Matemática - Fundamental 1, v. 1 by Programa Integrar Educação

VOLUME I

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

Resolução de Problemas Ensino Fundamental – Anos iniciais 1a edição Copyright 2015 © Reprodução proibida Reproduzir livro é crime: Código Penal, Lei n. 9.610/88, art. 184, título VII: Sanções às violações de direitos autorais Projeto pedagógico: Mathema Assessoria e Acompanhamento Escolar Ltda. Coordenação geral: Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz Coordenação editorial: Alexandre Faccioli Coordenação pedagógica: Cristiane Chica e Patrícia Cândido Organização das atividades: Mirela Mendes Encarregada da produção editorial: Renata da Silva Ilustrações: Thaís Leal Edição e preparação: Ana Catarina Nogueira Projeto gráfico: Aline Chica Capa: Aline Chica Diagramação: Aline Chica Licenciamento: Tempo Composto Resolução de Problemas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Resolução de problemas: ensino fundamental I / Coordenação geral de Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez Vieira Diniz / Coordenação pedagógica de Cristiane H. R. Chica e Patrícia Cândido – São Paulo: Ed. Mathema, 2015. 136p. :il. 23 cm. – (Coleção Caderno de Formação)

ISBN: 978-85-62944-83-3 I. Kátia Cristina Stocco Smole II. Maria Ignez Vieira Diniz III. Título: I. Kátia Cristina Stocco Smole II. Maria Ignez Vieira Diniz III. Título: Resolução de problemas IV. Coleção: Caderno de Formação

CDU 371.671:510 Catalogação na publicação: Alex dos Santos - CRB 8/7739 Mathema Assessoria e Acompanhamento Escolar Ltda. Avenida Mascote, 398 – Vila Mascote São Paulo – SP CEP: 04363-000 Fone/Fax: (11) 5548-6912 www.mathema.com.br

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LISTA DE MATERIAL PARA DESENVOLVIMENTO DO MÓDULO Dados (1 por aluno) Marcadores coloridos (EVA ou tampinhas) de duas cores Animais de plástico (galinhas, porcos, bodes, vacas, cavalos, cachorros e gatos) Caixas de lápis de cor Folhas de papel pardo Conjuntos de canetas hidrocor 20 kits de dinheirinho

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Organização do Volume 1

 Introdução  Perspectiva metodológica da resolução de problemas Problema não é só número Problematizando jogos  Tipos de problemas  Painel de solução  Leitura e resolução de problemas

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INTRODUÇÃO Muito se tem discutido sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática. Algumas questões como: O que faz um aluno ter sucesso ou fracassar em Matemática? Quais os caminhos que aproximam os alunos dessa disciplina? Por que tantos alunos, após anos de escolaridade, fracassam em Matemática? são feitas por educadores de escolas públicas e particulares em todo o país. Apesar de ser agora explícita e amplamente discutida, a questão da formação de alunos competentes em Matemática não é um sonho recente da escola e de nossa sociedade. A escola sempre solicitou que os alunos fossem capazes de relacionar adequadamente várias informações, conhecimentos e habilidades para enfrentar e resolver situações-problema, sem, no entanto, trabalhar consciente e sistematicamente para alcançar essa meta. Nas aulas de Matemática, a Resolução de Problemas tem assumido ao longo do tempo diferentes papéis, dependendo da concepção que se tem de por que ensinar Matemática e de como se acredita que seja ensinar e aprender. Em uma dessas concepções, a Resolução de Problemas pode ser entendida como a meta do ensino de Matemática. Nessa perspectiva, seus conceitos, técnicas e procedimentos devem ser ensinados antes, para que depois o aluno possa resolver problemas. Tudo se passa como se o aluno precisasse ser detentor de todas as informações e conceitos envolvidos na situação-problema para depois poder enfrentá-la. Dito dessa forma, é possível perceber que, nessa concepção, a Matemática é importante em si mesma, a Resolução de Problemas é uma consequência do saber Matemática, e, ao resolver problemas, o aluno demonstra se de fato aprendeu ou não Matemática. Essa foi a visão da Resolução de Problemas no chamado modelo tradicional de ensino, predominante no Brasil até a década de 1960. Há uma segunda abordagem que vê a Resolução de Problemas como os processos de resolução, ou as formas de pensar, que cada pessoa utiliza para resolver situações que apresentam alguma questão a ser respondida. Essa concepção sobre a Resolução de Problemas nasce com os trabalhos de Polya1 e ganha maior importância nos anos 1960, quando os educadores começam a focar sua atenção sobre os processos ou procedimentos usados pelos alunos para resolver problemas. O ensino tem, então, como foco as estratégias e os procedimentos utilizados para se chegar à resposta. A resposta em si torna-se menos relevante. Essa concepção de Resolução de Problemas baseia-se na crença de que, ao entender como se resolvem problemas, é possível ensinar a outros como fazê-lo. No ensino os problemas são classificados por tipos, dependendo da estratégia que os resolve, e recomendam-se esquemas de passos a serem seguidos para melhor resolver problemas. Ensinar como resolver problemas permitiria aprender formas de pensar características da Matemática e, portanto, aprender Matemática.

Dentre outras publicações de Polya, a mais difundida sobre resolução de problemas data de 1945 e tem como título A arte de resolver problemas (Rio de Janeiro: Interciências, 1977).

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Mais recentemente, por influência das pesquisas da Psicologia Cognitiva, a Resolução de Problemas passa a ser considerada competência básica do indivíduo, para que ele possa se inserir no mundo do conhecimento e do trabalho. Os currículos, já ao final da década de 1970 e durante os anos 1980, trazem indicações explícitas de que todos os alunos devem aprender a resolver problemas e são necessárias escolhas cuidadosas quanto às técnicas e aos problemas a serem usados no ensino. Nessa concepção, tanto os problemas mais tradicionais, envolvendo o conteúdo específico, quanto os diversos tipos de situações-problema e os métodos e as estratégias de resolução são enfatizados para que se aprenda Matemática. Essas três concepções não são excludentes, mas mostram diferentes sentidos do ensino de Matemática e podem ser encontradas, com maior ou menor ênfase, em currículos, materiais didáticos e orientações de ensino. Há ainda outra forma de conceber a Resolução de Problemas, especialmente no Brasil a partir de 1990, quando ela passa a ser interpretada como metodologia para o ensino de Matemática e descrita como um conjunto de orientações para o ensino, como: usar um problema detonador ou desafio que possa desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos; trabalhar com problemas abertos; usar a problematização ou formulação de problemas em projetos. Essa concepção está presente também em orientações mais amplas para o ensino de Matemática que correspondem a linhas de pesquisa e de atuação da Educação Matemática, como é o caso da modelagem, da investigação e do ensino por projetos. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997, p. 112), a Resolução de Problemas é vista como peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação das técnicas e dos conceitos matemáticos, pois, nesse caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que ele seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas. Aqui se evidencia a ruptura com a concepção da Resolução de Problemas como aplicação do conhecimento matemático ou como conjunto de estratégias para ensinar a resolver problemas, o que nos permite inferir que a Resolução de Problemas de acordo com os PCNs de 1997 é uma competência que se espera desenvolver em todos os alunos e que está entrelaçada à aprendizagem de Matemática. Assim, o objetivo deste caderno é apontar caminhos para um trabalho consistente com a Resolução de Problemas na escola, com a intenção de formar alunos competentes. Consideramos que a competência na Resolução de Problemas envolve a compreensão de uma situação que exige resolução, a identificação de seus dados, a mobilização de conhecimentos, a organização e a perseverança na busca da resolução, a análise constante do processo de resolução e da validade da resposta e, se for o caso, a formulação de outras situações-problema. Neste material abordaremos a Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas; tipos de problemas, leitura e interpretação de problemas, formulação de problemas e planejamento para o trabalho com Resolução de Problemas. Cada um desses itens foi organizado em um capítulo, com as respectivas atividades.

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PERSPECTIVA METODOLÓGICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Com base nas concepções apresentadas na Introdução, nas informações coletadas em ações de formação de professores e também na observação de alunos em aulas de Matemática, propomos neste caderno outro entendimento da Resolução de Problemas, que denominamos Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas. Nela, consideramos que aprender a pensar em Matemática e construir a linguagem específica dessa área do conhecimento exige transformar a sala de aula em espaço onde se simulem o fazer e o pensar matemático. Isso significa criar situações de problematização constante, incentivando o aluno a refletir, a pensar por si mesmo, a persistir. A Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas representa em sua essência uma mudança de postura em relação ao que significa aprender e, consequentemente, ensinar Matemática. Aprender Matemática é estar engajado em um processo de resolver situações-problema, e, por isso, a sala de aula torna-se o ambiente que simula o fazer Matemática e exige o pensar e o refletir constantes. Assim, podemos afirmar que a Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas representa, em sua essência, uma mudança de postura em relação ao que significa ensinar Matemática. É preciso deixar claro que não se trata da forma tradicional de Resolução de Problemas, que, em geral, se restringe a propor questões e a resolvê-las. Na perspectiva tradicional, os problemas propostos aos alunos podem, geralmente, ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos; a tarefa básica da resolução é identificar que operações, ou equações, são apropriadas para mostrar a solução e transformar as informações do problema em linguagem matemática; a solução numericamente correta é ponto fundamental, sempre existe e é única; o problema é apresentado por meio de frases, diagramas ou parágrafos curtos e vem sempre após o desenvolvimento de determinado conteúdo; todos os dados necessários para a resolução aparecem explicitamente no texto do problema. Quando adotamos esses problemas convencionais como material único para o trabalho com Resolução de Problemas na escola, podemos levar o aluno a uma postura de fragilidade e insegurança perante situações que exijam desafio maior. Quando se depara com um problema cujo modelo não consegue identificar, só resta ao aluno desistir e esperar a resposta de um colega ou do professor. Muitas vezes ele resolverá o problema mecanicamente,

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sem ter entendido o que fez e sem confiar na resposta obtida, sendo incapaz de verificar se a resposta é ou não adequada aos dados apresentados ou à questão feita no enunciado. Por considerarmos que este quadro deve ser alterado e que é possível contribuir para o aumento de confiança do aluno no aprendizado de Matemática, sugerimos que, além das duas ações apresentadas anteriormente, sejam contempladas mais duas: questionar as respostas obtidas e questionar a própria questão original. Isto é, resolver um problema não significa apenas a compreensão da questão proposta, a aplicação das técnicas ou fórmulas adequadas e a obtenção da resposta correta, mas, sim, uma atitude de “investigação científica” em relação àquilo que está sendo estudado. Nesse processo, a resposta correta é tão importante quanto a ênfase dada à forma de resolução, permitindo o surgimento de diferentes soluções, a comparação entre elas e a verbalização do caminho que levou à solução. Outro ponto importante desse questionamento é que ele provoca uma análise mais qualitativa do problema quando se discutem a solução do problema, os dados do problema e, finalmente, o problema dado. Tendo essa postura de inconformismo perante os obstáculos e o que foi estabelecido por outros, podemos aumentar o desenvolvimento do senso crítico e da criatividade, características primordiais daqueles que fazem ciência e objetivo a ser alcançado no ensino de Matemática. Trabalhar segundo a Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas requer paciência e muitas idas e vindas, cabendo ao professor orientar os alunos sem atropelar o processo. Cada nova colocação sobre um problema, ou cada novo problema surgido numa situação, necessita de tempo para que os alunos compreendam e se decidam por condutas de ação, nem sempre as mais eficientes e, às vezes, incorretas. Assim, um único problema ou atividade problematizadora pode ocupar várias aulas, seguidas ou não, sendo necessário sacrificar a quantidade de problemas e atividades em favor da qualidade de ensino. Todo esse processo deve acontecer num ambiente em que os alunos propõem, exploram e investigam problemas que provêm tanto de situações reais quanto de situações lúdicas ou de investigações relacionadas à própria Matemática. Esse é um ambiente positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar raciocínios e validar as próprias conclusões. Dessa forma, trabalhar com a Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas é considerar como problema toda situação que permita alguma problematização. Essas situações podem ser atividades bem diversas, que envolvam todos os eixos de trabalho da Matemática; por exemplo, jogos, dobraduras, busca e seleção de informações em gráficos e tabelas, construções geométricas e atividades que envolvam medições, desde que permitam o processo investigativo.

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CONHECIMENTO É SEMPRE BOM O que é um problema?

m nossa proposta, vamos assumir como problema toda situação que não possua solução evidente e que exija que o “resolvedor” combine seus conhecimentos e se decida pela forma de usá-los em busca da solução. Uma situação que um indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que leve à solução. Isso significa romper com a visão limitada de problemas que tradicionalmente são propostos aos alunos depois do estudo de um conteúdo ou de uma técnica. Robert Stenberg, em seu livro Psicologia cognitiva, publicado em 2000, apresenta um ciclo cognitivo de Resolução de Problemas que apresenta um processo mental do raciocínio de um resolvedor de problemas. Ciclo de Resolução de Problemas: 1. Identificação do problema – perceber que está diante de uma situação-problema; 2. Definição e representação do problema – identificar o assunto ou a situação; 3. Construção de estratégias – analisar os dados; 4. Organização de informações – validar a estratégia; 5. Alocação de recursos – escolher e administrar conhecimentos a serem utilizados; 6. Monitoração – acompanhar a eficiência das etapas e da estratégia; 7. Avaliação – verificar o resultado.

1 Identificação do problema

Avaliando a resolução do problema

Definição do problema

6 3

Monitorando a resolução do problema

Construindo uma estratégia para a resolução do problema

Alocação de recursos

Organizando a informação sobre o problema

Fonte: Stenberg, R. J. Psicologia cognitiva. Porto Alegre: Artmed, 2000.

