الاحصاء

‫اإلحصاء واالحتمال‬ ‫التعليم الثانوي (الربنامج امل�شرتك)‬

‫الـمــدرس ـ ـ ــة ‪...................................................................................... :‬‬

‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢7/3792 :‬‬ ‫ردمك ‪9960 - 48 - 242 - 1 :‬‬

‫الطبعة الثانية ‪1430‬هـ ‪1431 -‬هـ ‪2009 /‬م ‪2010 -‬م‬

‫اسم الطالب ‪...................................................................................... :‬‬

‫(البرنامج الم�شترك)‬

‫‪1430‬هـ ـ ‪1431‬هـ‬ ‫‪2009‬م ـ ‪2010‬م‬

‫اإلحصـاء‬ ‫و‬ ‫االحـتمـال‬ ‫(البـرنـامـج الم�شتـرك)‬ ‫تعديل وتطوير‬ ‫ن ــور بنت �سعيد عـ ــلي باقـ ــادر‬ ‫نجوى بنت رجب محمد ال�شوا‬ ‫ابت�سام بنت �سعيد عمر من�سي‬ ‫لمـ ــياء بنت عبداهلل يحيى خان‬ ‫�سلمى بنت عبود محمد بايزيد‬ ‫لجنة المراجعة‬ ‫�سـ ـ ــامـ ــي بــن �أح ـ ـم ـ ـ ــد رح ـيـ ـ ِّــم‬ ‫ث ـ ـ ــام ـ ــر بن حـ ـ ـم ــد العـيـ ــ�سـ ــى‬ ‫الطبـاع ــة‬ ‫مـهـا بنـت عـبـدالعزيـز القـديـر‬ ‫�إيـم ـ ــان بـنـت عـبـداللـه القثمي‬ ‫�أ�شرف على الت�صميم الفني والتعليمي‬ ‫الطبعة الثانية‬ ‫�أ‪ .‬محمد بن عبد اهلل الب�ص ِّي�ص‬ ‫‪ 1430‬ـــ ‪ 1431‬هـ‬

‫‪ 2009‬ـــ ‪2010‬م‬

‫وزارة التربية والتعليم ‪ 1427 ،‬هـ‬ ‫فهر�سة مكتبة الملك فهد الوطنية �أثناء الن�شر‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫�إح�صاء واحتمال (التعليم الثانوي) ‪ 1-‬الريا�ض ‪1427 ،‬هـ‬ ‫‪�220‬ص ‪� x 27 21 .‬سم‬ ‫ردمك ‪9960-48-242-1:‬‬ ‫‪ 1‬االح�صاء الريا�ضي‪-‬كتب مدر�سية‪2-‬االحتماالت(الريا�ضيات)‪-‬كتب درا�سية‬‫‪ 3‬التعليم الثانوي‪-‬ال�سعودية‪-‬كتب درا�سية‬‫العنوان‬ ‫‪1427/3792‬‬ ‫ديوي ‪519،712‬‬ ‫رقم الإيداع ‪1427/3792 :‬‬ ‫ردمك ‪9960-48-242-1 :‬‬

‫�أ�شرف على الطباعة والتوزيع‬

‫الإدارة العامة للمقررات المدر�سية‬ ‫له ��ذا الكتاب قيم ��ة مهمة وفائدة كبي ��رة فحافظ عليه واجع ��ل نظافته ت�شهد على‬ ‫ح�سن �سلوكك معه ‪.‬‬ ‫�إذا ل ��م تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�صة في �آخر العام لال�ستفادة فاجعل‬ ‫مكتبة مدر�ستك تحتفظ به ‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�سعودية‬

‫موقع‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫موقع‬

‫البوابة التعليمية للتخطيط والتطوير‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫موقع‬

‫�إدارة التعليم الثانوي‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬

‫البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬

‫‪3‬‬

‫الإح�صاء‬

‫رب العالمي���ن‪ ،‬و ال�صـالة وال�سـالم على �سـ ِّيد المر�سـلي���ن‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين‪ ،‬ومن‬ ‫الحم���د هلل ِ ِّ‬ ‫تبعهم ب�إح�سـانٍ �إلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫ه���ذا كت���اب الإح�صاء واالحتمال في نظام المقررات بالتعليم الثانوي الذي ن�أمل �أن يجيء ُمل ِّبـ ًيا لخطط‬ ‫إخراج جيلٍ قاد ٍر على‬ ‫التنمي���ة الطموحة التي تعي�شـه���ا المملكـة العرب َّيـة ال�سـعود َّية وم َّتفقًا م���ع تطلُّعاتـها في � ِ‬ ‫مواكبة الع�صر ومتم�شـ ًّيا مع النه�ضة التي تحياهـا‪ ،‬ك ُّل ذلك وفق � ِ‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫أهداف و�سـيا�سـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى هذا الكتاب على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�سـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫ الحـاجات الأ�سـا�سـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫ طرائق تعليم وتعلُّم الريا�ضيـَّات‪.‬‬ ‫الريا�ضي‪.‬‬ ‫ �أ�سـاليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�ضي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�سـائل ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫ نوع َّية البناء‬ ‫ِّ‬ ‫ �أوجه ا�سـتخدامات الريا�ض َّيـات و الإح�صاء في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬

‫وتبرز مالمح الكتاب في التالي‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫االنط�ل�اق ف���ي تنظي���م منهـ���اج الإح�صاء واالحتمال م���ن الأه���داف العا َّمة للم���ا َّدة و�أهداف نظام‬ ‫المق���ررات بالتعليم الثانوي‪ ،‬بما يتالءم وخ�صائ�ص نـمو الطالب با ِّتب���اع �أ�سـاليب وطرائق ت�سـتند‬ ‫�إلى نظر َّيات التعلُّم المختلفة‪.‬‬ ‫روع���ي ف���ي عر����ض المو�ضوعات �إب���راز المفهوم���ات والمبادئ العلمي���ة والنظر َّي���ات ‪ ...‬وتمييزها‬ ‫وا�سـتخدامها في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعميق معناها لدى الطالب‪.‬‬ ‫االهتمام ببرهان الحقائق والنظر َّيات‪ ،‬ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات‪.‬‬ ‫العلمي في البحث واال�ستق�صاء والو�صول �إلى اال�ستنتاجات والقرارات وحل‬ ‫توظيف �أ�ساليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الم�شكالت‪.‬‬ ‫اال�ستم���رار ف���ي تعزيز بناء المفهومات باال�ستناد �إلى معلومات الطالب ال�سابقة مع التع ُّمق في ذلك‬ ‫بم���ا ي َّتف���ق وطبيعة المرحل���ة و�إي�ضاح كل مفهوم من خ�ل�ال �أمثلة متنوعة؛ لم�ساع���دة الطالب على‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫التعلُّم‬ ‫ِّ‬ ‫�إب���راز جه���ود علم���اء الريا�ض َّيات الع���رب والم�سـلمين و�أثرهم ف���ي بناء وتطوير العل���وم الريا�ض َّية‬ ‫وتطبيقاتـها‪.‬‬

‫‪ -7‬رب ��ط المفهوم ��ات الريا�ض َّي ��ة والإح�صائي ��ة ببيئة الطال ��ب وبالمفهومات التي تق َّدم لـ ��ه في الموا ِّد‬ ‫المتعددة‪.‬‬ ‫الأخرى‪ ،‬وتوظيـفها من خالل التطبيقات الحيات َّية‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -8‬ت�ضمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫‪� -9‬إثراء المحتـوى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ِّ‬ ‫كل وحدة‪� ،‬إ�ضـافة �إلى التمارين التي تلي‬ ‫كل در�س؛ لتثبـيت الحقـائق والمهـارات وت�أكيـد ا�سـتمرار َّية التعلُّم‪.‬‬ ‫‪ -10‬ا�ستخدام الآلة الحا�سبة كلما �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -11‬تلخي� ��ص المفهوم ��ات والنظر َّي ��ات ‪ ...‬الت ��ي ت�ض َّمنه ��ا محت ��وى ِّ‬ ‫كل وحدة من الوح ��دات وذلك في‬ ‫نـهايته‪.‬‬ ‫‪� -12‬إدراج قائمة بالإجابات النهائ َّية لبع�ض التمارين ِّ‬ ‫لكل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪� -13‬إدراج الأهداف التعليمـ َّية ِّ‬ ‫لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪ -14‬اال�ستعان ��ة بالر�س ��وم التو�ضيح َّية والأ�شـ ��كال في تو�ضيح المفهومات الريا�ض َّي ��ة ك َّلما دعت الحاجة‬ ‫لذلك‪.‬‬

‫ولقد اُ�سـتفيد حين �إعداد الكتاب ِم َّما يلي‪:‬‬

‫‪ -1‬تو�صي ��ف منهج ما َّدة الريا�ض َّيات في المقررات بالتعلي ��م الثانوي الجديد من الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫التربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫بالتطوير‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق� � َّررات الريا�ض َّيات والإح�صاء ب ��دول مجل�س التعاون لدول الخليج العرب َّي ��ة‪ ،‬وبع�ض الدول العرب َّية‬ ‫وغير العرب َّية‪.‬‬

‫هذا ويقع الكتاب في ثالث وحدات وهي‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪ -1‬الح�ساب التوافقي ونظرية ذات الحدين‪.‬‬

‫‪ -2‬االحتمال ‪.‬‬

‫‪ -3‬الإح�صاء ‪ .‬‬

‫و �إ نَّنا لنرجو التوفيق وال�سـداد من اهلل ‪ -‬تعالى ‪ -‬و�أن ُيحـقِّق هذا الكتاب الأهداف الم�أمولة له‪.‬‬

‫واهلل من وراء الق�صد‪.‬‬

‫لجنـة الت�أليف‬ ‫الإح�صاء‬

‫الوحدة الح�ساب التوافقي ونظرية ذات الحدين‬ ‫الأولى‬

‫(‪ )1-1‬مبد�أ الع ِّد‬

‫‪10‬‬

‫(‪ )2-1‬التباديل والتوافيق‬ ‫(‪ )3-1‬رمز املجموع‬

‫‪16‬‬ ‫‪41‬‬

‫(‪ )4-1‬نظرية ذات احلدَّين‬

‫‪46‬‬

‫اخلال�صة‬

‫‪55‬‬

‫متارين عامة‬

‫‪57‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫االحتمال‬

‫(‪ )1-2‬ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫‪64‬‬

‫(‪ )2-2‬نظريات االحتمال‬

‫‪79‬‬

‫اخلال�صة‬

‫‪100‬‬

‫متارين عامة‬

‫‪102‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫الإح�صاء‬

‫مقدمة‬ ‫(‪ )1-3‬الجداول التكرارية‬ ‫(‪ )2-3‬التمثيل البياين للتوزيعات التكرارية‬ ‫(‪ )3-3‬مقايي�س النـزعة املركز َّية‬ ‫(‪ )4-3‬االنحراف املعياريُّ‬ ‫(‪ )5-3‬االرتباط‬ ‫(‪ )6-3‬الدرجة املعيارية‬ ‫اخلال�صة‬ ‫متارين عامة‬

‫‪108‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪137‬‬ ‫‪166‬‬ ‫‪179‬‬ ‫‪193‬‬ ‫‪201‬‬ ‫‪203‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫احل�ساب التوافقي‬ ‫ونظرية ذات احلدين‬ ‫‪Combinatorics and Binomial Theorm‬‬

‫الدرو�س‬ ‫العد‬ ‫(‪ )1-1‬مبد�أ ِّ‬ ‫(‪ )2-1‬التباديل والتوافيق‬ ‫(‪ )3-1‬رمز المجموع‬ ‫الحدين‬ ‫(‪ )4-1‬نظرية ذات َّ‬

‫ج ��اء ف ��ي مخطوط ��ة " الباه ��ر ف ��ي‬ ‫الجب ��ر" لل�سم�ؤال المغرب ��ي المتوفى‬ ‫�سن ��ة ‪570‬ه� �ـ �أن مثل ��ث معام�ل�ات‬ ‫نظري ��ة ذات الحدين يجب �أن ين�سب‬ ‫ل�صاحبه العالم الم�سلم الفذ �أبو بكر‬ ‫محمد ب ��ن الحا�سب الكوفي المتوفى‬ ‫ف ��ي بغ ��داد �سن ��ة ‪421‬هـ ولي� ��س كما‬ ‫ي�سميه الغ ��رب مثلث با�س ��كال ن�سبة‬ ‫�إل ��ى العال ��م الفرن�سي بلي ��ز با�سكال‬ ‫(‪1073-1032‬م)‬

‫مو�سوعة نوابغ العرب والم�سلمين في العلوم الريا�ضية ‪ -‬د‪ .‬علي ال َّدفاع‬

‫الأهداف‬ ‫يتوقع َ‬ ‫من الطالب بع َد درا�سـ ِة هذه‬ ‫الوحد ِة � ْأن يكو َن قاد ًرا َعلى � ْأن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يتع َّرف مبد�أ الع ِّد ويحل م�سائل‬ ‫تطبيقية عليه‪.‬‬ ‫طبيعي‬ ‫‪ -2‬يتع َّرف مفهوم م�ضروب عد ٍد‬ ‫ٍّ‬ ‫وخ�صائ�صه‪.‬‬ ‫‪ُ -3‬يع ِّرف التباديل والتوافيق والفرق‬ ‫بينهما‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد عدد تباديل من العنا�صر‬ ‫م�أخوذ ًة را ًء را ًء في ك ِّل مرة‪.‬‬ ‫‪ -5‬يوجد عدد توافيق من العنا�صر‬ ‫م�أخوذ ًة را ًء را ًء في ك ِّل مرة‪.‬‬ ‫‪ -6‬يكتب �صيغ مجاميع مقادير جبرية �أو‬ ‫ح�سابية با�ستخدام رمز المجموع‪.‬‬ ‫‪ -7‬ي�ستخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد‬ ‫مفكوك ق َّو ٍة لمقدا ٍر ذي ح َّدين‪.‬‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫مـبــد�أ العــد‬

‫‪1-1‬‬

‫‪Principle of Counting‬‬ ‫نواج ��ه ف ��ي حياتن ��ا الكثي ��ر م ��ن‬ ‫المواق ��ف الت ��ي ُيفر� ��ض علين ��ا‬ ‫فيها االختي ��ار من بي ��ن مجموعة‬ ‫اختي ��ارات متو ِّف ��رة و�سنتناول في‬ ‫هذا الدر�س �إحدى الطرق المفيدة‬ ‫ف ��ي ح�ساب عدد الط ��رق الممكنة‬ ‫لإجراء اختيا ٍر ما‪.‬‬

‫مثال (‪)1-1‬‬ ‫بكم طريق ٍة يمكن اختيار رئي�س ونائب له‬ ‫لمجل� ��س �إدارة �إحدى ال�ش ��ركات المك َّون‬ ‫م ��ن �أربع ��ة �أع�ض ��اء ‪ :‬عم ��ر ‪ ،‬عبداهلل ‪،‬‬ ‫ح�سين ‪� ،‬أحمـد ؟‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪10‬‬

‫مبد�أ العد‬

‫الحل‬ ‫نبد�أ بعملية اختيار رئي�س‪:‬‬ ‫هن ��اك �أربع �إمكانيات الختيار الرئي�س‪ ،‬فيمك ��ن �أن يكون الرئي�س عمر �أو عبداهلل �أو ح�سين �أو‬ ‫�أحمـد‪.‬‬ ‫ويلي ذلك عملية اختيار نائب للرئي�س‪:‬‬ ‫رئي�سا وليكن عمر ‪ً -‬‬ ‫مث�ل�ا‪ ، -‬يبقى ثالثة �أع�ضاء لنختار من‬ ‫ف ��ي حالة اختي ��ار �أحد الأع�ضاء ً‬ ‫بينهم نائ ًبا للرئي�س‪ ،‬فيمكن �أن يكون نائب الرئي�س عبداهلل �أو ح�سين �أو �أحمد‪� ،‬أي �أنَّه توجد‬ ‫ثالث طرق مختلفة الختيار نائب الرئي�س ِّ‬ ‫لكل طريق ٍة من الطرق الأربع الختيار الرئي�س‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد الطرق الممكنة الختيار الرئي�س ونائب له = ‪ 12 = 3 × 4‬طريقة ‪.‬‬ ‫يو�ضح ذلك‪:‬‬ ‫والمخطط ال�شجري التالي ِّ‬ ‫عملية اختيار الرئي�س‬

‫عملية اختيار نائب الرئي�س‬

‫االختيارات الممكنة للرئي�س ونائبه‬

‫ع ـ ـ ــمر‬

‫عبداهلل‬ ‫ح�سين‬ ‫�أحمــــد‬

‫عـم ��ر و عبداهلل‬ ‫عـم ��ر و ح�سي ��ن‬ ‫عـم ��ر و �أحمـ ��د‬

‫عبد اهلل‬

‫عـمر‬ ‫ح�سين‬ ‫�أحمـد‬

‫عب ��داهلل و عـمر‬ ‫عبداهلل وح�سين‬ ‫عبداهلل و �أحمـد‬

‫ح�س ــين‬

‫عـمر‬ ‫عبداهلل‬ ‫�أحمـد‬

‫ح�سي ��ن و عـم ��ر‬ ‫ح�سين و عبداهلل‬ ‫ح�سي ��ن و �أحمـد‬

‫�أحم ــد‬

‫عـمر‬ ‫عبد اهلل‬ ‫ح�سين‬

‫�أحمـ ��د و عـم ��ر‬ ‫�أحمـد و عبداهلل‬ ‫�أحمـ ��د و ح�سين‬

‫‪11‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)2-1‬‬

‫أ�صناف‪� :‬صوف ‪ ،‬قط ��ن ‪ ،‬حرير‪ ،‬ومن ِّ‬ ‫كل ٍ‬ ‫ينت ��ج م�صن� � ٌع للأقم�شة ثالثة � ٍ‬ ‫�صنف ينتج ثالث ��ة �ألوانٍ ‪� :‬أزرق‪،‬‬ ‫�صنف ِّ‬ ‫�أحم ��ر ‪� ،‬أخ�ض ��ر‪ ،‬ومن ِّ‬ ‫كل ٍ‬ ‫ولكل لونٍ ينتج قيا�سين للعر�ض‪ :‬مت ًرا ‪ ،‬مترين‪� .‬أوجد عدد الأنواع التي‬ ‫ينتجها الم�صنع‪.‬‬

‫الحل‬ ‫يمك ��ن الح�ص ��ول على ع ��دد الأنواع‬ ‫بر�سم المخطط ال�شجري التالي‪:‬‬ ‫ال�صنف‬

‫�صوف‬

‫اللون‬

‫العر�ض‬

‫�أزرق‬

‫�أحمر‬

‫قطن‬

‫�أخ�ضر‬

‫متر متران متر متران متر متران‬

‫�أزرق‬

‫�أحمر‬

‫حرير‬

‫�أخ�ضر‬

‫متر متران متر متران متر متران‬

‫� ًإذا عدد الأنواع التي ينتجها الم�صنع‬

‫�أزرق‬

‫�أخ�ضر‬

‫�أحمر‬

‫متر متران متر متران متر متران‬

‫نوعا ‪.‬‬ ‫ً‬

‫في المثالين ال�سابقين و �أ�شباههما من الأمثلة ن�ستطيع �أن نقبل م�صداقية المبد�أ الآتي والذي‬ ‫ن�س ِّميه مبد�أ الع ِّد‪.‬‬ ‫يتم الإجراء الأول بع ��دد‬ ‫�إذا كان هن ��اك عدد ك من الإجراءات المتتالية بحيث يمك ��ن �أن َّ‬ ‫م ��ن الط ��رق والإج ��راء الثاني بعدد ‪ 2‬من الطرق‪ ،‬والإجراء الثالث بعدد من الطرق ‪...‬‬ ‫يتم بع ��دد من الطرق‪ ،‬ف� َّإن هذه‬ ‫وهك ��ذا �إل ��ى �أن ن�ص ��ل �إلى الإجراء الأخير الذي يمكن �أن َّ‬ ‫من الطرق‪.‬‬ ‫تتم على التتابع بعدد‬ ‫الإجراءات جميعها يمكن �أن َّ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫مبد�أ العد‬ ‫مثال (‪) 3-1‬‬ ‫كم عد ًدا مك َّو ًنا من رقمين يمكن تكوينه با�ستخدام الأرقام ‪7 ، 6 ، 5‬‬ ‫ب) عندما ُي�سمح بتكرار الرقم ؟‬ ‫) عندما ال ُي�سمح بتكرار الرقم ؟‬

‫الحل‬ ‫) عندما ال ُي�سمح بتكرار الرقم ف� َّإن‪:‬‬ ‫عدد طرق اختيار رقم الآحاد = ‪ 3‬؛ ل َّأن منزلة الآحاد يمكن �أن تكون ‪� 5‬أو ‪� 6‬أو ‪. 7‬‬ ‫عدد طرق اختيار رقم الع�شرات = ‪ ( 2‬بعد ا�ستبعاد الرقم الم�أخوذ في الآحاد )‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد الأعداد التي يمكن تكوينها = ‪� 6 = 2 × 3‬أعداد ‪.‬‬ ‫ب) عندما ُي�سمح بتكرار الرقم ف� َّإن‪:‬‬ ‫عدد طرق االختيار ِّ‬ ‫لكل رقم في الآحاد �أو الع�شرات ي�ساوي ‪. 3‬‬ ‫� ًإذا عدد الأعداد التي يمكن تكوينها = ‪� 9 = 3 × 3‬أعداد ‪.‬‬

‫تدريب ( ‪) 1-1‬‬ ‫ً‬ ‫يو�ضح حل المث ��ال (‪ ) 3-1‬في ٍّ‬ ‫كل م ��ن الحالتين ‪ ،‬ب َّثم اكت ��ب جميع الأعداد‬ ‫ار�س ��م‬ ‫مخطط ��ا �شجر ًّي ��ا ِّ‬ ‫التي يمكن تكوينها في ِّ‬ ‫كل حالة‪.‬‬

‫مثال (‪) 4-1‬‬ ‫أنواع م ��ن ال�شوربة‪ ،‬خم�سة �أطباقٍ مختلفة‬ ‫ت�ض� � ُّم قائمة الطعام‬ ‫الخا�صة ب�أحد المطاعم �أربعة � ٍ‬ ‫َّ‬ ‫أنواع من الع�صي ��ر ‪ .‬بكم طريق ٍة يمكن‬ ‫م ��ن اللح ��وم‪� ،‬ستة �أطباقٍ مختلف ��ة من الحلوى‪� ،‬أربعة � ٍ‬ ‫لأحد ر َّواد هذا المطعم �أن يطلب وجب ًة تتك َّون من ال�شوربة واللحم والحلوى والع�صير؟‬

‫‪13‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫الحل‬

‫توجد ‪ 4‬طرقٍ ممكنة الختيار ال�شوربة‪،‬‬ ‫أنواع منها‪.‬‬ ‫حيث يوجد �أربعة � ٍ‬ ‫وتوجد ‪ 5‬طرقٍ ممكنة الختيار طبق اللحم‪.‬‬ ‫كما توجد ‪ 6‬طرقٍ ممكنة الختيار الحلوى‪.‬‬ ‫وتوجد ‪ 4‬طرقٍ ممكنة الختيار الع�صير‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد الطرق الممكنة الختيار الوجبة كامل ًة‬ ‫= ‪ 480 = 4 × 6 × 5 × 4‬طريقة ‪.‬‬

‫مثال (‪)5-1‬‬ ‫أ�شخا�ص �أن ي�ستخدموا في �آنٍ ٍ‬ ‫واحد �أجهزة الهاتف‬ ‫بكم طريق ٍة يمكن لخم�سة �‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫خدمات هاتفية تحتوي ثمانية �أجهزة ؟‬ ‫في دائرة‬

‫الحل‬ ‫�شخ�ص �سي�ستخدم جهازًا‪ ،‬ف�إنَّه يكون �أمام ال�شخ�ص الأول ‪ 8‬اختيارات‪ ،‬و�أمام ال�شخ�ص‬ ‫بما � َّأن ك َّل ٍ‬ ‫الثان ��ي ‪ 7‬اختي ��ارات‪ ،‬و�أمام ال�شخ�ص الثالث ‪ 6‬اختيارات‪ ،‬و�أم ��ام ال�شخ�ص الرابع ‪ 5‬اختيارات‪،‬‬ ‫ويبقى في النهاية �أمام ال�شخ�ص الخام�س ‪ 4‬اختيارات‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد الطرق المطلوبة = ‪ 6720 = 4 × 5 × 6 × 7 × 8‬طريقة ‪.‬‬

‫مثال (‪)6-1‬‬ ‫تخ َّرج طال � َ ٌ�ب من المرحلة الثانوي ��ة و�أراد �أن يكمل درا�سته في‬ ‫جامعات وف ��ي ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫كل جامع ٍة منها‬ ‫الجامع ��ة‪ ،‬فوجد �أمامه خم� ��س‬ ‫يات وف ��ي ِّ‬ ‫ثمان ��ي ك ِّل ٍ‬ ‫أق�سام‪ .‬بك ��م طريق ٍة يمكن‬ ‫كل ك ِّلي ٍة �أربع ��ة � ٍ‬ ‫للطالب اختيار درا�سته في الجامعة‪.‬‬

‫الحل‬

‫عدد طرق اختيار الدرا�سة = ‪ 160 = ... × ... × 5‬طريقة‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪14‬‬

‫( �أكمل الفراغ )‪.‬‬

‫مبد�أ العد‬

‫( ‪) 1 -1‬‬ ‫‪ 1‬يريد رج� � َ ٌل ال�سفر من الريا� ��ض �إلى المدينة المن� � َّورة ما ًّرا بحائل‪،‬‬ ‫ويمكن ��ه �أن ي�سافر ف ��ي ِّ‬ ‫كل رحل ٍة بالطائرة �أو بال�س َّيارة‪ .‬كم طريق ًة‬ ‫لل�سف ��ر يمكن �أن ي َّتبعها الرجل لكي ي�ص ��ل من الريا�ض �إلى المدينة‬ ‫ال�شجري‪.‬‬ ‫و�ضح ذلك بالمخطط‬ ‫المن َّورة ؟ ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 2‬بك ��م طريق� � ٍة يمكن �إهداء طالب ٍة متف ِّوق ٍة مجموع ًة من الكتب مك َّون ًة م ��ن ٍ‬ ‫كتاب باللغة الإنجليز َّية وكتاب‬ ‫تاريخ و ‪ 3‬كتب تف�سير ؟‬ ‫تاريخ وكتاب تف�سيرٍ مختار ًة من ‪ 5‬كتب باللغة الإنجليز َّية و‪ 7‬كتب ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫عل ًما ب� َّأن كتب ِّ‬ ‫علم مختلفة ‪.‬‬ ‫كل ٍ‬ ‫‪ 3‬ك ��م كلم� � ًة مك َّون ًة م ��ن حرفين يمكن تكوينها من مجموعة الأحرف {�س ‪�� � ،‬ص ‪ ،‬ع ‪ ،‬ل }‪ ،‬عل ًما ب�أنَّه لي�س‬ ‫�ضرور ًيا �أن يكون للكلمة معنًى �إذا كان‪:‬‬ ‫ب) التكرار م�سمو ٌح به ؟‬ ‫م�سموح به ؟‬ ‫) التكرار غير‬ ‫ٍ‬ ‫و�ضح ذلك َّ‬ ‫�شجري ‪.‬‬ ‫بمخط ٍط‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬

‫أرقام و�أكبر من ‪ 3000‬يمكن تكوينه من مجموعة الأرقام {‪،}6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪ 4‬كم عددًا مك َّو ًنا من �أربعة � ٍ‬ ‫�إذا كان‪:‬‬ ‫م�سموح به ؟‬ ‫) التكرار غير‬ ‫ٍ‬

‫ب) التكرار م�سمو ٌح به ؟‬

‫�ات معدن َّي ٍة لل�س َّيارات تب ��د�أ رموز ٍّ‬ ‫‪ُ 5‬طل ��ب من �أح ��د الم�صانع عمل لوح � ٍ‬ ‫كل منها م ��ن اليمين بثالثة‬ ‫ح� ٍ‬ ‫متبوعا بثالثة �أرقام من مجموع ��ة الأرقام {‪,}9 ، ... ، 2 ، 1 ، 0‬كم‬ ‫�روف م ��ن حروف الهجاء العربية ً‬ ‫لوح ًة مختلف ًة يمكن ُ�صنعها في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين‪:‬‬ ‫ب) �إذا لم ُي�سمح بتكرار الحروف والأرقام ؟‬ ‫) �إذا ُ�سمح بتكرار الحروف والأرقام ؟‬ ‫كتب مختلف ٍة في �ستِّة �أماكن على ِّ‬ ‫‪ 61‬كم عدد الطرق التي يمكن بـها ترتيب �س َّتة ٍ‬ ‫رف المكتبة ؟‬

‫‪15‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫‪2-1‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫‪Peremutations and Combinations‬‬

‫‪25P7‬‬

‫‪2422728000‬‬

‫‪ 25‬ل ‪2422728000= 7‬‬

‫�أو ًال ‪ -‬التباديل‬ ‫من المفيد قبل درا�سة التباديل تقديم التعريف التالي‪:‬‬

‫تعريف (‪)1 -1‬‬

‫�إذا كان عد ًدا طبيع ًّيا ف� َّإن حا�صل ال�ضرب‬ ‫�أو‬ ‫ُي�س َّمى م�ضروب ويرمز له بالرمز‬ ‫�أي � َّأن‪:‬‬ ‫ونقول تعريفًا � َّإن‬

‫واحدا عن �سابقه وتنتهي دائ ًما‬ ‫هو حا�صل �ضرب عوامل عددها تبد�أ بالعدد ‪ ،‬وك ٌّل منها ينق�ص ً‬ ‫بالعدد واحد‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪16‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫مثال (‪) 7-1‬‬ ‫اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬

‫تدريب ( ‪) 2-1‬‬ ‫اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫نتيجة (‪)1-1‬‬ ‫من التعريف ( ‪ ) 1-1‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫وعليه ف� َّإن ‪:‬‬

‫وهكذا‪...‬‬

‫مثال (‪) 8-1‬‬ ‫اح�سب‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫الحل‬

‫‪17‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)9-1‬‬ ‫ب�سط المقدار‬ ‫ِّ‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)10-1‬‬ ‫�أوجد قيمة‬

‫التي تحقق الم�ساواة المعطاة في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلي‪:‬‬

‫الحل‬ ‫هو حا�صل �ضرب عوامل متتالية �أكبرهـــا و�أ�صغرها ‪1‬؛ لذلك ف�إننا ِّ‬ ‫لحل هذه الفقرة‬ ‫نق�س ��م الع ��دد ‪ 24‬على ‪ 1‬ث � َّ�م نق�سم الناتج عل ��ى ‪ 2‬فنح�صل على ناتج �آخ ��ر نق�سمه على ‪3‬‬ ‫ناتج ي�ساوي الواحد‪:‬‬ ‫وهكذا ‪ ...‬حتى نح�صل على ٍ‬

‫� ًإذا‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪18‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫( �أكمل الحل )‬

‫‪،‬‬

‫بما � َّأن ‪:‬‬

‫‪:‬‬

‫تباديل من العنا�صر‬ ‫مثال (‪)11-1‬‬ ‫�إذا ا�شت ��رك �أحمد ومحم ��د وعبداهلل في م�سابقة لحفظ القر�آن الكريم ف� �� َّإن النتيجة النهائية‬ ‫المو�ضحة في الجدول الآتي‪:‬‬ ‫لهذه الم�سابقة يمكن �أن تكون على �إحدى ال�صور‬ ‫َّ‬

‫المركز الأول‬

‫�أحمد‬

‫�أحمد‬

‫محمد‬

‫محمد‬

‫عبد اهلل عبد اهلل‬

‫المركز الثاني‬

‫محمد‬

‫عبد اهلل‬

‫�أحمد‬

‫عبد اهلل‬

‫�أحمد‬

‫محمد‬

‫المركز الثالث عبد اهلل‬

‫محمد‬

‫عبد اهلل‬

‫�أحمد‬

‫محمد‬

‫�أحمد‬

‫جدول ( ‪) 1-1‬‬

‫‪19‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫من الجدول ( ‪َّ � ) 1-1‬أن نتيجة الم�سابقة يمكن �أن تظهر على �ست �صور مختلفة وهي م�ؤ َّلفة‬ ‫مختلف في ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫كل م َّرة‪.‬‬ ‫بترتيب‬ ‫من الأ�شخا�ص �أنف�سهم‪ ،‬لكن‬ ‫تُ�س َّم ��ى التراتيب المختلف ��ة لمجموعة الأ�شخا�ص الثالثة تباديل ثالث ��ة عنا�صر وك ُّل ٍ‬ ‫ترتيب‬ ‫منها ُي�س َّمى تبديلة ثالثة عنا�صر‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)2 -1‬‬ ‫ك ُّل ٍ‬ ‫ترتيب لعدد من العنا�صر ُي�س َّمى تبديلة من العنا�صر‪.‬‬ ‫�أن ��ه يمك ��ن معرفة عدد تراتي ��ب الأ�شخا�ص الثالثة ف ��ي المثال ال�ساب ��ق ( عدد تباديل ثالث ��ة عنا�صر )‬ ‫العد كما ي�أتي‪:‬‬ ‫با�ستخدام مبد�أ ِّ‬ ‫هن ��اك ثالث عمليات اختي ��ا ٍر يمكن �إجرا�ؤها‪ ،‬الأول ��ى لتحديد الفائز بالمرك ��ز الأول وتت ُّم بثالث طرق‪،‬‬ ‫والثاني ��ة لتحدي ��د الفائز بالمركز الثاني وتت� � ُّم بطريقتين‪ ،‬والثالثة لتحديد الفائ ��ز بالمركز الثالث وتت ُّم‬ ‫بطريق ٍة واحدة‪.‬‬ ‫العد يكون‪:‬‬ ‫وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫عدد تباديل ‪ 3‬عنا�صر‬ ‫وبالمثل يمكن ا�ستنتاج � َّأن‪:‬‬ ‫عدد تباديل ‪ 4‬عنا�صر‬ ‫عدد تباديل ‪ 5‬عنا�صر‬ ‫وهكذا ‪...‬‬ ‫ويمكن تعميم ذلك بالنظرية التالية‪:‬‬

‫نظرية (‪)1-1‬‬ ‫عدد تباديل من العنا�صر‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪20‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫مثال (‪)12-1‬‬ ‫أرقام مختلفة يمكن تكوينه با�ستخدام الأرقام ‪ 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3‬؟‬ ‫كم عد ًدا مك َّو ًنا من خم�سة � ٍ‬

‫الحل‬

‫بما � َّأن عدد �أرقام العدد المطلوب ‪ ، 5‬عدد الأرقام الم�سموح تكوين العدد منها ‪5‬‬ ‫أرقام مختلفة ي�ساوي عدد تباديل ‪ 5‬عنا�صر وهو‬ ‫� ًإذا عدد الأعداد المك َّون ك ٌّل منها من خم�سة � ٍ‬ ‫عد ًدا ‪.‬‬

‫تباديل من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء‬ ‫مثال (‪)13-1‬‬ ‫أرقام ‪ 5 ، 4 ، 3 ، 2 :‬و�أردنا الح�صول منها على الأعداد المك َّونة من رقمين‬ ‫�إذا كان لدينا �أربعة � ٍ‬ ‫مختلفين‪ ،‬لوجدنا ب�سهولة � َّأن هذه الأعداد هي‪:‬‬

‫‪54 ، 53 ، 43 ، 52 ، 42 ، 32‬‬ ‫‪45 ، 35 ، 34 ، 25 ، 24 ، 23‬‬

‫كل ٍ‬ ‫َّ‬ ‫عدد من هذه الأعداد نات ٌج من اختيار رقمين مختلفين من الأرقام الأربعة َّثم ترتيبها على‬ ‫نح ٍو مع َّينٍ ‪ .‬وتُ�س َّمى هذه الأعداد تباديل الأرقام الأربعة م�أخوذ ًة مثنى مثنى‪.‬‬ ‫وهذا يقودنا �إلى تو�سيع مفهوم التباديل الذي ورد في التعريف ( ‪ ) 2-1‬على النحو التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)3 -1‬‬ ‫ك ُّل ٍ‬ ‫ترتيب لعدد من العنا�صر الم�أخوذة من عن�ص ًرا ُي�س َّمى تبديلة من العنا�صر‬ ‫م�أخو َ ٌذ منها عن�ص ًرا حيث‬

‫من الوا�ضح �أنه عندما‬

‫يكون التعريف ( ‪ ) 3-1‬موافقًا للتعريف ( ‪.) 2-1‬‬

‫نرمز لعدد تباديل من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء بالرمز‬

‫‪21‬‬

‫و ُيقر�أ ( نون الم راء ) �أو ( نون تباديل راء )‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫نظرية (‪)2-1‬‬ ‫عدد تباديل من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء هو‪:‬‬ ‫ل‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪.‬‬

‫البرهان‬ ‫حيث � َّأن عدد تباديل من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء ي�ساوي عدد طرق اختيار‬ ‫العد‬ ‫عن�ص� � ًرا من بين م ��ن العنا�صر مع مراعاة الترتيب ‪ ،‬ف�إنَّه ا�ستنا ًدا �إلى مبد�أ ِّ‬ ‫يمكن ح�ساب هذا العدد على النحو التالي‪:‬‬ ‫عدد طرق اختيار العن�صر الأول‬ ‫‪1‬‬ ‫عدد طرق اختيار العن�صر الثاني‬ ‫‪2‬‬ ‫عدد طرق اختيار العن�صر الثالث‬

‫عدد طرق اختيار العن�صر الرائي‬ ‫فيكون‪:‬‬ ‫ل‬

‫‪1+‬‬

‫(‪)1-1‬‬ ‫‪ )1‬من النظرية ( ‪ ) 2-1‬ن�ستنتج � َّأن ل ي�ساوي حا�صل �ضرب عوامل عددها تبد�أ بالعدد وك ُّل عاملٍ‬ ‫واحدا عن �سابقه‪.‬‬ ‫منها ينق�ص ً‬ ‫‪ )2‬بالرج ��وع �إل ��ى المث ��ال ( ‪ ) 13-1‬نج ��د � َّأن ع ��دد تبادي ��ل الأرق ��ام الأربع ��ة م�أخ ��وذة مثنى مثن ��ى هو ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ل‬ ‫‪2‬‬

‫‪12 3 4‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪22‬‬

‫التباديل والتوافيق‬

‫نتيجة (‪)2-1‬‬ ‫‪،‬‬

‫البرهان‬ ‫ل‬

‫‪1‬‬

‫نتيجة (‪)3-1‬‬ ‫من النتيجة ( ‪ ) 2-1‬يمكننا ب�سهولة ا�ستنتاج � َّأن‪:‬‬ ‫‪ )1‬ل‬

‫‪ )2‬ل‬

‫‪1‬‬

‫‪ )3‬ل‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫تدريب ( ‪) 3-1‬‬ ‫) �أثبت �صحة ٍّ‬ ‫كل من العالقات الثالث في النتيجة ( ‪. ) 3-1‬‬ ‫أعط تف�سي ًرا ٍّ‬ ‫ب) � ِ‬ ‫لكل من ل ‪ ،‬ل ‪. 1‬‬ ‫جـ) اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪52‬ل ‪ 6 ،‬ل ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪23‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)14-1‬‬ ‫�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل م َّما ي�أتي‪:‬‬ ‫جـ‬

‫الحل‬

‫جـ‬

‫مثال (‪)15-1‬‬ ‫أحرف مختلف ٍة م�أخوذ ًة من �ستة � ٍ‬ ‫ما عدد الكلمات المك َّون ك ٌّل منها من �أربعة � ٍ‬ ‫أحرف مختلف ٍة ؟عل ًما‬ ‫ب�أنَّه لي�س �ضرور ًيا �أن يكون للكلمة معنى‪.‬‬

‫الحل‬ ‫أحرف مختلف ٍة م�أخ ��وذ ًة من �ستة � ٍ‬ ‫� َّإن ع ��دد الكلم ��ات المك َّون ك ٌّل منها من �أربعة � ٍ‬ ‫أحرف مختلف ٍة‬ ‫أحرف مختلف ٍة من �ستة � ٍ‬ ‫ي�ساوي عدد طرق اختيار �أربعة � ٍ‬ ‫أحرف مختلف ٍة مع مراعاة الترتيب‪.‬‬ ‫كلمة ‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد الكلمات الممكن تكوينها‬

‫مثال (‪)16-1‬‬ ‫�أثبت � َّأن‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪24‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫الحل‬

‫‪1‬‬

‫(‪)2-1‬‬ ‫ف�ضل ا�ستخدام‬ ‫ف ��ي البراهي ��ن النظرية ت�ستخدم النتيج ��ة ( ‪ ) 2-1‬للتعوي�ض عنل بينم ��ا ُي َّ‬ ‫ل‪.‬‬ ‫النظرية ( ‪ ) 2-1‬لح�ساب القيمة العدد َّية‬

‫مثال (‪)17-1‬‬ ‫�إذا كان‬

‫‪ .‬فما قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪ ،‬؟‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬ ‫وهذا يعني � َّأن ‪ 210‬هو حا�صل �ضرب عددين طبيعيين متتاليين‪،‬‬ ‫ومن تحليل العدد ‪ 210‬نجد � َّأن‪14 15 210 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫� ًإذا‬ ‫وبما � َّأن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫� ًإذا‪ :‬‬ ‫وبجمع المعادلتين ‪َ 1‬و ‪ 2‬يكون ‪:‬‬ ‫وبالتعوي�ض عن قيمة م في ‪ 1‬ينتج � َّأن ‪:‬‬

‫‪25‬‬

‫‪210‬‬

‫‪2‬‬

‫‪105‬‬

‫‪3‬‬

‫‪35‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫ثانياً ‪ -‬التوافيق‬ ‫مثال (‪)18-1‬‬ ‫�إذا �أردن ��ا كتاب ��ة المجموع ��ات الجزئ َّية جميعها والتي يتك� � َّون ك ٌّل منها من ثالث ��ة عنا�صر من‬ ‫‪� 5 ، 4 ، 3 ، 2‬سنجد ب�سهولة � َّأن هذه المجموعات �أربعة وهي‪:‬‬ ‫عنا�صر المجموعة‬ ‫‪. 5،4،3 ، 5،4،2 ، 5،3،2 ، 4،3،2‬‬ ‫ويمكن النظر �إلى هذه المجموعات الجزئ َّية على � َّأن ك ًال منها تم ِّثل اختيا ًرا لثالثة عنا�صر من‬ ‫ب�صرف النظر عن ترتيب هذه العنا�صر الثالثة في ِّ‬ ‫كل مجموعة ‪.‬‬ ‫� َّإن ك ًال من هذه االختيارات �أي ( المجموعات الجزئ َّية ) ُي�س َّمى توفيقة‪.‬‬

‫تعريف ( ‪)4 -1‬‬ ‫ك ُّل مجموع ٍة جزئ َّي ٍة عدد عنا�صرها م�أخوذ ٌة من مجموع ٍة عدد عنا�صرها تُ�س َّمى توفيقة‬ ‫من العنا�صر م�أخو ٌذ منها عن�ص ًرا‪.‬‬ ‫وتج ��در الإ�شارة هنا �إلى � َّأن توافي ��ق العنا�صر الأربعة للمجموعة م�أخوذ ًة ثالث� � ًة ثالث ًة في المثال ال�سابق‬ ‫تختلف عن تباديل العنا�صر الأربعة للمجموعة م�أخوذ ًة ثالث ًة ثالث ًة والتي يمكن كتابتها على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪432‬‬

‫‪532‬‬

‫‪542‬‬

‫‪342‬‬

‫‪352‬‬

‫‪452‬‬

‫‪543‬‬ ‫‪453‬‬

‫‪423‬‬

‫‪523‬‬

‫‪524‬‬

‫‪534‬‬

‫‪243‬‬

‫‪253‬‬

‫‪254‬‬

‫‪354‬‬

‫‪324‬‬

‫‪325‬‬

‫‪425‬‬

‫‪435‬‬

‫‪234‬‬

‫‪235‬‬

‫‪245‬‬

‫‪345‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪26‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫فرغ ��م � َّأن ك ًال م ��ن هذه التوافي ��ق والتباديل نات ٌج عن اختيار ثالثة عنا�صر من �أربع ��ة عنا�صر �إ َّال � َّأن التوافيق‬ ‫أ�سا�سي هو الترتي ��ب‪ .‬فبينما في التبادي ��ل نهت ُّم بالترتيب ال ��ذي نختار به‬ ‫والتبادي ��ل تختلف ��ان في م�ضم ��ونٍ � ٍّ‬ ‫العنا�صر نجد �أنَّنا في التوافيق ال نـهت ُّم بالترتيب ‪.‬‬ ‫فالتوفيقة ‪ 4 ، 3 ، 2‬هي ذاتـها التوفيقة ‪ . 3 ، 4 ، 2‬بينما ‪ 342 ، 432‬تبديلتان مختلفتان‪.‬‬ ‫ومن جه ٍة �أخرى نجد � َّأن عدد تباديل العنا�صر الأربعة للمجموعة م�أخوذ ًة ثالث ًة ثالث ًة ي�ساوي ‪ 24‬وهو يقابل‬ ‫�ست تباديل يقابلها توفيق ٌة واحد ٌة ‪.‬‬ ‫�أربع توافيق للعنا�صر الأربعة للمجموعة م�أخوذ ًة ثالث ًة ثالث ًة �أي � َّأن ك َّل ِّ‬ ‫�ست تباديلٍ مختلف ٍة هي‪:‬‬ ‫فالتوفيقة ‪ - 4 ، 3 ، 2‬مث ًال ‪ -‬يقابلها ُّ‬

‫‪432‬‬

‫‪342‬‬

‫‪243‬‬

‫‪423‬‬

‫‪234‬‬

‫‪324‬‬

‫ال�ست هي تباديل العنا�صر الثالثة للتوفيقة ‪ ، 4 ، 3 ، 2‬وحاول �أن تكت�شف العالقة بين‬ ‫هذه التباديل َّ‬ ‫عدد تباديل وعدد توافيق العنا�صر الأربعة للمجموعة م�أخوذ ًة ثالث ًة ثالث ًة‪.‬‬

‫العالقه بين عدد تباديل وعدد توافيق من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء‬ ‫حي ��ث � َّأن تبادي ��ل م ��ن العنا�ص ��ر م�أخ ��وذ ًة را ًء را ًء تنتج من عمليتي ��ن متتاليتين هما عملي ��ة اختيار من‬ ‫العنا�صر من بين من العنا�صر ( وتت ُّم بطرقٍ عددها ي�ساوي عدد توافيق من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء )‪،‬‬ ‫العد يكون ‪:‬‬ ‫َّثم عملية ترتيب هذه العنا�صر المختارة ( وتت ُّم بطرقٍ عددها ي�ساوي ) ‪ ,‬ف�إنَّه ح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫عدد تباديل من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء عدد توافيق من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء‬ ‫و�إذا رمزنا لعدد توافيق من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء بالرمز‬

