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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 7º
ESTUDIANTE
GRUPO
MEDIADOR PERIODO
III
JULIO ORTEGA DÍAZ Julio-Sept. DURACIÓN de 2013
ASIGNATURA
META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO
META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO
Matemáticas
Desarrollo de habilidades y destrezas numéricas estadísticas y algebraicas mediante la solución de problemas cotidianos en el conjunto de números reales. Utilizar la aplicación de las proporciones y unidades de volumen, masa y tiempo en la solución de problemas.
¿Cómo resolver problemas matemáticos y cotidianos que involucren aplicaciones de la proporcionalidad?
TÓPICO GENERADOR
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
CONTENIDOS
COMPRENSIÓN
AREA:
No
Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales
PROPÓSITO DEL ÁREA
METAS DE PERIODO
Matemáticas y Geometría.
7
DEL
Regla de tres simple directa. Regla de tres simple inversa Regla de tres compuesta Repartos proporcionales. Porcentaje y tanto por ciento Interés simple. Unidades de volumen, masa y tiempo.
a. Comprender la solución de problemas con regla de tres simple directa. b. Comprender la solución de problemas con regla de tres simples inversas. c.
Comprender la solución de problemas con regla de tres Compuesta.
d. Comprender los repartos proporcionales. e. Comprender el cálculo de porcentajes y tanto por ciento. f.
Comprender el cálculo de interés simple.
g. Comprender las unidades de volumen, masa y tiempo en la solución de problemas.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES COMPETENCIA ESTÁNDAR
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN
FECHA
VALORACIÓN CONTINUA
Analiza las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán talleres predeterminado relacionado con problemas aplicados a la proporcionalidad directa e inversa.
Semanas 1-3
Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio
Verificación: Con base en los contenidos de problemas aplicados a la proporcionalidad directa e inversa se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.
Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio Semanas 4-7
Semana 8
Semana 9
Revisión del docente
taller por parte del
Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico del estudiante durante el período.
NIVELES DE META
SUPERIOR
ALTO
BÁSICO
BAJO
. Utiliza la aplicación de las proporciones y unidades de volumen, masa y tiempo en la solución de problemas complejos
Utiliza la aplicación de las proporciones y unidades de volumen, masa y tiempo en la solución de problemas.
Describe el procedimiento utilizado al aplicar las proporciones y las unidades de volumen, masa y tiempo en la solución de problemas. .
Se le dificulta Comprender los procedimientos matemáticos en la solución de problemas aplicados a la proporcionalidad y en unidades de volumen, masa y tiempo
RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO)
Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.
Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar
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las actividades sugeridas en el módulo de estudio.
Utilización del video bean para la proyección de videos y animaciones.
INTRODUCCIÓN Por la complejidad lógica del número irracional su utilidad básicamente se encuentra en el campo de las matemáticas. Con los números irracionales se estructura el continuo numérico y, por ende, los números reales; a su vez estos son parte esencial para comprender el cálculo (diferencial e integral); sin embargo, hay números como “el número de oro” y la “proporción áurea”, que se han utilizado en el arte y la arquitectura. Por ejemplo la proporción áurea fue usada muchas veces por los artistas y arquitectos griegos para construir los más famosos templos, como el pantenón, y tiempos más recientes en pintura como la Gioconda. La “proporción áurea” se encuentra en la escultura y también se utiliza en el estudio de situaciones biológicas como el crecimiento de caracoles y amebas, y en ambientes como el diseño de diversas espirales que se dan tanto en la naturaleza como en los ambientes de publicidad. La solución a la proporción áurea da el número irracional
1 5 , conocido como “número de oro”. 2
Hay otros números irracionales como π y e utilizados en ramas de la matemática como la geometría y el cálculo.
CONCEPTOS CLAVES
Regla de tres simple Regla de tres compuesta Interés Capital Rata Tanto por ciento Descuento Repartos directos Repartos inversos Porcentaje.
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MARCO TEÓRICO CONTENIDO
1.
REGLA DE TRES SIMPLEY COMPUESTA.
La regla de tres simple es el procedimiento que permite encontrar un término desconocido en una proporción en la que intervienen dos magnitudes.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Un problema se denomina regla de tres simple directa cuando las magnitudes que intervienen en el problema son magnitudes directamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple directa es necesario realizar los siguientes pasos. Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra (preferiblemente x) y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen. Segundo, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales. Finalmente, se encuentra el término desconocido.
EJEMPLOS 1. El carro de Juan Pablo Montoya consume 3,5 galones de gasolina en 5 vueltas. ¿Cuál es el consumo total de gasolina en un circuito de 62 vueltas? Solución
Las magnitudes gasolina y vueltas del circuito son directamente proporcionales. Sea x consumo total de gasolina. Al comparar las magnitudes en una tabla, se obtiene.
y la proporción correspondiente es:
5 3,5 62 3,5 por lo tanto, x =43,4 así el 62 x 5
Consumo de gasolina es de 43,4 galones.
