Alla scoperta del mondo 5. Discipline. Matematica by Itaca Edizioni

Alessandra Campagnari · Matteo Dolci

Elena Lucca · Maria Cristina Speciani

a cura di Renata Rava

Alla scoperta del mondo

Sussidiario delle discipline per la quinta classe Matematica SCUOLA

Alessandra Campagnari · Matteo Dolci

Elena Lucca · Maria Cristina Speciani a cura di Renata Rava

Alla scoperta del mondo

Sussidiario delle discipline per la quinta classe Matematica

L’edizione di questo sussidiario per la quinta classe esprime e condivide il lavoro di un gruppo di insegnanti che in questi anni ha svolto una costante riflessione sulla proposta didattica e ha ricercato o composto testi ed esercitazioni per offrire un percorso di conoscenza elementare essenziale, adeguato ed efficace.

Matematica

Elena Lucca, Raffaella Manara, Armida Panceri, Paola Brambilla, Giulia Muzzi, Giuliana Limonta, Morena Saul, Giulia Brizio, Carlotta Piatti, Grazia Magnifico, Micaela De Francesco

Scienze

Maria Cristina Speciani, Maria Elisa Bergamaschini, Carla Agostini, Angela Luoni, Viviana Mezzacapo, Silvia Bonati

Geografia

Alessandra Campagnari, Mirella Amadori, Maria Antonietti, Marta Sangiorgio, Ornella Rotundo, Paola Brusati, Paola Valle

Storia

Matteo Dolci, Emanuela Casali, Francesca Simonazzi

Proposte operative di informatica

Elena Algarotti, Cristina Perversi

Materiale integrativo per il docente e per gli alunni su www.itacascuola.it

Alessandra Campagnari · Matteo Dolci · Elena Lucca · Maria Cristina Speciani Alla scoperta del mondo 5. Sussidiario delle discipline per la quinta classe a cura di Renata Rava www.itacaedizioni.it/scoperta-mondo-5-sussidiario-discipline

Prima edizione: agosto 2020

ISBN 978-88-526-0623-6

Progetto grafico: Andrea Cimatti

Coordinamento di redazione: Cristina Zoli

Cura editoriale, impaginazione e ricerca iconografica: Isabel Tozzi

Stampato in Italia da D'Auria Printing, S. Egidio alla Vibrata (TE) nel mese di agosto 2020

Per esigenze didattiche alcuni brani sono stati ridotti e/o adattati. L’editore è a disposizione degli aventi diritto con i quali non è stato possibile comunicare, nonché per eventuali involontarie omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti.

MATEMATICA

NUMERI, RELAZIONI, PROBLEMI

operare, calcolare, misurare per scoprire nuovi numeri, nuove relazioni e risolvere nuovi problemi

PER COMINCIARE

i n questo capitolo, questo simbolo indica che potrai approfondire alcuni argomenti nei capitoli successivi.

Leggi, rifletti e rispondi

1. Luca è andato in vacanza in Sardegna con i suoi genitori e sua sorella. Ha appuntato su un foglio le tappe del viaggio, i chilometri percorsi in automobile e i tempi impiegati.

z Partenza da Milano: ore 7 del mattino.

z Milano – Firenze (310 km): 3 ore e 30 minuti.

z Sosta di 8 ore a Firenze per visitare la città.

z Firenze – Livorno (95 km): 1 ora e 20 minuti

z a rrivo a Livorno: 2 ore prima della partenza del traghetto.

a. Sai dire a che ora è partito il traghetto di Luca?

b. Se il viaggio in traghetto da Livorno a Olbia è durato 9 ore, a che ora sono arrivati a Olbia, in Sardegna?

c. Se dopo lo sbarco hanno percorso ancora 125 km, quanti chilometri hanno percorso in tutto in auto?

d. i l viaggio in traghetto è costato 560,00 € in tutto. Sapendo che la spesa per l’auto è stata di 120,00 €, quanto è il costo per persona?

2. Per il compleanno di Luca i suoi amici decidono di raccogliere 8,00 € a testa per il regalo. Gli amici coinvolti sono 21.

i n negozio i ragazzi sono molto indecisi tra questi giochi:

89,00 € 75,00 € 20,00 € a porta 128,00 €

c he acquisti possono fare per cercare di usare tutti i soldi che hanno raccolto? trova almeno due possibilità.

3. Durante la festa di inizio anno, le classi della scuola primaria “Leonardo da Vinci” affrontano dei giochi a squadre. Osserva il cartellone dei punteggi e rispondi alle domande.

I GIOCHI RicOStRUiaMO iL PUZZLe

z Quanti punti ha totalizzato ogni squadra?

Scrivi il totale nell’ultima colonna della tabella.

z Quale squadra ha totalizzato più punti?

z Quale squadra ha totalizzato meno punti?

z Quanti punti di differenza ci sono fra la prima e l’ultima squadra?

z c i sono state squadre a pari merito? Se sì, quali?

z Qual è il gioco in cui sono stati fatti più punti?

scludendo il gioco “La staffetta” la squadra vincitrice sarebbe la stessa?

5. Osserva il prezzo e rispondi.

z 3,00 € per due quaderni

Perché?

Qual è il prezzo dei tre quaderni?

Perché?

z 6,00 € per tutti i pastelli

Qual è il prezzo dei pastelli verdi?

Cifre, valore posizionale, numeri interi e decimali

1. c ompleta.

Scrivi un numero formato da…

a. 4 cifre tutte uguali:

b. 4 cifre tutte diverse:

c. 5 cifre, con 0 al posto delle unità di migliaia:

d. 6 cifre, che abbia 0 al posto delle centinaia

e 0 al posto delle unità semplici:

Scrivi il numero più piccolo formato da…

a. 4 cifre :

b. 4 cifre tutte diverse :

Scrivi il numero più grande formato da 6 cifre tutte diverse:

2. Nei seguenti numeri metti il puntino per separare i periodi poi scrivili in lettere.

9 8 7 6 5

6 0 5 6

2 3 9 1 5 4

2 0 1 8 9 9

3. Scomponi i seguenti numeri, come nell’esempio.

89 035 = 6 328 = 75 060 =

4. c omponi, come nell’esempio.

7 dak, 6 da, 6 h, 5 hk, 2 u, 1 uk = 70 000 + 60 + 600 + 500 000 + 2 + 1 000 = 571 662

5 uk, 7 h, 4 dak, 2 u =

7 hk, 5 u,1 uk, 8 da =

9 hk, 3 dak, 5 u, 7 da, 9 h =

5. c ompleta le equivalenze.

6 uk = h

400 da = uK 9 h = u 7 000 u = h 7 dak = uk 200 da = uk 23 h = u 30 hk = dak

6. Scrivi sul quaderno i seguenti numeri in modi diversi, come nell’esempio.

34 279 = 3 dak + 4 uk + 2 h + 7 da + 9 u = 30 000 + 4 000 + 200 + 70 + 9 = (3 × 10 000) + (4 × 1 000) + (2 × 100) + (7 × 10) + (9 × 1)

a. 793 261

b. 9 023

7. Segui le indicazioni e scrivi il numero misterioso.

c. 548 508

a. La cifra delle centinaia di migliaia è un numero dispari inferiore a 5 e maggiore di 1.

b. Le unità di migliaia sono 54.

c. La cifra delle centinaia è il numero compreso fra 7 e 9.

d. La cifra delle decine è la successiva della cifra delle centinaia.

e. La cifra delle unità è il numero precedente alla cifra delle centinaia.

8. c omponi i numeri in tabella.

Ricorda: d = decimi; c = centesimi; m = millesimi.

4 u 2 d 5 m 6 c 4 2 6 5

7 u 7 d 5 h 9 c

6 u 7 da 7 c 2 h 2 m

3 m 8 da 4 d 1 u 9 h

9. Leggi i valori delle cifre e componi i numeri, come nell’esempio.

89 e 1 centesimo 89,01

122 e 6 millesimi

354 e 4 decimi

10. Pensa agli euro e rispondi.

i l triplo di 2,50 è

i l doppio di 1,50 è

9 e 9 millesimi

8 003 e 14 centesimi

1 780 e 5 centesimi

La metà di 0,50 è

Un terzo di 0,60 è

i l doppio di 5,50

La metà di 0,90 è

11. Marco ha 4,60 € e vuole comprare dei pacchetti di caramelle che costano 1,20 € l’uno. Quanti pacchetti di caramelle potrà comprare al massimo?

Calcoli con le quattro operazioni

Risolvi sul quaderno e segna quali operazioni hai utilizzato.

1. La signora Sara compera 5 confezioni di succhi di frutta e 3 confezioni di acqua. Ogni confezione contiene 4 bottiglie. i succhi di frutta costano € 1,25 la bottiglia, mentre l’acqua € 0,49 la bottiglia. Quanto spende complessivamente la signora Sara?

Se paga con una banconota da 50,00 €, quanto riceverà di resto?

a DD i Z i ON e SO tt R a Z i ON e MOLti PL ica Z i ON e D i V i S i ON e

2. Gli alunni della classe V^ a vanno in gita a Genova. Ogni bambino spende 12,40 € per il pullman, 6,60 € per l’ingresso all’acquario e 7,00 € per la visita del porto in barca.

Se la spesa complessiva è di 754,00 €, quanti alunni hanno partecipato alla gita?

a DD i Z i ON e SO tt R a Z i ON e MOLti PL ica Z i ON e D i V i S i ON e

Leggi il problema e segna con una X l’espressione che lo risolve.

1. Maria vuole preparare 22 bomboniere rosa con 5 confetti ciascuna e 18 bomboniere gialle con 3 confetti ciascuna. Quanti confetti dovrà comprare Maria?

⬜ (22 + 18) × (5 + 3) ⬜ (22 × 5) + (18 × 3) ⬜ (22 + 5) × (18 + 3)

2. c alcola a mente associando i numeri che compongono le decine.

23 + 42 + 17 = (23 + 17) + 42 = 40 + 42 = 82

54 + 16 + 29 =

42 + 36 + 18 =

145 + 26 + 15 = 19 + 137 + 11 =

3. c alcola a mente usando gli amici del 10 o del 100, come nell’esempio.

370 + 36 = 406 38 + 17 = (38 + 2) + 15 = 40 + 15 = 55

280 + 27 =

26 + 9 =

332 + 701 =

1 620 + 407= 84 + 11= 147 + 18 =

4. c alcola a mente.

a. 591 – 81 =

784 – 64 =

b. 1 980 – 650 =

387 – 127= 682 – 302 =

4 730 – 500 = 8 360 – 160 = 9 460 – 420 =

5. c ompleta.

16 000 – = 10 000 834 – = 800 – 162 = 18

675 – = 475 – 25 = 250 – 600 = 1 000 64 550 – = 60 550 – 150 = 300

6. c alcola in colonna con la prova sul tuo quaderno. a c

132 + 457 = 845 – 424 =

4 671 + 2 228 = 2 359 – 2 136 =

34 568 + 64 231 = 167 954 – 56 314 =

1 645 + 422 + 4 230 = 976 578 – 564 363 =

B. D.

257 + 339 = 647 – 219 =

1 465 + 2 272 = 1 606 – 474 =

4 658 + 43 921 = 265 857 – 193 546 = 12 344 + 723 + 20 521= 994 724 – 877 612 =

7. c ompleta, come nell’esempio.

39 × 10 = 390

458 × 10 = 24 × 100 = 576 × 100 = 5 × 1 000 =

Ricordi cosa accade ai numeri decimali quando moltiplichi per 10, 100 o 1 000?

4,265 × 10 = 42,65

5,75 × 10 = 6,876 × 100 = 98,529 × 1 000 =

8. c alcola applicando la proprietà della moltiplicazione, come nell’esempio.

1576 × 4 = (1 000 × 4) + (500 × 4) + (70 × 4) + (6 × 4) = 4 000 + 2 000 + 280 + 24 = 6 304

2 567 × 5 =

4 183 × 6 =

3 459 × 3 =

9. c alcola in colonna con la prova sul tuo quaderno.

79 × 45 =

× 29 =

× 28 =

× 34 =

× 16 = 53 × 98 =

× 62 =

× 39 = 28 × 37 =

× 57 =

903 × 78 =

10. Giulia gioca a carte con le sue 6 amiche e distribuisce a ciascuna 6 carte. Se ci fossero 9 amiche a dividersi le stesse carte in parti uguali, quante ne riceverebbe ciascuna?

11. c alcola a mente le divisioni tra numeri interi.

42 : 7 = resto

55 : 6 = resto

74 : 9 = resto

64 : 7 = resto

12. Risolvi applicando la proprietà della divisione.

27 : 9 = (27 : 3) : (9 : 3) = 9 : 3 = 3

36 : 18 = = =

72 : 12 = = =

96 : 32 = = =

13. c ompleta come negli esempi.

430 : 10 = 43

: 100 =

: 1 000 =

48 : 5 = resto 39 : 4 = resto

: 10 =

Ricordi cosa accade ai numeri decimali quando dividi per 10, 100 o 1 000?

12,8 : 10 = 1,28

14. Rispondi.

: 100 =

: 1 000 =

a ntonio ha 24 libri di fiabe, il suo amico Luca ne ha la metà, mentre Giovanni ha 3 4 dei libri di Luca. Quanti libri ha Giovanni?

a. 16 c. 9

b. 18 d. 8

: 100 =

: 10 =

15. c alcola con la prova sul tuo quaderno.

168 : 3 = 39 : 13 =

: 26 = 743 : 5 =

: 23 =

: 21 = 1 582 : 2 =

: 18 =

578 : 35 = 6 129 : 4 =

: 24 = 3 693 : 32 =

Certo, possibile, probabile

1. Se A = 1, B = 2, C = 3…, quanto fa E + L ?

a. 5

2. Se tiri un dado, quale situazione è certa? e sce…

a. il numero 4

b. un numero maggiore di 2

c. un numero pari

d. un numero

3. Se un foglio del calendario quotidiano segna il 1 settembre, quanti fogli si dovranno staccare per arrivare al primo foglio con la scritta 31?

a. 31 b. 30 c. 60 d. 28

4. Sara ha una scatola con 100 figurine di animali: 18 sono di rettili, 16 di uccelli, 36 di mammiferi e 30 di pesci.

Quale figurina ha più probabilità di essere estratta?

È più probabile estrarre una figurina di uccelli o di pesci?

Perché?

Quale figurina ha meno probabilità di essere estratta?

NUMERI NATURALI

Grandi numeri

Qual è l’oceano più esteso?

È l'oceano Pacifico, con un'estensione di 179 650 000 km².

Quanti sono gli abitanti della Terra? Nel 2019 la popolazione mondiale contava circa 7 700 000 000 persone.

Questi numeri sono composti da 9 o più cifre

Per esprimere quantità o grandezze molto grandi occorre utilizzare nuovi periodi : quello dei milioni (M) e quello dei miliardi (G)

i grandi numeri si scrivono dividendo i periodi con uno spazio o un puntino. Leggiamo un periodo alla volta, seguito dal nome del periodo a cui appartengono: 7 miliardi , 700 milioni

Quante stelle ci sono nella nostra galassia?

Le stelle della nostra galassia sono circa 200 000 000 000.

Quanti neuroni ci sono nel nostro cervello?

I neuroni nel nostro cervello sono circa 100 000 000 000.

c ompleta scegliendo le parole giuste tra le seguenti.

M i L i ON i – ORD i N i – D eci M a L e – POS i Z i ON e – UN itÀ S e MPL ici –

D ieci – D eci N e

i l nostro sistema di numerazione è:

perché le quantità sono raggruppate per dieci ;

POSIZIONALE perché il valore delle cifre dipende dalla loro

Nei numeri la posizione delle cifre è organizzata in PERIODI : miliardi, , migliaia,

Ogni periodo è suddiviso in tre : centinaia, , unità. Ogni ORD i N e vale volte più dell’ordine alla sua destra.

Per scrivere i numeri si usano dieci cifre: 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9.

PERIODI

Ottocentocinquantasei M i L ia RD i settecentotrentadue M i L i ON i

Ogni numero può essere scritto anche come:

DI VALORI

DI PRODOTTI (scrittura polinominale)

Ottocentocinquantasei

Ogni numero può essere scritto anche come:

PERIODO DELLE MIGLIAIA (K)

centinaia di migliaia decine di migliaia unità di migliaia

8 1 2

ottocentododiciM i L a + 8 hK + 1 daK + 2 uK

+ (8 × 100 000) + (1 × 10 000 000) + (2 × 1 000 000)

PERIODO DELLE MIGLIAIA (K)

PERIODO DELLE UNITÀ SEMPLICI

centinaia di migliaia decine di migliaia unità di migliaia centinaia semplici decine semplici unità semplici 8 1 2 9 4 5

ottocentododiciM i L a novecentoquarantacinque

Esercizi

1. Metti nei seguenti numeri il puntino in alto per separare i periodi poi leggi a voce alta.

3 2 9 7

3 2 0 7 6

4 0 9 8 6 5 2 3 6 4 8 9 1 3 4 0 9 8 3 4

2. Metti i puntini in alto, poi scrivi in lettere.

3 4 0 9

7 5 7 5 0

2 8 6 5 0

2 9 0 0 0 0

2 3 0 9 8 7 6 0 0

3 4 9 0 0 0 0 0 0 0

3 4 0 8 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 4 1 0 7 0 0 0 4

3. Leggi i numeri e inseriscili in tabella, come nell’esempio.

PERIODO DEI MILIARDI (G)

hG daG uG

PERIODO DEI MILIONI (M)

PERIODO DELLE MIGLIAIA (K)

PERIODO DELLE UNITÀ SEMPLICI

4. Riconosci, a seconda della posizione, il valore della cifra 4, come nell’esempio.

23 984 u

536 742

463 098

2 984 213

34 985 001

5. c erchia le cifre indicate con i colori…

in blu le uM e in rosso le uG

43 098 241 097

181 987 469

5 943 218 005

43 860 007 321

983 326 243 000

7 009 543 215 473 007 321 986

in viola le daM e in arancione le daK

438 006 202 29 008 219

in giallo le uM e in verde le u

243 128 007 309

309 321 000 3 090 007 21 088 444 321

6. c erchia i numeri in cui la cifra 8 ha valore di hM.

887 432 223

98 654 321 009

333 365 421 865

1 890 432 400

8 439

88 543

88 080 008

2 867 543 000

7. c omponi, come nell’esempio, e poi leggi a voce alta il numero ottenuto.

9 000 + 800 + 70 + 5 = 9 875

20 000 + 2 000 + 90 =

800 000 000 + 500 000 + 90 000 + 30 + 7 =

40 000 000 + 6 000 000 + 7 000 + 700 + 40 =

20 000 000 000 + 400 000 000 + 3 000 000 + 10 000 =

700 000 + 30 000 + 4 000 + 800 + 90 + 6 =

6 000 000 + 300 000 + 50 000 + 600 =

300 000 000 000 + 700 000 000 + 20 000 000 + 4 000 000 + 90 000 + 600 =

8. c omponi, come nell’esempio, e poi leggi a voce alta il numero ottenuto.

2 uK + 9 h + 5 u = 2 905

3 daM + 7 uM + 3 daK + 6 uK + 2 da =

4 daG + 6 uG + 5 hM + 3 uM + 8 daK + 3 u =

9 hG + 6 uG + 4 hM + 6 daK =

7 uG + 5 daM + 3 hK + 8 uK + 9 u =

1 daG + 2 daK + 5 uK + 6 h + 8 da + 3 u =

6 hM + 7 daM + 3 uM + 5 hK + 4 daK + 8 h =

7 hG + 9 daG + 4 uG + 2 hM + 8 uM + 6 hK + 4 daK + 9 da + 2 u =

9. c omponi, come nell’esempio, e poi leggi a voce alta il numero ottenuto.

(5 × 1 000) + (4 × 100) + (3 × 1) = 5 403

(2 × 10 000) + (7 × 1 000) + (8 × 100) + (4 × 10) =

(3 × 100 000) + (6 × 10 000) + (7 × 1 000) + (5 × 100) + (4 × 10) =

(1 × 10 000 000) + (4 × 100 000) + (2 × 100) =

(6 × 100 000 000) + (5 × 100 000) + (8 × 1 000) + (6 × 10) =

(7 × 1 000 000 000) + (8 × 100 000 000) + (1 × 100 000) = (2 × 10 000 000 000) + (2 × 20 000 000) + (4 × 1 000 000) + + (6 × 100 000) + (3 × 100) = (8 × 100 000 000 000) + (6 × 10 000 000) + (7 × 100 000) + (1 × 10 000) + + (4 × 1 000) + (3 × 100) =

10. Usa le cifre 6 8 3 1 4 5 7 2 per scrivere sei numeri possibili, seguendo la regola: la cifra 8 deve sempre avere il valore di daM

11. Scomponi i numeri sul quaderno, come nell’esempio.

12. Leggi il numero e inseriscilo in tabella. Poi aggiungi 1 daK e 1 uM e trascrivi nella riga sottostante, come nell’esempio.

13. Partendo da 487 000 arriva a 587 000 contando per 10 000.

14. e segui le seguenti equivalenze, come nell’esempio.

40 da = 4 h

3 h = u

700 hK = uM

65 daK = h

3 000 uM = hM

6 daM = hK

600 uG = hG

15. c ompleta le equivalenze a tappe, come nell’esempio.

47 000 hK = 4 700 uM = 470 daK = 47 uM

89 000 uM = daM = hM

56 daG = uG = hM = daM

5 000 uM = daM = hM = uG

73 daM = uM = hK

345 uG = hM = daM = uM

80 000 hK = uM = daM = hM

2 hG = daG = uG = hM = daM

16. Scrivi quanto manca per arrivare al milione.

500 000 + = 1 000 000

800 000 + = 1 000 000

250 000 + = 1 000 000

340 000 + = 1 000 000

999 995 + = 1 000 000 890 000 + = 1 000 000 699 000 + = 1 000 000 575 000 + = 1 000 000

17. Quanto manca al miliardo?

900 000 000 + = 1 000 000 000

300 000 000 + = 1 000 000 000

600 000 000 + = 1 000 000 000

500 000 000 + = 1 000 000 000

1 000 000 + = 1 000 000 000

18. c onfronta scegliendo il segno corretto tra < > =. 5 498 < 8 976 23 054 23 053

Le potenze

Proviamo a rappresentare graficamente ciò che dice la filastrocca.

Nella stalla di un vecchio contadino due mucchi di paglia son messi vicino su ogni mucchio stan due conigli che han ciascuno due occhi svegli. Su ogni occhio due moscerini lanciano sguardi un po’ birichini. Puoi dirmi in tutto senza sbagliare quanti moscerini si posson contare?

MUCCHI

CONIGLI OCCHI

MOSCERINI

Osservando il diagramma ad albero puoi ora rispondere facilmente alla domanda della filastrocca.

z i MUCCHI sono: 2

z i CONIGLI sono: 2 per ogni mucchio, cioè 2 × 2 = z Gli OCCHI sono: 2 per ogni coniglio, cioè 2 × 2 × 2 = z i MOSCERINI sono: 2 per ogni occhio, cioè 2 × 2 × 2 × 2 =

Possiamo rappresentare le stesse operazioni con una catena: 2 × 2 4 × 2 8 × 2 16

e ntrambe le rappresentazioni (grafico e catena) mostrano ciò che avviene moltiplicando un numero per se stesso: 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Ogni prodotto di fattori uguali può essere scritto sotto forma di potenza

ESPONENTE : indica quante volte è ripetuto il numero della base

BASE : è il numero che viene moltiplicato per se stesso

Si legge due alla quarta cioè: 2 moltiplicato 4 volte per se stesso.

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Le potenze sono quindi delle moltiplicazioni ripetute.

Osserva:

2¹ = 2

2² = 2 × 2 = 4

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

2 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

2 8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

2 9 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512

2¹ 0 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 024

Esempi

1 5 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1

3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

4³ = 4 × 4 × 4 = 64

5² = 5 × 5 = 25

Ricorda

10² = 10 × 10 = 100

10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 7¹ = 7

2 0 = 1

2 0 = 1 Per convenzione qualsiasi numero elevato a zero è uguale a 1.

2¹ = 2 Se l’esponente è 1, il risultato è uguale alla base.

LA SCRITTURA POLINOMIALE DEI NUMERI

Nelle potenze del 10 l’esponente indica quanti zeri ci sono dopo l’1.

Esempio:

10² = 1 S e GU it O D a tanti zeri quanti indicati dall’esponente = 100 (infatti 10 × 10 = 100)

10³ = 1 S e GU it O D a 3 zeri = 1 000

Osserva la tabella.

PERIODO DEI MILIARDI (G)

PERIODO DEI MILIONI (M)

PERIODO DELLE MIGLIAIA (K)

PERIODO DELLE UNITÀ SEMPLICI

i l nostro sistema di numerazione è decimale , perché è possibile scomporre ogni numero come somma di potenze di 10

e cco degli esempi: 5 734 (5 × 1 000) + (7 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1)

Posso scrivere in forma più breve sostituendo i secondi fattori con le potenze del 10: (5 × 10³) + (7 × 10²) + (3 × 10¹) + (4 × 10 0 )

6 732 812 945

(6 × 1 000 000 000) + (7 × 100 000 000) + (3 × 10 000 000) + (2 × 1 000 000) + (8 × 100 000) + (1 × 10 000) + (2 × 1 000) + (9 × 100) + (4 × 10) + (5 × 1)

Posso scrivere in forma più breve sostituendo ai secondi fattori le potenze del 10:

(6 × 10 9 ) + (7 × 10 8 ) + (3 × 10 7 ) + (2 × 10 6 ) + (8 × 10 5 ) + (1 × 10 4 ) + (2 × 10³) + (9 × 10²) + (4 × 10¹) + (5 × 10 0 )

c ento miliardi 100 000 000 000 10¹¹

Esercizi

1. c alcola le seguenti potenze, come nell’esempio.

7³ = 7 × 7 × 7 = 343

5³ = 3 4 = 8 0 = 2 5 = 4² = 9¹ =

2. c alcola, come nell’esempio.

2 × 10² = 2 × 100 = 200

6 × 10³ = =

7 × 10¹ = =

8 × 10 5 = =

4 × 10 4 = =

9 × 10 6 = =

2 × 10 0 = =

3 × 10 7 = =

3. c alcola, come nell’esempio.

43 = (4 × 10¹) + (3 × 10 0 )

135 = 2 598 = 13 876 = 298 654 = 4 000 987 = 23 009 706 = 321 008 321 =

LA STORIA DEI NUMERI

Fin dall’antichità gli uomini usavano i numeri e facevano i calcoli. Le tracce più antiche risalgono addirittura a più di 30 000 anni fa! e rano tacche incise su ossa.

i SUMERI incidevano su delle tavolette di argilla dei gettoni, ottenendo dei simboli numerici.

i BABILONESI , con la scrittura cuneiforme, attribuirono un valore posizionale ai simboli e inventarono lo zero, che indicavano con un posto vuoto.

Gli EGIZI utilizzavano i geroglifici e avevano un simbolo diverso per ogni ordine numerico.

i GRECI e gli EBREI usavano le lettere dell’alfabeto per indicare i numeri.

Gli INDIANI per primi hanno introdotto lo zero nel V-V i secolo a. c ., che non fu subito usato dagli europei perché questi ultimi non concepivano l’idea del vuoto, del nulla.

i CINESI utilizzavano una numerazione posizionale in base dieci molto simile alla nostra; intorno all’V iii secolo d. c hanno iniziato a utilizzare lo zero.

i MAYA usavano una numerazione posizionale in base venti; utilizzavano lo zero in modo intuitivo, come posizione vuota.

NUMERI ROMANI

i ROMANI usavano dei simboli efficaci per rappresentare i numeri, ma poco vantaggios i nei calcoli; infatti per eseguire i calcoli con i numeri alti essi dovevano ricorrere all’aiuto dell’abaco.

e cco i simboli utilizzati:

1 = I 5 = V 50 = L 500 = D 10 = X 100 = C 1 000 = M

Il sistema numerico romano

z Utilizzava la base dieci e si basava su addizioni e sottrazioni.

z i l sistema di numerazione romano non era di tipo posizionale.

z Non esisteva una notazione per lo zero.

i Romani seguivano queste regole:

z le cifre I , X , C , M si potevano ripetere fino a tre volte e il loro valore si sommava:

III 3 XXX 30

z se si scriveva una cifra a destra di un’altra con valore maggiore, bisognava eseguire un’addizione:

VI 5 + 1 = 6 CXX 100 + 20 = 120

XIII 10 + 3 = 13 MCCCXXI 1 000 + 300 + 20 + 1 = 1 321

z se si scriveva una cifra a sinistra di un’altra con valore maggiore, bisognava eseguire una sottrazione:

IV 5 – 1 = 4 XC 100 – 10 = 90

IX 10 – 1 = 9 CM 1

1. Scrivi in numeri romani, come nell’esempio.

VII

300

060

2. trasforma i seguenti numeri romani, come nell’esempio.

3. Sui monumenti della propria città, teresa ha trovato queste date scritte con i numeri romani. a iutala a decifrarle.

METTITI ALLA PROVA

1. Scrivi i numeri maggiori di 1 530 e minori di 1 539.

a ggiungi 1 h a ogni numero.

a ggiungi 1 al primo numero o togli 6 dall’ultimo. i l numero che ottieni è:

2. i ndovina il numero seguendo le indicazioni:

z è un numero di 4 cifre tutte diverse tra loro; z è maggiore di 4 × 1030 e minore di 5 × 1030; z la somma delle sue cifre è 10; z la cifra delle decine è dispari ed è maggiore di 1 e minore di 5.

Scrivi i tre numeri possibili:

i l numero è dispari, quindi è:

3. Rispondi. c he numero ottengo se al numero 999 999…

… aggiungo 1 u

… aggiungo 1 uK

… aggiungo 1 hK

4. Quanto manca al miliardo?

… aggiungo 1 daK

… tolgo 1 h

… tolgo 1 da

999 999 999 + = 1 000 000 000

999 999 + = 1 000 000 000

999 999 990 + = 1 000 000 000

990 999 999 + = 1 000 000 000

1 + = 1 000 000 000

LE QUATTRO OPERAZIONI

CON I NUMERI NATURALI

Addizione

Scrivi negli spazi i nomi dei termini dell’addizione scegliendo tra: SOMMA – ADDENDI

14 + 6 + 11 = 31

Quali azioni si compiono quando si utilizza questa operazione?

Aggiungere,

Questa addizione ha addendi.

Lavora con i compagni: ciascuno scelga 2 addendi tra i numeri naturali e scriva la somma.

Provate a sommare tutte le somme.

Ricorda

Osservando in quarta la tabella dell’addizione abbiamo notato che: z nei numeri naturali l’addizione è sempre possibile; z lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso 7 + 0 = 7 0 + 345 = 345 per questo lo 0 è detto elemento neutro dell’addizione

Proprietà dell’addizione

c ome abbiamo osservato anche lo scorso anno, l’addizione ha delle caratteristiche che chiamiamo proprietà.

25 + 30 = 55

30 + 25 =

Questa proprietà si utilizza anche come prova dell’addizione.