‫و ُيقر�أ ( نون قاف راء ) �أو (نون توافيق راء)‬

‫ف�إنَّه يمكننا كتابة �صيغة العالقة ال�سابقة على النحو التالي‪:‬‬ ‫ل‬ ‫ومن هنا نجد �أنَّه يمكننا ح�ساب‬ ‫التالية‪:‬‬

‫(‪ 1‬ـ‪)1‬‬ ‫دون اللجوء �إلى تكوين المجموعات الجزئية وذلك وفق النظر َّية‬

‫‪27‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫نظرية (‪)3-1‬‬ ‫عدد توافيق من العنا�صر م�أخوذ ًة را ًء را ًء هو‪:‬‬ ‫ل‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫مثال (‪)19-1‬‬ ‫�أوج ��د ع ��دد المجموع ��ات الجزئي ��ة من المجموع ��ة‬ ‫يتك ��ون ك ٌّل منه ��ا م ��ن �أربع ��ة عنا�ص ��ر‪.‬‬

‫‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د ‪ ،‬ﻫ ‪ ،‬و ‪ ،‬ز والتي‬

‫الحل‬ ‫العدد المطلوب هو عدد توافيق ‪ 7‬عنا�صر م�أخوذ ًة �أربع ًة �أربع ًة وهو‪:‬‬ ‫مجموعة ‪.‬‬

‫مثال (‪)20-1‬‬

‫بكم طريق ٍة يمكن لطالب ٍة اختيار ثالثة �أ�سئل ٍة من ورقة اختبا ٍر بـها خم�سة �أ�سئلة ؟‬

‫الحل‬

‫طرق ‪.‬‬

‫عدد طرق االختيار‬

‫نتيجة (‪)4-1‬‬ ‫من النظرية ( ‪ ) 3-1‬وبا�ستخدام النتيجة ( ‪ ) 2-1‬يمكن ا�ستنتاج العالقة التالية‪:‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪28‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫نتيجة (‪)5-1‬‬ ‫من النتيجة ( ‪ ) 4-1‬نتو�صل ب�سهولة �إلى � َّأن‪:‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬

‫تدريب ( ‪) 4-1‬‬ ‫) �أثبت �صحة العالقات الثالث في النتيجة ال�سابقة‪.‬‬ ‫أعط تف�سي ًرا ٍّ‬ ‫ب) � ِ‬ ‫لكل من‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫مثال (‪)21-1‬‬ ‫�أثبت � َّأن ‪:‬‬

‫الحل‬

‫‪29‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫(‪)3-1‬‬ ‫في البراهين النظرية ت�ستخدم النتيجة ( ‪ ) 4-1‬للتعوي�ض عن‬ ‫لح�ساب القيمة العدد َّية لـِ ‪.‬‬

‫ف�ضل ا�ستخدام النظرية ( ‪) 3-1‬‬ ‫‪ ،‬بينما ُي َّ‬

‫نتيجة (‪)6-1‬‬

‫البرهان‬

‫(‪)4-1‬‬ ‫ي َّت�ض ��ح م ��ن القانون ال�سابق � َّأن عدد المجموعات الجزئية ذات عن�ص ًرا ي�ساوي عدد المجموعات الجزئية‬ ‫) عن�ص ًرا ‪� ،‬أي � َّأن عدد طرق اختيار من العنا�صر من بين من العنا�صر ي�ساوي عدد‬ ‫ذات (‬ ‫) عن�ص ًرا ‪.‬‬ ‫طرق اختيار العنا�صر الباقية وهو (‬ ‫خا�صة في تب�سيط العمليات الح�سابية عند ح�ساب قيمة‬ ‫وهذا القانون ُيعرف بقانون التب�سيط حيث يفيدنا ب�صور ٍة َّ‬ ‫‪،‬‬

‫مع كون‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪ :‬يمكن ب�سهولة ح�ساب قيمة ‪ 98 100‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪98‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫نتيجة (‪)7-1‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫من النتيجة ( ‪.) 6-1‬‬

‫�أو‬

‫ف� َّإن‬

‫‪+‬‬

‫وهذه النتيجة نح�صل عليها مبا�شر ًة‬

‫مثال (‪)22-1‬‬ ‫�إذا كان ‪:‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ ,‬ف�أوجد قيمة ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن ‪:‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫� ًإذا ‪:‬‬

‫مثال (‪)23-1‬‬ ‫ف�أوجد قيمة �س ‪.‬‬

‫�إذا كان ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن ‪:‬‬ ‫‪............‬‬ ‫� ًإذا ‪:‬‬

‫( �أكمل الفراغ )‬

‫�أو‬ ‫‪............‬‬

‫ولكن‬

‫مرفو�ضة‪ ،‬لأنـَّها ال تحقق ال�شرط‬

‫� ًإذا‬

‫‪31‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫م�سائل وتطبيقات على التباديل والتوافيق‬ ‫مفهومي التباديل والتوافيق‪.‬‬ ‫في هذا البند نتناول بع�ض الم�سائل الحيات َّية التي يمكن حلُّها با�ستخدام‬ ‫ِّ‬ ‫�سنو�ضح كيفية ا�ستخدام الآلة الحا�سبة لإيجاد قيمة ٍّ‬ ‫‪ ،‬ل ‪,‬‬ ‫كل من‬ ‫وقبل ذلك‬ ‫ِّ‬ ‫وذلك توفي ًرا للوقت والجهد ال �س َّيما عندما تكون قيم ‪ ،‬كبيرة‪.‬‬

‫ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪:‬‬ ‫يوجد في الآلة الحا�سبة العلم َّية المفاتيح التالية‪:‬‬ ‫�وب �أع�ل�اه الرم ��ز ‪ x‬وي�ستخ ��دم لإيج ��اد م�ض ��روب � ِّأي ٍ‬ ‫عدد وذلك ب�إدخ ��ال العدد َّثم‬ ‫‪ )1‬مفت ��ا ٌح مكت � ٌ‬ ‫‪SHIFT‬‬

‫ال�ضغط على مفتاح‬

‫يليه ال�ضغط على المفتاح‬

‫‪x‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال‪ :‬لح�ساب ‪ 12‬ن�ستخدم المفاتيح الآتية على التوالي‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪479 001 6 00‬‬

‫فيكون ‪12 :‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪479 001 600‬‬

‫مكتوب �أعاله الرمز ‪ n pr‬والذي يعني ل ‪ ،‬حيث حرف ‪ p‬هو اخت�صار كلمة ‪Permutation‬‬ ‫‪ )2‬مفتا ٌح‬ ‫ٌ‬

‫والتي تعني تباديل ‪ ,‬ولإيجاد قيمة ل نقوم ب�إدخال العدد َّثم ال�ضغط على مفتاح‬ ‫‪p‬‬

‫يليه ال�ضغط على المفتاح‬ ‫فمث ً‬ ‫ال‪ :‬لح�ساب ‪ 25‬ل‬

‫‪7‬‬

‫‪r‬‬

‫‪n‬‬

‫َّثم �إدخال العدد ‪.‬‬

‫ن�ستخدم المفاتيح الآتية على التوالي‪:‬‬ ‫‪2422728 000‬‬

‫فيكون ‪ 25 :‬ل‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪7‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫‪2 422 728 000‬‬

‫‪32‬‬

‫‪p‬‬

‫‪7‬‬

‫‪r‬‬

‫‪n‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫مكتوب عليه الرمز‬ ‫‪ )3‬مفتا ٌح ٌ‬

‫‪n‬‬

‫‪Cr‬‬

‫والذي يعني‬

‫والتي تعني توافيق ‪ ,‬ولإيجاد قيمة‬ ‫ثم �إدخال العدد فمث ً‬ ‫ال‪ :‬لح�ساب‬

‫‪ ،‬حيث حرف ‪ C‬هو اخت�صار كلمة‪Combination‬‬

‫نقوم ب�إدخال العدد َّثم ال�ضغط على مفتاح على‬ ‫‪43‬‬

‫‪9‬‬

‫فيكون‪:‬‬

‫‪43‬‬

‫مثال (‪)24-1‬‬ ‫الحل‬

‫‪Cr‬‬

‫ن�ستخدم المفاتيح الآتية على التوالي‪:‬‬

‫‪563 921 995‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪n‬‬

‫‪9‬‬

‫‪n‬‬

‫‪Cr‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪563 921 995‬‬

‫أرقام مختلف ٍة من‬ ‫ماعدد الأعداد التي يتك َّون ك ٌّل منها من �أربعة � ٍ‬ ‫المجموعة ‪ 7 ، 4 ، 1 ، 0‬؟‬

‫أرقام ف� �� َّإن ال�صفر ال يمكن �أن ي�شغل‬ ‫حي ��ث � َّأن ك ًّال من الأع ��داد المطلوب عددها يتك َّون من ‪ٍ � 4‬‬ ‫منزل ��ة الأل ��وف ‪ ،‬الحظ � َّأن الع ��دد ‪ 0741-‬مث ً‬ ‫ال ‪ -‬يتك َّون م ��ن ‪� 3‬أرقام ؛ لذا ن�شغ ��ل �أو ًال منزلة‬ ‫أرقام لترتيبها في‬ ‫الأل ��وف ب�أح ��د الأرق ��ام ‪� 7 ، 4 ، 1‬أي (بطرقٍ عددها ‪ ) 3‬ويبقى بعد ذلك ‪ٍ � 3‬‬ ‫المن ��ازل الث�ل�اث (المئات والع�شرات والآح ��اد )‪ ،‬وذلك بطرقٍ عددها ي�س ��اوي عدد تباديل ‪3‬‬ ‫عنا�صر ‪.‬‬ ‫العد يكون ‪:‬‬ ‫وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫‪ 18 3‬عد ًدا‪.‬‬ ‫عدد الأعداد المطلوب ‪3‬‬

‫مثال (‪)25-1‬‬ ‫كتب في ٍّ‬ ‫رف بحيث تظ ُّل ثالثة ٍ‬ ‫بكم طريق ٍة يمكن ترتيب �س َّتة ٍ‬ ‫كتب مع َّين ٍة منها متجاور ًة ؟‬

‫الحل‬

‫كتب على ِّ‬ ‫واحدا‪ ،‬ونوجد عدد طرق ترتيب ‪ٍ 4‬‬ ‫الرف‬ ‫يمكننا � َّأن نع َّد الكتب الثالثة المتجاورة كتا ًبا ً‬ ‫وهو ‪َّ 4‬ثم ن�ضرب الناتج في عدد طرق ترتيب الكتب الثالثة المتجاورة وهو ‪ ، 3‬فيكون ‪:‬‬ ‫‪ 144 6 24‬طريقة‪.‬‬ ‫عدد الطرق المختلفة لترتيب هذه الكتب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪33‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)26-1‬‬ ‫متقد ٍمللعملفي‬ ‫بكمطريق ٍةيمكناختيارع�شرةع َّمالٍ للتعيينفي�أحدالم�صانعمنبيناثنيع�شر ِّ‬ ‫هذا الم�صنع ؟ وما عدد الطرق الممكنة في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين ‪:‬‬ ‫المتقدمين ؟‬ ‫�شخ�ص مع َّين من‬ ‫توجب اختيار‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫) �إذا َّ‬ ‫المتقدمين ؟‬ ‫�شخ�ص مع َّين من‬ ‫توجب ا�ستبعاد‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫ب) �إذا َّ‬

‫الحل‬

‫طريقة‪.‬‬

‫متقد ٍم‬ ‫عدد طرق اختيار ‪ 10‬ع َّمال من بين ‪ِّ 12‬‬

‫توج ��ب اختي ��ار �شخ� ٍ��ص مع َّين ف�إنن ��ا نحتاج �إل ��ى اختيار ‪� 9‬أ�شخا� ٍ��ص �آخرين من‬ ‫) �إذا َّ‬ ‫المتقدمين الباقين وعددهم ‪ 11‬فيكون ‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫طريقة‪.‬‬ ‫عدد طرق االختيار‬ ‫المتقدمين‬ ‫أ�شخا�ص من بين‬ ‫المتقدمين يعني اختيار ‪� 10‬‬ ‫�شخ�ص مع َّين من‬ ‫ب) � َّإن ا�ستبعاد‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الباقين وعددهم ‪ 11‬فيكون ‪:‬‬ ‫طريقة‪.‬‬ ‫عدد طرق االختيار‬

‫تدريب ( ‪) 5-1‬‬ ‫ٍ‬ ‫لطالب اختيار ثالثة �أ�سئل ٍة من ورقة اختبا ٍر بـها خم�سة �أ�سئل ٍة �إذا‬ ‫بكم طريق ٍة يمكن‬ ‫توجب اختيار ال�س�ؤال الأ َّول ؟‬ ‫َّ‬

‫مثال (‪)27-1‬‬ ‫طالب ‪� .‬أوجد عدد طرق اختي ��ار ثالث ِة ٍ‬ ‫مجموع� � ٌة مك َّون ٌة من ع�شرة ٍ‬ ‫طالب من هذه المجموعة‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين ‪:‬‬ ‫) للقيام ب�أعمالٍ مختلفة ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫ب ) للقيام بالعمل نف�سه ‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫الحل‬ ‫معنى في‬ ‫� َّإن االختيار مع تمييز الأعمال يعني االهتمام بترتيب االختيار‪ ،‬بينما ال يكون للترتيب ً‬ ‫حالة االختيار دون تمييز الأعمال ‪.‬‬ ‫وعليه يكون ‪:‬‬ ‫طريقة‬

‫) عدد طرق االختيار للقيام ب�أعمالٍ مختلفة‬

‫طريقة‬

‫ب) عدد طرق االختيار للقيام بالعمل نف�سه‬

‫مثال (‪)28-1‬‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫طالبات ومجموع ٌة �أخرى من طالبات‬ ‫الثانوي مك َّون ٌة من ت�سع‬ ‫ال�صف الأ َّول‬ ‫مجموع ٌة من طالبات‬ ‫ِّ‬ ‫�وي مك َّون ٌة من �سبع طالب � ٍ‬ ‫�ات‪ .‬كم عدد الطرق التي يمك ��ن بـها تكوين لجن ٍة‬ ‫ال�ص � ِّ�ف الثاني الثان � ِّ‬ ‫خما�سية من ه�ؤالء الطالبات في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتية‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫طالبات من المجموعتين ‪.‬‬ ‫) تتك َّون اللجنة من � ِّأي‬ ‫ٍ‬ ‫الثانوي ‪ ،‬وطالبتين من ِّ‬ ‫طالبات من ِّ‬ ‫الثانوي‪.‬‬ ‫ال�صف الثاني‬ ‫ال�صف الأ َّول‬ ‫ب ) تتك َّون اللجنة من ثالث‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الثانوي‪ ،‬وباقي الأع�ضاء من ِّ‬ ‫جـ ) رئي�سة اللجنة و�أمينة ال�س ِّر من ِّ‬ ‫الثانوي‪.‬‬ ‫ال�صف الأ َّول‬ ‫ال�صف الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬

‫الحل‬ ‫) حيث � َّأن عدد طالبات المجموعتين م ًعا هو ‪ 16‬طالبة‬ ‫ف� َّإن عدد طرق تكوين اللجنة الخما�س َّية من � ِّأي طالبات من المجموعتين هو ‪:‬‬ ‫طريقة‬

‫‪35‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫الثانوي‬ ‫ال�صف الأ َّول‬ ‫طالبات من‬ ‫ب) عدد طرق اختيار ‪3‬‬ ‫ِّ‬ ‫طريقة‬ ‫ِّ‬ ‫الثانوي‬ ‫ال�صف الثاني‬ ‫عدد طرق اختيار طالبتين من‬ ‫ِّ‬ ‫العد يكون ‪:‬‬ ‫وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫طريقة‬ ‫عدد طرق تكوين اللجنة الخما�س َّية‬ ‫ِّ‬ ‫الثانوي بحيث تكون �إحداهما رئي�سة اللجنة و الأخرى‬ ‫ال�صف الثاني‬ ‫جـ ) الختيار طالبتين من‬ ‫ِّ‬ ‫�أمينة ال�س ِّر‪ ،‬البد لنا من االهتمام بالترتيب‪ ،‬وبالتالي يكون‪:‬‬ ‫طريقة‬ ‫عدد طرق هذا االختيار‬ ‫طريقة‬

‫ِّ‬ ‫الثانوي‬ ‫ال�صف الأ َّول‬ ‫بينما عدد طرق اختيار باقي الأع�ضاء من‬ ‫ِّ‬ ‫العد ف� َّإن‪:‬‬ ‫وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫طريقة‬ ‫عدد طرق تكوين اللجنة الخما�سية‬

‫مثال (‪)29-1‬‬

‫طريقة‬

‫يوج ��د ف ��ي مكتب ٍة ع�شرة كت � ٍ�ب مختلف ٍة في الريا�ض َّي ��ات و�سبعة ٍ‬ ‫كتب مختلف ٍة ف ��ي الفيزياء‪ .‬بكم‬ ‫طريق� � ٍة يمكن ترتيب �ستة ٍ‬ ‫كتب منها مك َّون ٍة من �أربعة كتب ريا�ضيات‪ ،‬وكتابين في الفيزياء على‬ ‫ِّ‬ ‫رف المكتبة ؟‬

‫الحل‬

‫ٍ‬ ‫خطوات هي ‪:‬‬ ‫� َّإن هذا الو�ضع يت ُّم ب�إجراء ثالث‬

‫اختيار كتب الريا�ض َّيات ‪ ,‬اختيار كتب الفيزياء َّثم ترتيب الكتب المختارة‪.‬‬ ‫طريقة‬ ‫عدد طرق اختيار كتب الريا�ض َّيات‬ ‫طريقة‬ ‫عدد طرق اختيار كتب الفيزياء‬ ‫عدد طرق ترتيب الكتب المختارة على ِّ‬ ‫طريقة‬ ‫الرف‬ ‫العد نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫عدد الترتيبات المختلفة‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫طريقة‬

‫‪36‬‬

‫التباديل والتوافيق‬

‫( ‪) 2 -1‬‬ ‫‪ 1‬بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة كلٍّ من‪:‬‬

‫‪ 2‬با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة كلٍّ من‪:‬‬

‫‪� 3‬ضع ما ي�أتي في �أب�سط �صورة بداللة‬

‫‪:‬‬

‫‪37‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫‪ 4‬في كلٍّ م َّما يلي �أوجد قيمة التي تحقِّق الم�ساواة المعطاة‪:‬‬

‫‪ ،‬فما قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪ ،‬؟‬

‫‪� 5‬إذا كان‬ ‫‪� 6‬إذا علمت � َّأن‬ ‫‪� 7‬إذا كان‬

‫‪ ،‬ف�أوجد قيمة‬ ‫‪ ،‬فاح�سب قيمة‬

‫‪� 8‬إذا كان‬ ‫‪� 9‬أثبت � َّأن‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫ف�أوجد قيمة‬

‫َّثم ا�ستخدم ذلك في �إيجاد قيمة‬

‫‪� 10‬أثبت � َّأن‬

‫( تُعرف هذه العالقة بعالقة الكرخي)‬

‫ّثم َ ا�ستخدم ذلك في �إيجاد قيمة‬

‫‪.‬‬

‫الكرخي هو العالم الم�سلم الف ُّذ �أبو بكر محمد بن الح�سن الكرخي المتوفَّى �سنة‪ 421‬هـ ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫التباديل والتوافيق‬ ‫‪� 11‬شركة ا�ست�شارات �إدارية لديها �أربعة عقود لأربعة خبراء ‪ ،‬ما عدد الطرق الممكنة لترتيب لقاءات معهم ؟‬ ‫�صف ٍ‬ ‫واحد ؟‬ ‫‪ 12‬بكم طريقة يمكن �أن يقف �سبعة طالب في ٍّ‬ ‫‪ 13‬ل ��دى �شرك� � ٍة ع�شرون مخز ًن ��ا ويراد اختي ��ار ثالثة مخازن منها لإج ��راء فحو�صات عل ��ى ثالثة منتجات‬ ‫مختلفة‪ ،‬على �أن يجري فح�ص ِّ‬ ‫خا�ص به‪ .‬فما عدد الطرق المختلفة لترتيب ذلك ؟‬ ‫كل ٍ‬ ‫نوع في مخزنٍ ٍّ‬ ‫�صف ٍ‬ ‫واحد ؟‬ ‫‪ 1414‬ما عدد الطرق المختلفة لجلو�س �أربعة �‬ ‫أ�شخا�ص على �سبعة كرا�سي مو�ضوع ٍة في ٍّ‬ ‫ٍ‬

‫‪ 15‬كم لجن ٍة ثالثي ٍة يمكن تكوينها من ت�سعة �أ�شخا�ص ؟‬ ‫‪ 16‬بكم طريق ٍة يمكن توزيع ثالث جوائز مختلف ٍة على ثالث ٍة من ثمانية مر�شَّ حين �إذا كان ال يجوز منح‬ ‫المر�شَّ ح �أكثرمن جائز ٍة واحدة ؟‬ ‫‪ 17‬مجل� ��س �إدار ٍة مك َّون م ��ن ثالثة ع�شر ع�ض ًوا ‪ ،‬بكم طريق ٍة يمكن �أخذ قرا ٍر باتف ��اق ت�ســـعة �أع�ضاء �ض َّد‬ ‫�أربع ��ة �أع�ض ��اء ؟‬ ‫‪ 18‬كم عدد الطرق التي يمكن بـها ترتيب حروف كلمة مكتب ؟‬ ‫‪ 19‬ك ��م كلم� � ًة رباعي� � ًة يمك ��ن تكوينها من الأح ��رف �س ‪�� � ،‬ص ‪ ،‬ع ‪ ،‬ل ‪ ،‬م ‪ ،‬ن ‪ ،‬ﻫ ‪ ،‬و �شريط ��ة عدم تكرار‬ ‫� ِّأي ٍ‬ ‫حرف في الكلمة‪ ،‬وال ي�شترط �أن يكون للكلمة معنى ؟‬

‫‪39‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫‪� 20‬إذا كانت‬

‫‪9 ، ... ، 2 ، 1 ، 0‬‬

‫أرقام مختلف ٍة يمكن تكوينه من عنا�صر المجموعة‬ ‫) كم عد ًدا مك َّو ًنا من ثالثة � ٍ‬ ‫أرقام مختلف ٍة يمكن تكوينه من عنا�صر المجموعة‬ ‫ب‌) كم عد ًدا مك َّو ًنا من �أربعة � ٍ‬ ‫الرقم ‪ 7‬في منزلة المئات ؟‬

‫؟‬ ‫�شريطة �أن يكون‬

‫‪ 21‬كم عدد الطرق التي يمكن بـها �أن يرتِّب طف ٌل خم�سة �أ�شكالٍ هي‪:‬‬ ‫مر َّبع ‪ ،‬مثلث ‪ ،‬م�ستطيل ‪ ،‬معين ‪ ،‬دائرة بحيث يظ ُّل المر َّبع و المث َّلث متجاورين ؟‬ ‫‪� 22‬إذا كان هناك �س َّتة طرقٍ ت�ؤ ِّدي من الموقع �إلى الموقع ب‪ ،‬و�أربعة طرقٍ ت�ؤ ِّدي من الموقع ب �إلى الموقع‬ ‫جـ‪ ،‬فبكم طريق ٍة يمكن االنتقال من الموقع �إلى الموقع جـ مرو ًرا بالموقع ب ؟‬ ‫‪23‬‬

‫بكم طريق ٍة يمكن اختيار ع�شر ُك ٍ‬ ‫رات منها ثالث حمراء ‪ ،‬اثنتان بي�ضاوان‪ ،‬خم�س خ�ضراء من خم�س‬ ‫كرات بي�ضاء ‪� ،‬سبع ٍ‬ ‫كرات حمراء‪� ،‬أربع ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫كرات خ�ضراء ؟‬

‫ٍ‬ ‫طالبات من ال�ص � ِّ�ف الثالث واثنتان من‬ ‫‪ُ 24‬ي ��راد اختيار هيئ� � ٍة لتحرير مجل ٍة مدر�س َّي ٍة بحيث ُيخت ��ار ثالث‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ال�صف الأ َّول عل ًما ب�أن �أعداد الطالبات في ال�صفوف الثالثة هي‪:‬‬ ‫ال�صف الثاني وواحدة من‬ ‫يتم هذا‬ ‫‪ 25 ، 20 ، 15‬عل ��ى التوال ��ي‪ ،‬فبكم طريق ٍة يمك ��ن اختيار هذه الهيئة ؟ وبكم طريق� � ٍة يمكن �أن َّ‬ ‫ِّ‬ ‫ال�صف الثالث ؟‬ ‫االختيار �إذا كانت الرئي�سة والم�ساعدة و�أمينة ال�س ِّر من‬ ‫‪25‬‬

‫من قائم ٍة تت�ضمن ‪ 14‬طبيب ًا وطبيبة يت ُّم اختيار ‪ 4‬للمقابلة في اليوم الأ َّول‪ 4 ،‬للمقابلة في اليوم الثاني‪،‬‬ ‫‪ 6‬للمقابلة في اليوم الثالث‪.‬فبكم طريق ٍة يمكن ذلك ؟‬

‫كتب مختلف ٍة في الريا�ض َّيات ‪ٍ 4 ،‬‬ ‫‪ 26‬لدينا ‪ٍ 5‬‬ ‫كتب مختلف ٍة في الفيزياء ‪ ،‬كتابان مختلفان في الأحياء ‪ ،‬بكم‬ ‫طريق ٍة يمكن ترتيب هذه الكتب بحيث تكون كتب ِّ‬ ‫كل علم على حدة ؟‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪40‬‬

‫رمز المجموع‬

‫‪3-1‬‬

‫رمز المجموع‬ ‫‪Sigma Symbol‬‬ ‫ف ��ي كثي ��رٍ م ��ن الم�سائ ��ل الريا�ض َّي ��ة تظه ��ر‬ ‫مجاميع لمقادير ح�ساب َّية �أو جبر َّية مثل‪:‬‬

‫ولتج ُّن ��ب الجه ��د المبذول ف ��ي كتابة مثل ه ��ذه المجاميع ن�ستخدم رم ��ز المجموع‬ ‫لو�ضع �صيغ ٍة مخت�صر ٍة ِّ‬ ‫مجموع من هذه المجاميع وذلك وفق التعريف الآتي‪:‬‬ ‫لكل‬ ‫ٍ‬

‫تعريف ( ‪)5 -1‬‬

‫�إذا كانت �س ( ) عبار ًة ريا�ض َّي ًة مع َّين ًة‪ ،‬وكان ‪ ،‬عددين �صحيحين حيث‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫و ُيقر�أ الطرف الأيمن مجموع‬ ‫و ُي�س َّم ��ى متغي ��ر المجم ��وع بدلي ��ل المجموع‪ ،‬بالح ��د ال�سفلي للمجم ��وع‪ ،‬بالحد العلوي‬ ‫للمجموع‪ ،‬كما ُي�س َّمى الطرف الأي�سر مفكوك المجموع‪.‬‬ ‫على �ضوء هذا التعريف يمكن التعبير عن المجاميع ال�سابقة كما يلي‪:‬‬

‫‪41‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫(‪)5-1‬‬ ‫نحدد �أوال ً �س ( ) ويت ُّم ذلك بتحديد الأعداد‬ ‫لكتابة مجموع مقادير ح�ساب َّي ٍة �أو جبر َّي ٍة بداللة رمز المجموع ِّ‬ ‫�أو الرموز التي ال تتغ َّير من ح ٍّد لآخر‪ُ ،‬ث َّم التي تتغ َّير من ح ٍّد لآخر وقاعدة تغ ُّيرها بداللة العدد ال�صحيح ‪ .‬و�أخي ًرا‬ ‫والحد الأخير في المجموع‪.‬‬ ‫الحد الأ َّول ِّ‬ ‫حدد �أ َّول قيمة و�آخر قيمة ي�أخذها العدد اعتما ًدا على ِّ‬ ‫ُن ِّ‬

‫مثال (‪)30-1‬‬ ‫اكتب المجاميع التالية با�ستخدام الرمز‬

‫الحل‬

‫مثال (‪)31-1‬‬ ‫ُاكتب مفكوك المجموع في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلي‪:‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪42‬‬

‫‪:‬‬

‫رمز المجموع‬ ‫الحل‬

‫خوا�ص الرمز‬ ‫ُّ‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان ثابتًا‪ ، ،‬عددين �صحيحين حيث‬

‫الخوا�ص من التعريف ( ‪ ) 5-1‬ب�سهولة‪ ،‬ونتركها للطالب كتدريب‪.‬‬ ‫ويمكن برهنة هذه‬ ‫َّ‬

‫‪43‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)32-1‬‬ ‫�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل م َّما يلي‪:‬‬ ‫الخا�صة ( ‪.) 2-1‬‬ ‫ُث َّم تحقَّق من �صحة‬ ‫َّ‬

‫الحل‬

‫� ًإذا‬

‫مثال (‪)33-1‬‬ ‫اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من المجاميع التالية‪:‬‬

‫الحل‬ ‫الخا�صة ( ‪) 4-1‬‬ ‫ا�ستخدمنا‬ ‫َّ‬ ‫الخا�صة ( ‪) 5-1‬‬ ‫ا�ستخدمنا‬ ‫َّ‬ ‫الخا�صة ( ‪) 4-1‬‬ ‫ا�ستخدمنا‬ ‫َّ‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪44‬‬

‫رمز المجموع‬

‫( ‪) 3 -1‬‬ ‫‪1‬‬

‫اُكتب مفكوك المجموع في كلٍّ م َّما ي�أتي‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫اُكتب المجاميع التالية با�ستخدام الرمز‬

‫‪3‬‬

‫ب ِّين � َّأن‬

‫‪4‬‬

‫�أثبت �صحة ما ي�أتي‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫�أوجد قيمة كلٍّ م َّما يلي‪:‬‬

‫‪45‬‬

‫‪:‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫‪4-1‬‬

‫الحدين‬ ‫نظر َّية ذات َّ‬

‫‪The Binomial Theorem‬‬

‫�ري مك َّو ٌن من‬ ‫�إذا كان لدين ��ا مق ��دا ٌر جب � ٌّ‬ ‫ٍ‬ ‫موجب ف�إنَّه‬ ‫�صحيح‬ ‫ح َّدين ومرفو ٌع لأ� � ٍّ�س‬ ‫ٍ‬ ‫ب�إمكانن ��ا الح�ص ��ول عل ��ى مفك ��وك هذا‬ ‫المقدار ب�ضربه في نف�سه ع َّدة م َّر ٍات بقدر‬ ‫ال ِّأ�س المرف ��وع �إليه‪� .‬إ َّال � َّأن ذلك ي�ستغرق‬ ‫الكثير من الوقت والجهد ال �س َّيما عندما‬ ‫يك ��ون هذا ال ُّأ�س كبي� � ًرا ويمكننا بوا�سطة‬ ‫نظر َّي ��ة ذات الح َّدي ��ن كتاب ��ة مفكوك � ِّأي‬ ‫مقدا ٍر ذي ح َّدين مهما كان ال ُّأ�س المرفوع‬ ‫�إليه كبي ًرا بي�سرٍ و�سهولة‪.‬‬

‫للحد الأ َّول ‪ ،‬ب‬ ‫وحتى ن�ستنتج م�ضمون هذه النظر َّية ن�أخذ المقدار ذي الح َّدين‬ ‫حيث ترمز ِّ‬ ‫مرفوعا للأ�س ‪ 4 ، 3 ، 2‬وذلك بال�ضرب المبا�شر فنجد � َّأن‪:‬‬ ‫للحدالثاني ونوجد مفكوكه عندما يكون‬ ‫ترمز ِّ‬ ‫ً‬

‫� َّإن الأطراف الي�سرى فيما �سبق هي نماذ ٌج لمفكوك ذات الح َّدين‪ ،‬وبالت�أ ُّمل في هذه المفكوكات نالحظ ما يلي‪:‬‬ ‫‪ )1‬عدد الحدود في ِّ‬ ‫واحدا عن ال ِّأ�س في الطرف الأيمن‪.‬‬ ‫كل مفكوك يزيد ً‬ ‫مرفوعا لنف�س ال ِّأ�س في الطرف الأيمن َّثم ينق�ص ال ُّأ�س للعدد‬ ‫‪ )2‬الح ُّد الأ َّول في المفكوك هو العدد‬ ‫ً‬ ‫في الحدود التالية بمقدار الوحدة على التوالي‪.‬‬ ‫الحد الثاني َّثم يزيد �أُ ُّ�س العدد ب بمقدار الوحدة على التوالي حتى ن�صل‬ ‫‪ )3‬الع ��دد ب يب ��د�أ ظهوره في ِّ‬ ‫مرفوعا لنف�س ال ِّأ�س في الطرف الأيمن‪.‬‬ ‫الحد الأخير في المفكوك وهو العدد ب‬ ‫�إلى ِّ‬ ‫ً‬ ‫حد من حدود المفك ��وكات ثابت وي�ساوي الأ� � َّ�س في الطرف‬ ‫‪ )4‬مجم ��وع ال َّأ�سي ��ن للعددي ��ن ‪ ،‬ب ف ��ي � ِّأي ٍّ‬ ‫الأيمن‪.‬‬ ‫الحد الأخير ي�ساوي الواح ��د‪ ،‬ومعامل الحد الثاني‬ ‫‪ )5‬معام ��ل الح � ِّ�د الأ َّول في المفكوك ي�ساوي معام ��ل ِّ‬ ‫الحد قبل الأخير وهكذا ‪...‬‬ ‫ي�ساوي معامل‬ ‫ِّ‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪46‬‬

‫نظرية ذات الحدين‬ ‫على ال�شكل التالي‪:‬‬

‫م َّما �سبق نجد �أنَّه يمكننا كتابة مفكوك‬

‫وحيث � َّأن‬ ‫من العوامل‬ ‫خالل �إجراء عملية ال�ضرب عدد من الم َّرات؛ ( وذلك ل َّأن‬ ‫و�أنَّه يمكن الح�صول على الرمز‬ ‫ه ��ذا الرم ��ز ينت ��ج من اختيار الرمز ب من من العوامل والتي عددها ‪ ،‬واختيار الرمز من ِّ‬ ‫كل عاملٍ من‬ ‫العوامل المتبق َّية وعددها – ومن ثم �ضرب هذه الرموز جميعها )‪.‬‬ ‫وهو ي�ساوي ‪.‬‬ ‫في مفكوك‬ ‫ن�ستنتج � َّأن معامل‬ ‫للكرخي ‪:‬‬ ‫وهذا يقودنا �إلى النظرية التالية والتي تُعرف بنظرية ذات الح َّدين‬ ‫ِّ‬

‫نظرية (‪)4-1‬‬ ‫�إذا كان ‪ ،‬ب عددين حقيقي َّين‪ ،‬عدد �صحيح موجب ف� َّإن‪:‬‬

‫تدريب ( ‪) 6-1‬‬ ‫ط ِّبق النظرية ( ‪ ) 4-1‬لإيجاد مفكوكات‬

‫‪.‬‬

‫(‪)6-1‬‬ ‫يمكننا با�ستخدام رمز المجموع كتابة مفكوك ذات الح َّدين‬

‫على ال�صورة المخت�صرة التالية‪:‬‬ ‫‪7 1‬‬

‫‪47‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)34-1‬‬ ‫�أوجد مفكوك‬

‫الحل‬ ‫بتطبيق القانون ( ‪ ) 7-1‬يكون‪:‬‬

‫مثال (‪)35-1‬‬ ‫�أوجد مفكوك‬

‫الحل‬ ‫بتطبيق القانون ( ‪ ) 7-1‬يكون‪:‬‬

‫تدريب ( ‪) 7-1‬‬ ‫تحقق من � َّأن‬

‫‪َّ ،‬ثم �أوجد مفكوك‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪48‬‬

‫نظر َّية ذات الح َّدين‬

‫مثال (‪)36-1‬‬ ‫با�ستخدام مفكوك ذات الح َّدين اح�سب قيمة ( ‪ . 10) 1.03‬مق ِّربـًا الجواب لثالثة �أرقام ع�شر َّية‪:‬‬

‫الحل‬

‫‪6‬‬

‫الحظ ‪:‬‬ ‫الحد الخام�س لظهور ثالثة �أ�صفار عن يمي ��ن الفا�صلة الع�شر َّية حيث � َّأن‬ ‫�أنن ��ا توقَّفن ��ا عند ِّ‬ ‫المطلوب التقريب لثالثة �أرقام ع�شر َّية‪.‬‬

‫الحد العا ُّم في مفكوك‬ ‫ُّ‬ ‫من النظرية (‪ )4-1‬نجد �أن‪:‬‬ ‫الح ُّد الأ َّول‬ ‫الح ُّد الثاني‬ ‫الح ُّد الثالث‬ ‫وعا َّمة الأمر ف� َّإن‬

‫هو الح ُّد الذي ترتيبه‬

‫ويرمز له بالرمز‬

‫�أي � َّأن ‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫العام في المفكوك؛ لأنَّه بو�ضع‬ ‫ُي�س َّمى هذا الح ُّد ِّ‬ ‫بالحد ِّ‬ ‫حد في المفكوك دون الحاجة �إلى �إجراء عملية ِّ‬ ‫الفك ك ِّلها‪.‬‬ ‫ٍّ‬

‫‪49‬‬

‫‪ ، ... ، 3 ، 2 ، 1 ، 0‬يمكننا الح�صول على � ِّأي‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)37-1‬‬ ‫�أوجد الح َّد ال�ساد�س في مفكوك‬

‫الحل‬ ‫الح ُّد العا ُّم‬ ‫وبو�ضع‬ ‫‪:‬‬

‫مثال (‪)38-1‬‬ ‫�أوجد معامل‬

‫في مفكوك‬

‫الحل‬

‫نفر�ض � َّأن الح َّد الذي فيه �س مرفوعة لل ِّأ�س ‪ 5‬هو‪:‬‬

‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪50‬‬

‫نظر َّية ذات الح َّدين‬

‫مثال (‪)39-1‬‬ ‫�أوجد الح َّد الخالي من �س في مفكوك‬

‫الحل‬ ‫� َّإن الح� � َّد الخال ��ي من �س هو الح ُّد الذي في ��ه �س مرفوع ٌة لل ِّأ�س �صفر وبفر�ض � َّأن هذا الح َّد‬ ‫نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫هو‬

‫‪:‬‬ ‫� ًإذا الح ُّد الخالي من �س هو‪:‬‬

‫(‪)7-1‬‬ ‫هو‬

‫وجدنا فيما �سبق � َّأن عدد حدود مفكوك‬

‫وبذلك نكون �أمام �أحد �أمرين‪:‬‬

‫‪� )1‬إذا كانت زوجية‪ ،‬يكون عدد حدود المفكوك فرد ًيا ويتع َّين ح ٌّد � ٌ‬ ‫أو�سط واح ٌد في المفكوك ترتيبه‬ ‫�أي � َّأن الح َّد الأو�سط في هذه الحالة هو‬ ‫ ‬ ‫‪� )2‬إذا كانت فرد َّية‪ ،‬يكون عدد حدود المفكوك زوج ًيا ويتع َّين في هذه الحالة ح َّدان �أو�سطان ترتيبا هما‬ ‫�أي � َّأن الحدين الأو�سطين هما‬

‫والح ُّد الذي يليه مبا�شرةً‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫مثال (‪)40-1‬‬ ‫�أوجد الح َّد الأو�سط في مفكوك‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن ‪:‬‬

‫الحد الأو�سط هو‬ ‫� ًإذا ترتيب ِّ‬

‫� ًإذا الح ُّد الأو�سط هو ‪:‬‬

‫مثال (‪)41-1‬‬ ‫�أوجد الح َّدين الأو�سطين في مفكوك‬

‫الحل‬ ‫الحد الأو�سط الأ َّول هو‬ ‫ترتيب ِّ‬ ‫� ًإذا الح َّدان الأو�سطان هما‪:‬‬ ‫( �أكمل الحل ب�إيجاد قيمة ٍّ‬ ‫كل منهما )‬

‫تدريب ( ‪) 8-1‬‬ ‫�أوجد الن�سبة بين معاملي الح َّدين الأو�سطين في مفكوك‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪52‬‬

‫نظر َّية ذات الح َّدين‬

‫( ‪) 4 -1‬‬ ‫‪ 1‬اُكتب مفكوك كلٍّ م َّما يلي‪:‬‬

‫الحدين ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪� 2‬أوجد دون ِّ‬ ‫فك ذات َّ‬ ‫الح َّد ال�سابع في مفكوك‬ ‫الح َّد الخام�س في مفكوك‬ ‫الح َّد الخام�س في مفكوك‬ ‫الح َّد ال�ساد�س في مفكوك‬ ‫الح َّد الخالي من �س في مفكوك‬ ‫الح َّد الذي يحوي �س‪ 4‬في مفكوك‬ ‫الح َّد الأو�سط في مفكوك‬ ‫الح َّدين الأو�سطين في مفكوك‬

‫‪53‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫‪� 3‬أوجد ك ًّال م َّما ي�أتي‪:‬‬ ‫معامل �س‪ 4‬في مفكوك‬ ‫معامل �س‪� 2‬ص‪ 4‬في مفكوك‬ ‫‪ 4‬ا�ستعم���ل ع���د ًدا منا�س ًب���ا م���ن ح���دود مفك���وك ذات الح َّدي���ن لإيجاد قيم���ة ٍّ‬ ‫كل مم���ا ي�أتي مق َّربـً���ا لرقمين‬ ‫ع�شريين‪:‬‬

‫الحد الرابع في مفكوك‬ ‫‪� 5‬إذا كان معامل ِّ‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪ ،‬ف�أوجد قيمة ‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫‪1‬‬

‫متعددة الخطوات‪.‬‬ ‫العد وا�ستخدمناه لإيجاد عدد طرق �إجراء عمل َّي ٍة ِّ‬ ‫ق َّدمنا مبد�أ ِّ‬

‫‪ 2‬التبديل ��ة ه ��ي � ُّأي ترتي � ٍ�ب يمك ��ن تكوينه من م ��ن العنا�صر ب�أخذها ك ِّلها �أو بع�ضه ��ا �أ َّما التوفيقة فهي‬ ‫مجموعة جزئ َّية عدد عنا�صرها م�أخوذ ٌة من مجموع ٍة عدد عنا�صرها ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ع ��دد ط ��رق اختي ��ار م ��ن العنا�صر من بي ��ن من العنا�ص ��ر المختلفة هو ( ع ��دد توافيق من‬ ‫العنا�ص ��ر م�أخ ��وذة را ًء را ًء )‪ ،‬بينما عدد طرق اختيار من العنا�صر من بين من العنا�صر المختلفة‬ ‫َّثم ترتيبها �أي ( مع مراعاة الترتيب ) هو ل ( عدد تباديل من العنا�صر م�أخوذة را ًء را ًء ) ‪ ،‬وعدد‬ ‫طرق ترتيب من العنا�صر هو ( عدد تباديل من العنا�صر )‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫قوانين التباديل والتوافيق‪:‬‬

‫‪55‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫‪5‬‬

‫ا�ستخدمنا الآلة الحا�سبة لإيجاد قيمة � ٍّأي من‬

‫‪6‬‬

‫قمنا ِّ‬ ‫مفهومي التباديل والتوافيق‪.‬‬ ‫بحل بع�ض الم�سائل التطبيقية معتمدين على‬ ‫ِّ‬

‫‪7‬‬

‫مفكوك ذات الح َّدين‬

‫‪8‬‬

‫الح ُّد العا ُّم في مفكوك‬

‫هو ‪:‬‬

‫حد في المفكوك دون فك ِّه ‪.‬‬ ‫وي�ستخدم لإيجاد � ِّأي ٍّ‬ ‫ح ٌد � ٌ‬ ‫أو�سط واح ٌد هو‬ ‫‪8‬‬

‫في مفكوك‬

‫يتع َّين‬ ‫ح َّدان �أو�سطان هما‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫�إذا كان زوجية‬

‫‪56‬‬

‫�إذا كانت فردية‬

‫‪� 1‬ضع عالمة‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫‪� 2‬ضع ًّ‬ ‫خطا تحت الإجابة ال�صحيحة فيما يلي‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫وم�ساعد له لإحدى‬ ‫عدد طرق اختيار رئي� � ٍ�س‬ ‫ال�شركات من بين ‪ 6‬مر�شَّ حين هو‪:‬‬

‫‪57‬‬

‫عدد طرق اختيار ‪ 4‬كتب من بين ‪ 9‬كتب مختلفة‬ ‫بحيث ي�شمل االختيار كتا ًبا مع َّينًا هو‪:‬‬

‫جـ‬

‫د‬

‫يمكن �أن ي�ساوي‪:‬‬

‫ﻫ‬

‫و �إذا كان‬

‫ف� َّإن‬

‫ز‬

‫‪58‬‬

‫‪ 3‬ل � ِّ‬ ‫�كل فقر ٍة م َّم ��ا يلي اختر من القائمة الثانية م ��ا يكمل َّ‬ ‫كل عبارة من القائم ��ة الأولى لتح�صل على‬ ‫عبارة �صحيحة ‪:‬‬

‫القائمة الثانية‬

‫القائمة الأولى‬ ‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬

‫ف�إنَّ ‪:‬‬

‫�إذا كانت مجموعة عدد عنا�صرها‬ ‫‪.........‬‬

‫عدد تباديل عنا�صر‬ ‫عددالمجموعاتالجزئيةالثنائيةمن‬ ‫عدد تباديل عن�صرين من‬ ‫جـ‬

‫‪.....‬‬

‫‪.........‬‬

‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬

‫‪59‬‬

‫القائمة الأولى‬ ‫د‬

‫القائمة الثانية‬

‫عدد طرق اختيار لجنة م�ؤ َّلفة من طالبين من‬ ‫بين ‪ 7‬طالب ‪.........‬‬ ‫ع ��دد ط ��رق اختيار لجنة م�ؤ َّلف ��ة من ‪ 3‬طالب‬ ‫من بين ‪ 7‬طالب ‪.........‬‬ ‫عدد طرق جلو�س �شخ�صين على ‪ 7‬مقاعد في‬ ‫�صف ‪.........‬‬

‫ﻫ‬

‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬ ‫‪.........‬‬

‫‪60‬‬

‫‪� 4‬إذا كان‬ ‫‪� 5‬إذا كان‬

‫‪ ،‬ف�أوجد‪:‬‬ ‫‪ ،‬ف�أوجد‪:‬‬

‫‪ 6‬بكم طريق ٍة يمكن خروج ‪� 7‬أطفال من حديق ٍة لها خم�سة � ٍ‬ ‫أبواب ؟‬ ‫مقعدا ؟ عل ًما ب�أنَّه يلزم جلو�س �شخ�ص‬ ‫‪ 7‬كم عدد الطرق التي يمكن �أن يجل�س بها ‪� 8‬أ�شخا�ص في ‪ً 13‬‬ ‫مع َّينٍ منهم في المقعد الأو�سط‪.‬‬ ‫‪� 8‬إذا كان معامال الح َّدين العا�شر وال�سابع ع�شر في مفكوك ( �س �ص ) مت�ساويين‪ .‬فما قيمة ؟‬ ‫‪� 9‬أثبت � َّأن‬ ‫‪ 10‬ب�إعطاء قيمة م َّعينة ٍّ‬ ‫لكل من ‪ ،‬ب في مفكوك (‬

