Anales2011 by Instituto de Actuarios Españoles

ANALES 2

Tercera Época Número 17 Año 2011

EDITORIAL El presente número de Anales del Instituto de Actuarios Españoles, incluye nueve artículos de distintos investigadores de la Ciencia Actuarial y Financiera, tres de ellos dedicados a la temática de Solvencia II. El artículo “Panjer Class United”, del actuario, Michel Fockler, establece una fórmula común para las probabilidades de estas tres distribuciones que integran la clase (a, b, o) de Panjer. El autor analiza diferentes variantes de la distribución Binomial Negativa por medio de la adecuada parametrización, lo que concede a este trabajo una relevancia significativa de cara a la práctica actuarial. En cuanto al trabajo de los profesores Mercedes Ayuso, Montserrat Guillén y Ana M. Pérez-Marín “Metodología para el cálculo de escenarios de caída de cartera en solvencia II”, comprende un estudio riguroso del denominado “Lapse risk” o riesgo de caída en el ámbito de la normativa Solvencia II. Se trata de cuantificar el grado de contagio que existe entre las decisiones de cancelación de contratos de un mismo seguimiento. En este sentido, una vez desarrollado el modelo teórico, las autoras presentan los resultados obtenidos a partir de los datos de correlaciones de una muestra de pólizas del seguro del automóvil, comparando los porcentajes de caída estimados en la formula estándar y los estimados con el modelo propuesto para la hipótesis de independencia (r=0) y para la hipótesis de dependencia con grado de contagio (r≠0). Entre las conclusiones que se derivan de los resultados del estudio, destacan la confirmación de existencia del contagio entre las decisiones de cancelación y que estas tienen un impacto importante en los beneficios o pérdidas del asegurador. Además, y como también ocurre en otras valoraciones de riesgo, la fórmula estándar resulta, en ambos casos, demasiado conservadora, lo que origina unos porcentajes estimados de caída de cartera excesivamente altos. En sentido contrario, no incluir en el modelo de “Lapse Risk”, el efecto contagio, conduce, en general, a una subestimación del citado riesgo y por tanto de los requerimientos de solvencia del Asegurador. Los profesores José Mª Sarabia y Faustino Prieto, abordan un tema de gran interés en la estadística actuarial moderna. En efecto, el enfoque clásico de la teoría del Riesgo Individual, se basa en la hipótesis de independencia de los sumandos cuando es evidente que en muchas ocasiones, esta hipótesis no es razonable. La colaboración “Sobre una clase de riesgos dependientes” presenta una clase general de riesgos dependientes construida mediante la técnica estadística de las variables en común, lo que facilita su simulación. Asimismo, se obtiene, en el análisis de la citada clase, el modelo de riesgo individual. En la segunda parte del estudio se abordan dos modelos específicos gamma-gamma y beta-beta, permitiendo este último modelizar riesgos de soporte acotado, característica muy adecuada en el ámbito asegurador. Ambos casos se aplican al modelo de riesgo individual en hipótesis de dependencia, para concluir este interesante trabajo de investigación en una ilustrativa aplicación numérica. “Bayesian and Credibility Estimation for the Chain-Ladder Reserving Method” de los profesores José Ramiro Sánchez y José Luis Vilar, estudian también un aspecto de gran relevancia teórica y práctica (gestión del riesgo asociado a las provisiones técnicas, Solvencia II) en la Ciencia Actuarial. El objeto de este artículo de investigación es la estimación de las reservas o provisiones de siniestros pendientes mediante la aplicación del modelo de credibilidad y del modelo Bayesiano. Una de sus principales conclusiones consiste en mostrar la equivalencia de la estimación de las reservas aplicando estos modelos con los clásicos englobados bajo la denominación de chain-ladder, siempre de acuerdo al cumplimiento de ciertas condiciones en las distribuciones de probabilidad. Los autores analizan el error cuadrático medio de predicción (ECMP) en los diferentes casos, lo que tiene gran relevancia en el ámbito de solvencia II, para concluir el estudio con un caso práctico mediante la aplicación del código BUGS del software WinBUGS. Los resultados numéricos confirman la experiencia de que las fórmulas de Mack (que como es bien sabido estiman los dos primeros momentos de la distribución de pagos acumulados), en general dan resultados de ECMP menores a los de otros métodos alternativos, en este caso los modelos de credibilidad y bayesiano. De cara a Solvencia II conviene tener en cuenta que los artículos de este trabajo de colaboración están efectuados a “ultimate cost”, no a un año. El siguiente artículo se refiere también a la normativa de Solvencia II, con el título “Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio del SCR del módulo de suscripción no vida basado en la fórmula estándar”, los profesores A Ferri, L. Bermúdez y M. Alcañiz, llevan a cabo una estimación del capital de solvencia SCR del módulo de suscripción No Vida, para el ejercicio 2010 en el mercado asegurador

español, así como un análisis de sensibilidad del citado SCR al variar la matriz de correlación entre líneas de negocio respecto a la fijada por la formula estándar. El trabajo también incluye un análisis sensitivo respecto a las variaciones del coeficiente de correlación lineal entre las variables que miden el riesgo de primas y de reservas. En esta línea los resultados obtenidos permiten a un asegurador individual analizar su posición con respecto al sector asegurador (benchmark) y permiten al Órgano Supervisor comparar los valores obtenidos en un modelo interno con los generales del sector asegurador español. Un tema de permanente actualidad en la teoría y la práctica actuarial es el abordado por los profesores J.M. Pérez, E. Gómez y E. Calderín, con el título “Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas más competitivas en el mercado de seguro de Automóviles”. En concreto se plantea el problema de la penalización no equitativa que se produce, en general, en estos sistemas de tarificación a posteriori, lo que origina problemas de competitividad en un ramo, a su vez, tan competitivo como es el del seguro del automóvil. La solución aportada por los autores difiere sustancialmente del planteamiento clásico propuesto por Lemaire (1979). En efecto, en este trabajo se mantiene fijo el parámetro que mide la aversión al riesgo del asegurador y permite reducir las sobreprimas del subcolectivo de asegurados “malus”, mediante la compensación de estas reducciones con menores bonificaciones en el subcolectivo de asegurados “bonus” Lógicamente la suficiencia del nuevo SBM se basa en que el número de asegurados que constituyen buenos riesgos es muy superior, en la mayoría de los casos, al número de asegurados pertenecientes al subcolectivo de malos riesgos. El artículo incluye una aplicación numérica de gran interés al respecto. El trabajo “Estimación de la esperanza matemática de vida mediante las transformadas de Wang”, del profesor Amancio Betzuen, lleva a cabo la estimación y contratación de la esperanza matemática de vida para los próximos cuarenta años de la población española masculina mediante la aplicación de una metodología estocástica, basada en transformadas de Wang, a los datos reales de mortalidad. El artículo incluye un análisis comparativo de la esperanza de vida futura de acuerdo con esta metodología y la que obtuvo el propio autor aplicando el modelo Lee-Carter, que figura en un trabajo de colaboración publicado en el número anterior de esta revista. Los resultados son parecidos pero no iguales y es evidente el interés de este trabajo de investigación en las valoraciones actuariales de seguros, planes de pensiones, seguridad social, etc… El artículo de los profesores R. Moreno, E. Trigo, O. Gómez, J.I. de la Peña, I. Iturricastillo y E. Pozuelo, titulado “La idiosincrasia del actuario” contiene una serie de reflexiones sobra las principales características inherentes a la actividad profesional del actuario. A diferencia de los restantes trabajos publicados en este número, de corte académico, esta colaboración resalta las singularidades de la praxis profesional del actuario, lo que puede ser motivo de debate entre los propios actuarios así como entre otros profesionales relacionados con la función actuarial y, en definitiva, entre los agentes económicos que necesitan del actuario para una correcta valoración y gestión de los riesgos de naturaleza financieroestocástica a los que se enfrentan. Finalmente el trabajo “Using wavelets non-parametric graduation of mortality rates”, de los profesores Ismael Baeza y Francisco G. Morillas, supone una interesante novedad en el ámbito actuarial, en concreto estudia la aplicación de las denominadas wavelets para realizar la graduación de tasas de fallecimiento. Esta técnica de graduación no paramétrica se he empleado con éxito en otros campos del conocimiento y un valor añadido a este trabajo es que pone de manifiesto que la graduación wavelet supera en algunos aspectos a la graduación Kerrnel, especialmente en edades altas donde los valores estimados wevelets están más próximos a los de las tablas de referencia. Estas conclusiones se basan en datos reales obtenidos a partir de las tablas de mortalidad de la población española años 2007-2009 del INE. Me complace, asimismo, recordar a nuestros lectores que nuestra revista está incluida en los índices ISOC, LATINDEX, RESH y DICE y, recientemente, ha sido incluida en el prestigioso índice de la Generalitat de Cataluña denominado, CARHUS PLUS, lo cual constituye un claro reconocimiento a la calidad de nuestra revista. Quiero igualmente agradecer a todos los autores y evaluadores su contribución en este número y animar a los actuarios y demás profesionales vinculados al área financiero-actuarial que envíen originales de carácter académico y/o profesional. Jesús Vegas Asensio Director

PANJER CLASS UNITED One formula for the probabilities of the Poisson, Binomial, and Negative Binomial distribution Michael Fackler1 Abstract. This paper gives a formula representing all discrete loss distributions of the Panjer class (Poisson, Binomial, and Negative Binomial) in one. Further it provides an overview of the many Negative Binomial variants used by actuaries. Keywords. Panjer class, (a,b,0) class, discrete loss distribution, Negative Binomial Resumen. En este artículo se presenta una fórmula conjunta para las probabilidades de las distribuciones de la clase Panjer (Poisson, binomial, binomial negativa). Además se da una mirada general a las variantes de la distribución binomial negativa utilizadas por los actuarios. Palabras clave. Clase de Panjer, clase (a,b,0), distribución del número de siniestros, distribución binomial negativa

1. Introduction The three well-known discrete loss distributions Poisson, Binomial, and Negative Binomial are closely related. First of all, they form the Panjer (a,b,0) class (see Panjer and Willmot, 1992, section 7.2; Klugman et al., 2004, appendix B.2). Secondly, the Poisson distribution is a limiting case of the two other distributions, which finally have their origin in the modelling of Bernoulli trials. The traditional representations of the probability (mass) functions of the three distributions look quite different, though. In this paper we add to the unified view of these distributions by presenting a common formula for the probabilities, being both instructive and convenient for practical implementation.

Freelance actuary (Aktuar DAV), Munich, Germany, michael_fackler@web.de The author thanks David R. Clark for his help with the collection of the Negative Binomial variants. Este artículo se ha recibido en versión revisada el 20 de julio de 2011

Panjer class united – Anales 2011/1-12

Section 2 states classical parametrisations of the three distributions, adding a Binomial variant being less common but easier to compare to the other members of the (a,b,0) class. Section 3 provides a formula representing the three distributions altogether. To give some orientation in view of the confusing variety of parametrisations used in the actuarial world (especially for Negative Binomial) section 4 collects and classifies the variants most frequently found in the actuarial literature.

2. Representations of the Panjer distributions In order to see how the above distributions of loss numbers N are related we shall first summarize: probability function (pf) pk = P(X=k), probability generating function (pgf) E(zN), expected value E(N), and dispersion D(N) = Var(N)/E(N) of the three distributions. Among the – not few – different parametrisations that can be found for the Panjer distributions in the literature (for a discussion see section 4) we are particularly interested in those using the expected value as a parameter, in the following denoted by λ>0. (We leave the degenerate case λ=0 aside, where all distributions coincide.) Note that in general insurance one often deals with models having λ = vθ where v is a measure of the size of the risk (or portfolio of risks) and θ is the loss frequency per volume unit (see e.g. Mack, 1999, section 1.4.2; Bühlmann and Gisler, 2005, section 4.10). For simplicity we will, however, always write λ. - The Poisson distribution essentially has one common representation (P), using the expectation as the (only) parameter. - For the Binomial distribution we state the classical parametrisation (B1) using as parameters the number of trials m and the probability of success p. We add another one (B2) where p is replaced by the expected value (of successes) λ = mp. p < 1 means λ < m. - For the Negative Binomial distribution we first state the classical parametrisation (NB1) coming from Bernoulli trials, using as parameters the number of successes α (originally integer-valued but extendable to all positive real numbers) and the probability of success p<1. Then (NB2) we replace p by the expectation (of failures) λ = α(1–p)/p. See the following Table:

Michael Fackler – Ananles 2011/1-12

It seems that the traditional representations, namely B1 and NB1, somehow obscure the relationship between the three distributions. If we instead look at B2 and NB2 at least the pgfs look very similar, and here and in the formulae for the dispersion there is an obvious correspondence between α and m, or merely –m. This well-known correspondence (see e.g. Heckman and Meyers, 1983, sections 3 and 5) will turn out to be the key of the common representation.

3. The all-in-one formula Proposition: The formula

⎛ λ⎞ pk = ⎜ 1 + ⎟ ⎝ α⎠

−α

λk k!

k −1

α +i

∏α + λ

k = 0, 1, 2, …

(1)

i =0

describes the probability (mass) function of all distributions of the Panjer (a,b,0) class. The parameter λ is the expected value, which can take on all positive real numbers. The parameter α can take on the following values:

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a) α ∈ ]0; ∞[: b) α = ∞, α = – ∞:

Negative Binomial. Poisson. (1) is well defined in this infinite case as the limits exist and coincide. Binomial. The parameter α here is restricted to integers –m satisfying m > λ.

c) α ∈ ]– ∞; – λ[ ∩ Z:

The corresponding probability generating function is given by −α

⎛ λ ⎞ E(z ) = ⎜1 − ( z − 1) ⎟ , ⎝ α ⎠ N

which again is well defined for infinite α.

Definition 1: We call the above parametrisation of the (a,b,0) distributions Panjer United (PanU). Proof: First we convert (1) into a known pf for each of the three cases. a) We only have to rearrange the terms of NB2, noting that

1 k −1 = ∏ (α + i) , k! i = 0

⎛ α ⎞ ⎛ λ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1 + ⎟ ⎝α + λ ⎠ ⎝ α ⎠

−α

⎛α + k − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = k ⎝ ⎠

k −1 1 ⎛ λ ⎞ k . ⎜ ⎟ =λ ∏ ⎝α + λ ⎠ i =0 α + λ k

b) Recall that lim (1+y/α)α = ey for α → ∞ and α → – ∞, therefore the first factor in (1) equals e–λ. Since the third factor equals 1 we are done. c) If we set m := –α in B2 we get

⎛ m ⎞ λk ( m − λ ) m − k 1 λk (−α − λ ) −α − k ⎜⎜ ⎟⎟ = k! mm (−α ) −α ⎝k⎠

k −1

∏ (−α − i) = i =0

k −1 αα ⎛ λ⎞ k = (−1) ( − 1 ) (α + i ) = ⎜1 + ⎟ ∏ α +k k! (α + λ ) ⎝ α⎠ i =0

λk

−α

λk k!

k −1

α +i

∏α + λ i =0

Note that (1) is well defined and valid even for k>m. In this case the pk equal k −1

zero as the products

∏ (α + i) contain the factor α+m=0. i =0

The pgf formula is obvious for finite α, and for infinite α the reasoning is as in b) with y = λ(z–1).

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Finally, to see that we have a one-to-one correspondence of the parameters appearing in the usual representations of the (a,b,0) class and in the PanU formula we only have to check that the restrictions for negative α coincide: The Binomial distribution has a positive integer m being greater than λ. This translates to a negative integer α and to the condition –α > λ, being exactly case c) of the Proposition. Remark 1: Formula (1) splits the probabilitiy pk in three components: p0, a term completing the Poisson formula, and finally a product describing in a way the deviation from Poisson. The latter product shows at a glance the well-known fact that it is not possible to extend the parameter space to any further negative values for α: Its first factor

α +0 must be positive, α +λ

otherwise p0 and p1 would have different sign. Hence the denominator must be negative, i.e. –α > λ. Now assume that α is not an integer. Then all factors

α +k , and with them all pk, are non-zero. Thus the factors must be postive, α +λ otherwise pk and pk+1 would have different sign. Hence all numerators α + k must be negative, but this is impossible as k is unlimited. Corollary 1: In the above parametrisation the Panjer recursion reads

(α − 1)λ and we have α +λ α +λ 1 1 λ ⎛ λ⎞ Var(N) = λ ⎜1 + ⎟ , CV2(N) = + , D(N) = 1 + . λ α α ⎝ α⎠

pk = pk–1(a + b/k) with E(N) = λ ,

, b=

Again all formulae are well defined for infinite α. Proof: From (1) we immediately get pk = pk–1

⎛ λ (α − 1)λ ⎞ λ α + k −1 ⎟⎟ + = pk–1 ⎜⎜ k α +λ ⎝ α + λ (α + λ )k ⎠

The following formulae are well-known consequences of the Panjer recursion (see Klugman et al., 2004, appendix B.2): E(N) =

a+b 1 1 a+b , Var(N) = , CV2(N) = , D(N) = . 2 1− a a+b 1− a (1 − a)

Plugging in a + b =

αλ α , 1− a = yields the claimed results. α +λ α +λ

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Corollary 2: In the PanU representation the n-th derivative of the

⎞−α −n n n−1 ⎛ ⎛ λ i⎞ λ ∏⎜1+ ⎟ , ⎜1− (z −1)⎟ ⎠ ⎝ α⎠ ⎝ α i= 0

probability generation function equals

which is again well defined for the whole PanU parameter space.

⎛ λ ⎞ ⎜1 − ( z − 1) ⎟ ⎝ α ⎠

Proof: From the PanU pgf formula

−α

we get the claimed

result for finite α in a straightforward manner via induction. (Note that the derivative formula is correct for all integers n>0, even in the Binomial case where for n > m = –α it equals zero.) As for the infinite case, the limit of the derivative formula for α → ± ∞ equals λn e λ ( z −1) , which is exactly the n-th derivative of the limit of the pgf formula. Corollary 3: All moments of the (a,b,0) distributions can be written as linear n−1

combinations of the terms

⎛

i⎞

λn ∏⎜1 + ⎟ , ⎝ α⎠ i= 0

n = 1, 2, 3, …,

being well

defined for the whole PanU parameter space. Proof: The n-th factorial moment of a discrete loss distribution equals the n-th derivative of the pgf, evaluated at z=1 (see Panjer and Willmot, 1992, section 2.4). In the PanU representation this value is given by the above term. As all moments are linear combinations of the factorial moments, we are done. Remark 2: Corollary 3 makes clear that representations for higher moments coming originally from the Negative Binomial representation NB2 are extendable to the whole (a,b,0) class. E.g. we can state without any further calculation that the well-known Negative Binomial skewness formula

⎛ ⎝

E((N-E(N))3) = λ ⎜1 +

λ ⎞⎛ 2λ ⎞ ⎟ ⎟⎜1 + α ⎠⎝ α ⎠

is not only valid for positive α (NB2) but for the whole PanU parameter space, including the cases of negative skewness for Binomial distributions with –α/2 < λ < –α, i.e. 0.5 < p < 1. Now we define a Panjer United variant without infinite parameter values by replacing the parameter α by its inverse c = 1/α. This parameter was named “contagion” (see e.g. Heckman and Meyers, 1983, sections 3 and 5, see Panjer and Willmot, 1992, sections 3.6, 6.9, and 6.11 for the description of the underlying stochastic processes) in order to give an intuitive meaning to 6

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deviations from the Poisson distribution: A higher / lower probability of loss after the occurrence of a loss can be interpreted as positive / negative contagion of losses. Here 0 < c < ∞ is the Negative Binomial case (positive contagion), c = 0 corresponds to Poisson (no contagion) and negative c is the Binomial case (negative contagion) having the quite intricate parameter restriction c = –1/m with integer m > λ > 0. This parameter space is complex, however, maybe a bit less complex than the classical representation of the Panjer class in terms of a and b (see Panjer and Willmot, 1992, section 6.6). Furthermore the parameters λ and c, describing expectation and contagion, are very intuitive and, last but not least, enable the practitioner to implement the three distributions in a single procedure, e.g. for the purpose of simulation. Proposition 2 / Definition 2: The formula PanU*

pk = (1 + cλ )

−1

λk k!

k −1

1 + ci

∏ 1 + cλ ,

k = 0, 1, 2, … (2)

i =0

Negative Binomial. Poisson. (2) is well defined as the limit of the first factor exists. c) c ∈ ]–1/λ; 0[ ∩{1/z⏐z∈Z*}: Binomial. The corresponding pgf is given by n-th derivative

E(zN) = (1 − cλ ( z − 1) )

− 1 −n c

(1 − cλ( z − 1))

−1

having the

n−1

λn ∏ (1 + ic ),

all being well defined

i= 0

on the whole parameter space. All moments can be written as linear n−1

combinations of the terms

λn ∏ (1 + ic ). i= 0

The coefficients of the Panjer recursion are and we have D(N) = 1 + cλ ,

E(N) = λ , and

cλ , 1 + cλ

Var(N) = λ + cλ2 ,

(1 − c)λ 1 + cλ 1 CV2(N) = +c,

E((N-E(N)) ) = λ(1+ cλ )(1+ 2cλ). 3

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Conclusion: The “united” representation of the three Panjer (a,b,0) distributions via a common probability function is both convenient for practical implementation and instructive as it makes clearer how closely related and at the same time how different the three distributions are: Binomial and Negative Binomial appear very similar in the PanU/PanU* representation but they are in a way the opposite sides of a coin, being connected, or rather separated, by the limiting case Poisson.

4. The Negative Binomial world In order to give an overview we enhance Table 1 by adding several variants of the Negative Binomial distribution, all being useful in certain areas but partly tricky to convert into each other. We start from the table provided by Mack (1999, section 1.4.2) showing essentially three different ways of interpreting the distribution, all using α but having different second parameters: - Bernoulli trial with probability p: NB1 - Expectation λ: NB2 (see also Johnson et al., (2005, section 5.1) who dedicate their whole chapter 5 to the Negative Binomial distribution) - Poisson-Gamma: If the parameter of a Poisson distribution is Gamma distributed with density β α x α −1e − β x Γ(α ) then the mixed distribution is a variant NB3 inheriting the parameters α and β from the Gamma distribution (see also e.g. Bühlmann and Gisler, 2005, section 2.4). However, actuaries found two more useful second parameters, closely related to (and easy to confuse with) NB1 and NB3, respectively: - There is a close variant NB1b of the Bernoulli trial using the complementary probability q=1–p (see e.g. Johnson et al., 2005, section 5.1). As q equals the Panjer recursion parameter a this can also be seen as a representation with this parameter of the Panjer recursion. The latter interpretation is by the way extendable to the Binomial case (see Schröter (1990, section 4, Proposition 1) showing this for an extension of the (a,b,0) class). - There is a Poisson-Gamma variant NB4 using ξ=1/β according to an alternative definition of the Gamma density having parameters α and the inverse of β (see Klugman et al., 2004, section 4.6.3). The same representation comes about from a totally different approach (see Johnson et al., 2005, section 5.1) – by applying the generalized 8

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binomial theorem (for real-valued exponents) to

⎛−α ⎞ ⎟⎟(1 + ξ ) −α − k (−ξ ) k = k =0 ⎝ k ⎠ ∞

∑ ⎜⎜

1 = ((1 + ξ ) − ξ )

−α

⎛α + k − 1⎞ ξ ⎟⎟ . α +k k k =0 ⎝ ⎠ (1 + ξ ) ∞

∑ ⎜⎜

Remark: In this paper we have restricted ourselves to parametrisations using α or the inverse c. For completeness we mention two further representations (see Johnson et al., 2005, section 5.1) combining the expectation with one of the above second parameters: ⎛1

⎞

λ ⎜ −1 ⎟

- NB2/1b:

λ together with q yields the pgf

- NB2/4:

λ together with ξ yields the pgf

⎛ 1 − q ⎞ ⎜⎝ q ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 − qz ⎠ (1 − ξ ( z − 1) )−λ ξ

The conversion of the parameters is as follows:

p = 1− q = q =

λ =

β = ξ =

α +λ 1+ β λ 1 1− p = = α +λ 1+ β αq α (1 − p) α = = p 1− q β α p 1 = −1 = = 1− p q λ λ q 1 −1 = = = p 1− q α

= =

1 , 1+ξ

ξ 1+ξ

= αξ ,

ξ 1

, .

Table 2 shows 10 distributions (1 Poisson, 2 Binomial, 5 Negative Binomial, and the 2 all-in-one representations) providing for each: probability function, probability generating function, probability of no losses, expectation, variance, squared coefficient of variation, dispersion, and at last the parameters a and b of the Panjer recursion. The table makes clear that for any of these Negative Binomial representations there is something it describes better (in a simpler way) than the other variants do – but in contrast it has more intricate formulae for other quantities that could be of interest. It seems that there is no “best” parametrisation for all actuarial needs, which arguably is why so many 9

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different ones have been established. However, NB2, apart from the possible extension to the whole (a,b,0) class shown in this paper, has further advantages: It involves the expected value λ, being in practice the quantity of main interest (being indeed often seen as even more important than the specification of the most adequate model). The second parameter α shows how much the distribution deviates from the popular Poisson model. Finally (see Panjer and Willmot, 1992, section 9.8) the Maximum Likelihood estimators for these two parameters are independent, which is not the case for some other parametrisations. As the coexistence of so many – partly very similar – parametrisations is a persistent source of errors and misunderstandings, it might possibly be a good idea to agree, at least for educational purposes, on a standard among actuaries, e.g. consistent names for the variants.

References Bühlmann, H. and Gisler, A., 2005. A course in Credibility theory and its applications. Springer, Berlin Heidelberg. Heckman, P.E. and Meyers, G.G., 1983. The calculation of aggregate loss distributions from claim severity and claim count distributions. PCAS, LXX, 22-61. Johnson, N.L., Kemp, A.W., and Kotz, S., 2005. Univariate discrete distributions. Wiley, Hoboken NJ. Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Willmot, G.E., 2004. Loss models. From data to decisions. Wiley, Hoboken NJ. Mack, T., 1999. Schadenversicherungsmathematik. Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe. Panjer, H.H. and Willmot, G.E., 1992. Insurance risk models. Society of Actuaries, Schaumburg IL. Schröter, K.J., 1990. On a Family of Counting Distributions and Recursions for Related Compound Distributions. Scand Actuarial J, 1990, 161-175.

Michael Fackler â&#x20AC;&#x201C; Ananles 2011/1-12

Panjer class united â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/1-12

METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DE ESCENARIOS DE CAÍDA DE CARTERA EN SOLVENCIA II EN PRESENCIA DE CONTAGIO ENTRE CANCELACIONES Mercedes Ayuso Gutiérrez†1, Montserrat Guillén Estany† y Ana M. Pérez-Marín †

Abstract

This article provides with a methodology for developing scenarios of lapse rates in the insurance industry in the context of Solvency II. The main methodological contribution is the consideration of the contagion effect in the decision to cancel insurance policies when developing scenarios of lapse rates. An empirical application is made with real data on policy cancellations. The results are compared with those obtained using the standard model and the independence case. We conclude that the contagion effect should not be ignored in the development of scenarios of lapse behaviour because it has an important impact on estimates. Keywords: business risk, lapse rate, contagion effect.

Resumen Este artículo proporciona una metodología para elaborar escenarios de caída de cartera en la entidad aseguradora en el marco de Solvencia II. La principal aportación consiste en considerar el efecto contagio que existe en las decisiones de cancelación de pólizas a la hora de elaborar escenarios sobre el coeficiente de caída. Se realiza una aplicación empírica con datos reales sobre cancelaciones de pólizas Los resultados se comparan con los obtenidos si utilizamos el modelo estándar, y suponiendo independencia. Concluimos que el efecto contagio no debe ser ignorado en la elaboración de 1

†

Autor para correspondencia: mayuso@ub.edu

Dpto. Econometría, Estadística y Economía Española, RISC-IREA (mayuso@ub.edu; mguillen@ub.edu; amperez@ub.edu); Universitat de Barcelona, Av. Diagonal, 690, 08034 Barcelona. Las autoras agradecen las ayudas recibidas del Ministerio de Ciencia e Innovación/Feder (ECO200801223 y ECO2010-21787). Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 15 de marzo de 2011

Metodología para el cálculo de escenarios de caída de cartera – Anales 2011/13-30

escenarios de caída de cartera, pues tiene un importante impacto en las estimaciones. Palabras clave: riesgo de negocio, coeficiente de caída de cartera, efecto contagio.

1. Introducción El proyecto Solvencia II impone a las compañías aseguradoras mejorar la cuantificación y el control de los riesgos a los que están expuestas, de forma que operen con un nivel de solvencia adecuado dentro de sus ámbitos de responsabilidad. Bajo esta nueva óptica, llevar a cabo una gestión integral del riesgo implica contemplar todos los elementos de la actividad aseguradora que puedan reportar algún tipo de incertidumbre para la entidad. El posicionamiento de la compañía en el mercado asegurador constituye un elemento de riesgo para la entidad. Dicho riesgo se materializa en la caída de cartera registrada en cada anualidad, y en la constante rotación de asegurados que entran y salen de las compañías, alterando la composición y la calidad de la cartera. En los últimos años dos hechos han acentuado la importancia de este riesgo para el sector: la mayor competencia en la industria, y la mayor facilidad de acceso a la información, lo cual puede repercutir en el nivel de fidelidad del asegurado. Las fluctuaciones en el volumen de negocio y márgenes ocasionados por este entorno competitivo suponen un riesgo para la compañía, que formalmente se denomina riesgo de negocio (Nakada et al., 1999 y Dhaene et al., 2006). Cuantificar este riesgo supone un reto para las entidades teniendo en cuenta el gran número de elementos que inciden en él, y la escasa experiencia previa que pueda guiar la correcta valoración del mismo. El punto de partida de este proceso lo proporciona la caída de cartera registrada por la entidad aseguradora, y la elaboración de escenarios extremos o aproximaciones de la caída extrema al alza (o a la baja). El modelo estándar para el cálculo de los requerimientos de solvencia se basa en parte en incrementar directamente en un 50% el coeficiente de caída registrado. Nuestra aportación permite cuantificar el grado de contagio o correlación que existe entre las decisiones de cancelación de contratos de un mismo segmento. Utilizando una base de datos sobre cancelaciones proporcionada por una aseguradora, se calculan los correspondientes coeficientes de caída extrema, y se comparan los resultados que proporciona 14

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el modelo estándar con el propuesto por las autoras, considerando tanto la hipótesis de independencia entre las decisiones de cancelación, como la de contagio entre las mismas. Los resultados constatan la existencia de contagio entre las decisiones de cancelación, cuantificándose su impacto en los resultados. La relevancia de dicho impacto pone de manifiesto que no debe ser ignorado en la elaboración de escenarios de caída de cartera. La trascendencia del tema abordado va más allá de su contribución a garantizar la estabilidad y solvencia de la compañía a lo largo del tiempo. Gestionar el riesgo de negocio supone importantes beneficios para la compañía. Por una parte, le permite anticipar las pérdidas que podría ocasionarle una eventual disminución de cuota de mercado. Además, le permite planificar actuaciones específicas que permitan proteger a la compañía frente al riesgo de negocio, como segmentar la cartera de asegurados en función del valor que reportan a la entidad y su nivel de fidelidad, y diseñar acciones específicas para cada segmento dirigidas a reducir la caída de cartera, conservando a sus mejores asegurados. La estructura del artículo es la siguiente. En la sección 2 se realiza una revisión bibliográfica que permite anticipar el estado de la cuestión existente. En la sección 3 se introduce la notación para el cálculo de los porcentajes de caída de cartera. En la sección 4 se presenta la metodología para calcular la aproximación de la caída extrema al alza a partir de la obtención del grado de contagio en las cancelaciones. En la sección 5 se presentan y discuten los resultados de la aplicación empírica. Finalmente, en la sección 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones más relevantes.

2. Estado de la cuestión La investigación sobre la fidelidad de los asegurados, y la elaboración de escenarios de caída de cartera, no ha sido muy extensa en la literatura actuarial, aunque durante los últimos años se está intensificando. Las primeras referencias, de algún modo relacionadas con esta temática, datan de los años sesenta y trataban básicamente el estudio de los factores que incidían sobre la demanda de productos aseguradores, como el nivel de ingresos familiares (Hammond et al., 1967) o la incorporación de la mujer al mundo laboral (Duker, 1969). Posteriormente, Mayers y Smith (1983) demostraron que la demanda de contratos de seguro se determina simultáneamente con la demanda de otros activos. Poco después, Doherty (1984) estudió los niveles eficientes de aseguramiento demostrando que

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aumentaban con el número de riesgos asegurables y el peso de los correspondientes activos en la cartera. En la década de los ochenta encontramos los primeros trabajos en los que se estudió la retención y fidelidad de los asegurados. Por aquel entonces, el marketing relacional se consolidaba como estrategia que permitía hacer frente a la intangibilidad de los servicios ofertados en el sector asegurador. En este contexto, Crosby y Stephens (1987) estudiaron los efectos del marketing relacional en la satisfacción, la retención y los precios en la industria del seguro de vida, concluyendo que añadía valor al servicio pero no sustituía aspectos fundamentales del mismo. La primera investigación donde explícitamente se determina el valor del cliente (customer lifetime value, CLV) en el sector asegurador fue realizada poco después por Jackson (1989). El autor utilizó un modelo histórico que analizaba el flujo de beneficios aportados por los asegurados y otro predictivo para determinar finalmente su valor para la compañía a largo plazo. El estudio tenía en cuenta las particularidades del sector asegurador a la hora de cuantificar el CLV, y argumentaba la necesidad de su determinación con el fin de dirigir estrategias de fidelización a aquellos clientes que más beneficios reportaban a la empresa. En la década de los noventa, a medida que la competencia entre las compañías aseguradoras se iba intensificando, se hacía necesario conocer los factores que inducían a los asegurados a cambiar de entidad para intentar aumentar su fidelidad a través del diseño de estrategias de retención. Schlesinger y Schulenburg (1993) analizaron la incidencia de factores en la decisión de cambiar de asegurador en el seguro del automóvil. Su análisis identificó que los principales motivos para elegir un determinada compañía eran que ésta ofreciera una prima favorable y, en segundo lugar, que la entidad hubiese sido recomendada por algún amigo o familiar. Además constataron que, para los que habían cambiado de compañía, valoraban la gestión de los siniestros considerablemente mejor en el nuevo asegurador que en el antiguo por lo que respecta al tiempo de liquidación y a la indemnización percibida. Al mismo tiempo, aparecieron estudios sobre la calidad del servicio ofrecido por las compañías y la satisfacción de los asegurados. En esta línea, Wells y Stafford (1995) midieron las percepciones de la calidad del servicio por parte de los asegurados y las compararon con la ratio de quejas registrada por las compañías, Concluyeron que niveles bajos de la ratio de quejas estaban relacionados significativamente con niveles altos de calidad de servicio 16

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percibida. Además, los consumidores tendían a valorar mejor la calidad del servicio si conocían su derecho a presentar una queja. Por otra parte, Stafford et al. (1998) identificaron los determinantes de la calidad del servicio percibida y de la satisfacción del asegurado en la reclamación de siniestros de automóvil con daños corporales. El estudio reveló que la fiabilidad era el elemento más importante, es decir, la capacidad para llevar a cabo el servicio prometido. Por lo que respecta a la aplicación de estrategias de fidelización en compañías aseguradoras, destaca el trabajo de Cooley (2002), que realizó un estudio en el ámbito de los seguros de salud basado en técnicas de segmentación. Las variables utilizadas en este estudio fueron la antigüedad, el tipo de cobertura contratada, la edad y el género. Mediante el estudio de las necesidades particulares de cada segmento, se aplicaron estrategias de fidelización específicas que en algunos casos lograron aumentar la retención de asegurados en un 7%. Podemos decir que, en la actualidad, los beneficios de aumentar la fidelidad de los clientes están fuera de toda duda. Ryals y Knox (2005) recopilaron diversos estudios al respecto donde se constataba que incrementar la retención de los clientes del 85% al 90% provocaba un incremento del valor actual de los beneficios netos como mínimo del 35%, pudiendo llegar a ser del 95% para las empresas analizadas. Estos mismos autores defendieron la necesidad de medir el risk-adjusted CLV, es decir, ajustar el CLV por el riesgo que supone desarrollar una relación con el cliente (como las inversiones en campañas de marketing destinadas a ello), por lo que podía entenderse como una medida del valor económico (EV) del mismo. A partir de los datos proporcionados por una compañía aseguradora internacional, los autores realizaron una valoración del riesgo que suponía la relación establecida con el cliente a través de la volatilidad en el flujo de ingresos futuros que éste proporcione. Los autores concluyeron que la medida del valor económico del cliente era una herramienta de gestión de gran utilidad, y que tenía un efecto positivo a la hora de dirigir las estrategias de marketing relacional. En esta misma línea de investigación, Donkers et al. (2007) compararon la capacidad predictiva de algunos de los modelos alternativos para medir el CLV cuando se aplican al sector asegurador. Los autores consideraron dos tipos de aproximaciones. La más simple la constituyen los denominados modelos basados en la relación, donde se consideran todos los productos que el cliente tiene contratados, pero tomando únicamente el total de beneficios obtenidos a través de todos ellos. Por otra parte, los modelos basados en el 17

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producto suponían aproximaciones más complejas, y se centraban en cada una de las pólizas contratadas, desagregando el beneficio obtenido de un cliente en la contribución derivada de cada uno de estos productos. Los autores concluyeron que los modelos sencillos proporcionan buenas predicciones del CLV, y que los más complejos sólo conseguían mejorar marginalmente dichas predicciones. No obstante, la importancia de la multidimensionalidad de la relación entre el asegurador y el asegurado que posee más de una póliza en la misma compañía ya había sido argumentada en el trabajo de Guillén et al. (2006). Más tarde estos mismos autores analizaron los factores que incidían en la probabilidad de cancelación por parte de asegurados con varios contratos en la misma compañía (Brockett, et al. 2008), concluyendo que la antigüedad, la ocurrencia de siniestros y el tipo de productos contratados incidían, entre otros aspectos, en el riesgo de que el cliente cancelara todas sus pólizas. Su análisis se completaba con el estudio del tiempo que permanecían como clientes de la compañía los que realizaban una primera cancelación de alguno de los productos contratados, para lo cual los autores aplicaron técnicas de análisis de supervivencia. A partir de aquí, era posible establecer unas recomendaciones generales para controlar y gestionar el riesgo de negocio en el sector asegurador, tal y como se recoge en Guillén et al. (2008). Recientemente, y dadas las condiciones económicas actuales, la caída de cartera se perfila como un fenómeno de necesaria cuantificación y control por parte de las compañías aseguradoras en el marco de Solvencia II. Su intensidad y consecuencias han sido descritas recientemente para el caso del ramo de vida en el artículo de Pieschacon (2010). Por ese motivo diremos que la revisión de los trabajos existentes en la literatura especializada permite constatar que existe un interés y una necesidad por profundizar en el estudio del comportamiento del asegurado y en la elaboración de escenarios de caída de cartera como instrumento de gestión del riesgo.

3. Cálculo de los porcentajes de caída de cartera Para la elaboración de escenarios de caída de cartera proponemos en primer lugar realizar una segmentación por productos homogéneos y antigüedad de la póliza. Ello viene motivado por los resultados obtenidos por Guillen et al. (2008) que constataron, como hemos comentado anteriormente, que la probabilidad de cancelación de una póliza depende de múltiples factores, entre ellos el tipo de producto contratado y la antigüedad del cliente. En 18

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especial se observan diferencias entre los distintos ramos del sector, registrándose, por ejemplo, más probabilidad de cancelación en el ramo del automóvil que en el del hogar. Asimismo, la antigüedad del asegurado contribuye a aumentar su fidelidad, por lo que esperamos una mayor tendencia a la cancelación en los primeros años de contrato, siendo su comportamiento más estable en los años sucesivos de vida de la póliza. De este modo, segmentaremos la cartera por grupos de productos de características homogéneas y además por la antigüedad de las pólizas. Para ello, podemos considerar en qué período (año, semestre, etc…) de vigencia se encuentra la póliza al inicio del estudio, por ejemplo, a 1 de enero de un determinado año. A final del periodo, es decir, a 31 de diciembre de ese año si realizamos el estudio por anualidades, se contabilizan las pólizas que se han cancelado a efectos del cálculo del porcentaje de cancelaciones, es decir, calculando lo que se conoce como caída de cartera. De ese modo, en el año el porcentaje de caída se obtendrá mediante el cociente entre el número de pólizas canceladas y las vigentes al inicio. Repitiendo esta operación para sucesivos ejercicios, recogeremos la experiencia registrada a lo largo de los últimos años por la compañía respecto a los correspondientes porcentajes de caída. El coeficiente de caída de cartera para el periodo siguiente es el promedio de los porcentajes de caída obtenidos en los periodos precedentes. Dado un determinado tipo de contrato y segmento de duración, diremos que Lt es el porcentaje de caída de cartera experimentado en el periodo t. La variable aleatoria Lt se expresa como el cociente entre el número de cancelaciones observadas durante ese periodo y el total de pólizas vigentes al inicio del mismo. En este sentido Lt corresponde a un promedio, ya que el total de cancelaciones puede expresarse como la suma de variables dicotómicas que llamaremos Yit, que toman el valor 1 si la póliza i-ésima se cancela en el año t y 0 en caso contrario, dividido por el total de pólizas. Si llamamos nt al número total de pólizas vigentes al inicio del período, entonces podemos escribir

∑ =

nt i =1 it

Si suponemos que las variables dicotómicas son idénticamente distribuidas y siguen una distribución de Bernoulli de parámetro p (con p ∈ [0,1]) 19

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entonces podríamos deducir que, si las variables dicotómicas fueran independientes, la distribución de

∑

nt i =1 it

Y seguiría una ley de probabilidad

Binomial de parámetros nt y p. Lamentablemente, no es posible justificar el supuesto de independencia entre cancelaciones ya que éstas pueden estar correlacionadas, teniendo en cuenta el efecto contagio en las decisiones de los asegurados. El coeficiente de caída que se emplearía para el cálculo de la mejor estimación (Best Estimate o BE), que denotaremos por L, es el promedio (ponderado si se desea) de los porcentajes de caída de los últimos T períodos, T

L = ∑ ωt Lt

(1)

t =1

donde Lt es el porcentaje de caída definido anteriormente y ω t la ponderación correspondiente al período t. De este modo, E [ L] = ω ' p L y

V [ L] = ω ' Σ Lω , donde ω es el vector de ponderaciones. El parámetro p L indica la esperanza de Lt que se supone constante, y la matriz de varianzas y covarianzas del vector (L1,L2,…,LT) es Σ L . Sin embargo, como apuntábamos, no es posible justificar el supuesto de independencia. Ello es debido a que pueden producirse fenómenos exógenos que afectan a todos los asegurados y que de manera espuria generan dependencia entre las decisiones que afectan a la cancelación de contratos. Abordamos con detenimiento este aspecto en la siguiente sección.

4. Aproximación de la caída extrema al alza a partir de la obtención del grado de contagio en las cancelaciones A partir de la expresión (1), y dado que la matriz de varianzas y covarianzas es definida positiva, podemos descomponerla como el producto de tres matrices,

Σ L = Δ L RL Δ L

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donde Δ L es una matriz diagonal que contiene la desviación estándar del vector (L1,L2,…,LT) y RL es la matriz de correlaciones lineales simples. Para considerar máxima correlación entre períodos, supondremos que la matriz de correlaciones tiene todos los elementos igual a uno, es decir RL = 1´1, siendo 1 un vector unitario T-dimensional. El procedimiento para el cálculo del coeficiente de caída L en un escenario al 99.5% se obtiene mediante una aproximación t-Student como sigue,

ω ' Lˆt + t99.5% ω ' Σˆ Lω / 2

(2)

donde t99.5% es el valor correspondiente al nivel de confianza del 99.5%, obtenido mediante la inversa de una distribución t-Student con T-1 grados de ˆ L una estimación de Lt y de la matriz de libertad en el punto 0.995, y Lˆt y Σ varianzas y covarianzas, respectivamente. La división por 2 es necesaria para la adecuada parametrización de la distribución t-Student (ver Hossack et al., 1999 y McNeil et al., 2005). Utilizaremos además las variables aleatorias dicotómicas que se habían introducido en la sección anterior, Yit, que toman el valor 1 si la póliza iésima se cancela en el período t y 0 en caso contrario. Diremos que tanto su esperanza como su varianza son constantes y estables en el tiempo, E[Yit] = p y V[Yit] = p(1 - p), expresión que se deriva de las propiedades básicas de una distribución de Bernoulli. El porcentaje de caída en notación vectorial se expresa como Lt = (1´Yt)/nt, siendo 1 un vector de nt unos e Yt el vector de nt variables dicotómicas. Entonces,

E[ Lt ] =

1´E[Yt ] nt p = =p nt nt

V [ Lt ] =

1´Σ1 nt2

donde Σ es la matriz de varianzas y covarianzas del vector Yt de nt variables dicotómicas. Como no se supone independencia entre las variables dicotómicas, esta matriz no es necesariamente diagonal.

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Si las variables Yit están correlacionadas, y por lo tanto son dependientes, entonces dada la presencia de homoscedasticidad, escribiremos Σ = p (1 − p ) R , siendo R una matriz de correlaciones con unos en la diagonal y cuyos elementos fuera de la diagonal supondremos constantes e iguales a r a fin de admitir correlación entre todos los contratos. La propuesta metodológica para estimar r es la siguiente. En primer lugar, hallamos la expresión analítica de 1´Σ1 . Dada la forma de R obtenemos que

1´Σ1 = p(1 − p )1´ R1 = p(1 − p )(1 + r ( nt − 1))nt . Substituyendo obtenemos,

V [ Lt ] =

1´Σ1 p (1 − p )(1 + r ( nt − 1)) . = nt nt2

Si empleamos el estimador de momentos para la V [ Lt ] y consideramos que la caída de cartera tiene volatilidad constante en el período histórico considerado, entonces diremos que T

Vˆ [ Lˆt ] = Vˆ [ Lˆ ] = ∑ ( Lˆt − Lˆ ) 2 ωt t =1

y considerando nt constante, por ejemplo usando

nˆ = ∑t =1 ωt nt

(3)

⎛ ∑T ( Lˆ − Lˆ ) 2 ω ⎞ t t − 1⎟ /(nˆ − 1) . rˆ = ⎜ nˆ t =1 ⎜ ⎟ Lˆ (1 − Lˆ ) ⎝ ⎠

(4)

podemos estimar r como

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La estimación rˆ es una estimación del grado de correlación entre cancelaciones, que se introduce en el cómputo del escenario extremo. Además, la matriz de desviaciones ΔL puede estimarse como una matriz diagonal cuyos elementos son iguales a

Vˆ ( Lˆ ) . Es decir,

Δˆ L = Vˆ ( Lˆ ) I , siendo I la matriz identidad de dimensión T. De este modo, se puede utilizar el coeficiente de caída en el escenario del

ˆ por Δˆ R Δˆ , y de esta 99.5% definido en (2) sin más que sustituir Σ L L L L forma, la aproximación presentada equivale a suponer máxima correlación entre períodos y un contagio no nulo entre las cancelaciones de pólizas, a la vez que un supuesto de propensión a la caída constante en el periodo considerado, o volatilidad constante. 5. Aplicación a un segmento de pólizas de seguros generales En esta sección presentamos los resultados obtenidos tras la aplicación de la metodología propuesta a una base de datos de cancelaciones correspondiente a una muestra de pólizas del automóvil de una compañía aseguradora. El periodo analizado va desde el 31-12-2005 al 31-21-2007, es decir, dos anualidades en las que hacemos un seguimiento de la caída de cartera registrada semestralmente (consideramos pues cuatro periodos semestrales).2 La muestra analizada consta de 234228 pólizas en vigor al inicio del estudio. Segmentamos las pólizas en función del tipo de vehículo asegurado (diferenciando entre turismos, ciclomotor o motocicleta y otros vehículos de motor), y la antigüedad de la póliza al inicio de cada uno de los semestres analizados (diferenciando si la póliza se encuentra en el primer año de antigüedad, segundo año o tres o más). Consideramos además en este estudio unos coeficientes de ponderación iguales para cada período analizado, en nuestro caso por tanto ωt = 0.25, t = 1, …, 4.

El análisis se podría hacer por caídas anuales pero ello requeriría un seguimiento histórico más amplio del que no se disponía para elaborar este apartado.

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Los resultados de los porcentajes de caída semestrales aparecen en la Tabla 1. Para cada año de antigüedad de la póliza considerado se muestra en primer lugar el valor de nˆ , es decir, el número promedio de pólizas que viene dado por la expresión (3). Seguidamente se muestran los porcentajes de caída semestrales para cada segmento analizado y, a modo de resumen, para el ramo del automóvil en general. Observamos en primer lugar como el mayor volumen de pólizas corresponde a las que están en su tercer año de antigüedad o más, y que además son éstas las que en general presentan unos menores porcentajes de cancelación, tal y como esperábamos en función de los resultados obtenidos en otros estudios. Observamos en general como los porcentajes de caída semestrales dentro de cada segmento analizado son bastante estables, siendo el segundo semestre el que globalmente ha registrado un mayor porcentaje de cancelaciones. Cuando el vehículo asegurado es un turismo observamos que, dentro del primer semestre considerado, se cancelan un 11.80% de los contratos que están en su primer año de vigencia, un 10.98% de los que están en su segundo año, y un 5.51% de los que están en el tercer año o más de vigencia. Estos porcentajes se mantienen bastante estables para el resto de semestres analizados. Los porcentajes de caída más elevados se dan cuando el vehículo asegurado es un ciclomotor o motocicleta, alcanzando valores superiores al 20% en algunos de los semestres analizados para pólizas en su primer o segundo año de vigencia. Este porcentaje se reduce considerablemente para pólizas de mayor antigüedad, alcanzando igualmente valores que en algunos casos se sitúan por encima del 10%. Por lo que respecta al tercer grupo de pólizas, formado mayoritariamente por derivados de los turismos, todo terrenos y furgonetas, los porcentajes de caída semestrales son similares a los correspondientes a los turismos, aunque ligeramente superiores. Para pólizas en su primer o segundo año de vigencia se sitúa en torno al 12%, reduciéndose a la mitad al considerar pólizas de mayor antigüedad. Los resultados globales para el ramo son bastante estables para los distintos semestres analizados, y muestran un porcentaje de caída que se sitúa en torno al 13.5% para pólizas en su primer año de vigencia, y del 12.5% en su segundo año, reduciéndose a la mitad si la antigüedad es mayor.

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Tabla 1. Porcentajes de caída semestrales Lˆt Antigüedad Producto Turismo

Ciclomotor o motocicleta

Semestre

1 año nˆ = 19779

2o año nˆ = 18008

3o o más nˆ = 124065.5

1 2 3 4

11.80% 13.60% 12.82% 12.77% nˆ = 6199.25

10.98% 11.58% 11.07% 10.65% nˆ = 4770.25

5.51% 5.67% 6.31% 5.53% nˆ = 19088

1 2 3 4

14.32% 20.44% 16.51% 18.84% nˆ = 5356.25

16.12% 20.31% 17.15% 23.34% nˆ = 4463.75

7.87% 10.78% 9.09% 11.53% nˆ = 26176

1 2 3 4

13.00% 12.16% 12.13% 10.59% nˆ = 31334.5

12.42% 11.27% 13.46% 10.09% nˆ = 27242

5.94% 6.08% 7.12% 5.77% nˆ = 169329.5

1 2 3 4

12.51% 14.79% 13.41% 13.48%

12.06% 13.07% 12.56% 12.86%

5.85% 6.31% 6.74% 6.24%

Otros

General del ramo

En la Tabla 2 se muestran los coeficientes de caída correspondientes a la expresión (1) y que recogen el promedio de los porcentajes de caída de la Tabla 1. Igualmente se muestran los coeficientes de caída extrema bajo el modelo estándar, que se obtienen simplemente aumentando los anteriores en un 50%. Finalmente, en la Tabla 3 se muestran los resultados para los coeficientes de caída extrema calculados en base a la metodología propuesta en la sección anterior, y que corresponden a la expresión (2), es decir, al límite superior de un intervalo de confianza al 99.5% para el coeficiente de caída. Se contemplan dos hipótesis diferentes. Por un lado la hipótesis de 25

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independencia, en la que se supone que no existe contagio y r = 0; por otro lado, se supone que existe dependencia, y cuantificamos el grado de contagio a través del cálculo de r según la expresión (4). En este último caso, los valores del coeficiente r que mide el grado de contagio se muestran multiplicados por 1000 (entre paréntesis en la tabla). Tabla 2. Coeficientes de caída promedio Lˆ y bajo modelo estándar Lˆup , +50%

Lˆ

Lˆup , +50%

1er año

2o año

3o o más

1er año

2o año

3o o más

12.75%

11.07%

5.76%

19.12%

16.61%

8.63%

Ciclomotor o motocicleta Otros

17.53%

19.23%

9.82%

26.29%

28.85%

14.73%

11.97%

11.81%

6.23%

17.95%

17.72%

9.34%

General del ramo

13.55%

12.64%

6.29%

20.32%

18.95%

9.43%

Antigüedad Producto Turismo

Tabla 3. Coeficientes de caída bajo hipótesis de independencia Lˆ99,5%,indep y considerando contagio Lˆ99,5%,contagio

Lˆ99,5%,indep Antigüedad Producto Turismo Ciclomotor o motocicleta Otros General del ramo

Lˆ99,5%,contagio

1er año

(r = 0) 2o año

3o o más

13.74%

12.04%

6.03%

19.55%

21.58%

10.71%

13.81%

13.80%

6.84%

14.35%

13.47%

6.53%

1er año

(r * 1000) 2o año 3o o más

15.40% (0.319) 27.09% (3.565) 15.56% (0.530) 16.92% (0.536)

12.44% (0.056) 30.87% (4.941) 17.01% (1.301) 14.21% (0.090)

7.10% (0.187) 15.71% (2.264) 8.40% (0.436) 7.60% (0.167)

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Observamos en primer lugar como el escenario de caída extrema correspondiente al modelo estándar da lugar, en general, a los valores más elevados, excepto para el segmento de ciclomotores y motocicletas, en las que sería ligeramente superado por el modelo propuesto en este artículo para el caso de contagio. Concluimos por tanto que en general el modelo estándar resulta demasiado conservador dando lugar a unos coeficientes excesivamente elevados. Ello se deriva de su propia construcción, basado simplemente en incrementar en un 50% el coeficiente de caída obtenido y sin tener en cuenta en ningún momento su varianza. Por lo que respecta al modelo en caso de asumir independencia, ocurre lo contrario. Comparados con el caso en el que existe contagio los coeficientes resultan inferiores. En algunos casos subestiman considerablemente el riesgo, como ocurre para el segmento de motocicletas y ciclomotores en que, por ejemplo para pólizas en su segundo año de vigencia, el modelo bajo independencia arroja un coeficiente de caída extrema del 21.58%, bastante inferior al 30.87% obtenido bajo la hipótesis de dependencia. Ello queda reflejado en la magnitud de r que cuantifica el impacto del contagio, y que toma un valor especialmente alto para este segmento. En resumen, diremos que cuánto más se aleje r de 0 mayor error cometeremos en la elaboración de escenarios para el coeficiente de caída extrema asumiendo independencia. Nuestros resultados ponen de manifiesto la existencia de contagio entre las decisiones de cancelación, y que éste tiene un importante impacto en los resultados. Por otra parte, el modelo estándar resulta en la mayoría de los casos demasiado conservador, dando lugar a porcentajes de caída excesivamente altos. Bajo el modelo que proponemos, el escenario estresado sería en la mayoría de casos inferior al 50% requerido por la fórmula estándar. En definitiva, la dependencia existente entre las decisiones de cancelación de los asegurados no debería ser ignorada dado que la compañía cuantificaría erróneamente su verdadera exposición al riesgo de negocio, con las consecuencias negativas asociadas.

6. Conclusiones y recomendaciones finales Este artículo proporciona una metodología para la elaboración de escenarios de caída de cartera en el entorno asegurador en el marco de Solvencia II, que está fundamentada en el análisis estadístico de la propia experiencia de la compañía. Lleva asociada la ventaja de aumentar la precisión de las estimaciones con respecto al modelo estándar, al tiempo que se obtienen escenarios estresados inferiores al 50% en la mayoría de los casos. 27

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La metodología propuesta considera el impacto que tiene en los resultados el contagio en las decisiones de cancelación de los asegurados por lo que los escenarios formulados resultan más realistas y precisos. Del análisis empírico realizado en este estudio se concluye que ignorar este contagio y asumir independencia en las decisiones de cancelación introduce un error en las estimaciones nada despreciable, y con negativas consecuencias para la compañía aseguradora, dado que subestimaría su exposición al riesgo de negocio. El estudio podría hacerse igualmente tomando como punto de partida las persistencias, es decir el porcentaje de pólizas que continúan vigentes o se renuevan en cada periodo. Nuestra recomendación es realizar este tipo de análisis para distintos tipos de contratos y duración de los mismos. Éstos constituyen dos factores que inciden en la probabilidad de cancelación de pólizas, con lo cual conseguimos a través del análisis de distintos grupos de contratos una mayor estabilidad, y por lo tanto un escenario estresado inferior al 50% requerido por la fórmula estándar. Sería recomendable asimismo considerar el efecto de otras covariables y valorar qué impacto tendrían en la elaboración de escenarios extremos. Entre ellas estaría, por ejemplo, el tipo de cobertura contratada, o la declaración de siniestros previos. Sería interesante igualmente implementar un modelo para el coeficiente de caída dependiente de las duraciones más exactas. Para ello, al inicio de cada período (por ejemplo, a 1 de enero) se tomarían todas las pólizas de un determinado tipo de producto y, a continuación, mediante un modelo de predicción probabilística basado en el análisis de la supervivencia, se aplicaría la probabilidad de cancelación del contrato durante el período siguiente (hasta 31 de diciembre en caso de períodos anuales) en función de la antigüedad exacta de la póliza. Este análisis podría esclarecer si la segmentación por años de antigüedad en tres grupos es la más adecuada para las predicciones a realizar. En la implementación del cálculo del BE debería aplicarse a cada póliza la probabilidad de cancelación derivada del anterior modelo. Es decir, la probabilidad de cancelación sería función de la antigüedad de cada póliza al inicio del período y podría tener una expresión sencilla. Como caso particular, este método sería equivalente al que se muestra en este artículo si sólo se considerasen duraciones discretas. En un escenario extremo, deberían cambiarse dichas probabilidades individuales estimadas por aquellas que se deducirían de aplicar un escenario al 99.5% de confianza. Éstas son algunas de las propuestas que podrían implementarse a fin de mejorar las estimaciones aquí obtenidas, si bien consideramos que este 28

Mercedes Ayuso, Montserrat Guillén y Ana M. Pérez-Marín – Anales 2011/13-30

trabajo aporta las líneas generales de actuación que pueden guiar a las aseguradoras en la correcta elaboración de escenarios de caída de cartera, y por tanto de medición de su exposición al riesgo de negocio, en el marco de Solvencia II.

