global de los recursos financieros de la entidad aseguradora, y de los activos en los que están materializados, implica que la valoración tanto de los activos como de los pasivos debe realizarse, coherentemente, conforme a un mismo criterio uniforme, el cual se propone que sea, con carácter general, el del valor real –fair value, en lengua inglesa-, el cual coincide con: -
-
el precio de mercado, si se trata de elementos que cotizan en mercados financieros líquidos (lo cual no ocurre en muchos casos, sino, más bien, solamente con determinados tipos de activos financieros); el “valor razonable”, si se trata de elementos –activos o pasivos- que no cotizan en mercados financieros líquidos, como es el caso, en general, de las provisiones técnicas, y, por tanto, en particular, de las provisiones matemáticas de los seguros de vida. Dicho valor razonable se obtiene como el valor actual medio esperado de todos los flujos de caja probables que razonablemente –basándose en estimaciones creíbles conforme a la experiencia- se espera que el elemento genere en el futuro; por tanto, en el caso de la provisión matemática de los seguros de vida se obtendrá a partir de los flujos –pagos y, en su caso, cobros- probables que se espera que genere la póliza, y, lógicamente, utilizando un tipo de interés de valoración que sea coherente con las condiciones del mercado.
En el presente trabajo se describe el procedimiento a llevar a cabo para determinar la provisión matemática bajo el modelo español de gestión integrada de pasivos y activos, a través de las técnicas inmunizadoras descritas en la normativa mencionada y teniendo en cuenta tanto las condiciones y los requisitos propios de las estrategias inmunizadoras como aquéllos derivados de las disposiciones legales que constituyen el marco en el que debe tener lugar la correcta implantación de los modelos en la entidad aseguradora. Este análisis del modelo inmunizador en el mercado español no es estático, sino que requiere de tomas de decisiones en el momento de su instauración, así como de futuros rebalanceos, incluyendo en cada momento los requisitos legales que han sido desarrollados en el Real Decreto 239/2007 y la Orden EHA/339/2007.
105
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
Se propone, por tanto, razonadamente, un modelo matemático para la gestión integrada de pasivos y activos, entendiéndolo como un proceso continuo en el que se ha de seleccionar la forma/composición/estructura óptima de la cartera de activos financieros para la cobertura del conjunto de pasivos u obligaciones contractuales asumidas por la entidad aseguradora, teniendo en cuenta la clasificación crediticia de los activos –en función del riesgo de insolvencia que suponen- y sin olvidar que, en todo momento, tanto los activos como los pasivos son, frecuentemente, ser de naturaleza aleatoria (en el caso de los pasivos, como corresponde intrínsecamente a las operaciones actuariales de los seguros de vida).
2.
LA PROVISIÓN MATEMÁTICA EN SEGUROS VIDA
2.1. Concepto El pasivo de una entidad aseguradora lo constituyen las obligaciones estipuladas en las pólizas de seguros, de acuerdo a una base técnica diseñada por un actuario. Técnicamente, la provisión matemática se determina como aquella parte del valor actuarial de las prestaciones que debe estar constituida a la edad alcanzada, dependiendo de las hipótesis del plan y en base al desarrollo normal y acertado de éstas [Betzuen y Blanco, 1.989@. En el momento de la contratación de la póliza de seguros, el asegurado no ha abonado ninguna cantidad y, por tanto, su correspondiente provisión matemática es nula:
PM xe
0
Siendo xe la edad de entrada o de contratación. Sin embargo, ese equilibrio inicial entre los compromisos de las partes del contrato de seguro no existe con posterioridad, sino que en cualquier momento posterior al inicial y, supuesto que el asegurado se encuentra con vida, el valor actual medio esperado de los compromisos de la entidad aseguradora ha de ser mayor que el valor actual medio esperado de las obligaciones pendientes del asegurado, pues, de no ser así la póliza, en lugar de ser un activo, sería un pasivo para el tomador [Moreno et al, 2005].
106
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
PM
PRODUCTO DE AHORRO
250.000,00
(Va) 200.000,00
150.000,00
100.000,00
50.000,00
0,00 20
28
36
44
52
60
68
76
84
92
100
108
116
124
EDAD
Gráfico 1
En el caso de que se contrate un producto asegurador de ahorro como puede ser el que garantice una renta periódica vitalicia a partir de la edad de jubilación (xj) de cuantía B, al alcanzar dicha edad de jubilación, el valor de las prestaciones futuras ha tenido que ser constituido, coincidiendo la provisión con el valor actual actuarial a la edad de jubilación de las prestaciones futuras hasta el fallecimiento del asegurado (siendo Z la edad límite): Z
PM x j
(Va ) x j
¦B
h
v
h x j
h x j pxmj
h xj
siendo:
PM x j
:
Provisión matemática a la edad de jubilación.
(Va) x j
:
Valor actual actuarial de las prestaciones de jubilación a la edad
v
h x j
h x j
:
p xmj :
de jubilación. Factor de actualización financiera correspondiente a un periodo de xj-h años. Probabilidad de que un beneficiario de la prestación de jubilación de edad xj alcance con vida la edad h, siendo el fallecimiento la única causa de salida.
107
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
La provisión matemática crece paulatinamente desde la edad en la que se efectúa la equivalencia financiero-actuarial (edad de entrada xe, a partir de la cual se abonan las primas) hasta la edad en la que el asegurado va a empezar a recibir las prestaciones de jubilación (considerada en nuestro caso a los xj años), momento a partir del cual no se realiza ninguna otra aportación, debiendo tener en ese momento un montante máximo para hacer frente a todas las prestaciones futuras probables. Su evolución puede apreciarse en el gráfico 1. Si se contrata un producto asegurador de riesgo como puede ser el que garantice un capital único de cuantía B al fallecimiento del trabajador si ocurre con anterioridad a la edad de jubilación (xj), al alcanzar dicha edad de jubilación, el valor de las prestaciones futuras es también nulo, al no existir riesgo futuro de acaecimiento de la contingencia, y siendo, por tanto, el valor de la provisión también nulo: PM x j 3.000,00
(Va) x j
0 PM
PRODUCTO DE RIESGO
(Va) 2.500,00
2.000,00
1.500,00
1.000,00
500,00
0,00 20
25
30
35
40
EDAD
45
50
55
60
65
Gráfico 2
Sin embargo a una edad intermedia entre esa edad de entrada y la edad de jubilación, la provisión matemática toma valores positivos debido a que el valor actual de las aportaciones que todavía puede realizar el tomador del seguro es inferior al valor actual de la posible indemnización que se pagaría caso de que ocurriese el siniestro (gráfico 2).
108
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
2.2. Cálculo
En el periodo comprendido entre esos dos extremos, la provisión matemática se puede expresar de diferentes formas, dependiendo del método para financiar las prestaciones [De La Peña, 2000]. En el cálculo de la provisión matemática se tiene en cuenta la edad de cada asegurado en la fecha a la que se refiere el cálculo (x), la prestación prometida (Bx), el método de distribución de coste empleado y evolución de la cuota de aportación (CA), las probabilidades de fallecimiento ( q xm ), invalidez ( q xi ), rotación ( q xr ), así como el tipo de interés (i) a utilizar en la valoración.
f ( x; CA; B x ; q xm ; q xi ; q xr ; i;...) Su cálculo es individualizado y realizado a través de sistemas financieroactuariales de capitalización. Además, el cálculo de la provisión matemática puede realizarse bien en función de las obligaciones futuras, tanto de la Entidad Aseguradora como del asegurado, bien de las obligaciones pasadas o vencidas de ambos. Estos dos métodos de cálculo se exponen a continuación. i)
Método prospectivo.
Calculada por este método, la provisión matemática queda definida como la diferencia entre el valor actual actuarial de las obligaciones del asegurador y las del asegurado. Se trata del método que exige el art. 32 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados, que establece que la base de cálculo de la provisión es la prima de inventario, entendiendo por tal la prima pura incrementada en el recargo para gastos de administración previsto en la base técnica del producto.
PM xa
(Va) xa (Cfa ) xa
siendo PM xa
:
Provisión matemática a la edad alcanzada.
(Va) xa
:
Valor actual actuarial, a la edad alcanzada xa, de las obligaciones
(Cfa) xa :
futuras del asegurador. Valor actual actuarial, a la edad alcanzada xa, de las obligaciones futuras del asegurado.
109
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
Este cálculo al realizarse sobre importes futuros actualizados a un tipo de interés, está influenciado por el riesgo de interés (variaciones que pueda experimentar éste). ii) Método retrospectivo. La provisión matemática de un asegurado puede obtenerse como el montante de todas las primas o aportaciones pasadas efectuadas desde la edad de entrada en el colectivo hasta el momento del cálculo de la provisión, aminorando el valor del riesgo cubierto o de la prestación consumida. Normalmente, la cuota de aportación del año en curso queda excluida a efectos del cálculo, dado que suele tratarse de primas prepagables. PM
xa
( Cps ) x a (Vps ) x a
Donde ( Cps ) x a :
Primas o cuotas pasadas capitalizadas actuarialmente hasta la edad
(Vps ) x a :
alcanzada o de valoración. Valor de las prestaciones pasadas capitalizadas hasta la edad alcanzada o de valoración.
Al tratarse de un valor calculado conforme a la experiencia real pasada, no está afectado por el riesgo de interés. Únicamente puede determinarse la provisión matemática a través del método retrospectivo cuando pueda demostrarse que el importe obtenido no resulta inferior del que se obtendría a través del método prospectivo de cálculo suficientemente prudente, o cuando no se pudiera utilizar éste para el tipo de contrato empleado (art. 20 de la Directiva 2002/83/CE y art. 32 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados).
3.
EL TIPO DE INTERÉS
3.1. Tipo de interés técnico
El tipo de interés técnico es aquel tanto de interés que se toma como representante de las ganancias y rendimientos esperados de la inversión por la entidad aseguradora de los fondos recibidos de las pólizas. Se trata de un parámetro de difícil estimación, y su estructura es diferente de la que tendría en una operación puramente financiera.
110
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
El tipo de interés técnico juega un papel trascendental en el seguro de vida, al ser una variable imprescindible para obtener el valor actual de las prestaciones prometidas. Es normal considerar el tipo de interés constante, siendo éste en realidad un caso especial, ya que se debe permitir la posibilidad de que el tipo de interés varíe en el tiempo. Además, las circunstancias económicas en las que se desenvuelva la empresa aseguradora pueden obligar a cambiar el tipo de interés establecido inicialmente, posibilidad que será una norma cuando se implante el nuevo marco para la evaluación de la solvencia de la entidad aseguradora, dado que, como se ha indicado más arriba, también los pasivos actuariales (como la provisión matemática) deben valorarse conforme a su “valor razonable”, el cual ha de obtenerse empleando un tipo de interés que sea coherente con las condiciones del mercado en cada momento. Al menos teóricamente [De La Peña, 2000], se puede decir que el tipo de interés técnico está integrado por una parte correspondiente al precio financiero puro, otra al diferencial correspondiente al riesgo intrínseco de la inversión y una última que contempla el componente de inflación. Sin embargo, muchos actuarios utilizan un tipo de interés técnico inferior al tanto de rendimiento esperado más bajo de la cartera de inversiones de la empresa aseguradora, por dos razones principalmente [Brownlee, H. J. y Daskais, R., 1991]: 1. La necesidad de ser prudente debido a la volatilidad de los flujos esperados, tanto en el tiempo como en el pago. 2. Muchos actuarios no consideran cómo interaccionan los activos y los pasivos propios del negocio asegurador y no analizan cómo se pueden amortiguar los efectos derivados de cambios futuros en sus importes, lo cual puede ser previsto y solucionado utilizando técnicas inmunizadoras. Es precisamente la utilización de técnicas inmunizadoras lo que permite el empleo de un tipo de interés técnico (exponente de ganancias futuras) garantizando los compromisos asumidos por la empresa aseguradora en los contratos de seguros suscritos, con independencia de las variaciones que experimente el tipo de interés de mercado (riesgo de interés). 3.2. Tipo de interés máximo
En el artículo 2 del Real Decreto 239/2007 de 16 de febrero que modifica el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados, aprobado por el Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre, se da una nueva redacción al artículo 33 de dicho Reglamento, en el cual se regula el tipo de interés a emplear para la determinación de la provisión del seguro de vida.
111
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
Con anterioridad a la promulgaciĂłn de este Real Decreto se delimitaba el tipo de interĂŠs mĂĄximo para los seguros expresados en moneda nacional como el 60 por l00 de la media aritmĂŠtica ponderada de los tres Ăşltimos aĂąos de los tipos de interĂŠs medios del Ăşltimo trimestre de cada ejercicio de los emprĂŠstitos materializados en bonos y obligaciones del Estado a cinco o mĂĄs aĂąos. La ponderaciĂłn a efectuar era de 50 por 100 para el dato del Ăşltimo aĂąo, del 30 por 100 para el del anterior y del 20 por l00 para el primero de la serie (el mĂĄs alejado en el tiempo). Dicho tipo de interĂŠs era de aplicaciĂłn a lo largo del ejercicio siguiente al Ăşltimo que se hubiera tenido en cuenta para el referido cĂĄlculo. De esta forma, siendo imt el tipo de interĂŠs mĂĄximo a aplicar en el periodo t-ĂŠsimo, ĂŠste venĂa determinado como:
imt
60% Â&#x2DC; 50% Â&#x2DC; it 1 30% Â&#x2DC; it 2 20% Â&#x2DC; it 3
siendo:
i t 1 :
it 2 :
it 3 :
Tipo de interĂŠs medio del emprĂŠstitos materializados cinco o mĂĄs aĂąos. Tipo de interĂŠs medio del emprĂŠstitos materializados cinco o mĂĄs aĂąos. Tipo de interĂŠs medio del emprĂŠstitos materializados cinco o mĂĄs aĂąos.
Ăşltimo trimestre del ejercicio t-1 de los en bonos y obligaciones del Estado a Ăşltimo trimestre del ejercicio t-2 de los en bonos y obligaciones del Estado a Ăşltimo trimestre del ejercicio t-3 de los en bonos y obligaciones del Estado a
En la nueva redacciĂłn dada al apartado 1 a) del artĂculo 33 por el Real Decreto 239/2007 de 16 de febrero, dicho tipo viene determinado como el 60 por 100 de los tipos de interĂŠs medios del Ăşltimo trimestre del ejercicio anterior al ejercicio en el que resulte de aplicaciĂłn de los emprĂŠstitos materializados en bonos y obligaciones del Estado. Conforme a la Circular de la DirecciĂłn General de Seguros y Fondos de Pensiones sobre las tasas a utilizar para la valoraciĂłn de determinados tĂtulos de renta fija al cierre del cuarto trimestre de 2007, ĂŠstas se calculan teniendo en cuenta la media resultante del Mercado de Deuda PĂşblica anotada del Banco de EspaĂąa teniendo en cuenta el volumen contratado. z
imt
n Â&#x2DC; i nb Â&#x2DC; ib ... n z Â&#x2DC; i z 60% Â&#x2DC; a a na nb ... n z
60% Â&#x2DC;
ÂŚn
Â&#x2DC; ih
z
ÂŚn h a
112
h
h a
h
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
donde:
ih
:
nh
:
Tipo de interés medio del último trimestre del ejercicio anterior, correspondiente a empréstitos materializados en bonos y obligaciones del Estado a un plazo h-ésimo. Proporción de volumen contratado en el último trimestre del ejercicio anterior de los empréstitos a plazo h-ésimo sobre el total de volumen contratado de las distintas referencias de Deuda Pública en el último trimestre del ejercicio anterior.
Los valores que ha tomado el tipo de interés técnico máximo fijado anualmente y publicado por las Resoluciones anuales de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones, desde que entró en vigor el Reglamento, se exponen en la Tabla 1 y en el Gráfico 3:
AÑO
1999
2000
Tipos de interés anual máximos 2001 2002 2003 2004 2005
TIPO
3,20%
3,15%
3,15%
3,11%
2,89%
2,68%
2,42%
2006
2007
2008
2,42%
2,42%
2,60%
Tabla 1
Se puede apreciar su decrecimiento hasta estancarse en valores que rondan el 2,5%, siendo reflejo de la evolución del coste a medio plazo de la deuda pública. Tipo Máximo y Tipo Medio
5,50% 5,00% 4,50% 4,00% 3,50% 3,00% 2,50%
19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 20 14 20 15 20 16 20 17
2,00%
AÑOS
Tipo Máximo
Tipo Medio Deuda
Gráfico 3
113
Tipo Máximo entre 60%
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
Para el 2008, puede apreciarse la lógica diferencia entre los tipos medios de la deuda del Tesoro a los distintos plazos futuros y el tipo de interés máximo fijado para 2008 para valorar los flujos futuros de un seguro de vida. Igualmente, dividiendo el tipo máximo entre el 60% de su definición de cálculo, se obtiene los tipos medios de la deuda del tesoro. Estos son superiores para plazos de hasta 8 años y a partir de ese momento, los tipos medios a plazo son superiores al tipo medio general. 3.3. Tipo de interés con inversiones afectas
No obstante lo dicho en el apartado anterior, en el apartado 2 del mencionado articulo 33 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados se establece la posibilidad de emplear un tipo de interés técnico superior al máximo fijado anualmente por la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones, siempre que así esté previsto en la base técnica correspondiente y la entidad aseguradora haya asignado inversiones a esas operaciones de seguro (cuyo tanto interno rentabilidad sea, lógicamente, superior a aquel máximo prefijado). En tal caso sí se puede calcular la provisión matemática utilizando un tipo de interés superior al máximo fijado, si bien dicha asignación de inversiones a las operaciones de seguro debe implicar que se cumpla alguna de estas dos condiciones: a)
b)
Que exista coincidencia suficiente, en tiempo y cuantía, de los flujos de cobro para atender al cumplimiento de las obligaciones derivadas de una póliza o un grupo homogéneo de pólizas, de acuerdo con su escenario previsto. Que las relaciones entre los valores actuales de las inversiones y de las obligaciones derivadas de las operaciones a las que aquéllas están asignadas, así como los riesgos inherentes a la operación financiera, incluido el de rescate y su cobertura, estén dentro de los márgenes establecidos al efecto.
Las ventajas de emplear el tipo de interés correspondiente a los rendimientos de las inversiones afectas pueden ser: -
El producto correspondiente podrá garantizar rentabilidades mayores. Se pueden comercializar productos a primas más bajas, o bien incrementar la participación en los beneficios por rendimientos financieros, con lo que parte de esa mayor rentabilidad retorna al asegurado. Esto no quiere decir que el riesgo de la operación no esté
114
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
-
cubierto, sino que la prima recaudada se gestiona financieramente mejor a travĂŠs de la asignaciĂłn de activos financieros que permiten abonar la posible prestaciĂłn en el momento futuro en el que pueda darse la contingencia contemplada. Se liberan recursos financieros. La gestiĂłn financiera de la entidad se hace mĂĄs especializada. Se estimula la competencia en el sector â&#x20AC;&#x201C;y su dinamismo, por tanto- al ofrecerse productos mĂĄs competitivos. Las compaĂąĂas aseguradoras podrĂan conseguir asegurar mĂnimamente los rendimientos financieros, tanto en sus valores de mercado como en su reflejo contable.
Sin embargo, es indudable que, dado el servicio social que constituye el seguro de vida, ha de existir una adecuada regulaciĂłn y control de sus diferentes facetas, incluida, lĂłgicamente, la cuestiĂłn de naturaleza financiera que se estĂĄ tratando en este trabajo. A continuaciĂłn se va a analizar este aspecto financiero que puede permitir la optimizaciĂłn de las operaciones de seguros a travĂŠs de la asignaciĂłn individualizada a cada producto comercializado de activos financieros idĂłneos, asĂ como su regulaciĂłn y control, para que el seguro pueda seguir prestando el servicio social que conlleva. No obstante el tipo de interĂŠs mĂĄximo anterior, puede emplearse otro tipo de interĂŠs como mĂĄximo bajo ciertas condiciones. De hecho el punto 2 de este mismo artĂculo indica que puede emplearse el tipo de interĂŠs publicado por la DirecciĂłn General de Seguros y Fondos de Pensiones para el cĂĄlculo de la provisiĂłn de seguros de vida referente al ejercicio que corresponda a la fecha de efecto de la pĂłliza, siempre que la duraciĂłn financiera estimada al tipo de interĂŠs de mercado (duraciĂłn modificada) de los cobros especĂficamente asignados a los contratos de seguro, resulte superior o igual a la duraciĂłn financiera de los pagos derivados de los mismos atendiendo a sus flujos probables y estimada al tipo de interĂŠs de mercado. t
ÂŚ h Â&#x2DC; Ah Â&#x2DC; 1 + h i0
- h 1
DM A i = h = 1 t
ÂŚ A Â&#x2DC; 1 + i
-h
h
t
ÂŚ h Â&#x2DC; L Â&#x2DC; 1 + i
-h 1
h
h 0
t h=1t
ÂŚ L Â&#x2DC; 1 + i
-h
h
h 0
h=1
h=1
siendo:
115
h 0
= DM L i
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
DM A i : DM L i :
Ah
:
Lh
:
i
:
h o
La Duración financiera modificada estimada al tipo de interés de mercado de los cobros específicamente asignados a los contratos de seguro. La Duración financiera modificada estimada al tipo de interés de mercado de los pagos que se puedan devengar de los contratos de seguro suscritos. Cobros o ingresos probables a obtener por las inversiones o las primas a recaudar en el periodo h-ésimo. Pagos u obligaciones probables a abonar en el periodo h-ésimo. Tipo de interés periódico al plazo h-ésimo libre de riesgo o spot rate al plazo h-ésimo.
Si no se cumpliera esta condición, el tipo de interés máximo aplicable a la provisión de seguros de vida individual correspondiente al periodo que excede de la duración financiera de los activos, será el previsto inicialmente, esto es, el tipo de interés máximo publicado por la Dirección General de Seguros. Los flujos de los activos a tener en cuenta serán los específicamente asignados a aquellos que dispongan de vencimiento cierto y cuantía fija, o vencimiento cierto y cuantía determinable si su importe se referencia a variables financieras. Igualmente y como novedad con respecto a la anterior normativa, el Real Decreto 239/2007 incorpora la posibilidad de incluir también los seguros a prima periódica donde las futuras primas corresponderían a ingresos probables futuros, tal y como detalla [De La Peña, 2004]. El valor de mercado de los activos no considerados en el cálculo de la duración financiera que hayan sido asignados específicamente a los compromisos cuya provisión de seguros de vida se calcule conforme a lo dispuesto en este apartado, no podrá exceder en más de un 20 por ciento del valor de mercado de la totalidad de los activos asignados.
A i 0
EXCLUIDOS
d 20% A i 0
3.4. Activos aptos para inversiones afectas
Conforme al artículo 2 de la Orden EHA/339/2007, de 16 de febrero, los activos financieros en los que se inviertan las provisiones matemáticas han de pertenecer a alguna de las siguientes categorías (las cuales, lógicamente,
116
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
se encuentran dentro del conjunto de los activos aptos para la cobertura de provisiones técnicas): 1.
Valores negociables de renta fija de los tres primeros grupos de mayor calificación crediticia conforme a la Tabla 2(5): GRUPO Categoría 1 AAA y AA 2 A 3 BBB Tabla 2
Si incorporaran opciones de compra a favor del emisor, tan sólo se pueden contemplar los flujos que se produzcan hasta el vencimiento de la primera opción(6). 2.
Depósitos de entidades de crédito.
3.
Tesorería.
4.
Activos financieros estructurados, siempre que dispongan de vencimiento cierto y sus flujos nominales sean ciertos en plazo e importe, cumpliéndose en todo caso los siguientes requisitos: no contengan como colaterales instrumentos derivados que exponen a la entidad a un nivel de endeudamiento o pérdidas que excedan del valor del activo financiero estructurado; y la operación en su conjunto no podrá quedar deshecha por acontecimientos o eventos que afecten a una parte de los colaterales incluidos en el activo financiero estructurado.
5.
Instrumentos financieros derivados que sean utilizados como instrumentos de cobertura de los compromisos asumidos en virtud de las operaciones de seguro.
5
Clasificación que, a su vez, se establece en el artículo 17 de la misma norma. A pesar de que se indica un cuarto grupo de activos con menor calidad crediticia, no se prevé su empleo para la determinación de la rentabilidad penalizada.
6
Los instrumentos derivados sólo se admiten en la medida que constituyan operaciones de cobertura de riesgos inherentes a la cartera de activos de la entidad aseguradora o de los compromisos que asume.
117
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
6.
Participaciones en fondos de inversiĂłn que garanticen la revalorizaciĂłn de las participaciones en cuantĂa y fecha, siempre que el reglamento de gestiĂłn del fondo prevea el cĂĄlculo del valor liquidativo y el reembolso de las participaciones en un plazo no superior a tres dĂas.
En funciĂłn de lo expuesto hasta ahora, se deduce que el tipo de interĂŠs con el que se determinarĂĄ la provisiĂłn matemĂĄtica es el implĂcito resultante de comparar el valor actual de los activos anteriores actualizados al tanto de rentabilidad interno (obtenido a travĂŠs de su valor de adquisiciĂłn), si bien la normativa (punto 3 del art. 2 de la mencionada Orden) nos indica que debemos penalizarlo en un porcentaje dependiente de la calidad crediticia de las emisiones, el cual se indica en la tabla 3: GRUPO CategorĂa
1 2 3
PenalizaciĂłn % Â&#x2DC; P0
AAA y AA A BBB
95% 92% 89%
Tabla 3
De esta forma, si se representa por P0 al valor de adquisiciĂłn del activo financiero, Pn a su valor de reembolso y c a los cupones periĂłdicos constantes que abona, el tanto interno de rentabilidad se obtendrĂa de la equivalencia financiera entre el valor actual de las prestaciones y el de las contraprestaciones que implica el activo financiero:
P0
c Â&#x2DC; an
r
Pn
1 r n
debiendo emplear, finalmente, para la evaluaciĂłn de la provisiĂłn matemĂĄtica un tipo de interĂŠs penalizado ( r c ) segĂşn la calidad crediticia del emisor del activo financiero:
rc
r Â&#x2DC; % Â&#x2DC; P0
En nuestra opiniĂłn dado que en una economĂa eficiente y diversificada dentro de un macromercado financiero como es la UniĂłn Europea, los activos de los estados miembros tienen la categorĂa de libres de riesgo de insolvencia (si existiese, quebrarĂa el modelo de mercado), su rentabilidad 118
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
debiera incluirse por su valor bruto y no neto despuĂŠs de una cierta penalizaciĂłn. En lo que se refiere a la renta variable, (art. 3.2 de la Orden): la rentabilidad que se le asignarĂĄ a ĂŠsta no superarĂĄ la rentabilidad media de las Obligaciones del Estado con una duraciĂłn inicial equivalente o mĂĄs prĂłxima a cada uno de los flujos pasivos que estĂŠ cubriendo, ponderada por los plazos e importes de dichos flujos y medida en el momento de la adquisiciĂłn de la renta variable. Conforme a la Circular de la DirecciĂłn General de Seguros al cierre del cuarto trimestre de 2007, las tasas de interĂŠs para los aĂąos 11Âş al 29Âş (inclusive) podrĂĄn obtenerse mediante interpolaciĂłn lineal. AsĂ mismo, es destacable que, a pesar de permitirse la inversiĂłn en renta variable, el tanto de rentabilidad a computar para la determinaciĂłn de la provisiĂłn matemĂĄtica es el que corresponde a la renta fija libre de riesgo de insolvencia para aquellos compromisos que tengan un plazo mĂĄs allĂĄ de 10 aĂąos de vencimiento desde el momento del cĂĄlculo de ĂŠste. Por lo tanto, para determinar la provisiĂłn matemĂĄtica de los seguros de vida con inversiones afectas se emplearĂĄ un tipo de interĂŠs correspondiente a la rentabilidad media ponderada y penalizada de los activos financieros afectos al contrato de seguro. Este tipo de interĂŠs resultante (ir) serĂĄ:
ir
r1c Â&#x2DC;
Xw X1 X2 r2c Â&#x2DC; ... rwc Â&#x2DC; A( h io ) A( h io ) A( h io )
siendo: A(hi0)0 Xh
rhc
4.
: Cartera de tĂtulos en el momento inicial. : Importe de la cartera de inversiones invertido en el tĂtulo h-ĂŠsimo. : Tanto de rentabilidad penalizado segĂşn la calidad crediticia del emisor, correspondiente al activo financiero h.
MODELOS DE INMUNIZACIĂ&#x201C;N
4.1. Congruencia Absoluta o Cash Flow Matching
Esta estrategia inversora consiste en la igualaciĂłn en cuantĂa y tiempo de los pagos a realizar en el periodo h-ĂŠsimo con los ingresos a obtener en ese periodo
119
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
h-ĂŠsimo, provenientes de la cartera de inversiones asignadas al producto comercializado. Ello implica que los cupones y amortizaciones de los tĂtulos en los que se ha invertido, asĂ como las primas probables futuras a percibir, totalizarĂĄn un flujo econĂłmico suficiente para abonar los pagos probables de ese aĂąo. Para un periodo h-ĂŠsimo cualquiera:
Lh
n1 Â&#x2DC; Fh1 n 2 Â&#x2DC; Fh2 . . . + n w Â&#x2DC; Fhw
siendo
Fht
:
Flujo econĂłmico producido por el tĂtulo t en el periodo h-ĂŠsimo.
nh
:
ProporciĂłn que representa el tĂtulo h sobre la totalidad del activo.
4.1.1.
FunciĂłn objetivo
Se trata de un modelo en el que se plantea un programa lineal con w variables (la cuantĂa invertida en los w diferentes tĂtulos financieros) y s+1 restricciones. La funciĂłn objetivo puede ser una de las dos siguientes: -
-
Por una parte, dado el tamaĂąo de la cartera de tĂtulos (A(hi0)0), puede consistir en encontrar aquella distribuciĂłn de tĂtulos que proporciona una rentabilidad dada [Christensen & Fabozzi, 1995] Por otra parte, se puede buscar la estructura de tĂtulos de la cartera de inversiones que resulte de un mĂnimo coste total de la cartera:
Min A( h i0 ) 0
X1 X2 X3 ! X j ! X w
siendo: Xi
:
Importe de la cartera invertido en el tĂtulo j-ĂŠsimo.
La proporciĂłn invertida en el tĂtulo j-ĂŠsimo vendrĂa dada por:
nj 4.1.2.
Xj A( h i0 )0
Restricciones
En ambos casos, la funciĂłn deben cumplirse las siguientes restricciones:
120
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
4.1.2.1.
Coincidencia en cuantĂa y tiempo de flujos intermedios
Para cada periodo deben obtenerse flujos suficientes de forma que se pueda hacer frente a todos y cada uno de los pagos a realizar, no sĂłlo en cuantĂa sino tambiĂŠn en tiempo: n1 Â&#x2DC; F11 n 2 Â&#x2DC; F12 . . . + n w Â&#x2DC; F1w = L1 n1 Â&#x2DC; F21 n 2 Â&#x2DC; F22 . . . + n w Â&#x2DC; F2w = L 2 ........ 1 n1 Â&#x2DC; Fs n 2 Â&#x2DC; Fs2 . . . + n w Â&#x2DC; Fsw = L s siendo Fht el flujo de caja producido por el tĂtulo t en el periodo h-ĂŠsimo. NĂłtese que en esta restricciĂłn no aparecen los precios de los tĂtulos. En una estrategia inmunizadora en base a una congruencia absoluta, el fondo inversor debe concentrarse Ăşnicamente en los flujos y aunque varĂen los precios de los tĂtulos a lo largo de los aĂąos, estĂĄ garantizado el cumplimiento de los compromisos siempre que los flujos sean completos (en cuantĂa) y puntuales (en vencimiento). Las inversiones en las que se materialice la prima recaudada por el contrato de seguro de vida han de atender a la coincidencia en cuantĂa y tiempo, de los flujos de cobro para asĂ atender al cumplimiento de las obligaciones contempladas en la pĂłliza (o grupo homogĂŠneo de pĂłlizas) de acuerdo con el escenario previsto. La Orden EHA/339/2007 indica que se entiende que coinciden suficientemente siempre que el saldo financiero al final de la operaciĂłn sea mayor o igual que cero. Sean s el momento en el que se realiza el Ăşltimo pago probable Ls y Fs los flujos econĂłmicos procedentes de amortizaciones, intereses, primas probables a recaudar y desinversiones de la cartera de tĂtulos en ese momento. Se debe cumplir que el saldo (Ss) en ese momento ha de ser no negativo:
Ss
Fs Ls t 0
y que en todos y cada uno de los meses los saldos cumplan â&#x20AC;&#x153;algunoâ&#x20AC;? de los siguientes requisitos:
121
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
a)
Que los flujos intermedios de cobros (Fh) y pagos (Lh) coincidan perfectamente en cuantĂa y vencimiento:
Fh Lh h Â? >1; s @ o bien que los cobros sean anteriores en tiempo a los pagos, siendo superiores en cuantĂa. Para una fracciĂłn de tiempo T y un tanto anual de reinversiĂłn financiera del periodo h-ĂŠsimo T f h , esta condiciĂłn vendrĂa dada por:
Fh T Â&#x2DC; 1 T f h t Lh T
h Â? b)
>1; s @
El saldo financiero ( S h ) obtenido al final de cada mes (resultante de capitalizar al tipo de reinversiĂłn tanto los cobros como los pagos diarios del mes, asĂ como de los anteriores) ha de ser positivo en todos y cada uno de los meses. A modo de simplificaciĂłn se admite el empleo de la distribuciĂłn uniforme en los pagos a mitad de mes, pero no asĂ de los cobros, que se valorarĂĄn al final de mes. Esto es:
Sh t 0
h Â?
>1; s @
siendo, 30
ÂŚF
Sh
T 1
c)
30 T
h
Â&#x2DC; 1 1 f h 1 365 Lh Â&#x2DC; 1 1 f h 1
T
t0
30
Se admite que alguno de los saldos mensuales no sea positivo si no supera la suma total de los pagos previstos del mes de referencia y los dos meses anteriores. Esto es, Si S h 0 30
S h 1
15 / 365
30 T
S h Â&#x2DC; (1 1 f h Â&#x2DC; 1,5)1 / 12 ÂŚ F T 1
30
d ÂŚL T 1
h
30
T 30
ÂŚL T 1
h 1
h
T
Â&#x2DC; 1 1 f h 365 Lh Â&#x2DC; 1 1 f h
30
30
T 30
ÂŚL T 1
122
h 2
T 30
15 / 365
d
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
Adicionalmente, el saldo negativo al final de aĂąo no podrĂĄ superar el 12,5% de las prestaciones probables a otorgar ese aĂąo. Esto es, 365
S 31 / 12 / h d 12,5% Â&#x2DC; ÂŚ L T 1
h
T 365
Los saldos negativos existentes se capitalizarĂĄn al tipo de reinversiĂłn que corresponda en cada momento incrementado en un 50%. Para cualquiera de los requisitos anteriores, el tanto de reinversiĂłn a considerar serĂĄ el tipo de interĂŠs mĂĄximo fijado por ResoluciĂłn de la DirecciĂłn General de Seguros y Fondos de Pensiones, si bien si se aseguran tipos de interĂŠs a plazo, se pueden tener ĂŠstos en consideraciĂłn tanto para los saldos cuando sean positivos, como para la determinaciĂłn del coste de financiaciĂłn si los saldos fuesen negativos. En este caso deben incrementarse en un 50%. Con estas medidas se busca una congruencia de saldos intermedios y que no exista un desequilibrio manifiesto entre los ingresos de la cartera de inversiones y los pagos probables por el contrato de seguro suscrito. TambiĂŠn se pretende (acertadamente) diferenciar los tipos de reinversiĂłn a emplear: al tanto implĂcito a plazo correspondiente cuando existen saldos intermedios positivos, y al tanto implĂcito en el caso de que el saldo intermedio resulte negativo (penalizando el uso de recursos no disponibles). 4.1.2.2.
No se acude al prĂŠstamo
No se pide ninguna cuantĂa a prĂŠstamo, haciendo frente a los pagos prometidos con el fondo acumulado, luego la proporciĂłn de cada tĂtulo (j = 1, 2, ..., w ) en la cartera serĂĄ positiva o nula.
nj t 0 4.1.2.3.
AsignaciĂłn de los recursos
Se invierte la totalidad de la cartera:
n1 n 2 n 3 ! n w 123
1
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
o lo que es lo mismo:
A( h i0 ) 0 4.1.2.4.
X1 X 2 X 3 ! X w
MĂnima dispersiĂłn entre los cobros y los pagos
Al existir igualdad en cuantĂa y vencimiento de los flujos de caja intermedios, es fĂĄcilmente demostrable que la dispersiĂłn existente entre los flujos de caja del activo y del pasivo es nula. Esto es, que el riesgo de inmunizaciĂłn absoluto (RIA) es nulo [Iturricastillo, 2007]. n
h
ÂŚ ÂŚ A RIA
- L j Â&#x2DC; 1 j i0
-j
j
h 1 j 1
Â&#x2DC;
n
ÂŚ A Â&#x2DC; 1 i
-h
t
1 k
h 0
h 1
donde, Aj Lj k
: Flujo de Activo en el momento j : Flujo de Pasivo en el momento j : NĂşmero de partes en las que se divide cada aĂąo al realizar el cĂĄlculo del RIA
con lo que ante cualquier movimiento del tipo de interĂŠs tanto el activo como el pasivo se moverĂĄn en el mismo sentido y cuantĂa. 4.1.2.5.
Restricciones para operaciones a un plazo superior a 10 aĂąos
Se debe apuntar en este marco prĂĄctico inmunizador que existe la facultad de separar la estructura temporal de obligaciones de la empresa aseguradora con el fin de la implantaciĂłn de la estrategia inversora, distinguiendo entre aquellas obligaciones con vencimientos superiores a 10 aĂąos, las cuales se permiten que sean cubiertas a travĂŠs de renta variable, y aquellas otras con vencimientos inferiores a 10 aĂąos, a las cuales se les puede aplicar la estrategia inmunizadora propiamente dicha. AsĂ, para operaciones a mĂĄs de 10 aĂąos, es de recibo contemplar las restricciones sobre valores mĂĄximos a aplicar a la renta variable y que a modo de resumen implicarĂan las siguientes restricciones:
124
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
i)
No se puede invertir en renta variable ( A( h i0 ) 0RV ) un importe superior al 25% de la provisiĂłn matemĂĄtica al comienzo de la operaciĂłn de seguro ( PM ( h i0 ) 0 ) . Por lo tanto, en el inicio de la operaciĂłn,
A( h i0 ) 0RV d 25% Â&#x2DC; PM ( h i0 ) 0 ii)
En todo momento el mĂĄximo anual de la cartera de inversiones que se puede mantener invertido en renta variable ha de ser menor o igual al valor actual de las obligaciones a plazo superior a 10 aĂąos. Inicialmente, s
A( h i0 ) 0RV d
ÂŚ L Â&#x2DC; 1 i
h
h
h 0
h 10
y para sucesivos periodos futuros: s
A( h it ) tRV d
ÂŚL
t h
Â&#x2DC; 1 h it
h
h 10
iii)
AdemĂĄs de los requisitos anteriores, se limita el mĂĄximo a invertir en renta variable al 50% de la provisiĂłn matemĂĄtica en cualquier momento:
A( h i t ) tRV d 50% Â&#x2DC; PM ( h i t ) t El riesgo especĂfico de inversiĂłn en renta variable se minimizarĂĄ mediante su diversificaciĂłn. AdemĂĄs, las acciones en las que se invierta han de tener una frecuencia de negociaciĂłn superior al 80% de los dĂas hĂĄbiles en el Ăşltimo trimestre en el mercado regulado en el cual se negocien y debe producirse una razonable diversificaciĂłn por sectores de actividad. 4.2. Congruencia por Duraciones o Duration Matching
Esta estrategia inmunizadora consiste en la estructuraciĂłn de la cartera de inversiones a travĂŠs de la igualaciĂłn del plazo medio de los pagos probables futuros con el plazo medio de los ingresos futuros del fondo de inversiones a travĂŠs del concepto de duraciĂłn, con el fin de buscar una distribuciĂłn de tĂtulos que permanezca inmune ante el riesgo de interĂŠs.
125
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
Su apoyo teĂłrico se basa en el teorema de Fisher y Weil [Fisher, L & Weil, R.L., 1971], conforme al cual un conjunto de flujos de caja futuros generados por una cartera (de tĂtulos o de compromisos) estarĂĄ inmunizada en un momento t determinado (por ejemplo en el origen de la operaciĂłn) si la duraciĂłn de dichos flujos econĂłmicos en el origen es igual al horizonte de planificaciĂłn del inversor (H), al cabo del cual se va a realizar un Ăşnico pago. Se trata, por tanto, de una inmunizaciĂłn â&#x20AC;&#x153;simpleâ&#x20AC;?. Frente a la inmunizaciĂłn simple, la inmunizaciĂłn â&#x20AC;&#x153;mĂşltipleâ&#x20AC;? es aquĂŠlla en la que el inversor debe hacer frente a una distribuciĂłn temporal de compromisos. El valor actual de dichos compromisos al tipo de interĂŠs de mercado en un momento t-ĂŠsimo ( L( h t it ) t ) serĂĄ: s
ÂŚL
L( h t it ) t
h
Â&#x2DC; (1 h t it ) h t
h t 1
y podemos a su vez determinar el plazo medio en el que se debe hacer frente a dichos compromisos, o duraciĂłn esperada ( DE L ) de los pagos previstos [De La PeĂąa, 2002]: s
ÂŚ h t Â&#x2DC; L
DE L
h
Â&#x2DC; (1 h t i t ) h t
h t 1
s
ÂŚL
h
Â&#x2DC; (1 h t i t ) h t
h t 1
Con este paso tan sencillo se consigue pasar de una inmunizaciĂłn mĂşltiple a una inmunizaciĂłn simple en la que el horizonte temporal de planificaciĂłn del inversor viene determinado por la duraciĂłn de los compromisos de pago, y su valor actual por el valor actual de los pagos probables [De La PeĂąa, 1997]. Sin embargo, hay que matizar esta simplificaciĂłn ya que la clave de la inmunizaciĂłn mĂşltiple no reside sĂłlo en hacer coincidir la duraciĂłn de la cartera de inversiones con la duraciĂłn de los compromisos de pago [Redington, 1952], sino que es preciso tener en cuenta que los compromisos son mĂşltiples en el tiempo y, por lo tanto, se debe disponer de fondos suficientes para poder hacer frente a todos y cada uno de los pagos.
126
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
4.2.1.
FunciĂłn objetivo
Se trata de un modelo en el que se plantea un programa lineal con w variables (la cuantĂa invertida en los w diferentes tĂtulos financieros) y s+1 restricciones. La funciĂłn objetivo, al igual que ha ocurrido para la congruencia absoluta, puede ser una de las dos siguientes: -
-
Por una parte, dado el tamaĂąo de la cartera de tĂtulos (A(hi0)0), puede consistir en encontrar aquella distribuciĂłn de tĂtulos que proporciona una rentabilidad dada [Christensen & Fabozzi, 1995] Por otra parte, se puede buscar la estructura de tĂtulos de la cartera de inversiones que resulte de un mĂnimo coste total de la cartera:
Min A( h i0 ) 0 4.2.2.
X1 X2 X3 ! X j ! X w
Restricciones
El artĂculo 3 de la Orden EHA/339/2007, de 16 de febrero establece las condiciones que debe reunir la cartera de inversiones de los activos financieros asignados al producto de seguro comercializado por la entidad aseguradora y que resulte con un tipo de interĂŠs tĂŠcnico superior al mĂĄximo fijado anualmente por la DirecciĂłn General de Seguros y Fondos de Pensiones en sus resoluciones. Para la aplicaciĂłn de estos requisitos no se computan los pasivos que se pretendan cubrir con renta variable, los cuales deberĂĄn ser prestaciones y gastos con un plazo superior a 10 aĂąos de vencimiento en el momento de su cĂĄlculo. 4.2.2.1.
Igualdad de valores actuales
El valor de mercado de las inversiones asignadas debe ser en todo momento igual o superior al valor actual de los flujos derivados de las obligaciones contractuales, determinado a tipos de interĂŠs de mercado correspondientes al plazo de cada flujo. Esto es:
A( h i0 ) t t L( h i0 ) t donde n
A( h i0 ) t
ÂŚ F Â&#x2DC; 1 i
h
h t 1
127
h 0
h t
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
y s
L ( h i0 ) t
ÂŚ L Â&#x2DC; 1 i
h
h t
h 0
h t 1
4.2.2.2.
Igualdad de duraciones
Las respectivas duraciones financieras modificadas o corregidas de activos ( DM A ) y de pasivos ( DEM L ), calculadas a tipos de interĂŠs de mercado, deberĂĄn ser equivalentes:
DM A
DEM L
La legislaciĂłn permite en este punto que difieran entre sĂ un mĂĄximo del 20%. Esto es:
0,8 d 4.2.2.3.
DM A d 1,2 DEM L
Equivalencia en la sensibilidad ante variaciones de tipos de interĂŠs
La sensibilidad ante variaciones de los tipos de interĂŠs en los valores actuales de los activos y pasivos deberĂĄ ser equivalente. Si bien la medida clĂĄsica empleada para el anĂĄlisis de la sensibilidad de los valores actuales ante variaciones en los tipos de interĂŠs es tanto la duraciĂłn como la convexidad (que recoge gran parte de las variaciones en los precios no capturadas por la propia duraciĂłn), la Orden mencionada indica que ĂŠsta sensibilidad debe determinarse a travĂŠs de la siguiente expresiĂłn, que permite oscilaciones de hasta un 20%.
A( h i0 ) A( h i0 H ) A( h i0 ) 0,8 d d 1,2 L( h i0 ) L( h i0 H ) L( h i0 ) Dependiendo del nĂşmero de aĂąos afectados por la perturbaciĂłn del tipo de interĂŠs, puede contemplarse la siguiente formulaciĂłn:
128
J. IĂąaki De La PeĂąa, IvĂĄn Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
Â0,0010 ° A( h i0 ) A( h i0 H ) L( h i0 ) L( h i0 H ) °0,0008 ÂŽ A( h i0 ) L( h i0 ) °0,0003 °¯0,0001
para 5 o mĂĄs aĂąos para 4 aĂąos para 3 aĂąos para 2 o menos aĂąos
siendo
H
:
PerturbaciĂłn sobre el tipo de interĂŠs de 100 puntos bĂĄsicos (tanto positiva como negativa)
En el apartado c) del artĂculo 3 de la mencionada Orden se establece que deberĂĄn analizarse las variaciones que se produzcan en los valores actuales de los activos y los pasivos ante perturbaciones de 100 puntos bĂĄsicos en los tipos de interĂŠs correspondientes a los plazos mĂĄs representativos de la curva utilizada. Obligatoriamente, dicho anĂĄlisis deberĂĄ realizarse para el primer y Ăşltimo flujo previsto y para al menos dos puntos intermedios con una distancia temporal de 2 aĂąos o mĂĄs. Si la operaciĂłn o su plazo residual fuesen inferiores a 6 aĂąos, al menos se debe incluir el anĂĄlisis en un punto intermedio, y si son de 4 aĂąos o menos, es suficiente con el anĂĄlisis en los extremos. 4.2.2.4.
No se acude al prĂŠstamo
No se puede pedir ninguna cuantĂa a prĂŠstamo, haciendo frente a los pagos prometidos con el fondo acumulado, luego la proporciĂłn de cada tĂtulo (j = 1, 2, â&#x20AC;Ś , w ) en la cartera serĂĄ positiva o nula.
nj t 0 4.2.2.5.
AsignaciĂłn de los recursos
Se invierte la totalidad de la cartera:
n1 n 2 n 3 ! n w
129
1
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
4.2.2.6.
Restricciones para operaciones a un plazo superior a 10 años
Al igual que ocurre con el modelo inmunizador de congruencia absoluta, se permite separar la estructura temporal de obligaciones de la empresa aseguradora con el fin de la implantación de la estrategia inversora, distinguiendo entre aquellas obligaciones con vencimientos superiores a 10 años, las cuales se permiten que sean cubiertas a través de renta variable, y aquellas otras con vencimientos inferiores a 10 años, a las cuales se les puede aplicar la estrategia inmunizadora propiamente dicha. Estas restricciones son las mismas que las apuntadas para la congruencia absoluta:
5. CONCLUSIONES
El tipo de interés técnico juega un papel trascendental en el seguro de vida, al ser una variable imprescindible para obtener el valor actual de las prestaciones prometidas. Es normal considerar el tipo de interés constante, siendo éste en realidad un caso especial, ya que se debe permitir la posibilidad de que el tipo de interés varíe en el tiempo. Además, las circunstancias económicas en las que se desenvuelva la empresa aseguradora pueden obligar a cambiar el tipo de interés establecido inicialmente, posibilidad que será una norma cuando se implante el nuevo marco para la evaluación de la solvencia de la entidad aseguradora, dado que, como se ha indicado más arriba, también los pasivos actuariales (como la provisión matemática) deben valorarse conforme a su “valor razonable”, el cual ha de obtenerse empleando un tipo de interés que sea coherente con las condiciones del mercado en cada momento. Es precisamente la utilización de técnicas inmunizadoras lo que permite el empleo de un tipo de interés técnico (exponente de ganancias futuras) garantizando los compromisos asumidos por la empresa aseguradora en los contratos de seguros suscritos, con independencia de las variaciones que experimente el tipo de interés de mercado (riesgo de interés).
