Capitulo V : Metodo Simplex - Capitulo VI: Programacion Lineal en Computadora

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CAPITULO V EL METODO SIMPLEX En él capitulo anterior se desarrollo la parte relacionada a como resolver problemas de programación lineal con dos variables de manera gráfica. Cuando se hayan implicadas mas de tres variables, este enfoque no es posible. Además, los programas lineales del mundo real se resuelven con la ayuda de computadoras, que utilizan álgebra lineal, no-geometría. En este capitulo desarrollaremos el método simplex, un método algebraico para resolver todos los problemas de programación lineal.

El método simplex prevee un sistema rápido y efectivo para resolver problemas de programación lineal. Es la técnica empleada en las aplicaciones prácticas y permite resolver una gran cantidad de problemas de real importancia industrial.

Este método llega a la solución óptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utilizando los conceptos básicos del álgebra matricial, para determinar la intersección de dos o mas líneas hiperplanas. Comienza con alguna solución factible, y sucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones que ofrecen mejores funciones de la función objetivo.

Finalmente, este método proporciona un indicador que determina el punto en el cual se logra la solución óptima.

5.1.

PROCEDIMIENTO 5.1.1. CASO DE MAXIMIZACION Dado el siguiente programa lineal en forma general: Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn s.a. a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn ≤ b2 ................................................. ................................................ am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn ≤ bm x

j

≥ 0 (j=1,n)

En este programa, se observa que todas las restricciones son del tipo “≤ “. Para la aplicación del método simplex, todas las restricciones del programa tienen que convertirse a la forma “=”, es decir a la forma estandarizada de un programa lineal (función objetivo de maximización, restricciones estructurales del tipo ≤, y las variables de decisión solo admiten valores positivos).

Para lograr esto se introducen las llamadas variables de holgura, una por cada restricción del tipo ≤ que exista, de la siguiente manera: Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn + 0 x n+1 +0 x s.a. a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn + x n+1 a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn + x n+2 .................................................

n+2

+...+0 x

n+m

= b1 = b2

1

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................................................ am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn x

j

+ x n+m ≥ 0 (j=1,n+m)

= bm

Cabe indicar que las variables de holgura son no negativas. Además, en la función objetivo, los coeficientes asociados a estas variables tomas el valor cero, ya que no deben afectar el valor de la función en caso de ser positivas. Así mismo en las restricciones estructurales, los coeficientes de las variables de holgura son 1 y positivo.

Si al resolver el programa lineal, se halla que la variable de holgura es cero, nos indica que los recursos correspondientes a dicha restricción se han agotado, es decir se ha ocupado la totalidad de los recursos.

Por otro lado, si el valor de la variable de holgura es mayor que cero, entonces el recurso correspondiente no es realmente limitante, y si la producción no puede ser incrementada, esto se deberá a la limitación impuesta por otros recursos.

Si el resultado final fuese de un valor positivo, nos indica que están sobrando recursos en la restricción correspondiente.

EJEMPLO 5.1. PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son: - Maquinado - Armado - Montaje La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.

El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Solución: Las variables de decisión son: x1: número de unidades del producto A que se va a producir x2: número de unidades del producto B que se va a producir El programa lineal es: Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 s.a.

2x 1 + 2x 2 ≤ 160 x

1

+ 2x

2

≤ 120

4x

1

+ 2x

2

≤ 280

2

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x 1, x

2

≥0

Convirtiendo las restricciones a la forma “=”, se introducirán 3 variables de holgura, una por cada restricción del tipo “≤”, con lo cual el programa lineal queda de la siguiente manera: Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 + 0 x s.a.

2x 1 + 2x 2 + x 3 x

1

+ 2x

2

4x

1

+ 2x

2

+x

+0x

3

+0x

5

= 160 = 120

4

+x

x 1, x 2, x 3, x

4

4

5

= 280

x

5

≥0

En el programa, se observa que este tiene ahora 5 variables y solo 3 ecuaciones, lo cual implica que 5 – 3 = 2 variables tienen que hacerse cero. Esto nos indica que en este caso la solución optima estará compuesta por 3 variables básicas y 2 variable no básicas.

Se observa también que las variables de holgura forman en su conjunto una matriz identidad, ya que tienen una diagonal de unos, el cual es la condición del simplex en cada solución básica factible a ser analizada. Y con la cual se empieza a aplicar el método El programa convertido, se presenta en la tabla del simplex de la siguiente manera: Tablero Nº 1

ci 0 0 0

cj xk x3 x4 x5 Z cj–

bi 160 120 280 0 zj

10 X1 2 1 4 0 10

15 X2 2 (2) 2 0 15

0 x3 1 0 0 0 0

0 x4 0 1 0 0 0

0 x5 0 0 1 0 0

Θ 80 60 140

Del tablero 1,se tiene que: En la primera fila, se colocan los coeficientes de las variables en la función objetivo.

En la segunda fila se distinguen las siguientes columnas: c i : que representa los coeficientes asociados a las variables que están en la base(variables básicas) x k : que representa a las variables que están en la base(variables básicas) b i : que representa al valor que asumen las variables básicas.

X 1 : que representa a los coeficientes de la variable X 1 en el programa lineal X 2 : que representa a los coeficientes de la variable X 2 en el programa lineal X 3 : que representa a los coeficientes de la variable X 3 en el programa lineal X 4 : que representa a los coeficientes de la variable X 4 en el programa lineal X 5 : que representa a los coeficientes de la variable X 5 en el programa lineal En la penúltima fila, se distinguen dos valores:

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Z= Σ ci . bi el cual representa el valor de la función objetivo.

Z j = Σ ci . a ij En la ultima fila, se encuentran las diferencias c j – z j, que nos indica: • •

Si todas las variables presentan diferencias iguales a ceros o negativas, entonces se ha llegado a la solución óptima. Generalmente esto no ocurre el primer tablero.

Si al menos una o mas variables presentan diferencias positiva, eso implica que existe una mejor solución, por consiguiente habrá que determinar la variable a ingresar a la base. Esto se logra viendo que variable presenta una diferencia positiva mayor.

En la ultima columna, del tablero se distingue la regla del mínimo de los Θ: Min Θ = min (bi / a ij)

donde a

ij

>0

Esta regla permite determinar que variable debe salir de la base, a fin de que ingrese otra variable para mejorar la solución. Para tal efecto la variable a salir será aquella que tenga el menor valor de Θ.

Del tablero 1 se ha obtenido la primera solución básica factible donde las variables básicas y sus valores correspondientes son: x 3 = 160 x 4 = 120 x 5 = 280 Y las variables no básicas son: x1=x2=0 Donde el valor de la función objetivo se calcula de la siguiente manera: Z = 0x160 + 0x120 + 0x280 = 0 El calculo de los Z j es de la siguiente manera: Z 1 = 0x2 + 0x1 + 0x4 = 0 Z 2 = 0x2 + 0x2 + 0x2 = 0 Z 3 = 0x1 + 0x0 + 0x0 = 0 Z 4 = 0x0 + 0x1 + 0x0 = 0 Z 5 = 0x0 + 0x0 + 0x1 = 0 La fila c j – z j ser obtiene restando de cada elemento de la primera fila c j el correspondiente elemento de z j. Esto se hace solamente para las variables que no están en la base, ya que para las variables básicas la diferencia es cero. c1 c2 c3 c4 c5

– – – – –

z1 z2 z3 z4 z5

= 10 – 0 = 10 = 15 – 0 = 15 = 0–0= 0 = 0–0= 0 = 0–0= 0

Con esto se ha completado el tablero 1.

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Obtención de la segunda solución Aquí vamos a analizar mas en detalle el significado de los coeficientes de transformación.

Del tablero 1 se observa por ejemplo que x 1 no figura en esta solución y deseamos saber que ocurre económicamente si ingresa x 1.

Si se introduce x 1, se reduce las cantidades de x 3, x4 y x5 en la proporción indicada por los coeficientes de x 1.

Por lo tanto, se deberá disminuir: 2 unidades de x3 1 unidad de x4 4 unidades de x5 ¿Cómo se sabe si se gana o se pierde con el cambio?

Se calcula la influencia de introducir x1 y de quitar unidades de x3, x4 y x5.

Entonces se tiene que: Beneficio de introducir una unidad de x 1 = $3 (valor dado por su coeficiente de ganancia c j = c 1 = 3).

La reducción indirecta de la ganancia al eliminar unidades de x3, x4 y x5 = 2x0 + 1x0 + 4x0 = $0, valor dado por z j = z 1 = 0 La ganancia neta del cambio es: cj – zj = c1 – z1 = 3 – 0 = $ 3 Valor que se encuentra en el tablero 1 en la fila cj – zj y columna de x1.

