Anales2010 by Instituto de Actuarios Españoles

ANALES 2

Tercera Época Número 16 Año 2010

EDITORIAL El presente número de Anales del IAE incluye diez artículos relativos a distintos aspectos relevantes de la Ciencia Actuarial y Financiera. El artículo “Reparametrización de las principales distribuciones de probabilidad en el estudio del número de siniestros debido a las anomalías muestrales en las carteras del seguro de responsabilidad civil de automóviles. Determinación del índice de dispersión.”, de los profesores José A. Álvarez y Prudencio Muñiz, identifica y estudia las principales anomalías detectadas en carteras de seguros de responsabilidad civil autos, como son el contagio, la sobredispersión y el inflado de ceros o buenos conductores. Es necesario, por tanto, modelizar el número de siniestros con distribuciones de cola gruesa (Binomial Negativa, Poisson-Inversa Gaussiana o Poisson-Pascal Generalizada). El trabajo recoge también la redefinición de los parámetros de las principales distribuciones de probabilidad para, finalmente, analizar la dispersión de la cartera por medio del coeficiente de simetría de las distribuciones reparametrizadas. En cuanto al trabajo de las profesoras Beatriz Balbás y Raquel Balbás “On the premium of equitylinked insurance contracts”, aborda el estudio de un principio de prima basado en la optimización de medidas de riesgo coherentes y acotadas por la media, referido a la valoración actuarial de contratos de seguro ligados al mercado financiero, con las anualidades o rentas vinculadas a índices bursátiles. Este principio goza de propiedades fundamentales: subaGLtividad, lo que favorece la diversificación; visión integrada de los riesgos actuariales y financieros; permite modelizar estrategias de cobertura del asegurador y, finalmente, es fácil aplicar a la práctica actuarial al poder reducirse a modelos de programación lineal, aunque, evidentemente, las medidas de riesgo no son lineales. Los profesores Antonio Heras, José A. Gil y José L. Vilar, abordan el análisis de los sistemas de tarificación Bonus Malus, una vez alcanzado el estado estacionario del proceso, en un horizonte temporal adecuado y considerando su evolución en dicho periodo. El trabajo “Diseño de sistemas Bonus-Malus en el caso transitorio”, prueba que la metodología de la programación por metas ya aplicada por los autores para el diseño óptimo de SBM en el caso estacionario es también aplicable al caso transitorio. Además, la citada metodología permite mejorar alguna medida de eficiencia (como la elasticidad del sistema) a la hora de diseñar un SBM, lo que le confiere un importante valor añadido. “Estrategia de reaseguro proporcional óptima desde el punto de vista de la probabilidad de ruina: un análisis con Mathematica 6”, original de las profesoras Anna Castañer, M.Mercè Claramunt y Maite Mármol, recoge el estudio de un problema clásico mediante la aplicación de un enfoque moderno. Se trata de un modelo de optimización que permite estimar la cuota de la propia retención del asegurador directo y comparar los resultados obtenidos con la aproximación deducida a partir de la cota superior de la probabilidad de ruina, todo dentro del planteamiento clásico de la Teoría del Riesgo. De igual interés en la práctica actuarial resulta la utilización del programa “Mathematica 6” que permite realizar el análisis funcional adecuado así como calcular empíricamente los valores numéricos del modelo a partir de los datos de la cartera de seguros del Asegurador y, finalmente, permite presentar graficamente. los resultados obtenidos. El trabajo “Un análisis comparativo de una SVM y un modelo Logit en un problema de clasificación de asegurados” de los profesores Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March, continúa la moderna línea de investigación iniciada por estos autores hace algunos años. La aplicación de herramientas de aprendizaje Máquina (Máquinas de Vectores soporte o SVM), en este caso Algoritmos Genéticos, en la clasificación de asegurados por factores de riesgo significativos, es muy reciente en la Matemática y estadística Actuarial y tiene una gran trascendencia teórico-práctica en ramos de seguros como el del automóvil. El artículo compara los resultados obtenidos aplicando una SVM y un Algoritmo Genético con los resultados alcanzados utilizando los tradicionales Modelos Lineales Generalizados, en concreto, el modelo Logit, todo ello tomando como referencia el Seguro de Responsabilidad Civil Autos. El trabajo “Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la mortalidad futura aplicando el modelo Lee-Carter” del profesor Amancio Betzuen, se basa en modelos estocásticos, originalmente de tipo ARIMA, que permiten introducir la evolución temporal de la mortalidad y, en consecuencia, hacer

proyecciones de los fallecimientos futuros mucho mas acordes con el comportamiento real de la citada mortalidad (evolución dinámica de supervivencia y mortalidad). El artículo se basa en uno de los modelos más conocidos de la literatura actuarial, Lee- Carter, y desarrolla un estudio empírico con el colectivo formado por la población española de ambos sexos, contrastando los resultados y haciendo proyecciones hasta el año 2030. La disminución del riesgo de longevidad, tradicionalmente asociado a las Tablas de Supervivencia y Mortalidad de carácter estático (en función solo de la edad y el sexo), es una de las importantes consecuencias que se derivan de este tipo de modelización estocástica, como se pone de relieve en el presente artículo. Un tema de gran actualidad en la teoría y la práctica actuarial es el que aborda el original de los profesores Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino, titulado “Valoración actuarial del perjuicio económico futuro derivado de los accidentes de tráfico” En efecto, las principales instituciones aseguradoras analizan actualmente la modificación del baremo de indemnizaciones, cuya estructura esta vigente desde la Ley de Seguros de 1995. En este sentido los autores proponen una metodología actuarial basada en la experiencia inglesa, con objeto de estimar la compensación de pérdidas económicas futuras mediante su valoración actuarial a la fecha de liquidación. Esta metodología se basa en la estimación de la esperanza tanto de vida como de la vida laboral, para la cuantificación del valor actual de los gastos médicos y de asistencia de una tercera persona futuros, y de la pérdida de ingresos, respectivamente. El artículo recoge numerosas ventajas que este enfoque contiene frente al sistema actual de valoración del prejuicio económico futuro. En el ámbito de las finanzas cuantitativas, el artículo de Jacinto Marabel-Romo y José Luis CrespoEspert, analiza la valoración de opciones con barrera aplicando el enfoque de incertidumbre en la volatilidad, que considera que la volatilidad instantánea del proceso para el precio del activo subyacente, pertenece a un intervalo determinado por los valores extremos que se consideran constantes. El trabajo muestra que el citado enfoque permite generar precios para las “ puts” con barrera “ down and out” consistentes con los obtenidos a partir del modelo de volatilidad estocástica de Heston, aunque, posiblemente, las aplicaciones prácticas del enfoque de incertidumbre sean más reducidas. La resolución de la ecuación en derivadas parciales asociada al correspondiente proceso estocástico se efectúa por cálculo numérico (método de la diferencia finita). Un aspecto de gran importancia en la implantación de programas de “Enterprise Risk Management” (ERM) en las Entidades aseguradoras de Vida, consiste en la identificación de las principales fuentes de riesgo de las que emanan las exposiciones. El artículo “Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo de vida ante la puesta en marcha de programas de Enterprise Risk Management”, de los profesores Catalina Bolancé, Antoni Ferri y Miguel Santolino, aplica el análisis cluster para establecer un mapa representativo de las Compañías Vida en el mercado Español, así como localizar los factores mas significativos que determinan la posición de cada Entidad en el mercado. Estos factores están vinculados por su significado a los riesgos considerados en Solvencia II y, puesto que están jerarquizados, las compañías pueden establecer prioridades sobre los distintos riesgos al adoptar programas de gestión en el marco del ERM. Finalmente, el trabajo “La reserva de estabilización en el nuevo plan contable de las entidades aseguradoras”, de las profesoras Carmen Gloria Francisco y Milagrosa Mª Ferrera, analiza desde un enfoque contable el nuevo tratamiento de las reservas de estabilización surgido del IASB, para concluir, por medio de una serie de razonamientos, que la consideración de las Reservas de Estabilización como “ Capital y Reservas” en vez de cómo Provisiones Técnicas, es mas adecuado, en opinión de las citadas autoras. Me complace, asimismo, comunicar a nuestros lectores que nuestra revista está incluida en los índices ISOC, LATINDEX, RESH y DICE. Quiero igualmente agradecer a todos los autores y evaluadores su contribución en este número y animar a los actuarios y demás profesionales vinculados al área financiero-actuarial que envíen originales de carácter académico y/o profesional.

Jesús Vegas Asensio Director

REPARAMETRIZACIÓN DE LAS PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN EL ESTUDIO DEL NÚMERO DE SINIESTROS DEBIDO A LAS ANOMALÍAS MUESTRALES EN LAS CARTERAS DEL SEGURO DE RESPONSABILIDAD CIVIL DE AUTOMÓVILES. DETERMINACIÓN DEL ÍNDICE DE DISPERSIÓN. Dr. José A. Álvarez Jareño1 Dr. Prudencio Muñiz Rodríguez2 Resumen.- En el presente trabajo se identifican y analizan las principales anomalías detectadas en las carteras de seguros de responsabilidad civil de automóviles que son: el contagio, la sobre-dispersión y el inflado de ceros. Posteriormente, se redefinen los parámetros de las distribuciones de probabilidad del número de siniestros más utilizadas en la estadística actuarial en función de una de estas anomalías, la sobre-dispersión. Por último, se analiza la dispersión a través del coeficiente de simetría de las distribuciones de probabilidad reparametrizadas. Palabras Clave: Sobre-dispersión, inflado de ceros, distribución Poisson Pascal Generalizada, reparametrización, coeficiente de asimetría, seguro de automóviles. Abstract.- This paper identifies and discusses major anomalies detected in the portfolios of liability insurance of cars that are: the spread, the overdispersion and the zero inflated. Subsequently, the parameters of probability distributions over the number of claims used in the actuarial statistics in terms of one of these anomalies, the over-dispersion, are redefined. Finally, we analyze the dispersion through the coefficient of symmetry of the reparametrized probability distributions.

Profesor Asociado del Departamento de Economía de la Universitat de València. Avda. de los Naranjos, s/n, 46022, Valencia. Correo electrónico: Jose.A.Alvarez@uv.es 2 Profesor Titular de Universidad del Departamento de Economía de la Universitat de València. Avda. de los Naranjos, s/n, 46022, Valencia. Correo electrónico: Prudencio.Muniz@uv.es Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 1 de junio de 2010.

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

Keywords: Over-dispersion, zero inflated, Generalized Poisson Pascal distribution, reparametrization, coefficient of skewness, automobile insurance. 1. Introducción El tratamiento de los modelos estocásticos en los seguros no vida es derivado de la conocida distribución de Poisson, considerando la pregunta de cuantos siniestros pueden ocurrir durante un período definido de tiempo. Según Kupper (1963) las propiedades subyacentes a esta distribución son: a) La población estudiada es homogénea. b) La ocurrencia de un siniestro es un evento raro. c) La ocurrencia de un siniestro posterior no está influenciada por los anteriores siniestros, es decir, no existe contagio. La distribución de Poisson tiene la siguiente función de probabilidad o de cuantía:

(

)

Pr N = k = pk =

e− λ λ k , k = 0,1,2,... k!

(1)

Se puede comprobar que para la distribución de Poisson la varianza es igual a la media. El estimador máximo verosímil del parámetro λ es la media muestral. Si el número de siniestros se distribuye como una Poisson con parámetro λ, los siniestros serán variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una distribución exponencial común con media (1/λ). La distribución exponencial también tiene la propiedad de tener “ausencia de memoria”. Un proceso de Poisson es un proceso no contagioso, donde los siniestros ocurren totalmente al azar. El incumplimiento de algunas de las principales propiedades de la distribución de Poisson de las carteras de seguro, producirá diferentes anomalías muestrales: el contagio, la sobre-dispersión y el inflado de ceros. En el segundo apartado se exponen las anomalías muestrales, y a continuación en el apartado 3 se presentan las 15 carteras de seguro de automóvil que se analizarán. En el apartado 4 se comprueba la existencia de las anomalías en todas las muestras analizadas. Las distribuciones del número de siniestros más utilizadas en la estadística actuarial se presentan en

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el apartado 5 con la finalidad de tenerlas como referencia para en el apartado 6 redefinir los parámetros de estas distribuciones en función de las anomalías detectadas en las muestras, obteniendo de esta forma una reparametrización más acorde a la estadística actuarial. En el apartado 7 se efectúa un análisis del coeficiente de asimetría en las funciones de distribución del número de siniestros y como se ve afectado por las anomalías muestrales. Finalmente, en el apartado 8 se expondrán las conclusiones. La bibliografía y un Anexo gráfico cierran este trabajo.

2. Anomalías muestrales Las anomalías surgen a consecuencia de comparar la distribución muestral del número de siniestros en una cartera de pólizas de seguro con la distribución de Poisson. Se han identificado tres anomalías que son el contagio, la sobre-dispersión y el inflado de ceros. a.

Contagio verdadero o aparente

Denuit et al. (2007) exponen que el contagio aparente se plantea desde el reconocimiento que los individuos de la muestra provienen de poblaciones heterogéneas en las cuales los individuos tienen una propensión a experimentar accidentes que es constante aunque diferente de unos a otros. Un individuo dado puede tener una alta (o baja) propensión a los accidentes pero la ocurrencia de un accidente no lo hace más (o menos) propenso a que le ocurra otro accidente. Sin embargo, la agregación a través de individuos heterogéneos puede generar un error estadístico que supone que la ocurrencia de un accidente incrementa la probabilidad de otro accidente; la observada pero persistente heterogeneidad puede ser malinterpretada como una dependencia serial fuerte. El contagio verdadero se refiere a la dependencia entre la ocurrencia de eventos sucesivos. La ocurrencia de un evento, como un accidente o una enfermedad, puede cambiar la probabilidad de ocurrencia de eventos similares. El contagio verdadero positivo implica que la ocurrencia de un suceso reduce el tiempo de espera para la ocurrencia del siguiente suceso. Al igual que una persona con malos hábitos alimenticios es más propensa a sufrir enfermedades, un asegurado con malas costumbres a la hora de conducir tendrá una mayor probabilidad de provocar accidentes. El presunto fenómeno de la propensión a los accidentes puede ser interpretado en términos de contagio positivo como sugiere que un individuo

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que ha experimentado un accidente tiene mayor probabilidad de sufrir otro. En un marco longitudinal, los resultados actuales y futuros están directamente influenciados por los valores pasados, y esto causa un cambio sustancial a lo largo del tiempo en la correspondiente distribución. Brouhns et al. (2003) hacen una interpretación del “contagio verdadero” en los siguientes términos. Un accidente de tráfico puede modificar la percepción del peligro al volante y reducir el riesgo de comunicar otro siniestro en el futuro. Los sistemas de tarificación de las compañías aseguradoras proporcionan incentivos para una conducción más cuidadosa y éstos pueden producir un contagio negativo. Sin embargo, la principal interpretación para el seguro del automóvil es exógena, si el contagio positivo se observa en el número de siniestros (los asegurados que comunicaron siniestros en el pasado es más probable que comuniquen siniestros en el futuro que aquellos que no los comunicaron), entonces el verdadero contagio debe ser negativo. En la práctica se observa contagio positivo, lo que indica que los sucesos pasados no influyen verdaderamente en la probabilidad de comunicar un siniestro, y que proporcionan información sobre la verdadera naturaleza del conductor. Entonces, el término de heterogeneidad de los carteras de pólizas de seguros puede ser actualizado de acuerdo con el historial de siniestralidad del asegurado. Si los datos sólo permiten observar el número total de sucesos al final del período, el contagio, como la heterogeneidad, es un proceso no observado. En el análisis de las carteras donde el contagio y la heterogeneidad son plausibles, ambos procesos no son distinguibles si los datos son agregados porque ambos conducen a la misma distribución de probabilidad para el número de sucesos. b.

Sobre-dispersión

Al hecho de que la varianza muestral sea superior a la media muestral en una cartera de seguros se le denomina “sobre-dispersión”, porque si la siniestralidad estuviera generada por una distribución de Poisson, la media seria igual a la varianza. Bermúdez et al. (2001) afirman que si la varianza es mayor que su media, implica que la aplicación del supuesto que el número de siniestros siguen una distribución de Poisson es incorrecto. Tremblay (1992) expone que es obvio que en las mixturas de Poisson (también en las distribuciones de Poisson compuestas) la varianza excede a la media, por lo que este tipo de distribuciones serán “más seguras” para las compañías aseguradoras.

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Rolski et al. (1998) define el índice de dispersión como varianza y la esperanza matemática, IN, si este índice distribución presenta sobre-dispersión, y si es inferior muestra bajo-dispersión. La distribución Binomial distribución con sobre-dispersión. IN =

σ X2 μX

el cociente entre la es superior a 1 la a 1 la distribución Negativa es una

(2)

La interpretación que hacen Pitrebois et al. (2006) es que muchos factores no pueden ser tenidos en cuenta3 a la hora de efectuar una tarificación a priori para el seguro de responsabilidad civil frente a terceros. Por ejemplo, la rapidez de reflejos, la agresividad al volante o el conocimiento del código de circulación son difíciles de integrar en la clasificación del riesgo. Consecuentemente, las clases de tarificación son todavía heterogéneas después de la utilización de muchas variables de clasificación. Esta heterogeneidad4 residual produce sobre-dispersión: los datos relativos al número de siniestros exhiben una variabilidad que excede la explicada por los modelos de Poisson. Este fenómeno se puede modelar a través de un efecto aleatorio en un modelo estadístico. Meng et al. (1999) exponen que este fenómeno es especialmente relevante en el seguro de automóviles, y proponen la utilización de la distribución Binomial Negativa mezclada con una distribución de Pareto. En Denuit et al. (2007) se dispone de una demostración de la ocurrencia de sobre-dispersión en base a la heterogeneidad de los datos que componen una cartera de pólizas. Al mismo tiempo, proponen un contraste para la detección de la sobre-dispersión. UNESPA ha elaborado durante décadas estadísticas comunes de siniestralidad en el seguro de automóviles. En el estudio editado en 1983, con datos del sector del automóvil de 1981, se pudo evidenciar que la frecuencia media de siniestralidad en la modalidad de responsabilidad civil suplementaria en vehículos turismos era de 0,10444 con una varianza de 0,11938, un 14,3% superior a la media. Este resultado, como exponen Boj et

Bermúdez et al. (2000) achacan este hecho a la imposibilidad de medir variables explicativas importantes, y por consiguiente, son excluidas incorrectamente del análisis de regresión. 4 En Denuit et al. (2007) se dispone de una demostración de la ocurrencia de sobre-dispersión en base a la heterogeneidad de los datos que componen una cartera de pólizas.

Reparametrización de las principales distribuciones de

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al. (2005), permitió cuestionar, en dicha clase de riesgo, el modelo de Poisson.

Inflado de ceros

El “inflado de ceros” se observa cuando los datos muestrales presentan una frecuencia más elevada para la ocurrencia de cero siniestros que la que se debería esperar si la muestra hubiera sido generada mediante una distribución de Poisson. Se puede definir el índice del inflado de ceros como el cociente entre el número de asegurados con cero siniestros observados en una cartera y el número de asegurados con cero siniestros estimado por la distribución Poisson. Si el cociente es mayor que 1, la muestra presenta inflado de ceros, se observan más asegurados con cero siniestros que los esperados de acuerdo con la distribución de Poisson, y si es inferior a 1, los datos exhiben “desinflado de ceros”.

()

I ZI 0 =

(

p0 observados

(

p0 Poisson

)

) (3)

Una de las causas que produce el fenómeno del “inflado de ceros”, de acuerdo con Boucher et al. (2006) son los sistemas bonus-malus. Su argumentación es que muchas compañías aseguradoras, especialmente en Europa, tienen implementados mecanismos de tarificación por experiencia, y en aplicación de estos elementos, la comunicación de un siniestro implica un incremento en la prima del próximo año, esto induce el “hambre de bonus5”. Para el asegurado es óptimo retener todos aquellos siniestros que sean inferiores a una determinada cuantía, dependiendo del nivel ocupado en la escala bonus-malus. Este comportamiento generará una probabilidad inflada en el origen para el número de siniestros observados. Walhin y Paris (2000) explican que los asegurados deberían costear los siniestros de pequeña cuantía para evitar las penalizaciones inducidas por el sistema bonus-malus. Consecuentemente, hay más accidentes que el número de siniestros en los registros de los aseguradores: los datos de siniestralidad

5 Traducción del término inglés “hunger of bonus” que expresa que los asegurados tienen un incentivo a no comunicar todos los siniestros ocurridos si el incremento de las primas futuras puede ser superior al beneficio que se obtiene del seguro.

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de los aseguradores no están completos, ya que no disponen de los siniestros no comunicados por los asegurados (los datos están truncados). De acuerdo con este planteamiento, se deberían encontrar más anomalías muestrales en la distribución de Poisson, ya que la suma de probabilidades de la cartera siempre será 1, y el inflado de ceros se deberá compensar en el resto de la distribución del número de siniestros. Gráfico 1. Diferencias entre la muestra y la distribución de Poisson

La representación gráfica de la diferencia entre el número de asegurados observados para cada número de siniestros y el estimado por la distribución de Poisson, permitirá analizar dónde se producen las compensaciones de la probabilidad. Para todas las carteras de pólizas de automóviles analizadas, siempre se ha obtenido la misma representación gráfica: diferencias positivas para todos los valores excepto para el valor 1 que la diferencia siempre es negativa. Se pueden identificar tres zonas (véase Gráfico 1): •

Cero siniestros: presenta inflado de ceros. Hay más asegurados con cero siniestros que los estimados por la distribución de Poisson. I ZI (0 )> 1

Reparametrización de las principales distribuciones de

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•

Un siniestro: presenta desinflado de unos. Hay menos asegurados con un siniestro que los obtenidos con una distribución de Poisson. I ZI (1)< 1

•

Resto de siniestros: muestra inflado de siniestros. Hay más asegurados con 2, 3, 4, … que los determinados por un ajuste de Poisson. I ZI (2, 3,...)> 1

3. Datos del análisis A continuación se exponen 15 carteras6 de automóviles sobre las que se analizarán las anomalías expuestas. Las carteras son identificadas por el autor de la publicación en la que aparecieron por primera vez, así como el año al que pertenecen los datos. Tabla 1. Carteras de automóviles (k) Siniestros 0 1 2 3 4 5 6 7 ó más Total pólizas (k) Siniestros 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ó más Total pólizas

C-1 7.840 1.317 239 42 14 4 4 1 9.461

C-2 20.592 2.651 297 41 7 0 1

C-3 103.704 14.075 1.766 255 45 6 2

C-4 370.412 46.545 3.935 317 28 3

C-5 96.978 9.240 704 43 9

C-6 881.705 142.217 18.088 2.118 273 53

C-7 57.178 5.617 446 50 8

23.589

119.853

412.240

106.974

1.044.454

63.299

C-8 118.700 11.468 930 70 14

C-9 565.664 68.714 5.177 365 24 6

131.182

639.950

C-10 122.618 21.686 4.014 832 224 68 17 7 7 149.483

C-11 2.196.808 161.913 10.976 882 90 11 2 1

C-12 513.814 32.296 2.493 203 24

2.370.683

548.830

C-13 434.698 39.914 3.970 435 74 8 6 2 0 479.107

C-14 378.289 30.518 2.629 240 27 5 0 0 0 411.708

C-15 371.481 26.784 2.118 174 18 2 2 0 0 400.579

Las carteras son C-1: Thyrion (1960), C-2: Tröblinger (1961), C-3: Bühlmann (1970), C-4: Johson y Hey (1971), C-5: Lemaire (1985), C-6: Besson y Partrat (1992), C-7: Denuit (1993), C-8: Denuit (1994), C-9:

Las carteras analizadas pertenecen a diferentes países y diferentes períodos de tiempo, con la intención de que los resultados del estudio sean generalizables. No obstante, de las 15 carteras 6 son de compañías aseguradoras que operan en España.

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Hossack (1999), C-10: Morillo y Bermúdez (2003), C-11: Vilar, Gil y Heras (2004), C-12: Boucher, Denuit y Guillén (2006), C-13: Álvarez (1999), C14: Álvarez (2000) y C-15: Álvarez (2001). 4. Resultados del análisis a.

Sobre-dispersión

Todas las carteras analizadas presentan sobre-dispersión, tal como se muestra en la Tabla 2. Tabla 2. “Sobre-dispersión” en las carteras analizadas Cartera Thyrion Troblinger Buhlmann Johson-Hey Lemaire Besson-Partrat Denuit (Bélgica 93) Denuit (Bélgica 94) Hossack Morillo-Bermúdez Boucher-Denuit-Guillén Vilar-Gil-Heras Nueva cartera 1999 Nueva cartera 2000 Nueva cartera 2001

Media 0,2144 0,1442 0,1551 0,1317 0,1011 0,1782 0,1057 0,1036 0,1255 0,2251 0,0788 0,0692 0,1034 0,0889 0,0789

Varianza 0,2889 0,1639 0,1793 0,1385 0,1074 0,1974 0,1149 0,1115 0,13 0,2966 0,0847 0,0763 0,1175 0,0984 0,0867

Sobre-dispersión 1,3475 1,1366 1,156 1,0516 1,0623 1,1077 1,087 1,0763 1,0359 1,3176 1,0749 1,1026 1,1364 1,1069 1,0989

La sobre-dispersión observada oscila entre el 34,75% de la cartera de Thyrion, que es la más antigua, y el 3,59% de la cartera de Hossack. La presencia de sobre-dispersión implica que la distribución de Poisson no será la más adecuada para ajustar el número de siniestros de las carteras de automóviles. Se precisarán distribuciones con colas más pesadas para obtener mejores ajustes, tales como la Binomial Negativa o la Poisson Pascal Generalizada. Aunque todo apunta a que una mayor media siniestral debería implicar una mayor sobre-dispersión, no se han hallado evidencias de una relación entre la sobre-dispersión y la siniestralidad. En el apartado 7 se analizará el coeficiente de asimetría, teniendo en cuenta que las carteras de seguro de automóvil presentan sobre-dispersión. b.

Inflado de ceros

Todas las carteras analizadas, independientemente del país e incluso del tiempo, presentan las tres zonas descritas en el apartado 2, y en todas ellas se

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observa, como la frecuencia del valor un siniestro se encarga de compensar el inflado del resto de valores. En términos relativos es mucho más importante el desinflado de unos, o el inflado de dos o más siniestros, que el inflado de ceros, que en todos los casos es inferior al 3% de la estimación de la distribución de Poisson, tal como se oberva en la Tabla 3. De acuerdo con la argumentación expuesta por Walhin y Paris (2000) o Boucher et al. (2006), los asegurados con 1 ó 2 siniestros tienden a no comunicar alguno de los siniestros a la compañía aseguradora, sin embargo, una vez se han tenido 2 ó más siniestros en una misma anualidad de seguro, los asegurados comunican cualquier incidente por mínimo que sea. El asegurado intenta preservar su nivel de bonificación o mejorarlo, no comunicando siniestros a la compañía aseguradora, pero cuando se ve obligado a comunicar un siniestro, sabiendo que perderá buena parte de la bonificación, no tiene ningún inconveniente en comunicarlos todos. No obstante, el contagio positivo, también podría ser la explicación a este fenómeno. Tabla 3. “Inflado de ceros” en las carteras analizadas Cartera Thyrion Troblinger Buhlmann Johson-Hey Lemaire Besson-Partrat Belgica 93 Belgica 94 Hossack Morillo-Bermúdez Boucher-Denuit-Guillén Vilar-Gil-Heras Nueva cartera 1999 Nueva cartera 2000 Nueva cartera 2001

()

I ZI 0 > 1

I ZI 1 < 1

1,0268 1,0084 1,0105 1,0032 1,0030 1,0088 1,0040 1,0036 1,0021 1,0275 1,0033 1,0027 1,0062 1,0043 1,0036

0,8047 0,9001 0,8840 0,9569 0,9454 0,9132 0,9331 0,9357 0,9702 0,8071 0,9111 0,9372 0,8934 0,9107 0,9162

(

)

I ZI 2, 3,... > 1 1,6114 1,5518 1,5935 1,2787 1,4794 1,3933 1,5288 1,5421 1,2022 1,5831 2,1665 1,7102 1,8793 1,8888 1,9521

Suponiendo que las carteras están compuestas sólo por dos categorías7 de conductores, los “buenos conductores” los que tienen 0 ó 1 siniestros, y los “malos conductores” los que tienen 2 ó más siniestros, la distribución de

7 Lemaire (1985) utiliza este argumento para proponer una mixtura de distribuciones, donde las dos categorías de conductores tienen distribución de Poisson con distintos parámetros, λ1 (buenos conductores) menor que λ2 (malos conductores).

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Poisson sobreestima los “buenos conductores” y subestima los “malos” (serán necesarias distribuciones con una cola más pesada). Si se deben utilizar distribuciones con una cola más pesada implicará una mayor dispersión de los datos, existiendo una relación entre el “desinflado de unos” y la sobre-dispersión. Yip y Yuan (2005) relacionan el inflado de ceros, que también denominan “exceso de ceros”, con la sobre-dispersión muestral respecto a la distribución de Poisson.

5. Funciones de distribución para modelizar el número de siniestros en una cartera de automóviles Las funciones de distribución más utilizadas en la estadística actuarial para modelizar el número de siniestros de una cartera [Hogg y Klugman (1984), Lemaire (1985), Willmot (1988), Klugman (1998), Boucher et al. (2006), Denuit et al. (2007)] son las que se exponen a continuación y que se pueden obtener como distribuciones de Poisson compuestas. Se exponen estas funciones de distribución para estudiar la posibilidad de expresar los parámetros de las mismas desde una perspectiva actuarial que las explique en función de las características de las carteras. La estimación de los parámetros de las distribuciones de probabilidad se calcula en base a las medidas de posición y dispersión de las carteras, si estas medidas reflejan las anomalías muestrales, los parámetros se podrán expresar en función de las mismas. d.

Distribución Binomial Negativa (BN)

La distribución binomial negativa8 (BN) se ha utilizado extensamente como una alternativa a la distribución de Poisson. La distribución binomial negativa se puede obtener por dos procedimientos diferentes, bien como una distribución compuesta, donde la distribución primaria es una Poisson y la distribución secundaria es una logarítmica, o bien como una mixtura9 de distribuciones, Poisson y Gamma. La función de probabilidad de la distribución binomial negativa viene dada por la siguiente función de cuantía:

8 La distribución binomial negativa fue formulada inicialmente por Montmort en 1714, como la distribución del número de pruebas requeridas en un experimento para obtener un número dado de sucesos. También es conocida como Poisson-Gamma. 9 El número de accidentes de una cartera sigue una distribución de Poisson con media λ, y la media λ muestra la variabilidad de la cartera representada con una función de densidad continua de tipo Gamma.

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

⎛ ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ β ⎞ Pr S = k = pk = ⎜ k + r − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , k = 0,1, 2,...., r > 0, β > 0 k ⎝ ⎠ ⎝ 1+ β ⎠ ⎝ 1+ β ⎠

(

)

(4)

La función generatriz de probabilidad para la distribución binomial negativa es

P(z) = ⎡⎣1− β (z − 1)⎤⎦

−r

(5)

De aquí se sigue que la media y la varianza de una distribución binomial negativa son

()

E S = rβ = μS

()

(

)

Var S = r β ⋅ 1+ β = σ S2

Distribución Polya-Aeppli (P-A)

Si la distribución secundaria es una distribución Geométrica10 truncada en cero se obtendrá la distribución Polya-Aeppli.

( ) ( ( ) −1

⎡1− β z − 1 ⎤ − 1+ β ⎦ P2 z = ⎣ −1 1− 1+ β

()

)

−1

(6)

La función generatriz de probabilidad para la distribución Polya-Aeppli es

()

−1 ⎧⎡ ⎫ ⎪ 1− β z−1 ⎤⎦ −1 ⎪ ⎬ −1 ⎪ 1− 1+ β ⎪ ⎩ ⎭

λ⎨ ⎣

P z =e

( ) ( )

(7)

Una variable aleatoria X (número de fracasos antes del primer éxito) sigue una distribución geométrica si la función de probabilidad viene dada por,

Pr (X = k ) =

1 ⎛ β ⎞ ⋅ 1 + β ⎜⎝ 1 + β ⎟⎠

k = 0,1, 2, 3, ...

donde β>0, siendo además la media de la distriubción. Lemaire (1985) utiliza una distribución geométrica generalizada para ajustar la función del número de siniestros.

José A. Álvarez Jareño y Prudencio Muñiz Rodríguez - Anales 2010/1-24

De aquí se deduce que la media y la varianza de la distribución son

()

(

E S = λ ⋅ 1+ β

)

()

(

) (

Var S = λ ⋅ 1 + β ⋅ 1 + 2 β

)

Distribución Poisson Inversa Gausiana (PIG)

Si se utiliza una distribución Inversa Gausiana11 como distribución secundaria, cuya función generatriz de probabilidad es:

( ) ( ( ) 1

⎡1− 2β z − 1 ⎤ 2 − 1+ 2β ⎦ P2 z = ⎣ 1 1− 1+ 2β 2

()

)

(8)

La distribución propuesta tendrá una distribución primaria de Poisson, y una distribución secundaria Inversa Gausiana. La función generatriz de probabilidad para la distribución es

P (z ) = e

{

− ⋅ ⎡⎣1−2 β (z−1)⎤⎦ β

0,5

}

−1

(9)

De aquí se sigue que la media y la varianza de la distribución son

()

(

E S = λ Var S = λ ⋅ 1 + β g.

)

Distribución Poisson Pascal Generalizada12 (PPG)

Si a una distribución de Poisson primaria la componemos con una distribución secundaria Binomial Negativa truncada y extendida (ETNB) se obtendrá la distribución Poisson Pascal Generalizada (PPG). Vilar y Vegas

11 A la distribución Inversa Gausiana también se le conoce como distribución de Wald, y su función de cuantía es la siguiente:

()

f x =

μ 2πβ x 3

(

⋅e

)

⎡ x− μ 2 ⎤ ⎥ ⎢− ⎢ 2β x ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣

x>0 β =

μ2 θ

12 Esta distribución también es conocida en la estadistica actuarial como distribución Hofmann [Walhin y Paris (2000)], aunque presenta una parametrización distinta que permite una interpretación más sencilla de los parámetros de la distribución.

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

(1998) utilizan esta distribución para estimar la provisión y el recargo técnico en una cartera de pólizas de automóviles. La función generatriz de probabilidad para la distribución Poisson Pascal Generalizada es la siguiente: ⎧⎪ ⎡1− β ⋅(z−1)⎤− r −(1+ β )− r ⎦

P (z ) = e

λ⋅⎨ ⎣ ⎩⎪

1−(1+ β )

−r

⎫⎪ −1⎬ ⎭⎪

cuando r>-1, β >0 y λ>0

(10)

De la función generatriz de probabilidad se deducen la esperanza matemática y la varianza de la distribución, así como el coeficiente de asimetría de esta distribución: λ ⋅β ⋅r E S = −r 1− 1+ β

()

(

()

)

( )

Var(S) = E S ⋅ ⎡⎣1+ r +1 β ⎤⎦

(

()

g1 S =

2 r + 2 σ S − μS 2 3⋅ σ S − 2 ⋅ μ S + ⋅ r +1 μS

)

σ S3

(11)

Dependiendo de los valores de r el coeficiente de asimetría variará, pudiéndose obtener una cola derecha más gruesa o menos que las distribuciones anteriormente analizadas. Las distribuciones expuestas anteriormente resultan ser casos particulares de la presente distribución y que se exponen en la siguiente Tabla 4. Tabla 4. Parámetro r de la distribución Poisson Pascal Generalizada

Distribución Poisson Binomial Negativa Polya-Aeppli Neyman Type A Poisson Inversa Gausiana

Parámetro r=-1 r=0 r=1

r →∞ r=-0,5

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Gómez-Déniz et al. (2009) exponen la distribución Poisson-Beta para la modelización del número de reclamaciones como una mezcla o mixtura de distribuciones de Poisson. Esta distribución presenta una cola más pesada que la distribución de Poisson y consiguientemente también refleja la sobredispersión de las muestras analizadas.

6. Redefinición de los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad

Los datos analizados presentan todas las anomalías que se habían identificado a nivel teórico. Es evidente que las carteras analizadas son carteras heterogéneas, en las que, en el actual análisis, no se han identificado colectivos en función de las variables de tarificación. Todas las carteras presentan sobre-dispersión, sin embargo, se debería realizar un análisis en mayor profundidad. Cabría pensar que la sobredispersión es proporcional a la media siniestral, es decir, a mayor media muestral mayor sobre-dispersión y que la distribución Binomial Negativa sería un buen modelo para modelizar el número de siniestros. Aunque en líneas generales parece que existe una relación entre ambas, no se han encontrado evidencias de una relación entre media y sobre-dispersión, y hay carteras con baja siniestralidad y alta sobre-dispersión, y viceversa. Tabla 5. Parámetros de las distribuciones de probabilidad en función de la media muestral y el índice de sobre-dispersión

Distribución Binomial Negativa Polya-Aeppli Poisson Inversa Gausiana

Parámetros

β=

σ − 1 = I N −1 μX 2 X

β = 0, 5 ⋅ (I N − 1)

β = 2 ⋅ (I N − 1) β ⋅ (r + 1) = I N − 1

Poisson Pascal Generalizada

β=

IN − 1 r +1

λ=

λ = μX ⋅

μX IN − 1

2μX 1+ I N

1− 2 ⋅ I N −1 1− I N

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

Los parámetros de las distribuciones de probabilidad es posible expresarlos en función de la sobre-dispersión que presenta la muestra. Esta reparametrización permitirá expresar las distribuciones y sus parámetros de una forma más adaptada a la estadística actuarial, indicando información sobre la cartera que se este analizando. El parámetro β en las distribuciones Binomial Negativa es la proporción de sobre-dispersión de la cartera expresada en tanto por uno, mientras que en la Poisson Inversa Gausiana es 2 veces esta proporción. La distribución Poisson Pascal Generalizada admite dos interpretaciones en función de las dos expresiones que puede tomar, la primera, que el 1 la proporción de la varianza que supera a la media, la parámetro β es r +1 segunda, que el producto de los parámetros β y r es esa misma proporción (es decir el parámetro β de la distribución Binomial Negativa). De igual forma, en todas las carteras se ha encontrado la anomalía del “inflado de ceros”, el “desinflado de unos” y el “inflado de la cola”. El patrón de comportamiento de la siniestralidad de una cartera es común a todas las carteras analizadas sin excepción, tal como se puede comprobar en los gráficos del Anexo. No se han encontrado referencias bibliográficas sobre el “desinflado de unos” cuando es un fenómeno con mayores consecuencias prácticas que el “inflado de ceros”. Se han hallado evidencias de una relación entre la sobre-dispersión y el “desinflado de unos”, tanto a nivel teórico, como a nivel práctico, a mayor sobre-dispersión mayor “desinflado de unos”. La relación entre la sobre-dispersión y el “desinflado de unos” viene determinada por el hecho que la frecuencia del número de asegurados en cero siniestros no influye directamente en el cálculo de la media muestral (cero por cualquier frecuencia es cero, el primer término del sumatorio es siempre cero), sin embargo, el resto de valores de la variable tendrán un peso más importante en la determinación, tanto de la media muestral como de la varianza muestral. En el cálculo de la varianza muestral, la aportación al resultado final de cero siniestros, es prácticamente la misma, independientemente de la función de distribución utilizada, siendo el resto de los valores los que soportan variaciones más importantes. El valor un siniestro será el que mayores variaciones genere. En la distribución de Poisson, el valor un siniestro acumula gran parte de la variación de la distribución, dejando una participación menor para los valores mayores que uno. En el resto de distribuciones de probabilidad utilizadas, al tener una

José A. Álvarez Jareño y Prudencio Muñiz Rodríguez - Anales 2010/1-24

cola más pesada, el valor un siniestro reduce su peso y los valores mayores que uno lo incrementan en mayor medida que el valor uno. El resultado final es una mayor dispersión de las distribuciones compuestas. Las distribuciones de probabilidad compuestas, o las mixturas, al calcularse en base a dos o más parámetros ajustan mejor la variabilidad de la muestra, y las diferencias entre la varianza muestral y la de la distribución es muy pequeña. El ajuste a una distribución de probabilidad u otra dependerá de otras medidas (coeficiente de asimetría o coeficiente de curtosis). A mayor número de parámetros de una distribución se incrementa la bondad del ajuste porque se incorpora una mayor información de los datos muestrales a la distribución teórica. Sin embargo, se deberán tener en cuenta dos aspectos, el primero de carácter teórico, un mayor número de parámetros implica un menor número de grados de libertad de la distribución estimada, y el segundo de carácter práctico, distribuciones más complejas (con mayor número de parámetros) no tienen porque aportar mejoras significativas en las características requeridas a un sistema o escala de primas. Se preferirá un modelo más sencillo a otro más complejo si las mejoras que introduce el segundo no mejoran sustancialmente el sistema (navaja de Occam o principio de economía o parsimonia).

7. Coeficiente de Asimetría

El coeficiente de asimetría en la distribución del número de siniestros será un valor positivo, es decir, la distribución es asimétrica por la derecha, hecho que es evidente, ya que el número de siniestros únicamente toma valores positivos, y su media aritmética es un valor inferior a 1. Se deberá añadir que todas las distribuciones del número de siniestros presentan sobre-dispersión, y que existe una relación entre la sobre-dispersión y el “desinflado de unos”, por consiguiente el coeficiente de asimetría (o el momento central de orden 3) estará influido por estas anomalías.

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

Gráfico 2. Coeficiente de Asimetría de la distribución Binomial Negativa Coeficiente de Asimetría con sobre-dispersión

Coeficiente de Asimetría sin sobre-dispersión

Partiendo de la distribución PPG, el parámetro “r” reflejará la sobredispersión de los datos. Si la media muestral es igual a la varianza muestral, se estaría en la distribución de Poisson, y el parámetro “r” sería igual a -1. A medida que haya mayor sobre-dispersión, también se incrementará el parámetro “r”, teniendo en cuenta, que no es el único elemento que influye en la determinación de este parámetro. El coeficiente de asimetría (o más concretamente, el momento central de orden 3) también se verá reflejado en el parámetro “r”, que a su vez viene determinado por la sobre-dispersión de los datos. Gráfico 3. Coeficiente de Asimetría de la distribución Poisson Inversa Gausiana Coeficiente de Asimetría con sobre-dispersión

Coeficiente de Asimetría sin sobre-dispersión

Si no se tiene en cuenta que los datos presentan sobre-dispersión el comportamiento del coeficiente de asimetría para cada una de las distribuciones propuestas, tiene un comportamiento bastante diferenciado, tal como se muestra en los gráficos de la derecha de los Gráficos 2, 3 y 4. Sin embargo, al introducir el fenómeno de la sobre-dispersión, las tres distribuciones que mejores resultados obtienen en los ajustes tienen un

José A. Álvarez Jareño y Prudencio Muñiz Rodríguez - Anales 2010/1-24

comportamiento muy similar, y únicamente se pueden observar pequeñas diferencias entre ellas. Gráfico 4. Coeficiente de Asimetría de la distribución Poisson Pascal Generalizada Coeficiente de Asimetría con sobre-dispersión

Coeficiente de Asimetría sin sobre-dispersión

Todas las distribuciones empiezan con la inexistencia de sobre-dispersión (IN=1), siendo los resultados coincidentes entre las diferentes distribuciones y a su vez con la distribución de Poisson. En función de la sobre-dispersión el coeficiente de variación se verá modificado en cada una de las distribuciones, aunque de forma poco significativa. Si además se tiene en cuenta que el intervalo de la media siniestral no toma valores muy elevados en la realidad (el mínimo analizado es de 0,0691 y el máximo de 0,2251), los resultados para el coeficiente de asimetría de las tres distribuciones son muy similares para las sobre-dispersiones observadas.

8. Conclusiones

Del análisis realizado se deduce que todas las carteras analizadas presentan sobre-dispersión, inflado de ceros y desinflado de unos, es decir, la distribución de Poisson sobreestima a los “buenos conductores” (0 ó 1 siniestro) y subestima a los “malos conductores” (2 ó más siniestros). Son necesarias distribuciones con colas más pesadas, como la Binomial Negativa (BN), la Poisson Inversa Gausiana (PIG) o la Poisson Pascal Generalizada (PPG) para poder ajustar mejor la distribución del número de siniestros a los datos reales. Se han redefinido los parámetros de las funciones de distribución utilizadas en el análisis de siniestros para que éstos se expresen en función de la media muestral y el índice de sobre-dispersión, de esta forma la interpretación de los parámetros de la distribución se hace en función de las denominadas

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

anomalías muestrales que tiene un carácter más adaptado a la estadística actuarial. Esto significa que para la distribución Binomial Negativa, el parámetro β es el porcentaje de sobre-dispersión que presenta la cartera, mientras que el parámetro r es el cociente entre la media muestral y el porcentaje de sobre-dispersión de la cartera. El parámetro β en las distribuciones Binomial Negativa, Polya-Aeppli y Poisson Inversa Gausiana está directamente relacionado con la sobredispersión. El coeficiente de asimetría de las funciones de distribución utilizadas en este trabajo se ve condicionado por la existencia de sobre-dispersión en las muestras y presenta un comportamiento muy similar para todas las distribuciones, lo que implica que los parámetros de las distribuciones del número de siniestros están en un intervalo muy delimitado donde todas las distribuciones se asemejan bastante.

Bibliografía

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José A. Álvarez Jareño y Prudencio Muñiz Rodríguez - Anales 2010/1-24

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Anexo Gráficos

Los siguientes gráficos muestran las diferencias entre la cartera real y el ajuste mediante una distribución de Poisson para el número de siniestros. Todas las carteras tienen el mismo comportamiento, inflado de ceros, desinflado de unos y de nuevo inflado de las colas.

Reparametrización de las principales distribuciones de

Anales 2010/1-24

C-1 Cartera Thyrion

C-2 Cartera Tröblinger

C-3 Cartera de Bühlmann

C-4 Cartera Johson-Hey

C-5 Cartera Lemaire

C-6 Cartera Besson-Partrat

José A. Álvarez Jareño y Prudencio Muñiz Rodríguez - Anales 2010/1-24

C-7 Cartera Bélgica 93

C-8 Cartera Bélgica 94

C-9 Cartera Hossack

C-10 Cartera Morillo-Bermúdez

C-11 Cartera Boucher-Denuit-Guillén

C-12 Cartera Vilar-Gil-Heras

Reparametrización de las principales distribuciones de

C-13 Nueva Cartera 1999

Anales 2010/1-24

C-14 Nueva Cartera 2000

C-15 Nueva Cartera 2001

ON THE PREMIUM OF EQUITY-LINKED INSURANCE CONTRACTS Beatriz Balbás and Raquel Balbás1 Abstract We will deal with the valuation of equity-linked insurance contracts such as unit links. We will introduce a premium principle based on the optimization of expectation bounded and coherent measures of risk. The premium principle seems to present some interesting properties. Indeed, firstly, it is sub-additive and favors diversification. Secondly, it integrates both actuarial and financial risks, and does not have to impose independence between them. Thirdly, it provides the insurer with hedging strategies. Finally, it is very easy to use in practice since one only has to solve linear programming problems, despite the fact that risk measures are not linear at all. Key words. Risk measure, Premium, Equity-linked contract. J.E.L. Classification, G22, G23, G12. Sobre la prima de contratos de seguro ligados al mercado financiero Resumen Estudiaremos el problema de la valoración de contratos de seguro ligados al mercado financiero, tales como las anualidades o rentas ligadas a índices bursátiles. Introduciremos un principio de prima basado en la optimización de medidas de riesgo coherentes y acotadas por la media. Este principio parece presentar una serie de propiedades de interés. En efecto, en primer lugar, es sub-aditivo, por lo que favorece la diversificación. Segundo, se integran los riesgos actuariales y financieros, y no hace falta suponer independencia de los mismos. Tercero, se proporcionarán estrategias de cobertura para el asegurador. Y cuarto, la prima del contrato es fácil de calcular en las aplicaciones prácticas, puesto que sólo hay que resolver 1

Corresponding Author. Complutense University of Madrid. Somosaguas-Campus. 28223 Pozuelo de Alarcón (Madrid, Spain) raquel.balbas@ccee.ucm.es. Research partially supported by Comunidad Autónoma de Madrid (Spain), Grant S2009/ESP-1594, and Ministerio de Ciencia e Innovación (Spain), Grant ECO2009-14457-C04. The usual caveat applies. Este artículo se ha recibido en versión revisada el 8 de junio de 2010.

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

problemas de programación lineal, pese a que las medidas de riesgo están lejos de ser lineales. Palabras clave. Medidas de riesgo, Prima, Contrato ligado al mercado financiero. Clasificación J.E.L., G22, G23, G12.

I. Introduction Artzner et al. (1999) introduced the axioms and properties of their “coherent measures of risk” and later many authors extended the discussion (for example, Rockafellar et al., 2006, introduced the “expectation bounded measures of risk”, and Brown and Sim, 2009, defined the “satisfying measures”). Since then many actuarial and financial problems have been revisited. For instance, with respect to purely actuarial topics, Gao et al. (2007) deal with equilibrium prices, Kaluszka (2005), Bernar and Tian (2009) or Centeno and Simoes (2009) study optimal reinsurance problems and Barbarin and Devolder (2005) or Gaillardetz (2008) focus on equity linked annuities. Mixed (i.e., both actuarial and financial) problems are presented in Wang (2000), Hamada and Sherris (2003), or Balbás et al. (2008), amongst others, and pure financial problems may be found in Föllmer and Leukert (2000), Nakano (2003), Nakano (2004), Staum (2004), etc. There are several reasons justifying this growing interest in new risk measures, but two of them may deserve special attention. Firstly, if asymmetric returns are involved then the classical standard deviation is not compatible with the Second Order Stochastic Dominance and the usual Utility Functions (Ogryczak and Ruszczynski, 1999 and 2002). Secondly, but also very importantly, modern risk measures may be understood as possible capital losses and capital requirements, which provides us with information that is not yielded by the standard deviation. This article focuses on the valuation of insurance products that are linked with the financial market (i.e., with the evolution of some risky asset) with special attention to the risk level given by a general expectation bounded and coherent risk measure. As will be indicated, there are many potential products involved, though “the unit links” are probably the most popular

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

contracts. Besides, expectation bounded and coherent risk measures are general enough and contain many important particular cases (the Dual Power Transform of Wang, 2000, the Conditional Value at Risk of Rockafellar et al., 2006, etc.). The paper’s outline is as follows. The second section will be devoted to presenting the general framework we are going to deal with. In Section 3 we will draw on an original idea of Balbás et al. (2010b) so as to introduce a new Premium Principle for contracts affected by both actuarial and financial risks. Actually, the paper above gives a general method that allows us to extend pricing rules in incomplete financial markets by minimizing risk measures, while we adapt that pricing rule to the concrete problem we are studying. The introduced premium principle seems to present interesting properties. Indeed, firstly, it is sub-additive and favors diversification. Secondly, it integrates both actuarial and financial risks, and does not have to impose independence between them. Thirdly, it provides the insurer with hedging strategies that make the global risk faced by the insurer vanish. The fourth section will be devoted to analyzing models represented by a discrete probability space. This special setting is important for two reasons. Firstly, it may significantly simplify computations in practical studies, and secondly, it is not restrictive at all since for every real situation there exist discrete approximations as close as desired. Concrete equity-linked insurance products and other applications are given in Section 5, with special focus on the usual equity-linked annuities. They are modeled according to an original idea of Balbás et al. (2010a). The last section of the paper summarizes the most important conclusions.

II. Preliminaries and notations Let as assume that t = 0 and t = T represent the current and a future date respectively. Consider the probability space (Ω, ℑ, μ ) composed of the set Ω (states of nature or states of the world), the σ -algebra ℑ (information available at t = T ) and the probability measure μ . Suppose that

Ω = Ω a × Ω f contains both those states of nature belonging to Ω a and related to the evolution of a set of insurance policies, and the states of nature belonging to Ω f , related to the evolution of a financial market. Similarly, representing with the symbol ⊗ the tensor product of σ -algebras, we will 27

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

assume that ℑ = ℑa ⊗ ℑ f , but we will not impose independence between the actuarial and the financial risk. In other words, if μ a and μ f denote the natural (marginal) projections of the probability measure μ on Ω a and Ω a respectively, in general, we will not assume the fulfillment of the equality μ = μ a ⊗ μ f , μ a ⊗ μ f denoting the usual tensor product of μ a and μ f .2 Let be p ∈ [1,2] and suppose that L p (Ω, ℑ, μ ) (henceforth L p for short) denotes the usual space of ℑ − measurable random variables y such that the expectation of y p is finite. Denote by q ∈ [2, ∞ ] the conjugate of p ( 1 / p + 1 / q = 1 ). It is well known that the Riesz Representation Theorem states that Lq is the dual space of L p (Horváth, 1966, or Luenberger, 1969). In particular, every real valued linear and continuous function on L p takes the form

L p ∋ y → E (q * y ) ∈ ℜ , q * ∈ Lq being an arbitrary element that only depends on the linear function we are dealing with, and E (− ) denoting the mathematical expectation of any random variable. Analogous ideas and notations will apply for the actuarial and the financial problems, i.e., L p ( Lq ) will be used for the joint problem, while Lp (Ω a )

( )

and Lp Ω f

( )

( Lq (Ω a ) and Lq Ω f ) will represent the actuarial and the

financial ones respectively. With the usual convention we can assume that Lp (Ω a ) ⊂ Lp and Lp Ω f ⊂ Lp , and identical inclusions hold if q plays

( )

the role of p. Next let us introduce the risk measurement criterion and the pricing rule of the financial market. Consider a general risk function

ρ : Lp → ℜ

Actually, the independence between both probability spaces is not a restrictive assumption, but some authors have pointed out that the results of some insurance companies may affect the behaviour of some financial markets. For instance, significant sales from pension funds could worsen the performance of some index. Thus, we will never impose independence (see Gaillardetz, 2008, for an alternative discussion).

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

Since Lp ⊃ L2 , we will deal with risk measures that may be extended beyond L2 . Denote by

{

}

Δ ρ = z ∈ Lq : − E ( yz ) ≤ ρ ( y )% ∀y ∈ L p .

(1)

The set Δ ρ is obviously convex. We will assume that Δ ρ is also

σ (Lq , Lp ) − compact,3 z ≥ 0 and E ( z ) = 1 for every z ∈ Δ ρ , and ρ ( y ) = Max{− E ( yz ) : z ∈ Δ ρ }

(2)

holds for every y ∈ Lp . Summarizing, we have:

(

)

Assumption 1. The set Δ ρ given by (1) is convex and σ Lq , Lp − compact, its elements are non-negative and have an expected value equal to one, and (2) holds for every y ∈ Lp . The assumption above is closely related to the Representation Theorem of Risk Measures stated in Rockafellar et al. (2006). Following their ideas, it is easy to prove that the fulfillment of Assumption 1 holds if and only if ρ is continuous and: Translation invariant, i.e., ρ ( y + k ) = ρ ( y ) − k , for every y ∈ Lp and k ∈ℜ. Sub-additive, i.e., ρ ( y + y´) = ρ ( y ) + ρ ( y´) , for every y, y´∈ Lp .

Homogeneous, i.e., ρ (λy + k ) = λρ ( y ) , for every y ∈ Lp and λ > 0 .

Mean dominating, i.e., ρ ( y ) ≥ − E ( y ) , for every y ∈ Lp .

Decreasing, i.e., ρ ( y ) ≤ ρ ( y´) , for every y, y´∈ Lp with y ≥ y´ . According to Artzner et al. (1999) and Rockafellar et al. (2006), risk measures satisfying the properties above (or Assumption 1) are called Coherent and Expectation Bounded. Particular interesting examples are the Conditional Value at Risk (CVaR) of Rockafellar et al. (2006), the Weighted Conditional Value at Risk (WCVaR) of Cherny (2006), the Compatible Value 3

See Horvàth (1966) or Luenberger (1969) for further details about

σ (Lq , Lp ) − compact sets.

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

at Risk (CCVaR) of Balbás and Balbás (2009), the Dual Power Transform (DPT) of Wang (2000) and the Wang Measure (Wang, 2000), among many others. If ρ satisfies the properties above, then so do the restrictions of ρ to

Lp (Ω a ) and Lp (Ω f ) . Thus Assumption 1 still holds if Δ ρ is replaced by

( )

the set Δ ρ ,a (or Δ ρ , f ) below and y ∈ Lp (Ω a ) ( y ∈ Lp Ω f ),

{ } = {z ∈ L (Ω ) : − E ( yz ) ≤ ρ ( y )% ∀y ∈ L (Ω )}

Δ ρ ,a = z ∈ Lq (Ω a ) : − E ( yz ) ≤ ρ ( y )% ∀y ∈ L p (Ω a ) Δ ρ, f

With respect to the financial market, we will assume that it is perfect and complete, that is, there are no transaction costs or other imperfections/frictions and every final pay-off y ∈ L2 Ω f may be reached

( )

at T by means of a self-financing portfolio adapted to the arrival of information (see Cochrane, 2001, for further details about the usual assumptions of a pricing model in finance). Actually, the completeness of the market is not necessary for most of the results we are going to deal with, but it significantly simplifies the exposition, and most of the classical pricing models (binomial, Black and Scholes, Heston, etc) are complete. Accordingly, we can go beyond the Riesz Representation Theorem above. Indeed, in order to prevent the existence of arbitrage (Cochrane, 2001), there is a unique Stochastic Discount Factor zπ ∈ L2 Ω f such that zπ > 0

( )

almost surely and

Π ( y ) = e − rT E ( yzπ )

(3)

( )

holds for every y ∈ L2 Ω f , r denoting the riskless interest rate and Π ( y ) denoting the initial (at t=0) price of every final pay-off y. If one takes the riskless asset y = e rT then (3) obviously implies that

E ( zπ ) = 1

(4)

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

III. Pricing equity-linked insurance contracts Consider an insurance contract whose final value (at T) depends of both the actuarial and the financial risk. Denote by g ∈ L2 the random amount that the insurer will pay to her/his client. Then, the insurer may look for “protection” in the financial market so as to minimize the global risk of her/his net position. Though the financial market is complete, it would be obviously a very restrictive assumption to consider that so is the insurance (or the joint) market, so the insurer is pricing g in an incomplete market. There are several approaches dealing with the valuation with risk measures of contingent claims in an incomplete market (Wang, 1999, Hamada and Sherris, 2003, Nakano, 2003 and 2004, etc.), though we will follow a minor modification of that of Balbás et al. (2010b). Accordingly, the premium that at t=0 the insurer will receive for g is given the optimal value of the minimization problem

⎧Min ρ ( y − g ) + P ⎪ E ( yzπ ) ≤ P ⎪ ⎨ P ∈ℜ ⎪ ⎪⎩ y ∈ L2 (Ω f )

(5)

(P, y ) being the decision variable. The interpretation of (5) is clear. Indeed, according to the first constraint, P represents the value (at T) of the hedging strategy that the insurer will use so as to compensate possible capital losses provoked by –g, 4 whereas ρ ( y − g ) is (the value at T of) the capital requirement or reserve that the insurer must add so as to prevent severe damages and/or negative evolutions of the financial market. Thus, the objective ρ ( y − g ) + P reflects (the value at T of) the capital needed by the insurer so as to sell the risk g and hedge the position, and therefore, according to Balbás et al. (2010b), this is (the value at T of) the price that the insurer must receive for g. Notice that the risk level that the insurer has to face vanishes, since for the solution y of (5) one has that

ρ ( y − g + (ρ ( y − g ))) = 0

The client will receive the amount g, so the insurer will receive -g.

(6)

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

because ρ is translation invariant, and the amount ρ ( y − g ) has been paid by the customer as the first part of the global premium. Once (5) has been solved, its optimal value must be multiplied by the discount factor e − rT to compute the insurance premium, since it is paid at t=0. Actually, there is a minor difference between (5) and the optimization problem proposed in Balbás et al. (2010b), since these authors only deal with a financial problem and do not incorporate any actuarial risk. However, straightforward modifications of their arguments allow us to adapt their major results about duality and Lagrange multipliers for (5). Thus, since (5) is obviously a feasible mathematical programming problem, we will give without proof the following theorem. Theorem 2. Suppose that (5) is bounded. 5 Consider the dual problem

⎧Max ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

E ( gz ) z ∈ Δρ

z − zπ ∈ L2 (Ω f

)

(7)

⊥

z being the decision variable and L⊥ denoting the orthogonal manifold of every subspace L of L2 . Then (7) is solvable and its maximum equals the primal infimum of (5). Furthermore, y * , P * and z * solve (5) and (7) respectively if and only if the following Karush-Kuhn-Tucker conditions

(

( ) ( ) ( ( )

)

⎧ E ( gz ) − E y * z ≤ E gz * − E y * z * , ∀z ∈ Δ ρ ⎪ E zπ y * = P * ⎪ ⎨ ⊥ z * − zπ ∈ L2 (Ω f ) ⎪ ⎪ y * ∈ L2 (Ω f ), P * ∈ ℜ, z * ∈ Δ ρ ⎩

(8)

hold. 5

Hereafter we will assume that (5) is bounded. Actually, there are some “pathological” situations leading to unbounded problems, but they must be overcome with appropriate modifications of the risk measure ρ . Further details may be found in Balbás and Balbás (2009) and Balbás et al. (2010b). Anyway, it is worth pointing out that the feasible set of (7) does not depend on g, so (5) becomes unbounded for every g if so is for some particular risk, for instance the null one.

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

(

)

Bearing in mind (1) and (4), it is easy to see that y * − P * ,0 and z * satisfy

(

)

(8) if and only if so do y * , P * and z * , which implies that one can always look for a solution making the variable P vanish. Thus, the unknown P * may be removed in System (8), which is illustrated in the following result.

(

)

Corollary 3. If (5) is solvable then there exists a solution y * , P * such that

(

)

P = 0 . Moreover y ,0 and z solve (5) and (7) if and only if *

( ) ( )

( )

⎧ E ( gz ) − E y * z ≤ E gz * , ∀z ∈ Δ ρ ⎪ E zπ y * = 0 ⎪ ⎨ ⊥ * 2 ⎪ z − zπ ∈ L (Ω f ) ⎪ y * ∈ L2 (Ω f ), z * ∈ Δ ρ ⎩

(9)

hold. Proof. As pointed out above, we can assume that the primal solution y * , P * satisfies P * = 0 . Hence, the second and fourth expressions in (9) trivially follow from the equivalent expressions in (8), while the first one becomes obvious if we prove that E ( y * z * ) = 0 . Bearing in mind the second

(

)

( )

condition in (9) and the properties zπ − z * ∈ L2 Ω f

(

)

⊥

( )

and y * ∈ L2 Ω f ,

we have that E ( y * z * ) = E y * zπ = 0 . The introduced price of g makes sense even if g does not depend on the actuarial risk ( g ∈ L2 Ω f ). Let us see that we are not modifying its price in

( )

such a case.

( ) then the optimal value of (5) and (8) equals

Corollary 4. If g ∈ L2 Ω f

Π ( g )e rT .

( )

Proof. If z * is the dual solution then z * − zπ ∈ L2 Ω f account (3),

( )

Π (g )e rT = E ( zπ g ) = E z * g .

⊥

. Thus, taking into

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

The later corollary justifies that the price of g will be denoted by Π ( g ) in what follows. Every premium principle should be sub-additive, since otherwise customers would prefer to sign several contracts rather than a single one. Moreover, the seminal paper by Deprez and Gerber (1985) already justified that most of the usual premium principles are given by convex functions. Let us show that our premium respects these requirements.

g , g1 , g 2 ∈ L2 and α ≥0 Π (g1 + g 2 ) ≤ Π ( g1 ) + Π (g 2 ) and Π (αg ) = αΠ ( g ) . Proof. According to Theorem 2 there exists z * (8)-feasible such that

Corollary

(

)

(

)

(

then

)

Π ( g1 + g 2 ) = e − rT E z * ( g1 + g 2 ) = e − rT E z * g1 + e − rT E z * g 2 ≤ Π ( g1 ) + Π ( g 2 ) where the last inequality also follows from Theorem 2. The second expression may be proved in a similar manner.

( )

Finally, let us point out that condition z * − zπ ∈ L2 Ω f

⊥

may be given in a

different manner, which trivially implies that (7), (8) and (9) may be accordingly modified and the new results remain true. We will draw on usual notations so as to represent mathematical conditional expectations.

( )

Proposition 6. Suppose that z * ∈ Δ ρ . Then, z * − zπ ∈ L2 Ω f and only if

(

)

E z * / ω f ∈ A = E (zπ / ω f ∈ A)

(10)

for every set A ∈ ℑ f with μ f ( A) > 0 . Remark. If it is not confusing Expression (9) will simplify to

(

)

E z * / zπ = zπ

(11)

since this new notation is much more intuitive.

⊥

holds if

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

Proof

Proposition

Suppose

that

z * − zπ ∈ L2 (Ω f ) , ⊥

A ∈ ℑ f and μ f ( A) > 0 . Since the market is complete the indicator function

1 A is a reachable pay-off,6 so z * − zπ ∈ L2 (Ω f ) leads to ⊥

∫∫

Ωa × A

( z * − z π ) dμ = 0 .

Hence,

∫

Ωa × A

z * dμ = ∫ zπ dμ f ,

(12)

which trivially leads to (10). Conversely, suppose that (10) holds. Then, (12) also holds for every A ∈ ℑ f with μ f ( A) > 0 , and therefore

∫

z * ydμ = ∫ zπ ydμ f

(13)

Ωf

( )

for every y ∈ L2 Ω f , because (13) holds for every simple random variable

( ) and the set of simple random variables is dense in this space.

in L2 Ω f

IV. The discrete case This section will be devoted to showing that (7) and (9) make it possible to solve (5) in practice, i.e., one can easily compute a “fair price” for Risk g as well as the optimal hedging strategy for its financial risk. For illustrative reasons we are going to deal with a discrete probability space (Ω, ℑ, μ ) , though it is also possible to solve the problem in the general framework.7

Recall that

1 A (ω ) = 1 if ω ∈ A and 1 A (ω ) = 0

otherwise.

Actually, in Balbás et al. (2009) a more complicated optimal reinsurance problem is solved in a “continuous” probability space, and Anderson and Nash (1987) present very complete information about algorithms related to infinite-dimensional linear optimization problems. However, we will deal with discrete spaces here to simplify the exposition. Moreover, discrete probability spaces have been often used in actuarial and financial approaches (Nakano, 2003, Calafiore, 2007, Mansini et al., 2007, Gaillardetz, 2008, etc.), since they permit us to give accurate approximations of every probability space.

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

{

If we consider that Ω a = ω1a , ω 2a ,..., ω na

}

{

and Ω f = ω1f , ω 2f ,..., ω mf

}

then, according to Proposition 6, Problem (7) becomes

⎧ ⎪Max ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

(z )

∑∑ g z (z ) ∈ Δ ρ

i, j i, j

i =1 j =1

i, j i, j

∑μ i =1

i =n, j =m i , j i =1, j =1

= μ f , j zπ , j ,

i, j i, j

j = 1,2,..., m

(14)

being the decision variable. Obviously, we are denoting

(

)

(

)

(

)

( )

g i , j = g ω ia , ω jf , z i , j = z ω ia , ω jf , μ i , j = μ ω ia , ω jf , zπ , j = zπ ω jf

( ) , i=1,2,…,n and j=1,2,….,m.

and μ f , j = μ f ω

f j

Analogously, the Karush, Kuhn Tucker like conditions (9) become in this case

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

∑∑ g i =1 j =1

n m ⎛ n *⎞ − ∑ ⎜ ∑ zi , j y j ⎟ ≤ ∑∑ g i , j zi*, j , ∀(zi , j )i , j ∈ Δ ρ j =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 j =1 (zi, j )i, j ∈ Δ ρ m

i, j i, j

∑μ i =1

= μ f , j zπ , j ,

i, j i, j m

∑ zπ j =1

j = 1,2,..., m

y *j = 0 (15)

(z )

* i =n, j =m i , j i =1, j =1

( )

and y *j

j =m j =1

being the unknowns. Notice that (15) may be easily

( )

solved in practice if the solution z i*, j

i=n, j =m i =1, j =1

is known, because in such a

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

case

(y )

(z )

* j =m j j =1

* i =n, j =m i , j i =1, j =1

becomes the only unknown of the system. To compute

one must solve Problem (14), but this is frequently a linear

optimization problem that may be easily solved by the popular simplex method. For instance, a very important particular risk measure satisfying the linearity of (14) is the Conditional Value at Risk or CVaR. This risk measure is becoming very interesting for both researchers and practitioners.8 According to Rockafellar et al. (2006), if 0 < υ < 1 denotes the confidence level of the CVaR (henceforth we will denote CVaRυ , if necessary) then we have that the sub-gradient given in (1) becomes

1 ⎧ ⎫ Δ CVaRυ = ⎨ z ∈ L∞ : 0 ≤ z ≤ , E ( z ) = 1⎬ . 1−υ ⎩ ⎭ Thus, bearing in mind that we are dealing with discrete spaces, (14) becomes

⎧ ⎪Max ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

∑∑ g i =1 j =1

i, j i, j

0 ≤ (zi , j )i , j ≤ n

∑μ i =1

i, j i, j

i = 1,2,..., n,

= μ f , j zπ , j ,

j = 1,2,..., m

(16) Notice that constraint

E (z ) = 1 does not have to be imposed. Indeed, it trivially follows from the last restriction of (16) and Expression (4).

The linearity of (14) also holds for important closely related risk measures such as the WCVaR (Cherny, 2006) and the CCVaR (Balbás and Balbás, 2009), among others.

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

V. Examples and applications Maybe the most important practical application is given by the equity linked annuities or unit links. Actually these products have already been studied with risk measures beyond the variance, like VaR and CVaR (Barbarin and Devolder. 2005, Gaillardetz., 2008, etc.) though we will propose a quite different approach more closely related to the discussion above. Actually we will follow the initial approach of Balbás et al. (2010a), where it is shown that the optimization of modern risk measures may be used so as to compute the loading rate of these products. With respect to Barbarin and Devolder (2005), Gaillardetz (2008), and other interesting contributions, our analysis makes the global risk of the insurer vanish (see (6)). Moreover, as already said, we do not have to impose independence between both the actuarial and the financial risk. Finally, but also very important, we do not have to impose any concrete pricing model in the financial market, i.e., every complete arbitrage free pricing model may be used Suppose for instance that T=1 year is an initial horizon and consider k clients of the insurer. The j th -client will pay the premium Pj at t=0 and will receive the pay-off

⎧ H j , not − alive gj = ⎨ alive ⎩aPj I ,

(17)

where 0 < a ≤ 1 and I denotes the (annual) realized return of a chosen financial asset (an index, usually). Alternative modifications of (17) may be considered according to the specific properties of the contract. 9 With the notation of previous sections we have that k

g = ∑gj j =1

(18)

Actually we could price every individual contract rather than the global portfolio of policies represented in (18), but the sub-additivity of the premium principle Π (see Corollary 5) justifies that pricing the global

For instance, one can assume that there is a guaranteed minimum amount if the customer survives, and

{

}

therefore the pay-off becomes Max g , C , where g j is given by (17). j

Beatriz Balbás and Raquel Balbás – Anales 2010/25-42

portfolio leads to cheaper and more competitive products without facing higher levels of risk (see (6)). Once Π ( g ) has been computed by using (7) and (9) (or (15) and (16)) the global loading rate must be divided so as to calculate the loading rate of every particular policy. We will not discuss this second part which is beyond our focus. Nevertheless, classical actuarial methods (probably related to mortality tables) may apply. Though equity linked annuities are very important equity linked insurance contracts, it is worth pointing out that the analysis of this paper may apply for alternative insurance policies. For instance, an illustrative example may be a bonus-malus system that links the lack of claims and the financial market, 10 or a policy involving the hole integrated wealth of the customer, composed of both her/his goods and her/his assets. According to the subadditivity of the premium principle Π (Corollary 5) the integrated treatment will improve the global insurance price. For all of these possible contracts the developed theory applies and minimizes both the (global, actuarial and financial) risk of the insurer and the cost of the contract.

VI. Conclusions Modern coherent and expectation bounded measures of risk have been used in many actuarial and financial problems, and pricing issues are a very important particular case. The approach of this paper deals with the valuation of equity-linked insurance contracts such as equity linked annuities and other products. We have proposed a premium principle based on the optimization of expectation bounded and coherent risk measures that seems to present several interesting properties. Indeed, firstly, it is sub-additive and convex, and therefore it favors diversifications. Secondly, it integrates both actuarial and financial risks, and does not have to impose independence between them. As pointed out by several authors, the absence of independence might be a restrictive assumption in some applications. Third, it provides the insurer with hedging strategies, since the global risk of the insurance company vanishes. Finally, it is very easy to use in practice since 10

i.e., the premium reduction is not only related to the number of claims of the policy, but also with the evolution of some financial market or security.

On the premium of equity-linked insurance contracts – Anales 2010/25-42

one only has to solve linear programming problems, despite the fact that risk measures are not linear at all.

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DISEÑO DE SISTEMAS BONUS-MALUS EN EL CASO TRANSITORIO

Antonio Heras Martínez, ∗ José A. Gil Fana ∗ y José L. Vilar Zanón ∗

Resumen.- A la hora de diseñar un sistema bonus-malus no parece adecuado considerar sólo sus características una vez que ha alcanzado el estado estacionario sino que se ha de tener en cuenta un horizonte temporal de amplitud suficiente y, su evolución a lo largo del mismo. En relación con el caso transitorio Borgan, Hoem, y Norberg (1981), establecen un nuevo criterio de evaluación de un sistema bonus-malus que generaliza el criterio asintótico de Norberg (1976). En este trabajo estudiaremos cómo la metodología propuesta por Heras, A.; Vilar, J.L. y Gil, J.A (2002) y Heras, A.; Gil, J.A, García-Pineda, P. y Vilar, J.L. (2004) para el diseño de sistemas bonus-malus en el caso estacionario, fundamentada en la programación por metas, se adapta perfectamente al caso transitorio.

Palabras clave.- Sistemas bonus-malus. Escala de Bayes. Caso transitorio. Programación por metas.

Abstract.- When we design a bonus-malus system it doesn't seem appropriate to consider only their characteristics once the stationary state has been reached. Rather we must keep in mind a time horizon of sufficiently large as well as its evolution. This is known as the transient case. In connection with it, Borgan, Hoem, and Norberg (1981) propose a new approach for the evaluation of a bonus-malus system that generalizes the Norberg`s asymptotic approach (1976). ∗

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales . Universidad Complutense de Madrid. Campus de Somosaguas. 28223 Pozuelo de Alarcón. Este artículo se ha recibido en versión revisada el 25 de junio de 2010.

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

In this work we will study how the methodology proposed in Heras, A.; Vilar, J.L. and Gil, J.A (2002) and Heras, A.; Gil, J.A, García-Pineda, P. and Vilar, J.L. (2004) in the bonus-malus systems design which is based in goal programming, applies well to the transient case.

Key Words.- Bonus-Malus Systems. Bayes Scale. Transient case. Goal programming.

1.- Sistemas bonus-malus. Dado un grupo de riesgo, supondremos que el nivel de riesgo de cada póliza viene representado por un parámetro λ>0, el número esperado de siniestros por periodo. Supondremos que no es posible determinar el verdadero valor de este parámetro para cada póliza y que existe una variable aleatoria Λ (la variable de estructura) cuyas realizaciones son los valores del parámetro de riesgo para las pólizas pertenecientes al grupo. La función de distribución asociada a la variable de estructura será representada como U(λ) y denominada función de estructura. Supondremos, además que Λ es independiente del tiempo. Las variables aleatorias Nt / Λ=λ, número de siniestros de una póliza en sucesivos periodos condicionados a algún valor de λ, se supone que son mutuamente independientes e idénticamente distribuidas de acuerdo a una distribución de Poisson de media λ. Por tanto, la variable aleatoria no condicionada Nt seguirá una distribución de Poisson ponderada por la función de estructura. Supondremos también que las cuantías de los siniestros individuales

{ X i }i∞=1

son independientes del

número de siniestros y de la variable de estructura, y mutuamente independientes e idénticamente distribuidas con media E { X } < ∞ . Tomaremos esta última como unidad monetaria, de tal forma que la prima pura de una póliza con parámetro de riesgo λ será igual a λ medido en unidades de E { X } . Finalmente, nos situaremos en el caso más sencillo en el que las variables aleatorias Nt / Λ=λ , Nt y X son independientes de la elección del sistema bonus-malus, esto es, no tendremos en cuenta el hambre de bonus.

