Modulo septimo cuarto periodo by Julio Ortega Díaz

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º

ESTUDIANTE

GRUPO

MEDIADOR PERIODO

JULIO ORTEGA DÍAZ Sept.- Nov. DURACIÓN de 2012

ASIGNATURA

Matemáticas y Geometría

7º

AREA:

Matemáticas

Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales

PROPÓSITO DEL ÁREA

META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO

META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO

Desarrollar habilidades y destrezas numéricas estadísticas y algebraicas mediante la solución de problemas cotidianos en el conjunto de números reales. Utilizar las medidas de tendencia central y los movimientos de traslación, reflexión y rotación en la Solución de problemas. ¿Cómo resolver problemas matemáticos y cotidianos utilizando las medidas de tendencia central?

TÓPICO GENERADOR

1. 2. 3. 4.

CONTENIDOS

Conceptos básicos de estadística Tabla de frecuencias. Diagramas. Las mediadas de tendencia central para datos no agrupados

5. Medidas de tendencia central para datos agrupados. 6.

La construcción de histogramas y polígonos de frecuencias

METAS DE PERIODO

COMPRENSIÓN

DEL

Movimientos de traslación, reflexión y rotación.

a. Comprender conceptos básicos de estadística. b. Comprender

como

construir

tablas

frecuencias. c.

Comprender la solución de problemas con las medidas de tendencia central para datos no agrupados y agrupados.

d. Comprender la construcción de histogramas y polígonos de frecuencias. e.

Comprender los conceptos de traslación, reflexión y rotación en el plano.

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES COMPETENCIA ESTÁNDAR

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN

FECHA

VALORACIÓN CONTINUA

Usa medida de tendencia central (media, moda, mediana) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos. .

Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán talleres predeterminados utilizando las mediadas de tendencia central.

Semanas 1-3

Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio

Semanas 4-7

Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio

Semana 8

Revisión del docente

Con base en los contenidos de problemas aplicando las medidas de tendencia central se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.

taller por parte del

Semana 9 Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico del estudiante durante el período.

NIVELES DE META

SUPERIOR

Utiliza las medidas de tendencia central y los movimientos de traslación, reflexión y rotación en la solución de problemas más complejos.

ALTO

Utilizar las medidas tendencia central y movimientos traslación, reflexión rotación en la Solución problemas.

de los de y de

BÁSICO

BAJO

Describe el procedimiento utilizado en las medidas de tendencias centrales y los movimientos de traslación, reflexión y rotación en la solución de problemas.

Se le dificulta comprender los procedimientos para calcular medidas de tendencias central y los movimientos de traslación, reflexión y rotación.

RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO) 

Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.

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Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar las actividades sugeridas en el módulo de estudio.



Utilización del video beam para la proyección de videos y animaciones.

INTRODUCCIÓN La estadística, combinada con la probabilidad, es actualmente una estupenda herramienta para el estudio del comportamiento de ciertas características de poblaciones analizadas por las ciencias naturales, como la biología , física y química, y por las ciencias sociales como la psicología y la sociología, no sólo como un instrumento para describir el comportamiento histórico actual , sino para predecir posibles modificaciones en caso de cambiar las condiciones en las que se presentan esas características. En la era de la tecnología actual, estadística y probabilidad están íntimamente unidas al uso de programas de computadora, que no solo permiten calcular las medidas estadísticas y la probabilidad de ocurrencia de eventos, sino, de alguna forma, predecir la forma de actuar de las variables poblacionales en un futuro próximo. La mala interpretación, en algunos casos, se debe a que no se satisface intereses personales; en otras ocasiones, se presentan acomodadas a ciertas circunstancias, pero generalmente es la falta de información sobre la metodología empleada, es decir, cómo fue su diseño, qué grado de confiabilidad tiene, cuál es su cobertura y cuál es su verdadero significado o intención, si la tiene. Finalmente, se podrá decir que aquellos hechos cuyas características cualitativas pueden cuantificarse, son tenidos en cuenta por la estadística. El amor a la patria o al trabajo no se pueden medir, pero sí el número de personas por cargos, ocupación, sexo, profesión, el número de artículos vendidos por departamentos, marcas, modelos, sucursales, etc., son ejemplos de características cualitativas que se abarca la estadística.

