Ecuaciones by Quique Figueroa

C.E.Te.C Carrera: Técnico Superior En Análisis De Sistemas Asignatur: Matemática II

Sistemas de ecuaciones

Unidad Nº3: Sistemas De Ecuaciones Observemos la siguiente situación: ¿Existe algún número real, que sumado a su doble, dé como resultado el número 6 ? Si llamamos x a dicho número; la condición que debe cumplir es 2x + x = 6. ¿Cómo hallamos el valor de x? Para resolver esta situación, hemos planteado una igualdad en la que un valor es desconocido. Este tipo de situaciones originó el estudio de las ecuaciones. Ecuaciones. Las ecuaciones son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas, desconocidas. También puede definirse como una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Ej.: y + 2 x = 5 ; x 2 = 1 ;

log 2 x = 4

En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación se la denomina “Ecuación con una incógnita”, como en el segundo y tercer ejemplo. Conjunto Solución: A los valores de x que verifican una ecuación se los denomina “Solución de la Ecuación”. Ej.: x = 6 es solución de la ecuación 3x + 4 = 5x – 8, pues reemplazando x por 6 en la ecuación, resulta: 3⋅6 + 4 = 5⋅6 − 8 22 = 22 Y escribimos el conjunto solución como S ={6}. En cambio, x = 1 no es solución de la ecuación, pues: 3 ⋅1 + 4 = 5 ⋅1 − 8 7 ≠ −3

El conjunto solución de una ecuación puede:

9 Tener un solo elemento. Por ejemplo: 2x = 6, la única solución es x = 3 ⇒ S = {3} 9 Tener un número finito de elementos. Por ejemplo: x 3 + 1 2 x 2 − 1 2 x = 0 ⇒ S = {½, -1, 0} 9 Tener infinitos elementos. Por ejemplo: 2x – x = x ⇒ S = {R}, puesto que cualquier número real satisface la ecuación. 9 No tener elementos. Por ejemplo: x2 = -4 , puesto que ningún número real satisface la igualdad ⇒ S = Ø

Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Ej.: 4x + 6 = x + 9 y x – 2 = -1, son equivalentes. Ambas tienen como conjunto solución S = {1}. Resolución de Ecuaciones: Para resolver ecuaciones, utilizaremos propiedades de la igualdad, a través de las cuales, obtendremos ecuaciones equivalentes a la original, pero más sencillas de resolver.

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Sistemas de ecuaciones

Propiedades de la igualdad: Si: a, b, c y d son números reales, se verifica: 1. Reflexibilidad: a = a (Todo número es igual a si mismo); 2. Simetría: Si a = b ⇒ b = a; 3. Transitividad: Si a = b y b = c ⇒ a = c; 4. Uniformidad con la suma: Si a = b ⇒ a + c = b + c; 5. Uniformidad con el producto: Si a = b ⇒ a · c = b · c; Ej.: Resolver la siguiente ecuación:

3x + 8 = 9

Por uniformidad con la suma

3 x + 8 + ( −8) = 9 + ( −8) 3x = 1 3x ⋅ 13 = 1⋅ 13 x=

Por uniformidad con el Producto

{ 3}

S= 1

Observación: No siempre que aplicamos la uniformidad con el producto obtenemos una ecuación equivalente. por ejemplo: 2x = 6 (1) Si multiplicamos ambos miembros por x resulta: 2x2 = 6x (2) La ecuación (1) tiene como solución solo a x = 3, o sea, S1 = {3}; La ecuación (2) tiene como solución a x = 3 y x = 0 , o sea., S2 = {0,3}; Conclusión: Dada una ecuación, si multiplicamos o dividimos a ambos miembros por un número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente. Clasificación de las ecuaciones: 1- Enteras: cuando las incógnitas están sometidas únicamente a las operaciones de suma, resta y producto. Ej.: x + Ecuaciones

1 = 2x − 3 2

2- Fraccionarias: cuando por lo menos una de las incógnitas figura como divisor. Ej.:

1 4x − 2 + = x + 3y x x− y

3- Irracional: cuando por lo menos una incógnita figura bajo el signo radical. Ej.:

2 x − 1 = x + 15

Clasificación de las funciones polinómicas: Para entender esta clasificación veamos algunos ejemplos: P(x) = 3x + 1 Æ gr(P(x)) = 1 ⇒ 3x + 1 = 5 (Es una ecuación lineal o de 1er grado) Q(x) = x2 – 2x – 5 Æ gr(Q(x)) = 2 ⇒ x2 – 2x – 5 = 0 (Es una ecuación cuadrática o de 2do grado) R(x) = x3 + 2x2 – x + 1 Æ gr(R(x)) = 3 ⇒ x3 2x2 – x + 1 = 0 (Es una ecuación cúbica o de 3er grado) ... S(x) = anxn + ... + a1x + a0 Æ gr(S(x)) = n ⇒ an xn + … + a1x + a0 = 0 (es una ecuación de grado n)

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Sistemas de ecuaciones

Resolución de ecuaciones de primer grado: Su resolución es posible con las propiedades mencionadas anteriormente. Existen 3 posibilidades para el conjunto solución. 1er caso:

2 x − 8 = 2 (3 + x ) propiedad distributiva 2x − 8 = 6 + 2x uniformidad con la suma 2x − 8 − 2x = 6 + 2x − 2x − 8 = 6 ⇒ es absurdo ya que S = {Ø}

El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución. Es decir, no existe ningún número real que la verifique. 2do caso:

− 10 x = 5( 2 x − 4 x ) − 10 x = 10 x − 20 x − 10 x = −10 x

propiedad distributiva

 1  1 − 10 x ⋅  −  = −10 x ⋅  −   10   10  ⇒ S=R x=x

uniformidad con el producto

La ecuación equivalente que obtuvimos se verifica para todos los números reales. El conjunto solución es infinito. 3er caso:

3x − 5 = 8 uniformidad con la suma 3x + 5 − 5 = 8 + 5 3 x = 13 uniformidad con el producto 1 1 3 x ⋅ = 13 ⋅ 3 3 13 x= ⇒ S = 13 3 3 En este caso hay un solo número real que verifica la ecuación dada. El conjunto solución es unitario.

