GAF-210-V1 20-01-2012 1 de 30
PDC MATEMÁTICA Y GEOMETRIA 8º
ESTUDIANTE
GRADO
MEDIADOR PERIODO
III
JULIO ORTEGA DÍAZ Julio-Sept. DURACIÓN de 2013
ASIGNATURA
Matemáticas y Geometría.
8
AREA:
No
Matemáticas
Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales
PROPÓSITO DEL ÁREA
Resolver problemas donde utilice las operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones lineales en los números reales.
META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO
META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO
Utilizar la factorización de polinomios, la simplificación de fracciones algebraicas y la congruencia de Triángulos en la solución de problemas. ¿Cómo utilizar la factorización de polinomios en la simplificación de fracciones algebraicas?..
TÓPICO GENERADOR
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ALGEBRAICOS.
CONTENIDOS
METAS DE PERIODO
COMPRENSIÓN
DEL
Factor común monomio y polinomio.
Factor común por agrupación de términos.
Factorización de binomios.
Factorización de trinomios.
Factorización del cubo de un binomio.
Factorización con división sintética.
Simplificación de fracciones.
Congruencia de triángulos.
Comprende la factorización de polinomios algebraicos.
Comprende la simplificación de fracciones algebraicas.
Comprender la congruencia de triángulos.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES COMPETENCIA ESTÁNDAR
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN
FECHA
VALORACIÓN CONTINUA
Construye expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán talleres predeterminado relacionado con la factorización de polinomios
Semanas 1-6
Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio
Modela situaciones de variación con funciones polinómicas.
El estudiante realizará simplificación y determinará el M.C.M de fracciones algebraicas.
Verificación: Con base en los contenidos de factorización, simplificación y M.C.M se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.
Revisión del docente
Semanas 6-8
Semana 9
taller por parte del
Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo
Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico del estudiante durante el período.
NIVELES DE META
SUPERIOR
ALTO
BÁSICO
BAJO
Utiliza la teoría de factorizar polinomios, simplificación de fracciones algebraicas y congruencia de triángulos en la solución de problemas más complejos.
Utilizar la factorización de polinomios, la simplificación de fracciones algebraicas y la congruencia de Triángulos en la solución de problemas.
Describe el procedimiento para resolver problemas utilizando la factorización, simplificación de fracciones algebraicas y congruencias de triángulos.
Se le dificulta comprender el procedimiento para factorizar polinomios, simplificar fracciones algebraicas y determinar la congruencia de triángulos.
RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO)
Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.
Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar las actividades sugeridas en el módulo de estudio.
Utilización del video bean para la proyección de videos y animaciones.
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INTRODUCCIÓN La obesidad caracterizada por el almacenamiento de una cantidad excesiva de de grasa en el tejido adiposo bajo la piel y en el interior de los músculos, es una condición corporal que puede ocasionar problemas de salud. Para determinar si en una persona existe o no un exceso de peso suele utilizarse el índice de masa corporal (IMC) el cual se calcula dividiendo el peso de la persona (en kilogramos) entre el cuadrado de su altura(en metros). Existe situaciones reales con cantidades que podemos representar con polinomios y que su solución posiblemente dependa de la factorización y de la resolución de una ecuación. Una persona con un peso de 100kg tiene obesidad grado dos con un índice de masa corporal (IMC) de 2 36kg/m . ¿ Cual es su estatura?.