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Metodología para el cálculo de escenarios de caída de cartera – Anales 2011/13-30

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SOBRE UNA CLASE DE RIESGOS DEPENDIENTES José María Sarabia1*, Faustino Prieto1

Resumen El análisis de riesgos dependientes ha recibido una gran atención en la estadística actuarial moderna. En el siguiente trabajo se presenta una clase general de riesgos dependientes, así como dos modelos específicos. La nueva clase se construye mediante la técnica estadística de las variables en común, de modo que los riesgos dependientes obtenidos son fáciles de simular. Se obtienen algunas de sus propiedades incluyendo las funciones de distribución y densidad multivariantes, momentos, distribuciones marginales, dependencia estadística, así como el modelo de riesgo individual. Se consideran extensiones basadas en clases dependientes. A continuación se estudian dos modelos específicos, denominados gammagamma y beta-beta. En el modelo gamma-gamma, se trabaja con riesgos distribuidos según variables aleatorias tipo gamma. Se estudian diversas propiedades, así como el modelo de riesgo individual. El segundo modelo es el denominado beta-beta, y permite trabajar con riesgos cuyo soporte es acotado. Finalmente, se propone un método de estimación basado en momentos y se incluye una aplicación numérica. Palabras Clave: Riesgos dependientes, modelo de riesgo individual, distribuciones gamma y beta. Abstract The analysis of dependent risk has received a lot of attention in the modern actuarial statistics. In the following paper, a general class of dependent risks and two specific models are presented. The new class is built using the methodology of the common random variables, and then the dependent risks obtained are easy to simulate. We obtain some of its properties, including the 1 Departamento de Economía. Universidad de Cantabria, Avda. de los Castros s/n, 39005-Santander. E-mail: sarabiaj@unican.es (José María Sarabia); faustino.prieto@unican.es (Faustino Prieto). * Autor para correspondencia: sarabiaj@unican.es . Los autores agradecen al Ministerio de Ciencia e Innovación (proyecto ECO2010-15455) por la financiación parcial de este trabajo. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 20 de junio de 2011

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

joint cumulative distribution and the joint probability density multivariate functions, moments, marginal distributions, statistics dependence, as well as the individual risk model. Extensions based on dependent classes are considered. Then, we analyze two specific models, named gamma-gamma and beta-beta. In the gamma-gamma model, the risks are distributed according to gamma random variables. Several properties are studied, including the individual risk model. The second model, named beta-beta distribution, can be used to model data with bounded support. Finally, an estimation method based on moments is proposed and a numerical application with real data is included. Key words: Dependent risks, individual risk model, gamma and beta distributions.

1 Introducción El análisis de riesgos dependientes ha recibido una gran atención en la estadística actuarial moderna. Los riesgos dependientes aparecen en diferentes ámbitos de la estadística actuarial. Dicha dependencia puede aparecer tanto en el tamaño de las reclamaciones, como en los tiempos entre reclamaciones y en las primas. En el contexto del modelo de riesgo colectivo, Sarabia y Guillén (2008) han considerado modelos de dependencia entre el número de reclamaciones y la cantidad reclamada, a partir de modelos basados en la técnica de la especificación condicional. En la teoría clásica del riesgo, los riesgos individuales se suponen mutuamente independientes, debido principalmente a la facilidad de cálculo en las fórmulas del riesgo agregado. Sin embargo, existen diversas situaciones donde la hipótesis de independencia es cuestionable, por ejemplo, en situaciones donde los riesgos individuales están sujetos al mismo escenario físico o económico. En el trabajo de Valdez et al. (2009) aparecen descritos diversos modelos actuariales y financieros donde la hipótesis de dependencia es crucial en el cálculo de primas. Dichos autores establecen la dependencia entre riesgos por medio de clases de distribuciones multivariantes de tipo elíptico y esférico. Haciendo uso de estas clases, obtienen cotas y aproximaciones para sumas de variables aleatorias de naturaleza dependiente. Albrecher et al. (2011) han obtenido expresiones explícitas de la probabilidad de ruina, suponiendo diversos modelos de dependencia entre riesgos. Diferentes aspectos de la teoría 32

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

actuarial de los riesgos dependientes han sido estudiados por Denuit et al. (2005), donde se consideran medidas, órdenes y modelos. En el ámbito de la modelización, es importante indicar que la dependencia de riesgos mediante modelos de cópulas ha aumentado considerablemente en los últimos años. Este tipo de modelización permite introducir dependencias en un conjunto de riesgos individuales, cuyas distribuciones marginales son conocidas. Nelsen (1999) es un texto introductorio sobre copulas y Kolev et al. (2006) recogen contribuciones recientes, así como diversas aplicaciones. El análisis de la dependencia resulta también importante desde otros puntos de vista. En la práctica actuarial, resulta relevante tanto detectar la dependencia en los datos, como disponer de modelos que recojan adecuadamente dicha dependencia. En este sentido, Sarabia y Gómez-Déniz (2008) han estudiado diversos procedimientos estadísticos para establecer dependencias entre variables aleatorias. En el siguiente trabajo se presenta una clase general de riesgos dependientes, así como dos modelos específicos. La nueva clase se presenta en la Sección 2 y se construye mediante la técnica estadística de las variables en común, de modo que el proceso de simulación es directo. En la Sección 3, se estudian algunas de sus propiedades incluyendo las funciones de distribución y densidad multivariantes, distribuciones marginales, dependencia estadística, momentos mixtos, así como el modelo de riesgo individual. A continuación se estudian dos modelos específicos, denominados gamma-gamma y betabeta. El modelo gamma-gamma se estudia en la Sección 4. En dicho modelo se trabaja con riesgos distribuidos según distribuciones gamma. Se estudian diversas propiedades y el modelo de riesgo individual. El segundo modelo es el denominado beta-beta, y se estudia en la Sección 5. Este modelo permite trabajar con riesgos cuyo soporte es acotado. Finalmente, se propone un método de estimación basado en momentos y se incluye una aplicación numérica.

2 Definición de la Clase En esta sección definimos la nueva clase de riesgos dependientes. La clase se define a partir de una clase inicial de m riesgos, que pueden ser tanto independientes como dependientes. Consideremos un conjunto de m riesgos, definidos en términos de variables aleatorias no negativas de tipo continuo Z1 , Z 2 ,K , Z m . Sean F12Km ( z1 ,K , zm ) y f12Km ( z1 ,K , zm ), las funciones de distribución y de densidad conjunta, respectivamente. 33

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

Consideremos ahora un riesgo común definido en términos de una variable aleatoria U con función de distribución FU (u ) y función de densidad

fU (u ) , que es independiente de las variables Z1 , Z 2 ,K , Z m . La nueva clase ( X 1 , X 2 ,K , X m ) se define como, ( X 1 , X 2 ,K , X m ) = ( Z1h(U ), Z 2 h(U ),K , Z m h(U )),

(1)

siendo h(⋅) una función monótona de la variable U . Si la clase inicial

Z i , i = 1, 2K m es de riesgos independientes, el riesgo en común U genera una clase de riesgos que siempre son dependientes. Notar que la simulación de la clase (1) es directa, a partir de la simulación de datos de los Z i y del riesgo común U . Un primer modelo basado en la distribución lognormal puede construirse en el caso de h(u ) = u . Si suponemos que tanto los riesgos individuales Z i como el riesgo común U siguen distribuciones de tipo lognormal independientes, entonces la distribución conjunta del vector ( X 1 ,K , X m ) es lognormal multivariada, cuyas correlaciones entre variables son siempre positivas.

3 Propiedades Básicas En esta sección nos ocuparemos de las propiedades básicas de la clase (1), con h(u ) = u . Si denotamos por G12Km ( x1 ,K , xm ) la función de distribución conjunta, condicionando sobre la variable aleatoria U se obtiene que, ∞

G12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫ F12Km ( x1 u , x2 u ,K , xm u )dFU (u ), 0

(2)

y en el caso de independencia de los riesgos iniciales de Z i , la expresión (2) se convierte en:

G12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫

∞ m

∏ F (x i =1

u )dFU (u ),

(3)

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

donde Fi ( zi ) representa la función de distribución marginal Z i . Notar que (3) puede interpretarse como una mezcla de distribuciones de escala, donde la escala es común a todos los riesgos. Si derivamos parcialmente (2) respecto x1 , x2 K , xm , obtenemos la función de densidad conjunta, que viene dada por, ∞

g12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫ u − m f12Km ( x1 u , x2 u ,K , xm u )dFU (u ),

(4)

o bien ∞

i =1

g12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫ u − m ∏ f i ( xi u )dFU (u ),

(5)

en el caso de independencia de los riesgos iniciales, siendo fi ( zi ) las funciones de densidad de los Z i , i = 1, 2K m . Por la propia definición del vector ( X 1 ,K , X m ) , cualquier subvector de dimensión r < m , tiene la función de distribución y de densidad de la misma forma. De este modo, la función de densidad marginal de X i , i = 1, 2,K , m viene dada por ∞

g X i ( xi ) = ∫ f Zi ( xi u )dFU (u ). 0

(6)

3.1 Dependencia Estadística La dependencia estadística del modelo se puede obtener por medio del concepto de variables aleatorias asociadas. Puesto que las variables X 1 ,K , X m son funciones crecientes de los riesgos independientes

U , Z1 ,K , Z m , se deduce que X 1 ,K , X m son variables aleatorias asociadas, de acuerdo con la definición de Esary, Proschan y Walkup (1967). Como una consecuencia de este resultado las covarianzas entre parejas de riesgos son siempre no negativas, y por tanto sólo son igualmente posibles coeficientes de correlación lineal no negativos. 35

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

3.2 Momentos Mixtos A partir de la definición del vector ( X 1 , X 2 ,K , X m ) es posible obtener los momentos mixtos de orden r =

∑

r , donde ri > 0, i = 1, 2,K , m

i =1 i

función de los momentos de los riesgos Z i y de los momentos del riesgo común h(U ) , donde se supone que todos estos riesgos son mutuamente independientes. Se verifica que, m

E ⎡⎣ X 1r1 L X 1rm ⎤⎦ = E ⎡⎣ h(U ) r ⎤⎦ ∏ E ⎡⎣ Z iri ⎤⎦, i =1

donde r =

∑

r , y se supone que todos los momentos de los riesgos

i =1 i

existen.

3.3 Modelo de Riesgo Individual El modelo de riesgo individual (Klugman et al, 2004; Sarabia et al, 2006), representa la pérdida agregada para un número fijo de riesgos. Este modelo se suele utilizar para el cálculo de las pérdidas en n contratos de seguros. Para la clase de riesgos (1) antes definida tenemos, m

S m = h(U )∑ Z i . i =1

Si la distribución de riesgos

∑

m i =1

Z i es conocida, es posible conocer la

distribución del riesgo individual S m como un producto de variables aleatorias. Notar que el conocimiento de la distribución de S m es crucial para el cálculo de primas y reservas. A pesar de que la distribución de S m puede ser complicada, es posible disponer de las correspondientes fórmulas para sus momentos. Suponiendo nuevamente independencia entre los Z i y U , tenemos que,

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

E ⎡⎣ S mr ⎤⎦ = E ⎡⎣ h(U ) r ⎤⎦ ∑ cr ,r1 ,K,rm ∏ E ⎡⎣ Z iri ⎤⎦ , S

i =1

donde cr , r1 ,K,rm = r ! (r1 !L rm !) , y S es el conjunto de números naturales

ri , i = 1, 2,K , m tales que

∑

r = r.

i =1 i

4 Modelo Gamma-Gamma El modelo gamma-gamma es el modelo (1) donde tanto los riesgos Z i como

U siguen distribuciones de tipo gamma. Supongamos entonces que los riesgos iniciales Z i siguen distribuciones tipo gamma con función de densidad

f Z i ( zi ; α i , σ i ) =

ziαi −1 exp(− zi σ i ) , zi > 0, i = 1, 2,K , m, σ iαi Γ(α i )

donde α i , σ i > 0, i = 1, 2K m y representaremos mediante Z i ≈ G (α i , σ i ). Suponemos que el riesgo común U sigue también una distribución gamma con parámetro de forma α 0 y parámetro de escala uno, de modo que

U ≈ G (α ,1). Haciendo uso de la fórmula (5), la función de densidad viene

dada por, ∞

i =1

g12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫ u − m ∏

( xi u )αi −1 exp(− xi uσ i ) uα0 −1 exp(−u ) ⋅ d Γ(α o ) σ iαi Γ(α i )

Para el cálculo de la expresión anterior, haremos uso de la identidad:

∫

∞

b⎞ ⎛ x a −1 exp ⎜ − x − ⎟ dx = 2b a 2 K a ⎡⎣ 2 b ⎤⎦ , x⎠ ⎝

donde b > 0 y K n [ z ] representa la función modificada de Bessel de segunda especie. 37

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

Haciendo uso de la fórmula anterior se obtiene la función de densidad conjunta,

( xi σ i )αi −1 ⎛ m xi ⎞ g12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ⎜∑ ⎟ ∏ Γ (α 0 ) i =1 σ i Γ (α i ) ⎝ i =1 σ i ⎠ 2

donde xi > 0, i = 1, 2,K , m y A = α 0 −

∑

m i =1

⎡ K A ⎢2 ⎣⎢

xi ⎤ ⎥ (7 i ⎥ ⎦ )

∑σ i =1

α i . La función de densidad de

las marginales X i (fórmula (6)) viene dada por,

⎡ x ⎤ 2( xi σ i )(α0 +αi ) 2−1 g X i ( xi ; α i , σ i ) = Kα0 −αi ⎢ 2 i ⎥ , xi > 0, σ i Γ (α 0 ) Γ (α i ) ⎣ σi ⎦

(8)

para i = 1, 2,K , m . La clase de densidades univariadas (8) ha sido identificada por Johnson et al. (1994) sin incluir el parámetro de escala. Kotz y Srinivasan (1969) obtuvieron la distribución en términos de transformadas de Mellin. Una variable aleatoria X i con función de densidad (8) será denotada por X i ≈ GG (α 0 , α i , σ i ) , i = 1, 2,K , m.

La Figura 1 muestra la función de densidad conjunta y los contornos para m = 2 riesgos y para valores seleccionados de los parámetros.

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

Figura 1: Función de densidad conjunta y contornos del modelo gammagamma para m = 2 riesgos, para (α 0 , α1 , α 2 ) = (2, 2, 2) (arriba), y para

(α 0 , α1 , α 2 ) = (2,3, 2) (abajo).

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

4.1 Momentos Mixtos Vamos a obtener los momentos mixtos de orden r =

∑

r , donde

i =1 i

ri > 0, i = 1, 2,K , m , del vector gamma-gamma ( X 1 , X 2 ,K , X m ) Suponemos que Z i y U son independientes. Tenemos que,

Γ ( r + α 0 ) m Γ ( ri + α i ) σ iri E ⎡⎣ X L X ⎤⎦ = ∏ Γ (α ) , Γ (α 0 ) i =1 i r1 1

∑

con r =

rm 1

r , y ri > 0, i = 1, 2,K , m .

i =1 i

4.2 Vector de Medias y Matriz de Covarianzas El vector de medias y la matriz de covarianzas se puede obtener de forma cerrada. Las medias de las variables X i vienen dadas por,

μ X = E ( X i ) = α 0α iσ i , i = 1, 2,K , m.

(9)

Por otro lado, los términos de la matriz de covarianzas son:

σ X = var( X i ) = α 0α i (1 + α 0 + α i )σ i2 ,

(10)

σ X , X = cov( X i , X j ) = α 0α iα jσ iσ j , i ≠ j.

(11)

Haciendo uso de (10) y (11), se obtiene la matriz de correlaciones, cuyos elementos no diagonales son

ρ X , X = corr ( X i , X j ) = i

α iα j

(1 + α 0 + α i ) (1 + α 0 + α j )

, i≠ j,

(12)

Según (12), únicamente son posibles correlaciones no negativas, tal como hemos probado en un apartado anterior. Notar que si α i , α j → ∞ entonces

ρ X , X → 1 y si α i → 0 entonces ρ X , X → 0. i

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

4.3 Modelo de Riesgo Individual Gamma-Gamma Consideremos el modelo de riesgos dependientes gamma-gamma con función de densidad conjunta definida en (7). El modelo de riesgo individual viene dado por, m

Sm = U ∑ Zi , i =1

donde Z i ≈ G (α i , σ i ), i = 1, 2,K , m y U ≈ G (α 0 ,1). De acuerdo con las hipótesis habituales, si las Z i son independientes entre sí e independientes del riesgo común U , con

σ i = 1, i = 1, 2,K , m , entonces

∑

m i =1

Zi ≈ G

(∑

m i =1

)

α i ,1 .

Por tanto,

haciendo uso de los resultados del apartado anterior, tenemos que m ⎛ ⎞ S m ≈ GG ⎜ α 0 , ∑ α i ,1⎟ . i =1 ⎝ ⎠

La Figura 2 muestra las funciones de densidad marginales de dos riesgos dependientes X 1 y X 2 , así como el riesgo agregado S 2 , bajo tres configuraciones diferentes de los parámetros. Notar que son posibles situaciones de no modalidad y unimodalidad.

Sobre una clase de riesgos dependientes â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/31-50

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

Figura 2: Funciones de densidad marginales de dos riesgos dependientes X 1 y X 2 , así como el riesgo agregado S 2 , bajo tres configuraciones diferentes de los parámetros:

(α 0 , α1 ) = (2, 2) (arriba),

(α 0 , α1 ) = (3,1) (medio),

(α 0 , α1 ) = (1,5) (abajo). Los momentos de S m pueden obtenerse a partir de la fórmula general contenida en la subsección 3.3. Tenemos que, m Γ ( r + α0 ) Γ ( ri + α i ) σ iri r ⎡ ⎤ , E ⎣ Sm ⎦ = ∑ cr ,r1 ,K,rm ∏ Γ (α 0 ) S Γ (α i ) i =1

donde cr , r1 ,K,rm = r ! (r1 !L rm !) , y S es el conjunto de números naturales

ri , i = 1, 2,K , m tales que

∑

r = r.

i =1 i

4.4 Extensiones basadas en Clases Dependientes El modelo gamma-gamma considerado ha partido de un vector de riesgos independientes ( Z1 ,K , Z m ) , al que posteriormente se le ha incluido un riesgo común U de carácter multiplicativo. Como hemos señalado en la Sección 2, es posible partir de una clase de riesgos dependientes, y de este modo disponer de una mayor flexibilidad en el ajuste de riesgos dependientes. En este caso debemos partir de una distribución multivariante con marginales tipo gamma. Entre la diversas posibilidades (ver Kotz, Balakrishnan y Johnson, 2000), una opción es trabajar con la distribución gamma multivariada propuesta por Mathai y Moschopoulos (1991). Dicha distribución multivariante se puede definir en términos de la función generatriz de momentos multivariada, m ⎛ ⎞ M Z1 ,K, Zm (t1 ,K , tm ) = ⎜1 − ∑ σ i ti ⎟ ⎝ i =1 ⎠

−α 0

∏ (1 − σ t ) i =1

i i

−α i

Las distribuciones marginales del modelo anterior son de tipo gamma, de modo que Z i ≈ G (α 0 + α i , σ i ) , i = 1, 2,K , m. A continuación, haciendo uso de la función de densidad conjunta de ( Z1 ,K , Z m ) y de la fórmula (4), 43

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

se obtiene la nueva función de densidad conjunta. Notar que los momentos mixtos de esta nueva distribución son más complicados que los obtenidos en la Sección 4.1. El modelo de riesgo individual de esta nueva clase se puede obtener haciendo uso del Teorema 2.1 de Mathai y Moschopoulos (1991). Para ello, y en una primera etapa, se trata de considerar la distribución de la convolución Z1 + L + Z m . Dicha distribución es una mezcla infinita de distribuciones tipo gamma, donde los parámetros de forma de las componentes se distribuyen según una determinada variable aleatoria de tipo discreto. En una segunda etapa, se obtiene la distribución del producto de la convolución Z1 + L + Z m por el riesgo común U , que da lugar a una nueva mezcla infinita de variables aleatorias del tipo (8).

5 El Modelo Beta-Beta El modelo beta-beta supone que tanto los riesgos iniciales como el riesgo común, siguen distribuciones tipo beta, con determinadas configuraciones de los parámetros. Se dice que un riesgo Z sigue una distribución beta con parámetros a y b , si su función de densidad viene dada por,

z a −1 (1 − z ) f Z ( z; a, b) = B ( a, b )

b −1

, 0 < z < 1,

donde a, b > 0 y B (a, b) representa la función beta. Una variable aleatoria con distribución beta la denotaremos por Z ≈ Be(a, b). Para la construcción del modelo suponemos que los riesgos iniciales siguen distribuciones beta, de modo que Z i ≈ Be(a0 + b0 , bi ), con a0 , b0 , bi > 0, para i = 1, 2,K , m. Por otro lado, suponemos que el riesgo U es independiente de los Z i y está distribuido de acuerdo con U ≈ Be(a0 , b0 ). La función de densidad conjunta de ( X 1 ,K , X m ) viene dada por,

( xi u ) a0 +b0 −1 (1 − xi u )bi −1 uα 0 −1 (1 − u )b0 −1 d g12Km ( x1 , x2 K , xm ) = ∫ u ∏ ⋅ 0 B ( a0 + b0 , bi ) B ( a0 , b0 ) i =1 1

−m

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

A diferencia del modelo anterior, la función de densidad conjunta anterior no puede escribirse en general en términos de funciones conocidas. Sin embargo, haciendo uso de los resultados de Kotlarski (1962), las funciones de densidad marginales de los riesgos X i son de tipo beta, de modo que,

X i ≈ Be ( a0 , b0 + bi ) , i = 1, 2,K , m.

(13)

5.1 Momentos Mixtos Si r =

∑

r , con ri > 0, i = 1, 2,K , m , vamos a obtener los momentos

i =1 i

mixtos de orden r del vector beta-beta ( X 1 , X 2 ,K , X m ) . Suponemos como antes que Z i y U son riesgos independientes. Se verifica que,

E ⎡⎣ X 1r1 L X 1rm ⎤⎦ =

B (α 0 + r , b0 ) m B (α 0 + b0 + ri , bi ) . ∏ B (α 0 , b0 ) i =1 Γ (α o + b0 , bi )

5.2 Vector de Medias y Matriz de Covarianzas Las medias y las varianzas de los riesgos X i se obtienen directamente a partir de (13). Tenemos que,

μX = E( X i ) = i

a0 , i = 1, 2,K , m, a0 + b0 + bi

σ X = var( X i ) = i

a0 ( b0 + bi )

( a0 + b0 + bi + 1)( a0 + b0 + bi )

, i = 1, 2,K , m.

Los elementos no diagonales de la matriz de covarianzas vienen dados por,

σ X , X = cov( X i , X j ) = i

a0b0 , i ≠ j. ( a0 + b0 + 1)( a0 + b0 + bi ) ( a0 + b0 + b j )

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

donde nuevamente sólo son posibles correlaciones no-negativas.

5.3 Modelo de Riesgo Individual Beta-Beta La distribución del modelo de riesgo individual S m es la distribución del producto de las variables aleatorias U y

∑

m i =1

Z i , , donde U y Z i siguen

distribuciones tipo beta independientes. En el caso general, dicha distribución puede resultar intratable. En el caso m = 2 , la fórmula de la función de densidad puede ser obtenida explícitamente. La convolución de dos variables aleatorias tipo beta ha sido obtenida por Pham-Gia y Turkkan (1994), en términos de la función de Appell. La función de Appell es la función hipergeométrica en dos variables. A continuación se trata de obtener la distribución del producto de la variable aleatoria anterior por una variable aleatoria beta. La fórmula final será por tanto la integral de una expresión donde aparece la función de Appell. Sin embargo, y a pesar de las dificultades anteriores, los momentos de S m se pueden obtener explícitamente. Dichos momentos vienen dados por:

E ⎡⎣ Smr ⎤⎦ =

m B (α 0 + r , b0 ) B (α 0 + b0 + ri , bi ) c , ∑ r , r1 ,K, rm ∏ B (α 0 , b0 ) S B (α 0 + b0 , bi ) i =1

donde cr , r1 ,K,rm = r ! (r1 !L rm !) , y S es el conjunto de números naturales

ri , i = 1, 2,K , m tales que

∑

r = r.

i =1 i

5.4 Extensiones basadas en Clases Dependientes De modo similar al modelo gamma-gamma, podemos considerar una nueva clase beta-beta, partiendo de un vector de riesgos dependientes ( Z1 ,K , Z m ) cuyas distribuciones marginales sean ahora de tipo beta. En este caso, la elección más clara es la distribución de Dirichlet, cuya función de densidad conjunta viene definida por la fórmula:

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

f12Km ( z1 ,K , zm ) =

(∑ θ ) m

i =0

∏ i=0 Γ (θi ) m

∏ zθ i =1

i −1

z1 + L + zm ≤ 1 y θi ≥ 0, i = 0,1,K , m . Haciendo uso de la función de densidad conjunta de f12Km ( z1 ,K , zm ) y de la fórmula donde z1 ,K , zm ≥ 0 ,

(4), se obtiene la función de densidad conjunta de la nueva clase beta-beta. Nuevamente, los momentos mixtos de esta nueva distribución son más complicados que los obtenidos en la Sección 5.1.

6 Estimación En esta sección se proponen estimadores de momentos para el modelo Gamma-Gamma en el caso m = 2 . Para la estimación de los parámetros usaremos las medias y varianzas de las distribuciones marginales, junto con el coeficiente de correlación lineal. Consideremos entonces una variable aleatoria bivariada ( X 1 , X 2 ) con función de densidad (7), y una muestra de

n riesgos dependientes ( x1i , x2i ), i = 1, 2,K , n. Denotaremos mediante 1 n 1 n mi = ∑ j =1 xij y si2 = ∑ j =1 ( xij − mi ) 2 , i = 1, 2 las medias y varianzas n n muestrales, respectivamente. Se trata de estimar los parámetros α i , i = 0,1, 2 y σ i , i = 0,1, 2 .

Haciendo uso de los momentos teóricos (9) y (10) y

resolviendo el sistema E ( X i ) = mi , var( X i ) = si2 , i = 1, 2, estimadores,

αˆ i =

(1 + α 0 )mi2 , i = 1, 2, α 0 si2 − mi2

α 0 si2 − mi2 σˆ i = , i = 1, 2, (α 0 + α 02 )mi

obtenemos los

(14)

(15)

Para la estimación de α 0 consideramos el coeficiente de correlación lineal entre ( X 1 , X 2 ) dado

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

en (12), así como la correspondiente versión muestral r12 . Finalmente, considerando la relación corr ( X 1 , X 2 ) = r12 , y haciendo uso de (14), obtenemos el estimador:

αˆ 0 =

m1m2 . r12 s1s2

(16)

Los estimadores puntuales (14), (15) y (16) son consistentes y asintóticamente normales.

6 Aplicación Como ilustración de los modelos planteados, hemos considerado los datos bivariados de pérdidas y de alae (allocated loss adjustment expenses), que aparecen en Klugman et al. (2004), capítulo 12. Se trata de un conjunto de n = 24 datos bivariados, con un grado de dependencia pequeño. Los datos están bastante concentrados, excepto cuatro valores extremos. Se ha considerado el modelo gamma-gamma. Haciendo uso de las fórmulas (14), (15) y (16), se han obtenido los estimadores puntuales αˆ 0 = 3.88157,

αˆ1 = 0.396004, αˆ 2 = 0.504208, σˆ1 = 14.9089, σˆ 2 = 2711.64 . La Figura (4) muestra los datos junto con los contornos del modelo ajustado. Los contornos de la función de densidad muestran la concentración de los datos en torno al origen.

José María Sarabia y Faustino Prieto – Anales 2011/31-50

Figura 4: Datos bivariados de pérdidas (eje de ordenadas) y alae (eje de abscisas), junto con los contornos del modelo gamma-gamma ajustado.

6 Conclusiones En el presente trabajo se ha propuesto una clase general de riesgos dependientes, así como dos modelos específicos. La construcción de la clase se basa en las variables en común, y su método de simulación es sencillo. Se han estudiado diversas propiedades estadísticas de la clase, así como el modelo de riesgo individual. Se han estudiado dos modelos específicos, denominados gamma-gamma y beta-beta. En el modelo gamma-gamma, se han utilizado riesgos distribuidos según variables aleatorias tipo gamma. Se han estudiado diversas propiedades, además del modelo de riesgo individual. El segundo modelo es el denominado beta-beta, que permite trabajar con riesgos con soporte es acotado. Se ha propuesto un método de estimación basado en momentos y se ha incluido una aplicación numérica.

Referencias Albrecher, H., Constantinescu, C. y S. Loisel (2011). Explicit ruin formulas for models with dependence among risks. Insurance: Mathematics and Economics, 48, 265-270. 49

Sobre una clase de riesgos dependientes – Anales 2011/31-50

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BAYESIAN AND CREDIBILITY ESTIMATION FOR THE CHAIN LADDER RESERVING METHOD By J.R.Sanchez* & J.L.Vilar**

Abstract: Gisler and Wuthrich [8] describe how to calculate reserve estimates by means of Credibility and Bayesian estimators based on the development factors from different lines of business. This approach allows combining individual and collective claims information to get better estimations of the unknown reserves. In this paper we compare the reserves estimates and the mean square error of prediction from two different models: Credibility and Bayesian ones. The objective is to show how the reserve estimates of these models are similar to the classical chain ladder models under certain distributional assumptions. The work includes a way of implementing the Bayesian model using Markov Chain Monte Carlo methods with the programming tool WinBUGS [15]. Key Words: Bayesian Models, Chain-Ladder, Credibility Theory, Markov Chain Monte Carlo, Normal Family.

Introduction The determination of claim reserves for the outstanding liabilities is one of the most important tasks that an actuary performs to preserve the financial solvency of an insurance company. The usual way to reproduce estimates about the unknown claim amounts for future years has been the use of forecasting methods based on the historical information, contained in a run-off triangle structure. In some cases, the lack of information about past claims can constitute an obstacle to determinate reliable reserves. For that reason, actuaries often consider on the one hand the market experience and on the other one the company´s own experience: collective and individual information in credibility terminology. In this way, it is possible to add more information about the corresponding line of business. This article was funded by the MICIN program ECO2010-22065-C03-01. *Universidad Nacional Autónoma de México, Departamento de Matemáticas, Distrito Federal, México. **Universidad Complutense de Madrid. Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I, Madrid. Este artículo ha sidorecibido en versión revisada el 7 de julio de 2011

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

Credibility models allow the individual experience to be combined with the collective by reproducing the Bühlman’s model [3] for measuring the weight between the individual and collective claims information. Bayesian models use the likelihood distribution of individual outstanding claims and include the prior information (collective) in a natural way. The advantage of the Bayesian model is that they allow more statistical information about the reserve estimates, and also enable us to obtain the complete predictive distribution of the possible outcomes, in order to study risk measures. In this paper, we focus on Bayesian models to estimate the claim reserving amounts using the statistical package WinBUGS [15]. This package is usually used to reproduce estimates via Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods. The paper also includes the link between credibility and Bayesian approach to statistical reasoning and model estimation. In particular we want to prove that under certain distributional assumptions and using non-informative priors, the reserve estimations for Bayesian and Credibility model are similar. The structure of this paper is as follows. The first section summarizes the traditional chain ladder method (CLM). The second section states the modeling assumptions of Mack [10] and introduces the way in which the credibility theory can be implemented by means of individual and collective development factors. The third section describes the Bayesian formulation. The fourth section includes a numerical application using WinBUGS [15]. The last section provides the comparison results among models and set up conclusions. 1- The Chain-Ladder Method In the run-off triangle, each row represents an origin year i for 0 ≤ i ≤ I and the column represents the development year j for 0 ≤ j ≤ J . C i , j denotes cumulative claims (either incurred or paid) with a delay of j years from the origin year i . Usually, the data consist of a triangle where I = J . However, other shapes of claim data can be assumed. In particular, we assume that the data information have an irregular pentagon shape where I > J as in Table (1). Thus, the data consist of known cumulative claims for i + j ≤ I and 52

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

unknown cumulative claims for i + j > I . In this paper we add the index k , 0 ≤ k ≤ K , which specifies each line of business. The column sum of the observed cumulative claims is defined as t

S [j ,]k = ∑ Ci , j , k , t

for 0 ≤ j ≤ J , 0 ≤ k ≤ K

(1)

i =0

Table 1. Loss Development Data Structure

Origin Year

Development Year i/j

…

J–1

C 0, 0, k

C 0,1, k

…

C 0, j , k

…

C 0, J −1, k

C 0, J , k

C1, j , k

…

C1, J −1, k

C1, J , k

…

C1, 0, k

C1,1, k

…

C J ,1, k

…

i = J+1

C J +1, 0, k

C J +1,1, k

…

I-2

C I − 2,0, k

C I − 2,1, k

C I − 2, 2, k

I-1

C I −1,0, k

C I −1,1, k

C I , 0, k

i=J

C J , 0, k

C J , j ,k

…

C J +1, j , k

…

C J , J −1, k

C J , J ,k

C J +1, J −1, k

Using this notation, the standard chain-ladder, development factors can be calculated as

f j ,k =

I − j −1

∑ i =0

I − j −1

Ci , j +1,k

∑C i =0

I − j −1]

i , j ,k

= S [j +1,k

S [j , k

I − j −1]

for 0 ≤ j ≤ N − 1

(2)

The aim of the CLM is to complete the empty triangle on the lower right corner of the table with the help of the development factors. In this paper the claim amount for the rows i ≤ J has fully development and therefore we apply the development factors to the latest amounts known for the rest of the rows (i > J ) to estimate the unknown claim amounts:

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

J −1

CˆiCLM , J , k = Ci , I − i , k * ∏ f j , k

(3)

j = I −i

CLM In this way, it is possible to estimate the ultimate cumulative Ci , J and

obtain the reserve estimate for each accident year i :

RiCLM = Cˆ iCLM ,k , J , k − Ci , I − i , k

(4)

Additionally, we can find the estimate of the total amount of outstanding claims as CLM RTotal ,k =

∑ Cˆ

i = J +1

i , J ,k

−

∑C

i = J +1

(5)

i , I −i , k

IAppendix (A) shows the data (claim amounts) from different lines of business. The claims amounts were taken from Gisler and Wuthrich [8], and were used for a practical analysis between models.

2- Credibility Theory approach Mack [10] investigated the stochastic nature of the CLM, assuming a distribution-free model and specifying the first two moments for the cumulative claims, based on the following weak assumptions: A1) Independence for the random variables Ci , j between different accident years i . 2 A2) Existence of unknown factor f j > 0 and σ j > 0 , such that

E ⎡⎣Ci , j +1, k Ci ,0,k , ... , Ci , j ,k ⎤⎦ = Ci , j ,k f j ,k

(6)

Var ⎡⎣Ci , j +1,k Ci ,0, k , ... , Ci , j ,k ⎤⎦ = Ci , j ,kσ 2j , k

(7)

It is useful to work with the individual development factors to incorporate the claims amounts of each line of business (individual risk), as

Yi , j , k =

Ci , j +1,k

(8)

Ci , j ,k

Formula (8) allows including the individual run-off triangle information about each line of business.

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

{

The model includes the set B j,k = Ci ,t ,k ; i + t < I , t ≤ j , 0 ≤ k ≤ K

} which

represent the complete observed information for i + j ≤ I . In addition, we consider the random variable F which consists in the set of development factors from the chain-ladder method. Under model assumptions (6) and (7) the first two moments for the individual risk can be rewritten as

E (Yi , j , k F , B j,k ) = F j ,k

Var (Yi , j , k F , B j,k ) =

(9)

σ 2j ( F j ,k ) Ci , j , k

(10)

In the same way, the collective risk can be defined with mean and variance

E ( F j ,k F , B j,k ) = F j Var ( F j ,k F , B j,k ) =

(11)

τ 2 ( Fj ) S Ij ,−k j −1

(12)

I − j −1 I − j −1 where F j , k = S [j +1, k ] S [j , k ] represents the chain-ladder factor defined in

formula (2). Observe that the credibility approach only uses the two first moment assumptions for the individual and collective risk as in Mack´s model. However, the reserve distribution is not available in both models. The aim of the Credibility Theory is to estimate the individual credibility factor F jCred for each line of business in accordance with the individual and ,k collective risk information. Gisler and Wuthrich [8] developed the credibility theory for the estimation of the IBNR reserves, assuming a credibility factor which is similar to Coll F jCred = α j , k F jInd ,k , k + (1 − α j , k ) F j

where ¾

(13)

is a weighted mean from the F jCred ,k development factors. 55

individual and collective

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

FjInd , k is the individual development factor for each line of business k. I − j −1 S [j +1,k ] FjInd = (14) ,k I − j −1 S [j ,k ]

FjColl is the collective development factor for all the lines of business (prior knowledge).

FjColl = E ( Fj )

(15)

¾ α j ,k is a parameter used to weight the individual and collective development factors.

S [jI,k− j −1]

α j ,k = S

[ I − j −1] j ,k

σ 2j ,k + 2 τj

(16)

2 ¾ σ j , k is the variance for the individual development factors.

σ 2j ,k = E ⎡⎣σ 2j ,k ( Fj ,k ) ⎤⎦

(17)

2 ¾ τ j is the variance for the collective factors

τ 2j = Var ⎡⎣ F j ⎤⎦

(18)

2 2 The parameters α j , k , σ j , k and τ j can be estimated by using the standard

estimators developed in Buhlmann and Gisler [4]. Diagram (A) shows the relation between the standard estimator for the Ind Coll development factors. individual Fj , k , collective F j and credibility F jCred ,k

J.R..Sanchez and J.L.Vilar J – Annales2011/51--74

Diagram A.. Credibility y Theory app plied to IBN NR reserves individual factor

k =0 F

Ind j ,0

k=K

[ I − j −1]

S j +1,0

S [j ,0

I − j −1]

Ind j,K

S [j +1,0

I − j −1]

S [j , K

I − j −1]

collective factor

α j ,k Ind Fj ,k k =0 α j K

FjColl = ∑

The unknnown claim amounts Ci , j , k for i + j > I are estimated using the developm ment factors F jCred in thee credibility claim estimaates ,k j −1

Cred CiCred , j , k = C i , I −i , k * ∏ F j , k

(19)

j = I −i

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

Moreover, we can obtain the reserve estimate for each year i

RiCred = Cˆ iCred ,k , J , k − Ci , I −i , k

(20)

and its corresponding total reserve Cred RTotal ,k =

∑

i = J +1

Cˆ iCred , J ,k −

∑C

i = J +1

(21)

i , I −i , k

Tables (2) and (3), summarize the estimated values for the credibility method. These results are similar to the numerical example results in Gisler and Wuthrich [8]. 2 2 Table 2. Estimates of individual σ j , k and collective τ j

j/k

σ 2j ,0

σ 2j ,1

σ 2j ,2

σ 2j ,3

σ 2j ,4

σ 2j ,5

τ 2j

418.84

176.15

58.60

317.92

134.69

912.98

336.53

87.39

11.25

6.56

38.22

14.64

50.36

34.74

6.98

2.65

9.48

12.97

6.34

8.73

7.83

1.53

0.38

28.07

0.61

4.98

0.03

5.93

1.02

0.71

0.04

0.72

0.06

0.00

0.43

7.07

0.00

0.05

17.28

0.40

1.25

4.34

18.99

2.66

0.32

1.43

2.05

0.03

4.25

0.66

0.00

0.05

0.56

0.16

0.00

0.24

0.54

0.00

0.05

0.00

0.10

0.00

0.87

0.00

0.06

0.15

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

Ind Coll Table 3. Development factors (individual Fj ,k , collective Fj and Cred credibility Fj ,k )

j/k

FjInd ,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.27 1.23 0.98 1.02 1.01 0.98 0.96 1.00 1.00 1.00

j/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FjCred ,0 2.11 1.19 1.00 1.02 1.00 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00

FjInd ,1

FjCred ,1

FjInd ,2

2.13 1.09 1.03 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 0.99

2.11 1.11 1.03 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

2.19 1.14 1.04 1.04 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

FjInd FjCred ,4 ,4

FjInd ,5

FjCred ,5

FjColl

1.93 1.11 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

3.01 1.19 1.15 1.01 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00

2.11 1.12 1.02 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

2.11 1.14 1.06 1.01 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00

FjCred ,2 2.11 1.13 1.04 1.02 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00

FjInd ,3 2.11 1.07 1.05 1.01 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00

FjCred ,3 2.11 1.08 1.05 1.01 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00

2.11 1.12 1.03 1.01 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00

3- Bayesian approach The relation between the credibility and Bayesian approaches were explained in Gisler and Wuthrich [8]. They replace F jCred by a Bayesian ,k as estimator F jBayes ,k

F Bayes ≈ α j ,k Fˆ j , k + (1 − α j ,k ) Fˆ j

(22)

where Fˆ j , k and Fˆ j are the individual and the collective estimators respectively.

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

Diagram (B) shows the bayesian credibility structure: the likelihood distribution (individual risk), a prior distribution (collective risk) and a hyper-prior distribution to generate the initial values for the development factors Fˆ j . Diagram B. Bayesian Credibility structure applied to IBNR reserves

μ0 Fj ~ π ( μ0,κ2 )

Hyper-prior distribution (Initial values)

(

Fj,k Fj ~ π Fj , v( Fj )

)

Prior distribution (collective)

(

Yi , j ,k Fj ,k , B j ~ g Fj ,k ,υ ( Fj ,k )

)

Likelihood distribution (individual)

Fj,0

Yi,0,0 Yi,1,0 K Yi, j,0

Fj,1

Yi,0,1 Yi,1,1 KYi, j,1

Fj,K

Yi,0,KYi,1,K K Yi, j,K

The parameters Yi , j , k , F j , k and F j are defined as random variables and

υ ( F j , k ) = σ 2j ( F j , k ) Ci , j ,k , v ( F j ) = τ 2 ( F j ) S Ij ,−k j −1 , μ0 and κ 2 as

known constant parameters. 60

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

The mean and variance of Yi , j , k (individual risk) are defined like in (9) and (10), as well as the mean and variance of F j , k (collective risk) is defined like in (11) and (12), respectively.

(

In Bayesian terminology, the likelihood function g yi , j ,k F j ,k , B j,k

)

describes how the random variables Yi , j , k are distributed given the random variable F j , k and the known set B j,k . On the other hand, the prior

(

distribution π f j ,k Fj

)

describes the behavior about the individual

development factors F j , k given the random variable F j (collective factor).

( )

Finally, the hyper-prior distribution π f j is used to generate the initial collective factors F j . In this way, conditionally, to Yi , j , k and B j,k , the posterior distribution of

θ = ( f j , f j , k ) is defined as:

(

π f j , f j ,k Yi , j , k , B j,k

)

(

) ( )π ( f

)

L yi , j , k F j ,k , B j,k π f j ,k F j π ( f j )

∫ L( y

i , j ,k

F j , k , B j,k

I− j

) ∏∏∏ g ( y

where L yi, j ,k Fj ,k , Bj,k =

i , j ,k

i =0 j =0 k =0

)

F j π ( f j ) dF j

j ,k

Fj ,k , Bj,k

(23)

)

The Bayesian solution to the estimation of the individual development factor

(

f j ,k is given by the conditional mean FjBayes = E Fj , k Yi , j , k , B j,k ,k as

(

) ∫ f ∫π ( f , f Y , B ) dF

E Fj ,k Yi , j ,k , B j,k ∝ = ∫ f j ,k π

(

f j ,k

i , j ,k

j ,k

j,k

j ,k

) defined

)

Yi , j ,k , B j,k dF j dF j , k (24)

j ,k

The link between the credibility and Bayesian factors lies when the Bayesian model works with conjugate distributions belonging to the exponential family distribution, in other words, if the likelihood function

(

g yi , j ,k Fj ,k , B j,k

)

(

)

( )

and the prior distributions π f j ,k Fj and π f j 61

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

belong to the exponential family. Then the posterior distribution

(

)

π f j , f j ,k Yi , j ,k , B j,k belongs to the family of the natural conjugate priors. Buhlmann and Gisler [4] show that conjugate distributions from the NormalNormal scheme result in a linear Bayesian factor, which is similar to the Credibility factor (13). Therefore, we used a hierarchical model, which is defined by distributions from the exponential family. In particular, we suppose a Normal distribution for the likelihood and prior distribution and a Log-normal for the hyper-prior distribution.

4- Numerical Bayesian application Some applications of Bayesian models for outstanding reserve can be founded in Alba [1], England and Verrall [5] [6] and Ntzoufraz and Dellaportas [12]. Coded implementation of Bayesian models apply to IBNR reserves can be found in Alba [2], Scollnik [14], and Verrall [16]. The first stage for the implementation of our model consists in defining a likelihood function g yi , j ,k F j ,k , B j,k

(

) to describe the known development

factors

corner

Yi , j , k

(upper

left

the

table)

for

B j,k = {Ci ,t ,k ; i + t < I , t ≤ j , 0 ≤ k ≤ K } . For that sake we choose a Normal distribution with mean F j , k and variance

υ ( F j , k ) = σ 2j ( F j , k ) Ci , j ,k , where Yi , j , k is a random variable and υ ( F j , k )

2 is a variance known and obtained among the individual σ j , k from Table (2).

Observe that table (2) contains some values equal to cero. These values cannot be employed in the implementation of the BUGS code; therefore, we apply the following approximation

2 j ,k

⎧⎪1 1000 =⎨ 2 ⎪⎩ σ j ,k

σ 2j ,k = 0 for σ 2j ,k ≠ 0

for

(25)

(

The second stage contain a prior distribution π f j ,k Fj

( )

distributed with mean F j and variance v F j = τ 2 F j 62

)

normally

S Ij ,−k j −1 . Again we

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

( ) is a variance known from

suppose that F j is a random variable and v F j in Table (2).

2 From the credibility formula (13) we can observe that if τ j ,k grows larger,

then α j , k → 1 .In other words, the credibility forecast equals the classical chain ladder forecast. To approximate this last situation, we may consider large variance setting

τ 2j ,k = 1000

(26)

This is a non-informative prior density which reflects a total lack or ignorance of information. Finally the third stage of the hierarchical model contains vague independent normal priors on Ψ j used to generate the initial development factor f j :

Ψ j ~ dnorm ( μ 0 , κ 2 ) , with μ o = 0, κ 2 = 1000

(27)

log ( F j ) = Ψ j The lognormal distribution guarantees initial positive values for the development factors f j which guarantee the estimation of positive reserves. Summarizing, the model is defined in its the three levels by means of

Fj ,k Fj

N ( Fj , k ,υi2, j , k )

Yi , j , k Fj , k ~

N ( Fj ,τ 2j , k )

log ( Fj ) = Ψ j

(28)

N ( μ0 , κ 2 )

where Ψ j is an auxiliary variable used to generate a lognormal distribution for the initial development factors f j . We can predict the future development factors by means of the estimator FjBayes factors and the posterior predictive distribution ,k

(

)

π f j , f j ,k Yi , j ,k , B j,k . Unfortunately, the analysis of the marginal posterior

(

distribution π f j , f j ,k Yi , j ,k , B j,k

)

is not analytically tractable. However,

we can obtain a numerical approximation by MCMC methods. 63

Bayesian and credibility estimation for – Anales 2011/51-74

These methods include the use of the Gibbs sampler, which provides samples from the individual conditional posterior distribution of each parameter F j and F j , k .

(

)

π f j Fj ,k , Yi , j ,k , B j,k =

(

)

π f j ,k Fj , Yi , j ,k , B j,k =

Considering a seed θ

(

π f j ,k , f j Yi , j ,k , B j,k

(

)

π f j ,k , f j Yi , j ,k , B j,k

( 0)

generates a sample

(

π f j ,k Yi , j ,k , B j,k

(

π f j Yi , j ,k , B j,k

(

)

(

π f j ,k , f j Yi , j ,k , B j,k

∫π ( f

j ,k

, f j Yi , j ,k , B j,k dF j

(

π f j ,k , f j Yi , j ,k , B j,k

∫π ( f

j ,k

) )

)

(29)

, f j Yi , j ,k , B j,k dF j , k

)

= f j( 0) , f j(,0k) , the first iteration of Gibbs sampling f

(1) j

)

from the individual posterior distribution

π f j Fj ,k = f j(,0k) , Yi , j ,k , B j,k and another sample f j(,1k) from the individual

(

)

( 0)

posterior distribution π f j ,k Fj = f j , Yi , j ,k , B j,k . As a result we also obtain the first iteration for the parameter. Then, each parameter is updated from its conditional distribution and then we finally fill the first iteration

(

)

θ (1) = f (1) , f (1) . To fill the next iterations, for example for the iteration t , j

j ,k

we need to update again the conditional distribution incorporating the values of the last iteration θ

( t −1)

(

)

= f j( t −1) , f j(,kt −1) . In order to incorporate the last

(

)

(t ) (t ) (t ) iteration t − 1 , we can update the parameter θ = f j , f j ,k , successively.

More details about the Gibb sampling algorithm can be found in Gamerman [7]. The model implementation in the computing package WinBUGS [15] is coded in Sanchez [13]. The Bayesian mean squared error of prediction (MSE) measures the Bayes variability of the reserves estimations Ri , k

(

MSE ( RiBayes ) = E ⎡ Ci , J − E ( Ci , J ) ⎢⎣

)

C ⎤ = Var ( Ci , J C ) ⎥⎦

(30)

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

The difference between the Mack´s [10] and Bayesian approach (30) is that

(

the first one includes two parts Var Ci , J C

)

( (

)

and E Ci , J C − Cˆi , J

)

calculate the MSE, and the second ones represents all the uncertainty only by means of Var Ci , J C , which contains the uncertain parameters from the

(

)

posterior distribution of all parameters. Bayes which include the MSE WinBUGS yields the estimated factors f j ,k

variability. Subsequently, these estimator factors can be used to estimate the mean and variance of the unknown cumulative variates yi , j ,k . This way, it is finally possible to obtain directly the reserve jointly with the predictive distribution of the outstanding claims. Thus, the estimations of the unknown claim amounts Ci , J , k for the rows

(i > J ) are given by the development factors

f jBayes : ,k

J −1

Bayes CˆiBayes , for i > J , j > I − i, 0 ≤ k ≤ K , j , k = Ci , I −i , k * ∏ f j , k

(31)

j = I −i

Now, it is possible to obtain the reserve estimate for each year i

RiBayes = CˆiBayes ,k , J , k − Ci , I − i , k , for i > J

(32)

as well as the corresponding total reserve Bayes RTotal ,k =

∑

i = J +1

Cˆ iBayes , J ,k −

∑C

i = J +1

i , I −i , k

, for i > J

(33)

Bayes Tables (4) and (5) show the development factor estimates for Fj ,k and the

reserves R Bayes together with their prediction errors. An initial burn-in sample of 10,000 iterations was used. The results of these observations were discarded, to remove any effect from the initial conditions and allow the simulations to converge. Then further 50,000 simulations for each distributional assumption was run to reach the final results.

Bayesian and credibility estimation for â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/51-74

Table 4. Development factors for

FjBayes ,k

Development factor for each line of business k

Development year j 0

Bayes j ,0

2.268

1.233

0.982

1.025

1.011

0.981

0.963

1.003

0.996

1.000

FjBayes ,1

2.134

1.094

1.032

1.002

0.998

1.000

1.014

0.999

1.000

0.990

FjBayes ,2

2.189

1.138

1.037

1.042

1.003

1.000

0.999

1.002

1.000

FjBayes ,3

2.108

1.070

1.054

1.013

1.004

1.014

0.996

0.995

1.000

FjBayes ,4

1.931

1.114

1.018

0.995

1.002

0.997

0.999

0.997

1.002

1.000

FjBayes ,5

2.997

1.191

1.147

1.006

1.000

0.979

0.996

1.000

1.004

Table 5. Reserves and prediction errors for the Bayesian model Business k = 0

Business k = 1

Business k = 2

Business k = 3

Business k = 4

Business k = 5

i Bayes i ,0

Origin year i

s.d

Bayes i ,1

Bayes i ,2

s.d

Bayes i ,3

s.d

Bayes i ,4

s.d

RiBayes ,5

s.d

0.00

1.01

-8.98

29.54

0.00

1.25

0.00

2.95

0.00

1.50

0.62

3.00

-6.70

29.51

-10.52

31.76

0.01

1.93

-0.01

2.00

4.08

12.49

0.44

2.55

-5.36

68.41

-12.55

34.10

4.36

11.97

-34.32

70.02

-3.29

25.67

0.79

3.43

-25.05

116.00

3.31

59.46

0.90

20.67

-33.62

89.56

-3.49

63.11

0.00

4.28

-32.60

125.10

6.56

87.45

1.29

27.02

14.32

250.10

-4.83

53.29

-7.87

23.60

-24.80

123.10

1.37

74.11

4.11

24.41

28.59

270.80

-3.01

56.66

-5.10

18.87

-8.42

107.30

1.98

57.53

43.08

168.80

24.43

160.90

-14.08

119.40

-2.64

16.07

-16.55

120.20

14.20

56.23

72.32

189.80

138.50

256.40

8.48

113.30

18.12

38.17

76.48

256.30

54.87

92.91

144.10

185.10

225.30

352.80

155.50

199.40

16.56

692.70

528.80

645.30

187.10

399.20

431.90

233.40

652.00

559.80

354.80

286.30

8.49

1347.0

â&#x2C6;&#x2018;

485.80

758.80

237.40

454.60

702.10

409.20

1015.0

865.40

494.20

412.00

29.40

1513.0

J.R.Sanchez and J.L.Vilar – Anales2011/51-74

Conclusions An important generalization in loss reserves modeling consists in considering more information furnished by different lines of business. Looking this way, we can develop a credibility formula which contains the CLM case when α=1 and credibility mixtures otherwise. Moreover, the advantage of Bayesian approach is that we can obtain a full predictive distribution, rather than just the first and second moments as in Credibility and CL method. Plot (1) shows the posterior distribution for the collective risk and plot (2) the individual ones. Table (6) shows on the one hand the reserves estimates when α = 1 (noninformative prior); on the other, the MSE of prediction for each method. The results show how the use of non-informative priors in Bayesian analysis leads close reserves estimates as the MLE, when fitting the same model structure over the mean. For our example the Mack´s model has the smallest error predictor. However, this model does not express the idea of combining different lines of business as the Credibility and Bayesian models do. For both models the MSE of prediction are similar. Therefore, both models should be good to adjust the claim amounts. Finally, we can observe in the Bayesian model a small difference in the line of business 6. The reason is that there are small cumulative claims respects the other lines of business that affect the estimations of the reserves. To solve this problem we could remove the last line of business in order to make the same analysis. However the objective of this article was to compare the credibility and the Bayesian model with the same data information. Table 6. Reserves for Credibility, Chain-ladder and Bayesian model t k

Cred

Reserves MCL Bayes

Cred

MSE MCL Bayes

504

486

498

510

759

244

235

237

402

424

455

517

701

702

520

565

409

899

1029

1,015

729

765

865

621

495

494

584

593

412

143

163

1513

2810

2987

2964

1254.2

1312.6

2049.0

RTotal

Bayesian and credibility estimation for â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/51-74

Plot 1. Predictive distribution for the collective reserve

Total sample: 50000

3.00E-4

2.00E-4

1.00E-4

0.0

-2.0E+4

-1.0E+4

0.0

1.00E+4

2.00E+4

J.R.Sanchez and J.L.Vilar â&#x20AC;&#x201C; Anales2011/51-74

Plot 2. Predictive distribution for the individual reserve

Line of Business [K=0] sample: 50000

Line of Business [K=1] sample: 50000

8.00E-4 6.00E-4 4.00E-4 2.00E-4 0.0

0.0015 0.001 5.00E-4 0.0

-1.5E+4 -1.0E+4 -5.0E+3

0.0

-1.0E+4

Line of Business [K=2] sample: 50000

-5.0E+3

0.0

Line of Business [K=3] sample: 50000

0.001

6.00E-4 4.00E-4

5.00E-4

2.00E-4

0.0

-1.0E+3

0.0 1.00E+3 2.00E+3

-1.0E+4

Line of Business [K=4] sample: 50000

0.0

Line of Business [K=5] sample: 50000

0.001

0.002 0.0015 0.001 5.00E-4 0.0

5.00E-4 0.0 -1.0E+4

-5.0E+3

0.0

-2.0E+4

-1.0E+4

0.0

Bayesian and credibility estimation for â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/51-74

Origin Year

Appendix A. Cumulative claims from different lines of business. Triangle k = 0 i/j 0 1 118 487 0 124 657 1 556 2204 2 1646 2351 3 317 886 4 242 919 5 203 612 6 492 1405 7 321 1149 8 609 1109 9 492 1627 10 397 793 11 523 1098 12 1786 2951 14 241 465 14 327 622 15 275 520 16 89 327 17 295 301 18 151 406 19 315 20 Triangle k = 1 i/j 0 1 0 268 456 1 268 520 2 385 968 3 251 742 4 456 905 5 477 1286 6 405 999 7 443 932 8 477 1046 9 581 1146 10 401 997 11 474 778

2 1232 863 3494 2492 890 1218 622 1685 1728 1283 1622 868 1475 3370 536 577 529 378 396

Development Year 4 5 6 7 1266 1397 1397 1397 914 916 941 941 2983 3018 2458 2458 2612 2612 2608 1755 950 990 990 990 1229 1249 1249 1249 667 647 647 647 1753 1742 1804 1804 1877 1877 1877 1877 1253 1255 1255 1255 1672 1672 1672 1672 964 964 964 964 1489 1489 1489 1489 3211 3289 3325 3325 652 652 652 583 583 541

3 1266 890 2998 2507 890 1224 639 1668 1863 1294 1672 889 1489 3029 596 583 529 382

485 577 1017 795 1162 1376 1172 952 1336 1316 1229 939

483 579 1019 931 1164 1376 1196 965 1362 1362 1248 1321

483 579 1019 931 1164 1373 1196 984 1375 1391 1281 1366

Development Year 5 6 7 483 579 1019 931 1164 1373 1210 992 1375 1391 1284 1392 70

483 579 1019 931 1164 1373 1210 1012 1375 1391 1264 1392

8 1492 941 2470 1755 990 1249 647 1804 1877 1255 1621 964 1489

9 1492 865 2470 1755 990 1249 647 1804 1877 1255 1621 964

10 1492 865 2470 1755 990 1249 647 1804 1877 1255 1621

483 579 1019 931 1191 1373 1210 1012 1375 1391 1264 1392

483 579 1019 931 1191 1373 1210 1012 1375 1391 1264

J.R.Sanchez and J.L.Vilar â&#x20AC;&#x201C; Anales2011/51-74

Origin Year

12 14 14 15 16 17 18 19 20

649 911 508 389 373 276 465 343 254

1420 1935 1054 790 998 853 820 622

1707 2304 1101 868 1091 932 859

Triangle k = 2 i/j 0 1 0 92 442 1 451 1077 2 404 717 3 203 572 4 352 834 5 504 1246 6 509 1008 7 229 580 8 324 815 9 508 805 10 354 641 11 431 847 12 205 830 14 522 1134 14 567 925 15 1238 1924 16 355 1003 17 312 680 18 246 352 19 91 418 20 130

1709 2307 1071 909 1155 948

1709 2309 1071 1569 1201

1709 2309 1071 1569

1709 2309 1071

1638 2362

1638

Development Year 5 6 7

541 1085 834 813 1048 1272 1061 630 871 906 833 854 978 1064 915 2034 1137 682 418

541 1178 849 875 1072 1353 1061 670 859 969 842 915 1034 1202 957 1897 1164 686

528 1212 849 878 1088 1285 1061 672 867 971 842 918 1048 1202 953 1897 1196

528 1217 850 910 1088 1285 1071 672 777 971 842 918 1048 1210 953 1897

528 1217 850 912 1088 1285 1071 672 777 971 842 918 1048 1210 953

528 1217 850 1096 1088 1285 1071 672 777 971 842 918 1048 1210

528 1217 850 1089 1088 1285 1071 672 777 971 842 918 1048

528 1217 850 1089 1088 1285 1071 672 777 971 842 918

528 1217 850 986 1088 1285 1071 672 777 971 842

Origin Year

Bayesian and credibility estimation for â&#x20AC;&#x201C; Anales 2011/51-74

Triangle k = 3 i/j 0 1 0 330 1022 1 327 873 2 304 1137 3 426 1289 4 750 2158 5 761 2164 6 1119 2666 7 917 2458 8 905 2014 9 1761 2990 10 824 2063 11 4364 6630 12 493 1587 14 4092 7710 14 1733 3647 15 1261 2658 16 1517 3054 17 778 1212 18 727 1661 19 561 1486 20 459

Triangle k = 4 i/j 0 1 0 486 964 1 867 1669 2 1285 1925 3 395 994 4 802 1468 5 966 1967 6 759 1766 7 1136 2139 8 1467 2243 9 1309 2521 10 877 2170

Development Year 5 6 7

1066 1057 1234 1418 2910 2446 2946 2892 2459 3235 2378 6850 1780 6596 3699 3063 3335 1247 1816

1086 1076 1460 1574 3071 2570 3008 3502 2466 3795 2368 6885 1794 7201 3780 3036 3438 1215

1094 1082 1475 1578 3213 2578 3021 3629 2554 3816 2384 6923 1838 7292 3773 3093 3438

1057 1643 2204 1309 1776 2628 1922 2219 2553 2660 2341

1106 1717 2488 1442 1823 2743 1863 1921 2598 2640 2420

1130 1720 2507 1467 1827 2294 1886 1931 2598 2639 2516

1094 1082 1588 1634 3199 2558 3022 3664 2554 3841 2368 6923 1838 7292 3773 3095

1094 1082 1586 2250 3052 2558 3019 3887 2554 3842 2373 6923 1838 7292 3733

1094 1082 1586 2044 3052 2558 3019 3867 2540 3860 2373 6923 1865 7292

Development Year 5 6 7

1130 1724 2509 1467 1832 2338 1886 1944 2598 2641 2516

1138 1724 2510 1477 1833 2358 1886 1947 2598 2659 2431

1131 1724 2510 1477 1833 2358 1886 1867 2598 2659 2431

1094 1082 1586 2044 3052 2558 3019 3697 2540 3860 2373 6923 1865

1094 1082 1586 2044 3052 2558 3019 3697 2540 3860 2373 6923

1094 1082 1586 2044 3052 2558 3019 3697 2540 3860 2373

1131 1724 2436 1477 1833 2358 1886 1867 2598 2659 2431

1131 1724 2436 1477 1833 2358 1886 1867 2598 2659 2468

J.R.Sanchez and J.L.Vilar â&#x20AC;&#x201C; Anales2011/51-74

Origin Year

11 12 14 14 15 16 17 18 19 20

1004 1351 906 563 417 322 1047 497 1021 302

1963 2579 2341 1450 1006 836 1656 843 1237

Triangle k = 5 i/j 0 1 0 18 64 1 20 73 2 20 70 3 88 133 4 3 180 5 11 79 6 17 66 7 73 216 8 48 213 9 98 153 10 38 529 11 42 140 12 64 95 14 57 144 14 85 178 15 212 341 16 56 152 17 25 44 18 19 137 19 25 45 20 7

2260 2736 2667 1575 1034 1046 1689 877

2226 2759 2655 1603 1049 1123 1779

64 103 318 133 214 80 105 218 253 153 557 141 95 169 188 357 187 103 140

64 153 328 133 214 82 172 218 386 158 632 141 102 178 186 371 246 178

64 155 328 133 215 81 172 218 400 158 639 141 102 178 186 371 246

2226 2760 2655 1654 1049 1143

2215 2766 2650 1654 1050

2215 2688 2650 1675

2059 2737 2824

Development Year 5 6 7 8 64 155 328 133 215 81 172 218 400 158 639 141 102 178 186 371

64 155 328 133 215 81 188 218 317 158 639 141 102 178 186

64 155 328 133 215 81 188 218 304 158 639 141 102 178

64 155 328 133 215 81 188 218 304 158 639 141 102

2059 2737

2059

64 155 328 133 215 81 188 218 304 158 639 141

64 155 328 133 215 81 199 218 304 158 639

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SENSIBILIDAD A LAS CORRELACIONES ENTRE LÍNEAS DE NEGOCIO DEL SCR DEL MÓDULO DE SUSCRIPCIÓN NO VIDA BASADO EN LA FÓRMULA ESTÁNDAR Antoni Ferri*, Lluís Bermúdez† y Manuela Alcañiz*

Abstract Solvency capital requirement (SCR) based on Solvency II standard formula is mainly given by some pre-established parameters. Some of these parameters define the lines of business’ correlation matrix. This work shows an estimation of the 2010 solvency non life underwriting requirement of Spanish non life market and a sensitivity analysis of the non life underwriting risk SCR to changes in lines of business’ correlation matrix. Keywords: Standard Model, Premium and Reserve risk, Underwriting risk, Solvency II. Resumen El requerimiento de capital de solvencia (SCR) basado en el modelo estándar de la directiva Solvencia II viene determinado en parte por una serie de parámetros que la propia directiva establece. Algunos de estos parámetros son los valores que definen la matriz de correlaciones entre líneas de negocio. Este trabajo muestra una estimación del requerimiento de capital correspondiente al riesgo de suscripción no vida para el ejercicio 2010 para el conjunto del mercado español asegurador no vida y un análisis de sensibilidad del SCR correspondiente al riesgo de suscripción en el negocio de no vida frente a cambios en la matriz de correlaciones entre líneas de negocio. Palabras clave: Modelo Estándar, Riesgo de insuficiencia de primas y reservas, Riesgo de Suscripción, Solvencia II.