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

Siguiendo a Lemaire (1995, pág. 6), diremos que una compañía de seguros utiliza un Sistema Bonus-Malus (SBM) cuando se verifican las condiciones siguientes: - Existen únicamente un número finito de clases C1,...,Cn tales que cada póliza permanece en una sola clase durante un periodo de tiempo (habitualmente un año). - La prima correspondiente a cada póliza depende únicamente de la clase en que se encuentra. - La clase a la que pertenece un asegurado durante un cierto periodo depende únicamente de la clase a la que pertenecía durante el periodo anterior y del número de siniestros durante dicho periodo (Condición Markoviana). Por tanto, un SBM consta de tres elementos: - La clase inicial, Co a la que son asignados los nuevos asegurados. - La escala de tarifas, b = (b1,…,bn) en la que se establecen las primas asociadas a cada clase. -.Las reglas de transición, que determinan cuándo se pasa de una clase a otra, y vienen dadas por unas transformaciones Tk tales que Tk(i)=j si se pasa de Ci a Cj cuando se tienen k siniestros. Tk se puede expresar matricialmente:

Tk = ( tijk )

donde

tijk = 1 si Tk ( i ) = j tijk = 0 si Tk ( i ) ≠ j

La Probabilidad de Transición de Ci a Cj para un asegurado de parámetro λ=λ0 se calcula como ∞

pij ( λ0 ) = ∑ pk ( λ0 ).tijk k =0

donde

pk ( λ0 ) = Pr [ N = k / λ = λ0 ]

Las Matrices de Transición condicionadas serán

P ( λ0 ) = ( pij ( λ0 ) )

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Las hipótesis anteriores permiten modelizar el comportamiento de cada asegurado de parámetro λ0 en el SBM mediante una Cadena de Markov (con matriz de transición P (λ0 ) ). Si suponemos, como es habitual, que la cadena es ergódica (es decir, que siempre es posible acceder a una clase dada a partir de cualquier otra, en un número finito de pasos) y sin ciclos, entonces, como es bien sabido, la teoría de las Cadenas de Markov nos asegura la existencia de una distribución estacionaria de probabilidades (Π1 (λ0 ),...., Π n (λ0 )) que representa el comportamiento a largo plazo de dicha póliza. Π k (λ0 ) se interpreta como la probabilidad de que la póliza de parámetro λ0 se encuentre en la clase k cuando, pasado cierto tiempo, el sistema alcanza o al menos se aproxima a su estado estacionario La distribución estacionaria no es difícil de calcular, demostrándose que coincide con el autovector por la izquierda de la matriz de transición asociado con el autovalor unidad (el autovalor de Fröbenius) y cuyas componentes suman la unidad. Además de las probabilidades estacionarias condicionadas al valor de λ, es posible definir las probabilidades estacionarias no condicionadas ( Π1 ,...., Π n ) , con una interpretación similar pero referida a una póliza arbitraria. Tales probabilidades se definen como ∞

Π s = ∫ Π s ( λ ) dU ( λ ) 0

Y si suponemos adecuadamente discretizada la función de estructura:

λ1 ...

λr

prob(λ1 ) ⎫ ⎪ ⎬, prob(λr ) ⎪⎭

se cumplirá también r

Π s = ∑ Π s (λi ). prob(λi ) i =1

Ahora bien en este trabajo queremos tener en cuenta en el momento de diseñar un SBM, no la situación del mismo una vez que todas las pólizas que lo integran han alcanzado el estado estacionario sino que hemos de

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

considerar que en la práctica en el sistema existen pólizas de diferente antigüedad y por ello algunas de ellas muy alejadas del estado estacionario. Para ello hemos de disponer de otras probabilidades: -- Π ks (λi ) : Probabilidad de que una póliza de parámetro la clase s a los k años de antigüedad de la póliza.

λi se encuentre en

El correspondiente vector de probabilidades es

Π k (λi ) = (Π1k (λi ),...., Π kn (λi )) . Ciertamente, si Π 0 (λi ) = (0,...,0,1,0,...,0) , es claro que,

Π k (λi ) = Π 0 (λi ).P k (λi ) . Asimismo, las correspondientes probabilidades descondicionadas, r

⎛

∞

⎞

i =1

⎝

⎠

Π ks = ∑ Π ks (λi ). prob(λi ) ⎜ = ∫ Π ks (λ ).dU (λ ) ⎟

2.- Diseño de un SBM. Caso Transitorio.

Se suelen distinguir tres problemas en la construcción de un SBM: - La elección del número de clases y de las reglas de transición. - La elección de la clase inicial. - El cálculo de la prima correspondiente a cada clase. Es intuitivamente claro que el conocimiento de la distribución estacionaria puede resultar muy útil a la hora de diseñar un SBM, ya que nos informa de cuál será aproximadamente el comportamiento de las pólizas cuando haya transcurrido cierto tiempo. Además, si tenemos en cuenta que en la realidad se producen ingresos y salidas de pólizas, lo que implica que una parte de las mismas se encuentren lejos del estado estacionario, el vector de estado del sistema, que nos proporciona la probabilidad de que una póliza se encuentre en las distintas

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

clases del sistema puede diferir de forma importante de la distribución estacionaria. El primer problema de los citados más arriba, continúa abierto: no es posible todavía encontrar el número de clases y las reglas de transición óptimas en general, aunque sí es posible concluir que ciertas reglas son mejores que otras en base a ciertas medidas de eficiencia. La elección de una clase inicial óptima no puede basarse en la distribución estacionaria, ya que esta última no depende de dicha clase inicial (lo que sí depende de la clase inicial es, obviamente, la velocidad de convergencia a la distribución estacionaria). Sin embargo, este es un problema que si existe en el ámbito del modelo transitorio. Por tanto, cuando hablamos de diseño “óptimo” de un SBM nos referiremos al tercer problema anteriormente mencionado, el de encontrar unas primas “óptimas” que en el caso transitorio incluye el de determinar la prima de entrada. Pero todavía queda por aclarar en qué sentido, es decir, respecto a qué función objetivo, deben ser óptimas las primas. La consecución de tarifas equitativas constituye la razón de ser de cualquier SBM, parece intuitivamente claro que la optimalidad de las primas deberá definirse respecto a este criterio. En otras palabras, el objetivo del diseño debe ser maximizar la equidad del sistema resultante El diseño de un SBM en el caso asintótico ha sido ampliamente tratado en la literatura actuarial. Norberg (1976) retoma una idea de Pesonen (1963) establece como prima asociada a una clase de bonus-malus la esperanza matemática de la siniestralidad anual de una póliza ''infinitamente vieja'' perteneciente a esa clase, demostrando que la escala así establecida (conocida como escala de Bayes) minimiza el error cuadrático de tarificación esperado. En definitiva, para unas reglas de transición dadas, se trata de obtener los valores de b1, b2,…,bn que maximizan la equidad del sistema, medido por el error cuadrático medio de tarificación, haciendo mínima la siguiente función:

QBa ( b1 ,..., bn ) = ∑∑ ( λi − b j ) Π j ( λi ) prob ( λi ) r

i =1 j =1

(2.1)

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

Heras, Vilar y Gil (2002) proponen una nueva medida para la evaluación de la equidad de un SBM que sirve de fundamento a un nuevo criterio asintótico para la determinación de las primas. r

i =1

j =1

QMa ( b1 ,..., bn ) = ∑ ∑ Π j ( λi ) .b j − λi prob(λi ) ,

(2.2)

que permite obtener las primas optimas mediante la resolución de un programa lineal en el marco de la programación por metas. Y en Heras, Gil, Gª Pineda y Vilar (2004) se analizan las posibilidades de esta metodología para el diseño de SBM en el caso asintótico. Centrándonos en el caso transitorio Borgan, O., Hoem, J.M. y Norberg, R. (1981) establecen un nuevo criterio de evaluación de un SBM que generaliza el criterio asintótico de Norberg (1976). A continuación analizaremos el modelo de los citados autores y a la vez una nueva propuesta que generaliza (2.2) al caso transitorio. Teniendo en cuenta que en la cartera existen pólizas de diferentes años de antigüedad, la función objetivo que proponen los autores es: ∞

QBt ( b1 ,..., bn ) = ∑ wt ∑∑ ( λi − b j ) Π tj ( λi ) prob ( λi ) t =0

(2.3)

i =1 j =1

que pondera los errores cuadráticos medios de tarificación de cada uno de los posibles años de antigüedad de las pólizas. Las primas que minimizan esta función son: ∞

bs =

∑ wt t =0 ∞

∑ λ Π ts (λi ) prob(λi ) i =1 r

∑w ∑Π t =0

i =1

t s

(λi ) prob(λi )

s = 1,...n

(2.4)

y verifican

n ∞ ∞ t ∑ bs ∑ wt Π s = ∑ wt E ( λ ) s =1 t = 0 t=0

(2.5)

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Es posible establecer distintos pesos w para los errores de tarificación. Algunos de ellos dan una interesante interpretación de (2.3) como objetivo de equidad. En el citado trabajo los autores consideran t=0 el estado estacionario, nosotros, .sin perdida de generalidad supondremos que, como sucede en la realidad, una póliza no estará en vigor más de m años (edad limite) por lo que no alcanzará el estado estacionario. Supondremos además que existen unos “tantos medios de permanencia” de una póliza en el sistema, tales que 0 p = 1 y m +1 p = 0 ( r p es la probabilidad de que una póliza alcance r años de antigüedad en el sistema). Ahora t=0 es el año de entrada en el sistema. Consideremos tres posibles ponderaciones: 2.1.- wi es la proporción del total de pólizas con i años de antigüedad.

Es posible suponer que a partir de una determinada antigüedad del sistema la citada distribución de edades se mantiene invariable. Basta aceptar además que el número de pólizas que cada año entra en el sistema es constante. Siendo

wi =

∑ip

i = 0,..., m

Si tenemos una distribución de edades invariable con el tiempo ( w0 , w1 ,..., wm ) son constantes las probabilidades

Π s (λi ) = w0 .Π 0s (λi ) + ... + wm .Π ms (λi ) de que una póliza de parámetro

λi se encuentre en la clase s, y

Π s = w0 .Π 0s + ... + wm .Π ms de que una póliza cualquiera se encuentre en la clase s. Las primas que minimizan (1.3) son ahora

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

bs =

∑ wt t =0 m

∑ λ Π ts (λi ) prob(λi ) i

i =1 r

∑w ∑Π t =0

i =1

t s

(λi ) prob(λi )

s = 1,...n

y verifican la igualdad

b1 .Π1 + ... + bn .Π n = E (λ ), que puede interpretase como que, en cada ejercicio, la prima media pagada por una póliza arbitraria es igual a su siniestralidad esperada (equilibrio financiero para el conjunto de la cartera). No hay ningún problema en generalizar al caso transitorio la solución dada mediante la programación por metas. La equidad del sistema se medirá ahora de forma distinta: para una póliza de parámetro λi el sistema será más equitativo cuanto menor sea la diferencia entre la prima media pagada por n

dicha póliza

b j Π j (λi ) ∑ j =1

y la esperanza matemática de su siniestralidad

λi . La función objetivo del mismo será, r

QMt ( b1 ,..., bn ) = ∑ ∑ b j Π j (λi ) − λi . prob(λi )

(2.6)*

i =1 j =1

Notemos que n

j =1

r =0

∑ b j Π j (λi ) − λi = ∑ (b Π1r (λi ) + ... + bn .Π rn (λi ) − λi ) wr 1

Minimizar esta función es equivalente a resolver el siguiente programa lineal

(2.1), (2.2), (2.3) y (2.6) son medidas de eficiencia (equidad) del sistema bonusmalus. Nos permiten comparar distintos sistemas en cuanto a clase de entrada, reglas de transición, escalas de primas y otras restricciones. 51

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Min

∑ prob(λ ).( y

+ i

+ yi− )

b1.Π1 (λ1 ) + ... + bn .Π n (λ1 ) + y1− − y1+ = λ1 ⎫ ⎪⎪ ....... ⎬ ⎪ b1.Π1 (λr ) + ... + bn .Π n (λr ) + yr− − yr+ = λr ⎪⎭

(2.7)

+ Restricciones comerciales y técnicas. Estas restricciones técnicas y comerciales han de ser establecidas como restricciones lineales en las primas. Afortunadamente la mayoría de ellas pueden establecerse de esa forma. ** Límites a los incrementos entre primas sucesivas,

bi +1 ≤ t1.bi bi +1 ≥ t2 .bi ** Diferencia entre las primas de la primera y última clases,

bn ≤ t.b1

** Elasticidad para algunos valores de λ . Ciertamente es posible dar distintas definiciones de elasticidad en el caso transitorio. En este caso parece natural definir la elasticidad para una póliza de parámetro λ como:

dP(λ ) η (λ ) = d λ , P (λ )

λ en ella

P (λ ) = b1.Π1 (λ ) + ... + bn .Π n (λ ) . es la prima media pagada por una póliza cualquiera de parámetro λ y η (λ ) nos expresa la variación porcentual en la misma para una variación porcentual en λ . Considerada como medida de eficiencia dicho valor, al menos para los valores mas significativos de λ ha de ser cercano a uno.

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Notemos que las probabilidades Π i (λ ) i = 1,..., n dependen de la clase de entrada. Fijado el valor de la elasticidad, ε , para un determinado λ , la restricción

dP(λ ) P (λ ) −ε ≤≥= 0 λ dλ es lineal en las primas. ** Superar un determinado valor del RSAL,

RSAL =

P − b1 bn − b1

con

P = b1.Π1 + ... + bn .Π n Fijado un valor R para esa magnitud, la restricción

b1.(Π1 (λ ) − 1 + R) + b2 .Π 2 (λ ) + ... + bn .(Π n − R ) ≤≥= 0 es lineal. ** Equilibrio financiero. Anteriormente comentamos que la escala de Bayes (caso transitorio) posee la propiedad de equilibrio financiero,

b1.Π1 + ... + bn .Π n = E (λ )

(2.8)

Esta es una restricción lineal que podrá introducirse sin dificultad en el programa de programación por metas. 2.2.- Tomemos ahora ws = (1 + i ) − s = v s s = 0....m Se trata ahora de minimizar el valor actual de los errores cuadráticos medios de tarificación.

Las primas que minimizan (2.3) son (2.4) y verifican

b1.Π1 + ... + bn .Π n = a m +1 E (λ ) 53

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Para una póliza arbitraria de nuevo ingreso en la cartera el valor actual de los ingresos futuros esperados por primas iguala al valor actual de su siniestralidad esperada. Esta es una propiedad de equilibrio financiero que no implica como la del caso anterior que los ingresos por primas de cada año coincidan con la esperanza de la siniestralidad. En la propuesta de programación por metas la función objetivo será, r

i =1

j =1

QMt ( b1 ,..., bn ) = ∑ ∑ b j Π j (λi ) − a m +1 λi . prob(λi ) Para una póliza de parámetro λi el sbm es más equitativo cuanto más pequeña es la diferencia entre el valor actual de las primas medias pagadas y el valor actual de sus siniestralidades esperadas. Minimizar esta función es equivalente a resolver el siguiente programa lineal

Min

∑ prob(λ ).( y i

+ i

+ yi− )

b1.Π1 (λ1 ) + ... + bn .Π n (λ1 ) + y1− − y1+ = a m +1 λ1 ⎫ ⎪⎪ ....... ⎬ ⎪ b1.Π1 (λr ) + ... + bn .Π n (λr ) + yr− − yr+ = a m +1 λr ⎪⎭

(2.9)

+ Restricciones comerciales y técnicas. Las restricciones básicas pueden escribirse como

(b1Π10 (λi ) + ... + bn Π 0n (λi ) − λi ) + (b1Π11 (λi ) + ... + bn Π1n (λi ) − λi )v + ....

...... + (b1Π1m (λi ) + ... + bn Π mn (λi ) − λi )vm + yi− − yi+ = 0

Lo que nos indica el tipo de equidad buscada por el modelo. Restricción de equilibrio financiero: Anteriormente comentamos que la escala de Bayes (caso transitorio) posee la propiedad de equilibrio financiero,

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

b1.Π1 + ... + bn .Π n = a m +1 E (λ )

(2.10)

Tal restricción es lineal. Notemos que esta última restricción también puede escribirse como, (b1 .Π10 + ... + bn .Π 0n − E (λ )) + (b1 .Π11 + ... + bn .Π1n − E (λ )).v + .... + (b1 .Π1m + ... + bn .Π mn − E (λ )).v m = 0

que posee sencilla interpretación. Pero en el modelo de metas no hay ningún problema en exigir la restricción más deseable

b1 .Π1 + ... + bn .Π n = E (λ ) Elasticidad: Lemaire (1995, cap. 6) propone una expresión perfectamente compatible con las hipótesis de este modelo para la elasticidad. En ella P(λ ) es el valor actual de la esperanza de los pagos por primas realizados por un asegurado de parámetro λ . Supuesto que la clase de entrada es la Cj y si denominamos ahora

P (λ ) = P 0 (λ ) + (1 + i )−1.P1 (λ ) + ... + (1 + i ) − m .P m (λ ) siendo

P s (λ ) = b1.Π1s (λ ) + ... + bn .Π ns (λ ) s = 0,..., m (notemos que P 0 (λ ) = b j ).

dP(λ ) η (λ ) = d λ P (λ )

λ 2.3.- sea ahora ws = (1 + i ) − s . s p = v s . s p

s = 0....m

p es la probabilidad de que una póliza alcance una antigüedad de s años. ( 0 p = 1). s

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Sea

a .=1+v.1p+v2.2 p+....+vm.mp (2.3) sigue siendo valida. Se trata de minimizar el valor actual esperado de los errores de tarificación. Las primas que minimizan (2.3) son (2.4) y la condición de equilibrio financiero obedece a,

b1.Π1 + ... + bn .Π n = a . E (λ ) En la propuesta de programación por metas la función objetivo del mismo será, r

i =1

j =1

QMt ( b1 ,..., bn ) = ∑ ∑ b j Π j (λi ) − a . λi . prob(λi ) Minimizar esta función es equivalente a resolver el siguiente programa lineal

Min

∑ prob(λ ).( y i

+ i

+ yi− )

b1.Π1 (λ1 ) + ... + bn .Π n (λ1 ) + y1− − y1+ = a .λ1 ⎫ ⎪⎪ ....... ⎬ ⎪ b1.Π1 (λr ) + ... + bn .Π n (λr ) + yr− − yr+ = a .λr ⎪⎭

(2.11)

+ Restricciones comerciales y técnicas. Las restricciones básicas pueden escribirse como (b1Π10 (λi ) + ... + bn Π 0n (λi ) − λi ) + (b1Π11 (λi ) + ... + bn Π1n (λi ) − λi )v 1 p + ....

...... + (b1Π1m (λi ) + ... + bn Π mn (λi ) − λi )vm m p + yi− − yi+ = 0 Lo que nos indica el tipo de equidad buscada por el modelo. ** Equilibrio financiero.

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

Anteriormente comentamos que la escala de Bayes (caso transitorio) posee la propiedad de equilibrio financiero,

b1 .Π1 + ... + bn .Π n = a E (λ )

(2.12)

Tal restricción es lineal. Pero en el modelo de metas no hay ningún problema en exigir la restricción más deseable

b1 .Π1 + ... + bn .Π n = E (λ ) Elasticidad Si denominamos ahora

P (λ ) = P 0 (λ ) + (1 + i )−1 1 p.P1 (λ ) + ... + (1 + i ) − m . m p P m (λ ) , siendo

P s (λ ) = b1.Π1s (λ ) + ... + bn .Π ns (λ ) s = 0,..., m , (notemos que P 0 (λ ) = b j ).

dP(λ ) η (λ ) = d λ P (λ )

λ 3.- Ejemplo.

Desarrollaremos a continuación un ejemplo numérico en el que analizaremos algunas de las posibilidades de las propuestas teóricas planteadas en los apartados anteriores con lo que creemos que quedará suficientemente probada la flexibilidad de la metodología de la programación por metas para el diseño de sistemas bonus-malus. Consideremos una cartera de autos con las siguientes características: * La función de estructura discreta λi p ( λi )

0.033

0.066

0.099

0.132

0.165

0.198

0.231

0.264

0.297

0.330

0.28770

0.21179

0.23174

0.06609

0.08872

0.02623

0.03636

0.01126

0.01592

0.00510

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

λi p ( λi )

0.363

0.396

0.429

0.462

0.495

0.528

0.561

0.594

0.627

0.660

0.00732

0.00240

0.00348

0.00116

0.00171

0.00058

0.00085

0.00029

0.00043

0.00078

procede de la aplicación del método de discretización de Vilar (2000) a la función de estructura continua correspondiente a una distribución inversa gaussiana de parámetros g y h.

u (λ ) =

g 2π hλ

−

1 ( λ − g )2 2 hλ

g, h > 0

con g=0.101081 y h=0.062981, tomada de Lemaire (1995, págs 35 a 37).

* Las reglas de transición del SBM son las siguientes:

Clase

Clase después de siniestros 1 2 3 ≥4 10

Asimismo la probabilidad de que una póliza alcance una antigüedad de i años es i

0.98

0.95

0.92

0.90

0.88

0.85

0.82

0.79

0.76

0.71

0.66

0.60

0.52

0.45

0.36

0.28

0.19

0.07

Analicemos algunos ejemplos:

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

3.1.- Si suponemos que el número de ingresos es constante la distribución de edades estacionaria es la siguiente: i wi

0.0788

0.0772

0.0749

0.0725

0.0709

0.0693

0.0670

0.0646

0.0622

0.0599

i wi

0.0559

0.0520

0.0472

0.0410

0.0354

0.0283

0.0221

0.0150

0.0055

En la tabla 1 tenemos la escala de Bayes transitoria para cada una de las clases de entrada i EBi (notemos la importancia de la elección de la clase de entrada) y la escala de bayes asintótica EBa Notemos que desde el punto de vista de la equidad, esta es máxima, si la clase de entrada es la 3 (menor valor de QBt)

EBi1+1 EBi1

EBi2+1 EBi2

EBi3+1 EBi3

EBi4+1 EBi4

EBi5+1 EBi5

EBi6+1 EBi6

0.0884

1.461

0.0865

1.293

0.0846

1.274

0.0828

1.259

0.0809

1.243

0.0791

1.229

0.1290

1.055

0.1119

1.199

0.1079

1.065

0.1043

1.060

0.1007

1.060

0.0972

1.058

0.1363

1.322

0.1342

1.272

0.1149

1.400

0.1106

1.045

0.1067

1.039

0.1029

1.039

0.1810

1.085

0.1707

1.130

0.1609

1.099

0.1156

1.426

0.1109

1.049

0.1069

1.045

0.1960

1.221

0.1929

1.199

0.1769

1.244

0.1649

1.127

0.1163

1.458

0.1117

1.038

0.2328

1.105

0.2312

1.115

0.2194

1.111

0.1858

1.227

0.1696

1.119

0.1160

1.492

0.2611

1.161

0.2578

1.153

0.2437

1.172

0.2280

1.139

0.1897

1.263

0.1731

1.133

0.3029

1.118

0.2972

1.125

0.2857

1.127

0.2598

1.176

0.2396

1.148

0.1961

1.292

0.3381

1.130

0.3344

1.138

0.3220

1.149

0.3056

1.147

0.2751

1.201

0.2534

1.170

0.3856

EB101 EB11

EB102 0.3807

=4.36 Q

0.00512

EB12

0.3701

=4.39 0.00509

EB103 EB13

0.3506

=4.37 0.00507

EB EB

0.3303

=4.23 0.00511

4 i +1 4 i

5 i +1 5 i

EB EB

0.2964

=3.74

=4.07 0.00516

EB106 EB16

0.00524

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

i EB7

EBi7+1 EBi7

EB8

EBi8+1 EBi8

EB9

EBi9+1 EBi9

EB10

EBi10+1 EBi10

EBa

EBia+1 EBia

0.0773

1.215

0.0755

1.204

0.0741

1.192

0.0731

1.182

0.0824

1.315

0.0939

1.057

0.0909

1.057

0.0884

1.058

0.0864

1.058

0.1222

1.047

0.0993

1.040

0.0961

1.039

0.0935

1.040

0.0914

1.043

0.1279

1.357

0.1033

1.045

0.0998

1.047

0.0973

1.048

0.0953

1.049

0.1735

1.088

0.1079

1.038

0.1046

1.039

0.1020

1.043

0.1000

1.045

0.1888

1.240

0.1120

1.046

0.1087

1.046

0.1064

1.046

0.1045

1.050

0.2342

1.119

0.1172

1.529

0.1137

1.050

0.1113

1.049

0.1097

1.051

0.2621

1.160

0.1792

1.154

0.1194

1.583

0.1168

1.057

0.1153

1.056

0.3040

1.116

0.2068

1.321

0.1890

1.178

0.1234

1.656

0.1217

1.064

0.3392

1.117

0.2732

7 10

8 10

EB 0.2226

EB17 =3.53

QBt

0.2036

EB18 =2.94

0.00534

0.00550

9 10 9 1

EB EB

0.1295

=2.74 0.005686

10 i +1 10 i

EB EB

0.3303

=1.76

EBi5+1 EBi5 =4.07

0.005933

(Tabla 1)

Comparemos estos resultados en la tabla 2 con los que se obtienen con el modelo de programación por metas con las siguientes restricciones: equilibrio financiero (2.8), las primas de clases consecutivas se incrementan entre un 5% y un 60% y la prima de la clase 10 es como máximo cinco veces mayor que la de la clase 1. También se incluye la escala de metas asintótica con esas mismas restricciones. Además en la última fila se recoge el cálculo de QMt (función (2.6)), que toma el menor valor cuando la clase de entrada es la 2, lo que indica que esta escala de primas con esa clase de entrada posee la mayor equidad y con este criterio ha de ser la elegida.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0776 0.1241 0.1986 0.2895 0.3040 0.3192 0.3352 0.3519 0.3695 0.3880

EM i1+1 EM i1 1.60 1.60 1.457 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

EM 101 EM

0.0735 0.1176 0.1882 0.2743 0.2880 0.3024 0.3175 0.3334 0.3501 0.3676

1 1

0.0396

1.60 1.60 1.457 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

EM 102 EM

=5 Qt

EM i2+1 EM i2

0.0657 0.1051 0.1682 0.2451 0.2574 0.2703 0.2838 0.2980 0.3129 0.3285

2 1

1.60 1.60 1.457 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

EM 103 EM

=5 0.0387

EM i3+1 EM i3

0.0577 0.0841 0.1346 0.2154 0.2261 0.2374 0.2493 0.2618 0.2749 0.2886

3 1

EM 104

0.0578 0.0607 0.0884 0.1415 0.2265 0.2378 0.2497 0.2622 0.2753 0.2891

4 1

EM i5+1 EM i5 1.05 1.0457 1.60 1.60 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

EM 105 EM

=5 0.0396

1.457 1.60 1.60 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05 1.05

=5 0.0389

EM i4+1 EM i4

0.0568 0.0597 0.0627 0.0913 0.1462 0.2339 0.2456 0.2579 0.2706 0.2844

5 1

1.05 1.05 1.457 1.60 1.60 1.05 1.05 1.05 1.05

EM 106 EM 16

=5 0.0402

EM i6+1 EM i6

=5 0.0406

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

i EM7

EM i7+1 EM i7

EM8

EM i8+1 EM i8

EM9

EM i9+1 EM i9

EM10

EM i10+1 EM i10

EMa

EM ia+1 EM ia

0.0554

1.05

0.0527

1.05

0.0461

1.05

0.0406

1.05

0.0712

1.60

0.0581

1.05

0.0554

1.05

0.0484

1.05

0.0426

1.05

0.1140

1.60

0.1060

1.05

0.0581

1.05

0.0508

1.05

0.0447

1.05

0.1824

1.457

0.1696

1.475

0.0610

1.05

0.0534

1.05

0.0470

1.05

0.2658

1.05

0.1784

1.60

0.0641

1.60

0.0560

1.457

0.0493

1.457

0.2791

1.05

0.1873

1.60

0.1026

1.60

0.0817

1.60

0.0719

1.60

0.2931

1.05

0.1967

1.05

0.1642

1.457

0.1307

1.60

0.1150

1.60

0.3077

1.05

0.2065

1.05

0.2393

1.05

0.2092

1.05

0.1841

1.05

0.3231

1.05

0.2168

1.05

0.2512

1.05

0.2197

1.05

0.1933

1.05

0.3393

1.05

0.2277

7 10

EM 17 QMt

0.2638

0.0410

8 10

EM 18

0.2307

0.0417

9 10

EM 19

0.2030 =5

10 10

EM 110

0.0429

0.3562

EM 10a

EM 1a

0.0448

(Tabla 2)

3.2.- Consideremos en segundo lugar las siguientes ponderaciones: wi = (1 + 0.03)i . Ahora la tabla de pesos es la siguiente: i

0.9709

09426

0.9151

0.8885

0.8626

08374

08131

0.7894

0.7664

0.7441

0.7224

0.7014

0.6809

0.6611

0.6419

0.6232

0.6050

0.5874

y la escala de Bayes para las clases de entrada 4 y 8, i EB4

EBi4+1 EBi4

EB8

EBi8+1 EBi8

0.0828

1.280

0.0765

1.239

0.10600

1.058

0.0948

1.052

0.1122

1.049

00998

1.038

0.1177

1.423

0.1036

1.044

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

0.1675

1.136

0.1082

1.031

0.1902

1.221

0.1116

1.043

0.2322

1.143

0.1164

1.046

0.2655

1.170

0.1218

1.604

0.3106

1.144

0.1954

1.178

0.3552

4 10

EB14

QBt

=4.288

0.0739

EB108

0.2301

EB18

=3.004

0.0805

Consideremos el modelo de programación por metas con las siguientes restricciones: equilibrio financiero (2.11), las primas de clases consecutivas se incrementan entre un 5% y un 60% y la prima de la clase 10 es como máximo cinco veces mayor que la de la clase 1. En las primas con * se emplea la restricción de equilibrio financiero (2.8). Las correspondientes escalas de metas para las clases de entrada 4 y 8 son: i EM4

EM i4+1 EM i4

EM8

EM i8+1 EM i8

EM4*

EM i4*+1

EM8*

EM i4*

EM i8*+1 EM i8*

0.0579

1.60

0.0492

1.05

0.0562

1.60

0.0469

1.05

0.0927

1.60

0.0517

1.05

0.0899

1.60

0.0492

1.05

0.1485

1.457

0.0543

1.052

0.1439

1.457

00517

1.05

0.2164

1.05

0.0570

1.60

0.2098

1.05

0.0543

1.457

0.2271

1.05

0.0912

1.60

0.2203

1.05

0.0792

1.60

0.2385

1.05

0.1459

1.457

0.2313

1.05

0.1267

1.60

0.2504

1.05

0.2127

1.05

0.2429

1.05

0.2027

1.05

0.2630

1.05

0.2234

1.05

0.2550

1.05

0.2129

1.05

0.2761

1.05

0.2345

1.05

0.2678

1.05

0.2235

1.05

0.2899

4 10

10 QMt

EM 0.5747

4 1

0.2463

8 10

8 1

0.2811

4 10

0.6115

0.5815

4 1

0.2347 0.6234

3.3.- Tomemos finalmente las ponderaciones: wi = (1 + 0.03)i . i p . La tabla de pesos es:

EM 108 EM 18

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

0.9514

0.8954

0.8419

0.7996

0.7590

0.7118

0.6667

0.6236

0.5824

0.5283

0.4767

0.4208

0.3540

0.2975

0.2310

0.1744

0.1149

0.0411

Los resultados de la escala de Bayes para las clases de entrada 4 y 8 son: i EB4

EBi4+1 EBi4

EB8

EBi8+1 EBi8

0.0828

1.239

0.0753

1.188

0.1027

1.059

0.0895

1.055

0.1088

1.041

00944

1.036

0.1133

1.435

0.0978

1.046

0.1626

1.120

0.1023

1.038

0.1821

1.238

0.1062

1.045

0.2254

1.137

0.1110

1.050

0.2563

1.183

0.1165

1.582

0.3031

1.149

0.1843

1.174

0.3482

4 10

10 QBt

EB14

=4.202

0.0543

0.2163

EB10 EB18

=2.872

0.0582

Consideremos ahora el modelo de programación por metas con las siguientes restricciones: equilibrio financiero (2.12), las primas de clases consecutivas se incrementan entre un 5% y un 60% y la prima de la clase 10 es como máximo cinco veces mayor que la de la clase 1. En las primas con * se emplea la restricción de equilibrio financiero (2.8). Los resultados de la escala de metas para las clases de entrada 4 y 8 se resumen en siguiente tabla: i

EM i4*+1

EM i8*+1

EM4

EM i4+1 EM i4

EM8

EM i8+1 EM i8

EM4*

0.0656

1.05

0.0519

1.05

0.0694

1.05

0.0469

1.05

0.0689

1.60

0.0545

1.05

0.0729

1.457

0.0492

1.05

0.1103

1.60

00572

1.05

0.1062

1.60

00517

1.05

0.1765

1.457

00600

1.05

0.1700

1.60

00543

1.457

4* i

EM8*

EM i8*

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

0.2572

1.05

00630

1.421

0.2720

1.05

00792

1.60

0.2701

1.05

0.0896

1.60

0.2856

1.05

0.1267

1.60

0.2836

1.05

0.1435

1.60

0.2999

1.05

0.2027

1.05

0.2978

1.05

0.2296

1.076

0.3149

1.05

0.2129

1.05

0.3127

1.05

0.2471

1.05

0.3306

1.05

0.2235

1.05

0.3283

4 10

EM 14

EM 0.2594

=5 QMt

0.4234

8 10

0.3471

EM 18 =5

4 10

EM 14

EM 108 0.2347

EM 18

0.4441

0.4244

=5 0.6234

3.4.- La metodología presentada permite mejorar alguna medida de eficiencia a la hora de diseñar un SBM. Analizaremos finalmente la mejora de la elasticidad en el ejemplo 3.1. Consideremos la escala de Bayes transitoria cuando hemos elegido como clase de entrada la 4, EB4. Notemos que las primas sucesivas de EB4 se incrementan entre un 4,5% y un 42,6%, que la relación entre la prima de la clase 1 y la de la clase 10 es 4,23, cumple la restricción de equilibrio financiero (2.5) y que la elasticidad en 0.1010 es 0.1331. Es posible encontrar una escala de metas que cumpla las condiciones anteriormente indicadas de EB4 y mejore la elasticidad en el punto indicado. Basta para ello resolver el sistema lineal (2.7) con las restricciones añadidas

⎫ ⎪ bi +1 ≥ 1.04 bi ⎪ m m ⎪⎪ b1 .Π1 + ... + b10 .Π10 = E (λ ) ⎬ b10 ≤ 4.23 b1 ⎪ ⎪ dP (0.1010) P (0.1010) − 0.1331 ≥ 0⎪ ⎪⎭ 0.1010 dλ bi +1 ≤ 1.426 bi

El resultado es la escala EM*4:

Antonio Heras, José A. Gil Fana y José L. Vilar – Anales 2010 /43-66

EM*4

EM i*4+1 EM i*4

1.259

0.0641

1.426

1.060

0.09149

1.426

0.1106

1.045

0.1304

1.426

0.1156

1.426

0.1860

1.170

0.1649

1.127

0.2177

1.045

0.1858

1.227

0.2275

1.045

0.2280

1.139

0.2378

1.045

0.2598

1.176

0.2485

1.045

0.3056

1.147

0.2597

1.045

0.3506

4 i +1 4 i

0.2714

QBt=0.00511 QMt=0.04580

QMt==.04142

η (0.1010)= 0.1331

η (0.1010)= 0.2326

EB4

EBi4+1 EBi4

0.0828

0.1043

EB EB

=4.23

EM 10*4 EB1*4

=4.23

Notemos que el resultado obtenido no sólo mejora la elasticidad para λ = 0.1010 sino para los λ inferiores a 0.264 lo que representa al 96% de las pólizas (véase la figura siguiente). La línea de puntos representa la elasticidad de la escala de Metas y línea continua la elasticidad de la escala de Bayes.

Diseño de sistemas bonus-malus en el caso transitorio – Anales 2010 /43-66

Los autores agradecen al Ministerio de Ciencia e Innovación la financiación de este trabajo (proyecto EC02010-22065-C03-01) 4. Bibliografía. Baione, Levantesi y Menzietti (2002).- “The development of a optimal bonusmalus system in a competitive market”.- ASTIN Bulletin vol 32 nº 1. 159-170. Borgan, O.; Hoem, J.M. y Norberg, R. (1981). A Nonasymptotic Criterion for the Evaluation of Automobile Bonus Systems. Scandinavian Actuarial Journal 165-178. Denuit, Maréchal, Pitrebois y Walhin (2007).- Actuarial Modelling of Claim Counts. John Wiley & Sons, Ltd. García Pineda, P. (2002). Diseño de Sistemas de Tarificación Bonus-Malus mediante la metodología de Programación por Metas. Tesis Doctoral pendiente de publicación, Universidad Complutense de Madrid. Gil, Gª Pineda, Heras y Vilar.- “Criterios asintóticos para el cálculo de primas en sistemas bonus-malus”. Anales del Instituto de Actuarios Españoles 2003. Gilde, V. y Sundt, B. (1989). On Bonus Systems with Credibility Scales. Scandinavian Actuarial Journal 11-32. Heras, A.; Vilar, J.L. y Gil, J.A (2002). Asymptotic Fairness of Bonus-Malus Systems and Optimal Scales of Premiums. The Geneva Papers of Risk and Insurance Theory 27, 61-82. Heras, A.; Gil, J.A, Garcia-Pineda, P. y Vilar, J.L. (2004). An Application of Linear Programming to Bonus Malus System Design. ASTIN Bulletin vol. 34 (2) 435-456. Kemeny, J.G. y Snell, J.L. (1976). Finite Markov Chains. Springer-Verlag. Klugman, S.A.; Panjer, H.H. y Willmot, G.E. (1998). Loss Models. From Data to Decisions}. Wiley series in Probability and Statistics. Lemaire, J. (1985). Automobile Insurance. Actuarial Models. Kluwer-Nijhoff Publishing. Lemaire, J. (1995). Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance. Kluwer Academic Publishers. Lemaire, J. (2004). Bonus-Malus Systems. Encyclopedia of Actuarial Science. Wiley. Loimaranta, K. (1972). Some Asymptotic Properties of Bonus Systems. ASTIN Bulletin 6, 233-245. Norberg, R. (1976). A Credibility Theory for Automobile Bonus Systems. Scandinavian Actuarial Journal, 92-107. Pesonen, M. (1963). A Numerical Method of Finding a Suitable Bonus Scale. ASTIN Bulletin 2, 102-108. Vilar, J.L. (2000). Arithmetization of Distributions and Linear Goal Programming. Insurance: Mathematics and Economics 27, 113-122. Verico, P. (2002). Bonus-Malus Systems: ''Lack of Transparency'' and Adequacy Measure. ASTIN Bulletin 32 (2), 315-318.

ESTRATEGIA DE REASEGURO PROPORCIONAL ÓPTIMA DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA PROBABILIDAD DE RUINA: UN ANÁLISIS CON MATHEMATICA 6. Anna Castañer1, M.Mercè Claramunt2 y Maite Mármol3 Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial. Universidad de Barcelona

ABSTRACT In this paper, we calculate the optimal proportional reinsurance strategy from the point of view of ruin probability in the context of the classical model of Risk Theory, considering that the number of claims follows a compound Poisson process and that the claim amount is exponentially distributed. We obtain explicit expressions for the insurer retention level and we compare our results with the ones derived from the upper bound for the probability of ruin. We then perform the functional analysis of the analytical expressions by making use of Mathematica 6. Keywords: Proportional reinsurance, retention level, ruin probability, Mathematica 6.

RESUMEN En este trabajo, en el contexto del modelo clásico de la Teoría del Riesgo, asumiendo un proceso de Poisson para el número de siniestros y distribución exponencial para la cuantía de un siniestro, se plantea el cálculo de la estrategia de reaseguro proporcional óptima desde el punto de vista de la probabilidad de ruina. Se obtienen expresiones explícitas para el porcentaje de retención que debe aplicar el asegurador, y se comparan los resultados con la aproximación obtenida a partir de la cota superior de la probabilidad de ruina. Para la realización del análisis funcional de las expresiones analíticas obtenidas se utiliza el software Mathematica 6.

1 Facultad de Economía y Empresa Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 690. 08034 Barcelona. Tel: 934034893 Fax: 934034892. acastaner@ub.edu 2 Facultad de Economía y Empresa Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 696. 08034 Barcelona. Tel: 934035744 Fax: 934034892. mmclaramunt@ub.edu 3 Facultad de Economía y Empresa Universidad de Barcelona. Avda. Diagonal, 696. 08034 Barcelona. Tel: 934035744 Fax: 934034892. mmarmol@ub.edu Este artículo se ha recibido en versión revisada el 21 de junio de 2010

Estrategia de reaseguro proporcional óptima - Anales 2010 /67-84

Palabras clave: reaseguro proporcional, probabilidad de ruina, Mathematica 6.

porcentaje

retención,

1. Introducción En este trabajo se analiza la solvencia de una cartera de seguros no vida en el contexto del modelo clásico de la teoría del riesgo usando la probabilidad de ruina como la medida utilizada para controlar la solvencia si el gestor de la cartera opta por un reaseguro proporcional. El objetivo del trabajo es hallar el porcentaje de retención óptimo desde el punto de vista de la probabilidad de ruina de la cedente, es decir el porcentaje que minimiza dicha probabilidad. El artículo se estructura de la siguiente forma: en el Apartado 2 se recogen las hipótesis y variables básicas del modelo clásico de la Teoría del riesgo, incluyéndose las expresiones para la probabilidad de ruina en un modelo con reaseguro proporcional con número de siniestros Poisson y cuantía exponencial. En el Apartado 3 se plantea el cálculo de la estrategia de reaseguro óptima, obteniéndose el porcentaje de retención que minimiza la probabilidad de ruina. Para el desarrollo de este apartado se usa el software Mathematica 6 que nos ayuda a analizar la estrategia óptima. Finalmente, en el Apartado 4 se comparan los resultados obtenidos con trabajos previos (Waters (1983), Schmidli (2001, 2006) o Hald y Schmidli (2004)) en los que se plantea la estrategia óptima como una aproximación obtenida a partir de la cota superior para la probabilidad de ruina.

2. Modelo clásico y reaseguro En el modelo clásico de la teoría del riesgo en tiempo continuo (Gerber (1979), Bowers et al. (1997), Beard et al. (1990), Bühlmann (1970)), se define el proceso de las reservas como,

R ( t ) = u + ct − S (t ) donde R ( t ) es el nivel de las reservas en el momento t , calculadas como la cuantía de las reservas en el momento inicial, R (0) = u , más las primas

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recibidas en cada instante, c , menos la siniestralidad agregada S ( t ) , siendo

N (t )

S ( t ) = ∑ Zi , i =1

N ( t ) es el número de siniestros ocurridos hasta el momento t , y Zi la cuantía del i -ésimo siniestro. Las cuantías individuales de los siniestros son una secuencia de variables aleatorias idénticas e independientemente distribuidas, e independientes de N ( t ) . En la Figura 1 podemos observar una posible trayectoria del proceso de las reservas, siendo Ti , i = 1,..., n los momentos de ocurrencia del i -ésimo siniestro.

Figura 1: Proceso de las reservas, R ( t ) En el modelo clásico, el proceso de ocurrencia de los siniestros N ( t ) , t ≥ 0 es un proceso de Poisson de media λ , donde N ( t ) es el

{

}

{

}

número de siniestros ocurridos en el intervalo ( 0,t ] , siendo S ( t ) , t ≥ 0

un proceso de Poisson compuesto, cumpliéndose que S ( t ) = 0 si N ( t ) = 0 . La prima se calcula como la siniestralidad esperada recargada por un coeficiente de seguridad ρ > 0 , cumpliéndose la condición “net profit”,

c = λ E [ Z ] (1 + ρ ) .

Estrategia de reaseguro proporcional óptima - Anales 2010 /67-84

Definimos a continuación la probabilidad de ruina, ψ (u ) , que es la medida que vamos a utilizar en este trabajo para analizar la solvencia en las carteras de seguros no vida, ψ (u ) = P R ( t ) < 0 para algún t > 0 | R ( 0 ) = u = P T < ∞ | R ( 0 ) = u ,

{

}

{

(

)

}

siendo T = min t R ( t ) < 0 , la variable aleatoria que representa el momento de ruina. Si las reservas son positivas para todo t , entonces T =∞. Si se asume que la cuantía individual de los siniestros sigue una distribución exponencial unitaria, la conocida expresión para la probabilidad de ruina es, ρ

1 −1+ ρ u , ψ (u ) = e 1+ ρ

∀u ≥ 0 .

(1)

Mediante la introducción de contratos de reaseguro en la gestión de una cartera de seguros no vida, el asegurador cede una parte del riesgo asumido al reasegurador. Evidentemente, esto conlleva también la cesión de una parte de las primas. En este trabajo introducimos en el modelo una estrategia de reaseguro proporcional que influye en el proceso de las reservas y por tanto en la solvencia del asegurador. Nuestro objetivo es analizar esta influencia a través de la probabilidad de ruina, planteando el cálculo del porcentaje de retención que minimiza la probabilidad de ruina. A partir de ahora nos centramos en el reaseguro proporcional en el cual el asegurador o cedente asume un porcentaje k ∈ ( 0,1] de la cuantía de los siniestros, denominado nivel de retención, y el reasegurador el porcentaje (1 − k ) restante (ver Mármol et al. (2009)). Debido a la cesión de un porcentaje del riesgo asumido, se produce también una cesión de la prima al reasegurador, pudiendo definirse entonces una prima neta para el asegurador denominada c ' ,

c ' = c − (1 − k )(1 + ρR )λ E [ Z ].

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siendo ρ R > 0 el recargo de seguridad que aplica el reasegurador al asegurador. El caso habitual analizado en los trabajos sobre reaseguro es el que implica que ρ R > ρ > 0 ya que si ρ R ≤ ρ , el asegurador cedería toda su cartera al reasegurador, situación que carece de sentido. La definición de la prima neta implica la definición de un nuevo recargo de seguridad real para el asegurador,

ρN =

ρ −ρ c' , −1 = ρR − R kλ E [Z ] k

(2)

de donde, debido a la necesidad de que, por la condición “net profit”, ρ N > 0 , se obtiene un rango para el valor de k ,

ρR − ρ < k ≤ 1, ρR

ρ R > ρ > 0.

La introducción de una política de reaseguro proporcional implica una modificación en el proceso de las reservas, siendo N (t )

Rk ( t ) = u + c ' t − ∑ Yi i =1

donde Yi = kZ i y c ' = λ E[Yi ](1 + ρ N ) . Así, las expresiones obtenidas para el modelo sin reaseguro proporcional pueden reconvertirse en expresiones para el modelo con reaseguro proporcional considerando la prima c ' , la cuantía de los siniestros Y = kZ , y el nuevo recargo ρ N . Es inmediata, por tanto, la obtención de la expresión para la probabilidad de ruina en un modelo con reaseguro proporcional, ψ k ( u ) , a partir de (1), ρN

− u 1 ψ k (u ) = e k (1+ ρ N ) , 1 + ρN

∀u ≥ 0 .

Expresión que, a partir de (2), podemos reescribir como,

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ψ k (u ) =

−

k (1 + ρ R ) + ρ − ρ R

ρ R ( k −1) + ρ

k ( (1+ ρ R ) k + ρ − ρ R )

∀u ≥ 0.

(3)

3. Análisis de la probabilidad de ruina en un modelo con reaseguro proporcional: Estrategia óptima. Se analiza en este apartado la obtención de la estrategia óptima del asegurador desde el punto de vista de la probabilidad de ruina. Nuestro objetivo es la obtención del valor del porcentaje de retención que minimiza dicha probabilidad. Para ello, aplicamos un proceso de optimización a la expresión (3), considerándola una función cuya variable independiente es k , y aplicando las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad. Para el análisis de la probabilidad de ruina y del valor óptimo del porcentaje de retención que minimiza la probabilidad de ruina, al que denominamos kop , realizaremos un análisis funcional con la ayuda del software informático Mathematica 6. Para obtener kop , introducimos la expresión ψ k ( u ) en Mathematica 6, derivamos la expresión de la probabilidad de ruina e igualamos a cero, obteniéndose4,

En las pantallas de Mathematica 6 incluidas a lo largo del trabajo se considera que: •

ro = ρ

•

Ruina [ k _, u _ ] = ψ k (u ) .

•

Derivation [ k _, u _ ] =

ror = ρ R . ∂ψ k (u ) ∂k

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Tenemos, por tanto dos puntos críticos,

Para conocer el carácter de los dos puntos óptimos obtenidos, simplificamos las expresiones imponiendo las condiciones previas definidas en el modelo, que son la relación entre los recargos, ρ R > ρ > 0 , la positividad de las reservas u ≥ 0 , y la condición que debe cumplir el porcentaje de retención para que se cumpla la condición de “net profit”, es decir

ρR − ρ < k ≤1 . ρR

Si lo aplicamos al primer punto crítico, k1op[u] obtenemos,

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Podemos observar que este valor del porcentaje de retención cumple las condiciones impuestas para valores de las reservas iniciales

(1 + ρ )( ρ R − ρ ) . ρ ( 2 + ρ ) − ρR

u≥

Esta última restricción nace de la necesidad impuesta de que kop ( u ) < 1 ,

(1 + ρ )( ρ R − ρ ) ρ ( 2 + ρ ) − ρR deducir que kop ( u )

siendo u* =

el valor que cumple kop ( u *) = 1 . Por tanto,

podemos

es decreciente respecto a u en el intervalo

que nos interesa. La otra restricción obtenida es

ρ ( 2 + ρ ) > ρ R , necesaria para que se

cumpla que el valor u* ≥ 0 . Aplicamos las condiciones al segundo punto crítico encontrado, k2op[u] obteniéndose,

Quedando, por tanto, descartado al no cumplir las condiciones básicas del modelo. Para comprobar que el primer punto crítico cumple la condición suficiente de optimalidad, calculamos la segunda derivada de la función de ruina5,

En las pantallas de Mathematica 6 se considera que:

•

der 2 [ k _, u _ ] =

∂ ψ k (u ) 2

∂k

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y la simplificamos, obteniéndose

Calculamos la segunda derivada en el punto crítico k1op[u],

Y finalmente para analizar el signo de esta última expresión, analizamos cada uno de los factores incluidos en la segunda derivada, e imponiendo las condiciones del modelo, concluimos que es positiva, siendo por tanto el punto crítico un mínimo (no incluimos en el trabajo las pantallas de Mathematica 6 debido a lo aparatoso de las expresiones trabajadas).

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Por tanto, el resultado obtenido para kop ( u ) , si se cumple ρ ( 2 + ρ ) > ρ R , es,

k op

⎧( ρ ⎪ ⎪ (u ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(

− ρ ) ρ + 2u + ρ R ( 2u − 1) +

(ρ − ρ ) R

+ 4 (1 + ρ R ) u

2 (1 + ρ R ) ( ρ + ρ R ( u − 1) )

)

(1 + ρ )( ρ − ρ ) (4) ρ (2 + ρ ) − ρ . (1 + ρ )( ρ − ρ ) 0≤u< ρ (2 + ρ ) − ρ u≥

Centramos nuestro análisis en el primer tramo de kop ( u ) , realizando un análisis funcional con la ayuda del Mathematica 6. •

Analizamos su dominio, encontrando una asíntota vertical en el valor que anula el denominador, obteniéndose u =

•

Analizamos la función en un entorno de la asíntota obteniéndose que lim + kop ( u ) = ∞ y lim − kop ( u ) = −∞ , ⎛ ρ −ρ ⎞ u →⎜ r ⎟ ⎝ ρr ⎠

•

ρR − ρ , ρR

⎛ ρ −ρ ⎞ u →⎜ r ⎟ ⎝ ρr ⎠

Para el cálculo de posibles asíntotas horizontales, calculamos lim kop ( u ) , u →∞

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obteniéndose ⎛ ρ lim kop ( u ) = ⎜1 − ⎝ ρ

u →∞

⎞⎛ 1 ⎟ ⎜⎜1 + 1 + ρR ⎠⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

y comprobamos que el valor de la asíntota es menor que 1

•

Los puntos de corte de la función kop ( u ) con el eje de abscisas se obtienen haciendo k1op[u]=0

•

Para conocer el crecimiento o decrecimiento de la función, calculamos su derivada

y analizamos su signo,

Siendo negativa para todos los valores (evidentemente exceptuando el valor de la asíntota vertical), y por tanto la función es decreciente respecto a u . Con los resultados obtenidos en el análisis funcional del primer tramo de kop ( u ) , graficamos en la Figura 2 su comportamiento en función de las

Estrategia de reaseguro proporcional óptima - Anales 2010 /67-84

reservas iniciales, y representamos en la Figura 3 la elección óptima del porcentaje de retención, kop ( u ) .

Figura 2: Gráfica del valor del porcentaje de retención que minimiza la probabilidad de ruina en función del nivel inicial de las reservas, kop ( u )

Figura 3: Elección óptima del porcentaje de retención, kop ( u ) . Una vez obtenidos los valores de kop ( u ) , los valores mínimos de la op probabilidad de ruina correspondiente, ψ min ( u ) , son

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⎧ ⎪ e ⎪− ⎪ k ψ min ( u ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ op

( 2 + ρ )u − R

(ρ−ρ )

ρ−ρ

+ 4(1+ ρ

(1 + ρ ) R

(

ρ + 2u + ρ

( 2u

−1

(ρ

ρ − ρ + 2u + R

1 1+ ρ

(ρ − ρ ) R

−

ρ 1+ ρ

− ρ

)

+ 4

(1 +

+ 4 (1 + ρ

)u R

)

u ≥

(1 + ρ ) ( ρ

0 ≤ u <

− ρ)

ρ (2 + ρ ) − ρ

(1 + ρ ) ( ρ

(5)

− ρ)

ρ (2 + ρ ) − ρ

El segundo tramo corresponde a un valor kop ( u ) = 1 , es decir un modelo donde el asegurador no cede riesgo al reasegurador, siendo por tanto la expresión obtenida, la probabilidad de ruina en un modelo sin reaseguro Las expresiones (4) y (5) ya se presentaron en Mármol et al. (2009) con una estructura diferente, pero no fueron analizadas. El cambio en la estructura en el porcentaje de retención óptima y la probabilidad mínima se debe a que ahora nuestro objetivo es obtener valores del porcentaje de retención que optimiza la estrategia del asegurador desde el punto de vista de la probabilidad de ruina. Necesitamos, pues, explicitar las expresiones en función de parámetros como los recargos de seguridad y el porcentaje de retención. Analizamos a continuación el caso concreto ρ = 0.15 y ρ R = 0.25 , que implica que el rango para el porcentaje de retención es 0.4 ≤ k ≤ 1 . Para estos valores, representamos en la Figura 4 los resultados obtenidos para kop ( u ) ,

Figura 4: kop ( u ) para diferentes valores de las reservas iniciales

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En la Figura 5 se representan las probabilidades de ruina para distintos niveles iniciales de las reservas, en el rango comentado anteriormente para el porcentaje de retención.

Figura 5: Probabilidad de ruina en función de

para diferentes valores de las reservas iniciales

El análisis previo realizado implicaba la exigencia de que ρ ( 2 + ρ ) > ρ R para asegurar la existencia de un kop ( u ) . Nos planteamos a continuación que sucede si ρ ( 2 + ρ ) < ρ R . Para ello vamos a analizar el signo de la op derivada deψ min ( u ) para saber si es creciente o decreciente.

El valor de la derivada es,

Y analizamos el signo. Le pedimos al Matemática que nos analice si es positiva para las condiciones impuestas (incluyendo evidentemente el caso que estamos analizando ρ ( 2 + ρ ) < ρ R ), obteniéndose

Como no es positiva, analizamos si es negativa, considerando cada uno de los elementos de la derivada. Empezamos comprobando que el denominador es positivo con las condiciones ya comentadas,

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Respecto al numerador, ya sabemos que la exponencial es positiva y pasamos a analizar el otro factor,

obteniéndose que es negativo. Así, la probabilidad de ruina es siempre decreciente respecto a k , alcanzándose su valor mínimo en k = 1 , de manera que kop ( u ) = 1 para todo nivel inicial de las reservas. En la Figura 6 se representan gráficamente los valores de la probabilidad de ruina para distintos valores de las reservas iniciales, para ρ = 0.1 y

ρ R = 0.3 , cumpliéndose que ρ ( 2 + ρ ) < ρ R

Figura 6: Probabilidad de ruina en función de k para diferentes valores de las reservas iniciales

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4. Comparación de resultados. Una vez obtenidas las expresiones analíticas para la probabilidad de ruina, y del valor del porcentaje de retención, se comparan a continuación los resultados obtenidos con resultados previos para buscar la estrategia óptima para el gestor de la cartera desde el punto de vista de la probabilidad de ruina. Recordamos que la probabilidad de ruina tiene una cota superior siendo,

ψ ( u ) < e− Ru , donde R es el coeficiente de ajuste, que es la única raíz positiva de la ecuación

λ + cr − λ M (r ) = 0 , siendo M ( r ) = 0 la función generatriz de momentos de la cuantía individual del siniestro. Waters (1983), Schmidli (2001, 2006) o Hald y Schmidli (2004), plantean el problema de la obtención de la estrategia óptima calculando el valor del porcentaje de retención k que maximiza el coeficiente de ajuste R , para minimizar así la cota superior para la probabilidad de ruina. Se denomina a este valor, k R . El resultado obtenido es,

⎛ ρ ⎞⎛ 1 k R = ⎜1 − ⎟ ⎜1 + 1 + ρR ⎝ ρ R ⎠ ⎜⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Podemos observar que este resultado coincide con la asíntota horizontal obtenida en el análisis presentado en el apartado anterior para kop ( u ) , como podemos observar en la Figura 2. Evidentemente a medida que u tiende a infinito, el valor exacto recogido en la expresión (4) tiende a la aproximación kR . La probabilidad de ruina mínima según la aproximación, k R es

kR min

1 e (u ) = 1 + ρR

2 + ρ R − 2 1+ ρ R

ρ − ρR

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Podemos observar que k R es un valor independiente del nivel inicial de las reservas, y a diferencia del valor obtenido en el apartado anterior, kop ( u ) , es una aproximación de la estrategia óptima. Para los valores numéricos ρ = 0.15 y ρ R = 0.25 , el valor del porcentaje de retención que maximiza el coeficiente de ajuste es k R = 0.7577 . En la Tabla 1 se presentan los valores de kop ( u ) y sus respectivas probabilidades de ruina mínima para distintos valores de u . Los resultados obtenidos se comparan con las probabilidades de ruina mínima obtenidas con el valor k R = 0.7577 que maximiza el coeficiente de ajuste.

kop ( u )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 0.9373 0.8375 0.8090 0.7955 0.7876 0.7825 0.7788 0.7761 0.7740 0.7724

k ψ min ( u ) con R

kop min

(u )

0.8695 0.6693 0.5094 0.3862 0.2926 0.2215 0.1677 0.1269 0.0961 0.0727 0.0550

k R = 0.7577 0.8944 0.6769 0.5122 0.3877 0.2934 0.2220 0.1680 0.1271 0.0962 0.0728 0.0551

k op Tabla 1: ψ min ( u ) y ψ min ( u ) para diferentes valores de las reservas

iniciales.

Podemos observar que las probabilidades de ruina son menores para kop ( u ) , que con k R = 0.7577 . Para niveles elevados de las reservas iniciales, los valores de kop ( u ) tienden al valor de k R = 0.7577 , como ya hemos comentado previamente.

Estrategia de reaseguro proporcional óptima - Anales 2010 /67-84

5. Conclusiones En este trabajo se ha planteado la obtención de una política de reaseguro óptima desde el punto de vista de la probabilidad de ruina. La idea es ofrecer al gestor de la cartera de seguros una herramienta que le ayuda a decidir que porcentaje del riesgo debe ceder si opta por un reaseguro proporcional. En la realización de este análisis hemos utilizado el programa Mathematica 6 que nos ha permitido realizar un análisis funcional, además de utilizarlo como herramienta calculística y como una forma de presentar gráficamente los resultados obtenidos.

BIBLIOGRAFÍA

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(1990). Risk Theory.

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UN ANÁLISIS COMPARATIVO DE UNA SVM Y UN MODELO LOGIT EN UN PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN DE ASEGURADOS Antonio Heras Martínez1, Piedad Tolmos Rodríguez-Piñero2, Julio Hernández-March2 1

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad I. Facultad de CC Económicas y Empresariales. Universidad Complutense de Madrid. 2 Departamento de Economía Financiera y Contabilidad II. Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales. Universidad Rey Juan Carlos. emails: antonio.heras@ccee.ucm.es, piedad.tolmos@urjc.es, julio.hernandez.march@urjc.es

Palabras Clave.- Clasificación de Asegurados del Seguro del Automóvil, Factores de Riesgo, Máquinas de Vectores Soporte, Algoritmos Genéticos, Modelo Logit. Resumen.- Con este artículo se pretende realizar una aproximación a la clasificación de los asegurados de una cartera de una compañía del seguro del automóvil atendiendo a si han presentado o no siniestro en un año1. Para realizar la clasificación utilizaremos una técnica de Aprendizaje conocida como Máquina de Vectores Soporte. En aras de preservar la capacidad de generalización del clasificador, realizaremos además una selección de los factores de riesgo que describen a los asegurados de la cartera, escogiendo los más relevantes de cara a la siniestralidad. Para ello emplearemos de nuevo herramientas de Aprendizaje Máquina, esta vez Algoritmos Genéticos. Se ejecutarán varios experimentos, comparando la tasa de clasificación obtenida utilizando todos los factores de riesgo, y sólo los seleccionados. También se compararán los mejores resultados conseguidos con la clasificación lograda por el modelo logit, que nos permitirá analizar hasta qué punto son comparables las técnicas del Aprendizaje Máquina y los modelos estadísticos utilizados habitualmente en la resolución de este tipo de Los datos empleados en los experimentos han sido cedidos por la aseguradora MAPFRE en el marco de la Beca de Riesgos y Seguros 2006 que nos concedió su Fundación MAPFRE Estudios. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 13 de julio de 2010.

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

problemas. Aprovecharemos, además, la salida del logit para comparar los factores de riesgo que resultan más relevantes con los que se seleccionaron a través del Algoritmo Genético (AG). Los resultados obtenidos son alentadores, probando que las técnicas de aprendizaje, y las SVM en particular, pueden resultar muy útiles para resolver problemas de clasificación en seguros. Key words.- Insurance Automobile Policies Classification, Risk Factors, Support Vector Machines, Genetic Algorithms, Logit Model. Abstract.- In this paper we propose a new approach for classifying the policies of an insurance automobile company according to the prediction of their claims for the next year. We use for this purpose sets of risk factors obtained from one database of an important Spanish insurance company2. Our approach is based on the Learning Machines methodology. The algorithm we suggest is based on the application of a standard Support Vector Machine (SVM), hybridized with a Genetic Algorithm. The SVM is used to classify the policies as failed (reporting claims) or not failed, according to their risk factors, whereas the GA is used to perform a preselection in the risk factors space of the SVM. We will do several experiments, comparing the obtained classification rate including all the risk factors, with that including just the selected risk factors. We’ll also compare this results with those obtained using the Logit model (both classification rate and selected risk factors), allowing us to analyze if this Learning Machines are comparable to statistical techniques commonly used to solve this kind of problems. The obtained results are very encouraging and show that learning techniques in general and SVM in particular, can be useful tools for solving classification problems in insurance.

1. Introducción. Cuando el número de pólizas en una compañía aseguradora es lo suficientemente grande, el desarrollo de un sistema de clasificación adecuado es el primer paso para lograr una prima justa. Se trata de clasificar a sus clientes del modo más homogéneo posible atendiendo al riesgo, de

Data used in the experiments were given up by MAPFRE Insurance Company, within the Risk and Insurance Grant 2006 of MAPFRE Studies Foundation. 86

Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110

manera que los asegurados pertenecientes a un mismo grupo paguen idéntica prima. En la literatura, se pueden encontrar soluciones a esta tarea empleando métodos estadísticos. Las técnicas del análisis estadístico multivariante son las que permiten organizar procesos de selección, teniendo en cuenta simultáneamente el conjunto de factores de riesgo. Técnicas tales como las Redes Neuronales Artificiales, o las Máquinas de Vectores Soporte han demostrado ser unos clasificadores excelentes en términos de la llamada tasa de clasificación y se han aplicado con éxito en multitud de problemas complejos, como el del reconocimiento de caracteres escritos, la “limpieza” de imágenes, minería de datos, diagnósticos médicos, etc. Vamos por tanto a resolver el problema valiéndonos de herramientas tomadas de lo que se conoce como Aprendizaje Máquina. El planteamiento concreto que haremos será el siguiente: dada una cartera de asegurados de una conocida empresa del seguro del automóvil, descritos por sus factores de riesgo, pretendemos clasificarlos en dos clases, atendiendo a si han presentado o no siniestros en el periodo de un año. Como luego veremos, un problema de clasificación de este estilo lleva aparejado un segundo problema, el de la Selección de Características (factores de riesgo). Efectivamente, con el objeto de mejorar la capacidad de generalización del clasificador, su estabilidad, y el tiempo de computación, a menudo es necesario, si el nº de variables es grande, realizar una selección de las variables importantes, las que retienen la mayor cantidad de información. Esta cuestión tiene en nuestro caso un valor añadido, en cuanto al interés que la información sobre los factores de riesgo realmente relevantes de cara a la siniestralidad, pueda tener para la aseguradora. Así, comenzaremos por formular matemáticamente el problema, estableciendo a continuación qué se entiende por Aprendizaje y en qué difieren básicamente éstos métodos de las técnicas estadísticas clásicas. Describiremos brevemente las técnicas que hemos empleado para solucionar los problemas y pasaremos entonces a la ejecución de los experimentos, comentando los resultados alcanzados. Aplicaremos una Máquina de Vectores Soporte3 para clasificar y un Algoritmo Genético para seleccionar los factores. Compararemos los resultados de la clasificación con los obtenidos aplicando una técnica estadística válida para abordar este tipo de 3

En adelante se utilizará la abreviatura correspondiente a las siglas en inglés, SVM. 87

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

cuestiones, el modelo logit, extendiendo así los resultados alcanzados en la Tesis doctoral de Piedad Tolmos en la que se empleó la técnica del Análisis Discriminante, menos potente que el actual logit. Asimismo, contrastaremos la Tasa de Clasificación alcanzada por la SVM utilizando todos los factores de riesgo y sólo los seleccionados por el AG. Emplearemos además la salida del logit para comparar los factores de riesgo que resultan más relevantes con los que se seleccionaron a través del Algoritmo Genético (AG). Finalizaremos con las conclusiones que se extraen de lo presentado en el artículo, y comentando algunas de las aplicaciones que estamos realizando en la actualidad.

2. Formalización del problema. El tipo de problema que planteamos se puede englobar dentro de lo que se conoce como problemas de clasificación con múltiples atributos cuya tarea básica es asignar un objeto, descrito por los valores que toman ciertos atributos, a una serie de clases. Matemáticamente, la representación de un problema de clasificación con múltiples atributos es la siguiente [Schölkopf, 1999]: se quiere estimar una función (de decisión) f : ℜ n → {± 1} empleando datos (observaciones u objetos) del conjunto de observaciones que se utilizarán para entrenar lo que se conoce como “máquina de clasificación” (red neuronal, algoritmo genético,…). Consideraremos para ello una serie de objetos {x i }, x i ∈ ℜ n ,

i ∈ {1,...l } generados por cierta función de distribución de probabilidad desconocida P(x,y), donde yi ∈ {1,−1} constituyen el conjunto de “etiquetas” asociadas (es la salida, la que indica a qué clase pertenece cada x i ). De este modo, el conjunto de datos considerados sería

(x1 , y1 ),..., (x l , yl ) ∈ ℜ n × {± 1} y el objetivo es que la función f clasifique correctamente los ejemplos nuevos que se la presenten (x,y), esto es, que f(x)=y para ejemplos (x,y) generados por la misma distribución de probabilidad “subyacente” P(x,y) que los datos utilizados para el entrenamiento.

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El error de entrenamiento se puede definir como:

1 l 1 Rent [α ] = ∑ f (x i , α ) − y i l i =1 2

(1)

El error de test (riesgo) esperado para una máquina de entrenamiento se define como

R[α ] = ∫ La cantidad

1 f (x, α ) − y dP(x, y ) 2

(2)

1 f (x, α ) − y i recibe el nombre de pérdida. 2

2.1 El problema de la clasificación de los asegurados Para predecir la siniestralidad de un asegurado vamos a separar a todos los clientes en dos clases: la de los que tendrán siniestros, y la de los que no. Por ello, lo trataremos como un problema de clasificación con múltiples atributos de tipo “simple”, esto es, con sólo dos clases. Los conjuntos {x i }, i ∈ {1,...l} x i ∈ ℜ n representan a los asegurados, descritos por un conjunto de n factores de riesgo (cada componente de x i , x ij , es un factor),

y las etiquetas yi ∈ {− 1,1} indicarían la clase, -1 si no presentan siniestros, y 1 en caso contrario. De este modo, durante el periodo de entrenamiento estaríamos manejando pares del tipo (x i , yi ) , con yi conocida; el objetivo será, recordemos, que se clasifiquen correctamente los ejemplos nuevos que se presenten (x, y ) generados por la misma distribución de probabilidad

“subyacente” P (x, y ) que los datos utilizados para el entrenamiento del clasificador. En el caso de la selección de factores, la entrada para el clasificador será la misma, el conjunto {x i }, i ∈ {1,...l } x i ∈ ℜ n , pero la salida será

{x i }, i ∈ {1,...l}

x i ∈ ℜ m m < n , con un error de clasificación menor.

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2.2 Los datos utilizados Para la ejecución hemos empleado una muestra de 58237 asegurados, obtenida al enlazar la cartera de Clientes con la de Siniestros del año 2003 que nos proporcionó MAPFRE. Los factores de riesgo que describían a cada asegurado eran originalmente 11: Antigüedad del carnet, Edad, Tipo de carnet, Sexo, Estado Civil, Profesión, Antigüedad del vehículo, Uso, Zona de Circulación, Potencia, Valor. Sin embargo, hubo que segregarlos para obtener variables categóricas, como exigía el sistema, manejando finalmente 105 variables de entrada. La salida, recuérdese, sólo tomaba dos valores, 1 (siniestro) o -1 (no siniestro).

3. Las técnicas empleadas 3.1 El Aprendizaje Máquina El enfoque estadístico “clásico” para abordar un problema de clasificación como el que nos planteamos, en el que se cuenta con una gran cantidad de datos, consiste en asumir que tales datos están generados por una distribución de probabilidad subyacente que nos es desconocida y a partir de la cual diseñaremos el clasificador. Sin embargo, existen otras aproximaciones al problema, como la que nos proponen Vapnik y otros autores de la Teoría del Aprendizaje. La idea básica es diseñar el clasificador directamente desde los datos mediante determinados algoritmos, que en su caso se basan en esta Teoría del Aprendizaje. Este modo de plantear el problema nos conducirá a la necesidad de analizar la información que comprenden los grandes conjuntos de datos. La habilidad de extraer el conocimiento que se encuentra escondido entre esos datos, y utilizarlo convenientemente, está teniendo una importancia creciente en el mundo contemporáneo. Las aproximaciones más recientes para desarrollar modelos a partir de los datos se han inspirado en las capacidades de aprendizaje de los sistemas biológicos y, en particular, en las de los humanos. De hecho, los sistemas biológicos aprenden a hacer frente a la desconocida naturaleza estadística del entorno conducidos por los datos. Los humanos, como los animales, tienen la capacidad superior de reconocer patrones, como las de identificar caras, voces u olores. El campo del reconocimiento de patrones tiene como objetivo el construir sistemas

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artificiales que imiten las habilidades de reconocimiento de los humanos, y avanza hacia él basándose en principios de ingeniería y estadística. En un sentido amplio, cualquier método que incorpore información de las muestras de entrenamiento en el diseño de un clasificador emplea aprendizaje. La creación de clasificadores implica el planteamiento de una forma general de modelo, o de clasificador, y el uso de los datos de entrenamiento para aprender o estimar los parámetros desconocidos del modelo. Cuando hablemos aquí de aprendizaje lo haremos como una forma de algoritmo para reducir el error sobre el conjunto de entrenamiento. Concretamente, un algoritmo de aprendizaje es aquel que toma los datos de entrenamiento como entrada (input) y selecciona la hipótesis (la función candidata de entre todas a ser la que relaciona las salidas con las entradas, esto es, la función de decisión) de entre todas las posibles.

3.2 Las Máquinas de Vectores Soporte La SVM es una técnica de clasificación que ha demostrado sobradamente su capacidad de resolución frente a problemas de elevado grado de complejidad. Diseñada en principio para tratar problemas de clasificación binarios (en dos grupos), se trata de una máquina de aprendizaje que implementa la siguiente idea: cuando no sea posible separar los datos en el espacio de entrada con un hiperplano lineal, trasladar, mediante una aplicación no lineal, los vectores de entrada a un nuevo espacio de dimensión más alta. En este nuevo espacio se construirá una superficie de decisión lineal. Las especiales propiedades que poseerá esta superficie garantizarán que la capacidad de generalización de la máquina de aprendizaje sea alta. Aunque esta idea se empleó en los primeros experimentos para datos que podían separarse sin errores, se puede extender para el caso no separable con notable éxito. La parte conceptual del problema la resolvió Vapnik para el caso de hiperplanos óptimos para clases separables. En este contexto, Vapnik definió un hiperplano óptimo como una función de decisión lineal con el margen de separación máximo entre los vectores de las dos clases. Se observó entonces que para construir tal hiperplano, uno sólo debía tener en cuenta una cantidad pequeña de los datos de entrenamiento, los llamados vectores soporte, quienes determinaban ese margen. Sea un conjunto de asegurados representado por sus factores de riesgo expresados mediante los vectores {x i }, i ∈ {1,...l}, y un conjunto de etiquetas

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asociadas yi ∈ {− 1,1}4 que determinan a qué clase pertenece cada asegurado. Supongamos que es posible separar este conjunto de entrenamiento mediante un hiperplano lineal. Los puntos x que pertenecen al hiperplano satisfacen la ecuación w ⋅ x + b = 0 , donde w es un vector normal al hiperplano, y b / w es la distancia perpendicular del hiperplano

⋅ como la norma euclídea). De entre todos los

al origen (tomamos

hiperplanos capaces de separar los datos, existe un único hiperplano óptimo, en el sentido de que es capaz de separar los puntos con el mayor margen de separación entre cada elemento del conjunto de entrenamiento y el hiperplano. En este sentido, el algoritmo de aprendizaje diseñado por Vapnik y Chervonenkis, la SVM, resuelve el siguiente problema: “Encontrar w ∈ ℜ n y b ∈ ℜ que minimicen

(

)

∀ i = 1,..., l ”

sujeto a y i w t ⋅ x i + b ≥ 1

τ (w ) =

1 w 2

(3)

Cuando se hallen w y b, la regla de clasificación para los asegurados será, simplemente, sign w t ⋅ x i + b 5, y el error de clasificación cometido vendrá

(

)

dado por Rent (w, b ) , tal y como se describió anteriormente. Por otro lado, aquellos puntos que verifican la igualdad en la inecuación y i w t ⋅ x i + b ≥ 1 , y cuya eliminación cambiaría la solución que encontremos, son los que llamaremos vectores soporte . Estos vectores, pertenecerán a uno de los dos posibles hiperplanos óptimos de separación de los que hablábamos antes, representados por las ecuaciones w t ⋅ x i + b = 1

(

)

para un hiperplano, y w t ⋅ x i + b = −1 para el otro. Si tratamos de aplicar el algoritmo anterior a datos no separables, no encontraremos ninguna solución factible, pues la función objetivo crece desmesuradamente. Para evitarlo, se relaja la restricción 2 cuando sea necesario, lo que se logra mediante la introducción de unas variables nuevas de pequeño tamaño. La formulación del problema queda ahora: 4

Describimos el caso más sencillo de dos únicas clases, pues para el general de K clases basta con tomar, como ya se ha visto yik en vez d yi. 5 Obsérvese que se corresponde con las funciones de decisión f (x) = sign w t ⋅ x i + b que describimos en el punto 2.