CONCEPTOS CLAVES

          

Datos Frecuencia Variables Variable discreta Variable continua Sumatoria Tabla de frecuencia Intervalo Media aritmética Mediana Moda

MARCO TEÓRICO CONTENIDO

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CONCEPTOS BASICOS DE ESTADÍSTICA ESTADISTICA. Es la ciencia encargada de recoger, ordenar, analizar, e interpretar datos numéricos para obtener conclusiones a través de ellos. POBLACIÓN. Es el conjunto de elementos sobre los cuales se va a estudiar una o varias características. MUESTRA. Es una parte representativa de la población con la que se realiza el estudio estadístico y cuyos resultados son válidos para toda la población. VARIABLE. Es cada uno de los aspectos susceptibles de ser estudiados. TIPOS DE VARIABLES Las variables pueden ser de dos clases: cuantitativas y cualitativas. Una variable es cualitativa, cuando no se puede medir. Por ejemplo, sexo, lugar de nacimiento o color de la piel. Una variable es cuantitativa, cuando se puede medir. Por ejemplo, la edad, el peso o la estatura. Las variables cuantitativas se dividen a su vez en discretas y continuas. Cuando la variable toma un número determinado de valores, se denomina discreta. Por ejemplo, el número de hermanos de una persona, es una variable cuantitativa discreta, porque puede tener como valores 1 hermano, 3 hermanos o 5 hermanos, y no admite valores intermedios como 2,3 hermanos o 5,6 hermanos. Si la variable toma cualquier valor entre dos valores, se denomina continua. Así, la estatura es una variable continua, pues dadas dos estaturas es posible que exista otra estatura comprende entre ambas. Por ejemplo, en un grupo una persona mide 1,65m y otra 1,70m, puede haber una tercera persona que mida 1,68m. TABLA DE FRECUENCIA. Para registrar ordenadamente la información de una encuesta se utiliza una tabla de frecuencia. Se pueden elaborar tablas de frecuencias de acuerdo con el número de datos que se van a estudiar y el tipo de variables que se debe tener en cuenta. Una tabla de frecuencias es un resume de los datos, en el cual, cada opción de respuesta de la variable se relaciona con el número de datos correspondientes.

EJEMPLO Para ingresar a un equipo de natación los aspirantes deben diligenciar un formato. En el formato se debe escribir la edad y el sexo.

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º En un día se diligenciaron 25 solicitudes y se registraron los siguientes datos. Edad

16, 17, 16, 17, 16, 18, 16, 17, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 16, 16, 16, 17, 16, 18, 17, 15, 15, 16, 17

Sexo H=Hombre M=mujer

H, M,M,M,H, M,M,H,H,H,H,M,M,M,M,M,H,H,H,H,M,M,M,M,M

En los datos obtenidos se identifican dos variables: edad y sexo. La variable edad es cuantitativa y discreta; y la variable sexo es cualitativa. Para organizar la información se debe elaborar una tabla de frecuencias para cada variable. En la primera columna de cada tabla, se escribe la variable, y en forma ordenada, los datos relacionados con ella. En las tres columnas siguientes, se escribe la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual. Edad 15 16 17 18 Total

Absoluta 3 11 9 2 25

Frecuencias Relativa Porcentual

3 25 11 25 9 25 2 25 25 1 25

12% 44% 36% 8% 100%

La tabla de frecuencia de la variable sexo se deja como ejercicio al estudiante. Frecuencia Absoluta. Está determinada por el número de veces que aparece cada valor de la variable a.

