Matemática - Fundamental 2, v. 1 by Programa Integrar Educação

VOLUME I

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

VOLUME 1 – ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS Material produzido pelo Mathema Formação e Pesquisa Todos os direitos reservados ao: Mathema Assessoria e Acomp. Escolar Ltda Avenida Mascote, 398– Vila Mascote 04363-001 – São Paulo – SP (11) 5548 6912 www.mathema.com.br Coordenação Geral Kátia Stocco Smole Maria Ignez S. Vieira Diniz Coordenação pedagógica e técnica Patrícia T. Cândido Texto-base Letícia Vieira de Oliveira Giordano Mirela Mendes

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

ORGANIZAÇÃO DO VOLUME 1 

Introdução

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A perspectiva metodológica da resolução de problemas

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Investigando uma conta I Investigando uma conta II Problematizando jogos

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Problemas convencionais Problemas não- convencionais

Leitura e Resolução de Problemas 

Sobre as Características do texto Matemático

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O texto do problema I O texto do problema II Lendo Problemas Problema Lacunado Organizando Dados I Organizando Dados II Qual é a operação? I Qual é a operação? II Comparando Problemas I Comparando Problemas II Descobrindo a Pergunta I Descobrindo a Pergunta II

O Professor, o aluno e a resposta certa  

Painel de solução As ferramentas matemáticas e a resolução de problemas

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Planejando o trabalho com Problemas

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Coletânea de Problemas

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Lista de Material para realização do Módulo Materiais diversos - para uma sala com 40 alunos que pode rodiziar com outras 3 salas - 40 tesouras - 40 colas - 20 caixas de lápis de cor - 10 folhas de papel pardo - 100 folhas de papel sulfite - 100 folhas de papel A3 - 5 rolos de fita crepe - 20 conjuntos de Canetinha - Cópia das fichas de aluno

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INTRODUÇÃO Muito se tem discutido sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática. Algumas questões como: o que faz um aluno ter sucesso ou fracassar em Matemática? Quais caminhos aproximam os alunos dessa disciplina? Por que tantos alunos, após anos de escolaridade fracassam em Matemática? São questionamentos feitos por educadores de escolas públicas e particulares em todo o país. Apesar de ser agora explícita e amplamente discutida, a questão da formação de alunos competentes em Matemática não é um sonho recente da escola e de nossa sociedade. A escola sempre solicitou que os alunos fossem capazes de relacionar adequadamente várias informações, conhecimentos e habilidades para enfrentar e resolver situações-problema, sem, no entanto, trabalhar consciente e sistematicamente para alcançar essa meta. Nas aulas de matemática, a resolução de problemas tem assumido ao longo do tempo diferentes papéis, dependendo da concepção que se tem de por que ensinar matemática e de como se acredita que seja ensinar e aprender. Em uma dessas concepções, a resolução de problemas pode ser entendida como a meta do ensino de matemática. Nessa perspectiva, o ensino de matemática, seus conceitos, técnicas e procedimentos devem ser ensinados antes, para que depois o aluno possa resolver problemas. Tudo se passa como se o aluno precisasse possuir todas as informações e os conceitos envolvidos na situação-problema para depois poder enfrentá-la. Dito dessa forma, é possível perceber que, nessa concepção, a matemática é importante em si mesma, a resolução de problemas é uma consequência do saber matemática, e, ao resolver problemas, o aluno demonstra se de fato aprendeu ou não matemática. Essa foi a visão da resolução de problemas do denominado modelo tradicional de ensino e a forma predominante de ensino no Brasil até os anos 1960. Há uma segunda maneira de se conceber a resolução de problemas como os processos de resolução, ou as formas de pensar que cada pessoa utiliza para resolver situações que apresentam alguma questão a ser respondida. Essa concepção sobre a resolução de problemas nasce com os trabalhos de Polya1 e ganha sua maior importância nos anos 1960, quando educadores começam a centrar sua atenção sobre os processos ou procedimentos usados pelos alunos para resolver problemas. O ensino tem, então, como foco as estratégias e os procedimentos utilizados para se chegar à resposta. A resposta em si torna-se menos relevante. Essa concepção de resolução de problemas baseia-se na crença de que, ao entender como se resolvem problemas, é possível ensinar a outros como fazê-lo. No ensino os problemas são classificados por tipos, dependendo da estratégia que os resolve, e recomendam-se esquemas de passos a serem seguidos para melhor resolver problemas. 1

Dentre outras publicações de Polya, a mais difundida sobre resolução de problemas data de 1945 e tem como título A arte de resolver problemas(Rio de Janeiro:Interciências, 1977).

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Ensinar como resolver problemas permitiria aprender formas de pensar características da matemática e, portanto, aprender matemática. Mais recentemente, pela influência das pesquisas da psicologia cognitiva, a resolução de problemas passa a ser considerada competência básica do indivíduo, para que ele possa se inserir no mundo do conhecimento e do trabalho. Os currículos, já ao final da década de 1970 e durante os anos 1980, trazem indicações explícitas de que todos os alunos devem aprender a resolver problemas e são necessárias escolhas cuidadosas quanto às técnicas e aos problemas a serem usados no ensino. Nesta concepção, tanto os problemas mais tradicionais, envolvendo o conteúdo específico, quanto os diversos tipos de situaçõesproblema e os métodos e estratégias de resolução são enfatizados para que se aprenda matemática. Essas três concepções não se excluem, mas mostram diferentes sentidos do ensino de matemática e podem ser encontradas em currículos, materiais didáticos e orientações do ensino, uma com maior ou menor ênfase que outra. Há ainda mais uma forma de se conceber a resolução de problemas, especialmente no Brasil, a partir de 1990, quando ela é interpretada como uma metodologia para o ensino de matemática e descrita como um conjunto de orientações para o ensino tais como: usar um problema detonador ou desafio que possa desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos; trabalhar com problemas abertos; usar a problematização ou formulação de problemas em projetos. Esta concepção está presente também em orientações mais amplas para o ensino de matemática que correspondem a linhas de pesquisa e de atuação da educação matemática, como é o caso da modelagem, da investigação e do ensino por projetos. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997, p. 112) a resolução de problemas é posta como peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos, pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas. Aqui se evidencia a ruptura com a concepção da resolução de problemas como aplicação do conhecimento matemático ou como conjunto de estratégias para se ensinar a resolver problemas, o que nos permite inferir que a resolução de problemas de acordo com os PCNs de 1997 é uma competência que se espera desenvolver em todos os alunos e que está entrelaçada à aprendizagem de matemática.

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Assim, o objetivo desse caderno é apontar caminhos para um trabalho consistente com a resolução de problemas na escola, com a intenção de formar alunos competentes. Consideramos que a competência na resolução de problemas envolve a compreensão de uma situação que exige resolução, a identificação de seus dados, a mobilização de conhecimentos, a organização e a perseverança na busca da resolução, a análise constante do processo de resolução e da validade da resposta e, se for o caso, a formulação de outras situações – problema. Neste material trataremos sobre a perspectiva metodológica da resolução de problema; crenças que os alunos desenvolvem quando não há um trabalho específico com os problemas; estratégias de leitura e formação de problemas. Cada um desses itens foi organizado em um capítulo, com as respectivas atividades.

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I - A PERSPECTIVA METODOLÓGICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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A partir do estudo das concepções apresentadas na introdução e da pesquisa em ação na formação de professores e observação de alunos nas aulas de matemática vamos propor neste caderno outro entendimento da resolução de problemas que denominamos Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas. Nessa perspectiva, consideramos que aprender a pensar em Matemática e construir a linguagem específica dessa área do conhecimento exige transformar a sala de aula em espaço onde se simula o fazer e o pensar matemático. Isso significa criar situações de problematização constante, incentivando o aluno a refletir, pensar por si mesmo, persistir. A perspectiva metodológica da resolução de problemas representa em sua essência uma mudança de postura em relação ao que significa aprender e, consequentemente, ensinar Matemática. Aprender Matemática é estar engajado em um processo de resolver situações-problema e, por isso, a sala de aula se torna o ambiente que simula o fazer Matemática e exige o pensar e o refletir constante. Com essa visão, é preciso avançar para além da forma tradicional de resolução de problemas que, em geral, se restringe a propor e resolver questões com textos de forma muito característica, sempre ligados às operações com números, com respostas que sempre existe e é única. Assim, podemos afirmar que a perspectiva metodológica da resolução de problemas representa em sua essência uma mudança de postura em relação ao que significa ensinar matemática. É preciso deixar claro que não se trata da forma tradicional de resolução de problemas que, em geral, se restringe a: propor questões; resolver as questões propostas. Na perspectiva tradicional, os problemas propostos aos alunos, geralmente, podem ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos; a tarefa básica na sua resolução é identificar que operações, ou equações são apropriadas para mostrar a solução e transformar as informações do problema em linguagem matemática; a solução numericamente correta é ponto fundamental, sempre existe e é única; o problema é apresentado por meio de frases, diagramas ou parágrafos curtos e vem sempre após o desenvolvimento de determinado conteúdo; todos os dados de que se necessita para resolvê-lo aparecem explicitamente no texto do problema. Quando adotamos esses problemas convencionais como único material para o trabalho com resolução de problemas na escola, podemos levar o aluno a uma postura de fragilidade e insegurança frente a situações que exijam algum desafio maior. Ao se deparar com um problema no qual o aluno não identifica o modelo a ser seguido só lhe resta desistir

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e esperar a resposta de um colega ou do professor. Muitas vezes ele resolverá o problema mecanicamente, sem ter entendido o que fez e sem confiar na resposta obtida, sendo incapaz de verificar se a resposta é ou não adequada aos dados apresentados ou à questão feita no enunciado. Por considerarmos que este quadro deve ser alterado e que é possível contribuir para o aumento da confiança do aluno em aprender matemática sugerimos que além das duas ações apresentadas anteriormente se coloquem mais duas: questionar as respostas obtidas; questionar a própria questão original. Isto é, resolver um problema não significa apenas a compreensão da questão proposta, a aplicação das técnicas ou fórmulas adequadas e a obtenção da resposta correta, mas sim, uma atitude de “investigação científica” em relação àquilo que está sendo estudado. Nesse processo a resposta correta é tão importante quanto a ênfase a ser dada à forma de resolução, permitindo o aparecimento de diferentes soluções, a comparação entre elas e a verbalização do caminho que levou à solução. Outro ponto importante deste questionamento é que ele provoca uma análise mais qualitativa do problema quando se discute: a solução do problema, os dados do problema e, finalmente o problema dado. Diante desta postura de inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido por outros, podemos aumentar o desenvolvimento do senso crítico e da criatividade, características primordiais daqueles que fazem ciência e objetivo a ser alcançado no ensino de matemática. Trabalhar segundo a perspectiva metodológica da Resolução de Problemas requer paciência, muitas idas e vindas, cabendo ao professor orientar os alunos sem atropelar o processo. Cada nova colocação sobre um problema ou, cada novo problema surgido numa situação, necessita de tempo para que os alunos compreendam e se decidam por condutas de ação, nem sempre as mais eficientes e, às vezes, incorretas. Assim sendo, um único problema ou atividade problematizadora pode ocupar várias aulas, seguidas ou não, sendo necessário sacrificar a quantidade de problemas e atividades em favor da qualidade de ensino. Todo esse processo deve acontecer num ambiente em que os alunos propõem, exploram e investigam problemas que provêm, tanto de situações reais, quanto de situações lúdicas ou de investigações relacionadas à própria matemática. Esse ambiente é um ambiente positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar suas próprias conclusões. Dessa forma, trabalhar com a Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas é considerar como problema toda situação que permita alguma problematização.Essas

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situações podem ser atividades bem diversas, envolvendo todos os eixos de trabalho da Matemática, por exemplo, jogos, dobraduras, busca e seleção de informações em gráficos e tabelas, construções geométricas, atividades envolvendo medições, desde que permitam o processo investigativo. PROBLEMA NÃO É SÓ NÚMERO

Segundo Pozo (1998), tradicionalmente, a utilização da palavra “problema” dentro da sala de aula de Matemática tem sido entendida como qualquer tipo de atividade procedimental que seja realizada dentro ou fora da sala de aula. No entanto, uma tarefa qualquer não constitui um problema. Para que possamos falar da existência de um problema, a pessoa que está resolvendo essa tarefa precisa encontrar alguma dificuldade que a obrigue a questionar – se sobre qual seria o caminho que precisaria seguir para alcançar a meta. Acreditamos que a forma para alcançar a aprendizagem da Matemática se baseia na problematização constante, incentivando o aluno a refletir, pensar por si mesmo, persistir e, para isso, é preciso resolver muitos problemas. Frente a uma situação – problema, incentive seu aluno a analisá-la e compreender a situação por inteiro, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la, tomar decisões, argumentar, expressar-se e fazer registros, ou seja, mobilizar informações adquiridas, procedimentos aprendidos e combiná-los na busca da resolução. Aprende Matemática aquele que tem a chance de pensar e de se colocar em ação cognitivamente em situações especialmente planejadas para a construção de novas ideias e de novos procedimentos matemáticos. Nessa proposta de resolução de problemas, o tratamento de situações complexas e diversificadas permite ao aluno pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução e argumentação, relacionar diferentes conhecimentos e, enfim, perseverar na busca da solução. E, para isso, os desafios devem ser reais e fazer sentido. Nessa perspectiva, não só a seleção de temas e conteúdos, como a forma de tratá-los no ensino são decisivas. A maneira como se organizam as atividades e a sala de aula, a escolha de materiais didáticos apropriados e a metodologia de ensino é que poderão permitir o trabalho simultâneo dos conteúdos e das habilidades.