Se si cambia l’ordine degli addendi, il risultato non cambia. PROPRIETÀ COMMUTATIVA

Con la PROPRIETÀ ASSOCIATIVA si può agire anche IN SENSO INVERSO scomponendo un addendo nella somma di uno o più addendi.

25 + 25 + 32 = 82

(25 + 25) + 32 = 82

50 + 32 = 82

Le parentesi indicano la precedenza nel calcolo.

Quando ci sono almeno tre addendi, se si sostituiscono due o più addendi con la loro somma, il risultato non cambia. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

354 + 46 = (350 + 4) + (40 + 6) = 400

Moltiplicazione

Scrivi i nomi dei termini della moltiplicazione scegliendo tra: FATTORI – PRODOTTO 5 × 3 × 2 = 30

Quali azioni si compiono quando si utilizza questa operazione?

Questa moltiplicazione ha fattori.

Si possono aggiungere altri fattori?

Ricorda

Osservando la tabella della moltiplicazione in quarta abbiamo notato che: z nei numeri naturali la moltiplicazione è sempre possibile; z se lo 0 compare tra i fattori di una moltiplicazione, il prodotto è uguale a 0

5 × 670 × 0 = 0

per questo lo 0 è detto elemento assorbente della moltiplicazione

Proprietà della moltiplicazione

Osserva con attenzione:

42 × 15 = 630

15 × 42 = 630

Questa proprietà serve anche come prova della moltiplicazione.

Se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia. PROPRIETÀ COMMUTATIVA

40 × 12 = (4 × 10) × 12 = 4 × (10 × 12) = 4 × 120 = 480

Usando la PROPRIETÀ ASSOCIATIVA IN SENSO INVERSO si può sostituire un fattore con il prodotto di altri due.

15 × 5 × 2 = 150

15 × (5 × 2) = 150

15 × 10 = 150

Se si sostituiscono due o più fattori con il loro prodotto, il risultato non cambia. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

Osserva come si comporta la moltiplicazione rispetto…

a LL’a DD i Z i ON e

( 12 + 7 ) × 2 =

(12 × 2 ) + (7 × 2 ) =

24 + 14 = 38

30 × 15 =

30 × (10 + 5) = (30 × 10) + (30 × 5) =

300 + 150 = 450

Per moltiplicare una somma per un numero si può moltiplicare ciascun addendo per quel numero e addizionare i prodotti ottenuti

Questa è la PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

DELLA MOLTIPLICAZIONE

RISPETTO ALL’ADDIZIONE

Moltiplicazione in colonna

a LL a SO tt R a Z i ON e

( 25 – 12 ) × 2 =

(25 × 2 ) – (12 × 2 ) =

50 – 24 = 26

Per moltiplicare una sottrazione per un numero si può moltiplicare il minuendo e il sottraendo per quel numero e poi fare la differenza dei prodotti ottenuti

Questa è la PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE

Se i fattori hanno più di due cifre, si può procedere con il calcolo in colonna. i nserisci accanto i nomi dei termini, aggiungendo anche:

1° PRODOTTO PARZIALE – 2° PRODOTTO PARZIALE

OP e R a Z i ON e :

1 4 7 × 3 2 =

2 9 4

4 4 1 –

Verifica con la PROVa :

4 7 0 4 4 7 0 4

Esercizi · Addizione

1. a pplica sul quaderno la proprietà commutativa indicando le sei possibilità per ogni addizione, come nell’esempio.

18 + 13 + 35 = 18 + 35 + 13 = 13 + 35 + 18 = 13 + 18 + 35 = 35 + 13 + 18 =

35 + 18 + 13 =

a. 15 + 23 + 17 =

72 + 98 + 8 =

b. 653 + 32 + 1 935 = 5 + 783 + 90 =

2. e segui le addizioni in colonna sul quaderno con la prova. Quale proprietà utilizzi per verificare con la prova la correttezza dei calcoli?

4 005 + 875 =

28 + 5 487 =

9 875 + 2 510 =

16 + 6 534 =

3 912 + 567 =

135 + 6 792 =

192 + 3 627 =

4 922 + 875 =

547 674 + 72 420 =

62 185 + 742 846 0 =

152 640 + 256 945 =

721 320 + 85 451 =

43 125 + 647 + 28 =

346 + 59 388 + 49 =

296 341 + 12 + 8367 =

73 825 + 99 + 1 001 =

3. e segui le addizioni in riga, come nell’esempio, associando gli addendi che ritieni convenienti.

26 + 105 + 24 =

50 + 105 =

130 + 120 + 12 = 12 + 8 + 45 = 180 + 3 021 + 220 = 91 + 187 + 9 =

225 + 45 + 20 =

4. e segui sul quaderno le addizioni: associa gli addendi con le parentesi, come indicato, poi riporta il risultato.

a ssocia il primo e il secondo addendo e poi aggiungi il terzo addendo.

125 + 25 + 341 = (125 + 25) + 341 = 150 + 341 = 491

13 + 12 + 50 =

144 + 6 + 72 =

135 + 15 + 27 =

255 + 45 + 100 =

a ssocia il secondo e il terzo addendo e poi aggiungi il primo addendo.

80 + 5 + 15 =

80 + (5 + 15) = 80 + 20 = 100

356 + 7 + 43 =

1 . 150 + 36 + 14 =

305 + 56 + 34 =

285 + 47 + 33 =

Osserva le coppie di addendi che hai associato. Perché è conveniente addizionare prima queste coppie? La loro somma

5. Sul quaderno applica le proprietà, come nell’esempio, poi riporta il risultato.

75 + 39 = 70 + 5 + 30 + 9 = (70 + 30) + (5 + 9) = 100 + 14 = 114

132 + 28 =

56 + 84 =

168 + 47 =

4 622 + 376 =

474 + 636 =

509 + 302 =

83 + 127 =

536 + 682 =

515 + 2 364 =

1 361 + 863 =

63 + 47 =

802 + 208 =

1 240 + 860 =

632 + 78 =

2 254 + 742 =

6. c ompleta la seguente tabella applicando le due proprietà indicate.

a DD e ND i PROPR ietÀ c OMMU tati Va PROPR ietÀ a SSO ciati Va SOMM a

213 + 40 + 17 213 + 17 + 40 (213 + 17) + 40

353 + 130 + 107

402 + 70 + 98

111 + 307 + 769

+ 40 = 270

Esercizi · Moltiplicazione

Moltiplicare per 10, 100, 1 000

Moltiplicando un numero per 10 ogni sua cifra “passa” nella posizione alla sua sinistra.

Per moltiplicare un numero per 10, basta aggiungere uno a destra del 1° fattore.

Per moltiplicare un numero per 100, basta aggiungere zeri a del 1° fattore.

Per moltiplicare un numero per 1 000,

1. c ompleta la tabella.

2. Moltiplicazioni per 10, 100, 1000.

30 517 × 10 =

7 952 × 100 =

6 744 × 100 =

245 × 100 =

× 1 000

3. c alcola a mente. c olora i fattori che ti conviene associare. a iutati con la tabella.

20 × 8 × 5 = 100 × 8 = 800

2 × 9 × 5 =

25 × 7 × 4 =

10 × 6 × 10 =

25 × 3 × 40 =

100 × 5 × 10 =

125 × 7 × 8 =

250 × 9 × 4 =

2 × 7 × 5 = 20 × 13 × 50 = 25 × 32 × 4 = 10 × 87 × 10 =

25 × 19 × 40 =

125 × 35 × 8 =

500 × 17 × 2 =

2 × 5 = 10

20 × 5 = 100

25 × 4 = 100

10 × 10 = 100

25 × 40 = 1 000

100 × 10 = 1 000

125 × 8 = 1 000

250 × 4 = 1 000

500 × 2 = 1 000

4. e segui le moltiplicazioni associando gli addendi, come nell’esempio; puoi usare la proprietà commutativa per scambiare l’ordine.

4 × 25 × 30 = (4 × 25) × 30 = 100 × 30 = 3 000

5 × 20 × 17 =

78 × 5 × 20 =

745 × 4 × 25 = 8 × 2 × 20 = 18 × 5 × 2 = 2 × 41 × 5 =

15 × 4 × 8 =

20 × 13 × 5 = 16 × 25 × 4 = 9 × 2 × 50 =

5. e segui le moltiplicazioni sul quaderno e verifica il risultato applicando la proprietà commutativa.

48 × 95 =

67 × 88 =

73 × 82 =

94 × 43 = b.

279 × 29 =

342 × 127 =

642 × 32 =

45 × 628 = c.

664 × 82 =

284 × 352 =

543 × 173 =

643 × 529 =

2 125 × 427 = 1 647 × 358 = 3 261 × 752 = 7 342 × 455 = e.

1 527 × 297 =

3 491 × 132 =

86 123 × 1342 =

5 135 × 824 =

6. Risolvi prima le operazioni nelle parentesi e calcola.

9 × (5 + 3) =

25 × (10 – 5) =

15 × (7 + 5) =

(9 × 5) + 3 = (25 × 10) – 5 = (15 × 7) + 5 =

c onfrontando i risultati delle espressioni sulla stessa riga, cosa noti?

7. c alcola, come nell’esempio.

35 × 6 = (30 + 5) × 6 = (30 × 6) + (5 × 6) = 180 + 30 = 210

48 × 5 =

85 × 4 =

56 × 6 =

135 × 4 =

345 × 5 =

6 × 1232 =

Quale proprietà hai utilizzato?

8. Leggi con attenzione e completa.

La maestra teresa chiede ai suoi bambini di calcolare a mente 163 × 5

e di spiegare come hanno fatto a trovare la soluzione.

Luca spiega così: « i o ho moltiplicato tre per cinque, poi sei per cinque e uno per cinque. i nfine ho sommato i risultati».

e mma invece dice: « i o ho moltiplicato cento per cinque, sessanta per cinque e poi tre per cinque. a lla fine ho sommato i risultati».

La maestra teresa, dopo aver ascoltato i diversi ragionamenti, fa i complimenti a

9. c alcola a mente.

32 × 2 =

53 × 3 = 124 × 2 = 122 × 4 = 2 200 × 2 =

420 × 2 =

Calcolo rapido

Ricordi le strategie di calcolo mentale? e ccone alcune.

a DD i Z i ON e

+ 9, 99, 999 aggiungi 10, 100, 1 000 e togli 1

+ 19, 29, 39 aggiungi 20, 20, 40 e togli 1

+ 11, 21, 31 aggiungi 10, 20, 30 e poi ancora 1

1. c alcola a mente.

153 + 9 =

735 + 19 =

892 + 11=

65 × 5 = 341 × 50 =

× 500 =

+ 99 =

+ 29 =

+ 21 =

× 5 =

× 50 =

MOLti PL ica Z i ON e

× 5, 50, 500 moltiplichi per 10, 100, 1 000 e poi dividi il risultato per 2.

× 9 moltiplichi per 10 e togli dal risultato il numero stesso

+ 999 =

+ 49 =

+ 41 =

2. Ragiona e completa tu queste strategie di calcolo mentale, poi scrivi cinque esempi per ognuno sul quaderno.

× 99 moltiplica per e togli

× 999 moltiplica per e togli

× 25 moltiplica per e dividi per

3. Moltiplica ogni numero per 5. 16 32 21

4. Moltiplica ogni numero per 25.

c he strategia puoi usare per moltiplicare un numero per 25?

Sottrazione

Scrivi i nomi dei termini della sottrazione, scegliendo tra: RESTO O DIFFERENZA – MINUENDO – SOTTRAENDO

28 – 13 = 15

Quali azioni si compiono quando si utilizza questa operazione?

i nvertiamo l’ordine dei termini 13 – 28 = ?

È sempre possibile eseguire una sottrazione

nei numeri naturali?

Completa i l minuendo deve essere del 15 28 – 13

La sottrazione è l’operazione dell’addizione.

Per verificare se una sottrazione è corretta posso eseguire l’addizione inversa.

Ricorda e completa

SOTTRAZIONE PROVA

9 746 – +

5 869 = = 3 877 9 746

z Nei numeri naturali la sottrazione è sempre possibile.

z Lo 0 sottratto al minuendo dà come risultato il numero stesso: 7 – 0 = 7; mentre non si può eseguire la sottrazione 0 – 7 = perché nei numeri naturali non ha risultato.

z Quando invece la sottrazione dà come risultato 0 significa che il minuendo e il sottraendo sono – 11 = 0

257 – 40 = 217

+ 30 + 30

287 – 70 = 217

257 – 40 = 217

– 30 – 30

227 – 10 = 217

PROPRIETÀ INVARIANTIVA

Se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, il risultato non cambia.

Divisione

Scrivi i nomi dei termini della divisione, scegliendo tra: DIVISORE – QUOZIENTE O QUOTO – DIVIDENDO – RESTO

65 : 5 = 13 ( 0 )

69 : 5 = 13 ( 4 )

Se il resto è 0, la divisione si dice anche esatta , ed è l’operazione della moltiplicazione.

Uso la moltiplicazione inversa per fare la prova. 13 × 5 = 65 : 5 =

Ricorda e completa

z Se il resto è diverso da zero, per fare la prova moltiplico il divisore per il quoziente e aggiungo il resto.

69 : 5 = 13 con resto 4 5 × 13 + 4 = 69

z Se il dividendo è 0, il quoziente è 0. z i l divisore non può mai essere 0.

Quali azioni si compiono quando si utilizza questa operazione?

350 : 70 = : 10 : 10

35 : 7 = 5

175 : 5 = × 2 × 2

350 : 10 = 35

PROPRIETÀ INVARIANTIVA

In una divisione esatta, se si moltiplica o si divide per lo stesso numero sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia.

0 e 1 nelle quattro operazioni

i ndichiamo con la lettera n un qualsiasi numero. 0 1 + n + 0 = n 7 + 0 =

0 + n = n 0 + =

× n × 0 = 0 9 × 0 =

0 × n = 0 0 × = n × 1 = n 12 × 1 = 1 × n = n 1 × =

–n – 0 = n 15 – 0 =

n – n = 0 235 – =

0 – n = in N non si può fare

: 0: n = 0 0 : 5 = n : 0 = ? impossibile n : 1 = n 123 : 1 = n : n = 1 160 : 160 =

1. c alcola in riga.

674 985 + 0 =

56 789 – 56 789 =

6 789 × 987 × 0 × 129 867 =

67 843 : 67 843 =

1 + 99 999 =

89 765 – 0 =

1 × 987 654 =

0 : 6 543 =

2. c ompleta le uguaglianze quando possibile.

5 × = 0

9 : 0 = 7 × = 7 1 – = 1 6 + = 6 10 – = 10 12 : = 12 – 1 = 1 : 7 = 0 0 – = 3 1 : = 6 1 × = 9

Esercizi · Sottrazione

1. e segui sul quaderno le sottrazioni in colonna con la prova.

1 588 – 1 235 =

12 551 – 3 452 =

56 907 – 13 675 =

890 000 – 127 965=

2 540 – 3 147 =

5 159 – 1 140 =

6 200 – 1 596 =

9 800 – 3 186 =

54 109 – 36 235 =

61 352 – 1 017 =

42 196 – 27 189 =

96 534 – 30 122 =

32 112 – 21 185 =

53 003 – 14 573 =

96 050 – 26 714 =

61 010 – 31 753 =

2. e segui le sottrazioni sul quaderno applicando la proprietà invariantiva, come nell’esempio.

75 – 35 =

91 – 51 =

87 – 47 = b.

257 – 37 =

291 – 41 =

463 – 33 =

c. 865 - 35 = 938 – 18 = 1 284 – 54 =

3. c alcola sul quaderno, seguendo gli esempi.

Il sottraendo deve diventare 10, 20, 30. 57 – 8 =

+ 2 + 2

59 – 10 = 49

476 – 24 = 675 – 26 =

874 – 27 =

267 – 8 =

475 – 17 =

229 – 16 =

57 – 21 =

Il sottraendo deve diventare 100 o 200. 357 – 104 = – 4 – 4

253 – 100 = 253

785 – 103 = 501 – 203 =

634 – 196 = 675 – 99 = 498 – 197 =

634 – 105 = 548 – 98 =

4. Risolvi prima le operazioni tra parentesi e calcola.

(89 – 7) – 2 = (112 – 8) – 5 = (265 – 35) – 12 = (348 – 20) – 15 = (1563 – 30) – 23 =

89 – (7 – 2) = 112 – (8 – 5) =

265 – (35 –12) =

348 – (20 – 15) = 1563 – (30 – 23) =

c osa hai osservato confrontando le espressioni sulla stessa riga?

Dividere per 10, 100, 1 000

Dividendo un numero per 10, 100, 1 000, ogni cifra si sposta di una, due, tre posizioni verso .

Per dividere un numero per 10, basta togliere uno 0 al dividendo.

Per dividere un numero per 100, basta togliere due al dividendo.

Per dividere un numero per 1 000, basta togliere

Esercizi · Divisione

1. c ompleta.

90 : 10 =

400 : 10 = : 10 = 631 : 10 = 7 543

6 540 : 10 =

6 300 : 10 = : 10 = 5 060

89 000 : 100 = : 100 = 65 : 100 = 320

2500 : 100 =

42 000 : 100 = : 100 = 777 : 100 = 8 000

9 000 : 1 000 =

85 000 : 1 000 =

76 000 : 1 000 = : 1 000 = 9 500

3 000 : 1 000 =

600 000 : 1 000 =

2. e segui le divisioni applicando la proprietà invariantiva

345 : 15 = (345 : 5) : (15 : 5) = =

236 : 5 = (236 × 2) : (5 × 2) = =

125 : 25 = (125 × 4): (25 × 4) = =

850 : 15 = = =

425 : 25 = = =

280 : 5 = = =

186 : 27 = = =

550 : 25 = = =

280 : 14 = = =

3. c ompleta l’esercizio e osserva cosa accade al resto

25 : 3 = resto

252 : 16 = resto : = resto : = resto : = resto : = resto

9 426 : 12 = resto 3 470 : 16 = resto : = resto : = resto c osa hai osservato? : : : 2 :

Nota bene : in una divisione con resto diverso da 0, moltiplicando o dividendo per uno stesso numero sia il dividendo sia il divisore, il quoziente , il resto

4. e segui le divisioni sul quaderno.

a. 884 : 21 =

b. 6 758 : 32 =

c. 7 858 : 37=

d. 275 : 38 =

e. 1 755 : 65 =

f. 7 725 : 25 =

g. 2 409 : 12 =

h. 538 422 : 65 =

i. 132 057 : 25 =

643 : 43 =

432 : 11 =

562 : 34 =

: 17 =

856 : 58 =

689 : 48 =

Calcolo a mente

Ricordi le strategie di calcolo mentale? e ccone alcune:

SO tt R a Z i ON i D i V i S i ON i

– 9, 99, 999 togli 10, 100, 1 000 e aggiungi 1

– 19, 29, 39 togli 20, 30, 40 e aggiungi 1

– 11, 21, 31 togli 10, 20, 30 e poi ancora 1

1. c alcola a mente.

54 – 9 = 683 – 99 =

– 99 =

: 5, 50, 500 dividi per 10, 100, 1 000 e poi moltiplichi il risultato per 2 : 25 dividi per 100 e moltiplichi il risultato che ottieni per 4

– 9 =

– 999 =

– 9 =

2. Dividi ogni numero per 5.

3. Dividi ogni numero per 25.

4. e segui a mente le seguenti divisioni e colora il riquadro con il risultato esatto in ciascuna riga corrispondente.

880 : 8 =

999 : 9 =

420 : 6 =

250 : 50 =

5. Risolvi i problemi sul quaderno.

a. Per la gita di inizio anno della scuola primaria “ c ollodi” si devono prenotare i pullman per andare a visitare la cittadina di c astell’a rquato. Sapendo che in tre classi ci sono 25 bambini, in sei classi 27 bambini e in una sola classe 24 bambini, quanti pullman da 48 posti si dovranno prenotare considerando che ogni classe è accompagnata da 2 insegnanti?

b. c arlo e Giorgio fanno la raccolta delle figurine. c arlo ha 75 figurine e Giorgio ne ha 96. Qual è la differenza tra le figurine di c arlo e Giorgio? La mamma regala 20 figurine a c arlo e 20 figurine a Giorgio. Qual è ora la differenza tra le figurine di c arlo e Giorgio?

METTITI ALLA PROVA

1. Rispondi.

La maestra domanda alla classe di moltiplicare a mente 520 × 50. tu come faresti? Spiega come hai fatto a trovare rapidamente il risultato usando il calcolo mentale.

2. Qual è il numero nascosto dal bollino che rende vera la seguente uguaglianza?

c irconda la risposta corretta.

: 5 = 70 :

3. a nna usa la calcolatrice per moltiplicare 32 × 42. Sbaglia a digitare i tasti e sulla tastiera preme i tasti 32 × 41. Per correggere il suo errore cosa deve aggiungere al risultato? c irconda la risposta corretta.

4. c arlo esegue questa divisione: 1 632 : 4 = 408. a pplica la proprietà invariantiva e scrive 816 : 8 = 102.

La maestra gli fa notare che ha applicato la proprietà invariantiva in modo errato.

c osa ha sbagliato c arlo? c osa avrebbe dovuto scrivere?

c ’è un’altra possibilità?

5. La maestra teresa pone una domanda ai bambini della sua classe: «Se dico che n è un qualsiasi numero naturale, cosa indica n+1 ?».

e cco le risposte di alcuni alunni.

z Carla : « n + 1 è sempre pari, perché 3 + 1 = 4».

z Giacomo : « n + 1 è sempre il numero successivo».

z Elena : « n + 1 sommato a n, dà sempre un numero pari».

z Mario : « n +1 è sempre dispari, perché 6 + 1 = 7».

c hi ha ragione?

c arla Giacomo e lena Mario nessuno

6. Le bottiglie di acqua che vedi sono uguali. La bottiglia verde contiene 300 ml di acqua. La bottiglia gialla contiene 220 ml di acqua.

z Quanta acqua in più contiene la bottiglia verde rispetto alla bottiglia gialla? ml.

z a nna aggiunge 200 ml di acqua in entrambe le bottiglie.

La differenza tra la quantità di acqua contenuta nella bottiglia verde e quella contenuta nella bottiglia gialla cambia?

Scegli la risposta corretta.

a. Sì, cambia perché la bottiglia verde contiene 500 ml di acqua mentre la bottiglia gialla 420 ml.

b. No, non cambia perché in entrambe le bottiglie è stata aggiunta la stessa quantità di acqua.

c. Sì, cambia perché si aggiunge acqua in entrambe le bottiglie.

d. No, non cambia perché le bottiglie sono uguali.

Multipli e divisori

MULTIPLI

Poldo, il cane di Caterina, sta correndo e fa 2 metri in 1 secondo. Quanti metri fa in 2 secondi? E in 3 secondi? E in 4, 5, 6, secondi?

Rappresentiamo su una striscia la strada percorsa da Poldo e il tempo che ha impiegato. Completa disegnando i balzi compiuti da Poldo che coincidono con i metri percorsi in un secondo. Evidenzia i metri di ogni balzo.

metro i numeri che hai evidenziato corrispondono alla numerazione del 2 ; 2, 4, 6, 8 … sono i multipli di 2, ma non sono tutti.

I multipli di… procedi tu.

2 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 3 6, 9,

Ricorda

z Dato un numero, tutti i multipli si ottengono moltiplicando quel numero per qualsiasi altro numero.

Esempio :

3 × 2 = 6; 3 × 4 = 12 ; 3 × 9 = 27 ; 3 × 11 = 33 ; 3 × 21= 63 ; 3 × 50 = 150 ; 6 , 12, 27 , 33 , 63 , 150 … sono multipli di 3.

z i multipli di un numero naturale, diverso da zero, sono infiniti.

z Ogni numero è multiplo di se stesso.

z Ogni numero è multiplo di 1.

DIVISORI

Si devono confezionare 50 lattine di aranciata in scatole che contengono al massimo 6 lattine l’una. Qual è il numero minimo di scatole che occorrono per confezionare tutte le lattine?

Se si mettono 6 lattine in ogni scatola si riempiono scatole, ma rimangono fuori lattine.

i nfatti:

50 : 6 = 8 2 resto

6 NON È DIVISORE DI 50

c onviene mettere in ogni scatola lattine. Si riempiono così scatole e nessuna lattina rimane fuori.

i nfatti:

50 : 5 = 10 0 resto 5 È DIVISORE DI 50

c erchiamo, per esempio, i divisori del numero 6.

6 : 1 = 6 resto 0 1 è divisore di 6 6 : 2 = 3 resto 0 2 è divisore di 6

6 : 3 = 2 resto 0 3 è divisore di 6 6 : 4 = 1 resto 1 4 non è divisore di 6

6 : 5 = 1 resto 1 5 non è divisore di 6 6 : 6 = 1 resto 0 6 è divisore di 6

i divisori di 6 sono: , , ,

Se cerchiamo i divisori di numeri grandi, il procedimento è lungo. Proviamo ad abbreviare.

c erchiamo i divisori di 12. a ndiamo a vedere nelle tabelline di chi è multiplo il numero 12. i l 12 si trova nelle tabelline dell’ 1 , del 2 , del 3 , del 4 , del 6 e del 12 : questi numeri sono i divisori del 12

Puoi dire che il 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ricorda

z c hiamiamo divisori solo quei numeri che dividono un altro numero con resto 0 .

z Ogni numero ha almeno due divisori: 1 e se stesso.

z L’1 ha come divisore solo se stesso.

z i divisori di un numero naturale diverso da zero sono in numero finito

Osserva le situazioni e rispondi alle domande

z 16 zampe quanti merli?

8 merli quante zampe?

z 16 zampe quanti gatti?

4 gatti quante zampe ?

z 16 zampe quanti ragni?

2 ragni quante zampe?

Possiamo dire che:

16 è multiplo di 8 e 8 è divisore di 16

16 è multiplo di e è divisore di 16

Ricorda

e ssere multiplo di … ed essere divisore di … sono relazioni una inversa dell’altra

perché perché 5 × 6 = 30 30 : 5 = 6 16 : 8 = 2 8 × 2 = 16

Completa

è multiplo di è divisore di

Completa la tabella: nella prima riga si trovano i numeri divisori di quelli sottostanti.

La freccia rossa dice: « È divisore di… ».

c osa dice la freccia azzurra?

Esercizi · Multipli

1. Scrivi i primi multipli dei numeri indicati:

i primi 6 multipli di 11

i primi 4 multipli di 12

i primi 3 multipli di 13

i primi 4 multipli di 15 i primi 5 multipli di 100 i primi 4 multipli di 50

2. Nella sequenza di numeri, circonda in rosso i multipli di 2, in verde i multipli di 5.

Quali numeri hai cerchiato due volte?

Questi numeri sono anche multipli di Quindi? i numeri multipli sia di sia di sono anche multipli di

3. trova i multipli tenendo conto delle condizioni.

a. Scrivi i multipli di 5 che sono minori o uguali a 30

b. Scrivi i multipli di 3 che sono maggiori di 10 e minori di 25

c. Scrivi 3 multipli di 3 che sono anche multipli di 2

d. Scrivi 3 multipli di 3 che non sono multipli di 9

e. Scrivi 2 multipli di 5 che non sono multipli di 4

Osserva a lcuni multipli sono comuni a più numeri: 8 è multiplo di 1, 2, 4.

4. Scrivi 4 multipli comuni a…

2 e 3

2 e 4

2 e 6

e 8

5. c erchia i multipli comuni tra quelli che seguono.

2 e 5 15 30 35 40 45

2 e 7 12 14 16 21 28

2 e 3 12 15 16 24 30 3 e 7 14 18 21 35 42 3 e 4 18 24 30 32 36 4 e 9 24 36 45 54 72

6. Segna una crocetta nelle tabelle quando vale la relazione. La freccia dice: «È multiplo di…»

2 3 5 35 X 12

7. Scrivi il più piccolo multiplo comune a:

2 e 3 6

2 e 5

3 e 4

8. Di chi è multiplo?

12 è multiplo di 18 è multiplo di

20 è multiplo di 30 è multiplo di

e 6

15 è multiplo di 21 è multiplo di 24 è multiplo di 28 è multiplo di

Esercizi · Divisori

1. c erca i divisori di…

1; 7;

2. c erchia i divisori di 80.

0 3 5 10 1 12 8 25 2 6 4 9 20 15 40

3. c erca nelle tabelline i numeri 6 e 15 e scrivi quali sono i loro divisori.

Divisori di 6: ; ; ; ; 6 è divisibile per ; ; ;

Divisori di 15: ; ; ; ; 15 è divisibile per ; , ;

4. Segna nella tabella una crocetta quando vale la relazione.

La freccia dice: «È divisore di…» .

5. Segna nella tabella una crocetta quando vale la relazione.

La freccia dice: «È divisibile per…» .

6. c accia al numero! Scopri il numero segreto seguendo gli indizi.

z primo indizio: il numero che cerchi è minore di 90 e se lo dividi per 5 dà come resto 4.

i numeri possibili sono: z secondo indizio: il numero è divisibile per 6. i numeri possibili sono:

z terzo indizio: il numero è divisibile per 7.

i l numero è:

ERATOSTENE

Lo studioso greco e ratostene era un uomo molto colto che si occupava di matematica, geografia, scienze e filosofia. Lavorava nella importantissima biblioteca di a lessandria d’ e gitto circa 200 anni prima della nascita di c risto. e ratostene fu il primo a ipotizzare che la terra fosse rotonda e misurò la circonferenza con molta precisione, calcolando le dimensioni dell’arco di meridiano che collegava la città di Siene (oggi a ssuan in e gitto) e a lessandria d’ e gitto.

Il crivello di Eratostene

i n matematica e ratostene è ricordato per aver inventato un metodo per trovare i numeri primi. i numeri primi sono quelli che hanno come divisore solo 1 e se stesso. Si chiama Crivello (setaccio) di e ratostene e “filtra” i numeri, proprio come un setaccio la sabbia, e “trattiene” solo i numeri primi.

Per trovare i numeri primi nella tabella dei numeri da 1 a 100 si procede così:

z si cancella il numero 1 che non è un numero primo; z si cancellano i multipli di 2, 3, 5, 7, ma non 2, 3, 5, 7 che sono numeri primi (anche il 2 è un numero primo, nonostante sia pari).

Procedi tu! i numeri non cancellati sono numeri primi; sono 25, scrivili e impara quelli fino al 50. 2, 3,

Numeri primi e numeri composti

Osserva la tabella e completa le osservazioni.

NUM e R i D i V i SOR i 1 1 2 1, 2

3 1, 3

4 1, 2, 4

5 1, 5

6 1, 2, 3, 6

7 1, 7

8 1, 2, 4, 8

Ricorda

z i l numero 1 ha come divisore solo se stesso.

z tutti i numeri hanno come divisore e se stessi.

z i numeri 4, 6, 8, hanno come divisori , e altri numeri.

z 2, 3, 5 e 7 hanno come divisori solo e

z i numeri che hanno come divisori solo 1 e se stessi si chiamano numeri primi.

z i l numero 1 ha come divisore solo se stesso: non è considerato un numero primo.

z i numeri che hanno come divisori, oltre a 1 e a se stessi, anche altri numeri si chiamano numeri composti.

z tutti i numeri composti possono essere scritti come prodotto di numeri primi. Esempio : 6 = 2 × 3 8 = 2 × 2 × 2 14 = 7 × 2 25 = 5 × 5

PROVA TU! Scrivi i numeri che seguono come prodotto di numeri primi.

