Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) En cierta ciudad Europea está nevando con regularidad. A las 12:00 m sale una máquina quitanieves que recorre en la primera hora 2 km y en la segunda hora 1 km. ¿A qué hora empezó a nevar? Considerando que la cantidad de nieves quitada por la máquina por cada unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada. SOLUCIÓN Las variables a usar en la construcción y desarrollo de la Ecuación Diferencial son: t : Tiempo en horas X: distancia recorrida V: velocidad de avance Q: cantidad – altura de nieve acumulada Consideraciones a tomar en cuenta: 1) La cantidad de nieve acumulada es proporcional al tiempo:
2) La velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de la nieve acumulada:
3) Empezó a nevar en
, y la máquina sale
horas después de nevar
4) La velocidad de avance es igual a la razón de cambio de la distancia recorrida respecto al tiempo:
Para t =
:
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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) … (2) … (3) (2) – (1): (3) – (1):
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Como nos interesa obtener el valor de ts de este sistema de dos ecuaciones, el valor de C y de K es irrelevante, por lo cual denominaremos a A = K/C, dejando el sistema de ecuaciones como sigue: (2) – (1):
… (4)
(3) – (1):
… (5)
De (4):
… (6)
De (5):
… (7)
(6) = (7): =
Tomamos el último valor ya que con los otros obtenemos un tiempo de salida o indeterminado o negativo. Reemplazando este valor en (6):
Entonces, podemos decir que la máquina de nieve salió 0.6180339884 horas después de empezar a nevar
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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) Recordemos que la hora de salida fue a las 12:00, por lo cual la hora de inicio de nevar es: = 11.38196601 horas <> 11 horas y 22.91796069 minutos <> 11 horas, 22 minutos y 55 segundos.
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