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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º
ESTUDIANTE MEDIADOR PERIODO
I
GRUPO JULIO ORTEGA DÍAZ Febrero-Abril DURACIÓN de 2013
ASIGNATURA
PROPÓSITO DEL ÁREA
META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO
META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO
Matemáticas
8
AREA:
No
Matemáticas
Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales. Resolver problemas donde utilice las operaciones con expresiones algebraicas, ecuaciones lineales y conceptos de la geometría plana en el conjunto de los números reales. Utilizar las operaciones con expresiones algebraicas, rectas y planos en la solución de problemas matemáticos. ¿Cómo Utilizar las operaciones con expresiones algebraicas, rectas y planos en la solución de problemas Matemáticos? 1. Expresiones algebraicas.
TÓPICO GENERADOR CONTENIDOS
2. Clasificación de expresiones algebraicas. 3. Términos semejantes 4. Valor numérico 5. Operaciones con expresiones algebraicas. 5.1 Suma de expresiones algebraicas. 5.2 Resta de expresiones algebraicas. 5.3 Multiplicación de expresiones algebraicas 5.4 División de expresiones algebraicas. 6.
METAS DE PERIODO
COMPRENSIÓN
DEL
Ángulos y Triángulos 1. Comprende las expresiones algebraicas. 2. Comprende cómo se clasifican las expresiones algebraicas. 3. Comprende que son términos semejantes. 4. Comprende como sumar y restar expresiones algebraicas. 5. Comprende
como
multiplicar
expresiones
algebraicas. 6. Comprende
cómo
dividir
expresiones
algebraicas. 7. Comprender los conceptos de ángulos y triángulos.
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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
COMPETENCIA ESTÁNDAR
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN
FECHA
VALORACIÓN CONTINUA
Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán talleres predeterminado relacionado con los Operaciones con expresiones algebraicas.
Semanas 1-3
Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio
Modela situaciones de variación con funciones polinómicas.
Revisión del docente
taller por parte del
Semanas 4-7 Verificación: Con base en los contenidos de operaciones con expresiones algebraicas se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.
Semana 8
Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo
Semana 9 Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico del estudiante durante el período.
NIVELES DE META
SUPERIOR
ALTO
BÁSICO
BAJO
Resuelve problemas más complejos utilizando la teoría de expresiones algebraicas, ángulos y triángulos.
Utiliza las operaciones con expresiones algebraicas, ángulos y triángulos en la solución de problemas Matemáticos.
Describe el procedimiento para resolver problemas utilizando las operaciones con expresiones algebraicas, ángulos y triángulos.
Se le dificulta comprender el procedimiento para resolver problemas utilizando las operaciones con expresiones algebraicas, ángulos y triángulos.
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RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO)
Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.
Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar las actividades sugeridas en el módulo de estudio.
Utilización del video bean para la proyección de videos y animaciones.
INTRODUCCIÓN Aunque los orígenes del algebra se remontan a las épocas de Egipto y Babilonia, los primeros que explicaron sus métodos para resolver problemas de algebra fueron los griegos. Sin embargo, describieron sus soluciones con palabras y diagramas únicamente, por lo que resultaba un proceso largo y a menudo confuso. En el siglo IV, el matemático alejandrino Diáfano fue el primero en utilizar símbolos de su propia creación para representar sus pensamientos y resolver lo que hoy se conoce como ecuaciones indeterminadas o “diafanticas”. Por ello se le recuerda como el padre del algebra. Hoy el algebra no se limita a expresar y manejar cantidades de manera general. En la actualidad, son objetos de estudios algebraicos los movimientos, las formas e incluso el propio pensamiento. La inteligencia artificial, por ejemplo, es el resultado de estudiar la estructura matemática de los 1 procesos del pensamiento humano” . “En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y pirámides, se encontraron los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemática. Sus exigencias vitales, sujetas a las periódicas 2 inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la aritmética y la geometría” .