‫ب ) �أوجد قيمة المقدار ‪:‬‬

‫وا�ستنتج من ذلك قاعد ًة لإيجاد عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عنا�صرها ‪.‬‬

‫‪61‬‬

‫االحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫‪Probability‬‬

‫الدرو�س‬ ‫(‪ )1-2‬ف�ضاء العينة والحوادث‬ ‫(‪ )2-2‬نظريات االحتمال‬

‫لنظري ��ة االحتمال تطبيق ��ات كثيرة‬ ‫ومهمة ف ��ي مجال التخطيط للتنمية‬ ‫االجتماعية واالقت�صادية‪ ،‬والت�صنيع‬ ‫والبحث العلمي والكثير من ميادين‬ ‫العمل اليومي‪.‬‬

‫الأهداف‬ ‫يتوقع َ‬ ‫من الطالب بع َد درا�سـ ِة هذه‬ ‫الوحد ِة � ْأن يكو َن قاد ًرا َعلى � ْأن ‪:‬‬ ‫يف�س���ر مفه���وم التجرب���ة الع�شوائي���ة‬ ‫‪ِّ -1‬‬ ‫وف�ضاء الع ِّينة والحادثة‪.‬‬ ‫‪ -2‬يكت���ب الف�ض���اء العين���ي لتجرب���ة‬ ‫ع�شوائية‪.‬‬ ‫‪ُ -3‬يجري بع�ض العمليات على الحوادث‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد احتم���االت وقوع حوادث ب�سيطة‬ ‫و�أخرى مر َّكبة‪.‬‬ ‫‪ِّ -5‬‬ ‫يوظف م�س َّلمات ونظريات االحتمال‬ ‫لإيجاد احتماالت وقوع حوادث مع َّينة‪.‬‬ ‫‪ -6‬يح َّل م�سائل تطبيقية على االحتمال‪.‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫‪1-2‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫‪Sample Space and Events‬‬

‫مفاهيم �أ�سا�س َّية‬ ‫االحتمال فر ٌع من فروع الريا�ضيات‬ ‫له �أهمية كبيرة في حياتنا اليومية‪،‬‬ ‫فكثي� � ًرا م ��ا َّ‬ ‫ن�ضط ��ر �إل ��ى اتخ ��اذ‬ ‫القرارات بنا ًء على معلومات غير‬ ‫كامل ��ة‪ ،‬فنعتمد عل ��ى االحتماالت‬ ‫لت�ساعدنا على االختيار – فمث ًال –‬ ‫ليوم مع َّين؛ ل َّأن احتمال �أن يكون الج ُّو‬ ‫ق ��د تق ِّرر �شركة طي ��ران �إيقاف رحالتها الخارجية ٍ‬ ‫غي ��ر منا�س � ٍ�ب للطيران ف ��ي ذلك اليوم احتما َ ٌل كبي ��ر‪ .‬و�أحيا ًنا نجد �أنن ��ا نع ِّبر عن هذه‬ ‫االحتم ��االت بتقديرٍ ع ��ددي ك�أن نقول � َّإن احتم ��ال �سقوط الأمطار غ � ً�دا ‪ ، %20‬واحتمال‬ ‫نج ��اح الطال ��ب �أحمد ‪ %90‬وهك ��ذا ‪ ، ...‬وهذه التقديرات العددي ��ة لالحتماالت ال ت�ستند‬ ‫�إلى �أ�سا� � ٍ�س ريا�ضي‪ ،‬ولكن قد تعتمد على �أحداث وخبرات �سابقة عن الطق�س‪ ،‬وعن تت ُّبع‬ ‫الحالة التعليمية للطالب �أحمد وهكذا‪...‬‬

‫التجربة الع�شوائية‬ ‫التجرب ��ة هي � ُّأي � ٍ‬ ‫إجراء يمك ��ن و�صفه و�صفًا دقيقًا ومالحظة ما ينتج عنه ويمك ��ن تق�سيم التجارب من حيث‬ ‫نتائجها �إلى نوعين‪:‬‬ ‫‪ )1‬التج���ارب المح��� َّددة ‪ :‬وهي ذل ��ك النوع من التجارب الذي يعطي‬ ‫النتيجة نف�سها عند تكرار التجربة تحت الظروف نف�سها‪ ،‬فمث ً‬ ‫ال‪:‬‬ ‫�إذا �ألقيت كر ٌة في الهواء ف�إنَّها البد و�أن ت�سقط على الأر�ض مهما‬ ‫تكررت هذه التجربة‪ ،‬كذلك �إذا َّتم ت�سخين الماء �إلى ‪ 100‬درجة‬ ‫الجوي الع ��ادي – ف�إنه يتح َّول �إلى‬ ‫مئوي ��ة – في ظ ��روف ال�ضغط‬ ‫ِّ‬ ‫‪100‬‬ ‫بغ�ض النظر عن عدد مرات �إجراء التجربة‪ .‬هذا و� َّإن الكثير‬ ‫بخار ِّ‬ ‫من التجارب العلم َّية هي تجارب مح َّددة‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪64‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬ ‫‪ )2‬التج���ارب الع�شوائي���ة ‪ :‬وهي ذلك النوع من‬ ‫التج ��ارب الذي قد تتغي ��ر نتيجتها مع تكرار‬ ‫التجربة ومن الأمثلة التقليد َّية على التجارب‬ ‫الع�شوائي ��ة تجربة رمي قطع ��ة ٍ‬ ‫نقود وتجربة‬ ‫مكعب و�ض ��ع على �أوجه ��ه ال�ستة ٌ‬ ‫رم ��ي ٍ‬ ‫نقاط‬ ‫تم ِّثل الأعداد‪. 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 :‬‬ ‫فعن ��د رمي قطع ��ة ٍ‬ ‫نقود ال ن�ستطي ��ع �أن نتن َّب�أ‬ ‫م ��ا �إذا كان الوجه الذي �سيظهر هو �شعا ٌر �أو‬ ‫كتاب ��ة‪ ،‬وعند رمي ٍ‬ ‫مكعب ال نعل ��م � ُّأي الأوجه‬ ‫ال�ستة للمكعب �سيظهر فع ًال‪.‬‬

‫ف�ضاء الع ِّينة‬ ‫بالرغ ��م من ع ��دم مقدرتنا على تحدي ��د نتيجة‬ ‫التجربة الع�شوائية قبل �إجرائها �إال �أنَّنا ن�ستطيع‬ ‫تحديد مجموعة النتائج الممكنة لتلك التجربة‪،‬‬ ‫وت�س َّمى ه ��ذه المجموعة ف�ض ��اء العينة و�سنرمز‬ ‫لـه ��ا بالرمز ‪ .‬فف ��ي تجربة رمي قطعة نقود‬ ‫‪،‬‬ ‫يكون ف�ضاءالع ِّينة هو‬ ‫حي ��ث ترم ��ز لظهور ال�شعار‪ ،‬ترمز لظهور‬

‫�ش‬

‫الكتابة‪.‬‬ ‫وفي تجربة رمي المكعب يكون ف�ضاء الع ِّينة‬

‫‪1‬‬

‫‪65‬‬

‫‪2‬‬

‫ك‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫مثال (‪) 1-2‬‬ ‫اكتب ف�ضاء العينة لتجربة اختيار ٍ‬ ‫طالب ع�شوائ ًيا من قائمة �أ�سماء طالب ف�صلٍ فيه ‪ 25‬طال ًبا‪.‬‬

‫الحل‬ ‫حي ��ث يرم ��ز ك ُّل ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫لطالب من طالب الف�ص ��ل البالغ عددهم ‪25‬‬ ‫عدد م ��ن الأعداد من ‪� 1‬إل ��ى ‪25‬‬ ‫طال ًبا‪.‬‬

‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫اكت ��ب ف�ضاء الع ِّينة لتجربة �إلقاء المكعب مرتي ��ن متتاليتين وقراءة العددين اللذين �سيظهران‬ ‫في الرميتين‪.‬‬

‫الحل‬ ‫حيث � َّأن عدد النواتج في الرمية الأولى ‪ ، 6‬عدد النواتج في الرمية الثانية‬ ‫نواتج هذه التجربة ‪36 6 6‬‬ ‫ونكتب ف�ضاء العينة لهذه التجربة كما يلي‪:‬‬

‫حي ��ث ال ��زوج المرت ��ب (‪ – )6،2‬مث�ل ً�ا – يع ِّبر‬ ‫ع ��ن ظهور العدد ‪ 2‬في الرمية الأولى والعدد ‪ 6‬في‬ ‫الرمية الثانية‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪66‬‬

‫( الرمية الأولى )‬

‫‪، 6‬ف�إن عدد‬

‫( الرمية الثانية )‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫ف�ض ��اء الع ِّين ��ة للتجربة في المثال ال�سابق هو نف�سه ف�ضاء العينة لتجربة �إلقاء مكعبين متمايزين م َّر ًة واحدة‬ ‫وقراءة العدد الظاهر على ٍّ‬ ‫كل منهما ويق�صد بالتمايز هنا �أنَّنا ن�ستطيع التمييز بين المكعبين �أي �أنَّهما لي�سا‬ ‫متماثلين‪.‬‬

‫مثال (‪) 3-2‬‬ ‫يحتوي �صندو ٌق على ثالث ٍ‬ ‫كرات متماثلة �إ َّال من حيث اللون‪ :‬كرة �سوداء َو كرة حمراء َو كرة زرقاء ‪،‬‬ ‫اكتب ف�ضاء الع ِّينة لتجربة �سحب كرتين الواحدة تلو الأخرى في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين‪:‬‬ ‫) �إرجاع الكرة الم�سحوبة �أو ًال �إلى ال�صندوق قبل �سحب الكرة الثانية‪.‬‬ ‫ب) عدم �إرجاع الكرة الم�سحوبة �أو ًال �إلى ال�صندوق قبل �سحب الكرة الثانية‪.‬‬

‫الحل‬

‫�إذا ا�ستخدمنا الرموز �س ‪ ،‬ح ‪ ،‬ز للداللة على الكرات ال�سوداء والحمراء والزرقاء على‬ ‫التوالي نجد �أنَّه ‪:‬‬ ‫) عند �إرجاع الكرة الم�سحوبة �أو ًال �إلى ال�صندوق قبل �سحب الكرة الثانية يكون ف�ضاء الع ِّينة‪:‬‬ ‫حيث �س ز – مث ً‬ ‫ال – يعني � َّأن الكرة الم�سحوبة �أو ًال �سوداء والكرة الم�سحوبة ثان ًيا زرقاء‪.‬‬ ‫�أنَّنا لم ن�ستخدم الأزواج المرتبة لكتابة عنا�صر ف�ضاء العينة؛ توخِّ ًيا لل�سهولة و�سن َّتبع‬ ‫هذا الأ�سلوب مالم نخ�ش االلتبا�س‪.‬‬ ‫ب) عند عدم �إرجاع الكرة الم�سحوبة �أو ًال �إلى ال�صندوق قبل �سحب الكرة الثانية يكون ف�ضاء الع ِّينة‪:‬‬

‫‪67‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫وم ��ن الجدير ذكره �أنه يمكن ا�ستخدام المخطط ال�شجري لكتاب ��ة ف�ضاء الع ِّينة لبع�ض التجارب الع�شوائية‪،‬‬ ‫فمث ًال المخطط ال�شجري لمثال ( ‪ ) 3-2‬فقرة هو ‪:‬‬ ‫الكرة الم�سحوبة �أ َّو ًال‬

‫الكرة الم�سحوبة ثان ًيا‬

‫عنا�صر ف�ضاء الع ِّينة‬

‫�س‬

‫�س‬ ‫ح‬ ‫ز‬

‫�س �س‬ ‫�س ح‬ ‫�س ز‬

‫ح‬

‫�س‬ ‫ح‬ ‫ز‬

‫ح �س‬ ‫حح‬ ‫حز‬

‫ز‬

‫�س‬ ‫ح‬ ‫ز‬

‫ز �س‬ ‫زح‬ ‫زز‬

‫و المخطط ال�شجري لفقرة ب هو ‪:‬‬ ‫الكرة الم�سحوبة �أ َّو ًال‬

‫الكرة الم�سحوبة ثان ًيا‬

‫عنا�صر ف�ضاء الع ِّينة‬

‫ح‬

‫�س ح‬

‫ز‬

‫�س ز‬

‫�س‬

‫ح �س‬

‫ز‬

‫حز‬

‫�س‬

‫ز �س‬

‫ح‬

‫زح‬

‫�س‬ ‫ح‬ ‫ز‬

‫عدد عنا�صر ف�ضاء العينة عدد طرق �سحب الكرة الأولى عدد طرق �سحب الكرة الثانية‬ ‫فيكون عدد عنا�صر ف�ضاء العينة في فقرة‬ ‫‪:‬‬ ‫َو عـــدد عنا�صــــر ف�ضــاء العينة فــي فقـــرة‬ ‫‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪68‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫مثال (‪) 4-2‬‬ ‫اكت ��ب ف�ضاء الع ِّينة لتجربة �إلقاء ثالث قطع ٍ‬ ‫نقود متمايزة ومالحظة‬ ‫الأوجه الثالثة الظاهرة‪.‬‬

‫الحل‬ ‫حي ��ث العن�ص ��ر �ش ك ك – مث ًال – يعني ظهور �شعار عل ��ى القطعة الأولى وكتابة على ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫القطعتين الثانية والثالثة‪.‬‬ ‫ونن ِّبه هنا �إلى � َّأن الرمز �ش ك ك يع ُّد اخت�صا ًرا لما ُي�س َّمى بالثالثية المرتبة ( �ش ‪ ،‬ك ‪ ،‬ك )‪.‬والمخطط‬ ‫يو�ضح ف�ضاء الع ِّينة‪:‬‬ ‫ال�شجري التالي ِّ‬ ‫الوجه الظاهر‬ ‫الوجه الظاهر‬ ‫الوجه الظاهر‬ ‫عنا�صر ف�ضاء‬ ‫الع ِّينة‬ ‫للقطعة الثالثة‬ ‫للقطعةالثانية‬ ‫للقطعة الأولى‬ ‫�ش‬ ‫�ش �ش �ش‬ ‫�ش‬ ‫�ش �ش ك‬ ‫ك‬ ‫�ش‬ ‫�ش‬ ‫�ش ك �ش‬ ‫ك‬ ‫�ش ك ك‬ ‫ك‬ ‫�ش‬ ‫ك‬ ‫ك‬

‫�ش‬ ‫ك‬ ‫�ش‬ ‫ك‬

‫ك �ش �ش‬ ‫ك �ش ك‬ ‫ك ك �ش‬ ‫ككك‬

‫عدد نواتج رمي القطعة الأولى عدد نواتج رمي القطعة الثانية عدد‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫نواتج رمي القطعة الثالثة‬

‫‪69‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫الحادثة‬

‫عن ��د القيام بتجرب ٍة م ��ا‪ ،‬ف�إنَّنا نـهتم غال ًبا بمجموعة مع َّينة من النتائج‪ .‬وف ��ي هذه الحالة ينح�صر اهتمامنا‬ ‫على عنا�صر ف�ضاء الع ِّينة المناظرة لهذه النتائج وهذه العنا�صر تُك ِّون مجموعة جزئية من ف�ضاء الع ِّينة‪.‬‬ ‫تُ�س َّمى ك ُّل مجموع ٍة جزئية من ف�ضاء الع ِّينة حادثة‪ ،‬ونقول‪� :‬إن الحادثة ب�سيطة �إذا كانت مكونة من عن�صر واحد‬ ‫بالحادثة الم�ؤكدة لأنـها حادثة تقع دائ ًما عند �إجراء التجربة‪� ،‬أما الحادثة‬ ‫فقط‪.‬وتُ�س َّمى الحادثة‬ ‫فت�س َّمى بالحادثة الم�ستحيلة لأنـها حادثة ال تقع � ًأبدا عند �إجراء التجربة‪ ،‬و� ُّأي حادث ٍة غير ب�سيطة وغير‬ ‫م�ستحيلة ف�إنَّها تُ�س َّمى حادثة مر َّكبة‪.‬‬

‫مثال (‪)5-2‬‬ ‫في تجربة �إلقاء مكعب ُكتب على �أوجهه ال�ستة الأعداد‪13،11،7،5،3،2 :‬‬ ‫يكون ف�ضاء الع ِّينة هو‬ ‫وتكون ‪:‬‬ ‫حادثة ب�سيطة وهي حادثة ظهور العدد ‪.3‬‬ ‫حادثة مركبة وهي حادثة ظهور عدد فردي‪.‬‬ ‫حادثة مركبة وهي حادثة ظهور عدد �أكبر من ‪.9‬‬ ‫حادثة م�ؤكدة ك�أن نقول – مث ًال – حادثة ظهور عدد �أ َّولي �أقل من ‪.14‬‬ ‫حادثة م�ستحيلة ك�أن نقول – مث ًال – حادثة ظهور عدد �أكبر من ‪.13‬‬

‫(‪)2-2‬‬ ‫�إذا كان لدين ��ا ف�ض ��اء ع ِّين ��ة يحت ��وي عل ��ى من العنا�صر ف� َّإن عدد المجموع ��ات الجزئية من ف�ضاء‬ ‫الع ِّينة هو ‪ ،‬ومن َّثم ف� َّإن عدد الحـوادث المع َّرفة على هو حادثــــة ‪ .‬وعليه ف� َّإن عدد الحـوادث‬ ‫المعـ َّرفة على في المثال ال�سابق‬ ‫نقول � َّإن الحادثة قد وقعت �إذا ظهر �أحد عنا�صرها عند �إجراء التجربة‪ .‬ففي المثال ال�سابق نقول � َّإن الحادثة‬ ‫– مث ً‬ ‫ال – قد وقعت �إذا ظهر العدد ‪� 11‬أو العدد ‪ 13‬عند �إجراء التجربة‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪70‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫مثال (‪) 6-2‬‬ ‫في المثال ( ‪ ) 2-2‬اكتب ك ًال من الحوادث الآتية‪:‬‬ ‫حادثة ظهور عددين مجموعهما ي�ساوي ‪.5‬‬ ‫حادثة ظهور العدد نف�سه في الرميتين‪.‬‬ ‫حادثة ظهور عدد �أ�صغر من ‪ 4‬في الرمية الأولى وظهور العدد ‪ 6‬في الرمية الثانية‪.‬‬

‫الحل‬

‫مثال (‪) 7-2‬‬ ‫في المثال ( ‪ ) 4-2‬اكتب ك ًال من الحوادث الآتية‪:‬‬ ‫حادثة ظهور �شعارين فقط‪.‬‬ ‫حادثة ظهور �شعارين متتالين‪.‬‬ ‫حادثة ظهور �شعارين على الأكثر‪.‬‬ ‫حادثة ظهور �شعارين على الأقل‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪71‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫العمليات على الحوادث‬ ‫عرفن ��ا � َّأن الحادثة ه ��ي مجموعة جزئية من ف�ضاء الع ِّينة وعليه ف� َّإن العملي ��ات على الحوادث هي في الواقع‬ ‫ونو�ضح ذلك فيما يلي‪:‬‬ ‫عمليات على المجموعات ِّ‬ ‫�أو ًال‪� -‬إذا كانت حادثة في ف�إنَّ‪:‬‬ ‫هي الحادثة التي عنا�صرها تنتمي �إلى وال تنتمي �إلى ‪ ،‬ووقوعها يعني عدم وقوع الحادثة وت�س َّمى‬ ‫متممة الحادثة ‪.‬‬ ‫مت ِّممة الحادثة بالن�سبة �إلى واخت�صا ًرا ِّ‬ ‫ثان ًيا‪� -‬إذا كانت ‪ ،‬ب حادثتين في ف�إنَّ‪:‬‬ ‫هي الحادثة التي عنا�صرها تنتمي �إلى و�إلى ب‪ ،‬ووقوعها يعني وقوع الحادثتين ‪ ،‬ب م ًعا‪.‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫ه ��ي الحادث ��ة الت ��ي عنا�صره ��ا تنتم ��ي �إلى �أو �إلى ب �أو كليهما‪ ،‬ووقوعه ��ا يعني وقوع �أو ب �أو‬ ‫‪)2‬‬ ‫كليهما ( �أي وقوع �إحدى الحادثتين �أو ب على الأقل )‪.‬‬ ‫هي الحادثة التي عنا�صرها تنتمي �إلى وال تنتمي �إلى ب‪ ،‬ووقوعها يعني وقوع وعدم وقوع ب‪.‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫ويمكننا ا�ستخدام �أ�شكال (‬ ‫انظر �شكل (‪)1-2‬‬

‫) لتو�ضيح العمليات على الحوادث حيث نم ِّثل ف�ضاء العينة‬

‫ب‬

‫ب‬

‫بم�ستطيل‪،‬‬

‫ب‬

‫�شكل (‪)1-2‬‬

‫مما �سبق ن�ستنتج �أنَّ‪:‬‬ ‫( �أكمل الفراغ )‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪72‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫)‪� ،‬أقنع نف�سك ب�صحة القانونين التاليين‪:‬‬

‫م�ستخد ًما �أ�شكال (‬

‫ي�س َّمى القانونان ال�سابقان بقانوني دي مورجان‪.‬‬

‫(‪)3-2‬‬ ‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كان لدينا ن من الحوادث ‪:‬‬

‫يعني وقوع جميع هذه الحوادث م ًعا‪.‬‬ ‫يعني وقوع حادث ٍة واحدة على الأقل من هذه الحوادث‪.‬‬

‫‪ )1‬وقوع الحادثة‬ ‫‪ )2‬وقوع الحادثة‬

‫مثال (‪) 8-2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 5‬‬

‫في تجربة �إلقاء مكعب ُكتب على �أوجهه ال�ستة الأعداد‪6،5،4،3،2،1 :‬‬ ‫حيث ف�ضاء العينة‬ ‫هي حادثة ظهور عدد زوجي‪.‬‬ ‫�إذا كانت‪:‬‬ ‫هي حادثة ظهور عدد فردي‪.‬‬ ‫هي حادثة ظهور عدد �أكبر من ‪.4‬‬ ‫هي حادثة ظهور عدد يقبل الق�سمة على ‪.3‬‬ ‫ف�إنه يمكن تكوين الحوادث الآتية‪:‬‬

‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد ال يقبل الق�سمة على ‪.3‬‬ ‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد زوجي يقبل الق�سمة على ‪.3‬‬ ‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد فردي �أكبر من ‪.4‬‬ ‫عدد فردي �أو ٍ‬ ‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد �أكبر من ‪.4‬‬ ‫عدد فردي �أو ٍ‬ ‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد زوجي‪.‬‬ ‫وهي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد زوجي �أقل من �أو ي�ساوي ‪.4‬‬

‫‪73‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫الحوادث المتنافية وال�شاملة‬ ‫تعريف ( ‪)1 -2‬‬ ‫يقال للحادثتين ‪ ،‬ب �إنَّـهما متنافيتان �إذا كان وقوع �إحداهما يمنع وقوع الأخرى‪،‬‬ ‫�أي �إذا كان‪:‬‬ ‫� َّإن هذا التعريف يعني �أن الحادثتين المتنافيتين ال تقعان م ًعا‪.‬‬ ‫فمث ً‬ ‫في المثال (‪ )8-2‬متنافيتان ؛لأن‬ ‫ال‪ :‬الحادثتان‬

‫(‪)4-2‬‬ ‫تك ��ون الح ��وادث‬ ‫منها متنافيتان )‬

‫متنافي ��ة‪� ،‬إذا كان ��ت متنافي� � ًة مثنى مثنى‪� ( ،‬أي �إذا كانت ك ُّل حادثتين‬

‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫في تجربة �إلقاء ٍ‬ ‫مكعب ُكتب على �أوجهه ال�ستة الأعداد ‪ 13،11،7،5،3،2‬ف� َّإن الحوادث‬

‫حوادث متنافية ( لماذا ؟ )‬ ‫تعريف ( ‪)2 -2‬‬ ‫حوادث متنافية و�شاملة‪� ،‬إذا كان ‪:‬‬

‫ت�س َّمى الحوادث المتنافية‬

‫وبعبار ٍة �أخرى نقول‪:‬‬ ‫ح ��وادثٌ متنافي� � ٌة و�شامل� � ٌة �إذا كان ��ت ه ��ذه الحوادث متنافي ًة مثنى مثنى‬ ‫� َّإن الح ��وادث‬ ‫‪.‬‬ ‫وكان اتحادها ي�ساوي ف�ضاء الع ِّينة‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪74‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫مثال (‪) 10-2‬‬ ‫في تجربة المثال ( ‪ ) 9-2‬نجد � َّأن الحوادث‪:‬‬ ‫حوادثٌ متنافي ٌة و�شامل ٌة؛ ل َّأن‪:‬‬

‫في المثال (‪ ( .)9-2‬لماذا ؟ )‬

‫التعريف (‪ )2-2‬ال ينطبق على الحوادث‬

‫(‪)5-2‬‬ ‫‪ )1‬في � ِّأي تجربة ع�شوائية تكون الحادثتان‬ ‫‪� )2‬إذا كانت‬ ‫متنافي ٌة و�شاملة‪.‬‬

‫متنافيتين و�شاملتين‪.‬‬ ‫ف� َّإن الحوادث الب�سيطة‬

‫تدريب ( ‪)1-2‬‬ ‫بالرجوع �إلى مثال (‪� ، )8-2‬ضع عالمة‬ ‫الحوادث‬ ‫الحادثتان‬ ‫الحادثتان‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫متنافية‪.‬‬ ‫متنافيتان و�شاملتان‪.‬‬ ‫متنافيتان و�شاملتان‪.‬‬

‫‪75‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫‪12‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪�ُ 1‬سحب رق ٌم ع�شوائ ًيا من �أرقام العدد ‪ ، 697512‬اكتب ف�ضاء العينة لهذه التجربة‪.‬‬ ‫مكعب متجان�س بحيث يكون له وجهان يحمالن الرقم ‪ ، 1‬وجهان يحمالن الرقم ‪ ، 3‬وجهان يحمالن‬ ‫‪�ُ 2‬ص ِّمم ٌ‬ ‫الرقم ‪ ،5‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة لتجربة �إلقاء هذا المكعب م َّر ًة واحدة ومالحظة العدد الظاهر‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫بطاقات ُكتبت عليها الأحرف ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪،‬‬ ‫‪�ُ 3‬سحبت بطاقتان ع�شوائ ًيا من �صندوقٍ يحتوي على �أربع‬ ‫د‪ .‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتيـة‪:‬‬ ‫) ُ�سحبت البطاقتان واحد ًة بعد الأخرى مع الإرجاع‪.‬‬ ‫ب ) ُ�سحبت البطاقتان واحد ًة بعد الأخرى دون �إرجاع‪.‬‬ ‫جـ ) ُ�سحبت البطاقتان م ًعا‪.‬‬ ‫كي�س غير �شفاف يحوي ‪ٍ 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫كرات متماثل ٍة مر َّقم ٍة بالأعداد من ‪� 1‬إلى ‪�ُ ،10‬سحبت منه كر ٌة‬ ‫ٌ‬ ‫ع�شوائ ًّيا‪ ،‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة وك ً‬ ‫ال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫حادثة �سحب كر ٍة تحمل عد ًدا �أول ًيا‪.‬‬ ‫حادثة �سحب كر ٍة تحمل عد ًدا يقبل الق�سمة على ‪� 2‬أو ‪. 5‬‬ ‫حادثة �سحب كر ٍة تحمل عد ًدا �أقل من ‪ 9‬ويقبل الق�سمة على ‪. 4‬‬ ‫حادثة �سحب كر ٍة تحمل عد ًدا فرد ًيا �أكبر من ‪. 8‬‬ ‫حادثة �سحب كر ٍة تحمل العدد ‪. 12‬‬ ‫‪ 5‬في تجربة رمي قطعتي نقو ٍد متمايزتين‪ ،‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة ثم اكتب ك ًّ‬ ‫ال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫حادثة ظهور كتاب ٍة على القطعة الأولى‪.‬‬ ‫حادثة ظهور كتاب ٍة على �إحدى القطعتين‪.‬‬ ‫جـ حادثة ظهور كتاب ٍة واحد ٍة على الأكثر‪.‬‬ ‫حادثة ظهور كتاب ٍة على �إحدى القطعتين و�شعا ٍر على القطعة الأخرى‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪76‬‬

‫ف�ضاء العينة والحوادث‬

‫ٌ‬ ‫برتقال‬ ‫مطعم واحد ًة بعد الأخرى‪ ،‬وكان في المطعم‬ ‫‪ 6‬لأحمد الحقُّ �أن يختار حبتين من الفاكهة في‬ ‫ٍ‬ ‫وتفاح‪ .‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة وك ًّ‬ ‫ال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫تفاحا م َّر ًة واحد ًة على الأكثر‪.‬‬ ‫�أن يختار ً‬ ‫تفاحا مرتين‪.‬‬ ‫�أن يختار برتقا ًال �أو ً‬ ‫�أن يختار برتقا ًال م َّر ًة واحد ًة على الأقل‪.‬‬ ‫‪ 7‬قام عبد الرحمن برحل ٍة من الظهران �إلى جدة على ثالث مراحل هي‪:‬‬ ‫الظهران – الريا�ض ‪ ،‬الريا�ض – المدينة ‪ ،‬المدينة – جدة ‪ ،‬ف�إذا كانت و�سيلة الموا�صالت في‬ ‫ك ِّل مرحل ٍة �إ َّما طائرة �أو �سيارة فاكتب ف�ضاء الع ِّينة لهذه الرحلة وكذلك ك ًّ‬ ‫ال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫ا�ستخدام الطائرة في جميع مراحل الرحلة‪.‬‬ ‫ا�ستخدام ال�سيارة في رحل ٍة واحد ٍة فقط‪.‬‬ ‫ا�ستخدام الطائرة في رحل ٍة واحد ٍة على الأقل‪.‬‬ ‫‪ 8‬م ��ن بي ��ن خم�سة موظفين ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د ‪ ،‬هـ نريد اختيار لجن ٍة من ثالثة �أع�ضاء‪ .‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة الذي‬ ‫يع ِّبر عن جميع اللجان الممكنة ثم اكتب ك ًّال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫حادثة ‪ ،‬ب لي�سا في اللجنة‪.‬‬ ‫حادثة ب لي�س في اللجنة‪.‬‬ ‫حادثة ‪ ،‬ب في اللجنة‪.‬‬ ‫حادثة �أو ب في اللجنة‪.‬‬ ‫فع ِّبر رمز ًّيا عن ٍّ‬ ‫كل من الحوادث الآتية‪.‬‬

‫حوادث من ف�ضاء الع ِّينة‬ ‫‪� 9‬إذا كانت‬ ‫وعدم وقوع ‪.‬‬ ‫حادثة وقوع‬ ‫وعدم وقوع ‪.‬‬ ‫حادثة وقوع‬ ‫جـ حادثة وقوع فقط من هذه الحوادث الثالث ( �أي حادثة وقوع وعدم وقوع َو ) ‪.‬‬ ‫حادثة عدم وقوع � ٍّأي من هذه الحوادث الثالث ‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫‪ 10‬في تجربة �إلقاء المكعب مرتين متتاليتين ‪� ،‬إذا كان ‪:‬‬ ‫حادثة الفرق الموجب بين العددين الظاهرين ‪. 3‬‬ ‫حادثة �أحد العددين الظاهرين يقبل الق�سمة على ‪. 3‬‬ ‫حادثة مجموع العددين الظاهرين يزيد عن ‪. 9‬‬ ‫فاكتب ك ًال من الحوادث التالية‪:‬‬

‫‪ 11‬في التجربة المعطاة في تمرين (‪: )4‬‬ ‫) اكتب ك ًال من الحوادث التالية‪:‬‬ ‫‪ :‬حادثة عدم وقوع‬ ‫ب ‪ :‬حادثة وقوع �أو‬ ‫جـ ‪ :‬حادثة وقوع َو‬ ‫د ‪ :‬حادثة وقوع وعدم وقوع‬ ‫ب ) � ٌّأي من الحوادث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د يتنافى مع الآخر؟ وهل الحوادث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د متنافية؟‬ ‫جـ ) من بين الحوادث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د اختر ثالث حوادث تكون متنافية و�شاملة‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪78‬‬

‫نظريات االحتمال‬

‫نظريات االحتمال‬

‫‪2-2‬‬

‫‪Probabiltiy Theorems‬‬

‫المق�صود بكلم ��ة احتمال‬ ‫ه ��و التعبي ��ر الع ��ددي عن‬ ‫م ��دى توقُّعن ��ا لح ��دوث‬ ‫حادث� � ٍة مع ِّين ��ة‪ ،‬وفيما يلي‬ ‫نق � ِّ�دم مفهومين الحتمال‬ ‫حادثة‪.‬‬

‫المفهوم التجريبي لالحتمال‬ ‫� َّإن الظ ��روف المحيط ��ة بتجرب ٍة ما كثير ٌة ومعقَّدة‪ ،‬ففي حالة �إلقاء قطع ��ة النقود �أو المكعب ف� َّإن الوجه‬ ‫ٍ‬ ‫تماما‪ ،‬فهو يعتمد‬ ‫ال ��ذي يظهر بعد الإلقاء يعتم ��د على‬ ‫ظروف كثيرة‪ ،‬بع�ضها معروف وبع�ضه ��ا نجهله ً‬ ‫على طريقة وقوة الإلقاء ونقطة اال�صطدام الأولى بالم�ستوي الأفقي وغير ذلك من الأمور التي ال يعلمها‬ ‫�إ َّال الذي ك ُّل ٍ‬ ‫�شيء عنده بمقدار ‪ -‬ج َّلت قدرته ‪ -‬والتي تت�سبب في ظهور ذلك الوجه دون الآخر وبالتالي‬ ‫ظرف ما قد ال يعاد ذاته في ظ � ٍ‬ ‫ف� �� َّإن وق ��وع حادث ٍة في ٍ‬ ‫�رف �آخر مما يدعو �إلى البحث عن احتمال حادث ٍة‬ ‫بتكرار التجربة عد ًدا كبي ًرا من المرات‪.‬‬ ‫فلو ك َّررنا تجرب ًة ما ٍ‬ ‫ت�س َّمى‬ ‫مرات عددها ووجدنا � َّأن الحادثة تحقَّقت من المرات ف� َّإن الن�سبة‬ ‫التكرار الن�سبي للحادثة وتع ُّد قيم ًة تقريبي ًة الحتمال وقوع ‪ .‬ومن المتوقَّع �أن تكبر �إذا كبرت ‪ ،‬ولكن‬ ‫ثابت ًة‪� ،‬إ َّال �أنَّه عند زيادة عدد مرات �إجراء التجربة زياد ًة‬ ‫لي� ��س م ��ن ال�ضروري �أن تبقى الن�سب ��ة‬ ‫ت�ستقر وتقترب من ٍ‬ ‫عدد مح َّد ٍد ي�س َّمى احتمال الحادثة ‪.‬‬ ‫كبير ًة ف� َّإن الن�سبة‬

‫‪79‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫نقود‪� ،‬ألقيت قطعة ٍ‬ ‫في تجربة رمي قطعة ٍ‬ ‫نقود من ِقبل �أحد الأ�شخا�ص ‪ 50‬م َّرة ‪،‬‬ ‫فظهر ال�شعار ‪ 26‬م َّرة‪.‬‬ ‫وعندما قام هذا ال�شخ�ص بالتجربة نف�سها و�ألقى قطعة النقود ‪ 250‬م َّرة‪،‬‬ ‫ظهر ال�شعار ‪ 127‬م َّرة‪.‬‬ ‫�أوجد القيمة التقريبية الحتمال ظهور ال�شعار في ِّ‬ ‫كل حالة‪.‬‬

‫الحل‬ ‫في الحالة الأولى‪ ،‬احتمال ظهور ال�شعار‬ ‫في الحالة الثانية‪ ،‬احتمال ظهور ال�شعار‬

‫القيمتين التقريبيتين الحتمال ظهور ال�شعار مختلفتان‪� ،‬إ َّال �أنَّهما قريبتان من العدد‬ ‫‪.‬‬ ‫الأخيرة ( الناتجة عن زيادة عدد مرات تكرار التجربة ) هي الأقرب �إلى العدد‬ ‫بزيادة عدد م َّرات‬ ‫وم ��ن المتو َّق ��ع �أن تقت ��رب القيمة التقريبية لالحتمال �شي ًئ ��ا ف�شي ًئا من العدد‬ ‫جدا‪ ،‬ف� َّإن هذه القيمة التقريبية لالحتمال‬ ‫�إجراء التجربة‪ ،‬و�إذا �أ�صبح عدد م َّرات �إجراء التجربة كبي ًرا ً‬ ‫ٍ‬ ‫حينئذ احتمال حادثة ظهور �شعا ٍر في تجربة رمي قطعة‬ ‫تثب ��ت عن ��د الع ��دد ‪ ،‬وي�س َّم ��ى العدد‬ ‫ٍ‬ ‫نقود‪.‬‬ ‫ول َّم ��ا كان ح�س ��اب احتمال حادث ٍة ما عن طريق �إجراء التجربة ع ��د ًدا كبي ًرا من المرات �أم ًرا �صع ًبا ف�إنَّنا‬ ‫ونقدمه فيما يلي‪:‬‬ ‫�سنتعامل مع‬ ‫مفهوم �آخر لالحتمال ي�س َّمى االحتمال المنتظم‪ِّ .‬‬ ‫ٍ‬ ‫‪ ،‬و� َّأن القيمة‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪80‬‬

‫نظريات االحتمال‬

‫المفهوم النظري لالحتمال المنتظم‬ ‫يعتم ��د ه ��ذا المفه ��وم على افترا�ض � َّأن ف�ض ��اء الع ِّينة هو ف�ضا ٌء مت�س ��اوي االحتم ��االت �أي � َّأن لجميع حوادثه‬ ‫الب�سيطة االحتمال نف�سه‪ ،‬ف�إذا كان ف�ضاء الع ِّينة يت�ألف من عن�ص ًرا وكانت حادث ًة ب�سيط ًة في‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن‬ ‫ورمزنا الحتمال الحادثة بالرمز‬ ‫�أ َّما �إذا كانت الحادثة مك َّون ًة من عن�ص ًرا ف�إن‬

‫وبعبارة �أخرى ف� َّإن ‪:‬‬

‫�أي � َّأن ‪:‬‬

‫عدد طرق وقوع الحادثة‬ ‫عدد طرق وقوع ف�ضاء الع ِّينة‬ ‫ف�ضاء الع ِّينة‬

‫(‪)6-2‬‬ ‫من الوا�ضح �أنَّه �إذا كانت هي الحادثة الم�ستحيلة ( �أي � َّأن‬ ‫ويكون‬ ‫و�إذا كانت هي الحادثة الم�ؤكدة ( �أي � َّأن‬

‫) ف� َّإن عدد عنا�صر‬

‫) ف� َّإن عدد عنا�صر‬

‫ويكون في هذه الحالة‬

‫ع ��دد عنا�ص ��ر‬ ‫�أ َّم ��ا �إذا ل ��م تك ��ن الحادث ��ة الم�ستحيل ��ة وال الم�ؤ َّك ��دة ف� �� َّإن‬ ‫‪ ،‬وعليه يمكننا القول‪� :‬أنَّه �إذا كانت � َّأي حادث ٍة ف� َّإن‬

‫‪81‬‬

‫ي�ساوي ال�صفر‬

‫ويك ��ون‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫مثال (‪)12-2‬‬ ‫مكعب ُكتب على �أوجهه ال�ستة الأعداد ‪ 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2‬فما احتمال ظهور ٍ‬ ‫عدد �أ َّو ٍّلي‪.‬‬ ‫�إذا �ألقي ٌ‬

‫الحل‬ ‫وبفر�ض � َّأن هي حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد �أ َّو ٍّلي‪.‬‬ ‫ف� َّإن‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫ويكون‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫مثال (‪)13-2‬‬ ‫في المثال ( ‪� ) 2-2‬أوجد احتمال ظهور عددين مجموعهما ‪.8‬‬

‫الحل‬

‫بالرجوع �إلى حل المثال ( ‪ ) 2-2‬نجد � َّأن عدد عنا�صر‬ ‫و�إذا كانت هي حادثة ظهور عددين مجموعهما ‪ 8‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫تدريب ( ‪)2-2‬‬

‫كي�س يحوي ثالث ٍ‬ ‫كرات متماثلة اثنتين حمراوين وواحدة زرقاء‪.‬‬ ‫) �أوجد احتمال �سحب كر ٍة حمراء من ٍ‬ ‫�شفاف ث�ل�اث ٍ‬ ‫كي�س غير ٍ‬ ‫كرات متماثلة اثنتين حمراوين وواحدة زرقاء ثم قم عمل ًيا ب�سحب كر ٍة‬ ‫ب) �ض ��ع في ٍ‬ ‫عدد مرات ظهور كرة حمراء‬ ‫و�سجل لونها‪� ،‬أعد التجربة مئة مرة ُث َّم �أوجد قيمة الن�سبة‪:‬‬ ‫من الكي�س ِّ‬ ‫عدد مرات �إجراء التجربة‬ ‫ك ِّرر التجربة ال�سابقة ‪ 150‬م َّرة ثم �أوجد قيمة الن�سبة ال�سابقة‪.‬‬ ‫جـ) قارن بين النتيجتين التي ح�صلت عليها في فقرة ب ثم قارنهما مع ما نتج لديك في فقرة ‪ .‬ماذا تالحظ ؟‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪82‬‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫(‪)7-2‬‬ ‫يمكنن ��ا تعيي ��ن ع ��دد عنا�صر ف�ض ��اء الع ِّين ��ة ( �أو � ِّأي حادث ٍة ) دون كتابة جميع عنا�ص ��ر ( �أو عنا�صر‬ ‫العد وقوانين التباديل والتوافيق‪.‬‬ ‫الحادثة ) وذلك با�ستخدام مبد�أ ِّ‬

‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫�صندو ٌق به ‪ 5‬كرات بي�ضاء‪ 4 ،‬كرات حمراء ‪�ُ ،‬سحبت منه كرتان م ًعا‪ ،‬فما احتمال �أن تكون‪:‬‬ ‫) الكرتان بي�ضاوين‪.‬‬ ‫ب) واحدة بي�ضاء والأخرى حمراء‪.‬‬

‫الحل‬ ‫عدد عنا�صر ف�ضاء الع ِّينة‬

‫عدد طرق �سحب كرتين من بين ‪ 9‬كرات‬

‫) نفر�ض � َّأن هي حادثة �سحب كرتين بي�ضاوين‪.‬‬ ‫عدد طرق �سحب كرتين بي�ضاوين من بين ‪ 5‬كرات بي�ضاء‬ ‫� ًإذا عدد عنا�صر‬ ‫ويكون‬ ‫العد ف� َّإن ‪:‬‬ ‫نفر�ض �أن هي حادثة �سحب كرتين واحد ٍة بي�ضاء والأخرى حمراء وح�سب مبد�أ ِّ‬ ‫عدد طرق �سحب كر ٍة بي�ضاء من بين ‪ 5‬كرات بي�ضاء عدد طرق �سحب‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫كر ٍة حمراء من ‪ 4‬كرات حمراء‬

‫‪83‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫مثال (‪)15-2‬‬ ‫ٍ‬ ‫تفاحات‬ ‫�صن ��دو ٌق به ‪ 12‬تفاح ًة منها ‪ 4‬تالف ��ة‪ُ .‬اختير ع�شوائ ًيا ثالث‬ ‫واح ��د ًة بعد الأخرى بدون �إرجاع‪ .‬اح�سب احتمال �أن تكون جميعها‬ ‫جيدة‪.‬‬

‫الحل‬

‫ٍ‬ ‫تفاحات واحد ًة بعد الأخرى من بين‬ ‫عدد طرق اختيار ثالث‬ ‫ع ��دد عنا�ص ��ر ف�ض ��اء الع ِّينة‬ ‫‪ 12‬تفاحة ( �أي مع مراعاة الترتيب )‪.‬‬

‫وبفر�ض � َّأن هي حادثة �أن تكون التفاحات الثالث جيدة‪ ،‬ف� َّإن‪:‬‬ ‫عدد طرق اختيار ثالث تفاحات واحدة بعد الأخرى من بين ‪ 8‬تفاحات‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫ويكون‪:‬‬

‫تدريب ( ‪)3-2‬‬ ‫مجموع� � ٌة مك َّون ٌة من ‪� 10‬أطباء امر�أتين وثماني ��ة رجال‪ ،‬اختيرت منهم لجن ٌة من ثالثة �أطباء بطريق ٍة‬ ‫ع�شوائية‪.‬‬ ‫�أوجد احتمال �أن تكون هذه اللجنة‪:‬‬ ‫) جميعها من الرجال‪.‬‬ ‫ب ) رجلين وامر�أة‪.‬‬ ‫جـ ) رج ًال وامر�أتين‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪84‬‬

‫نظريات االحتمال‬

‫نظريات �أ�سا�سية في االحتمال‬ ‫خا�ص� � ًة باالحتمال معتمدين في برهنته ��ا على م�س َّل ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫مات ث�ل�اث تُعرف بم�س َّلمات‬ ‫�سنق � ِّ�دم فيم ��ا يلي‬ ‫نظريات َّ‬ ‫االحتمال وهي‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫لكل حادث ٍة ف� َّإن‪:‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫) ‪ ،‬ف� َّإن‪:‬‬

‫حادثتين متنافيتين ( �أي � َّأن‬

‫ويمكننا تعميم الم�س َّلمة ‪ 3‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫حوادث متنافية ف� َّإن‪:‬‬

‫�إذا كانت‬

‫(‪)8-2‬‬ ‫�سنرم ��ز – بـه ��دف التب�سيط – الحتمال الحادثة الب�سيطة المك َّونة من عن�صرٍ ٍ‬ ‫واحد – مث ًال – من ف�ضاء‬ ‫هو احتمال العن�صر ‪.‬‬ ‫ونقول � َّإن‬ ‫بد ًال من‬ ‫العينة بالرمز‬

‫نتيجة (‪)1-2‬‬ ‫ل ِّأي حادث ٍة‬

‫ف� َّإن‪:‬‬

‫�أي � َّأن احتمال � ِّأي حادث ٍة ي�ساوي مجموع احتماالت العنا�صر المك ِّونة لـها‪.‬‬

‫‪85‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫البرهان‬ ‫حوادثٌ متنافية‪،‬‬

‫بما � َّأن‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬

‫‪...........................................................................‬‬ ‫‪� ( .......................................................‬أكمل الفراغ )‬

‫تدريب ( ‪)4-2‬‬ ‫في تجرب ٍة ما‪� ،‬إذا كانت‬

‫‪ ،‬وكان‬

‫‪ ،‬فما قيمة‬

‫نتيجة (‪)2-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫حوادث متنافي ًة و�شامل ًة‪ ،‬ف� َّإن‪:‬‬

‫البرهان‬ ‫تعريف ( ‪) 2-2‬‬ ‫الم�س َّلمة (‪)3( ، )2‬‬ ‫تو�صلت �إلى �أنَّه في تجرب ٍة ما يكون‪:‬‬ ‫لع َّلك َّ‬ ‫‪ )1‬مجموع احتماالت جميع الحوادث الب�سيطة ي�ساوي الواحد‪.‬‬ ‫‪ )2‬مجموع احتماالت الحوادث المتنافية �أقل من �أو ي�ساوي الواحد‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪86‬‬