4 = 2 × 2

9 = 10 = 15 = 18 =

Criteri di divisibilità

La maestra di Nicolò oggi ha dato in classe questo problema:

«Scrivete un numero divisibile per 3, formato da tre cifre diverse tra loro e diverse da 0».

Quale numero scriveresti tu?

Perché?

c onfronta la tua risposta con i compagni.

Nicolò è incerto fra tre numeri: 127, 531, 369.

Può rispondere con un numero qualsiasi tra questi tre?

Perché?

Per scoprire i divisori di un numero, anche molto grande, i matematici hanno scoperto alcune “regole” chiamate criteri di divisibilità e ccone alcuni.

2 per due quando termina con una cifra pari (0, 2, 4, 6, 8)

124 : 2 = 62 (resto 0)

3 per tre quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3

603 6 + 0 + 3 = 9 9 : 3 = 3 (resto 0)

5 per cinque quando termina con 0 o con 5

18 0 : 5 = 36 resto 0 13 5 : 5 = 27 resto 0

10 per dieci quando termina con 0

12 0 : 10 = 12 resto 0 1.30 0 : 10 = 130 (resto 0)

Esercizi

1. c ompleta la tabella, come nell’esempio.

è divisibile per… 2 3 5 10 78 SÌ SÌ NO SÌ 252 435 725 1 732 2 844 1 220

2. Giustifica.

60 è divisibile: z per 2 perché è un numero pari

z per 5 perché

z per 10 perché

72 è divisibile: z per 2 perché

z per 3 perché

3. c onfrontati con i compagni per trovare un criterio di divisibilità per 6.

i numeri della numerazione del 6 sono 6, 12, 18, 24, 30,

720 è divisibile per 6?

Perché?

504 è divisibile per 6?

Perché?

4. c irconda il numero che risponde alla richiesta.

a. È dispari e divisibile per 3: 152 127 135

b. È divisibile per 5 e per 3: 275 165 246

5. trova cinque numeri divisibili contemporaneamente:

z per 2 e per 3

z per 2 e per 5

z per 2 e per 10

z per 5 e per 10

METTITI ALLA PROVA

1. Allenamenti

Luca, Stefano e a gnese si preparano per partecipare alla gara di atletica della scuola. Luca si allena ogni 3 giorni, Stefano ogni 4 e a gnese ogni 6. Oggi si sono allenati tutti e tre. tra quanti giorni si alleneranno di nuovo lo stesso giorno?

Segna l’opzione corretta.

a. 6 b. 10 c. 12 d. 13

2. Scrivi per ogni trattino una cifra in modo che il numero sia divisibile per i divisori indicati.

1 5 è divisibile per 3 e per 2

2 38 è divisibile per 5 e per 2

3 5 è divisibile per 5, ma non per 2

8 è divisibile per 2, ma non per 3

3. Il labirinto

1 4 è divisibile per 3 e per 2

4 3 è divisibile per 3, per 5 e per 2

3 03 è divisibile per 3 e per 5

5 4 6 è divisibile per 3

Due amici, Pietro ed e lisa, hanno inventato un gioco: vogliono attraversare un labirinto composto da numeri. Pietro deve camminare sui numeri che sono divisibili per 3, e lisa sui numeri divisibili per 5. Usando due colori diversi, traccia il percorso dei due ragazzi e conducili dall’entrata all’uscita del labirinto.

Rispondi

a volte i percorsi si incrociano. Sai spiegarne il motivo?

US cita

Schemi ed espressioni

Marta è andata in cartoleria e ha comprato

3 scatole di matite colorate a 5,00 € l’una e 4 quadernoni a 2,00 € l’uno. Ha acquistato anche una penna presa da una confezione di 6 penne che tutte insieme costano 18,00 €. Quando arriva alla cassa, riceve uno sconto offerto agli studenti di 3,00 €. Calcola la spesa di Marta.

La soluzione di questo problema prevede diverse operazioni. Proviamo a metterle in ordine. Completa i calcoli

3 × 5 = (spesa matite colorate) 4 × 2 = (spesa quadernoni)

18 : 6 = (spesa 1 penna) + + = (spesa totale senza sconto) – 3 = (spesa effettiva con lo sconto applicato)

Rappresentiamo il percorso con uno SCHEMA che evidenzia le operazioni da risolvere e l’ordine in cui farle.

La successione delle operazioni da fare può anche essere indicata con un’ ESPRESSIONE ARITMETICA

3 × 5 + 4 × 2 + 18 : 6 – 3 =

i calcoli vanno eseguiti in ordine: sottolineo le operazioni da fare per prime.

3 × 5 + 4 × 2 + 18 : 6 – 3 =

15 + 8 + 3 – 3 = 23

c alcola prima le moltiplicazioni e le divisioni , poi le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui si trovano.

a ggiungiamo un dato al problema di Marta.

Marta è andata in cartoleria e ha comprato 3 scatole di matite colorate a 5,00 € l’una e 4 quadernoni a 2,00 € l’uno. Ha acquistato anche una penna presa da una confezione di 6 penne che tutte insieme costano 18,00 €. Quando arriva alla cassa, riceve uno sconto offerto agli studenti di 3,00 €. Paga con una banconota da 50,00 € Quanto riceve di resto?

c on l’espressione di prima calcoli la spesa totale.

3 × 5 + 4 × 2 + 18 : 6 – 3 =

Per inserire il nuovo dato usa la parentesi tonda ( )

50 – (3 × 5 + 4 × 2 + 18 : 6 – 3) =

Prima calcoli ciò che sta nella parentesi tonda (all’interno, precedenza a moltiplicazioni e divisioni, sempre).

50 – (15 + 8 + 3 – 3) =

50 – 23 = 27

Per le situazioni più complesse si usano le parentesi quadre [ ]

9 + [ 6 – ( 7 – 4 ) ] =

Prima eseguo le operazioni all’interno delle parentesi tonde.

9 + [ 6 – 3 ] =

Poi quelle all’interno delle parentesi quadre.

9 + 3 = 6

Per le situazioni ancora più complesse ci sono anche le parentesi graffe { }

5 + { 18 – [ ( 6 + 2 ) – 4 ] + 3 } =

Ricorda

z i n un’espressione aritmetica calcolo prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui si trovano.

z Se l’espressione contiene parentesi, prima risolvo le operazioni nelle parentesi tonde , poi le operazioni nelle parentesi quadre e infine quelle nelle parentesi graffe .

Esercizi

1. Risolvi le espressioni: ricordati di calcolare prima le moltiplicazioni e le divisioni e poi le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui le trovi.

a. 30 + 3 × 9 + 15 : 3 = 30 + + =

b. 83 – 3 × 4 + 5 × 6 = 83 – + =

c. 72 : 8 + 56 : 7 – 4 = + – 4 =

2. Risolvi le espressioni sul quaderno, calcolando prima le operazioni tra parentesi.

a. (57 + 8) : (39 – 34) =

b. 65 – (32 : 4 + 6) =

c. 48 : (2 × 2 + 4 ) × 5 =

d. 13 + 17 + (72 : 8 – 5) =

e. (57 – 15) : (39 – 25 – 8) =

3. Risolvi sul quaderno l’espressione: calcola prima le operazioni che si trovano nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre e poi le operazioni nelle graffe.

5 + {18 – [(6 + 2) – 4] + 3} =

4. Risolvi sul quaderno le seguenti espressioni.

9 + 3 + 8 × 2 + 10 : 2 =

5 × 5 + 9 + 20 : 2 + 6 × 2 =

23 – 8 × 2 + 3 × 4 – 16 : 2 =

(5 + 4 + 10 + 4 × 2 ) : 9 =

15 – (3 + 2 × 5) + (15 – 2 × 4) × 6 =

c. 4 × 6 + 3 – 21 : 7 + 4 + 16 : 8 – 3 – 3 × 2 =

150 – 9 × 3 + 7 × 3 – 49 : 7 =

32 × 10 – 56 : 8 – 1.200 : 100 + 45 : 5 =

(11 + 63 : 7 + 8) : (7 × 8 – 7 × 7) – (6 × 3 + 2): 5 =

5. Sul quaderno traduci le frasi in espressioni, giustifica e calcola.

Al prodotto di 20 e 4 togli il quoziente di 162 e 6. 20 × 4 – 162 : 6 = – =

a. a l numero 15 aggiungi il prodotto di 8 e 5, poi sottrai il quoziente di 35 e 7.

b. Moltiplica la somma di 8 e 4 per 4, sottrai il quoziente di 40 e 5, moltiplica per 5 il resto di 12 e 8.

c. a l triplo di 15 sottrai 21 e aggiungi il doppio di 13.

d. a lla metà di 126 aggiungi il quoziente di 124 e 4.

6. a l contrario… Sul quaderno traduci le espressioni in frasi e calcola.

a. 9 × 4 + 24 =

b. 12 × 2 – (32 – 15) =

c. 80 – (164 : 4) =

d. (45 – 26) + 27 × 2 =

7. Scegli l’espressione che risolve il problema.

a. i l dottore ha prescritto a Federica 15 gocce di una medicina da prendere 3 volte al giorno per 10 giorni. Quante gocce dovrà prendere complessivamente Federica?

15 + 3 × 10 = 15 × 3 × 10 = 15 + 10 × 3 =

b. Gianni incomincia a leggere un libro che è formato da 120 pagine. Le prime due settimane legge 5 pagine al giorno; la terza settimana aumenta il ritmo e legge 6 pagine al giorno. a l termine delle tre settimane ha quasi terminato la lettura. Quante pagine gli mancano?

120 – [(5 × 14) + (6 × 7)] =

120 – (5 + 6) × 7 =

120 – (14 + 7) + (5 + 6) =

c. La zia a ngela ha preparato 15 vasetti di marmellata. Ogni vasetto vuoto pesa 210 g mentre pieno pesa 680 g. Quanti grammi di marmellata ha preparato la zia?

(680 + 210) × 15 =

(680 – 210) × 15 =

(680 – 210) : 15 =

8. Scegli lo schema che risolve il problema e completalo.

a. Giuditta acquista un computer portatile che costa 1 520,00 €. Paga subito 500,00 € e si impegna a pagare 12 rate di uguale importo. a quanto ammonta ogni rata?

b. Nicolas sta componendo un puzzle da 1 000 pezzi. Fino ad ora ne ha usati 125. c alcola in quanti giorni finirà il puzzle se inserisce 25 pezzi al giorno.

9. Risolvi sul quaderno i problemi con lo schema e con l’espressione; guarda l’esempio.

a. Per l’allenamento di calcio l’allenatore porta 3 grosse sacche che contengono 12 palloni ciascuna. Distribuisce i palloni ai suoi 9 allievi. c alcola quanti palloni ha a disposizione ciascun giocatore.

12 3 × 9 :

SCHEMA

ESPRESSIONE

(12 × 3) : 9 =

b. Per una gita sono stati riempiti 3 pullman da 54 posti. c alcola quante mamme erano presenti tenendo conto che i bambini erano 130 e i papà 15.

Completa

c. i n un giorno un negoziante vende 28 confezioni di acqua frizzante e 15 di acqua naturale. Ogni confezione contiene 6 bottiglie ciascuna. i l prezzo di ogni bottiglia è di 0,77 €. Quanto ha incassato il negoziante?

d. c ecilia si è iscritta al corso di pittura che si svolge in 15 lezioni. i l costo del corso è di 190,00 € e comprende anche la quota di iscrizione che è di 70,00 €. Scopri quanto costa ogni singola lezione.

10. i nventa sul quaderno un problema a partire da ciascuno schema.

Lega poi le operazioni in espressioni aritmetiche. Risolvi i problemi.

100,00 € –

570 –: € 8,00 5

METTITI ALLA PROVA

1. Sul quaderno, inventa un problema a partire da ciascuna espressione. c ostruisci per ognuno uno schema. Risolvi i problemi.

a. 150 – (15 + 48) =

b. (12 + 15 + 13) : 4 =

c. (8 × 10) × 150 =

d. (23,6 × 2) – (5,7 × 4) =

2. Risolvi le seguenti espressioni sul quaderno.

a. 86 – [(32 – 6 × 5) + 18] =

b. [(4 + 6 ) × (2 + 3) + 3 × 10 + 4 × 5 ] : 4 =

c. {[5 + ( 4 × 7 – 8) : 5] : 9 + 7} : 2 =

3. Super… espressione.

2 + {10 × 10 – [40 – (3 × 5 + 6 × 2 + 18 : 6 – 4) + 5] + (3 × 2 + 4 × 8)} = (il risultato è 121 )

sperimenta vari modi per fare immersioni nei fondali corallini. Ha verificato che, usando il DIVER PROPULSION VEHICLE, riesce a scendere di 25 metri più in profondità rispetto a quando nuota solo con le pinne. La profondità maggiore che ha raggiunto quest’estate è stata di – 40 metri, cioè 40 metri sotto al livello del mare.

Di quanti metri è riuscito a scendere usando solo le pinne?

I bambini di 5^A hanno deciso di prendere nota delle temperature giornaliere al mattino presto per poterle confrontare. Il 10 maggio alle 7 del mattino la temperatura era di 10 °C. Esattamente quattro mesi prima, la temperatura alla stessa ora era di 15 gradi in meno.

Quanti gradi segnava il termometro il 10 gennaio?

Queste due situazioni mostrano la necessità di avere dei numeri che siano minori di 0 e procedano ordinatamente all’infinito. Sono i numeri negativi e si scrivono mettendo un segno – davanti alla cifra. Osservali sulla linea dei numeri:

u – 4 – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 numeri negativi zero numeri positivi

i numeri che già conosciamo ( numeri naturali ) possiamo farli precedere dal segno + .

c ome puoi vedere, lo 0 fa da “spartiacque” tra i numeri positivi e quelli negativi, che si ritrovano come in uno specchio (sono speculari).

L’insieme dei numeri relativi è formato dall’unione dei numeri naturali (0, + 1, + 2 …) e dei numeri negativi (… – 4, – 3, – 2, – 1).

Esercizi

1. a lberto parcheggia nel garage di un centro commerciale che si trova al secondo piano sotto il livello zero (piano terra). Sale con l’ascensore per 4 piani. a quale piano a lberto uscirà dall’ascensore?

2. Un famoso grattacielo ha 32 piani fuori terra e 8 sotto terra. i l livello 0 è il piano terra. L’ascensore si trova al piano 7. Se scende di 9 piani, a quale piano arriva?

3. c onfronta la misura del primo termometro con quella del secondo termometro e calcola la variazione termica.

10 – 10

temperatura termometro A : –

temperatura termometro B : +

Qual è la differenza ( variazione termica ) tra le due temperature registrate?

4. a ndrea ha guardato il termometro una prima volta alle sei del mattino: segnava –5 ° c ( gradi centigradi ). a mezzogiorno a ndrea lo ha guardato di nuovo: segnava +7 ° c . Di quanto è variata la temperatura dalle sei a mezzogiorno?

a. È aumentata di 5 gradi centigradi

b. È aumentata di 12 gradi centigradi

5. Osserva la linea dei numeri e prova a eseguire le operazioni spostandoti su di essa. A B 0 0 + 10 – 10 + 3 – 7 = – 4

2 – 5 =

c. È diminuita di 2 gradi centigradi

d. È diminuita di 7 gradi centigradi

2 + 5 = – 5 + 10 =

6. Osserva la tabella di alcune temperature registrate dagli scienziati e rispondi.

te MP e R at UR e R e G i S t R ate F e NOM e N i F i S ici

–273,15 °C

–62 °C

–46 °C

Lo Zero Assoluto è la temperatura più bassa che si possa registrare. Non esiste corpo che possa essere più freddo.

temperatura registrata a Prospect c reek, in a laska, il 23 gennaio 1975. È stato il giorno più freddo di sempre.

temperatura media di gennaio in Oymiakon, in Russia. È il luogo disabitato più freddo del pianeta terra.

–31 °C La temperatura di “freddo” limite a cui può funzionare il più resistente telefono cellulare.

0 °C Punto di fusione del ghiaccio.

+36 °C Punto di fusione del burro.

+57 °C i l più caldo giorno di sempre registrato nella Death Valley, in c alifornia, il 10 luglio 1913.

+100 °C Punto di ebollizione dell’acqua.

+1 200 °C temperatura della lava di un vulcano.

+5 500 °C Superficie del Sole.

+6 000 °C temperatura del centro della terra.

Qual è la differenza di temperatura tra il giorno più freddo registrato sulla terra e il giorno più caldo?

7. Credito telefonico Risolvi sul quaderno. Nonna Pina si è dimenticata di ricaricare la S i M. Ha un credito di 1,00 €.

La sua telefonata con i nipotini dura parecchio e le costa 6,00 €.

Se effettua una ricarica di 10,00 €, quanti euro già spesi le scaleranno?

L’asse cartesiano si amplia

Ora che conosciamo anche i numeri negativi possiamo prolungare gli assi cartesiani verso il basso e verso sinistra, così come hai visto in questo capitolo. e cco l’asse cartesiano “ampliato”:

A (– 3; 1)

Lavora in coppia con un compagno: scegliete un punto in ciascun quadrante del piano cartesiano e date le coordinate al vostro compagno affinché possa posizionarlo correttamente nel piano (guarda l’esempio).

RICORDA : prima si dà la coordinata x (orizzontale) e poi y (verticale).

LE FRAZIONI

Guardiamo insieme questa situazione. Cinque amici sono a sciare a Cortina. A metà mattina fanno una pausa per recuperare le energie. Hanno a disposizione 6 barrette energetiche. Come possono dividerle equamente tra loro?

i l modo più comodo è dividere in 5 parti uguali la barretta che avanza.

i n linguaggio matematico:

6 = n° barrette a disposizione

NUMERATORE 5 = n° sciatori tra cui dividere le barrette DENOMINATORE

c iascuno ha mangiato una barretta intera, 1 = 5 5 , e 1 5 della barretta “rotta”, quindi 5 5 + 1 5 = 6 5

Nella situazione precedente, è stato diviso un intero in parti uguali. Posso “rompere”, cioè frazionare i numeri naturali, per dividere con precisione.

Le frazioni si usano per esprimere anche numeri compresi tra due interi. Per esempio: 6 5 è > di 1 e < di 2.

FRAZIONARE : deriva da una parola latina, frangere , che significa rompere . Gli antichi egizi e i mesopotamici hanno trovato un modo speciale per scrivere questi numeri distinguendoli dai numeri naturali.

Anche noi dal 1200 d.C. circa li scriviamo così: il NUMERATORE indica il numero delle parti considerate, il DENOMINATORE il numero delle parti in cui è stato “rotto” l’intero.

Tra loro la LINEA DI FRAZIONE indica il rapporto tra i due numeri.

SCOPRI LA PARTE

Questo i N te RO è stato in diviso in parti.

c olora una parte. Hai trovato l’UN itÀ FR a Z i ON a R ia che vale

Quante unità frazionarie occorrono, per ricostruire un intero completo?

1 30 è l’ unità frazionaria 1 = 30 30 è l’ intero

Completa l’intero

Scrivi con una frazione la parte colorata dell’intero (rettangolo) che vedi

nella figura:

Quante unità frazionarie devi colorare per c OMPL eta R e l’intero?

+ = = 1

Due frazioni sono COMPLEMENTARI quando la loro somma equivale a un intero.

FRAZIONI DIVERSE COME SCRITTURA, MA EQUIVALENTI

Osserva

Due frazioni che hanno lo stesso valore, cioè indicano la STESSA PARTE DI UN INTERO, si dicono EQUIVALENTI

c he rapporto c’è tra queste due frazioni?

Ricorda : se moltiplico o divido numeratore e denominatore per uno stesso numero, ottengo una frazione equivalente. 4 8

: 2 : 2

Ho frazionato in parti diverse un intero (in diciottesimi e in noni ) e ne ho considerate quantità diverse ( otto e quattro ). Se osservo le due figure, noto che la parte colorata è uguale.

Esercizi

1. Osserva e indica l’unità frazionaria e l’intero.

Unità frazionaria:

i ntero:

Unità frazionaria: i ntero:

Unità frazionaria:

i ntero:

Unità frazionaria: i ntero: Unità frazionaria: i ntero:

2. Scrivi la frazione che indica la parte colorata e la frazione che completa l’intero.

7 12 + 5 12 = 12 12 + = + = + =

3. Rispondi al volo. La nonna sta confezionando una copertina di lana per suo nipote. Ha già eseguito i 6 9 del lavoro. Quanto le manca per completarla?

4. Scrivi la frazione che manca per arrivare all’intero, come nell’esempio.

3 8 + 5 8 = 8 8 = 1

6 7 + = = 1

2 4 + = = 1 18 20 + = = 1

+ = = 1

5. Sul quaderno disegna 3 rettangoli uguali con i lati lunghi 5 e 6 quadretti. Poi colora i 2 5 del primo, i 12 30 del secondo e i 4 10 del terzo. c osa osservi? Scrivi la tua risposta sul quaderno.

6. a ccanto a ogni frazione rappresentata, colora e scrivine una equivalente.

7. Scrivi una frazione equivalente seguendo gli operatori.

8. Scrivi gli operatori.

9. c olora dello stesso colore le frazioni equivalenti.

Frazioni di un intero numerico

Sul bancone della panetteria ci sono 84 brioches. Se vengono consumati i 5 6 di tutte le brioches, quante sono le brioches consumate e quante brioches rimangono?

Rappresenta sul quaderno questa situazione e prova a rispondere. c onfronta il tuo lavoro con i passaggi che trovi qui sotto.

Per calcolare la frazione di un numero occorre innanzitutto trovare il valore dell’unità frazionaria dividendo per il numero delle parti che si fanno (D e NOM i N at OR e ).

Successivamente puoi moltiplicare il valore dell’unità frazionaria per il numero di unità frazionarie che consideri (NUM e R at OR e ).

Esempio

5 6 di 84

z trovo il valore di 1 6 84 : 6 = 14

scopro il valore dell’UN itÀ FR a Z i ON a R ia (le brioches rimaste)

z trovo il valore di 5 6 14 × 5 = 70

moltiplico il valore trovato per le parti che considero (le brioches consumate)

Si può scrivere con un’unica espressione:

5 6 di 84 (84 : 6) × 5 = 14 × 5 = 70

Esercizi

1. c alcola il valore delle seguenti frazioni, come nell’esempio.

3 5 di 45 (45 : 5) × 3 = 9 × 3 = 27

2 8 di 64

4 6 di 36

7 9 di 81 2 8 di 96 4 7 di 371 4 6 di 2 076

2. c alcola sul quaderno il valore delle seguenti frazioni.

4 17 di 153 13 15 di 1 500 8 23 di 2 185 7 67 di 1 139

3. Osserva l’areogramma qui sotto che rappresenta la suddivisione dei 240 iscritti ai corsi del centro sportivo “ i l Laghetto” nell’anno 2019-2020. c ompleta la tabella, scrivendo per ogni corso la frazione corrispondente e il numero di iscritti.

tennis nuoto corsa

ping-pong

tennis nuoto corsa

ping-pong

lancio del disco

salto in alto basket

salto in alto basket 1 4

numero iscritti

: 4 =

Problemi Risolvi sul quaderno

1. i l sindaco di a ncona ha regalato una borraccia a ciascuno studente delle scuole della città. a ottobre è riuscito a distribuire il regalo nei 2 5 delle scuole. Se le scuole sono 935, quante scuole mancano ancora?

2. Per fare il pane l’acqua deve corrispondere circa a 2 5 della farina. Quanti grammi di acqua occorrono per impastare 1 000 g di farina?

3. La mamma di Sara acquista un computer portatile che costa 1 250,00 €. Paga i 2 5 subito e il resto in 5 rate. a quanto ammonta ogni rata?

4. c aterina ha a disposizione solo 2 5 della confezione di caffè da 250 g. Riuscirà a preparare abbastanza caffè per tutti e 15 gli ospiti tenendo conto che la sua caffettiera da 4 si riempie con 30 grammi di caffè?

5. i n un palazzo di 4 piani lavorano 918 persone. 3 9 lavorano al primo piano, 2 9 al secondo piano e 1 9 al terzo piano. Quante persone lavorano al quarto piano?

Dalla frazione all’intero

Questo è 1 8 di un rettangolo.

Riesci a ricostruire l’intero? Di quanti ottavi hai bisogno per ricomporre l’intero?

i n molti problemi conosciamo la frazione, ma non l’intero.

Riccardo sta facendo la raccolta delle figurine dei calciatori. Le figurine in tutto sono 60 e lui ne ha già collezionate i 4 5

Quante figurine ha raccolto?

c ONOS ci G i À L’ i N te RO, ci OÈ 60 F i GUR i N e , che è suddiviso in quinti.

L’intero vale 60 ed è diviso in quinti.

Quanto vale un quinto?

60 : 5 = 12

1 5 di 60 = 12

La parte già collezionata vale 4 5

12 × 4 = 48

Riccardo ha già collezionato

48 figurine su 60.

i n breve: (60 : 5) × 4 = 48

Riccardo sta facendo la raccolta delle figurine dei calciatori. Ha già 48 figurine che corrispondono ai 4 5 del totale. Quante sono le figurine totali della raccolta?

c ONOS ci SOLO QU a N t O Va LGONO 4 5 , OVV e RO 48 F i GUR i N e

La parte colorata vale 48 ed è composta da 4 parti uguali. Ognuna corrisponde a 1 5 dell’intero. Quanto vale un quarto?

48 : 4 = 12

1 4 di 48 = 12

L’intero in totale è formato da 5 di questi quarti.

12 × 5 = 60

Le figurine totali della raccolta sono 60 i n breve: (48 : 4) × 5 = 60

Il secondo problema è INVERSO rispetto al primo, perché ti dà come dato una parte parziale dell’intero. 48 60 12 12 × 5 : 5 : 4 × 4

Esercizi

1. Partendo dall’unità frazionaria, disegna un intero corrispondente.

2. i l quadrato qui sotto è 2 5 dell’intero. Disegna un intero.

3. c alcola l’intero.

99 = 33 35 di

168 = 28 29 di

3 552 = 48 86 di

99 : 33 × 35 = 105

6 715 = 85 91 di

1 518 = 33 46 di

Risolvi i problemi sul quaderno

1. Nella mensola della cucina ci sono 35 bicchieri, che corrispondono ai 5 7 del numero totale di bicchieri. Quanti bicchieri sono sulla tavola apparecchiata? Quanti bicchieri ci sono in tutto?

2. a lcune classi di una scuola, vanno in gita. e scono i 5 8 degli alunni, cioè 115 bambini. Quanti alunni ci sono in totale in quella scuola?

3. Per raggiungere la casa di montagna, il papà di Rebecca ha percorso i 3 5 del tragitto, che corrispondono a 270 km. Quanto è lungo tutto il tragitto? Quanto chilometri deve ancora percorrere?

4. Filippo ha speso 26,00 €, cioè 2 9 dei suoi averi, per comprare il regalo di compleanno per Lorenzo. Quanti soldi aveva Filippo nel portafoglio?

5. Nella scuola primaria “Girotondo” ci sono 456 maschi, cioè gli 8 15 di tutti i bambini iscritti. Quante sono le femmine?

6. Un’auto si ferma per fare rifornimento di carburante dopo 230 km dalla partenza. Ha già percorso i 2 5 del suo tragitto. c alcola i km che percorrerà in tutto il tragitto.

Laboratorio: oltre l’unità

Si lavora divisi in 6 gruppi.

Ogni gruppo riceve una striscia di carta quadrettata (con quadretti da 1 cm) dell’altezza di 10 cm e lunga 100 cm circa.

Si segna il punto 0 all’inizio della striscia e il punto 1 a 40 cm (immaginando di ampliare lo spazio tra 0 e 1 della linea dei numeri).

Dove si segnerà il punto 2?

c onsideriamo come i N te RO la parte di striscia tra 0 e 1.

Ogni gruppo deve suddividere l’intero in parti diverse: il primo gruppo in mezzi, il secondo gruppo in quarti, poi in quinti, ottavi, decimi e ventesimi.

Stabilita l’unità frazionaria, ogni gruppo la utilizza per suddividere in frazioni la parte di striscia tra 0 e 1. Si segna con una linea ogni parte e si scrive la frazione corrispondente.

Superata la prima unità (il numero 1), continuare a suddividere anche la striscia tra 1 e 2 scrivendo le frazioni corrispondenti a ciascuna parte.

Cosa noti al numeratore e al denominatore delle frazioni che si trovano oltre l’1 (la prima unità)?

c onfrontate le diverse strisce ottenute, mettendole una sotto l’altra. Ci sono delle frazioni che coincidono? A quali frazioni corrispondono? Quali equivalenze possiamo scrivere? Potremmo andare avanti ancora? Nei punti in cui ci sono frazioni con denominatore 10 puoi scrivere il numero anche in un altro modo?

Riportando le frazioni ottenute sulle diverse strisce su un’unica linea dei numeri, si ottiene una linea dei numeri che contiene numeri naturali e numeri frazionari. Si può tenere appesa in classe.

I NUMERI RAZIONALI ( FRAZIONARI ): come hai visto in questo capitolo, le frazioni possono andare avanti all’infinito sia guardando il “sempre più piccolo” (dividendo in parti sempre più piccole l’unità) sia proseguendo sulla linea dei numeri, che è infinita.

Se il numeratore è minore del denominatore, stiamo guardando numeri tra 0 e 1, ad esempio 2 5 ; se invece il numeratore è maggiore del denominatore, stiamo guardando numeri che superano l’unità, ad esempio 17 8 .

Frazioni a confronto

Frazioni con denominatore uguale

a Milano stanno costruendo due grattacieli identici.

Gli operai del primo palazzo sono arrivati ai 28 40 del lavoro. Gli operai della seconda squadra invece sono a 33 40 del lavoro.

c onfronta le frazioni per stabilire chi è più avanti nei lavori. i n questo caso è molto semplice: basta guardare il numeratore maggiore!

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore maggiore.

28 40 < 33 40

Frazioni con numeratore uguale

Valentino Rossi ha corso 5 8 della gara del Mugello.

Marc Marquez invece 5 9 c hi sta vincendo?

i n questo caso abbiamo due frazioni con uguale numeratore.

Se due frazioni hanno uguale numeratore, è maggiore quella con denominatore minore.

5 8 > 5 9

Sai spiegare perché?

Quando si vuole confrontare 2 frazioni qualsiasi, si può trasformare la frazione in numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore.

Se voglio confrontare 5 6 e 4 5 procedo così:

5 : 6 = 0,83

0,83 > 0,8 quindi 5 6 > 4 5

: 5 = 0,8

Esercizi

1. c ompleta con < oppure >.

2. c ompleta scegliendo un numeratore adatto.

6 8 > 8 12 < 5 12 6 > 5 6 32 33 > 33

3. c ompleta scegliendo un denominatore adatto.

4 < 4

4. Se hai bisogno, trasforma sul quaderno per avere un uguale denominatore: applica la proprietà invariantiva. 7 10 > 8 20 perché (7 × 2) (10 × 2) 14 20 > 8 20 3 4 5 8 4 5 3 2

5. c ompleta la retta numerica con le frazioni mancanti.

