Presidente y Primer ministro

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS)

El presidente y el primer ministro piden cafĂŠ y reciben tazas a igual temperatura y al mismo tiempo. El presidente agrega inmediatamente una pequeĂąa cantidad de leche frĂ­a pero no se toma el cafĂŠ hasta 10 minutos despuĂŠs. El primer ministro espera 10 minutos, aĂąade luego la misma cantidad de leche frĂ­a y comienza despuĂŠs a tomarse su cafĂŠ. ÂżQuiĂŠn lo bebe mĂĄs caliente?

SOLUCION Al pasar un tiempo dado (en el caso del problema 10 min.), ambos cafĂŠs habrĂĄn disminuido en temperatura, por lo cual utilizaremos la ley de enfriamiento de Newton para el cambio de la misma: “La rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en un tiempo t es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del ambiente en el tiempo t.â€?

Resolveremos la EDO por el mĂŠtodo de variables separables

Integrando miembro a miembro en la ecuaciĂłn:

Sacando antilogaritmo, obtenemos:

Para t = 0, T (0) = :

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En el problema Sean: & ! Ă­ " #$

CondiciĂłn del problema: ! % % Presidente: Para t = 0, mezcla una determinada cantidad de crema frĂ­a con la temperatura del cafĂŠ, por lo cual: ! &' Luego de 10 min, es decir, para t = 10 tenemos: ! ( )* + , - ' Primer ministro: Espera 10 minutos: )* ! - Luego aĂąade la misma cantidad de crema frĂ­a, es decir: -. / )*

- ! '

Ahora compararemos ambas temperaturas restĂĄndolas una con otra: ( -.

! ! -

'

( -.

! ) - 0 ) '

1* )* % * * % - % ) 0 '

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De la condición del problema tenemos: ! % * % ! … (3) (2) y (3) en (1): ( -. 1 * ( 1 -.

Por lo tanto, quien bebe el café más caliente es el Presidente.

Este problema se hizo considerando masas despreciables. Se invita al lector que resuelva este ejercicio considerando las masas y probar que se llega al mismo resultado.

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