{ }

Conclusión: El conjunto solución de una ecuación de 1er grado puede:

9 Tener un único elemento (unitario) 9 Tener una cantidad infinita de elementos (infinito) 9 No tener ningún elemento (vacío)

Resolución de ecuaciones de segundo grado: Una ecuación de segundo grado tiene la forma: ax 2 + bx + c = 0 si a ≠ 0 O cualquier expresión equivalente a esta. Para resolver ecuaciones de 2º grado podemos utilizar dos procedimientos:

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Sistemas de ecuaciones

El primero: Completamiento de cuadrados: La idea consiste en expresar un polinomio de 2do grado: como : a (x − h ) + k

ax 2 + bx + c

Ej.: Hallar los valores de x que verifican la ecuación: 2 x 2 + 6 x − 8 = 0 Sacando factor común, el coeficiente principal a = 2, resulta: 2 x 2 + 3 x − 4 = 0

(

)

Trataremos ahora de expresar x + 3x − 4 (*) como (x + k ) (trinomio cubo perfecto) 2

Si: (x + k ) = x 2 + 2kx + k 2 comparado con x 2 + 3x − 4 , resulta que debe ser: 2k = 3 2

Pero si k =

⇒ k=

, resulta:

(x + k )2 = (x + 3 2 )2 = x 2 + 2/ ⋅ 3 x +  3 

2/ 2 Los dos primeros sumandos coinciden con la expresión (*). Para obtener el tercer sumando, sumamos y restamos en (*). 2 2 3 3 x 2 + 3x − 4 = x 2 + 3x − 4 +   −   2 2 2

3 3 x + 3x − 4 = x + 3x +   −   − 4 2 2 2

3 9  x 2 + 3x − 4 =  x +  − − 4 2 4   x + 3x − 4 =  x +  2

Volviendo a la ecuación original, resulta:

(

3 25  − 2 4

)

2 x 2 + 3x − 4 = 0  3  25  2  x +  −  = 0 2 4   2

3  25  =0 x+  − 2 4 

Entonces:

3 25  x+  = 2 4   3 5  x+ = ± 2 2  

Por lo que resulta: 3 5 x+ = ó 2 2 x =1 ó

3 25  x+  = 2 4  

3 5 =− 2 2 x = −4

⇒ S = {1,-4}

Conclusión: Completando cuadrados obtenemos una ecuación equivalente a la dada que se puede resolver aplicando las propiedades ya conocidas. Resumiendo, los pasos a seguir serian los siguientes: 1) Sacar factor común el coeficiente de x2; 2) Sumar y restar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; 3) Escribir el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado; 4) Utilizar las propiedades ya conocidas para resolver la ecuación;

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Segundo: Fórmula de Baskara. Si aplicamos el completamiento de cuadrados en una ecuación general de 2do grado, resulta: ax 2 + bx + c = 0 b c  a x 2 + x +  = 0 a a  2

En este caso, debemos sumar y restar  b  para obtener un trinomio cuadrado perfecto, es decir:  2a 

b . 4a 2 2   2 b b2 b2 c b  b 2 − 4ac    a x + x + 2 − 2 +  = 0 ⇒ a  x +  − =0 a a 2a  4a 4a 4a 2   

Dividiendo por a ≠ 0 y despejando del binomio al cuadrado resulta: 2

b  b 2 − 4ac b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac  ⇒ x + = ± ⇒ x + = ± ⇒ x = − ± x +  = 2a  2a 2a 2a 2a 4a 2 4a 2 4a 2  ⇒x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Fórmula

A través de la formula obtenida, podemos resolver cualquier ecuación de 2do grado sin la necesidad de hacer completamiento de cuadrado. De la formula obtenida, podemos deducir que una ecuación de 2do grado puede tener 3 tipos de conjunto solución.

El conjunto solución de una ecuación de 2do grado puede tener:

9 Un único elemento si b 2 − 4ac = 0 (discriminante) 9 Dos elementos si b 2 − 4ac > 0 9 Ningún elemento si b 2 − 4ac < 0

Ej.: tomemos la misma ecuación que hemos resuelto completando cuadrados: 2x2 + 6x - 8 = 0 Utilizando la fórmula, resulta:

a=2 b=6 c = -8

− 6 ± 6 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −8) x= 24

x1 = 1 x2 = -4

Observemos que en este caso, el discriminante b2 – 4 · a · c > 0 , por lo tanto obtuvimos dos soluciones distintas: S = {1,-4}. Observación: algunas ecuaciones de 2do grado no necesitan la formula de Baskara o el completamiento de cuadrados para ser resueltas.