Este valor de $3 se denomina costo de oportunidad y es lo que se deja de ganar al no introducir x1 en la solución.

Se aprecia en definitiva que c j – zj es en realidad un balance económico que analiza la mejora potencial en la función objetivo que puede lograrse introduciendo x j, de donde se desprende que: z j = a lo que se pierde al introducir x j. c j = a lo que se gana al introducir x j Por lo tanto cuando se maximiza un problema, esto admite una solución mejor, siempre que haya un valor positivo de cj – zj.

Este paso que se acaba de explicar constituye el medio de conocer si la solución obtenida anteriormente puede o no ser mejorada.

Elección de la variable que entra Ahora bien, del tablero 1 se observa que hay dos variable que tienen diferencias positivas, siendo x 2 la que tienen mayor valor, por consiguiente x 2 debe ingresar a la base ya que proporciona la mayor ganancia y se denota en el tablero con una flecha hacia adentro.

Elección de la variable que sale Así mismo, la variable que deberá salir de la base para que ingrese x 2, será la variable x 4, ya que presenta el menor valor de los Θ, y se denota también en el tablero con una flecha hacia fuera

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El valor de a ij que se encuentra en la intersección de la variable que sale con la variable que entra (2), se llama elemento pivote y se encierra en un circulo.

En el tablero 2, la nueva base estará formada por x 3, x 2 y x 5 En la fila donde esta el elemento pivote(tablero 1), dicha fila se divide por el elemento pivote y el resultado se traslada a la fila correspondiente en el tablero 2.

Para completar las otras filas, se hará uso del pivoteo, mediante la siguiente formula: Tablero Nº 2

ci 0 15 0

cj xk x3 x2 x5 Z cj–

bi 40 60 160 900 zj

10 X1 (1) 1/2 3 7.5 2.5

15 X2 0 1 0 15 0

0 x3 1 0 0 0 0

0 x4 -1 ½ -1 7.5 -7.5

0 x5 0 0 1 0 0

Θ 40 120 53.3

Del tablero 2 se ha obtenido la segunda solución básica factible donde las variables básicas y sus valores correspondientes son: x 3 = 40 x 2 = 60 x 5 = 160 Y las variables no básicas son: x1=x4=0 Donde el valor de la función objetivo es: Z = 0x40 + 15x60 + 0x160 = $900 Obtención de la tercera solución Del tablero 2, se observa que todavía no se ha llegado a la solución óptima en vista que existe aun un cj – zj positivo.

Elección de la variable que entra Puesto que solo existe una diferencia positiva en la fila de c j – zj, que corresponde a la variable x1, esta es la que ingresa a la base.

Elección de la variable que sale Del tablero 2, se observa que la variable que tiene el mínimo de los Θ es la variable x3 y por consiguiente esta variable sale de la base.

En el tablero 3, la nueva base estará formada por x 1, x 2 y x 5 En la fila donde esta el elemento pivote(tablero 2), dicha fila se divide por el elemento pivote y el resultado se traslada a la fila correspondiente en el tablero 3.

Para completar las otras filas del tablero 3, se hará uso del pivoteo.

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Tablero Nº 3 c

10

15

0

0

0

xk Bi x3 40 x2 40 x5 40 Z 1000 cj–zj

X1 1 0 0 10 0

X2 0 1 0 15 0

x3 1 -1/2 -3 2.5 -2.5

x4 -1 1 2 5 -5

x5 0 0 1 0 0

j

ci 10 15 0

Como todas las diferencias de cj – zj son ceros o negativas, se ha llegado a la solución óptima, donde las variables básicas y sus valores correspondientes son: x 1 = 40 x 2 = 40 x 5 = 40 Y las variables no básicas son: x3=x4=0 Donde el valor de la función objetivo es: Z = 10x40 + 15x40 + 0x40 = $1000 En resumen, el resultado del tablero 3 nos indica que la Cia. ALFA, debe producir diariamente 40 unidades del producto A y 40 unidades del producto B, lo que daría una ganancia máxima de $1000.

Además nos indica que están sobrando 40 minutos de montaje por día(valor que corresponde a la variable x5 en la tercera restricción) .

5.1.2. CASO DE MINIMIZACION Cuando un programa lineal tiene restricciones del tipo “menor o igual que”(≤) o de limite mínimo y por consiguiente se desea convertir las desigualdades en igualdades, entonces es necesario sustraer variables en lugar de agregar variables de holgura. A estas variables se les llama variables de exceso. Se sustraen tantas variables de exceso como restricciones del tipo “menor o igual que” existan.

Las variables de exceso son no negativas y el coeficiente de costo en la función objetivo es cero.

EJEMPLO 5.2 Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo grado, 5 ton. De medio grado y 20 ton. De alto grado.

La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto grado en un día de operación. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 7 ton de alto grado por día de operación.

Los costos de operación son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para la fabrica 2. ¿Cuantos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma más económica?

SOLUCION Sean las variables de decisión:

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x1 = número de días de trabajo de la fabrica 1 x2 = número de días de trabajo de la fabrica 1 Min (z) = 1x1 +2x2 s.a.

8x1 +2x2 ≥ 16 1x1 +1x2 ≥ 5 2x1 +7x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0 Se sustraen 3 variables de exceso: Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 s.a.

8x1 +2x2 - x3 = 16 1x1 +1x2 - x4 = 5 2x1 +7x2 - x5 = 20 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 En esta parte del simplex, se observa que al hacer que las 2 variables estructurales sean iguales a cero(x1 = x2 =0) se tendría que: x3 = -16 x3 = -5 x3 = -20 Lo cual viola la condición de no negatividad de las variables.

Para el caso de minimización, se propone una modificación a partir de esta etapa del simplex. Esta consiste en hacer que las variables estructurales puedan tomar un valor nulo en las ecuaciones precedentes, en forma tal que las variables de exceso, permaneciendo positivas, satisfagan dichas ecuaciones. Esto se logra introduciendo además de las variables de exceso, las llamadas “variables artificiales”.

Representaremos a las variables artificiales por la letra λ con un subíndice apropiado.

Estas variables también cumplen la condición de no negatividad.

Por consiguiente nuestro programa lineal original con la sustracción de las variables de exceso y la adición de las variables artificiales quedaría de la siguiente manera: Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + Mλ1 +M λ1 +Mλ1 s.a.

8x1 +2x2 - x3 +λ1 = 16 1x1 +1x2 - x4 +λ2 = 5 2x1 +7x2 - x5 +λ3 = 20 x1, x2, x3,x4 ,x5, λ1 , λ2, λ3 ≥ 0 En este problema, las variables artificiales λ1, λ2 y “número de días imaginarios”.

λ3 pueden interpretarse como

Cabe indicar que las variables de exceso y las variables artificiales no guardan correspondencia con relación a su influencia en los costos. Es decir, mientras que las variables de exceso tienen coeficientes nulos de costos en la función objetivo, cada

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variable artificial recibe una asignación de costo igual a M, siendo M una cantidad infinitamente grande. Esto asegura que estas variables no pueden tomar parte en ningún caso en la solución óptima.

Si estuviésemos en un caso de maximización, el coeficiente asociado de beneficio de la variable artificial recibe una asignación de –M, es decir un valor tan pequeño que la variable correspondiente no tendría cabida en la solución.

Así mismo, se observa que las variables artificiales permiten obtener un inicio conveniente y correcto para hallar la solución óptima aplicando el método simplex, ya que estas variables se usan para formar o completar, según sea el caso la matriz identidad.

Al aplicar el simplex a este problema, que corresponde a un caso de minimización, solo hay que tener presente el punto relacionado con la variable que entra a la base, es decir con c j – z j; esto por que mientras exista una diferencia de c j – z j negativa, habrá una mejor solución. En el caso de que existan varias diferencias negativas, se eligira a la variable que tenga la diferencia mas negativa.