Se denomina frecuencia absoluta y corresponde al número de veces que se repite cada valor de

la variable, dentro de los límites determinados. Siempre son números enteros y su suma debe ser igual al total de las observaciones investigadas. Es decir N . b.

variable. N es el número de elementos que tiene una población

Es una manera de simbolizar el valor de cada observación, esto es el valor que toma una

Se denomina frecuencia absoluta y corresponde al número de veces que se repite cada valor de

la variable, dentro de los límites determinados. Siempre son números enteros y su suma debe ser igual al total de las observaciones investigadas. Es decir N .

Fi Es la frecuencia relativa, entendida como los cocientes obtenidos entre el valor de una N Determinada frecuencia absoluta y el total de observaciones. Las frecuencias relativas serán fraccionarias, es decir, comprendidos entre 0 y 1. Además, la suma de todas estas frecuencias debe ser igual a 1, o sea a 100%. e.

Frecuencia absoluta acumulada, la cual se determina si se desea saber el total de datos u

observaciones desde el origen hasta un valor de la variable dado. f.

Frecuencia relativa acumulada. Se obtiene en forma análoga a las frecuencias absolutas

acumuladas.

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NOTA: Es necesario tener en cuenta las siguientes propiedades de las frecuencias. A. Las frecuencias absolutas son números enteros B. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de observaciones en este caso N. C. Las frecuencias relativas son números fraccionarios así: 0 < F i /N < 1 D. La suma de las frecuencias relativas es igual a uno. E. El último término de la frecuencia absoluta acumulada es igual al total de observaciones. F. El último término de la frecuencia relativa es igual a uno o 100%.

EJERCICIO Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. a. Deporte preferido b. Talla del pantalón c. Número de habitantes de un edificio d. Color del pelo e. Estado civil 2. Indicar cuáles de las siguientes variables cuantitativas son discretas y cuales son continuas. a. Talla de camisa b. Litros de agua de un estanque c. Numero de primos d. Kilómetros recorridos por dos atletas e. Numero de ventanas de una casa

3. A 20 de los asistentes a un teatro se les pregunto por el número de hermanos que tienen. Estos fueron los resultados: 2,1,0,1,1,3,2,2,4,3,2,1,1,1,0,2,1,2,3,5. Organiza los datos anteriores en una tabla de frecuencias. 4. En un salón de belleza se lleva el registro de las tinturas aplicadas a sus clientas. El siguiente es el registro del día anterior:

Negro, rubio, castaño, negro, negro, negro, negro, rubio, rubio, castaño, castaño, negro, negro, negro, negro, negro, negro, castaño, rubio, rubio, rubio, castaño, negro, negro, negro, negro, rubio, negro, castaño. 5. Organiza los datos anteriores, en una tabla de frecuencias. Luego responder. a. ¿A cuántas personas se les aplico tinte de color rubio? b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las personas a quienes se les aplico tinte castaño? c. ¿A qué porcentaje de personas se les aplico tinte negro? d. ¿Cuál es color de tinte que menos se aplico? ¿a qué porcentaje equivale? 6. Los resultados de un test de inteligencia que midió el cociente intelectual de 25 personas, fueron los siguientes: 121, 100, 92, 100, 75, 75, 121, 92, 75, 92, 100, 121, 150, 97, 92, 75,121, 150, 150, 100, 97, 92, 97, 121, 100. a. elaborar una tabla de frecuencias. b. ¿Cuántas personas tienen un coeficiente intelectual por debajo de 100? c. Si se consideran personas superdotadas aquellas que tienen un coeficiente intelectual superior a 130, ¿cuántas personas superdotadas hay en el grupo? d. ¿Qué porcentaje de personas tienen coeficiente intelectual mayor o igual 100? e. ¿Cuál es la frecuencia relativa a de las personas con coeficiente intelectual de 75?

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º 7.

