La geometría aplicada al diseño de redes modulares. by alumnos investigacion

Trabajo de investigación 2014-2015

La Geometría aplicada al diseño de las redes modulares Trabajo realizado por José M. Ortin Hernández Directora de trabajo: María José Cardona Cardona 2º Bachillerato de Investigación IES Infante don Juan Manuel

Trabajo Investigación 2014/15 La geometría aplicada al diseño de redes modulares José María Ortin Hernández

Resumen del trabajo A lo largo del trabajo, hemos estudiado los módulos como forma de representación artística y como medio para cubrir el plano. Inicialmente establecimos la teoría necesaria para comprender cómo se crean las redes modulares y las teselaciones. Una vez definida la base, analizamos los mosaicos en la Alhambra de Granada, tanto como ejemplo de arte con repetición de figuras geométricas, como medio de inspiración de uno de los más grandes artistas del siglo XX, Maurits Cornelius Escher. Seguidamente, se estudiaron las principales obras del autor, haciendo especial hincapié en aquellas en las que los módulos cumplían una importante función. Por último, empleando todo lo anterior, diseñamos nuestros propios módulos y buscamos una aplicación que puedan tener en la actualidad. Concluye el trabajo con los distintos usos que pueden tener los módulos debido a las ventajas que poseen, como el abaratamiento de costes de producción.

Abstract In the research work, we have studied the modules as a form of artistic representation and as a way of covering the plane. Initially we set the theory which is necessary to understand how the modular nets and tessellations are created. Classifications are established according to the way they have been made. Once we have the base defined, we have studied the mosaics in the Alhambra of Granada, both as an example of art with repeating geometric shapes, and as a way of inspiration for one of the greatest artists of the twentieth century, Maurits Cornelius Escher. The major works of the author are studied, with special emphasis on those in which the modules fulfill an important role. Finally, using all we have learned we designed our own modules and also we tried to find an application nowadays. The project ends with the different uses that modules can have because of the advantages they possess as cheaper production costs.

Palabras clave Alhambra, Escher, modulo, mosaico, plano, teselación

Keywords Alhambra, Escher, module, mosaic, plane, tessellation

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Agradecimientos Me gustaría agradecer especialmente a mi profesora de dibujo Doña María José Cardona por toda su ayuda a lo largo de la realización de este proyecto, agradezco a Doña Josefina Pérez por habernos proporcionado las herramientas y los conocimientos necesarios para realizar trabajos de investigación, también doy las gracias a Doña Carmen González por su apoyo con las partes de inglés. Por último, me gustaría mencionar a todos mis amigos y familiares que como yo intentan trabajar cada vez mejor. A todos mil gracias.

ÍNDICE 1

Hipótesis y objetivos .................................................................................................. 3

Introducción ............................................................................................................... 3

Marco teórico ............................................................................................................. 4 3.1

Módulos y redes modulares ................................................................................ 4

3.1.1 3.2

Teoría de Módulos ....................................................................................... 4

Teselación del plano ........................................................................................... 6

3.2.1

Teselaciones regulares................................................................................ 6

3.2.2

Teselaciones semi -regulares ...................................................................... 7

3.2.3

Teselados demi-regulares ........................................................................... 7

3.2.4

Otras teselaciones ....................................................................................... 8

3.3

Los mosaicos en la Alhambra de Granada ........................................................10

3.4

Maurits Cornelius Escher ...................................................................................12

Metodología ..............................................................................................................19 4.1

Procedimiento de trabajo ...................................................................................19

4.2

Recursos empleados .........................................................................................19

Estudio y resultados .................................................................................................20

Conclusión. ...............................................................................................................25

Referencias bibliográficas. ........................................................................................25

Anexos .....................................................................................................................27

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1 Hipótesis y objetivos ¿Es necesaria la utilización de la geometría para la creación de redes modulares? ¿Es posible conseguir unidades modulares que nos permitan cubrir el plano sin dejar huecos? ¿Se abaratan los costes de producción al emplear estructuras modulares en el diseño de pavimentos?

¿Se

pueden

conseguir

variantes

decorativas

mediante

diferentes

disposiciones modulares a partir de un único módulo? Son algunas de las preguntas que podemos plantearnos al investigar los módulos. Los objetivos del trabajo son principalmente cuatro: •

Recoger información sobre los módulos, así como la teoría necesaria para entender cómo se plasman en el plano.

