Matemática - Fundamental 2, v. 7 by Programa Integrar Educação

VOLUME VII

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

ORGANIZAÇÃO DO CADERNO

 Grandezas, medidas e frações  Uma proposta para o ensino de frações  Uma diferenciação importante: o inteiro  Equivalência de frações  Operações com frações  Conhecimento sempre é bom  Entendendo números com vírgula  Números decimais e a calculadora  Anexos  Apêndice – Grandezas e medidas

2 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FRAÇÕES E DECIMAIS

A partir do final dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e seguindo pelo início dos Anos Finais, temos a ampliação dos números estudados pelos alunos para além dos Números Naturais. Os números racionais, em suas formas fracionária e decimal, são apresentados e as primeiras noções sobre frações ganham espaço no currículo de matemática desses anos escolares. São muitas as pesquisas que mostram a dificuldade dos alunos em aprender esses conteúdos, especialmente as frações. As avaliações nacionais, como as do SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica, desenvolvido pelo INEP/MEC (2001, 2003), apontam também dificuldades dos alunos com os números fracionários. Nunes e Bryant (1997, 9,91) afirmam que:

Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e ainda não têm. Elas usam os termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas fracionários; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.

O ensino tem sido responsabilizado por esse fracasso, especialmente por se ater às representações das frações na forma de retângulos e círculos e em textos didáticos que associam a escrita da fração aos desenhos, sem qualquer contexto de significados para as crianças. Os materiais manipulativos também são questionados pelos pesquisadores, uma vez que são formas artificiais de representar frações que muitas vezes se restringem à manipulação desvinculada de contextos ou situações que façam sentido para a criança. De acordo com Bertoni (2008, p. 210), com relação ao ensino centrado nos textos didáticos e em materiais manipulativos:

Nesse caso, a didática produz um anteparo antes de o conceito de quantificador fracionário ser formado, propondo que o aluno entenda uma representação simnbólçica antes de ele saber o que está sendo representado, ou para que aquela representação servirá. O desenvolvimento que dá sequência a esses modelos, na aprendizagem usual dos números fracionários, envolve relações e operações entre eles, os quais permanecem centrados nos materiais e figuras, criando um universo próprio para a existência das fraçõs, desvinculado da realidade.

3 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

Além da forma como o assunto é abordado tradicionalmente na escola, outras duas razões podem ser citadas como complicadores para a compreensão das frações pelos alunos. Uma delas é que há rapidamente uma ênfase excessiva na nomenclatura – introduzindo-se termos como numerador, denominador, frações equivalentes, frações próprias e impróprias – antes da compreensão do significado e dos usos do número fracionário. O segundo motivo é a inadequação do tempo de ensino e aprendizagem dedicado aos racionais na escola. Em geral, esse tema se concentra nos meses finais do ano, o que impede o aluno de pensar sobre eles. Passa-se um ano inteiro até que os alunos retomem novamente as noções e os conceitos referentes aos racionais. E como o tempo de ensinar não é o mesmo tempo da aprendizagem dos alunos, esse intervalo gera praticamente a necessidade de um recomeço total do tema por parte dos alunos e do professor.

Uma proposta para o ensino de frações

Considerando os diversos fatores que têm gerado dificuldades na aprendizagem de frações, muitos pesquisadores têm investigado e atuado junto a professores e alunos no sentido de elaborar propostas eficientes para o ensino desse tema. As orientações que seguem são fruto de nossa experiência junto a professores e seus alunos e tiveram como base as diversas pesquisas realizadas e comprovadas como bons caminhos para a aprendizagem. Para começar, o ensino dos números racionais deve ser planejado e distribuído ao longo do ano inteiro, a partir do 4º ano do Ensino Fundamental. Respeitar o tempo de aprendizagem é a justificativa para essa opção. Assim, os alunos terão também tempo para vivenciar situações mais realistas sobre o emprego das frações em situações próximas e significativas. No que diz respeito à nomenclatura excessiva, apesar de acreditarmos que a sala de aula deva ser rica em termos e expressões matemáticas, isso deve ser feito desde que os termos da linguagem matemática façam sentido para quem aprende. Aprender termos e usá-los não pode tomar o tempo da construção do conceito de fração propriamente dito. Por isso, a nomenclatura referente às frações e aos números decimais deve ser apresentada ao aluno à medida que se fizer necessária para a boa comunicação e para representar quantidades fracionárias. A tradicional classificação de frações não tem motivo para ser feita nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, uma vez que não tem utilidade para continuar aprendendo matemática e não responde a qualquer situação problema importante

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para o aluno desses anos escolares. Quanto à forma de ensino, é preciso conhecer os principais

FRAÇÃO

significados que a fração representa ao se iniciar a aprendizagem desse conceito.

Fração como parte de um todo

Fração como resultado de uma divisão Fração como razão

A fração como parte de um todo é comumente apresentada usando-se inicialmente representações contínuas, com exemplos como bolos, pizzas, barras de chocolate, para depois apresentar a fração como parte de um todo discreto, usando como exemplos balas, bolinhas, brinquedos, etc. Aqui são construídas frações menores do que o inteiro (o todo que foi dividido em partes iguais. Assim temos:

Nesses contextos, são naturais as frações menores que um inteiro. Para dar algum significado às frações maiores do que 1, é preciso trabalhar a segunda ideia relativa às frações: a fração como resultado da divisão de dois inteiros em partes iguais, como por exemplo:

Dividir uma folha de papel entre duas pessoas

Dividir seis biscoitos entre quatro crianças

5 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

Uma possibilidade é dar um biscoito a cada criança, partir os dois biscoitos que sobram ao meio e dar uma metade para cada criança. Nesse caso, podemos representar numericamente por:

Outra solução é dividir cada biscoito em 4 partes iguais onde cada criança recebe uma parte de cada biscoito:

A fração como razão de comparação entre duas grandezas raramente é trabalhada antes do 6º ano. Mas seu significado deve ser conhecido pelo professor. Quando dizemos que 2 entre 5 alunos de uma escola preferem as aulas de Educação Física, estamos comparando duas grandezas: Todos os alunos da escola e os alunos que preferem as aulas de Educação Física. Assim, podemos dizer que = 2 5

dos alunos dessa escola preferem Educação Física. Nesse caso, a fração é o resultado da

comparação. Observe que, como razão, o sentido da fração é bem distinto dos dois outros anteriormente apresentados. A valorização excessiva de uma das ideias em relação às outras, bem como em relação à natureza do todo (discreto e contínuo) e a limitação de modelos usados para explorar o tema pode gerar nos alunos dificuldades de percepção do sentido da representação fracionária dos números racionais. Há ainda, para alguns pesquisadores, outra ideia do conceito de fração distinta do conceito parte todo. Nos casos em que se deseja saber o valor de uma fração de um número, a fração é denominada como um operador, uma vez que ela age sobre o número para gerar um valor resultante 2

dessa ação. Vejamos o exemplo da fração 3:

6 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

Uma diferenciação importante: o inteiro Embora o conceito de fração seja único, ele assume aspectos diferentes quando aplicados a todos contínuos ou a todos discretos. Quando aplicamos o conceito de fração para todos discretos (fração de quantidade), a ideia é pegar todos os elementos do grupo que será fracionado e fazer uma divisão em grupos de unidades com igual quantidade de elementos, sem que haja quebra dos elementos em cada grupo. Ou seja, podemos dividir 10 balas entre 2 pessoas e entre 5 pessoas. Quando aplicamos o conceito de fração a todos contínuos, a ideia é a de que se tem um todo, visualmente unitário, que ao ser subdividido, as partes obtidas devem ter a mesma medida. Por exemplo, cortar uma pizza em dois pedaços ou um doce em seis ou oito pedaços, etc. É interessante observar que a ação de fracionar ou repartir fica diferente quando consideramos a natureza daquilo que se está fracionando. No caso de todos discretos, a repartição se dá por contagem de unidade e são sempre finitas. No caso de todos contínuos, a repartição se dá por composição em partes com a mesma medida, sendo as possibilidades sempre infinitas. Para perceber essas questões, os alunos precisam vivenciar situações com os diferentes significados da fração, bem como seus usos. Em ambos os casos, a ideia de fração está relacionada ao ato de dividir o todo em partes exatamente iguais, de modo que não haja sobra e considerar uma ou mais partes como frações desse todo. É exatamente por isso que as possibilidades de frações em todos discretos são sempre finitas, pois com 18 ovos não é possível considerar, por exemplo, frações como

3 8

ou 5 desses ovos, já que não

podemos dividir igualmente 18 ovos em 8 ou 5 grupos sem que sobrem ovos. No caso de quantidades contínuas, as possibilidades de frações são sempre finitas, uma vez que podemos cortar o todo em quantas partes iguais quisermos sem que haja resto, ou seja, no exemplo do doce, podemos ter as mais variadas frações do doce. Outro aspecto importante a ser considerado é que tradicionalmente as frações são abordadas antes dos números decimais com um enfoque inicial em apenas uma de suas ideias (parte do todo) e com quase nenhuma relação com as medidas, o que é um contrassenso, uma vez que, historicamente, foram as medidas 7 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

que deram origem às frações. Além disso, as frações de todos contínuos estão estritamente relacionadas a uma medição. Logo, o contexto das medidas pode dar sentido ao estudo das frações. Resumindo, toda essa discussão traz algumas consequências para o ensino de frações. Para construir o conceito de fração, é preciso que os alunos vivenciem muitas situações que envolvam modelos diferentes que representem o inteiro e que desde cedo analisem os significados que a fração pode ter, bem como seus usos. Receitas, artigos de jornais e revistas, situações cotidianas de divisão de materiais e de medições são contextos naturais nos quais os alunos podem pensar sobre a natureza do todo; no processo de resolução dos problemas, eles têm mais chances de compreender frações como novos números que respondem a questões que não têm solução apenas usando-se os números naturais.

Conhecer um campo numérico envolve vários aspectos. Compreender o significado de um conjunto de números certamente requer a construção do conceito desses números, como é o caso das frações, mas espera-se que, para cada campo numérico, os alunos saibam ler e escrever esses números, bem como compará-los e operar com eles. Assim, é natural que o ensino das frações contemple também a leitura, a escrita e a comparação desses números, incluindo as operações básicas entre frações. No entanto, usualmente as operações são apresentadas aos alunos antes mesmo da compreensão dos significados das frações. É preciso garantir que antes de operar com esses números os alunos tenham bem consolidada a construção do conceito e dos significados das frações. Situações que solicitam a comparação e a operação com frações antes da formalização dos algoritmos permitem ao aluno desenvolver raciocínios próprios e procedimentos não usuais que auxiliam a compreensão do conceito de fração. Ou seja, podemos propor aos alunos problemas como este:

Mariana pegou todas as maçãs de um cesto e cortou algumas, como está na figura abaixo:

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Sabendo que a figura metade de uma maçã e que a figura

representa uma maçã inteira, que a figura

representa a

representa a quarta parte de uma maçã, qual o total de

maçãs que Mariana pegou no cesto? Aqui, em um processo de contagem estendida a não inteiros, naturalmente o aluno faz adições de frações e multiplicações de frações por inteiros. Mesmo que apenas a resposta seja obtida pelo aluno (no caso, 4 maçãs), para obtê-la foi preciso adicionar metades e quartos até formar inteiros e empregar a noção de equivalência com o inteiro. Isso pode ser sistematizado assim:

Este simples exemplo mostra que não é preciso ter os algoritmos e técnicas para pensar sobre as operações com frações e que, ao pensar sobre como operar com frações, os conceitos de fração e equivalência se desenvolvem e se aperfeiçoam. Essa é a meta do ensino de frações nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, e não as operações e técnicas em si mesmas, roubando o tempo para a formação do conceito de fração. As receitas, ao serem duplicadas ou triplicadas para servir a mais pessoas, são contextos interessantes para que os alunos pensem sobre adição, multiplicação de frações por inteiros e equivalência. Os materiais manipulativos também são bons recursos para que os alunos encontrem procedimentos próprios para comparar e operar com frações. A multiplicidade de situações problema e a flexibilização em relação à linguagem e técnicas formais são rotas seguras para que os alunos dos anos iniciais se aproximem das frações sem que elas se tornem vilãs da aprendizagem de matemática. 9 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

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4. ENTENDENDO OS NÚMEROS COM VÍRGULA Objetivos: Série indicada: 

Relacionar metro, centímetro e decímetro.

6º e 7º anos

Organização:

Expressar o resultado de medições usando números decimais.

 Atividade em duplas Materiais:  Caderno  Tesoura  Revista  Fichas sobrepostas

1ª ETAPA

Entregue a cada grupo um conjunto de instrumentos de medidas de comprimento e proponha que meçam alguns objetos da sala escolhidos por você. Sugerimos que você selecione para medição comprimentos de linha retas e não retas – como a boca do lixo ou o contorno do assento da carteira – medidas maiores que 2m, entre 1m e 2m, menores que 1m e que 1cm. Assim os alunos poderão pensar tanto na escolha do instrumento de medida quanto na unidade de medida a ser utilizada. Pergunte aos alunos como podemos escrever essas medidas usando números. Espere que deem sugestões e relembre o ábaco ou quadro de ordens: centena

dezena

unidade

Diga que registrarão os números menores que a unidade à direita da unidade, dividindo-a em 10 partes iguais, cada uma chamada "um décimo". Na escrita, esta parte é separada da parte inteira por uma vírgula. O quadro ficará assim: Parte inteira centena

dezena

Parte decimal unidade ,

décimos

centésimos

Retome as medidas feitas pelos alunos, por exemplo, se o comprimento da sala de aula medir "5 metros e 32 centímetros",mostre algumas formas de registrá-la: 5 m + 3 décimos de metro + 2 centésimos de metro ou 5,32 metros. unidade 5

décimos 3

centésimos 2

Como tarefa para casa, você pode pedir que procurem em jornais e revistas uma matéria em que apareçam números com vírgula. 35 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