‫؟‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫نظرية (‪)1-2‬‬ ‫المتممة للحادثة ف� َّإن ‪:‬‬ ‫�إذا كانت هي الحادثة ِّ‬

‫البرهان‬ ‫حادثتان متنافيتان و�شاملتان ملحوظة ( ‪) 5-2‬‬ ‫نتيجة ( ‪) 2-2‬‬

‫بما � َّأن‪:‬‬ ‫‪:‬‬

‫تدريب ( ‪)5-2‬‬ ‫ا�ستخدم نظرية ( ‪ ) 1-2‬للتحقق من � َّأن‬

‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫ف�أوجد‬

‫�إذا كان‬

‫الحل‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫نظرية ( ‪) 1-2‬‬

‫‪:‬‬

‫‪87‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫نظرية (‪)2-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫� َّأي حادثتين بحيث‬

‫ف� َّإن‬

‫البرهان‬ ‫بما � َّأن‬ ‫� ًإذا يمكن التعبير عن ب باتحاد الحادثتين المتنافيتين ‪:‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪) 2-2‬‬ ‫فنكتب‬

‫ب‬

‫من الم�سلمة (‪)3‬‬ ‫من الم�سلمة (‪)1‬‬

‫�شكل (‪)2-2‬‬

‫تدريب ( ‪)6-2‬‬ ‫ا�ستخدم نظرية ( ‪ ) 2-2‬للتحقق من �أنَّه ‪ :‬ل ِّأي حادث ٍة يكون‬

‫نظرية (‪)3-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫� َّأي حادثتين ف� َّإن‪:‬‬

‫البرهان‬ ‫يمكن التعبير عن باتحاد الحادثتين المتنافيتين ‪:‬‬ ‫فنكتب‬ ‫انظر �شكل ( ‪)3-2‬‬ ‫من الم�سلمة (‪)3‬‬

‫ب‬

‫�شكل (‪)3-2‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪88‬‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫�إذا كان‬

‫وكان‬

‫‪.‬‬

‫ف�أوجد‬

‫الحل‬ ‫من نظرية ( ‪) 3-2‬‬

‫نظرية (‪)4-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫� َّأي حادثتين ف� َّإن‪:‬‬

‫البرهان‬

‫ب‬

‫من ال�شكل ( ‪ ) 4-2‬نالحظ �أنَّه يمكن التعبير عن الحادثة‬ ‫فيكون‪:‬‬ ‫باتحاد الحادثتين المتنافيتين ‪:‬‬

‫�شكل (‪)4-2‬‬

‫من نظرية ( ‪) 3-2‬‬

‫تدريب ( ‪)7-2‬‬ ‫خا�صة من النظرية ( ‪) 4-2‬‬ ‫تحقق من � َّأن الم�س َّلمة (‪ )3‬هي حالة َّ‬

‫‪89‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬

‫الحل‬

‫تدريب ( ‪)8-2‬‬

‫ٍ‬ ‫وتطبيقات من الحياة على ح�ساب احتماالت حوادث مع َّينة مفتر�ضين‬ ‫وفيما يلي نتناول �أمثل ًة متنوع ًة‬ ‫� َّأن ف�ضاء الع ِّينة هو ف�ضا ٌء مت�ساوي االحتماالت ما لم نذكر خالف ذلك‪.‬‬

‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫قطعة نق � ٍ‬ ‫�ود ُ�ص ِّممت بحيث � َّإن احتمال ظهور ال�شعار هو �ضعف احتمال ظهور الكتابة‪� ،‬أُلقيت‬ ‫القطعة م َّر ًة واحدة‪ .‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة‪ ،‬و�أوجد احتماالت الحوادث الب�سيطة‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪90‬‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫الحل‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫‪:‬‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫�أُلقي ��ت قطعة ٍ‬ ‫نقود مرتين متتاليتين‪� ،‬أوجد احتمال �أن يظهر ال�شعار م َّر ًة‬ ‫واحدة على الأقل‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بفر�ض � َّأن هي حادثة ظهور ال�شعار م َّر ًة واحدة على الأقل‬

‫�أ َّن ُه‬

‫يمكن �إيجاد‬

‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫با�ستخدام نظرية ( ‪ ) 1-2‬وذلك على النحو التالي‪:‬‬

‫‪91‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫متجان�س ُكتب على �أوجهه الأعداد‪�ُ 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 :‬ص ِّمم بحيث �إذا �أُلقي كان‬ ‫مكع � ٌ�ب غي ��ر‬ ‫ٍ‬ ‫احتمال ظهور � ِّأي ٍ‬ ‫عدد يتنا�سب مع ذلك العدد‪ ،‬اح�سب احتماالت الحوادث الب�سيطة وا�ستخدمها‬ ‫في ح�ساب احتمال‪:‬‬ ‫ظهور عدد زوجي‪.‬‬ ‫ظهور عدد فردي‪.‬‬ ‫ظهور عدد زوجي �أو عدد فردي‪.‬‬

‫الحل‬ ‫وبم ��ا � َّأن احتم ��ال ظهور العدد يتنا�س ��ب مع هذا العدد ف�إ َّن ��ه بفـــر�ض � َّأن ثاب ��ت التنا�سب هو �س‬ ‫نح�صل على‪:‬‬ ‫فيكون‪:‬‬ ‫ولكن‪:‬‬

‫وعليه يكون ‪:‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪92‬‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫نفر�ض � َّأن هي حادثة ظهور عدد زوجي‬ ‫� ًإذا‪:‬‬ ‫وبالتالي‪:‬‬ ‫نفر�ض � َّأن ب هي حادثة ظهور عدد فردي‬ ‫� ًإذا‪:‬‬ ‫وبالتالي‪:‬‬ ‫جـ نفر�ض � َّأن جـ هي حادثة ظهور عدد زوجي �أو عدد فردي‬ ‫� ًإذا‪:‬‬ ‫لأن الحادثتين ‪ ،‬ب متنافيتان‬ ‫�أ َّن ُه‬

‫يمكننا �إيجاد‬

‫(ماذا يعني ذلك؟)‬ ‫ب�إيجاد‬

‫ثم ح�ساب احتمالـها‪.‬‬

‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫م�ؤتم� � ٌر عالم ��ي �ض � َّ�م ‪ 150‬ع�ض ًوا ‪ُ ،‬وج ��د � َّأن ‪ 100‬ع�ض ٍو منه ��م يتحدثون اللغ ��ة الإنجليزية‪60 ،‬‬ ‫ع�ض ًوا يتحدثون اللغة الفرن�سية‪ 20 ،‬ع�ض ًوا يتحدثون اللغتين م ًعا‪ .‬اختير ع�ضو ع�شوائ ًّيا‪� ،‬أوجد‬ ‫احتمال �أن يكون هذا الع�ضو‪:‬‬ ‫يتحدث اللغة الإنجليزية �أو الفرن�سية‪.‬‬ ‫ال يتحدث �أ ًّيا من اللغتين‪.‬‬ ‫يتحدث اللغة الإنجليزية فقط‪.‬‬

‫‪93‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الحل‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫وبفر�ض � َّأن‪ :‬هي حادثة �أن يكون هذا الع�ضو يتحدث اللغة الإنجليزية‪،‬‬ ‫ب هي حادثة �أن يكون هذا الع�ضو يتحدث اللغة الفرن�سية‪،‬‬ ‫هي حادثة �أن يكون هذا الع�ضو يتحدث اللغتين م ًعا‪،‬‬ ‫تكون ‪:‬‬ ‫هي حادثة �أن يكون هذا الع�ضو يتحدث اللغة الإنجليزية �أو الفرن�سية‪.‬‬ ‫وبالتالي ‪:‬‬ ‫ولكن‪:‬‬

‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫ب‬ ‫‪80‬‬

‫�شخ�ص‬

‫‪� 10‬أ�شخا�ص‬

‫�شكل (‪)5-2‬‬

‫� ًإذا‪:‬‬ ‫حادثة �أن يكون هذا الع�ضو ال يتحدث �أ ًّيا من اللغتين هي ‪:‬‬ ‫قانون ( ‪) 2-2‬‬

‫حادثة �أن يكون هذا الع�ضو يتحدث اللغة الإنجليزية فقط هي‪:‬‬

‫با�ستخدام �شكل ( ‪ ) 5-2‬تحقق من �صحة الإجابات ال�سابقة‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪94‬‬

‫‪20‬‬

‫�شخ�ص‬

‫‪40‬‬

‫�شخ�ص‬

‫نظريات االحتمال‬ ‫مثال (‪)23-2‬‬ ‫ُ�سحب ��ت بطاقت ��ان ع�شوائ ًّيا من بي ��ن ‪ 15‬بطاقة مرقَّمة م ��ن ‪� 1‬إلى ‪� ، 15‬أوجد احتم ��ال �أن يكون‬ ‫مجموع العددين على البطاقتين الم�سحوبتين فرد ًّيا في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتية‪:‬‬ ‫ُ�سحبت البطاقتان م ًعا‪.‬‬ ‫ُ�سحبت البطاقتان واحد ًة بعد الأخرى مع الإرجاع‪.‬‬

‫الحل‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫عدد طرق �سحب بطاقتين م ًعا من بين ‪ 15‬بطاقة‬

‫نفر�ض � َّأن هي حادثة �سحب بطاقتين م ًعا مجموعهما فردي‪ ،‬ولكي يكون المجموع فرد ًّيا‬ ‫فالب َّد �أن تكون �إحدى البطاقتين فردية والأخرى زوجية‪.‬‬ ‫� ًإذا عدد عنا�صر‬ ‫عدد طرق �سحب بطاقة فردية من بين ‪ 8‬بطاقات فردية عدد طرق �سحب بطاقة زوجية من بين ‪ 7‬بطاقات زوجية‪.‬‬

‫عدد عنا�صر ف�ضاء الع ِّينة‬

‫عدد طرق �سحب بطاقتين واحد ًة بعد الأخرى مع الإرجاع‪.‬‬

‫نفر�ض � َّأن ب هي حادثة �سحب بطاقتين واحد ًة بعد الأخرى مع الإرجاع مجموعهما فردي‪.‬‬ ‫�أي � َّأن ب هي حادثة �سحب بطاقة فردية ثم بطاقة زوجية �أو �سحب بطاقة زوجية ثم فردية‪،‬‬ ‫وبفر�ض � َّأن جـ هي حادثة �سحب بطاقة فردية ثم بطاقة زوجية‪،‬‬ ‫د هي حادثة �سحب بطاقة زوجية ثم بطاقة فردية‪.‬‬

‫‪95‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬

‫( لماذا ؟ )‬ ‫‪:‬‬

‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫‪:‬‬

‫تدريب ( ‪)9-2‬‬ ‫�أعد حل المثال ( ‪� ) 23-2‬إذا ُ�سحبت البطاقتان واحد ًة بعد الأخرى دون �إرجاع‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪96‬‬

‫نظريات االحتمال‬

‫‪22‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪� 1‬ألق ��ى �أح ��د الطلبة مكع ًبا ُكت ��ب على �أوجهه الأع ��داد‪ 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 :‬مئة م َّر ٍة‬ ‫فظهر العدد ‪ 4‬خم�س ع�شرة م َّرةً‪ .‬ما االحتمال التجريبـي لحادثة ظهور العدد ‪ 4‬؟‬

‫‪6‬‬

‫طبيب ‪ 1000‬عملي ٍة جراحي� � ٍة من النوع نف�سه‪ ،‬نجحت منها‬ ‫‪ 2‬ف ��ي �إح�صائي ��ة �إحدى الم�ست�شفيات‪� ،‬أجرى ٌ‬ ‫‪ 980‬عملي ًة فما احتمال نجاح العملية ‪ -‬ب�إذن اهلل ‪ -‬على يد هذا الطبيب ؟‬ ‫ٌ‬ ‫‪3‬‬ ‫�صندوق به ‪ 3‬كرات حمراء‪ 6 ،‬كرات زرقاء‪ 5 ،‬كرات بي�ضاء‪�ُ .‬سحبت كر ٌة واحد ٌة بطريق ٍة ع�شوائية‪.‬‬ ‫�إذا كانت جميع الكرات متماثل ًة فاح�سب احتمال �أن تكون الكرة الم�سحوبة‪:‬‬ ‫جـ ) بي�ضاء‬ ‫ب ) زرقاء‬ ‫) حمراء‬ ‫و ) لي�ست بي�ضاء‬ ‫ﻫ ) لي�ست زرقاء‬ ‫د ) لي�ست حمراء‬ ‫ح ) حم ��راء �أو زرق ��اء �أو بي�ض ��اء ط ) لي�س ��ت حم ��راء وال زرق ��اء‬ ‫ز ) حم ��راء �أو زرق ��اء‬ ‫ي ) لي�ست حمراء وال زرقاء وال بي�ضاء‬ ‫مكعب ُكتب على �أوجهه الأعداد‪ 16 ، 15 ، 14 ، 13 ، 12 ، 11 :‬اح�سب احتمال ك ٍّل من الحوادث الآتية‪:‬‬ ‫‪� 4‬أُلقي ٌ‬ ‫ب ) ظهور ٍ‬ ‫عدد يقبل الق�سمة على ‪3‬‬ ‫د ) ظهور ٍ‬ ‫عدد �سالب‬ ‫و ) ظهور ٍ‬ ‫عدد �أكبر من ‪14‬‬

‫) ظهور ٍ‬ ‫عدد فردي‬ ‫جـ ) ظهور ٍ‬ ‫عدد زوجي‬ ‫ﻫ ) ظهور ٍ‬ ‫عدد �أقل من �أو ي�ساوي ‪15‬‬ ‫‪� 5‬ألقيت ثالث قطع نقود متمايزة‪ ،‬اح�سب ماي�أتي‪:‬‬ ‫) احتمال ظهور �شعا ٍر ٍ‬ ‫واحد �أو �شعارين‪.‬‬ ‫ب ) احتمال ظهور �شعا ٍر ٍ‬ ‫واحد �أو ثالث �شعارات‪.‬‬ ‫جـ ) احتمال ظهور �شعا ٍر ٍ‬ ‫واحد على الأقل‪.‬‬ ‫د ) احتمال ظهور �شعا ٍر �أو عدم ظهور كتابة‪.‬‬

‫‪97‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫‪ 6‬اُختي���ر ع���د ٌد من الع�شرين ع���د ًدا ال�صحيحة الموجب���ة الأولى بطريق ٍة ع�شوائي���ة‪ ،‬اح�سب احتمال �أن‬ ‫يكون العدد‪:‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫د‬ ‫ﻫ‬

‫زوج ًّيا �أو يقبل الق�سمة على ‪. 3‬‬ ‫فرد ًّيا �أو يقبل الق�سمة على ‪. 5‬‬ ‫يقبل الق�سمة على ‪� 2‬أو على ‪. 3‬‬ ‫ال يقبل الق�سمة على ‪� 2‬أو ال يقبل الق�سمة على ‪. 3‬‬ ‫ال يقبل الق�سمة على ‪� 3‬أو زوج ًّيا‪.‬‬

‫‪� 7‬إذا �أُلقي مكعبان متمايزان من النوع المو�صوف في تمرين (‪ ،)4‬فما احتمال �أن يكون مجموع العددين‬ ‫على الوجهين العلويين ‪� 24‬أو ‪. 29‬‬ ‫‪� 8‬إذا كان‬

‫ب ‪ ،‬وكان ح ( )= ‪ ، 0.4‬ح (ب)= ‪ 0.7‬ف�أوجد‪:‬‬

‫جـ‬ ‫‪� 9‬إذا كان ح(‬

‫ب) = ‪ ، 0.6‬وكان ح ( ) = ‪ ، 0.3‬ح (ب) = ‪ 0.5‬ف�أوجد احتمال ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫وقوع َو ب م ًعا ‪.‬‬ ‫عدم وقوع �أو عدم وقوع ب ‪.‬‬ ‫‪� 10‬إذا كان احتمال نجاح ٍ‬ ‫طالب ما في مادة الريا�ضـيات هو‬ ‫‪ ،‬واحتمال نجاحه في المادتين م ًعا هو‬ ‫الفيزياء هو‬ ‫منهما على الأقل‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪98‬‬

‫‪ ،‬احتمال نجـاح الطالب نف�سه في مادة‬ ‫‪ ،‬فما احتمال نجاحه في ما َّد ٍة واحد ٍة‬

‫‪ 11‬يوج���د ف���ي �صن���دوقٍ ‪ 10‬م�صابيح ‪ 3 ،‬م�صابي���ح منها غير �صالح ٍة ونريد �سح���ب م�صباحين ع�شوائ ًّيا‬ ‫واح ًدا بعد الآخر دون �إرجاع‪ .‬اح�سب احتمال ٍّ‬ ‫كل من الحوادث الآتية‪:‬‬ ‫الم�صباحان غير �صالحين‪.‬‬ ‫الم�صباحان �صالحان‪.‬‬ ‫جـ �أحد الم�صباحين على الأقل غير �صالح‪.‬‬ ‫�شخ�صا‬ ‫�شخ�صا يقر�ؤون جري���دة عكاظ فق���ط ‪22 ،‬‬ ‫�شخ�ص���ا ُوج���د �أ َّن ‪27‬‬ ‫‪ 12‬ف���ي ع ِّين��� ٍة ع�شوائي���ة م���ن ‪75‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫�شخ�ص من هذه‬ ‫�شخ�صا يقر�ؤون الجريدتي���ن م ًعا‪ .‬ف�إذا اُختير‬ ‫يق���ر�ؤون جري���دة الجزيرة فقط ‪18 ،‬‬ ‫ٌ‬ ‫ً‬ ‫الع ِّينة ف�أوجد‪:‬‬ ‫احتمال �أن يكون من ق َّراء جريدة الجزيرة‪.‬‬ ‫احتمال �أن يكون ممن ال يقر�أ �أيـًّا من الجريدتين‪.‬‬ ‫جـ احتمال �أن يكون من ق َّراء �إحدى الجريدتين دون الأخرى‪.‬‬ ‫‪ 13‬في كلية العلوم ب�إحدى الجامعات ‪ 73‬طال ًبا موزَّعين على النحو الآتي ‪:‬‬ ‫‪ 40‬طال ًبا يدر�سون الريا�ضيات ‪ 35 ،‬طال ًبا يدر�سون الفيزياء ‪ 25 ،‬طال ًبا‬ ‫فيزياء‬ ‫والفيزياء ريا�ضيات ‪11‬‬ ‫يدر�س ��ون الكيمي ��اء ‪� ،‬إ َّال � َّأن ‪ 11‬طال ًب ��ا يدر�سون الريا�ضي ��ات‬ ‫‪3‬‬ ‫فق ��ط ‪ 6 ،‬طالب يدر�سون الكيمي ��اء والفيزياء فقط ‪ 4 ،‬طالب يدر�سون‬ ‫‪6 4‬‬ ‫الريا�ضيات والكيمياء فقط ‪ 3 ،‬طالب يدر�سون المواد الثالث‪.‬‬ ‫كيمياء‬ ‫طالب منه ��م ع�شوائ ًّيا‪ .‬اح�سب احتمال �أن يكون هذا الطالب من‬ ‫ُاختير ٌ‬ ‫بين الذين ‪:‬‬ ‫ب ) يدر�سون الكيمياء‬ ‫) يدر�سون الريا�ضيات‬ ‫د ) يدر�سون الريا�ضيات �أو الكيمياء‬ ‫جـ ) يدر�سون الفيزياء‬ ‫و ) يدر�سون الفيزياء �أو الكيمياء‬ ‫ﻫ ) يدر�سون الريا�ضيات �أو الفيزياء‬ ‫ح ) يدر�سون الفيزياء و الكيمياء‬ ‫ز ) يدر�سون الريا�ضيات فقط‬ ‫ي) ال يدر�سون الريا�ضيات وال الكيمياء‬ ‫ط ) يدر�سون الكيمياء فقط‬ ‫ك ) ال يدر�سون الريا�ضيات ويدر�سون الكيمياء‬

‫‪99‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫‪1‬‬

‫ع َّرفن ��ا التجربة الع�شوائية ب�أنـها ك ُّل � ٍ‬ ‫إجراء نعلم م�سبقًا جميع النواتج الممكنة له و�إن كنَّا ال ن�ستطيع �أن‬ ‫نتن َّب�أ بال�ضبط � ُّأي هذه النواتج �سيتحقق فع ًال‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫ع َّرفنا ف�ضاء الع ِّينة لتجرب ٍة ما ب�أنَّه مجموعة جميع النواتج الممكنة لـهذه التجربة ورمزنا له بالرمز‬

‫‪3‬‬

‫عرفنا � َّأن الحادثة هي مجموعة جزئية من ف�ضاء الع ِّينة‪ ،‬ودر�سنا العمليات على الحوادث‪.‬‬ ‫تك ��ون متنافي ��ة �إذا كان ��ت متنافي ��ة مثن ��ى مثن ��ى‬ ‫وتك ��ون ه ��ذه الح ��وادث‬

‫‪4‬‬

‫عرفن ��ا � َّأن الح ��وادث‬ ‫) حي ��ث‬ ‫( �أي � َّأن‬ ‫متنافية و�شاملة ‪� ،‬إذا كانت متنافية وكان‬

‫‪5‬‬

‫ق َّدمن ��ا المفه ��وم التجريبـي لالحتمال والذي يعتمد على �إجراء التجربة ع ��د ًدا كبي ًرا ج ًّدا من المرات‪،‬‬ ‫كما ق َّدمنا المفهوم النظري لالحتمال المنتظم والذي يعتمد على افترا�ض � َّأن لجميع النواتج المختلفة‬ ‫في ف�ضاء الع ِّينة احتماالت مت�ساوية ومن ذلك ا�ستنتجنا � َّأن احتمال � ِّأي حادث ٍة هو‪:‬‬ ‫عدد عنا�صر‬ ‫عدد عنا�صر‬

‫‪6‬‬

‫ق َّدمنا م�س َّلمات االحتمال الثالث وهي‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫لكل حادثة ف� َّإن‬ ‫جـ �إذا كانت ‪ ،‬ب حادثتين متنافيتين ف� َّإن‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪100‬‬

‫‪7‬‬

‫ق َّدمنا نظريات االحتماالت الأ�سا�سية وهي ‪:‬‬ ‫المتممة للحادثة ف� َّإن‬ ‫�إذا كانت هي الحادثة ِّ‬ ‫�إذا كانت ‪ ،‬ب � َّأي حادثتين بحيث‬

‫ف� َّإن‬

‫جـ �إذا كانت ‪ ،‬ب � َّأي حادثتين ف� َّإن‬ ‫د �إذا كانت ‪ ،‬ب � َّأي حادثتين ف� َّإن‬ ‫ومنها‬ ‫‪8‬‬

‫�إذا كان‬

‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫العد وقوانين التباديل‬ ‫تطبيقات من الحياة‬ ‫ق َّدمنا‬ ‫وتطبيقات على �إيجاد احتمال حادث ٍة با�ستخدام مبد�أ ِّ‬ ‫والتوافيق‪.‬‬

‫‪101‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪� 1‬ضع عالمة‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫ب�س ٍّم مع َّينٍ ومالحظة عدد الفئ ��ران التي تموت بفعل هذا‬ ‫ف ��راغ الع ِّين ��ة في تجربة حقن ‪ 7‬فئ ��ران ُّ‬ ‫ال�س ِّم هو ‪:‬‬ ‫ُّ‬ ‫عدد عنا�صر فراغ الع ِّينة في تجربة �إلقاء قطعة ٍ‬ ‫نقود ‪َّ 4‬مرات متتالية ومالحظة الوجه الظاهر هو ‪8‬‬ ‫في تجربة �إلقاء المكعب تكون حادثة ظهور ٍ‬ ‫زوجي حادث ًة م�ستحيلة‪.‬‬ ‫عدد �أ َّو ٍّلي ٍّ‬ ‫أي�ضا‪.‬‬ ‫ل ِّأي حادثتين متنافيتين ‪ ،‬ب تكون ‪َ ،‬ب متنافيتين � ً‬ ‫ل ِّأي حادثتين‬

‫ف� َّإن‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫�إذا كان‬

‫‪ ،‬ف� َّإن‬

‫�إذا كان‬

‫‪ ،‬ف� َّإن عدد عنا�صر‬

‫�إذا كان‬

‫‪ ،‬ف� َّإن‬

‫�إذا كان‬

‫‪ ،‬ف� َّإن‬

‫‪102‬‬

‫عدد عنا�صر‬ ‫غير متنافيتين‪.‬‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة ٍّ‬ ‫لكل ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫حادثة ظهور ٍ‬ ‫عدد �أ َّو ٍّلي في تجربة رمي ٍ‬ ‫مكعب ُكتب على �أوجهه الأعداد ‪ 12 ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2‬هي‬ ‫حادث ٌة ‪ (:‬ب�سيطة ‪ ،‬م�ستحيلة ‪ ،‬م�ؤ َّكدة )‬ ‫حادثة ظهور �شعا ٍر �أو كتاب ٍة في تجربة �إلقاء قطعة ٍ‬ ‫نقود هي حادث ٌة‪ ( :‬ب�سيطة ‪ ،‬م�ستحيلة ‪ ،‬م�ؤ َّكدة )‬ ‫جـ �إذا ت�سابق ‪ 3‬طالب ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ في ال�سباحة وكان احتمال فوز الطالب ي�ساوي احتمال فوز الطالب‬ ‫ج� �ـ ‪ ،‬واحتم ��ال فوز الطالب ب �ضعف احتمال فوز الطالب ف� �� َّإن احتمال فوز الطالب �أو الطالب‬ ‫ب هو ‪:‬‬ ‫د ف ��ي تجرب ��ة تكوي ��ن ع � ٍ‬ ‫�دد م ��ن رقمي ��ن مختلفين من مجموعة الأرقام‬ ‫احتمال �أن يكون العدد المك َّون زوج ًّيا ورقم ع�شراته زوج ًّيا هو ‪:‬‬

‫ف� َّإن‬

‫يوجه �صيادان بندقيتيهما نحو غزالٍ ف�إذا كان احتمال �أن ي�صيب ال�صياد الأول الغزال هو‬ ‫ﻫ ِّ‬ ‫واحتمال �أن ي�صيب االثنان م ًعا الغزال هو‬ ‫واحتمال �أن ي�صيب ال�صياد الثاني الغزال هو‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن احتمال �أن ُي�صاب الغزال هو ‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫م�صعد خالل دقيق ٍة �أثناء وقوفه بالدور الأر�ضي‪� ،‬إذا ُوجد ما يلي‪:‬‬ ‫و في درا�س ٍة لعدد ر َّكاب‬ ‫عدد الر َّكاب‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 4‬ف�أكثر‬

‫االحتمال‬

‫‪0.06‬‬

‫‪0.18‬‬

‫‪0.22‬‬

‫‪0.24‬‬

‫‪0.3‬‬

‫ف� َّإن احتمال �أن يكون عدد الر َّكاب راكبين ف�أكثر هو‪:‬‬

‫‪103‬‬

‫‪ 3‬تق�ض ��ي تجرب ٌة برم ��ي مكعبين متجان�سي ��ن مرقمي الوجوه م ��ن ‪� 1‬إلى ‪،6‬‬ ‫وح�ساب مجموع العددين الظاهرين‪ .‬اكتب ف�ضاء الع ِّينة‪.‬‬ ‫‪ 4‬حديق ٌة لـها ثالثة � ٍ‬ ‫لدخول وخروج ر َّوادها‪.‬‬ ‫أبواب‬ ‫اكت ��ب ف�ضاء الع ِّين ��ة لتجربة الدخول ثم الخروج م ��ن الحديقة با�ستخدام ه ��ذه الأبواب ثم اكتب‬ ‫الحوادث الآتية‪:‬‬ ‫حادثة ا�ستخدام نف�س الباب في الدخول �أو الخروج‪.‬‬ ‫حادثة ا�ستخدام ب‪ 1‬في الدخول‪.‬‬ ‫حادثة عدم ا�ستخدام ب‪ 1‬في الدخول �أو الخروج‪.‬‬ ‫� ٌّأي من الحوادث‬

‫يتنافى مع الآخر‪ .‬وهل الحوادث‬

‫متنافية ؟‬

‫‪ 5‬في تجربة رمي قطعة ٍ‬ ‫نقود مرتين متتاليتين‪� ،‬أوجد‪:‬‬ ‫احتمال ظهور كتاب ٍة في الرميتين‪.‬‬ ‫احتمال ظهور �شعا ٍر في الرميتين‪.‬‬ ‫جـ احتمال ظهور �شعا ٍر في الرميتين على الأكثر‪.‬‬ ‫د احتمال ظهور الوجه نف�سه في الرميتين‪.‬‬ ‫متجان�س ُكتب على �أوجهه الأعداد ‪�ُ ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ص ِّمم بحيث �إذا �أُلقي يكون احتمال‬ ‫مكعب غير‬ ‫ٍ‬ ‫‪6‬‬ ‫ٌ‬ ‫ظه ��ور ٍّ‬ ‫كل م ��ن الأع ��داد ‪ 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬مت�ساو ًيا‪ ،‬واحتمال ظهور الع ��دد ‪ 6‬ي�ساوي ثالثة �أمثال احتمال‬ ‫ظهور العدد ‪ ، 1‬اح�سب احتمال ظهور ٍ‬ ‫عدد زوجي‪.‬‬ ‫‪� 7‬إذا كانت ‪ ،‬ب حادثتين في ف�ضاء ع ِّين ٍة لتجرب ٍة ع�شوائية ما وكان‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫احتمال وقوع حادث ٍة واحد ٍة على الأقل من الحادثتين ‪ ،‬ب‪.‬‬ ‫احتمال وقوع �إحدى الحادثتين فقط‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫كرات منها بي�ضاء ‪ٍ 5 ،‬‬ ‫‪� 8‬صندو ٌق به ‪ 15‬كر ًة متماثلة ‪ٍ 10 ،‬‬ ‫كرات �سوداء‪.‬‬ ‫ُ�سحبت كر ٌة ع�شوائ ًّيا من ال�صندوق‪ .‬اح�سب احتمال �أن‬ ‫تكون هذه الكرة بي�ضاء‪.‬‬ ‫ُ�سحبت كر ٌة و ُو�ضعت جان ًبا وظهر �أنَّـها بي�ضاء ‪ ،‬بعد ذلك‬ ‫ُ�سحبت كر ٌة �أخرى‪ ،‬اح�سب احتمال �أن تكون هذه الكرة‬ ‫أي�ضا‪.‬‬ ‫بي�ضاء � ً‬ ‫جـ ُ�سحبت كرتان واحد ًة بعد الأخرى مع الإرجاع ‪ ،‬اح�سب‬ ‫احتمال �أن تكون الكرتان بي�ضاوين‪.‬‬ ‫د ُ�سحبت خم�س ٍ‬ ‫كرات م ًعا ‪ .‬اح�سب احتمال �أن يكون بين الكرات الخم�س الم�سحوبة كرتان بي�ضاوين‬ ‫وثالث كرات �سوداء‪.‬‬ ‫ﻫ ُ�سحب ��ت ثالث ك � ٍ‬ ‫�رات واحد ًة بعد الأخرى بدون �إرجاع‪ ،‬اح�سب احتم ��ال �أن تكون �ألوان الكرات الثالث‬ ‫مختلف ًة على التتابع‪.‬‬ ‫‪ 9‬تت�أ َّل ��ف جمعي ��ة تحفيظ القر�آن الكريم في �إح ��دى المدار�س الثانوية من ‪ 24‬طال ًب ��ا ( ‪ 16‬من الم�ستوى‬ ‫الثاني‪ 8 ،‬من الم�ستوى الثالث ) ‪ ،‬ف�إذا �أراد الم�شرف على الجمعية ت�شكيل لجن ٍة منهم للتوعية الإ�سالمية‬ ‫تت�أ َّلف من ثالثة ٍ‬ ‫طالب‪ ،‬فما احتمال‪:‬‬ ‫�أن تكون اللجنة من الم�ستوى الثاني‪.‬‬ ‫ت�ضم اللجنة اثنين فقط من الم�ستوى الثاني‪.‬‬ ‫�أن َّ‬ ‫ت�ضم اللجنة اثنين فقط من الم�ستوى الثالث‪.‬‬ ‫جـ �أن َّ‬ ‫ت�ضم اللجنة اثنين على الأكثر من الم�ستوى الثاني‪.‬‬ ‫د �أن َّ‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫الإح�صاء‬

‫الدرو�س‬ ‫(‪ )1-3‬الجداول التكرارية‪.‬‬ ‫(‪ )2-3‬التمثيل البياين للتوزيعات‬ ‫التكرارية‬

‫(‪ )3-3‬مقايي�س النـزعة املركز َّية ‪.‬‬ ‫(‪ )4-3‬االنحراف املعياريُّ‬ ‫(‪ )5-3‬االرتباط‬ ‫(‪ )6-3‬الدرجة املعيارية‬

‫‪Statistics‬‬

‫ع ��رف الإح�ص ��اء قديم� � ًا ‪ ،‬وحديث ًا ‪،‬‬ ‫وتتعدد ا�ستخدامات ��ه لت�شمل مجاالت‬ ‫عــــ ��دة فــ ��ي الحي ��اة ‪ .‬وه ��و يهت ��م‬ ‫بجم ��ع البيان ��ات وتنظيمه ��ا وتحليلها‬ ‫وا�ستخال� ��ص النتائج منه ��ا ‪ ،‬ومن ثم‬ ‫اتخاذ القرارات المبنية عليها‪.‬‬

‫الأهداف‬ ‫يتوقع َ‬ ‫من الطالب بع َد درا�سـ ِة هذه‬ ‫الوحد ِة � ْأن يكو َن قاد ًرا َعلى � ْأن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يجم���ع البيـ ـ ــان���ات الالزم ـ ـ ـ ـ���ة لدرا�س ـ ـ ـ��� ٍة‬ ‫�إح�صا ِّئي���ة و ِّ‬ ‫ينظمه���ا في ج ٍ‬ ‫���داول تكرارية ‪.‬‬ ‫‪ُ -2‬يم ِّث���ل توزيع���ات تكراري���ة با�ستخ���دام ‪:‬‬ ‫القطاع���ات الدائر َّية‪،‬الم���د َّرج التك���راري‪،‬‬ ‫الم�ض َّلع التكراري‪.‬‬ ‫‪ -3‬يح�س���ب ك ً‬ ‫ال م���ن الو�س���ط الح�سابي والو�سيط‬ ‫والمنوال لبيانات مبوبة وغير مبوية‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد ك ً‬ ‫ال من الو�سيط والمنوال بالر�سم‪.‬‬ ‫َ‬ ‫المعياري لبيانات مب َّوبة‬ ‫االنحراف‬ ‫‪ -5‬يح�سب‬ ‫َّ‬ ‫وغير مب َّوبة‪.‬‬ ‫‪ -6‬يوجد معامل االرتباط بين متغيرين ِّ‬ ‫ويوظف‬ ‫ذلك في تحديد نوع االرتباط و�ش َّدته‪.‬‬ ‫‪ -7‬ي�ستعمل �شكل االنت�شار لتحديد نوع االرتباط‬ ‫و�شدته‪.‬‬ ‫‪ -8‬يوجد الدرجة المعيارية لدرج ٍة معطاة في‬ ‫ظاهر ٍة مع َّينة‪.‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫� َّإن تق ُّدم الأمم ورق َّيها يعتمد على التخطيط ال�سـليم الذي يعتمد على نتائج علم َّية نتو�صل �إليها بالتجريب‬ ‫كثير من العلوم مثل علم االقت�ص ��اد وعلم االجتماع وعلم النف�س وغيرها‪ ،‬و ُي�سـ َّمى الأ�سـلوب‬ ‫والم�شـاه ��دة في ٍ‬ ‫ال ��ذي ن َّتبعه في تعميم التجرب ��ة ومعالجة النتائج للح�صـول على قوانين ونظر َّي ��ات علم َّية جديدة بالأ�سـلوب‬ ‫العلمي وال�سـ َّيما ف ��ي العلوم التي يعتمد البحث فيها‬ ‫الإح�صائ ِّ���ي للبحث‪،‬فالإح�ص ��اء من �أهم و�سـائل البحث‬ ‫ِّ‬ ‫عل ��ى درا�سـة الم�شـاهدات والتو�صل �إل ��ى نتائج وقوانين‪.‬والنتائج المختلفة للقيا� ��س‪ ،‬كالدرجات التي ح�صل‬ ‫عليها مجموعة من الطالب في اختبا ٍر ما‪� ،‬أو �أ�سـعار ال�سـلع‪� ،‬أو مقادير الإنتاج‪ ،‬ك ُّل هذه النتائج وغيرها تظ ُّل‬ ‫حد كبير عديمة الفائدة والمعنى ما لم يرد تف�سـير لـها‪.‬‬ ‫�إلى ٍّ‬ ‫� َّإن العلم الذي نلج�أ �إليه لتف�سـير النتائج وا�سـتنتاج ما يمكن �أن ن�سـتنبطه منها هو علم الإح�صاء‪.‬‬ ‫ويمكن تعريف الإح�صاء ب�أنَّه الأ�سـلوب العلمي للبحث الذي يهتم بدرا�سـة ظاهر ٍة كون َّية �أو تجريب َّية وذلك عن‬ ‫طريق جمع البيانات الالزمة عنها‪ ،‬وت�صنيفها وعر�ضها جدول ًّيا �أو بيان ًّيا وتلخي�صها بغر�ض تف�سـير الظاهرة‬ ‫المدرو�سـ ��ة وا�سـتنتاج �أو تقدير العالقات الريا�ض َّية التي تحك ��م ت�صرفها التخاذ القرار المنا�سـب ب�شـ�أن � ٍّأي‬ ‫م ��ن هذه الظواهر‪ .‬وقد ا�سـتخدم الإح�ص ��اء منذ زمن بعيد‪ ،‬وكان ا�سـتخدامه قا�ص� � ًرا على الحكومات التي‬ ‫كانت تـهدف من جمع الإح�صاءات ال�سـكان َّية �أو االقت�صاد َّية‪ ،‬في الغالب لمعرفة قدرتـها على خو�ض الحروب‬ ‫�أو كم َّية ال�ضرائب التي يمكن جمعها مثل �إح�صائ َّيات قدماء الم�صر ِّيين من الفراعنة‪ ،‬و�إح�صاء ال�سـكان في‬ ‫اليونان في عام ‪ 590‬قبل الميالد (تقري ًبا)‪.‬‬ ‫وقد ورد ذكر الإح�صاء في كتاب اللهَّ عز وجل في �إحدى ع�شـرة �آية ‪ ،‬تُذ ِّكر الإن�سـان بعجزه وق�صوره عن‬ ‫(‪)1‬‬ ‫َو�أَ َح َ‬ ‫اط ِب َما َل َد ْيهِ ْم َو َ�أ ْح َ�صى ُك َّل �شَ ْي ٍء َع َد ًدا‬ ‫التو�صل �إلى �إح�صاء �أمو ٍر كثيرة كقوله تعالى ‪:‬‬ ‫ُّ‬ ‫(‪)2‬‬ ‫وقوله ج َّل من قائل ‪:‬‬ ‫وها‬ ‫َو�إِن َت ُع ُّدو ْا ِن ْع َم َت اللهّ ِ َال ت ُْح ُ�ص َ‬

‫كما تُذ ِّكر هذه الآيات الب ِّينات الإن�سـان � َّأن �أعماله مح�صاة عليه‪:‬‬ ‫ون َيا َو ْي َل َتنَا َمالِ َهذَ ا ال ِْك َت � ِ‬ ‫ين ُم�شْ ِف ِقي � َ�ن ِم َّما ِفي ِه َو َيقُو ُل َ‬ ‫�اب َف َت َرى ا ْل ُم ْجرِ ِم َ‬ ‫َو ُو ِ�ض� � َع ال ِْك َت � ُ‬ ‫�اب لاَ ُيغَا ِد ُر َ�ص ِغي َر ًة َول‬ ‫(‪)3‬‬ ‫َكبِي َر ًة �إِلاَّ �أَ ْح َ�ص َاها‬ ‫من الآي ِة (‪.)28‬‬ ‫(‪� )1‬سور ُة الجنِ ‪َ ،‬‬ ‫من الآي ِة (‪.)34‬‬ ‫(‪� )2‬سور ُة �‬ ‫إبراهيم‪َ ،‬‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫من الآي ِة (‪.)49‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الكهف‬ ‫(‪� )3‬سور ُة‬ ‫َ‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪108‬‬

‫و� َّأن الإن�سـان �إن ن�سـي ما ق َّدمت يداه ف� َّإن اللهَّ تعالى قد �أح�صاه‪:‬‬ ‫َي ْو َم َي ْب َع ُث ُه ُم اللهَّ ُ َج ِمي ًعا َف ُي َن ِّب ُئ ُهم ِب َم َاع ِم ُلوا �أَ ْح َ�صا ُه اللهَّ ُ َو َن ُ�سو ُه َواللهَّ ُ َع َلى ُك ِّل �شَ ْي ٍء �شَ هِ ي ٌد‬ ‫بدعا بالن�سـبة لنا اال�سـتفادة من علم الإح�صاء‬ ‫فالإح�ص ��اء لي�س غري ًبا علينا �إذن‪ -‬نحن الم�سـلمي ��ن‪ -‬ولي�س ً‬ ‫تقد ِمه وازدهاره‪� ،‬إذ � َّإن �إجراء الإح�صاءات واتِّباع‬ ‫�سـد حاجاته‪ ،‬وعلى ِّ‬ ‫في بناء مجتمعنا وتنميته والعمل على ِّ‬ ‫الأ�سـاليب الإح�صائ َّية‪ ،‬وجمع المعلومات‪ ،‬بـهدف اتخاذ القرارات بد�أت في وقت مب ِّكر منذ بدء بناء المجتمع‬ ‫الإ�سـالمي وت�أ�سـي�س دولة الإ�سـالم الحنيف‪،‬ونورد ما يلي من الحوادث على �سـبيل المثال ال الح�صر‪:‬‬ ‫(‪)4‬‬

‫ع ��ن حذيف ��ة ب ��ن اليمان ر�ضي اللهَّ تعال ��ى عنه‪ ،‬قال‪ :‬كنَّا مع ر�سـول اللهَّ قال‪� :‬أح�صوا لي كم يلفظ‬ ‫بالإ�سـ�ل�ام(‪ ،)5‬ق ��ال‪ :‬فقلنا‪ :‬يا ر�سـ ��ول اللهَّ �أتخاف علينا ونحن بين ال�سـتمائ ��ة وال�سـبعمائة؟‪ ،‬قال‪� :‬إنكم ال‬ ‫تدرون لع َّلكم تبتلوا‪ ،‬قال‪ :‬فابتُلينا‪ ،‬حتى جعل الرجل ال ي�ص ِّلي �إ َّال �سـ ًّرا‪.‬‬ ‫لقري�ش �س�ألـهما ر�سـول اللهَّ‬ ‫�أخبراني‬ ‫وفي غزوة بد ٍر الكبرى‪ ،‬عندما وجد الم�سـلمون رجلين ي�سـقيان‬ ‫ٍ‬ ‫ع ��ن قري� ��ش‪ ،‬قاال‪ :‬ه ��م واللهَّ وراء هذا الكثيب الذي ترى بال ُعدوة الق�صوى‪ ،‬فق ��ال لـهما ر�سـول اللهَّ ‪:‬‬ ‫ويوما‬ ‫يوما ت�سـ ًعا ً‬ ‫ك ��م الق ��وم؟ قاال‪ :‬كثير‪ ،‬قال‪ :‬ما عدتـهم؟ قاال‪ :‬ال ندري‪ ،‬قال‪ :‬كم ينحرون ك َّل يوم‪ ،‬قاال‪ً :‬‬ ‫ع�ش� � ًرا‪ ،‬فقـــ ��ال ر�ســـ ��ول اللهَّ ‪ :‬الق ��وم بين الت�سعمائ ��ة والألف فا َّتبع هذا الأ�سـلـوب لإح�صاء‬ ‫ُجند العد ِّو‪ ،‬ليكون الم�سلمون على ب ِّيـ َن ٍة من الأمر‪.‬‬ ‫وعندم ��ا �أراد الف ��اروق عمر ر�ضي اللهَّ عنه‪� ،‬إ َّبان خالفته تقدير ما يجب عليه �أن يفر�ض للم�سـلمين‪ ،‬جمع‬ ‫�سـتين م�سكينًا و�أطعمهم الخبز‪ ،‬ف�أح�صوا ما �أكلوا فوجدوه يخرج من جريبين‪ ،‬ففر�ض ِّ‬ ‫لكل �إن�سـانٍ منهم‬ ‫ولعياله جريبين في ال�شـهر‪ ،‬ل َّأن الجريبين تكفي �سـتين �أكل ًة‪ ،‬فك�أنَّه ق َّدر ِّ‬ ‫لكل �إن�سـانٍ �أكلتين في اليوم‪ .‬كما‬ ‫�أمر ر�ضي اللهَّ عنه‪ ،‬بكتابة �أ�سـماء النا�س في قوائم ح�سـب �أ�سـبقيتهم للإ�سـالم‪.‬‬ ‫وعندم ��ا دخلت العراق نطاق الخالفة الإ�سـالمية‪ ،‬قي�سـت م�سـاح ��ات الأرا�ضي ال�صالحة للزراعة وجرى‬ ‫تعيينها ح�سـب ُم َّالكها وما تنتجه من محا�صيل‪ ،‬كما َّتم ذلك بالن�سـبة للأرا�ضي الزراعية في بالد ال�شـام‬ ‫وم�صر‪.‬‬ ‫(‪� )4‬سور ُة المجادل ِة‪ ،‬الآي ُة (‪.)6‬‬ ‫(‪ )5‬يلفظ الإ�سالم �أي ينطق به‪ -‬رواه م�سلم‪ /‬باب ‪.67‬‬

‫‪109‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫’’‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫وف ��ي �أيام الخليفة الزاهد عمر بن عبد العزي ��ز‪ ،‬جرى �إح�صا ٌء للفقراء والمعاقين في الدولة الإ�سـالمية‬ ‫المترامية الأطراف‪ ،‬لدفع رواتب منتظمة لـهم من بيت مال الم�سـلمين‪.‬‬ ‫متعددة من الن�شـاطات‬ ‫وم ��ع تق ُّدم الح�ض ��ارة الإن�سـان َّية تع َّددت ا�سـتخدامات الإح�صاء لت�شـمل مج ��االت ِّ‬ ‫الإن�سـان َّي ��ة‪ ،‬كال�صح ��ة وال�صناع ��ة والتج ��ارة والتعليم وكاف ��ة جـــــوانب التنمي ��ة‪ .‬كما ا�سـتخدم ��ت كثي ٌر من‬ ‫الم�ؤ�سـ�س ��ات ‪ -‬حت ��ى غير الحكومي ��ة ‪ -‬الحديثة الإح�صائيين لإع ��داد الدرا�سـات والبح ��وث لتو�ضيح مقدار‬ ‫تقدمها �أو لتر�شـيدها‪،‬‬ ‫للتو�سـع في الخدمات التي ِّ‬ ‫الخدمات التي تقوم بـها ومدى �أهم َّيتها‪ ،‬وكذلك التخطيط ُّ‬ ‫ولوال علم الإح�صاء لما ا�سـتطعنا �أن نربط الإنتاج باال�سـتهالك ولع َّمت الفو�ضى في االقت�صاد العالمي‪.‬‬ ‫والجدي ��ر بالذك ��ر �أنَّه عندما ُيراد بحث ظاهر ٍة من الظواهر �أو م�شكل� � ٍة من الم�شكالت ف�إن الباحث يلج�أ �إلى‬ ‫الدرا�سة الإح�صائية والتي تتلخ�ص خطواتها فيما يلي ‪:‬‬

