Regra de três by Jhonny Isac

Equações e regras de três

COLEÇÃO DESMISTIFICANDO A MATEMÁTICA

Equações e regras de três

Álvaro Emílio Leite Nelson Pereira Castanheira

Av. Vicente Machado, 317 . 14°andar Centro • CEP 80420-010 • Curitiba • PR • Brasil Fone: (41) 2103-7306 www.editoraintersaberes.com.br editora@editoraintersaberes.com.br

conselho editorial Dr. Ivo José Both (presidente) Dr .ª Elena Godoy Dr. Nelson Luís Dias Dr. Ulf Gregor Baranow

editor-chefe Lindsay Azambuja

editor-assistente Ariadne Nunes Wenger

capa Mayra Yoshizawa

projeto gráfico Conduta Produções Editoriais

adaptação do projeto gráfico Mayra Yoshizawa

diagramação Jhonny Isac

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

1ª edição, 2014. Foi feito o depósito legal. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos. Nenhuma parte desta publicação poderá ser

Leite, Álvaro Emílio Equações e regras de três [livro eletrônico] / Álvaro Emílio Leite, Nelson Pereira Castanheira. – Curitiba: InterSaberes, 2014. – (Coleção Desmistificando a Matemática; v. 2). 2 Mb ; PDF

reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da

Bibliografia ISBN 978-85-8212-912-8

Editora InterSaberes. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/1998 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

1. Matemática – Estudo e ensino 2. Equações I. Castanheira, Nelson Pereira. II. Título. III. Série. 13-08243

CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática: Estudo e ensino

510.7

Sumário Dedicatória............................................................................................................. 9 Agradecimentos................................................................................................. 11 Epígrafe..................................................................................................................... 13 Apresentação da coleção............................................................................ 15 Apresentação....................................................................................................... 17 Como aproveitar ao máximo este livro............................................ 18

1. Expressões..................................................................................21 1.1 Expressões numéricas........................................................................... 23 1.1.1

Aplicação prática de expressões numéricas.................................. 25

1.2 Expressões algébricas............................................................................ 26 1.2.1

Definições..................................................................................................... 27

1.2.2 Valor numérico de uma expressão algébrica................................ 27 1.2.3 Aplicação prática de expressões algébricas.................................. 28 1.2.4

Monômios..................................................................................................... 29

1.2.5 Termos............................................................................................................ 29 1.2.6 Binômios........................................................................................................ 29 1.2.7

Trinômios....................................................................................................... 30

1.2.8 Polinômios.................................................................................................... 30 1.2.9

Coeficientes.................................................................................................. 30

1.2.10 Coeficientes numéricos........................................................................... 30 1.2.11 Termos semelhantes................................................................................ 31 1.2.12 Grau de um monômio............................................................................. 31 1.2.13 Grau de um polinômio............................................................................ 31 1.2.14 Soma e subtração de termos ou monômios.................................. 32 1.2.15 Multiplicação e divisão de termos ou monômios....................... 32 1.2.16 Potência de termos ou monômios..................................................... 32 1.2.17 Radiciação de termos ou monômios................................................ 33

1.3 Operações com expressões algébricas.......................................... 33 1.3.1

Soma e subtração de expressões algébricas................................. 33

1.3.2 Multiplicação de expressões algébricas.......................................... 34 1.3.3 Divisão de um polinômio por um monômio................................. 34 1.3.4

Divisão de um polinômio por outro polinômio........................... 34

1.4 Produtos notáveis.................................................................................... 35 1.5 Fatoração..................................................................................................... 36

2. Equações do 1º grau...........................................................43 2.1 Definição de equação do 1º grau..................................................... 47 2.2 Aplicação de equações do 1º grau................................................... 49 2.3 Equações do 1º grau com duas incógnitas................................... 50 2.4 Sistema de equações do 1º grau....................................................... 51 2.5 Inequações do 1º grau........................................................................... 57

3. Razões e proporções..........................................................63 3.1 Razão............................................................................................................. 65 3.1.1

Razões equivalentes................................................................................. 66

3.1.2 Razões inversas........................................................................................... 67 3.1.3 Aplicações diversas de razão................................................................ 69

3.2 Proporção................................................................................................... 72 3.2.1 Propriedade fundamental das proporções.................................... 73 3.2.2 Outras propriedades das proporções............................................... 77 3.2.3 Números diretamente proporcionais............................................... 79 3.2.4 Números inversamente proporcionais............................................ 83 3.2.5 Grandezas diretamente proporcionais............................................ 86 3.2.6 Grandezas inversamente proporcionais......................................... 87

4. Regra de três simples.........................................................93 4.1 Aplicações de regra de três simples................................................ 97

5. Regra de três composta...................................................107 5.1 Aplicações de regra de três composta........................................... 112 5.2 Transformação de uma razão qualquer em razão

centesimal (ou razão percentual)..................................................... 126 5.3 Porcentagem............................................................................................. 127 5.3.1 Cálculo da porcentagem........................................................................ 128 5.3.2 Aplicação de porcentagem................................................................... 129

