Simulado Verde MAT - LUNOS/CAD

SIMULADO VERDE · MATEMÁTICA

RESOLUÇÕES COMENTADAS 1. c Como 365 = (7 · 52) + 1, temos que ao final de um ano não bissexto sobra 1 dia da semana. Assim, no bissexto sobram 2 dias. Sendo 2004 ano bissexto, temos a seguinte tabela.

x 10 m

120° 60°

Ano

Dia da semana de início

2002

terça-feira

2003

quarta-feira

2004

quinta-feira

2005

sábado

2006

domingo

2007

segunda-feira

2. b A quantidade Q de sódio diária é dada por Q = 650 H 2.407 mg = 2,4 g 0,27 Observe que: 840 \ 200 = 4,2 Assim, basta multiplicarmos 275 kcal por 4,2 e obtemos esse valor em kJ s 275 · 4,2 = 1.155 kJ 3. b A distribuição dos estados por região brasileira é: Sul com 3 estados, Sudeste com 4 estados, Centro-Oeste com 3 estados, Norte com 7 estados e Nordeste com 9 estados. Para a escolha destas comissões, temos: C3,2 · C4,2 · C3,2 · C7,2 · C9,2 =

x 10 m d

Quando o poste estiver completamente na vertical, pode-se usar o teorema de Pitágoras: x2 = d 2 + 102 s 244 = d 2 + 100 s d 2 = 144 s d = 12 Assim, o guincho ainda se desloca 4 m para deixar o poste na vertical.

8. c A x 3x

5. b Para fazer uma estimativa do número de placas, devemos contar quantas são as possíveis placas, para cada uma das possíveis: 7! = 35 permutações possíveis 4! ⋅ 3!

Agora escolhendo 4 letras e 3 algarismos, temos: 26 · 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 = 264 · 103 Por fim, um total de 35 · 264 · 103.

Para estimar o valor desse número, vamos considerar: • 262 H 7 · 102 então 264 H 50 · 104 = 5 · 105 • 35 H 3 · 103 Assim: 35 · 264 · 103 H 5 · 105 · 3 · 10 · 103 = 15 · 109, ou seja, 15 bilhões 6. e Como Pedrinho retira as bolinhas em grupos de 25, 20, 18 ou 16 e sempre sobram 12, o número de bolinhas no pote é dado por: MMC(25, 20, 18, 16) = 3.600 mais 12.

Ou seja: 7.800 < 3.600n + 12 < 11.532 s 7.800 – 12 11.532 – 12 s <n< 3.600 3.600 s 2,16 < n < 3,2 s n = 3 Assim, Pedrinho tem 10.812 bolinhas de gude.

O

C

α

Inicialmente vamos encontrar o valor de x no triângulo OAB.

(

(3x)2 + x2 = 10 5

)

2

s 9x2 + x2 = 500 s

s 10x2 = 500 s x2 = 50 s sx=5 2 Assim, o braço OAB todo esticado mede 4 · 5 2 = 20 2 m.

Por outro lado, temos que sen a=

3 5 6 . = 25 10 5

Com o braço todo esticado e fazendo o ângulo máximo 2a, temos: B

A h O

2α

sen 2a = 2sen a · cos a, em que: 3 5 sen2 a + cos2 a = 1 s    25 

s

7. e

B 6

3!

4!

3!

7!

9! · · · = 40.824 · 2!1! 2!2! 2!1! 2!5! 7!2!

4. c Como os múltiplos de 5 terminam em zero ou cinco, e sobram 3 alunos, esse 3 deve ser adicionado ao total de alunos. Assim, as possibilidades seriam: 8, 13, 18, 23, 28,...

AAAA111 s temos

8m

Pelo teorema dos cossenos, pode-se encontrar x, que é o tamanho do cabo de aço: x2 = 102 + 82 – 2 · 10 · 8 · cos 120° s s x2 = 100 + 64 + 80 s x2 = 244

s cos a =

2

+ cos2 a = 1 s cos2 a = 1 – 45 s 625

2 145 25

Agora sen 2a = 2 ·

3 5 2 145 12 29 · = 25 25 125

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1

Do triângulo, temos: sen 2a = sh=

12. e Considerando a altura do cone como H, temos:

h 12 29 s = 20 2 125

9. d Pelas informações do enunciado, podemos completar a figura da seguinte maneira: Minas Gerais

E x

Rio B

60

Ponte

40

C

D

São Paulo

120 – x

A

Os triângulos ABC e EDC são semelhantes (caso AA).