(

)

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“ Encontrar w ∈ ℜ n y b ∈ ℜ y ξ i i = 1,…,l que

τ (w ) =

Minimicen

(

l 1 2 w + C∑ξi 2 i =1

)

Sujeto a y i w t ⋅ x i + b ≥ 1 − ξ i y ξ i >0 ∀ i = 1,..., l ”

(4) (5)

donde C es un parámetro que el clasificador deberá estimar. Por último, en el caso de la SVM no lineal, se proyectan las variables de entrada en un espacio de dimensión mayor (normalmente de dimensión infinita) que aquel al que pertenecían dichas variables, y se aplica la SVM descrita anteriormente en este nuevo espacio, conocido como espacio de características. De este modo, la SVM no lineal es capaz de separar los asegurados con una probabilidad de error dada por Rent (w, b ) . Esa proyección se realiza utilizando las funciones núcleo (kernel).

3.3 La selección de factores El llamado “problema de selección de características”, esto es, la selección de los factores o rasgos que permitan desechar aquellos elementos que se revelen como irrelevantes para el estudio que se desea realizar, ha resultado ser de especial importancia en la mayoría de los problemas de aprendizaje supervisado. En los problemas de clasificación como el que nos ocupa, el objetivo es seleccionar un subconjunto de variables de entrada (factores de riesgo) que sean los que preserven o mejoren la capacidad del clasificador [Weston et al. (2000)]. Entre los distintos modos de tratar este problema, el más frecuente es el siguiente: dado un conjunto de datos (x 1 , y1 ),..., (x l , y l ), con x i ∈ ℜ n y

yi ∈ {− 1,1}, extraer un subconjunto de m variables (m < n) que posean el

error de clasificación menor [ibídem]. En nuestro caso, seguiremos a Weston et al. para seleccionar los mejores factores de riesgo (componentes de los vectores {x i }, i ∈ {1,...l}), esto es, aquellos que realmente describan el estado del asegurado, y eliminaremos 93

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

aquellos factores redundantes o irrelevantes. De este modo mejoraremos el funcionamiento de la SVM, que trabajará en el proceso de clasificación sólo con los factores de riesgo que hayamos reservado. Existen varias técnicas para resolver el problema de la selección de características. En este caso hemos escogido los Algoritmos Genéticos.

3.4 Algoritmos Genéticos Los algoritmos genéticos son un logro más de la Inteligencia Artificial en su intento de replicar comportamientos biológicos mediante la computación. Se trata de algoritmos de búsqueda basados en la mecánica de la selección natural y de la genética. Utilizan la información histórica para encontrar nuevos puntos de búsqueda de una solución. Se puede pensar en cada “cromosoma” de un algoritmo genético como en un punto en el espacio de búsqueda de candidatos a soluciones. El algoritmo genético procesa poblaciones de cromosomas, reemplazando sucesivamente cada población por otra. El algoritmo suele requerir una función de capacidad o potencial que asigna una puntuación (la capacidad) a cada cromosoma de la población actual. La capacidad o el potencial de un cromosoma depende de cómo resuelva ese cromosoma el problema a tratar. La forma más simple de algoritmo genético utiliza tres tipos de operadores: selección, cruce y mutación. Selección o reproducción: Este operador escoge cromosomas entre la población para efectuar la reproducción. Cuanto más capaz sea el cromosoma, más veces será seleccionado para reproducirse. Cruce: Se trata de un operador cuya labor es elegir un lugar, y cambiar las secuencias antes y después de esa posición entre dos cromosomas, para crear nueva descendencia (por ejemplo, las cadenas 10010011 y 11111010 pueden cruzarse después del tercer lugar para producir la descendencia 10011010 y 11110011). Imita la recombinación biológica entre dos organismos haploides. Mutación: Este operador produce variaciones de modo aleatorio en un cromosoma (por ejemplo, la cadena 00011100 puede mutar su segunda posición para dar lugar a la cadena 01011100). La mutación puede darse en cada posición de un bit en una cadena, con una probabilidad, normalmente muy pequeña (por ejemplo 0.001).

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Cada iteración del algoritmo recibe el nombre de generación. Lo usual es iterar el proceso de 50 a 500 o más veces. El conjunto completo de generaciones se llama serie. Al concluir una serie, a menudo se encuentran entre la población uno o más cromosomas con elevada capacidad. En nuestro problema de selección de los factores relevantes para la tarificación a priori, la población del AG está integrada por un número ξ de n cadenas binarias σ ∈ {0,1} a las que se aplica el procedimiento iterativo de los operadores genéticos. Una componente σ i = 1 equivale a afirmar que el factor de riesgo correspondiente debe ser tenido en cuenta para la SVM, mientras que si σ i = 0 , se eliminará ese factor del conjunto de factores. Debe observarse que cada individuo de la población del AG (un vector σ ) permanece para un conjunto de factores diferente de la SVM. La función de capacidad asociada a cada individuo es el error de clasificación obtenido al clasificar los puntos de entrenamiento (x ∗ σ , y ) , que será estimado por

Rent (w,b, σ ) . Una última apreciación: como el AG maximiza la función de

capacidad, y el objetivo en un problema de selección de características es minimizar la probabilidad de error, se introducirá una función de capacidad modificada, F = 100(1- Rent (w,b, σ ) )

(6)

3.5 El modelo logit Considérese, por otro lado, que se quiera explicar la ocurrencia aleatoria del siniestro como consecuencia de un conjunto de características x j para

j = {1,..., k } relativas al conductor y de un elemento debido al azar: k

Yi = ∑ β j x ji + ui

(7)

j =1

La naturaleza dicotómica de la variable dependiente Y (1 si el conductor asegurado ha sufrido un siniestro y -1 en caso contrario) obliga al empleo de un modelo no lineal que la relacione con las variables explicativas x j (las mismas que se han empleado en el modelo SVM). Asumiendo que la

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

perturbación aleatoria u sigue una distribución logística con media nula y varianza constante, el modelo quedaría (Aldrich & Nelson, 1986):

E (Yi ) = P (Yi = 1) =

e Zi 1 + e Zi

(8)

donde: k

Z i = ∑ β j x ji = ln( j =1

Pi ) ≡ log it 1 − Pi

(9)

Expresión en la que el cociente de probabilidades se conoce como “odds”. El cociente entre dos odds se conoce como ratio de odds y permite medir el efecto multiplicativo que tiene un aumento unitario de cualquiera de las variables explicativas xj sobre la “odds” de tener un siniestro (Liao, 1994). En nuestro caso, dicho ratio sirve para medir el riesgo de siniestralidad al cambiar el valor de una variable, cuando el resto de las variables permanecen fijas:

⎡ Pid ⎤ ⎢1 − P ⎥ i ⎦ xij' ⎣ β ' xij = xij + 1 ⇒ =e j ⎡ Pi ⎤ ⎢1 − P ⎥ i ⎦x ⎣

(10)

El efecto de una variable sobre la probabilidad de ocurrencia de un siniestro también vendrá informado por el estadístico de Wald Wj, que permite criticar la validez de la estimación puntual del parámetro βj que pondera a la variable, en función de su dispersión (Hernández-March, 2003):

m ⎛β j Wj = ⎜ ⎜ S βm ⎝ j

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(11)

Cuanto mayor sea W j más precisa será la estimación de βj, de ahí que ante dos variables con coeficientes beta significativos (p-valor menor que .1), se preferirá aquel que tenga mayor estadístico de Wald.

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4. Resolución del problema 4.1Clasificación de los asegurados utilizando todos los factores de riesgo En este experimento utilizamos un software gratuito para la SVM llamado

(

Libsvm, con un kernel de base radial, k ( x, x i ) = exp − x − x i

)

/c .

Escogimos como método para determinar el error en el conjunto de Test el de la Validación Cruzada6 en 5 pliegues. Los resultados se presentan en forma de la Tasa de Clasificación [(Nº de aciertos) / (Nº de casos)] y de la Matriz de Confusión, en cuya diagonal principal aparecen los casos acertados, y en la secundaria los errores cometidos en cada clase. Comparación del modelo logit con la SVM En lo que se refiere a la capacidad predictiva del modelo, la tabla 1 recoge las tasas de clasificación que se han obtenido al aplicar los dos modelos objeto de comparación: una SVM y el logit7. Tabla 1: Tasas de clasificación obtenidas en los dos modelos empleados

Tasa de clasificación Matriz de Confusión (en porcentajes)

SVM

LOGIT

77.72%.

70.8%

-1

76.41%

23.59%

20.87%

79.13%

-1

71.7%

28.3%

30.1%

69.9%

Dividir el conjunto de datos de entrada en n subconjuntos, entrenar el modelo con n-1 de los n conjuntos, y validar los resultados con el conjunto restantes. Repetir el proceso para cada uno de las n posibles elecciones del conjunto omitido. 7

Para pronosticar los siniestros en el modelo logit se tomó como valor de corte 0,514 (que es la proporción muestral de asegurados que declaró siniestro). 97

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

En este sentido, se puede observar que el modelo SVM pronostica correctamente el 77.72% de los casos observados, casi 7 puntos por encima de lo que lo hace el modelo logit (diferencia que se reduce a algo menos de 5 puntos en el caso de los asegurados que no han tenido siniestro, pero que se incrementa por encima de los 9 puntos en el apartado de los que sí han sufrido accidente). Por otra parte, los porcentajes que se logran con el modelo logit mejoran los alcanzados con el Análisis Discriminante (Bousoño, Heras y Tolmos 2008) en más de 2 puntos en el caso (-1,-1), si bien empeoran en el (1,1) – 71.8% del AD frente al 69.9% del logit –.

4.2 Selección de factores de riesgo Resultados obtenidos por el modelo logit La tabla 2 recoge los resultados de la estimación por máxima verosimilitud de los parámetros del modelo, empleando el programa SPSS. En lo que se refiere a la bondad del ajuste puede observarse que el estadístico Chicuadrado es muy significativo, lo que permite rechazar la hipótesis nula de que todos los parámetros del modelo, excepto el término independiente, sean nulos. El estadístico R cuadrado de Nagelkerke hay que interpretarlo en el mismo sentido. En lo que respecta a la estimación de los parámetros, se observa que la región en la que el asegurado conduce habitualmente es la variable que mejor discrimina a la hora de explicar la siniestralidad. Dentro de este apartado, los conductores que corren más riesgo son los de Madrid y Barcelona. En concreto, el riesgo de declarar un accidente en Madrid es 7.803 veces mayor al de hacerlo en Andalucía sin incluir Sevilla, que es la categoría de referencia, mientras que en Barcelona ese riesgo es 7.45 veces mayor. Otras zonas de conducción en las que resulta más probable declarar un siniestro que en Andalucía sin Sevilla son: Castilla y León, Galicia, Valencia, Aragón, Castilla La Mancha, Asturias, Cataluña sin Barcelona, Sevilla, La Rioja, Navarra, Comunidad Valenciana sin Valencia, País Vasco, Extremadura, Cantabria y Canarias. Sin embargo, sólo en Baleares y Murcia la probabilidad de declarar un siniestro es menor que en Andalucía sin Sevilla. A continuación, la profesión del asegurado también permite jerarquizar las distintas categorías, en lo que al riesgo de siniestralidad se refiere. En este

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sentido, se ha comprobado que los conductores con profesión 418 presentan una “odds” que es 1.885 veces mayor que los de la profesión 209, que se ha tomado como categoría de referencia (por ser la más frecuente). Aquellos conductores con código de profesión 2210, 4211 ó 6412 también presentan un riesgo de siniestralidad mayor que los de la categoría de referencia, aunque las diferencias no sean tan significativas. Sin embargo, los conductores con profesión 53, 31, 57, 10, 21, 54, 55, 0, 12 ó 5613 corren menos riesgo de tener un siniestro que los de la categoría de referencia (habiéndose ordenado la serie de menor a mayor significatividad), aún cuando las diferencias hayan resultado importantes en todos los casos. En particular, el riesgo de los asegurados con profesión 56 es .205 veces el riesgo de los asegurados de la categoría de referencia. El resto de las profesiones consideradas no han resultado significativas a la hora de explicar la ocurrencia de un siniestro. Tabla 2: Resultados del modelo logit sobre la siniestralidad de una cartera de asegurados en el ramo de automóviles Variable

Coeficiente

Wald

Hombres

-.205***

78.384

Ratio de Odds .815

Media Muestral .744

Estado Civil Soltero

Referencia

.202

Casado

.034

1.616

1.035

.779

Viudo

.152

2.657

1.164

.011

Divorciado

.134

1.289

1.143

.007

FUNCIONARIOS Y ADMINITRATIVOS (desplazamiento profesional habitual urbano). 9 INDUSTRIALES, COMERCIANTES, PROFESIONES LIBERALES (sin desplazamiento profesional habitual). 10 INDUSTRIALES, COMERCIANTES, PROFESIONES LIBERALES (desplazamiento profesional habitual interurbano). 11 FUNCIONARIOS Y ADMINISTRATIVOS (desplazamiento profesiónal habitual interurbano). 12 CONDUCTOR DE CAMIÓN/VEH. INDUSTRIAL DE TERCEROS. 13 Por orden: ESTUDIANTES, VIAJANTES Y REPRESENTANTES URBANOS, EMPLEADOS QUE CONDUCEN CON EXCLUSIVIDAD VEHÍCULOS DE LA SOCIEDAD, AGRICULTORES Y SUS EMPLEADOS, INDUSTRIALES, JUBILADOS, OBREROS, códigos 0 y 12 “SIN CLASIFICAR” , SIN PROFESIÓN. 99

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110 Antigüedad del carnet

.001

.668

1.001

21.492

Tipo de permiso Coche

Referencia

-.249

1.062

.779

.002

-.998**

6.499

.369

.001

Motocicletas

.850

1.913

2.339

.000

Ciclomotor

.642

1.119

1.9

.000

D-D1-B2

.334

.300

1.397

.000

-.008***

60.124

.992

45.572

534.287

.952

6.291

Edad del conductor

Antigüedad del vehículo -.049***

.997

Valor en euros hasta 1050

Referencia

.359

1051-1350

.245***

63.225

1.278

.191

1351-1950

.283***

72.439

1.328

.280

más de 1950

.335***

64.040

1.398

.170

Potencia (en watios; 1CV≈736 watios) hasta 64002 Variable

Referencia

.257

Coeficiente

Wald

Ratio de Odds

Media Muestral

64003-85002

-.083***

7.973

.921

.246

85003-103002

-.015

.186

.985

.248

más de 103002

-.196***

26.705

.822

.249

Región Andalucía sin Sevilla

Referencia

.208

Sevilla

.511***

188.135

1.668

.084

Aragón

1.281***

499.724

3.599

.031

Asturias

.948***

299.361

2.579

.034

Baleares

-.191***

7.758

.826

.026

Canarias

1.017**

5.107

2.764

.000

Cantabria

.179**

6.125

1.196

.017

100

Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110 Castilla La Mancha

.796***

345.571

2.216

.060

Castilla y León

1.693***

1326.112

5.436

.057

Cataluña sin Barna

.863***

221.482

2.371

.029

Barcelona

2.008***

1743.791

7.450

.064

Extremadura

.312***

39.957

1.366

.040

Galicia

1.693***

1150.931

5.435

.049

Madrid

2.054***

2295.387

7.803

.094

Murcia

-.115**

4.480

.891

.037

Navarra

.885***

171.843

2.422

.020

País Vasco

.507***

114.079

1.661

.046

La Rioja

1.682***

177.363

5.374

.006

Com.Valenciana sin Val .620***

132.487

1.859

.033

Valencia

566.972

2.732

.062

1.005***

Profesión 20

Referencia

-1.097***

997.077

.334

Coeficiente

Wald

Ratio de Odds

-.482***

69.003

.617

.026

-2.021***

1475.477

.133

.056

-.515***

90.273

.598

.030

.320***

7.259

1.377

.007

-.717***

32.774

.488

.005

.052

1.084

1.053

.038

.634***

384.728

1.885

.126

.460*

3.291

1.584

.002

-.595***

25.44

8.551

.006

-1.186***

116.454

.305

.009

-.788***

408.854

.455

.065

Variable

.433

101

.093 Media Muestral

Un anĂĄlisis comparativo de una SVM â&#x20AC;&#x201C; Anales 2010 /85-110 56

-1.587***

1873.128

.205

.100

-1.443***

63.914

.236

.003

.610

2.084

1.840

.001

.777*

3.216

2.175

.001

11-32-51

.135

.142

1.145

.001

Uso 110

Referencia

111

2.063***

79.403

7.866

.005

114

-.727

2.454

.483

.000

118

-.362***

20.146

.696

.014

119

2.187**

4.067

8.908

.000

131

2.450***

10.367

11.593

.000

141

3.143***

9.435

23.162

.001

150

2.340**

5.059

10.386

.000

160

.644***

49.160

1.903

.014

168

-.848***

158.812

.428

.024

Coeficiente

Wald

Ratio de Odds

210

-.324***

29.648

.723

.027

211

1.041

.756

2.831

.000

212

1.986

1.878

7.285

.000

213

.579

.268

1.784

.000

217

-.355***

72.715

.701

.061

219

2.315**

4.866

10.122

.000

220

-.806**

4.461

.447

.001

228

-1.190

1.155

.304

.000

230

.556

.861

1.743

.000

231

2.421**

5.439

11.257

.001

232

1.732**

5.039

5.649

.000

Variable

.841

102

Media Muestral

Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110 238

-.401***

14.419

.670

.008

240

-.227

.534

.797

.001

Resto

3.706***

12.996

40.711

.001

.355***

47.210

Constante Chi cuadrado:

15592.702***

R de Nagelkerke: .313 Nota. La categoría Resto de la variable Uso es el resultado de solapar las siguientes categorías de dicha variable: 117, 133, 137, 190, 199, 218, 234, 235, 258 y 242. * .05 < p ≤ .1

** .01 < p ≤ .05 *** p ≤ .01

La antigüedad del vehículo es la siguiente variable con más peso en el modelo. El riesgo de que un vehículo, con una antigüedad determinada, sufra un accidente es .952 veces el que tiene ese mismo vehículo un año antes. El uso que el conductor hace del vehículo es la siguiente variable en importancia 14. En este caso, la mayor parte de las categorías presentan mayor probabilidad de sufrir un accidente que la categoría 11015 que se tomó de referencia (por resultar también la más frecuente). Las categorías con las diferencias más significativas (en orden descendente) son la 11116, la 16017, la categoría resto, la 13118 y la 14119. Otros usos con mayor probabilidad de sufrir accidente que la categoría 110, pero con menor peso que los anteriores, son (ordenados de mayor a menor significatividad): 231, 150, 232, 219 y 11920. Por el contrario, los usos con código 220, 238, 118, 210, 14

Algunas categorías de esta variable con frecuencias reducidas presentaban coeficientes estimados muy elevados, acompañados de desviaciones típicas también muy elevadas con niveles de significación bajos. Este comportamiento indicaba la presencia de multicolinealidad en el modelo (Greene, 1998; Hosmer & Lemeshow, 1989). Por lo tanto, se procedió a reunir las categorías afectadas (117, 133, 137, 190, 199, 218, 234, 235, 258 y 242) en otra codificada como resto. Después, desapareció este problema. 15 TURISMO DE USO PARTICULAR. 16 TURISMOS MATRICULADOS A NOMBRE DE EMPRESA. 17 VEHICULO TODO TERRENO. 18 TAXI SIN TAXIMETRO. 19 VEHICULOS DE ALQUILER SIN CONDUCTOR. 20 Por orden: FURGONETAS DE TRANSPORTE DE MERCANCIAS NO PELIGROSAS, TURISMOS DE AUTO-ESCUELA, AMBULANCIAS, 103

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

217 y 16821 presentan menor riesgo de accidente que la categoría de referencia (estando ordenados de menor a mayor significatividad). En particular, el riesgo de declarar un siniestro por parte de un asegurado con uso 168 es .428 veces el que corre un asegurado de la categoría 110. La probabilidad de sufrir un siniestro por parte de aquellos asegurados que dan otros usos al vehículo no difiere significativamente de la de los asegurados con código de uso 110. A continuación figura la variable valor del vehículo que, inicialmente, se trató con un carácter cuantitativo. Al correr la regresión, el parámetro que la pondera resultó significativo pero con una estimación de cero en sus tres primeras posiciones decimales. Una vez descartados problemas de multicolinealidad se decidió hacerla cualitativa. Para ello se procedió a establecer cuatro clases, en función de los cuartiles, y a volver a estimar el modelo con la variable cualitativa, tomando de referencia la categoría inferior (vehículos con un valor de hasta 1050 €). El resultado muestra que cuanto mayor es el valor del vehículo, mayor es la probabilidad de declarar un siniestro. En particular, los asegurados cuyos vehículos valen más de 1950 €, tienen un riesgo de accidente que es 1.398 veces mayor que el de aquellos que conducen vehículos de hasta 1050 €. Por su parte, la condición de hombre reduce la probabilidad de accidente, siendo su riesgo 0.815 veces el que corre una mujer. Este resultado ya se produce cuando se cruzan las variables sexo y siniestro, por cuanto el porcentaje de hombres que declaran siniestro es 7 puntos inferior al de las mujeres (49.6% frente a 56.5%). Asimismo, el riesgo de una persona con una edad concreta es .992 veces el de otra con un año menos. El siguiente factor explicativo de la siniestralidad es la potencia del vehículo. Esta variable tuvo un comportamiento similar al de la variable valor, en el sentido de incluir una estimación de cero en el parámetro, a pesar de resultar significativa. En virtud de ello, se procedió de la misma forma, dividiendo la FURGONETAS DE REPARTO URBANO Y AUTOVENTA, VEHICULOS DE SERVICIO DE URGENCIAS (POLICIA Y BOMBEROS) 21 Por orden: FURGONETAS DE USO RURAL HASTA 500 KGS DE CARGA USO PROPIO - Uso 220, FURGONETAS USO PARTICULAR +5 HASTA 9 PLAZAS - Uso 238, TURISMOS USO PARTICULAR +5 HASTA 9 PLAZAS Uso 118, FURGONETAS HASTA 3500 KGS - Uso 210, FURGONETAS HASTA 500 KGS DE CARGA USO PROPIO - Uso 217, TODO TERRENO +5 HASTA 9 PLAZAS - Uso 168. 104

Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110

variable en cuatro clases a partir de sus cuartiles. Los resultados muestran que los vehículos menos potentes presentan un riesgo de siniestralidad mayor. Ocurre lo contrario cuando se elimina la variable valor de la regresión, lo que demuestra que el comportamiento de la variable potencia viene determinado por el valor del vehículo (de hecho ambas variables presentan un elevado grado de correlación). La inclusión en la regresión de los dos factores permite aislar la verdadera influencia de la potencia del vehículo sobre el riesgo de sufrir un accidente. Asimismo, al analizar la influencia de las diferentes modalidades de permisos de conducción existentes, sólo ha resultado significativo que aquellos conductores con permiso de circulación tipo C1 corren menos riesgo de sufrir un accidente que los que poseen un permiso de circulación de coche. No se han apreciado diferentes niveles de riesgo según el estado civil del conductor. Tampoco la antigüedad del carnet ha resultado significativa. Esta circunstancia se explica por la elevada correlación que mantiene esta variable con la edad del conductor (de hecho, aquella aparece con un beta de -.006 y un Wald de 24.657 cuando esta se retira del modelo) y la menor influencia que tiene sobre la siniestralidad, lo que hace que sea la edad del conductor la variable que resulte significativa. De las 105 variables de entrada utilizadas, 58 han resultado significativas (46 con un p-valor inferior al 1%, 10 con un p-valor entre el 1 y el 5% y sólo 2 con un p-valor superior al 5%).

Resultados obtenidos por el Algoritmo Genético Para escoger los factores que retenían mayor información de cara a la siniestralidad, se programó un AG al efecto, utilizando el cruce en un punto y la mutación de un solo bit. El objetivo era escoger los 3022 factores con mayor predictivo. La función de capacidad era la capacidad predictiva estimada con una SVM. Observamos los resultados en la siguiente tabla:

Es un número obtenido por búsqueda generacional, y está relacionado con el nº de datos y el de variables. 105

Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

Tabla 3: Los 30 factores seleccionados por el AG 1. Antigüedad carnet 3. Antigüedad vehículo 5. Barcelona 7. Potencia 9. Galicia 11. Profesión 41 13. Hombres 15. Andalucía sin Sevilla 17. Murcia 19. Soltero 21. Profesión 20 23. Profesión 0 25. Cataluña sin Barcelona 27. Comunidad Valenciana Valencia 29. Asturias

2. Edad conductor 4. Madrid 6. Valor 8. Castilla y León 10. Profesión 12 12. Casado 14. Uso110 16. Profesión56 18. Aragón 20. Sevilla 22. Baleares 24. Valencia 26. Castilla La Mancha sin 28. Uso 168 30. Profesión 55

Comparación de los resultados obtenidos por ambas técnicas En lo que respecta a la identificación de las variables que explican la siniestralidad, el modelo logit ofrece una información más rica que el AG. Aquel, no se limita a informar sobre qué factores inciden en la siniestralidad y con qué peso, sino que además permite conocer el sentido de dicha influencia. Al comparar los resultados obtenidos se observan diferencias notables entre ambos modelos. Así, aunque la mayor parte de los factores del AG se encuentran seleccionados por el logit, el que tiene más importancia en aquella –que no es otro que la antigüedad en el carnet– no resulta siquiera significativo en este. No parece, a este respecto, que el AG esté recogiendo la elevada correlación existente entre este factor y la edad del conductor que también resulta seleccionada. Melgar y Guerrero (2005) también seleccionaron simultáneamente edad y antigüedad como variables significativas después de aplicar un modelo econométrico tipo count data; eso sí, la última variable con carácter dicotómico (menos de 2 años; 2 años o más). El estado civil tampoco parece tener suficiente peso en el modelo logit, mientras que soltero y casado sí lo tienen en la selección dada por el AG. Al

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Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110

considerar en el modelo logit los factores más significativos (con mayor Wald) y compararlos con los respectivos del AG (véase tabla 3), se observa que el lugar geográfico, la profesión y la antigüedad del vehículo son las variables con más peso en dicho modelo, mientras que en el AG la antigüedad del carnet, la edad del conductor y la antigüedad del vehículo tienen más importancia que el lugar geográfico o la profesión. También se observa que hay mayor diversidad entre los 30 factores seleccionados por el AG, que entre aquellos que tienen más peso en el modelo logit.

4.3 Clasificación tras la selección Comparemos por último la tasa de clasificación que se alcanzó tras ejecutar de nuevo la SVM sólo con los anteriores factores de riesgo, frente a la que se obtuvo en el punto 4.1 con todos los factores. Tabla 4 Clasificación

30 variables seleccionadas por el AG

Todas las variables

SVM

77.66%

77.72 %

Como se puede apreciar, el porcentaje de casos bien clasificados es prácticamente el mismo utilizando los 30 factores de riesgo que empleando todos los recogidos por la aseguradora. Éste resultado es francamente interesante para la Compañía, de cara al ahorro en tiempo y recursos a la hora de recoger esos datos. El haber eliminado información redundante para el sistema hará, por otra parte, que mejore la estabilidad del clasificador, y que el coste computacional del proceso sea menor.

Conclusiones En el presente artículo se han introducido técnicas novedosas, tomadas del Aprendizaje Máquina, para resolver un problema de tarificación a priori. Concretamente, se trata de clasificar un grupo de asegurados descritos por sus factores de riesgo en dos clases, atendiendo a si presentan o no siniestro en el periodo de un año. Este problema engloba una segunda cuestión, la de la selección de los factores de riesgo que mayor información recogen de cara a la siniestralidad.

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Un análisis comparativo de una SVM – Anales 2010 /85-110

La aplicación de una SVM y un AG, y un modelo logit al análisis de la siniestralidad ha ofrecido cierta coincidencia respecto a los factores seleccionados, aunque no en cuanto a su ordenación. La primera técnica ha resultado más eficaz en lo que al porcentaje de acierto en el pronóstico se refiere, como también ocurrió con el Análisis Discriminante. Sin embargo, el logit tiene la ventaja de poder estimar el aumento o la disminución del riesgo de siniestralidad, ante un cambio en uno de los factores. En este sentido, podría pensarse en utilizar un AG para seleccionar los factores y un logit para conocer el sentido de la influencia de cada uno de ellos, siendo conscientes de que no será posible tal conocimiento en aquellos factores que no resulten significativos en el logit. Concluimos con una nueva clasificación utilizando sólo los 30 factores seleccionados por el AG, en la que observamos cómo se alcanza prácticamente la misma tasa que si clasificamos atendiendo a todos los factores de riesgo recogidos por la aseguradora. Durante el curso de nuestras investigaciones, hemos realizado otros experimentos, seleccionando factores con árboles de clasificación, con conclusiones similares. Más interesantes han resultado las prácticas que hemos realizado con una nueva base de datos, correspondiente al año 2005. En este caso, los factores de riesgo que había recogido la aseguradora eran muy diferentes a los que aparecían en la base de 2005, e incluían una variable, el nivel de Bonus Malus, que nos llevó a la ejecución de experimentos levemente diferentes. Se trataba de ver la influencia que tenía a la hora de seleccionar factores y de clasificar. Por ello, realizamos una selección con un Random Forest incluyendo y sin incluir esta variable en la entrada, y una clasificación de los asegurados con el mismo criterio. En la selección, se vio claramente que la influencia del nivel de Bonus Malus era considerable, resultando escogidos muchos de estos niveles. La clasificación, por encima del 70 % en ambos casos, resultaba mejor si se añadía el nivel de Bonus Malus que en caso contrario.

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Antonio Heras, Piedad Tolmos y Julio Hernández-March – Anales 2010 /85-110

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110

UN ANÁLISIS SOBRE LAS POSIBILIDADES DE PREDICCION DE LA MORTALIDAD FUTURA APLICANDO EL MODELO LEE-CARTER Amancio Betzuen (1)

Resumen Hasta finales del siglo pasado los actuarios se dedicaban a estudiar la mortalidad de colectivos de personas en función, únicamente de la edad. Se trataba de estudios de tipo estático y su aplicación práctica proporcionaba sobreestimaciones de la mortalidad con el consiguiente riesgo de longevidad en aplicaciones tales como la Seguridad Social, Planes de Pensiones, Seguros de Vida, entre otros. Estudios de finales del siglo pasado, basándose en análisis estocásticos e introduciendo la evolución de la mortalidad a través del tiempo de calendario, proporcionaban proyecciones de la mortalidad futura en términos mucho más reales, es lo que se conoce como la evolución dinámica de la mortalidad. Nosotros hemos estudiado la viabilidad de uno de estos métodos, quizás el más conocido como es el de Lee-Carter. En primer lugar hemos contrastado la validez del modelo utilizando un criterio tan asumible como el “backtesting”. En segundo lugar hemos elegido un intervalo factible para la validez de la proyección y finalmente lo hemos aplicado a un colectivo como es la población española, para ambos sexos, contrastando el resultado y proyectándolo hasta el año 2030. Keywords: Lee-Carter model, Mortality forecasting, Time series, Life expectancy.

INTRODUCCION Hasta épocas recientes los actuarios nos dedicábamos a realizar ajustes sobre la evolución de la mortalidad teniendo en cuenta, como variable, únicamente 1 Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Departamento de Economía Financiera I. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. amancio.betzuen@ehu.es. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 7 de julio de 2010.

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

la edad y por lo tanto se trataban de ajustes estáticos. Esto es, para un determinado año de calendario. Este tipo de graduaciones se conocen como unidimensionales. Desde hace no muchos años, los actuarios se preocupan más de medir la evolución de la mortalidad a través del paso de los años de calendario al mismo tiempo que para cada uno de los años biométricos. Así lo hicimos nosotros en nuestro artículo publicado en ANALES (1999). En este caso realizamos ajustes de la evolución de la mortalidad, para todo el horizonte de edades de una persona y para diferentes años de calendario, utilizando la fórmula de Heligman y Pollard. Utilizando esta metodología obtuvimos valores de los parámetros, para los diferentes años de calendario y a continuación procedimos a un ajuste simple de la evolución de los valores de estos parámetros. La predicción futura de la mortalidad se obtuvo a continuación simplemente extrapolando hacia el futuro los valores de los parámetros obtenidos para el intervalo de valores históricos. El Continuous Mortality Investigation Committee le dedicó un Working Paper (Nº 25) a las características de la metodología de proyección estocástica basada en el modelo Lee-Carter. Entre las conclusiones que se pueden sacar del estudio están las características y las implicaciones del modelo. Con este último punto conecta el trabajo que presentamos a continuación. A nuestro juicio se trata de un modelo interesante por cuanto que proyecta los resultados históricos de mortalidad, hacia el futuro y para ello, captura la información disponible sobre la mortalidad, a lo largo de un determinado número de años de calendario, incluyendo todo el periodo de edades que puede alcanzar una persona. De esta manera proporciona unos resultados que permiten predecir la mortalidad futura para un número prudencial de años futuros de calendario. Dicho “Working Paper” no profundiza en algunos aspectos que a nuestro juicio puede influir y, creemos que notablemente, en la predicción del modelo. Nos referimos al periodo de años histórico de calendario a considerar para obtener unos buenos resultados de los parámetros a estimar. Por ello, hemos contrastado previamente, si el modelo proporciona buenos resultados, tomando para tal fin un periodo de calendario como [1950-1985]

112

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

y contrastamos los resultados con lo realmente acontecido durante el periodo [1986-2005] . Se trata de realizar un “back-testing” para el modelo. Una vez detectado un aceptable tramo de años de calendario de manera que el modelo proporcione buenos resultados, lo aplicamos para la proyección hacia el futuro, tanto para todo el colectivo, como para el colectivo de personas de edades superiores a los 65 años, por ser este un colectivo importante en el conjunto de la sociedad. El análisis se extiende para ambos sexos: hombres y mujeres y el colectivo al que se aplica el estudio es la población general española. La base de datos fue preparada a partir de los datos contenidos en “Human Mortality Database” y del INE. Se trata de un modelo nuevo para los actuarios, aunque, otros investigadores ya han probado sus resultados, algunos con opiniones dispares. Nosotros nos proponemos probar que antes de aplicar el modelo directamente es conveniente realizar una serie de análisis previos, con el objeto de asegurarnos, en una buena medida, que el resultado que se pueda obtener sea factible. Una vez que el periodo histórico se ha elegido con ciertas garantías de éxito, procede la elección del número de años futuros a los que parece razonable extrapolar nuestros resultados. Esto, a nuestro juicio, no debe extenderse más allá de los 20 o 25 años. Este punto está muy relacionado con el modelo Lee-Carter el cual posibilita la elección, tanto del periodo histórico de información como del periodo de predicción. También posibilita la elección del elemento biométrico más adecuado para el ajuste biométrico. Para ello, teniendo en cuenta el criterio que hemos seguido para preparar la información, hemos considerado que el tanto central de mortalidad representaba el elemento biométrico más idóneo. Finalmente, es necesario elegir el elemento biométrico que nos va a servir para contrastar la bondad de la predicción que pretendemos proporcionar. De entre varios de los elementos que podemos elegir, nosotros nos hemos decantado por la esperanza matemática de vida, por considerarlo uno de los elementos más significativos a la hora de contrastar la bondad de los resultados a predecir. Además es uno de los pilares en los que se apoyarán la mayoría de las previsiones demográficas, en el caso de la Seguridad Social, Planes de Pensiones, Seguros de Vida, etc.

113

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

ELECCIÓN DEL PERIODO Como ya quedó indicado, en base al criterio utilizado para preparar la base de datos, el elemento biométrico elegido para predecir la mortalidad es, en nuestro caso, el tanto central de mortalidad. En un primer momento hemos analizado la evolución de los tantos centrales de mortalidad a lo largo del periodo de calendario 1910-2005, para diferentes grupos de edades, elegidos como significativos, como son el intervalo de 20-24 años, 40-44 años, 65-69 años y 80-85 años. El paso siguiente consistió en elegir el periodo de años de calendario. Pues el tramo de edades en principio, lo extendemos para todo el horizonte temporal de edades. Para realizar el primer análisis hemos analizado la evolución de los tantos centrales de mortalidad, para diferentes tramos como son: [20-24], [40-44], [65-69] y [80-84], correspondientes a los años de calendario [1910,2005]. La evidencia fue clara, no deja lugar a dudas, la tendencia del tanto central de mortalidad, ha evolucionado claramente hacia la mejora, salvo algunos años de calendario puntuales. Pero sobre todo se observó una evidente cambio de tendencia después de los años 1950-1955. Este aspecto debe ser tenido en cuenta para la elección del periodo. Si realizamos un análisis detallado de los datos citados se observa algunos detalles interesantes. Por ejemplo, por el año 1918 se da una desviación importante, posiblemente por la incidencia de una enfermedad infecciosa que se desarrolló por esa época en nuestro País. También observamos que por los años 1936-1939 se producen asimismo alteraciones destacables. Consecuencia evidente de la guerra civil española. Estas circunstancias ocasionan alteraciones importantes en la evolución de las magnitudes biométricas del colectivo de la población española. Por tal motivo consideramos que la inclusión de este periodo de años de calendario no resulta adecuado para la estimación de los parámetros del modelo. Desvirtuando innecesariamente, a nuestro juicio, la tendencia futura. Todo esto nos hace concluir que la estimación de los parámetros varía según que estos puntos se incluyan o no en la base de datos. Por lo tanto, si dichos puntos no fueran consecuencia de una evolución normal de los elementos que intervienen en un colectivo de personas es conveniente estudiar detalladamente la posibilidad de su exclusión de la base de datos.

114

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

Finalmente observamos que durante los años de calendario, posteriores al año 1940 y hasta las proximidades del año 1955 se dan oscilaciones importantes en los valores de los tantos centrales. En consecuencia este tramo de años de calendario también lo descartamos. Por consiguiente tomaremos como periodo de datos para nuestra predicción el intervalo de años de calendario 1960-2005. ELECCIÓN DEL MODELO El modelo de Lee-Carter es de tipo estocástico y se utiliza preferentemente para predecir la mortalidad futura, para cada edad de la persona. Es por tanto, un modelo bilineal, como tendremos oportunidad de analizar. Se trata de un modelo que no presenta demasiadas dificultades en su aplicación e interpretación. Captura a la vez la influencia, tanto de las mejoras por la edad de la persona como por el transcurso del tiempo de calendario. Basta para ello elegir adecuadamente la matriz de mortalidad edad-tiempo, para el periodo de análisis seleccionado. Dado su potencial de “captura” la elección del periodo y del tramo de edades son sumamente importantes. Por otra parte este modelo facilita el valor de un índice que refleja la variación de mejora en el tiempo con el cual podremos estimar los valores de la mortalidad hacia el futuro y de esta forma construir una tabla dinámica. Aunque el modelo permite elegir el periodo de edades, para la toma de datos y el periodo histórico de años de calendario, nosotros extendemos el periodo de edades a todo el intervalo de supervivencia de la vida de una persona y el horizonte temporal de años de calendario, de 2006 hasta 2030. EL MODELO Como ya hemos indicado el modelo Lee-Carter es un modelo bilineal en las variables edad (x) y año de calendario (t). Presentaron un modelo del tipo: f ( x, t ) = exp( a x + b x * k t + ε x,t )

(2)

en donde:

Se trata de una notación similar al presentado inicialmente por Lee-Carter (1992). 115

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

f ( x, t ) = Describe el tanto instantáneo de mortalidad correspondiente a la ax = bx = kt =

ε x,t =

edad x y tiempo de calendario t. Representa una componente que depende de la edad de la persona. No depende del tiempo de calendario. Describe la “velocidad” con la que varía la mortalidad a cada edad x, cuando varía el nivel general de mortalidad. No depende del tiempo. Representa un parámetro que depende del tiempo de calendario y refleja el nivel general de declinación de la mortalidad. Mide el riesgo de la mortalidad a la edad x y el tiempo de calendario t. Representa el término residual a la edad x y el tiempo t.

Este modelo permite extrapolar hacia el futuro la mortalidad estimada a partir de los datos históricos. Los parámetros ax y bx capturan la información histórica de la mortalidad por la edad de la persona y el parámetro kt la evolución de la mortalidad histórica por el transcurso del tiempo de calendario. El modelo, combina un enfoque paramétrico con una utilización del método estadístico de series temporales. Nosotros hemos analizado los datos que disponíamos, los cuales ya fueron indicados, y nos pareció que el elemento biométrico más adecuado, en base a la información disponible como son el número de fallecidos a cada edad simple, el número de años de exposición al riesgo y para cada año de calendario, era el tanto central de mortalidad. De modo que para la predicción hemos fijado el modelo: m x,t = exp( a x + b x * k t + ε x,t )

Para su tratamiento transformamos el modelo de la siguiente forma

Ln(m x , y ) = a x + bx * k t + ε x ,t

(3)

Al utilizar el modelo de esta forma nos facilita enormemente los cálculos sin embargo pudieran no reflejar correctamente algunos valores biométricos como sucedería si se tomaran los tantos brutos directamente. El CMI utilizó el modelo para valores de ln μ x,t .

116

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

aunque ello nos conduzca a la aparición de desviaciones, en términos absolutos, del número total de fallecidos. Como apuntaron Lee y Carter, su modelo no queda definido introducen un par de condiciones como son: w 2 ∑ Bj =1 j =1

n ∑ ki = 0 i=1

(4)

si no se

(1)

Un análisis previo nos permite observar claramente la mejora de la mortalidad, prácticamente para todos los grupos de edades. Pero también se observa que esta mejora no es uniforme ni homogénea. Llama la atención el cambio de evolución para el grupo de edades (15-35) en torno a los años de calendario 1990-1995 como consecuencia de los accidentes de tráfico principalmente. Este cambio de tendencia afecta ligeramente a los valores de los parámetros. No obstante los hemos mantenido incorporados en la base de datos. En el colectivo de mujeres esta incidencia no ha sido significativa y por consiguiente se acomoda mejor a la predicción del modelo. ACEPTACIÓN DEL MODELO En primer lugar hemos querido comprobar si el ajuste de los datos al modelo es suficientemente fiable y si al mismo tiempo proporciona resultados de la proyección futura aceptables. Para ello hemos utilizado el criterio backtesting sobre el periodo [1950-1985]. Los resultados obtenidos fueron notablemente aceptables. A continuación hemos dedicado un tiempo para analizar la influencia de la elección del periodo de datos a través del tiempo de calendario. Es evidente que un cambio en la amplitud del periodo y en la ubicación de los datos en el tiempo modifican los valores de los parámetros del modelo y como consecuencia directa la predicción futura de la mortalidad. Hemos contrastado que un periodo muy extenso de años de calendario no mejora la calidad de la proyección futura. Al igual que un periodo demasiado corto no captura información suficiente para una buena proyección futura. Finalmente después de una serie de simulaciones hemos elegido el periodo de edades de 4

En el sentido de que no se obtiene una solución única para el sistema de ecuaciones planteado, debido precisamente a la interrelación del producto bx*kt.

117

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

cero a 110 años y un periodo [1960-2005] para años de calendario (gráficamente una superficie). A partir de este conjunto de datos hemos estimado los parámetros del modelo. COMPUTACIÓN DEL MODELO Se trata de obtener los parámetros ax, bx y kt minimizando la matriz 2 matriz Z = f (a, b, k ) = ∑ [ln(m x ,t ) − aˆ x − bx * k t ]

x ,t

En orden a obtener una solución única el modelo requiere la incorporación de las dos condiciones presentadas en (1). A partir del desarrollo

∂f ∂f ∂f = = =0 ∂a x ∂bx ∂k t y después de operar adecuadamente en la primera ecuación y teniendo en cuenta que

∑

k t = 0 resulta:

aˆ x =

⎡ tn ⎤ 1 tn 1/ n ln ln( m ) = ⎢∏ m x ,t ⎥ ∑ x ,t n t =t1 ⎣ t1 ⎦

x ∈ [0, w)

De esta manera estimamos los valores del componente representamos por âx . Tal y como aparece en (2).

a x y lo

Es evidente que el modelo Lee-Carter no lo podemos tratar por un método de regresión ordinario, pero el parámetro a x lo estimamos como una media geométrica, para todo el intervalo [1960-2005], para cada clase de edades, utilizando la expresión anterior. Los valores de a x , ∀x , muestran el comportamiento de la mortalidad, para cualquier año de calendario, en función de la edad. Su valor representa un invariante con respecto al tiempo. En nuestro caso se obtiene un gráfico como el que se presenta a continuación:

118

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

Gráfico Nº 1. Representación gráfica del comportamiento del parámetro ax según la amplitud y la ubicación del periodo de calendario que consideremos. Parámetro a(x) Tramo de edades (0-109) Periodo 1950-1985

Periodo 1970-1985

Periodo 1950-2005

Valores logarítmicos

0,00 -1,00 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -6,00 -7,00 -8,00 -9,00

Edades

Como ya quedó indicado, de las múltiples simulaciones de periodos que hemos realizado hemos seleccionado dos, para contrastar nuestro análisis, que fueron [1950-1985] y [1970-1985].

Por la representación gráfica de la componente a x del modelo, percibimos el comportamiento general promedio de la mortalidad para cada edad. Reduce por tanto una superficie que depende de x y t a una línea de valores en función de x. En el gráfico se puede observar que cuando se toma el periodo [1970-1985] los resultados se desvían más que cuando se toma el periodo [1950-1985]. También se observa que cuando se incluyen los años de calendario en torno a los años 1950-1955 también se producen superiores desviaciones en los parámetros. Estas fueron algunas de las razones que nos condujeron a elegir finalmente el tramo histórico [1960-2005]. (5) Como decimos, con los valores apuntados en (2) construimos la matriz Z , de la siguiente manera:

Por razones de simplificación y porque los resultados son evidentes mostramos solamente la representación gráfica.

119

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

Z x ,t = ln(m x ,t ) − aˆ x

(6)

(2)

A los valores de la matriz Z aplicamos el método SVD, “Singular Value Decomposition” obteniendo las matrices (7)

PdQ' = SVD( Z x ,t ) = ∑ d j * Pxj * Qtj

(8)

Habiendo introducido las condiciones (1) con el objeto de obtener una única solución para el sistema de ecuaciones del modelo. Del sistema anterior se obtienen los valores de obtenidos estos valores construimos la matriz

. Una vez

Z x ,t = bˆx * kˆt

Z x ,t = b x * k t

Esto es,

Esta aplicación descompone la matriz Zx,t en el producto de tres matrices

SVD( Z x ,t ) = ∑ d j * Pxj * Qtj cuyo primer término proporciona bˆx = Px1

kˆt = d t * Qt1

Por otra parte la condición

∂f = 0 ⇒ ∑ ln (m x ,t ) = ∑ (a x + bx * k t ) ∂a x t t Nos conduce a:

∑ t

a x = ∑ ln (m x ,t ) t

La matriz P representa la componente edad, d representa los valores singulares y Q representa la componente tiempo.

120

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

y por consiguiente el logaritmo natural del tanto central de fallecimiento estimado

ln (mˆ x ,t ) = a x + Z x ,t

La componente bx (9) influye en la tendencia principal de kt,(10) modificando el resultado según que la variación a una cierta edad sea mayor o menor que la correspondiente a la tendencia principal. En principio los valores de bx no tienen por qué mantener el mismo signo. Esto significa que las variaciones podrían ser de signo contrario. Aunque, como apuntan algunos investigadores, esta metodología no es la óptima, para obtener las mejores estimaciones de los citados parámetros, sin embargo, hemos podido comprobar que para ciertos colectivos, proporciona buenos resultados y es más sencillo de computar. Esta representa una de sus fortalezas. ANALISIS PREVIO DEL PARÁMETRO bx Hemos realizado un análisis previo de los diferentes resultados que se producen en la estimación del parámetro bx. En el siguiente gráfico se presentan los resultados correspondientes a este parámetro para los tramos ya mencionados. Parámetro b(x) Tramo de edades (0-109) Periodo 1950-1985

Periodo 1970-1985

Periodo 1950-2005

Edades

Recordemos que refleja la variación que experimenta el perfil en base a la edad en la medida en la que varía el parámetro k. 10 Recordemos que captura la variación en la mortalidad general a través del tiempo de calendario. 121

0 ,2 0,15 0 ,1 0,05 0 -0,05 -0 ,1 0

Valores

0 ,4 0,35 0 ,3 0,25

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

Gráfico Nº 2. Representación gráfica del comportamiento del parámetro bx según el periodo de calendario que se tome. Se representa para todo el tramo de edades y para el colectivo de hombres.

Como se puede observar conforme alteramos el periodo de datos a utilizar en el modelo la distribución de los valores del parámetro bx cambia. En el gráfico presentamos solamente tres de las múltiples combinaciones que podemos formar. Se puede apreciar claramente que el periodo [1950-2005] proporciona una evolución más uniforme. Es evidente que el periodo [19701985] es demasiado corto para proporcionar información suficiente al modelo. Hemos constatado que los valores de bx son más uniformes si el periodo [1950-2005] se reduce a [1960-2005]. ELECCIÓN DEL COLECTIVO Dado que el modelo captura toda la información disponible en el tramo de edades y en el tramo de calendario, para el primero, en principio hemos tomado en consideración todo el conjunto de edades de vida correspondientes a una persona desde su nacimiento hasta su fallecimiento. No obstante, a efectos prácticos también hemos tomado otro conjunto de edades superiores a los 65 años, dada su importancia en los temas relacionados con la Seguridad Social, con los Planes de Pensiones y con los Seguros de Vida, entre otros. En cuanto al periodo de calendario y como ya se indicó anteriormente, en primer lugar queremos analizar si la elección del periodo histórico de datos tiene una influencia importante. Porque de lo que no tenemos ninguna duda es que una buena elección del periodo de información es primordial para un buen desarrollo del ajuste y de la proyección. A partir de los datos del INE, comparados con los proporcionados por Human Mortality Database, separados por género y considerados en el sentido propuesto por Wilmoth et al (2000), se obtuvieron los valores brutos del tanto central de mortalidad para cada edad x y para cada tiempo t. Hay que tener en cuenta que algunos de los valores publicados en la base de datos (HMD), para los últimos años presentan algunas irregularidades. A partir de los datos anteriormente mencionados se eligieron adecuadamente los valores de D x ,t y E x ,t . En donde el numerador representa el número de fallecidos de edad x en el año de calendario t y el denominador el número

122

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

de años de exposición al riesgo de edad x en el tiempo de calendario t. Se han utilizado, en particular, valores del número de fallecimientos por edad biométrica simple y del número (valor) de los expuestos al riesgo, también por edad biométrica simple. BACK-TESTING PREVIO Con el objeto de contrastar la predicción que proporciona el modelo, hemos elegido un periodo histórico previo a otro, del cual ya disponemos de información histórica. Por ejemplo, podemos introducir en el modelo datos correspondientes al periodo 1950-1985, obtener la predicción que proporcione el modelo para el periodo 1986-2005 y contrastar con la obtenida en la realidad. En una primera etapa hemos contrastado los valores reales de los tantos centrales de mortalidad con los valores estimados. Hemos constatado que el modelo no ajusta adecuadamente los tantos centrales para las edades más jóvenes. Sobre todo el primer año de edad. También se desvían los resultados para las edades más altas. Esta evidencia la obtuvimos como sumas de los valores residuales entre los tantos centrales de mortalidad reales y los estimados, para el periodo [19501985]. Los hemos tomado en valor absoluto. Son los correspondientes a.

[

ε x ,t = ln (m x ,t ) − aˆ x + bˆx * kˆt

]

Los resultados obtenidos corresponden a la predicción con el valor inicial de k(t), que lo representamos por k1(t). Como ya quedó indicado este valor inicial del parámetro k(t) no proporciona un número similar de fallecimientos, a los reales, en cada año de calendario. Para ello es necesario y suficiente proceder a un reajuste del parámetro introduciendo esta nueva condición. Después de realizado el reajuste de los valores del parámetro k(t) en el sentido señalado por Lee-Carter (1992) los resultados mejoraron claramente. Una vez comprobado que el modelo proporciona unos valores aceptables de los tantos centrales de mortalidad, sobre todo en los tramos de edades [1090], pasamos a una segunda etapa. En esta hemos elegido el elemento biométrico vida media en el origen de edades para chequear la predicción del modelo. Ahora no se trata de un ajuste de los datos sino de comprobar si el

123

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

modelo predice bien, cómo va a evolucionar la mortalidad hacia el futuro. Los resultados que obtuvimos, mostrados gráficamente, para la esperanza matemática de vida en el origen, fueron: Gráfico Nº 3. Representación gráfica de los valores correspondientes a la vida media en el origen de edades, aplicando el parámetro k1(t). En la parte superior para el colectivo de hombres y en el inferior para el de mujeres. Vida Media Hombres

Años

Reales 60

Estimados 55

Años de cale ndario

Vida Media Mujeres

Años

Reales 60

Estimados 55

Años de cale ndario

En este gráfico, los valores correspondientes al periodo [1950-1985] son los históricos y los correspondientes al periodo [1986-2005] corresponden al back-testing. Lee-Carter en su trabajo (1992) sugirió la posibilidad de reajustar el valor del parámetro k(t), de manera que el número total de fallecidos en cada año de calendario coincidiera con el número total real de fallecimientos. Mediante un método iterativo de cálculo se recalculan los nuevos valores de

124

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

k(t), obteniéndose un nuevo valor k2(t). (11). Veamos si esta actuación mejora los resultados. Lo primero que apreciamos es que la predicción se desvía de la realidad, para el tramo de años de calendario [1986-2005]. Evidentemente el modelo regulariza y suaviza la evolución pero sobreestima la evolución de la mortalidad. Ahora bien, estos resultados se obtuvieron para el parámetro estimado k1(t). Veamos lo que sucede si utilizamos en el modelo el parámetro k2(t). Gráficamente se obtienen los siguientes resultados: Gráfico Nº 4. Representación gráfica de los valores correspondientes a la vida media en el origen de edades, aplicando el parámetro k2(t). En la parte superior para el colectivo de hombres y en el inferior para el de mujeres. Vida Media Hombres

Años

Reales

Estimados 55

Años de cale ndario

Vida Media Mujeres

Años

Reales

Estimados 60 55

Años de calendario

Se obtiene el mismo resultado mediante el método de la prueba y el error. 125

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

De esta manera se logra que los valores estimados sigan el curso de los valores reales, tanto en el perido histórico como en el periodo de predicción (en este caso forma parte del back-testing). Durante este periodo lógicamente la predicción sigue una línea suavizada pero casi paralela a los valores de la vida media, en el origen, reales. Se puede concluir, por tanto, que los resultados que se obtienen con el nuevo valor de k(t) son manifiestamente superiores en la calidad de la predicción. Gráfico Nº 5. Representación gráfica de los valores correspondientes a la vida media a los 65 años, aplicando el parámetro k2(t). Pero tomando todo el tramo de edades de la supervivencia de una persona. En la parte superior para el colectivo de hombres y en el inferior para el de mujeres. Vida Media Hombres

e6 5

20 19 18

Años

17 16 15 14 13

Reales

Estimados

11 10

Años de cale ndario

Vida Media Mujeres e6 5 24 22

Años

20 18 16

Reales 14

Estimados 12 10

Años de calendario

126

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

El gráfico anterior muestra bien a las claras que la tendencia que predice el modelo y la tendencia que resultó en la realidad tienen un comportamiento muy similar. Evidentemente, esta tendencia, la que predice el modelo, cambiará conforme cambiamos la amplitud del periodo de calendario. Esto significa que un estudio de mayor profundidad implicaría el cálculo de la optimización del intervalo de años, lo cual no es el objetivo de este trabajo. En cualquier caso hemos constatado que periodos de tiempo muy cortos, como por ejemplo 10 años, no mejora los resultados de la predicción. Tras diferentes simulaciones hemos obtenido los mejores resultados tomando periodos de amplitud entre 20 y 30 años. APLICACIÓN DEL MODELO Por todo lo anterior, hemos elegido para nuestra predicción final el intervalo de datos de calendario [1960-2005]. Con la elección de la fecha inicial salvamos las pequeñas irregularidades de los años 50 y la fecha final porque corresponde a los datos más recientes que hemos podido preparar. La amplitud del periodo es suficiente para lo que pretendemos en este trabajo y para la extensión de la predicción a realizar. En cuanto al intervalo de edades, en principio elegimos todo el horizonte de la vida de una persona, aun habiendo observado que para los primeros años el modelo no ajusta adecuadamente los datos. El horizonte temporal de la predicción la extendemos al periodo [2006-2030]. Creemos que es un periodo aceptable según los años de datos que hemos preparado. El elemento biométrico de la predicción es la vida media, como ya quedó justificado. En principio, en el origen, aunque también analizaremos la vida media a los 65 años por la importancia que tiene en la sociedad este resultado. Una vez preparado el escenario de datos procedemos a la aplicación del modelo en el sentido que hemos dejado de manifiesto en los apartados anteriores. I) Estimación del parámetro ax. Los resultados obtenidos se presentan en forma gráfica a continuación: Gráfico Nº 6. Valores correspondientes al parámetro ax correspondiente a la predicción del modelo para todo el horizonte de edades de una persona y para el periodo 1960-2005. Tanto para el colectivo de hombres como de mujeres.

127

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

Valores del parámetro ax 0,0 -1,0 -2,0

Valores

-3,0 -4,0 -5,0 -6,0

Hombres

-7,0

Mujeres

-8,0 -9,0

Grupos de e dade s

Se puede observar que el parámetro ax captura la incidencia, en el colectivo de hombres, del suceso de fallecimientos por accidentes de tráficos en las edades de los 20 años y superiores. En el colectivo de mujeres la evolución es más suave. El valor de este parámetro permanece constante para todo el periodo de tiempo de calendario contemplado en la predicción. Los valores correspondientes al parámetro ax se presentan en la siguiente tabla. Tabla Nº 1 Valores de a(x) Hombres

Mujeres

-4,293038

-4,978056

-4,518852

-5,739589

-7,349885

-4,529899

-7,537912

-5,331954

-8,017493

-4,068892

-8,355775

-4,855585

-8,044666

-3,608383

-8,430866

-4,331754

-7,156149

-3,124289

-8,003833

-3,725142

-6,782076

-2,637825

-7,780618

-3,096757

-6,655538

-2,161135

-7,546964

-2,492422

-6,471937

-1,710355

-7,267660

-1,939440

-6,218509

-1,317933

-6,945073

-1,479284

-5,858065

-0,966207

-6,562024

-1,060384

-5,427975

-0,680625

-6,149333

-0,722150

-0,458783

-0,465202

II) Estimación del parámetro bx. Los valores resultantes, que se presentan gráficamente, fueron los siguientes:

128

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

Gráfico Nº 7. Representación gráfica del comportamiento del parámetro bx, correspondiente a la predicción del modelo para todo el horizonte de edades de una persona y para el periodo 1960-2005. Tanto para el colectivo de hombres como de mujeres. Valores del parámetro bx 0,70 0,60

Hombres

0,50

Valores

Mujeres 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 -0,10

Grupos de edades

Los valores del parámetro bx muestra una fuerte reducción para las edades [15-30] años, en el colectivo de hombres, consecuencia de la “loma” que presentan los datos para algunos años de calendario. Para los últimos años los resultados se deben tomar con cierta precaución dado que los mismos son menos fiables ya en el origen, al tomar los datos históricos. Los valores correspondientes al parámetro bx se presentan en la siguiente tabla. Tabla Nº 2 Valores de b(x) Hombres

Mujeres

0,617296

0,112942

0,490089

0,184932

0,447926

0,126872

0,367629

0,190787

0,377624

0,148336

0,296503

0,209326

0,282174

0,153620

0,236774

0,212575

0,104789

0,158623

0,132368

0,216507

0,062039

0,147571

0,170193

0,191739

0,056211

0,129577

0,194700

0,147708

0,033682

0,107152

0,176505

0,104196

0,056688

0,061345

0,173893

0,051439

0,090697

0,044996

0,166308

0,026460

0,024245

0,166710

0,096926

0,009316

129

0,001447 -0,013441

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

III) Estimación del parámetro kt. Los valores correspondientes al parámetro k1(t) siguen una evolución bastante regular y decreciente como corresponde a la predicción que buscamos. No obstante como ya hemos podido comprobar, a lo largo de este trabajo, el valor del parámetro k(t) puede ser mejorado utilizando los valores del parámetro k2(t). Para proceder a esta iteración se puede desarrollar una VBA macro. Los valores correspondientes al parámetro k2(t) se presentan en la siguiente tabla. Tabla Nº 3 k2(t) Hombres Año

Valor

Año

Mujeres Valor

Año

Valor

Año

Valor

1960

2,013

2006

-2,527

1960

2,539

2006

-2,827

1961

1,773

2007

-2,623

1961

2,317

2007

-2,923

1962

1,956

2008

-2,720

1962

2,453

2008

-3,020

1963

1,942

2009

-2,816

1963

2,400

2009

-3,116

1964

1,708

2010

-2,913

1964

2,076

2010

-3,213

1965

1,570

2011

-3,010

1965

1,967

2011

-3,310

1966

1,495

2012

-3,106

1966

1,875

2012

-3,406

1967

1,480

2013

-3,203

1967

1,815

2013

-3,503

1968

1,420

2014

-3,299

1968

1,765

2014

-3,599

1969

1,710

2015

-3,396

1969

2,015

2015

-3,696

1970

1,234

2016

-3,492

1970

1,609

2016

-3,792

1971

1,609

2017

-3,589

1971

1,833

2017

-3,889

1972

0,990

2018

-3,686

1972

1,339

2018

-3,986

1973

1,200

2019

-3,782

1973

1,515

2019

-4,082

1974

1,072

2020

-3,879

1974

1,360

2020

-4,179

1975

0,980

2021

-3,975

1975

1,180

2021

-4,275

1976

0,861

2022

-4,072

1976

1,043

2022

-4,372

1977

0,633

2023

-4,169

1977

0,799

2023

-4,469

1978

0,557

2024

-4,265

1978

0,681

2024

-4,565

130

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

1979

0,325

2025

-4,362

1979

0,380

2025

-4,662

1980

0,095

2026

-4,458

1980

0,170

2026

-4,758

1981

0,024

2027

-4,555

1981

0,064

2027

-4,855

1982

-0,312

2028

-4,652

1982

-0,274

2028

-4,952

1983

-0,147

2029

-4,748

1983

-0,084

2029

-5,048

1984

-0,305

2030

-4,845

1984

-0,305

2030

-5,145

1985

-0,195

1985

-0,310

1986

-0,450

1986

-0,510

1987

-0,596

1987

-0,764

1988

-0,568

1988

-0,774

1989

-0,583

1989

-0,888

1990

-0,565

1990

-0,923

1991

-0,634

1991

-1,040

1992

-0,913

1992

-1,408

1993

-0,959

1993

-1,419

1994

-1,170

1994

-1,662

1995

-1,168

1995

-1,732

1996

-1,252

1996

-1,817

1997

-1,501

1997

-2,021

1998

-1,466

1998

-1,969

1999

-1,432

1999

-1,908

2000

-1,848

2000

-2,305

2001

-2,042

2001

-2,549

2002

-2,103

2002

-2,542

2003

-2,057

2003

-2,344

2004

-2,475

2004

-2,876

2005

-2,430

2005

-2,730

Se aprecia con claridad el tramo de la predicción de la tendencia donde la línea es prácticamente recta. Vemos también cómo la tendencia sigue algo similar a lo que hubiéramos obtenido al aplicar una regresión lineal a los valores de los parámetros k2(t) durante el periodo histórico.

131

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

Gráfico Nº 8. Representación gráfica de la suma de los valores residuales tomados en valor absoluto para grupos de edades, durante el proceso de predicción. Tanto para hombres como para mujeres aplicando los valores del parámetro k2(t), por grupos de edades.

Sumas de diferencias en valor absoluto

Sumas

1,20 1,00

Hombres

0,80

Mujeres

0,60 0,40 0,20

95-99

100-104

90-94

85-89

80-84

75-79

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

15-19

5-9

10-14

1-4

0,00

Grupos de edades

Con el objeto de seguir los pasos marcados en la primera parte del trabajo, procedimos a contrastar la bondad del ajuste de los tantos centrales de mortalidad a través de la suma de los valores residuales, en valor absoluto, para el tiempo de calendario [1960-2005], tanto para el colectivo de hombres como de mujeres. Los resultados obtenidos son más que aceptables entre los 5 y los 75 años y bastante aceptables hasta los 90 años. Gráfico Nº 9. Representación gráfica de la suma de los valores residuales tomados en valor absoluto para el periodo 1960-2005. Tanto para hombres como para mujeres aplicando los valores del parámetro k2(t), por años de calendario. Sumas de diferencias en valor absoluto 0 ,20 0 0 0 ,18 00 0 ,16 00

Hombres Mujeres

Sumas

0 ,14 00 0 ,12 00 0 ,10 00 0 ,08 0 0 0 ,06 0 0 0 ,04 0 0 0 ,02 0 0 0 ,00 0 0

Años de calendario

132

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

Si mostramos la comparación, por años de calendario, el resultado sigue siendo aceptable, tanto para el colectivo de hombres como el de mujeres. Se observa que el resultado mejora conforme se avanza en el tiempo de calendario. Si realizamos el contraste a través de la vida media en el orígen, en vez de en base a los tantos centrales de mortalidad, lo que por otra parte es el objetivo último de este trabajo, vemos que la tendencia entre los valores reales y los estimados está muy próxima para todo el horizonte histórico [1960,2005], Se observa, a su vez, que la tendencia, según este modelo (y también se aprecia visualmente) es de mejora continuada pero menos que proporcionalmente. Lo cual significa que se prevé que la mejora continuará pero atenuándose.

Gráfico Nº 10. Representación gráfica de los valores de la vida media en el origen de edades, para el periodo 1960-2005 y para el periodo de predicción 2006-2030. Tanto para el colectivo de hombres como para el de mujeres. Valores de la vida media e0 90,00

Valores

85,00

80,00

75,00

Hombres

70,00

Mujeres 65,00

Hombres reales 60,00

Mujeres reales Años de calendario

Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

133

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

Tabla Nº 4

e0 Hombres Años

Valores

Años

Mujeres Valores

Años

Valores

Años

Valores

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983

67,0347 67,8486 67,2333 67,2815 68,0572 68,4897 68,7177 68,7627 68,9410 68,0508 69,4754 68,3693 70,1390 69,5703 69,9204 70,1653 70,4743 71,0435 71,2271 71,7706 72,2863 72,4413 73,1508 72,8071

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029

77,1656 77,3231 77,4796 77,6350 77,7894 77,9428 78,0953 78,2469 78,3975 78,5473 78,6962 78,8442 78,9914 79,1377 79,2832 79,4280 79,5719 79,7151 79,8575 79,9991 80,1400 80,2801 80,4195 80,5582

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983

72,0016 72,7280 72,2869 72,4604 73,4844 73,8155 74,0901 74,2668 74,4126 73,6705 74,8597 74,2140 75,6064 75,1234 75,5495 76,0310 76,3884 77,0063 77,2970 78,0158 78,4991 78,7376 79,4749 79,0647

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029

84,1071 84,2552 84,4015 84,5462 84,6892 84,8305 84,9702 85,1083 85,2449 85,3798 85,5133 85,6452 85,7756 85,9045 86,0319 86,1579 86,2825 86,4057 86,5274 86,6478 86,7668 86,8845 87,0009 87,1159

1984

73,1364

2030

80,6961

1984

79,5408

2030

87,2296

1985 1986 1987 1988 1989

72,9080 73,4318 73,7232 73,6678 73,6969

1985 1986 1987 1988 1989

79,5515 79,9699 80,4855 80,5054 80,7304

134

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

73,6618 73,7977 74,3369 74,4240 74,8176 74,8139 74,9672 75,4174 75,3549 75,2940 76,0258 76,3580 76,4613 76,3834 77,0815

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

80,7995 81,0265 81,7185 81,7387 82,1777 82,3016 82,4514 82,8022 82,7134 82,6086 83,2770 83,6719 83,6607 83,3409 84,1831

2005

77,0069

2005

83,9573

Veamos ahora los resultados cuando nos fijamos en la vida media a los 65 años. En este caso los resultados no son tan satisfactorios. Ello es debido a que para estimar esta magnitud biométrica hemos considerado todo el colectivo de edades de las personas. Gráfico Nº 11. Representación gráfica de los valores de la vida media a los 65 años, para el periodo 1960-2005 y para el periodo de predicción 2006-2030, cuando se toma para los cálculos todo el horizonte de edades de una persona. Tanto para el colectivo de hombres como para el de mujeres.

Valores de la vida media e6 5 24,00 22,00

Valores

20,00 18,00 16,00

Hombres 14,00

Mujeres

12,00

Hombres reales

10,00

Mujeres reales Años de calendario

135

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

En efecto si realizamos de nuevo todos los cálculos pero considerando ahora, solamente el colectivo total de personas con edades superiores a los 65 años, los resultados mejoran considerablemente. Los valores residuales son ahora despreciables y los valores de la esperanza matemática de vida resultan muy aceptables. Estos últimos resultados se presentan, de forma gráfica y tanto para el colectivo de hombres como de mujeres, en el siguiente gráfico: Gráfico Nº 12. Representación gráfica de los valores de la vida media a los 65 años, para el periodo 1960-2005 y para el periodo de predicción 2006-2030, cuando se toma para los cálculos al colectivo de personas con edades superiores a los 65 años. Tanto para el colectivo de hombres como para el de mujeres.

Valores de la vida media e65 25,00 23,00 21,00

Valores

19,00 17,00 15,00

Hombres Mujeres Hombres reales Mujeres reales

13,00 11,00 9,00 7,00

19 60 19 63 19 66 19 69 19 72 19 75 19 78 19 81 19 84 19 87 19 90 19 93 19 96 19 99 20 02 20 05 20 08 20 11 20 14 20 17 20 20 20 23 20 26 20 29

5,00

Años de calendario

Una vez que los valores estimados de los parámetros gozan de nuestra confianza, la obtención de los valores correspondientes a los tantos centrales de mortalidad y por ende los correspondientes a los tantos anuales de mortalidad y demás magnitudes biométricas son muy simples para los actuarios, e incluso para aquellas personas con escasos niveles de conocimientos biométricos. Los resultados presentados en forma de tabla son los siguientes:

136

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

Tabla Nº 5 E65 Hombres Años

Valores

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

12,9502 13,4262 12,8613 12,9365 13,2553 13,3281 13,3347 13,3645 13,3115 12,8711 13,5772 12,8711 13,7509 13,3877 13,5306 13,6873 13,7499 14,0531 14,1779 14,4963 14,6833 14,7668 15,1580 14,9460 15,1991

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

15,0075 15,3670 15,5729 15,5661 15,6588 15,6141 15,7481 16,1125 16,0712 16,3326

Mujeres

Años 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

Valores

Años

17,5071 17,6045 17,7017 17,7988 17,8958 17,9927 18,0895 18,1860 18,2825 18,3788 18,4749 18,5709 18,6666 18,7622 18,8577 18,9529 19,0479 19,1428 19,2374 19,3318 19,4260 19,5200 19,6137 19,7073 19,8005

137

Valores

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

15,2036 15,6982 15,2246 15,2521 15,8180 15,8532 15,9809 16,0287 15,9825 15,5518 16,1385 15,7219 16,4755 16,0924 16,3050 16,5605 16,7227 17,0537 17,2236 17,6576 17,8840 18,0158 18,4568 18,1559 18,6057

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

18,4116 18,7131 19,0887 19,0944 19,2189 19,2527 19,3984 19,8529 19,8475 20,1437

Años 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030

Valores 21,3014 21,4108 21,5192 21,6267 21,7332 21,8388 21,9435 22,0472 22,1500 22,2518 22,3527 22,4527 22,5517 22,6499 22,7471 22,8434 22,9388 23,0332 23,1268 23,2195 23,3113 23,4022 23,4922 23,5813 23,6695

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

16,3360 16,4048 16,5698 16,4392 16,3979 16,9097 17,0914 17,1360 17,0400 17,5326 17,4097

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

20,2130 20,3083 20,5049 20,3951 20,3136 20,7809 21,0516 21,0240 20,7912 21,3853 21,1911

CONCLUSIONES A la vista de los gráficos presentados anteriormente se observa que el modelo proporciona unos buenos resultados de la predicción de la esperanza matemática de vida al nacimiento, cuando se elige adecuadamente el colectivo que formará parte de la base de datos a partir de la cual se va a realizar la predicción de la mortalidad hacia el futuro, según el modelo LeeCarter. Se observa también que una regresión lineal sería una buena estimación hacia el futuro. No obstante el modelo predice que la evolución de la vida media será creciente pero a un ritmo ligeramente inferior al proporcional. El modelo no proporciona los mismos resultados en cuanto a la esperanza matemática de vida a partir de los 65 años, cuando se toma en consideración todo el grupo de edades desde la edad inicial hasta la edad límite superior biométrico. Con el objeto de mejorar la predicción de este colectivo de personas hemos creado otra base de datos incluyendo en el modelo, para los mismos periodos de tiempo de calendario, información correspondiente a las personas con edades iguales o superiores a los 65 años. Como ya quedó indicado, esto afecta claramente a los valores de los parámetros. Pero procediendo mediante la misma metodología que para el colectivo total, hemos obtenido los nuevos valores de los parámetros. Evidentemente los valores residuales son ahora muy inferiores a cuando tomamos todo el colectivo de edades y en cuanto a la predicción de la esperanza matemática de vida los resultados que hemos obtenido son muy satisfactorios.

138

Amancio Betzuen - Anales 2010 /111-140

En cualquier caso, nosotros creemos que para obtener buenos resultados con este modelo, se requiere estudiar con detalle, previamente, la información disponible e incluso realizar una serie de simulaciones previas sobre el comportamiento del modelo. Es importante elegir con acierto el intervalo de tiempo de calendario histórico. Un estudio en profundidad nos llevaría a una aplicación de tipo de programación matemática, pero pensamos que tampoco es necesario tal nivel de precisión teniendo en cuenta el escenario en el que se van a aplicar los resultados. También es conveniente tener en cuenta la amplitud del intervalo de edades a incluir en el modelo. Cuando se trata de un colectivo de personas y lo que se trata es de predecir la mortalidad futura, es preciso limitarse al conjunto de edades para los que se va aplicar el producto de seguro. Pues como hemos visto se gana de forma importante en la calidad de la predicción. Creemos que una de las fortalezas del modelo Lee-Carter es que una vez que hemos estimado los valores de los parámetros (vectores) aˆ x , bˆx y kˆt para su predicción, es suficiente con analizar la evolución del índice kˆt . En sus orígenes, Lee-Carter utilizaron para su predicción un modelo de series de tiempo univariante estandar como es el ARIMA(0,1,0) (12).