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Conhecimento sempre é bom... O que é um problema? Em nossa proposta vamos assumir como problema toda situação que não possui solução evidente e que exige que o resolvedor combine seus conhecimentos e se decida pela forma de usá-los em busca da solução. Uma situação que um indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução. Isso significa romper com a visão limitada de problemas que tradicionalmente são propostos aos alunos depois do estudo de um conteúdo ou de uma técnica. Ciclo de resolução de problemas: A) Identificação – perceber que está diante de uma situação-problema; B) Definição e representação do problema – identificar o assunto ou situação ; C) Construção de estratégias – análise dos dados; D) Organização de informações – validar a estratégia; E) Alocação de recursos – conhecimentos que vou utilizar; F) Monitoração e avaliação – resolução / conferir resultados.

Imagem Ciclo de resolução de Problemas, retirada do livro Psicologia Cognitiva, de Robert J. Sternberg. Editora Artmed.

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TIPOS DE PROBLEMA

Problemas Convencionais Observe os seguintes problemas: 1. Um homem entrou em um pomar cruzando sete porteiras e pegou algumas maçãs. Quando voltou encontrou um guarda em cada porteira que para deixá-lo passar exigia metade das maçãs que ele tinha nas mãos, mais uma maçã. Assim aconteceu em cada porteira e ele saiu com apenas uma maçã depois de cruzar a sétima porteira. Quantas maçãs ele apanhou no pomar? 2. Uma fábrica de roupas possui 300 m de tecido para fazer camisetas. Em cada camiseta gastam-se 176 cm de tecido. Quantas camisetas a fábrica consegue produzir com esse tecido? Quais são as semelhanças e diferenças entre os dois problemas? Podemos dizer que eles fazem parte de um mesmo grupo de problemas? Ao analisarmos mais cuidadosamente cada problema veremos que um dos aspectos nos quais eles se diferenciam é na estrutura do texto. O primeiro problema é classificado como problema não convencional e o segundo como problema convencional. Inicialmente nos deteremos a falar do trabalho com este último grupo de problemas e na sequência exploraremos os problemas não convencionais. Tradicionalmente ao olhar para os dois problemas os alunos terão a mesma atitude na tentativa de resolver – descobrir qual será a operação que devem usar, isso provavelmente acontecerá se os alunos estão acostumados a resolver apenas problemas desse tipo. Muitas vezes ouvimos: É de dividir ou de multiplicar? O que eu faço com o sete? Tem metade, precisa dividir. Não sei como fazer para saber quantas maçãs o homem apanhou? Na verdade, quando os alunos são colocados diante de problemas que eles não têm o hábito de resolver, costumamos perceber que eles desistem da resolução ou mesmo não tentam iniciar. Arriscamos a afirmar que isso acontece, porque tradicionalmente os

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problemas com os quais eles se deparam na escola têm uma estrutura padrão que exigirá do resolvedor apenas a identificação de qual operação será necessária para sua resolução. As características básicas de um problema convencional são: texto na forma de frases, diagramas ou parágrafos curtos; os problemas vêm sempre após a apresentação de determinado conteúdo; todos os dados de que o resolvedor necessita aparecem explicitamente no texto e, em geral, na ordem em que devem ser utilizados nos cálculos; os problemas podem ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos; a tarefa básica na sua resolução é identificar que operações são apropriadas para mostrar a solução e transformar as informações do problema em linguagem matemática; a solução numericamente correta é um ponto fundamental, sempre existe e é única. Ao analisarmos o segundo problema, veremos que ele atende às características mencionadas acima, quais sejam, texto na forma de frases e com parágrafos curtos, todos os dados serão utilizados para resolução, exige a aplicação de um algoritmo para resolvê-lo, no caso, a divisão. Os problemas convencionais são, na verdade, simples exercícios de aplicação ou de fixação de técnicas ou regras. Na maioria das vezes, percebe-se neles a ausência de um contexto significativo para o aluno e de uma linguagem condizente com a utilizada em seu dia-a-dia. Tais problemas aparecem sempre depois da apresentação de um conteúdo, e é exatamente este conteúdo que deve ser aplicado na resolução dos problemas. No modelo tradicional, eles formam a ideia fixa de que problemas matemáticos servem apenas para a aplicação e memorização de regras e técnicas de cálculo. Essa postura gera o medo, a insegurança e, com o passar do tempo, a crença de que o aluno é incapaz de aprender matemática. Ampliar essa visão implica derrubar crenças ou concepções a respeito do que significa aprender e resolver problemas, segundo Diniz e Smole (2001): Ao analisarmos pesquisas recentes (Borasi, 1993, p.83-91) sobre o que os alunos pensam quando trabalham apenas dentro da concepção tradicional de Resolução de Problemas, resolvendo apenas problemas convencionais. É muito frequente encontrarmos entre os alunos as seguintes opiniões:

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- vale a pena gastar muito tempo para resolver um problema; se a solução não pode ser encontrada rapidamente, é porque eu não sei resolvê-lo. - se eu cometi um erro, devo desistir e começar tudo de novo; não adianta tentar entender o porquê do erro. - há sempre uma maneira certa de resolver um problema; mesmo quando há várias soluções uma delas é a correta. - aprender a resolver problemas é uma questão de esforço e prática. Eu aprendo tomando notas, memorizando todos os passos de uma sequência correta e praticando-os. - um bom professor não deve me deixar confuso. É responsabilidade dele orientar o que devo fazer, pois isso é ensinar. (p. 96).

Pensamos que o certo seria desenvolver nos alunos a competência para resolver problemas de qualquer natureza: compreender uma situação, analisar e selecionar os dados, mobilizar conhecimentos, formular estratégias de maneira organizada, validar os resultados e, se for o caso, propor novas situações. Como afirma Diniz (2001, p.95): Nessa perspectiva temos constatado que não importa se a situação a ser resolvida é aplicada, se vai ao encontro das necessidades ou interesses do aluno, se é lúdica, ou aberta, o que podemos afirmar é que a motivação do aluno está em sua percepção de estar se apropriando ativamente do conhecimento, ou seja, a alegria de conquistar o saber, de participar e aprender ideias e procedimentos gera o incentivo para aprender e continuar a aprender.

O primeiro cuidado para romper com esse modelo de ensino centrado em problemas convencionais, de modo a evitar todas as dificuldades de aprendizagem ligadas a ele é encarar os problemas-texto na perspectiva metodológica da Resolução de Problemas, promovendo, mesmo para os problemas de “quatro operações”, um processo de investigação. Por outro lado, é preciso assumir que os problemas convencionais são textos com características tão específicas, que devem receber atenção especial. Não faz sentido atribuir o fracasso da resolução de um problema convencional à falta de interpretação de textos do aluno. O texto matemático dos problemas é muito distinto dos demais; portanto, sua concisão, sua objetividade, o uso apenas de palavras essenciais e o parágrafo único devem ser analisados nas aulas de matemática de forma sistemática e planejada. Recorrer à oralidade, ao desenho e à escrita para apresentar outras maneiras de resolver, discutir o que foi compreendido no texto do problema, argumentar por uma ou outra possibilidade de novas perguntas ou, ainda, discutir em que medida um problema inventado está ou não

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bem escrito, auxilia o aluno a evoluir em sua compreensão sobre o problema como texto e como relações matemáticas. Organizar o trabalho de sala de aula incluindo problemas não-convencionais é uma outra forma de romper com o modelo que tantas dificuldades traz ao aluno. Centrar o trabalho como curiosidades ou desafios esporádicos evidencia uma visão limitada do ensino da matemática que atesta a aprendizagem através da resposta correta e da busca de modelos a serem seguidos. Temos constatado que a aprendizagem em termos de Resolução de Problemas depende da oportunidade que o aluno tem de confrontar e relacionar diferentes estruturas matemáticas em diferentes modalidades de textos. Em resumo, não basta saber que o ensino pautado pelos problemas convencionais gera crenças, nem significa romper com esses problemas, tampouco basta propor problemas interessante, é preciso sim, diversificar os tipos de problemas que se propõem, mas é igualmente importante estabelecer um ambiente de aprendizagem em que o aluno se perceba como ser pensante e produtor de seu próprio conhecimento. Essa aprendizagem de resolução de problemas convencionais depende da reflexão que nossos alunos têm oportunidade de fazer, investigando cada problema e confrontandoo com outros tipos de problemas.

Exemplos de problemas convencionais: 1. Certa máquina empacota chicletes em cartelas com uma dúzia deles. Se você colocar 2 416 chicletes na máquina, quantos vão sobrar fora das cartelas? 2. No ano em que Laura completar 34 anos, Lúcia completará 27. a) Qual é a diferença entre as idades das duas? b) Laura nasceu em 1985. Em que ano nasceu Lúcia? c) Quantos anos completará Laura em 2017? E Lúcia? 3. Quantos números de três algarismos podemos formar com 2, 6, 7 e 8 sem repetição de algarismos? E com repetição de algarismos? 4. Um vestido que custava R$ 125,99 estava sendo vendido com 15% de desconto. Após algum tempo, e depois de não ter vendido nenhuma peça, a loja deu mais 10% de desconto sobre o preço do vestido, já considerando o desconto anterior. Quanto uma pessoa pagará por ele?

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Problemas Não - Convencionais Bons problemas, situações próximas à realidade do aluno, temas motivadores favorecem a aprendizagem e o envolvimento do aluno, mas é em uma sala de aula na qual o aluno possa se expressar falando, trocando opiniões, argumentando em favor de suas ideias, ao escrever ou representar suas descobertas e conclusões, que ele poderá se sentir valorizado por possuir interlocutores e leitores para suas produções , que consideram toda ideia como válida para busca de uma solução. Os problemas não convencionais são aqueles que rompem com as características de um problema convencional, como foram descritas anteriormente. Problemas não necessariamente relacionados a um conteúdo específico; problemas com várias soluções; problemas com excesso de informações e aqueles apresentados com diferentes tipos de textos permitem ao aluno desenvolver sua capacidade de leitura e análise crítica, pois, para resolver a situação proposta, é necessário voltar muitas vezes ao texto para lidar com os dados e analisá-los, selecionando os que são relevantes e descartando os supérfluos. O objetivo ao trabalhar e selecionar outros problemas além dos convencionais é que os alunos não consolidem crenças inadequadas – como as apresentadas anteriormente sobre o que é problema, o que é resolver problemas e, consequentemente, sobre o que é pensar e aprender em matemática. Problemas que não possuem solução evidente ou para os quais o aluno não sabe de antemão que conteúdo deve usar exigem que ele planeje o que fazer, como fazer, e, ao encontrar uma resposta, é preciso verificar se ela faz sentido. O aluno naturalmente abandona a passividade e adquire uma postura diferenciada frente à resolução de problemas. Por isso é importante que o professor conheça diferentes tipos de problemas que podem ser propostos aos alunos e quais são as características de cada tipo para propô-los da forma mais adequada.

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Exemplos de problemas não - convencionais: 1. Quatro amigas estão escrevendo em uma mesa. Todas elas são especialistas em alguma área do jornalismo: esporte, cultura, política e cotidiano. Uma das filhas de Débora – uma das quatro amigas – se aproxima da mãe e pergunta: 

Mãe, eu sei que você é jornalista, mas sobre o que você escreve no jornal? A mãe, então, propõe um desafio a filha:



Rosa escreve sobre esporte. Ela está sentada à esquerda de Aline. Eu estou à direita de uma especialista no cotidiano da nossa cidade. Marina, que está sentada em frente a Alice, não escreve sobre cultura. Em qual área do conhecimento Débora tornou – se especialista?

2. Um gato persegue um rato. Os pulos do gato são todos de mesmo tamanho. Os pulos do rato também são todos iguais. Enquanto o rato dá 5 pulos, no mesmo tempo, o gato dá 3. Para compensar, 3 pulos do gato têm o mesmo comprimento de 6 pulos do rato. Se o rato estiver 20 pulos de rato à frente do perseguidor, quantos pulos deverá dar o gato até alcançá-lo? 3. Você pode pagar 35 centavos com sete moedas de 5 centavos, ou com uma de 25 centavos e outra de 10 centavos, ou ainda de muitos outros modos. De quantas maneiras diferentes você pode pagar 35 centavos, usando apenas moedas de 5, 10 e 25 centavos? 4. Numa festa com 27 participantes foi servido um bolo com forma de cubo. Esse bolo tinha uma apetitosa cobertura de creme na face de cima e nas quatro faces laterias. Na hora de servir, o bolo foi cortado em 27 cubinhos iguais e cada participante recebeu um pedaço. Infelizmente, em certos pedaços não havia creme algum. Quantas pessoas ficaram sem creme? Com base na exploração desses problemas o professor pode usar a problematização para que os alunos confrontem opiniões, reflitam sobre a finalidade adequada e utilização dos dados apresentados no texto, interpretando e analisando com mais atenção cada problema. Uma outra forma de explorarmos problemas não convencionais é propor a exploração de uma conta ou mesmo problematizar um jogo realizado pelos alunos. Vejamos a seguir.

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INVESTIGANDO UMA CONTA I

Objetivos:

Séries indicadas: 

6º e 7º ano

Organização:



Analisar as propriedades de uma operação.



Explorar o valor dos algarismos em um número.

atividade coletiva

Materiais necessários: 

Lousa, giz, cópia dos problemas para os alunos.

