analisis vectorial

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FÍSICA – 3ro

SEPREMAT

ANÁLISIS VECTORIAL

MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

VECTOR Es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado. 

La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales y

Secundaria

Línea de Acción

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tiene un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas. Vector resultante:

R

R  A B

A 

B 

Módulo de R:

Dirección x

En general un vector se representa de la siguiente forma:

A=A<

A = Módulo del vector A

R 

A 2  B2  2ABCos

CASOS PARTICULARES A.

 = Dirección del vector A

Si  = 0° (AB)  Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante

OPERACIONES VECTORIALES

SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIAL Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante ( R ), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

R = A + B = Rmáx B.

Si  = 180° (AB)  Se obtiene el menor valor posible de la resultante

B

Ejemplos:

A

 R  A B

Sean A y B vectores

Sean A ; B y C vectores  R  A  B  C

R = A – B = Rmin

RESTA DE VECTORES Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector diferencia ( D ), el cual es igual a la resta de vectores. Ejemplo: 

Sean A y B vectores 

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D

= A - B

CONCLUSIÓN Rmin  R  Rmax

 Si

A forma un cierto ángulo con B Rmin < R < Rmax

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SEPREMAT C.

Si  = 90° (A  B)  Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras

R

B

MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

A R =

Secundaria

A 2  B2

PROPIEDAD Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo

Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. Ejemplo:

R

x

R =x 2

Sean A ; B y C vectores

A

x A.

Si  = 60°

C B

R

x

R =x 3

Construimos el polígono vectorial:

x B.

Polo

B R =x

x

C

R

Si  = 120°

R

A

O

 x

NOTA: Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.

COMENTARIOS: A.

Si  = 120°

MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

F

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR 

 

F

R =0

Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

F

Ax Ay

y

NOTA IMPORTANTE:

Ay D  A B

A

Componentes rectangulares del vector A

Ax

x

Se cumple que: Ax = ACos D =

R 

A 2  B2  2A.B.Cos Ay = ASen

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SEPREMAT El método de los componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores.

V =2 A +B

Secundaria

.... (I)

Donde:

Pasos a seguir: 1°

Se halla las componente rectangulares.

2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry)

3° Se calcular el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

02.- En el gráfico mostrado, hallar el valor de A para que el vector resultante de los tres indicados esté sobre el eje horizontal (eje x)

R =

V  (60 )2  (45 )2  75 unidades

Rx 2  Ry 2 Tg =

Ry Rx

 Si la dirección de R es 0°  Ry = 0

Solución: De la condición del problema:

 Si la dirección de R es 90°  Rx = 0  Si la R = 0  R x = R y = 0

Problemas Resueltos 01.- Determinar el módulo y dirección del vector V : Si:

V = A +B +C+D +E +F

A partir del polígono vectorial mostrado donde los

Ry = Vy = 0 A 3 Sen60° + A 2 Sen45° – 10 = 0 3 A + A = 10 2

 A = 4 …… Respuesta

módulos de los vectores A y B son iguales a 30 y 45 unidades

03.- Hallar “x” en función de A y B . M es punto medio del segmento JL

Solución: Buscaremos que reducir la expresión de V , a partir del polígono. (Usamos el método del polígono)  Del triángulo rectángulo se observa que: A = B + C  Del polígono inferior tenemos que: B = D + E + F Reemplazando en:

Solución: Del JMK: x  A  JM ...... (1) Del KMH: B  x  MH ...... (2) Pero: MN = JM

V = A +B +C+D +E +F

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Secundaria

Ejemplos: ______________________________________ ______________________________________ 2. Magnitudes Vectoriales:

Restando: (1) – (2) :

 X 

x B  A x AB 2

__________________________________ __________________________________ Ejemplos ______________________________________ ______________________________________ 3. Vector

04.- Un vector horizontal forma 143° con otro vector de 15 unidades. Determinar el módulo de dicho vector de tal manera que la resultante sea mínima. Solución: Según datos, construimos:

__________________________________ __________________________________ 4. Si dos vectores valen a=6, b=4 entonces resultante será:

a)

b)

a

a

b

c)

La

b d)

a

a 60º

b

b

5. Coloque la resultante en cada caso Del , aplicando Ley de Senos:

a

15 Sen 37  9 R 15 A   R   Sen  Sen  Sen 37  Sen  Sen 

3

60º

b 9 R= Sen 

 Sen = 1

  = 90°

5

Luego: RMINIMO = 9 unidades

2

En el triángulo formado:  = 90°

Como:

3

 R = RMINIMO , si Sen es máximo

15 A  Sen 90  Sen 53 

  = 53°

120º

5

2

A = 12 unidades 6. Calcule la resultante

EJERCICIOS 1. Magnitudes Escalares: _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

