VOLUME VII
MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
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ORGANIZAÇÃO DO CADERNO Grandezas, medidas e frações Uma proposta para o ensino de frações Uma diferenciação importante: o inteiro Equivalência de frações e as operações Conhecimento sempre é bom Frações do círculo: uma conexão com a literatura infantil Fazendo conexões Matemática e literatura infantil Registrando as aprendizagens O metro Sequência de atividades: mosaico O decímetro e o milímetro Anexos Apêndice – Grandezas e medidas
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FRAÇÕES E DECIMAIS
Ao final dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, 4º ou 5º ano, inicia-se a ampliação dos números estudados pelos alunos para além dos Números Naturais. Os números racionais, em suas formas fracionária e decimal, são apresentados e as primeiras noções sobre frações ganham espaço no currículo de matemática desses anos escolares. São muitas as pesquisas que mostram a dificuldade dos alunos em aprender esses conteúdos, especialmente as frações. As avaliações nacionais, como as do SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica, desenvolvido pelo INEP/MEC (2001, 2003), apontam também dificuldades dos alunos com os números fracionários. Nunes e Bryant (1997, 9,91) afirmam que: Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e ainda não têm. Elas usam os termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas fracionários; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.
O ensino tem sido responsabilizado por esse fracasso, especialmente por se ater às representações das frações na forma de retângulos e círculos e em textos didáticos que associam a escrita da fração aos desenhos, sem qualquer contexto de significados para as crianças. Os materiais manipulativos também são questionados pelos pesquisadores, uma vez que são formas artificiais de representar frações que muitas vezes se restringem à manipulação desvinculada de contextos ou situações que façam sentido para a criança. De acordo com Bertoni (2008, p. 210), com relação ao ensino centrado nos textos didáticos e em materiais manipulativos:
Nesse caso, a didática produz um anteparo antes de o conceito de quantificador fracionário ser formado, propondo que o aluno entenda uma representação simnbólçica antes de ele saber o que está sendo representado, ou para que aquela representação servirá. O desenvolvimento que dá sequência a esses modelos, na aprendizagem usual dos números fracionários, envolve relações e operações entre eles, os quais permanecem centrados nos materiais e figuras, criando um universo próprio para a existência das fraçõs, desvinculado da realidade.
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Além da forma como o assunto é abordado tradicionalmente na escola, outras duas razões podem ser citadas como complicadores para a compreensão das frações pelos alunos. Uma delas é que há rapidamente uma ênfase excessiva na nomenclatura – introduzindo-se termos como numerador, denominador, frações equivalentes, frações próprias e impróprias – antes da compreensão do significado e dos usos do número fracionário. O segundo motivo é a inadequação do tempo de ensino e aprendizagem dedicado aos racionais na escola. Em geral, esse tema se concentra nos meses finais do ano, o que impede o aluno de pensar sobre eles. Passa-se um ano inteiro até que os alunos retomem novamente as noções e os conceitos referentes aos racionais. E como o tempo de ensinar não é o mesmo tempo da aprendizagem dos alunos, esse intervalo gera praticamente a necessidade de um recomeço total do tema por parte dos alunos e do professor. Uma proposta para o ensino de frações
Considerando os diversos fatores que têm gerado dificuldades na aprendizagem de frações, muitos pesquisadores têm investigado e atuado junto a professores e alunos no sentido de elaborar propostas eficientes para o ensino desse tema. As orientações que seguem são fruto de nossa experiência junto a professores e seus alunos e tiveram como base as diversas pesquisas realizadas e comprovadas como bons caminhos para a aprendizagem. Para começar, o ensino dos números racionais deve ser planejado e distribuído ao longo do ano inteiro, a partir do 4º ano do Ensino Fundamental. Respeitar o tempo de aprendizagem é a justificativa para essa opção. Assim, os alunos terão também tempo para vivenciar situações mais realistas sobre o emprego das frações em situações próximas e significativas. No que diz respeito à nomenclatura excessiva, apesar de acreditarmos que a sala de aula deva ser rica em termos e expressões matemáticas, isso deve ser feito desde que os termos da linguagem matemática façam sentido para quem aprende. Aprender termos e usá-los não pode tomar o tempo da construção do conceito de fração propriamente dito. Por isso, a nomenclatura referente às frações e aos números decimais deve ser apresentada ao aluno à medida que se fizer necessária para a boa comunicação e para representar quantidades fracionárias. A tradicional classificação de frações não tem motivo para ser feita nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, uma vez que não tem utilidade para continuar aprendendo matemática e não responde a qualquer situação problema importante
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para o aluno desses anos escolares. Quanto à forma de ensino, é preciso conhecer os principais
FRAÇÃO
significados que a fração representa ao se iniciar a aprendizagem desse conceito.