Al deber realizarse el cálculo de la provisión matemática individualizadamente y a través de sistemas financiero-actuariales de capitalización, dependiendo por tanto, para cada producto, de la edad del asegurado en la fecha a la que se refiere el cálculo (x), la prestación prometida (Bx), el método de distribución de coste empleado (CA), las probabilidades de fallecimiento ( q xm ), invalidez ( q xi ) y rotación ( q xr ), así como del tipo de interés (i) a utilizar en la valoración, con el objeto de
130
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
ser consistente en cada producto, la asignación de activos financieros también debe realizarse de forma individualizada.
A pesar de permitirse la inversión en renta variable, el tanto de rentabilidad a computar para la determinación de la provisión matemática es el que corresponde a la renta fija libre de riesgo de insolvencia para aquellos compromisos que tengan un plazo de vencimiento más allá de 10 años desde el momento del cálculo de éste. No se tendría en cuenta la rentabilidad esperada de esa renta variable, sino el valor correspondiente a la renta fija pública a ese plazo.
A la vista del condicionado normativo, para la instauración de una gestión integrada de activos y pasivos tan sólo es factible el empleo de la congruencia absoluta o cash-flow matching y de la congruencia positiva o duration matching, si bien ésta última sometida a un estricto conjunto de restricciones que, aunque incremente su seguridad, aminora su aplicabilidad. Sin embargo, no se aprecia la existencia de márgenes de liquidez suficiente para los primeros ejercicios, como sí ocurre con la congruencia absoluta. En la congruencia por duraciones puede perfectamente haber algún ejercicio en el que los pagos a realizar sean superiores a los cobros a recibir, lo cual resulta ilógico dados los requisitos que se exigen a la congruencia absoluta. En este sentido, sería deseable el establecimiento de un periodo inicial de seguridad, en el cual los flujos generados fuesen suficientes, al menos, para abonar en cuantía y tiempo los pagos probables a realizar. Esta estrategia es conocida como Congruencia temporal u horizon matching. Dicha estrategia, además, conlleva tanto una menor necesidad de rebalanceos [Iturricastillo y De La Peña, 2003], reduciéndose el coste, como un menor riesgo de inmunización, al ser los plazos cortos en los que no se verifican las hipótesis de los modelos inmunizadores [Iturricastillo, 2007].
En la Orden EHA/339/2007, de 16 de febrero, se indica que la entidad aseguradora deberá remitir a la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones el soporte técnico y las definiciones de los conceptos financieros utilizados para la asignación de activos a productos de seguros de vida. Es necesario desarrollar normativamente el contenido de tal informe técnico propiciando una base técnica financiera normalizada, lo cual permitiría la homogeneidad de criterios de asignación y un mejor control de los desfases de flujos económicos que pudieran producirse. En particular, en dicho informe técnico debería detallarse:
131
ProvisiĂłn matemĂĄtica a tipos de interĂŠs de mercado
a) la curva de tipos de interĂŠs utilizada; b) la definiciĂłn de la duraciĂłn financiera y el mĂŠtodo utilizado para su cĂĄlculo; c) y los criterios utilizados para la selecciĂłn de los tipos de interĂŠs representativos y para el correspondiente anĂĄlisis de sensibilidades. Entendemos que debe normalizarse y regularse cada uno de los apartados anteriores con un contenido mĂnimo, tal y como se expone en De La PeĂąa, 2003.
Conforme a la regulaciĂłn especĂfica vigente, la provisiĂłn matemĂĄtica a constituir debe ser calculada por el mĂŠtodo prospectivo como el exceso del valor actual actuarial de las prestaciones futuras sobre el de las primas futuras actualizadas al tanto de rentabilidad resultante de los activos asignados y penalizados segĂşn su respectiva calidad crediticia.
PM xa siendo PM xa (Va) xa
(Va) xa (Cfa ) xa
: ProvisiĂłn matemĂĄtica a la edad alcanzada. : Valor actual actuarial, a la edad alcanzada xa, de las
obligaciones futuras del asegurador. (Cfa ) xa : Valor actual actuarial, a la edad alcanzada xa, de las obligaciones futuras del asegurado. En un momento intermedio t, resultarĂĄ: s
PM (ir ) t
L(ir ) t I (ir ) t
ÂŚ Lh Â&#x2DC; (1 ir ) h t
h t 1
n
ÂŚF
h
Â&#x2DC; (1 ir ) h t
h t 1
Al aplicar un tanto de actualizaciĂłn superior a aquĂŠl con el que se determinaron las primas, resultarĂĄn unas provisiones matemĂĄticas inferiores a las que se derivarĂan del empleo del correspondiente tipo mĂĄximo establecido por la legislaciĂłn. La rentabilidad extra generada por las inversiones afectas (y garantizada por la inmunizaciĂłn realizada) es la que garantizarĂa el cumplimiento formal de las obligaciones contraĂdas por la entidad aseguradora.
132
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
6. EJEMPLO DE APLICACIÓN PRÁCTICA
Con el fin de ilustrar el cálculo de la provisión matemática de un seguro de vida con el tipo de interés resultante del empleo de técnicas inmunizadoras, en el presente epígrafe se realiza una simple aplicación. Para ello emplearemos los tipos de interés observados anuales (tipos de interés al contado o spot) en España a 30 de diciembre de 2008. De esos tipos de interés anuales se derivarán los implícitos correspondientes (tipos de interés forward). Igualmente determinamos las características de los títulos del Tesoro público a diferentes vencimientos abarcando un plazo de entre 1 año a 20 años.
Tipos de interés al contado e implícitos a plazo en España a 30 de diciembre de 2008.
Plazo
1 2 3 4 5
i
h 0
2,55653% 3,10440% 2,83665% 3,87070% 3,69285%
Plazo
6 7 8 9 10
i
Plazo
h 0
3,63066% 3,72269% 3,63137% 4,64497% 4,77215%
11 12 13 14 15
i
h 0
4,94051% 4,83050% 4,74778% 4,83317% 4,52000%
Plazo
16 17 18 19 20
i
h 0
4,39188% 4,37532% 4,37615% 4,32452% 4,38079%
Tabla 4 Tipos de interés al contado observados en España a 30 de diciembre de 2008. 5,50%
5,00%
4,50%
4,00%
3,50%
3,00%
2,50%
2,00%
Gráfico 4
133
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
Las principales características de los títulos del Tesoro son las siguientes: Características de los títulos del Tesoro con vencimiento en t. t 1 2 3 4 5
Precio 100,452 98,801 100,740 96,547 100,852
Cupón
t
Precio
3,02%
6
2,47%
7
3,10%
8
2,88%
9
3,85% 10
100,106 102,477 103,994 93,702 100,084
Cupón
t
Precio
3,63% 11 4,10% 12 4,20% 13 3,62% 14 4,58% 15
100,271 100,251 102,917 97,806 97,910
Cupón
t
4,74% 16 4,67% 17 4,89% 18 4,45% 19 4,26% 20
Precio
3,97%
95,497 104,572 100,293 98,941 94,992
Cupón
4,74% 4,38% 4,24% 3,98%
Tabla 5
Lo aplicaremos a los compromisos de pago de un seguro de fallecimiento de 300.000 € contratado por el asegurado en el 2003, a los 50 años y para un plazo de 15 años (hasta la edad de jubilación normal), empleando para ello las tablas de mortalidad suizas GR-95 masculinas y el tipo de interés máximo vigente en aquel momento. Esta aplicación se realiza tanto para el caso de que el asegurado se comprometa al abono de primas niveladas constantes hasta el final del contrato o el fallecimiento como para el caso de abonarse una prima única en el momento de la contratación del seguro. Las principales magnitudes que identifican a este seguro, en función de la modalidad de pago, y empleando el tipo de interés máximo vigente ascienden a: Características del seguro a tipos máximos. Prima Periódica
P(2,89%)50 (Va)(2,60%)55
Prima
Prima Única
Periódica
2.805,23 48.685,47 (Cfa )(2,60%) 55 25.971,23
25.971,23
PM (2,60%)55
Tabla 6
134
23.925,79
Prima Única -
2.045,44 25.971,23
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
Sin embargo, si en el 2008 se procede a realizar una asignación de activos con el fin de determinar la provisión matemática que correspondería con la rentabilidad ponderada de los mismos, obtendríamos los siguientes resultados: Resultados parciales de la estrategia inmunizadora. Periódica h
Pagos
Ingresos
Balance
Saldo Máx.
Única Saldo
Ingresos
Balance
Saldo
Negativo
1
2.022,77
3.716,52
1.693,76
1.693,76
2.022,77
0,00
0,00
- 505,69
2
2.175,42
2.941,21
765,79
2.521,46
2.175,42
0,00
0,00
- 543,85
3
2.340,23
2.916,13
575,90
3.155,44
5.400,27
3.060,04
3.060,04
- 585,06
4
2.518,12
2.875,84
357,72
3.735,17
617,05
- 1.901,07
1.374,27
- 629,53
5
2.709,79
2.844,58
134,79
3.981,44
617,05
- 2.092,73
- 677,45
- 677,45
6
2.915,87
2.948,08
32,21
4.145,84
2.898,09
- 17,78
- 728,97
- 728,97
7
3.136,74
2.772,56
- 364,18
3.958,96
3.128,28
- 8,45
- 784,18
- 784,18
8
3.351,80
2.739,21
- 612,58
3.464,92
9.489,84
6.138,04
5.318,64
- 837,95
9
3.549,95
2.772,53
- 777,42
3.142,07
47,29
- 3.502,66
2.513,73
- 887,49
10
3.744,65
416,45
- 3.328,20
-
1.082,01
- 2.662,64
-
Tabla 7
Los principales valores de los parámetros de la estrategia inmunizadora para la resolución del problema de programación lineal son los siguientes: Parámetros relevantes Prima Periódica
Prima Única
DM
4,44
5,32
DEM
5,47
5,47
DM/DEM
0,81
0,97
CXM
42,45
42,45
CXEM
42,45
42,45
Ratio
1,1867016
1,1085253
Tabla 8
135
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
La combinación de activos resultante es la que se indica en la siguiente tabla: Importe asignado a cada clase t de títulos de renta fija. Prima Periódica 1 854,20
Prima t Única 1.197,19 6
Prima Periódica 231,23
Prima Prima Prima Prima t t Única Periódica Única Periódica 2.283,45 11 - 16 59,59
Prima Única
2
118,21
1.363,89 7
93,37
2.658,29 12
6,28
- 17
189,53
1.004,82
3
118,73
4.673,74 8
94,47
9.423,91 13
16,96
- 18
-
39,99
4
99,54
- 9
149,28
- 14
5,39
- 19
-
-
5
99,20
- 10
54,61
- 15
65,86
- 20
-
-
t
-
Tabla 9
Resultando las siguientes proporciones en la cartera de títulos de renta fija, tanto para el seguro con prima periódica (gráfico 5) como para el seguro a prima única (gráfico 6): Proporción de activos asignados en la cartera inmunizada del seguro de prima periódica.
13 1%
15 3%
PROPORCION DE CARTERA
17 8%
16 3%
10 2%
1 38%
9 7% 8 4%
7 4%
6 10%
5 4%
4 4%
Gráfico 5
136
3 5%
2 5%
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
Proporción de activos asignados en la cartera inmunizada del seguro de prima única. PROPORCION DE CARTERA
1 5%
17 4%
2 6%
3 21%
8 42%
6 10% 7 12%
Gráfico 6
Con todo ello, la provisión matemática resultante para la rentabilidad obtenida y penalizada, asciende, en cada caso, a: Provisión Matemática bajo inversiones afectas. Prima Periódica Prima Pura TIR BRUTA
3,360258%
3,410834%
TIR NETA
3,192246%
3,240292%
L(ir )t
25.102,31
25.033,68
I (ir )t
23.288,15
0
PM (ir )t
1.814,17
25.033,68
Tabla 9
En ambos casos, al obtener una rentabilidad superior al tipo de interés máximo fijado, la provisión matemática es inferior a la calculada anteriormente aplicando el tipo de interés máximo vigente.
137
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
BIBLIOGRAFÍA
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138
J. Iñaki De La Peña, Iván Iturricastillo, Rafael Moreno y Eduardo Trigo
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Normativa:
- Circular sobre las Tasas a utilizar para la valoración de determinados títulos de renta fija al cierre del cuarto trimestre de 2007, de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones. - Directiva 92/96/CEE del Consejo, de 10 de noviembre de 1992 sobre seguros de vida. - Directiva 2002/83/CEE del Parlamento Europeo y del Consejo de 5 de noviembre de 2002 sobre el seguro de vida. - Orden Ministerial de 23 de diciembre de 1998 por la que se desarrollan determinados preceptos de la normativa reguladora de los seguros privados y se establecen las obligaciones de información como consecuencia de la introducción del euro. - Orden EHA/339/2007, de 16 de febrero, por la que se desarrollan determinados preceptos de la normativa reguladora de los seguros privados.
139
Provisión matemática a tipos de interés de mercado
- Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados. - Real Decreto 239/2007, de 16 de febrero, por el que se modifica el Reglamento de ordenación y supervisión de los seguros privados, aprobado por el Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre, y el Reglamento de mutualidades de previsión social, aprobado por el Real Decreto 1430/2002, de 27 de diciembre. - Resolución de 5 de enero de 1999, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 1999. - Resolución de 5 de enero de 2000, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2000. - Resolución de 8 de enero de 2001, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2001. - Resolución de 3 de enero de 2002, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2002. - Resolución de 3 de enero de 2003, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2003. - Resolución de 7 de enero de 2004, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2004. - Resolución de 3 de enero de 2005, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2005. - Resolución de 2 de enero de 2006, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2006. - Resolución de 2 de enero de 2007, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2007. - Resolución de 2 de enero de 2008, de la Dirección General de Seguros por la que se publica el tipo de interés máximo a utilizar en el cálculo de la provisión de seguros de vida, de aplicación al ejercicio 2008.
140
LA DISTRIBUCIÓN POISSON-BETA: APLICACIONES Y PROPIEDADES EN LA TEORÍA DEL RIESGO COLECTIVO Emilio Gómez Déniz1, José María Sarabia2 y Faustino Prieto2
Resumen En el presente trabajo se estudia la distribución Poisson-Beta, tanto en los seguros individuales como en la teoría del riesgo colectivo. Se comienza revisando las propiedades básicas de la distribución. Estas propiedades incluyen los momentos ordinarios y factoriales, relaciones de recurrencia, así como las primas de riesgo, colectiva y Bayes. Se estudian diversas propiedades del modelo colectivo y se obtiene una relación de recurrencia para la distribución de la cantidad total reclamada, suponiendo que la cuantía se distribuye según una distribución discreta arbitraria. Se proponen métodos de estimación de momentos y de máxima verosimilitud para la distribución primaria Poisson-Beta. Finalmente, se incluyen varias aplicaciones con datos reales. Palabras Clave: Distribución Poisson-Beta, Modelo de Riesgo Colectivo, Prima, Sobredispersión. Abstract In this paper the Poisson-Beta distribution is studied, both in individual and collective risk models. Basic properties are studied, including raw and factorial moments, recursive relations and risk, collective and Bayes premium. For the collective risk model, several properties are given and a recursive formula for calculating the total amount claim is obtained, assuming an arbitrary discrete distribution for the secondary distribution. Estimation methods based on moments and maximum likelihood are proposed, where the primary distribution is Poisson-Beta. Finally, several applications with real count data are included. Key words: Poisson-Beta Distribution, collective risk model, premium, overdispersion. 1 Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 35017-Las Palmas de Gran Canaria, España. E-mail: egomez@dmc.ulpgc.es 2 Departamento de Economía. Universidad de Cantabria, Avda. de los Castros s/n, 39005-Santander, España. E-mail: sarabiaj@unican.es ; faustino.prieto@unican.es
141
La distribución poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teoría del ...
1. Introducción Los datos de conteo aparecen en diversos problemas prácticos en estadística actuarial, como por ejemplo, el número de reclamaciones recibidas por una compañía de seguros o el número de hospitalizaciones registradas en un servicio médico. Tradicionalmente, la distribución de Poisson ha sido la más utilizada para modelizar este tipo de datos, tanto por su simplicidad como por sus satisfactorias propiedades teóricas. Sin embargo, resulta bien conocido que dicha distribución subestima la varianza debido al fenómeno de sobredispersión. La sobredispersión aparece en los ejemplos antes mencionados, y dicha distribución de Poisson no captura esta situación. Esto sugiere que es necesario más de un parámetro para describir las propiedades empíricas de los datos, proponiéndose modelos compuestos obtenidos a partir de mezclas de distribuciones de Poisson. Entre los modelos compuestos de Poisson, destacamos el modelo Poisson-gamma, que da lugar a la distribución binomial negativa, y que ha sido ampliamente estudiado en el ámbito actuarial por Lemaire (1979, 1985 y 1995), entre otros. Otros modelos compuestos incluyen la distribución Poisson-lognormal (Aitchison y Ho (1989)), la distribución Poisson-inversa Gaussiana (Tremblay, 1992 y Willmot, 1987), la distribución Poisson-uniforme (Bhattacharya y Holla, 1965), la distribución Poisson-gamma-gamma (Gómez-Déniz et al. (2008b)) y la distribución Poisson-gamma general basada en especificación condicional (Sarabia et al. (2004)). Una revisión detallada de modelos compuestos, también llamados mixturas de Poisson, aparece en Karlis y Xekalaki (2005) y en Willmot (1986, 1993) donde se proponen diversas aplicaciones en estadística actuarial. Propiedades teóricas de algunos de estos modelos pueden encontrarse en el libro de Johnson et al. (2005). Una de las ventajas de las distribuciones compuestas o mezclas de distribuciones es que suelen ser versiones sobredispersas (donde la varianza es mayor que la media) con colas más pesadas que la distribuciones de origen, y a menudo proporcionan mejores ajustes que las distribuciones de partida. Basándonos en el proceso de mezcla o mixtura, presentamos en este trabajo la distribución Poisson-Beta, que ha sido propuesta por Gurland (1958) y Katti (1966) en problemas de Ecología y por Willmot (1986, 1993) en el ámbito actuarial. Este último autor únicamente estudia algunos aspectos teóricos. Demostraremos la utilidad de dicha distribución para modelizar datos de reclamaciones en seguros de automóviles.
142
Emilio GĂłmez DĂŠniz, JosĂŠ MarĂa Sarabia y Faustino Prieto
Con objeto de hacer el trabajo autocontenido, presentamos a continuaciĂłn algunos resultados que serĂĄn utilizados mĂĄs adelante. La funciĂłn de masa de probabilidad de una variable aleatoria X que sigue la distribuciĂłn de Poisson con parĂĄmetro IT , I ! 0, 0 T 1 viene dada por:
f ( x | I ,T )
e IT (IT ) x , x!
x
0,1, 2,...,
eIT ( z 1) .
con funciĂłn generatriz de probabilidad dada por GX ( z | I , T )
La funciĂłn de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X de tipo Beta clĂĄsica con parĂĄmetros a, b ! 0 viene dada por:
f ( x | a, b)
donde B (a, b)
1
Âłt
a 1
0
x a 1 (1 x)b 1 , B ( a, b)
0 x 1,
(1 t )b 1 dt es la funciĂłn beta.
Finalmente, la funciĂłn confluente hipergeomĂŠtrica, denotada mediante 1 F1 ( a; c; x ), y que se conoce tambiĂŠn como funciĂłn de Kummer, se define por medio de la serie numĂŠrica: f
1 F1 ( a; c; x )
ÂŚ (c ) j 0
donde
(a) j
(a) j
es
el
(a) j x j j
j!
sĂmbolo
, c z 0, 1, 2,!
de
*(a j ) / *(a), siendo *( x)
Pochhammer,
Âł
f
0
definido
por
t x 1e t dt la funciĂłn gamma. La
funciĂłn confluente hipergeomĂŠtrica (ver Johnson et al., 2005) admite tambiĂŠn la siguiente representaciĂłn integral:
1
F1 (a; c; x)
1 * (c ) z a 1 (1 z )c a 1 e xz dz , Âł 0 * ( a ) * (c a )
143
La distribución poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teoría del ...
donde c ! a ! 0. El resto del trabajo está organizado de la siguiente manera. La Sección 2 presenta las propiedades básicas de la distribución Poisson-Beta. Se incluyen las expresiones de los momentos ordinarios, los momentos factoriales, relaciones de recurrencia y las primas netas de riesgo, colectiva y Bayes, donde se supone un modelo Poisson para el riesgo y un modelo Beta para la distribución estructura (o distribución a priori). En la Sección 3 se estudian diversos métodos de estimación. Se proponen estimadores basados en la frecuencia de ceros junto con los dos primeros momentos, así como estimadores clásicos obtenidos a partir de los momentos factoriales. Se obtienen expresiones de los estimadores de máxima verosimilitud para la distribución primaria Poisson-Beta. En la Sección 4 se estudia el modelo de riesgo colectivo Poisson-Beta, donde la distribución primaria es de tipo Poisson-Beta, y la distribución secundaria de tipo discreto. Se estudian diversas propiedades del modelo colectivo y se obtiene una relación de recurrencia para la distribución de la cantidad total reclamada, suponiendo que la cuantía se distribuye según una distribución discreta arbitraria. En la Sección 5 se incluyen aplicaciones con datos reales del número de reclamaciones de seguro de automóviles, que ponen de manifiesto la importancia de esta distribución en seguros generales. El trabajo finaliza con una sección de conclusiones.
2 La distribución Poisson-Beta Comenzamos presentando la definición de la distribución Poisson-Beta propuesta por Gurland (1958) y estudiada por Katti (1966) y Willmot (1986, 1993). Definición 1 Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución Poisson-Beta si admite la siguiente representación estocástica:
X | T | Po(IT ) T | Be(a, b)
144
(1) (2)
Emilio Gรณmez Dรฉniz, Josรฉ Marรญa Sarabia y Faustino Prieto
donde Po(IT ) representa una distribuciรณn de Poisson clรกsica con parรกmetro
IT , I ! 0,
0 T 1 y Be(a, b) representa una distribuciรณn Beta clรกsica con parรกmetros a, b ! 0. Una variable aleatoria X con la representaciรณn estocรกstica (1)-(2) se representarรก en adelante por X | PB(a, b, I ) y se dice que la variable aleatoria X sigue una distribuciรณn Poisson-Beta. Incluimos a continuaciรณn propiedades bรกsicas de esta distribuciรณn. Algunas de estas propiedades son conocidas y otras nuevas. La funciรณn generatriz de probabilidad de la variable aleatoria Poisson-Beta viene dada por:
GX ( z )
F (a; a b; I ( z 1)),
1 1
(3)
donde 1 F1 (a; c; x) representa la funciรณn confluente hipergeomรฉtrica definida en la secciรณn anterior. La funciรณn de masa de probabilidad de una variable aleatoria X que sigue la distribuciรณn Poisson-Beta, i.e. X | PB(a, b, I ), admite la siguiente representaciรณn.
Pr( X
x)
I x * ( a b) * ( a x ) x ! *(a ) *(a b x)
Ix
F (a x; a b x; I )
1 1
a " (a x 1) 1 F1 ( a x; a b x; I ), x ! (a b)" (a b x 1)
donde x
(4)
0,1, 2,...
Teniendo en cuenta que la distribuciรณn Beta es unimodal para valores a ! 1, b ! 1, se deduce que si se verifican esas condiciones la distribuciรณn Poisson-Beta es de nuevo unimodal (ver Holgate (1970) y Al-Zaid (1983)).
145
La distribuciĂłn poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teorĂa del ...
El momento factorial de orden k puede obtenerse a partir de (3), y viene dado por:
P>k @ ( X ) E > X ( X 1)! ( X k 1)@
* ( a b) * ( a x ) I x , k 1, 2,! *( a ) *( a b x )
(5)
A partir de (5) se deducen las expresiones de la esperanza y la varianza, que vienen dadas por: (6) aI
E( X )
Var ( X )
a b
,
aI a b I2 , a b (a b) 2 (1 b 1)
(7)
y por tanto a partir de (6) y (7) se concluye que el modelo presenta sobredispersiĂłn. Por otro lado, las probabilidades pueden obtenerse tambiĂŠn de manera recursiva a partir de las probabilidades Pr( X 0) y Pr( X 1) utilizando la siguiente relaciĂłn (Johnson et al., 2005),
( x 1) ( x 2) px 2 donde px
Pr( X
( x 1) ( x a b I ) px 1 I ( x a) px ,
(8)
x) . Por otro lado, teniendo en cuenta el primer teorema
de Kummer:
F (a , c , x) e x 1 F1 (c a , c , x),
1 1
se verifica que la funciĂłn de masa de probabilidad (4) puede tambiĂŠn ser escrita como:
Pr( X
x)
I x * ( a b) * ( a x ) x ! *(a ) *(a b x)
146
e I 1 F1 (b, a b x, I ),
Emilio GĂłmez DĂŠniz, JosĂŠ MarĂa Sarabia y Faustino Prieto
y por tanto,
Pr( X x 1) Pr( X x)
I
a x 1 F1 (b, a b x 1, I ) , x 1 a b x 1 F1 (b, a b x, I )
(9)
donde
Pr( X
0) e I 1 F1 (b, a b, I ).
(10)
La expresiĂłn (9) permite por tanto obtener las probabilidades del modelo de manera recursiva. En la representaciĂłn estocĂĄstica (1)â&#x20AC;&#x201C;(2), si nos preguntamos sobre la distribuciĂłn condicional T X , los momentos posteriores se pueden obtener mediante la siguiente fĂłrmula (Willmot y Sundt, 1989 y Karlis y Xekalaki, 2005):
E (T r X
x) I r
*(a x r ) *(a b x) *(a b x r ) *(a x)
1
F1 (a x r ; a b x r; I ) . 1 F1 ( a x, a b x, I )
Cuando r = 1, tenemos que:
E (T X
x) I
a x a b x
1
F1 (a x 1; a b x 1; I ) . 1 F1 ( a x, a b x, I )
(11)
Si el nĂşmero de reclamaciones de un asegurado perteneciente a una cartera de seguros sigue la distribuciĂłn de Poisson con parĂĄmetro IT , la prima neta de riesgo es PR
IT . Si se considera que la cartera es heterogĂŠnea y que
T sigue la distribuciĂłn a priori (funciĂłn estructura) Beta clĂĄsica, entonces la prima neta colectiva vendrĂĄ dada por:
PC
1
T a 1 (1 T )b 1
0
B ( a, b)
Âł IT
147
dT
aI . a b
La distribuciĂłn poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teorĂa del ...
Ahora (11) puede ser vista como la prima neta Bayes cuando se dispone de un perĂodo de tiempo de observaciĂłn con informaciĂłn muestral x. Para una revisiĂłn del principio de prima neta, el lector puede consultar a GĂłmezDĂŠniz et al. (2008a y 2008b), Sarabia et al. (2004) y Tremblay (1992), entre otros.
3 EstimaciĂłn En esta SecciĂłn se proponen diversos mĂŠtodos de estimaciĂłn de los tres parĂĄmetros del modelo. Consideremos una muestra aleatoria simple x1 ,! , xn procedente de la distribuciĂłn Poisson-Beta con funciĂłn de cuantĂa (4), y sean m>k @ ( X ), k factoriales.
1, 2,3 las versiones muestrales de los momentos
3.1 Estimadores basado en la frecuencia de cero y los dos primeros momentos Resulta bien conocido que en las distribuciones empĂricas de frecuencias correspondientes a carteras de seguros de automĂłviles, el valor mĂĄs frecuente observado es el cero. Se propone entonces un mĂŠtodo de estimaciĂłn que tenga en cuenta este importante hecho empĂrico. Consideramos un mĂŠtodo de estimaciĂłn basado en la frecuencia de ceros y en los dos primeros momentos. El sistema a resolver estĂĄ formado por tres ecuaciones. La primera ecuaciĂłn es la formada por la frecuencia teĂłrica de ceros (10) y la correspondiente frecuencia observada p0 . Las otras dos ecuaciones las forman los dos primeros momentos teĂłricos junto con sus versiones muestrales. Se obtiene entonces el sistema:
p0 m1 m2 m1
e I 1 F1 (b, a b, I ), aI , a b I (a 1) . a b 1
Si en las dos Ăşltimas relaciones se despejan a y b en funciĂłn de los momentos muestrales y de I , se obtiene que:
148
Emilio GĂłmez DĂŠniz, JosĂŠ MarĂa Sarabia y Faustino Prieto
a
m1 (m2 I m1 ) , I (m12 m2 )
(12)
b
(m1 I )(I m1 m2 ) , I (m12 m2 )
(13)
expresiones que sustituidas en la primera de las ecuaciones, dan lugar a una ecuaciĂłn que sĂłlo depende de I , y puede resolverse numĂŠricamente. Finalmente, sustituyendo este valor en (12) y (13) se obtienen los estimadores a y b. Se propone a continuaciĂłn estimadores de momentos obtenidos por medio de los momentos factoriales. 3.2 Estimadores de momentos Los estimadores clĂĄsicos de momentos pueden obtenerse igualando los momentos factoriales teĂłricos a sus correspondientes muestrales, considerando el siguiente sistema de ecuaciones,
P>k @ ( X ) m>k @ , k 1, 2,3.
(14)
Resolviendo (14) en a, b y I , obtenemos los estimadores de momentos en forma cerrada:
aË&#x2020; bË&#x2020;
IË&#x2020;
2 m1 m22 m12 m3
m1 m22 2 m12 m3 m2 m3
,
2 m12 m2 m1 m2 m3 m1 m3 m22
m
2 1
m2 2 m22 m1 m3 2 m12 m3 m1 m22 m2 m3
m1 m22 2 m12 m3 m2 m3 . m12 m2 2 m22 m1 m3
149
,
La distribuciĂłn poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teorĂa del ...
Estos estimadores son consistentes y asintĂłticamente normales y pueden ser utilizados como valores iniciales en el mĂŠtodo de estimaciĂłn de mĂĄxima verosimilitud. 3.3 EstimaciĂłn por mĂĄxima verosimilitud El logaritmo de la funciĂłn de verosimilitud viene dada por, n
n log *(a b) n log *(a) n x log I ÂŚ log *(a xi )
l (a, b, I )
i 1
n
n
i 1
i 1
ÂŚ log *(a b xi ) ÂŚ log 1 F1 (a xi ; a b xi ; I ) k , de donde se obtienen las ecuaciones normales: n
n
i 1
i 1
n\ (a b) n\ (a ) ÂŚ\ (a xi ) ÂŚ\ (a b xi ) n
ÂŚ 1
(0,1,0) 1
F
i 1
(a xi ; a b xi ; I ) 1 F1(1,0,0) (a xi ; a b xi ; I ) 1 F1 ( a xi ; a b xi ; I ) n
n
i 1
i 1
n\ (a b) ÂŚ\ (a b xi ) ÂŚ 1 nx
I
n
ÂŚ 1 i 1
donde \ ( x)
F1(0,1,0) (a xi ; a b xi ; I ) 1 F1 ( a xi ; a b xi ; I )
F1 (1 a xi ;1 a b xi ; I ) (a xi ) 1 F1 ( a xi ; a b xi ; I ) ( a b xi )
0, 0,
0,
d log *( x) y 1 F1(i , j ,k ) representa las derivadas parciales de dx
la funciĂłn confluente hipergeomĂŠtrica. A pesar del aspecto aparentemente complejo de estas ecuaciones, el sistema puede resolverse sin dificultad por medio de los mĂŠtodos numĂŠricos disponibles en la mayorĂa de los paquetes comerciales de software. En este trabajo se ha utilizado el paquete de software Mathematica.
150
Emilio GĂłmez DĂŠniz, JosĂŠ MarĂa Sarabia y Faustino Prieto
4 La distribuciĂłn Poisson-Beta como distribuciĂłn primaria En esta SecciĂłn nos ocupamos del modelo de riesgo colectivo compuesto en el que la distribuciĂłn primaria es la Poisson-Beta. Consideremos entonces la variable aleatoria S X 1 X 2 ! X N donde N , X 1 , X 2 ,! son variables aleatorias mutuamente independientes, no negativas y donde las variables aleatorias X 1 , X 2 ,! estĂĄn idĂŠnticamente distribuidas con funciĂłn de cuantĂa comĂşn f ( xi )
f i . La distribuciĂłn de la variable aleatoria S se
denomina Poisson-Beta compuesta. Resulta bien conocido que la funciĂłn caracterĂstica de S viene dada por:
M S (t ) GN >M X (t )@
F (a ; a b ; I (M X (t ) 1)),
1 1
donde M X (t ) representa la funciĂłn caracterĂstica de la variable aleatoria X . La distribuciĂłn de S juega un papel importante en estadĂstica actuarial cuando N representa el nĂşmero de reclamaciones y X i la cuantĂa asociada a la i-ĂŠsima reclamaciĂłn, de modo que S representa la cantidad total reclamada. Resulta bien conocido (ver por ejemplo, Klugman et al. (2008)) que la funciĂłn densidad de probabilidad de S viene dada por: f
gi
ÂŚp
f *n , i ! 0,
n i
n 0
y
g0
GN ( f 0 )
F (a , a b ; I ( f 0 1)),
1 1
convoluciĂłn n-ĂŠsima de fi y pn
Pr( N
donde
fi *n denota la
n) viene definida en la expresiĂłn
(4). Los avances computacionales permiten hoy en dĂa calcular los valores de g i con una exactitud razonable. Sin embargo, para la mayorĂa de las distribuciones discretas existen fĂłrmulas recursivas que permiten su cĂĄlculo de manera exacta. A continuaciĂłn demostraremos que esto resulta tambiĂŠn posible para el caso del modelo Poisson-Beta compuesto.
151
La distribuciĂłn poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teorĂa del ...
A partir de la expresiĂłn (8), suponiendo que la variable aleatoria N sigue la distribuciĂłn Poisson-Beta, se puede demostrar que:
pn
I (n a 2) § a b I 2 ¡ pn 2 , n ¨1 ¸ pn 1 n n(n 1) Š š
siendo p0
2,3,! ,
(15)
e I 1 F1 (b, a b, I ), mientras que
p1 I (a 1) a b 1 1 F1 (b, a b 1, I ) 1 F1 (b, a b 1, I ) p0 . Si en la expresiĂłn (15) hacemos a recurrencia:
pn
1 , se obtiene la siguiente relaciĂłn de
I § b I 1 ¡ ¨1 ¸ pn 1 pn 2 , n n š n Š
2,3,! ,
Una expresiĂłn similar, aparece en SchrĂśter (1990) (ver expresiĂłn 2.3 en dicho trabajo). Finalmente, el siguiente resultado proporciona una fĂłrmula que permite el cĂĄlculo exacto de la distribuciĂłn de la cantidad total reclamada. Teorema 1 ConsidĂŠrese la clase de distribuciones de masa de probabilidad que verifican la siguiente fĂłrmula recursiva
pn
c § m¡ ¨1 ¸ pn 1 pn 2 , n nš n Š
2,3,! ,
Supongamos que la variable aleatoria asociada a la i-ĂŠsima reclamaciĂłn, con funciĂłn de masa de probabilidad f i , es de tipo discreto. Entonces, la funciĂłn de masa de probabilidad de la cantidad total reclamada, g S ( xi ) g i satisface la siguiente relaciĂłn de recurrencia:
152
Emilio GĂłmez DĂŠniz, JosĂŠ MarĂa Sarabia y Faustino Prieto
gi
po
i i ª§ m j ¡ 1 ° c j *2 Âş § m j¡ f f g p ÂŽ p1 f i ÂŚ ¨1 j Âť i j 0 ÂŚ ¨1 ¸ j ¸ f j , i t 1, 1 f 0 ¯° 2i i š i š j 1 Š j 1Š Âź
i
siendo f j*2
ÂŚf
f , mientras que g 0
j i j
p0 .
j 0
DemostraciĂłn: Partimos de la expresiĂłn: f
ÂŚ pn f i * n
gi
n 0
f
p0 p1 f i ÂŚ pn fi *n . n 2
A continuaciĂłn, utilizando las siguientes expresiones (ver por ejemplo, SchrĂśter, 1990) i
f j*n
ÂŚf
*( n 1) j i j
f
,
j 0
f j*n
n i ÂŚ jf j fi*( jn 1) , i j1
f j*n
n i ÂŚ jf j*k fi*( jn k ) , i 1, 2,..., n 1, 2,... ki j 1
se obtiene que:
153
La distribuciĂłn poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teorĂa del ...
f
f
ÂŚp
*n n fi
n 2
ª§
m¡
Œ ¨Š1 n ¸š p
n 1
n 2 f
c Âş pn 2 Âť fi *n n Âź
f
f 1 1 pn 1 f i *n c ÂŚ pn 2 f i *n n 2 n n 2 n i f f n i 1 1 *( n 1) *( n 1) fi j f j mÂŚ pn 1 ÂŚ jf j fi j c ÂŚ pn 2 ÂŚ jf j*2 f i *( jn 2) i j1 n 2 n n 2 n j 1
ÂŚ pn 1 fi*n mÂŚ n 2 f
i
ÂŚp ÂŚ n 1
n 2
j 0
f
i
ÂŚf ÂŚp j
*( n 1) n 1 i j
n 2
j 0 i
ÂŚ f g j
j 0
f
i j
p0
f f m i c i jf j ÂŚ pn 1 f i *( jn 1) ÂŚ jfi *( jn 2) ÂŚ pn 1 fi *( jn 1) ÂŚ i j1 n2 2i j 1 n 2
m i c i jf j gi j p0 ÂŚ j f j*2 gi j . ÂŚ i j1 2i j 1
Por tanto:
gi
p0 p1 fi f 0 gi p0
i i ª§ m j ¡ c j *2 º § m j¡ Œ ¨ 1 f f g p 0 Œ ¨1 j  i j ¸ j ¸ fj, i š 2i i š j 1 Š j 1Š Ÿ
de donde se sigue el resultado.Â&#x2020; La fĂłrmula recursiva para la cantidad total reclamada para el modelo Poisson-Beta compuesto se obtiene haciendo m b I 1 y c I en el teorema anterior. Finalmente, se puede obtener una fĂłrmula alternativa para el caso en que fi sea continua, cambiando los correspondientes sumatorios por integrales.
5 Aplicaciones En este apartado probaremos a travĂŠs de diversos conjuntos de datos la utilidad del modelo Poisson-Beta propuesto. Los ejemplos consisten en tres conjuntos de datos utilizados en la literatura actuarial. El primer conjunto de datos aparece en Klugman et al. (2008, p.465), Simon (1961) y GĂłmez154
Emilio Gómez Déniz, José María Sarabia y Faustino Prieto
Déniz et al. (2008b) entre otros. Estos datos representan el número de contratos de pólizas de seguros que han experimentado desde 0 hasta más de 12 reclamaciones. El segundo conjunto de datos ha sido utilizado por Willmot (1987) y Gómez-Déniz et al. (2008a), y corresponde a reclamaciones de una póliza de seguro de automóviles recogida en Zaire en el año 1974. Estos datos han sido ajustados previamente utilizando, entre otras, las distribuciones Poisson, binomial negativa, Poisson-inversa Gaussiana y la distribución Poisson-Gamma-Gamma. Finalmente, el tercer conjunto de datos se refiere al número de hospitalizaciones de un determinado grupo de empleados de una empresa, que aparece en Klugman et al. (2008, p.513). Todos los conjuntos de datos presentan sobredispersión, puesto que las varianzas muestrales son mayores que las respectivas medias. Por tanto, la distribución Poisson-Beta propuesta en este trabajo parece apropiada para ajustar dichos datos. Para el primer conjunto de datos, la Tabla 1 muestra los datos originales junto con los valores ajustados obtenidos mediante los tres métodos de estimación descritos en la Sección 3 (método de la frecuencia de ceros y los dos primeros momentos factoriales (ZM), método de los momentos (MM) y método de máxima verosimilitud (ML)). Para el segundo conjunto de datos, la Tabla 3 incluye los valores observados y los ajustados mediante máxima verosimilitud. Hay que señalar que para este conjunto de datos los métodos basados en momentos no proporcionan estimadores admisibles. Las Tablas 2 y 4 muestran diversos estadísticos, incluyendo el valor del estadístico F 2 junto con los correspondientes p-valores, así como el valor del logaritmo de la función de verosimilitud. Todos los ajustes son bastante satisfactorios, de modo que no se rechaza la hipótesis nula y se mejoran los ajustes proporcionados por otros modelos clásicos. Finalmente, las Tablas 5 y 6 recogen, respectivamente, los datos y valores ajustados, así como el resumen de los estadísticos de ajuste para el tercer conjunto de datos. De nuevo los ajustes son bastante satisfactorios.
155
La distribución poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teoría del ...
6 Conclusiones En este trabajo se ha propuesto la distribución Poisson-Beta para su aplicación en seguros individuales y en la teoría del riesgo colectivo. La mayor parte de las características de dicha distribución están disponibles en forma cerrada y son fáciles de calcular. Se han obtenido las primas de riesgo, colectiva y Bayes. Se han estudiado propiedades del modelo colectivo, y se ha obtenido una relación de recurrencia para la distribución de la cantidad total reclamada, suponiendo que la cuantía es de tipo discreto. Este resultado se puede extender al caso continuo. Se han propuesto métodos de estimación de momentos y de máxima verosimilitud. Los ajustes a partir de conjuntos de datos reales son bastante satisfactorios. Tabla 1: Frecuencias observadas y estimadas con el modelo Poisson-Beta mediante los tres métodos de estimación propuestos. Número de reclamaciones 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observadas
Estimadas (ZM)
Estimadas (MM)
99 65 57 35 20 10 4 0 3 4 0 1 0
99.00 70.54 49.89 34.16 22.43 14.03 8.34 4.70 2.51 1.27 0.60 0.27 0.12
95.25 74.41 51.81 34.13 21.59 13.20 7.82 4.49 2.50 1.36 0.71 0.36 0.31
156
Estimadas (ML) 96.98 72.75 50.92 34.08 21.91 13.54 8.05 4.60 2.52 1.33 0.67 0.33 0.57
Emilio Gómez Déniz, José María Sarabia y Faustino Prieto
Tabla 2: Resumen los ajustes para los datos de la Tabla 1. Método
aˆ bˆ
ZM 0.942 2.802
MM 1.218 7.145
ML 1.086 4.476
Iˆ
7.208
12.459
9.291
Ȥ2 g.l. p-valor Lmax
4.78 3 18.86 % -560.863
4.52 3 21.05 % -560.826
4.75 3 19.10 % -560.764
Tabla 3: Frecuencias observadas y estimadas con el modelo Poisson-Beta mediante el método de máxima verosimilitud. Número de reclamaciones 0 1 2 3 4 5
Observadas 3719 232 38 7 3 1
Estimadas (ML) 3719.22 229.88 39.92 8.41 1.93 0.46
Tabla 4: Resumen de los ajustes para los datos de la Tabla 3 Método
aˆ bˆ
ML 0.216 848.403
Iˆ
339.323
Ȥ2 g.l. p-valor Lmax
1.43 1 23.17 % -1183.55
157
La distribución poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teoría del ...
Tabla 5: Hospitalizaciones observadas y ajustadas con el modelo PoissonBeta mediante dos de los métodos de estimación propuestos. Número de hospitalizaciones 0 1 2 3 +4
Observadas 2659 244 19 2 0
Estimadas (MM) 2659.14 243.45 19.80 1.50 0.10
Estimadas (LM) 2659.07 243.62 19.68 1.50 0.11
Tabla 6: Resumen de los ajustes para los datos de la Tabla 5 Método
aˆ bˆ
MM 1.138 14.076
ML 1.268 60.519
Iˆ
1.316
4.798
Ȥ2 g.l. p-valor Lmax
0.30 1 58.38 % -969.067
0.63 1 42.73 % -969.065
Agradecimientos Los autores agradecen al ministerio de Ciencia e Innovación (proyectos SEJ2004-02810 y SEJ2007-65818 (JMS) y SEJ2006-12685(EGD)) por la financiación parcial de este trabajo.
158
Emilio Gómez Déniz, José María Sarabia y Faustino Prieto
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La distribución poisson-beta: aplicaciones y propiedades en la teoría del ...
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160
EFECTOS DEL REASEGURO PROPORCIONAL EN EL REPARTO DE DIVIDENDOS. UN ANÁLISIS A LARGO PLAZO† Maite Mármol1, M.Mercè Claramunt2 y Anna Castañer3 Profesoras del Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial
RESUMEN El objetivo del trabajo es presentar la interacción entre el reaseguro proporcional y el reparto de dividendos. En primer lugar, resumimos las características del modelo clásico de la teoría de la ruina y comentamos las modificaciones producidas por la introducción de un reaseguro proporcional y del reparto de dividendos con una barrera constante. Asimismo, adaptamos las diferentes magnitudes relacionadas con el reparto de dividendos a un modelo con reaseguro proporcional y explicitamos las fórmulas de las diferentes magnitudes para una cuantía individual de los siniestros con una distribución exponencial unitaria. Finalmente, presentamos un análisis numérico y las conclusiones. PALABRAS CLAVE: Reaseguro proporcional, dividendos, barrera constante. ABSTRACT The aim of this paper is to present the interaction between the proportional reinsurance and the dividend pay-out. First, we summarize the hypothesis of the classical model of ruin theory and we comment the modifications when we introduce a proportional reinsurance and a constant dividend barrier. Then we adapt the tools used to study the dividend pay-out in this new model and we show the magnitudes for a unitary exponential distribution for † Trabajo financiado parcialmente por el Ministerio de Educación y Ciencia y FEDER 2006. MTM200613468 y MTM2006-09920. 1 Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 93.403.57.44 Fax: 93.4037272. mmarmol@ub.edu. 2 Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 93.403.57.44 Fax: 93.4037272. mmclaramunt@ub.edu. 3 Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 93.403.48.93 Fax: 93.4034892. acastaner@ub.edu.
161
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
the individual claim amount. Finally we present some numerical results and the conclusions.
KEYWORDS: Proportional reinsurance, dividends, constant barrier
1. Introducción En este trabajo, a partir del modelo clásico de la teoría de la ruina, se introducen dos estrategias de las que dispone el gestor de la cartera cuyo objetivo es muy distinto pero que tienen como consecuencia la modificación del nivel de las reservas acumulado. Por un lado, se considera que el gestor de la cartera sigue una estrategia de reaseguro proporcional de tal forma que se cede un porcentaje de siniestralidad y consecuentemente de las primas al reasegurador. De esta forma, todo el proceso de riesgo retenido y las medidas de solvencia (como la probabilidad de ruina o el primer momento en que las reservas son negativas) se ven modificadas. Por otro lado, se introduce una política de reparto de dividendos, fijando un nivel máximo de las reservas, de forma que si las reservas alcanzan dicho nivel, los ingresos por primas se reparten en forma de dividendos hasta la ocurrencia del siguiente siniestro. Así, mientras el reaseguro aparece como una medida para controlar la solvencia, el reparto de dividendos es una herramienta para controlar un crecimiento ilimitado de las reservas. El objetivo de este trabajo es presentar de forma sencilla la interacción entre el reaseguro proporcional y el reparto de dividendos. Después de esta introducción, el presente trabajo se estructura como sigue. En el apartado 2 resumimos las características del modelo clásico de la teoría de la ruina y comentamos las modificaciones producidas por la introducción de un reaseguro proporcional y del reparto de dividendos con una barrera constante. Asimismo, adaptamos las diferentes magnitudes relacionadas con el reparto de dividendos a un modelo con reaseguro proporcional. En el apartado 3 explicitamos la fórmulas de las diferentes magnitudes para una cuantía individual de los siniestros con una distribución
162
Maite Mårmol, M. Mercè Claramunt y Anna Castaùer
exponencial unitaria. En el apartado 4 presentamos un anĂĄlisis numĂŠrico. Por Ăşltimo incluimos las conclusiones del trabajo.