•

Estudiar los módulos presentes en la Alhambra de Granada, patrimonio cultural de nuestro país, y su influencia en el autor Maurits Cornelius Escher.

•

Analizar las obras de Escher, analizando con especial detalle aquellas en las que los módulos tomen un papel principal.

•

Por último elaborar un diseño propio basado en los conocimientos adquiridos y emplearlo como recubrimiento de los exteriores del pabellón de deportes del instituto IES Infante don Juan Manuel.

2 Introducción El tema del presente trabajo de investigación es el estudio de los módulos como forma geométrica y su repercusión en el arte pasado y actual. La palabra módulo tiene varias acepciones posibles. La única que nos interesa es la que tratamos a continuación. Es fácil observar en la naturaleza cómo las formas y los seres vivos están integrados por una agrupación de elementos más sencillos. Lo que parece una unión caótica se convierte, tras un ligero análisis visual, en una estructura geométricamente ordenada que se repite. Por ejemplo, en el caso de las mazorcas de maíz, los granos que la conforman y que pueden ser considerados los elementos más simples serían los módulos. A la unión de un conjunto de módulos organizados de una determinada manera (en el caso de la mazorca están colocados sobre una estructura cilíndrica) se le denomina red modular. Dicho de otra forma más sencilla, un módulo es un elemento que se repite en diferentes posiciones para llenar por completo el espacio disponible. Los módulos resultan 3

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especialmente útiles a la hora de ahorrar espacio y abaratar los costes de producción en diseños, ya que son siempre la misma forma repetida. A lo largo de este trabajo abarcaremos toda la teoría que se ha desarrollado sobre los módulos, sus características y aplicaciones. También se expondrá el trabajo de un reconocido autor, Maurits Cornelius Escher. Debido a su especial conexión con el artista mencionado y en relación con el pasado histórico de España, se analizarán las estructuras modulares presentes en la Alhambra de Granada. Ejemplo de cómo los módulos son una representación artística que lleva siglos con nosotros.

3 Marco teórico 3.1 Módulos y redes modulares 3.1.1 Teoría de Módulos Se define módulo como una figura que se utilizan de forma repetida para crear otras formas u objetos. Es la unidad de medida básica de la que se compone una red o estructura modular. Al ser formas iguales que se repiten, esto facilita su ensamblaje, abaratando así los costes de producción.

Ilustración 1 Ejemplo de red modular

consideran

módulos

simples

los

únicos

polígonos

regulares

que

cubren

completamente el plano: triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos, en los que en cada vértice la suma de sus ángulos es de 360º. Son comúnmente utilizados como unidades de medida o para unificar la composición.

Ilustración 2 Ejemplos de redes con módulos simples

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Un submódulo es un módulo más pequeño que se agrupa con otros módulos iguales o diferentes y que juntos forman un módulo más complejo.

Ilustración 3 Ejemplos de submódulos

Un supermódulo es una agrupación de submódulos.

Ilustración 4 Ejemplos de supermódulos

Las mallas o redes modulares son las estructuras formadas por agrupaciones ordenadas de módulos unitarios. También podríamos dar otra definición, se considera red modular a una serie de módulos que se repiten en todas las direcciones rellenando las superficies. En general cada vez que se habla de módulos nos referimos a una red modular, ya que el módulo es único. A los puntos de encuentro de varios módulos en una red se le llama nódulo.

Ilustración 5 Red modular

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Tipos de Estructuras Modulares • Planas básicas: formadas por módulos geométricos simples (triángulo, cuadrado, hexágono). • Planas complejas: formadas por módulos poligonales regulares combinados entre sí, que cumplen lo siguiente: todos los polígonos tienen los lados iguales suma de los ángulos de los polígonos alrededor de un nódulo vale 360º. Es muy común en azulejería y mosaicos. • Planas lógicas: constituidas por otras formas modulares creadas mediante estructuras básicas. Clases de redes planas lógicas: • Forma de base única, se repite mediante simetrías, giros y traslaciones. • Forma base constituida por varias formas más simples. • Libres: diseñadas a partir de la desviación, compresión, curvatura o gradación de un módulo. • Tridimensionales: como los sólidos platónicos y los sólidos arquimedianos, un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos tienen vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos.

