FORMULARIO - TRIGONOMETRIA (−A, B)
π o (90 .) 2
(sen y csc positivas)
(A, B)
π o (60 .) 3
I cuadrante (todas positivas)
at h. ne t
2π o (120 .) 3
II cuadrante
3π o (135 .) 4
(0, 1)
5π o (150 .) 6
√ 1 3 , 2 2
π o (45 .) 4
√ √ 2 2 , 2 2
π o (30 .) 6
√ 3 1 , 2 2
o
π (180 .)
(−1, 0)
am
11π o (330 .) 6
(0, −1)
7π o (315 .) 4
w. g
5π o (225 .) 4
ui
7π o (210 .) 6
(tg y ctg positivas)
III cuadrante
w w
(−A, −B)
A)
B´asicas
1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 sen α 4.tg α = cos α cos α 5.- ctg α = sen α
B)
Pitag´oricas
o
0 (0 .)
(1, 0)
4π A) o. B´asicas (240 ) 3 1.- cos α · sec α = 1 3π o . 2.- sen α · csc α = 1 2 (270 ) 3.- tg α · ctg α = 1 sen α 4.tg α = cos α cos α 5.- ctg α = sen α
(cos y sec positivas)
5π o (300 .) 3
IV cuadrante (A, −B)
B) Pitag´oricas
C)
1.- cos 2 α + sen 2 α = 1 2.1 + tg 2 α = sec 2 α 3.1 + ctg 2 α = csc 2 α
1.- sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
Suma y Resta de a´ ngulos
2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β 3.- tg (α ± β ) =
D)
tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β
Angulos dobles
1.- sen 2α = 2 sen α cos α
2.- cos 2α = cos 2 α − sen 2 α 2 2 1.- cos α + sen α = 1 = 2 cos 2 α − 1 2 2 2.1 + tg α = sec α = 1 − 2 sen 2 α 3.1 + ctg 2 α = csc 2 α 2 tg α www.chilonunellez.blogspot.com 3.- tg 2α = 1 − tg 2 www.chilonunellez.blogspot.com
A)
1 − cos 2α 2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen4.-β sen α = 2 tg α ± tg β 1 + cos 2α 3.- tg (α ± β ) = 5.- cos α = 1 ∓ tg α · tg β 2 B´asicas
1.- cos αD) · sec Angulos α=1 dobles E) Angulos medios A)· cscB´ αasicas =1 2.- sen α = 2α sen · sec = 1α cos α 3.- tg α1.·1.ctg cos αsen =α12α 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2) α · csc α = 2.sen 2.- sen cosα2α = cos 21α − sen 2 α 2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2) 4.tg α 3.-= cos tg αα· ctg=α2=cos 1 2α − 1 1 − cos α 1 −α 2 sen 2 α 3.- sen 2 (α/2) = cos α =sen 2 5.- ctg α4.-= tg α = cos2αtg α sen α 3.- tg 2α = cos α 2 1 + cos α α 4.- cos 2 (α/2) = α = 1 − tg 5.-oricas ctg F) de Producto a Suma 2 B) Pitag´ sen α sen α 1 − cos 1 2α 2 2 (α/2) = 1.- cos 1.α4.-+ sen sen α = senAα· cos =1 B = [sen (A + B) + sen5.(A −tgB)] 1 + cos α B) Pitag´ 2 oricas2 22 2.1 + tg α = sec α 1 + cos 1 − cos α 1 2α 22 α + sen 1.cos 3.1 ctg 5.cos =cscB 22=α = 1[cos (A + B) + cos (A − B)] = 2.- + cos Aαα· =cos 2 22 2 sen α 2.1 + tg α = sec α 1csc 2 α 2 α = + ctg 3.1 3.-E) sen A · sen Bmedios = − [cos (A + B) − cos (A − B)] Angulos 2 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
de Suma a Producto
H)
J) Teorema Teoremadel delSeno Seno J)
Si k ∈ ZZ ,
X−Y X+Y · cos 2 2 X+Y X−Y · cos 2.- sen X − sen Y = 2 sen 2 2 X−Y X+Y · cos 3.-I) cos X + cos Yde= Reducci´ 2 cos on (Ley del Burro) Formulas 2 2 X−Y X+Y Sea f cualesquiera de las funciones trigonom´etricas y c f su · sen 4.- cos X − cos Y = −2 sen 2 on f en el co-funci´on. Si s denota el signo2que tiene la funci´ cuadrante correspondiente, se cumple que: π ± θ = s f (θ) 24 f´ormulas. 1.- f 2π π/2 2.- f ± θ = s c f (θ) 24 f´ormulas. 3π/2