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Sistemas de ecuaciones

Ej.1: no posee término lineal: 2x 2 − 8 = 0 ⇒ 2x 2 = 8 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2

∴ S = {− 2,2}

Ej.2: no posee termino independiente: 2 x 2 = x ⇒ 2 x 2 − x = 0 ⇒ x(2 x − 1) = 0 ⇒ x = 0 o 2 x − 1 = 0 ⇒ x =

∴ S = {0, 1 2}

Ecuaciones Fraccionarias P( x) = 0 , donde P(x) y Q(x) son Q( x) polinomios y Q(x) ≠ 0, o a aquellas que puedan llevar a dicha forma. Se llaman ecuaciones fraccionarias a las ecuaciones de la forma

Ej.:

1 2 3 + =0⇒ =0 x x x

Para resolver estas ecuaciones aplicamos las propiedades ya conocidas. Ej.: x2 −1 x2 −1 ⇒ =0 ⋅ (x + 1) = 0 ⋅ (x + 1) ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 = 1 x +1 x +1

(

⇒

)

x 2 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ x = 1 o x = −1

¿Cuál es el conjunto solución? Si intentamos verificar las soluciones, observamos que el denominador, (x + 1) se anula para x = -1. Como la división por cero no esta definida, debemos descartar esta solución. Conclusión: debemos descartar las soluciones que hagan cero el denominador. Inecuaciones Definición: una inecuación es una desigualdad que contiene valores desconocidos (incógnitas). Hay inecuaciones de 1º, 2º, etc. y con una o más incógnitas. Ej.: 3x − 1 < 5 ; x 2 + 5 x − 1 ≥ 0 ; x > 2 y Para resolver inecuaciones, necesitamos conocer las propiedades de las desigualdades. Propiedades: 1) Sean a, b, c ∈ R, si 2) Sean a, b, c ∈ R, si 3) Sean a, b, c ∈ R, si 4) Sean a, b, c ∈ R, si

a<b⇒a+c<b+c; a<byb<c⇒a<c; a<byc>0⇒a·c<b·c; a<byc<0⇒ a·c>b·c;

Conjuntos definidos por las inecuaciones: Es el formado por todos los números que son solución de la inecuación y se llama conjunto solución. Ej.: 3x − 1 < 5 ⇒ S = {x / x < 2} Gráficamente:

)

En notación de intervalo: S x = (− ∞,2) En este caso es un intervalo abierto, porque no tiene ni primer ni último elemento.

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Ej.: x ≥ 3

⇒

Sistemas de ecuaciones

S = {x / x ∈ R ∧ x ≥ 3}

Gráficamente:

[ 0

Intervalo: S x = [3,−∞ ) En este caso es un intervalo semiabierto, pues tiene como extremo a 3. Cuando al conjunto solución le corresponde un intervalo que incluye los 2 extremos, el intervalo es cerrado. Inecuaciones de 1er grado con una incógnita: Inecuaciones equivalentes: Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Operaciones que transforman una inecuación en otra equivalente: Son las mismas que transforman ecuaciones en otras equivalentes. Se debe tener en cuenta que todo factor negativo de un miembro de una inecuación, puede pasar al otro miembro como su inverso, con el mismo signo, cambiando el sentido de la desigualdad. La inecuación que resulta, también es equivalente. ⇒ x>7 Ej.: x − 5 > 2 Si multiplico por (-3) ⇒

(− 3) ⋅ (x − 5) < (− 3) ⋅ 3 − 3x + 15 < −6 − 3 x < −21 − 21 x> −3 x>7

Conclusión: se llega al mismo conjunto solución. Sistemas de ecuaciones lineales Hemos visto anteriormente la necesidad de plantear una ecuación para resolver algunos problemas. Pero a veces el planteo de una única ecuación no basta para la resolución de un problema. Por ejemplo: “... Le preguntamos la edad a una mujer y nos dijo: –Yo tengo el doble que la edad de mi hermana, pero si ella hubiera nacido 5 años antes y yo 5 años después, solo me llevaría 5 años – ...” ¿Cuál es la edad de cada hermana?. Observemos que el problema nos proporciona dos datos, a los cuales llamamos. x a la edad de la mayor e y a la edad de la menor. Entonces: • La edad de la mayor (x) es el doble que la menor (y). Es decir: x = 2y (ecuación 1). • Si la menor hubiera nacido 5 años antes (es decir, si fuera 5 años mayor) y la mayor 5 años después (es decir, 5 años mas joven), se llevarían 5 años (diferencia entre las edades). O sea, (x – 5) – (y + 5) = 5 (ecuación 2) Para averiguar la edad de las hermanas (x e y) debemos encontrar valores de x e y que verifiquen las ecuaciones 1 y 2 simultáneamente. Es decir, que para resolver este problema, necesitamos resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x = 2 y S=  x − y = 15

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Sistemas de ecuaciones

Para resolver sistemas de ecuaciones existen varios métodos, pero antes veamos algunos conceptos básicos.

Definición 1: Se llama ecuación lineal de n incógnitas a una expresión de la forma: a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b (1) Donde: - Los ai son números reales llamados coeficientes de la ecuación; - b es un número real llamado término independiente; - Los xi , 1 ≤ i ≤ n , son símbolos llamados incógnitas.

Definición 2: Se llama solución de la ecuación a toda n-upla de escalares (k1 , k2 , ... , kn) que reemplazados ordenadamente en lugar de las incógnitas x1 , x2 , ... , xn verifican la igualdad (1). Ej.: Dada la ecuación 2 x1 − 3 x 2 + x3 = 5 sabemos que: - 2, -3 y 1 son los coeficientes; - 5 es el término independiente; - x1 , x2 , x3 son las incógnitas; De esta ecuación, S1 = (2,−1,−2) es una solución, pues verifica la ecuación. 2 ⋅ (2) − 3(−1) + (−2) = 4 + 3 − 2 = 5 En cambio (1,0,-1) no es solución de esta ecuación, pues 2 ⋅ (1) − 3 ⋅ 0 + (−1) = 2 − 0 − 1 = 1 ≠ 5

Definición 3: Se llama Sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + aij x j + ... + a1n x n = b1  a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 j x j + ... + a 2 n x n = b2  S : ... a x + a x + ... + a x + ... + a x = b i2 2 ij j in n i  i1 1 a ni x1 + a n 2 x 2 + ... + a nj x j + ... + a mn x n = bn  Donde: aij son los coeficientes; bi son los términos independientes; xi son las incógnitas. El par de subíndices (i,j), donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n , indica que el coeficiente aij es el coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima ecuación. Una solución de S es una n-upla (k1 , k2 , ..., kn) de escalares tal que, reemplazados ordenadamente en lugar de las incógnitas x1 , x2 , ... , xn se satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Aclaración: Solo se analizaran sistemas de 2 x 2 y de 3 x 3 (2 ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones con tres incógnitas).

