progresiones

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA

 Llamamos así a todo conjunto de números ordenados, de tal manera que, cada uno de ellos (exceptuando al Primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una cantidad constante a la cual llamamos; RAZÓN de la progresión aritmética.

+7

# ter minos 

ÚLTIMO TÉRMINO  ANTERIOR AL1 Tér mino

* 7; 16; 25; 34; ......; 223 +9

ÚLTIMO TÉRMINO  ANTERIOR AL1 Tér mino RAZÓN

+9

* 35; 32; 29; 26; .....; 5 -3

-3

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN -3) En general; dada la siguiente progresión aritmética de razón “r”. t1; t2; t3; t4; t5;...…..; tk;…………; tn. t1 tk tn to

: : : :

1er término Término de lugar “K” Último término Término anterior al 1er término

5; 13; 21; 29;…..; 637 Resolución.Nótese que la progresión aritmética propuesta es de razón 8 donde el primer término es 5; y el último es 637 y el término anterior al primero es: 5 – 8 = -3 Ahora si aplicamos la fórmula para hallar el término 29.

t 29  5  (29  1) 8  5  28  8  t 29  229.

Ahora para hallar el # de términos usamos:

# de tér min os 

To = t1 – r . n: Número de términos.

1

Ejemplo: calcular el vigésimo noveno término y el número total de términos en:

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 9)

Donde :

RAZÓN

+7

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 7)

-3

n= tn - t1 - r = tn - t11 + 1 ......(II) r r r

De (I):

# ter minos 

* 12; 19; 26; 33; .....; 425

+9

n= tn - t1 + 1 r

De II:

Ejemplos:

+7

n= tn - (t1 - r) = tn - to ...........(I) r r

637  ( 3) 8



640 8

# de tér min os  80

Además: r = t2 – t1 = t3 – t2 = t4 – t3 =.... = tn – tn - 1 .

Luego se observa que : t 2  t 1 t3 t4 t5 Generalizando:

r  t 2  r  t 1  2r  t 3  r  t 1  3r  t 4  r  t 1  4r

t k  t 1  (k  1)  r .

También: tn = t1 + (n – 1) r Efectuando: tn = t1 + nr – r tn – t1 + r = nr

EJERCICIOS

01) Calcular el trigésimo segundo término de la siguiente progresión aritmética: de 50 términos: 10;….. ; 304 Rpta: 02) Una progresión aritmética empieza en 111; termina en 514 y tiene 3a términos. Entonces el valor de “a” es:

 Ahora se despeja “n” y le damos la forma apropiada.

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03) Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n;…..

(53 términos) S2: 2; 11; 20; 29;…

Rpta:

(48 términos)

04) Cuantos términos tiene la siguiente progresión aritmética? 12n; 17n; 24n; 31n;…..; 620n.

Hallar: b – a a) 152 c) 154 e) 150

Rpta: 05) ¿En un sistema de numeración; los numerales: 479; 698 y 907; están en progresión aritmética.

Rpta:

b) 153 d) 151

02) Si la diferencia de los términos de lugar 73 y 58 de una progresión aritmética es 90. El décimo quinto término es 104. Calcular el vigésimo término.

06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A:

84; ab; ac;....; 1cb sabiendo que: b +c – 1= a?

Rpta:

a) 166 c) 186 e) 134

b) 194 d) 144

03) Señalar cuantos términos tiene la siguiente 07) determinar el # de términos de la siguiente P.A.

abn ; ba n 1; 98n  3 ;....;1(n  2)3 q Rpta: 08) En la P.A: 38;…; 87;..; 220; la cantidad de términos que hay entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de términos existentes entre 38 y 87. Hallar la cantidad total de términos.

Rpta: 09) ¿Cuántos numerales de 3 cifras del sistema de numeración senario, se escribe con 4 cifras al ser convertidas al sistema cuaternario?

Rpta: 10) Dada la siguiente serie: 8a 30 ; 4a 29; αa 28 ;.....; ( = diez) Calcular la máxima cantidad de términos si a < 10 Rpta:

progresión aritmética: 78; ab; ac; ...; abc Además: a + b + c = 19 a) 151 c) 153 e) 155

b) 152 d) 154

04) Calcular a + b + n en la siguiente P.A.

a3n ; a5n ; (a  1)1n ; 4bn ;..... a) 12 c) 17 e) 19

b) 15 d) 18

05) En la siguiente P.A; que consta de 33 términos determinar la suma del primer y último término.

3a7; 3a9;.....

Si la suma de cifras del último término es 7. a) 779 c) 900 e) 770

b) 778 d) 850

06) ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

TAREA

01) Sea a y b los últimos términos de cada serie S1 y S2 respectivamente:

abn ; bc n  1; 88n  2 ;...; 64(n  1)9

a) 16 c) 18 e) 20

b) 17 d) 19

S1:13; 18; 23; 26;…

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4)

Se dice que un conjunto de # se encuentran en progresión geométrica; cuando cada uno de estos puede obtenerse de la multiplicación a el anterior por una misma cantidad constante llamada razón o cociente de la progresión.