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2. Los
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4 de la capacidad de un tanque son 200 litros. Hallar la capacidad total del tanque. 15
Solución. La relación entre capacidad y litros es directamente proporcional. Sea x la capacidad total del tanque. Entonces,
4 200 1 200 15 De modo que, y además x= =750 Por lo tanto, la capacidad total del 4 x 1 15 Tanque es de 750 litros.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. Un problema se denomina de regla de tres simple inversa cuando las magnitudes que intervienen en el problema son magnitudes inversamente proporcionales. Para resolver un problema de regla de tres simple inversa es necesario realizar los siguientes Pasos.
Primero, se nombra la cantidad desconocida con una letra (preferiblemente x) y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen. Segundo, se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales. Finalmente, se encuentra el término desconocido
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EJEMPLOS
En una finca hay pasto para alimentar 600 reses durante 5 meses. Si se venden 100 reses, ¿ para cuánto tiempo alcanzará el pasto que se tiene? La relación entre la cantidad de reses y el tiempo de duración del pasto es de proporcionalidad inversa, ya que, al disminuir la cantidad de reses se espera que aumente el tiempo de duración del pasto proporcionalmente. Como se venden 100 reses, la cantidad que hay ahora en la finca es 500. Si t es el tiempo de duración del pasto, al reducir en 100 reses la cantidad original, entonces,
Tiempo(meses) 5 t
Cantidad de reses 600 500
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La proporción correspondiente es :
5 600 t 500
5 6 500 t t
5 600 500
t 6
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Se despeja
t
Se realizan las operaciones.
EJERCICIOS 1. Identificar cuáles de los siguientes problemas se pueden resolver utilizando regla de tres Simple directa y cuáles se resuelven utilizando la regla de tres simple inversa. a. Si con $130.000 se pueden comprar cuarenta metros de tela, ¿cuántos metros de tela se pueden comprar con $600.000? b. Una empresa de transporte cobró $240.000por transportar 680 kg, ¿Cuánto cobrará por transportar 5.460 kg a la misma ciudad? c. Un grupo de 15 personas tiene alimento para 24 días. Si se quiere que el alimento dure 6 días más, ¿cuántas personas tendrían que ser retiradas del grupo? d. Si 25 telares tejen una cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas invertirán 42 telares en tejer la misma cantidad de tela? e. 20 docenas de naranja valen $48.000, ¿cuánto valen 100 naranjas? f. Si 8 obreros hacen una obra en 30 días, ¿en cuántos días harán 15 obreros otra obra igual? g. Un constructor que dispone de 30 obreros, se compromete a hacer una obra en 4 meses; por razones ajenas a su voluntad se ve en la necesidad de conc1uir la obra en 100 días, ¿cuántos obreros más serán necesarios? h. Un ganadero dispone de forraje para alimentar a 24 vacas durante 9 semanas. Calcular para cuantas semanas dispondrá de forraje en cada uno de los siguientes casos: - Si vende seis va cas. - Si compra tres vacas más. - Si reduce la ración de forraje a la tercera parte. I. Oscar tarda 25 minutos en bicicleta desde su casa a la casa de un amigo. La velocidad a la que avanza es de
7 kilómetros 20 min utos - ¿Qué tiempo tardará caminando si recorre 1 kilómetro en 10 minutos?
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- ¿Qué tiempo tardará caminando si recorre 2 kilómetros en 10 minutos?
2. REGLA DE TRES COMPUESTA En algunos problemas de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por ejemplo, para realizar una campaña publicitaria se debe tener en cuenta la cantidad de personas que participan, el número de folletos que se repartirán y los días de duración que tendrá la campaña. Para resolver este tipo de situaciones se utiliza la regla de tres compuesta. La proporcionalidad compuesta se presenta cuando se plantean proporciones en las intervienen más de dos magnitudes.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA.
Sean m y n cantidades de la magnitud A; p y q cantidades de la magnitud B y r y t cantidades de la magnitud C. Al comparar la magnitud A con las magnitudes B y C se pueden presentar los Siguientes tipos de proporcionalidad.
m q r n p t m q t A es inversamente proporcional a B y C entonces n p r
A es directamente proporcional a B y C entonces
A es directamente proporcional a B y A es inversamente proporcional a C entonces
m p t n q r
La regla de tres compuesta es el proceso que permite solucionar problemas en los cuales intervienen varias magnitudes. INSTRUCCIONES Para resolver un problema de regla de tres compuesta se procede así: Primero, se ordenan los datos en una tabla Luego, se compara la magnitud de la incógnita con una de las magnitudes restantes para determinar el tipo de proporcionalidad existente entre ellas, manteniendo constante las otras magnitudes. Finalmente, se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta y se halla el término desconocido.