CONCEPTOS CLAVES
Expresión algebraica Termino algebraico. Grado de un termino Monomio. Polinomios. Grado de un polinomio. Valor numérico. Operaciones con expresiones algebraicas
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MARCO TEÓRICO CONTENIDO
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Los símbolos usados en algebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se utilizan para representar cantidades conocidas, mientras que las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sea conocidas o desconocidas. Las expresiones algebraicas son la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. También podemos definirla como la combinación de números y letras relacionadas por medio de una o varias operaciones matemáticas. Ejemplos de expresiones algebraicas son:
x, 5t , a b c,
8w ,
2 x 5 y a t2
1.1 TÉRMINO ALGEBRAICO. Un término algebraico es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo + o .
5x 3t
Son términos las siguientes expresiones: x, 3k , 8mn, 7a,
x3 y (¿Por qué?) No son términos, las siguientes expresiones algebraicas: ab 5a 3b, 2 a 2
Todo término algebraico consta de cuatro elementos que son: signo, coeficiente, parte literal y Grado. El signo: son términos positivos los que van precedidos del término y negativos los que van precedidos del signo. El signo suele omitirse delante de los términos positivos. El coeficiente: es uno cualquiera, generalmente, el primero de los factores del término. La parte literal: la constituyen las letras que hayan en el término. El grado de un término: absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales. Grado de un término con relación a una letra: es el exponente de dicha letra
EJEMPLO 1.
2 3
En el término en 8a b c , el coeficiente es 2 3
8.
2 3
2. En el término 8a b c , la parte literal es a b c y en el término
wx y2
2 wx la parte literal es y2
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El término 2 y es de primer grado porque el exponente del factor literal es 1; el Término mn es de Segundo grado porque la suma de los exponentes de los Factores literales es 1+1=2; el término 4. 4bc t es de sexto grado ya que la suma de los exponentes de los factores literales es 1+3+2=6. 3 2
3
m y de primer grado con relación a n ; el Termino 4bc t es de primer grado con respecto a b , de tercer grado con respecto a c y de segundo grado con respecto a t . El termino m n es de tercer grado con relación a 3 2
EJERCICIOS 1. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes
2. Dígase el grado de los términos siguientes respecto a cada uno de sus factores literales:
3. Completa el siguiente cuadro con los términos dados en los puntos 1. Y 2. Termino
Signo
Coeficiente
Parte literal
CLASES DE TERMINOS Todo termino algebraico según sus características se clasifican en: entero, fraccionario, Racional e irracional. Termino entero: es el que no tiene denominador literal Termino fraccionario: es el que tiene denominador literal. Termino racional: es aquel que no tiene radical. Termino irracional: es aquel que tiene radical. Según la definición dada anteriormente los siguientes términos serian:
8a 3mt 2 ,
3a Términos enteros (¿por qué?) 5
2 x3 Termino fraccionario (¿Por qué) q mi amigo lector, ¿será que los tres términos mostrados anteriormente son racionales? ¿Por qué?
wn ,
5
a 2c5 Termino irracional (¿por qué?)
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EJERCICIOS Dígase que clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no Denominador y a si tienen o no radical:
Ya sabemos el concepto de valor absoluto, y conocemos algunos ejemplos, ahora, vamos a Aplicarlos para determinar si dos o mas términos son homogéneos o heterogéneos. Los términos 4bc t y 8w am son homogéneos, ya que el grado absoluto de cada termino Es 6. 3 2
4
Los términos 2 y y mn son heterogéneos, ya que el grado de cada uno de los términos es Diferente, el primer termino su grado es 1, mientras que el segundo termino es de grado 2.
EJERCICIOS De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos:
2. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Las expresiones algebraicas se clasifican en: monomios y polinomios. Los monomios son expresiones algebraicas con un solo término. Los polinomios son expresiones algebraicas que constan de más de un término, ahora Bien, dentro de los polinomios existen algunos de ellos que tienen nombre, como es el caso de los binomios y trinomios; los binomios son polinomios que solamente tienen Dos términos y los trinomios son polinomios que tienen tres términos.
EJEMPLO Vamos a clasificarlas según el número de términos algebraicos (monomios, binomios, trinomios, etc.), las siguientes expresiones algebraicas:
8a 3 mt 2 Monomio a 3 b Binomio x 2 bx c Trinomio 2 z 3b 2 Binomio 3a 5 Monomio
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EJERCICIOS Escribe tres monomios, dos binomios, cuatro trinomios y dos polinomios con
1.
más de tres términos. Clasifique los siguientes expresiones de acuerdo al número de términos, es decir, monomios, binomios, trinomios, etc a.