Duração: 

2 aulas

Essa atividade tem como foco o trabalho com a resolução de problema. Pautando-se na perspectiva metodológica da resolução de problemas, uma simples atividade envolvendo uma operação pode se tornar desafiante para o aluno e proporcionar muita aprendizagem. Inicialmente proponha aos alunos que resolvam a seguinte operação: 2000 – 1379

Depois que a conta for resolvida proponha os seguintes questionamentos: - O que acontece com o resultado dessa conta se somarmos 10 ao 1º número? - O que acontece com o resultado dessa conta se somarmos 10 ao 2º número? - O que acontece com o resultado dessa conta se somarmos 10 ao 1º e ao 2º número? É importante que após esse primeiro momento seja feita uma socialização das respostas, com foco no Sistema de Numeração Decimal. Em outra aula, proponha a seguinte atividade: Veja como os alunos do 6ºM fizeram para calcular 2000 – 1379.

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Peça que eles expliquem como cada aluno pensou: Escolha uma forma diferente da que você usou para calcular 5 000 – 2 473. Para finalizar essa sequência proponha a seguinte atividade: Cada uma das contas abaixo foi resolvida de forma errada. Que erros esses alunos cometeram? Por que você acha que eles cometeram esse erro? a)

Em cada etapa pare e socialize com os alunos suas respostas.

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INVESTIGANDO UMA CONTA II

Objetivos:

Séries indicadas: 

8º e 9º ano

Organização: 

atividade coletiva



Analisar as propriedades de uma operação.



Explorar o valor dos algarismos em um número.

Materiais necessários: 

Lousa, giz, cópia dos problemas para os alunos.

Duração: 

2 aulas

Quanto é? a) 375 x 4 = b) 375 x 70 = c) 375 x 74 = d) 37,5 x 74 = e) 375 x 7,4= f) 37,5 x 7,4= g) 3750 x 74= h) 3750 x 740 = i) 375 x 37 = j) 375 x 73= k) 125 x 74 =

Resolva a divisão 4,25 : 0,5. O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o dividendo por 10?

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O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o divisor por 10? O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos tanto o dividendo quanto o divisor por 10? O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o dividendo por 100? O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o divisor por 100? O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos tanto o dividendo quanto o divisor por 100?

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FICHA DO ALUNO – INVESTIGANDO UMA CONTA I Nome

data:

Veja como os alunos do 6ºM fizeram para calcular 2000 – 1379.

Explique como cada um dos alunos pensou:

Escolha uma forma diferente para calcular 5 000 – 2 473.

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FICHA DO ALUNO – INVESTIGANDO UMA CONTA I Nome

data:

Cada uma das contas abaixo foi resolvida de forma errada. Que erros esses alunos cometeram? Por que você acha que eles cometeram esse erro?

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FICHA DO ALUNO – INVESTIGANDO UMA CONTA II Nome

data:

1. Sabendo que: 375 X 74 1500 26250 27750

Quanto é? a) 375 x 4 = b) 375 x 70 = c) 375 x 74 = d) 37,5 x 74 = e) 375 x 7,4= f) 37,5 x 7,4= g) 3750 x 74= h) 3750 x 740 = i) 375 x 37 = j) 375 x 73= k) 125 x 74 =

Resolva a divisão 4,25 : 0,5 2. Responda: O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o dividendo por 10?

O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o divisor por 10?

O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos tanto o dividendo quanto o divisor por 10?

O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o dividendo por 100?

O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos o divisor por 100?

O que acontece com o resultado dessa conta se multiplicarmos tanto o dividendo quanto o divisor por 100?

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PROBLEMATIZANDO JOGOS

Embora durante um jogo surjam naturalmente inúmeras situações-problema que os jogadores devem resolver para aprimorar suas jogadas, para decidir o que fazer antes de realizar uma ação, para convencer um oponente de seu ponto de vista e até para neutralizar ou dificultar a jogada seguinte do parceiro de jogo, existe a possibilidade de ampliar esse processo por meio da proposição de problemas. Essa ação pode ser feita durante um jogo ou a partir do jogo. Durante o jogo, enquanto observa os alunos jogando, você pode pedir para que eles expliquem uma jogada, ou porque tomaram uma decisão e não outra, e até mesmo perguntar se não há uma jogada que dificulte a próxima ação. Vale a pena também se colocar como jogador em algumas ocasiões para observar como os alunos pensam, fazer uma jogada e discuti-la com o grupo no qual está jogando. Essa problematização no ato do jogo favorece sua percepção das aprendizagens, das dúvidas, das confusões, do envolvimento dos alunos na própria ação de jogar. No entanto, alguns cuidados são necessários. O primeiro deles é saber o limite de problematizar, cuidando para que a ação de jogar, o prazer de jogar e o envolvimento com o jogo não fiquem prejudicados devido ao excesso de perguntas vindas de sua parte. O segundo é lembrar que, não sendo possível observar todos os alunos ao mesmo tempo, você precisa criar um roteiro de observação para olhar diferentes grupos jogando em cada uma das vezes que o jogo se repetir. Há ainda, conforme dissemos anteriormente, a possibilidade de exploração a ser feita após o jogo. Nesse caso, são escolhidas possíveis jogadas para os alunos analisarem, criadas perguntas que lhe permitam pensar em aspectos do jogo que podem ser aprofundados, simular situações nas quais analisem entre algumas jogadas possíveis qual a melhor decisão a tomar, entre várias outras propostas. Nesse caso também há cuidados a serem tomados. O primeiro deles é não propor esse tipo de problema logo na primeira vez em que os alunos jogarem, já que o desconhecimento das regras e as incompreensões iniciais podem desfavorecer uma discussão mais rica por parte da turma. Temos visto que depois da segunda ou terceira vez em que jogam é que os alunos aproveitam mais cada problema e envolvem-se bem com eles. O segundo cuidado é fazer registros das conclusões mais importantes que forem tiradas enquanto são discutidas as problematizações e por fim observar os efeitos dessas

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problematizações na própria ação de jogar. Ou seja, verifique se os alunos passam a analisar melhor suas jogadas, se pensam mais para decidir como realizar suas ações de jogo, se ampliam sua discussão sobre o próprio jogo, se azem novas perguntas. Isso mostra que as explorações cumpriram sua função de envolver os alunos em aprender mais e melhor nas aulas de Matemática. Uma última forma de problematizar o jogo é pedir aos alunos que modifiquem as regras, ou que inventem um jogo parecido com aquele que foi dado. Nessa proposta, será preciso que eles elaborem um plano sobre como será o jogo e de quais recursos necessitarão para fazê-lo, criem as regras, joguem os jogos que elaboraram, analisem as produções uns dos outros e tenham tempo para aprimorá-las, de modo que qualquer pessoa que desejar possa jogar. Essa é uma proposta mais complexa, mas permite aos alunos perceberem como acontece a estruturação de regras, a relação delas com as jogadas e o seu grau de complexidade, selecionar o conhecimento matemático necessário para produzir as situações de jogo. É uma proposta que permite aos alunos utilizarem seus conhecimentos em uma nova situação, estabelecendo novas relações de significado para eles. A seguir, sugerimos algumas ações de problematizações para jogos. Você pode utilizá-las ou propor outras que considere mais adequadas ao seu grupo de alunos.

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JOGO COMANDO

Séries indicadas: 

Objetivos:

6º ano

Organização: 

Duplas ou grupos de quatro.

Materiais necessários: 



Explorar a comparação de números decimais;



Explorar o cálculo mental;



Resolver problemas em contextos significativos.

Um baralho com 30 cartas, três de cada um dos algarismos de 0 a 9, uma folha de registros e cartas com vírgula em quantidade igual à de jogadores.

Duração: 

4 aulas

Regras    



  

Decide-se quem começa e quem preencherá a folha de registros. As 30 cartas são embaralhadas e colocadas no centro da mesa com as faces voltadas para baixo. Cada jogador tem uma carta com vírgula e, na sua vez de jogar, pega três cartas e monta com elas um número decimal de acordo com o comando do professor. O professor dará os comandos. Por exemplo: monte com suas três cartas o maior número decimal possível. O aluno deverá usar as suas três cartas e a vírgula com o objetivo de atender o comando do professor. O jogador que conseguir formar o número “comandado” pelo professor fica com as cartas dos oponentes. Se o jogo é realizado em duplas, o vencedor fica com as seis cartas: três cartas do adversário e mais suas três cartas. Na folha de registros, são anotados os comandos, os nomes dos jogadores, os números formados com as três cartas e o nome do vencedor da rodada. O jogo continua com nova escolha de cartas e novo comando do professor. Ganha o jogo aquele que, ao final de seis rodadas, possuir o maior número de cartas. Exemplos de comandos do professor: Monte com suas cartas o:  Menor número decimal possível.  Número decimal mais próximo de 0.  Número decimal entre 1 e 2.  Número decimal menor que 1,03. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

Para explorar esse jogo com os alunos, é possível discutir com eles as decisões que tiveram de tomar enquanto jogavam, tais como decidir se um número decimal é o maior possível ou qual o número mais próximo de 3. Problematizações 1. Luís tem as cartas 1, 3 e 0 e Ana tem as cartas 1, 3 e 1. Quem pode formar o número mais próximo de 1? 2. A professora deu o comando para os alunos formarem o menor número decimal possível. Cláudia formou 0,01, Wilson formou 0,10 e Olga formou 0,02. Qual deles venceu a rodada? 3. Em uma rodada, Raquel disse que 8,75 era mais próximo de zero do que 9,75. O que você diria para Raquel se estivesse no jogo? Analisando as regras de jogo e os possíveis comandos, você perceberá que algumas vezes é possível o empate, ou porque dois jogadores conseguiram números iguais, ou porque ninguém conseguiu realizar o comando. Nesse caso, não está previsto nas regras o que deve ser feito, mas isso é proposital. A intenção é que cada grupo resolva localmente o que fará em uma situação não prevista nas regras e que depois a classe tenha um momento propiciado por você para discutir as situações em que isso aconteceu e como a encaminharam. Nesses casos, o jogo permite a tomada de decisão e a percepção pelos alunos do valor das regras e de como elas se constroem em um processo de resolução de problemas.

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JOGO SOMA ZERO Objetivos:

Séries indicadas: 

7º ano



Desenvolver habilidade de efetuar adições com números positivos e números negativos;



Trabalhar o conceito de número oposto de um número inteiro;



Desenvolver habilidade de cálculo mental;



Resolver problemas em contextos significativos.

Organização: 

Em grupos de dois a quatro alunos.

Materiais necessários: 

40 cartas numeradas de – 20 a + 20 (sem o zero).

Duração: 

4 aulas

Regras  

  

Os jogadores distribuem entre si 36 cartas e colocam as 4 restantes no centro da mesa, com as faces voltadas para cima. Na sua vez, o jogador deve tentar obter total zero, adicionando o número de uma das cartas de sua mão com os de uma ou mais cartas da mesa. Se conseguir, retira para si o conjunto utilizado na jogada, formando seu monte; caso contrário, deixa na mesa uma carta qualquer de sua mão. Se um jogador em sua jogada levar todas as cartas da mesa, o jogador seguinte apenas coloca uma carta. O jogador termina quando acabarem as cartas, ou quando não for mais possível obter soma zero. Ganha o jogador cujo monte tiver maior número de cartas. Variação: Uma variação possível é propor que os alunos, usando as cartas do jogo, escrevam o maior número possível de somas cujo total seja, por exemplo, - 6. O registro das respostas encontradas permite que os alunos não apenas percebam várias formas equivalentes de se representar um número, como também a necessidade do uso de parênteses em expressões simples: - 6 = + 2 – ( - 2 + 10) = - 10 – (+ 3 – 7)

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Este jogo pode ser utilizado logo após o início do estudo de números negativos. As regras são de fácil compreensão e é possível que os alunos joguem algumas vezes durante o período de uma aula. Sugerimos que, na primeira vez em que jogarem, os alunos não façam o registro das jogadas para enfatizar o caráter lúdico do jogo. Depois de jogarem algumas vezes, proponha que registrem no caderno as operações realizadas e criem variações do jogo, por exemplo, alterando o valor da soma. Problematizações 1. Humberto tem a carta – 8 e na mesa tem as cartas 8, 5 e 3. Quais cartas ele poderá escolher para obter soma zero? 2. Eloá conseguiu soma zero pegando da mesa as cartas – 4 e + 10. Qual carta ela tinha nas mãos? 3. Luiz formou um monte com as cartas – 6, +12 e -7. Está correto, ele conseguiu soma zero?

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JOGO CONTADOR IMEDIATO Séries indicadas: 

8º ano

Objetivos: 

Trabalhar o cálculo mental e a habilidade de fazer estimativas com relação à divisão de números decimais por 10, 100 ou 1000;



Explorar a numérico;



Resolver problemas em contextos significativos.

Organização: 

Em grupos de dois ou quatro alunos.

Materiais necessários:



Um tabuleiro.

Duração: 

noção

intervalo

4 aulas

Regras       

O jogo consiste de cinco jogadas. Decide-se quem começa. Os jogadores alternam-se nas jogadas. Cada jogador, na sua vez, escolhe um dos números do quadro, que não poderá mais ser escolhido por outro jogador, e faz a opção por dividi-lo por 10, 100 ou 1000. Verifica em que caixa de pontos está o resultado R da divisão escolhida e marca os pontos obtidos. Durante uma partida (cinco jogadas), cada jogador deve realizar pelo menos uma divisão por 10, 100 e 1000. Ganha o jogador que, ao final, tiver o maior total de pontos.

Antes de jogar, verifique se seus alunos não têm dúvidas quanto à notação de intervalo na forma de desigualdades que aparece na Caixa de Pontos da ficha. Para jogar corretamente, é preciso que eles saibam que 0,1 < R < 1 significa que o resultado R é maior que 0,1 e menor que 1. Observe seus alunos enquanto jogam para coletar informações sobre as dificuldades encontradas por eles.