2ª ETAPA Retome a tarefa de casa, provavelmente encontrarão números decimais associados a diferentes grandezas. Questione o significado da vírgula na medição de massa, volume e outras grandezas que aparecerem. Não é o momento de falar de conversões, apenas intencionamos que os alunos entendam a necessidade de subdividir as unidades padrões de medida para efetuar medições para corretas. Reúna-os novamente em grupos e diga-lhes para escreverem o que os números encontrados em jornais e revistas pelo grupo representam. Dentro de um contexto tão propício a questionamentos, trabalhe com os números que eles trouxerem. Se for dinheiro, por exemplo, R$ 525,30, pergunte o que significam os números depois da vírgula; se for relativo a metragem, massa, capacidade (por exemplo 1,51) etc., é importante reconhecer a unidade (Km, Kg, litro) e ficar claro que os algarismos depois da vírgula são os décimos e centésimos de Km, Kg ou litro. Aproveite para explorar as subdivisões das diversas unidades de medida: pergunte quantos centavos tem um real, quantos quilos têm uma tonelada, quantos metros têm um quilômetro... (se não souberem, eles podem procurar no dicionário), anotando as descobertas. Retome a importância da escrita posicional em nosso sistema de numeração e o valor de cada ordem em relação às demais. Além de esclarecer entendimentos incorretos e eventuais dúvidas, isso vai ajudar os alunos a compreender a comparação entre decimais e as transformações entre unidades de medida. Para isso, apresente diversas decomposições de um mesmo número em escrita decimal e proponha que façam o mesmo com outros. Por exemplo: 43,25 = 43 + 0,25 = 40 + 3 + 0,2 + 0,05 = 4 x 10 + 3 + 2 x 0,1 + 5 x 0,01; ou em palavras: 43,25 = quarenta e três unidades e vinte e cinco centésimos = 4 dezenas, 3 unidades, 2 décimos e 5 centésimos.

3ª ETAPA

Aos alunos deve ser dada a oportunidade de conhecer o material. Assim propomos que os alunos tenham um tempo para manusear livremente as fichas, e que depois disso, o professor peça aos alunos que digam o que perceberam neste material, que fichas estão ali, que digam os nomes de alguns destes números. A seguir o professor pede aos alunos que representem vários números com o material, como por exemplo, a medida da sua altura, a medida da carteira, o preço do litro da gasolina, o preço de uma caneta, a nota que tirou na ultima prova etc. Exemplos: A)

Material que você está explorando chama-se fichas sobrepostas. 

Olhe as fichas e faça alguma separação nelas.



Qual a maior ficha? E a menor?

B) Com as fichas

0, 3

0, 0

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- que número você pode formar? Repetir para outros para outras fichas. C) Formei o número 1, 251. Que fichas usei? Repetir para 1, 201; 5, 37; 3,001; 5, 020; etc. D) Represente com as fichas: 

236 centésimos:



1040 milésimos



865 centésimos



2 inteiros e 406 centésimos



7 inteiros, 2 décimos e 87 milésimos

E) Para representar 2,222, que fichas você usa? Quanto vale cada 2 e 2,222? Repetir para 4,044; 1,333; etc. F) Por qual ficha você pode trocar? a)

2 e 0, 7

0, 0 6 E

0, 7 0 e

0, 8 e

0, 0 9 e

0, 0 4 0, 3 0

0, 7 0, 0 6

G) De quantas formas diferentes consigo trocar 2 fichas por uma de

H) Júlia trocou três fichas por uma de

0, 1 6 8 . Que fichas poderiam ter?

H) De quantas fichas a) de 0, 0 0

você precisa para obter

b) de 0, 0 5 para trocar por uma de

0, 0

0, 1

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4ª ETAPA Em grupos de 4 alunos com um conjunto fichas para cada grupo. 1. As fichas de cada ordem são embaralhadas e colocadas no centro do grupo formando 4 montes com as faces viradas para baixo. 2. A cada jogada um do grupo pega 4 cartas aleatoriamente uma de cada ordem (unidade, décimos, centésimos e milésimos). 3. O professor dá o comando e os alunos devem tentar formar com suas cartas o que é pedido. 4. Ganha um ponto o jogador do grupo que conseguir compor o número pedido pelo professor, usando uma, duas, três ou as quatro cartas. Por exemplo: Se jogador tem as cartas 1; 0,6; 0,06 e 0,008 e o comando for “formar o maior número possível”, nesse caso, o aluno poderá utilizar todas as fichas formar o número 1,668 e ganhará ponto se ninguém do grupo conseguir formar um número maior que este. Mas se o comando for compor o menor número possível, este jogador pode formar o número 0,008 e verificar se é o menor número obtido no grupo. 5. Depois disso as cartas são novamente embaralhadas e há nova escolha de 4 cartas para cada jogador. 6. Ganha o jogo, aquele que ao final de 5 jogadas tiver o maior número de pontos. Comandos possíveis: Formar o maior número Formar o menor número Formar o número mais próximo de 0,5 Formar o número mais próximo de 0,01 Formar um número entre 0,15 e 0,26

5ª ETAPA O professor pede que os alunos formem com as fichas um determinado número, por exemplo: 7,882. A seguir, ele questiona: -

O que acontece com este número de somarmos 0,1 (ou um décimo ) a ele? Representem o resultado, o que vocês observam?

E se somarmos 0,1 a este novo número, o que muda? Por que?

Repetir para outros números, somando ou subtraindo décimos, centésimos e milésimos inteiros, para destacar a organização da escrita numérica no sistema de numeração decimal.

38 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

Essa atividade, pode depois ser formalizada da seguinte forma: + 1 décimo

+ 1 centésimo

+ 1 milésimo

6,4

7,26

9,353

5,9

9,69

7,869

10,0

12,30

16,03

18,05

0,09

6,99

Explorando a adição e a subtração com as fichas sobrepostas. 1,234 + 4,3 Para formar o número 1,234 pegamos as fichas 1, 0,2 0,03 e 0,004 Para formar o número 4,3 usamos as fichas 4, e 0,3

Temos, então:

Outro exemplo:

1,234 + 4,3

0,91 + 0,259

= 1+ 0,2 + 0,03 + 0,004 + 4 + 0,3

= 0,9 + 0,01 + 0,2 + 0,05 + 0,009 = 0,9 + 0,01 + 0,1 + 0,1 + 0,05 + 0,009

= 5 + 0,5 + 0,03 + 0,004 = 5,534

= 1 + 0,1 + 0,06 + 0,009 = 1,169

Utilizando as fichas sobrepostas, encontre o resultado das operações a seguir: a) b) c) d)

5,68 + 2,21 0,921 + 3,4 1,99 + 2,011 2,451 + 0,96

39 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

5. NÚMEROS DECIMAIS E CALCULADORA Objetivos: Série indicada: 

6º e 7º anos



Organização:  Atividade em duplas Materiais:  Caderno  Tesoura  Revista  Fichas sobrepostas  Calculadora



Resolver problemas que envolvam a análise do valor do algarismo conforme a posição que ocupa no número; Utilizar as propriedades aditivas e multiplicativas do sistema de numeração posicional decimal para resolver problemas que envolvam compor, decompor, adicionar e subtrair números decimais; Desenvolver estimativa e cálculo mental com decimais.