EJEMPLOS 1. Para copiar las memorias de un evento se contratan cinco secretarias que trabajan 8 horas diarias y copian 600 páginas. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar 8 secretarias para copiar un libro de 1.200 páginas? Solución. La tabla en la que se relacionan las magnitudes dadas es:
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La magnitud horas diarias es inversamente proporcional a la magnitud secretarias y Directamente proporcional a páginas. Por lo tanto se plantea
8 x
=
8 600 8 5 1.200 X Así x= =10 5 1.200 8 600
Es decir, 8 secretarias deben trabajar 10 horas diarias para copiar 1.200 páginas. 2. Una digitadora escribe 10.000 caracteres en dos días. ¿Cuántas digitadoras se necesitan para digitar 1.350.000 caracteres en 5 días? La tabla que relaciona las magnitudes dadas es:
Número de digitadoras 1 x
Cantidad de caracteres 10.000 1.350.000
Días empleados 2 5
El número de digitadoras es directamente proporcional a la cantidad de caracteres, ya que entre más digitadoras haya más caracteres serán digitados. Por otra parte, el número de digitadoras es inversamente proporcional al número de días, pues entre más digitadoras haya menos días serán utilizados para desempeñar la labor. Por lo tanto, la magnitud número de digitadoras es directamente proporcional a la magnitud caracteres para digitar e inversamente proporcional a la magnitud días empleados. De esta manera, se plantea la proporción teniendo en cuente la propiedad de la proporcionalidad compuesta, así:
1 10.000 5 x 1.350.000 2 1 50.000 x 2.700.000 x
2.700.000 1 50.000
Se resuelven las operaciones indicadas.
Se despeja
x
y se simplifica.
x 54 Se necesitan
54 digitadoras para digitar 1.350.000 caracteres en 5 días.
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EJERCICIOS Resolver los siguientes problemas 1. Una sala que mide 6 m de largo y 4 m de ancho, se recubre con 96 baldosas. ¿Cuántas baldosas iguales se necesitan para recubrir el piso de una gran sala que tiene el doble de largo y 2 m más de ancho? 2. La familia de Nicolás piensa ir de vacaciones en el carro de la familia. Calculan que si maneja el papá y viajan a una velocidad promedio de 60 km/h durante cinco horas diarias, podrían hacer el recorrido en 12 días. A veces el auto lo maneja el hijo mayor, que viaja a una velocidad promedio de 80 km/h durante seis horas diarias. Elaboro una tabla para organizar la información y la utilizo para saber cuántos días tardan para hacer el recorrido si maneja el hijo. 3. Cinco costureras confeccionan 30 camisas si trabajan 9 horas. El jefe del taller desea saber cuántas horas en total tendrán que trabajar, para hacer 250 camisas, si contrata 10 costureras más. Proponga un camino para hallar el número de horas. 4. Una fábrica de alimentos cuenta con 30 estufas, que se encienden 5 horas diarias y consumen 30 galones de combustible durante los 25 días hábiles del mes. En el mes anterior se trabajó los mismos días hábiles con cinco estufas menos y aun así el consumo fue de 45 galones de combustible; ¿Cuántas horas diarias se encendieron las estufas? 5 6 7 8
Si 9 obreros pintan 3 casas en 4 días, ¿cuántos días demorarán 15 obreros en pintar 5 casas bajo las mismas Condiciones? Una secretaria escribe 240 páginas en 20 días, trabajando 8 horas diarias. ¿cuántas páginas escribirá en 10 días, Trabajando 10 horas diarias en iguales condiciones? Un grupo de 7 excursionistas tienen comida para 5 días, comiendo 3 raciones diarias. ¿para cuantos días alcanzará el alimento si se quedan 4 excursionistas y comen solo dos raciones al día? En 18 días, 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas. ¿Cuántas máquinas iguales aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días?
3. REPARTOS PROPORCIONALES En algunas situaciones se plantean problemas acerca de cómo distribuir de manera proporcional una magnitud con respecto a otra. Por ejemplo, al repartir una herencia de acuerdo con la edad de los herederos o una ayuda humanitaria respecto al número de afectados. Para resolver problemas relacionados con este tipo de situaciones se utilizan los repartos proporcionales. Un reparto proporcional es el proceso mediante el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversa proporcional a ciertas cantidades previamente acordadas.
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3.1 REPARTO DIREDCTAMENTE PROPORCIONAL. Repartir una cantidad A en partes directamente proporcionales a los números m, n y t es hallar otras cantidades p, q y r tales que
p q t donde p q t A .para resolver este tipo de problemas se m n r
aplica la propiedad fundamental de un conjunto de razones equivalentes.