Dpto. Econometría, Estadística y Economía Española, RISC-IREA; Universitat de Barcelona, Av. Diagonal, 690, 08034 Barcelona. † Dpto. Matemática Financiera y Actuarial, RISC-IREA; Universitat de Barcelona, Av. Diagonal, 690, 08034 Barcelona. E-mail: tonoferri@ub.edu (Antoni Ferri, autor para correspondencia), lbermudez@ub.edu (Lluís Bermúdez), malcaniz@ub.edu (Manuela Alcañiz). Los autores agradecen las sugerencias de la Sra. Miriam Moya, actuaria de seguros. M. Alcañiz agradece la ayuda recibida del proyecto del Ministerio de Ciencia e Innovación, FEDER ECO2008-01223/ECON. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 21 de septiembre de 2011

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

1. Introducción La Directiva parlamentaria europea 2009/138/EC (Solvencia II) establece un marco legal común de aplicación en aquellas entidades con sede en alguno de los estados miembros de la Unión Europea para el acceso y ejercicio de la actividad aseguradora y reaseguradora. La Directiva está estructurada bajo el principio de los Tres Pilares, que se corresponden con los requerimientos cuantitativos, los requerimientos cualitativos y la disciplina de mercado, respectivamente. Dado que la regulación pretende atender a una visión global de cada entidad o grupo de entidades, los instrumentos cuantitativos utilizados para calcular el riesgo asumido por las mismas tendrán en cuenta la existencia de diversas líneas de negocio. Además, éstas no se considerarán independientes sino que se establecerán hipótesis para tener en cuenta la asociación que se produce entre ellas, bien sea por causas endógenas (distintas líneas de negocio cubren una misma área geográfica) o por causas exógenas (se comercializan en un mismo entorno económico). Nuestro objetivo es analizar la influencia que tienen las hipótesis sobre la correlación entre líneas de negocio, sobre el requerimiento de capital que será exigido. Los requerimientos de capital pretenden garantizar la estabilidad financiera de la entidad frente a fluctuaciones adversas inesperadas en la siniestralidad, y con ello también la protección del asegurado, a través de unos volúmenes económicos denominados Capital Mínimo de Solvencia (MSCR) y Capital de Solvencia (SCR). Estos capitales deben ser calculados acordes al denominado Modelo Estándar, si bien el regulador ofrece la posibilidad de que sean evaluados, bajo ciertos requisitos previos, mediante un Modelo Interno. El SCR debe estar calibrado de tal forma que se corresponda con el valor en riesgo (VaR, Value at Risk) de los fondos propios, a un horizonte temporal anual, con un nivel de confianza del 99,5%. En este trabajo nos centramos en el análisis del SCR que se deriva del Modelo Estándar, cuya obtención está basada en la agregación de los distintos capitales correspondientes a una estructura modular de las exposiciones a los riesgos generales que caracterizan a una entidad aseguradora. El modelo estándar, siguiendo la directiva de Solvencia II, plantea la siguiente estructura de clasificación de riesgos. Como riesgos genéricos, establece cuatro módulos correspondientes a los riesgos de Suscripción, 76

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

Mercado, Crédito y Operacional. Para cada uno de estos módulos excepto para el Operacional, se consideran una serie de submódulos. El SCR es el resultado de agregar los distintos requerimientos de capital en dos pasos. Por un lado el capital de los submódulos de riesgo teniendo en cuenta la relación que tengan entre sí, con lo que se obtiene el requerimiento correspondiente a cada módulo de riesgo; y, por otra parte, la agregación de los requerimientos de capital correspondientes a cada módulo teniendo en cuenta la relación existente entre ellos, con lo que se obtiene el requerimiento total de capital de solvencia. La relación entre los distintos módulos y submódulos para la agregación de los distintos requerimientos queda plasmada en las matrices de correlación entre éstos. Finalmente, se agrega al SCR correspondiente a los riesgos de Suscripción, Mercado y Crédito, el capital correspondiente al riesgo Operacional. Sin embargo, Solvencia II no explicita ninguna fórmula analítica para el cálculo de los distintos requerimientos de capital de cada uno de los submódulos de riesgos, ni las correlaciones entre ellos. Para obtener expresiones analíticas acudimos a los estudios de seguimiento realizados por el Committee of European Insurance and Occupational Pensions (CEIOPS)1. En particular, en este trabajo seguimos el último estudio realizado, el quinto Estudio de Impacto Cuantitativo (QIS-5), de 2010. En él podemos encontrar toda la casuística a seguir para la obtención del requerimiento de capital de solvencia de los distintos módulos y submódulos, así como las matrices de correlación y los parámetros necesarios para su cálculo. En este trabajo se analiza la estructura del modelo estándar para el cálculo del requerimiento de capital en el módulo riesgo de suscripción no vida, con la finalidad de desvelar e interpretar los parámetros que afecten significativamente a dicho cálculo. Asimismo, se analiza la incidencia de la matriz de correlación entre líneas de negocio propuesta en QIS-5 para el cálculo del SCR correspondiente al riesgo de suscripción del negocio de no vida, así como la de los otros parámetros que intervienen en la obtención del requerimiento de capital del módulo de suscripción en no vida. El resto del trabajo se estructura de la siguiente manera. La sección 2 describe la estructura principal del modelo estándar y del módulo de suscripción no vida, en particular el submódulo de riesgo de insuficiencia de primas y reservas. La sección 3 presenta el proceso de obtención de los datos utilizados, y la sección 4 muestra un análisis de sensibilidad a la matriz de 1

Desde Enero 2011, EIOPA, European Insurance and Occupational Pensions Authority.

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

correlación entre líneas de negocio, y a otras correlaciones que intervienen en el modelo, del requerimiento de capital de solvencia del módulo de suscripción no vida. Por último, la sección 5 resume las principales conclusiones obtenidas. 2. El riesgo de insuficiencia de primas y reservas bajo el Modelo Estándar El cálculo del SCR está basado en la agregación de los distintos módulos y submódulos de riesgo teniendo en cuenta las correlaciones existentes entre ellos. Según Solvencia II (y el QIS-5), el SCR es el resultado de la suma de los requerimientos de los distintos riesgos más una cuantía de ajuste que tenga en cuenta la capacidad de absorción de pérdidas e impuestos diferidos de las provisiones técnicas. Los riesgos a considerar son el riesgo de mercado, crédito, suscripción vida, suscripción no vida, suscripción salud, activos intangibles y riesgo operacional. El SCR o requerimiento total de capital de solvencia se calcula como la suma del capital básico de solvencia (BSCR), más un término que refleja la capacidad de absorción de pérdidas e impuestos diferidos de las provisiones técnicas, más el requerimiento de capital de solvencia correspondiente al riesgo operacional. El capital básico de solvencia es el resultante de la agregación de los requerimientos de capital correspondientes a cada uno de los riesgos considerados:

BSCR =

∑ρ

i, j

⋅ SCRi ⋅ SCR j + SCRintangibles

(1)

i, j

donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre el riesgo i y j; SCRi es el requerimiento de capital de solvencia del riesgo i-ésimo; y SCRintangibles es el requerimiento de capital de solvencia correspondiente a los activos intangibles. Cada uno de los módulos de riesgo se descompone en diversos submódulos. En particular, para el cálculo del requerimiento de capital correspondiente al riesgo de suscripción en no vida, objetivo de este trabajo, deben tenerse en cuenta tres submódulos, el riesgo de insuficiencia de primas y reservas (NLpr), el riesgo de caída (NLdes) y el riesgo catástrofe (NLcat). El riesgo de insuficiencia de primas y reservas (NLpr) es el riesgo de que el volumen de primas y/o reservas no sea suficiente para atender los 78

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

compromisos adquiridos, bien sea por inadecuación en la tarificación, o por fluctuaciones inesperadas de la siniestralidad. El riesgo de caída (NLdes) debe cubrir los desajustes que se produzcan en la cartera como consecuencia del ejercicio de opciones implícitas en los contratos, que supongan la rescisión o prórroga de las obligaciones que se deriven de estos. El requisito de capital correspondiente al riesgo de catástrofe (NLcat) debe ser suficiente para cubrir las pérdidas extremas inesperadas derivadas de eventos consecuencia de fenómenos naturales y/o provocados por acciones humanas. El requerimiento de capital de solvencia debe ser calculado del siguiente modo:

SCRS.no vida =

∑ρ

⋅ NLk ⋅ NLl

(2)

donde ρ kl es el coeficiente de correlación entre cada submódulo de riesgo; y

NLk representa el requerimiento de capital de cada uno de los tres submódulos, el de insuficiencia de primas y reservas, el de caída y el de catástrofe. Aunque la Directiva no menciona a qué nivel de detalle deben ser calculados los requerimientos de capital, el QIS-5 exige que el submódulo de riesgo de insuficiencia de primas y reservas sea calculado, tanto el correspondiente al negocio de vida como el de no vida y salud, teniendo en cuenta un nivel de detalle correspondiente a líneas de negocio. Según el QIS-5, para el riesgo de suscripción en no vida se deben considerar doce líneas de negocio: (I) Responsabilidad civil de vehículos a motor, (II) Otro tipo de responsabilidades derivadas de vehículos a motor, (III) Marina, aviación y transporte, (IV) Incendio, (V) Responsabilidad civil, (VI) Crédito y caución, (VII) Defensa jurídica, (VIII) Asistencia, (IX) Diversos, (X) Reaseguro no proporcional Inmuebles, (XI) Reaseguro no proporcional Daños y (XII) Reaseguro no proporcional Marina, aviación y transporte. Una descripción detallada de las definiciones de cada línea de negocio se encuentra en el QIS-5. El requerimiento de capital para el riesgo de insuficiencia de primas y reservas se deriva mediante la siguiente expresión:

NL pr = ρ (σ ) ⋅ V

(3)

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

donde V es una medida de volumen; σ es una medida de dispersión denominada desviación estándar combinada; y ρ (σ ) es una función de la desviación estándar combinada. La función ρ (σ ) está ajustada de tal manera que se corresponde aproximadamente con el valor en riesgo (VaR) calculado con un 99,5% de confianza a un horizonte temporal anual, asumiendo que la distribución del riesgo subyacente es log-normal:

ρ (σ ) =

(

( (σ + 1)

)) − 1

exp z 0.995 ⋅ log σ 2 + 1 2

(4)

donde z 0,995 es el percentil 99,5 de una distribución Normal estándar. La medida de volumen y la desviación estándar combinada pueden obtenerse en dos pasos. En primer lugar, se calcula la desviación estándar combinada y la medida de volumen para los riesgos de insuficiencia de primas y de reserva, por línea de negocio. En segundo lugar, se agregan las medidas de volumen y desviación estándar combinada por línea de negocio para derivar una medida de volumen y desviación estándar combinada global. Siguiendo este esquema, el cálculo de la medida de volumen por línea de negocio para el riesgo de insuficiencia de prima se obtendría como sigue:

(

)

t ,written t −1,written t ,earned PP V prLoB = max PLoB , PLoB , PLoB + PLoB

(5)

donde, V prLoB , es la medida de volumen para las primas por línea de negocio t ,written (LoB, line of business); PLoB , es la estimación de las primas netas de t −1,written , es reaseguro suscritas prevista para el año t, por línea de negocio; PLoB la estimación de las primas netas de reaseguro suscritas prevista para el año t , earned t-1, por línea de negocio; PLoB , es la estimación de las primas PP , es el valor devengadas prevista para el año t, por línea de negocio; y PLoB actual de las primas futuras netas de reaseguro a ingresar derivadas de contratos existentes en el año t, por línea de negocio.

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

La medida de volumen por línea de negocio para el riesgo de reservas, VresLoB , se corresponde con la mejor estimación2 (BE) de los siniestros IBNR por línea de negocio. QIS-5 ofrece unos valores para la estimación de la desviación estándar combinada por línea de negocio que tienen en cuenta el efecto mitigación de riesgo por reaseguro no proporcional, así como los valores estimados de la desviación estándar combinada del riesgo de reserva por línea de negocio. La medida global de volumen se obtendría del siguiente modo:

∑V

∀LoB

donde

(6)

LoB

(

)

VLoB = V prLoB + VresLoB ⋅ (0,75 + 0,25 ⋅ DIVLoB )

(7)

y DIVLoB representa un factor de diversificación geográfica que es obtenido a través de

DIVLoB =

∑ (V ∀j

LoB pr

+ VresLoB

⎛ ⎜ ∑ V prLoB + VresLoB ⎜ ⎝ ∀j

(

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

)

(8)

siendo j el número de segmentos geográficos. Por otro lado, la desviación estándar combinada se obtiene con la agregación de las distintas desviaciones estándar por línea de negocio, teniendo en cuenta las medidas de volumen correspondientes:

σ=

1 ⋅ V

∑∑ρ

LoB , LoB '

⋅ σ LoB ⋅ σ LoB ' ⋅ VLoB ⋅ VLoB

(9)

LoB LoB '

Según QIS-5, las provisiones técnicas correspondientes a contratos no vida deben ser calculadas en base a una valoración de mercado consistente. Las provisiones deben ser estimadas mediante la suma del Best Estimate, que se corresponderá con la mejor estimación de los flujos futuros que generará el contrato valorada en el momento actual; más el Risk Margin Value, que se corresponderá con aquella cuantía que debería satisfacer una entidad, de manera inmediata, por el acuerdo voluntario entre ésta y otra entidad, de la transferencia de una serie de obligaciones, descontado el Best Estimate de éstas. 81

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

donde ρ LoB es el coeficiente de correlación entre las líneas de negocio LoB y LoB’; σ LoB es la desviación estándar de la línea de negocio LoB; VLoB es la medida de volumen de la línea de negocio LoB; y

σ LoB =

(σ

LoB pr

)

(

LoB ⋅V prLoB + 2 ⋅ α ⋅ σ prLoB ⋅ V prLoB ⋅ σ res ⋅ VresLoB + σ prLoB ⋅V prLoB 2

)

(10) V prLoB + VresLoB siendo α el coeficiente de correlación entre la dispersión de primas y reservas, prefijado en QIS-5 e igual a 0,5. La Tabla 1 y la Tabla 2 muestran los valores que en QIS-5 se proponen para las desviaciones estándar de las primas y reservas, así como la matriz de correlación entre líneas de negocio: Tabla 1 Desviación Estándar (%) LoB Primas Reservas I 10 9,5 II 7 10 III 17 14 IV 10 11 V 15 11 VI 21,5 19 VII 6,5 9 VIII 5 11 IX 13 15 X 17,5 20 XI 17 20 XII 16 20 Fuente:QIS-5

I II I 1 II 0,5 1 III 0,5 0,25 IV 0,25 0,25 V 0,5 0,25 VI 0,25 0,25 VII 0,5 0,5 VIII 0,25 0,5 IX 0,5 0,5 X 0,25 0,25 XI 0,25 0,25 XII 0,25 0,25 Fuente: QIS-5

Tabla 2 Correlaciones entre líneas de negocio III IV V VI VII VIII IX

1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5

1 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5

1 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25

1 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25

1 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25

1 0,5 0,5 0,25 0.,5

1 0,25 0.,5 0,5

XII

1 0,25 0,25

1 0,25

En QIS-5 no se hace referencia a si los valores de la desviación estándar de las reservas contienen la varianza del proceso y/o varianza de la estimación, o ambas, en el sentido que proponen England y Verrall (1998, 2002). 82

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

Teniendo en cuenta los estimadores propuestos en QIS-5 para la estimación de los parámetros propios de la entidad, cabe pensar que estas proxys han sido obtenidas mediante los mismos estimadores por lo que incluyen ambas varianzas. Este hecho debería ser contrastado. 3. Datos A partir de la Memoria Estadística Anual de Entidades Aseguradoras publicada por la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones (DGSFP) sobre balances y cuentas técnicas del negocio no vida correspondientes al ejercicio 2009 para el conjunto de entidades que operan en el mercado español, ha sido extraída la información necesaria para el cálculo del requerimiento de capital de solvencia correspondiente al submódulo de riesgo insuficiencia de primas y reservas del negocio no vida, según la fórmula estándar propuesta en QIS-5. Los datos recogidos referidos al conjunto del mercado corresponden a la información agregada de Sociedades Anónimas, Mutuas, Mutualidades de Previsión Social y Reaseguradoras. Asimismo, la información publicada corresponde a los ramos actualmente vigentes en la normativa contable, esto es, a los ramos (a) Accidentes, (b) Enfermedad, (c) Asistencia sanitaria, (d) Transporte de cascos, (e) Transporte de mercancías, (f) Incendio, (g) Otros daños a bienes, (h) Responsabilidad civil de vehículos a motor, (i) Vehículos a motor, otras garantías, (j) Responsabilidad civil, (k) Crédito, (l) Caución, (m) Pérdidas pecuniarias, (n) Defensa jurídica, (o) Asistencia, (p) Decesos, (q) Multirriesgo hogar, (r) Multirriesgo comercio, (s) Multirriesgo comunidades, (t) Multirriesgo industrial, (u) Otros multirriesgos y (w) Dependencia. Para efectuar el cálculo del requerimiento de capital de solvencia se ha tenido en cuenta las doce líneas de negocio propuestas en QIS-5, si bien no es estrictamente necesario seguir estas líneas de negocio. La correspondencia entre los ramos presentados en la memoria y las líneas de negocio propuestas en QIS-5 se ha realizado teniendo en cuenta la recomendación que UNESPA realizó a las entidades participantes en QIS-5. La Tabla A.1 del anexo presenta dichas correspondencias. Como puede apreciarse los ramos (a) Accidentes, (b) Enfermedad, (c) Asistencia sanitaria y (w) Dependencia no son asignados3 a ninguna línea de negocio de las consideradas por QIS-5. Ello es debido a que los ramos (a), (b), (c) y (w) no 3

Excepto el ramo Accidentes, donde se considera el reaseguro no proporcional en la línea de negocio XI. 83

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

son considerados en el submódulo de riesgo insuficiencia de primas y reservas, sino en otro submódulo específico para dichos riesgos. Como resultado de la agregación por líneas de negocio, en la Tabla 3 se presentan los inputs, en millones de euros, para el cálculo del requerimiento de capital de solvencia basado en el modelo estándar correspondiente al mercado español para el ejercicio 2010. Las cuantías de la Tabla 3 referidas a las líneas de negocio I a IX son netas de reaseguro. Las líneas de negocio X, XI y XII se corresponden con los volúmenes de reaseguro correspondientes a Inmuebles, Daños y Marina, aviación y transporte, e incluyen las variaciones en las provisiones para primas pendientes de cobro y para primas no consumidas y riesgos en curso. La línea de negocio X comprende los ramos Incendio, Otros daños a bienes y los ramos Multirriesgo. La línea de negocio XI contiene el ramo Accidentes, y la línea de negocio XII se corresponde con los ramos Transporte de cascos y Transporte de mercancías. Tabla 3 Inputs del modelo estándar LoB

2008,written PLoB

I 6.232,56 II 4.947,32 III 441,92 IV 6.595,29 V 1.360,89 VI 469,68 VII 174,23 VIII 669,38 IX 1.709,51 X 1.529,88 XI 64,48 XII 196,71 Fuente: DGSFP / (*) Best Estimate

2009 ,written PLoB

2009 ,written (*) BE LoB

5.781,62 4.812,27 421,25 6.870,41 1.218,59 499,64 161,67 676,13 1.895,39 1.851,82 74,57 232,65

4.870,17 1.280,37 560,87 2.678,54 3.558,51 948,18 52,03 25,77 213,03 1.326,85 61,89 372,23

Las cuantías correspondientes a las provisiones técnicas de siniestros pendientes por línea de negocio es igual a la suma de las cuantías correspondientes a las partidas Provisión para prestaciones, más la Provisión para gastos internos de liquidación de siniestros, más la Provisión para siniestros pendientes de declaración, en el caso de las líneas de negocio I a IX. En el caso de las líneas de negocio X a XII, las provisiones técnicas de siniestros pendientes han sido obtenidas por línea de negocio como la suma de la Provisión para siniestros pendientes de liquidación, más la Provisión para siniestros pendientes de declaración.

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

4. Resultados Para efectuar el cálculo del requerimiento de capital asumimos que todos los volúmenes de reaseguro se corresponden con reaseguro no proporcional. Todos los parámetros utilizados en el cálculo del requerimiento, las desviaciones de primas y reservas por línea de negocio, la matriz de correlaciones entre líneas de negocio y el coeficiente de correlación entre las desviaciones de primas y reservas, son los propuestos en el QIS-5. Además, hemos considerado las siguientes hipótesis para el cálculo del requerimiento de capital de solvencia. En primer lugar, el volumen de primas suscrito en el ejercicio es igual al devengado. En segundo lugar, todos los contratos son a prima única, por lo que el valor actual de las primas futuras derivadas de contratos existentes con cobertura más allá del horizonte anual, es nulo. Además, asumimos también que las cuantías correspondientes a las provisiones técnicas se corresponden con el Best Estimate a que se refiere QIS-5. Con los datos de la Tabla 3 correspondientes al mercado español y asumiendo las hipótesis mencionadas, hemos obtenido una estimación del SCR para el riesgo de suscripción no vida, basado en el modelo estándar, correspondiente al conjunto del mercado español para el ejercicio 2010. El requerimiento de capital obtenido ha sido de 7.533,19 millones de euros, lo que, aproximadamente, representa un 30% del volumen total de recaudación de primas del sector en el ejercicio 2009 y un 47% de las provisión para prestaciones agregada del mercado. Si realizamos un cambio en la hipótesis de la matriz de correlación entre líneas de negocio y asumimos la hipótesis de incorrelación en el comportamiento de las líneas de negocio, la estimación del SCR para el ejercicio 2010 sería de 4.269,87 millones de euros, aproximadamente un 18% de la recaudación de primas del ejercicio 2009 y un 26% de la provisión para prestaciones agregada de mercado. La reducción, en términos absolutos, que se produce al considerar incorrelación entre líneas de negocio, comparada con el capital asumiendo la hipótesis sobre correlaciones propuesta en QIS-5, es de 3.263,32 millones de euros, aproximadamente un 13% sobre el volumen total de primas y un 20% de la provisión de prestaciones. Una vez obtenida la estimación del requerimiento de capital para el riesgo de suscripción no vida del mercado español, hemos realizado un análisis de sensibilidad del SCR frente a diversos cambios en las correlaciones que intervienen en la fórmula estándar. En primer lugar, se han realizado cien mil simulaciones aleatorias de la matriz de correlación entre líneas de negocio. Las simulaciones se han llevado a cabo teniendo en cuenta que 85

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

puedan existir tanto correlaciones positivas como negativas. Si bien resultaría difícil encontrar una justificación para la utilización de correlaciones negativas entre las líneas de negocio, se ha optado por incluirlas con la finalidad de obtener el recorrido teórico completo del SCR. Por otra parte, con los mismos datos, y considerando la matriz de correlación entre líneas de negocio propuesta en QIS-5, hemos realizado un análisis de sensibilidad del requerimiento de capital de solvencia con respecto a la LoB LoB correlación entre la desviación de las primas σ pr y de las reservas σ res , es decir, el parámetro α del modelo estándar utilizado para derivar la medida de desviación agregada por líneas de negocio σ LoB . De nuevo, realizamos el análisis permitiendo tanto correlaciones positivas como negativas. La Figura 1 muestra el recorrido del SCR para los dos escenarios planteados, es decir, la distribución del SCR frente a cambios en las correlaciones, tanto para la matriz de correlación entre líneas de negocio como para el parámetro α . Como puede apreciarse, el requerimiento de capital de solvencia tiene una gran sensibilidad al cambio en la matriz de correlación entre líneas de negocio. Cuando se consideran cambios en la matriz de correlación entre líneas de negocio, el requerimiento de capital está acotado superiormente. La cota superior se produce en el caso de que la matriz de correlación esté formada por unos, es decir, correlación perfecta positiva (comonotonía) entre todas las líneas de negocio. En este caso, el requerimiento de capital de solvencia es de 11.713,86 millones de euros. Como hemos visto, la matriz propuesta en QIS-5 produce un requerimiento de capital de 7.533,19 millones de euros, mientras que si se considera incorrelación entre líneas de negocio el capital requerido es de 4.269,87 millones de euros. Si realizamos el análisis de sensibilidad del SCR a los coeficientes de correlación entre las dispersiones de las primas y reservas, el parámetro α , la reducción del requerimiento de capital que se puede obtener como consecuencia de la modificación de esta correlación, es menor que en el caso de las correlaciones entre líneas de negocio, lo que indica que el SCR es menos sensible en este caso. De este modo, si las correlaciones fueran perfectas y positivas, el capital de solvencia requerido sería de 8.600,50 millones de euros. Si dicha correlación es nula, es decir, consideramos que las medidas de dispersión son independientes, el capital requerido sería de 6.318,06 millones de euros. Las correlaciones entre las dispersiones de las primas y las reservas propuestas en QIS-5 (0,5) producen un requerimiento de 7.533,19 millones de euros. La Tabla 4 resume los requerimientos obtenidos en función de las correlaciones propuestas.

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Por tanto, en el caso de que se parta de la situación propuesta en QIS-5, la reducción en el SCR, consecuencia de la modificación de la matriz de correlación entre líneas de negocio y asumiendo que la situación más favorable es la incorrelación entre líneas de negocio, es de 3.263,32 millones de euros. Si lo que se modifica es el parámetro α del modelo, la correlación entre las medidas de dispersión de primas y reservas, la reducción es como máximo de 2.282.44 millones de euros, asumiendo como caso más favorable la independencia. Tabla 4 SCR en función de las correlaciones Correlaciones entre líneas de negocio Parámetro alfa % % s/ % % s/ SCR SCR s/primas provisiones s/primas provisiones QIS-5 7.533,19 30 47 7.533,19 30 47 Incorrelación 4.629,87 18 26 6.318,06 25 39 Comonotonía 11.713,86 47 73 8.600,50 35 53 Fuente: Elaboración propia

Figura 1. Sensibilidad del SCR a cambios en las correlaciones.

Fuente: Elaboración propia

5. Conclusiones En primer lugar, utilizando datos de mercado referentes al ejercicio 2009 del negocio no vida, hemos obtenido el requerimiento de capital de solvencia para 2010 basado en el modelo estándar propuesto en QIS-5 para el 87

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

submódulo de riesgo insuficiencia de primas y reservas. Observamos que éste tiene una gran sensibilidad a los parámetros de los que depende el modelo. En este trabajo hemos realizado un análisis de sensibilidad del SCR a cambios en la matriz de correlación entre las líneas de negocio propuesta en QIS-5. Comparando los resultados del SCR obtenidos con la matriz de correlación propuesta en QIS-5, con algunos de los obtenidos con el análisis de sensibilidad, observamos que existe un amplio recorrido entre el capital calculado íntegramente con los parámetros preestablecidos y el capital obtenido asumiendo incorrelación entre líneas de negocio. La estimación del requerimiento de capital del conjunto del mercado ha sido obtenida como si éste actuase como una única entidad. Teniendo en cuenta que el requerimiento de capital responde a una aproximación del valor en riesgo de una distribución de probabilidad, y que esta medida, en general, no cumple la propiedad de subaditividad, puede darse el caso de que la suma de los requerimientos individuales de las entidades consideradas sea superior al requerimiento conjunto que hemos obtenido. El problema de incumplimiento de la propiedad de subaditividad de la medida de riesgo quedaría resuelto eligiendo una medida coherente en el sentido de Artzner et al. (1999) de riesgo, por ejemplo, el valor en riesgo en cola (Tail-VaR), si bien este caso ello implicaría un requerimiento de capital mayor. No obstante, la estimación que hemos realizado puede ser utilizada como benchmark por los agentes del mercado. Por una parte, las entidades teniendo en cuenta su participación en la cuota de mercado y asumiendo que el conjunto del mercado opera como una única entidad, pueden comparar la ratio SCR respecto del volumen de primas suscrito con aquella derivada del mercado; y por otra parte, el regulador puede realizar la asignación del requerimiento de capital del mercado correspondiente a cada entidad con alguna de las técnicas desarrolladas a tal efecto, y compararlo con el SCR que las entidades efectivamente calculan. Además, podemos realizar algunas reflexiones sobre el modelo estándar. Creemos que las entidades tienen un gran incentivo para utilizar modelos alternativos al estándar completo, puesto que usando los parámetros preestablecidos, los resultados que arroja el modelo dependen de la medida de volumen. Incluso en el caso en que se utilicen parámetros propios, el SCR sigue dependiendo de la medida de volumen, pues en la construcción del modelo las medidas de volumen son utilizados como ponderaciones. En este sentido, el modelo estándar de Solvencia II no supera las críticas realizadas al modelo de Solvencia I, también basado en volúmenes. Aquellas entidades con un mayor volumen de provisiones, es decir, más prudentes, estarán 88

Antoni Ferri, Lluís Bermúdez y Manuela Alcañiz – Anales 2011/75-90

penalizadas con un mayor requerimiento de solvencia, puesto que la medida de volumen del modelo depende de ello. Asimismo, pensamos que el modelo no tiene en cuenta el recargo de seguridad de las primas puesto que se utiliza como input los volúmenes suscritos de primas y no las primas puras. Aquellas entidades que apliquen un mayor recargo de seguridad sobre la prima pura estarán penalizadas con un mayor requerimiento de capital de solvencia. Del mismo modo, con este modelo, aquellas entidades que cometan errores de tarificación, es decir, tengan insuficiencia de primas, se beneficiarán de una reducción del requerimiento, lo que va en contra de la filosofía de Solvencia II. Por estas razones, pensamos que las entidades tienen incentivos suficientes para avanzar en modelos para el cálculo del requerimiento de capital de solvencia, bien a través de modelos parciales, o bien a través de modelos internos completos, con la finalidad de ajustar el requerimiento al perfil de la entidad.

Anexo Tabla A.1 Correspondencias entre ramos y líneas de negocio Ramos I II III IV V VI VII VIII IX X (*) XI (*) x a b c x d x e x x f x x g x h x i x j x k x l x m x n x o p x x x q x x r x x s x x t x x u w Fuente: UNESPA / (*) Reaseguro no proporcional

XII (*)

x x

Sensibilidad a las correlaciones entre líneas de negocio – Anales 2011/75-90

Referencias Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M. and Heath, D., (1999); Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9(3), 203-228. Directiva 2009/138/EC del Parlamento Europeo y del Consejo de 25 de Noviembre de 2009 sobre el acceso y ejercicio de la actividad aseguradora y reaseguradora. Offcial Journal, L335, http://eurlex.europa.eu/Result.do?T1=V3&T2=2009&T3=138&RechType= RECH naturel&Submit=Search, (consultado 20/09/2010). England, P.D. and Verrall, R.J., (1999); Analytic and bootstrap errors in claim reserving. Insurance: Mathematics and Economics, 25, 281-293. England, P.D. and Verrall, R.J., (2002); Stochastic claims reserving in general insurance. British Actuarial Journal, 8(3), 443-544. QIS-5, Quantitative Impact Study 5 (2010), Comitee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors (CEIPOS). http://www.ceiops.eu. El Modelo Español de Solvencia paso a paso. http://www.unespa.es/adjuntos/fichero_2590_20080227.pdf (consultado 20/09/2010)

UN MODELO BONUS-MALUS CON ASIGNACIÓN DE TARIFAS MÁS COMPETITIVAS EN EL MERCADO DE SEGURO DE AUTOMÓVILES José Mª Pérez Sánchez1, Emilio Gómez Déniz2 y Enrique Calderín Ojeda3

Resumen En el mercado de seguros de automóviles europeo, para el cálculo de la prima, se utiliza mayoritariamente un sistema de tarificación llamado BonusMalus, caracterizado por el hecho de que la prima únicamente se modifica atendiendo al número de reclamaciones que se produzcan en el período. Este trabajo trata el problema de penalización no equitativa que se produce en todos los sistemas de tarificación Bonus-Malus, en el sentido de que algunos asegurados pagan más de lo que debieran si tenemos en cuenta su experiencia de reclamaciones. En muchas ocasiones, las penalizaciones que se producen incrementando la prima de los asegurados malus son excesivas, lo que puede acarrear serios problemas de competitividad y, consecuentemente, de suficiencia a la compañía aseguradora. Abstract Bonus-Malus system is the most commonly-used premium rating method in European auto insurance market. This system is based on the fact that the premium is only modified according to the number of claims declared in a period of time. In this paper we deal with the problem of unfair penalization in Bonus-Malus system. It occurs when insureds pay more than their pure premium according to their individual claim history. On many occasions, the premium increase for the malus class insureds is excessive and it could lead the insurance company to a lack of competitiveness and financial equilibrium problems. Palabras Clave: prima de seguros, Bonus-Malus, tarificación a posteriori.

Departamento de Métodos Cuantitativos. Universidad de Granada. josema@ugr.es Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. egomez@dmc.ulpgc.es 3 Department of Economics. The University of Melbourne. enrique.calderin@unimelb.edu.au Este artículo se ha recibido en versión revisada el 10 de octubre de 2011. 2

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104

1. INTRODUCCIÓN La metodología del sistema de tarificación Bonus-Malus, SBM en adelante, fue introducida en Europa en la década de los 60, siguiendo los trabajos de Bühlmann (1967, 1969), entre otros. En 1958 se empezó a aplicar en Francia, para ir extendiéndose poco a poco a casi todo el resto de Europa. El diseño de un SBM depende de la regulación existente en cada país. Si la tarifa la impone el gobierno y cada compañía aseguradora ha de adoptarla, no existen razones comerciales para igualar el riesgo a la prima haciendo uso de toda la información relevante disponible. Las autoridades pueden decidir, por razones socioeconómicas, por ejemplo, excluir de la estructura de tarifas un determinado factor de riesgo. También, el gobierno puede corregir los desequilibrios de un sistema basado únicamente en información a priori utilizando un factor malus, que penaliza a las reclamaciones fuertemente. El SBM es un método de tarificación en el que los asegurados se agrupan en clases según el número de reclamaciones que hayan realizado hasta el período actual. Por lo tanto, se calculan las primas de seguro aplicables para cada póliza individual, ajustadas por una cantidad que depende de la experiencia pasada de cada asegurado, penalizando a los contratantes de pólizas, en caso de reclamaciones, mediante subidas en la prima que éstos deben de pagar. Han sido numerosos los estudios realizados sobre este método de tarificación, entre los que destacan De Pril, (1978), Lemaire (1979, 1985, 1988, 1995, 1998), Tremblay (1992), Coene y Doray (1996), Shengwang y Whitmore (1999), Walhin y Paris (1999), Frangos y Vrontos (2001), Heras et al. (2002), Morillo y Bermúdez (2003), Sarabia et al. (2004), Gómez-Déniz et al. (2005) y Gómez-Déniz y Sarabia (2008). Sin embargo, en muchas ocasiones, las penalizaciones de los sistemas de tarificación Bonus-Malus son excesivas. Esto puede acarrear serios problemas de competitividad y, consecuentemente, de equilibrio financiero a la compañía aseguradora (ver Baione et. al, 2002, Verico, 2002 y Pitrebois et. al, 2006). Entendemos por penalización a los incrementos de la prima debido a la existencia de reclamaciones por parte de los asegurados en un período establecido, normalmente anual. Este problema, que denominaremos de sobrecargas surge porque la compañía aseguradora no puede distinguir entre los asegurados de un mismo grupo, no pudiendo discriminar entre los asegurados con mayor frecuencia de reclamaciones y los de menor frecuencia. Analizaremos un método de reducción de estas sobrecargas en el que utilizaremos la función de utilidad exponencial y que tiene en cuenta la actitud de la compañía aseguradora ante el riesgo.

José Mª Pérez, Emilio Gómez y Enrique Calderín – Anales 2011/91-104

Este trabajo pretende ser un análisis introductorio a una metodología, propuesta por Lemaire (1979), que busca la disminución de las sobrecargas sin que ello perjudique la balanza comercial y financiera de la empresa. El artículo está estructurado como sigue. La sección 2 expone el método estándar de tarificación en los SBM. La sección 3 introduce una metodología con la que se obtienen precios más competitivos. Ilustraremos su ventaja mediante un ejemplo incorporado en ambas secciones. Por último, en la sección 4, se exponen las conclusiones más destacadas del trabajo.

2. METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DE LA PRIMA EN UN SBM Los SBM, que aplican la mayoría de los países desarrollados en el ramo de automóviles, penalizan a los asegurados que realizan reclamaciones mediante aumentos en la prima que éstos deben pagar (cantidades malus). Por contra, recompensan a los conductores que no realizan ningún tipo de reclamación con descuentos sobre la prima (cantidades bonus). De esta forma, los asegurados se ven motivados a realizar una conducción más cuidadosa. El objetivo principal del SBM es que todos los asegurados paguen, en el largo plazo, una prima que se corresponda con su propia experiencia de reclamaciones. La metodología bayesiana juega aquí un papel importante con la incorporación de la llamada distribución a priori y el cálculo de la distribución a posteriori a partir de la primera y de la experiencia observada. En los problemas de tarificación actuarial, y en particular en los SBM, es usual considerar la función de utilidad exponencial,

u (z ) =

1 (1 − e − cz ), c

c > 0,

donde z mide la riqueza de la compañía aseguradora, c > 0 la aversión al riesgo de la misma y k el número de reclamaciones. Esta función posee propiedades deseables desde el punto de vista actuarial; ver, por ejemplo, Gerber (1974), Straub (1992), Tremblay (1992), Lemaire y Zi (1994) y Lemaire (1979, 1985, 1995). Para calcular la prima se utiliza la siguiente regla

u ( z ) = ∑k u ( z + P − k ) f (k ), 93

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104

siendo f(k) la función de densidad de probabilidad del número de reclamaciones, y en la que se iguala la utilidad de la posición actual de la compañía con la utilidad esperada después de aceptar la operación de aseguramiento. Es sencillo, utilizando la función de utilidad exponencial, obtener la siguiente expresión para P :

1 P = lnMk (c), conMk (c) = ∑eck f (k). c k

(1)

Consideremos ahora una cartera de seguros de automóviles en el que la propensión de reclamación para cada asegurado, póliza o grupo de asegurados está caracterizada por un parámetro de riesgo θ . Es usual considerar que el número de reclamaciones de cada póliza sigue una distribución de Poisson con media θ > 0 :

f (k θ ) =

e −θ θ k , k!

cuyo parámetro θ varía de un individuo (póliza) a otro, reflejando con ello la propensión de reclamación de cada individuo. Utilizando (1) se obtiene el siguiente valor para la prima

P ≡ P( θ ) =

θ c

(e c − 1),

que se le conoce como la prima de riesgo. En estadística actuarial, sin embargo, es usual considerar el parámetro de riesgo θ aleatorio, y distribuido en la cartera de seguros de acuerdo a una función de densidad Gamma (distribución a priori) de parámetros a > 0, b > 0 .

π 0 (θ ) =

b a a −1 −bθ θ e . Γ(a )

En este caso, la prima que la compañía cobra es la prima colectiva, que en nuestro caso viene dada por

José Mª Pérez, Emilio Gómez y Enrique Calderín – Anales 2011/91-104

1 ∞ a ⎛ b ⎞ c P∗ = ln∫ eP(θ )π(θ)dθ = ln⎜ ⎟, b > e −1. c 0 c c ⎝ b −e +1⎠

(2)

Supongamos ahora que el número de reclamaciones en los períodos consecutivos está igualmente distribuido y no hay influencia de un período a otro. Además, al comenzar el período t + 1 conocemos las reclamaciones

k1 , k 2 ,..., k t de los períodos precedentes. Tomando k = ∑i =1 k i / t = k / t , la t

función de verosimilitud viene dada por:

( )

f k θ = e −tθ θ k / ∏ k i , i =1

y la distribución a posteriori, es de nuevo una distribución gamma, ahora con parámetros revisados a+k y b+t:

( )

π θ k ∝ θ a + k −1e − (b+t )θ . Con esta información disponible la compañía de seguros puede revisar la prima colectiva y cobrar como valor de la prima la cantidad ∞ 1 a+k ⎛ b+t ⎞ P (k , t ) = ln ∫ eP (θ )π (θ k )dθ = ln⎜ ⎟, c c 0 c ⎝ b + t − e + 1⎠

b + t > e c − 1,

(3)

que se le conoce como prima Bayes (prima a posteriori) o prima basada en la experiencia de reclamaciones. Obsérvese, como era previsible, que

P ∗ = P( 0,0 ) . Como ya se comentó anteriormente, los SBM penalizan a los asegurados que realizan reclamaciones mediante aumentos en las primas, recompensando, como contrapartida, a los asegurados que no realizan ninguna reclamación. Para la consecución de este objetivo es usual considerar como valor de la prima el cociente entre una magnitud a posteriori y una magnitud a priori, multiplicada por 100. En nuestro caso, considerando la función de utilidad exponencial este objetivo puede alcanzarse dividiendo (2) entre (3) y multiplicando por 100, de manera que se obtiene:

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104 b+t ⎛ ⎞ ( a + k ) ln ⎜ ⎟ t b + t − ec + 1⎠ ⎝ PBM (k , t ) = 100 , b > e c − 1, k = ∑ k i = t k b ⎛ ⎞ i =1 a ln⎜ ⎟ c ⎝ b − e + 1⎠

( 4)

Así se consigue que cuando se pasa de un período t1 a otro t 2 , (t1 < t 2 ) , la prima se incremente conforme el asegurado pasa de una clase con k1 reclamaciones a otra con k 2 reclamaciones (k1 < k 2 ) , mientras que disminuya la prima si el asegurado no experimenta reclamación.

Ejemplo. Consideremos una ilustración específica. La información que se dispone de la cartera aparece en la tabla 1, que muestra los datos extraídos de un ejemplo de Lemaire (1979) correspondiente a la distribución del número de reclamaciones de una cartera de seguros de automóviles con cobertura de responsabilidad a terceros, de una compañía aseguradora belga. De esta forma, por ejemplo, de los 10000 asegurados que componen la cartera, en el primer año (t=1) 9059 no han realizado ninguna reclamación, 877 realizaron 1 reclamación, 58 efectuaron 2 reclamaciones y 6 demandaron hasta 3 reclamaciones. Tabla 1. Información de la cartera

t 0 1 2 3 4

0 10000 9059 8297 7584 6991

Número de reclamaciones (k) 1 2 3 4 877 1472 1947 2238

58 197 381 600

6 31 73 130

0 2 12 29

0 1 2 8

0 0 1 4

La tabla 2 muestra en la columna de las frecuencias absolutas observadas el número de asegurados con 0,1,2,3,4 y más de 4 reclamaciones. La media y varianza muestrales son, respectivamente, 0.1011 y 0.1074. Es fácil comprobar que la distribución del número de reclamaciones para toda la cartera, independientemente del parámetro de riesgo θ , sigue una distribución binomial negativa de la forma:

José Mª Pérez, Emilio Gómez y Enrique Calderín – Anales 2011/91-104

pk = ∫

∞

⎛ k + a + 1⎞⎛ b ⎞ ⎟⎟⎜ f (k θ )π (θ )dθ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ k ⎠⎝ 1 + b ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝1+ b ⎠

Aplicando el método de estimación de los momentos, los parámetros de la distribución a priori estimados son a=1.6049 y b=15.8778. Puede observarse en la tabla 2 que con estos datos las frecuencias ajustadas mediante la distribución binomial negativa son bastante buenos.

Tabla 2. Distribución del número de reclamaciones

Número de reclamaciones 0 1 2 3 4 Más de 4 Total

Frecuencias absolutas Observadas Ajustadas 96978 9240 704 43 9 0 106974

96895.0 9222.5 711.7 50.7 3.5 0 106974

Suponiendo un coste fijo por reclamación de 100 unidades monetarias, las primas bonus-malus a cobrar, teniendo en cuenta (4) se recogen en la tabla 3, en la que se ha tomado como constante de aversión al riesgo el valor c=0.4.

Tabla 3. Primas obtenidas utilizando la expresión (4)

t 0 1 2 3 4

0 10000 9399 8666 8399 7962

Número de reclamaciones (k) 1 2 3 4 15255 21111 26967 14390 19914 25438 30962 13617 18845 24072 29300 12923 17885 22850 27807

5 36486 34528 32768

6 39755 37730

Como podemos observar, por ejemplo, un asegurado que hasta el período 2 no ha presentado reclamación paga 8666 u.m., mientras que si, en el

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104

siguiente período, realiza una reclamación pasar a pagar 13617 u.m. Por el contrario, si en el siguiente período no efectúa reclamación su prima disminuye en 267 u.m.

3. MODELO CON PRECIOS MÁS COMPETITIVOS. En la figura 1 podemos observar, después de tres años (t=3), la distribución a posteriori de la frecuencia de reclamaciones de dos grupos de asegurados. La distribución de la izquierda se corresponde con el grupo de asegurados situados en k=0 (asegurados bonus), mientras que la derecha se refiere al grupo k=3 (asegurados malus). La zona sombreada nos indica el área en el que ambas distribuciones se solapan para valores menores de la media del grupo k=0, en ella se producen sobrecargas en grupos de asegurados que pagan más y, sin embargo, tienen una frecuencia de reclamaciones incluso menor que la media de los asegurados buenos, 0.085 Además, la sobrecarga aumenta a medida que se incrementa el número de reclamaciones, ya que las sobrecargas no equitativas de las primas son más acentuadas en aquellas clases con mayor número de reclamaciones. A la vista de la tabla 3 podemos observar cómo, en el período tercero, los asegurados pertenecientes al grupo 3 pagan aproximadamente 2.86 veces más que los del grupo k=0, aún cuando la frecuencia de reclamaciones real de muchos de ellos es menor que la media del grupo k=0. Este subgrupo de asegurados (zona sombreada en la figura) está penalizado indebidamente ya que paga casi el triple de su media de reclamaciones. Además, el problema aumenta debido a que la compañía aseguradora no puede distinguir exactamente qué asegurados del grupo pertenecen al subgrupo penalizado. Esto, obviamente, representa un problema para la compañía aseguradora, pues los asegurados situados en las clases malus (k > 0) pueden optar por abandonar dicha compañía para asegurarse en otra con precios más competitivos. Además, para la aseguradora, el perder los ingresos que le suponen estos clientes supone no poder compensar el descuento que lleva a cabo a los asegurados de la clase bonus (k = 0) . Todo esto puede desembocar en que se rompa el equilibrio financiero de la empresa aseguradora. De aquí que sea necesario desarrollar una nueva metodología que permita disminuir la prima de los asegurados malus. Como contrapartida, se incrementarán las primas de los asegurados bonus. Bastará un ligero incremento para reequilibrar el sistema puesto que la mayoría de los asegurados están situados en la clase bonus.

Jossé Mª Pérez, Emilio E Gómez y Enrique Caalderín – Analles 2011/91-10 04

Figura 11. Distribuciones a posteeriori para lla frecuencia a de reclamaciones

Para analizar el sigguiente mod delo, que trrata de paliiar las sobreecargas, empezarremos aclaranndo algunas notaciones im mportantes: upo k. • N k ees la frecuenncia absoluta de reclamacciones del gru •N =

∑N k =0

, es e el númeero total dee asegurados de la co ompañía

aseguraddora. otal de clases en las • m es el máximo vaalor que pueede tener k, eel número to c que se suubdivide la cartera. Para la ddisminución de las sobreecargas propoonemos tom mar como valor de la prima eel valor P (k , t ) qu ue solucionaa el siguieente probleema de optimizaación. ∗

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104

⎫ ⎪ N k∫ 1 ∑ c (P (θ ) −P ∗ ( k , t ) ) 0 π (θ k )d θ ⎪ 1− e k =0 c ⎪ ⎪ ⎬( P ) ⎪ 1 m ∗ * ⎪ ( ) = N P k t P , , ∑ k N k =0 ⎪ ⎪⎭ m

1 Max Z = N

s.a

∞

[

]

* donde P es la prima colectiva. Esta restricción iguala la prima media que

se cobra a los asegurados con la prima colectiva e impone la condición de suficiencia para la empresa aseguradora. Este modelo difiere sustancialmente del propuesto por Lemaire (1979), pues este tomaba P * = P(θ ) = θ , lo que tendría sentido sólo si se trabajase bajo el principio de prima neta (véase Gómez et. al, 2002). ∗ Proposición 1. El valor P (k , t ) solución del problema (P) viene dado por

1⎡ 1 P ∗ (k , t ) = Pπ*0 + ⎢ c ⎣N

∑N i =0

⎤ ln Mi (− c ) − ln Mk (− c )⎥, ⎦

(5)

∞

con

Mi (− c ) = ∫ e −cP (θ )π (θ k )dθ . 0

Demostración.- Basta considerar la función lagrangiana

Ψ=

1 1 cN

∑ N k ∫ e −c (P (θ )−P k =0

∞

∗

( k ,t )

( )

)π θ k dθ − α ⎛⎜ 1

⎝N

∑N k =0

⎞ P ∗ ( k , t ) − P * ⎟. ⎠

donde α es el multiplicador de Lagrange y simples cálculos llevan al resultado deseado. Luego, bajo un SBM la prima a cobrar vendrá dada por

100

José Mª Pérez, Emilio Gómez y Enrique Calderín – Anales 2011/91-104

∗ BM

P ∗ (k , t ) . ( k , t ) = 100 ∗ P (0,0)

( 6)

donde P (k , t ) está dada por (5). ∗

Ejemplo (Continuación). Calculando de nuevo las primas bonus-malus, ahora con la expresión (6), obtenemos los valores que figuran en la tabla 4. Hemos conseguido otro conjunto de primas que, sujetas a la restricción presupuestaria, mejoran la situación inicial, manteniendo constante el valor de la constante de aversión al riesgo c. Tabla 4. Primas obtenidas utilizando la expresión (6)

t 0 1 2 3 4

0 10000 9425 8940 8476 8060

Número de reclamaciones (k) 1 2 3 4 15113 20801 26489 14314 19688 25062 30436 13569 18662 23755 28848 12900 17740 22580 27420

5 35811 33941 32260

6 39034 37100

Puede observarse que los asegurados situados en la clase bonus han sufrido un ligero incremento en el valor de las primas a cobrar, mientras que los asegurados situados en las clases malus se ven afectados por una reducción considerable de sus primas.

4. CONCLUSIONES En este trabajo, proponemos un modelo alternativo de disminución de las sobrecargas indebidas que se producen en todos los SBM. La metodología existente anteriormente, ver Lemaire (1979), conseguía disminuir las sobrecargas, pero modificando sustancialmente el parámetro de aversión al riesgo c. Como sabemos, esta constante mide la aversión al riesgo de la compañía de seguros, por lo que no parece muy coherente realizar modificaciones de este valor con el fin de solucionar el problema de las sobrecargas. Lo razonable es considerar que este valor es fijo para un

101

Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas – Anales 2011/91-104

asegurador, y sólo varíe entre distintos decisores (aseguradores). Además, esta metodología conseguía la reducción de sobrecargas mediante elevados incrementos en las primas que se cobran a los “buenos” asegurados y pequeñas disminuciones en las primas correspondientes a los “malos” conductores. Nosotros, proponemos una metodología que mejora sensiblemente estos resultados, en el sentido de que fija primas que consiguen disminuir las sobrecargas, sin penalizar excesivamente al grupo de los “buenos” riesgos y bonificando menos al grupo de los “malos”. Esto puede ser posible debido a que el número de conductores en la zona de los buenos asegurados suele ser muy superior al número de asegurados en la zona de los malos. Además, como se ha comentado anteriormente, todo SBM óptimo debe satisfacer que las primas sean suficientes y equitativas. Con respecto a esto último, el objetivo fundamental del trabajo es disminuir las injusticias existentes en este sentido, y creemos que este objetivo se alcanza con el modelo propuesto en este trabajo.

Agradecimientos Los autores agradecen a un evaluador anónimo los valiosos comentarios realizados a una versión previa de este trabajo. EGD agradece al Ministerio de Educación y Ciencia (proyecto ECO2009(14152).

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ESTIMACIÓN DE LA ESPERANZA MATEMATICA DE VIDA MEDIANTE LAS TRANSFORMADAS DE WANG

Amancio Betzuen Zalbidegoitia

ABSTRACT In the present paper is to analyze and compare the projection of future mortality through the expectation of life by applying a different methodology than usual in the actuarial field. This methodology is to use a specific type of transformations such as those of Wang. Basically this tool "transform" the survival function across the horizon of future life of a person into its component Z-score using the standard normal distribution. The behavior of the Z-score provides a vision of the future evolution of mortality improvement over the calendar year Key words: Wang transform estimation, life’s tables. Expectancy of life.

RESUMEN En el presente trabajo se trata de analizar y contrastar la proyección de la mortalidad futura a través de la esperanza matemática de vida aplicando una metodología diferente a la habitual en el campo actuarial. Esta metodología consiste en utilizar un tipo específico de transformadas como son las de Wang. Básicamente esta herramienta “transforma” la función de supervivencia de todo el horizonte temporal de vida futura de una persona en su componente Z-score utilizando la distribución normal estándar. El análisis del comportamiento de esta Z-score proporciona una visión de la evolución futura de la mejora de la mortalidad a través de los años de calendario. Palabras clave: Estimación futura mediante las transformadas de Wang, tablas de supervivencia o mortalidad. Esperanza matemática de vida.

Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 27 de octubre de 2011

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Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

1. INTRODUCCIÓN Estimar la esperanza matemática de vida supone uno de los indicadores mejor posicionados, en el campo actuarial, para predecir a largo plazo la evolución de la mejora de la mortalidad de un colectivo significativo, tanto en tamaño como en importancia, como es el de la población general de un País. Se toma en consideración, por tanto, la experiencia real de la evolución de la mortalidad de un colectivo concreto. Esto se corresponde con lo establecido, por ejemplo, en la Oren Ministerial de 21 de julio de 1990, por la que se aprueban las normas de naturaleza actuarial, en este caso aplicables a los planes y fondos de pensiones. Aunque la evolución de un colectivo de personas, en cuanto a la variación de la mortalidad, no se manifiesta en una volatilidad como supondría la evolución de los tipos de interés, sí se manifiesta en una variación más o menos acentuada de la mejora de la mortalidad y por ende en la variación del riesgo de mortalidad. Con esta perspectiva utilizamos, en la práctica actuarial, modelos para la predicción de la mortalidad, que se adecuen a este tipo de comportamiento de los datos de un colectivo, como es el de las personas expuestas al riesgo de fallecimiento o de supervivencia. Uno de estos métodos utilizado por nosotros en épocas anteriores es el de Lee-Carter, que a nuestro juicio ofrece resultados interesantes en cuanto a la predicción de la mortalidad a largo plazo aunque presenta algunas limitaciones. En cualquier caso nosotros hemos simulado estimaciones a diferentes colectivos de personas, como son la población general de diferentes países y la estimación, mediante la técnica anterior, proporcionó resultados satisfactorios como fueron mostrados por nosotros (véase: Betzuen, A. 2010). En este caso utilizamos una técnica totalmente diferente y pretendemos diagnosticar si predice de forma satisfactoria la estimación de la esperanza matemática de vida hacia el futuro. Al final mostramos una breve comparativa con los resultados que nos proporcionó la técnica de Lee-Carter. La metodología para llevar a cabo la estimación es más sencilla que la del método de Lee-Carter y no necesita de una segunda estimación como sucede en este método. Sin embargo no estamos tan seguros de obtener una mejor predicción, sobretodo a muy largo plazo. Si bien entendemos que las estimaciones a muy largo plazo, como pueden ser a cincuenta o más años.

106

Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

nos parecen cuando menos un poco atrevidas. Por otra parte entendemos que estimaciones a tan largo plazo no son tan necesarias en el mercado asegurador que es a dónde nos dirigimos cuando investigamos sobre estas técnicas de estimación. El mercado tiene herramientas suficientes como para reajustar las estimaciones periódicamente, pero en ningún caso hay que esperar periodos muy largos de tiempo para proceder a un ajuste en la estimación si fuera necesario. Por lo que acabamos de apuntar entendemos también que herramientas no excesivamente sofisticadas coordinan mejor con las necesidades del mercado. Si estas herramientas absorben adecuadamente la información procedente de un colectivo de personas para el objetivo que se pretende nos parece que es suficiente para llevar a cabo una adecuada estimación. Evidentemente, se trata de conjugar la precisión con la simplicidad e interpretabilidad de la metodología que se utiliza. Esta es nuestra pretensión y a ello hemos dirigido este trabajo. Los apartados que se presentan a continuación fueron estructurados de la siguiente manera: En el punto 2 exponemos de forma resumida la metodología de las transformadas de Wang y analizamos las principales características de la misma. En el punto 3 indicamos el colectivo utilizado para nuestra investigación. En el punto 4 tratamos de justificar la utilidad de esta herramienta para pronosticar la mejora de la mortalidad hacia el futuro. En el punto 5 mostramos los resultados. En el punto 6 presentamos muestras conclusiones sobre esta metodología y, finalmente señalamos algunas referencias que nos han servido de ayuda para llevar a cabo este trabajo. Con todo ello pretendemos responder y justificar lo señalado en el resumen y en las palabras clave que se acompañan.

2. METODOLOGÍA MEDIANTE LAS TRANSFORMADAS DE WANG Entendemos que esta técnica representa una innovación en el campo de las operaciones actuariales pero no una excelencia puesto que se trata de otra técnica de estimación de la esperanza matemática de vida. Como ya hemos señalado nuestro propósito es la de estudiar las posibilidades de una técnica diferente a las habitualmente utilizadas por los actuarios, a la hora de pronosticar la evolución de la mortalidad hacia el futuro. Se trata de una técnica que inicialmente fue aplicada a la valoración de activos financieros derivados, pero cuya utilidad en el campo del riesgo de mortalidad está por justificar. Se trata de la utilización de las transformadas de Wang.

107

Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

Si bien esta técnica fue desarrollada por Wang para su aplicación en la valoración de activos derivados, fue pretendido por Piet de Jong a la hora de aplicarlo a la evolución de la mortalidad de ciertos colectivos. En concreto este Profesor lo particularizó para un colectivo muy concreto como fue el general de mujeres de la población australiana. A raíz de esta publicación hemos pretendido previamente analizar las posibilidades de esta herramienta en el pronóstico de la evolución futura del riesgo de mejora en la mortalidad, evidenciado en la esperanza matemática de vida. Lo justificamos por la importancia que la medida de este tipo de riesgo tiene en la vida real, para colectivos que forman parte en los cálculos tales como: los presupuestos de la Seguridad Social, prestaciones y aportaciones en los Planes de Pensiones, cálculo de las pólizas de seguros, etc. Dado que la más clara aplicación de esta técnica la hemos encontrado en el trabajo desarrollado por S. Wang (2000), que como ya hemos indicado se centró en el campo de los riesgos financieros, teníamos nuestras reservas sobre su validez en el campo del riesgo de mortalidad. Esto es evidente si observamos que el contenido de la información es claramente diferente, en uno y otro escenario. La técnica consiste, de forma muy simple, en utilizar predictores obtenidos a partir de la transformación de la función de supervivencia en Z-scores. De la observación gráfica de estos se detecta un comportamiento de la mejora de mortalidad a través del tiempo de calendario significativamente regular y creciente que invitan a la aplicación de una regresión lineal en los Z-scores. A nuestro juicio este proceso es más sencillo de interpretar que la metodología utilizada en el modelo de Lee-Carter. Sin embargo creemos que se pierde la interpretación que del mundo actuarial se le reclama a los parámetros de estimación. Con todo ello pretendemos contribuir al ámbito profesional con una pequeña y nueva aportación en el avance de la estimación de la esperanza matemática de vida.

3. DATOS SOBRE MORTALIDAD Debido a nuestro interés, no solo en la utilidad práctica de esta técnica sino también en su comparación frente a otra técnica, totalmente diferente como es la de Lee-Carter, hemos seleccionado el periodo de calendario

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Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

comprendido entre los años 1960 y 2005. En cuanto al horizonte de edades hemos incluido el total de los mismos. Esto supone otra pequeña diferencia respecto al colectivo tomado en consideración en nuestro anterior trabajo (véase Betzuen, A 2010) Otra pequeña diferencia respecto a nuestro anterior trabajo consiste en que hemos considerado los tantos de mortalidad por “age-period”. En este trabajo tomamos los tantos centrales de mortalidad obtenidos por cociente entre el número total de fallecidos, para cada edad y año de calendario entre los expuestos al riesgo a dicha edad y para el mismo año de calendario. En este caso utilizaremos una regresión lineal simple sobre los Z-scores, en cuanto al proceso de estimación, por considerarlo suficientemente eficiente a la vista de la evolución de los Z-scores hacia el futuro. Esto supone otra diferencia respecto al modelo Lee-Carter. En aquel trabajo se utilizó para la estimación el método de descomposición de valores singulares. Además se utilizó una transformación log-link y un predictor no lineal. Esta transformación, entendemos que supone una debilidad del modelo LeeCarter. Le hace perder al modelo cierta originalidad y le obliga a realizar un pequeño ajuste en cuanto al resultado del número total de fallecidos a cada año de calendario respecto al número total de fallecidos reales. En el caso de las transformadas de Wang la aplicación de la técnica es más simple, no se requiere de ningún ajuste suplementario, si bien la interpretación de la transformación es más abstracta que en el modelo de Lee-Carter.

4. METODOLOGÍA Y CÁLCULOS Puesto que para la aplicación de las transformadas de Wang es conveniente tomar en consideración si la mejora de la mortalidad es mantenida en el tiempo de calendario para cada edad, comenzamos analizando el comportamiento de esta mejora hacia el futuro. Si efectuamos una representación gráfica de las frecuencias anuales de fallecimiento q x ,t , indicando por q el cambio de estado por fallecimiento y con los subíndices x y t la “age-period” y el tiempo de calendario, todos ellos con referencia anual, observamos que a través de las edades la forma de la gráfica es la que se muestra en el gráfico Nº 1.

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Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

Gráfico Nº 1 Representación en escala logarítmica, de los tantos anuales de mortalidad. Cada curva representa la evolución de los datos para un cierto año de calendario, a través de todo el horizonte temporal de edades.

EVOLUCIÓN DE LOS TANTOS DE MORTALIDAD Año 1955

Año 1965

Año 1975

Año 1985

Año 1995

Año 2005

Hombres. Edades 0,0 -1,0

96 101

-2,0

Log(qxt)

-3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0

Fuente: INE y aportación propia.

Cada línea representa un año de calendario. Normalmente líneas superiores corresponden a años de calendario más recientes. De un análisis detallado del gráfico o en su caso de las frecuencias de mortalidad, se concluye que la mejora en la mortalidad es extendible a todas las edades, si bien, para unas edades la franja es más ancha que para otras, indicativo de una mayor margen de mejora de la mortalidad. Por otra parte, observamos que el comportamiento de los tantos de mortalidad por encima de los años 20 de edad, no solo no es regular sino que incluso se invierte, por el efecto de los accidentes principalmente, en la década de los noventa. En las restantes décadas el efecto no fue tan significativo. En este gráfico mostramos los datos correspondientes a las experiencias reales que hemos tomado en consideración en este artículo con excepción del año 1955. Podemos realizar un análisis complementario a través de la evolución de la función de supervivencia. Es destacable la clara tendencia de la curva hacia la rectangularización, consecuencia de una clara mejora en la mortalidad. Normalmente las curvas más hacia la derecha corresponden a aquellas en las que el valor de la función de supervivencia se alcanza cada vez a mayor edad.

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Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

La frecuencia de la supervivencia la denotamos, como es sabido en el campo actuarial de la forma p x ,t = 1− q x ,t . La función de supervivencia vendría dado por: x

S x ,t =

∏ (1 − q

j ,t

)

(1)

j =1

Donde: x : representa la edad actuarial de una persona. t : representa un año concreto de calendario. Los resultados obtenidos los presentamos mediante el siguiente gráfico Gráfico Nº 2 Se presentan los resultados de la función de supervivencia para todo el horizonte temporal de edades para diferentes años de calendario. Se muestra la variación de los mismos a intervalos de diez años. EVOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA Hombres Año 1965

Año 1975

Año 1985

Año 1995

Año 2005

1,2

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1

97 101

Fuente: INE y aportación propia.

La rectangularización de la función de supervivencia es evidente como se puede observar en el gráfico anterior. Curvas superiores corresponden a años de calendario más reciente. El paso siguiente consistiría en transformar estas funciones en Z-scores obtenidos utilizando la distribución normal estándar. Lo que se pronostica es

111

Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

la evolución de los Z-scores. En el gráfico Nº 3 se presentan estas Z-scores y la simple observación visual de las curvas a lo largo del tiempo nos permite concluir que sigue una evolución promedio suavemente creciente. La justificación matemática de una adecuada utilización de esta transformación puede verse en Marshal, C and De Jong, Piet (2009). Dado el comportamiento anterior de las Z-scores procede operar mediante las transformadas de Wang y para ello establecemos la siguiente definición:

Z x ,t es tal que S x ,t = Φ (Z x ,t ) Siendo Φ la función acumulativa de la distribución normal estándar.

Z x ,t = Φ −1 (S x ,t )

(2)

Considerando Φ −1 como la inversa de la función Φ ya definida. De esta manera se obtienen unos valores que implícitamente representan la evolución de la mortalidad a través del tiempo de calendario en escala Zscore. EVOLUCIÓN DE LOS Z-SCORES POR EDADES Hombres Año 1965

Año 1975

Año 1985

Año 1995

Año 2005

3 2 1 0 1

17 21

29 33

37 41

45 49

53 57

61 65

69 73

81 85

89 93

97 101

-1 -2 -3 -4

Edades

Gráfico Nº 3 Representación gráfica de la evolución de los Z-scores en función de la edad para todo el horizonte temporal de edades. Fuente: Aportación propia.

Claramente se observa el efecto de la transformación Z-score. Cabe preguntarse si la transformada de Wang tiene alguna incidencia en la evolución de los Z-score o se debe simplemente a la evolución de la mejora en la mortalidad a través del tiempo.

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Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

Se puede observar que el comportamiento de las curvas es muy similar, fundamentalmente para edades superiores a los 30 años. Obsérvese que la curva Z-score correspondiente al año t+1 está por encima de la correspondiente al año t. No obstante, entrando al detalle, este no siempre es el caso. Por otra parte las curvas Z-scores en ningún caso se intersectan cumpliéndose en todo momento que Z x −1, t > Z x , t , para todo x y t. Si analizamos ahora el comportamiento de los Z-scores a lo largo del tiempo de calendario se observa claramente que su evolución es ligeramente creciente a lo largo de todos los años de calendario, para prácticamente la totalidad de las edades. Gráfico Nº 4 Para simplificar la gráfica se presenta la evolución de los Z-scores a través del tiempo de calendario para unas edades concretas muy significativas.

EVOLUCIÓN DE LOS Z-SCORES A TRAVÉS DEL TIEMPO DE CALENDARIO. Hombres Edad 0

Edad 20

Edad 40

Edad 60

Edad 80

Edad 100

3 2 1

2004

2002

2000

1998

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

1968

1966

1964

1962

1960

0 -1 -2 -3 -4 -5

Años

Fuente: Aportación propia.

En este caso hemos representado los resultados para el colectivo de hombres y vemos que se produce una clara regularidad en el crecimiento futuro de los Z-scores para cada edad. Hemos representado seis edades diferentes y en todas ellas la regularidad en el crecimiento es notable y fácil de estimar. El comportamiento es similar en el caso del colectivo de mujeres.

113

Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

Otra referencia que nos muestra este comportamiento “regular” es el que corresponde a la medida Z − E (Z ) . Siendo n

Zx =

∑ j =1

Z x, j n

En el gráfico adjunto se muestran estos resultados lo cual evidencia, así mismo, que los resultados de los Z-scores presentan una clara regularidad. Además, si el comportamiento de la función de supervivencia se aproxima a la normal, entonces la transformada de Wang se corresponde con un parámetro λ en la media de la distribución. De esta propiedad nos serviremos para proyectar los valores a futuro. Antes de asumir los valores del parámetro λx mostramos algunos comportamientos significativos de los Z-scores de nuestros datos. Por ejemplo, el comportamiento de las desviaciones Z t − Z . Véase el Gráfico Nº 5 DESVIACIONES EN LOS Z-SCORES RESPECTO DE LA MEDIA Hom bres Año 1955

Año 1965

Año 1975

Año 1985

Año 1995

Año 2005

0,3

0,1

-0,1

0,0

Z-E(Z)

0,2

- 0,2

Edades Gráfico Nº 5 Se representan los valores correspondientes a las desviaciones de los valores de los Z-scores en relación a los valores medios. Fuente: Aportación propia.

En este gráfico llegamos a apreciar que se producen algunas alteraciones en la regularidad de los valores de los Z-scores respecto de la media, si bien limitado a las edades más altas. Este aspecto requerirá de un estudio más profundo para estimaciones en caso de dependencia.

114

Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

Acudiendo de nuevo a la evolución de los Z-scores y dado que se constata que esta evolución se mantiene en una tendencia regular creciente, entendemos que el modelo puede ser estimado simplemente mediante una regresión lineal (1), o bien, a través de un parámetro promedio de cambio a lo largo de los años en los Z-scores simplemente mediante la fórmula:

∑ (Z n

λx =

x ,t

− Z x ,t −1 )

t =2

(3)

n −1

La estimación de este parámetro se puede llevar a cabo mediante otro método de serie temporal. No obstante, a nuestro juicio la información que disponemos y que se deduce de todo lo anterior es que su pronostico puede ser estimado (a través de los Z-scores), en cuanto a la proyección de la esperanza matemática de vida futura. Por otra parte la desviación estándar de las variaciones de los Z-score a una edad x, que lo calculamos de la forma:

∑ [(Z n

σx =

x ,t

− Z x ,t −1 ) − λ x

]

t =2

n −1

proporciona resultados asimismo en consonancia con lo anteriormente evidenciado. Hay que indicar que el cambio promedio en los valores de λ no son constantes rigurosamente. Así sucede a las edades jóvenes y en las edades más altas. Este comportamiento se puede apreciar claramente en el gráfico Nº 6. No obstante hemos optado por la simplicidad al tomar en consideración el valor de λ promedio para todas las edades.

Como cualquier análisis de series temporales de estimación, el estudio se presta a cualquier tipo de pronóstico, por supuesto más complicado. Pero que a nuestro juicio no se gana en simplicidad y no aportaría un gran margen de mejora.

115

Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

En cualquier caso, en el gráfico observamos que las curvas Z-scores presentan un gradiente similar a lo largo del tiempo de calendario. Es por ello que hemos optado para elegir un valor promedio λ de crecimiento en los Z-scores a lo largo de los años de calendario. Esta propiedad es debida a la variación aproximadamente constante de la mejoría en la mortalidad y no a la actuación de la transformada de Wang, la cual sí posibilita el tratamiento de la mejora de la mortalidad de una manera muy simple. Para comprobar esta aseveración basta con observar el siguiente gráfico. Gráfico Nº 6 Se muestra la variación anual de los Z-scores tomando diferente edad inicial con el objeto de detectar la incidencia de esta elección en el análisis de la variación

VARIACIÓN ANUAL EN LOS Z-SCORES SEGÚN LA EDAD INICIAL DEL TRAMO. Hombres Tramo 100

Tramo 80

Tramo 60

Tramo 40

Tramo 20

Variación promedio

0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,000 1

11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101

Edades

Fuente: Aportación propia.

El tramo más largo corresponde a todo el horizonte temporal de edades de una persona. El tramo de 80 años corresponde al tramo de edades desde los 20 hasta los 100 y así sucesivamente. El tramo más corto de 20 años corresponde a las edades comprendidas entre los 80 y los 100 años. Se observa que para los tramos más largos la variación en los Z-scores presenta una mejor regularidad. Sin embargo para el tramo total de edades la variación hacia las edades superiores muestra una ligera minoración. Sucede lo contrario cuando se considera el tramo de edades superiores a los 20 años. Para los siguientes tramos más cortos la irregularidad en la variación de los Z-scores es más elevada. Por tal motivo elegimos todo el tramo de edades para nuestro análisis. Queda evidenciado que la aplicación de este tipo de

116

Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

transformada no marca la pauta de la medida de la variación sino que es implícita a la variación de la mejora de la mortalidad real.

5. IMPLICACIONES EN LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE VIDA A partir de la información ya citada del colectivo de personas del sexo masculino, para el intervalo de años de calendario 1965-2005, y utilizando los pasos a que dan lugar las fórmulas (1), (2) y (3) se obtienen los valores necesarios para proyectar los valores de los Z-scores hacia el futuro. Estos nuevos valores los presentamos a continuación de forma gráfica. Gráfico Nº 7 La estimación de los Z-scores presenta valores crecientes conforme avanza el tiempo de calendario en correspondencia con la evolución prevista de la mejora en la mortalidad. Colectivo de hombres.

Evolución futura de los Z-scores por edades Año 2005

Año 2015

Año 2025

Año 2035

Año 2045

4 3 2 1 0 1

13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

-1 -2 -3

Edades

Fuente: Aportación propia.

Como se puede apreciar los valores proyectados de los Z-scores evolucionan hacia arriba en correspondencia con la previsible mejora de la mortalidad. Mediante la transformación inversa se obtiene la evolución futura de las probabilidades de supervivencia que lógicamente se debe traducir en un aumento de los valores de la función de supervivencia hacia el futuro. La representación gráfica para todo el horizonte temporal de edades de vida de una persona debe proporcionar una “rectangularización” de dicha función, hacia el futuro. La mayor o menor “rectangularización” debe corresponderse 117

Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

lógicamente con el grado de mejora de la mortalidad. Esta evolución es la que se presenta en el siguiente gráfico. Gráfico Nº 8 La estimación de la función de supervivencia futura mediante las transformadas de wang dan como resultado una clara rectangularización como era de prever.

EVOLUCIÓN FUTURA DE LA FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA Año 2006

Año 2015

Año 2025

Año 2035

Año 2045

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 1

101

Edades

Fuente: Aportación propia.

En el gráfico adjunto se puede observar la regularidad en la proyección de la función de supervivencia hacia el futuro. Se aprecia una cierta propensión a la mejora en la mortalidad para edades superiores a los 65 años. Como consecuencia de lo anterior, la mejora se plasma también en los tantos de mortalidad, correspondientes a la función de supervivencia anterior. Estos resultados se muestran en el siguiente gráfico y se ratifica la mejora de la mortalidad con una curva superior, en escala logarítmica, conforme transcurre el tiempo de calendario.

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Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

EVOLUCIÓN FUTURA DE LOS TANTOS DE MORTALIDAD Año 2010

Año 2020

Año 2030

Año 2040

Año 2050

0 1

96 101

-2

Log(qx,t)

-4

-6

-8

-10

-12

Edades

Gráfico Nº 9

Los valores estimados de los tantos de mortalidad hacia el futuro, en base a la técnica de las transformadas de wang. Fuente: INE y aportación propia.

Finalmente, abordamos los resultados de la esperanza matemática de vida futura, por ser el objeto de estimación de este trabajo mediante la técnica de Wang y a su vez lo contrastamos con los resultados obtenidos por nosotros para este mismo indicador biométrico, pero utilizando la técnica de LeeCarter. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico la estimación que presentan ambas técnicas son bastante similares pero no iguales. Si nos fijamos en un primer tramo de años de calendario, los que van desde el año 1960 al año 2005, que corresponden a la esperanza matemática de vida real al nacer, la mejora evoluciona desde los 67 años aproximadamente hasta los 77 años aproximadamente. La no coincidencia de las dos curvas obedece a que en la metodología de las transformadas de wang se tomaron todas las edades simples, desde la edad cero hasta los cien años, mientras que en la metodología de Lee-Carter se tomaron las edades por grupos de cinco años.

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Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

Gráfico Nº 10 La esperanza de vida real al nacer hasta el año 2005. A partir de dicho año es el resultado de la estimación mediante las transformadas de wang (en linea oscura) y mediante la técnica de lee-Carter (en linea clara).

EVOLUCIÓN DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE VIDA AL NACER Transformadas de wang

Lee-Carter

85 83

Años de vida futura

81 79 77 75 73 71 69 67 2048

2044

2040

2036

2032

2028

2024

2020

2016

2012

2008

2004

2000

1996

1992

1988

1984

1980

1976

1972

1968

1964

1960

Edades

Fuente: INE y aportación propia.

Por su importancia en las operaciones de seguros, planes de pensiones, Seguridad Social, etc hemos procedido también a la estimación de la esperanza matemática de vida, para individuos que ya han alcanzado los 65 años. Los resultados de la estimación, utilizando la misma técnica se presentan a continuación. Una vez alcanzada la edad de jubilación la persona viva, la esperanza de vida ha ido evolucionando a través de los años de calendario. Así, hemos pasado en nuestro País desde los 13 años aproximadamente, por los años 1960 hasta por encima de los 17 en el año 2005. Las estimaciones mediante la técnica de las transformadas de wang proporcionan resultados crecientes hacia el futuro en una progresión creciente mantenida, ligeramente por encima de la estimación obtenida mediante la técnica de Lee-Carter (no mostrada en el gráfico porque la diferencia es mínima y se confunden prácticamente las líneas). Las estimaciones pronostican que para el año 2050 se superarán los 21 años de esperanza de vida para una persona viva a los 65 años.

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Amancio Betzuen Zalbidegoitia – Anales 2011/105-122

Gráfico Nº 11 La esperanza de vida real hasta el año 2005 y su previsión futura, según la técnica de las transformadas de wang. a la edad de 65 años

EVOLUCIÓN DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE VIDA A LA EDAD DE JUBILACION 22 21 20 ra u t 19 fu a 18 d i v e 17 d s o 16 ñ A 15 14 13

Años de calendario

Fuente: INE y aportación propia.

6. CONCLUSIONES Nosotros hemos pretendido analizar las posibilidades de esta nueva técnica, para los actuarios, de estimación futura de mortalidad. Para ello toma de referencia los datos históricos de la mortalidad. Los resultados varían según el intervalo de años de calendario de información que se tome en consideración. La técnica se puede utilizar para todo el horizonte temporal de edades de una persona, en nuestro caso desde la edad cero hasta los cien años. Los resultados que hemos obtenido y que se mostraron a lo largo de este trabajo son coherentes y razonables con la experiencia de la mejora de la mortalidad actuarial. Por otra parte se compararon los resultados que se producían para años de calendario recientemente pasados tomando datos de años precedentes. Por otra parte hemos contrastado estos resultados obtenidos mediante la aplicación de la metodología de las transformadas de wang y los obtenidos por nosotros previamente mediante la técnica de Lee-Carter (véase Betzuen, A. 2009) y los resultados son muy similares ante una perspectiva a largo

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Estimación de la esperanza matemática de vida – Anales 2011/105-122

plazo. Los valores numéricos siguiendo la metodología de Lee-Carter resultan ligeramente inferiores. La curvatura que se presenta en los gráficos anteriores muestran que las predicciones de ambas técnicas indican que la mejora en la mortalidad serán crecientes pero menos que proporcionalmente. Los resultados anteriores confirman que la mejora de la mortalidad hacia el futuro es una realidad y además muestran en qué medida se prevé que se experimentará la mejora. Por lo tanto la previsible mejora puede controlarse hacia el futuro por cualquiera de las técnicas anteriores, quedando un margen amplio de control del riesgo de mortalidad por parte de los actuarios. No obstante este control como sabemos no es cerrado, queremos decir que siempre se debe llevar a cabo una estimación futura del riesgo de mortalidad cada cierto periodo de tiempo, a nuestro juicio no superior a diez años. Y siempre se debe tener presente el colectivo del que se captura la información, el rango del periodo de tiempo histórico y el rango del periodo de tiempo para el que se pretende aplicar los resultados.

7. REFERENCIAS Wang, S.S. (2000), “A class of distortion operators for pricing financial and insurancerisks,” Journal of Risk and Insurance, 67, 15–36. Wang, S.S. (2003), “Equilibrium pricing transforms: New results using Bühlmann’s” 1980 economic model,” ASTIN Bulletin, 33, 57–73. Betzuen, A. (2010), “Un análisis sobre las posibilidades de prediccion de la mortalidad futura aplicando el modelo lee-carter” anales. madrid. De Jong, P. and Mazzi, S. (2001). “Modelling and smoothing unequally spaced sequence data”. Statistical Inference for Stochastic Processes 4(1). Marshal, Claymore and De Jong Piet (2009), “Mortality Projection based on the Wang Transform”. ASTIN Bulleting.

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LA IDIOSINCRASIA DEL ACTUARIO Rafael Moreno Ruiz1, Eduardo Trigo Martínez, Olga Gómez Pérez-Cacho Profesores del Departamento de Finanzas y Contabilidad de la Universidad de Málaga Joseba Iñaki De La Peña Esteban, Iván Iturricastillo Plazaola Profesores del Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de la Universidad del País Vasco Emiliano Pozuelo de Gracia Profesor del Área de Finanzas y Contabilidad de ETEA, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales adscrita a la Universidad de Córdoba Jefe de Mercado de Capitales y Servicio a Empresas de BBK Bank Cajasur

RESUMEN/ABSTRACT El objetivo del presente trabajo es identificar las características fundamentales que pueden definir mejor la forma –el enfoque adoptado, las metodologías empleadas y la manera de aplicarlas- en la que el actuario, gracias a sus conocimientos y habilidades, puede y suele resolver problemas concretos a los que se enfrenta en su trabajo. Cada una de las características apuntadas se ilustra con diversos ejemplos de la práctica profesional. Así mismo, a la luz de las características identificadas, que definen la idiosincrasia del actuario, se analiza su situación en el actual entorno de crisis financiera, en el que tantas cuestiones del ámbito financiero se hallan a debate y en la encrucijada que definirá el escenario en el futuro inmediato y, muy probablemente, a medio y largo plazo. The aim of this paper is to identify the key characteristics that can better define the way -the approach, the methodologies and how to apply them- in which the actuary can and do solve specific problems facing in day to day work , thanks to his knowledge and skills. Each of the characteristics shown is illustrated with various examples from professional practice. In addition, in the light of the characteristics that define the idiosyncrasies of the actuary, the situation of the actuary in the current financial crisis environment is analyzed, where many financial sector issues are under discussion and at the crossroads that will define the scenario in the immediate future and, most likely, in the medium to long term. 1

Contacto: Rafael Moreno Ruiz. Departamento de Finanzas y Contabilidad. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Málaga. Plaza El Ejido, s/n. 29071 Málaga. moreno@uma.es. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 16 de junio de 2011.

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La idiosincrasia del actuario – Anales 2011/123-134

PALABRAS CLAVE Competencias profesionales; práctica profesionalismo; crisis financiera.

actuarial;

función

actuarial;

An actuary then must be a mathematician, but a mere mathematician will be a very incompetent actuary (Arthur Bailey, 1881) As a profession we are apt to be accurate, cautious, consistent, and reticent, and in these lies our strength; buy if they do not leave enough room for impulse and imagination, they can be a weakness. The actuary who is only an actuary is not an actuary (Frank M. Redington, 1968)

1. OBJETIVO El objetivo de este trabajo es identificar las características fundamentales que pueden definir mejor la forma del enfoque adoptado, las metodologías empleadas y la manera de aplicarlas- en la que el actuario, gracias a sus conocimientos y habilidades, puede y suele resolver problemas concretos a los que se enfrenta en su praxis profesional. Con ello pretendemos hacer públicas nuestras reflexiones sobre la idiosincrasia del actuario, entre el propio colectivo de actuarios en primer lugar, exponiéndolas a debate en su seno, y, finalmente, entre el conjunto de la sociedad y, en particular, entre otras profesiones con las que, de una manera u otra, solemos interactuar.

2. OPORTUNIDAD DEL TRABAJO En los últimos años han tenido lugar diferentes hechos y tendencias, algunas en el sector financiero-asegurador en general y otras más específicas de nuestra profesión, que han influido en la misma de diversas maneras. Entre esos hechos y tendencias podemos destacar los siguientes: ⎯ La complejidad global que ha alcanzado la actividad aseguradora que, entre otras cosas, ha hecho necesaria la medición precisa del conjunto de los riesgos a los que está expuesta la entidad aseguradora, llegando a la definición de un nuevo marco para la evaluación de la solvencia de las entidades en el cual se pretende cuantificar más adecuadamente los capitales no comprometidos que deben mantener en cada momento con la finalidad 124

R. Moreno, Joseba I. de la Peña y E. Pozuelo – Anales 2011/123-134

principal de reducir el riesgo de ser incapaces de hacer frente a sus obligaciones con los asegurados. Concretamente, en el nuevo marco para la evaluación de la solvencia de las entidades aseguradoras en Europa, determinado por la Directiva de Solvencia II2, se establece la estructura del sistema de gobernanza que deben tener las entidades, el cual incluye la denominada “función actuarial” –ver el artículo 48-, que, a su vez guarda una estrecha relación con otra de las funciones del sistema, que es la de gestión del riesgo. Esa misma tendencia se había producido ya en el negocio bancario –con Basilea II y, más recientemente, Basilea III-, y se viene constatando también en otros ámbitos bajo la denominación de Gerencia de Riesgos, la cual comprende métodos y procesos para medir y gestionar tanto los riesgos financieros como el resto de riesgos a los que está expuesta cualquier unidad económica, tanto empresas no financieras –en cuyo caso suele denominarse Enterprise Risk Management, en lengua inglesa- como administraciones públicas. ⎯ Se han creado y desarrollado numerosos y variados productos financieros, la mayoría muy complejos, y algunos con una naturaleza próxima a la del seguro. Se trata de lo que se ha conocido como “ingeniería financiera”. ⎯ En el marco contable, también se requerirán próximamente valoraciones actuariales, como es el caso de la provisión por deterioro de préstamos y créditos, pues el Comité de Normas Internacionales de Contabilidad –IASB, conforme a sus siglas en inglés-, en su proyecto para reemplazar la Norma Internacional de Contabilidad –IAS, conforme a sus siglas en inglés- 39 sobre instrumentos financieros, ha publicado un Exposure Draft para sustituir el vigente modelo de pérdida incurrida, por el modelo de pérdida esperada. El modelo de pérdida incurrida ha sido fuertemente criticado durante la crisis, por considerar demasiado tarde la pérdida asociada al crédito. Sobre la contabilización de los compromisos que la aseguradora asume al suscribir la póliza de seguros, el IASB espera reemplazar la norma 2

Directiva 2009/138/CE del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de noviembre de 2009, sobre el seguro de vida, el acceso a la actividad de seguro y de reaseguro y su ejercicio (Solvencia II) (versión refundida).

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La idiosincrasia del actuario – Anales 2011/123-134

provisional vigente actualmente. Uno de los cambios más importantes que supondrá será medir el valor temporal de opciones, como la participación en los beneficios de las inversiones afectas a la póliza, lo que requerirá al actuario valorar también el riesgo de mercado para la aseguradora, incorporando, para cada cierre, la situación del mercado de capitales y de la cartera de activos financieros de la propia aseguradora. ⎯ Nuestra profesión ha dado una serie de pasos hacia su internacionalización, tanto en el ámbito europeo como en el mundial en general, requiriendo la homogeneización de la formación que acreditan los actuarios, independientemente de si esa formación se adquiere en la Universidad o externamente a la misma. Los instrumentos fundamentales para esa homogeneización han sido y son el Core Syllabus del Grupo Consultivo Actuarial Europeo3 -GCAE, conforme a sus siglas en francés- y el Education Syllabus de la Asociación Actuarial Internacional4 (IAA, conforme a sus siglas en inglés). ⎯ La evolución que ha experimentado la formación universitaria que faculta para el acceso a la profesión de actuario en España, pasando de la especialidad de la licenciatura en Ciencias Empresariales denominada “Rama Actuarial de la Empresa Financiera” a la licenciatura de sólo segundo ciclo en Ciencias Actuariales y Financieras, y, más recientemente, a los nuevos másteres oficiales que están sustituyendo a dicha licenciatura. ⎯ Los “contornos” de nuestro ámbito de trabajo clásico han cambiado: los actuarios han ido dejando de ser profesionales ocupados exclusivamente del cálculo de las primas y de diversas magnitudes del pasivo de las entidades aseguradoras -provisiones-, pasando a asumir funciones en áreas como la gestión de inversiones o la gestión global de los riesgos o incluso del negocio (por ejemplo, la determinación dinámica del valor intrínseco o Embeded Value). Sin embargo, otras profesiones, especialmente aquéllas con un perfil cuantitativo como los matemáticos, los físicos o los ingenieros, vienen desempeñando funciones en dichas áreas. Dado este conjunto de circunstancias, creemos que cobra especial sentido la aplicación del aforismo “conócete a ti mismo”, pues sólo conociéndose a sí misma le resultará posible a nuestra profesión encontrar “su sitio” en una sociedad cada vez más compleja y realizar aportaciones verdaderamente útiles a la misma. 3

Disponible en www.gcactuaries.org Disponible en www.actuaries.org

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R. Moreno, Joseba I. de la Peña y E. Pozuelo – Anales 2011/123-134

3. CARACTERÍSTICAS QUE MEJOR PUEDEN DEFINIR LA FORMA EN LA QUE EL ACTUARIO RESUELVE PROBLEMAS CONCRETOS Uno de los primeros pasos a realizar en la mayoría de las tareas a desempeñar por el actuario es la correcta definición de la finalidad de los productos, instrumentos o sistemas a analizar (lo que incluye los riesgos intervinientes). Así, por ejemplo, es preciso distinguir, en función de su distinta finalidad, entre los instrumentos de ahorro no finalista –un fondo de inversión, por ejemplo- y los que constituyen medidas de previsión (un plan de pensiones, por ejemplo). Además, los productos, instrumentos y sistemas con los que solemos trabajar se instrumentan a través de contratos, individuales o colectivos, y los actuarios debemos ser capaces de dar respuesta a cuestiones concretas en relación con los mismos, teniendo en cuenta siempre que la finalidad es que se cumplan dichos contratos. Así, por ejemplo, cuando diseñamos la estrategia inmunizadora vinculada a un producto de seguro, debe estar adaptada a las características de éste, pues la finalidad no es la estrategia en sí misma, sino que la entidad pueda atender a sus compromisos derivados del contrato. Por consiguiente, la correcta identificación de los problemas, que son de naturaleza económica, y, casi siempre, con condicionantes y/o repercusiones legales y contractuales, resulta ser una cuestión no carente de importancia, para la cual la profesión actuarial, por la naturaleza interdisciplinar de nuestra formación, se encuentra especialmente cualificada. Por otra parte, nuestra actuación profesional está guiada por principios como los de suficiencia, equidad –justicia-, e incluso el de solidaridad, de manera que no deberíamos dejarnos llevar estrictamente por la tendencia que pueda estar marcando en cada momento el mercado (“la moda”, tanto del mercado propiamente dicho como de las praxis profesionales que puedan surgir de manera aparejada). Dicho aspecto tiene relevancia en todas las funciones y tareas relacionadas con el diseño y control de los productos, instrumentos y sistemas; así, por ejemplo, a efectos del diseño y análisis de tarifas de primas, del cálculo de provisiones y del análisis de los gastos técnicos y la suficiencia de las primas. Asimismo, nuestra actuación profesional conlleva habitualmente responsabilidad profesional y social, siendo los últimos beneficiarios de 127

La idiosincrasia del actuario – Anales 2011/123-134

nuestro trabajo un consumidor de seguros, un trabajador partícipe de un plan de pensiones, una viuda, un huérfano, un inválido o alguien que ha sufrido daños personales en un accidente de tráfico o en otro suceso similar. De lo dicho hasta ahora se deduce que nuestra perspectiva de análisis suele ser el largo, o, cuando menos, el medio plazo, y, en mucha menor medida, el corto plazo. En lo que se refiere a los instrumentos teóricos que solemos emplear en la resolución de los problemas, estamos habituados a crear y adaptar modelos matemáticos adecuados para los problemas prácticos a los que nos enfrentamos, y ello teniendo en cuenta los diversos condicionantes legales y de otros tipos. En ese sentido, estamos habituados a trabajar: ⎯ Con información frecuentemente escasa y asimétrica, lo cual se debe a la naturaleza de las actividades aseguradora y reaseguradora, caracterizadas porque los siniestros son, generalmente, poco frecuentes, y porque, al menos inicialmente, buena parte de dicha información es facilitada por los propios clientes. Hay numerosos ejemplos de problemas en los que suelen darse estas circunstancias, como la elaboración y la contrastación de tablas de mortalidad o de otros riesgos complementarios –morbilidad, natalidad, nupcialidad-, la identificación y selección de los diferentes factores de riesgo en los seguros no vida –y parece que, en un futuro inmediato, también en los seguros de vida-, o la determinación de una indemnización compensatoria por la pérdida de ingresos (lucro cesante). ⎯ Con información que, muy frecuentemente, debe ser depurada de diferentes tipos de errores, para lo cual resulta imprescindible conocer, en sus diferentes facetas, la realidad a la que se refieren los datos, y no actuar como un mero receptor de los mismos. ⎯ Cuestionando la validez de las hipótesis utilizadas y contrastando que representen adecuadamente los fenómenos económicos, generalmente aleatorios, sobre las que se realizan. ⎯ No sólo empleando métodos y modelos, sino validándolos, comprobando el sentido económico y financiero de sus resultados, y

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R. Moreno, Joseba I. de la Peña y E. Pozuelo – Anales 2011/123-134

llevando a cabo un seguimiento entre los cálculos teóricos obtenidos a priori y los resultados empíricos obtenidos a posteriori. ⎯ Empleando tanto modelos en tiempo discreto como modelos en tiempo continuo. En efecto, en el ámbito de los seguros de vida y de los planes y fondos de pensiones, la inmensa mayoría de las cuestiones a resolver requieren, por su naturaleza, modelos en tiempo discreto (así, por ejemplo, la valoración de rentas actuariales). Sin embargo, en el ámbito de los seguros generales o no vida, muchos de los problemas requieren modelos en tiempo continuo, pues la variable número de siniestros es un proceso estocástico en tiempo continuo, y, por ello, también lo es la variable siniestralidad o daño total. En el ámbito de las operaciones financieras y de los mercados financieros, por su parte, también es posible encontrar problemas que requieren la aplicación de modelos en tiempo discreto –por ejemplo, la mayoría de las cuestiones relacionadas con el análisis de inversiones, o el diseño de operaciones bancarias de préstamo- y otros que precisan la aplicación de modelos en tiempo continuo (por ejemplo, la mayoría de las cuestiones relacionadas con los activos financieros derivados). Todo ello contrasta con la casi exclusiva aplicación, en el ámbito de las finanzas cuantitativas, de teorías e instrumentos basados en las hipótesis del mercado eficiente, que, supuestamente, suministra información perfecta y en tiempo continuo. ⎯ Teniendo entre nuestros principales objetivos garantizar la solvencia de la entidad financiera en la que desarrollamos nuestra actividad, la cual es, generalmente, una entidad aseguradora. En este sentido, la profesión actuarial ha creado todo un cuerpo teórico con esta finalidad (teoría de la ruina). Asimismo, nuestra profesión emplea instrumentos que permiten gestionar los riesgos asumidos en el desarrollo de la actividad aseguradora y garantizar la solvencia de las entidades, tales como el reaseguro, el cual es anterior a los activos financieros derivados, los cuales se han convertido en el principal instrumento que muchas empresas, financieras o no, utilizan en la gestión de sus riesgos.

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4. SITUACIÓN FINANCIERA

ACTUAL

ENTORNO

CRISIS

La actual crisis financiera internacional –la crisis, en adelante- se ha gestado en el sector financiero y, posteriormente, se ha propagado al resto del sistema económico. Las causas de dicha crisis son muy diversas, destacando, por una parte, las de tipo económico y financiero y, por otra parte, las de tipo ético, ideológico, político, legal y social. Si bien todas ellas son importantes para comprender la crisis, es posible apuntar como principal causa económico-financiera de la crisis la percepción y la gestión inadecuada de los riesgos financieros a los que están expuestos todos los agentes económicos, fundamentalmente las entidades financieras y las familias, pero también las empresas no financieras y los estados. Además, cabe reseñar que esa inadecuada gestión de los riesgos financieros se ha debido, entre otras causas, a la orientación excesivamente de corto plazo de los gestores, así como a una inapropiada conjugación de los objetivos de rentabilidad y riesgo. Lógicamente, la profesión actuarial, cuya función principal es medir, valorar y gestionar las consecuencias económicas negativas del riesgo y la incertidumbre, puede efectuar una contribución relevante tanto para la comprensión de la crisis como para identificar las medidas que deberían tomarse para evitar que en el futuro se produzcan otras crisis como la actual. Centrándonos en las causas de la crisis apuntadas más arriba, una característica de la etapa de expansión de los ciclos económico y crediticio que han precedido a la crisis es la baja percepción por parte de los agentes económicos de los riesgos financieros a los que han quedado expuestos, la cual ha sido fomentada por los factores siguientes: ⎯ El incorrecto diseño de los contratos que regulan las relaciones de un número reducido de agentes económicos que tienen una gran influencia en el sector financiero por una parte, con la del resto de los agentes que operan en dicho sector por otra, y cuya consecuencia principal es que el primer grupo de agentes, básicamente las agencias de clasificación crediticia y los gestores de las grandes entidades financieras, no son adversos al riesgo, sino que son neutrales o, lo que es peor, propensos al riesgo. ⎯ La generalización en el sector financiero de un estilo de gestión caracterizado por un horizonte temporal orientado excesivamente al corto plazo, en el que, con frecuencia, la finalidad u objetivo de la gestión es 130

R. Moreno, Joseba I. de la Peña y E. Pozuelo – Anales 2011/123-134

sustituido por la obtención de unas altas rentabilidades asumiendo riesgos que en muchas ocasiones ni se comprenden, ni se miden de forma adecuada. Si bien dicho estilo de gestión puede ser adecuado para la banca de inversión debido a la naturaleza de la misma, a la vista de la crisis es cuestionable que deba emplearse en la banca comercial o en el sector asegurador. ⎯ La regulación bancaria y la aceptación del modelo denominado “originar para distribuir”, según el cual la entidad de crédito que origina los activos –fundamentalmente préstamos- los puede dar de baja de su balance mediante una operación de titulización y, de este modo, los distribuye a la sociedad instrumental y a los inversores que, en última instancia, adquieren los bonos emitidos por la citada sociedad, que ha permitido que la banca comercial pudiera investirse en mero comisionista, sin que le preocupe lo más mínimo la gestión del riesgo inherente. La otra causa fundamental de la crisis es la inadecuada gestión de los riesgos financieros, entendiéndola en sentido amplio, lo que incluiría la medición y valoración además de la gestión propiamente dicha. En este sentido, el inicio de la crisis financiera, localizada en un grupo concreto de entidades financieras, y el posterior contagio al resto del sistema financiero, es una cuestión de medición y valoración inadecuada de los riesgos financieros, que devino en una incorrecta estimación de los requisitos de capital y, por tanto, en una infracapitalización de dichas entidades. En el caso de las titulizaciones antes mencionadas, dado que no existía incentivo para la correcta selección del riesgo, ganó relevancia la asimetría de la información, lo que se trató de minimizar cediendo protagonismo en la determinación de la pérdida esperada a las agencias de calificación crediticia, que disponían de información privilegiada del emisor, si bien, como luego se pudo comprobar, estas agencias no midieron adecuadamente el riesgo inherente. Concretamente, los modelos de medición de los diferentes riesgos financieros –de mercado, de crédito y operacional- basados en la información de los mercados, y, por tanto, en las hipótesis subyacentes sobre éstos, se han mostrado ineficientes e ineficaces. Los actuarios, en cambio, estamos habituados a trabajar con modelos que trabajan con información de experiencia histórica, y que funcionan aunque los mercados “fallen”. Además, se trata de modelos que sirven –llevan haciéndolo mucho tiempo 131

La idiosincrasia del actuario – Anales 2011/123-134

para productos que no tienen mercados líquidos, en cuyo caso nunca han servido los otros modelos. También resultan útiles y valiosas en el entorno actual: ⎯ la orientación al cumplimiento de los compromisos asumidos por las entidades y, por consiguiente, la perspectiva de largo plazo; ⎯ la consideración de principios, en especial en el diseño y el control de los productos, instrumentos y sistemas; ⎯ y la asunción de responsabilidad profesional y social. En lo que se refiere al nuevo marco de evaluación de la solvencia de las entidades del sector financiero-asegurador, se puede reseñar lo que, en relación con la “función actuarial" en la entidad aseguradora, dispone el epígrafe i del art. 48 de la directiva de Solvencia II: “contribuir a la aplicación efectiva del sistema de gestión de riesgos a que se refiere el artículo 44, en particular en lo que respecta a la modelización del riesgo en que se basa el cálculo de los requisitos de capital establecidos en el capítulo VI, secciones 4 y 5, y a la evaluación a que se refiere el artículo 45”. Con un carácter más general, entendemos que resultan útiles y valiosas en el entorno actual la orientación de nuestra profesión al cumplimiento de los compromisos asumidos por las entidades y, por consiguiente, la perspectiva de largo plazo, así como la consideración de principios en la praxis profesional, en especial en el diseño y el control de los productos, instrumentos y sistemas, y la asunción de responsabilidad profesional y social. La función que podemos desempeñar puede resultar incómoda para gestores que continúen adoptando la perspectiva que aquí se ha puesto de manifiesto como una de las causas de la actual crisis financiera, pero es necesaria, y, por tanto, ha de ser potenciada y protegida por los organismos de supervisión y control.

5. CONCLUSIONES En resumen, las características fundamentales que definen el perfil de nuestra profesión son, a nuestro juicio: ⎯ Orientación clara a la resolución de problemas, buscando soluciones que sean útiles para la toma de decisiones. 132

R. Moreno, Joseba I. de la Peña y E. Pozuelo – Anales 2011/123-134

⎯ Capacidad de identificar correctamente los problemas de naturaleza económica, teniendo en cuenta sus diferentes condicionantes y/o repercusiones legales y contractuales. ⎯ Análisis multidisciplinar y multidimensional, que nos permite desarrollar un análisis holístico o global de los riesgos y de los productos, instrumentos y sistemas. ⎯ Pensamiento en términos de largo plazo, con orientación al cumplimiento de las obligaciones recogidas en los contratos o reglamentos. ⎯ Praxis profesional basada en determinados principios y asumiendo responsabilidad profesional y social. ⎯ Trabajo con distintos tipos de datos, considerando los diferentes condicionantes del fenómeno y de su entorno, así como con información escasa y asimétrica. ⎯ Manejo de modelos matemáticos de distinta naturaleza y de empleo de diversas metodologías de valoración. ⎯ Capacidad de adaptación de dichas metodologías y modelos a las características del fenómeno real estudiado. ⎯ Familiaridad con la incertidumbre y con el establecimiento de hipótesis de trabajo relacionadas. ⎯ Análisis crítico de las hipótesis en las que se basan los modelos utilizados y ponderación de su resultado en función de las limitaciones identificadas. ⎯ Capacidad para valorar activos que se negocian en mercados incompletos, además de los que se negocian en mercados completos, y para realizar valoraciones empleando distintos grados de aversión al riesgo. ⎯ Capacidad para modelizar sucesos que, por naturaleza, son poco frecuentes. ⎯

Ser cuidadoso y meticuloso en el trabajo. 133

La idiosincrasia del actuario – Anales 2011/123-134

⎯ Capacidad de “ver la imagen completa” -“big picture”-, lo que permite tomar decisiones teniendo en cuenta las repercusiones para los distintos grupos de interés en la entidad. Entendemos que estas características, que constituyen competencias inherentes a nuestra profesión, pueden ayudar a que la profesión halle “su sitio” en una sociedad cada vez más compleja, y a realizar aportaciones verdaderamente útiles a la misma, estando entre ellas la mejor medición y gestión de los riesgos financieros a los que están expuestos los diferentes agentes económicos.

134

USING WAVELET TO NON-PARAMETRIC GRADUATION OF MORTALITY RATES Ismael Baeza Sampere 1. Profesor Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. Francisco G. Morillas Jurado 2. Profesor Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa.

ABSTRACT The graduation of some biometric functions of the life’s tables is a topic widely studied in actuarial science and used in actuarial practice. This paper proposes the use of a nonparametric technique. This technique has been used successfully in a variety of fields of knowledge. In particular, it proposes the use of wavelets for the graduation of the mortality rates. To do this to end, to determine whether the wavelets may or may not be used as an alternative to other techniques, it has resorted to numerical simulation techniques to increase the existing information about the phenomenon of mortality. To do this we used a standard biometric and built various synthetic experiences of mortality which has been applied two types of ranking non-parametric: kernel estimation and estimation by wavelets. Key words: non-parametric graduation, mortality rate, life’s tables, wavelets, kernel estimation, numeric simulation. RESUMEN La graduación de algunas funciones biométricas utilizadas en tablas de mortalidad es un tema ampliamente estudiado y utilizado en la práctica actuarial. En este trabajo se propone la utilización de una técnica de graduación no paramétrica que ha sido utilizada con éxito en una gran variedad de campos del conocimiento. En particular se propone la utilización de wavelets para realizar la graduación de las tasas de fallecimiento. Con esta finalidad, determinar si las wavelets pueden o no ser utilizadas como alternativa a otras técnicas no paramétricas, se ha recurrido a técnicas de simulación numérica aumentando la información existente. Para ello se ha utilizado un modelo biométrico estándar y se han construido diferentes experiencias sintéticas de mortalidad a las cuales se les ha aplicado dos tipos 1) Dpto. Economía Aplicada, Facultat d’Economia, Universitat de València. Av. Tarongers, s/n. 46022, Valencia. Ismael.Baeza@uv.es

(2) Dpto. Economía Aplicada, Facultat d’Economia, Universitat de València. Av. Tarongers, s/n. 46022, Valencia. Francisco.Morillas@uv.es (Correspondence author) Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 10 de noviembre de 2011

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Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

de graduación no paramétrica: estimación kernel y estimación mediante wavelets. Palabras clave: graduación no paramétrica, tasas de mortalidad, tablas de mortalidad, wavelets, estimación kernel, simulación numérica.

1. INTRODUCCIÓN La graduación de las funciones biométricas que conforman las tablas de mortalidad es un tema ampliamente estudiado en la práctica actuarial (Benjamin et al., 1992), (Felipe et Al., 2001), (Nielsen et Al., 2003), (Debón et Al., 2006). En este trabajo se propone la utilización de una técnica de graduación no paramétrica la cual ha sido utilizada con éxito en una gran variedad de campos del conocimiento y que, hasta donde conocemos, no ha sido utilizada en el ámbito actuarial. En particular se propone la utilización de wavelets para la graduación de las tasas y las probabilidades de fallecimiento observadas con la finalidad de obtener una estimación adecuada de las verdaderas funciones biométricas. En el ámbito actuarial es habitual la utilización de tablas de mortalidad de referencia para realizar cálculos actuariales y análisis de la mortalidad con diferentes propósitos. La mortalidad de un grupo de individuos suele modelizarse suponiendo que existen unas verdaderas tasas de mortalidad, las cuales son alteradas mediante una fluctuación aleatoria. La suma de la tasa de mortalidad y de la fluctuación aleatoria es lo que se percibe habitualmente, por ello es frecuente asumir que la verdadera tasa de mortalidad tiene un comportamiento estructural según cierto modelo biométrico (prefijado), como pueden ser los que vienen determinados por las leyes de Dormoy, Gompertz o Gompertz-Makeham. Esta hipótesis de comportamiento estructural justifica el amplio desarrollo de la graduación paramétrica en la última década. No obstante, la asunción de un modelo biométrico prefijado puede ser a veces demasiado restrictiva y conducir a resultados no deseados en función de la información disponible, por lo que en esta situación las técnicas no paramétricas son complementarias a las técnicas paramétricas o incluso una alternativa adecuada. Las técnicas de suavizado o de graduación tienen como finalidad eliminar y/o separar las fluctuaciones aleatorias de los verdaderos valores de la función biométrica considerada. La graduación no paramétrica puede ser utilizada en una fase previa a la graduación paramétrica con el objetivo de encontrar los verdaderos valores de los parámetros del modelo. También puede utilizarse posteriormente cuando la graduación paramétrica proporciona resultados no satisfactorios. El análisis que se presenta en este 136

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

trabajo se centra en la graduación no paramétrica y consiste en la comparación de los resultados obtenidos con dos tipos de graduación no paramétrica, wavelet y kernel. Para poder realizar la comparación entre las dos técnicas y así determinar cuál de ellas es mejor, es conveniente disponer de la información adecuada de manera que se pueda cuantificar el error que cada una comete. Es deseable disponer de valores verdaderos para así estimar las diferencias de estos con los valores graduados. No obstante es conocido que los verdaderos valores no son observables, por lo que la bondad de la graduación no puede medirse directamente según las diferencias valor real-valor graduado. Por otro lado, si la comparación se realiza directamente con los datos observados se puede no cumplir la condición de suavidad para algunos de los métodos que se suelen utilizar, con lo que el proceso de graduación perdería parte de su finalidad. Además, la mortalidad es un fenómeno no-reproducible que depende de la época y/o región de observación, de la calidad de la información recogida y de las técnicas utilizadas en su tratamiento, por lo que si no se reducen estas fuentes de error resulta difícil determinar cuál de los dos métodos es más adecuado. Para resolver parte de este problema, teniendo en cuenta que los verdaderos valores no son conocidos, en este trabajo se recurre a la simulación numérica a través de la utilización de un modelo biométrico estándar que proporciona las supuestas verdaderas tasas de fallecimiento. Estas tasas teóricas (verdaderas) son los valores de entrada para el proceso numérico el cual proporciona un número arbitrariamente grande de experiencias sintéticas de mortalidad, supuestos valores observados. Las series numéricas obtenidas son graduadas por ambas técnicas, de manera que pueden compararse directamente con los valores asumidos como verdaderos. Es interesante señalar que existen leyes generales que son aplicables a todo el rango de edades y que determinan la forma funcional de las funciones biométricas que se proponen en este trabajo, ley de Gompertz-Makeham (Renshaw, 1995). No obstante, debido a la aplicación que se realiza en este trabajo para datos de la población española entre los años 2007 y 2009 par edades de 25 años o más, el modelo biométrico elegido para la generación de las experiencias sintéticas de mortalidad es la ley de Gompertz, que se considera adecuada por su sencilla especificación y por su aplicabilidad al rango de edad considerado. Notar que esta ley modela el envejecimiento natural de la población, el cual está presente a lo largo de toda la vida. En resumen, como suele ser habitual en el campo actuarial, y en particular en estudios relacionados con la mortalidad, la información relacionada es insuficiente debido a que estos fenómenos no pueden reproducirse. Para realizar un análisis completo y determinar si esta técnica no paramétrica 137

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

(graduación wavelet) puede o no ser utilizada, se recurre a la simulación numérica con el objetivo de generar información suficiente, la cual recoja una variedad amplia de situaciones posibles no observables ni reproducibles en la práctica. Para ello se utiliza un modelo biométrico estándar a partir del cual se construyen diferentes experiencias sintéticas de mortalidad, a cada una de estas experiencias sintéticas se le aplican los dos tipos de graduación no paramétrica: estimación kernel (Ayuso et al., 2007), y graduación wavelet (propuesta por los autores), realizando la comparación entre ambas. Este trabajo se estructura como sigue: en la segunda sección se define el concepto de wavelet, así como las propiedades más relevantes de estas. En la tercera sección se detalla la metodología empleada en la construcción de las experiencias sintéticas de mortalidad, el modelo biométrico utilizado y la introducción de las fluctuaciones aleatorias, también se definen las medidas de bondad utilizadas para la posterior comparación entre técnicas. En la primera parte de la sección cuarta se presentan los resultados obtenidos en la graduación, tanto wavelets como kernel, para los valores observados de la población española entre los años 2007 y 2009 para cada sexo. En la segunda parte de esta sección cuarta se expone la comparación para los valores obtenidos de forma sintética. En la última sección se presentan las conclusiones de la comparación realizada entre ambos métodos no paramétricos y se describen futuras líneas de investigación para mejorar la técnica.

2. ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA: GRADUACIÓN WAVELET. En esta sección se realiza una breve introducción del concepto de wavelet, tanto en el caso continuo como discreto. En otras áreas del conocimiento diferentes tipos de wavelet han sido utilizadas con éxito en multitud de aplicaciones, por ejemplo en transmisión de señales en telecomunicaciones (Martínez et. al. 2004), tratamiento digital de imágenes (tecnologías de la información), valoración de derivados en economía (Gómez del Valle et. al. 2004). Esta técnica ha proporcionado un nuevo punto de vista de manera el cual permite visualizar estructuras, patrones y fenómenos que con otro tipo de técnicas no era posible o no de forma sencilla. Uno de los campos donde las wavelets han sido utilizadas con mayor éxito es el campo de las telecomunicaciones, en el de la transmisión de señales. Estas se han utilizado con éxito para reconstruir o limpiar la señal transmitida desde un emisor hasta un receptor. Se elimina el ruido -la causa de pérdida de información en el proceso de transmisión- con el objetivo de 138

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

reproducir las características y patrones que la señal posee al inicio del proceso. En el campo actuarial es habitual no conocer las tasas o probabilidades de fallecimiento, disponiendo únicamente de lo que se denomina experiencia de mortalidad. En este trabajo esta serie de valores reales es tratada de forma similar a la ‘señal’ utilizada en el área de las telecomunicaciones. Como se describe posteriormente, cada experiencia de mortalidad (observada o sintética) se supone compuesta por dos términos aditivos: los valores verdaderos de la serie y los de una fluctuación aleatoria. Aplicando la descomposición wavelet como en el caso descrito de la transmisión de señales, tratando la fluctuación aleatoria como ruido, se pretende reconstruir los valores verdaderos de la función biométrica considerada, que en este trabajo son las probabilidades o tasas de fallecimiento. Con este objetivo es oportuno introducir el concepto de wavelet. Una wavelet es una familia de funciones que queda caracterizada a partir de un elemento generador: la función wavelet madre ψ (t ) . Esta es una función de variable real t que debe oscilar en el tiempo y estar bien localizada en el dominio temporal. El concepto de localización temporal se puede interpretar como un rápido decaimiento hacia cero cuando la variable t tiende a infinito. Esta propiedad oscilatoria es la que proporciona su nombre, en inglés "wave", que por estar acotada en tiempo queda reducida a pequeña onda, en inglés "wavelet". El concepto de oscilación se expresa en términos de los momentos absolutos de orden m-1 de la función ψ (t ) :

∫

+∞

−∞

∫

+∞

−∞

ψ (t ) dt = 0,

t m−1ψ (t ) dt = 0.

A partir de la wavelet madre se definen el resto de elementos de la familia, estos son generados mediante cambios de escala y traslaciones de ψ (t ) . A esta familia de funciones que genera ψ (⋅) se la denota como ψ a, b (t ), a > 0, b ∈ R .

{

}

Se debe de notar que la caracterización de ψ a , b (t ) se realiza considerando de forma conjunta las operaciones de cambio de escala y traslación: 1 ⎛t −b⎞ ψ a , b (t ) = ψ⎜ ⎟, a ⎝ a ⎠ Donde a se denomina parámetro de escala y queda asociado a un estiramiento o una compresión de la función madre. En el caso escalar 139

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

ψ a (t ) =

1 a

ψ ( at ) , a ∈ R, a > 1. Se puede notar que ψ a (t ) conserva la forma

de ψ (t ) pero aumenta el soporte de la función. El parámetro b se denomina parámetro de traslación, que ‘localiza’ temporalmente la distribución de energía que se está calculando. A partir de las funciones ψ a, b (t )

se define la Transformada Wavelet

continua de la función f (t ) a través de las expresiones siguientes:

W f (a, b ) = W f (a, b ) =

∫

+∞

−∞

f (t )ψ a , b (t ) dt ,

a ∫

+∞

−∞

⎛t −b⎞ f (t )ψ ⎜ ⎟ dt = f (t ),ψ a , b (t ) . ⎝ a ⎠

Se conoce que si la wavelet madre es real, entonces la familia de funciones definidas por su traslación y escalado es una base completa del espacio de funciones de interés. Este hecho permite asegurar que cualquier función puede ser representada mediante una combinación lineal de las funciones wavelets ψ a , b (t ) . La definición de la Transformada Wavelet Discreta es similar a la de la wavelet continua. En este caso los parámetros a y b sólo pueden tomar valores discretos, parámetros de dilatación y de traslación respectivamente. Para obtener los valores discretos de estos parámetros se puede proceder como se indica. • Para la discretización del parámetro de escala a se toma arbitrariamente un valor a0 , denominado escala de referencia, entonces los valores admisibles de a son las potencias enteras de •

a0 , a = a0m . La discretización del parámetro de traslación b se obtiene añadiendo una restricción a los valores de b : los valores de b dependen de los valores del parámetro de escala a, de esta manera se obtiene que para escalas grandes la traslación también es grande, dando consistencia al proceso. Una forma posible de obtener los valores discretos de las m traslaciones puede ser b = nb0 a0 . En esta expresión m se fija a partir de la escala a la que se trabaja y n es un factor que proporciona diversidad en las traslaciones para la escala considerada. 140

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

Con estas consideraciones, la familia1 de wavelets que se construye viene dada por la expresión:

( ( )) ψ (a t − nb ).

ψ m, n (t ) = a0 2ψ a0− m t − nb0 a0m , −m

−m

= a0 2

−m 0

La Transformada Wavelet Discreta se obtiene de forma similar a (Mallat 1980) o (Mallat 1998) utilizando el producto escalar discreto entre la función a descomponer y las funciones de escala ψ m, n (t ) , ya que estas forman una base del espacio de funciones. El resultado de la aplicación de la Transformada Wavelet (continua o discreta) está formado por dos funciones –dos series de datos para el caso discreto- la primera parte suele denominarse scaling (S), la segunda wavelet (W). La parte scaling se interpreta como una réplica de la función o serie inicial a escala diferente y obtenida utilizando promedios y otras transformaciones que dependen del filtro considerado. Con la parte scaling se obtiene una primera aproximación que recoge la tendencia. Esta parte pierde los detalles de la serie inicial los cuales son recogidos en la parte wavelet. A menudo estos ‘detalles’, las diferencias entre la serie original y la obtenida por escalado, son considerados perturbaciones. Combinando apropiadamente las dos partes se puede reconstruir de manera exacta los valores iniciales de la función (o la serie de datos). Este proceso puede aplicarse de manera iterativa, esto es, se puede obtener una nueva Transformada Wavelet de los datos obtenidos anteriormente en la parte scaling (S1). Esta segunda aplicación da lugar, en otra escala, a nuevas parte scaling (S2) y wavelet (W2), en este trabajo se denomina este proceso como transformación wavelet con dos escalas. Para la obtención de una transformación wavelet con tres escalas se procedería a aplicar el proceso de nuevo sobre la parte scaling obtenida en la transformación wavelet con dos escalas, dando lugar a dos series de datos: S3 y W3. Una propiedad interesante es que la información que contienen la parte wavelet y la parte scaling son ortogonales, complementarias: la información que contienen no es redundante. Una aplicación de esta complementariedad de la información consiste en suponer que cuando una serie de datos posee ruido, este se encuentra en la parte wavelet, en la parte que contiene los 1

Es interesante señalar que es sencillo obtener otras familias de wavelets discretas considerando otra metodología en el cálculo de los parámetros a y b.

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Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

detalles de la función. Teniendo esto en cuenta la eliminación o reducción de ruido queda vinculada al filtrado de la parte wavelet. En este trabajo el filtrado pretende reducir o incluso eliminar las fluctuaciones aleatorias a partir del truncado de valores de la parte wavelet, asumiendo cierto umbral de truncamiento como elemento que determina cuando un valor es considerado perturbación y cuando no puede ser considerado de esta manera. La tabla 1 muestra una representación gráfica de los filtros correspondientes a la parte "scaling" y la parte "wavelet" para dos tipos de wavelets, la Daubechies 3 y Daubechies 4. También muestra los coeficientes que conforman la Base del espacio de funciones discretas considerado.

Db3

Db4

"0.0105974018 "0.2303778133 0. 0352262919

"0.3326705530

0. 0328830117

0. 7148465706

"0.0854412739

0. 8068915093

0. 0308413818

"0.6308807679

"0.1870348117 "0.0279837694

"0.1350110200 "0.4598775021 0. 4598775021

"0.1350110200

"0.0279837694

0. 1870348117

0. 8068915093

0. 0854412739

0. 6308807679

0. 0308413818

0. 3326705530

0. 0352262919

0. 7148465706

"0.0328830117

0. 2303778133

"0.0105974018

Tabla 1. Filtros y coeficientes wavelets

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Nota: Es importante señalar que no es habitual encontrar una expresión explícita de la wavelet o de su valor en un punto. No obstante esto no supone un problema ya que existen algoritmos recurrentes, como el de cascada o similares, (ver Section 13.10., Wavelet Transforms, Press 2007), implementados en paquetes de software como Matlab, Mathematica o R que proporcionan la estimación adecuada

3. GENERACIÓN DE LAS EXPERIENCIAS DE MORTALIDAD El estudio que se realiza en este trabajo está fundamentado en un conjunto de datos obtenidos de manera sintética. En esta sección se describe la metodología utilizada en la construcción de lo que se denominan experiencias sintéticas de mortalidad, las cuales se basan en un modelo biométrico concreto junto a unas fluctuaciones aleatorias generadas numéricamente. En esta sección también se definen las medidas utilizadas para la comparación entre las técnicas no paramétricas consideradas. A diferencia de otras áreas de conocimiento, el estudio de la mortalidad de un colectivo tiene el inconveniente importante de la no reproducibilidad de los experimentos. Esto hace que sea necesario asumir hipótesis más o menos restrictivas, las cuales ponen de manifiesto la percepción que de la realidad tiene el investigador o incluso las limitaciones técnicas que pueden existir en un momento u otro. Algunos modelos biométricos aceptados por la comunidad científica para caracterizar el fenómeno de la mortalidad son los descritos por la ley de Gompertz, las leyes de Makeham, las de Heligman y Pollard, entre otros (Ayuso et al., 2007) (Debón, 2003). Como se puede observar en la Figura 1, una forma de tratar el problema es considerar que la mortalidad se puede dividir en tres componentes: el primero de ellos representa la mortalidad infantil, el segundo de ellos representa la mortalidad en las edades adultas y recoge lo que se denomina joroba de accidentes y por maternidad (que recoge la muerte por estas circunstancias). Finalmente, el último componente suele denominarse curva de mortalidad natural, que modela el aumento de la probabilidad (o de la tasa) de fallecimiento debido a causas naturales, imputadas al deterioro del organismo por el aumento de la edad. Esta puede ser modelada haciendo uso de la ley de Gompertz.

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Figura 1. Tasas de mortalidad para la población española de 2007 (hombres). Fuente: Datos publicados por el INE. Gráfico: Elaboración propia.

En este trabajo el modelo biométrico (Gompertz) es utilizado con una doble finalidad. La primera en la generación de las experiencias sintéticas de mortalidad, con ello se pretende simplificar el análisis realizado eliminando componentes particulares de una época o de una región concreta. En segundo lugar para poder estimar las diferencias entre los conocidos verdaderos valores y los valores graduados. A efectos de completitud se exponen, es interesante exponer los fundamentos de la ley de Gompertz. o Esta establece un tanto instantáneo de mortalidad creciente, denotado este como μ ( x ) . o Un crecimiento relativo constante, μ ′(x ) / μ (x ) = C , donde μ ' (x ) denota la derivada del tanto instantáneo. Con estos dos supuestos se determina la función de supervivencia a una edad concreta x , l (x ), la cual es utilizada para determinar la probabilidad de supervivencia y la probabilidad de fallecimiento a la edad x de una población, p (x ) y q (x ) respectivamente. Lo expresión funcional de las funciones biométricas introducidas haciendo uso de lay de Gompertz y haciendo uso de la notación indicada es la siguiente:

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Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

l x = l0 g C px =

−1

x l x +1 = g C (C −1) , lx

x q x = 1 − p x = 1 − g C (C −1).

En esta expresión l0 denota el tamaño inicial de la cohorte considerada, con g y C dos parámetros a determinar del modelo que diferencia una población de otra. Es interesante señalar que el valor de g determina un punto de inflexión en la función según sea superior o no al valor e −1. La Figura 2 muestra la probabilidad de fallecimiento, denotada qx , y calculada según la ley de Gompertz con parámetros2 g = 0.999611897,

C = 1.10183797 .

Figura 2a. Probabilidad teórica de fallecimiento para cada edad. Ley de Gompertz. Fuente: Elaboración propia.

Figura 2b. Probabilidad teórica de fallecimiento para cada edad. Ley de Gompertz.(Escala logarítmica) Fuente: Elaboración propia.

Como se ha comentado anteriormente, una interpretación asumida por la comunidad científica en relación de la estructura de la mortalidad observada de una población consiste en dividir la función biométrica en dos términos: los valores reales y la fluctuación aleatoria. La asunción de esta hipótesis es la que se utiliza en este trabajo de manera que los verdaderos valores de la función biométrica se obtienen de forma determinista haciendo uso de la ley de Gompertz, mientras que las fluctuaciones aleatorias se obtienen haciendo uso de estos verdaderos valores, tomados como inputs en un proceso 2

Para eliminar posibles sesgos de los datos observados, los valores de los parámetros utilizados son arbitrarios.

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Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

aleatorio como se describe posteriormente. Este proceso aleatorio permite la obtención de las denominadas experiencias de mortalidad, también referidas como realizaciones del proceso de muerte. El método de obtención de las experiencias sintéticas de mortalidad se basa en la hipótesis que se realiza sobre la distribución de fallecimientos a cada edad x, y que se denomina hipótesis HB, la cual se enuncia como sigue: El número de fallecidos3 a la edad x, se distribuye según una distribución binomial: d x ∼ Bi (l x , q x ). Nota En lo que sigue q x denotara la probabilidad o la tasa teórica de fallecimiento a la edad x , la cual es obtenida haciendo uso del modelo ∼i

∼

biométrico de Gompertz y q x (o simplemente q x ) denotara la estimada a partir de la información obtenida en la realización i . Llegados a este punto se está en disposición de describir el proceso de generación de las diferentes experiencias de mortalidad. Este proceso básicamente consiste en simular el número de fallecimientos para cada una de las edades consideradas mediante simulación secuencial dando lugar a un conjunto de valores simulados, de experiencias sintéticas de mortalidad. Notamos que: o d x denota el número de fallecidos a la edad x . n =1,K,100.

⎧⎪ ∼ n ⎫⎪ o ⎨d x ⎬ denota cada una de las realizaciones, así ⎪⎩ ⎪⎭ x =0,K,100 para

fijo,

{d }

n0 x x = 0 ,K,100

denota el número de

fallecimientos acaecidos a cada una de las edades consideradas, una posible experiencia de mortalidad. El proceso que se describe a continuación se realiza tantas veces como experiencias diferentes se desee generar. 3

d x denota el número de individuos que sobreviven a la edad x pero que no lo hacen a la edad x + 1 .

146

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

Se inicia el proceso haciendo uso de las probabilidades teóricas de fallecimiento qx obtenidas mediante la expresión de la ley de Gompertz para x = 0,1,K,100 , y teniendo en cuenta un número arbitrario de individuos, l0 = 10.000,100 .000, ... Haciendo uso de la hipótesis HB, se genera un número aleatorio que proviene de una distribución Bi (l0 ,q0 ) , el cual es ∼

interpretado como el número de fallecidos a la edad 0, d 0 , y que ∼

es utilizado para estimar l 1 . Seguidamente se vuelve a generar un número aleatorio que

⎛∼ ⎝

⎞ ⎠

proviene de una distribución Bi⎜ l 1 , q1 ⎟ , obteniendo el número ∼

de fallecidos simulado para la edad x = 1, d 1 , el cual es a su vez ∼

utilizado para obtener l 2 . Iterando este proceso, se generan números aleatorios que provienen de una variable aleatoria que se distribuye según una ley binomial cuyos parámetros son: el número de supervivientes ∼

estimado a partir de los fallecidos en el paso anterior ( l x ), y el riesgo de fallecimiento a la edad considerada ( q x ), el cual es constante para todas las realizaciones y se calcula utilizando ∼

∼

Gompertz. De esta manera se obtienen d x y l x +1 , este último utilizado en la siguiente etapa como parámetro de entrada para la generación de un número aleatorio que proviene de una

⎛∼ ⎝

⎞ ⎠

distribución Bi ⎜ l x +1 , q x +1 ⎟ . ∼

El proceso se termina una vez obtenido el valor d 100 .

Nota La generación de números aleatorios, denotados ri , que siguen una ley de distribución de probabilidad Bi (N , q ) se realiza mediante técnicas estándar las cuales son descritas brevemente a continuación. Es conocido que si N es suficientemente grande y q pequeño de manera que el producto Nq es pequeño, entonces una ley Bi (N , q ) puede ser aproximada mediante una distribución de probabilidad normal de esperanza y varianza iguales a las de la distribución binomial, esto es Bi ( N , q ) ∼ N (Nq , Nq (1 − q )) . 147

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

Teniendo en cuenta este hecho junto a la propiedad de estandarización de las distribuciones normales, es sencillo generar números aleatorios de la distribución binomial. Para ello se generan números aleatorios z i ∼ N(0,1) de manera que estos se escalan en otros valores que proceden de una distribución N (Nq , Nq (1 − q )) , para ello simplemente se hace uso de la transformación lineal ni = Nq + zi Nq(1 − q ). En esta situación sólo queda

convertir los valores reales de la distribución normal, denotados ni , en valores discretos que procedan de la binomial de interés, que se denotan ri . Para ello se procede como sigue:

⎧min{[ni + 12 ], N }, si ni > Nq ri = ⎨ . 1 ⎩ max{[ni − 2 ], 0}, si ni ≤ Nq En la expresión anterior [⋅] denota el operador parte entera.

En la Figura 3 puede observarse el resultado de este proceso, tres experiencias sintéticas de mortalidad que corresponden a las realizaciones números 1, 3 y 5 del trabajo.

100

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

Figura 3. Probabilidades de fallecimiento teóricas y simuladas según edad, realizaciones 1, 3 y 5. En escala logarítmica. (Fuente: Elaboración propia)

Se termina esta sección introduciendo las medidas utilizadas en la comparación posterior de los métodos de graduación considerados. Estas tienen como objetivo informar de la idoneidad de cada una de las técnicas comparadas.

148

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

Los indicadores definidos se denotan y estiman como sigue: o

Indicador Absoluto Medio (IAM): 1 100 IAM (q ) = q x − qˆ x . 100 x = 0

∑

Indicador Relativo Medio (IRM): 1 100 q x − qˆ x . IRM (q ) = 100 x =0 q x

∑

De forma análoga se definen los indicadores absoluto y relativo, cuadrático medio:

Indicador Absoluto Cuadrático Medio (IACM): 1 100 2 IACM (q ) = q x − qˆ x . 100 x=0

∑

Indicador Relativo Cuadrático Medio (IRCM):

1 100 q x − qˆ x IRCM (q ) = . ∑ 100 x = 0 q x2 2

En estas definiciones q x denota la probabilidad teórica de fallecimiento que la ley de Gompertz proporciona para los parámetros prefijados y que se ha utilizado para la generación de las experiencias de mortalidad; qˆ x denota la probabilidad graduada, valor que se obtiene de aplicar un tipo de graduación (kernel o wavelet) a cada una de las realizaciones generadas, de esta manera se evalúa la capacidad de la técnica en la recuperación de los verdaderos valores de la función: los indicadores definidos sugieren que a menor valor mejor es la estimación que de la probabilidad teórica se obtiene, lo cual sugiere que una técnica mejora a otra en este sentido.

4. GRADUACIÓN WAVELET

Esta sección se divide en tres partes. En la primera se presentan los resultados obtenidos en la graduación, tanto wavelet como kernel, para los valores observados de la población española entre los años 2007 y 2009 para cada sexo. En la segunda parte de esta sección se muestran los resultados de 149

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

la graduación aplicada a cada experiencia sintética de mortalidad generada por el método descrito en la sección anterior. Esta consta de dos partes diferenciadas. La primera es utilizada para calibrar la graduación wavelet, en particular muestra el resultado de utilizar la wavelet de Daubechies4 para graduar las realizaciones generadas anteriormente de forma numérica y así encontrar el valor de los parámetros adecuados en cuanto a vecindad, escalado y nivel de truncamiento se refiere. La última parte de esta sección es utilizada para mostrar los resultados de las graduaciones realizadas con las dos técnicas comparadas, wavelet y kernel (aplicada con núcleo gausiano).

4.1 APLICACIÓN A LA POBLACIÓN ESPAÑOLA 2007-2009

En este apartado se realiza la graduación de series de mortalidad reales haciendo uso de las técnicas descritas y se expone la comparación de los resultados obtenidos para edades igual o superiores a 25 años. La información utilizada corresponde a las tablas de mortalidad publicadas por el INE para los años 2007, 2008 y 2009, tanto para hombres como para mujeres. Los datos utilizados han sido extraídos de las Tablas de Mortalidad de la Población de España por año, sexo, edad y funciones, del instituto Nacional de Estadística (INE 2011). Una muestra de esta información se puede consultar en el Anexo 2. Los resultados de la graduación obtenidos para el año 2009 para cada una de las técnicas comparadas se muestran en las figuras 4a-4d. Las figuras correspondientes a los años 2007 y 2008 se pueden encontrar en el anexo 1.

La elección del wavelet de Daubechies se debe a diferentes motivos: que esta es sencilla en su especificación, que es habitual encontrarla en diferentes paquetes informáticos especializados como Matlab o R, y a que es conocida su versatilidad en diferentes campos.

150

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

Figura 4a.

Figura 4b.

Figura 4c.

Figura 4d.

Graduaciones Kernel y wavelet. Año 2009. Varones y Mujeres. Escala logarítmica. (Fuente: elaboración propia)

La graduación kernel utilizada tiene núcleo Gausiano y parámetro ventana b=2; el filtro considerado para la graduación wavelet es el de Daubechies con 3 escalas y nivel de truncamiento 0.35. En el caso de datos observados como el que tratamos la comparación entre las técnicas utilizadas no se puede hacer directamente. Los indicadores definidos en la sección anterior han de ser modificados debido a que los verdaderos valores de los parámetros no son conocidos, por este motivo la comparación se realiza utilizando el indicador IRCM pero considerando como valores verdaderos los valores observados, con el sesgo que ello pueda introducir.

151

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

El Cuadro 1 muestra el indicador de bondad de ajuste IRCM para los dos métodos comparados, para ambos sexos y para los años 2007, 2008 y 2009. IRCM Wavelet Varones Mujeres 2007 2008 2009

0.16243351 0.30776212 0.14167674 0.21533206 0.14551765 0.23151855

Kernel Varones Mujeres 0.16616222 0.29421056 0.17248443 0.290023 0.2052255 0.33583671

Cuadro 1. Resumen del Indicador de bondad IRCM por año y sexo. (Fuente: Elaboración propia)

Se puede observar en esta tabla que los valores del indicador para la graduación wavelet son inferiores en los años 2008 y 2009, mientras que sólo para el año 2007 y en el caso de las mujeres, este indicador es ligeramente inferior para la graduación kernel. No obstante, es interesante señalar que la graduación wavelet es más robusta que la kernel en el sentido que se describe: los valores del indicador para el año 2007 son similares para ambas técnicas, para los años 2008 y 2009 la diferencia entre los valores del indicador es considerable. Esto puede visualizarse al calcular el ratio (IRCM kernel/IRCM wavelet), de manera que valores entorno a un 100% indican que el indicador es similar para ambas técnicas, por encima del 100% que la graduación wavelet mejora la kernel, y por debajo del 100% a la inversa. Este ratio queda resumido en el Cuadro 2.

Año Varones Mujeres

2007 102 96

Ratio (%) 2008 122 135

2009 141 145

Cuadro 2. Resumen del ratio IRCMkernel/ IRCMwavelet por año y sexo. (Fuente: Elaboración propia)

Es interesante señalar que los valores del indicador de bondad de cada método han sido obtenidos asumiendo como verdaderos los valores 152

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observados. Esto presenta inconvenientes que pueden introducir cierto sesgo en las conclusiones del trabajo. Con el objetivo de eliminar este posible sesgo se recurre a la simulación numérica, haciendo uso de un modelo biométrico estándar, como ya se ha comentado previamente. 4.2 DATOS SINTÉTICOS: ELECCIÓN DEL MODELO WAVELET Notamos que la elección del tipo de wavelet a utilizar (Daubechies) se ha realizado de manera arbitraria respondiendo a sencillez y utilidad en otras áreas. No obstante es necesario determinar tanto el número de escalas que se va a utilizar (de iteraciones del proceso), como el umbral por debajo del cual los ‘detalles’ que el proceso proporciona de cada experiencia de mortalidad a la escala determinada es considerado ‘ruido’ (la fluctuación aleatoria). Los valores por debajo de este umbral serán eliminados del proceso de reconstrucción. Con este propósito se realiza un análisis de sensibilidad para el modelo biométrico considerado y se determina el nivel de escalado adecuado (1, 2, 3 o 4 escalas)- Daubechies1, Daubechies2, Daubechies3 o Daubechies4; y se determina que umbral de truncamiento es más adecuado, analizando valores comprendidos entre α = 0.25 y α = 0.5 . Este umbral va a permitir reducir la fluctuación aleatoria para obtener una mejor estimación/graduación de la tasa teórica. Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad se utilizan las medidas definidas con anterioridad: IAM, IRM, IACM, IRCM. Al realizar la comparación directa de los valores reconstruidos para diferentes umbrales de truncamiento (graduación wavelet), se observa que las diferencias no son significativas, lo cual motiva que la elección del umbral sea arbitraria y pueda responder a otros criterios, como el de conservar5 la mayor información posible de la función a graduar mediante un umbral pequeño ( α = 0.25 ). Una vez se ha fijado este umbral, se realiza una comparación de los valores reconstruidos con las diferentes Daubechies consideradas, Db1 , Db 2 , Db 3 y Db 4 , para diferente número de escalas. El proceso seguido es el siguiente: 1. Para cada realización, cada filtro y cada escala se obtienen los cuatro indicadores: IAM, IRM, IACM, IRCM. 2. Fijado un indicador, para cada realización se determina en qué 5

Notemos que existen otros procesos para la determinación del umbral de truncamiento, algunos de ellos se basan en técnicas estadísticas, en el estudio de la distribución de probabilidad de la parte wavelet a una escala concreta. 153

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

modelo de wavelet se produce el error más pequeño. 3. Se contabiliza el número de veces en las que cada modelo de wavelet alcanza el valor mínimo. 4. Utilizando el criterio dado como el mejor modelo es aquel que tiene la mayor cantidad de mínimos en el indicador considerado, se determina el modelo de wavelet óptimo (en el sentido descrito). La tabla 2 muestra un resumen de los resultados obtenidos, para cada tipo de wavelet y para cada indicador de bondad de reconstrucción utilizado. Es casi inmediato que el número de escalas apropiado es 3, no quedando tan evidente si es más apropiado utilizar el filtro Db3 o Db4. La elección de uno u otro filtro para realizar la comparación de las dos técnicas no paramétricas se realiza teniendo en cuenta que Db3 tiene una vecindad menor que Db4, siendo aparentemente ‘peor’, lo cual puede darle cierta ganancia a la estimación kernel. Se deja como cuestión abierta determinar en qué casos es más fiable utilizar cada uno de los filtros Db en el contexto de tablas de mortalidad más generales, notando que la aplicación realizada en los datos reales ha utilizado DB4.

Db3, 1 escala. Db3, 2 escalas. Db3, 3 escalas. Db4, 1 escala. Db4, 2 escalas. Db4, 3 escalas.

IAM

IRM

IACM

IRCM

0 2% 50% 0 3% 45%

0 0% 48% 0 0 52%

0 4% 52% 0 1% 43%

0 0 49% 0 2% 49%

Tabla 2. Resumen de Indicadores de bondad. α = 0.25 . (Fuente: Elaboración propia.)

La figura 5a muestra las probabilidades de fallecimiento (en escala logarítmica) que el modelo de referencia proporciona, así como los valores de la experiencia de mortalidad simulada número 1. También se muestra el resultado de graduar la realización 1 para las wavelets de Daubechies consideradas en el análisis de sensibilidad. La figura 5b muestra la misma información a la cual se le ha sumado una constante con la finalidad de trasladar las probabilidades anteriores y así facilitar la interpretación de la información dada en la figura 5a.

154

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

Figura 5a. Tasas de fallecimiento de: el modelo, realización 1 y de los valores graduados con la wavelet D3 a escalas 1, 2 y 3.

Figura 5b. Tasas de fallecimiento trasladadas de: el modelo, realización 1 y D3 a escalas 1, 2 y 3.

Con la finalidad de realizar una comparación gráfica más adecuada, las Figuras 6 a 9 muestran las tasas de fallecimiento de referencia y las graduadas mediante la base de wavelets Db3, con 1, 2 y 3 escalas.

Figura 6.

Figura 7.

Figura 8. Figura 9. Tasas de fallecimiento de referencia y graduadas mediante la base wavelet Db3, con 1, 2 y 3 escalas. (Fuente: elaboración propia) 155

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

En virtud al análisis de sensibilidad descrito, en lo que sigue y con el objeto de realizar la comparación entre las técnicas de graduación (kernel /wavelet), se ha determinado la utilización de un filtro Daubechies 3, con 3 escalas, junto a un umbral de truncamiento α = 0.25 .

4.3 DATOS SINTÉTICOS: COMPARACIÓN WAVELET - KERNEL En esta parte se realiza la comparación entre las dos técnicas no paramétricas objeto de este estudio: estimación kernel y estimación con wavelets. Como se ha concluido en la sección anterior, el filtro a utilizar en la estimación wavelet es Daubechies 3, con 3 escalas. Para la estimación kernel (Ayuso et al., 2007) se utiliza la expresión qx =

∑100 r = 0 qr K b ( x − r ) , x = 0,K, 100. ∑100 r = 0 Kb (x − r )

En el caso de utilizar núcleo Gausiano se toma como referencia la función

K (s ) = e 2 , Y se utiliza este para definir la función de pesos a utilizar en la graduación la cual depende de un parámetro b, conocido como parámetro ventana o bandwidth. De esta forma se tiene −s

K b (t ) = b1 K ( bt ) . En este caso se considera como parámetros ventana b = 1 y b = 2 . La comparación entre los dos tipos de graduación no paramétrica es análoga a la realizada en el análisis de sensibilidad descrito en 4.1, en la elección del modelo de wavelet. Este está basado en el cálculo de los indicadores IAM, IRM, IACM, IRCM. De esta manera se obtiene la tabla 3, la cual se construye de forma análogamente a la tabla 1. Los resultados recogen el porcentaje de veces que una de las técnicas (nombrada inicialmente en cada fila de la tabla) es mejor que las otras para el correspondiente indicador, es decir, cuando el valor de la medida es menor, estas calculadas sobre el total de experiencias sintéticas de mortalidad generadas previamente.

156

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Kernel , b = 1 . Kernel , b = 2 . Db 3 , 3 escalas.

IAM 0 37% 63%

IRM 0 53% 47%

IACM 0 35% 65%

IRCM 0 39% 61%

Tabla 3. Resumen de indicadores para Db3 y Kernel. La figura 10 muestra las probabilidades de referencia y una de las experiencias sintéticas de mortalidad (realización 8), y en la figura 11 se muestra las probabilidades de referencia (Gompertz) junto a la graduación de la experiencia 8 haciendo uso de la wavelet Db3, con 3 escalas. La figura 12 muestra la graduación kernel con parámetro b=2 de la experiencia 8 – todas ellas en escala logarítmica. Finalmente, la figura 13 muestra las tres series de probabilidad en un mismo gráfico de manera que se puede realizar una comparación visual de las técnicas de graduación tratadas.

Figura 10. Tasas de mortalidad de referencia y realización 8.

Figura11. Tasas de mortalidad referencia y graduación con Db3.

Figura 12. Tasas de mortalidad de referencia y gradución kernel.

Figura 13. Tasas de mortalidad de referencia junto a graduaciones kernel y Db3.

157

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

Observando con detenimiento las figuras 11 y 12 se pone de manifiesto la precisión de ambas técnicas no paramétricas aplicadas a la graduación de tasas de fallecimiento. No obstante se puede apreciar como los valores graduados manifiestan cierto comportamiento oscilatorio, este se percibe en las dos graduaciones y se asocia de forma empírica a la forma oscilatoria de la experiencia de mortalidad tratada (ver figura 10), en este caso la realización 8. Finalmente, en la figura 13 queda reflejado como la graduación wavelet mejora notablemente a la graduación kernel para las edades altas. Para terminar con la comparación realizada entre las dos técnicas, se realiza un pequeño análisis de robustez de la técnica propuesta: en aquellas realizaciones (experiencias sintéticas) en las cuales la graduación con el método kernel ha sido mejor que la graduación wavelet, la mejora relativa es inferior a la que se obtiene cuando el método wavelet es mejor que el kernel. Esto es, ‘la graduación wavelet no sólo supera con mayor frecuencia en todas las medidas utilizadas a la graduación kernel, además, cuando la graduación wavelet no ajusta mejor que la graduación kernel el ratio de pérdida relativa es mejor que cuando esto sucede al revés’. Notemos que la graduación utilizando Db3 mejora a la kernel, por lo que haciendo uso de Db4 la mejora será igual o superior.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha realizado la comparación entre dos técnicas de graduación no paramétricas: haciendo uso de wavelets y utilizando estimación kernel. Este tipo de graduación es ampliamente reconocido y suele utilizarse para la construcción de, por ejemplo, tablas de mortalidad de referencia o para la construcción de indicadores. La técnica de graduación wavelet ha sido utilizada con éxito en multitud de áreas de conocimiento, por ejemplo en el ámbito de las telecomunicaciones para reconstruir señales que han sufrido degradación en el proceso de transmisión. El objetivo de este trabajo ha sido determinar si la estimación wavelet puede ser o no utilizada en los mismo ámbitos que la estimación kernel en el contexto de las ciencias actuariales. Este trabajo no sólo contesta afirmativamente a esta cuestión sino que pone de manifiesto que la graduación wavelet supera en algunos aspectos a la graduación kernel, por ejemplo en edades avanzadas los valores graduados están más próximos de los de referencia y, en general, por la robustez de la técnica, como se he descrito al final de la sección anterior. Las conclusiones se han basado en los resultados obtenidos en los indicadores definidos en la sección 3: IAM, IRM, IACM, IRCM y cuyos resultados han 158

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sido resumidos en las tablas 2 y 3. Notemos que estos indicadores se han calculado a partir de la generación de experiencias sintéticas de mortalidad las cuales se basan en la hipótesis de distribución binomial del número de fallecidos, de manera que se puede estimar de manera exacta en cuántas de estas experiencias el indicador considerado (o indicadores) es menor, lo cual equivale a considerar que la técnica no paramétrica para la que se alcanza este valor mínimo es más precisa, reconstruye mejor los valores de referencia. La conclusión obtenida es que la graduación wavelet con filtro Db3 y 3 escalas reconstruye mejor que la graduación kernel los valores originales. De hecho se observa que en el caso en que una experiencia de mortalidad tiene asociada una graduación kernel con menor error que el que proporciona la graduación wavelet, el error que se produce con la wavelet es menor que cuando esto se produce a la inversa. Por tanto parece evidente que para la tasa de mortalidad para edades superiores a los 25 años, la graduación wavelet es una técnica cuanto menos adecuada y que supera en ciertos aspectos a la graduación kernel. Esto queda evidenciado en la aplicación realizada sobre los datos reales obtenidos de las tablas de mortalidad de la población española para los años 2007, 2008 y 2009. Finalmente es interesante señalar que se dejan cuestiones abiertas en relación al proceso seguido y que deben ser analizadas en otros trabajos. Por ejemplo cuestiones relacionadas con el número de experiencias sintéticas de mortalidad, de manera que los resultados obtenidos no dependan de las realizaciones concretas que por este procedimiento se obtengan. Otro aspecto a considerar es la utilización de leyes más generales que la de Gompertz para la obtención de cada experiencia sintética de mortalidad: por ejemplo Gompertz-Makeham o Heligman y Pollard, las cuales son aplicables a todo el rango de edades. También es interesante plantearse un análisis similar en el caso en que se admitan determinadas hipótesis en relación a la estructura del fenómeno de muerte: la estabilidad en el tiempo de la ley asumida o la distribución de fallecidos de una edad determinada según otras leyes diferentes a la binomial, por ejemplo la distribución beta.

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159

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

[4] Chui, C. K. (1992) Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press Inc. San Diego (USA). [5] Daubechies, I. (1992). Ten lectures on wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia (USA). [6] Debón Aucejo, A. (2003). Graduación de tablas de mortalidad. Aplicaciones actuariales. Universitat de València (Tesis Doctoral). Valencia (Spain). [7] Debón Aucejo, A., Montes, F. y Sala, R. (2006). A comparison of nonparametric methods in the graduation of mortality: application to dat afrom Valencia región. International Statistical Review, 74, 215-233. [8] Felipe, A., Guillén, M. and Nielsen, J. (2001). Longevity studies base don kernel hazard estimation. Insurance: Mathematics & Economics, 28, 191-204. [9] Gómez del Valle, L. y Martínez Rodríguez, J. (2004). Valoración de derivados del tipo de interés utilizando wavelets. Proceedings of the 7th Spanish-Italian meeting on Financial Mathematic. Universidad de Castilla la Mancha, Cuenca (Spain). [10] Instituto Nacional de Estadística, INE (2011). Tablas de mortalidad de la población de España 1991-2009. http://www.ine.es/jaxi/tabla.do (8 de noviembre de 2011). [11] Mallat, S.G. (1980). A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation. IEEE Translation, PAMI Vol. 11, 7, 84-95. [12] Mallat, S.G. (1998). Wavelet Tour of signal Processing. American Press (USA). [13] Martínez Giménez, F., Peris Manguillot, A. y Rodenas Escribá, F. (2004). Tratamiento de Señales Digitales Mediante Wavelets y su Uso con Matlab. ECU. San Vicente, Alicante (Spain). [14] Meyer, Y. (1992). Wavelets and Operators. Cambridge University Press. Cambridge (UK). [15] Nielsen, J. (2003). Smoothing and prediction with a view to actuarial science, biostatistics and finance. Scandinavian Actuarial Journal, 51-74 [16] Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T. and Flannery, B.P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. New York (USA) [17] Renshaw, A.E. (1995). Joint modelling for actuarial graduation and duplicate policies. Journal of the institute of Actuaries, Vol. 1, 119, pags. 69-85.

160

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

ANEXO 1: GRADUACIÓN DE TABLAS DE MORTALIDAD.

En este anexo se muestran las figuras resultantes de la graduación por las técnicas analizadas (wavelet y kernel), para hombres, mujeres y para los años 2007 y 2008.

Año 2007

Figura A1.

Figura A2.

Figura A3.

Figura A4.

161

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Año 2008.

Figura A5.

Figura A6.

Figura A7.

Figura A8.

ANEXO 2: EXTRACTO DE TABLAS DE MORTALIDAD

Año 2007. Varones

Tasa de mortalidad

Promedio de años vividos el último año de vida

Riesgo de muerte

Supervivientes

Población estacionaria

Esperanza de vida

0.634428

0.454479

0.634208

98881.251

98847.041

0.698556

0.502095

0.698313

98818.54

98784.182

52.552588

0.614153

0.500503

0.613965

98749.534

98719.25

51.588961

0.662815

0.521704

0.662605

98688.905

98657.628

50.620347

0.658378

0.510832

0.658166

98623.513

98591.761

49.653565

0.702334

0.521805

0.702098

98558.603

98525.513

48.68593

0.727066

0.510824

0.726808

98489.405

98454.388

47.71977

0.674957

0.51307

0.674735

98417.822

98385.487

46.754106

162

53.518913

Ismael Baeza Sampere y Francisco G. Morillas Jurado – Anales 2011/135-164

0.79883

0.500637

0.798512

98351.416

98312.199

45.785328

0.887465

0.478455

0.887055

98272.881

98227.416

44.821517

0.989855

0.506385

0.989371

98185.708

98137.757

43.860887

1.083908

0.51485

1.083338

98088.566

98037.012

42.903823

1.12372

0.514874

1.123108

97982.303

97928.917

41.949794

1.305519

0.479874

1.304633

97872.258

97805.844

40.996383

1.516491

0.494899

1.51533

97744.571

97669.757

40.049311

1.704909

0.510702

1.703488

97596.455

97515.107

39.10934

1.871139

0.50141

1.869395

97430.201

97339.39

38.175204

2.209366

0.508438

2.20697

97248.065

97142.565

37.245763

2.30144

0.497079

2.298779

97033.442

96921.261

36.327021

2.272638

0.493821

2.270027

96810.383

96699.144

35.409576

2.593678

0.51077

2.590391

96590.621

96468.212

34.489016

2.690055

0.493283

2.686393

96340.414

96209.271

33.577261

3.144831

0.505151

3.139945

96081.606

95932.314

32.666377

3.356356

0.500628

3.35074

95779.915

95619.649

31.76768

3.727575

0.518044

3.720891

95458.981

95287.794

30.8728

4.084482

0.484359

4.075898

95103.789

94903.909

29.986169

4.258471

0.50325

4.249482

94716.155

94516.216

29.106907

4.94255

0.501984

4.930414

94313.661

94082.081

28.228976

5.453163

0.52006

5.438928

93848.655

93603.677

27.366359

6.250348

0.507897

6.231182

93338.219

93052.008

26.513173

6.322538

0.490435

6.302234

92756.612

92458.733

25.676233

6.702379

0.486073

6.679372

92172.038

91855.638

24.835966

Año 2007. Mujeres Tasa de mortalidad

Promedio de años vividos el último año de vida

Riesgo de muerte

Supervivientes

Población estacionaria

Esperanza de vida

0.169584

0.514072

0.16957

99319.449

99311.265

0.190152

0.534036

0.190135

99302.607

99293.809

58.643445

0.206969

0.535876

0.206949

99283.726

99274.19

57.654496

0.213293

0.500434

0.21327

99263.179

99252.604

56.666319

0.292186

0.447883

0.292139

99242.009

99226.002

55.6783

0.308452

0.48279

0.308402

99213.017

99197.192

54.694439

0.301813

0.475518

0.301765

99182.419

99166.722

53.711164

0.310787

0.48605

0.310738

99152.49

99136.655

52.727233

0.345084

0.484371

0.345022

99121.679

99104.045

51.743471

163

59.633418

Using wavelet to non-parametric graduation of mortality - Anales 2011/135-164

0.383897

0.515881

0.383825

99087.48

99069.068

50.761163

0.385995

0.505289

0.385921

99049.448

99030.537

49.780456

0.495802

0.495711

0.495678

99011.223

98986.473

48.79948

0.540582

0.536364

0.540447

98962.145

98937.348

47.823435

0.610067

0.51007

0.609885

98908.661

98879.107

46.849005

0.75297

0.487077

0.75268

98848.338

98810.176

45.877283

0.723501

0.50412

0.723242

98773.937

98738.513

44.911473

0.788789

0.48599

0.788469

98702.5

98662.497

43.943614

1.018969

0.513189

1.018464

98624.676

98575.778

42.977906

0.922999

0.504212

0.922577

98524.23

98479.165

42.021199

1.103911

0.50013

1.103302

98433.334

98379.047

41.059537

1.253624

0.505561

1.252848

98324.732

98263.824

40.104335

1.303391

0.503216

1.302548

98201.546

98138.001

39.154009

1.51879

0.508202

1.517657

98073.634

98000.434

38.204419

1.559689

0.505067

1.558486

97924.792

97849.258

37.261716

1.683381

0.492528

1.681944

97772.178

97688.725

36.31909

1.892063

0.516574

1.890334

97607.73

97518.533

35.37945

1.995054

0.513482

1.993119

97423.219

97328.749

34.445477

2.019061

0.497906

2.017016

97229.043

97130.576

33.513243

2.298506

0.500224

2.295869

97032.93

96921.593

32.57997

2.428272

0.511714

2.425396

96810.155

96695.505

31.65379

2.493907

0.500414

2.490804

96575.352

96455.177

30.729506

2.44865

0.490031

2.445596

96334.802

96214.655

29.804988

164

J U N T A

(∗)

Presidente: D. Julián Oliver Raboso Vicepresidente: D. Vicente Sala Méndez Secretario General:

D E

D. Luís Sáez de Jáuregui Sanz Tesorero: D. Angel Vegas Montaner

G O B I E R N O

(∗)

Vocales: D. Hugo González Riera Dª. Isabel Bañegil Espinosa D. Juan Marina Rufas D. Henry Karsten Dª Almudena García Pérez Dª Rocio de Padura Ballesteros D. Roberto Escuder Vallés

A fecha publicación de estos Anales

165

166

167

168

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

ABASOLO LARAUDOGOITIA

AMAIA

3223

ABELLAN COLLADO

JOSE

ABELLAN GALINDO

BEATRIZ

3282

ABELLAN MANSILLA

Mª ALTAGRACIA

3249

ABOLLO OCAÑA

DAVID

2505

ACEDO ASIN

ENRIQUE

1321

ACEVEDO RODRIGUEZ

VICENTE

2639

ACEVEDO RODRIGUEZ

ALBERTO

2774

ACEVEZ ROBLES

MARIA ISABEL

2371

DATOS PROFESIONALES AON CONSULTING, Consultor, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405588, 91-3405883, aabasolo@aon.es

856

ALLIANZ COMPAÑÍA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Administración Reaseguros, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡ 91-5960935, 93-2288546, maria.abellan@allianz.es SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, SEGUROS PERSONALES, Director General, Madrid, enrique.acedoasin@antar.es

MERCER HUMAN RESOURCE CONSULTING, SL., Ejecutivo Técnico de Grandes Cuentas, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, ℡ 914569432, 913449154, isabel.acevez@mercer.com

ACHURRA APARICIO

JOSE LUIS

796

ADAN GALDEANO

LUIS

456

ADRAOS YAGÜEZ

OSCAR

2678

AGUADO MANZANARES

SALOMON

2726

AGUDO MARQUES

ESTHER

3290

AGUILAR CANTARINO

ELENA

1770

ALARCON MARTIN

NURIA

2096

AON CONSULTING, Consultor Senior, C/ Rosario Pino, 14-16 , 28020 Madrid, ℡ 91-3405566, 91-3405883, nalarcon@aon.es

ALARCON MARTIN

FRANCISCO

2341

CIGNA LIFE INSURANCE / SEGUROS, Senior Underwriter, Pº del Club Deportivo, 1, 28223 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-4584924, francisco.alarcon@cigna.com

ALARGE SALVANS

JOSEFINA

1320

TOWERS PERRIN / CONSULTORIA, Consultora Senior, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903020, 91-5633115, fina.alarge@towersperrin.com

ALBARRAN GIRALDEZ

SILVIA

1761

BBVA, Pº de la Castellana, 81, Planta 17, 28046, Madrid, ℡ 913745837, silvia.albarran@grupobbva.com

ALBARRAN LOZANO

IRENE

1982

ALBARRAN LOZANO

ANA

3001

ALBO GONZALEZ

JAIME

1082

ALCALDE CASTILLO

Mª. VIRGINIA

ALCANTARA GRADOS

FCO. MARTIN

1516

ALCAZAR BLANCO

ANTONIO CARLOS

3291

ALDAZ ISANTA

JUAN EMILIO

ALDEA MUÑOZ

JESUS

ALEJANDRE AGORRETA

BEATRIZ

2302

ALEJOS CASTROVIEJO

MARIA ESTER

3002

790

OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid, ℡ 91-3192233, 91-5362826, luis.adan@overban.com MUNICH RE, Casualty/Marine Treaty Underwriter, Pº de la Castellana, 18 28046 Madrid, ℡ 91 43196339390 OAdraosYaguez@munichre.com UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID, E.T.S.I. AGRONOMOS, Actuario, Investigador en Seguros Agrarios, Avda. Complutense, s/n, 28040 Madrid, ℡ 91-3365798, 91-3365797, salomon.aguado@upm.es ERNST & YOUNG, Staff Assistant – Actuarial Services, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Torre Picasso, 28020, Madrid,

PROFESIONAL, Avda. Alberto Alcocer, 13, 28036 Madrid, ℡ 913506350, 91-3509604, vae10@cemad.es ALBROK MEDIACION, S.A., Socio Director, Avda. Virgen de Guadalupe, 24, 1º OF. 2, 10001, Cáceres, ℡ 92-7233430, 927238946, direccion.albroksa@e2000.es

112 737

169

GESTIONES SOCIOLABORALES (GESTOLASA), Actuario

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Consultor, C/ Juan Hurtado de Mendoza, 7º, 1º, 28036 Madrid, ℡ 91-3533155, 91-3456239, ealejos@gestolasa.es

ALHAMBRA GONZALEZ-TEJERO

FCO. JAVIER

2640

ALMARCHA NAVARRO

INMACULADA

3048

ALMENA MOYA

Mª. ANGELES

1231

HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, angeles.almena@hewitt.com

ALMOGUERA ZANGRONIZ

BARBARA

2168

LIBERTY SEGUROS, Gerente Actuarial Vida, barbara.almonguera@libertyseguros.es

ALONSO ALBERT

RICARDO JOSE

2629

ALONSO ARES

ANGEL

3283

ALONSO BENITO

Mª TERESA

1860

ALONSO BRA

OLGA

2506

ALONSO CASTAÑON

ANA CRISTINA

3026

AVIVA CORPORACIÓN, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002, Madrid, ℡ 91-2971912, ana.alonso@aviva.es

ALONSO DE LA IGLESIA

RUBEN

2530

GESNORTE, S.A., S.G.I.I.C./ FINANCIERA, Actuario Vida Responsable Administración y Control, C/ Felipe IV, 3, 28014 Madrid, ℡ 91-5319608, ruben.alonso@gesnorte.es

ALONSO GARRIDO

RAQUEL

2373

RURAL GRUPO ASEGURADOR, Técnico Operaciones, Basauri, 14, 28023, Madrid, ℡ 91-7007442, raquelag@segurosrga.es

ALONSO GONZALEZ

PABLO JESUS

3003

UNIVERSIDAD DE ALCALA, Profesor de Estadística, Fac. de CC. EE. Y EE., Plaza Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 91-8854275, pablo.alonsog@uah.es

ALONSO LOPEZ

JESUS JOAQUIN

ALONSO LOPEZ

FCO. MANUEL

2402

ALONSO MAROTO

SARA

2201

ALONSO MATELLAN

MONTSERRAT

2830

ALONSO PARDO

MARIA BELEN

2976

ALONSO SUAREZ

LAURA

2727

ALVAREZ ALVAREZ

EDUARDO LUIS

2624

ALVAREZ ANDRES

SANDRA

2586

ALVAREZ BELEÑO

MONTSERRAT

2246

MAPFRE CAJA SALUD, Jefa de Dpto. Actuarial, Pº de Recoletos, 29, 28004 Madrid, ℡ 91-5813466, 91-5812471, montalv@mapfre.com

ALVAREZ CARRERA

VICTOR

1215

OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director de la División Actuarial y Estudios, C/ de la Princesa, 23, 28008 Madrid, ℡ 91-5380343, 91-5380229, valvarez@ocaso.es

TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002 Madrid, ℡ 91-5903038, 91-5633115, maite.alonso@towersperrin.com

242

KPMG, Consultor, Castellana, 95, Madrid

MARSH, MEDIACION DE SEGUROS Y CONSULTORIA DE RIESGOS, Coordinadora de Producción, Pº de la Castellana, 216, Madrid, laura.alonsosuarez@marsh.com

ALVAREZ FERNANDEZ

LUIS

ALVAREZ FERNANDEZ

JUAN JOSE

1163

106

ALVAREZ GONZALEZ

NURIA

3388

ALVAREZ JORRIN

DAVID

2401

ALVAREZ JUDAS

DAVID

2891

ALVAREZ PEREZ DE ZABALZA

ALFONSO

2860

COFACE IBERICA, Director Financiero, C/ Aravaca, 22, 28040 Madrid, ℡ 91-7028835, 91-3104096, alfonso_alvarez@coface.com

ALVAREZ RAMIREZ

CARLOS M.

1152

AEGON, Director Técnico, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002 Madrid, ℡ 91-5636222, 91-5632874, alvarez.carlos@aegon.es

170

MAPFRE SEGUROS DE EMPRESAS, Auditor Interno, Carretera de Pozuelo, 52, 28222 Majadahonda ℡ 91-5818511, 915815146, dalvar@mapfre.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

ALVAREZ RODRIGUEZ

M. ANGEL

1017

ALVAREZ RODRIGUEZ

Mª MERCEDES

3260

ALVAREZ SANZ

ANGEL

AMO GRANADOS

DATOS PROFESIONALES ASEMAS, Mutua de Seguros y Reaseguros a Prima Fija, Responsable del Área Actuarial, Marqués de Urquijo, 28, 3ª Planta, 28008, Madrid, ℡ 91-7581145, 91-5596125, mercedes.alvarez@asemas.es

772

A&A CONSULTING S.L., C/ Agata, 6 28224 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-7159062, aalvarez@aa-consulting.net

GUILLERMO

1373

HNA, Director Técnico, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 913834704, 91-3870701, guillermo.amo@hna.es

AMOR LOPEZ

ELADIO

1908

℡ 629756064, eladioamor@yahoo.es

ANDRADES LOPEZ

FERNANDO

3301

TOWERS WATSON, Consultor, Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002, Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, fernando.andrades@towerswatson.com

ANDRES CUESTA

JOSE LUIS

982

ATLANTIS ASESORES, C/ Zurbarán, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 619737611, 91-3835725, jlacb@telefonica.net

ANDRES GARCIA

JORGE

2972

MERCER, S.L., Consultor Senior de Previsión Social, Pº de la Castellana, 216, Planta 19, 28046 Madrid, ℡ 91-5142654, 913449133, Jorge.andres.garcia@gmail.com

ANDRES GARCIA

MONTSERRAT

3096

AEGON, Controller, C/ Príncipe de Vergara, 156, Madrid, ℡ 656905677, andres.montserrat@aegon.es

ANDREU ARAEZ

ANTONIO R.

3063

ASSSA / SEGUROS SALUD, Administrativo, C/ San José, 50, 1º, 03140 Guardamar del Segura, ℡ 696676041, anto.andreu@gmail.com

ANGEL GALLEGOS

MACARENA

2147

ANGOSO ZAMANILLO

PATRICIA

1222

CIGNA, Directora Técnica, Pº Club Deportivo, 1, Edif. 14, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 91-4184631, patricia.angosozamanillo@cigna.com

ANGUITA ESPINOSA

ANA CRISTINA

2531

LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid, ℡ 91-3017900, anacristina.anguita@libertyseguros.es

ANIDO CRESPO

MARINA

3118

Consultor Freelance, ℡ 620431914, marina.anido@actuarios.org

ANOS CHARLEN

IVAN

2355

PELAYO MONDIALE, Director Técnico Financiero, Santa Engracia, 67-69, Madrid

ANTON MADROÑAL

JORGE

2932

FIDELIDADE-MUNDIAL, Director Técnico Vida y Accidentes, Juan Ignacio Luca de Tena, 1, 28027, Madrid, ℡ 91-5637788, 915649488, jorge.anton.madronal@caixaseguros.pt

ANTON PAYAN

MARIANO

2229

APARICIO HURLOT

JAVIER

APARICIO MARTIN

FCO. JAVIER

3090

AQUISO SPENCER

MIGUEL

2044

ARAGON LOPEZ

RUBEN

1954

ARAGON SANCHEZ

MARIA TERESA

3210

ARANA LOPEZ-ABAD

CARMEN

1057

ARANA RECALDE

SILVESTRE

ARANDA RODRIGUEZ

NURIA

2852

ARCHAGA SIERRA

TERESA

1587

ALLIANZ, COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046, Madrid, ℡ 91-5960548, mariateresa.archaga@allianz.es

ARCONADA MOLERO

MARIA BEGOÑA

2376

ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡: 91-5960647, begona.arconada@allianz.es

ARECHAGA LOPEZ

SANTIAGO

2441

789

ACTUARIS IBERICA / CONSULTORIA ACTUARIAL, Consejero Delegado, Javier.aparicio@actuaris.com MARCH VIDA, Director General, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002 Palma de Mallorca, ℡ 971-779284, 971-779293, maquiso@bancamarch.es ℡ 652416893, asmteresa@hotmail.com

135

171

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ARENAS CASTEL

DANIEL

2342

HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, daniel.arenas@hewitt.com

ARENCIBIA URIEN

ESTER

1577 AON HEWITT, C/ Rosario Pino, 14-16, Torre Rioja, 28020 Madrid, ℡ 91-3405567, 91-3405883, earencur@aon.es

ARES MÉNDEZ

CRISTINA

2575

AREVALO NOYA

JOSE ANTONIO

3054

VERTI SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Análisis Control de Gestión y Económico, C/ Carranque, 12, 1º C, 28025, Madrid, ℡ 667686037, arevaja@verti.com

ARGUELLO ARGUELLO

EVERILDA

225

ARIAS BERGADA

FELIX

352

ARIAS CATALA

LETICIA

3375

ARIAS GONZALEZ

Mª ARANTZAZU

1755

ARIAS MARTINEZ

ARACELI

2630

ARIAS RODRIGUEZ

BEATRIZ

3389

ARIZA RODRIGUEZ

FERNANDO J.