‫خطوات الدرا�سـة الإح�صائية‬ ‫‪) 1‬‬ ‫‪ )2‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪) 4‬‬ ‫‪) 5‬‬

‫تحديد الم�شـكلة ( �أو هدف البحث ) بدقَّة‪.‬‬ ‫جمع البيانات الالزمة لدرا�سـة الم�شـكلة بعناية‪.‬‬ ‫عر�ض البيانات ملخ�ص ًة بالطرق الجدول َّية‪� ،‬أو البيان َّية المنا�سبة‪.‬‬ ‫المتو�سـطات �أو خالفها‪.‬‬ ‫اخت�صار البيانات بح�سـاب بع�ض‬ ‫ِّ‬ ‫ا�سـتنتاج �أ�سـباب الم�شـكلة �أو مقارنتها مع غيرها �أو اقتراح حلول لـها‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪110‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫‪1-3‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫‪The Frequency Tables‬‬

‫جمع البيانات‬ ‫عند القيام ب� ِّأي درا�س� � ٍة �إح�صائ َّية يت ُّم‬ ‫�أو ًال تحدي ��د م�شكل ��ة البح ��ث تحدي � ً�دا‬ ‫تا ًّما‪ ،‬كما يت ُّم تحديد مجتمع البحث �أو‬ ‫ما ُي�س َّم ��ى بالمجتمع الإح�صائي والذي‬ ‫هو عبارة عن مجموعة المفردات التي‬ ‫له ��ا عالقة بالم�شكل ��ة مو�ضوع البحث‪.‬‬ ‫ً‬ ‫فمث�ل�ا �إذا كان مو�ض ��وع البح ��ث ه ��و‬ ‫درا�س ��ة �أعم ��ار الط�ل�اب ف ��ي مدر�سة‬ ‫ثانوي ��ة ف� �� َّإن المجتم ��ع الإح�صائي هو مجموعة ط�ل�اب تلك المدر�سة ‪ .‬و بعد ذل ��ك ننتقل �إلى‬ ‫المرحل ��ة الثاني ��ة من خطوات الدرا�س ��ة الإح�صائية و ه ��ي جمع البيان ��ات الإح�صائية و التي‬ ‫الدقة عن ظاهر ٍة مع َّين ٍة من م�صد ٍر‬ ‫بال�صحة و ِّ‬ ‫يق�ص ��د بها الح�صــول على معلومات ت َّت�صــــف ِّ‬ ‫مع َّينٍ في فتر ٍة زمني ٍة مح َّدد ٍة و بطريق ٍة �سليمة ‪.‬‬

‫م�صادر جمع البيانات ‪:‬‬

‫تنق�سم م�صادر جمع البيانات الالزمة ل ِّأي درا�س ٍة �إح�صائية �إلى نوعين ‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫�سجالت �سابقة مثل ن�شرات م�صلحة‬ ‫‪ )1‬م�ص���ادر ت�أريخي���ة ‪ :‬وهي بيانات جاهزة لال�ستخدام و مد َّونة في‬ ‫الإح�ص ��اءات العامة بوزارة المالية و االقت�صاد الوطن ��ي ‪ ،‬و الكتاب ال�سنوي لإح�صاءات التعليم الذي‬ ‫ت�ص ��دره وزارة التربي ��ة و التعلي ��م ‪ ،‬و الكتاب الإح�صائي ل ��وزارة الداخلية ‪� ،‬أو �إنج ��ازات التنمية التي‬ ‫ت�صدره ��ا وزارة التخطيط ‪ ،‬و ي�ساعد ا�ســـتخدام ه ��ذه الم�صادر في توفير الوقــــت و الجهد الب�شــري‬ ‫و التكاليف المادية ‪.‬‬ ‫‪ )2‬م�ص���ادر ميداني���ة ‪� :‬أما في حالة عدم توافر البيانات الإح�صائية في الم�صادر الت�أريخية ‪ ،‬فال بد من‬ ‫ا ِّتب ��اع �أ�سلوب جمع البيانات من الميدان �أو حقل الدرا�سة و ذلك عن طريق �إعداد بطاقة ( ا�ستبانة )‬ ‫�إح�صائية تت�ضمن مجموعة من الأ�سئلة و اال�ستف�سارات حول مو�ضوع الدرا�سة ‪ .‬و تجمع البيانات من‬ ‫الم�صادر الميدانية بع َّدة طرق منها ‪ :‬المقابلة ال�شخ�صية ‪ ،‬المرا�سلة بالبريد ‪ ،‬الهاتف ‪.‬‬

‫‪111‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫�أ�سلوب جمع البيانات ‪:‬‬ ‫‪ )1‬الح�صر ال�شامل ‪ :‬و يكون فيه جمع البيانات من جميع �أفراد مجتمع الدرا�سة ‪ .‬و ي�ستخدم في حالة كون‬ ‫المجتمع �صغي ًرا مثل طالب مدر�سة ثانوية �أو في حالة تباعد الأزمنة التي فيها الدرا�سة كالتعداد ال�شامل‬ ‫لل�س ��كان و ال ��ذي يف�ض ��ل �إجرا�ؤه ك َّل ع�ش ��ر �سنوات ‪ .‬و يمتاز الح�ص ��ر ال�شامل في �إعط ��اء الباحث �صورة‬ ‫خا�ص ًة في‬ ‫كامل ��ة عن مجتمع الدرا�س ��ة ‪ .‬و من عيوبه تكاليفه الباهظة ‪ ،‬و طول الوق ��ت الالزم لإجرائه و َّ‬ ‫المجتمعات ذات الكثافة ال�س َّكانية الكبيرة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬الع ِّين���ة ‪ :‬يت� � ُّم ف ��ي هذا الأ�سلوب جم ��ع البيانات من مجموعة جزئية من مجتم ��ع �إح�صائي ت�سمى ع ِّينة ‪.‬‬ ‫و يت� � ُّم اختياره ��ا بحيث تكون مم ِّثل ًة للمجتمع الإح�صائي ‪ ،‬بمعن ��ى �أن تكون ك ُّل خ�صائ�ص المجتمع مم َّثل ًة‬ ‫ف ��ي الع ِّين ��ة المختارة و ذلك من �أج ��ل تعميم النتائج التي نح�صل عليها م ��ن درا�سة الع ِّينة على المجتمع‬ ‫جدا كما ي�ساعد في توفير‬ ‫الإح�صائ ��ي جميع ��ه ‪ .‬و ي�ستخدم �أ�سلوب الع ِّينة في درا�سة المجتمعات الكبيرة ً‬ ‫مجتمع ما فلو �أردنا _ مث ً‬ ‫ال_ معرفة‬ ‫الجه ��ود و التكاليف ‪ ،‬و تكون �أحيا ًنا هي الأ�سلوب الوحيد لدرا�سة‬ ‫ٍ‬ ‫ع ��دد كريات الدم الحم ��راء في الملليمتر المكع ��ب لمجموع ٍة من المر�ضى ‪ ،‬عندئ � ٍ�ذ ي�ستحيل ا�ستخدام‬ ‫�أ�سل ��وب الح�ص ��ر ال�شامل ِّ‬ ‫لكل دم المري�ض ‪ ،‬حيث نلج�أ في هذه الحالة �إلى �أخذ ع ِّين ٍة �أو كم َّي ٍة �صغير ٍة من‬ ‫الدم و فح�صها ‪.‬‬

‫و�سنعر�ض فيما يلي مجموعة من البيانات الإح�صائية المختلفة‪:‬‬ ‫‪ُ )1‬ك ِّل ��ف �أح ��د الط�ل�اب بت�سجيل تقدي ��رات ‪ 48‬طال ًبا في اختبار م ��ادة الريا�ضيات لل�ص ��ف الأول الثانوي‬ ‫فح�صل على البيانات التالية‪:‬‬ ‫ممتاز‬ ‫ممتاز‬ ‫ممتاز‬ ‫جيد جيد ج ًدا �ضعيف‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫جيد ج ًدا مقبول �ضعيف جيد ج ًدا جيد‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد جيد ج ًدا جيد‬ ‫جيد جيد ج ًدا‬ ‫مقبول‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫ممتاز‬ ‫ممتاز‬ ‫�ضعيف جيد ج ًدا ممتاز‬ ‫مقبول‬ ‫جيد ج ًدا �ضعيف جيد ج ًدا‬ ‫جيد‬ ‫�ضعيف �ضعيف‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫جيد جيد ج ًدا جيد‬ ‫جيد‬ ‫�ضعيف جيد ج ًدا مقبول‬ ‫بيانات ( ‪) 1 - 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪112‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫لنوع مع َّينٍ من ال�س َّيارات عند �سكان �إحدى‬ ‫‪� )2‬أراد وكي ��ل �إحدى �ش ��ركات ال�س َّيارات معرفة الألوان‬ ‫َّ‬ ‫المف�ضلة ٍ‬ ‫المدن ‪ ،‬فك َّلف �أحد موظفيه بالوقوف في �أحد الميادين الرئي�سية في المدينة خالل فتر ٍة مح َّددة وت�سجيل‬ ‫لون ِّ‬ ‫كل �س َّيار ٍة تم ُّر �أمامه من هذا النوع فح�صل على البيانات التالية‪:‬‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أحمر‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أزرق‬ ‫�أزرق‬

‫�أحمر‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أ�صفر‬ ‫�أبي�ض‬

‫�أبي�ض‬ ‫�أزرق‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أبي�ض‬

‫�أزرق‬ ‫�أحمر‬ ‫�أبي�ض‬ ‫�أحمر‬ ‫�أزرق‬

‫�أحمر‬ ‫�أزرق‬ ‫�أحمر‬ ‫�أبي�ض‬

‫�أبي�ض‬ ‫�أحمر‬ ‫�أزرق‬ ‫�أحمر‬

‫�أبي�ض‬ ‫�أزرق‬ ‫�أحمر‬ ‫�أحمر‬

‫�أ�صفر‬ ‫�أ�صفر‬ ‫�أ�صفر‬ ‫�أبي�ض‬

‫بيانات ( ‪) 2 - 3‬‬

‫‪� )3‬أراد مع ِّل ٌم معرفة عدد �أفراد �أ�سرة ِّ‬ ‫طالب من طالب ف�صله فجعل ك َّل ٍ‬ ‫كل ٍ‬ ‫ي�سجل عدد �أفراد �أ�سرته‬ ‫طالب ِّ‬ ‫على ال�سبورة و ح�صل بذلك على البيانات التالية‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫بيانات ( ‪) 3 - 3‬‬

‫‪ )4‬البيانات التالية تُم ِّثل عدد الف�صول في ‪ 35‬مدر�سة متو�سطة للبنات بجدة في �أحد الأعوام ‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬

‫بيانات ( ‪) 4 - 3‬‬

‫حاول �أن ت�ص ِّنف البيانات الإح�صائية ال�سابقة ؟‬

‫‪113‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫تو�صلت �إلى �أ َّن البيانات الإح�صائية تُ�صنَّف �إلى نوعين ‪:‬‬ ‫لع َّلك َّ‬

‫‪ ) 1‬بيان���ات نوع َّي���ة (و�صف َّي���ة) ‪ :‬وه ��ي البيانات التي ال يمك ��ن التعبير عن مفرداتها ب�أرق ��ام عدد َّية مثل‬ ‫التقدير في االمتحان ‪ ،‬لون ال�س َّيارة ‪ ،‬لون العينين ‪ ،‬الجن�س ‪ ،‬الحالة االجتماعية ‪� ... ،‬إلخ‬ ‫‪ )2‬بيانات كم َّية ( عدد َّية ) ‪ :‬وهي البيانات التي يمكن التعبير عن مفرداتها بقيم عدد َّية مثل عدد �أفراد‬ ‫الأ�سرة ‪ ،‬الأعمار ‪ ،‬الأطوال ‪ ،‬الأوزان ‪ ،‬درجات الحرارة ‪� ... ،‬إلخ‬

‫تدريب ( ‪) 1-3‬‬ ‫المف�ضلة لثالثي ��ن فر ًدا من جيران ��ك �أو �أقـارب ��ك الذين تتراوح‬ ‫‪ )1‬اجم ��ع البيـان ��ات الت ��ي تُم ِّثل الهوايـ ��ات‬ ‫َّ‬ ‫عاما ‪.‬‬ ‫�أعمـارهم بين ‪ً 20 - 15‬‬ ‫‪ )2‬اجمع البيانات التي تُم ِّثل عدد ال�ساعات التي ي�ستغرقها ك ُّل ٍ‬ ‫طالب من �صفِّك في المذاكرة يوم ًّيا ‪.‬‬ ‫‪� )3‬ص ِّنف البيانات في ٍّ‬ ‫كل من (‪. )2( ، )1‬‬

‫التوزيعات (الجداول) التكرار َّية‬ ‫بع ��د جمع البيانات وت�سجيله ��ا ف�إنَّه يلزم تنظيمها وتبويبها في جداول لتب�سيط درا�ستها وا�ستخال�ص النتائج‬ ‫منه ��ا ‪ ،‬وتُ�س َّم ��ى هذه الجداول بالج���داول ( �أو التوزيعات ) التكرار َّي���ة‪ .‬و�سنعر�ض في هذا البند كيفية و�ضع‬ ‫البيانات الإح�صائية في جداول تكرارية ح�سب نوع البيانات من حيث كونها نوع َّية �أو كم َّية ‪.‬‬

‫تبويب البيانات النوع َّية ‪:‬‬ ‫يت ُّم تبويب البيانات النوع َّية في جدولٍ ُي�س َّمى جدو ًال تكرار ًّيا ً‬ ‫يو�ضح ذلك ‪.‬‬ ‫ب�سيطا والمثال التالي ِّ‬

‫مثال (‪)1-3‬‬ ‫�سنق ��وم بتفري ��غ بيان ��ات ( ‪ ) 1 - 3‬في جدول ( ‪ ) 1 - 3‬و الذي ُي�س َّمى بج���دول التفريغ لتوزيع‬ ‫التقديرات و يتك َّون من ثالثة �أعمدة كما يلي ‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪114‬‬

‫الجداول التكرارية‬ ‫ن�سجل فيه التقديرات التي ح�صل عليها‬ ‫العمود الأول و ُي�س َّمى في هذا المثال عمود التقدير ‪ِّ ،‬‬ ‫جدا ‪ ،‬جيد ‪ ،‬مقبول ‪� ،‬ضعيف ‪.‬‬ ‫الطالب وهي ‪ :‬ممتاز ‪ ،‬جيد ً‬ ‫ن�سجل فيه عالمات ت ��دل على تكرار ك َّل تقدير وذلك‬ ‫العمود الثاني و ُي�س َّم ��ى عمود العالمات ‪ِّ ،‬‬ ‫ب�أن نقر�أ التقديرات الموجودة في بيانات ( ‪ ) 1 - 3‬وليكن ذلك �أفق ًّيا‪ -‬مث ً‬ ‫ال ‪،-‬‬ ‫ون�ضع ًّ‬ ‫خطا مائال‬ ‫( ‪� ) /‬أم ��ام � ِّأي تقدي ��ر ك َّلما ظهر ‪ ،‬وفي حالة الح�صـــ ��ول على �أربعــــــــــة خطوط‬ ‫) عند ظهور‬ ‫) ف�إنَّنا ن�ضع الخط الخام�س في االتجاه الآخر (‬ ‫(‬ ‫) بالحزمة ‪.‬‬ ‫ذلك التقدير للم َّرة الخام�سة ‪ ،‬و ُي�س َّمى (‬ ‫ن�سجل فيه عدد العالمات �أم ��ام ك َّل تقدير وتُ�س َّمى هذه‬ ‫العمود الثالث و ُي�س َّم ��ى عم ��ود التكرار ‪ِّ ،‬‬ ‫الأعداد بالتكرارات ‪ ،‬ويج ��ب مالحظة �أن يكون مجموع التكرارات م�ساو ًيا لعدد‬ ‫مفردات بيانات ( ‪) 1 - 3‬‬ ‫التقدير‬ ‫ممتاز‬ ‫جدا‬ ‫جيد ً‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫�ضعيف‬ ‫المجموع‬

‫جدول التفريغ‬

‫التكرار (عدد الطالب)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪48‬‬

‫العالمات‬

‫جدول ( ‪) 1 - 3‬‬

‫وبح ��ذف عم ��ود العالمات من ج ��دول التفريغ‬ ‫نح�صل على الجدول التكراري الب�سيط لتوزيع‬ ‫التقديرات المجاور ‪:‬‬

‫ويمكننا كتابة هذا الجدول �أفق ًّيا كما يلي ‪:‬‬ ‫جدا‬ ‫التقدير‬ ‫ممتاز جيد ً‬ ‫‪10‬‬ ‫التكرار (عدد الطالب) ‪6‬‬

‫‪115‬‬

‫الجدول التكراري الب�سيط‬

‫التقدير‬ ‫ممتاز‬ ‫جدا‬ ‫جيد ً‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫�ضعيف‬ ‫المجموع‬ ‫جيد‬ ‫‪19‬‬

‫التكرار (عدد الطالب)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪48‬‬

‫جدول ( ‪) 2 - 3‬‬

‫مقبول‬ ‫‪6‬‬

‫�ضعيف المجموع‬ ‫‪48‬‬ ‫‪7‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫تدريب ( ‪) 2-3‬‬ ‫المف�ضل لدى �أكبر ٍ‬ ‫عدد من‬ ‫حدد لون ال�س َّي ��ارة‬ ‫َّ‬ ‫�أن�ش ��ئ الج ��دول التكراري الب�سي ��ط لبيانات ( ‪ ) 2 – 3‬و منه ِّ‬ ‫ال�س َّكان ‪.‬‬

‫تبويب البيانات الكم َّية ‪:‬‬ ‫يت ُّم تبويب البيانات الكم َّية ب�إحدى الطريقتين التاليتين ‪:‬‬

‫ٍ‬ ‫تكراري ب�سيط ‪:‬‬ ‫جدول‬ ‫‪ )1‬تبويب البيانات الكم َّية في‬ ‫ٍّ‬

‫ن َّتبع في هذه الطريقة ما ا َّتبعناه في تبويب البيانات النوع َّية‬

‫مثال (‪)2-3‬‬ ‫المو�ضح في بيانات ( ‪ ) 3 - 3‬و منه‬ ‫�أن�شئ الجدول التكراري الب�سيط لتوزيع عدد �أفراد الأ�سر‬ ‫َّ‬ ‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫‪ )1‬عدد الأ�سر المك َّونة من ثالثة �أفراد ‪.‬‬ ‫‪ )2‬عدد الأ�سر التي يق ُّل عدد �أفرادها عن ‪5‬‬ ‫‪ )3‬عدد الأ�سر التي يزيد عدد �أفرادها عن ‪4‬‬

‫الحل‬

‫نرتِّب �أعداد �أفراد الأ�سر الواردة في بيانات ( ‪ ) 3 - 3‬ت�صاعد ًّيا كما يلي ‪7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 :‬‬ ‫ون�سجلها في العمود الأول بهذا الترتيب ‪ ،‬وفيما يلي جدول التفريغ لتوزيع عدد �أفراد الأ�سر ‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫عدد �أفراد الأ�سرة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫المجموع‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫جدول التفريغ‬

‫العالمات‬

‫جدول ( ‪) 3 - 3‬‬

‫‪116‬‬

‫التكرار (عدد الأ�سر )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬

‫الجداول التكرارية‬ ‫و بحذف عمود العالمات نح�صل على الجدول التكراري الب�سيط لتوزيع عدد �أفراد الأ�سر التالي ‪:‬‬ ‫الجدول التكراري الب�سيط‬

‫التكرار (عدد الأ�سر )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬

‫عدد �أفراد الأ�سرة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫المجموع‬

‫جدول ( ‪)4 - 3‬‬

‫ومنه نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ )1‬عدد الأ�سر المكونة من ثالثة �أفراد = ‪. 8‬‬ ‫‪ )2‬عدد الأ�سر التي يق ُّل عدد �أفرادها عن ‪. 14 = 5+8+1 = 5‬‬ ‫‪ )3‬عدد الأ�سر التي يزيد عدد �أفرادها عن ‪. 16 = 5+4+7 = 4‬‬

‫تدريب ( ‪) 3-3‬‬ ‫�أن�شئ جدو ًال تكرار ًّيا ً‬ ‫ب�سيطا للبيانات التالية التي تُم ِّثل �أعمار ‪ 40‬زائ ًرا لأحد الم�صانع مق َّدر ًة بال�سنوات ‪:‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪20‬‬

‫‪38‬‬

‫‪35‬‬

‫‪40‬‬

‫‪17‬‬

‫‪15‬‬

‫‪32‬‬

‫‪32‬‬

‫‪31‬‬

‫‪35‬‬

‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪28‬‬

‫‪29‬‬

‫‪17‬‬

‫‪33‬‬

‫‪21‬‬

‫‪43‬‬

‫‪30‬‬

‫‪34‬‬

‫‪24‬‬

‫‪26‬‬

‫‪28‬‬

‫‪27‬‬

‫‪18‬‬

‫‪44‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪22‬‬

‫‪22‬‬

‫‪21‬‬

‫‪19‬‬

‫‪39‬‬

‫‪40‬‬

‫‪41‬‬

‫‪38‬‬

‫‪23‬‬

‫‪16‬‬

‫‪38‬‬

‫‪117‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫تكراري ذي فئات ‪:‬‬ ‫‪ )2‬تبويب البيانات الكم َّية في جدولٍ‬ ‫ٍّ‬

‫�إذا كانت البيانات كثير ًة وتحتوي على ٍ‬ ‫عدد كبير من القيم غير المت�ساوية ‪ ،‬ف�إنَّه من غير المنا�سب و�ضعها‬ ‫جدا وت�صع ��ب درا�سته �إح�صائ ًّيا‬ ‫ف ��ي ج ��دولٍ تكراري ب�سيط ‪ ،‬حي ��ث � َّأن مثل هذا الجدول �سيك ��ون طوي ًال ً‬ ‫يو�ضح ذلك ‪:‬‬ ‫ولذلك نلج�أ �إلى تبويبها فيما ّي�س َّمى بالجدول التكراري ذي الفئات ‪ ،‬و المثال التالي ّ‬

‫مثال (‪)3-3‬‬ ‫لع َّل ��ك الحظت عند تبويب البيانات في تدري ��ب ( ‪ ) 3 - 3‬في جدولٍ تكراري ب�سيط � َّأن الجدول‬ ‫الذي ح�صلت عليه طويل ولي�س من ال�سهل ا�ستخال�ص النتائج منه ‪ ،‬و لتبويب مثل هذه البيانات‬ ‫في جدولٍ تكراري ذي فئات ن َّتبع الخطوات التالية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬نب ��د�أ بالبح ��ث عن �أ�صغر قيمة و�أكب ��ر قيمة في البيانات وهما هن ��ا ‪ 44 ، 15‬توالي ًا ‪ ،‬ثم‬ ‫(مجموعة الأعداد الطبيعية‬ ‫نحدد عدد عنا�صر المجموعة‬ ‫ِّ‬ ‫المتتالي ��ة التي تبد�أ بالعدد ‪ 15‬وتنتهي بالعدد ‪ )44‬وي�س َّمى عدد عنا�صر هذه المجموعة‬ ‫بالمدى ‪ ،‬ويتم ح�ساب المدى من القاعدة التالية ‪:‬‬ ‫المدى= �أكبر قيمة ‪� -‬أ�صغر قيمة ‪1 +‬‬

‫(‪)1–3‬‬

‫فيكون المدى هنا = ‪30= 1 + 15 -44‬‬ ‫�إلى مجموعات جزئية منف�صلة ومت�ساوية‬ ‫ نق�سم المجموعة‬ ‫‪ِّ )2‬‬ ‫في عدد عنا�صرها ت�س َّمى ك ُّل واحد ٍة منها فئة ‪ ،‬وي�س َّمى عدد عنا�صر الفئة بطول الفئة ‪.‬‬ ‫ويت ��م ذلك ب� ��أن نختار طول منا�سب للفئة َّثم بق�سمة المدى على طول الفئة نح�صل على‬ ‫عدد الفئات ‪ ،‬و ال توجد قاعدة مع َّينة الختيار طول الفئة بل يعتمد ذلك على الخبرة في‬ ‫المقام الأول �إ َّال �أنَّه ال بد من مراعاة ما يلي ‪:‬‬ ‫�أ َّال يك ��ون ط ��ول الفئة كبي ًرا وبالتالي يك ��ون عدد الفئات �صغي� � ًرا ال يع ِّبر عن خ�صائ�ص‬ ‫انت�شار البيانات‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪118‬‬

‫الجداول التكرارية‬ ‫�أ َّال يكون طول الفئة �صغي ًرا وبالتالي يكون عدد الفئات كبي ًرا فينتفي الهدف من تلخي�ص‬ ‫البيانات في فئات‪.‬‬ ‫( من المنا�سب �أ َّال يق َّل عدد الفئات عن �ستة وال يزيد عن اثني ع�شر )‬ ‫و في هذا المثال نختار طول الفئة = ‪ 5‬وعليه ف� َّإن عدد الفئات = ‪ 6 = 5 30‬فئات حيث ‪:‬‬ ‫الفئة الأولى تحوي الأعمار من ‪� 15‬إلى ما هو �أ�صغر من ‪ 20‬وتُكتب ‪ 20-15‬واخت�صا ًرا ‪-15‬‬ ‫الفئة الثانية تحوي الأعمار من ‪� 20‬إلى ما هو �أ�صغر من ‪ 25‬و تُكتب ‪ 25- 20‬واخت�صا ًرا ‪-20‬‬ ‫‪ ...‬و هكذا �إلى �أن ن�صل �إلى الفئة الأخيرة و تحوي الأعمار من ‪� 40‬إلى ما هو �أ�صغر من‬ ‫‪ 45‬و تُكتب ‪45-40‬‬ ‫الفئة الأولى البد �أن ت�شتمل �أو تبد�أ ب�أ�صغر قيمة و الفئة الأخيرة البد �أن ت�شتمل على �أكبر قيمة‪.‬‬ ‫ن�سجل في العمود الأول‬ ‫‪ )3‬نك ِّون جدو ًال تفريغ ًّيا ( جدول ( ‪ )) 5 – 3‬من ثالثة �أعمدة حيث ِّ‬ ‫فئ ��ات الأعمار ‪،‬وفي العمود الثاني العالمات كما فعلنا ف ��ي الأمثلة ال�سابقة مع مالحظة‬ ‫ون�سجل في العمود الثالث‬ ‫�أنَّنا هنا ن�ضع عالمة لكل مفردة �أمام الفئة التي تنتمي �إليها ‪ِّ ،‬‬ ‫(عمود التكرار) عدد العالمات في ِّ‬ ‫كل فئة والذي ي�س َّمى تكرار الفئة‪.‬‬ ‫جدول التفريغ‬

‫العالمات‬

‫فئات الأعمار‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪45-40‬‬ ‫المجموع‬

‫جدول ( ‪) 5 - 3‬‬

‫‪119‬‬

‫عدد الزوار(التكرار)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪40‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫‪ )4‬نح ��ذف عمود العالمات من ج ��دول التفريغ فنح�صل على الجدول التكراري ذي الفئات‬ ‫لتوزيع �أعمار الز َّوار التالي ‪:‬‬ ‫فئات الأعمار‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪45-40‬‬ ‫المجموع‬

‫عدد الز َّوار (التكرار)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪40‬‬

‫جدول ( ‪)6 - 3‬‬

‫وفيما يلي نق ِّدم بع�ض المفهومات الإح�صائية التي �ستفيدنا الحقاً ‪:‬‬ ‫الحد الأدنى‬ ‫ن�سمي العددين ‪َ 15‬و ‪ 20‬ح��� َّدي الفئة الأولى ‪ -15‬حيث ‪ 15‬هو ُّ‬ ‫‪ )1‬ف ��ي الج ��دول ( ‪ِّ ) 6 - 3‬‬ ‫الحد الأعلى للفئة الأولى‪ ،‬والعددين ‪َ 20‬و ‪ 25‬هما ح َّدا الفئة الثانية ‪ -20‬حيث‬ ‫للفئة الأولى ‪ 20 ،‬هو ُّ‬ ‫الحد الأعلى للفئة الثانية‪ ... ،‬وهكذا ‪.‬‬ ‫الحد الأدنى للفئة الثانية ‪ 25 ،‬هو ُّ‬ ‫‪ 20‬هو ُّ‬ ‫‪ )2‬ن�ستنتج من (‪َّ � )1‬أن ‪:‬‬ ‫طول الفئة الحدالأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة‬

‫(‪)2–3‬‬

‫‪ )3‬القيمة الواقعة في منت�صف الفئة ت�س َّمى مركز الفئة ‪ ،‬و نالحظ �أنَّه بعد توزيع المفردات على الفئات‬ ‫داخ ��ل الج ��دول التكراري تختفي هذه المفردات وت�ضيع معالمها ‪ ،‬وك ُّل ما يمكن معرفته عن � ٍّأي منها‬ ‫�أ َّنه ��ا واحد ٌة من مفردات فئ ٍة مع َّينة في الجدول ولل�سهول ��ة نفر�ض �أنَّها ت�أخذ قيمة مركز هذه الفئة ‪.‬‬ ‫ويت ُّم ح�ساب مركز الفئة با�ستخدام �إحدى ال�صيغتين ‪:‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪120‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫مركز الفئة‬ ‫مركز الفئة‬

‫الحد الأدنى للفئة الحد الأعلى للفئة‬

‫(‪)3–3‬‬

‫طول الفئة‬

‫(‪)4–3‬‬

‫الحد الأدنى للفئة‬

‫ففي المثال ال�سابق ‪:‬مركز الفئة الأولى‬

‫(با�ستخدام ال�صيغة (‪) )3-3‬‬

‫�أوجد مراكز الفئات الأخرى في المثال ال�سابق (با�ستخدام ال�صيغة (‪. ) )4-3‬‬

‫مثال (‪)4-3‬‬ ‫�وم بالمليمتر‬ ‫البيان ��ات الآتي ��ة ِّ‬ ‫تو�ضح كمية الأمط ��ار التي �سقطت على مدين� � ٍة ما خالل ‪ 100‬ي � ٍ‬ ‫المك َّعب‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪75‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪87‬‬

‫‪93‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪109‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪96‬‬

‫‪115‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪117‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪82‬‬

‫‪116‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪78‬‬ ‫‪97‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪105‬‬

‫‪96‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪109‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪97‬‬

‫�أن�شئ جدو ًال تكرار ًّيا ذا فئات ُيم ِّثل هذه البيانات‪.‬‬

‫‪121‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫الحل‬ ‫نحدد المدى ‪:‬‬ ‫‪ِّ )1‬‬ ‫المدى = �أكبر قيمة ‪� -‬أ�صغر قيمة ‪68 =1+62-129 = 1 +‬‬ ‫‪ )2‬نخت ��ار ط ��و ًال منا�س ًبا للفئة ‪ ،‬وفي هذا المثال يكون �أن�س ��ب طول للفئة هو ( ‪ ، ) 10‬وحيث � َّإن‬ ‫‪ 6‚8= 10 68‬يكون عدد الفئات = ‪ 7‬فئات وهي ‪130 -120، ... ، -90 ، -80 ، -70 ، -60 :‬‬ ‫‪ )3‬نك ِّون جدول التفريغ ( ‪ ) 7 - 3‬التالي ‪ :‬‬ ‫جدول التفريغ‬

‫فئات كمية الأمطار بالملم‪3‬‬

‫العالمـــــات‬

‫‪-60‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪-110‬‬ ‫‪130-120‬‬ ‫المجموع‬

‫عدد الأيام (التكرار)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪100‬‬

‫جدول ( ‪) 7 - 3‬‬

‫‪ )4‬نح ��ذف العم ��ود الأو�سط (عمود العالمات) من الج ��دول ( ‪ ) 7 – 3‬فنح�صل على الجدول‬ ‫(‪ ) 8 - 3‬و هو الجدول التكراري ذو الفئات المطلوب ‪.‬‬ ‫فئات كمية الأمطار بالملم‪3‬‬ ‫عدد الأيام (التكرار)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-110‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪130-120‬‬ ‫المجموع‬ ‫‪100‬‬ ‫جدول ( ‪)8 - 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪122‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫مثال (‪) 5-3‬‬ ‫باالعتماد على جدول ( ‪ ) 8 – 3‬في المثال ال�سابق ‪� ،‬أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫عدد الأيام التي تقع كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها �ضمن الفئة ‪– 80‬‬ ‫فئة كم َّية الأمطار التي تكرارها ‪.30‬‬ ‫جـ عدد الأيام التي كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها �أقل من ‪ 90‬ملم‪.3‬‬ ‫د عدد الأيام التي كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها ‪ 110‬ملم‪ 3‬ف�أكثر‪.‬‬

‫الحل‬

‫يوما‬ ‫عدد الأيام التي تقع كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها �ضمن الفئة ‪ – 80‬ي�ساوي ‪ً 20‬‬ ‫فئة كم َّية الأمطار التي تكرارها ‪ 30‬هي ‪– 90‬‬ ‫يوما‬ ‫جـ عدد الأيام التي كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها �أقل من ‪ 90‬ملم‪ً 40= 20+15+5 = 3‬‬ ‫يوما‬ ‫د عدد الأيام التي كم َّية الأمطار ال�ساقطة فيها ‪ 110‬ملم‪ 3‬ف�أكثر =‪ً 15 =5 +10‬‬

‫تدريب ( ‪) 4-3‬‬ ‫ِقي�ست �أطوال ‪ 48‬طال ًبا بال�سنتيمتر في �إحدى المدار�س الثانوية فكانت على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪147‬‬ ‫‪162‬‬ ‫‪157‬‬ ‫‪162‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪160‬‬

‫‪171‬‬ ‫‪167‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪173‬‬ ‫‪182‬‬

‫‪173‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪161‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪166‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪167‬‬ ‫‪172‬‬ ‫‪149‬‬ ‫‪153‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪173‬‬

‫‪165‬‬ ‫‪177‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪179‬‬ ‫‪156‬‬ ‫‪158‬‬

‫‪168‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪170‬‬ ‫‪159‬‬ ‫‪161‬‬ ‫‪162‬‬

‫‪167‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪158‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪168‬‬

‫‪178‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪159‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪162‬‬ ‫‪154‬‬

‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًّيا ذا فئات يم ِّثل هذه البيانات ‪.‬‬

‫‪123‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫‪13‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫المف�ضلة لدى ‪ 25‬طال ًبا في �إحدى المدار�س‪:‬‬ ‫‪ 1‬تم ِّثل البيانات التالية الريا�ضة‬ ‫َّ‬ ‫كرة القدم‬ ‫ال�سباحة‬ ‫كرة القدم‬ ‫ال�سباحة‬ ‫تن�س الطاولة‬

‫كرة ال�سلة‬ ‫الم�شي‬ ‫كرة القدم‬ ‫كرة القدم‬ ‫كرة ال�سلة‬

‫ال�سباحة‬ ‫الم�شي‬ ‫الم�شي‬ ‫كرة القدم‬ ‫ال�سباحة‬

‫كرة القدم‬ ‫كرة ال�سلة‬ ‫�ألعاب قوى‬ ‫الم�شي‬ ‫ال�سباحة‬

‫تن�س الطاولة‬ ‫كرة القدم‬ ‫الم�شي‬ ‫�ألعاب قوى‬ ‫كرة ال�سلة‬

‫�أن�شئ جدو ًال تكرار ًيا ً‬ ‫ب�سيطا لهذه البيانات‪.‬‬ ‫تو�ضح المهن المختلفة لثالثين عام ًال ‪:‬‬ ‫‪ 2‬البيانات التالية ِّ‬ ‫نجار‬ ‫َّ‬ ‫نجار‬ ‫َّ‬ ‫ح َّداد‬ ‫كهربائي‬ ‫بنَّاء‬

‫بنَّاء‬ ‫كهربائي‬ ‫بنَّاء‬ ‫نجار‬ ‫ح َّداد‬ ‫َّ‬ ‫كهربائي‬ ‫بنَّاء‬ ‫نجار‬ ‫كهربائي‬ ‫بنَّاء‬ ‫َّ‬ ‫بنَّاء‬ ‫ح َّداد‬ ‫كهربائي‬ ‫نجار‬ ‫بنَّاء‬ ‫َّ‬ ‫ح َّداد‬ ‫كهربائي‬ ‫ح َّداد‬ ‫بنَّاء‬ ‫نجار‬ ‫َّ‬ ‫نجار‬ ‫بنَّاء‬ ‫نجار‬ ‫ح َّداد‬ ‫كهربائي‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫�أن�شئ جدو ًال تكرار ًيا ً‬ ‫حدد المهنة التي يزاولها �أكبر عدد من الع َّمال‪.‬‬ ‫ب�سيطا لهذه البيانات و منه ِّ‬ ‫‪ 3‬تم ِّثل البيانات التالية عدد الأخطاء التي ارتكبها ‪ 45‬طال ًبا في اختبار مادة التالوة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًّيا ً‬ ‫ب�سيطا للبيانات ال�سابقة‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪124‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫الجداول التكرارية‬

‫‪ 4‬باالعتم ��اد على الجدول التك ��راري المجاور وال ��ذي يم ِّثل‬ ‫�أوزان ‪ 30‬طال ًبا بالكغم‪� ،‬أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫عدد الطالب الذين وزن ٍّ‬ ‫كل منهم ‪ 50‬كغم ‪.‬‬ ‫عدد الطالب الذين تق ُّل �أوزانهم عن ‪ 54‬كغم ‪.‬‬ ‫جـ عدد الطالب الذين تزيد �أوزانهم عن ‪ 51‬كغم ‪.‬‬

‫التكرار‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬

‫الوزن بالكغم‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪54‬‬ ‫المجموع‬

‫‪ 5‬فيما يلي درجات ‪ 36‬طال ًبا من طالب ال�صف الأول ثانوي في اختبار مادة الريا�ضيات ‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫و المطلوب ‪:‬‬ ‫م�ستخدما الفئات ‪... ، 15 - 11 ، 11 - 7 ، 7 - 3 :‬‬ ‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًّيا ذا فئات يم ِّثل هذه البيانات‬ ‫ً‬ ‫كم عدد الطالب الذين تق ُّل درجة ٍّ‬ ‫كل منهم عن ‪. 11‬‬ ‫‪ 6‬البيانات التالية تم ِّثل الدخل ال�شهري بالريال لع ِّين ٍة مك َّونة من ‪� 30‬أ�سرة من �أحد المجتمعات ‪:‬‬ ‫‪2100‬‬ ‫‪3950‬‬ ‫‪3780‬‬ ‫‪6900‬‬ ‫‪4200‬‬

‫‪3500‬‬ ‫‪2814‬‬ ‫‪3332‬‬ ‫‪2010‬‬ ‫‪4600‬‬

‫‪2400‬‬ ‫‪5600‬‬ ‫‪2390‬‬ ‫‪4520‬‬ ‫‪2800‬‬

‫‪2910‬‬ ‫‪3620‬‬ ‫‪6990‬‬ ‫‪6200‬‬ ‫‪4610‬‬

‫‪5510‬‬ ‫‪6760‬‬ ‫‪3900‬‬ ‫‪6730‬‬ ‫‪5483‬‬

‫‪6700‬‬ ‫‪5220‬‬ ‫‪5700‬‬ ‫‪4659‬‬ ‫‪2450‬‬

‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًّيا ذا فئات يم ِّثل هذه البيانات بحيث يكون طول الفئة = ‪. 1000‬‬

‫‪125‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫مطلب وطني وم�س�ؤولية م�شتركة ً‬ ‫حفاظ ��ا على �سالمة الجميع ‪.‬وفيما يلي عدد‬ ‫‪ 7‬االلت ��زام بقواعد المرور ٌ‬ ‫يوما ‪:‬‬ ‫مخالفات المرور اليومية التي ُ�ضبطت في �إحدى المدن خالل ‪ً 40‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪172‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪71‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪120‬‬

‫‪130‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪105‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪185‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪110‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪120‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪95‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪165‬‬

‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًيا ذا فئات يم ِّثل هذه البيانات‪.‬‬ ‫‪ 8‬باالعتماد على الجدول التكراري التالي والذي يم ِّثل �أعمار ‪ 30‬ع�ض ًوا ينتمون ٍ‬ ‫لناد ريا�ضي ‪� ،‬أوجد مايلي ‪:‬‬ ‫عاما ‪.‬‬ ‫عدد الأع�ضاء الذين تق ُّل �أعمارهم عن ‪ً 20‬‬ ‫عاما ف�أكثر ‪.‬‬ ‫عدد الأع�ضاء الذين تبلغ �أعمارهم ‪ً 30‬‬ ‫الفئات‬

‫‪-10‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪-30‬‬

‫‪40-35‬‬

‫التكرار‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪126‬‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرارية‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرار َّية‬ ‫‪Graphing Data‬‬

‫‪2-3‬‬

‫بعد تنظيم وتلخي�ص البيانات الإح�صائية بوا�سطة جداول تكرارية مختلفة ف�إنَّه يت ُّم تمثيلها بيان ًّيا‬ ‫لت�سهيل عر�ض البيانات وا�ستخال�ص النتائج ‪ ،‬وهناك عدة طرق للتمثيل البياني منها ‪ :‬الم�ص َّورات‬ ‫‪ ،‬ا لأعم ��دة ‪ ،‬القطاع ��ات الدائر َّية ‪ ،‬المد َّرج التكراري والم�ض َّل ��ع التكراري‪ ،‬وفي هذا البند ندر�س‬ ‫ك ًالمن‪ :‬القطاعات الدائر َّية‪ ،‬المد َّرج التكراري‪ ،‬الم�ض َّلع التكراري ‪.‬‬

‫�أو ًال ‪ -‬القطاعات الدائر َّية ‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫�شيوعا ‪ ،‬ففي الوق ��ت الحا�ضر تظهر هذه‬ ‫يع� � ُّد التمثيل بالقطاع ��ات الدائر َّية من �أكثر‬ ‫المخطط ��ات البيان َّية ً‬ ‫الدوائر البيانية في �صفحات كثيرة من المجالت وال�صحف وقد �س َّهل ذلك االنت�شار الوا�سع لأجهزة الحا�سب‬ ‫الآل ��ي المز َّودة ببرامج لهذا الغر� ��ض‪ .‬ويمكننا ب�سهولة تف�سير البيانات المم َّثلة بقطاعات دائر َّية ( وقد �سبق‬ ‫لك درا�سة ذلك في المرحلة االبتدائية )‪.‬‬ ‫كرة‬ ‫ال�سلة‬ ‫ً‬ ‫فمث�ل�ا ‪ :‬با�ستخ ��دام التمثي ��ل البياني بالقطاعات الدائر َّية ف ��ي �شكل ( ‪) 1 - 3‬‬ ‫كرة التن�س‬ ‫كرة القدم‬ ‫المف�ضـلة لدى طالب �إح ��دى المدار�س و عددهـم‪480‬‬ ‫يو�ضح الريا�ض ��ة‬ ‫و ال ��ذي ِّ‬ ‫َّ‬ ‫ال�سباحة‬ ‫طال ًبا نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫الريا�ضة التي تلقى قبو ًال �أكثر عند طالب هذه المدر�سة هي كرة القدم‪.‬‬ ‫�شكل ( ‪) 1- 3‬‬ ‫يف�ضل طالب هذه المدر�سة ال�سباحة على كرة التن�س‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫يف�ضلون كرة ال�سلة‬ ‫عدد طالب هذه المدر�سة الذين ِّ‬ ‫طالب ًا‬

‫‪127‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫�أكمل الجدول التالي ‪:‬‬ ‫المف�ضلة‬ ‫الريا�ضة‬ ‫َّ‬ ‫عدد الطالب‬

‫كرة ال�س َّلة‬ ‫‪40‬‬

‫كرة التن�س‬

‫كرة القدم‬

‫ال�سباحة‬

‫ولتمثيل البيانات بالقطاعات الدائر َّية نتَّبع الآتي ‪:‬‬ ‫قطاعات دائر َّية بحيث تتنا�سب م�ساحة ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫قطاع مع تكرار الجزء المم َّثل بهذا القطاع‬ ‫نق�سمها �إلى‬ ‫كل ٍ‬ ‫نر�سم دائر ًة َّثم ِّ‬ ‫مفتر�ضين � َّأن م�ساحة الدائرة تم ِّثل مجموع التكرارات ‪ ،‬وحيث �أنَّه ك َّلما ازداد قيا�س زاوية القطاع ازدادت م�ساحته‬ ‫ف�إنَّه يمكن ر�سم القطاعات الدائر َّية بتحديد الزاوية المناظرة َّ‬ ‫قطاع وذلك با�ستخدام العالقة التالية ‪:‬‬ ‫لكل ٍ‬ ‫زاوية القطاع‬

‫تكرار الجزء المم َّثل بالقطاع‬

‫( ‪)5 – 3‬‬

‫مجموع التكرارات‬

‫وبع ��د ذلك ن�ستخ ��دم المنقلة لر�سم القطاع ��ات الدائر َّية مع مالحظة � َّأن مجموع زواي ��ا القطاعات يجب �أن‬ ‫ي�ساوي ‪ ،360‬ويت ُّم عاد ًة تمييز ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫مختلف عن غيره ‪.‬‬ ‫قطاع بلونٍ ( �أو تظليل )‬ ‫كل ٍ‬

‫مثال (‪)6-3‬‬ ‫المف�ضلة لدى ‪ 36‬طال ًبا في ال�صف الثاني المتو�سط ‪.‬‬ ‫يو�ضح المادة‬ ‫الجدول التالي ِّ‬ ‫َّ‬ ‫المف�ضلة الريا�ضيات‬ ‫المادة‬ ‫َّ‬

‫عدد الطالب‬

‫‪6‬‬

‫العلوم‬ ‫‪4‬‬

‫اللغة‬ ‫الن�صو�ص الإنجليزية‬ ‫‪9‬‬

‫والمطلوب تمثيل هذه البيانات بالقطاعات الدائر َّية ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫نر�سم دائر ًة ذات ن�صف قطر منا�سب‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪128‬‬

‫‪3‬‬

‫الفقه‬

‫المجموع‬

‫‪14‬‬

‫‪36‬‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرار َّية‬

‫نح�سب زاوية القطاع لكل مادة با�ستخدام العالقة ( ‪ ) 5 – 3‬كما يلي ‪:‬‬ ‫زاوية قطاع مادة الريا�ضيات‬ ‫زاوية قطاع مادة العلـوم‬ ‫زاوية قطاع مادة الن�صو�ص‬ ‫زاوية قطاع مادة اللغة الإنجليزية‬ ‫زاوية قطاع مادة الفقه‬

