HOMOTECA

Karolina Campos Núùez Matemåticas Tema: Homoteca 

Si nos piden la RazĂłn de homotecia

Cao 1: Si nos dan el perĂ­metro de dos figuras homotĂŠticas lo que se debe hacer es utilizar la fĂłrmula del perĂ­metro (suma de todos los lados) de la figura que nos den para averiguar la medida đ?‘Ž del lado de cada figura, luego hacer la formula de la razĂłn đ?‘Ž ∙ đ?‘˜ = đ?‘? ⇒ đ?‘˜ = đ?‘?

Ejemplo: De acuerdo con la figura donde los triĂĄngulos son equilĂĄteros, de 9cm y 18cm de perĂ­metro respectivamente, ÂżCuĂĄl es la razĂłn de homotecia?

SoluciĂłn Como son equilĂĄteros todos los lados miden lo mismo respectivamente y como nos dan el perĂ­metro y sabemos que el perĂ­metro es la suma de todos los lados hacemos lo siguiente: 9

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œâˆ†đ??´đ??ľđ??ś = đ?‘™ + đ?‘™ + đ?‘™ ⇒ 9 = 3đ?‘™ ⇒ 3 = đ?‘™ ⇒ 3 = đ?‘™ AsĂ­ cada lado del triangulo ABC mide 3 đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œâˆ†đ??ˇđ??šđ??¸ = đ?‘™ + đ?‘™ + đ?‘™ ⇒ 18 = 3đ?‘™ ⇒

18 =�⇒6=� 3

AsĂ­ cada lado del triangulo DEF mide 6 Luego sacamos la razĂłn de homotecia de la siguiente forma Como a triangulo pequeĂąo es al que se le hace la transformaciĂłn se tiene que: 3∙đ?‘˜ = 6⇒đ?‘˜ =

6 ⇒đ?‘˜=2 3

Respuesta la razĂłn de homotecia es 2

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Karolina Campos Núùez MatemĂĄticas Tema: Homoteca Caso 2: Si nos dan el ĂĄrea de dos figuras homotĂŠticas lo que se debe hacer es utilizar la fĂłrmula del ĂĄrea de la figura que nos den para averiguar la medida del lado de cada figura, luego hacer đ?‘Ž la formula de la razĂłn đ?‘Ž ∙ đ?‘˜ = đ?‘? ⇒ đ?‘˜ = đ?‘?

Ejemplo: De acuerdo con la figura donde hay dos cuadrados, el ĂĄrea del cuadrado mĂĄs grande es 16đ?‘?đ?‘š2 , el ĂĄrea del cuadrado mĂĄs pequeĂąo es 4đ?‘?đ?‘š2, entonces la razĂłn de homotecia entre ellos es: SoluciĂłn Como son cuadrados sabemos que el ĂĄrea de un cuadrado es đ??´âˆŽ = đ?‘™ ∙ đ?‘™ = đ?‘™ 2 entonces aplicando la fĂłrmula para cada cuadrado tenemos lo siguiente: đ??´âˆŽđ??´đ??ľđ??śđ??ˇ = đ?‘™ 2 ⇒ 4 = đ?‘™ 2 ⇒ √4 = √đ?‘™ 2 ⇒ 2 = đ?‘™ AsĂ­ cada lado del cuadrado ABCD mide 2 đ??´âˆŽđ??¸đ??šđ??şđ??ť = đ?‘™ 2 ⇒ 16 = đ?‘™ 2 ⇒ √16 = √đ?‘™ 2 ⇒ 4 = đ?‘™ AsĂ­ cada lado del cuadrado EFGH mide 4 Luego sacamos la razĂłn de homotecia de la siguiente forma Como a ĂŠl cuadrado pequeĂąo es al que se le hace la transformaciĂłn se tiene que: 2∙đ?‘˜ =4 ⇒đ?‘˜ =

4 ⇒đ?‘˜=2 2

 Si nos piden dar los lados o segmentos homólogos y los puntos homólogos y nos dan la figura hacemos lo siguiente: Ejemplo: Establezca la relación de homotecia entre los lados homólogos y los puntos homólogos de la figura adjunta.