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS BETZUEN, Amancio (1999). “Una predicción de los tantos de mortalidad general” ANALES. Tercera época. Nº 5. Madrid. BETZUEN, Amancio (2000). “Una estimación de la tendencia de la mortalidad abreviada futura a través de la evolución de los parámetros”. V Congreso Nacional y III Hispano-Italiano. Universidad del país Vasco. Tomo I. Bilbao. BETZUEN, Amancio (2008). “Un analisis de la prediccion de la mortalidad aplicando el modelo Lee-Carter “. I Congreso Ibérico de Actuarios. Lisboa. BETZUEN, Amancio (2009). “La evolución y prediccion de la mortalidad en la Peninsula Ibérica según el modelo Lee-Carter”. II Congreso Ibérico de Actuarios. Bilbao. CARTER, L.R. and Prskawetz, A. (2001) “Examining Structural Shift in Mortality Using the Lee-Carter Method”.

Para otro conjunto de valores, otro tipo de modelo ARIMA resultaría más adecuado que el anterior. De ahí la necesidad del análisis. 139

Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la – Anales 2010 /111-140

LEE, R.D., CARTER, L.R. (1992) “Modelling and Forecasting U.S. Mortality”. Journal of the American Statistical Association 87. 659-671. LEE, R.D.and MILLER Timothy. (2000) “Evaluating thr Performance of Lee-Carter Mortality Forecasts”. RENSHAW A. and HABERMAN S. (2003) “Lee-Carter Mortality Forecasting with Age Specific Enhancement”. Insurance: Mathematics & Economics. Vol. 33. WILMOTH J (1993). “Computational methods forfilling and extrapolating the Lee-Carter model of mortality change”. Departament of Demography. University of California. Berkeley. WOHLFART, Peter (2006). “Mortality Predictions for Longevity Analysis and Annuity Valuations”.

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VALORACIÓN ACTUARIAL DEL PERJUICIO ECONÓMICO FUTURO DERIVADO DE LOS ACCIDENTES DE TRÁFICO Mercedes Ayuso Gutiérrez†, Lluís Bermúdez Morata± y Miguel Santolino Prieto†1 Abstract The compensation for future economic damages is usually awarded by Spanish courts as a lump sum in motor accidents. The assessment of damages is made according to a legal scale which is in force since 1995. Following the English experience, we propose an actuarial method to estimate the compensation for a stream of future losses as a lump sum which is updated to the date of settlement. We develop the methodology to estimate the life expectancy and the work life expectancy to compute future care expenses and loss of future earnings, respectively. The inclusion of labour reduction factors is discussed. Keywords Personal injury compensation, future care expenses, loss of future earnings, life expectancy, work life expectancy, multiple-state Markov model.

Resumen Los tribunales españoles normalmente determinan la compensación por el perjuicio económico futuro derivado de accidentes de circulación mediante un único pago. La evaluación de los daños se hace de acuerdo al baremo de indemnizaciones, vigente desde 1995. Siguiendo la experiencia inglesa, proponemos un método actuarial para estimar la compensación por pérdidas económicas futuras teniendo en cuenta su actualización a la fecha de liquidación. Desarrollamos la metodología para estimar la esperanza de vida y la esperanza de vida laboral a utilizar en el cálculo de los gastos futuros de 1

Autor para correspondencia: msantolino@ub.edu

†

Dpto. Econometría, Estadística y Economía Española, RISC-IREA (mayuso@ub.edu); ± Dpto. Matemática Financiera y Actuarial, RISC-IREA (lbermudez@ub.edu); Universitat de Barcelona, Av. Diagonal, 690, 08034 Barcelona. Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación/Feder (ECO2008-01223 y SEJ2007-63298). Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 3 de junio de 2010.

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

cuidado de la víctima, y de su pérdida de ingresos. Se analiza la inclusión de factores de riesgo laboral. Palabras clave Compensación por daños personales, gastos futuros de cuidados, pérdida futura de ingresos, esperanza de vida, esperanza de vida laboral, modelo de Markov multiestado.

1. Introducción La aprobación de la Ley 21/2007, de 11 de julio, por la que se modifica el Texto Refundido de la Ley sobre Responsabilidad Civil y Seguro en la Circulación de Vehículos a Motor (aprobado por el Real Decreto Legislativo 8/2004, de 29 de octubre) ha comportado la elevación de los límites de cobertura del seguro obligatorio del automóvil en España, pasando a ser de 70 millones de euros por siniestro. Estos cambios normativos han acelerado el debate sobre la necesidad de reformar el actual Sistema para la Valoración de los Daños y Perjuicios Causados a las Personas en Accidentes de Circulación, conocido popularmente como baremo de indemnizaciones. Este baremo, vigente desde 1995, es de obligada aplicación para la cuantificación de la indemnización a otorgar a una víctima de tráfico por el perjuicio (económico y no económico) derivado del daño corporal sufrido. Uno de los aspectos del actual baremo de indemnizaciones sobre el que existe un amplio consenso en la necesidad de ser revisado, es el relativo a la valoración económica de la indemnización a otorgar por los perjuicios económicos futuros (Xiol-Ríos, 2008; Medina, 2007). Por perjuicio económico futuro entendemos todo daño económico que se deriva del accidente, y que en el momento de la valoración de la indemnización económica aún no se ha materializado. Entre los perjuicios económicos futuros están los costes que la víctima deberá afrontar y los ingresos que dejará de percibir como consecuencia del accidente. Sin lugar a dudas, por su dimensión, uno de los costes futuros más relevantes es aquel que aparece cuando el accidente ha producido en la víctima una situación de dependencia, por la cual necesitará ayuda de una tercera persona para la realización de las actividades básicas de la vida diaria durante el resto de su vida. En relación a la pérdida de ingresos futuros, cabe destacar aquella que se produce cuando el accidente genera en la víctima una situación de invalidez laboral permanente o de gran invalidez. Ambos

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Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino – Anales 2010 /141-160

perjuicios económicos suponen un flujo constante de cuantías económicas, hasta la muerte (en el caso de la dependencia) o hasta la jubilación (en el caso de la invalidez laboral). En este artículo planteamos una metodología estadístico-actuarial que permite estimar el valor actual de un flujo futuro de gastos y/o de pérdida de ingresos. Para desarrollarla, hemos tenido en cuenta la experiencia de países de nuestro entorno en la aplicación de técnicas actuariales para el cálculo del perjuicio económico futuro a soportar por la víctima. En particular, describimos el modelo de multiplicador-multiplicando que se utiliza en el Reino Unido (Butt et al., 2006; 2008). Posteriormente, discutimos la posibilidad de desarrollar una metodología similar para la valoración de los perjuicios económicos en España, que tenga en cuenta el riesgo de fallecimiento y de mercado laboral propios de nuestro país. Toda alternativa al actual sistema de valoración de daños debe estar suficientemente justificada. En este artículo se reflexiona sobre las ventajas de aplicar un sistema basado en criterios actuariales para la valoración del perjuicio económico futuro. No obstante, es deseable que la justificación metodológica presentada esté acompañada de un análisis del impacto económico que representa para el conjunto de la sociedad y, en particular, para el sector asegurador. Hasta la fecha existe poca literatura que haya cuantificado el impacto de la modificación del baremo en nuestro país. En este sentido, este trabajo se complementa con el desarrollado por Ayuso et al. (2010). En él se analizan las diferencias que existirían en el nivel de indemnizaciones otorgadas por el perjuicio económico futuro si éstas son cuantificadas bajo el baremo de indemnizaciones español o bajo el sistema inglés de reglas presuntivas. De forma más amplia, en Bermúdez et al. (2009) se estima el impacto económico que supondría la aplicación de diferentes incrementos en las indemnizaciones otorgadas por los daños morales producidos, teniendo en cuenta la estructura actual de costes de las compañías aseguradoras. La estructura del artículo es la siguiente. En el apartado 2 se detalla el funcionamiento del sistema de valoración del perjuicio económico futuro que se utiliza en el Reino Unido. A continuación, se describe el modelo de incrementos-decrementos de la fuerza laboral que se utiliza para el cálculo de la esperanza de vida laboral en este país. En el apartado 3 se describe la metodología para el cálculo de la esperanza de vida en España y se analiza la implementación de un modelo de incrementos-decrementos para la estimación del número esperado de años en los que la víctima sufrirá la

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

pérdida de ingresos. Finalmente, en el apartado 4 se resumen las principales conclusiones obtenidas en el estudio.

2. La valoración de los perjuicios económicos futuros en el Reino Unido El derecho inglés, en el ámbito de los accidentes de tráfico, utiliza el criterio de responsabilidad civil, por lo que toda persona lesionada por culpa de un tercero tiene derecho a recibir una compensación por los daños sufridos. Tradicionalmente, los tribunales ingleses otorgan a la víctima una indemnización por el perjuicio económico futuro y sólo, excepcionalmente, sustituyen la indemnización por la constitución de una renta. Para la cuantificación de la indemnización, las cortes inglesas aplican un conjunto de reglas presuntivas, es el denominado método del multiplicadormultiplicando (multiplier-multiplicand method). El multiplicando es una estimación anual de las pérdidas futuras, mientras que el multiplicador es una estimación del número de años que deben ser pagadas estas pérdidas. Este método consiste en calcular el producto de ambos conceptos. El método es aplicable tanto para el cálculo de la pérdida de ingresos, como para el cálculo de los gastos de curación o cuidado. En el caso de la valoración de la pérdida de ingresos, el multiplicando es la diferencia entre los ingresos netos anuales que la víctima percibía antes de la lesión y los que obtiene después de la lesión. Si en el momento del accidente no percibía ingresos, se le imputa una cantidad teniendo en cuenta los ingresos medios laborales. En la estimación de los ingresos post-lesión normalmente se toman en cuenta los ingresos medios del grupo profesional para el que las Cortes consideran que la víctima es apta. Aunque pueden aplicarse diferentes multiplicandos para tener en cuenta incrementos salariales potenciales, las Cortes raramente consideran esta opción (Lewis et al., 2003). Cuando se pretende calcular la indemnización por los gastos futuros, el multiplicando consiste en el coste anual que supondrá recibir la prestación. Los multiplicadores se elaboran por el Departamento Gubernamental de Actuarios y se presentan en un conjunto de tablas actuariales que se publican periódicamente (GAD, 2007). En el cálculo del multiplicador se tiene en cuenta la edad del individuo, su género, la tasa de actualización del flujo, así cómo factores de riesgo laboral. En las siguientes secciones describimos las técnicas estadístico-actuariales que se utilizan para el cálculo de las tablas, diferenciando entre los multiplicadores a aplicar para la valoración de los gastos, y aquéllos que se utilizan para cuantificar la pérdida de ingresos. Para

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Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino – Anales 2010 /141-160

un análisis en profundidad del sistema legal de valoración inglés y de la estructura de las tablas, véase Ayuso et al. (2010).

2.1 Multiplicador para los gastos futuros. La esperanza de vida Los multiplicadores para gastos futuros se utilizan para calcular el valor actual de un coste que se genera inmediatamente después del accidente y que continuará durante el resto de la vida de la víctima. En esta sección analizamos cómo estimar el número esperado de años que la víctima de edad x deberá soportar este coste. El único riesgo que se considera es el de fallecimiento, por lo que la cuestión a tratar se reduce a calcular la esperanza de vida del individuo hasta el fallecimiento, que definimos como ex . El cálculo de ex se obtiene como la esperanza matemática de la variable aleatoria vida residual T(x), donde T(x) es la diferencia entre la variable aleatoria edad de fallecimiento X y la edad actual del individuo, T(x)= X-x.

ex = E[T ( X )] = ∫

ω−x

t · t px ·μ x +t dt = ∫

ω−x

px dt ,

(1)

donde ω es el infinito actuarial, t px es la probabilidad de que un individuo de edad x llegue vivo a la edad x + t y μ x + t es el tanto instantáneo de mortalidad a la edad x + t. En la práctica, normalmente, las probabilidades de supervivencia se calculan para valores de t enteros, t=1,2,…. Si aceptamos que los fallecimientos se distribuyen uniformemente a lo largo del año2, la expresión desarrollada en (1) puede ser aproximada mediante el siguiente sumatorio,

1 ω − x −1 ex = + ∑ t p x , 2 t =1

(2)

donde el cambio de notación para la esperanza de vida, ex , hace referencia a la denominada esperanza de vida completa. El multiplicador por los gastos futuros se calculará como el valor actual de una renta anual unitaria condicionada a la supervivencia del individuo, por lo que la esperanza de vida debe incluir el correspondiente factor de descuento 2 La hipótesis de uniformidad intraanual de las defunciones es comúnmente aceptada en los modelos actuariales (Ayuso et al., 2006).

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

v. De este modo, la esperanza de vida definida en (2) es el multiplicador para una tasa de descuento nula, siendo para otras tasas igual a:

ex , v =

1 ω − x −1 + ∑ t px ·v t , 2 t =1

(3)

v=1/(1+r), con r el tipo de interés anual. En el Reino Unido se utiliza un tipo de interés anual3 del 2,5%. Para un análisis en profundidad de las diferentes funciones biométricas, véase Ayuso et al. (2006).

2.1.1 Factores de riesgo La estimación de la esperanza de vida de los individuos en el Reino Unido se realiza a partir de las proyecciones de población del censo nacional (GAD, 2004). En su cuantificación, como factores de riesgo, únicamente se tienen en cuenta la edad y el género de las personas. Los multiplicadores se presentan desagregados en las tablas para un rango de tipos de interés anuales del 0% al 5%. En el cálculo de la esperanza de vida es necesario establecer hipótesis sobre el comportamiento en mortalidad de las personas discapacitadas y de las no discapacitadas. Mientras que en diferentes estudios (Albarrán et al., 2005; Palloni et al., 2005; Artís et al., 2007) se asume la existencia de un diferencial de mortalidad entre la población discapacitada y la no discapacitada4, otros trabajos consideran la misma probabilidad de fallecimiento para las personas activas y discapacitadas de cualquier edad (Ramlau-Hansen, 1991), en línea con el modelo danés analizado por Haberman y Pitacco (1999). Esta última hipótesis de probabilidad de fallecimiento igual para personas activas y discapacitadas es la utilizada en el tratamiento realizado en el Reino Unido (GAD, 2007) que sirve de base para el presente artículo.

2.2 Multiplicador para la pérdida de ingresos. La esperanza de vida laboral Los multiplicadores por la pérdida de ingresos se utilizan para calcular el valor actual de los ingresos que la víctima dejará de percibir a lo largo de su 3 4

Es la tasa de interés recomendada por Lord Cancellor en junio de 2001 (GAD, 2007). Calculada en base a información empírica obtenida de la (SOA 2002).

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Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino – Anales 2010 /141-160

vida laboral como consecuencia del accidente. El objetivo es estimar la Esperanza de Vida Laboral (EVL) del individuo. Por EVL entendemos el número medio de años que trabajará una persona en edad activa hasta su salida del mercado laboral, ya sea por jubilación o fallecimiento. Esta medida, además del riesgo de fallecimiento, tiene en cuenta el riesgo del mercado laboral. Es decir, el riesgo de no trabajar continuamente hasta la jubilación. Desde un punto de vista actuarial, la EVL se puede obtener mediante la aplicación de un modelo de Markov con múltiples estados (ver Haberman y Pitacco, 1999). La metodología descrita en esta sección está desarrollada en Butt et al. (2006, 2008). En concreto, para el cálculo de la compensación por pérdida de ingresos, la metodología puede reducirse a un modelo de Markov con dos estados laborales5 Sx={1, 2}, siendo Sx=1 el estado en el que el individuo de edad x está trabajando y Sx=2 si no está trabajando. Bajo la hipótesis que la probabilidad de supervivencia de un individuo es independiente del estado laboral en el que se encuentre, la EVL para un individuo de edad x, que definiremos como w , puede estimarse como la integral del producto de la probabilidad de transición por la probabilidad de supervivencia. Como el objetivo es calcular el número esperado de años que el individuo estará trabajando hasta su jubilación, únicamente nos interesan las transiciones hacia el estado laboral 1, tp −x

para i=1 o i=2, donde

wxi1 = ∫

tp −x

pxi1 · t px dt ,

(4)

pxi1 es la probabilidad temporal de transición del

estado i al estado 1 de un individuo de edad x,

px es la probabilidad

temporal de supervivencia y t p es la edad de jubilación. Para valores discretos en el tiempo, si se asume uniformidad en los fallecimientos anuales, la expresión (4) puede ser aproximada mediante,

tp −x

w = i1 x

pxi1 + t p − x pxi1 · t p − x px 2

t p − x −1

∑ t =1

pxi1 · t px ,

(5)

5 Véase Butt et al. (2006) para un desarrollo metodológico con tres estados; ‘ocupado’, ‘parado’ e ‘inactivo’.

147

Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160 21 donde los valores en el límite son 0 p11 expresión x = 1 y 0 p x = 0 . La obtenida en (5) es el multiplicador para una tasa de descuento nula, por lo que se ha de actualizar para tener en cuenta la anticipación en el cobro,

t −x

tp −x

i1 x ,v

pxi1 + t p − x pxi1 · t p − x px ·v p 2

t p − x −1

∑ t =1

pxi1 · t px ·vt .

(6)

Las tablas publicadas en el Reino Unido presentan el multiplicador básico por pérdida de ingresos, el cual tiene en cuenta únicamente el riesgo de fallecer antes de la edad de jubilación. Este multiplicador básico posteriormente se ha de multiplicar por el factor reductor del riesgo de mercado laboral. Del producto de ambos se obtiene el multiplicador total por pérdida de ingresos.

2.2.1 Probabilidades de transición Una vez definida la metodología para el cálculo de la esperanza de vida laboral, se debe calcular la probabilidad temporal de transición del estado i al estado 1. Para ello, Butt et al. (2008) proponen dos alternativas. La primera aproximación permite estimar las probabilidades de empleo según la edad del individuo basadas en las transiciones anuales entre los dos estados,

pxi1−1 = nxi1−1 / nxi −1

(7)

donde i={1,2}, pxi1−1 = 1 pxi1−1 , nxi1−1 es el número total de personas que pasan del estado i al estado 1 entre x-1 y x, y nxi −1 es el número total de individuos de edad x-1 en el estado laboral i. Un análisis detallado de esta metodología puede consultarse en Alter y Becker (1985). Para estimar las probabilidades definidas en (7), los autores utilizan datos de sección cruzada, donde los encuestados son preguntados por su estado laboral actual y en el que se encontraban doce meses antes. Esta metodología tiene la ventaja de simplicidad y transparencia pero, por el contrario, también presenta algunas debilidades como la posibilidad de errores de clasificación al recogerse información de forma retrospectiva. Es decir, que el encuestado no recuerde con precisión cuál era su situación laboral para el periodo que se le pregunta.

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Para superar esta deficiencia, los autores proponen una segunda metodología para datos longitudinales que permita estimar las probabilidades de transición. Esta metodología se basa en la estimación empírica de las intensidades de transición entre estados para las diferentes edades,

μ xij = nxij / Exi

para∀i ≠ j ,

(8)

para i={1,2} y j={1,2}, donde nxij es el número total de personas que pasan del estado i al estado j entre x y x+1, y Exi indica el tiempo esperado total en el estado i para todos los individuos de edad x. Supongamos que las observaciones tienen una periodicidad inferior a la anual, donde A es el número de periodos dentro de un año (4 si son datos trimestrales, 2 si son semestrales, etc.). Además, asumimos que tanto la fecha de nacimiento de los individuos como las transiciones entre estados se distribuyen uniformemente dentro del periodo6. El tiempo esperado total en el estado i para la edad x quedará definido como,

Exi =

1 2 A ij nx , x (a ) + nxji, x (a ) + nxij, x +1 (a ) + nxji−1, x (a)} { ∑∑ 2 A j =1 a =1

donde a es el periodo considerado (a = 1, … , A) , nxij, x (·) es el número total de transiciones del estado i al estado j para la edad x, nxji, x (·) es el número total de transiciones del estado j al estado i para la edad x, nxij, x +1 (·) es el número total de transiciones del estado i al estado j entre la edad x y x+1, y nxji−1, x (a ) es el número total de transiciones del estado j al estado i entre x-1 y x. Una vez estimadas las intensidades de transición, las probabilidades temporales de transición se derivan fácilmente. En concreto, para individuos vivos a la edad x, se cumple la siguiente igualdad (en notación matricial),

Px = pxij = exp(M x ) donde M x = μ xij . Un análisis de la metodología se presenta en Butt et al. (2006). Para un análisis de las intensidades de transición y, más ampliamente, de los procesos de Markov, véase Haberman y Pitacco (1999). 6 De esta forma asumimos que los cambios de estado se producen en el punto medio del intervalo considerado.

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2.2.2 Factores de riesgo laboral Los datos para la estimación del riesgo laboral en el mercado inglés están disponibles a partir de la Labour Force Survey7, publicada por la Office for National Statistics y que, con periodicidad trimestral, recoge las características socio-económicas y laborales de una muestra rotatoria de 60.000 familias. Este diseño de la encuesta permite analizar la información a partir de observaciones de sección cruzada. No obstante, desde 1993 la muestra se divide en cinco olas (o cohortes) de igual tamaño en las que los individuos son entrevistados durante cinco periodos consecutivos. Así, la encuesta también permite capturar información dinámica del mercado laboral. La investigación llevada a cabo por Butt et al., (2006, 2008) demuestra que los factores con influencia sobre el valor esperado del número de años que trabajará una persona en edad activa hasta su salida del mercado laboral son: • • •

•

El género. Las mujeres tienen una menor esperanza de vida laboral (p.ej. pasan periodos fuera del mercado laboral debido a la maternidad). El estado laboral en el que se encuentran al inicio. Las personas desempleadas o inactivas al inicio del periodo estudiado tienen un mayor riesgo de mercado laboral. Si la persona sufre una discapacidad. Se definen dos estados: discapacitado o no discapacitado, siendo discapacitado todo aquel que sufre una enfermedad de larga duración (más de un año), o que tiene limitaciones para llevar a cabo las actividades básicas de la vida diaria. Los resultados demuestran que los discapacitados tienen una menor esperanza de vida laboral en comparación a los no discapacitados (p.ej. periodos fuera del mercado laboral para recuperación o por agravación o recaída de la enfermedad). El nivel educativo. Se consideran 3 grados: sin estudios-estudios primarios, estudios medios, estudios universitarios. En promedio, los que tienen un mayor nivel educativo tienen un menor riesgo laboral.

También estudiaron la influencia de otros factores como el sector industrial, la profesión, el área geográfica o los niveles de actividad económica de la región. Los autores demostraron que, una vez controlado por el nivel educativo, estos factores no tenían un efecto significativo en la esperanza de vida laboral. 7

http://www.statistics.gov.uk/

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3. Aplicación para el caso español En la actualidad está siendo objeto de estudio una posible reforma del sistema de valoración de las indemnizaciones por daños personales derivados de accidentes de tráfico (Bermúdez et al., 2009). En esta sección discutimos la posibilidad de implementar en España un sistema similar al método del multiplicador-multiplicando inglés para la valoración económica del perjuicio económico futuro. Concretamente, se describen las tablas y bases de datos que pueden ser utilizadas para la estimación del riesgo de fallecimiento y del riesgo laboral específicos para España. Posteriormente, a modo de ejemplo, mostramos dos escenarios en los que se estima la esperanza de vida y la esperanza de vida laboral para el mercado español y se cuantifica la indemnización que se debería otorgar por el perjuicio económico futuro siguiendo esta metodología.

3.1 Datos y metodología El multiplicador por gastos representa la esperanza de vida (afectada por un factor de descuento financiero) para un individuo de edad x, y refleja el número esperado de años que la víctima soportará los costes generados por el accidente. En este sentido, el multiplicador por gastos será necesario cuantificarlo cuando el individuo presente una discapacidad a consecuencia del accidente. Por tanto, un primer paso debe consistir en reflexionar sobre el riesgo de mortalidad de las personas discapacitadas. En este punto cobra especial importancia la discusión existente sobre la probabilidad de muerte de las personas discapacitadas y no discapacitadas. Tradicionalmente en España se han utilizado tablas como las EVK80 (o su actualización) para modelizar el comportamiento biométrico de las personas inválidas, pero en este caso el intervalo de edades es únicamente el de la vida activa (limitado por tanto a los 65 años de edad), por lo que no pueden ser utilizadas aquí. El cálculo de tablas para la población general discapacitada en España, que tenga en cuenta todo el rango de edades, requiere de información sobre el comportamiento en mortalidad de las personas dependientes. A tal efecto, en la Orden TAS/4054/2005, de 27 de diciembre, por la que se desarrollan los criterios técnicos para la liquidación de capitales, coste de pensiones y otras prestaciones periódicas de la Seguridad Social, podemos hallar las tablas de mortalidad que figuran como Anexos I a V, elaboradas en base a la propia experiencia del Sistema y bajo la denominación de «Tablas de Mortalidad de Pensionistas de la Seguridad Social 2000». Concretamente, la tabla del Anexo II se refiere a la mortalidad

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

del colectivo pensionista que presenta incapacidad permanente. En este trabajo, consideraremos esta tabla de mortalidad como la mejor aproximación a la que sería la tabla para la población general discapacitada en España. En el planteamiento que realizamos en el apartado 2, discutimos la posibilidad de asumir que la vida residual de la población discapacitada tenga el mismo comportamiento probabilístico que la de la población en general, en línea con otros trabajos ya comentados a lo largo del artículo (Ramlau-Hansen, 1991; Haberman y Pitacco, 1999). En este trabajo, para mostrar este escenario, utilizaremos las tablas GRM/F-95 de experiencia Suiza para la población general masculina/femenina, recomendadas por la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones. Del mismo modo, para el cálculo de la esperanza de vida también podrían aplicarse las tablas de supervivencia (PERM/F-2000), publicadas por la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones8 (DGSFP). Estas tablas se basan en la experiencia nacional de mortalidad y son de obligada utilización por las compañías aseguradoras en nueva producción de seguros de vida. Además, son las primeras tablas dinámicas, es decir, que incorporan en las proyecciones de mortalidad el efecto de la creciente longevidad de la población española. En relación al multiplicador por la pérdida de ingresos, de forma similar a Butt et al. (2008), para el cálculo de la esperanza de vida laboral, asumimos que el riesgo de fallecimiento no depende del estado laboral en el que se encuentre el individuo (ocupado o no ocupado). El supuesto de independencia permite que, en la estimación del riesgo de fallecimiento, puedan aplicarse las mismas tablas que las utilizadas para la cuantificación del multiplicador por gastos. Esta hipótesis se deriva, en parte, de las bases de datos existentes, ya que normalmente aquellas que ofrecen información del mercado laboral español no recogen información respecto a la mortalidad de sus participantes. La estimación del riesgo de mercado laboral se puede realizar a partir de la Encuesta de Población Activa (EPA), publicada por el Instituto Nacional de Estadística9. La EPA es una investigación continua, de periodicidad trimestral, que está destinada a recoger datos relativos al mercado laboral español. La muestra es de 65.000 familias pero, en la práctica, queda reducida a unas 60.000 familias, las cuáles representan unos 180.000 individuos. 8 9

B.O.E, 11de Octubre de 2000. http://www.ine.es/prensa/epa_prensa.htm

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El diseño original de la encuesta recogía información transversal, aunque desde finales de los años 80 también se realiza seguimiento de las familias a lo largo del tiempo. Este seguimiento se realiza de dos formas distintas. Por un lado, recogiendo en un mismo trimestre información relativa a dos referencias temporales distintas mediante preguntas retrospectivas. Por otro lado, la composición de cada muestra se divide en 6 cohortes o grupos. Cada trimestre se renueva una sexta parte, manteniéndose fijas las 5/6 partes restantes entre trimestres consecutivos. Es decir, cada cohorte permanece durante 6 semestres consecutivos, siendo posteriormente remplazada por una nueva. De este modo se disponen de 6 registros para cada individuo. Este diseño facilita la creación de bases de datos longitudinales (paneles) donde se recoge información de los cambios en la situación laboral de los entrevistados a lo largo del tiempo. Las probabilidades de transición contenidas en la expresión (7) pueden ser directamente calculadas basándose en la información recogida en las preguntas retrospectivas de la encuesta. Como señalamos anteriormente, las preguntas retrospectivas presentan el riesgo de falta de memoria del encuestado a la hora de recordar su situación laboral en periodos anteriores. Una segunda posibilidad es estimar las intensidades de transición definidas en (8) a partir de la creación de bases de datos longitudinales y, posteriormente, estimar las probabilidades temporales de transición en base a las intensidades de transición. Esta segunda metodología permite realizar una mayor desagregación de la muestra incluyendo un mayor número de variables adicionales para el análisis de su efecto sobre el riesgo laboral. Suponiendo que los mismos factores influyen sobre la esperanza de vida laboral en el mercado español y en el inglés, la muestra debería ser desagregada por edad, sexo, tipo de discapacidad, nivel de educación y, finalmente, por estado laboral. Desafortunadamente, la EPA no recoge información laboral de los discapacitados, por lo que no puede ser utilizada para estimar el riesgo de mercado laboral cuando la persona padece una discapacidad10. En la Tabla 1 se muestra la composición del mercado laboral español para el año 2009, según el género y la situación laboral de las personas en edad de trabajar.

De forma excepcional, en el segundo trimestre del 2002 se incluyó un módulo especial para el estudio de la situación laboral de las personas discapacitadas. Además, está previsto que esta información se recoja de forma regular a partir del 2011 (El Economista, 4 noviembre 2009).

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

Tabla 1. Población española en edad de trabajar, según género y situación laboral (año 2009) Hombres 49,04% Activos 68,65%

Total

Mujeres

100%

50,95% Inactivos 31,35%

Ocupados Parados 81,99% 18,01%

Activas 51,57%

Inactivas 48,43%

Ocupadas Paradas 82,29% 17,72%

Activos 59,94%

Inactivos 40,06%

OcupadosParados 81,61% 18,39%

Fuente: Encuesta Población Activa, 2009.

En la Figura 1 se descompone la población por tramos de edad y situación laboral. Como puede observarse, por ejemplo, las personas de edades comprendidas entre 16 y 19 años (ambos inclusive) y entre 60-64 años (ambos inclusive), representan menos del 15% de la población en edad de trabajar pero, en cambio, suponen el 35% de la población inactiva. Finalmente, si se desagrega la población mayor de 16 años según el nivel de estudios alcanzados (Tabla 2), observamos que las personas únicamente con educación primaria representan el 29,1% de la población, pero en cambio más del 50% de las inactivas. En sentido inverso, las personas con formación de grado superior representan el 22,9% de la población, pero únicamente el 10,2% de las inactivas. Esta tabla muestra una clara relación entre el nivel de formación y la situación laboral. Figura 1. Población española en edad de trabajar según tramo de edad y situación laboral (en porcentajes, año 2009) 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0%

Población Ocupados Parados Inactivos

1619

2024

2529

3034

3539

4044

4549

5054

5559

6064

F Fuente: Encuesta Población Activa, 2009.

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Tabla 2. Población española mayor de 16 según formación alcanzada y situación laboral (en porcentajes, año 2009) Total

Población Ocupados Parados Inactivos

Analfabetos Educación primaria Educación secundaria primera etapa y formación e inserción laboral correspondiente Educación secundaria segunda etapa y formación e inserción laboral correspondiente Formación e inserción laboral con título de secundaria (2ª etapa) Educación superior, excepto doctorado Doctorado

2,3 29,1

0,3 13,3

1,1 21,3

5,1 50,5

25,4

27,0

37,3

19,9

19,8

23,9

22,9

14,2

0,1

22,9 0,5

34,6 0,8

17,2 0,1

10,2 0,1

Fuente: Encuesta Población Activa, 2009.

3.2 Escenarios 3.2.1 Esperanza de vida Como hemos comentado anteriormente, los multiplicadores para gastos futuros se utilizan fundamentalmente para el cálculo del valor actual del coste de ayuda o atención al lesionado que se genera inmediatamente después del accidente, y que continuará durante el resto de la vida de la víctima. En esta sección, para un ejemplo concreto y diferentes escenarios, estimamos el número esperado de años durante el cual una víctima de edad x deberá soportar estos costes. Consideramos el caso de un lesionado/a de edad 45 años que debe recibir un servicio de atención especializada que asciende a 24.000€ anuales. Las esperanzas de vida de este lesionado para distintos escenarios se resumen en la Tabla 3. Por un lado, suponemos dos posibilidades distintas en lo referente a las tablas de mortalidad utilizadas. En primer lugar, aceptando la hipótesis de igual mortalidad para la población general y la población discapacitada, diferenciamos entre hombres y mujeres utilizando las tablas GRM/95 y GRF/95, respectivamente. Posteriormente, asumimos que la población discapacitada que requiere atención se comporta como la población que sirvió de referencia para la elaboración de la tabla de mortalidad de pensionistas de la Seguridad Social 2000, que se puede consultar en el Anexo II de la Orden TAS/4054/2005 (SS/2000). En este último caso, no se distingue entre hombres y mujeres.

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

Por otro lado, dado que la valoración debe incluir un factor de descuento financiero, planteamos tres escenarios distintos para el tanto anual (r) de descuento a aplicar. Siguiendo la orden TAS/4054/2005, donde el tipo de interés técnico o de actualización se fija en el 4% anual y la tasa de revalorización (o tasa de inflación) anual acumulativa se fija en el 2%, sugerimos un tanto nominal del 2% anual, resultante de la resta de los tantos anteriores. Alternativamente, también calculamos las esperanzas de vida para el caso de un tanto anual del 1%, y para el caso en que no aplicamos ningún factor de descuento. Tabla 3. Esperanza de vida de un lesionado de 45 años de edad, para distintos supuestos de mortalidad y tasas de descuento r=0

r = 0,01

r = 0,02

GRM/95

36,94

30,26

25,27

GRF/95

45,43

35,98

29,20

SS/2000

27,50

23,28

20,00

Fuente: Elaboración propia.

Una vez calculadas las esperanzas de vida para los distintos escenarios, podemos observar que las diferencias, según las tablas y tantos de descuento utilizados, son remarcables, oscilando entre los 20 y los 45,43 años. En consecuencia, y teniendo en cuenta que para este ejemplo los costes anuales de atención son de 24.000€, el valor actual de la indemnización a percibir por gastos futuros puede oscilar entre los 480.000€ y los 1.090.320€. En el caso de una tasa de descuento del 2%, el valor actual de la indemnización a percibir por los gastos futuros si la víctima es mujer ascendería a 700.800€, cifra notablemente inferior en el caso de ser hombre, de 606.480€, teniendo en cuenta su menor esperanza de vida. Cuando el cálculo lo realizamos utilizando la esperanza de vida obtenida en base a la tabla de la Seguridad Social la indemnización es de 480.000€, sin diferenciar por género. Con tasas de descuento nulas las indemnizaciones serían de 886.560€ y 1.090.320€ para el caso de ser hombre y mujer, respectivamente, cifra que descendería a 660.000€ en el caso de utilizar las tablas SS/2000. Nótese las diferencias obtenidas en el cálculo de las esperanzas de vida, y por tanto, de las indemnizaciones a pagar, en función de las tablas de mortalidad utilizadas (las primeras calculadas en base a población general, las segundas en base al colectivo de pensionistas con incapacidad permanente).

156

Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino – Anales 2010 /141-160

3.2.2 Esperanza de vida laboral En cuanto a la estimación de la esperanza de vida laboral para el cálculo del multiplicador por la pérdida de ingresos futuros, sin considerar los supuestos de mortalidad y tasa de descuento, recordar que necesitamos conocer la probabilidad temporal de transición del estado i (ocupado o no ocupado) al estado 1 (ocupado) para un individuo de edad x. En la estimación de las probabilidades de transición se deberían de tener en cuenta los factores de riesgo laboral considerados por el sistema de valoración británico, esto es, el género, la situación laboral en el momento del accidente, la presencia de discapacidades y el nivel educativo. En el caso español, existen una serie de limitaciones que dificultan la aplicación exacta de la metodología utilizada en el Reino Unido. En primer lugar, ya hemos comentado con anterioridad que la EPA actualmente no incluye información laboral de los discapacitados. Por este motivo, sólo podrían incorporarse tres de los cuatro factores de riesgo mencionados. En segundo lugar, para la estimación de la esperanza de vida laboral bajo el escenario analizado hemos utilizado exclusivamente los datos de la EPA que se encuentran directamente accesibles desde la web del INE. Al no disponerse de los datos desagregados por nivel de estudios, situación laboral y edad, únicamente hemos considerado como factores de riesgo laboral el género y la situación laboral del individuo en el momento del accidente. Señalar, no obstante, que el disponer de los datos relativos al seguimiento de las familias a lo largo del tiempo permitiría una mayor desagregación ya que las probabilidades de transición podrían ser estimadas mediante la expresión (8). A modo de ejemplo, se han calculado las probabilidades de transición para la edad de 45 años según la expresión (7) y se ha considerado que estas probabilidades se mantienen constantes hasta la edad de jubilación. En la Tabla 4, se muestran las probabilidades de transición calculadas a partir de los datos de flujos del mercado laboral publicados por la EPA para el año 2008 (último año disponible). Tabla 4. Probabilidades de transición para una persona de 45 años de edad Probabilidades de transición

Hombres

Mujeres

Total

De ocupado a ocupado

96,4%

95,4%

96,0%

De no ocupado a ocupado

21,9%

12,0%

14,7%

Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de la Encuesta de Población Activa, 2008.

157

Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

A partir de las probabilidades de transición de la Tabla 4, asumiendo que se mantienen constantes hasta la edad de jubilación, se pueden calcular las probabilidades temporales de transición de manera recursiva. Continuando con el ejemplo, suponemos que la víctima de 45 años de edad se encontraba en situación laboral de ocupado en el momento del accidente. Suponiendo la edad de jubilación a los 65 años, y manteniendo los escenarios de la Tabla 3, las esperanzas de vida laboral son las que se muestran en la Tabla 5. Tabla 5. Esperanza de vida laboral de un lesionado de 45 años de edad, para distintos supuestos de mortalidad y tasas de descuento r=0

r = 0,01

r = 0,02

GRM/95

16,54

15,04

13,73

GRF/95

14,57

13,25

12,11

SS/2000

13,51

12,34

11,33

Fuente: Elaboración propia.

Como se desprende de los resultados, la esperanza de vida laboral es superior para los hombres que para las mujeres, aunque la probabilidad de supervivencia es mayor en las mujeres. Si no distinguimos por género y utilizamos la tabla de mortalidad de la Seguridad Social, la esperanza de vida laboral se ve reducida por la menor probabilidad de supervivencia del lesionado. Finalmente, la indemnización por pérdida de ingresos futuros hasta la jubilación se obtendría multiplicando la estimación de la pérdida anual de ingresos (multiplicando) por la esperanza de vida laboral estimada (multiplicador). La suma de esta cantidad a la anteriormente obtenida de valoración de gastos futuros permitiría obtener la indemnización total a compensar a la víctima por el perjuicio económico sufrido. 4. Conclusiones Para compensar totalmente a una víctima por el perjuicio económico futuro se requiere que el juez conozca con total precisión, en el momento del juicio, qué daños económicos sufrirá la misma en el futuro como consecuencia del accidente, y en qué fecha se producirán. Obviamente, esta información es desconocida en la mayoría de las ocasiones. Aunque a nivel individual sea difícil lograr la total reparación por el perjuicio económico futuro, se puede 158

Mercedes Ayuso, Lluís Bermúdez y Miguel Santolino – Anales 2010 /141-160

perseguir este objetivo a nivel agregado, utilizando la experiencia pasada y bajo la formulación de ciertas hipótesis. En este artículo desarrollamos un método de valoración actuarial del perjuicio económico futuro inspirado en el modelo de multiplicador-multiplicando inglés. Este método se basa en la estimación de la esperanza de vida y la esperanza de vida laboral para la cuantificación del valor actual de los gastos médicos (y de cuidado) futuros, y de la pérdida de ingresos, respectivamente. A nuestro entender, la metodología desarrollada en el trabajo presenta numerosas ventajas en comparación con el actual sistema de valoración del perjuicio económico futuro. En primer lugar, se garantiza la igualdad entre las víctimas puesto que se basa en criterios objetivos de valoración. En segundo lugar, es un sistema transparente y no arbitrario por lo que se evita la judicialización de las reclamaciones, especialmente en aquellos casos en los que no se discute la culpabilidad del accidente sino la cuantía de compensación. Tercero, al estar basado en tablas de vida y bases de datos laborales españolas, reflejan adecuadamente el riesgo de fallecimiento y el riesgo del mercado laboral de nuestro país. Por último, pero no menos importante, la sencillez del método de cuantificación de la indemnización, basado en una simple multiplicación, permite que todo aquél que esté interesado (víctimas, jueces, abogados, etc.) pueda computar la cuantía indemnizatoria por el perjuicio económico futuro con relativa facilidad. La metodología aquí presentada podría ser una de las posibilidades a tener en cuenta en la futura reforma del baremo de indemnizaciones. Por ejemplo, con efecto inmediato, podría ser considerada en la cuantificación del lucro cesante realmente padecido en el marco de la sentencia 228/2010 de 25 de marzo, del Tribunal Supremo. En esta sentencia se señala que el factor de corrección de la Tabla IV, que permite tener en cuenta los elementos correctores del Anexo, Primero, 7, debe aplicarse siempre que se haya probado debidamente la existencia de un grave desajuste entre el factor de corrección por perjuicios económicos y el lucro cesante futuro realmente padecido, y que este desajuste no resulte compensado mediante la aplicación de otros factores de corrección. A juicio del Tribunal Supremo, la determinación del porcentaje de aumento debe hacerse de acuerdo con los principios del Sistema y en proporción al grado de desajuste probado, con un límite máximo admisible, que en este caso es el que corresponde a un porcentaje del 75% de incremento de la indemnización básica (porcentaje máximo que se fija en el factor de corrección por perjuicios económicos). En consecuencia, la metodología aquí expuesta podría resultar de gran ayuda para determinar el lucro cesante realmente padecido y de esta manera probar la existencia de un desajuste con el factor de corrección por perjuicios económicos aplicado.

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Valoración actuarial del perjuicio económico futuro – Anales 2010 /141-160

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INCERTIDUMBRE EN LA VOLATILIDAD. UNA APLICACIÓN A LA VALORACIÓN DE OPCIONES CON BARRERA Jacinto Marabel-Romo1 y José Luis Crespo-Espert2

Abstract: Some barrier options, such as the down-and-out puts, exhibit a gamma that changes sign. In this article we price this kind of options assuming that there is uncertainty regarding volatility but it is assumed to lie within a certain range. We present the partial differential equation corresponding to the derivative and solve it numerically using the finite difference method. The results show that barrier option prices are quite sensitive to the existence of uncertainty about volatility. We also show that the prices obtained using the uncertain volatility model are consistent with the prices generated under a stochastic volatility framework. Keywords: uncertain volatility, barrier options, gamma, implied volatility, stochastic volatility. 1. Introducción En los mercados financieros los precios de las opciones se suelen cotizar utilizando volatilidades implícitas obtenidas a partir del modelo de BlackScholes (1973). La volatilidad implícita Σ , expresada como función del vencimiento T y del precio de ejercicio o strike de las opciones K , constituye la superficie de volatilidad implícita en el instante t , denotada por Σ t ( K , T ) . Los supuestos del modelo de Black-Scholes (1973) implican que la superficie de volatilidad implícita debería ser plana y estática en el tiempo. Pero desde la caída de la bolsa en octubre de 1987, los mercados de opciones de renta variable se han caracterizado por la existencia de una dependencia negativa de la volatilidad implícita con respecto al precio de ejercicio. Esta 1

Gestor de Derivados de Renta Variable BBVA. Vía de los Poblados s/n, 28033, Madrid. e-mail: jacinto.marabel@grupobbva.com El contenido de este artículo representa la opinión personal del autor y no refleja la visión de BBVA. 2 Profesor Titular de Economía Financiera y Contabilidad. Instituto Universitario de Análisis Económico y Social y Departamento de Ciencias Empresariales Universidad de Alcalá (UAH) Plaza de la Victoria, 2 28802, Alcalá de Henares (Madrid). e-mail: joseluis.crespo@uah.es Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 6 de octubre de 2010.

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Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

dependencia negativa se conoce como skew de volatilidad y ha sido ampliamente documentada en la literatura. Algunos ejemplos son Heynen (1993), Derman y Kani (1994), Dupire (1994), Rubinstein (1994), Dumas, Fleming y Whaley (1997), Das y Sundaram (1999) y Derman (2003). Por otro lado, la evidencia empírica muestra que la superficie de volatilidad implícita, lejos de permanecer estática en el tiempo, evoluciona de forma aleatoria. Algunos ejemplos de este hecho pueden encontrarse en Franks y Schwartz (1991), Derman (1999), Bakshi, Cao y Chen (2000), Cont y da Fonseca (2001), Cont y da Fonseca (2002) y Daglish, Hull y Suo (2007). Por lo anterior, han surgido distintos modelos de valoración de opciones, que abandonan el supuesto de volatilidad instantánea constante del modelo de Black-Scholes (1973) y que tratan de capturar las características de la superficie de volatilidad implícita, observadas en los mercados financieros. En este sentido, existen tres grandes grupos de modelos que permiten valorar productos de tipo europeo, así como dependientes de la trayectoria seguida por el activo subyacente de una forma consistente con el skew de volatilidad de mercado. Estos grupos se corresponden con los modelos de volatilidad estocástica, modelos de saltos y volatilidad local. Los modelos de volatilidad estocástica abandonan el supuesto de volatilidad constante del modelo de Black-Scholes (1973) y suponen que la volatilidad sigue un proceso estocástico posiblemente correlacionado con el proceso para el precio del activo subyacente. El modelo de Hull y White (1987), así como el modelo de Stein y Stein (1991) y el modelo Heston (1993) se encuadran dentro de este grupo. Estos modelos capturan la existencia de volatilidad en la volatilidad, la cual puede ser especialmente relevante en la valoración de ciertas opciones, como las opciones con barrera. El principal problema con este tipo de modelos es que puede resultar complicado ajustar toda la superficie de volatilidad implícita de mercado con la especificación paramétrica del modelo. Merton (1976), entre otros, incorpora la posibilidad de saltos en el proceso estocástico para el precio del activo. Esta característica es consistente con el comportamiento de los activos financieros y permite generar skew en la superficie de volatilidad implícita. El problema de este tipo de modelos es que cuando los tamaños de los saltos se consideran estocásticos se necesita una opción distinta por cada tamaño de salto para construir una cartera réplica para el precio del activo derivado. Si la distribución correspondiente a la amplitud del salto es continua, se necesitarían infinitas opciones para poder construir la cartera réplica, de tal manera que el modelo es incompleto desde el punto de vista de la replicación.

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Jacinto Marabel-Romo y José Luis Crespo-Espert – Anales 2010 /161-186

Dentro de la clase de modelos de volatilidad local se incluyen, entre otros, los trabajos de Derman y Kani (1994), Dupire (1994), Rubinstein (1994), Derman et al. (1995), Derman et al. (1996a), Derman et al. (1996b), Andersen y Brotherton-Ratcliffe (1998), Dempster y Richard (1999) y Brown y Randall (1999). Al igual que el grupo de modelos de volatilidad estocástica, los modelos de volatilidad local abandonan el supuesto de volatilidad constante del modelo de Black-Scholes (1973). Dichos modelos postulan que la volatilidad instantánea correspondiente al proceso para el precio del activo subyacente, es una función determinista del tiempo y del precio del activo. Al considerar que la volatilidad es una función determinista del tiempo y del precio del activo subyacente, los modelos de volatilidad local no recogen adecuadamente la existencia de volatilidad en la volatilidad, lo cual puede ser especialmente relevante para la correcta valoración de productos sensibles a esta característica. En este sentido Hull y Suo (2002) muestran que el modelo de volatilidad local no es capaz de replicar los precios de opciones con barrera generados a partir de un modelo de volatilidad estocástica. Además, como plantea Derman (2003), la clase de modelos de volatilidad local genera unos skews de volatilidad futuros más planos que los actuales, lo que contradice la eterna presencia del skew en las superficies de volatilidad implícita correspondientes a los activos de renta variable. Los modelos anteriores se utilizan profusamente por los bancos de inversión internacionales, así como por las tesorerías de los bancos comerciales para valorar sus productos derivados. Pero existe otro enfoque interesante, aunque menos extendido, para valorar y cubrir los riesgos de los activos derivados cuando los parámetros que influyen en la valoración se consideran inciertos. Avellaneda et al. (1995) y Lyons (1995) introdujeron este enfoque para valorar opciones cuando la volatilidad se considera incierta pero se supone que cae dentro de dos valores extremos. Estos autores mostraron que los precios, libres de arbitraje, correspondientes a las opciones se pueden describir por una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales no lineal. En esta ecuación la volatilidad se elige, de entre sus valores extremos, de acuerdo con la convexidad de la opción. Como pone de manifiesto Wilmott (2006), el cual vuelve a poner de actualidad algunas ideas que abordaba Knight (1921), la incertidumbre debe entenderse de una forma diferente a la aleatoriedad. Incertidumbre hace referencia a que no es posible predecir un resultado, al igual que en el caso de la aleatoriedad, pero tampoco existe una descripción probabilística de lo que puede ocurrir. El principal supuesto es que los parámetros caen dentro de ciertos rangos predeterminados. Estos rangos pueden determinarse

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Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

utilizando realizaciones históricas o valores implícitos para los parámetros o mediante una mezcla de ambos métodos. En un mundo como el de las finanzas, en el que los resultados dependen de una manera crucial del comportamiento humano, el enfoque de incertidumbre en los parámetros se presenta como un método natural para realizar la valoración de opciones. Además, este enfoque tiene aplicaciones muy útiles desde el punto de vista de la gestión de los riesgos inherentes a los productos derivados. En particular, puede usarse para realizar la valoración de opciones en escenarios desfavorables. En este sentido, Avellaneda y Buff (1999) aplican este modelo a la valoración de carteras formadas por una combinación de opciones europeas simples y con barrera. Por otro lado, Wilmott (2002) utiliza el modelo de volatilidad incierta para valorar opciones cliquet. Dicho autor muestra que, para este tipo de opciones, la vega puede ser relativamente pequeña precisamente en los puntos en los que la sensibilidad de la opción a la volatilidad es muy alta. En este artículo se utiliza el modelo de incertidumbre en la volatilidad para valorar puts europeas con barrera down-and-out. Estas opciones son como las puts europeas simples, pero si el precio del activo subyacente alcanza la barrera durante la vida de la opción, entonces la opción se desactiva y pasa a valer cero. Como se muestra más adelante, la gamma correspondiente a este tipo de opciones cambia de signo dependiendo de la evolución del activo subyacente, lo cual complica sustancialmente la valoración de las mismas y las hace especialmente sensibles a la existencia de incertidumbre en la volatilidad. En este sentido, la aportación de este artículo con respecto al trabajo de Avellaneda y Buff (1999) consiste en investigar si los resultados obtenidos bajo el enfoque de incertidumbre en la volatilidad son compatibles con los precios generados en un entorno de volatilidad estocástica. En concreto, se muestra que los precios obtenidos con el modelo de incertidumbre en la volatilidad son compatibles con los precios generados a partir del modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica. Este hecho da soporte a la robustez del enfoque de valoración basado en la incertidumbre en los parámetros. Nótese que las puts con barrera down-and-out pueden tener gran utilidad como un mecanismo de cobertura frente a caídas en el valor de un determinado activo. En particular, considérese una entidad exportadora que tiene una exposición positiva a la evolución del tipo de cambio entre dos divisas. Dicha entidad quiere cubrirse de la posibilidad de caídas en el tipo de cambio pero considera que este no va a estar por debajo de un determinado nivel H. En este caso, puede resultarle atractivo comprar una

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put down-and-out con barrera H. Ésta es una forma de comprar protección con un coste menor al de una put europea simple o al de un put spread. Sea DOPtT ( K , H ) el precio en el instante t de una put europea down-and-out con strike K, barrera H

(H < K )

y vencimiento en el instante t=T y sea

DIPtT ( K , H ) el precio correspondiente a una put europea down-and-in con las mismas características, la cual se convierte en una put europea simple cuando el activo subyacente toca la barrera. Entonces, es fácil comprobar que ambas opciones satisfacen la siguiente ecuación:

PtT ( K ) = DOPtT ( K , H ) + DIPtT ( K , H )

(1)

donde PtT ( K ) representa el precio correspondiente a una put europea corriente con precio de ejercicio K, de tal manera que resulta inmediato obtener el precio de la opción down-and-in conocido el precio de la opción down-and-out. El resto del artículo se organiza de la siguiente forma. La sección 2 presenta el modelo de incertidumbre en la volatilidad con aplicación a la valoración de puts europeas con barrera down-and-out. En concreto, se plantea la ecuación diferencial correspondiente al activo derivado, la cual se resuelve por el método de diferencias finitas. Dicho método permite calcular de una manera relativamente sencilla el precio, así como las sensibilidades de las opciones para distintos niveles de evolución del precio del activo subyacente, lo cual es fundamental para la correcta gestión de los riesgos derivados del producto. La sección 3 muestra los resultados de la comparación de los precios obtenidos con el modelo de incertidumbre en los parámetros con los que se obtienen en un entorno de volatilidad estocástica. Finalmente, la sección 4 ofrece las conclusiones obtenidas, así como reflexiones sobre la extensión de la metodología presentada en este artículo a la valoración de activos derivados sobre activos no admitidos a negociación.

2. Incertidumbre en la volatilidad. Aplicación a la valoración de puts con barrera down-and-out

En esta sección se utilizan argumentos de replicación para mostrar la ecuación diferencial no lineal correspondiente a un activo derivado bajo el modelo de incertidumbre en la volatilidad. Se plantea un análisis de escenarios en la valoración de las opciones, lo cual es de gran relevancia

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Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

para las entidades que gestionan los riesgos de este tipo de opciones, ya que permite obtener una valoración en el escenario más desfavorable posible.

2.1 Ecuación diferencial del activo derivado bajo el enfoque de incertidumbre en la volatilidad

En esta sección se aplica el enfoque introducido por Avellaneda et al. (1995) y Lyons (1995) a la valoración de puts con barrera down-and-out cuando existe incertidumbre sobre la volatilidad. Para ello, se supone que la volatilidad instantánea del proceso para el precio del activo subyacente σ , cae dentro del intervalo determinado por dos valores extremos, que se consideran constantes:

σ− <σ <σ+ Estos valores extremos pueden determinarse utilizando realizaciones de volatilidad histórica, o utilizando volatilidades implícitas obtenidas del mercado o mediante una mezcla de ambos enfoques. Sea un activo de renta variable cuyo precio en el instante t viene dado por St . Por simplicidad se supone que tanto el tipo de interés libre de riesgo r, como la tasa de dividendos correspondiente al activo subyacente q son constantes. De tal manera que la evolución del precio del activo subyacente bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q, bajo la cual los activos expresados en unidades de la cuenta corriente son martingala, viene determinada por la siguiente ecuación diferencial estocástica3:

dSt = ( r − q ) dt + σ dWtQ St donde Wt Q es un proceso de Wiener bajo Q. Como se ha dicho previamente, el modelo de incertidumbre en los parámetros permite realizar análisis de escenarios en la valoración de productos derivados. Supóngase que se tiene comprada una put europea con barrera down-and-out con vencimiento en el instante t=T, precio de ejercicio K y barrera H ( H < K ) , cuyo precio en el instante t se denota por:

DOPtT ( K , H ) = DOPt ( St , t ) 3 Si el activo subyacente es un tipo de cambio, la deriva vendría dada por la diferencia entre los tipos de interés correspondientes a las dos divisas.

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Jacinto Marabel-Romo y José Luis Crespo-Espert – Anales 2010 /161-186

A continuación se presenta la ecuación diferencial que sigue el activo derivado en el escenario más desfavorable posible, es decir, cuando la opción alcanza el valor más bajo posible en cada instante de tiempo. Para ello, se considera una cartera Π t formada por una posición en el activo subyacente α t y en la cuenta corriente, denotada por β t , tal que su valor en cada instante de tiempo coincida con el valor de la opción:

Π t ≡ α t St + β t = DOPt El cambio en el valor de la cartera viene dado por:

d Π t = α t dSt + α t qSt dt + r β t dt

(2)

Por otro lado, el cambio en el valor de la opción es:

1 dDOPt = Θdt + ΔdSt + Γσ 2 St2dt 2 donde Θ =

(3)

∂DOPt ∂DOPt ∂ 2 DOPt es la theta, Δ = recoge la delta y Γ = ∂St2 ∂t ∂St

representa la gamma de la opción. Incluso cuando la volatilidad instantánea es incierta, la elección de α t = Δ elimina el riesgo asociado a la evolución del activo subyacente. Pero dado que no se conoce el valor de la volatilidad, se supone que dicha variable es tal que el valor de la cartera que replica la opción en cada momento, es el más bajo posible. Nótese que dado que se supone una posición larga en la opción, este será el peor escenario. Combinando las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

1 ⎛ ⎞ min + ⎜ Θ − ΔqSt + Γσ 2 St2 ⎟ = r ( DOPt − ΔSt ) σ <σ <σ ⎝ 2 ⎠ −

Nótese que el valor de la volatilidad instantánea que genera el menor valor para la opción, dependerá del signo de la gamma. De tal manera que cuando la gamma es positiva, se elige σ = σ − mientras que cuando la gamma es negativa, se elige σ = σ + . Por tanto, se tiene la siguiente ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales correspondiente al mínimo

167

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

valor de la opción DOPt − , bajo el enfoque de incertidumbre en la volatilidad:

1 Θ− + ( r − q ) Δ − St + Γ −σ 2 ( Γ − ) St2 = rDOPt − 2 − − Γ >0 ⎪⎧σ σ ( Γ− ) = ⎨ + Γ− < 0 ⎪⎩σ

(4)

El resultado de la ecuación (4) es bastante intuitivo. Si se mantiene una cartera delta neutral y con gamma positiva, lo peor que puede pasar es que el activo subyacente se mueva poco, de tal manera que la volatilidad sea baja. Por el contrario, si se mantiene una cartera delta neutral pero con gamma negativa, lo peor que puede suceder es que el activo se mueva mucho, es decir que la volatilidad sea alta. Nótese que usando el argumento previo, es sencillo obtener la ecuación diferencial correspondiente al mayor valor para la opción DOPt + . 2.2 Cálculo del precio de la opción mediante el método de diferencias finitas

La ecuación (4) es, por lo general, una ecuación no lineal por lo que tiene que resolverse de forma numérica. Para ello, en este artículo se utiliza el método de diferencias finitas, introducido por Brenann y Schwartz (1977) y Brenann y Schwartz (1978), el cual se presenta como un procedimiento natural para calcular el precio, así como las sensibilidades de los activos derivados que satisfacen la ecuación diferencial no lineal. Se considera el método explícito de diferencias finitas para discretizar la ecuación (4). A tal efecto, se introduce la siguiente notación:

S = idS

0≤i≤ I

t = T − jdt

0≤ j≤ J

donde se considera que tanto el incremento en el precio del activo dS , como el paso temporal dt son constantes. Dado que la ecuación diferencial (4) se resuelve para 0 ≤ S ≤ ∞ , el término IdS es la aproximación del infinito usada en este trabajo. Además, se verifica que T = Jdt . Teniendo en cuenta lo anterior, se puede escribir el valor del activo derivado como:

DOP ( S , t ) = DOP ( idS , T − jdt ) = DOPi j 168

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donde para simplificar la notación, se omite el superíndice − correspondiente al mínimo valor posible para el precio de la opción. En este caso, el subíndice hace referencia al activo y el superíndice hace referencia al tiempo. Nótese que a medida que se incrementa j, nos movemos hacia atrás en el tiempo t. El método explícito de diferencias finitas aproxima la ecuación (4) de la siguiente forma:

⎡ DOPi +j1 − DOPi −j1 ⎤ DOPi j − DOPi j +1 + ( r − q ) idS ⎢ − rDOPi j + ⎥ dt 2dS ⎣ ⎦ j j j 1 2 2 ⎡ DOPi +1 − 2 DOPi + DOPi −1 ⎤ σ ( Γ )( idS ) ⎢ = O ( dt , dS 2 ) ⎥ 2 2 dS ⎣ ⎦

(5)

donde se ha aproximado la delta de la opción utilizando una diferencia centrada y donde la gamma Γ , se aproxima por:

DOPi +j1 − 2 DOPi j + DOPi −j1 Γ= dS 2

(

)

El término de error O dt , dS 2 se denomina error de truncamiento local. La ecuación anterior sólo se verifica para puntos interiores en el precio del activo subyacente, es decir para i = 1,… I − 1 , de tal manera que se tienen I − 1 ecuaciones para las I + 1 incógnitas recogidas por DOPi j . Las dos ecuaciones restantes se obtienen de las condiciones de contorno para i = I y para i = H / dS , donde se elige dS de tal manera que i = H / dS sea un número entero. Cuando S = H , la condición de contorno viene dada por:

DOPHj = 0

i≤

H dS

Por otro lado, como plantea Wilmott (2006), en el caso de opciones cuyo payoff es casi lineal para valores altos del precio del activo subyacente, como sucede en el caso de las puts europeas con barrera down-and-out, es posible utilizar la siguiente condición de contorno:

∂ 2 DOPt ( St , t ) lim =0 St →∞ ∂St 2 cuya representación discreta viene dada por: 169

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

DOPI j = 2 DOPI −j 1 − DOPI −j 2 Si se conoce el valor de DOPi j para todos los valores de i, la ecuación (5) permite obtener el valor de DOPi j +1 . El payoff de la opción a vencimiento viene dado por:

DOPi 0 = ( K − idS ) 1(idS > H ) +

donde 1(idS > H ) es la función escalón que toma el valor uno si idS > H y cero en el resto. Por tanto, se puede calcular DOPi1 , que representa el valor de la opción cuando queda un paso de tiempo para el vencimiento, de tal manera que es posible obtener el valor de la opción yendo hacia atrás en el tiempo. Dado que esta aproximación establece una relación entre DOPi j y DOPi j +1 , se denomina método explícito de diferencias finitas. En cuanto a la convergencia del método explícito de diferencias finitas, la estabilidad del mismo requiere que se verifique la siguiente relación entre el paso temporal y el incremento en el precio del activo subyacente:

⎡ dS ⎤ dt ≤ 2 σ ( Γ ) ⎢⎣ S ⎥⎦ 1

Puesto que el paso temporal dt es independiente del valor del activo subyacente, así como de su varianza instantánea, la desigualdad será más restrictiva para valores altos de S y de σ . Por tanto, la restricción anterior pasa a ser:

dt ≤

(σ )

+ 2

Cabe destacar que existen otros métodos en diferencias finitas, como el método de Crank y Nicolson (1947), que no tienen esta restricción en términos del paso temporal, pero cuya implementación es mucho menos intuitiva.

170

Jacinto Marabel-Romo y José Luis Crespo-Espert – Anales 2010 /161-186

2.3

Volatilidad constante frente a volatilidad incierta

Supóngase inicialmente que la volatilidad instantánea correspondiente al proceso para el precio del activo subyacente σ , es constante e igual a un 30% anual. Las figuras 1, 2 y 3 muestran respectivamente el precio, la delta y la gamma de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera down-and-out igual al 70% del nivel at-the-money, que se obtienen a partir del método de diferencias finitas4. Se supone que el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual, mientras que la tasa de dividendos correspondiente al activo subyacente es igual a un 1% anual.

7% 6%

Prima

5% 4% 3% 2% 1% 0% 0%

20%

40%

60%

80% 100% 120% 140% 160% 180% 200% Precio del activo

Figura 1. Prima de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera down-and-out igual al 70% del nivel at-the-money, obtenida con el método de diferencias finitas. Se supone que la volatilidad instantánea para el proceso correspondiente al precio del activo subyacente es igual a un 30% anual, el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual y la tasa de dividendos del activo es igual aun 1% anual. Se ha utilizado S=2 como máximo nivel para el precio del activo subyacente y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio.

4 Los algoritmos numéricos correspondientes al método de diferencias finitas, así como al método de Montecarlo utilizado en la sección 3, se han implementado en Visual Basic.

171

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

0,6 0,5 0,4 Delta

0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 0%

20%

40%

60%

80% 100% 120% 140% 160% 180% 200% Precio del activo

Figura 2. Delta de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera down-and-out igual al 70% del nivel at-the-money, obtenida con el método de diferencias finitas. Se supone que la volatilidad instantánea para el proceso correspondiente al precio del activo subyacente es igual a un 30% anual, el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual y la tasa de dividendos del activo es igual a un 1% anual. Se ha utilizado S=2 como máximo nivel para el precio del activo subyacente y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio.

La figura 2 muestra que a diferencia de lo que sucede con las puts europeas corrientes, las cuales siempre tienen delta negativa, la delta de la put con barrera down-and-out es considerablemente positiva en el entorno de la barrea. De tal manera que una entidad que tenga comprada la opción deberá, en teoría, vender títulos para cubrirse en el caso de que el activo toque la barrera y por tanto la opción se desactive. 1,0 0,5 0,0 Gamma

-0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0 -3,5 -4,0 0%

20%

40%

60%

80% 100% 120% 140% 160% 180% 200% Precio del activo

Figura 3. Gamma de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera down-and-out igual al 70% del nivel at-the-money, obtenida con el método de diferencias finitas. Se supone que la volatilidad instantánea para el proceso correspondiente al precio del activo subyacente es igual a un 30% anual, el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual y la tasa de dividendos del activo es igual a un 1% anual. Se ha utilizado S=2 como máximo nivel para el precio del activo subyacente y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio.

172

Jacinto Marabel-Romo y José Luis Crespo-Espert – Anales 2010 /161-186

La figura 3 muestra que la gamma de la put con barrera down-and-out pasa de ser positiva a negativa, a medida que el activo subyacente se acerca al nivel de la barrera. Es en estos casos, en los que la gamma cambia de signo, toma especial relevancia la existencia de incertidumbre en la volatilidad. Para ilustrar este hecho, la figura 4 compara las primas de las puts con barrera down-and-out obtenidas bajo el supuesto de volatilidad instantánea constante, con la prima que genera el modelo de volatilidad incierta. Se supone, al igual que en caso anterior, que el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual, mientras que la tasa de dividendos del activo subyacente es igual a un 1% anual. Se considera el precio de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera downand-out igual al 60% del nivel at-the-money. La línea Prima Vol min muestra el precio obtenido cuando se supone una volatilidad instantánea constante igual a un 36,45% anual. La línea Prima Vol max representa la prima bajo el supuesto de volatilidad instantánea constante igual a un 47,50% anual. Finalmente, la línea Prima Incert. muestra los precios generados por el modelo de incertidumbre en la volatilidad cuando se consideran los siguientes valores extremos para la volatilidad instantánea correspondiente al proceso para el precio del activo subyacente: σ − = 36,45%, σ + = 47,50% . 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 0%

20%

40%

60%

Prima Incert.

80% 100% 120% 140% 160% 180% 200% 220% Prima Vol_min

Prima Vol_max

Figura 4. Precios de una put europea con vencimiento dentro de seis meses, strike at-the-money y barrera down-and-out igual al 60% del nivel at-the-money, obtenida con el método de diferencias finitas. Se supone que el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual y la tasa de dividendos del activo es igual a un 1% anual. Se ha utilizado S=2 como máximo nivel para el precio del activo subyacente y se han considerado 100 pasos para la evolución de dicho precio. La línea Prima Vol min muestra el precio obtenido suponiendo una volatilidad instantánea igual a un 36,45% anual, la línea Prima Vol max representa la prima obtenida cuando la volatilidad instantánea es igual a un 47,50% anual. Finalmente, la línea Prima Incert. recoge el precio obtenido bajo el modelo de volatilidad incierta con σ + = 47,50% y

con σ − = 36,45% .

173

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

En un entorno de volatilidad instantánea constante, cuanto menor sea ésta, menor será la probabilidad de que la barrera sea tocada y, por tanto, mayor será el valor de la opción. Lo contrario pasa cuando la volatilidad instantánea es alta. En este caso, la probabilidad de que la opción se desactive es más elevada lo que lleva a una prima más baja. Pero dado que la gamma cambia de signo en el entorno de la barrera, el modelo de incertidumbre en la volatilidad de la ecuación (4) muestra un precio todavía más bajo para la opción, que el que se consigue suponiendo una volatilidad constante igual al extremo superior para la volatilidad instantánea. Este ejemplo muestra el peligro que conlleva la utilización de una volatilidad instantánea constante para la correcta valoración y gestión de los riesgos inherentes a productos financieros derivados, para los que la gamma cambia de signo en función de la evolución del activo subyacente. En estos casos, el modelo de incertidumbre en la volatilidad se presenta como un método natural y robusto para llevar a cabo una adecuada gestión de los riesgos.

3. Incertidumbre en la volatilidad y volatilidad estocástica

Como se dijo en la introducción de este artículo, los modelos de volatilidad estocástica permiten tener en cuenta la existencia de volatilidad en la volatilidad, la cual es de especial relevancia en la valoración de determinadas opciones, como las opciones con barrera. Uno de los modelos más utilizados dentro de la clase de modelos de volatilidad estocástica es el modelo de Heston (1993). El motivo principal es que bajo dicho modelo, es posible obtener soluciones semi-analíticas, en el sentido de que es preciso resolver integrales en la parte real de números complejos, para los precios de las opciones europeas. Este hecho es importante para la calibración de los parámetros del modelo a los datos de mercado. Para comprobar la robustez de los precios generados a partir del modelo de incertidumbre en la volatilidad, en esta sección se investiga si los mismos son consistentes con los obtenidos bajo el modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica. A tal efecto, a continuación se presentan las principales características del modelo de Heston (1993). Posteriormente, se utiliza una especificación paramétrica correspondiente a dicho modelo para calcular los precios de puts europeas con barrera down-and-out, los cuales se comparan con los precios obtenidos con el modelo de incertidumbre en la volatilidad.

174

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3.1

Especificación paramétrica para el modelo de Heston

El modelo de Heston (1993) postula los siguientes procesos para el precio del activo subyacente5 St , así como para su varianza instantánea vt , bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q: dSt = ( r − q ) dt + vt dWSQ,t St

(6)

dvt = κ (θ − vt ) dt + η vt dWvQ,t

(7)

Donde θ representa el nivel medio correspondiente a la varianza de largo plazo, κ recoge la velocidad de reversión a la media y η es la volatilidad de la varianza instantánea. Los procesos WSQ,t y WvQ,t son dos procesos de Wiener bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q. Ambos procesos están correlacionados, de tal manera que:

dWSQ,t dWvQ,t = ρ dt Hay dos parámetros que afectan de forma determinante a los precios de las opciones, en términos de la distribución correspondiente al activo subyacente. El parámetro de correlación ρ , afecta a la asimetría de la distribución y, por tanto, permite generar skew de volatilidad. Un valor negativo para la correlación implica que la varianza es mayor ante caídas en el valor del activo subyacente, lo que lleva a colas más anchas en la parte izquierda de la distribución del activo y a mayores precios para las puts fuera de dinero. La volatilidad de la varianza η , por su parte, afecta a la curtosis de la distribución. Cuanto mayor es η , más anchas son las colas de la distribución. Este efecto incrementa los precios de las calls y las puts fuera de dinero, ya que hace más probable que dichas opciones venzan in-themoney. Considérese una call europea con precio de ejercicio K y vencimiento en el instante t=T. Es inmediato comprobar que su payoff a vencimiento puede expresarse como: + ( ST − K ) = ( ST − K )1( ST > K ) 5

Aunque en el artículo original de Heston (1993), no se consideraba el pago de dividendos, aquí se

presenta el modelo considerando una tasa de dividendos continua q, para el activo subyacente.

175

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

De tal manera que el precio de la opción europea bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo vendrá dado por:

(

C0 KT = P ( 0, T ) EQ ⎡ ST 1( ST > K ) ⎤ − KEQ ⎡1( ST > K ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

)

⎡S ⎤ C0 KT = e − qT S0 EQ ⎢ T 1( ST > K ) ⎥ − P ( 0, T ) KEQ ⎡1( ST > K ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ F0,T ⎦ C0 KT = e − qT S0 P1 − P ( 0, T ) KP2

(8)

donde P ( 0, T ) = e − rT representa el precio, en el instante t = 0 , de un bono cupón cero que paga una unidad monetaria en el instante t = T y EQ [.]

hace referencia al valor esperado bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q. Nótese que la expresión para el valor de la call europea de la ecuación anterior es análoga a la fórmula de Black-Scholes (1973). Heston (1993) demostró que las funciones Pj para j = 1,2, pueden obtenerse a partir de la transformación inversa de Fourier: Pj =

donde i = −1 y

f j para

∞ ⎡ e − iz ln( K ) f j ⎤ 1 1 + ∫ Re ⎢ ⎥ dz iz 2 π 0 ⎢⎣ ⎥⎦

(9)

j = 1,2, son las funciones características

correspondientes a Pj y toman la siguiente forma:

fj = e

C j + D j v0 + iz ln ( S0 )

κθ C j = ( r − q ) izT + 2 η Dj = gj =

⎡ ⎛ 1 − g j eTd j ⎢( b j − ρηiz + d j ) T − 2ln ⎜ ⎜ 1− g j ⎢⎣ ⎝

b j − ρηiz + d j ⎡ 1 − eTd j ⎤ ⎢ Td j ⎥ η2 ⎣⎢1 − g j e ⎦⎥ b j − ρηiz + d j b j − ρηiz − d j 1

2 2 d j = ⎡⎢ ( ρηiz − b j ) − η 2 ( 2u j iz − z 2 )⎤⎥ ⎣ ⎦

176

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

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1 1 , u2 = − , b1 = κ − ρη y b2 = κ . Por tanto, para calcular el 2 2 precio de una opción europea utilizando la fórmula de la ecuación (8), es necesario evaluar numéricamente las dos integrales en la parte real de números complejos de la ecuación (9). Para ello, siguiendo a Rouah y Vainberg (2007), se utiliza la regla de integración trapezoidal correspondiente a la familia de integración de Newton-Cotes. Dicha regla consiste en formar un segmento para unir la función de integración al final de cada subintervalo, produciendo un trapecio. Dado que las integrales de la ecuación (9) convergen rápidamente, utilizamos como intervalo de integración [0,100] con un paso de 0,1.

siendo u1 =

El modelo de Heston (1993) permite generar distintos patrones para la superficie de volatilidad implícita en función de los valores correspondientes a los parámetros del modelo. La tabla 1 muestra la especificación que se utiliza en este artículo para generar los precios de las opciones europeas bajo el modelo de Heston (1993). Los valores de los parámetros son del mismo orden de magnitud que los estimados por Gatheral (2006) utilizando volatilidades implícitas de mercado para el índice de renta variable Standard and Poor's 500. Tabla 1. Especificación de los parámetros del modelo de Heston η ρ θ Parámetro: κ v0

Valor:

1,7000

0,1500

0,5000

−0,9500

0,1444

La figura 5 muestra la superficie de volatilidad implícita generada a partir de la especificación de la tabla 1. Para obtenerla, se ha utilizado el método iterativo de Newton-Raphson. La superficie presenta un skew de volatilidad bastante pronunciado en el corto plazo, el cual se va aplanando a medida que los vencimientos de las opciones se van haciendo más lejanos. Este patrón de comportamiento ha sido ampliamente observado en los activos de renta variable. Algunos ejemplos son Derman et al. (1996a), Derman et al. (1995) o Gatheral (2006).

177

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

55% 50% 45% 40% 35%

Volatilidad implícita

30% 50% 70% 90% 110% Precio 130% de ejercicio 150%

25% 20% 15%

2 1

4 3 Vencimiento (años)

Figura 5. Superficie de volatilidad implícita generada con el modelo de Heston (1993). Se supone que la tasa de dividendos del activo subyacente es igual a un 1% anual, mientras que el tipo de interés libre de riesgo es igual a un 2% anual y se utiliza la especificación de la tabla 1. Los precios de ejercicio están expresados como porcentaje del precio correspondiente al activo subyacente.