Fração como parte de um todo
Fração como resultado de uma divisão Fração como razão
A fração como parte de um todo é comumente apresentada usando-se inicialmente representações contínuas, com exemplos como bolos, pizzas, barras de chocolate, para depois apresentar a fração como parte de um todo discreto, usando como exemplos balas, bolinhas, brinquedos, etc. Aqui são construídas frações menores do que o inteiro (o todo que foi dividido em partes iguais. Assim temos:
Nesses contextos, são naturais as frações menores que um inteiro. Para dar algum significado às frações maiores do que 1, é preciso trabalhar a segunda ideia relativa às frações: a fração como resultado da divisão de dois inteiros em partes iguais, como por exemplo:
Dividir uma folha de papel entre duas pessoas
Dividir seis biscoitos entre quatro crianças
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Uma possibilidade é dar um biscoito a cada criança, partir os dois biscoitos que sobram ao meio e dar uma metade para cada criança. Nesse caso, podemos representar numericamente por:
Outra solução é dividir cada biscoito em 4 partes iguais onde cada criança recebe uma parte de cada biscoito:
A fração como razão de comparação entre duas grandezas raramente é trabalhada antes do 6º ano. Mas seu significado deve ser conhecido pelo professor. Quando dizemos que 2 entre 5 alunos de uma escola preferem as aulas de Educação Física, estamos comparando duas grandezas: Todos os alunos da escola e os alunos que preferem as aulas de Educação Física. Assim, podemos dizer que = 2 5
dos alunos dessa escola preferem Educação Física. Nesse caso, a fração é o resultado da
comparação. Observe que, como razão, o sentido da fração é bem distinto dos dois outros anteriormente apresentados. A valorização excessiva de uma das ideias em relação às outras, bem como em relação à natureza do todo (discreto e contínuo) e a limitação de modelos usados para explorar o tema pode gerar nos alunos dificuldades de percepção do sentido da representação fracionária dos números racionais. Há ainda, para alguns pesquisadores, outra ideia do conceito de fração distinta do conceito parte todo. Nos casos em que se deseja saber o valor de uma fração de um número, a fração é denominada como um operador, uma vez que ela age sobre o número para gerar um valor resultante 2
dessa ação. Vejamos o exemplo da fração 3: 6 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Uma diferenciação importante: o inteiro Embora o conceito de fração seja único, ele assume aspectos diferentes quando aplicados a todos contínuos ou a todos discretos. Quando aplicamos o conceito de fração para todos discretos (fração de quantidade), a ideia é pegar todos os elementos do grupo que será fracionado e fazer uma divisão em grupos de unidades com igual quantidade de elementos, sem que haja quebra dos elementos em cada grupo. Ou seja, podemos dividir 10 balas entre 2 pessoas e entre 5 pessoas. Quando aplicamos o conceito de fração a todos contínuos, a ideia é a de que se tem um todo, visualmente unitário, que ao ser subdividido, as partes obtidas devem ter a mesma medida. Por exemplo, cortar uma pizza em dois pedaços ou um doce em seis ou oito pedaços, etc. É interessante observar que a ação de fracionar ou repartir fica diferente quando consideramos a natureza daquilo que se está fracionando. No caso de todos discretos, a repartição se dá por contagem de unidade e são sempre finitas. No caso de todos contínuos, a repartição se dá por composição em partes com a mesma medida, sendo as possibilidades sempre infinitas. Para perceber essas questões, os alunos precisam vivenciar situações com os diferentes significados da fração, bem como seus usos. Em ambos os casos, a ideia de fração está relacionada ao ato de dividir o todo em partes exatamente iguais, de modo que não haja sobra e considerar uma ou mais partes como frações desse todo. É exatamente por isso que as possibilidades de frações em todos discretos são sempre finitas, pois com 18 ovos não é possível considerar, por exemplo, frações como
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2
ou 5 desses ovos, já que não
podemos dividir igualmente 18 ovos em 8 ou 5 grupos sem que sobrem ovos. No caso de quantidades contínuas, as possibilidades de frações são sempre finitas, uma vez que podemos cortar o todo em quantas partes iguais quisermos sem que haja resto, ou seja, no exemplo do doce, podemos ter as mais variadas frações do doce.