1ª ETAPA Inicialmente, entregue uma calculadora por aluno e converse com os alunos sobre o ponto na calculadora. Informe a elas que o ponto equivale a vírgula que usamos para separar a parte inteira da parte decimal de um número. Dite um número decimal e peça que os alunos o escrevam na calculadora. Depois, pergunte a eles o que precisarão fazer para que apareça um zero no lugar de um dos algarismos que constituem o número (se você sentir necessidade, pode escrever o número ditado na lousa e o que deverá aparecer no visor da calculadora). Por exemplo: - Anotem na calculadora o número 4,29. Sem apagá-lo, pensem que teclas vocês deverão apertar para que apareça o número 4,09? Oriente os alunos que não digam a resposta em voz alta e que anotem as teclas que vão apertando para depois poder reconstituir o que fizeram. Enfatizem que não podem apagar o 4,29. Em seguida, dite um número parecido, por exemplo, 4,421 e, sem apagá-lo, transforme-o em 4,021. Proponha que discutam com a dupla o que será necessário fazer para que ocorra essa transformação. Oriente-os a combinarem quais ordens deverão dar para a calculadora antes de realizar as próximas operações. Pode ser os alunos, nas primeiras vezes, operem por ensaio e erro. Por exemplo, para transformar 4,29 em 4,09 primeiro tirarão o 2. Ao conferir no visor o resultado, constatam que o procedimento está errado, pois o número que aparecerá no visor será o 2,29, e não 4,09 como solicitado. Dessa forma, podem rever seu procedimento e tentar com outros números. Após cada situação é importante propor a discussão coletiva, perguntando como se deram conta que deveriam realizar esta operação. Mantenha o mesmo tipo de proposta do problema anterior, variando os números. Alterne a grandeza numérica e o lugar onde deverá aparecer o zero. Por exemplo: Anote na calculadora os números da primeira coluna (um por vez) e, sem apagá-lo, transforme-o no número da segunda coluna:

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        

Transforme 3,42 em 3,02 Transforme 43,2 em 40,2 Transforme 0,9354 em 0,9054 Transforme 34,5 em 4,5 Transforme 98,15 em 98,1 Transforme 9,268 em 9,068 Transforme 6,275 em 6,205 Transforme 740,3 em 700,3 Transforme 5,384 em 5,38

Circule pela sala e anote alguns comentários das crianças e formas utilizadas para resolver o problema para retomar em outro momento. 2ª ETAPA Proponha que os alunos façam aparecer no visor da calculadora os números listados abaixo, mas agora sem digitar o número 2. Oriente-os para anotar ao lado de cada número as teclas que digitou para obtê-lo. Em seguida, converse sobre o preenchimento da tabela, indicando o local onde devem anotar as teclas que utilizaram. Números 1,52 7,28 0,412 2,4

Teclas utilizadas 1 + 0,53 - 1= (por exemplo)

Faça isso para outros números, variando a cada proposta a tecla quebrada e os números ditados. 3ª ETAPA Proponha aos alunos o seguinte jogo1: Objetivo do jogo: chegar a um número maior ou igual a 2. Regras: - Cada aluno digita em sua calculadora um número decimal maior que 0 e menor que 1 com três algarismos depois da vírgula, os jogadores não devem mostrar os números ao outro jogador. Exemplo: Andréia digita 0,345 e Carlos 0,129. - Decide-se quem começa. - O jogador fala um algarismo ao oponente. Se o seu oponente tiver esse algarismo, “entrega”-o ao jogador anunciando seu valor posicional. Andréia pede: “Eu quero um 2” Carlos diz: “Você recebeu 2 centésimos” - O jogador soma esse valor ao seu número e o oponente subtrai esse mesmo valor. Andréia tem, então, 0,365 e Carlos 0,109. Jogo adaptado de Práticas Pedagógicas em Matemática e Ciências nos Anos Iniciais – Caderno do professor. Ministério da Educação; São Leopoldo: UNISINOS, Brasília, MEC, 2005. 1

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Lembre-se que em nenhum momento os alunos conhecerão o número do seu oponente. Assim sendo, o registro é essencial para o desenvolvimento do jogo. - Agora é a vez do outro jogador pedir um algarismo para somar ao seu número. Carlos pede: “Eu quero um 3” Andréia responde: “Você recebeu 3 décimos” Carlos fica com 0,409 e Andréia com 0,065. - Caso o oponente não tenha o algarismo pedido, o jogador perde a vez. Andréia pede: “Eu quero um 8” Como o número de Carlos não possui nenhum algarismo 8, Andréia passa a vez. - As rodadas se seguem até que algum jogador chegue a um número maior ou igual a 2 . Caso isso ocorra, esse jogador é o vencedor. Vamos supor que Andréia tenha 1,831 em uma determinada rodada e Carlos tenha 1,490. Andréia pede: “Eu quero um 4” Carlos responde: “Você recebeu 4 décimos” Carlos fica com 1,090 e Andréia com 2,231. O jogo acaba e Andréia ganha o jogo por ter ultrapassado o valor 2. - Caso um jogador chegue ao valor 0 ao “entregar” os números, o seu oponente vence o jogo. Vamos supor que Andréia tenha 0,030 em uma determinada rodada e Carlos tenha 0,881. Carlos pede: “Eu quero um 3” Andréia responde: “Você recebeu 3 centésimos” Carlos fica com 1,181 e Andréia com 0. O jogo acaba e Carlos é o vencedor, pois Andréia chegou ao valor 0. Observação: o jogador pode escolher inicialmente um número com todos os algarismos iguais; faz parte da estratégia do jogo escolher qual parte do número deseja-se ceder ao oponente. É interessante que os alunos registrem em um papel o número digitado e o movimento das rodadas para uma futura conferência. Como sugestão de registro o professor pode pedir que os alunos preencham a tabela a seguir enquanto jogam. Veja o registro das jogadas de Andréia e Carlos apresentadas como exemplo. Rodada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número inicial 0,345 0,065

Algarismo pedido 2 8

Valor recebido 2 centésimos -

Número obtido 0,365 0,065

Algarismo pedido 3

Valor cedido 3 décimos

Número obtido 0,065

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ANEXOS

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TIRAS DE FRAÇÕES

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BIBLIOGRAFIA

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Base Nacional Comum Curricular: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. - Brasília: MEC/SEF,2017. CENTURIÓN, M. Números e operações. São Paulo: Editora Scipione, 1994 COLL, C; Teberosky, A. Aprendendo matemática: conteúdos essenciais para o Ensino Fundamental de 1ª a 4ª série. São Paulo: Editora Ática, 1999. MIGUEL, A; MIORIM, M.A. O ensino de matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1987. PARRA, C; SAIZ, I (org). Didática da Matemática. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001. SMOLE, Katia C. S; MUNIZ, Cristiano A (org). A matemática em sala de aula: reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2013. SMOLE, K.C.S.; DINIZ, M.I. de S.; (orgs). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Editora Artmed, 2001. VAN de WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Editora Artmed, 2009.

