LIMITES

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Límites www.chilonunellez.blogspot.com 0 ∞ 1∞ ∞ − ∞ 0 ⋅ ∞ 0 ∞ No indeterminaciones

Indeteminaciones:

a =∞ 0

0+0 = 0 0 0 = 0 0 0 = 0 a+0 =a

0 =0 a

0 a = a

∞ 0

0 a = 0

∞ +∞ = ∞

=∞

0 ∞

∞ ∞ =∞

a +∞ =∞

∞ a =∞

log 0 = ∞

a ∞ = ∞

log 1 = 0

∞ a = ∞

log ∞ = ∞

sen0 = 0 cos0 = 1 tan0 = 0

∞ a = ∞ donde a > 0 ∞ a = 0 donde a < 0

x →a

Definición de Límite al Infinito |f (x )| > M siempre que |x a| <

|f (x ) L| < ε siempre que |x | > M

x→ a

lim ln [F (x )] = ln x→ ∞

lim F (x ) x→ ∞

lim F ( x) =

lim

x→ a

x→ a

Radicales: Racionalizar / Factorizar / Simplificar / Sustituir

n

F (x )

lim F ( x )

La Raíz de un límite es igual al límite de la raíz El límite de una función exponencial es igual a la base elevada al límite del exponente

lim AF (x ) = Ax→a x→ a

x→ a

x→ a

El límite se distribuye en la suma

(a + b)

Exponenciales

x→a

x→a

lim [F (x) G (x)] = lim F (x ) lim G (x ) x→a

x→a

lim F (x)

lim x→a

F ( x) G ( x)

=

x→a

lim G (x) x→ a

El límite se distribuye en la resta

ax 1 x

lim

=1

0, 7x + ln x → ME = ln x 3

= ln a

x→0

x→ 0

lim ln [F (x)] = lim [F (x) 1]

( xn + a )

0 0

Sólo se aplica cuando F(x) → 1 en indeterminación

sen x x

=1

x

=1

arccot x = arctan

1 x

Paso Tres: Simplificar Paso Cuatro: Aplicar el límite apropiado 1 x

= arccos

arcsec x

x→ 0

x

=1

arccsc x = arcsen

1 x

x→ 0

1 y2 + y

arccos x + arccos y = arccos(xy +

1 x2

arctan x + arctan y = arctan

x→a

√ √

1 x2 )

1 y2 )

x+ y 1 xy

lim F ( x) G ( x ) = x→a

e

lim [ F (x ) 1 ] G (x ) x→a

1 xn

lim

lim

ln x

lim

x

donde n > 0 a ln x

lim

=0

=0

x→ ∞

se n x x

x→ ∞

lim x→ ∞

lim

=0

lim

cos x x

=0

x→ ∞

x ax

=0

donde a > 1

ax x

=0

donde 0 < a < 1

x→ ∞

1

lim (1 + x)x = x→ 0

=0

x→ ∞

x→ ∞

Indeterminación 1∞ El límite se distribuye en la división sólo si el denominador es distinto de cero

m → ME = ( xn ) = xn m

Paso Dos: Dividir el numerador y el denominador entre el mayor exponente

x→ 0

El límite se distribuye en la multiplicación

m

( xn + a ) (xm + b) → ME = xn xm = xn + m

Trigonométricas

lim arcsen x

1 √ √ x + 3 x+ 5 x→ ME = x2

x→a

x→a

lim

2

x2 + x + 1→ ME = x3

Logaritmos

x→ a

lim [F (x ) G (x )] = lim F (x ) lim G (x )

0, 5x + x → ME = x

a 6 a 5 b + a 4b2 a 3 b3 + a2 b ab5 + b6 = a 7 + b7

ex 1 x

lim

xn + 5x + 8x → ME = 8x

4

arcsen x + arcsen y = arcsen(x x→a

ln x + sen x → ME = ln x

x + sen x → ME = x

(a b) (a 4 + a3b + a 2b2 + ab3 + b4 ) = a 5 b5 (a b) a 6 + a5b + a 4b2 + a3b3 + a2 b4 + ab5 + b6 = a7 b7

lim arc tan x lim [F (x) + G ( x)] = lim F ( x ) + lim G (x )

x2 + x + 1 → ME = x2 x + ln x → ME = x a + ln x → ME = ln x

(a + b) (a 4 a3b + a 2b2 ab3 + b4 ) = a 5 + b5

|f (x)| > M siempre que | x| < P

Límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

Paso Uno: Buscar el Mayor Exponente

(a b ) (a + b ) = a 2 b2 (a b) (a 2 + ab + b2) = a3 b3 (a + b) (a 2 ab + b2) = a3 + b3

Una constante puede salir fuera del límite sólo si está multiplicando a toda la función

x→a

Indeterminación ∞ ∞

Polinomios: Factorizar / Simplificar / Sustituir

El límite de una constante es la misma constante

lim cF (x ) = c lim F (x )

0 0

Indeterminación

Tal que |f(x) L | < siempre que 0 < |x a| <

csc0 = ∞ x→∞ sec0 = 1 x→∞ cot0 = ∞ L→∞ Teoremas

x→ a

n

00

Lim f (x ) = L ; Si ∀ > 0 existe > 0

L→∞

lim c = c

0

Definición de Límite

=0

∞∞ = ∞

=0

a >1 a = ∞ donde ∞ = ∞ a0 = 1 ∞ a a = 0 donde 0 < a < 1

a =0 ∞

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1a = 1 a1 = a 0a = 0 a 0 = 1 0∞ = 0

a 0 =a

Límites

e

lim x→ ∞

1 + 1x

x

=

e


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