La tabla siguiente fue construida con base en los datos del punto 1, pero tiene algunos errores corrígela. Numero De hermanos

Absoluta

total

Frecuencia Relativa

2 20 8 20 5 20 1 20 1 20 1 20 18 20

porcentual 20% 80% 50% 30% 10% 10% 200%

DIAGRAMAS. Los diagramas son representaciones gráficas de la información recolectada en una tabla de frecuencias. En ellos se puede apreciar de una manera muy clara la información relacionada con los datos de una tabla de frecuencias. Por esto son el medio más efectivo de presentar la información. Hay varios tipos de diagramas o gráficos: grafica de barra vertical y gráfico de barra horizontal, diagrama figurativo o pictograma y gráfico circular. GRAFICO DE BARRAS VERTICAL. Es la representación gráfica, en ejes cartesianos, de la información dada en una tabla de frecuencias. Sobre el eje x, o eje de las abscisas, se colocan los valores de la variable que se estudia, por ejemplo, edad, color, sexo, nota, marca de carro, entre otros. Sobre el eje de las y, o eje de las ordenadas, las frecuencias absolutas. En cada una de las alternativas del eje x se construyen rectángulos de igual base y de altura igual a la frecuencia que señala la tabla para cada dato.

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EJEMPLO.

GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAL.  Es una representación similar al grafico de barras vertical. La diferencia entre estos dos tipos de gráficos es la localización de los valores de la variable y las frecuencias. En el gráfico de barras horizontal, sobre el eje y o eje de las ordenadas, se coloca la variable que se estudia. Y en el eje de las x, se registran las frecuencias.

EJEMPLO.



GRAFICO CIRCULAR, se distribuye la información en sectores proporcionales dentro de una circunferencia. También son llamados diagramas de pastel.

EJEMPLO.

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º 

PICTOGRAMA O DIAGRAMA FIGURATIVO, es una representación gráfica que incluye figuras o motivos alusivos a los datos que se están analizando. Ejemplo si en periódicos o revistas evalúan el estado de los medios de transporte, la forma de representar los datos estudiados es con la imagen de un auto, u otro tipo de transporte mejor relacionado con la investigación. Ver figura

EJEMPLO

EJERCICIO 1. En una encuesta realizada a 25 alumnos del grado séptimo, acerca del número de libros que leen en el año, se obtuvieron los siguientes datos. 6, 6, 7, 6 7, 5, 5, 6, 7, 5, 4, 5, 4, 9, 3, 3, 9, 5, 5, 9, 5, 4, 5, 4, 8. Identificar la variable a estudiar y clasificarla en cuantitativa o cualitativa. Completar la tabla de frecuencias. Luego, hacer un diagrama de barras horizontal. frecuencia Absoluta

Relativa

porcentual

Total 25 100 Responder: a. ¿Cuántos alumnos leen un libro al año? b. ¿cuántos alumnos leen un libro al año? c. ¿Cuántos alumnos leen la menor cantidad de libros al año y cuál es su frecuencia relativa? d. ¿Cuántos alumnos leen la mayor cantidad de libros al año y a qué porcentaje equivalen? e. ¿Cuántos alumnos leen entre siete y nueve libros al año? f. ¿Cuántos alumnos leen un número impar de libros al año y a qué porcentaje equivalen? g. ¿Cuántos alumnos leen entre tres y cinco libros al año y cuanto equivale su frecuencia relativa?

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Teniendo en cuenta el siguiente grafico, contestar las preguntas:

¿Cuántos alumnos asisten a clases de natación? a. ¿Cuál es la edad mínima y cual la edad máxima de los alumnos de la clase? b. ¿de qué edades es el menor número de alumnos de la clase de natación? c. ¿Cuántos alumnos mayores de 11 años asisten a clase de natación? d. ¿de qué edades es el mayor número de alumnos de la clase de natación? e. ¿Cuántos alumnos hay entre cinco y siete años en la clase de natación? 1. En el programa radial de deportes se escucharon los siguientes comentarios: Mario es tricampeón de la vuelta a Colombia en bicicleta. Luís ha ganado dos vueltas más que Mario. José ha ganado cuatro vueltas menos que Luís. Rafael es bicampeón de la vuelta a Colombia. Con base en la siguiente información dada en el programa radial, elaborar un grafico de barras. 2. De 500 personas, 175 nunca han viajado al exterior, 225 personas han viajado una vez y 100 personas han viajado dos veces. a. Con los datos anteriores elaborar una tabla de frecuencia porcentual. b. Teniendo en cuenta la tabla elaborada, hacer el grafico circular correspondiente. c. Observa el grafico circular elaborado en el literal anterior, luego responde.  ¿Cuál es el porcentaje de las personas que nunca han viajado al exterior?  ¿Cuál es el porcentaje de personas que han viajado una o dos veces al exterior?  ¿Cuál es el mayor porcentaje y a cuantas personas equivale?