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Sistemas de ecuaciones

Veremos a continuación algunos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Método de sustitución. Dado un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas: a11 x1 + a12 x 2 = b1  a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 El método de resolución, consiste en: 1º. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones; 2º. Sustituir lo obtenido en la otra ecuación y de esta obtenemos el valor de una de las incógnitas; 3º. Sustituimos el valor de la incógnita que hallamos en el paso anterior sobre el primer despeje y hallamos el valor de la segunda incógnita. Ej.: (1) x = 2 y S:  ( x − 5) − ( y + 5) = 5 (2) 1º. Despejamos de la ecuación (1) la variable x (en este caso ya esta despejada): x = 2y (3) 2º. Sustituimos en la ecuación (2) y resolvemos: ( 2 y − 5) − ( y + 5 ) = 5 2y −5− y −5 = 5 y − 10 = 5 y = 15 3º. Sustituimos el valor hallado en (3): x = 2 · 15 ⇒ x = 30 ∴ S:{(30,15)} ⇒ La hermana mayor tiene 30 y la menor 15. 4º. Como cuarto paso podemos verificar la solución hallada, reemplazando en el sistema original. (1). 30 = 2· 15 ⇒ 30 = 30 (2). (30 – 5)·(15 + 5) = 5 ⇒ 25 – 20 = 5 ⇒ 5 = 5

Método de igualación Dado un sistema de 2x2, el método de igualación consiste en: 1º) Despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita; 2º) Igualar las dos expresiones obtenidas y resolver la ecuación de una incógnita; 3º) Reemplazar el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en uno de los despejes del paso 1 y obtenemos el valor de la otra incógnita; En el ejemplo de las hermanas resulta: (1) x = 2 y S: (2)  ( x − 5) − ( y + 5) = 5

1º) Despejamos de (1) y (2) la misma incógnita: de (1) x = 2y de (2) x – 5 – y – 5 = 5 ⇒ x – 10 = 5 + y ⇒ x = y + 15 2º) Igualamos 2y = y + 15 ⇒ 2y – y = 15 ⇒ y = 15 3º) Reemplazamos en uno de los despejes del paso 1: en (1) por ejemplo, x = 2 · (15) ⇒ x = 30 S:{(30,15)} 9

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Sistemas de ecuaciones

Ej.: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y + x = 3 S1 :   y = 3x + 1

y − 2 = x S2 :  y = x + 2

 y − 1 = 2x  S3 :  y − 4  2 = x

S1 – Aplicando el método de sustitución, tenemos: 1º. Despejamos una incógnita de la primera ecuación: y = 3 – x 2º. Sustituimos en la segunda ecuación: 3 – x = 3x + 1 ⇒ 3 – 1 = 4x ⇒ x = ½ 3º. Reemplazamos en al 1er despeje: y = 3 – ½ ⇒ y = 5 2

Sol1 : {( 1 2 , 5 2 )}

S2 – Aplicando el método de igualación: 1º. Despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones: x = y – 2 y x = y – 2 ; 2º. Igualamos: y – 2 = y – 2 ⇒ 0 · y = 0 ⇒ y ∈ R (cualquier número real y, verifica esta ecuación) 3º. En este caso si reemplazamos en cualquiera de los despejes del 1er paso, y ∈ R , resulta que x también puede tomar cualquier valor en los R. De la forma x = y – 2. ¿ Cuál es la solución del sistema ? Observemos que y ∈ R y que dado un valor de y, por ejemplo y = 1; Este determina que el valor de x debe ser x = 1 – 2 = -1; Es decir que una de las infinitas soluciones del sistema S2 es (-1,1). De la misma manera podríamos hallar mas soluciones del sistema dándole valores a la incógnita “y” y determinando el valor de la incógnita “x”. Pero, para presentar todas las soluciones debemos encontrar una expresión general para la solución del siguiente modo: Como ya vimos que si a la incógnita y le asignamos un número real, digamos t, x toma el valor x = t − 2 ; por lo tanto la solución al sistema son los pares ordenados de la forma (t – 2, t) t ∈ R. Sol 2 = {(t − 2, t )}con t ∈ R S3 – Por el método de sustitución resulta: 1º) Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones: y = 2x – 1; 2º) Reemplazamos en la otra ecuación: y – 4 = 2x ⇒ 2x – 1 – 4 = 2x ⇒ -5 = 0 x En este caso, no existe ningún valor de x que verifique la ecuación, entonces: El sistema S3 no tiene solución, es decir Sol3 = ∅

Método de reducción por suma o resta: Aquí se elimina una de las incógnitas, luego, con un pasaje de términos, se halla la incógnita que quedo. Para eliminar una de las incógnitas, tienen que tener el mismo coeficiente (así se eliminan al sumar o restar). Si no tienen el mismo coeficiente, se multiplica una de ellas o las dos ecuaciones por un factor o distintos factores, de modo tal que queden los términos de las incógnitas iguales. De acuerdo a los signos que tengan, se suman o restan las ecuaciones para anular las incógnitas. 3x − 2 y = 7 Ej.: Dado  5 x + y = 3

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Sistemas de ecuaciones

Para eliminar la incógnita x, multiplico ambas ecuaciones por el coeficiente de la otra: 5 ⋅ (3 x − 2 y ) = 5 ⋅ 7

