FÍSICA – 3ro
SEPREMAT
ANÁLISIS VECTORIAL
MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE
VECTOR Es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado.
La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales y
Secundaria
Línea de Acción
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tiene un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas. Vector resultante:
R
R A B
A
B
Módulo de R:
Dirección x
En general un vector se representa de la siguiente forma:
A=A<
A = Módulo del vector A
R
A 2 B2 2ABCos
CASOS PARTICULARES A.
= Dirección del vector A
Si = 0° (AB) Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante
OPERACIONES VECTORIALES
SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIAL Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante ( R ), el cual es igual a la suma de todos los vectores.
R = A + B = Rmáx B.
Si = 180° (AB) Se obtiene el menor valor posible de la resultante
B
Ejemplos:
A
R A B
Sean A y B vectores
Sean A ; B y C vectores R A B C
R = A – B = Rmin
RESTA DE VECTORES Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector diferencia ( D ), el cual es igual a la resta de vectores. Ejemplo:
Sean A y B vectores
Prof: José Malpartida R.
D
= A - B
CONCLUSIÓN Rmin R Rmax
Si
A forma un cierto ángulo con B Rmin < R < Rmax
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SEPREMAT C.
Si = 90° (A B) Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras
R
B
MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.
A R =
Secundaria
A 2 B2
PROPIEDAD Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo
Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. Ejemplo:
R
x
R =x 2
Sean A ; B y C vectores
A
x A.
Si = 60°
C B
R
x
R =x 3
Construimos el polígono vectorial:
x B.
Polo
B R =x
x
C
R
Si = 120°
R
A
O
x
NOTA: Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.
COMENTARIOS: A.
Si = 120°
MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES
F
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
F
R =0
Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:
F
Ax Ay
y
NOTA IMPORTANTE:
Ay D A B
A
Componentes rectangulares del vector A
Ax
x
Se cumple que: Ax = ACos D =
R
A 2 B2 2A.B.Cos Ay = ASen
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SEPREMAT El método de los componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores.
V =2 A +B
Secundaria
.... (I)
Donde:
Pasos a seguir: 1°
Se halla las componente rectangulares.
2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry)
3° Se calcular el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.
02.- En el gráfico mostrado, hallar el valor de A para que el vector resultante de los tres indicados esté sobre el eje horizontal (eje x)
R =
V (60 )2 (45 )2 75 unidades
Rx 2 Ry 2 Tg =
Ry Rx
Si la dirección de R es 0° Ry = 0
Solución: De la condición del problema:
Si la dirección de R es 90° Rx = 0 Si la R = 0 R x = R y = 0
Problemas Resueltos 01.- Determinar el módulo y dirección del vector V : Si:
V = A +B +C+D +E +F
A partir del polígono vectorial mostrado donde los
Ry = Vy = 0 A 3 Sen60° + A 2 Sen45° – 10 = 0 3 A + A = 10 2
A = 4 …… Respuesta
módulos de los vectores A y B son iguales a 30 y 45 unidades
03.- Hallar “x” en función de A y B . M es punto medio del segmento JL
Solución: Buscaremos que reducir la expresión de V , a partir del polígono. (Usamos el método del polígono) Del triángulo rectángulo se observa que: A = B + C Del polígono inferior tenemos que: B = D + E + F Reemplazando en:
Solución: Del JMK: x A JM ...... (1) Del KMH: B x MH ...... (2) Pero: MN = JM
V = A +B +C+D +E +F
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Secundaria
Ejemplos: ______________________________________ ______________________________________ 2. Magnitudes Vectoriales:
Restando: (1) – (2) :
X
x B A x AB 2
__________________________________ __________________________________ Ejemplos ______________________________________ ______________________________________ 3. Vector
04.- Un vector horizontal forma 143° con otro vector de 15 unidades. Determinar el módulo de dicho vector de tal manera que la resultante sea mínima. Solución: Según datos, construimos:
__________________________________ __________________________________ 4. Si dos vectores valen a=6, b=4 entonces resultante será:
a)
b)
a
a
b
c)
La
b d)
a
a 60º
b
b
5. Coloque la resultante en cada caso Del , aplicando Ley de Senos:
a
15 Sen 37 9 R 15 A R Sen Sen Sen 37 Sen Sen
3
60º
b 9 R= Sen
Sen = 1
= 90°
5
Luego: RMINIMO = 9 unidades
2
En el triángulo formado: = 90°
Como:
3
R = RMINIMO , si Sen es máximo
15 A Sen 90 Sen 53
= 53°
120º
5
2
A = 12 unidades 6. Calcule la resultante
EJERCICIOS 1. Magnitudes Escalares: _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
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6 2 45º
6 3
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SEPREMAT 7. Encuentre el módulo de la resultante
Secundaria
c) 30 ; 40 d) 50 ; 50 e) 40 ; 40
13. Calcular la resultante si el ángulo entre los vectores es 60º y cos 60º=1/2 14. a) 3 d) 4
b)5 e) 11
c) 7
8. Encuentre el módulo de la resultante
a)3 b)5 c)7 d)9 e)14 15. Descompones en sus componentes “X” y “Y” si el vector vale 10 √2 a)10 ; 10 B)20 ; 20