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MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA SON MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Cuando tenemos un conjunto de datos, provenientes de algún estudio, resulta conveniente resumirlo en unas pocas medidas. Tres medidas de centralización comúnmente usadas son: la media, la mediana y la moda, que en este módulo se calcularan para datos no agrupados y datos agrupados.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados. La MEDIA ARITMÉTICA es considerada como la más importante dentro de los promedios, se simboliza, empleando una rayita sobre la letra que indica la variable X . MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE: se obtiene dividiendo la suma de todos los valores que toma la variable, por el número de observaciones.

X 

 Xi suma de todos los valores observados  N número de observacio nes

N = número total de observaciones en el conjunto X = media, para el conjunto de observaciones  = indica suma de los elementos o valores de la variable X i = valores de la variable, donde i toma valores de 1 hasta N. El proceso que debe seguirse en la aplicación, será:  Sume todos los valores observados  Divida el resultado anterior por el numero de observaciones

EJEMPLO Si se utiliza una escala de 0 a 10 y las calificaciones obtenidas por un estudiante son: 6, 8, 6, 10 y 5, ¿cuál es el promedio?

X

6  8  6  10  5 35  7 5 5

MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS. Es aquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos partes iguales llamado valor central.Se simboliza Me Para el cálculo de la mediana debe tenerse en cuenta si las observaciones son pares o impares. En cada caso se siguen los siguientes casos:  Se ordenan los datos de menor a mayor o de mayor a menor.  Se determina el valor central, ya sea mediante la observación directa de los datos o a través de la aplicación de la formula: (N + 1)/2. el resultado nos señala el número de observaciones en que se localiza la median Cuando el número de datos es impar, la mediana coincide con el valor central de los valores de la variable ordenados en forma creciente o decreciente.

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EJEMPLO 0

Las edades de los niños y de las niñas del equipo de baloncesto del curso 6 son: 10 años, 12 años, 10 años, 13 años, 11 años, 12 años, 10 años, 11 años, 10 años Solución Se ordenan los datos de menor a mayor 10 años, 10 años, 10 años, 10 años, 11 años, 11 años, 12 años, 12 años, 13 años Como el número de datos es impar, se escoge el valor que está en el centro de ellos, es decir, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13 Luego la mediana o valor central es 11. En símbolos Me = 11 Cuando el número de datos es par; se escogen los dos valores centrales y se toma como mediana el promedio de estos dos valores.

EJEMPLO Hallar la mediana de las horas de entrenamiento del siguiente grupo de competidores. Estas fueron las respuestas de los diez competidores: 9 horas, 13 horas, 12 horas, 10 horas, 10 horas, 13 horas, 12 horas, 9 horas, 11 horas, 12 horas. Solución Se ordenan los datos de mayor a menor. 13 horas, 13 horas, 12 horas, 12 horas, 12 horas, 11 horas, 10 horas, 10 horas, 9 horas, 9 horas. Como el número de datos es par, se escogen los dos valores centrales 13, 13, 12, 12, 12, 11, 10, 10, 9, 9

MODA EN DATOS NO AGRUPADOS. Es la medida de posición que sacrifica una mayor cantidad de información que la mediana. Su resultado es más general. Es definida como aquel valor de la variable que más se repite, es decir que tiene la máxima frecuencia de la distribución. Se simboliza Md.

EJEMPLO Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6; 8; 6; 10; 5. observamos que el 6 es el valor de la variable Que más se repite, por lo tanto: Md = 6 . Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores son: 6; 8; 6; 10; 5; 10. Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6 y 10. En este caso hay dos

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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º Modas, luego se dice que la distribución es bimodal.

Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede afirmarse que no hay moda. Si un solo valor de la variable se repite más veces que los demás, será unimodal; si hay más de dos modas, será plurimodal.

MEDIA ARITMETICA EN DATOS AGRUPADOS. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencia. La formula es casi igual a la anterior, solo que en este caso se multiplica cada valor de la variable por su respectiva frecuencia:

X 

 X i fi suma los productos  N número de observacio nes

Para el desarrollo de la formula, se procede de la siguiente manera:  Se multiplica cada valor de la variable por su respectiva frecuencia. 

Se suman los productos anteriores y el resultado se divide por el número de observaciones.

Cuando solo se dispone de la frecuencia relativa, también puede calcularse la Media aritmética, aplicando la siguientes formula:

f  X   X i  i   suma de los productos N EJEMPLO

Ahora se aplicarán las dos formulas anteriores, en variables discretas y continuas; para ello, se considerará la información dada en las siguientes tablas.

xi f i

fi n

f  xi  i  n

0,06

0,14

0,20

0,40

0,30

0,90

0,16

0,64

0,10

0,50

0,04

0,24

141

1,00

2.82



x

x n



141  2,82 50

f  x   xi  i   2,82 n Los dos resultados son iguales

. Variable discreta. Calculo de la media aritmética (ponderada)

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xi 1  xi

xi f i

fi n

f  xi  i  n

33,1 – 38

35,5

106,5

0,06

2,13

38,1 – 43

40,5

202,5

0,10

4,05

43,1 – 48

45,5

318,5

0,14

6,37

48,1 – 53

50,5

454,5

0,18

9,09

53,1 – 58

55,5

832,5

0,30

16,95

58,1 - 63

60,5

544,5

0,18

10,89

63,1 - 68

65,5

131,0

0,04

2,62

---

2.590,0

1,00

52,1



x

x n



2590  51,8 50

f  x   x i  i   52,1 n Los dos resultados son diferentes

Variable continúa. Calculo de la media aritmética (ponderada)

Si compararlos los anteriores resultados con los obtenidos para datos no agrupados, observamos que en la variable discreta son iguales; en cambio en la variable continua, por lo general, difieren. Ello se debe a la perdida de información, primero, al agrupar los datos en intervalos de clase; luego, al calcular la media utilizando las marcas de clase. Una tabla de frecuencias se puede construir a partir de intervalos. Para ello, se debe tener en cuenta los siguientes pasos. Primero, se determina el número de grupos o intervalos que se va a utilizar en la tabla. Para ello, se utiliza la siguiente expresión. Número de intervalo ( m ) = Donde,

n corresponde al número total de datos.

También se acostumbra a tomar entre 5 y 18 intervalos según el número de datos de la población o muestra estudiada. Segundo, se halla la longitud del intervalo. Para ello, se utiliza el siguiente criterio:

Longitud del intervalo= Donde

R m

R  X max  X min

R se le llama rango o recorrido, es decir es la diferencia entre el dato mayor (

X max ) menos el dato menor

( X min ). Cuando el resultado de la operación

R m

no es un número entero, se redondea al entero inmediatamente

mayor. Los intervalos usados en estadística son de la forma

a, b . Esta notación se usa para indicar que el

intervalo incluye todos los valores mayores o iguales que inferior y el número b es el límite superior.

a y menores que b . El número a es el límite

El valor central de cada intervalo se llama marca de clase, el cual se nota

, y se calcula

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Mc 

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ab 2

Las marcas de clase se utilizan para nombrar los intervalos a los que pertenecen.

EJEMPLO E n la tabla adjunta se registran los promedios acumulativos en matemática, al finalizar el tercer periodo 0 escolar, de una muestra de 100 alumnos de 6 grado de un colegio de Cartagena

a. Encontrar la puntuación más alta y la más baja. Precisar el rango de la variable. b. Construir una distribución de frecuencias de 6 intervalos de clase. c.