3.2 Teselación del plano Entendemos por teselación el rellenar una superficie plana con un patrón de figuras, sin dejar espacios vacíos ni superponer las figuras. Existen tres clasificaciones:

3.2.1 Teselaciones regulares Se consiguen repitiendo un polígono regular. Solo pueden usarse triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos.

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Si nos fijamos en un vértice… Un vértice es el punto que une varias figuras, "una esquina". ¿Cuáles son las formas que coinciden en un vértice? En este vértice coinciden tres hexágonos, un hexágono tiene 6 lados. Así que esta teselación se llama "6.6.6". En una teselación regular el patrón será el mismo en todos los vértices.

3.2.2 Teselaciones semi -regulares Están hechas con dos o más polígonos regulares. El patrón debe ser el mismo para todos los vértices. Existen ocho tipos de ellas.

3.2.3 Teselados demi-regulares Los teselados demi-regulares están formados usando los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Veamos un par de ejemplos:

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3.2.4 Otras teselaciones Empleando formas curvas o polígonos irregulares se pueden obtener infinitas teselaciones diferentes.

Cabe destacar la figura de Roger Penrose, quien las investigó en la década de los setenta. Las teselaciones de Pernrose son no periódicas. Entre el infinito número de posibles teselaciones hay dos que poseen eje de simetría y una simetría rotacional de orden cinco, el término de Teselación de Penrose usualmente se refiere a esos.

Ilustración 6 Teselación de Penrose

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Para teselar existen cuatro estrategias: •

Traslación: Si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.

•

Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.

•

Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.

•

Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías, conservan las distancias. Los dos primeros mantienen la orientación (movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada losa puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición. Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros. Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros: Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de s imetrías Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simet rías. Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de si metrías.

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3.3 Los mosaicos en la Alhambra de Granada Las prohibiciones de un arte figurativo fueron tomadas muy en serio por los hebreos y los árabes, que desarrollaron un arte puramente abstracto y geométrico, y exploraron los posibles tipos de decoración mural. (ODIFREDDI, Piergiorgio) Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos. Su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. El arte de llenar el plano repitiendo las figuras estuvo en auge en la España musulmana durante el siglo XIII, coincidiendo con el reinado de la Dinastía nazarí. La Alhambra es el mejor ejemplo de este arte en el país.

Ilustración 7 La Alhambra al atardecer

La Alhambra es una ciudad palacio andalusí, ubicada en Granada, España. Es una fortaleza en la que residía el monarca y la corte del Reino nazarí de Granada. Es un monumento de gran importancia histórica y con un valor cultural incalculable que le ha valido el título de patrimonio cultural de la humanidad concedido por la UNESCO en 1984. Además es considerado una de las obras de arte islámico andalusí más importantes del mundo. Cuenta con un arte muy diverso, desde poemas escritos en algunas de sus paredes, a la famosísima fuente de los leones. Los árabes fueron grandes geómetras y aplicaron sus conocimientos al arte creando diseños en forma de mosaicos. Los creadores de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano, por eso resulta impresionante que usaran 10

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todos y cada uno de los 17 existentes. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero están todos sin excepción. En ella se repiten principalmente cuatro tipos de mosaicos que contienen módulos, llamados “el hueso”, “el pez volador”, “el avión” y “la pajarita”.

Ilustración 9 Mosaico que usa "el pez volador"

Ilustración Mosaico con 8 Mosaico el módulo realizado “el hueso” con "el hueso"

Ilustración 11 Mosaico con el módulo "la pajarita"

Ilustración 10 Mosaico que emplea "el avión"

