ARITMÉTICA – Academia
SEPREMAT
K puede tomar valores enteros: 5; 6 o 7; K = 5 (ASUMIENDO)
DEFINICIONES BÁSICAS
Población: Conjunto de elementos o datos que presenta una característica particular a ser analizada o estudiada de la cual se desea información.
ANCHO DE CLASE (W): En la longitud de una clase. Si deseamos anchos de clase iguales, utilizamos:
Muestra: Es un subconjunto de elementos seleccionados convenientemente de la Población de tal manera que puede hacerse “deducciones” de ella respecto a la población completa. Variables: Es una característica que puede tomar varios valores. Es un “Dato” que sufre variación dentro de una escala, recorrido o intervalo. Una variable pude ser:
Discreta: Son aquellos que surgen por el procedimiento de conteo; es decir solo pueden tomar algunos valores del intervalo considerado.
Continua: Son aquellos que pueden tomar cualquier valor del intervalo considerado. TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.
Estas tablas de Distribución se elaboran a partir de los siguientes elementos: Tamaño (n): cantidad de datos recogidos. n = 50
dato arbitrario
Alcance (A): Intervalo cerrado que tiene por límites a los datos de menor y mayor valor. A = [0; 10]
dato arbitrario
Rango (R): Llamado también amplitud; es la diferencia de los datos de menor y mayor valor de la muestra. Número de clases (K): es la cantidad de grupos o intervalos en que se pueden dividir los datos y depende del criterio aunque es usual utilizar como un primer valor aproximado al obtenido por la regla de Sturges. En cual viene dada por la siguiente relación:
W
10 R En el ejemplo; W W=2 K 5
FRECUENCIA ABSOLUTA.- Es la cantidad de datos que caen dentro de una clase.
Intervalo de clase Conteo Frecuencia Absoluta Ii fi 0; 2 llll llll 9 [2;4 llll llll llll 15 [ 4; 6 llll llll ll 12 [6; 8 llll lll 8 [6;10 llll 6
FRECUENCIA RELATIVA. (h).- Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra. ni
fi
o hi 1
Ademas :
n
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULDADA. (Hi) Es la acumulación de cada frecuencia relativa. Se obtiene de manera análoga a la frecuencia absoluta acumulada.
Hi h1 h 2 ..... hi
i
hj
j 1
PRESENTACION GRAFICA Histograma: Son diagramas de barras o rectángulos cuyas bases representan los intervalos de clases y las alturas son las frecuencias absolutas o relativas.
K = 1 + 3,3 Log (n) .
Si tomamos los datos arbitrarios tendremos: K = 1 + 3,3 . Log (50) K = 6,6.
Prof: José Malpartida R.
www.sepremat.blogspot.com
ARITMÉTICA – Academia
SEPREMAT MEDIANA (Xm)
Fi Polígono de Frecuencias
15 13 12
Para “n” datos no clasificados.
X n 1 2 Xm X X n x 1 2 2 2
Histogramas
3 2
Ii 2
4
6 8 10 12 13
Diagrama Escalonado:
;n par
Para datos clasificados:
Son diagramas similares al histograma con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas; acumuladoras. Fi 40 38 35 34 27
Se define la mediana como la primera cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede ala mitad del total de datos:
Osiva
n 2 Fm 1 X m L m Wm fm
Diagrama Escalonado
12
Ii 2
; n impar
4 6 8 10 12
Medidas de Posición: Una medida de posición es un valor que se calcula para un grupo de datos que se utiliza para describirlos de alguna manera.
Donde: Lm Wn Fm – 1
: Limite de la clase mediana. : Ancho de clase de la clase mediana. : Frecuencia absoluta acumulada de la clase que procede a la clase mediana.
MODA (Mo)
MEDIA ARITMÉTICA ( x )
Para “m” datos di no clasificados:
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.
m
X
(d ) i 1
i
m
Para datos clasificados: m
X (hi ) X i i 1
d1 Mo Lo Wo d1 d 2 Lo : Limite, inferior de la clase modal. Wo : ancho de la clase modal. d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente
hi: Frecuencia relativa de clase i. Xi: marca de clase i. m: número de clases.
Prof: José Malpartida R.
www.sepremat.blogspot.com
ARITMÉTICA – Academia
SEPREMAT EJERCICIOS
Enunciado: Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa.
Numero de Frecuencia (fi ) Empleados [0; 10 5 [10; 20
20
[20; 30 [30; 40
35 40
[ 40; 60 [60;80
50 30
[80; 100 [100; 140
20 20
[140; 180 [180; 200]
15 15
TOTAL
250
05) ¿Qué porcentaje de compañías menos de 40 millones de soles? Rpta:
invierten
06) ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 millones como mínimo? Rpta:
07) Hallar la inversión promedio (en millones de soles) Rpta:
08) Hallar la mediana de los datos clasificados. (en millones de soles) Rpta:
09) Hallar la moda de los datos agrupados. (en millones de soles) Rpta: Enunciado:
01) Determinar el porcentaje de empresas que tienen un número de empleados entre 50 y 90. Rpta:
Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad.
02) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35. Rpta: Enunciado:
Edades
19; 21 22; 24 25; 27 28; 30 31; 33
En esta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:
ni 0,15 0,25 0,40 0,10 0,10
22 34 60 33 32 30 47 37 61 38 30 34 47 41 55 67 32 49 46 48 42 42 46 43 53 48 46 26 51 23 55 41 57 44 45 67 31 51 47 52
10) ¿Cuántos empleados tienen edades de 22 a 33 años? Rpta:
03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan? Rpta:
11) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 25 años a más? Rpta:
04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene de 39 a 58 años? Rpta:
12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? Rpta:
Enunciado: Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con esta información resolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9. Prof: José Malpartida R.
13) ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 24 años o menos? Rpta:
Enunciado: La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto. www.sepremat.blogspot.com
ARITMÉTICA – Academia
SEPREMAT
Peso(g) n i 10;14 K / 2 15;19 0,17 20; 24 2K 25; 29 K 30;35 0;13
Rpta:
TAREA
Enunciado: Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiéndose los siguientes datos:
14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos que van desde 15 hasta 29 gramos?
3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14.
Rpta:
15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a más?
01) Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y complete la siguiente tabla.
Ii Xi 0; ; ; ; ;
Rpta:
16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos? Rpta: Enunciado:
fi
Fi
hi
Hi
X i .fi
A partir de los siguientes datos: 2 4 5 8
8 9
3 1
3 0 10 12 9 4 6 5 9 6 2 5
3 9 5 8 1 10 4 0 10 10 2 1 7
7 8 6 9 3 2
4 3 7
4 3
a) 38; 70 c) 99; 40 e) 76; 70
2 9 11 9 4 10
17) ¿Calcular la media de los datos agrupados? Rpta: 18) ¿Calcular la agrupados?
mediana
para
los
Dar como respuesta:
datos
Rpta: 19) ¿Calcular la moda para los datos agrupados?
F3 + H4 + X2. f2
b) 43; 40 d) 38; 95
02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso; según los datos originales y según los datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10) a) 1 c) 3 e) 1,4
b) 2 d) 1,71
03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados)
Rpta: a) 1,25 c) 0,75 e) 0,25
Enunciado: La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.
Carbohidratos Proteínas Grasas
Gramos 500 100 100
Calorías 2050 410 930
20) ¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta se debe a las proteínas. Prof: José Malpartida R.
b) 0,5 d) 1,75
04) Calcular la media (para datos sin agrupar) a) 10,5 c) 9,5 e) 12,7
b) 10,2 d) 10,31
05) Calcular la media (para datos agrupados) a) 9,8 c) 10,7 e) 9,71
b) 11,3 d) 10,3
www.sepremat.blogspot.com
ARITMÉTICA – Academia
SEPREMAT
06) Calcular la mediana (para los datos sin agrupar) a) 9,5 c) 9 e) 10,5
b) 9,8 d) 10
a) 72% c) 76% e) 80%
07) Calcular la mediana (para los datos agrupados) a) 9,2 c) 10,1 e) 9,83
ya
b) 9,8 d) 10,0
12) Determinar la clase en la cual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje. To
a) 1 ; 20% era c) 3 ; 44% era e) 3 ; 32%
b) 4 ; 32% to d) 4 ; 76%
13) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores que 8?
b) 8 d) 10
09) Calcular la moda (para los datos ya agrupados) a) 10,28 c) 9,87 e) 10,21
b) 74% d) 78%
ra
08) Calcular la moda (para los datos sin agrupar) a) 7 c) 9 e) 11
11) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe?
b) 9,83 d) 10,17
a) 15 c) 13 e) 11
b) 15 d) 12
14) Dada en la frecuencias.
Ii [10; 20 [20;40 [40;50 [50;70 [70;80
10) A partir de la siguiente grafica: Calcular el tamaño; la mediana y la moda de la muestra. Fi 25 22 16 8
siguiente
distribución
de
fi 4 m 4 n g 100
Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5 + h2
3
Ii a) 10; 4, 125; 5,2 b) 25; 4, 125; 5,2 c) 25; 4,125; 1,2 d) 25; 5, 125; 5,2 e) 25; 5, 125; 1,2
a) 1/3 c) 1/2 e) 3/4
b) 1/4 d) 1/5
15) Dada la siguiente tabla: Calcular el máximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmética es 0,61.
Enunciado:
Ii hi [0,20; 0,40 0,10
Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.
Ii [ ; [;6 [ ; [ ; [ ; [ ;
xi
Prof: José Malpartida R.
Fi
Fi
x i fi 15 20 11 14
8 22 25
a) 0,30 c) 0,50 e) 0,70
b) 0,40 d) 0,60
www.sepremat.blogspot.com