6. Per ogni cartellino dell’esercizio precedente, aggiungine sul quaderno uno con una frazione equivalente.

7. c onfronta le frazioni e inserisci il segno corretto scegliendo tra < > =. 3 5 1 5 2 7 2 4 1 12 9 12

METTITI ALLA PROVA

Frazioni al volo

1. La mamma taglia un melone in parti uguali per i suoi tre figli: a che frazione corrisponde ogni parte? . Se invece di tre parti, ne facesse cinque, uno per ogni membro della famiglia, come si chiamerebbe ogni parte? Quanto melone mangerebbe ogni figlio? e ogni genitore?

2. Un giorno che parte della settimana è? e tre giorni? e cinque giorni?

3. Un mese che parte dell’anno è? e quattro mesi? e sette mesi?

4. Un anno che parte è di un secolo? e nove anni? e venticinque anni?

5. Se un ragazzo dorme 10 ore al giorno, gioca 4 ore; è a scuola 8 ore: sai descrivere i periodi della giornata sotto forma di frazione? c he unità frazionaria scegli? sonno gioco scuola

6. Matilde possiede 56 pennarelli, ma i 2 7 sono scarichi. Quanti pennarelli deve eliminare?

7. i l nonno di Davide ha 75 anni. L’età di Davide è i 2 15 dell’età del nonno. Quanti anni di differenza ci sono tra loro?

8. Piero mangia 1 5 di una torta e Maria 1 6 c hi mangia di più?

9. c alcola a mente.

4 5 di 15 = 9 7 di 42 = 5 8 di 64 = 8 5 di 60 =

NUMERI DECIMALI

Lucilla vuole preparare 10 piccole crostate alla marmellata per la merenda con gli amici. Utilizza un intero barattolo contenente 1 kg di marmellata di albicocche.

Quanto sarà il peso della marmellata per ogni crostatina?

a bbiamo dovuto suddividere un intero (1 chilogrammo) in 10 parti uguali .

Ricorda

Se dividiamo l’intero… z in 10 parti uguali otteniamo i decimi z in 100 parti uguali i centesimi z in 1 000 parti uguali i millesimi

i l peso della marmellata per ogni crostatina è di 1 decimo di kg 0,1 kg.

Per scrivere numeri con la parte decimale (decimi, centesimi e millesimi dell’unità) utilizziamo le posizioni a destra dell’unità e separiamo con la virgola la parte intera del numero dalla parte decimale.

, , , , , 27,56 = 2 decine + 7 unità + 5 decimi + 6 centesimi = 2 da + 7 u + 5 d + 6 c

27 si chiama parte intera del numero.

56 si chiama parte decimale del numero. a nche nella parte decimale il valore delle cifre dipende dalla loro posizione .

NUMERI DECIMALI E FRAZIONI DECIMALI

c onsideriamo il rettangolo come l’intero. Le parti colorate si possono scrivere con frazioni decimali o numeri decimali.

7 10 0,7 u d 0 , 7

7 decimi

Leggo: zero virgola sette

Ricorda

0,07

d c

, 0 7 7 centesimi

Leggo: zero virgola zero sette

1 000 0,007

7 millesimi

Leggo: zero virgola zero zero sette u d c m 0 , 0 0 7

Le frazioni con denominatore 10, o un suo multiplo (100, 1 000 …) si dicono frazioni decimali . Una frazione decimale può essere trasformata in un numero decimale e viceversa.

Per trasformare una frazione in numero decimale si divide il numeratore per il denominatore. Per verificare, conta le cifre dopo la virgola: devono essere tante quanti sono gli zeri del denominatore.

Per trasformare un numero decimale in frazione decimale bisogna scrivere al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola.

Esercizi

1. Leggi, osserva e rispondi. i mmagina di ingrandire lo spazio tra un numero e quello successivo e di dividerlo in 10 parti.

a. Quanti decimi ci sono tra 0 e 1?

i l tratto tra 0 e 1 è stato diviso in 10 parti uguali. Ogni parte è 1 decimo dell’unità.

b. Quanti centesimi tra 0 e 0,1?

i l tratto tra 0 e 0,1 è stato diviso in 10 parti uguali. Ogni parte è 1 decimo di decimo, cioè 1 centesimo dell’unità.

c. Quanti centesimi tra 0 e 0,01?

0,001 0,002 i l tratto tra 0 e 0,01 è stato diviso in 10 parti uguali. Ogni parte è 1 decimo di centesimo, cioè 1 millesimo dell’unità.

d. Potremmo continuare?

2. Nella prima linea dei numeri inserisci i numeri decimali che corrispondono alla posizione indicata dalle frecce. Nella seconda linea dei numeri collega con le frecce ogni numero decimale alla sua posizione.

3. Osserva la rappresentazione dei seguenti numeri decimali, poi scrivi nei riquadri quali numeri sono stati rappresentati.

3 decimi 7 centesimi

Ora rappresenta allo stesso modo sul quaderno i seguenti numeri:

Ricorda!

4. Rappresenta sull’abaco e scrivi il numero in cifra o in parola.

4 unità e 6 decimi

5. trascrivi in cifre, come nell’esempio.

sette decimi = 0,7 otto centesimi = dodici centesimi = trentadue decimi = ventisei millesimi = centotredici centesimi =

6. c erchia le frazioni decimali.

sei millesimi = due millesimi = undici millesimi = due millesimi = centoundici decimi = settantadue centesimi =

7. trasforma le frazioni decimali in numeri decimali.

9 10 = 0,9 7 100 = 68 1 000 = 5 738 100 =

8. trasforma i numeri decimali in frazione decimale.

3,24 = 324 100 0,002 = 0,07 =

9. Scrivi il valore della cifra evidenziata.

24,5 8 6 8 centesimi = 0,08

3,47 2 = 0,0 3 4 =

10. c ompleta la tabella, come nell’esempio.

7 5 =

3 547,987

543 234,98

653,204

32 870,32

11. c omponi sul quaderno i numeri, come nell’esempio.

7 h + 3 u + 5 d + 2 c = 700 + 3 + 0,5 + 0,02 = 703,52

8 u + 6 d + 1 c + 4 m =

9 d + 6 m + 7 c =

2 h + 5 c + 3 da + 1 u = 3 K + 6 da + 5 u + 4 m =

12. Scomponi i numeri seguendo l’esempio.

68, 56 = 60 + 8 + 0,5 + 0,06 = 6 da + 8 u + 5 d + 6 c

13. 127,5 =

14. 94,137 =

15. 6.820,45 =

Confrontare numeri decimali

Se confronti due numeri decimali, prima confronta le parti intere: è maggiore quello che ha parte intera maggiore: 45 ,897 < 67 ,9.

Se le parti intere sono uguali, si confrontano le parti decimali cifra per cifra:

z prima quella dei decimi: 6, 1 2 < 6, 2

z poi quella dei centesimi: 6,1 2 < 6,1 3

z poi quella dei millesimi: 6,12 5 < 6,12 6 z e così via…

Per aiutarti nel confronto puoi aggiungere uno o più zeri per pareggiare il numero delle cifre dopo la virgola.

632,15 < 632,5 632,15 < 632,5 0

Esercizi

1. c onfronta le coppie di numeri decimali: dopo aver aggiunto gli zeri alle cifre decimali, inserisci nei riquadri i simboli < > = tra di essi, come nell’esempio.

3,5 3,41 3,5 0 > 3,41

4,03 4,035 2,16 12,6

2. c onfronta le coppie di numeri inserendo > o <.

3. Scrivi i numeri in ordine crescente.

4. Scrivi i numeri in ordine decrescente.

5. Leggi e completa la classifica.

Nella finale di una gara di tuffi i punteggi ottenuti dagli atleti sono i seguenti:

at L eta PUN te GG i O c L a SS i F ica

Pizzini 309,95

Ghio 218,70

t iberti 270,30

c anta 257,90

Pelligra 204,75

Fanelli 176,95

Buzzoni 286,00

6. Osserva la retta dei numeri e scegli quale tra i seguenti numeri va scritto nel posto indicato dalla freccia.

Operazioni con i numeri decimali

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Stefano e il suo papà si allenano con la bicicletta. Percorrono prima 34,67 km e, dopo una breve sosta, altri 9,8 km.

Quanto è lungo il loro percorso?

Il nonno Costante deve imbottigliare il vino prodotto con l’ottima vendemmia di quest’autunno. Ha iniziato a imbottigliare la prima damigiana, che contiene 54 litri.

Oggi ha imbottigliato 22,5 l, riempiendo 30 bottiglie da 0,75 l. Quanti litri rimangono da imbottigliare?

Ricorda

Per eseguire addizioni o sottrazioni in colonna con i numeri decimali, valgono le regole del sistema decimale e posizionale: incolonna le unità sotto le unità, le decine sotto le decine e poi i decimi sotto i decimi, i centesimi sotto i centesimi e i millesimi sotto i millesimi. Si calcola sempre a partire da destra facendo i cambi necessari. Puoi aggiungere gli “ 0 segnaposto ” se ti sono di aiuto.

34,67 + 9,8 =

3 4, 6 7 + 9, 8 0 =

4 4, 4 7 54 – 22,5 = 5 4, 0 –2 2, 5 = 3 1, 5

MOLTIPLICARE E DIVIDERE PER 10, 100, 1 000

Osserva cosa accade quando moltiplichi o dividi un numero decimale per 10, per 100, per 1 000.

h da u d c m 0 5 5 × 1 0 5 0 × 1 00

Se si moltiplica un numero decimale

per 10 , 100 , 1 000 , ogni sua cifra aumenta di 10, 100, 1 000 volte spostandosi a sinistra. h da u d c m 4 5 1 4 5 1 : 1 0 0 4 5 1 : 1 00 , , , ,

Se si divide un numero decimale per 10 , 100 , 1 000 , ogni sua cifra diminuisce di dieci, cento, mille volte spostandosi a destra.

Più semplicemente:

4,5 × 1 0 = 45

4,5 × 1 00 = 4 50

4,5 × 1 000 = 4 500

sposto la virgola verso destra di tante cifre quanti sono gli zeri del secondo fattore.

Se le cifre non sono sufficienti, si aggiungono gli zeri necessari.

Più semplicemente:

45 : 1 0 = 4 ,5

45 : 1 00 = 0,4 5

45 : 1 000 = 0,04 5

sposto la virgola verso sinistra di tante cifre quanti sono gli zeri nel divisore.

Se necessari, si usano gli zeri

m × 1 0 : 1 0

MOLTIPLICAZIONE

La maestra Giulia

ogni giorno percorre 7,4 km per arrivare a scuola. Tra andata e ritorno quanti chilometri percorre ogni giorno?

7,4 km

Ricorda

Per eseguire una moltiplicazione in colonna con i numeri decimali si può seguire questo procedimento:

a. si scrivono i fattori uno sotto l’altro, senza incolonnare le cifre in base al valore posizionale;

b. si calcola come se fosse una normale moltiplicazione in colonna;

1 cifra decimale 0 cifre decimali

1 4, 8

c. per posizionare la virgola nel prodotto finale, si contano, partendo da destra, tante cifre decimali quanta è la somma dei numeri di cifre decimali dei due fattori . 7, 4 × 2 =

1 cifra decimale

i seguenti passaggi possono far capire il perché:

7,4 × 2 =

[(7,4 × 10 ) × 2] : 10 = (74 × 2) : 10 = 148 : 10 = 14,8

2, 5 4 × 5, 1 =

2 5 4 + 1 2 7 - =

1 2, 9 5 4

2 cifre decimali 1 cifra decimale

2 + 1 cifre decimali

2,54 × 5,1 =

[(2,54 × 1 00 ) × (5,1 × 1 0 )] : 1 000 = [254 × 51] : 1 000 = 12,954

DIVISIONE

La maestra Anna ha acquistato 12 nuovi libri per la biblioteca della classe, spendendo 102,00 €. Quanto è costato ogni libro?

102 : 12 = 8 r. 6 i l resto è di 6,00 €

6,00 € = 600 centesimi di euro

Dovendo dividere degli euro, possiamo proseguire nel calcolo oltre le unità, fino ai centesimi di euro, mettendo la virgola quando si dividono i decimi.

102 : 12 = 8,5

Ogni libro è costato 8,50 €. 1 0 2 : 1 2 = 8, 5

Divisioni con un numero decimale al dividendo

353,40 : 31 = 11,40

Ricorda : si mette la virgola nel quoziente quando considero la cifra dei decimi.

Divisioni con un numero decimale al divisore

858 : 2,6 = (× 10) (× 10) per la proprietà invariantiva

8 580 : 26 = 330

Divisioni con dividendo e divisore decimali

Si applica la proprietà invariantiva moltiplicando entrambi per 10 o 100 o 1 000, fino ad avere il divisore senza la virgola.

56,7 : 4,5 = 13, 05 : 0, 25 = (× 10) (× 10) (× 100) (× 100)

567 : 45 = 12,6 1 305 : 25 = 52,2

× 100 × 100

Ricorda : quando c’è un resto, si deve considerare con attenzione se si tratta di decimi o centesimi o millesimi. × 10 × 10 × 10 × 10 1 3,

5 6, 7 : 4, 5 = 1 2, 6 2 7 0 0

Esercizi

1. e segui le addizioni e sottrazioni in colonna, con la prova, sul tuo quaderno.

12 450,12 + 65,23 =

345 095,04 + 2 378,9 =

236,605 + 35,78 + 12 =

54,6 – 0,49 = 60 589,21 – 5 312,5 = 742 843 – 23 012,8 =

2. e segui le operazioni aiutandoti con la linea dei numeri, come nell’esempio.

1 da + 2 u + 4 d = 12,4 10 + 2 + 0,4 = 12,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 decina

2 unità

4 decimi

1 + 0,1 =

1 + 0,5 =

1 + 0,8 =

1 – 0,1 =

1 – 0,5 =

1 – 0,8 = 6 + 0,2 = 7 + 1,5 = 4 + 0,5 = 6 – 0,4 = 7 – 1,5 = 4 – 0,5 =

3. c alcola a mente.

8, 6 – 5,6 =

6,08 – 2,08 =

7,4 – 2,5 =

9,3 – 0,7 = 5,9 – 1,5 = 19,36 – 16,16 = 24,78 – 20,09 = 18,15 – 3,12 =

4. c alcola a mente usando le proprietà dell’addizione, come nell’esempio.

0,7 + 0,5 + 0,3 = (0,7 + 0,3) + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5

2,8 + 5,7 + 1,2 = 1,06 + 0,04 + 2,02 + 4,08 = 9,3 + 6 + 2,5 + 4 = 12,6 + 14 + 18,4 =

5. c ompleta le tabelle.

c ollega i numeri la cui somma è uguale a 1

c ollega i numeri la cui somma è uguale a 0,1

a ggiungi un decimo togli un decimo 3,58 + 0,1

– 0,1

+ 0,1

– 0,1 0,93 + 0,1 4,19 – 0,1 3,9 + 0,1

– 0,1

– 0,1 6,93 + 0,1

Risolvi i problemi sul quaderno

1. Nel carrello di c arolina ci sono 8 hg di pane, 1,5 hg di prosciutto crudo, 3 kg di zucchine e 1,5 kg di mele. Se il carrello pesa 12 kg, quanti chilogrammi sta spingendo c arolina?

2. Per una vacanza a Venezia, Giulia e a lberto hanno speso 160,00 € per il soggiorno, 103,56 € per i ristoranti e 64,50 € per gli ingressi ai musei. Sono riusciti a stare nel loro budget che era di 300,00 €?

3. Per acquistare gli elettrodomestici per la nuova cucina la mamma di Michele ha a disposizione 2 000,00 €. La lavastoviglie costa 399,45 € mentre il forno 479,13 €. Quanto le avanza?

4. Lucia pesa 44,2 kg, a ndrea pesa 4 kg più di Lucia e a nna pesa 5,6 kg meno di a ndrea. Possono salire su un ascensore che ha la portata massima di 200 kg?

Moltiplicazioni

con un fattore decimale

minore di 1

1 8 × 0, 4 = 7 2 + 0 = 7, 2

0 cifre decimali

1 cifra decimale

c onfronta il primo fattore e il prodotto. c he cosa osservi?

Moltiplicazioni con due fattori decimali entrambi minori di 1

0, 3 × 0, 1 = 0 3 + 0 = 0, 0 3

1 cifra decimale

1 cifra decimale 1 + 1 cifre decimale

c onfronta i fattori e il prodotto. c he cosa osservi?

Esercizi

1. Quale dei seguenti numeri è più vicino al risultato di 8,46 + 9,52?

a. 19,1 b. 20 c. 17,95 d. 18

2. Osserva l’operazione 39,2 × 14,9. Quale tra queste operazioni dà il risultato più vicino a quello di questa operazione? c erchiala di rosso.

39 × 14 39 × 15 40 × 14 40 × 15

3. c ompleta la tabella .

4. c ompleta la tabella .

5. c ompleta la tabella. × 10 × 100 × 1 000 × 10 000 × 100 000 34 7,09 12,1 0,06 80 360,41 2,749

6. c ompleta la tabella. × 0,1 × 0,01 × 0,001 7 3,4 12,6 5,75 58,36

Osserva

8 × ? = 4

È possibile questa operazione?

c om’è il prodotto rispetto al primo fattore?

Secondo te qual è il secondo fattore?

Perché?

Scrivi altri esempi:

Prova a completare:

z 12 × = 6

z 20 × = 2

7. e segui le moltiplicazioni.

2,7 × 10 = (27 : 10) × 10 = 27

15 × 0,3 = =

8 × 3,2 = =

2,4 × 2,4 = =

5,6 × 1,2 = =

4,9 × 3,1 = =

8. e segui le moltiplicazioni in colonna sul quaderno.

119 × 3,7 =

12,45 × 8 = 1

× 4,12 = 750 × 80,6 =

Risolvi i problemi sul quaderno

× 9,4 =

× 5,8 =

1. La nonna Maria va a riscuotere la pensione ricevendo 11 banconote da 50,00 €, 13 banconote da 20,00 €, 23 banconote da 10,00 €, 47 banconote da 5,00 € e 7 monete da 1,00 €. a quanto ammonta la pensione della nonna Maria?

2. Giorgio mangia circa 1,4 hg di biscotti a colazione. Quanti grammi consuma in un mese? i n un anno?

3. Una bottiglia contiene 1,5 l di acqua minerale. Quanti litri d’acqua ci sono in una confezione da 6 bottiglie?

4. a ndrea si sta allenando per una gara di corsa campestre. Ogni giorno nel parco fa lo stesso percorso, che è lungo 5,7 km. Quanti chilometri percorre in 7 giorni?

Divisione e numeri periodici e segui le seguenti divisioni fino ai millesimi e oltre.

44 : 6 = 4 4 : 6 = 7, 3 7 : 15 = 7 : 1 5 = 0, 4 6

i n queste divisioni, proseguendo nel calcolo oltre l’unità e anche oltre i millesimi, puoi notare che:

i resti

le cifre decimali nel quoziente

Quando i resti e le cifre decimali si ripetono all’infinito, diciamo che il quoziente è un numero decimale periodico c hiamiamo periodo le cifre decimali che si ripetono: 0,3333… 0,3 periodico posso scriverlo così: 0, 3 i l trattino posto sopra la cifra (o le cifre) indica il periodo che si ripete.

Approssimiamo

quando incontriamo numeri periodici o, in altri casi (ad esempio prezzi del supermercato, percentuali…), dobbiamo trascurare molte cifre decimali. Si fissa quante cifre vogliamo prendere e approssimiamo come negli esempi:

z 7,333… periodico è più vicino a 7,3 o a 7,4? a 7,3. Quindi prendiamo 7,3. z 7,81 è più vicino a 7,8 o a 7,9? a 7,8. Quindi prendiamo 7,8.

Sul quaderno esegui le divisioni oltre i millesimi e segna con il trattino il periodo, cioè le cifre che si ripetono.

1 : 3 = 2 : 3 = 10 : 6 = 10 : 9 = 1 : 6 =

Esercizi

1. c alcola a mente.

67 : 10 =

67 : 100 =

67 : 1 000 =

7 : 100 =

7 : 1 000 =

650 : 100 = 9 030 : 1 000 =

62 : 1 000 =

80 100 : 1 000 = 91,05 : 10 =

48,6 : 100 = 4,9 : 10 =

861,6 : 100 = 450 : 1 000 = 47,8 : 1 000 =

2. e segui le divisioni sul tuo quaderno, proseguendo fino ai…

a. decimi b. centesimi c. millesimi

226 149 : 6 = 5 979 : 4 = 38,89 : 5 =

5 746 : 4 = 859,56 : 6 = 5 823 : 3,7 =

873 : 6 = 63,84 : 14 = 795,2 : 23 =

279,2 : 4 = 365,04 : 12 = 623,45 : 0,45 =

Osserva

8 : ? = 16

È possibile questa operazione?

c om’è il risultato rispetto al dividendo?

Secondo te qual è il divisore?

Perché?

c osa hai capito?

Scrivi altri esempi:

3. e segui le divisioni ed evidenzia quali di queste hanno come risultato un numero decimale periodico.

46 : 3 =

59 : 2 =

63 : 4 = 41 : 3 = 77 : 9 = 159 : 5 =

Risolvi i problemi sul quaderno

1. Per la festa della scuola è stata organizzata una lotteria. Un biglietto costava 1,20 € e sono stati raccolti 924,00 €. Quanti biglietti sono stati venduti?

2. Beatrice deve ripassare ortografia e acquista un eserciziario da 29 pagine. Se Beatrice esegue mezza pagina al giorno, in quanti giorni terminerà il libro?

3. Quattro amici vanno a visitare il Museo della Scienza e della tecnica e spendono 60,00 € per i biglietti. Quanto costa il biglietto di ciascuno?

4. La famiglia Righi, composta da 4 persone, va in pizzeria. e cco le loro ordinazioni: 2 pizze Margherita al costo di 6,50 € l’una, 2 pizze quattro stagioni al costo di 7,00 € l’una, una birra al costo di 6,10 €, 2 bottiglie di minerale a 1,60 € l’una, 3 gelati a 3,50 € l’uno. Quanto ricevono di resto se pagano con 50,00 €? Quanto spendono a testa?

METTITI ALLA PROVA

1. Quale tra i seguenti numeri corrisponde a 7 decimi, 9 centesimi e 2 millesimi?

a. 7,92 b. 0,792 c. 79,2 d. 792,0

2. Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1 000?

a. 1 000,010 b. 1 000,001 c. 999,909 d. 999,990

3. Segna sulla retta dei numeri il numero indicato.

4. i ndica se ognuna delle seguenti disuguaglianze è vera o falsa.

V e RO Fa LSO

3,4 < 3,48

5,5 < 5,49

6,9 > 7

1,05 > 1,048

5. c irconda la risposta corretta.

a. Quanto è la somma di: 4,4 2,3 15,7?

22,2 22,4 22 23

b. Quale sottrazione dà come risultato 2,74?

5 – 2,5 5 – 2,76 5 – 2,25 5 – 2,26

6. Quale dei seguenti risultati è più vicino al risultato di 6,9 × 4?

7. Quale delle seguenti divisioni dà come risultato 7,42?

742 : 10

7420 : 1 000

742 : 100 742 : 1

8. Risolvi e osserva la divisione: 3,749 : 2,3 = Quale tra le seguenti divisioni dà lo stesso risultato?

a. 3749 : 23 b. 37,49 : 23 c. 374,9 : 23 d. 3,749 : 230

9. Quale dei seguenti numeri corrisponde al doppio di 0,04?

a. 8 b. 0,8 c. 0,08

10. Risolvi il seguente problema.

d. 0,4

Stefano ha sei biglie di vetro identiche che pesano in tutto un etto e mezzo. Quanto pesa ogni biglia?

Frazioni e percentuali

Nel testo di geografia potremmo trovare questi dati, uniti all’areogramma a lato:

La Lombardia occupa una superficie di 23 860 km². Il 41% del territorio è montuoso, il 12% collinare e il 47% pianeggiante.

i l simbolo % si legge “per cento” e significa “ogni cento parti”.

Se consideriamo la superficie della Lombardia come un intero fatto di 100 parti uguali, allora 41 di queste parti, cioè 41 100 della superficie della Lombardia, corrispondono a montagna; 12 parti, cioè 12 100 della superficie della Lombardia, a colline; 47 parti, cioè 47 100 della superficie della Lombardia, a pianura.

Se ci viene chiesto: «Di quanti km² è l’estensione della pianura?», dobbiamo calcolare 1 100 dell’estensione totale e poi moltiplicare per 47: km² (23 884 : 100) × 47 = km² 11 225, 48

Le percentuali si possono anche visualizzare usando un areogramma quadrato, in cui l’intero è diviso in 100 parti. a llora…

+ 12 + 41 = 100 (intero)

Le frazioni che al denominatore hanno 100 si dicono “frazioni percentuali” o solo “percentuali”.

RICONOSCERE LA PERCENTUALE

Percentuale e sconto

Il papà ha acquistato un televisore nuovo del costo di 500,00 €. Il negoziante gli fa uno sconto del 5% sul costo totale. Quanti euro di sconto fa il negoziante?

Per calcolare il valore di una certa percentuale rispetto a un dato numero (in questo caso lo sconto) devi dividere il numero per 100 e poi moltiplicare il risultato per il valore della percentuale.

Lo sconto fatto è di 25,00 €.

In una classe di 25 bambini, 5 portano gli occhiali. Calcola qual è la percentuale dei bambini che portano gli occhiali rispetto al numero di bambini della classe.

Per calcolare la percentuale a partire da un numero bisogna moltiplicare per 100 e dividere il risultato per l’intero.

sconto 5%

5% di 500 5 100 di 500 (500 : 100) × 5 = 5 × 5 = 25

c alcolo la percentuale di 5 su 25 (5 × 100) : 25 = 500 : 25 = 20

Oppure si può procedere così: 100 : 25 = 4 4 × 5 = 20

La percentuale sulla classe dei bambini con gli occhiali è del 20%.

Rappresenta sul quadrato la situazione.

Esercizi

1. c alcola le percentuali.

20% di 300 20 100 di 300 (300 : 100) × 20 = 3 × 20 = 60

55% di 400

21% di 100

3% di 500

20% di 140

50% di 600

2. Osserva l’areogramma e scrivi le percentuali, rappresentate dalle parti colorate. azzurro viola rosso

3. c ompleta la tabella.

Rtic OLO

Risolvi i problemi sul quaderno

1. i van ha comprato una maglietta durante i saldi che costava originariamente 40,00 € ed è stata scontata del 20%. Quanto paga ora i van?

2. La famiglia Brizio ha ricevuto un prestito dalla banca di 80 000,00 € per acquistare la loro prima casa. L’interesse è stato fissato al 6%. a quanto ammonterà il valore dell’interesse?

3. a ndrea ha risparmiato 500,00 €. Decide di utilizzare il 50% della somma per acquistare dei nuovi sci e il 30% per pagare il corso di basket. Quanto gli rimarrà?

4. Lo stipendio di Giovanni è di 1 800,00 € al mese. Per il mutuo della casa deve versare ogni mese 360,00 €. a quale percentuale dello stipendio corrisponde la quota mensile del mutuo?

MUTUO al mese = 360,00 €

STIPENDIO al mese = 1 800 €

METTITI ALLA PROVA

1. Quale frazione decimale corrisponde a 2,69?

a. 269 10 b. 2 609 1 000 c. 269 1 000 d. 269 100

2. Leggi e rispondi.

i n una scuola di 300 alunni, 6 10 si fermano in mensa.

Quanti bambini vanno a casa per pranzo?

a. 180 b. 60 c. 200 d. 120

3. Risolvi il quesito.

a ndrea vuole acquistare un maglione che costava 75,00 € con lo sconto del 10%. Quale calcolo deve fare a ndrea per capire quanto spenderà?

a. 75 – 10

b. 75 – (75 : 10) × 100

c. 75 – (75 : 100) × 10

d. 75 – (75 : 10)

4. i ndica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

i n una scatola ci sono 40 cioccolatini di quattro gusti diversi: arancia, latte, fondente e menta. i l numero di cioccolatini di ogni gusto è lo stesso.

i cioccolatini fondenti sono il 10% di tutti i cioccolatini

della scatola

i cioccolatini al latte sono un quarto di tutti i cioccolatini

della scatola

Nella scatola ci sono 10 cioccolatini alla menta

i cioccolatini all’arancia e alla menta insieme sonola metà di tutti quelli della scatola

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

5. i l seguente grafico rappresenta la suddivisione delle scuole per numero di alunni nella provincia di trento nell’anno 2001.

più di 200: 10%

fino a 25: 10%

da 26 a 50: 27%

da 51 a 100: 34%

da 101 a 200: 19%

Utilizza le informazioni riportate nel grafico per completare le seguenti frasi.

a. i l 27% delle scuole ha da a alunni.

b. La percentuale di scuole che hanno più di 200 alunni è il %.

c. La percentuale di scuole che hanno fino a 100 alunni è il %.

6. Rispondi a entrambi i quesiti.

i n una classe di 30 alunni, sono assenti 6 alunni.

a. Scrivi la frazione che rappresenta il numero di alunni assenti rispetto al totale degli alunni della classe:

b. Quale percentuale dell’intera classe rappresentano gli alunni assenti?

Decimali con gli euro

MULti PL i in euro

UN it À D i M i SUR a

SO tt OMULti PL i in centesimi – cent

L’EURO è l’unità di misura di valore del sistema monetario di alcuni Paesi dell’Unione europea.

Attenzione! Nei valori espressi in euro bisogna sempre indicare anche i centesimi.

Se una merce costa 8 euro, il prezzo va indicato così: 8,00 €.

Dopo la virgola si leggono i centesimi e non i decimi. a d esempio: 8,50 € si legge 8 euro e 50 centesimi.

Ricorda

z i l costo unitario è il prezzo di un solo prodotto. z La quantità è il numero dei prodotti dello stesso tipo e dello stesso costo che sono stati acquistati. z i l costo totale è la spesa complessiva di tutti i prodotti dello stesso tipo.

Esercizi

1. c ompleta la tabella.

2. Leggi i seguenti testi e rispondi.

a. Maria compra in un supermercato dei sacchetti di biscotti a 1,50 € l’uno e una bottiglia di gazzosa da 2,50 €. Se paga con una banconota da 10,00 €, quanto riceve di resto? Per poter risolvere il problema quale dato manca?

b. Davide va a comprare il pane e spende 3,35 €. Per pagare utilizza una moneta da 2 euro, una da 20 centesimi, una da 5 centesimi e altre monete tutte da 10 centesimi. Quante sono le monete da 10 centesimi utilizzate da Davide? 1 10 11 5

3. c onsidera tutte le seguenti monete.

Scrivi il valore in euro che resta dopo aver speso 1 euro e 8 centesimi.

Risposta

Spesa, guadagno, ricavo

Francesco, il libraio, ha venduto 136 copie di un libro che costa 13,00 € a copia.

Quanto ha ricavato in tutto?

Aveva speso 7,00 € a copia.

Qual è stato il suo guadagno totale?

Quando si parla di compravendita, bisogna guardare secondo il suo punto di vista.