3.2

Valoración de puts con barrera down-and-out

A diferencia de lo que sucede con las opciones europeas corrientes, por lo general, no es posible obtener soluciones analíticas para los productos derivados bajo el modelo de Heston (1993). Por tanto, se hace necesario recurrir a métodos de solución numéricos, tales como el método de diferencias finitas o el método de simulación de Montecarlo. Puesto que en la sección anterior se ha presentado el método de diferencias finitas, en esta ocasión se va a utilizar el método de Montecarlo para calcular el precio de las opciones con barrera bajo el modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica. Aplicando el lema de Ito a Ln ( St ) en la ecuación (6) e integrando en el intervalo ( 0, T ) , se llega a la siguiente expresión para el precio del activo subyacente en el instante t = T : T T ⎡ ⎤ 1 ST = S0 exp ⎢( r − q ) T − ∫ vt dt + ∫ vt dWSQ,t ⎥ 20 0 ⎣ ⎦

178

Jacinto Marabel-Romo y José Luis Crespo-Espert – Anales 2010 /161-186

Por otro lado, integrando la ecuación (7) en el intervalo ( 0, T ) se obtiene: T

vT = v0 + ∫ κ (θ − vt )dt + ∫ η vt dWvQ,t Sea [ 0 = t0 < t1 < … < tM = T ] , una partición de un intervalo de tiempo en M segmentos iguales de amplitud Δt , de tal manera que t j = jT / M para cada

j = 0,1,…, M . Para aproximar las distintas trayectorias que puede seguir el precio del activo subyacente, así como su varianza instantánea bajo el modelo de Heston (1993), se utilizan las siguientes discretizaciones:

1 ⎡⎛ ⎤ ⎞ StMj = StMj −1 exp ⎢⎜ ( r − q ) − vtMj −1 ⎟ Δt + vtMj −1 Δtε1t j ⎥ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦

(10)

⎡ η2 ⎤ η ⎡ ⎤ vtMj = ⎢κ θ − vtMj −1 − ⎥ Δt + ⎢ vtMj −1 + Δtε 2 t j ⎥ 4⎦ 2 ⎣ ⎦ ⎣

(11)

(

)

ε 2 t = ρε1t + 1 − ρ 2 ε t j

donde StMj y vtMj representan respectivamente, el valor del activo y el de su varianza instantánea en el instante t j , cuando se utilizan M pasos de tiempo,

ε1t y ε t son variables independiente e idénticamente distribuidas según una j

distribución normal estándar. Además, ε1t j y ε t j son independientes. Para discretizar el proceso correspondiente a la varianza instantánea se ha utilizado el esquema de Milstein. De la ecuación (11) se desprende que si vtMj −1 = 0 , entonces vtMj vendrá dado por:

⎡ η2 ⎤ η2 v = ⎢κθ − ⎥ Δt + Δtε 22t j 4⎦ 4 ⎣ M tj

El mínimo valor para vtMj se alcanza cuando ε 2 t j = 0 . En este caso vtMj tomará siempre valores positivos si

4κθ

η2

> 1 . Nótese que esta desigualdad

se verifica para la especificación paramétrica de la tabla 1. No obstante,

179

Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

como plantea Gatheral (2006), con el esquema de Milstein se reduce sustancialmente la frecuencia de valores negativos para la varianza instantánea comparativamente con el esquema de Euler, incluso en los casos para los que

4κθ

η2

≤ 1.

A partir de las discretizaciones correspondientes a las ecuaciones (10) y (11), es posible calcular el valor de las opciones con barrera bajo el modelo de Heston (1993) mediante la realización de N simulaciones de Montecarlo independientes. En concreto, es posible expresar el valor de una put europea down-and-out en el instante t=0, con precio de ejercicio K, barrera H y vencimiento en el instante t=T, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo Q, de la siguiente manera: + DOP0T ( K , H ) = P ( 0, T ) EQ ⎡ ( K − ST ) 1( NT > H ) ⎤ ⎣ ⎦ N T = min ( St ) H≤K 0 ≤ t ≤T

De tal manera, que se tiene el siguiente estimador de Montecarlo para el valor de la put europea con barrera down-and-out, realizando N simulaciones independientes:

(

)

+ 1 N DOPˆ0T ( K , H ) = P ( 0, T ) ∑ K − SˆTM,i 1( N > H ) T ,i N i =1 jT ; j = 0,1,..., M N T ,i = min SˆtMj ,i ; t j = 0 ≤ t j ≤T M

( )

(12)

donde SˆTM,i representa el valor simulado del activo subyacente en el instante

t = T , obtenido en la simulación i-ésima, utilizando M pasos de tiempo. Considérese una put europea con strike at-the-money, vencimiento dentro de seis meses y barrera down-and-out igual al 60% del nivel at-the-money. La tabla 2 compara el precio, expresado como porcentaje del precio del activo subyacente, obtenido con el modelo de Heston (1993), con los que se obtienen bajo el supuesto de volatilidad instantánea constante, así como con el modelo de incertidumbre en la volatilidad. En el caso del modelo de

180

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Heston (1993), se realizan 15.000 simulaciones de Montecarlo6 utilizando el estimador de la ecuación (12) junto con la especificación paramétrica de la tabla 1. En el caso del modelo de incertidumbre en la volatilidad, se consideran los siguientes valores extremos correspondientes a la volatilidad instantánea del activo subyacente:

σ − = 36,58% σ + = 47,50% El límite inferior se ha elegido para que coincida con la volatilidad implícita at-the-money para las opciones con vencimiento dentro de seis meses, generada por la especificación paramétrica para el modelo de Heston (1993) de la tabla 1. Por otro lado, el extremo superior de volatilidad incierta se corresponde prácticamente con el nivel de volatilidad implícita a seis meses para un precio de ejercicio igual al 54% del nivel at-the-money. En particular, el valor concreto para esta volatilidad implícita es 47,41%. La tabla 2 también muestra los precios de la opción con barrera obtenidos utilizando el supuesto de volatilidad instantánea constante para cada uno de los dos valores extremos considerados. Tabla 2. Precios de una put europea con strike at-the-money, vencimiento seis meses y barrera igual al 60% del nivel at-the-money

Modelo Precio

σ = 36,58%

σ = 47,50%

7,58%

6,61%

Incertidumbre 5,41%

Heston 5,36%

Notas. Las dos primeras columnas de la tabla 2 recogen respectivamente, el precio obtenido cuando se supone una volatilidad instantánea constante igual a 36,58% y 47,50%. La tercera columna muestra el precio correspondiente al modelo de incertidumbre en la volatilidad, cuando se utilizan como valores extremos los dos niveles de volatilidad anteriores. Finalmente, la última columna recoge el precio obtenido con la especificación paramétrica de la tabla 1 para el modelo de Heston (1993).

Los resultados de la tabla 2 muestran que los precios obtenidos bajo el supuesto de volatilidad instantánea constante, están bastante alejados del precio generado a partir del modelo de Heston (1993) incluso en el caso en el que, en lugar de usar la volatilidad at-the-money, se considera un nivel de volatilidad mayor, correspondiente a las puts fuera de dinero próximas al nivel de barrera. Por otro lado, el precio que se obtiene con el modelo de incertidumbre en la volatilidad utilizando como valores extremos los niveles de volatilidad implícita generados por el propio modelo de Heston (1993) 6

Utilizando este número de simulaciones se consigue un error de Montecarlo inferior a 0,10%, expresado en porcentaje del precio del activo subyacente. En particular, el error de Montecarlo o desviación estándar del estimador es de 0,08%

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Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

correspondientes al nivel at-the-money y a un entorno de la barrera, es completamente consistente con el precio generado a partir del modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica7. Este resultado muestra que el enfoque basado en la incertidumbre en la volatilidad, permite generar precios para las opciones con barrera compatibles con uno de los modelos de volatilidad estocástica más utilizados. Este hecho ofrece evidencia a favor de las buenas propiedades del modelo de incertidumbre en la volatilidad, que se presenta como un método natural para valorar y gestionar los riesgos asociados a los productos derivados, de una forma consistente con la información que aportan las volatilidades implícitas. Otra ventaja de este enfoque, reside en el hecho de que es posible realizar análisis de escenarios desfavorables, lo que permite a las entidades poder realizar estimaciones de los resultados que obtendrían en situaciones adversas.

4. Conclusiones

En este artículo se ha abordado la valoración de opciones con barrera utilizando el enfoque de incertidumbre en la volatilidad, el cual considera que la volatilidad instantánea del proceso para el precio del activo subyacente σ , cae dentro del intervalo determinado por dos valores extremos, que se consideran constantes. En un mundo como el de las finanzas sometido a resultados inciertos, el modelo de incertidumbre en la volatilidad se presenta como un mecanismo natural para gestionar y valorar los productos derivados. Dicho enfoque es aplicable a todo tipo de opciones, pero en este artículo se ha particularizado en el caso de las puts europeas con barrera down-and-out, porque son un caso paradigmático de opciones cuya gamma cambia de signo en función de la evolución del activo subyacente, lo cual las hace especialmente sensibles a la existencia de incertidumbre sobre el nivel de volatilidad. En este artículo se ha investigado si el modelo de incertidumbre en la volatilidad es capaz de generar precios consistentes con las superficies de volatilidad implícitas generadas a partir del modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica. Este hecho es de especial relevancia ya que los modelos de volatilidad estocástica y, en particular el modelo de Heston (1993), permiten capturar factores como la existencia de volatilidad en volatilidad, que afectan de forma determinante al precio de las opciones con barrera. Los resultados muestran que el enfoque de incertidumbre en la 7 Nótese que el error de Montecarlo asociado al precio obtenido bajo el modelo de Heston (1993) es de 0,08%.

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volatilidad es capaz de generar precios para las puts con barrera down-andout consistentes con los obtenidos bajo el modelo de Heston (1993). Este resultado corrobora la validez del enfoque de incertidumbre en la volatilidad como mecanismo adecuado para la valoración y gestión de los riesgos inherentes a los productos derivados exóticos cuya gamma cambia de signo en función del comportamiento del activo subyacente, tales como las opciones con barrera. Además, el modelo permite la realización de análisis de escenarios en situaciones adversas, lo cual es de gran relevancia para la determinación de los riesgos a los que se enfrentan las entidades que gestionan este tipo de productos derivados. Por otro lado, como se dijo en la introducción de este artículo, es fácil obtener el precio de una put con barrera down-and-in a partir del precio de una put con barrera down-and-out y de una put europea simple. Las puts con barrera down-and-in están estrechamente relacionadas con los Equity default swaps (EDS), en los cuales el comprador de la estructura recibe una cantidad monetaria si el valor de la acción subyacente alcanza un determinado nivel de barrera inferior al nivel at-the-money existente al inicio del producto. Como plantean Albanese y Chen (2004), dada la magnitud de la caída en el valor del activo subyacente necesaria para alcanzar la barrera, es muy probable que ésta ocurra junto con un deterioro en la calidad crediticia de la compañía, generando grandes cambios en la estructura de capital de la empresa. Este hecho puede conducir a cambios importantes en la volatilidad implícita e incluso a una modificación del proceso correspondiente a la misma. En este sentido, el enfoque de incertidumbre en la volatilidad se presenta nuevamente como un mecanismo adecuado para valorar este tipo de productos. No obstante, cabe tener en cuenta que en estas circunstancias es muy probable que se reduzca considerablemente la capacidad de la compañía para repartir dividendos, por lo que podría ser adecuado incluir la existencia de incertidumbre en la tasa de dividendos del activo subyacente. No obstante, cabe destacar que pese a lo razonable del planteamiento en el que se basa y a las buenas propiedades que presenta el modelo de incertidumbre en la volatilidad, el mismo ha tenido menos éxito aplicado entre las instituciones financieras que participan en los mercados de activos derivados que otros modelos tales como el modelo de volatilidad local o los modelos de volatilidad estocástica. Un de las posibles causas puede tener que ver con el hecho de que los parámetros de estos modelos, se pueden calibrar de forma objetiva utilizando los precios de las opciones europeas cotizadas en el mercado. Pero en el caso del modelo de incertidumbre en la volatilidad, puede existir cierta subjetividad en la determinación de las

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Incertidumbre en la volatilidad. Una aplicación a – Anales 2010 /161-186

bandas superior e inferior correspondientes a la volatilidad instantánea del activo subyacente. Finalmente, merece la pena tener en cuenta que los mecanismos de valoración presentados en este artículo, descansan en el supuesto de que el activo subyacente cotiza en algún mercado, de tal manera que es posible realizar una estrategia que permita replicar el valor del activo derivado en cada instante de tiempo. En ausencia de oportunidades de arbitraje, el valor del activo derivado viene dado por el precio de la estrategia réplica. Pero existen productos derivados sobre activos que no cotizan en ningún mercado, como por ejemplo los derivados sobre el tiempo. En este caso, la valoración no puede hacerse por replicación y como plantea Wang (2002), se hace necesario acudir a argumentos de equilibrio general.

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POSICIONAMIENTO DE LAS ENTIDADES ASEGURADORAS DEL RAMO DE VIDA ANTE LA PUESTA EN MARCHA DE PROGRAMAS DE ENTERPRISE RISK MANAGEMENT Catalina Bolancé Losilla*, Antoni Ferri Vidal*† y Miguel Santolino Prieto*

Abstract The implementation in insurance entities of an integrated risk management program (Enterprise Risk Management, ERM) requires knowledge of all risk sources arising from exposures. A preliminary step to establishing an ERM program is to understand the entity’s position on market and its financial situation. Using accounting data, this paper draws a map of representative life insurers´ sample in Spanish market, revealing those determinants factors that influence their position on market, finding parallels between the risks taken into account in Solvency II and those factors and establishing a priority relationship between them that should be taken into account in the implementation of ERM programs. Furthermore, we analyze behavior patterns between the various entities´ profiles founded. Keywords: Enterprise Risk Management, cluster analysis, principal components analysis, risk sources.

Resumen La puesta en marcha en entidades aseguradoras de un programa de gestión de riesgos integrado (Enterprise Risk Management, ERM) requiere del conocimiento de todas las fuentes de riesgo de las que emanan las exposiciones. Un paso previo al establecimiento de un programa de ERM es la comprensión de la posición que toma la entidad en el mercado y su situación financiera. A partir de datos contables, este trabajo dibuja un mapa *

Dpto. Econometría, Estadística y Economía Española, RISC-IREA; Universitat de Barcelona, Av. Diagonal, 690, 08034 Barcelona. E-mail: bolance@ub.edu (Catalina Bolancé), tonoferri@ub.edu (Antoni Ferri), msantolino@ub.edu (Miguel Santolino). † Autor para correspondencia: tonoferri@ub.edu Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 5 de octubre de 2010.

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representativo de entidades aseguradoras del ramo de vida en el mercado español, desvelando aquellos factores determinantes que influyen en su posición en el mercado, encontrando paralelismos entre los riesgos tenidos en cuenta en Solvencia II y dichos factores y estableciendo una relación de prioridad entre ellos, que debería ser tenida en cuenta en la implementación de programas de ERM. Además, analizamos patrones de comportamiento entre los distintos perfiles de entidades hallados.

Palabras clave: Enterprise Risk Management, análisis de conglomerados, análisis de componentes principales, fuentes de riesgo.

1. Introducción Siguiendo la definición de la Casualty Actuarial Society, (CAS 2003), un programa de Enterprise Risk Management (ERM) es un proceso por el que una entidad evalúa, explota, controla y financia los riesgos a los que está expuesta con la finalidad de crear valor para los accionistas. La entidad debe ser capaz de identificar cuál es el negocio principal, cuál el secundario y asignar prioridad sobre aquellas exposiciones que supongan un mayor riesgo (Nocco y Stulz, 2006). Conocer cuáles son las fuentes de las que emanan los riesgos y en qué medida afectan a la entidad, se convierte en un paso previo a la adopción de un programa de ERM. Este trabajo pretende analizar cómo se segmenta el mercado español de aseguradoras en el ramo vida partiendo de datos referentes a la posición financiera de un grupo de entidades. El objetivo es, en primer lugar, encontrar patrones de comportamiento entre las entidades. En segundo lugar, hallar un conjunto reducido de factores que expliquen la mayor parte de la dispersión entre entidades. Por último, dada la importancia que otorga Solvencia II al control de los riesgos de crédito, de mercado, de suscripción y operacional, se pretende establecer paralelismos entre los factores analizados y los riesgos tenidos en cuenta en Solvencia II. Existen pocos trabajos previos que analicen las relaciones entre los riesgos a los que se someten las organizaciones. En general, estos trabajos describen la posición que toman las entidades en el mercado y analizan los resultados de la implementación de programas ERM. Baranoff y Sager (2009) tratan de encontrar relaciones entre dos grupos de variables, utilizando datos contables de un conjunto de entidades aseguradoras norteamericanas. Estos autores estudian la relación entre los riesgos a los que se exponen las entidades y las

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herramientas que utilizan para gestionar los riesgos, encontrando relaciones para todos los riesgos que estudia excepto para el operacional. Liebenberg y Hoyt (2003) analizan si existen diferencias significativas entre aquellas entidades que disponen de un cargo de Chief Risk Officer (Director de Riesgos), o han anunciado el nombramiento del cargo, y aquellas que no. A partir de una serie de variables y de un modelo de regresión logística tratan de establecer relaciones que permitan identificar las diferencias antes señaladas. Los resultados que obtienen no muestran diferencias significativas entre aquellas empresas que han anunciado o tienen un cargo de Chief Risk Officer y las que no, pero detectan que existe una cierta propensión al nombramiento del cargo Chief Risk Officer entre aquellas entidades con una ratio de apalancamiento más elevada, y entre entidades financieras y del sector energético, a las cuales describen como más opacas en cuanto a transparencia en la comunicación de riesgos. Beasley et al. (2005) realizan un trabajo empírico que relaciona un indicador subjetivo de valoración de un programa ERM con la presencia algunos elementos: Chief Risk Officer (Director de Riesgos), Board Independence (Junta independiente), Chief Enterprise Officer (Director General), Chief Financial Officer (Director Financiero), la presencia de auditoría externa y el tamaño de la entidad. Entre otros resultados, los autores encuentran una relación positiva entre la presencia de todos estos elementos y la valoración del indicador de un programa de ERM. Comparan el nivel de desarrollo de procesos de adopción de ERM de entidades estadounidenses con entidades de otros países, concluyendo que las entidades americanas tienen menor nivel de desarrollo en dichos procesos. A diferencia de estos artículos, este trabajo se centra en encontrar patrones de comportamiento entre las entidades, utilizando para ello los datos de carácter financiero contable que publican, y en desvelar aquellos factores que están latentes tras los datos. El resto del trabajo se estructura como sigue. La sección 2 describe la base de datos utilizada, donde se explica el proceso de obtención de los datos, cómo se han agrupado las variables y sus principales estadísticos descriptivos. En la sección 3 se describe la metodología seguida para la agrupación de las entidades y para la reducción de dimensión del vector de variables original. La sección 4 presenta los resultados obtenidos. Por último, la sección 5 resume las principales conclusiones.

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2. Datos A partir de información disponible de los estados financieros publicados en la web de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones1 (DGSFP) y en la web de Investigación Cooperativa entre Entidades Aseguradoras2 (ICEA) se han obtenido los datos referentes a 45 entidades que operan en el mercado español de seguros en el ramo de vida correspondientes al ejercicio 2008. El conjunto de estas 45 aseguradoras representan el 73,36% de la recaudación de primas total del mercado, según el ranking establecido por el ICEA para el ejercicio 2008. El 42% de la muestra son entidades aseguradoras vinculadas al sector bancario. En particular el 11% de estas están vinculadas a cajas de ahorro y el resto, un 31%, a bancos. El 58% restante son entidades aseguradoras no vinculadas al sector bancario, entre las que se incluyen mutualidades (7,6%), entidades pertenecientes a grupos aseguradores (34,6%) y el resto (15,8%). Las variables han sido obtenidas a partir de los balances, cuentas técnicas del ramo de vida y del estado financiero del margen de solvencia. En la Tabla 1 se muestran las variables utilizadas en el análisis. Además, de manera similar a la seguida por Santomero y Babbel (1997), las variables están clasificadas por grupos de riesgo desde una perspectiva actuarial. Con la finalidad de sintetizar la información disponible, algunas de las variables han sido creadas a partir de la agrupación de distintas partidas contables. Un primer grupo de variables contiene información que describe cómo son las carteras de inversión de la entidad. Así, por ejemplo, la variable Activos líquidos y activos disponibles para la venta (A_1) es el resultado de agregar las partidas del balance de tesorería y efectivo más la de activos con vencimiento a muy corto plazo. La variable Cartera de negociación (A_2) se corresponde con aquella partida integrada por activos con los que la entidad espera obtener plusvalías de la compra-venta. La variable Préstamos cobro (A_3) refleja las posiciones acreedoras de la entidad y se corresponde con aquella partida de balance con el mismo nombre. La variable Inversión a vencimiento (A_4) refleja aquellos activos de la entidad que ésta espera mantener en cartera hasta su vencimiento. Las variables Posiciones largas en derivados (A_5) y Posiciones cortas en derivados (A_6) están formadas por activos derivados cuya finalidad es cubrir otras carteras de activos. El calificativo “largas” y “cortas” hace referencia a si la entidad compra o emite dichos activos, por lo que estos activos aparecerán tanto en el activo como 1 2

http://www.dgsfp.meh.es/ http://www.icea.es

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en el pasivo del balance. La variable Inmovilizado (A_7) es la agregación de las partidas de inmovilizado material e inmaterial e inversiones inmobiliarias, y la variable Participación en otras entidades (A_8) incluye acciones de otras entidades. Un segundo grupo de variables son las que hacen referencia a la posición financiera. En este grupo está incluida la variable Posición neta de pasivos (B_1), que agrega algunas partidas de pasivo exigible, en particular Pasivos para negociar, Otros pasivos financieros a valor razonable con cambios en pérdidas y ganancias, Pasivos fiscales, Resto de pasivos y Pasivos vinculados a activos mantenidos para la venta. Cabe señalar que el calificativo “neta” indica que esta variable puede tomar valores negativos si existen partidas abonadas en el pasivo, es decir partidas con signo negativo. En este grupo también están incluidas las variables Provisiones técnicas (B_2) y Provisiones no técnicas (B_3), Margen de solvencia mínimo (B_4), Margen de solvencia (B_5) y Total patrimonio neto (B_6) (que incluye los recursos propios, capital social y reservas). El tercer grupo de variables hace referencia a los flujos de la entidad. De este modo tenemos aquellas que reflejan los ingresos por primas Primas (C_1), el valor de los rescates de pólizas Rescates (C_2), las Primas netas de reaseguro (C_3), los Ingresos y rendimientos (C_4), obtenidos a través de inversiones, y el resultado del ejercicio en el ramo de vida Resultado de la cuenta técnica (C_5). El siguiente grupo de variables hace referencia al tamaño de cartera de asegurados y al volumen total de negocio. Así, en esta categoría están incluidos el Número de Asegurados (D_1) y el total de compromisos de la entidad, Total Pasivo (D_2).

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Tabla 1. Resumen de Variables Código

Variable

A_1

Activos líquidos y disponibles para la venta

A_2

Cartera de negociación

A_3

Préstamos cobro

A_4

Inversión a vencimiento

A_5

Posiciones largas en derivados

Es el valor de los activos derivados que la entidad compra con el objeto de tomar posiciones sobre las carteras de inversión que gestiona.

A_6

Posiciones cortas en derivados

Es el valor de los activos derivados que la entidad vende con el objeto de tomar posiciones sobre las carteras de inversión que gestiona.

A_7

Inmovilizado

A_8

Participación en otras entidades

Se corresponde con el valor de la partida del balance: Participaciones en entidades del grupo asociadas.

B_1

Posición neta de pasivos

Es el valor correspondiente a la suma de las siguientes partidas de balance: Pasivos para negociar, Otros pasivos financieros a valor razonable con cambios en pérdidas y ganancias.

Es el valor de la partida con dicho nombre en el balance. El valor de la partida de balance en los que la entidad toma una posición acreedora Es el valor de la cartera de activos en balance cuyo objeto no es directamente la especulación con la compra-venta

Es la suma del valor de las partidas de inmovilizado material e inmaterial.

B_2

Provisiones técnicas

B_3

Provisiones no técnicas

B_4

Margen de solvencia mínimo

B_5

Margen de solvencia

Es el margen de solvencia de la entidad.

Total patrimonio neto

Es el valor de los recursos propios del balance: Capital social, Reservas y Ajustes por cambios de valor.

B_6

Es el valor de las provisiones técnicas correspondientes a las obligaciones contraídas. Es el valor de otro tipo de provisiones no directamente vinculados a las obligaciones contraídas Es la cuantía del margen de solvencia mínimo establecido legalmente correspondiente a las obligaciones contraídas.

C_1

Primas

C_2

Rescates

C_3

Primas netas de reaseguro

C_4

Ingresos y rendimientos

Es la suma de los ingresos que provienen del inmovilizado material e inversiones, más los rendimientos de inversiones afectas a seguros en los que el tomador asume el riesgo, más beneficios de participaciones y extornos, más otros ingresos técnicos.

C_5

Resultado de la cuenta técnica

Es el valor correspondiente al resultado del ejercicio en el ramo de vida.

D_1

Número de asegurados

Es el número de asegurados.

D_2

E_1

Significado Es el valor de los activos más líquidos del balance y activos de vencimiento a muy corto plazo de carácter muy líquido.

Total de pasivos Ratio de siniestralidad

Es el valor económico de las primas recaudadas. Es el valor de los rescates de pólizas realizados por los asegurados. Es el valor de las primas retenidas por la entidad.

Se corresponde con el total de pasivos exigibles del balance. Es el cociente entre la siniestralidad neta de reaseguro y las primas netas de reaseguro.

E_2

Ratio de solvencia

Es el cociente entre el margen de solvencia y las primas netas de reaseguro.

E_3

Ratio de reaseguro

Es el cociente entre las primas cedidas al reaseguro y las primas brutas.

E_4

Ratio de sobrecapitalización

Es el cociente entre el margen de solvencia y el margen de solvencia mínimo.

E_5

Ratio combinada

E_6

Ratio Aseguradora

E_7

Prima Media

E_8

Ratio de apalancamiento

E_9

Roll on Equity

Es el cociente entre la siniestralidad neta de reaseguro más todos los gastos correspondientes a las partidas de la cuenta técnica (gastos de explotación, gastos del inmovilizado material e inversiones, gastos correspondientes a inversiones afectas a seguros en los que el tomador asume el riesgo, y otros gastos) y las primas netas de reaseguro. Es el cociente entre la siniestralidad neta de reaseguro más todos los gastos menos todos los ingresos correspondientes a la cuenta técnica, y las primas netas de reaseguro. Primas entre número de asegurados. Es el cociente entre las deudas reflejadas en la partida Débitos y partidas a pagar, y el total de activos del balance. Es el cociente entre el resultado de la cuenta técnica y el total del neto patrimonial.

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Por último, se ha construido una batería de ratios para reflejar la situación económica de la entidad. Dichas ratios son: Ratio de siniestralidad (E_1), Ratio de solvencia (E_2), Ratio de reaseguro (E_3), Ratio de sobrecapitalización (E_4), Ratio combinada (E_5), Ratio aseguradora (E_6), Prima media (E_7), Ratio de apalancamiento (E_8) y Roll on Equity -RoE (E_9). A continuación, en la Tabla 2, se muestran los principales estadísticos descriptivos de las variables. Todas están expresadas en unidades de diez mil euros, a excepción del número de asegurados, que está expresado en miles de asegurados, y las ratios. Tabla 2. Principales estadísticos descriptivos de las variables Variable A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 B_1 B_2 B_3 B_4 B_5 B_6 C_1 C_2 C_3 C_4 C_5 D_1 D_2 E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6 E_7 E_8 E_9 N = 45

Mínimo 5.314,30 0,00 143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -11.050,05 6.626,26 0,00 92,83 197,39 1.246,16 321,00 93,45 314,75 140,14 -3.650,13 4,01 7.122,96 0,22 0,01 0,00 0,06 0,22 -0,49 138,93 0,00 -0,45

Máximo 2.210.107,71 31.558,30 368.050,19 136.711,32 23.391,12 34.226,53 91.998,93 86.108,61 62.470,67 1.616.456,90 14.030,17 48.278,26 25.115,25 297.544,04 485.653,81 121.154,29 474.598,50 338.236,55 26.858,29 3.402,18 2.210.914,06 3,46 3,26 0,47 11,04 3,66 2,20 6.239,39 0,23 0,68

Media 238.073,53 1.136,19 35.717,66 3.830,77 687,68 765,32 5.068,20 5.994,96 7.171,71 239.004,50 1.035,60 7.392,70 5.894,99 24.593,59 47.899,86 26.358,12 44.428,39 23.705,69 2.620,82 495,42 268.610,16 1,29 0,45 0,07 1,47 1,33 0,83 1.018,09 0,04 0,16

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Desviación 388.441,00 4.773,61 62.914,88 20.423,93 3.610,80 5.101,52 14.753,17 15.665,43 17.124,74 332.854,00 2.836,99 9.395,08 7.202,42 46.406,77 82.946,03 30.317,63 81.047,82 59.020,03 4.706,92 677,74 409.974,00 0,60 0,73 0,16 2,07 0,62 0,53 940,18 0,05 0,17

Asimetría -0,81 5,76 1,67 4,11 4,66 6,70 2,93 3,13 0,89 -2,13 3,91 -0,81 2,32 3,39 1,70 0,77 1,72 2,66 0,56 2,76 -3,39 1,17 2,85 3,74 3,22 1,25 0,37 4,07 2,48 -0,33

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

Como puede apreciarse en los valores de la desviación típica que en la mayoría de casos dobla el valor de la media, la muestra presenta un elevado grado de heterogeneidad. Cabe destacar que algunas variables, como es el caso de la variable Posición neta de pasivos (B_1), toman un valor mínimo negativo. Como señalábamos anteriormente, esta variable es la suma de cinco partidas del pasivo del balance, por lo que el signo negativo se explica por el hecho de que existen saldos acreedores en cuentas de pasivo que exceden a los saldos deudores en esas mismas partidas. Otro hecho destacable es el elevado recorrido de la variable Resultado de la Cuenta Técnica (C_5). Se observan cuantías de pérdidas muy negativas (-3.650,13) y ganancias (26.858,29) elevadas, como reflejan los valores mínimo y máximo. Comparando estos valores con el valor promedio (2.620,82) destaca aún más la disparidad de los resultados del ramo. Otros valores a destacar son el valor máximo de la variable Ratio de sobrecapitalización E_4 (11,04). El valor de esta variable sugiere el elevado grado de solvencia, o prudencia, de alguna entidad. La variable Ratio Aseguradora (E_6) toma un mínimo negativo. Como señalábamos, esta variable se construye como la suma de siniestralidad más gastos y menos ingresos del ejercicio, relativizada sobre las primas netas de reaseguro. Que el valor mínimo sea negativo indica que, para alguna entidad, los ingresos han compensado la siniestralidad del ejercicio más los gastos. El nivel de apalancamiento de las entidades que forman la muestra en promedio es bajo y, en general, homogéneo, como muestran los estadísticos media y desviación típica de la variable Ratio de apalancamiento (E_8). Aunque, observando el valor máximo (0,23) y mínimo (0,00) de esta variable detectamos que existen, por un lado, entidades fuertemente financiadas con recursos ajenos y, por otro, financiadas con recursos propios.

3. Metodología El primer objetivo que persigue este trabajo es segmentar una muestra representativa de entidades aseguradoras. Con esta finalidad se utiliza el análisis de conglomerados o Cluster Analysis. Ésta es una técnica de análisis multivariante cuyo objetivo es formar grupos o clusters lo más homogéneos posibles entre sí, y lo más heterogéneos posible entre ellos. Entre las posibles formas de agrupamiento que permite el Cluster Analysis, se utilizó el agrupamiento jerárquico aglomerativo. Se descartó el

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Catalina Bolancé, Antoni Ferri y Miguel Santolino – Anales 2010 / 187-214

agrupamiento no jerárquico dado que impone, a priori, que se establezcan un número determinado de clusters a formar. El agrupamiento jerárquico aglomerativo, selecciona aquellos elementos que están más próximos según un criterio de distancia. Entre los posibles métodos de agrupación asociados al cluster jerárquico aglomerativo, hemos utilizado el Método de Ward. El objetivo de este método es garantizar la máxima homogeneidad dentro de cada cluster. Para ello, partiendo de un grupo de n elementos, se une a un cluster determinado aquella observación que minimiza la suma de los errores al cuadrado. Dadas

y1 , y 2 , ..., y n

observaciones

p-variantes,

manera

que yi = ( xi1 , xi 2 , ..., xin ) , donde xij es el valor de la variable j-ésima de la '

observación i-ésima, la suma de los errores al cuadrado es n

(

)(

)

SSE = ∑ yi − y yi − y = ∑ yi − y i =1

=T .

i =1

En una primera etapa, cuando tenemos n clusters formados uno por cada una de las observaciones, obtenemos SSE=0, dado que la media de cada grupo coincide con la observación. Posteriormente, en las siguientes etapas, se unen aquellos elementos que minimizan SSE calculado con las observaciones que formarán el grupo, siendo y el centro de dicho conglomerado. El proceso termina con un único cluster formado por los n elementos analizados. Cuando todos las observaciones están juntas en un único clúster, la suma de los errores al cuadrado es SSE=T la variación total de la base de datos. Para un análisis exhaustivo de las técnicas de agrupamiento ver Neil (2002). Una vez formados los clusters, el siguiente objetivo es extraer, a partir de la información de las variables, un conjunto de indicadores que expliquen qué es relevante para la descripción del conjunto de observaciones de la muestra. Analíticamente, el objetivo es reducir la matriz de (n x p ) en otra de

(n x k )

con k < p . A este proceso se le llama análisis de componentes principales y consiste en convertir un conjunto de variables correlacionadas en otro de variables incorrelacionadas, las componentes principales, que contienen la misma información que las primeras y, además, están ordenadas en función de la variabilidad que explican. Si las variables originales están medidas en distintas unidades de medida éstas deben estandarizarse para obtener el análisis de componentes principales. 195

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

(

Partimos de un vector aleatorio p-dimensional Y = y1 , y 2 , ..., y p

) tal que, '

Y ~ N (μ ; Σ ) , por hipótesis asumimos normalidad. Donde μ es el vector de medias y Σ es la matriz de varianzas y covarianzas de Y . Para el caso en qué las variables estén tipificadas se tiene que μ = 0 y que la matriz de varianzas covarianzas coincidirá con la matriz de correlación de las variables originales Σ = Ω . El objetivo es encontrar un vector C , el de componentes principales, pdimensional, las cuáles son combinaciones lineales de las variables que forman el vector Y , tal que,

C ~ N (0; Λ ) , donde la varianza de cada componente de C es máxima. La matriz Λ de varianzas y covarianzas de C es una matriz diagonal cuyas componentes son los valores propios λ j de Σ , o de Ω para el caso de variables

( )

estandarizadas. Como hemos dicho anteriormente, la matriz de varianzas y covarianzas de C es Λ , y está construida tal que la varianza de cada componente principal es máxima, por lo que si llamamos λ j a los elementos que forman la diagonal de Λ , resulta que 2 λ1 = σ C21 ≥ λ2 = σ C2 2 ≥ ... ≥ λ p = σ Cp

Por lo tanto, el porcentaje de variabilidad explicada por las k , k < p , primeras componentes principales será

∑ ∑

k j =1 p

λj

λ j =1 j

⋅100 .

Existen diversos criterios para seleccionar el número k de primeras componentes. Todos ellos pretender seleccionar un número de componentes tal que la variabilidad explicada por ellas sea suficientemente elevada. Si

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bien existen contrastes para descartar componentes, dos de los métodos más utilizados son el criterio de la media aritmética y el gráfico de sedimentación. El criterio de la media aritmética selecciona aquellas componentes, tales que, su varianza excede del promedio de las varianzas de todas las componentes. En el caso de que las variables estén estandarizadas, esto se traduce en seleccionar aquellas componentes cuya varianza sea mayor a la unidad. El gráfico de sedimentación es una representación de los valores propios respecto al número de componentes. Dado que la varianza de las componentes principales está ordenada de mayor a menor, esta representación es decreciente. Este criterio busca un punto de inflexión en el gráfico y selecciona aquél número de componentes cuyo valor propio sea mayor o igual al que se sitúa en dicho punto. Analíticamente, selecciona aquellas componentes donde el incremento relativo entre dos valores propios consecutivos es mayor. Para un análisis en profundidad sobre las técnicas de reducción de dimensión ver Neil (2002).

4. Resultados El objetivo principal que persigue este trabajo es identificar cómo se segmenta el mercado español de las entidades aseguradoras del ramo de vida y encontrar cuáles son los factores clave que determinan el posicionamiento de las entidades en el mercado. Finalmente, se trata de encontrar paralelismos entre dichos factores y aquellos riesgos a los que hace alusión Solvencia II (riesgo de suscripción, riesgo de crédito, riesgo de mercado y riesgo operacional) y que son los que, en última instancia, un programa eficiente de ERM debe gestionar y controlar. La figura 1 del anexo muestra el dendograma que resulta de la aglomeración jerárquica por el Método de Ward. Según muestra el dendograma, tomando como referencia una distancia próxima a diez, se forman cinco grandes grupos de entidades. Estos grupos reflejan cómo se segmenta el mercado español. Aunque se relativizaron las variables económicas de cada entidad sobre el total de los activos, con el fin de evitar el sesgo por el efecto tamaño de las entidades, los clusters formados muestran como el tamaño es un factor determinante en la segmentación del mercado. La agrupación de entidades propuesta presenta 197

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

una gran estabilidad. Todas las pruebas realizadas, utilizando otros métodos de aglomeración jerárquica, mostraron agrupamientos similares. Otro factor determinante en la agrupación de entidades es su vinculación al sector bancario. A continuación, describimos los cinco clusters que finalmente hemos obtenido. En primer lugar, un grupo formado por 13 aseguradoras (Cluster 1) de gran tamaño que, conjuntamente, se reparten un 19,64% del mercado. El segundo cluster está formado por 19 entidades (Cluster 2) de gran tamaño que están vinculadas al sector bancario a través de cajas de ahorro y bancos de pequeño tamaño. Este grupo de entidades representa el 21,39% del mercado. El tercer cluster lo compone un grupo de 4 entidades (Cluster 3) de gran tamaño que, a excepción de una, están vinculadas a la gran banca española. Estas cuatro entidades aseguradoras representan un 28,96% de la cuota total de mercado. Un cuarto grupo (Cluster 4) está formado por aseguradoras de tamaño pequeño y mediano, no vinculadas al sector bancario, a excepción de una, cuya participación conjunta en el mercado es del 2,76%. Por último, un grupo de aseguradoras (Cluster 5) de tamaño medio que no están vinculadas al sector bancario. Este quinto grupo está formado por 3 aseguradoras y abarcan un 0,61% del mercado. La tabla 3 resume como quedan repartidas las cuotas de mercado3 entre los clusters en el orden en que han sido expuestos anteriormente y sus principales estadísticos descriptivos. Tabla 3. Cuotas de Mercado (%) Cluster Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cluster 4 Cluster 5 N= 45

Tamaño 13 19 4 6 3

Cuota 19,64 21,39 28,96 2,76 0,61

Media 1,51 1,13 7,24 0,46 0,20

Desviación 1,79 1,02 3,41 0,31 0,13

Un hecho a destacar a partir de los estadísticos es que se observa cierta ordenación en el grado de heterogeneidad en cuanto a la participación de las entidades en el mercado. Así, vemos que la dispersión en torno a los valores medios es mayor en las entidades asociadas a la gran banca española (Cluster 3), seguida de las aseguradoras de gran tamaño (Cluster 1). En tercer lugar estarían, mayoritariamente, las entidades vinculadas a cajas de ahorro (Cluster 2) y, por último, las más homogéneas serían las aseguradoras 3

Según el ranking publicado por ICEA

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de tamaño mediano (Cluster 4) y pequeño (Cluster 5) no vinculadas a entidades financieras. La Tabla 4 muestra los resultados del análisis de componentes principales para el conjunto de entidades de la muestra. Dado que las variables originales están estandarizadas, han sido seleccionadas4 aquellas componentes cuya varianza, es decir cuyo valor propio, es superior a la unidad. Los valores que aparecen en la tabla se corresponden con las correlaciones entre las variables y las componentes principales. Tabla 4. Matriz de componentes rotados Variable D_1 D_2 B_6 E_1 E_5 E_6 E_2 E_4 A_5 A_6 C_4 A_7 B_5 A_8 E_8 A_2 E_9 C_5 E_7 E_3 A_4 C_1 C_2 A_1 A_3 B_1 B_2 B_3 C_3 B_4 N = 45

CP-1 0,481 0,919 -0,919 0,091 0,091 0,062 -0,291 -0,230 0,026 0,059 0,576 -0,697 -0,142 -0,235 0,190 0,216 0,218 0,073 -0,029 0,031 0,035 0,283 0,293 0,272 -0,102 -0,022 0,752 -0,216 0,270 0,349

CP-2 -0,312 0,097 -0,097 0,874 0,877 0,901 0,037 -0,033 -0,002 -0,044 -0,262 -0,179 0,145 0,079 -0,197 -0,139 0,071 -0,054 -0,232 0,277 -0,057 -0,307 0,361 -0,159 0,240 -0,242 0,266 -0,095 -0,301 0,157

CP-3 -0,268 0,129 -0,129 -0,178 -0,183 0,160 -0,211 -0,131 0,087 -0,196 -0,009 -0,105 -0,092 0,060 -0,162 -0,118 0,158 -0,010 0,786 -0,101 -0,051 0,722 0,669 -0,024 0,085 -0,645 0,326 -0,156 0,727 0,223

CP-4 -0,267 -0,166 0,166 0,041 0,083 0,018 0,823 0,857 -0,002 -0,033 -0,138 0,150 0,812 0,309 0,086 -0,067 -0,174 -0,059 -0,189 -0,032 0,503 -0,141 -0,155 -0,342 -0,013 0,003 -0,213 0,386 -0,116 -0,058

CP-5 -0,374 0,080 -0,080 0,009 0,022 0,160 -0,116 -0,284 0,037 -0,012 0,021 -0,536 0,244 0,008 -0,154 0,214 0,154 0,520 -0,179 0,081 -0,321 0,322 0,066 0,161 0,133 -0,170 0,212 -0,559 0,324 0,728

CP-6 0,005 -0,163 0,163 0,274 0,320 0,101 0,075 -0,032 -0,086 -0,003 0,375 0,036 0,120 -0,101 0,006 0,006 -0,131 0,039 -0,053 0,536 0,068 0,009 -0,219 -0,777 0,825 -0,261 -0,092 -0,079 -0,007 0,152

CP-7 0,044 0,002 -0,002 0,062 0,047 0,093 -0,091 -0,048 -0,120 0,112 0,036 -0,022 -0,015 -0,080 -0,002 -0,732 0,879 0,740 -0,069 -0,092 -0,013 0,216 -0,011 0,073 0,030 -0,200 -0,035 0,022 0,236 0,213

CP-8 -0,243 0,017 -0,017 -0,003 -0,006 0,102 -0,065 -0,131 0,053 0,049 -0,073 0,114 -0,295 -0,749 -0,796 0,137 0,071 0,256 -0,037 0,005 0,485 0,122 0,129 -0,126 0,027 0,098 0,324 0,223 0,123 0,299

CP-9 0,404 -0,003 0,003 0,060 0,042 -0,182 0,001 0,046 0,888 0,855 0,181 -0,071 0,002 -0,021 -0,134 -0,085 0,030 0,023 -0,016 -0,130 -0,132 -0,035 0,021 0,066 0,036 0,179 -0,016 0,078 -0,012 0,063

Las nueve componentes principales que aparecen en la tabla quedan ordenadas en función de la variabilidad total que explican.

Para facilitar la interpretación de las componentes principales se ha realizado la rotación VARIMAX cuya finalidad es simplificar la estructura de la matriz de vectores propios. Esta rotación no afecta al porcentaje de variabilidad total explicada por el conjunto de las componentes principales.

199

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

Los valores que aparecen en negrita en la Tabla 4 se corresponden con los valores más elevados de las correlaciones entre las variables y las componentes principales. La primera componente queda relacionada principalmente con las variables Total pasivos (D_2), Total patrimonio neto (B_6), Provisiones técnicas (B_2) e Inmovilizado (A_7). La suma de las cuantías económicas de las dos primeras variables es equivalente al volumen total de activos. Teniendo en cuenta el significado de estas dos variables y los signos de las correlaciones, esta componente refleja el volumen de negocio que genera la entidad y/o su tamaño, ya que, dado un volumen total de activos, si se incrementan los recursos propios, disminuye la cuantía de pasivos, y viceversa. Las variables Provisiones Técnicas (B_2) e Inmovilizado (A_7) también hacen referencia al tamaño de la entidad. La correlación negativa de la variable Inmovilizado se debe al hecho de que un mayor volumen de activos inmovilizados implica un menor volumen de negocio para una cuantía total de activos dada. Que el factor tamaño aparezca como el que más variabilidad total explica, y cómo determinante de cómo se agrupan las entidades, está en línea con los resultados obtenidos por Beasley et al. (2005) en los que el tamaño se revela como uno de las variables explicativas de la calificación obtenida como resultado de la implementación de un programa ERM. En este sentido, parece lógico que aquellas entidades de mayor tamaño destinen más recursos a la puesta en marcha de programas de ERM. La segunda componente principal indica que la siniestralidad es un factor determinante dado que la correlación de esta componente con las ratios relacionadas con la siniestralidad está próxima a la unidad. Destacamos que la variable que tiene en cuenta los ingresos, Ratio combinada (E_5), tenga una correlación menor que la Ratio de siniestralidad (E_1). Este hecho refleja que los ingresos compensan los gastos y, en ocasiones, parte de la siniestralidad. Aún teniendo en cuenta los gastos e ingresos, esta dimensión ofrece un claro reflejo de que la siniestralidad es lo determinante, si bien se deben tener en cuenta el control sobre los gastos y la gestión de activos de los que proceden los rendimientos. La tercera componente está asociada principalmente a la cuantía de la prima media y al volumen de primas. Por lo tanto, la tarificación y el tamaño de la cartera son aspectos relevantes. Tanto la ratio de solvencia como la de sobrecapitalización reflejan la estabilidad financiera de una entidad. Las variables más altamente correlacionadas con la cuarta componente son estas dos ratios. Dado que estas indican valores que están por encima del margen mínimo exigido por el

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regulador, esta dimensión refleja el grado de prudencia de las entidades frente a sus compromisos. El margen de solvencia mínimo es la variable con mayor correlación en la quinta componente principal. Esta variable determina el nivel mínimo de requerimientos de capital exigido por el regulador y que se ajusta a la estructura de balance de la entidad, por lo que refleja el grado de solvencia. La sexta componente principal está muy correlacionada con las variables Activos líquidos y disponibles para la venta (A_1) y Préstamos cobro (A_3). Ambas variables mantienen signos contrarios en las correlaciones con la componente, por lo que concluimos que ésta refleja el riesgo de crédito al que se expone la entidad. Los signos de las correlaciones son coherentes con esta explicación. Mayores cuantías en activos líquidos implican menor riesgo de crédito, lo que explica el signo negativo, y viceversa. La séptima componente principal indica que la rentabilidad es clave para la entidad. Las variables relevantes en esta componente son el Resultado de la cuenta técnica (C_5), el RoE (E_9) y la variable Cartera de negociación (A_2). Esta última variable aparece correlacionada negativamente con la componente principal. El signo negativo puede deberse a que en esta variable, Cartera de negociación, están aquellos activos con los que la entidad espera obtener plusvalías derivadas de la compra-venta. Que la entidad mantenga activos en esta cartera en un momento determinado indica que no obtendría las plusvalías esperadas por su venta en dicho momento, puesto que, en caso contrario, la entidad decidiría vender estos activos, lo que incrementaría la cuenta de resultados y disminuiría el volumen de esta cartera. La octava componente indica que la financiación y la diversificación de la entidad es un factor a tener en cuenta. La entidad puede financiarse con recursos propios o ajenos. La variable que aparece como clave en esta componente, Ratio de apalancamiento (E_8), sólo tiene en cuenta los recursos ajenos. Este resultado parece lógico puesto que los costes asociados a la financiación pueden llevar a crear problemas financieros si existen desequilibrios entre ingresos y gastos. Elevar el nivel de endeudamiento podría ayudar al crecimiento de la entidad, dado que esta variable, (E_8), el crecimiento de la entidad y el ciclo económico están relacionados. Además, también aparece como relevante la cartera de activos que responden a participaciones en otras entidades. Hemos visto que las componentes sexta y séptima tenían en cuenta variables que hacen referencia a carteras de activos. En el primer caso aparecían 201

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

activos líquidos y en el segundo activos para la negociación. El hecho de que aparezcan como variables muy correlacionadas con las componentes principales manifiesta que es relevante en qué activos se invierte y la finalidad a la que sirven. La novena componente vuelve a tener en cuenta la política de inversiones. Aparecen como relevantes los activos derivados, tanto posiciones largas como cortas. Dado el tipo de activos de que se trata, activos cuya finalidad es la cobertura de posiciones, esta componente refleja el grado de sofisticación en la gestión de activos y pasivos. Por la posición que ocupa esta componente, es decir por la variabilidad que explica, se podría pensar que esta no es una variable muy importante, pero no es el caso. Si observamos los estadísticos correspondientes a las variables que hacen referencia a activos derivados, observamos el amplio recorrido que tienen, con un valor mínimo de cero, un bajo valor medio y la elevada dispersión y asimetría, lo que indica que pocas entidades invierten en este tipo de activos. La inversión en derivados requiere por parte de las entidades una gestión activa de los activos y pasivos, lo que supone destinar recursos a este fin. Tras comprobar la base de datos se constató el hecho de que muy pocas entidades mantenían activos de este tipo, y que la mayoría de las entidades prefieren mantener las carteras a vencimiento y de negociación como preferentes a la hora de respaldar los compromisos adquiridos. Teniendo en cuenta aquellas variables que están más altamente correlacionadas con las componentes principales, la Tabla 5 resume como podrían quedar etiquetadas las componentes, así como el porcentaje de variabilidad total explicada por ellas. Los resultados del análisis de componentes principales muestran que los nueve factores explican un 80,60% de la variabilidad total de las variables originales. Un hecho destacable que se desprende de los datos es que las 4 primeras componentes explican aproximadamente un 46% de la variabilidad total. Estas cuatro componentes se corresponden, por una parte, con variables que reflejan riesgos clásicos como la siniestralidad y el riesgo de suscripción y, por otra parte, factores como el tamaño de la entidad y su grado de solvencia.

202

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Tabla 5. Varianza Total explicada (%) Componente

Etiqueta

Tamaño y volumen de negocio CP-2 Siniestralidad CP-3 Suscripción CP-4 Prudencia CP-5 Solvencia CP-6 Riesgo de crédito CP-7 Rentabilidad Endeudamiento y CP-8 diversificación CP-9 Sofisticación N = 45 / *de la matriz rotada CP-1

Valores Propios*

% de Varianza

% Acumulado

4,17

13,90

3,33 3,12 3,04 2,30 2,17 2,11

11,12 10,41 10,15 7,66 7,24 7,05

25,02 35,44 45,59 53,26 60,50 67,55

2,04

6,80

74,35

1,87

6,26

80,60

La Tabla 6 muestra las correlaciones entre las variables que forman las primeras cuatro componentes principales. Por construcción, el método de reducción de dimensión nos devuelve una matriz, la de componentes principales, cuyos valores son combinaciones lineales de los valores originales y además, están incorrelacionados. En la tabla anterior se muestra la matriz de correlaciones de aquellas variables representativas en cada una de las componentes principales y que dan lugar a la etiqueta de cada componente. Como se aprecia en cada una de las componentes, aquellas variables que están más correlacionadas con una componente determinada, también lo están entre sí. Por otra parte, estas mismas variables, están muy poco correlacionadas con aquellas variables que están más correlacionadas con otra componente principal. De este modo, las variables más correlacionadas con la primera componente principal tienen unas correlaciones cruzadas superiores al 0.7 en valores absolutos, pero no exceden del 0.5 en valor absoluto con el resto de variables. En el resto de componentes principales se da el mismo efecto, con correlaciones similares al caso de la componente principal primera. Analizando las correlaciones entre la variable Primas (C_1) y las variables Ratio de siniestralidad (E_1), Ratio combinada (E_5) y Ratio aseguradora (E_6) se pueden realizar algunas consideraciones. En el primer caso, la correlación entre las variables Primas y Ratio de siniestralidad es -0,32. Por construcción, es lógico que si aumentan las primas disminuya el valor de la ratio. Supongamos que aumente la siniestralidad, este hecho debería llevar también un aumento de las primas. El efecto que prevalezca más, el del aumento de la siniestralidad o el del aumento de primas derivado del 203

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

aumento de la siniestralidad, determinará que el valor de la ratio disminuya más o menos. Tabla 6. Correlaciones entre las variables de las 4 primeras componentes

CP-1

CP-2 CP-3 CP-4

D_2 B_6 A_7 B_2 E_1 E_5 E_6 E_7 C_1 E_2 E_4 B_5

D_2 1

B_6 -1 1

CP-1 A_7 -0,72 0,72 1

B_2 0,87 -0,87 -0,70 1

E_1 0,04 -0,04 -0,17 0,13 1

CP-2 E_5 0,04 -0,04 -0,06 0,13 0,99 1

E_6 0,15 -0,15 -0,16 0,34 0,80 0,85 1

CP-3 E_7 C_1 0,05 0,36 -0,05 -0,36 0,27 -0,29 0,17 0,49 -0,33 -0,32 -0,03 0,00 0,04 0,19 1 0,60 1

E_2 -0,47 0,47 0,36 -0,51 0,11 0,12 -0,05 -0,21 -0,42 1

CP-4 E_4 -0,40 0,40 0,43 -0,50 -0,00 -0,00 -0,08 -0,17 -0,36 0,90 1

B_5 -0,26 0,26 0,03 -0,31 0,19 0,20 0,13 -0,24 -0,24 0,70 0,67 1

Ahora bien, que el valor de la correlación sea tan bajo indica que existe poca relación entre la siniestralidad y el cálculo de primas. Dado que los datos utilizados son referentes al mismo ejercicio, y que el cálculo de primas se hace a priori antes de conocer la siniestralidad del ejercicio, el bajo valor de la correlación podría deberse a que la siniestralidad del ejercicio ha diferido de la esperada, y este hecho ha provocado el desajuste en la correlación. Si comparamos la correlación entre Primas y Ratio de Siniestralidad (-0,32) con la correlación entre Primas y Ratio Combinada (0,007), observamos que el cambio entre estos valores es grande. Recordemos que la variable Ratio Combinada tenía en cuenta todos los gastos del ejercicio además de la siniestralidad. El primer hecho destacable de la comparación entre los valores de la correlación es el cambio de signo. Esto refleja que el proceso de suscripción conlleva una serie de gastos que provocan que el valor de esta variable aumente si aumenta el volumen de primas, bien por precio o por número de asegurados. En segundo lugar, dado que esta variable puede interpretarse como la suma de la ratio de siniestralidad más la ratio gastos entre primas, y dado las diferencias entre las correlaciones, claramente se observa el gran impacto relativo que los gastos tienen sobre la correlación. Por último, la variable Ratio Aseguradora, que considera la siniestralidad los gastos y los ingresos del ejercicio, tiene una correlación con la variable Primas de 0,19. Podemos afirmar siguiendo el razonamiento anterior que, un aumento del volumen de primas, además de provocar un aumento de gastos, también provoca un aumento de los rendimientos por inversión, que compensa parte del efecto de la siniestralidad y los gastos.

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En el anexo 1 se presentan un conjunto de figuras que relacionan la posición que ocupan cada una de las entidades según la puntuación en la componente principal primera y el valor de las ratios de siniestralidad, combinado y asegurador. La elección tanto de la componente principal como de las variables se justifica por el hecho de que esta componente principal es la que mayor variabilidad explica del conjunto de variables (13,9%) y además es un factor determinante en la formación de los clusters. El caso de las variables representadas se explica por el hecho de que, de la matriz de correlaciones, las variables Ratio de Siniestralidad (E_1), Ratio Combinada (E_5) y Ratio Aseguradora (E_6) son las que dan lugar a un conjunto de consideraciones trascendentes sobre la relación existente entre los clusters formados. En los gráficos se muestran 5 niveles, cada uno de los cuáles representa uno de los cinco clusters en sentido descendente. Analizando la posición que toman las entidades con respecto a los ejes, para cada uno de los clusters, en los tres gráficos se pueden realizar algunas consideraciones, teniendo en cuenta el significado de las ratios y la relación de los clusters con el tamaño y el grado de vinculación con el sector bancario. La Tabla 7 resume como se distribuye el número de entidades que forman cada cluster en función de los valores que toman las ratios de siniestralidad, combinado y asegurador. Comparando los porcentajes de empresas de cada cluster en cada una de las ratios se observa que entorno a un 30% de las entidades en cada cluster mantienen una ratio de siniestralidad menor a uno, a excepción del cluster 3 (50%) y el cluster 4 (0%). Alrededor de un 60% de las entidades en cada cluster tienen una ratio de siniestralidad entre uno y dos, a excepción de los clusters 3 y 4 (50%). Sólo dos clusters tienen un porcentaje de entidades con una ratio de siniestralidad superior a dos, el cluster 2 (5,30%) y el cluster 4, que incluso llega a alcanzar valores superiores a tres (16,66%). En el caso de la ratio combinada, donde además de la siniestralidad se consideran los gastos, se observa que todos los cluster mantienen los porcentajes de entidades similares que en el caso anterior, a excepción del cluster 1 y 2. En el primer caso, se pasa de un 30,80% de entidades con una ratio de siniestralidad inferior a uno, a un 23% de las entidades con un valor inferior a la unidad en el caso de la ratio combinada. El resto de entidades pasa a tener un valor para la ratio combinada entre uno y dos. En el caso del cluster 2, también hay un traspaso de entidades a valores más elevados. Si observamos los porcentajes correspondientes a la ratio aseguradora, vemos que se da el efecto contrario al caso de la ratio combinada, es decir, 205

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

para todos los casos hay una transferencia de entidades hacia valores más bajos. Este resultado es de esperar, puesto que considerar los ingresos mitiga el efecto de la inclusión de los gastos, si bien la intensidad con que se da este efecto es distinta en cada cluster. Así vemos que, más de un 90% de las entidades pasan a tener valores inferiores a uno en los casos del cluster 1, cluster 3 y cluster 5. En el caso del cluster 2, los porcentajes quedan repartidos de manera similar a los del caso de la ratio de siniestralidad, un 36,80% para valores inferiores a la unidad, 57,90% para valores entre uno y dos, y un 5,30% entidades con valores superiores a dos. El cluster 4 mejora sus porcentajes con respecto a los que tenía en el caso de la ratio de siniestralidad para todos los rangos de valores. Nótese que en este caso, el efecto de los ingresos incluso hace mejorar la posición de las entidades respecto a la que ocupaban en el caso de la ratio de siniestralidad. Tabla 7. Distribución del número de entidades por ratios (%) R. Siniestralidad

R. Combinado

R. Asegurador

] 1 ;2 ]

] 2; 3 ]

] 1;2 ]

] 2; 3 ]

] 1; 2 ]

] 2; 3 ]

CL-1

30,8

69,2

23,0

77,0

92,3

7,7

CL-2

31,5

63,2

5,3

26,3

63,2

10,5

36,8

57,9

5,3

CL-3

50,0

100,0

CL-4

50,0

33,3

16,6

50,0

33,3

16,6

66,6

16,6

CL-5

33,3

66,6

33,3

66,6

100,0

En síntesis, y como consecuencia de todo lo anterior, se observan distintos comportamientos entre los clusters, en cuanto a las variables consideradas se refiere, como resultado de la distinta incidencia de los gastos e ingresos. Identificadas las componentes principales y constatado el elevado porcentaje de variabilidad total explicada, para finalizar se analiza la existencia de paralelismos entre riesgos considerados en Solvencia II y que un programa de ERM debería ser capaz de identificar y gestionar. Uno de los riesgos considerados en Solvencia II es el riesgo de suscripción, especialmente para los ramos de vida y enfermedad. El proceso de tarificación viene determinado por la siniestralidad experimentada por la

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Catalina Bolancé, Antoni Ferri y Miguel Santolino – Anales 2010 / 187-214

entidad. La segunda y tercera componentes principales estarían reflejando el riesgo de suscripción dadas las variables más correlacionadas con cada una de éstas dos componentes. Si bien el riesgo de suscripción incluye además de la tarificación, la política de suscripción de reaseguro, y esta última no aparece reflejada en ninguna componente, queda remarcado el papel que juega la tarificación en el posicionamiento de las entidades. Una posible explicación al hecho de que no sea relevante la variable Ratio de reaseguro en ninguna de las componentes principales podría venir motivada porque el riesgo en carteras de vida es más estable que en carteras no vida, por lo que las fluctuaciones en la siniestralidad serían menores y, por tanto, sería menos necesaria la utilización del reaseguro. Otros dos riesgos señalados por Solvencia II son el riesgo de crédito y el riesgo de mercado. El primero de ellos aparece reflejado en la sexta componente principal. Una de las variables que más correlacionada está con esta componente es Prestamos cobro (A_3) que recoge aquellos fondos prestados por la entidad, y que no son activos propiamente. Por el volumen económico de esta variable, queda señalada también la importancia del control de las probabilidades de impago de las posiciones acreedoras. El riesgo de mercado se muestra en la componente novena. Algunos de los riesgos enmarcados en el riesgo de mercado son el de tipo de interés e inflación. Puesto que la naturaleza de algunos activos derivados es tomar posiciones sobre estos riesgos, podemos encontrar una relación entre el tipo de inversiones que realizan las entidades y estos activos derivados. Por ejemplo, supongamos que, dado que estamos analizando entidades aseguradoras que operan en el ramo de vida, estas tienen un volumen importante de activos de renta fija con el que respaldan sus compromisos. Teniendo en cuenta que el valor de los activos de renta fija está correlacionado negativamente con los tipos de interés, las entidades deberían tomar posiciones en derivados sobre tipos de interés para cubrir las carteras de renta fija. A pesar de que el riesgo de mercado se refleja en la novena componente y, por tanto refleja un bajo porcentaje de la variabilidad total, no debemos restarle importancia a este riesgo. Como se explicó anteriormente, el hecho de que el porcentaje de varianza explicada sea bajo responde a que sólo un número muy reducido de entidades mantenían cuantías elevadas en activos de este tipo, mientras que el resto lo hacían en cuantías bajas o nulas. Este hecho puede responder a las características de las carteras y al tipo de compromisos adquiridos por las entidades. Pensemos que, puesto que se 207

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

pretende cubrir mayoritariamente carteras de renta fija, al vencimiento se espera recuperar el nominal más los flujos generados por los activos reinvertidos hasta el vencimiento. Si los compromisos adquiridos por la entidad tuviesen vencimientos semejantes a los de los activos que los respaldan, entonces no tendría sentido realizar coberturas, salvo que la entidad tuviese una rentabilidad mínima pactada con los partícipes. Si de forma contraria, además de que los vencimientos entre activos y compromisos no se asemejen, la entidad tuviese pactada con los partícipes una cierta rentabilidad, sí se requeriría realizar coberturas. Una de las grandes novedades de Solvencia II es la importancia que le otorga al riesgo operacional. Este riesgo incluye aquellas pérdidas cuya procedencia se deriva de fallos técnicos y/o humanos de carácter interno o externo. A pesar de que en el estado financiero Cuenta Técnica del Ramo de Vida aparecen reflejadas partidas de gastos (pérdidas), no se detalla la procedencia de éstos. Debido a este motivo no fue posible crear un grupo de variables que reflejasen la procedencia de estas pérdidas, por lo que no se ha podido analizar la incidencia de este riesgo en este trabajo. En la Tabla 8 se presentan las puntuaciones promedio obtenidas para cada cluster y las Figuras 5 y 6 del anexo muestran la posición que ocupan los clusters frente a las componentes que representan los riesgos de Solvencia II. Tabla 8. Puntuaciones promedio en las componentes principales por clusters. CP-1

CP-2

CP-3

CP-4

CP-5

CP-6

CP-7

CP-8

CP-9

CL-1

41,03

-41,86

228,47

-64,82

-251,22

73,98

-8,66

-91,35

98,75

CL-2

-2,46

-45,68

456,38

-90,53

-360,25

87,47

-55,88

-120,65

127,72

CL-3

362,45

-184,36

176,22

-211,08

-751,73

297,14

145,28

-314,27

350,45

CL-4

0,96

-21,94

222,04

-44,50

-178,64

43,98

-26,29

-60,07

63,74

CL-5

-35,06

-18,21

335,74

-48,08

-208,56

39,78

-56,45

-63,91

66,13

La Figura 5 muestra la posición que ocupan los clusters frente a las puntuaciones promedio que obtienen en aquellas componentes asociadas al riesgo de suscripción (CP-2 y CP-3) y al riesgo de crédito (CP-6). Se aprecia como el cluster 3, formado principalmente por entidades asociadas a la gran banca española, en cuanto al riesgo de suscripción obtiene puntuaciones comparativamente bajas respecto del resto de clusters, lo que corrobora que estas entidades realizan una mejor selección de riesgos. Sin embargo, el

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Catalina Bolancé, Antoni Ferri y Miguel Santolino – Anales 2010 / 187-214

nivel de exposición a impagos es mayor que en el resto de clusters, lo que podría ser debido a que las posiciones acreedoras de estas entidades, por término medio, son mayores que en el resto de entidades. El resto de clusters tienen un comportamiento contrario en referencia a estos dos riesgos al cluster 3, siendo aquel formado por entidades vinculadas a cajas de ahorro principalmente el que mayor riesgo de suscripción soporta. En la Figura 6 encontramos representados los cluster frente al riesgo de suscripción y riesgo de mercado (CP-9). De nuevo el cluster 3 es el que ocupa una posición de mayor exposición frente al riesgo de mercado, debido probablemente a que tienen posiciones más elevadas en activos derivados que el resto de clusters. El mejor comportamiento relativo en este riesgo frente al resto de grupos corresponde al cluster 4, formado por entidades aseguradoras de pequeño tamaño, lo que puede ser explicado siguiendo un razonamiento opuesto al del cluster 3, es decir, mantienen posiciones relativamente bajas en activos derivados.

5. Conclusiones El comité de Solvencia II establece un conjunto de recomendaciones para el control de las exposiciones en base a una clasificación de riesgos. Un programa de Enterprise Risk Management es una herramienta de gestión de riesgos que debe ayudar a las entidades a mejorar el control sobre los riesgos que asume. La puesta en marcha de un programa de Enterprise Risk Management en una entidad requiere de un elevado conocimiento de los riesgos asumidos y del grado de exposición a estos. El perfil de la entidad es lo que determina los riesgos asumidos. En este trabajo hemos señalado un conjunto de perfiles para una muestra de entidades aseguradoras españolas que operan en el ramo de vida. Asimismo, hemos identificado un reducido número de factores que se asocian con aquella clasificación de riesgos recomendada por Solvencia II y se ha establecido una ordenación de estos factores a tener en cuenta en los procesos de gestión de riesgos. En primer lugar, a través de técnicas multivariantes hemos establecido perfiles claramente diferenciados para un conjunto de entidades aseguradoras del ramo de vida que, conjuntamente, representan entorno al 75% del volumen total de primas recaudado en el sector. Los resultados muestran grupos homogéneos que han tendido a agruparse principalmente en función del tamaño de la entidad y su vinculación al sector bancario. Partiendo de datos de carácter financiero-contable hemos reducido la dimensionalidad de la información publicada por las entidades a un pequeño 209

Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

número de factores que representan un elevado porcentaje de la variabilidad total. Estos factores quedan vinculados por su significado a aquellos riesgos considerados por Solvencia II, y puesto que están ordenados en función de la variabilidad que explican, permite a las entidades establecer una prioridad sobre los riesgos en la adopción de programas de gestión de riesgos en el marco del Enterprise Risk Management. Finalmente, analizando la relación entre las variables y las componentes, detectamos patrones de comportamiento entre los distintos perfiles de entidades. De este modo la selección de riesgos a asegurar es mejor en aquellas entidades aseguradoras de mayor tamaño, especialmente en aquellas entidades vinculadas a la gran banca española. Todas las entidades muestran un elevado grado de control sobre los gastos, pero sólo aquellas entidades de gran tamaño, y especialmente las vinculadas a la gran banca española, consiguen obtener unos rendimientos suficientemente elevados como para mejorar el valor de la ratio aseguradora con respecto de la ratio de siniestralidad, lo que podría indicar que el grado de conocimiento sobre las inversiones es mayor en estas entidades.

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Catalina Bolancé, Antoni Ferri y Miguel Santolino – Anales 2010 / 187-214

Anexo

Figura A.1 Dendograma de las entidades aseguradoras del ramo de vida en el mercado español.

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Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

Figura A.2 Distribución de entidades según componente principal primera y ratio de siniestralidad

Figura A.3 Distribución de entidades según componente principal primera y ratio combinada

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Figura A.4 Distribución de entidades según componente principal primera y ratio aseguradora

Figura A.5 Distribución de los cluster frente a las componentes que representan el riesgo de suscripción y el riesgo de crédito.

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Posicionamiento de las entidades aseguradoras del ramo – Anales 2010 / 187-214

Figura A.6 Distribución de los cluster frente a las componentes que representan el riesgo de suscripción y el riesgo de mercado.

Referencias Baranoff, E. G., Sager, T. W. (2009) “An Empirical Map of the Enterprise Risk Space for Life Insurers: Implications for ERM” http://www.ermsymposium.org/2009/call-for-papers.php (15-02-2009) Beasley, M. S., Clune R., Hermanson D. R. (2005) “Enterprise Risk Management: An Empirical analysis of factors associated with the extent implementation”. Journal of Accounting and Public Policy, 24, 521-531 CAS (2003) “Overview of Enterprise Risk Management Comitee, May 2003” http://www.casact.org/research/erm/overview.pdf (22-02-2009) Casualty Actuarial Society Liebenberg, A. P., Hoyt, R. H. (2003) “The Determinants of Enterprise Risk Management: Evidence from the appointment of Chief Risk Officer.” Risk Management and Insurance Review, Vol. 6, Num. 1, 37-52 Nocco, B. W., Stulz, René M. (2006) “Enterprise Risk Management: Theory and Practice.” Journal of Applied Corporate Finance, Vol. 18, Num. 4, 8-20 Santomero A. M., Babbel, D. F. (1997) “Financial Risk Management by Insurers: An Analysis of the Process” The Journal of Risk and Insurance, Vol. 64, Num. 2, 231-270 Neil, T. H. (2002) “Applied Multivariate Analysis.” Ed. Board. (NY, USA)

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LA RESERVA DE ESTABILIZACIÓN EN EL NUEVO PLAN CONTABLE DE LAS ENTIDADES ASEGURADORAS Carmen Gloria Francisco Pérez 1 y Milagrosa Mª Ferrera López2.

ABSTRACT Equalization reserves are one of the most important tools of the Insurance Companies in order to ensure their solvency, which cover imponderable and unexpected future events. Equalization reserves have been included as technical provisions under liabilities in the balance sheet, so far; but, recently, according to the last Spanish Insurance Companies Accounts modification, they are now included as Capital and reserves, like a new item of them. This change is one of the European Union’s objective for reaching the convergence about European accounting politic. At the same time, with this new regulation, the European Union develops and receives the International Accounting Standards Board (IASB). In this paper we propos the surveillance and the juridical accounting study of the steps given until assuming the novel criterion have contributed to the knowledge, of not only the most immediate antecedents of the new regulation, but also which is the practical utility or necessity that we wish to answer. Keywords: Equalization reserve, technical provisions, solvency, Accounting Law, true and fair view. 1

Escuela Universitaria de Ciencias Empresariales. Campus de Guajara. 38071. La Laguna. Santa Cruz de Tenerife. e-mail: cgperez@ull.es Profesora Colaboradora de la Asignatura de Análisis de Estados Contables de la Facultad de Ciencias Económicas y Escuela Universitaria de Ciencias Empresariales de la Universidad de La Laguna. 2 Avda.: Xoán Carlos I, nº 4, 5º A, 15670. O Burgo-Culleredo, A Coruña; e-mail: mferrera@acoruna.uned.es (Dirección para la correspondencia). Doctora en Derecho. Profesora Tutora de Derecho Mercantil y de Derecho Civil de la UNED (A Coruña y Lugo). Magistrada Suplente de la Audiencia Provincial de Lugo. Este artículo ha sido recibido en versión revisada el 19 de octubre de 2010.

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La reserva de estabilización en el nuevo plan contable – Anales 2010 /215-236

RESUMEN Uno de los instrumentos más importantes del que se han de servir las compañías aseguradoras para garantizar su solvencia, respecto a imponderables riesgos futuros, es la provisión o reserva de estabilización. La expresión contable de esta herramienta venía siendo recogida en la partida del Pasivo de las cuentas anuales de las empresas de seguros, pero con la reciente reforma del Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras, experimenta una reubicación o nuevo emplazamiento al ser trasladada al Patrimonio Neto, como parte de los Fondos propios. Este nuevo planteamiento forma parte del programa ideado por la Unión Europea para conseguir los objetivos de convergencia marcados en materia de política contable, lo que ha supuesto la paulatina recepción por el Derecho Contable de los Estados miembros de las virtuosas reglas integrantes de las Normas Internacionales de Información Financiera. El seguimiento y el estudio jurídico-contable de los pasos dados hasta llegar a asumir el nuevo criterio han contribuido a que conozcamos, no sólo los antecedentes más inmediatos de la nueva norma, sino también, cuál es la utilidad práctica o necesidad a la que ésta pretende responder. Palabras clave: reserva de estabilización, provisiones técnicas, solvencia, Derecho Contable, imagen fiel3.

1. INTRODUCCIÓN La solvencia es un objetivo de máxima importancia para las empresas aseguradoras y esto se debe a la propia actividad del seguro. La solvencia debe ser entendida como aquel proceso por el cual una entidad aseguradora no sólo demuestra su capacidad presente de respuesta a factores de riesgo, sino también la futura. Asimismo, no atiende únicamente riesgos puramente derivados de su actividad (siniestros), sino todos aquéllos a los que está sometida, desde la desviación aleatoria desfavorable de la siniestralidad hasta quebrantos producidos por una gestión deficiente.

3 Las autoras desean manifestar su agradecimiento al Profesor Doctor, del Departamento de Economía Financiera I, de la Universidad del País Vasco, Iñaki de la Peña Esteban por su ayuda y apoyo.