6. Equações do 2º grau...........................................................137 6.1 Forma geral de equações do 2º grau.............................................. 139 6.2 Equações incompletas.......................................................................... 141 6.2.1 Resolução de equações incompletas............................................... 141

6.3 Dedução da fórmula de Bhaskara..................................................... 142 6.4 Sistema de equações do 2º grau....................................................... 143 6.5 Equação irracional................................................................................... 149 6.6 Equação biquadrada.............................................................................. 150

7. Exercícios de revisão...........................................................155 Para concluir... ..................................................................................................... 174 Referências............................................................................................................. 175 Respostas................................................................................................................ 176 Sobre os autores................................................................................................. 181

Dedicatória Dedico este livro à minha filha, Gabriela, a quem amo muito e agradeço pela compreensão e pela colaboração durante a execução desta obra. Álvaro Emílio Leite

Dedico este livro aos meus filhos, Kendric, Marcel e Marcella, a quem agradeço pelos momentos de alegria que dividimos e pela compreensão nos momentos em que estive ausente para escrevê-lo. Nelson Pereira Castanheira

Agradecimentos Primeiramente, agradecemos a Deus por nos permitir, durante tantos anos, transmitir nossos conhecimentos aos estudantes dos mais diversos locais do país. Agradecemos aos amigos que sempre nos incentivaram a permanecer na docência, levando o conhecimento àqueles que desejam crescer intelectual e profissionalmente. Em especial, agradecemos aos nossos filhos, que são inquestionavelmente nossa alegria de viver e dos quais estivemos afastados durante a realização desta obra.

Epígrafe O destino une e separa as pessoas, mas nenhuma força é tão grande para fazer esquecer pessoas que por algum motivo um dia nos fizeram felizes. Chega um momento na vida em que você sabe: quem é importante para você, quem nunca foi, quem não é mais e quem o será sempre. Autor desconhecido

Apresentação da coleção Durante toda a elaboração desta coleção, estivemos atentos à necessidade que as pessoas têm de compreender a matemática e à dificuldade que sentem para interpretar textos que são excessivamente complexos, com linguajar rebuscado e totalmente diferente daquele que utilizam no seu cotidiano. Procuramos empregar, então, uma linguagem fácil e dialógica, para que o leitor não precise contar permanentemente com a presença de um professor, de um tutor ou de um profissional da área. Especial atenção foi dada, também, à necessidade do estudante em desempenhar com sucesso outras disciplinas que tenham a Matemática como pré-requisito e à importância de o docente poder dispor de um livro-texto que facilite o seu papel de educador. Nossa experiência mostrou, ainda, que, para o total aprendizado da matemática, é de suma importância a apresentação de exemplos resolvidos passo a passo e que deem o suporte necessário ao estudante para a resolução de outros exercícios similares sem dificuldade. Os autores

Apresentação Este livro foi elaborado em capítulos e estruturado para permitir sua aplicação tanto em cursos presenciais quanto em cursos de educação a distância. É uma obra dividida em volumes que apresentam uma sequência lógica a quem pretende dominar a matemática na sua totalidade, escrita em linguagem dialógica, ou seja, de fácil compreensão. No Capítulo 1, são detalhadas as expressões numéricas e as expressões algébricas, para que, na sequência, possam ser estudadas as equações do 1º grau. Nesse capítulo inicial, são estudados, ainda, os produtos notáveis e a fatoração. No Capítulo 2, são minuciosamente explicadas as equações do 1º grau, com exemplos de aplicação na prática. Também são trabalhadas as inequações do 1º grau. No Capítulo 3, são abordados em detalhes os conceitos e as aplicações de razão e proporção, preparando-se o estudante para o entendimento da regra de três. Ainda são mostrados os números e as grandezas direta e inversamente proporcionais. No Capítulo 4, é apresentada a regra de três simples, com inúmeras aplicações práticas e, em seguida, a regra de três composta e o estudo da porcentagem. No Capítulo 5, finalmente, são trabalhadas as equações do 2º grau, com a dedução da fórmula de Bhaskara, os sistemas de equações do 2º grau, a equação irracional e a equação biquadrada. No Capítulo 6, há uma série de exercícios de revisão, para ajudar o leitor a fixar todos os conceitos importantes contemplados nesta obra. Boa leitura.

Equações e regras de três

Como aproveitar ao máximo este livro Este livro traz alguns recursos que visam enriquecer o seu aprendizado, facilitar a compreensão dos conteúdos e tornar a leitura mais dinâmica. São ferramentas projetadas de acordo com a natureza dos temas que vamos examinar. Veja a seguir como esses recursos se encontram distribuídos no projeto gráfico da obra.

Conteúdos do capítulo Conteúdos do capítulo ■■

Noção■de■número.

■■

Símbolos■egípcios.

■■

Símbolos■maias.

■■

Símbolos■romanos.