peso(kg) , en esta situación está dado el peso y el IMC, lo cual indica que altura (m 2 ) 100 debemos encontrar la altura ((H). Así, al remplazar en la formula tenemos : 36 que equivale a la H2 2 ecuación 36H 100 0 . Resolviendo tenemos: 6H 106H 10 0 Factor izando la diferencia de cuadrados. Recordemos que IMC =
Igualando a cero cada factor, se obtiene dos posibles soluciones (positiva y negativa) para el problema . El valor negativo de H no lo consideramos en el contexto porque la estatura debe ser un número positivo, por lo tanto, la estatura de la persona es aproximadamente 1,67 metros. CONCEPTOS CLAVES
Factorización
Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Suma y diferencia de cubos
Simplificación
MARCO TEÓRICO CONTENIDO
CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN Si analizamos la enseñanza este nos menciona un nuevo término, como lo es factores, pero ¿Qué son los factores? Los factores o divisores de una expresión algebraica se les llama a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Por ejemplo,
y
son factores de
, ya que:
Al igual que los números compuestos, existen polinomios compuestos que se pueden expresar como el producto de factores diferentes a él, es decir, como su descomposición en otros polinomios más simples. Este proceso se denomina factorización de polinomios. La factorización de un polinomio consiste en la descomposición en factores primos que son polinomios, diferentes a él. Un polinomio compuesto se define como el polinomio que se puede expresar como el producto de dos o más factores. Así, todo polinomio compuesto es divisible entre cada uno de los factores. Todo polinomio cuyos únicos factores son el número 1 y él mismo, se llama polinomio primo.
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FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN Existen expresiones algebraicas, que tienen un elemento común en cada uno de sus términos, que puede ser numérico o literal (variable), a este elemento se le denomina factor común. La factorización de un polinomio por factor común está relacionada con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
FACTOR COMUN MONOMIO. En una expresión algebraica, un monomio puede ser el elemento común de cada uno de los términos, sin embargo, hay que determinar cómo es ese elemento. De acuerdo con la naturaleza del factor común, se tiene que: Si el factor común es numérico, se escoge como factor común el máximo común divisor de los coeficientes numéricos en los términos de a expresión algebraica. Por ejemplo, en la expresión 5 y 10 x 30 el factor común es el máximo común divisor de 5, 10 y 30, que es el 5. Si el factor común es literal, se escoge como factor común la variable o variables con menor 2
exponente. Por ejemplo, en el polinomio 3x 7 x 5x 5
4
2
el factor común es la variable x con
2
exponente 2, es decir, x . Si el factor común tiene parte literal y numérica, se escoge como factor común el máximo común divisor de los coeficientes numéricos en los términos de la expresión y la variable o variables con menor exponente. Por ejemplo, en la expresión 6a b 9a b el factor común de 6 y 3, que es el 3 y las variables a y b , como el menor exponente de a es 3 y el menor exponente 3
3
3
3
2
2
de b es 2, entonces, el factor común del polinomio es 3a b Para factorizar un polinomio por factor común monomio es necesario realizar los siguientes pasos. Primero, se halla el factor común, considerando sus características. Segundo, se divide cada término del polinomio dado entre el factor común extraído. Finalmente, se escribe el factor común y dentro de un paréntesis se escriben los cocientes de cada división.
EJEMPLOS
Factorizar los siguientes polinomios por factor común monomio.
1.
10 10 x
Aquí observamos que 10 se repite en ambas expresiones, por lo tanto ese es el factor común numérico, entonces esa expresión factorizada quedaría: 10 10 x 101 x , ya que
2.
10 10 x 1 y x . 10 10
w 3 x yw 2
w se repite en los dos términos, por tanto ese es el factor común literal, 2 ahora hay que tomar la de menor exponente en este caso es w . Observamos que la variable
Siguiendo con el procedimiento, este factor común divide a cada uno de los términos de la expresión dada, así:
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w3 x yw 2 de la misma manera y , por lo tanto la expresión factorizada es: wx w2 w2 w 3 x yw 2 w 2 wx y . 3.
2m 3 n 2 6mn 3 8m 2 n 4
Los tres términos tienen parte numérica y parte literal, el máximo común divisor entre 2, 6 y 8 es 2 2
y en la parte literal seria mn ya que son las variables de menor exponente que se repiten en todos los 2
términos, entonces el factor común en este caso sería: 2mn . Ahora este factor común divide a cada uno de los términos y resulta que:
2m 3 n 2 6mn 3 8m 2 n 4 2mn 2 m 2 3n 4mn 2
EJERCICIOS
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FACTOR COMÚN POLINOMIO En algunas expresiones algebraicas existen factores comunes que no son monomios sino polinomios, sin embargo, el proceso de factorización es similar. Estas expresiones se caracterizan porque se puede observar en ellas, más de un elemento común en cada término que la compone.