EJEMPLO
3.2 REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Repartir una cantidad A en partes inversamente proporcionales a los números m, n y t equivale a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a los números
l l l , , . Si un reparto m n t
proporcional se hace sobre la deuda o ganancia de un negocio, entonces el proceso se llama regla de compañía.
EJEMPLO
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EJERCICIOS Realizar la repartición de cada número en partes directamente proporcionales. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
600 entre 2,4,6. 1.800 entre 3,5,7. 3.000 entre 4,5,6. 7.500 entre 6,8,11. 6.000 entre 1,2,3. 10.000 entre 1,4,8. 1 2 5 204 entre , , . 2 3 6
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Realizar la repartición de cada número en partes inversamente proporcionales. 165 entre 3,5,11.
8.
600 entre 2,4,8. 10. 1.500 entre 5,15,20. 9.
1 1 1 , . . 2 4 8 1 1 1 12. 240 entre , . . 3 2 6 11.
80 entre
4. PORCENTAJES Los porcentajes tienen diversos usos. Por ejemplo, en economía se relaciona con impuesto (IVA), préstamos bancarios, descuentos en productos y alimentos, costo de vida y estudios estadísticos, entre otros. Se llama porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones en las que el Consecuente es 100. Se representa con el signo %, que significa por cada cien. Por ejemplo,
2% se lee 2 por ciento y es equivalente a la razón , que significa “ 2 de cada 100 “.
40% se lee 40 por ciento y es equivalente a la razón , que significa “ 40 de cada 100 “
También es posible determinar el tanto por ciento por medio de una regla de tres simple directa.
EJEMPLOS 1. En el grado séptimo de un colegio hay 30 estudiantes, que corresponden al 5% del total de los estudiantes del colegio. ¿Cuantos alumnos hay en el colegio? Si n es el total de alumnos del colegio, se tiene que: 5% de n es 30, es decir,
Alumnos 30 n
Luego se plantea la siguiente proporción
30 5% n 100% n
30 100 5
Entonces,
n 600
Por lo tanto, el colegio tiene 600 alumnos.
Porcentajes 5% 100
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EJERCICIOS
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5. INTERÉS SIMPLE. El estudio del interés simple está relacionado con la economía, en situaciones de préstamos de dinero, rendimientos de capital. El interés simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero, o también se puede definir como la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero. El interés simple calcula los intereses de cada periodo sobre el capital original sin tener en cuenta los intereses generados en el periodo anterior. Es decir, los intereses de un periodo no se acumulan sobre el capital para calcular los siguientes intereses. Los elementos y símbolos que se utilizan en el interés son: C = capital: es la cantidad de dinero invertido o prestado. I = interés R = rata o tasa de interés. Es la cantidad que se cobra por cada $100 prestados o invertidos durante un año, se expresa como un porcentaje. T = tiempo: es la duración del préstamo. NOTA: Para resolver problemas de interés se aplica la regla de tres compuesta donde el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo.
EJEMPLOS
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EJERCICIOS Resolver los siguientes problemas. 1.
Planteo las proporciones y explico cómo hallar el interés que le corresponde a un capital de $ 92.100 durante dos años, si la rata anual es 36 %.
2.
. Un banco otorga préstamos al 38% anual. ¿después de cuánto tiempo será cancelado un préstamo
de $ 1.500.00, si el banco le cobró por intereses la suma de $ 285.000 al
solicitante? 3.
. Cuál es el interés que gana un capital de $ 540.000, colocado al 40%anual durante 7 meses?
4.
Elaboro una secuencia de tablas que permitan saber el porcentaje anual que acordó un ahorrador
que ha ganado $ 170.000 de interés colocando, durante 800 días, un capital de
$ 850.000. 5.
Después de mantener $ 836.000 en una cuenta de ahorros durante 270días, Camila recibió
$
1.011.560. ¿cuánto abría ganado si deja el capital por un año? 6.
Calcular el capital invertido, sabiendo que en 4 años produce unos intereses de $ 240.000, a un interés simple del 6% anual.
7.
Un agricultor ha decidido invertir los beneficios de su cosecha que son de $ 8.500.000, en un fondo de ahorros al 3% anual. Hallar el tiempo que el agricultor debe dejar su dinero en el fondo si desea recibir $ 1.275.000.
8.
Determinar la tasa de interés simple mensual a la cual se debe prestar $4.500.000 para que en un año produzcan $ 900.000 de interés.
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TALLER 2
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.
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TALLER 5
CONSULTAS BIBLIOGRAFICAS
[1.] [2.] [3.] [4.]
MATEMÁTICAS 7º. SANTILLANA,1999. ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA II, SANTILLANA.2004. APREHENDER CONCEPTOS MATEMÁTICOS 7º.ALBERTO MERANI. 0 ALFA 8 . NORMA 1999
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