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Carmen Gloria Francisco y Milagrosa Mª Ferrera – Anales 2010 /215-236

Por todo ello, es necesario dotar de unas necesidades de solvencia a las entidades aseguradoras, pudiendo distinguir entre la existencia de necesidades de solvencia estática y solvencia dinámica. La primera, la solvencia estática, es el potencial que tiene la empresa para hacer frente a las obligaciones contraídas a una fecha determinada, normalmente, al cierre del balance, es decir, la capacidad que tiene el asegurador en un momento dado para pagar las indemnizaciones derivadas de las primas contabilizadas. Se requiere, por tanto, que las provisiones técnicas estén bien calculadas, con una adecuada inversión en bienes aptos para la cobertura de las mismas. En cambio, la segunda, la solvencia dinámica, garantiza la capacidad que tiene la empresa para hacer frente a los compromisos que puedan surgirle en el desarrollo de su actividad futura. Los medios para lograr esta solvencia consisten en la exigencia de garantías financieras por encima de las provisiones técnicas y son, fundamentalmente, el margen de solvencia y la reserva de estabilización. La reserva de estabilización tiene importancia, pues, para las entidades aseguradoras por su contribución a la estabilidad financiera de las mismas, debido a que las dota de la necesaria solidez. El reflejo contable de tan relevante elemento se venía haciendo, hasta la entrada en vigor del Nuevo Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras, en el epígrafe relativo a las Provisiones Técnicas, incluido, como un apartado más del Pasivo. Sin embargo, tras la meritada reforma, asistimos a la segregación de la reserva de estabilización del resto de las provisiones técnicas para recibir distinto tratamiento contable, por cuanto, a pesar de seguir consistiendo conceptualmente en una provisión técnica, pasa a engrosar las filas de las reservas especiales, integrantes de los Fondos propios. Los Fondos Propios figuran ahora, con la nueva nomenclatura del vigente Plan de contabilidad de las Entidades Aseguradoras aprobado por Real Decreto 1317/2008, de 24 de julio (Pasivo y Patrimonio Neto), específicamente, en el Patrimonio Neto. No quedan, por tanto, diluidos en la antigua columna de Pasivo, que daba nombre, genéricamente, a todos los componentes. Es, entonces, este cambio operado en el Nuevo Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras, el que nos ha impulsado a realizar el presente

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La reserva de estabilización en el nuevo plan contable – Anales 2010 /215-236

análisis a fin de dilucidar o, cuando menos, esclarecer cuál es la razón o razones que justifican el mismo y cuáles son algunas de las consecuencias que conlleva dicha modificación, entre ellas, la necesaria reforma del Texto Refundido de la Ley del Impuesto de Sociedades. Así, pues, a lo largo de este trabajo, trataremos el estudio, en primer lugar, de las reformas legislativas que han ordenado esta innovación, para luego acercarnos al concepto y función de las provisiones técnicas. Seguidamente, examinaremos el paso de provisión a reserva de estabilización y su significado desde la perspectiva contable; a continuación, explicaremos algunas de las implicaciones que, a nuestro juicio, ha supuesto esta novedad. Por último, cerraremos el presente estudio haciendo unas consideraciones finales derivadas de lo tratado anteriormente.

2. ADAPTACIÓN DE LA LEGISLACIÓN CONTABLE ASEGURADORA A LA NORMATIVA INTERNACIONAL El camino seguido por España en orden a amoldar la normativa contable a la regulación exigida por la Unión Europea alcanza un hito importante con la Ley 16/2007, de 4 de julio de Reforma y Adaptación de la Legislación Mercantil en materia Contable para su Armonización Internacional con base en la normativa de la Unión Europea. Con esta Ley se persigue la adaptación de nuestro Derecho contable a las normas Internacionales de Contabilidad, que a su vez habían sido asumidas por la Unión Europea de la mano del Reglamento (CE) núm. 1606/2002 del Parlamento Europeo y del Consejo de 19 de julio de 2002, relativo a la aplicación de las Normas Internacionales de Contabilidad. Como nos dice la Exposición de Motivos de la citada Ley 16/2007, de 4 de julio, el citado Reglamento Comunitario, incluye las <<Normas Internacionales de Contabilidad>> en sentido estricto (NIC), las actuales «Normas Internacionales de Información Financiera» (NIIF), así como las interpretaciones de unas y otras. La virtud de la Ley 16/2007 de 4 de julio reside, también, en que redondea el antedicho proceso de armonización porque sujeta al marco contable comunitario, y por lo explicado anteriormente al internacional, las cuentas anuales individuales de las empresas españolas, cosa que ya había hecho la Ley 62/2003, en su Disposición Final 1ª, de 30 de diciembre, de Medidas Fiscales, Administrativas y de Orden Social, respecto a las cuentas anuales consolidadas de los grupos de sociedades cuyos títulos cotizan en bolsa.

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Carmen Gloria Francisco y Milagrosa Mª Ferrera – Anales 2010 /215-236

Por consiguiente, la citada Ley 16/2007 acomete la reforma de la legislación mercantil en materia contable incluida en el Código de Comercio y el Texto Refundido de la Ley de Sociedades Anónimas, sustituida actualmente por la Ley de Sociedades de Capital. Si bien, las normas relativas a los aspectos propiamente técnico-contables son objeto de desarrollo reglamentario por el Real Decreto 1514/2007, de 16 de noviembre, que aprueba el Plan General de Contabilidad y el Real Decreto 1515/2007, de 16 de noviembre, por el que se aprueba el Plan General de Contabilidad de Pequeñas y Medianas Empresas y los criterios contables específicos para microempresas. Si bien, habrá que esperar a la reciente publicación del Real Decreto 1159/2010, de 17 de septiembre, para desarrollar los aspectos específicos de la consolidación de cuentas regulados en la Sección 3ª Presentación de las cuentas de los grupos de sociedades del Título III De la contabilidad de los empresarios, del Libro I del Código de Comercio. Todo este elenco normativo constituye el Derecho Contable Supletorio de las entidades aseguradoras al que habrá que acudir en defecto de la regulación específica, tal como ordena el artículo 20 del Texto Refundido de la Ley de Ordenación y Supervisión de Seguros Privados; en tanto que, la normativa especial, estaría constituida por el mencionado Texto Refundido y su consiguiente desarrollo reglamentario. Este último, viene de la mano del Reglamento de Ordenación y supervisión de Seguros Privados (Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre, ROSSP) y el Real Decreto 1317/2008, de 24 de julio, por el que se aprueba el Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras (PCEA), integrado, exclusivamente, por disposiciones de carácter contable. Con el actual Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras se da también un paso hacia delante, en orden a concordar el marco contable de las mismas con las Normas Internacionales de Información Financieras aplicables en la Unión Europea. Concretamente, es la Norma Internacional de Información Financiera Número 4, ligada a la contabilización de los contratos de seguro (NIIF4), la que promueve la reclasificación contable de las reservas de estabilización, es decir, su traslado del Pasivo exigible al Patrimonio Neto al prohibir las <<provisiones para posibles reclamaciones por contratos que no existen en la fecha de los estados financieros (tales como las provisiones para catástrofes o para estabilización)>>4 . 4

Viene dispuesta esta regla en el apartado relativo a las <<Principales características de la NIIF>>, IN4 (a).

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La reserva de estabilización en el nuevo plan contable – Anales 2010 /215-236

Sin embargo, no podremos comprender ni interpretar adecuadamente la mencionada NIIF 4, si prescindimos de los principios inspiradores de toda esta estructura normativa internacional, a través de la cual se tratan de ir conquistando los objetivos de política contable programados por la Unión Europea y, en materia de seguros, más precisamente, los de Solvencia. En la búsqueda de esos criterios exegéticos que nos aseguren una correcta aplicación de la antedicha NIIF4, o más bien, de las normas contables españolas que constituyen su reflejo, hemos de llegar al Marco Conceptual de las Normas Internacionales de Contabilidad (NIC), que es el que explica la lógica o los criterios que presiden estas normas5. Además, hay que agregar, a los fines que nos interesan en el presente trabajo, que la ratio legis, razón última o idea motora de ese Marco Conceptual es, “como indica Tua (2004), el propósito de suministrar información útil para la toma de decisiones económicas. Añade, asimismo, que las necesidades de los usuarios y los objetivos de la información financiera son el hilo conductor y la columna vertebral del Marco Conceptual”. Pues bien, “coincidimos con Maestro (2006) en que la definición de Pasivo que se da en ese Marco Conceptual, al explicar el significado de los elementos de los estados financieros, constituye la clave para entender porqué se prohíbe la inclusión de las reservas de estabilización en el mismo, pues lo describe como: <<obligación presente de la empresa, surgida a raíz de sucesos pasados, al vencimiento de la cual, y para cancelarla, la empresa espera desprenderse de recursos que incorporan beneficios económicos>>”. Sucumbe, entonces, el legislador internacional, consecuentemente el comunitario, e irremediablemente el nacional, a la razonable recomendación que, desde mucho tiempo atrás, venían haciendo los profesionales en materia contable cuando advertían de la inconveniencia de ubicar las reservas de estabilización en el Pasivo, dada la incompatibilidad de la definición de uno y otro concepto6. Como resultado de toda esta andadura o proceso normativo, la Segunda parte del Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras, aprobado por Real Decreto 1317/2008, de 24 de julio, en la Norma Novena de Registro y 5 Para realizar esta tarea interpretativa hemos de acudir a lo preceptuado por el Código Civil en su artículo 3.1, cuando ordena que las normas se habrán de interpretar <<atendiendo al sentido propio de sus palabras, en relación al contexto, los antecedentes históricos y legislativos, y (…), atendiendo fundamentalmente al espíritu y finalidad de aquéllas>>. 6 Sirvan de botón de muestra la obra colectiva de Harding, et al.( 1996, p. 263) y Maestro (2000, p. 210).

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Carmen Gloria Francisco y Milagrosa Mª Ferrera – Anales 2010 /215-236

Valoración, ordena que aquéllas provisiones pasen a engrosar el Patrimonio Neto. Así, nos dice literalmente que: <<Atendiendo a lo establecido en la quinta parte de este Plan, la reserva de estabilización se reconocerá en el patrimonio neto. (…)>>. Anteriormente, este mismo texto legal, establece en la Disposición Adicional Primera, que la reserva de estabilización se constituya, antes de la distribución de los dividendos, como reserva obligatoria de origen legal7.

3. LAS PROVISIONES ASEGURADORA.

TÉCNICAS

ACTIVIDAD

Las entidades aseguradoras deben dotar unas provisiones específicas de su actividad, que son las llamadas provisiones técnicas. Éstas se establecen para garantizar la solvencia y capacidad de la entidad para afrontar los compromisos contraídos con los asegurados. Son, por ende, el núcleo de la solvencia de la entidad aseguradora. Las provisiones técnicas constituyen una de las piezas maestras de la contabilidad de seguros. Una buena muestra de ello es que el Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras dedica un grupo en exclusiva a dichas provisiones, concretamente el grupo 3 del cuadro de cuentas. Estas provisiones se reflejarán en el Balance de las entidades aseguradoras, por un importe suficiente, para garantizar las obligaciones derivadas de los contratos de seguros y de reaseguros suscritos, así como para mantener la necesaria estabilidad de la entidad frente a las oscilaciones aleatorias de la siniestralidad, o frente a posibles riesgos especiales. Las entidades aseguradoras tienen la obligación de calcular y contabilizar las siguientes provisiones técnicas (art. 29 ROSSP): • • • • • •

Provisiones para primas no consumidas y para riesgos en curso. Provisiones para seguros de vida y específicas para este ramo, como son las del seguro de decesos y de enfermedad. Provisiones de prestaciones. La reserva de estabilización. Provisión para participación en beneficios y extornos Provisión de desviaciones en las operaciones de capitalización por sorteo.

7 Ad pedem literae, reza como sigue: <<A efectos de las limitaciones que la legislación mercantil disponga sobre la distribución de dividendos a cuenta, conforme a lo establecido en el art. 216 de Texto Refundido de la Ley de Sociedades Anónimas, la reserva de estabilización tendrá la consideración de reserva obligatoria establecida por Ley>>.

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“Como indica Fernández (1995), a diferencia de las restantes provisiones técnicas, que consisten en instrumentos para conseguir la solvencia estática de las compañías, la de estabilización tiene carácter acumulativo y se orienta a reforzar la solvencia dinámica”. Esta provisión tiene la finalidad de alcanzar la estabilidad técnica de cada ramo o riesgo. Se calcula y dota en aquellos riesgos que por su carácter especial, nivel de incertidumbre o falta de experiencia así lo requieran y se integrará por el importe necesario para hacer frente a las desviaciones aleatorias desfavorables de la siniestralidad (art. 45.1 ROSSP). La justificación técnica de la provisión de estabilización se encuentra en que, en ocasiones, existen riesgos cuya siniestralidad a lo largo de los años presentan puntas, por lo que, en dichos períodos, las entidades aseguradoras tendrán pérdidas. Con el fin de que esto no ocurra, se aplica un recargo a la prima, de forma que este exceso se va acumulando, año tras año, en esta provisión. “En opinión de Del Pozo (2000), parece razonable, desde un punto de vista técnico, que exista un fondo que se vaya nutriendo en aquellos períodos de baja siniestralidad, de modo que permita a la compañía hacer frente a los siniestros cuando en otra etapa, menos afortunada, se produzca un exceso de siniestralidad respecto de lo que se esperaba”. No obstante, “según indica Latorre (1993), caben otras medidas a adoptar por el asegurador para protegerse de esas fluctuaciones imprevisibles, como pudiera ser llevar a cabo acciones protectoras de su solvencia”. Así, una posibilidad sería recurrir al reaseguro o, también, al coaseguro, ya que con ello se conseguiría reducir las fluctuaciones aleatorias de la siniestralidad. Si bien, ello generaría la contrapartida de tener que satisfacer el coste de las primas al reasegurador. Otra alternativa supondría disponer de recursos financieros adicionales que permitan afrontar las desviaciones desfavorables de la siniestralidad. Esta provisión se dotará con carácter obligatorio en una serie de ramos8, que están recogidos en el art. 45.2 de ROSSP, destacándose, entre otros, los siguientes: 8 El perfil y características de los riesgos que se aseguran en estos ramos evidencia la necesidad de hacer este tipo de provisiones conocidas en la actualidad, técnicamente, como <<reservas de estabilización>>.

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¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Responsabilidad civil derivada de riesgos nucleares. Riesgos incluidos en los planes de seguros agrarios combinados. Riesgos comerciales del seguro de crédito. Seguros de responsabilidad civil de automóviles. Seguros responsabilidad civil profesional. Responsabilidad civil de productos. Seguros de daños a la construcción. Multirriesgos industriales, seguro de caución. Seguros de riesgos medio-ambientales. Riesgos catastróficos.

Esta provisión se dota con el recargo de seguridad incorporado en las primas devengadas, con el límite mínimo del 2% de la prima comercial para los ramos anteriores, con la excepción del seguro de crédito, cuya dotación mínima será el 75% del resultado técnico positivo del ramo (arts. 45.3, 45.1, ROSSP).

4. EL TRÁNSITO ESTABILIZACIÓN:

PROVISIÓN

ASPECTOS

RESERVA

CONTABLES

SEGUNDA. El RD/ 1361/2007, de 19 de octubre, por el que se modifica el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados, da nueva redacción a su artículo 29, número 2, apartado f, sustituyendo el nombre de <<provisiones de estabilización>> por el de <<reservas de estabilización>>9. Aunque esta nueva denominación no altere su condición de instrumento técnico de cobertura o dotación obligatoria, con la misión vista en el epígrafe precedente, no cabe duda de que con ello se facilita la entrada de las provisiones de estabilización en la cuenta 11 del Patrimonio, dedicado a las Reservas, como otro elemento más conformador del mismo10. Como ya indicábamos en el epígrafe relativo a la normativa contable aseguradora, la adecuación del marco aplicable a las entidades aseguradoras a lo preceptuado en la Normas Internacionales de Información Financiera y al resto de regulación aplicable, ha motivado el cambio sufrido en el actual Plan de las Entidades Aseguradoras. Éste ya no exige que la dotación de la 9 De hecho, con esta nueva terminología parece que el Reglamento se hace eco de una expresión que ya venía siendo utilizada por los estudiosos de la materia. Véase, a modo de muestra, Gil Fana y del Pozo García (1998). 10 Rubricado <<Reservas y otros Instrumentos de Patrimonio>> (grupo 114: reservas especiales; subgrupo 1147: reserva de estabilización).

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reserva de estabilización se registre en la cuenta de pérdidas y ganancias, sino que su constitución se reconozca a cargo del Patrimonio Neto, desapareciendo del capítulo de las Provisiones para pasar al de las Reservas Especiales. Al principio de este análisis, hemos explicado que la NIIF 4, que trata sobre los contratos de seguros, es la que se ha tenido en cuenta para realizar el cambio en la forma de contabilizar la reserva de estabilización, por cuanto prohíbe a la aseguradora reconocer como pasivo las provisiones por reclamaciones futuras cuando estas se originen en contratos de seguro inexistentes a la fecha de los estados financieros, tales como las provisiones de estabilización. También remarcábamos que la razón de este veto es que la provisión de estabilización no responde al concepto de Pasivo que se establece en el Marco Conceptual de las NIC: <<Obligación presente de la empresa, surgida a raíz de sucesos pasados, al vencimiento de la cual, y para cancelarla, la empresa espera desprenderse de recursos que incorporan beneficios económicos>>. La provisión deberá, pues, registrarse como elemento integrante del patrimonio de la empresa, pero no como pasivo. Para una mejor comprensión del cambio, a la hora de contabilizar esta reserva, vamos a exponer, en primer lugar, cómo reconocía esta provisión el anterior Plan Contable de Entidades Aseguradoras, para luego indicar la forma que actualmente se va aplicar al amparo de la última reforma de dicho Plan Contable. Antes de la reforma: Los asientos contables que reflejan la dotación y anulación de esta provisión son los siguientes: ▪ Por la constitución o dotación al cierre del ejercicio: Importe, cierto o estimado, a la fecha del cálculo, de las obligaciones devengadas por razón de los contratos de seguro.

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(693) Dotación a las provisiones técnicas

(6933) Dotación a las provisiones para estabilización a (33) Provisiones para Estabilización (330) Seguro directo Mientras no se produzca la desviación de la siniestralidad, la constitución de esta reserva, al cierre del ejercicio económico, se irá acumulando, constituyendo un fondo que se aplicará cuando se produzca un exceso de siniestralidad. ▪ Por la cancelación al cierre del ejercicio (33) Provisiones para Estabilización (330) Seguro directo a (793) Provisiones técnicas aplicadas a su finalidad a (7933) Aplicación de las provisiones para estabilización Después de la reforma: En las Normas de Registro y Valoración del Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras de 2008, se establece en su apartado noveno, referente a los contratos de seguro, que la reserva de estabilización se reconocerá en el Patrimonio Neto, debiendo incrementarse anualmente su importe en la cuantía exigida en la normativa de ordenación y supervisión de los seguros privados. Agrega, además, que su importe sólo podrá ser dispuesto para compensar las desviaciones de la siniestralidad del ejercicio. Los asientos contables que reflejan la dotación y su aplicación son los siguientes: ▪ Por la constitución o dotación al cierre del ejercicio: importe de la reserva de estabilización reconocida en el ejercicio en virtud de lo dispuesto en los artículos 29 y 45 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros privados. (554) Reserva de Estabilización a cuenta a (114) Reserva Especiales (114.7) Reserva de Estabilización

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La reserva de estabilización a cuenta figurará en el patrimonio neto del balance disminuyendo los fondos propios. El siguiente asiento se realizará cuando se tome la decisión sobre la distribución del resultado del ejercicio en el que se abonará la reserva de estabilización a cuenta por el importe de su saldo, es decir, por el importe de la dotación del ejercicio: (129) Resultado del ejercicio ó (121) Resultados negativos de ejercicios anteriores a (554) Reserva de Estabilización a cuenta ▪ Cuando se tome la decisión sobre la aplicación de la reserva de estabilización, se realizará el siguiente asiento: (114.7) Reserva de Estabilización a (113) Reservas voluntarias Si comparamos el tratamiento que tenía anteriormente la reserva de estabilización con la que actualmente se expresa en el nuevo Plan, observamos lo que se refleja gráficamente a continuación: BALANCE PLAN 1997

PLAN 2008 PASIVO Y PATRIMONIO PASIVO NETO A) PASIVO A. CAPITAL Y RESERVAS l. Capital suscrito o fondo mutual A-1) Pasivos financieros mantenidos ll. Prima de emisión para negociar lll. Reservas de revalorización A-2) Otros pasivos financieros a lV. Reservas valor razonable con cambios en 1. Reserva legal pérdidas y ganancias 2. Reserva para acciones propias A-3) Débitos y partidas a pagar 3. Reservas estatutarias A-4) Derivados de cobertura 4. Reservas voluntarias A-5) Provisiones técnicas I.- Provisión para primas no 5. Reservas especiales consumidas 6. Otras reservas V. Acciones propias para reducción II.- Provisión para riesgos en curso III.- Provisión de seguros de vida de capital (a deducir) 1.- Provisión para primas no Vl. Resultados de ejercicios anteriores pendientes de aplicación consumidas 2.- Provisión para riesgos en curso 1. Remanente 226

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3.- Provisión matemática 2. Resultados negativos ejercicios 4.- Provisión de seguros de vida anteriores (a deducir) 3. Aportaciones no reintegrables cuando el riesgo de la inversión lo asume el tomador de socios IV.- Provisión para prestaciones Vll. Resultado del ejercicio V.- Provisión para participación en 1. Pérdidas y Ganancias 2. Dividendo a cuenta (a deducir) beneficios y para extornos VI.- Otras provisiones técnicas A. (bis) INGRESOS A A-6) Provisiones no técnicas DISTRIBUIR EN VARIOS A-7) Pasivos fiscales EJERCICIOS 1. Diferencias positivas en A-8) Resto de pasivos moneda extranjera A-9) Pasivos vinculados con activos 2. Diferencias positivas en mantenidos para la venta instrumentos derivados TOTAL PASIVO 3. Comisiones y otros gastos de B) PATRIMONIO NETO adquisición del reaseguro cedido B-1) Fondos propios I. Capital o fondo mutual 4. Ingresos diferidos por 1. Capital escriturado o fondo mutual enajenación de títulos de renta fija 2. (Capital no exigido) 5. Ingresos diferidos por operaciones entre entidades del grupo II. Prima de emisión B. PASIVOS SUBORDINADOS III. Reservas 1. Legal y estatutarias C. PROVISIONES TECNICAS l. Provisiones para primas no 2. Reserva de estabilización 3. Otras reservas consumidas y para riesgos en curso IV. (Acciones propias) ll. Provisiones de seguros de vida 1. Provisiones para primas no V. Resultados de ejercicios anteriores 1. Remanente consumidas y para riesgos en curso 2. ( Resultados negativos de 2. Provisiones matemáticas ejercicios anteriores) lll. Provisiones para prestaciones lV. Provisiones para participación en VI. Otras aportaciones de socios y mutualistas beneficios y para extornos V. Provisiones para estabilización VII. Resultado del ejercicio VIII. (Dividendo a cuenta y reserva Vl. Otras provisiones técnicas de estabilización a cuenta) D. PROVISIONES TECNICAS IX. Otros instrumentos de patrimonio RELATIVAS AL SEGURO DE VIDA CUANDO EL RIESGO DE neto B-2) Ajustes por cambios de valor: INVERSION LO B-3) Subvenciones, donaciones y ASUMEN LOS TOMADORES legados recibidos E. PROVISIONES PARA TOTAL DE PATRIMONIO NETO RIESGOS Y GASTOS l. Provisión para pensiones y TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO obligaciones similares………. NETO

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ll. Provisión para tributos lll. Provisión para pagos por convenios de liquidación lV. Otras provisiones F. DEPOSITOS RECIBIDOS POR REASEGURO CEDIDO G. DEUDAS l. Deudas por operaciones de seguro directo 1. Deudas con asegurados 2. Deudas con mediadores 3. Deudas condicionadas ll. Deudas por operaciones de reaseguro lll. Deudas por operaciones de coaseguro lV. Empréstitos V. Deudas con entidades de crédito 1. Deudas por arrendamiento financiero 2. Otras deudas Vl. Deudas por operaciones preparatorias de contratos de seguro Vll. Deudas por operaciones de cesiones temporales de activos 1. Empresas del grupo y asociadas 2. Otras Vlll. Otras deudas 1. Deudas con empresas del grupo y asociadas 2. Deudas fiscales, sociales y otras H. AJUSTES POR PERIODIFICACION.

5. INCIDENCIA DE LA NUEVA NORMATIVA CONTABLE EN LA INFORMACIÓN FINANCIERA Ya hemos señalado, repetidas veces, que el paso de provisión a reserva de estabilización no afecta a su función paliativa de problemas tales como una siniestralidad inesperada. Sin embargo, esta modificación tiene, a nuestro

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juicio, una gran trascendencia por su incidencia en la información financiera de la empresa. No podemos dejar de recordar que la idea rectora sobre la que pivotan los principios informadores de la Normativa Internacional, en el ámbito contable, ubicados en el Marco Conceptual, es, rememoremos, “siguiendo a Tua (2004) la de dar información útil para la toma de decisiones económicas; en definitiva, la atención de las necesidades de los usuarios y los objetivos de la información financiera”. Lo afirmado anteriormente podría enlazar con las metas pretendidas en el Pilar III del Proyecto Solvencia II, si tenemos en cuenta que éste se refiere a las medidas a adoptar para potenciar la transparencia en la información financiera11. Asimismo, parece que esa misma tendencia es la que inspira la futura reforma de la NIIF 4, pues la Exposure Draft ED/2010/08 pretende modificar esta norma a fin de eliminar prácticas contables y métodos perniciosos propios del ámbito de las entidades aseguradoras, que se han ido desarrollando durante muchos años. Tales usos han comprometido negativamente la debida transparencia de la información proporcionada por las compañías aseguradoras en cuanto a su situación financiera, hasta el punto de que los usuarios e inversores del ramo han llegado a describir la contabilidad en materia de seguros como una “black box” por su falta de claridad e impenetrabilidad, salvo para los muy expertos12. Igualmente, resulta muy revelador que, siendo la imagen fiel (<<true and fair view>>) uno de los objetivos que debe cumplir la información financiera, se haya querido dar preferencia, tal como se deduce del análisis del Marco Conceptual, al fondo sobre la forma, a fin de que, “como nos destaca Tua (2004) la información represente fielmente las transacciones y demás sucesos que se pretenden reflejar, siendo necesario que éstos se contabilicen y presenten de acuerdo con su realidad económica, y no solamente según su forma legal”13. “También Bercovitz (2008) apunta una idea parecida, si bien, al comentar las novedades que introduce la Ley 16/2007, de 4 de julio, al decir que la nueva 11

Consultar a este respecto a Maestro (2004, p. 292) y Alonso González (2007. p. 49). La norma del IASB entrará en vigor probablemente en el 2011. 13 Igualmente, el Plan General de Contabilidad actual recoge expresamente esta idea al vincular el requisito de la imagen fiel de las cuentas anuales a la contabilización de las operaciones contables, atendiendo a su realidad económica y no sólo a su forma jurídica. 12

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regulación dará lugar a un cambio fundamental en la calificación económico-contable de algunos instrumentos financieros utilizados por las empresas españolas. Todo ello por cuanto se exige la calificación de los hechos económicos atendiendo a su fondo y no a su calificación jurídica”. Si conectamos todo lo precedentemente razonado con la definición de Pasivo contenida en el citado Marco Conceptual, que expulsa del mismo las dotaciones para encarar siniestros futuros en las condiciones ya vistas, no parece descabellado deducir que, el nuevo emplazamiento en el Neto Patrimonial de las reservas de estabilización, coadyuva al principio de imagen fiel, que debe ser observado por toda empresa a la hora de formular sus cuentas anuales. La comentada reclasificación permite mostrar una imagen más fiable de la empresa, ya que la información que se está ofreciendo es, ahora, mucho más ajustada a las circunstancias de la empresa, esto es, a la situación patrimonial y financiera de la entidad, que cuando estas provisiones aparecían embebidas en el Pasivo14. Tal vez con la antigua localización de las reservas de estabilización se estaba inflando innecesariamente la cuenta de Pasivo, pudiendo dar como resultado, al restarlo del Activo, un Patrimonio Neto que no se correspondía con la realidad. Con ello, no se hace otra cosa, como apuntábamos más arriba, que caminar en la senda marcada hace años por la profesión contable, que es la que ha venido inspirando el sistema anglosajón, supeditado a los principios contables generalmente aceptados15. En este sentido, Maestro (2000), explica cómo muchos expertos han venido discutiendo el <<carácter de pasivo exigible de la provisión, al configurarse como un patrimonio afecto a un fin, a la manera de un margen de solvencia,

14 La imagen fiel del patrimonio, de la situación financiera y de los resultados de la empresa, que deben mostrar las cuentas anuales, regulada en el Plan General de Contabilidad vigente como meta al que se dirigen los requisitos, principios y criterios contables constituye, a juicio de los estudiosos de Derecho Contable (vgr.: Díaz Echegaray y Díaz- Echegaray López, (2009, p. 81), no tanto un principio contable, como la esencia misma y el objetivo último de la propia contabilidad. De este modo, el resto de los principios están subordinados al de la imagen fiel, hasta tal punto que el artículo 34.4 del Código de Comercio, tras la reforma introducida por la Ley 16/2007, de 4 de julio, de Reforma y adaptación de la Legislación Mercantil en Materia Contable para su Armonización Internacional con Base en la Normativa de la Unión Europea, afirma que << En casos excepcionales, si la aplicación de una disposición legal en materia de contabilidad fuera incompatible con la imagen fiel que deben proporcionar las cuentas anuales, tal disposición no será aplicable. En estos casos, en la memoria deberá señalarse esa falta de aplicación, motivarse suficientemente y explicarse su influencia sobre el patrimonio, la situación financiera y los resultados de la empresa>>. 15 Véase, respecto, el trabajo de Gondra (1991, pp. 564 y ss.); también, Blanco (1983, p. 33).

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que en el fondo guarda una estrecha similitud con la provisión a la que ahora nos referimos>>16. Como muestra de la aplicación que se venía haciendo del concepto de reserva de estabilización, tal como se entendía conforme al artículo 60 del Reglamento de Ordenación y Supervisión del Seguro Privado de 1985, antes de su sustitución por el actual artículo 45 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de Seguros Privados de 20 de noviembre de 1998, pueden traerse a colación Sentencias como la del Tribunal Supremo, Sala 3ª, Sección 3ª, de 2 de junio de 2004, que en su Fundamento de Derecho Cuarto, la concibe, como una especie de “fondo”. En sentido parecido, la del mismo Tribunal, Sala 3ª, Sección 2ª, de 19 de abril de 2007, que explica las distintas denominaciones con que ha sido conocida la reserva de estabilización. Así, expresa, en su Fundamento de Derecho Segundo, letra B), lo siguiente: <<pese a la denominación de Provisión del Seguro de Decesos, es obvio que la misma constituye, tanto por su naturaleza como por su estructura y funcionamiento, una auténtica "Provisión de Desviación de Siniestralidad" o, con otras palabras, según la, normativa reguladora respectivamente imperante, una "Provisión de Estabilización" -desde la vigencia de la Ley 30/1995 - o un "Fondo Técnico de Garantía de Seguros de Decesos" -con anterioridad a dicha Ley y al grupo normativo derivado de la Ley 33/1984>>17. En definitiva, no es una cuestión nueva la duda de los expertos acerca de si <<unos recursos financieros que se necesitan para la adecuada cobertura de las obligaciones y riesgos asumidos por la compañía deben reconocerse como provisiones técnicas o como recursos patrimoniales>>18. La idea de que el cambio proporciona una imagen más ajustada a la realidad, o, verdaderamente, lo que se entiende por imagen fiel del patrimonio, podría explicar, igualmente, la necesidad de modificar la Ley que regula el Impuesto de Sociedades, al objeto de que esta variación contable en el patrimonio de las entidades aseguradoras, obligadas a realizar estas reservas, no tenga consecuencias desfavorables a la hora de tributar. Puede pensarse que con la reordenación de estas reservas, que acarrea la disminución del Pasivo, la consecuencia normal, desde el punto de vista 16

Maestro (2000, p. 210); asimismo, el trabajo ya citado de Harding et al. (1996). En orden a justificar estas referencias a la Jurisprudencia conviene tener en cuenta las palabras de Blanco (1983, p. 36), al recordar que las normas contables no son sólo normas técnicas, sino además normas jurídicas a aplicar y precisar por los jueces y Tribunales. 18 En estos términos se pronuncian Moreno Ruiz et al. (2009, p. 11). 17

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impositivo, hubiera sido la obligación de las empresas de tributar más a la Hacienda Pública. Sin embargo, es preciso hacer memoria para traer a colación, de nuevo, que esta reforma de la normativa contable no altera la condición de provisión técnica de la reserva de estabilización, que es por lo que, a nuestro modo de ver, se acomete la reforma de la Ley del Impuesto de Sociedades. Tal como confiesa el propio texto de la norma, para garantizar la neutralidad fiscal de la reforma contable, estableciendo en el artículo 13.4 de la citada Ley que <<…el importe de la dotación en el ejercicio a la reserva de estabilización será deducible en la determinación de la base imponible, aun cuando no se haya integrado en la cuenta de pérdidas y ganancias>>. Precisamente, ha sido la debatida naturaleza de pasivo exigible de estas provisiones la que inicialmente supuso un obstáculo para que la normativa fiscal reconociera, en su día, su carácter de gasto deducible. Por lo tanto, al desaparecer las reservas de estabilización de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias, con el nuevo Plan, ha sido preciso volver a revisar la normativa fiscal a fin de que no pierda su condición de gasto deducible, pues podría resurgir el debate acerca de su verdadera noción de provisión, dado que ahora figura en el Patrimonio Neto, y, consiguientemente, su justificación como partida a descontar de la Base Imponible del Impuesto de Sociedades. No obstante, tal como hemos sostenido hasta ahora, “comulgando con la opinión de Maestro (2000)19, contablemente este asiento responde a la idea de cubrir un riesgo previsible”; si bien, añadimos nosotros, porque lo exige la Ley a fin de garantizar la solvencia de la empresa ante hechos inciertos en el momento de hacer la dotación. 6. CONSIDERACIONES FINALES Creemos que este análisis ha servido para hacer una valoración positiva del cambio, por cuanto nos parece que el criterio contable vigente en la actualidad es mucho más racional que el derogado por las razones que hemos ido desbrozando a lo largo de este trabajo y por lo que indicamos, a continuación, en los párrafos siguientes.

Maestro (2000, p. 211).

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Las provisiones técnicas son fondos que crean las entidades aseguradoras para cada ejercicio económico con una parte importante de las primas y que forma parte del pasivo de éstas, ya que entrañan obligaciones de carácter contractual. Es la capacidad que tiene la empresa para hacer frente a las obligaciones contraídas a la fecha de cierre del ejercicio económico, es decir, reflejan, por decirlo así, el dinero que está en juego después de que la compañía se haya comprometido a dar una serie de coberturas a una relación de clientes. Se considera que cumplen con el régimen de solvencia cuando la entidad se encuentre respaldada en un cien por cien (100%) por activos admisibles, debidamente valorados conforme a criterios técnicos, para ese propósito. Expresado en otros términos, las provisiones técnicas son los fondos específicos que las entidades aseguradoras deben mantener para reflejar el importe de las obligaciones contraídas, derivadas de los contratos de seguro, en función de la siniestralidad esperada. En tanto que la reserva de estabilización se constituye para hacer frente a las desviaciones fortuitas desfavorables de los siniestros. Según la normativa reformada, antes de la distribución de los dividendos, como reserva obligatoria, impuesta legalmente. Se establece para garantizar la solvencia y capacidad de la entidad para afrontar los compromisos adquiridos relacionados con aciagos futuros que supongan un exceso de siniestralidad, esto es, debidos a eventos que se producen al margen del patrón corriente o habitual del ramo. Por ello, se comprende que tienen mejor acomodo en el Patrimonio Neto. Como consecuencia de lo anterior, entendemos que la actual normativa contable, hace gala de una mejor técnica, también en este punto, si quiera sea a costa de sacrificar la forma por el fondo, pretendiendo con ello satisfacer la necesidad de lograr una información financiera más depurada, especialmente, en lo atinente a la imagen fiel de la situación patrimonial y financiera de la empresa.

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J U N T A

(∗)

Presidente: D. Julián Oliver Raboso Vicepresidente: D. Vicente Sala Méndez Secretario General:

D E

D. Luís Sáez de Jáuregui Sanz Tesorero: D. Angel Vegas Montaner

G O B I E R N O

(∗)

Vocales: D. Hugo González Riera Dª. Isabel Bañegil Espinosa D. Juan Marina Rufas D. Henry Karsten Dª Almudena García Pérez Dª Rocio de Padura Ballesteros D. Roberto Escuder Vallés

A fecha publicación de estos Anales

237

238

239

240

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ABASOLO LARAUDOGOITIA

AMAIA

ABELLAN COLLADO

JOSE

ABELLAN MANSILLA

Mª ALTAGRACIA

3249

ABOLLO OCAÑA

DAVID

2505

ACEDO ASIN

ENRIQUE

1321 SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, SEGUROS PERSONALES, Director General, Madrid, enrique.acedoasin@antar.es

3223 AON CONSULTING, Consultor, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405588, 91-3405883, aabasolo@aon.es 856

ACEVEDO RODRIGUEZ

VICENTE

2639

ACEVEDO RODRIGUEZ

ALBERTO

2774

ACEVEZ ROBLES

MARIA ISABEL

2371 MERCER HUMAN RESOURCE CONSULTING, SL., Ejecutivo Técnico de Grandes Cuentas, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, ℡ 914569432, 913449154, isabel.acevez@mercer.com

ACHURRA APARICIO

JOSE LUIS

ADAN GALDEANO

LUIS

ADRAOS YAGÜEZ

OSCAR

AGUADO MANZANARES

SALOMON

AGUDO MARQUES

ESTHER

3290 ERNST & YOUNG, Staff Assistant – Actuarial Services, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Torre Picasso, 28020, Madrid,

AGUILAR CANTARINO

ELENA

1770

ALARCON MARTIN

NURIA

2096 AON CONSULTING, Consultor Senior, C/ Rosario Pino, 14-16 , 28020 Madrid, ℡ 91-3405566, 91-3405883, nalarcon@aon.es

ALARCON MARTIN

FRANCISCO

2341 CIGNA LIFE INSURANCE / SEGUROS, Senior Underwriter, Pº del Club Deportivo, 1, 28223 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-4584924, francisco.alarcon@cigna.com

ALARGE SALVANS

JOSEFINA

1320 TOWERS PERRIN / CONSULTORIA, Consultora Senior, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903020, 91-5633115, fina.alarge@towersperrin.com

ALBARRAN GIRALDEZ

SILVIA

1761 BBVA, Pº de la Castellana, 81, Planta 17, 28046, Madrid, ℡ 913745837, silvia.albarran@grupobbva.com

796 456 OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid, ℡ 91-3192233, 91-5362826, luis.adan@overban.com 2678 MUNICH RE, Casualty/Marine Treaty Underwriter, Pº de la Castellana, 18 28046 Madrid, ℡ 91 43196339390 OAdraosYaguez@munichre.com 2726 UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID, E.T.S.I. AGRONOMOS, Actuario, Investigador en Seguros Agrarios, Avda. Complutense, s/n, 28040 Madrid, ℡ 91-3365798, 91-3365797, salomon.aguado@upm.es

ALBARRAN LOZANO

IRENE

1982

ALBARRAN LOZANO

ANA

3001

ALBERTOS CASAS

MARIO

3264

ALBO GONZALEZ

JAIME

1082

ALCALDE CASTILLO

Mª. VIRGINIA

ALCANTARA GRADOS

FCO. MARTIN

1516 ALBROK MEDIACION, S.A., Socio Director, Avda. Virgen de Guadalupe, 24, 1º OF. 2, 10001, Cáceres, ℡ 92-7233430, 927238946, direccion.albroksa@e2000.es

ALCAZAR BLANCO

ANTONIO CARLOS

3291

ALDAZ ISANTA

JUAN EMILIO

ALDEA MUÑOZ

JESUS

ALEJANDRE AGORRETA

BEATRIZ

2302

ALEJOS CASTROVIEJO

MARIA ESTER

3002 GESTIONES SOCIOLABORALES (GESTOLASA), Actuario Consultor, C/ Juan Hurtado de Mendoza, 7º, 1º, 28036 Madrid, ℡ 91-3533150, 91-3456239, ealejo@gestolasa.es

790 PROFESIONAL, Avda. Alberto Alcocer, 13, 28036 Madrid, ℡ 913506350, 91-3509604, vae10@cemad.es

112 737

241

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ALHAMBRA GONZALEZ-TEJERO

FCO. JAVIER

2640

ALMARCHA NAVARRO

INMACULADA

3048

ALMENA MOYA

Mª. ANGELES

1231 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, angeles.almena@hewitt.com

ALMOGUERA ZANGRONIZ

BARBARA

2168

ALONSO ALBERT

RICARDO JOSE

2629

ALONSO ARES

ANGEL

3283

ALONSO BENITO

Mª TERESA

1860 TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002 Madrid, ℡ 91-5903038, 91-5633115, maite.alonso@towersperrin.com

ALONSO BRA

OLGA

2506

ALONSO CASTAÑON

ANA CRISTINA

3026 AVIVA CORPORACIÓN, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002, Madrid, ℡ 91-2971912, ana.alonso@aviva.es

ALONSO DE LA IGLESIA

RUBEN

2530 GESNORTE, S.A., S.G.I.I.C./ FINANCIERA, Actuario Vida Responsable Administración y Control, C/ Felipe IV, 3, 1ª Planta, 28014 Madrid, ℡ 91-5319608, 91-5210536, ruben.alonso@gesnorte.es

ALONSO GARRIDO

RAQUEL

2373 RURAL GRUPO ASEGURADOR, Técnico Operaciones, Basauri, 14, 28023, Madrid, ℡ 91-7007442, raquelag@segurosrga.es

ALONSO GONZALEZ

PABLO JESUS

3003 UNIVERSIDAD DE ALCALA, Profesor de Estadística, Fac. de CC. EE. Y EE., Plaza Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 91-8854275, pablo.alonsog@uah.es

ALONSO LOPEZ

JESUS JOAQUIN

ALONSO LOPEZ

FCO. MANUEL

2402

ALONSO MAROTO

SARA

2201

ALONSO MATELLAN

MONTSERRAT

2830 KPMG, Consultor, Castellana, 95, Madrid

ALONSO PARDO

MARIA BELEN

2976

ALONSO SUAREZ

LAURA

2727 MARSH, MEDIACION DE SEGUROS Y CONSULTORIA DE RIESGOS, Coordinadora de Producción, Pº de la Castellana, 216, Madrid, laura.alonsosuarez@marsh.com

242

ALVAREZ ALVAREZ

EDUARDO LUIS

2624

ALVAREZ ANDRES

SANDRA

2586

ALVAREZ BELEÑO

MONTSERRAT

2246 MAPFRE CAJA SALUD, Jefa de Dpto. Actuarial, Pº de Recoletos, 29, 28004 Madrid, ℡ 91-5813466, 91-5812471, montalv@mapfre.com

ALVAREZ CAMPANA DE LAMBEA

JOSE

ALVAREZ CARRERA

VICTOR

ALVAREZ FERNANDEZ

LUIS

ALVAREZ FERNANDEZ

JUAN JOSE

1163

ALVAREZ JORRIN

DAVID

2401 MAPFRE EMPRESAS, Auditor Interno, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda ℡ 91-5818511, 91-5815146, dalvar@mapfre.com

59 1215 OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director de la División Actuarial y Estudios, C/ de la Princesa, 23, 28008 Madrid, ℡ 91-5380343, 91-5380229, valvarez@ocaso.es 106

ALVAREZ JUDAS

DAVID

2891

ALVAREZ PEREZ DE ZABALZA

ALFONSO

2860 COFACE IBERICA, Director Financiero, C/ Aravaca, 22, 28040 Madrid, ℡ 91-7028835, 91-3104096, alfonso_alvarez@coface.com

ALVAREZ PLAZA

JOSE JAIME

3122

ALVAREZ RAMIREZ

CARLOS M.

1152 AEGON, Director Técnico, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002 Madrid, ℡ 91-5636222, 91-5632874, alvarez.carlos@aegon.es

ALVAREZ RODRIGUEZ

M. ANGEL

1017

242

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ALVAREZ RODRIGUEZ

Mª MERCEDES

ALVAREZ SANZ

ANGEL

AMO GRANADOS

GUILLERMO

1373 HNA, Director Técnico, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 913834704, 91-3870701, guillermo.amo@hna.es

AMOR LOPEZ

ELADIO

1908

ANDRADES LOPEZ

FERNANDO

3301 TOWERS WATSON, Consultor, Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002, Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, fernando.andrades@towerswatson.com

ANDRES CUESTA

JOSE LUIS

ANDRES GARCIA

JORGE

2972

ANDRES GARCIA

MONTSERRAT

3096 AEGON, Controller, C/ Príncipe de Vergara, 156, Madrid, ℡ 656905677, andres.montserrat@aegon.es

ANDREU ARAEZ

ANTONIO R.

3063 ASSSA / SEGUROS SALUD, Administrativo, C/ San José, 50, 1º, 03140 Guardamar del Segura, ℡ 696676041, anto.andreu@gmail.com

3260 ASEMAS, Mutua de Seguros y Reaseguros a Prima Fija, Responsable del Área Actuarial, Marqués de Urquijo, 28, 3ª Planta, 28008, Madrid, ℡ 91-7581145, 91-5596125, mercedes.alvarez@asemas.es 772 A&CONSULTING S.L., C/ Agata, 6 28224 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-7159062, aalvarez@aa-consulting.net

℡ 629756064, eladioamor@yahoo.es

982 ATLANTIS ASESORES, C/ Zurbarán, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 619737611, 91-3835725, jlacb@telefonica.net

ANGEL GALLEGOS

MACARENA

2147

ANGOSO ZAMANILLO

PATRICIA

1222 CIGNA, Directora Técnica, Pº Club Deportivo, 1, Edif. 14, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 91-4184631, patricia.angosozamanillo@cigna.com

ANGUITA ESPINOSA

ANA CRISTINA

2531 LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid, ℡ 91-3017900, anacristina.anguita@libertyseguros.es

ANIDO CRESPO

MARINA

3118 Consultor Freelance, ℡ 620431914, marina.anido@actuarios.org

ANOS CHARLEN

IVAN

2355 PELAYO MONDIALE, Director Técnico Financiero, Santa Engracia, 67-69, Madrid

ANTON MADROÑAL

JORGE

2932 FIDELIDADE-MUNDIAL, Jefe Dirección Técnica Seguros Personales, Juan Ignacio Luca de Tena, 1, 28027, Madrid, ℡ 669604969, jorge.anton.madronal@caixaseguros.pt

ANTON PAYAN

MARIANO

2229

APARICIO HURLOT

JAVIER

789 CONC3NTRA SERVICIOS FINANCIEROS / CONSULTORIA DE DESARROLLO DE NEGOCIO EN SEGUROS Y REASEGUROS, CEO & Senior Partner, C/ Costa Brava, 13, 3º, 28014, Madrid, ℡ 91-3721017, j.aparicio@conc3ntra.es

APARICIO MARTIN

FCO. JAVIER

3090

AQUISO SPENCER

MIGUEL

2044 MARCH VIDA, Director General, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002 Palma de Mallorca, ℡ 971-779284, 971-779293, maquiso@bancamarch.es

ARAGON LOPEZ

RUBEN

1954

ARAGON SANCHEZ

MARIA TERESA

3210 1057

℡ 652416893, asmteresa@hotmail.com

ARANA LOPEZ-ABAD

CARMEN

ARANA RECALDE

SILVESTRE

ARANDA RODRIGUEZ

NURIA

2852

ARCHAGA SIERRA

TERESA

1587 ALLIANZ, COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046, Madrid, ℡ 91-5960548, mariateresa.archaga@allianz.es

ARCONADA MOLERO

MARIA BEGOÑA

2376 ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡: 91-5960647, begona.arconada@allianz.es

ARECHAGA LOPEZ

SANTIAGO

2441

ARENAS CASTEL

DANIEL

2342 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-

135

243

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 4059350,

91-4059358, daniel.arenas@hewitt.com

ARENCIBIA URIEN

ESTER

1577 AON HEWITT, C/ Rosario Pino, 14-16, Torre Rioja, 28020 Madrid, ℡ 91-3405567, 91-3405883, earencur@aon.es

ARES MÉNDEZ

CRISTINA

2575

AREVALO NOYA

JOSE ANTONIO

3054 BULL, Gerente, C/ Carranque, 12, 1º C, 28025, Madrid, ℡ 667686037, jose-antonio.arevalo@bull.es

ARGUELLO ARGUELLO

EVERILDA

225

ARIAS BERGADA

FELIX

352 ARIAS ACTUARIOS, S.L. Socio, C/ Mare De Deu del Pilar, 84-C, 08290 Cerdanyola del Valles, ℡ 93-5946204, 93-5947176, arias@actuarios.net

ARIAS GONZALEZ

Mª ARANTZAZU

1755

ARIAS MARTINEZ

ARACELI

2630

ARIZA RODRIGUEZ

FERNANDO J.

2532

AMIC/SEGUROS, Jefe Dpto. Actuarial, ℡ 91-4231139 , fernando.ariza@amic.es C/ Bolsa, 6, 5º 1, 29015, Málaga, ℡ 615970637, jarjona@uma.es

ARJONA LUNA

JOSE ANTONIO

2609

ARJONA MORENO

ALBERTO

3188 TOWERS WATSON, Associate, C/ Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5633115, alberto.arjona@towerswatson.com

ARMENGOD LOPEZ DE ROA

JOSE

ARNAEZ FERNANDEZ

ALEJANDRO

1786

ARNAU GOMEZ

MONTSERRAT

1810

ARRANZ RAMILA

BRUNO

2810 LIBERTY SEGUROS, CIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Dpto. Actuarial No Vida, C/ Obenque, 2, 28042, Madrid, ℡ 916088092, bruno.a@libertyseguros.es

ARRIBAS LUCAS

EMILIANO

1426

ARRIBAS PEREZ

MANUEL

ARRONIZ MARTINEZ

ENRIQUE

1585 DKV SEGUROS, S.A., Dtor. Dpto. Actuarial, Avda. César Augusto, 33, 50004 Zaragoza, ℡ 976-289221, 976-289130, enrique.arroniz@dkvseguros.es

ARROYO MARTIN

LETICIA

3049 ASEFA, S.A., SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento Actuarial, Avda. Manoteras, 32, 28050, Madrid, ℡ 91-7886722, 91-7812209, leticiaarroyomartin@hotmail.com

ARROYO MATA

M. DEL CARMEN

3105 A.M., GESTION DE PATRIMONIO, Directora Financiera Adjunta, C/ La Masó, 14, 1º D 3, 28034 Madrid, ℡ 606807563, 91-3772949, maria.arroyo@arjusa.com / mariarroyo55@hotmail.com

ARROYO ORTEGA

JOSE IGNACIO

2434 MARCH VIA SEGUROS, Director Actuarial, Avda. Alejandro Roselló, 8, 07002, Palma de Mallorca, ℡ 971-779308, 971779293, iarroyo@bancamarch.es 1422

ARROYO RODRIGUEZ

Mª ELENA

ARTIS ORTUÑO

MANUEL

411

650

585 C/ Llança, 47, 08015, Barcelona, ℡ 93-4021820, manuel.artis@actuarios.org

93-4021820,

ASENSIO FUENTELSAZ

SONIA

2587

ASIAIN ROSO

JOSE IGNACIO

2305 SWISS RE EUROPE, S.A., SUCURSAL EN ESPAÑA / REASEGURO, Chief Actuary España y Portugal, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046, Madrid, ℡ 91-5980281, joseignacio_asiain@swissre.com

ATIENZA MORENO

ALBERTO

812

AVENTIN ARROYO

JOSE ANTONIO

818 MAPFRE SEGUROS DE EMPRESAS, S.A., Director General, Carretera Pozuelo, 52, 28222 Majadahonda Madrid, ℡ 915811083, 91-5818790, javenti@mapfre.com

AVENTIN BERNASES

IRENE

3250

AYARZA BAO

MARTA ISABEL

1292

AYLAGAS POZA

ALVARO

3124 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Consultor, Almagro, 40, 28010,

244

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Madrid, ℡ 620929759, 91-5685838, alvaro.aylagas.poza@es.pwc.com

AYORA ALEIXANDRE

JUAN

3091

AYUSO GUTIERREZ

Mª MERCEDES

1969 UNIVERSIDAD DE BARCELONA, Catedrática de Universidad, Avda. Diagonal, 690, 08034, Barcelona, ℡ 93-4021409, 934021821, mayuso@ub.edu

AYUSO TORAL

JESUS

1566 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Crta. Pozuelo a Majadahonda, 50, 28220 Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5815162, jayuso@mapfre.com

AZPEITIA RODRIGUEZ

FERNANDO

2841 AFI CONSULTORIA, C/ Españoleto, 19, 28010 Madrid

BAGUER MOR

FCO. JAVIER

BAJOS ROMERO

MIGUEL ANGEL

3284

BALADO GRANDE

GEMA

2186 VIDACAIXA, S.A. / SEGUROS VIDA, Responsable Consultoría Actuarial, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914326846, 93-2488556, gbalado@caifor.es

769

BALDO SUAREZ

HERMINIO

1271

BALDO SUAREZ

ALFREDO JOSE

2012 C/ Dr. Esquerdo, 98 - 9º B, 28007, Madrid, ℡ 91-5730839, alfredo.baldo@actuarios.org

BALLESTERO ARRIBAS

LUIS

BALLESTEROS ALMENDRO

FERNANDO

3245 RGA INTERNATIONAL REINSURANCE COMPANY LIMITED, Actuario de Pricing, Pº de Recoletos, 33 pl. 1 28004 Madrid ℡ +3491-6404340, +3491-6404341, fballesteros@rgare.com

BALLESTEROS GUISADO

SERGIO

2728 AXA SEGUROS REASEGUROS, S.A., Auditor Interno, Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5385595, sergio.ballesteros@axa.es

BALLESTEROS PARRA

Mª DEL PILAR

1387

BAÑEGIL ESPINOSA

Mª ISABEL

BAQUERO LOPEZ

Mª JOSE

BARANDA GUTIERREZ

ROMAN

BARBE TALAVERA

PEDRO A.

BARBER CARCAMO

FCO. JAVIER

BARCENA ARECHAGA

IVAN

3172 NOVASTER, Consultor, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001, Madrid, ℡ 902131200, 91-5755302, ivanb35@hotmail.com

BARDESI ORUE-ECHEVARRIA

CARMEN

1300 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socia-Consultora, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

BARQUERO FLORIDO

MARIA V.

2917 UNICORP-VIDA/ SEGUROS Y PLANES DE PENSIONES, Dpto. Técnico, C/ Bolsa, 4, 29015 Málaga, ℡ 952209046, mvbarquero@unicorp.es

BARRADO HERNANDEZ

MARIA CARMEN

3012

BARRANCO MARTINEZ

FRANCISCO

BARRENETXEA CALDERON

CARLOS

1598

BARRIGA LUCAS

VICTOR JOSE

2705 RGA RE INTERNACIONAL, Gerente Actuarial Senior, Pº de Recoletos, 33, Planta , 28004, Madrid, ℡ +3491-6404340, +34916404341, vbarriga@rgare.com

BARRIGON DOMINGUEZ

SERGIO

2564

BARRIOS FERNANDEZ

MARIA

2794 CARDIF, COMPAÑIA DE SEGUROS, Actuario, Julián Camarillo, 21, 4º, 28037 Madrid, ℡ 91-5903001, 91-5903007, maria.barrios@cardif.com

BARRIOS LOPEZ

ANTONIO

2933

802

898 GESINCA CONSULTORA / CONSULTORÍA, Directora Consultoría, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146071, ibanegil@caser.es 1798 756 3089 SEGUROS SOLISS/ SEGUROS, Actuario, C/ Santa Fe, 16 4º, 45001 Toledo, ℡ 636812954, pedro.barbe@actuarios.org 516 HELVETIA SEGUROS, C/ San Ignacio, 7, 31002 Pamplona, ℡ 948218227, 94-8218204, javier.barber@helvetia.es

℡ 666619354, barrado.c@gmail.com

103

245

APELLIDOS

NOMBRE

BARROCAL DIEGUEZ

MARIA ELENA

BARROS MOYA

ANTONIO

Nº

DATOS PROFESIONALES

2508 971 PREBAL, MUTUALIDAD DE PREVISION SOCIAL, Responsable de Marketing y Expansión Comercial, Casanova, 211, 08021, Barcelona, ℡ 93-2091158, 93-2090187, abarros@prebal.es

BARROSO BARROSO

ELADIO

1325

BAS GALVEZ

ALVARO B.

3106

BAUTISTA GONZALEZ

ANA MARIA

3056 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Técnico en Provisiones Técnicas y Reaseguro, anamaria.bautista@lineadirecta.es

BAYOD CRESPO

FERNANDO

2687

BEATO RAMOS

Mª ISABEL

1128

BEJAR ABAJAS

JUAN CRUZ

1244 APLICALIA GROUP, Presidente Socio-Director, C/ Costa Brava, 13, 2º B, 28034 Madrid, ℡ 902345200, 902345201, juan.bejar@aplicalia.eu

BEJAR MEDINA

BEATRIZ

3302

BEJERANO MORALO

JAVIER

3149 ALLIANZ SEGUROS, Actuario Automóviles y Particulares, Tarragona, 109, 08014, Barcelona, ℡ 93-2286731, javier.bejerano@allianz.es

BELLO RIEJOS

FRANCISCO

BELTRAN CAMPOS

MIGUEL ANGEL

BENEDICTO MARTI

ANTONIO

BENITEZ ESTANISLAO

SALVADOR

1227 HELVETIA SEGUROS, S.A., Actuario (Dtor. Dpto. Actuarial), Pº Cristobal Colón, 26, 41001 Sevilla, ℡ 95-4594908, 95-4593300, salvador.benitez@helvetia.es

BENITO ALCALA

MERCEDES

1846

BENITO DE LA VIBORA

Mª MARTA

2178

BENITO GOMEZ

JUAN LUIS

2811 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5812301, jlbenit@mapfre.com

BENITO SANZ

BEGOÑA

BERBEL FERNANDEZ

AMALIO

2464

BERDEAL BRAVO

Mª DE LA PEÑA

1809 BENEDICTO Y ASOCIADOS, ASESORES, S.L., Directora de Planificación y Desarrollo de Proyectos, C/ Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 91-3080019, 91-3081082, pberdeal@benedictoyasociados.biz

BERLANGA AGUADO

JOSE DAVID

2356

BERLANGA RUI DIAZ

MARIA DEL MAR

3004

BERNAL ZUÑIGA

JOSE LUIS

1644 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Directivo, Isaac Newton, 7, 28760 Tres Cantos, Madrid, ℡ +34619409225, +3491-8072040, ldajbz@lineadirecta.es / jose.bernal@rbs.co.uk

BERNALDO DE QUIROS BOTIA

RAUL

1646

BERRIO MARTIRENA

MIGUEL JOSE

BIOSCA LLIN

PILAR

2740

BLANCO CABRERA

YOLANDA

3014

BLANCO JARA

YOLANDA

2156

BLANCO LOPEZ-BREA

LUIS ARMANDO

2378

BLANCO RODRIGO

VALENTIN

1955

BLANCO RODRIGUEZ

VALENTIN

1955

BLANCO VALBUENA

TERESA

3036 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903076, teresa.blanco@towersperrin.com

BLANCO VICENTE

MARIA JESUS

2475 LIBERTY SEGUROS, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, 91-3017967, maria.blanco@libertyseguros.es

260 1738 616

881

336

246

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

BLASCO GARCIA

ALVARO

2919 GENERALI/GESTION DE RIESGOS Y ACTUARIAL, Actuario, C/ Orense, 2, 28020 Madrid, ℡ 91-3301480, a.blasco@generali.es

BLASCO PANIEGO

IGNACIO

3265 ANALISTAS FINANCIEROS INTERNACIONALES, Consultor, C/ Españoleto, 19, 28010, Madrid, iblascopaniego@gmail.com

BLAZQUEZ MURILLO

ANTONIO P.

2725

BLAZQUEZ SANCHEZ

LAURA

2688 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Pricing, C/ María Blanchard, 6, Portal 10, 2º B, 28320 Pinto, Madrid, ℡ 659901508, ldalbs@lineadirecta.es

BOADA BRAVO

JOSE

BOADO PENAS

MARIA DEL CARMEN

3313 KEELE UNIVERSITY, Lecturer in Economics / Actuarial Science, Keele, Staffordshire ( UK), m.d.boado-penas@econ.keele.ac.uk

718

BOCERO CANENCIA

Mª CARMEN

1567

BODAS SAEZ

SARA BEATIRZ

3251

BOILS TOMAS

LUIS VICENTE

2944

BOJ ALBARRACIN

IGNACIO

2225

BORREGO BALLESTEROS

JULIAN

458

BORREGUERO FIGOLS

RAFAEL

884 APARMUR, S.L., Director General, C/ Jorge Manrique, 4 30107 Murcia, ℡ 667236150, rafael.borreguero@actuarios.org

BORREGUERO IZQUIERDO

SANDRA

2509 ING NATIONALE-NEDERLANDEN, Consultora Employee Benefits, 28108, Alcobendas, Madrid, ℡ 616368278, sborreguero@ingnn.es

BRAVO DEL RIO

MIGUEL PABLO

1303 MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020, Madrid, ℡ 91-5818652, mpbravo@mapfre.com

BRONCANO DUQUE

JAVIER

2057

BUENADICHA CARBO

ALFREDO

2893

BUENO PEREZ

ROSA Mª

BUEY VILLAHOZ

VALENTIN LUIS

BURGOS CASAS

CARMEN

1861

CABALLERO ESTEVEZ

MARIANO

2600 ERNEST & YOUNG / AUDITORIA (SECTOR ASEGURADOR), Manager, Plaza Ruiz Picasso, 1, 28020, Madrid, ℡ 91-5727445, 91-5727275, mariano.caballeroestevez@es.ey.com

893 512

CABALLERO NUEDA

JORGE

3288

CABANAS LOPEZ DE VERGARA

ANTONIO

2861

CABANILLAS GONZALEZ

CARLOS

3069

CABASES CILVETI

PEDRO

CABELLO LOPEZ

ARANTZAZU

2028

CABERO ALAMO

ANTONIO J.

1162

CABREJAS VIÑAS

NATALIA

3115

CABRERA SANTAMARIA

ANTONIO

CACERES GALINDO

FERMIN FCO.

CALDERON CORTES

EULALIA

2476 HANSARD EUROPE LIMITED, Actuaria, Carysfort House, Carysfort Avenue, Blackrock Co. , Dublin, Irlanda

CALDERON MOLINA

CARLOS

2873

CALERO HERNANDEZ

DAVID

1844 UNION DEL DUERO, CIA SEGUROS DE VIDA, S.A., Área de Coordinación y Gestión Técnica, Pº de la Castellana, 167, 28046 Madrid, ℡ 91-5798569, 91-5798570, david.calero@unionduero.es

CALLEJA DE ABIA

CAROLINA

3057 NORDKAPP INVERSIONES, S.V., S.L., Directora Financiera, Plaza Marqués de Salamanca, 3-4, 5ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 914323910, carolinacalleja@nordkapp.es

CALVILLO PRIEGO

FRANCISCO M.

2554 Actuario Vida, francisco.calvillo@actuarios.org

174

620 199

247

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CALVO BENITEZ

LUIS Mª

CALVO DE COCA

JOSE Mª

CALVO TIEMBLO

ELISABETH

CAMACHO FABREGAS

VALENTIN A.

2990 CIRALSA, S.A.C.E. / AUTOPISTA DE PEAJE, Director Administrativo Financiero, Autopista AP-7, PK 703.000 / Área de peaje Monforte del Cid, 03670, Monforte del Cid, Alicante ℡ 966075970, 96-6075990, v.camacho@ciralsa.com

2132 SCOR GLOBAL LIFE SE IBERICA SUCURSAL, Responsable Actuarial, Pº de la Castellana, 185, Planta 9, 28046, Madrid, ℡ 914490819, lcalvo@scor.com 523 EUROFINANZAS GESTIÓN, S.L., GESTIÓN DE PATRIMONIOS, Socio Director, Acera de Recoletos, 11 – 2º 47004, Valladolid josemaria@eurofinanzas.es ℡ 609427111 2631 ALLIANZ LEBENSVERSICHERUNGS AG, Actuarial Manager IAE DAV in Allianz Global Life, Reinsburgstr. 19, D-70178, Stuttgart, Alemania, ℡ +49-711-6634015, elisabeth.calvo@allianz.de

p_camachof@yahoo.es

CAMACHO FERRER

PABLO

2610

CAMACHO GARCIA-OCHOA

ANGEL LUIS

1750 GROUPAMA SEGUROS, Director División Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid

CAMPANER JAUME

PEDRO

1590

CAMPOS GIL

JOSE

131

CAMPOS IGLESIAS

OLEGARIO

120

CAMPOS LOPEZ

Mª NIEVES

2133 GESNORTE S.G.I.I.C., Directora de Inversiones, Felipe IV, 3, 1º, 28014 Madrid, ℡ 91-5319608, 91-5210536, nieves.campos@gesnorte.com

CAMPOS MARTIN

JOSE CARLOS

2741 GES SEGUROS Y REASEGUROS, Subdirector Ramos Patrimoniales y Reaseguro, Plaza de las Cortes, 2, 28014 Madrid, ℡ 91-3308607, jcarlos_campos@ges.es

CAMPOS MENDIA

DAMASO

2298

CAMPOS MURILLO

LOURDES

2689

CANALES CARLSSON

HELENA

2645 AXA MEDITERRANEAN & LATIN AMERICAN REGION, Actuario – Solvencia II - Dpto. Risk Management No Vida - Dpto. Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1-5º GH, 28050 Madrid, ℡ 91-5388376, 91-5775076, helena.canales@axa.es

CANSECO MORON

ROCIO

2945

CANTERO GARCIA

BEATRIZ

2403

CANTERO GARCIA

CARLOS

2706

CAÑIZARES CLAVIJO

MANUEL

CAÑON CRESPO

MARIA

3150

CARABIAS HUETE

OSCAR

2315 ECOMT ACTUARIOS Y AUDITORES, S.L., Socio Director, Pº de la Castellana, 141, 28046 Madrid, ℡ 91-7498038, 91-5707199, oc@ecomt.es

CARASA CASO

CARLOS

CARBALLO CAYCEDO

LAURA

3133 TOWERS WATSON, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 915903009, 91-5633115, laura.carballo@towerswatson.com

CARCEDO CUETO

JOSE LUIS

2215 MAPFRE RE, Underwriter Life, Heath & P.A., Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 91-5811050, 91-7097461, jlcarcedo@mapfre.com

CARCEDO PEREZ

SOFIA

2946 ALLIANZ COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡ 91-5960716, sofia.carcedo@allianz.es

CARDEÑOSO LASO

TOMAS

3273

CARDO FERNANDEZ

Mª INES

1883 ESTRELLA SEGUROS, Jefe Departamento Actuarial, C/ Orense, 2 , 28020 Madrid, ℡ 91-5905691, 91-3301390, mcardofe@laestrella.es

CARIDAD BENGOECHEA

ALEJANDRO

3189

192

547 CARASA, CILVETI, LACORT Y CIA, CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Director, Bergara, 4, 28005, San Sebastián Guipúzcoa, ℡ 94-3429138, 94-3426727

248

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CARLOS CANELO

NARCISO M.

CARRASCO DURO

ANTONIO

3178

CARRERA BORREGUERO

MIRIAM

3221

CARRERA YUBERO

ROCIO

2357

CARRETERO LAZARO

MARTIN

1851

CARRILLO DOMINGUEZ

MANUEL

CARRILLO MENDEZ

BRIGITTE

1046 MONDIAL ASSISTANCE EUROPE, Responsable Actuarial y Producción, Avda Manoteras, 46, Bis, 28050, Madrid, ℡ 91-3255395, 91-3255441, Brigitte.carrillo@mondial-assistance.es

CARRO LUCAS

IGNACIO

3134 GESINCA CONSULTORA (CASER), Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146020, 91-2033002, icarro@caser.es

CASADO SALVO

ALVARO

2231 MUNCHENER RUCK / MUNICH RE, Suscriptor Vida, Pº de la Castellana, 18, 7ª Planta, 28046 Madrid, acasadosalvo@munichre.com

CASAIS PADILLA

DANIEL

3234 Consultor Senior SAP Treasury and Risk Management (TRM-CFM), 28003 Madrid, danicasais@hotmail.com 1485

545

210

CASAJUS CABAÑUZ

JOSE ANTONIO

CASANOVAS ARBO

JUAN

CASAREJOS FERNANDEZ

JUAN PABLO

3224 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Majadahonda-Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5818515, 91-5818790, jpcasar@mapfre.com

CASARES GARCIA DE DIOS

MARTA

2097 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS, AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971864, marta.casares@aviva.es

CASARES SAN JOSE-MARTI

Mª ISABEL

1668 CASARES ASESORIA ACTUARIAL Y DE RIESGOS, Administradora Única, C/ Orense, 32, 7º C, 28020, Madrid, ℡ 606860036, 91-7702120, mcasares@mcasares.es

CASARRUBIOS GONZALEZ

BEATRIZ

3303

CASAS LORENZO

ROBERTO

2991 CETELEM GESTION A.I.E., Técnico de Planificación Financiera, Retama, 3, 28045 Madrid, ℡ 91-3379161, 91-3379196, roberto.casas@cetelem.es

CASERO RODRIGUEZ

JOSE DANIEL

1533

CASQUERO DIAZ

JUAN F.

2947 CAJA BADAJOZ VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Avda. Juan Carlos I, 17 entreplanta, 06001 Badajoz, ℡ 924-201298, jfcasquero@intranet_cajabadajoz.es

CASTAÑON TORRES

FERNANDO

CASTELLANOS JIMENEZ

ANA

2261 MERCER CONSULTING, S.L., Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ana.castellanos@mercer.com

CASTELLO FORTET

JORGE

1669

CASTRO JUAN

JOSE MANUEL

2775 ING NATIONALE NEDERLANDEN jmcastrojuan@yahoo.es

CATALAN BARRENA

JESUS

2172 TOWERS WATSON, Director, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903066, 91-5633115, jesus.catalan@towerswatson.com

CATALAN GONZALEZ

PALOMA

1024

CELA MARTINEZ

JOSE MARIA

2426 CASER, Dirección Comercial Particulares Vida y Pensiones, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 618055880, jmcela@caser.es

CENALMOR GALAN

JAIME

CEPRIAN ROJAS

JOSE B.

1967

CERDA VIDAL

MARGARIDA

3272

CESTINO CASTILLA

CLARA I.

2601

CHATRUCH GALACHE

MARIA CARMEN

2580

CHAVARREN IRUJO

MANUEL

1580

854

771

487

249

℡ 650422932, jbceprianrojas@cemad.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CHECA GALLEGO

PILAR

2170 KPMG-PENSIONES, Senior Manager, Edif. Torre Europa, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91-4513086, 91-5550132, pcheca@kpmg.es

CHIARRI TOSCANO

Mª LUISA

1337 IDEAS, S.A., Consultora Senior, Avda. General Perón, 14, Planta 1C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, mlchiarri@ideas-sa.es

CHICO RUIZ

ASUNCION

1312 AVIVA VIDA Y PENSIONES, Actuario, C/ Francisco Silvela, 106, 28002 Madrid, ℡ 91-2971867, 91-2971557, asuncion.chico@aviva.es

CIBREIRO NOGUERA

ALBERTO

3199 LINEA DIRECTA ASEGURADORA, Análisis de Precios No Vida, C/ Donoso Cortés, 90, 2º D, 28015 Madrid, ℡ 637414583, albcibreiro@hotmail.com 2134 AXIS REINSURANCE, US, VP Underwriter, EEUU

CIFUENTES OCHOA

ANA Mª

CISNEROS GUILLEN

MANUEL

CISNEROS GUTIERREZ DEL OLMO

NURIA

2477

CLAVERIE GIRON

Mª DE FATIMA

3135 CAJACANARIAS VIDA Y PENSIONES, Responsable Técnico Actuarial, C/ Callao de Lima, 1, 38003, Santa Cruz de Tenerife, mclaverie@cajacanariasvida.es

CLAVIJO NAVARRO

GABRIELA

3109 GENERAL REINSURANCE AG / REASEGURO, Account ManagerAmérica Latina,Theodor-Heuss-Ring 11, 50668, Colonia, Alemania, ℡ +492219738586, +492219738921, gabriela.clavijo@genre.com

CLERIGUE RUIZ

NATALIA C.

2187

CLIMENT REDONDO

ENRIQUE

CLOSA CAÑELLAS

JUAN

COGOLLO PEREZ

JUAN CARLOS

COJEDOR HERRANZ

IVAN

3140

COLMENERO VEGA

JOSE

532

COLOMA POYATERO

Mª PAZ

2262

COLOMER LORENTE

ANGELA Mª

2878

COLOMINAS LLOPART

MIQUEL

1591 ZURICH SEGUROS, Director de Suscripción Líneas Personales, Vía Augusta 200, 08021 Barcelona, ℡ 93-3067059, 93-4143248, miquel.colominas.@zurich.com

CONDE GAITAN

PATRICIA

2862 PWC, Consultora, Pº de la Castellana, 53, 28046 Madrid, ℡ 915684518, 91-5685838, patricia.conde.gaitan@es.pwc.com

CONQUERO GAGO

AURORA

CONQUERO GAGO

PILAR

1151

CORDOBA LOZANO

Mª NIEVES

2002

CORET PERIS

JOSE VICENTE

2648 DELOITTE, Vida y Pensiones, Consultor, General Guisan Quai, 38, 8022 Zurich (Suiza), ℡ 0041444216806, 0041444216600, jocoret@deloitte.ch

CORREDOR PEÑA

DANIEL

2907

CORREDOR PEÑA

JESUS

2908

CORTIZO RUBIO

JOSE

1323

COSTA PRIEGO

MIGUEL

2633

COSTALES ORTIZ

Mª LUISA

COSY

GERARD

2795 AEGON SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3594098, cosy.gerard@aegon.es

COUCEIRO RODRIGUEZ

ADRIAN

3311

309

10 685 783

TOWERS WATSON, María de Molina, 57, 28006, Madrid, ℡ 913101088, paz.coloma@towerswatson.com

697

924 C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5, 28020 Madrid, ℡ 609283241, mlcostales@actuarios.org

250

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

CRECENTE ROMERO

FERNANDO

2948 INSTITUTO DE ANÁLISIS ECONÓMICO Y SOCIAL (IAES) – UNIVERSIDAD DE ALCALÁ, Personal Investigador, Plaza de la Victoria, 2, 28802, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 91-8855240, 91-8855211, fernando.crecente@uah.es

CRESPO RODRIGO

Mª MERCEDES

1107

CRESPO RODRIGO

ANGEL

1545 KPMG, Socio, Pº de la Castellana, 95 (Edificio Torre Europa), 28046 Madrid, ℡ 91-4563400, 91-5550132, acrespo@kpmg.es

CRUZ AGUADO

JORGE

2708 MAPFRE AMERICA, Subdirector Técnico. Área de Negocio, Carretera Pozuelo, 52, 28222, Madrid, ℡ 91-5818183, 915811610, cruzj@mapfre.com

CRUZ FERNANDEZ

MARGARITA

1102 AGROSEGURO, S.A., C/ Gobelas, 23, 28023 Madrid, ℡ 918373200, 91-8373225, mcruz@agroseguro.es

CUADRADO RIOFRIO

MARIA JESUS

3050

CUADROS COLINO

Mª DOLORES

1428

CUBERO PARIENTE

ALMUDENA

2776 VIDACAIXA, S.A., DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046, Madrid, ℡ 91-4326853, acubero@segurcaixaholding.com

CUELLAR HERVAS

Mª CARMEN

1349

CUENCA MUÑOZ

ELENA MARIA

3092 MUNICH RE, Underwriter, Pº de la Castellana, 18, 28046, Madrid, ecuenca@munichre.com

CUERNO DIAZ

RAMON

1226

CUERNO DIAZ

PABLO

1838

CUESTA MORENO

JAVIER

2533

DALE RODRIGUEZ

JAVIER

551

DAVILA BRAVO

ENCARNACION

682 SKANDIA VIDA-SEGUROS, Directora General, Ochandiano, 10, 28023 El Plantío, ℡ 91-5243400, 91-5243401, edavila@skandia.es

DAVILA RUIZ

CARLOS

DE ANDRES ALVAREZ

TOMAS

DE ANDRES GARCIA

PAULA

2612

DE ARTEAGA LARRU

MARIA JESUS

3027

DE ARTECHE VILLA

Mª ALMUDENA

1453

DE CABO GARCIA

MARIA

3292

DE CASTRO RODRIGUEZ

RAFAEL

1607

DE CELIS NAVARRO

JAVIER

2233

DE DIOS PARRA

SONIA

2534 ASSEGURANCES, SA NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, S.A., Edifici Mirall Balear-Torre B, Camí de Son Fangos, 100, 07007 (Aeropuerto), Palma de Mallorca, ℡ 97-1228438, sdediosp@assegurances.sanostra.es

1083

DE DIOS VALAGUE

ESTHER LOURDES

3315

DE EVAN CARDONA

SILVIA

1262 ADESLAS, Jefe Atención al Cliente, C/ Príncipe de Vergara, 110, 28002 Madrid, ℡ 91-7369406, 91-5614164, silviaevan@adeslas.es

DE GREGORIO LOPEZ

ANA LUCIA

2650

DE GUZMAN JURISTO

GONZALO

2113

DE IPIÑA GARCIA

JUAN

2332

DE JUAN GRAU

MARIA JOSE

3037 SAN NOSTRA, CIA DE SEGUROS DE VIDA, Actuario, Camí Son Fangos, 100, Edifici Mirall, Torre B, 07007, Palma de Mallorca, ℡ 971-228438, 971-228463, mdejuang@assegurances.sanostra.es

DE JUAN PUIGCERVER

OLIVIA

2842

251

KPMG, Senior Manager, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 607845961, 91-5550132, jdeipina@kpmg.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

DE LA FUENTE CORTES

JAVIER

2380

DE LA FUENTE MENA

RAUL

3161

DE LA FUENTE MERENCIO

IVAN

3070 OPTIMA SERVICIOS FINANCIEROS, S.L., C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001 Madrid, ℡ 617684867, 91-5780103, i.delafuente@optimasf.com

DE LA LOSA CALZADO

AGUSTIN

DE LA MORENA DIAZ

JORGE

2579

DE LA PINTA GARCIA

CARMEN MARIA

2003

DE LA PINTA GARCIA

MARTA

2301

DE LA QUINTANA IRIONDO

ANA SOFIA

2171

DE LA RICA ORTEGA

PILAR

3015

DE LA ROSA GONZALEZ

PEDRO MIGUEL

1874

DE LA ROSA RODRIGUEZ

JOSEP MANUEL

1278 TOWERS WATSON, Director, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903035, manuel.de.la.rosa@towerswatson.com

DE LA SERNA CIRIZA

JAVIER

1977 AON HEWITT, Director Global Benefits, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405565, 91-3405883, jdelaser@aon.es

DE LA LLAVE MONTIEL

MIGUEL ANGEL

3281

DE LA TORRE SAN CRISTOBAL

PEDRO MARIA

1632 FEDERACION DE EPSV DE EUSKADI Hurtado de Amezaga, 14 Bajo. Izda, 48008 Bilbao

DE LARA GUARCH

ALFONSO

2404

DE LEON CABETAS

FCO. JAVIER

1825 MAPFRE RE COMPAÑIA DE REASEGUROS, SA., Dtor. de Contabilidad General, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 915811871, 9158118558, fjdlc@,mapfre.com

692

DE LUCA PEREZ

DIEGO A.

