IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FORMULARIO - TRIGONOMETRIA (−A, B)

π o (90 .)

2

(sen y csc positivas)

(A, B)

π o (60 .)

3

I cuadrante (todas positivas)

at h. ne t

2π o (120 .)

3

II cuadrante

3π o (135 .)

4

(0, 1)

5π o (150 .)

6

√   1 3  , 2 2

π o (45 .)

4

  

√   √  2 2    , 2 2

π o (30 .)

6

  √  3 1   ,  2 2

o

π (180 .)

(−1, 0)

am

11π o (330 .)

6

(0, −1)

7π o (315 .)

4

w. g

5π o (225 .)

4

ui

7π o (210 .)

6

(tg y ctg positivas)

III cuadrante

w w

(−A, −B)

A)

B´asicas

1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 sen α 4.tg α = cos α cos α 5.- ctg α = sen α

B)

Pitag´oricas

o

0 (0 .)

(1, 0)

4π A) o. B´asicas (240 ) 3 1.- cos α · sec α = 1 3π o .

2.- sen α · csc α = 1 2 (270 ) 3.- tg α · ctg α = 1 sen α 4.tg α = cos α cos α 5.- ctg α = sen α

(cos y sec positivas)

5π o (300 .)

3

IV cuadrante (A, −B)

B) Pitag´oricas

C)

1.- cos 2 α + sen 2 α = 1 2.1 + tg 2 α = sec 2 α 3.1 + ctg 2 α = csc 2 α

1.- sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β

Suma y Resta de a´ ngulos

2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β 3.- tg (α ± β ) =

D)

tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β

Angulos dobles

1.- sen 2α = 2 sen α cos α

2.- cos 2α = cos 2 α − sen 2 α 2 2 1.- cos α + sen α = 1 = 2 cos 2 α − 1 2 2 2.1 + tg α = sec α = 1 − 2 sen 2 α 3.1 + ctg 2 α = csc 2 α 2 tg α www.chilonunellez.blogspot.com 3.- tg 2α = 1 − tg 2 www.chilonunellez.blogspot.com

A)

1 − cos 2α 2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen4.-β sen α = 2 tg α ± tg β 1 + cos 2α 3.- tg (α ± β ) = 5.- cos α = 1 ∓ tg α · tg β 2 B´asicas

1.- cos αD) · sec Angulos α=1 dobles E) Angulos medios A)· cscB´ αasicas =1 2.- sen α = 2α sen · sec = 1α cos α 3.- tg α1.·1.ctg cos αsen =α12α 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2) α · csc α = 2.sen 2.- sen cosα2α = cos 21α − sen 2 α 2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2) 4.tg α 3.-= cos tg αα· ctg=α2=cos 1 2α − 1 1 − cos α 1 −α 2 sen 2 α 3.- sen 2 (α/2) = cos α =sen 2 5.- ctg α4.-= tg α = cos2αtg α sen α 3.- tg 2α = cos α 2 1 + cos α α 4.- cos 2 (α/2) = α = 1 − tg 5.-oricas ctg F) de Producto a Suma 2 B) Pitag´ sen α sen α 1 − cos 1 2α 2 2 (α/2) = 1.- cos 1.α4.-+ sen sen α = senAα· cos =1 B = [sen (A + B) + sen5.(A −tgB)] 1 + cos α B) Pitag´ 2 oricas2 22 2.1 + tg α = sec α 1 + cos 1 − cos α 1 2α 22 α + sen 1.cos 3.1 ctg 5.cos =cscB 22=α = 1[cos (A + B) + cos (A − B)] = 2.- + cos Aαα· =cos 2 22 2 sen α 2.1 + tg α = sec α 1csc 2 α 2 α = + ctg 3.1 3.-E) sen A · sen Bmedios = − [cos (A + B) − cos (A − B)] Angulos 2 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)

de Suma a Producto

H)

J) Teorema Teoremadel delSeno Seno J)

Si k ∈ ZZ ,

 X−Y   X+Y  · cos 2 2  X+Y   X−Y  · cos 2.- sen X − sen Y = 2 sen 2 2  X−Y   X+Y  · cos 3.-I) cos X + cos Yde= Reducci´ 2 cos on (Ley del Burro) Formulas 2 2  X−Y   X+Y  Sea f cualesquiera de las funciones trigonom´etricas y c f su · sen 4.- cos X − cos Y = −2 sen 2 on f en el co-funci´on. Si s denota el signo2que tiene la funci´ cuadrante correspondiente, se cumple que:   π ± θ = s f (θ) 24 f´ormulas.