‫الريا�ضيات‬ ‫العلوم‬

‫جـ نر�س ��م القطاع ��ات ال�سابق ��ة عل ��ى الدائ ��رة‬ ‫با�ستخدام المنقلـة ونل ِّون ك ًال منها بلون يم ِّيزها‬ ‫عن بقية القطاعات كما في ال�شكل ( ‪.) 2 - 3‬‬

‫الفقه‬

‫الن�صو�ص‬

‫اللغة‬

‫االنجليزية‬

‫�شكل ( ‪) 2- 3‬‬

‫تدريب ( ‪) 5-3‬‬ ‫يب ِّين الجدول التالي عدد ز َّوار متحف خالل �أحد الأ�سابيع ‪ ،‬والمطلوب تمثيل هذه البيانات بالقطاعات الدائر َّية ‪.‬‬ ‫اليوم‬

‫ال�سبت‬

‫الأحد‬

‫عدد الز َّوار‬

‫‪30‬‬

‫‪50‬‬

‫االثنين الثالثاء الأربعاء الخمي�س الجمعة المجموع‬ ‫‪40‬‬

‫‪60‬‬

‫‪129‬‬

‫‪70‬‬

‫‪80‬‬

‫‪70‬‬

‫‪400‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫ثانياً ‪ -‬المد َّرج التكراري ‪.‬‬ ‫ي�ستخ ��دم المد َّرج التكراري لتمثيل البيان ��ات المب َّوبة في جدول تكراري ذي فئات ‪ ،‬وهو عبارة عن مجموعة‬ ‫من الم�ستطيالت المتال�صقة تم ِّثل قاعدة ِّ‬ ‫كل م�ستطيلٍ منها طول الفئة ‪ ،‬ويم ِّثل ارتفاعه تكرار هذه الفئة ‪.‬‬

‫مثال (‪) 7-3‬‬

‫ال�ش ��كل ( ‪ ) 3 - 3‬ه ��و لمد َّرج تك ��راري يم ِّثل الدرجات النهائ َّية التي ح�ص ��ل عليها ‪ 40‬طال ًبا في‬ ‫مادة الريا�ضيات ‪.‬‬

‫�شكل ( ‪) 3- 3‬‬

‫و �إذا ت�أ َّمل ��ت ه ��ذا الم ��د َّرج ف�إنَّه يمكن ��ك تف�سير البيان ��ات المم َّثلة فيه ‪ ،‬فمث�ل ً�ا يمكنك ب�سهولة‬ ‫ا�ستنتاج � َّأن ‪:‬‬ ‫عدد الطالب الذين تقع درجاتهم �ضمن الفئة ‪ 75 - 70‬ي�ساوي ‪. 6‬‬ ‫واحدا فقط ح�صل على درج ٍة تقع �ضمن الفئة ‪. 65 - 60‬‬ ‫طال ًبا ً‬ ‫و الآن �أكمل الفراغات التالية بالإفادة من �شكل ( ‪:) 3 – 3‬‬ ‫فئة الدرجات التي ح�صل عليها �أكبر عدد من الطالب هي ‪.............‬‬ ‫عدد الطالب الذين ح�صلوا على ‪ 90‬درجة ف�أكثر ي�ساوي ‪.............‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪130‬‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرار َّية‬

‫تدريب ( ‪) 6-3‬‬ ‫اكتب الجدول التكراري المم َّثل بالمد َّرج التكراري في ال�شكل ( ‪) 3 - 3‬‬

‫ولر�سم المد َّرج التكراري نتَّبع الخطوات الآتية‪:‬‬

‫يخ�ص�ص المحور الأفقي للفئات والمحور الر�أ�سي للتكرارات‪.‬‬ ‫‪ )1‬نر�سم محورين متعامدين ‪َّ ،‬‬ ‫ق�سم طول الفئة ‪ ،‬وند ِّرج المحور الر�أ�سي ابتدا ًء‬ ‫‪ُ )2‬ن ِّ‬ ‫ق�س ��م المح ��ور الأفقي �إلى �أق�سام مت�ساوية يم ِّثل ك ُّل ٍ‬ ‫من ال�صفر بحيث ي�سمح بظهور �أكبر تكرار في الجدول التكراري‪.‬‬ ‫‪ )3‬نر�سم م�ستطي ًال على ِّ‬ ‫كل فئة ‪ ،‬طول قاعدته ي�ساوي طول الفئة و طول ارتفاعه ي�ساوي تكرار هذه الفئة‬ ‫وبذلك نح�صل على المد َّرج التكراري‪.‬‬ ‫المو�ضحة في جدول ( ‪ ، ) 8 - 3‬نجد �أن التوزيع ي�شتمل‬ ‫ف� ��إذا �أردنا ر�سم الم ��درج التكراري للبيانات َّ‬ ‫نق�س ��م المحور الأفقي �إلى �سبعة �أق�س ��ام مت�ساوية‪ ،‬وند ِّرجه‬ ‫عل ��ى �سبع فئ ��ات مت�ساوية الطول ولذلك ِّ‬ ‫ابتدا ًء من ‪ 60‬وحتى ‪َّ , 130‬ثم ند ِّرج المحور الر�أ�سي ابتدا ًء من ال�صفر وحتى ‪ 30‬وهو �أكبر تكرار في‬ ‫الجدول ‪ ،‬وبتطبيق الخطوة (‪ )3‬نح�صل على الم َّدرج التكراري كما في ال�شكل ( ‪. ) 4 - 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 4- 3‬‬

‫‪131‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫ثالثاً‪ -‬الم�ض َّلع التكراري ‪.‬‬ ‫كم ��ا ه ��و الحال في المد َّرج التك ��راري ف� َّإن الم�ض َّلع التك ��راري ُي�ستخدم لتمثيل البيان ��ات المب َّوبة في جدولٍ‬ ‫تكراري ذي فئات و يمكن الإفادة منه في تف�سير هذه البيانات‪.‬‬

‫ولر�سم الم�ض َّلع التكراري نتَّبع الخطوات الآتية‪:‬‬ ‫نق�سمهما كما في المد َّرج التكراري ‪.‬‬ ‫‪ )1‬نر�سم محورين متعامدين و ِّ‬ ‫‪ُ )2‬نم ِّثل ِّ‬ ‫لكل فئ ٍة نقطة �إحداثيها ال�سيني (الأفقي)مركز الفئة و�إحداثيها ال�صادي (الر�أ�سي)هو التكرار‬ ‫المناظر لهذه الفئة‪.‬‬ ‫بقطع م�ستقيمة فنح�صل على الم�ض َّلع التكراري ‪.‬‬ ‫‪ )3‬ن�صل النقط ٍ‬ ‫المو�ضحة في جدول ( ‪� ) 8 – 3‬سنحت ��اج �إلى �إن�شاء‬ ‫ف� ��إذا �أردن ��ا ر�س ��م الم�ض َّلع التكراري للبيان ��ات َّ‬ ‫و�ضح الفئات و مركز ِّ‬ ‫كل فئ ٍة و التكرار المناظر كما في جدول ( ‪) 9 – 3‬‬ ‫جدول ُي ِّ‬ ‫فئات كميات الأمطار‬

‫مراكز الفئات‬

‫التكرار‬

‫‪-60‬‬

‫‪65‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-70‬‬

‫‪75‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-80‬‬

‫‪85‬‬

‫‪20‬‬

‫‪-90‬‬

‫‪95‬‬

‫‪30‬‬

‫‪-100‬‬

‫‪105‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-110‬‬

‫‪115‬‬

‫‪10‬‬

‫‪130-120‬‬

‫‪125‬‬

‫‪5‬‬

‫جدول ( ‪) 9- 3‬‬

‫وبتطبيق الطريقة ال�سابق ذكرها نح�صل على الم�ض َّلع التكراري كما في ال�شكل ( ‪. ) 5 - 3‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪132‬‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرار َّية‬

‫�شكل ( ‪) 5- 3‬‬

‫ويمك ��ن ر�سم الم�ض َّل ��ع التكـراري من المد َّرج التكراري‪ ،‬وذلك بتحديد النقط التي تقع في منت�صف القواعد‬ ‫بقطع م�ستقيمة ‪,‬كما في ال�شكل ( ‪. ) 6 - 3‬‬ ‫العلـيا لم�ستطيالت المد َّرج التكراري َّثم ن�صل هذه النقط ٍ‬

‫�شكل ( ‪) 6- 3‬‬

‫‪133‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫تدريب ( ‪) 7-3‬‬ ‫يو�ضح توزيع الأجر اليومي بالريال لعدد من ا لعمال في �إحدى المن�ش�آت ‪.‬‬ ‫الم�ض َّلع التكراري في ال�شكل ( ‪ِّ ) 7 – 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 7- 3‬‬

‫بالإفادة من هذا الم�ض َّلع �أكمل الفراغ في ٍّ‬ ‫كل مما يلي‪:‬‬ ‫‪ 1‬الأجر اليومي لأكبر عدد من الع َّمال يقع �ضمن الفئة ‪.............‬‬ ‫‪ 2‬فئتا الأجر اللتان لهما التكرار نف�سه هما ‪َ .............‬و ‪..............‬‬ ‫‪ 3‬عدد الع َّمال الذين �أجرهم اليومي �أقل من ‪ 30‬ريا ًال ي�ساوي ‪............‬‬ ‫ار�سم المد َّرج التكراري لهذا التوزيع على ال�شكل نف�سه ‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪134‬‬

‫التمثيل البياني للتوزيعات التكرار َّية‬

‫‪23‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان دخ ��ل �أ�س ��رة �سعودي ��ة ‪ 6000‬ري ��ال �شهر ًي ��ا ‪ ،‬وكانت ميزاني ��ة الأ�سرة لتوزيع ه ��ذا الدخل على‬ ‫مجاالت الإنفاق ح�سب الجدول التالي ‪:‬‬ ‫مجال الإنفاق الم�سكن‬

‫الم�أكل‬

‫الملب�س‬

‫‪1500‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪500‬‬

‫قيمة الإنفاق‬

‫فواتير موا�صالت م�صروفات ا ِّدخار‬ ‫�أخرى‬ ‫‪400‬‬

‫‪500‬‬

‫‪600‬‬

‫‪1000‬‬

‫م ِّثل هذه البيانات با�ستخدام القطاعات الدائر َّية‪.‬‬ ‫يو�ضح تق�سيم �أحد الموظفين لوقته خالل ‪� 24‬ساعة ‪:‬‬ ‫‪ 2‬الجدول التالي ِّ‬ ‫تق�سيم الوقت‬

‫في النوم‬

‫في العمل‬

‫عدد ال�ساعات‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫في ممار�سة في القراءة �أن�شطة �أخرى‬ ‫الريا�ضة‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫م ِّثل هذه البيانات با�ستخدام القطاعات الدائر َّية‪.‬‬ ‫‪ 3‬الجدول التالي يب ِّين م�ساحة محيطات العالم بماليين الكيلومترات المر َّبعة ‪:‬‬ ‫المحيط‬

‫الهادي‬

‫الأطلنطي‬

‫الهندي‬

‫القطبي‬ ‫الجنوبي‬

‫القطبي‬ ‫ال�شمالي‬

‫الم�ساحة‬

‫‪138.4‬‬

‫‪106.7‬‬

‫‪72.8‬‬

‫‪19.7‬‬

‫‪12.4‬‬

‫م ِّثل هذه البيانات با�ستخدام القطاعات الدائر َّية‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫‪ 4‬الجدول التالي يب ِّين �أوزان ‪ 100‬موظف بالكيلوغرام ب�إحدى ال�شركات‪.‬‬ ‫فئات الأوزان‬

‫‪-50‬‬

‫‪-56‬‬

‫‪-62‬‬

‫‪-68‬‬

‫‪-74‬‬

‫‪-80‬‬

‫‪92-86‬‬

‫عدد الموظفين‬

‫‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫م�ستخدما ك ًّال من ‪:‬‬ ‫م ِّثل هذه البيانات‬ ‫ً‬ ‫المد َّرج التكراري ‪.‬‬ ‫الم�ض َّلع التكراري ‪.‬‬ ‫‪� 5‬إذا كان الج ��دول التك ��راري التالي يم ِّثل �أع ��داد ال�س َّيارات ح�سب الحمولة بالراك ��ب و التي عبرت �أحد‬ ‫الحج في الم َّدة بي ��ن ‪ 20‬و ‪ 30‬من ذي القعدة في‬ ‫المنافـذالحدود َّي ��ة قا�ص ��د ًة مك ��ة المكرمة في مو�سم ِّ‬ ‫�أحد الأعوام‪.‬‬ ‫فئات �أعداد الر َّكاب‬

‫‪-9‬‬

‫‪-18‬‬

‫‪-27‬‬

‫‪-36‬‬

‫‪-45‬‬

‫عدد ال�س َّيارات‬

‫‪12‬‬

‫‪36‬‬

‫‪40‬‬

‫‪20‬‬

‫‪12‬‬

‫ار�سم المد َّرج التكراري والم�ض َّلع التكراري لهذه البيانات ‪.‬‬ ‫�أوجد عدد ال�س َّيارات التي تحمل ‪ 27‬راك ًبا ف�أكثر ‪.‬‬ ‫يوما ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ِّ‬ ‫يو�ضح الجدول التالي توزيع درجات الحرارة في �إحدى المدن في ‪ً 120‬‬ ‫فئات‬ ‫درجات الحرارة‬

‫‪-8‬‬

‫‪-12‬‬

‫‪-16‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪-24‬‬

‫‪-28‬‬

‫‪-32‬‬

‫‪40-36‬‬

‫عدد الأيام‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪24‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫م ِّثل البيانات ال�سابقة بالمد َّرج التكراري و الم�ض َّلع التكراري على الر�سم نف�سه ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪136‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫‪3-3‬‬

‫‪Measures of Central Tendency‬‬ ‫بعد جمع البيان ��ات وعر�ضها جدول ًّيا وبيان ًّيا‪ ،‬ننتقل �إلى خطو ٍة‬ ‫مه َّمة من خطوات الدرا�سـة الإح�صائ َّية وهي اخت�صار البيانات‬ ‫ب�إيجاد مقيا�س يم ِّثل الظاهرة مح َّل الدرا�سـة ( يع ِّبر عن جميع‬ ‫قيمها ) وي�سـتخدم للمقارنة بينـها و بين الظواهر الأخرى‪.‬‬ ‫كمية الأمطار الهاطلة على مدينة خالل ‪100‬يوم‬ ‫الكمية‬

‫بالملم‪3‬‬

‫عدد‬ ‫الأيام‬

‫‪130-120 -110 -100 -90 -80 -80 -70 -60‬‬ ‫‪100 5 10 15 30 20 15 5‬‬

‫مجتمع ما‪� ،‬أو ع ��دد الطالب في المدار�س‬ ‫وبالنظ ��ر �إل ��ى مفردات � ِّأي ظاهرة ( مثل ظاه ��رة دخل الفرد في‬ ‫ٍ‬ ‫يمن اللهَّ بـها على عباده ‪-‬ف ��ي �إحدى مدن المملكة‪� ،‬أو‬ ‫الثانو َّي ��ة‪� ،‬أو كم َّي ��ة الأمطار بالمليمتر المك َّع ��ب ‪-‬التي ُّ‬ ‫�أط ��وال �أو �أوزان �أ�شخا� ��ص ف ��ي منطق ٍة ما ‪�...‬إلخ ) نالح ��ظ � َّأن غالب َّية هذه المف ��ردات‪ -‬بتقديرٍ من اللهَّ ع َّز‬ ‫وج ��ل‪ -‬تمي ��ل �إل ��ى التج ُّمع �أو التمركز حول قيم� � ٍة مع َّينة‪ ،‬ويق ُّل ه ��ذا الميل ك َّلما ابتعدنا ع ��ن هذه القيمة من‬ ‫الجانبي ��ن بمعن ��ى � َّأن هناك نزعة تجعل هذه المفردات تتر َّكز حول ه ��ذه القيمة‪.‬هذه النزعة تُ�سـ َّمى النـزعة‬ ‫متو�سـط الظاهرة‬ ‫المركز َّي���ة والقيم ��ة التي تتر َّكز المفردات حولـها تُ�سـ َّمى القيم���ة‬ ‫المتو�سـطة للظاهرة �أو ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ً‬ ‫متو�سـطي‬ ‫فمث�ل�ا‪ :‬الأف ��راد الذين نقابلهم في حياتنا اليومية مختلفون في �أطوالـهم ولكنَّنا نجد � َّأن معظمهم ِّ‬ ‫نق�صا �إ َّال �أ نَّنا ال نكاد نقابل الأقزام �أو العمالقة �إال‬ ‫الطول وعد ًدا قلي ًال منهم يختلف عن‬ ‫المتو�سـط زياد ًة �أو ً‬ ‫ِّ‬ ‫ن ��اد ًرا وينطب ��ق الأمر نفـ�سه على ظاهرة الوزن و الذكاء وح َّدة الب�ص ��ر ‪ ،...‬تلك �سـنَّة اللهَّ في خلقه ولن نجد‬ ‫المتو�سـطة توجد ع َّدة مقاييـ�س ابتكرها الإح�صائيون تُعرف با�سـم مقايي�س‬ ‫ل�سـنَّته تبدي ًال‪ .‬ولتحديد القيمة‬ ‫ِّ‬ ‫المتو�سـطات‪� ،‬أهـ ُّمها‪:‬‬ ‫النـزعة المركز َّية �أو‬ ‫ِّ‬ ‫�شيوعا‪.‬‬ ‫الح�سـابي ) ويع ُّد من �أكثر‬ ‫المتو�سـط‬ ‫الح�سـابي ( �أو‬ ‫‪ )1‬الو�سـط‬ ‫المتو�سـطات ً‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ُّ‬ ‫ُّ‬ ‫‪ )2‬الو�سـيط‪.‬‬ ‫‪ )3‬المنوال‪.‬‬ ‫وال يمك ��ن تف�ضي ��ل �أح ��د هذه المقايي�س على الآخر‪ ،‬فل � ٍّ‬ ‫�كل منها مزاياه و عيوبه‪ ،‬ويالح ��ظ �أنَّه �إذا ذكر لفظ‬ ‫ٍ‬ ‫تحديد فيق�صد به الو�سـط الح�سـابي‪.‬‬ ‫المتو�سط فقط دون‬ ‫ِّ‬

‫‪137‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫ـابي‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬الو�سـط الح�س ُّ‬ ‫تعريف ( ‪)1 -3‬‬

‫محل قيمة ِّ‬ ‫الح�سـابي لمجموعة من القيم هو القيم ��ة التي لو ح َّلت َّ‬ ‫كل مفرد ٍة من‬ ‫الو�سـ ��ط‬ ‫ُّ‬ ‫مفردات الظاهرة لكان مجموع القيم الجديدة م�سـاو ًيا لمجموع القيم الأ�صل َّية‪.‬‬

‫مق�سوما على عددها‪.‬‬ ‫الح�سـابي ي�سـاوي مجموع القيم‬ ‫ومن ذلك نرى � َّأن الو�سـط‬ ‫ً‬ ‫َّ‬

‫ـابي‬ ‫طرق ح�سـاب الو�سـط الح�س ِّ‬ ‫الح�سـابي نم ِّيز بين حالتين هما‪:‬‬ ‫لح�سـاب الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫حالة البيانات غير المب َّوبة ( �أي التي لم يت ُّم و�ضعها في جداول تكرار َّية )‪ ،‬وحالة البيانات المب َّوبة ( �أي التي‬ ‫َّتم و�ضعها في جداول تكرار َّية ب�سـيطة �أو ذات فئات )‪.‬‬ ‫وحيث � َّإن ‪:‬‬ ‫مجموع القيم‬ ‫الح�سـابي‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬ ‫عدد القيم‬ ‫ف�إنَّنا للتعبير عن هذا القانون ب�صيغة رمز َّية في الحاالت جميعها‪،‬نرمز للو�سط الح�سابي بالرمز �س و ُيقر�أ‪:‬‬ ‫�س �شـرطة‪ ،‬ولقيم الظاهرة بالرمز �س ‪ ،‬وللمجموع بالرمز ‪.‬‬

‫�أ َّو ًال‪ -‬في حالة البيانات غير المب َّوبة‬ ‫�إذا كان عدد مفردات الظاهرة‬

‫الح�سـابي يكتب بال�صيغة الرمز َّية التالية‪:‬‬ ‫ف� َّإن قانون الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫(‪)6–3‬‬

‫حيث‬

‫�س تع ِّبر عن مجموع قيم الظاهرة‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪138‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫مثال (‪) 8-3‬‬ ‫الح�سـابي لدرجات ع�شـرة طالب في مادة الريا�ض َّيات من البيانات التالية‪:‬‬ ‫�أوجد الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫‪58 ،86 ،90 ،61 ،93 ،74 ،55 ،77 ،74 ،82‬‬

‫الحل‬ ‫الح�سـابي لدرجات الطالب هو‪:‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬

‫ثان ًّيا‪ -‬في حالة البيانات المب َّوبة‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ب�سـيط‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫م ��ن المعلوم � َّأن ِّ‬ ‫�راري الب�سـيط تكرا ًرا مقاب ًال لـها‪ ،‬لذا ف� �� َّإن مجموع القيم‬ ‫لكل ق ��راء ٍة في الجدول التك � ِّ‬ ‫ي�سـاوي مجموع حوا�صل �ضرب القراءات في تكراراتـها‪.‬‬ ‫�أي � َّأن‪:‬‬

‫الح�سـابي‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬

‫مجموع حوا�صل �ضرب القيم في تكراراتـها‬ ‫مجموع التكرارات‬

‫الح�سـابي ُيكتب بال�صيغة‬ ‫ف�إذا رمزنا للتكرارات المقابلة لقيم الظاهرة بالرمز ك ‪ ،‬ف� َّإن قانون الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫الرمز َّية التالية‪:‬‬ ‫(‪)7–3‬‬

‫‪139‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫مثال (‪)9-3‬‬ ‫تب َّرع ‪ 40‬طال ًبا ِم َّما ا َّدخروه من م�صروفهم لعملٍ‬ ‫خيري كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫ٍّ‬ ‫المبلغ بالريال‬

‫‪50‬‬

‫‪60‬‬

‫‪70‬‬

‫‪80‬‬

‫‪90‬‬

‫‪100‬‬

‫المجموع‬

‫عدد الطالب‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪100‬‬

‫الح�سـابي ِلما تب َّرع به الطالب‪.‬‬ ‫اح�سب الو�سـط‬ ‫َّ‬

‫الحل‬ ‫المبلغ بالريال‬ ‫( �س )‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪100‬‬ ‫المجموع‬

‫عدد الطالب‬ ‫التكرار ( ك )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جدول ( ‪)10- 3‬‬

‫الح�سـابي ِلما تبرع به الطالب هو‪:‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬

‫تدريب ( ‪) 8-3‬‬ ‫المو�ضحة بالجدول ( ‪) 4 - 3‬‬ ‫اح�سب الو�سط الح�سابي للبيانات‬ ‫َّ‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪140‬‬

‫المبلغ × عدد الطالب‬ ‫( �س × ك )‬ ‫‪150‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪630‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪500‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫ٍ‬ ‫تكراري ذي فئات‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫ف ��ي هذه الحال ��ة تكون مراكز الفئ ��ات و التكرارات بمثابة ج ��دولٍ تكراري ب�سـيط و بالتال ��ي ف� َّإن قانون‬ ‫الح�سـابي ُيكتب بال�صيغ ��ة ( ‪ ) 7 -3‬نف�سـها‪ ،‬حيث �س تم ِّثل قيم مراكز الفئات والتي تع ِّبر عن‬ ‫الو�سـ ��ط‬ ‫ِّ‬ ‫قيم الظاهرة‪.‬‬

‫مثال (‪) 10-3‬‬ ‫يوم بالمليمتر‬ ‫اح�س ��ب الو�سـط‬ ‫الح�سـابي لكم َّية الأمطار التي �سـقطت على مدين ٍة ما خالل ‪ٍ 100‬‬ ‫َّ‬ ‫والمو�ضحة بياناتـها بالجدول ( ‪) 8 – 3‬‬ ‫المكعب‬ ‫َّ‬ ‫مراكز الفئات‬ ‫‪ 3‬عدد الأيام‬ ‫( �س )‬ ‫فئات كم َّية الأمطار بالملم ( التكرار ك )‬

‫�س × ك‬

‫‪-60‬‬

‫‪5‬‬

‫‪65‬‬

‫‪325‬‬

‫‪-70‬‬

‫‪15‬‬

‫‪75‬‬

‫‪1125‬‬

‫‪-80‬‬

‫‪20‬‬

‫‪85‬‬

‫‪1700‬‬

‫‪-90‬‬

‫‪30‬‬

‫‪95‬‬

‫‪2850‬‬

‫‪-100‬‬

‫‪15‬‬

‫‪105‬‬

‫‪1575‬‬

‫‪-110‬‬

‫‪10‬‬

‫‪115‬‬

‫‪1150‬‬

‫‪130-120‬‬

‫‪5‬‬

‫‪125‬‬

‫‪625‬‬

‫المجموع‬

‫‪100‬‬

‫‪9350‬‬

‫جدول ( ‪)11- 3‬‬

‫الح�سـابي لكم َّية الأمطار هو‪:‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬

‫‪141‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫ثان ًيا‪ -‬الو�سـيط‬ ‫تعريف ( ‪)2 -3‬‬

‫تتو�سـط ه ��ذه القيم بعد ترتيبـها ت�صاعد ًّيا‬ ‫الو�سـي ��ط لمجموع ٍة من القيم هو القيمة التي َّ‬ ‫�أو تنازل ًّيا‪.‬‬

‫من هذا التعريف‪ ،‬نالحظ � َّأن عدد القيم الأ�صغر من الو�سـيط ي�سـاوي عدد القيم الأكبر منه‪.‬‬

‫طرق ح�سـاب الو�سـيط‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬في حالة البيانات غير المب َّوبة‬

‫لإيجاد الو�سـيط لمجموعة من القيم عددها ن َّتبع الآتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬نرتب هذه القيم ترتي ًبا ت�صاعد ًّيا �أو تنازل ًّيا‪.‬‬ ‫تماما �إذا كان عدد القيم فرد ًّيا‪� ،‬أ َّما �إذا كان زوج ًّيا ف�إنَّنا‬ ‫‪ )2‬ن�أخ ��ذ القيم ��ة الت ��ي تقع في الو�سـط ً‬ ‫المتو�سـطتين‪ ،‬فتكون هي قيمة الو�سـيط‪�.‬أي � َّأن‬ ‫الح�سـابي للقيمتين‬ ‫ن�أخذ الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫َّ‬ ‫القيمة التي ترتيبـها‬ ‫قيمة الو�سيط‬

‫�إذا كان فرد ًيا‬

‫‪2‬‬

‫( ‪) 8– 3‬‬ ‫الو�سـط الح�سـابي للقيمتين اللتين ترتيبهما‬ ‫‪2‬‬

‫�إذا كان زوج ًيا‬

‫‪2‬‬

‫مثال (‪)11-3‬‬ ‫�أوجد الو�سـيط لأوزان ت�سـع طالب بالكيلوغرام �إذا كانت �أوزانـهم هي ‪:‬‬ ‫‪58 ،57 ،51 ،53 ،48 ،55 ،49 ،50 ،62‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪142‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫الحل‬ ‫نرتِّب الأوزان ت�صاعد ًّيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪62 ،58 ،57 ،55 ،53 ،51 ،50 ،49 ،48‬‬ ‫�ردي‪ ،‬ف� ��إ َّنن ��ا ن�أخ ��ذ القيم ��ة الت ��ي ترتيبـه ��ا‬ ‫وحي ��ث � َّإن ع ��دد الأوزان‬ ‫وه ��و ع ��دد ف � ٌّ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 5‬وهي ‪ 53‬وبذلك يكون الو�سـيط ‪ 53‬كيلوغرام‬

‫‪ )1‬عدد القيم الأ�صغر من ‪ 53‬ي�سـاوي عدد القيم الأكبر منه‬ ‫‪62 ،58 ،57 ،55 ،53 ،51 ،50 ،49 ،48‬‬

‫الو�سـيط‬

‫‪ )2‬يمكن �إيجاد الو�سـيط بترتيب الأوزان تنازل ًّيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪48 ،49 ،50 ،51 ،53 ،55 ،57 ،58 ،62‬‬

‫ث َّم ب�إكمال الح ِّل كما �سـبق‪.‬‬

‫مثال (‪) 12-3‬‬ ‫�أوجد الو�سـيط لدرجات الطالب في ما َّدة الريا�ض َّيات و المعطاة في المثال ( ‪ ) 8 - 3‬و هي‬ ‫‪58 ،86 ،90 ،61 ،93 ،74 ،55 ،77 ،74 ،82‬‬

‫الحل‬

‫نرتِّب الدرجات ت�صاعد ًّيا كما يلي‪:‬‬ ‫‪93 ،90 ،86 ،82 ،77 ،74 ،74 ،61 ،58 ،55‬‬ ‫زوجي‬ ‫وحيث � َّإن عدد الطالب‬ ‫وهو عدد ٌّ‬ ‫ف�إنَّنا ن�أخذ من القيم المر َّتبة‪ ،‬الدرجتين اللتين ترتيبيهما‬ ‫‪2‬‬ ‫متو�سـط الدرجتين ‪77 ، 74‬‬ ‫وبذلك يكون الو�سـيط هو ِّ‬ ‫درجة‬ ‫�أي � َّأن الو�سـيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪143‬‬

‫‪2‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫ثان ًيا‪ -‬في حالة البيانات المب َّوبة‬ ‫ترتي ��ب الو�سـي ��ط في هذه الحال ��ة عبارة عن ن�صف مجموع التك ��رارات (�سـوا ًء كان ه ��ذا المجموع فرد ًّيا �أو‬ ‫زوج ًّيا ) �أي � َّأن‬ ‫ترتيب الو�سيـط‬ ‫( ‪) 9– 3‬‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ب�سـيط‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫تكراري ب�سـيط ن َّتبع الآتي‪:‬‬ ‫لح�سـاب الو�سـيط لبيانات مب َّوبة في جدولٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫‪ 1‬نوجد ترتيب الو�سـيط‪.‬‬ ‫‪ 2‬نجمع التكرارات على التوالي بد ًءا من تكرار �أول قيمة في الجدول وحتى ن�صل �إلى � ِّ‬ ‫أقل مجموع �أكبر‬ ‫من �أو ي�سـاوي ترتيب الو�سيـط‪.‬‬ ‫‪ 3‬نع ِّين القيمة المقابلة للتكرار الأخير في التجميع فتكون هي قيمة الو�سـيط‪.‬‬

‫مثال (‪) 13-3‬‬ ‫أ�سـبوعي لثمانين عام ًال‪.‬‬ ‫يو�ضح الدخل ال‬ ‫الجدول الآتي ِّ‬ ‫َّ‬ ‫الدخل الأ�سـبوعي بالريال ‪350 300 250‬‬ ‫عدد الع َّمال ( التكرار)‬ ‫‪14 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ�سـبوعي لـه�ؤالء الع َّمال‪.‬‬ ‫�أوجد الو�سـيط للدخل ال‬ ‫ِّ‬

‫‪400‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪500 450‬‬ ‫‪10 12‬‬

‫الحل‬

‫ترتيب الو�سيـط‬ ‫مجموع �أكبر من �أو ي�سـاوي ترتيب الو�سـيط هو‬ ‫�أق ُّل‬ ‫ٍ‬

‫القيمة التي تقابل التكرار ‪ ( 32‬التكرار الأخير في الجمع ) هي ‪400‬‬ ‫� ًإذا الو�سـيط ‪ 400‬ريال‬

‫تدريب ( ‪) 9-3‬‬ ‫في المثال ( ‪� ) 9 - 3‬أوجد الو�سـيط ِلما تب َّرع به الطالب‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪144‬‬

‫المجموع‬ ‫‪80‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫ٍ‬ ‫تكراري ذي فئات‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫لح�سـاب الو�سـيط في هذه الحالة نعتمد على ما ُي�سـ َّمى بجدول التكرار المتج ِّمع ال�صاعد‪.‬‬ ‫�سـنقدم طريقة �إن�شـاء وتمثيل جداول التكرار المتج ِّمع ال�صاعد‪.‬‬ ‫وفيما يلي‬ ‫ِّ‬

‫�إن�شـاء جداول التكرار المتج ِّمع ال�صاعد‬

‫تكراري ذي فئات ب�إ�ضافة عمودين على الجدول‬ ‫المتجمع ال�صاعد من جدولٍ‬ ‫التكراري‬ ‫يت ُّم �إن�شـاء الجدول‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ِّ‬ ‫يخ�ص� ��ص لكتابة الحدود العلي ��ا للفئات‪ ،‬حيث يكتب �أم ��ام ِّ‬ ‫كل فئة الح ُّد‬ ‫التك � ِّ‬ ‫�راري الأ�صل � ِّ�ي‪ ،‬الأ َّول منهما َّ‬ ‫فيخ�ص�ص لكتابة التكرارات المتج ِّمعة‪ ،‬حيث يكتب‬ ‫الأعل ��ى م�سـبو ًقا بكلمـ ��ة ( �أقل من )‪� ،‬أ َّما العمود الآخر‬ ‫َّ‬ ‫�أمام ِّ‬ ‫كل فئ ٍة ناتج جمع تكرار هذه الفئة على مجموع تكرارات الفئات ال�سـابقة لـها‪ ،‬وهذا الناتج هو التكرار‬ ‫الحد الأعلى لـهذه الفئة‪،‬‬ ‫المتجم ��ع ال�صاع ��د لـهذه الفئة و الذي يم ِّثل عدد المفردات التي تق ُّل قيمهـ ��ا عن ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫ازدياد م�سـتمر وهذا هو �سـبب ت�سـمية الجدول التكراري‬ ‫ومن ذلك ي َّت�ضح � َّأن التكرارات المتج ِّمعة تكون في‬ ‫المتجمع ال�صاعد المقابل للفئة الأخيرة يكون م�سـاو ًيا لمجموع التكرارات‬ ‫المتجمع ال�صاعد‪ ،‬و� َّأن التكرار‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الأ�صل َّية‪ .‬وعلى �سبيل المثال‪:‬‬ ‫م�صنع ما ح�سـب فئات العمر‪.‬‬ ‫�إذا كان الجدول الآتي جدو ًال تكرار ًّيا لعدد الع َّمال في‬ ‫ٍ‬ ‫فئات العمر‬ ‫‪20‬‬‫عدد الع َّمال ( التكرار) ‪4‬‬

‫‪30- 25‬‬‫‪39 15‬‬

‫‪45 40- 35‬‬‫‪5‬‬ ‫‪29‬‬

‫المجموع‬ ‫‪92‬‬

‫المتجمع ال�صاع ��د لعدد الع َّمال في الم�صنع ح�سـ ��ب فئات العمر هو الجدول‬ ‫التكراري‬ ‫ف� �� َّإن الج ��دول‬ ‫َّ‬ ‫ِّ‬ ‫( ‪ ) 12 - 3‬التال ��ي‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪20‬‬‫‪25‬‬‫‪30‬‬‫‪35‬‬‫‪40-‬‬

‫المتجمع ال�صاعد‬ ‫الحدود العليا للفئات التكرار‬ ‫ِّ‬

‫التكرار ( ك )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪5‬‬

‫�أق ُّل من ‪25‬‬ ‫�أق ُّل من ‪30‬‬ ‫�أق ُّل من ‪35‬‬ ‫�أق ُّل من ‪40‬‬ ‫�أق ُّل من ‪45‬‬

‫جدول ( ‪)12- 3‬‬

‫‪145‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫تمثيل جداول التكرار المتج ِّمع ال�صاعد بيان ًّيا‬

‫المتجمع ال�صاعد ن َّتبع الخطوات التالية‪:‬‬ ‫لتمثيل جدول التكرار‬ ‫ِّ‬ ‫ونخ�ص�ص المح ��ور الأفقي للحدود العليا للفئ ��ات‪ ،‬والمحور الر�أ�سـي‬ ‫‪ 1‬نر�سـ ��م محوري ��ن متعامدين ِّ‬ ‫المتجمع ��ة ال�صاع ��دة‪ ،‬مع مراع ��اة �أخذ مقيا�س ر�سـ ��م منا�سـب بحي ��ث ي َّت�سـع المحور‬ ‫للتك ��رارات‬ ‫ِّ‬ ‫متجمع‪.‬‬ ‫الر�أ�سـي لأكبر تكرار ِّ‬ ‫نحدد النقاط التي �إحداثيها الأفقي هو الح ُّد الأعلى للفئة و �إحداثيها الر�أ�سـي هو التكرار المتج ِّمع‬ ‫‪ِّ 2‬‬ ‫ال�صاعد‪.‬‬ ‫‪ 3‬ن�صل بين هذه النقاط بمنحنٍ مم َّهد ُي�سـ َّمى المنحني المتج ِّمع ال�صاعد‪.‬‬ ‫المتجمع ال�صاعد للجدول ( ‪) 12 - 3‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ ) 8 – 3‬يب ِّين المنحني‬ ‫ِّ‬

‫�شكل ( ‪) 8- 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪146‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫(‪)1-3‬‬ ‫تحدده النقاط ( �س ‪� ،‬ص ) حيث �س هو الح ُّد الأعلى للفئة‪� ،‬ص‬ ‫‪َّ � )1‬إن المنحني‬ ‫المتجمع ال�صاعد هو منحنٍ ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫هو التكرار المتج ِّمع ال�صاعد المقابل له‪.‬‬ ‫المتجمع ال�صاعد الح�صول على بع� ��ض النتائج التي من �أجلـها يت ُّم تكوين الجدول‬ ‫‪ )2‬يمكنن ��ا من المنحني‬ ‫ِّ‬ ‫التك ��راري المتج ِّم ��ع ال�صاعد‪ -‬فمث ًال‪ -‬في ال�شـكل ( ‪ ) 8 – 3‬لمعرف ��ة عدد الع َّمال الذين تق ُّل �أعمارهـم‬ ‫المتجمع ال�صاعد عند‬ ‫عام ��ا نقيم عمو ًدا على المح ��ور الأفقي عند النقطة ‪ 29‬يقابل المنحن ��ي‬ ‫ع ��ن ‪ً 29‬‬ ‫ِّ‬ ‫النقطة ‪ ،‬نم ُّد من عندها م�سـتقي ًما يوازي المحور الأفقي‪ ،‬ويقابل المحور الر�أ�سـي في النقطة ب‪ ،‬فتكون‬ ‫الحد الأعلى لأعم ��ار الع َّمال الذين عددهم ‪76‬‬ ‫ه ��ي ع ��دد الع َّمال المطلوب‪ .‬وبالعك� ��س‪� ،‬إذا �أردنا معرفة ِّ‬ ‫ف� ��إ َّنن ��ا نر�سـم م�سـتقي ًما من النقط ��ة ‪ 76‬على المحور الر�أ�سـ ��ي مواز ًيا المحور الأفق ��ي ليقابل المنحني‬ ‫ف ��ي النقطة ج� �ـ‪ ،‬فن�سقط منها عمو ًدا على المح ��ور الأفقي ليقابله في نقطة د‪ ،‬فتك ��ون هي الح ُّد الأعلى‬ ‫المطلوب للأعمار‪.‬‬ ‫المتجمع ال�صاعد لبيانات مب َّوبة هو بمثابة ٍ‬ ‫ت�صاعدي لـهذه‬ ‫ترتيب‬ ‫لع َّل ��ك �أدرك ��ت م َّما �سـبق � َّأن جدول التكرار‬ ‫ٍّ‬ ‫ِّ‬ ‫البيان ��ات؛ ل ��ذا ف�إ نَّه من الممكن تعريف الو�سـيط لبيانات مب َّوبة ب�أ نَّه القيمة التي تكرارها المتج ِّمع ال�صاعد‬ ‫ي�سـاوي ترتيب الو�سـيط‪ .‬وهناك طريقتان لح�سـاب الو�سيـط في هذه الحالة وهما‪:‬‬ ‫‪ )1‬الطريقة الح�سـاب َّية‬ ‫‪ )2‬الطريقة البيان َّية ( بالر�سـم )‬ ‫و�سـنو�ضح هاتين الطريقتين من خالل المثال التالي‪:‬‬ ‫ِّ‬

‫مثال (‪) 14-3‬‬ ‫يوم و التي بياناتـها في‬ ‫لإيج ��اد الو�سـي ��ط لكم َّية الأمطار التي �سـقطت على مدين ٍة ما خالل ‪ٍ 100‬‬ ‫التكراري ( ‪) 8 – 3‬‬ ‫الجدول‬ ‫ِّ‬

‫بالطريقة الح�سـاب َّية‬ ‫نوجد ترتيب الو�سـيط‬ ‫وهنا يكون ترتيب الو�سيـط‬

‫‪147‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫المتجمع ال�صاعد‪ ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫نك ِّون جدول التكرار‬ ‫ِّ‬ ‫عدد الأيام‬ ‫الحدود العليا للفئات‬ ‫فئات كمية الأمطار‬ ‫التكرار ( ك )‬ ‫�أقل من ‪70‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪60‬‬‫�أقل من ‪80‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪70‬‬‫�أقل من ‪90‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪80‬‬‫الو�سيط‬ ‫‪ 90‬الفئة الو�سيطية‬‫�أقل من ‪100‬‬ ‫‪30‬‬ ‫�أقل من ‪110‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪100‬‬‫�أقل من ‪120‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪110‬‬‫�أقل من ‪130‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪130-120‬‬

‫التكرار المتج ِّمع‬ ‫ال�صاعد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ 40‬ترتيب‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ 70‬الو�سيط‬ ‫‪85‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪100‬‬

‫جدول ( ‪)13- 3‬‬

‫المتجـمع‬ ‫المتجمع ال�صاعد‪ ،‬القيمة المقـابلة للتكرار‬ ‫التكراري‬ ‫جـ نع ِّي���ن من الجدول‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪ (50‬ترتي ��ب الو�سـيط)‪ ،‬لتكون هي قيمة الو�سـيط‪ ،‬ف�إن ل ��م نجد هذا التكرار في الجدول‬ ‫( كما في مثالنا هذا )‪ ،‬وجدناه بين تكرارين وهنا نجده بين ‪ ، 70 ، 40‬وهذان التكراران‬ ‫يقاب�ل�ان العددين ‪ 100 ، 90‬المم ِّثالن لح� � َّدي الفئة التي تحوي الو�سـيط والم�سـ َّماة بالفئة‬ ‫الو�سـيط َّية وهي ( ‪) 90-‬‬ ‫كم َّية الأمطار كانت � َّ‬ ‫أقل من ‪ 90‬ملــم‪ 3‬في الأيام ا ﻟ ‪ 40‬الأولى‬ ‫كم َّية الأمطار تكون � َّ‬ ‫أقل من قيمة الو�سـيط في الأيام ا لـ ‪ 50‬الأولى‬ ‫كم َّية الأمطار كانت � َّ‬ ‫أقل من ‪ 100‬ملــم‪ 3‬في الأيام ا لـ ‪ 70‬الأولى‬ ‫د نوجد الو�سـيط من التنا�سـب التالي ‪:‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪148‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫( الحظ أنَّ‬

‫)‬

‫وعا َّمة الأمر ف�إنَّ‪:‬‬ ‫ترتيب الو�سـيط –‬

‫الو�سيط – الح ُّد الأدنى للفئة الو�سيط َّية‬

‫التكرار المتج ِّمع المقابل‬ ‫للحد الأدنى للفئة الو�سيط َّية‬ ‫ِّ‬

‫تكرار الفئة الو�سيط َّية‬

‫طول الفئة الو�سيط َّية‬

‫ومن هذا التنا�سب يمكننا ا�سـتنتاج القانون التالي لح�سـاب الو�سـيط‪.‬‬

‫الح ُّد الأدنى‬ ‫الو�سيط‬ ‫للفئة الو�سيط َّية‬

‫ترتيب الو�سـيط –‬

‫التكرار المتج ِّمع المقابل‬ ‫للحد الأدنى للفئة الو�سيط َّية‬ ‫ِّ‬

‫تكرار الفئة الو�سيط َّية‬

‫ط ��ول الفئ ��ة‬ ‫الو�سيطية‬

‫( ‪) 10– 3‬‬

‫الطريقة البيان َّية ( بالر�سـم )‬ ‫المتجمع ال�صاعد كما يلي‪:‬‬ ‫نوجد الو�سـيط بالر�سـم من المنحني‬ ‫ِّ‬ ‫أ�سـي‪ ( .‬وهو هنا ‪.) 50‬‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬نع ِّين ترتيب الو�سـيط (‬ ‫) على المحور الر� ِّ‬ ‫ثان ًي���ا‪ -‬نر�سـم من نقطة ترتيب الو�سـيط م�سـتقي ًم ��ا �أفق ًّيا يقطع المنحني المتج ِّمع ال�صاعد في‬ ‫نقطة ‪ ،‬ون�سـقط منها عمو ًدا على المحور الأفقي يقابله في نقطة ب‪ ،‬فتكون هي قيمة الو�سـيط‬ ‫يو�ض ��ح طريق ��ة �إيج ��اد الو�سـيط لـهذا‬ ‫( وه ��ي هن ��ا ‪ 93‬مل ��م‪ 3‬تقري ًب ��ا ) ‪ ،‬وال�شـ ��كل ( ‪ِّ ) 9 - 3‬‬ ‫المثال‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫�شكل ( ‪) 9- 3‬‬

‫(‪)2-3‬‬ ‫عل ��ى �ضوء م ��ا �سـبق يمكننا الق ��ول ب� َّأن الو�سـيط ه ��و الإحداثي الأفق ��ي للنقطة على المنحن ��ي المتج ِّمع‬ ‫ال�صاعد والتي �إحداثيها الر�أ�سـي هو ترتيب الو�سـيط‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪150‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫ثال ًثا‪ -‬المنوال‬ ‫تعريف ( ‪)3 -3‬‬ ‫ـيوعا‪.‬‬ ‫المنوال لمجموع ٍة من القيم هو القيمة الأكثر تكرا ًرا �أو �ش ً‬ ‫وعلى �ضوء هذا التعريف يمكننا ت�صنيف البيانات من حيث منوالـها �إلى‪:‬‬ ‫‪ )1‬بيانات وحيدة المنوال‪:‬‬ ‫وهي البيانات التي تتك َّرر �إحدى قراءاتـها �أكثر من � ِّأي قراء ٍة �أخرى‪.‬‬ ‫‪ )2‬بيانات ثنائ َّية المنوال‪:‬‬ ‫وهي البيانات التي لـها قراءتان بالتكرار نف�سه‪ ،‬وتكرارهما �أكبر من � ِّأي قراء ٍة �أخرى‪.‬‬ ‫متعددة المنوال‪:‬‬ ‫‪ )3‬بيانات ِّ‬ ‫وهي البيانات التي لـها �أكثر من قراءتين بالتكرار نف�سه‪ ،‬وهذا التكرار �أكبر من تكرار � ِّأي قراء ٍة �أخرى‪.‬‬ ‫‪ )4‬بيانات عديمة المنوال ( ال منوال لـها )‪:‬‬ ‫وهي البيانات التي ال توجد فيها � ِّأي قراءة تتك َّرر ‪.‬‬

‫طرق ح�سـاب المنوال‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬في حالة البيانات غير المب َّوبة‬ ‫يت ُّم ح�سـاب المنوال في هذه الحالة من واقع التعريف مبا�شـرةً‪.‬‬