Assim:

120 – x 120 – x 60 3 = s s 3x = 240 - 2x s = x x 40 2

s 5x = 240 s x = 48 km 10. d Para encontrarmos a distância média entre um átomo de cloro da base da pirâmide aos outros átomos de cloro, temos que encontrar 4 distâncias.

13. a Primeiramente vamos encontrar o raio R do aro da cesta A: 4 V= · π · R3 s 36.000π = 4 · π · R3 s R3 = 27.000 s R = 30 cm 3 3 3 O raio r do aro da cesta B é · 30 = 22,5 cm que é também o 4 raio da bola menor.

A área da superfície esférica é dada por: A = 4 · π · r2 s s A = 4 · π · (22,5)2 s A = 2.025π cm2

14. b A área total do alvo é: π · 202 = 400π cm2 A área da região I é: π · 52 = 25π cm2 A área da região II é: π · (122 – 52) = 119π cm2 A área da região III é: π · (202 – 122) = 256π cm2 A probabilidade de acertar a RI, RII e RIII ou qualquer uma de suas permutações é: 25 π 119 π 256 π 357 · · · 3! = 400 π 400 π 400 π 5.000 15. a A média dos 4 meses anteriores a abril é dada por: M=

35.000 + 12.000 + 27.000 + 12.000 = 21.500 m3 de chuva 4

Assim, no mês de abril chove, no máximo, 43.000 m3.

Chovendo o máximo previsto, em abril haverá um volume acumulado de 35.000 + 12.000 + 27.000 + 12.000 + 43.000 = = 129.000 m3 O volume do reservatório é de: 1 4 s V= π·a∙b∙c∙ 2 3

5

3

h 1 =k = H 4 Como a constante de proporcionalidade entre lados é k, a constante de proporcionalidade entre volumes é k3. Assim, se v é o vov 1 = lume do dosador e V é o volume da taça, temos: = k3.

V 64 Se a parte que já foi usada é 1 em 64, ainda faltam 63 partes. h = 0,25H s

240 58  14,6 m 125

4

1

sV=

2

Como a distância entre o átomo de fósforo e o de cloro é 1 unidade, para encontrar a distância entre 1 e 2, 1 e 4 e entre 1 e 5, devemos encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 1: d2 = 12 + 12 s d2 = 2 s d = 2 A distância entre 1 e 3 é de 2 unidades.

Assim, a distância média entre um átomo de cloro da base da pirâmide aos outros átomos de cloro é: 2 + 2 + 2 +2 3 2 +2 d = = 4 4 11. d Os polígonos citados são aqueles que apresentam ângulos internos com valores inteiros. Como a soma do interno com o externo deve ser 180°, ambos devem ser inteiros.

O ângulo externo de um polígono regular é calculado por: 360° , para que ae seja inteiro, n deve ser um dos divisores n de 360.

Mas por condição de existência de um polígono n > 2.

Os divisores positivos de 360 = 23 · 32 · 5 são dados por: (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24 Então, os possíveis valores de n são: 24 – 2 = 22 ae =

2

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4 1 s V = 140.000 m3 · 3 · 250 · 35 · 8 · 3 2

Assim fica claro que, com a previsão de chuva, o reservatório não ficará cheio neste período.

16. b a 3 eo Um triângulo equilátero de lado a tem altura dada por 2 raio da circunferência inscrita, a 3 .

6 a 3 = 7 s a = 14 = 8 cm Sendo assim o lado do triângulo vale: 2 1,75 O comprimento da circunferência é: 8 3 8 ⋅ 1,75 = 2π · = 14 cm C = 2π · 6 6 Assim, foi usado 7 cm da altura, 24 cm do triângulo e 14 cm da circunferência, em um total de 45 cm desse material.

17. c Como o síndico só paga água e luz, somente essas contas devem ser divididas por 20.

Assim:

725 + 2.735 = 173 20

As outras contas devem ser divididas por 19.

Assim:

10.500 + 250 + 3.200 + 1.535 = 815 19

O total do condomínio aos moradores será 173 + 815 = 988 reais 18. d Como a escala de maquete é de 1 : 100, então as dimensão originais são 5 m × 4 m × 6 m. Assim, seu volume é de 120 m3, que correspondem a 120.000 L. 19. e O número mínimo de jogos consiste em ele ganhar todos os próximos jogos.