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Problematizações 1. Em qual dessas situações o jogador fará mais pontos? Por quê? 76,2 : 10 ou 76, 2 : 100? 2. Quero obter o máximo de pontos possível, mas no Quadro de Números só há os números 52 e 9,678. Que número escolher e por quanto devo dividi-lo? JOGO DOMINÓ DE EQUAÇÕES

Séries indicadas: 

9º ano

Organização: 



Explorar a resolução de equações incompletas do 2º grau;



Desenvolver habilidade de cálculo mental;



Resolver problemas em contextos significativos.

Duplas

Materiais necessários: 

Objetivos:

Um dominó com 40 peças.

Duração:



4 aulas

Sugerimos que depois de jogar algumas vezes, os alunos sejam estimulados a criar peças com equações completas. A criação de jogos pelos alunos exige reflexão sobre a relação entre uma equação e sua solução e, por isso, constitui uma oportunidade significativa de resolução de problemas.

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Regras      



Cada jogador recebe uma peça em branco e as demais são colocadas sobre a mesa, viradas para baixo. Cada jogador pega nove peças e as demais ficam sobre a mesa. Decide-se quem começa. O primeiro jogador coloca sobre a mesa uma de suas peças, que não pode ser a peça “em branco”. O segundo jogador coloca uma peça que possa ser encaixada em uma das extremidades da peça que está sobre a mesa. Situações como as que são consideradas como encaixes.

A peça branca é o coringa e deve ser usada quando depois de examinar suas peças, o jogador não encontrar nenhuma que possa ser encaixada. As duas partes da peça devem ser preenchidas e a peça colocada sobre a mesa de modo que uma de suas partes possa ser encaixada no jogo, ele poderá retirar, no máximo, três peças do monte. O vencedor é o primeiro jogador que ficar sem peças.

Problematizações 1. Em uma das pontas estava a peça x2 – x = 0 e Ellen colocou a peça 5 e – 5. Está correta a jogada de Ellen? 2. Bruna tem a peça com 0 e 1; x2= 1. Que peça tem que ter na mesa para que ela possa terminar o jogo?

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JOGO CONTADOR IMEDIATO

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JOGO DOMINÓ DE EQUAÇÕES

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II - LEITURA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS LEITURA

O processo de leitura não é tarefa fácil, ler e interpretar textos exige interpretação, decodificação, análise, síntese, antecipação e autocorreção. Ler depende do conhecimento linguístico, textual e de mundo. Em cada área do conhecimento ou disciplina, ler requer ainda a linguagem específica, os símbolos e as estruturas inerentes do discurso da área. Em Matemática, especialmente no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio é frequente os professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar um problema ou exercício de matemática estão associadas a pouca competência que eles têm para leitura. Também é comum a concepção de que se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, consequentemente ele seria um melhor leitor nas aulas de matemática. Embora tais afirmações estejam em parte corretas, uma vez que ler é um dos principais caminhos para ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta atribuir as dificuldades dos alunos em ler textos matemáticos à sua pouca habilidade em ler nas aulas de língua materna. A essa frágil relação entre ler nas aulas de matemática e ler nas aulas de língua portuguesa subjaz, necessariamente, uma concepção equivocada do que é ser um leitor competente. Em outras palavras, a competência leitora não pode ser resumida a um conjunto restrito de conhecimentos e habilidades aplicáveis a qualquer situação de leitura. Não lemos com os mesmos olhos todos os textos com os quais interagimos. Portanto, ler bem nas aulas de português não implica ler bem nas aulas de matemática ou em outras situações de leitura. No entanto, não podemos negar que ler e compreender um texto matemático são ações indispensáveis para a sua resolução. Fica, então, a pergunta: qual a relação entre ler, compreender e resolver problemas? Conforme afirmamos acima, cada ato de leitura responde a um objetivo específico. Na tentativa de construir sentido naquilo que lê, o leitor elabora estratégias, mobiliza conhecimentos prévios, realiza inferências de modo a atingir seu objetivo, ou seja, a compreensão do texto. No caso da leitura de problemas é essencial que o leitor disponha das habilidades de identificar e relacionar as informações do texto. Ou seja, orientar a leitura do problema com questionamentos tais como “Que dados eu tenho para resolver esse problema” e “Como esses dados me ajudam a encontrar uma solução para esse problema”, auxilia o leitor a reconhecer o objetivo dessa leitura e, portanto, a traçar estratégias adequadas para a resolução do desafio proposto.

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No entanto, o processo de resolução de problemas envolve, além das habilidades de leitura mencionadas acima, conhecimentos matemáticos específicos, os quais as crianças também precisam ter construído para que, ao passo que lêem o texto-problema possam também realizar inferências, levantar hipóteses, realizar constatações e propor soluções adequadas. Em outras palavras, a resolução de problemas requer uma fusão entre habilidades de leitura e conhecimentos matemáticos específicos. É importante, contudo, salientar que tais habilidades e conhecimentos precisam ser tomados como objeto de ensino. Ou seja, é necessário ensinar a ler problemas, criar situações de aprendizagem nas quais os estudantes possam desenvolver a competência leitora, construir conhecimentos matemáticos e relacioná-los nas tentativas de resolver o problema, respondendo ao objetivo desse ato de leitura. Não se espera, portanto, que as crianças, apenas por serem alfabetizadas, sejam capazes de ler e resolver problemas, mas que tenham oportunidade de avançar nessa leitura construindo aprendizagens com autonomia. Em síntese, dentre as diversas metas a serem perseguidas pela escola fundamental, deve merecer atenção especial que os alunos aprendam progressivamente a utilizar a leitura para buscar informação e para aprender, podendo exprimir opinião própria sobre o que leram. Ao final do ensino fundamental é preciso que os alunos possam ler textos adequados para sua idade de forma autônoma, aprender sobre diferentes áreas do conhecimento por meio da leitura, estabelecendo inferências, fazendo conjecturas, relendo o texto, conversando com outras pessoas sobre o que foi lido. Nossos estudos têm mostrado que é cada vez mais importante que a leitura seja objeto de preocupação também nas aulas de matemática e é a esse respeito que falaremos nesse capítulo do caderno de formação.

COMO ENSINAR A LER PROBLEMAS?

A dificuldade que muitas vezes os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas está, entre outros fatores, ligada à ausência de um trabalho específico com o texto do problema. O estilo no qual os problemas de Matemática geralmente são escritos, a falta de compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos da matemática que, portanto, não fazem parte do cotidiano do aluno e até mesmo palavras que têm significados diferentes na matemática e fora dela – total, diferença, ímpar, média, volume, produto – podem constituir-se em obstáculos para que ocorra a compreensão. Há muitas intervenções didáticas que você pode utilizar para auxiliar os alunos a lerem e interpretarem problemas. No entanto, é importante enfatizar que não basta usar uma estratégia ou outra ocasionalmente, tampouco eleger uma e trabalhar intensamente

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com ela. Para que os alunos sejam bons leitores de problemas, é preciso combinar constância de trabalho e diversidade de escolhas didáticas. É preciso considerar nesse trabalho, que há uma especificidade, uma característica própria na escrita matemática que faz dela uma combinação de sinais, letras, palavras que se organizam segundo certas regras para expressar ideias. Além dos termos e sinais específicos, há na linguagem matemática uma organização de escrita nem sempre similar àquela que encontramos nos textos de língua materna, exigindo um processo particular de leitura. Consideramos que os textos em Matemática têm características únicas:  Estrutura de poucos parágrafos ou parágrafos únicos;  Concisão, sem uso de termos supérfluos;  Rigoroso, sem dupla interpretação;  Geralmente contém pergunta;  Intercala palavras, números e símbolos;  Apresenta terminologia específica;  Requer idas e vindas em sua leitura. Essas características nos levam a considerar que os alunos devem aprendem a ler matemática e ler para aprender matemática durante as aulas dessa disciplina, pois para interpretar um texto matemático o leitor deve familiarizar-se com a linguagem e os símbolos próprios desse componente curricular, encontrando sentido no que lê, compreendendo o significado das formas escritas que são inerentes ao texto matemático, percebendo como ele se articula e serve para expressar conhecimentos. Durante as aulas em que se discutem conceitos e procedimentos matemáticos é que temos as melhores condições para que a leitura em matemática se desenvolva. No entanto, formar um leitor não é uma tarefa simples e envolve uma série de processos cognitivos e, porque não afetivos, que vão permitir uma aprendizagem mais ou menos significativa dependendo do quanto o professor valorizar a leitura nas aulas de matemática, pois, do mesmo modo que ocorre nas aulas de língua materna, é muito difícil que alguém que não valorize a leitura, que não sinta prazer em ler, consiga transmiti-lo aos demais. A seguir apresentaremos algumas estratégias para o trabalho específico com a leitura de problemas.

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O TEXTO DO PROBLEMA I Quando precisamos saber mais sobre um assunto para fazer um trabalho ou para nos prepararmos para uma prova, ou, ainda, para satisfazer a nossa curiosidade de investigadores do conhecimento, existem alguns procedimentos e algumas estratégias que podemos usar para melhorar a qualidade da nossa leitura. Ajuda muito na leitura quando o aluno:     

Sabe por que está lendo um texto; Reconhece o que o autor do texto pretendeu com o mesmo; Reconhece o gênero do texto; Grifa no texto as partes mais importantes, e no caso da situação-problema, os dados que serão usados na resolução; Quando faz um esquema ou um resumo.

Nesta primeira etapa, sugerimos que você trabalhe com os alunos a estrutura do texto de um problema, fazendo com que eles percebam como é organizado esse tipo de texto. Traga para sala diversos tipos de problemas para ler e comentar com os alunos. O foco deste momento é cuidar da leitura desse texto e não pensar na resolução. Converse com os alunos que ler problemas exige bastante concentração e que neste tipo de texto ter em mãos lápis para fazer anotações também é valido. Não é preciso passar da leitura diretamente para a resolução, grifar partes importantes e anotar possíveis caminhos também faz parte da leitura de problemas. Nesse processo, não adianta ler tudo muito rápido, oriente os alunos que o ideal é fazer uma leitura pausada, voltar ao trecho que não entendeu bem, destacar os dados do problema que serão usados na resolução. Exemplos de problemas que podem ser explorados nesta atividade: Solicite aos alunos que destaquem no texto do problema as partes mais importantes que serão usadas na resolução, converse com eles sobre o assunto do problema, se é possível fazer um esquema para resolvê-los. É importante nesse momento que eles percebam que problema de Matemática é um texto e tem que ser lido da mesma forma que eles leem outros tipos de texto, tentando compreender a situação.

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Valmir foi ao mercado comprar 1,5 kg de café, 2 kg de açúcar e 5 kg de feijão. Ao chegar lá, perguntou pelo preço de cada produto e soube que o 1 kg de café custava R$ 4,20, um quilo de açúcar custava R$ 1,80 e R$ 2,50 era o preço do quilo de feijão. Quanto Valmir recebeu de troco depois de fazer essa compra e pagar com três notas de R$ 10,00? Em uma conferência mundial sobre o meio ambiente, 15 representantes de 4 continentes (África, Ásia, América e Europa) vieram ao Brasil, para avaliar se as medidas decididas no Protocolo de Kyoto estavam sendo cumpridas. Todos os continente enviaram pelo menos 1 representante, mas cada continente enviou uma quantidade de representantes diferente. O continente americano e o continente asiático enviaram, no total, 6 representantes. A Ásia e a Europa enviaram, no total, 7 representantes. Que continente enviou 4 representantes? Resposta: Ásia enviou 4 representantes (América enviou 2, Europa 3 e África enviou 6 representantes.

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O TEXTO DO PROBLEMA II

Objetivos:

Séries indicadas: 

6º e 7º ano

Organização: 



Ler texto de um problema;



Identificar partes do texto de um problema;

atividade coletiva

Materiais necessários: 

Lousa, giz, cópia dos problemas para os alunos.

Duração: 

2 aulas

Observe que a maioria dos alunos não tem dificuldade para ler palavras ou frases, a dificuldade está em articular o texto como um todo. Isso acontece porque o texto problema tem características próprias e, por isso sua leitura exige uma forma de ler que precisa ser aprendida nas aulas de matemática. Como já estudamos no ciclo da resolução de problemas, a primeira condição para se resolver um problema é a de aceitá-lo como seu. Ou seja, a proposta do problema deve ser tal que mobilize o resolvedor de modo a querer resolvê-lo. Em seguida, é preciso iniciativa no sentido de buscar compreender do que trata o problema , identificando o que se pede, o que se sabe e o que é preciso saber para resolver a situação. O processo de resolução não para aí, mas sem essas duas etapas iniciais a resolução se torna obrigação, e gera baixo envolvimento, busca de soluções prontas ou, ainda pior, abandono rápido à espera de que outra pessoa resolva o problema. Todo problema tem uma ou mais perguntas a serem respondidas por quem o resolve, tem dados numéricos ou não e uma história que mostra como os dados se relacionam. Por isso, comece identificando com os alunos essas três partes de qualquer problema de texto.

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1ª ETAPA Inicie a aula em uma grande roda, perguntando: O que é um problema? O que é um problema de matemática? Quem gosta de resolver problemas? Essa conversa tem como objetivo criar um ambiente onde os alunos possam expressar seus receios, sem censura ou julgamento de sua parte. Apenas registre o que eles dizem. Muito provavelmente você ouvirá deles que os problemas de matemática só existem na escola e que são difíceis. 2ª ETAPA Com os alunos organizados em duplas, peça para que anotem no caderno a seguinte situação – problema: Marcos juntou suas economias para comprar um automóvel usado. Ao fazer uma pesquisa verificou que poderia comprá-lo à vista ou em 6 prestações iguais de R$ 3 250,00. Naturalmente, o preço à vista é menor. A diferença entre o preço a prazo e o preço à vista é igual a uma das prestações. Qual é o preço à vista? Após uma leitura inicial, em voz alta, solicite que os alunos:  Contornem de laranja a pergunta do problema.