La SPESA indica

QU a N t O il negoziante

H a SP e SO P e R ac QU i S ta R e L a M e R ce . i l RICAVO indica

QU a N t O i N ca SS a V e ND e NDO.

i l GUADAGNO è la differenza tra quanto incassa (R icaVO) e quanto ha speso (SP e S a ). Se il ricavo è minore della spesa, il negoziante ha una P e RD ita

SPESA

Denaro che il negoziante paga quando compra la merce che vuole rivendere

SPESA

RICAVO

Denaro che il negoziante incassa quando vende la merce

RICAVO

SPESA

GUADAGNO

Denaro che il negoziante guadagna in PI Ù rispetto a ciò che aveva pagato per acquistare la merce

GUADAGNO

RICAVO

Esercizi

1. Risolvi i problemi sul quaderno.

a. Un negoziante compera 100 magliette a 7,00 € l’una. Le rivende e ricava 950,00 €. Quanto guadagna?

b. i l cartolaio vende 80 quaderni a quadretti a 1,75 € l’uno. Quanto ricava?

Se ha guadagnato in tutto 32,00 €, quanto aveva speso in tutto? Quanto aveva speso per ogni quaderno?

c. Dalla vendita di 24 lettori DVD , un negoziante ha guadagnato 1 296,00 €. Se per comprarli aveva speso 3 000,00 €, qual era il prezzo di vendita unitario?

d. Un libraio ha venduto 25 copie di un libro a 16,00 € ciascuno. Quanto ha ricavato in tutto? Qual è stato il suo guadagno totale se a lui ogni copia era costata 11,35 €?

2. c ompleta la tabella.

350,00 € 650,00 €

125,50 € 100,00 €

2 500,00 € 800,00 €

80,00 €

20,00 €

3. La maestra ha risolto il problema “Gelati e granite” scrivendo alla lavagna le seguenti operazioni: 24 × 0,50 = 12 18 × 1,50 = 27 12 + 27 = 39 50 – 39 = 11 c ompleta il testo del problema utilizzando i dati che sono scritti sulla lavagna.

Gelati e granite

a nna prepara una festa. c ompra 18 gelati che costano € l’uno e compra granite che costano 0,50 € l’una. a nna paga con una banconota da €. Quanto riceve di resto a nna? a nna spende in tutto €. a nna riceve di resto €.

METTITI ALLA PROVA

1. a ngela guarda lo scontrino del supermercato e si accorge che una macchia ha coperto il prezzo del detersivo.

ac QU i S ti e URO

2,50 detersivo

5,20 t O ta L e 9,80

Quanto è costato il detersivo?

⬜ 1,10 €

⬜ 2,10 €

⬜ 2,70 €

⬜ 3,10 €

2. i l papà va a comprare al supermercato i prodotti indicati nella lista qui sotto.

Lista della spesa

z 12 uova

z 6 bottiglie d’acqua da 1,5 litri

z 2 kg di mele

i l papà sceglie i prodotti che hanno costo unitario minore.

Per ciascun tipo di prodotto indica con una crocetta quello che il papà sceglie.

U na confezione da 6 uova: 1,50 €

U na confezione di 6 bottiglie da 1,5 litri: 1,80 €

3. Mele sfuse: 1,85 € al chilo

U na confezione da 4 uova: 1,20 €

U na bottiglia da 1,5 litri: 0,17 €

Mele in cassetta da 2 chili: 3,00 €

3. Hai a disposizione le seguenti monete:

Qual è il numero minimo di monete che ti servono per ottenere 3,75 €?

⬜ 7 ⬜ 6 ⬜ 5 ⬜ 3

4. Una gita in famiglia

La famiglia Macchi e la famiglia a melio organizzano una gita al parco “Safari land”. Questo è il listino dei prezzi.

Pa R c O “S a Fa R i L a ND” – L i S ti NO G i ORN a L ie RO PR e ZZ i a P e RSON a

Da lunedì a venerdì Sabato e domenica

a DULti

B a MB i N i

€ 22,00

€ 12,00

€ 25,00

€ 17,00

Pacc H etti Fa M i GL ia – L i S ti NO G i ORN a L ie RO PR e ZZ i

Da lunedì a venerdì Sabato e domenica

2 a DULti + 1 B a MB i NO

2 a DULti + 2 B a MB i N i

€ 50,00

€ 60,00

€ 61,00 € 75,00

2 a DULti + 3 B a MB i N i € 72,00 € 91,00

La famiglia Macchi è composta dai genitori e due bambini, la famiglia a melio è composta dai genitori e un bambino. i l signor Macchi fa i biglietti per tutti e paga 135,00 €. i n quale giorno della settimana è stata organizzata la gita?

⬜ i n un giorno qualsiasi della settimana

⬜ i n un giorno qualsiasi tra lunedì e venerdì

⬜ Sabato o domenica

⬜ Non si può dire perché il prezzo pagato non corrisponde alle tariffe della tabella

RAPPRESENTARE DATI

Studiando geografia o scienze, incontriamo diversi tipi di grafici che rendono visibili in modo immediato informazioni a riguardo di quantità ( DATI ) di situazioni o fenomeni.

GRAFICO A LINEA

Nel grafico a fianco si osserva, sulla linea azzurra, che la temperatura minima (più bassa), circa 9°, è stata rilevata il 4 ottobre, mentre sulla linea rossa si vede che la temperatura massima (più alta), 26°, è stata rilevata il

Temperature minime e massime - ottobre 2019

Stazione Orto Botanico - Padova

Dal 26 al 31 di ottobre

la temperatura massima ha avuto un abbassamento di circa gradi. i l grafico a linea viene spesso utilizzato per rappresentare dati che variano nel tempo.

AREOGRAMMA

L’ areogramma mostra la superficie occupata da ogni continente rispetto al totale della superficie delle terre emerse.

i l continente con maggiore estensione è i l continente con minore estensione è

L’areogramma rende visibili varie quantità (nei settori circolari) rispetto a un totale.

Giorni

ISTOGRAMMA

Questo istogramma presenta il numero degli abitanti per ogni continente, espresso in miliardi. Le colonne verdi indicano gli abitanti nell’anno 2005. Si osserva che in a frica nel 2005 vivevano circa 700 milioni di persone, mentre in e uropa la popolazione era di circa milioni.

L’istogramma permette di confrontare rapidamente tra loro le quantità. Le colonne in rosso riportano la previsione del numero di abitanti per il 2050. Dall’istogramma vediamo che, secondo queste previsioni, la popolazione calerà soltanto in ; e resterà stabile in

IDEOGRAMMA

Un ideogramma rappresenta le quantità dei dati attraverso un’immagine (si sceglie un’ idea simbolo della situazione); a tale immagine si attribuisce poi un valore . Nella tabella, a sinistra sono raccolti i dati delle persone residenti nelle 2 province più popolate della Lombardia, a destra vediamo la loro rappresentazione.

Simboli scelti e valori corrispondenti: 100 000 residenti 50 000 residenti

PROV i N ce LOMB a RD ia

Dati aggiornati al 01/01/2019 ( i S tat )

R e S i D e N ti i D e OGR a MM a

M i L a NO 3 250 315

BR e S cia 1 265 954

c osa puoi notare confrontando i dati numerici e la rappresentazione con ideogramma? Parlane con l’insegnante e i compagni.

e uropa a merica Latina a merica Settentrionale

MODA

i n una scuola primaria si vogliono attivare 5 corsi sportivi per le classi quinte.

Viene svolta un’indagine per conoscere le preferenze degli alunni, scegliendo un campione di 100 bambini di classe quinta.

Dall’indagine sono emerse le seguenti preferenze:

danza: 16 nuoto: 21 basket: 14 ritmica: 24 calcio: 25

La preferenza espressa con maggiore frequenza è per

i l dato più frequente si chiama moda e nell’ istogramma è rappresentato dalla colonna arancione più alta.

Questi dati si possono esprimere anche con frazioni o percentuali e rappresentare con un areogramma come quello qui sopra.

MEDIA

Luca per 6 giorni ha cronometrato i tempi impiegati a percorrere il tragitto da casa alla palestra di basket; poi ha calcolato la media del tempo impiegato .

Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato

15 minuti 22 minuti 20 minuti 21 minuti 19 minuti 17 minuti

Per calcolare la media ha sommato i tempi impiegati nei 6 giorni:

15 + 22 + 20 + 21 + 19 + 17 = 114 minuti impiegati nei 6 giorni per andare da casa alla palestra. Poi ha diviso la somma per il numero dei giorni: 114 : 6 = 19 possiamo dire che in media a Luca occorrono 19 minuti per percorrere il tragitto da casa alla palestra.

MA ME G V S

Ricorda

La media aritmetica è il valore che si ottiene addizionando tutti i dati raccolti e dividendo la somma per il numero dei dati considerati.

L MA ME G V S

Esercizi

1. Osserva, rispondi e calcola. La tabella riporta i millimetri di pioggia caduti in 4 mesi in 3 diverse città italiane.

a. i n quale città e in quale mese sono caduti più millimetri di pioggia?

città: mese:

b. i n quale città e in quale mese sono caduti meno millimetri di pioggia?

città: mese:

c. c alcola quanti millimetri di pioggia sono caduti in media a Milano.

d. Quale grafico sceglieresti tra un istogramma e un grafico a linea per rappresentare i dati della tabella?

Disegnalo sul quaderno e poi confronta il tuo lavoro con quello dei compagni.

2. a Genova durante la prima settimana di gennaio sono state registrate le seguenti temperature massime e minime:

Minima 1 3 4 2 0 3 5

Massima 8 15 14 11 8 7 10

Rappresenta sul quaderno, con un grafico a linea, la variazione delle temperature massima e minima con due colori diversi, poi calcola la media della temperatura minima e la media della massima nella settimana.

3. Misura la tua altezza e quella dei tuoi compagni di classe, riporta i dati in una tabella sul quaderno e poi calcola la statura media della tua classe.

4. Svolgi una semplice indagine insieme alla tua classe per conoscere il numero di scarpe che indossa ciascuno dei tuoi compagni; raccogliete i dati in una tabella e poi costruite sul quaderno un istogramma; individuate la moda.

Sequenze · Seriazioni · Procedure

Esercizi

1. La mamma stira con cura gli abiti di suo figlio Marco. camicia canottiera pantaloni mutande bretelle calzini scarpe

Poi la mamma li mette uno sopra l’altro sul tavolo. Marco indossa gli abiti partendo da quello più in alto.

Ma non vuole, per esempio, mettere le bretelle prima della camicia.

Quali vanno bene tra le pile di vestiti qui sotto? Segna con una crocetta.

e sistono altre possibili sequenze? Prova a scriverle.

2. i n questa sequenza di numeri ne mancano alcuni.

6 24 96 192

i ndividua, tra quelli sotto, l’operatore della sequenza e inserisci i numeri mancanti.

a. + 6

b. : 2

c. × 2

d. + 9

3. Scopri qual è la regola che permette di ottenere un numero dal precedente, poi completa gli spazi vuoti nella successione di numeri.

2 7

La regola è 1 25 33

La regola è

4. c ompleta le seguenti piramidi di numeri; partendo dalla base, ogni mattone della seconda riga contiene la somma dei numeri contenuti nei mattoni su cui è appoggiato. Si prosegue così anche per i mattoni dei livelli superiori.

5. Luigi usa degli stuzzicadenti per costruire una successione di torri aggiungendo sempre un piano. La prima torre è fatta da 6 stuzzicadenti.

Quanti stuzzicadenti utilizzerà per costruire la torre con 10 piani? Spiega come hai fatto.

6. Osserva le seguenti figure. Procedendo nella sequenza, indica di quanti quadretti sarà costituita la quarta figura.

a. 16 b. 20 c. 25 d. 36

Coding · Esercizi di pixel art

1. c olora le caselle della tabella seguendo la procedura del codice che si trova a fianco. c omincia dalla prima riga: la prima casella da colorare è quella a destra di a

Nella sequenza di istruzioni, il numero dice quante caselle colorare e il pallino colorato alla sua destra indica quale colore usare.

La prima riga di codice potrebbe essere “tradotta” così: sulla riga A, parti da sinistra e colora 1 casella di rosso, 3 caselle di nero, 1 casella di viola, 3 caselle di nero e una casella di rosso

Osserva. Alcune righe del codice sono uguali? Quali? Perché? i l disegno della stella è simmetrico, per cui la prima e l’ultima riga, la seconda e la penultima, e così via, sono uguali.

c olora parte della tabella seguendo le indicazioni del codice a fianco. c ompleta poi il disegno simmetrico utilizzando i due assi di simmetria rossi. c ompleta anche la scrittura del codice.

a = 1 3 1

B = 1 1 2 1

c = 2 1 1 1

D = 2 1 1

e = 1 1 1 3 1

F = G = H = i =

Quale colore occupa la superficie maggiore? Spiega come hai ragionato. Scrivi in ordine dal minore al maggiore le quantità di caselle occupate dai rispettivi colori.

Probabilità

Lancio 2 dadi, uno blu e uno bianco.

Quali e quante diverse combinazioni posso avere per ogni lancio?

Scrivi in tabella le combinazioni possibili e i punti che ottieni sommando.

Lanciando 2 dadi, le combinazioni possibili sono ; possono verificarsi

36 diversi eventi . Osserva i punti che ottieni sommando i due dadi.

Quali punteggi hanno minore probabilità di uscire?

Quale punteggio ha maggiore probabilità di uscire?

Quante sono le probabilità che esca 7 su 36 possibilità?

Possiamo dire che ci sono 6 casi su 36 che si possano fare 7 punti.

36 casi favorevoli casi possibili

Questa è la PROB a B i L it À di ottenere il punteggio 7.

c ompleta le affermazioni con la parola che ritieni appropriata, scegliendo tra certo , possibile e impossibile .

Lanciando due dadi e sommando i punti:

z è ottenere 1

z è che esca un numero pari

z è che il punteggio ottenuto sia un numero > di 1 e < di 13

Luca ha una collezione di 50 DVD di film e, tra questi, 34 DVD sono film d’avventura. Se prende un DVD a caso, quante probabilità ha di estrarre proprio un film d’avventura?

Luca ha probabilità su di estrarre un DVD con un film d’avventura.

Sotto forma di frazione si scrive:

34 50 casi favorevoli (numero dei DVD dei film d’avventura) casi possibili (numero di tutti i DVD di film)

Si può esprimere la probabilità anche con una percentuale:

z scrivi sotto forma di frazione la probabilità di estrarre DVD di un film d’avventura 34 50

z dividi il numeratore per il denominatore 34 : 50 = 0,68

z scrivi il risultato sotto forma di frazione con denominatore 100 68 100

z trasforma la frazione decimale in percentuale 68 100 = 68%

Esercizi

1. Ogni lettera della parola ce Rta M e N te è stata copiata su un cartoncino.

C E R T A M E N T E

i 10 cartoncini sono stati messi capovolti e in disordine su un tavolo. i ndica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

È più probabile estrarre una vocale che una consonante ⬜ Vero

⬜ Falso

La lettera che ha più probabilità di essere estratta è la e ⬜ Vero

⬜ Falso

È possibile estrarre la lettera F ⬜ Vero

⬜ Falso

La t e la a hanno la stessa probabilità di essere estratte ⬜ Vero

⬜ Falso

È impossibile estrarre la lettera a ⬜ Vero

⬜ Falso

2. Nella biblioteca della classe di Maria ci sono 36 libri d’avventura e 24 gialli.

Maria ne prende uno a caso: è più probabile che sia un libro d’avventura o un giallo? c alcola sul quaderno la percentuale di probabilità di prendere un libro d’avventura o un giallo.

3. i n un sacchetto ci sono 34 cartellini, di cui 16 non contengono nomi di animali. Senza vederli, qual è la probabilità di estrarre un cartellino con un nome di animale? a. 16 34 b. 18 34 c. 26 34 d. 75%

4. Matteo fa la raccolta di figurine di animali e in un album ne ha 100: 18 sono di rettili, 16 di uccelli, 36 di mammiferi e 30 di pesci.

Quale figurina ha più probabilità di essere estratta?

Qual è la percentuale di probabilità di estrarre una figurina di uccelli?

È più probabile estrarre una figurina di uccelli o di pesci?

Perché?

Qual è la probabilità che venga estratta una figurina di anfibi?

Perché?

Quale figurina ha meno probabilità di essere estratta?

METTITI ALLA PROVA

1. i nsieme ai compagni e all’insegnante raccogli le informazioni necessarie per compilare la seguente tabella con gli alunni iscritti alla vostra scuola. c L a SS i M a S c H i F e MM i N e t O ta L e prime seconde terze quarte quinte

Scegli quali dati vuoi confrontare e la rappresentazione secondo te più adeguata (istogramma, areogramma, grafico a linea...) per visualizzarli. Puoi confrontare, per esempio, il numero di maschi e di femmine in totale, nelle diverse classi, o la differenza di alunni nelle classi.

2. Gianni ha dimenticato la combinazione della propria valigia. La combinazione è fatta di 4 cifre e si ricorda solo che le prime tre cifre sono pari e diverse dallo zero.

Quanti tentativi deve fare Gianni per essere sicuro di aprire la propria valigia?

3. Tiro con l’arco: mira al bersaglio. Hai 2 tiri con l’arco a disposizione.

giallo: 100 punti rosso: 50 punti

blu: 20 punti

Quanti punti puoi totalizzare?

Quante sono le combinazioni possibili?

MISURARE

Torta al cioccolato e cannella

Ricetta per 6 persone

Tempo di preparazione: 30 minuti

Tempo di cottura: 1 ora e 45 minuti

Ingredienti:

3,5 hg di farina; 180 g di burro; 75 g di zucchero; 1 pizzico di sale; 3 tuorli; 1 dl di panna fresca; 180 g di cioccolato fondente; cannella in polvere

• Lavorare la farina con il burro ammorbidito, lo zucchero, il sale e 2 tuorli.

• Iniziare a impastare partendo dal centro aggiungendo la panna.

• Dividere la pasta in due parti, in modo che abbiano una piccola differenza di volume.

• Stendere 2 dischi di pasta dello spessore di 5 cm e disporre il più esteso in una teglia imburrata.

• Versarvi il cioccolato a pezzetti, spolverare con un po’ di cannella e coprire con il secondo disco.

• Spennellare la torta con il tuorlo rimasto e far cuocere in forno a 180 °C per un’ora e 45 minuti

Per preparare la torta è necessario misurare ingredienti , tempi e temperature con precisione. c erca nella ricetta le unità di misura utilizzate per: peso di zucchero, burro, cioccolato

volume della panna

tempo di cottura

Ricorda

peso-massa della farina

spessore dei dischi di pasta

temperatura di cottura

Misurare una grandezza significa confrontare una grandezza con un’altra grandezza dello stesso tipo, che scegliamo come unità, e trovare quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza considerata. La misura è espressa da un numero seguito dall’unità di misura

Le unità di misura convenzionali che siamo abituati a usare sono:

metro m per lunghezze

metro quadrato m² per superfici

metro cubo m³ per volume

litro l oppure L per capacità

chilogrammo k g per peso

gradi Celsius °C per temperatura

Lunghezza, capacità (volume), peso

Osserva queste misure.

La distanza tra la Terra e la Luna è di circa 384 400 000 m

è circa di 0,00005 l

Lo spessore di un foglio di carta è di circa

Un granello di sabbia o una zanzara hanno un peso di circa 0,000001 kg

Per misurare grandezze maggiori o minori delle unità di misura convenzionali si utilizzano i multipli o sottomultipli , che si ottengono moltiplicando o dividendo per 10, 100, 1 000, le unità di misura.

: 10 × 10

Ricorda : le misure di grandezze sono espresse da un numero accompagnato dalla marca che indica l’unità di misura utilizzata. La marca si riferisce alla cifra dell’unità: 14 7

i l simbolo scelto per il litro era la l (minuscola o in corsivo); da diversi anni viene utilizzata anche L (maiuscola).

Per il peso l’unità di misura convenzionale è il chilogrammo.

Unità fondamentale

: 10 × 10

Sono in uso alcuni multipli del chilogrammo, come il quintale (100 kg) e la tonnellata (1 000 kg) o più precisamente megagrammo ( Mg ).

Esercizi

1. Nelle seguenti misure di lunghezza, ripassa in rosso la cifra a cui si riferisce la marca, come nell’esempio, poi inserisci in tabella ciascuna cifra.

674 dam

41,25 hm

1,6 km

0,1 dm

2. c ompleta, come nell’esempio, le seguenti equivalenze guardando la tabella.

6,236 dam = 62,36 m = 623,6 dm = 6 236 cm = 62 360 mm

674 dam = km = hm =

1,6 km =

0,1 dm =

1 548

3. c ompleta.

1 m = 4 dm + dm

1 dam = 7 m + m

1 hm = 5 dam + dam

1 km = 4 hm + hm

1 dm = 7 cm + cm

1 dam = 9 m + dm

1 m = 50 cm + cm 1 cm = 9 mm + mm

hm = 60 m + m

km = 500 m + m

1 m = 600 mm + mm 1 dam = 1 m + dm 1 hm = 75 m + m 1 km = 200 m + hm 1 dm = 1 m – dm 1 cm = 1 dm – cm

4. Leggi le misure e associa le lunghezze corrispondenti trascrivendo la lettera.

A. lunghezza piscina olimpionica 51,1 km 1,05 hm

B. distanza tra la terra e la Luna 0,004 m 384 400 km

C. distanza tra Milano e Bergamo 5 dam 8 dm

5. c ompleta per formare un litro.

1 l = 5 dl + dl

1 l = 7 dl + cl

1 l = 3 dl + dl

1 l = 100 ml + ml

1 l = 40 cl + cl

1 l = 250 ml + ml

D. lato di un quadretto del quaderno

E. larghezza di una porta

F. lunghezza campo da calcio

6. Osserva i diversi recipienti e le etichette che indicano la capacità di ciascuno, poi rispondi alle domande.

A bottiglia di chinotto: 100 cl B bottiglia di vino: 75 cl C bottiglia di aranciata: 50 cl

D lattina di gazzosa: 33 cl E bottiglia di acqua: 150 cl F bottiglia di tè: 200 cl G succo: 20 cl

z 1 cl che parte del litro è? Scrivilo con una frazione: 1 cl = di litro

z Quanti cl ci sono in 1 l? 1 l = cl

z Quali etichette indicano una capacità minore di un litro?

z Quali indicano una capacità uguale a 1 l?

z Quali una capacità maggiore di 1 l?

z Quale etichetta corrisponde alla capacità di mezzo ( 1 2 ) litro?

z 2 bottiglie d’acqua a quanti litri corrispondono?

z Quante bottigliette di aranciata occorrono per avere 1 l?

z Quanti succhi per avere 1 l?

7. i ndica se ogni affermazione è vera o falsa.

1 l = 10 dl

34 l = 3,4 dal

15 l = 1,5 dal

50 dal = 5 dl

125 cl = 1,25 dl

500 ml = 0,5 l

200 cl = 2 l

0,4 dal = 4 l

8. trasforma e poi completa.

2 l + 2 dl = 20 dl + 2 dl = 22 dl 22 dl = 2,2 l

6 dal + 31 l = + = = l

9 ,3 dl + 25 cl = + = = l

75 cl + 150 ml = + = = l

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

9. c erchia con lo stesso colore le tre scritte equivalenti, come nell’esempio.

1 000 ml 1 l 1 10 di dal (decalitro) 500 ml 0,25 l 1 8 di litro

di litro (mezzo litro)

10. trascrivi in tabella le misure collocando ogni cifra sotto l’unità di misura corrispondente. Poi esprimi ciascuna misura con diverse unità di misura.

kg hg dag g ca MB ia UN itÀ D i M i SUR a

350 g 3 5 0 350 g = 35 dag = 3,5 hg = 0,35 kg

18 hg

1 749 g

5 kg

11. c ompleta per formare un chilogrammo.

1 kg = 2 hg + hg

1 kg = 200 g + g

1 k = +

1 kg = 3 hg + hg

1 kg = 650 g + 35

1 k = +

1 kg = 50 dag + dag

1 kg = 6 hg + g

1 k = +

12. Segna con una crocetta i pesetti che complessivamente sono equivalenti

pizzette: 2,300 kg

caramelle: 150 g

farina: 3 kg

13. Osserva il peso di ogni confezione e calcola il peso complessivo delle confezioni.

Risolvi i problemi sul quaderno

1. La casa di Stefano dista dalla scuola 2,5 km. Quanti chilometri percorre in 5 giorni per andare e tornare da scuola?

2. Una pista di pattinaggio è lunga 8 dam. Bianca la percorre 5 volte. Quanti metri percorre Bianca?

3. La galleria del Sempione è lunga 19,824 km e quella del San Gottardo 15,03 km. Qual è la differenza tra le due gallerie?

4. i l papà compera per la festa di Lorenzo 2 bottiglie di aranciata da 2 l ciascuna. Quanti bicchieri da 150 ml si potranno riempire?

5. i l nonno Walter compera sempre il vino da un contadino sulle colline del Friuli. Quest’anno ha acquistato 1 damigiana da 5 dal di vino rosso e una damigiana da 25 l di vino bianco. Quanti litri di vino ha acquistato in tutto? travasa il vino in bottiglie della capacità di 75 cl. Quante bottiglie gli serviranno per imbottigliare tutto il vino?

6. Se una scatola di tonno pesa 150 g, quanti ettogrammi pesano 10 scatole uguali?

7. Quattro focacce pesano complessivamente 2 hg. Quanti grammi pesa ogni focaccia?

Misure di valore

20,00 €

€ (si legge EURO ) è il simbolo della valuta dell’Unione europea, di cui l’ i talia fa parte. Quasi tutti gli Stati membri utilizzano questa moneta. Il simbolo € si ispira alla lettera dell’alfabeto greco “epsilon” (ε) e si riferisce alla iniziale della parola e uropa. a N c H e S e L a SOMM a c ONS i D e R ata È UN NUM e RO i N te RO, V a NNO S e MPR e i ND icati i D eci M i e i ce N te S i M i

Le monete e le banconote e uro cominciarono a circolare dal 1 gennaio 2002.

MON ete

B a N c ONO te

Esercizi

sul quaderno

1. c on quali e quante monete puoi cambiare una moneta da 1,00 €? trova tutte le possibilità.

2. Quante banconote da 5,00 € ti servono per arrivare alla cifra di 1 000,00 €?

3. Ho sei monete da 1 cent, quattro da 2 cent, otto da 10 cent.

Quanto mi manca per arrivare a 2,00 €?

4. c ompro una crema. c onsegno al negoziante una banconota da 50,00 €. Ricevo il resto di tre banconote da 10,00 €, una da 5,00 €, quattro monete da 2,00 € e una moneta da 50 cent. Quanto costava la crema?

5. Quante monete da 2,00 € ti servono per arrivare alla somma di 2 740,00 €?

Quante banconote da 10,00 €? Quante da 20,00 €? Quante da 50,00 €?

Quante da 200,00 €?

6. Un commerciante paga al fornitore 1 355,00 €. c on quante e quali banconote potrà pagare?

MISURE NELLA STORIA

Fin dai tempi antichi gli uomini, avendo la necessità di misurare distanze, terreni, quantità di grano, acqua..., costruirono unità di misura che fossero condivise all’interno della propria comunità.

Molte civiltà utilizzavano la lunghezza di alcune parti del corpo umano come unità di misura per le lunghezze. i Romani , ad esempio, avevano stabilito come principale unità di misura il piede , pes in latino (distanza dal tallone all’estremità dell’alluce). Utilizzavano anche multipli e sottomultipli del piede:

z 1 digitus (che significa “dito”) era la sedicesima parte del piede

z 1 palmo corrispondeva a un quarto di piede z 1 cubito era uguale a 1 piede e mezzo z 1 miglio era formato da 5 000 piedi. Sulle strade romane a ogni miglio era posta una pietra miliare.

c ol passare dei secoli ci si rese conto della necessità di individuare delle unità di misura uniche per facilitare i commerci tra i popoli.

Verso la fine del 1700 d. c ., durante la Rivoluzione Francese, fu introdotto il sistema metrico decimale ; alcuni scienziati ricevettero l’incarico di stabilire un sistema di misurazione che potesse essere utilizzato da tutti. e ssi scelsero come unità di misura fondamentale per le lunghezze il METRO

Due astronomi per ben 7 anni effettuarono le misurazioni della distanza tra l’Equatore e il Polo Nord, lungo il Meridiano di Parigi , e fissarono la sua lunghezza: il METRO fu definito come la decimilionesima parte di tale distanza a lla fine del 1700, in Francia si realizzò come campione del metro un’asta di un materiale inalterabile, il platino iridio.

Nel 1960 la comunità scientifica internazionale propose un solo Sistema di Unità di Misura che è chiamato Sistema Internazionale , adottato da quasi tutti i Paesi del mondo, compresa l’ i talia.

Antica strada romana ad Aosta in cui si scorge una pietra miliare

Cubito

Piede

Pollice ( digitus )

Palmo

Dalla lunghezza del metro si ricavarono le altre unità di misura maggiori e minori del metro, suddividendo o moltiplicando per 10, 100 ... nello stesso modo in cui si procede nel sistema di numerazione decimale.

Dal metro derivano le unità di misura di superficie ( metro quadro : m²...) e di volume ( metro cubo : m³...).

metro: m

metro quadrato: m²

10 dm × 10 dm × 10 dm = 1 000 dm³

metro cubo: m³

c ome unità di misura della capacità fu adottato il litro , cioè la capacità di un cubo che ha lo spigolo di un decimetro e quindi volume di 1 dm³

Il peso della quantità di acqua contenuta nel decimetro cubo (1 litro) fu scelto come campione di peso ( 1 chilogrammo ) e venne dato il nome di grammo alla sua millesima parte.

Verifica insieme ai compagni

Prendete un cubo vuoto con il lato di 1 dm, versatevi un litro di acqua. c osa notate?

Provate a pesare l’acqua con una bilancia digitale. c osa osservate? 1 dm³ = 1 litro 1 kg

Misurare superfici

Per misurare l’estensione di una superficie dobbiamo scegliere come unità di misura una superficie più piccola e calcolare quante volte è contenuta.

Un campo da basket ha forma rettangolare e misura 26 m di lunghezza e 14 m di larghezza.

Quale unità di misura scegliamo per misurare la sua superficie?

L’unità di misura per le superfici è il metro quadrato ( m² ), un quadrato il cui lato misura 1 m. Osservando un metro quadrato notiamo che è formato da decimetri quadrati. 1m² = dm² . Se si delimita un decametro quadrato (quadrato con il lato di 10 m) in cortile o in palestra, si osserva che è formato da metri quadrati. 1 dam² = m² Per ottenere i multipli e sottomultipli del m² , moltiplico o divido per 100, per 10 000..., il metro quadro. MULTIPLI

Esercizi

1. Qui a lato vedi la riduzione di una piastrella quadrata di lato 1 dm: la misura della sua superficie è 1 dm². La misura della superficie di ogni tessera è 1 cm².

Quanti cm² la ricoprono?

1 dm² = cm²

Quanto misura la superficie ricoperta da tessere nere? Quanto misura quella ricoperta da tessere rosse?