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É PROBLEMA OU NÃO É?

Que estratégias você utilizou para fazer a dobradura? Todos os colegas do grupo utilizaram as mesmas estratégias? Quais são as semelhanças e diferenças entre a estratégia que você utilizou e a sequência de passos anterior?

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PROBLEMA NÃO É SÓ NÚMERO Nossa intenção é mostrar situações de problematização nos diferentes eixos da Matemática. É importante que você escolha as situações de acordo com os conteúdos do seu planejamento.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM OS EIXOS DE TRABALHO DA MATEMÁTICA

úmeros e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação são os quatro eixos estruturadores para o trabalho com a Matemática propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais. Cada um desses eixos é um campo de interesse com organização própria em termos de linguagens, conceitos e, especialmente, habilidades e objetos de estudo. Na escola, adotar essa perspectiva implica articular o ensino e a aprendizagem, o conceito e a forma de transmiti-lo, proporcionando cada vez mais um ambiente escolar favorável à aprendizagem, no qual todas as ações favoreçam o processo múltiplo, complexo e relacional de conhecer e incorporar dados novos ao repertório de significados, de modo que aquele que aprende possa utilizá-los na compreensão de fenômenos à sua volta e no entendimento da prática social. Ao entendermos o conhecimento como a meta da escola, consequentemente temos que a apreensão de um conceito, ideia, fato, procedimento, faz-se por meio das múltiplas relações que o aprendiz estabelece entre os diferentes significados desse mesmo conceito, ideia, fato ou procedimento. A compreensão do que é aprendido e sua estabilidade como aprendizagem significativa dependem da qualidade e da quantidade de relações que são estabelecidas entre as diferentes significações do que se está aprendendo. Precisamos compreender que a decisão pela organização do ensino de Matemática em eixos é uma opção didática, que envolve uma concepção de ensino e aprendizagem que se contrapõe à tendência de um ensino fragmentado, ou que prioriza a aritmética, ignorando ou dando pouca ênfase às demais áreas do conhecimento. Pensar o ensino organizado por eixos nas aulas significa assumir que, embora o ensino se organize aula a aula, os alunos aprendem fazendo conexões e relações entre diferentes conceitos e procedimentos matemáticos. Nesse sentido, o planejamento das aulas deve ser estruturado de modo que, por meio das atividades e das ações do professor, os alunos: associem ideias; percebam que uma tarefa não se restringe a um objetivo limitado; compreendam que uma ideia transita de uma tarefa para outra, de um problema para outro; possam explorar uma situação, discuti-la, generalizá-la; possam comparar e constatar procedimentos; possam representar uma situação ou conceito em Matemática de muitas formas diferentes. Tudo isso nos remete diretamente à nossa opção pela Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas, como explicado anteriormente neste caderno.

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Acreditamos que a forma para alcançar a aprendizagem da Matemática fundamenta-se na problematização constante, que incentive o aluno a refletir, a pensar por si mesmo, a persistir, e, para isso, é preciso resolver muitos problemas. Perante uma situação-problema, incentive o aluno a analisá-la e a compreendê-la por inteiro, a decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la, a tomar decisões, a argumentar, a expressar-se e a fazer registros, ou seja, a mobilizar informações adquiridas e procedimentos aprendidos e a combiná-los na busca da resolução. Aprende Matemática aquele que tem a chance de pensar e de se colocar em ação cognitivamente, em situações especialmente planejadas para a construção de novas ideias e de novos procedimentos matemáticos. Nessa proposta de Resolução de Problemas, o tratamento de situações complexas e diversificadas permite ao aluno pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução e de argumentação, relacionar diferentes conhecimentos e, enfim, perseverar na busca da solução. E, para isso, os desafios devem ser reais e fazer sentido. Nessa perspectiva, não só a seleção de temas e conteúdos mas também a forma como são tratados no ensino são decisivas. A maneira como se organizam as atividades e a sala de aula, a escolha de materiais didáticos apropriados e a metodologia de ensino é que poderão permitir o trabalho simultâneo dos conteúdos e das habilidades. Nesta primeira parte sugeriremos variados problemas, pois acreditamos que diferentes recursos didáticos são meios para alcançar esse movimento de aprender Matemática, sejam eles materiais manipulativos, jogos, recursos de informática, brincadeiras, problemas convencionais, textos informativos e histórias infantis, todos cuidadosamente escolhidos dentro de suas possibilidades e limitações.

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PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ano indicado

Objetivos

Do 1o ao 5o

Perceber que problemas matemáticos podem estar relacionados ao eixo Espaço e Forma.

Organização

Ler com compreensão e resolver problemas usando diferentes estratégias.

Coletiva

Material necessário Ficha do aluno: Triângulos e cópias dos problemas.

Planeje cuidadosamente o trabalho com os problemas a seguir, no que se refere a leitura, interpretação, resolução e formulação. O objetivo de propor situações-problema diferenciadas e estratégias diversas é desenvolver a competência leitora dos alunos em relação a textos de problemas que permitam o desenvolvimento de diferentes estratégias de resolução. Ao final você encontra as respostas dos problemas. 1. Veja uma construção que Milena fez usando 5 cubos:

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Quantas construções diferentes dessa você consegue fazer usando 5 cubos?

2. Tenho 4 lados e 4 cantos, e todos os meus lados têm a mesma medida. Quem sou eu?

3. Usando estas 3 figuras geométricas, monte um retângulo e, depois, faça um triângulo.

4. Usando apenas 2 cores, de quantas formas diferentes você consegue pintar os quadrados abaixo?

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5. Construa um círculo e uma esfera com massinha de modelar. Quais são as semelhanças e diferenças entre eles?

6. Recorte as figuras da Ficha do aluno: Triângulos. Construa figuras usando: a) 2 triângulos b) 4 triângulos c) 6 triângulos d) quantos triângulos quiser. Sobre uma folha em branco, monte as figuras. Contorne a figura que você criou e pinte como quiser. 7. Encontre 3 planificações diferentes para um prisma de base triangular.

8. As planificações a seguir estão erradas. Explique por que elas não formam um cilindro.

9. Leia as adivinhas e escreva o nome do sólido. a) Eu tenho um círculo na minha base e um ponto no meu topo. Quem sou eu?

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b) Eu tenho todas as minhas faces quadradas, 12 vértices e 8 arestas. Você sabe quem sou eu? c) Eu sou toda redonda. Dizem que a forma do planeta Terra é quase igual à minha. Quem sou eu? d) Tenho duas bases iguais e redondas. Quem sou eu?

e) Todas as minhas 4 faces são triangulares. Tenho 4 vértices e 6 arestas. Sabe quem eu sou?

10. Uma dessas formas não deveria estar aqui. Qual é ela? Por quê?

11. Como você descreveria um cubo, por telefone, a um amigo? Escreva a descrição e lembre-se de que na conversa não pode aparecer nenhuma imagem.

12. Desenhe uma planificação do cubo diferente das duas planificações apresentadas abaixo.

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13. Corte 2 retângulos e 2 triângulos iguais a estes:

Usando duas ou quatro figuras, construa as seguintes formas:

14. Qual dos desenhos a seguir não é uma planificação de um prisma triangular?

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15. Qual é o sólido que não deveria estar neste grupo? Escreva uma justificativa para sua escolha.

16. Juliana deseja fazer embalagens para sua loja. Ela quer que as embalagens sejam poliedros, mas não com forma de cubo. Entre os modelos de planificação mostrados a seguir, quais podem servir para Juliana? A

17. Qual das seguintes planificações é a do paralelepípedo? O que pode ser feito para corrigir as planificações que estão erradas?

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RESPOSTAS 1. Algumas construções possíveis com 5 cubos:

2. O quadrado.

4. De 6 formas diferentes.

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5. Possíveis respostas: Semelhanças: os dois são redondos, rolam, não tem vértices. Diferenças: o círculo é plano, a esfera é tridimensional.

6. Resposta pessoal.

7. Algumas soluções possíveis desse problema são:

8. A primeira planificação está errada, pois os dois círculos que compõem a planificação são de tamanhos diferentes. A segunda planificação está errada, pois os círculos que compõem a planificação estão do mesmo lado e isso não permite que o sólido se feche. A terceira planificação está errada, pois há apenas um círculo na planificação. O sólido quando montado ficará aberto.

9. a) Cone. b) Cubo. c) Esfera. d) Cilindro. e) Pirâmide de base triangular.

10. O círculo, porque ele não é formado por linhas retas (segmentos de reta) e não é um polígono.

11. Resposta pessoal, mas é importante observar se ao descreverem o sólido os alunos conseguem demonstrar alguns conhecimentos em relação às propriedades do cubo, tais como a quantidade de faces, o formato das faces, a quantidade dos vértices, a quantidade das arestas, a posição das arestas. E também se relacionam o cubo a algum objeto de uso social, como o dado, por exemplo.

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12. Existem 11 planificações diferentes para o cubo. Além das duas apresentadas, temse:

13.

14. Não são planificações os desenhos A e C.

15. Resposta pessoal. Esperamos que os alunos percebam que o cone não é um poliedro, isto é, não é formado por polígonos, não tem arestas nem faces e tem uma superfície arredondada.

16. D e E.

17. A figura A representa a planificação de um paralelepípedo. A figura B não é a planificação de um paralelepípedo, porque não possui faces iguais duas a duas. Na planificação C, falta uma das faces.

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FICHA DO ALUNO

TRIÂNGULOS

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PROBLEMAS E MEDIDAS

Ano indicado

Objetivos

Do 1o ao 5o

Perceber que problemas matemáticos podem estar relacionados ao eixo Grandezas e Medidas.

Organização

Ler com compreensão e resolver problemas usando diferentes estratégias.

Coletiva

Material necessário Cópias dos problemas.

Planeje cuidadosamente o trabalho com os problemas a seguir, no que se refere a leitura, interpretação, resolução e formulação. Escolha os problemas de acordo com o planejamento e o ano com que você trabalha. Ao final, você encontra as respostas dos problemas. 1. Mirela e Patrícia mediram em passos e em pés o comprimento da sala de aula e obtiveram os seguintes resultados:

MIRELA

PATRÍCIA

6 PASSOS

5 PASSOS

23 PÉS

25 PÉS

Por que elas obtiveram resultados diferentes? Quem é mais alta? Por quê?

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2. O que “pesa” mais: um quilograma de algodão ou um quilograma de ferro?

3. Robson foi ao shopping de bicicleta e percorreu 750 metros. Depois ele pedalou mais 500 metros até o parque. Na volta, ele foi à padaria comprar pão e percorreu mais 450 metros. Quantos quilômetros Robson pedalou neste dia?

4. Se ontem era o amanhã de quarta-feira e amanhã será o ontem de domingo, que dia é hoje?

5. Lia sai de casa às 7 horas para ir à escola. Jeferson sai de casa meia hora mais tarde que Lia. Laura sai quarenta e cinco minutos mais cedo que Jeferson, e Ronaldo sai uma hora mais tarde que Laura. Complete: 1o a sair de casa

2o a sair de casa

3o a sair de casa

4o a sair de casa

6. Ontem de manhã, tia Neide saiu de casa com 45 reais na carteira para receber sua aposentadoria. Chegou ao banco às 9h30min e ficou na calçada esperando o banco abrir. Às 10h, entrou e recebeu seu dinheiro. Antes de ir para casa, passou no supermercado e gastou 64 reais. No açougue, comprou carne e frango com 25 reais. Quando chegou em casa, tinha 605 reais. Quanto tia Neide recebeu de aposentadoria?

7. Aqui temos alguns instrumentos de medida.

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Com a trena medimos comprimento; com o termômetro, temperatura; com o relógio, o tempo em horas, minutos ou segundos; e com a balança medimos a massa de um corpo. Para um desses instrumentos, as igualdades 60 = 1 e 12 + 12 = 0 podem fazer sentido se colocarmos as unidades de medida. Qual é esse instrumento?

8. Quando Paula tinha 8 anos, seu pai tinha 38. Agora, ela tem a metade da idade do pai. Sem lápis e sem papel, responda rapidamente: quantos anos Paula tem?

9. Qual é o perímetro do quadrilátero cujos lados medem 4 cm, 5 cm e 6 cm?

10. Na rua principal de um condomínio foram colocados 8 postes enfileirados em intervalos de 3 metros. Qual a distância entre o primeiro e o último poste?

11. Numa rua estão dispostas 16 árvores, separadas 5 metros uma da outra. Supondo que há uma árvore em cada extremidade da rua, qual é o comprimento dessa rua?

12. Uma cozinha de forma retangular tem 3 metros de largura. Para revestir o chão dela, foram gastos 15 metros quadrados de ladrilhos. Qual é o comprimento da cozinha?

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RESPOSTAS 1. Resposta pessoal. Esperamos que os alunos percebam que Mirela e Patrícia têm passos e pés de tamanhos diferentes e que provavelmente Mirela seja mais alta, já que seus passos “cabem” menos vezes no comprimento da sala de aula.

2. Os dois “pesam” a mesma coisa.

3. 1700 m ou 1 km e 700 m.

4. Sexta-feira.

5. Laura (6h45), Lia (7h), Jeferson (7h30) e Ronaldo (7h45).

6. R$ 649,00.

7. O relógio. 60 minutos = 1 hora; 12h + 12h = 24h = 0h (em termos de horário).

8. Paula tem 30 anos.

9. Não é possível responder, pois falta informar a medida de um dos lados do quadrilátero.

10. 21 metros.

11. 75 metros.