1.- f 2π   π/2 2.- f ± θ = s c f (θ) 24 f´ormulas.

3π/2

1.- sen (α ± 2kπ) = sen α

2.- cos (α ± 2kπ) = cos α

3.- tg (α ± kπ) = tg α

4.- ctg (α ± kπ) = ctg α

5.- sec (α ± 2kπ) = sec α

6.- csc (α ± 2kπ) = csc α

K)

ui

de Suma a Producto

1.- sen X + sen Y = 2 sen

Periodicidad

Encualquier cualquiertri´ tri´ ngulo,sisiLL1 1representa representalalamedida medidadel dellado lado opEn opuesto aangulo, de cualquier lado opal a´ngulo 1 ylaLmedida 2 es la medida de cualquier otro ladootro opuesto de un aluesto a´ ngulo 1 y L2es siempreque: se cumple que: uesto a´de un cierto a´ ngulo se 2 ,cumple cierto ngulo 2 , siempre sen (2 ) sen (1 ) = L2 L1

G)

am

2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2)  X−Y  X+Y  · cos 1.- sen X2+ sen Y =12−sen cos α 2 2 3.- sen (α/2) = 2     cos αX − Y · cos X + Y 2.-4.- sen X 2− sen Y =12+sen cos (α/2) = 2 2 2    sen α X−Y  X+Y tg X (α/2) = Y = 2 cos · cos 3.-5.- cos + cos 1 + cos α 2 2  X−Y  1 − cos α  X + Y  = Y = −2 sen · sen 4.- cos X − cos sen α 2 2

1 [sen (A + B) + sen (A − B)] 2 1 [cos (A + B) + cos (A − B)] 2.- cos A · cos B = 2 1 3.- sen A · sen B = − [cos (A + B) − cos (A − B)] 2

1.- sen A · cos B =

at h. ne t

G)

F) de Producto a Suma

Teorema del Coseno

Si L1 , L2 y L3 representan las medidas de cada uno de los lados de un tri´angulo cualquiera, y si 1 es la medida del a´ ngulo opuesto al lado L1 , siempre se cumple que: L12 = L22 + L32 − 2 L2 L3 cos (1 )

w

w. g

Es decir, en el siguiente tri´angulo se cumplen las f´ormulas: Esto quiere decir que en el siguiente tri´angulo, se cumplen las α α f´ormulas: B α c A 2 2 2 1.a = b + c − 2 b c cos α B α sen β sen α α = 1.β β βc b a L) Relaciones en el Tri´ 2 + ca2ngulo − 2 a c cos β 2.- angulo b2 = aRect´ a β β sen γ sen β γ = 2.b En todo tri´γaangulo rect´angulo, siempre 2 sebcumple γ α c b 3.- c2 = a2 + − 2 a bque: cos γ γ γ C sen γ sen α CO cateto opuesto b = 3.= 1.- sen α = β c a HIP hipotenusa C 2.- cos α =

1.- sen α =

4.- ctg α =

L)

Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo

CA cateto adyacente = HIP hipotenusa

w

CO cateto opuesto = 3.- tg α = En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que: CA cateto adyacente

CO cateto opuesto = HIP hipotenusa

CA cateto adyacente = CO cateto opuesto

CA cateto adyacente = 2.- cos α = HIP hipotenusa

HIP hipotenusa = 5.- sec α = CA cateto adyacente

CO cateto opuesto = 3.- tg α = CA cateto adyacente

HIP hipotenusa = 6.- csc α = CO cateto opuesto

C

γ

CO

CA

A

α

A

B

HIP

β

*recordar el: cocacoca-hiphip γ CO HIP

CA HIP

CO CA

CA CO

HIP CA

HIP CO

sen sen sen

cos cos cos

tgtgtg

ctg ctg ctg

sec sec sec

csc csc csc

4.- ctg α =

CA cateto adyacente = CO cateto opuesto

5.- sec α =

HIP hipotenusa = www.chilonunellez.blogspot.com CA cateto adyacente

6.- csc α =

HIP hipotenusa = CO cateto opuesto