■■

Sistema■decimal.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de: 1.

descrever■como■surgiram■os■números;

2. representar■um■número■com■símbolos■egípcios; 3. representar■um■número■com■símbolos■maias; 4. ■representar■um■número■com■símbolos■romanos;

Logo na abertura do capítulo, você fica conhecendo os conteúdos que nele serão abordados.

5. representar■qualquer■número■no■sistema■decimal; 6. identificar■a■ordem■e■a■classe■de■um■número■no■sistema■decimal.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de: Você também é informado a respeito das competências que irá desenvolver e dos conhecimentos que irá adquirir com o estudo do capítulo.

Equações e regras de três

Importante! Muitas vezes, nas expressões, aparecem os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), os quais indicam a ordem em que as operações que se encontram entre esses sinais devem ser realizadas. Inicialmente, realizamos as operações que estão dentro de parênteses, depois as que estão dentro de colchetes e, por último, as que estão dentro de chaves.

Vamos analisar um exemplo de expressão numérica em que aparecem os sinais de associação. Exemplo: Queremos determinar o valor da seguinte expressão numérica: 2 –5 · {–[2 · (3 – 5)] · 3} + 2 =

Em primeiro lugar, resolvemos as operações entre parênteses. Disso resulta: 2 = –5 · {–[2 · (–2)] · 3} + 2 =

Agora, resolvemos aquelas que estão entre colchetes. Assim: 2 = –5 · {–[–4] · 3} + 2 = – 5 · {–16 · 3} + 2 =

Finalmente, resolvemos as operações entre chaves. Então: = –5 · (–48) + 2 = Como temos multiplicação e subtração, já vimos que as multiplicações sempre devem ser resolvidas primeiro. Temos que: = 240 + 2 = 242

1.2 Expressões algébricas Uma expressão algébrica (ou expressão literal) é um agrupamento de variáveis (que são representadas por letras) ou de constantes e variáveis interligadas por sinais de operação. Exemplos: 2

a) 2ab

b) x – 4 2

c) x + 2x – 1

Observe que, no primeiro exemplo, a operação é de multiplicação. No segundo exemplo, temos uma subtração. No terceiro exemplo, há soma, subtração e multiplicação. Veja ainda que, em cada

Álvaro Emílio Leite ◦ Nelson Pereira Castanheira

Importante! Nesta seção, ganham destaque algumas informações fundamentais para a compreensão do conteúdo abordado.

Capítulo 1 ◦ Expressões

b) (2x – 4x + x – 1) ÷ (x + 2x + 1) 3 2 2x – 4x + x – 1 3 2 – 2x – 4x – 2x

Esta seção sintetiza as regras que podem

x2 + 2x + 1 2x – 8

2 – 8x – x – 1

ser estabelecidas com base nos conceitos

2 + 8x + 16x + 8

15x + 7

Regra!

Este é o resto da divisão.

1.4 Produtos notáveis

demonstrados.

Vale a pena recordar os produtos notáveis. Isso facilitará bastante os seus cálculos envolvendo expressões algébricas. Os principais produtos notáveis são os seguintes: 2 2 2 ■■ Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + 2ab + b

Vamos desenvolver essa expressão: 2 2 2 2 2 (a + b) = (a + b) · (a + b) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b

Regra! O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

■■ Quadrado da diferença de dois termos: (a – b) = a – 2ab + b Vamos desenvolver essa expressão: (a – b) = (a – b) · (a – b) = a – ab – ba + b = a – 2ab + b2 2

Regra! O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. ■■ Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b) · (a – b) = a – b 2

Vamos desenvolver essa expressão: 2 2 2 2 (a + b) · (a – b) = a – ab + ba – b = a – b

Regra! O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Teoria dos números e teoria dos conjuntos

Síntese Ao estudar os conjuntos numéricos, você se deparou com as diversas classificações dos números: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Para cada tipo de conjunto, demonstramos como resolver os diversos tipos de operações, com ênfase na regra de sinais. Também examinamos todas as possíveis operações com frações, com especial atenção às potências de 10.

Questões para revisão 1. Efetue as seguintes somas: a) 245 + 324

Síntese Você dispõe, ao final do capítulo, de uma síntese que traz os principais conceitos nele abordados.

b) 756 + 345 c) 35 + 719 d) 1 456 + 380 e) 2 367 + 1 479 f) 2 + (7 + 12) g) (3 + 6) + 8 h) 4 567 + 0 i) 0 + 897 j) 456 + 387 + 0 + 2 347 2. Efetue as seguintes subtrações: a) 96 – 15 b) 417 – 104 c) 2 308 – 674 – 35 d) 1 494 – 398 – 456 e) 777 – 444 – 333 3. Efetue as seguintes multiplicações: a) 2 b) 5

⋅ (3 + 1) ⋅ (4 + 0)

c) (5 + 2)

⋅ (1 + 0)

e) 1

⋅ (3 + 7)

f) 226 g) 53

⋅ 12

⋅ 32

h) 996

104

⋅3

d) 9

⋅ 37

Álvaro Emílio Leite ◦ Nelson Pereira Castanheira

Questões para revisão Com estas atividades, você tem a possibilidade de rever os principais conceitos analisados. Ao final do livro, os autores disponibilizam as respostas às questões, a fim de que você possa verificar como está sua aprendizagem.