46 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

APÊNDICE

GRANDEZAS E MEDIDAS O ensino da Matemática está organizado em unidades temáticas como nos orienta a Base Nacional Comum Curricular (BNCC, 2017). No ensino fundamental, as unidades temáticas definidas são Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística. Essa organização tem por objetivo contrapor a uma visão fragmentada da matemática e de seu ensino. Ao separar os conteúdos nas unidades temáticas estamos assumindo que cada bloco possui sua especificidade e merece uma atenção na organização do Ensino. Deseja-se que ao organizar o ensino dessa forma, podemos propiciar aos alunos uma visão integrada do conhecimento matemático, estabelecer relações entre conhecimentos e procedimentos matemáticos, relacionar umas com as outras diferentes representações de conceitos e procedimentos e permitir a aplicação da matemática a outras áreas do conhecimento. A unidade temática Grandezas e Medidas nos Anos Finais do Ensino Fundamental têm sua especificidade, descrita no texto da BNCC da seguinte maneira: No Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é a de que os alunos reconheçam comprimento, área, volume e abertura de ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas e que consigam resolver problemas envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de medida padronizadas mais usuais. Além disso, espera-se que estabeleçam e utilizem relações entre essas grandezas e entre elas e grandezas não geométricas, para estudar grandezas derivadas como densidade, velocidade, energia, potência, entre outras. Nessa fase da escolaridade, os alunos devem determinar expressões de cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos, e as de volumes de prismas e de cilindros. Outro ponto a ser destacado refere-se à introdução de medidas de capacidade de armazenamento de computadores como grandeza associada a demandas da sociedade moderna. Nesse caso, é importante destacar o fato de que os prefixos utilizados para byte (quilo, mega, giga) não estão associados ao sistema de numeração decimal, de base 10, pois um quilobyte, por exemplo, corresponde a 1024 bytes, e não a 1000 bytes. (BRASIL, 2007)

Os conteúdos relacionados à medida apresentam uma forte relação com os as de outras unidades temáticas. VAN DE WALLE lembra que apesar de majoritariamente associarmos grandezas e medidas à Geometria, seus conceitos estão intimamente relacionados às demais unidades temáticas. O autor ressalta essas relações:

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 Número e Operações – as atividades iniciais de medida são um contexto significativo para contar; a medida de objetos importantes no ambiente familiar conecta as ideias de número ao mundo real e amplia o senso numérico; o sistema métrico de medida é construído no Sistema de Numeração de base dez; as necessidades de aumentar a precisão leva às partes fracionárias das unidades; o uso de referenciais na estimativa de medidas promove o pensamento multiplicativo.  Álgebra: as funções são usadas para estudar e descrever as relações entre vários fenômenos, especialmente atributos mensuráveis; as próprias fórmulas de medidas são funções; as medidas fornecem dados dos quais podem ser derivadas generalizações e relações funcionais; fornecem representações geométricas para o ensino de álgebra.  Dados: estatísticas e gráficos são usados para descrever nosso mundo e nos ajudam a responder questões que formulamos sobre ele; geralmente, essa descrição é feita em termos de medidas (2009, p. 404 e 405) O estudo dos processos de medição, seus instrumentos e unidades de medida pode ser realizado por meio de um viés histórico. O que é medir? Medir nada mais é do que comparar grandezas. Por grandeza entendemos o atributo de um objeto que pode ser mensurado. Para VAN DE WALLE, “Uma medida é um número que indica uma comparação entre o atributo do objeto (ou situação ou evento) que está sendo medido e o mesmo atributo de uma determinada unidade de medida. O número de unidades é a medida do objeto. (...) para a maioria dos atributos que são medidos nas escolas, podemos dizer que medir significa que o atributo que está sendo medido é “preenchido” ou “coberto” ou “emparelhado” com uma unidade de medida com o mesmo atributo.” (VAN DE WALLE , 2009, p .405)

Assim, medida nada mais é do que um número associado a uma unidade de medida. Isto é, só se pode medir algo ou alguma coisa comparando-a com outra coisa de mesma natureza que será a unidade de medida. Alguns estudos afirmam que, para medir, o aluno precisa saber: decidir qual atributo específico do objeto (ou fenômeno deve ser medido), escolher uma unidade de medida que tenha aquele atributo e seja adequada e comparar e utilizar as unidades de medida (VAN DE WALLE, 2009, p 406). Isso significa que o processo de medição contempla a escolha do objeto que será utilizado como unidade de media, verificar quantas vezes a unidade de medida cabe no objeto a ser medido e registrar com um número o resultado da medição.

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Vale ressaltar que medir significativamente e estimar medidas dependem de uma familiaridade pessoal com a unidade de medida utilizada. (VAN DE WALLE, 2009 pág. 404). Assim, é importante propiciar aos alunos oportunidades de realizarem medições e estimativas para todas as grandezas estudadas e em todas as séries. Mas afinal, o que faz parte do ensino dessa unidade temática? Neste bloco são tratadas diferentes grandezas, dentre elas as simples que podem ser mensuradas utilizando modelos físicos das unidades para serem comparados (comprimento, área, massa, tempo, capacidade, volume, ângulo), incluindo as compostas que são determinadas pela razão ou produto de duas como outras (velocidade, energia elétrica, densidade demográfica etc.). Faz parte ainda do ensino a obtenção de algumas medidas não diretamente acessíveis, que envolvem, por exemplo, conceitos e procedimentos da Geometria e da Física (por exemplo a temperatura em que comparamos o estado de agitação das moléculas do corpo e do mercúrio do termômetro). As orientações incluem ainda o estudo de algumas unidades da informática como o quilobyte e o megabytes. (BRASIL, 2017) Para isso, é necessário que os alunos tenham oportunidades de perceber a medição como uma comparação e para isso compreender a grandeza que precisam medir. As figuras e ilustrações em livros didáticos não são suficientes para que o aluno estabeleça todas essas relações, experiências manipulativas devem ser planejadas focando a construção do conceito de medida e o processo de medição. A BNCC destaca a necessidade do trabalho com medidas centrar-se fortemente na análise de situações práticas que levem o aluno a aprimorar o sentido real das medidas. (BRASIL, 2017). Esperamos ainda que os alunos sejam capazes de usar modelos de unidades apropriados para essa comparação e de construir e utilizar instrumentos de medida na intenção de compreenderem dispositivos para medir. VAN DE WALLE nos lembra que os instrumentos de medida são dispositivos que substituem a necessidade por unidades de medida reais e que é importante compreender como os instrumentos de medida funcionam para que eles possam ser usados correta e significativamente (VAN DE WALLE, 2009, pág. 404). O que é importante saber sobre unidades de medidas? É comum associarmos medidas à conversões. Muitos de nós fizemos diversas transformações de medidas utilizando tabelas ou esquemas sem compreender ou ver sentido no que fazíamos. Parece óbvio que ensinar fórmulas e técnicas de conversões não garantirão uma compreensão das unidades de medida, mas como fazer com que os alunos entendam a relação entre elas? As unidades padrão devem ser exploradas a fim dos alunos desenvolverem com elas uma familiaridade e aprenderem as relações apropriadas entre elas. Assim, sugere-se um cuidado no ensino para que os alunos construam essas ideias e para isso é importante pensar em um ensino que contemple desde a exploração de unidades não padronizadas já que elas:

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 tornam mais fácil se concentrar diretamente sobre o atributo medido;  podem evitar objetivos contraditórios nas mesmas lições iniciais;  fornecem uma boa fundamentação para as unidades padrões. (VAN DE WALLE, 2009, p. 407 e 408) Isso significa que ao medir comprimento utilizando clipes, área com cartas de baralho ou volume com copos descartáveis focamos o atributo que estamos medindo ao invés dos instrumentos e unidades de medida. Uma vez que um conceito de medida e o processo de medição esteja razoavelmente bem desenvolvido é o momento de investigar as unidades padrão que Vale destacar ainda que o trabalho com as relações entre as unidades padronizadas de algumas grandezas deve incluir um viés histórico já que suas razões têm origem na resolução de problemas de medidas de povos antigos. Lembramos ainda que algumas grandezas não se organizam como o sistema de numeração decimal, como ângulo, tempo, velocidade e informação. Vale destacar que é fundamental planejar explorações envolvendo unidades de medida padronizadas e não padronizadas de diferentes grandezas. Qual é o papel da estimativa? Um fator importante do trabalho com medidas é que ele permite de forma natural que os alunos desenvolvam a habilidade de estimar. Além de ser a base para orientar a avaliação sobre uma medição feita, na impossibilidade de uma medição exata é a estimativa que fornece a resposta. Além disso, estimar medidas e desenvolver referências pessoais para as unidades de medida comumente usadas ajuda os alunos a aumentar sua familiaridade com as unidades e ajuda no uso significativo de medida. VAN DE WALLE, amplia as justificativas para o trabalho com as estimativas já que essas:  ajudam os alunos a focar o atributo medido e o processo de medida;  fornecem motivação intrínseca para as atividades de medida;  ajudam a desenvolver familiaridade com unidades padrão;  promovem o raciocínio multiplicativo ao usar um referencial para obtê-la. (2009, p. 408) Vale ressaltar que é importante organizar um trabalho com estimativa para diferentes grandezas.

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Como explorar os instrumentos de medida? O ensino de Grandezas e Medidas inclui ainda a discussão sobre qual instrumento é mais adequado para medir os atributos de objetos. A primeira meta em relação aos instrumentos é que os alunos os reconheçam como dispositivos que substituem necessidade de comparar grandezas diretamente. Desejamos ainda que os alunos saibam escolher aquele mais adequado para medir um atributo de um objeto de acordo com suas características. Por fim, é importante que percebam que medidas incluem erros e que a cada unidade menor ou nova subdivisão apresentada no instrumento produz um maior grau de precisão.

Referências bibliográficas: BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Base Nacional Comum Curricular: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. - Brasília: MEC/SEF,2017. VAN DE WALLE, J. A. Matemática no Ensino Fundamental – Formação de professores e aplicação em sala de aula; tradução Paulo Henrique Colonese – 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

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MEDINDO A CLASSE

Série indicada: 

6º ano

Organização:  Atividade em grupos de até 4 alunos Materiais:  Barbante;  2 folhas de papel quadriculadas por grupo;  Canetas hidrográficas.

Objetivos:  Realizar medições indiretas utilizando unidades de medidas não padronizadas. 

Proporcionar condições para introdução do metro como unidade de medida padronizada de comprimento.

1ª ETAPA Organize a sala em grupos. Proponha que os alunos se organizem em ordem de tamanho. Essa proposta tem o objetivo de avaliarmos a composição do grupo de alunos medidores que farão algumas medições na sala. É possível ainda discutir com os alunos os tipos de medição que realizaram.

Conhecimento sempre é bom Medir é comparar. Para saber a medida do comprimento da altura de alguém utilizando como unidade de medida o centímetro estamos tentando descobrir quantas vezes essa unidade de medida cabe no comprimento da altura, ou seja, estamos comparando o comprimento dos dois “objetos”. Ao investigar quem é o mais alto do grupo não estamos deixando de fazer uma comparação Muitas vezes em uma medição a comparação pode ser feita visualmente, como quando de imediato percebemos quem é o mais alto sem que precisemos necessariamente aproximar as pessoas duas a duas. A olho nu conseguimos comparar as dimensões envolvidas e decidir qual é a maior. Entretanto, ao precisar comparar a altura de duas pessoas parecidas dificilmente o fizemos visualmente. Provavelmente aproximamos as duas pessoas para descobrir que o comprimento da altura de uma “cabe” no comprimento da altura da outra e que, portanto, essa última pessoa é maior. Esse processo é chamado de medição direta. Entretanto, nem sempre podemos aproximar duas pessoas para comprar suas alturas. Para saber, por exemplo, se uma amiga do trabalho é mais baixa do que aquele vizinho possivelmente não podemos aproximar dois estranhos para realizar a medição direta. O que fazemos é medir o comprimento da altura de um e de outro, e calcular a área da parede, anotar o resultado dessa medição comparar os resultados de cada medição. Esse processo é chamado de medição indireta: para comparar a medida de dois objetos usamos um terceiro objeto (no caso, os cm).

Escolha em cada grupo um medidor. Selecione alunos altos e baixos. Proponha que cada aluno medidor meça a sala de aula utilizando o corpo e que o grupo represente o resultado da medição em um papel quadriculado de forma que cada lado da quadrícula represente uma unidade de medida. Nesse desenho podem incluir a porta, as janelas, a lousa. Exponha o resultado e converse com eles. Provavelmente aparecerão registros bem diferentes tendo em vista que não escolhemos o instrumento e que os alunos tinham alturas muito distintas. 52 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

2ª ETAPA Questione: Como poderíamos resolver esse problema? Nossa intenção é que percebam a necessidade da padronização. Eles podem escolher nos grupos uma pessoa com determinada altura ou número de sapato, por exemplo. Proponha que meçam novamente e registrem na folha de papel quadriculado. Provavelmente os desenhos estarão bem mais próximos do que anteriormente. Converse com os alunos sobre a necessidade de uma padronização mais cuidadosa e rigorosa.

3ª ETAPA Proponha à classe que cada aluno pegue um pedaço de barbante com medida de um metro, utilizando o "metro" da costureira ou instrumento similar. Peça a cada dupla que estime quantos metros têm as dimensões da classe e as meçam usando o barbante. Diga que o resultado da medição deve ser registrado. É muito provável que as medidas não sejam em número inteiro de metros; nesse caso, peça que tentem utilizar fração para representar o pedaço do inteiro No papel quadriculado, solicite que cada dupla faça uma planta da sala de aula, em que cada lado do quadriculado corresponde a um metro. Esses desenhos devem ser expostos entre eles, para comparar uns com os outros (neste caso, como usaram a mesma unidade de medida, as plantas devem ser iguais). Com a ajuda deles, faça na lousa uma planta grande e discuta a localização de portas, janelas e lousa. Proponha em seguida que, em casa, cada um faça uma planta semelhante de seu quarto de dormir, marcando o lugar da porta e da janela.