2.
b. c. d e f. Los polinomios tienen grado y se clasifican de acuerdo al grado en: absoluto y con relación una letra. El grado absoluto de un polinomio es el grado del término de mayor grado El grado con relación a una letra de un polinomio es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
EJEMPLO Teniendo en cuanta la definición dada anteriormente, vamos a calcular el grado absoluto y con Relación a una letra de los siguientes polinomios: 1. El grado absoluto del polinomio m5 4m 4 3m3 m 2 8m 10 es 5, ya que el término 5
mayor grado es m y su grado es 5. 2. En el siguiente binomio de m 4 n 2 mn 6 que es un binomio, el grado del polinomio con respecto a m es 4, ya que es el mayor exponente entre todas las m presentes en el polinomio, y el grado del polinomio con respecto a n es 6. de
EJERCICIOS 1.
2.
Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras:
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El término independiente de un polinomio es el término de grado cero, es decir, la Constante.
3 2 En el polinomio x 9 x 9 x 27 el termino independiente es
27 , ya que 27 27 x0
EJERCICIOS Señala aquellos polinomios que tengan término independiente
Un polinomio en la variable x es completo si incluye términos para los Exponentes de la variable x consecutivos entre 0 y el mayor exponente de la variable x. El polinomio x 3 9 x 2 9 x 27 es completo ya que incluye términos con coeficientes Diferentes de cero cuyos exponentes de x son consecutivos desde 0 hasta el grado del Polinomio, que en este caso es 3 (Observemos que en el polinomio completo el termino Independiente aparece)
EJERCICIOS De los siguientes polinomios
Dígase cuales son completos y respecto de cuales letras. Un polinomio se expresa en forma adecuada de acuerdo con el exponente de una de las variables que contiene. Este orden puede ser descendente o ascendente.. Un polinomio se expresa en orden descendente con respecto a una de las variables si los exponentes de dicha variable aparecen de mayor a menor. Un polinomio se expresa en orden ascendente con respecto a una de las variables si los Exponentes de dicha variable aparecen de menor a mayor.
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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º EJEMPLO En los siguientes ejemplos, comprenderemos la definición dada anteriormente: 3 2 2 El polinomio 5x y 4 x y 3xy 2 está en orden descendente, respecto a la variable 3
2
x,
2
Pues los exponentes de la x en los términos son: 3 para 5 x y , 2 para 4 x y , 1 para 3xy y 0 para el termino independiente. 2 8 3 2 El polinomio 3 4 x 5x y 5x y está en orden ascendente con respecto a la variable
pues los exponentes para la variable
2
2
x,
x son: 0 para 3 , 1 para 4 x , 2 para 5x y y 3 para
5x 3 y 2 .
EJERCICIOS Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente
– e –
Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:
3. TERMINOS SEMEJANTES. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Esta enseñanza, nos dará las herramientas necesarias para desarrollar las operaciones con Expresiones algebraicas, a continuación veremos algunos ejemplos que cuando dos o mas términos son semejantes: y , y son semejantes ya que poseen la misma parte literal. los términos y no son semejantes, porque aunque tienen éstas no Tienen los mismos exponentes, ya que la del primero tiene de exponente 1 y la segundo tiene de exponente 2.
del
La Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los siguientes tres casos: 1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo
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que tienen Todos y a continuación se escribe la parte literal. 2. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. 3. Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos. Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior
El procedimiento descrito anteriormente para reducir términos semejantes, es el mismo que se utilizo en grado sexto, con los números enteros y en grado séptimo con los números racionales, en este caso únicamente se agrega la parte EJEMPLO Apliquemos cada uno de los tres casos vistos en la enseñanza anterior: 1.
Veamos el caso donde los términos son de igual signo 3a 2a 5a
5b 7b 12b
2.
Ahora cuando son de diferentes signos 2a 3a a
18 x 11x 7 x 20ab 11ab 9ab 3.
Y por último, el tercer caso, aquí aplicamos los casos 1. Y 2. Reducir 5a 8a a 6a 21a Reduciendo los positivos: 5a a 21a 27a Reduciendo los negativos: a 6a 14a Aplicando a estos resultados obtenidos, 27a y 14a , la regla del caso anterior, se tiene: 27a 14a 13a
EJERCICIOS 1.
Reducir los siguientes términos semejantes. a. b. c. d. e. – f. g.