En el problema, llega a la solución óptima cuando todas las c j – z j son ceros o positiva Pasando al tablero simplex, se tiene que: Tablero 1

ci M M M

cj xk λ1 λ2 λ3 Z

bi 16 5 20 41M cj - zj

1 X1 (8) 1 2 11M 111M

2 X2 2 1 7 10M 210M

0 X3 -1 0 0 -M M

0 X4 0 -1 0 -M M

0 X5 0 0 -1 -M M

M λ1 1 0 0 M 0

M λ2 0 1 0 M 0

M λ3 0 0 1 M 0

0 X4 0 -1 0

0 X5 0 0 -1

M λ1 1/8 -1/8 -2/8

M λ2 0 1 0

M λ3 0 0 1

-M

-M

1/83/8M

M

M

M

M

-1/8 + 11/8 M

0

0

Θ 2 5 10

Tablero 2

ci 1 M M

cj xk X1 λ2 λ3 Z

bi 2 3 16 2+19 M

cj - zj

1 X1 1 0 0 1 0

2 0 X2 X3 2/8 -1/8 6/8 1/8 (52/8 2/8 ) 2/8+ 1/8+ 58/8 3/8M M 6/8 - -1/8 58/8 + M 3/8M

Θ 8 4 2.26

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Tablero 3

ci 1 M

cj xk X1 λ2

bi 72/52 60/52

1 X1 1 0

2 X2 0 0

0 X3 -7/52 5/52

0 X4 0 -1

2

X2

32/13

0

1

2/52

0

Z

328/5 2 +60M /52

1

2

-3/52 + 5M/5 2

-M

0

0

3/52 5M/5 2

M

cj - zj

0 X5 2/52 (6/52 ) -8/52

M λ1 7/52 -5/52

M λ2 0 1

M λ3 -2/52 -6/52

-2/52

0

8/52

3/52 14/5 57M/5 2 2 +6M/ 52 14/5 -3/52 2+ 6M/5 57M/5 2 2

0

14/52 58M/52

0

14/52+ 58M/52

Θ 36 10

Tablero 4

ci 1 0 2

La X1 X2 X5

cj xk bi X1 3 X5 12 X2 2 Z 7 cj - zj

1 X1 1 0 0 1 0

2 X2 0 0 1 2 0

0 X3 -8/6 5/6 2/6 -4/6 4/6

0 X4 -1/6 -1/6 1/6 -1/6 1/6

0 X5 0 1 0 0 0

M λ1 8/6 -5/6 -2/6 4/6 M4/6

M λ2 1/6 1/6 -1/6 1/6 M1/6

M λ3 0 -1 0 0 M

solución del problema es: = 3 días = 2 días = 12 tn.

Z = $7,000 Además, x3 = x4 = 0 Esto nos indica que para cumplir con el mencionado contrato de venta, la fabrica 1, deberá trabajar 3 días, la fabrica 2 solo 2 días, lo cual nos dará un costo total de operación mínimo de $7,000

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CAPITULO VI PROGRAMACION LINEAL: USO DE LA COMPUTADORA En el presente capitulo se examina como los que tienen que tomar decisiones utilizan la computadora para resolver problemas con mucha variables y restricciones, y como interpretan los resultados de la computadora para formular el plan óptimo.

Ahora que comprende la forma en que el algoritmo simplex soluciona los problemas de programación lineal, puede confiar en la computadora para realizar los cálculos detallados. Como pudo observar en el capitulo 5, el algoritmo simplex no solo produce la solución óptima, sino que también proporciona información económica adicional útil en el proceso de toma de decisiones, como los valores de los precios sombra, costos reducidos, intervalos de sensibilidad y análisis parametrico.

Todo el software para solución de programas lineales proporciona esta información.

6.1 USO DEL LINDO FOR WINDOWS Sé hará uso del software de programación lineal llamado LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) para resolver y analizar un problema de programación lineal.

EJEMPLO 6.1.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION 6.1.1. Definición del problema La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son: -

Maquinado Armado Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.

El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

6.1.2. Formulación del problema Las variables de decisión son: x1: número de unidades del producto A que se va a producir x2: número de unidades del producto B que se va a producir La combinación de la función objetivo de maximizar la ganancia total y las tres restricciones estipuladas en función de los recursos disponibles da como resultado el siguiente problema de programación lineal:

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Max Z = 10 x s.a.

1

+ 15 x

2

2x 1 + 2x 2 ≤ 160 x 1 + 2x 2 ≤ 120 4x 1 + 2x 2 ≤ 280 x 1, x 2 ≥ 0

maquinado armado montaje

6.1.3. solución de computadora El modelo de producción puede solucionarse usando cualquier paquete de software de programación lineal disponible como lindo.

El primer paso es introducir los datos del modelo en el formato requerido por LINDO de la forma como se muestra en la figura 6.1.

MAX 10 x 1 + 15 x ST 2x 1 + 2x 2 < 160 x

1

+ 2x

2

< 120

4x

1

+ 2x

2

< 280

2

END Figura 6.1. Entrada del programa Ahora puede ordenarle a la computadora que use LINDO para resolver el problema usando la opción SOLVE. La solución, se muestra en la figura 6.2., Donde la parte (a) del reporte representa la formulación Del programa y la parte (b) representa en primer lugar los valores óptimos de las variables estructurales. La segunda parte proporciona información referente a las restricciones.

MAX 10 X1 + 15 X2 SUBJECT TO 2) 2 X1 + 2 X2 <= 160 3) X1 + 2 X2 <= 120 4) 4 X1 + 2 X2 <= 280 END (a) LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X1 X2 ROW 2) 3) 4)

2

1000.000 VALUE 40.000000 40.000000 SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 40.000000

REDUCED COST 0.000000 0.000000 DUAL PRICES 2.500000 5.000000 0.000000

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NO. ITERATIONS=

2

(b)

Figura 6.2. (a) Entrada de Lindo (b) Reporte óptimo del lindo 6.2. INTERPRETACION DE LA SOLUCION OPTIMA La computadora realizo los pasos el algoritmo simplex, como se describe en él capitulo 5, para resolver el problema de Planeación de la producción presentado en la sección 6.1. los resultados se dan en la figura 6.2.

Recuerde que el algoritmo simplex esta diseñado para resolver un problema en su forma estándar. Como la entrada del programa no estaba en forma estándar, la computadora tuvo que añadir tres variables de holgura correspondientes a las tres restricciones de desigualdad. En la figura 6.2, la salida de la sección (b) en la primera parte corresponde a las dos variables originales, mientras que la segunda parte corresponde a las tres variables de holgura, una por cada restricción de desigualdad.

6.2.1. Interpretación de los valores de las variables originales.

La fila 1) representa el valor de la función objetivo, mientras que la columna etiquetada como VALUE, indica que la solución óptima a este problema es producir 40 unidades Del producto A y 40 unidades Del producto B por día, lo que nos da una ganancia máxima de $1,000 por día.

La columna etiquetada como REDUCED COST, pertenece a los costos reducidos de estas dos variables.

Sin embargo, los costos reducidos tienen significado sólo para las variables no básicas 6.2.2. Interpretación de los valores de las variables de holgura.

La segunda parte de la sección (b) contiene información similar perteneciente a las tres variables de holgura. En particular, de la columna etiquetada VALUE, los valores óptimos de las tres variables de holgura(cuyos nombres son los de las correspondientes tres restricciones) son 0, 0 y 40, respectivamente. ¿Que significan estos valores en el contexto de este problema?.

Recuerde que la variable de holgura para la restricción 1 representa en número de minutos no utilizados en el proceso de maquinado. El tener un valor 0 para esta variable en la solución optima de la figura 6.2 significa que no hay tiempo de holgura, todos los minutos disponibles para este proceso se utilizan. De manera similar, todos los minutos Del proceso de armado sé utilizan por que el valor de su variable de holgura es 0. El valor de 30 para la tercera variable de holgura correspondiente a la restricción 3, (proceso de montaje), indica que hay una desocupación de 40 minutos, es decir que el número de minutos disponible Del proceso de montaje para producir ambos productos es 40 minutos menos que él limite de 280 minutos.

Por otra lado en la columna etiquetada con DUAL PRICES, proporciona los precios duales de las variables de holgura.

Por ejemplo el precio dual para la primera variable de holgura es 2.50, lo que nos indica que cada incremento unitario en el valor de esta variable de holgura, manteniendo las demás variables básica en el valor 0, tienen como resultado un aumento de $2.50 de ganancia en la función objetivo. Como una unidad de esta

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

variable de holgura corresponde a usar un minuto mas en el proceso de maquinado, el uso de 1 minuto mas aumenta las ganancias en $2.50.

De manera similar, p[ara la segunda variable de holgura, el precio dual es 5.00, significa que cada incremento unitario en la segunda variable de holgura, manteniendo las otras variables no básicas en el valor 0, resulta en un aumento de $5.00 de ganancia en la función objetivo. Como una unidad de esta variable de holgura corresponde a usar un minuto mas en el proceso de armado, el uso de 1 minuto mas aumenta las ganancias en $5.00.