EJEMPLO Factoricemos el polinomio
5x x 2 1 4 y x 2 1 9 x 2 1
SOLUCIÓN:
x
2
1 es el máximo factor común en los tres términos del polinomio. Después de identificar el factor
común, aplicamos la propiedad en sentido contrario, esto es, tomamos cada termino del polinomio y lo dividimos entre el factor común. El resultado lo escribimos en el segundo término de la factorización.
5x x 2 1 4 y x 2 1 9 x 2 1 = x 2 1 5x 4 y 9 Así, queda factor izado completamente el polinomio.
EJERCICIOS
FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS En ocasiones, algunos polinomios no se pueden factorizar por factor común, sin embargo, sí es posible factorizar el polinomio realizando agrupaciones iguales de términos para obtener un factor común en cada agrupación. Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, la expresión dada debe tener las siguientes características: El polinomio debe tener una cantidad par de términos ( mínimo cuatro términos) Al agrupar los términos deben contar con un factor común. Para realizar la factorización por agrupación de términos es necesario realizar los siguientes pasos: Primero, se agrupan los términos que tengan factor común.
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Segundo, se extrae el factor común de cada agrupación y se factoriza. Si los términos formados cuentan con un factor común polinomio, se factoriza como factor común polinomio. Finalmente, se factoriza como factor común polinomio.
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios.
a 2 ab ax bx
a.
SOLUCIÓN: Los dos primeros términos tienen factor común a , los dos últimos tienen factor común x . Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo +.
a 2 ab ax bx a 2 ab ax bx aa b xa b a ba x ax 2bx 2ay 4by
b.
Los dos primeros términos tienen factor común
x , los dos últimos tienen factor común 2 y . Agrupamos los
dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo porque el tercer término tiene el signo .
ax 2bx 2ay 4by ax 2bx 2ay 4by xa 2b 2 ya 2b a 2bx 2 y
EJERCICIOS Factorizar los siguientes polinomios. a. am bm an bn
g. 6ax 3a 1 2 x
b.
a x 3bbx a y 3by
c.
3m 2n 2nx 4 3mx 4
i. 2a x 5a y 15by 6bx
d.
3abx 2 2 y 2 2 x 2 3aby 2
j. 6m 9n 21nx 14mx
e.
3a b 2b x 6ax
k. 20ax 5bx 2by 8ay
f.
4a x 4a b 3bm 3amx
m. 3a 7b x 3ax 7ab
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
h. 3x 9ax x 3a 3
2
2
2
2
2
2
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FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS Los binomios son expresiones algebraicas de dos términos, las cuales presentan características propias que, de acuerdo con su naturaleza, determinan un proceso de factorización adecuado para cada una. De acuerdo con ello, un binomio se puede reconocer como la diferencia de cuadrados, la suma o diferencia de cubos o como la suma o diferencia de potencias iguales.