2532

ARJONA LUNA

JOSE ANTONIO

2609

C/ Bolsa, 6, 5º 1, 29015, Málaga, ℡ 615970637, jarjona@uma.es

ARJONA MORENO

ALBERTO

3188

TOWERS WATSON, Associate, C/ Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, alberto.arjona@towerswatson.com

ARIAS ACTUARIOS, S.L. Socio, C/ Mare De Deu del Pilar, 84-C, 08290 Cerdanyola del Valles, ℡ 93-5946204, 93-5947176, arias@actuarios.net

AMIC/SEGUROS, Jefe Dpto. Actuarial, ℡ 91-4231139 , fernando.ariza@amic.es

ARMENGOD LOPEZ DE ROA

JOSE

ARNAEZ FERNANDEZ

ALEJANDRO

1786

411

ARNAU GOMEZ

MONTSERRAT

1810

ARRANZ RAMILA

BRUNO

2810

ARRIBAS LUCAS

EMILIANO

1426

ARRIBAS PEREZ

MANUEL

ARRONIZ MARTINEZ

ENRIQUE

1585

DKV SEGUROS, S.A., Dtor. Dpto. Actuarial, Avda. César Augusto, 33, 50004 Zaragoza, ℡ 976-289221, 976-289130, enrique.arroniz@dkvseguros.es

ARROYO MARTIN

LETICIA

3049

ASEFA, S.A., SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento Actuarial, Avda. Manoteras, 32, 28050, Madrid, ℡ 91-7886722, 91-7812209, leticiaarroyomartin@hotmail.com

ARROYO MATA

M. DEL CARMEN

3105

A.M., GESTION DE PATRIMONIO, Directora Financiera Adjunta, C/ La Masó, 14, 1º D 3, 28034 Madrid, ℡ 606807563, 913772949, maria.arroyo@arjusa.com

ARROYO ORTEGA

JOSE IGNACIO

2434

MARCH VIA SEGUROS, Director Actuarial, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002, Palma de Mallorca, ℡ 971-779308, 971779293, iarroyo@bancamarch.es

ARROYO RODRIGUEZ

Mª ELENA

1422

ARTIS ORTUÑO

MANUEL

ASENSIO FUENTELSAZ

SONIA

2587

ASIAIN ROSO

JOSE IGNACIO

2305

ATIENZA MORENO

ALBERTO

812

AVENTIN ARROYO

JOSE ANTONIO

818

LIBERTY SEGUROS, CIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Dpto. Actuarial No Vida, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid, ℡ 916088092, bruno.a@libertyseguros.es

650

585

172

C/ Llança, 47, 08015, Barcelona, ℡ 93-4021820, manuel.artis@actuarios.org

93-4021820,

SWISS RE EUROPE, S.A., SUCURSAL EN ESPAÑA / REASEGURO, Chief Actuary España y Portugal, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046, Madrid, ℡ 91-5980281, joseignacio_asiain@swissre.com MAPFRE SEGUROS DE EMPRESAS, S.A., Director General, Carretera Pozuelo, 52, 28222 Majadahonda Madrid, ℡ 91-

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 5811083,

91-5818790, javenti@mapfre.com

AVENTIN BERNASES

IRENE

3250

AYARZA BAO

MARTA ISABEL

1292

AYLAGAS POZA

ALVARO

3124

AYORA ALEIXANDRE

JUAN

3091

AYUSO GUTIERREZ

Mª MERCEDES

1969

UNIVERSIDAD DE BARCELONA, Catedrática de Universidad, Avda. Diagonal, 690, 08034, Barcelona, ℡ 93-4021409, 934021821, mayuso@ub.edu

AYUSO TORAL

JESUS

1566

MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Crta. Pozuelo a Majadahonda, 50, 28220 Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5815162, jayuso@mapfre.com

AZPEITIA RODRIGUEZ

FERNANDO

2841

AFI CONSULTORIA, C/ Españoleto, 19, 28010 Madrid

BAENA JORGE

JOSE LUIS

3355

PRICEWATERHOUSECOOPERS, Consultor, Almagro, 40, 28010, Madrid, ℡ 620929759, 91-5685838, alvaro.aylagas.poza@es.pwc.com

BAGUER MOR

FCO. JAVIER

BAJOS ROMERO

MIGUEL ANGEL

3284

BALADO GRANDE

GEMA

2186

VIDACAIXA, S.A. / SEGUROS VIDA, Responsable Consultoría Actuarial, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914326846, 93-2488556, gbalado@caifor.es

BALDO SUAREZ

ALFREDO JOSE

2012

C/ Dr. Esquerdo, 98 - 9º B, 28007, Madrid, ℡ 91-5730839, alfredo.baldo@actuarios.org

BALLESTERO ARRIBAS

LUIS

BALLESTEROS ALMENDRO

FERNANDO

3245

RGA INTERNATIONAL REINSURANCE COMPANY LIMITED, Actuario de Pricing, Pº de Recoletos, 33 pl. 1 28004 Madrid ℡ +3491-6404340, +3491-6404341, fballesteros@rgare.com

BALLESTEROS GUISADO

SERGIO

2728

AXA SEGUROS REASEGUROS, S.A., Auditor Interno, Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5385595, sergio.ballesteros@axa.es

BALLESTEROS PARRA

Mª DEL PILAR

1387

BAÑEGIL ESPINOSA

Mª ISABEL

BARANDA GUTIERREZ

ROMAN

BARBE TALAVERA

PEDRO A.

BARBER CARCAMO

FCO. JAVIER

BARCENA ARECHAGA

769

802

898

GESINCA CONSULTORA / CONSULTORÍA, Directora Consultoría, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146071, ibanegil@caser.es

756 3089

SEGUROS SOLISS/ SEGUROS, Actuario, C/ Santa Fe, 16 4º, 45001 Toledo, ℡ 636812954, pedro.barbe@actuarios.org

516

HELVETIA COMPAÑIA SUIZA DE SEGUROS Y REASEGUROS, C/ Navarro Villoslada, 1, Bis, 31003 Pamplona, ℡ 94-8312948, 94-8218204, javier.barber@helvetia.es

IVAN

3172

NOVASTER, Consultor, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001, Madrid, ℡ 902131200, 91-5755302, ivanb35@hotmail.com

BARDESI ORUE-ECHEVARRIA

CARMEN

1300

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socia-Consultora, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

BARQUERO FLORIDO

MARIA V.

2917

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS, Actuario, C/ Bolsa, 4, 4ª Planta, 29015 Málaga, ℡ 95-2209046, 95-2609907, mv.barquero@aviva.es

BARRADO HERNANDEZ

MARIA CARMEN

3012

℡ 666619354, barrado.c@gmail.com

BARRANCO MARTINEZ

FRANCISCO

BARRENETXEA CALDERON

CARLOS

1598

BARRIGA LUCAS

VICTOR JOSE

2705

BARRIGON DOMINGUEZ

SERGIO

2564

103

173

RGA RE INTERNACIONAL, Gerente Actuarial Senior, Pº de Recoletos, 33, Planta , 28004, Madrid, ℡ +3491-6404340, +34916404341, vbarriga@rgare.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

BARRIOS LOPEZ

ANTONIO

2933

BARROS MOYA

ANTONIO

971

BARROSO BARROSO

ELADIO

1325

BAS GALVEZ

ALVARO B.

3106

BAUTISTA GONZALEZ

ANA MARIA

3056

BAYOD CRESPO

FERNANDO

2687

BEATO RAMOS

Mª ISABEL

1128

BEJAR ABAJAS

JUAN CRUZ

1244

BEJAR MEDINA

BEATRIZ

3302

BEJERANO MORALO

JAVIER

3149

BELLO RIEJOS

FRANCISCO

BELTRAN CAMPOS

MIGUEL ANGEL

DATOS PROFESIONALES PREBAL, MUTUALIDAD DE PREVISION SOCIAL, Director Comercial y Marketing, Casanova, 211, 08021, Barcelona, ℡ 932091158, 93-2090187, abarros@prebal.es AEGON SALUD, S.A., Actuario Técnico, Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-2037034, barroso.eladio@aegon.es LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Técnico en Provisiones Técnicas y Reaseguro, anamaria.bautista@lineadirecta.es

APLICALIA GROUP, Presidente Socio-Director, C/ Costa Brava, 13, 2º B, 28034 Madrid, ℡ 902345200, 902345201, juan.bejar@aplicalia.eu ALLIANZ SEGUROS, Actuario Automóviles y Particulares, Tarragona, 109, 08014, Barcelona, ℡ 93-2286731, javier.bejerano@allianz.es

260 1738 616

BENEDICTO MARTI

ANTONIO

BENITEZ ESTANISLAO

SALVADOR

1227

BENITO ALCALA

MERCEDES

1846

BENITO DE LA VIBORA

Mª MARTA

2178

BENITO GOMEZ

JUAN LUIS

2811

BENITO SANZ

BEGOÑA

BERBEL FERNANDEZ

AMALIO

2464

BERDEAL BRAVO

Mª DE LA PEÑA

1809

BERLANGA AGUADO

JOSE DAVID

2356

BERLANGA RUI DIAZ

MARIA DEL MAR

3004

BERMEJO RODRIGUEZ

ENRIQUE

3345

BERNAL ZUÑIGA

JOSE LUIS

1644

BERNALDO DE QUIROS BOTIA

RAUL

1646

BERRIO MARTIRENA

MIGUEL JOSE

BIOSCA LLIN

PILAR

2740

BLANCO CABRERA

YOLANDA

3014

BLANCO JARA

YOLANDA

2156

BLANCO LOPEZ-BREA

LUIS ARMANDO

2378

BLANCO RODRIGO

VALENTIN

1955

BLANCO RODRIGUEZ

VALENTIN

1955

BLANCO VALBUENA

TERESA

3036

HELVETIA SEGUROS, S.A., Actuario (Dtor. Dpto. Actuarial), Pº Cristobal Colón, 26, 41001 Sevilla, ℡ 95-4594908, 95-4593300, salvador.benitez@helvetia.es

MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5812301, jlbenit@mapfre.com

881

BENEDICTO Y ASOCIADOS, ASESORES, S.L., Directora de Planificación y Desarrollo de Proyectos, C/ Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 913080019, 91-3081082, pberdeal@benedictoyasociados.biz

LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Directivo, Isaac Newton, 7, 28760 Tres Cantos, Madrid, ℡ +34619409225, +3491-8072040, ldajbz@lineadirecta.es / jose.bernal@rbs.co.uk

336

174

TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903076, teresa.blanco@towersperrin.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

BLANCO VICENTE

MARIA JESUS

2475

LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, 91-3017967, maria.blanco@libertyseguros.es

BLASCO GARCIA

ALVARO

2919

GENERALI/GESTION DE RIESGOS Y ACTUARIAL, Actuario, C/ Orense, 2, 28020 Madrid, ℡ 91-3301480, a.blasco@generali.es

BLASCO PANIEGO

IGNACIO

3265

ANALISTAS FINANCIEROS INTERNACIONALES, Consultor, C/ Españoleto, 19, 28010, Madrid, iblascopaniego@gmail.com

BLAZQUEZ MURILLO

ANTONIO P.

2725

BOADA BRAVO

JOSE

BOADO PENAS

MARIA DEL CARMEN

3313

BOCERO CANENCIA

Mª CARMEN

1567

BODAS SAEZ

SARA BEATIRZ

3251

BOILS TOMAS

LUIS VICENTE

2944

BOJ ALBARRACIN

IGNACIO

2225

BORREGO BALLESTEROS

JULIAN

458

BORREGUERO FIGOLS

RAFAEL

884

BORREGUERO IZQUIERDO

SANDRA

2509

ING NATIONALE-NEDERLANDEN, Consultora Employee Benefits, 28108, Alcobendas, Madrid, ℡ 616368278, sborreguero@ingnn.es

BRAVO DEL RIO

MIGUEL PABLO

1303

MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020, Madrid, ℡ 91-5818652, mpbravo@mapfre.com

BRONCANO DUQUE

JAVIER

2057

BUENADICHA CARBO

ALFREDO

2893

718 KEELE UNIVERSITY, Lecturer in Economics / Actuarial Science, Keele, Staffordshire ( UK), m.d.boado-penas@econ.keele.ac.uk

APARMUR, S.L., Director General, C/ Jorge Manrique, 4 30107 Murcia, ℡ 667236150, rafael.borreguero@actuarios.org

893

BUENO PEREZ

ROSA Mª

BUEY VILLAHOZ

VALENTIN LUIS

BURGOS CASAS

CARMEN

1861

CABALLERO ESTEVEZ

MARIANO

2600

CABALLERO GALLEGO

EURICO

3346

CABANAS LOPEZ DE VERGARA

ANTONIO

2861

CABANILLAS GONZALEZ

CARLOS

3069

CABASES CILVETI

PEDRO

CABELLO LOPEZ

ARANTZAZU

2028

CABERO ALAMO

ANTONIO J.

1162

CABREJAS VIÑAS

NATALIA

3115

CABRERA SANTAMARIA

ANTONIO

CACERES GALINDO

FERMIN FCO.

CALDERON CORTES

EULALIA

2476

HANSARD EUROPE LIMITED, Actuaria, Carysfort House, Carysfort Avenue, Blackrock Co. , Dublin, Irlanda

CALERO HERNANDEZ

DAVID

1844

UNION DEL DUERO, CIA SEGUROS DE VIDA, S.A., Director General, Pº de la Castellana, 167, 28046 Madrid, ℡ 91-5798530,

CALLEJA DE ABIA

CAROLINA

3057

NORDKAPP INVERSIONES, S.V., S.L., Directora Financiera, Plaza Marqués de Salamanca, 3-4, 5ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 914323910, carolinacalleja@nordkapp.es

CALVILLO PRIEGO

FRANCISCO M.

2554

Actuario Vida, francisco.calvillo@actuarios.org

CALVO BENITEZ

LUIS Mª

2132

SCOR GLOBAL LIFE SE IBERICA SUCURSAL, Responsable Actuarial, Pº de la Castellana, 185, Planta 9, 28046, Madrid, ℡ 91-

512

ERNEST & YOUNG / AUDITORIA (SECTOR ASEGURADOR), Manager, Plaza Ruiz Picasso, 1, 28020, Madrid, ℡ 91-5727445, 91-5727275, mariano.caballeroestevez@es.ey.com

174

620 199

david.calero@unionduero.es

175

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 4490819, lcalvo@scor.com

523

EUROFINANZAS GESTIÓN, S.L., GESTIÓN DE PATRIMONIOS, Socio Director, Acera de Recoletos, 11 – 2º 47004, Valladolid josemaria@eurofinanzas.es ℡ 609427111 ALLIANZ LEBENSVERSICHERUNGS AG, Actuarial Manager IAE DAV in Allianz Global Life, Reinsburgstr. 19, D-70178, Stuttgart, Alemania, ℡ +49-711-6634015, elisabeth.calvo@allianz.de

CALVO DE COCA

JOSE Mª

CALVO TIEMBLO

ELISABETH

2631

CAMACHO FABREGAS

VALENTIN A.

2990

CAMACHO FERRER

PABLO

2610

p_camachof@yahoo.es

CAMACHO GARCIA-OCHOA

ANGEL LUIS

1750

GROUPAMA SEGUROS, Director División Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid

CAMPANER JAUME

PEDRO

1590

CAMPOS GIL

JOSE

CAMPOS IGLESIAS

OLEGARIO

120

CAMPOS LOPEZ

Mª NIEVES

2133

GESNORTE S.G.I.I.C., Directora de Inversiones, Felipe IV, 3, 1º, 28014 Madrid, ℡ 91-5319608, 91-5210536, nieves.campos@gesnorte.com

CAMPOS MARTIN

JOSE CARLOS

2741

GES SEGUROS Y REASEGUROS, Subdirector Ramos Patrimoniales y Reaseguro, Plaza de las Cortes, 2, 28014 Madrid, ℡ 91-3308607, jcarlos_campos@ges.es

CAMPOS MENDIA

DAMASO

2298

CAMPOS MURILLO

LOURDES

2689

CANALES CARLSSON

HELENA

2645

CANSECO MORON

ROCIO

2945

CANTERO GARCIA

BEATRIZ

2403

CANTERO GARCIA

CARLOS

2706

CAÑIZARES CLAVIJO

MANUEL

CAÑON CRESPO

MARIA

3150

CARABIAS HUETE

OSCAR

2315

CARASA CASO

CARLOS

CARBALLO CAYCEDO

LAURA

3133

TOWERS WATSON, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 915903009, 91-5633115, laura.carballo@towerswatson.com

CARCEDO CUETO

JOSE LUIS

2215

MAPFRE RE, Underwriter Life, Heath & P.A., Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 91-5811050, 91-7097461, jlcarcedo@mapfre.com

CARCEDO PEREZ

SOFIA

2946

ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡ 91-5960716, sofia.carcedo@allianz.es

CARDO FERNANDEZ

Mª INES

1883

ESTRELLA SEGUROS, Jefe Departamento Actuarial, C/ Orense, 2 28020 Madrid, ℡ 91-5905691, 91-3301390, mcardofe@generali.es

CARIDAD BENGOECHEA

ALEJANDRO

3189

CARLOS CANELO

NARCISO M.

CARRASCO DURO

ANTONIO

CIRALSA, S.A.C.E. / AUTOPISTA DE PEAJE, Director Administrativo Financiero, Autopista AP-7, PK 703.000 / Área de peaje Monforte del Cid, 03670, Monforte del Cid, Alicante ℡ 966075970, 96-6075990, v.camacho@ciralsa.com

131

AXA MEDITERRANEAN & LATIN AMERICAN REGION, Actuario – Solvencia II - Dpto. Risk Management No Vida - Dpto. Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1-5º GH, 28050 Madrid, ℡ 91-5388376, 91-5775076, helena.canales@axa.es

192

547

545 3178

176

ECOMT ACTUARIOS Y AUDITORES, S.L., Socio Director, Pº de la Castellana, 141, 28046 Madrid, ℡ 91-7498038, 91-5707199, oc@ecomt.es CARASA, CILVETI, LACORT Y CIA, CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Director, Bergara, 4, 28005, San Sebastián Guipúzcoa, ℡ 94-3429138, 94-3426727

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

CARREÑO LOPEZ

IRENE

3368

CARRERA BORREGUERO

MIRIAM

3221

CARRERA YUBERO

ROCIO

2357

CARRERO MARTIN

YOLANDA

3338

CARRETERO LAZARO

MARTIN

1851

DATOS PROFESIONALES

CARRILLO DOMINGUEZ

MANUEL

CARRILLO MENDEZ

BRIGITTE

1046

MONDIAL ASSISTANCE EUROPE, Responsable Actuarial y Producción, Avda Manoteras, 46, Bis, 28050, Madrid, ℡ 913255395, 91-3255441, Brigitte.carrillo@mondial-assistance.es

CARRO LUCAS

IGNACIO

3134

BBVA-Gestora Planes y Fondos de Pensiones, Analyst, C/ Vía de los Pobaldos, s/n, Planta 3, 28033 Madrid, ℡ 91-3747359, Ignacio.carro@grupobbva.com

CASADO SALVO

ALVARO

2231

MUNCHENER RUCK / MUNICH RE, Suscriptor Vida, Pº de la Castellana, 18, 7ª Planta, 28046 Madrid, acasadosalvo@munichre.com

CASAIS PADILLA

DANIEL

3234

SCOR GLOBAL LIFE, Pricing Actuary, dcasais@scor.com

CASAJUS CABAÑUZ

JOSE ANTONIO

1485

CASER SEGUROS, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 915955061, jcasajus@caser.es

210

CASANOVAS ARBO

JUAN

CASAREJOS FERNANDEZ

JUAN PABLO

3224

854 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Majadahonda-Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5818515, 91-5818790, jpcasar@mapfre.com

CASARES GARCIA DE DIOS

MARTA

2097

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS, AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971864, marta.casares@aviva.es

CASARES SAN JOSE-MARTI

Mª ISABEL

1668

CASARES ASESORIA ACTUARIAL Y DE RIESGOS, Administradora Única, C/ Orense, 32, 7º C, 28020, Madrid, ℡ 606860036, 91-7702120, mcasares@mcasares.es

CASARRUBIOS GONZALEZ

BEATRIZ

3303

CASAS LORENZO

ROBERTO

2991

CETELEM GESTION A.I.E., Técnico de Planificación Financiera, Retama, 3, 28045 Madrid, ℡ 91-3379161, 91-3379196, roberto.casas@cetelem.es

CASQUERO DIAZ

JUAN F.

2947

CAJA BADAJOZ VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Avda. Juan Carlos I, 17 entreplanta, 06001 Badajoz, ℡ 924-201298, jfcasquero@intranet_cajabadajoz.es

CASTAÑO COLINA

MARIA JOSE

3376

CASTAÑON TORRES

FERNANDO

CASTELLANOS JIMENEZ

ANA

2261

CASTELLO FORTET

JORGE

1669

CASTILLO DE GRACIA

Mª CRISTINA

2853

CASTILLO TRESGALLO

VIRGINIA

3350

CASTRO JUAN

JOSE MANUEL

2775

ING NATIONALE NEDERLANDEN jmcastrojuan@yahoo.es

CATALAN BARRENA

JESUS

2172

TOWERS WATSON, Director, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903066, 91-5633115, jesus.catalan@towerswatson.com

CATALAN GONZALEZ

PALOMA

1024

CELA MARTINEZ

JOSE MARIA

2426

CASER, Dirección Comercial Particulares Vida y Pensiones, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 618055880, jmcela@caser.es

CEPRIAN ROJAS

JOSE B.

1967

℡ 650422932, jbceprianrojas@cemad.es

CERDA VIDAL

MARGARIDA

3272

CESTINO CASTILLA

CLARA I.

2601

771

177

MERCER CONSULTING, S.L., Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ana.castellanos@mercer.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CHATRUCH GALACHE

MARIA CARMEN

2580

CHAVARREN IRUJO

MANUEL

1580

CHECA GALLEGO

PILAR

2170

KPMG-PENSIONES, Senior Manager, Edif. Torre Europa, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91-4513086, 91-5550132, pcheca@kpmg.es

CHIARRI TOSCANO

Mª LUISA

1337

IDEAS, S.A., Consultora Senior, Avda. General Perón, 14, Planta 1C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, mlchiarri@ideas-sa.es

CHICO RUIZ

ASUNCION

1312

AVIVA VIDA Y PENSIONES, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, ℡ 91-2971867, 91-2971557, asuncion.chico@aviva.es

CIBREIRO NOGUERA

ALBERTO

3199

LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Análisis de Precios No Vida, C/ Donoso Cortés, 90, 2º D, 28015 Madrid, ℡ 637414583, albcibreiro@hotmail.com

CIFUENTES OCHOA

ANA Mª

2134

AXIS RE, US / REINSURANCE, VP Underwriter, 430 Park Avenue 4th Floor, 10022, New York, ℡ +12127007663, ana.cifuentes@axiscapital.com

CISNEROS GUILLEN

MANUEL

CISNEROS GUTIERREZ DEL OLMO

NURIA

2477

309

CLAVERIE GIRON

Mª DE FATIMA

3135

CAJACANARIAS VIDA Y PENSIONES, Responsable Técnico Actuarial, C/ Callao de Lima, 1, 38003, Santa Cruz de Tenerife, mclaverie@cajacanariasvida.es

CLAVIJO NAVARRO

GABRIELA

3109

Estudiante (CFA), 50735, Colonia, Gabriela.clavijo@gmail.com

CLERIGUE RUIZ

NATALIA C.

2187

CLIMENT REDONDO

ENRIQUE

CLOSA CAÑELLAS

JUAN

685

COGOLLO PEREZ

JUAN CARLOS

783

COJEDOR HERRANZ

IVAN

3140

COLOMA POYATERO

Mª PAZ

2262

COLOMER LORENTE

ANGELA Mª

2878

CONDE GAITAN

PATRICIA

2862

TOWERS WATSON, Suero de Quiñones, 40-42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, paz.coloma@towerswatson.com PWC, Consultora, Pº de la Castellana, 53, 28046 Madrid, ℡ 915684518, 91-5685838, patricia.conde.gaitan@es.pwc.com

CONQUERO GAGO

AURORA

CONQUERO GAGO

PILAR

1151

697

CORDOBA LOZANO

Mª NIEVES

2002

CORET PERIS

JOSE VICENTE

2648

CORREDOR PEÑA

DANIEL

2907

CORREDOR PEÑA

JESUS

2908

CORTIZO RUBIO

JOSE

1323

COSTA PRIEGO

MIGUEL

2633

COSTALES ORTIZ

Mª LUISA

924

COSY

GERARD

2795

SCOR GLOBAL LIFE IBERICA SUCURSAL, pricing actuary, Pº de la Castellana, 135 planta 9, ℡ 91-4490810, gcosy@scor.com

CRECENTE ROMERO

FERNANDO

2948

INSTITUTO DE ANÁLISIS ECONÓMICO Y SOCIAL (IAES) – UNIVERSIDAD DE ALCALÁ, Personal Investigador, Plaza de la Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 91-8855240, 91-8855211, fernando.crecente@uah.es

CRESPO RODRIGO

Mª MERCEDES

1107

178

DELOITTE, Vida y Pensiones, Consultor, General Guisan Quai, 38, 8022 Zurich (Suiza), ℡ 0041444216806, 0041444216600, jocoret@deloitte.ch

C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid, ℡ 609283241, mlcostales@actuarios.org

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CRESPO RODRIGO

ANGEL

1545

KPMG, Socio, Pº de la Castellana, 95 (Edificio Torre Europa), 28046 Madrid, ℡ 91-4563400, 91-5550132, acrespo@kpmg.es

CRUZ AGUADO

JORGE

2708

MAPFRE AMERICA, Subdirector Técnico. Área de Negocio, Carretera Pozuelo, 52, 28222, Madrid, ℡ 91-5818183, 915811610, cruzj@mapfre.com

CRUZ FERNANDEZ

MARGARITA

1102

AGROSEGURO, S.A., C/ Gobelas, 23, 28023 Madrid, ℡ 918373200, 91-8373225, mcruz@agroseguro.es

CUADRADO RIOFRIO

MARIA JESUS

3050

CUADROS COLINO

Mª DOLORES

1428

PONT GRUP CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Directora Técnica, Cuevas Bajas, 4, 3ª Planta (Edificio Picasso), 29004 Málaga, ℡ 902100618, 902100332, gerencia@pontgrup.com

CUBERO PARIENTE

ALMUDENA

2776

VIDACAIXA, S.A., DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046, Madrid, ℡ 91-4326853, acubero@segurcaixaholding.com

CUELLAR HERVAS

Mª CARMEN

1349

CUENCA MUÑOZ

ELENA MARIA

3092

CUERNO DIAZ

RAMON

1226

CUERNO DIAZ

PABLO

1838

CUESTA MORENO

JAVIER

2533

CUESTA PARERA

CARLOS

3391

CUETO SUAREZ

PAZ

3351

DALE RODRIGUEZ

JAVIER

551

DAVILA BRAVO

ENCARNACION

682

DAVILA RUIZ

CARLOS

DE ANDRES ALVAREZ

TOMAS

DE ARTEAGA LARRU

MARIA JESUS

3027

DE ARTECHE VILLA

Mª ALMUDENA

1453

DE CABO GARCIA

MARIA

3292

DE CASTRO RODRIGUEZ

RAFAEL

1607

DE CELIS NAVARRO

JAVIER

2233

DE DIOS PARRA

SONIA

2534

DE DIOS VALAGUE

ESTHER LOURDES

3315

DE EVAN CARDONA

SILVIA

1262

DE GREGORIO LOPEZ

ANA LUCIA

2650

DE GUZMAN JURISTO

GONZALO

2113

DE IPIÑA GARCIA

JUAN

2332

KPMG, Senior Manager, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 607845961, 91-5550132, jdeipina@kpmg.es

DE JUAN GRAU

MARIA JOSE

3037

SAN NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, Actuario, Camí Son Fangos, 100, Edifici Mirall, Torre B, 07007, Palma de Mallorca, ℡ 971-228438, 971-228463,

DE JUAN PUIGCERVER

OLIVIA

2842

MUNICH RE, Underwriter, Pº de la Castellana, 18, 28046, Madrid, ecuenca@munichre.com

SKANDIA VIDA-SEGUROS, Directora General, Ochandiano, 10, 28023 El Plantío, ℡ 91-5243400, 91-5243401, edavila@skandia.es

1083 50

METLIFE ESPAÑA, Director Técnico, Avda. de los Toreros, 3, 28028 Madrid, ℡ 91-7243763, Rafael.deCastro@metlife.es ASSEGURANCES, SA NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, S.A., Directora del Área Técnica de Vida y Pensiones, Camí Son Fangos, 100, 07007 Palma de Mallorca, Baleares, ℡ 97-1228438, sdediosp@assegurances.sanostra.es SEGURCAIXA ADESLAS, Directora de Oferta Salud, C/ Príncipe de Vergara, 110, 28002, Madrid, ℡ 91-5665000, silviaevan@adeslas.es

mdejuang@assegurances.sanostra.es

179

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DE LA CRUZ SANCHEZ

ANA MARIA

3392

DE LA FUENTE CORTES

JAVIER

2380

DE LA FUENTE MERENCIO

IVAN

3070

DATOS PROFESIONALES

OPTIMA SERVICIOS FINANCIEROS, S.L., C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001 Madrid, ℡ 617684867, 91-5780103, i.delafuente@optimasf.com

DE LA LOSA CALZADO

AGUSTIN

DE LA MORENA DIAZ

JORGE

2579

692

DE LA PINTA GARCIA

CARMEN MARIA

2003

DE LA PINTA GARCIA

MARTA

2301

DE LA QUINTANA IRIONDO

ANA SOFIA

2171

DE LA RICA ORTEGA

PILAR

3015

DE LA ROSA GONZALEZ

PEDRO MIGUEL

1874

DE LA ROSA RODRIGUEZ

JOSEP MANUEL

1278

TOWERS WATSON, Director, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903035, manuel.de.la.rosa@towerswatson.com

DE LA SERNA CIRIZA

JAVIER

1977

AON HEWITT, Director Global Benefits, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405565, 91-3405883, jdelaser@aon.es

DE LA LLAVE MONTIEL

MIGUEL ANGEL

3281

DE LA TORRE SAN CRISTOBAL

PEDRO MARIA

1632

DE LARA GUARCH

ALFONSO

2404

DE LEON CABETAS

FCO. JAVIER

1825

DE LUCA PEREZ

DIEGO A.

2977

DE MATTEO

CLAUDIO

3369

DE MIER SIMON

JOSE ANGEL

2405

IBERCAJA PENSION E.G.E.P., S.A., Pº Constitución, 4, 8ª Planta, 50008 Zaragoza, ℡ 976-767588, jose.demier@ibercaja.net

DE MIGUEL ARROYO

ALICIA

3314

BBVA SEGUROS, Técnico Actuarial

DE MIGUEL FERNANDEZ

IRENE

1576

DE MIGUEL SANCHEZ

JOSE IGNACIO

1527

DE PABLOS SANZ

ADOLFO JOSE

2309

DE PADURA BALLESTEROS

Mª DEL ROCIO

1458

DE PALACIO RODRIGUEZ

GONZALO

2510

DE ZARANDIETA RUIZ

ICIAR

1273

DEL AMA REDONDO

CRISTINA

1796

DEL ANGEL BUSTOS

VELMA H.

2796

DEL BARCO MARTINEZ

IGNACIO

1144

DEL CASTILLO GARCIA

FRANCISCO

DEL CORRO CUBERO

JUAN

DEL COSO LAMPREABE

JAVIER

DEL CURA AYUSO

FRANCISCO

1979

DEL HIERRO CARMONA

MANUEL

2136

DEL HOYO MORA

M. ISABEL

BRIGHT INVESTMENTS, Directora, 869 High Road, London, N12 8QA, ana@brightinvestments.co.uk

FEDERACION DE EPSV DE EUSKADI Hurtado de Amezaga, 14 Bajo. Izda, 48008 Bilbao MAPFRE RE COMPAÑIA DE REASEGUROS, SA., Dtor. de Contabilidad General, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 915811871, 9158118558, fjdlc@,mapfre.com

DELOITTE, Socio, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Edif. Torre Picasso, 28020, Madrid, ℡ 91-4432623, rdepadura@deloitte.es

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director General, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, cpps.mad@consultoradepensiones.com

343 2863 624

680

180

BBVA WB&AM, Valoración de Activos, juan.delcorro@grupobbva.com DESPACHO PROFESIONAL, Avda. Carlos III, 11, 3º, 31002, Pamplona, Navarra, ℡ 94-8226306 / 629843926, 94-8226305 delcoso@cin.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

DEL MORAL CASTRO

ISAAC

2634

DEL OLMO CALDERON

ALFONSO A.

2854

BBVA, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid

DEL POZO AJATES

PEDRO

2894

UNESPA, ASESORIA ACTUARIAL Y FINANCIERA, C/ Nuñez de Balboa, 101, 28006, Madrid, ℡ 91-7451530, pedro.delpozo@unespa.es

DEL POZO LOPEZ

LOURDES

2013

WR BERKLEY ESPAÑA, Directora. de Suscripción, Pº Castellana, 149, 6º, 28046 Madrid, ℡ 91-4492646, 91-4492699, ldelpozo@wrberkley.com

DEL POZO SAEZ

BLAS

2797

DEL REAL PEREZ

SARA

1327

DEL RIO MARTIN

JAVIER

1253

DEL SOLAR BERTOLIN

ANA

1877

DEL VALLE ESTEVE

SILVIA Mª

DELGADO FONTENLA

FRANCISCO J.

3119

DELGADO HUERTAS

ENRIQUE D.

2275

DEVESA CARPIO

JOSE ENRIQUE

1740

DEVESA RODRIGUEZ

BENJAMIN

3286

DIAZ ALVAREZ

JOSE FELIX

3200

DIAZ BAEZA

JAVIER

2535

DIAZ BLAZQUEZ

JUAN F.

2326

UNION DEL DUERO CIA DE SEGUROS GENERALES, S.A. / SEGUROS NO VIDA, Director de Contabilidad, C/ Marqués de Villamagna, 6-8, 28001, Madrid, ℡ 91-5139151, juan_francisco.diaz@unionduero.es

DIAZ DE DIEGO

PILAR

3225

pilardiazdediego@hotmail.com

DIAZ GIMENEZ

PEDRO

DIAZ GOMEZ

ADOLFO

2730

DIAZ HEREDIA

GALA

3393

DIAZ IGLESIAS

EDUARDO

3125

DIAZ MARTIN

JAVIER

2949

DIAZ MARTINEZ

ANA ISABEL

2798

425

KPMG, Directora de Pensiones, Pº de la Castellana, 95, 28046 Madrid, ℡ 91-4563528, 91-5550132, adelsolar@kpmg.es

988

TOWERS WATSON, Analyst-Life Practice, Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, benjamín.devesa@towerswatson.com

293

ARVAL SERVICE LEASE. RENTING VEHICULOS, Responsable de Análisis y Desarrollos Informáticos, Avda. del Juncal, 22-24, 28703 San Sebastián de los Reyes, ℡ 91-6598324, 916591746, anaisabel.diaz@arval.es

DIAZ MORANTE

FRANCISCO

DIAZ QUINTANA

AGUSTIN

DIAZ RUANO

ANA ISABEL

3058

DIAZ SANCHEZ

JOSE

3377

DIAZ SANCHEZ-BRAVO

JAVIER

1073

DIAZ-GUERRA VIEJO

JAVIER

2180

DIAZA PEREZ

CARLOS HUGO

3279

DIEZ ALONSO

SAMUEL

3136

GENERALI ESPAÑA, S.A., Actuario Vida, Dpto. Desarrollo y Mercado, C/ Orense, 2, 5ª Planta, 28020, Madrid, ℡ 647641408, samu878@hotmail.com

DIEZ ALONSO

OSCAR

3211

TOWERS WATSON, Consulting Actuary, 71 High Holborn, WC1V 6TP, London, Greater London, United Kingdom ℡ +44 0 2071702392, oscar.diez@towerswatson.com

DIEZ ARIAS

TEODORO

353

282

181

AEGON, Responsable de Desarrollo de Productos, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432863, 91-5632874 diaz-guerra.javier@aegon.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DIEZ BREZMES

ANA MARIA

1483

DIEZ DE ULZURRUN SANTOS

PALOMA

1905

DIEZ HERNANDO

CARLOS

3378

DIEZ PASO

TOMAS

DIZ NIETO

BARBARA D.

DOLDAN TIE

FELIX RAMON

485

DOMINGO GARCIA

MARIA ELENA

2742

DOMINGUEZ ALONSO

MANUEL

DOMINGUEZ BASQUERO

JUAN JESUS

1427

DOMINGUEZ CASARES

VERONICA

3201

DOMINGUEZ CASTELA

FRANCISCO

2757

DOMINGUEZ HERNANDEZ

CARLOS

2558

DOMINGUEZ MARTIN

RAUL

1931

DONAIRE PASCUAL

SUSANA

DUARTE CARTA

DATOS PROFESIONALES SKANDIA, Olief Financial Officer, Vía de las Dos Castillas, 33, Edif. E, 28224, Pozuelo, Madrid, ℡ 91-8298800, adiez@skandia.es

743 3028

751

PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Castellana, 43, 28046 Madrid, ℡ 91-5684683, carlos.dominguez@actuarios.org

931

IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, sdonaire@ideas-sa.es

ENRIQUE

3071

AON CONSULTING, Dpto. Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405577, 91-3405883, eduartec@aon.es

DURAN ACEITERO

NIEVES

1634

ECHAZARRA OGUETA

CRISTINA

2498

ECHEANDIA ESCARTIN

ALFONSO

2651

BBVA, Pensiones y Seguros; Finanzas, operaciones y RRHH, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid, ℡ 678625595, alfonso.echeandia@grupobbva.com

ECHEVERRIA IGUARAN

Mª TERESA

463

ECHEVERRIA MARTINEZ

ALMUDENA

2847

ECHEVERRIA MARTINEZ

GUIOMAR

2978

ECHEVERRIA MUÑOZ

JUAN ANTONIO

ECIJA SERRANO

PEDRO

2421

AVIVA EUROPE, Dublin, ALM Analyst

EGUIA FERRER

M.LIBERATA

2188

TOWERS WATSON, Consultora, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903029, marili_ef@hotmail.com

EL MOUJAHID CHAKKOR

SAIDA

3064

ELVIRA DIAZ

LORENZO

1280

ENTRENA PALOMERO

LAURA

1061

ESCRIBANO RUBIO

JOSE Mª

1412

ESCUDER BUENO

JUAN

2909

ESCUDER VALLES

ROBERTO

1214

ESCUDERO GONZALEZ

ANA MARIA

2004

ESPERT AÑO

SERGIO

2213

ESPETON GARROBO

Mª DOLORES

3082

ALLIANZ, Coampañía de Seguros y Reaseguros, C/ General Perón, 27, 28020 Madrid, ℡ 91-5960085, almudena.echeverria@allianz.es

462

182

INSUROPE CONSULTORES, S.L., Socio, Avda. Pío XII, 57 bajo, 28016, Madrid, ℡ 91-3431131, 91-3593537, echeverriainsurope@actuarios.org

GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, Director División Control y Desarrollo de Siniestros, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7447539, jmaria.escribano@groupama.es

TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903075, ℡ 609911860, 91-5903081, ana.escudero@towersperrin.com Actuario, Madrid, mdolores.espeton@actuarios.org

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

ESPETON JIMENEZ

JULIAN

2017

ESPINOSA DE LOS MONTEROS BANEGAS

ALVARO

2653

ESPINOSA DE LOS MONTEROS JAUDENES

JAIME

1374

ESQUINAS MURILLO

LEYRE

2709

ESTEBAN CORTES

PATRICIA

3151

ESTEBAN LOPEZ

ENCARNACION

2200

ESTEBAN NUÑEZ

PABLO

2381

ESTEBAN SAGARO

EDUARDO

2370

ESTEO LOZANO

RAFAEL

3352

DATOS PROFESIONALES MINISTERIO DE INTERIOR, Jefe de Servicio Personal Funcionario, Amador de los Rios, 7, 28010, Madrid, ℡91-5371268, 91-5371374, jespeton@mir.es

LIBERTY SEGUROS, S.A., Departamento Actuarial Vida, Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 652732024, leire.esquinas@libertyseguros.es AON HEWITT, Actuario, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405589, eesteban@gyc.es

451

ESTEVEZ BARTOLOME

RAFAEL

ESTRADA DE LA VIUDA

SONIA

2777

ESTRADA TORRES

ELENA

2407

PREVENTIVA SEGUROS, Actuario, C/ Arminza, 2, 28023 Madrid, ℡ 91-7102510, 91-7102656, eestrada@preventiva.com

EXPOSITO LORENZO

RAUL

2864

GRUPO CAJA MADRID, Director de Contabilidad Madrid LeasingFinanmadrid, Doctor Esquerdo, 138, 3ª Planta, 28007 Madrid, ℡ 91-7796938

891

EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA

SERGIO

EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA

GUILLERMO

1344

FAJARDO LLANES

MAGDALENA

3246

FAUS PEREZ

RICARDO

2566

AVIVA, Actuario, Plza. Legión Española, 8, 46010 Valencia, ℡ 963895861, ricardo.faus@aseval.com

FEANS GARCIA

ENRIQUE

449

FEANS ASESORES, Titular, C/ República el Salvador, 23, 1º D, 15701, Santiago de Compostela, A Coruña, ℡ 98-1593023, 981593378, enrique@feans.com

FEMENIA ZURITA

FRANCISCO

3179

FENOLLAR CAÑAMERO

JOSE MARIA

1071

FERNANDEZ ALONSO

ALBERTO

3059

FERNANDEZ BENITEZ

NORBERTO

2999

FERNANDEZ BOIXADOS

ANGEL JAVIER

3387

FERNANDEZ CABEZAS

GRACIELA

2921

FERNANDEZ COGEDOR

JOSE IGNACIO

3316

FERNANDEZ DE CASTRO PIQUERAS

FERNANDO

3353

FERNANDEZ DE LARREA ARENAZA

LUIS

1756

FERNANDEZ DE PAZ

TEOFILO

108

FERNANDEZ DE TRAVANCO MUÑOZ

LUIS

191

FERNANDEZ DIAZ

Mª LOURDES

845

FERNANDEZ DIAZ

SUSANA

1802

FERNANDEZ DOMINGUEZ

CELINA

2343

FERNANDEZ ESCRIBANO

FIDEL

2611

183

COLEMONT, S.A. / BROKER REASEGUROS, Socio-Director, C/ Zurbarán, 9, B-Izq., 28010 Madrid, ℡ 91-4008962, 91-4095483, francisco.femenia@colemont.es OCASO SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Del Campo, 40, Ptal. 1, 2º B, 28229 Villanueva del Pardillo, alberto_actuario@yahoo.com

nacho3279@hotmail.com

BBVA, VP en Inversión por cuenta propia, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid, ℡ 91-3744502, fidel.fernandez@grupobbva.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

FERNANDEZ FERNANDEZ

DANIEL

2896

FERNANDEZ FERNANDEZ

ALEJANDRA

3240

FERNANDEZ GARCIA

ADOLFO

FERNANDEZ GARCIA

MIRIAM

2511

FERNANDEZ GOMEZ

SONIA

1623

FERNANDEZ GOMEZ

SANDRA

2537

FERNANDEZ GONZALEZ

FRANCISCO

FERNANDEZ GRAÑEDA

PABLO

FERNANDEZ MARTINEZ

Mª DOLORES

FERNANDEZ MORILLO

BLANCA

DATOS PROFESIONALES Aviva Life & Pensions Ireland, Actuario FSAI, One Park Place, Hatch Street, Dublin 2 alejandra.fernandezfernandez@aviva.ie

774

214

EJERCICIO LIBRE PROFESIONAL, Plaza Reyes Magos, 12, 28007 Madrid, ℡ 91-4335361, pacofg37@gmail.com

2897 935 3173

FERNANDEZ MUÑOZ

Mª LUISA

811

FERNANDEZ PALACIOS

JUAN

722

FERNANDEZ PESTAÑA

SUSANA

FERNANDEZ PIRLA

JOSE

FERNANDEZ PITA

CARLOS

FERNANDEZ PLASENCIA

MARTIN JAVIER

1417

FERNANDEZ QUILEZ

JULIO IGNACIO

3110

FERNANDEZ RAMIREZ

CARLOS

FERNANDEZ REY

PATRICIA

2711

AXA, Actuario Experto, Esudios de Siniestralidad, Camino Fuente de la Mora, Madrid, ℡ 639009026, pfernandezrey@yahoo.es

FERNANDEZ RODRIGUEZ

VERONICA

3152

LIBERTY SEGUROS, C/ obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 913017900, veronica.fernandezrodriguez@libertyseguros.es

FERNANDEZ RODRIGUEZ

VICTOR

3325

FERNANDEZ ROMO

JUAN MANUEL

3356

FERNANDEZ RUEDA

DAVID

2422

FERNANDEZ RUIZ

ANTONIO J.

FERNANDEZ RUIZ

JOSE LUIS

1928 5 666 IDEAS, S.A., Socio Director, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, jmfernandez@ideas-sa.es

848

SANTANDER INSURANCE HOLDING, Director de Productos, CGS, Avda. de Cantabria s/n, 28660 Boadilla del Monte (Madrid), ℡ +34615906942, davifernandez@gruposantander.com

385 1767

LIBERTY SEGUROS, Manager Reaseguro Vida y No Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, jose.fernandez@libertyseguros.es

FERNANDEZ SANCHEZ

JOSE LUIS

FERNANDEZ SOTO

MARCOS

3347

271

FERNANDEZ TAPIA

JORGE

3317

FERNANDEZ TEJADA

CESAR

1455

SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, S.A., Gerente Técnico, Distrito C Edificio Oeste 1 Planta 9ª Ronda de la Comunicación s/n 28050 Madrid, ℡ 91-4831617, cesar.fernandez@antar.es

FERNANDEZ TEJERINA

JUAN CARLOS

2312

CAJA ESPAÑA VIDA, SA. Responsable Actuarial, C/ Los Zarzales, 20-2ºG, 24007 Villaobispo de las Pegueras, ℡ 637465570, 987875340, jcftejerina@ono.com

FERNANDEZ VERA

ANTONIO

FERNANDEZ VERDESOTO

ANA ISABEL

2236

FERRER PRETEL

JUAN IGNACIO

3097

758

184

GRUPO DE ASESORES PREVIGALIA / CONSULTORIA, Socio, Albadalejo, 2, 28037, Madrid, ℡ 670026274, antoniofvera@gaprevigalia.com UNICORP VIDA, Director de Marketing Operativo, C/ Bolsa, 4, 3º Planta, 29015 Málaga, ℡ 952-209010, 952-609878,

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES ji.ferrer@unicorpvida.com

FERRER SALA

JUAN

FERRERAS MORENO

DARIO

2831

520 MAPFRE AUTOMOVILES, Director Servicios Técnicos, Siniestros, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5818536, dferre@mapfre.com

FERRERUELA MAYORAL

CAROLINA

2227

AXA, Consultor Procesos ( Black Belt Senior ), Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388681, 91-5385657, carolina.ferreruela@axa.es

FERRIOL FENOLLOSA

INMACULADA

2599

FERRO MORA

ANA MANUELA

1974

BBVA, Responsable Gestión Global de Compromisos, Pº de la Castellana, 81, 28046 Madrid, ℡ 91-3744274, 91-3744969, ana.ferro@grupobbva.com

FIANCES AYALA

EMILIO

3117

AON BENFIELD, Actuario Consultor de Reaseguro, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405750, 902309303, emilio.fiances@aonbenfield.com

FIDALGO GONZALEZ

MONICA

3072

FIGONE BAUSILI

FABIO FIDEL

3359

FIGUEROA SANCHEZ

CARLOS

3029

MUTUA MADRILEÑA AUTOMOVILISTA / SEGUROS, Técnico Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046, Madrid, ℡ 91-5922828, cfigueroa@mutua-mad.es

FLAMARIQUE SOLERA

SILVIA

3241

SANTANDER ASSET MANAGEMENT CHILE, silviaflamarique@gmail.com

FLEIXAS ANTON

ANTONIO

FLORIDO CASTILLO

MIGUEL

2590

981 AXA MEDITERRANEAN, Responsable de Capital Económico y Riesgos Financieros, Camino Fuente de la Mora, 1. 28050 Madrid, ℡ 91-5388691, miguel.florido@axa-medla.ecom

FLORINDO GIJON

ALBERTO

2139

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

FOLLANA MURCIA

PABLO

1995

GESFINMED, Actuario, Avda, Elche, 178, Edificio Centro Administrativo 2ª, 03008 Alicante, ℡ 96-5905423, 96-5905448, pfm5423@gesfinmed.cam.es

FOLGADO GUZMAN

EDUARDO VICENTE

3261

FORTUNY LOPEZ

ENRIQUE

2731

FRAILE FRAILE

ROMAN

FRANCIA CASADO

Mª TERESA

1751

FRANCO GONZALEZ-QUIJANO

Mª TERESA

2950

AXA MEDITERRANEAN REGION, Actuario Experto No Vida – Risk Management P&C, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388689, 91-5775076, teresa.franco@axa.es

FRANCO GONZALEZ-QUIJANO

AMPARO

3212

MONDIAL ASSISTANCE, Actuario No Vida, Edificio Delta Mora, 3, Avda. de Manoteras, 46, Bis, 28050 Madrid, ℡ 649613938, amparo.franco@mondial-assistance.es

980

ASCAT VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director Técnico, C/ Roure 6-8, Polígono Mas Mateu, 08820, El Prat de Llobregat, ℡ 93-4848874, 93-4845401, enric.fortuny@ascat.es GRUPO PARERA FAMILY OFFICE, Director Financiero, Pº de Gracia, 11, 08007 Barcelona, ℡ 635513627, romanfraile@hotmail.com

FREIRE GESTOSO

MANUEL P.

FREYRE GASULLA

EDUARDO

426

FREYRE GASULLA

JAVIER

1726

FUENTES MENDEZ

TOMAS

2264

AGROSANA, Director Financiero, Avda, de las Moreras, 3, 30870, Mazarrón, Murcia, ℡ 96-8590357, 96-8333048, tfuentes@agrosana.es

FUSTER CAMARENA

ALEJANDRO F.

2779

PROSEG, CORREDURIA DE SEGUROS, S.L., Actuario; Director Técnico, C/ L`Amistat, 7-5, 46021, Valencia, ℡ 96-3899896, 963141984, afuster@proseg.es

794

185

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GADEA TOME

FELIX

162

GALAN GALLARDO

RODRIGO

625

GALAN GARCIA

RUBEN

3164

GALDEANO LARISGOITIA

IRATXE

2277

GALERA LOPEZ

ROCIO BELEN

2469

GALIANO DE LA LLANA

MARIA NOELIA

3300

GALLEGO ALUMBREROS

FRANCISCO

GALLEGO HERNANDEZ

RUTH

2992

GALLEGO RIVERO

RAQUEL

3073

C/ Sierra Toledana, 4, 28038 Madrid, ℡ 655441389, raquel.gallego.rivero@gmail.com

GALLEGO VILLEGAS

OLGA Mª

1363

C.N.P. BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, S.A., Directora Técnica, C/ Ochandiano, 16, El Plantio, 28023, Madrid, ℡ 91-4231766, olga.gallego@cnpbvp.eu

GALLEGOS DIAZ DE VILLEGAS

JOSE ELIAS

766

MUSAAT, Director General, C/ Jazmín, 66, 28033, Madrid, ℡ 913841120, jegallegos@musaat.es

GALLEGOS ROMERO

JOSE ELIAS

GALLO BUSTINZA

MARCOS

IBERCAJA VIDA, Director General, Pº Constitución, 4, 8ª Planta, 50008 Zaragoza, ℡ 97-6767604, rgalan@ibercaja.es GENERALI SEGUROS, Responsable de Control de Grupo Actuarial y de Riesgos, Orense, 2, 28020, Madrid, r.galan@generali.es

CASER GESTION TECNICA, AIE, Técnico, Avenida de Burgos, 109, 28050, Madrid,

705

91-4376476,

161 2278

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Actuario Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

GANDARA DEL CASTILLO

LAUREANO

470

GANGUTIA ARIAS

ALMUDENA

1150

SANTANDER, BACKOFFICE GLOBALES ESPEC, Responsable del Bors, Avda Club Deportivo, s/n, Pozuelo de Alarcón, ℡ 912890208, agangutia@gruposantander.com

GARATE SANTIAGO

FCO. JOSE

2813

AXA SEGUROS, Internal Audit, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, francisco.garate@axa.es

GARCES BLASCO

Mª ESTHER

2513

GARCIA ALONSO

FRANCISCO

GARCIA ARANDA

DAVID

3360

GARCIA ARIETA

JESUS

1819

GARCIA AZPEITIA

REGINA

GARCIA BALLESTEROS

FELIPE

3170

GARCIA BERIHUETE

JOSE MARIA

2344

GARCIA BODEGA

FERNANDO

GARCIA BORJA

MARIA NIEVES

2528

GARCIA CARRERO

Mª ROSA

1631

GARCIA CASLA

ANA ISABEL

2409

GARCIA CEDIEL

ALFREDO

1138

GARCIA CID

YOLANDA

1440

GARCIA CHERCOLES

ANA

3293

MAPFRE FAMILIAR, Actuaria, Crta Pozuelo Majadahonda, 50, 28222, Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5812434, agarc1@mapfre.com

GARCIA DEL CURA

MARIO

1626

MAPFRE AMERICA, Director Técnico Comercial, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5811655, 915811610, mgarci1@mapfre.com

785

GENERAL REINSURANCE AG – SUCURSAL EN ESPAÑA, Director General Adjunto, Plaza Manuel Gomez Moreno, 2, 28020, Madrid, ℡ 00340 91-7224721, 0034 91-3195750, fgarcia@genre.com

874

395

186

C/ Vicente Jimeno, 18, 28035, Madrid, ℡ 669893542, fernandogbodega@gmail.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GARCIA DEL VILLAR

ALVARO LUIS

3142

CASER, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, agarcia4@caser.es

GARCIA DIEZ

JOSE LUIS

3153

GARCIA ESTEBAN

FRANCISCO

GARCIA FERNANDEZ

CESAREO

GARCIA FERNANDEZ

JULIO MARCOS

1037

GARCIA FERNANDEZ

Mª PAZ

1350

GARCIA GARCIA

PABLO

1797

GARCIA GARCIA

RAQUEL

2384

GARCIA GARCIA

SUSANA

2865

GARCIA GARCIA

MARIA ESTER

2910

GARCIA GOMEZ

ANGEL

2140

GARCIA GONZALEZ

EDUARDO

1812

GARCIA GUTIERREZ

JOSE M.

2602

GARCIA HERRERO

CARLOS

3159

GARCIA HIGES

JOSE MARÍA

3326

GARCIA HONDUVILLA

PEDRO

1134

GARCIA HORMIGOS

CARLOS

2162

GARCIA LANGA

PEDRO

2764

GARCIA LOPEZ

JUAN ANTONIO

1370

GARCIA LOPEZ

ESTELA

2526

GARCIA MANZANO

IDOYA

3182

GARCIA MARCOS

LUIS MARIA

2848

GARCIA MARTIN

YENI

GARCIA MARTINEZ

JAIME LUIS

1112

MUTUALIDAD GEENERAL DE LA ABOGACIA, Responsable Técnico, Serrano, 9, 28001 Madrid, ℡ 91-4100852, 914319915, igarcia@mutuabog.com

GARCIA MERCHAN

MARGARITA

1783

UNION AUTOMOVILES CLUBS SA DE SEGUROS Y REASGRS., Responsable Área Técnica, C/ Isaac Newton, 4, 28760 Tres Cantos, ℡ 91-5947422, 91-5947479, margarita_garcia@race.es

118 169

BBVA - Gerente de auditoría interna de pensiones y seguros Plaza Santa Bárbara, 1 28004 Madrid eduardo.garcía2@grupobbva.com GRUPO SANTANDER / DIVISION AUDITORIA INTERNA, Auditor Manager, Avda. de Cantabria s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 665995831 / 610612484, carlosgarciah@gruposantander.com

AXA, Life Risk Management, Madrid, ℡ 91-5388783, cghormigos@ono.com IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, jgarcia@ideassa.es

689

GARCIA NAVIA

JOSE MARIA

142

GARCIA NIETO

FCO. JAVIER

1415

GARCIA ORDOÑEZ

JUAN CARLOS

2850

GARCIA PEREZ

ALMUDENA

2254

℡ 659654900, almudena.garcia@actuarios.org

GARCIA PEREZ

ESTHER

2692

MUTUA MADRILEÑA, Actuario No Vida, Pº Castellana 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5922834, egarcia@mutua-mad.es

GARCIA RODRIGUEZ

MARIA ESTHER

2765

GARCIA RODRIGUEZ

JULIO MANUEL

2935

GARCIA SALAMANCA

NOELIA

2952

GARCIA SANCHEZ

ALBA

3154

187

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS, Bolsa 4, 4 planta, 29015 Málaga, ℡ 952 20 90 27, jm.garcia@aviva.es LIBERTY SEGUROS / ACTUARIAL VIDA, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, noelia.garcia@libertyseguros.es TOWERSWATSON, Actuario No Vida, Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ +34 91-5903099, +34 91-5633115,

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES alba.garcia@towerswatson.com

GARCIA SANTAMARIA

MONICA

2515

GARCIA SESEÑA

RAFAEL

3038

ASSURANT SOLUTIONS, Pricing Actuary, Avda. de la Vega, 1, Edificio II, 3ª Planta, 28108 Alcobendas, ℡ 657015383, rafasesena@hotmail.com

GARCIA SIERRA

GEMA

2923

Actuario, Madrid, g_garciasierra@yahoo.es

GARCIA TORIBIO

SUSANA

1959

GARCIA VILLALON

JULIO

GARCIABLANCO GONZALEZ

MARIO LUIS

202 2359

GARCIA-BORBOLLA Y CALA

RAFAEL

GARCIA-BUSTAMANTE MARCHANTE

ANTONIO JUAN

1560

GARCIA-HIDALGO ALONSO

ENRIQUE JOSE

2832

GARCIA-OLEA MATEOS

JOSE LUIS

2613

GARCIA-PERROTE GARCIA-LOMAS

JORGE

1806

GARCISANCHEZ CID

MARGARITA

2329

GARMENDIA ZORITA

JUAN IGNACIO

1636

GARRALDA SACRISTAN

ANGELES

GARRE CONTRERAS

MIGUEL ANGEL

GARRIDO ALVAREZ

RAFAEL

Jubilado. Profesor Emérito Universidad Valladolid, Presidente honorífico “ASEPUMA”.

269

ERNST&YOUNG, Manager, Torre Picasso, Pza. Ruíz Picasso, 1 28020 Madrid enrique.garcia-hidalgoalonso@es.ey.com

AGROSEGURO, S.A., Actuario Senior, C/ Gobelas, 23, 28023, Madrid, ℡ 91-8373200, 91-8373225, mgarcisa@agroseguro.es

940 1704 501

BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, Compañía de Seguros, C/ Mateo Inurria, 15, 28036 Madrid, ℡ 91-3361057, rafael.garrido@barclays.com

GARRIDO VAQUERO

Mª DEL PILAR

GAVIRIA BARANDICA

JUAN JOSE

1027

795

GESSA DIAZ

JOAQUIN

2190

GESTEIRA LAJAS

SOFIA

3165

GIL ABAD

VICTOR LUIS

1357

GIL ABRIL

LUIS ANTONIO

3339

GIL ALCOLEA

ONOFRE

GIL CARRETERO

SANTOS

GIL COSPEDAL

Mª VICTORIA

1953

GIL DE ROZAS BALMASEDA

GREGORIO F.