2. i nserisci in tabella le seguenti misure e completa le equivalenze che trovi sotto.

da u da u da u da u da u da u da u

24 m² = dm²

135 cm² = mm²

4 km² = hm²

0,25 m² = dm² 18 mm² = cm²

24 m² = cm² 135 cm² = dm² 4 km² = dam² 0,25 m² = cm² 18 mm² = dm²

3. c ompleta le equivalenze con la marca.

315 cm² = 3,15

0,031 m² = 3,1 28 cm² = 2 800 0,45 m² = 45

m² =

m² = 5 500 6,8 km² = 680

MISURE NEL MONDO

a lcuni Paesi ancora adesso non utilizzano le unità di misura del Sistema i nternazionale, che dal 1960 è invece adottato nella maggior parte delle nazioni del mondo.

i n Gran Bretagna , ad esempio, nel 1824 si è stabilito il Sistema Imperiale Britannico le cui unità di misura sono ancora in uso. Miglio, iarda, pollice e piede sono alcune unità per misurare lunghezze.

1 pollice (in) = 2,54 cm

1 iarda (yd) = 3 piedi

1 piede (ft) = 12 pollici

1 miglio (mi) = 1,6093 km

MISURAINPOLLICI

La dimensione degli schermi dei televisori e dei computer è misurata lungo la diagonale in pollici.

Prova a trasformare in cm la misura degli schermi:

15 pollici

22 pollici

Per misurare il peso vengono utilizzate come unità di misura l’oncia e la libbra:

1 libbra (lb) = 453,59 g

1 oncia (oz) = 28,35 g

e lena ha ricevuto in regalo da un amico che tornava da Londra un bellissimo libro di ricette di biscotti. Le misure degli ingredienti, però, sono in once. a iutala a trasformare le misure degli ingredienti della ricetta.

Scottish shortbread

6 oz di farina g

2 oz di farina di mais g

2 oz di zucchero g

4 oz di burro g

Misurare intervalli di tempo

Fin dai tempi antichi gli uomini, osservando la regolarità dei fenomeni astronomici, hanno provato a misurare lo scorrere del tempo cercando di suddividerlo in intervalli.

i primi strumenti che inventarono – lo gnomone (un bastone verticale piantato a terra) e le meridiane –utilizzavano l’ombra che il sole proietta dal suo sorgere fino al tramonto. i l momento in cui il sole si trova a metà del suo percorso nel cielo è il mezzogiorno.

i Babilonesi, che usavano un sistema di numerazione sessagesimale, suddivisero la durata del giorno in 12 parti (le ore) e ciascuna di esse in 60 parti (i minuti).

Gli e gizi misuravano intervalli di tempo con orologi ad acqua , che erano dei semplici vasi con un foro sul fondo. Solo più tardi comparvero clessidre a sabbia come quelle che conosciamo noi.

Nel Medioevo furono inventati i primi orologi , con ingranaggi e meccanismi che facevano cadere dei pesi a velocità costante facendo ruotare le lancette su un quadrante. Dopo il 1500 si costruiscono orologi a molla e a pendolo . a nche Leonardo da Vinci e Galileo Galilei lavorarono per perfezionare gli orologi.

Le unità di misura convenzionali di intervalli di tempo sono le seguenti; accanto ad ognuna trovi il simbolo corrispondente e sotto i rapporti tra loro.

giorno d ora h minuto min secondo s

1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s

Attenzione! i l sistema di misurazione di ore, minuti e secondi è sessagesimale , mentre i sottomultipli dei secondi si ottengono per suddivisioni decimali ottenendo i decimi, centesimi e millesimi di secondo: ne sentiamo parlare quando assistiamo a gare di velocità.

Intervalli di tempo più lunghi del giorno

1 settimana = 7 d

1 mese è formato da 28, 30 oppure 31 d

1 anno = 365 d 6 h 9 min 10 s

Esercizi

1. c irconda con un colore le misure che indicano la stessa durata di tempo.

15 min 30 min 45 min 60 min 90 min 180 min

1 h 1 4 di 1 h 1 h e mezza mezz’ora 3 h 3 4 di 1 h

60 s

2 min 120 s 4

2. Un gruppo di amici confronta il tempo che ciascuno impiega per recarsi al lavoro. a chi serve meno tempo? Metti in ordine crescente sul quaderno.

Ada : un quarto d’ora Bea : 28 minuti Carlo : 350 secondi Dino : 40 minuti

Enea : 5 minuti Filo : 16 minuti Gaia : mezz’ora Hans : tre quarti d’ora

3. Quanti anni sono trascorsi...

z dall’invenzione del parafulmine (1752)?

z dall’invenzione del paracadute (1785)?

z dall’invenzione della televisione (1925)?

z dalle prime Olimpiadi (776 a. c .)?

4. Rispondi alle domande.

a. Quanti minuti ci sono in un giorno? Quanti secondi?

b. Sono le 15. Quanti minuti sono passati da mezzogiorno?

c. Sono le 21.30. Quanti minuti mancano alla mezzanotte?

d. L’orologio è avanti di 7 minuti. Segna le 13.09. c he ore sono?

e. L’orologio è indietro di 13 minuti. Segna le 8.56. c he ore sono?

f. c ristoforo c olombo partì da Palos il 3 agosto 1492 e sbarcò a San Salvador il 12 ottobre 1492. Quanti giorni durò il suo viaggio?

g. Un viaggio in treno è durato 45 ore. Più o meno di 2 giorni?

h. Un aereo impiega 105 minuti per andare da Milano a Londra, cioè h, min.

i. Un film dura 190 minuti, cioè h e min.

METTITI ALLA PROVA · MISURA

1. Osserva la capacità dei contenitori e completa le frasi.

innaffiatoio : 5 litri tanica: 10 litri damigiana: 50 l

bottiglia: 100 cl bicchiere: 200 ml bottiglietta: 50 cl bricco di succo: 1 dl

z 1 damigiana si può riempire con innaffiatoi, oppure innaffiatoi + taniche. 50 l = 5 l x 50 l = + trova altri modi per riempire la damigiana con i contenitori a disposizione.

z 1 bottiglia da 100 cl si può riempire con bicchieri; oppure con z Sul quaderno scrivi diversi modi in cui puoi riempire la tanica con i contenitori a disposizione.

2. Gare di corsa. Misura insieme ai compagni due percorsi nella palestra o nel giardino della scuola, uno lungo 60 metri e l’altro lungo 400 metri. c ronometrate i tempi che ciascuno impiega a percorrere le due lunghezze di corsa e registrate i dati raccolti in una tabella. c ompilate le classifiche e scegliete una o più rappresentazioni (tabelle, istogrammi, grafici...) per visualizzare i dati e le relazioni tra loro.

3. Scegli un locale della tua casa che abbia il pavimento rivestito da piastrelle. Misura la superficie del pavimento calcolando i lati del locale, oppure, per approssimazione, l’area di una piastrella e poi, contando le piastrelle, disegna una piantina del locale che hai scelto riducendolo in scala.

4. Osserva nella tabella gli ingredienti per preparare 12 crepes e calcola gli ingredienti necessari per ottenere un diverso numero di crepes. Spiega come hai fatto.

uova sale latte farina 00

12 crepes 3 1 pizzico

24 crepes

20 crepes

200 g

100 g

5. Rispondi sul quaderno.

a. Un rubinetto versa 12 l di acqua in un minuto. Quanti litri versa in un’ora?

b. i l suono viaggia nell’aria alla velocità di 343,1 m al secondo. Quanti chilometri percorre in 1 minuto?

c. Un treno ad alta velocità impiega 2 h e 15 m per percorrere la tratta da Milano a Venezia, che è di 245 km. Qual è la velocità media all’ora?

d. Ogni giorno Marco si allena per la corsa campestre. a lla mattina va a correre nel parco dalle 6.15 alle 7 e percorre 7,5 km. Prima di cena ritorna nel parco e corre per 5 km in 30 minuti. Quanti chilometri percorre in una settimana? c alcola quanti chilometri percorre in media in un’ora.

6. Nella famiglia di Pietro sono tutti molto alti: il papà è alto 1,95 m, la mamma è alta 1,80 m, Filippo è 50 cm più basso del papà, Pietro è 200 mm più alto di suo fratello Filippo, a nna è 2 dm più bassa della mamma.

Scrivi in tabella l’altezza di ogni componente della famiglia in cm. c alcola l’altezza media della famiglia.

Pa PÀ M a MM a LU i G i F i L i PPO a NN a

7. Luca nella sua camera ha il pavimento rivestito con piastrelle quadrate con il lato di 20 cm (come nell’immagine qui sotto a sinistra). Vuole rivestire il pavimento con piastrelle nuove, quadrate, che misurano 40 cm di lato. Di quante piastrelle avrà bisogno per rivestire il pavimento?

Luca sceglie piastrelle di 2 colori, bianche e nere, e le vuole disporre come una scacchiera. Qui sopra a destra puoi vedere un esempio delle prime piastrelle posate. Quante piastrelle nere e quante piastrelle bianche saranno necessarie per ricoprire il pavimento?

GEOMETRIA

RICONOSCERE LE CARATTERISTICHE

DELLE FIGURE PIANE E SOLIDE

descriverle, denominarle, confrontarle, classificarle e trasformarle; misurare lunghezze, aree e volumi

LE PAROLE DELLA GEOMETRIA

Rette, semirette, segmenti

Con l’insegnante e i compagni riprendi i tipi di linee che conosci, in particolare rivedi che cosa sono le rette , le semirette , i segmenti , le poligonali

Ripassa bene cosa significa che due rette sono tra loro parallele , incidenti o tra loro perpendicolari

Esercizi

1. Completa la tabella.

POLIGONALE N° LATI N° VERTICI

CARATTERISTICHE

(aperta, chiusa, semplice, intrecciata)

2. Nella figura, con il righello, ripassa in rosso le rette tra loro parallele e in blu le rette tra loro perpendicolari. Poi completa le frasi.

e f g h i

1. La retta a è alla retta b e alla retta c

La retta a è alla retta d

La retta c è alla retta b

2. La retta e è alla retta h

La retta f è alla retta e alla retta

La retta i è alla retta e alla retta

3. Segna sul segmento AB un punto P in modo da avere due segmenti AP e PB di uguale lunghezza.

Il punto P è il punto medio di AB

4. d isegna sul quaderno due segmenti tra loro perpendicolari, il primo lungo 5 cm, il secondo lungo 7,5 cm.

5. Aiutandoti con la quadrettatura:

a. costruisci il segmento triplo di AB;

b. costruisci il segmento somma di AB e C d ;

c. confronta AB e C d : di quanto (in quadretti lineari) il segmento C d supera AB? Segna su C d il segmento differenza ;

d. dividi il segmento C d in tre parti di uguale lunghezza.

Angoli

Con l’insegnante e i compagni riprendi che cosa sono gli angoli , i loro nomi, come si misura la loro ampiezza e come si confrontano tra loro.

Ricorda

d ue semirette a e b che hanno l’origine O in comune determinano sul piano due regioni illimitate: gli angoli . Chiamiamo le semirette lati dell’angolo, la loro origine vertice dell’angolo.

Alcuni angoli hanno un nome specifico: angolo retto , acuto , ottuso , piatto , giro

Tutti si individuano confrontandoli con l’ angolo retto , che misura 90° , ed è ciascuno degli angoli che formano due rette tra loro perpendicolari.

L’ angolo piatto è doppio dell’angolo retto, e misura 180°

angolo piatto

angolo convesso

angolo concavo

angolo retto

Nel disegno le due semirette con origine in O formano due angoli: uno concavo e uno convesso

Per stabilire se un angolo è concavo o convesso, confrontalo con l’angolo piatto : l’angolo convesso è minore di un angolo piatto, l’angolo concavo è maggiore di un angolo piatto.

Esercizi

1. In tutte le figure, colora l’angolo concavo di rosa e l’angolo convesso di blu.

2. Nella figura colora: z in rosso gli angoli retti z in blu gli angoli acuti z in verde gli angoli ottusi.

3. d isegna sul quaderno angoli che misurano: 90°, 45°, 180°, 135°, 60°, 270°, 360°, 30°.

Poligoni

Le figure geometriche piane delimitate da poligonali semplici chiuse sono i poligoni; i segmenti della poligonale sono i lati Riprendi con l’insegnante e i compagni quali sono i poligoni, i loro nomi e le loro caratteristiche .

Esercizi

1. Nella figura, colora di verde i non poligoni, di blu i poligoni concavi, di rosso i poligoni convessi.

2. Nelle figure seguenti:

z di ogni poligono conta quanti sono i lati, gli angoli i vertici

z colora, se vi sono, gli angoli retti

z con colori diversi, ricalca, se vi sono, i lati paralleli fra loro

z con il righello misura i lati e metti un trattino sui lati che hanno la stessa misura.

Poi completa le frasi che seguono sul quaderno.

Triangolo acutangolo

Triangolo rettangolo

Triangolo ottusangolo

Triangolo equilatero

Triangolo isoscele

Triangolo scaleno

Trapezio rettangolo

Trapezio isoscele

Trapezio scaleno Pentagono

Parallelogrammo

Rettangolo

Quadrato Rombo

Esagono

Ettagono Ottagono d ecagono

z Le figure che hanno solo due lati paralleli sono:

z Le figure che hanno i lati paralleli a due a due sono:

z Le figure che hanno tutti i lati uguali sono:

z Le figure che hanno uno o più angoli retti sono:

3. Per classificare i poligoni triangoli, osserva le figure e metti la crocetta per descrivere le loro caratteristiche.

SCALENO

ISOSCELE

EQUILATERO NON EQUILATERO

4. Andrea ha disegnato un quadro astratto con tanti triangoli. Vuole colorare i triangoli acutangoli in rosso, i triangoli rettangoli in arancio e i triangoli ottusangoli in giallo. Colora tu il suo quadro per vedere come sarà.

Osserva

Nei poligoni piani, i lati possono essere, in particolare, perpendicolari o paralleli fra loro.

Nel quadrato, il lato AB è perpendicolare al lato BC, mentre è al lato C d

Nel rettangolo, il lato A d è al lato BC e al lato AB.

Ci sono lati tra loro perpendicolari nel triangolo?

Sul quaderno disegna un trapezio rettangolo, un triangolo rettangolo, un rombo. Ricalca in rosso i lati perpendicolari fra loro, in blu i lati paralleli.

Altezze e diagonali

Riprendi con l’insegnante e i compagni che cos’è l’ altezza in un triangolo.

Abbiamo imparato che ogni triangolo ha tre altezze , a seconda di quale lato si considera come base.

In un triangolo ABC:

z se si considera BC come base, la sua altezza è AH z se si considera il lato CA come base, la sua altezza è BH z se si considera AB come base, la sua altezza è CH.

Nei quadrilateri, possiamo parlare di altezza solo se c’è almeno una coppia di lati paralleli: l’ altezza del quadrilatero è l’altezza della striscia compresa tra le rette parallele r e s .

B C H

Esercizi

1. Traccia le altezze dei seguenti triangoli considerando la base BC.

Ora, considerando come base CA, traccia l’altezza dei triangoli. Infine, considera la base AB di ogni triangolo e tracciane l’altezza. Con i compagni e l’insegnante, osserva in ciascun triangolo dove cade l’altezza: dentro il triangolo? Fuori dal triangolo? Sopra un lato?

2. Ricalca in blu la base BC di ogni quadrilatero; traccia in rosso l’altezza di ogni figura rispetto alla base BC.

d omande per osservare:

a. In quali figure l’altezza coincide con un lato?

b. In quali figure l’altezza cade all’interno della base?

c. In quale figura l’altezza può cadere anche fuori della base?

3. Nel trapezio della figura, la lunghezza della base maggiore è 18 cm; la base minore è 2 3

della base maggiore; l’altezza del trapezio è 1 5 della somma delle due basi.

Quanto misura l’altezza del trapezio?

Calcoli:

Risposta:

Riprendi con l’insegnante e i compagni che cosa significa tracciare le diagonali di una figura geometrica piana.

Ricorda

Una diagonale è un segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono. A vertice consecutivo di A vertice consecutivo di A diagonale lato lato

Esercizi

1. Nei poligoni in figura, traccia col righello tutte le diagonali. 1 quadretto lineare = 2 cm

2. Osserva le figure dell’esercizio precedente e rispondi alle domande.

z Hai sempre potuto tracciare le diagonali?

z Come si chiamano i poligoni in cui non hai tracciato le diagonali?

z Come si chiamano i poligoni in cui hai tracciato due diagonali?

z Sono poligoni concavi o convessi?

3. Nei quadrilateri della figura, ripassa in rosso le altezze e in verde le diagonali. (Attenzione! Ci sono linee tratteggiate che non sono né altezze né diagonali)

Colora in rosso i poligoni che hanno le diagonali perpendicolari.

Colora in verde i poligoni che hanno le diagonali che si tagliano a metà, ma non sono perpendicolari tra loro.

TRASFORMAZIONI

Ci addentriamo nella geometria alla ricerca delle relazioni

significative tra le figure.

Per esempio, vediamo quattro figure che tra loro hanno qualcosa in comune.

Le figure 1, 2 e 3 hanno la stessa forma e le stesse dimensioni : se spostiamo la figura 1 come le frecce indicano, possiamo sovrapporla completamente sia alla 2 sia alla 3.

In geometria diciamo che sono figure congruenti .

Ricorda

d ue figure congruenti hanno la stessa forma e le stesse dimensioni .

Invece, la figura 4 ha la stessa forma delle altre, ma dimensioni diverse: diciamo che è simile alle altre.

Esploriamo come possiamo muovere le figure nel piano in modo da mantenere certe loro caratteristiche.

Chiamiamo isometria un movimento che mantiene inalterate nelle figure le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli: le figure mantengono la forma e le dimensioni , può cambiare invece la loro posizione .

Ricorda

Operando una isometria, si trasforma una figura in un’altra ad essa congruente.

Le isometrie principali che operiamo nel piano sono: simmetrie, traslazioni e rotazioni.

Impariamo a:

z riconoscerle , cioè a individuare quali figure sono ottenute l’una dall’altra per queste isometrie z applicarle , cioè a costruire la figura corrispondente in una certa isometria di una figura data.

Simmetria assiale

Facciamo continuamente l’esperienza di vedere immagini riflesse su specchi o su specchi d’acqua…

La riflessione della luce ci fa incontrare diverse situazioni in cui ci sono due figure tra loro congruenti, ma simmetriche rispetto a una retta. Questo significa che possiamo individuare una retta, reale o immaginaria, che divide la figura in due parti congruenti tra loro.

La retta si chiama asse di simmetria

La retta attraversa queste figure dividendole in due parti congruenti: l’asse di simmetria è interno

Nella figura 1, le due aperture si corrispondono rispetto a una retta che non le attraversa: l’asse di simmetria è esterno

Nella figura 2 si vede come si costruiscono le figure simmetriche rispetto a una retta: i punti che si corrispondono, come A e A', B e B', C e C'…, hanno la stessa distanza dall’asse di simmetria.

asse di simmetria

Fig.1

Fig.

Lago di Dobbiaco

Esercizi

1. Segna gli assi di simmetria che riconosci in queste figure.

2. Segna gli assi di simmetria che riconosci in questi poligoni.

3. Segna gli assi di simmetria che trovi in queste figure.

4. d isegna le figure simmetriche rispetto all’asse, mostrando la costruzione.

5. d isegna il paesaggio simmetrico all’asse rappresentato dalla linea verde.

6. Indovina il poligono

In ogni disegno è rappresentata la metà di un poligono, che ha come asse di simmetria la retta rossa. Immagina qual è, scrivine il nome e disegnalo.

7. Messaggio cifrato. Scrivi il messaggio simmetrico a quello dato.

Simmetria centrale

In una figura come questa sotto si riconoscono più assi di simmetria. Gli assi si incontrano in un punto, che è il centro di simmetria

Anche nel rosone della Basilica di Collemaggio sono visibili molti assi di simmetria: segnane alcuni e individua il centro di simmetria.

In questi esempi, il centro di simmetria è interno alla figura. Anche nella simmetria centrale il centro di simmetria P può essere esterno

Nell’immagine qui a fianco si vede come costruire una figura simmetrica di un’altra rispetto a P: i punti corrispondenti A e A', B e B'… delle figure hanno la stessa distanza dal centro di simmetria.

Esercizi

1. Individua e disegna su questi poligoni e sulla figura tutti gli assi di simmetria; individua, se c’è, il centro di simmetria.

Traslazione

Nelle immagini vediamo antichi fregi artistici ottenenuti dalla ripetizione di una figura base, che chiamiamo modulo , che si sposta più volte in linea retta, sempre della stessa distanza, come è indicato dalle frecce.

Anche le simpatiche “cornicette” che hai disegnato fin dalla prima sono costruite allo stesso modo.

La freccia individua lo spostamento che si opera su ciascun punto, stabilendo la direzione e il verso del movimento, e la sua entità, che corrisponde alla lunghezza della freccia.

Esercizi

1. d isegna su un foglio di carta da lucido una sagoma e crea un fregio orizzontale per traslazione.

2. Traccia su un foglio di carta da lucido un rettangolo in corrispondenza del modulo base che individui nelle figure 1 e 2; verifica spostandolo sull’immagine.

Fig. 2 - Particolare della chiesa di S. Caterina (d’Alessandria) a Galatina (Lecce)

3. d isegna le figure traslandole come indicato dalle frecce.

Fig. 1 - Mosaico in San Vitale, Ravenna

Rotazioni

Una figura nel piano può anche ruotare intorno a un punto (che rimane fermo), detto centro di rotazione , che può essere esterno o interno alla figura.

In una rotazione dobbiamo considerare: z il centro : il punto attorno al quale facciamo muovere la figura z l’ ampiezza dell’angolo di rotazione z il verso della rotazione, che può avvenire in senso orario o antiorario.

La figura qui a fianco è formata operando tre rotazioni in senso orario di 90° del poligono verde (che potrebbe rappresentare una foglia stilizzata), che è il modulo base.

La rotazione di un elemento costituisce la base dei rosoni e di molte decorazioni. Osserva le figure, individua il modulo, ricalcalo su carta da lucido e ricomponi la figura sul quaderno.

Dettaglio in stile gotico della cattedrale di Lviv, Ucraina

Esercizi

1. Osserva le seguenti figure e completa.

In ognuna, la figura è stata ottenuta dalla L rossa con una rotazione intorno al punto P di:

z 90° in senso orario nella figura z 180° in senso antiorario nella figura z 90° in senso antiorario nella figura

2. Esegui tre rotazioni consecutive di 90° in senso antiorario con centro P di questo trapezio.

Quale nome puoi dare alla figura ottenuta?

3. Osserva l’esagono in figura e rispondi.

z Quante rotazioni del triangolo equilatero ABC hanno permesso la formazione dell’esagono?

z Qual è il centro di rotazione?

z d i quanti gradi è ogni rotazione?

4. Il centro di rotazione può essere esterno alla figura.

Fai ruotare la figura di 180 °in senso orario intorno al punto.

Similitudine, riduzione e ingrandimento in scala

Le immagini di questi oggetti ci permettono di intuire il concetto di similitudine in geometria, che non è la somiglianza nel senso comune, ma richiede condizioni ben precise. Lo scopriamo per le figure piane.

Quando ricopiamo una figura sulla carta quadrettata, se usiamo quadrettature diverse otteniamo figure simili tra loro, che possono essere ingrandite o ridotte rispetto a quella di partenza.

Anche quando fotocopiamo un disegno ingrandendo o riducendo, le figure che otteniamo sono simili rispetto all’originale.

Le matrioske e queste ciotole sono oggetti simili tra loro

Ridurre in scala significa rimpicciolire una figura di un assegnato rapporto tra i lati : come da 3 a 1 nell’esempio che segue.

I lati del rettangolo grande sono stati rimpiccioliti, passando da 3 a 1 quadretto: per ogni gruppo di 3 quadretti del primo rettangolo ne è stato disegnato 1 nel secondo.

Tutti i lati sono stati ridotti allo stesso modo, le lunghezze dei lati del secondo rettangolo sono 1 3 di quelle del rettangolo iniziale. Si dice che il rapporto di riduzione è 3 : 1 (tre a uno).

Lo stesso vale quando si vuole ingrandire in scala una figura.

Il quadrato piccolo è stato ingrandito. Il rapporto d’ingrandimento dei lati è uno a due (1 : 2), cioè per ogni quadretto del primo quadrato ne sono stati disegnati 2 nel secondo; tutti i lati sono stati ingranditi in questo modo.

Se si riduce o ingrandisce una figura, tutte le misure dei segmenti corrispondenti devono mantenere costante il rapporto: si ottiene un’altra figura con stessa forma , ma dimensioni diverse Le due figure si dicono simili tra loro

Osserviamo diversi quadrati e verifichiamo che sono tutti simili tra loro.

Anche i triangoli equilateri sono tutti simili tra loro.

Tutti i poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili tra loro.

Così come abbiamo ridotto o ingrandito il disegno di un oggetto sul piano quadrettato secondo un certo rapporto, la stessa trasformazione può essere fatta in generale modificando la misura dei lati secondo un rapporto costante, che si chiama scala

SCALA 1 : 1

2 : 1

1 : 2

Hai incontrato la riduzione in scala nello studio della geografia. Per poter rappresentare su una mappa una regione, uno stato o una piccola città, si ricorre alla similitudine. Nelle carte geografiche la scala indica il rapporto tra le misure grafiche della carta geografica e le misure reali

Nelle carte geografiche possiamo trovare, per esempio: z Scala numerica: 1 : 100 000 z Scala grafica: 0 5 10

1 cm = 1 km

La scala indicata ci permette di trovare le distanze reali tra due punti rapportate a 1 cm della carta.

1 : 10 000 000

1 cm sulla carta corrisponde a:

10 000 000 cm = 100 km reali

6,6 cm sulla carta corrispondono a:

66 000 000 cm = km

SCALA

Esercizi

1. d isegna un tangram il cui lato misura 10 cm, ritaglia i tre triangoli diversi simili tra loro, e verifica, sovrapponendoli, che hanno gli angoli congruenti.

2. Si può dire che queste figure sono simili?

3. Riproduci sul quaderno questa figura in scala 1 : 2.

LAVORO AL PC

Con gli strumenti di disegno di Word costruiamo una stella

Procedimento

1. Costruiamo la struttura : il cerchio e gli assi. Per inserire il cerchio seguiamo questa sequenza di comandi: Inserisci , Forme , Ovale Ricorda che, una volta scelta la forma OVALE, per ottenere un cerchio è necessario tenere premuto il tasto delle maiuscole ( Shift ) mentre si disegna la forma.

2. d al menù Formato scegliere NESSUN RIEMPIMENTO e il colore NERO per il contorno.

3. Inseriamo 4 assi di simmetria del cerchio:

Inserisci , Forme , Linee , Linea. Per disegnare gli assi nella posizione corretta utilizza i “pallini” della selezione del cerchio.

4. Inseriamo il primo quadrato:

Inserisci , Forme , Rettangoli , Rettangolo Come per il cerchio, per ottenere un quadrato scegliere la forma RETTANGOLO e tenere premuto il tasto delle maiuscole ( Shift ) mentre si disegna la forma.

5. Modifichiamo il colore di riempimento del quadrato: Formato , Stili forma , Riempimento , Riempimento a tinta unita , Colore giallo , Trasparenza

50% , Nessuna linea .

6. Inseriamo il secondo quadrato: Inserisci, Forme, Rombo . Per ottenere un quadrato, scegliere la forma ROMBO e tenere premuto il tasto delle maiuscole ( Shift ) mentre si disegna la forma.

7. Tracciamo il rombo cliccando sul vertice in alto a sinistra del quadrato che si evidenza selezionando il cerchio e trascinando verso il vertice in basso a destra in modo da disegnare il rombo come nella figura.

8. Modifichiamo il colore di riempimento del quadrato come già fatto precedentemente: Formato , Stili forma , Riempimento , Riempimento a tinta unita , Colore giallo , Trasparenza 50% , Nessuna linea

10. Per completare è possibile modificare il colore di sfondo bianco in nero: Progettazione , Sfondo pagina , Colore pagina , Nero . 10

9. Proseguiamo inserendo allo stesso modo altri quadrati concentrici modificando il colore in gradazione: 2 quadrati giallo chiaro, 2 giallo scuro, 2 arancioni, 2 rossi… fino ad ottenere una stella come nella figura.

TRIANGOLI

Classificazione

Riconosciamo le principali figure geometriche nella natura e nei manufatti dell’uomo.

Stormo di oche in volo

Ricorda

del IX-XII secolo, Siria

Il triangolo è il poligono con il minor numero di lati. La parola triangolo significa “tre angoli”. I greci lo chiamavano trigono (gono = angolo).

Il triangolo è una figura piana individuata da tre punti non allineati, che sono i vertici del triangolo.

I tre segmenti ottenuti congiungendo questi tre punti sono i lati .

In ogni triangolo vale questa condizione: la lunghezza di ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza

La somma degli angoli interni di un triangolo misura sempre 180°

Piastrella

Possiamo classificarli o guardando i lati, o guardando gli angoli.

LATI

scaleno isoscele equilatero ANGOLI

acutangolo

rettangolo

ottusangolo

Per ripassare completa le frasi.

z Un triangolo equilatero ha lati e angoli congruenti.

I suoi angoli misurano , quindi è un triangolo

z Un triangolo isoscele ha lati e angoli congruenti.

z Un triangolo rettangolo ha angolo di 90° (retto). Se è un triangolo isoscele, i suoi angoli acuti sono e misurano

Esercizi

1. Riconosci in questo gruppo i triangoli equilateri. Quali sono?

Con quale strumento hai verificato le tue risposte ?

2. d isegna sulla quadrettatura un triangolo rettangolo isoscele, in modo che il punto A sia il vertice dell’angolo retto.

Quanto misurano gli altri angoli?

Colora la superficie.

Sai disegnare un triangolo simile? A

3. Indica se le affermazioni sono vere o false.

In un triangolo possono esserci due angoli retti

Un triangolo rettangolo può essere scaleno

Un triangolo isoscele non può essere ottusangolo

Un triangolo equilatero è acutangolo

Un triangolo equilatero può essere anche ottusangolo

Un triangolo scaleno può essere acutangolo

Il triangolo equilatero ha 3 assi di simmetria

I triangoli equilateri sono tutti simili tra loro

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

⬜ Vero

⬜ Falso

4. d isegna un rettangolo sulla quadrettatura. Segna il punto medio di uno dei lati maggiori e traccia due segmenti che congiungano questo punto con gli estremi del lato opposto.

Quali figure hai ottenuto?

Che caratteristiche hanno?

Seguendo il procedimento indicato, disegna un triangolo equilatero usando il compasso.

z Traccia un segmento AB.

z Punta con il compasso nel vertice A e traccia un arco di circonferenza con raggio AB.

z Con la stessa apertura, punta nel vertice B e traccia un altro arco. Il punto C di incidenza dei due archi è il terzo vertice del triangolo equilatero ABC.

Le altezze dei triangoli

Ricorda

In un triangolo l’ altezza è il segmento perpendicolare dal vertice al lato opposto.

In ogni triangolo ci sono tre altezze , una relativa a ogni lato.

Esercizi

1. Traccia in questi triangoli l’altezza relativa al lato evidenziato.

2. d isegna e ritaglia da un cartoncino tre triangoli congruenti. Incollali sul quaderno, considerando come base ognuno dei 3 lati, e traccia le rispettive altezze.