2977

DE MIER SIMON

JOSE ANGEL

2405 IBERCAJA PENSION E.G.E.P., S.A., Pº Constitución, 4, 8ª Planta, 50008 Zaragoza, ℡ 976-767588, jose.demier@ibercaja.net

DE MIGUEL ARROYO

ALICIA

3314 BBVA SEGUROS, Técnico Actuarial

DE MIGUEL FERNANDEZ

IRENE

1576

DE MIGUEL SANCHEZ

JOSE IGNACIO

1527

DE PABLOS SANZ

ADOLFO JOSE

2309

DE PADURA BALLESTEROS

Mª DEL ROCIO

1458 DELOITTE, Socio, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Edif. Torre Picasso, 28020, Madrid, ℡ 91-4432623, rdepadura@deloitte.es

DE PALACIO RODRIGUEZ

GONZALO

2510

DE ZARANDIETA RUIZ

ICIAR

1273

DEL AMA REDONDO

CRISTINA

1796

DEL ANGEL BUSTOS

VELMA H.

2796

DEL BARCO MARTINEZ

IGNACIO

1144 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director General, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, cpps.mad@consultoradepensiones.com

DEL CASTILLO GARCIA

FRANCISCO

DEL CORRO CUBERO

JUAN

DEL COSO LAMPREABE

JAVIER

DEL CURA AYUSO

FRANCISCO

1979

DEL HIERRO CARMONA

MANUEL

2136

DEL HOYO MORA

M. ISABEL

DEL MORAL CASTRO

ISAAC

2634

DEL OLMO CALDERON

ALFONSO A.

2854 BBVA, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid

343 2863 BBVA WB&AM, Valoración de Activos, juan.delcorro@grupobbva.com 624 EJERCICIO LIBRE, Avda. Carlos III, 11, 3º Dcha., 31002, Pamplona, Navarra, ℡ 94-8226306, delcoso@cin.es

680

252

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

DEL POZO AJATES

PEDRO

2894 UNESPA, ASESORIA ACTUARIAL Y FINANCIERA, C/ Nuñez de Balboa, 101, 28006, Madrid, ℡ 91-7451530, pedro.delpozo@unespa.es

DEL POZO LOPEZ

LOURDES

2013 WR BERKLEY ESPAÑA, Directora. de Suscripción, Pº Castellana, 149, 6º, 28046 Madrid, ℡ 91-4492646, 91-4492699, ldelpozo@wrberkley.com

DEL POZO SAEZ

BLAS

2797

DEL REAL PEREZ

SARA

1327

DEL RIO MARTIN

JAVIER

1253

DEL SOLAR BERTOLIN

ANA

1877 KPMG, Directora de Pensiones, Pº de la Castellana, 95, 28046 Madrid, ℡ 91-4563528, 91-5550132, adelsolar@kpmg.es

DEL VALLE ESTEVE

SILVIA Mª

DELGADO FONTENLA

FRANCISCO J.

3119

DELGADO HUERTAS

ENRIQUE D.

2275

DEVESA CARPIO

JOSE ENRIQUE

1740

DEVESA CARPIO

Mª DEL MAR

2358 FACULTAD DE ECONOMIA, UNIVERSIDAD DE VALENCIA, Titular Escuela, Avenida de los Naranjos, s/n, 46022 Valencia, ℡ 963828369, 96-3828370, mar.devesa@uv.es

DEVESA RODRIGUEZ

BENJAMIN

3286 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, S.L., Consultant, Pº de la Castellana, 91, Edif. 23, Planta 14, 28046, Madrid, ℡ 608699134, 91-5984077, benjamin.devesa@milliman.com

DIAZ ALVAREZ

JOSE FELIX

3200

DIAZ BAEZA

JAVIER

2535

DIAZ BLAZQUEZ

JUAN F.

2326 UNION DEL DUERO CIA DE SEGUROS GENERALES, S.A. / SEGUROS NO VIDA, Director de Contabilidad, C/ Marqués de Villamagna, 6-8, 28001, Madrid, ℡ 91-5139151, juan_francisco.diaz@unionduero.es

DIAZ DE DIEGO

PILAR

3225

DIAZ GIMENEZ

PEDRO

988

pilardiazdediego@hotmail.com

293

DIAZ GOMEZ

ADOLFO

2730

DIAZ IGLESIAS

EDUARDO

3125

DIAZ MARTIN

JAVIER

2949

DIAZ MARTINEZ

ANA ISABEL

2798 ARVAL SERVICE LEASE. RENTING VEHICULOS, Responsable de Análisis y Desarrollos Informáticos, Avda. del Juncal, 22-24, 28703 San Sebastián de los Reyes, ℡ 91-6598324, 91-6591746, anaisabel.diaz@arval.es

DIAZ MORANTE

FRANCISCO

DIAZ QUINTANA

AGUSTIN

DIAZ RUANO

ANA ISABEL

3058

DIAZ SANCHEZ-BRAVO

JAVIER

1073

DIAZ-GUERRA VIEJO

JAVIER

2180 AEGON, Responsable de Desarrollo de Productos, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432863, 91-5632874 diaz-guerra.javier@aegon.es

DIAZA PEREZ

CARLOS HUGO

3279

DIEZ ALONSO

SAMUEL

3136 GENERALI ESPAÑA, S.A., Actuario Vida, Dpto. Desarrollo y Mercado, C/ Orense, 2, 5ª Planta, 28020, Madrid, ℡ 647641408, samu878@hotmail.com

DIEZ ALONSO

OSCAR

3211 TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 3491-5903009, 3491-5633115, oscar.diez@towerswatson.com

DIEZ ARIAS

TEODORO

DIEZ BREZMES

ANA MARIA

425 353

282 1483 SKANDIA, Olief Financial Officer, Vía de las Dos Castillas, 33, Edif.

253

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES E, 28224, Pozuelo, Madrid, ℡ 91-8298800, adiez@skandia.es

DIEZ DE ULZURRUN SANTOS

PALOMA

DIEZ PASO

TOMAS

DIZ NIETO

BARBARA D.

DOLDAN TIE

FELIX RAMON

485 2742

1905 743 3028

DOMINGO GARCIA

MARIA ELENA

DOMINGUEZ ALONSO

MANUEL

DOMINGUEZ BASQUERO

JUAN JESUS

1427

DOMINGUEZ CASARES

VERONICA

3201

DOMINGUEZ CASTELA

FRANCISCO

2757

DOMINGUEZ HERNANDEZ

CARLOS

2558 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Castellana, 43, 28046 Madrid, ℡ 91-5684683, carlos.dominguez@actuarios.org

DOMINGUEZ MARTIN

RAUL

1931

DONAIRE PASCUAL

SUSANA

DUARTE CARTA

ENRIQUE

3071 AON CONSULTING, Dpto. Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405577, 91-3405883, eduartec@aon.es

751

931 IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, sdonaire@ideas-sa.es

DURAN ACEITERO

NIEVES

1634

ECHAZARRA OGUETA

CRISTINA

2498

ECHEANDIA ESCARTIN

ALFONSO

2651 BBVA, Pensiones y Seguros; Finanzas, operaciones y RRHH, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid, ℡ 678625595, alfonso.echeandia@grupobbva.com

ECHEVERRIA IGUARAN

Mª TERESA

ECHEVERRIA MARTINEZ

ALMUDENA

2847 ALLIANZ, Coampañía de Seguros y Reaseguros, C/ General Perón,

ECHEVERRIA MARTINEZ

GUIOMAR

2978

ECHEVERRIA MUÑOZ

JUAN ANTONIO

ECIJA SERRANO

PEDRO

2421 AXA TRAVEL INSURANCE, Actuary, Dublin

EGUIA FERRER

M.LIBERATA

2188 TOWERS WATSON, Consultora, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903029, marili_ef@hotmail.com

EL MOUJAHID CHAKKOR

SAIDA

3064

ELVIRA DIAZ

LORENZO

1280

ENTRENA PALOMERO

LAURA

1061

ESCRIBANO RUBIO

JOSE Mª

1412 GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, Director División Control y Desarrollo de Siniestros, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7447539, jmaria.escribano@groupama.es

ESCUDER BUENO

JUAN

2909

ESCUDER VALLES

ROBERTO

1214

ESCUDERO GONZALEZ

ANA MARIA

2004 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903075, ℡ 609911860, 91-5903081, ana.escudero@towersperrin.com

463 27, 28020 Madrid, ℡ 91-5960085, almudena.echeverria@allianz.es

462 INSUROPE CONSULTORES, S.L., Socio, Avda. Pío XII, 57 bajo, 28016, Madrid, ℡ 91-3431131, 91-3593537, echeverriainsurope@actuarios.org

ESPERT AÑO

SERGIO

2213

ESPETON GARROBO

Mª DOLORES

3082 Actuario, Madrid, mdolores.espeton@actuarios.org

ESPETON JIMENEZ

JULIAN

2017 MINISTERIO DE INTERIOR, Jefe de Servicio Personal Funcionario, Amador de los Rios, 7, 28010, Madrid, ℡91-5371268, 91-5371374, jespeton@mir.es

ESPINOSA DE LOS MONTEROS BANEGAS

ALVARO

2653

254

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ESPINOSA DE LOS MONTEROS JAUDENES

JAIME

1374

ESQUINAS MURILLO

LEYRE

2709 LIBERTY SEGUROS, S.A., Departamento Actuarial Vida, Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 652732024, leire.esquinas@libertyseguros.es

ESTEBAN CORTES

PATRICIA

3151

ESTEBAN LOPEZ

ENCARNACION

2200 AON HEWITT, Actuario, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405589, eesteban@gyc.es

ESTEBAN NUÑEZ

PABLO

2381

ESTEBAN SAGARO

EDUARDO

2370

ESTEVEZ BARTOLOME

RAFAEL

ESTRADA DE LA VIUDA

SONIA

2777

ESTRADA TORRES

ELENA

2407 PREVENTIVA SEGUROS, Actuario, C/ Arminza, 2, 28023 Madrid, ℡ 91-7102510, 91-7102656, eestrada@preventiva.com

ESTRADA TORRES

MARIA JESUS

2443

EXPOSITO LORENZO

RAUL

2864 GRUPO CAJA MADRID, Director de Contabilidad Madrid LeasingFinanmadrid, Doctor Esquerdo, 138, 3ª Planta, 28007 Madrid, ℡ 91-7796938

EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA

SERGIO

EZCURRA LOPEZ DE LA GARMA

GUILLERMO

1344

FAJARDO BASCUAS

MIGUEL ANGEL

1724

FAJARDO LLANES

MAGDALENA

3246

FALCETO JARILLO

MARIA ISABEL

2920 MUTUA MADRILEÑA, Actuaria (No Vida), Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5922896, 91-3084241, ifalceto@mutuamad.es

FAUS PEREZ

RICARDO

2566

FEANS GARCIA

ENRIQUE

FEMENIA ZURITA

FRANCISCO

3179 COLEMONT, S.A. / BROKER REASEGUROS, Socio-Director, C/ Zurbarán, 9, B-Izq., 28010 Madrid, ℡ 91-4008962, 91-4095483, francisco.femenia@colemont.es

451

891

AVIVA, Actuario, Plza. Legión Española, 8, 46010 Valencia, ℡ 963895861, ricardo.faus@aseval.com

449 FEANS ASESORES, Titular, C/ República el Salvador, 23, 1º D, 15701, Santiago de Compostela, A Coruña, ℡ 98-1593023, 981593378, enrique@feans.com

FENOLLAR CAÑAMERO

JOSE MARIA

1071

FERNANDEZ ALONSO

ALBERTO

3059 OCASO SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Del Campo, 40, Ptal. 1, 2º B, 28229 Villanueva del Pardillo, alberto_actuario@yahoo.com

FERNANDEZ BENITEZ

NORBERTO

2999

FERNANDEZ CABEZAS

GRACIELA

2921

FERNANDEZ COGEDOR

JOSE IGNACIO

3316 1756

nacho3279@hotmail.com

FERNANDEZ DE LARREA ARENAZA

LUIS

FERNANDEZ DE PAZ

TEOFILO

108

FERNANDEZ DE TRAVANCO MUÑOZ

LUIS

191

FERNANDEZ DIAZ

Mª LOURDES

FERNANDEZ DIAZ

SUSANA

1802

FERNANDEZ DOMINGUEZ

CELINA

2343

FERNANDEZ ESCRIBANO

FIDEL

2611 BBVA, VP en Inversión por cuenta propia, Pº de la Castellana, 81, 28046, Madrid, ℡ 91-3744502, fidel.fernandez@grupobbva.com

845

FERNANDEZ FERNANDEZ

DANIEL

2896

FERNANDEZ FERNANDEZ

ALEJANDRA

3240

FERNANDEZ GARCIA

ADOLFO

774

255

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

FERNANDEZ GARCIA

MIRIAM

2511

FERNANDEZ GOMEZ

SONIA

1623

FERNANDEZ GOMEZ

SANDRA

2537

FERNANDEZ GONZALEZ

FRANCISCO

FERNANDEZ GRAÑEDA

PABLO

FERNANDEZ MARTINEZ

Mª DOLORES

FERNANDEZ MORILLO

BLANCA

FERNANDEZ MUÑOZ

Mª LUISA

FERNANDEZ PALACIOS

JUAN

FERNANDEZ PESTAÑA

SUSANA

FERNANDEZ PIRLA

JOSE

DATOS PROFESIONALES

214 EJERCICIO LIBRE PROFESIONAL, Plaza Reyes Magos, 12, 28007 Madrid, ℡ 91-4335361, pacofg37@gmail.com 2897 935 3173 811 722 1928 5

FERNANDEZ PITA

CARLOS

FERNANDEZ PLASENCIA

MARTIN JAVIER

1417 IDEAS, S.A., Socio Director, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, jmfernandez@ideas-sa.es 3110

666

FERNANDEZ QUILEZ

JULIO IGNACIO

FERNANDEZ RAMIREZ

CARLOS

FERNANDEZ REY

PATRICIA

2711 AXA, Actuario Experto, Esudios de Siniestralidad, Camino Fuente de la Mora, Madrid, ℡ 639009026, pfernandezrey@yahoo.es

FERNANDEZ RODRIGUEZ

VERONICA

3152 LIBERTY SEGUROS, C/ obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 913017900, veronica.fernandezrodriguez@libertyseguros.es

848

FERNANDEZ RODRIGUEZ

Víctor

3325

FERNANDEZ RUEDA

DAVID

2422 SANTANDER INSURANCE HOLDING, Director de Productos, CGS, Avda. de Cantabria s/n, 28660 Boadilla del Monte (Madrid), ℡ +34615906942, davifernandez@gruposantander.com

FERNANDEZ RUIZ

ANTONIO J.

FERNANDEZ RUIZ

JOSE LUIS

FERNANDEZ SANCHEZ

JOSE LUIS

FERNANDEZ TAPIA

JORGE

3317

FERNANDEZ TEJADA

CESAR

1455 SEGUROS DE VIDA Y PENSIONES ANTARES, S.A., Gerente Técnico, Distrito C Edificio Oeste 1 Planta 9ª Ronda de la Comunicación s/n 28050 Madrid, ℡ 91-4831617, cesar.fernandez@antar.es

FERNANDEZ TEJERINA

JUAN CARLOS

2312 CAJA ESPAÑA VIDA, SA. Responsable Actuarial, C/ Los Zarzales, 20-2ºG, 24007 Villaobispo de las Pegueras, ℡ 637465570, 987875340, jcftejerina@ono.com

FERNANDEZ VERA

ANTONIO

385 1767 LIBERTY SEGUROS, Manager Reaseguro Vida y No Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, jose.fernandez@libertyseguros.es 271

758 GRUPO DE ASESORES PREVIGALIA / CONSULTORIA, Socio, Albadalejo, 2, 28037, Madrid, ℡ 670026274, antoniofvera@gaprevigalia.com

FERNANDEZ VERDESOTO

ANA ISABEL

2236

FERRER PRETEL

JUAN IGNACIO

3097 UNICORP VIDA, Director de Marketing Operativo, C/ Bolsa, 4, 3º Planta, 29015 Málaga, ℡ 952-209010, 952-609878, ji.ferrer@unicorpvida.com

FERRER SALA

JUAN

FERRERAS MORENO

DARIO

2831 MAPFRE AUTOMOVILES, Director Servicios Técnicos, Siniestros, Ctra. Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), 91-5818536, dferre@mapfre.com

FERRERUELA MAYORAL

CAROLINA

2227 AXA, Consultor Procesos ( Black Belt Senior ), Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388681, 91-5385657,

520

256

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES carolina.ferreruela@axa.es

FERRIOL FENOLLOSA

INMACULADA

2599

FERRO MORA

ANA MANUELA

1974 BBVA, Responsable Gestión Global de Compromisos, Pº de la Castellana, 81, 28046 Madrid, ℡ 91-3744274, 91-3744969, ana.ferro@grupobbva.com

FIANCES AYALA

EMILIO

3117 AON BENFIELD, Actuario Consultor de Reaseguro, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405750, 902309303, emilio.fiances@aonbenfield.com

FIDALGO GONZALEZ

MONICA

3072

FIGUEROA SANCHEZ

CARLOS

3029 MUTUA MADRILEÑA AUTOMOVILISTA / SEGUROS, Técnico Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046, Madrid, ℡ 91-5922828, cfigueroa@mutua-mad.es

FLAMARIQUE SOLERA

SILVIA

3241

FLEIXAS ANTON

ANTONIO

FLORIDO CASTILLO

MIGUEL

2590 AXA SEGUROS, Responsable ALM, Camino Fuente de la Mora, 1. 28050 Madrid, ℡ 91-5388691, miguel.florido@axa.es

FLORINDO GIJON

ALBERTO

2139 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

FOLLANA MURCIA

PABLO

1995

FOLGADO GUZMAN

EDUARDO VICENTE

3261

FONT GRANDIA

Mª TERESA

1446

FORTUNY LOPEZ

ENRIQUE

2731 ASCAT VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director Técnico, C/ Roure 6-8, Polígono Mas Mateu, 08820, El Prat de Llobregat, ℡ 93-4848874, 93-4845401, enric.fortuny@ascat.es

FRAILE FRAILE

ROMAN

FRANCIA CASADO

Mª TERESA

1751

FRANCO GONZALEZ-QUIJANO

Mª TERESA

2950 AXA MEDITERRANEAN REGION, Actuario Experto No Vida – Risk Management P&C, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388689, 91-5775076, teresa.franco@axa.es

FRANCO GONZALEZ-QUIJANO

AMPARO

3212 MONDIAL ASSISTANCE, Actuario No Vida, Edificio Delta Mora, 3, Avda. de Manoteras, 46, Bis, 28050 Madrid, ℡ 649613938, amparo.franco@mondial-assistance.es

FREIRE GESTOSO

MANUEL P.

FREYRE GASULLA

EDUARDO

FREYRE GASULLA

JAVIER

1726

FUENTES MENDEZ

TOMAS

2264

FUSTER CAMARENA

ALEJANDRO F.

2779 PROSEG, CORREDURIA DE SEGUROS, S.L., Actuario; Director Técnico, C/ L`Amistat, 7-5, 46021, Valencia, ℡ 96-3899896, 963141984, afuster@proseg.es

GADEA TOME

FELIX

GALAN GALLARDO

RODRIGO

GALAN GARCIA

RUBEN

3164 GENERALI SEGUROS, Responsable de Control de Grupo Actuarial y de Riesgos, Orense, 2, 28020, Madrid, r.galan@generli.es

C/ Buganvilla, 10, 28036 Madrid, ℡ 678629054, silviaflamarique@gmail.com

981

980 ASSEGURANCES GENERALS ANDORRA / Seguros y Reaseguros en Andorra, Director General Adjunto, Sant Salvador, 7, AD500, Andorra La Vella, Andorra, ℡ 635513627, romanfraile@hotmail.com

426 794

162 625

GALDEANO LARISGOITIA

IRATXE

2277

GALERA LOPEZ

ROCIO BELEN

2469

GALIANO DE LA LLANA

MARIA NOELIA

3300

GALLEGO ALUMBREROS

FRANCISCO

705

257

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GALLEGO HERNANDEZ

RUTH

2992

GALLEGO RIVERO

RAQUEL

3073

GALLEGO VILLEGAS

OLGA Mª

1363 C.N.P. BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, S.A., Directora Técnica, C/ Ochandiano, 16, El Plantio, 28023, Madrid, ℡ 91-4231766, olga.gallego@cnpbvp.eu

GALLEGOS DIAZ DE VILLEGAS

JOSE ELIAS

GALLEGOS ROMERO

JOSE ELIAS

GALLO BUSTINZA

MARCOS

GANDARA DEL CASTILLO

LAUREANO

GANGUTIA ARIAS

ALMUDENA

1150 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, Ciudad Grupo Santander, Avda. Cantabria s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 91-2890208, agangutia@gruposantander.com

GARATE SANTIAGO

FCO. JOSE

2813 AXA SEGUROS, Internal Audit, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, francisco.garate@axa.es

GARCES BLASCO

Mª ESTHER

2513

GARCIA ALONSO

FRANCISCO

GARCIA ARIETA

JESUS

GARCIA AZPEITIA

REGINA

GARCIA BALLESTEROS

FELIPE

3170

GARCIA BERIHUETE

JOSE MARIA

2344

GARCIA BODEGA

FERNANDO

GARCIA BORJA

MARIA NIEVES

2528

GARCIA CARRERO

Mª ROSA

1631

GARCIA CASLA

ANA ISABEL

2409

GARCIA CEDIEL

ALFREDO

1138

GARCIA CHERCOLES

ANA

3293 MAPFRE FAMILIAR, Actuaria, Crta Pozuelo Majadahonda, 50, 28222, Majadahonda, Madrid, ℡ 91-5812434, agarc1@mapfre.com

GARCIA DEL CURA

MARIO

1626 MAPFRE AMERICA, Director Técnico Comercial, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5811655, 915811610, mgarci1@mapfre.com

GARCIA DEL VILLAR

ALVARO LUIS

3142 CASER, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, agarcia4@caser.es 3153

C/ Sierra Toledana, 4, 28038 Madrid, ℡ 655441389, raquel.gallego.rivero@gmail.com

91-4376476,

766 MUSAAT, Director General, C/ Jazmín, 66, 28033, Madrid, ℡ 913841120, jegallegos@musaat.es 161 2278 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Actuario Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com 470

785 GENERAL REINSURANCE AG – SUCURSAL EN ESPAÑA, Director General Adjunto, Plaza Manuel Gomez Moreno, 2, 28020, Madrid, ℡ 00340 91-7224721, 0034 91-3195750, fgarcia@genre.com 1819 874

395 C/ Vicente Jimeno, 18, 28035, Madrid, ℡ 669893542, fernandogbodega@gmail.com

GARCIA DIEZ

JOSE LUIS

GARCIA ESTEBAN

FRANCISCO

GARCIA FERNANDEZ

CESAREO

GARCIA FERNANDEZ

JULIO MARCOS

1037

GARCIA FERNANDEZ

Mª PAZ

1350

GARCIA GARCIA

PABLO

1797

GARCIA GARCIA

RAQUEL

2384

GARCIA GARCIA

SUSANA

2865

GARCIA GARCIA

MARIA ESTER

2910

GARCIA GOMEZ

ANGEL

2140

118 169

258

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GARCIA GONZALEZ

EDUARDO

1812

BBVA - Gerente de auditoría interna de pensiones y seguros Plaza Santa Bárbara, 1 28004 Madrid eduardo.garcía2@grupobbva.com

GARCIA GUTIERREZ

JOSE M.

2602

GARCIA HERRERO

CARLOS

3159 GRUPO SANTANDER / DIVISION AUDITORIA INTERNA, Auditor Senior, Avda. de Cantabria s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ +34610612484, carlosgarciah@gruposantander.com

GARCIA HIGES

JOSE MARÍA

3326

GARCIA HONDUVILLA

PEDRO

1134

GARCIA HORMIGOS

CARLOS

2162

GARCIA LANGA

PEDRO

2764

GARCIA LOPEZ

JUAN ANTONIO

1370 IDEAS, S.A., Manager, Avda. General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, jgarcia@ideas-sa.es

GARCIA LOPEZ

ESTELA

2526

GARCIA MANZANO

IDOYA

3182

GARCIA MARCOS

LUIS MARIA

2848

GARCIA MARTIN

YENI

GARCIA MARTINEZ

JAIME LUIS

1112 MUTUALIDAD GEENERAL DE LA ABOGACIA, Responsable Técnico, Serrano, 9, 28001 Madrid, ℡ 91-4100852, 914319915, igarcia@mutuabog.com

GARCIA MERCHAN

MARGARITA

1783 UNION AUTOMOVILES CLUBS SA DE SEGUROS Y REASGRS., Responsable Área Técnica, C/ Isaac Newton, 4, 28760 Tres Cantos, ℡ 91-5947422, 91-5947479, margarita_garcia@race.es

GARCIA MUNERA

JUAN CARLOS

2273

GARCIA NAVIA

JOSE MARIA

142

GARCIA NIETO

FCO. JAVIER

1415

GARCIA ORDOÑEZ

JUAN CARLOS

2850

GARCIA PEREZ

ALMUDENA

2254

GARCIA PEREZ

ESTHER

2692 MUTUA MADRILEÑA, Actuario No Vida, Castellana 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5922834, egarcia@mutua-mad.es

GARCIA RODRIGUEZ

MARIA ESTHER

2765

GARCIA RODRIGUEZ

JULIO MANUEL

2935

GARCIA SALAMANCA

NOELIA

2952 LIBERTY SEGUROS / ACTUARIAL VIDA, Actuario, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, noelia.garcia@libertyseguros.es

GARCIA SANCHEZ

ALBA

3154 TOWERSWATSON, Actuario No Vida, Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ +34 91-5903099, +34 91-5633115, alba.garcia@towerswatson.com

AEGON, Actuario, Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 914573233, carlosgh@actuarios.org

689

℡ 659654900, almudena.garcia@actuarios.org

GARCIA SANTAMARIA

MONICA

2515

GARCIA SESEÑA

RAFAEL

3038 ASEGURADORA DE CREDITOS HIPOTECARIOS GENWORTH FINANCIAL, Dpto. Loss Mitigation, C/ Luchana, 23, 5ª Planta, 28905, Madrid

GARCIA SIERRA

GEMA

2923 Actuario, Madrid, g_garciasierra@yahoo.es

GARCIA TORIBIO

SUSANA

1959

GARCIA VILLALON

JULIO

GARCIABLANCO GONZALEZ

MARIO LUIS

GARCIA-BORBOLLA Y CALA

RAFAEL

GARCIA-BUSTAMANTE MARCHANTE

ANTONIO JUAN

1560

GARCIA-HIDALGO ALONSO

ENRIQUE JOSE

2832 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-4233400, garciahidalgoe@willis.com

202 Jubilado. Profesor Emérito Universidad Valladolid, Presidente honorífico “ASEPUMA”. 2359 269

259

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

GARCIA-OLEA MATEOS

JOSE LUIS

DATOS PROFESIONALES

2613

GARCIA-PERROTE GARCIA-LOMAS

JORGE

1806

GARCISANCHEZ CID

MARGARITA

2329 AGROSEGURO, S.A., Actuario Senior, C/ Gobelas, 23, 28023, Madrid, ℡ 91-8373200, 91-8373225, mgarcisa@agroseguro.es 1636

GARMENDIA ZORITA

JUAN IGNACIO

GARRALDA SACRISTAN

ANGELES

GARRE CONTRERAS

MIGUEL ANGEL

GARRIDO ALVAREZ

RAFAEL

GARRIDO MEDRANO

EVA M.

GARRIDO VAQUERO

Mª DEL PILAR

GAVIRIA BARANDICA

JUAN JOSE

1027

GESSA DIAZ

JOAQUIN

2190

GESTEIRA LAJAS

SOFIA

3165

GIL ABAD

VICTOR LUIS

1357

GIL ALCOLEA

ONOFRE

GIL CARRETERO

SANTOS

GIL COSPEDAL

Mª VICTORIA

1953

GIL DE ROZAS BALMASEDA

GREGORIO F.

2065 TOWERS WATSON, , C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, gregorio.gilderozas@towerswatson.com

GIL FANA

JOSE ANTONIO

1194

GIL PEREZ

JAVIER

1347 FENIX DIRECTO, Responsable S.Técnico, Avda. General Perón, 27, 28020 Madrid, ℡ 91-4326964, 93-2288436, javier.gil@fenixdirecto.com

GIL ROVIRA

JUAN ANTONIO

2219

GILABERT PEREZ-TERAN

OSCAR

3039

GILSANZ PALANCAR

ANGEL LUIS

2006 SWISS RE EUROPE, S.A., Senior HR Manager Western Europe (Branches), Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91-5981726, 91-5981780

GIMENEZ ABAD

CARMEN

2994 MERCER, Consultor / Actuario, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, ℡ 91-5142653, 91-3449133 carmen.gimenez@mercer.com

940 1704 501 BARCLAYS VIDA Y PENSIONES, Compañía de Seguros, C/ Mateo Inurria, 15, 28036 Madrid, ℡ 91-3361057, rafael.garrido@barclays.com 2771 795

901 276

GIMENEZ BOSCH

FRANCISCO

1742

GIMENO BERGERE

CELIA ANA

3203

GIMENO MUNTADAS

ANTONIO

GINER AGUILAR

LUIS

GIRIBET BOVE

JUAN

GISBERT BERENGUER

MARIA

2971

GISBERT MOCHOLI

LLUIS

3266 REALE SEGUROS, Agente Exclusivo, Avda. Pianista Martínez Carrasco, 1-21, 46026, Valencia, ℡ 660948537, lluisgisbert@yahoo.es

GOMEZ ABAD

BEGOÑA

2181

GOMEZ ALVADO

FRANCISCO

1910

GOMEZ CASTELLO

ROSA EMILIA

920 PROECO-GABINETE TECNICO, S.L., Gerente, C/ Alcira, 2, entresuelo, 46008 Valencia, ℡ 96-3840226, 96-3850142, emilia.gomez@actuarios.org

GOMEZ DE LA LASTRA

PEDRO

314

86 2924 BBK, Director Oficina, Avda de las Cortes Valencianas, 37 46015, Valencia, ℡ 96-3409235, 96-3401145, lginerag@bbk.es 224

260

MUTUAPESCA, ℡ 686605109, mgisbert@yahoo.es

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GOMEZ DE LA VEGA GONZALEZ

JOSE LUIS

GOMEZ DEL AMO

Mª ANGELES

3098 WATSON WYATT / CONSULTORIA, Consultora, mgdelamo@hotmail.com 2330

GOMEZ GALAN

JOSE GABRIEL

GOMEZ GARCIA

JOSE M.

GOMEZ GIL

JOSE LUIS

1652

GOMEZ GISMERA

RUBEN

3235

GOMEZ GOMEZ

JUAN JESUS

1438 MEDITERRANEO VIDA, S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Director General, Avda. de Elche, 178, Edif. La Estrella, 2, 03008 Alicante, ℡ 96-5905447, 96-5905354, jjgomez@mvida.cam.es

GOMEZ HARO

ADELAIDA

3030 Avda, Velázquez, 19, 5º 26, 29003 Málaga, ℡ 606914346, netadgoha@hotmail.com

GOMEZ HERNANDEZ

ESPERANZA

1489

GOMEZ JUAREZ

AURELIO

2331

GOMEZ LOPEZ

MANUEL

2458

GOMEZ PASTOR

VALVANERA

3067

GOMEZ ROJAS

FELIPE

1858 WATSON WYATT INSURANCE CONSULTING, Director, C/ María de Molina, 54, 7º planta, 28006 Madrid, ℡ 667609063, felipe.gomez@watsonwyatt.com

GOMEZ SANZ

MARCIANO

GOMEZ-CHOCO GOMEZ

RAUL

3155 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Actuario, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 91-2892315, rgomez-choco@gruposantander.com

GOMEZ-PARDO PALENCIA

CARLOS

3040 GROUPAMA SEGUROS S.A, Actuario División Estudios Actuariales, Plaza Cortes, 8, 28014, Madrid, ℡ 91-7016961, carlos.gomez-pardo@groupama.es

GONZALEZ ANTOLIN

Mª ELENA

3242 TOWERSWATSON, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006 Madrid, ℡ 91-3101088,

GONZALEZ AYJON

EDUARDO

2761 INMOBILIARIA MAGURSA IBERICA, S.L., C/ Virgen de la Alegria, 7, Local, 28027, Madrid, ℡ 94-9322977, 94-9292687, eduardogonzalez@magursa.es

GONZALEZ BARROSO

MIGUEL ANGEL

1746

GONZALEZ BARROSO

ANGEL

2603 DIRECT SEGUROS, Actuarial-Estadístico, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, ℡ 91-5385957, angel.gonzalez.barroso@directseguros.es 2516

746

152

m.elena.gonzalez@towerswatson.com

GONZALEZ BLAZQUEZ

FCO. JAVIER

GONZALEZ BUENO LILLO

GABRIELA

GONZALEZ CABALLERO

Mª DEL MAR

2780 AVIVA, COMPAÑÍA DE SEGUROS, Actuario, C/ Bolsa, 4, 4ª Planta, 29015, Málaga, ℡ 952-607846, 952-609878, mm.gonzalez@unicorpvida.com

GONZALEZ CARIDE

MARIA

3236

GONZALEZ CARRETERO

ANA ISABEL

2238 MAPFRE VIDA, Actuario, Avda. General Perón, 40, 28024 Madrid, ℡ 91-5818683, 91-5811709, agonz@mapfre.com

GONZALEZ CATALA

VICENTE T.

GONZALEZ COCA

ANDRES

GONZALEZ DE CASTEJON LLANO P.

MIGUEL

GONZALEZ DEL MARMOL

ALFONSO

GONZALEZ DEL POZO

RAQUEL

424

594 C/ Bueso Pineda, 17, 28043, Madrid, ℡ 91-4154833, ℡ 914153117, v.gonzalez-catala@actuarios.org 850 1141 FINENZA SEGUROS - CONSULTORIA, Socio, C/ Alcalá, 128Interior, 28009, Madrid, ℡ 91-4020204, 91-4018063, m.gonzalezdecastejon@finenza.com 761 2148

261

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GONZALEZ DELGADO

JOSE

GONZALEZ DIEZ

IGNACIO

GONZALEZ FERNANDEZ

CARLOS

1960 CIGNA LIFE INSURANCE COMPANY OF EUROPE, Director Financiero LA&H Europe, Pº del Club Deportivo, 1, Edificio 14, 28223 Pozuelo de Alarcón, ℡ 91-4184645, 91-4184943, carlos.gonzalezfernandez@cigna.com

GONZALEZ GARCIA

JOSE MANUEL

3318

GONZALEZ GOMEZ

FAUSTINO

2713 COMPAÑIA DE SEGUROS ADESLAS, S.A., Responsable Actuarial, C/ Príncipe de Vergara, 110, 28002, Madrid, ℡ 915667062, 91-5665740, fgomez@adeslas.es

GONZALEZ GUILLO

SANTIAGO

3237 OCASO, S.A., COMPAÑIA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario No Vida, C/ Princesa, 23, 28008 Madrid, ℡ 91-5380415, 91-5380229, santiago.gonzalezguillo@ocaso.es

GONZALEZ JIMENEZ

MARIA

3081

GONZALEZ MADARIAGA

JUAN ANT.

GONZALEZ MARCOS

ANGEL LUIS

GONZALEZ MARTIN

M.ª SOLEDAD

1217

GONZALEZ MARTIN

JUAN F.

2239

GONZALEZ MARTIN

MONICA

2360

GONZALEZ MARTINEZ

CLARA ISABEL

2815 OFICINA ECONOMICA DEL PRESIDENTE DEL GOBIERNO, Asesora, Madrid, ℡ 649044008, gonzalez.claraisabel@gmail.com

GONZALEZ MESA

PEDRO JOSE

3120

GONZALEZ MILLAN

M. TERESA

GONZALEZ MONEO

MANUEL

2758

GONZALEZ MORENO

JOSE ANTONIO

2260

GONZALEZ OLIVER

JUAN MANUEL

2781

GONZALEZ REDONDO

JESUS

2855

GONZALEZ RIERA

HUGO

2304 GONZALEZ CATALA ASOC. ACTUARIOS CONSULTORES, S.A., Consejero Delegado, C/ Bueso Pineda, 17, 28043 Madrid, ℡ 914154833 / 91-5196249, 91-4153117, h.glez.riera@actuarios.org

GONZALEZ SALVADOR

FRANCISCO BORJA

3319 AXA SEGUROS E INVERSIONES, Actuario Experto. Unidad de Colectivos de Vida y Pensiones., Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388255, borja.gonzalez@axa.es

GONZALEZ SANCHEZ

JOSE ENRIQUE

GONZALEZ SANCHEZ

JORGE

1369

GONZALEZ SANCHEZ

ANTONIO JOSE

2843

GONZALEZ SANCHEZ-REAL

MARIA ELENA

2655

GONZALEZ URIBEECHEVARRIA

ELENA

2280

GONZALEZ VARELA

FERNANDO

GONZALEZ-COTERA VIAL

ANA

3320

GONZALEZ-LLANOS LOPEZ

AMALIA

1741

GONZALEZ-QUEVEDO GARCIA

FRANCISCO

2499 TOWERS WATSON, C/ Suero de Quiñones, 40-42, 28002 Madrid, ℡ 660260367, francisco.gonzalezquevedo@towerswatson.com 2782

333 450

376 951

919 ℡ 655838973, manuelmoneo@yahoo.es

602 AXA VIDA, S.A., Coordinación Migración, C/ Albacete, 3, 28804, Alcalá de Henares, Madrid, ℡ 609104551, enrique.gonzalez@actuarios.org

571

GONZALVEZ DE MIRANDA FDEZ.

JOAQUIN

GOÑI SOROA

JUAN ANTONIO

GORDO SOTILLO

JESUS JAVIER

3111

GOSALBEZ RAULL

BEGOÑA

1985

553

262

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

GOYANES VILARIÑO

ALFREDO

GRANADO JUSTO

ALVARO

2019 TOWERS WATSON, Consultoría, Consultor, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 91-2018086, 600522652. 917612677, alvaro.granado@towerswatson.com

122

GRANADO SANCHEZ

MANUEL

2306

GRANDE PEREZ

JUAN ANTONIO

3304

GREGORIO PUEBLA

MARIA

3252 MAZARS AUDITORES, S.L.P. / AUDITORIA, Gerente, Claudio Coello, 124, 28006, Madrid, ℡ 91-5624030, mgregorio@mazars.es

GUARDIA BALCAZAR

RAFAEL

2733 HELVETIA SEGUROS, Actuario Dpto. seguros personales ahorro, rafaelguardia@yahoo.es

GUERRA MONES

LAURA

2953

GUERRERO GILABERT

JUAN IGNACIO

793

GUERRERO GUERRERO

JOSE LUIS

412 PREVENTIVA SEGUROS, Director Técnico y de Grandes Cuentas, Arminza, 2 – La Florida, 28023, Madrid, ℡ 91-7102510, ℡ 609059935, jl.guerrero@actuarios.org

GUERRERO PORTILLO

GONZALO F.

GUIJARRO MALAGON

F. JAVIER

GUINEA OLANO

ANGEL

GURTUBAY FRANCIA

JOSE LUIS

1295

GUTIERREZ GALAN

JOSE MANUEL

1264

GUTIERREZ HERRERO

MIGUEL JESUS

3274

GUTIERREZ MIGUEL

MIGUEL ANGEL

1946 BGT AUDITORES, S.L., Socio Auditor, Raimundo Fernández Villaverde, 48, 28003, Madrid, ℡ 606413930, magutierrez@bgtauditores.com

GUTIERREZ SAEZ

RICARDO

2444

GUZMAN LILLO

ISABEL

2626 MULTIASISTENCIA, Directora de Red, ronda de Poniente, 7, 28760 Tres Cantos, ℡ 91-2031899, isabel.guzman@multiasistencia.com

HEATHCOTE

MARK G.

2328 HEWITT BACON & WOODROW LTD, Associate, Prospect House, Abbey View, ST. Albans, Hertfordshire, AL1 2QU, United Kingdom, ℡ +44(0)1727888230, mark.heathcote@hewitt.com

2936 GROUPAMA, Director Depatamento A2M y Riesgos Financieros , Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7016919, gonzalo.guerrero@groupama.es 903 254

℡ 619728092

HELGUERO VALVERDE

ANA ISABEL

2656

HERNAN PEREZ

JUAN MIGUEL

1971

HERNANDEZ

JEAN-LOUIS

2614 MUTUA MADRILEÑA, Director Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5929853, jlhernandez@mutua-mad.es

HERNANDEZ CUESTA

JOSE MARIA

1520 MAPFRE FAMILIAR, Auditor Interno, Carretera Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5814806, jmhern4@mapfre.com

HERNANDEZ ESTEVE

ALBERTO

HERNANDEZ FERNANDEZ-CANTELI

CARLOS

1259

HERNANDEZ FERRER

MARIA TERESA

3247 PWC, Madrid

HERNANDEZ GALINDO

JOSE

HERNANDEZ GONZALEZ

DANIEL

HERNANDEZ GUERRA

ANTONIO

HERNANDEZ GUILLEN

ALMUDENA

1772

HERNANDEZ MARCH

JULIO

1288

301

144 2204 MINISTERIO DE SANIDAD Y POLITICA SOCIAL, Jefe de Área de Entidades Tuteladas, Recinto Nuevos Ministerios, Ministerio de Fomento, Pº de la Castellana, 67, 6º Planta B607, 28071 Madrid, ℡ 91-8226540, daniel.hernandez@actuarios.org 576

263

BUCK CONSULTANTS, Avda. de Burgos, 12, 28036, Madrid, ℡ 913102699, 91-3102697, almudena.hernandez@buckconsultants.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

HERNANDEZ MARTIN

DIONISIO

HERNANDEZ OCHOA

ENCARNACION

HERNANDEZ PALACIOS

MANUEL JOSE

3016 GENWORTH FINANCIAL, Responsable Actuarial y de Desarrollo de Nuevos Productos, C/ Luchana, 23, 5º L, 28010, Madrid, ℡ 679194284, manuel.hernandez@genworth.com

HERNANDEZ POLLO

JOSE RAMON

1149

HERNANDEZ RAMOS

SARA

3051

HERNANDEZ ZAMORA

ALFONSO

2694 CANTABRIA VIDA Y PENSIONES DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Director Técnico, Plaza Velarde, 1, 39001, Santander, Cantabria, ℡ 94-2764802, 94-2764803, alfonso.hernandez@cvyp.es

HERNANDO ARENAS

LUIS ALBERTO

HERNANZ MANZANO

FRANCISCO

HERRANZ PEINADO

PATRICIA

1698

HERRERA AMEZ

ARITZ

3083 AXA MedLa Region, ALM Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ +34 91-5388024, aritz.herrera@axa.es

HERRERA GARCIA

JULIAN PABLO

2436 GROUPAMA SEGUROS, Subdirector General Estudios y Pilotaje, Plaza. de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-7447549, julian.herrera@groupama.es

731 844

558 686

HERRERA NOGALES

PEDRO

1104

HERRERA SANZ

PATRICIA

2339 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971916, patricia.herrera@aviva.es

HERRERO GUTIERREZ

FCO. JAVIER

1169 AON, Consultor de Riesgos Personales, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405651, 91-3405883, fherrero@aon.es

HERRERO ROMAN

CRISTINA

2715 VIDA CAIXA, Técnico, Pº de la Castellana, 51, 28046 Madrid, ℡ 914326891, 93-2988556, cherrero@caifor.es

HERRERO RUBIO

SANDRA

3194

HERRERO VANRELL

LUIS PEDRO

2387

HERVAS MARTIN

ALBERTO JOSE

2504

HIDALGO JIMENO

JOAQUIN

2783

HITA PASCUAL

ANTONIO

1840

HOLGADO GONZALEZ

ANA MARIA

2973 AVIVA, Financial Control Manager, Camino Fuente de la Mora, 28050, Madrid, am.holgado@aviva.es

HOLGADO MOLINILLO

YAIZA

2954 TOWERS WATSON, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-3101088, 91-7612677, yaiza.holgado@towerswatson.com

MAPFRE RE, Actuario, Pº de Recoletos, 25, 28004 Madrid, ℡ 915813320, sherrero@mapfre.com

HOMET DUPRA

SEBASTIAN

HORNOS BUESO

JOSE LUIS

1454

HORTELANO SILVA

Mª ESTER

2817 UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760 Tres Cantos, (Madrid), ℡ 91-5947306, ester_hortelano@race.es

HUERTA DE SOTO

JESUS

HUERTA DE SOTO

JUAN

1637

HUERTA DE SOTO HUARTE

JESUS

3074

HUERTA HERRERA

OSCAR

2265 EMB Consultores de Negocio y Actuarios / Consultoría, CEO/ Director General, Caléndula, 93 E, 28109, Alcobendas ( Soto de la Moraleja), Madrid, ℡ +34 91-7912934, +34 91-7912901, oscar.huerta@emb.com

IBAÑEZ CARRASCO

NURIA

3253

IBARRA CASTAN

JUAN CARLOS

1052 R.G.A. RE INTERNATIONAL IBERICA, Director Comercial, Ctra. A.

320

619

264

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Coruña, km.24, Edificio Berlín, 28290, Las Matas, Madrid, ℡ 916404340, 91-6404341, jibarra@spn.rgare.com

IGLESIAS GONZALEZ

JESUS RAMON

1245 CAJASTUR MEDIACION/ SEGUROS, Dtor. Técnico, C/ Martínez Marina, 7, 33009 Oviedo, ℡ 98-5209391, 98-5209384, jriglesias@cajastur.es

INFANTE CRESPO

SUSANA

1939

IÑARRA MUÑOZ

JUAN IGNACIO

2517

IPIÑA GOSALBO

SERGIO

1606 ASPECTA ASSURANCE INT. LUX. S.A, SUCRUSAL ESPAÑA, Dtor. General, C/ Emilio Vargas, 1, 2ª Planta, Madrid, ℡ 917441280, 91-4162457, sipina@aspecta.com

IRIBAS REVILLA

CRISTOBAL

2099 CTI, Director Financiero, Avda. de la Industria, 32, 28108 Madrid, ℡ 91-3728335, cristobal_iribas@ctisa.es

ITURBE URIARTE

CARLOS

1465 VIDACAIXA S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Pº Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-4326880, 93-2989017, citurbe@segurcaixaholding.com

IVERN MORELLO

WALFRID

JARALLAH LAVEDAN

JUBAIR

1678

JAREÑO GAT

MERCEDES

2955

JIMENEZ BARBA

ENRIQUE

1126

JIMENEZ DE LA PUENTE

Mª ANGELES

2079 MUTUA MADRILEÑA, Responsable Vida Decesos en Dirección Estadística Actuarial, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 915929755, majimenez@mutua-mad.es

JIMENEZ GARCIA-GASCO

LAURA

2192

JIMENEZ GOMEZ

ALICIA

3287

JIMENEZ GOMEZ

PEDRO JULIAN

1899

JIMENEZ IGLESIAS

M. ANGELES

3116 ALLIANZ SEGUROS, Técnico Control de Gestión (Vida), C/ Tarragona, 109, 08014, Barcelona, ℡ 93-2286719, mangeles.jimenez@allianz.es

JIMENEZ JAUNSARAS

ALBERTO

JIMENEZ MARTIN

FCO. JAVIER

1888

JIMENEZ MUÑOZ

LUIS ALFONSO

2206 RGA REINSURANCE COMPANY, Director General Adjunto, ℡ 616434447, 91-6404341, ljimenez@rgare.com

JIMENEZ RODRIGUEZ

EMILIO JESUS

JIMENEZ RODRIGUEZ

SUSANA

1708

JIMENEZ SANCHEZ

EVA

3254

JUARISTI GOGEASCOECHEA

ANDER

3183 TOWERS WATSON, C/ Suero de Quiñones, 42, 2ª Planta, 28002, Madrid, ℡ 91-5903032, ander.juaristi@towerswatson.com

KARSTEN

HENRY PETER J

1063 MERCER CONSULTING, S.L. Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid ℡ 91-4569400

958

mercedes.jareno@actuarios.org

371

747 EL PERPETUO SOCORRO, S.A. DE SEGUROS, Actuario, Avda. Maisonnave, 31, 03690, Alicante

KRAUSE SUAREZ

LAILA

3166

LABRADOR DOMINGUEZ

SARA

3213

LABRADOR SERRANO

OLGA

3084

LAFRANCONI

MAURA

3226

LAGARTERA CABO

CARLOS

2410

LANA VOLTA

JESUS

2423 NOVASTER / CONSULTORIA, Socio Director, C/ Numancia, 117121, 1º, 1-B, 08029 Barcelona, ℡ 902131201, jlana@novaster.net

LARA MUÑOZ

JAVIER

2479

LARRUGA RODRIGUEZ

MIGUEL

1966

LASSALLE MONTSERRAT

JOAQUIN C.

3017 ASISA, Área de Prestaciones, Madrid, jlassalle@asisa.es

265

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

LATORRE LLORENS

LUIS

LAUZAN GONZALEZ

FERNANDO

LAZARO FERNANDEZ

MARIANO L.

LAZARO RAMOS

VALENTIN

LECINA GRACIA

JOSE M.

611 UNIVERSITAT DE BARCELONA, Profesor Titular de Universidad, lecinag@ub.edu

LECUONA GIMENEZ

RICARDO

703 INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, ℡ 902199670 91-4133950, info@ingesac.com

LEDESMA HERNANDEZ

JOSE IGNACIO

2899 NACIONAL DE REASEGUROS, Actuario Ramos Personales, C/ Zurbano, 8, 28010, Madrid, ℡ 91-3081412, 91-3085542, ilh@nacionalre.es

LEGUEY GALAN

JAVIER

2281 ALLIANZ SEGUROS Y REASEGUROS, SA., Pº de la Castellana, 39, 28046 Madrid, ℡ 91-5960582, javier.leguey@allianz.es

LENS PARDO

LUIS

2431 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA, Senior Manager – Responsable International Benefits, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ +34 91-4059350, +34 91-4059358, luis.lens@hewitt.com

LEON PINILLA

MARTA

1965

LERENA LORENZO

PEDRO

1987 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Socio Consultor, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003 Madrid, ℡ 91-4516700, 914411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

LERNER WAEN

ANDRES DAN

2900 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971881, andres.lerner@aviva.es

LESMES SANCHEZ

FERNANDO

LILLO CARRAZON

LUIS

2149 ASEVAL. Subdirector de Negocio, C/ Duque de Mandas, 41, puerta 29, 46019 Valencia, ℡ 96-3875962, 96-3875944, luis.lillo@gseguros.com

LINARES CUELLAR

FERNANDO

2470 MUNICH RE, I+D+I Consultor, ℡ +34-91-4319633, ℡ +34-914261622, +34-91-4310698, flinares@munichre.com

LINARES PEÑA

ANGEL

421

LLACER CUÑAT

SONIA

3255

LLAMAS MADURGA

LINO

908

LLITERAS ESTEVA

PEDRO

690 EJERCICIO LIBRE ACTIVIDAD, C/ Bellpuig, 15, 07570, Arta, Mallorca ( Baleares), ℡ 97-1586604, ℡ 626955293, 97-1586604, plliteras@wanadoo.es

LLOPIS MARTINEZ

JUAN ANTONIO

137

LLORET VILA

RICARDO

347 GENERAL RISK AND SPECIAL INSURANCE, S.L., Administrador , Plaza de España, 6, 46007, Valencia, ℡ 902300054, 963532116, correduria@general-risk.com

LLORET VILA

FCO. JAVIER

LOBERA SAEZ

DAVID

3195

LODEIRA GOMEZ

LAURA Mª

2343

LOPERA ESCOLANO

ANDRES

3112

LOPEZ BERMUDEZ

JUAN

1594

LOPEZ CACHERO

MANUEL

LOPEZ CESPEDES

PILAR

2970 KPMG, Consultor, Pº de la Castellana, 95, Edif. Torre Europa, 28046, Madrid, ℡ 91-4563400, 91-5550132, mlopez16@kpmg.es

LOPEZ DE RIVAS

JAVIER

3042 MUTUALIDAD DE LEVANTE, Responsable Técnico-Actuarial, C/ Roger de Lluria, 8, 03801 Alcoy (Alicante), ℡ 658480904, javier.lopez@mutualevante.com

871 3025 156 2627 CAJA RURAL BURGOS, Director Oficina, Santa María, 15, 09300 Roa, ℡ 947-540255, vlazaro_crburgos@cajarural.com

572 AUDISERVICIOS, AUDITORES CONSULTORES, S.L., Socio, C! Ferraz, 4, 28008 Madrid, ℡ 91-5478201-02, 91-5591867, flesmes@audiservicios.com

370

379

266

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

LOPEZ DOMINGUEZ

PABLO

559

LOPEZ ESCUDERO

RODOLFO

827

LOPEZ ESTEVEZ

ALFREDO

LOPEZ FUENSALIDA GONZALEZ ROMAN

LAURA

2604 CARDIF A BNP PARIBAS COMPANY, Actuario, C/ Julián Camarillo, 21 A, 4ª Planta, 28037 Madrid, ℡ 91-5901145, laura.lopez@cardif.com

LOPEZ GIL

ANA

2538 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEGURADORA, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ 912890162, 91-2890162, analopezg@gruposantander.com

LOPEZ GOMEZ

MARIA

3018 TOWERS PERRIN / CONSULTORA SEGUROS, Consultor, Urb. El Soto, 17, 8ºC, 28400 Villalba, ℡ 609632085, maria.lopez.gomez@towersperrin.com

LOPEZ GONZALEZ

MARIA CARMEN

2716 BBVA, Actuario, Castellana, 81, 28046 Madrid, ℡ 91-5377610, 91-3744969, mdc.lopez.gonzalez@grupobbva.com

LOPEZ HERNANDEZ

JOSE LUIS

1514 MURIMAR, Director General, C/ Miguel Angel Asturias, 22, 28922 Alcorcón, ℡ 91-6440179, joseluisllh@hotmail.com

LOPEZ HERVAS

ANA Mª

2068

LOPEZ IRUS

Mª AZUCENA

2100 MÜNCHENER RÜCK, Senior Underwriter, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, ℡ 91-4320495, alopez@munichre.com

LOPEZ ISIDRO

RICARDO

2856 SOCIEDAD DE GARANTIA RECIPROCA DE LA COMUNIDAD VALENCIANA, Analista Financiero, Avda. de Ramón y Cajal, 6, 03003, Alicante, ℡ 96-5922123, 96-5921816, r.lopez@sgr.es

LOPEZ JIMENEZ

ALBERTO

3327

LOPEZ MARTINEZ

BEATRIZ

3214

LOPEZ MARTINEZ CANO

MARTIN

LOPEZ MONTOYA

ISAAC

LOPEZ MORALES

ANTONIO

LOPEZ MORANTE

ESTRELLA

3147

LOPEZ NUÑEZ

JUAN

2784

LOPEZ RODA

SILVIA

1945 TOWERS WATSON, Consultor Senior, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903026, 91-5903081 silvia.lopez.roda@towerswatson.com

607

16 3280 AXA, Actuario Junior Siniestralidad, Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388380, isaac.lopez@axa.es 917

℡ 670683128, rlopezrubio@hotmail.com

LOPEZ RUBIO

ROBERTO

2440

LOPEZ RUBIO

YOLANDA

3000 PASTOR VIDA, S.A. / ENTIDAD SEGUROS, Dpto. de Riesgos, Pº de Recoletos, 19, 5ª Planta, 28004 Madrid, ℡ 91-5299850, 915249851, ylopezr@bancopastor.es

LOPEZ SANGUOS

DELAIRA

2956 Actuario de la Seguridad Social, C/ Alameda, 12, 4º A, 36002 Pontevedra, ℡ 686771073,

LOPEZ SANZ

JUAN JOSE

3184

LOPEZ SORIA

Mª BELEN

1904

LOPEZ ZAFRA

JUAN MANUEL

2749 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID / ENSEÑANZA, Profesor Titular de Universidad, Fac. CCEE, Dpto de Estadística e IO 2. Pab Prefabricado, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 913942920, juanma-lz@ccee.ucm.es

LOPEZ-CORTIJO DE PEÑARANDA

BLANCA

1803

LOPEZ-DOMECH MARTINEZ-GARIN

LUISA

2911 MAPFRE AGROPECUARIA, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5814644, luilopez@mapfre.com

LOPEZ-GUERRERO ALMANSA

PEDRO A.

1752 SANTA LUCIA, S.A., Responsable Área Técnica, Plaza de España, 15, 28008, Madrid, ℡ 91-5380822, plopezg@santalucia.es

LORENZO ROMERO

CARLOS

1621

LORENZO TOLA

SILVIA

2818 AON HEWITT, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405572, slorento@aon.es

267

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

LOZANO CASADO

DAVID

3007 LA CAIXA, C/ Movinda 19 2ºA, 2803, Madrid, ℡ 606712400, davidlozano@emailpersonal.com

LOZANO COLOMER

CRISTINA

2568

LOZANO FELIPE

MANUEL

3215

LOZANO GOMEZ

ANA ISABEL

3167 BANKINTER SEGUROS DE VIDA, S.A., Actuario, Avda. Bruselas, 12, 28108 Alcobendas (Madrid), ailozanog@bankinter.es

LOZANO MUÑOZ

ARTURO

LOZANO MUÑOZ

FCO. JAVIER

807 1651 WR BERKLEY ESPAÑA, Director de Organización y Sistemas, jlozano@wrberkley.com

LOZANO SUAREZ

JUAN DIEGO

LUBIAN BERMEJO

ESTHER

3275

LUCIA GIMENO

ISABEL

2333

LUENGO REDONDO

MARTA

2734 CASER, Actuario, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 912146767, mluengo@caser.es

661

LUJA UNZAGA

FELIX

LUQUE RETANA

CARLOS LIONEL

1022 AEGON SEGUROS, Appointed Actuary, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-5636222, luque.carlos@aegon.es 2150

℡ 670520107, christian_lux@hotmail.com

LUX

CHRISTIAN

LUZARRAGA IGUEREGUI

JOSE RAMON

139

MACHETTI BERMEJO

IGNACIO

777

MACIAN VILLANUEVA

ALBERTO-JOSÉ

1896 GENERALI SEGUROS, Director de Área de Automóviles, Orense, 2, 28020, Madrid, ℡ 91-3301567, 91-5905740, a.j.macian@generali.es

MADARIAGA ZUBIMENDI

TERESA

2208 HCC INTERNATIONAL, Directora Actuarial Europea, 35 Seething Lane, EC3N 4ALT, Londres UK tmadariaga@hccint.com

MADRIGAL ESTEPA

ELENA

1852

MAESTRE HERNANDEZ

JOSE MANUEL

2353

MAESTRO ALONSO

REBECA

3328

MAESTRO MUÑOZ

M. LUISA

603

MALDONADO TUDELA

J. CARLOS

987 VAHN AUDITORES, S.L., Socio, C/ Andrés Mellado, 9, 1º D, 28015 Madrid, ℡: 91-5500570, jcmaldonado@vahnauditores.es

MANRIQUE CORRAL

JORGE

3285 TOWERS WATSON / INSURANCE CONSULTING, Consultor, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ +34660759583, +34915903081, jorge.manrique@towerswatson.com

MANRIQUE MARTINEZ

MARTA

2519

MANZANARES PAVON

MONICA

1901

MANZANARO BERACOECHEA

LAURA

1206

MANZANO RIQUELME

ESTEBAN

567

MARAÑON ALONSO CARRIAZO

M. TERESA

847 C.N.P. VIDA, Directora Previsión Social, Ochandiano,10, El Plantio, 28023 Madrid, ℡ 91-5243400, mery.maranon@cnpvida.es

MARAÑON HERRANZ

PAULA AINHOA

MARCHAN MARTIN

ROBERTO

MARCHETTI

MARCOS A.

MARCHINI BRAVO

J. LUIS

963

MARCOS APARICIO

DAVID

3321

MARCOS GOMEZ

F. JAVIER

1034 Madrid, ℡ 629248996, javier.marcos@actuarios.org

MARCOS GONZALEZ

GABRIEL

1949 GRUPO DE ASESORES PREVIGALIA / CONSULTORIA ACTUARIAL, Socio Consultor, C/ Albadalejo, 2, 1º 59, 28037

marta2m@mixmail.com

3127 356 CIA. ESP. DE SEG. DE CTO. A LA EXPORTAC. , S. A. / SEGUROS, Director Financiero, C/ Velázquez, 74, 28001 Madrid, ℡ 91-4234800, 91-5766583, rmarchan@cesce.es 3329

268

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Madrid, ℡ 91-1833756, gabrielmarcos@gaprevigalia.com javimarcosg@hotmail.com

MARCOS GONZALEZ

FCO. JAVIER

2008

MARIN CARRASCO

MERCEDES

1763

MARIN CARRASCO

ANGEL

1764

MARIN COBO

ANGEL

399

MARINA RUFAS

JUAN

2020 AON CONSULTING, Director Consultoria Inversiones, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405560, jmarinar@aon.es

MAROTO FERNANDEZ

BEATRIZ

1131

MARQUEZ AGUILAR

EVA MARIA

3075 FERROVIAL SERVICIOS,S.A., Controller Financiero, Serrano Galvache, 56, 28033, Madrid, ℡ 657522112, evammarquez@ferrovial.es

MARQUEZ GARRIDO

MANUEL

2346

MARQUEZ RODRIGUEZ

RUBEN

2717 ING NATIONALE NEDERLANDEN EMPLOYEE BENEFITS, Jefe de Equipo Dpto. Técnico - Actuarial

MARQUEZ VALLE

JOSE

3294 CAJASUR ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Control Interno, C/ Padre Reyes Moreno, 14520, Fernán Nuñez, Córdoba, ℡ 607379865, jomarva@hotmail.com

MAROTO NAVARRO

GUADALUPE

3330

MARTI ANTONIO

MANUEL

3256

MARTIN ALONSO

MARTA

2501

MARTIN ALVAREZ

OSCAR

2957

MARTIN ANTON

JOSE CARLOS

MARTIN CALERO

LAURA

2958 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEG., S.A., Actuario, Avda. Cantabria, s/n, 28660, Boadilla del Monte, ℡ 912893664, laurmartin@gruposantander.com

MARTIN CORRALES

JAVIER

2490 MAPFE VIDA, Actuario - Dpto. División de Empresas, General Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 91-5818193, jmart25@mapfre.com

MARTIN CRESPO

AURORA

2937 GESNORTE DE PENSIONES, SA. EGFP, Actuario de Vida y Pensiones, C/ Felipe IV, 3-1º, 28014, Madrid, ℡ 91-5319608, 5210536, aurora.martin@gesnorte.com

579

91-

MARTIN CRESPO

MONICA

3267

MARTIN DE CABO

JUAN JOSE

3076

MARTIN DE LA ROSA

DIANA

3085 RURAL VIDA, SA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Comercial Previsión Colectiva, C/ Basauri, 14, 28023, Madrid, 91-7007450, ℡ 91-7007037, dianamr@segurosrga.es

MARTIN DE LOS RIOS

VALENTIN

2959

MARTIN DE VIDALES LAVIÑA

Mª ISABEL

1595 LIBERTY SEGUROS, Manager Técnico - Productos Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, isabel.martindevidales@libertyseguros.es

MARTIN DOMINGUEZ

INMACULADA

3060 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220, Madrid, ℡ 915812963, inmacma@mapfre.com

MARTIN DORTA

NAYRA

2874

MARTIN GARCIA

CRISTINA

2559 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Asociado Senior, C/ Almagro, 40, 28010, Madrid, cristina.martin.garcia@es.pwc.com bel19_6@hotmail.com

MARTIN GONZALEZ

BELEN

3295

MARTIN HERNANDEZ

MARIA

2659

MARTIN HERNANDEZ

JESUS

2772

MARTIN LOPEZ

PABLO

2117 SANTANDER SEGUROS, Director Desarrollo de Negocio, Ciudad Grupo Santander, Marisma, Planta 1ª, 28660, Boadilla del Monte, Madrid, ℡ +34-91-2890164, pablomartinl@gruposantander.com

MARTIN LOPEZ

FERNANDO

2209 MÜNCHENER RÜCK / REASEGURO, Senior de Vida, Castellana, 18, 7ª 28046 Madrid, ℡ 91-4260693, fmartin@munichre.com

269

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

MARTIN MARTIN

ANA ISABEL

3305

MARTIN MIRAZO

FERNANDO

1895 ASPECTA ASS. INT. LUX., S.A., SUC. EN ESPAÑA / SEGURO VIDA, Dtor. de Admón. y Finanzas, C/ Emilio Vargas, 1-2ª plt., 28043 Madrid, ℡ 91-7441280, fmartin@aspecta.es

MARTIN ORTEGA

MARIA ELENA

2981

MARTIN PALACIOS

FRANCISCO J.

2996

MARTIN PEREZ

MONTSERRAT

764

MARTIN PLIEGO

FCO. JAVIER

907

MARTIN QUINTANA

FRANCISCO J.

2334 BBVA SEGUROS, Responsable Siniestros No Vida, franciscoj.martin@grupobbva.com

MARTIN RAMOS

Mª CARMEN

2520

MARTIN REGUERA

ROBERTO

2539 PRUDENTIAL PLC-GROUP HEAD OFFICE, 12 Arthur Street, ECHR 9AQ, LONDON UK, ℡ +44(0)2075482625, +44(0)2075483699, roberto.martinreguera@prudential.ce.uk

MARTIN SOBRINO

SARA

3227

MARTIN TEMPRANO

Mª DEL PILAR

2102

MARTIN TRUJILLO

JOSE LUIS

2926 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA, Consultor, Pº de la Castellana, 149, 28046, Madrid, ℡ 91-4059350, 91-4059358, jose.luis.martin.trujillo@hewitt.com

MARTIN VELASCO

JOSE LUIS

MARTINEZ AGUILAR

FRANCISCO

MARTINEZ ALFONSO

JOSE ANTONIO

MARTINEZ ARCOS

GERMAN

1789 UNIVERSIDAD DE BURGOS, Profesor, Pza Infanta Elena, s/n, 09001, Burgos, ℡ 94-7258993, 94-7258013, martinc@ubu.es

MARTINEZ BLASCO

ERNESTO

3139

MARTINEZ BOIX

MIGUEL ANGEL

2411 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ, Profesor, Avda. Universidad, s/n, 03002 Elche, Alicante, ℡ 637108935, 6658614, mamartinez@umh.es

373 3296 178

96-

MARTINEZ CAL

ROSA

2174

MARTINEZ COCO

LUIS GONZALO

2266

MARTINEZ CRESPO

ENRIQUE J.