2. Modelo clĂĄsico: reaseguro proporcional y reparto de dividendos El modelo clĂĄsico de la teorĂa de la ruina representa el nivel de las reservas en un momento t determinado, R t , como
R t u ct S (t ) siendo u el nivel inicial de las reservas, es decir la aportaciĂłn inicial de capital que permite poner en funcionamiento la cartera, c el ingreso por primas en cada instante, y S t la suma de los siniestros ocurridos hasta el momento t . La cuantĂa acumulada de los siniestros hasta el momento t , se N t
calcula como S t
ÂŚZ
i
, siendo N t el proceso estocĂĄstico del
i 1
nĂşmero de siniestros ocurridos hasta el momento t , y Z i la cuantĂa del iĂŠsimo siniestro. Las hipĂłtesis clĂĄsicas consideran que las cuantĂas de los siniestros estĂĄn idĂŠntica e independientemente distribuidas, y son independientes del nĂşmero de siniestros, de forma que S t es un proceso compuesto. Si consideramos ademĂĄs, como es habitual, que N t es un proceso de Poisson de parĂĄmetro O , S t es un proceso de Poisson Compuesto. La prima viene calculada como la siniestralidad esperada recargada por un coeficiente de seguridad U ! 0 , de forma que cumple la condiciĂłn â&#x20AC;&#x153;net profitâ&#x20AC;?, siendo c
O E > Z @ 1 U .
Para valorar la solvencia de la cartera, una de las medidas es el momento de ruina, definido como T
^
`
min t R t 0 , siendo la probabilidad de ruina
en un modelo con horizonte temporal infinito
\ u P ÂŞÂŹT f R 0 u ºŸ . Las compaĂąĂas aseguradoras pueden optar por realizar contratos de reaseguro para poder asumir riesgos mayores o protegerse mejor de la ruina. 163
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
Este contrato de reaseguro transfiere parte de los riesgos asumidos por la compaĂąĂa aseguradora a la reaseguradora a cambio de cederle tambiĂŠn una parte de las primas que recibe de los asegurados. Sea X el riesgo asegurado por el asegurador. Se define la funciĂłn de retenciĂłn, h( X ) , que determina la cantidad retenida de riesgo por parte de la compaĂąĂa aseguradora, siendo X h( X ) la parte de la que se harĂĄ cargo la reaseguradora. La funciĂłn h( X ) cumple las siguientes propiedades (Melnikov (2003), Kaas et al. (2001)): a) h( X ) y X h( X ) son funciones no decrecientes, b) 0 d h( X ) d X , h(0)
0.
Se puede diferenciar dos grandes grupos de reaseguro: el reaseguro proporcional y el no proporcional. Dentro de los reaseguros proporcionales se incluyen los reaseguros conocidos como cuota-parte y de excedentes. El primero transfiere todos los riesgos en la misma proporciĂłn, mientras que en el segundo dicha proporciĂłn puede variar. En cuanto a los reaseguros no proporcionales se encuentran los conocidos como Stop-Loss y Excess-Loss. Ambos ofrecen protecciĂłn cuando la siniestralidad supera un determinado nivel acordado. A partir de ahora nos centraremos en el reaseguro cuota-parte, que denominamos genĂŠricamente reaseguro proporcional. Por lo tanto, se considera que la funciĂłn de retenciĂłn es h( Z ) kZ , siendo k , el nivel de retenciĂłn de la aseguradora, que estarĂĄ comprendido entre 0 d k d 1 . AsĂ, en el reaseguro proporcional, el asegurador o cedente asume un porcentaje k Â? 0,1@ de la cuantĂa de los siniestros, al que se denomina nivel de retenciĂłn, y el reasegurador se harĂĄ cargo del (1 k ) restante. El reasegurador, en su contrato con el asegurador, aplica un recargo de seguridad U R ! 0 , de forma que la intensidad de prima neta de reaseguro para el asegurador es
c ' c (1 k )(1 U R )O E > Z @ .
164
Maite Mårmol, M. Mercè Claramunt y Anna Castaùer
Se considera normalmente que U R ! U ! 0 ya que si U R d U , el asegurador sencillamente cederĂa toda su cartera al reasegurador, situaciĂłn que carece de sentido. Esta prima neta define un nuevo recargo de seguridad real para el asegurador,
UN
U U c' . 1 UR R kO E >Z @ k
La condiciĂłn â&#x20AC;&#x153;net profitâ&#x20AC;? para el recargo de seguridad ( U N ! 0 ) impone un lĂmite natural en la proporciĂłn retenida por el asegurador, de forma que
UR U k d 1, UR
U R ! U ! 0.
El nivel de las reservas en un momento t determinado, considerando un modelo clĂĄsico donde se aplica un reaseguro proporcional, es N (t )
Rk t u c ' t ÂŚ Yi i 1
siendo Yi kZ i y c ' O E[Yi ](1 U N ) . En este caso, todas las magnitudes relacionadas con la ruina en un modelo de reaseguro proporcional, pueden calcularse utilizando un modelo clĂĄsico sin reaseguro, teniendo en cuenta que los parĂĄmetros son u , c ' y la cuantĂa de los siniestros dada por la variable aleatoria Y kZ . La probabilidad de ruina Ăşltima en un modelo proporcional se simbolizarĂĄ por \ k u . Gran parte de los estudios sobre el efecto del reaseguro proporcional se han centrado en su influencia en la probabilidad de ruina Ăşltima a travĂŠs del coeficiente de ajuste (ver por ejemplo Centeno (1986, 2002) y Dickson y Waters (1996)). A continuaciĂłn, introducimos en el modelo modificado con un reaseguro proporcional una polĂtica de reparto de dividendos. La motivaciĂłn para que el gestor opte por repartir una parte de las reservas en forma de dividendos nace de la crĂtica de De Finetti (1957) que dice que con un recargo de seguridad positivo aquellas trayectorias de las reservas que no se anulan tienden a infinito con probabilidad uno. AsĂ para evitar una
165
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
acumulación excesiva de las reservas se opta por introducir estrategias que eviten estas situaciones. En nuestro modelo, se decide acumular como máximo un nivel de las reservas b , de tal forma que cuando las reservas alcanzan ese nivel, éstas permanecen en dicho nivel hasta la ocurrencia del siguiente siniestro. Formalmente la modificación del modelo se realiza con una barrera de dividendos b(t)=b . La introducción de reparto de dividendos evidentemente modifica la trayectoria de las reservas. Así, en ésta nueva situación la probabilidad de ruina es segura, pasando a tener especial relevancia el momento de ruina como forma de valorar la solvencia. Aparece en este nuevo contexto la necesidad de cuantificar los dividendos repartidos como medida indispensable para la valoración de la política de reparto. En este trabajo se utiliza como medida de las cuantías repartidas la esperanza del valor actual de los dividendos repartidos hasta el momento de ruina T a un tanto instantáneo de interés G constante, magnitud que representamos como Wk u , b . En la nomenclatura hemos incluido k para indicar que estamos en un modelo con reaseguro proporcional con porcentaje de retención k . Esperanza del valor actual de los dividendos repartidos condicionados a que sean positivos y tiempo promedio de espera para el reparto de dividendos si son positivos. En este subapartado se adaptan las variables relacionadas con el reparto de dividendos presentadas en Mármol et al. (2007), a un modelo con reaseguro proporcional. En dichas variables incluimos el subíndice k para indicar que estamos en un modelo con reaseguro. Para un nivel determinado de las reservas x , x t u , se define [ u , b
como la probabilidad de que la ruina ocurra sin que las reservas hayan alcanzado previamente el nivel x (Gerber et al. (1987), Dickson (1992)). Por lo tanto, si consideramos que x b , también es la probabilidad de que la compañía no llegue a repartir dividendos, que coincide con la probabilidad de que Wk u , b sea cero,
[ k u, b P ª¬Wk u, b 0 º¼ .
166
Maite Mármol, M. Mercè Claramunt y Anna Castañer
Por otro lado, F k u , b 1 [ k u , b , es la probabilidad de que se lleguen a repartir dividendos,
F k u, b P ª¬Wk u, b ! 0 º¼ . Estas probabilidades, [ k u , x y F k u , b , nos permite condicionar el cálculo de los dividendos repartidos a que estos sean positivos. Si tenemos en cuenta que Wk u , b es la esperanza del valor actual de los dividendos repartidos, podemos calcular esa esperanza condicionada a que se produzca reparto, magnitud que representaremos como WkF u , b , a partir de:
Wk u, b WkF u, b P ª¬Wk u , b ! 0 º¼ de donde despejando y teniendo en cuenta la reinterpretación de F k u , b se obtiene
Wk F u , b
Wk u , b
F k u, b
A partir de Dickson y Gray (1984), si el recargo de seguridad, U N , es positivo, entonces se cumple,
F k u, b
1 \ k u
. 1 \ k b
Así, la expresión de la esperanza de los dividendos repartidos condicionados a que sean positivos, es,
Wk F u , b
1 \ k b
Wk u , b . 1 \ k u
167
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
A partir de Wk F u , b en MĂĄrmol et al (2007) se calcula, W k u , b , definido como el tiempo promedio que deberĂĄ esperar el accionista para empezar a cobrar dividendos. Teniendo en cuenta que Wk F u , b recoge Ăşnicamente aquellas trayectorias de las reservas que alcanzan la barrera sin que previamente se haya producido la ruina podemos escribir,
WkF u, b e GW k u ,b Wk b, b , W k u, b ! 0 de donde,
W k u, b
1
G
ln
Wk b, b
. WkF u, b
3. Caso exponencial Asumimos a continuaciĂłn que la cuantĂa individual de los siniestros sigue una distribuciĂłn exponencial unitaria. La probabilidad de ruina en un modelo modificado con reaseguro y sin reparto de dividendos es UN
u 1 \ k (u ) e k (1 U N ) , 1 UN
u t 0 .
(1)
Si el objetivo del gestor es optimizar la solvencia de la cartera minimizando la probabilidad de ruina, la variable de control relacionada con el reaseguro es el porcentaje de retenciĂłn. AsĂ, a partir de (1), para un nivel inicial de las reservas u , el porcentaje de retenciĂłn que permite conseguir el objetivo es,
kop (u )
A2 2uBA A A2 4 Bu 2 2 B(u U R A)
kop (u ) 1 otros casos
168
si u !
(1 U ) A !0 U (2 U ) U R
Maite Mårmol, M. Mercè Claramunt y Anna Castaùer
siendo A
(UR U ) y B
(1 U R ) .
Recordamos que al introducir una barrera de dividendos constante, la probabilidad de ruina es uno, por lo que el momento de ruina T cobra mayor importancia. En CastaĂąer et al. (2007) se obtiene la expresiĂłn de la esperanza del momento de ruina en un modelo con barrera de dividendos y reaseguro proporcional,
Ek >T @
1 UN
OU N
e
U N b u
k 1 U N
§ 1 U k 1U NU u 1 N N ¨ e ¨ UN UN Š
u ¡ 1 k. ¸ ¸ OU N š
(2)
El cĂĄlculo de Wk u , b lo encontramos en CastaĂąer et al. (2007), siendo
1 kr1 r1u r2u e e 1 kr2 1 kr1 r1b r1e r2 er2b 1 kr2
Wk u, b
(3)
donde r1 y r2 son las raĂces de la expresiĂłn
O k 1 U N r 2 G OU N r
G k
0.
Las expresiones F k u , b , WkF u , b y W k u , b , a partir de (1) y (3) son,
F k u, b
1 UN e 1 UN e
U § k (1 U ¨1 U N e ¨ Š U § k (1 U ¨1 U N e ¨ Š N
N
UN
u
k (1 U N )
UN k (1 U N )
b
¡ § 1 kr r u r u ¡ 1 e1 e2 ¸ ¸¨ ¸ Š 1 kr2 š š u ¡§ ¡ 1 kr1 r1b ) r1e r2 e r2b ¸ ¸¨ ¸ Š 1 kr2 š š b
N
Wk F u , b
169
N
)
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
§ U k (1 U ¨ 1 UN e 1 ¨ ln U G¨ k (1 U ¨ 1 UN e Š N
W k u, b
u N
)
N
)
N
b
1 kr1 r1b r2b e e 1 kr2 ln 1 kr1 r1u r1e r2 e r2u 1 kr2
¡ ¸ ¸ ¸ ¸ š
Si en todas las expresiones anteriores consideramos k 1 , se obtienen las expresiones correspondientes a un modelo sin reaseguro.
4. AnĂĄlisis numĂŠrico A continuaciĂłn se presentan resultados numĂŠricos para las magnitudes expuestas en los apartados anteriores. En este apartado analizamos en primer lugar la sensibilidad de las magnitudes respecto del capital inicial. En segundo lugar su sensibilidad respecto del porcentaje de retenciĂłn del reaseguro proporcional, definiendo una nueva funciĂłn que intenta conciliar dos objetivos contradictorios para el gestor. Estos dos primeros anĂĄlisis consideran el nivel de la barrera de dividendos prefijado. AsĂ, al final de este apartado incluimos un anĂĄlisis del efecto de la introducciĂłn del reaseguro proporcional en la barrera Ăłptima. AnĂĄlisis respecto del capital inicial
Por ejemplo, para unos valores de los parĂĄmetros de O 0.5 , b 10 , G 0.01 , U 0.2 , U R 0.3 y k 0.6 , y para diferentes valores del nivel inicial de las reservas el comportamiento de las magnitudes es el siguiente
u
Ek >T @
F k u, b
Wk u , b
WkF u , b
W k u, b
0 2 4 6 8 10
105.78 349.65 498.18 582.31 622.93 634.158
0.134329 0.461155 0.681957 0.831131 0.931912 1
0.3615 1.3468 2.2810 3.3370 4.6592 6.3963
2.6918 2.9205 3.3448 4.0150 4.9996 6.3963
86.5491 78.3952 64.8306 46.5676 24.6353 0
Tabla 1: Magnitudes con reaseguro proporcional
170
Maite Mármol, M. Mercè Claramunt y Anna Castañer
Podemos observar que, para un valor fijado de la barrera, a mayor es el nivel de las reservas mayor es la esperanza del momento de ruina, Ek >T @ , y la probabilidad de alcanzar la barrera sin arruinarse antes, F k u , b . Éste es un comportamiento lógico al partir de unas reservas mayores. El tiempo promedio de espera para el reparto de dividendos si son positivos, W k u, b , es un valor decreciente respecto al nivel inicial de las reservas. Evidentemente cuanto más cerca estemos de la barrera menos tardaremos en alcanzarla y por tanto en empezar a repartir dividendos. Las esperanzas del valor actual de los dividendos repartidos Wk u , b y
WkF u , b también son crecientes respecto al nivel inicial de las reservas. Un incremento de u provoca un retraso en el momento de ruina, repartiéndose por tanto dividendos durante más tiempo, efecto que se añade al hecho de que, como empezamos a repartir antes, la aportación al valor actual de los dividendos es mayor. Al ser WkF u , b la esperanza condicionada a que se repartan dividendos, su valor es superior a Wk u , b , ya que esta última magnitud recoge también las trayectorias de las reservas que se arruinan antes de alcanzar la barrera. Si calculamos las mismas magnitudes de la Tabla 1 sin reaseguro, es decir con k 1 , tenemos
u
E >T @
F u, b
W u, b
W F u, b
W u, b
0 2 4 6 8 10
53.533 123.583 168.106 194.339 207.467 211.203
0.1978 0.4781 0.6790 0.8229 0.9261 1
1.6029 4.0321 6.0653 7.9227 9.7576 11.6821
8.1040 8.4329 8.9323 9.6271 10.5363 11.6821
36.5702 32.5921 26.8382 19.3478 10.3234 0
Tabla 2: Magnitudes sin reaseguro
Comparando la Tabla 1 con la Tabla 2, vemos que la introducción de un reaseguro proporcional incrementa la esperanza del momento de ruina pero provoca una disminución en el resto de magnitudes. Por tanto, si el gestor opta por querer alargar el periodo en el que las reservas son positivas (es 171
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
decir, por aumentar la vida media técnica de la cartera), una buena herramienta es la introducción del reaseguro proporcional. Sin embargo, el gestor debe tener presente que ello implica un menor reparto de dividendos a los accionistas. Es decir podría repartir dividendos durante más tiempo, pero con un menor valor actual. Análisis respecto de la proporción k
Consideramos para los cálculos u 5 aunque los comentarios sobre la evolución de las magnitudes pueden generalizarse para otros valores de las reservas iniciales. Mantenemos el valor del resto de los parámetros, O 0.5 , b 10 , G 0.01 , U 0.2 y U R 0.3 .
k
Ek >T @
F k u, b
Wk u , b
WkF u , b
W k u, b
0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1
781.527 837.278 803.249 724.822 633.962 546.806 469.633 403.811 348.628 302.664 264.405 232.475 205.707 183.145
0.568729 0.668391 0.717839 0.743441 0.756938 0.763833 0.766925 0.767745 0.767183 0.765779 0.763872 0.761682 0.759354 0.756981
0.31116 0.66165 1.11456 1.63645 2.20002 2.78455 3.37456 3.95857 4.52816 5.07724 5.60161 6.09858 6.56664 7.00523
0.5471 0.9899 1.5526 2.2011 2.9064 3.6454 4.4001 5.1561 5.9023 6.6301 7.3331 8.0067 8.6476 9.2541
149.581 117.594 94.661 78.047 65.682 56.222 48.807 42.870 38.033 34.032 30.678 27.834 25.400 23.298
Tabla 3: Magnitudes para diferentes valores de k
La esperanza del momento de ruina no tiene un comportamiento monótono respecto del porcentaje de retención, de forma que hay un valor de k que maximiza Ek >T @ (en Castañer et al. (2007) puede encontrase un análisis más detallado de este comportamiento para otros datos). La probabilidad de llegar a repartir dividendos, F k u , b , también tiene un valor máximo respecto del porcentaje de retención k .
172
Maite Mármol, M. Mercè Claramunt y Anna Castañer
En cambio, tanto las esperanzas del valor actual de los dividendos repartidos como el tiempo promedio de espera para el reparto de dividendos si son positivos tienen un comportamiento monótono respecto de k . Así, Wk u , b y WkF u , b crecen con k , tomando el valor máximo cuando
k 1 (es decir sin reaseguro) y W k u , b disminuye con k , consiguiendo el valor mínimo cuando k
1.
Por tanto, el gestor puede tomar decisiones de reaseguro con dos objetivos que en este caso son contradictorios: el de maximizar la esperanza del momento de ruina o el de maximizar la esperanza del valor actual de los dividendos. Ante esa disyuntiva, planteamos el cálculo de una función de utilidad que recoja estas dos magnitudes, optando por una función del tipo Cobb-Douglas. Definimos cd (k , q ) como cd (k , q)
Ek [T ]q Wk (u, b)1 q
siendo 0 d q d 1 un parámetro que recoge la preferencia del gestor entre retrasar el momento de ruina o repartir mayor cuantía de dividendos. Así, si el parámetro q está cercano a 1, la prioridad es la esperanza del momento de ruina. En cambio si ese parámetro es un valor cercano a cero, la prioridad se centra en los dividendos repartidos. En la Tabla 4 se incluyen los resultados de cd (k , q ) para u
b 10 , G
0.01 , U
0.2 y U R cd (k , q)
5, O
0.5 ,
0.3 . Ek [T ]q Wk (u, b)1 q
0ó
k
Wk (u,b)
0.1
0.2
0.35
0.311
0.680
1.489
3.258
7.128
15.594
34.116
0.4
0.661
1.351
2.761
5.640
11.522
23.536
48.081
0.45
1.114
2.152
4.155
8.024
15.495
29.921
57.776
111.565
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1ó
0.8
0.9
74.637
163.288
357.231
781.527
98.219
200.642
409.87
837.278
215.428
415.983
803.249
Ek [T ]
0.5
1.636
3.009
5.535
10.181
18.725
34.440
63.343
116.502
214.272
394.093
724.822
0.55
2.200
3.876
6.828
12.031
21.197
37.346
65.797
115.924
204.238
359.832
633.962
0.6
2.784
4.721
8.005
13.573
23.013
39.020
66.161
112.179
190.203
322.497
546.806
0.65
3.374
5.528
9.055
14.834
24.301
39.809
65.214
106.831
175.005
286.684
469.633
0.7
3.958
6.286
9.983
15.853
25.176
39.981
63.492
100.829
160.122
254.281
403.811
173
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
0.75
4.528
6.991
10.794
16.666
25.733
39.732
61.345
94.717
146.243
225.797
348.628
0.8
5.077
7.641
11.499
17.307
26.047
39.200
58.996
88.789
133.627
201.107
302.664
0.85
5.601
8.235
12.108
17.803
26.175
38.485
56.583
83.192
122.315
179.835
264.405
0.9
6.098
8.776
12.631
18.179
26.163
37.653
54.189
77.988
112.240
161.533
232.475
0.95
6.566
9.266
13.077
18.455
26.043
36.753
51.866
73.194
103.292
145.767
205.707
1
7.005
9.708
13.455
18.648
25.844
35.818
49.641
68.799
95.349
132.147
183.145
Tabla 4: cd (k , q) respecto de k y q
Grรกficamente para todo el dominio de k y q tenemos,
Figura 1: Funciรณn de utilidad cd (k , q )
Ek [T ]q Wk (u , b)1 q
En la Figura 2 se grafican las combinaciones de k y q que nos permiten obtener el mismo valor para la funciรณn Cobb-Douglas. Son por tanto las curvas de indiferencia para el gestor.
174
Maite Mármol, M. Mercè Claramunt y Anna Castañer
Figura 2: Curvas de indiferencia para cd (k , q)
El comportamiento de cd (k , q ) respecto de k para distintos valores prefijados de q puede observarse en la Figura 3.
Figura 3: Función de utilidad cd (k )
Si q 1 estamos dando toda la preferencia a la esperanza del momento de ruina, y por tanto, observamos en la Figura 3 la existencia de un porcentaje de retención que maximiza esa esperanza. En cambio, si q 0 , la preferencia se centra en los dividendos repartidos, y la función es creciente
175
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
alcanzando el mĂĄximo en k 1 . Para el resto de los valores de q podemos observar que, si estĂĄn cercanos a 1, sigue existiendo un mĂĄximo para la funciĂłn Cobb-Douglas. Influencia del reaseguro proporcional en la barrera Ăłptima
En un modelo sin reaseguro siguiendo a BĂźhlmann (1970), es fĂĄcil obtener la expresiĂłn de la barrera que maximiza la esperanza del valor actual de los dividendos repartidos (MĂĄrmol (2003)). En este Ăşltimo subapartado respondemos a la pregunta de si la introducciĂłn del reaseguro proporcional modifica dicha barrera Ăłptima. Para ello, Wk u , b se puede reescribir, siguiendo la metodologĂa de BĂźhlmann (1970),
h u
. h ' b
Wk u, b
Por tanto, si queremos maximizar respecto a u , derivamos el denominador, h ' b , e igualamos a cero, obteniĂŠndose,
bmax
r 2 1 kr1 1 . ln 1 2 r2 r1 r2 1 kr2
EstĂĄ claro, a partir de esta expresiĂłn que el nivel de la barrera Ăłptima depende del porcentaje de retenciĂłn. AsĂ, para unos valores de O 0.5 , G 0.01 , U 0.2 , U R 0.3 y u 2 , el valor de la barrera de dividendos que maximiza Wk u , b es,
u
2
k
bmax
Wk u , b
0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1
2 2 2.4750 3.4899 4.4574 5.3938 6.3093
2.11925 2.58248 2.92409 3.28927 3.66897 4.04859 4.42296
Tabla 5: Nivel de la barrera de dividendos que maximiza Wk u , b .
176
Maite Mármol, M. Mercè Claramunt y Anna Castañer
Hemos comprobado numéricamente (ver Tabla 3) que, si consideramos el nivel de la barrera como un dato prefijado externo, la mejor opción que permite maximizar Wk u , b es considerar k 1 , es decir no reasegurar. A partir de la Tabla 5 vemos que, incluso eligiendo como nivel de la barrera el que para cada k maximiza Wk u , b , la mejor opción continua siendo la de no reasegurar.
5. Conclusiones La incorporación del reaseguro proporcional afecta a las diferentes medidas relacionadas con la solvencia en un modelo con barrera de dividendos constante. Del análisis numérico realizado en el trabajo se deduce que el gestor puede optimizar la esperanza del momento de ruina eligiendo un porcentaje óptimo de retención, pero entonces ve disminuida la esperanza del valor actual de los dividendos. Para resumir en una única medida los dos objetivos anteriores, proponemos en el trabajo una nueva función. Esta función depende de un parámetro de preferencia del gestor e incluye como casos extremos el criterio de la esperanza del momento de ruina y de la esperanza del valor actual de los dividendos repartidos. BIBLIOGRAFÍA
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177
Efectos del reaseguro proporcional en el reparto de dividendos
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178
SOLVENCIA EN UN REASEGURO FINITE RISK M. A. Pons Cardell1 y F. J. Sarrasí Vizcarra2
ABSTRACT One of the characteristics of the finite risk reinsurance is the existence of an found of experience, which is constituted by the premiums charged by the reinsurer, together with his financial incomes, and his objective is to finance the claims to be satisfied to the insurer in the specified period. The objective of this work is to design a model that allows us to determinate the reserve that the found of experience should have in every annual period in order to guarantee its dynamic solvency, taking into the experience of the claims of the reinsurer’s portfolio and of each insurance company. KEYWORDS: Reinsurance, finite risk, credibility, found of experience, solvency, risk. RESUMEN: Una de las características del reaseguro finite risk es la existencia de una cuenta de experiencia, que está formada por las primas que cobra el reasegurador, junto con su rendimiento financiero, y su finalidad es financiar los siniestros que éste ha de satisfacer a la cedente en el plazo establecido. El objetivo de este trabajo es diseñar un modelo que permita determinar el saldo estimado o reserva que debe de tener en cada periodo anual la cuenta de experiencia para garantizar su solvencia dinámica, teniendo en cuenta la experiencia de siniestralidad de la cartera del reasegurador y de cada cedente. PALABRAS CLAVE: Reaseguro, finite risk, credibilidad, cuenta de experiencia, solvencia, riesgo.
1
Profesora Titular de Universidad. Universidad de Barcelona. Avenida. Diagonal 690, Barcelona (08034) e-mail: mapons@ub.edu 2 Profesor Titular de Universidad. Universidad de Barcelona. Avenida. Diagonal 690, Barcelona (08034) e-mail: sarrasi@ub.edu
179
Solvencia en un reaseguro finite risk 1.
Introducción
El reaseguro finite risk está adquiriendo una importancia cada vez mayor en la política de gestión de riesgos de las compañías de seguros. Si bien tiene sus orígenes en los años 70 en Londres, no fue hasta principios de los años 80 cuando empezó a cobrar cierta importancia en Estados Unidos. Se trata de una forma de reaseguro que se sirve de los mismos instrumentos que el reaseguro tradicional, pero presenta unos rasgos característicos: -
-
-
-
Los contratos son plurianuales, lo que permite constituir una relación contractual estable con la compañía de seguros a medio y largo plazo. Se establece un fondo, denominado cuenta de experiencia, que está constituido por las primas de reaseguro, y por su producto financiero, y de la misma son liquidados los siniestros a cargo del reasegurador. Para calcular la prima de reaseguro se utiliza el tipo de interés técnico fijado por el reasegurador. El reaseguro finite risk no sólo cubre de forma limitada el riesgo de suscripción, es decir, el riesgo que los siniestros reales sean mayores de lo esperado, sino que también asume otros tipos de riesgos, como el riesgo de tiempos o timing risk y el riesgo de interés. El timing risk es el riesgo derivado de que el flujo de pagos por siniestros se produzca antes de lo esperado, lo que puede suponer una desinversión prematura de las primas para poder hacer frente a esos pagos. El riesgo de interés tiene que ver con que el rendimiento financiero real obtenido en la cuenta de experiencia sea menor al tipo de interés técnico previsto inicialmente. El reasegurador puede pactar con la compañía de seguros, también llamada cedente, en función del riesgo asumido, la devolución total o parcial del saldo de la cuenta de experiencia al final del contrato, si éste es positivo. De la misma manera, también puede acordarse en el contrato aportaciones extraordinarias a la cuenta de experiencia por parte de la compañía de seguros en el caso de insuficiencia financiera de la misma. La compañía de seguros, puede contratar un reaseguro finite risk en cualquiera de las modalidades de reaseguro tradicionales. Nosotros estudiaremos las modalidades Cuota Parte y Exceso de Pérdida.
El objetivo de este trabajo se centra en el análisis de la solvencia dinámica de la cuenta de experiencia de cada una de las cedentes que integran la cartera del reasegurador. Determinaremos cual debe ser el saldo o reserva estimada de dicha cuenta, en cada uno de los años que dura el contrato de reaseguro,
180
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra que garantice la solvencia de la operación. Si el saldo real, en un determinado año, es menor al saldo estimado de la cuenta se deberá realizar una aportación a la misma. Plantearemos dos modelos, el modelo sin revisión y el modelo con revisión. En el primero calcularemos, en el origen de la operación, el saldo estimado de la cuenta de experiencia al final de cada año y supondremos que los parámetros de las funciones de distribución, y el resto de variables del modelo, son conocidos en el origen del contrato y se mantienen constantes a lo largo del plazo. En el segundo modelo los parámetros de las funciones de distribución vamos a revisarlos anualmente, ajustándolos a la información de siniestralidad conocida de cada cedente hasta ese momento.
2. Prima de reaseguro finite risk El hecho que el reaseguro finite risk tenga en cuenta no sólo el riesgo de suscripción de la cedente, sino también el riesgo de interés y el timing risk, supone considerar en el cálculo de la prima de reaseguro, una nueva variable que no se tenía en cuenta en el reaseguro tradicional, el tipo de interés. Esta circunstancia hace que debamos de tener en cuenta, en el cálculo de la prima de reaseguro, no sólo el coste de los siniestros y el número de ellos, sino también el momento de pago de los mismos, de manera que el proceso de riesgo viene definido por las siguientes variables aleatorias:
( X 1 , X 2 ,..., X Nt , T1 , T2 ,..., TNt , N t ) siendo: -
N t : Variable aleatoria número de siniestros ocurridos en el intervalo > 0, t @ , con t expresado en años.
-
X i : Variable aleatoria coste del i-ésimo siniestro ocurrido en el
-
intervalo > 0, t @ , con i 1, 2,..., N t . Asumiremos que son independientes y están equidistribuidas. Ti : Variable aleatoria momento de pago, expresado en años, del i-
ésimo siniestro, con i 1, 2,..., N t . A partir de la variable aleatoria X i , con i 1, 2,..., N t , vamos a definir, para las modalidades de reaseguro Cuota-Parte y Exceso de Pérdida, la variable
181
Solvencia en un reaseguro finite risk aleatoria coste del siniestro i-ĂŠsimo a cargo del reasegurador, X i , R , con
i 1, 2,..., N t : x
En el reaseguro Cuota Parte: X i ,R
Âk R Â&#x2DC; X i ÂŽ ÂŻMR
kR Â&#x2DC; X i M R kR Â&#x2DC; X i t M R
donde k R es el coeficiente de cesiĂłn al reasegurador, expresado en tanto por uno, y M R es el lĂmite del contrato de reaseguro, que proporciona la capacidad mĂĄxima por siniestro que estĂĄ dispuesto a asumir el reasegurador. x
En el reaseguro Exceso de PĂŠrdida:
X i,R
0  ° Ž Xi M ° MR ¯
Xi M M t Xi t M M R Xi t M M R
donde M es el pleno de retenciĂłn de la cedente y M R es la capacidad mĂĄxima del contrato del reasegurador, y al igual que en el caso anterior, proporciona la responsabilidad mĂĄxima del reasegurador por siniestro. La variable aleatoria valor actual del coste total de los siniestros a cargo del reasegurador, CR , asociado al intervalo > 0,t @ , vamos a definirla como el valor actual del coste de cada uno de los N t siniestros a cargo del reasegurador, X i , R , con i 1, 2,..., N t , que se producen en dicho intervalo: Nt
CR
ÂŚX
i,R
Â&#x2DC; f R (Ti ,0)
Ti Â?> 0, t @
i 1
siendo f R (Ti ,0) el factor financiero de actualizaciĂłn del reasegurador, que incorpora el tipo de interĂŠs tĂŠcnico utilizado en el cĂĄlculo de la prima. Asumimos que dicho tipo de interĂŠs es conocido en el origen para todo el plazo de la operaciĂłn, por tanto trabajaremos con un factor financiero cierto. Vamos a expresarlo como un tanto efectivo de interĂŠs compuesto, con
182
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra frecuencia
de
f R (T , T ')
1 I
m, R
capitalizaciĂłn m Â&#x2DC;( T ' T )
m,
I m, R ,
de
manera
que
.
A partir de la variable aleatoria CR determinaremos la prima de reaseguro, considerando como criterio de cĂĄlculo su esperanza matemĂĄtica: x
Si asumimos que la periodicidad de pago de la prima es anual y que su temporalidad coincide con el plazo de la cuenta de experiencia, t aĂąos, la prima periĂłdica, Ps , R , que cobra el reasegurador en s , con s 0,1,..., t 1 , vendrĂĄ determinada por: t 1
ÂŚP
s,R
Â&#x2DC; f R ( s,0)
E CR
s 0
x
Y en el caso de prima Ăşnica, la prima pura 3 R , que cobra el reasegurador, se obtendrĂĄ como: 3R
E CR
3. Saldo estimado de la cuenta de experiencia
En este apartado nos planteamos la obtenciĂłn del saldo estimado o reserva de la cuenta de experiencia al final de cada periodo anual que garantice la solvencia dinĂĄmica de la operaciĂłn. Para su obtenciĂłn utilizaremos como tipo de interĂŠs de valoraciĂłn el rendimiento financiero de la cuenta de experiencia. Este rendimiento dependerĂĄ de la estructura temporal de tipos de interĂŠs vigente en el mercado. Para el cĂĄlculo del saldo estimado asumiremos las siguientes hipĂłtesis: - La cartera del reasegurador estĂĄ formado por un conjunto de cedentes que operan en un mismo ramo. Conocemos las distribuciones de probabilidad del ramo objeto de estudio. - Hay independencia entre las cedentes y dentro de cada cedente. - La estructura temporal de tipos de interĂŠs en el plazo de la operaciĂłn es conocida.
183
Solvencia en un reaseguro finite risk - Conocemos la historia de siniestralidad de cada cedente.
Bajo estas hipótesis se pueden plantear varios escenarios: -
El reasegurador asume todos los riesgos de la operación. En este caso le corresponde al reasegurador garantizar la solvencia de la cuenta de experiencia y las posibles aportaciones que deban realizarse en la cuenta serán a su cargo. Si al final del plazo en la cuenta de experiencia hay beneficio o pérdida lo asumirá el reasegurador. Bajo esta hipótesis, que es la que nosotros asumiremos, hay compensación de riesgos entre las cedentes que integran la cartera del reasegurador. A la hora de determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidad de cada cedente, no sólo tendremos en cuenta las características comunes, mismo ramo y pertenencia a la misma cartera del reasegurador, sino también la historia de siniestralidad de cada una de ellas, y para ello vamos a utilizar modelos de credibilidad.
-
El reasegurador no asume riesgos. Bajo esta hipótesis le corresponde a cada cedente financiar las posibles aportaciones que deban realizarse en la cuenta de experiencia, en consecuencia, el beneficio o pérdida que pueda haber en la cuenta al final del plazo lo asumirá también la cedente. A diferencia del caso anterior, no hay compensación de riesgos entre las cedentes sino que cada una de ellas financia totalmente su riesgo.
-
Por último, se podría plantear una estrategia mixta en la que se compartiera con la cedente la financiación de las aportaciones a la cuenta de experiencia.
Nosotros, como ya hemos comentado, consideraremos el primer escenario, el reasegurador asume todos los riesgos de la operación. Plantearemos dos modelos, el modelo sin revisión y el modelo con revisión: -
Modelo sin revisión: Calcularemos, en el origen de la operación, el saldo estimado de la cuenta de experiencia al final de cada año del contrato. Vamos a suponer que los parámetros de la funciones de distribución, y resto de variables del modelo, son conocidos en el origen del contrato y se mantendrán constantes a lo largo del plazo, por tanto, no se contempla la revisión de los mismos.
-
Modelo con revisión: En este caso vamos a revisar anualmente los parámetros de las funciones de distribución, ajustándolos a la
184
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra informaciĂłn de siniestralidad conocida de cada cedente hasta ese momento. En ambos modelos, para poder determinar el saldo estimado de la cuenta de experiencia, estimaremos la siniestralidad futura a cargo del reasegurador por el mĂŠtodo de simulaciĂłn de Monte-Carlo. 3.1. Modelo sin revisiĂłn
El objetivo del reasegurador es garantizar que el saldo real de la cuenta de experiencia se ajuste al saldo estimado, realizando las aportaciones necesarias para cubrir esta diferencia. Calcularemos, en el origen de la operaciĂłn, el saldo estimado de la cuenta de experiencia al final de cada aĂąo, con los parĂĄmetros de siniestralidad conocidos en el origen. Las posibles aportaciones a realizar por el reasegurador vendrĂĄn dadas por la diferencia positiva entre el saldo estimado y el saldo real. El factor financiero que vamos a utilizar para calcular el saldo de la cuenta de experiencia, bajo rĂŠgimen financiero de interĂŠs compuesto, es: f (T , T ') (1 I m* (T , T ')) mÂ&#x2DC; T ' T
donde I m* (T , T ') es el tanto efectivo implĂcito de frecuencia m obtenido a partir de los tantos de interĂŠs al contado conocidos para los plazos (0, T ) y (0, T ') . Para el caso particular que T 0 Â&#x; I m* 0, T ' I m 0, T ' , siendo I m 0, T '
el tanto efectivo de interĂŠs al contado de frecuencia m para el plazo (0, T ') . En el caso que la estructura temporal de tipos de interĂŠs sea plana I m* T , T ' I m , siendo I m el rendimiento financiero de la cuenta de experiencia expresado como tanto efectivo de frecuencia m . Vamos a simbolizar por S ej , con j 1, 2,..., t , la variable aleatoria saldo estimado de la cuenta de experiencia en j , que se puede calcular por el mĂŠtodo retrospectivo o prospectivo:
185
Solvencia en un reaseguro finite risk - MĂŠtodo retrospectivo: El saldo estimado se obtiene, valorando en j , la diferencia entre las primas de reaseguro satisfechas y los siniestros estimados a cargo del reasegurador ocurridos hasta j , incluido.
x
En el caso de primas periĂłdicas: N[ 0 , j ]
j
S ej
ÂŚ Ps, R Â&#x2DC; f (s, j ) s 0
x
ÂŚX
i , R ,[0, j ]
Â&#x2DC; f (Ti , j ) con j 1,..., t
i 1
y en el caso de prima Ăşnica: N[ 0, j ]
S ej
3 R Â&#x2DC; f (0, j )
ÂŚX
i , R ,[0, j ]
Â&#x2DC; f (Ti , j ) con
j 1,..., t
i 1
siendo N[0, j ] la variable aleatoria nĂşmero de siniestros ocurridos en el intervalo > 0, j @ , con j d t y
X i , R ,[0, j ] la variable aleatoria coste del
siniestro i-ĂŠsimo a cargo del reasegurador, ocurrido en el intervalo > 0, j @ , con i 1,..., N[0, j ] . - MĂŠtodo prospectivo: El saldo estimado se obtiene, valorando en j , la diferencia entre los siniestros a cargo del reasegurador y las primas de reaseguro satisfechas a partir de j .
x
En el caso de primas periĂłdicas: N ( j ,t ]
S ej
ÂŚX
t 1
i , R ,( j ,t ]
Â&#x2DC; f (Ti , j )
s,R
Â&#x2DC; f ( s, j ) con
j 1,..., t
s j 1
i 1
x
ÂŚP
y en el caso de prima Ăşnica: N ( j ,t ]
S
e j
ÂŚX
i , R ,( j ,t ]
Â&#x2DC; f (Ti , j ) con
j 1,..., t
i 1
siendo N ( j ,t ] la variable aleatoria nĂşmero de siniestros ocurridos en el intervalo ( j , t ] y
X i , R ,( j ,t ]
la variable aleatoria coste del siniestro i-
186
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra ĂŠsimo a cargo del reasegurador, ocurrido en el intervalo ( j , t ] , para
i 1,..., N ( j ,t ] . N[0, j ] N ( j ,t ]
Se verifica que entonces Ste
Nt
y en el caso particular j t ,
0.
La variable aleatoria saldo estimado, S ej , proporciona informaciĂłn al reasegurador sobre el saldo que debe tener la cuenta de experiencia en cada momento j , para que quede garantizada la solvencia dinĂĄmica de la operaciĂłn. Una vez calculada la variable aleatoria saldo estimado vamos a definir la variable aleatoria aportaciĂłn, Aj , con j 1,..., t 1 , como la diferencia positiva entre el saldo estimado S ej
y el saldo real S rj de la cuenta de
experiencia en j . Para obtenerla, previamente hay que definir la variable saldo real en j , S rj . El saldo real en j , S rj , vendrĂĄ dado por la diferencia entre los ingresos y los reintegros reales que haya experimentado la cuenta de experiencia hasta j , y valorados en j , sin considerar la posible aportaciĂłn que el reasegurador pueda efectuar en j . Los ingresos serĂĄn las primas de reaseguro cobradas hasta j , inclusive, y las aportaciones realizadas por el reasegurador hasta j 1 , mientras que los reintegros vendrĂĄn dados por los siniestros reales ocurridos hasta j a cargo del reasegurador: x
En el caso de primas periĂłdicas: S
ÂŚP
s,R
s 0
N[r0 , j ]
j 1
j r j
Â&#x2DC; f ( s, j ) ÂŚ A Â&#x2DC; f ( s, j ) * s
s 1
ÂŚX
r i , R ,[0, j ]
Â&#x2DC; f (Ti r , j ) con
i 1
j 1,..., t y para j 1 : N[r0 ,1]
1
r 1
S
ÂŚP
s,R
s 0
Â&#x2DC; f ( s,1)
ÂŚX i 1
187
r i , R ,[0,1]
Â&#x2DC; f (Ti r ,1)
Solvencia en un reaseguro finite risk x
Si la prima es Ăşnica: N[r0 , j ]
j 1
S
r j
3 R Â&#x2DC; f (0, j ) ÂŚ A Â&#x2DC; f ( s, j ) * s
s 1
ÂŚX
r i , R ,[0, j ]
Â&#x2DC; f (Ti r , j ) con
j 1,..., t
i 1
y para j 1 : N[r0,1] r 1
S
3 R Â&#x2DC; f (0,1)
ÂŚX
r i , R ,[0,1]
Â&#x2DC; f (Ti r ,1)
i 1
r siendo N[0, j ] el nĂşmero de siniestros reales ocurridos en el intervalo > 0, j @ ,
con j d t , X ir, R ,[0, j ] el coste real del siniestro i-ĂŠsimo a cargo el reasegurador r * ocurrido en el intervalo > 0, j @ , con i 1,..., N[0, j ] , As la aportaciĂłn que ha
efectuado el reasegurador en la cuenta de experiencia en s , con s 1,..., j 1 y Ti r el momento real de pago, en aĂąos, del siniestro i-ĂŠsimo. La variable aleatoria aportaciĂłn vendrĂĄ dada por: Aj
° 0 Ž e r °¯ S j S j
S ej d S rj S ej ! S rj
con
j 1,..., t 1
Una vez conocida la distribuciĂłn de probabilidad de la variable aleatoria Aj determinaremos la aportaciĂłn, A*j , que debe efectuar el reasegurador en j . Si consideramos como criterio de cĂĄlculo su esperanza matemĂĄtica, entonces: A*j E ( Aj ) con j 1,..., t 1 3.2. Modelo con revisiĂłn
En el modelo con revisiĂłn, el saldo estimado no se calcula en el origen de la operaciĂłn sino al final de cada aĂąo del contrato, ya que en este caso los parĂĄmetros de las funciones de distribuciĂłn se van a revisar anualmente, ajustĂĄndolos a la informaciĂłn de siniestralidad de cada cedente conocida hasta ese momento. El objetivo de este modelo sigue siendo calcular el saldo estimado de la cuenta de experiencia asĂ como las posibles aportaciones A*j , con j 1,..., t 1 , que debe realizar el reasegurador, para garantizar dicho saldo.
188
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra Calcularemos, al final del aĂąo j , con j 1,..., t 1 , el saldo estimado de la cuenta de experiencia en j , con los parĂĄmetros de siniestralidad establecidos en j ; por tanto las variables aleatorias, coste y nĂşmero de siniestros, harĂĄn referencia a los siniestros ocurridos a partir de j , es decir, en el intervalo ( j , t ] , pero obtenidas con los parĂĄmetros de siniestralidad establecidos en j , a partir de la informaciĂłn pasada disponible hasta j . Las variables aleatorias coste y nĂşmero de siniestros los simbolizaremos: -
N (jj ,t ] : Variable aleatoria nĂşmero de siniestros
ocurridos en el
intervalo ( j , t ] , con los parĂĄmetros de siniestralidad establecidos en j. -
X i ,(j j ,t ] : Variable aleatoria coste del siniestro i-ĂŠsimo, con
i 1,..., N (jj ,t ] , ocurrido en el intervalo ( j , t ] , con los parĂĄmetros de siniestralidad establecidos en j . La variable aleatoria coste
a cargo del reasegurador, X i ,jR ,( j ,t ] , con
i 1,..., N (jj ,t ] , del siniestro i-ĂŠsimo ocurrido en el intervalo ( j , t ] , dependerĂĄ tambiĂŠn de la modalidad de reaseguro que consideremos: x
En el reaseguro Cuota Parte:
X
x
j i , R ,( j ,t ]
°k R Â&#x2DC; X i ,(j j ,t ] k R Â&#x2DC; X i ,(j j ,t ] M R ÂŽ k R Â&#x2DC; X i ,(j j ,t ] t M R °¯ M R
En el reaseguro Exceso de PĂŠrdida:
X i ,jR ,( j ,t ]
X i ,(j j ,t ] M M t X i ,(j j ,t ] t M M R X i ,(j j ,t ] t M M R
 0 ° j Ž X i ,( j ,t ] M ° MR ¯
La variable aleatoria aportaciĂłn, Aj , con j 1,..., t 1 , que deberĂĄ de realizar el reasegurador en j para mantener la solvencia de la cuenta de experiencia, vendrĂĄ dada por la diferencia positiva en j de la variable aleatoria saldo
189
Solvencia en un reaseguro finite risk estimado de la cuenta de experiencia, S ej ,(, j j ,t ] y el saldo real de la cuenta de experiencia, S rj . El factor financiero que utilizaremos en j para calcular el saldo de la cuenta de experiencia en j bajo rĂŠgimen financiero de interĂŠs compuesto es:
f j (T , j )
(1 I m ( j, T ))
mÂ&#x2DC; j T
T ! j con
j 1,..., t 1
donde I m ( j , T ) es el tanto efectivo de interĂŠs al contado, de frecuencia m , vigente en j para el plazo j , T . Al igual que en el modelo sin revisiĂłn, si la estructura temporal de tipos de interĂŠs es plana I m j, T I m . La variable aleatoria saldo estimado en j , S ej ,(, jj ,t ] ,
la definimos como el
valor en j de la diferencia entre los siniestros a cargo del reasegurador y primas de reaseguro pendientes de pago a partir de j , con los parĂĄmetros de siniestralidad establecidos en j :
x
En el caso de primas periĂłdicas: N (j j , t ]
S
e, j j ,( j ,t ]
ÂŚX
t 1
j i , R ,( j ,t ]
Â&#x2DC; f j (Ti ,( j ,t ] , j )
ÂŚP
i ,R
Â&#x2DC; f j (i, j ) con
j 1,..., t
i j 1
i 1
siendo Ti ,( j ,t ] , con i 1,..., N (jj ,t ] , la variable aleatoria momento pago en aĂąos, del siniestro i-ĂŠsimo ocurrido en el intervalo ( j , t ] .
x
En el caso de prima Ăşnica: N (j j ,t ]
S
e, j j ,( j ,t ]
ÂŚX
j i , R ,( j ,t ]
Â&#x2DC; f j (Ti ,( j ,t ] , j ) con
i 1
La variable aleatoria aportaciĂłn, Aj , serĂĄ:
190
j 1,..., t
de
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra
Aj
0 ° ® e, j r °¯ S j ,( j ,t ] S j
S ej ,(, j j ,t ] d S rj S ej ,(, jj ,t ] ! S rj
con
j 1,..., t 1
Una vez conocida la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Aj , al igual que en el modelo anterior, determinaremos la aportación, A*j , que debe efectuar el reasegurador en j . Si consideramos como criterio de cálculo su esperanza matemática, entonces:
A*j
E ( Aj ) con
j 1,..., t 1
4. Distribuciones de probabilidad
Para poder determinar la variable aleatoria saldo estimado, deberemos asumir hipótesis respecto a las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias que intervienen en el proceso de riesgo: ( X 1 , X 2 ,..., X Nt , T1 , T2 ,..., TNt , N t ) La variable aleatoria X i , coste del i-ésimo siniestro ocurrido en el intervalo > 0,t @ , con i 1, 2,..., N t , asumiremos que se distribuye según una función de distribución exponencial de parámetro P0 , X i Exp P0 , siendo
1/ P0 el coste medio de los siniestros en el intervalo > 0,t @ . Del mismo modo, vamos a asumir que la variable aleatoria X i j,( j ,t ] , coste del siniestro i-ésimo, con i 1,..., N (jj ,t ] , ocurrido en el intervalo ( j , t ] , con los parámetros de siniestralidad establecidos en j, se distribuye según una función de distribución exponencial de parámetro P j , X i ,(j j ,t ] Exp P j , siendo 1/ P j el coste medio de los siniestros en el intervalo ( j , t ] . También asumiremos que la variable aleatoria tiempo de interocurrencia, en años, entre dos siniestros en el intervalo > 0,t @ , Ts Ts 1 , sigue una distribución exponencial de parámetro O0 ! 0 , para s 1, 2,..., N t . Este parámetro queda determinado en el origen de la operación. Bajo esta
191
Solvencia en un reaseguro finite risk hipĂłtesis queda definida la distribuciĂłn de probabilidad del nĂşmero de siniestros Nt , ya que si Ts Ts 1 Exp (O0 ) para s 1, 2,..., N t y O0 ! 0 entonces N t P(O0 Â&#x2DC; t ) . A partir de Ts Ts 1 podemos determinar la variable aleatoria Ti con i 1, 2,..., N t por suma: i
Ti
ÂŚT
s
Ts 1 con T0
0
s 1
Como la variable aleatoria nĂşmero de siniestros, N t , sigue una distribuciĂłn de Poisson, su esperanza coincide con el valor del parĂĄmetro de la distribuciĂłn, esto es, E ( Nt ) O0 Â&#x2DC; t , pudiĂŠndose interpretar O0 como el nĂşmero medio anual de siniestros. El parĂĄmetro O0 tambiĂŠn nos servirĂĄ para 1 . calcular el tiempo medio entre dos siniestros, dado que E (Ts Ts 1 )
O0
Del mismo modo, si el tiempo de interocurrencia, en aĂąos, entre dos siniestros en el intervalo ( j , t ] , Ts Ts 1 , con s 1,..., N (jj ,t ] , sigue una distribuciĂłn exponencial de parĂĄmetro O j ! 0 , entonces queda definida la distribuciĂłn de probabilidad del nĂşmero de siniestros N (jj ,t ] , ya que si Ts Ts 1 Exp (O j )
s 1,..., N (jj ,t ]
para
Oj ! 0
y
entonces
N (jj ,t ] P (O j Â&#x2DC; (t j )) . A partir de Ts Ts 1 podemos determinar la variable aleatoria Ti ,( j ,t ] , con i 1,..., N (jj ,t ] como: i
Ti ,( j ,t ]
j ÂŚ Ts Ts 1 con T0
j
s 1
En este caso el parĂĄmetro O j queda determinado en el momento j y para todo el intervalo ( j , t ] . Como la variable aleatoria nĂşmero de siniestros, N (jj ,t ] , sigue una distribuciĂłn de Poisson su esperanza coincide con el valor del parĂĄmetro de la distribuciĂłn, esto es, E ( N (jj ,t ] ) O j Â&#x2DC; (t j ) , pudiĂŠndose interpretar O j , al
192
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra igual que en el caso anterior, como el nĂşmero medio anual de siniestros, pero en este caso asociado al intervalo ( j , t ] . El parĂĄmetro O j tambiĂŠn nos servirĂĄ para
calcular
el 1
que E (Ts Ts 1 )
Oj
tiempo
medio
entre
dos
siniestros,
dado
.