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Outro aspecto importante a ser considerado é que tradicionalmente as frações são abordadas antes dos números decimais com um enfoque inicial em apenas uma de suas ideias (parte do todo) e com quase nenhuma relação com as medidas, o que é um contrassenso, uma vez que, historicamente, foram as medidas que deram origem às frações. Além disso, as frações de todos contínuos estão estritamente relacionadas a uma medição. Logo, o contexto das medidas pode dar sentido ao estudo das frações. Resumindo, toda essa discussão traz algumas consequências para o ensino de frações. Para construir o conceito de fração, é preciso que os alunos vivenciem muitas situações que envolvam modelos diferentes que representem o inteiro e que desde cedo analisem os significados que a fração pode ter, bem como seus usos. Receitas, artigos de jornais e revistas, situações cotidianas de divisão de materiais e de medições são contextos naturais nos quais os alunos podem pensar sobre a natureza do todo; no processo de resolução dos problemas, eles têm mais chances de compreender frações como novos números que respondem a questões que não têm solução apenas usando-se os números naturais.
Conhecer um campo numérico envolve vários aspectos. Compreender o significado de um conjunto de números certamente requer a construção do conceito desses números, como é o caso das frações, mas espera-se que, para cada campo numérico, os alunos saibam ler e escrever esses números, bem como compará-los e operar com eles. Assim, é natural que o ensino das frações contemple também a leitura, a escrita e a comparação desses números, incluindo as operações básicas entre frações. No entanto, usualmente as operações são apresentadas aos alunos antes mesmo da compreensão dos significados das frações. É preciso garantir que antes de operar com esses números os alunos tenham bem consolidada a construção do conceito e dos significados das frações. Situações que solicitam a comparação e a operação com frações antes da formalização dos algoritmos permitem ao aluno desenvolver raciocínios próprios e procedimentos não usuais que auxiliam a compreensão do conceito de fração. Ou seja, podemos propor aos alunos problemas como este:
Mariana pegou todas as maçãs de um cesto e cortou algumas, como está na figura abaixo:
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Sabendo que a figura metade de uma maçã e que a figura
representa uma maçã inteira, que a figura
representa a
representa a quarta parte de uma maçã, qual o total de
maçãs que Mariana pegou no cesto? Aqui, em um processo de contagem estendida a não inteiros, naturalmente o aluno faz adições de frações e multiplicações de frações por inteiros. Mesmo que apenas a resposta seja obtida pelo aluno (no caso, 4 maçãs), para obtê-la foi preciso adicionar metades e quartos até formar inteiros e empregar a noção de equivalência com o inteiro. Isso pode ser sistematizado assim:
Este simples exemplo mostra que não é preciso ter os algoritmos e técnicas para pensar sobre as operações com frações e que, ao pensar sobre como operar com frações, os conceitos de fração e equivalência se desenvolvem e se aperfeiçoam. Essa é a meta do ensino de frações nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, e não as operações e técnicas em si mesmas, roubando o tempo para a formação do conceito de fração. As receitas, ao serem duplicadas ou triplicadas para servir a mais pessoas, são contextos interessantes para que os alunos pensem sobre adição, multiplicação de frações por inteiros e equivalência. Os materiais manipulativos também são bons recursos para que os alunos encontrem procedimentos próprios para comparar e operar com frações. A multiplicidade de situações problema e a flexibilização em relação à linguagem e técnicas formais são rotas seguras para que os
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alunos dos anos iniciais se aproximem das frações sem que elas se tornem vilãs da aprendizagem de matemática.