 Pintem de vermelho os dados do problema. Peça para que pintem só os dados de que forem precisar para responder à pergunta.  Marquem de azul a história do problema. Alguma coisa acontece que transforma os dados, essa ação sempre é descrita por algumas frases do texto. Circule pela sala, sem interferir nos trabalhos das duplas, observando de perto o trabalho deles. Registre sempre as falas que merecem atenção porque contêm equívocos ou porque mostram percepções interessantes. Nesse momento, não é necessário que as duplas resolvam os problemas, pois esse não é o foco da atividade agora. Seguem as marcações esperadas no texto do problema proposto: Marcos juntou suas economias para comprar um automóvel usado (azul) Ao fazer uma pesquisa verificou que poderia comprá-lo (azul)

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6 prestações iguais de R$ 3 250,00 (vermelho) Naturalmente o preço a vista é menor (azul) A diferença entre o preço a prazo e o preço à vista é igual a uma das prestações (vermelho) Qual é o preço à vista? (laranja)

3ª ETAPA Nesta etapa, explicite o que os alunos aprenderam com essa atividade e sistematize as partes integrantes de um texto de problema, fazendo um texto coletivo. Conte a eles que o objetivo desta atividade foi à leitura de problemas e que eles podem usar essa estratégia outras vezes. É importante lembrar que não basta essa atividade para resolver as questões de leitura dos alunos. Nas próximas atividades apresentaremos outras estratégias de leitura. Você também poderá trazer outros problemas para que eles marquem a resposta, os dados e a “história do texto”.

LENDO PROBLEMAS Objetivos:

Série indicada: 

6º e 7º ano

Organização: 



Levar os alunos a lerem com compreensão.



Que os alunos aprendam progressivamente a utilizar a leitura para buscar informação e para aprender, podendo exprimir sua opinião própria sobre o que leram.

atividade coletiva

Materiais necessários: 

Lousa, giz, cópia dos problemas para os alunos.

Duração: 

2 aulas

Inicie escrevendo o problema abaixo na lousa, ou projete o problema digitado. Faça com eles uma leitura cuidadosa, primeiro do problema todo, para que eles tenham

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a ideia geral da situação, depois mais vagarosamente, para que percebam as palavras do texto, sua grafia e seu significado. Em outro momento você poderá propor o problema escrito e fazer questionamentos orais com a classe, como é comum que se faça durante a discussão de um texto, o que auxilia o trabalho com problemas escritos: - Quem pode me contar o problema novamente? - Há alguma palavra nova ou desconhecida? - Do que trata o problema? - Qual é a pergunta? Ao usar essa estratégia tome cuidado para não resolver o problema pelos alunos durante a discussão e também não tornar esse recurso uma regra ou um conjunto de passos obrigatórios que representem um roteiro de resolução. - Escrever o problema na lousa ou projetar, fazer leitura cuidadosa. - Propor o problema escrito e fazer questionamentos – quem pode me contar o problema novamente? Há alguma palavra nova ou desconhecida? Do que trata o problema? Qual é a pergunta?

Exemplos de problemas que podem ser usados para essa atividade: 1. Um restaurante recebeu 32 caixas de refrigerante da marca C e 25 refrigerantes da marca D. Cada caixa contém 12 unidades de refrigerante. Para o dono do restaurante, cada refrigerante da marca C custa R$ 1,80 e da marca D, R$ 2,20. Quanto o restaurante pagou pela mercadoria que recebeu? 2. Um elevador de uma empresa suporta, no máximo, cargas de 420 kg, do andar térreo até o último andar do edifício, quantas subidas, no mínimo, o elevador deve fazer? 3. Uma gráfica imprimiu 3 400 exemplares de um livro de receitas. Para serem transportados, eles foram acondicionados em caixas grandes, cada uma contendo 50 exemplares, e em caixas pequenas, cada uma contendo 10 exemplares. Depois de serem usadas 45 caixas grandes e 53 caixas pequenas, elas acabaram. Quantos exemplares ficaram fora das caixas? 4. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1 128 soldados até um campo de treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos caminhões, no mínimo, serão necessários?

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Conhecimento sempre é bom... Em todos esses casos, o professor pode escolher trabalhar com palavras e frases que sejam significativas para os alunos, ou que precisem ser discutidas com a classe, inclusive aquelas que se relacionam com noções matemáticas. Os problemas são resolvidos após toda a discussão sobre o texto, que a essa altura já terá sido interpretado e compreendido pela classe, uma vez que as atividades que sugerimos aqui contemplam leitura, escrita e interpretação simultaneamente.

PROBLEMA LACUNADO Objetivos:

Séries indicadas: 

6º e 7º ano

Organização: 

atividade em individual

dupla

Ficha xerocada alunos.

Duração: 

para

Levar os alunos a lerem com compreensão.



Identificar partes do texto de um problema.



Que os alunos aprendam progressivamente a utilizar a leitura para buscar informação e para aprender, podendo exprimir sua opinião própria sobre o que leram.

Materiais necessários: 



2 aulas

1ª ETAPA

Nessa atividade os dados do problema são o foco. Vamos desafiar os alunos a tornar o texto coerente porque dele foram apagadas algumas informações, alguns dados. Ao recolocar os dados no texto do problema o aluno precisa articular todas as informações de modo que o texto seja coerente. Ao fazer isso ele lê, mas não apenas as palavras, mas sim o texto por inteiro, relacionando suas partes até que o problema faça sentido.

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Entregue aos alunos a Ficha I “Problema com lacuna”, peça a eles que em duplas analisem o texto para descobrir as palavras que faltam. Circule pela sala, sem interferir nos trabalhos das duplas, observando de perto o trabalho deles. Registre sempre as falas que merecem atenção porque contêm equívocos ou porque mostram percepções interessantes. Nesse momento, NÃO é necessário que as duplas resolvam os problemas, pois esse não é o foco da atividade agora. Mas, à medida que as duplas forem terminando, peça que resolvam os problemas. Ao final, escolha uma dupla para apresentar à classe como organizou os dados do problema e peça que expliquem as escolhas feitas. As demais duplas, podem então debater se concordam ou não e apresentar outras formas de pensar diferentes das apresentadas pelas duplas iniciais. Colocar os alunos para investigar, nesse caso o texto do problema, é uma atividade extremamente rica, pois cria na sala de aula um ambiente com espaço para a dúvida. Se permitir questionar o que está pronto ou já estabelecido é a postura do cientista, daquele que tem dentro de si a chama da curiosidade. Ao mesmo tempo, mostra ao aluno que até em matemática nada está acabado e que ele pode criar, transformar, fazer diferente, e, consequentemente, confiar cada vez mais em si mesmo e em sua forma de pensar. Proponha outros problemas usando a mesma estratégia. Outras estratégias: - Deixar que façam sozinhos ou em dupla a leitura identificando sobre o que o problema fala; qual é a pergunta; se há palavras desconhecidas; ou ainda explicar o problema para um colega. - Localiza as informações a partir de um roteiro – o que é importante e o que é secundário – grifar no problema. Apagar o que não era importante e ver se é possível resolver o problema. - Procurar palavras desconhecidas do problema no dicionário.

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ORGANIZANDO DADOS I

Objetivos:

Séries indicadas: 

6º e 7º ano

Organização: 

Atividade dupla

coletiva

Materiais necessários: 



Ler problemas com autonomia.



Perceber como se articula o texto do problema e como ele é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto.

Cópia do problema, cola e tesoura.

Duração: 

2 aulas

A ação autônoma é percebida na capacidade de tomar decisões, tomando como base o que se sabe e o que se consegue fazer. Os alunos serão mais autônomos na resolução de problemas à medida que sabem mais de si mesmos, conhecem suas forças e limitações para controlar cada vez mais seus processos de ação frente a novos desafios. Nesta estratégia de leitura, os alunos, em duplas e depois individualmente, recebem um problema com as frases embaralhadas, como se fosse um quebra-cabeças que deve ser montado na ordem correta antes de ser resolvido. Essa proposta auxilia os alunos a perceberem como se articula o texto do problema e como é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto. Deixe que os alunos discutam no grupo como montar o texto da ficha do aluno II – Organizando dados. Depois de pronto socialize a resposta, problematizando sobre a ordem das frases. Como inicia esse problema? Como é a última frase? Qual a característica da última frase? É importante que eles percebam como é a estrutura do texto de um problema.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

Todos eles terminaram os arremessos com 128 cartões telefônicos. Eles combinaram o seguinte: Quantos cartões cada um deles tinha antes de começar a jogar? Quem perdesse em cada rodada, dobraria a quantidade de cartões que os outros dois possuíam. Carla perdeu a primeira rodada, Daniela perdeu a segunda e Flávio perdeu a terceira. Carla, Daniela e Flávio colecionam cartões telefônicos e estão arremessando bolas nas cestas da quadra de basquete.

Outras sugestões: Qual foi o preço final da máquina fotográfica? foi vendida com um desconto de 20%. No dia dos pais, antes de fazer uma promoção, sofreu um aumento de 10%. Uma máquina fotográfica que custava R$ 500,00 Logo depois, em cima do novo preço

à medida da sua menor diagonal um losango é tal que a medida quais são as medidas dos ângulos internos desse losango

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

de seu lado é igual Depois que eles estiverem montado o texto e conversado bastante sobre o problema, peça para que resolvam em grupo. Você pode escolher outros problemas e utilizar essa mesma estratégia.

ORGANIZANDO DADOS II Objetivos:

Séries indicadas: 

8º e 9º anos

Organização: 



Ler problemas com autonomia;



Perceber como se articula o texto do problema e como ele é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto.



Refletir sobre o papel dos dados numéricos no texto do problema.

atividade coletiva em dupla e individual

Materiais necessários: 

Cópia do problema,cola e tesoura.

Duração:



2 aulas

1ª ETAPA Nesta proposta de organização de dados de problemas os alunos além de colocarem as tiras em ordem precisam localizar e colocar os dados numéricos no problema. Entregue para cada dupla o problema abaixo já com as tiras recortadas – ficha do aluno IV – organizando dados II. Deixe que os alunos discutam no grupo como montar o texto e inserir os dados numéricos, de modo que o problema fique coerente. Depois de pronto socialize a resposta, problematizando sobre a ordem das tiras. Como inicia essa história? Como é a última frase? Qual a característica da última frase? Os números estão de acordo com as

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

unidades de medida?É importante que eles percebam como é a estrutura do texto de um problema e que os dados numéricos tem relação com o texto.

Ao chegar lá, perguntou pelo preço de cada custava R$ 4,20, Quanto Valmir recebeu de notas de R$ 10,00? Um

e soube que o 1 kg de café

depois de fazer essa compra e pagar com

de açúcar custava R$ 1,80 e R$ 2,50 era o preço do quilo de

Valmir foi ao mercado comprar 1,5 Kg de

, 2 kg de açúcar e 5 kg de feijão.

produto

troco

três

Duas pequenas

feijão

quilo

café

de calçados A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100

de sapatos por mês. Se a partir de janeiro, a fábrica A

sucessivamente a

produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares

, a produção da fábrica B a) março b) maio

pares

superará

a produção de A a partir de: c) julho

d) setembro

e) novembro

fábricas

aumentar

por mês

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QUAL A OPERAÇÃO? I Ao realizar essa atividade com a classe, são necessários alguns cuidados, como garantir que haja entre as operações algumas que sejam inadequadas, diferentes operações que conduzam a resposta do problema ou um conjunto de operações que não se encaixem no problema proposto. Ao final da atividade, é fundamental que todos apresentem suas justificativas para as escolhas, as quais podem ser registradas no caderno. Objetivos:

Séries indicadas: 

6º e 7º anos

Organização: 

Atividade dupla

coletiva

Cópia da ficha para os alunos.

Duração:



Ler problemas com autonomia;



Perceber que erros podem cometer a partir de uma leitura apressada do problema;



Perceber que há mais de um modo de resolver o problema, como também aprender a analisar as vantagens e desvantagens de cada solução.

Materiais necessários: 



2 aulas

Nessa proposta solicite aos alunos que leiam cada problema e associem a ele a solução adequada, justificando, oralmente ou por escrito, as escolhas feitas. Seria proveitoso colocar dentre as soluções aquelas que incluem erros comuns que os alunos cometem ao resolverem problemas. Peça para que em duplas os alunos realizem a proposta a seguir, discutindo cada um dos problemas. Converse com eles que nesses problemas eles não precisaram calcular nada, mas precisam escolher a melhor forma para chegar à solução.

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Quatro colegas de classe disseram de modo diferente uma mesma porcentagem. Em cada caso um deles está enganado. Marque um X no que está errado e explique porque não está correto.

Silvia

Carla

Ronaldo

Marcos

3 4

75%

0,34

0,75

20% de 40

40% de 20

10% de 80

5% de 20

0,060

60%

3 5

0,60

50% de 18

18 x 0,5

18% de 50

0,5% de 18

Desconto de 6% em duas peças que custam 100 reais cada uma

Desconto de 8% em uma peça que custa 100 reais

Desconto de 2% em 4 peças que custam 100 reais cada uma

Desconto de 4% em duas peças que custam 100 reais cada uma

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

QUAL A OPERAÇÃO? II Objetivos:

Séries indicadas: 

8º e 9º anos

Organização: 

Atividade individual

dupla

Cópia da ficha para os alunos.

Duração: 

Ler problemas com autonomia;



Perceber que erros podem cometer a partir de uma leitura apressada do problema;



Perceber que há mais de um modo de resolver o problema, como também aprender a analisar as vantagens e desvantagens de cada solução.