15 x − 10 y = 35

⇒

3 ⋅ (5 x + y ) = 3 ⋅ 3

15 x + 3 y = 9 − 13 y = 26

⇒ y = -2

Para eliminar la incógnita y, multiplico la segunda por 2:

3x − 2 y = 7 2 ⋅ (5 x + y ) = 2 ⋅ 3

⇒

3x − 2 y = 7 10 x + 2 y = 6 13 x + 0 = 13

Luego, la solución del sistema es: S ( x , y ) =

⇒x = 1

{(− 2 ,1)}

Método de determinantes: Para estudiar este método, definiremos previamente lo que es un determinante. Dada una matriz cuadrada A (igual número de filas y de columnas)de orden n, se llama determinante a un número asociado a una matriz y obtenido de la siguiente manera: - Si A es de orden 1 ⇒ el determinante es igual al elemento a.

a1 b1 ∆ = = a1 ⋅ b1 − a2 ⋅ b2 - Si A es de orden 2 (2 filas y 2 columnas) ⇒ |A| o a2 b2 -

Si a es de orden 3 se puede usar la regla de Sarrus.

Nota: de acuerdo al número de filas y columnas, se determina el orden del determinante. Diag. Secundaria

Ej.: dado: ∆ =

3 2 = 3 ⋅ ( −1) − 2 ⋅ 4 = −3 − 8 = −11 4 −1 Diag. Principal

En este método cada incógnita es igual a un cociente entre dos determinantes. Dado el siguiente sistema:

 a 1 x + b1 y = c 1  a 2 x + b2 y = c2 Coeficiente de x

Coeficiente de y

Término independiente

Para hallar x :

Para hallar y :

c1 c x= 2 a1 a2

a1 a y= 2 a1 a2

b1 b2 c ⋅b − b ⋅c = 1 2 1 2 b1 a1 ⋅ b2 − b1 ⋅ a2 b2

c1 c2 a1 ⋅ c2 − c1 ⋅ a2 = b1 a1 ⋅ b2 − b1 ⋅ a2 b2

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Sistemas de ecuaciones

El denominador es igual en ambos casos y el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas (sistema ordenado). El numerador para ambos casos es el determinante que se obtiene reemplazando en el denominador la columna de los coeficientes de la incógnita que se calcula, por los términos independientes del segundo miembro. Si falta alguna incógnita, su coeficiente es cero. Observaciones: 1- Debe tener un solo término en x, un solo término en y y un término independiente. 2- Si el determinante ∆ es cero, el sistema es indeterminado o incompatible. 3- Los determinantes pueden denominarse: ∆x, ∆y o ∆.

∴

∆x ∆

y =

∆y ∆

4 x − 3 y = −7 6 x + 2 y = 9

Ej.: 

⇒

−7 9

−3 2

− 14 + 27 13 1 = = 8 + 18 26 2

4 6

−3

4 6

−7 9 36 + 42 78 = =3 − 3 8 + 18 26 2

4 6

⇒

x =

1 2

⇒

y=3  1  ∴ S (x , y ) =   ,3    2 

Interpretación geométrica de las soluciones Observemos que cada una de las ecuaciones de los sistemas representan una función lineal, por lo tanto, su gráfica es una recta. Por eso, por cada sistema de ecuaciones tenemos, gráficamente, una cantidad de rectas igual a la cantidad de ecuaciones y una cantidad de ejes como incógnitas. Observemos también que al hallar la o las soluciones de los sistemas, estamos encontrando pares ordenados (x,y) que verifican la totalidad de las ecuaciones (rectas). Es decir, que los puntos que hallamos como solución, son los puntos que pertenecen a ambas rectas. A continuación se grafican en un mismo sistema de ejes, las rectas correspondientes a cada sistema.

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Sistemas de ecuaciones

S1 –

y = −x + 3 S1 =   y = 3x + 1

L1 L2

Sol1 : {( 1 2 , 5 2 )}

( 12 , 5 2 ) 5

Conclusión: Si la solución de un sistema de 2x2 es un solo punto, las rectas son coincidentes y se cortan en el punto que es solución de ese sistema. Definición 4: Cuando un sistema de ecuaciones tiene una única solución decimos que el sistema es Compatible Determinado. y S2 –

y − 2 = x S2 :  y = x + 2

L1 ≡ L2

Sol 2 = {(t − 2,t )}con t ∈ R 2

Conclusión: Cuando la solución de un sistema de 2x2 es un conjunto infinito, las rectas son coincidentes y los puntos de intersección son todos los que pertenecen a la recta. Definición 5: Cuando un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, decimos que el sistema es Compatible Indeterminado. y L2

S3 –

 y − 1 = 2x  S3 :  y − 4  2 = x

Sol3 = ∅

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Sistemas de ecuaciones

Conclusión: Si la solución de un sistema de 2x2 es el conjunto vacío, las rectas son paralelas y por lo tanto no se cortan en ningún punto. Definición 6: Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución, decimos que el sistema es Incompatible. Resumen:   Determinado (única solución) Compatible (Tiene Solución)  Sistema   Indeterminado (infinitas soluciones)  Incompatible (no tiene solución)  Hasta ahora solo hemos analizado sistemas de ecuaciones de 2x2 (dos ecuaciones con 2 incógnitas). Sistemas de tres ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas: Pueden resolverse con los métodos antes mencionados. Método de sustitución: Se puede resumir en los siguientes pasos: 1- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones; 2- Se reemplaza en las otras ecuaciones dicha incógnita por la expresión hallada; 3- Se resuelve el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. 4- Se reemplazan estas incógnitas por los valores obtenidos al resolver el sistema anterior en la expresión que resulta al despejar la primera y se calcula así el valor de esta. 2 x − y + 3z = 9 (1)   Ej.: 3 x + 2 y − 2 z = 1 ( 2)   x + 3 y − z = 4 (3) 