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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º h. i. j. k.
2.
–
Reducir los polinomios siguientes a. b. c. d. f. g h i j k m
4. VALOR NÚMERICO. El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por los valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Para calcular el valor numérico nos vamos a encontrar con dos tipos de expresiones: simples (monomios) y compuestas (polinomios), aquí vamos a dar algunos ejemplos para ir comprendiendo el concepto de valor numérico. EJEMPO Calculemos el valor numérico de las siguientes expresiones simples
Hallar el valor numérico de para y Como dice la enseñanza, reemplazamos las letras por su respectivo valor numérico, es decir, por y la por y realizamos las operaciones indicadas, en este caso es una multiplicación, así tendremos:
Hallar el valor numérico de
Hallar el valor numérico de
para
,
para
y
,p
y
Ccalculemos el valor numérico de las siguientes expresiones compuestas
Hallar el valor numérico de
, para
y
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Hallar el valor numérico de
para
y
EJERCICIOS Hallar el valor numérico para las siguientes expresiones, para
1)
7)
2)
8)
3)
9)
4)
10)
5)
11)
6)
12)
5. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5.1 SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.. Ahora, si estamos sumando polinomios, colocamos unos debajo de los otros, de manera que los términos semejantes queden en la misma columna; si los polinomios que se suman pueden Ordenarse con relación a una letra, se ordenan antes de sumar
Para realizar las sumas de expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta la reducción de Términos semejantes (ojo, hay que estar muy pendientes con los signos de los términos)
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EJEMPLO. Sumar las siguientes expresiones algebraicas.
Sumar 8x; 4 x; 2 x 8x 4 x 2 x 10 x
Sumar 2a 3b; 6b 4c; a 8c
Aquí ordenaremos los polinomios unos a continuación de los otros, de tal manera que los términos semejantes queden en la misma columna en orden alfabético, pero si deseas ordenarlo de otra manera, también es válido.
Sumar
xy x 2 ; 7 y 2 4 xy x 2 ; 5 y 2 x 2 6 xy; 6 x 2 4 xy y 2
Observemos que los cuatro polinomios se pueden ordenar, en este caso vamos a ordenarlos con respecto a la letra (si tu quieres, puedes ordenarlo con respecto a la letra , el resultado va a ser el mismo) Primer polinomio ordenado
Segundo polinomio ordenado Tercer polinomio ordenado
Ultimo polinomio ordenado
RESULTADO
EJERCICIOS a. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
2.
Hallar la suma de:
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b. Ordena los siguientes polinomios y luego súmalos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
5.2 RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para restar expresiones algebraicas, se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay. Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los Términos del sustraendo, así que ha continuación del minuendo escribiremos el sustraendo Cambiándole el signo a todos sus términos. Sabemos que el proceso de la resta es similar al de la suma, si se pueden ordenar los Polinomios, ya sabemos cuál es el procedimiento, es decir, colocamos los términos semejantes en la misma columna y se reducen teniendo los signos de cada término. EJEMPLO.
De
De
De
restar 5
restar
restar ← Primer polinomio ordenado ← Segundo polinomio ordenado y con signo contrario ← Residuo
Observemos que los términos del minuendo quedan con igual signo y todos los términos Del sustraendo cambian de signo.
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EJERCICIOS De restar restar – restar restar restar restar
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
restar restar restar restar restar restar –
SIGNOS DE AGRUPACION EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS Los signos de agrupación se utilizan para reunir términos o expresiones algebraicas relacionadas por las diferentes operaciones aritméticas. Las expresiones contenidas entre ellos, indican que estas deben considerarse como una sola cantidad. Los signos de agrupación mas utilizados son los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { } Los signos de agrupaci6n se suprimen de dentro hacia fuera, teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
Si el signo de agrupación esta precedido de un signa mas (+), las cantidades que están dentro de él permanecen con el mismo signo. Si el signo de agrupación esta precedido de un signa menos (-), las cantidades que están dentro de él cambian de signo.
EJEMPLO. Vamos a simplificar las siguientes expresiones, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo los términos semejantes:
1. = = = = 2. = = = = 3.
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= = = =-
EJERCICIOS a.
Teniendo en cuenta la enseñanza anterior, suprime los signos de agrupación de las Siguientes expresiones algebraicas:
1.