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Karolina Campos Núñez Matemáticas Tema: Homoteca Solución Relación de lados homólogos El lado DC es homologo con el lado HG El lado CB es homologo con el lado GF El lado DA es homologo con el lado HE El lado AB es homologo con el lado EF Relación de puntos homólogos El punto A es homologo con el punto E El punto D es homologo con el punto H El punto C es homologo con el punto G El punto B es homologo con el Nota: Las figuras homotéticas tienen la misma forma peroFdiferente tamaño punto

Solución: En este caso serian el 1 y 5 , 5 y 7, 1 y 7 3

Karolina Campos Núùez MatemĂĄticas Tema: Homoteca Congruencia Para que dos triĂĄngulos sean congruentes entonces los lados de un triĂĄngulo con respecto a otro de ser iguales y los ĂĄngulos de un triĂĄngulo con respecto a otro deben ser iguales  Saber que si nos dicen que los triĂĄngulos ∆đ??´đ??ľđ??ś ≅ ∆đ??ˇđ??¸đ??š entonces se cumple que En cuanto a los lados

Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… ≅ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… , Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ ≅ đ??ˇđ??¸ đ??ľđ??ś ≅ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š , đ??´đ??ś đ??ˇđ??š Y en cuanto a los ĂĄngulos

âˆ˘đ??´ ≅ âˆ˘đ??ˇ , âˆ˘đ??ľ ≅ âˆ˘đ??¸ , âˆ˘đ??ś ≅ âˆ˘đ??š  Postulados: A.L.A (ĂĄngulo, lado, ĂĄngulo): Dos triĂĄngulos son congruentes si dos ĂĄngulos y el lado comprendido entre ellos (o dicho de otra forma el que estĂĄ en medio de los ĂĄngulos) tienen la misma medida.

ďƒź Observe que los dos ĂĄngulos del primer triĂĄngulo son iguales a los del segundo triĂĄngulo respectivamente, ademĂĄs el lado que estĂĄ en medio de los ĂĄngulos en ambos triĂĄngulos miden lo mismo por lo tanto asĂ­ ∆đ??´đ??ľđ??ś ≅ ∆đ??´â€˛đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ por el criterio A.L.A L.A.L (Lado, ĂĄngulo, lado): Dos triĂĄngulos son congruentes si dos lados y el ĂĄngulo comprendido entre ellos (o dicho de otra forma el que estĂĄ en medio de los lados) tienen la misma medida.

ďƒź Observe que los dos lados del primer triangulo son iguales a los del segundo triangulo, ademĂĄs el ĂĄngulo que estĂĄ en medio de los dos lados de ambos triĂĄngulos miden lo mismo asĂ­ ∆đ??´đ??ľđ??ś ≅ ∆đ??´â€˛đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ por el criterio L.A.L 4

Karolina Campos Núùez Matemåticas Tema: Homoteca L.L.L (lado, lado, lado): Dos triångulos son congruentes si los tres lados correspondientes son iguales.

ďƒź Observe que todos los lados del primer triĂĄngulo son iguales a los del segundo triĂĄngulo asĂ­ ∆đ??´đ??ľđ??ś ≅ ∆đ??´â€˛đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ por el criterio L.L.L Resumen de Semejanza Para que dos triĂĄngulos sean semejantes, entonces los ĂĄngulos de un triĂĄngulo con respecto a otro deben ser iguales y los lados de un triĂĄngulo con respecto a otro deben ser proporcionales (relaciĂłn entre magnitudes medibles).  Saber que si nos dicen que los triĂĄngulos ∆đ??´đ??ľđ??ś~∆đ??ˇđ??¸đ??š entonces se cumple que En cuanto a los lados proporcionales son: Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ đ??ľđ??ś đ??´đ??ś , , Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??š Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ đ??¸đ??š Y en cuanto a los ĂĄngulos