‫مثال (‪) 15-3‬‬ ‫�أوج ��د المنوال لأطوال ع ِّين ٍة مك َّونة م ��ن ‪ 11‬طال ًبا من ال�صف الأ َّول الثانوي في �إحدى المدار�س‬ ‫�إذا كانت بياناتـها بال�سنتيمتر كما يلي‪:‬‬ ‫‪158 ، 162 ، 160 ، 156 ، 154 ، 162 ، 158 ، 160 ، 164 ، 160 ، 163‬‬

‫‪151‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫الحل‬ ‫نالحظ � َّأن العدد ‪ 160‬في الع ِّينة قد تك َّرر ‪ 3‬مرات‪ ،‬وهو �أكثر تكرا ًرا من � ِّأي ٍ‬ ‫عدد �آخر‪.‬‬ ‫� ًإذا المنوال ‪�160‬سم‬

‫مثال (‪) 16-3‬‬ ‫�إذا كان الدخل ال�شـهري بالريال لع ِّين ٍة من الأ�سـر كما يلي‪:‬‬ ‫‪6455 ، 1850 ، 2619 ، 5612 ، 4530 ، 9600 ، 16800 ، 7580 ، 2470 ، 6320 ، 9500 ، 7340‬‬ ‫ف�أوجد المنوال للدخل ال�شهري لهذه الأ�سر ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫نالح ��ظ � َّأن َّ‬ ‫كل ق ��راءة من القراءات ال�سابقة تظهر م َّر ًة واحدة ( �أي غير مك َّررة ) وبالتالي ف� َّإن‬ ‫البيانات ال منوال لـها‪.‬‬

‫مثال (‪) 17-3‬‬ ‫ِّ‬ ‫ال�صف الثاني االبتدائي في �إحدى المدار�س هي‪:‬‬ ‫�إذا كانت �أعمار ع ِّين ٍة من طالب‬ ‫‪8 ، 7 ، 8 ، 7 ، 8 ، 8 ، 7 ، 7 ،8 ، 6 ، 7 ، 9 ، 7 ، 8 ، 7 ، 9 ، 8 ، 7 ، 8‬‬ ‫فناق�ش وجود المنوال من عدمه‪.‬‬

‫الحل‬ ‫أي�ضا‪,‬‬ ‫نالحظ � َّأن القراءة ‪ 8‬تك َّررت ‪ 8‬م َّرات‪ ،‬و � َّأن القراءة ‪ 7‬تك َّررت ‪ 8‬م َّرات � ً‬ ‫�أ َّم ��ا الق ��راءات الأخرى ‪ 9 ، 6‬فلم ي�صل تكرارها �إلى ‪ 8‬وبالتالي ف� َّإن البيـانات ثنائ َّية المنــــــوال‬ ‫و منواالها هما ‪8 ، 7‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪152‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫ثان ًيا‪ -‬في حالة البيانات المب َّوبة‬ ‫�سنكتفي في هذه الحالة بتحديد المنوال لبيانات وحيدة المنوال‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ب�سـيط‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫في هذه الحالة تكون قيمة المنوال هي القيمة التي تقابل �أكبر تكرار في الجدول التكراري‪.‬‬

‫مثال (‪) 18-3‬‬ ‫�إذا كانت بيانات عدد الأفراد في ‪� 50‬أ�سـرة كما يلي‪:‬‬ ‫عدد الأفراد‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫عدد الأ�سـر‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫ف�أوجد المنوال لعدد �أفراد الأ�سـرة‪.‬‬

‫الحل‬

‫من الجدول ال�سـابق ي َّت�ضح � َّأن �أكبر تكرار هو ‪ ، 12‬و� َّأن القيمة المقابلة له هي ‪5‬‬ ‫� ًإذا المنوال لعدد �أفراد الأ�سـرة ‪� 5‬أفراد‪.‬‬

‫تدريب ( ‪) 10-3‬‬ ‫أ�سـبوعي للعامل في مثال ( ‪) 13 - 3‬‬ ‫�أوجد المنوال للدخل ال‬ ‫ِّ‬

‫(‪)3-3‬‬ ‫ف ��ي البيان ��ات غير المب َّوبة �إذا كان عدد القيم كبي ًرا بحيث ي�صعب تحديد تكرار ِّ‬ ‫كل قيمة ف�إنَّنا نك ِّون الجدول‬ ‫التكراري الب�سـيط لـهذه البيانات َّثم نوجد المنوال من الجدول كما �سـبق تو�ضيحه‪.‬‬

‫‪153‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ذي فئات‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫في هذه الحالة ال ن�سـتطيع تحديد القيمة الأكثر تكرا ًرا من الجدول مبا�شـر ًة ولكن يمكننا تحديد الفئة‬ ‫ذات التكرار الأكبر وهي الفئة التي يقع فيها المنوال وتعرف با�سـم الفئة المنوال َّية‪.‬‬ ‫ومن ثم يمكننا �إيجاد المنوال بطريقتين وهما‪ :‬الطريقة الح�سـاب َّية و الطريقة البيان َّية‪.‬‬ ‫‪ 1‬الطريقة الح�سابية‬ ‫لتحدي ��د موق ��ع المنوال داخل الفئ ��ة المنوال َّية نفتر� ��ض مبدئ ًّيا � َّأن مركز الفئ ��ة المنوال َّية هو قيمة‬ ‫تقريب َّي ��ة للمن ��وال �إ َّال � َّأن المن ��وال في الغالب ينحرف عن مركز الفئة نحو بدايته ��ا �أو نـهايتها قلي ًال �أو‬ ‫قيمتي التكرارين في الفئتين ال�سـابق ��ة والالحقة للفئة المنوال َّية‪،‬‬ ‫كثي� � ًرا ح�سـب �شـ َّدة االخت�ل�اف بين ِّ‬ ‫ف�إذا كان تكرار الفئة ال�سـابقة للفئة المنوال َّية �أكبر من تكرار الفئة الالحقة لـها ف� َّإن المنوال يميل نحو‬ ‫بداي ��ة الفئة المنوال َّية والعك�س �صحيح‪ ،‬وعلى ذلك ف� َّإن المنوال يق�سـم الفئة المنوال َّيـة بن�سـبة عك�سـ َّية‬ ‫لتكراري الفئتين ال�سـابقـة والالحقـة لـها ‪ .‬ويمكننا ت�شـبيه ذلك بقانون الرافعـة ‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫( القوة × ذراعـها المقاومة × ذراعـها )‪.‬‬ ‫‪ ،‬بحيث يكون طولـها م�سـاو ًيا طول الفئة المنوال َّية وت�ص َّورنا � َّأن‬ ‫ف� ��إذا ر�سـمن ��ا قطع ��ة م�سـتقيمة‬ ‫ٍ‬ ‫ق�ضيب لرافع ٍة فيـها‪:‬‬ ‫هذه القطعة بمثابة‬ ‫التكرار ال�سـابق لتكرار الفئة المنوال َّية بمثابة قوة ت�ؤ ِّثر عند الطرف ( بداية الفئة المنوال َّية )‪.‬‬ ‫والتكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية بمثابة مقاومة ت�ؤ ِّثر عند الطرف ب ( نـهاية الفئة المنوال َّية )‪.‬‬ ‫والمنوال بمثابة مركز الرافعة بحيث يكون ُبعده عن هو �س ومن َّثم يكون ُبعده عن ب هو ‪:‬‬ ‫طول الفئة المنوال َّية ‪� -‬س‪ ،‬كما في ال�شـكل ( ‪.) 10 - 3‬‬ ‫المنوال‬ ‫طول الفئة المنوال َّية‬

‫التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية‬ ‫التكرار ال�سابق لتكرار الفئة المنوال َّية‬ ‫�شكل ( ‪) 10- 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪154‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫ن�سـتنتج �أنَّ‪:‬‬

‫المنوال بداية الفئة المنوال َّية �س‬

‫وبتطبيق قانون الرافعة نح�صل على العالقة التالية‪:‬‬ ‫التكرار ال�سابق لتكرار الفئة المنوال َّية × �س‬ ‫التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية×( طول الفئة المنوال َّية �س )‬ ‫و يمكننا من هذه العالقة ا�سـتنتاج القانون التالي لح�سـاب المنوال‪.‬‬

‫( ‪) 11– 3‬‬

‫مثال (‪) 19-3‬‬ ‫يوم بالمليمتر‬ ‫�أوج ��د المنوال ح�ساب َّي ��ا لكم َّية الأمطار الت ��ي �سـقطت على مدين ٍة ما خ�ل�ال ‪ٍ 100‬‬ ‫والمو�ضحة بياناتـها في الجدول ( ‪.) 8 - 3‬‬ ‫المك َّعب‬ ‫َّ‬

‫الحل‬ ‫ي َّت�ضح من الجدول ( ‪َّ � ) 8 – 3‬أن �أكبر تكرار هو ‪ ،30‬وعليه ف� َّإن‪:‬‬ ‫الفئة المنوال َّية ( الفئة المقابلة للتكرار ‪ ) 30‬هي ( ‪ ،) 90-‬طول الفئة المنوال َّية ‪،10‬‬ ‫التكرار ال�سـابق لتكرار الفئة المنوال َّية هو ‪،20‬‬ ‫التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية هو ‪.15‬‬ ‫ومن القانون ( ‪ ) 11 - 3‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫‪155‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫(‪)4-3‬‬ ‫حيث � َّإن المنوال بداية الفئة المنوال َّية �س ‪ ,‬ف�إنَّه يمكن �إيجاد قيمة المنوال في المثال ال�سـابق بح�سـاب‬ ‫تو�ضحها الرافعة المم َّثلة في ال�شـكل ( ‪) 11 - 3‬‬ ‫قيمة �س من العالقة التالية التي ِّ‬ ‫المنوال‬

‫�شكل ( ‪) 11- 3‬‬

‫� ًإذا المنوال‬

‫‪ 2‬الطريقة البيان َّية‬ ‫يت� � ُّم ح�سـ ��اب قيمة المنوال بالر�سـم من الم ��د َّرج التكراري‪ ،‬و�إن كان يكتفى بر�سـ ��م الم�سـتطيالت التي‬ ‫تم ِّث ��ل الفئ ��ة المنوال َّية والفئة ال�سـابقة والالحق ��ة لـها‪َّ ،‬ثم ن�صل الر�أ�س الأيمن العل ��وي لم�سـتطيل الفئة‬ ‫المنوال َّي ��ة بالر�أ� ��س الأيمن العلوي للم�سـتطيل ال ��ذي يم ِّثل الفئة ال�سـابقة للفئ ��ة المنوال َّية وكذلك ن�صل‬ ‫الر�أ� ��س الأي�سـر العلوي لم�سـتطي ��ل الفئة المنوال َّية بالر�أ�س الأي�سـر العل ��وي للم�سـتطيل الذي يم ِّثل الفئة‬ ‫أفقي يقابله في نقطة‬ ‫الالحقة للفئة المنوال َّية‪ ،‬فيتقاطعان في نقطة ن�سـقط منها عمو ًدا على المحور ال ِ‬ ‫تكون هي قيمة المنوال‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪156‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫مثال (‪) 20-3‬‬ ‫يوم بالمليمتر المك َّعب‬ ‫�أوجد المنوال بيان ًّيا لكم َّية الأمطار التي �سـقطت على مدين ٍة ما خالل ‪ٍ 100‬‬ ‫والمو�ضحة بياناتـها في الجدول ( ‪.) 8 - 3‬‬ ‫َّ‬

‫الحل‬

‫�شكل ( ‪) 12- 3‬‬

‫من الر�سـم نجد � َّأن قيمة المنوال ≈ ‪94‬ملم‪. 3‬‬

‫‪157‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫(‪)5-3‬‬ ‫� َّإن الطريق ��ة البيان َّي ��ة ال�سـابقة لإيج ��اد المنوال مرتبطة ب�إحدى الط ��رق الح�سـاب َّية لإيج ��اد المنوال وتعرف‬ ‫بطريقة الفروق ولكننا لن نتناول درا�سـتها في هذا الكتاب‪.‬‬

‫مثال (‪) 21-3‬‬ ‫الج ��دول التالي يب ِّي ��ن توزيع مجموعة من الطالب وفق فئات الدرج ��ات التي ح�صلوا عليها في‬ ‫اختبار �إحدى المواد‪:‬‬ ‫فئات الدرجات‬ ‫عدد الطالب‬

‫‪6‬‬‫‪3‬‬

‫‪14‬‬‫‪10‬‬

‫‪10‬‬‫‪6‬‬

‫‪18‬‬‫‪17‬‬

‫‪30-26 22‬‬‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬

‫المجموع‬ ‫‪53‬‬

‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الح�سـابي للدرجات التي ح�صل عليها الطالب‪.‬‬ ‫قيمة الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫قيمة الو�سـيط ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫جـ قيمة المنوال ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬

‫الحل‬ ‫فئات الدرجات‬ ‫‪6‬‬‫‪10‬‬‫‪14‬‬‫‪18‬‬‫‪22‬‬‫‪30-26‬‬ ‫المجموع‬

‫عدد الطالب‬ ‫التكرار ( ك )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪53‬‬ ‫جدول ( ‪)14- 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪158‬‬

‫مركز الفئة‬ ‫( �س )‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪28‬‬

‫�س × ك‬

‫‪24‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪340‬‬ ‫‪288‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪1024‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫الح�سـابي للدرجات هو‪:‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬

‫ترتيب الو�سيـط‬ ‫التكراري المتج ِّمع ال�صاعد لدرجات الطالب كما في الجدول ( ‪.) 15 - 3‬‬ ‫نك ِّون الجدول‬ ‫َّ‬ ‫عدد الأيام‬ ‫فئات الدرجات‬ ‫التكرار ( ك )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬‫‪10‬‬ ‫‪14‬‬‫‪ 18‬الفئة الو�سيطية‬‫‪17‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪22‬‬‫‪5‬‬ ‫‪30-26‬‬

‫الحدود العليا للفئات التكرار المتج ِّمع‬ ‫ال�صاعد‬ ‫‪3‬‬ ‫�أقل من ‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫�أقل من ‪14‬‬ ‫�أقل من ‪18‬‬ ‫‪ 19‬ترتيب‬ ‫‪26.5‬‬ ‫‪ 36‬الو�سيط‬ ‫�أقل من ‪22‬‬ ‫‪48‬‬ ‫�أقل من ‪26‬‬ ‫‪53‬‬ ‫�أقل من ‪30‬‬

‫جدول ( ‪)15- 3‬‬

‫و با�ستخدام القانون ( ‪ ) 10 - 3‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫‪159‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫ولإيج ��اد الو�سـي ��ط بيان ًّيا نر�سـم المنحن ��ي المتج َّمع ال�صاعد كما ف ��ي ال�شـكل( ‪) 13 - 3‬‬ ‫فنجد من الر�سـم � َّأن ‪:‬‬ ‫قيمة الو�سـيط ≈ ‪ 19.8‬درجة‪.‬‬

‫�شكل ( ‪) 13- 3‬‬

‫جـ ي َّت�ضح من الجدول الوارد في هذا المثال � َّأن �أكبر تكرار هو ‪،17‬‬ ‫� ًإذا الفئة المنوال َّية ( الفئة المقابلة للتكرار ‪ ) 17‬هي ‪ ، 18-‬وطولـها ‪،4‬‬ ‫التك ��رار ال�سـاب ��ق لتكرار الفئة المنوال َّي ��ة هو ‪ ، 10‬التكرار الالحق لتك ��رار الفئة المنوال َّية‬ ‫هو ‪.12‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪160‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫وبالتعوي�ض في القانون ( ‪ ) 11 - 3‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫المنوال‬

‫وبيان ًّيا نجد من ال�شـكل ( ‪َّ � ) 14 - 3‬أن المنوال ≈ ‪ 20.3‬درجة‬

‫�شكل ( ‪) 14- 3‬‬

‫‪161‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫مزايا وعيوب مقايي�س النـزعة المركز َّية‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬مزايا مقايي�س النـزعة المركز َّية‬

‫ـابي‬ ‫مزايا الو�سـط الح�س ِّ‬ ‫‪ 1‬ي�أخذ في ح�سـابه جميع القيم‪.‬‬ ‫‪� 2‬شـائع اال�سـتعمال وكذا يمكن اال�سـتدالل به في كثير من الدرا�سـات الإح�صائ َّية‪.‬‬ ‫‪ 3‬ال يحتاج في ح�سـابه �إلى ترتيب البيانات ب�صورة مع َّينة‪.‬‬ ‫مزايا الو�سـيط‬ ‫المتو�سـطات المو�ضع َّية‪.‬‬ ‫‪ 1‬ال يت�أ َّثر بالقيم ال�شـاذَّ ة ( الكبيرة ج ًّدا �أو ال�صغيرة ج ًّدا ) لأ نَّه من‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 2‬يمك ��ن ح�سـاب ��ه للبيانات النوع َّي ��ة التي لـها �صفة الترتي ��ب‪ ،‬مثل بيانات التقدي ��رات ( را�سـب‪،‬‬ ‫مقبول‪ ،‬جيد‪ ،‬جيد ج ًّدا‪ ،‬ممتاز )‬ ‫جـ مزايا المنوال‬ ‫‪ 1‬ال يت�أ َّثر بالقيم المتط ِّرفة ( ال�شـاذَّ ة ) نحو الكبر �أو ال�صغر‪.‬‬ ‫‪ 2‬يمكن ح�سـابه للبيانات النوع َّية‪.‬‬ ‫‪ 3‬يمك ��ن ح�سـاب ��ه للبيانات المفتوحة �أي التي لم يعرف الح ُّد الأدن ��ى للفئة الأولى �أو الح ُّد الأعلى‬ ‫للفئة الأخيرة فيها‪.‬‬

‫ثان ًيا‪ -‬عيوب مقايي�س النـزعة المركز َّية‬

‫ـابي‬ ‫عيوب الو�سـط الح�س ِّ‬ ‫‪ 1‬يت�أ َّثر بالقيم المتط ِّرفة ( ال�شـاذَّ ة )‪.‬‬ ‫‪ 2‬ال يمكن ح�سـابه في حالة البيانات النوع َّية‪.‬‬ ‫‪ 3‬قد ال ي�سـاوي �أ ًّيا من القيم الداخلة في ح�سـابه‪ ،‬فقد يحتوي جز ًء ا ك�سـر ًّيا لبيانات مك َّونة من‬ ‫�أعداد �صحيحة‪.‬‬ ‫عيوب الو�سـيط‬ ‫‪ 1‬ال ي�أخذ في ح�سـابه جميع القيم‪.‬‬ ‫‪ 2‬ي�صعب اال�سـتدالل به منفر ًدا في الدرا�سـات الإح�صائ َّية‪.‬‬ ‫جـ عيوب المنوال‬ ‫‪ 1‬ال ي�أخذ في ح�سـابه جميع القيم‪.‬‬ ‫‪ 2‬قد يكون للبيانات �أكثر من منوال وبالتالي ال معنـى لإيراده في بع�ض الدرا�سـات الإح�صائ َّية‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪162‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬

‫‪33‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫من اللهَّ بـها على بالدنا الحبيبة كثرة �إنتاج التمور الذي يتوقَّف على وفرة �أعداد النخيل‬ ‫‪ 1‬من النعم التي َّ‬ ‫في مدن بالدنا المختلفة‪ .‬وفيما يلي بيا ٌن ب�أعداد النخيل ( بالمليون ) في خم�س مدن‪:‬‬ ‫‪1.75 ، 2.25 ، 0.5 ، 2.25 ، 5.75‬‬ ‫الح�سـابي والو�سـيط والمنوال للبيانات ال�سـابقة‪.‬‬ ‫�أوجد الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫‪َّ � 2‬إن الإ�سـ ��راف ف ��ي ا�سـتهالك الكهرباء ي�ؤ ِّدي �إل ��ى انقطاع التيار ب�سـبب الأحم ��ال الزائدة على َّ‬ ‫محطات‬ ‫التوليد و�شـبكات التوزيع‪ .‬ف�إذا كان ا�سـتهالك ع�شـرة منازل من الكهرباء بمئات الكيلو واط هو‪:‬‬ ‫‪17 ، 5.6 ، 6.4 ، 12 ، 13.2 ، 7.4 ، 8.4 ، 12.4 ، 8.4 ، 9.2‬‬ ‫الح�سـابي والو�سـيط والمنوال لال�سـتهالك‪.‬‬ ‫�أوجد الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫حجاج بيت اللهَّ الحرام القادمين من الخارج منذ عام ‪ 1413‬وحتى عام‬ ‫‪ 3‬الجدول التالي ِّ‬ ‫يو�ضح �أعداد َّ‬ ‫‪: 1418‬‬ ‫‪1418‬‬ ‫‪1417‬‬ ‫‪1416‬‬ ‫‪1415‬‬ ‫‪1414‬‬ ‫‪1413‬‬ ‫العام‬ ‫‪1132344 1168591 1080465 1043274 995611 992813‬‬ ‫الحجاج‬ ‫عدد َّ‬ ‫‪4‬‬

‫الحجاج‪.‬‬ ‫اح�سب الو�سـط‬ ‫الح�سـابي والو�سـيط والمنوال لعدد َّ‬ ‫َّ‬ ‫�أُخ ��ذت ع ِّين� � ٌة مك َّونة من ‪ٍ 200‬‬ ‫و�ص ِّنفت نتيجة الأجزاء الع�شـرة‬ ‫طالب من مدار�س تحفيظ القر�آن الكريم ُ‬ ‫الأخيرة التي يحفظهـا الطالب من القر�آن الكريم كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫عدد الأجزاء‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪11 13 12 16 32 50 35 19 12‬‬ ‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الح�سـابي لعدد الأجزاء التي يحفظها الطالب‪.‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫الو�سـيط لعدد الأجزاء‪.‬‬ ‫جـ المنوال لعدد الأجزاء‪.‬‬

‫‪163‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫تكراري كالآتي‪:‬‬ ‫‪ 5‬قي�سـت معامالت ذكاء ‪ 100‬تلميذ و د ِّونت في جدولٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫معامل الذكاء‬

‫‪85‬‬

‫‪95‬‬

‫‪105‬‬

‫‪115‬‬

‫‪125‬‬

‫التكرار‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪25‬‬

‫‪40‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ 135‬المجموع‬ ‫‪100‬‬

‫‪3‬‬

‫الح�سـابي والو�سـيط والمنوال لمعامالت الذكاء‪.‬‬ ‫�أوجد الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫‪ 6‬الم ��اء ع�صب الحياة‪ ،‬وب�سـبب الت�ضخُّ م ال�سـكاني وزيادة الطل ��ب على المياه ظهرت م�شـكلة المياه وقد‬ ‫اتف ��ق الر�أي العالمي على �أهم َّية المحافظة على المي ��اه و�ضرورة تر�شـيد ا�سـتخدامها‪ ،‬والجدول التالي‬ ‫يب ِّين توزيع اال�سـتهالك اليومي من المياه العذبة ب�إحدى دول مجل�س التعاون ( مق َّد ًرا بالمليون جالون )‪.‬‬ ‫اال�سـتهالك اليومي‬

‫‪-50‬‬

‫‪-60‬‬

‫‪-70‬‬

‫عدد الأيام‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 100-90 -80‬المجموع‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الح�سـابي لال�سـتهالك اليومي من المياه العذبة‪.‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫الو�سـيط بالح�سـاب وبالر�سـم‪.‬‬ ‫جـ المنوال بالح�سـاب وبالر�سـم‪.‬‬ ‫ـخ�صا ُاختيرت بطريق ٍة‬ ‫‪� 7‬أج ��رت �إحدى �شـركات �صناعة المالب�س درا�سـة لأط ��وال ع ِّين ٍة مك َّونة من ‪� 90‬ش ً‬ ‫منا�سـبة فكانت النتائج كما يلي‪:‬‬ ‫الطول بال�سـنتيمتر‬

‫‪-130‬‬

‫‪-140‬‬

‫عدد الأ�شـخا�ص‬

‫‪10‬‬

‫‪24‬‬

‫‪170-160 -150‬‬

‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الح�سـابي لأطوال الأ�شـخا�ص‪.‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫الو�سـيط لأطوال الأ�شـخا�ص بالطريقتين الح�سـاب َّية والبيان َّية‪.‬‬ ‫جـ المنوال لأطوال الأ�شـخا�ص بالطريقتين الح�سـاب َّية والبيان َّية‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪164‬‬

‫‪36‬‬

‫‪20‬‬

‫مقاييـ�س النـزعة المركز َّية‬ ‫ال�سـن‪:‬‬ ‫‪ 8‬الجدول الآتي ِّ‬ ‫يو�ضح توزيع القوى العاملة في �إحدى المدن ح�سـب ِّ‬ ‫ال�سـن‬ ‫فئات ِّ‬

‫‪-18‬‬

‫‪-24‬‬

‫‪-30‬‬

‫‪-36‬‬

‫‪-42‬‬

‫‪ 60-54 -48‬المجموع‬

‫القوى‬ ‫العاملة بالمئات‬

‫‪97‬‬

‫‪176‬‬

‫‪235‬‬

‫‪187‬‬

‫‪157‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪112‬‬

‫‪36‬‬

‫المطلوب �إيجاد قيمة‪:‬‬ ‫الح�سـابي‪.‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫الو�سـيط بالح�سـاب وبالر�سـم‪.‬‬ ‫جـ المنوال بالح�سـاب وبالر�سـم‪.‬‬ ‫‪ 8‬في �إحدى الدرا�سـات الإح�صائ َّية لظاهر ٍة ما كانت النتائج على النحو التالي‪:‬‬ ‫طول الفئة المنوال َّية = ‪10‬‬ ‫المنوال = ‪23‬‬ ‫التكرار ال�سابق للفئة المنوال َّية = ‪ 21‬التكرار الالحق للفئة المنوال َّية = ‪9‬‬ ‫�أوجد الح َّد الأدنى للفئة المنوال َّية‪.‬‬ ‫‪ 9‬ف ��ي �إحدى الدرا�سات الإح�صائ َّية على الواردات اليوم َّي ��ة لإحدى الدول بماليين الرياالت كانت النتائج‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫بداية الفئة الو�سـيط َّية = ‪76‬‬ ‫الو�سـيط =‪80‬‬ ‫التكرار المتج ِّمع المقابل للح ِّد الأدنى للفئة الو�سيط َّية =‪125‬‬ ‫التكرار المتج ِّمع المقابل للح ِّد الأعلى للفئة الو�سيط َّية = ‪195‬‬ ‫مجموع التكرارات للأيام التي �أُ�سـتورد فيها = ‪360‬‬ ‫�أوجد طول الفئة الو�سـيط َّية ‪.‬‬

‫‪165‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫‪4-3‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫‪The Standard Deviation‬‬

‫يرمز الى‬ ‫االنحراف المعياري‬

‫الت�شـتُّت‬ ‫ال�شـ ��ك � َّأن مقايي� ��س النـزع ��ة المركز َّية ( الو�سـط الح�سـاب � ُّ�ي و الو�سـيط والمنوال ) لـه ��ا �أهم َّيتها ؛ فهي‬ ‫تُعط ��ي معلوم ��ات مفي ��دة وق ِّيمة عن الظاه ��رة‪� ،‬إ َّال �أ نَّها ال تعطي فك ��رة وافية عن مفردات ه ��ذه الظاهرة �إذ‬ ‫ال تب ِّي ��ن طبيع ��ة الظاهرة وال كيف َّية توزي ��ع مفرداتـها‪ ،‬وعلى ذلك ال يمكننا المقارن ��ة بين ظاهرتين بنا ًء على‬ ‫متو�سـطات �إح ��دى الظاهرتين م�سـاوية لقيمة‬ ‫متو�سطاتـهم ��ا فق ��ط؛ �إذ قد تكون قيمة واح � ٍ�د ( �أو �أكثر ) من ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫المتو�سـطات المناظرة لـها ) من الظاهرة الأخرى‪ ،‬بينما تكون مفردات �إحدى‬ ‫المتو�سـ ��ط المنــــــاظر له( �أو‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫الظاهرتي ��ن متجان�سـ ��ة �أي متقارب ��ة بع�ضها م ��ن بع�ض في حين تكون مف ��ردات الظاهرة الأخ ��رى م�شـــــــ َّتتة‬ ‫�أي متباع ��دة ع ��ن بع�ضه ��ا‪ -‬فمث ً‬ ‫مادتي‬ ‫ال‪ -‬لو فر�ضن ��ا � َّأن لدينا الدرج ��ات الآتية لمجموعة من الط�ل�اب في ِّ‬ ‫الريا�ض َّيات واللغة الإنجليز َّية‪:‬‬ ‫درجات الريا�ض َّيات ‪100 ، 80 ، 72 ، 58 ، 40 :‬‬ ‫درجات اللغة الإنجليز َّية ‪76 ، 71 ، 72 ، 67 ، 64 :‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪166‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫ف�إ نَّنا �سـنجد � َّأن‪:‬‬ ‫لكل من هاتين الظاهرتين هو ‪ 70‬درج ��ة ‪ ،‬و� َّأن الو�سـيط ٍّ‬ ‫الو�سـ ��ط الح�سـاب � َّ�ي ٍّ‬ ‫لكل منهما هو ‪ 72‬درجة ف�إذا ما‬ ‫اكتفين ��ا بمقارن ��ة الو�سـطين الح�سـاب ِّيين ( �أو الو�سـيطين ) للظاهرتين ف�إ نَّنا ن�سـتنتج � َّأن م�سـتوى الطالب هو‬ ‫نف�س ��ه في الما َّدتين وه ��ذا يخالف الواقع حيث � َّإن درجات اللغة الإنجليز َّي ��ة متقارب ٌة من بع�ضها وتتر َّكز حول‬ ‫و�سـطه ��ا ( مث�ل ً�ا ) بينما درجات الريا�ض َّيات متباعدة ومبعثرة ف ��ي مدى كبير‪ ،‬وعلى ذلك ال يمكننا اقت�صار‬ ‫متو�سطاتـها فقط‪ ،‬بل يجب البح ��ث عن مقيا�س �آخر يب ِّين مدى تقارب �أو تباعد‬ ‫المقارن ��ة بين الظواهر على ِّ‬ ‫مفردات الظواهر بع�ضها عن بع�ض‪� ،‬أي يجب �أن ن�ضيف �إلى مقايي�س النـزعة المركز َّية مقايي�س �أخرى تُظهر‬ ‫درجة ت�شـتُّت القيم �أي تباعدها بع�ضها عن بع�ض‪.‬‬ ‫وهذا الت�شـ ُّتت يكون �صغي ًرا �إذا كان االختالف بين قيم المفردات قلي ًال ويكون كبي ًرا �إذا كان االختالف بينها‬ ‫كبي� � ًرا �أي �إذا كانت الفروق بين قيم المجموعة كبيرة‪ ،‬وعلى ذلك يمكننا اتخاذ مقدار ت�شـ ُّتت القيم مقيا�سـًا‬ ‫لمعرفة تقارب القيم �أو تباعدها من بع�ضها البع�ض‪.‬‬ ‫وهن ��اك مقايي� ��س ع� � َّدة للت�شـ ُّتت تختلف من حيث ط ��رق ح�سـابـها ومجال ا�سـتخدامها‪ ،‬كم ��ا �أ نَّها تختلف من‬ ‫أهم مقايي�س الت�شـتُّت و�أكثرها ا�سـتعما ًال في علم‬ ‫حيث دقَّتها‪ ،‬و�سـنق�صر درا�سـتنا في هذا الكتاب على �أحد � ِّ‬ ‫ُ‬ ‫المعياري‪.‬‬ ‫االنحراف‬ ‫الإح�صاء وهو‬ ‫ُّ‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫�اري هو �أف�ضل و�أد ُّق مقايي�س الت�شـ ُّتت لأ نَّه يقي�س مدى تقارب �أو تباعد القراءات عن‬ ‫� َّإن االنح ��راف المعي � َّ‬ ‫الح�سـابي وذلك يعني � َّأن جميع القراءات تدخل في ح�سـابه‪.‬‬ ‫و�سـطها‬ ‫ِّ‬

‫المعياري‪:‬‬ ‫�سـنق ِّدم فيما يلي مفهوم االنحراف‬ ‫ِّ‬

‫بفر� ��ض � َّأن ق ��راءات الظاه ��رة الت ��ي لدين ��ا ه ��ي ‪:‬‬ ‫الح�سـابي‬ ‫ف�إنَّ انحرافات هذه القراءات عن و�سـطها‬ ‫ِّ‬ ‫وه ��ذه االنحراف ��ات تك ��ون �صغي ��ر ًة �إذا كان ��ت الق ��راءات قريب� � ًة م ��ن و�سـطه ��ا الح�سـاب � ِّ�ي �أي �إذا كان ��ت‬ ‫الق ��راءات متقارب� � ًة من بع�ضها‪ ،‬وبالعك� ��س ف� َّإن هذه االنحرافات تك ��ون كبير ًة �إذا كانت الق ��راءات متباعد ًة‬ ‫الح�سـابي‬ ‫متو�سـ ��ط انحراف ��ات القراءات ع ��ن و�سـطه ��ا‬ ‫بع�ضه ��ا ع ��ن بع�ض؛ ل ��ذا ف�إ َّن ��ه يمكننا ا�سـتخ ��دام ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫كمقيا� ��س للت�شـ ُّت ��ت ولكن مجم ��وع انحرافات القراءات ع ��ن و�سـطها الح�سـاب � ِّ�ي ل ِّأي ٍ‬ ‫بيانات ي�سـ ��اوي �صف ًرا‪،‬‬

‫‪167‬‬

‫و� َّأن و�سـطه ��ا الح�سـاب � َّ�ي هو‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫�إذ � َّإن بع� ��ض االنحراف ��ات موجب وبع�ضها الآخر �سـالب‪ ،‬وعند جمع ه ��ذه االنحرافات يتال�شـى الموجب منها‬ ‫الح�سـابي لمر َّبعات هذه االنحرافات بد ًال من االنحرافات‬ ‫م ��ع ال�سـالب‪ .‬ولتجاوز هذه الم�شـكلة ن�أخذ الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫نف�سـها‪ ،‬فنح�صل بذلك على ما ُي�سـ َّمى بالتباين و وحدته هي مر َّبع الوحدات الأ�صل َّية للقراءات‪.‬‬ ‫التربيعي للتباين‬ ‫ونظ� � ًرا لأف�ضل َّية �أن يك ��ون لمقيا�س الت�شـ ُّتت وحدات المف ��ردات نف�سـها ف�إ نَّنا ن�أخذ الج ��ذر‬ ‫َّ‬ ‫المعياري‪.‬‬ ‫كمقيا�س للت�شـ ُّتت و ُي�سـ َّمى االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫تعريف ( ‪)4 -3‬‬ ‫الح�سـابي لمر َّبعات انحرافات القراءات‬ ‫المعياري هو الجذر التربيعي للو�سـط‬ ‫االنح ��راف‬ ‫ُّ‬ ‫ِّ‬ ‫الح�سـابي‬ ‫عن و�سـطها‬ ‫ِّ‬ ‫المعياري بالرمز‬ ‫ونرمز لالنحراف‬ ‫ِّ‬

‫المعياري‬ ‫طرق ح�سـاب االنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬في حالة البيانات غير المب َّوبة‬ ‫المعياري في هذه الحالة من التعريف مبا�شـر ًة و الذي يمكن التعبير عنه بالقانون التالي ‪:‬‬ ‫ُيح�سـب االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫( ‪) 12– 3‬‬

‫مثال (‪) 22-3‬‬ ‫المعياري للقراءات التالية‪ 14 ، 9 ، 10 ، 12 ، 15 :‬التي تم ِّثل درجات الحرارة‬ ‫�أوج ��د االنح ��راف‬ ‫َّ‬ ‫في خم�سـة �أيام مختلفة في مدينة الطائف لأقرب درجة مئو َّية‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪168‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫الحل‬ ‫الح�سـابي‬ ‫نح�سـب �أ َّو ًال قيمة الو�سـط‬ ‫ِّ‬

‫نك� � ِّون جدو ًال للح�سـابات يكون في ��ه العمود الأ َّول للقراءات والعمود الثان ��ي للفرق بين القراءات‬ ‫الح�سـابي والعمود الثالث لمر َّبع الفرق‪� .‬أ َّم ��ا ال�صف الأخير من الجدول فيحتوي على‬ ‫والو�سـ ��ط‬ ‫ِّ‬ ‫مجموع ٍّ‬ ‫الح�سـابي‪.‬‬ ‫كل من القراءات ومر َّبعات فروقها عن الو�سـط‬ ‫ِّ‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪2‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫المعياري هو‬ ‫فيكون االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫جدول ( ‪)16- 3‬‬

‫‪169‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫(‪)6-3‬‬ ‫المعياري‪� ،‬سـنكتب القانون ( ‪ ) 12 -3‬ب�صيغ ٍة مخت�صر ٍة على النحو التالي‪:‬‬ ‫لت�سـهيل ح�سـاب االنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫( ‪) 13– 3‬‬ ‫الح�سـابي‬ ‫التربيعي للفرق بين الو�سـط‬ ‫المعياري في �صيغته المخت�صرة هو الجذر‬ ‫وذل ��ك يعني � َّأن االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫ِّ‬ ‫ُّ‬ ‫الح�سـابي للقراءات‪ ،‬وبـهذه ال�صيغة المخت�صرة يمكننا ح�سـاب االنحراف‬ ‫لمر َّبعات القراءات ومر َّبع الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫الح�سـابي‪.‬‬ ‫المعياري دون ح�سـاب االنحرافات عن الو�سـط‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬

‫مثال (‪) 23-3‬‬ ‫م�سـتخدما القانون بال�صيغة المخت�صرة ‪.‬‬ ‫المعياري لبيانات المثال ( ‪) 22 - 3‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫ً‬

‫الحل‬ ‫نك� � ِّون جدو ًال م ��ن عمودين الأ َّول للق ��راءات والثاني لمر َّبعات القراءات‪ ،‬ويك ��ون ال�صفُّ الأخير‬ ‫لمجموع القراءات ومجموع مر َّبعاتـها كما يلي‪:‬‬

‫‪225‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪196‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬ ‫جدول ( ‪)17- 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪170‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫المعياري ‪:‬‬ ‫ومن ذلك يكون االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫المعياري‬ ‫الح�سابي واالنح���راف‬ ‫ا�ستخ���دام الآل���ة الحا�سبة العلم َّية لإيج���اد الو�سط‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للبيانات غير المب َّوبة‬ ‫للآل ��ة الحا�سب ��ة العلم َّية �أهمي� � ٌة بالغة في �إج ��راء الح�سابات الإح�صائ ّي ��ة حيث يمكنن ��ا ا�ستخدامها لإيجاد‬ ‫المعياري للبيانات غير المب َّوبة ‪ ،‬و تع ُّد عمل َّية �إيجاد ٍّ‬ ‫الح�سابي و‬ ‫كل من الو�سط‬ ‫الح�سابي واالنحراف‬ ‫الو�سط‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫خا�ص ٌة بالإح�صاء‬ ‫االنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫المعياري من العمل َّيات غير الأ�سا�س َّية في الآلة الحا�سبة العلم َّية و توجد مفاتي ٌح َّ‬ ‫ ‬ ‫و هي مم َّيز ٌة با َّللون الأزرق �سن�ستخدم منها المفاتيح الآتية ‪:‬‬ ‫‪) 1‬‬

‫و ي�ستخدم لم�سح البيانات ال�سابقة من ذاكرة الإح�صاء ‪.‬‬

‫‪) 2‬‬

‫وي�ستخدم لإدخال البيانات ‪.‬‬

‫‪) 3‬‬

‫وي�ستخدم لإيجاد الو�سط الح�سابي ‪.‬‬

‫‪) 4‬‬

‫وي�ستخدم لإيجاد االنحراف المعياري‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫وم ��ن الجدي ��ر ذكره �أنَّه قبل البدء بح�س ��اب الو�سط الح�سابي و االنحراف المعياري الب� � َّد �أو ًال من و�ضع الآلة‬ ‫الحا�سبة على نظام الإح�صاء ‪ SD‬وذلك بال�ضغط على مفتاح اختيار النظام‬ ‫َّثم على‬

‫و بعد ذلك نم�سح ذاكرة الإح�صاء بال�ضغط على‬

‫َّثم على‬

‫‪،‬‬

‫َّثم على‬

‫مثال (‪) 24-3‬‬ ‫با�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد الو�سط الح�سابي واالنحراف المعياري لبيانات المثال ( ‪) 22 - 3‬‬

‫الحل‬ ‫لإيجاد الو�سط الح�سابي �أو االنحراف المعياري ندخل البيانات على النحو التالي ‪:‬‬

‫وبا�ستخدام المفاتيح المبينَّة بالتتابع التالي ‪:‬‬ ‫نجد �أن الو�سط الح�سابي ‪12‬‬ ‫وللح�صول على االنحراف المعياري ن�ستخدم المفاتيح المب َّينة بالتتابع التالي ‪:‬‬ ‫�أي � َّأن االنحراف المعياري‬

‫‪2.28‬‬

‫تدريب ( ‪) 11-3‬‬ ‫با�ستخ ��دام الآلة الحا�سبة �أوجد الو�سط الح�ساب ��ي و االنحراف المعياري لبيانات‬ ‫مثال ( ‪) 8 - 3‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪172‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫ثان ًيا‪ -‬في حالة البيانات المب َّوبة‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ب�سـيط‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫تكراري‬ ‫المعياري للبيانات المب َّوبة في جدولٍ‬ ‫م ��ن التعري ��ف ( ‪ ،) 4-3‬يمكن ا�سـتنتاج �صيغة االنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ب�سـيط وهي ‪:‬‬ ‫( ‪) 14– 3‬‬ ‫المعياري في هذه الحالة هي ‪:‬‬ ‫وتكون ال�صيغة المخت�صرة لالنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫( ‪) 15– 3‬‬

‫مثال (‪) 25-3‬‬ ‫ِم َّم ��ا ال�شـك في ��ه � َّأن الغياب ع ��ن المدر�سـة ي�ؤ ِّث ��ر �سـل ًبا عل ��ى م�سـتوى تح�صيل الط�ل�اب ب�صف ٍة‬ ‫عا َّم ��ة وفيما يلي بيانات الط�ل�اب الغائبين في �إحدى المدار�س ح�سـب �أيام غيابـهم خالل العام‬ ‫الدرا�سـي‪.‬‬ ‫عدد �أيام الغياب‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫عدد الطالب الغائبين‬

‫‪35‬‬

‫‪16‬‬

‫‪11‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫المعياري لـهذه الظاهرة‪.‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬

‫‪173‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫الحل‬ ‫عدد الأيام ( �س )‬

‫التكرار ( ك )‬

‫�س ك‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪275‬‬ ‫‪540‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪200‬‬

‫جدول ( ‪)18- 3‬‬

‫الح�سـابي‬ ‫نح�سـب �أ َّو ًال الو�سـط‬ ‫َّ‬

‫ٍ‬ ‫تكراري ذي فئات‬ ‫جدول‬ ‫البيانات المب َّوبة في‬ ‫ٍّ‬ ‫ال تختل ��ف ه ��ذه الحال ��ة كثي ًرا عن حال ��ة الجدول التك ��راري الب�سـي ��ط‪� ،‬إال �أ نَّنا ن�أخذ في ه ��ذه الحالة‬ ‫المعياري في هذه‬ ‫انحراف ��ات مراكز الفئات بد ًال من انحرافات القي ��م‪ ،‬وبالتالي ف� َّإن �صيغة االنحراف‬ ‫ِّ‬ ‫الحالة هي ال�صيغة ( ‪ ) 15 - 3‬نف�سـها حيث �س تمثل قيم مراكز الفئات‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪174‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫مثال (‪) 26-3‬‬ ‫�اري لبيان ��ات ع ِّين ٍة م ��ن ‪ 40‬من�شـ�أة �صح َّي ��ة ح�سـب عدد الأطب ��اء فيـها‬ ‫�أوج ��د االنح ��راف المعي � َّ‬ ‫والمو�ضحة في الجدول التالي‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫عدد الأطباء‬

‫‪-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10‬‬

‫عدد المن�شـ�آت ال�صح َّية ‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪50-45‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫الحل‬ ‫لإيجاد االنحراف المعياري نكون الجدول التالي با�ستخدام الآلة الحا�سبة والتقريب لأقرب رقمين ع�شريين ‪:‬‬ ‫عدد الأطباء‬ ‫(الفئات)‬ ‫‪-10‬‬

‫عدد المن�شـ�آت مراكز الفئات‬ ‫�س‬ ‫ال�صح َّية ك‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪4‬‬

‫�س ك‬ ‫‪50‬‬

‫‪625‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪4‬‬

‫‪17.5‬‬

‫‪70‬‬

‫‪1225‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪6‬‬

‫‪22.5‬‬

‫‪135‬‬

‫‪3037.5‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪10‬‬

‫‪27.5‬‬

‫‪275‬‬

‫‪7562.5‬‬

‫‪-30‬‬

‫‪6‬‬

‫‪32.5‬‬

‫‪195‬‬

‫‪6337.5‬‬

‫‪-35‬‬

‫‪5‬‬

‫‪37.5‬‬

‫‪187.5‬‬

‫‪7031.25‬‬

‫‪-40‬‬ ‫‪50-45‬‬ ‫المجموع‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪42.5‬‬ ‫‪47.5‬‬

‫‪170‬‬ ‫‪47.5‬‬

‫‪7225‬‬ ‫‪2256.25‬‬

‫جدول ( ‪)19- 3‬‬

‫‪175‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫تدريب ( ‪) 12-3‬‬ ‫المعياري لبيانات المثال ( ‪.) 21 - 3‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪176‬‬

‫ُ‬ ‫المعياري‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬

‫‪43‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪� 1‬إذا كانت درجات ٍ‬ ‫طالب في االختبار الن�صفي لخم�س مواد درا�سـ َّية هي كما يلي‪:‬‬ ‫م�ستخدما القانون‪.‬‬ ‫المعياري للدرجات‬ ‫‪ 18 ، 23 ، 21 ، 16 ، 20‬ف�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫ً‬ ‫‪َّ � 2‬إن الإ�سـراف في ا�سـتهالك الزيت النباتي في طهي الطعام يع ُّد من الظواهر غير ال�صح َّية‪ .‬ف�إذا كانت‬ ‫كم َّية اال�سـتهالك ال�شـهري ل�سـبع �أ�سـر من الزيت النباتي في الطهي ( باللتر ) هي‪:‬‬ ‫م�ستخدما القانون‪.‬‬ ‫المعياري لال�سـتهالك‬ ‫‪ 4 ، 10 ، 8 ، 4.5 ، 7 ، 6.5 ، 2‬ف�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫ً‬ ‫يو�ضح ال�سـرعة المدار َّية لكواكب المجموعة ال�شم�سـ َّية‪:‬‬ ‫‪ 3‬الجدول التالي ِّ‬ ‫الكواكب عطارد‬ ‫ال�سـرعة‬ ‫كم‪/‬ث ‪47.8‬‬