—
2. 3.
5.3
MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera cantidad llamada producto. En la multiplicación de expresiones algebraicas se presentan tres casos : Multiplicación de monomios Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de dos polinomios
INSTRUCCIONES PARA MULTIPLICAR MONOMIOS Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores
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EJEMPLO.
1. Multiplicar
por
Lo más conveniente es colocar los monomios en paréntesis, para realizar la multiplicación entre ellos, de la siguiente manera: El signo del producto es positivo, ya que los dos monomios son positivos y sabemos que + por + da +. 2. Multiplicar
por
INSTRUCCIONES PARA MULTIPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la ley de los signos
EJEMPLO 1. Multiplicar
por
Podemos realizar la operación de dos maneras, la primera utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la segunda multiplicando en la forma que multiplicamos números enteros; usted escoge la mas sencilla La primera forma:
La segunda forma: Ordenamos el polinomio y el monomio en la parte de debajo de la siguiente manera:
2. Multiplicar
por
El polinomio en este caso esta ordenado, así que procedemos a organizarlo:
INSTRUCCIONES PARA MULTIPLICAR POLINOMIOS Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º EJEMPLO 1. Multiplicar
por
Podemos realizar esta operación de dos maneras distintas y obtener el mismo resultado, que son las mismas que la multiplicación de un polinomio por un monomio La primera forma: Los polinomios deben ordenarse con respecto a la misma letra, ya sea en forma ascendente o descendente (¡usted escoge!) Observa que los dos polinomios están ordenados con respecto a la letra en forma descendente
Ahora reducimos términos semejantes y obtenemos como resultado:
La segunda forma: Al igual que en el ejemplo anterior, los polinomios hay que ordenarlos y los vamos a colocar uno debajo del otro para realizar el producto, así:
Producto de Producto de 2. Multiplicar
por por
por
Observemos que los polinomios ya están ordenados, así que procedemos a realizar la multiplicación por las dos formas. La primera forma
La segunda forma:
Multiplicación de
por
Multiplicación de
por
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EJERCICIOS a. Realiza las siguientes multiplicaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
por por por por por – por por por por b. Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones entre polinomios (si es necesario ordena los polinomios, antes de multiplicarlos):
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
por por por por por por por por por por por por
5.4
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La división es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas dividendo y divisor, hallar dos cantidades llamadas cociente y residuo.
Dividendo
Divisor
Residuo
Cociente
En la división de expresiones algebraicas se presentan tres casos:
División de un monomio entre un monomio
División de un polinomio entre un monomio
División de un polinomio entre un polinomio
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INSTRUCCIONES PARA DIVIDIR MONOMIOS Para dividir un monomio entre un monomio, se deben tener en cuenta las siguientes leyes: Ley de signos: el cociente entre dos cantidades de igual signo es positivo y el cociente entre dos cantidades de signo diferente es negativo.
Ley de coeficiente: el coeficiente de un cociente es el cociente de los coeficientes de cada una de las expresiones que lo componen.
Ley de exponentes: para dividir potencias de igual base, se deja la misma base y se restan los exponentes.
Aquí expondremos al igual que en la multiplicación, varios ejemplos que nos lleven a la comprensión del procedimiento que debemos llevar a cabo para dividir dos expresiones algebraicas:
EJEMPLO 1. Dividir
entre
Esto es muy sencillo, ya sabemos, si tienen la misma base, se deja la base y se restan los exponentes, y los coeficientes si se puede se simplifican. Algunas notaciones de la división son: entre todo vamos a utilizar la segunda y la tercera forma.
,
. Más que
entre 2. Dividir
entre
1. Dividir
entre
2. Dividir
entre
INSTRUCCIONES PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio respectivo y se tienen en cuenta las leyes para la división de monomios. Teniendo la claro la primera parte de la modelación, esta te va a resultar demasiado fácil, por eso, te recomiendo no avanzar hasta tener bien claro el procedimiento a seguir
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EJEMPLO 1. Dividir
2. Dividir
3. Dividir
entre
entre
entre
INSTRUCCIONES PARA DIVIDIR POLINOMIOS Para dividir un polinomio entre otro polinomio, es necesario tener en cuenta los siguientes pasos: 1. Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una de las variables. 2. Se divide el primer termino del dividendo entre el primer término del divisor. El resultado será el primer término del cociente. 3. Dicho término se multiplica por cada uno de los términos del divisor. Cada producto se resta de su semejante en el dividendo y se tienen en cuenta los respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al orden del dividendo. 4. Se baja el siguiente término del dividendo. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor. El resultado será el segundo término del cociente. 5. Se continúa el proceso hasta que el residuo tenga un grado menor que el grado del divisor.