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS. El tercer método de factorización es la diferencia de cuadrados. En este método, el polinomio es una diferencia de cantidades que son cuadrados perfectos (resultado de una potencia cuadrada), cuya
factorización siempre estará compuesta por dos factores, es decir, a b a b a b Para identificar cuándo un binomio es la diferencia de dos cuadrados, se debe verificar que cumple las siguientes características. Debe tener dos términos, separados por el signo menos. Los dos términos deben estar elevados al cuadrado, es decir, se les puede hallar la raíz cuadrada exacta. 2
2
La expresión 36 16m es un binomio que forma una diferencia de cuadrados, en él se puede observar que sus términos se encuentran separados por el signo menos y que al calcular sus raíces cuadradas resultan ser exactas. 4
36 6
16m 4 4m 2
Para factorizar una diferencia de cuadrados, debemos realizar el siguiente procedimiento:
Primero, se determina la raíz cuadrada de los términos del binomio. Luego, se escribe la diferencia de cuadrados como el producto de la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de las mismas. La diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de la raíz cuadrada de los términos, es decir,
a 2 b 2 a ba b
EJEMPLOS Identifiquemos cuales de las siguientes expresiones algebraicas son diferencias de cuadrados: a)
9 x 2 , si es, ya que cumple con las condiciones y además 9 x 2 3 2 x 2
b)
t 2 s 2 , no es, ya que a pesar que son cuadrados, los dos tienen signos negativos.
c)
m 4 n 2 81 , si es, ya que m 4 n 2 m 2 n y 81 9 2 2
Factoriza los siguientes binomios: a)
9 x2 . SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente 9 x 3 x y aquí realizamos el siguiente procedimiento: 2
9 x 2 32 x 2
3
x
Raíces cuadrada
2
2
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Entonces hacemos el producto de la suma por la diferencia de las raíces, esto es,
9 x 2 3 x 3 x .
b)
16 x 4 25 y 6 SOLUCIÓN: Esa expresión hay que escribirla como una diferencia de cuadrados, así:
5 y
16 x 4 25 y 6 4 x 2
4x 2
5y 2
2
3 2
Raíces cuadrada
16 x 4 25 y 6 = 4 x 2 5 y 3 4 x 2 5 y 3
EJERCICIOS Factorizar los siguientes polinomios. a.
y 2 25w 2
4 4 d. 144 x 225
4 g. 36 16m
36 x 4 a 1 2b y j. 49 4 n.
x 4 100
b.
c. 16n 9
y6 1 e.
100 y 8m 16 x 2 h. 4 k. 5w 80
2
f. 169m 1600n 2
i. 100 x 49 x
4
3
4x 2 9 y 2 m. 9 16
25x 6 n 9
FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUBOS. El cuarto método de factorización es la diferencia de cubos. En este método, el polinomio es una diferencia de cantidades que son cubos perfectos (resultado de una potencia cubica), los cuales se descompone en dos factores: un binomio y un trinomio. Las características más sobresalientes son: .Son dos términos con raíces cubicas exactas. La factorización es un binomio por un trinomio. Para factorizar una diferencia de cubos realice el siguiente procedimiento.
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Extraer la raíz cubica a cada término. Formar dos factores: Un binomio con la diferencia de las raíces y un trinomio con la suma del cuadrado de la primera raíz cubica, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz cubica. Es decir :
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 .
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios.
64w3 8 y 6
a.
b. 1 216b
3
SOLUCIÓN: 3
4w 2 La raíz cúbica de 8y es 2 y La raíz cúbica de 64w es 6
Utilizando la formula mencionada anteriormente, tenemos que en el primer factor va la diferencia de las raíces cúbicas y en el segundo factor va el cuadrado de la raíz cúbica del primer término más el producto de las raíces cúbicas
término 2 y
b . 1 216b
2
4 y 4 , por lo tanto,
4w
2
16w 2 ,
4w2 y 8wy , mas el cuadrado de la raíz cúbica del segundo 2
2
64w3 8 y 6 4w 2 y 2 16w2 8wy 2 4 y 4 .
3
SOLUCIÓN:
La raíz cúbica de 1 es 1 3
La raíz cúbica de 216b es
6b
Utilizando la formula dada en la enseñanza expresiva tenemos que, 1 216b 1 6b y así 3
1 216b3 13 6b 1 6b 1 6b 36b2 3
3
3
FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE CUBOS. El quinto método de factorización es la suma de dos cubos. De manera similar al método anterior, el polinomio por factorizar es una suma de dos cubos perfectos, el cual siempre se descompone en dos factores: un binomio y un trinomio. Las características más sobresalientes son:
.Son dos términos con raíces cubicas exactas. La factorización es un binomio por un trinomio.