Materiais necessários: 



2 aulas

Nessa proposta solicite aos alunos que leiam cada problema e associem a ele a operação adequada, justificando, oralmente ou por escrito, as escolhas feitas. Seria proveitoso colocar dentre as soluções aquelas que incluem erros comuns que os alunos cometem ao resolverem problemas. Peça para que em duplas os alunos realizem as atividades, discutindo cada um dos problemas. Converse com eles que nesses problemas eles não precisaram calcular nada, mas precisam escolher a melhor forma para chegar à solução. Você também pode passar alguns problemas na lousa usando essa estratégia, veja: 1. As distâncias entre as estrelas, os planetas e os satélites são muito grandes. Como o quilômetro não é uma unidade adequada para medir essas distâncias, criou-se a unidade “ano-luz”. O ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca no vácuo a cerca de 300 mil quilômetros por segundo, o ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros. Usando potências de base 10, como podemos escrever 1 ano luz? Descubra qual das alternativas abaixo resolve o problema:

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

(A) 95 000 000 000 000 = 9,5 x 1313 (B) 950 000 000 000 = 9,5 x 1011 (C) 9 500 000 000 000 = 9,5 x 1012 (D) 950 000 000 000 000 = 9,5 x 1014 2. Que conta resolve? Associe os problemas às operações que podemos fazer para achar sua solução. 1

a) Helena comeu 4 de uma pizza, enquanto Gabriel comeu 1

dessa mesma pizza. Quanto da pizza foi comido? b) Na situação da letra a), quanto Gabriel comeu a mais que Helena? c) José e Nair tiveram 4 filhos. José morreu de uma doença rara e a sua herança foi dividida da seguinte maneira: à sua esposa, Nair, coube metade dos bens; a cada um dos seus filhos coube a quarta parte da metade dos bens. Quanto cada filho recebeu 2

d) Leandro foi à uma mercearia comprar 2 quilo de farinha. O vendedor, entretanto, disse que só tinha embalagens 1

de 4 de kg. Quantas embalagens de 4 o vendedor 1

utilizou para embalar o 2 kg de farinha?

( ) 2 ×4 1

( ) 2 ÷4 1

( ) 2 +4 1

( ) 2 −4

3. Associe as situações com as expressões aritméticas, colocando as letras nos parênteses antes das expressões: a) Fui em uma papelaria e comprei um monte de adesivos! Comprei 4 para cada um dos meus 3 primos. Outros 6 comprei para o meu irmão. Não esqueci de mim! Comprei 6 adesivos para cada um dos meus 4 cadernos. Quantos adesivos comprei?

( )6+4x3+4x6

b) Fiz muita lição hoje! 6 exercícios de Português, 4 páginas de Matemática com 3 exercícios cada e 4 páginas de Ciências com 6 exercícios cada. Quantos exercícios resolvi ao todo hoje?

( )4x3+6+6x4

c) Gastei 4 reais em cada um dos 6 cadernos que

( )4x6+3x4+4

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comprei para Fabíola; 3 reais em cada uma das 4 cartelas de adesivos e 4 reais em uma caneta colorida. Quanto gastei? 4. (UFRN) Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível de água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira.

Qual dos gráficos mais se aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t)?

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

COMPARANDO PROBLEMAS I A função dessa proposta é fazer com que os alunos apropriem-se de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na resolução de problemas.

Séries indicadas: 

6º ao 7º anos

Organização: 

Atividade coletiva

Materiais necessários: 

Lousa, giz ou projetor e papel para o cartaz.

Objetivos: 

Ler problemas com autonomia.



Fazer com que os alunos se apropriem de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na resolução de problemas.

Duração: 

2 aulas

Para essa proposta, passe na lousa ou projete dois problemas para que coletivamente os alunos analisem as semelhanças e diferenças entre eles. Faça as anotações do que os alunos forem observando coletivamente em um cartaz. Para propor essa atividade é aconselhável que você escolha dois problemas que tenham ao menos algumas semelhanças, seja no texto ou no modo de resolução, para que haja a possibilidade de uma análise mais detalhada por parte dos alunos. Você observará, que inicialmente, as comparações serão bastante simples, mas, conforme o trabalho for sendo feito e os alunos leem e discutem o texto várias vezes, surgem frases que indicam uma análise mais sofisticada. Veja uma proposta: Resolva os problemas abaixo e depois determine as semelhanças e as diferenças entre os dois: a) A soma da idade de Pedro e Fernando é 30. Qual é a idade de cada um, sabendo-se que Pedro é 2 anos mais velho do que Fernando?

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b) Pedro e Fernando pesam juntos 116 kg. Quanto pesa cada um, sabendo-se que Pedro pesa 8kg a mais que Fernando? Depois que realizar essa proposta, peça aos alunos que criem um problema que tenha as mesmas semelhanças listadas nos problemas acima e dê a um colega para resolvê-lo.

COMPARANDO PROBLEMAS II

Objetivos:

Séries indicadas: 

8º ao 9º anos

Organização: 

Atividade coletiva.

dupla

para

Materiais necessários: 

Ficha xerocada alunos



Ler problemas com autonomia;



Fazer com que os alunos se apropriem de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na resolução de problemas.

Duração: 

2 aulas

Para essa proposta, entregue aos alunos a ficha VIII, peça que eles resolvam os problemas e encontrem semelhanças e diferenças entre eles. Socialize as conclusões das duplas e peça aos alunos que registrem no caderno. Para propor essa atividade é aconselhável que você escolha dois problemas que tenham ao menos algumas semelhanças, seja no texto ou no modo de resolução, para que haja a possibilidade de uma análise mais detalhada por parte dos alunos. Você pode escolher outros problemas, mas segue uma sugestão:

1. Resolva os problemas abaixo e depois determine as semelhanças e as diferenças entre os dois:

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

Num triângulo, os lados de medidas 2 cm e ( 3 +1) cm formam um ângulo de 60º. Calcule as medidas do terceiro lado e do ângulo oposto ao lado de medida 2 cm.

Num triângulo, um lado mede 2 cm e forma um ângulo de 60º com outro lado. Calcule as medidas dos outros dois lados do triangulo sabendo que outro de seus ângulos mede 45º.

2. Comparando escritas matemáticas: Calcule o valor de A para os seguintes valores de x:  e  . 6 4 A = 2 sen x

A = sen 2x

A = sen2 x

A = 2 + sen x

Compare os resultados obtidos e responda: Que modificações o número 2 provoca no cálculo de cada valor de A?

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DESCOBRINDO A PERGUNTA I

Séries indicadas: 

6º ao 7º anos

Organização: 

atividade coletiva

Materiais necessários: 

Objetivos: 

Ler problemas com autonomia;



Levar os alunos a perceberem como a pergunta de um problema está relacionada aos dados do problema e ao texto.

Lousa e giz.

Duração: 

2 aulas

Apresente aos alunos um problema sem a pergunta e forneça uma série de quatro ou cinco questões que devem ser lidas e analisadas. Em um primeiro momento coletivamente e depois em dupla os alunos devem decidir quais perguntas são adequadas ao problema dado.

1. Marta saiu de casa hoje para trabalhar e soube que as passagens de ônibus que custavam 3 reais tiveram um aumento de 50 centavos e ao chegar ao restaurante para almoçar soube que a partir desse dia as refeições de 15 reais tiveram um desconto de 1 real. Escolha a(s) pergunta(s): (A) Quanto Marta gastava por dia para ir e voltar do trabalho de ônibus e almoçar nesse restaurante? (B) Qual é o nome do restaurante onde Marta almoça? (C) Quanto Marta vai economizar por mês almoçando de 2ª a 6ª feira nesse restaurante? (D) A que horas Marta costuma sair de casa para trabalhar? (E) Marta quer saber se com 100 reais ela consegue pagar o ônibus para ir e vir do trabalho e para almoçar durante 5 dias. Vai faltar ou sobrar quanto dinheiro?

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2. Na empresa do pai de Ana trabalham 45 homens e 28 mulheres. Veja os meios de transporte utilizados pelos funcionários: - 36 funcionários vão para o trabalho a pé; - os demais vão de caro ou ônibus. Quais perguntas podem ser respondidas com as informações do texto acima? (A) Quantos funcionários há na empresa? (B) Quantas mulheres vão trabalhar a pé? (C) Quantos funcionários não vão trabalhar a pé? (D) Quantos funcionários têm carro?

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DESCOBRINDO A PERGUNTA II

Séries indicadas: 

8º e 9º anos

Organização: 

atividade em dupla e individual

Objetivos: 

Ler problemas com autonomia;



Levar os alunos a perceberem como a pergunta de um problema está relacionada aos dados do problema e ao texto.

Materiais necessários: 

Lousa e giz.

Duração: 

2 aulas

Apresente aos alunos um problema sem a pergunta e forneça uma série de quatro ou cinco questões que devem ser lidas e analisadas. Em um primeiro momento em duplas e depois individualmente os alunos devem decidir quais perguntas são adequadas ao problema dado. 1) Um banco possui um sistema de comunicação que funciona assim: - 1ª etapa: a agência central envia e-mail para quatro outras no primeiro dia; - 2ª etapa: as quatro agências que recebem o e-mail, encaminham-no para outras quatro agências diferentes no segundo dia. - E assim por diante. ( ) Quantos dias serão necessários para todas as 4 000 agências receberem o email? ( ) Qual o nome do banco? ( ) Quantas agências terão recebido o e-mail no terceiro dia? ( ) Quantas agências esse banco possui? 2) Durante o mês de janeiro, Júlio decidiu trabalhar sete dias na oficina do tio dele, e usar o dinheiro recebido para viajar com os amigos da escola. O tio propôs duas formas de pagamento ao Júlio:

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I – pagar 10 reais pelo primeiro dia de trabalho e, nos dias seguintes, pagar 2 reais a mais do que foi pago no dia anterior. II – pagar 2 reais no primeiro dia de trabalho e, nos dias seguintes, pagar o dobro do que foi pago no dia anterior. ( ) Quanto Júlio receberá pelos 7 dias de trabalho? ( ) Quantas peças Júlio conseguiu produzir nos sete dias de trabalho? ( ) Com qual das formas de pagamento Júlio receberá mais dinheiro? ( ) Se você fosse Júlio, qual forma de pagamento iria escolher? 3) (OBMEP) O preço do quilo de frango era R$ 1,00 em janeiro de 2 000 e começou a triplicar a cada 6 meses. ( ) Quando ele atingirá R$ 81,00? ( ) Quanto custa um frango? ( ) Quanto custará o frango em 2 013?

Problemas retirados ou adaptados de: Matemática – 5ª série/6º ano Ensino Fundamental / Cristiane Chica e Humberto Luis de Jesus- Rede Salesiana de Escolas -1ª Edição – Brasília: CIB – Cisbrasil, 2005.

Para finalizar as sugestões sobre leitura de problemas, gostaríamos de enfatizar que não basta usar uma estratégia ou outra ocasionalmente, tampouco eleger uma e trabalhar intensamente com ela. Para que os alunos sejam bons leitores de problemas, é preciso combinar constância de trabalho e diversidade de escolhas didáticas. Conhecimento sempre é bom... Algumas “dicas” para sala de aula      

Incentive seu aluno a levar um tempo pensando em um problema ao invés de cumprimentá-lo pela rapidez com que resolve uma questão. Você pode ter na classe um “Canto de problemas”. Pode-se fazer uma folha, uma revista ou um livro de problemas com as produções dos alunos. Pode-se desenvolver a ideia de trabalhar com “o problema da semana”. Trabalhar com alunos em dupla e grupos. Dramatizar situações com os alunos.