a) 3 d) 4
b) 5 e) 12
c) 10
9. Dado el siguiente conjunto de vectores en donde a=6; b=3 , c=4 ; d=1. calcular la resultante
c)50 , 23 d)78; 26 e)98 ; 56
16. calcular la resultante del sistema de vectores a) 12 d) 11
b) 8 e) 10
c) 7
a)8 b)2 c)5
10. calcular la resultante
d)cero a) 3
e)9
b) 2 c) 6 d) 4
17. En el siguiente caso hallar el vector resultante.
e) 5
a) 2d b) a
11. Calcular la resultante y la dirección a) 3()
c) 2a
5
b) 3() c) 6() d) 5() e) 5()
6 2 1
4 1
12. Un vector de 100 forma una ángulo de 37º con el eje x descomponer el vector en sus componentes “x” y “y “ a) 100 ;200 b) 60 ; 80 Prof: José Malpartida R.
d
a
c
b
d) 2b e) c
18. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) b b) 2c c) 3c
b a
c
d) 2a www.sepremat.blogspot.com
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e) 3a 19. En el siguiente caso hallar el vector resultante.
a
a) 2a
b) 3c
d
c
a
e
d
d) 3f
f
a) a = 6 cm b) b = 3 cm
e) 2b
c) c = 5 cm
20. En el siguiente caso hallar el vector resultante.
d) d = 2 cm e) 6 cm
a) 2c
c) Cero
b
c) 3d
b) 2b
c
b
b
a
25. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 3
c
d) b
b) 2
d
e) 2d
c) 4
2
d) 5
21. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) 2b
c
c) 3e d) Cero
d
2
26. En el siguiente caso hallar el vector resultante
b
a
b) 3c
e) 6
b) Cero
e
c) 5
e) 2a
| a | 2
b
a) 2
c
a
| b | 1 | c | 4
d
d) 3
| d | 6
e) 4 22. marcar v o f: La masa es una magnitud vectorial ( ) Los vectores colineales son paralelos (
)
La suma de vectores da un vector
)
a) FVF
(
b) VVV
d) VFV
c) FFF
e) FVV
27. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 2 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 4 cm
5 cm
3 cm
e) 8 cm
23. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) c
28. En el siguiente caso hallar el vector resultante
b) 0 c) c d d) 2c d
a) 2 cm a
c
b
d
e) 2(c d)
24. En los siguientes casos hallar el módulo del V. Resultante:
Prof: José Malpartida R.
b) 3 cm c) 6 cm d) 4 cm e) 10 cm
4 cm 6 cm
29. En el siguiente caso hallar el vector resultante
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SEPREMAT d) 2e
a) 2 cm b) 5 cm
e) 2f
5 cm
c) 7 cm
35. En el siguiente caso hallar el vector resultante
d) 8 cm
a) c
e) 10 cm
b) 30. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 2 cm b) 4 cm
c) d)
c) 8 cm
4 cm
d) 10 cm
e)
e) 12 cm
2c
c d
3c 4c
b
a e
g
f
5c
36. En el siguiente caso hallar el vector resultante
31. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 9 cm
a) 2 cm b) 3 c) 5
b) 16 cm c) 10 cm
Secundaria
d) 10
6 cm
3 cm
e) 14
d) 7 cm
5 cm
7 cm
e) 14 cm
37. En el siguiente caso hallar el vector resultante 32. En el siguiente caso hallar el vector resultante
b) 8
a) a
d) e)
c) 10
c
b) c c)
a) 6 cm
d) 12
2b a
2c
e) 3
b
6 cm
6 cm
38. En el siguiente caso hallar el vector resultante
2a
a) 2 cm b) 4
33. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) Cero
d) 12
b
d) a
8 cm
c a
e f
e) – a
a) a
b) 14
g
d
a
39. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 15
d
34. En el siguiente caso hallar el vector resultante
b) c
4 cm
e) 16
b) d c) – d
c) Cero
c) 13 d) 12
6 cm 4 cm
e) 10
b
c) e
c Prof: José Malpartida R.
e
f www.sepremat.blogspot.com