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Para factorizar una suma de cubos realice el siguiente procedimiento.
Extraer la raíz cubica a cada término. Formar dos factores: Un binomio con la suma de las raíces y un trinomio con la suma del cuadrado de la primera raíz cubica, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz cubica. Es decir :
a3 b3 a b a 2 ab b2 .
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios. a.
x6 y9
a.
x6 y9
b . 8 x 125 3
SOLUCIÓN: 6
La raíz cúbica de x es x
2
y 9 es y 3
La raíz cúbica de
Utilizando la formula mencionada anteriormente, tenemos que en el primer factor va la suma de las raíces cúbicas y en el segundo factor va el cuadrado de la raíz cúbica del primer término
x
2 2
x 4 , menos el
producto de las raíces cúbicas x 2 y 3 , mas el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término y por lo tanto,
3 2
y6 ,
x6 y9 x2 y3 x4 x2 y3 y6 .
b . 8 x 125 3
SOLUCIÓN: 3
2x La raíz cúbica de 125 es 5 La raíz cúbica de 8x es
Utilizando la formula mencionada anteriormente, tenemos que en el primer factor va la suma de las raíces cúbicas y en el segundo factor va el cuadrado de la raíz cúbica del primer término
5
25 , por lo tanto, 8x
3
2
4 x 2 , menos el
2 x5 10 x , mas el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término 125 2 x 54 x 2 10 x 25
producto de las raíces cúbicas 2
2x
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EJERCICIOS
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS. Cuando los polinomios tienen tres términos es posible factorizarlos según sean sus características. Por ello, es importante analizar cómo es el trinomio y factorizarlo de manera adecuada. Hay tres clases de trinomios: Los trinomios cuadrados perfectos, los trinomios de la forma x forma ax
2n
2n
bx n c y los trinomios de la
bx n c
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS. Un trinomio ordenado con respecto a una de sus variables es un trinomio cuadrado perfecto cundo cumple con las siguientes características.
El primer y tercer término son cuadrados perfectos, es decir, se les puede hallar la raíz cuadrada exacta. El segundo término, es el doble producto de las raíces cuadradas perfectas del primer y tercer término. El primer y tercer término siempre son positivo, el segundo término puede ser positivo o negativo.
Procedimiento para factorizar una trinomio cuadrado perfecto. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se realiza como el cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos. Es decir, cuando el trinomio está ordenado se factoriza así: Si el segundo término es positivo, se eleva al cuadrado la suma de las raíces cuadradas del primer y tercer término. Si el segundo término es negativo, se eleva al cuadrado la resta de las raíces cuadradas del primer y tercer término. Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio de la siguiente forma:
a 2 2ab b 2 a b
2
ó
a 2 2ab b 2 a b
2
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Veamos algunos polinomios. ¿Cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos?
x 2 2x 1
a)
x 2 2x 1
1
x
Raíces cuadrada
Ahora multipliquemos las dos raíces obtenidas por 2:
2x 1 2 x . Observamos que obtenemos el término del medio. Por lo tanto es un trinomio
cuadrado perfecto.
25w 2 36q 2 60wq
b)
Primero ordenamos el trinomio con respecto a una variable:
25w 2 60wq 36q 2
Ahora extraemos la raíz al primer y último término
25w 2 60wq 36q 2 5w 60wq 6q 2
5w
6q
2
Raíces cuadrada
25w6q 60wq , por lo tanto si es un trinomio cuadrado perfecto
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios.