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3.4 Maurits Cornelius Escher Escher nació en 1898 Leeuwarden y murió en Baarn en el año 1972. Después de estudiar el grabado en linóleo, entre 1919 y 1922 estudió en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem. En 1922 se trasladó a Italia, donde permaneció un tiempo. Visitó España en dos ocasiones, la primera en 1942 y la segunda en 1936. Quedó muy impresionado con la Alhambra de Granada, que le inspiró para crear sus diseños. Cuando abandonó Italia, viajó por Suiza y Bélgica, hasta establecerse definitivamente en la pequeña localidad holandesa de Ilustración 12M.C.Escher M.C.ESCHER Baarn en 1941. En su particular apuesta estética, Escher se sumó a dibujantes técnicos, arquitectos y teóricos de las matemáticas, como él mismo gustaba de recordar a menudo. Con ellos, reconocía tener más puntos de contacto que con la mayoría de artistas plásticos; con ellos, de hecho, mantuvo una relación fluida que se plasma en su correspondencia privada. Por todo ello, no puede sorprender que, en 1958, Escher llegase a plasmar por escritos algunos de sus principios teóricos. La obra de Escher, caracterizada por el estudio detallado de los efectos ópticos y del motivo decorativo, constituye una de las más originales e idiosincrásicas del siglo XX. Espléndido dibujante, exploró las contradicciones de la perspectiva tradicional en la forma de paisajes e imágenes "imposibles" dotados de una insólita belleza En un principio, Escher se mostró como un heredero de la escuela holandesa, con una obra en la que abundan los paisajes y escenas de las ciudades de ese país y de Italia. En esta época inicial, el holandés era un artista con tendencias clasicistas, en consonancia con el momento; sin embargo, su arte comenzó a ser original a lo largo de su Ilustración 13 Escher sostiene una de sus emblemáticas esferas, usadas en algunas de sus obras

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prolongada estancia en Italia. Su peculiar estilo incluye figuras de animales que se entrelazan caprichosamente para formar bellos y fantásticos conjuntos, en los que se puede apreciar su gusto por lo onírico; u obras con simetría en blanco y negro. Escher se dio a la creación de patrones geométricos, en línea con artistas del pasado y otros contemporáneos que habían apostado por ese tipo de arte y su aplicación al diseño industrial (como William Morris o los Delaunay, Robert y Sonia). Al mismo tiempo, Escher comenzó a trabajar en sus ilusiones espaciales, con edificios en los que las escaleras ascienden a la parte baja y descienden hacia la alta en un juego de perspectivas; del mismo modo, las leyes físicas parecen derrotadas en sus corrientes de agua, que descienden en su subida para caer en sorprendente cascada hasta la que es su propia fuente. En estos y otros exponentes de su arte, la ilusión creada sólo es posible sobre el papel, si hubiese que desarrollarlas en tres dimensiones no sería posible. Los

biógrafos

este

artista

recuerdan la profunda impresión que en él causo su primera visita a España

1925

muy

particular, su contacto directo con La Alhambra granadina, su decoración geométrica

entrelazamiento

característico

encandilaron

Escher. Inmediatamente después de su visita, intentó elaborar diseños aunque eran rudimentarios. En 1936 Escher

volvió

acompañado

por

a su

Granada, mujer

y, Ilustración 14 "Relatividad" obra de 1953 fascinado como estaba por el arte musulmán, copió muchos de sus motivos para incorporarlos a su propio universo. Descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además dio importancia al color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha. El influjo hispanoárabe se percibe particularmente en la segunda etapa de su obra geométrica, 13

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correspondiente a los años que vivió en Suiza; para estos años, Escher es un maestro consumado en la técnica de composición a modo de teselas, como él llamaba a sus originales ensamblajes de piezas en sorprendente simetría o asimetría. Fue según sus propias palabras el tema que más le apasionó: "Es la fuente más rica de inspiración que jamás haya encontrado". La idea de rellenar el plano con un mismo motivo se considera

original

suya,

influida

por

aprendizaje. Afirmó: "Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él". Antes de su visita a la Alhambra, en 1922 creó un diseño con ocho cabezas, cuatro derechas y cuatro del revés. Podemos dividir la producción del autor en cuatro Ilustración 15 Obra "eight heads" (ocho cabezas)

períodos:

sus

primeros

trabajos(1916/1922),

período italiano(1923/1935), el período de Suiza y Bélgica(1936/1940), la vuelta a Holanda(1941/1954) y el período de fama y reconocimiento(1955/1972). A continuación se mostrará la evolución del autor mediante la exposición y el análisis de sus obras más destacables. Metamorfosis II (1940) Es un mural gigantesco de cuatro metros de largo por veinte centímetros de ancho, un formato totalmente inusual y desproporcionado. Se expuso en la oficina de correos de La Haya. Muestra un tema muy recurrente en el autor, la metamorfosis, o sea una serie de cambios graduales o transformaciones de una cosa en otra. La imagen reproduce distintos efectos de partición regular del plano. Empieza por la izquierda con la palabra “metamorphose”, metamorfosearse en inglés. La palabra se va ordenando en forma de cuadrados, que forman un conjunto en blanco y negro. Se suceden las transformaciones en animales, primero en lagartijas, y estas a hexágonos. Los hexágonos cobran volumen y se convierten en un panal del que salen abejas. Las abejas pasan a ser peces y estos pasan a ser pájaros. Aquí acaba la inclusión de animales. Los pájaros pasan a cubos y de estos aparece una representación de Atrani, un pueblo en Italia, ya usado por el autor

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en una de sus primeras obras. Atrani se transforma en un tablero de ajedrez y acaba finalmente con la vuelta a la palabra “metamorphose”.