12. O comprimento da cozinha é 5 metros.

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PROBLEMATIZANDO JOGOS Embora durante um jogo surjam naturalmente inúmeras situações-problema que os alunos devem resolver para aprimorar suas jogadas, para decidir o que fazer antes de realizar uma ação, para convencer um oponente de seu ponto de vista e até para neutralizar ou dificultar a jogada seguinte do parceiro de jogo, existe a possibilidade de ampliar esse processo por meio da proposição de problemas. Essa ação pode ser feita durante ou após o jogo. Durante o jogo, enquanto observa os alunos jogando, você pode lhes pedir que expliquem uma jogada ou por que tomaram uma decisão e não outra e até mesmo perguntar se não há uma jogada que dificulte a próxima ação. Vale a pena também se colocar como jogador em algumas ocasiões para observar como os alunos pensam, fazer uma jogada e discuti-la com o grupo no qual está jogando. Essa problematização no ato do jogo favorece sua percepção das aprendizagens, das dúvidas, das confusões, do envolvimento dos alunos na própria ação de jogar. No entanto, alguns cuidados são necessários. O primeiro deles é saber o limite de problematizar, cuidando para que a ação de jogar, o prazer de jogar e o envolvimento com o jogo não fiquem prejudicados com o excesso de perguntas. O segundo é lembrar que, não sendo possível observar todos os alunos ao mesmo tempo, você precisa criar um roteiro de observação para olhar diferentes grupos jogando em cada uma das vezes que o jogo se repetir. Há ainda, conforme dissemos anteriormente, a possibilidade de exploração a ser feita após o jogo, que é a base para a problematização. Nesse caso, você pode escolher jogadas para os alunos analisarem, criar perguntas que lhe permitam pensar em aspectos do jogo que podem ser aprofundados, simular situações nas quais analisem, entre algumas jogadas possíveis, qual a melhor decisão a tomar, entre várias outras propostas. Nesse caso também há cuidados a serem tomados. O primeiro deles é não propor esse tipo de problema logo na primeira vez em que os alunos jogarem, já que o desconhecimento das regras e as incompreensões iniciais podem desfavorecer uma discussão mais rica por parte da turma. Temos visto que os alunos aproveitam mais cada problema e envolvem-se na problematização sobre eles depois da segunda ou terceira vez em que jogam. O segundo cuidado é fazer registros das conclusões mais importantes que forem tiradas enquanto são discutidas as problematizações e, por fim, observar os efeitos dessas problematizações na própria ação de jogar. Ou seja, verifique se os alunos passam a analisar melhor suas jogadas, se pensam mais para decidir como realizar suas ações de jogo, se ampliam sua discussão sobre o próprio jogo, se fazem novas perguntas. Isso mostra que as explorações cumpriram sua função de envolver os alunos em aprender mais e melhor nas aulas de Matemática. Uma última forma de problematizar o jogo é pedir aos alunos que modifiquem as regras ou que inventem um jogo parecido com aquele que foi dado. Nessa proposta, será preciso que eles elaborem um plano sobre como será o jogo e quais recursos necessitarão para fazê-lo; criem as regras; experimentem os jogos que elaboraram; analisem as produções uns dos

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outros e tenham tempo para aprimorá-las, de modo que qualquer pessoa que desejar possa jogar. Essa é uma proposta mais complexa, mas permite que os alunos percebam como acontece a estruturação de regras, a relação delas com as jogadas e o seu grau de complexidade, e que selecionem o conhecimento matemático necessário para produzir as situações de jogo. É uma proposta que permite aos alunos utilizarem seus conhecimentos em uma nova situação, estabelecendo novas relações de significado para eles. A seguir, sugerimos algumas ações de problematizações para jogos. Você pode utilizá-las ou propor outras que considere mais adequadas ao seu grupo de alunos.

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JOGO VENCE A MAIOR Ano indicado

Objetivos

Comparar quantidades. Ler e interpretar escritas numéricas.

Organização Justificar as respostas e o processo de resolução de um problema.

Em duplas

Resolver problemas em contextos significativos.

Material necessário Um jogo de 40 cartas numeradas de 11 a 50 (Ficha do aluno: Cartas do jogo VENCE A MAIOR) para cada dupla.

REGRAS Todas as cartas são distribuídas aos jogadores de modo que todos recebam a mesma quantidade. Sem olhar, cada jogador forma uma pilha à sua frente, com as suas cartas viradas para baixo. A um sinal combinado, os dois jogadores viram, simultaneamente, as primeiras cartas de suas respectivas pilhas. O jogador que virar a carta maior leva as duas. O jogo acaba quando as cartas acabarem. O jogador que tiver o maior número de cartas no final do jogo será o vencedor.

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As crianças poderão utilizar diferentes critérios para comparação dos números, como a posição que um número ocupa na sequência numérica, a identificação de qual dos números tem mais unidades, dezenas ou centenas ou a análise do primeiro algarismo de cada número apresentado nos cartões. Será na busca pela fundamentação desses critérios que elas compreenderão como comparar números e entenderão novos aspectos do Sistema de Numeração Decimal. Após a realização do jogo, você pode pedir a seus alunos que façam um desenho sobre ele. Em roda, proponha uma discussão a respeito do registro de cada um, o que ficou igual, o que ficou diferente etc. Depois de os alunos jogarem pela segunda ou terceira vez, proponha que elaborem um texto sobre o jogo no qual abordem as regras, o modo de jogar, as aprendizagens feitas e as dificuldades encontradas. É muito importante que em um outro momento, antes de propor esse jogo novamente, o texto seja utilizado para relembrar como se joga. Por isso, cada criança deve ter uma cópia do texto que ajudou a elaborar, o qual deverá ler antes de voltar a jogar. É possível, também, realizar variações para o jogo, como organizar grupos de quatro alunos. Nesse caso, a decisão pela maior carta deve ser feita entre as quatro cartas apresentadas pelos jogadores. Essa variação torna a comparação mais complexa, e a necessidade de discussão entre os participantes proporciona uma análise mais criteriosa dos números. Outra variação consiste em organizar as cartas para intervalos maiores. Nesse caso, cada grupo de quatro alunos pode ter um intervalo diferente e, a cada vez que o jogo for proposto, pode ser feito um rodízio de cartas, de forma que os alunos tenham a oportunidade de fazer diferentes comparações de quantidades. Nessa variação, podem ser utilizadas sequências de 5 em 5, 10 em 10, 100 em 100 ou outras que julgue interessantes. PROBLEMATIZAÇÕES 1. Em uma sala, quando as crianças estavam jogando VENCE A MAIOR, uma dupla comparava as cartas com os números 12 e 21. Qual é a maior carta? 2. Outra dupla comparava as cartas 23 e 32. A criança que tinha a carta de número 23 disse que a sua carta era a maior. Você concorda? Por quê? 3. Se você tivesse de ajudar uma dupla a descobrir qual é o maior número entre 25 e 28, que dica você daria? E entre 13 e 31? 4. João e Pedro, enquanto jogavam VENCE A MAIOR, fizeram o registro de suas jogadas em uma tabela. Veja como ficou o registro após cinco rodadas e complete a coluna Maior número.

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RODADA

JOÃO

PEDRO

MAIOR NÚMERO

Quem venceu o jogo depois de 5 rodadas?

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FICHA DO ALUNO

CARTAS DO JOGO VENCE A MAIOR

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JOGO CUBRA E DESCUBRA Ano indicado

Objetivos

Associar quantidade ao símbolo que a representa. Compreender a ideia da adição como a ação de adicionar uma quantidade a outra.

Organização Em duplas

Efetuar adições mentalmente. Construir os fatos fundamentais da adição com base em situações-problema.

Material necessário 1 Ficha do aluno: Tabuleiro do jogo CUBRA E DESCUBRA, por dupla; 22 fichas, sendo 11 de uma cor e 11 de outra e 2 dados.

Justificar as respostas e o processo de resolução de um problema. Resolver problemas em contextos significativos.

REGRAS Cada jogador coloca todas as suas fichas no seu lado do tabuleiro, de modo a cobrir todos os números que nele aparecem. Na sua vez, o jogador lança os dois dados, adiciona os pontos que saírem nos dados e tira do tabuleiro a ficha que cobre a soma. Quem errar a soma ou tirar a ficha errada perderá a vez. O vencedor será aquele que primeiro tirar todas as fichas do seu lado do tabuleiro.

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Peça aos alunos que façam um desenho sobre o jogo. Exponha os registros e use-os como memória do jogo na próxima vez em que propuser essa atividade. PROBLEMATIZAÇÕES 1. Por que o menor número do tabuleiro é o 2? 2. Por que o 0 e o 1 não aparecem no tabuleiro? 3. Por que o maior número do tabuleiro é 12? 4. É possível compor números maiores que 12 usando somente 2 dados? 5. Quais são as possibilidades de você jogar o dado e a soma dar 6? 6. Quais as formas de obter os demais resultados que aparecem no tabuleiro? 7. O que é mais fácil conseguir: soma 12 ou soma 7? Por quê? 8. Por que 1 + 5 e 5 + 1 levam a um mesmo resultado? (Nesse caso, é possível discutir se tal fato é verdadeiro para outros números diferentes daqueles com que estão trabalhando.) 9. Jéssica jogou os dados e tirou sua ficha do 8. Que números podem ter saído nos dados? 10. Na sua vez de jogar, Tiago tirou 3 em um dado e descobriu o 9. Que número saiu no outro dado? A partir de toda essa discussão, você poderá mostrar aos alunos de quantas formas é possível obter uma determinada quantidade partindo dos números que aparecem na face dos dois dados que são lançados: 2

1e1

1e2

1e3

1e4

1e5

1e6

4e4

3e6

4e6

5e6

6e6

2e1

3e1

4e1

5e1

6e1

3e5

6e3

6e4

6e5

2e2

2e3

3e3

4e3

5e3

4e5

5e5

3e2

2e4

3e4

2e6

5e4

4e2

2e5

6e2

5e2

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Pergunte: O que podemos observar? Qual é a soma que mais vezes pode aparecer? Qual é a soma que menos vezes pode aparecer? O que acontece no jogo quando o número que você conseguiu nos dados já está marcado? Para sistematizar, você pode propor que os alunos escrevam suas descobertas com base nessas discussões.

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FICHA DO ALUNO

TABULEIRO DO JOGO CUBRA E DESCUBRA

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JOGO FORMANDO NÚMEROS Ano indicado

Objetivos

Compreender a estrutura do Sistema de Numeração Decimal. Comparar números.

Organização

Refletir sobre as características dos números, como par e ímpar, múltiplos, divisores etc.

Grupos de 4 alunos

Material necessário Cartas numeradas de 0 a 9, em um total de três de cada algarismo para cada grupo (Ficha do aluno: Cartas do jogo FORMANDO NÚMEROS).

Justificar as respostas e o processo de resolução de um problema. Resolver problemas em contextos significativos.

REGRAS Montam-se os grupos de quatro jogadores para decidir quem será o carteador. O carteador embaralha as cartas e entrega três delas para cada componente do grupo, sem olhar quais são. O professor dá uma ordem: “Formar o maior número possível com as cartas que receberam”. Após formar o número com as cartas, os componentes do grupo conferem para ver quem fez o maior número. Suponhamos que cada componente tenha recebido três cartas e que um jogador esteja com as cartas 3, 0, 9. Ele pode compor o número 930. E assim devem fazer os outros. Quem obtiver o maior número ganha um ponto naquela rodada. O carteador, então, reúne todas as cartas, embaralha e distribui para cada jogador, de acordo com o combinado. O professor dá uma nova ordem, que pode ser: “Formar um número próximo de ... ou ...”. “Formar um número que esteja entre ... e ...”. “Formar o maior número par”. “Formar o menor número ímpar”. “Formar o menor número possível”. “Formar o número ímpar mais próximo de 320”. “Formar um número que esteja entre 400 e 600”. “Formar um número que possa ser dividido por 3 sem deixar resto”. Ao final de 10 jogadas, ganha quem tiver feito mais pontos. 39

É importante discutir com os alunos onde o zero pode aparecer para que tenhamos um número de três algarismos, analisando que o zero à esquerda não tem valor ou que não temos zero como primeiro algarismo de um número. Uma variação possível é modificar o número de cartas para quatro ou mesmo cinco e, então, explorar outros intervalos numéricos. PROBLEMATIZAÇÕES 1. Em uma turma, o professor deu o seguinte comando: “Formar o maior número possível”. Uma das crianças de um grupo formou, com as cartas 1, 2 e 7, o número 217. Você concorda que esse é o maior número que ela poderia formar? Por quê? 2. Em outro grupo os alunos formaram os números 654, 921, 900 e 671 para esse mesmo comando. Qual a criança que venceu essa rodada? Explique. 3. Em uma comparação entre dois números, um grupo de crianças concordou que, entre 609 e 599, o segundo era o maior. Você concorda? Por quê?

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FICHA DO ALUNO

CARTAS DO JOGO FORMANDO NÚMEROS

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JOGO DESCUBRA O DIVIDENDO Objetivos

Ano indicado 4o

Realizar a operação de divisão utilizando o cálculo mental. Desenvolver vocabulário relativo à operação de divisão.

Organização Em duplas

Relacionar as operações entre si.

Material necessário

Justificar as respostas e o processo de resolução de um problema.

Ficha do aluno: Tabuleiro do jogo DESCUBRA O DIVIDENDO – I e II; 26 fichas, sendo 13 de uma cor e 13 de outra e 2 dados.

Resolver problemas em contextos significativos.