¿Cuántos alumnos obtuvieron puntuación de 360 o más?

d. ¿Cuántos alumnos obtuvieron puntuación menor de 250? e. ¿Qué porcentaje de estudiantes reprueban el área si el promedio mínimo es de360 puntos para la aprobación? Solución a. La puntuación más alta es 501 La puntuación más baja es 241 R= 501 – 241 = 260 Como m = 6 entonces, la longitud del intervalo es.

Longitud del intervalo=

R 260   43.3 m 6

Este valor se aproxima a 44

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b . La distribución de frecuencia correspondiente es la siguiente

Intervalo de clase 241 – 285 286 – 330 331 – 375 376 – 420 421 – 465 466 – 510 total

Marca de clase 263 308 353 398 443 488

Frecuencia 17 17 22 24 14 6 100

c . 56 estudiantes obtuvieron puntuación de 360 o más d . 4 alumnos obtuvieron puntuación menor de 250. e . Reprueban el área quienes tengan un promedio inferior a 360 puntos: 44 corresponden al 44% de los Alumnos seleccionados para la muestra.  

HISTOGRAMA de frecuencia requiere que amplitud del intervalo debe ser constante, y se compone de barras o rectángulos unidos, levantados sobre la abscisa, su ancho está dado por el intervalo de clase y su altura por la frecuencia. POLIGONO puede dibujarse sobre el histograma, o aparte. En el primer caso, se unen los centros de las bases superiores de los rectángulos; en el segundo, se unen los puntos de intersección de la abscisa, que corresponde a la marca de clase, con la ordenada correspondiente a la frecuencia absoluta o relativa.

EJEMPLO

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El histograma y el polígono de frecuencia para el ejemplo anterior es.

EJERCICIO

1. La siguiente tabla recoge los valores obtenidos por 50 personas en una prueba psicotécnica para calificar para un trabajo. 125 150 164 157 158 149 162 144 143 160 148 140 158 185 146 152 147 136 129 152 199 178 126 165 168 154 176 163 136 147 153 142 173 135 156 140 147 135 149 165 156 135 145 128 161 145 142 150 155 170

De la siguiente tabla hallar: a. Una tabla de distribución de frecuencias ( utilizando m = 7 ) b. Representa la distribución mediante un histograma y un polígono de frecuencias. c. Calcule la media pondera. d. Calcule la mediana. e. Calcule la moda.

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2. La oficina de recursos humanos de una compañía recogió información de los tiempos máximos, en minutos, que sus trabajadores duran conectados a internet en actividades no relacionadas con sus funciones laborales. La información fue recopilada durante Díez semanas (diariamente) y aparece en la siguiente tabla.

70 81 93 77 92

80 92 102 118 130

96 82 94 108 122

95 83 98 112 126

98 84 84 110 126

98 86 72 109 124

100 86 73 115 128

76 91 74 115 129

103 119 75 117 129

77 82 93 105 121

De la siguiente tabla hallar: a. Una tabla de distribución de frecuencias ( utilizando m = 7 ) b. Representa l distribución mediante un histograma y un polígono de frecuencias. c. Calcule la media pondera. d. Calcule la mediana. e. Calcule la moda.

MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS. Se establece si la variable es discreta o es continua; luego, miraremos si al dividir por dos el total de observaciones, el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Se nos presentan dos situaciones al calcular la mediana. En cada caso debe aplicarse un formula diferente. a. Se obtienen las frecuencias acumuladas, sumando las sucesivas frecuencias, ya sea de arriba hacia abajo, o en sentido contrario, sin que este procedimiento afecte el resultado. b. Dividimos por dos el total de observaciones: N / 2.

c. El resultado anterior lo buscamos en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Al respecto recordemos que se presentan dos situaciones. La primera, cuando el valor puede observarse; dicho valor lo simbolizaremos por inmediatamente superior en valor por

N j 1 y al

N j , por lo cual se dice que N j 1  N / 2 .