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BNCC, 2017
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ANEXOS
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BIBLIOGRAFIA
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APÊNDICE GRANDEZAS E MEDIDAS Nos anos iniciais do Ensino Fundamental as atividades que envolvem o conceito de medida têm muitas funções. Além do objetivo de desenvolver o conceito de medir propriamente dito, quando participam ativamente de situações que exigem comparações, as crianças são solicitadas a contar de forma organizada, analisar o objeto que está sendo medido com relação a suas propriedades de tamanho e forma, para finalmente, realizar algum registro de suas decisões. Vejamos uma situação: três crianças precisam decidir qual delas é a maior. Essa simples solicitação pode exigir algumas discussões sobre o que significa uma criança ser maior que outra. Será que significa que é a mais alta? Ou a mais gorda? Ou a mais velha? Para essa escolha, a forma entra em jogo, pois, em geral, nosso objetivo é compará-las pela altura. Considerando essa decisão, como proceder para saber qual das crianças é a mais alta? A comparação pode ser direta, encostando uma criança à outra ou cortando-se um barbante com a medida de cada uma. Mas, a medição pode ser indireta, usando-se palitos ou canudos e, nesse caso, será necessário a contagem organizada e o uso adequado da unidade de medida escolhida. Isto é, os palitos devem ser colocados um em seguida do outro num alinhamento perfeito sem sobreposição ou espaços vazios entre eles. Nos dois casos é preciso ordenar os resultados das comparações para decidir qual das três crianças é a mais alta. E, finalmente, deverá ser feito algum tipo de registro da decisão tomada adequado às crianças, que poderá ser simplesmente oral, por meio de desenhos, através da escrita de textos ou com números. É possível que os diferentes registros sejam feitos individualmente, em grupos ou na roda com toda a classe. Durante o processo de medição indireta, quando é preciso recorrer a alguma unidade para auxiliar a comparação, a contagem passa a desempenhar um papel decisivo, bem como a ordenação dos resultados obtidos. Essas ações propiciam a formação do conceito de número ao mesmo tempo em que mostram à criança um dos usos dos números na vida cotidiana. Por outro lado, o desenvolvimento da percepção de propriedades geométricas das figuras fica ainda mais evidenciado quando a medição envolve objetos que têm a forma de retângulos, círculos, entre outros, como por exemplo, o tampo da carteira, a quadra de esportes, mesas, bolas, ou materiais mais estruturados como blocos lógicos, cubos e outros sólidos geométricos e jogos comerciais contendo figuras para comparação. 30 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Além disso, a comparação envolvendo as noções de grande, pequeno, alto, baixo, maior, menor, longe, perto, entre outros, têm a função de organizar o espaço em que a criança está mergulhada desenvolvendo as habilidades de coordenação motora visual, a constância de forma e tamanho, a percepção de posição no espaço e a discriminação visual, que compõem parte do que chamamos de percepção espacial. Outro fator importante do trabalho com medidas é que ele permite de forma natural o desenvolvimento da estimativa, uma habilidade importante, pois além de ser a base para orientar a avaliação sobre uma medição feita, é a estimativa que fornece a resposta na impossibilidade de uma medição exata. Assim, as atividades devem permitir a livre exploração do material proposto para que através da percepção e da comparação das características dos objetos a serem medidos, possam ser feitas estimativas e verificações. O CONCEITO DE MEDIDA Medir nada mais é que uma comparação. Isto é, só se pode medir algo ou alguma coisa comparando-a com outra coisa de mesma natureza, que será a unidade de medida. Desta forma, medimos, por exemplo, o comprimento com outro comprimento, uma área com outra área, um volume com outro volume e um ângulo com outro ângulo. Para realizar uma medição, necessitamos de três itens: Escolher um objeto para funcionar como unidade de medida; Verificar quantas vezes a unidade de medida cabe no objeto a ser medido; Encontrar um número que possa expressar o resultado da medição. Como podemos observar durante toda a Educação Infantil e nos três primeiros anos do Ensino Fundamental, o trabalho com medidas fica comprometido pela limitação do conjunto numérico que é trabalhado nestas séries – Números Naturais, isto é, só podemos trabalhar com a medição de objetos que tenham medidas inteiras. Assim, quando iniciamos o trabalho com o conceito do que é medir, o ponto essencial é fazer comparações. Isso significa que as atividades iniciais de medição sejam de tempo, comprimento, massa, capacidade sejam trabalhadas com unidades de medida não padronizadas. Por exemplo, a medição de objetos simples, como o comprimento da carteira ou da mesa da professora com palitos ou palmos faz com que o aluno se depare com medidas da forma: 3 palitos e um pedaço, dois palmos e meio; que não correspondem a números como resultado das medições. 