REGRAS Para começar, os jogadores rolam os dados. O jogador que conseguir o número mais alto inicia a partida. O primeiro a jogar lança os dados e forma uma divisão usando os números que aparecem nos dados. O menor número é o resto e o maior é o divisor. Por exemplo: saindo 2 e 5 nos dados, teremos 2 no resto e 5 no divisor. O jogador, então, tenta encontrar um número no tabuleiro do jogo que poderia representar o dividendo na divisão usando aqueles números. Se encontrar, cobre o número no tabuleiro com uma de suas fichas. No exemplo, os números 7, 27, 32 e 57 poderiam ser cobertos. Se os dois números dos dados forem os mesmos, então o resto é considerado zero. Por exemplo, com 0 no resto e 3 no divisor, os números 36, 21, 48, 27, 39, 15, 30 e 57 poderiam ser cobertos. Se um número é coberto, ele não pode ser usado outra vez. O jogo acaba quando alguém alinhar quatro de suas fichas ou quando ninguém mais conseguir colocar quatro em linha, sendo vencedor o jogador com o maior número de colunas com três fichas.

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Depois de seus alunos realizarem esse jogo pelo menos duas vezes, você pode propor o preenchimento de uma tabela que auxilia na compreensão das relações entre resto, divisor e dividendo. Por exemplo: “Pensando no jogo DESCUBRA O DIVIDENDO, preencha a tabela a seguir”.

RESTO

DIVISOR

POSSÍVEIS DIVIDENDOS DO TABULEIRO

5 2

1 4

55 6

PROBLEMATIZAÇÕES 1. Em uma jogada, o dado com valor maior marcou 3 e o número marcado no tabuleiro foi 28. O que saiu no outro dado? 2. Por que há uma regra que diz que, se os números dos dois dados forem os mesmos, o resto é considerado zero? 3. Por que o dado de valor maior é o divisor e o de valor menor é o resto? Poderia ser ao contrário?

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FICHA DO ALUNO

31 57 14 55

30 32 15 19

39 11 27 38

48 56 33 21

16 7

TABULEIRO DO JOGO DESCUBRA O DIVIDENDO – I

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FICHA DO ALUNO

CARTELA DO JOGO DESCUBRA O DIVIDENDO – II

60 70 63 48 64 100

80 40 72 42 45 56

90 25

VERSÃO PARA NÚMEROS MAIORES

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JOGO NÚMEROS E SINAIS Ano indicado

Objetivos

Compreender escritas matemáticas.

Organização Compreender e usar adequadamente sinais de desigualdade, maior e menor.

Em duplas

Material necessário Um dado normal; um dado de sinais (Ficha do aluno: Dado para o jogo NÚMEROS E SINAIS); um tabuleiro (Ficha do aluno: Tabuleiro do jogo NÚMEROS E SINAIS) e 20 fichas, sendo 10 de uma cor e 10 de outra.

Justificar as respostas e o processo de resolução de um problema. Resolver problemas em contextos significativos.

REGRAS Os jogadores decidem quem começa o jogo. Na sua vez, o jogador rola os dois dados e cobre no tabuleiro um número que corresponde ao que os dados mostram. Por exemplo, se ele tirou 3 e o sinal “menor que”, ele cobre um número que seja menor que 3 com uma de suas fichas (cuja cor é diferente da de seu adversário). Apenas um número pode ser coberto a cada vez. Se não houver casa para colocar a ficha, o jogador terá mais uma chance. Se o jogador cobrir o número errado, ele perderá a vez. O primeiro jogador que alinhar três de suas fichas na horizontal, vertical ou diagonal será o vencedor.

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Após jogar NÚMEROS E SINAIS algumas vezes com os alunos, proponha que produzam um texto sobre ele explicando o que aprenderam com o jogo. PROBLEMATIZAÇÕES 1. Fernando e Laura jogavam NÚMEROS E SINAIS. Em uma das jogadas, Fernando marcou 6 em seu tabuleiro. Sabendo que na face de um dos dados saiu 8, o que pode ter saído na face do outro dado? 2. Em uma jogada, Bruna tirou em seus dados 6 e o sinal “maior que”. Que números ela pode marcar no tabuleiro? 3. Invente problemas com base no jogo e troque com um colega, para resolverem os problemas um do outro.

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FICHA DO ALUNO

TABULEIRO DO JOGO NÚMEROS E SINAIS

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FICHA DO ALUNO

DADO PARA O JOGO NÚMEROS E SINAIS

Um a mais

Menor

Maior

= que

que

Um a menos

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TIPOS DE PROBLEMAS PROBLEMAS CONVENCIONAIS As características básicas de um problema convencional são: o texto é apresentado na forma de frases, diagramas ou parágrafos curtos; os problemas vêm sempre após a apresentação de determinado conteúdo; todos os dados de que o resolvedor necessita aparecem explicitamente no texto e, em geral, na ordem em que devem ser utilizados nos cálculos; os problemas podem ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos; a tarefa básica na sua resolução é identificar que operações são apropriadas para mostrar a solução e transformar as informações do problema em linguagem matemática; a solução numericamente correta é um ponto fundamental, sempre existe e é única. Os problemas convencionais são, na verdade, simples exercícios de aplicação ou de fixação de técnicas ou regras. Na maioria das vezes, percebe-se neles a ausência de um contexto significativo para o aluno e de uma linguagem condizente com a utilizada em seu dia a dia. Esses problemas aparecem sempre depois da apresentação de um conteúdo, e é exatamente esse conteúdo que deve ser aplicado na resolução dos problemas. O trabalho centrado exclusivamente na proposição e na Resolução de Problemas convencionais gera nos alunos atitudes inadequadas perante o que significa aprender e pensar associados a uma operação aritmética – os alunos perguntam insistentemente “Qual é a conta?” ou, então, buscam no texto uma palavra que indique a operação a ser efetuada. Se no texto constam palavras como “ao todo”, “o total” ou “juntos”, os alunos tendem a adicionar os números que aparecem no texto, assim como as palavras “restou”, “sobrou” ou “perdi” são geralmente associadas à subtração. Desse modo, temos observado que, em problemas cujo texto apresenta essas palavras, mas cuja resolução demanda várias operações, os alunos confundem-se e o fracasso é certo. Esse fracasso gera o medo, a insegurança e, com o passar do tempo, a crença de ser incapaz de aprender Matemática. O primeiro cuidado para romper com esse modelo de ensino centrado em problemas convencionais, de modo a evitar todas as dificuldades de aprendizagem a ele ligadas, é encarar os problemas-texto na perspectiva metodológica da Resolução de Problemas, promovendo, mesmo para os problemas de “quatro operações”, um processo de investigação. Por outro lado, é preciso assumir que os problemas convencionais são textos com características tão específicas que devem receber atenção especial. Não faz sentido atribuir o fracasso da resolução de um problema convencional à falta de interpretação de textos do aluno. O texto matemático dos problemas é muito distinto dos demais; portanto, sua concisão, sua objetividade, o uso apenas de palavras essenciais e o parágrafo único devem ser analisados nas aulas de Matemática de forma sistemática e planejada. Recorrer à oralidade, ao desenho e à escrita para apresentar outras maneiras de resolver; discutir o que foi compreendido no texto do problema; argumentar por uma ou outra possibilidade de novas perguntas ou, ainda, discutir em que medida um problema inventado está ou não bem escrito, auxiliam o aluno a evoluir em sua compreensão do texto e das relações matemáticas do problema. Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I Reprodução proibida: Reproduzir livro é crime: Código penal, Lei 9610/88, art. 184, título VII: sanções às violações de direitos autorais

Organizar o trabalho de sala de aula incluindo problemas não convencionais é outra forma de romper com o modelo que tantas dificuldades traz ao aluno. Centrar o trabalho como curiosidades ou desafios esporádicos evidencia uma visão limitada do ensino da Matemática, que atesta a aprendizagem pela resposta correta e pela busca de modelos a serem seguidos. Temos constatado que a aprendizagem em termos de Resolução de Problemas depende da oportunidade que o aluno tem de confrontar e relacionar diferentes estruturas matemáticas em diferentes modalidades de textos. Em resumo, a aprendizagem de Resolução de Problemas convencionais depende da reflexão que nossos alunos têm oportunidade de fazer, investigando cada problema e confrontando-o com outros tipos de problemas. Neste caderno encaminharemos algumas atividades para exploração de problemas convencionais.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM Cinco tabus da Resolução de Problemas 1. A resposta de um problema sempre existe, é numérica, única e chega-se a ela por um só caminho. 2. A resolução deve ser rápida. Do contrário, isso indica que não se sabe resolver. 3. Se errar, não adianta investigar o erro, é preciso começar de novo. 4. Acerto só vem com esforço e prática para a memorização dos procedimentos. 5. Uma questão não pode gerar dúvida, pois o bom professor não pode fazer isso com a turma.

EXPLORANDO UM PROBLEMA CONVENCIONAL Quando nos referimos a textos em Matemática, o que ocorre é a associação aos problemas-texto que estão nos livros didáticos. Na perspectiva da Resolução de Problemas, esses textos convencionais podem ganhar um novo enfoque com os recursos de comunicação, problematização e confrontação com problemas não convencionais. A seguir, nossa proposta é transformar um problema convencional, um problema-texto, retirado de livro didático, em uma situação de investigação pautada pela perspectiva metodológica da Resolução de Problemas. Vejamos uma possibilidade de exploração, que pode ser aplicada a outros problemas convencionais, feita para um problema retirado de um livro tradicional de 3o ano.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 52

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escola de Gabriel comprou 4 kits de bolas. Em cada kit vieram 4 bolas de futebol, 2 bolas de handebol, 3 bolas de vôlei e 2 bolas de basquete. Qual foi o número total de bolas compradas pela escola?

Vamos refletir inicialmente a respeito de qual seria o objetivo de um professor ao propor esse problema aos alunos. Poderíamos dizer que é o treino da adição e da multiplicação, mas, no caso do problema apresentado, com números baixos, o aluno poderia fazer as operações mentalmente. Nossa proposta é propor algumas situações que façam o aluno pensar com base nesse problema considerado convencional. Inicie o processo de investigação pedindo aos alunos que resolvam o problema e, em seguida: 1. Proponha a alteração dos dados do problema: a) Como ficaria o problema se a escola comprasse 9 kits com bolas? b) E se cada kit tivesse uma bola de cada esporte a mais? 2. Faça novas perguntas para o problema: a) Quantas bolas de handebol a escola comprou? b) O que há mais: bolas de basquete ou bolas de futebol? Quantas a mais? c) A escola tem armários para guardar as bolas. Em cada um cabem 10 bolas. Quantos armários serão usados para guardar todas as bolas novas? Cada alteração dos dados ou das perguntas exige que o aluno reflita sobre as mudanças necessárias para a resolução, compreendendo a relação existente entre a utilização desta ou daquela operação e o texto do problema. 3. Proponha que os alunos descubram outras maneiras de resolver o problema, perguntando: a) Como resolver o problema sem fazer contas armadas? É possível fazer desenho? b) Como resolver o problema usando apenas adição? Buscar outras maneiras de resolver um problema permite que o aluno possa investigar outras relações aritméticas e formas de registro.

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4. É interessante que os alunos possam formular e resolver suas próprias questões. Por isso, proponha que inventem um problema baseando-se neste, solicitando: a) Invente um problema com os mesmos dados (mesmos números, mesma escola, mesmas bolas). b) Invente um problema com a mesma pergunta (a história pode mudar). c) Invente um problema com as mesmas contas (adição e multiplicação). d) Invente um problema com a mesma história, mas que seja resolvido por meio de uma adição e de uma divisão. e) Invente um problema que tenha a mesma resposta (44 bolas). Formular problemas exige do aluno uma volta ao problema resolvido que o faz observar novamente os dados, a história e as relações envolvidas, a pergunta e sua relação com a resposta e as operações feitas. No processo de formular problemas, assim como no de formular textos, o aluno participa ativamente de um fazer em Matemática que, além de desenvolver sua linguagem, garante interesse e confiança em seu próprio modo de pensar. Nessa reflexão sobre os problemas convencionais, é preciso destacar que não é possível realizar o trabalho que propusemos com todos os problemas do livro. Há problemas tão pobres e desinteressantes que não permitem nenhuma exploração. Assim, cabe a você escolher em algum livro os problemas para trabalhar (sugerimos aproximadamente 2 por mês), para os quais se faça o processo de investigação com todas as discussões propostas acima, lembrando que essas discussões não ocorrem todas em uma única aula. Por isso é importante ter como critério de escolha a qualidade e não a quantidade de problemas. Também é importante ter em mente que a aprendizagem com base na Resolução de Problemas convencionais depende da reflexão que os alunos terão oportunidade de fazer, investigando cada problema e confrontando-o com outros tipos de problema que apresentaremos a seguir.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 54

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PROBLEMAS NÃO CONVENCIONAIS Os problemas não convencionais são aqueles que rompem com as características de um problema convencional, descritas anteriormente. Problemas não necessariamente relacionados a um conteúdo específico, problemas com várias soluções, problemas com excesso de informações e aqueles apresentados com diferentes tipos de texto permitem ao aluno desenvolver sua capacidade de leitura e análise crítica, pois, para resolver a situação proposta, é necessário voltar muitas vezes ao texto para lidar com os dados e analisá-los, selecionando os que são relevantes e descartando os supérfluos. O objetivo ao trabalhar e selecionar outros problemas além dos convencionais é que os alunos não consolidem crenças inadequadas – como as apresentadas no boxe Conhecimento é sempre bom – em relação ao que é um problema, o que é resolver problemas e, consequentemente, em relação ao que é pensar e aprender em Matemática. Problemas que não possuem solução evidente, ou para os quais o aluno não sabe de antemão que conteúdo deve usar, exigem que ele planeje o que fazer e como fazer e que, ao encontrar uma resposta, verifique se ela faz sentido. O aluno abandona naturalmente a passividade e adquire uma postura diferenciada perante a Resolução de Problemas. Por isso é importante que o professor conheça diferentes tipos de problema que podem ser propostos aos alunos e quais são as características de cada tipo para propô-los da forma mais adequada.