9a 2 16b 2 24ab
a)
b)
x 6 2x 3 y 2 y 4
a . 9a 16b 24ab 2
2
SOLUCIÓN:
Ordenamos el trinomio
9a 24ab 16b 2 2
Extraemos la raíz al primer y último termino
9a 24ab 16b 2 2
3a
4b Unimos las dos raíces con el signo del término del medio
3a 4b
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Este binomio lo elevamos al cuadrado
3a 4b2
b)
x 6 2x 3 y 2 y 4 SOLUCIÓN:
Este trinomio es igual a x 3
x
3 2
x3
2x 3 y 2 y
2
2x 3 y 2 y 2
2
, extrayendo la raíz cuadrada
2 2
y2
Uniendo los términos y elevando al cuadrado
x 6 2 x 3 y 2 y 4 = x 3 y 2
2
EJERCICIOS
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FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. Algunos trinomios no son cuadrados perfectos pero se pueden factorizar haciendo algunos arreglos. Por ejemplo, el trinomio
y 4 y 2 1 no es cuadrado perfecto, porque aunque y 4 es el cuadrado de y 2 y 1 es 2
2
el cuadrado de 1 , el segundo término, y , no es el doble producto de y por 1 . Para lograr que sea un trinomio cuadrado perfecto, se puede sumar y restar un término. A este procedimiento se le denomina completar cuadrados. Para factorizar trinomios que no son cuadrados perfecto se realiza el siguiente procedimiento:
Primero, se halla la raíz cuadrada de los términos cuadrados. Segundo, se multiplican por 2 las raíces cuadradas obtenidas anteriormente, para determinar cuál debe ser el segundo término de un trinomio que sea cuadrado perfecto. Tercero, se busca un nuevo término semejante, de tal forma que sumado con el segundo término que tiene el trinomio dado dé como resultado el término para que sea trinomio cuadrado perfecto. Se suma y resta este nuevo término semejante al trinomio dado. Cuarto, se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. Quinto, se factoriza la diferencia de los cuadrados resultantes.
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios.
x 4 4y 4
y 4 y 2 1 a.
b.
SOLUCIÓN: Para obtener un trinomio cuadrado perfecto se necesita que el término de la mitad sea completar el trinomio cuadrado se le suma manera:
y4 y4
y2 y2
1
2y 2
1
2 y 2 . Con el fin de
y 2 y para el trinomio no varíe se le resta y 2 , de la siguiente
y2 y2
Así, se obtiene un trinomio que es igual a un trinomio cuadrado perfecto menos un cuadrado, lo cual se factoriza de la siguiente manera:
y4 y2 1 y4 2 y2 1 y2 ( y 4 2 y 2 1) y 2
y
y
2
y2 1 y2 y2 1 y y2 1 y
2
2
1 y
1 y
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Ordenando los polinomios, se tiene que
y4 y2 1 y2 y 1 y2 y 1
x 4 4y 4
b.
SOLUCIÓN:
x 4 4y 4 se completa el trinomio cuadrado perfecto. Como x 4 es el cuadrado 4 2 2 de x y 4 y es el cuadrado de 2 y , para completar el trinomio cuadrado perfecto se requiere un término 2 2 2 2 que sea el doble producto de x por 2 y , es decir, 4 x y , por lo tanto se suma Para factorizar el binomio
y se resta el monomio
x4
4x 2 y 2 x4
4 x 2 y 2 de la siguiente manera: 4y 4 4x 2 y 2
4x 2 y 2
4y 4
4x 2 y 2
Luego,
x4 4y4
x 4 4x 2 y 2 4 y 4 4x 2 y 2 (x 4 4x 2 y 2 4 y 4 ) 4x 2 y 2
x x
4x y 2 y 2 xy x 2 y 2 xy 2 xy 2 y x 2 xy 2 y
x2 2y2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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EJERCICIOS
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA Para factorizar un trinomio de la forma x bx c se buscan dos números 2
algebraica sea
r
y
s cuya suma
b y cuyo producto sea c , de tal manera que x 2 bx c x r x s
Instrucciones para identificar un trinomio de la forma Para identificar un trinomio de la forma x bx c se debe tener en cuenta: 2
1. Que sean tres términos algebraicos 2. El coeficiente del primer término es 1 3. El primer termino es una letra cualquiera elevada al cuadrado 4. El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 5. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º y 2º termino y es cantidad cualquiera ya sea positiva o negativa.