MEDIDA DE SUPERFÍCIE Com relação ao conceito de área, é importante que o aluno perceba que o processo de medição é o mesmo utilizado para comprimentos: escolhemos uma unidade, comparamos esta unidade com o objeto a ser medido e expressamos a medida através de um número. A ênfase está na formação do conceito de área e não nas fórmulas de cálculo. Esperamos que os alunos sejam capazes de utilizar adequadamente uma unidade e determinar o número de unidades por contagem direta, pelo uso de um instrumento ou usando uma fórmula. Os objetivos desse tema são: 

construção do conceito de área;



mostrar a relação das medidas com os números fracionários e decimais;



mostrar a relação das medidas de área com a operação de multiplicação.

53 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

RECOBRINDO SUPERFÍCIES Objetivos: Série indicada: 

6º e 7º anos



medida de superfície.

Organização:  Atividade em quartetos Materiais:  Tesouras;  1 cartolina nas dimensões 40cm x 60 cm;  1 cartolina nas dimensões 50 cm x 50 cm;  Cartas de baralho;  Pedaços de folhas;  1 folha A4 por grupo;  1 Ficha de grupo – RECOBRINDO SUPERFÍCIES I e II por grupo;  1 cópia das Fichas de grupo – RÉGUA A, RÉGUA B, RÉGUA C e RÉGUA D impressas em transparência por grupo.

Compreender o conceito de área como



Compreender como e com o que medir uma superfície.



Realizar medida indireta de superfície usando unidades não convencionais.



Representar a medida de superfície usando um número.



Reconhecer que o quadrado é a figura geométrica mais adequada para a unidade de medida de superfície.

1ª ETAPA Prepare as cartolinas nas dimensões descritas nos materiais e fixe-as no quadro. Questione o grupo: qual superfície é maior? Temos duas superfícies de áreas muito próximas, 240 cm² e 250 cm², que não podem ser comparadas diretamente por estarem fixadas. Incentive os alunos a descobrir uma estratégia para comparar as superfícies. A intenção é que percebam que é necessária uma terceira superfície para ser comparada às outras duas, isso é, uma medição indireta. Como não é possível mover uma das superfícies até se sobrepor à outra, é preciso que os alunos tenham à mão objetos como folhas de papel, cartas de baralho, cartões, etc., que possam ser usados como unidade para comparar as duas superfícies. É possível que se obtenha apenas uma indicação de qual das duas superfícies é maior, porque dificilmente as unidades escolhidas recobrirão exatamente as superfícies. Este é o momento em que é possível organizar as ideias envolvidas nesta e na atividade anterior, o jogo. Nos dois casos, a questão envolvida é a medida de superfícies, que chamamos de área. No jogo, o pequeno quadrado serve para determinar a área de cada peça e a do tabuleiro e, em cada jogada, as áreas das partes ocupada e não ocupada pelas peças. Nesta segunda atividade, não estava evidente qual unidade seria usada para comparar as duas superfícies, sendo necessária uma escolha a partir dos materiais disponíveis. Dependendo da unidade empregada, obtêm-se diferentes valores numéricos para indicar quantas unidades cabem em cada superfície. 54 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

2ª ETAPA Entregue aos alunos a FICHA DE GRUPO – RECOBRINDO SUPERFÍCIES e peça que realizem a primeira proposta, descobrir quantas figuras de cada tipo precisam para recobrir a superfície inteira da folha A4. Circule entre os grupos enquanto realizam a atividade para verificar suas hipóteses e conclusões. Peça que os alunos socializem as medidas explicando como as obtiveram. Converse com os alunos sobre as medições realizadas. Nossa intenção é que percebam que o círculo não é adequado para recobrir uma superfície plana porque “sobra”. O triângulo e o retângulo podem ser usados como medidas, entretanto recobrir com o quadrado é mais simples e prático quando não temos a quantidade de figuras suficiente para recobrir a folha inteira. Isso acontece porque poderemos multiplicar a quantidade dos lados para verificar quantos quadrados serão necessários. Aproveite para explorar o raciocínio proporcional envolvido nas medições do triângulo e do retângulo. Ambas apresentam metade da superfície do quadrado, qual a relação entre essa informação e as áreas obtidas? É possível ainda discutir o fato de duas figuras diferentes terem a mesma área.

3ª ETAPA Em uma outra aula, entregue a cada grupo uma cópia de cada uma cópia das FICHAS DE GRUPO – RECOBRINDO SUPERFÍCIES II, RÉGUA A, B, C e D. Realize uma leitura coletiva do texto inscrito no box e retome com eles a atividade feita na aula anterior. Diga que eles medirão a superfície de algumas superfícies utilizando quadrados. Nossa intenção é que percebam que alguns quadrados funcionam melhor como unidade de medidas do que outros. Esse é o momento de retomar a conversa sobre padrão realizada com a grandeza comprimento. Esperamos que os alunos percebam que a régua C é a mais adequada para as figuras da ficha.

55 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS – RECOBRINDO SUPERFÍCIES I Recorte as figuras abaixo que estão no anexo e descubra quantas figuras de cada tipo você precisaria para recobrir uma folha de papel.

Anote suas descobertas em relação à quantidade de figuras necessárias para recobrir a folha de papel.

56 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS – RECOBRINDO SUPERFÍCIES II Vamos ler! As figuras utilizadas para medições da folha de papel são chamadas de unidades de medidas de superfície. Durante muito tempo, os homens experimentaram diferentes unidades para medir superfícies, percebendo, assim como você, que o quadrado é a unidade mais simples e prática para realizar medições em superfície. Tanto assim, que acabaram por adotar quadrados de diversos tamanhos como unidade padrão de medida de superfície. Utilize as folhas quadriculadas, que chamaremos de réguas, para medir a área dos seguintes retângulos. Anote ao lado as medidas obtidas com as quatro réguas.

57 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS – RÉGUA A

58 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS –

RÉGUA B

59 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS – RÉGUA C

60 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DE GRUPOS – RÉGUA D

61 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE Objetivos: Série indicada: 

6º e 7º anos



medida de superfície.

Organização:  Atividade em duplas Materiais:  Canetas hidrográficas;  Tesouras;  Uma ficha do aluno – UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE por aluno.

Compreender o conceito de área como



Realizar medida indireta de superfície usando unidade convencional, no caso o cm².



Representar a medida de superfície usando um número.



Desenhar figuras com medidas de áreas estabelecidas.

1ª ETAPA Entregue a cada um a FICHA DO ALUNO – UNIDADE DE MEDIDA SOBRE O CENTÍMETRO QUADRADO e peça que os alunos leiam a ficha individualmente. Proponha que um ou dois alunos contem o que entenderam do texto. Incentive-os a relacionar a leitura às atividades que vivenciaram sobre área. Nossa intenção é que percebam a importância de adotarmos uma unidade de medida padrão para a medição de superfícies, que medir é comparar duas grandezas de mesma natureza e que para medir a área de uma figura é mais adequado usar uma unidade padrão, que no caso é o cm². Se necessário, retome a atividade anterior em que apenas a “régua” de 1cm² pode ser usada para medir a superfície de todas as figuras sem maiores problemas. 2ª ETAPA Em seguida, peça que resolvam as propostas de medição e construção de figuras. Não esqueça de socializar diferentes respostas para o terceiro exercício, ao obter diferentes figuras para a mesma área, é possível discutir o conceito de medida de superfície.