O TRABALHO COM OS PROBLEMAS NÃO CONVENCIONAIS Nesta etapa, nossa intenção é fazer uma reflexão sobre os diferentes tipos de problemas que podem ser propostos aos alunos, destacando suas características e funções no ensino e na aprendizagem da Matemática. Com base na exploração e na análise dos diversos problemas propostos, pretendemos romper com crenças inadequadas a respeito do que é problema, o que é resolver problemas e, consequentemente, a respeito do que é pensar e aprender em Matemática. Esta seleção de diferentes tipos de problemas não pretende ser uma classificação nem esgotar as formas que um problema não convencional pode ter. Nosso objetivo é simplesmente auxiliar o trabalho em sala de aula e, especialmente, permitir que o professor possa identificar dificuldades ou evitar que elas existam entre seus alunos ao trabalhar com Resolução de Problemas. Os problemas não convencionais não têm solução evidente, nem sempre se resolvem com uma conta ou algoritmo e podem ter mais de uma resposta correta ou não ter resposta possível. A resolução pode ser feita com esquemas, desenhos, cálculos escritos ou mentais, dependendo dos procedimentos utilizados pelo aluno em busca da resolução. Por isso, quando um aluno resolve determinado problema, é importante que você o estimule a explicar como pensou; assim, você saberá se seus objetivos foram alcançados. Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I Reprodução proibida: Reproduzir livro é crime: Código penal, Lei 9610/88, art. 184, título VII: sanções às violações de direitos autorais

Com base na exploração desses problemas você pode usar a problematização para que os alunos confrontem opiniões e reflitam sobre a finalidade, a adequação e a utilização dos dados apresentados no texto, interpretando e analisando com mais atenção cada problema. A seguir desenvolvemos alguns dos tipos de problemas não convencionais. Como foi dito, conhecer os tipos e as finalidades permite a você planejar a melhor forma de, ao longo do ano, propor esses problemas para que os alunos tenham oportunidade de desenvolver diferentes estratégias de pensamento para a Resolução de Problemas.

PROBLEMA SEM SOLUÇÃO Trabalhar com esse tipo de problema rompe com a crença de que os dados apresentados devem ser usados na sua resolução e de que todo problema tem solução. Além disso, ajuda a desenvolver no aluno a habilidade de aprender a duvidar, que faz parte do pensamento crítico. Observemos um exemplo:

Tenho 14 adesivos e Helena tem 29. Qual é a idade de Helena?

Nesse tipo de problema, é comum que os alunos utilizem os números 14 e 29 para fazer uma “conta” e tentar encontrar, de qualquer maneira, a idade de Helena, ou então respondem 29, apesar de esse número se referir aos adesivos. Isso ocorre, frequentemente, porque os alunos estão habituados a resolver problemas convencionais, em que a única tarefa que desempenham é buscar um algoritmo para solucionar o problema, usando para isso os números apresentados no texto, sem analisá-los com maior atenção e reflexão. Você pode elaborar problemas sem solução para os seus alunos transformando os textos de alguns problemas convencionais encontrados nos livros didáticos. Isso pode ser feito trocando a pergunta de tal forma que os dados impeçam a resposta, fazendo uma mudança no contexto ou, ainda, retirando alguns dados e incluindo condições extras que tornem a situação impossível de ser resolvida. Por exemplo, o problema convencional “Vilma coleciona chaveiros. Está usando um e deixou os demais em duas caixas: uma com 348 chaveiros e outra com 177. Ao todo, quantos chaveiros ela tem?” pode transformar-se nos seguintes problemas sem solução: a) Vilma coleciona chaveiros. Está usando um e deixou os demais em duas caixas: uma com 348 chaveiros e outra com 177. Quantos chaveiros vermelhos Vilma têm? b) Vilma coleciona chaveiros. Ela está usando alguns e deixou os demais em duas caixas: uma com 348 chaveiros e outra com 177. Ao todo, quantos chaveiros ela tem?

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PROBLEMA COM MAIS DE UMA SOLUÇÃO O uso desse tipo de problema nas aulas de Matemática rompe com a crença de que todo problema tem uma única resposta, bem como com a crença de que há sempre uma maneira certa de resolver o problema e que, mesmo quando há várias soluções, uma delas é a correta. Como vimos, nem todos os problemas têm solução e, quando têm, ela pode não ser única. O trabalho com problemas com duas ou mais soluções faz com que o aluno perceba que resolvê-los é um processo de investigação do qual ele participa como ser pensante e produtor de seu conhecimento. Vejamos um exemplo:

Júlia e Mariana têm juntas 10 reais. Quanto dinheiro Mariana tem?

Algumas soluções possíveis são: a) Organizar os dados em uma tabela: MARIANA

JÚLIA

TOTAL

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b) Fazer representação com notas:

Mariana

Júlia

De acordo com o ano no qual é proposto, esse problema pode ter diferentes respostas. Em um 2o ano, os alunos podem usar notas, moedas ou desenhos para resolvê-lo. Em um 3o, podem usar uma tabela. Já no 4o e no 5o ano, eles podem usar números decimais, aumentando em muito o número de respostas possíveis.

Mariana: 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 = 5 Júlia: 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 = 5 Mariana e Júlia: 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 + 0,50 = 10

PROBLEMA COM EXCESSO DE DADOS Nesses problemas, nem todas as informações disponíveis no texto são usadas em sua resolução. Esse tipo de problema evita que os alunos desenvolvam a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso, evidencia ao aluno a importância de ler, fazendo com que ele aprenda a selecionar dados relevantes para a resolução de um problema. Problemas desse tipo aproximam-se de situações mais realistas que o aluno deverá enfrentar em sua vida, pois, na maioria das vezes, os problemas do cotidiano não são propostos de forma objetiva e concisa. Nesses casos, o resolvedor terá pela frente, em geral, uma situação confusa, cheia de informações supérfluas que devem ser identificadas e descartadas. Para trabalhar com esse tipo de problema, você pode acrescentar alguns dados, numéricos ou não, a um problema convencional e explorar esse novo texto. Vejamos um exemplo:

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As bolas de tênis produzidas por uma fábrica são embaladas em tubos com 5 bolas em cada um. Depois, 6 dúzias dessas embalagens são reunidas numa caixa. Uma loja de artigos esportivos comprou 3 dessas caixas para revenda. Quantas bolas ela comprou?

As bolas de tênis produzidas por uma fábrica com 150 funcionários são embaladas em tubos plásticos com 5 bolas em cada um. Depois, 6 dúzias dessas embalagens são reunidas numa caixa de madeira. Uma loja de artigos esportivos do centro da cidade comprou 3 dessas caixas para revenda. Quantas bolas ela comprou?

Nos dois problemas, a estrutura matemática de resolução é exatamente a mesma; porém, na segunda versão há alguns dados desnecessários que devem ser descartados para a resolução. Também há características desse tipo nos problemas que envolvem uma história e que, em geral, para descrever o ambiente, o enredo e os personagens da história, utilizam informações textuais desnecessárias para a resolução matemática. Tais elementos requerem do leitor uma atenção maior para a seleção do que é relevante para obter a resposta do problema. Observe um exemplo:

Lilica é uma coelha branquinha e fofinha que mora com seus dois filhotes, Tuca e Pituca. Lilica quer dividir 6 cenouras entre seus dois coelhinhos. Quantas cenouras cada um receberá?

Outra maneira de propor problemas com excesso de dados consiste em utilizar tabelas, artigos de jornais ou revistas, anúncios de vendas e gráficos. Essas são algumas das fontes muito usadas para organizar e comunicar informações que envolvem muitos dados numéricos e que, por isso, permitem a formulação de perguntas que requerem a seleção de alguns dos vários dados para a obtenção da resposta. Peça aos alunos que tragam folhetos de supermercado, por exemplo, e proponha a seguinte situação:

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Observe o anúncio de supermercado que você trouxe. O que você compraria com 30 reais de modo a gastar o máximo desse dinheiro? Qual seria o troco?

PROBLEMA DE LÓGICA Estes são problemas que fornecem uma proposta de resolução cuja base não é numérica, que exigem raciocínio dedutivo e que propiciam uma experiência rica para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e classificação. Para resolver problemas de lógica é preciso algum registro – uma tabela, uma lista, um esquema; cada pessoa prefere uma forma para organizar os dados, que são estratégias importantes para a resolução. Além da exigência de usar uma dessas estratégias não convencionais para sua resolução, os problemas de lógica, pelo inusitado das histórias e pela sua estrutura, estimulam mais a análise dos dados, favorecem a leitura e a interpretação do texto e, por serem motivadores, atenuam a pressão para obter imediatamente a resposta correta. Um exemplo:

Três pessoas têm profissões diferentes. Elas têm preferência por alimentos e bebidas diferentes. Siga as pistas e depois responda às perguntas. a) Lucas bebe leite e não é advogado. b) O amigo de quem é motorista prefere refrigerante. c) Beto não come pizza nem batatas fritas. d) Sérgio é músico. e) Quem come pizza bebe café.

1. Quem prefere pizza? 2. Quem bebe refrigerante? 3. Quem é motorista?

Neste problema, como Lucas bebe leite e quem come pizza bebe café, é possível concluir que Lucas não prefere pizza. Mas Beto também não come pizza; assim, resta Sérgio na preferência desse tipo de alimento. A resposta final ao problema é: Sérgio prefere pizza, Beto bebe refrigerante e Lucas é motorista.

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As crenças de que todo problema exige cálculos ou aplicação de fórmulas e de que a resolução deve ser rápida não têm espaço quando se trabalha com esse tipo de problema. Além disso, eles naturalmente permitem que os alunos apresentem diferentes resoluções, o que favorece a argumentação e a ampliação do repertório dos alunos quando uns conhecem os registros das diversas soluções encontradas por seus colegas. Esses problemas podem ser propostos desde os anos iniciais, com textos mais simples do que o do exemplo anterior.

Qual é o vencedor?

Cinco meninos apostaram uma corrida. Leia, estude as dicas abaixo e diga quem venceu a corrida. a) O vencedor usa camisa listrada. b) Ele não é o menino mais alto. c) Ele está usando calças escuras. Descubra qual é a viagem

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Após as férias, Laura, Beth, Júlia e Kátia estavam loucas para contar umas às outras detalhes de suas viagens. Quando se encontraram foi uma enorme bagunça, todas falavam ao mesmo tempo, entusiasmadas. Assim, ficou impossível lembrar com detalhes para onde cada uma havia viajado e como havia feito a viagem. Siga as pistas e descubra para onde cada uma viajou e de que maneira. Em seguida, complete a tabela. a) Beth adorou a viagem que fez para Curitiba. b) Júlia viajou de trem. c) Laura não viajou para Santos. d) Quem foi para Santos viajou de ônibus. e) Laura não viajou de carro. f) Kátia não foi para Joinville. g) Quem foi para o Peru viajou de avião.

Lugar

Meio de transporte

Laura Beth Júlia Kátia

PROBLEMA DE ESTRATÉGIA Este é um problema que, por si só, solicita uma estratégia para sua resolução e não um algoritmo. A solução desse tipo de problema depende de combinar as informações do texto de forma adequada e escolher alguma estratégia não convencional para sua resolução. Vejamos um exemplo:

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Um homem precisa levar uma raposa, uma galinha e um cesto de milho até a outra margem do rio. O problema é que ele só pode levar uma dessas coisas de cada vez. Levando o cesto de milho, a raposa come a galinha. Se ele levar a raposa, a galinha come o milho. Como poderia resolver esse problema?

Existem algumas soluções para esse problema. A solução clássica seria: na primeira viagem levar a galinha; na segunda, levar a raposa e trazer a galinha de volta; na terceira viagem, levar o milho e, finalmente, na quarta viagem levar a galinha. Cabe a você discutir as diversas soluções apresentadas.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM Considerações importantes Cada um dos tipos de problema apresentados neste caderno são sugestões para apoiar o ensino nas aulas de Matemática na Perspectiva Metodológica da Resolução de Problemas. No entanto, é preciso alguns cuidados porque não temos como objetivo treinar a Resolução de Problemas não convencionais nem fazer dos alunos especialistas na Resolução de Problemas de determinado tipo; por isso, não devemos trabalhar com os diversos tipos de uma só vez. Sugerimos a resolução desses problemas ao longo de todo o curso de forma diversificada e pertinente. Um modo de fazer isso é planejar que os alunos resolvam um ou dois problemas não convencionais a cada semana, alternando os tipos de problemas. É importante que, antes da discussão coletiva, os alunos tenham tempo para pensar a respeito do problema e tentar resolvê-lo por si mesmos. Um ponto essencial é a discussão e análise das resoluções coletivamente, pois é nesse momento que os alunos revelam suas aprendizagens, partilham seus registros e formas de pensar e, assim, ampliam seu repertório em termos de estratégias e formas de organizar a Resolução de Problemas.