Para resolver: 1- Despejo x en la ecuación (3): x = 4 − 3 y + z (4) 2- En (1) reemplazo: 2 ⋅ (4 − 3 y + z ) − y + 3 z = 9 8 − 6 y + 2 z − y + 3z = 9 (5) − 7y + 5z = 1

En (2):

3 ⋅ (4 − 3 y + z ) + 2 y − 2 z = 1 12 − 9 y + 3 z + 2 y − 2 z = 1 − 7y + z = −11 (6)

3) para resolver el sistema formado por las ecuaciones (5) y (6). − 7 y + 5 z = 1 − 7 y + z = −11

(7) 

Para resolver se puede utilizar cualquier método de resolución. En este caso resulta conveniente utilizar “Reducción por suma o resta” Restando miembro a miembro: − 7 y + 5z = 1 − 7 y + z = −11 0 y + 4 z = 12

4z = 12 ⇒ z = 3

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Reemplazando en (7)

Sistemas de ecuaciones

− 7y + 5⋅3 =1 − 7 y = −14 y=2

4) Se reemplaza z e y en (4) x = 4 − 3 ⋅ 2 + 3 x=1 x = 1  Luego, la solución del sistema es:  y = 2 z = 3 

Método de igualación: 1- Se despeja una de las incógnitas en las 3 ecuaciones; 2- Se formas 2 ecuaciones igualando de 2 en 2 las expresiones obtenidas; 3- Se resuelve el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas; 4- Se reemplazan estas incógnitas por sus valores en una cualquiera de las expresiones que se obtuvieron al despejar la primera incógnita y se obtiene así el valor de esta. 2 x − 3 y + z = −10 (1)   Ej.:  x + 4 y + 2 z = 6 ( 2)  3 x + 2 y + z = −2 (3) 

1) despejamos z: De (1): z = −10 − 2 x + 3 y

(4)

6 − x − 4y (5) 2 De (3): z = −2 − 3x − 2 y (6)

De (2): z =

2) Igualando (4) y (6):

− 10 − 2 x + 3 y − 2 − 3 x − 2 y x + 5y = 8

Igualando (5) y (6):

(7)

6 − x − 4y = −2 − 3 x − 2 y 2 6 − x − 4 y = (− 2 − 3 x − 2 y ) ⋅ 2 6 − x − 4 y = −4 − 6 x − 4 y 5 x = −10 (8) x + 5 y = 8 5 x = −10 

3) Las ecuaciones (7) y (8) forman el sistema: 

El método más cómodo para resolver este sistema es el de sustitución. Despejando x =

− 10 ⇒ x = −2 5

⇒ x + 5y = 8 y=

8− x 8 − ( − 2) ⇒y= ⇒ y=2 5 5

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Sistemas de ecuaciones

4) Se reemplaza x e y en una de las ecuaciones, por ejemplo de (4):

z = −10 − 2 x + 3 y z = −10 − 2 ⋅ ( −2) + 3 ⋅ 2 z = −10 + 4 + 6 z=0

 x = −2  Luego, la solución al sistema es: S ( x , y , z ) =  y = 2 z = 0 

Método de reducción por suma o resta: 1- Multiplicando convenientemente, se igualan los coeficientes de una incógnita en 2 de las ecuaciones y se suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha incógnita; 2- Multiplicando convenientemente, se igualan los coeficientes de la misma incógnita en una de las ecuaciones anteriores y la ecuación restante y se suman o restan ordenadamente para eliminar dicha incógnita; 3- Se resuelve el sistema de dos ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas así obtenido; 4- Se reemplazan estas 2 incógnitas por sus valores (obtenidas al resolver el sistema anterior) en cualquiera de las ecuaciones del sistema dado y se calcula así, la 3er incógnita.  3 x − y + 2 z = 8 (1)    x + 2 y + z = 1 ( 2)  1  4 x − 3 y − 2 z = 6 (3)

Ej.:

1) Eliminamos x entre (1) y (2):

3x − y + 2 z = 8

3 ⋅ (x + 2 y + z ) = 1 ⋅ 3

⇒

3x − y + 2 z = 8 3x + 6 y + 3z = 3 − 7y − z = 5

4 ⋅ (x + 2 y + z ) = 1 ⋅ 4

2) Eliminamos x entre (2) y (3):

4x − 3y −

1 z=6 2

(4)

4x + 8 y + 4z = 4

⇒

4 x − 3 y − 12 z = 6 11 y + 92 z = −2

(5)

3) Resolvemos el sistema formado por (4) y (5): − 7 y − z = 5  9 11 y + 2 z = −2

Resuelvo aplicando determinantes:

5 −1 − 1 92 − 7 −1 11

45 − 2 41 5 ⋅ 9 2 − (− 1 ⋅ −2) 2 = = 2 = −1 − 7 ⋅ 9 2 − (− 1 ⋅ 11) − 63 2 + 11 − 412

∴ y = −1

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−7

−2

− 412

(−7) ⋅ (−2) − 5 ⋅ 11 14 − 55 − 41 = = =2 − 412 − 412 − 412

Sistemas de ecuaciones

∴z = 2

4) Reemplazamos y y z en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo (2): x + 2 ⋅ ( −1) + 2 = 1 x − 2 + 2 =1 x=1

x = 1  ⇒ la solución resulta: S ( x , y , z ) =  y = −1 z = 2 

Como se puede apreciar, resolver un sistema de 3x3 por el método de sustitución, igualación, etc. se vuelve bastante engorroso, por lo cual, a continuación veremos otros métodos, que nos servirán para resolver sistemas de 3x3 en forma más sencilla. (También sirven para sistemas de 2x2). Método de determinantes: Veamos primero como se calcula el determinante de 3er orden. a1