Recuerde que los precios duales tienen significado solo para las variables no básicas, como las dos primeras variables de holgura no son básicas(no son parte de la solución óptima). En contraste, la tercera variable de holgura es básica, y por lo tanto, su precio dual es 0, esto significa que el incremento Del limite de 280 minutos para el proceso de montaje no tendrá ninguna ganancia adicional. Esto tiene sentido, pues la solución óptima indica que solo se han usado 240 minutos del proceso de montaje, el cual esta por debajo Del limite especificado de 280 minutos.

EJEMPLO 6.2.: PROBLEMA DE POLITICA DE PRESTAMOS Un banco tiene $ 1 millón disponible para prestamos. Puede prestar dinero a empresas, proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las políticas del banco limitan los prestamos personales a un máximo del 25% de todos los prestamos, mientras que los prestamos a empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas.

También el banco quiere que los prestamos a empresas sean por lo menos 10% mas que los prestamos personales. Los interese promedio son: 12% en prestamos personales, 10% en prestamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado, se invierten en valores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el interés.

Solución Variables de decisión: X 1 = prestamos personales X 2 = prestamos a empresas X 3 = prestamos por hipotecas X 4 = inversión en valores a corto plazo El programa lineal es: Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x s.a.

X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 X

≤ 0.25 (X

1

X

2

≤x3

X

2

≥ 1.10 x

X

1

,x

2

,x

3

,x

4

1

+x

2

3

+ 0.05 x

+ x 3)

4

(capital de inversión) (prestamos personales) (prestamos a empresas)

1

(prestamos a empresas)

≥0

14

INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

Para la entrada del programa en el LINDO, es necesario reescribir el programa de la siguiente manera: Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x s.a. x

+x

1

0.75 x x2 -x x x

1

2

2

1

+ x 3+ x

- x

2

3

2

+ 0.08 x

3

+ 0.05 x

= 1 000,000

(prestamos personales)

≤ 0

,x

3

,x

(prestamos a empresas)

≥0

1

4

4

(capital de inversión)

≤0

3

- 1.10 x ,x

-x

4

2

(prestamos a empresas)

≥0

Aplicando el LINDO, se tiene: MAX 0.12 X1 + 0.1 X2 + 0.08 X3 + 0.05 X4 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 + X4 = 1000000 3) 0.75 X1 - 0.25 X2 - 0.25 X3 <= 0 4) X2 - X3 <= 0 5) - 1.1 X1 + X2 >= 0 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP

4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X1 X2 X3 X4 ROW 2) 3) 4) 5)

97500.00 VALUE REDUCED COST 250000.000000 0.000000 375000.000000 0.000000 375000.000000 0.000000 0.000000 0.047500 SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 100000.000000

DUAL PRICES 0.097500 0.030000 0.010000 0.000000

EJEMPLO 6.3.: PROBLEMA DE POLITICA DE PRESTAMOS

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

Una institución financiera, ALFA BANK, se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $ 12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, esta obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. En la siguiente tabla, se señala los tipos de prestamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por su experiencia.

Tipo de préstamo Personal Automóvil Casa Agrícola Comercial

Tasa de interés 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100

Probabilidad de incobrables 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto no producen ingreso por concepto de intereses.

La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a prestamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, los prestamos para casa deben ser iguales cuando menos al 50% de los prestamos personales, para automóvil y para casa. El banco tiene asimismo una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.04 .

Solución: Variables de decisión: X X X X X

: 2: 3: 4: 5: 1

Prestamos Prestamos Prestamos prestamos prestamos

personales en millones de $ para automóviles. para casa. agrícolas comerciales

El objetivo es maximizar el rendimiento neto: diferencia entre ingreso por concepto de interés y los fondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertos son irrecuperables, tanto el interés como el principal en la función objetivo es: Max(z) = 0.14(0.9 x 1) + 0.13(0.93 x 2) + 0.12(0.97 x 3) + 0.125(0.55 x 4) + 0.1(0.98 x 5) sujeto a:

0.1 x

1

+X

– 0.07 x

X 1+ X

2

X

4

+X

5

x

3

≥ 0.5(X 1 + X

3

+X

4

2

– 0.03 x

+X

5

≥ 0.4 (12) 2

+X

≤ 12

3

– 0.05 x

4

– 0.02 x

5

(Fondos totales) (prestamos comerciales y agrícolas)

3

)

(prestamos para casa) 16

INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

0.1X 1 + 0.07 X 2 +0.03 X 3 +0.05 X 4 + 0.02 X 5 ------------------------------------------------------ ≤ 0.04 (limites sobre adeudos X 1+ X 2 + X 3 + X 4 + X 5 no cubiertos) O bien: 0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 ≤ 0 X j ≥ 0 (j=1,5)

Reescribiendo el programa, se tendría:

Max(z) = 0.126 x 1 + 0.1209 x 2 + 0.1164 x 3 + 0.068875 x 0.07 x 2 – 0.03 x 3 – 0.05 x 4 – 0.02 x 5

4

+ 0.098 x

5

- 0.1 x

1

–

s.a.

X 1+ X

2

X

5

4

+X

+X

3

+X

4

+X

5

≤ 12

≥ 4.8

0.5x 3 –0.5 X 1 – 0.5 X 0.06X 1 + 0.03 X

2

2

≥0

- 0.01 X

3

+ 0.01 X X

ij

4

- 0.02 X

5

≤0

≥0

Aplicando el LINDO, tendriamos la formulación correspondiente y la solución: MAX

0.026 X1 + 0.05089999 X2 + 0.0864 X3 + 0.018875 X4 + 0.07799999 X5 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 + X4 + X5 <= 12 3) X4 + X5 >= 4.8 4) - 0.5 X1 - 0.5 X2 + 0.5 X3 >= 0 5) 0.06 X1 + 0.03 X2 - 0.009999999 X3 + 0.009999999 X4 - 0.02 X5 <= END LP OPTIMUM FOUND AT STEP

0

3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

0.9964800

VARIABLE X1 X2 X3 X4 X5 ROW

VALUE 0.000000 0.000000 7.200000 0.000000 4.800000

REDUCED COST 0.060400 0.035500 0.000000 0.059125 0.000000

SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

17

INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

2) 3) 4) 5) 0.000000 NO. ITERATIONS=

0.000000 0.000000 3.600000 0.168000

0.086400 -0.008400 0.000000

3

EJEMPLO 6.4.: PROBLEMA DE INVERSION Al gerente de cartera de la AFP “BUENA VIDA” SE LA HA PEDIDO INVERTIR $1’000,000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la siguiente tabla:

Precio($/acción) Devolución esperada(%) Categoría de riesgo

1 45 30

2 76 20

3 110 15

FONDO 4 17 12

5 23 10

6 22 7

Alto

Alto

Alto

Mediano

Mediano

Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diferentes fondos. Para este fin, la administración de la AFP, ha especificado las siguientes pautas: • La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de la cartera.

• La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

• La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 , respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2 .

Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?.

Solución Variables de decisión: X j : fracción de la cartera por invertir en el periodo j Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida Función objetivo:

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

Max(z) = 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6 Restricciones: Por inversión X1 + X2 + X3 ≥ 0.50

(mínimo alto riesgo)

X1 + X2 + X3 ≤ 0.75

(máximo alto riesgo)

X4 + X5 ≥ 0.20

(mínimo mediano riesgo)

X4 + X5 ≤ 0.30

(máximo mediano riesgo)

X6≥ 0.05

(mínimo bajo riesgo)

Debido a las proporciones: X2 = 2 X1

- 2 X1 + X2 = 0

(proporción X1 a X2 )

X3 = 3 X1

- 3 X1 + X3 = 0

(proporción X1 a X3 )

X5 = 2 X4 - 2 X4 + X5 = 0 Agenda Total de cartera

(proporción X4 a X5 )

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1 Condición de no negatividad: Xj≥0

(j = 1,6)

Max 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6 s.a.

X1 + X2 + X3 ≥ 0.50 X1 + X2 + X3 ≤ 0.75 X4 + X5 ≥ 0.20 X4 + X5 ≤ 0.30 X6 ≥ 0.05 - 2 X1 + X2 = 0 - 3 X1 + X3 = 0 - 2 X4 + X5 = 0 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

PROBLEMAS DESARROLLADOS 1.

PetroPerú obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Talara, Pavayacu y Trompeteros. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final.

Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fósforo, como se muestra en la siguiente tabla: PETROLEOS CRUDOS ADITIVOS Talara Pavayacu Tompeteros 1 2 Azufre(%) 0.07 0.08 0.10 --Plomo(g/gal) ---7 6 Fósforo(g/gal) ---0.052 0.02 Costo($/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12 Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Talara resulta solo en 0.35 de galón del producto final, que contiene 0.07% de azufre.