5. Coste medio y nĂşmero medio de siniestros obtenidos con modelos de credibilidad
El coste medio o esperanza matemĂĄtica de la variable aleatoria X i ,(j j ,t ] , con i 1,..., N (jj ,t ] , vamos a definirla como E X i j,( j ,t ]
P j D j Â&#x2DC; 1 V j , siendo D j la componente histĂłrica calculada en el momento j y V j la 1
componente subjetiva introducida por el reasegurador en el momento j , expresada como recargo en tanto por uno. La componente histĂłrica, D j , vendrĂĄ determinada por la experiencia de siniestralidad de la cedente y/o de la cartera, y la componente subjetiva dependerĂĄ de las expectativas futuras que tenga el reasegurador respecto a la posible evoluciĂłn del coste medio de los siniestros en el intervalo considerado. En el caso particular que j caso E X i
1
0,
X i0,(0,t ]
Xi y
0 N (0, t]
N t , y en este
P0 D 0 Â&#x2DC; 1 V 0 , siendo D 0 la componente histĂłrica y V 0
la componente subjetiva introducida por el reasegurador en el momento 0 . Como ya hemos dicho, la variable aleatoria nĂşmero de siniestros, N (jj ,t ] ,
sigue una distribuciĂłn de Poisson y su esperanza es E ( N (jj ,t ] ) O j Â&#x2DC; (t j ) , donde O j se interpreta como el nĂşmero medio anual de siniestros en el intervalo ( j , t ] , parĂĄmetro que deberemos estimar. En el caso particular que j
0 0 , N (0, t]
N t y E ( N t ) O0 Â&#x2DC; t , siendo O0 el parĂĄmetro a estimar en
este caso. Para estimar la componente histĂłrica del coste medio, D j , y el nĂşmero medio anual de siniestros de cada cedente , O j , nos podemos encontrar frente a dos posibles escenarios:
193
Solvencia en un reaseguro finite risk -
-
No disponemos de experiencia de siniestralidad pasada de la cedente. En este caso, el coste medio y el número medio de siniestros para esta cedente vendrán dados por el coste y número medio del ramo. Disponemos de experiencia de siniestralidad pasada de la cedente. En este otro caso aplicaremos la Teoría de la Credibilidad para discriminar el coste medio y el número medio de siniestros de cada cedente, en función de su propia historia de siniestralidad, pero teniendo en cuenta también la experiencia de siniestralidad de la cartera.
5.1. Estimador del parámetro coste medio de los siniestros
Para determinar estimador de la componente histórica del coste medio, o de la esperanza matemática de las variables aleatorias X i o X i ,(j j ,t ] , D j , con j 0,1,..., t 1 , vamos a asumir la existencia de independencia entre las cedentes, así como que los parámetros de riesgo, que describen las características de riesgo de cada cedente, están idénticamente distribuidos. Dicho estimador lo obtendremos aplicando el modelo de credibilidad de Bühlmann-Straub, ya que suponemos que el reasegurador dispone de información respecto al coste medio de los siniestros ocurridos desde hace H años, a contar desde j , y del número de siniestros ocurridos cada año, para cada una de las cedentes. Las variables más relevantes que intervienen en la obtención del estimador de credibilidad son: -
-
-
T k : Parámetro de riesgo. Es una variable aleatoria desconocida, que describe las características de riesgo de cada cedente, con k 1, 2,..., K , siendo K el número de cedentes. X kh : Variable aleatoria observable que nos indica el coste medio anual por siniestro, con k 1, 2,..., K y h 1, 2,..., H , siendo H el número de años observados para cada cedente. wkh : Pesos o ponderaciones naturales, que son números positivos conocidos, con k 1, 2,..., K y h 1, 2,..., H , y los interpretaremos como el número de siniestros ocurridos cada año para cada cedente.
En el Modelo de Bühlmann-Straub se asume independencia entre y dentro de las cedentes, así como que las observaciones esperadas son homogéneas en
194
M. A. Pons Cardel y F. J. SarrasĂ Vizcarra
el tiempo, E X kh / T k D j T k , y la varianza depende del periodo considerado, a travĂŠs de los pesos o ponderaciones naturales.
D j T k es la cuantĂa esperada del coste medio de los siniestros para cada cedente k 1, 2,..., K , y su estimador ajustado de credibilidad lineal segĂşn el Modelo de BĂźhlmann-Straub viene dado por: Â&#x161;
D j T k
1 Z k Â&#x2DC; m Z k Â&#x2DC; X kw
donde: -
-
-
H wkh Â&#x2DC; X kh con wk x ÂŚ wkh . Es el estimador individual del wk x h 1 h 1 coste medio y no es mĂĄs que la media aritmĂŠtica ponderada de la experiencia de siniestralidad de cada cedente. m E D j T k . Es la media poblacional, esto es, el estimador H
X kw
ÂŚ
colectivo del coste medio. Es el coste medio esperado de los siniestros para el conjunto de la cartera, que a su vez no es mĂĄs que el valor esperado de todas las primas de riesgo individuales. Z k con k 1, 2,..., K . Es el factor de credibilidad, con 0 d Z k d 1 . Cada cedente tiene su propio factor de credibilidad y viene definido por: a Â&#x2DC; wk x Zk *2 V a Â&#x2DC; wk x E V 2 T k . Es el valor esperado de la dispersiĂłn total de los
-
V *2
-
datos del coste medio de los siniestros en el tiempo, de toda nuestra cartera. a Var D j T k . Mide la dispersiĂłn existente entre las primas de riesgo individuales. Es un indicador de la heterogeneidad de la cartera.
En la fĂłrmula del estimador de credibilidad aparecen tres parĂĄmetros estructurales m , a y V *2 que deben ser previamente estimados para poder aplicar dicha fĂłrmula.
195
Solvencia en un reaseguro finite risk E D j T k
Estimador de la media poblacional: m
El estimador de la media poblacional más utilizado, que vamos a simbolizarlo por X zw , es el propuesto por Dubey, A. y Gisler, A. (1981), ya que se trata de un estimador insesgado y de varianza mínima: K
K
X zw
Zk X kw con Z x ¦ k 1 Zx
¦Z
k
k 1
Este estimador en realidad es un pseudo-estimador ya que a través del factor de credibilidad Z k depende de los parámetros estructurales a y V *2 . En la práctica ambos parámetros son reemplazados por sus correspondientes estimadores. Estimador del parámetro V *2
E V 2 T k
El estimador más adecuado, en la mayoría de los casos, para el parámetro V *2 es el que propuesto por Bühlmann, H. y Straub, E. (1970), que vamos a
simbolizarlo por V *2 y no es más que el valor medio de las K varianzas individuales empíricas:
V *2 H
siendo X kw
H 1 K 1 ¦ ¦ wkh X kh X kw
K k 1 H 1 h 1
wkh X kh y wk x ¦ wk x h 1
2
H
¦w
kh
.
h 1
Estimador del parámetro a Var D T k
El estimador que vamos a utilizar es el propuesto también por Bühlmann, H.
y Straub, E. (1970), y vamos a simbolizarlo por a y se define como: ª º 1 « K wk x V *2 » 2 a ¦ X kw X ww K 1 c « k 1 wxx wxx » ¬« ¼» donde
196
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra H
K
¦ wkh
wk x
y wxx
h 1
¦w
kx
k 1
H
X kw
K
wkh X kh ¦ wk x h 1
k 1
K
wk x
¦w
X ww
y
X kw
xx
wk x ª wk x º «1 » wxx ¼ 1 xx ¬
¦w
c
k
Es posible que a 0 , en este caso se utiliza como estimador a
0.
En el caso particular que a 0 Z k 0 D j T k m . En este caso, Dubey, A. y Gisler, A. (1981) proponen como estimador de la media poblacional, X ww , que viene definido: K
wk x
¦w
X ww
k 1
H
con wk x
¦w
kh
h 1
X kw
xx
K
y wxx
¦w
kx
k 1
5.2. Número medio de siniestros
Para estimar el parámetro número medio de siniestros,
O j , con
j 0,1,..., t 1 , vamos a asumir, al igual que en el caso anterior, la existencia de independencia entre las cedentes, así como que los parámetros de riesgo están idénticamente distribuidos.
El estimador de dicho parámetro vamos a obtenerlo, en este caso, aplicando el Modelo de credibilidad de Bühlmann, ya que suponemos que el reasegurador dispone únicamente de información respecto al número de siniestros ocurridos desde hace H años, a contar desde j , para cada una de las cedentes. Las variables más relevantes que intervienen en la obtención del estimador de credibilidad según el Modelo de Bühlmann son:
197
Solvencia en un reaseguro finite risk
-
T k : ParĂĄmetro de riesgo. Es una variable aleatoria desconocida, que
-
describe las caracterĂsticas de riesgo de cada cedente, con k 1, 2,..., K siendo K el nĂşmero de cedentes. N kh : Variable aleatoria observable que nos indica el nĂşmero de siniestros, con k 1, 2,..., K y h 1, 2,..., H , siendo H el nĂşmero de aĂąos observados para cada cedente.
En el Modelo de BĂźhlmann se asume independencia entre y dentro de las cedentes, asĂ como que las observaciones esperadas son homogĂŠneas en el tiempo, E N kh / T k O j T k , y la varianza no depende del periodo considerado.
O j T k es el nĂşmero medio de siniestros esperados cada cedente con k 1, 2,..., K y su estimador ajustado de credibilidad lineal viene dado por: Â&#x161;
O j T k
1 Z Â&#x2DC; m Z Â&#x2DC; N k x
donde: -
-
H
N kh . Es estimador individual del nĂşmero medio de h 1 H siniestros y no es mĂĄs que la media aritmĂŠtica de los siniestros ocurridos a cada cedente. m E O j T k . Es la media poblacional, el estimador colectivo del Nkx
ÂŚ
-
nĂşmero medio de siniestros, esto es, el nĂşmero medio esperado de siniestros para el conjunto de la cartera, que a su vez no es mĂĄs que el valor esperado de todas las primas de riesgo individuales. Z es el factor de credibilidad, con 0 d Z d 1 , siendo Ăşnico para la cartera y viene definido por: aÂ&#x2DC;H Z *2 V aÂ&#x2DC;H *2 2 V E V T k . Es el valor esperado de la dispersiĂłn total del
-
nĂşmero de siniestros de nuestra cartera en el tiempo. a Var O j T k . Es un indicador de la heterogeneidad de la cartera,
-
medida a travĂŠs del nĂşmero medio de siniestros individuales esperados.
198
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra Al igual que en el Modelo de Bühlmann-Straub, en la fórmula de credibilidad aparecen tres parámetros estructurales m , a y V *2 que deben ser previamente estimados. Para estimarlos vamos a utilizar los estimadores propuestos por Norberg, R. (1979). Estimador de la media poblacional: m
E O T k
El estimador de la media poblacional, N xx , es el valor medio observado:
1 K ¦ Nk x K k1
N xx
Estimador del parámetro V *2
1 K 1 H ¦ ¦ N hk K k 1H h1
E V 2 T k
Un estimador adecuado, que vamos a simbolizar por V *2 , es el valor medio de las K varianzas individuales empíricas:
H 1 K 1 2 ¦ ¦ N kh N k x
K k 1 H 1 h 1
V *2
Estimador del parámetro a Var O T k
El estimador que vamos a utilizar para estimar el parámetro a , y que vamos
a simbolizar por a , se define como:
a
K 1 V *2 2 ¦ N k x N xx K 1 k 1 H
Es posible que a 0 , en este caso utilizaremos como estimador:
a
K 1 2 ¦ N k x N xx
K 1 k 1
199
Solvencia en un reaseguro finite risk 6. Aplicación numérica
Vamos a considerar una compañía de reaseguros que contrata un reaseguro finite risk a 5 años para un determinado ramo con tres compañías de seguros (cedentes). La compañía de reaseguros dispone hoy, j 0 , de información respecto al coste de los siniestros, expresados en miles de euros, y al momento de ocurrencia de cada siniestro, expresado en años, acaecidos en los últimos cinco años, H 5 , para cada una de las tres cedentes, K 3 . Los datos de la siniestralidad histórica para cada una de las tres cedentes para los últimos 5 años son los siguientes: Cedente 1 (k = 1) Diferimiento Coste 0,3361 5,5000 0,5219 4,2500 0,5994 1,0000 0,9356 3,2500 0,9998 1,0000 1,1083 2,0000 1,2508 3,5000 1,2589 2,5000 1,6180 2,5000 1,7014 1,0000 1,8885 6,5000 2,1532 0,5000 2,4576 2,0000 2,5165 2,0000 3,7405 0,5000 3,8529 0,5000 3,9986 2,6000 4,0255 5,0000 4,0271 6,2500 4,6397 7,2500 4,8345 2,7500 4,9321 3,7500
Cedente 2 (k = 2) Diferimiento Coste 0,3076 4,0823 0,3249 7,0642 0,3372 1,0327 0,4894 0,2486 0,5038 5,0599 0,6500 9,6727 0,6916 2,4659 0,9519 1,7657 1,0762 10,2710 1,6280 12,9910 1,8103 3,4260 1,8244 17,9068 1,8707 5,1849 1,9006 4,7011 1,9045 6,0894 2,0356 0,2645 2,4530 1,0989 2,4653 1,8359 2,5431 0,6137 3,0590 0,6556 3,5735 3,0009 3,5954 0,6499 3,9506 5,4664 4,0611 9,8734 4,1543 12,2953 4,2638 0,8074 4,4236 0,5569 4,4325 26,5370 4,6998 3,1321 4,9675 0,8519
Cedente 3 (k = 3) Diferimiento Coste 0,0254 4,1065 0,4648 4,9236 0,5016 2,4565 0,6278 0,2316 1,6176 9,7855 1,7908 1,4671 1,8032 5,7930 1,8144 2,7915 2,1123 4,1836 2,2418 2,6089 2,3149 2,9194 2,5616 13,0480 2,7478 0,0927 2,9789 10,3902 3,1169 1,1304 3,3640 22,5375 3,6507 0,5052 3,7459 7,6579 3,8180 8,2535 3,9022 5,2094 3,9874 9,2917 4,0338 1,1087 4,3714 3,9622 4,5310 12,2829 4,6852 0,2307 4,6959 2,3442 4,8734 10,3656 4,8843 17,9788
De la anterior información podemos obtener el número de siniestros ocurridos cada año, así como el coste medio de los mismos, para cada una de las tres cedentes que integran la cartera.
200
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra
Número de siniestros k=1 k=2
h 1 2 3 4 5
5 6 3 3 5
k=3
h
4 4 6 7 7
1 2 3 4 5
8 7 4 4 7
Coste medio de los siniestros k=1 k=2 k=3 3,0000 3,0000 1,5000 1,2000 5,0000
3,9240 8,6529 0,9533 2,4432 7,2220
2,9295 4,9593 5,5405 7,7979 6,8962
Modelo sin revisión
Para calcular el estimador de la componente histórica del coste medio hoy, en el origen de la operación, D 0 , hemos aplicado el modelo de credibilidad de Bühlmann-Straub, ya que no sólo disponemos de información, para cada cedente, respecto al coste medio de los siniestros ocurridos en los 5 últimos años, sino también del número de siniestros ocurridos cada año, información esta última que vamos a asignarle el significado de ponderación o pesos naturales conocidos. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:
k
D 0 T k
X kw
Zk
1 2 3
4,8876 4,9226 4,9341
3,0045 5,3201 5,9877
0,0142 0,0193 0,0180
Parámetros estructurales: X zw 4,9150
V *2 29,2610
a 0,5610
Para estimar el parámetro número medio de siniestros hoy, en el origen de la operación, O0 , hemos aplicado el modelo de Bühlmann ya que sólo disponemos de información, para cada cedente, respecto al número de siniestros ocurridos cada año. Los resultados obtenidos en este caso son:
k
O 0 T k
Nkx
Z
1 2 3
5,0821 5,5128 5,4051
4,4000 6,0000 5,6000
0,269 0,269 0,269
Parámetros estructurales: N xx 5,3330
V *2 9,2000
a 0,1870
A continuación obtendremos para un reaseguro finite risk Cuota Parte y Exceso de Pérdida el saldo estimado por el método de simulación de Monte Carlo. Los datos los hemos obtenido simulando 50.000 trayectorias de
201
Solvencia en un reaseguro finite risk evolución de la siniestralidad del reasegurador para cada una de las tres cedentes y hemos supuesto que el tanto efectivo anual de valoración, que proporciona la cuenta de experiencia, es constante para todo el plazo de la operación y coincide con el tipo de interés técnico del reasegurador I1, R I1 0,03 . Para el caso de un reaseguro finite risk Cuota Parte a prima única, con una cuota de cesión al reasegurador del 50%, k R 0,5 , el saldo estimado, S ej , calculado al final de cada uno de los 5 años de vigencia del contrato de reaseguro para cada una de las tres cedentes, expresado en miles de euros, es:
j 1 2 3 4 5
Saldo estimado en el origen de la operación Reaseguro cuota parte Cedente 1 Cedente 2 Cedente 3 46,805260 51,164997 50,215015 35,629105 38,923470 38,243820 24,113569 26,310287 25,888378 12,235229 13,387703 13,148104 0,00000 0,00000 0,00000
y para el caso del reaseguro Exceso de Pérdida a prima única, con un pleno de retención de la cedente M 5 y con una capacidad del reasegurador por siniestro M R 6 (expresado los plenos en miles de euros):
j 1 2 3 4 5
Saldo estimado en el origen de la operación Reaseguro Exceso de Pérdida Cedente 1 Cedente 2 Cedente 3 23,794001 26,089884 25,617228 18,107178 19,834793 19,521482 12,255095 13,424452 13,203841 6,218809 6,829707 6,709347 0,00000 0,00000 0,00000
En la siguiente gráfica mostramos la evolución del saldo estimado para la cedente 1 y para el caso Cuota Parte, si la cuota de cesión al reaseguro k R toma los siguientes valores: k R =0,5 , k R = 0,4 y k R =0,3.
202
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra
Saldo estimado Cuota-Parte
Saldo estimado (miles)
70,00 60,00 50,00 Kr=0,5
40,00
Kr=0,4
30,00
Kr=0,3
20,00 10,00 0,00 0
1
2
3
4
5
6
Años
Podemos observar como el reasegurador tendrá que dotar menos saldo conforme más pequeña sea su cuota de retención k R . En la siguiente tabla mostramos la evolución de la prima única capitalizada, de los siniestros acumulados capitalizados y del saldo estimado, para la cedente 1, en el caso del reaseguro Cuota Parte: j
Prima única capitalizada
Siniestros acumulados capitalizados
Saldo estimado
0 1 2 3 4 5
57,695833 59,426708 61,209509 63,045794 64,937168 66,885283
0 12,621449 25,580404 38,932224 52,701939 66,885283
57,695833 46,805260 35,629105 24,113569 12,235229 0,00000
donde la esperanza matemática de la prima única de reaseguro es de 57,695833 miles de euros. Gráficamente tenemos:
203
Solvencia en un reaseguro finite risk
Primas-Siniestros-Saldo
Evolución Primas-Siniestros-Saldo 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 0
1
2
3
4
5
6
Años Prima capitalizada
Siniestros capitalizados
Saldo estimado
Podemos observar como los siniestros capitalizados y la prima capitalizada van creciendo durante el plazo de vigencia de la operación y como el saldo estimado disminuye hasta ser 0 al final del último año. Si consideramos el mismo caso a primas periódicas anuales: j
Prima periódica capitalizada
Siniestros acumulados capitalizados
Saldo estimado
0
12,231212
0
12,231212
1 2 3 4 5
24,829361 37,805454 51,170830 64,937172 66,885284
12,621449 25,580404 38,932224 52,701939 66,885284
12,207912 12,225049 12,238605 12,235232 0,000000
siendo 12,231212 la esperanza matemática de la prima periódica anual del reaseguro. La evolución de la prima periódica capitalizada, los siniestros acumulados y el saldo estimado queda representada en la siguiente gráfica:
204
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra
Siniestros-PrimasSaldo
Evolución Siniestros-Primas-Saldo 80,000000 70,000000 60,000000 50,000000 40,000000 30,000000 20,000000 10,000000 0,000000 0
1
2
3
4
5
6
Años Primas capitalizadas
Siniestros capitalizados
Saldo estimado
En este caso el saldo estimado se mantiene prácticamente constante durante los cuatro primeros años. Modelo con revisión
En este caso nos planteamos calcular para el reaseguro finite risk Cuota Parte definido en el modelo anterior, el saldo estimado de la cuenta de experiencia para la cedente 1, revisando anualmente los parámetros de las funciones de distribución en función de la evolución de la siniestralidad real de cada cedente. Al igual que en el caso anterior estimaremos las variables aleatorias por simulación de Monte Carlo y realizaremos 50.000 simulaciones y asumiremos las mismas hipótesis respecto a los tipos de interés del modelo anterior I1, R I1 0,03 . Supondremos que el número medio anual y el coste medio anual de siniestros a partir del origen del contrato y para los 4 años siguientes son:
j 1 2 3 4
Número de siniestros k=1 k=2 k=3 3 9 7 5 8 6 4 6 5 5 9 8
j 1 2 3 4
Coste medio de los siniestros k=1 k=2 k=3 4,0000 8,8000 8,7000 4,5000 6,0000 9,0000 5,0000 5,0000 4,0000 5,0000 8,0000 8,0000
La siguiente tabla muestra la evolución, para cada año, del estimador del
número de siniestros O j T1 , del estimador del coste de los siniestros
205
Solvencia en un reaseguro finite risk
D j T1 , de la
esperanza matemática del saldo estimado E ( S ej ,(, jj ,t ] ) , su
desviación tipo D( S ej ,(, j j ,t ] ) y de la esperanza matemática del saldo estimado
E ( S ej ) del modelo sin revisión.
j
O j T1
D j T1
E ( S ej ,(, jj ,t ] )
D( S ej ,(, j j ,t ] )
E ( S ej )
1 2 3 4
4,589 4,591 4,489 4,546
5,415 5,516 5,381 5,571
47,00491 36,4131 23,5704 2,4651
15,4954 13,8375 11,1572 8,2584
46,8052 35,6291 24,1136 12,2352
Para los datos de siniestralidad considerados podemos observar como el valor esperado del saldo estimado con revisión es mayor en los años 1, 2 y 4 que el que se hubiese dotado de no considerar la revisión de los parámetros. Un aspecto interesante a destacar es ver como influye el saldo estimado de la cedente 1 cuando variamos la siniestralidad del resto de cedentes. Consideremos el siguiente supuesto: si en el año 4 el número medio y el coste medio de los siniestros de la cedente 1 permanecen iguales a los datos anteriores y por ejemplo disminuimos la siniestralidad del resto de cedentes,
esta circunstancia afectará a los estimadores O 4 T1 y D 4 T1 y por tanto a su saldo estimado. Supongamos que para el último año j 4 , las cedentes 2 y 3 tuviesen un menor número medio y un menor coste medio anual de siniestros respecto a los datos anteriores: Número de siniestros k=1 K=2 5 7
j 4
j 4
k=3 5
Coste medio de los siniestros k=1 k=2 k=3 5,0000 7,0000 6,0000
Bajo estas hipótesis:
j
O j T1
D j T1
E ( S ej ,(, j j ,t ] )
D( S ej ,(, j j ,t ] )
4
4,523
5,418
9,6517
6,4480
el saldo estimado de la cedente 1 en el año 4 pasa de 12,4651 a 9,6517.
206
M. A. Pons Cardel y F. J. Sarrasí Vizcarra 7. Consideraciones finales
En este trabajo hemos analizado el saldo o provisión de la cuenta de experiencia en un reaseguro finite risk. Para su determinación hemos utilizado dos enfoques, modelo sin revisión y modelo con revisión. En el modelo sin revisión hemos asumido que los parámetros de siniestralidad se mantienen constantes a lo largo del plazo de vigencia de la operación y, por tanto, no se contempla la revisión de los mismos. De tal forma, que en el origen de la operación, hemos calculado el saldo estimado de la cuenta de experiencia al final de cada año. Las posibles aportaciones que garanticen el saldo estimado se deberán de calcular a posteriori una vez conocido el saldo real. En el modelo con revisión, el saldo estimado no se calcula en el origen de la operación sino al final de cada uno de los periodos anuales del contrato, ya que en este caso contemplamos la revisión de los parámetros de las funciones de distribución, ajustándolos a la información de siniestralidad conocida hasta ese momento. Hemos supuesto que la cartera del reasegurador está formado por tres cedentes del mismo ramo y para la estimación de los parámetros de siniestralidad hemos utilizado modelos de credibilidad, para tener en cuenta tanto la experiencia individual como la de la cartera. En la aplicación numérica del modelo con revisión, se pone de manifiesto como el saldo estimado de una cedente depende no sólo de la experiencia individual de siniestralidad, sino también de la experiencia del resto de cedentes que componen la cartera.
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208
CRITERIOS DE SELECCIÓN DE MODELO EN CREDIT SCORING. APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DISCRIMINANTE BASADO EN DISTANCIAS† Eva Boj1, Mª Mercè Claramunt2, Anna Esteve3 y Josep Fortiana4
ABSTRACT The aim of this paper is to study model selection criteria in credit scoring. Such criteria are usually derived from an error cost function which takes into account misclassification probabilities in good and bad credit risk subpopulations plus other parameters encoding context information relevant to the objective portfolio. We present a distance based classification approach to credit scoring, as an addition to the current repertoire of procedures. We illustrate both method and selection criteria with two real datasets. KEY WORDS: Credit Risk; Credit scoring; Probability of default; Multivariate Data Analysis; Distance Based Prediction. RESUMEN En este trabajo estudiamos criterios de selección de modelo en credit scoring. Estos criterios se derivan usualmente de una función de coste del error que tiene en cuenta las probabilidades de mala clasificación en las subpoblaciones de buenos y malos riesgos de crédito y, adicionalmente, algunos parámetros con información relevante del entorno de la cartera analizada. Presentamos una metodología de análisis discriminante basado en †
Trabajo financiado por el Ministerio de Educación y Ciencia, proyecto número MTM2006-09920. Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial. Facultad de Economía y Empresa. Universidad de Barcelona. Avenida Diagonal 690, 08034_Barcelona. España. E-mail: evaboj@ub.edu 2 Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial. Facultad de Economía y Empresa. Universidad de Barcelona. Avenida Diagonal 690, 08034_Barcelona. España. E-mail: mmclaramunt@ub.edu 3 Centro de Estudios Epidemiológicos sobre las Infecciones de Transmisión Sexual y Sida de Cataluña (CEEISCAT). Hospital Universitario Hermanos Trías y Pujol. CIBER Epidemiología y Salud Pública (CIBERESP). Ctra. de Cañete, s/n. 08916_Badalona. España. E-mail: aeg.ceescat.germanstrias@gencat.net 4 Departamento de Probabilidad, Lógica y Estadística. Facultad de Matemáticas. Universidad de Barcelona. Gran Vía de las Cortes Catalanas 595, 08007_Barcelona. España. E-mail: fortiana@ub.edu 1
209
Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
distancias como método de scoring alternativo a los existentes en la literatura. E ilustramos tanto la utilización de la predicción basada en distancias como de los criterios de selección de modelo con dos conjuntos de datos reales. PALABRAS CLAVE: Riesgo de crédito; Credit scoring; Probabilidad de insolvencia; Análisis estadístico multivariante; Predicción basada en distancias.
1. INTRODUCCIÓN Las primas por riesgo de crédito de una Entidad Financiera se calculan haciendo uso de las probabilidades de insolvencia de los riesgos a partir de un modelo de credit scoring. La elección del modelo de scoring es un paso clave para la solvencia de la Entidad. En este trabajo describimos diferentes criterios de selección. El primero de ellos se basa en analizar las probabilidades de mala clasificación en las poblaciones, la de buenos y la de malos riesgos de crédito, y la global. El segundo se basa en una función de coste del error, la cuál tiene en cuenta el entorno de la cartera. Proponemos como herramienta alternativa en el problema del credit scoring la utilización del Análisis Discriminante Basado en Distancias (ADBD). Ésta metodología es especialmente adecuada para dicho problema, ya que se trata de una metodología no paramétrica que permite de modo natural una mezcla de variables numéricas y categóricas. Por otro lado, da lugar a una relación indirecta, esencialmente no lineal, entre los predictores y la respuesta. Algunas referencias en las se utiliza también la metodología estadística de análisis discriminante en el problema del credit scoring son Artís et al. (1994), Boj et al. (2009a), Bonilla et al. (2003), Hand y Henley (1997) y Trias et al. (2005 y 2008). Con dos conjuntos de datos reales de dos Entidades Financieras ilustramos la utilización de los criterios de selección de modelo y la aplicación de la predicción basada en distancias. Los métodos de la literatura con los que comparamos el ADBD son: Métodos no-paramétricos como las redes neuronales, el método de los k vecinos más próximos, el método de la estimación núcleo de la densidad y el árbol de clasificación classification and regression trees (CART); y Métodos paramétricos como el análisis discriminante lineal y la regresión logística.
210
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
El trabajo se estructura del siguiente modo: en el apartado 2 describimos la metodologĂa de ADBD y explicamos cĂłmo traspasar la informaciĂłn aportada por los predictores a la matriz de distancias de cada poblaciĂłn. En el apartado 3 detallamos los criterios de selecciĂłn de modelo basados en las probabilidades de mala clasificaciĂłn y en una funciĂłn de coste del error. En el apartado 4 ilustramos el uso de los criterios de selecciĂłn de modelo y la aplicaciĂłn del ADBD con dos conjuntos de datos reales.
2. ANĂ LISIS DISCRIMINANTE BASADO EN DISTANCIAS Los mĂŠtodos de anĂĄlisis estadĂstico multivariante basados en distancias son adecuados cuando tratamos con predictores de tipo mixto, es decir, una mezcla de variables cuantitativas, categĂłricas y/o binarias. En el problema del credit scoring ocurre igual que en la tarificaciĂłn a priori en la fase de selecciĂłn de variables de tarifa, que el conjunto potencial de factores de riesgo es de tipo mixto (Boj et al., 2000, 2001, 2004, 2009a). Recordemos, por ejemplo, que en la tarificaciĂłn del seguro del automĂłvil tenĂamos como predictores: la edad y el sexo del primer conductor, la antigĂźedad del carnĂŠ, el uso del vehĂculo, la zona de circulaciĂłn, la potencia del vehĂculo, la marca y el tipo de vehĂculo, â&#x20AC;Ś Ahora en el riesgo de crĂŠdito tenemos: la duraciĂłn y el importe del credito, el propĂłsito del crĂŠdito, la edad, la situaciĂłn marital y el sexo del beneficiario del crĂŠdito, â&#x20AC;Ś En resumen, disponemos tambiĂŠn de un conjunto de predictores de tipo mixto. Por otro lado, es sabido que los mĂŠtodos de anĂĄlisis discriminante funcionan bien con variables cuantitativas o cuando se conoce la densidad de los datos, pero a menudo las variables son binarias, categĂłricas o mixtas, como es el caso del riesgo de crĂŠdito. Puesto que siempre es posible definir una distancia entre observaciones, tambiĂŠn es posible dar una versiĂłn del anĂĄlisis discriminante utilizando sĂłlo distancias. A esta versiĂłn la denominamos AnĂĄlisis Discriminante Basado en Distancias y nos referimos a Cuadras (1989, 1992), Cuadras et al. (1997) y Boj et al. (2009a,b) para un detalle teĂłrico y prĂĄctico. Supongamos que disponemos de un conjunto de n individuos, pertenecientes a g grupos conocidos : :1 Â&#x2030; " Â&#x2030; : g de tamaĂąos
n1,! , ng , siendo el total de individuos n
n1 " ng . Sean G1,! , G g ,
g funciones de distancia con la propiedad euclĂdea en el sentido del Escalado MĂŠtrico Multidimensional (ver Borg y Groenen, 2005). Estas funciones pueden o no coincidir para cada poblaciĂłn. A partir de los 211
Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
Z1,!, Z p
predictores observados Z
calculamos las matrices de
distancias euclídeas entre las muestras de cada población: 2 'D
Gij2 D
de tamaño nD u nD para D
1,! , g .
Las estimaciones de las variabilidades geométricas son:
VˆD
1 2
nD
¦ Gij2 D para D
2nD i 1
1,! , g .
Sea Z un nuevo individuo a clasificar en una de las g poblaciones, y sean 2 G i D para i 1,! , nD y para D 1,! , g las distancias al cuadrado de
este nuevo individuo a los nD individuos de la población :D , calculadas a partir de los predictores originales Z . Las estimaciones de las funciones de proximidad son: n
fˆD Z
1 D 2 ¦ Gi D VˆD para D nD i 1
1,! , g .
La regla basada en distancias consiste en asignar al nuevo individuo Z a la población :D tal que
fˆD Z
fˆE Z ` . ^ 1d E d g min
Es de especial interés que esta regla sólo depende de distancias entre observaciones y clasifica a Z en la población más próxima. Finalmente, las probabilidades de que el individuo Z pertenezca a la población D , las estimamos como:
SˆD Z
e
fˆD Z
g
¦e
fˆi Z
i 1
212
con D
1,! , g .
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
2.1. MÉTRICAS Y CONJUNTOS DE VARIABLES Tal y como veremos en la aplicación del apartado 4.1, en riesgo de crédito, al igual que ocurre en la tarificación a priori de los seguros no vida, los factores de riesgo pueden agruparse en conjuntos de variables. Recordemos cómo, en el seguro del automóvil podíamos tener por ejemplo los siguientes conjuntos (Boj et al., 2004): Factores relativos al vehículo asegurado: valor, antigüedad, categoría, clase, tipo, marca, modelo, número de plazas, potencia, peso, o relación potencia / peso, color, etc. Factores relativos al conductor: edad, sexo, antigüedad del carné, estado civil, profesión, número de hijos, posibilidad de conductores ocasionales, resultado de la experiencia en el pasado, etc. Factores relativos a la circulación: zona de circulación, uso del vehículo, kilómetros anuales, etc. Para aplicar el ADBD debemos traspasar la información de los predictores de tipo mixto a las matrices de distancias de cada población, la de buenos y
2
malos riesgos. Es decir, tenemos que calcular 'D de tamaño nD u nD (siendo D 1, 2 ). Supongamos que construimos b conjuntos de predictores. Para cada conjunto podemos calcular la matriz de distancias euclídea
2
asociada 'D > s @ con s
1,! , b de tamaño nD u nD . En el ejemplo
anterior, del seguro del automóvil, disponíamos de b 3 conjuntos de variables, por lo tanto podríamos calcular tres matrices de distancias para cada población. En una primera aproximación, podemos construir la matriz de una población como la suma pitagórica de las matrices de los diferentes conjuntos, asumiendo implícitamente independencia entre predictores: b
2 'D
¦ 'D 2 > s @ .
(1)
s 1
Una alternativa, en la que además podemos ponderar cada uno de los conjuntos formados a priori, es la utilización de familias de métricas adaptativas dependientes de parámetros (ver Esteve, 2003 para mayor detalle). Estas familias se pueden obtener como combinación lineal convexa de las diferentes matrices de los conjuntos:
213
Criterios de selecciĂłn de modelo en credit scoring. AplicaciĂłn del anĂĄlisis â&#x20AC;Ś
2 'D O
b
ÂŚ Os 'D 2 > s @ ,
(2)
s 1 b
cumpliendo los parĂĄmetros
ÂŚ Oi
1 . Y de una manera mĂĄs completa, pero
i 1
tambiĂŠn mĂĄs compleja de cĂĄlculo, podrĂamos utilizar el repertorio de distancias:
GD C
b
1
1
ÂŚ GD > s@ ÂŚ GD 2s ClsGD 2l , s zl
s 1
>@
>@
(3)
siendo GD > s @ la matriz de productos escalares de la mĂŠtrica asociada a la
2
distancia 'D > s @ y Cls matrices de parĂĄmetros de tamaĂąo nD u nD . La familia (3) nos permite incluir relaciones de dependencia entre los conjuntos de variables.
3. CRITERIOS DE SELECCIĂ&#x201C;N DE MODELO EN CREDIT SCORING En este apartado detallamos el cĂĄlculo de dos criterios de selecciĂłn de modelo en credit scoring, las probabilidades de mala clasificaciĂłn y el coste del error. En el apartado 4 ilustraremos cĂłmo estos dos criterios nos ayudarĂĄn a decidir un modelo para nuestra cartera. 3.1. PROBABILIDADES DE MALA CLASIFICACIĂ&#x201C;N Vamos explicar y comentar cĂłmo se calculan las probabilidades de mala clasificaciĂłn en una tĂŠcnica de predicciĂłn discriminativa, tanto para cada poblaciĂłn como global. Para ello es necesario calcular la matriz de confusiĂłn que se define del siguiente modo:
214
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Estimada
Real
Buenos riesgos
Malos riesgos
Total
Buenos riesgos
n11
n21
n11 n21
Malos riesgos
n12
n22
n12 n22
Total
n11 n12
n21 n22
n
En esta matriz, las filas representan la clasificaciĂłn real y las columnas la clasificaciĂłn predicha. Explicamos el significado de los elementos con un ejemplo. Escogemos la matriz resultante de aplicar en el apartado 4.1.1 el ADBD a los datos alemanes de crĂŠdito con O = [0.16 0.05 0.32 0.47]. En este ejemplo n = 1000 individuos, de los cuales 700 han sido buenos riesgos y 300 malos. La matriz de confusiĂłn resultante es:
Estimada
Real
Buenos riesgos Malos riesgos Total
Buenos riesgos 394 73 467
Malos riesgos 306 227 533
Probabilidades de mala clasificaciĂłn: Para cada grupo: - El de buenos riesgos de crĂŠdito
n21 n11 n21
306 700
0.437
- El de malos riesgos de crĂŠdito
n12 n12 n22
73 300
215
0.243
Total 700 300 1000
Criterios de selecciĂłn de modelo en credit scoring. AplicaciĂłn del anĂĄlisis â&#x20AC;Ś
Probabilidad global:
n21 n12 n
306 73 1000
0.379
En este ejemplo, la probabilidad de clasificar mal a un buen riesgo es de 0.437, la de clasificar mal a un mal riesgo es de 0.243, y la probabilidad global de clasificar mal a un individuo es de 0.379. En general, una CompaĂąĂa Financiera podrĂa decidir que la probabilidad global es una buena estimaciĂłn de cuĂĄnto se va a equivocar con una tĂŠcnica predictiva determinada. Pero hay que tener en cuenta las probabilidades de cada una de las poblaciones, la de buenos y malos riesgos. La probabilidad de equivocarse en la poblaciĂłn de malos riesgos, es decir de conceder crĂŠditos a malos riesgos, es realmente importante. Si esta probabilidad es elevada, significarĂĄ que nos equivocaremos a menudo concediendo crĂŠdito a malos riesgos. El coste de conceder un crĂŠdito que quedarĂĄ impagado es mucho mayor que el de rechazar a un buen cliente cuyo coste es cero. En el ejemplo, la probabilidad mĂĄs pequeĂąa es la de clasificar mal a un mal riesgo, lo que es de interĂŠs. Sin embargo, tampoco es bueno clasificar mal a todos los buenos riesgos, ya que si no concedemos crĂŠditos a buenos clientes, en tĂŠrminos esperados no podremos compensar las pĂŠrdidas de los siniestros. Por todo ello, debemos elegir una tĂŠcnica predictiva que mantenga un equilibrio entre las tres probabilidades.
3.2. COSTE DEL ERROR En este apartado consideramos los costes del error en credit scoring y su impacto en la selecciĂłn de modelos. Puesto que no es posible saber el coste futuro de una CompaĂąĂa Financiera, y las probabilidades a priori de buenos y malos riesgos no estĂĄn disponibles para una cartera concreta, queremos enfatizar que este criterio aplicado a los datos del apartado 4 servirĂĄ sĂłlo a modo de propuesta ilustrativa. En general, en credit scoring el coste de conceder un crĂŠdito a un candidato con mal riesgo de crĂŠdito, al que llamaremos C12 , es significativamente mayor que el coste de denegar un crĂŠdito a un candidato con buen riesgo de crĂŠdito, al que llamaremos C21 . En esta situaciĂłn es adecuado tener en cuenta el coste:
216
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Coste C12S 2
n12 n21 C21S1 , n11 n12 n21 n22
(4)
en lugar de la probabilidad global de mala clasificaciĂłn de una metodologĂa (ver Frydman et al., 1985). Para ilustrar esta funciĂłn de coste utilizaremos las siguientes estimaciones: - Respecto de los costes relativos, utilizaremos los propuestos por el Dr. Hans Hofmann (que fue quien recopilĂł y cediĂł los datos alemanes del apartado 4 en el repositorio Statlog). Ă&#x2030;stos son: C12 5 y C21 1 . TambiĂŠn son utilizados para estos datos por Frydman et al. (1985) y West (2000). - Por otro lado, requerimos las probabilidades a priori de buenos, S1 , y de malos riesgos, S 2 . Hemos considerado una buena estimaciĂłn (ajustada a los datos reales en estudio) la propuesta por West (2000), quien tambiĂŠn analiza las dos carteras que nosotros trabajamos en el apartado 4. En el citado trabajo, West propone estimar la probabilidad de los malos riesgos entre dos cotas: S 2 0.144 y S 2 0.249 . Ambas cotas suponen dos escenarios, uno peor que otro. De este modo es posible averiguar entre quĂŠ valores podrĂa oscilar el coste (4) si se dieran las dos situaciones. Las cotas estĂĄn calculadas mediante el cociente de unos ratios obtenidos por Gopinathan y Oâ&#x20AC;&#x2122;Donnell (1998) y Jensen (1992) a partir de experiencia real, y divididos por la media de las probabilidades estimadas en West (2000). Nos referimos a West (2000) para un mayor detalle. Finalmente, el significado de los ratios
n12 n21 y es el n11 n12 n21 n22
siguiente:
n12 : proporciĂłn de malos riesgos que son concedidos (ratio de falso n11 n12 positivo)
n21 : proporciĂłn de buenos riesgos que son denegados (ratio de falso n21 n22 negativo)
217
Criterios de selecciĂłn de modelo en credit scoring. AplicaciĂłn del anĂĄlisis â&#x20AC;Ś
Con todo ello, los costes que aplicaremos en el apartado 4 para ilustrar el uso de (4) en la selecciĂłn de modelo en credit scoring serĂĄn:
Coste 0.144 5 u 0.144 u
n12 n21 (5) 1u 1 0.144 u n11 n12 n21 n22
Coste 0.249 5 u 0.249 u
n12 n21 (6) 1u 1 0.249 u n11 n12 n21 n22
Que en el ejemplo, los costes (5) y (6) son:
73 306 1u 1 0.144 u 467 533 5 u 0.144 u 0.156 1u 1 0.144 u 0.574 0.604
Coste 0.144 5 u 0.144 u
Coste 0.249 5 u 0.249 u 0.156 1u 1 0.249 u 0.574 0.625 .
4. APLICACIONES En este apartado, aplicamos la metodologĂa de ADBD a dos conjuntos de datos reales de riesgo de crĂŠdito. Con el objetivo de establecer criterios de selecciĂłn de modelos, comparamos los resultados de las probabilidades de mala clasificaciĂłn y de los costes explicados en el apartado anterior, con los de otras metodologĂas de credit scoring. Los datos han sido descargados gratuitamente del repositorio Statlog. Ambos conjuntos son carteras de Entidades Financieras, los primeros de una Financiera alemana y los segundos de una australiana. Los datos alemanes estĂĄn descritos y pueden descargarse en la direcciĂłn electrĂłnica http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Statlog+(Ger man+Credit+Data), y los australianos en http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Statlog+(Aus tralian+Credit+Approval).
218
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
4.1. DATOS DE RIESGO DE CRÉDITO ALEMANES 4.1.1. DESCRIPCIÓN DE LA BASE DE DATOS Y TRATAMIENTO Estos datos clasifican a un conjunto de individuos como buenos o malos riesgos en función de una serie de predictores de tipo mixto. La cartera contiene datos cedidos en fecha 17-11-1994. En total contiene n = 1000 individuos, de los cuales 700 han sido buenos riesgos y 300 malos. Los factores potenciales de riesgo considerados son p = 20, de los cuales 7 son continuos, 11 categóricos y 2 binarios. Para la aplicación del ADBD consideramos g = 2 poblaciones, la de buenos riesgos y la de malos riesgos. Puesto que conocemos la descripción de los predictores, construimos b = 4 conjuntos de variables en función de su significado. Esta agrupación previa es usual en el problema del riesgo de crédito (ver por ejemplo, Artís et al., 1994) . Cabe notar que no existe un único criterio de agrupación, siempre dependerá de los factores disponibles y de la decisión del experto que establezca los conjuntos. Respecto de la función de distancias en el cálculo de las matrices de
2
distancias al cuadrado de cada conjunto de predictores, 'D > s @ con s 1,! , b , utilizamos el índice de similaridad de Gower (Gower, 1971, Boj et al., 2004, 2007, 2009b). Esta función de distancias permite el tratamiento adecuado de datos de tipo mixto. Posteriormente utilizamos la familia paramétrica de distancias convexa (2), utilizando varias combinaciones ad-hoc de parámetros O . Estas combinaciones nos permiten ponderar a priori los conjuntos de variables construidos, que en nuestro caso son: Conjunto 1. Características del crédito En este conjunto hemos considerado todas las características que hacen referencia al crédito. En total tenemos dos variables continuas y una categórica nominal. Los factores incluidos son: ¾ Factor 2- Duración en meses (numérica) ¾ Factor 5- Importe del crédito (numérica) ¾ Factor 4- Propósito (categórica nominal con 11 niveles) [1. car (new); 2. car (used); 3. furniture/equipment; 4. radio/television; 5. domestic appliances; 6. repairs; 7. education; 219
Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
8. (vacation - does not exist?); 9. retraining; 10. business; 11. others]
Conjunto 2. Características sociales del creditor (beneficiario del crédito) En este conjunto hemos considerado todas las variables que hacen referencia a características sociales del creditor o beneficiario del crédito. En total disponemos de dos variables continuas, una categórica nominal y dos binarias. Los factores incluidos son: ¾ Factor 11- Residencia actual desde (numérica) ¾ Factor 13- Edad en años (numérica) ¾ Factor 9- Situación personal y sexo (categórica nominal con 5 niveles) [1. male:divorced/separated; female:divorced/separated/married; 3. male:single; male:married/widowed; 5. female:single]
2. 4.