Express천es

Conteúdos do capítulo: ■■

Expressões numéricas.

■■

Expressões algébricas.

■■

Operações com expressões algébricas.

■■

Produtos notáveis.

■■

Fatoração.

Após o estudo deste capítulo, você será capaz de: 1. distinguir uma expressão numérica de uma expressão algébrica; 2. resolver problemas cotidianos com a aplicação de expressões algébricas; 3. aplicar produtos notáveis para a resolução de expressões algébricas; 4. aplicar fatoração para a resolução de expressões algébricas.

Capítulo 1 ◦ Expressões

1.1 Expressões numéricas Você sabe o que é uma expressão numérica? Uma expressão numérica nada mais é do que uma sequência de números interligados por operações matemáticas. Para resolver uma expressão numérica, devemos realizar as operações na seguinte ordem: 1. potenciação e radiciação, na ordem em que aparecerem; 2. multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem; 3. soma e subtração, na ordem em que aparecerem.

Exemplos: a) Queremos saber o valor da seguinte expressão numérica:

32 + 123 + 678 – 34 = Como só temos somas e subtrações, basta efetuá-las passo a passo, na ordem em que os valores aparecem. Assim, a expressão numérica vale: 32 + 123 + 678 – 34 = = 833 – 34 = 799 b) Queremos saber o valor da seguinte expressão numérica:

3 + 2 · 52 = Agora, temos uma potência, uma multiplicação e uma soma, que resolvemos nessa ordem, conforme a regra. 3 + 2 · 52 = = 3 + 2 · x 25 = = 3 + 50 = 53 Fácil, não é? Vamos, então, a um exemplo mais complexo. c) Queremos saber o valor da seguinte expressão numérica:

6 · 5 ÷ 10 + 20 ÷ 22 –

3 100 · 3 =

O primeiro passo é resolver as potenciações e as radiciações. Temos que: 6 · 5 ÷ 10 + 20 ÷ 22 –

3 100 · 3 =

= 6 · 5 ÷ 10 + 20 ÷ 4 – 10 · 9 =

Equações e regras de três

Agora, vamos resolver as multiplicações e as divisões. Assim: 6 · 5 ÷ 10 + 20 ÷ 4 – 10 · 9 = = 3 + 5 – 90 = Finalmente, resolvemos as somas e as subtrações. Então: 3 + 5 – 90 = –82 E se as expressões numéricas envolverem frações, como resolvê-las? O procedimento é o mesmo. Entretanto, devemos lembrar que, para somarmos ou subtrairmos frações, elas devem ter o mesmo denominador. Vamos analisar mais alguns exemplos. Exemplos: a) Queremos saber o valor da seguinte expressão numérica:

2 5 7 1 ·4+ ·2– + + 10 – 3 6 2 6

4 · 22 =

Inicialmente, vamos resolver a radiciação e a potenciação. Disso resulta que: 2 5 7 1 ·4+ ·2– + + 10 – 3 6 2 6

4 · 22 = 2 · 4 + 5 · 2 – 7 + 1 + 10 – 2 · 4 =

Agora, resolvemos as multiplicações. Desse modo: =

2 5 7 1 ·4+ ·2– + + 10 – 2 · 4 = 3 6 2 6

8 10 7 1 + – + + 10 – 8 = 6 2 3 6

Então, passamos às somas e às subtrações. Como há frações para somar, calculamos, em primeiro lugar, o mínimo múltiplo comum (MMC) de seus denominadores. Verificamos que o MMC entre 6, 2 e 3 é o 6. Então, temos que: =

8 10 7 1 + – + + 10 – 8 = 2 6 3 6

16 + 10 − 21 + 1 + 10 – 8 = 6

6 + 10 – 8 = 6

= 1 + 10 – 8 = 3 b) Queremos agora saber o valor da seguinte expressão numérica:

3·

64 ·

1 + 42 = 3

Álvaro Emílio Leite ◦ Nelson Pereira Castanheira

Capítulo 1 ◦ Expressões

Primeiramente, resolvemos as potenciações e as radiciações. Temos que: 3·

64 ·

=3·8·

1 + 42 = 3 1 + 16 = 3

Agora, vamos resolver as multiplicações e as divisões. Temos que: =3·8· =

1 + 16 = 3

24 + 16 = 3

= 8 + 16 = Finalmente, resolvemos a soma. Então: = 8 + 16 = 24

1.1.1 Aplicação prática de expressões numéricas Em nosso dia a dia nos deparamos com situações em que uma expressão numérica pode solucionar um problema. Suponhamos que você fez uma compra de alguns produtos em uma loja de departamentos e, ao chegar em casa, resolveu conferir o preço de cada item adquirido. Na nota fiscal, entretanto, havia um valor ilegível, referente a determinado produto. Como descobrir o preço dele? Bem, você tem em mãos uma nota com os nomes das mercadorias adquiridas e os respectivos preços. Um deles está ilegível, mas você sabe o quanto pagou pela compra. Imaginemos que eram 8 itens, cujos preços estavam assim discriminados: 17,00 + 21,50 + 12,45 + 23,00 + ? + 10,90 + 18,00 + 15,55 = 130,00 Para determinar o preço do item ilegível, somamos os valores conhecidos e encontramos: 118,40 + ? = 130,00 Então, qual é o valor do item ilegível? Basta fazer a subtração 130,00 – 118,40 e encontramos o valor de 11,60. Observe então que, ao passar o valor 118,40 para o outro lado da igualdade, a operação foi alterada, ou seja, uma adição tornou-se uma subtração, passando àquilo que chamamos de operação inversa.