De manera similar, cada galón de crudo Pavayacu produce 0.40 de galón del producto final que contiene 0.08% de sulfuro y cada galón de crudo de Trompeteros resulta en 0.30 de galón del producto final que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar la cantidad de azufre, plomo y fósforo: • Cada galón debe tener a lo mas 0.07% de azufre • Cada galón debe tener entre 1.25 y 2,5 gramos de plomo • Cada galón debe tener entre 0/0025 y 0.0045 gramos de fósforo • La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 1.9% de la mezcla Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.

2.

La Cia. BETA STEEL produce tres tamaños de tubos: A,B y C que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.

Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A,B y C respectivamente.

Para la siguiente semana, BETA ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies de tubo A, 4000 pies de tubo B y 5000 pies de tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere de un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11,000 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de BETA esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la siguiente tabla.

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

TIPO PRECIO DE VENTA ($/ft) A 10 B 12 C 9

DEMAND TIEMPO DE MATERIAL A MAQUINA PARA (ft) (min/ft) SOLDAR (oz/ft) 2000 0.50 1 4000 0.45 1 5000 0.60 1

COSTO DE PRODUCCI ÓN ($/ft) 3 4 4

COSTO DE COMPRA ($/ft) 6 6 7

Como gerente del Dpto. de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

Formulación de Programas: 1. X1 : numero de X2 : numero de X3 : numero de X4 : numero de X5 : numero de Min s.a.

galones de petróleo crudo de Talara galones de petróleo crudo de Pavayacu galones de petróleo crudo de Trompeteros galones del aditivo 1 para hacer un galón de gasolina galones del aditivo 2 para hacer un galón de gasolina

0.55X1 + 0.47X2 + 0.33X3 + 0.08X4 +0.12x5

0.35X1 + 0.40X2 + 0.30X3 + X4 + x5 = 1.0 0.00025X1 + 0.00032X2 + 0.0003X3 ≤ 0.0007 7X4 + 6X5 ≤ 2.50 7X4 +6 X5 ≥ 1.25 0.025X4 +0.02X5 ≤ 0.0045 0.025X4 +0.02X5 ≤ 0.0025 X4 + X5 ≤ 0.19 aditivos) Xj 2. X1 : numero de X2 : numero de X3 : numero de X4 : numero de X5 : numero de X6 : numero de Max s.a.

pies de pies de pies de pies de pies de pies de

≥

0

(producción) (azufre) (lim. Superior plomo) (lim. Inferior plomo) (lim. Superior fosforo) (lim. inferior fosforo) (lim.

Superior en

(j=1,2,3,4,5)

tubo de tipo tubo de tipo tubo de tipo tubo de tipo tubo de tipo tubo de tipo

A por producir A por producir A por producir A que comprar a Japón A que comprar a Japón A que comprar a Japón

7X1 + 8X2 + 5X3 + 4X4 +6x5 + 2X6 X1

+ X4 + X5 X3 + X6 0.5X1 + 0.45X2 + 0.6X3 X1 + X2 + X3 X2

Xj

= 2000 = 4000 = 5000 ≤ 2400 ≤ 5500 ≥

0

(demanda A) (demanda B) (demanda C) (tiempo de maquina) ( material para soldar)

(j=1,2,3,4,5,6)

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

A) PROBLEMA 1: REPORTE DEL LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

0.9494500

VARIABLE X1 X2 X3 X4 X5 ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

VALUE 0.000000 1.375000 0.866666 0.140000 0.050000

REDUCED COST 0.127500 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 1.220000 0.030000 0.000000 0.002000 0.000000

NO. ITERATIONS=

DUAL PRICES -1.475000 374.999878 0.000000 0.000000 8.000000 0.000000 1.195000

7

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE X1 X2 X3 X4 X5 ROW 2 3 4 5 6 7 8

OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE 0.550000 INFINITY 0.127500 0.470000 0.102000 0.030000 0.330000 0.022500 0.255000 0.080000 0.040000 0.298750 0.120000 0.239000 0.040000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 1.000000 0.065000 0.110000 0.000700 0.000110 0.000052 2.500000 INFINITY 1.220000 1.250000 0.030000 INFINITY 0.004500 0.000250 0.000150 0.002500 0.002000 INFINITY 0.190000 0.035000 0.010000

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

PROBLEMA 2: REPORTE DEL LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

55000.00

VARIABLE X1 X2 X3 X4 X5 X6 ROW 2) 3) 4) 5) 6)

VALUE 2000.000000 0.000000 2333.333252 0.000000 4000.000000 2666.666748

REDUCED COST 0.000000 0.250000 0.000000 0.500000 0.000000 0.000000

SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1166.666626

DUAL PRICES 4.500000 6.000000 2.000000 5.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE X1 X2 X3 X4 X5 X6 ROW 2 3 4 5 6

OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE 7.000000 INFINITY 0.500000 8.000000 0.250000 INFINITY 5.000000 0.600000 0.333333 4.000000 0.500000 INFINITY 6.000000 INFINITY 0.250000 2.000000 0.333333 0.600000

RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS ICREASE DECREASE 2000.000000 2800.000000 2000.000000 4000.000000 INFINITY 4000.000000 5000.000000 INFINITY 2666.666748 2400.000000 700.000000 1400.000000 5500.000000 INFINITY 1166.666626

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

CAPITULO VII ANALISIS DE SENSIBILIDAD En una situación real, algunos datos de un modelo de programación lineal pueden cambiar con el tiempo debido a la naturaleza dinámica del negocio. ¿Que sucede con la solución óptima si los precios del mercado caen? ¿Si suben los costos de mano de obra o de la materia prima? ¿Si se contratan empleados adicionales en una línea de producción?. El decisor ante tales situaciones desearía saber qué tan sensible es la solución óptima a estos valores de datos.

Las respuestas a estas preguntas pueden usarse de diversas maneras. Por ejemplo si la solución óptima es muy sensible a algunos coeficientes, y se espera que estos valores fluctúen con el tiempo, entonces el decisor puede desear usar el modelo solo para planeación a corto plazo, o tal vez tenga que resolver el modelo periódicamente al cambiar los datos.

Después de formular y resolver un problema de programación lineal, un decisor debe hacerse un número de preguntas importantes de la forma: ”¿Que sucede si.....?” . Por ejemplo: 1. ¿Que le sucede a la solución óptima y al valor de la función objetivo correspondiente si un coeficiente particular de la función objetivo se modifica?

2. ¿ Que le sucede a la solución óptima y al valor de la función objetivo correspondiente si se modifica un valor particular del extremo derecho de las restricciones?

Estas preguntas tienen que ver con el tema del análisis de sensibilidad. El decisor se pregunta qué tan sensibles son la solución óptima y el valor de la función objetivo con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes en la función objetivo y las restricciones. ¿Que tanto impacto tendrá en la solución un cambio en cualquiera de los datos?.

Estas preguntas de sensibilidad son importantes para un decisor por que los datos Del problema a menudo tienen que estimarse y por tanto están sujetos a inexactitudes.

Antes de implantar la solución obtenida de un programa lineal, es ventajoso para el gerente saber lo que podría suceder si las estimaciones de los datos son ligeramente inexactas. El análisis de sensibilidad indica que coeficientes afectan mas significativamente la solución óptima.

Para ilustrar otro uso del análisis de sensibilidad, suponga que las restricciones de un programa lineal particular tienen que ver con la asignación de recursos escasos, como capita, mano de obra y materias primas. El análisis de sensibilidad puede ayudar a determinar si es rentable o no adquirir cantidades adicionales de recursos.

7.1. USO DEL REPORTE DE SENSIBILIDAD DEL LINDO FOR WINDOWS

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

En esta parte se utiliza el paquete de programación lineal LINDO para hallar la solución óptima y analizar los reportes de sensibilidad. Como se aprendió en la sección 6.1, el algoritmo simplex proporciona mas información que simplemente la solución óptima.

EJEMPLO 7.1.: Problema de planeación de producción de ALFA La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son: -

Maquinado Armado Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.

El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Formulación del problema Las variables de decisión son: x1: número de unidades del producto A que se va a producir x2: número de unidades del producto B que se va a producir La combinación de la función objetivo de maximizar la ganancia total y las tres restricciones estipuladas en función de los recursos disponibles da como resultado el siguiente problema de programación lineal: Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 s.a.