Ilustración 16 La obra Metamorfosis 2, dividida en cuatro partes

Día y noche (1939) Esta obra se convirtió en seguida en una de las más emblemáticas. En ella se producen sucesivas transformaciones en vertical y horizontal mediante redes modulares: en horizontal se transforma el día en noche y en vertical los campos de cultivo se transforman en pájaros que vuelan por el cielo en ambas direcciones. Se produce así un efecto espejo simétrico cuyo eje de simetría son los módulos. El módulo empleado es un ave blanca y negra. Es un módulo que, por la complejidad de sus formas, resulta muy difícil discernir la figura de partida. Lo más probable es que parta de un cuadrado. En esta 15

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teselación, Escher emplea la reflexión para crear el efecto que busca. Se crea así un gran efecto visual y un contraste apropiado entre el blanco y el negro.

Ilustración 17 Día y noche

Trayectoria vital I (1958) Escher emplea aquí los módulos para crear una sensación de profundidad hacia adentro. Mediante círculos y espirales se crea la secuencia que se repite, cada vez con menor tamaño hasta el centro del cuadro. El módulo es un módulo en forma de animal, probablemente una mantarraya. Se emplea el color negro en la zona cercana a los ojos, (muy grandes y expresivos) para aumentar la sensación de volumen. Esto también le confiere al dibujo cierto hipnotismo. Para crearlo se ha empleado la traslación combinada con una rotación de 90º.

16 Ilustración 19 Trayectoria vital 1

Ilustración 18 Detalle del módulo

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Reptiles (1943) Esta es una de las diversas obras en las que Escher hace un salto de «metanivel» para introducir en el dibujo al propio autor como parte de la obra, para impresionar al observador. Del cuaderno de Escher en el que ha estado dibujando módulos con forma de reptil surge una figura en tres dimensiones. El reptil sube por un libro, llega hasta un dodecaedro platónico, finalmente lanza un soplido y completa el ciclo retornando al papel. El cuadro se divide en dos principalmente, por una parte los objetos que tienen volumen y son realistas (dodecaedro, libros, reptiles fuera del papel, etc.) y por otra parte el papel, en el que está plasmada una teselación, que es la que provoca el efecto de sorpresa cuando los reptiles contenidos en el papel en forma de módulos cobran vida y se mueven por toda la escena.

Ilustración 20 Obra Reptiles

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La red modular empleada es plana básica y la figura inicial de la que se parte es un hexágono regular. Es un módulo muy característico de Escher que ha utilizado en varios cuadros.

Se obtiene mediante rotación. La teselación se forma girando la base 120º

A partir de ahí podemos obtener un mosaico tan grande como queramos.

Ilustración 21 Ejemplos de aplicaciones del módulo

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Serpientes (1969) Esta fue su última obra original, aprovechando sus últimas fuerzas

entre

operación

quirúrgica.

Empleando un modelo matemático de Coxeter abarca el infinito tanto hacia el centro como hacia el borde de la imagen. De los anillos metálicos surgen serpientes tridimensionales. La imagen tiene una simetría rotacional y puede girarse 120 grados para encajar perfectamente en sí

misma.

Escher

cuidó

los

detalles

máximo,

especialmente las líneas más pequeñas (hasta de medio Ilustración 22 Serpientes, la milímetro), grabándolas con una lupa especial.

última obra de Escher

4 Metodología 4.1 Procedimiento de trabajo Una vez se acordó el tema del que trataría el trabajo reuní la bibliografía que me serviría de base para el marco teórico, casi toda consistente en sitios web. Una vez establecida la teoría se investigó al autor Escher y sus obras. Más adelante la Alhambra de Granada, especialmente los diseños geométricos presentes en ella. Inicialmente tenía pensado tratar la Alhambra después del autor pero se colocó antes en el trabajo para una mejor comprensión. Finalmente la parte práctica consistente en la creación de módulos en papel y su colocación en la superficie del pabellón.