Equações e regras de três

Vamos analisar um exemplo de expressão numérica em que aparecem os sinais de associação. Exemplo: Queremos determinar o valor da seguinte expressão numérica: –5 · {–[2 · (3 – 5)]2 · 3} + 2 = Em primeiro lugar, resolvemos as operações entre parênteses. Disso resulta: = –5 · {–[2 · (–2)]2 · 3} + 2 = Agora, resolvemos aquelas que estão entre colchetes. Assim: = –5 · {–[–4]2 · 3} + 2 = – 5 · {–16 · 3} + 2 = Finalmente, resolvemos as operações entre chaves. Então: = –5 · (–48) + 2 = Como temos multiplicação e subtração, já vimos que as multiplicações sempre devem ser resolvidas primeiro. Temos que: = 240 + 2 = 242

a) 2ab

b) x – 4 2

c) x + 2x – 1

Observe que, no primeiro exemplo, a operação é de multiplicação. No segundo exemplo, temos uma subtração. No terceiro exemplo, há soma, subtração e multiplicação. Veja ainda que, em cada

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Capítulo 1 ◦ Expressões

um dos três exemplos dados, existe uma quantidade diferente de termos. Com base nessa análise, a expressão algébrica constituída por um único termo é denominada monômio. A expressão algébrica que tem dois ou mais termos é denominada polinômio. Entre os polinômios, chamamos a atenção para dois casos em particular: ■■

Quando a expressão tem dois termos, ela é denominada binômio (por exemplo, x – 4).

■■

Quando a expressão tem três termos, ela é denominada trinômio (por exemplo, x2 + 2x – 1).

1.2.1 Definições Constante é uma quantidade que apresenta valor fixo em uma expressão algébrica, sendo repre-

sentada pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, d,... Variável é um símbolo que representa um elemento qualquer de um conjunto de valores consi-

derados, sendo representada pelas últimas letras do alfabeto: ..., v, w, x, y, z.

1.2.2 Valor numérico de uma expressão algébrica Quanto vale uma expressão algébrica? Para a determinação do valor numérico de uma expressão, é necessário que conheçamos o valor numérico de cada variável apresentada nela. Assim, o valor numérico de uma expressão algébrica é um número que se obtém quando se substituem as letras de uma expressão por números e se efetuam todas as operações indicadas. Exemplos: 2

a) Suponhamos a expressão x + 2x – 1. Qual é o seu valor numérico, quando x é igual a 2?

Para o cálculo, basta substituir a incógnita x pelo seu valor, ou seja: 22 + 2 · 2 – 1 = =4+4–1=7

Importante! ■■

As operações têm uma ordem a ser obedecida quando desejamos calcular o valor numérico de uma expressão algébrica: primeiro, efetuam-se as radiciações e as potenciações, em seguida as multiplicações e as divisões e, por último, as somas e as subtrações.

■■

Dá-se preferência aos parênteses, aos colchetes e às chaves, nessa ordem.

b) Sabendo que x = 2 e y = 3, queremos calcular o valor numérico da seguinte expressão

algébrica: {5 + [110x – 2y · (3x)2]} = Vamos, em primeiro lugar, substituir as incógnitas pelos seus valores.

Equações e regras de três

{5 + [110 · 2 – 2 · 3 · (3 · 2)2]} = Agora, vamos resolver de dentro para fora, ou seja, primeiro, os parênteses. = {5 + [110 · 2 – 2 · 3 · (6)2]} = Em seguida, resolvemos a parte da expressão que se encontra dentro dos colchetes. = {5 + [110 · 2 – 2 · 3 · 36]} = = {5 + [220 – 216]} = = {5 + 4} = Por último, vamos resolver o que ficou dentro das chaves. Temos que a expressão algébrica vale 9.

1.2.3 Aplicação prática de expressões algébricas Pense na seguinte situação: a prefeitura de uma cidade vai fazer um loteamento em que os terrenos são retangulares e têm vários tamanhos. Qual é a expressão matemática que permite calcular a área de cada terreno? Como a área de um retângulo é calculada multiplicando-se o lado maior pelo lado menor, a expressão algébrica que permite calcular a área de qualquer terreno é: A=x·y

Em que: x = o comprimento do lado maior y = o comprimento do lado menor

Vamos ver se você entendeu. ■■ Assinale a alternativa que tenha a expressão algébrica que representa um número a somado com o dobro de um número b.