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PAINEL DE SOLUÇÃO No trabalho com Resolução de Problemas nos anos iniciais dois fatores são importantes: o tipo de problema a ser trabalhado e a compreensão de seu texto, bem como a atenção que devemos dar aos diferentes modos pelos quais as crianças podem resolver problemas. Acreditamos que este é um caminho que contribui muito para que a Resolução de Problemas seja um processo de investigação, no qual o aluno se posicione com autonomia e confiança e possa combinar seus conhecimentos para resolver os problemas apresentados. Para que os alunos sejam capazes de apresentar as diferentes maneiras que utilizam para resolver problemas, cabe a você propiciar um espaço de discussão no qual eles pensem sobre os problemas que vão resolver, elaborem uma estratégia e façam o registro da solução encontrada ou dos recursos que utilizaram para chegar ao resultado. Assegurar esse espaço é uma forma de intervenção didática que favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras e às crenças tão presentes nas aulas de Matemática. A valorização dos diferentes modos de resolução apresentados pelas crianças inibe o desenvolvimento de algumas atitudes inadequadas em relação à Resolução de Problemas, como, por exemplo, abandonar rapidamente um problema quando a técnica envolvida não é identificada, esperar que alguém o resolva, ficar perguntando qual é a operação que resolve a situação, ou acreditar que não vale a pena pensar mais demoradamente para resolver um problema. Existem vários tipos de trabalho que podem ser realizados para a valorização dos diferentes modos de resolução apresentados pelos alunos. Um deles é fazer um painel de soluções. Essa atividade é realizada a partir da coleta de diferentes soluções apresentadas pelas crianças e de sua colocação em um painel, possibilitando à classe conhecer os diferentes caminhos encontrados para resolver uma mesma situação. Mesmo que algumas estratégias não estejam completamente corretas, é importante que elas também sejam afixadas para que, por meio da discussão, as crianças percebam em que erraram e como é possível avançar. A própria classe pode apontar caminhos para que os colegas se sintam incentivados a prosseguir. Esse painel, que contém todas as soluções ou apenas parte delas, também pode ser afixado fora da sala de aula. Essa prática faz com que as crianças se posicionem diante do grupo e opinem sobre os caminhos dos amigos em pequenos grupos que se reúnem ao terminar a tarefa, na hora do recreio ou antes da entrada. Quanto à escolha do problema para o painel de solução, considere que: problemas simples, que envolvem conceitos de uma operação matemática e cuja linguagem é apoiada em imagens e texto curto, podem ser adequados para crianças dos anos iniciais, que não conhecem nenhuma técnica operatória, mas não favorecem a descoberta de diferentes soluções entre alunos que conhecem os algoritmos e que os resolvem facilmente, fazendo os cálculos necessários;

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problemas que envolvem mais de uma operação, que envolvem o raciocínio combinatório, e problemas não convencionais são os mais adequados para o início desse trabalho, pois naturalmente podem ser resolvidos de várias formas diferentes. Após a escolha cuidadosa do problema, proponha aos alunos uma determinada situação e deixe que eles encontrem diferentes modos de resolução.

Ricardo é um veterinário. Ele mora com sua gata Mimi. Ela tem 8 gatinhos a cada 4 meses. Se Ricardo criasse todos os filhotes de Mimi, quantos gatinhos ele teria no final de 3 anos?

Observe algumas resoluções apresentadas por alunos. Solução 1

Solução 2

Solução 3

Solução 4

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A professora Regina tem 42 alunos. A professora Ana tem 24 alunos. Quantos alunos a professora Ana tem a menos que a professora Regina?

Observe algumas resoluções apresentadas por alunos.

Solução 1

Solução 2

Solução 3

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Em relação aos encaminhamentos do painel de solução: incentive os alunos a buscarem diferentes formas de resolver problemas, pois isso permite uma reflexão mais elaborada sobre os processos de resolução, sejam eles por meio de algoritmos convencionais, desenhos ou esquemas, sejam por oralidade; aceite e analise as diversas estratégias de resolução como válidas e como importantes etapas do desenvolvimento do pensamento, permitindo a aprendizagem pela reflexão e auxiliando o aluno a ter autonomia e confiança na própria capacidade de pensar matematicamente; no momento da correção, você pode colocar no quadro as alternativas encontradas pelas crianças e discuti-las com elas, para assegurar que todos tenham entendido; se não surgirem várias soluções diferentes, apresente um jeito que difere dos apresentados, que pode ter surgido em outra classe ou que você tenha preparado antes. Coloque a solução no quadro para que a classe tente explicá-la; ao terminar a discussão, os alunos podem anotar no caderno duas ou três soluções diferentes, indicando o nome dos autores; os alunos podem resolver problemas de Matemática de forma mais prazerosa e autônoma explorando as situações apresentadas, buscando caminhos próprios e compreendendo a linguagem matemática como um recurso de comunicação de ideias; mesmo que algumas estratégias não estejam completamente corretas, é importante que elas também sejam afixadas, para que, por meio da discussão, as crianças percebam em que erraram e como é possível avançar. O PAINEL DE SOLUÇÃO E O TRABALHO PARA AVANÇAR COM BASE NOS ERROS Neste processo de resolução, quando os alunos são incentivados a expressar livremente seu modo de pensar, é natural que surjam algumas soluções incorretas. Há várias ações que você pode realizar diante do erro, porém o mais importante é garantir que haja um clima de respeito e confiança em sala de aula para que as crianças se sintam à vontade para lidar com o erro. Discutir com o grupo por que a solução está errada é uma das formas de trabalho que contribuem muito para que a criança reveja suas estratégias, localize seu erro e reorganize os dados em busca de uma solução correta. Ao identificar erros que venham acontecendo com certa frequência, você pode selecionar alguns deles e montar uma folha para que as crianças descubram onde está o erro e tentem corrigi-lo por meio de discussão com os colegas. Outra possibilidade diante do aparecimento de uma estratégia inadequada à situação apresentada é você sugerir que a classe crie um novo problema que possa ser resolvido por aquela estratégia e comparar os dois: o original com solução inadequada e o criado para se adaptar àquela resolução. Outra maneira de refletir sobre o erro como etapa importante da tentativa de resolução adequada ou correta de um problema consiste na atividade de transgredir, resolvendo um problema de forma errada. Para isso, as crianças precisam saber como são resolvidos os problemas que vão transgredir, para assim poder realizar a tarefa com consciência, apontan-

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do quais são as ações que não solucionam o problema e por que isso ocorreu. Após serem resolvidos erroneamente, os problemas devem ser trocados entre os alunos, para que encontrem e corrijam o erro propositadamente cometido pelo colega. Depois disso, os alunos podem ser estimulados a conversar sobre como foram feitas as correções.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM Conquistando a resolução convencional rabalhar apenas com discussão das estratégias criadas pelas crianças com problemas isolados não garante a aprendizagem dos conteúdos matemáticos. É necessário que o trabalho com resolução tenha um fio condutor e que haja uma sequência a ser seguida, a qual possibilite maior entendimento de determinado conteúdo matemático. Propor problemas com números maiores cria uma situação na qual o recurso do desenho será dificultado para a criança, que é forçada a pensar em outras formas de resolução. Isso pode fazer com que algumas delas não consigam resolvê-los sozinhas, o que pode ser contornado organizando-se o trabalho em pequenos grupos, ou em duplas, que se apoiam na busca de uma boa estratégia de resolução. Outro modo de trabalhar com a linguagem matemática é propor aos alunos que analisem a resolução pelo algoritmo convencional. Aqueles que até então estavam resolvendo problemas a seu modo, utilizando desenhos ou outras estratégias de solução, podem conhecer mais uma possibilidade de resolução. As crianças podem ser incentivadas a comparar as diferentes resoluções com a convencional e perceber que esta é, muitas vezes, mais econômica e mais rápida do que outros procedimentos. Em outras situações, as crianças podem resolver os problemas por desenho, pois o objetivo não é obrigá-las a utilizar apenas a técnica convencional, mas fazer com que conheçam um algoritmo que possa ser utilizado sempre que necessário.

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LEITURA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS É frequente os professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar um problema ou exercício de Matemática estão associadas à pouca competência que eles têm para leitura. Também é comum a concepção de que, se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, consequentemente ele seria melhor leitor nas aulas de Matemática. Embora essas afirmações estejam em parte corretas, uma vez que ler é um dos principais caminhos para ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta atribuir as dificuldades dos alunos em ler textos matemáticos à sua pouca habilidade em ler nas aulas de língua materna. A essa frágil relação entre ler nas aulas de Matemática e ler nas aulas de Língua Portuguesa subjaz, necessariamente, uma concepção equivocada do que é ser um leitor competente. Em outras palavras, a competência leitora não pode ser resumida a um conjunto restrito de conhecimentos e habilidades aplicáveis a qualquer situação de leitura. Não lemos com os mesmos olhos todos os textos com os quais interagimos. Portanto, ler bem nas aulas de Língua Portuguesa não implica ler bem nas aulas de Matemática ou em outras situações de leitura. No entanto, não podemos negar que ler e compreender um texto matemático são ações indispensáveis para sua resolução. Fica, então, a pergunta: qual a relação entre ler, compreender e resolver problemas? Conforme afirmamos acima, cada ato de leitura responde a um objetivo específico. Na tentativa de construir sentido naquilo que lê, o leitor elabora estratégias, mobiliza conhecimentos prévios e realiza inferências de modo a atingir seu objetivo, ou seja, a compreensão do texto. No caso da leitura de problemas é essencial que o leitor disponha das habilidades de identificar e relacionar as informações do texto. Ou seja, orientar a leitura do problema com questionamentos como “Que dados eu tenho para resolver esse problema?” e “Como esses dados me ajudam a encontrar uma solução para esse problema?” auxilia o leitor a reconhecer o objetivo dessa leitura e, portanto, a traçar estratégias adequadas para a resolução do desafio proposto. No entanto, o processo de Resolução de Problemas envolve, além das habilidades de leitura mencionadas acima, conhecimentos matemáticos específicos, que as crianças também precisam ter construído para que, ao mesmo tempo que leem o texto-problema, possam realizar inferências, levantar hipóteses, realizar constatações e propor soluções adequadas. Em outras palavras, a Resolução de Problemas requer uma fusão entre habilidades de leitura e conhecimentos matemáticos específicos. É importante, contudo, salientar que essas habilidades e conhecimentos precisam ser tomados como objeto de ensino. Ou seja, é necessário ensinar a ler problemas, criar situações de aprendizagem nas quais os estudantes possam desenvolver a competência leitora, construir conhecimentos matemáticos e relacioná-los nas tentativas de resolver o problema, respondendo ao objetivo desse ato de leitura. Não se espera, portanto, que as crianças, apenas por serem alfabetizadas, sejam capazes de ler e resolver problemas, mas que tenham oportunidade de avançar nessa leitura, construindo aprendizagens com autonomia. Em síntese, dentre as diversas metas a serem perseguidas pela escola fundamental, deve Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I Reprodução proibida: Reproduzir livro é crime: Código penal, Lei 9610/88, art. 184, título VII: sanções às violações de direitos autorais

merecer atenção especial que os alunos aprendam progressivamente a utilizar a leitura para buscar informação e para aprender, podendo exprimir opinião própria a respeito do que leram. Ao final do Ensino Fundamental é preciso que os alunos possam ler textos adequados para sua idade de forma autônoma, aprender sobre diferentes áreas do conhecimento por meio da leitura, estabelecendo inferências, fazendo conjecturas, relendo o texto, conversando com outras pessoas sobre o que foi lido. Nossos estudos têm mostrado que é cada vez mais importante que a leitura seja objeto de preocupação também nas aulas de Matemática, e é a esse respeito que falaremos neste capítulo do caderno de formação. LER EM MATEMÁTICA Há uma especificidade, uma característica própria na escrita matemática que faz dela uma combinação de sinais, letras, palavras que se organizam segundo certas regras para expressar ideias. Além dos termos e sinais específicos, há na linguagem matemática uma organização de escrita nem sempre similar àquela que encontramos nos textos da língua materna, o que exige um processo particular de leitura. Essas características nos levam a considerar que os alunos devem aprendem a ler Matemática e ler para aprender Matemática durante as aulas dessa disciplina; pois, para interpretar um texto matemático, o leitor deve familiarizar-se com a linguagem e os símbolos próprios desse componente curricular, encontrando sentido no que lê, compreendendo o significado das formas escritas que são inerentes ao texto matemático, percebendo como ele se articula e serve para expressar conhecimentos. É durante as aulas em que se discutem conceitos e procedimentos matemáticos que temos as melhores condições para que a leitura em Matemática se desenvolva. No entanto, formar um leitor não é uma tarefa simples e envolve uma série de processos cognitivos e afetivos, que vão permitir uma aprendizagem mais ou menos significativa dependendo do quanto o professor valorizar a leitura nas aulas de Matemática, pois, do mesmo modo que ocorre nas aulas de língua materna, é muito difícil que alguém que não valorize a leitura, que não sinta prazer em ler, consiga transmitir prazer aos demais.

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PROBLEMAS E CRIANÇAS LEITORAS A dificuldade que os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas está, entre outros fatores, ligada à ausência de um trabalho específico com o texto do problema. O estilo no qual os problemas de Matemática geralmente são escritos, a falta de compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos da Matemática que, portanto, não fazem parte do cotidiano do aluno e até mesmo palavras que têm significados diferentes na Matemática e fora dela – total, diferença, ímpar, média, volume, produto – podem constituir-se em obstáculos para que ocorra a compreensão. Para que essas dificuldades sejam superadas, ou para que nem surjam, é preciso alguns cuidados desde o início da escolarização, ou seja, desde o período da alfabetização. Cuidados com a leitura que o professor faz do problema, cuidados em propor tarefas específicas de interpretação do texto de problemas, enfim, um projeto de intervenções didáticas destinadas exclusivamente a levar os alunos a ler problemas de Matemática com autonomia e compreensão. Há muitas intervenções didáticas que você pode realizar para auxiliar os alunos a ler e interpretar problemas. No entanto, é importante enfatizar que não basta usar uma estratégia ou outra ocasionalmente, tampouco eleger uma e trabalhar intensamente com ela. Para que os alunos sejam bons leitores de problemas, é preciso combinar constância de trabalho e diversidade de escolhas didáticas. A seguir apresentaremos algumas estratégias para o trabalho específico com a leitura de problemas.