2x 1 + 2x 2 ≤ 160 x 1 + 2x 2 ≤ 120 4x 1 + 2x 2 ≤ 280 x 1, x 2 ≥ 0

maquinado armado montaje

solución de computadora LP OPTIMUM FOUND AT STEP

2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE 0.000000

1000.000 VALUE X1 X2

REDUCED COST 40.000000 40.000000

0.000000 ROW 2.500000

SLACK OR SURPLUS 2) 3)

DUAL PRICES 0.000000 0.000000

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Con respecto al problema de ALFA, surgieron las siguientes preguntas de sensibilidad: 1. Debido a una competencia reciente en el mercado por el producto B, la gerencia ha decidido disminuir la ganancia en $2 por unidad. ¿Cómo debería cambiar el plan de producción para A y B?.

2. ¿Que sucede con el margen de ganancia de ALFA, si el tiempo disponible para maquinado disminuye en 20 minutos?

3. ¿Que sucede con el margen de ganancia de ALFA, si el tiempo disponible para montaje aumenta en 40 minutos?

Utilizando el reporte de sensibilidad del LINDO, que se muestra en la figura 6.3, se tiene que: La primera pregunta tiene que ver con un decremento de $2 en la ganancia del producto B, lo cual hace que la ganancia sea ahora de $13 por unidad del producto B. En otras palabras, Ud. desea saber qué sucede con la solución óptima anterior de x 1 = 40 y x2 = 40 Cuando el coeficiente de x2 en la función objetivo disminuye de 15 a 13.

La primera parte del reporte de sensibilidad(OBJ COEFFICIENT RANGES) proporciona la respuesta. Para x2 el coeficiente de la función objetivo original es 15, como se indica en la columna titulada “CURRENT COEF”. Las siguientes dos columnas proporcionan los intervalos de sensibilidad para cada uno de los coeficientes de la función objetivo.

Lindo proporciona estos intervalos reportando el incremento y decremento máximos permisibles de los valores actuales.

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE X1 X2 ROW 2 3 4

OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE 10.000000 5.000000 2.500000 15.000000 5.000000 5.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 160.000000 13.333333 40.000000 120.000000 40.000000 20.000000 280.000000 INFINITY 40.000000

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FIGURA Nº 6.3. problema de ALFA

Reportes del análisis de sensibilidad del LINDO para el

En este ejemplo mientras el coeficiente de ganancia de x 2 permanezca en el intervalo de 10 a 20, que el valor mínimo y máximo permisibles respectivamente, y mientras los demás coeficientes no cambien, la solución óptima de x 1 = 40 y x2 = 40 no cambia. Un valor fuera de este intervalo sin embargo, puede ocasionar un cambio en la solución óptima. Como el nuevo valor de 13 para este coeficiente esta dentro Del intervalo de 10 a 20, la solución actual sigue siendo óptima. Sin embargo, la ganancia máxima cambia Max Z = (10 * 40) + (13 * 40) Max Z = $920 La segunda pregunta se refiere a un decremento en el lado derecho de la primera restricción de su valor original de 160 a 140. La segunda parte del reporte de la figura 6.3, titulada “RIGHTHAND SIDE RANGES” ayuda a contestar esta pregunta.

Recuerde que el precio dual o precio sombra de una restricción representa la cantidad de cambio en la función objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho. Para la primera restricción, que limita los minutos totales usados en el departamento de maquinado a menos de 160, el precio sombra de 2.50 se da en la sección 6 de figura 6.2.

Sin embargo, ese precio sombra es aplicable sólo si el valor del lado derecho permanece dentro de cierto intervalo. De hecho, ese intervalo se proporciona en la segunda parte del reporte de la figura 6.3 en las columnas rotuladas ALLOWABLE INCREASE y DECREASE ALLOWABLE. Mientras el limite de minutos de maquinado este entre 120 y 173.33 el precio sombra de 2.50 es válido. Esto significa que cada minuto adicional de maquinado del actual nivel de 160 a 173.33 minutos incrementan la ganancia en $2.50. de manera alternativa, cada minuto disminuido del actual nivel de 160 hasta 120 disminuye la ganancia en $2.50.

Puede usarse esta información para responder la segunda pregunta de la manera siguiente. Para la primera restricción correspondiente al proceso de maquinado, el nuevo valor del lado derecho de la restricción que es 140 está dentro del intervalo de 120 a 173.33, por lo que el precio sombra de 2.50 es válido. El nuevo valor de la función objetivo óptima correspondiente a 140 minutos disponibles en el proceso de maquinado es: Z1 = Z + (precio sombra)*(Cambio en el valor ld) Z1 = 1000 + (2.50)*(-20) Z1 = 950 Así pues, la reducción de 160 a 140 minutos provoca que la ganancia óptima disminuya de $1000 a $950.

La tercera pregunta tiene que ver con un incremento en el valor ld de la tercera restricción, de su valor original de 280 a 320. Usando la misma parte Del reporte de sensibilidad de la figura 6.3, puede verse que el nuevo valor esta dentro Del intervalo 240 a infinito, y por lo tanto, el precio sombra de 0.00 sigue siendo valido. Esto significa que cada minuto adicional en el proceso de montaje Del actual nivel de 280 hasta el infinito, el incremento de la ganancia es nulo. De manera alternativa, cada

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minuto disminuido del actual nivel de 280 hasta 240 minutos la disminución de la ganancia es nula.

6.4.2. Interpretación de reportes de análisis parametrico En la sección 6.4.1., el reporte de sensibilidad del lado derecho para el problema de ALFAQUIM indica que el precio sombra de 2.50 para la restricción (1) es valido mientras el valor ld permanezca dentro del intervalo 120 a 173.33. De igual forma el precio dual de 5.00 para la restricción (2) es válida mientras el valor ld permanezca dentro del intervalo 100 a 160. Sin embargo, ¿qué sucede si un coeficiente se cambia a un valor fuera de estos intervalos?

El análisis parametrico proporciona la respuesta. El lindo proporciona un reporte parametrico que se presenta en la figura 6.4 En la figura 6.5, la sección (A) indica lo que sucede cuando el ld de la primera restricción se incrementa de su valor actual de 160. La sección (B) indica lo que sucede cuando el ld sé decrementa de su valor actual de 160. De manera similar, la figura 6.5, la sección (C) indica lo que sucede cuando el ld de la segunda restricción se incrementa de su valor actual de 120. La sección (D) indica lo que sucede cuando el ld sé decrementa de su valor actual de 120.

Las dos primeras líneas de la sección A de la figura 6.5 confirman lo que ha aprendido Del reporte del análisis de sensibilidad, esto es, al incrementarse el valor ld de 160 a 173.33, el valor de la función objetivo se incrementa de 1000 a 1000.33 en la proporción Del precio sombra de 2.50. La siguiente línea indica que un incremento mas allá de 173.33 no tiene efectos sobre el valor óptimo de la función objetivo por que él; precio sombra para este intervalo es 0.000 La sección B proporciona información similar sobre el decremento en el valor ld. Las dos primeras línea establecen que al disminuir este valor ld de 160 a 120, el valor de óptimo de la función objetivo decrece de 1000 a 900 en la proporción del precio sombra de 2.50. la siguiente línea indica que al disminuir todavía mas este valor de ld de 120 a 100, el valor óptimo decrece de 900 a 750 en la proporción del nuevo precio sombra de 7.50

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RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: 2 VAR OUT SLK

VAR IN 4 SLK

VAR (B) OUT

PIVOT ROW 2

4

VAR

PIVOT

IN

ROW

X1 SLK

3

2

RHS VAL

DUAL PRICE BEFORE PIVOT

160.000 173.333 200.000 RHS VAL

OBJ VAL

2.50000 1000.00 2.50000 1033.33 0.000000E+00 1033.33 DUAL PRICE

OBJ

BEFORE PIVOT

VAL

160.000 120.000 100.000

(A)

2.50000 2.50000 7.50000

1000.00 900.000 750.000

RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: 3 VAR OUT

VAR IN

X1 SLK

VAR OUT SLK

PIVOT ROW

3

VAR IN 4 SLK

2

PIVOT ROW 2

4

RHS VAL

DUAL PRICE BEFORE PIVOT

120.000 160.000 200.000

OBJ (C) VAL

5.00000 1000.00 5.00000 1200.00 0.000000E+00 1200.00

RHS DUAL PRICE OBJ (D) VAL BEFORE PIVOT VAL 120.000 5.00000 1000.00 100.000 5.00000 900.000 80.0000 6.66667 766.667

FIGURA 6.4. Reporte Parametrico

EJEMPLO 7.2.: Problema de inversión de BETA BETA es una compañía de manejo de efectivo que esta considerando invertir $100,000 en una o más de las siguientes acciones con la tasa anticipada de rendimiento que a continuación se muestra: Inversión Tasa de rendimiento Proyectada (%) Acciones preferenciales de Eastern Oil 9.00 Acciones comunes de Alaskan Oil 8.00 Acciones comunes de American Steel 7.00 Bonos municipales de Cleveland 6.00 La gerencia de BETA ha impuesto las siguientes pautas de inversión: 1. La inversión en bonos municipales debe ser de al menos $20 000.