¾ Factor 19- Teléfono (binaria) [1. none; 2. yes, registered under the customers name] ¾ Factor 20- Trabajador extranjero (binaria) [1. yes; 2. no]
Conjunto 3. Características económicas del creditor (beneficiario del crédito) En este conjunto hemos considerado todas las variables que hacen referencia a características económicas del beneficiario del crédito. En total disponemos de cinco variables cuantitativas y cuatro categóricas nominales. Los factores finalmente incluidos en este conjunto y su tratamiento han sido: ¾ Factor 1-Situación actual de la cuenta corriente (categórica ordinal). Este factor merece un tratamiento especial. En la base de datos ha sido codificado como una discretización en clases de una variable cuantitativa originariamente: [1. ... < 0 DM 2. 0 <= ... < 200 DM 3. ... >= 200 DM / salary assignments for at least 1 year 4. no checking account] 220
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Puesto que los datos numéricos reales no los podemos recuperar, hemos decidido utilizar las marcas de clase de los intervalos, [–50, 100, 250, 0] (ver Boj et al., 2004 para otras aplicaciones con las mismas características). Adicionalmente, puesto que hemos codificado un 0 para la clase 4, que se corresponde con “no tener cuenta corriente”, hemos añadido una variable binaria para indicar dichos ceros, que de hecho pasan a ser datos faltantes en la similaridad de Gower. ¾ Factor 6- Cuenta de ahorros (categórica ordinal). A esta variable le ocurre lo mismo que a la anterior, por ello hemos aplicado el mismo tratamiento. Para este factor las clases son: [1. ... < 100 DM 2. 100 <= ... < 500 DM 3. 500 <= ... < 1000 DM 4. ... >= 1000 DM 5. unknown/ no savings account] Y las marcas de clase utilizadas han sido [50, 300, 750, 1250, 0]. La clase con indicador de cero ha sido la 5, que se corresponde con “no tener cuenta de ahorros”. ¾ Factor 7- Presenta empleo desde (categórica ordinal). De nuevo tenemos una variable obtenida como discretización de una numérica, además de tener una clase a indicar a parte. Las clases son: [1. unemployed 2. ... < 1 year 3. 1 <= ... < 4 years 4. 4 <= ... < 7 years 5. ... >= 7 years] Las marcas de clase utilizadas han sido [0,0.5,2.5,5.5,8.5], y la clase con indicador de cero ha sido la 1, que se corresponde con “estar desempleado”. ¾ Factor 7b- Indicador de empleo (binaria). Hemos pensado que el hecho de no disponer de empleo, considerado en el Factor 7 anterior, era un factor de riesgo muy importante por su significado. Por ello, hemos decidido crear una variable binaria que indica si se dispone o no de empleo. También indicaría la clase de “estar o no desmpleado” pero tendría el tratamiento de variable binaria adicional en el índice de similaridad de Gower y no de indicador de dato faltante de la variable 7.
221
Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
¾ Factor 8- Cuota del crédito en porcentaje de la renta disponible (numérica) ¾ Factor 18- Número de personas mantenidas (numérica) ¾ Factor 12- Propiedades (categórica nominal con 4 niveles) [1. real estate; 2. if not 1.: building society savings agreement/life insurance; 3. if not 1./2.: car or other, not in Factor 6; 4. unknown/no property] ¾ Factor 14- Otros planes periódicos (categórica nominal con 3 niveles) [1. bank; 2. stores; 3. none] ¾ Factor 15- Vivienda (categórica nominal con 3 niveles) [1. rent; 2. own; 3. for free] ¾
Factor 17- Trabajo (categórica nominal con 4 niveles) [1. unemployed/unskilled - non-resident; 2. unskilled – resident; 3. skilled employee/official; 4. management/self-employed/highly qualified employee/ officer]
Conjunto 4. Relación del creditor (beneficiario del crédito) con el banco En este conjunto hemos considerado todas las características que hacían referencia a la relación del beneficiario del crédito con el banco. En total disponemos de una variable continua y dos categóricas nominales. Los factores incluidos en este conjunto son: ¾ Factor 16- Número de créditos activos en este banco (numérica) ¾ Factor 3- Historial crediticio (categórica nominal con 5 niveles) [1. no credits taken/ all credits paid back duly; 2. all credits at this bank paid back duly; 3. existing credits paid back duly till now; 4. delay in paying off in the past; 5. critical account/ other credits existing (not at this bank)] ¾ Factor 10- Otras personas en el crédito (categórica nominal con 3 niveles) [1. none; 2. co-applicant; 3. guarantor] A continuación detallamos las matrices de confusión resultantes de aplicar diferentes métricas con la metodología de ADBD. Caso 1: Suponemos que todos los predictores corresponden a un único conjunto de variables, b = 1, así que la utilización de la similaridad de 222
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Gower se corresponde con el caso de suma pitagórica de distancias euclídeas, y la matriz de confusión resultante es:
ª544 156 º «188 112 » . ¬ ¼ Caso 2: Suponemos la familia convexa de distancias paramétricas (2). Fijamos diferentes pesos a priori y para cada uno detallamos su matriz de confusión:
ª 455 ¬ 86 ª394 « 73 ¬ ª 407 « 76 ¬ ª 420 « 81 ¬ ª 461 «106 ¬
1) O = [0.25 0.25 0.25 0.25]: « 2) O = [0.16 0.05 0.32 0.47]: 3) O = [0.14 0.05 0.36 0.45]: 4) O = [0.10 0.10 0.40 0.40]: 5) O = [0.40 0.40 0.10 0.10]:
4.1.2.
245º . 214 »¼ 306 º . 227 »¼ 293º . 224 »¼ 280 º . 219 »¼ 239 º . 194 »¼
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS
En las Tablas 1 y 3 se encuentran resumidas las probabilidades de mala clasificación para cada grupo, buenos y malos riesgos, y la probabilidad global, para los datos de riesgo de crédito Alemanes y Australianos, utilizando diferentes metodologías de credit scoring. En las Tablas 2 y 4 hemos resumido el coste del error asociado, (4), a cada base de datos y cada metodología, suponiendo S 2 0.144 y S 2 0.249 . Respecto de las metodologías que aparecen en las tablas, que serán con las que vamos a comparar nuestro método de ADBD, cabe notar que los resultados numéricos están extraídos de West (2000) y que para obtener información de los procesos de estimación y las hipótesis en que se basan debemos consultar la referencia citada. A continuación las listamos en dos clases:
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Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
Metodologías no-paramétricas: ¾ Redes neuronales, cuyas siglas se refieren a (consultar West, 2000 para mayor detalle): o o o o o
Mixture of experts (MOE) Radial basis function (RBF) Multi-layer perceptron (MLP) Learning vector quantization (LVQ) Fuzzy adaptive resonance (FAR)
¾ Método de los k vecinos más próximos ¾ Método de la estimación núcleo de la densidad ¾ Árbol de clasificación classification and regression trees (CART) Metodologías paramétricas: ¾ Análisis discriminante lineal ¾ Regresión logística Si nos centramos en la probabilidad de mala clasificación de los malos riesgos de la Tabla 1, la metodología con menor probabilidad es la del ADBD con O = [0.16 0.05 0.32 0.47], que da 0.243. Esta ponderación en la distancia convexa da mucha importancia al conjunto 4 (Relación del beneficiario del crédito con el banco), seguida del Conjunto 3 (Características económicas del beneficiario del crédito), del conjunto 1 (Características del crédito) y finalmente del Conjunto 2 (Características sociales del beneficiario del crédito). Esta ponderación es la que ad-hoc da una interpretación más intuitiva de los conjuntos formados. Este hecho ratifica que el correcto uso de la métrica conlleva a mejores resultados. La siguiente técnica que ofrece una menor probabilidad es la de análisis discriminante lineal, con 0.266. Si nos centramos en la probabilidad global de la Tabla 1, la técnica que menor error de clasificación conlleva es la de regresión logística con 0.237, sin embargo hay que notar que la probabilidad de los malos riesgos es muy elevada, de 0.513. La siguiente técnica es la red neuronal MOE con una probabilidad de 0.243. Observamos que algunas de las técnicas que tienen también una probabilidad global pequeña tienen también una probabilidad de mala clasificación elevada, haciendo que la global disminuya a costa de clasificar mal a los buenos riesgos.
224
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Probabilidades estimadas de mala clasificación Buenos riesgos Malos riesgos Global Modelos no-paramétricos ADBD (Suma pitagórica) ADBD ( O = [0.25 0.25 0.25 0.25])
0.223 0.350
ADBD ( O = [0.16 0.05 0.32 0.47])
0.437
0.243
0.379
ADBD ( O = [0.14 0.05 0.36 0.45])
0.419
0.253
0.369
ADBD ( O = [0.10 0.10 0.40 0.40])
0.400
0.270
0.361
ADBD ( O = [0.40 0.40 0.10 0.10]) Red neuronal MOE Red neuronal RBF Red neuronal MLP Red neuronal LVQ Red neuronal FAR K vecinos próximos Estimación núcleo de la densidad Árbol de clasificación CART Modelos paramétricos Análisis discriminante lineal Regresión logística
0.341 0.142 0.134 0.135 0.249 0.403 0.225 0.155 0.206
0.353 0.477 0.529 0.575 0.481 0.488 0.553 0.630 0.545
0.345 0.243 0.254 0.267 0.316 0.427 0.324 0.308 0.304
0.277 0.118
0.266 0.513
0.274 0.237
0.627 0.287
0.344 0.331
Tabla 1. Probabilidades de mala clasificación para cada grupo, buenos y malos riesgos, y global para los datos de riesgo de crédito Alemanes utilizando diferentes metodologías de credit scoring.
Costes estimados
S2 Modelos no-paramétricos ADBD (Suma pitagórica) ADBD ( O = [0.25 0.25 0.25 0.25])
0.144
S2
0.249
0.683 0.562
0.756 0.591
ADBD ( O = [0.14 0.05 0.36 0.45])
0.604 0.598
0.625 0.621
ADBD ( O = [0.10 0.10 0.40 0.40])
0.596
0.622
ADBD ( O = [0.40 0.40 0.10 0.10]) Red neuronal MOE Red neuronal RBF Red neuronal MLP Red neuronal LVQ Red neuronal FAR K vecinos próximos Estimación núcleo de la densidad Árbol de casificación CART Modelos paramétricos Análisis discriminante lineal Regresión logística
0.607 0.432 0.469 0.483 0.501 0.668 0.592 0.587 0.569
0.647 0.653 0.707 0.758 0.714 0.942 0.858 0.901 0.834
0.429 0.471
0.540 0.728
ADBD ( O = [0.16 0.05 0.32 0.47])
S 2 0.144 y S 2 0.249 para los datos de riesgo de crédito Alemanes utilizando diferentes metodologías de credit scoring.
Tabla 2. Coste del error suponiendo
225
Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
Observamos en la Tabla 2, que los costes varían mucho en función de la metodología. Cabe notar, que aunque los costes del ADBD no son los más pequeños, sí que ofrecen unos intervalos de variación menores en general. Eso significa que al enfrentarse a diferentes escenarios, el coste previsto es bastante estable, a diferencia del resto de métodos, en los que una variación de la probabilidad a priori de malos riesgos de la cartera supone un resultado muy diferente. Si suponemos un escenario en que la probabilidad a priori de la población de malos riesgos es 0.144, la metodología con un menor coste es la de la regresión logística, que a su vez recordemos que era la que tenía una probabilidad de mala clasificación global también menor. En un escenario peor, suponiendo que la probabilidad a priori es de 0.249, la metodología con coste menor es la de análisis discriminante lineal. Observamos también que los siguientes costes más bajos en este escenario peor, se obtienen con ADBD.
4.2. DATOS DE RIESGO DE CRÉDITO AUSTRALIANOS 4.2.1. DESCRIPCIÓN DE LA BASE DE DATOS Y TRATAMIENTO Estos datos hacen referencia al riesgo asociado a tarjetas de crédito de una Entidad Financiera. Para mantener la confidencialidad de los datos, el autor no cedió los nombres de los factores de riesgo ni lo que significan sus clases y valores. Este conjunto de datos es de especial interés porque el conjunto de predictores es de tipo mixto, mezcla de continuos, nominales con un número reducido de clases, nominales con un gran número de clases y binarios. Además, el número de datos faltantes es reducido. Para las variables continuas, los datos faltantes han sido re-emplazados por la media de las variable correspondiente, y para las variables categóricas y binarias, éstos han sido re-emplazados por la moda. En total contiene n = 690 individuos, de los cuales 307 han sido buenos riesgos y 383 malos. Los factores potenciales de riesgo considerados son p = 14, de los cuales 6 son continuos, 4 categóricos y 4 binarios. Para la aplicación del ADBD consideramos de nuevo g = 2 poblaciones, la de buenos riesgos y la de malos riesgos. Puesto que no conocemos la descripción de los predictores, no podemos construir conjuntos en función de su significado, así que trataremos con un único conjunto, b = 1. También utilizaremos el índice de similaridad de Gower (Gower, 1971).
226
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
Cabe notar que, si quisiéramos ponderar a priori cada uno de los factores en el modelo de ADBD, una posibilidad sería utilizar la familia de métricas convexas del tipo (2), aunque en este caso, puesto que no conocemos el significado de las variables, no tiene mucho sentido. Por otro lado, también se podría pensar en agrupar las variables en función de la información que aportan, juntando en conjuntos las que aportan una información similar. Esta agrupación podría hacerse con alguna metodología de cluster y no se basaría en el significado, sino en incluir en un conjunto la misma información. Por ejemplo, si se utilizara una métrica que tuviera en cuenta las correlaciones entre variables como (3), y que además fuera capaz de tratar de forma adecuada datos de tipo mixto, ajustaríamos un modo muy adecuado, sin incorporar información redundante en el modelo. La matriz de confusión resultante del ADBD para estos datos utilizando el índice de similaridad de Gower entendido como suma pitagórica de las distancias euclídeas aportadas por cada uno de los 14 predictores es:
ª 278 29 º « 62 321» . ¬ ¼ 4.2.2.
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS
Con estos datos observamos en la Tabla 3 que la metodología con menor probabilidad de mala clasificación de los malos riesgos es el CART, con 0.120, seguida de la red neuronal MOE, con 0.124. Si nos centramos en la probabilidad global la técnica con menor probabilidad es la regresión logística, con 0.127, seguida del ADBD, con 0.132. Probabilidades estimadas de mala clasificación Buenos riesgos Malos riesgos Global Modelos no-paramétricos ADBD (Suma pitagórica) Red neuronal MOE Red neuronal RBF Red neuronal MLP Red neuronal LVQ Red neuronal FAR K vecinos próximos Estimación núcleo de la densidad Árbol de casificación CART Modelos paramétricos Análisis discriminante lineal Regresión logística
0.094 0.145 0.131 0.154 0.171 0.256 0.153 0.185 0.192
0.162 0.124 0.127 0.132 0.171 0.238 0.133 0.151 0.120
0.132 0.133 0.128 0.141 0.170 0.246 0.142 0.166 0.156
0.078 0.110
0.190 0.140
0.140 0.127
Tabla 3. Probabilidades de mala clasificación para cada grupo, buenos y malos riesgos, y global para los datos de crédito Australianos utilizando diferentes metodologías de credit scoring.
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Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
En la Tabla 4 volvemos a observar al igual que en la Tabla 2, que aunque no tenemos los menores costes con ADBD, el intervalo de variación no es muy grande. Casi todos los métodos ofrecen unos costes similares. Sólo resaltar que la metodología con mejor resultado es la red neuronal MOE, empatada cuando la probabilidad a priori es de 0.144 con la regresión logística, y por la red neuronal MLP cuando la probabilidad es de 0.249.
Costes estimados
S2 Modelos no-paramétricos ADBD (Suma pitagórica) Red neuronal MOE Red neuronal RBF Red neuronal MLP Red neuronal LVQ Red neuronal FAR K vecinos próximos Estimación núcleo de la densidad Árbol de casificación CART Modelos paramétricos Análisis discriminante lineal Regresión logística
0.144
S2
0.249
0.202 0.196 0.194 0.198 0.237 0.319 0.227 0.267 0.251
0.289 0.243 0.245 0.243 0.300 0.388 0.281 0.328 0.294
0.204 0.196
0.296 0.258
S 2 0.144 y S 2 0.249 para los datos de riesgo de crédito Alemanes utilizando diferentes metodologías de credit scoring.
Tabla 4. Coste del error suponiendo
5. CONCLUSIONES En este trabajo describimos diferentes criterios de selección de modelo en credit scoring. El primer criterio se basa en analizar las probabilidades de mala clasificación en las poblaciones, la de buenos y la de malos riesgos de crédito, y la global. Una Compañía Financiera puede decidir que la probabilidad global es una buena estimación de cuánto se va a equivocar con una técnica predictiva determinada. Pero hay que tener en cuenta las probabilidades de cada una de las poblaciones. La probabilidad de equivocarse en conceder créditos a malos riesgos es realmente importante. El coste de conceder un crédito que quedará impagado es mucho mayor que el de rechazar a un buen cliente cuyo coste es cero. Tampoco es bueno clasificar mal a todos los buenos riesgos, ya que si no concedemos créditos a buenos clientes, en términos esperados no podremos compensar las pérdidas de los siniestros. Por todo ello, debemos elegir una técnica predictiva que 228
Eva Boj, Mª Mercè Claramunt, Anna Esteve y Josep Fortiana
mantenga un equilibrio entre las tres probabilidades. El segundo criterio se basa en una función de coste del error, la cuál tiene en cuenta el entorno de la cartera en estudio. Proponemos la utilización del ADBD como método de scoring alternativo a los existentes en la literatura. Con dos conjuntos de datos reales de dos Entidades Financieras ilustramos la utilización de los criterios de selección de modelo y el funcionamiento de la predicción basada en distancias. Los métodos de la literatura con los que comparamos el ADBD son: las redes neuronales, el método de los k vecinos más próximos, el método de la estimación núcleo de la densidad, el árbol de clasificación classification and regression trees (CART), el análisis discriminante lineal y la regresión logística. Concluyendo que, no existe un método óptimo para todas las carteras, sino que conviene estudiar el entorno basándose en la experiencia reciente. Cada metodología tiene ventajas e inconvenientes (en sus hipótesis, en el tiempo computacional, etc) y un estudio de selección de modelo ayudará en la toma de decisiones.
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Criterios de selección de modelo en credit scoring. Aplicación del análisis …
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230
J U N T A
Presidente: D. Julián Oliver Raboso Vicepresidente: D. Vicente Sala Méndez Secretario General:
D E
D. Luís Sáez de Jáuregui Sanz Tesorero: D. Angel Vegas Montaner
G O B I E R N O
Vocales: D. Hugo González Riera Dª. Isabel Bañegil Espinosa D. Juan Marina Rufas D. Henry Karsten Dª Almudena García Pérez Dª Rocio de Padura Ballesteros D. Roberto Escuder Vallés
A fecha publicación de estos Anales
231
232
233
234
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
ABASOLO LARAUDOGOITIA
AMAIA
ABELLAN COLLADO
JOSE
ABELLAN MANSILLA
Mª ALTAGRACIA
3249
ABOLLO OCAÑA
DAVID
2505
ACEDO ASIN
ENRIQUE
1321 SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, SEGUROS PERSONALES, Director General, Madrid, enrique.acedoasin@antar.es
ACEDO GALAN
FERNANDO
ACEVEDO RODRIGUEZ
VICENTE
2639
ACEVEDO RODRIGUEZ
ALBERTO
2774
ACEVEZ ROBLES
MARIA ISABEL
2371 MERCER HUMAN RESOURCE CONSULTING, SL., Ejecutivo Técnico de Grandes Cuentas, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, 914569432, 913449154, isabel.acevez@mercer.com
3223 AON CONSULTING, Consultor, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, 91-3405588, 91-3405883, aabasolo@aon.es 856
170
ACHURRA APARICIO
JOSE LUIS
796
ADAN GALDEANO
LUIS
456 OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid, 91-3192233, 91-5362826, luis.adan@overban.com
ADRAOS YAGÜEZ
OSCAR
2678 AON BENFIELD/ BROKER REASEGURO, Actuario C/ Rosrio Pino,
AGUADO MANZANARES
SALOMON
2726 UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID, E.T.S.I. AGRONOMOS, Actuario, Investigador en Seguros Agrarios, Avda. Complutense, s/n, 28040 Madrid, 91-3365798, 91-3365797, salomon.aguado@upm.es
14-16, 28020 Madrid, 91-3405747, oscar.adraos@aonbenfield.com
AGUILAR CANTARINO
ELENA
1770
ALARCON MARTIN
NURIA
2096 AON CONSULTING, Consultor Senior, C/ Rosario Pino, 14-16 , 28020 Madrid, 91-3405566, 91-3405883, nalarcon@aon.es
ALARCON MARTIN
FRANCISCO
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ALARGE SALVANS
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SILVIA
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ALBARRAN LOZANO
IRENE
1982
ALBARRAN LOZANO
ANA
3001
ALBO GONZALEZ
JAIME
1082
ALCALDE CASTILLO
Mª. VIRGINIA
ALCANTARA GRADOS
FCO. MARTIN
ALDAZ ISANTA
JUAN EMILIO
ALDEA MUÑOZ
JESUS
ALEJANDRE AGORRETA
BEATRIZ
2302
ALEJOS CASTROVIEJO
MARIA ESTER
3002 GESTIONES SOCIOLABORALES (GESTOLASA), Actuario Consultor, C/ Juan Hurtado de Mendoza, 7º, 1º, 28036 Madrid,
91-3533150, 91-3456239, ealejo@gestolasa.es
790 PROFESIONAL, Avda. Alberto Alcocer, 13, 28036 Madrid, 913506350, 91-3509604, vae10@cemad.es 1516 ALBROK MEDIACION, S.A., Socio Director, Avda. Virgen de Guadalupe, 24, 1º OF. 2, 10001, Cáceres, 92-7233430, 927238946, direccion.albroksa@e2000.es 112 737
ALHAMBRA GONZALEZ-TEJERO
FCO. JAVIER
2640
ALMARCHA NAVARRO
INMACULADA
3048
ALMENA MOYA
Mª. ANGELES
1231 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, 91-
235
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 4059350, 91-4059358, angeles.almena@hewitt.com
ALMOGUERA ZANGRONIZ
BARBARA
2168
ALONSO ALBERT
RICARDO JOSE
2629
ALONSO BENITO
Mª TERESA
1860 TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002 Madrid, 91-5903038, 91-5633115, maite.alonso@towersperrin.com
ALONSO BRA
OLGA
2506
ALONSO CASTAÑON
ANA CRISTINA
3026 AVIVA CORPORACIÓN, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002, Madrid, 91-2971912, ana.alonso@aviva.es
ALONSO DE LA IGLESIA
RUBEN
2530 GESNORTE, S.A., S.G.I.I.C./ FINANCIERA, Actuario Vida Responsable Administración y Control, C/ Felipe IV, 3, 1ª Planta, 28014 Madrid, 91-5319608, 91-5210536, ruben.alonso@gesnorte.es
ALONSO GARRIDO
RAQUEL
2373
ALONSO GONZALEZ
PABLO JESUS
3003 UNIVERSIDAD DE ALCALA, Profesor de Estadística, Fac. de CC. EE. Y EE., Plaza Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid,
91-8854275, pablo.alonsog@uah.es
ALONSO LOPEZ
JESUS JOAQUIN
ALONSO LOPEZ
FCO. MANUEL
2402
ALONSO MAROTO
SARA
2201
ALONSO MATELLAN
MONTSERRAT
2830 KPMG, Consultor, Castellana, 95, Madrid
ALONSO PARDO
MARIA BELEN
2976
ALONSO SUAREZ
LAURA
2727 ASPECTA ASSURANCE INTERNATIONAL LUXEMBOURG, S.A., Actuario, C/ Emilio Vargas, 1, 28043 Madrid, 91-7441280, 914162457, lalonso@aspecta.es
242
ALONSO ZAPATA
M. ARANZAZU
3068
ALVAREZ ALVAREZ
EDUARDO LUIS
2624
ALVAREZ ANDRES
SANDRA
2586
ALVAREZ BELEÑO
MONTSERRAT
2246 MAPFRE CAJA SALUD, Jefa de Dpto. Actuarial, Pº de Recoletos, 29, 28004 Madrid, 91-5813466, 91-5812471, montalv@mapfre.com
ALVAREZ CAMPANA DE LAMBEA
JOSE
ALVAREZ CARRERA
VICTOR
59 1215 OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director de la División Actuarial y Estudios, C/ de la Princesa, 23, 28008 Madrid, 91-5380343, 91-5380229, valvarez@ocaso.es
ALVAREZ FERNANDEZ
LUIS
ALVAREZ FERNANDEZ
JUAN JOSE
1163
ALVAREZ JORRIN
DAVID
2401 MAPFRE EMPRESAS, Auditor Interno, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda 91-5818511, 91-5815146, dalvar@mapfre.com
106
ALVAREZ JUDAS
DAVID
2891
ALVAREZ PEREZ DE ZABALZA
ALFONSO
2860 COFACE IBERICA, Director Financiero, C/ Aravaca, 22, 28040 Madrid, 91-7028835, 91-3104096, alfonso_alvarez@coface.com
ALVAREZ PLAZA
JOSE JAIME
3122
ALVAREZ RAMIREZ
CARLOS M.
1152 AEGON, Director Técnico, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002 Madrid, 91-5636222, 91-5632874, alvarez.carlos@aegon.es 1017
ALVAREZ RODRIGUEZ
M. ANGEL
ALVAREZ SANZ
ANGEL
AMO GRANADOS
GUILLERMO
1373 HNA, Director Técnico, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, 913834704, 91-3870701, guillermo.amo@hna.es
AMOR LOPEZ
ELADIO
1908
772 A&CONSULTING S.L., C/ Agata, 6 28224 Pozuelo de Alarcón,
91-7159062, aalvarez@aa-consulting.net
236
629756064, eladioamor@yahoo.es
APELLIDOS
NOMBRE
ANDRES CUESTA
JOSE LUIS
Nº
DATOS PROFESIONALES
982 ATLANTIS ASESORES, C/ Zurbarán, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid,
619737611, 91-3835725, jlacb@telefonica.net
ANDRES GARCIA
JORGE
2972
ANDRES GARCIA
MONTSERRAT
3096 AEGON, Controller, C/ Príncipe de Vergara, 156, Madrid,
656905677, andres.montserrat@aegon.es
ANDREU ARAEZ
ANTONIO R.
3063 ASSSA / SEGUROS SALUD, Administrativo, C/ San José, 50, 1º, 03140 Guardamar del Segura, 696676041, anto.andreu@gmail.com
ANGEL GALLEGOS
MACARENA
2147
ANGOSO ZAMANILLO
PATRICIA
1222 CIGNA, Directora Técnica, Pº Club Deportivo, 1, Edif. 14, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, 91-4184631, patricia.angosozamanillo@cigna.com
ANGUITA ESPINOSA
ANA CRISTINA
2531 LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid,
91-3017900, anacristina.anguita@libertyseguros.es
ANIDO CRESPO
MARINA
3118 Consultor Freelance, 620431914, marina.anido@actuarios.org
ANOS CHARLEN
IVAN
2355 ASEMAS, D. Financiero y Control, 619284272, ivan.anos@actuarios.org
ANTON MADROÑAL
JORGE
2932 FIDELIDADE-MUNDIAL, Responsable Suscripción Banca Seguros, C/ Viloria de la Rioja, 20, Bajo A, 28050 Madrid, 669604169, jorge.anton.madronal@caixaseguros.pt 2229
ANTON PAYAN
MARIANO
APARICIO HURLOT
JAVIER
789 RGA INTERNATIONAL IVBERICA, Consejero Director General, Europa Empresarial, Edif. Berlín, 2º, P1, 28290, Las Matas Madrid,
91-6404340, 91-6404341, japaricio@rgare.com
APARICIO MARTIN
FCO. JAVIER
APARICIO ORTIGOSA
SANTIAGO
AQUISO SPENCER
MIGUEL
2044 MARCH VIDA, Director General, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002 Palma de Mallorca, 971-779284, 971-779293, maquiso@bancamarch.es
3090 618 ECONOMISTA, Propietario, Gran Via, 28, 8º Izq., 26002, Logroño,
941-208808, 941-228977, s.aparicio@fer.es
ARAGON LOPEZ
RUBEN
1954
ARAGON SANCHEZ
MARIA TERESA
3210 MAZARS AUDITORES (MADRID), C/ Explanada de la Estación, 2, 8º C, 29002 Málaga, 652416893
ARANA LOPEZ-ABAD
CARMEN
1057
ARANA RECALDE
SILVESTRE
ARANDA RODRIGUEZ
NURIA
2852
ARCHAGA SIERRA
TERESA
1587 ALLIANZ, COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046, Madrid, 91-5960548, mariateresa.archaga@allianz.es
ARCONADA MOLERO
MARIA BEGOÑA
2376 ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, : 91-5960647, begona.arconada@allianz.es
135
ARECHAGA LOPEZ
SANTIAGO
2441
ARENAS CASTEL
DANIEL
2342 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, 914059350, 91-4059358, daniel.arenas@hewitt.com
ARENCIBIA URIEN
ESTER
1577 AON CONSULTING, C/ Rosario Pino, 14-16, Torre Rioja, 28020 Madrid, 91-3405567, 91-3405883, earencur@aon.es
ARES DE PAZ RAMIREZ DE ARELLAN
CARLOS A.
2274
ARES MÉNDEZ
CRISTINA
2575
AREVALO NOYA
JOSE ANTONIO
3054
ARGUELLO ARGUELLO
EVERILDA
225
ARIAS BERGADA
FELIX
352 ARIAS ACTUARIOS, S.L. Socio, C/ Mare De Deu del Pilar, 84-C,
237
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 08290 Cerdanyola del Valles, 93-5946204, 93-5947176, arias@actuarios.net
ARIAS GONZALEZ
Mª ARANTZAZU
1755
ARIAS MARTINEZ
ARACELI
2630
ARIZA RODRIGUEZ
FERNANDO J.
2532 AMIC, Responsable Dpto. Actuarial, C/ Príncipe de Vergara, 11, 28001 Madrid, 91-4231139 , fernando._ariza76@hotmail.com
ARJONA LUNA
JOSE ANTONIO
2609 SOCIEDAD CONSULTORA ACTUARIOS, S.C.A., Presidente, C/ Alemania, 17, 1º, 3, 29001 Málaga, 95-2606065, 95-2919286, josearjona@actuariosconsulting.net
ARJONA MORENO
ALBERTO
3188 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903971, 91-5640035, alberto.arjona@towersperrin.com
ARMENGOD LOPEZ DE ROA
JOSE
ARMERO CANTO
PEDRO
3035
ARNAEZ FERNANDEZ
ALEJANDRO
1786
ARNAU GOMEZ
MONTSERRAT
1810
ARRANZ RAMILA
BRUNO
2810 LIBERTY SEGUROS, CIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Dpto. Actuarial No Vida, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid, 916088092, bruno.a@libertyseguros.es
ARRIBAS LUCAS
EMILIANO
1426
ARRIBAS PEREZ
MANUEL
ARRONIZ MARTINEZ
ENRIQUE
1585 DKV SEGUROS, S.A., Dtor. Dpto. Actuarial, Avda. César Augusto, 33, 50004 Zaragoza, 976-289221, 976-289130, enrique.arroniz@dkvseguros.es
ARROYO MARTIN
LETICIA
3049 ASEFA, S.A., SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento Actuarial, Avda. Manoteras, 32, 28050, Madrid,
91-7886722, 91-7812209, leticiaarroyomartin@hotmail.com
ARROYO MATA
M. DEL CARMEN
3105 A.M., GESTION DE PATRIMONIO, Directora Financiera Adjunta, C/ La Masó, 14, 1º D 3, 28034 Madrid, 606807563, 91-3772949, maria.arroyo@arjusa.com / mariarroyo55@hotmail.com
ARROYO ORTEGA
JOSE IGNACIO
2434 MARCH VIA SEGUROS, Director Actuarial, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002, Palma de Mallorca, 971-779308, 971779293, iarroyo@bancamarch.es
411
650
ARROYO RODRIGUEZ
Mª ELENA
1422
ARROYO VELAZQUEZ
RUBEN
3123 IBERCAJA, Analista de Riesgos, C/ Doctor Barraquer, 10, 2º 2, 28903, Getafe Madrid, 660261609, ruben.arroyo@gmail.com
ARTIS ORTUÑO
MANUEL
ASENSIO FUENTELSAZ
SONIA
2587
ASIAIN ROSO
JOSE IGNACIO
2305 SWISS RE EUROPE, S.A., SUCURSAL EN ESPAÑA, Senior Marketing Actuary, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046, Madrid, 91-5980281, joseignacio_asiain@swissre.com
ATIENZA MORENO
ALBERTO
812
AVENTIN ARROYO
JOSE ANTONIO
818 MAPFRE SEGUROS DE EMPRESAS, S.A., Director General, Carretera Pozuelo, 52, 28222 Majadahonda Madrid, 915811083, 91-5818790, javenti@mapfre.com
585 C/ Llança, 47, 08015 Barcelona, 93-4021820, 93-4021820, manuel.artis@actuarios.org
AVENTIN BERNASES
IRENE
3250
AYARZA BAO
MARTA ISABEL
1292
AYLAGAS POZA
ALVARO
3124 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Consultor, Almagro, 40, 28010, Madrid, 620929759, 91-5685838, alvaro.aylagas.poza@es.pwc.com
AYORA ALEIXANDRE
JUAN
3091
AYUSO GUTIERREZ
Mª MERCEDES
1969 UNIVERSIDAD DE BARCELONA, Acreditada Catedrática de Universidad, Avda. Diagonal, 690, 08034 Barcelona, 93-
238
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 4021409, 93-4021821, mayuso@ub.edu
AYUSO TORAL
JESUS
1566 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Crta. Pozuelo a Majadahonda, 50, 28220 Majadahonda, Madrid, 91-5815162, jayuso@mapfre.com 2841 AFI CONSULTORIA, C/ Españoleto, 19, 28010 Madrid
AZPEITIA RODRIGUEZ
FERNANDO
BAGUER MOR
FCO. JAVIER
BALADO GRANDE
GEMA
2186 VIDACAIXA, S.A. / SEGUROS VIDA, Responsable Consultoría Actuarial, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, 914326846, 93-2488556, gbalado@caifor.es
BALDO SUAREZ
HERMINIO
1271
BALDO SUAREZ
ALFREDO JOSE
2012 C/ Dr. Esquerdo, 98-9º B, 28007 Madrid, 91-5730839, alfredo.baldo@actuarios.org
BALLESTERO ARRIBAS
LUIS
BALLESTEROS ALMENDRO
FERNANDO
3245 RGA INTERNATIONAL REINSURANCE COMPANY LIMITED, Actuario de Pricing, Europa Empresarial, Edificio Berlín, 2ª Planta, Ctra. A Coruña Km 24, 28290 Las Matas (Madrid), +34916404340, +3491-6404341, fballesteros@spn.rgare.com
BALLESTEROS GUISADO
SERGIO
2728 BANCO SYGMA HISPANIA, Técnico Control Interno, C/ Albasanz, 64, 4ª planta, 28037 Madrid, 918378109, 913753515, sballesteros@bancosygma.com 1387
769
802
BALLESTEROS PARRA
Mª DEL PILAR
BAÑEGIL ESPINOSA
Mª ISABEL
BAQUERO LOPEZ
Mª JOSE
BARANDA GUTIERREZ
ROMAN
BARBE TALAVERA
PEDRO A.
BARBER CARCAMO
FCO. JAVIER
BARCENA ARECHAGA
IVAN
3172 NOVASTER, Consultor, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001, Madrid, 902131200, 91-5755302, ivanb35@hotmail.com
BARDESI ORUE-ECHEVARRIA
CARMEN
1300 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socia-Consultora, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, 91-4516700, 91-4151037, actuarial.mad@consultoradepensiones.com
BARQUERO FLORIDO
MARIA V.
2917 UNICORP-VIDA/ SEGUROS Y PLANES DE PENSIONES, Dpto. Técnico, C/ Bolsa, 4, 29015 Málaga, 952209046, mvbarquero@unicorp.es 3012
BARRADO HERNANDEZ
MARIA CARMEN
BARRANCO MARTINEZ
FRANCISCO
898 GESINCA CONSULTORA / CONSULTORÍA, Directora Consultoría, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, 91-2146071, ibanegil@caser.es 1798 756 3089 SEGUROS SOLISS/ SEGUROS, Actuario, C/ Santa Fe, 16 4º, 45001 Toledo, 636812954, pedro.barbe@actuarios.org 516 HELVETIA SEGUROS, C/ San Ignacio, 7, 31002 Pamplona, 948218227, 94-8218204, javier.barber@helvetia.es
666619354, barrado.c@gmail.com
103
BARRENETXEA CALDERON
CARLOS
1598
BARRIGA LUCAS
VICTOR JOSE
2705
BARRIGON DOMINGUEZ
SERGIO
2564
BARRIOS FERNANDEZ
MARIA
2794 CARDIF, COMPAÑIA DE SEGUROS, Actuario, Julián Camarillo, 21, 4º, 28037 Madrid, 91-5903001, 91-5903007, maria.barrios@cardif.com
BARRIOS LOPEZ
ANTONIO
2933
BARROCAL DIEGUEZ
MARIA ELENA
2508
BARROSO BARROSO
ELADIO
1325
BAS GALVEZ
ALVARO B.
3106
BAUTISTA GONZALEZ
ANA MARIA
3056 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Técnico en Reaseguro y Provisiones Técnicas, abamaria.bautista@lineadirecta.es
239
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
BAYOD CRESPO
FERNANDO
2687
BEATO RAMOS
Mª ISABEL
1128
BEJAR ABAJAS
JUAN CRUZ
1244 APLICALIA GROUP, Presidente Socio-Director, C/ Costa Brava, 13, 2º B, 28034 Madrid, 902345200, 902345201, juan.bejar@aplicalia.eu
BEJERANO MORALO
JAVIER
3149 TOWERS PERRIN-TILLINGHAST, Actuario No Vida, C/ Suero de Quiñones, 42, 5ª Planta, 28002 Madrid, 91-5903069, javier.bejerano@towersperrin.com
BELLO RIEJOS
FRANCISCO
260
BELTRAN CAMPOS
MIGUEL ANGEL
BENEDICTO MARTI
ANTONIO
BENITEZ ESTANISLAO
SALVADOR
1227 HELVETIA SEGUROS, S.A., Actuario (Dtor. Dpto. Actuarial), Pº Cristobal Colón, 26, 41001 Sevilla, 95-4594908, 95-4593300, salvador.benitez@helvetia.es
1738 616
BENITO ALCALA
MERCEDES
1846
BENITO DE LA VIBORA
Mª MARTA
2178
BENITO GOMEZ
JUAN LUIS
2811 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, 91-5812301, jlbenit@mapfre.com
BENITO SANZ
BEGOÑA
BERBEL FERNANDEZ
AMALIO
2464
BERDEAL BRAVO
Mª DE LA PEÑA
1809 BENEDICTO Y ASOCIADOS, ASESORES, S.L., Directora de Planificación y Desarrollo de Proyectos, C/ Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, 91-3080019, 91-3081082, pberdeal@benedictoyasociados.biz
BERLANGA AGUADO
JOSE DAVID
2356
BERLANGA RUI DIAZ
MARIA DEL MAR
3004
BERNAL ZUÑIGA
JOSE LUIS
1644 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Directivo, Isaac Newton, 7, 28760 Tres Cantos, Madrid, +34619409225, +3491-8072040, ldajbz@lineadirecta.es / jose.bernal@rbs.co.uk 1646
881
BERNALDO DE QUIROS BOTIA
RAUL
BERRIO MARTIRENA
MIGUEL JOSE
BIOSCA LLIN
PILAR
2740
BLANCO CABRERA
YOLANDA
3014
BLANCO JARA
YOLANDA
2156
BLANCO LOPEZ-BREA
LUIS ARMANDO
2378
BLANCO RODRIGO
VALENTIN
1955
BLANCO RODRIGUEZ
VALENTIN
1955
BLANCO VALBUENA
TERESA
3036 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903076, teresa.blanco@towersperrin.com
BLANCO VICENTE
MARIA JESUS
2475 LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid,
91-3017900, 91-3017967, maria.blanco@libertyseguros.es
336
BLASCO GARCIA
ALVARO
2919
BLAZQUEZ MURILLO
ANTONIO P.
2725
BLAZQUEZ SANCHEZ
LAURA
2688 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Pricing, C/ María Blanchard, 6, Portal 10, 2º B, 28320 Pinto, Madrid, 659901508, ldalbs@lineadirecta.es
BOADA BRAVO
JOSE
BOCERO CANENCIA
Mª CARMEN
1567
BODAS SAEZ
SARA BEATIRZ
3251
BODEGA BORREGUERO
BRUNO
3145 DELOITTE, Asociado de Corporate Finance (FSI), Plaza Pablo Ruiz
718
240
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES Picasso, 1, Torre Picasso, 28020, Madrid, 91-5145270, 915145285, bruno.bodega@actuarios.org
BOILS TOMAS
LUIS VICENTE
2944
BOJ ALBARRACIN
IGNACIO
2225
BORRAS MAS
JOAN
2892
BORREGO BALLESTEROS
JULIAN
458
BORREGUERO FIGOLS
RAFAEL
884 APARMUR, S.L., Director General, C/ Jorge Manrique, 4 30107 Murcia, 667236150, rafael.borreguero@actuarios.org
BORREGUERO IZQUIERDO
SANDRA
2509 ING NATIONALE-NEDERLANDEN / CIA SEGUROS, Consultora, Madrid, 619636712, sanbori77@hotmail.com
BRAVO DEL RIO
MIGUEL PABLO
1303 MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020, Madrid,
91-5818652, mpbravo@mapfre.com
BRONCANO DUQUE
JAVIER
2057
BUENADICHA CARBO
ALFREDO
2893
BUENO PEREZ
ROSA Mª
BUEY VILLAHOZ
VALENTIN LUIS
BURGOS CASAS
CARMEN
1861
CABALLERO ESTEVEZ
MARIANO
2600 ERNEST & YOUNG / AUDITORIA (SECTOR ASEGURADOR), Manager, Plaza Ruiz Picasso, 1, 28020, Madrid, 91-5727445, 91-5727275, mariano.caballeroestevez@es.ey.com
893 512
CABANAS LOPEZ DE VERGARA
ANTONIO
2861
CABANILLAS GONZALEZ
CARLOS
3069
CABASES CILVETI
PEDRO
CABELLO LOPEZ
ARANTZAZU
2028
CABERO ALAMO
ANTONIO J.
1162
CABREJAS VIÑAS
NATALIA
3115
CABRERA SANTAMARIA
ANTONIO
CACERES GALINDO
FERMIN FCO.
CALDERON CORTES
EULALIA
2476 HANSARD EUROPE LIMITED, Actuaria, Carysfort House, Carysfort Avenue, Blackrock Co. , Dublin, Irlanda
CALDERON MOLINA
CARLOS
2873
CALERO HERNANDEZ
DAVID
1844 UNION DEL DUERO, CIA SEGUROS DE VIDA, S.A., Área de Coordinación y Gestión Técnica, Pº de la Castellana, 167, 28046 Madrid, 91-5798569, 91-5798570, david.calero@unionduero.es
CALLEJA DE ABIA
CAROLINA
3057 DELOITTE S.L., Senior de Auditoria (Sector FSI), Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, (Torre Picasso), 28020 Madrid, 91-5145000, 915145180, ccalleja@deloitte.es
CALVILLO PRIEGO
FRANCISCO M.
2554 LA ESTRELLA SEGUROS, Actuario, C/ Orense, 2, 28020, Madrid,
91-3301457, fmcalvillo@laestrella.es
CALVO BENITEZ
LUIS Mª
2132 RGA INTERNATIONAL REINSURANCE COMPANY LIMITED, SUCURSAL EN ESPAÑA, Gerente Actuarial Senior, Europa Empresarial, Edificio Berlín, 2ª Planta, Ctra. Coruña, Km 24, 28290 Las Matas, Madrid, 91-6404340, lcalvo@spn.rgare.com
CALVO DE COCA
JOSE Mª
523 EUROFINANZAS GESTIÓN, S.L., GESTIÓN DE PATRIMONIOS, Socio Director, Acera de Recoletos, 19, Local Bajo, 47004, Valladolid
CALVO TIEMBLO
ELISABETH
2631 ALLIANZ LEBENSVERSICHERUNGS AG, Actuarial Manager IAE DAV in Allianz Global Life, Reinsburgstr. 19, D-70178, Stuttgart, Alemania, +49-711-6634015, elisabeth.calvo@allianz.de
CAMACHO FABREGAS
VALENTIN A.
2990 CIRALSA, S.A.C.E. / AUTOPISTA DE PEAJE, Director Administrativo Financiero, Autopista AP-7, PK 703.000 / Área de peaje Monforte del Cid, 03670, Monforte del Cid, Alicante 966075970, 96-6075990, v.camacho@ciralsa.com
174
620 199
241
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES p_camachof@yahoo.es
CAMACHO FERRER
PABLO
2610
CAMACHO GARCIA-OCHOA
ANGEL LUIS
1750 GROUPAMA SEGUROS, Director División Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid
CAMPANER JAUME
PEDRO
1590
CAMPOS GIL
JOSE
CAMPOS IGLESIAS
OLEGARIO
CAMPOS LOPEZ
Mª NIEVES
2133 GESNORTE S.G.I.I.C., Directora de Inversiones, Felipe IV, 3, 1º, 28014 Madrid, 91-5319608, 91-5210536, nieves.campos@gesnorte.com
CAMPOS MARTIN
JOSE CARLOS
2741 GES SEGUROS Y REASEGUROS, Subdirector Ramos Patrimoniales y Reaseguro, Plaza de las Cortes, 2, 28014 Madrid,
91-3308607, jcarlos_campos@ges.es
131 120
CAMPOS MENDIA
DAMASO
2298
CAMPOS MURILLO
LOURDES
2689
CANALES CARLSSON
HELENA
2645 AXA MEDITERRANEAN & LATIN AMERICAN REGION, Actuario No Vida - Dpto. Risk Management P&C, Camino Fuente de la Mora, 1-5º GH, 28050 Madrid, 91-5388376, 91-5775076, helena.canales@axa.es
CANSECO MORON
ROCIO
2945
CANTERO GARCIA
BEATRIZ
2403
CANTERO GARCIA
CARLOS
2706
CAÑIZARES CLAVIJO
MANUEL
CAÑON CRESPO
MARIA
3150
CARABIAS HUETE
OSCAR
2315 ECOMT ACTUARIOS Y AUDITORES, S.L., Socio Director, Pº de la Castellana, 141, 28046 Madrid, 91-7498038, 91-5707199, oc@ecomt.es
CARASA CASO
CARLOS
CARBALLO CAYCEDO
LAURA
3133 WATSON WYATT INSURANCE CONSULTING, María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, 91-3101088, 91-7612677, laura.carballo@watsonwyatt.com
CARCEDO CUETO
JOSE LUIS
2215 MAPFRE RE, Underwriter Life, Heath & P.A., Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, 91-5811050, 91-7097461, jlcarcedo@mapfre.com
CARCEDO PEREZ
SOFIA
2946 ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, 91-5960716, sofia.carcedo@allianz.es
CARDO FERNANDEZ
Mª INES
1883 ESTRELLA SEGUROS, Jefe Departamento Actuarial, C/ Orense, 2 , 28020 Madrid, 91-5905691, 91-3301390, mcardofe@laestrella.es
CARIDAD BENGOECHEA
ALEJANDRO
3189
CARLOS CANELO
NARCISO M.