Observa como se progresa en las divisiones, no es difícil, solamente hay que practicar, ahora vamos a dividir dos polinomios, como les dije anteriormente, hay que dominar lo anterior y tener cuidado con los procedimientos. Es igual de fácil, tengamos en cuenta los pasos dados en la enseñanza.
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PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º EJEMPLO 1. Dividir
entre
En este primer ejemplo vamos a dar todas las indicaciones, en los otros se hace exactamente lo mismo y tendrás tiempo de profundizar en los ejercicios propuestos
Primer paso: Ordenar los polinomios en forma descendente con respecto a una de las variables en este caso Segundo paso: El primer termino del dividendo ( ) se divide entre el primer termino del divisor ( ). El resultado será el primer termino del cociente.
Tercer paso: Se multiplica el resultado obtenido ( ) por cada uno de los términos del divisor ( ) y este resultado se resta del dividendo, colocando los términos semejantes en la misma columna
Cuarto paso: Se baja el siguiente termino del dividendo, es decir, y se divide entre el primer termino del divisor . El resultado será el segundo término del cociente.
Quinto paso: Vamos a repetir el tercer paso, es decir, multiplicamos en este caso cada uno de los términos del divisor y este resultado se le resta del dividendo.
Sexto paso: Se baja el siguiente termino del dividendo, es decir, y se divide primer termino del divisor , El resultado será el tercer término del cociente.
por
entre el
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Séptimo paso: Se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo. En este paso se finaliza la división, ya que el grado del residuo es menor que el grado del divisor.
2. Dividir
entre
Como el polinomio no es completo, se deja el espacio correspondiente al termino cuya parte literal es . Podemos escribir o dejar el espacio en blanco.
Aquí terminamos el ejemplo ya que el grado del residuo es menor que el grado del divisor.
EJERCICIOS a. Realiza las siguientes divisiones entre monomios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
entre entre entre – entre entre entre – entre entre entre entre entre entre entre
PDC MATEMĂ TICA Y GEOMETRIA 8Âş b. Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
c. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
entre entre entre entre entre entre entre entre
Realizar las siguientes divisiones entre polinomios: entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre entre
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MÓDULO
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GOEMETRÍA. ANGULOS Un ángulo es la unión de dos semirrectas con el mismo punto de origen. A las dos semirrectas que forman un ángulo se le llaman lados y al punto de origen común entre ellas se llama vértice.
Un ángulo se puede notar de cuatro formas diferentes
1. Se marca un punto sobre cada lado del ángulo y se nombra con letras mayúsculas, igual se hace con el vértice. Luego, se escribe el símbolo de las letras que indican los puntos de tal manera que el vértice quede en el centro. Por ejemplo, el ángulo ABC ( el vértice se marca con la letra B) 2. Se nombra sólo el vértice con el símbolo , si no hay más ángulos con el mismo vértice. Por ejemplo, el ángulo A se denota A. 3. Se escribe un número cerca al vértice. Luego, se escribe el símbolo seguido del número. Por ejemplo, el ángulo 1 se denota 1. 4. Se escribe una letra griega como , , , La medida de un ángulo se llama amplitud y su unidad básica es el grado en el sistema sexagesimal o el radian en el sistema cíclico.
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se pueden clasificar según su medida, su suma y su posición. Clasificación según su medida.
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Agudo. Mide menos de 90°.
Recto. Mide exactamente 90°
Obtuso. Mide más de 90° y menos de 180°
Llano. Mide exactamente 180°
Cóncavo. Mide más de 180° y menos de 360°.
Completo. Mide exactamente 360°.
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Clasificación según su suma.
Complementarios. Dos ángulos son complementarios si su suma es 90°.
Suplementarios. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.
Clasificación según su posisición.
Consecutivos. Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común.
Adyacentes. Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes están en la misma recta.
Opuestos por el vértice. Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son prolongaciones de los lados del otro.