2065

GIL FANA

JOSE ANTONIO

1194

GIL PEREZ

JAVIER

1347

GIL ROVIRA

JUAN ANTONIO

2219

GILABERT PEREZ-TERAN

OSCAR

3039

GILSANZ PALANCAR

ANGEL LUIS

2006

SWISS RE EUROPE, S.A., Senior HR Manager Western Europe (Branches), Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91-5981726, 91-5981780

GIMENEZ ABAD

CARMEN

2994

MELA CONSULTING, Socia, Madrid, ℡ 678557660, actuarial@mela12.com

GIMENEZ BOSCH

FRANCISCO

1742

BANCO SANTANDER, Director Area Recursos y Seguros,

UNION DEL DUERO, CIA DE SEGUROS DE VIDA, S.A., Actuario, Pº de la Castellana, 167, 28046 Madrid, ℡ 91-5798544, sofia.gesteira@unionduero.es

901 276

188

TOWERS WATSON, , C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, gregorio.gilderozas@towerswatson.com FENIX DIRECTO, Responsable S.Técnico, Avda. General Perón, 27, 28020 Madrid, ℡ 91-4326964, 93-2288436, javier.gil@fenixdirecto.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES frgimenez@gruposantander.com

GIMENO BERGERE

CELIA ANA

GIMENO MUNTADAS

ANTONIO

3203

GINER AGUILAR

LUIS

2924

BBK, Director Oficina, Avda de las Cortes Valencianas, 37 46015, Valencia, ℡ 96-3409235, 96-3401145, lginerag@bbk.es

GISBERT BERENGUER

MARIA

2971

MUTUA DE SEGUROS DE ARMADORES DE BUQUES DE PESCA EN ESPAÑA, Claudio Coello, 78 28001 Madrid, ℡ 915 770 937

GISBERT MOCHOLI

LLUIS

3266

REALE SEGUROS, Agente Exclusivo, Avda. Pianista Martínez Carrasco, 1-21, 46026, Valencia, ℡ 660948537, lluisgisbert@yahoo.es

GOMEZ ABAD

BEGOÑA

2181

GOMEZ ALVADO

FRANCISCO

1910

GOMEZ BLANCO

ALMUDENA

3394

GOMEZ CASTELLO

ROSA EMILIA

920

314

GOMEZ DE LA LASTRA

PEDRO

GOMEZ DE LA VEGA GONZALEZ

JOSE LUIS

GOMEZ DEL AMO

Mª ANGELES

3098

GOMEZ GALAN

JOSE GABRIEL

2330

PROECO-GABINETE TECNICO, S.L., Gerente, C/ Alcira, 2, entresuelo, 46008 Valencia, ℡ 96-3840226, 96-3850142, emilia.gomez@actuarios.org

24 WATSON WYATT / CONSULTORIA, Consultora, mgdelamo@hotmail.com

GOMEZ GARCIA

JOSE M.

GOMEZ GIL

JOSE LUIS

1652

GOMEZ GISMERA

RUBEN

3235

GOMEZ GOMEZ

JUAN JESUS

1438

MEDITERRANEO VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director General, Avda. de Elche, 178, Edif. La Estrella, 2, 03008 Alicante, ℡ 96-5905447, 96-5905354, jjgomez@mvida.cam.es

GOMEZ HARO

ADELAIDA

3030

Avda, Velázquez, 19, 5º 26, 29003 Málaga, ℡ 606914346, netadgoha@hotmail.com

GOMEZ HERNANDEZ

ESPERANZA

1489

GOMEZ JUAREZ

AURELIO

2331

GOMEZ LOPEZ

MANUEL

2458

GOMEZ MORENO

RUBEN

3365

GOMEZ PASTOR

VALVANERA

3067

GOMEZ ROJAS

FELIPE

1858

746

TOWERS WATSON, Director, C/ Suero DE Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ 667609063, felipe.gomez@towerswatson.com

GOMEZ SANZ

MARCIANO

GOMEZ-CHOCO GOMEZ

RAUL

3155

152 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Actuario, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 91-2892315, rgomez-choco@gruposantander.com

GOMEZ-PARDO PALENCIA

CARLOS

3040

GROUPAMA SEGUROS S.A, Actuario División Estudios Actuariales, Plaza Cortes, 8, 28014, Madrid, ℡ 91-7016961, carlos.gomez-pardo@groupama.es

GOMEZ VAZQUEZ

LAURA

3370

GONZALEZ ANTOLIN

Mª ELENA

3242

TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, Pl. 3ª , 28002 Madrid, ℡ 91-5903009,

GONZALEZ AYJON

EDUARDO

2761

INMOBILIARIA MAGURSA IBERICA, S.L., C/ Virgen de la Alegria, 7, Local, 28027, Madrid, ℡ 94-9322977, 94-9292687, eduardogonzalez@magursa.es

GONZALEZ BARROSO

MIGUEL ANGEL

1746

m.elena.gonzalez@towerswatson.com

189

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

GONZALEZ BARROSO

ANGEL

2603

GONZALEZ BLAZQUEZ

FCO. JAVIER

2516

GONZALEZ BUENO LILLO

GABRIELA

GONZALEZ CABALLERO

Mª DEL MAR

2780

GONZALEZ CARIDE

MARIA

3236

GONZALEZ CARREÑO

ALVARO

3390

GONZALEZ CARRETERO

ANA ISABEL

2238

GONZALEZ COCA

ANDRES

GONZALEZ DE CASTEJON LLANO P.

MIGUEL

GONZALEZ DEL MARMOL

ALFONSO

GONZALEZ DEL POZO

RAQUEL

DATOS PROFESIONALES DIRECT SEGUROS, Actuarial-Estadístico, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, ℡ 91-5385957, angel.gonzalez.barroso@directseguros.es

424 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS, Actuario, C/ Bolsa, 4, 4ª Planta, 29015, Málaga, ℡ 952-607846, 952-609878, mm.gonzalez@aviva.es

MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28024 Madrid, ℡ 91-5818683, 91-5811709, agonz@mapfre.com

850 1141

FINENZA SEGUROS - CONSULTORIA, Socio, C/ Alcalá, 128Interior, 28009, Madrid, ℡ 91-4020204, 91-4018063, m.gonzalezdecastejon@finenza.com

761 2148 333

GONZALEZ DELGADO

JOSE

GONZALEZ FERNANDEZ

CARLOS

1960

GONZALEZ GARCIA

JOSE MANUEL

3318

GONZALEZ GOMEZ

FAUSTINO

2713

SEGURCAIXA ADESLAS, Coordinador de Oferta, Príncipe de Vergara, 110, 28002 Madrid, ℡ 91-5667062, fgomez@vidacaixa.com

GONZALEZ GUILLO

SANTIAGO

3237

OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Princesa, 23, 28008 Madrid, ℡ 91-5380415, 91-5380229, santiago.gonzalezguillo@ocaso.es

GONZALEZ JIMENEZ

MARIA

3081

GONZALEZ MADARIAGA

JUAN ANT.

GONZALEZ MARCOS

ANGEL LUIS

GONZALEZ MARTIN

M.ª SOLEDAD

1217

GONZALEZ MARTIN

JUAN F.

2239

GONZALEZ MARTIN

MONICA

2360

GONZALEZ MARTINEZ

CLARA ISABEL

2815

CIGNA LIFE INSURANCE COMPANY OF EUROPE, Director Financiero LA&H Europe, Pº del Club Deportivo, 1, Edificio 14, 28223 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-4184645, 91-4184943, carlos.gonzalezfernandez@cigna.com

376 951

OFICINA ECONOMICA DEL PRESIDENTE DEL GOBIERNO, Asesora, Madrid, ℡ 649044008, gonzalez.claraisabel@gmail.com

GONZALEZ MILLAN

M. TERESA

GONZALEZ MONEO

MANUEL

2758

919

GONZALEZ MORENO

JOSE ANTONIO

2260

GONZALEZ OLIVER

JUAN MANUEL

2781

GONZALEZ REDONDO

JESUS

2855

GONZALEZ RIERA

HUGO

2304

AXA SEGUROS GENERALES, Director Actuarial No Vida y Salud, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, ℡ 91-5385922, hugo.gonzalez@axa.es

GONZALEZ SALVADOR

FRANCISCO BORJA

3319

AXA SEGUROS E INVERSIONES, Actuario Experto. Unidad de Colectivos de Vida y Pensiones., Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388255, borja.gonzalez@axa.es

190

℡ 655838973, manuelmoneo@yahoo.es

SOCIEDAD CONSULTORA DE ACTUARIOS SCA, Actuario, C/ Alemania, 17, 1º - 3, 29001, Málaga, ℡ 95-2606065, juanoliver@actuariosconsulting.net

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

GONZALEZ SANCHEZ

JOSE ENRIQUE

602

GONZALEZ SANCHEZ

JORGE

1369

GONZALEZ SANCHEZ

ANTONIO JOSE

2843

GONZALEZ SANCHEZ-REAL

MARIA ELENA

2655

GONZALEZ URIBEECHEVARRIA

ELENA

2280

GONZALEZ VARELA

FERNANDO

GONZALEZ-COTERA VIAL

ANA

3320

GONZALEZ-LLANOS LOPEZ

AMALIA

1741

GONZALEZ-QUEVEDO GARCIA

FRANCISCO

2499

GONZALVEZ DE MIRANDA FDEZ.

JOAQUIN

2782

GOÑI SOROA

JUAN ANTONIO

GORDO SOTILLO

JESUS JAVIER

3111

GOSALBEZ RAULL

BEGOÑA

1985

GOYANES VILARIÑO

ALFREDO

GRANADO JUSTO

ALVARO

2019

GRANADO SANCHEZ

MANUEL

2306

GRANDE PEREZ

JUAN ANTONIO

3304

GREGORIO PUEBLA

MARIA

3252

GUARDIA BALCAZAR

RAFAEL

2733

GUERRA MONES

LAURA

2953

GUERRERO GILABERT

JUAN IGNACIO

793

GUERRERO GUERRERO

JOSE LUIS

412

GUERRERO PORTILLO

GONZALO F.

DATOS PROFESIONALES AXA VIDA, S.A., Coordinación Migración, C/ Albacete, 3, 28804, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 609104551, enrique.gonzalez@actuarios.org

571

TOWERS WATSON, C/ Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ 660260367, francisco.gonzalezquevedo@towerswatson.com

553

122

2936

TOWERS WATSON, Consultoría, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 91-2018086, 600522652. 917612677, alvaro.granado@towerswatson.com

MAZARS AUDITORES, S.L.P. / AUDITORIA, Gerente, Claudio Coello, 124, 28006, Madrid, ℡ 91-5624030, mgregorio@mazars.es

PREVENTIVA SEGUROS, Director Técnico y de Grandes Cuentas, Arminza, 2 – La Florida, 28023, Madrid, ℡ 91-7102510, ℡ 609059935, jl.guerrero@actuarios.org GROUPAMA, Director Depatamento A2M y Riesgos Financieros , Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7016919, gonzalo.guerrero@groupama.es

GUIJARRO MALAGON

F. JAVIER

GUINEA OLANO

ANGEL

903

GURTUBAY FRANCIA

JOSE LUIS

1295

GUTIERREZ GALAN

JOSE MANUEL

1264

GUTIERREZ HERRERO

MIGUEL JESUS

3274

℡ 619728092

GUTIERREZ MIGUEL

MIGUEL ANGEL

1946

BGT AUDITORES, S.L., Socio Auditor, Raimundo Fernández Villaverde, 48, 28003, Madrid, ℡ 606413930, magutierrez@bgtauditores.com

GUTIERREZ SAEZ

RICARDO

2444

GUZMAN LILLO

ISABEL

2626

HEATHCOTE

MARK G.

2328

254

191

MAPFRE S.A., Director de Adquisiciones, Carretera de Pozuelo a Majadahonda, 52, 28222 Majadahonda ℡ 91-5814894 jlgurt@mapfre.com

MESOS GESTIÓN, Directora del Negocio Dental, Avda. de la Industria, 18, 28823 Coslada, ℡ 667694322, isabel.guzman@mesos-gestion.com HEWITT BACON & WOODROW LTD, Associate, Prospect House, Abbey View, ST. Albans, Hertfordshire, AL1 2QU, United Kingdom, ℡ +44(0)1727888230, mark.heathcote@hewitt.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

HELGUERO VALVERDE

ANA ISABEL

DATOS PROFESIONALES

2656

HERNAN PEREZ

JUAN MIGUEL

1971

HERNANDEZ

JEAN-LOUIS

2614

MUTUA MADRILEÑA, Director Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5929853, jlhernandez@mutua-mad.es

HERNANDEZ CUESTA

JOSE MARIA

1520

MAPFRE FAMILIAR, Auditor Interno, Carretera Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5814806, jmhern4@mapfre.com

HERNANDEZ DOMINGUEZ

EFREN MANUEL

3358

HERNANDEZ ESTEVE

ALBERTO

HERNANDEZ FERNANDEZ-CANTELI

CARLOS

1259

HERNANDEZ FERRER

MARIA TERESA

3247

HERNANDEZ GALINDO

JOSE

HERNANDEZ GONZALEZ

DANIEL

301

PWC, Madrid

144 2204

MINISTERIO DE SANIDAD, POLITICA SOCIAL E IGUALDAD, Jefe de Área de Entidades Tuteladas, ℡ 91-8226540, daniel.hernandez@actuarios.org

HERNANDEZ GUERRA

ANTONIO

HERNANDEZ GUILLEN

ALMUDENA

1772

576

HERNANDEZ MARCH

JULIO

1288

HERNANDEZ MARTIN

DIONISIO

HERNANDEZ OCHOA

ENCARNACION

HERNANDEZ PALACIOS

MANUEL JOSE

3016

HERNANDEZ POLLO

JOSE RAMON

1149

HERNANDEZ RAMOS

SARA

3051

BBVA, C/ María Tubau, 10, Ed. B., Planta 2 Norte, 28050, Madrid, ℡ 91-3746156, sara.hernandez@bbva.com

HERNANDEZ ZAMORA

ALFONSO

2694

CANTABRIA VIDA Y PENSIONES DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Director Técnico, Plaza Velarde, 1, 39001, Santander, Cantabria, ℡ 94-2764802, 94-2764803, alfonso.hernandez@cvyp.es

BUCK CONSULTANTS, Ribera del Loira, 16-18, 28042, Madrid, ℡ 91-3102699, 91-3102697, almudena.hernandez@buckconsultants.com

731 844 GENWORTH FINANCIAL, Responsable Actuarial y de Desarrollo de Nuevos Productos, C/ Luchana, 23, 5º L, 28010, Madrid, ℡ 679194284, manuel.hernandez@genworth.com

HERNANDO ARENAS

LUIS ALBERTO

HERNANDO GARCIA

MARIA

558

HERNANZ MANZANO

FRANCISCO

HERRANZ PEINADO

PATRICIA

1698

HERRERA AMEZ

ARITZ

3083

AXA MedLa Region, ALM Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ +34 91-5388024, aritz.herrera@axa.es

HERRERA GARCIA

JULIAN PABLO

2436

GROUPAMA SEGUROS, Subdirector General Estudios y Pilotaje, Plaza. de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7447549, julian.herrera@groupama.es

HERRERA NOGALES

PEDRO

1104

HERRERA SANZ

PATRICIA

2339

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971916, patricia.herrera@aviva.es

HERRERO GUTIERREZ

FCO. JAVIER

1169

AON HEWITT, Consultor de Riesgos Personales, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405651, 91-3405883, franciscojavier.herrero@aonhewitt.com

HERRERO ROMAN

CRISTINA

2715

VIDA CAIXA, Técnico, Pº de la Castellana, 51, 28046 Madrid, ℡ 91-4326891, 93-2988556, cherrero@caifor.es

HERRERO RUBIO

SANDRA

3194

MAPFRE RE, Actuario, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 915813320, sherrero@mapfre.com

HERRERO VANRELL

LUIS PEDRO

2387

3395 686

192

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

HERVAS MARTIN

ALBERTO JOSE

2504

HIDALGO JIMENO

JOAQUIN

2783

HITA PASCUAL

ANTONIO

1840

HOLGADO GONZALEZ

ANA MARIA

2973

AVIVA, Financial Control Manager, Camino Fuente de la Mora, 28050, Madrid, am.holgado@aviva.es

HOLGADO MOLINILLO

YAIZA

2954

TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-3101088, 91-7612677, yaiza.holgado@towerswatson.com

HOMET DUPRA

SEBASTIAN

HORNOS BUESO

JOSE LUIS

1454

320

HORTELANO SILVA

Mª ESTER

2817

HUERTA DE SOTO

JESUS

HUERTA DE SOTO

JUAN

1637

HUERTA DE SOTO HUARTE

JESUS

3074

HUERTA HERRERA

OSCAR

2265

IBAÑEZ CARRASCO

NURIA

3253

IBARRA CASTAN

JUAN CARLOS

1052

R.G.A. RE INTERNATIONAL IBERICA, Director Comercial, Ctra. A. Coruña, km.24, Edificio Berlín, 28290, Las Matas, Madrid, ℡ 916404340, 91-6404341, jibarra@spn.rgare.com

IGLESIAS GONZALEZ

JESUS RAMON

1245

CAJASTUR MEDIACION/ SEGUROS, Dtor. Técnico, C/ Martínez Marina, 7, 33009 Oviedo, ℡ 98-5209391, 98-5209384, jriglesias@cajastur.es

IÑARRA MUÑOZ

JUAN IGNACIO

2517

IÑIGUEZ ACERO

PABLO

3395

IRIBAS REVILLA

CRISTOBAL

2099

CTI TECNOLOGIA Y GESTION, Director Financiero, Avda. de la Industria, 32, 28108 Alcobendas, Madrid, ℡ 91-3728335, ciribas@ctisa.es

ITURBE URIARTE

CARLOS

1465

VIDACAIXA PREVISIÓN SOCIAL, Ppe. de Vergara, 110, 28002 Madrid, ℡ 91-4326880, 93-2989017, citurbe@vidacaixa.com

UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760 Tres Cantos, (Madrid), ℡ 91-5947306, ester_hortelano@race.es

619

IVERN MORELLO

WALFRID

JARALLAH LAVEDAN

JUBAIR

1678

JAREÑO GAT

MERCEDES

2955

JIMENEZ BARBA

ENRIQUE

1126

JIMENEZ DE LA PUENTE

Mª ANGELES

2079

JIMENEZ GARCIA-GASCO

LAURA

2192

JIMENEZ GOMEZ

ALICIA

3287

JIMENEZ GOMEZ

PEDRO JULIAN

1899

JIMENEZ IGLESIAS

M. ANGELES

3116

JIMENEZ JAUNSARAS

ALBERTO

JIMENEZ MARTIN

FCO. JAVIER

1888

JIMENEZ MUÑOZ

LUIS ALFONSO

2206

EMB Consultores de Negocio y Actuarios / Consultoría, CEO/ Director General, Caléndula, 93 E, 28109, Alcobendas ( Soto de la Moraleja), Madrid, ℡ +34 91-7912934, +34 91-7912901, oscar.huerta@emb.com

958

mercedes.jareno@actuarios.org

MUTUA MADRILEÑA, Responsable Vida Decesos en Dirección Estadística Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 915929755, majimenez@mutua-mad.es

ALLIANZ SEGUROS, Técnico Control de Gestión (Vida), C/ Tarragona, 109, 08014, Barcelona, ℡ 93-2286719, mangeles.jimenez@allianz.es

371

193

RGA REINSURANCE COMPANY, Director General Adjunto, ℡ 616434447, 91-6404341, ljimenez@rgare.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº 747

DATOS PROFESIONALES

JIMENEZ RODRIGUEZ

EMILIO JESUS

JIMENEZ RODRIGUEZ

SUSANA

1708

JIMENEZ SANCHEZ

EVA

3254

ASEGURADORES DE RIESGOS NUCLEARES, A.I.E., Dirección Técnica, c/ Sagasta, 18 - 4º derecha 28004 Madrid

JUARISTI GOGEASCOECHEA

ANDER

3183

TOWERS WATSON, C/ Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002, Madrid, ℡ 91-5903032, ander.juaristi@towerswatson.com

KARSTEN

HENRY PETER J

1063

MERCER CONSULTING, S.L. Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid ℡ 91-4569400

KRAUSE SUAREZ

LAILA

3166

LABRADOR DOMINGUEZ

SARA

3213

LABRADOR SERRANO

OLGA

3084

LAFRANCONI

MAURA

3226

LAGARTERA CABO

CARLOS

2410

LANA VOLTA

JESUS

2423

LARA MUÑOZ

JAVIER

2479

LARRUGA RODRIGUEZ

MIGUEL

1966

LASSALLE MONTSERRAT

JOAQUIN C.

3017

LATORRE LLORENS

LUIS

LAUZAN GONZALEZ

FERNANDO

EL PERPETUO SOCORRO, S.A. DE SEGUROS, Actuario, C/ Roble, 6, 03690 San Vicente del Raspeig, ℡ 607792034 , emiliojr@telefonica.net

NOVASTER / CONSULTORIA, Socio Director, C/ Numancia, 117121, 1º, 1-B, 08029 Barcelona, ℡ 902131201, jlana@novaster.net

ASISA, Área de Prestaciones, Madrid, jlassalle@asisa.es

871 3025 156

LAZARO FERNANDEZ

MARIANO L.

LAZARO RAMOS

VALENTIN

LECINA GRACIA

JOSE M.

611

UNIVERSITAT DE BARCELONA, Profesor Titular, lecinag@ub.edu

LECUONA GIMENEZ

RICARDO

703

INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, ℡ 902199670 91-4133950, info@ingesac.com

LEDESMA HERNANDEZ

JOSE IGNACIO

2899

NACIONAL DE REASEGUROS/REASEGURO, Actuario Ramos Personales, C/ Triacastela, 2-4, Portal N, 3º B, 28050 Madrid, ℡ 669168752, elledes@hotmail.com

LEGUEY GALAN

JAVIER

2281

ALLIANZ SEGUROS Y REASEGUROS, SA., Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡ 91-5960582, javier.leguey@allianz.es

LENS PARDO

LUIS

2431

HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA, Senior Manager – Responsable International Benefits, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ +34 91-4059350, +34 91-4059358, luis.lens@hewitt.com

LEON PINILLA

MARTA

1965

LERENA LORENZO

PEDRO

1987

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socio Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003 Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

LERNER WAEN

ANDRES DAN

2900

AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971881, andres.lerner@aviva.es

LESMES SANCHEZ

FERNANDO

LIBERAL GOROSTIAGA

LILLO CARRAZON

2627

CAJA RURAL BURGOS, Director Oficina, Santa María, 15, 09300 Roa, ℡ 947-540255, vlazaro_crburgos@cajarural.com

572

AUDISERVICIOS, AUDITORES CONSULTORES, S.L., Socio, C! Ferraz, 4, 28008 Madrid, ℡ 91-5478201-02, 91-5591867, flesmes@audiservicios.com

IÑIGO

2489

BBVA Compass Bank, Financial Internal Audit Manager, 15 South 20th Street, 35233 Birmingham, Alabama, ℡ +1 205 382 0861, i.liberal@grupobbva.com

LUIS

2149

ASEVAL. Subdirector de Negocio, C/ Duque de Mandas, 41, puerta 29, 46019 Valencia, ℡ 96-3875962, 96-3875944, luis.lillo@gseguros.com

194

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

LIMONES MOLINA

CRISTINA

3371

LINARES CUELLAR

FERNANDO

2470

LINARES PEÑA

ANGEL

421

LLACER CUÑAT

SONIA

3255

LLAMAS MADURGA

LINO

908

LLITERAS ESTEVA

PEDRO

690

LLOPIS MARTINEZ

JUAN ANTONIO

137

LLORENTE MINGUEZ

ESTHER

LLORET VILA

RICARDO

DATOS PROFESIONALES MUNICH RE, I+D+I Consultor, ℡ +34-91-4319633, ℡ +34-914261622, +34-91-4310698, flinares@munichre.com

EJERCICIO LIBRE ACTIVIDAD, C/ Bellpuig, 15, 07570, Arta, Mallorca ( Baleares), ℡ 97-1586604, ℡ 626955293, 97-1586604, plliteras@wanadoo.es

3379 347

LLORET VILA

FCO. JAVIER

LOBERA SAEZ

DAVID

3195

LODEIRO GOMEZ

LAURA Mª

3243

LOPERA ESCOLANO

ANDRES

3112

LOPEZ BERMUDEZ

JUAN

1594

GENERAL RISK AND SPECIAL INSURANCE, S.L., Administrador , Plaza de España, 6, 46007, Valencia, ℡ 902300054, 963532116, correduria@general-risk.com

370

GENERALI ESPAÑA, Gestor Inversiones, Madrid, andresloperaescolano@yahoo.es

379

LOPEZ CACHERO

MANUEL

LOPEZ CAYUELA

MARIA

3385

LOPEZ CESPEDES

PILAR

2970

KPMG, Consultor, Pº de la Castellana, 95, Edif. Torre Europa, 28046, Madrid, ℡ 91-4563400, 91-5550132, mlopez16@kpmg.es

LOPEZ DE RIVAS

JAVIER

3042

MUTUALIDAD DE LEVANTE, Responsable Técnico-Actuarial, C/ Roger de Lluria, 8, 03801 Alcoy (Alicante), ℡ 658480904, javier.lopez@mutualevante.com

LOPEZ DOMINGUEZ

PABLO

559

LOPEZ ESCUDERO

RODOLFO

827

LOPEZ FUENSALIDA GONZALEZ ROMAN

LAURA

2604

CARDIF A BNP PARIBAS COMPANY, Actuario, C/ Julián Camarillo, 21 A, 4ª Planta, 28037 Madrid, ℡ 91-5901145, laura.lopez@cardif.com

LOPEZ GIL

ANA

2538

SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEGURADORA, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 91-2890162, 91-2890162, analopezg@gruposantander.com

LOPEZ GOMEZ

MARIA

3018

TOWERS PERRIN / CONSULTORA SEGUROS, Consultor, Urb. El Soto, 17, 8ºC, 28400 Villalba, ℡ 609632085, maria.lopez.gomez@towersperrin.com

LOPEZ GONZALEZ

MARIA CARMEN

2716

BBVA, Actuario, Castellana, 81, 28046 Madrid, ℡ 91-5377610, 91-3744969, mdc.lopez.gonzalez@grupobbva.com

LOPEZ HERNANDEZ

JOSE LUIS

1514

MURIMAR, Director General, C/ Miguel Angel Asturias, 22, 28922 Alcorcón, ℡ 91-6440179, joseluisllh@hotmail.com

LOPEZ HERVAS

ANA Mª

2068

LOPEZ IRUS

Mª AZUCENA

2100

MÜNCHENER RÜCK, Senior Underwriter, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, ℡ 91-4320495, alopez@munichre.com

LOPEZ ISIDRO

RICARDO

2856

SOCIEDAD DE GARANTIA RECIPROCA DE LA COMUNIDAD VALENCIANA, Analista Financiero, Avda. de Ramón y Cajal, 6, 03003, Alicante, ℡ 96-5922123, 96-5921816, r.lopez@sgr.es

LOPEZ JIMENEZ

ALBERTO

3327

LOPEZ MARTINEZ

BEATRIZ

3214

195

APELLIDOS

NOMBRE

LOPEZ MARTINEZ CANO

MARTIN

LOPEZ MONTOYA

ISAAC

Nº

DATOS PROFESIONALES

16 3280

AXA, Actuario Junior Siniestralidad, Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388380, isaac.lopez@axa.es

LOPEZ MORALES

ANTONIO

LOPEZ MORANTE

ESTRELLA

3147

917

LOPEZ NUÑEZ

JUAN

2784

LOPEZ RODA

SILVIA

1945

TOWERS WATSON, Consultor Senior, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903026, 91-5903081 silvia.lopez.roda@towerswatson.com

LOPEZ RUBIO

ROBERTO

2440

℡ 670683128, rlopezrubio@hotmail.com

LOPEZ RUBIO

YOLANDA

3000

PASTOR VIDA, S.A. / ENTIDAD SEGUROS, Dpto. de Riesgos, Pº de Recoletos, 19, 5ª Planta, 28004 Madrid, ℡ 91-5299850, 915249851, ylopezr@bancopastor.es

LOPEZ SANGUOS

DELAIRA

2956

Actuario de la Seguridad Social, C/ Alameda, 12, 4º A, 36002 Pontevedra, ℡ 686771073,

LOPEZ SANZ

JUAN JOSE

3184

LOPEZ SORIA

Mª BELEN

1904

LOPEZ ZAFRA

JUAN MANUEL

2749

LOPEZ-CORTIJO DE PEÑARANDA

BLANCA

1803

LOPEZ-DOMECH MARTINEZ-GARIN

LUISA

2911

MAPFRE EMPRESAS, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5814644, lulopez@mapfre.com

LOPEZ-GUERRERO ALMANSA

PEDRO A.

1752

SANTA LUCIA, S.A., Responsable Área Técnica, Plaza de España, 15, 28008, Madrid, ℡ 91-5380822, plopezg@santalucia.es

LORENZO ROMERO

CARLOS

1621

LORENZO TOLA

SILVIA

2818

LOZANO COLOMER

CRISTINA

2568

LOZANO FELIPE

MANUEL

3215

LOZANO GOMEZ

ANA ISABEL

3167

LOZANO MUÑOZ

ARTURO

LOZANO MUÑOZ

FCO. JAVIER

807

1651

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID / ENSEÑANZA, Profesor Titular de Universidad, Fac. CCEE, Dpto de Estadística e IO 2. Pab Prefabricado, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 913942920, juanma-lz@ccee.ucm.es

AON HEWITT, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405572, silvia.lorenzo@aonhewitt.com

BANKINTER SEGUROS DE VIDA, S.A., Actuario, Avda. Bruselas, 12, 28108 Alcobendas (Madrid), ailozanog@bankinter.es GUY CARPENTER, GC Analytics Managing Director, Pº de la Castellana, 216, Planta 20, 28046 Madrid, ℡ 91-3447982, alozano@guycarp.com WR BERKLEY ESPAÑA, Director de Organización y Sistemas, jlozano@wrberkley.com

LOZANO SUAREZ

JUAN DIEGO

LUBIAN BERMEJO

ESTHER

3275

661

LUCIA GIMENO

ISABEL

2333

LUENGO REDONDO

MARTA

2734

LUJA UNZAGA

FELIX

LUQUE RETANA

CARLOS LIONEL

1022

AEGON SEGUROS, Appointed Actuary, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-5636222, luque.carlos@aegon.es

LUX

CHRISTIAN

2150

℡ 670520107, christian_lux@hotmail.com

LUZARRAGA IGUEREGUI

JOSE RAMON

MACIAN VILLANUEVA

ALBERTO-JOSÉ

1896

GENERALI SEGUROS, Director de Área de Automóviles, Orense, 2, 28020, Madrid, ℡ 91-3301567, 91-5905740, a.j.macian@generali.es

MADARIAGA ZUBIMENDI

TERESA

2208

HCC INTERNATIONAL, Directora Actuarial Europea, 35 Seething

CASER, Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 912146767, mluengo@caser.es

139

196

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Lane, EC3N 4ALT, Londres UK tmadariaga@hccint.com

MADRIGAL ESTEPA

ELENA

1852

MAESTRE HERNANDEZ

JOSE MANUEL

2353

MAESTRO ALONSO

REBECA

3328

MAESTRO MUÑOZ

M. LUISA

603

MALDONADO TUDELA

J. CARLOS

987

MANRIQUE CORRAL

JORGE

3285

TOWERS WATSON / INSURANCE CONSULTING, Consultor, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ +34660759583, +34915903081, jorge.manrique@towerswatson.com

MANRIQUE MARTINEZ

MARTA

2519

marta2m@mixmail.com

MANZANARES PAVON

MONICA

1901

MANZANARO BERACOECHEA

LAURA

1206

MANZANO RIQUELME

ESTEBAN

567

MARAÑON ALONSO CARRIAZO

M. TERESA

847

MARAÑON HERRANZ

PAULA AINHOA

MARCHAN MARTIN

ROBERTO

MARCHETTI

MARCOS A.

VAHN AUDITORES, S.L., Socio, C/ Andrés Mellado, 9, 1º D, 28015 Madrid, ℡: 91-5500570, jcmaldonado@vahnauditores.es

C.N.P. VIDA, Directora Previsión Social, Ochandiano,10, El Plantio, 28023 Madrid, ℡ 91-5243400, mery.maranon@cnpvida.es

3127 356 3329

MARCHINI BRAVO

J. LUIS

963

MARCOS APARICIO

DAVID

3321

MARCOS GOMEZ

F. JAVIER

1034

Madrid, ℡ 629248996, javier.marcos@actuarios.org

MARCOS GONZALEZ

GABRIEL

1949

GRUPO DE ASESORES PREVIGALIA / CONSULTORIA ACTUARIAL, Socio Consultor, C/ Albadalejo, 2, 1º 59, 28037 Madrid, ℡ 91-1833756, gabrielmarcos@gaprevigalia.com

MARCOS GONZALEZ

FCO. JAVIER

2008

javimarcosg@hotmail.com

MARIN CARRASCO

MERCEDES

1763

AON RISK SOLUTIONS, Rosario Pino, 14-16, Madrid, ℡ 913405531, mercedes.marin@aon.es

MARIN CARRASCO

ANGEL

1764

MARIN COBO

ANGEL

MARINA RUFAS

JUAN

2020

MAROTO FERNANDEZ

BEATRIZ

1131

MARQUEZ AGUILAR

EVA MARIA

3075

MARQUEZ GARRIDO

MANUEL

2346

MARQUEZ RODRIGUEZ

RUBEN

2717

ING NATIONALE NEDERLANDEN EMPLOYEE BENEFITS, Jefe de Equipo Dpto. Técnico - Actuarial

MARQUEZ VALLE

JOSE

3294

CAJASUR ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Servicio TéCnico, C/ Padre Reyes Moreno, 7, 14520, Fernán Nuñez, Córdoba, ℡ 607379865, jomarva@hotmail.com

MAROTO NAVARRO

GUADALUPE

3330

MARTI ANTONIO

MANUEL

3256

MARTIN ALONSO

MARTA

2501

MARTIN ALVAREZ

OSCAR

2957

MARTIN ANTON

JOSE CARLOS

MARTIN BLAZQUEZ

SUSANA

3341

MARTIN CALERO

LAURA

2958

399 AON CONSULTING, Director Consultoria Inversiones, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405560, jmarinar@aon.es FERROVIAL SERVICIOS,S.A., Controller Financiero, Serrano Galvache, 56, 28033, Madrid, ℡ 657522112, evammarquez@ferrovial.es

579

197

SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEG., S.A.,

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Actuario, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, ℡ 912893664, laurmartin@gruposantander.com

MARTIN CORRALES

JAVIER

2490

MAPFE VIDA, Actuario - Dpto. División de Empresas, General Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 91-5818193, jmart25@mapfre.com

MARTIN CRESPO

AURORA

2937

GESNORTE DE PENSIONES, SA. EGFP, Actuario de Vida y Pensiones, C/ Felipe IV, 3-1º, 28014, Madrid, ℡ 91-5319608, 5210536, aurora.martin@gesnorte.com

91-

MARTIN CRESPO

MONICA

3267

MARTIN DE CABO

JUAN JOSE

3076

MARTIN DE LA ROSA

DIANA

3085

MARTIN DE LOS RIOS

VALENTIN

2959

MARTIN DE VIDALES LAVIÑA

Mª ISABEL

1595

LIBERTY SEGUROS, Product mANAGER, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, isabel.martindevidales@libertyseguros.es

MARTIN DOMINGUEZ

INMACULADA

3060

MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220, Madrid, ℡ 915812963, inmacma@mapfre.com

MARTIN DORTA

NAYRA

2874

MARTIN GARCIA

CRISTINA

2559

MARTIN HERNANDEZ

MARIA

2659

MARTIN HERNANDEZ

JESUS

2772

MARTIN LOPEZ

PABLO

2117

SANTANDER SEGUROS, Director Desarrollo de Negocio, Ciudad Grupo Santander, Marisma, Planta 1ª, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ +34-91-2890164, pablomartinl@gruposantander.com

MARTIN LOPEZ

FERNANDO

2209

MÜNCHENER RÜCK / REASEGURO, Senior de Vida, Castellana, 18, 7ª 28046 Madrid, ℡ 91-4260693, fmartin@munichre.com

MARTIN MARTIN

ANA ISABEL

3305

MARTIN MIRAZO

FERNANDO

1895

MARTIN ORTEGA

MARIA ELENA

2981

MARTIN PALACIOS

FRANCISCO J.

2996

MARTIN PLIEGO

FCO. JAVIER

MARTIN QUINTANA

FRANCISCO J.

2334

MARTIN RAMOS

Mª CARMEN

2520

MARTIN REGUERA

ROBERTO

2539

MARTIN SOBRINO

SARA

3227

MARTIN TEMPRANO

Mª DEL PILAR

2102

MARTIN TRUJILLO

JOSE LUIS

2926

373

RURAL VIDA, SA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Comercial Previsión Colectiva, C/ Basauri, 14, 28023, Madrid, 91-7007450, ℡ 91-7007037, dianamr@segurosrga.es

PRICEWATERHOUSECOOPERS, Asociado Senior, C/ Almagro, 40, 28010, Madrid, cristina.martin.garcia@es.pwc.com

AHORRO Y PROTECCION, CORREDURIA DE SEGUROS, Director General, Avda. Arroyo del Santo, 4, 28042 Madrid, ℡ 650937089, martin@ahorroyproteccion.com

907

MARTIN VELASCO

JOSE LUIS

MARTINEZ ALFONSO

JOSE ANTONIO

MARTINEZ ARCOS

GERMAN

1789

MARTINEZ BLASCO

ERNESTO

3139

MARTINEZ BOIX

MIGUEL ANGEL

2411

BBVA SEGUROS, Responsable Siniestros No Vida, franciscoj.martin@grupobbva.com PRUDENTIAL PLC-GROUP HEAD OFFICE, 12 Arthur Street, ECHR 9AQ, LONDON UK, ℡ +44(0)2075482625, +44(0)2075483699, roberto.martinreguera@prudential.ce.uk

AON HEWITT ESPAÑA, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405482, 91-3405893, joseluis.martin@aonhewitt.com

178

198

UNIVERSIDAD DE BURGOS, Profesor, Pza Infanta Elena, s/n, 09001, Burgos, ℡ 94-7258993, 94-7258013, martinc@ubu.es UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ, Profesor, Avda. Universidad, s/n, 03002 Elche, Alicante, ℡ 637108935,

96-

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 6658614, mamartinez@umh.es

MARTINEZ CAL

ROSA

2174

MARTINEZ COCO

LUIS GONZALO

2266

MARTINEZ CRESPO

ENRIQUE J.

3128

MARTINEZ FERNANDEZ

FLORENCIO

149

MARTINEZ FEYJOO

JOSE ENRIQUE

1199

MARTINEZ GARCIA

Mª DEL MAR

1441

BERGÉ Y ASOCIADOS, CORREDURIA SEGUROS, Director Técnico, Antonio Maura, 4, 28014 Madrid, ℡ 91-7010911, 915216567, mmartinez@bergeyasociados.es

MARTINEZ GARCIA

CRISTINA

2569

CAMPOFRIO FOOD GROUP, Corporate Risk Management Director, Avda. Europa, 24, Parque Empresarial “La Moraleja”, Alcobendas (Madrid), ℡ 91-4842754, cristina.martinez@campofriofg.com

MARTINEZ GIL

GEMA

2773

MARTINEZ GONZALEZ

JAVIER

1709

MARTINEZ GORRIZ

ANA PAZ

1701

CAJAMAR SEGUROS GENERALES, Responsable Técnico Seguros Generales, C/ Orense, 2, Madrid, ℡ 91-5244519, apmartinez@cajamarsegurosgenerales.es

MARTINEZ LEON

JOSE

MARTINEZ LLORENTE

VICTOR

3238

223

MARTINEZ LUCAS

PEDRO RUBEN

2541

MARTINEZ LUCENA

IGNACIO

3061

MARTINEZ MARTIN

MIGUEL

3361

MARTINEZ MENENDEZ

MARIO

3257

MARTINEZ MORAL

Mª BEATRIZ

2521

MARTINEZ MORENO

BEGOÑA

2182

MARTINEZ PARICIO

IRENE

3062

MARTINEZ PEREZ

SARA

3228

MARTINEZ RODRIGUEZ

JOSE LUIS

2220

MARTINEZ-SIMON JIMENEZ

CARLOS

MARTINEZ-ACITORES PALACIOS

OSCAR

2420

MARTIN-GROMAZ DE TERAN

JAVIER

2660

WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-4233400, 914317821, martinj@willis.com

MARTIN-PALOMINO CASANOVA

BLANCA

2902

PASTOR VIDA, S.A., Actuario, Pº de Recoletos, 19, Planta 5ª, 28004, Madrid, ℡ 91-5249850, bmartinpc@bancopastor.es

436

MARTORELL AMENGUAL

VICENTE

MARTOS RUIPEREZ

DANIEL

2445

MASFERRER PAGES

JOSEP LLUIS

1191

MATA BUENO

MIGUEL ANGEL

1359

MATA MORALES

JUAN CARLOS

1136

MATARRANZ CARPIZO

ANA

2034

KPMG- Financial Risk Management, Consultor, C/ Sangenjo, 5, 10º B, 28034 Madrid, ℡ 696383047, miguel.mtnez.martin@gmail.com MAPFRE ASITENCIA, Responsable Técnica, C/ Sor Ángela de la Cruz, 28020 Madrid, ℡ 91-5811196, mbeatri@mapfre.com

TOWERS WATSON, Consultor, Suero de Quiñones, 40-42, 28002, Madrid, ℡ 91-5905131, sara.martinez@towerswatson.com SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, Director área técnica seguros de vida, Ciudad Grupo Santander. Avda. de Cantábria s/n cmartinezsimon@gruposantander.com CAJA DE BURGOS, Jefe de Compensación y Beneficios, Plaza de la Libertad, 09004, Burgos, ℡ 638900204, 94-7258148, omartinezacitores@cajadeburgos.es

407

199

BUCK CONSULTANTS / CONSULTORIA, Pº General Martínez Campos, 41, 28010 Madrid, ℡ 91-3102699, 91-3102697, jose-luis.masferrer@buckconsultants.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

MATEO QUINTANILLA

PABLO

2903

MATEO VAZQUEZ

JAVIER

2695

MATEOS ALPUENTE

ALFONSO

840

MATEOS CRUZ

ANTONIO

654

MATEOS MORO

JOSE ANTONIO

1058

MATEOS RODRIGUEZ

Mª ELENA

2143

MATHUR ANDA

BIMAL TERESA

3175

MATIAS MURIEL

Mª DEL PILAR

1376

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Plaza Legión Española, 8, 1º, 46010, Valencia, ℡ 96-3895959, pilar.matias@aseval.com

MAUDES GUTIERREZ

BEATRIZ

2366

MAPFRE RE, Suscriptora-Ramos Personas, Pº de Recoletos, 25, 28004, Madrid , ℡ 91-5813334, bmaudes@mapfre.com

MAYLIN SANZ

MIKEL

1855

SA NOSTRA SEGUROS, Alcalá, 28, 28014, Madrid, ℡ 639754895, mmaylins@seguros.sanostra.es

MAYORAL MARTINEZ

ROSA Mª

1820

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID, DPTO. ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD, Profesor Titular de Universidad, Avda. Valle Esgueva, 6, 47011 Valladolid, ℡ 983-423000 / ext. 4393, 983-186484, rmayoral@eco.uva.es

MAZA GARCIA

JOSEFA

MAZA GARCIA

M. PILAR

MAZAIRA CUADRILLERO

ADELA

1269

MUTUA DE RIESGOS MARITIMOS (MURIMAR) / SEGUROS, Director Financiero, C/ Orense, 58, 6º A-B, 28020 Madrid, ℡ 915971835, 91-5971813, contabilidad@murimar.com

MAPFRE VIDA, Dtor. Grandes Cuentas, Pº de las Delicias, 95-5ªA, 28045 Madrid, ℡ 91-5282195

431 432 ARTAI, Directora de Vida y Pensiones, Avda. García Barbón, 48, 1º, 36201, Vigo, España, ℡ 98-6439600, 98-6439094,

MECO CARRIAZO

JOSE LUIS

2820

MECO DEL OLMO

ALICIA

2194

PERAITA & ASOCIADOS, S.L., Consultor, Avda. Pio XII, 57, 28016 Madrid, ℡ 91-3431133, alicia.meco@actuarios.org

MEDIAVILLA GARCIA

LEON

2904

EULER HERMES UK / CREDIT INSURANCE, Actuary / Statistician, 1 Canada Square, E14 SDX, London / UK, ℡ +442078602825, leon.mediavilla@eulerhermes.com

MEDINA LOPEZ

JOSE MANUEL

MEDINA LOPEZ

ANA

2927

MEDINA LOPEZ

AMALIA

3176

MEDINA PALACIOS

ALEJANDRO

3099

MELERO AMEIJIDE

FCO. JAVIER

1775

MENDEZ ESTEVEZ

CARLOS

1650

MENDEZ RODRIGUEZ

TERESA

1972

MENDEZ RUIZ

PILAR

1524

MENDIA CONDE

SUSANA

2164

MENDIOLA BERRIOATEGORTUA

ENERITZ

2661

MENDOZA AGUILAR

ANDRES

1355

MENDOZA CASAS

ANTONIO

488

MENDOZA RESCO

CARMEN

1743

MENENDEZ CERREDO

Mª DEL PILAR

1575

MENENDEZ JEREZ

MIGUEL ANGEL

2145

787

200

VIDA Y PENSIONES, Director, C/ Serrano, 29, 28001 Madrid, ℡ 91-5761889, 91-5762205, j.medina@vypcp.com

AON HEWITT, Actuario/Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020 Guadalajara, ℡ 669624376, alejandro.medina@aonhewitt.com

SCOR GLOBAL P&C SE IBERICA SUCURSAL, Actuario No vida y Suscripción Contratos, Pº de la Castellana, 135, 9ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-7991944, 91-3517044, tmendez@scor.com

MERCER / CONSULTORIA, Principal, Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ℡ 91-4568460, ma.menendez@mercer.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

MERICAECHEVARRIA GOMEZ

ISABEL

MERINO PALOMAR

ALBERTO

2287

813

MERINO PIMENTEL

BELEN

3100

MERINO RELLAN

PEDRO JOSE

1624

MERINO ZUBILLAGA

MIGUEL ANGEL

3380

MERLO LOPEZ

MARIA CARMEN

3019

MESTRE BOSCA

SALVADOR

3306

MESTRE VALLADARES

JOSE EULOGIO

MIELGO GUDE

PEDRO

2035

MILLA MARCHAL

ALBERTO

2833

BUCK CONSULTANTS, S.L., Consultor Actuario, C/ Luis Ruiz, 111, 10º D, 28017, Madrid, ℡ 637855032, alb200sx@hotmail.com

MILNER RESEL

AITOR

2543

aitor.milner@actuarios.org

MIÑARRO PORLAN

TRINIDAD

1068

MIRA CANDEL

FILOMENO

MIRANDA BENAVIDES

NORMA

MIRAZO SANCHEZ

M. CRISTINA

318

MOLINA COLLELL

FCO. JAVIER

1934

MOLINA LORENTE

MARTA

3216

MOLINA PLAZA

ADOLFO

1996

MOLINA RUIZ

SERGIO

3248

MOLINERO BALSEIRO

ANGEL Mª

2070

ERNST & YOUNG / AUDITORIA (SECTOR ASEGURADOR), Manager, Plaza Ruiz Picasso, 1, 28020, Madrid, ℡ 91-5727304, 91-5727275, salvador.mestrebosca@es.ey.com

671

780

℡ 609504164, tminarro@telefonica.net FUNDACION MAPFRE, Vicepresidente, Pº de Recoletos, 23, 28004 Madrid, ℡ 91-5811040, 91-5815340, fmira@mapfre.com

2882

ZURICH VIDA, Actuario, Vía Augusta, 200, 08021 Barcelona, javier.molina@zurich.com

Madrid

805

MONJE OSUNA

JOSE IGNACIO

MONJO VILLALBA

JUAN MIGUEL

2837

DELOITTE, Gerente, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Torre Picasso, 28020 Madrid, ℡ 649245174, jmonjo@deloitte.es

MONTALVO RAMIREZ

JOAQUIN

2561

Bankinter SEGUROS DE VIDA, Director Técnico, C/ Alonso Cano, 85, 3º D, 28003 Madrid, ℡ 647990278, jmontalvo@bankinter.es

MONTAÑES NAVARRO

JOSE

MONTERDE ARRANZ

ALVARO

2199

MONTERO ALFEREZ

ALEJANDRO

3043

MONTERO HERNANDEZ

Mª NIEVES

2249

895

BANKIA (BANCA PRIVADA), Gestor de Patrimonios, Madrid, amontera@cajamadrid.es

MONTERO LEBRERO

PEDRO

MONTERO REDONDO

FERNANDO

2663

MONTES FUCHS

ANTONIO

2026

ERGO VIDA, Actuario de Seguros, C/ Concha Espina, 63, 28016 Madrid, ℡ 91-4565651, antonio.montes@ergogenerales.es

MONTES LAJA

MANUEL

3322

MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultor Actuario, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, 28046, Madrid, ℡ 915984096, manuel.montes@milliman.com

MONTOYA RODRIGUEZ

ANGEL

3268

MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultor, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, P. 14, 28046, Madrid, ℡ 915984089, 91-5984078, angel.montoya@milliman.com

MONZON RAMOS

ROBERTO

3031

MONZON RODRIGUEZ

CARLOS

3276

MORA BARRANTES

MARIA

3190

447

201

AEGON LEVENSVERZEKERING N. V. SUCURSAL EN ESPAÑA, REASEGURO VIDA. TRANSÁMERICA RE , Pricing Actuary, Pº de la Castellana, 143, 6º B, 28046, Madrid, ℡ 91-4491017, 91-

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 5790500, maria.morabarrantes@transamerica.eu

MORA GARCIA

MIGUEL ANGEL

MORAL SANTAMARIA

ALFONSO

1466

MORALEDA AVILA

M. VICTORIA

1127

MORALEDA NAVARRO

FRANCISCO

1175

MORALES BLANCO

JOSE ALBERTO

3217

MORALES GARCIA

Mª CARMEN

2785

970

alfonso.moral@actuarios.org

L.E.K. CONSULTING, 40 Grosvenor Place, London SW1X 7JL, UK, ℡ +442073897368, +44207389440

MORALES HERRANZ

FERNANDO

2821

MORALES MEDIANO

PABLO LUIS

2577

MORALES MORENO

CARMEN

3363

MORAN SANTOS

JAVIER

1210

MORANTE PEREZ

Mª ESPERANZA

3244

MORATAL OLIVER

VICENTE

853

MORATE ABELLA

CARLOS

3331

SANTANDER, BACKOFFICE GLOBALES MAYORISTAS, Analista de Operaciones, Avda. Club Deportivo, s/n, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 645034578, carlos.morate@gmail.com

MORATO LARA

JUAN CARLOS

1463

BBVA, SA. ℡ 91-3746177, jcarlos.morato@grupobbva.com

MORCILLO CORDERO

ALEXANDRA

2492

MORCILLO PAREJO

FRANCISCO J.

2544

MORE CIMIANO

JOSE MARIA

MORENO ADALID

LAURA

2594

MORENO AMEIGENDA

MARCOS

2413

ATLANTIS ASESORES, Actuario, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 609150099, mam@atlantis-seguros.es

MORENO CARMONA

EVA MARIA

2553

ADMIRAL GROUP, Jefe Departamentos Underwriting y Productos Complementarios, C/ Albert Einstein, s/n, Edif Insur Cartuja, 41092 Sevilla, eva.moreno@actuarios.org

MORENO CARRILLO

PALOMA

1511

MUSAAT, MUTUA DE SEGUROS A PRIMA FIJA, Responsable de Auditoria Interna, C/ Jazmín, 66, 28033 Madrid, ℡ 91-3841122, 91-3831051, paloma.moreno@musaat.es

MORENO CORDERO

Mª ANGELES

2071

PRICEWATERHOUSECOOPERS / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Gerente, Castellana, 53, 28046 Madrid, ℡ 91-6585750, 91-5685838, mariam.moreno.cordero@es.pvc.com

MORENO EXPOSITO

ADOLFO

2962

ATLANTIS ASESORES, S.L, Actuario, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 91-3835224, amx@atlantis-seguros.es

MORENO FERRER

JAIME ALBERTO

MORENO GARCIA

MANUEL

1353

MORENO GONZALEZ

JOSE ANTONIO

1843

MORENO IGLESIAS

OLGA

3307

MORENO MOLERO

Mª DOLORES

2319

MORENO MURILLO

ANGELES

2009

MORENO RUBIO

SILVIA

2582

MORENO RUIZ

RAFAEL

2118

SOUTHERN ROCK INSURANCE CO. LTD, Pricing and Actuarial Director, 1, Corral Road, Gibraltar, ℡ +44(0)1454636815, pablo.morales@sricl.com

mesperanza.morante@grupobbva.com

786

887

202

CASER, Dtor. Colectivos de Vida, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146084, jaime.moreno@caser.es PLATON SEGUROS DE CREDITO, Socio Director, C/ Platón, 20 1º - 2ª 08006 Barcelona, C/ Monasterios Suso y Yuso 67, esc E, bj A 28049 Madrid, ℡ 932 41 75 07 - 910 00 78 71, manuelmoreno@platonseguros.com

PREVISION SANITARIA NACIONAL, Drectora Asesoría Actuarial, C/ Villanueva, 11, 28001, Madrid

UNIVERSIDAD DE MALAGA/EDUCACION UNIVERSITARIA, Profesor Titular, Campus El Ejido, s/n, 29071 Málaga, ℡ 667519143, 95-2136585, rafael.moreno@actuarios.org

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

MORENO TORRES

ANGEL

3289

MORENO URRUTICOECHEA

CRISTINA

1209

MORENO VERA

PEDRO

2938

pedro.moreno@actuarios.org

MORERA NAVARRO

JOSE

2151

EUROVIDA, S.A. / EUROPENSIONES, S.A., Director Técnico, C/ María de Molina, 34, 28006, Madrid, ℡ 91-4364722, 914360263, jmorera@bancopopular.es

MORIÑIGO ALONSO

FRANCISCO J.

3077

MORO PASCUAL

ISABEL

2883

MORQUECHO ARES

BENITO

2884

MOYA REBATE

LUIS CARLOS

2481

TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid

MUNK

DIANA VALERIA

2997

TOWERS WATSON, Senior Consultant, 71 High Holborn, Londres, UK, Diana.munk@towerswatson.com

MUÑOZ FENTE

ALFONSO

2697

MUÑOZ CRESPO

LAURA

3269

MUÑOZ GARCIA

PEDRO

1294

MUÑOZ GOMEZ

ANA ISABEL

2391

MUÑOZ ITURRALDE

JOSE M.

MUÑOZ LOPEZ

JAVIER

2465

MUÑOZ MARTI

Mª DEL CARMEN

3357

MUÑOZ MURGUI

FRANCISCO

MUÑOZ OSUNA

JOSE JOAQUIN

MUÑOZ REOYO

M. CRISTINA

NADAL DE DIOS

RAMON

1381

CASER SEGUROS, Dtor. Técnico Seguros Generales, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-5955053, 915955036, rnadal@actuarios.org

NASSARRE BIELSA

Mª CARMEN

2010

MERCER, Pº de la Castellana 216, 28046 Madrid, ℡ 914569400, 913449133, carmen.nassarre.bielsa@mercer.com

NAVACERRADA COLADO

FRANCISCO

3121

GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Analista Estudios Actuariales, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid ℡ 915899292, 91-4298921, fran.navacerrada@groupama.es

NAVARRETE ROJAS

JORGE

3032

PRICEWATERHOUSECOOPERS, Pº de la Castellana, 43, 28046 Madrid, ℡ 690239011, jorge.navarrete.rojas@es.pwc.com

NAVARRO ALONSO

JOSE MANUEL

1818

ALLIANZ SEGUROS, Gestión Activo/ Pasivo, C/ César Manrique, 34, 2ºA, 28035, ℡ 676496899, josemanuel.navarro@allianz.es

NAVARRO BAS

Mª ANGELES

2120

NAVARRO DIAZ

JOSE ANTONIO

3374

UBS Investment Bank, Associate, C/ Maria de Molina, 4, 28006 Madrid, ℡ 91-4369043, 91-4369040, isabel.moro@ubs.com

ATLANTIS ASESORES, Actuario Previsión Social, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010, Madrid, ℡ 666016198, laura.mcrespo@gmail.com

AON, Consultor Riesgos Personales, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405655, 91-3405883, amunozgo@aon.es

896

GROUPAMA SEGUROS, Dtor. División Estudios Actuariales Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-2962430, javier.munoz@groupama.es DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y ACTUARIAL, Profesor Facultad de Economía, Campus dels Tarongers, s/n, 46022 Valencia, ℡ 96-3828369, munozm@uv.es

2289 763

NAVARRO MARTINEZ

LUIS

NAVARRO MIGUEL

JAVIER

1235

MEDICORASSE CORREDURIA DE SEGUROS, SAU, Director General, Pº Bonanova, 47, 08017 Barcelona, ℡ 93-5678870, javier.navarro@med.es

NAVARRO ORTEGA

OSCAR

2015

MUSAAT, Mutua de Seguros a Renta Fija, Director Técnico, oscar.navarro@musaat.es

NAVAS ALEJO

CARLOS J.

2606

UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ DE ELCHE, Profesor de Departamento de Estudios Económicos y Financieros, Avda. de la

438

203

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Universidad, s/n, Edif. La Galia, Despacho 19, 03202, Elche, Alicante, ℡ 96-6658916, cjnavas@umh.es

NAVAS LANCHAS

RAFAEL

1261

MUTUALIDAD GENERAL DE LA ABOGACIA, Subdirector General, C/ Serrano, 9, 28001 Madrid, ℡ 91-4352486, rafael.navas@mutualidadabogacia.com

NIELSEN NIELSEN

KARINA METTE

2320

karina.nielsen@actuarios.org

NIETO CARBAJOSA

FCO. JAVIER

2618

NIETO DE ALBA

UBALDO

NIETO RANERO

ARMANDO M.

2786

NIETO VARELA

EVA

2210

AVIVA CORPORACION, European Finance Transformation_Accounting Lead, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971682, eva.nieto@aviva.es

NIETO-MARQUEZ HERNANDEZ-FRAN

JAIME

2109

TOWERS WATSON / CONSULTORIA, jaime.nietomarquez@towerswatson.com

NOTARIO CALVO

Mª FELICIDAD

2471

AXA, Actuariado Área Técnica Vida, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, felicidad.notario@axa.es

NOVELLA ARRIBAS

CRISTINA

1893

NOVOA CONTRERAS

DAVID

2556

253

MERCER CONSULTING, S.L., Senior Associate, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, ℡ 91-4569438, 91-3449133, david.novoa@mercer.com

NUEZ IBAÑEZ

ANGEL

NUÑEZ ALCAZAR

BENITO

2493

815

OCHOA CUEVAS

JANA MERCEDES

3342

OCON GONZÁLEZ

PAULA

3332

OLIVAN UBIETO

ALICIA

2503

CAI VIDA Y PENSIONES, Actuario, Pº Isabel la Católica, 6, 2ª planta, 50009 Zaragoza, ℡ 97-6718939, 97-6718993, aolivan@seguros.cai.es

OLIVARES HERRAIZ

ELENA

2595

CAJA DE SOCORROS, INST. POL. MPS. A PRIMA FIJA, Actuario, C/ Espoz y Mina, 2-1º, 28012 Madrid, ℡ 91-5318495, eolivares_cajasocorro@telefonica.net

OLIVER RABOSO

JULIAN CARLOS

909

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS, Profesor, C/ Joaquín María López, 25 28015 Madrid, ℡ 667774862, julian@joliver.es

OLIVERA POLL

MIGUEL ANGEL

OLMEDO ANDUEZA

FRANCISCO

2886

858

OLONA DELGADO

MARTA MARIA

2743

ONCALADA MORO

BLANCA ISABEL

3101

OREFICE PAREJA

VANESA

3180

OREJA GUEVARA

EDUARDO

2111

SOCIEDAD MEDIADORA OREJA CORREDURIA DE SEGUROS, S.L. Gerente, C/ María Tubau, 15, Portal F, 1º 5º 28050 Madrid, ℡ 91-3588968, 91-3588634, eduardooreja@segurosoreja.com

ORELLANA PAREDES

JULIO

2987

CAJASUR ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, Jefe del Dpto. de Suscripción, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910, Benamejí, Córdoba, ℡ 654834816, jhuli5@hotmail.com

ORELLANA PAREDES

MARIA TERESA

3008

CAJASUR, ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A Jefa Servicio Actuarial, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910 BenamejíCórdoba, ℡ 654834736, teresa_orellana_paredes@hotmail.com

ORTEGA GUTIERREZ

JUAN

1683

jortegut@telefonica.net

ORTEGA RECIO

CARMEN BELEN

1961

OPTIMA PREVISION, S.L., Responsable Proyectos, C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001, Madrid, ℡ 91-7819754, 91-5780103, c.ortega@optimaprevision.com

ORTEGA RODRIGUEZ

Mª DEL PILAR

1457

MONDIAL ASSISTANCE, Directora Área Técnica y Actuarial, Edificio Delta Norte, 3, Avda de Manoteras, 46, Bis, 28050, Madrid,

204

MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultora, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, 28046, Madrid, ℡ 91-5984077, 91-5984078, marta.olona@milliman.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES ℡ 91-3255416, pilar.ortega@mondial-assistance.es

ORTI SANZ

ENRIQUE

3381

ORTIZ ALEIXANDRE

Mª NADIA

2857

ORTIZ GARCIA

JUAN LUIS

2362

ORTIZ MERINO

PEDRO C.