âˆ˘đ??´ ≅ âˆ˘đ??ˇ , âˆ˘đ??ľ ≅ âˆ˘đ??¸ , âˆ˘đ??ś ≅ âˆ˘đ??š Criterios de semejanza: A.A (ĂĄngulo, ĂĄngulo): Dos triĂĄngulos son semejantes si dos ĂĄngulos tienen la misma medida

o Observe que los dos ĂĄngulos del primer triĂĄngulo son iguales a los del segundo triĂĄngulo por lo que asĂ­ ∆đ??´đ??ľđ??ś~∆đ??ˇđ??¸đ??š por el criterio A.A L.L.L (lado, lado, lado): Dos triĂĄngulos son semejantes si tienen los lados proporcionales o sea si la proporciĂłn es la misma para los tres lados. Esa proporciĂłn se llama razĂłn de semejanza 5

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o

Observe que los ambos triĂĄngulos tienen sus lados 6 3

8

=4=

10 5

proporcionales ya que

⇒ 2 = 2 = 2, ya que nos dio la misma razon de semejanza en todas las

proporciones entoces se concluye que ∆đ??´đ??ľđ??ś~∆đ??´â€˛đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ por el criterio L.L.L L.A.L (lado, ĂĄngulo, lado): Dos triĂĄngulos son semejantes si dos lados son proporcionales y el ĂĄngulo comprendido entre ellos (o dicho de otra forma el que estĂĄ en medio de los lados) tienen la misma medida.

o Observe que los dos lados que nos dan de un triĂĄngulo es proporcional con el otro triĂĄngulo ya que su razĂłn de semejanza en ambas proporciones nos da como 1

resultado 2 , ademĂĄs el ĂĄngulo que estĂĄ en medio mide lo mismo en ambos triĂĄngulos asĂ­ ∆đ??´đ??ľđ??ś~∆đ??´â€˛đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ por el criterio L.A.L TriĂĄngulos congruentes “≅ " ďƒ˜ Lados Iguales ďƒ˜ Ă ngulos Iguales

TriĂĄngulos semejantes “~" ď ś Lados proporcionales ď ś Ă ngulos Iguales

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Karolina Campos Núùez MatemĂĄticas Tema: Homoteca Cuando nos dan un problema de semejanza y nos dan todas las medidas del triĂĄngulo y nos dicen que la mĂĄs corta (mediana o grande) del otro triĂĄngulo es tal medida se plantea la siguiente proporciĂłn đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ = = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ O bien đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ = = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ Si fuera el caso de que nos hablan de ancho (mediano o largo) es esto: đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 1 ∆ = = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ 2 ∆ Ejemplo 2 de la pĂĄgina 89

En este caso solo nos daban todos los lados del primer triĂĄngulo y el lado mĂĄs corto del segundo triĂĄngulo se planteĂł las proporciones respectivas, pero observe que no nos dan el lado mediano ni el lado mayor por lo que se le llama al lado mediano “xâ€? y al lado mayor se le llama “yâ€?, luego se agarra las dos primeras proporciones para hallar x por medio de la regla de 3 y luego se agarra la primera proporciĂłn y la tercera proporciĂłn para hallar e igual por la regla de 3. Ojo lo que nos piden es el perĂ­metro de ambos triĂĄngulos como ya se tiene las medidas de los lados de ambos triĂĄngulos se hace lo siguiente:

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Karolina Campos Núùez MatemĂĄticas Tema: Homoteca đ?‘ƒ1∆ = 6 + 8 + 10 = 24đ?‘?đ?‘š đ?‘ƒ2∆ = 18 + 24 + 30 = 72đ?‘?đ?‘š Si nos dieran los perĂ­metros de dos triĂĄngulos y nos piden hallar la razĂłn de semejanza lo que se hace es: đ?‘ƒ1∆ 24 1 = = đ?‘ƒ2∆ 72 3 De igual manera se hace si nos dan el ĂĄrea de dos triĂĄngulos y nos piden la razĂłn de semejanza. đ??´1∆ đ??´2∆ AhĂ­ se sustituye cada uno y se divide

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