A partir de la clasificación anterior se cumple las siguientes propiedades.
Propiedad 1. Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Propiedad 2. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.
EJERCICIOS
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ANGULOS ENTRE PARALELAS Una secante es una recta que interseca dos o más rectas del mismo plan, en puntos distintos. Cuando una secante interseca dos rectas paralelas, se forman ocho ángulos. Estos ángulos se clasifican según su posición en.
Ángulos colaterales o correspondientes. Están ubicados a un mismo lado de la secante, pero no son adyacentes.
Ángulos internos. Están ubicados entre las rectas paralelas.
Ángulos externos. Están ubicados por fuera de las rectas paralelas.
Ángulos alternos internos. Son dos ángulos internos que no son colaterales ni adyacentes.
Ángulos alternos externos. Son dos ángulos externos que no son colaterales ni adyacentes.
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MÓDULO
Si dos rectas paralelas son intersecadas por una secante, se cumple las siguientes propiedades.
Propiedad 1. Los ángulos alternos internos son congruentes.
Propiedad. 2 Los ángulos alternos externos son congruentes.
Propiedad 3. Los ángulos correspondientes son congruentes.
EJERCICIOS
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TRIANGULOS. Un triangulo es la región del plano limitado por tres rectas que se intersecan dos a dos. En un triangulo se identifican tres elementos: vértices, lados y ángulos. Los vértices son los puntos de intersección de las rectas (se notan con letras mayúsculas, como A, B, C etc.) Los lados son los segmentos determinados por dos vértices ( se notan con letras minúsculas, como a, b, c etc.) Los ángulos interiores son aquellos formados por dos lados consecutivos. Se llaman ángulos exteriores de un triangulo a los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. El triángulo también se puede definir como un polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos interiores. Se nota con el símbolo ∆ seguido por las tres letras que indican sus vértices. Por ejemplo, el ∆ABC es el triangulo de vértices A, B y C.
PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS.
Mร DULO
EJERCICIOS
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CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS. Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos internos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican como se muestra a continuación. Según sus lados los triángulos se clasifican en:
Equiláteros: Todos sus lados tienen la misma medida.
Isósceles: Tienen dos lados iguales.
Escaleno: Todos sus lados tienen diferentes medidas.
Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Acutángulos: Todos sus ángulos interiores son agudos.
Rectángulos: Tiene un ángulo recto.
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
EJERCICIOS
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. LINEAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices.
Alturas. Las alturas son los segmentos perpendiculares trazados desde cada vértice del triángulo, hasta el lado opuesto o a su prolongación. En un triangulo se pueden trazar tres alturas. El punto de intersección de las tres alturas de un triangulo se llama ortocentro.
Medianas. Las medianas de un triangulo son los segmentos que unen cada vértice del triangulo con el punto medio de su lado opuesto. El punto de intersección entre las tres medianas de un triángulo se llama baricentro.
Mediatrices. Las mediatrices de un triangulo son las rectas perpendiculares a cada lado, que pasan por su punto medio. El punto de intersección de las tres mediatrices se llama circuncentro. El circuncentro corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triangulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértice del triangulo.
Bisectrices. Las bisectrices de un triangulo son los segmentos que dividen cada ángulo interior, en dos ángulos de la misma medida. Los bisectrices se trazan desde cada vértice hasta sus respectivos lados opuestos. El punto de intersección de las tres bisectrices de un triangulo se llama encentro.
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EJERCICIOS
CONSULTAS BIBLIOGRAFICAS
Baldor. Algebra. México, Ediciones y Publicaciones Preludio, 1996. Salgado Ramírez, Diana. Nuevas matemáticas 8º. Bogotá, Editorial Santillana, 2007. Díaz, Faberth. Nuevo Pensamiento Matemático 8º. Bogotá, Editorial Libros y Libros. Lozano Alvares, Jorge. Sigma 8º Matemáticas. Barcelona, Editorial Vicens Vives, 2004. Mesa Aldana, Martha. Símbolos 8º.Bogota, Editorial Voluntad, 2006. Fonseca Núñez, Luis. Matemáticas con Énfasis en Competencias 8º. Horizontes Editorial, 2001. Bautista Ballén, Mauricio. Algebra y Geometría 1. Bogotá Editorial Santillana, 2004.