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Instrucciones para factorizar un polinomio de la forma Para factorizar un trinomio de la forma x bx c se tendrá en cuenta la siguiente regla: 2
1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es del primer termino del trinomio
x , o sea la raíz cuadrada
2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. 3. Si el signo del último término del trinomio es positivo se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si el signo del último término del trinomio es negativo se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor el segundo término del segundo binomio.
EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios. 1.
x2 4x 3 SOLUCIÓN: Sigamos las reglas anteriores para factorizar el trinomio
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x
x
x2 4x 3 =
x
2
Como el signo del segundo término es +, lo colocamos en el primer binomio y en el segundo binomio colocamos el resultado de multiplicar el signo del segundo término del trinomio con el signo del tercer término del trinomio en este caso + por + = +
x2 4x 3 =
x
x
Ahora bien, como el signo del tercer término del trinomio es +, hay que buscar dos números que sumados den como resultado 4 y su producto 3; los números claramente son 3 y 1.
x 2 4 x 3 x 3x 1 2.
y 2 9 y 20
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SOLUCIÓN: En el primer binomio colocamos y después el signo En el segundo binomio colocamos y después el signo, ya que es el resultado de la multiplicación del signo del segundo término con el signo del término.
y 2 9 y 20 =
y
y
Ahora buscamos dos números que sumados den 9 y multiplicados 20. Los números son 5 y 4.
y 2 9 y 20 y 5 y 4 3.
w2 4w 12
En el primer binomio colocamos w después el signo En el segundo binomio colocamos w después el signo , ya que por es + Buscamos dos números que restados (ya que el tercer término del trinomio es negativo) de 4 y multiplicados 12. Los números son 6 y 2.
w2 4w 12 w 6w 2
EJERCICIOS
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA Los trinomios de la forma ax bx c se pueden expresar como el producto de dos binomios así 2
ax 2 bx c px r qx s .Este trinomio se diferencia del anterior en que el coeficiente del término x2
es 1.
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INSTRUCCIONES PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA
Para factorizar un trinomio de la forma ax bx c se debe tener en cuenta las siguientes reglas: 2
ax bbx ac a ax 2 bx c a a 2. Encontrar dos números m y n tales que su suma sea b y su producto sea ac 1. Multiplicar y dividir por a :
2
3. Sacar factor común de uno de los factores y simplificar si es posible. .
EJEMPLO. Factorizar el siguiente polinomio.
1.
2 y2 5 y 2 SOLUCIÓN:
Se multiplica y se divide por 2 que es el coeficiente de Así,
2 y2 5 y 2
2 2 y2 5 y 2 2
2 y 2 , y se expresa de la forma x 2 bx c .
4 y 2 5(2 y ) 4 2
(2 y ) 2 5(2 y ) 4 Se buscan dos números cuya suma sea 4 y su producto 5 2
2 y 42 y 1 2 2 y 22 y 1 2
y 22 y 1
Se saca factor comúnde cada una de las expresiones entre paréntesisy se simplifica
Simplificamos el 2
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EJERCICIOS
Factorizar los siguentes polinomios
1.1
FAACTORIZACION DEL CUBO DE UN BINOMIO
Para factorizar el cubo de un binomio se tendrá en cuenta las siguientes reglas: 1. Son 4 términos algebraicos 2. Que el primero y el ultimo son cubos perfectos 3. Que el 2º termino sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último termino er 4. Que el 3 termino sea el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último termino 5. Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primer y último término. 6. Si los signos son alternados positivos y negativos respectivamente, la expresión dada es el cubo de la diferencia de las raíces del primer y último termino
EJEMPLOS Factorizar el siguiente polinomio.