Álvaro Emílio Leite ◦ Nelson Pereira Castanheira

Capítulo 1 ◦ Expressões

a. 2a + 2b b. a + 2b 2

c. a + b

d. 2a + 2b

Se você assinalou a alternativa b, parabéns. Caso contrário, leia novamente o capítulo de expressões algébricas e tente de novo.

1.2.4 Monômios Monômio é a expressão algébrica cujas letras e números aparecem ligados apenas por operações

de multiplicação e de divisão. Observe alguns monômios. Exemplos: 2 3

a) a b c 2

b) 4x y

2x 2 ⋅ 3y 4

1.2.5 Termos Cada monômio que constitui uma expressão algébrica é chamado de termo da expressão. Assim, a expressão algébrica 2x2 + 4x – 3y apresenta três termos, pois tem três monômios que a constituem.

1.2.6 Binômios Um binômio é uma expressão algébrica constituída por dois termos. Exemplos: 2

a) ax + bx 2

b) 3x – 4y c) 3x + 2y

Perceba que os termos são sempre separados pelo sinal de adição ou de subtração.

Equações e regras de três

1.2.7 Trinômios Um trinômio é uma expressão algébrica constituída por três termos. Exemplos: 2

a) ax + bx + c 2

b) a – 5a + 2 c) 3x + 2y – 1

1.2.8 Polinômios Um polinômio é uma soma algébrica de monômios. Polinômio é, portanto, um ou mais monômios separados pelas operações de soma ou subtração. Exemplos: 3 2

a) x x + 10x + 1 2

b) a b – 5ab + 4a c + a 3

c) 2x – 4

1.2.9 Coeficientes Um fator qualquer de um termo pode ser considerado como o coeficiente do resto do termo (dizemos que ele é o coeficiente em relação ao resto do termo). Assim, no termo 8x2y, podemos dizer que 8x2 é o coeficiente de y, ou que 8y é o coeficiente de x 2, ou, ainda, que 8 é o coeficiente de x 2y. Exemplo: No polinômio 5y3 – 6y2 + 8x2y + 4, ordenado em relação a y, os coeficientes são 5, –6, 8x2 e 4. Observe que 4 é o coeficiente de y 0.

1.2.10 Coeficientes numéricos O coeficiente numérico (tratado simplesmente como coeficiente) é a parte numérica que constitui um termo. Exemplos: a) 5, em 5x 2 3

b) 1, em x y

c) 4, em 4y

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Capítulo 1 ◦ Expressões

1.2.11 Termos semelhantes Termos semelhantes são os termos que apresentam a mesma parte literal, podendo diferir apenas em relação aos seus coeficientes numéricos. Exemplos: 2

a) 3x y e 5x y são semelhantes. 2

b) 4abc e 9abc são semelhantes.

É importante observar que podemos agrupar os termos semelhantes em um só termo da expressão. Exemplos: 2

a) 3x y + 5x y = 8x y 2

b) 4abc + 9abc = 13abc 2

c) 5a x – 3a x = 2a x

1.2.12 Grau de um monômio O grau de um monômio é a soma de todos os expoentes da parte literal de um monômio. Exemplos: 3

a) O monômio 3xy é do 4º grau, pois o expoente de x é 1 e o expoente de y é 3. 3 4

b) O monômio 4x y é do 7º grau. c) O monômio 7xyz é do 3º grau.

1.2.13 Grau de um polinômio O grau de um polinômio é igual ao grau do seu termo de maior grau. Exemplos: 4

a) O polinômio x + x + 8 é do 4º grau. 2 3

b) O polinômio 5x y + 3x2y + x y + 1 é do 5º grau. 4 2

c) O polinômio a b c + a b – abc é do 7º grau. d) O polinômio 5x + 3y – 2 é do 1º grau.

Equações e regras de três

1.2.14 Soma e subtração de termos ou monômios Somente podemos somar e subtrair termos que são semelhantes, ou seja, aqueles que apresentam a mesma parte literal. Exemplos: 2

a) 3x + 4x = 7x 2

b) 7b – 4b = 3b 2

c) 9ay +

2 27ay2 + 2ay2 29ay2 ay2 = = 3 3 3

1.2.15 Multiplicação e divisão de termos ou monômios Para a multiplicação ou divisão de termos ou monômios, devemos seguir dois passos: 1. multiplicamos ou dividimos os coeficientes; 2. aplicamos as regras de multiplicação ou de divisão de potências de mesma base para

multiplicar ou dividir a parte literal. Exemplos: a) 3x

· (–2x) = –6x3

b) (–2ab)

· (–5b) = 10ab2

c) 15y = –5y

15y3 = –5y −3y2

−20a2 = 5a-3 −4a5

1.2.16 Potência de termos ou monômios Vamos partir da análise de um exemplo. Suponhamos que queremos elevar ao quadrado o monômio 3xa3. Temos que: (3xa3)2 = (3xa3) · (3xa3) = 9x2a6 Ou seja, elevamos o coeficiente ao quadrado e, para a parte literal, aplicamos a regra da multiplicação de potências de mesma base.