Dados: a 2 b2 c 2 = a1 ⋅ b2 ⋅ c3 + a 2 ⋅ b3 ⋅ c1 + a 3 ⋅ b1 ⋅ c 2 − (c1 ⋅ b2 ⋅ a 3 + c 2 ⋅ b3 ⋅ a1 + c3 ⋅ b1 ⋅ a 2 )

Para calcular este valor es cómodo aplicar la Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera. Esto es:

Ej.:

27 − 1 = −8 − 0 − 12 − 3 + 0 − 2 = − 2 0 −2

− 12 4 1

1 −

2 2

4 −1

2 x + y + z = 3  1  Ej.: Dado el sistema:  x − y + 2 z = 2 2  3 x + 2 y − 3z = 8

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Sistemas de ecuaciones

1 1 1 2 − 2 2 8 2 − 3 (3 ⋅ ( − 1 2 ) ⋅ ( −3) ) + (2 ⋅ 2 ⋅ 1) + (8 ⋅ 1 ⋅ 2 ) − (1 ⋅ (− 1 2 ) ⋅ 8 ) − (2 ⋅ 2 ⋅ 3) − ((− 3) ⋅ 1 ⋅ 2 ) 45 2 x= = = =3 15 15 2 1 1 2 2 1 −1 2 2 3 2 −3 ∴x = 3

2 3 1 1 2 2 3 8 −3 15

2 1 3 1 − 12 2 3 2 8 15

− 15 15

= −2

∴ y = −2

− 15 2 15

= −1

∴z = −1

x = 3  Entonces la solución resulta:  y = −2  z = −1 

Antes de detallar el próximo método de resolución, es necesario conocer como un sistema de ecuaciones puede representarse matricialmente. Representación matricial de un sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en forma matricial de la siguiente manera: A·X=B Donde:

 a11 a A =  21  ...  am1

a12 a22 am 2

 x1  x  X =  2  ...     xn  nx1

 b1  b  B= 2  ...    bm  mx1

a1n  a2 n    ... amn  mxn ...

Matriz del Sistema aij : Son los coeficientes

Matriz de incógnitas xi : incógnitas

Matriz de términos independientes bi : términos independientes

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Sistemas de ecuaciones

Observemos que si resolvemos en A · X = B , resulta:  a11 a  21  ...   a m1

a12 a 22 am2

a1n   b1   x1     b  a2n  x ×  2 =  2  →  ...    ...       ... a mn  mxn  x n  nx1 bm  mx1 ...

a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b  22 2 2n n 2 S :  21 1 ... a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a mn x n = bn

Por lo tanto A · X = B representa el sistema de ecuaciones lineales S. Método de eliminación de Gauss Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, nuestro objetivo consiste en determinar un sistema de ecuaciones equivalente al dado que nos permita hallar la solución del sistema en forma mas sencilla (recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente la misma solución). Para obtener un sistema equivalente al dado utilizaremos las llamadas operaciones elementales: 1) Intercambiar dos ecuaciones entre si del sistema; 2) Multiplicar una ecuación del sistema por un escalar distinto de 0; 3) Reemplazar una ecuación del sistema por la suma de ella y una combinación lineal de otra ecuación; Ej.: Dado el sistema:

 2x + y − z = 3  S : x − 4 y + 2z = 32  − 3y + z = 0 

(1) (2) (3)

Si cambiamos la ecuación (1) y (2) resulta el siguiente sistema equivalente:

x − 4 y − 2z = 32  S ':  2 x + y − z = 3  − 3y + z = 0 

(1’) (2’) (3’)

Si ahora multiplicamos (2’) por ½ obtenemos el siguiente sistema equivalente:

 x − 4 y + 2z = 32  S ' ':  x + 1 2 y − 1 2 z = 3 2  − 3y + z = 0 

(1’’) (2’’) (3’’)

Si ahora reemplazamos (2’’) por (2’’) + (-1) · (1’’) resulta el siguiente sistema equivalente:

 x − 4 y + 2 z = 3 2 (1’’’)  (2’’’) S ' ' ' : 0 x + 9 2 y − 5 2 z = 0 (3’’’)  − 3y + z = 0  Multiplicando (2’’’) por 2 9 resulta: IV

S IV

 x − 4 y + 2 z = 3 2 (1 ) IV  : 0 x + y − 5 9 z = 0 (2 ) IV  0 x − 3 y + z = 0 (3 ) 

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Sistemas de ecuaciones

Y por último reemplazando (3 IV) por (3 IV) + 3(2 IV), resulta:

 x − 4 y + 2z = 32  S V :  0x + y − 59 z = 0 0 x + 0 y − 2 z = 0 3 

(1V) (2V) (3V)

El sistema obtenido SV es equivalente al sistema original S, es decir, que tiene el mismo conjunto solución, pero su resolución es mas sencilla dado que su forma es escalonada. De la última ecuación podemos despejar la variable z:

− 23 z = 0 ⇒ z = 0

Reemplazando este valor en la segunda ecuación podemos hallar el valor de la otra variable:

y −

⋅0 = 0 ⇒ y = 0

por último, reemplazando ambos valores en la primer ecuación, obtenemos el valor de la variable restante:

x−4⋅0+2⋅0 = 32 ⇒x= 32

∴ Sol : {(3 2 ,0,0 )} ⇒ Sistema Compatible.