La segunda situación se da cuando el valor no se observa en dicha columna; en este caso N j 1 corresponderá el valor inmediatamente inferior a N / 2 y N j al inmediatamente superior en valor y se dirá que

N j  1  N / 2 . Además, la fórmula que debe aplicarse es

diferente al tipo de variable, discreta o continua.

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EJEMPLO

La moda para datos agrupados se deja como ejercicio al estudiante.

EJERCICIO 1. Calcular la media y la mediana para la serie de números 2,2,3,5,6,4,2,5,8,7,12,4,3,5,12,7,8,20. Comparar los resultados obtenidos. 2. La tabla que se muestra a continuación contiene la distribución de la edad de las alumnas de un colegio, en el año 2007 EDAD ( años) 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20

a. Hallar la edad media b. Hallar la mediana de las edades c . Construir el histograma correspondiente

Frecuencia 48 120 352 80

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d . Localizar en el histograma la media la mediana 3. Calcular la media, la mediana y la moda para los siguientes conjuntos de números: a. 8,5,10,13,,16,11,8,10,8 b. 5,2,8,2,4,5,11,6,5,1,10,6,8,10,4,7,12,5

4. Las siguientes son algunas características de un grupo de 15 personas. Determinar para cada una el promedio más adecuado. ( media , mediana y moda para cada una de las variables) Número Edad Ingreso mensual Número de hijos 1 23 $800.000 2 2 24 $900.000 3 3 25 $950.000 2 4 27 $980.000 2 5 27 $1.000.000 4 6 28 $1.050.000 3 7 28 $1.180.000 1 8 29 $1.280.000 2 9 30 $1.200.000 3 10 30 $350.000 5 11 31 $420.000 4 12 34 $870.000 2 13 35 $250.000 1 14 35 $1.380.000 3 15 36 $1.050.000 4

5. La siguiente distribución presenta la pérdida de peso, en gramos, sufrida por una muestra de 50 pollos, al cambiárseles su régimen alimenticio, durante un periodo de 20 días. Calcular: a. b. c. d.

La pérdida media de peso La mediana de la pérdida de peso La moda para esta distribución Construir histograma y polígono de frecuencia. Localizar en éste los promedios hallados Peso perdido( en gramos) 50 - 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 total

Frecuencia 4 7 12 3 10 4 8 2 50

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6. La siguiente distribución presenta los resultados obtenidos por un grupo de 45 estudiantes, en una prueba de lectura. a. Calcular media, mediana y moda b. Construir el histograma y polígono de frecuencias de la distribución. c. Localizar en las gráficas los promedios hallados.

Puntuación 101 – 200 201 – 300 301 – 400 401 – 500 501 – 600 total

f 10 11 13 6 5 45

TALLER 1 1. escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a. una variable estadística cualitativa puede ser discreta o continua. b. En una tabla de frecuencias, la frecuencia porcentual representa el tanto por uno de cada valor de la variable en total. c. La suma de las frecuencias porcentuales de una muestra es igual a 1. d. La media y la mediana de los datos de una muestra son siempre el mismo valor. e. La moda es un número que siempre se encuentra entre datos de una muestra. f. En una muestra, ala mediana es el valor central en la lista de los datos. g. La media de los datos de una muestra solo se puede hallar para variables cualitativas.

TALLER 2 Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.

2. El número de habitantes en 12 edificios es: 20, 25, 12, 32, 25, 24, 22, 28, 21, 19, 18, y 30. ¿Qué porcentaje de edificios tienen más de 25 habitantes? d. 3% e. 16% f. 25% g. 20% 3. ¿Cuál es la media de habitantes por edificio? a. 22 b. 24 c. 25 d. 23 4. La mediana del número de habitantes por edificio es: a. 22 b. 24 c. 25 d. 23

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CONSULTAS BIBLIOGRÁFICAS

[1.] [2.] [3.] [4.]

MATEMÁTICAS 7º. SANTILLANA,1999. ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA II, SANTILLANA.2004. APREHENDER CONCEPTOS MATEMÁTICOS 7º.ALBERTO MERANI. 0 ALFA 8 . NORMA 1999

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