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Capítulo 1 ◦ Expressões

Exemplos: 2

f) 3x · (–2x) = –6x g) (–2ab)

· (–5b) = 10ab2

15y3 = –5y −3y2

−20a2 5 = 5a-3 = 3 −4a5 a

1.2.17 Radiciação de termos ou monômios Já sabemos que, para extrair a raiz de um radical, temos de descobrir qual é o fator (ou número) que, elevado ao índice do radical, resulta no radicando. Por exemplo, se quisermos saber qual a raiz cúbica de 8 ( 3 8 ), temos de descobrir que número, elevado a 3, resulta em 8. Sabemos que esse número é o 2, pois 23 = 8. Para extrair a raiz de um termo ou monômio, temos de dividir o expoente da variável pelo índice do radical. Se o índice do radical for ímpar, o coeficiente do radicando pode ser positivo ou negativo. Entretanto, se o índice for par, o coeficiente do radicando tem de ser, necessariamente, positivo, pois qualquer base elevada a um expoente par tem como resultado um número positivo. Exemplos: 9x 4 = 32x4 = 3x2

a) b)

8x 7 = 22 ⋅ 2 ⋅ x 6 ⋅ x = 2x3 2x

c) d)

64 x15 = 43 x15 = 4x5

−250x5 y7 = 3 2 ⋅ (−53 ) ⋅ x3 ⋅ x2 ⋅ y6 ⋅ y = –5xy23 2x2 y

1.3 Operações com expressões algébricas 1.3.1 Soma e subtração de expressões algébricas Somente podemos somar ou subtrair os termos semelhantes de uma expressão algébrica. Se forem semelhantes, somam-se ou subtraem-se os coeficientes e repete-se a parte literal. Exemplos: a) (x + 2y) – (3y – x) = x + 2y – 3y + x = 2x – y 2

b) (9x + 5x – 2x) – (3x + 4x + x – 72) = 9x + 5x – 2x – 3x – 4x – x + 72 = 6x – 2x + 72

Equações e regras de três

1.3.2 Multiplicação de expressões algébricas Para a multiplicação de expressões algébricas, multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e, em seguida, reduzem-se os termos semelhantes. Exemplos: a) (x + 2) · a = ax + 2a 2 2

3 3

b) (2a y ) · (3ay) = 6a y

c) 4x · (2x – 3y + 4z) = 6x – 12xy + 16xz 2

d) (2a + 3b) · (a + b + c) = 2a + 2ab + 2ac + 3ab + 3b + 3bc = 2a + 5ab + 2ac + 3b +3bc

1.3.3 Divisão de um polinômio por um monômio Para a divisão de uma expressão algébrica por um monômio, divide-se cada termo da expressão pelo monômio, dividindo-se os coeficientes numéricos do dividendo e do divisor. Para a parte literal, devem ser obedecidas as regras de divisão de potências de mesma base. Exemplos: 4 3

a) 35x y z ÷ 7x yz = 5xy 4 2

b) 4a b ÷ 2ab = 2a b

1.3.4 Divisão de um polinômio por outro polinômio Para a divisão de um polinômio por outro polinômio, devemos proceder como nos exemplos a seguir. Exemplos: 4

a) (x – 2x + x + x – 1) ÷ (x – 1)

Divide-se o termo de mais alto grau do dividendo pelo termo de mais alto grau do divisor. Em seguida, multiplica-se o quociente obtido por cada termo do divisor. No exemplo, divide-se x4 por x. O resultado é x 3. Multiplica-se, então, x 3 por (x – 1), troca-se o sinal do resultado da multiplicação e subtrai-se do dividendo esse resultado, e assim sucessivamente, com os termos de menor grau. x4 – 2x3 + x2 + x – 1 4

x–1

– x + x x3 – x2 + 1 – x3 + x2 + x3 – x 2

0+x–1

–x+1 0

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Capítulo 1 ◦ Expressões

b) (2x – 4x + x – 1) ÷ (x + 2x + 1)

2x3 – 4x2 + x – 1 – 2x3 – 4x2 – 2x

x2 + 2x + 1 2x – 8

– 8x – x – 1 + 8x2 + 16x + 8

15x + 7

Este é o resto da divisão.