CARRASCO DURO
ANTONIO
3178
CARRERA BORREGUERO
MIRIAM
3221
CARRERA YUBERO
ROCIO
2357
CARRETERO LAZARO
MARTIN
1851
CARRILLO DOMINGUEZ
MANUEL
CARRILLO MENDEZ
BRIGITTE
1046
CARRO LUCAS
IGNACIO
3134 GESINCA CONSULTORA (CASER), Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, 91-2146020, 91-2033002, icarro@caser.es
CASADO SALVO
ALVARO
2231 MUNCHENER RUCK / MUNICH RE, Suscriptor Vida, Pº de la Castellana, 18, 7ª Planta, 28046 Madrid,
192
547
545
210
242
brigitte.carrillo@gmail.com
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES acasadosalvo@munichre.com
CASAIS PADILLA
DANIEL
3234 Consultor Senior SAP Treasury and Risk Management (TRM-CFM), 28003 Madrid, danicasais@hotmail.com
CASAJUS CABAÑUZ
JOSE ANTONIO
1485
CASANOVAS ARBO
JUAN
CASAREJOS FERNANDEZ
JUAN PABLO
3224 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Majadahonda-Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, 91-5818515, 91-5818790, jpcasar@mapfre.com
CASARES GARCIA DE DIOS
MARTA
2097
CASARES SAN JOSE-MARTI
Mª ISABEL
1668 CASARES ASESORIA ACTUARIAL Y DE RIESGOS, Administradora Única, C/ Orense, 32, 7º C, 28020, Madrid,
606860036, 91-7702120, mcasares@mcasares.es
CASAS LORENZO
ROBERTO
2991 CETELEM GESTION A.I.E., Técnico de Planificación Financiera, Retama, 3, 28045 Madrid, 91-3379161, 91-3379196, roberto.casas@cetelem.es
854
CASERO RODRIGUEZ
JOSE DANIEL
1533
CASQUERO DIAZ
JUAN F.
2947 CAJA BADAJOZ VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Avda. Juan Carlos I, 17 entreplanta, 06001 Badajoz, 924-201298, jfcasquero@intranet_cajabadajoz.es
CASTAÑON TORRES
FERNANDO
CASTELLANOS JIMENEZ
ANA
2261
CASTELLO FORTET
JORGE
1669
CASTRO JUAN
JOSE MANUEL
2775 ING NATIONALE NEDERLANDEN jmcastrojuan@yahoo.es
CATALAN BARRENA
JESUS
2172 WATSON WYATT, Director, C/ María de Molina, 54, 28006 Madrid,
91-3101088, 91-7612677
771
CATALAN GONZALEZ
PALOMA
1024
CELA MARTINEZ
JOSE MARIA
2426 CASER, Dirección Comercial Particulares Vida y Pensiones, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, 618055880, jmcela@caser.es
CENALMOR GALAN
JAIME
CEPRIAN ROJAS
JOSE B.
1967
CESTINO CASTILLA
CLARA I.
2601
CHAMARRO GONZALEZ
Mª DEL PILAR
1490
CHATRUCH GALACHE
MARIA CARMEN
2580
CHAVARREN IRUJO
MANUEL
1580
CHECA GALLEGO
PILAR
2170 HRS, CONSULTORÍA DE PENSIONES, PRICEWATERHOUSECOOPERS (PWC), Gerente, Almagro, 40, 2810, Madrid, +34-91-5685942, +34-91-5685838, pilar.checa.gallego@es.pwc.com
CHIARRI TOSCANO
Mª LUISA
1337 IDEAS, S.A., Consultora Senior, Avda. General Perón, 14, Planta 1C, 28020, Madrid, 91-5983312, 91-5983313, mlchiarri@ideas-sa.es
CHICO RUIZ
ASUNCION
1312 AVIVA VIDA Y PENSIONES, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, 91-2971867, 91-2971557, asuncion.chico@aviva.es
CIBREIRO NOGUERA
ALBERTO
3199 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Análisis de Precios No Vida, C/ Donoso Cortés, 90, 2º D, 28015 Madrid, 637414583, albcibreiro@hotmail.com
CIFUENTES OCHOA
ANA Mª
2134 AXIS REINSURANCE, US, VP Underwriter, EEUU
CISNEROS GUILLEN
MANUEL
CISNEROS GUTIERREZ DEL OLMO
NURIA
2477
CLAVERIE GIRON
Mª DE FATIMA
3135
487
309
243
650422932, jbceprianrojas@cemad.es
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
CLAVIJO NAVARRO
GABRIELA
3109 GEN RE-KÖLNISCHE RÜCKVERSICHERUNG, Pricing Actuary (Life / Health Mediterranean), Theodor-Heuss-Ring 11, 50668, Colonia, Alemania, +492219738586, +492219738921, gabriela.clavijo@genre.com 2187
CLERIGUE RUIZ
NATALIA C.
CLIMENT REDONDO
ENRIQUE
CLOSA CAÑELLAS
JUAN
COGOLLO PEREZ
JUAN CARLOS
COJEDOR HERRANZ
IVAN
COLMENERO VEGA
JOSE
COLOMA POYATERO
Mª PAZ
2262
COLOMER LORENTE
ANGELA Mª
2878
COLOMINAS LLOPART
MIQUEL
1591 ZURICH SEGUROS, Director de Suscripción Líneas Personales, Vía Augusta 200, 08021 Barcelona, 93-3067059, 93-4143248, miquel.colominas.@zurich.com
CONDE GAITAN
PATRICIA
2862 PWC, Consultora, Pº de la Castellana, 53, 28046 Madrid, 915684518, 91-5685838, patricia.conde.gaitan@es.pwc.com
CONQUERO GAGO
AURORA
CONQUERO GAGO
PILAR
1151
CORDOBA LOZANO
Mª NIEVES
2002
CORET PERIS
JOSE VICENTE
2648 DELOITTE, Vida y Pensiones, Consultor, General Guisan Quai, 38, 8022 Zurich (Suiza), 0041444216806, 0041444216600, jocoret@deloitte.ch
10 685 783 3140 532
697
CORREDOR PEÑA
DANIEL
2907
CORREDOR PEÑA
JESUS
2908
CORTIZO RUBIO
JOSE
1323
COSTA PRIEGO
MIGUEL
2633
COSTALES ORTIZ
Mª LUISA
COSY
GERARD
2795 AEGON SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, 91-3594098, cosy.gerard@aegon.es
CRECENTE ROMERO
FERNANDO
2948 INSTITUTO DE ANÁLISIS ECONÓMICO Y SOCIAL (IAES) – UNIVERSIDAD DE ALCALÁ, Personal Investigador, Plaza de la Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid, 91-8855240, 91-8855211, fernando.crecente@uah.es
924 C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid,
609283241, mlcostales@actuarios.org
CRESPO RODRIGO
Mª MERCEDES
1107
CRESPO RODRIGO
ANGEL
1545 KPMG, Socio, Pº de la Castellana, 95 (Edificio Torre Europa), 28046 Madrid, 91-4563400, 91-5650132, acrespo@kpmg.es
CRUZ AGUADO
JORGE
2708 MAPFRE AMERICA, Responsable Técnico, Área Técnico Comercial, Carretera Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, 915818183, 91-5811610, cruzj@mapfre.com
CRUZ FERNANDEZ
MARGARITA
1102 AGROSEGURO, S.A., C/ Gobelas, 23, 28023 Madrid, 918373200, 91-8373225, mcruz@agroseguro.es
CUADRADO RIOFRIO
MARIA JESUS
3050
CUADROS COLINO
Mª DOLORES
1428
CUBERO PARIENTE
ALMUDENA
2776
CUELLAR HERVAS
Mª CARMEN
1349
CUENCA MUÑOZ
ELENA MARIA
3092 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultor, Pº de la Castellana, 141, 28046, Madrid, 91-7893470, 91-7893471, elena.cuenca@milliman.com
244
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
CUERNO DIAZ
RAMON
1226
CUERNO DIAZ
PABLO
1838
CUESTA MORENO
JAVIER
2533
DALE RODRIGUEZ
JAVIER
551
DAVILA BRAVO
ENCARNACION
682 SKANDIA VIDA-SEGUROS, Directora General, Ochandiano, 10, 28023 El Plantío, 91-5243400, 91-5243401, edavila@skandia.es
DAVILA RUIZ
CARLOS
DE ANDRES ALVAREZ
TOMAS
50
DE ANDRES GARCIA
PAULA
2612
DE ARTEAGA LARRU
MARIA JESUS
3027
DE ARTECHE VILLA
Mª ALMUDENA
1453
DE CASTRO RODRIGUEZ
RAFAEL
1607
DE CELIS NAVARRO
JAVIER
2233
DE DIOS PARRA
SONIA
2534 ASSEGURANCES, SA NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, S.A., Edifici Mirall Balear-Torre B, Camí de Son Fangos, 100, 07007 (Aeropuerto), Palma de Mallorca, 97-1228438, sdediosp@assegurances.sanostra.es
DE EVAN CARDONA
SILVIA
1262 ADESLAS, Jefe Atención al Cliente, C/ Príncipe de Vergara, 110, 28002 Madrid, 91-7369406, 91-5614164, silviaevan@adeslas.es
1083
DE GREGORIO LOPEZ
ANA LUCIA
2650
DE GUZMAN JURISTO
GONZALO
2113
DE IPIÑA GARCIA
JUAN
2332 TILLINGHAST, Consultor, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid,
91-5903977, 91-5903081, ipinagj@towers.com
DE JUAN GRAU
MARIA JOSE
3037 SAN NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, Actuario, Camí Son Fangos, 100, Edifici Mirall, Torre B, 07007, Palma de Mallorca,
971-228438, 971-228463, mdejuang@assegurances.sanostra.es
DE JUAN PUIGCERVER
OLIVIA
2842
DE LA FUENTE CORTES
JAVIER
2380
DE LA FUENTE MENA
RAUL
3161
DE LA FUENTE MERENCIO
IVAN
3070 OPTIMA SERVICIOS FINANCIEROS, S.L., C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001 Madrid, 617684867, 91-5780103, i.delafuente@optimasf.com
DE LA LOSA CALZADO
AGUSTIN
DE LA MORENA DIAZ
JORGE
2579
DE LA PINTA GARCIA
CARMEN MARIA
2003
DE LA PINTA GARCIA
MARTA
2301
DE LA QUINTANA IRIONDO
ANA SOFIA
2171
DE LA RICA ORTEGA
PILAR
3015
DE LA ROSA GONZALEZ
PEDRO MIGUEL
1874
DE LA ROSA RODRIGUEZ
JOSEP MANUEL
1278 WATSON WYATT INSURANCE CONSULTING, Director Seguros Generales, María de Molina, 54, 28006 Madrid, 91-3101088, 91-7612677, manuel.delarosa@watsonwyatt.com
DE LA SERNA CIRIZA
JAVIER
1977
DE LA TORRE SAN CRISTOBAL
PEDRO MARIA
1632 FEDERACION DE EPSV DE EUSKADI Hurtado de Amezaga, 14 Bajo. Izda, 48008 Bilbao
DE LARA GUARCH
ALFONSO
2404
DE LEON CABETAS
FCO. JAVIER
1825 MAPFRE RE COMPAÑIA DE REASEGUROS, SA., Dtor. de Contabilidad General, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid,
692
245
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 915811871, 9158118558, fjdlc@,mapfre.com
DE LUCA PEREZ
DIEGO A.
2977
DE MIER SIMON
JOSE ANGEL
2405 IBERCAJA PENSION E.G.E.P., S.A., Pº Constitución, 4, 8ª Planta, 50008 Zaragoza, 976-767588, jose.demier@ibercaja.net
DE MIGUEL FERNANDEZ
IRENE
1576
DE MIGUEL SANCHEZ
JOSE IGNACIO
1527
DE PABLOS SANZ
ADOLFO JOSE
2309
DE PADURA BALLESTEROS
Mª DEL ROCIO
1458 DELOITTE, Socio, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Edif. Torre Picasso, 28020, Madrid, 91-4432623, rdepadura@deloitte.es
DE PALACIO RODRIGUEZ
GONZALO
2510
DEL AMA REDONDO
CRISTINA
1796
DEL ANGEL BUSTOS
VELMA H.
2796
DEL BARCO MARTINEZ
IGNACIO
1144 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director General, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, 91-4516700, 91-4411721, cpps.mad@consultoradepensiones.com
DEL CASTILLO GARCIA
FRANCISCO
DEL CORRO CUBERO
JUAN
DEL COSO LAMPREABE
JAVIER
343 2863 624 EJERCICIO LIBRE, Avda. Carlos III, 11, 3º Dcha., 31002, Pamplona, Navarra, 94-8226306, delcoso@cin.es
DEL CURA AYUSO
FRANCISCO
1979
DEL HIERRO CARMONA
MANUEL
2136
DEL HOYO MORA
M. ISABEL
DEL MORAL CASTRO
ISAAC
2634
DEL OLMO CALDERON
ALFONSO A.
2854 BBVA, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid
DEL POZO AJATES
PEDRO
2894 UNESPA, ASESORIA ACTUARIAL Y FINANCIERA, C/ Nuñez de Balboa, 101, 28006, Madrid, 91-7451530, pedro.delpozo@unespa.es
DEL POZO LOPEZ
LOURDES
2013 WR BERKLEY ESPAÑA, Directora. de Suscripción, Pº Castellana, 149, 6º, 28046 Madrid, 91-4492646, 91-4492699, ldelpozo@wrberkley.com
680
DEL POZO SAEZ
BLAS
2797
DEL REAL PEREZ
SARA
1327
DEL RIO MARTIN
JAVIER
1253
DEL SOLAR BERTOLIN
ANA
1877 KPMG, Directora de Pensiones, Pº de la Castellana, 95, 28046 Madrid, 91-4563528, 91-5550132, adelsolar@kpmg.es
DEL VALLE ESTEVE
SILVIA Mª
DELGADO FONTENLA
FRANCISCO J.
3119
DELGADO HUERTAS
ENRIQUE D.
2275
DEVESA CARPIO
JOSE ENRIQUE
1740
DEVESA CARPIO
Mª DEL MAR
2358 FACULTAD DE ECONOMIA, UNIVERSIDAD DE VALENCIA, Titular Escuela, Avenida de los Naranjos, s/n, 46022 Valencia, 963828369, 96-3828370, mar.devesa@uv.es
DIAZ ALVAREZ
JOSE FELIX
3200
DIAZ BAEZA
JAVIER
2535
DIAZ BLAZQUEZ
JUAN F.
2326 UNION DEL DUERO, CIA SEG. VIDA, S.A., Director de Contabilidad, Pº de la Castellana, 167, 28046 Madrid, 915798530, 91-5798533, juan_francisco.diaz@unionduero.es
DIAZ DE DIEGO
PILAR
3225 ENDESA, S.A., pilardiazdediego@hotmail.com
DIAZ DE DURANA OZAETA
RAFAEL
2576
988
246
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
DIAZ GIMENEZ
PEDRO
DIAZ GOMEZ
ADOLFO
2730
DIAZ IGLESIAS
EDUARDO
3125
DIAZ MARTIN
JAVIER
2949
DIAZ MARTINEZ
ANA ISABEL
2798 ARVAL SERVICE LEASE. RENTING VEHICULOS, Responsable de Análisis y Desarrollos Informáticos, Avda. del Juncal, 22-24, 28703 San Sebastián de los Reyes, 91-6598324, 91-6591746, anaisabel.diaz@arval.es
293
DIAZ MORANTE
FRANCISCO
DIAZ QUINTANA
AGUSTIN
DIAZ RUANO
ANA ISABEL
3058
DIAZ SANCHEZ-BRAVO
JAVIER
1073
DIAZ-GUERRA VIEJO
JAVIER
2180 AEGON, Responsable Productos Individuales, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, 91-3432863, 91-5632874 diaz-guerra.javier@aegon.es
DIEZ ALONSO
SAMUEL
3136 BANCO VITALICIO DE ESPAÑA C.A SEGUROS, Actuario Vida/ Sistemas de Previsión Social, C/ Alcalá, 21, 2º Izquierda, Madrid,
647641408, samu878@hotmail.com
DIEZ ALONSO
OSCAR
3211 WATSON WYATT WORLDWIDE-INSURANCE & FINANCIAL SERVICES, Actuarial Consultant-Life, María de Molina, 54, 28006 Madrid, 91-3101088, oscar.diez@watsonwyatt.com
DIEZ ARIAS
TEODORO
DIEZ BREZMES
ANA MARIA
1483 SKANDIA, Olief Financial Officer, Vía de las Dos Castillas, 33, Edif. E, 28224, Pozuelo, Madrid, 91-8298800, adiez@skandia.es 1905
425 353
282
DIEZ DE ULZURRUN SANTOS
PALOMA
DIEZ PASO
TOMAS
DIZ NIETO
BARBARA D.
DOLDAN TIE
FELIX RAMON
485 2742
743 3028
DOMINGO GARCIA
MARIA ELENA
DOMINGUEZ ALONSO
MANUEL
DOMINGUEZ BASQUERO
JUAN JESUS
1427
DOMINGUEZ CASARES
VERONICA
3201
DOMINGUEZ CASTELA
FRANCISCO
2757
DOMINGUEZ HERNANDEZ
CARLOS
2558 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Castellana, 43, 28046 Madrid, 91-5684683, carlos.dominguez@actuarios.org
DOMINGUEZ MARTIN
RAUL
1931
DONAIRE PASCUAL
SUSANA
DUARTE CARTA
ENRIQUE
3071 AON CONSULTING, Dpto. Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, 91-3405577, 91-3405883, eduartec@aon.es
751
931 IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, 91-5983312, 91-5983313, sdonaire@ideas-sa.es
DURAN ACEITERO
NIEVES
1634
ECHAZARRA OGUETA
CRISTINA
2498
ECHEANDIA ESCARTIN
ALFONSO
2651 BBVA, Técnico Consolidación Filiales Extranjeras, Pº de la Castellana, 81, 28046 Madrid, 91-5375202, 91-3744038 alfonso.echeandia@grupobbva.com
ECHEVERRIA IGUARAN
Mª TERESA
ECHEVERRIA MARTINEZ
ALMUDENA
2847 ALLIANZ, Coampañía de Seguros y Reaseguros, C/ General Perón,
ECHEVERRIA MARTINEZ
GUIOMAR
2978
ECHEVERRIA MUÑOZ
JUAN ANTONIO
463 27, 28020 Madrid, 91-5960085, almudena.echeverria@allianz.es
462 INSUROPE CONSULTORES, S.L., Avda. Pío XII, 57 bajo, 28016
247
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES Madrid, 91-3431131, echeverria-insurope@actuarios.org
ECIJA SERRANO
PEDRO
2421 AXA TRAVEL INSURANCE, Actuary, Mary Street, 10-11, Dublin 1 (Dublin), 00353862279145, pedro_ecija@yahoo.es
EDO FERRER
ALICIA
2652
EGUIA FERRER
M.LIBERATA
2188 ING NATIONALE NEDERLANDEN, Actuario Senior, Cº Pocito de San Roque, 36, 28231 Las Rozas, Madrid, 609989171, meguia@ingnn.es
EL MOUJAHID CHAKKOR
SAIDA
3064
ELVIRA DIAZ
LORENZO
1280
ENRÍQUEZ LUQUE
JOSE IGN.
2189 COMMERZBANK AG / BANCA, VicePresident, Lintheschergasse, 7, 8021, Zurich Suiza, 410041786091173, tacho_enriquez@msn.com
ENTRENA PALOMERO
LAURA
1061
ESCRIBANO RUBIO
JOSE Mª
1412 GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, Director División Control y Desarrollo de Siniestros, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, 91-7447539, jmaria.escribano@groupama.es
ESCUDER BUENO
JUAN
2909
ESCUDER VALLES
ROBERTO
1214
ESCUDERO GONZALEZ
ANA MARIA
2004 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, 91-5903075, 609911860, 91-5903081, ana.escudero@towersperrin.com
ESPERT AÑO
SERGIO
2213
ESPETON GARROBO
Mª DOLORES
3082 Actuario, Madrid, mdolores.espeton@actuarios.org
ESPETON JIMENEZ
JULIAN
2017
ESPINOSA DE LOS MONTEROS BANEGAS
ALVARO
2653
ESPINOSA DE LOS MONTEROS JAUDENES
JAIME
1374
ESQUINAS MURILLO
LEYRE
2709 LIBERTY SEGUROS, S.A., Departamento Actuarial Vida, Obenque, 2, 28042 Madrid, 652732024, leire.esquinas@libertyseguros.es
ESTEBAN CORTES
PATRICIA
3151
ESTEBAN LOPEZ
ENCARNACION
2200 AON CONSULTING, Actuario, C/ Génova, 10, 28004 Madrid, 91-7004840, eesteban@gyc.es
ESTEBAN NUÑEZ
PABLO
2381
ESTEBAN SAGARO
EDUARDO
2370
ESTEVEZ BARTOLOME
RAFAEL
ESTRADA DE LA VIUDA
SONIA
2777
ESTRADA TORRES
ELENA
2407 PREVENTIVA SEGUROS, Actuario, C/ Arminza, 2, 28023 Madrid,
91-7102510, 91-7102656, eestrada@preventiva.com
451
ESTRADA TORRES
MARIA JESUS
2443
EXPOSITO LORENZO
RAUL
2864 GRUPO CAJA MADRID, Director de Contabilidad Madrid LeasingFinanmadrid, Doctor Esquerdo, 138, 3ª Planta, 28007 Madrid,
91-7796938
EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA
SERGIO
EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA
GUILLERMO
1344
FAJARDO BASCUAS
MIGUEL ANGEL
1724
FAJARDO LLANES
MAGDALENA
3246
FALCETO JARILLO
MARIA ISABEL
2920 MUTUA MADRILEÑA, Actuaria (No Vida), Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, 91-5922896, 91-3084241, ifalceto@mutuamad.es
FAUS PEREZ
RICARDO
2566
891
248
AVIVA, Actuario, Plza. Legión Española, 8, 46010 Valencia, 96-
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 3895861, ricardo.faus@aseval.com
FEANS GARCIA
ENRIQUE
449 FEANS ASESORES, Titular, C/ República el Salvador, 23, 1º D, 15701 Santiago de Compostela, 98-1593023, 98-1593378, enrique@feans.com
FELGUERA LLORET
JESSICA
2895
FEMENIA ZURITA
FRANCISCO
3179 COLEMONT, S.A. / BROKER REASEGUROS, Socio-Director, C/ Zurbarán, 9, B-Izq., 28010 Madrid, 91-4008962, 91-4095483, francisco.femenia@colemont.es
FENOLLAR CAÑAMERO
JOSE MARIA
1071
FERNANDEZ ALONSO
ALBERTO
3059 OCASO SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Del Campo, 40, Ptal. 1, 2º B, 28229 Villanueva del Pardillo, alberto_actuario@yahoo.com
FERNANDEZ BENITEZ
NORBERTO
2999
FERNANDEZ CABEZAS
GRACIELA
2921
FERNANDEZ CECOS
IVAN
3169
FERNANDEZ DE LARREA ARENAZA
LUIS
1756
FERNANDEZ DE PAZ
TEOFILO
108
FERNANDEZ DE TRAVANCO MUÑOZ
LUIS
191
FERNANDEZ DIAZ
Mª LOURDES
FERNANDEZ DIAZ
SUSANA
1802
FERNANDEZ DOMINGUEZ
CELINA
2343
FERNANDEZ ESCRIBANO
FIDEL
2611 BBVA, Banca Inversión, Asociado, C/ Alcalá, 16, 28014 Madrid,
91-3744512, 91-3743833, fidel.fernandez@grupobbva.com
FERNANDEZ FERNANDEZ
DANIEL
2896
FERNANDEZ FERNANDEZ
ALEJANDRA
3240
FERNANDEZ GARCIA
ADOLFO
FERNANDEZ GARCIA
MIRIAM
2511
FERNANDEZ GARCIA
DAVID
3141
FERNANDEZ GOMEZ
SONIA
1623
FERNANDEZ GOMEZ
SANDRA
2537
FERNANDEZ GONZALEZ
FRANCISCO
FERNANDEZ GRAÑEDA
PABLO
FERNANDEZ MARTINEZ
Mª DOLORES
FERNANDEZ MORILLO
BLANCA
FERNANDEZ MUÑOZ
Mª LUISA
811
FERNANDEZ PALACIOS
JUAN
722
845
774
214 EJERCICIO LIBRE PROFESIONAL, Plaza Reyes Magos, 12, 28007 Madrid, 91-4335361, ffg@ya.com 2897 935 3173
FERNANDEZ PESTAÑA
SUSANA
FERNANDEZ PIRLA
JOSE
FERNANDEZ PITA
CARLOS
FERNANDEZ PLASENCIA
MARTIN JAVIER
1417 IDEAS, S.A., Socio Director, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, 91-5983312, 91-5983313, jmfernandez@ideas-sa.es 3110
1928 5 666
FERNANDEZ QUILEZ
JULIO IGNACIO
FERNANDEZ RAMIREZ
CARLOS
FERNANDEZ REY
PATRICIA
2711 CASER SEGUROS, Actuario No Vida, C/ Camarena, 106, 6ºD, 28017 Madrid, 91-7191453, pfernandezrey@yahoo.es
FERNANDEZ RODRIGUEZ
VERONICA
3152 LIBERTY SEGUROS, C/ obenque, 2, 28042 Madrid, 91-
848
249
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES 3017900, veronica.fernandezrodriguez@libertyseguros.es
FERNANDEZ RUEDA
DAVID
2422 SANTANDER INSURANCE HOLDING, Director de Productos, CGS, Avda. de Cantabria s/n, 28660 Boadilla del Monte (Madrid),
+34615906942, davifernandez@gruposantander.com
FERNANDEZ RUIZ
ANTONIO J.
FERNANDEZ RUIZ
JOSE LUIS
FERNANDEZ SANCHEZ
JOSE LUIS
FERNANDEZ TEJADA
CESAR
1455 SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, S.A., Gerente Técnico, C/ Orense, 11, 1ª Pta., 28020 Madrid, 91-4179950, cesar.fernandez@antar.es
FERNANDEZ TEJERINA
JUAN CARLOS
2312 CAJA ESPAÑA VIDA, SA. Responsable Actuarial, C/ Los Zarzales, 20-2ºG, 24007 Villaobispo de las Pegueras, 637465570, 987875340, jcftejerina@ono.com
FERNANDEZ VERA
ANTONIO
FERNANDEZ VERDESOTO
ANA ISABEL
2236
FERRER GIMENEZ
Mª AMPARO
2934
FERRER MENGUAL
VANESSA
2681
FERRER PRETEL
JUAN IGNACIO
3097 UNICORP VIDA, Director Técnico, C/ Bolsa, 4, 3º Planta, 29015 Málaga, 952-209010, 952-609878, jiferrer@unicorp.es
FERRER SALA
JUAN
FERRERAS MORENO
DARIO
2831 MAPFRE AUTOMOVILES, Director Servicios Técnicos, Siniestros, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5818536, dferre@mapfre.com
FERRERUELA MAYORAL
CAROLINA
2227 AXA, Consultor Procesos ( Black Belt Certificado ), Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, 91-5388681, 91-5385657, carolina.ferreruela@axa.es
FERRIOL FENOLLOSA
INMACULADA
2599
FERRO MORA
ANA MANUELA
1974 BBVA, Responsable Gestión Global de Compromisos, Pº de la Castellana, 81, 28046 Madrid, 91-3744274, 91-3744969, ana.ferro@grupobbva.com
FIANCES AYALA
EMILIO
3117 AXA MEDITERRANEAN & LATIN AMERICAN REGION, Business Analyst, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, 915388062, emilio.fiances@axa.es
FIDALGO GONZALEZ
MONICA
3072
FIGUEROA SANCHEZ
CARLOS
3029 MUTUA MADRILEÑA AUTOMOVILISTA / SEGUROS, Técnico Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046, Madrid, 91-5922828, cfigueroa@mutua-mad.es
FLAMARIQUE SOLERA
SILVIA
3241
385 1767 LIBERTY SEGUROS, Manager Reaseguro Vida y No Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, jose.fernandez@libertyseguros.es 271
758 RENTA 4 PENSIONES EGFP, S.A., Presidente, C/ Doña Juana I de Castilla, 52, 28027 Madrid, 91-3207154, afernandez@renta4.es
520
C/ Buganvilla, 10, 28036 Madrid, 678629054, silviaflamarique@gmail.com
FLEIXAS ANTON
ANTONIO
FLORIDO CASTILLO
MIGUEL
2590 AXA SEGUROS, Responsable ALM, Camino Fuente de la Mora, 1. 28050 Madrid, 91-5388691, miguel.florido@axa.es
FLORINDO GIJON
ALBERTO
2139 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com
981
FOLLANA MURCIA
PABLO
1995
FONT GRANDIA
Mª TERESA
1446
FORTUNY LOPEZ
ENRIQUE
2731 ASCAT VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director Técnico, C/ Roure 6-8, Polígono Mas Mateu, 08820, El Prat de Llobregat, 93-4848874, 93-4845401, enric.fortuny@ascat.es
FRAILE FRAILE
ROMAN
980
250
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
FRANCIA CASADO
Mª TERESA
1751
FRANCO GONZALEZ-QUIJANO
Mª TERESA
2950 AXA MEDITERRANEAN REGION, Actuario Experto No Vida – Risk Management P&C, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid,
91-5388689, 91-5775076, teresa.franco@axa.es
FRANCO GONZALEZ-QUIJANO
AMPARO
3212 MONDIAL ASSISTANCE, Actuario No Vida, Edificio Delta Mora, 3, Avda. de Manoteras, 46, Bis, 28050 Madrid, 649613938, amparo.franco@mondial-assistance.es
FREIRE GESTOSO
MANUEL P.
426
FREYRE GASULLA
EDUARDO
794
FREYRE GASULLA
JAVIER
1726
FUENTES MENDEZ
TOMAS
2264
FUSTER CAMARENA
ALEJANDRO F.
2779
GADEA TOME
FELIX
162
GALAN FERNANDEZ
MAITE
2217
GALAN GALLARDO
RODRIGO
GALAN GARCIA
RUBEN
3164 EUROPEA DE SEGUROS, S.A., Jefe Actuarial y de Control Interno, Avda. de la Vega, 24, 28108, Alcobendas, Madrid, 91-3441737, rgalan@europeadeseguros.com
625
GALDEANO LARISGOITIA
IRATXE
2277
GALERA LOPEZ
ROCIO BELEN
2469
GALLARDO CHOCANO
RAMON MARIA
3053
GALLEGO ALUMBREROS
FRANCISCO
GALLEGO HERNANDEZ
RUTH
2992
GALLEGO RIVERO
RAQUEL
3073 C/ Sierra Toledana, 4-4ºA, 28038 Madrid, 91-4376476, g.raquel@lycos.es
GALLEGO VILLEGAS
OLGA Mª
1363 BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, S.A., Directora Técnica, C/ Mateo Inurria, 15, 28036 Madrid, 91-3361298, 91-3361776, olga.gallego@barclays.com
GALLEGOS DIAZ DE VILLEGAS
JOSE ELIAS
GALLEGOS ROMERO
JOSE ELIAS
GALLO BUSTINZA
MARCOS
GANDARA DEL CASTILLO
LAUREANO
GANGUTIA ARIAS
ALMUDENA
1150 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, Ciudad Grupo Santander, Avda. Cantabria s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid,
91-2890208, agangutia@gruposantander.com
GARATE SANTIAGO
FCO. JOSE
2813 AXA SEGUROS, Internal Audit, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, francisco.garate@axa.es 2513
GARCES BLASCO
Mª ESTHER
GARCIA ALONSO
FRANCISCO
705
766 MUSAAT, Director General, C/ Jazmín, 66, 28033, Madrid, 913841120, jegallegos@musaat.es 161 2278 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Actuario Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com 470
785
GARCIA ARIETA
JESUS
GARCIA AZPEITIA
REGINA
GARCIA BALLESTEROS
FELIPE
3170
GARCIA BERIHUETE
JOSE MARIA
2344
GARCIA BODEGA
FERNANDO
GARCIA BORJA
MARIA NIEVES
2528
GARCIA CARRERO
Mª ROSA
1631
GARCIA CASLA
ANA ISABEL
2409
1819 874
395
251
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
GARCIA CEDIEL
ALFREDO
1138
GARCIA DEL CURA
MARIO
1626 MAPFRE AMERICA, Director Técnico Comercial, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5811655, 915811610, mgarci1@mapfre.com
GARCIA DEL VILLAR
ALVARO LUIS
3142 CASER, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, agarcia4@caser.es 3153
GARCIA DIEZ
JOSE LUIS
GARCIA ESTEBAN
FRANCISCO
GARCIA FERNANDEZ
CESAREO
GARCIA FERNANDEZ
JULIO MARCOS
1037
GARCIA FERNANDEZ
Mª PAZ
1350
GARCIA GARCIA
PABLO
1797
GARCIA GARCIA
RAQUEL
2384
GARCIA GARCIA
SUSANA
2865
GARCIA GARCIA
MARIA ESTER
2910
GARCIA GOMEZ
ANGEL
2140
GARCIA GONZALEZ
EDUARDO
1812
GARCIA GUTIERREZ
JOSE M.
2602
GARCIA HERRERO
CARLOS
3159
GARCIA HONDUVILLA
PEDRO
1134
GARCIA HORMIGOS
CARLOS
2162
GARCIA LANGA
PEDRO
2764
GARCIA LOPEZ
JUAN ANTONIO
1370 IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, 91-5983312, 91-5983313, jgarcia@ideas-sa.es
118 169
GARCIA LOPEZ
ESTELA
2526
GARCIA MANZANO
IDOYA
3182
GARCIA MARCOS
LUIS MARIA
2848
GARCIA MARTIN
YENI
GARCIA MARTINEZ
JAIME LUIS
1112 MUTUALIDAD GEENERAL DE LA ABOGACIA, Responsable Técnico, Serrano, 9, 28001 Madrid, 91-4100852, 914319915, igarcia@mutuabog.com
GARCIA MERCHAN
MARGARITA
1783 UNION AUTOMOVILES CLUBS SA DE SEGUROS Y REASGRS., Responsable Área Técnica, C/ Isaac Newton, 4, 28760 Tres Cantos,
91-5947422, 91-5947479, margarita_garcia@race.es 2273
689
GARCIA MUNERA
JUAN CARLOS
GARCIA NAVIA
JOSE MARIA
142
GARCIA NIETO
FCO. JAVIER
1415
GARCIA ORDOÑEZ
JUAN CARLOS
2850
GARCIA PEREZ
ALMUDENA
2254
GARCIA PEREZ
ESTHER
2692 MUTUA MADRILEÑA, Actuario No Vida, Castellana 33, 28046 Madrid, 91-5922834, egarcia@mutua-mad.es
659654900, almudena.garcia@actuarios.org
GARCIA RODRIGUEZ
MARIA ESTHER
2765
GARCIA RODRIGUEZ
JULIO MANUEL
2935
GARCIA SALAMANCA
NOELIA
2952 LIBERTY SEGUROS / ACTUARIAL VIDA, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, noelia.garcia@libertyseguros.es
GARCIA SANCHEZ
ALBA
3154 GRUPO SANTANDER/AUDITORIA INTERNA, Auditor Senior, Ciudad Grupo Santander, 28660 Boadilla del Monte, 610612484, carlosmadrid75@hotmail.com
252
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
GARCIA SANTAMARIA
MONICA
2515
GARCIA SESEÑA
RAFAEL
3038 ASEGURADORA DE CREDITOS HIPOTECARIOS GENWORTH FINANCIAL, Dpto. Loss Mitigation, C/ Luchana, 23, 5ª Planta, 28905, Madrid
GARCIA SIERRA
GEMA
2923 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903009, gema.garcia.sierra@towersperrin.com 1959
GARCIA TORIBIO
SUSANA
GARCIA VILLALON
JULIO
GARCIABLANCO GONZALEZ
MARIO LUIS
GARCIA-BORBOLLA Y CALA
RAFAEL
GARCIA-BUSTAMANTE MARCHANTE
ANTONIO JUAN
1560
GARCIA-HIDALGO ALONSO
ENRIQUE JOSE
2832 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046 Madrid, 91-4233400, garciahidalgoe@willis.com
202 Jubilado. Profesor Emérito Universidad Valladolid, Presidente honorífico “ASEPUMA”. 2359 269
GARCIA-OLEA MATEOS
JOSE LUIS
2613
GARCIA-PERROTE GARCIA-LOMAS
JORGE
1806
GARCISANCHEZ CID
MARGARITA
2329 AGROSEGURO, S.A., Actuario, C/ Gobelas, 23, 28023 Madrid,
902010193, 91-8373225, mgarcisa@agroseguro.es
GARMENDIA ZORITA
JUAN IGNACIO
1636
GARRALDA SACRISTAN
ANGELES
GARRE CONTRERAS
MIGUEL ANGEL
GARRIDO ALVAREZ
RAFAEL
940 1704 501 BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, Compañía de Seguros, C/ Mateo Inurria, 15, 28036 Madrid, 91-3361057, rafael.garrido@barclays.com
GARRIDO MEDRANO
EVA M.
GARRIDO VAQUERO
Mª DEL PILAR
GAVIRIA BARANDICA
JUAN JOSE
1027
GESSA DIAZ
JOAQUIN
2190
GESTEIRA LAJAS
SOFIA
3165
GIL ABAD
VICTOR LUIS
1357
GIL ALCOLEA
ONOFRE
901
GIL CARRETERO
SANTOS
276
GIL COSPEDAL
Mª VICTORIA
1953
GIL DE ROZAS BALMASEDA
GREGORIO F.
2065 TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 690667483, 91-5633115, gregorio.gilderozas@towersperrin.com
2771 795
GIL DE SOLA RULLAN
MARTA
1817
GIL FANA
JOSE ANTONIO
1194
GIL PEREZ
JAVIER
1347 FENIX DIRECTO, Responsable S.Técnico, Avda. General Perón, 27, 28020 Madrid, 91-4326964, 93-2288436, javier.gil@fenixdirecto.com
GIL ROVIRA
JUAN ANTONIO
2219
GILABERT PEREZ-TERAN
OSCAR
3039
GILSANZ PALANCAR
ANGEL LUIS
2006
GIMENEZ ABAD
CARMEN
2994 MERCER, Consultor / Actuario, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, 91-5142653, 91-3449133 carmen.gimenez@mercer.com
GIMENEZ BOSCH
FRANCISCO
1742
GIMENO BERGERE
CELIA ANA
3203
253
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
GIMENO MUNTADAS
ANTONIO
GINER AGUILAR
LUIS
GIRIBET BOVE
JUAN
GISBERT BERENGUER
MARIA
2971
GOMEZ ABAD
BEGOÑA
2181
GOMEZ ALVADO
FRANCISCO
1910
GOMEZ CASTELLO
ROSA EMILIA
920 PROECO-GABINETE TECNICO, S.L., Gerente, C/ Alcira, 2, entresuelo, 46008 Valencia, 96-3840226, 96-3850142, emilia.gomez@actuarios.org
GOMEZ DE LA LASTRA
PEDRO
314
GOMEZ DE LA VEGA GONZALEZ
JOSE LUIS
GOMEZ DEL AMO
Mª ANGELES
3098 WATSON WYATT / CONSULTORIA, Consultora, mgdelamo@hotmail.com
GOMEZ GALAN
JOSE GABRIEL
2330
GOMEZ GARCIA
JOSE M.
GOMEZ GIL
JOSE LUIS
1652
GOMEZ GISMERA
RUBEN
3235
GOMEZ GOMEZ
JUAN JESUS
1438 MEDITERRANEO VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director General, Avda. de Elche, 178, Edif. La Estrella, 2, 03008 Alicante, 96-5905447, 96-5905354, jjgomez@mvida.cam.es
GOMEZ HARO
ADELAIDA
3030 Avda, Velázquez, 19, 5º 26, 29003 Málaga, 606914346, netadgoha@hotmail.com
86 2924 BBK, Director Banca, Costa y Borrás, 2, 46017, Valencia,
630201682, 96-3789153, lginerag@bbk.es 224
686605109, mgisbert@yahoo.es
24
746
GOMEZ HERNANDEZ
ESPERANZA
1489
GOMEZ JUAREZ
AURELIO
2331
GOMEZ LOPEZ
MANUEL
2458
GOMEZ PASTOR
VALVANERA
3067
GOMEZ ROJAS
FELIPE
1858 WATSON WYATT INSURANCE CONSULTING, Director, C/ María de Molina, 54, 7º planta, 28006 Madrid, 667609063, felipe.gomez@watsonwyatt.com
GOMEZ SANZ
MARCIANO
GOMEZ-CHOCO GOMEZ
RAUL
3155 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Actuario, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, 91-2892315, rgomez-choco@gruposantander.com
GOMEZ-PARDO PALENCIA
CARLOS
3040 GROUPAMA SEGUROS S.A, Actuario División Estudios Actuariales, Plaza Cortes, 8, 28014, Madrid, 91-7016961, carlos.gomez-pardo@groupama.es
152
GONGORA ROMAN
MARIANO
GONZALEZ ANTOLIN
Mª ELENA
3242 WATSON WYATT, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006 Madrid, 91-3101088, m.elena.gonzalez@watsonwyatt.com
GONZALEZ AYJON
EDUARDO
2761 INMOBILIARIA MAGURSA IBERICA, S.L., C/ Virgen de la Alegria, 7, Local, 28027, Madrid, 94-9322977, 94-9292687, eduardogonzalez@magursa.es
GONZALEZ BARROSO
MIGUEL ANGEL
1746
GONZALEZ BARROSO
ANGEL
2603 DIRECT SEGUROS, Actuarial-Estadístico, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, 91-5385957, angel.gonzalez.barroso@directseguros.es 2516
GONZALEZ BLAZQUEZ
FCO. JAVIER
GONZALEZ BUENO LILLO
GABRIELA
GONZALEZ CABALLERO
Mª DEL MAR
836
424 2780 UNICORP VIDA / COMPAÑIA DE SEGUROS, Actuario, C/ Bolsa, 4, 3ª Planta, 29015 Málaga, 952-607846, 952-609878, mgonzalez@unicorp.es
254
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
GONZALEZ CARIDE
MARIA
3236
GONZALEZ CARRETERO
ANA ISABEL
2238 MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28024 Madrid,
91-5818683, 91-5811709, agonz@mapfre.com
GONZALEZ CATALA
VICENTE T.
GONZALEZ COCA
ANDRES
GONZALEZ DE CASTEJON LLANO P.
MIGUEL
GONZALEZ DEL MARMOL
ALFONSO
594 C/ Bueso Pineda, 17, 28043, Madrid, 91-4154833, 914153117, v.gonzalez-catala@actuarios.org 850 1141 FINANZA I.A., Socio Actuario, C/ Alcalá, 128-Interior, 28009 Madrid, 91-4020204, 91-4018063, m.gonzalezdecastejon@finanza.com 761
GONZALEZ DEL POZO
RAQUEL
GONZALEZ DELGADO
JOSE
GONZALEZ DIEZ
IGNACIO
GONZALEZ FERNANDEZ
CARLOS
1960 CIGNA LIFE INSURANCE COMPANY OF EUROPE, Director Financiero LA&H Europe, Pº del Club Deportivo, 1, Edificio 14, 28223 Pozuelo de Alarcón, 91-4184645, 91-4184943, carlos.gonzalezfernandez@cigna.com
GONZALEZ GOMEZ
FAUSTINO
2713 COMPAÑIA DE SEGUROS ADESLAS, S.A., Responsable Actuarial, C/ Príncipe de Vergara, 110, 28002, Madrid, 915667062, 91-5665740, fgomez@adeslas.es
GONZALEZ GUILLO
SANTIAGO
3237 OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Princesa, 23, 28008 Madrid, 91-5380415, 91-5380229, santiago.gonzalezguillo@ocaso.es
GONZALEZ JIMENEZ
MARIA
3081
GONZALEZ MADARIAGA
JUAN ANT.
GONZALEZ MARCOS
ANGEL LUIS
GONZALEZ MARTIN
M.ª SOLEDAD
1217
GONZALEZ MARTIN
JUAN F.
2239
GONZALEZ MARTIN
MONICA
2360
GONZALEZ MARTINEZ
CLARA ISABEL
2815 BANCO DE ESPAÑA, Servicio de Estudios, C/ Ríos Rosas, 2, 28003 Madrid, 649044008, claraigonzalez@hotmail.com
GONZALEZ MESA
PEDRO JOSE
3120
GONZALEZ MILLAN
M. TERESA
GONZALEZ MONEO
MANUEL
2758 C/ Hermanos Barrio Llorente, 10, 28224 Pozuelo de Alarcón, Madrid, 655838973, manuelmoneo@yahoo.es
2148 333 450
376 951
919
GONZALEZ MORENO
JOSE ANTONIO
2260
GONZALEZ OLIVER
JUAN MANUEL
2781
GONZALEZ REDONDO
JESUS
2855
GONZALEZ RIERA
HUGO
2304 GONZALEZ CATALA ASOC. ACTUARIOS CONSULTORES, S.A., Consejero Delegado, C/ Bueso Pineda, 17, 28043 Madrid, 914154833 / 91-5196249, 91-4153117, h.glez.riera@actuarios.org
GONZALEZ SANCHEZ
JOSE ENRIQUE
GONZALEZ SANCHEZ
JORGE
1369
GONZALEZ SANCHEZ
ANTONIO JOSE
2843
GONZALEZ SANCHEZ-REAL
MARIA ELENA
2655
GONZALEZ URIBEECHEVARRIA
ELENA
2280
GONZALEZ VARELA
FERNANDO
GONZALEZ-LLANOS LOPEZ
AMALIA
602 AXA VIDA, S.A., Coordinación Migración, C/ Albacete, 3, 28804, Alcalá de Henares, Madrid, 609104551, enrique.gonzalez@actuarios.org
571 1741
255
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
GONZALEZ-QUEVEDO GARCIA
FRANCISCO
2499 TOWERS PERRIN, Consultant, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903086, 91-5633115, francisco.gonzalezquevedo@towersperrin.com 2782
GONZALVEZ DE MIRANDA FDEZ.
JOAQUIN
GOÑI SOROA
JUAN ANTONIO
GORDO SOTILLO
JESUS JAVIER
3111
GOSALBEZ RAULL
BEGOÑA
1985
GOYANES VILARIÑO
ALFREDO
GRANADO JUSTO
ALVARO
2019 WATSON WYATT, Consultor, C/ María de Molina, 54, 28006, Madrid, 91-3101088. 91-7612677, alvaro.granado@watsonwyatt.com
553
122
GRANADO SANCHEZ
MANUEL
2306
GREGORIO PUEBLA
MARIA
3252
GUARDIA BALCAZAR
RAFAEL
2733 HELVETIA SEGUROS, Actuario Dpto. seguros personales ahorro, rafaelguardia@yahoo.es
GUERRA MONES
LAURA
2953
GUERRERO GILABERT
JUAN IGNACIO
793
GUERRERO GUERRERO
JOSE LUIS
412 CONFIA CONSULTORES, S.L., Avda. Pío XII, 57, 28016, Madrid,
609059935, 91-3431133, 91-3593537, jl.guerrero@actuarios.org
GUERRERO PORTILLO
GONZALO F.
2936 GROUPAMA, Director Depatamento A2M y Riesgos Financieros , Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, 91-7016919, gonzalo.guerrero@groupama.es
GUIJARRO MALAGON
F. JAVIER
GUINEA OLANO
ANGEL
GURTUBAY FRANCIA
JOSE LUIS
1295
GUTIERREZ GALAN
JOSE MANUEL
1264
GUTIERREZ MIGUEL
MIGUEL ANGEL
1946
GUTIERREZ SAEZ
RICARDO
2444
GUZMAN LILLO
ISABEL
2626 MULTIASISTENCIA, Directora de Red, ronda de Poniente, 7, 28760 Tres Cantos, 91-2031899, isabel.guzman@multiasistencia.com
HEATHCOTE
MARK G.