3. d isegna dentro la striscia almeno cinque triangoli che abbiano la stessa base AB e il terzo vertice in punti diversi sulla retta parallela.

Puoi osservare che tutti i triangoli non sono congruenti, ma hanno:

a. la base

b. le altezze A B

4. Il triangolo ABC è un triangolo: e

Ripassa in rosso l’altezza relativa alla base BC.

5. Il triangolo ABC è un triangolo: e

Traccia l’altezza relativa alla base AB.

6. d isegna sul quaderno un triangolo isoscele acutangolo, scegli un lato come base e traccia l’altezza relativa.

Perimetro dei triangoli

Il perimetro di una figura piana è la misura della lunghezza del suo contorno, quindi per trovare il perimetro del triangolo occorre sommare le lunghezze dei suoi lati.

Il segmento AB rappresenta il perimetro del triangolo

Completa le relazioni nei casi particolari.

z Se un triangolo è equilatero e chiamiamo l la lunghezza di ciascuno dei tre lati congruenti

p = ×

z Se un triangolo è isoscele, con due lati congruenti di lunghezza a e il terzo di lunghezza b

p = 2 × +

Esercizi

1. Calcola la misura in centimetri del perimetro di questi triangoli, dopo avere misurato i lati usando il righello.

2. Il lato di un triangolo equilatero misura 25,5 cm. Calcola il suo perimetro.

p =

3. Il perimetro di un triangolo equilatero misura 72,6 cm. Quanto misura il suo lato?

4. Il perimetro di un triangolo isoscele misura 68 cm, un lato misura 20 cm, quanto misurano i due lati congruenti?

5. Calcola il perimetro.

= 4 m

= 12,7 dm

= 20,3 dm

= 27,3 dm

QUADRILATERI

Classificazione

Abbiamo imparato a riconoscere le proprietà dei quadrilateri, alcuni di essi che hanno caratteristiche particolari li abbiamo davanti agli occhi ogni giorno.

Ricorda

Un quadrilatero è una figura piana di quattro vertici , quattro lati e quattro angoli.

Può essere concavo o convesso.

La somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360° .

La diagonale è il segmento che unisce due vertici non consecutivi.

Ogni quadrilatero convesso ha due diagonali che si incontrano in un punto.

Laboratorio

d isegniamo e ritagliamo, insieme ai compagni, quadrilateri di vario tipo, riprendendo le proprietà che conosciamo relative ai lati (paralleli e perpendicolari) e agli angoli.

Raggruppiamo i quadrilateri così costruiti per arrivare a una classificazione.

Si potrà partire dai più generici e aggiungere di volta in volta una caratteristica.

Trapezi

TRAPE z IO ISOSCELE

TRAPE z IO RETTANGOLO

TRAPE z IO SCALENO

Osserva i LATI

I lati obliqui sono congruenti

Osserva gli ANGOLI

Osserva le DIAGONALI

Gli angoli alla base sono congruenti

Le diagonali sono congruenti

Parallelogrammi

Un lato è perpendicolare alle basi

Ci sono due angoli retti

Le diagonali non sono congruenti

Osserva i LATI I lati opposti sono a due a due congruenti e paralleli

Osserva gli ANGOLI

Gli angoli opposti sono congruenti

Osserva le DIAGONALI Le diagonali si incontrano dividendosi a metà

I lati sono tutti diversi

Gli angoli sono tutti diversi

Le diagonali non sono congruenti

Rettangoli

Osserva i LATI I lati opposti sono a due a due congruenti e paralleli

Osserva gli ANGOLI Tutti gli angoli sono retti

Osserva le DIAGONALI Le diagonali sono congruenti e si incontrano dividendosi a metà

Quadrati e rombi

Osserva i LATI

QUA d RATI ROMBI

I lati sono a due a due paralleli e tutti congruenti

Osserva gli ANGOLI

Osserva le DIAGONALI

Tutti gli angoli sono retti

Gli angoli opposti sono congruenti

Le diagonali sono congruenti , perpendicolari tra loro, e si incontrano dividendosi a metà

Le diagonali sono perpendicolari tra loro, e si incontrano dividendosi a metà

Completa queste frasi.

z I quadrilateri che hanno almeno due lati paralleli si chiamano

z I quadrilateri che hanno tutti i lati congruenti e gli angoli opposti congruenti si chiamano

z I trapezi che hanno un lato perpendicolare alle due basi si chiamano trapezi

z Il rettangolo è un quadrilatero

z Il rettangolo con tutti i lati congruenti è

Leggi e descrivi la rappresentazione sintetica che trovi qui sotto.

QUADRILATERI CONCAVI

Il quadrato

è un quadrilatero equilatero ed equiangolo.

Il rettangolo

è un quadrilatero equiangolo.

Il rombo

è un quadrilatero equilatero.

non trapezi trapezi parallelogrammi

rettangoli quadrati rombi

QUADRILATERI CONVESSI

La classificazione così rappresentata permette di osservare che il quadrato ”accumula” in sé tutte le proprietà dei quadrilateri particolari, e fra essi è il quadrilatero regolare .

Esercizi

1. Completa questa tabella individuando le caratteristiche di ogni quadrilatero.

È un poligono regolare

Ha almeno due lati paralleli

Ha due diagonali congruenti

Ha i lati opposti paralleli

Somma degli angoli: 360°

Ha gli angoli opposti congruenti

Ha le diagonali perpendicolari

Ha quattro angoli retti

Ha quattro angoli congruenti

Ha quattro lati e quattro angoli

Ha i lati congruenti

Ha almeno un asse di simmetria

Ha quattro assi di simmetria

Ha due diagonali

2. d isegna sul cartoncino tre quadrilateri, di cui uno sia rettangolo. Ritaglia i loro angoli e verifica che la loro somma misura 360°. Incolla sul quaderno.

3. Avendo a disposizione quattro listelli congruenti tra loro, quali quadrilateri puoi costruire?

4. Avendo a disposizione due listelli congruenti e due diversi, quali trapezi puoi costruire?

5. Il quadrilatero ABC d qui sotto ricorda la forma di un aquilone: descrivine le caratteristiche.

6. Osserva questo quadrilatero e descrivine le caratteristiche. Misurando lati e angoli puoi aggiungere altri elementi.

7. d isegna sul foglio quadrettato del quaderno:

a. quattro rettangoli di cui due congruenti tra loro; b. un rettangolo con tutti i lati congruenti (quindi è un )

8. d isegna un rettangolo su un foglio colorato non quadrettato e descrivi come hai fatto. Quali strumenti hai utilizzato?

9. Traccia le diagonali nei quadrilateri della figura e rispondi.

z In quali quadrilateri le diagonali sono congruenti?

z In quali quadrilateri le diagonali sono perpendicolari?

z In quali quadrilateri le diagonali sono assi di simmetria?

10. d isegna un trapezio rettangolo in cui l’angolo sulla base maggiore che non è retto misura 60°. Quanto misura il quarto angolo?

11. In un rombo un angolo misura 125°. Calcola la misura dell’ampiezza degli altri angoli.

Altezze dei quadrilateri

I quadrilateri che hanno almeno due lati paralleli (trapezi, parallelogrammi, rettangoli, rombi e quadrati) possono essere inseriti in una striscia in modo che i vertici stiano sulle due rette parallele che la limitano.

Questi quadrilateri hanno tutti la stessa altezza , che corrisponde all’altezza della striscia.

Nel trapezio rettangolo, nel rettangolo e nel quadrato l’altezza corrisponde a un lato. Ripassalo in rosso nella figura.

Esercizi

1. In ciascun quadrilatero, nelle due strisce, segna in rosso l’altezza.

2. Aiutandoti con righello e squadra, traccia le altezze del parallelogrammo ABC d (una rispetto alla base A d, l’altra rispetto alla base AB). A B C D

3. In quali di questi quadrilateri si può tracciare l’altezza? Segnale in rosso.

Perimetro dei quadrilateri

In un quadrilatero qualsiasi, se a , b , c , d sono le misure dei quattro lati, e p il perimetro :

p = a + b + c + d

Nei quadrilateri particolari con alcuni lati congruenti, per calcolare la misura del perimetro possiamo utilizzare anche la moltiplicazione.

1. Il lato l di questo quadrato misura 2,3 cm.

Calcola il suo perimetro.

p =

p = l × 4

2. Calcola il perimetro di questo rettangolo sapendo che a = 5 cm, b = 3 cm.

p =

3. Il lato l di un rombo misura 12,5 dm.

Quanto misura il suo perimetro?

p = p = l × 4

4. I lati del parallelogrammo misurano: a = 7 m, b = 4 m.

5. Nel trapezio isoscele ABC d

AB = 4 cm, C d = 6 cm, A d = 3 cm.

BC =

Esercizi

1. Calcola la misura del perimetro del piano del tuo banco.

p =

2. Un vassoio rettangolare deve essere rifinito con un bordo di legno. Sapendo che le misure del rettangolo sono 42 cm e 25 cm, è sufficiente un listello lungo 2 m?

3. Un quadrato ha il lato di 5,5 dm.

Confronta il suo perimetro con quello di un altro quadrato che ha il lato doppio di quello dato. Cosa noti?

4. La mamma deve mettere il pizzo attorno a una tovaglia quadrata con il lato di 180 cm. Quanti metri di pizzo dovrà comprare?

5. Si deve recintare l’orto della scuola di forma rettangolare; le dimensioni del rettangolo misurano 9,4 m e 5 m.

Quanti metri di rete metallica sono necessari?

6. d isegna sul quaderno un quadrato e un triangolo equilatero che abbiano il perimetro di 21 cm.

Quanto misurano il lato del triangolo e quello del quadrato?

POLIGONI REGOLARI

Ricorda

I poligoni regolari hanno tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti tra loro.

Le diagonali di un poligono sono i segmenti che congiungono due vertici non consecutivi.

Classificazione

Rivediamo la denominazione dei poligoni in relazione al loro numero di lati e angoli.

d ENOMINA z IONE NUMERO LATI E ANGOLI POLIGONO NON REGOLARE POLIGONO REGOLARE

TRIANGOLO 3 lati e 3 angoli

QUA d RILATERO 4 lati e 4 angoli

PENTAGONO 5 lati e 5 angoli

ESAGONO 6 lati e 6 angoli

ETTAGONO 7 lati e 7 angoli

OTTAGONO 8 lati e 8 angoli

ENNAGONO 9 lati e 9 angoli

d ECAGONO 10 lati e 10 angoli

d O d ECAGONO 12 lati e 12 angoli

Castel del Monte, Puglia

Costruzione di un poligono regolare

Sfruttiamo la costruzione del triangolo equilatero col compasso che abbiamo visto classificando i triangoli (pag. 191) per disegnare, sempre con l’aiuto del compasso, l’ esagono regolare

Laboratorio

Costruire un esagono dato il lato

1. Tracciamo il segmento AB di misura assegnata.

2. Puntiamo il compasso prima in A e poi in B e, con apertura uguale alla misura del lato AB, tracciamo due archi di circonferenza che si incontrano nel punto O.

3. Con il compasso tracciamo la circonferenza di centro O e raggio OA; chiamiamo F e C i due punti di intersezione tra la circonferenza e gli archi tracciati prima.

4. Puntiamo il compasso in C con apertura CB, sulla circonferenza

segniamo il punto d.

Con uguale apertura puntiamo il compasso in d e individuiamo il punto E.

Abbiamo così sei punti che sono i vertici dell’esagono regolare.

5. L’esagono regolare è composto di sei triangoli equilateri tutti congruenti tra loro.

Vediamo altri poligoni regolari.

Apotema dei poligoni regolari

Tutti i poligoni regolari possono essere divisi in triangoli isosceli tra loro congruenti, tanti quanti sono i lati.

Il vertice comune è il centro del poligono. Anche le altezze di questi triangoli sono tutte congruenti tra loro. Ognuna di queste è chiamata apotema del poligono .

Ricorda

In tutti i poligoni regolari, che hanno lo stesso numero di lati, il rapporto tra la misura dell’apotema e la misura del lato è un valore fisso e si calcola dividendo tra loro le due misure.

misura apotema = valore fisso misura lato

Si può anche scrivere: misura apotema = valore fisso × misura del lato

Vediamo come esempio il calcolo del valore fisso per il quadrato.

Nella figura è tracciato l’apotema che è la metà del lato.

lato = 4 cm

apotema = 2 cm

2 4 = 0,5

Per tutti i quadrati la costante è 0,5.

Valori fissi

Nella tabella sono indicati alcuni dei rapporti fissi per altri poligoni regolari (presi con tre cifre decimali).

Esercizi

1. Traccia l’apotema (altezza) del triangolo ABC nei poligoni e osserva gli angoli.

POLIGONO

TRIANGOLO I SUOI ANGOLI MISURANO

È un triangolo:

2. Quanti gradi misura l’angolo al centro di ogni triangolo isoscele in cui può essere suddiviso il dodecagono regolare?

3. d isegna gli assi di simmetria di questi poligoni regolari. Inserisci il loro nome e il numero degli assi di simmetria.

Perimetro

Sappiamo riconoscere il perimetro dei poligoni:

è la linea spezzata chiusa che costituisce il contorno delle figure.

Ricorda

La misura del perimetro di un generico poligono è data dalla somma delle misure dei lati

Occorre porre attenzione alle unità di misura utilizzate, ricordando che il perimetro è la misura di una lunghezza, lo vediamo nell’esempio.

AB = C d = FG = GH = IJ = JA = 2

BC = 1

d E = 6

EF = 4

IH = 3

p = 2 × 6 + 1 + 6 + 4+ 3 = 26

unità di misura

In particolare, il perimetro p dei poligoni regolari si calcola moltiplicando la misura l di un lato per il numero n dei lati: p = l × n

Esercizi

1. Calcola la lunghezza del perimetro di questi poligoni rispetto all’unità indicata.

unità di misura

2. Calcola il perimetro dei seguenti poligoni regolari, aventi tutti lato di 25 cm.

z triangolo equilatero

z quadrato

z pentagono regolare

z esagono regolare

z ottagono regolare

3. Una fontana ha la forma di ottagono regolare, un lato misura 3,5 m. Quanto misura il perimetro della fontana?

p =

4. Luca ha utilizzato 9 m di rete per recintare una aiuola della scuola a forma di esagono regolare. Quanto è lungo il lato dell’aiuola?

5. Per la festa della scuola dobbiamo disegnare nel cortile la forma di un ottagono regolare per un gioco di squadra. Quanto nastro occorre se il lato dell’ottagono misura 5,5 m?

6. Con due nastri di uguale lunghezza di 42 m voglio predisporre sul pavimento una forma quadrata e un esagono regolare. Quanto sarà lungo il lato del quadrato? E quello dell’esagono?

7. Il lato dell’esagono regolare della figura misura 3,25 cm.

Qual è il perimetro del rombo AGEF?

p =

Figure isoperimetriche

d ue poligoni congruenti hanno lati congruenti e anche lo stesso perimetro.

Anche poligoni molto diversi tra loro, come nella figura, possono avere

il perimetro della stessa misura: li chiamiamo isoperimetrici .

Ricorda

Figure isoperimetriche hanno il perimetro della stessa misura.

Esercizi

1. Calcola il perimetro delle seguenti figure e indica quali di queste sono isoperimetriche.

unità di misura

2. Calcola il perimetro del poligono e disegnane almeno altri 3 isoperimetrici.

3. Il quadrato che vedi in figura ha il lato di 4 cm. d isegna un rettangolo con lo stesso perimetro del quadrato.

4. d isegna un ottagono non regolare che abbia lo stesso perimetro di questo quadrato.

5. Quali di queste figure sono isoperimetriche?

6. Un triangolo equilatero, un pentagono regolare, un esagono regolare e un dodecagono regolare hanno tutti uguale perimetro, di lunghezza 14,4 cm.

Calcola la misura del lato di ciascun poligono.

Che cosa osservi?

TRIANGOLO EQUILATERO :

PENTAGONO REGOLARE :

ESAGONO REGOLARE : d O d ECAGONO REGOLARE :

METTITI ALLA PROVA

1. I lati del campetto da calcio rettangolare di una scuola misurano 65 m e 40 m. Quanti chilometri percorrono i ragazzi durante l’allenamento se fanno 10 giri del campo?

2. Calcola il perimetro di queste figure sapendo che in ciascuna il lato del rombo grande è il triplo del lato del rombo piccolo che è lungo 3 cm. a. b.

3. Il Pentagono, sede del Ministero della d ifesa degli USA, ha la forma di un pentagono regolare, di lato 281 m circa. Qual è il suo perimetro?

4. Osserva i cinque rettangoli della figura: hanno qualcosa in comune?

d isegna tu altri due rettangoli con la stessa caratteristica.

5. Osserva e rispondi: quanto misura il perimetro di questa figura?

p =

Il Pentagono

SUPERFICIE E AREA DEI POLIGONI

d ue figure piane che hanno la stessa superficie, cioè sono equiestese , si dicono equivalenti . Le figure congruenti sono anche equiestese

Possiamo misurare l’estensione della superficie delle figure scegliendo un’unità di misura di riferimento: questa misura è l’ area . Per misurare le aree dei poligoni si usa come unità di misura il metro quadrato , cioè l’area di un quadrato avente il lato lungo un metro , e i suoi multipli e sottomultipli.

× 100 : 100

chilometro quadrato ettometro quadrato decametro quadrato metro quadrato decimetro quadrato centimetro quadrato millimetro quadrato

Laboratorio

Realizziamo un modello di metro quadrato su carta o compensato. Lavorando a gruppi, disegniamo sulla carta millimetrata 100 quadrati con il lato di 1 dm.

Incolliamo i quadrati su carta o compensato, disponendoli su 10 righe e 10 colonne.

Abbiamo così un quadrato con il lato di 10 dm (1 m) e l’area di 1 metro quadrato (100 dm²).

Esercizi

1. Calcola perimetro (con unità un quadretto lineare) e area (con unità un quadretto: 1 cm²) di questa figura.

p = Area =

2. Osserva i poligoni e determina la misura della loro area rispetto al centimetro quadrato.

Area = Area =

3. Osserva questo quadrato e scrivi la misura della sua area tenendo conto dell’unità di misura.

Area =

4. Su un foglio di carta centimetrata disegna tu figure che abbiano area: a. 48 cm² b. 50 cm² c. 21 cm²

Spesso dobbiamo calcolare aree non per confronto diretto delle figure, ma conoscendo le misure delle lunghezze dei lati.

Come operiamo?

Incominciamo dal rettangolo.

Area del rettangolo

Guardiamo questo rettangolo, di base lunga 7 cm e altezza lunga 4 cm. Possiamo quadrettarlo con lato 1cm e scomporlo in strisce: 4 strisce di 7 quadretti.

1 centimetro quadrato

7 centimetri quadrati

L’area di ogni striscia è 7 cm², va moltiplicata per il numero delle strisce che stanno nella misura dell’altezza, cioè 4: 7 cm² × 4 (volte) = 28 cm²

Estendendo il procedimento, se conosciamo le dimensioni lineari dei lati del rettangolo (misure della base e dell’ altezza ) in centimetri, per calcolare l’area moltiplichiamo il numero dei centimetri quadrati che stanno sulla base per il numero dei centimetri dell’altezza.

In generale, per qualunque unità di misura, indichiamo con b la misura della base , con h quella dell’ altezza , con A quella dell’ area

Allora abbiamo:

A rettangolo = b × h

Piazza San Marco, Venezia

Esercizi

1. d isegna sul quaderno un rettangolo che abbia le dimensioni di 7 cm e 5 cm.

Colora la sua superficie ripassando ogni centimetro quadrato.

Qual è la misura dell’area?

A =

2. Calcola la misura dell’area di questa cornice colorata.

A =

3. Per l’open day della scuola dobbiamo verniciare un pannello rettangolare, serve la misura dell’area. La base del pannello misura 6 m, l’altezza misura 4 m. Quanto misura l’area?

4. Il tatami (tappeto per Judo) della scuola è rettangolare ed è formato da quadrotti di 1 m², disposti su 8 colonne e 7 righe. Quanto misura la sua area?

Ora gli stessi quadrotti voglio disporli su 4 righe: quante colonne avrò?

5. d isegna due rettangoli non congruenti che abbiano la stessa area.

6. d isegna sulla carta centimetrata un rettangolo la cui area misura 32 cm² e un lato misura 8 cm. Come hai fatto?

Se di un rettangolo conosciamo le misure dell’area e di una dimensione, come possiamo conoscere l’altra dimensione?

Per esempio: A = 99 cm² b = 11 cm

Usiamo: A = b × h 99 = 11 ×

Quale operazione permette di trovare il numero cercato? = 99 : 11 quindi, l’altra dimensione h del rettangolo misura 9 cm.

Possiamo quindi scrivere b = : h ma anche h = :

7. d obbiamo ritagliare un cartoncino rettangolare esteso 80 cm² e lungo 40 cm. Quanto sarà largo?

8. d a una striscia rettangolare lunga 1 m e alta 15 cm devo ritagliare dei rettangoli della stessa altezza della striscia. L’area di ognuno di essi misura 75 cm². Quanti rettangoli posso tagliare?

Area del quadrato

Posso calcolare anche la misura della superficie del quadrato conoscendo la misura del lato: tengo conto di due dimensioni.

Per esempio, per il quadrato in figura, l’unità di misura estesa va moltiplicata per tante volte quante sta nella lunghezza della base: 1 cm² × 7 = 7 cm² . Questa è l’area di una striscia.

1 centimetro quadrato

L’area della striscia va moltiplicata per tante volte quanto sta nella misura dell’altezza:

7 cm² × 7 volte = 49 cm²

Nel quadrato base e altezza sono congruenti, quindi, se indichiamo con l la misura del lato, ricaviamo:

A quadrato = l × l

Esercizi

1. Calcola l’area di una piazza quadrata il cui lato misura 35 m.

2. La nonna per una coperta ha cucito insieme 54 quadrotti di lana disposti su 9 righe e 6 colonne. Il quadrotto ha il lato di 15 cm.

Quanto misura l’area della coperta?

3. d isegna un quadrato di lato 3 cm e un altro di lato doppio.

Come è la misura dell’area del secondo quadrato rispetto al primo?

Come è la misura del perimetro del secondo quadrato?

4. Osserva questa figura.

A B d C

AB = 25 dm BC = 10 dm

Il lato del quadrato centrale misura 6 dm.

Calcola la misura dell’area della parte blu.

5. Osserva le figure: il rettangolo e il quadrato sono congruenti alle figure del problema 4. Quanto misura l’area delle parti blu di ogni figura? Perché?

6. Quanti quadrati con l’area di 25 cm² puoi ritagliare da un rettangolo che ha le dimensioni di 15 cm e 10 cm? Spiega come hai fatto. (Puoi anche utilizzare la carta centimetrata).

7. Osserva attentamente questo quadrato. La sua area misura 64 cm². d alla figura puoi ricavare la misura del lato.

l =

Per trovare la misura del lato di un quadrato conoscendo l’area, puoi cercare quel numero che moltiplicato per se stesso dà come risultato il valore dell’area. Ti ricordi i numeri quadrati?

64 = ×

100 = × 16 = × 36 = ×

8. Quanto misura l’area del quadrato interno se l’area del quadrato rosso misura 400 dm²?

Area del parallelogrammo

1. Vogliamo calcolare l’area del parallelogrammo ABC d, di cui abbiamo segnato due altezze.

2. Tracciandole, osserviamo che si formano due triangoli congruenti, che abbiamo evidenziato colorandoli.

d unque calcoliamo l’area del parallelogrammo calcolando quella del rettangolo. In generale useremo:

A parallelogrammo = b × h

Esercizi

3. Spostiamone uno sovrapponendolo all’altro.

La figura ottenuta è un rettangolo equivalente al parallelogrammo.

Ha la stessa altezza e la base A'B' congruente alla base A'B' del parallelogrammo.

1. Calcola l’area di un parallelogrammo che ha la base lunga 14 dam e l’altezza doppia della base.

2. d evo ritagliare una forma composta da 4 parallelogrammi congruenti.

L’altezza di un parallelogrammo misura 7,5 cm, la sua base 10 cm. Qual è l’area della figura?

3. Che lunghezza ti basta misurare per essere sicuro di quale parallelogrammo nella figura abbia la superficie maggiore? Perché?

Spiega con le tue parole.

Area del triangolo

Con le trasformazioni, per ogni triangolo possiamo costruire o un rettangolo o un parallelogrammo, che hanno la sua stessa base e la sua stessa altezza e che sono doppi del triangolo.

Ricorda

L’area di un triangolo è equivalente alla metà dell’area del rettangolo o del parallelogrammo, che hanno la sua stessa base e la sua stessa altezza

A triangolo = ( b × h ) : 2

Nel caso di un triangolo isoscele il rettangolo doppio si può ottenere anche così:

Esercizi

1. d isegna un rettangolo le cui dimensioni misurano 12 cm e 7 cm.

Traccia una delle diagonali. Quanto misura l’area di uno dei triangoli ottenuti?

2. Un triangolo rettangolo è la metà di un quadrato che ha il lato di 25 cm.

Calcola l’area del quadrato e del triangolo.

3. Osserva questa figura e calcola.

È un triangolo

Base = cm

Altezza = cm

Lato obliquo = cm

Perimetro: cm Area:

4. Osserva questa figura.

La base del rettangolo misura

27 cm, la sua altezza misura 9 cm.

Calcola la misura dell’area della parte colorata in azzurro. Aggiungi le tue osservazioni.

Area del trapezio

Ruotiamo il trapezio ABC d, accostiamo il trapezio ruotato facendo coincidere i due lati come in figura. Otteniamo il parallelogrammo AEF d la cui area è doppia dell’area del trapezio.

Seguiamo lo stesso procedimento con il trapezio rettangolo GHIL, otteniamo il rettangolo GMNL di area doppia.

Le basi del parallelogrammo e del rettangolo sono date dalla somma delle basi dei trapezi (che indichiamo come base maggiore B e base minore b ).

Le altezze h sono le stesse.

Per avere l’area allora facciamo:

trapezio = ( B + b ) × h : 2

Lavorando con i compagni e l’insegnante provate a mostrare che la formula vale anche per il trapezio scaleno.

Esercizi

1. Ricava le misure dal disegno sapendo che il quadretto ha lato di 1 cm (carta centimetrata). Utilizzando le formule che hai imparato, trova l’area della parte bianca del foglio.

2. Calcola l’area di questo trapezio.

AB = 9,8 dm

C d = 7,2 dm

A d = 6 dm A = cm²

3. Completa questa tabella sui trapezi.

Trapezio isoscele

scaleno

rettangolo

Trapezio isoscele

Area del rombo

Per calcolare l’area del rombo, possiamo costruire il rettangolo che ha area doppia, come si vede nella figura. Le diagonali ( D e d ) del rombo sono congruenti con la base e l’altezza del rettangolo.

D d

diagonale maggiore = D

diagonale minore = d

L’area del rombo è la metà dell’area del rettangolo. Se conosciamo le misure delle diagonali, otteniamo:

rombo = ( D × d ) : 2

Esercizi

1. d isegna tu sulla carta centimetrata un rombo le cui diagonali misurano rispettivamente 10 cm e 5 cm. Scrivi la formula dell’area del rombo e calcola.

2. d isegna un rettangolo, trova i punti medi dei suoi lati: essi sono i vertici di un rombo, disegnalo. La base e l’altezza del rettangolo misurano 4,5 m e 3,2 m. Calcola l’area del rombo.

A = cm²

3. Una piazza quadrata deve essere seminata a erba, tranne la parte centrale a forma di rombo. Il perimetro della piazza misura 168 m. Le diagonali del rombo misurano 22 m e 25 m. Qual è l’area della parte da seminare?

A = cm²

Area dei poligoni

Per trovare l’area di figure poligonali generiche, possiamo scomporle e fare la somma delle aree delle figure note che le compongono.

Ad esempio, prova tu sulle forme sotto disegnate.

Trova l’area di queste figure poligonali; l’unità di misura è il quadretto con il lato di 1 cm.

Area dei poligoni regolari

Abbiamo osservato che i poligoni regolari possono essere divisi in triangoli isosceli congruenti, tanti quanti sono i lati.

Per poter trovare l’area dei poligoni regolari come somma delle aree dei triangoli che lo compongono, ci interessa la loro altezza, tracciata in rosso nella figura. Come abbiamo visto, questo segmento si chiama apotema del poligono, lo indicheremo con ap

Ricorda

Per ogni poligono regolare di un certo numero di lati esiste un valore fisso che dà il rapporto tra l’apotema e il lato. Perciò abbiamo: apotema = valore fisso × misura del lato

Valori fissi

3 Triangolo equilatero 0,289

4 Quadrato 0,5

5 Pentagono 0,688

6 Esagono 0,866

8 Ottagono 1,207

Vediamo come calcolare l’area dell’esagono regolare conoscendo la misura del lato. Possiamo scomporre il poligono in triangoli, che in questo caso sono triangoli equilateri. Li disponiamo come nella figura seguente.

Vediamo la stessa figura all’interno di un parallelogrammo in cui: z la base b è la somma dei lati dei triangoli, cioè il perimetro p dell’esagono z l’altezza h del parallelogrammo è l’altezza di ogni triangolo, cioè l’ apotema ap dell’esagono. h

b = p dell’esagono

Allora l’area dell’esagono è metà dell’area del parallelogrammo: l’area del parallelogrammo è data da b × h = p × ap così, se dividiamo per 2, abbiamo l’area dell’esagono regolare.

Per esempio, per calcolare l’area di una piastrella esagonale regolare di lato 3 cm, dobbiamo: z calcolare l’apotema usando il rapporto fisso ap = 0,688 × 3 cm z calcolare il perimetro p = 6 × 3 cm 18 cm allora l’area è: A = ( × ) : 2 cm²

Possiamo fare la stessa costruzione per tutti i poligoni regolari, anche se i triangoli saranno diversi. d obbiamo ricordare il valore fisso per calcolare l’apotema di ciascun poligono e otteniamo:

poligono regolare = ( p × ap ) : 2

Esercizi

1. Un esagono regolare ha il lato che misura 10 cm. Calcola la sua area. ap

2. Trova l’area di una cornice esagonale. I lati degli esagoni misurano rispettivamente 30 cm e 20 cm.

3. Calcola l’area dei poligoni regolari nella figura accanto, aventi tutti lato di 5 cm.

METTITI

ALLA PROVA

1. Il rettangolo arancione che contorna la lettera G è un rettangolo che misura 10 cm e 12 cm. Calcola l’area della lettera in cm². Puoi scomporla in poligoni.

2. Osserva questa figura.

Calcola l’area della parte colorata sapendo che il lato del quadrato blu misura 6 cm, e che i triangoli arancioni sono isosceli aventi base e altezza congruenti. Sapresti calcolare l’area del quadrato grande?

3. L’astuccio di un particolare strumento musicale armeno è una scatola a forma di trapezio rettangolo. Le basi misurano 70 cm e 30 cm, l’altezza è di 32 cm.

Calcola la superficie della faccia che vedi nella foto qui accanto.

5. Una “stella” ottagonale come quella in figura è formata da otto rombi congruenti. Le misure delle diagonali di ciascun rombo sono: D = 7,25 cm d = 3 cm.