4.2 Recursos empleados La recogida de información se realizó de varias formas: mediante la búsqueda en páginas web relacionadas, y consultando obras literarias y libros de ilustraciones. Una vez obtenida la información necesaria comencé con la parte práctica. Basándome en diseños clásicos, hice unos bocetos en papel. Que una vez revisados fueron recreados en el programa Sketch Up 2015 para una mejor apreciación. Se trata de un programa informático de diseño en 3D. El programa fue desarrollado por Google. También utilicé el Sketch up para recrear las paredes del pabellón en el que se sitúan los diseños.

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5 Estudio y resultados Las redes modulares están muy presentes en nuestra vida cotidiana, en objetos tan simples como los balones de fútbol, que suelen estar cosidos usando hexágonos y pentágonos, también solemos encontrarlos en los bloques que componen las aceras y en muchos parques infantiles a modo de acolchamiento. Son ejemplos de lo útil que es rellenar el espacio sin dejar huecos, ya que a nadie le gustaría ir caminando por la acera e ir tropezando constantemente porque las losas no coinciden y hay huecos en el suelo. Los módulos pueden ser aplicados tanto en la decoración de interiores como en la de exteriores .En interiores no suelen aplicarse a paredes enteras sino que suelen estar presentes en cuadros, en cambio en exteriores es más apropiado su utilización en murales que aprovechen los módulos para llenar todo el espacio sin dejar huecos.

Ilustración 23 Redes modulares usadas en el ámbito urbano

Un gran ejemplo fueron los pabellones de Polonia y México para la Expo Shanghai2010.

20 Ilustración 25 Pabellón de Polonia

Ilustración 24 Pabellón de México

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Nuestro propósito es obtener un módulo sencillo y fácil de reproducir que sea a la vez apropiado para los exteriores de un pabellón de deportes. El pabellón elegido es el del instituto IES Infante don Juan Manuel.

Ilustración 26 Fotos del pabellón Infante don Juan Manuel

Empleando el programa Sketch up 2015 realizamos un modelo del pabellón, posteriormente recubriremos las paredes de abajo con nuestro diseño.

Ilustración 27 Recreación con Sketch up

A continuación crearemos los módulos, serán dos, uno que parta de un cuadrado y otro que lo haga de un triángulo. Empezamos con algunos bocetos en el papel… Partimos de un cuadrado, luego la teselación resultante será regular. Para lograr una figura que encaje tendemos en cuenta que necesitamos una figura con un área equivalente a la inicial. Nuestro módulo tendrá la misma área que el cuadrado, igual al lado al cuadrado. Cuando se definen las zonas que se van a separar estas se trasladan al lado contrario del cuadrado. Así conseguimos que el área total no varíe. 21

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La red modular se crea repitiendo el módulo siguiendo uno de los sistemas que se han explicado anteriormente, en este caso se emplea la traslación. Una vez obtenida la red modular probamos distintas combinaciones de colores.

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Como ya hemos mencionado antes, este tipo de redes se suele usar en las baldosas y en los parques infantiles por lo que puede ser de utilidad jugar con la altura de las baldosas para dar más sensación de volumen.

Pasamos ahora al módulo plano básico que parte del triángulo. En este caso emplearemos líneas curvas para dar sensación de profundidad y movimiento.

En este caso el método empleado para la realización de la red modular es la rotación con un ángulo de 60º. Si simplemente hubiéramos aplicado la rotación sin variar la forma del triángulo inicial se consideraría una teselación regular “6.6.6.6.6.6” ya que en cada vértice coincidirían seis triángulos. Como en la anterior red modular el diseño final varía mucho dependiendo de los colores que elijamos para ello. 23

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Para finalizar la parte práctica del trabajo usamos los módulos creados para pintar el pabellón.

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6 Conclusión. Los módulos son figuras geométricas que ofrecen excelentes resultados a la hora de decorar grandes superficies debido a su “mecánica” realización. La parte más difícil del proceso es lograr un módulo que satisfaga nuestras necesidades y que se adapte al tipo de construcción y al lugar en el que está situada. Después de haber estudiado las teselaciones y de elaborar las propias queda confirmado su validez como arte decorativo que además tiene una gran impresión a ojos del espectador.