3128

MARTINEZ FERNANDEZ

FLORENCIO

MARTINEZ FEYJOO

JOSE ENRIQUE

1199

MARTINEZ GARCIA

Mª DEL MAR

1441 BERGÉ Y ASOCIADOS, CORREDURIA SEGUROS, Director Técnico, Antonio Maura, 4, 28014 Madrid, ℡ 91-7010911, 915216567, mmartinez@bergeyasociados.es

MARTINEZ GARCIA

CRISTINA

2569 CAMPOFRIO FOOD GROUP HOLDING, Corporate Risk Manager, Avda. Europa, 24, Parque Empresarial “La Moraleja”, Alcobendas (Madrid), ℡ +3491-4842700, cristina.martinez@campofriofg.com

MARTINEZ GIL

GEMA

2773

MARTINEZ GONZALEZ

JAVIER

1709

MARTINEZ GORRIZ

ANA PAZ

1701 CAJAMAR SEGUROS GENERALES, Responsable Técnico Seguros Generales, C/ Orense, 2, Madrid, ℡ 91-5244519, apmartinez@cajamarsegurosgenerales.es

MARTINEZ LEON

JOSE

MARTINEZ LLORENTE

VICTOR

3238

MARTINEZ LUCAS

PEDRO RUBEN

2541

MARTINEZ LUCENA

IGNACIO

3061

MARTINEZ MENENDEZ

MARIO

3257

MARTINEZ MORAL

Mª BEATRIZ

2521 MAPFRE ASITENCIA, Responsable Técnica, C/ Sor Ángela de la

149

223

270

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Cruz, 28020 Madrid, ℡ 91-5811196, mbeatri@mapfre.com

MARTINEZ MORENO

BEGOÑA

2182

MARTINEZ PARICIO

IRENE

3062

MARTINEZ PEREZ

SARA

3228

MARTINEZ RODRIGUEZ

JOSE LUIS

2220

MARTINEZ-SIMON JIMENEZ

CARLOS

MARTINEZ-ACITORES PALACIOS

OSCAR

SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, Director área técnica seguros de vida, Ciudad Grupo Santander. Avda. de Cantábria s/n cmartinezsimon@gruposantander.com 2420 CAJA DE BURGOS, Jefe de Compensación y Beneficios, Plaza de la Libertad, 09004, Burgos, ℡ 638900204, 94-7258148, omartinezacitores@cajadeburgos.es

MARTIN-GROMAZ DE TERAN

JAVIER

2660 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-4233400, 914317821, martinj@willis.com

MARTIN-PALOMINO CASANOVA

BLANCA

2902 PASTOR VIDA, S.A., Actuario, Pº de Recoletos, 19, Planta 5ª, 28004, Madrid, ℡ 91-5249850, bmartinpc@bancopastor.es

MARTORELL AMENGUAL

VICENTE

MARTOS RUIPEREZ

DANIEL

2445

MASCARAQUE MONTAGUT

MANUEL

2318 UNESPA, Dtor. Área de Seguros Generales y Mediación, C/ Nuñez de Balboa, 101, 28006 Madrid, ℡ 91-7452174, 91-7451532, manuel.mascaraque@unespa.es

MASFERRER PAGES

JOSEP LLUIS

1191 BUCK CONSULTANTS / CONSULTORIA, Pº General Martínez Campos, 41, 28010 Madrid, ℡ 91-3102699, 91-3102697, jose-luis.masferrer@buckconsultants.com

MATA BUENO

MIGUEL ANGEL

1359

MATA MORALES

JUAN CARLOS

1136

MATARRANZ CARPIZO

ANA

2034

MATEO QUINTANILLA

PABLO

2903 MUTUA DE RIESGOS MARITIMOS (MURIMAR) / SEGUROS, Director Financiero, C/ Orense, 58, 6º A-B, 28020 Madrid, ℡ 915971835, 91-5971813, contabilidad@murimar.com 2695

436

407

MATEO VAZQUEZ

JAVIER

MATEOS ALPUENTE

ALFONSO

840

MATEOS CRUZ

ANTONIO

654 MAPFRE VIDA, Dtor. Grandes Cuentas, Pº de las Delicias, 95-5ªA, 28045 Madrid, ℡ 91-5282195

MATEOS MORO

JOSE ANTONIO

1058

MATEOS RODRIGUEZ

Mª ELENA

2143

MATEOS TEJEDOR

ALEJANDRO

1766

MATHEU MARTIN

RAFAEL

2193 FRATERNIDAD-MUPRESPA, Estadísticas C/ San Agustín, 10, 28014 Madrid, ℡ 661066480, rafael.matheu@actuarios.org

MATHUR ANDA

BIMAL TERESA

3175

MATIAS MURIEL

Mª DEL PILAR

1376 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Plaza Legión Española, 8, 1º, 46010, Valencia, ℡ 96-3895959, pilar.matias@aseval.com

MAUDES GUTIERREZ

BEATRIZ

2366 MAPFRE RE, Suscriptora-Ramos Personas, Pº de Recoletos, 25, 28004, Madrid , ℡ 91-5813334, bmaudes@mapfre.com

MAYLIN SANZ

MIKEL

1855 SA NOSTRA SEGUROS, Alcalá, 28, 28014, Madrid, ℡ 639754895, mmaylins@seguros.sanostra.es

MAYORAL MARTINEZ

ROSA Mª

1820 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID, DPTO. ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD, Profesor Titular de Universidad, Avda. Valle Esgueva, 6, 47011 Valladolid, ℡ 983-423000 / ext. 4393, 983-183830, rmayoral@eco.uva.es

MAZA GARCIA

JOSEFA

431

MAZA GARCIA

M. PILAR

432

271

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

MAZAIRA CUADRILLERO

ADELA

1269 ARTAI, Directora de Vida y Pensiones, Avda. García Barbón, 48, 1º, 36201, Vigo, España, ℡ 98-6439600, 98-6439094,

MECO CARRIAZO

JOSE LUIS

2820

MECO DEL OLMO

ALICIA

2194 PERAITA & ASOCIADOS, S.L., Consultor, Avda. Pio XII, 57, 28016 Madrid, ℡ 91-3431133, alicia.meco@actuarios.org

MEDEL GONZALEZ

FERNANDO

MEDIAVILLA GARCIA

LEON

MEDINA LOPEZ

JOSE MANUEL

15 2904 EULER HERMES UK / CREDIT INSURANCE, Actuary / Statistician, 1 Canada Square, E14 SDX, London / UK, ℡ +442078602825, leon.mediavilla@eulerhermes.com 787 VIDA Y PENSIONES, Director, C/ Serrano, 29, 28001 Madrid, ℡ 91-5761889, 91-5762205, j.medina@vypcp.com

MEDINA LOPEZ

ANA

2927

MEDINA LOPEZ

AMALIA

3176

MEDINA PALACIOS

ALEJANDRO

3099 AON CONSULTING, Actuario/Inversiones, Rosario Pino, 14-16, 28020 Guadalajara, ℡ 669624376, amedinap@aon.es

MEDRANO MARTINEZ

ROBERTO

3204 URÍA MENÉNDEZ / SERVICIOS JURIDICOS, Abogado, Príncipe de Vergara, 187, Plaza de Rodrigo Uría, 28002, Madrid, ℡ +34915860385, +3491-5860376, rme@uria.com

MELERO AMEIJIDE

FCO. JAVIER

1775

MENDEZ ESTEVEZ

CARLOS

1650

MENDEZ RODRIGUEZ

TERESA

1972 SCOR GLOBAL P&C SE IBERICA SUCURSAL, Actuario No vida y Suscripción Contratos, Pº de la Castellana, 135, 9ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-7991944, 91-3517044, tmendez@scor.com

MENDEZ RUIZ

PILAR

1524

MENDIA CONDE

SUSANA

2164

MENDIOLA BERRIOATEGORTUA

ENERITZ

2661

MENDOZA AGUILAR

ANDRES

1355

MENDOZA CASAS

ANTONIO

488

MENDOZA RESCO

CARMEN

1743

MENDOZA ROBLES

JAVIER

2662 SANTANDER SEGUROS Y REASEGUROS, CIA ASEG., S.A., Actuario, Edificio Pinar, Planta B, Avenida Cantabria, s/n, 28660 Boadilla del Monte (Madrid), ℡ 91-2899061, javmendoza@gruposantander.com

MENENDEZ CERREDO

Mª DEL PILAR

1575

MENENDEZ JEREZ

MIGUEL ANGEL

2145 MERCER / CONSULTORIA, Principal, Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ℡ 91-4568460, ma.menendez@mercer.com

MERICAECHEVARRIA GOMEZ

ISABEL

MERINO PALOMAR

ALBERTO

2287

MERINO PIMENTEL

BELEN

3100

MERINO RELLAN

PEDRO JOSE

1624

MERLO LOPEZ

MARIA CARMEN

3019

MESA IZQUIERDO

SALOME

2960

MESTRE BOSCA

SALVADOR

3306

MESTRE VALLADARES

JOSE EULOGIO

MIELGO GUDE

PEDRO

2035

MILLA MARCHAL

ALBERTO

2833 BUCK CONSULTANTS, S.L., Consultor Actuario, C/ Luis Ruiz, 111, 10º D, 28017, Madrid, ℡ 637855032, alb200sx@hotmail.com

MILNER RESEL

AITOR

2543

813

ERNST & YOUNG / AUDITORIA (SECTOR ASEGURADOR), Manager, Plaza Ruiz Picasso, 1, 28020, Madrid, ℡ 91-5727304, 91-5727275, salvador.mestrebosca@es.ey.com

671

272

aitor.milner@actuarios.org

APELLIDOS

NOMBRE

Nº 1068

MIÑARRO PORLAN

TRINIDAD

MIRA CANDEL

FILOMENO

DATOS PROFESIONALES ℡ 609504164, tminarro@telefonica.net

780 FUNDACION MAPFRE, Vicepresidente, Pº de Recoletos, 23, 28004 Madrid, ℡ 91-5811040, 91-5815340, fmira@mapfre.com

MIRANDA BENAVIDES

NORMA

MIRAZO SANCHEZ

M. CRISTINA

MOLINA COLLELL

FCO. JAVIER

1934 ZURICH VIDA, Actuario, Vía Augusta, 200, 08021 Barcelona, javier.molina@zurich.com

2882 318

MOLINA LORENTE

MARTA

3216

MOLINA PLAZA

ADOLFO

1996

MOLINA RUIZ

SERGIO

3248 Madrid

MOLINERO BALSEIRO

ANGEL Mª

2070

MONJE OSUNA

JOSE IGNACIO

MONJO VILLALBA

JUAN MIGUEL

2837 WATSON WYAT / CONSULTORIA, Consultor Senior, Mª de Molina, 54, 7º, 28006 Madrid, ℡ 91-3101088, 91-7612677, juan.miguel.monjo@watsonwyatt.com

MONTALVO RAMIREZ

JOAQUIN

2561 Bankinter SEGUROS DE VIDA, Director Técnico, C/ Alonso Cano, 85, 3º D, 28003 Madrid, ℡ 647990278, jmontalvo@bankinter.es

MONTAÑES NAVARRO

JOSE

MONTERDE ARRANZ

ALVARO

2199

MONTERO ALFEREZ

ALEJANDRO

3043 ALTAE (BANCO PRIVADO), Técnico Control Interno, Pº San Francisco de Sales, 10, 28003, Madrid, amontera@cajamadrid.es

MONTERO HERNANDEZ

Mª NIEVES

2249

MONTERO LEBRERO

PEDRO

MONTERO REDONDO

FERNANDO

2663

MONTES FUCHS

ANTONIO

2026 ERGO VIDA, Actuario de Seguros, C/ Concha Espina, 63, 28016 Madrid, ℡ 91-4565651, antonio.montes@ergogenerales.es

MONTES LAJA

MANUEL

3322 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultor Actuario, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, 28046, Madrid, ℡ 915984096, manuel.montes@milliman.com

MONTOYA RODRIGUEZ

ANGEL

3268 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultor, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, P. 14, 28046, Madrid, ℡ 915984089, 91-5984078, angel.montoya@milliman.com

MONZON RAMOS

ROBERTO

3031

MONZON RODRIGUEZ

CARLOS

3276

MORA BARRANTES

MARIA

3190 AEGON LEVENSVERZEKERING N. V. SUCURSAL EN ESPAÑA, REASEGURO VIDA. TRANSÁMERICA RE , Pricing Actuary, Pº de la Castellana, 143, 6º B, 28046, Madrid, ℡ 91-4491017, 915790500, maria.morabarrantes@transamerica.eu

MORA GARCIA

MIGUEL ANGEL

1466

MORAL SANTAMARIA

ALFONSO

MORALEDA AVILA

M. VICTORIA

1127

MORALEDA NAVARRO

FRANCISCO

1175

MORALES BLANCO

JOSE ALBERTO

3217

MORALES GARCIA

Mª CARMEN

2785 L.E.K. CONSULTING, 40 Grosvenor Place, London SW1X 7JL, UK, ℡ +442073897368, +44207389440

805

895

447

970 alfonso.moral@actuarios.org

MORALES HERRANZ

FERNANDO

2821

MORALES MEDIANO

PABLO LUIS

2577 SOUTHERN ROCK INSURANCE CO. LTD, Pricing and Actuarial Director, 1, Corral Road, Gibraltar, ℡ +44(0)1454636815, pablo.morales@sricl.com

MORAN SANTOS

JAVIER

1210

273

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

MORANTE PEREZ

Mª ESPERANZA

MORATAL OLIVER

VICENTE

853

3244

DATOS PROFESIONALES mesperanza.morante@grupobbva.com

MORATE ABELLA

CARLOS

3331

MORATO LARA

JUAN CARLOS

1463 BBVA, SA. ℡ 91-3746177, jcarlos.morato@grupobbva.com

MORCILLO CORDERO

ALEXANDRA

2492

MORCILLO PAREJO

FRANCISCO J.

2544

MORE CIMIANO

JOSE MARIA

MORENO ADALID

LAURA

2594

MORENO AMEIGENDA

MARCOS

2413 ATLANTIS ASESORES, Actuario, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 609150099, mam@atlantis-seguros.es

MORENO CARMONA

EVA MARIA

2553 ADMIRAL GROUP, Jefe Departamentos Underwriting y Productos Complementarios, C/ Albert Einstein, s/n, Edif Insur Cartuja, 41092 Sevilla, eva.moreno@actuarios.org

MORENO CARRILLO

PALOMA

1511 MUSAAT, MUTUA DE SEGUROS A PRIMA FIJA, Responsable de Auditoria Interna, C/ Jazmín, 66, 28033 Madrid, ℡ 91-3841122, 91-3841173, pmoreno@musaat.es

MORENO CORDERO

Mª ANGELES

2071 PRICEWATERHOUSECOOPERS / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Gerente, Castellana, 53, 28046 Madrid, ℡ 91-6585750, 91-5685838, mariam.moreno.cordero@es.pvc.com

MORENO EXPOSITO

ADOLFO

2962 ATLANTIS ASESORES, S.L. (CONSULTORIA ACTUARIAL), Actuario Previsión Social, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010 Madrid, ℡ 91-3835224, 91-3080491, amx@atlantis-seguros.es

MORENO FERRER

JAIME ALBERTO

MORENO GARCIA

MANUEL

1353

MORENO GONZALEZ

JOSE ANTONIO

1843

MORENO IGLESIAS

OLGA

3307

MORENO MOLERO

Mª DOLORES

2319 PREVISION SANITARIA NACIONAL, Drectora Asesoría Actuarial, C/ Villanueva, 11, 28001, Madrid

786

887 CASER, Dtor. Colectivos de Vida, Avda. Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146084, jaime.moreno@caser.es

MORENO MURILLO

ANGELES

2009

MORENO RUBIO

SILVIA

2582

MORENO RUIZ

RAFAEL

2118 UNIVERSIDAD DE MALAGA, Profesor Titular, C/ Pinosol, 7, 4º, B4, 29012 Málaga, ℡ 667519143, rafael.moreno@actuarios.org

MORENO TORRES

ANGEL

3289

MORENO URRUTICOECHEA

CRISTINA

1209

MORENO VERA

PEDRO

2938

MORERA NAVARRO

JOSE

2151 EUROVIDA, S.A. / EUROPENSIONES, S.A., Director Técnico, C/ María de Molina, 34, 28006, Madrid, ℡ 91-4364722, 91-4360263, jmorera@bancopopular.es

pedro.moreno@actuarios.org

MORIÑIGO ALONSO

FRANCISCO J.

3077

MORO PASCUAL

ISABEL

2883 UBS Investment Bank, Associate, C/ Maria de Molina, 4, 28006 Madrid, ℡ 91-4369043, 91-4369040, isabel.moro@ubs.com

MORQUECHO ARES

BENITO

2884

MOYA REBATE

LUIS CARLOS

2481 TOWERS PERRIN, Gerente, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid

MUNK

DIANA VALERIA

2997 TOWERS WATSON, Senior Consultant, 71 High Holborn, Londres, UK, Diana.munk@towerswatson.com

MUÑOZ FENTE

ALFONSO

2697

MUÑOZ CRESPO

LAURA

3269 ATLANTIS ASESORES, Actuario Previsión Social, C/ Zurbano, 45, 6ª Planta, 28010, Madrid, ℡ 666016198, laura.mcrespo@gmail.com

274

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

MUÑOZ GARCIA

PEDRO

1294

MUÑOZ GOMEZ

ANA ISABEL

2391

MUÑOZ ITURRALDE

JOSE M.

MUÑOZ LOPEZ

JAVIER

MUÑOZ MURGUI

FRANCISCO

DATOS PROFESIONALES

AON, Consultor Riesgos Personales, Rosario Pino, 14-16, 28020, Madrid, ℡ 91-3405655, 91-3405883, amunozgo@aon.es

61 2465 GROUPAMA SEGUROS, Dtor. División Estudios Actuariales Vida, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid, ℡ 91-2962430, javier.munoz@groupama.es 896 DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y ACTUARIAL, Profesor Facultad de Economía, Campus dels Tarongers, s/n, 46022 Valencia, ℡ 96-3828369, munozm@uv.es

MUÑOZ OSUNA

JOSE JOAQUIN

MUÑOZ REOYO

M. CRISTINA

NADAL DE DIOS

RAMON

1381 CASER SEGUROS, Dtor. Técnico Seguros Generales, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-5955053, 915955036, rnadal@actuarios.org

NASSARRE BIELSA

Mª CARMEN

2010

NAVACERRADA COLADO

FRANCISCO

3121 GROUPAMA SEGUROS Y REASEGUROS, S.A., Analista Estudios Actuariales, Plaza de las Cortes, 8, 28014 Madrid ℡ 91-5899292, 91-4298921, fran.navacerrada@groupama.es

NAVARRETE ROJAS

JORGE

3032 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Pº de la Castellana, 43, 28046 Madrid, ℡ 690239011, jorge.navarrete.rojas@es.pwc.com

NAVARRO ALONSO

JOSE MANUEL

1818 ALLIANZ SEGUROS, Gestión Activo/ Pasivo, C/ César Manrique, 34, 2ºA, 28035, ℡ 676496899, josemanuel.navarro@allianz.es 2120

2289 763

NAVARRO BAS

Mª ANGELES

NAVARRO MARTINEZ

LUIS

NAVARRO MIGUEL

JAVIER

1235

NAVARRO ORTEGA

OSCAR

2015

NAVAS ALEJO

CARLOS J.

2606 UNIVERSIDAD MIGUEL HERNANDEZ DE ELCHE, Profesor de Departamento de Estudios Económicos y Financieros, Avda. de la Universidad, s/n, Edif. La Galia, Despacho 19, 03202, Elche, Alicante, ℡ 96-6658916, cjnavas@umh.es

NAVAS LANCHAS

RAFAEL

1261 MUTUALIDAD GENERAL DE LA ABOGACIA, Subdirector General, C/ Serrano, 9, 28001 Madrid, ℡ 91-4352486, rafael.navas@mutualidadabogacia.com

NIELSEN NIELSEN

KARINA METTE

2320

NIETO CARBAJOSA

FCO. JAVIER

2618

NIETO DE ALBA

UBALDO

NIETO GALLEGO

DIEGO

2885

NIETO RANERO

ARMANDO M.

2786

NIETO VARELA

EVA

2210 AVIVA CORPORACION, European Finance Transformation_Accounting Lead, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971682, eva.nieto@aviva.es

NIETO-MARQUEZ HERNANDEZ-FRAN

JAIME

2109 TOWERS WATSON / CONSULTORIA, jaime.nietomarquez@towerswatson.com

NOTARIO CALVO

Mª FELICIDAD

2471

NOVELLA ARRIBAS

CRISTINA

1893

NOVOA CONTRERAS

DAVID

2556 MERCER CONSULTING, S.L., Senior Associate, Pº de la Castellana, 216, 28046 Madrid, ℡ 91-4569438, 91-3449133, david.novoa@mercer.com

NUEZ IBAÑEZ

ANGEL

NUÑEZ ALCAZAR

BENITO

438

A.M.A. AGRUPACION MUTUA ASEGURADORA, Director Técnico Actuarial, ℡ 91-3434700, onavarro@amaseguros.com

karina.nielsen@actuarios.org

253

815 2493

275

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

OCON GONZÁLEZ

PAULA

3332

OLID MELERO

Mª DOLORES

2011

OLIVAN UBIETO

ALICIA

2503 CAI VIDA Y PENSIONES, Actuario, Pº Isabel la Católica, 6, 2ª planta, 50009 Zaragoza, ℡ 97-6718939, 97-6718993, aolivan@seguros.cai.es

OLIVARES HERRAIZ

ELENA

2595 CAJA DE SOCORROS, INST. POL. MPS. A PRIMA FIJA, Actuario, C/ Espoz y Mina, 2-1º, 28012 Madrid, ℡ 91-5318495, eolivares_cajasocorro@telefonica.net

OLIVER RABOSO

JULIAN CARLOS

OLIVERA POLL

MIGUEL ANGEL

OLMEDO ANDUEZA

FRANCISCO

2886

OLONA DELGADO

MARTA MARIA

2743 MILLIMAN CONSULTANTS AND ACTUARIES, Consultora, Pº de la Castellana, 91, Edif. Centro 23, 28046, Madrid, ℡ 91-5984077, 91-5984078, marta.olona@milliman.com

ONCALADA MORO

BLANCA ISABEL

3101

OREFICE PAREJA

VANESA

3180

OREJA GUEVARA

EDUARDO

2111 SOCIEDAD MEDIADORA OREJA CORREDURIA DE SEGUROS, S.L. Gerente, C/ María Tubau, 15, Portal F, 1º 5º 28050 Madrid, ℡ 91-3588968, 91-3588634, eduardooreja@segurosoreja.com

ORELLANA PAREDES

JULIO

2987 CAJASUR ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, Jefe del Dpto. de Suscripción, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910, Benamejí, Córdoba, ℡ 654834816, jhuli5@hotmail.com

ORELLANA PAREDES

MARIA TERESA

3008 CAJASUR, ENTIDAD DE SEGUROS Y REASEGUROS, S.A Jefa Servicio Actuarial, C/ José Marrón, 35, 2º, 14910 BenamejíCórdoba, ℡ 654834736, teresa_orellana_paredes@hotmail.com

ORTEGA GUTIERREZ

JUAN

1683

ORTEGA RECIO

CARMEN BELEN

1961 OPTIMA PREVISION, S.L., Responsable Proyectos, C/ Velázquez, 14, Bajo Dcha., 28001, Madrid, ℡ 91-7819754, 91-5780103, c.ortega@optimaprevision.com

ORTEGA RODRIGUEZ

Mª DEL PILAR

1457 MONDIAL ASSISTANCE, Directora Área Técnica y Actuarial, Edificio Delta Norte, 3, Avda de Manoteras, 46, Bis, 28050, Madrid, ℡ 91-3255416, pilar.ortega@mondial-assistance.es

ORTIZ ALEIXANDRE

Mª NADIA

2857 EON ESPAÑA, C/ Medio, 12, 39003, Santander, nadia.ortiz@eon.com

909 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS, Profesor, C/ Joaquín María López, 25 28015 Madrid, ℡ 667774862, julian@joliver.es 858

jortegut@telefonica.net

ORTIZ GARCIA

JUAN LUIS

2362

ORTIZ MERINO

PEDRO C.

2290 AXA GLOBAL DISTRIBUTORS, Spain Product Development Manager, The Capel Building – Mary`s Abbey, Dublin 7, Ireland, ℡ +353(0)14711377, pedro.ortiz@axa.com

ORTUÑO BORRAS

JUAN F.

ORZA RODRIGUEZ

ANA CLAUDIA

2751 TOWERS WATSON, Consultor Senior, C/ María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 91-3101088, ana.claudia.orza@towerswatson.com

OSACAR IBERO

PEDRO MARIA

1962

OSES FERNANDEZ

ALFONSO

2460 VIDACAIXA PREVISION SOCIAL, Actuario, Pº de la Castellana, 51, 6ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 91-4326848, aoses@segurcaixaholding.com

OTERO OTERO

ALVARO JOSE

3086

PADILLA CLAROS

JUAN DANIEL

2487

PAJARES GARCIA

VERONICA

3239

PALACIO RUIZ DE AZAGRA

JOAQUIN

865

PALOMO SANCHEZ

OCTAVIO

3309

PALOS RODRIGUEZ

EMILIO JESÚS

3333

389

276

MAPFRE GLOBAL RISKS, Actuario, ℡ 91-5811953, vpgarci@mapfre.com

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

PAMPIN ARTIME

M. VICTORIA

PAMPOLS SOLSONA

FRANCESC X.

2845 PAMPOLS SA, Gerente, Avda. Lleida, 11, 25137 Corbins, ℡ 629982626, 97-3190609, francesc.pampols@pampols.es

PARADA HERNANDEZ

JUAN ANDRES

3156 LIBERTY SEGUROS, Actuario-Área Técnica Productos Vida, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, juan.parada@libertyseguros.es

PARDOS SOTODOSOS

MARIA

3270 CIGNA LIFE INSURANCE COMPANY OF EUROPE, Actuary, Madrid, maria.pardossotodosos@cigna.com

992

PARRA ASPERILLA

SILVIA

2414

PARRA CRESPO

ANA

3107

PARRA MARTIN

FCO. JAVIER

2963

PARRA ZAMORANO

SERGIO

2363

PARRAGA GONZALEZ

AITANA

2480 GENERALI ESPAÑA, S.A., DE SEGUROS Y REASEGUROS, Actuario Vida, ℡ 635289989, aitanaparraga@yahoo.es

PASCUAL COCA

BLANCA

310

PASCUAL DE SANDE

M. PILAR

1203

PASCUAL GIL

RAFAEL

PASCUAL LOSCOS

ARTURO

PASCUAL SAN MARTIN

MARTIN

3148

PASCUAL VELAZQUEZ

CARLOS

1665 MUTUA MADRILEÑA, SOCIEDAD DE SEGUROS, Actuario, Pº de la Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5922889, 91-3084241, cpascual@mutua-mad.es

PASTOR BERNAL

JOSE M.

PASTOR INFANTES

ELISABEL

PATRON GARCIA

RICARDO

PAVON BAHON

MARIA TERESA

PAVON BAUTISTA

MERCEDES

PEDRERO ARISTIZABAL

MARTA

2799

PEDROSA SANTAMARIA

RAQUEL

2427 MÜNCHENER RÜCK, Suscriptora de Vida, Pº de la Castellana, 18, 28046 Madrid, ℡ 91-4260671, rpedrosa@munichre.com

PEÑA BAUTISTA

Mª CARMEN

2619 UNIÓN DUERO VIDA, Actuario, C/ María de Molina, 13, 47001 Valladolid, ℡ 98-3421831, carmen.pena@unionduero.es

PEÑA SANCHEZ

BENIGNA

PEÑA SANCHEZ

INMACULADA

2572 MAPFRE FAMILIAR, Actuario, Ctra. Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5812188, ipenasa@mapfre.com

PEÑALVER MAYO

SONIA

2025 MUTUA MADRILEÑA AUTOMOVILISTA Pº Castellana, 33, 28046 MADRID. ℡ 915929604 ext. 3340 l spenalver@mutua-mad.es

PEÑAS BLAZQUEZ

DAVID

2472 LIBERTY SEGUROS, Manager Business Intelligence, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 600502821, david.penas@libertyseguros.es

PERAITA HUERTA

MANUEL

340 860

560 2875 164 3104 944

221

457 PERAITA Y ASOCIADOS, Avda. Pío XII, 57, 28016 Madrid, ℡ 913431133, 91-3593537, manuelperaita@actuarios.org

PEREA LOPEZ

RAQUEL

2335

PERELLO MIRON

JESUS

1364 ASISA, Actuario, C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 10, 28027, Madrid, ℡ 91-5957510, jperello@asisa.es

PEREZ ABAD

DANIEL

2415

PEREZ AYUSO

ANA Mª

1988

PEREZ CALDERON

RAQUEL

2292

PEREZ CAMPOS

ALFONSO

1060

PEREZ CARRASCO

ANTONIO

1039

277

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

PEREZ CUELLOS

Mª FLORENTINA

2838 TOWERS WATSON, Gerente, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903988, flor.perez@towerswatson.com

PEREZ DE CIRIZA PEREZ DE LABOR

GUILLERMO

2336

PEREZ DE LAS HERAS

JESUS

1072

PEREZ DE QUESADA LOPEZ

ALFREDO

683

PEREZ DOMINGO

M. REYES

892 UNIVERSITAT BARCELONA, Profesor Titular, C/ Bailén, 21, 08010 Barcelona, ℡ 93-2448980, mrperez@ub.edu fidias@actuarios.org

PEREZ FRUCTUOSO

Mª JOSÉ

2573

PEREZ GARCIA

MªCONCEPCION

2839

PEREZ GRANADOS

JORGE DANIEL

2825

PEREZ GÜEMEZ

FERNANDO

2679

PEREZ HERRERA DELGADO

ANGEL LUIS

PEREZ JAIME

VICENTE JOSE

53 648 FRONT&QUERY S.L. Socio, Pº Castellana, 155 2ºD 28046 Madrid, vicente.perez.jaime@frontquery.com

PEREZ JAIME

MIGUEL

1801

PEREZ JIMENEZ

JOSE M.

851

PEREZ JIMENEZ

RAMON JOSE

2787

PEREZ MENDOZA

MARTA

2297

PEREZ MOLINA

PEDRO M.

1913 CAI VIDA Y PENSIONES, Dtor. Técnico, Pº Isabel la Católica, 6-2ª Planta, 50009 Zaragoza, ℡ 976-718991, 976-718993 pperez@seguros.cai.es

PEREZ MUÑOZ

FCO. ANTONIO

2584

PEREZ NEVADO

JOSE L.

2607

PEREZ PEREZ

JESUS

2268 ACTUARIOS Y SERVICIOS FINANCIEROS, SL, Consultor, C/ Peñalara, 3 bloque 2, piso 2º, 28224 Pozuelo de Alarcón, jp.perez@telefonica.net

PEREZ PEREZ

ANA BELEN

3202

PEREZ RODRIGUEZ

OSCAR

2073

PEREZ TRIPIANA

SALVADOR

1281 PELAYO, MUTUA DE SEGUROS, Director Profesionales y Empresas, C/ Santa Engracia, 67-69, 28010, Madrid, ℡ 915922002, sperez@pelayo.com

PEREZ-BAHON MARTIN

ALVARO

2698 MAPFRE EMPRESAS, Actuario, Carretera de Pozuelo, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5818308, perezba@mapfre.com

PERIBAÑEZ AYALA

FERNANDO

2466

PERROTE RICO

LUIS ANTONIO

PESCADOR CASTRILLO

M. DOLORES

PESQUERA MORON

FCO. JAVIER

2721 BANCAJA, Director Oficina, C/ Pintor Gisbert, 5, 03005 Alicante, ℡ 965-921658, 965-131302, fpesquera@bcj.qbancaja.com

PICAZO SOTOS

JOAQUIN

2036

PICHARDO RUSIÑOL

ESTHER

2545

PILAN CANOREA

OVIDIO

2752

PINILLA DE LA GUIA

Mª PAZ

1600 AVIVA, Head of Regulatory Economic Capital, ST Helen´s, 1, EC3P 3DQ London

PIÑEIRO OUTEIRAL

RUBEN DAVID

2608

PLASENCIA RODILLA

ANA BELEN

2699

PLAZA MAYOR

PABLO

PLAZA RESA

PALOMA

3310

PLAZA VELASCO

ANA

3143

69 826

983 TOWERS PERRIN, Director, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, pablo.plaza.mayor@towersperrin.com

278

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

POBLACIONES BUENO

LUIS

POMAR FERNANDEZ

M. CARMEN

346

POMARES PUERTO

M. CARMEN

3171

PONS-SOROLLA BELMONTE

HELIO

3191 HCC EUROPE, Actuario, C/ Chile, 8, Ed. Azasol, Planta 1, 28290 Las Rozas (Madrid), ℡ 91-5560888, hpons@hcceurope.com

PORRAS DEL CORRAL

FRANCISCO J.

418

PORRAS RODRIGUEZ

ANTONIO

326

PORTILLA ACEVEDO

JORGE

2665

PORTILLO NAVARRO

MANUEL JESUS

2446 MAZARS AUDITORES/ AUDITORIA, Senior Mánager, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, ℡ 915624030, manuel.portillo@mazars.es

PORTUGAL GARCIA

IZASKUN

2321 LINEA DIRECTA ASEGURADORA / SEGUROS, Responsable Suscripción Hogar, C/ Isaac Newton, 9, PTM, 28760, Tres Cantos Madrid, ℡ 91-8054236, ldaipg@lineadirecta.es

POVEDA MINGUEZ

INMACULADA

POZUELO DE GRACIA

EMILIANO

2313 CAJASUR, Jefe de Gestión de la Liquidez, Avda. Gran Capitán, 1113, 14008 Córdoba, ℡ 957-210574, 957-210974, emiliano.pozuelo-de@cajasur.es

489

687

PRADA GARCIA

Mª ANGELES

3094

PRAT ALUJAS

MONTSERRAT

3271 TRUST RISK GROUP, Assistant Accounts Manager, St. Mary Axe, Londres, UK, m.prat@yahoo.es

PRECIOSO GARCIA

CRISTINA PILAR

2400 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS – GRUPO AVIVA, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971878, 912971736, cristina.precioso@aviva.es

PRIETO COBO

Mª DEL ROCIO

1929

PRIETO GIBELLO

FERNANDO

1795

PRIETO MONTES

LAURA

2433

PRIETO PEREZ

EUGENIO

176 GABINETE FINANCIERO DEL PROF. DR. EUGENIO PRIETO, Presidente, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91638.40.85, 91-638.40.85, eprietop@terra.es

PRIETO REAL

GEMA

2461

PRIETO RODRIGUEZ

ENRIQUE

3181 IMA IBERICA/ SEGUIROS DE ASISTENCIA, Actuario, C/ Silvano, 55, 28043 Madrid, ℡ 91-3434963, enrique.prieto@imaiberica.es

PRIETO RODRIGUEZ

CARLOS

3229 DELOITTE/CONSULTORIA ACTUARIAL, Consultor Senior, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, 28020 Madrid, ℡ 91-5145000, 91-5145180, caprieto@deloitte.es

PRIETO SEGURA

FERNANDO

1839 GABINETE FINANCIERO DEL PROFESOR DR. EUGENIO PRIETO PEREZ, C/ Circe, 16, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91638.40.85, 91-638.40.85, fprietosegura@terra.es

PRIMO MEDINA

CARLOS

PRO GONZALEZ

JESUS MANUEL

2666

PROVENZA GARCIA-SUAREZ

JORGE

1890

PUCHE DE LA HORRA

J. GABRIEL

113

979 DELOITTE, S.L., Director, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1, Torre Picasso, 28020, Madrid, ℡ 91-5145000, 91-5145180, jpuche@deloitte.es

PUENTE MENDEZ

ALBERTO

1547

PUERTA BARROCAL

Mª CATALINA

2350 SANTANDER SEGUROS, Actuario Vida, catypuerta@gmail.com

PUERTAS PEDROSA

JOSE ANTONIO

1784

PUGA FERNANDEZ

JUAN

PUIG DEVLOO

JUAN

2737 HISCOX, Manager de Arte y Clientes Privados, María de Molina, 37, Bis, 28006, Madrid, ℡ 91-5776293, jpuig1@gmail.com

PULIDO LEBRON

DAVID

2524 HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 91-3834700,

586

279

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES 91-3834701, david.pulido@hna.es

PULIDO PAREJO

RICARDO

2155 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, ricardo.pulido@hewitt.com 2123

PULIDO RODRIGUEZ

ALEJANDRO

QUERO PABON

CARLOS A.

966

QUESADA SANCHEZ

FCO. JAVIER

599 UNIVERSIDAD CASTILLA LA MANCHA, Catedrático Universidad, ℡ 630067747, javier.quesada@uclm.es

QUETGLAS RUIZ DE ALEGRIA

SANDRA

2296 MERCER CONSULTING, S.L., Pº de la Castellana, 216, 28046, Madrid, ℡ 629740781, squetglas@yahoo.es

QUILIS ISERTE

LUIS ENRIQUE

3130

QUINTANA DE LA OSA

JAVIER

2858

QUINTANA GONZALEZ

JOSE JUAN

1241

QUIÑONES LOZANO

FAUSTINO

2165

QUIROGA NARRO

SIXTO ABEL

RABADAN ATIENZA

MIREYA P.

2667

RAMI PEREZ

CARLOS RAUL

2299 UNESPA, Dtor. de Asesoría Actuarial y Financiera, C/ Núñez de Balboa, 101, 28006 Madrid, ℡ 917452179, 917451531, carlos.rami@unespa.es

RAMIREZ ESPEJO

MARIO

2043

RAMIREZ GARCIA

CARLOS

1109

RAMIREZ PEREZ

FERNANDO I.

RAMIREZ PEREZ

Mª CRUZ

1509 UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, Personal Docente e Investigador, Pº de los Artilleros, s/n, Vicálvaro, 28032 Madrid, ℡ 91-4888005, cruz.ramirez@urjc.es

RAMIREZ TORRES

JOSE F.

2428 SUIZA RE EUROPE, SUCURSAL EN ESPAÑA, Marketing Actuary, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046 Madrid, ℡ 91-5982356, 91-5981779, josefrancisco_ramirez@swissre.com

RAMIRO MORENO

MARIA DEL PILAR

3230 GRUPO GENERALI ESPAÑA, Área de Control del Grupo Actuarial y de Riesgos. Departamento Actuarial de No Vida, Orense, 2, 28020, Madrid, ℡ 91-5244014, pramiro.moreno@gmail.com

RAMOS ARRISCADO

DANIEL

2800 COMUNIDAD DE MADRID, Administrativo Gestión Económica, daniel.ramos@madrid.org

RAMPEREZ BUTRON

RAQUEL

3231 PURISIMA CONCEPCION MPS / SEGUROS, Augusto Figueroa, 3, 1º, 28004 Madrid, ℡ 91-5215483, raquel.ramperez@purisimamps.es

RANZ ALDEANUEVA

SANTIAGO

2482 WILLIS IBERIA, Pº de la Castellana, 36-38, 4ª Planta, 28046, Madrid, ℡ 679194913, sranz@willis.com

RANZ RICO

MARIA

3232 GESINCA CONSULTORA (CASER), Consultora Actuarial, Avda. de Burgos, 109, 28050 Madrid, ℡ 91-2146625, mranzrico@caser.es

REAL CAMPOS

SERGIO

2104 MAPFRE FAMILIAR, Head of Business Analitics, Carretera de Majadahonda a Pozuelo, 28222, Madrid, ℡ 91-5912501, srealca@mapfre.com

312

564 SCOR GLOBAL LIFE, 701 Brickell Ave. Suite 1270, 33131, Miami, iramirez@scor.com

RECIO GARCIA

NOELIA

2668

RECIO MANCEBO

ELENA

2735 C.E.S.C.E., S.A. / SEGUROS, Jefa Unidad Control de Gestión y Planificación, C/ Velázquez, 74, 28001, Madrid, ℡ 902111010, 915766583, erecio@cesce.es

RECIO ORTAL

PEDRO LUIS

2322

REDONDO HERNANDEZ

Mª ANGELICA

2241 SCOR, Jefe de Reservas No Vida, Control de Riesgos Grupo, Inmueble SCOR, 1, Av. Du General de Gaulle, 92074, Paris-La Defense, ℡ +33(0)146987233, aredondo@scor.com

REDONDO MARTIN

ARANZAZU

2788 SANITAS, S.A. DE SEGUROS, Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid, ℡ 91-5852486, aredondo@sanitas.es

280

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

REINA GARCIA

SUSANA

2018

REINA MARIN

JOAQUIN

2722 GRUPO AGBAR, Responsable Administrador y Finanzas, C/ Alona, 31, 03008 Alicante, ℡ 96-5106352, joaquin.reina@emarasa.es

REINA PROCOPIO

FRANCISCO

RENESES ASENJO

ENRIQUE

1342 INGESAC, Socio, C/ Puerto Rico, 4, Bajo 3, 28016 Madrid, ℡ 902199670 91-4133950, info@ingesac.com

REQUEJO PERELA

OSCAR

3009 LA ESTRELLA / SEGUROS, Actuario de Reaseguro, C/ Orense, 2, 28028, Madrid, ℡ 91-3301452, orequejo@laestrella.es

150

REQUENA CABEZUELO

PILAR

1677

REVUELTA MATEO

SUSANA

2037

REY GAYO

ALFREDO

1848

RIBAGORDA FERNANDEZ

NURIA

1878

RIBAGORDA FERNANDEZ

JUDITH ADELA

2152

RICO ALBERT

VICENTE

2523

RICOTE GIL

FERNANDO

RIEGO MIEDES

ENRIQUE

3168 GENERALI SEGUROS, Actuario Autos, Orense, 2, 28020, Madrid, e.riego@generali.es

RINCON GALLEGO

Mª ISABEL

2242

RIO ESTEBAN

YOLANDA

2502 AEGON, Actuaria, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432857, rio.yolanda@aegon.es

RIOJA GONZALO

JESUS MARIA

1032 PREVISION SANITARIA NACIONAL, MUTUA A PRIMA FIJA, Director Financiero Grupo, Villanueva, 11, 28001, Madrid, ℡ 914311244, 91-5782914, jesus.rioja@actuarios.org

RIVAS GONZALEZ

DIEGO

3021

RIVAS GOZALO

JAVIER

2307 SWISS RE, Director – Strucutred Life Reinsurance, Mithenquai, 5060, 8022, Zurich, Suiza, ℡ +41432856250, javier_rivas@swissre.com

RIVAS SANCHEZ

CRISTINA

2851 WILLIS, CORREDURIA DE SEGUROS, Ejecutivo Senior de Cuentas, Avda Diego Martínez Barrios, 4, Edificio Viapol Center, 41013 Sevilla, ℡ 954-658253, cristina.rivas@willis.com

RIVERA COLOMBO

SARA

2214 WATSON WYATT, Consultor Senior, C/ María de Molina, 54, pl. 7ª, 28006, Madrid, ℡ 627590365, 91-7612677, sara.rivera@watsonwyatt.com

753

HNA, Actuario, Avda de Burgos, 19, 28036, Madrid, ℡ 91-3834700, 91-3834701, isabel.rincon@hna.es

RIVERA SERRANO

ANA Mª

3185

RIVERO NIETO

CRISTINA

2998 AXA SEGUROS GENERALES, Responsable de Siniestralidad, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 91-5388711, cristina.rivero@axa.es

RIZO FERNANDEZ

JOAQUIN

ROBLEDA HERNANDEZ

SERGIO

3144 AXA, L&S Risk Management, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ 647538324, sergio.robleda@axa.es

ROBLEDILLO MARTIN

JOSE

1326 SANITAS , S.A. DE SEGUROS, C/ Ribera de Loira, 52, 28042 Madrid, ℡ 91-5855817, jrobledillo@sanitas.es

ROBLES ESTEBAN

FCO. JAVIER

816

RODENAS CASAS

MANUEL

270

RODRIGO BARCI

ANDRES

2294 ACADEMIA UNIVERSITARIA CAMPUS ACADEMICO, Profesor de Contabilidad Financiera, Tallistas, 7, 28037, Madrid, ℡ 658807072,℡ 91-3063109, arbarci@yahoo.es

RODRIGO BORJA

GONZALO J.

2222

RODRIGO VIGIL

ROSARIO

699 ESPAÑA, SA. COMPAÑIA NACIONAL DE SEGUROS, Secretario General y Dtor. Financiero, Príncipe. de Vergara, 38, 28001 Madrid, ℡ 91-4355980, 91-4314095, jrf@espanasa.com

721

281

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

RODRIGUEZ ALVAREZ

LAURA

3205

RODRIGUEZ BURRIEZA

DAVID

2126 AVIVA, Fco. Silvela, 106, 6º A, 28002 Madrid, ℡ 91-2971752, david.rodriguez@aviva.es

RODRIGUEZ CANO

BORJA

3334

RODRIGUEZ DE CELIS

DIEGO FERNANDO

3196

RODRIGUEZ DE DIEGO

JOSE

RODRIGUEZ DIAZ

GONZALO

3044

RODRIGUEZ GARCIA

BARBARA

2835

RODRIGUEZ GARCIA RENDUELES

MANUEL

1130

RODRIGUEZ GOMEZ

ISABEL

3233

RODRIGUEZ GONZALEZ

LUIS

RODRIGUEZ GONZALEZ

JOSE CARLOS

382

605 1951 PATRIA HISPANA, S.A. / SEGUROS, Responsable Dpto. Automóviles, C/ Serrano, 12, 28001 Madrid, ℡ 91-5664005, 5767521, siniauto@patriahispana.com

91-

RODRIGUEZ GONZALEZ

MARIA DE LA O

RODRIGUEZ HERMIDA

JULIO HIPOLITO

RODRIGUEZ MACHO

NURIA

RODRIGUEZ MERINERO

TEOFILO

578

RODRIGUEZ OCAÑA

PEDRO M.

531 HEALTH CLINIC CONSULTANTS, S.L., CONSULTORA SANITARIA, Socio Gerente, C/ príncipe de Vergara, 9, 4º D, 28001 Madrid, ℡ 91-7818235, 91-7818236, hcc1@hcc.es

RODRIGUEZ PALMA

M. JESUS

RODRIGUEZ PASCUAL

RAQUEL

RODRIGUEZ PEREZ

FCO. CARMELO

RODRIGUEZ ROZA

MARIA INES

3022

RODRIGUEZ SANCHEZ

SANTIAGO

1189

RODRIGUEZ VICENTE

SANTIAGO

623

RODRIGUEZ VILLAREJO

MANUEL

RODRIGUEZ-PARDO DEL CASTILLO

JOSE MIGUEL

RODRIGUEZ-RICO ROJAS

MARTA

2243

ROJAS GONZALEZ

CRISTINA

2929 UNACSA (UNION DE AUTOMOVILES CLUBS, S.A.), Actuario, C/ Isaac Newton, 4, Parque Tecnológico de Madrid, 28760, Tres Cantos, ℡ 91-5947762, cristina_rojas@race.es 3220

2196 481 2478

701 2974 712

81 800

ROJO CABALLERO

CARMEN MARIA

ROLDAN GARCIA

M. JESUS

ROMAN ALONSO

JOSE JAVIER

ROMAN ARRIBAS

MONICA

1898

ROMAN DIEZ

SANTIAGO

2669

ROMAN MARTIN

JESUS MANUEL

2552 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Responsable riesgos actuariales y ALM / Project Program Manager Solvencia II, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050 Madrid, ℡ 91-2971733, jm.roman@aviva.es

ROMERA IGEA

SANTIAGO

1948 AREA XXI / SEGUROS, Socio Director, C/ Ayala, 11, 28001 Madrid, ℡ 649260484, 91-4263869, sromera@area-xxi.com

ROMERO ESPUIG

MARIA BEATRIZ

2789 BBVA, C/ Juan de Valero, 3, 12450, Jérica (Castellón), ℡ 964129316, 963-616288, beatriz.romero@grupobbva.com

ROMERO ESTESO

GERARDO

1439 CASER / SEGUROS, Dtor. General Adjunto, Avda. de Burgos, 109, 28050, Madrid, 91-2146821, 91-2018894, gromero@caser.es

ROMERO CANO

FCO. JAVIER

3335

968 CNP VIDA, C/ Ochandiano, 10, Pta. 2, El Plantío, 28023 Madrid, ℡ 91-5243400, 91-5243401, mariajesus.roldan@cnpvida.es 930

282

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

ROMERO GAGO

ALBERTO

ROMERO GARCIA

MIGUEL ANGEL

ROMERO HUERTAS

PAULA

3323

ROMERO MORENO

MARTA MARIA

2416 AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405568, 91-3405883, mromerom@gyc.es

ROSADO CEBRIAN

BEATRIZ

3297 UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA, Becaria de Investigación, C/ Cristo Bendito, 4, 1º D, 10005, Cáceres, ℡ 646541235, bea_rceb@hotmail.com

ROSAS MENAYA

CARLOS

3262 CIGNA LIFE INSURANCE, Senior Underwriter, Parque Empresarial La Finca, Edif. 14, 28223, Pozuelo de Alarcón, Madrid, ℡ 913985782, 91-4184938, carlos.rosas@cigna.com

1193 CONFEDERACION ESPAÑOLA DE MUTUALIDADES, Director Gerente, C/ Santa Engracia, 6, 2º Izq. 28010 Madrid, ℡ 913195690, 91-3196128, alb.romero@m3d.net 409

ROYO BURILLO

JOAQUIN

ROYO GARCIA

BEATRIZ

ROYO MORENO

JESUS

RUBIO VALRIBERAS

DAVID

2038

RUBIO BARRAGAN

ANA ISABEL

2826

RUBIO MARQUEZ

CESAR

3312

RUBIO MOLERO

RAQUEL

1744

RUBIO MUÑOZ

KATIA

2127

RUBIO RODRIGUEZ

ROBERTO

2089

RUBIO RODRIGUEZ

CAROLINA

2801

RUEDA GARCIA PANDO

JAVIER

1553

RUEDA PEREZ

MIGUEL ANGEL

2211 PELAYO MUTUA DE SEGUROS, Director Postventa Diversos, C/ Rufino González, 23, 4ª Planta, 28037, Madrid, ℡ 91-5929560, 91-3750942, marueda@pelayo.com

80 3113 CAJA MADRID, Plaza Mayor, 13, 19001 Guadalajara, ℡ 660004928, broyogar@cajamadrid.es 675 CAJA CASTILLA LA MANCHA, CORREDURIA DE SEGUROS, S.A., Director, C/ Paris, 2, 45003 Toledo, ℡ 902194977, 925213003, jroyom@ccm.es

OPTIMA PREVISION, Director, Veláquez, 14, 28001, Madrid, ℡ 917819754, 91-5780103, r.rubio@optimaprevision.com

RUIZ BUTRAGUEÑO

CARLOS

3206

RUIZ CAMACHO

RAFAEL

1627

RUIZ DE ARBULO GUBIA

IZASKUN

3157

RUIZ DE LA CRUZ

CARMEN

RUIZ DEL MORAL LIZUNDIA

JAVIER

1077 SUIZA DE REASEGUROS, Director de Mercado-Vida y Salud, Pº de la Castellana, 95, Planta 18, 28046 Madrid, ℡ 91-5981726, 91-5981779, javier_ruizdelmoral@swissre.com

RUIZ GONZALEZ

ESTHER

2827 FUNDACION MAPFRE, Bárbara de Braganza, 14, 28004, Madrid, eruiz@mapfre.com

RUIZ MARTIN

ENRIQUE

1221 REINSURANCE GROUP OF AMERICA, Vicepresidente Desarrollo de Negocio y Marketing, Pº de Recoletos, 33, Planta 1, 28004, Madrid, ℡ 91-6404340, 91-6404341, eruiz@rgare.com

RUIZ MEIS

GONZALO

1429

RUIZ MONTERO

RAQUEL

2638

RUIZ RUIZ

MARTA

2473

RUIZ SALSAS

RAQUEL

3023

RUIZ SANZ

CLARA ISABEL

1122

RUIZ SAZ

PILAR

1367 GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Directora de Previsión Social, Cajas Zona Norte y Este, Avda.

877 BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario Asociado, C/ Marqués de la Ensenada, 14, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 91-3080019, 913081082, carmen.ruiz@benedictoyasociados.biz

283

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES Burgos, 109, 28050, Madrid, ℡ 91-2146071, pruiz@caser.es

RUIZ VALCARCEL

JUAN

2392

RUMOROSO MARTINEZ

BEATRIZ

2483 TOWERS PERRIN, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 28002 Madrid, ℡ 91-5903009, 91-5640035, beatriz.rumoroso@towersperrin.com 1143

SADORNIL PORRAS

JOSE MANUEL

SAENZ GILSANZ

EMILIO

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

LUIS MARIA

1865 AXA, Director Vida, Pensiones y Servicios Financieros, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050 Madrid, ℡ +34 639140101, luismaria.saez@axa.es

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

Mª ELENA

2245

SAEZ DE JAUREGUI SANZ

FELIX JAVIER

2308 SKANDIA WEALTH MANAGEMENT, Avda de las Dos Castillas, 33, Ática, Edif. 7, 28224, Pozuelo de Alarcón, Madrid, fsaezj@skandia.es

SAINZ GARCIA

JUAN JOSE

996

706 GP ASESORES, S.L. / CONSULTORIA, Socio Director, Esquilache, 6, 28003, Madrid, ℡ 91-5540838, j.sainz@actuarios.org

SAIZ GARCIA

CRISTINA

2802

SAIZ ZABALLOS

M. ISABEL

759

SALA MENDEZ

VICENTE

SALAS MARTIN

ROSA

3137 TOWERS WATSON RISK CONSULTING (SPAIN), S.A., María de Molina, 54, 7ª Planta, 28006, Madrid, ℡ 91-3101088, rosa.salas@towerswatson.com

SALINAS ALMAGRO

MARIO

1155 OVERBAN CONSULTORES, S.L., C/ General Moscardó, 8, Bajo, Local 5 28020 Madrid, ℡ 91-3192233, , mario.salinas@overban.com

SALVADOR ALONSO

RODRIGO

2940 BBVA, Jefe Equipo Auditoria Pensiones y Seguros, Plaza Santa Bárbara, 1, 28004 Madrid, rodrigo.salvador@grupobbva.com

SALVADOR GONZALEZ-BAYLIN

AFRICA PILAR

2745 CRH, C/ Basauri, 6, Parque Empresarial La Florida, 28023 Aravaca (Madrid), ℡ 91-5751275, asalvador@cyrsha.com

SAN JUAN BARRERO

JESUS A.

3065

SAN ROMAN DE PRADA

ANTONIO

2836 ERNST & YOUNG / Consultoría, Gerente, Actuarial Services, Plaza Pablo Ruiz Picasso, 28020, Madrid, ℡ 91-5727358, 91-5727275, antonio.sanromandeprada@es.ey.com

SANCHEZ BARRAL

JUAN ANDRES

2965

SANCHEZ BURGUILLO

Mª ELENA

2364

SANCHEZ DELGADO

EDUARDO

1579 MAPFRE FAMILIAR, Director Área Actuarial, Carretera de Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5814726, edsanch@mapfre.com

SANCHEZ DOMINGUEZ

JOSE RAMON

2176 CAJA NAVARRA / FINANCIERA, Director Oficina, Avda. Constitución, 96, 28850 Torrejón de Ardoz (Madrid), ℡ 916758370, 91-6758357, joseramon.sanchez@cajanavarra.es

613

jesanju@gmail.com

SANCHEZ GARCIA

GONZALO

2803

SANCHEZ GARCIA

YOLANDA

2915

SANCHEZ GONZALEZ

HIPOLITO

SANCHEZ GONZALEZ

Mª ESTHER

2365

SANCHEZ GUTIERREZ

MARIA

3207

SANCHEZ IGLESIAS

M.ª DEL PILAR

1230 IDEAS, Directora Previsión Social y Beneficios, General Perón, 14, Planta 1-C, 28020, Madrid, ℡ 91-5983312, 91-5983313, psanchez@ideas-sa.es

SANCHEZ LAMBEA

Mª CARMEN

1822

SANCHEZ MARTIN

JOSE LUIS

1170 C/ Quintana, 22, Apt. 307, 28008 Madrid, ℡ 609047432, jlsanmar1@gmail.com

284

APELLIDOS

NOMBRE

Nº 1315

DATOS PROFESIONALES

SANCHEZ MARTIN

MERCEDES

SANCHEZ MARTINEZ

JOSE

SANCHEZ ORDOÑEZ

FCO. JAVIER

1048

SANCHEZ ORMEÑO

JOSE ANTONIO

2760 ATTEST SERVICIOS EMPRESARIALES, S.L.P., Gerente Auditoría, Orense, 81, 7ª Planta, 28020, Madrid, ℡ 91-5561199, 91-5569622, jsanchez@attest.es

SANCHEZ PATO

RICARDO

2021 RGA REINSURANCE COMPANY, Director Desarrollo de Negocio, Crta. A Coruña, km 24, Edif. Berlín, 28290 Las Rozas (Madrid), rspmmc@gmail.com

SANCHEZ RODRIGUEZ

OLGA

1859

SANCHEZ RUIZ

JOSE ANTONIO

2671

SANCHEZ SUSTAETA

ALEJANDRO RICARDO

3222 AON CONSULTING, Consultor, C/ Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 91-3405037, 91-3405883, asansust@aon.es

SANCHEZ TREBEJO

JUAN

SANCHEZ UTRILLA

JUAN ANTONIO

2529 AON BENFIELD, Actuario Consultor Reaseguro, juanantonio.sanchez@aonbenfield.com

292

C/ Alvado, 23, 03202, Elche ( Alicante ), ℡ 661852403, jsanchezruiz@hotmail.com

878 CNP Vida, Dtor. de Recursos Humanos, C/ Ochandiano, 10 , 28023 El Plantío Madrid, ℡ 91-5243400, juan.sanchez@cnpvida.es

SANCHEZ-CANO TORRES

JAIME

1556

SANCHEZ-CRESPO BENITEZ

MARTA

2620

SANCHEZ-PACHECO DE VEGA

JESUS

3208

SANCHIS MERINO

HECTOR

1675

SANCHO GARCIA

AGATA

2337 WILLIS, Directora Vida y Pensiones, Pº Castellana, 36-38, 28046 Madrid, ℡ 914233482

SANMARTIN RUIZ

ALICIA

427 BUCK CONSULTANTS, Directora General, Avda de Burgos, 12, 28036 Madrid, ℡ 91-3102699, 91-3102697, alicia.sanmartin@buckconsultants.com

SANMARTIN RUIZ

JOSE MARIA

SANS Y DE LLANOS

AGUSTIN

SANTAMARIA CASES

MARIA PILAR

2395 SCOR GLOBAL LIFE, IBERICA SUCURSAL, Directora de Suscripción y Marketing, Pº de la Castellana, 135, 28046 Madrid, ℡ 91-4490810, 91-4490824, psantamaria@scor.com

SANTAMARIA DEL ESTAL

ESTHER

2447 HELVETIA COMPAÑIA SUIZA,S.A. DE SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento de Inversiones, Pº de Recoletos, 6, 28001, Madrid, ℡ 91-4363239, 91-4318286, esther.santamaria@helvetia.es

SANTAMARIA IZQUIERDO

JOSE IGNACIO

2197 AON CONSULTING, Consultor, Rosario Pino, 14-16, 28020 Madrid, ℡ 902114611, 91-3405883, jsantami@aon.es

SANTAMARIA SANCHEZ

IGNACIO

1366 MERIDIANO COMPAÑIA ESPAÑOLA DE SEGUROS, S.A., Director Técnico-Actuarial, C/ Olozaga, 10, 29005 Málaga, ℡ 952-221628, 952-217161, isantamaria@meridiano.grupoasv.com

KPMG, Consultor, Pº de la Castellana, 95, 28046, Madrid, ℡ 91 456 34 00, ℡ 645 470 500 jsanchezpacheco@kpmg.es

1023 104

SANTAMARIA TAVIRA

MARIA ISABEL

2791

SANTOLALLA BEITIA

JAVIER

1301 CPPS, SOCIEDAD DE ASESORES, S.L., Director, C/ Bravo Murillo, 54, Esc. Dcha., 1º, 28003, Madrid, ℡ 91-4516700, 91-4411721, actuarial.mad@consultoradepensiones.com

SANTOS DE BETANCOURT

PAULA

3033

SANTOS GONZALEZ

ANGEL

2548

SANTOS JUAREZ

Mª ROSARIO

1404 Gesinca Actuarios S.A.P., gesincaac@gesincaactuarios.es

SANTOS MIRANDA

ALFREDO

2684

SANTOS PERONA

ALBERTO

3138

SANZ ALBORNOS

MIGUEL

2429

285

KPMG, Pº de la Castellana, 95, Torre Europa, 28046 Madrid, ℡ 914583400, 91-5550132, angelsantos@kpmg.es

APELLIDOS

NOMBRE

SANZ ARNAL

ERNESTO

Nº

DATOS PROFESIONALES

SANZ CHICHARRO

DAVID

2224 BENEDICTO Y ASOCIADOS, SOCIEDAD DE ACTUARIOS, S.L., C/ Marqués de la Ensenada, 16, 3ª Planta, Oficina 23, 28004, Madrid, ℡ 91-3080019, Davidsanz@benedictoyasociados.biz

SANZ HERRERO

CARLOS

2271 GRUPO SANTANDER, DIVISIÓN GLOBAL DE SEGUROS, Canal Affinity, Ciudad Grupo Santander, 28660 Boadilla del Monte, ℡ 912894901, carlsanz@gruposantander.com

861

SANZ MORENO

ALBERTO

2396

SANZ SANCHEZ

LAURA

3299

SANZ SANCHEZ

SERGIO

3078 LIBERTY SEGUROS / ACTUARIAL NO VIDA, Actuario, Bulevar de Entrepeñas, 2, Portal 1, 1º B, 19005 Guadalajara, ℡ 606643314, 949490354, sergio.sanz@libertyseguros.es

SANZ Y SANZ

Mª PAZ

1814

SANZ-CRUZADO REPULLO

JUAN

SARABIA MONTES

MARTA

1351 AVIVA SERVICIOS COMPARTIDOS AIE, Actuario, Camino Fuente de la Mora, 9, 28050, Madrid, ℡ 91-2971737, 91-2971756, marta.sarabia@aviva.es

SARACHAGA CORTADI

ESTHER

2369 CAJASTUR VIDA Y PENSIONES, S.A., Actuaria, C/ Martínez Marina, 7, 33009, Oviedo Asturias, ℡ 98-5207053, 98-5209384, esarachaga@cajastur.es

SARDA ITURRALDE

JOSE MANUEL

SARRICOLEA BILBAO

ALBERTO

2578

SASTRE BELLAS

JOSE FCO.

1329 CXG OPERADOR BANCA SEGUROS CAIXA GALICIA, Director Técnico, Polígono Pocomaco, Parc. A 3, Naves F-G, 15190 A Coruña, ℡ 98-1217950, jsastre@cxg.es

961

354

SATRUSTEGUI SILVELA

ALVARO

1202

SAYALERO DE LA OSA

MERCEDES

1808 LIBERTY SEGUROS, Actuario Senior, C/ Obenque, 2, 28042 Madrid, ℡ 91-3017900, mercedes.sayalero@libertyseguros.es

SEBASTIAN CASTRO

FCO. SIMEÓN

3336

SEGURA ARMIJO

ANTONIO J.

2753

SEGURA GISBERT

JORGE

3186

SEGURA URETA

JESUS

1994 CNP VIDA, Director de Nuevos Productos y Marketing, C/ Ochandiano, 10, 28023 Madrid, ℡ 91-5243400 , 91-5243401, jesus.segura@actuarios.org

SENDRA VIVES

TERESA MARIA

1330 LIBERTY SEGUROS, Directora Control Gestión y Planificación, C/ Zamora, 54 08005 Barcelona teresa.sendra@libertyseguros.es

SERRANO CENTENO

ISMAEL

2295

SERRANO DE TORO

Mª JOSE

1340

SERRANO HURTADO

DAVID

2160 MAPFRE, Actuario, Carretera Majadahonda - Pozuelo, 50, 28220 Majadahonda, ℡ 91-5813339, daserra@mapfre.com

SERRANO OLABARRI

NEREA

3197

SERRANO PEREZ-BUSTAMANTE

GONZALO

2090

SERRANO PINAR

TOMAS

SERRANO POZUELO

JUAN CARLOS

SERRANO TERRADES

RAFAEL

SILVA QUINTAS

JOSE JAVIER

1108

SILVA SANZ

OLIVIA

2549

SILVEIRO GARCIA

JOSE MANUEL

2840 TOWERS WATSON, Gerente, Suero de Quiñones, 42, 28002, Madrid, ℡ 91-5903082, jose.silveiro@towerswatson.com

SIMON MUÑOZ

SERGIO

3277

SIRVENT BELANDO

FCO. DE PAULA

2724

349 1997 189

286

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

SOBRINO BARONA

JUAN CARLOS

2500 AVIVA, Actuario, Alcalde José Aranda, 3, 7º D, 28922 Alcorcón, Madrid, jc.sobrino@aviva.es

SOBRINO SANZ

MAITE

2550

SOBRINOS VELASCO

FCO. JAVIER

1000

SOLANA GARCIA

GUSTAVO

3278

SOLER DE LA MANO

AGUSTIN MARIA

SOLSONA PIERA

JAVIER

2255

SORIANO MOYA

DANIEL

2597

SOROA HERRERO

FELIX

1111 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, felix.soroa@hewitt.com

SOROLLA DE LUIS

EDUARDO L.

2593 AEGON SALUD, COMPAÑÍA DE SEGUROS Y REASEGUROS, Responsable Departamento Técnico, C/ Príncipe de Vergara, 156, 28002, Madrid, ℡ 91-3432853, 91-5632938, sorolla.eduardo@aegon.es

879

SOTO GARCIA-JUNCO

IÑIGO

1654

STEWART

NEIL MATTHEW

2623

SUAREZ NUÑEZ

JOSE BENIGNO

1554

SZÉKELY ELU

LEIRE

2052

TABOADA CABREROS

DAVID

3079

TADEO RIÑON

LORETO ALICIA

1362

TAHOCES ACEBO

BERNARDO

TAPIAS GREGORIS

VICTOR F.

2338

TARIFA MANZANO

YOLANDA

2988

TEJADA HERRERO

ELOY

TEJEDOR ESCOBAR

MARIA

2792 TOWERS PERRIN / CONSULTORIA, Consultor, C/ Suero de Quiñones, 42, 3ª Planta, 28002 Madrid, ℡ 91-5903984, 915633115, maria.tejedor@towersperrin.com

TEJEDOR TORDESILLAS

ELISA

2674 AVIVA GRUPO CORPORATIVO, Actuario, C/ Fuente de la Mora, 9, 28050 Madrid, elisa.tejedor@aviva.es

TEJERA MONTALVO

ESTEBAN

126

141

574 MAPFRE, S.A., Consejero Director General, Carretera Pozuelo a Majadahonda, 52, 28220 Majadahonda (Madrid), ℡ 91-5814702, 91-5811975, estebantejera@mapfre.com

TELLO ALONSO

JESUS

1989

TELLO CANDIL

JOAQUIN FELIX

3258

TEXEIRA CERÓ

JOSÉ MARÍA

2039

TIERRA ANCOS

MANUEL

3259 HELVETIA SEGUROS, S.A., Actuarial Vida, Dpto Seguros Personales, Pº de Cristobal Colón, 26, 41001, Sevilla, ℡ 954593200, manuel.tierra@helvetia.es

TOLEDANO PEÑAS

RAUL

3034

TOMAS MARTIN

ANGEL

TOMAS PEREZ

CRISTINA

1157 DIAGNOSTICO Y SOLUCIONES, S.L., Socia, Dr. Roux, 62, 6ª, 08017 Barcelona, ℡ 606953506, tomas.cristina@gmail.com

TORAL VICARIO

RAQUEL

1906 HNA, Actuario, Avda. Burgos, 19, 28036 Madrid, ℡ 91-3834700, 91-3834701, raquel.toral@hna.es 3209

TORIBIO ROMERO

ALICIA

TORNOS OLIVEROS

M. BEGOÑA

TORRALBA VAZQUEZ

FERNANDO

261

459 3102 NACIONAL DE REASEGUROS, S.A., Actuario. Jefe Departamento. No Proporcional, C/ Zurbano, 8, 28010, Madrid, ℡ 91-3081412, 91-3085542, ftv@nacionalre.es

287

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

TORRE AURTANECHEA

JOSÉ LUIS

240

TORREJON ACEVEDO

JUAN

374

TORRENTE CASTEL

ANTONIO

313 GABINET TORRENTE, ASESORES ASOCIADOS, S.L., SocioDirector, C/ Numancia, 117-121, Planta 1ª, 1º A, 08029 Barcelona, ℡ 93-4093684, antoniotorrentecastel@telefonica.net

TORRES MARTIN

CARMEN

1401 GESINCA CONSULTORA DE PENSIONES Y SEGUROS, S.A., Actuario, Avda de Burgos, 109, 28050, Madrid, ℡ 91-2146071, ctorres@caser.es

TORRES PEREZ

MARTA

3308

TORRES PRUÑONOSA

JOSE

2675 FUNDACIÓ CULTURAL CAIXA TERRASSA, Coordinador de Masters, Postgrados y Formación Continua, Ctra. De Terrassa a Talamanca, Km 3, 08225, Terrassa, ℡ 93-7301900, 93-7301901, jose.torres@actuarios.org

TORTOLA MARTIN

RAQUEL

3174

TRIGO MARTINEZ

EDUARDO

2736 UNIVERSIDAD DE MÁLAGA / DOCENCIA, INVESTIGACIÓN, Profesor Colaborador, C/ Arango, 15, 4-16, 29007, Málaga, ℡ 666529693, 95-2131339, etrigom@uma.es

TRUEBA MANZANO

GUILLERMO

3324

TURBICA TEJERA

CARLOS

2746 AGROSEGURO,S.A. Actuario, C/ Gobelas, 23, 28023, Madrid, ℡ 91-8373200, 91-8373225, cturbica@agroseguro.es

TURRILLO LAGUNA

SANTIAGO

2397 PRICEWATERHOUSECOOPERS, Senior Manager, Pº de la Castellana, 43, Madrid, ℡ +34-91-5684015, santiago.turrillo.laguna@es.pwc.com

UGARRIZA CAPDEVILA

ARMANDO J.

2228

UGARTE ORTEGA

Mª PILAR

1604

ULLOA GARCIA

VICENTE

1790

UREÑA MARTIN

GERMAN

3114

USABEL RODRIGO

MIGUEL A.

1601

VALDES ARTIME

ANA MARIA

2805

VALDES BORRUEY

LUIS EDUARDO

3131 ASEGRUP, S.A. DE SEGUROS, Director Análisis y Control, C/ Raimundo Fernández Villaverde, 49, 1º Izq., 28003 Madrid, ℡ 917701171, 91-7701175, lvaldes@asegrup.net 3080

VALERA MACIAS

ANTONIA

VALERO CARRERAS

DIEGO

959 NOVASTER, Presidente, C/ Jorge Juan, 40, Bajo Izq., 28001 Madrid, ℡ 902-131200, 91-5755302, dvalero@novaster.net

VALIENTE CALVO

ROSA

711 TRANQUILIDADE S.A./ BES-VIDA, Directora General, C/ Velázquez, 108-110, 4ª Plt., 28006 Madrid, ℡ 91-7453870, 7453870 / 91-7453878, rosa.valiente@tranquilidade.es

91-

VALIENTE MENDEZ

FERNANDO M.

3177 PROACTUAR, Family Office, Luis de Morales, 24, Esc. 1, 7º D, 41018, Sevilla, ℡ 95-4419093, 95-4419093, ℡ 618475084, fvaliente@proactuar.es

VALLE RUBIO

JUAN

3047

VALLEJO DEL CANTO

RUBEN

3193

VALLS TRIVES

VICENTE L.

VAQUERIZO COLLADO

DAVID

3158 GESINCA ACTUARIOS, S.A.P., gesincaac@gesincactuarios.es

ruben.vallejo@grupobbva.com

295

VAQUERO SOLIS

GUADALUPE

3024

VAQUERO SOLIS

ANA ISABEL

3046

VARGAS CASASOLA

Mª PILAR

2621

VAZQUEZ DIAZ DE TUESTA

ALBERTO A.

2000

VAZQUEZ GAVILAN

MARIA

3218 BBVA, Técnico Control de Gestión Pensiones y Seguros América, Castellana, 81, Planta 8, 28046, Madrid, ℡ 91-5378103, m.vazquez.gavilan@grupobbva.com

288

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

VECINO TURRIENTES

ITZIAR

2676

VEGA CUENCA

RAFAEL

3010 BENEDICTO Y ASOCIADOS, Actuario, Marqués de la Ensenada, 14, 3ª Planta, Oficina 23, 28004 Madrid, ℡ 91-3080019, 913081082, rafaelvega@benedictoyasociados.biz

VEGA GARCIA

SILVIA

2968

VEGA SANCHEZ

ANA Mª

1356

VEGA SOLADANA

ANA

3162

VEGA ZUAZO

RAFAEL DE LA

440

VEGAS ASENSIO

JESUS M.

437 Catedrático Universidad Complutenese de Madrid.

VEGAS MONTANER

ANGEL

649 VEGON CONSULTORES, SL., Socio Director, C/ Doce de Octubre, 26, 28009 Madrid, ℡ 91-5040956, ℡ 636950069, a.vegas@terra.es

VELARDE SAIZ

CRISTINA

2942

VELASCO ANDRINO

JUAN JOSE

2212 AVIVA, Director I+D Productos, Camino Fuente de la Mora, 9,28050, Madrid, ℡ +3491-2971861, jj.velasco@aviva.es

VELASCO GARCIA

JOSE ANTONIO

2467

VELASCO MARTIN

JOSE ALBERTO

1249

VELASCO MOLINERA

PEDRO

1753 MAPFRE VIDA, Avda. Geral Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 915818192, velascp@mapfre.com

VELASCO RODRIGUEZ

JESUS

2418 MAPFRE VIDA, S.A., Actuario, Avda. General Perón, 40, 28020 Madrid, ℡ 91-5818669, 91-5811709, jevelas@mapfre.com

VELASCO ROIZ

JOSE M.

1062

VELASCO RUIZ

EVA MARIA

2352

VELEZ BRAGA

PABLO ANDRES

3187 ASOCIACION DE MUTUAS DE ACCIDENTES DE TRABAJO, Actuario, C/ Maudes, 51, 3º, 28003 Madrid, ℡ 91-5357480, 915549106, pablo.velez@amat.es

VELEZ CARRERA

ADELA

3108

VERA GOMEZ

RAMON

2198 HEWITT ASSOCIATES, S.A. / CONSULTORIA PREVISION SOCIAL, Pº de la Castellana, 149, 5ª Planta, 28046 Madrid, ℡ 914059350, 91-4059358, ramon.vera@hewitt.com

VERASTEGUI GONZALEZ

RAFAEL

VERGES ROGER

FCO. JAVIER

VIANI SALLABERRY

JOSE M.

556

VICANDI COLINAS

AINHOA

2432

VICARIO NISTAL

LAURA

2439

VICEDO MADRONA

CARLOS

939 1183 AGRUPACIO MUTUA / SECTOR SEGUROS, Director General, Gran Vía de les Corts Catalanes, 621, 08010 Barcelona, ℡ 934826317, 93-4121568, fjverges@agrupaciomutua.es

344 CORREDURIA DE SEGUROS VICEDO Y SIRVENT, Gerente, Valdés, 8, Entresuelo, 03001 Alicante, ℡ 96-5209064, 965200586, cvicedo@segurvys.com

VICENTE AMORES

ROCIO

2024

VICENTE BACHILLER

Mª ANGELES

2485

VICENTE MERINO

ANA

VICENTE RANGEL

MIGUEL ANGEL

592 Catedrática de la Universidad Complutense de Madrid, Subdirect. General de la Fundación de la UCM 1119

VICIOSO RENEDO

FEDERICO

2085 MUTUA MADRILEÑA, Subdirector Planificación Comercial, Pº Castellana, 33, 28046 Madrid, ℡ 91-5929791, fvicioso@mutuamad.es

VICO DEL CERRO

ADELA

1274 AEGON LEVENSVERZEKERING N.V. SUCURSAL EN ESPAÑA. REASEGURO VIDA – TRANSAMERCIA RE, D. Técnica, Pº de la Castellana, 143, 6º B, 28046, Madrid, ℡ 91-4491013, 915790500, adela.vico@transamerica.eu

289

APELLIDOS

NOMBRE

Nº

DATOS PROFESIONALES

VIDAL LOPEZ-GALVEZ

Mª ARACELI

3198 BBVA SEGUROS, Técnico Vida, C/ Alcalá, 17, 28014, Madrid, ℡ 91-3748911, Araceli.vidal@grupobbva.com

VIDAL MELIA

CARLOS

1739 INSTITUTE FOR PUBLIC POLICY AND MANAGEMENT, KEELE UNIVERSITY (UK), Visiting Research Senior Fellow, Church Plantation, Block C, Flat 221, ST5 5GB, Keele, Staffordshire, ℡ +447402257948, c.vidal-media@jppm.keele.ac.uk , carlos.vidal@uv.es 1142

VIELBA GARCIA

FELIPE

VILLADA RUIZ

LAZARO

VILLAJOS DE LA RUBIA

JAVIER

643 3132 ELECTRODOMESTICOS MENAJE DEL HOGAR, S.A., Jefe de Tesoreria, C/ Futbol, 8, 28906, Getafe, Madrid, ℡ 646424367, javivillajos@hotmail.com

VILLALBA GONZALEZ DE CASTEJON

LUIS

VILLALBA VICENT

JAVIER

3263

VILLAMERIEL GONZALEZ

MONICA

2398 AXA MEDITERRANEAN REGION / L&S RISK MANAGEMENT, Camino Fuente de la Mora, 1, 28050, Madrid, ℡ +34-91-5385614, monica.villameriel@axa.es

VILLANUEVA OCHOA

VICENTE

1681 HOSPITAL CLINICA ROCA, Consultor, C/ Luis Doreste Silva, 54-1º, 35004, Las Palmas de Gran Canaria, ℡ 958-246583, 928246768, vicentevillanueva@gmail.com

VILLAR CASTILLO

VIRGINIA

3095 LA ESTRELLA, S.A., Unidad Técnica Zona Madrid-Canarias, Avda. Brasil, 6, 28020 Madrid, ℡ 91-5983917, villar@laestrella.es

VILLAR GRANADOS

ATENODORO

2419 PWC ACTUARIAL & INSURANCE MANAGEMENT SOLUTION, Senior Manager, Kosmodamianskaya NAB, 52, bldg 5, 115054 Moscú, ℡ +74959676035, ateno.villar@ru.pwc.com

VILLARROYA PUNTER

LUCIA

1182

VILLASEVIL MIRANDA

LAURA

3298

XIMENEZ DE EMBUN CADARSO

MARIA CARMEN

2703

XIMENEZ DE LA TORRE

GONZALO

3066 REALE SEGUROS GENERALES, Actuario No Vida – Solvencia II, Gonzalo.ximenez@gmail.com

366

YAGÜE MARTIN

ALFREDO

2704

YEDRA ADELL

JUAN ANTONIO

2888

YEPES MARTINEZ

ANA MARIA

1078

ZABALETA ALONSO

PEDRO JAVIER

1181

ZABALLOS RINCON

JUAN

carmen.ximenezdeembun@partnerre.com

522 CONSULTOR, C/ Arturo Soria, 75, 28027 Madrid, ℡ 91-3680046, zabajua@telefonica.net

ZAHONERO DE LAS HERAS

JUAN JOSE

1476

ZORNOZA DE TORRES

OSCAR

2622 MAZARS AUDITORES, Gerente, C/ Claudio Coello, 124, 28006 Madrid, ℡ 91-5624030, oscar.zornoza@mazars.es

ZORRILLA PRIMO

MARTA

3219 DIVINA PASTORA SEGUROS, Actuario, C/ Colón, 74, 46004 Valencia, ℡ 616887841, marta.zorrilla@divinapastora.com

ZURRON DEL ESTAL

FCO. JAVIER

3337

290

MIEMBROS PROTECTORES DENOMINACION

Nº

DOMICILIO

AREA XXI

124

C/ Ayala, 11 28001 Madrid 91-432 03 71 91-426 38 69 www.area-xxi.com

AXA ESPAÑA

119

Camino Fuente de La Mora, 1 28050 Madrid 902 013 012 www.axa.es

BUCK CONSULTANTS, S. L.

112

Avda. Burgos, 12-7º 28036 Madrid, 91310 26 99 91-310 26 97 www.buckconsultants.co.uk

CASER

120

Avda. de Burgos, 109 28050 Madrid 91595 50 00 91-595 50 18 www.caser.es

DELOITTE, S.L.

122

Plaza Ruíz Picasso, 1 Torre Picasso 28020 Madrid 91-514 50 00 91-514 51 80 www.deloitte.es

EYEE ESTUDIOS EMPRESARIALES, A.I.E.

Plaza Pablo Ruiz Picasso, 1 Edif. Torre Picasso, planta 16 91-572 72 00 91572 72 38 www.ey.com/es

IDEAS INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO ACTUARIAL Y DE SEGUROS, S.A.

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C/ Gral. Perón, 14 planta 1 28020 Madrid 91-598 33 12 91-598 33 13 www.ideas-sa.es

KPMG ASESORES, S.L.

128

Pº Castellana, 95 28046 Madrid 91-456 34 00 91-555 01 32 www.kpmg.es

MAZARS AUDITORES, S.L.

125

C/ Claudio Coello, 124 – 2º 28016 Madrid Madrid 91-562 40 30 91-561 02 24 www.mazars.es

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Pº Castellana, 141 – planta 18, Edificio Cuzco IV, 28046 Madrid 91-789 34 70 91-789 34 71 www.milliman.es

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Zurbano, 8 – 28010 Madrid 91-308 14 12, 91-319 95 43 www.nacionalre.es

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Pº Castellana, 43 28046 Madrid 91-568 44 00 www.pwc.es

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Pº de la Castellana, 95 – 28046 Madrid 91-598 17 26, 91-598 17 80 www.swissre.com

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Suero de Quiñones, 42 – 28002 Madrid 91-590 30 09, 91-563 31 15 www.towerswatson.com

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GABINETE FINANCIERO PROFESOR EUGENIO PRIETO PEREZ, SLP

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