Calcola l’area della “stella” e dell’ottagono regolare tratteggiato.

4. Il lato di questo pentagono regolare misura 32 cm. Calcola la sua area.

Monte Palanzone

CIRCONFERENZA E CERCHIO

Abbiamo esaminato i poligoni, le loro caratteristiche e le loro misure, ma ci troviamo continuamente a considerare linee curve e figure a contorno curvilineo, come nelle immagini seguenti.

Percorso su pista da sci

Tra queste figure la più comune, considerata da sempre la più bella e “perfetta”, è la circonferenza , che delimita una regione chiamata cerchio .

Ricorda

Tutti i punti della circonferenza

hanno la stessa distanza dal punto chiamato centro

Ogni segmento che unisce il centro con un punto della circonferenza è chiamato raggio

Ponte di Calatrava, Reggio Emilia

Cupola di vetro di Galleria Vittorio Emanuele, Milano

raggio centro cerchio

Il compasso è lo strumento che consente di disegnare circonferenze in modo preciso:

z si assegna un punto che è il centro , un segmento che è il raggio

z si apre il compasso con apertura congruente al raggio

z si fissa la punta del compasso nel centro, con l’apertura data, e ruotandolo di 360° si traccia la circonferenza.

L’apertura del compasso, che rimane rigidamente la stessa, corrisponde alla lunghezza del raggio.

d ue circonferenze sono tra loro congruenti se i loro raggi hanno la stessa lunghezza.

Ricorda

Ogni segmento che unisce due punti di una circonferenza si chiama corda

diametro corda

Se una corda passa per il centro della circonferenza, si chiama diametro

Gli estremi di un diametro dividono una circonferenza in due parti congruenti, chiamate semicirconferenze , e il cerchio in due semicerchi congruenti tra loro.

Se due circonferenze hanno lo stesso centro, sono dette concentriche

La superficie dell’”anello” compreso tra le due circonferenze si chiama corona circolare .

raggio

diametro semicerchio semicirconferenza semicirconferenza

Esercizi

1. Sul quaderno o su carta quadrettata fissa un punto C come centro e traccia con il compasso una circonferenza con centro in C di raggio 4 quadretti (lineari). Fissa un punto A (esterno alla circonferenza) come centro e traccia una circonferenza di raggio 5 quadretti (lineari). Misura e confronta il diametro di ciascuna circonferenza con il raggio.

Osserva e rispondi: che relazione c’è tra il raggio di una circonferenza e il suo diametro?

Indica con d la lunghezza del diametro, con r la lunghezza del raggio, e completa la formula: d = ×

2. Una circonferenza ha diametro d che misura 25 cm.

Qual è la misura del suo raggio r ?

Completa la relazione: r = :

3. Nella figura, nomina il centro.

Poi traccia a tuo piacere:

z quattro raggi z tre diametri z sei corde non diametri.

Scegli uno dei diametri tracciati e colora con un diverso colore le due semicirconferenze che individua.

4. Traccia sulla quadrettatura del quaderno tre circonferenze concentriche: scegli tu il raggio della prima, poi traccia quella che ha come raggio il diametro della prima, poi quella che ha come raggio il diametro della seconda.

Che relazione c’è tra i raggi delle tre circonferenze?

Lunghezza della circonferenza

Come possiamo misurare la lunghezza di una circonferenza, che è una linea curva, conoscendo la misura del raggio, che è un segmento? Sappiamo misurare solo i segmenti!

Questo problema si è presentato agli uomini fin dai tempi antichi. Intuitivamente, per misurare linee curve, quindi anche la circonferenza, pensiamo di provare a “raddrizzarle”, come faremmo con una corda (non elastica) aggrovigliata, “distendendola” su una linea retta.

Laboratorio

d ivisi in gruppi, ogni gruppo sceglie un oggetto cilindrico o a base circolare (ad esempio il cestino della carta). Con una corda sottile ma robusta, misurate il diametro della base del cilindro: fate un segno con un pennarello sulla corda, in corrispondenza della misura trovata.

Ora circondate con la corda il contorno della base del cilindro: fate un segno sulla corda, in corrispondenza della lunghezza del contorno (circonferenza).

d istendete la corda e guardate quante volte sta la lunghezza del tratto corrispondente al diametro in quella del tratto corrispondente alla circonferenza. Scrivete le vostre osservazioni e confrontatele tra i diversi gruppi. Che cosa potete dire?

Vi sarete accorti che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro è costante . Qualunque sia l’unità di misura di lunghezza usata, la circonferenza è lunga un poco di più di tre volte il suo diametro.

Quanto è grande quella parte che chiamiamo “un poco di più”?

Questa domanda costituisce uno dei problemi più interessanti della storia della matematica.

Lo scienziato greco Archimede e altri matematici che sono venuti dopo hanno stabilito che questo rapporto costante è un numero decimale illimitato non periodico . Gli è stato attribuito un simbolo, la lettera greca π (che corrisponde alla nostra “p”), e vale:

= 3,14…

I puntini indicano che la parte decimale di questo numero presenta, dopo le prime due cifre 14, altre infinite cifre: se cerchiamo di calcolarle tutte… non finiremo mai!

Nella pratica, siamo così costretti a usare non tutto il numero π, ma solo un pezzettino della sua parte decimale, scegliendo noi se ci fermiamo alla prima o alla seconda cifra o anche molto più avanti.

In matematica questa scelta si chiama approssimazione : sappiamo di commettere un errore e cerchiamo di valutare che sia molto piccolo!

Per i calcoli useremo solo le prime due cifre decimali; perciò sfrutteremo la relazione tra circonferenza e diametro nella forma: lunghezza della circonferenza = lunghezza del diametro × 3,14

Usiamo simboli: l lunghezza della circonferenza d lunghezza del diametro e scriviamo in una formula:

l = d × 3,14

Esercizi

1. Nel mezzo dei campi di basket è tracciata una circonferenza detta “cerchio di metà campo”, di diametro 3,60 m. Qual è la sua lunghezza?

2. La circonferenza di un’aiuola di forma circolare ha lunghezza l = 15 m. Qual è la misura d del suo diametro?

Per rispondere a questa domanda stai usando la relazione inversa di quella precedente.

Completa tu:

d = : 3,14

3. Un segnale stradale di divieto ha forma rotonda, il suo raggio r misura 45 cm. Qual è la lunghezza della sua circonferenza?

Completa la relazione per ottenere la lunghezza l della circonferenza conoscendo quella del suo raggio r :

l = × × 3,14

che può anche esprimersi come:

l = × 6,28

4. Colora in rosso la parte di circonferenza la cui lunghezza è espressa dalla relazione e completa la formula.

r = r × 3,14

5. d ue amici si allenano per la maratona. Uno corre su una pista circolare di diametro 30 m, e fa 6 giri completi, nello stesso tempo in cui il suo amico corre su un’altra pista circolare di diametro 24 m, facendo 8 giri.

Chi ha corso sul percorso più lungo?

Area del cerchio

Per far giocare i bambini, si vuole mettere nel giardino della scuola una nuova giostra girevole a 6 posti. La piattaforma circolare della struttura ha diametro che misura 180 cm. Quanto è estesa la superficie della piattaforma?

d obbiamo calcolare l’area di un cerchio, che è una figura curva.

Abbiamo imparato a calcolare l’area di alcuni poligoni, confrontandoli con l’area di quadrati che fanno da unità di misura.

Ma confrontare l’area di un poligono con quella di una figura curva è diverso! Ed ecco che quel numero che abbiamo indicato con π emerge anche nella misura dell’area del cerchio, di cui conosciamo la misura del raggio r

Sappiamo calcolare l’area di un quadrato che ha lato il raggio r , e proviamo a vedere quante volte quel quadrato è contenuto nel cerchio di raggio r

Possiamo avvicinarci a una valutazione considerando l’area del quadrato che “circonda” il cerchio, che è formato da 4 quadrati di lato uguale al raggio r : area quadrato = 4 × ( r × r ).

Possiamo concludere che l’area del cerchio sarà minore di 4 volte il quadrato del raggio; ma non sappiamo dire di quanto è minore! Quello che hanno scoperto già i Greci, usando procedimenti che qui non mostriamo, ci può davvero stupire:

Il rapporto tra l’area A del cerchio di raggio r e l’area del quadrato Q di lato r è costante, e vale proprio π perciò: area del cerchio = area del quadrato × 3,14… L’area del quadrato Q è data da: r × r , da cui ricaviamo: r

A cerchio = r × r × 3,14

Calcoliamo allora l’area della superficie della piattaforma della giostra. d eterminiamo il raggio: r = (180 : 2) cm = 90 cm

A = 90 × 90 × 3,14 cm² = 25 434 cm² r Q

Esercizi

1. Completa la tabella.

RAGGIO d IAMETRO

4 quadretti lineari

5 quadretti lineari 1 cm 2,5 cm

LUNGHE zz A CIRCONFEREN z A

LUNGHE zz A SEMICIRCONFEREN z A

2. La mamma acquista tre teglie di alluminio rotonde, di diametri rispettivi 20 cm, 22 cm, 24 cm. Calcola l’estensione delle loro superfici.

3. La piattaforma di una giostra del luna park ha diametro di 7 m. Calcola la sua superficie.

4. Il nonno di Luca vuole mettere in giardino una bella fontana di forma circolare, ma deve calcolare se lo spiazzo disponibile è sufficiente per il modello che ha scelto.

Aiutalo a calcolare l’area che la fontana occuperà, sapendo che la vasca rotonda ha raggio 1,20 m e che il raggio della piattaforma su cui poggia la vasca è di 30 cm più lungo.

METTITI ALLA PROVA

1. Un percorso di sci di fondo prevede di passare su un anello circolare di lunghezza 5 km e poi di tornare su un anello concentrico di lunghezza 4,6 km.

Qual è la differenza tra le lunghezze r 1 e r 2 dei raggi dei due anelli?

2. Al centro di una rotonda stradale circolare di raggio 4 m si vuole fare una aiuola circolare di raggio minore di 1,5 m. Quanto misura la superficie dell’aiuola?

3. Anna e Carla si allenano alla corsa sulla stessa distanza. Anna corre su un tracciato circolare di raggio r = 4,5 m, Carla fa la stessa distanza su un percorso di forma quadrata. Qual è la misura del lato di quel quadrato?

4. Una pista per gare sportive ha la forma in figura: il rettangolo ha i lati uno triplo dell’altro, i due lati corti sono i diametri di due semicirconferenze. Qual è la lunghezza del percorso di un giro completo? r ? 12 m

5. La circonferenza esterna del famoso battistero di Pisa misura 107,24 m. Qual è il raggio della base dell’edificio?

Battistero di San Giovanni, Pisa

I SOLIDI

Lo spazio in cui viviamo è occupato da corpi tridimensionali ( altezza , larghezza e profondità ) delle più svariate forme e dimensioni: l’architettura, i manufatti umani e la natura stessa ce ne danno bellissimi esempi.

La geometria osserva, descrive e studia i corpi

solidi che occupano uno spazio limitato da una superficie . Come abbiamo fatto per le figure piane, cominciamo dalle forme fondamentali e dalle loro componenti fondamentali: punti ( vertici ), linee ( spigoli ), superfici ( facce ) e spazio ( volume ).

Una prima distinzione va fatta tra i solidi limitati da superfici piane , detti poliedri , e quelli limitati da superfici curve , detti corpi rotondi .

Tra questi vedremo in particolare i più semplici

solidi di rotazione

I poliedri

Chiamiamo poliedro un solido la cui superficie è formata da poligoni piani.

Anche i poliedri possono essere convessi o concavi.

Campanile di San Claudio in Chienti (MC)

Ogni poliedro è caratterizzato da: z le facce , i poligoni che lo delimitano; z gli spigoli , i segmenti comuni a due facce; z i vertici , i punti d’incontro degli spigoli.

Analizzeremo solo due tipi di poliedri: prismi e piramidi

Prismi retti

I prismi presentano: z due facce, che possono essere poligoni di qualunque tipo, congruenti e parallele tra loro.

Sono chiamate basi del prisma. L’ altezza del prisma è la distanza tra le due basi; z facce rettangolari, perpendicolari alle basi (prismi retti ), dette facce laterali , tante quante i lati delle basi.

Avremo quindi prismi triangolari, pentagonali, esagonali…

basi

altezza faccia laterale

Prisma pentagonale

Se il poligono di base è un poligono regolare, il prisma è chiamato prisma regolare

Una categoria particolare di prismi è quella dei prismi a base rettangolare : sono chiamati parallelepipedi .

Il parallelelpipedo che ha sia le basi sia le facce laterali quadrate, ha quindi sei facce quadrate congruenti tra loro ed è il cubo

È il primo poliedro regolare che vediamo, e ha tutte le facce e tutti gli spigoli congruenti tra loro.

parallelepipedo cubo

Esercizi

1. Vai alla ricerca intorno a te di forme di prisma: scatole, giochi, costruzioni, oggetti. Andando per strada riconosci forme di prisma e, se possibile, fotografale.

2. Cerca in particolare intorno a te oggetti a forma di cubo. Aiutandoti con uno di essi, completa la frase:

Un cubo ha vertici e spigoli.

3. Quanti cubi tutti uguali ti servono per formare un cubo che abbia lo spigolo lungo il doppio di quelli che hai?

4. Quante sono le facce rettangolari di un prisma a base triangolare?

5. Quante sono le facce rettangolari di un prisma a base esagonale?

6. Nella piazza di Parma c’è una costruzione a forma di prisma ottagonale.

d i che forma sono le facce?

Piazza Duomo, Parma

Riconoscile poi, aiutandoti con questo disegno, conta: numero di facce

numero di spigoli

numero di vertici

Piramidi rette

Museo del Louvre, Parigi piramide quadrangolare piramide esagonale altezza base base

Le piramidi hanno, invece, una sola faccia poligonale detta base , e tante facce laterali triangolari quanti sono i lati della base.

Esse si uniscono tutte in un unico punto detto vertice della piramide. La distanza tra il vertice e la base è l’ altezza della piramide.

Esercizi

1. Vai alla ricerca intorno a te di forme di piramidi: scatole, giochi, costruzioni, oggetti. Andando per strada riconosci forme di piramidi e, se possibile, fotografale.

2. Che caratteristica hanno le facce laterali di una piramide?

3. Se la base della piramide è un poligono regolare, come sono tra loro le facce laterali?

4. In quale caso le facce di una piramide possono essere tutte congruenti tra loro?

Abbiamo individuato un altro poliedro regolare , si chiama tetraedro . Conta quante facce, vertici e spigoli ha.

5. Conta quante facce, spigoli, vertici ha questo poliedro.

numero di facce

numero di spigoli

numero di vertici

6. Guarda i poliedri tutti insieme e rispondi.

cubo prisma pentagonale parallelepipedo piramide quadrangolare piramide esagonale

z Quali poliedri hanno le facce a due a due parallele e congruenti?

z Quali poliedri hanno almeno una coppia di facce parallele e congruenti?

z Quali poliedri non hanno facce parallele?

I solidi di rotazione

I corpi rotondi, come un uovo o un pallone da rugby, sono molto più complessi da descrivere.

Parleremo solo di alcuni solidi di cui conosciamo la formazione: i solidi di rotazione

Essi si generano facendo ruotare di 360° una forma geometrica piana intorno a una retta verticale ( asse di rotazione ). I tre principali solidi di rotazione sono:

z il cilindro

Si ottiene facendo ruotare di 360° un rettangolo intorno a un suo lato.

È caratterizzato da due basi circolari parallele tra loro e congruenti, e da una superficie laterale curva.

L’ altezza del cilindro è la distanza tra le due basi.

z il cono

Si ottiene facendo ruotare di 360° un triangolo rettangolo intorno a un suo cateto.

Ha una base circolare e una superficie laterale curva a punta ( vertice ).

asse

basi altezza

base vertice asse

z la sfera

È stata da sempre considerata simbolo di perfezione. È formata da tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza ( raggio ) da un punto, che è il centro

Si genera facendo ruotare di 360° un semicerchio intorno al suo diametro.

Esercizi

1. Vai alla ricerca intorno a te di forme di solidi di rotazione: scatole, contenitori, giochi, costruzioni, oggetti. Andando per strada riconosci le forme e, se possibile, fotografale.

asse raggio centro

2. Prova a definire l’ altezza di un cilindro completando la frase: L’altezza di un cilindro è tra le due basi.

Cappella di Lerschach, Dobbiaco

La superficie dei solidi

Nei solidi possiamo operare tre tipi di misure: z le lunghezze di spigoli, altezze, contorni z le aree delle superfici z il volume dello spazio occupato.

Per i poliedri, per il cono e per il cilindro, possiamo immaginare di “aprire” la superficie di un solido e di distenderla su un piano, vedendo così la forma di tutti gli elementi che la compongono e la forma complessiva.

d iciamo che abbiamo operato lo sviluppo della superficie .

Laboratorio

Procuratevi alcune scatole di cartone delle diverse forme (prismi, parallelepipedi, piramidi, coni, cilindri), apritele con le forbici (i poliedri lungo gli spigoli, cilindri e coni…) e osservate le figure piane che ottenete, per classificarle poi sul quaderno.

Esercizi

1. Osserva le figure e collega ogni solido al suo sviluppo.

2. Osserva le seguenti figure, tutte formate da sei quadrati, e rispondi sul quaderno. Rappresentano tutte lo sviluppo del cubo? Perché?

Colora quelle che rappresentano uno sviluppo.

3. d isegna tu altre figure formate con 6 quadrati congruenti che siano possibili sviluppi di un cubo.

Per calcolare l’area della superficie dei solidi usiamo il loro sviluppo.

Cubo

Lo sviluppo di un cubo

è formato da 6 quadrati congruenti che hanno per lato lo spigolo del cubo. d i questi:

z 4 formano la superficie laterale

z sommando le due basi, otteniamo che la superficie totale del cubo è 6 volte la superficie di una sua faccia.

Centre Pompidou, Malaga F

B C D E G H

Ricorda

Se indichiamo con l la lunghezza dello spigolo del cubo e con A l’area:

A superficie laterale = ( l × l ) × 4

A superficie totale = ( l × l ) × 6

Esercizi

1. Calcola sul quaderno la superficie totale di un cubo avente lo spigolo di lunghezza l = 5 cm. L’area A di una faccia sarà:

A = cm², quindi l’ A superficie totale sarà cm²

2. Questo “podio” è formato da 4 cubi aventi lo spigolo di lunghezza 1 m. Qual è l’area della sua superficie scoperta, compreso il fondo appoggiato al terreno?

A = cm²

Parallelepipedo

Le basi del parallelepipedo sono due rettangoli congruenti.

Nello sviluppo si vede che la superficie laterale di un parallelepipedo equivale a un solo rettangolo, che ha per base il perimetro delle basi e per altezza l’ altezza del parallelepipedo.

Allora l’area della superficie totale del parallelepipedo è la somma dell’area della superficie laterale e di quella delle due basi.

Ricorda

A superficie laterale = perimetro della base × altezza

A superficie totale = A superficie laterale + ( A di base × 2)

Prisma regolare

Lo sviluppo in figura mostra che: z la superficie laterale del prisma equivale a un rettangolo che ha per base il perimetro di base e per altezza l’altezza del prisma z la superficie totale del prisma è la somma della superficie laterale e della superficie delle due basi.

Ricorda

A superficie laterale = perimetro della base × altezza

A superficie totale = A superficie laterale + ( A di base × 2)

Cilindro

d allo sviluppo vediamo che:

z la superficie laterale del cilindro equivale a un rettangolo che ha per base la circonferenza di base e per altezza l’altezza del cilindro

z la superficie totale del cilindro è la somma della superficie laterale e della superficie delle due basi.

Ricorda

A superficie laterale = circonferenza di base × altezza

A superficie totale = A superficie laterale + ( A di base × 2)

Esercizi

1. d isegna sul quaderno lo sviluppo di un parallelepipedo a base quadrata, sapendo che l’altezza misura 4 cm e un lato del quadrato di base misura 2 cm. Poi calcola l’area della superficie totale.

2. Calcola la misura dell’area delle superfici laterale e totale di un cubo con lo spigolo di 0,45 cm.

3. Osserva il parallelepipedo nella figura e leggi le misure indicate, poi calcola l’area laterale e l’area totale.

A superficie laterale =

A superficie totale = perimetro di base = 10 m altezza = 4 m

4. Un cubo di spigolo lungo 5 cm ha la stessa superficie laterale di un prisma retto a base quadrata di altezza 8 cm. Qual è il lato di base del prisma?

5. Alisha ha raccolto 4 barattoli cilindrici del caffè e vuole ricoprirli con del velluto adesivo per farne portamatite da regalare alle amiche. Calcola quanto velluto le serve se ogni barattolo ha altezza 12 cm e diametro di base di 10 cm.

Volume del cubo e del parallelepipedo

Ci serve misurare l’estensione dello spazio occupato da alcuni solidi, cioè il loro volume .

Solidi che sono formati da parti congruenti hanno uguale volume : li chiamiamo equivalenti

Esercizi

1. Costruisci con i 4 cubetti altri tre solidi equivalenti a quelli della figura sopra.

2. Quale dei solidi nella figura sotto occupa più spazio?

Ci sono nella figura solidi equivalenti tra loro?

Unità di misura del volume

Sappiamo che per misurare una grandezza occorre una unità di misura dello stesso tipo; servirà un solido che faccia da “campione”. Abbiamo già adottato: z il metro e i suoi multipli e sottomultipli per le lunghezze z il metro quadrato e i suoi multipli e sottomultipli per le aree ci viene spontaneo scegliere come unità di volume il metro cubo , cioè il volume di un cubo avente lo spigolo di lunghezza 1 m, le facce di area 1 m² . Lo indichiamo con m³

Per ottenere i multipli e sottomultipli del m³ , moltiplico o divido per 1 000 passando da una unità di misura all’altra: il decimetro cubo ( dm³ ) che è la millesima parte del m³ 1 m³ = 1 000 dm³ il centimetro cubo ( cm³ ) che è la millesima parte del dm³ 1 dm³ = 1 000 cm³

Per renderci conto visivamente di una delle relazioni tra le unita di misura di volume, partiamo dal centimetro cubo (cm³), un cubetto avente lato 1 cm. Con 10 cm³ formiamo una “colonna” di base 1 cm² e altezza 10 cm.

Accostando 10 “colonne” otteniamo uno “strato” di 100 cm³ avente una faccia di area 1 dm² e lo spessore di 1 cm.

Impilando 10 “strati” da 100 cm³, formiamo 1 dm³, cioè un cubo di spigolo 10 cm = 1 dm, composto da 10 × 100 cm³ = 1 000 cm³.

100 cm³ × 10 = 1 000 cm³ 1 dm³ = cm³

Trasportando nello spazio quanto fatto per il calcolo dell’area del quadrato, per calcolare il volume V di un cubo, se conosciamo la lunghezza l dello spigolo (in una data unità di misura), calcoliamo l’area A di una faccia e la moltiplichiamo per la lunghezza l dello spigolo.

Ricorda

A = l × l V cubo = l × l × l

Per esempio, la torre in figura è composta di tre cubi sovrapposti. Il più grande ha spigolo di lunghezza 12 cm, il secondo ha spigolo la metà del primo, il terzo ha spigolo un terzo del primo. Calcoliamo il volume della torre.

Gli spigoli dei due cubi superiori saranno lunghi 6 cm e 4 cm, perciò:

V = (12 × 12 × 12) cm³ + (6 × 6 × 6) cm³ + (4 × 4 × 4) cm³ = = 1 728 cm³ + 216 cm³ + 64 cm³ = 2 008 cm³ l = 12 cm

In modo analogo possiamo ricavare il volume di un parallelepipedo rettangolo i cui spigoli hanno

lunghezze a , b , c

L’area di una delle due basi è:

A = a × b

Moltiplicando l’area della base per l’altezza c del parallelepipedo otteniamo:

V parallelepipedo = ( a × b ) × c

V parallelepipedo = a × b × c

Una scatola di cartone per imballaggio è un parallelepipedo con la base di dimensioni 30 cm e 45 cm, e altezza 25 cm.

Qual è il suo volume?

Area di base = (30 × 45) cm² = 1 350 cm²

Volume = area di base × altezza = = (1 350 × 25) cm³ = 33 750 cm³

Esercizi

1. In una scatola a forma di parallelepipedo di altezza 20 cm, base di dimensioni 9 cm e 6 cm si vogliono mettere, senza lasciare spazi vuoti, delle confezioni di dieci capsule di caffè a forma di parallelepipedo a base quadrata, lato di base di 3 cm, altezza 20 cm, come la scatola. Quante di queste confezioni si possono mettere?

2. La stanza da letto di Carlo misura 3,60 m di larghezza, 4,5 m di lunghezza ed è alta 2,70 m. Qual è il volume della stanza?

3. Una zolletta di zucchero ha queste dimensioni: lato della base quadrata 2 cm e altezza 1 cm. La scatola contiene 105 zollette. Calcola il volume della zolletta e della scatola.

METTITI ALLA PROVA

1. Osserva bene i tre solidi in figura. Quali hanno uguale volume?

Lo spigolo dei cubetti è lungo 4 cm. Qual è la superficie totale del solido 1? . Qual è il volume del solido 3?

2. Vogliamo rivestire con della carta a fiori una scatola da scarpe a forma di parallelepipedo. La base ha dimensioni di 40 cm e 20 cm, e la scatola è alta 15 cm. Calcola sul quaderno la superficie laterale e poi aggiungi l’area delle due basi, per determinare quanta carta ci servirà. 1 3 2

3. Se lo spigolo di ogni cubetto è lungo 2,5 cm qual è il volume di questa “scaletta”?

V = cm³

Senza contare la base d’appoggio, qual è l’area della superficie libera del solido?

A = cm²

4. Un prisma retto a base quadrata ha lato di base lungo 12,5 cm e altezza doppia del lato. La sua superficie laterale è la stessa della superficie laterale di un cilindro retto. Qual è il raggio della base del cilindro?

12,5 cm ?

5. Il solido della figura è costruito accostando due parallelepipedi a base quadrata delle misure indicate. d isegna lo sviluppo del solido e calcola le superfici laterale e totale. Calcola poi il volume.

50 cm

5 cm

12 cm

INDICE

MATEMATICA

GEOMETRIA

SPAZIO E FIGURE

Le parole della geometria

Rette,

Referenze fotografiche

Renata Rava 3, 159 • Shutterstock.com: Phonix_a Pk.sarote (copertina); HitToon 4a, 8a, 9, 10, 11a, 12 a-b; Sergio Sergo 4b; 3d_kot 4c; Ljupco Smokovski 4d; ChandelOlga 4e; Amazeindesign 5a, 66a; Peter Hermes Furian 5b; Olga1818 7, 11b, 12c, 17, 19, 30, 37, 45, 48-52, 54a, 63, 71, 74, 75b-c, 83, 86, 99, 102, 103, 108, 111, 117b, 134135, 143, 149; Nataliia Pyzhova 8b; Lyudmyla Kharlamova 13, 23; Harvepino 14a; Beautiful landscape 14b; panot homruen 15a; whitehoune 15b; Vector Tradition 25a; NotionPic 25b; Viacheslav Lopatin 28a; Anton_Ivanov 28b; Sofia Kozlova 28c; Patty Chan 28d; Ivan Smuk 29a; Muhammad Shairazi 29b; design56 53; Tartila 54b, 54c; Maria Ferencova 55; Sonia Goncalves 56a, 59; A7880S 56b; Lena danina 56c; grynold 61c; Nsit 61d; My name is boy 66b; rwgusev 66c; Unicraft 68; JonMilnes 72a; Rvector 72b; dzm1try 73; Vectors bySkop 75a; gorillaimages 76°, 76d; ER_09 76b; Tomsickova Tatyana 76c; rtbilder 76e; Rahim Ismayilov 76f; Artush 76g; Hanast 80; icosha 81; studiovin 89a; hanahusain 89b; Antonio Gravante 92a; Italian Food Production 92b; Estrada Anton 100a; RossHelen 100b; Phovoir 113; Uranium 115a; Gelpi 115b, 115d-k, 115m-p, 115r, 115t, 115v-z; Pressmaster 115c; lassedesignen 115l; Anna Nahabed 115q; IKO-studio 115s; Iren_Geo 115u; 123done 117a; Fat Jackey 120a, 120c-d, 121, 125; lynx_v 120b; George Rudy 122; mipan 124a; kalavati 124b; Phovoir 124c; Rita1 124d; Africa Studio 124e, 146d; Afonkin_Y 124f; hedgehog94 128a; seyomedo 128b; Sergey Novikov 128c; SeventyFour 128d; matimix 128e; StepPro 131a; Roman Pyshchyk 131b; Konstantin zubarev 131c; Ruslan Kudrin 131d; Gorvit 131e; valkoinen 131f; Runrun2 131g; Amanita Silvicora 132-133; Pavel L Photo and Video 137; Nosyrevy 139; Seeme 140a; zdenek Matyas Photography 140b; Roman Sigaev 140c; ivn3da 140d; Elena11 141a; jeon se gu 141b; Peter Bocklandt 141c; Sergio Kotrikadze 141d; NaughtyNut 144a; dmitri Gristsenko 144b; Nitr 144c, 144e-g, 157d, 157f; Fotofermer 144d; Sergey Fatin 146a; GraphicsRF.com 146b; Krakenimages.com 146c; Anton Starikov 146e; rikkyall 148a; beboy 148b; Igrapop 148c; Barks 150a; Aksanaku 150b, 150c; Tatsuo Nakamura 150d; Andrey_Kuzmin 151a; motion_dmitriy 151b; vectortatu 151c; MSSA 151d, 151e; Oleksii Sidorov 152; den Rozhnovsky 154; Parsadanov 155a; Leigh Prather 155b; Solid photos 155c; ekler 157a; paullos 157b; Roberto Sorin 157c; mylisa 157e; Aleks vF 157g; anna42f 164; Lotus_studio 173b; MicroOne 173c; Anatoly Tiplyashin 173d; Ira Che 174a, 174c-e; Vectorfair.com 174b; Viktorija Reuta 174f; SerFeo 176a; Phoebe Yu 176b; Samot 178a; Peratek 179a; Halyna Venhlinska 179b; Alf Ribeiro 182a; Ewelina Wachala 185; Ana Gram 188a; Tachi Touchi 195c; Creative Idea 205; gokturk_06 213; Aerial-motion 216; Sinisa Botas 230a; d-VISIONS 230b; Lee Yiu Tung 230c; Oleg Golovnev 231; Kryuchka Yaroslav 233a; cherezoff 233b; SmileStudio 233c; Besjunior 234; Oliver Hoffmann 235; sergeystudio16 236; val lawless 237; Kiev.Victor 238; Sebastian Janicki 239b; dincer.agin 239d; Marco Tulio 239e; Sergey dzyuba 241; Nattika 244a; Lorelyn Medina 244b; AnaCristina Ion 245; Guniva 247; SPACE_MICROBE 252; Billion Photos 253 • Raffaella Manara 173a, 173e, 177a, 179b, 182b, 186-187, 195a, 195b, 204, 214, 229 a-b, 239a, 239c, 239f • The Metropolitan Museum of Art, New York: Rogers Fund, 1946 188b

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