1.4 Produtos notáveis Vale a pena recordar os produtos notáveis. Isso facilitará bastante os seus cálculos envolvendo expressões algébricas. Os principais produtos notáveis são os seguintes: ■■ Quadrado da soma de dois termos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Vamos desenvolver essa expressão: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Regra! O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

■■ Quadrado da diferença de dois termos: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Vamos desenvolver essa expressão: (a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2

Regra! O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Equações e regras de três

1.5 Fatoração Fatorar nada mais é do que transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores. Vamos recordar alguns exemplos simples. 3x2 + 2x – 4xy Observe que nos três termos há um fator comum, o x. Vamos, então, colocá-lo em evidência, ou seja, mostrá-lo como fator que multiplica toda a expressão. Assim: x · (3x + 2 – 4y) Como fizemos isso? Uma expressão não se altera se a multiplicarmos e a dividirmos pelo mesmo número. Como a expressão foi multiplicada por x (o fator comum), nós a dividimos por x (é o mesmo que multiplicar a expressão por 1). O resultado dessa divisão está dentro dos parênteses. Exemplos: 3

a) 12x + 8x – 4xy + 4x

Nesse exemplo, o fator comum é 4x. Vamos, então, colocá-lo em evidência e dividir toda a expressão por esse valor. Assim: 12x3 + 8x2 – 4xy + 4x = 4x · (3x2 + 2x – y + 1) b) x3 + 6x + 12xy

O fator comum é x. Assim: x3 + 6x + 12xy = x · (x2 + 6 + 12y) 2

c) 4x + 4xy + y

Observe que, nesse exemplo, temos um produto notável, ou seja: 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y) · (2x + y) = (2x + y)2 2

d) a – 4a + 4

Novamente, temos um produto notável, ou seja: a2 – 4a + 4 = (a – 2) · (a – 2) = (a – 2)2

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Capítulo 1 ◦ Expressões

e) x – 4

Mais uma vez, temos um produto notável, ou seja: x2 – 4 = (x + 2) · (x – 2)

Síntese Uma expressão numérica é uma sequência de números interligados por operações matemáticas. Uma expressão algébrica (ou expressão literal) é um agrupamento de variáveis ou de constantes e variáveis interligadas por sinais de operação. Para a determinação do valor numérico de uma expressão algébrica, é necessário que conheçamos o valor numérico de cada variável envolvida na expressão. Os termos de uma expressão algébrica são os monômios que a constituem. Um binômio, um trinômio e um polinômio são constituídos, respectivamente, por dois, três e mais monômios separados pelas operações de soma ou subtração. O coeficiente numérico, ou simplesmente coeficiente, é a parte numérica que constitui cada termo. Para facilitar a resolução de problemas com expressões algébricas, lançamos mão de produtos notáveis ou fatoramos a expressão algébrica.

Questões para revisão Resolva as expressões numéricas e, em seguida, marque a resposta correta. 2

1. 2 · {–3[1 + (3 – 5)] } a) –52 b) –6 c) 3 d) 1

 2  2 +  3 

2.  −

a) −

8 4

b) −

8 9

3 7

7 3

4 −2 9

Equações e regras de três

3. 8,06 ÷ 2,6 + 4,1

· (–5)

a) 13,5 b) –17,4 c) –2,71 d) –13,5 2

4. 4,5 – 3 ÷ 3 a) –6,25 b) –6,50 c) –6,75 d) 17,25 5. –

1 2 · {4[–1(3 – 2)]100 – 4(5 − 7) } 3

–

1 3

b) 1

1 3

d) 0 2

6. Calcular o valor numérico da expressão {2 + [5x – 4] + 3 · [2x + 1]} para x = 1. a) 84 b) 30 c) 15 d) 144 2

7. Calcular o valor numérico da expressão a + b para a = –2 e b = –3. a) –13 b) –5 c) –11 d) +13 3

8. No monômio –4a xy , o coeficiente de x é: 3 3

a) –4a y 3

b) –4a c) –4 d) 4

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Capítulo 1 ◦ Expressões

9. Qual é o grau da expressão 2x + 5 – 2? a) zero b) 1º grau c) 5º grau d) 2º grau 10. Reduza os termos semelhantes na expressão

x2 y3

5x2 4y3

3x2 y3

2x2 3y3 2

x2 x2 3x2 + + 3 3 y 2y3 2y

11. Sendo A = 2x + 3x – 2, B = 2x – x + 2, e C = x + 3x + 3, calcule A · B – C. 4

a) 4x + 4x – 4x + 5x – 7 b) 4x + 2x – 4x + 5x + 3 c) 4x + 4x + 4x – 5x – 7 d) 4x – 2x + 4x + 5x + 3 6

12. Calcule (x – x – 2x + 2x – 1) ÷ (x – 1). 4

a) x – x + Resto = 2x – 3 4

b) x – 2 + Resto = 2x – 3 4

c) x + 2 + Resto = 2x – 1 4

d) x – 2 + Resto = 2x – 1 2 –3

13. Calcule (–5x y )3. 6 –9

a) –5x y 5

b) –5x y 5

c) –125x y 6 –9

d) –125x y

14. Fatore 2(a + 1) – 3(a + 1) + b(a + 1). a) (–a + 1) · (b – 1) b) (a + 1) · (b – 1) c) (a – 1) · (b + 1) d) (–a + 1) · (b + 1)

Equações e regras de três

3 2

4 3 4

15. Fatore 15a x y – 30a xy + 45a x y . 2

2 2 3

a) 30a xy · (ax – 2y + 3a x y ) b) 15axy · (axy – 2y + 3a x y ) 2

2 2 3

c) 15a xy · (ax – 2y + 3a x y ) 2

2 2 3

d) 30axy · (axy – 2y + 3a x y )

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