2. La inversión en bonos municipales no debe exceder 20% de la inversión total en acciones, más $50 000.

3. La inversión total en acciones no debe ser mayor a 60% de la inversión total.

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4. La inversión total no debe exceder los fondos disponibles.

Como administrador de la cartera, es probable que quiera determinar la estrategia de inversión que maximice el rendimiento total anual esperado sin violar ningún lineamiento de inversión.

Formulación del problema.

Usando técnicas de formulación del capítulo 2, se llega a definir las siguientes variables de decisión: X1= X2= X3= X4=

el el el el

número número número número

de de de de

dólares dólares dólares dólares

por por por por

invertir invertir invertir invertir

en en en en

las las las los

acciones preferentes de Eastern Oil. acciones comunes de Alaskan Oil. acciones comunes de American Steel. bonos municipales de Cleveland.

La combinación de la función objetivo de maximizar la devolución esperada total y las cuatro restricciones estipuladas en las pautas de inversión dan como resultado el siguiente problema de programación lineal: Maximizar 0.09x1+ 0.08x2+0.07x3+0.06x4 Sujeto a: -0.2x1 – 0.2x2 – 0.2x3 –x4 ≤ 50000 0.4x1 + 0.4x2 + 0.4x3 – x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 100000 x4 ≤ 20000 Solución de computadora.

El modelo de inversión puede solucionarse usando cualquier paquete de software de programación lineal disponible como LINDO. El primer paso es introducir los datos del modelo en el formato requerido por LINDO. Como de ilustra en la figura 6.8(a), escriba el problema en el mismo formato que en la formulación.

Ahora puede ordenarle a la computadora que use LINDO para resolverle el problema tecleando la instrucción SOLUTION. La primera parte del reporte proporciona los valores óptimos de las variables originales. La segunda proporciona información referente a las restricciones.

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

7800.000

VARIABLE VALUE X1 60000.000000 X2 0.000000 X3 0.000000 X4 40000.000000

REDUCED COST 0.000000 0.010000 0.020000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 22000.000000 0.000000 3) 0.000000 0.030000 4) 0.000000 0.078000 5) 20000.000000 0.000000

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RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: VARIABLE X1 X2 X3 X4 ROW 2 3 4 5

OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE COEF INCREASE 0.090000 INFINITY 0.080000 0.010000 0.070000 0.020000 0.060000 0.030000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 50000.000000 INFINITY 0.000000 20000.000000 100000.000000 78571.429688 20000.000000 20000.000000

ALLOWABLE DECREASE 0.010000 INFINITY INFINITY 0.195000 ALLOWABLE DECREASE 22000.000000 18333.332031 50000.000000 INFINITY

Sobre la base de la primera parte, su recomendación a la gerencia de BETA es invertir $60 000 en las acciones preferentes de Eastern Oil, nada en las acciones comunes de Alaska Oil o American Steel y $40 000 en los bonos municipales de Cleveland. Como lo indica el valor optimo de la función objetivo, esta cartera tiene un rendimiento anual esperado de $7800, que es una tasa de devolución de 7.8%.

En la segunda parte, las restricciones están numeradas secuencialmente, comenzando con el número 2 (el número se refiere a la función objetivo). Por ejemplo, en la fila titulada 2, corresponde a la primera restricción en la formulación, el valor de 20 000 para la variable de superávit indica que el valor del lado izquierdo de esta restricción es 20 000 más que el Del lado derecho. En otras palabras, los $40 000 invertidos en los bonos municipales de Cleveland son $20 000 más que el mínimo requerido. Más aún, el precio dual (también llamado el precio sombra) para esta restricción, mostrado en la última columna, es 0.

Como otro ejemplo, en la fila titulada 5, correspondiente a la última restricción en la formulación anterior, el valor de 0 para la variable holgada indica que esta restricción es obligatoria, es decir, los $10 000 son invertidos usando el plan actual. Más aún, el precio dual de 0.078 asociado con esta restricción indica que cada dólar adicional que BETA puede invertir (hasta una cantidad dada en el reporte de sensibilidad, como se muestra en la figura 6.9) gana una tasa esperada de 7.8%.

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Uso de los reportes de sensibilidad Durante la presentación de sus resultados la gerencia formuló las siguientes preguntas: 1. El gerente de finanzas advirtió que una incertidumbre reciente en el mercado petrolero podría bajar la tasa esperada de devolución de las acciones de Eastern Oil a 8%. Si esto sucede, ¿Debería BETA reconsiderar su estrategia de inversión?

2. El presidente de BETA probablemente pueda negociar un préstamo a largo plazo del banco local a 7%. ¿ Debería BETA intentar obtener este préstamo? . Si es así, ¿por que cantidad?

3. El vicepresidente de Finanzas ha estudiado el prospecto de una empresa ligeramente más riesgosa (comparada con las cuatro acciones y bonos bajo consideración) que requiere una inversión de exactamente $60,000 y ofrece una tasa de devolución de 8%. ¿Debería BETA considerar esta alternativa, dejando sólo $40,000 para invertir en las acciones y bonos bajo consideración?

Para responder la primera pregunta, identifique el impacto que este cambio tiene en el modelo matemático. Si la tasa de devolución de las acciones preferentes de Eastern Oil desciende a 8%, el coeficiente de la variable de E-Oil en la función objetivo cambia de 0.09 a 0.08. para determinar si este cambio tiene como resultado un cambio en el plan de inversión, examine el reporte de sensibilidad de la figura 6.4 obtenida del LINDO. ¿esta el nuevo valor de 0.08 para el coeficiente de la función objetivo dentro Del intervalo donde la solución actual sigue siendo óptima?.

La primera linea Del reporte de sensibilidad indica que el valor actual de 0.09 para este coeficiente puede incrementarse infinitamente o disminuir en 0.01 sin cambiar la solución óptima. Por lo tanto el intervalo de sensibilidad para este coeficiente va desde 0.08 a + infinito. Como este nuevo valor de 0.08 para este coeficiente sta dentro Del intervalo de 0.08 a infinito, no hay cambio en el plan de inversión. Sin embaro la devolución esperada total decrece en 1% de la cantidad invertida en acciones de la EOil, es decir: Max(Z)= 7800 – 0.01(60,000) = 7,200 Por lo tanto, una disminución en la tasa de rendimiento de las acciones de Eastern Oil de 8% no afecta el plan de inversión de BETA, pero disminuye la devolución hasta $7,200.

Para responder a la segunda pregunta, a saber, si BETA debe obtener un préstamo al 7% de interés y, si es así, por que cantidad, pregúntese como afecta este cambio el modelo matemático. La respuesta es que la obtención de fondos de inversión adicionales a través del préstamo propuesto tiene como resultado un incremento Del lado derecho de la penúltima restricción. El precio dual de 0.078 asociado con esta restricción es mayor que el costo Del préstamo como se muestra en el reporte de la figura 6.4, indica que cada dólar adicional disponible para inversión regresa 7.8 centavos. Como esta devolución de 7.8% es mayor que el costo Del préstamo a 7%, realmente vale la pena que BETA asegure este préstamo. Pero el siguiente punto es ¿por qué cantidad?. Ciertamente hasta el limite para el cual este precio dual de 0.078 es valido. Puede calcularse este limite a partir de la información de la última línea de la segunda parte del reporte de sensibilidad de la figura 6.4. este valor es el máximo incremento permisible de 78,571.43 sobre el valor actual de 100,000, esto es, BETA debería obtener un préstamo por al menos $78,571.43, pero, ¿debería la compañía obtener mas?.

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La respuesta a esta pregunta depende de lo que suceda al precio dual fuera de este intervalo. Para esto se recurre al análisis parametrico que proporciona el lindo, que se utiliza para estudiar el impacto de cambio de este tipo.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

La Compañía ALFA fábrica 3 productos de caucho: Airtex(material esponjoso), Extendex(material elástico) y Resistex(material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla: PRODUCT O Airtex Extendex Resistex

INGREDIENTES(oz./lb de producto) POLIMERO A POLIMERO B POLIMERO C BASE 4 3 6

2 2 3

4 2 5

6 9 2

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Alfa, tiene el compromiso de producir al menos 1000 lbs. De Airtex, 500 lbs. De Extendex y 400 lbs. De Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la Cia. Sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos.