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O TEXTO DO PROBLEMA Objetivos

Ano indicado Do 3o ao 5o

Ler texto de um problema. Identificar partes do texto de um problema.

Organização Coletiva

Material necessário Cópias dos problemas para distribuir aos alunos.

Observe que a maioria dos alunos não tem dificuldade para ler palavras ou frases; a dificuldade está em articular o texto como um todo. Isso acontece porque o texto-problema tem características próprias e, por isso, sua leitura exige uma forma de ler que precisa ser aprendida nas aulas de Matemática. Como já estudamos no ciclo da Resolução de Problemas, a primeira condição para se resolver um problema é aceitá-lo como seu. Ou seja, a proposta do problema deve ser tal que mobilize o resolvedor a querer resolvê-lo. Em seguida, é preciso iniciativa no sentido de buscar compreender do que trata o problema, identificando o que se pede, o que se sabe e o que é preciso saber para resolver a situação. O processo de resolução não para aí, mas sem essas duas etapas iniciais a resolução se torna obrigação e gera baixo envolvimento, busca de soluções prontas ou, ainda pior, abandono rápido, ficando o aluno à espera de que outra pessoa resolva o problema. Todo problema tem uma ou mais perguntas a serem respondidas por quem o resolve, tem dados numéricos ou não e uma história que mostra como os dados se relacionam. Por isso, comece identificando com os alunos essas três partes de qualquer texto-problema.

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1a ETAPA

Inicie a aula em uma grande roda, perguntando: O que é um problema? O que é um problema de Matemática? Quem gosta de resolver problemas? Essa conversa tem como objetivo criar um ambiente no qual os alunos possam expressar seus receios, sem censura ou julgamento de sua parte. Apenas registre o que eles dizem. Muito provavelmente você ouvirá deles que os problemas de Matemática só existem na escola e que são difíceis. 2a ETAPA

Com os alunos organizados em duplas, peça que anotem no caderno a seguinte situação-problema:

Na fila de espera do elevador estão 18 pessoas. O elevador só pode levar 5 pessoas de cada vez. Cada subida e descida do elevador demora 3 minutos. Quanto tempo a última pessoa da fila deve esperar para subir no elevador?

Após uma leitura inicial, em voz alta, solicite que os alunos: Contornem de laranja a pergunta do problema. Pintem de vermelho os dados do problema. Peça-lhes que pintem só os dados de que forem precisar para responder à pergunta. Marquem de azul a história do problema. Quando acontece alguma coisa que transforma os dados, essa ação sempre é descrita por algumas frases do texto. Circule pela sala, sem interferir nos trabalhos das duplas, observando-as de perto. Registre sempre as falas que merecem atenção porque contêm equívocos ou porque mostram percepções interessantes. Nesse momento, não é necessário que as duplas resolvam os problemas, pois esse não é o foco da atividade.

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Veja as marcações esperadas no texto do problema proposto:

Na fila de espera do elevador estão (azul) 18 pessoas. (vermelho) O elevador só pode levar (azul) 5 pessoas (vermelho) de cada vez. Cada subida e descida do elevador demora (azul) 3 minutos. (vermelho) Quanto tempo a última pessoa da fila deve esperar para subir no elevador? (laranja)

3a ETAPA

Nesta etapa, explicite o que os alunos aprenderam com essa atividade e sistematize as partes integrantes de um texto de problema, fazendo um texto coletivo. Conte a eles que o objetivo dessa atividade foi a leitura de problemas e que eles podem usar essa estratégia outras vezes. É importante lembrar que não basta essa atividade para resolver as questões de leitura dos alunos. Nas próximas atividades apresentaremos outras estratégias de leitura. Você também poderá trazer outros problemas para que eles marquem a pergunta, os dados e a história do texto.

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LENDO PROBLEMAS – I Ano indicado

Objetivos

Do 1o ao 3o

Ler com compreensão e dominar progressivamente a leitura para buscar informação e para aprender, bem como para exprimir opinião própria sobre o que foi lido.

Organização Coletiva

Material necessário Cópias dos problemas para distribuir aos alunos.

1a ESTRATÉGIA

Inicie escrevendo no quadro de giz ou digitando e projetando um dos problemas que apresentamos a seguir. Faça uma leitura cuidadosa com os alunos, primeiro do problema todo, para que eles tenham a ideia geral da situação, depois mais detidamente, para que percebam as palavras do texto, sua grafia e seu significado. Em outro momento, você poderá propor o problema escrito e fazer questionamentos orais com a classe, como é comum fazer durante a discussão de um texto, o que auxilia o trabalho inicial com problemas escritos. Exemplos desses questionamentos: Quem pode contar o problema novamente? Há alguma palavra nova ou desconhecida? Do que trata o problema? Qual é a pergunta? Ao usar essa estratégia, tome cuidado para não resolver o problema pelos alunos durante a discussão e também para não tornar esse recurso uma regra ou um conjunto de passos obrigatórios que representem um roteiro de resolução. Exemplos de problemas que podem ser usados para essa atividade:

João coleciona miniaturas. Sua coleção tem 14 miniaturas de carrinhos, 10 de bonecos e 5 bolinhas. Quantas miniaturas tem a coleção de João?

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Lúcia quer comprar um livro que custa 14 reais. Ela já conseguiu 9 reais. Quanto falta para ela poder comprar o livro?

Fernando tem 2 coelhas, Clara e Lilica. Ele quer distribuir 16 cenouras para as coelhas, de modo que ambas ganhem a mesma quantidade. Quantas cenouras cada coelha vai ganhar?

Jeferson é o “cestinha” de seu time de basquete. Cada vez que lança a bola e acerta, ele marca 3 pontos para o time. Jeferson fez 5 cestas no começo do jogo. Quantos pontos ele fez para seu time?

2a ESTRATÉGIA

Entregue a cada aluno uma folha com o problema escrito e proponha que os alunos grifem determinadas palavras:

Em um ônibus estavam 25 pessoas. Na primeira parada, desceram 8 pessoas e subiram 10. Na segunda parada, desceram 4 pessoas e subiram 6. Quantas pessoas ficaram no ônibus?

Em um segundo momento, peça aos alunos que encontrem no texto do problema outras palavras que comecem, ou terminem, com o mesmo som ou com a mesma letra, escrevendo as palavras em uma lista no caderno. Depois dessa exploração, deixe que os alunos resolvam o problema e socialize as soluções encontradas.

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3a ESTRATÉGIA

Escreva no quadro o texto do problema a seguir sem algumas palavras e peça aos alunos que o analisem para descobrir as palavras que faltam. Ao lado do problema com lacunas, você pode escrever as palavras que foram retiradas para que os alunos escolham qual delas colocar em cada lacuna, de modo que o problema fique coerente e possa ser resolvido. Observação: mais adiante, abordaremos especificamente este tipo de problema, o problema com lacunas.

Uma banda de rock era composta de 7 elementos. Saíram 2 para fazer carreira sozinhos. Quantos integrantes permaneceram na banda?

Texto com lacunas:

Uma banda de sozinhos. Quantos

era composta de 7 permaneceram na

. Saíram 2 para fazer carreira ?

Palavras retiradas: rock, elementos, integrantes e banda.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

m todos esses casos, o professor pode escolher trabalhar com palavras e frases que sejam significativas para os alunos, ou que precisem ser discutidas com a classe, incluindo as que se relacionam com noções matemáticas. Os problemas são resolvidos após toda a discussão a respeito do texto, que a essa altura já terá sido interpretado e compreendido pela classe, uma vez que as atividades que sugerimos aqui contemplam leitura, escrita e interpretação simultaneamente.

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LENDO PROBLEMAS – II Ano indicado

Objetivos

4o e 5 o

Organização Em duplas ou individual

Ler com compreensão e dominar progressivamente a leitura para buscar informação e para aprender, bem como para exprimir opinião própria sobre o que foi lido.

Material necessário Cópias da Ficha do aluno: Problema com lacuna, para distribuir pelas duplas.

1a ETAPA

Entregue aos alunos cópias da Ficha do aluno: Problema com lacuna e peça-lhes que, em duplas, analisem o texto para descobrir as palavras que faltam. Quando as duplas completarem seus problemas com as palavras, socialize as respostas fazendo com que os alunos observem se o texto construído está coerente e se pode ser resolvido. Outras estratégias: Deixar que façam a leitura sozinhos ou em dupla, identificando a temática do problema, a pergunta, as palavras desconhecidas; ou, ainda, que um dos alunos da dupla explique o problema ao colega. Localizar as informações seguindo um roteiro – o que é importante e o que é secundário – e grifá-las no problema. Apagar o que não é importante e ver se é possível resolver o problema. Procurar no dicionário o significado de palavras desconhecidas presentes no texto do problema.

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FICHA DO ALUNO

PROBLEMA COM LACUNA

Nome

Data:

No texto deste problema faltam números e palavras. O que falta está embaralhado abaixo do problema. Uma palavra sobrará. 1. Complete o texto do problema. 2. Antes de resolver, escreva quais informações você usará para resolver o problema e quais são desnecessárias. 3. Resolva o problema.

Todas as semanas, Bruna vai à da escola no intervalo das horas e retira um novo livro para ler. Na segunda-feira, ela retirou um livro de contos com páginas e leu a dele até a . Nos demais dias da semana, Bruna quer ler sempre a mesma de páginas à tarde, depois de chegar da escola, e quer terminar a leitura do livro no domingo. Quantas ela deve ler em cada um desses dias?

quantidade

páginas

metade

quarta-feira

biblioteca

344

farmácia

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PROBLEMA QUEBRA-CABEÇA – I Nesta estratégia de leitura, os alunos, em duplas e depois individualmente, recebem um problema escrito em tiras, como se fosse um quebra-cabeça, que deve ser montado na ordem correta antes de ser resolvido. Essa proposta auxilia os alunos a perceber como se articula o texto do problema e como ele é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto.

Ano indicado

Objetivos

2o e 3 o

Ler problemas com autonomia.

Organização Em duplas e coletiva

Material necessário

Perceber como se articula o texto do problema e como ele é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto.

Cópias da Ficha do aluno: Problema quebra-cabeça – I, para distribuir pelas duplas; cola e tesoura.

Organize os alunos em duplas e converse com eles a respeito de álbuns de figurinhas. Verifique conhecimentos prévios e diga-lhes que vão montar uma história com esse tema. Em seguida, entregue a cada dupla o primeiro problema da Ficha do aluno: Problema quebra-cabeça – I, já com as tiras recortadas. Deixe que as duplas discutam como montar o texto. Depois de terminado, socialize as respostas, problematizando a ordem das tiras: Como se inicia essa história? Qual é a última frase? Qual é a característica da última frase? É importante que eles percebam como é a estrutura do texto de um problema.

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Ela já colou 58 figurinhas. Seu irmão deu a ela 12 figurinhas. Quantas figurinhas ela ainda precisa comprar para completar seu álbum? Alice coleciona figurinhas da Disney. O álbum, para estar completo, deve ter 85 figurinhas. Ela resolveu comprar todas as figurinhas que faltam na sua coleção.

Quando eles tiverem montado o texto e conversado bastante sobre o problema, peça que o resolvam em duplas. Você pode escolher outros problemas, mais simples, para crianças que ainda não tenham fluência na leitura, usando essa mesma estratégia, como o segundo problema de Ficha do aluno: Problema quebra-cabeça – I.

Quantos dias ele dormiu neste mês? Lux é um monstro bebê. Ele dorme apenas às segundas, quartas e sextas-feiras.

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FICHA DO ALUNO

PROBLEMA QUEBRA-CABEÇA – I

Quantos dias ele dormiu neste mês? Lux é um monstro bebê. Ele dorme apenas às segundas, quartas e sextas-feiras.

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PROBLEMA QUEBRA-CABEÇA – II Objetivos

Ano indicado 4o e 5 o

Organização Coletiva, em duplas e individual

Material necessário Cópias da Ficha do aluno: Problema quebra-cabeça – II, para distribuir pelas duplas; cola e tesoura.

Ler problemas com autonomia; perceber como se articula o texto do problema e como ele é construído, enfatizando a coerência textual e a articulação da pergunta com o restante do texto. Refletir sobre o papel dos dados numéricos no texto do problema.

1a ETAPA

Nesta proposta para problema quebra-cabeça, os alunos, além de colocarem as tiras em ordem, precisam localizar e colocar os dados numéricos no problema. Organize os alunos em duplas, converse com eles sobre baleias e toneladas e verifique o que já sabem a respeito do assunto. Diga-lhes que vão montar uma história que trata desse tema. Em seguida, entregue para cada dupla a Ficha do aluno: Problema quebra-cabeça – II, já com as tiras recortadas. Deixe que os alunos discutam na dupla como montar o texto e inserir os dados numéricos, de modo que o problema fique coerente. Depois de terminado, socialize as respostas, problematizando a ordem das tiras: Como se inicia essa história? Como é a última frase? Qual é a característica da última frase? Os números estão de acordo com as unidades de medida? É importante que eles percebam como é a estrutura do texto de um problema e que os dados numéricos têm relação com o texto.

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Um ano depois, o bebê baleia já tem cerca de O filhote da baleia-azul nasce com cerca de Uma baleia-azul tem aproximadamente e seu tamanho aproximado é de Vive cerca de

toneladas. toneladas. toneladas

metros.

anos.