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FICHA DO ALUNO I – PROBLEMA COM LACUNA No texto deste problema faltam números e palavras. O que falta está embaralhado abaixo do problema. Uma palavra sobrará. 1. Complete o texto do problema. Mas, atenção! Alguns números e palavras não serão utilizados, e, em alguns lugares, pode ser usada mais de uma palavra. 2. Antes de resolver, escreva quais são as informações que você usará para resolver o problema e quais são aquelas que são desnecessárias. 3. Resolva o problema. No verão de , um grupo de passou uma semana em um no litoral brasileiro. Ao as despesas o funcionário do hotel que o total foi de R$ . O grupo não com aquele valor e, ao fazer a dos gastos, o funcionário que foram cobrados indevidamente um valor de R$ e um passeio pela no valor de R$ . Além disso, atribuíram incorretamente ao grupo uma de R$ , referente ao do salão de festas e o pagamento de latas de no valor de R$ cada uma. Qual foi o valor real gasto pelo grupo de amigos? 1 500,00

concordou

1 891 457,89

refrigerante

Praias

pagar

Aluguel

395,21

Aceitou

sorvete

Cadeiras

cidade

Dívida

disse

Acertar

395,21

suco

amigos

Informou

2 004

3,50

gasto

225,00

hotel

Abacaxi

jantar

5 085,70

descobriu

uso

Revisão

casarão

Dunas

lanchonete

0,20

Batata frita

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III – O ALUNO, O PROFESSOR E A RESPOSTA CERTA É comum entre os professores uma concepção de que nas aulas de matemática devemos sempre dar a resposta certa, ou que existe uma única resposta, pois a Matemática é exata. Na vivência que temos de escola, a resposta certa em Matemática significa boa nota, apreciação do professor, respeito dos colegas e até sinal de inteligência, afinal cada acerto é considerado um ponto ganho em nossa autoestima junto a colegas e professor. Nessa perspectiva, desenvolvemos a crença de que um bom aluno deve ter um caderno primoroso, com todas as resoluções feitas e corretas. Se ele errou alguma coisa deve apagá-la e colocar a forma correta, só assim poderá estudar lendo os exemplos certos em suas anotações. É importante considerar que há diferentes formas de conceber o erro no processo de ensino e aprendizagem. Há quem considere o erro como um comportamento inadaptado, prejudicial à aprendizagem, que deve ser evitado e corrigido. Quantas vezes nós professores andamos pela classe enquanto nossos alunos resolvem alguma atividade e já vamos apontando “aqui está errado” ou “refaça os cálculos não é essa a resposta”! O aluno estava pensando e o interrompemos para impedir o erro, quebrando seu raciocínio antes mesmo dele chegar a avaliar se estava ou não no caminho certo. Por outro lado, há aqueles para os quais o erro é aceito como algo natural, uma condição que acompanha todo o processo de aprendizagem, um desequilíbrio momentâneo entre o esperado e o obtido sendo, portanto, um elemento construtivo de reflexão. Aceitar o erro como algo natural, como uma condição que acompanha todo o processo de aprendizagem, como um desequilíbrio momentâneo entre o esperado e o obtido nos leva a perceber que analisar e entender a visão do erro e suas implicações para o ensino e aprendizagem são elementos importantes e ponto de partida para o trabalho com os alunos. Segundo De La Torre, na perspectiva do êxito, para assegurar o sucesso do aluno, é preciso evitar o erro, pois o mesmo é considerado inadaptação prejudicial à aprendizagem, que deve ser punido. Na concepção do erro com êxito, o ensino se caracteriza pela busca da eficácia nos resultados, com a utilização de uma metodologia

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específica, utilizando-se do princípio de etapas breves de apresentação de conteúdos, nos quais a dificuldade global é dividida em pequenas partes, fáceis de resolver, baseando-se no princípio do evitamento do erro. Ainda segundo De La Torre (2007, p.74): O fracasso desanima o aluno e prejudica sua aprendizagem; é preciso, portanto, favorecer o êxito, provocando a resposta correta na maioria das perguntas. O erro como categoria de ensino. Deve ser entendido como conduta evitativa e contraproducente. Já que desanima, distancia e infunde complexos.

Segundo Macedo (1994), nesta perspectiva, o erro é visto como algo ruim, a ser evitado ou punido, pois se fixado, dificilmente será eliminado. Ele pode e deve ser apagado e corrigido, e a escola está comprometida com resultados imediatos e preocupada com o plano de eficácia. Isto é, discutimos as diferentes resoluções e até nos surpreendemos com a inventividade de nossos alunos. Todavia ainda valorizamos as soluções que sejam corretas. O aluno que não acertou nem sequer se candidata a ir ao quadro, afinal porque iria se expor, ele errou! Contrapondo-se a esta concepção, na visão construtiva, o erro é aceito como algo natural, uma condição que acompanha todo o processo de aprendizagem, um desequilíbrio momentâneo entre o esperado e o obtido, sendo, portanto, um elemento construtivo de reflexão. Neste caso, substitui-se o critério da eficácia pelo da eficiência, com busca dos resultados de aprendizagem efetiva. Segundo De La Torre (2007), na visão construtiva, o foco não é simplesmente no acerto ou no erro, mas no processo de aprendizagem, que estabelece uma relação entre o meio e o produto. Assim, temos nos esforçado por valorizar as diferentes formas de pensar na sala de aula. Na situação na qual o erro construtivo é utilizado é preciso considerar que não basta colocar os alunos em situação em que seus conhecimentos e hipóteses se revelam contraditórios com os fatos (situação de erro). É importante que o erro passe a ser encarado como resultado de uma postura de experimentação, na qual o aluno levanta hipóteses, planeja uma ação e coloca sua hipótese à prova, e o professor pode passar a utilizá-lo como estratégia a serviço da aprendizagem dos seus alunos. Quando os Parâmetros Curriculares Nacionais dizem que tão importante quanto a resposta correta é o processo de resolução, eles fizeram uma tentativa de direcionar a

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matemática escolar para o desenvolvimento das habilidades de pensamento do aluno. Os problemas seriam a estratégia para trabalhar no aluno essas habilidades. Com as atividades desse caderno pretendemos favorecer essa mudança com a proposição de atividades mais abertas, mais complexas, propostas de forma diferente das aulas com conteúdo e exercícios de aplicação. Para professor, não se trata apenas de dar atenção ao erro, mas de necessidade de atuar profissionalmente de modo diferente, significa para o educador se fixar mais nos processos mentais do que nos resultados. Por outro lado, essa atitude do professor pode gerar uma resposta percebida no estranhamento dos alunos a esta proposta. Ela se manifesta na acentuada resistência às atividades que não são feitas ou explicadas antes pelo professor, e ao fato de terem que confiar em si e no colega sem tanta dependência do professor dizendo a cada passo se está certo ou não. Nossa proposta é que o professor veja o erro como uma oportunidade didática, podendo incorporá-lo como um guia para o planejamento de um ensino mais eficaz e nesse sentido o papel da intervenção do professor é fundamental para a compreensão do erro. Diagnosticar e corrigir os erros não é suficiente, De La Torre contribui dizendo que não basta constatar o erro: é preciso tratá-lo. Mas a forma de tratamento não é reforço ou a remediação, tratar o erro é torna-lo observável para o aluno. O aluno deve perceber a qualidade do erro, interagindo com ele, desequilibrando suas estruturas mentais por meio dele, até poder superá-lo. (apud Pinto 2000, p.147,148) Para o aluno, a observabilidade do erro acontece de forma mais significativa quando ele pode confrontar o que está sendo aprendido com seus conhecimentos prévios e no momento em que a questão a ser resolvida é capaz de produzir uma desestabilização dos seus saberes, por estar além do que já conhece. Assim, é preciso pensar em propostas em sala de aula, por meio das quais o aluno possa avaliar a qualidade de suas respostas, realizando vários experimentos, testando suas hipóteses e submetendo-as a análise para que a sala verifique se são boas ou erradas. A seguir apresentamos uma proposta de painel de solução, acreditamos que esse trabalho é uma das possibilidades do aluno confrontar diversas soluções para os problemas e perceber que o “erro” faz parte do pensar matemático.

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O PAINEL DE SOLUÇÃO No trabalho com resolução de problemas nas séries iniciais dois fatores são importantes, o tipo de problema a ser trabalhado e sua compreensão do texto e a atenção que devemos dar aos diferentes modos pelos quais os alunos podem resolver problemas. Acreditamos que este é um caminho que contribui muito para que tal ato seja um processo de investigação, no qual o aluno se posicione com autonomia e confiança e possa combinar seus conhecimentos para resolver os problemas apresentados. Para que os alunos sejam capazes de apresentar as diferentes maneiras que utilizam para resolver problemas, cabe a você propiciar um espaço de discussão no qual eles pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia e façam o registro da solução encontrada ou dos recursos que utilizaram para chegar ao resultado. Assegurar esse espaço é uma forma de intervenção didática que favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras e às crenças tão presentes nas aulas de Matemática, como a que em Matemática só é válida a resposta certa. A valorização dos diferentes modos de resolução apresentados pelos alunos inibe o desenvolvimento de algumas atitudes inadequadas em relação à resolução de problemas, como, por exemplo, abandonar rapidamente um problema quando a técnica envolvida não é identificada, esperar que alguém o resolva, ficar perguntando qual é a operação que resolve a situação, ou acreditar que não vale a pena pensar mais demoradamente para resolver um problema. Existem vários tipos de trabalho que podem ser realizados para a valorização dos diferentes modos de resolução apresentados pelos alunos. Um deles é fazer um painel de soluções. Essa atividade é realizada a partir da coleta de diferentes soluções apresentadas pelos alunos que, colocadas em um painel, possibilita à classe conhecer os diferentes caminhos encontrados para resolver uma mesma situação. Mesmo que algumas estratégias não estejam completamente corretas, é importante que elas também sejam afixadas para que, através da discussão, os alunos percebam em que erraram e como é possível avançar. A própria classe pode apontar caminhos para que os colegas sintam-se incentivados a prosseguir. Esse painel, que contém todas as soluções ou apenas parte delas, também pode ser afixado fora da sala de aula. Tal prática faz com que os alunos posicionem-se diante

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

do grupo e opinem sobre os caminhos dos colegas levando-os a perceber que resolver problema não é encontrar uma resposta única. Sobre a escolha do problema para o painel de solução:  Problemas simples, que envolvem conceitos de uma operação matemática, possuem linguagem simples, com texto curto não favorecem o aparecimento de diferentes soluções para alunos que conhecem os algoritmos e que resolvem facilmente, fazendo os cálculos necessários.  Os problemas que envolvem mais de uma operação, os que envolvem o raciocínio combinatório e os não-convencionais são os mais adequados para esse trabalho, pois naturalmente podem ser resolvidos de várias formas diferentes.  É interessante nesse trabalho que você incentive os alunos a resolver os problemas utilizand0-se de soluções aritméticas e algébricas. Após a escolha cuidadosa do problema, proponha aos alunos uma situação e deixe que os mesmos encontrem diferentes modos de resolução.

Um homem entrou em um pomar cruzando sete porteiras e pegou algumas maçãs. Quando voltou encontrou um guarda em cada porteira que para deixá-lo passar exigia metade das maçãs que ele tinha nas mãos, mais uma maçã. Assim aconteceu em cada porteira e ele saiu com apenas uma maçã depois de cruzar a sétima porteira. Quantas maçãs ele apanhou no pomar?

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENSINO FUNDAMENTAL II

Exemplos de problemas que podem ser utilizados: 1) Em uma loja de calçados femininos, foram contados 150 pares de sandálias no estoque. Para fazer uma promoção, verificou-se que havia 28 pares de sandálias sem salto, a mais que com salto. Quantos pares de sandálias com salto e sem salto há no estoque? 2) Lúcio e Ronaldo colecionam moedas antigas. Lúcio possui o dobro de moedas que Ronaldo. Juntos eles possuem 141 moedas. Quantas moedas cada um tem? 3) Desde pequeno Marcos colecionava figurinhas da Copa do mundo com os jogadores da selação brasileira de futebol. Em seu álbum, há 510 figurinhas. Os três filhos de Marcos pediram sua coleção. Marcos resolveu repartir as figurinhas da seguinte forma, o filho do meio receberá o dobro do mais novo e o mais velho o triplo do mais novo. Quantas figurinhas cada um receberá?

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4) Se juntarmos a um anel de ouro o equivalente a sua metade e depois a sua quarta parte, obteremos 21g. Quantos gramas pesa o anel de ouro? 5) No Natal do ano passado, Mariana entregou os presentes dos seus sobrinhos em embalagens que tinham o formato de uma pirâmide de base quadrada, um prima de base triangular, um tetraedro, um cubo e um paralelepípedo que não é um cubo. Descubra qual embalagem Denise, Fernando, Lucas, Patrícia e Vera receberam sabendo-se que:    

As embalagens de Denise e de Patrícia não possuíam faces triangulares. A quantidade de vértices da embalagem de Lucas era um número ímpar. Todas as faces das embalagens de Fernando e de Patrícia eram iguais entre si. A embalagem de Vera possuía 1 face a menos que a embalagem de Denise.

6) Sabendo que uma pessoa pode carregar suprimento de alimentos e água suficientes para 4 dias de sobrevivência no deserto, e que a travessia deste deserto leva 6 dias, quantas pessoas devem começar a viagem para que uma pessoa possa cruzar o deserto e para que as outras possam voltar em segurança ao ponto de partida? 7) (OBMEP – adaptado) O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3 algarismos distintos diferentes de 0. Descubra o código com as seguintes informações: 1 2 3 Nenhum algarismo correto 456 612 547 843

Um só algarismo correto na posição certa Um só algarismo correto, mas na posição errada Um só algarismo correto, mas na posição errada Um só algarismo correto na posição certa

8) Qual é a massa do cachorro, em gramas?

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Sabendo que cada pote vermelho tem massa de 700 gramas e cada pote azul pesa 25% do peso de um pote vermelho.

Sobre os encaminhamentos do painel de solução:  Incentive os alunos a buscarem diferentes formas de resolver problemas, pois isso permite uma reflexão mais elaborada sobre os processos de resolução, sejam eles através de algoritmos convencionais, esquemas ou álgebra;  Analise as diversas estratégias de resolução como válidas e importantes etapas do desenvolvimento do pensamento permitindo a aprendizagem pela reflexão e auxiliando seu aluno a ter autonomia e confiança em sua capacidade de pensar matematicamente;  No momento da correção, você pode colocar as alternativas encontradas pelos alunos na lousa e discutir com eles, para assegurar que todos tenham entendido;  Se não surgirem várias soluções diferentes, apresente um jeito que difere daquele, que pode ter surgido em outra classe ou que você tenha preparado antes. Você coloca a solução na lousa para que a classe tente explicar;  Ao terminar a discussão, os alunos podem anotar no caderno duas ou três soluções diferentes, indicando o nome dos autores;  Os alunos podem resolver problemas de Matemática de forma mais prazerosa e autônoma, explorando as situações apresentadas, buscando caminhos próprios e compreendendo a linguagem matemática como um recurso de comunicação de ideias;  Mesmo que algumas estratégias não estejam completamente corretas, é importante que elas também sejam afixadas para que, através da discussão, os alunos percebam em que erraram e como é possível avançar.