Los inventarios actuales de los ingredientes son: 500 lbs. De polímero A, 425 lbs. De polímero B, 650 lbs. De polímero C y 1,100 lbs. De la base. Cada libra de Airtex produce a la Cia. Una ganancia de $7, cada libra de Airtex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana. a) Formule el programa lineal para este problema b) ¿Cuál es el plan de producción óptimo? c) Con el plan de producción actual, ¿para cual de los tres productos se puede cumplir con una demanda adicional de 5%?. Explique d) ¿Que coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que afecte el plan de producción óptimo?. Explique e) El compromiso de producir 400 libras de Resistex acaba de caer en 10%. ¿Que le sucede a la ganancia óptima?. Explique f) Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿cual es el nuevo plan de producción optimo?. Explique. g) La Cia. Desea aumentar sus ganancias a $18,000 adquiriendo más cantidad de polimero A. ¿Cuanto mas de polímero A se necesita?. Explique.

2.

La Cia. Gamma dirige sus gastos de venta en diversos rubros con el objeto de producir ventas. Uno de los tipos de actividad que es efectiva es la Conferencia Regional de Ventas. Existen 6 regiones (designadas I a VI) en las cuales estas conferencias toman lugar semanalmente y en algunas mensualmente. Cada una de las conferencias puede ser de un día completo o de mediodía. Existe un costo por persona y un resultado esperado de ventas para cada uno de estos tipos de conferencias. Los tipos de conferencias disponibles, sus costos y sus ventas resultantes se listan a continuación.

Conferencias de Ventas Mensual I - Todo el día Semanal II - Todo el día Semanal II - Mediodía Semanal III - Todo el día Mensual IV - Todo el día Mensual IV - Mediodía Semanal V - Todo el día Semanal VI – Todo el día Semanal VI - Mediodía

Costo($) 120 130 80 60 100 60 200 600 350

Ventas resultantes($) 13,000 21,500 11,500 7,500 11,800 9,500 22,000 90,000 50,000

Además de estas actividades, un comercial de tv que cuesta $1,350 debe producir $118,500 en ventas.

Un anuncio en un grupo de periódicos locales costará $330 y producirá $59,000 en ventas.

Finalmente, el tener abierta una oficina de consultas durante un día costará $180 y producirá $21,800 en ventas.

A la Cia. Le gustaría maximizar sus ventas manejando sus gastos de venta, pero desea mantener algunas restricciones. El plan fue cubrir un período de 6 meses y para ese periodo el presupuesto de gastos de ventas es $52,500. Se 34

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decidió que al menos la mitad del presupuesto debía ir a las conferencias semanales y mensuales de ventas. Al menos una persona debía ser enviada a la semanal VI y mensual I (días completos).

El comercial de tv debe ser usado al menos una vez, además no debe enviarse mas de una persona a las conferencias Mensual IV como a la semanal II (días completos) a) Explique la distribución óptima de los gastos de venta. Dar alguna explicación de los resultados que aparezcan con fracción. b) Calcule los ingresos por dólar gastado en el plan optimo de 6 meses. c) ¿Cuál debe ser el total de ventas óptimo si el presupuesto se elevara a $62,500?. ¿Dónde debe colocarse los $10,000 adicionales?. ¿Cual es el retorno por unidad de $10,000 extras y por qué este es diferente del monto obtenido en la parte b. d) ¿Cuál seria la solución óptima si se requieren 3 comerciales de TV? e) ¿Piensa usted que el requerimiento de que la mitad del presupuesto se gaste en conferencia de ventas influye mucho en el retorno de ventas? Explique y justifique su respuesta. ¿Cuál es el retorno de ventas si solo se dispone de $16,500 para conferencias de ventas? f) Si usted tuviera la oportunidad de eliminar las restricciones con respecto al número de personas enviadas a semanal Vi y mensual I, ¿Cuál eliminaría y por que? g) ¿Cuál será el retorno de ventas si se eliminara totalmente el requerimiento Del comercial de Tv?. Donde debe localizarse los $1250 (i.e. ¿Cuál es la nueva solución?)

3.

Hacker Company fabrica tableros de circuitos electrónicos para computadoras PC. Cada tablero de fax-modem, de compresión de datos y de sintetización de sonido requiere una cierta cantidad de tiempo de maquina para insertar los chips, soldarlos, ensamblarlos y probarlos. Estos datos(en minutos), junto con la cantidad de minutos de tiempo de maquina disponible para cada operación, el números mínimo de producción de cada tablero, las ganancias netas se resumen en la tabla siguiente:

Fax -Modem Inserción de chips Soldado Ensamblado Prueba Ganancia($) Producción mínima

0.333 0.5 2.0 1.5 10 500

Tablero Comprensión Sintetizador de datos de sonido 0.25 0.5 0.5 0.5 2.0 1.0 2.0 3.5 10 300

Minutos disponibles 500 600 2000 2400

8 250

a) ¿Cuántos tableros de cada uno debe fabricar la empresa?. ¿Cuál es la ganancia total?

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b) Que pasa con la solución óptima, si se debe producir un mínimo de 550 faxmodems? c) ¿Qué sucede con la solución óptima si se tienen disponibles 400 minutos adicionales de tiempo de maquina para el ensamblado? d)¿Qué sucede con la solución óptima, si la ganancia por cada fax-modem se incrementa en $8? e) ¿Qué sucede con la solución óptima si se tienen disponibles 200 minutos adicionales de tiempo de inserción de chips? f) ¿Explique como afectan a la solución las restricciones de disminución del 20% del tiempo de ensamblado y prueba? g) ¿Qué sucede con la solución óptima, si la ganancia por cada sintetizador de sonido se incrementa en $5? h) ¿Cuál seria la solución óptima, si se requiere producir un mínimo de 400 sintetizadores?

La Cia. BETA STEEL produce tres tamaños de tubos: A,B y C que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.

Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A,B y C respectivamente.

4.

Para la siguiente semana, BETA ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies de tubo A, 4000 pies de tubo B y 5000 pies de tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere de un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11,000 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de BETA esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la siguiente tabla.

TIPO A B C

PRECIO DE DEMANDA VENTA (ft) ($/ft) 10 2000 12 4000 9 5000

TIEMPO DE MAQUINA (min/ft) 1 1 1

MATERIAL PARA SOLDAR (oz/ft) 3 4 4

COSTO DE COMPRA ($/ft) 6 6 7

a) Formule el programa lineal para este problema b) ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la BETA STEEL? c) Si pudiera obtener mas material para soldar o más tiempo de maquina, pero no ambas cosas, ¿cual escogería? . Explique.

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INVESTIGACION DE OPERACIONES I Eduardo Quiroz ................................................................................................................................................................................................................................

d) Los japoneses acaban de aumentar el precio de sus tubos tipo C de $7 a $8 por pie, ¿de que manera cambia el plan de producción/adquisición actual?.

Explique. e) La Cia. puede vender su material para soldar con una ganancia de $32 por libra. ¿Cuánto deberá vender?. Explique. f) La Cia. desea aumentar sus ganancias a $57,500. ¿Cuantas horas mas de tiempo de maquina se necesitan para lograr este objetivo?. Explique.

5.

Al gerente de cartera de ALFA Pension, Inc. Se la ha pedido invertir $ 1 millón de un gran fondo de pensiones. EL Departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la siguiente tabla:

Precio($/acción) Devolución esperada(%) Categoría de riesgo

a) b) c) d)

FONDO 1 45 30 Alto

2 76 20 Alto

3 110 15 Alto

4 17 12 Median

5 23 10 Mediano

6 22 7 Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración de Alfa Pension ha especificado las siguientes pautas: i) La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de la cartera. ii) La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera. iii) La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Alfa, ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿ qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

Utilice el LINDO para determinar la solución óptima de ALFA y para escribir un informe en el que usted: Indique la mayor tasa de recuperación que se puede permitir si no se invierte en el fondo 6 Analice el efecto que tendría sobre la tasa óptima de recuperación un aumento de la cantidad que debe ser invertida en la inversión de bajo riesgo.

Proporcione la estrategia de inversión óptima si la cantidad invertida en el fondo 4 debe ser la misma que la invertida en el fondo 5.

Analice el efecto de los aumentos y disminuciones individuales en las devoluciones esperadas de cada fondo.

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