Veja o texto na ordem correta, com os dados numéricos: Uma baleia-azul tem aproximadamente 130 toneladas e seu tamanho aproximado é de 30 metros. Vive cerca de 90 anos. O filhote da baleia-azul nasce com cerca de 3 toneladas. Um ano depois, o bebê baleia já tem cerca de 26 toneladas.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 98

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FICHA DO ALUNO

PROBLEMA QUEBRA-CABEÇA – II

Um ano depois, o bebê baleia já tem cerca de O filhote da baleia-azul nasce com cerca de Uma baleia-azul tem aproximadamente e seu tamanho aproximado é de Vive cerca de

toneladas. toneladas. toneladas

metros.

anos.

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Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 100

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QUAL A OPERAÇÃO? – I Ao realizar esta atividade com a classe, são necessários alguns cuidados, como garantir que, entre as operações, haja algumas que sejam inadequadas, que haja diferentes operações que conduzam à resposta do problema ou um conjunto de operações que não se encaixem no problema proposto. Ao final da atividade, é fundamental que todos apresentem suas justificativas para as escolhas, que poderão ser registradas no caderno.

Objetivos

Ano indicado 2o e 3 o

Ler problemas com autonomia.

Organização Coletiva e em duplas

Perceber que poderão cometer erros se fizerem uma leitura apressada do problema. Perceber que há mais de um modo de resolver um problema.

Material necessário Cópias da Ficha do aluno: Qual a operação? – I, para distribuir pelas duplas.

Aprender a analisar as vantagens e desvantagens de cada solução.

Nesta proposta, solicite aos alunos que leiam cada problema e associem a ele a operação adequada, justificando, oralmente ou por escrito, as escolhas feitas. Seria proveitoso colocar entre as soluções algumas que incluam erros comuns cometidos pelos alunos na Resolução de Problemas. Peça aos alunos que, em duplas, façam as atividades da Ficha do aluno: Qual a operação? – I, discutindo cada um dos problemas. Diga que nesses problemas eles não precisarão calcular nada, mas precisam escolher a melhor forma para chegar à solução.

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101

FICHA DO ALUNO

QUAL A OPERAÇÃO? – I

Nome

Data:

Estes são problemas diferentes. Você não precisa calcular nada, mas precisa escolher a melhor forma para chegar à solução. Pinte o retângulo com a conta que resolve cada problema. Pode haver mais de um retângulo como resposta. 1. Jéssica ganhou 60 reais de seu avô. Ela encontrou 25 reais espalhados no fundo de suas 5 bolsas. Com quanto dinheiro Jéssica ficou?

60 + 25 + 5

60 – 25

Resposta: Jéssica ficou com

reais.

60 + 25

2. Jurandir distribuiu os livros dele em 3 estantes, colocando 9 livros em cada uma delas. Quantos livros Jurandir tem?

9+9+9

Resposta: Jurandir tem

3+9

3x9

livros.

Agora, termine de resolver os problemas em seu caderno.

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QUAL A OPERAÇÃO? – II Ano indicado

Objetivos

4o e 5 o

Ler problemas com autonomia.

Organização Em duplas e individual

Perceber que poderão cometer erros se fizerem uma leitura apressada do problema. Perceber que há mais de um modo de resolver um problema.

Material necessário Cópias da Ficha do aluno: Qual a operação? – II, para distribuir pelas duplas.

Aprender a analisar as vantagens e limitações de cada solução.

Nesta proposta, solicite aos alunos que leiam cada problema e associem a ele a operação adequada, justificando, oralmente ou por escrito, as escolhas feitas. Seria proveitoso colocar entre as soluções algumas que incluam erros comuns cometidos pelos alunos na Resolução de Problemas. Peça aos alunos que, em duplas, façam as atividades da Ficha do aluno: Qual a operação? – II, discutindo cada um dos problemas. Diga que nesses problemas eles não precisarão calcular nada, mas precisam escolher a melhor forma para chegar à solução. Você também pode escrever alguns problemas no quadro usando essa estratégia. Por exemplo:

Um grupo de 20 turistas deseja fazer um passeio no Lago do Cisne. O parque dispõe de 3 pedalinhos, com 2 lugares cada um, e 2 barcos, com 6 lugares cada um. Se todos os lugares dos pedalinhos e dos barcos forem ocupados, quantos turistas terão de esperar o próximo passeio? Qual(is) das contas abaixo leva(m) a uma solução do problema? a) 20 – (3 x 2) + 2 x 6 = b) 20 – 3 x 2 + 2 x 6 = c) 20 – (3 + 2 + 2 + 6) = d) 3 x 2 + 2 x 6 + 20 =

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103

FICHA DO ALUNO

QUAL A OPERAÇÃO? – II

Nome

Data:

Escolha qual operação resolve cada problema e marque-a com um X. 1. Lúcia dirigiu a noite toda até a casa de seus pais, que moram no interior, a 210 km da cidade onde ela mora. No dia seguinte, ela voltou por outra estrada e percorreu 255 km. Quantos quilômetros ela percorreu nessa viagem?

255 – 210

210 x 255

210 + 255

2. Luís coleciona figurinhas. Ele comprou a coleção de seu primo com 547 figurinhas, mas depois descobriu que 230 eram iguais às que ele já tinha na sua coleção e que 25 delas estavam rasgadas e não podiam ser aproveitadas. Quantas figurinhas novas ele conseguiu para a coleção com essa compra?

230 + 547 – 25

547 – 230 – 25

547 – 25 + 230

3. A escola organizou uma festa e vendeu 350 ingressos a 3 reais cada um. Comprou refrigerantes e doces e gastou 560 reais. Quanto a escola teve de lucro com essa festa?

3 x 350 – 560

560 – 3 x 350

350 x 3 + 560

4. Lauro economizou 5 reais por semana durante 6 meses para comprar uma bola de futebol que custa R$ 95,00. Faltou ou sobrou dinheiro? Quanto?

95 – 5 x 6

5 x 6 x 4 + 95

5 x 4 x 6 – 95

Agora, termine de resolver os problemas em seu caderno.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 104

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COMPARANDO PROBLEMAS – I A função desta proposta é fazer com que os alunos se apropriem de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na Resolução de Problemas.

Ano indicado

Objetivos

2o e 3 o

Ler problemas com autonomia.

Organização

Apropriar-se de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na Resolução de Problemas.

Coletiva

Material necessário Papel para o cartaz e cópias da Ficha do aluno: Comparando problemas – I, para distribuir pelas duplas.

Para esta proposta, escreva no quadro ou projete dois problemas para que, coletivamente, os alunos analisem as semelhanças e as diferenças entre eles. Anote em um cartaz o que as crianças forem observando. Para propor esta atividade, é aconselhável que você escolha dois problemas que tenham ao menos algumas semelhanças, seja no texto, seja no modo de resolução, para que haja a possibilidade de uma análise mais detalhada por parte dos alunos. Você observará que, inicialmente, as comparações serão bastante simples, mas, conforme o trabalho for sendo feito e os alunos lerem e discutirem o texto várias vezes, surgirão frases que indicam análise mais sofisticada. Veja uma proposta:

Resolva os problemas abaixo e depois determine as semelhanças e as diferenças entre os dois: a) João tinha 324 figurinhas e deu 89 a um amigo. Com quantas figurinhas ele ficou? b) João deu 89 figurinhas a um amigo e 75 figurinhas a outro. Quantas figurinhas ele deu?

Após realizar essa proposta coletivamente, organize a turma em duplas e distribua a Ficha do aluno: Comparando problemas – II, para que façam essas atividades. Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I Reprodução proibida: Reproduzir livro é crime: Código penal, Lei 9610/88, art. 184, título VII: sanções às violações de direitos autorais

105

FICHA DO ALUNO

COMPARANDO PROBLEMAS – I

Nome

Data:

O que estes dois problemas têm em comum? Resolva-os e descubra. 1. Uma formiga carregou 13 folhas e 15 galhos para o formigueiro. Quantos galhos e folhas, ao todo, ela carregou para o formigueiro? 2. Dona Vera preparou 30 brigadeiros, 25 beijinhos e 14 cajuzinhos para a festa de aniversário de seu afilhado. Quantos docinhos ela fez para a festa? Você descobriu o que os dois problemas têm em comum? Escreva a opinião da sua dupla e depois converse com seus colegas. Opinião da dupla:

Conclusão da classe:

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COMPARANDO PROBLEMAS – II Ano indicado

Objetivos

4o e 5 o

Ler problemas com autonomia.

Organização Coletiva e em duplas

Apropriar-se de estratégias de leitura que permitam compreender o papel dos dados e da pergunta na resolução de problemas.

Material necessário Cópias da Ficha do aluno: Comparando problemas – II para distribuir pelas duplas.

Para propor esta atividade é aconselhável que você escolha dois problemas que tenham ao menos algumas semelhanças, seja no texto, seja no modo de resolução, para que haja a possibilidade de uma análise mais detalhada por parte dos alunos. Depois que os alunos, coletivamente, fizerem a análise dos problemas escolhidos por você, entregue aos alunos a Ficha do aluno: Comparando problemas – II, peça-lhes que resolvam os problemas e encontrem semelhanças e diferenças entre eles. Socialize as conclusões das duplas e peça aos alunos que as registrem no caderno.

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FICHA DO ALUNO

COMPARANDO PROBLEMAS – II

Nome

Data:

Resolva os problemas e depois escreva as semelhanças e diferenças entre eles. 1. Tadeu resolveu organizar sua coleção de carrinhos. Ele tem 708 carrinhos e deseja colocá-los em caixinhas com 9 carrinhos cada uma. Quantas caixas serão necessárias para Tadeu guardar seus carrinhos? 2. A mãe de Tadeu trabalha em uma fábrica de varais. Para cada varal de tamanho médio, são usados 8 metros de cordão de náilon. Neste mês, a fábrica produziu 456 metros de náilon. Quantos varais serão montados?

SEMELHANÇAS

DIFERENÇAS

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DESCOBRINDO A PERGUNTA – II Objetivos

Ano indicado 4o e 5 o

Ler problemas com autonomia

Organização Em duplas e individual

Perceber como a pergunta de um problema está relacionada aos dados do problema e ao texto

Apresente aos alunos um problema sem a pergunta correspondente. A seguir forneça uma série de quatro ou cinco questões que devem ser lidas e analisadas. Em um primeiro momento em duplas – e depois individualmente –, os alunos devem decidir quais as perguntas adequadas ao problema dado.

João tem um livro com 120 páginas. Ele já leu 52 páginas deste livro e quer terminar a leitura em 4 dias, lendo o mesmo número de páginas em cada dia. Escolha entre as perguntas a seguir aquela(s) que pode(m) ser respondida(s): a) ( ) Quantos dias ele levou para ler as 52 páginas? b) ( ) Quantas páginas ele deve ler por dia? c) ( ) Quantas páginas ele vai ler nos dois últimos dias? d) ( ) Qual é o nome do livro? e) ( ) Quantas páginas faltam para ele terminar a leitura?

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111

Para finalizar as sugestões sobre leitura de problemas, gostaríamos de enfatizar que não basta usar uma estratégia ou outra ocasionalmente, tampouco eleger uma e trabalhar intensamente com ela. Para que os alunos sejam bons leitores de problemas, é preciso combinar constância de trabalho e diversidade de escolhas didáticas.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

ncentive seus alunos a levar um tempo pensando em um problema, em vez de cumprimentá-lo pela rapidez com que resolve uma questão. Veja algumas sugestões para enriquecer o trabalho em sala de aula: Crie na classe um “Canto de problemas”. Faça um cartaz, uma revista ou um livro de problemas com as produções dos alunos. Desenvolva a ideia de trabalhar com “o problema da semana”. Trabalhe com alunos em duplas e em grupos. Dramatize situações apresentadas em problemas com os alunos.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 112

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1997. BÜRGES, B.; PACHECO, E. Série Problemas matemáticos. São Paulo: Moderna, 1998. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática – 1a a 5a séries: para estudantes do curso de magistério e professores do 1o grau. São Paulo: Ática, 1998. GONIK, T. Truques e quebra-cabeças com números. Rio de Janeiro: Ediouro, 1979. GWINNER, P. Pobremas: enigmas matemáticos. São Paulo: Vozes, 1989. v. 1, 2 e 3. IMENES, L. M. Problemas curiosos. São Paulo: Scipione, 1985. Coleção Vivendo a Matemática. JULIUS, E. H. Aritmetruques. Campinas: Papirus, 1997. KAMII, C.; HOUSMAN, L. B. Crianças pequenas reinventam a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2002. KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1995. PIRES, C. C. Matemática no planeta azul. 3a série. São Paulo: FTD, 2000. . Matemática no planeta azul. 4a série. São Paulo: FTD, 2000. REAME, E. Matemática criativa. 3a série. São Paulo: Saraiva, 1998. Revista Pátio – Ensino Médio. Problemas para resolver: Por que o desempenho em Matemática ainda é tão baixo? Porto Alegre: Ano IV, no 13, junho/2012. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Orgs.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. . Saber Matemática. 2o, 3o, 4o e 5o ano. São Paulo: FTD, 2008. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Resolução de Problemas. Porto Alegre: Artmed, 2000. Coleção Matemática de 0 a 6, v. 2. . Jogos de Matemática de 1o a 5o ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. Série Cadernos do Mathema. SNAPE, C.; SCOTT, H. Enigmas matemáticos. Lisboa: Gradiva, 1994. TOVAR, P. C. (Org.). O livro de ouro de quebra-cabeças. Rio de Janeiro: Tecnoprint, 1978. TYLER, J.; ROUND, G. Enigmas com números. Lisboa: Gradiva, 1992. STERNBERG, R. J. Psicologia cognitiva. Porto Alegre: Editora Artmed, 2000.

Resolução de Problemas | Ensino Fundamental I 134

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