Clases: 1)

S

8

t1 1 q

Creciente: (razón >1); Razón = 3

Razón =

n  

1 2

Alternada u oscilante:

Nos piden:

Ejem: 2; -4; 6; -16;

1  q 1

Ejemplo: Calcular: S  2 

Decreciente: ( 0 < razón < 1) Ejem: 64; 32; 16 y 8

3)

  P   2x2 8     2 36 5)

Ejem: 2; 6; 8; 54.

2)

n

Pn   t 1  t n    En el ejemplo anterior:

S  2

4 8 16    ....

3 9 27

4 8 16    ....

3 9 27

n   ; q 2

Razón = -2

3

TERMINACIONES: t1 tn n r Sn SL Pn

: 1er Término : Término general. : # términos : razón : Suma de los “n” primeros términos. : Suma limite : producto de los “n” primeros términos.

S 

2 2   6 1  2 / 3 1/ 3

b) Interpolacion: Formar una P.G con los datos siguientes:

a;.......... .; b "m"

FORMULAS DE P.G.

q  m 1 t t2  3  ......... t1 t2

1)

q

2)

tn  T1  qn 1

Ejemplo: Interpolar 4 medios geométricos, entre 3 y 729.

3; ..........  ;729

Ejemplo: t 7  t1  q6

4 medios .

; t 5  t1  q4

En general: t n  t p  qnp

729  3; Si: q  4 1 3

3)

Sn 



t 1 qn  1) q1

b a

.

Ejemplo: 2 + 4 + 6 + 16 +…… + 256 Se observa: t1 = 2; n = 8; q = 2 2(2 8  1) S   510 21

3; 9; 27; 81; 293 ; 729 .

EJERCICIOS

01) Si: (x + 2); (x +14); (x + 50) están en P.G.  X2  Hallar: E   X2     i 1 

x4



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Rpta: 02) En una P.G de términos positivos se observa que cada término es igual a la suma de los 2 términos siguientes. ¿Cuál es la razón de la progresión?

Rpta:

10) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n 40 términos; siendo la suma de la n primeros (8) 40 y la suma de los “n” últimos (16) . Calcular el número de términos.

Rpta:

do

to

03) Si el 2 y el 6 término de una P.G. son m y n; respectivamente. ¿Cuál es el 4to término?

Rpta:

TAREA to

avo

01) Si el 4 y 8 término de una P.G. son m y n; to respectivamente. ¿Cuál es el 6 término? ero

04) Una P.A creciente es tal que los términos 3 , no avo 9 , 27 están en P.G. calcular las razones de la progresión sabiendo que la suma de dichos 3 números (términos) en P.G. es 78.

a) m 2  n 2

b)

mn

c) m  n e) N.A

d)

m2  n2

Rpta: 05) En una P.G. que posee 51 términos se conoce que el vigésimo término es 128 y el término décimo 1/8. Hallar el término central.

02) En una P.G. que posee 51 términos se conoce el término vigésimo es 128 y el término décimo 1/8. Hallar el término central.

10

11

a) 2 12 c) 2 14 e) 2

Rpta: 06) Si se interpolan 4 medios geométricos entre 160y 5. hallar la suma de los 2 últimos términos de la progresión geométrica formada.

Rpta: 07) Sea el sistema:

2x  y  z  40 3y  z  10

b) 2 13 d) 2

03) En la siguiente progresión de razón q: t1; t2; t3;….; se conocen los términos: t m - n = a  t m + n = b.

Hallar tm a)

b

b)

a

c)

a

d)

b

a

e) a b Donde: x; y; z son 3 términos consecutivos de una Progresión geométrica creciente; hallar: xy/z Rpta: 08) Se tiene una P.G. de 3 términos cuya suma es 15 y el producto 45. La razón adopta de forma.

r

a b  1  a b  12  2k1



Hallar: 1  2x 2  3x 3 a) 36 c) 81 e) 256



x1

b) 27 d) 4

a b c +    k Sabiendo que “K” y “a”  z b c d Hallar el valor de “c”; sabiendo que: a + b + c + d = 16

2

Hallar el valor de:

04) Si (x + 2) ; (x + 8) ; (x + 26) están en P.G.

05) En:

abk

Rpta: er

09) En una P.G. iguala 486. de 1 término 2; término de lugar: (n) -3 y ultimo 13122; hallar la razón y el número de términos. Dar como to respuesta el término que ocupa el 6 lugar.

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a) 36 c) 64 e) 96

b) 72 d) 26

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06) Una P.G. de razón 2; es tal que admite 5n términos; siendo la suma de los n primeros 40 40 (6) y la suma de los “n” últimos (16) .

Calcular: el número de términos.

a) 80 c) 60 e) 40 07) Si:

08) Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 729. to

3; ..........  ;729 y dar el valor del 4 término.

4 medios .

a) 27 c) 9

b) 78 d) 50

b) 81 d) 53

e) N.A.

xy8 x 2  y 2  32 3

3

3

Hallar x +y + z sabiendo que Z es el término de la P.G: x, y, z a) 48 c) 72 e) N.A.

3er

b) 36 d) 51

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