2328 HEWITT BACON & WOODROW LTD, Associate, Prospect House, Abbey View, ST. Albans, Hertfordshire, AL1 2QU, United Kingdom,
+44(0)1727888230, mark.heathcote@hewitt.com
903 254
HELGUERO VALVERDE
ANA ISABEL
2656
HERNAN PEREZ
JUAN MIGUEL
1971
HERNANDEZ
JEAN-LOUIS
2614 MUTUA MADRILEÑA, Director Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, 91-5929853, jlhernandez@mutua-mad.es
HERNANDEZ CUESTA
JOSE MARIA
1520 MAPFRE FAMILIAR, Auditor Interno, Carretera Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, 91-5814806, jmhern4@mapfre.com
HERNANDEZ ESTEVE
ALBERTO
HERNANDEZ FERNANDEZ-CANTELI
CARLOS
1259
HERNANDEZ FERRER
MARIA TERESA
3247
HERNANDEZ GALINDO
JOSE
HERNANDEZ GONZALEZ
DANIEL
HERNANDEZ GUERRA
ANTONIO
HERNANDEZ GUILLEN
ALMUDENA
301
144 2204 MINISTERIO DE SANIDAD Y POLITICA SOCIAL, Jefe de Área de Entidades Tuteladas, Recinto Nuevos Ministerios, Ministerio de Fomento, Pº de la Castellana, 67, 6º Planta B607, 28071 Madrid,
91-3637520, daniel.hernandez@actuarios.org 576 1772
256
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
HERNANDEZ MARCH
JULIO
HERNANDEZ MARTIN
DIONISIO
731
HERNANDEZ OCHOA
ENCARNACION
844
HERNANDEZ PALACIOS
MANUEL JOSE
3016 GENWORTH FINANCIAL INSURANCE, Gerente Actuarial y de Riesgos Región Sur Europa, Pº de la Castellana, 15, 3º, 28046 Madrid, 91-3081116, manuel.hernandez@genworth.com
HERNANDEZ POLLO
JOSE RAMON
1149
HERNANDEZ RAMOS
SARA
3051
HERNANDEZ ZAMORA
ALFONSO
2694 CANTABRIA VIDA Y PENSIONES, Director Técnico, 942764802, alfonso.hernandez@cvyp.es
1288
HERNANDO ARENAS
LUIS ALBERTO
HERNANZ MANZANO
FRANCISCO
HERRANZ PEINADO
PATRICIA
1698
HERRERA AMEZ
ARITZ
3083 DELOITTE, S.L., Plaza Pablo Ruiz Picasso, Torre Picasso, 28020 Madrid, aherreraamez@deloitte.es
HERRERA GARCIA
JULIAN PABLO
2436 GROUPAMA SEGUROS, Subdirector General Estudios y Pilotaje, Plaza. de las Cortes, 8, 28014 Madrid, 91-7447549, julian.herrera@groupama.es
HERRERA NOGALES
PEDRO
1104
HERRERA SANZ
PATRICIA
2339
HERRERO GUTIERREZ
FCO. JAVIER
1169 AON GIL Y CARVAJAL, Consultor de Riesgos Personales, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, 91-3405651, 91-3405883, fherrero@aon.es
HERRERO ROMAN
CRISTINA
2715 VIDA CAIXA, Técnico, Pº de la Castellana, 51, 28046 Madrid, 914326891, 93-2988556, cherrero@caifor.es
HERRERO RUBIO
SANDRA
3194
558 686
MAPFRE RE, Actuario, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, 915813320, sherrero@mapfre.com
HERRERO VANRELL
LUIS PEDRO
2387
HERVAS MARTIN
ALBERTO JOSE
2504
HIDALGO JIMENO
JOAQUIN
2783
HITA PASCUAL
ANTONIO
1840
HOLGADO GONZALEZ
ANA MARIA
2973
HOLGADO MOLINILLO
YAIZA
2954 WATSON WYATT/ CONSULTORIA, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª planta, 28006 Madrid, 91-3101088, 91-7612677, yaiza.holgado@eu.watsonwyatt.com
HOMET DUPRA
SEBASTIAN
HORNOS BUESO
JOSE LUIS
1454
HORTELANO SILVA
Mª ESTER
2817 UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760 Tres Cantos, (Madrid), 91-5947306, ester_hortelano@race.es
HUERTA DE SOTO
JESUS
HUERTA DE SOTO
JUAN
1637
HUERTA DE SOTO HUARTE
JESUS
3074
HUERTA HERRERA
OSCAR
2265
IBAÑEZ CARRASCO
NURIA
3253
IBARRA CASTAN
JUAN CARLOS
1052 R.G.A. RE INTERNATIONAL IBERICA, Director Comercial, Ctra. A. Coruña, km.24, Edificio Berlín, 28290, Las Matas, Madrid, 916404340, 91-6404341, jibarra@spn.rgare.com
IGLESIAS GONZALEZ
JESUS RAMON
1245 CAJASTUR MEDIACION/ SEGUROS, Dtor. Técnico, C/ Martínez Marina, 7, 33009 Oviedo, 98-5209391, 98-5209384, jriglesias@cajastur.es
320
619
257
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
INFANTE CRESPO
SUSANA
1939
IÑARRA MUÑOZ
JUAN IGNACIO
2517
IPIÑA GOSALBO
SERGIO
1606 ASPECTA ASSURANCE INT. LUX. S.A, SUCRUSAL ESPAÑA, Dtor. General, C/ Emilio Vargas, 1, 2ª Planta, Madrid, 917441280, 91-4162457, sipina@aspecta.com
IRIBAS REVILLA
CRISTOBAL
2099 CTI, Director Financiero, Avda. de la Industria, 32, 28108 Madrid,
91-3728335, cristobal_iribas@ctisa.es
ITURBE URIARTE
CARLOS
1465 VIDACAIXA S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, 91-4326880, 93-2989017, citurbe@segurcaixaholding.com
IVERN MORELLO
WALFRID
JARALLAH LAVEDAN
JUBAIR
1678
JAREÑO GAT
MERCEDES
2955
JIMENEZ BARBA
ENRIQUE
1126
JIMENEZ DE LA PUENTE
Mª ANGELES
2079 MUTUA MADRILEÑA, Responsable Vida Decesos en Dirección Estadística Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, 915929755, majimenez@mutua-mad.es
958
mercedes.jareno@actuarios.org
JIMENEZ GARCIA-GASCO
LAURA
2192
JIMENEZ GOMEZ
PEDRO JULIAN
1899
JIMENEZ IGLESIAS
M. ANGELES
3116 ALLIANZ SEGUROS, Técnico Control de Gestión (Vida), C/ Tarragona, 109, 08014, Barcelona, 93-2286719, mangeles.jimenez@allianz.es
JIMENEZ JAUNSARAS
ALBERTO
JIMENEZ MARTIN
FCO. JAVIER
1888
JIMENEZ MUÑOZ
LUIS ALFONSO
2206 RGA REINSURANCE COMPANY, Director Técnico, 616434447, 91-6404341, ljimenez@spn.rgare.com
JIMENEZ RODRIGUEZ
EMILIO JESUS
747 EL PERPETUO SOCORRO, S.A. DE SEGUROS, Actuario, Avda. Maisonnave, 31, 03690, Alicante
371
JIMENEZ RODRIGUEZ
SUSANA
1708
JIMENEZ SANCHEZ
EVA
3254
JUAREZ GARCIA
OLIMPIA
2980 CARDIF, Actuario, Julian Camarillo, 21, Madrid, 91-5901146, olimpiajuarez@actuarios.org
JUARISTI GOGEASCOECHEA
ANDER
3183 WATSON WYATT, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, 91-3101088, ander.juaristi@watsonwyatt.com
KARSTEN
HENRY PETER J
1063 MERCER HUMAN RESOURCE CONSULTING, Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid 91-4569400
KRAUSE SUAREZ
LAILA
3166
LABRADOR DOMINGUEZ
SARA
3213
LABRADOR SERRANO
OLGA
3084
LAFRANCONI
MAURA
3226
LAGARTERA CABO
CARLOS
2410
LANA VOLTA
JESUS
2423 NOVASTER / CONSULTORIA, Socio Director, C/ Numancia, 117121, 1º, 1-B, 08029 Barcelona, 902131201, jlana@novaster.net
LARA MUÑOZ
JAVIER
2479
LARRAD REVUELTO
CESAR
2424 CARDIF A BNP PARIBAS COMPANY, Business Intelligence Manager, C/ Julián Camarillo, 21 A, 4ª Planta, 28037 Madrid,
686159800 91-5903007, cesar.larrad@cardif.com,
LARRUGA RODRIGUEZ
MIGUEL
1966
LASSALLE MONTSERRAT
JOAQUIN C.
3017 ASISA, Área de Prestaciones, Madrid, jlassalle@asisa.es
LATORRE LLORENS
LUIS
871
258
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
LAUZAN GONZALEZ
FERNANDO
LAZARO FERNANDEZ
MARIANO L.
LAZARO RAMOS
VALENTIN
LECINA GRACIA
JOSE M.
611 UNIVERSITAT DE BARCELONA, Profesor Titular de Universidad, lecinag@ub.edu
LECUONA GIMENEZ
RICARDO
703 INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, 902199670 91-4133950, info@ingesac.com
LEDESMA HERNANDEZ
JOSE IGNACIO
2899 NACIONAL DE REASEGUROS, Actuario Ramos Personales, C/ Zurbano, 8, 28010, Madrid, 91-3081412, 91-3085542, ilh@nacionalre.es
LEGUEY GALAN
JAVIER
2281 ALLIANZ SEGUROS Y REASEGUROS, SA., Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, 91-5960582, javier.leguey@allianz.es
LENS PARDO
LUIS
2431 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA, Senior Manager – Responsable International Benefits, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, +34 91-4059350, +34 91-4059358, luis.lens@hewitt.com
LEON PINILLA
MARTA
1965
LERENA LORENZO
PEDRO
1987 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socio Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003 Madrid, 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com
LERNER WAEN
ANDRES DAN
2900 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, 91-2971881, andres.lerner@aviva.es
LESMES SANCHEZ
FERNANDO
LILLO CARRAZON
LUIS
2149 ASEVAL. Subdirector de Negocio, C/ Duque de Mandas, 41, puerta 29, 46019 Valencia, 96-3875962, 96-3875944, luis.lillo@gseguros.com
LINARES CUELLAR
FERNANDO
2470 MUNICH RE, I+D+I Consultor, +34-91-4319633, +34-914261622, +34-91-4310698, flinares@munichre.com
3025 156 2627 CAJA RURAL BURGOS, Director Oficina, Santa María, 15, 09300 Roa, 947-540255, vlazaro_crburgos@cajarural.com
572 AUDISERVICIOS, AUDITORES CONSULTORES, S.L., Socio, C! Ferraz, 4, 28008 Madrid, 91-5478201-02, 91-5591867, flesmes@audiservicios.com
LINARES PEÑA
ANGEL
421
LLACER CUÑAT
SONIA
3255
LLAMAS MADURGA
LINO
908
LLITERAS ESTEVA
PEDRO
690
LLOPIS MARTINEZ
JUAN ANTONIO
137
LLORET VILA
RICARDO
347 GENERAL RISK AND SPECIAL INSURANCE, S.L., Administrador , Plaza de España, 6, 46007, Valencia, 902300054, 963532116, correduria@general-risk.com
LLORET VILA
FCO. JAVIER
LOBERA SAEZ
DAVID
3195
LODEIRA GOMEZ
LAURA Mª
2343
LOPERA ESCOLANO
ANDRES
3112
LOPEZ BERMUDEZ
JUAN
1594
LOPEZ CACHERO
MANUEL
LOPEZ CESPEDES
PILAR
2970 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903009, pilar.lopez.cespedes@towersperrin.com
LOPEZ DE RIVAS
JAVIER
3042 MUTUALIDAD DE LEVANTE, Responsable Técnico-Actuarial, C/ Roger de Lluria, 8, 03801 Alcoy (Alicante), 658480904, javier.lopez@mutualevante.com
LOPEZ DOMINGUEZ
PABLO
559
LOPEZ ESCUDERO
RODOLFO
827
370
379
259
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
LOPEZ ESTEVEZ
ALFREDO
LOPEZ FUENSALIDA GONZALEZ ROMAN
LAURA
2604 CARDIF A BNP PARIBAS COMPANY, Actuario, C/ Julián Camarillo, 21 A, 4ª Planta, 28037 Madrid, 91-5901145, laura.lopez@cardif.com
LOPEZ GIL
ANA
2538 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEGURADORA, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, 912890162, 91-2890162, analopezg@gruposantander.com
LOPEZ GOMEZ
MARIA
3018 TOWERS PERRIN/ CONSULTORA SEGUROS, Consultor, Urb. El Soto, 17, 8ºC, 28400 Villalba, 609632085, maria.lopez.gomez@towersperrin.com
LOPEZ GONZALEZ
MARIA CARMEN
2716 BBVA, Actuario, Castellana, 81, 28046 Madrid, 91-5377610, 91-3744969, mdc.lopez.gonzalez@grupobbva.com
LOPEZ HERNANDEZ
JOSE LUIS
1514 MURIMAR, Director General, C/ Miguel Angel Asturias, 22, 28922 Alcorcón, 91-6440179, joseluisllh@hotmail.com
LOPEZ HERVAS
ANA Mª
2068
LOPEZ IRUS
Mª AZUCENA
2100 MÜNCHENER RÜCK, Senior Underwriter, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, 91-4320495, alopez@munichre.com
LOPEZ ISIDRO
RICARDO
2856 SOCIEDAD DE GARANTIA RECIPROCA DE LA COMUNIDAD VALENCIANA, Analista Financiero, Avda. de Ramón y Cajal, 6, 03003, Alicante, 96-5922123, 96-5921816, r.lopez@sgr.es
LOPEZ MARTINEZ
BEATRIZ
3214
LOPEZ MARTINEZ CANO
MARTIN
LOPEZ MORALES
ANTONIO
607
16 917
LOPEZ MORANTE
ESTRELLA
3147
LOPEZ NUÑEZ
JUAN
2784
LOPEZ RODA
SILVIA
1945 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, 91-5903026, silvia.lopez.roda@towersperrin.com
LOPEZ RUBIO
ROBERTO
2440
LOPEZ RUBIO
YOLANDA
3000 PASTOR VIDA, S.A. / ENTIDAD SEGUROS, Dpto. de Riesgos, Pº de Recoletos, 19, 5ª Planta, 28004 Madrid, 91-5299850, 915249851, ylopezr@bancopastor.es
LOPEZ SANGUOS
DELAIRA
2956 Actuario de la Seguridad Social, C/ Alameda, 12, 4º A, 36002 Pontevedra, 686771073,
LOPEZ SANZ
JUAN JOSE
3184
LOPEZ SORIA
Mª BELEN
1904
LOPEZ ZAFRA
JUAN MANUEL
2749
LOPEZ-CORTIJO DE PEÑARANDA
BLANCA
1803
LOPEZ-DOMECH MARTINEZ-GARIN
LUISA
2911 MAPFRE AGROPECUARIA, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, 91-5814644, luilopez@mapfre.com
LOPEZ-GUERRERO ALMANSA
PEDRO A.
1752
LORENZO ROMERO
CARLOS
1621
LORENZO TOLA
SILVIA
2818
LOZANO CASADO
DAVID
3007 LA CAIXA, C/ Movinda 19 2ºA, 28037 Madrid, 606712400, davidlozano@emailpersonal.com
670683128, rlopezrubio@hotmail.com
LOZANO COLOMER
CRISTINA
2568
LOZANO FELIPE
MANUEL
3215
LOZANO GOMEZ
ANA ISABEL
3167 BANKINTER SEGUROS DE VIDA, S.A., Actuario, Avda. Bruselas, 12, 28108 Alcobendas (Madrid), ailozanog@bankinter.es
LOZANO MUÑOZ
ARTURO
LOZANO MUÑOZ
FCO. JAVIER
807 1651 PRO IBERICA, Responsable de Operaciones y Sistemas, Pº de la Castellana, 95, 28046 Madrid, 91-7709467, 91-7709470, javier_lozano@proiberica.com
260
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
LOZANO SUAREZ
JUAN DIEGO
LUCIA GIMENO
ISABEL
2333
LUENGO REDONDO
MARTA
2734 CASER, Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, 912146767, mluengo@caser.es
LUJA UNZAGA
FELIX
LUQUE RETANA
CARLOS LIONEL
1022 AEGON SEGUROS, Appointed Actuary, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002 Madrid, 91-5636222, luque.carlos@aegon.es
LUX
CHRISTIAN
2150
LUZARRAGA IGUEREGUI
JOSE RAMON
MACHETTI BERMEJO
IGNACIO
MACIAN VILLANUEVA
ALBERTO-JOSÉ
1896 ESTRELLAS SEGUROS, Dtor. de Área de Automóviles, C/ Orense, 2-4ª planta, 28020 Madrid, 91-3301567, 91-5905740, a.j.macian@laestrella.es
MADARIAGA ZUBIMENDI
TERESA
2208 HCC INTERNATIONAL, Directora Actuarial Europea, 35 Seething Lane, EC3N 4ALT, Londres UK tmadariaga@hccint.com
661
99
670520107, christian_lux@hotmail.com
139 777
MADRIGAL ESTEPA
ELENA
1852
MAESTRE HERNANDEZ
JOSE MANUEL
2353
MAESTRO MUÑOZ
M. LUISA
603
MALDONADO TUDELA
J. CARLOS
987 VAHN AUDITORES, S.L., Socio, C/ Andrés Mellado, 9, 1º D, 28015 Madrid, : 91-5500570, jcmaldonado@vahnauditores.es
MANJON MIGUELEZ
RAQUEL
MANJON SIMON
JOSE JOAQUIN
MANRIQUE MARTINEZ
MARTA
2519
MANZANARES PAVON
MONICA
1901
MANZANARO BERACOECHEA
LAURA
1206
MANZANO RIQUELME
ESTEBAN
567
MARAÑON ALONSO CARRIAZO
M. TERESA
847 C.N.P. VIDA, Directora Previsión Social, Ochandiano,10, El Plantio, 28023 Madrid, 91-5243400, mery.maranon@cnpvida.es
MARAÑON HERRANZ
PAULA AINHOA
MARCHAN MARTIN
ROBERTO
2657 369 marta2m@mixmail.com
3127 356 CIA. ESP. DE SEG. DE CTO. A LA EXPORTAC. , S. A. / SEGUROS, Director Financiero, C/ Velázquez, 74, 28001 Madrid,
91-4234800, 91-5766583, rmarchan@cesce.es
MARCHINI BRAVO
J. LUIS
MARCOS GOMEZ
F. JAVIER
1034 Madrid, 629248996, javier.marcos@actuarios.org
MARCOS GONZALEZ
GABRIEL
1949 GRUPO DE ASESORES PREVIGALIA / CONSULTORIA, Socio Consultor, C/ Albadalejo, 2, 1º 59, 28037 Madrid, 91-1833756, gabrielmgl@gaprevigalia.com
MARCOS GONZALEZ
FCO. JAVIER
2008
MARIN CARRASCO
MERCEDES
1763
MARIN CARRASCO
ANGEL
1764
MARIN COBO
ANGEL
MARINA RUFAS
JUAN
2020 AON CONSULTING, Director Consultoria Inversiones, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, 91-3405560, jmarinar@aon.es
MAROTO FERNANDEZ
BEATRIZ
1131
MARQUEZ AGUILAR
EVA MARIA
3075 FERROVIAL SERVICIOS, Controller Financiero Junior, Serrano Galvache, 56, Madrid
MARQUEZ GARRIDO
MANUEL
2346
MARQUEZ RODRIGUEZ
RUBEN
2717 GESTIONES SOCIOLABORALES (GESTOLASA), Actuario Consultor, C/ Juan Hurtado de Mendoza, 7º, 1º, 28036 Madrid,
91-3533150, 91-3456239, rmarquez@gestolasa.es
963
javimarcosg@hotmail.com
399
261
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MARTI ANTONIO
MANUEL
3256
MARTIN ALONSO
MARTA
2501
MARTIN ALVAREZ
OSCAR
2957
MARTIN ANTON
JOSE CARLOS
MARTIN CALERO
LAURA
2958
MARTIN CORRALES
JAVIER
2490 MAPFE VIDA, Actuario - Dpto. División de Empresas, General Perón, 40, 28020 Madrid, 91-5818193, jmart25@mapfre.com
MARTIN CRESPO
AURORA
2937 GESNORTE DE PENSIONES, SA. EGFP, Actuario de Vida y Pensiones, C/ Felipe IV, 3-1º, 28014, Madrid, 91-5319608, 915210536, aurora.martin@gesnorte.com
579
MARTIN DE CABO
JUAN JOSE
3076
MARTIN DE LA ROSA
DIANA
3085 RURAL VIDA, SA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Comercial Previsión Colectiva, C/ Basauri, 14, 28023, Madrid, 91-7007450,
91-7007037, dianamr@segurosrga.es
MARTIN DE LOS RIOS
VALENTIN
2959
MARTIN DE VIDALES LAVIÑA
Mª ISABEL
1595 LIBERTY SEGUROS, Manager Técnico - Productos Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, isabel.martindevidales@libertyseguros.es
MARTIN DOMINGUEZ
INMACULADA
3060 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220, Madrid,
915812963, inmacma@mapfre.com
MARTIN DORTA
NAYRA
2874
MARTIN GARCIA
CRISTINA
2559 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Asociado Senior, C/ Almagro, 40, 28010, Madrid, cristina.martin.garcia@es.pwc.com
MARTIN HERNANDEZ
MARIA
2659
MARTIN HERNANDEZ
JESUS
2772
MARTIN LOPEZ
PABLO
2117 SANTANDER SEGUROS, Director Desarrollo de Negocio, Ciudad Grupo Santander, Marisma, Planta 1ª, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, +34-91-2890164, pablomartinl@gruposantander.com
MARTIN LOPEZ
FERNANDO
2209 MÜNCHENER RÜCK / REASEGURO, Senior de Vida, Castellana, 18, 7ª 28046 Madrid, 91-4260693, fmartin@munichre.com
MARTIN MIRAZO
FERNANDO
1895 ASPECTA ASS. INT. LUX., S.A., SUC. EN ESPAÑA / SEGURO VIDA, Dtor. de Admón. y Finanzas, C/ Emilio Vargas, 1-2ª plt., 28043 Madrid, 91-7441280, fmartin@aspecta.es
MARTIN ORTEGA
MARIA ELENA
2981
MARTIN PALACIOS
FRANCISCO J.
2996
MARTIN PEREZ
MONTSERRAT
764
MARTIN PLIEGO
FCO. JAVIER
MARTIN QUINTANA
FRANCISCO J.
2334 BBVA SEGUROS, Responsable Siniestros No Vida, franciscoj.martin@grupobbva.com
907
MARTIN RAMOS
Mª CARMEN
2520
MARTIN REGUERA
ROBERTO
2539 PRUDENTIAL PLC-GROUP HEAD OFFICE, 12 Arthur Street, ECHR 9AQ, LONDON UK, +44(0)2075482625, +44(0)2075483699, roberto.martinreguera@prudential.ce.uk
MARTIN SANTOS
ROBERTO C.
2890 LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Los Yebenes, 28, 1º A, 28047 Madrid, 699857657, robertocarlos.martin@libertyseguros.es
MARTIN SOBRINO
SARA
3227
MARTIN TEMPRANO
Mª DEL PILAR
2102
MARTIN TRUJILLO
JOSE LUIS
2926 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA, Consultor, Pº de la Castellana, 149, 28046, Madrid, 91-4059350, 91-4059358, jose.luis.martin.trujillo@hewitt.com
MARTIN VELASCO
JOSE LUIS
373
MARTINEZ ALEGRIAS MARTINEZ L.
ALVARO
129
262
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MARTINEZ ALFONSO
JOSE ANTONIO
MARTINEZ ARCOS
GERMAN
1789 UNIVERSIDAD DE BURGOS, Profesor, Pza Infanta Elena, s/n, 09001, Burgos, 94-7258993, 94-7258013, martinc@ubu.es
178
MARTINEZ BLASCO
ERNESTO
3139
MARTINEZ BOIX
MIGUEL ANGEL
2411 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ, Profesor, Avda. Universidad, s/n, 03002 Elche, Alicante, 637108935, 966658614, mamartinez@umh.es
MARTINEZ CAL
ROSA
2174
MARTINEZ COCO
LUIS GONZALO
2266
MARTINEZ CRESPO
ENRIQUE J.
3128
MARTINEZ FERNANDEZ
FLORENCIO
MARTINEZ FEYJOO
JOSE ENRIQUE
1199
MARTINEZ GARCIA
Mª DEL MAR
1441 BERGÉ Y ASOCIADOS, CORREDURIA SEGUROS, Director Técnico, Antonio Maura, 4, 28014 Madrid, 91-7010911, 915216567, mmartinez@bergeyasociados.es
MARTINEZ GARCIA
CRISTINA
2569 CAMPOFRIO FOOD GROUP HOLDING, Corporate Risk Manager, Avda. Europa, 24, Parque Empresarial “La Moraleja”, Alcobendas (Madrid), +3491-4842700, cristina.martinez@campofriofg.com
MARTINEZ GIL
GEMA
2773
MARTINEZ GONZALEZ
JAVIER
1709
MARTINEZ GORRIZ
ANA PAZ
1701 CAJAMAR SEGUROS GENERALES, Responsable Técnico Seguros Generales, C/ Orense, 2, Madrid, 91-5244519, apmartinez@cajamarsegurosgenerales.es
149
MARTINEZ LEON
JOSE
MARTINEZ LLORENTE
VICTOR
3238
MARTINEZ LUCAS
PEDRO RUBEN
2541
MARTINEZ LUCENA
IGNACIO
3061
MARTINEZ MENENDEZ
MARIO
3257
MARTINEZ MORAL
Mª BEATRIZ
2521 MAPFRE ASITENCIA, Responsable Técnica, C/ Sor Ángela de la Cruz, 28020 Madrid, 91-5811196, mbeatri@mapfre.com
223
MARTINEZ MORENO
BEGOÑA
2182
MARTINEZ PARICIO
IRENE
3062
MARTINEZ PEREZ
SARA
3228
MARTINEZ RODRIGUEZ
JOSE LUIS
2220
MARTINEZ SIMON JIMENEZ
CARLOS
MARTINEZ-ACITORES PALACIOS
OSCAR
2420 CAJA DE BURGOS, Jefe de Compensación y Beneficios, Plaza de la Libertad, 09004, Burgos, 638900204, 94-7258148, omartinezacitores@cajadeburgos.es
MARTIN-GROMAZ DE TERAN
JAVIER
2660 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046 Madrid, 91-4233400, 914317821, martinj@willis.com
MARTIN-PALOMINO CASANOVA
BLANCA
2902 PASTOR VIDA, S.A., Actuario, Pº de Recoletos, 19, Planta 5ª, 28004, Madrid, 91-5249850, bmartinpc@bancopastor.es
MARTORELL AMENGUAL
VICENTE
MARTOS RUIPEREZ
DANIEL
2445
MASCARAQUE MONTAGUT
MANUEL
2318 UNESPA, Dtor. Área de Seguros Generales y Mediación, C/ Nuñez de Balboa, 101, 28006 Madrid, 91-7452174, 91-7451532, manuel.mascaraque@unespa.es
MASFERRER PAGES
JOSEP LLUIS
1191 BUCK CONSULTANTS / CONSULTORIA, Pº General Martínez Campos, 41, 28010 Madrid, 91-3102699, 91-3102697, jose-luis.masferrer@buckconsultants.com
MATA BUENO
MIGUEL ANGEL
1359
436
407
263
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MATA MORALES
JUAN CARLOS
1136
MATARRANZ CARPIZO
ANA
2034
MATEO QUINTANILLA
PABLO
2903 MUTUA DE RIESGOS MARITIMOS (MURIMAR) / SEGUROS, Director Financiero, C/ Orense, 58, 6º A-B, 28020 Madrid, 915971835, 91-5971813, contabilidad@murimar.com
MATEO VAZQUEZ
JAVIER
2695
MATEOS ALPUENTE
ALFONSO
840
MATEOS CRUZ
ANTONIO
654 MAPFRE VIDA, Dtor. Grandes Cuentas, Pº de las Delicias, 95-5ªA, 28045 Madrid, 91-5282195
MATEOS MORO
JOSE ANTONIO
1058
MATEOS RODRIGUEZ
Mª ELENA
2143
MATEOS TEJEDOR
ALEJANDRO
1766
MATHEU MARTIN
RAFAEL
2193 FRATERNIDAD-MUPRESPA, Estadísticas C/ San Agustín, 10, 28014 Madrid, 661066480, rafael.matheu@actuarios.org
MATHUR ANDA
BIMAL TERESA
3175
MATIAS MURIEL
Mª DEL PILAR
1376 ASEVAL, Subdirectora Técnica, Plza. Legión Española, 8, 1º, 46010 Valencia, 96-3875923, pilar.matias@gseguros.com
MAUDES GUTIERREZ
BEATRIZ
2366 MAPFRE RE, Suscriptora-Ramos Personas, Pº de Recoletos, 25, 28004, Madrid , 91-5813334, bmaudes@mapfre.com
MAYLIN SANZ
MIKEL
1855 SA NOSTRA SEGUROS, Alcalá, 28, 28014, Madrid, 639754895, mmaylins@seguros.sanostra.es
MAYORAL MARTINEZ
ROSA Mª
1820 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID, DPTO. ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD, Profesor Titular de Universidad, Avda. Valle Esgueva, 6, 47011 Valladolid, 983-423000 / ext. 4393, 983-183830, rmayoral@eco.uva.es
MAZA GARCIA
JOSEFA
MAZA GARCIA
M. PILAR
MAZAIRA CUADRILLERO
ADELA
1269 ARTAI, Directora de Vida y Pensiones, Avda. García Barbón, 48, 1º, 36201, Vigo, España, 98-6439600, 98-6439094,
431 432
MECO CARRIAZO
JOSE LUIS
2820
MECO DEL OLMO
ALICIA
2194 PERAITA & ASOCIADOS, S.L., Consultor, Avda. Pio XII, 57, 28016 Madrid, 91-3431133, alicia.meco@actuarios.org
MEDEL GONZALEZ
FERNANDO
MEDIAVILLA GARCIA
LEON
MEDINA LOPEZ
JOSE MANUEL
MEDINA LOPEZ
ANA
2927
MEDINA LOPEZ
AMALIA
3176
MEDINA PALACIOS
ALEJANDRO
3099 AON CONSULTING, Actuario/Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020 Guadalajara, 669624376, amedinap@aon.es
15 2904 EULER HERMES UK / CREDIT INSURANCE, Actuary / Statistician, 1 Canada Square, E14 SDX, London / UK, +442078602825, leon.mediavilla@eulerhermes.com 787 VIDA Y PENSIONES, Director, Pº de la Castellana 8, 28046 Madrid,
91-5761889, 91-5762205, j.medina@vypcp.com
MEDRANO MARTINEZ
ROBERTO
3204
MELCHOR HERRERA
Mª JESUS
1398
MELERO AMEIJIDE
FCO. JAVIER
1775
MENDEZ ESTEVEZ
CARLOS
1650
MENDEZ RODRIGUEZ
TERESA
1972 SCOR GLOBAL P&C SE IBERICA SUCURSAL, Actuario No vida y Suscripción Contratos, Pº de la Castellana, 135, 9ª Planta, 28046 Madrid, 91-7991944, 91-3517044, tmendez@scor.com
MENDEZ RUIZ
PILAR
1524
MENDIA CONDE
SUSANA
2164
264
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MENDIOLA BERRIOATEGORTUA
ENERITZ
2661
MENDOZA AGUILAR
ANDRES
1355
MENDOZA CASAS
ANTONIO
488
MENDOZA RESCO
CARMEN
1743
MENDOZA ROBLES
JAVIER
2662 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEG., S.A., Actuario, Edificio Pinar, Planta B, Avenida Cantabria, s/n, 28660 Boadilla del Monte (Madrid), 91-2899061, javmendoza@gruposantander.com
MENENDEZ CERREDO
Mª DEL PILAR
1575
MENENDEZ JEREZ
MIGUEL ANGEL
2145 MERCER / CONSULTORIA, Senior Associate, Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, 91-4568460, ma.menendez@mercer.com
MERICAECHEVARRIA GOMEZ
ISABEL
MERINO PALOMAR
ALBERTO
2287
MERINO PIMENTEL
BELEN
3100
MERINO RELLAN
PEDRO JOSE
1624
MERLO LOPEZ
MARIA CARMEN
3019
MESA IZQUIERDO
SALOME
2960
MESTRE VALLADARES
JOSE EULOGIO
MIELGO GUDE
PEDRO
2035
MILLA MARCHAL
ALBERTO
2833 BUCK CONSULTANTS, S.L., Consultor Actuario, C/ Luis Ruiz, 111, 10º D, 28017, Madrid, 637855032, alb200sx@hotmail.com
MILNER RESEL
AITOR
2543
MIÑARRO PORLAN
TRINIDAD
1068
MIRA CANDEL
FILOMENO
813
671
aitor.milner@actuarios.org
780 FUNDACION MAPFRE, Vicepresidente, Pº de Recoletos, 23, 28004 Madrid, 91-5811040, 91-5815340, fmira@mapfre.com
MIRANDA BENAVIDES
NORMA
MIRAZO SANCHEZ
M. CRISTINA
MOLINA COLLELL
FCO. JAVIER
1934 ZURICH VIDA, Actuario, Vía Augusta, 200, 08021 Barcelona, javier.molina@zurich.com
MOLINA LORENTE
MARTA
3216
MOLINA PLAZA
ADOLFO
1996
MOLINA RUIZ
SERGIO
3248 Madrid
MOLINERO BALSEIRO
ANGEL Mª
2070
MONJE OSUNA
JOSE IGNACIO
MONJO VILLALBA
JUAN MIGUEL
2837 WATSON WYAT / CONSULTORIA, Consultor Senior, Mª de Molina, 54, 7º, 28006 Madrid, 91-3101088, 91-7612677, juan.miguel.monjo@watsonwyatt.com
MONTALVO RAMIREZ
JOAQUIN
2561 Bankinter SEGUROS DE VIDA, Director Técnico, C/ Alonso Cano, 85, 3º D, 28003 Madrid, 647990278, jmontalvo@bankinter.es
MONTAÑES NAVARRO
JOSE
MONTERDE ARRANZ
ALVARO
2199
MONTERO ALFEREZ
ALEJANDRO
3043 ALTAE (BANCO PRIVADO), Técnico Control Interno, Pº San Francisco de Sales, 10, 28003, Madrid, amontera@cajamadrid.es 2249
2882 318
805
895
MONTERO HERNANDEZ
Mª NIEVES
MONTERO LEBRERO
PEDRO
MONTERO REDONDO
FERNANDO
2663
MONTES FUCHS
ANTONIO
2026 ERGO VIDA, Actuario de Seguros, C/ Concha Espina, 63, 28016 Madrid, 91-4565651, antonio.montes@ergogenerales.es
447
265
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MONZON RAMOS
ROBERTO
3031
MORA BARRANTES
MARIA
3190 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903009, maria.mora@towersperrin.com 1466
MORA GARCIA
MIGUEL ANGEL
MORAL SANTAMARIA
ALFONSO
MORALEDA AVILA
M. VICTORIA
1127
MORALEDA NAVARRO
FRANCISCO
1175
MORALES BLANCO
JOSE ALBERTO
3217
MORALES GARCIA
Mª CARMEN
2785 L.E.K. CONSULTING, 40 Grosvenor Place, London SW1X 7JL, UK,
+442073897368, +44207389440
970 alfonso.moral@actuarios.org
MORALES HERRANZ
FERNANDO
2821
MORALES MARTIN
MIGUEL ANGEL
2347
MORALES MEDIANO
PABLO LUIS
2577 SOUTHERN ROCK INSURANCE CO. LTD, Pricing and Actuarial Director, 1, Corral Road, Gibraltar, +44(0)1454636815, pablo.morales@sricl.com
MORAN SANTOS
JAVIER
1210
MORANTE PEREZ
Mª ESPERANZA
3244
MORATAL OLIVER
VICENTE
MORATO LARA
JUAN CARLOS
1463 BBVA, SA. 91-3746177, jcarlos.morato@grupobbva.com
MORCILLO CORDERO
ALEXANDRA
2492
MORCILLO PAREJO
FRANCISCO J.
2544
MORE CIMIANO
JOSE MARIA
MORE ROCA
DAVID
2822 SANTALUCIA SEGUROS, Actuario Departamento Técnico,
649352972, davidmoreroca@hotmail.com
853
786
MORENO ADALID
LAURA
2594
MORENO AMEIGENDA
MARCOS
2413 ATLANTIS ASESORES, Actuario, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, 609150099, mam@atlantis-seguros.es
MORENO CARMONA
EVA MARIA
2553 ADMIRAL GROUP, Jefe Departamentos Underwriting y Productos Complementarios, C/ Albert Einstein, s/n, Edif Insur Cartuja, 41092 Sevilla, eva.moreno@actuarios.org
MORENO CARRILLO
PALOMA
1511 MUSAAT, MUTUA DE SEGUROS A PRIMA FIJA, Responsable de Auditoria Interna, C/ Jazmín, 66, 28033 Madrid, 91-3841122, 91-3841173, pmoreno@musaat.es
MORENO CORDERO
Mª ANGELES
2071 PRICEWATERHOUSECOOPERS / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Gerente, Castellana, 53, 28046 Madrid, 91-6585750, 91-5685838, mariam.moreno.cordero@es.pvc.com
MORENO EXPOSITO
ADOLFO
2962 ATLANTIS ASESORES, S.L. (CONSULTORIA ACTUARIAL), Actuario Previsión Social, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid,
91-3835224, 91-3080491, amx@atlantis-seguros.es
MORENO FERNANDEZ
CRISTINA
2982
MORENO FERRER
JAIME ALBERTO
MORENO GONZALEZ
JOSE ANTONIO
MORENO HERAS
ENRIQUE A.
MORENO MOLERO
Mª DOLORES
2319 PREVISION SANITARIA NACIONAL, Drectora Técnica, C/ Villanueva, 11, 27001 Madrid
MORENO MURILLO
ANGELES
2009
MORENO RUBIO
SILVIA
2582
MORENO RUIZ
RAFAEL
2118 UNIVERSIDAD DE MALAGA, Profesor Titular, C/ Pinosol, 7, 4º, B4, 29012 Málaga, 95-2131339, rafael.moreno@actuarios.org
887 CASER, Dtor. Colectivos de Vida, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, 91-2146084, jaime.moreno@caser.es 1843 752
266
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
MORENO URRUTICOECHEA
CRISTINA
1209
MORENO VERA
PEDRO
2938
MORERA NAVARRO
JOSE
2151 EUROVIDA, S.A. / EUROPENSIONES, S.A., Director Técnico, C/ María de Molina, 34, 28006, Madrid, 91-4364722, 91-4360263, jmorera@bancopopular.es
MORIÑIGO ALONSO
FRANCISCO J.
3077
MORO PASCUAL
ISABEL
2883 UBS Investment Bank, Associate, C/ Maria de Molina, 4, 28006 Madrid, 91-4369043, 91-4369040, isabel.moro@ubs.com
MORQUECHO ARES
BENITO
2884
MOYA REBATE
LUIS CARLOS
2481 TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid
MUNK
DIANA VALERIA
2997
MUÑOZ FENTE
ALFONSO
2697
MUÑOZ GARCIA
PEDRO
1294
MUÑOZ GOMEZ
ANA ISABEL
2391
MUÑOZ ITURRALDE
JOSE M.
MUÑOZ LOPEZ
JAVIER
MUÑOZ MURGUI
FRANCISCO
pedro.moreno@actuarios.org
91-3405655, amunozgo@aon.es
61 2465 GROUPAMA SEGUROS, Dtor. División Estudios Actuariales Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, 91-2962430, javier.munoz@groupama.es 896 DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y ACTUARIAL, Profesor Facultad de Economía, Campus dels Tarongers, s/n, 46022 Valencia, 96-3828369, munozm@uv.es
MUÑOZ OSUNA
JOSE JOAQUIN
MUÑOZ REOYO
M. CRISTINA
NADAL DE DIOS
RAMON
1381 CASER SEGUROS, Dtor. Técnico Seguros Generales, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, 91-5955053, 915955036, rnadal@actuarios.org
2289 763
NASSARRE BIELSA
Mª CARMEN
2010
NAVACERRADA COLADO
FRANCISCO
3121 GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Analista Estudios Actuariales, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid 91-5899292, 91-4298921, fran.navacerrada@groupama.es
NAVARRETE ROJAS
JORGE
3032 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Pº de la Castellana, 43, 28046 Madrid, 690239011, jorge.navarrete.rojas@es.pwc.com
NAVARRO ALONSO
JOSE MANUEL
1818 ALLIANZ SEGUROS, Gestión Activo/ Pasivo, C/ César Manrique, 34, 2ºA, 28035, 676496899, josemanuel.navarro@allianz.es
NAVARRO BAS
Mª ANGELES
2120
NAVARRO MARTINEZ
LUIS
NAVARRO MIGUEL
JAVIER
1235
NAVARRO ORTEGA
OSCAR
2015
NAVAS ALEJO
CARLOS J.
2606 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ DE ELCHE, Profesor de Departamento de Estudios Económicos y Financieros, Avda. de la Universidad, s/n, Edif. La Galia, Despacho 19, 03202, Elche, Alicante, 96-6658916, cjnavas@umh.es
NAVAS LANCHAS
RAFAEL
1261 MUTUALIDAD GENERAL DE LA ABOGACIA, Subdirector General, C/ Serrano, 9, 28001 Madrid, 91-4352486, rafael.navas@mutualidadabogacia.com
438
NIELSEN NIELSEN
KARINA METTE
2320
NIETO CARBAJOSA
FCO. JAVIER
2618
NIETO DE ALBA
UBALDO
NIETO GALLEGO
DIEGO
253 2885
267
A.M.A. AGRUPACION MUTUA ASEGURADORA, Director Técnico Actuarial, Santa María Magdalena, 15, 28016 Madrid, 91-3434700, 91-3434748, oscar.navarro@actuarios.org
karina.nielsen@actuarios.org
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
NIETO RANERO
ARMANDO M.
2786
NIETO VARELA
EVA
2210 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Project Manager, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, 91-2971729, eva.nieto@aviva.es
NIETO-MARQUEZ HERNANDEZ-FRAN
JAIME
2109
NOTARIO CALVO
Mª FELICIDAD
2471
NOVELLA ARRIBAS
CRISTINA
1893
NOVOA CONTRERAS
DAVID
2556 MERCER, Associate, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid,
91-4569438, 91-3449133, david.novoa@mercer.com
NUEZ IBAÑEZ
ANGEL
NUÑEZ ALCAZAR
BENITO
2493
OLID MELERO
Mª DOLORES
2011
OLIVAN UBIETO
ALICIA
2503 CAI VIDA Y PENSIONES, Actuario, Pº Isabel la Católica, 6, 2ª planta, 50009 Zaragoza, 97-6718939, aolivan@cai.es
OLIVARES HERRAIZ
ELENA
2595 CAJA DE SOCORROS, INST. POL. MPS. A PRIMA FIJA, Actuario, C/ Espoz y Mina, 2-1º, 28012 Madrid, 91-5318495, eolivares_cajasocorro@telefonica.net
OLIVER RABOSO
JULIAN CARLOS
OLIVER YEBENES
MONICA
OLIVERA POLL
MIGUEL ANGEL
OLMEDO ANDUEZA
FRANCISCO
2886
OLONA DELGADO
MARTA MARIA
2743 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultora, Pº de la Castellana, 141, Edif. Cuzco IV, 28046, Madrid, 91-7893470, 91-7893471, marta.olona@milliman.com
815
909 UNVIERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS, Profesor, C/ Joaquín María López, 25, 28015 Madrid, 667774862, 91-2312814, julian@joliver.es 2175 858
ONCALADA MORO
BLANCA ISABEL
3101
OREFICE PAREJA
VANESA
3180
OREJA GUEVARA
EDUARDO
2111 SOCIEDAD MEDIADORA OREJA CORREDURIA DE SEGUROS, S.L. Gerente, C/ María Tubau, 15, Portal F, 1º 5º 28050 Madrid,
91-3588968, 91-3588634, eduardooreja@segurosoreja.com
ORELLANA PAREDES
JULIO
2987 CAJASUR ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, Jefe del Dpto. de Suscripción, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910, Benamejí, Córdoba, 654834816, jhuli5@hotmail.com
ORELLANA PAREDES
MARIA TERESA
3008 CAJASUR, ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A Jefa Servicio Actuarial, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910 BenamejíCórdoba, 654834736, teresa_orellana_paredes@hotmail.com
ORTEGA GUTIERREZ
JUAN
1683
ORTEGA LOPEZ
DIEGO JOSE
1829
ORTEGA RECIO
CARMEN BELEN
1961 OPTIMA SERVICIOS FINANCIEROS, S.L., C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001, Madrid, 91-7819754, c.ortega@optimasf.com
ORTEGA RODRIGUEZ
Mª DEL PILAR
1457 MONDIAL ASSISTANCE, Directora Área Técnica y Actuarial, Edificio Delta Norte, 3, Avda de Manoteras, 46, Bis, 28050, Madrid,
91-3255416, pilar.ortega@mondial-assistance.es
ORTIZ ALEIXANDRE
Mª NADIA
2857 EON ESPAÑA, C/ Medio, 12, 39003, Santander, nadia.ortiz@eon.com
jortegut@telefonica.net
ORTIZ GARCIA
JUAN LUIS
2362
ORTIZ MERINO
PEDRO CARLOS
2290 ALICO WEALTH MANAGEMENT, International Product Actuary, 22 Addiscombe Road, CR 9 5AZ, Croydon-United Kingdom, +44 (0) 2086806000, pedro.ortiz@alico.com
ORTUÑO BORRAS
JUAN F.
ORZA RODRIGUEZ
ANA CLAUDIA
389 2751 WATSON WYATT INSURANCE CONSULTING, Consultor Senior, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006 Madrid, 670402099, ana.claudia.orza@watsonwyatt.com
268
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
OSACAR IBERO
PEDRO MARIA
1962
OSES FERNANDEZ
ALFONSO
2460 VIDACAIXA PREVISION SOCIAL, Actuario, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, 91-4326848, aoses@caifor.es
OTERO OTERO
ALVARO JOSE
3086
PADILLA CLAROS
JUAN DANIEL
2487
PAJARES GARCIA
VERONICA
3239
PALACIO RUIZ DE AZAGRA
JOAQUIN
PAMPIN ARTIME
M. VICTORIA
PAMPOLS SOLSONA
FRANCESC X.
2845 PAMPOLS SA, Adjunto Gerencia, Avda. Lleida, 13, 25137 Corbins,
629982626, 97-3190609, francesc.pampols@papols.es
PARADA HERNANDEZ
JUAN ANDRES
3156 LIBERTY SEGUROS, Actuario-Área Técnica Productos Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, juan.parada@libertyseguros.es
MAPFRE EMPRESAS, Actuario, 91-5811953, vpgarci@mapfre.com
865 992
PARRA ASPERILLA
SILVIA
2414
PARRA CRESPO
ANA
3107
PARRA MARTIN
FCO. JAVIER
2963
PARRA ZAMORANO
SERGIO
2363
PARRAGA GONZALEZ
AITANA
2480
PASCUAL COCA
BLANCA
310
PASCUAL DE SANDE
M. PILAR
1203
PASCUAL GIL
RAFAEL
PASCUAL LOSCOS
ARTURO
PASCUAL SAN MARTIN
MARTIN
3148
PASCUAL VELAZQUEZ
CARLOS
1665 MUTUA MADRILEÑA, SOCIEDAD DE SEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, 91-5922889, 91-3084241, cpascual@mutua-mad.es
340 860
PASTOR BERNAL
JOSE M.
PASTOR INFANTES
ELISABEL
2875
PATRON GARCIA
RICARDO
164
560
PAVON BAHON
MARIA TERESA
PAVON BAUTISTA
MERCEDES
PEDRERO ARISTIZABAL
MARTA
2799
PEDROSA SANTAMARIA
RAQUEL
2427 MÜNCHENER RÜCK, Suscriptora de Vida, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, 91-4260671, rpedrosa@munichre.com
PEÑA BAUTISTA
Mª CARMEN
2619 UNIÓN DUERO VIDA, Actuario, C/ María de Molina, 13, 47001 Valladolid, 98-3421831, carmen.pena@unionduero.es
PEÑA SANCHEZ
BENIGNA
PEÑA SANCHEZ
INMACULADA
2572 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, 91-5812188, ipenasa@mapfre.com
PEÑALVER MAYO
SONIA
2025 CIGNA LIFE INSURANCE, Actuaria Senior, Pº del Club Deportivo, 1, Edif. 14, Planta Baja, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, 914184924, 91-4184938, sonia.penalver@cigna.com
PEÑAS BLAZQUEZ
DAVID
2472 LIBERTY SEGUROS, Responsable Área Estadística No Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, david.penas@libertyseguros.es
PERAITA HUERTA
MANUEL
PEREA LOPEZ
RAQUEL
PEREDA SAEZ
LUIS
3104 944
221
457 PERAITA Y ASOCIADOS, Avda. Pío XII, 57, 28016 Madrid, 913431133, 91-3593537, manuelperaita@actuarios.org 2335 251
269
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
PERELLO MIRON
JESUS
1364 ASISA, Actuario, C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 10, 28027, Madrid,
91-5957510, jperello@asisa.es
PEREZ ABAD
DANIEL
2415
PEREZ AYUSO
ANA Mª
1988
PEREZ CALDERON
RAQUEL
2292
PEREZ CAMPOS
ALFONSO
1060
PEREZ CARRASCO
ANTONIO
1039
PEREZ CASTAÑARES
PALOMA
3160
PEREZ CUELLOS
Mª FLORENTINA
2838 WATSON WYATT ESPAÑA, Consultor, C/María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006 Madrid, 91-3101088, 91-7612677, flor.perez@watsonwyatt.com
PEREZ DE CIRIZA PEREZ DE LABOR
GUILLERMO
2336
PEREZ DE LAS HERAS
JESUS
1072
PEREZ DE QUESADA LOPEZ
ALFREDO
683
PEREZ DOMINGO
M. REYES
892 UNIVERSITAT BARCELONA, Profesor Titular, C/ Bailén, 21, 08010 Barcelona, 93-2448980, mrperez@ub.edu fidias@actuarios.org
PEREZ FRUCTUOSO
Mª JOSÉ
2573
PEREZ GARCIA
MªCONCEPCION
2839
PEREZ GRANADOS
JORGE DANIEL
2825
PEREZ GÜEMEZ
FERNANDO
2679
PEREZ HERRERA DELGADO
ANGEL LUIS
53
PEREZ JAIME
VICENTE JOSE
PEREZ JAIME
MIGUEL
PEREZ JIMENEZ
JOSE M.