62 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE Já vimos que o quadrado é a figura mais adequada para medirmos superfície. É necessário, entretanto, definir um quadrado padrão para medir e comparar áreas de figuras planas. Veja: Este é o centímetro que usamos para medir comprimentos: 1cm 1cm² Este é o centímetro quadrado que usamos para medir superfície ou área: O centímetro mede comprimento, por isso ele é uma linha reta. O centímetro quadrado mede superfície, por isso, ele é área de um quadrado de 1 cm de lado. 1) Considere o pequeno quadrado, de lado igual a 1 cm, como unidade para calcular a área de cada figura. Calcule também o perímetro de cada uma delas em centímetros.

63 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

2) Com o auxílio da régua meça o perímetro em cm e a área em cm² de cada uma das figuras.

3) Use a malha a seguir e desenhe polígonos com as áreas indicadas: a) 4 cm² b) 12 cm² c) 20 cm² d) 7,5 cm² e) 10,5 cm²

64 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

MASSA E CAPACIDADE Nessa sequência de atividades vamos ampliar o trabalho iniciado com as medidas de comprimento, incluindo os conceitos de massa e capacidade. A ênfase estará na formação dos conceitos dessas duas grandezas e não nas mudanças de unidades como é feito tradicionalmente. Na vida real e nos problemas da matemática e das ciências o aluno será solicitado a trabalhar com algumas unidades de medida mais comuns, mas com compreensão do que se mede e como se mede. A atividade inicial depende muito de sua criatividade e pode gerar um projeto bem interessante junto a seus alunos, resgatando junto às famílias as receitas da culinária regional e todas as influências culturais que cercam a arte da cozinha de cada recanto de nosso país. NOSSAS RECEITAS Atividade coletiva e em duplas. Recursos: Anexo 2, embalagens diversas e copos medidores. O objetivo aqui é que os alunos analisem em contextos próximos a eles o uso de medidas de massa e capacidade com uma multiplicidade de unidades não convencionais, como xícaras, copos, pitadas, punhados, colheres, mão cheia... A partir da problematização das receitas é feita a análise do que se mede em cada caso: massa ou capacidade, e a necessidade da padronização das unidades e, consequentemente, a investigação dos instrumentos convencionais como balanças e copos medidores. 1ª parte Inicialmente, proponha aos alunos trazerem para a classe alguma receita de bolo ou pão que a família deles conheça ou faça. Escolha algumas delas e analise com os alunos como são descritas as medidas dos ingredientes. Faça com eles uma lista de unidades de medida de massa e de capacidade e questione qual é a diferença. 

Por que algumas vezes as medidas aparecem em xícaras, colheres ou ainda em gramas ou partes de um quilo e para outros ingredientes são usados copos, ou mililitros ou frações de um litro?

Registre as hipóteses iniciais de seus alunos e peça que investiguem em suas casas quais produtos de alimentação e de higiene apresentam nas embalagens medidas em gramas ou quilos e em litros ou mililitros.

65 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Finais do Ensino Fundamental

2ª parte No quadro ou em uma folha grande de papel faça uma lista com os produtos e as medidas trazidas pelos seus alunos, separando os que são medidos em gramas e quilos daqueles que são medidos em litros e mililitros. Pergunte se é possível decidir quando se usa uma ou outra dessas unidades. Espera-se que os alunos percebam que materiais sólidos como farinha, açúcar, sabão, entre outros são medidos pela sua massa, ou seja, pela sua quantidade de matéria. Enquanto que os líquidos em geral, como refrigerantes, leite, detergente, são medidos pela capacidade das embalagens que os contém. Volte às receitas trazidas pelos alunos e observe com eles que os ingredientes sólidos são medidos em xícaras de chá porque esse utensílio doméstico quando cheio corresponde a aproximadamente 200 gramas ou 200 mililitros, mas que essa medida é aproximada, o que gera muitas vezes que a mesma receita quando repetida com outra xícara saia diferente. Discuta se eles conhecem como medir massa e capacidades, muito provavelmente seus alunos devem se referir às balanças, mas podem desconhecer medidores de capacidade. Se for possível providencie algum copo medidor ou algumas garrafas com diferentes capacidades para que eles tenham ideia do quanto corresponde a um litro e outras partes dessa unidade de medida. Uma seringa comum para injeção ou copos medidores de remédios, como xaropes, podem dar aos alunos a percepção de quanto corresponde a um mililitro. Em seguida, discuta com os alunos as relações entre as unidades principais de massa e de capacidade; se for preciso utilize um livro didático que apresente essas relações. O importante é estabelecer que: 1 quilograma = 1000 gramas 1 kg = 1000 g 1 tonelada = 1000 quilos 1 T = 1000 kg 1 litro = 1000 mililitros 1 L = 1000 ml 3ª parte Proponha aos alunos que em duplas realizem as atividades propostas na ficha (Anexo 2). Observe seus alunos enquanto trabalham, registre como pensam para responder às questões, especialmente a questão 2 e, depois, no coletivo, peça que alguns deles exponham à classe sua forma de pensar. Registre as dificuldades e intervenha com perguntas que os auxilie a avançar por si mesmos. No exercício 1 há várias respostas possíveis com os pesos que estão disponíveis nas atividades. Algumas delas são: 2 kg e 160 g = 1 kg, 1 kg , 100 g, 50 g e 10 g = 1 kg, 2 pesos de 500 g, 3 pesos de 50 g e 10 g = 1kg, 1 peso de 500 g, 3 pesos de 200 g e 10 g.

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Já o exercício 2, além da comparação de massas, apresenta ao aluno a balança que será usada como recurso para as equações, no Volume 3 desse Projeto. As respostas das massas dos pacotes são: A = 900 g; B = 325 g; C = 420 g. Observe com seus alunos o uso frequente da palavra peso no lugar de massa de um objeto, confundindo os conceitos de peso com massa. Converse com eles sobre a diferença entre esses dois conceitos para que saibam em que momentos formais devem usar a palavra massa, enquanto em seu dia a dia convivem com a linguagem informal, mais compreensível a todos. No exercício 3, se for preciso faça algumas experimentações, enchendo com um litro de água copos com diferentes capacidades, de modo que os alunos possam concluir que um litro enche mais copos quanto menor for a capacidade de cada um deles.

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ANEXO 2 NOSSAS RECEITAS 1. Encontre 3 modos diferentes de colocar os pesos no prato da direita para equilibrar o gatinho que pesa 2160 gramas.

2. As três balanças estão equilibradas. Descubra a massa de cada um dos pacotes A, B e C.

1200 g

o A tem massa _______ o B tem massa _____ o C tem massa ______ 3. Complete as frases para que elas fiquem corretas. a. b. c. d.

Um litro de leite pode encher _____ copos com 250 ml cada um. Um litro de leite pode encher _____ copos com 200 ml cada um. Um litro de leite enche 8 pequenos copos, cada um com capacidade de ____ ml Quanto menor for a capacidade de um copo, ________copos podem ser enchidos com 1L de leite. e. Para fazer uma receita de gelatina é preciso 250 ml de água fria e 250 ml de água quente. Para fazer 3 dessas receitas vou precisar de ____ litro e ____ml de água ao todo.

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