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PAINEL DE SOLUÇÃO E O TRABALHO PARA AVANÇAR A PARTIR DOS ERROS: Neste processo de resolução, quando os alunos são incentivados a expressar livremente seu modo de pensar, é natural que surjam algumas soluções incorretas. Há várias ações que você pode realizar diante do erro, porém o mais importante é garantir que haja um clima de respeito e confiança em sala de aula para que os alunos sintam-se à vontade para lidar com o erro. Discutir com o grupo por que a solução está errada é uma das formas de trabalho que contribui muito para que a criança reveja suas estratégias, localize seu erro e reorganize os dados em busca de uma solução correta. Ao identificar erros que venham acontecendo com certa frequência, você pode selecionar alguns deles e montar uma folha para que os alunos descubram onde está o erro e tentem corrigi-lo através da discussão com os colegas. Uma possibilidade também diante do aparecimento de uma estratégia inadequada à situação apresentada é você sugerir que a classe crie um novo problema que possa ser resolvido por aquela estratégia e comparar os dois: o original com solução inadequada e o criado para se adaptar àquela resolução. Outra maneira de refletir sobre o erro como etapa importante da tentativa de resolução adequada ou correta de um problema consiste na atividade de transgredir, resolvendo um problema de forma errada. Para isso os alunos precisam saber como são resolvidos os problemas que irão transgredir, para assim poderem realizar a tarefa com consciência, apontando quais são as ações que não solucionam o problema e por que isso ocorreu. Após serem resolvidos erroneamente, os problemas devem ser trocados entre os alunos para que encontrem e corrijam o erro propositadamente feito pelo colega. Depois disso, os alunos podem ser estimulados a conversar sobre como foram feitas as correções.

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AS FERRAMENTAS MATEMÁTICAS E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS O conhecimento matemático desenvolveu-se ao longo dos séculos, inventado e usado por pessoas para resolver problemas específicos. Podemos pensar sobre o conhecimento matemático como um conjunto de recursos ou de ferramentas e sobre o propósito da educação matemática como sendo oferecer aos alunos acesso a uma ampla gama de ferramentas matemáticas. Ligada a esse acesso estaria a consciência de que algumas ferramentas matemáticas são mais eficazes do que outras em certo contexto de resolução de problemas. Essa ideia de que, para qualquer situação-problema, algumas ferramentas matemáticas são mais adequadas do que outras em geral não é reconhecida ou discutida na matemática escolar. Em vez disso, existe a tendência a se priorizar determinada abordagem, por exemplo, a matemática mental em oposição a papel e lápis ou papel e lápis em oposição a uma calculadora. Contudo, é importante que os alunos desenvolvam um repertório de ferramentas matemáticas diferentes e uma consciência de uso apropriado em diferentes situações. É importante que os alunos façam parte de uma comunidade de atendentes de matemática, alunos como solucionadores criativos e construtivos de problemas. Os alunos batalham para encontrar maneiras de resolver problemas, tarefa que envolve usar ferramentas que estejam disponíveis a eles, sendo que a ideia de ferramentas inclui tanto as ferramentas matemáticas e os símbolos quanto o meio usado, como papel, lápis ou calculadora. O papel do professor pode ser entendido como o de introduzir novas ferramentas matemáticas aos alunos, com a consciência de que cada um traz consigo uma bagagem de ferramentas para qualquer situação de resolução de problemas. Se o objetivo é apresentar-lhes uma nova ferramenta matemática (por exemplo, a multiplicação ou as equações lineares), é importante ter a consciência de que os alunos provavelmente já podem resolver qualquer problema que for apresentado com uma ferramenta alternativa (por exemplo, adições repetidas, tentativa e refinamento). No entanto, valorizar aquilo que os alunos já sabem e usar esse conhecimento é bastante diferente de desvalorizar o que eles sabem a ponto em que não vejam propósito em aprender algo novo. Na verdade, a desvalorização do conhecimento informal prévio dos jovens pode ser vista como uma forma de manter a relação de poder entre professor e aluno.

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IV – PLANEJANDO O TRABALHO COM PROBLEMAS

Cada um dos tipos de problema apresentados neste caderno, bem como as estratégias de leitura são sugestões para apoiar o ensino nas aulas de matemática na Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas. No entanto, é preciso alguns cuidados porque não temos como objetivo treinar a resolução de problemas não convencionais, ou um tipo de estratégia, nem fazer dos alunos especialistas na resolução ou formulação de problemas; por isso não devemos trabalhar com os diversos tipos de problemas, nem de estratégias de leitura de uma só vez. Sugerimos a resolução desses problemas e a utilização das estratégias de leitura ao longo de todo o curso de forma diversificada e pertinente, através de um planejamento cuidadoso. Consideramos importante que o trabalho com problemas seja feito, no mínimo, uma vez por semana, e o plano seja organizado mensalmente, sendo duas aulas destinadas para resolução de problemas convencionais e não convencionais e duas aulas para o trabalho com estratégias de leitura. A cada mês você avança nas estratégias de leitura, de acordo com a aprendizagem dos alunos e alterna os diversos tipos de problema de acordo com os objetivos que queira alcançar. É importante ressaltar que as propostas de problemas são trabalhadas dentro do conteúdo desenvolvido na série, não é um trabalho a parte, aproveite os temas estudados para propor os problemas e as estratégias de leitura.

PROBLEMAS TRABALHO SEMANAL Integrado aos conteúdos estudados

ESTRATÉGIA DE LEITURA

RESOLUÇÃO Problemas convencionais e não convencionais

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TRABALHANDO COM O ERRO

Um ponto também essencial é a discussão e análise das resoluções no coletivo da classe, pois é nesse momento que os alunos revelam suas aprendizagens, partilham seus registros e formas de pensar e, assim, ampliam seu repertório em termos de estratégias e formas de organizar a resolução de problemas. Relembramos que a resolução dos problemas deve ser um momento de investigação, descoberta, prazer e aprendizagem. A diversidade de problemas tem também o objetivo de mudar a postura dos alunos frente à resolução de problemas, desmistificando as crenças descritas no capítulo 3 deste caderno.

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V – COLETÂNEA DE PROBLEMAS

1. Um grupo de 8 amigos foi a uma lanchonete, gastou R$ 192,00 e resolveu dividir igualmente as despesas entre eles. Simone recebeu R$ 6,00 de troco. Quantos reais ela deu para pagar a sua parte? Helton pagou as despesas dele e de um amigo com uma nota de 100 reais. Quanto ele recebeu de troco? 2. Sou uma palavra com 6 letras Duas de minhas letras aprecem na palavra BALÉ. Eu não tenho nenhuma das letras da palavra LEITE. Três das minhas letras aparecem na palavra SORTE. Uma das minhas letras aparece na palavra MEL. Quem sou eu? Resposta: SOMBRA 3. (OBMEP – 2009) Ana deve a Beto 1 real, Carlos deve a Ana 1 real, Dora deve a Beto 2 reais, Beto deve a Emília 3 reais, Carlos deve a Emília 2 reais, Emília deve a Dora 1 real, Carlos deve a Beto 2 reais, Dora deve a Carlos 1 real e Ana deve a Dora 3 reais. Cada um deles recebeu de seus pais 10 reais para pagar suas dívidas. Depois que forem efetuados todos os pagamentos, quem vai ficar com mais dinheiro? Resposta: Emília ficou com 14 reais. (Ana ficou com 7 reais, Beto com 12 reais, Carlos com 6 reais, Dora com 11 reais)

4. Um fazendeiro possui 30 ovelhas e 45 cabeças de gado. Qual a idade do fazendeiro? 5. Meu pai tem um táxi branco. De segunda a sábado, ele sai de casa às 7 horas da manhã para trabalhar. Aos domingos, ele descansa. Meu pai percorre aproximadamente 200 quilômetros a cada dia com o taxi. Quantos quilômetros ele percorre por semana? 6. Vovô disse que cresceu numa casa onde havia 12 pés e um rabo. Quem poderia ter vivido com vovô?

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7. Alice, Bernardo, Cecília, Otávio e Rodrigo são irmãos. Sabemos que: 

Alice não é a mais velha



Cecília não é a mais nova



Alice é mais velha que Cecília



Bernardo é mais velho que Otávio



Rodrigo é mais velho que Cecília e mais moço que Alice Você pode descobrir a ordem em que nasceram esses 5 irmãos?

8. Um elevador parte do andar térreo. Ao chegar ao 3º andar, descem 5 pessoas, no 4º andar descem 2 pessoas e sobem 4, no 7º andar desce 1 pessoa e sobem 3. No último andar descem 7 pessoas e o elevador fica vazio. Quantas pessoas estavam no elevador térreo quando ele começou a subida? 9. Um alfaiate tem uma peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se o primeiro corte foi no dia 11 de abril, em que dia ele fará o último corte?

10. Numa rua estão dispostas 16 árvores, separadas 5 metros uma da outra. Supondo que há uma árvore em cada extremidade da rua, qual é o comprimento dessa rua?

11. Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-borboleta. Diz que elas valorizam o seu pescoço. Hemengardos tem quarenta gravatas lisas, cinquenta e seis de bolinhas, dezoito listradas, quatro xadrezes, oito de estampados diversos, vinte e oito floridas e trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos têm?

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12. Ana subiu no elevador, desceu 5 andares, subiu 7 andares e desceu 9, chegando ao segundo andar. Em que andar Ana subiu no elevador? 13. Dispor os números de 1 a 6 numa pilha triangular da forma a seguir, de tal modo que a soma dos números em cada lado do triângulo seja 9.

14. Leia o problema a seguir com atenção. Depois responda às perguntas: Meu pai tem um táxi branco. De segunda a sábado, ele sai de casa às 7 horas da manhã para trabalhar. Aos domingos, ele descansa. Meu pai percorre aproximadamente 200 quilômetros a cada dia com o táxi. Quantos quilômetros ele percorre por semana? a) Procure no dicionário o que significa a palavra aproximadamente e anote o que você entendeu. b) Quais as informações desnecessárias para a resolução do problema? c) Resolva o problema. 15. O macaco subiu na árvore e ele ficou da mesma altura que a girafa. Como saber quanto a girafa é mais alta que o macaco? 16. Um leão do zoológico come a mesma quantidade de carne todos os dias. Como saber quantos quilogramas de carne ele come em uma semana? 17. Resolva os problemas abaixo e depois determine as semelhanças e as diferenças entre os dois: 18. Pensando em investir meu dinheiro, comprei um cavalo por R$300,00. Passado um tempo, vendi o cavalo por R$400,00. Acontece que eu já tinha me apegado ao cavalo e fiquei com saudade daquele bicho. Procurei a pessoa que tinha comprado o cavalo e o comprei por R$500,00. Por fim, vendi mais uma vez o cavalo, dessa vez por R$600,00. E então? Perdi, ganhei ou fiquei na mesma?

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19. Quatro amigos – Lúcia, Jane, Pedro e Felipe – têm os sobrenomes Santos, Oliveira, Souza e Pereira, mas não necessariamente nessa ordem. Qual é o sobrenome de cada um?   

Pedro lê mais depressa que Santos, mas não resolve contas mensalmente tão rápido quanto Souza. Santos gosta mais de Matemática que Felipe, mas menos que Oliveira. Lúcia gosta mais de História que Pedro e que Pereira, mas menos que Santos.

20. Um estacionamento cobra R$ 8,00 por moto e R$ 16,00 por carro estacionado. Em um determinado dia, ao fazer o fechamento do caixa a funcionária registrou no caderno de controle: Veículos: 107 Valor: R$ 1 432,00 Quantos carros estacionaram nesse dia? 21. Em uma partida, um jogador de voleibol coloca a bola no chão uma vez em quatro ataques realizados. Em outro jogo, esse mesmo jogador é bem sucedido uma vez em cinco ataques realizados. Qual é a fração que representa o desempenho desse atacante nos dois jogos? 22. Quatro pares de namorados foram a uma festa. A certa altura, Tiago reparou que:     

Inês dançava com o namorado de Helena. A namorada de Bruno dançava com João. Carla dançava com Bruno. Mônica dançava com o namorado de Inês. A namorada de João dançava com Luís!!!! Quem namora com quem?

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23. Numa gráfica, 5 máquinas de mesmo rendimento imprimem certo número de cópias de certo folheto em 8 horas de funcionamento. Se duas delas quebrassem, em quanto tempo de funcionamento as máquinas restantes fariam o mesmo serviço? 24. Em um colégio, existem quatro bons jogadores de vôlei: André, Carlos, Marcos e Pedro. O professor de Educação Física vai escolher dois deles para representar o colégio em um campeonato de vôlei de praia. Quais e quantas são as possibilidades de formação das duplas? 25. O código de abertura de um armário é uma senha de quatro letras diferentes, formada apenas pelas letras A, B, C e D. Quantas senhas diferentes uma pessoa pode escolher como sendo aquela que fechará e abrirá o armário? 26. A roda de um trator tem 1,5 m de diâmetro. Após 1 000 voltas dessa roda, qual é a distância, aproximada, em quilômetros percorrida pelo trator?

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SMOLE, K. S. e Diniz, M. I. (orgs.). Ler, escrever e resolver problemas – Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. SMOLE, K.S., Diniz, M. I. e Cândido, P. Resolução de problemas. Coleção Matemática de 0 a 6, vol2. Porto Alegre: Artmed, 2000. SMOLE, K.S., Diniz, M. I. e Milani, P. Jogos de Matemática de 6º ao 9º. Coleção Cadernos do Mathema. Porto Alegre: Artmed, 2007. POZO, Juan Ignacio. A Solução de Problemas: Aprender a resolver, resolver para aprender.Porto Alegre: Artmed, 1998. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução / Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF, 1997. Revista Pátio. Problemas para resolver: Por que o desempenho em Matemática ainda é tão baixo? Ano VI Nº 13, junho/agosto, 2012. Revista Pátio. O Jovem e a Leitura. Ano IV Nº 15, Dezembro 2012/Fevereiro 2013.

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