1.- sen (α ± 2kπ) = sen α
2.- cos (α ± 2kπ) = cos α
3.- tg (α ± kπ) = tg α
4.- ctg (α ± kπ) = ctg α
5.- sec (α ± 2kπ) = sec α
6.- csc (α ± 2kπ) = csc α
K)
ui
de Suma a Producto
1.- sen X + sen Y = 2 sen
Periodicidad
Encualquier cualquiertri´ tri´ ngulo,sisiLL1 1representa representalalamedida medidadel dellado lado opEn opuesto aangulo, de cualquier lado opal a´ngulo 1 ylaLmedida 2 es la medida de cualquier otro ladootro opuesto de un aluesto a´ ngulo 1 y L2es siempreque: se cumple que: uesto a´de un cierto a´ ngulo se 2 ,cumple cierto ngulo 2 , siempre sen (2 ) sen (1 ) = L2 L1
G)
am
2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2) X−Y X+Y · cos 1.- sen X2+ sen Y =12−sen cos α 2 2 3.- sen (α/2) = 2 cos αX − Y · cos X + Y 2.-4.- sen X 2− sen Y =12+sen cos (α/2) = 2 2 2 sen α X−Y X+Y tg X (α/2) = Y = 2 cos · cos 3.-5.- cos + cos 1 + cos α 2 2 X−Y 1 − cos α X + Y = Y = −2 sen · sen 4.- cos X − cos sen α 2 2
1 [sen (A + B) + sen (A − B)] 2 1 [cos (A + B) + cos (A − B)] 2.- cos A · cos B = 2 1 3.- sen A · sen B = − [cos (A + B) − cos (A − B)] 2
1.- sen A · cos B =
at h. ne t
G)
F) de Producto a Suma
Teorema del Coseno
Si L1 , L2 y L3 representan las medidas de cada uno de los lados de un tri´angulo cualquiera, y si 1 es la medida del a´ ngulo opuesto al lado L1 , siempre se cumple que: L12 = L22 + L32 − 2 L2 L3 cos (1 )
w
w. g
Es decir, en el siguiente tri´angulo se cumplen las f´ormulas: Esto quiere decir que en el siguiente tri´angulo, se cumplen las α α f´ormulas: B α c A 2 2 2 1.a = b + c − 2 b c cos α B α sen β sen α α = 1.β β βc b a L) Relaciones en el Tri´ 2 + ca2ngulo − 2 a c cos β 2.- angulo b2 = aRect´ a β β sen γ sen β γ = 2.b En todo tri´γaangulo rect´angulo, siempre 2 sebcumple γ α c b 3.- c2 = a2 + − 2 a bque: cos γ γ γ C sen γ sen α CO cateto opuesto b = 3.= 1.- sen α = β c a HIP hipotenusa C 2.- cos α =
1.- sen α =
4.- ctg α =
L)
Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo
CA cateto adyacente = HIP hipotenusa
w
CO cateto opuesto = 3.- tg α = En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que: CA cateto adyacente
CO cateto opuesto = HIP hipotenusa
CA cateto adyacente = CO cateto opuesto
CA cateto adyacente = 2.- cos α = HIP hipotenusa
HIP hipotenusa = 5.- sec α = CA cateto adyacente
CO cateto opuesto = 3.- tg α = CA cateto adyacente
HIP hipotenusa = 6.- csc α = CO cateto opuesto
C
γ
CO
CA
A
α
A
B
HIP
β
*recordar el: cocacoca-hiphip γ CO HIP
CA HIP
CO CA
CA CO
HIP CA
HIP CO
sen sen sen
cos cos cos
tgtgtg
ctg ctg ctg
sec sec sec
csc csc csc
4.- ctg α =
CA cateto adyacente = CO cateto opuesto
5.- sec α =
HIP hipotenusa = www.chilonunellez.blogspot.com CA cateto adyacente
6.- csc α =
HIP hipotenusa = CO cateto opuesto