31 Didática Específica da Matemática Frações e Decimais Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Por isso, a medição de objetos só pode ser feita de forma completa a partir do 4º ano, quando se amplia o conjunto numérico introduzindo-se as frações e os números decimais – Números Racionais. Na verdade, historicamente, a necessidade de apurar os valores de suas medições fez com que o homem construísse os números fracionários que mais tarde são complementados pela escrita na forma de decimais. Assim, o estudo de medidas, em especial as de comprimento, constituem um contexto natural para introduzir a necessidade das frações e dos decimais, ao mesmo tempo que encoraja os alunos a se envolverem de forma ativa na discussão e resolução de problemas. Cabe, então, a cada um dos anos iniciais do Ensino Fundamental, ser desenvolvido um trabalho com o ensino de medidas onde as crianças construam o significado de medir e analisem diferentes unidades e instrumentos de medida, sem focar em demasia no resultado numérico das medições. O foco do trabalho com medidas nesses anos deve estar mais voltado para a construção dos conceitos das grandezas comprimento, massa, capacidade e tempo, do que nos números e nas unidades de medida convencionais. Explicando de outra forma, nos anos iniciais os alunos devem ter oportunidades para entender que o comprimento é uma propriedade de objetos e que medimos e comparamos comprimentos para avaliar distâncias, para estimar tamanhos, para comprar materiais, e que isso pode ser feito usando-se palmos, passos, palitos, barbantes, para ao final, valorizar as vantagens do uso de uma régua, fita métrica ou trena no processo de medição. O mesmo vale para cada uma das outras grandezas, por exemplo, um intervalo de tempo pode ser comparado com outro, usando-se a nossa percepção apenas, uma ampulheta, um calendário ou os diferentes tipos de relógios. Isso implica em uma forma diferenciada de organização das atividades e as que apresentaremos a seguir seguem a seguinte lógica no sentido de construir os conceitos das grandezas antes de apresentar as unidades de medida convencionais.
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Os alunos vivenciam situações próximas a eles que permitem a compreensão das propriedades dos objetos, dos intervalos de tempo e da temperatura.
São propostas diversas comparações entre objetos, tempos e temperaturas seguindo determinadas propriedades.
O vocabulário adequado e correto é introduzido a partir dos termos conhecidos pelos alunos.
Organizar as atividades de modo a trabalhar as seguintes grandezas: tempo, comprimento, capacidade, massa e temperatura.
As principais grandezas que podem ser medidas e o correspondente vocabulário inicial são: TEMPO
Antes/Depois Dia/Noite Dias da semana Meses do ano Horas e minutos
COMPRIMENTO ALTURA DISTÂNCIA Comprido/Curto Alto/Baixo Longe/Perto Estreito/Largo
MASSA
CAPACIDADE VOLUME
TEMPERATURA
Pesado/Leve Pesa mais que/ menos que
Cheio/Vazio Cabe mais que/ menos que
Quente/Frio
A linguagem a ser usada, inicialmente pelo professor, deve ser gradativamente adquirida pelos alunos. Nesse sentido, as propostas de trabalho devem usar termos como: mais comprido que, tão pesado quanto, mais vazio que, etc. No planejamento das aulas, as atividades referentes à grandeza tempo relacionadas à rotina da classe podem ser feitas diariamente, já para as outras grandezas sugerimos que a cada quinzena seja feita uma atividade de medidas, alternando-se as grandezas. Assim, durante um mês, podemos ter duas aulas relativas à grandeza comprimento, e no mês seguinte duas aulas relacionadas a massa, depois em outro mês mais uma ou duas aulas sobre comprimento, e assim com as demais grandezas, de modo que ao longo do ano os alunos vivenciem atividades envolvendo todas as grandezas. Esse espaçamento de tempo entre as atividades favorece o tempo para a aprendizagem e permite que no planejamento sejam feitas muitas relações entre as medidas, os números e figuras geométricas.
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O METRO
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AS GRANDEZAS MASSA E CAPACIDADE
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