Como o score atual é de 50,5%, então ele ganhou 0,505 · 200 = = 101 partidas.

Ele deve ganhar mais x jogos para ter o score de 60%, então: 101 + x > 0,6 s 101 + x > 0,6 ∙ (200 + x) 200 + x

101 + x > 120 + 0,6x s 0,4x > 19 s x > 47,5 Assim ele deverá jogar, no mínimo, mais 48 jogos e ganhar todos eles.

20. d Considere c a comida produzida no primeiro dia e p o número de pessoas. c = 0,5 s c = 0,5 (p – 15) s c = 0,5p – 7,5 (I) Da terça-feira: p – 15 Da quarta-feira:

1,05c = 0,5 s 1,05c = 0,5(p + 4) s 1,05c = 0,5p + 2 (II) p+4

Subtraindo-se (II) de (I): 0,05c = 9,5 s c = 190 kg Assim, p = 395 pessoas, que precisam de 395 · 0,5 = 197,5 kg de comida.

Observação: Na equação (II) foi usado p + 4 por causa da sobra de 2 kg de comida, já que cada prato é para 0,5 kg.

21. c Para calcular o resultado do ataque, temos: 21 27 15 ⋅5 + ⋅3 + ⋅1 100 100 100 = 0,22 9 22. e A altura que o atleta atingirá será máxima quando a função g(v) = 0,4v2 – 40v + 1.050 atingir seu mínimo.

A função tem mínimo em:

( 40 2 - 4 ⋅ 0,4 ⋅ 1.050 ) = 50 y=– D =– 4 ⋅ 0,4 4a Assim, a altura máxima será: h =

1.010 = 20,2 dm = 2,02 m 50

23. b Na modalidade 1 de descontos, Leila irá matricular seu primeiro filho e indicará os outros dois. Assim, o primeiro pagará 70% da mensalidade x e os outros dois 100% de x, pagando um total de 2,7 · x.

Na modalidade 2 de descontos, Leila irá matricular seus filhos como irmãos e assim ganhará 8% de desconto sobre cada mensalidade x. Assim, pagará 92% de x vezes três, em um total de 2,76 · x.

Comparação entre 2 e 1: 2,76 x = 1,022 2,7x Portanto, gastará 2,2% a mais.

24. d Como o valor atual da televisão é de R$ 1.400,00 e este será pago em 1 + 2x de R$ 600,00, devemos atualizar as duas parcelas futuras C1 e C2. Assim, as três parcelas ficam: C0 + C1 + C2 = 1.400, em que 600 = C1 (1 + i) e 600 = C2 (1 + i)2.

Então C1 =

600 600 . e C2 = (1 + i ) (i + 1) 2

Fazendo (1 + i) = x, temos: 600 +

600 600 + 2 = 1.400 s x x

1 1 s 600  + 2  = 800 s x x  3 3 =4s + x x2 2 s D = 3 – 4 · 4 · (–3) = 57 s

189 3± 3 ± 57 25 = 33 = 1,32 = sx= 8 8 25 Assim, i = 32%.

25. b Como as barras estão soldadas, a barra A ficará com 1,3 do comprimento inicial e a B com 1,45. Assim, a B ficará maior que a A. Isso está representado na figura B. 26. e Com a regra da alfândega só serão taxados US$ 700,00 do valor do produto.

Assim, o total gasto será: (700 · 1,5 + 500) · 2,45 = 3.797,50 reais 27. a Como dois pontos do triângulo são dados por (0; 0) e (6; 0), a base desse triangulo tem 6 unidades, a altura será dada pela ordenada. Assim, como 1 60 – 2 x 2x + 3y = 60 s y = 60 – 2 x , a área será: A(x) = ·6s · 2 3 3 s A(x) = 60 – 2x 28. c Para encontrar a relação que define o número de litros por km rodado em cada instante do dia, basta fazer: π ⋅t   )s L(n(t)) = 6 · (20.000 + 1.500 ∙ cos  20.000 + 1.500 ⋅cos   16     π ⋅t  s L(n(t)) = 120.000 + 9.000 ∙ cos   16  29. a Em t1, como o número de usuários aumentou e a densidade não, certamente o número de vagões aumentou. Em t2 a quantidade de usuários permaneceu quase constante, mas a densidade aumentou, assim, o número de vagões diminuiu. Em t3 o número de usuários voltou a crescer, mas a densidade cresceu muito menos (ficando quase estável), então, novamente, aumentou o número de vagões.