1.
w6 6w4 12w2 8 SOLUCIÓN:
Veamos si cumple con las reglas mencionadas anteriormente 6
La raíz cúbica de w es w
2
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8 es 2
La raíz cúbica de
2 3w 2 6w , segundo termino 3w 2 12w , tercer termino
3 w2
2
4
2
2
4
2
Cumple con las reglas anteriores y como todos los términos son positivos, el polinomio lo podemos escribir como el cubo de
2.
( w2 2) , es decir, w6 6w4 12w2 8 w2 2
3
n9 9n6m4 27n3m8 27m12 SOLUCIÓN:
Veamos si cumple con las reglas mencionadas anteriormente 9
La raíz cúbica de n es n 12
La raíz cúbica de 27m
3
es 3m
4
3m 9n m , segundo termino 3n 3m 27n m , tercer termino
3 n3
3
2
4
4 2
6
4
3
8
Cumple con las reglas anteriores y como los signos de los términos son intercalados, el polinomio lo podemos escribir como el cubo de
(n3 3m4 ) , es decir, n9 9n6m4 27n3m8 27m12 n3 3m4
3
EJERCICIOS
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DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES UTILIZANDO LA DIVISIÓN SINTÉTICA. En el módulo anterior se desarrolló la división sintética para realizar la división de un polinomio entre un binomio de la forma y encontrar el residuo de esta división. En este módulo se utilizará para encontrar todos los factores que componen los polinomios que tienen las siguientes características. Si el residuo de dividir un polinomio entre un binomio de la forma divisible entre lo cual equivale a decir que es un factor de
La factorización de un polinomio
es cero, el polinomio es
.
por división sintética se realiza de la siguiente forma:
Primero, se halla los factores del término independiente. Segundo, se divide entre los factores de la forma . Usando división sintética, donde representa cada uno de los factores del término independiente. Tercero, si el residuo es cero, es un factor de
EJEMPLOS
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EJERCICIOS Factoriza los siguientes polinomios con división sintética.
x 3 4x 2 x 6 a 3 a 2 13a 28 x 4 4 x 3 13x 2 14 x 24 6 x 3 23x 2 9 x 18 n 4 27n 2 14n 120 8a 4 18a 3 75a 2 46a 120 15x 4 94 x 3 5x 2 164 x 60 x 5 21x 3 16 x 2 108x 144 6 x 5 13x 4 81x 3 112 x 2 180 x 144 x 5 25x 3 x 2 25
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS y
Si dos polinomios expresión algebraica
se descomponen en factores y tienen por lo menos un factor común, la
P( x) se puede simplificar y se dice que la expresión es reducible. Q( x)
Una expresión está reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen comunes diferentes de
o
.
Así, la simplificación de fracciones algebraicas es el proceso mediante el cual se busca una fracción equivalente a la fracción dada, donde el numerador y el denominador no tengan factores comunes diferentes de . Cuando se simplifica una fracción algebraica y se obtiene una fracción cuyo numerador y denominador son factores primos, se dice que la fracción es irreducible.
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SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CUYOS NUMERADOR Y DENOMINADOR SON POLINOMIOS. La simplificación de fracciones algebraicas con polinomios en el numerador y denominador se realiza de la siguiente manera:
Primero, se descomponen los polinomios del numerador y del denominador en factores primos
Segundo, se dividen los factores primos comunes del denominador con los del denominador.
EJEMPLOS
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EJERCICIOS
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Taller 1
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Taller 2
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Taller 3
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Taller 4
CONSULTAS BIBLIOGRAFICAS
Baldor. Algebra. México, Ediciones y Publicaciones Preludio, 1996. Salgado Ramírez, Diana. Nuevas matemáticas 8º. Bogotá, Editorial Santillana, 2007. Díaz, Faberth. Nuevo Pensamiento Matemático 8º. Bogotá, Editorial Libros y Libros. Lozano Alvares, Jorge. Sigma 8º Matemáticas. Barcelona, Editorial Vicens Vives, 2004. Mesa Aldana, Martha. Símbolos 8º.Bogota, Editorial Voluntad, 2006.
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