2290

ORTUÑO BORRAS

JUAN F.

ORZA RODRIGUEZ

ANA CLAUDIA

2751

OSACAR IBERO

PEDRO MARIA

1962

OSES FERNANDEZ

ALFONSO

2460

OTERO OTERO

ALVARO JOSE

3086

PADILLA CLAROS

JUAN DANIEL

2487

PAJARES GARCIA

VERONICA

3239

PALACIO RUIZ DE AZAGRA

JOAQUIN

865

PALOMO SANCHEZ

OCTAVIO

3309

PALOS RODRIGUEZ

EMILIO JESÚS

3333

EON ESPAÑA, C/ Medio, 12, 39003, Santander, nadia.ortiz@eon.com AXA GLOBAL DISTRIBUTORS, Spain Product Development Manager, The Capel Building – Mary`s Abbey, Dublin 7, Ireland, ℡ +353(0)14711377, pedro.ortiz@axa.com

389 TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, Pl 3ª, 28002 Madrid, ℡ 91-5905132, 91-5903009, ana.claudia.orza@towerswatson.com VIDACAIXA PREVISION SOCIAL, Actuario, Príncipe de Vergara, 110, 5ª Planta, 28002 Madrid, ℡ 91-4326848, aoses@vidacaixa.com

MAPFRE GLOBAL RISKS, Actuario, ℡ 91-5811953, vpgarci@mapfre.com J.A.P. SERCON, S.A. (CONSTRUCCION), Director Financiero, Bravo Murillo, 72, 28003 Madrid, ℡ 609164713, 91-5330935, jpalacio@japsercon.com

992

PAMPIN ARTIME

M. VICTORIA

PAMPOLS SOLSONA

FRANCESC X.

2845

CONSULTORÍA ACTUARIAL Y DE EMPRESA, Avda. Lleida, 11, 25137 Corbins, ℡ 629982626, 97-3190609, francesc.pampols@pampols.es

PARADA HERNANDEZ

JUAN ANDRES

3156

LIBERTY SEGUROS, Actuario-Área Técnica Productos Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, juan.parada@libertyseguros.es

PARLA MANZANEDO

VERONICA

3382

TOWERS WATSON, Consultor, Madrid, verónica.parla@towerswatson.com

PARRA ASPERILLA

SILVIA

2414

PARRA CRESPO

ANA

3107

PARRA MARTIN

FCO. JAVIER

2963

PARRA ZAMORANO

SERGIO

2363

PARRAGA GONZALEZ

AITANA

2480

PASCUAL COCA

BLANCA

310

PASCUAL DE SANDE

M. PILAR

1203

GENERALI ESPAÑA, S.A., DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario Vida, ℡ 635289989, aitanaparraga@yahoo.es

340

PASCUAL GIL

RAFAEL

PASCUAL LOSCOS

ARTURO

PASCUAL SAN MARTIN

MARTIN

3148

PASCUAL VELAZQUEZ

CARLOS

1665

PASTOR BERNAL

JOSE M.

PASTOR INFANTES

ELISABEL

2875

PASTOR NIETO

FERNANDO

3364

860

560

205

MUTUA MADRILEÑA, SOCIEDAD DE SEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5922889, 91-3084241, cpascual@mutua-mad.es

APELLIDOS

NOMBRE

PATRON GARCIA

RICARDO

PAVON BAHON

MARIA TERESA

Nº

DATOS PROFESIONALES

164 3104 944

PAVON BAUTISTA

MERCEDES

PEDRERO ARISTIZABAL

MARTA

2799

PEDROSA SANTAMARIA

RAQUEL

2427

MUNICH RE, Senior Client Manager Life, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, ℡ 91-4260671, rpedrosa@munichre.com

PEÑA BAUTISTA

Mª CARMEN

2619

UNIÓN DUERO VIDA, Actuario, C/ María de Molina, 13, 47001 Valladolid, ℡ 98-3421831, carmen.pena@unionduero.es

PEÑA SANCHEZ

BENIGNA

PEÑA SANCHEZ

INMACULADA

2572

MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5812188, ipenasa@mapfre.com

PEÑALVER MAYO

SONIA

2025

MUTUA MADRILEÑA AUTOMOVILISTA Pº Castellana, 33, 28046 MADRID. ℡ 915929604 ext. 3340 l spenalver@mutua-mad.es

PEÑAS BLAZQUEZ

DAVID

2472

LIBERTY SEGUROS, Manager Business Intelligence, Pº de las Doce Estrellas, 4, 4ª (Campo de las Naciones), 28042 Madrid, ℡ 699241938, david.penas@libertyseguros.es

PERAITA HUERTA

MANUEL

457

PERAITA Y ASOCIADOS, Avda. Pío XII, 57, 28016 Madrid, ℡ 913431133, 91-3593537, manuelperaita@actuarios.org

PEREA LOPEZ

RAQUEL

2335

PERELLO MIRON

JESUS

1364

PEREZ ABAD

DANIEL

2415

PEREZ ALLENDE

AMAIA

3372

PEREZ AYUSO

ANA Mª

1988

PEREZ CALDERON

RAQUEL

2292

PEREZ CAMPOS

ALFONSO

1060

PEREZ CARRASCO

ANTONIO

1039

PEREZ CUELLOS

FLOR

2838

PEREZ DE CIRIZA PEREZ DE LABOR

GUILLERMO

2336

PEREZ DE LAS HERAS

JESUS

1072

PEREZ DE MENDIOLA ZURDO

SARA

3362

PEREZ DE QUESADA LOPEZ

ALFREDO

683

PEREZ DOMINGO

M. REYES

892

PEREZ FRUCTUOSO

Mª JOSÉ

2573

PEREZ GRANADOS

JORGE DANIEL

2825

PEREZ GÜEMEZ

FERNANDO

2679

PEREZ HERRERA DELGADO

ANGEL LUIS

PEREZ JAIME

VICENTE JOSE

PEREZ JAIME

MIGUEL

221

ASISA, Actuario, C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 10, 28027, Madrid, ℡ 91-5957510, jperello@asisa.es MANAGENENT SOLUTIONS, Consultor, Pza. Pablo Ruiz Picasso 1, 28020 Madrid amaia.perez@msspain.es

TOWERS WATSON, Gerente, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903988, flor.perez@towerswatson.com

UNIVERSITAT BARCELONA, Profesor Titular, C/ Bailén, 21, 08010 Barcelona, ℡ 93-2448980, mrperez@ub.edu fidias@actuarios.org

Group Economic Capital, AVIVA, Level 14, St Helen's, 1Undershaft London, EC3P 3DQ fernando.perez@aviva.com

53 648

FRONT&QUERY S.L. Socio, C/ Antonio López Aguado, 9 – 9ºH 28029 Madrid, ℡ 91-7320821 vicente.perez.jaime@frontquery.com

1801

PEREZ JIMENEZ

JOSE M.

PEREZ JIMENEZ

RAMON JOSE

2787

PEREZ MARTIN

MARIA

3383

851

206

MONDIAL ASSISTANCE EUROPE N.V. SUCURSAL ESPAÑA, Responsable Dpto. de Suscripción, Avda. Manoteras, 46, Bis, Edificio Delta III, 28050 Madrid, ℡ 91-5255440, 91-3255352, maria.perez@mondial-assistance.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

PEREZ MENDOZA

MARTA

2297

PEREZ MOLINA

PEDRO M.

1913

PEREZ MUÑOZ

FCO. ANTONIO

2584

PEREZ NEVADO

JOSE L.

2607

PEREZ PEREZ

JESUS

2268

PEREZ PEREZ

ANA BELEN

3202

PEREZ RODRIGUEZ

OSCAR

2073

PEREZ TRIPIANA

SALVADOR

1281

MAPFRE FAMILIAR, Técnico, Ctra Pozuelo, 50, 28222 Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5811884, sper10@mapfre.com

PEREZ-BAHON MARTIN

ALVARO

2698

MAPFRE EMPRESAS, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5818308, perezba@mapfre.com

PERIBAÑEZ AYALA

FERNANDO

2466

PERROTE RICO

LUIS ANTONIO

PESCADOR CASTRILLO

M. DOLORES

826

PESQUERA MORON

FCO. JAVIER

2721

PICAZO SOTOS

JOAQUIN

2036

PICHARDO RUSIÑOL

ESTHER

2545

PILAN CANOREA

OVIDIO

2752

PINILLA DE LA GUIA

Mª PAZ

1600

PIÑEIRO OUTEIRAL

RUBEN DAVID

2608

PLASENCIA RODILLA

ANA BELEN

2699

PLAZA ESTEBAN

JUAN JOSE

3386

PLAZA MAYOR

PABLO

PLAZA RESA

PALOMA

3310

PLAZA VELASCO

ANA

3143

POBLACIONES BUENO

LUIS

POLVORINOS DIAZ

JOSE ALBERTO

CAI VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Pº Isabel la Católica, 6-2ª Planta, 50009 Zaragoza, ℡ 976-718991, 976-718993 pperez@seguros.cai.es

ACTUARIOS Y SERVICIOS FINANCIEROS, SL, Consultor, C/ Peñalara, 3 bloque 2, piso 2º, 28224 Pozuelo de Alarcón, jp.perez@telefonica.net

983

GRUPO SANTANDER, Chief Risk Officer, Avda. Cantabria, s/n, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 91-2890013, mdpescador@gruposantander.com BANCAJA, Director Oficina, C/ Pintor Gisbert, 5, 03005 Alicante, ℡ 965-921658, 965-131302, fpesquera@bcj.qbancaja.com

AVIVA, Head of Regulatory Economic Capital, ST Helen´s, 1, EC3P 3DQ London

TOWERS PERRIN, Director, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, pablo.plaza.mayor@towersperrin.com

489 3340

MAPFRE RE, Actuario, Departamento Riesgos, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 91-5811616, pjoseal@mapfre.com

POMAR FERNANDEZ

M. CARMEN

346

POMARES PUERTO

M. CARMEN

3171

PONS-SOROLLA BELMONTE

HELIO

3191

PORRAS DEL CORRAL

FRANCISCO J.

PORRAS RODRIGUEZ

ANTONIO

PORTILLA ACEVEDO

JORGE

2665

PORTILLO NAVARRO

MANUEL JESUS

2446

MAZARS AUDITORES/ AUDITORIA, Senior Mánager, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, ℡ 915624030, manuel.portillo@mazars.es

PORTUGAL GARCIA

IZASKUN

2321

LINEA DIRECTA ASEGURADORA / SEGUROS, Responsable Suscripción Hogar, C/ Isaac Newton, 9, PTM, 28760, Tres Cantos Madrid, ℡ 91-8054236, ldaipg@lineadirecta.es

SEGUROS, Actuario, C/ Domingo Fernández,5, 28036 Madrid, ℡ 91-1159211, heliopons@sorolla.org.es

418 326

207

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

POSTIGO VERGARA

IGNACIO

POVEDA MINGUEZ

INMACULADA

3348

POZUELO DE GRACIA

EMILIANO

2313

PRADA GARCIA

Mª ANGELES

3094

PRAT ALUJAS

MONTSERRAT

3271

TRUST RISK GROUP, Assistant Accounts Manager, St. Mary Axe, Londres, UK, m.prat@yahoo.es

PRECIOSO GARCIA

CRISTINA PILAR

2400

AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS – GRUPO AVIVA, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971878, 912971736, cristina.precioso@aviva.es

PRIETO COBO

Mª DEL ROCIO

1929

PRIETO GIBELLO

FERNANDO

1795

PRIETO MONTES

LAURA

2433

PRIETO PEREZ

EUGENIO

PRIETO REAL

GEMA

2461

PRIETO RODRIGUEZ

ENRIQUE

3181

IMA IBERICA/ SEGUROS DE ASISTENCIA, Responsable del Departamento de Control de Gestión, C/ Silvano, 55, 28043 Madrid, ℡ 91-3434963, enrique.prieto@imaiberica.es

PRIETO RODRIGUEZ

CARLOS

3229

DELOITTE / ACTUARIAL, Consultor Senior, Plaza Pablo Ruiz Picasso, s/n, 28020 Madrid, ℡ 91-5145000, 91-5145180, caprieto@deloitte.es

PRIETO SEGURA

FERNANDO

1839

GABINETE FINANCIERO DEL PROFESOR DR. EUGENIO PRIETO PEREZ, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91638.40.85, 91-638.40.85, fprietosegura@terra.es

687

176

CAJASUR, Jefe de Gestión de la Liquidez, Avda. Gran Capitán, 1113, 14008 Córdoba, ℡ 957-210574, 957-210974, emiliano.pozuelo-de@cajasur.es

GABINETE FINANCIERO DEL PROF. DR. EUGENIO PRIETO, Presidente, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91638.40.85, 91-638.40.85, eprietop@terra.es

PRIMO MEDINA

CARLOS

PRO GONZALEZ

JESUS MANUEL

2666

113

PROVENZA GARCIA-SUAREZ

JORGE

1890

PUCHE DE LA HORRA

J. GABRIEL

PUENTE MENDEZ

ALBERTO

1547

PUERTA BARROCAL

Mª CATALINA

2350

PUERTAS PEDROSA

JOSE ANTONIO

1784

PUGA FERNANDEZ

JUAN

586

PUIG DEVLOO

JUAN

2737

HISCOX, Manager de Arte y Clientes Privados, María de Molina, 37, Bis, 28006, Madrid, ℡ 91-5776293, jpuig1@gmail.com

PULIDO LEBRON

DAVID

2524

HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 91-3834700, 91-3834701, david.pulido@hna.es

PULIDO PAREJO

RICARDO

2155

HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, ricardo.pulido@hewitt.com

PULIDO RODRIGUEZ

ALEJANDRO

2123

QUERO PABON

CARLOS A.

966

QUESADA SANCHEZ

FCO. JAVIER

599

QUETGLAS RUIZ DE ALEGRIA

SANDRA

2296

QUILIS ISERTE

LUIS ENRIQUE

3130

QUINTANA DE LA OSA

JAVIER

2858

979

208

DELOITTE, S.L./CONSULTORIA, Socio, Plaza Pablo Ruiz Picasso, s/n, 28020, Madrid, ℡ 91-4432027, 91-5145180, jpuche@deloitte.es SANTANDER SEGUROS, Actuario Vida, catypuerta@gmail.com

UNIVERSIDAD CASTILLA LA MANCHA, Catedrático Universidad, ℡ 630067747, javier.quesada@uclm.es MERCER CONSULTING, S.L., Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ℡ 629740781, squetglas@yahoo.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

QUINTANA GONZALEZ

JOSE JUAN

1241

QUIÑONES LOZANO

FAUSTINO

2165

QUIROGA NARRO

SIXTO ABEL

RABADAN ATIENZA

MIREYA P.

2667

RAMI PEREZ

CARLOS RAUL

2299

RAMIREZ ESPEJO

MARIO

2043

RAMIREZ GARCIA

CARLOS

1109

RAMIREZ PEREZ

FERNANDO I.

RAMIREZ PEREZ

DATOS PROFESIONALES

312

UNESPA, Dtor. de Asesoría Actuarial y Financiera, C/ Núñez de Balboa, 101, 28006 Madrid, ℡ 917452179, 917451531, carlos.rami@unespa.es

564

SCOR GLOBAL LIFE, 701 Brickell Ave. Suite 1270, 33131, Miami, iramirez@scor.com

Mª CRUZ

1509

UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, Personal Docente e Investigador, Pº de los Artilleros, s/n, Vicálvaro, 28032 Madrid, ℡ 91-4888005, cruz.ramirez@urjc.es

RAMIREZ TORRES

JOSE F.

2428

SWISS RE EUROPE, SUCURSAL EN ESPAÑA, Client Manager Spain & Portugal, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046 Madrid, ℡ 91-5982356, 91-5981779, josefrancisco_ramirez@swissre.com

RAMIRO MORENO

MARIA DEL PILAR

3230

GRUPO GENERALI ESPAÑA, Área de Control Técnico Servicio Actuarial No Vida, Orense, 2, 28020, Madrid, pramiro.moreno@gmail.com

RAMPEREZ BUTRON

RAQUEL

3231

PURISIMA CONCEPCION MPS / SEGUROS, Augusto Figueroa, 3, 1º, 28004 Madrid, ℡ 91-5215483, raquel.ramperez@purisimamps.es

RANZ ALDEANUEVA

SANTIAGO

2482

WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046, Madrid, ℡ 679194913, sranz@willis.com

RANZ RICO

MARIA

3232

GESINCA CONSULTORA (CASER), Consultora Actuarial, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146625, mranzrico@caser.es

REAL CAMPOS

SERGIO

2104

MAPFRE FAMILIAR, Head of Business Analitics, Carretera de Majadahonda a Pozuelo, 28222, Madrid, ℡ 91-5912501, srealca@mapfre.com

RECIO GARCIA

NOELIA

2668

RECIO MANCEBO

ELENA

2735

RECIO ORTAL

PEDRO LUIS

2322

REDONDO HERNANDEZ

Mª ANGELICA

2241

SCOR, Jefe de Reservas No Vida, Control de Riesgos Grupo, Inmueble SCOR, 1, Av. Du General de Gaulle, 92074, Paris-La Defense, ℡ +33(0)146987233, aredondo@scor.com

REDONDO MARTIN

ARANZAZU

2788

SANITAS, S.A. DE SEGUROS, Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid, ℡ 91-5852486, aredondo@sanitas.es

REINA GARCIA

SUSANA

2018

REINA MARIN

JOAQUIN

2722

C.E.S.C.E., S.A. / SEGUROS, Jefa Unidad Control de Gestión y Planificación, C/ Velázquez, 74, 28001, Madrid, ℡ 902111010, 915766583, erecio@cesce.es

GRUPO AGBAR, Responsable Administrador y Finanzas, C/ Alona, 31, 03008 Alicante, ℡ 96-5106352, joaquin.reina@emarasa.es

REINA PROCOPIO

FRANCISCO

RENESES ASENJO

ENRIQUE

1342

150 INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, ℡ 902199670 91-4133950, info@ingesac.com

REQUEJO PERELA

OSCAR

3009

LA ESTRELLA / SEGUROS, Actuario de Reaseguro, C/ Orense, 2, 28028, Madrid, ℡ 91-3301452, orequejo@laestrella.es

REQUENA CABEZUELO

PILAR

1677

REVUELTA MATEO

SUSANA

2037

REY GAYO

ALFREDO

1848

209

GROUPAMA SEGUROS, Actuario, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, Susana.revuelta@groupama.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

RIBAGORDA FERNANDEZ

NURIA

1878

RIBAGORDA FERNANDEZ

JUDITH ADELA

2152

RICO ALBERT

VICENTE

2523

RICOTE GIL

FERNANDO

RIEGO MIEDES

ENRIQUE

3168

RIGOLLET

ADRIAN

3366

RINCON GALLEGO

Mª ISABEL

2242

HNA, Actuario, Avda de Burgos, 19, 28036, Madrid, ℡ 91-3834700, 91-3834701, isabel.rincon@hna.es

RIO ESTEBAN

YOLANDA

2502

AEGON, Actuaria, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432857, rio.yolanda@aegon.es

RIOJA GONZALO

JESUS MARIA

1032

PREVISION SANITARIA NACIONAL, MUTUA A PRIMA FIJA, Director Financiero Grupo, Villanueva, 11, 28001, Madrid, ℡ 914311244, 91-5782914, jesus.rioja@actuarios.org

RIVAS GONZALEZ

DIEGO

3021

RIVAS GOZALO

JAVIER

2307

SWISS RE, Director – Risk Transformation and Structured Life Reinsurance, Mythenquai, 50-60, 8022, Zurich, Suiza, ℡ +41432856250, javier_rivas@swissre.com

RIVAS SANCHEZ

CRISTINA

2851

NACIONAL DE REASEGUROS, S.A., Client Manager, Zurbano, 8, 28010 Madrid, ℡ +34 91-3081412, crs@nacionalre.es

RIVERA COLOMBO

SARA

2214

WATSON WYATT, Consultor Senior, C/ María de Molina, 54, pl. 7ª, 28006, Madrid, ℡ 627590365, 91-7612677, sara.rivera@watsonwyatt.com

RIVERA SERRANO

ANA Mª

3185

RIVERO NIETO

CRISTINA

2998

RIZO FERNANDEZ

JOAQUIN

699

ESPAÑA, SA. COMPAÑIA NACIONAL DE SEGUROS, Secretario General y Dtor. Financiero, Príncipe. de Vergara, 38, 28001 Madrid, ℡ 91-4355980, 91-4314095, jrf@espanasa.com

ROBLEDA HERNANDEZ

SERGIO

3144

AXA, L&S Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 647538324, sergio.robleda@axa.es

ROBLEDILLO MARTIN

JOSE

1326

SANITAS , S.A. DE SEGUROS, C/ Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid, ℡ 91-5855817, jrobledillo@sanitas.es

ROBLES ESTEBAN

FCO. JAVIER

RODENAS CASAS

MANUEL

RODRIGO BORJA

GONZALO J.

753 GENERALI SEGUROS, Actuario Autos, Orense, 2, 28020, Madrid, e.riego@generali.es

AXA SEGUROS GENERALES, Responsable de Siniestralidad, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388711, cristina.rivero@axa.es

816 270 2222 721

RODRIGO VIGIL

ROSARIO

RODRIGUEZ ALVAREZ

LAURA

3205

RODRIGUEZ BURRIEZA

DAVID

2126

RODRIGUEZ CANO

BORJA

3334

RODRIGUEZ DE CELIS

DIEGO FERNANDO

3196

AVIVA, Fco. Silvela, 106, 6º A, 28002 Madrid, ℡ 91-2971752, david.rodriguez@aviva.es

382

RODRIGUEZ DE DIEGO

JOSE

RODRIGUEZ DIAZ

GONZALO

3044

RODRIGUEZ GARCIA RENDUELES

MANUEL

1130

RODRIGUEZ GOMEZ

ISABEL

3233

RODRIGUEZ GONZALEZ

LUIS

RODRIGUEZ GONZALEZ

JOSE CARLOS

605 1951

210

PATRIA HISPANA, S.A. / SEGUROS, Responsable Dpto. Automóviles, C/ Serrano, 12, 28001 Madrid, ℡ 91-5664005, 5767521, siniauto@patriahispana.com

91-

APELLIDOS

NOMBRE

RODRIGUEZ GONZALEZ

MARIA DE LA O

RODRIGUEZ HERMIDA

JULIO HIPOLITO

RODRIGUEZ MACHO

NURIA

Nº

DATOS PROFESIONALES

2196 481 2478

RODRIGUEZ MERINERO

TEOFILO

578

RODRIGUEZ OCAÑA

PEDRO M.

531

RODRIGUEZ PALMA

M. JESUS

701

RODRIGUEZ PASCUAL

RAQUEL

RODRIGUEZ PEREZ

FCO. CARMELO

RODRIGUEZ ROZA

MARIA INES

3022

RODRIGUEZ SANCHEZ

SANTIAGO

1189

RODRIGUEZ VICENTE

SANTIAGO

623

RODRIGUEZ VILLAREJO

MANUEL

RODRIGUEZ-PARDO DEL CASTILLO

JOSE MIGUEL

RODRIGUEZ-RICO ROJAS

MARTA

2243

ROJAS GONZALEZ

CRISTINA

2929

ROJO CABALLERO

CARMEN MARIA

3220

ROLDAN GARCIA

M. JESUS

968

ROMAN ALONSO

JOSE JAVIER

930

ROMAN ARRIBAS

MONICA

1898

ROMAN DIEZ

SANTIAGO

2669

ROMAN MARTIN

JESUS MANUEL

2552

AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Responsable Riesgos de Seguros y ERM / Program Manager Solvencia II, Fuente de la Mora, 9, 28050 Madrid, ℡ 91-2971733, jm.roman@aviva.es

ROMERA IGEA

SANTIAGO

1948

AREA XXI / SEGUROS, Socio Director, C/ Ayala, 11, 28001 Madrid, ℡ 649260484, 91-4263869, sromera@area-xxi.com

ROMERO ESPUIG

MARIA BEATRIZ

2789

BBVA, C/ Juan de Valero, 3, 12450, Jérica (Castellón), ℡ 964129316, 963-616288, beatriz.romero@grupobbva.com

ROMERO ESTESO

GERARDO

1439

CASER / SEGUROS, Dtor. General Adjunto, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, 91-2146821, 91-2018894, gromero@caser.es

ROMERO CANO

FCO. JAVIER

3335

ROMERO GAGO

ALBERTO

1193

HEALTH CLINIC CONSULTANTS, S.L., CONSULTORA SANITARIA, Socio Gerente, C/ príncipe de Vergara, 9, 4º D, 28001 Madrid, ℡ 91-7818235, 91-7818236, hcc1@hcc.es

2974 712

81 800

UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS, S.A.), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760, Tres Cantos, ℡ 91-5947762, cristina_rojas@race.es CNP INSURANCE SERVICES, S.A., C/ Ochandiano, 10, Pta. 2, El Plantío, 28023 Madrid, ℡ 91-5243400, 91-5243401, mariajesus.roldan@cnpinsuranceservices.eu

CONFEDERACION ESPAÑOLA DE MUTUALIDADES, Director Gerente, C/ Santa Engracia, 6, 2º Izq. 28010 Madrid, ℡ 913195690, 91-3196128, alb.romero@m3d.net

ROMERO GARCIA

MIGUEL ANGEL

ROMERO HUERTAS

PAULA

3323

409

ROMERO MORENO

MARTA MARIA

2416

AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405568, 91-3405883, mromerom@gyc.es

ROSADO CEBRIAN

BEATRIZ

3297

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA, Profesor Docente e Investigador, Avda. de la Universidad s/n, 10071, Cáceres, ℡ 646541235, brosadot@unex.es

ROSAS MENAYA

CARLOS

3262

CIGNA LIFE INSURANCE, Senior Underwriter, Parque Empresarial La Finca, Edif. 14, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 913985782, 91-4184938, carlos.rosas@cigna.com

ROYO BURILLO

JOAQUIN

ROYO GARCIA

BEATRIZ

3113

211

BANKIA, Oficina 4400, Plaza Mayor, 13, 19001 Guadalajara, ℡

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 660004928, broyo@bankia.com

ROYO MORENO

JESUS

675

CAJA CASTILLA LA MANCHA, CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Director, C/ Paris, 2, 45003 Toledo, ℡ 902194977, 925213003, jroyom@ccm.es

RUBIO VALRIBERAS

DAVID

2038

RUBIO BARRAGAN

ANA ISABEL

2826

RUBIO MARQUEZ

CESAR

3312

RUBIO MOLERO

RAQUEL

1744

RUBIO MUÑOZ

KATIA

2127

RUBIO RODRIGUEZ

ROBERTO

2089

RUBIO RODRIGUEZ

CAROLINA

2801

RUEDA GARCIA PANDO

JAVIER

1553

RUIZ BUTRAGUEÑO

CARLOS

3206

RUIZ CAMACHO

RAFAEL

1627

RUIZ DE ARBULO GUBIA

IZASKUN

3157

RUIZ DE LA CRUZ

CARMEN

877

BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario Asociado, C/ Marqués de la Ensenada, 14, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 91-3080019, 913081082, carmen.ruiz@benedictoyasociados.biz

RUIZ DEL MORAL LIZUNDIA

JAVIER

1077

GENERAL REINSURANCE AG, SUCURSAL EN ESPAÑA, Senior Account Executive, Plaza Manuel Gomez Moreno, 2, 28020 Madrid, ℡ 91-7224736, 91-3195750, Javier.ruizdelmoral@genre.com

RUIZ GONZALEZ

ESTHER

2827

FUNDACION MAPFRE, Bárbara de Braganza, 14, 28004, Madrid, eruiz@mapfre.com

RUIZ MARTIN

ENRIQUE

1221

REINSURANCE GROUP OF AMERICA, Vicepresidente Desarrollo de Negocio y Marketing, Pº de Recoletos, 33, Planta 1, 28004, Madrid, ℡ 91-6404340, 91-6404341, eruiz@rgare.com

RUIZ MEIS

GONZALO

1429

RUIZ MONTERO

RAQUEL

2638

RUIZ RUIZ

MARTA

2473

RUIZ SALSAS

RAQUEL

3023

RUIZ SANZ

CLARA ISABEL

1122

RUIZ SAZ

PILAR

1367

RUIZ VALCARCEL

JUAN

2392

RUMOROSO MARTINEZ

BEATRIZ

2483

SADORNIL PORRAS

JOSE MANUEL

1143

SAENZ GILSANZ

EMILIO

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

LUIS MARIA

1865

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

Mª ELENA

2245

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

FELIX JAVIER

2308

SKANDIA WEALTH MANAGEMENT, Avda de las Dos Castillas, 33, Ática, Edif. 7, 28224, Pozuelo de Alarcón, Madrid, fsaezj@skandia.es

SAINZ GARCIA

JUAN JOSE

706

GP ASESORES, S.L. / CONSULTORIA, Socio Director, Esquilache, 6, 28003, Madrid, ℡ 91-5540838, j.sainz@actuarios.org

SAIZ GARCIA

CRISTINA

OPTIMA PREVISION, Director, Veláquez, 14, 28001, Madrid, ℡ 917819754, 91-5780103, r.rubio@optimaprevision.com

MAPFRE VIDA, Dpto. Técnico – Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 91-5813971, mruizr@mapfre.com

GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Directora de Previsión Social, Cajas Zona Norte y Este, Avda. Burgos, 109, 28050, Madrid, ℡ 91-2146071, pruiz@caser.es TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5640035, beatriz.rumoroso@towersperrin.com

996

2802

212

AXA, Director Vida, Pensiones y Servicios Financieros, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, ℡ +34 639140101, luismaria.saez@axa.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

SAIZ ZABALLOS

M. ISABEL

SALA MENDEZ

VICENTE

759

SALAS MARTIN

ROSA

3137

TOWERS WATSON RISK CONSULTING (SPAIN), S.A., Suero de Quiñones, 40-42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, rosa.salas@towerswatson.com

SALINAS ALMAGRO

MARIO

1155

OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5 28020 Madrid, ℡ 91-3192233, , mario.salinas@overban.com

SALVADOR ALONSO

RODRIGO

2940

BBVA, Jefe Equipo Auditoria Pensiones y Seguros, Plaza Santa Bárbara, 1, 28004 Madrid, rodrigo.salvador@grupobbva.com

SALVADOR GONZALEZ-BAYLIN

AFRICA PILAR

2745

CRH, C/ Basauri, 6, Parque Empresarial La Florida, 28023 Aravaca (Madrid), ℡ 91-5751275, asalvador@cyrsha.com

613

SAMITIER CABALLERO

EDUARDO

SAN JUAN BARRERO

JESUS A.

3065

663 jesanju@gmail.com

SAN ROMAN DE PRADA

ANTONIO

2836

MUNICH RE/REASEGURO, Client Manager, Pº de la Castellana, 18, 28011 Madrid, ℡ 91-4319633, 91-4310698, ASanRomandePrada@munichre.com

SANCHEZ-BARBUDO ACEDO

BLANCA

3349

SANCHEZ BARRAL

JUAN ANDRES

2965

SANCHEZ BURGUILLO

Mª ELENA

2364

SANCHEZ DELGADO

EDUARDO

1579

MAPFRE FAMILIAR, Director Área Actuarial, Carretera de Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5814726, edsanch@mapfre.com

SANCHEZ DOMINGUEZ

JOSE RAMON

2176

BANCA CIVIICA, Director Cuentas Gradnes Empresas, Rosario Romero, 25, 28029 Madrid, ℡ 91-7321167 / 682757465, 917321171, joseramon.sanchez@cajanavarra.es

SANCHEZ GARCIA

GONZALO

2803

SANCHEZ GARCIA

YOLANDA

2915

SANCHEZ GONZALEZ

HIPOLITO

SANCHEZ GONZALEZ

Mª ESTHER

2365

SANCHEZ IGLESIAS

M.ª DEL PILAR

1230

SANCHEZ LAMBEA

Mª CARMEN

1822

SANCHEZ MARTIN

JOSE LUIS

1170

CONCENTRA, Director Previsión Social, Costa Brava, 13, 28034 Madrid, ℡ 91-5557843, j.l.sanchez@concentragrupo.com

SANCHEZ MARTIN

MERCEDES

1315

CLICKSEGUROS, Santa Leonor, 65, 28047, Madrid, mercedes.sanchez@clickseguros.es

IDEAS, Directora Previsión Social y Beneficios, General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, psanchez@ideas-sa.es

SANCHEZ MARTINEZ

JOSE

SANCHEZ MARTINEZ

RAFAEL ANTONIO

3354

292

SANCHEZ ORDOÑEZ

FCO. JAVIER

1048

SANCHEZ ORMEÑO

JOSE ANTONIO

2760

ATTEST SERVICIOS EMPRESARIALES, S.L.P., Gerente Auditoría, Orense, 81, 7ª Planta, 28020, Madrid, ℡ 91-5561199, 91-5569622, jsanchez@attest.es

SANCHEZ PATO

RICARDO

2021

RGA REINSURANCE COMPANY, Director Desarrollo de Negocio, Crta. A Coruña, km 24, Edif. Berlín, 28290 Las Rozas (Madrid), rspmmc@gmail.com

SANCHEZ RODRIGUEZ

OLGA

1859

SANCHEZ RUBER

JUAN

3384

SANCHEZ RUIZ

JOSE ANTONIO

2671

C/ Alvado, 23, 03202, Elche ( Alicante ), ℡ 661852403, jsanchezruiz@hotmail.com

SANCHEZ SUSTAETA

ALEJANDRO

3222

TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 40-42,

213

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 28002 Madrid, ℡ 91-5903012, alejandro.sanchez@towerswatson.com

RICARDO

SANCHEZ TREBEJO

JUAN

878

CNP Vida, Dtor. de Recursos Humanos, C/ Ochandiano, 10 , 28023 El Plantío Madrid, ℡ 91-5243400, juan.sanchez@cnpvida.es

SANCHEZ UTRILLA

JUAN ANTONIO

2529

SANCHEZ-CANO TORRES

JAIME

1556

SANCHEZ-CRESPO BENITEZ

MARTA

2620

SANCHEZ-PACHECO DE VEGA

JESUS

3208

SANCHIS MERINO

HECTOR

1675

SANCHO GARCIA

AGATA

2337

WILLIS, Directora Vida y Pensiones, Pº Castellana, 36-38, 28046 Madrid, ℡ 914233482

SANMARTIN RUIZ

ALICIA

427

BUCK CONSULTANTS, S.L., Directora General, Ribera del Loira, 16-18, 28042 Madrid, ℡ 91-3102699, 91-3102697, alicia.sanmartin@buckconsultants.com

SANMARTIN RUIZ

JOSE MARIA

SANS Y DE LLANOS

AGUSTIN

SANTAMARIA CASES

MARIA PILAR

2395

SCOR GLOBAL LIFE, IBERICA SUCURSAL, Directora de Suscripción y Marketing, Pº de la Castellana, 135, 28046 Madrid, ℡ 91-4490810, 91-4490824, psantamaria@scor.com

SANTAMARIA DEL ESTAL

ESTHER

2447

HELVETIA COMPAÑIA SUIZA,S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento de Inversiones, Pº de Recoletos, 6, 28001, Madrid, ℡ 91-4363239, 91-4318286, esther.santamaria@helvetia.es

SANTAMARIA IZQUIERDO

JOSE IGNACIO

2197

AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 902114611, 91-3405883, jsantami@aon.es

SANTAMARIA SANCHEZ

IGNACIO

1366

MERIDIANO COMPAÑIA ESPAÑOLA DE SEGUROS, S.A., Director Técnico-Actuarial, C/ Olozaga, 10, 29005 Málaga, ℡ 952221628, 952-217161, isantamaria@meridiano.grupoasv.com

SANTAMARIA TAVIRA

MARIA ISABEL

2791

SANTOLALLA BEITIA

JAVIER

1301

SANTOS DE BETANCOURT

PAULA

3033

SANTOS GONZALEZ

ANGEL

2548

KPMG, Pº de la Castellana, 95, Torre Europa, 28046 Madrid, ℡ 91-4583400, 91-5550132, angelsantos@kpmg.es

SANTOS JUAREZ

Mª ROSARIO

1404

Gesinca Actuarios S.A.P., rsantos@gesincactuarios.es

SANTOS MIRANDA

ALFREDO

2684

SANTOS PERONA

ALBERTO

3138

SANZ ALBORNOS

MIGUEL

2429

AON BENFIELD, Actuario Consultor Reaseguro, juanantonio.sanchez@aonbenfield.com

KPMG, Consultor, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91 456 34 00, ℡ 645 470 500 jsanchezpacheco@kpmg.es

1023 104

CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

861

SANZ ARNAL

ERNESTO

SANZ CHICHARRO

DAVID

2224

BENEDICTO Y ASOCIADOS, SOCIEDAD DE ACTUARIOS, S.L., C/ Marqués de la Ensenada, 16, 3ª Planta, Oficina 23, 28004, Madrid, ℡ 91-3080019, Davidsanz@benedictoyasociados.biz

SANZ HERRERO

CARLOS

2271

GRUPO SANTANDER, DIVISIÓN GLOBAL DE SEGUROS, Canal Affinity, Ciudad Grupo Santander, 28660 Boadilla del Monte, ℡ 912894901, carlsanz@gruposantander.com

SANZ MORENO

ALBERTO

2396

SANZ SANCHEZ

LAURA

3299

SANZ SANCHEZ

SERGIO

3078

SANZ Y SANZ

Mª PAZ

1814

214

LIBERTY SEGUROS / ACTUARIAL NO VIDA, Actuario, Bulevar de Entrepeñas, 2, Portal 1, 1º B, 19005 Guadalajara, ℡ 606643314, 949490354, sergio.sanz@libertyseguros.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

SANZ-CRUZADO REPULLO

JUAN

SARABIA MONTES

MARTA

1351

961 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971737, 91-2971756, marta.sarabia@aviva.es

SARACHAGA CORTADI

ESTHER

2369

CAJASTUR VIDA Y PENSIONES, S.A., Responsable de Administración, C/ Martínez Marina, 7, Bajo, 33009, Oviedo Asturias, ℡ 98-5207053, 98-5209384, esarachaga@cajasturvida.es

SARDA ITURRALDE

JOSE MANUEL

SARRICOLEA BILBAO

ALBERTO

2578

354

SASTRE BELLAS

JOSE FCO.

1329

SATRUSTEGUI SILVELA

ALVARO

1202

SAYALERO DE LA OSA

MERCEDES

1808

LIBERTY SEGUROS, Actuario Senior, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, mercedes.sayalero@libertyseguros.es

SEBASTIAN CASTRO

FCO. SIMEÓN

3336

COLUMBIA BUSINESS SCHOOL, 3260 Henry Hudson PKWY, 10463 Nueva York, NY, fsebastian13@gsb.columbia.edu

SEGURA ARMIJO

ANTONIO J.

2753

SEGURA GISBERT

JORGE

3186

SEGURA URETA

JESUS

1994

AMA SEGUROS, Director Técnico, Vía de los Poblados, 32, 28033 Madrid, ℡ 652862508, jesus.segura@actuarios.org

SENDRA VIVES

TERESA MARIA

1330

LIBERTY SEGUROS, Directora Control Gestión y Planificación, C/ Zamora, 54 08005 Barcelona teresa.sendra@libertyseguros.es

SERRANO CENTENO

ISMAEL

2295

SERRANO DE TORO

Mª JOSE

1340

SERRANO HURTADO

DAVID

2160

SERRANO OLABARRI

NEREA

3197

SERRANO PEREZ-BUSTAMANTE

GONZALO

2090

SERRANO PINAR

TOMAS

SERRANO POZUELO

JUAN CARLOS

CXG OPERADOR BANCA SEGUROS CAIXA GALICIA, Director Técnico, Polígono Pocomaco, Parc. A 3, Naves F-G, 15190 A Coruña, ℡ 98-1217950, jsastre@cxg.es

MAPFRE, Actuario, Carretera Majadahonda - Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5813339, daserra@mapfre.com

349 1997 189

SERRANO TERRADES

RAFAEL

SILVA QUINTAS

JOSE JAVIER

1108

SILVA SANZ

OLIVIA

2549

SILVEIRO GARCIA

JOSE MANUEL

2840

MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, S.L., Director de Propety & Casualty, Pº de la Castellana, 91, Planta 14, 28046 Madrid, ℡ 91-5984403, 91-5984078, jose.silveiro@milliman.com

SIMON MUÑOZ

SERGIO

3277

DELOITTE, S.L. Consultor, Pza. pablo Ruiz Picasso, 1, T. Picasso, 28020 Madrid, ℡ 91-5145000 ssimonmunoz@deloitte.es

SIRVENT BELANDO

FCO. DE PAULA

2724

SOBRINO BARONA

JUAN CARLOS

2500

SOBRINO SANZ

MAITE

2550

SOBRINOS VELASCO

FCO. JAVIER

1000

SOLANA GARCIA

GUSTAVO

3278 879

SOLER DE LA MANO

AGUSTIN MARIA

SOLSONA PIERA

JAVIER

2255

SORIANO MOYA

DANIEL

2597

215

AVIVA, Actuario, Alcalde José Aranda, 3, 7º D, 28922 Alcorcón, Madrid, jc.sobrino@aviva.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

SOROA HERRERO

FELIX

1111

HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, felix.soroa@hewitt.com

SOROLLA DE LUIS

EDUARDO L.

2593

AEGON SALUD, COMPAÑÍA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento Técnico, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432853, 91-5632938, sorolla.eduardo@aegon.es

SOTO GARCIA-JUNCO

IÑIGO

1654

STEWART

NEIL MATTHEW

2623

SUAREZ NUÑEZ

JOSE BENIGNO

1554

SZÉKELY ELU

LEIRE

2052

TABOADA CABREROS

DAVID

3079

TADEO RIÑON

LORETO ALICIA

1362

TAHOCES ACEBO

BERNARDO

TAPIAS GREGORIS

VICTOR F.

126 2338

TEJADA HERRERO

ELOY

TEJEDOR ESCOBAR

MARIA

2792

WILLIS IBERIA, Consultor, Pº de la Castellana, 36-38, 28046 Madrid, ℡ 91-4233581, 91-4317821, maria.tejedor@willis.com

TEJEDOR TORDESILLAS

ELISA

2674

AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, C/ Fuente de la Mora, 9, 28050 Madrid, elisa.tejedor@aviva.es

TEJERA MONTALVO

ESTEBAN

TEJERO JUBERIAS

MANUEL

3373

TELLO ALONSO

JESUS

1989

TELLO CANDIL

JOAQUIN FELIX

3258

TEXEIRA CERÓ

JOSÉ MARÍA

2039

TIERRA ANCOS

MANUEL

3259

TOLEDANO PEÑAS

RAUL

3034

141

574

MAPFRE, S.A., Consejero Director General, Carretera Pozuelo a Majadahonda, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5814702, 91-5811975, estebantejera@mapfre.com

HELVETIA SEGUROS, S.A., Actuarial Vida, Dpto Seguros Personales, Pº de Cristobal Colón, 26, 41001, Sevilla, ℡ 954593200, manuel.tierra@helvetia.es

TOMAS MARTIN

ANGEL

TOMAS PEREZ

CRISTINA

1157

DIAGNOSTICO Y SOLUCIONES, S.L., Socia, Dr. Roux, 62, 6ª, 08017 Barcelona, ℡ 606953506, tomas.cristina@gmail.com

TORAL VICARIO

RAQUEL

1906

HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 91-3834700, 91-3834701, raquel.toral@hna.es

TORIBIO ROMERO

ALICIA

3209

TORNOS OLIVEROS

M. BEGOÑA

459

TORRALBA VAZQUEZ

FERNANDO

3102

261

NACIONAL DE REASEGUROS, S.A., Actuario. Jefe Departamento. No Proporcional, C/ Zurbano, 8, 28010, Madrid, ℡ 91-3081412, 91-3085542, ftv@nacionalre.es

TORRE AURTANECHEA

JOSÉ LUIS

240

TORREJON ACEVEDO

JUAN

374

TORRENTE CASTEL

ANTONIO

313

GABINET TORRENTE, ASESORES ASOCIADOS, S.L., SocioDirector, C/ Numancia, 117-121, Planta 1ª, 1º A, 08029 Barcelona, ℡ 93-4093684, antoniotorrentecastel@telefonica.net

TORRES MARTIN

CARMEN

1401

GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Actuario, Avda de Burgos, 109, 28050, Madrid, ℡ 91-2146071, ctorres@caser.es

TORRES PEREZ

MARTA

3308

DELOITTE, S.L. / ACTUARIAL, Senior, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, 28020 Madrid, ℡ 91-5145000, 91-5145180, marta.torres@actuarios.org

216

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

TORRES PRUÑONOSA

JOSE

2675

TORTOLA MARTIN

RAQUEL

3174

TRIGO MARTINEZ

EDUARDO

2736

TRUEBA MANZANO

GUILLERMO

3324

TURBICA TEJERA

CARLOS

2746

AGROSEGURO,S.A. Actuario, C/ Gobelas, 23, 28023, Madrid, ℡ 91-8373200, 91-8373225, cturbica@agroseguro.es

TURRILLO LAGUNA

SANTIAGO

2397

PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Pº de la Castellana, 43, Madrid, ℡ +34-91-5684015, santiago.turrillo.laguna@es.pwc.com

UGARRIZA CAPDEVILA

ARMANDO J.

2228

UGARTE ALVAREZ

VICTOR

3367

UGARTE ORTEGA

Mª PILAR

1604

ULLOA GARCIA

VICENTE

1790

UREÑA MARTIN

GERMAN

3114

USABEL RODRIGO

MIGUEL A.

1601

VALDES BORRUEY

LUIS EDUARDO

3131

VALERA GOMEZ

ANA ROSA

3343

VALERO CARRERAS

DIEGO

959

NOVASTER, Presidente, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001 Madrid, ℡ 902-131200, 91-5755302, dvalero@novaster.net

VALIENTE CALVO

ROSA

711

TRANQUILIDADE S.A./ BES-VIDA, Directora General, C/ Velázquez, 108-110, 4ª Plt., 28006 Madrid, ℡ 91-7453870, 7453870 / 91-7453878, rosa.valiente@tranquilidade.es

VALIENTE MENDEZ

FERNANDO M.

3177

VALLE RUBIO

JUAN

3047

VALLEJO DEL CANTO

RUBEN

3193

VALLS TRIVES

VICENTE L.

VAQUERIZO COLLADO

DAVID

3158

VAQUERO SOLIS

GUADALUPE

3024

VARGAS CASASOLA

Mª PILAR

2621

VASQUEZ LOPEZ

PABLO

3344

VAZQUEZ DIAZ DE TUESTA

ALBERTO A.

2000

VAZQUEZ GAVILAN

MARIA

3218

VECINO TURRIENTES

ITZIAR

2676

VEGA CUENCA

RAFAEL

3010

FUNDACIÓ CULTURAL CAIXA TERRASSA, Coordinador de Masters, Postgrados y Formación Continua, Ctra. De Terrassa a Talamanca, Km 3, 08225, Terrassa, ℡ 93-7301900, 937301901, jose.torres@actuarios.org UNIVERSIDAD DE MÁLAGA / DOCENCIA, INVESTIGACIÓN, Profesor Colaborador, C/ Arango, 15, 4-16, 29007, Málaga, ℡ 666529693, 95-2131339, etrigom@uma.es

ERNST & YOUNG, Manager Actuarial Services, Torre Picasso, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, 28020 Madrid, ℡ 91-5727265, Victor.UgarteAlvarez@es.ey.com

ASEGRUP, S.A. DE SEGUROS, Director Análisis y Control, C/ Raimundo Fernández Villaverde, 49, 1º Izq., 28003 Madrid, ℡ 917701171, 91-7701175, lvaldes@asegrup.net

91-

PROACTUAR, Family Office, Luis de Morales, 24, Esc. 1, 7º D, 41018, Sevilla, ℡ 95-4419093, 95-4419093, ℡ 618475084, fvaliente@proactuar.es ruben.vallejo@grupobbva.com

295

217

GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, ℡ 91-2146071, dvaquerizo@caser.es

GENWORTH FINANCIAL, Business Development Analyst, Building 11, Chiswick Park, 566 Chiswick High Road, W4 5XR, London, ℡ +44 2083802153, pablo.vasquez@genworth.com BBVA, Técnico Control de Gestión Pensiones y Seguros América, Castellana, 81, Planta 8, 28046, Madrid, ℡ 91-5378103, m.vazquez.gavilan@grupobbva.com BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario, Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 91-3080019, 913081082, rafaelvega@benedictoyasociados.biz

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

VEGA GARCIA

SILVIA

2968

VEGA SANCHEZ

ANA Mª

1356

VEGA SOLADANA

ANA

3162

VEGA ZUAZO

RAFAEL DE LA

440

VEGAS ASENSIO

JESUS M.

437

Catedrático Universidad Complutenese de Madrid.

VEGAS MONTANER

ANGEL

649

VEGON CONSULTORES, SL., Socio Director, C/ Doce de Octubre, 26, 28009 Madrid, ℡ 91-5040956, ℡ 636950069, a.vegas@terra.es

VELARDE SAIZ

CRISTINA

2942

VELASCO ANDRINO

JUAN JOSE

2212

VELASCO GARCIA

JOSE ANTONIO

2467

VELASCO MOLINERA

PEDRO

1753

MAPFRE VIDA, Avda. Geral Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 915818192, velascp@mapfre.com

VELASCO RODRIGUEZ

JESUS

2418

MAPFRE VIDA, S.A., Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 91-5818669, 91-5811709, jevelas@mapfre.com

VELASCO ROIZ

JOSE M.

1062

VELASCO RUIZ

EVA MARIA

2352

VELEZ BRAGA

PABLO ANDRES

3187

VELEZ CARRERA

ADELA

3108

VERA GOMEZ

RAMON

2198

VERASTEGUI GONZALEZ

RAFAEL

VERGES ROGER

FCO. JAVIER

AVIVA, Director I+D Productos, Camino Fuente de la Mora, 9,28050, Madrid, ℡ +3491-2971861, jj.velasco@aviva.es

ASOCIACION DE MUTUAS DE ACCIDENTES DE TRABAJO, Actuario, C/ Maudes, 51, 3º, 28003 Madrid, ℡ 91-5357480, 915549106, pablo.velez@amat.es HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, ramon.vera@hewitt.com

939 1183

AGRUPACIO MUTUA / SECTOR SEGUROS, Director General, Gran Vía de les Corts Catalanes, 621, 08010 Barcelona, ℡ 934826317, 93-4121568, fjverges@agrupaciomutua.es

VIANI SALLABERRY

JOSE M.

556

VICANDI COLINAS

AINHOA

2432

VICARIO NISTAL

LAURA

2439

VICENTE BACHILLER

Mª ANGELES

2485

VICENTE MERINO

ANA

VICENTE RANGEL

MIGUEL ANGEL

1119

VICIOSO RENEDO

FEDERICO

2085

MUTUA MADRILEÑA, Subdirector Planificación Comercial, Pº Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5929791, fvicioso@mutuamad.es

VICO DEL CERRO

ADELA

1274

AEGON LEVENSVERZEKERING N.V. SUCURSAL EN ESPAÑA. REASEGURO VIDA – TRANSAMERCIA RE, D. Técnica, Pº de la Castellana, 143, 6º B, 28046, Madrid, ℡ 91-4491013, 915790500, adela.vico@transamerica.eu

VIDAL LOPEZ-GALVEZ

Mª ARACELI

3198

BBVA SEGUROS, Técnico Vida, C/ Alcalá, 17, 28014, Madrid, ℡ 91-3748911, Araceli.vidal@grupobbva.com

VIDAL MELIA

CARLOS

1739

INSTITUTE FOR PUBLIC POLICY AND MANAGEMENT, KEELE UNIVERSITY (UK), Visiting Research Senior Fellow, Church Plantation, Block C, Flat 221, ST5 5GB, Keele, Staffordshire, ℡ +447402257948, c.vidal-media@jppm.keele.ac.uk

VILLADA RUIZ

LAZARO

VILLAJOS DE LA RUBIA

JAVIER

592

Catedrática de la Universidad Complutense de Madrid, Subdirect. General de la Fundación de la UCM

643 3132

218

ELECTRODOMESTICOS MENAJE DEL HOGAR, S.A., Jefe de Tesoreria, C/ Futbol, 8, 28906, Getafe, Madrid, ℡ 646424367, javivillajos@hotmail.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

VILLALBA GONZALEZ DE CASTEJON

LUIS

VILLALBA VICENT

JAVIER

3263

366 SA NOSTRA COMPAÑÍA DE SEGUROS VIDA, S.A., Actuario, Edificio Mirall Balear Cami Son Fangos, 100, 1º 7-B, 07007 Palma de Mallorca, Palma,℡ 679753456 / 679753456, javivi375@hotmail.com

VILLAMERIEL GONZALEZ

MONICA

2398

AXA MEDITERRANEAN REGION / L&S RISK MANAGEMENT, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ +34-91-5385614, monica.villameriel@axa.es

VILLANUEVA OCHOA

VICENTE

1681

HOSPITAL CLINICA ROCA, Consultor, C/ Luis Doreste Silva, 541º, 35004, Las Palmas de Gran Canaria, ℡ 958-246583, 928246768, vicentevillanueva@gmail.com

VILLAR CASTILLO

VIRGINIA

3095

LA ESTRELLA, S.A., Unidad Técnica Zona Madrid-Canarias, Avda. Brasil, 6, 28020 Madrid, ℡ 91-5983917, villar@laestrella.es

VILLAR GRANADOS

ATENODORO

2419

PARTNER REINSURANCE EUROPE LIMITED, S-II External Consultant, 153 Rue de Courcelles, 75817 Paris, ℡ +33 (0)1 44 01 17 96, ateno.villar@partnerre.com

VILLARROYA PUNTER

LUCIA

1182

VILLASEVIL MIRANDA

LAURA

3298

ALLIANZ SEGUROS, Actuario Automóviles y Particulares, c/ Tarragona, 109, 08014, Barcelona, ℡ 93-2285301, laura.villasevil@allianz.es

XIMENEZ DE EMBUN CADARSO

MARIA CARMEN

2703

ALLIANZ, Departamento de Reaseguro, carmen.ximenez@allianz.es

XIMENEZ DE LA TORRE

GONZALO

3066

REALE SEGUROS GENERALES, Actuario No Vida – Solvencia II, Gonzalo.ximenez@gmail.com

YAGÜE MARTIN

ALFREDO

2704

YEDRA ADELL

JUAN ANTONIO

2888

YEPES MARTINEZ

ANA MARIA

1078

ZABALETA ALONSO

PEDRO JAVIER

1181

ZABALLOS RINCON

JUAN

ZAHONERO DE LAS HERAS

JUAN JOSE

1476

ZORNOZA DE TORRES

OSCAR

2622

MAZARS AUDITORES, Gerente, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, ℡ 91-5624030, oscar.zornoza@mazars.es

ZORRILLA PRIMO

MARTA

3219

DIVINA PASTORA SEGUROS, Actuario, Valencia, mzorrilla@divinapastora.com

ZURRON DEL ESTAL

FCO. JAVIER

3337

522

219

CONSULTOR, C/ Arturo Soria, 75, 28027 Madrid, ℡ 91-3680046, zabajua@telefonica.net

MIEMBROS PROTECTORES DENOMINACION

Nº

DOMICILIO

AREA XXI

124

C/ Ayala, 11 28001 Madrid 91-432 03 71 91-426 38 69 www.area-xxi.com

AXA ESPAÑA

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Camino Fuente de La Mora, 1 28050 Madrid 902 013 012 www.axa.es

BUCK CONSULTANTS, S. L.

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Ribera del Loira, 16-18 28042 Madrid, 91-310 26 99 91-310 26 97 www.buckconsultants.co.uk

CASER

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Avda. de Burgos, 109 28050 Madrid 91595 50 00 91-595 50 18 www.caser.es

DELOITTE, S.L.

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Plaza Ruíz Picasso, 1 Torre Picasso 28020 Madrid 91-514 50 00 91-514 51 80 www.deloitte.es

EYEE ESTUDIOS EMPRESARIALES, A.I.E.

Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1 Edif. Torre Picasso, planta 16 91-572 72 00 91572 72 38 www.ey.com/es

IDEAS INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO ACTUARIAL Y DE SEGUROS, S.A.

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C/ Gral. Perón, 14 planta 1 28020 Madrid 91-598 33 12 91-598 33 13 www.ideas-sa.es

KPMG ASESORES, S.L.

128

Pº Castellana, 95 28046 Madrid 91-456 34 00 91-555 01 32 www.kpmg.es

MAZARS AUDITORES, S.L.

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C/ Claudio Coello, 124 – 2º 28016 Madrid Madrid 91-562 40 30 91-561 02 24 www.mazars.es

MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES

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Pº Castellana, 91 – planta 14, Edificio Centro 23, 28046 Madrid 91-598 40 79 91-787 85 57 www.milliman.com.es

NACIONAL DE REASEGUROS

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Zurbano, 8 – 28010 Madrid 91-308 14 12, 91-319 95 43 www.nacionalre.es

PRICEWATERHOUSECOOPERS

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Pº Castellana, 43 28046 Madrid 91-568 44 00 www.pwc.es

SUIZA DE REASEGUROS IBERICA

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Pº de la Castellana, 95 – 28046 Madrid 91-598 17 26, 91-598 17 80 www.swissre.com

TOWERS WATSON

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Suero de Quiñones, 42 – 28002 Madrid 91-590 30 09, 91-563 31 15 www.towerswatson.com

VIDACAIXA, S.A.

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