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6 2 45º

6 3

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SEPREMAT 7. Encuentre el módulo de la resultante

Secundaria

c) 30 ; 40 d) 50 ; 50 e) 40 ; 40

13. Calcular la resultante si el ángulo entre los vectores es 60º y cos 60º=1/2 14. a) 3 d) 4

b)5 e) 11

c) 7

8. Encuentre el módulo de la resultante

a)3 b)5 c)7 d)9 e)14 15. Descompones en sus componentes “X” y “Y” si el vector vale 10 √2 a)10 ; 10 B)20 ; 20

a) 3 d) 4

b) 5 e) 12

c) 10

9. Dado el siguiente conjunto de vectores en donde a=6; b=3 , c=4 ; d=1. calcular la resultante

c)50 , 23 d)78; 26 e)98 ; 56

16. calcular la resultante del sistema de vectores a) 12 d) 11

b) 8 e) 10

c) 7

a)8 b)2 c)5

10. calcular la resultante

d)cero a) 3

e)9

b) 2 c) 6 d) 4

17. En el siguiente caso hallar el vector resultante.

e) 5

a) 2d b) a

11. Calcular la resultante y la dirección a) 3()

c) 2a

5

b) 3() c) 6() d) 5() e) 5()

6 2 1

4 1

12. Un vector de 100 forma una ángulo de 37º con el eje x descomponer el vector en sus componentes “x” y “y “ a) 100 ;200 b) 60 ; 80 Prof: José Malpartida R.

d

a

c

b

d) 2b e) c

18. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) b b) 2c c) 3c

b a

c

d) 2a www.sepremat.blogspot.com


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Secundaria

e) 3a 19. En el siguiente caso hallar el vector resultante.

a

a) 2a

b) 3c

 d

c

a

e

d

d) 3f

f

a)  a  = 6 cm b)  b  = 3 cm

e) 2b

c)  c  = 5 cm

20. En el siguiente caso hallar el vector resultante.

d)  d  = 2 cm e) 6 cm

a) 2c

c) Cero

b

c) 3d

b) 2b

c

b

b

a

25. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 3

c

d) b

b) 2

d

e) 2d

c) 4

2

d) 5

21. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) 2b

c

c) 3e d) Cero

d

2

26. En el siguiente caso hallar el vector resultante

b

a

b) 3c

e) 6

b) Cero

e

c) 5

e) 2a

| a | 2

b

a) 2

c

a

| b | 1 | c | 4

d

d) 3

| d | 6

e) 4 22. marcar v o f: La masa es una magnitud vectorial ( ) Los vectores colineales son paralelos (

)

La suma de vectores da un vector

)

a) FVF

(

b) VVV

d) VFV

c) FFF

e) FVV

27. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 2 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 4 cm

5 cm

3 cm

e) 8 cm

23. En el siguiente caso hallar el vector resultante. a) c

28. En el siguiente caso hallar el vector resultante

b) 0 c) c  d d) 2c  d

a) 2 cm a

c

b

d

e) 2(c  d)

24. En los siguientes casos hallar el módulo del V. Resultante:

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b) 3 cm c) 6 cm d) 4 cm e) 10 cm

4 cm 6 cm

29. En el siguiente caso hallar el vector resultante

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SEPREMAT d) 2e

a) 2 cm b) 5 cm

e) 2f

5 cm

c) 7 cm

35. En el siguiente caso hallar el vector resultante

d) 8 cm

a) c

e) 10 cm

b) 30. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 2 cm b) 4 cm

c) d)

c) 8 cm

4 cm

d) 10 cm

e)

e) 12 cm

2c

c d

3c 4c

b

a e

g

f

5c

36. En el siguiente caso hallar el vector resultante

31. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 9 cm

a) 2 cm b) 3 c) 5

b) 16 cm c) 10 cm

Secundaria

d) 10

6 cm

3 cm

e) 14

d) 7 cm

5 cm

7 cm

e) 14 cm

37. En el siguiente caso hallar el vector resultante 32. En el siguiente caso hallar el vector resultante

b) 8

a) a

d) e)

c) 10

c

b) c c)

a) 6 cm

d) 12

2b a

2c

e) 3

b

6 cm

6 cm

38. En el siguiente caso hallar el vector resultante

2a

a) 2 cm b) 4

33. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) Cero

d) 12

b

d) a

8 cm

c a

e f

e) – a

a) a

b) 14

g

d

a

39. En el siguiente caso hallar el vector resultante a) 15

d

34. En el siguiente caso hallar el vector resultante

b) c

4 cm

e) 16

b) d c) – d

c) Cero

c) 13 d) 12

6 cm 4 cm

e) 10

b

c) e

c Prof: José Malpartida R.

e

f www.sepremat.blogspot.com


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