30. a Como a intensidade passa a ser 25% da anterior a cada metro de profundidade, temos que a função que define esse gráfico é do tipo: p

1 I(p) = I0 ·   , que é mais bem representada pela alternativa a.  4 31. a A primeira máquina passa pelos pontos: (0, 260) e (60, 440).

Assim a função que a define será: f(x) = ax + b s f(0) = b = 260 e f(60) = 60a + 260 = 440 s 60a = 180 s a = 3 Assim: f(x) = 3x + 260 A segunda máquina passa pelos pontos: (0, 20) e (60, 440).

Assim a função que a define será: g(x) = ax + b s g(0) = b = 20 e g(60) = 60a + 20 = 440 s 60a = 420 s a = 7 Assim: g(x) = 7x + 20 Portanto, o incremento de peças por kg da primeira é 3 e da segunda é 7, ou seja, uma diferença de 4 unidades.

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3

32. d Como na primeira etapa a subida era constante, temos uma função linear, pois o incremento é constante. Já na segunda etapa, a subida é exponencial, pois a cada instante ele sobe 10% a mais que a anterior, ou seja, sobe x, depois 1,1x, depois 1,1 · 1,1x que equivale a (1,1)2 · x, e assim por diante.

33. e T(0) = 20 + 60 = 80, ou seja T(0) representa a temperatura máxima a ser atingida pelo café.

Para T(x) = 30, temos: 30 = 20 + 60 · 10

–

x 4

s 60 · 10

–

x 4

x 4

x = -log 2 - log 3 s s4 -

x x = - 0,3 - 0,48 s = - 0,78 s x = 3,12 minutos = 4 4

= 3 minutos e 60 · 0,12 segundos = = 3 minutos e 7,2 segundos H 3 min e 7 s 34. a De acordo com o enunciado, a ave atravessa a linha-d’água aos 5 segundos, sendo essa uma das raízes de f(x). Como o mergulho dura sempre 5 segundos, a outra raiz é 10. Assim, pelas equações de Girard, a soma das raízes será 56 e x1 + 5 = x2, então: x1 + x2 + x3 + x4 = 56 s x1 + x1 + 5 + 5 + 10 = 56 s 2x1 = 36 s s x1 = 18 e x2 = 23 35. b Para resolver a equação: x6 = 1 s x6 – 1 = 0 s s (x3 – 1)(x3 + 1) = 0 s s (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1) = 0 Para (x – 1 = 0) ou (x2 + x + 1 = 0) ou (x + 1 = 0) ou (x2 – x + 1 = 0).

1 + i 3 1 - i 3 -1 + i 3 -1 - i 3   Cujas raízes são 1; -1; ; ; ;  2 2 2 2   Com representação no plano como a apresentada a seguir, que apenas por translação faria algo como a figura da alternativa b.

x3

x2

x4

x1

x5

x6

36. e Para o caso da poupança, basta calcular o rendimento pela fórmula: P = 2.000 ∙ (1,005)4 = 2.000 ∙ 1,02 = 2.040 Para o CDB, ao final de cada mês, o rendimento será de 75% do valor capitalizado. Assim, ao final do primeiro mês, temos: 2.000 ∙ (1 – 0,75 · 0,008).

Ao final do segundo: 2.000 ∙ (1 – 0,75 · 0,008) ∙ (1 – 0,75 · 0,008) = = 2.000 ∙ (1 – 0,75 · 0,008)2

4

37. e N = N0 · e–l ∙ t s e–l ∙ t =

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N s N0

N   1 ∙ n  s –l ∙ t = n  N  s t = –  s l N N0   0

= 10 s

x 1 = log 1 s ss 10 = 4 6 6 x x = log 1 - log 6 s s= 0 - log (2 · 3) s 4 4 –

Até chegar no final do quarto mês: C = 2.000 ∙ (1 – 0,75 · 0,008)4 = 2.000 ∙ (1,006)4 = 2.048 Assim, o CDB rende 8 reais a mais neste período.

  s t = n  N  N  0

–

1 l

1

N l s t = n  0  s t = n N

l

N0 N

38. c Para encontrar essa probabilidade, devemos calcular em que momentos o escalador atravessou os intervalos de altitude e o tempo em que ficou em cada uma.