PEREZ JIMENEZ
RAMON JOSE
2787
PEREZ MENDOZA
MARTA
2297
PEREZ MOLINA
PEDRO M.
1913 CAI VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Pº Isabel la Católica, 6-2ª Planta, 50009 Zaragoza, 976-718991, 976-718993 pperez@seguros.cai.es
PEREZ MUÑOZ
FCO. ANTONIO
2584 SEGUROS EL CORTE INGLES, Actuario, 628783598, franciscoperez@seguroseci.es
PEREZ NEVADO
JOSE L.
2607
PEREZ PEREZ
JESUS
2268 ACTUARIOS Y SERVICIOS FINANCIEROS, SL, Consultor, C/ Peñalara, 3 bloque 2, piso 2º, 28224 Pozuelo de Alarcón, jp.perez@telefonica.net
PEREZ PEREZ
ANA BELEN
3202
PEREZ REDONDO
JUAN JOSE
2494
PEREZ RODRIGUEZ
OSCAR
2073
PEREZ TRIPIANA
SALVADOR
1281 PELAYO, MUTUA DE SEGUROS, Director Profesionales y Empresas, C/ Santa Engracia, 67-69, 28010, Madrid, 915922002, sperez@pelayo.com
PEREZ-BAHON MARTIN
ALVARO
2698 MAPFRE EMPRESAS, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5818308, perezba@mapfre.com 2466
PERIBAÑEZ AYALA
FERNANDO
PERROTE RICO
LUIS ANTONIO
PESCADOR CASTRILLO
M. DOLORES
PESQUERA MORON
FCO. JAVIER
648 FRONT&QUERY S.L. Socio, Pº Castellana, 155 2ºD 28046 Madrid, vicente.perez.jaime@frontquery.com 1801 851
69 826 2721 BANCAJA, Director Oficina, C/ Pintor Gisbert, 5, 03005 Alicante,
965-921658, 965-131302, fpesquera@bcj.qbancaja.com
270
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
PICAZO SOTOS
JOAQUIN
2036
PICHARDO RUSIÑOL
ESTHER
2545
PILAN CANOREA
OVIDIO
2752
PINILLA DE LA GUIA
Mª PAZ
1600 AVIVA, Head of Regulatory Economic Capital, ST Helen´s, 1, EC3P 3DQ London
PIÑEIRO OUTEIRAL
RUBEN DAVID
2608
PLASENCIA RODILLA
ANA BELEN
2699
PLAZA MAYOR
PABLO
PLAZA VELASCO
ANA
3143
POBLACIONES BUENO
LUIS
489
POMAR FERNANDEZ
M. CARMEN
346
POMARES PUERTO
M. CARMEN
3171
PONS-SOROLLA BELMONTE
HELIO
3191 HCC EUROPE, Actuario, C/ Chile, 8, Ed. Azasol, Planta 1, 28290 Las Rozas (Madrid), 91-5560888, hpons@hcceurope.com
PORRAS DEL CORRAL
FRANCISCO J.
PORRAS RODRIGUEZ
ANTONIO
PORTILLA ACEVEDO
JORGE
2665
PORTILLO NAVARRO
MANUEL JESUS
2446 MAZARS AUDITORES/ AUDITORIA, Gerente, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, 915624030, mportillo@mazars.es
PORTUGAL GARCIA
IZASKUN
2321 LINEA DIRECTA ASEGURADORA / SEGUROS, Responsable Suscripción Hogar, C/ Isaac Newton, 9, PTM, 28760, Tres Cantos Madrid, 91-8054236, ldaipg@lineadirecta.es
POVEDA MINGUEZ
INMACULADA
POZUELO DE GRACIA
EMILIANO
2313 CAJASUR, Jefe de Gestión de la Liquidez, Avda. Gran Capitán, 1113, 14008 Córdoba, 957-210574, 957-210974, emiliano.pozuelo-de@cajasur.es
PRADA GARCIA
Mª ANGELES
3094
PRECIOSO GARCIA
CRISTINA PILAR
2400
PRIETO COBO
Mª DEL ROCIO
1929
PRIETO GIBELLO
FERNANDO
1795
PRIETO MONTES
LAURA
2433
PRIETO PEREZ
EUGENIO
PRIETO REAL
GEMA
2461
PRIETO RODRIGUEZ
ENRIQUE
3181 IMA IBERICA/ SEGUIROS DE ASISTENCIA, Actuario, C/ Silvano, 55, 28043 Madrid, 91-3434963, enrique.prieto@imaiberica.es
PRIETO RODRIGUEZ
CARLOS
3229 DELOITTE/CONSULTORIA ACTUARIAL, Consultor Senior, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, 28020 Madrid, 91-5145000, 91-5145180, caprieto@deloitte.es
PRIETO SEGURA
FERNANDO
1839 GABINETE FINANCIERO DEL PROFESOR DR. EUGENIO PRIETO PEREZ, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), 91638.40.85, 91-638.40.85, fprietosegura@terra.es
PRIMO MEDINA
CARLOS
PRO GONZALEZ
JESUS MANUEL
2666
PROVENZA GARCIA-SUAREZ
JORGE
1890
PUCHE DE LA HORRA
J. GABRIEL
PUENTE MENDEZ
ALBERTO
983 TOWERS PERRIN, Director, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903009, pablo.plaza.mayor@towersperrin.com
418 326
687
176 GABINETE FINANCIERO DEL PROF. DR. EUGENIO PRIETO, Presidente, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), 91638.40.85, 91-638.40.85, eprietop@terra.es
113
979 TOWERS PERRIN, Senior Consultant, Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903035, josegabriel.puche@towersperrin.com 1547
271
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
PUERTA BARROCAL
Mª CATALINA
2350 SANTANDER SEGUROS, Actuario Vida, catypuerta@gmail.com
PUERTAS PEDROSA
JOSE ANTONIO
1784
PUGA FERNANDEZ
JUAN
586
PUIG DEVLOO
JUAN
2737
PULIDO LEBRON
DAVID
2524 HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, 91-3834700, 91-3834701, david.pulido@hna.es
PULIDO PAREJO
RICARDO
2155 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, 914059350, 91-4059358, ricardo.pulido@hewitt.com 2123
PULIDO RODRIGUEZ
ALEJANDRO
QUERO PABON
CARLOS A.
966
QUESADA SANCHEZ
FCO. JAVIER
599 Universidad Castilla la Mancha, Catedrático Univ., Pza. Conde del Valle de Suchil, 4, 28015 Madrid, 630067747, 91-4474087, javier.quesada@actuarios.org
QUETGLAS RUIZ DE ALEGRIA
SANDRA
2296
QUILIS ISERTE
LUIS ENRIQUE
3130
QUINTANA DE LA OSA
JAVIER
2858
QUINTANA GONZALEZ
JOSE JUAN
1241
QUIÑONES LOZANO
FAUSTINO
2165
QUIROGA NARRO
SIXTO ABEL
RABADAN ATIENZA
MIREYA P.
2667
RAMI PEREZ
CARLOS RAUL
2299 UNESPA, Dtor. de Asesoría Actuarial y Financiera, C/ Núñez de Balboa, 101, 28006 Madrid, 917452179, 917451531, carlos.rami@unespa.es
RAMIREZ ESPEJO
MARIO
2043
RAMIREZ GARCIA
CARLOS
1109
RAMIREZ PEREZ
FERNANDO I.
RAMIREZ PEREZ
Mª CRUZ
1509 UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, Personal Docente e Investigador, Pº de los Artilleros, s/n, Vicálvaro, 28032 Madrid,
91-4888005, cruz.ramirez@urjc.es
RAMIREZ TORRES
JOSE F.
2428 SUIZA RE EUROPE, SUCURSAL EN ESPAÑA, Marketing Actuary, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046 Madrid, 91-5982356, 91-5981779, josefrancisco_ramirez@swissre.com
RAMIRO MORENO
MARIA DEL PILAR
3230 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Auditor Senior de Seguros,
609482919, pramiro.moreno@gmail.com
312
564 SCOR GLOBAL LIFE, 701 Brickell Ave. Suite 1270, 33131, Miami, iramirez@scor.com
RAMON GUTIERREZ
LUISA MARIA
1021
RAMOS ARRISCADO
DANIEL
2800 COMUNIDAD DE MADRID, Administrativo Gestión Económica, daniel.ramos@madrid.org
RAMPEREZ BUTRON
RAQUEL
3231 PURISIMA CONCEPCION MPS / SEGUROS, Augusto Figueroa, 3, 1º, 28004 Madrid, 91-5215483, raquel.ramperez@purisimamps.es
RANZ ALDEANUEVA
SANTIAGO
2482 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046, Madrid, 679194913, sranz@willis.com
RANZ RICO
MARIA
3232 GESINCA CONSULTORA (CASER), Consultora Actuarial, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, 91-2146625, mranzrico@caser.es
REAL CAMPOS
SERGIO
2104 MAPFRE FAMILIAR, Dirección de Información Analítica de negocio (Business Analitys), Carretera de Pozuelo a Majadahonda, 50, 28220 Madrid, srealca@mapfre.com
RECIO GARCIA
NOELIA
2668
RECIO MANCEBO
ELENA
2735
RECIO ORTAL
PEDRO LUIS
2322
272
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
REDOMERO HERREROS
MIGUEL ANGEL
3088
REDONDO HERNANDEZ
Mª ANGELICA
2241 SCOR, Jefe de Reservas No Vida, Control de Riesgos Grupo, Inmueble SCOR, 1, Av. Du General de Gaulle, 92074, Paris-La Defense, +33(0)146987233, aredondo@scor.com
REDONDO MARTIN
ARANZAZU
2788 SANITAS, S.A. DE SEGUROS, Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid,
91-5852486, aredondo@sanitas.es
REDONDO POLLO
PATRICIA
3192 ING NATIONALE NEDERLANDEN SPAIN, Actuario, Avda. Bruselas, 16, 28108 Alcobendas, 91-6026139, p_redondop@yahoo.es
REINA GARCIA
SUSANA
2018
REINA MARIN
JOAQUIN
2722 GRUPO AGBAR, Responsable Administrador y Finanzas, C/ Alona, 31, 03008 Alicante, 96-5106352, joaquin.reina@emarasa.es
REINA PROCOPIO
FRANCISCO
RENESES ASENJO
ENRIQUE
1342 INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, 902199670 91-4133950, info@ingesac.com
REQUEJO PERELA
OSCAR
3009 LA ESTRELLA / SEGUROS, Actuario de Reaseguro, C/ Orense, 2, 28028, Madrid, 91-3301452, orequejo@laestrella.es
REQUENA CABEZUELO
PILAR
1677
REVUELTA MATEO
SUSANA
2037
REY GAYO
ALFREDO
1848
RIBAGORDA FERNANDEZ
NURIA
1878
RIBAGORDA FERNANDEZ
JUDITH ADELA
2152
RICO ALBERT
VICENTE
2523
RICOTE GIL
FERNANDO
RIEGO MIEDES
ENRIQUE
3168 LIBERTY SEGUROS, Actuario-Departamento Actuarial No Vida, Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900 - Ext.975, enrique.riego@libertyseguros.es
150
753
RINCON GALLEGO
Mª ISABEL
2242
RIO ESTEBAN
YOLANDA
2502 AEGON, Actuaria, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid,
91-3432857, rio.yolanda@aegon.es
RIOJA GONZALO
JESUS MARIA
1032 SEGUROS MERCURIO, S.A., Director Financiero, C/ Alfonso Gómez, 45, 28037 Madrid, 91-3409030, 91-3409113, jesus.rioja@actuarios.org
RIVAS GONZALEZ
DIEGO
3021
RIVAS GOZALO
JAVIER
2307 SWISS RE, Director – Strucutred Life Reinsurance, Mithenquai, 5060, 8022, Zurich, Suiza, +41432856250, javier_rivas@swissre.com
RIVAS SANCHEZ
CRISTINA
2851 WILLIS, CORREDURIA DE SEGUROS, Ejecutivo Senior de Cuentas, Avda Diego Martínez Barrios, 4, Edificio Viapol Center, 41013 Sevilla, 954-658253, cristina.rivas@willis.com
RIVERA COLOMBO
SARA
2214 WATSON WYATT, Consultor Senior, C/ María de Molina, 54, pl. 7ª, 28006, Madrid, 627590365, 91-7612677, sara.rivera@watsonwyatt.com
RIVERA SERRANO
ANA Mª
3185
RIVERO NIETO
CRISTINA
2998 AXA, Responsable de Estudios Estadísticos Oferta Auto, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, +34-91-5388711, cristina.rivero@axa.es
RIZO FERNANDEZ
JOAQUIN
ROBLEDA HERNANDEZ
SERGIO
3144 AXA, L&S Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, 647538324, sergio.robleda@axa.es
ROBLEDILLO MARTIN
JOSE
1326 SANITAS , S.A. DE SEGUROS, C/ Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid, 91-5855817, jrobledillo@sanitas.es
699 ESPAÑA, SA. COMPAÑIA NACIONAL DE SEGUROS, Secretario General y Dtor. Financiero, Príncipe. de Vergara, 38, 28001 Madrid,
91-4355980, 91-4314095, jrf@espanasa.com
273
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
ROBLES ESTEBAN
FCO. JAVIER
RODENAS CASAS
MANUEL
270
RODRIGO BARCI
ANDRES
2294
RODRIGO BORJA
GONZALO J.
2222
RODRIGO VIGIL
ROSARIO
RODRIGUEZ ALVAREZ
LAURA
3205
RODRIGUEZ BURRIEZA
DAVID
2126 AVIVA, Fco. Silvela, 106, 6º A, 28002 Madrid, 91-2971752, david.rodriguez@aviva.es
RODRIGUEZ DE CELIS
DIEGO FERNANDO
3196
RODRIGUEZ DE DIEGO
JOSE
RODRIGUEZ DIAZ
GONZALO
3044
RODRIGUEZ GARCIA
BARBARA
2835
RODRIGUEZ GARCIA RENDUELES
MANUEL
1130
RODRIGUEZ GOMEZ
ISABEL
3233
RODRIGUEZ GONZALEZ
LUIS
RODRIGUEZ GONZALEZ
JOSE CARLOS
1951 PATRIA HISPANA, S.A. / SEGUROS, Responsable Dpto. Automóviles, C/ Serrano, 12, 28001 Madrid, 91-5664005, 915767521, siniauto@patriahispana.com 2196
816
721
382
605
RODRIGUEZ GONZALEZ
MARIA DE LA O
RODRIGUEZ HERMIDA
JULIO HIPOLITO
RODRIGUEZ MACHO
NURIA
RODRIGUEZ MERINERO
TEOFILO
578
RODRIGUEZ OCAÑA
PEDRO M.
531 HEALTH CLINIC CONSULTANTS, S.L., CONSULTORA SANITARIA, Socio Gerente, C/ príncipe de Vergara, 9, 4º D, 28001 Madrid, 91-7818235, 91-7818236, hcc1@hcc.es
RODRIGUEZ PALMA
M. JESUS
RODRIGUEZ PASCUAL
RAQUEL
RODRIGUEZ PEREZ
FCO. CARMELO
RODRIGUEZ ROZA
MARIA INES
3022
RODRIGUEZ SANCHEZ
SANTIAGO
1189
RODRIGUEZ VICENTE
SANTIAGO
623
481 2478
701 2974 712
RODRIGUEZ VILLAREJO
MANUEL
RODRIGUEZ-ARIAS BERNALDEZ
PILAR
RODRIGUEZ-PARDO DEL CASTILLO
JOSE MIGUEL
RODRIGUEZ-RICO ROJAS
MARTA
2243
ROJAS GONZALEZ
CRISTINA
2929 UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS, S.A.), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760, Tres Cantos, 91-5947762, cristina_rojas@race.es
ROJO CABALLERO
CARMEN MARIA
3220
ROLDAN GARCIA
M. JESUS
ROMAN ALONSO
JOSE JAVIER
ROMAN ARRIBAS
MONICA
1898
ROMAN DIEZ
SANTIAGO
2669
ROMAN MARTIN
JESUS MANUEL
2552 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Subdirector Actuarial, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, 91-2971733,
81 2914 SCOR / REASEGURO, Senior Financial Analyst, C/ General Guisan Quai, 26, 8022, Zurich (Suiza), 0041-446399507, 0041446397507, prodriguez@scor.com 800
968 CNP VIDA, C/ Ochandiano, 10, Pta. 2, El Plantío, 28023 Madrid,
91-5243400, 91-5243401, mariajesus.roldan@cnpvida.es 930
274
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES jm.roman@aviva.es
ROMERA IGEA
SANTIAGO
1948 AREA XXI / SEGUROS, Socio Director, C/ Ayala, 11, 28001 Madrid, 649260484, 91-4263869, sromera@area-xxi.com
ROMERO ESPUIG
MARIA BEATRIZ
2789 BBVA, C/ Juan de Valero, 3, 12450, Jérica (Castellón), 964129316, 963-616288, beatriz.romero@grupobbva.com
ROMERO ESTESO
GERARDO
1439 CASER / SEGUROS, Dtor. General Adjunto, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, 91-2146821, 91-2018894, gromero@caser.es
ROMERO GAGO
ALBERTO
1193 CONFEDERACION ESPAÑOLA DE MUTUALIDADES, Director Gerente, C/ Santa Engracia, 6, 2º Izq. 28010 Madrid, 913195690, 91-3196128, alb.romero@m3d.net
ROMERO GARCIA
MIGUEL ANGEL
ROMERO MORENO
MARTA MARIA
ROYO BURILLO
JOAQUIN
ROYO GARCIA
BEATRIZ
ROYO MORENO
JESUS
409 2416 AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid,
91-3405568, 91-3405883, mromerom@gyc.es 80 3113 Caja Madrid, Comercial, Plaza Mayor, 13, 19001 Guadalajara,
94-9247048, 660004928, broyogar@cajamadrid.es 675 CAJA CASTILLA LA MANCHA, CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Director, C/ Paris, 2, 45003 Toledo, 902194977, 925213003, jroyom@ccm.es
RUBIO VALRIBERAS
DAVID
2038
RUBIO BARRAGAN
ANA ISABEL
2826
RUBIO MOLERO
RAQUEL
1744
RUBIO MUÑOZ
KATIA
2127
RUBIO RODRIGUEZ
ROBERTO
2089
RUBIO RODRIGUEZ
CAROLINA
2801
RUEDA GARCIA PANDO
JAVIER
1553
RUEDA PEREZ
MIGUEL ANGEL
2211 PELAYO MUTUA DE SEGUROS, Director Postventa Diversos, C/ Rufino González, 23, 4ª Planta, 28037, Madrid, 91-5929560, 91-3750942, marueda@pelayo.com
RUIZ APODACA BANS
MIGUEL ANGEL
RUIZ BUTRAGUEÑO
CARLOS
3206
RUIZ CAMACHO
RAFAEL
1627
RUIZ DE ARBULO GUBIA
IZASKUN
3157
RUIZ DE LA CRUZ
CARMEN
RUIZ DEL MORAL LIZUNDIA
JAVIER
1077 SUIZA DE REASEGUROS, Director de Mercado-Vida y Salud, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046 Madrid, 91-5981726, 91-5981779, javier_ruizdelmoral@swissre.com
RUIZ GONZALEZ
ESTHER
2827 FUNDACION MAPFRE, Subdirectora Cumes, Monte del Pilar s/n, 28023, Madrid, 91-5816674, eruiz@mapfre.com
RUIZ MARTIN
ENRIQUE
1221 BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, Director General, C/ Mateo Inurria, 15, 28036 Madrid, 91-3362257, 91-3361776, enrique.ruiz.martin@barclays.com
448
877 BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario Asociado, C/ Marqués de la Ensenada, 14, Oficina 23, 28004 Madrid, 91-3080019, 913081082, carmen.ruiz@benedictoyasociados.biz
RUIZ MEIS
GONZALO
1429
RUIZ MONTERO
RAQUEL
2638
RUIZ RUIZ
MARTA
2473
RUIZ SALSAS
RAQUEL
3023
RUIZ SANZ
CLARA ISABEL
1122
RUIZ SAZ
PILAR
1367 GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Directora de Previsión Social, Cajas Zona Norte y Este, Avda. Burgos, 109, 28050, Madrid, 91-2146071, pruiz@caser.es
275
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
RUIZ VALCARCEL
JUAN
2392
RUMOROSO MARTINEZ
BEATRIZ
2483 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, 91-5903009, 91-5640035, beatriz.rumoroso@towersperrin.com 1143
SADORNIL PORRAS
JOSE MANUEL
SAENZ GILSANZ
EMILIO
SAEZ DE JAUREGUI SANZ
LUIS MARIA
1865 AXA, Director Vida, Pensiones y Servicios Financieros, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, +34 639140101, luismaria.saez@axa.es
SAEZ DE JAUREGUI SANZ
Mª ELENA
2245
SAEZ DE JAUREGUI SANZ
FELIX JAVIER
2308
SAINZ GARCIA
JUAN JOSE
996
706 GP ASESORES, S.L. / CONSULTORIA, Socio Director, Esquilache, 6, 28003, Madrid, 91-5540838, j.sainz@actuarios.org
SAIZ GARCIA
CRISTINA
2802
SAIZ ZABALLOS
M. ISABEL
759
SALA MENDEZ
VICENTE
613
SALAS MARTIN
ROSA
3137 WATSON WYATT ESPAÑA, Consultor, María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, 91-3101088, rosa.salas@watsonwyatt.com
SALINAS ALMAGRO
MARIO
1155 OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5 28020 Madrid, 91-3192233, , mario.salinas@overban.com
SALVADOR ALONSO
RODRIGO
2940 BBVA, Jefe Equipo Auditoria Pensiones y Seguros, Plaza Santa Bárbara, 1, 28004 Madrid, rodrigo.salvador@grupobbva.com
SALVADOR GONZALEZ-BAYLIN
AFRICA PILAR
2745 CRH, C/ Basauri, 6, Parque Empresarial La Florida, 28023 Aravaca (Madrid), 91-5751275, asalvador@cyrsha.com
SAN JUAN BARRERO
JESUS A.
3065 LIBERTY SEGUROS, Actuario, Obenque, 2, 28042 Madrid, 913017900, Ext. 233, jesus.sanjuanbarrero@libertyseguros.es
SAN ROMAN DE PRADA
ANTONIO
2836 ALLIANZ SEGUROS, Técnico-Actuario, Castellana, 39, 28046, Madrid, 91-5968878, antonio.sanroman@allianz.es
SANCHEZ BARRAL
JUAN ANDRES
2965
SANCHEZ BURGUILLO
Mª ELENA
2364
SANCHEZ DELGADO
EDUARDO
1579 MAPFRE FAMILIAR, Director Área Actuarial, Carretera de Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5814726, edsanch@mapfre.com
SANCHEZ DOMINGUEZ
JOSE RAMON
2176 CAJA NAVARRA / FINANCIERA, Director Oficina, Avda. Constitución, 96, 28850 Torrejón de Ardoz (Madrid), 916758370, 91-6758357, joseramon.sanchez@cajanavarra.es
SANCHEZ GARCIA
GONZALO
2803
SANCHEZ GARCIA
YOLANDA
2915
SANCHEZ GONZALEZ
HIPOLITO
SANCHEZ GONZALEZ
Mª ESTHER
2365
SANCHEZ GUTIERREZ
MARIA
3207
SANCHEZ IGLESIAS
M.ª DEL PILAR
1230 IDEAS, Directora Previsión Social y Beneficios, General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, 91-5983312, 91-5983313, psanchez@ideas-sa.es
64
SANCHEZ LAMBEA
Mª CARMEN
1822
SANCHEZ MARTIN
JOSE LUIS
1170 C/ Quintana, 22, Apt. 307, 28008 Madrid, 609047432, jlsanmar1@gmail.com
SANCHEZ MARTIN
MERCEDES
1315
SANCHEZ MARTINEZ
JOSE
SANCHEZ ORDOÑEZ
FCO. JAVIER
292 1048
276
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
SANCHEZ ORMEÑO
JOSE ANTONIO
2760 ATTEST SERVICIOS EMPRESARIALES, S.L.P., Avda. Brasil, 29, 1º, 28020 Madrid, 91-5561199, jsanchez@attest.es
SANCHEZ PATO
RICARDO
2021 RGA REINSURANCE COMPANY, Director Desarrollo de Negocio, Crta. A Coruña, km 24, Edif. Berlín, 28290 Las Rozas (Madrid), rspmmc@gmail.com
SANCHEZ RODRIGUEZ
OLGA
1859
SANCHEZ SUSTAETA
ALEJANDRO RICARDO
3222 AON CONSULTING, Consultor, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, 91-3405037, 91-3405883, asansust@aon.es
SANCHEZ TREBEJO
JUAN
SANCHEZ UTRILLA
JUAN ANTONIO
2529 AON BENFIELD, Actuario Consultor Reaseguro, juanantonio.sanchez@aonbenfield.com
SANCHEZ-CANO TORRES
JAIME
1556
SANCHEZ-CRESPO BENITEZ
MARTA
2620
SANCHEZ-PACHECO DE VEGA
JESUS
3208 B.D.O. (Auditoria), Auditor, C/ Rafael Calvo, 18, 28010 Madrid,
91-4364190, 91-4364192, jesus.sanchez@bdo.es
878 CNP Vida, Dtor. de Recursos Humanos, C/ Ochandiano, 10 , 28023 El Plantío Madrid, 91-5243400, juan.sanchez@cnpvida.es
SANCHIS MERINO
HECTOR
1675
SANCHO GARCIA
AGATA
2337 WILLIS, Directora Vida y Pensiones, Pº Castellana, 36-38, 28046 Madrid, 914233482
SANMARTIN RUIZ
ALICIA
427 BUCK CONSULTANTS, Directora General, Avda de Burgos, 12, 28036 Madrid, 91-3102699, 91-3102697, alicia.sanmartin@buckconsultants.com
SANMARTIN RUIZ
JOSE MARIA
SANS Y DE LLANOS
AGUSTIN
SANTAMARIA CASES
MARIA PILAR
2395 SCOR GLOBAL LIFE, IBERICA SUCURSAL, Directora de Suscripción y Marketing, Pº de la Castellana, 135, 28046 Madrid,
91-4490810, 91-4490824, psantamaria@scor.com
SANTAMARIA DEL ESTAL
ESTHER
2447 HELVETIA COMPAÑIA SUIZA,S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento de Inversiones, Pº de Recoletos, 6, 28001, Madrid, 91-4363239, 91-4318286, esther.santamaria@helvetia.es
SANTAMARIA IZQUIERDO
JOSE IGNACIO
2197 AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, 902114611, 91-3405883, jsantami@aon.es
SANTAMARIA SANCHEZ
IGNACIO
1366 MERIDIANO COMPAÑIA ESPAÑOLA DE SEGUROS, S.A., Director Técnico-Actuarial, C/ Olozaga, 10, 29005 Málaga, 952-221628, 952-217161, isantamaria@meridiano.grupoasv.com
SANTAMARIA TAVIRA
MARIA ISABEL
2791
SANTOLALLA BEITIA
JAVIER
1301 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com
1023 104
SANTOS DE BETANCOURT
PAULA
3033
SANTOS GONZALEZ
ANGEL
2548
SANTOS JUAREZ
Mª ROSARIO
1404 Gesinca Actuarios S.A.P., gesincaac@gesincaactuarios.es
SANTOS MIRANDA
ALFREDO
2684
SANTOS PERONA
ALBERTO
3138
SANZ ALBORNOS
MIGUEL
2429
SANZ ARNAL
ERNESTO
SANZ CHICHARRO
DAVID
2224 BENEDICTO Y ASOCIADOS, SOCIEDAD DE ACTUARIOS, S.L., C/ Marqués de la Ensenada, 16, 3ª Planta, Oficina 23, 28004, Madrid, 91-3080019, Davidsanz@benedictoyasociados.biz
SANZ HERRERO
CARLOS
2271 GRUPO SANTANDER, DIVISIÓN GLOBAL DE SEGUROS, Canal Affinity, Ciudad Grupo Santander, 28660 Boadilla del Monte, 912894901, carlsanz@gruposantander.com
KPMG, Pº de la Castellana, 95, Torre Europa, 28046 Madrid, 914583400, 91-5550132, angelsantos@kpmg.es
861
277
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
SANZ MORENO
ALBERTO
2396
SANZ SANCHEZ
SERGIO
3078 LIBERTY SEGUROS / COMPAÑIA ASEGURADORA, Actuario del Departamento Actuarial No Vida, Bulevar de Entrepeñas, 32, Portal 1, 1º B, 19005 Guadalajara, 606643314, sergio.sanz@libertyseguros.e 1814
SANZ Y SANZ
Mª PAZ
SANZ-CRUZADO REPULLO
JUAN
SARABIA MONTES
MARTA
1351 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, 91-2971737, 91-2971756, marta.sarabia@aviva.es
SARACHAGA CORTADI
ESTHER
2369 CAJASTUR VIDA Y PENSIONES, S.A., Actuaria, C/ Martínez Marina, 7, 33009, Oviedo Asturias, 98-5207053, 98-5209384, esarachaga@cajastur.es
SARDA ITURRALDE
JOSE MANUEL
SARRICOLEA BILBAO
ALBERTO
2578
SASTRE BELLAS
JOSE FCO.
1329 CXG OPERADOR BANCA SEGUROS CAIXA GALICIA, Director Técnico, Polígono Pocomaco, Parc. A 3, Naves F-G, 15190 A Coruña, 98-1217950, jsastre@cxg.es
961
354
SATRUSTEGUI SILVELA
ALVARO
1202
SAYALERO DE LA OSA
MERCEDES
1808 LIBERTY SEGUROS, Actuario Senior, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, 91-3017900, mercedes.sayalero@libertyseguros.es
SEGURA ARMIJO
ANTONIO J.
2753
SEGURA GISBERT
JORGE
3186
SEGURA URETA
JESUS
1994 CNP VIDA, Director de Nuevos Productos y Marketing, C/ Ochandiano, 10, 28023 Madrid, 91-5243400 , 91-5243401, jesus.segura@actuarios.org
SENDRA VIVES
TERESA MARIA
1330 TILLINGHAST-TOWERS PERRIN, Consultor Senior, C/ Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, 91-5903035, 91-5903081, sendrat@towers.com
SERRANO CENTENO
ISMAEL
2295
SERRANO DE TORO
Mª JOSE
1340
SERRANO HURTADO
DAVID
2160 MAPFRE, Actuario, Carretera Majadahonda - Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, 91-5813339, daserra@mapfre.com
SERRANO OLABARRI
NEREA
3197
SERRANO PEREZ-BUSTAMANTE
GONZALO
2090
SERRANO PINAR
TOMAS
SERRANO POZUELO
JUAN CARLOS
SERRANO TERRADES
RAFAEL
189
SEVILLA CANTERO
Mª JOSE
2496
SILVA QUINTAS
JOSE JAVIER
1108
SILVA SANZ
OLIVIA
2549
SILVEIRO GARCIA
JOSE MANUEL
2840 WATSON WYATT, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7º Planta, 28006 Madrid, 91-3101088, jose.silveiro@watsonwyatt.com
SIRVENT BELANDO
FCO. DE PAULA
2724
SOBRINO BARONA
JUAN CARLOS
2500 AVIVA, Actuario, Alcalde José Aranda, 3, 7º D, 28922 Alcorcón, Madrid, jc.sobrino@aviva.es
349 1997
SOBRINO SANZ
MAITE
2550
SOBRINOS VELASCO
FCO. JAVIER
1000
SOLER DE LA MANO
AGUSTIN MARIA
SOLSONA PIERA
JAVIER
879 2255
278
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
SORIANO MOYA
DANIEL
2597
SOROA HERRERO
FELIX
1111 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, 914059350, 91-4059358, felix.soroa@hewitt.com
SOROLLA LUIS
EDUARDO L.
2593 AEGON SALUD, S.A., Responsable Dpto. Actuarial, C/ Príncipe de Vergara, 156, 2ª Planta, 28002, Madrid, 91-3432853, sorolla.eduardo@aegon.es
SOTO GARCIA-JUNCO
IÑIGO
1654
STEWART
NEIL MATTHEW
2623
SUAREZ NUÑEZ
JOSE BENIGNO
1554
SZÉKELY ELU
LEIRE
2052
TABOADA CABREROS
DAVID
3079
TADEO RIÑON
LORETO ALICIA
1362
TAHOCES ACEBO
BERNARDO
TAPIAS GREGORIS
VICTOR F.
2338
TARIFA MANZANO
YOLANDA
2988
TEJADA HERRERO
ELOY
TEJEDOR ESCOBAR
MARIA
2792 TOWERS PERRIN / CONSULTORIA, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 3ª Planta, 28002 Madrid, 91-5903984, 915633115, maria.tejedor@towersperrin.com
TEJEDOR TORDESILLAS
ELISA
2674 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, Madrid, elisa.tejedor@aviva.es
TEJERA MONTALVO
ESTEBAN
126
141
574 MAPFRE, S.A., Consejero Director General, Carretera Pozuelo a Majadahonda, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5814702, 91-5811975, estebantejera@mapfre.com
TELLO ALONSO
JESUS
1989
TELLO CANDIL
JOAQUIN FELIX
3258
TEXEIRA CERÓ
JOSÉ MARÍA
2039
TIERRA ANCOS
MANUEL
3259
TOLEDANO PEÑAS
RAUL
3034
TOMAS MARTIN
ANGEL
TOMAS PEREZ
CRISTINA
1157 DIAGNOSTICO Y SOLUCIONES, S.L., Socia, Dr. Roux, 62, 6ª, 08017 Barcelona, 606953506, tomas.cristina@gmail.com
TORAL VICARIO
RAQUEL
1906 HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, 91-3834700, 91-3834701, raquel.toral@hna.es
TORIBIO ROMERO
ALICIA
3209
TORNOS OLIVEROS
M. BEGOÑA
TORRALBA VAZQUEZ
FERNANDO
261
459 3102 NACIONAL DE REASEGUROS, S.A., Actuario. Jefe Departamento. No Proporcional, C/ Zurbano, 8, 28010, Madrid, 91-3081412, 91-3085542, ftv@nacionalre.es
TORRE AURTANECHEA
JOSÉ LUIS
240
TORREJON ACEVEDO
JUAN
374
TORRENTE CASTEL
ANTONIO
313 GABINET TORRENTE, ASESORES ASOCIADOS, S.L., SocioDirector, C/ Numancia, 117-121, Planta 1ª, 1º A, 08029 Barcelona,
93-4093684, antoniotorrentecastel@telefonica.net
TORRES ALONSO
JUAN F.
2769 SANTANDER CENTRAL HISPANO, Gerente de Empresas, C/ San Andrés, 145, 15003 La Coruña, 981-187932, jftorres@gruposantander.es
TORRES MARTIN
CARMEN
1401 GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Actuario, Avda de Burgos, 109, 28050, Madrid, 91-2146071, ctorres@caser.es
279
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
TORRES PRUÑONOSA
JOSE
2675 FUNDACIÓ CULTURAL CAIXA TERRASSA, Coordinador de Masters, Postgrados y Formación Continua, Ctra. De Terrassa a Talamanca, Km 3, 08225, Terrassa, 93-7301900, 93-7301901, jose.torres@actuarios.org
TORRES SEMPERE
JOAQUIN
1836
TORTOLA MARTIN
RAQUEL
3174
TRIGO MARTINEZ
EDUARDO
2736 UNIVERSIDAD DE MÁLAGA / DOCENCIA, INVESTIGACIÓN, Profesor Colaborador, C/ Arango, 15, 4-16, 29007, Málaga,
666529693, 95-2131339, etrigom@uma.es
TURBICA TEJERA
CARLOS
2746 AGROSEGUROS/SEGUROS AGRARIOS, Actuario, C/ Gobelas, 23, 28023 Madrid, 91-8373200, 91-8373225, cturbica@agroseguro.es
TURRILLO LAGUNA
SANTIAGO
2397 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Pº de la Castellana, 43, Madrid, +34-91-5684015, santiago.turrillo.laguna@es.pwc.com
UGARRIZA CAPDEVILA
ARMANDO J.
2228
UGARTE ORTEGA
Mª PILAR
1604
ULLOA GARCIA
VICENTE
1790
UREÑA MARTIN
GERMAN
3114
USABEL RODRIGO
MIGUEL A.
1601
VALDES ARTIME
ANA MARIA
2805
VALDES BORRUEY
LUIS EDUARDO
3131 ASEGRUP, S.A. DE SEGUROS, Director Análisis y Control, C/ Raimundo Fernández Villaverde, 49, 1º Izq., 28003 Madrid, 917701171, 91-7701175, lvaldes@asegrup.net
VALERA MACIAS
ANTONIA
3080
VALERO CARRERAS
DIEGO
959 NOVASTER, Presidente, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001 Madrid, 902-131200, 91-5755302, dvalero@novaster.net
VALIENTE CALVO
ROSA
711 TRANQUILIDADE S.A./ BES-VIDA, Directora General, C/ Velázquez, 108-110, 4ª Plt., 28006 Madrid, 91-7453870, 917453870 / 91-7453878, rosa.valiente@tranquilidade.es
VALIENTE MENDEZ
FERNANDO M.
3177 PROACTUAR, Family Office, Luis de Morales, 24, Esc. 1, 7º D, 41018, Sevilla, 95-4419093, 95-4419093, 618475084, fvaliente@proactuar.es
VALLE RUBIO
JUAN
3047
VALLEJO DEL CANTO
RUBEN
3193
VALLS TRIVES
VICENTE L.
VAQUERIZO COLLADO
DAVID
3158 GESINCA ACTUARIOS, S.A.P., gesincaac@gesincactuarios.es
VAQUERO SOLIS
GUADALUPE
3024
VAQUERO SOLIS
ANA ISABEL
3046
VARELA SERRANO
RAQUEL
3087 WATSON WYATT LTD, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª, 28006 Madrid, 91-3101088, raquel.varela@watsonwyat.com
295
VARGAS CASASOLA
Mª PILAR
2621
VAZQUEZ DIAZ DE TUESTA
ALBERTO A.
2000
VAZQUEZ GAVILAN
MARIA
3218
VECINO TURRIENTES
ITZIAR
2676
VEGA CUENCA
RAFAEL
3010 BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario, Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, 91-3080019, 913081082, rafaelvega@benedictoyasociados.biz
VEGA GARCIA
SILVIA
2968
VEGA SANCHEZ
ANA Mª
1356
VEGA SOLADANA
ANA
3162
280
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES
VEGA ZUAZO
RAFAEL DE LA
440
VEGAS ASENSIO
JESUS M.
437
VEGAS MONTANER
ANGEL
649 VEGON CONSULTORES, SL., Socio Director, C/ Doce de Octubre, 26, 28009 Madrid, 91-5040956, 636950069, a.vegas@terra.es
VELARDE SAIZ
CRISTINA
2942
VELASCO ANDRINO
JUAN JOSE
2212
VELASCO GARCIA
JOSE ANTONIO
2467
VELASCO MARTIN
JOSE ALBERTO
1249
VELASCO MOLINERA
PEDRO
1753 MAPFRE VIDA, Avda. Geral Perón, 40, 28020 Madrid, 915818192, velascp@mapfre.com
VELASCO ORTIZ-VILLAJOS
MAGDALENA
2153
VELASCO RODRIGUEZ
JESUS
2418 MAPFRE VIDA, S.A., Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020 Madrid, 91-5818669, 91-5816474, jevelar@mapfre.com
VELASCO ROIZ
JOSE M.
1062
VELASCO RUIZ
EVA MARIA
2352
VELEZ BRAGA
PABLO ANDRES
3187 ASOCIACION DE MUTUAS DE ACCIDENTES DE TRABAJO, Actuario, C/ Maudes, 51, 3º, 28003 Madrid, 91-5357480, 915549106, pablo.velez@amat.es
VELEZ CARRERA
ADELA
3108
VERA GOMEZ
RAMON
2198 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, 914059350, 91-4059358, ramon.vera@hewitt.com
VERASTEGUI GONZALEZ
RAFAEL
VERGES ROGER
FCO. JAVIER
939 1183 ASEMAS - RC, Director General, C/ Marqués de Urquijo, 28, 4º, 28008, Madrid, 91-7581149, javier.verges@asemas.es
VIANI SALLABERRY
JOSE M.
556
VICANDI COLINAS
AINHOA
2432
VICARIO NISTAL
LAURA
2439
VICEDO MADRONA
CARLOS
344 CORREDURIA DE SEGUROS VICEDO Y SIRVENT, Gerente, Valdés, 8, Entresuelo, 03001 Alicante, 96-5209064, 965200586, cvicedo@segurvys.com
VICENTE AMORES
ROCIO
2024
VICENTE BACHILLER
Mª ANGELES
2485
VICENTE MERINO
ANA
VICENTE RANGEL
MIGUEL ANGEL
1119
VICIOSO RENEDO
FEDERICO
2085 MUTUA MADRILEÑA, Subdirector Planificación Comercial, Pº Castellana, 33, 28046 Madrid, 91-5929791, fvicioso@mutuamad.es
VICO DEL CERRO
ADELA
1274 AEGON LEVENSVERZEKERING N.V. SUCURSAL EN ESPAÑA. REASEGURO VIDA – TRANSAMERCIA RE, D. Técnica, Pº de la Castellana, 143, 6º B, 28046, Madrid, 91-4491013, 915790500, adela.vico@transamerica.eu
VIDAL LOPEZ-GALVEZ
Mª ARACELI
3198
VIDAL MELIA
CARLOS
1739 UNIVERSIDAD DE VALENCIA, Profesor Titular, Avda. de los naranjos s/n, 46022, Valencia, 96-3828383, carlos.vidal@uv.es 1142
VIELBA GARCIA
FELIPE
VILLADA RUIZ
LAZARO
VILLAJOS DE LA RUBIA
JAVIER
592
643 3132 ELECTRODOMESTICOS MENAJE DEL HOGAR, S.A., Jefe de Tesoreria, C/ Futbol, 8, 28906, Getafe, Madrid, 646424367,
281
APELLIDOS
NOMBRE
Nº
DATOS PROFESIONALES javivillajos@hotmail.com
VILLALBA GONZALEZ DE CASTEJON
LUIS
VILLAMERIEL GONZALEZ
MONICA
2398 AXA MEDITERRANEAN REGION / L&S RISK MANAGEMENT, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, +34-91-5385614, monica.villameriel@axa.es
VILLANUEVA OCHOA
VICENTE
1681 HOSPITAL CLINICA ROCA, Consultor, C/ Luis Doreste Silva, 54-1º, 35004, Las Palmas de Gran Canaria, 958-246583, 928246768, vicentevillanueva@gmail.com
VILLAR CASTILLO
VIRGINIA
3095 LA ESTRELLA, S.A., Unidad Técnica Zona Madrid-Canarias, Avda. Brasil, 6, 28020 Madrid, 91-5983917, villar@laestrella.es
VILLAR GRANADOS
ATENODORO
2419 PWC ACTUARIAL & INSURANCE MANAGEMENT SOLUTION, Senior Manager, Kosmodamianskaya NAB, 52, bldg 5, 115054 Moscú, +74959676035, ateno.villar@ru.pwc.com
VILLARROYA PUNTER
LUCIA
1182
XIMENEZ DE EMBUN CADARSO
MARIA CARMEN
2703
XIMENEZ DE LA TORRE
GONZALO
3066 TOWERS PERRIN, Consultor Junior, Madrid, 91-5905009, 91-5633115, gonzalo.ximenez@gmail.com
366
carmen_ximenez@swissre.com
YAGÜE MARTIN
ALFREDO
2704
YEDRA ADELL
JUAN ANTONIO
2888
YEPES MARTINEZ
ANA MARIA
1078
ZABALETA ALONSO
PEDRO JAVIER
1181
ZABALLOS RINCON
JUAN
ZAHONERO DE LAS HERAS
JUAN JOSE
1476
ZAMARREÑO RABADAN
MANUEL
2184 AEGON SEGUROS DE VIDA, Responsable Control Actuarial, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002 Madrid, 91-5636222
ZORNOZA DE TORRES
OSCAR
2622 MAZARS AUDITORES, Gerente, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, 91-5624030, 91-5610824, ozornoza@mazars.es
ZORRILLA PRIMO
MARTA
3219 DIVINA PASTORA SEGUROS, Actuario, C/ Colón, 74, 46004 Valencia, marta.zorrilla@divinapastor.com
522 CONSULTOR, C/ Arturo Soria, 75, 28027 Madrid, 91-3680046, zabajua@telefonica.net
282
MIEMBROS PROTECTORES DENOMINACION
Nº
DOMICILIO
AREA XXI
124
C/ Ayala, 11 28001 Madrid 91-432 03 71 91-426 38 69 www.area-xxi.com
AXA ESPAÑA
119
Camino Fuente de La Mora, 1 28050 Madrid 902 013 012 www.axa.es
BUCK CONSULTANTS, S. L.
112
Avda. Burgos, 12-7º 28036 Madrid, 91310 26 99 91-310 26 97 www.buckconsultants.co.uk
CASER
120
Avda. de Burgos, 109 28050 Madrid 91595 50 00 91-595 50 18 www.caser.es
DELOITTE, S.L.
122
Plaza Ruíz Picasso, 1 Torre Picasso 28020 Madrid 91-514 50 00 91-514 51 80 www.deloitte.es
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Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1 Edif. Torre Picasso, planta 16 91-572 72 00 91572 72 38 www.ey.com/es
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121
C/ Gral. Perón, 14 planta 1 28020 Madrid 91-598 33 12 91-598 33 13 www.ideas-sa.es
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128
Pº Castellana, 95 28046 Madrid 91-456 34 00 91-555 01 32 www.kpmg.es
MAZARS AUDITORES, S.L.
125
C/ Claudio Coello, 124 – 2º 28016 Madrid Madrid 91-562 40 30 91-561 02 24 www.mazars.es
MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES
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Pº Castellana, 141 – planta 18, Edificio Cuzco IV, 28046 Madrid 91-789 34 70 91-789 34 71 www.milliman.es
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115
Zurbano, 8 – 28010 Madrid 91-308 14 12, 91-319 95 43 www.nacionalre.es
PRICEWATERHOUSECOOPERS
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Pº Castellana, 43 28046 Madrid 91-568 44 00 www.pwc.es
SUIZA DE REASEGUROS IBERICA
110
Pº de la Castellana, 95 – 28046 Madrid 91-598 17 26, 91-598 17 80 www.swissre.com
TOWERS PERRIN
111
Suero de Quiñónes, 42 – 28002 Madrid 91-590 30 09, 91-563 31 15 www.towersperrin.com
VIDACAIXA, S.A.
126
General Almirante 2-4-6, Torre Norte, 08014 Barcelona 93-495 40 01 http://www.segurcaixaholding.es/
WATSON WYATT DE ESPAÑA, S.A.
114
Pº de la Castellana, 31 – 28046 Madrid 91-310 10 88, 91-310 26 77 www.watsonwyatt.com
283
SOCIEDADES PROFESIONALES DENOMINACION
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GABINETE FINANCIERO PROFESOR EUGENIO PRIETO PEREZ, SLP
3
C/ Circe, 16 28221 Majadahonda – Madrid 91638 40 85 eprieto@terra.es
GESINCA ACTUARIOS SAP
2
Avda. De Burgos 109 28050 Madrid 91-215 60 24, gesincaac@gesincaactuarios.es
284