El problema del halcon y la paloma

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) Supongamos que un halcón H se encuentra en el punto (1; 0) y divisa una paloma Q en el origen, volando en dirección del eje Y con una velocidad V; el halcón vuela inmediatamente en dirección de la paloma con una velocidad W = 2V. ¿Cuál es el camino seguido por el halcón en su vuelo persecutorio? ¿En qué punto alcanzará a la paloma?

SOLUCIÓN

Escogemos un punto fijo y arbitrario (x;y) sobre la curva que describe la trayectoria del halcón, y calculamos la pendiente en ese punto:

Donde ya incluimos el signo negativo por ser un ángulo superior a 90º

Derivando miembro a miembro respecto a x:

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Denominaremos a la función S(x) de la siguiente manera:

Siendo S(x) la longitud recorrida sobre la curva desde el punto (1; 0) hasta el punto (x; y) Derivando S(x) respecto a x:

Podemos descomponer

de la siguiente manera:

De (2):

Podemos reescribir

de la siguiente manera:

(4) en (3):

(5) en (1):

Sea

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Hallaremos el valor de z por el método de las variables separables Integrando miembro a miembro en la última ecuación:

Sacando antilogaritmo miembro a miembro tenemos:

Recordemos que la paloma estaba quieta cuando el halcón se encontraba en la posición (1; 0), es decir, su velocidad era igual a cero: X = 1; y ‘(1) = z (1) = 0 Reemplazando estos valores en la última ecuación, obtendremos el valor de A

A=1 Reemplazando el valor de A en la última ecuación:

Elevando al cuadrado:

Dividimos por z +

:

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Pero de (6) y recordando que A = 1

Recordemos también que la relación entre V y W es: W = 2V, entonces

Acomodaremos las variables respecto a su diferencial para proceder a integrar y hallar la trayectoria del halcón

Condición inicial de la trayectoria del halcón: cuando x = 1; y (1) = 0

Por lo tanto, la trayectoria del halcón será:

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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) Si el halcón alcanza a la paloma, deberá ser en el punto (0; y(0)) ya que solo se mueve en el eje Y, es decir, el halcón recorrerá y(0) antes de ser alcanzado por la paloma. Para hallar este valor, evaluaremos la trayectoria del halcón en x = 0:

Por lo tanto, el halcón alcanzará a la paloma en el punto

)

Referencias Bibliográficas: Aguilar Benítez, Rocío del Pilar: Curvas de Persecución – XXXIV Congreso Mexicano de Matemática, Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) 2001. http://valle.fciencias.unam.mx/~rocio/curvas.htm Escobar Acosta, Jaime: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones en Maple, Universidad de Antioquia 2004. Capítulo 3. http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/cap3.pdf Espinoza Ramos, Eduardo: Análisis Matemático IV para estudiantes de Ciencias e Ingeniería, Segunda Edición 2008. Págs. 177 – 198

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