Na primeira parte da função: A(t) = –t2 + 304t + 800 Observe que, para –t2 + 304t + 800 = 2.000, temos t = 4 ou t = 300 Altitude

800

2.000

2.295

Hora

0

4

5

Na segunda função: A(t) = 569t – 550 Altitude

2.295

3.000

3.433

Hora

5

H 6,2

7

Na terceira função: A(t) = –1.316t + 12.645 Altitude

3.433

3.000

2.000

801

Hora

7

H 7,3

H 8,1

9

Tabulando os dados, temos: Altitude

Horas (probabilidade de morte)

abaixo de 2.000 m

4,9 (3%)

de 2.001 m a 3.000 m

3 (15%)

de 3.001 m até 4.000 m

1,1 (24%)

acima de 4.001 m

0

Assim o risco de morte é: P =

4,9 ⋅ 3 + 3 ⋅ 15 + 1,1⋅ 24 = 9,57% 9

39. d Um cubo com 16 m de aresta tem volume de 163 = 4.096 m3, equivalente a aproximadamente 4,1 · 109 mL.

19,3 g 1 mL x 4,1 ∙ 109 mL Então x H 7,9 · 1010 g

1 g US$ 38,00 7,9 · 1010 g y Então: y H 3 · 1012 que são 3.000 bilhões de dólares Consultando a tabela dada, seria equivalente ao 6o PIB mundial, entre a Alemanha e a Rússia.

40. b Como a droga deve ser administrada quando a taxa estiver abaixo de 25 mg/L, temos que:

43. e Como na tabela constam 25% + 38% + 27% = 90%, os 30 estudantes que passam mais de 6 horas por dia navegando na internet são 10%.

Assim, o grupo tem um total de: 10% · x = 30 s x = 300 estudantes C 300 Para sabermos a relação candidato vaga, temos: = = 7,5 V 40 Para encontrarmos a média de horas passadas na internet, devemos primeiro encontrar a média de tempo de cada intervalo pesquisado.

mg/L 175

150

125

100

75

1 hora

25%

3 horas

38%

5 horas

27%

15 horas

10%

50

Assim a média será: 25 Horas 0

25 ⋅ 1+ 38 ⋅ 3 + 27 ⋅ 5 + 15 ⋅ 10 = 4,24 = 4 horas 14 minutos e 100 24 segundos

M =

2

4

6

8

10

Portanto, a droga foi administrada 2 vezes.

41. c O cliente que teve desconto de 10% tinha uma conta de 0,9x1 = 122,4 s s x1 = 136 (desconto de R$ 13,60) O cliente que teve desconto de 15% tinha uma conta de 0,85x1 = 122,4 s s x1 = 144 (desconto de R$ 21,60) O cliente que teve desconto de 20% tinha uma conta de 0,8x 1 = 122,4 s s x1 = 153 (desconto de R$ 30,60) Então os descontos foram de 13,6; 21,6 e 30,6, respectivamente.

Assim, a média de desconto foi: x =

13,6 + 21,6 + 30,6 H R$ 21,90 3

42. d Analisando os dados da tabela, os isótopos-pais decrescem exponencialmente, e os isótopos-filhos crescem em escala logarítmica, função inversa da primeira. A melhor representação é a apresentada na alternativa d.

44. c Os nove estados do Nordeste são: Alagoas, Bahia, Ceará, Maranhão, Paraíba, Pernambuco, Piauí, Rio Grande do Norte e Sergipe.

2,8 + 2,8 + 4,0 + 3,4 + 13,4 + 11,6 + 8,8 + 4,2 + 3,5 = 6,05 Média de: 9 E os estados da região Sudeste são: São Paulo, Rio de Janeiro, Espírito Santo e Minas Gerais.

Média de: 1,5 + 2,2 + 2,3 + 5,9 = 2,97 4 Assim, o risco de um jovem negro ser assassinado no Nordeste é o dobro em relação ao Sudeste.

45. e Considere: D = a criança é daltônica M = a criança é do sexo masculino.

D Queremos a probabilidade condicional P   : M 1 D 1 P D ∩ M) = 4 = P  = ( M 2 P (M ) 1 2

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