7 Referencias bibliográficas. Las referencias están ordenadas por orden alfabético: 17 formas de rellenar un plano. (1999, November 28). El País. AGUSTÍN NUÑEZ, J. (2006). La Alhambra de cerca. Granada: EDILUX. BAYO F. Ignacio. (1999, December 28). Un siglo para resolver 23 problemas. El Pais. Biografía de Maurits Cornelius Escher. (2015, February 2). Retrieved from http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/escher.htm ERNST, B. (n.d.). El espejo mágico de M.C.Escher. Taschen. La Alhambra, la más bella joya geométrica y arquitéctonica. (n.d.). [Blog]. Retrieved from http://matemolivares.blogia.com/2013/011801-la-alhambra-la-mas-bella-joyageometrica-y-arquitectonica..php Matemáticas y Escher: La partición del plano. (n.d.). Retrieved from http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/part.html M.C.Escher ESTAMPAS Y DIBUJOS. (n.d.). Taschen. M. LANDART Jesús. (2003, September 26). La Alhambra y el Teorema de Fedorov [Blog]. Retrieved from http://tiopetrus.blogia.com/2003/092601-la-alhambra-y-elteorema-de-fedorov.php

Trabajo Investigación 2014/15 La geometría aplicada al diseño de redes modulares José María Ortin Hernández

Módulos y Estructuras Modulares. (n.d.). Retrieved from http://dibujotecnicounolaslomas.blogspot.com.es/2012/04/ud01-parte-5-modulosy-estructuras.html Módulos y redes. (n.d.). Retrieved from http://www.laslaminas.es/modulos-y-redes ODIFREDDI Piergiorgio. (2006). La matemática del siglo XX: de los conjuntos a la complejidad (Primera edición). Buenos Aires: Katz. PIERCE Rod. (2011). Teselaciones. Retrieved from http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html

Índice de ilustraciones Ilustración 1 Ejemplo de red modular ................................................................................................. 4 Ilustración 2 Ejemplos de redes con módulos simples ...................................................................... 4 Ilustración 3 Ejemplos de submódulos ............................................................................................... 5 Ilustración 4 Ejemplos de supermódulos ........................................................................................... 5 Ilustración 5 Red modular .................................................................................................................. 5 Ilustración 6 Teselación de Penrose .................................................................................................. 8 Ilustración 7 La Alhambra al atardecer ............................................................................................ 10 Ilustración 8 Mosaico realizado con "el hueso" ................................................................................ 11 Ilustración 9 Mosaico que usa "el pez volador" ................................................................................ 11 Ilustración 10 Mosaico que emplea "el avión" .................................................................................. 11 Ilustración 11 Mosaico con el módulo "la pajarita" ........................................................................... 11 Ilustración 12 M.C.ESCHER ............................................................................................................ 12 Ilustración 13 Escher sostiene una de sus emblemáticas esferas, usadas en algunas de sus obras .......................................................................................................................................................... 12 Ilustración 14 "Relatividad" obra de 1953 ........................................................................................ 13 Ilustración 15 Obra "eight heads" (ocho cabezas) ........................................................................... 14 Ilustración 16 La obra Metamorfosis 2, dividida en cuatro partes .................................................... 15 Ilustración 17 Día y noche ................................................................................................................ 16 Ilustración 18 Detalle del módulo ..................................................................................................... 16

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Ilustración 19 Trayectoria vital 1....................................................................................................... 16 Ilustración 20 Obra Reptiles ............................................................................................................. 17 Ilustración 21 Ejemplos de aplicaciones del módulo ....................................................................... 18 Ilustración 22 Serpientes, la última obra de Escher ......................................................................... 19 Ilustración 23 Redes modulares usadas en el ámbito urbano ......................................................... 20 Ilustración 24 Pabellón de México.................................................................................................... 20 Ilustración 25 Pabellón de Polonia ................................................................................................... 20 Ilustración 26 Fotos del pabellón Infante don Juan Manuel ............................................................. 21 Ilustración 27 Recreación con Sketch up ......................................................................................... 21

8 Anexos Los anexos forman parte del desarrollo del módulo empleado en el pabellón, son pruebas que se hicieron para probar las técnicas para crear redes modulares, hay tanto

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