Conclusión: El método de Gauss consiste en obtener un sistema equivalente al dado y de resolución mas sencilla, de manera tal que la cantidad de variables en cada ecuación disminuye hasta obtener una ecuación con una sola variable que podamos despejar. Luego, mediante un reemplazo de las variables que se van obteniendo en orden ascendente, obtenemos la solución. Para obtener un sistema de ecuaciones de este tipo, al aplicar las operaciones elementales, debemos lograr que el primer elemento no nulo de cada fila sea igual a 1 y los restantes en las columnas, por debajo de la diagonal principal, sean cero (como vimos en el ejemplo). Al aplicar el método de Gauss, lo único que cambia, son los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes del sistema, no así las incógnitas. Por lo tanto, podríamos trabajar solamente con los elementos que cambian disponiéndolos matricialmente, es decir: 2 1   0

1 −4 −3

− 1 2  ⋅  1  3 x 3

x  y =    z  3 x 1

3 3  representa a  2  0  3 x 1

A·X=B

Y la matriz ampliada, seria en este caso:

2 1 − 1 1 − 4 2  0 − 3 1

3  2  0  3 x 4

En términos de la matriz ampliada del sistema, las operaciones elementales se traducen: I. II. III.

Intercambiar dos filas entre si en la matriz; Multiplicar una fila por un escalar z ≠ 0; Reemplazar una fila por la suma de ella y una combinación lineal de otra.

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Sistemas de ecuaciones

Ej.:  x + 2 y + 7z = 1  S : −x+ y−z = 2 3 x − 2 y + 5 z = −5  2 7 1 − 1 1 − 1   3 − 2 5

1  Fila 2 '= fila 2+ fila1 7 1 2   fila 3'= fila 3+ ( −3)⋅ fila1 2      → 0 3 6 0 − 8 − 16 − 5

1 2 7 fila 3'''= fila 3'' +8⋅ fila 2 ''     → 0 1 2 0 0 0 De la ecuación 2 resulta: y = 1 – 2z Reemplazando en la ecuación 1:

1 7 1 1 2 fila 2 ''= 13 ⋅ fila 2 '   3    → 0 1 2 1  0 − 8 − 16 − 8 − 8

1 x + 2 y + 7 z = 1  1 ∴  y + 2z = 1  0 0z = 0 

x + 2 ⋅ (1 − 2 z ) + 7 z = 1 x + 2 − 4z + 7z = 1 x + 3z = 1 − 2 x = −3 z − 1 ⇒ x = -3z - 1

En este caso se anulo la última fila, con lo cual la última ecuación 0 · z = 0, se verifica ∀z ∈ R . Pero dado un valor de z, digamos z = t de las demás ecuaciones vemos que x = -3t – 1 y y = 1 – 2t. Por lo tanto la solución del sistema es:

S : {(− 1,−3t ,1 − 2t , t )} t ∈ R Æ Sistema Compatible Indeterminado

Una solución particular seria, por ejemplo, para t = 0. ⇒ S1 : {(-1,1,0)} Ej.:

x + 2 y + 4z = 2  S : 2 x + 3 y + 7 z = 3 2 x + 4 y + 8 z = 1  1 2 4 2 3 7  2 4 8

2 fila 2 '= fila 2+ ( −2 )× fila1 1 2 4 fila 3'= fila 3+ ( −2 )× fila1 3     → 0 − 1 − 1 0 0 0 1 

2 x + 2y + 4z = 2   - y - z = -1 − 1 ∴   0 ⋅ z = -3 − 3 

En este caso observamos que no existe ningún valor de z que verifique la tercera ecuación 0 · z = -3 por lo tanto el sistema no tiene solución ⇒ Sol = ∅ ⇒ Sistema Incompatible.

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Sistemas de ecuaciones

Sistemas Homogéneos: Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas se dice que es homogéneo si todos los términos independientes son nulos, esto es: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0 a x + a x + ... + a x = 0  21 1 22 2 i2 n  ... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = 0 Ej.:

2 x1 + 3 x 2 − x3 = 0  x1 + x3 = 0  Una solución evidente de cualquier sistema homogéneo es x1 = x 2 = ... = x n = 0 no importando cuales sean los coeficientes aij . Dicha solución se denomina Solución Trivial. De esta manera podemos concluir que nunca hay sistemas homogéneos incompatibles: la única solución es la trivial o existen infinitas soluciones. Además, en ningún caso pueden tener solución única no nula. Ej.:

 x + 2y + z = 0  2 x + 3 y + z = 0  − x + 4y = 0  1 2 1 2 3 1  − 1 4 0

0 fila 2 '= fila 2+ ( −2 )⋅ fila1 1 2 1 fila 3'= fila 3+ fila1 0     →0 − 1 − 1 0 6 1 0

1 2 1       → 0 1 1 0 0 − 5 fila 3'''= fila 3'' + ( −6 )× fila 2

0 0 0

0 1 2 1  fila 2 ''= ( −1)× fila 2 ' 0    →0 1 1 0 6 1 0

0 0 0

x + 2y + z = 0 → x = 0  y+z =0→ y =0 ∴   - 5z = 0 → z = 0 

⇒S = {(0,0,0)} Compatible Determinado Ej.:

 x − 2 y + 3z = 0  − x + 2 y − 2 z = 0  3x − 6 y + 9 z = 0   1 −2 3 − 1 2 − 2   3 − 6 9

0 fila 2 '= fila 2+ fila1 1 − 2 3 fila 3'= fila 3+ ( −3) fila1 0   → 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0

x - 2y + 3z = 0  ∴  0·y + z = 0  0·z = 0 

La ecuación 3 se verifica ∀z ∈ R , pero si de la segunda ecuación resulta z = 0, reemplazando en la ecuación 1 resulta que x – 2y = 0 ⇒ x = 2y. Por lo tanto dado y = t ⇒ x = 2t y z = 0. Solución general: S : {(2t , t ,0 )} t ∈ R ⇒ Compatible Indeterminado. Soluciones Particulares: (2,1,0) y (0,0,0).