‫الزهرة الأر�ض‬

‫المريخ الم�شتري زحل‬

‫‪29.8‬‬

‫‪9.7‬‬

‫‪35.1‬‬

‫‪24.1‬‬

‫‪13‬‬

‫�أورانو�س‬

‫نبتون‬

‫بلوتو‬

‫‪6.8‬‬

‫‪5.5‬‬

‫‪4.8‬‬

‫�اري لل�سـرعة المدار َّية‬ ‫�أوج ��د با�ستخدام الآل ��ة الحا�سبة ك ًال من الو�سـ ��ط‬ ‫الح�سـابي َو االنحراف المعي � َّ‬ ‫ّ‬ ‫لكواكب المجموعة ال�شم�سـ َّية‪.‬‬ ‫الح�سـابي لدرجاتـه‬ ‫‪� 4‬إذا كان مجم ��وع مر َّبع ��ات درجات طالب في المقررات الدرا�سـ َّي ��ة ‪ 72410‬والو�سط‬ ‫ُّ‬ ‫المعياري لدرجاتـه في هذه‬ ‫( المع َّدل ) ‪ 85‬ف�أوجد عدد المقررات الدرا�سـ َّية لـه �إذا علمت � َّأن االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫المقررات ي�ساوي ‪.4‬‬ ‫‪ 5‬ف ��ي التمري ��ن (‪ ) 4‬من مجموعة التمارين ( ‪ ) 3 – 3‬كانت بيان ��ات حفظ الع�شـرة الأجزاء الأخيرة من‬ ‫القر�آن الكريم لمئت ِّـي ٍ‬ ‫طالب كما يلي‪:‬‬ ‫عدد‬ ‫الأجزاء‬ ‫عدد‬ ‫الطالب‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪19‬‬

‫‪35‬‬

‫‪50‬‬

‫‪32‬‬

‫‪16‬‬

‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫المعياري لعدد الأجزاء التي يحفظها الطالب‪.‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬

‫‪177‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫‪ 6‬في المثال ( ‪ ) 18 - 3‬كانت بيانات عدد الأفراد في ‪� 50‬أ�سـرة كما يلي‪:‬‬ ‫عدد الأفراد‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫عدد الأ�سـر‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫المعياري لعدد �أفراد الأ�سـرة‪.‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫المعياري لال�سـتهالك اليومي من المياه العذبة للبيانات المعطاة في تمرين ( ‪) 6‬من‬ ‫‪� 7‬أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫مجموعة التمارين ( ‪ ) 3 - 3‬وهي‪:‬‬ ‫اال�سـتهالك اليومي‬

‫‪50-‬‬

‫‪60-‬‬

‫‪70-‬‬

‫عدد الأيام‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪100-90 80‬‬‫‪2‬‬

‫المجموع‬ ‫‪25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 8‬في درا�سـ ٍة لكم َّية البنـزين التي ت�سـتهلكها مجموع ٌة من ال�سـ َّيارات كانت النتائج كالتالي‪:‬‬ ‫عدد الكيلومترات لكل جالون ‪25-‬‬ ‫عدد ال�س َّيارات‬

‫‪5‬‬

‫‪27-‬‬

‫‪29-‬‬

‫‪31-‬‬

‫‪33-‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫المعياري لعدد الكيلو مترات ِّ‬ ‫لكل جالون‪.‬‬ ‫�أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫المعياري‪.‬‬ ‫‪ 9‬ك ِّون مجموعتين من القراءات لـهما الو�سـط الح�سـابي نف�سـه وتختلفان في انحرافهما‬ ‫ِّ‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪178‬‬

‫االرتباط‬

‫‪5-3‬‬

‫االرتباط‬ ‫‪The Correlation‬‬

‫كان اهتمامن ��ا فيم ��ا �سبق مر َّك ًزا على درا�سة ظاهر ٍة واحدة ( متغ ِّيرٍ واح ��د ) ‪ ،‬وفي هذا البند �سنتطرق �إلى‬ ‫درا�سة العالقة بين متغ ِّيرين و التي تتط َّلبها الكثير من الم�سائل العلم َية ‪ ،‬و من الأمثلة على ذلك ‪:‬‬ ‫العالقة بين طول الطفل و وزنه ‪.‬‬ ‫لعالقة بين وزن المري�ض و �ضغط دمه ‪.‬‬ ‫العالقة بين حوادث المرور و تجاوز الحد الأق�صى لل�سرعة ‪.‬‬ ‫العالقة بين الم�ستوى االجتماعي للأ�سرة و م�ستوى الذكاء لأبناء الأ�سرة ‪.‬‬ ‫العالقة بين دخل الفرد و �إنفاقه‪.‬‬ ‫لمنتج مع َّين و كم َّيات المبيعات منه ‪.‬‬ ‫العالقة بين تكاليف الدعاية ٍ‬ ‫العالقة بين تكلفة �إنتاج �سلع ٍة و �سعرها ‪.‬‬ ‫ن�س ِّمى العالقة بين � ِّأي متغ ِّيرين ارتباطاً بين هذين المتغ ِّيرين ‪.‬‬

‫‪179‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫ِّ‬ ‫و�سنو�ضح مفهوم االرتباط من خالل المناق�شة التالية ‪:‬‬ ‫نعلم �أنَّه ك َّلما زاد طول الطفل زاد وزنه ‪ ،‬فالتغ ُّير في الطول مقتر ٌن بالتغ ُّير في الوزن ‪ ،‬و لكن ِّ‬ ‫لكل قاعد ٍة‬ ‫�شواذ فهناك �أطفا ٌل ِطوا ٌل ِنحاف �أخفُّ وز ًنا من �آخرين ِق�صا ٍر ِ�سمان‪.‬‬ ‫ٌّ‬ ‫إيجابي ‪.‬‬ ‫َن ِ�صف االرتباط ( العالقة ) بين طول الطفل و وزنه ب�أنَّه‬ ‫ارتباط � ٌّ‬ ‫و �إذا در�سنا العالقة بين الحجم و ال�ضغط في الغازات نجد �أنَّه كلما زاد الحجم ق َّل ال�ضغط و هذا يعني � َّأن‬ ‫ٌ‬ ‫ٌّ‬ ‫�سلبي ‪.‬‬ ‫ارتباط بين حجم الغاز و �ضغطه ُيو�صف ب�أنَّه‬ ‫هناك‬ ‫ارتباط ٌّ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫�سلبي بين متغ ِّيرين ‪.‬‬ ‫ايجابي و �آخر‬ ‫الرتباط‬ ‫�أعط مثا ًال‬ ‫الرتباط ٍّ‬ ‫ٍّ‬ ‫و ف ��ي الواق ��ع �إذا كانت هناك عالق� � ًة ريا�ض َّية تربط بين المتغ ِّيرين بحي ��ث �إذا علمنا قيمة �أحدهما ن�ستطيع‬ ‫(‪)1‬‬ ‫معرف ��ة قيم ��ة الآخر ‪-‬كما هو الحال في االرتباط بين حجم الغاز و �ضغط ��ه ‪ -‬ف� َّإن االرتباط بين المتغ ِّيرين‬ ‫ً‬ ‫ارتباطا تا ًّما‬ ‫ي�س َّمى‬ ‫هل االرتباط بين طول الطفل و وزنه ارتباط ٌتا ٌّم ؟‬ ‫ٌ‬ ‫ارتباط بين طول الطالب و درجته في االختبار ؟‬ ‫هل هناك‬

‫لع َّلك تو�صلت من المناق�شة ال�سابقة �إلى �أنَّه ‪ :‬‬ ‫‪ )1‬لالرتباط نوعان هما ‪:‬‬ ‫ٌ‬ ‫ايجابي ‪ :‬و فيه تزداد قيم �أحد المتغ ِّيرين ( �أو معظمها ) بزيادة قيم المتغ ِّير الآخر ‪.‬‬ ‫ارتباط‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌ‬ ‫�سلبي ‪ :‬و فيه تنق�ص قيم �أحد المتغ ِّيرين ( �أو معظمها ) بزيادة قيم المتغ ِّير الآخر ‪.‬‬ ‫ارتباط ٌّ‬ ‫‪ )2‬يتفاوت االرتباط في �ش َّدته فهناك ‪:‬‬ ‫ٌ‬ ‫ارتباط تا ٌّم ‪ :‬وفيه يمكن معرفة قيمة �أحد المتغ ِّيرين �إذا ُعلمت قيمة المتغ ِّير الآخر ‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ارتباط غير تا ٍّم ‪ :‬وفيه يمكن معرفة قيمة تقريبية لأحد المتغ ِّيرين �إذا ُعلمت قيمة المتغ ِّير الآخر ‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ارتباط منعد ٌم ‪ :‬وفيه ي�ستحيل معرفة قيمة �أحد المتغ ِّيرين �إذا ُعلمت قيمة المتغ ِّير الآخر ‪.‬‬ ‫ولدرا�سة االرتباط بين متغ ِّيرين هناك ع َّدة طرق ندر�س منها ‪ :‬طريقة بيان َّية ( �شكل االنت�شار) و �أخرى‬ ‫ح�ساب َّية ( معامل االرتباط )‬ ‫(‪ )1‬حجم الغاز‬

‫ثابت‬ ‫�ضغط الغاز‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪180‬‬

‫االرتباط‬

‫�شكل االنت�شار ‬ ‫�إذا كان لدينا المتغ ِّيران‬ ‫و �أخذ المتغ ِّير القيم ‪:‬‬ ‫و �أخذ المتغ ِّير القيم ‪:‬‬ ‫ف�إنه بتعيين النقـــاط ‪:‬‬ ‫في الم�ستوي الديكارتي نح�صل على �شكلٍ يب ِّين انت�شار هذه النقاط في الم�ستوي ي�س َّمى �شكل االنت�شار ‪.‬‬ ‫و ل�شكل االنت�شار �صو ٌر مختلفة ‪ ،‬ف�إذا كانت النقاط جميعها تقع على ٍّ‬ ‫خط م�ستقيم كما في ال�شكل ( ‪� ) 15 - 3‬أو‬ ‫تتج َّمع حول ٍّ‬ ‫خطي‬ ‫خط م�ستقيم كما في ال�شكلين ( ‪ ) 17– 3 ( ، ) 16– 3‬ف�إنَّنا نقول � َّإن االرتباط بين المتغ ِّيرين ُّ‬

‫�شكل ( ‪) 15- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 17- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 16- 3‬‬

‫و هناك‬ ‫حاالت �أخرى تقع فيها النقاط جميعها على منحنٍ كما في ال�شكل ( ‪� ) 18 – 3‬أو تتج َّمع حول منحنٍ‬ ‫ٌ‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪� , ) 19 – 3‬إ َّال �أنَّنا لن نتطرق لدرا�سة هذه الحاالت في هذا الكتاب‬

‫�شكل ( ‪) 19- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 18- 3‬‬

‫‪181‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫وفيالواقعيمكننامن�شكلاالنت�شاردرا�سةنوعاالرتباط‪,‬ففيال�شكل(‪)15-3‬يكوناالرتباط�إيجاب ًّيا( لماذا؟ ) ‪,‬‬ ‫بينما في ال�شكل ( ‪ ) 16 - 3‬يكون االرتباط �سلبي ًا ( لماذا؟ ) ‪.‬‬ ‫ما نوع االرتباط في �شكل ( ‪ ) 17 - 3‬؟‬ ‫كما يمكننا كذلك من �شكل االنت�شار تحديد �ش َّدة االرتباط بين المتغ ِّيرين‪ ,‬وذلك على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان ��ت النق ��اط تق ��ع جميعها على خ � ٍّ�ط م�ستـقيم ‪ -‬كما في ال�ش ��كل ( ‪ -) 15 - 3‬ف� �� َّإن االرتباط بين‬ ‫المتغ ِّيرين يكون تا ًّما (لماذا ؟) ‪.‬‬ ‫حدد العالقة الريا�ض ّية بين المتغ ِّيرين �س ‪� ،‬ص في ال�شكل ( ‪.) 15 - 3‬‬ ‫ِّ‬ ‫خط م�ستقي ��م �إال �أنَّها تتج َّمع حول ٍّ‬ ‫‪� )2‬إذا كان ��ت النق ��اط ال تقع جميعها على ٍّ‬ ‫خط م�ستقيم ‪ ،‬ف� َّإن االرتباط بين‬ ‫المتغ ِّيرين يكون غير تا ٍّم ‪,‬كما في ال�شكلين ( ‪ . ) 17 - 3 ( ، ) 16 - 3‬وفي االرتباط غير التام ك َّلما كانت‬ ‫مجموع ��ة النقاط في �شكل االنت�ش ��ار قريب ًة من ٍّ‬ ‫يتو�سط هذه النق ��اط ك َّلما كان االرتباط بين‬ ‫خط م�ستقيم َّ‬ ‫المتغ ِّيرين قو ًّيا‪ ،‬فمث ًال ‪ :‬يمكن �أن نع َّد االرتباط بين المتغ ِّيرين في ٍّ‬ ‫كل من ال�شكلين ( ‪) 17 - 3 ( ، ) 16 - 3‬‬ ‫�أقـوى من االرتباط بين المتغ ِّيرين في ٍّ‬ ‫كل من ال�شكلين ( ‪. ) 21 - 3 ( ، ) 20 - 3‬‬ ‫من �شكل االنت�شار الحكم بدقَّة على مدى قوة االرتباط غير التام ‪.‬‬ ‫اعلم �أنَّنا ال ن�ستطيع َ‬ ‫‪� )3‬إذا كان ��ت النق ��اط تنت�ش ��ر ع�شوائ ًّي ��ا و ب�صور ٍة ت ��د ُّل على ا�ستحالة وج ��ود � ِّأي ٍ‬ ‫رابط بي ��ن المتغ ِّيرين ف� َّإن‬ ‫االرتباط بين المتغ ِّيرين يكون منعد ًما ‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪. ) 22 – 3‬‬

‫�شكل ( ‪)20- 3‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫�شكل ( ‪) 21- 3‬‬

‫‪182‬‬

‫�شكل ( ‪) 22- 3‬‬

‫االرتباط‬

‫مثال (‪) 27-3‬‬ ‫الج ��دول التالي يب ِّي ��ن الدرجات التي ح�صل عليه ��ا مجموع ٌة من الطالب ف ��ي االختبار النهائي‬ ‫لمادة الريا�ض َّيات و عدد ال�ساعات التي ا�ستغرقها ك ُّل ٍ‬ ‫طالب في مذاكرة المادة ‪:‬‬ ‫عدد �ساعات المذاكرة ‪4‬‬ ‫درجة االختبار‬

‫‪7 6 2 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7 2 1‬‬

‫‪5 3 7‬‬

‫‪22 24 30 12 26 18 14 28 24 20 28 20‬‬

‫حدد نوع و �ش َّدة االرتباط بين عدد �ساعات المذاكرة‬ ‫ار�س ��م �شكل االنت�شار للبيانات ال�سابقة ثم ِّ‬ ‫و درجة االختبار ‪.‬‬

‫الحل‬

‫درجة االختبار‬

‫‪36‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫عدد ال�ساعات‬

‫‪1 2 3 4 5 6 7 8‬‬

‫‪0‬‬

‫�شكل ( ‪) 23- 3‬‬

‫ال�شكل ( ‪ُ ) 23 - 3‬يم ِّثل �شكل االنت�شار للبيانات ال�سابقة ‪ ،‬ومنه ي َّت�ضح � َّأن االرتباط بين المتغ ِّيرين‬ ‫إيجابي غير تا ٍّم ‪.‬‬ ‫� ٌّ‬

‫‪183‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫تدريب ( ‪) 13-3‬‬ ‫حدد نوع و�ش َّدة االرتباط في ٍّ‬ ‫كل من الأ�شكال التالية ‪:‬‬ ‫ِّ‬

‫�شكل ( ‪) 24- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 26- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 25- 3‬‬

‫�شكل ( ‪) 27- 3‬‬

‫معامل االرتباط‬ ‫يحدد �ش� � َّدة االرتباط م ��ن حيث الق َّوة‬ ‫ُيم ِّث ��ل معام ��ل االرتباط �أه � َّ�م المقايي�س ف ��ي درا�سة االرتب ��اط حيث ِّ‬ ‫يحدد ن ��وع االرتباط من حيث كونه �إيجاب ًّيا �أو �سلب ًّيا‪ ،‬ف� ��إذا كان لدينا ع ِّين ٌّة مك َّونة من من‬ ‫و ال�ضع ��ف كم ��ا ِّ‬ ‫المف ��ردات و ح�صلن ��ا م ��ن هذه المفردات عل ��ى ٍ‬ ‫بيانات عن قيم متغ ِّيري ��ن ورمزنا للمتغ ِّي ��ر الأ َّول بالرمز �س‬ ‫وللمتغ ِّير الثاني بالرمز �ص ‪ ،‬ف� َّإن معامل االرتباط بين المتغ ِّيرين �س ‪� ،‬ص والذي يرمز له بالرمز ُيعطى‬ ‫نقدم منها ال�صيغة التالية والتي تُع َرف بقانون بير�سون لالرتباط ‪:‬‬ ‫�صيغ ِّ‬ ‫بع َّدة ٍ‬ ‫( ‪) 16– 3‬‬ ‫حيث ‪:‬‬

‫الو�سط الح�سابي لحا�صل �ضرب المتغ ِّيرين‬ ‫الو�سط الح�سابي للمتغ ِّير‬ ‫الو�سط الح�سابي للمتغ ِّير ‬ ‫االنحراف المعياري للمتغ ِّير‬ ‫االنحراف المعياري للمتغ ِّير‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪184‬‬

‫االرتباط‬

‫‪ ،‬وتم ِّكننا هذه القيمة من درا�سة االرتباط بين‬

‫� َّإن قيمة معامل االرتباط تحقِّق ال�شرط‬ ‫المتغ ِّيرين ‪ ,‬حيث‪:‬‬ ‫‪ )1‬تد ُّل �إ�شارة على نوع االرتباط‪� ،‬إذ يكون االرتباط �إيجاب ًّيا �إذا كانت موجبة و �سلب ًّياً �إذا كانت �سالبة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬تح � ِّ�دد قيم ��ة �ش َّدة االرتباط ‪ ،‬فيكون االرتباط قو ًّي���ا ك َّلما كانت قريب ًة من الواحد ‪ ،‬ويكون االرتباط‬ ‫ف� َّإن االرتباط يكون تا ًّمـا ‪ ،‬بينما في حالة‬ ‫�ضعيفًا ك َّلما قربت من ال�صفر ‪ .‬وفي حالة‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن االرتباط يكون منعدمـًا ‪ .‬و قد ا ُت ِفق على الت�صنيف التالي ل�ش َّدة االرتباط بين متغ ِّيرين ‪:‬‬ ‫االرتباط‬ ‫تـــام‬ ‫قوي‬ ‫متو�سط‬ ‫�ضعيف‬

‫غير تــام‬ ‫منعــدم‬

‫مثال (‪) 28-3‬‬ ‫ُج ِمعت البيانات التالية لع ِّين ٍة من خم�سة �أ�شخا�ص لمعرفة العالقة بين وزن ال�شخ�ص و طوله ‪:‬‬ ‫الوزن بالكغم‬

‫‪70‬‬

‫‪68‬‬

‫‪65‬‬

‫‪62‬‬

‫‪64‬‬

‫الطول بال�سم‬

‫‪180‬‬

‫‪160‬‬

‫‪165‬‬

‫‪120‬‬

‫‪130‬‬

‫حدد نوع هذا االرتباط و �ش َّدته‪.‬‬ ‫�أوجد معامل االرتباط بين وزن ال�شخ�ص و طوله ثم ِّ‬

‫‪185‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫الحل‬

‫نفر�ض �أن وزن ال�شخ�ص هو �س وطوله �ص‪ ،‬ونك ِّون الجدول التالي ‪:‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪4900‬‬ ‫‪4624‬‬ ‫‪4225‬‬ ‫‪3844‬‬ ‫‪4096‬‬

‫نح�سب الو�سط الح�سابي ٍّ‬ ‫لكل من ‪� :‬س ‪� ،‬ص ‪� ،‬س �ص‬

‫ثم نح�سب االنحراف المعياري ٍّ‬ ‫لكل من ‪� :‬س ‪� ،‬ص‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪186‬‬

‫‪32400‬‬ ‫‪25600‬‬ ‫‪27225‬‬ ‫‪14400‬‬ ‫‪16900‬‬

‫‪12600‬‬ ‫‪10880‬‬ ‫‪10725‬‬ ‫‪7440‬‬ ‫‪8320‬‬

‫االرتباط‬

‫من العالقة (‪)16-3‬‬

‫فيكون معامل االرتباط‬

‫ٌ‬ ‫قوي ‪.‬‬ ‫و عليه ف� َّإن االرتباط بين وزن ال�شخ�ص و طوله‬ ‫إيجابي ٌّ‬ ‫ارتباط � ٌّ‬ ‫انظر �شكل االنت�شار ( ‪ ) 28 - 3‬الذي ي�ؤ ِّكد ذلك ‪.‬‬ ‫الطول بال�سم‬

‫الوزن بالكغم‬

‫�شكل ( ‪) 28- 3‬‬

‫‪187‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫تدريب ( ‪) 14-3‬‬ ‫ف ��ي المث ��ال ال�سابق تحقَّق من قيمة معامل االرتب ��اط‬ ‫قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫م�ستخدما الآلة الحا�سبة في �إيجاد‬ ‫ً‬

‫تدريب ( ‪) 15-3‬‬ ‫�أوجد معامل االرتباط للبيانات الواردة في مثال (‪)27-3‬‬

‫تدريب ( ‪) 16-3‬‬ ‫ٍ‬ ‫ارتباط مقاب ٌل لأحد الأ�شكال‬ ‫�إذا علمت � َّأن ك ًّال من الأعداد ‪ 0.98 ، 0.67 , 0.4- ، 1 - :‬هو معامل‬ ‫الواردة في تدريب (‪ ، )13-3‬اكتب تحت ِّ‬ ‫كل �شكلٍ معامل االرتباط المقابل له ‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪188‬‬

‫االرتباط‬

‫‪53‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪� 1‬أكمل الفراغات في ٍّ‬ ‫م�ستخدما �أحد الأ�شكال التالية ‪:‬‬ ‫كل م َّما يلي‬ ‫ً‬

‫جـ‬

‫د‬

‫ً‬ ‫منعدما هو ‪.............‬‬ ‫ارتباطا‬ ‫ال�شكل الذي يم ِّثل‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫تام هو ‪.............‬‬ ‫ال�شكل الذي يم ِّثل‬ ‫ارتباطا �سلب ًيا غير ٍّ‬ ‫ً‬ ‫ارتباطا �إيجاب ًّيا تا ًّما هو ‪.............‬‬ ‫ل�شكل الذي يم ِّثل‬ ‫ً‬ ‫تام هو ‪.............‬‬ ‫ال�شكل الذي يم ِّثل‬ ‫ارتباطا �إيجاب ًّيا غير ٍّ‬ ‫حدد نوع االرتباط و �ش َّدته في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 2‬ار�سم �شكل االنت�شار و منه ِّ‬

‫جـ‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪78‬‬

‫‪55‬‬

‫‪65‬‬

‫‪62‬‬

‫‪24‬‬

‫‪43‬‬

‫‪45‬‬

‫‪48‬‬

‫‪55‬‬

‫‪40‬‬

‫‪55‬‬

‫‪53‬‬

‫‪60‬‬

‫‪50‬‬

‫‪30‬‬

‫‪35‬‬

‫‪35‬‬

‫‪47‬‬

‫‪45‬‬

‫‪32‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪189‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫‪ 3‬الجدول التالي يبين درجات ع�شرة طالب في االختبار الن�صفي لمادتي الريا�ض َّيات (‪ )1‬و الفيزياء (‪:)1‬‬ ‫درجة‬ ‫الريا�ضيات (‪15 )1‬‬ ‫َّ‬ ‫درجة‬ ‫الفيزياء (‪18 )1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫‪23‬‬

‫‪15‬‬

‫‪18‬‬

‫‪13‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪20‬‬

‫‪23‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫‪25‬‬

‫‪18‬‬

‫حدد نوع االرتباط و �ش َّدته ‪.‬‬ ‫ار�سم �شكل االنت�شار للبيانات ال�سابقة و منه ِّ‬ ‫‪� 4‬صل ك َّل معامل ارتباط في القائمة‬

‫بنوع و�ش َّدة االرتباط المنا�سبة له في القائمة‬

‫‪:‬‬

‫�إيجابي متو�سط‬ ‫�إيجابي تام‬ ‫�سلبي تام‬ ‫�سلبي �ضعيف‬ ‫�سلبي قوي‬ ‫�إيجابي �ضعيف‬ ‫منعدم‬ ‫�إيجابي قوي‬ ‫‪ 5‬يب ِّين الجدول التالي �أعمار �أحد الأنواع من الأ�شجار بال�سنوات و �أطوال هذه الأ�شجار بالأقدام ‪:‬‬ ‫العمر‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫الطول‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫حدد نوع و �ش َّدة االرتباط ‪.‬‬ ‫اح�سب معامل االرتباط ثم ِّ‬ ‫ار�سم �شكل االنت�شار ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪190‬‬

‫االرتباط‬ ‫حدد نوع و �ش َّدة االرتباط في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬ ‫‪� 6‬أوجد معامل االرتباط ثم ِّ‬

‫جـ‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫‪22‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫‪13‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪18‬‬

‫‪17‬‬

‫‪12‬‬

‫‪17‬‬

‫‪2‬‬

‫‪17‬‬

‫‪43‬‬

‫‪37‬‬

‫‪25‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪46‬‬

‫‪40‬‬

‫‪28‬‬

‫‪15‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ 7‬البيان ��ات الآتية تب ِّين درجات الحرارة الخارجية بالدرجات المئوي ��ة ‪ ،‬و االرتفاع ب�آالف الأقدام لإحدى‬ ‫الطائرات في � ٍ‬ ‫أوقات مختلفة ‪:‬‬ ‫االرتفاع‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫درجة الحرارة‬

‫‪27‬‬

‫‪21‬‬

‫‪18‬‬

‫‪10‬‬

‫‪16‬‬

‫حدد نوع و �ش َّدة االرتباط ‪.‬‬ ‫اح�سب معامل االرتباط بين االرتفاع ودرجة الحرارة ثم ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫بكميات مختلفة‬ ‫‪ 8‬البيانات الآتية تم ِّثل الإنتاج من �أحد المحا�صيل عند ا�ستخدام نوع من ال�سماد‬ ‫كمية ال�سماد‬

‫‪50‬غم ‪ /‬ياردة(‪ )1‬مر َّبعة‬

‫كمية الإنتاج‬

‫كغم ‪ 500 /‬ياردة مر َّبعة‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪168 160‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪186 183 179 176‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪186 189‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪184‬‬

‫حدد نوعه و �ش َّدته ‪.‬‬ ‫�أوجد معامل االرتباط ثم ِّ‬ ‫(‪ )1‬الياردة وحدة لقيا�س الطول و هي ت�ساوي ‪� 91.44‬سنتيمتر‬

‫‪191‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫‪ 9‬الجدول التالي يب ِّين الدخل واال�ستهالك اليومي بع�شرات الرياالت ل�سبع �أ�سرٍ في �أحد الأحياء بمدين ٍة ما‬ ‫الدخل‬

‫‪38‬‬

‫‪32‬‬

‫‪42‬‬

‫‪48‬‬

‫‪40‬‬

‫‪44‬‬

‫‪50‬‬

‫اال�ستهالك‬

‫‪24‬‬

‫‪21‬‬

‫‪27‬‬

‫‪30‬‬

‫‪27‬‬

‫‪33‬‬

‫‪36‬‬

‫حدد نوعه و �ش َّدته ‪.‬‬ ‫�أوجد معامل االرتباط ثم ِّ‬ ‫‪� 10‬إذا علم ��ت � َّأن ك ًال م ��ن الأع ��داد التالي ��ة ‪ ، 1 ، 0.87 ، 0.63 ، 0.81- ، 0.91- ، 1- :‬ه ��و‬ ‫�اط لأح ��د الأ�ش ��كال التالي ��ة ‪ ،‬ف ��ا كتب تح ��ت ِّ‬ ‫معام ��ل ارتب � ٍ‬ ‫كل �ش ��كلٍ معام ��ل االرتب ��اط المنا�سب له ‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪192‬‬

‫الدرجة المعيار َّية‬

‫‪6-3‬‬

‫الدرجة المعيار َّية‬

‫‪Standard Score‬‬

‫حاالت ت�ستوجب مقارنة مفردتين و قد ت�صعب المقارنة‬ ‫تواجهن ��ا في حياتنا اليوم َّية في المدر�سة �أو خارجها‬ ‫ٌ‬ ‫�إذا كانت المفردتان تنتميان �إلى ظاهرتين مختلفتين من حيث الو�سط الح�سابي واالنحراف المعياري ‪ ،‬فقد‬ ‫نحت ��اج _ ً‬ ‫مث�ل�ا _ لمقارنة درجة طالب في �أحد الم ��واد بدرجته في ما َّد ٍة �أخرى �أو مقارنة درجة طالب في‬ ‫اختباري ��ن ٍّ‬ ‫لكل منهما درج ٌة نهائية تختلف عن الأخرى ‪ .‬ف�إذا كانت درجة طالب في اللغة العربية ‪ 80‬ودرجته‬ ‫ف ��ي الريا�ض َّي ��ات ‪ 75‬ف�إنَّه يتبادر �إلى الذهن � َّأن م�ستوى تح�صيل الطالب ف ��ي اختبار اللغة العربية �أف�ضل من‬ ‫م�ست ��وى تح�صيله ف ��ي اختبار الريا�ض َّيات ‪ ،‬غير � َّأن ه ��ذا لي�س �أم ًرا م�ؤ َّك ًدا فقد تك ��ون درجته في الريا�ض َّيات‬ ‫بالن�سبة لدرجات طالب �صفِّه �أف�ضل منها في اللغة العربية ‪ ،‬و للمقارنة بين درجتين مختلفتين ُاتفق على �أن‬ ‫نقي� ��س ُبعد ِّ‬ ‫كل درج ٍة منهما عن و�سطها الح�ساب ��ي بانحرافها المعياري ( �أي با�ستخدام االنحراف المعياري‬ ‫كوحدة ) فنح�صل على درج ٍة جديدة قابلة للمقارنة تُعرف بالدرج ــة المعي ــار َّية ‪،‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن ‪ :‬الدرجة الأ�صل َّية – الو�سط الح�سابي = الدرجة المعيار َّية × االنحراف المعياري‬

‫‪193‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫نتو�صل �إلى القانون التالي ‪:‬‬ ‫و بذلك َّ‬ ‫الدرجة المعيار َّية‬

‫الدرجة الأ�صل َّية‬

‫الو�سط الح�سابي‬

‫االنحراف المعياري‬

‫( ‪) 17– 3‬‬

‫و�إذا رمزنا للدرجة المعيار َّية بالرمز د نح�صل على ‪:‬‬ ‫( ‪) 18– 3‬‬ ‫حيث ‪:‬‬

‫الدرجة الأ�صل َّية ‪،‬‬

‫الو�سط الح�سابي ‪ ،‬االنحراف المعياري‬

‫(‪)7-3‬‬ ‫‪ )1‬الدرجة المعيار َّية د قد تكون موجبة �أو �سالبة �أو �صفر ًا ‪.‬‬ ‫فتكون‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫وعليه ف�إن �إ�شارة د تد ُّل على موقع الدرجة الأ�صل َّية‬ ‫‪ )2‬القيمة المطلقة للدرجة المعيار َّية تم ِّثل عدد االنحرافات المعيار َّية التي تنحرِ فها المفردة عن الو�سط‬ ‫الح�سابي ‪.‬‬ ‫فوق الو�سط الح�سابي‬

‫�أو تحته ‪.‬‬

‫مثال (‪) 29-3‬‬ ‫�صف في الريا�ض َّيات ‪ 88‬و االنحراف المعياري ‪، 8‬‬ ‫�إذا كان الو�س ��ط الح�سـاب ��ي لدرجات طالب ٍّ‬ ‫و الو�سط الح�سابي لدرجاتهم في الفيزياء ‪ 65‬و االنحراف المعياري ‪ ، 6‬و �إذا كانت درجة �أحد‬ ‫الطالب في الريا�ض َّيات ‪ 80‬و في الفيزياء ‪ ، 77‬ف�أوجد الدرجة المعيار َّية لدرجة الطالب في ٍّ‬ ‫كل‬ ‫من الريا�ض َّيات و الفيزياء ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪194‬‬

‫الدرجة المعيار َّية‬

‫الحل‬ ‫مادتي الريا�ض َّيات و الفيزياء هما‬ ‫بفر�ض � َّأن الدرجتين المعيار َّيتين‬ ‫لدرجتي الطالب في ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫على الترتيب ‪ ،‬وبالتعوي�ض عن قيم‬

‫‪2‬‬

‫في العالقة (‪ )18-3‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫في المثال ال�سابق الحظ �أ َّن ‪:‬‬ ‫درجة الطالب المعيار َّية في الريا�ض َّيات (‪ )1-‬تعني �أن درجته الأ�صل َّية (‪ )80‬تنحرف انحرافًا معيار ًّيا‬ ‫واحدا تحت الو�سط الح�سابي بينما درجته المعيار َّية في الفيزياء (‪ )2‬تعني � َّأن ‪............‬‬ ‫ً‬

‫(�أكمل الفراغ)‬

‫وهذا يعني � َّأن درجة الطالب في الفيزياء ‪ -‬مقارن ًة بطالب �صفِّه ‪� -‬أف�ضل من درجته في‬ ‫‪2‬‬ ‫الريا�ض َّيات‪ ،‬على الرغم من � َّأن الدرجة الأ�صل َّية في الريا�ض َّيات �أكبر منها في الفيزياء ‪.‬‬

‫تدريب ( ‪) 17-3‬‬ ‫ً‬ ‫معتمدا على البيانات الواردة في الجدول المقابل �أكمل الفراغات التالية ‪:‬‬ ‫م�ستوى الطالب (‪� )1‬أف�ضل في اختبار مادة ‪........‬‬ ‫م�ستوى الطالب (‪� )2‬أف�ضل في اختبار مادة ‪........‬‬ ‫م�ستوى الطالب (‪� )3‬أف�ضل في اختبار مادة ‪........‬‬

‫اللغة‬ ‫العربية‬ ‫الو�سط الح�سابي‬ ‫‪64‬‬ ‫االنحراف المعياري ‪10‬‬ ‫درجة الطالب (‪)1‬‬ ‫‪82‬‬ ‫درجة الطالب (‪)2‬‬ ‫‪70‬‬ ‫درجة الطالب (‪)3‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪195‬‬

‫اللغة‬ ‫الإنجليزية‬ ‫‪56‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪48‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫مثال (‪) 30-3‬‬ ‫�إذا كان لدين ��ا ع ِّين� � ٌة من خم�سة طالب ‪ ،‬وكان ��ت درجاتهم في االختبــار الن�صف ��ي لما َّدة اللغــة‬ ‫الإنجليزيـــة هي ‪ 20 ، 18 ، 15 ، 12 ، 10 :‬ف�أوجد الدرجات المعيار َّية المقابلة لهذه الدرجات ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫لإيجاد الدرجات المعيار َّية نح�سب �أو ًال‬ ‫‪100‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪75‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪196‬‬

‫‪1193‬‬

‫الدرجة المعيار َّية‬ ‫وبالتعوي�ض عن قيم‬ ‫مو�ضح في الجدول التالي‪:‬‬ ‫هو َّ‬

‫في العالقة (‪ )18 -3‬نح�صل على الدرجات المعيار َّية كما‬

‫�أوج ��د الو�سط الح�سابي و االنحراف المعياري للدرج ��ات المعيار َّية التي ح�صلت عليها في‬ ‫مثال (‪.)30-3‬‬ ‫لع َّل ��ك الحظ ��ت � َّأن الو�سط الح�ساب ��ي للدرجات المعيار َّية = ‪ 0‬و االنح ��راف المعياري = ‪، 1‬‬ ‫توزيع ما �إلى درجات‬ ‫وهذا �صحي ٌح دائ ًما ‪� ،‬أي �أنَّه �إذا قمنا بتحويل جميع الدرجات الأ�صل َّية في ٍ‬ ‫توزيع جدي ��د و�سطه الح�سابي ي�ساوي �صف� � ًرا و انحرافه المعياري‬ ‫معيار َّي ��ة ف�إ َّنن ��ا نح�صل على ٍ‬ ‫يو�ضح كون المقارنة بين درجتين م ��ن توزيعين مختلفين ت�صبح ممكن ًة‬ ‫ي�س ��اوي الواح ��د ‪ ،‬وهذا ِّ‬ ‫بع ��د تحويلهم ��ا �إلى درجتين معيار َّيتين ؛ ذل ��ك � َّأن الدرجتين المعيار َّيتي ��ن تُع َّدان مفردتين في‬ ‫توزيعين لهما الو�سط الح�سابي نف�سه و االنحراف المعياري نف�سه ‪.‬‬

‫‪197‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫‪63‬‬

‫( ‪) -‬‬ ‫‪� 1‬إذا كان ��ت درج ��ة طـالب في االختب ��ار الن�صفي لمـ ��ادة الأحياء ‪ 22‬و الو�س ��ط الح�سابي لدرجات طالب‬ ‫�صفِّه ‪ 18‬و االنحراف المعياري ‪ ،3‬بينما درجته في االختبار النهائي لهذه المادة ‪ 41‬و الو�سط الح�سابي‬ ‫لدرجات طالب �صفِّه ‪ 38‬و االنحراف المعياري ‪ ، 4‬فقارن بين م�ستوى تح�صيل الطالب في االختبارين ‪.‬‬ ‫‪ 2‬معتم � ً�دا عل ��ى البيانات الواردة في الجدول التالي قارن بين م�ست ��وى تح�صيل ِّ‬ ‫كل ٍ‬ ‫طالب في ما َّد ِّتي اللغة‬ ‫العربية و االجتماعيات ‪.‬‬ ‫اللغة‬ ‫االجتماعيات‬ ‫العربية‬ ‫الو�سط الح�سابي‬ ‫‪24‬‬ ‫‪26‬‬ ‫االنحراف المعياري‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫درجة الطالب (‪)1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪25‬‬ ‫درجة الطالب (‪)2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫درجة الطالب (‪)3‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪� 3‬إذا كان ��ت درج ��ات ع ِّين� � ٍة م ��ن الطالب في ما َّدة التوحيـــ ��د ه ��ي ‪ ، 25 ، 24 ، 22 ، 15 ، 11 ، 5 :‬ف�أوجد‬ ‫الدرجات المعيارية المقابلة لهذه الدرجات ‪.‬‬ ‫و�ضح درجات ٍ‬ ‫طالب في �أربع م ��وا ٍّد و الو�سط الح�سابي و االنحراف المعياري لدرجات‬ ‫‪ 4‬الج ��دول التالي ُي ِّ‬ ‫طالب �صفِّه في ِّ‬ ‫كل ما َّدة ‪.‬‬ ‫الما َّدة‬ ‫درجة الطالب‬

‫الريا�ض َّيات‬ ‫‪87‬‬

‫الكيمياء‬ ‫‪90‬‬

‫الفيزياء‬ ‫‪75‬‬

‫الأحياء‬ ‫‪92‬‬

‫الو�سط الح�سابي‬ ‫االنحراف المعياري‬

‫‪73‬‬

‫‪84‬‬

‫‪80‬‬

‫‪95‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫اكتب هذه المواد مر َّتب ًة ح�سب م�ستوى تح�صيل الطالب في ٍّ‬ ‫كل منها بد ًءا من المادة ذات الم�ستوى الأف�ضل ‪.‬‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪198‬‬

‫الدرجة المعيار َّية‬

‫‪� 5‬إذا كان الو�س ��ط الح�ساب ��ي لدرجات ع ِّين ٍة من الطالب ي�س ��اوي ‪ 60‬و االنحراف المعياري ي�ساوي ‪�، 8‬أوجد‬ ‫الدرجة �س‪ 1‬التي تنحرف انحرافين معياريين فوق الو�سط الح�سابي و الدرجة �س التي تنحرف انحرافين‬ ‫‪2‬‬ ‫معياريين تحت الو�سط الح�سابي ‪.‬‬ ‫‪� 6‬إذا كان لدينا ع ِّين ٌة من �ستة طالب و كانت درجاتهم المعيــار َّية هي ‪ , ، 2- ، 0 ، 1.5- ، 1- ، 3 :‬ف�أوجد‬ ‫قيمة ‪.‬‬

‫‪� 7‬إذا كان ��ت درج ��ات ثالث ��ة طالب في �أح ��د ال�صفوف ه ��ي ‪ 30 ، 31 ، 34 :‬و الدرج ��ات المعيار َّية لهم على‬ ‫الترتيب هي ‪ ، 3:‬ل ‪ ،‬م ف�أوجد ك ًال من ل ‪ ،‬م علم ًا ب� َّأن الو�سط الح�سابي لدرجات الطالب هو ‪. 31‬‬

‫‪� 8‬إذا كانت درجات ثالثة طالب في �أحد ال�صفوف هي ‪ 82 ، 75 ، 80 :‬و الدرجات المعيار َّية لهم على الترتيب‬ ‫هي ‪ ، :‬ب ‪ 1 ،‬ف�أوجد ك ًال من ‪ ،‬ب علم ًا ب� َّأن االنحراف المعياري لدرجات الطالب هو ‪. 25‬‬ ‫‪� 9‬إذا ح�ص ��ل الطالب ��ان محمد و عبد الرحمن في اختبار للريا�ض َّيات عل ��ى الدرجتين ‪ 85 ، 70‬على الترتيب‬ ‫و كان ��ت درجتاهما المعياريتان هما ‪ 2 ، 1-‬على الترتي ��ب‪ ،‬اح�سب الو�سط لح�سابي و االنحراف المعياري‬ ‫لدرجات طالب �صفِّهما‪.‬‬ ‫‪� 10‬إذا كانت درجـات ثالثة طالب في �أحد ال�صفوف هي ‪ 65 ، 70 ، 82 :‬و كانت درجـاتـهم المعيار َّية هي ‪:‬‬ ‫‪ ، 1 ، 2‬م على الترتيب ف�أوجد قيمة م ‪.‬‬

‫‪199‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫(�أن�شطة �إثرائية) ا�ستخدام الحا�سب الآلي في درا�سة الإح�صاء‬ ‫ُيع� � ُّد برنامج الج ��داول االلكتروني ��ة ( ‪ ) Excel‬من برامج الحا�س ��ب الآلي الف َّعالة في عل ��م الإح�صاء ‪� ،‬إذ‬ ‫ي�ساع ��د عل ��ى تنظيم البيانات و المعلومات و تحليلها و عر�ضها ‪ ،‬فمث�ل ً�ا ‪ :‬يمكننا �إيجاد قيم ٍّ‬ ‫كل من ‪ :‬الو�سط‬ ‫الح�ساب ��ي ‪ ،‬الو�سي ��ط ‪ ،‬المنوال ‪ ،‬االنحراف المعياري ‪ ،‬معامل االرتب ��اط و الدرجة المعيار َّية با�ستخدام هذا‬ ‫البرنامج ‪.‬‬ ‫ومن المفيد للطالب �أن يبحث عن طريقة ا�ستخدام برنامج الجداول االلكترونية ليتم َّكن من �إجراء العمل َّيات‬ ‫الإح�صائية التي در�سها في هذا المقرر بي�سرٍ و �سهولة ‪.‬‬ ‫ا�ستخدم برنامج الجداول االلكترونية ِّ‬ ‫لحل بع�ض الم�سائل التي �سيقترحها عليك مع ِّلمك ‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪200‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫‪� 1‬أوردنا مق َّدم ًة عن �أهم َّية الإح�صاء في الحياة العمل َّية و�أ�شـرنا �إلى ا�سـتفادة الم�سـلمين من علم الإح�صاء‬ ‫منذ ن�شـ�أة المجتمع الإ�سـالمي‪.‬‬ ‫‪ 2‬تع َّرفنا على م�صادر و �أ�سلوب جمع البيانات الإح�صائية و �صنَّفنا البيانات �إلى نوعين ‪ :‬نوع َّية و كم َّية‪.‬‬ ‫‪ 3‬عر�ضنا طريقة تبويب البيانات في جداول تكرارية وكذلك طريقة تمثيلها با�ستخدام ‪:‬‬ ‫القطاعات الدائر َّية ‪ ،‬المد َّرج التكراري ‪ ،‬الم�ض َّلع التكراري‪.‬‬ ‫الح�سـابي والو�سـيط والمنوال‪.‬‬ ‫أهم مقايي�سـها وهي‪ :‬الو�سـط‬ ‫‪ 4‬ق َّدمنا مفهوم النـزعة المركز َّية‪ ،‬وع َّرفنا � َّ‬ ‫ُّ‬ ‫‪� 5‬أو�ضحنا طرق ح�سـاب مقايي�س النـزعة المركز َّية في جميع الحاالت‪ ،‬ونلخِّ �صها فيما يلي‪:‬‬ ‫الح�سـابي للبيانات غير المب َّوبة هو ‪:‬‬ ‫�أ َّو ًال‪ -‬الو�سـط‬ ‫ُّ‬ ‫‪ ،‬حي ��ث � ��س ترمز لمراكز الفئات في‬ ‫والو�سـ ��ط الح�سـاب � ُّ�ي للبيان ��ات المب َّوب ��ة ه ��و‬ ‫حالةالجدول التكراري ذي الفئات ‪.‬‬ ‫ثان ًيا‪ -‬الو�سـيط للبيانات غير المب َّوبة ( بعد ترتيبها ت�صاعد ًّيا �أو تنازل ًّيا ) هو ‪:‬‬ ‫�إذا كان فرد ًيا‬ ‫القيمة التي ترتيبـها‬ ‫‪2‬‬ ‫الو�سـط الح�سـابي للقيمتين اللتين ترتيبهما ‪2‬‬ ‫تكراري ب�سـيط هو ‪:‬‬ ‫والو�سـيط للبيانات المب َّوبة في جدول‬ ‫ٍّ‬ ‫القيمة المقابلة للتكرار الأخير في تجميع التكرارات المتتالية التي تبد�أ من تكرار �أول قيمة في الجدول‬ ‫مجموع �أكبر من �أو ي�ساوي ترتيب الو�سيط ‪.‬‬ ‫لتعطي �أق َّل‬ ‫ٍ‬ ‫تكراري ذي فئات من القانون التالي‪:‬‬ ‫و ُيح�سـب الو�سـيط للبيانات المب َّوبة في جدول‬ ‫ٍّ‬ ‫‪2‬‬

‫(حيث ترتيب الو�سـيط للبيانات المب َّوبة ي�سـاوي‬

‫‪201‬‬

‫�إذا كان زوج ًيا‬

‫)‬ ‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫ثالثًا‪ -‬المنوال للبيانات غير المب َّوبة هو القيمة الأكثر تكرا ًرا‪.‬‬ ‫تكراري ب�سـيط هو القيمة التي تقابل �أكبر تكرار و ُيح�سـب المنوال‬ ‫والمنوال للبيانات المب َّوبة في جدول‬ ‫ٍّ‬ ‫تكراري ذي فئات من القانون التالي‪:‬‬ ‫للبيانات المب َّوبة في جدول‬ ‫ٍّ‬ ‫المنوال بداية الفئة المنوال َّي ة‬

‫التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية × طول الفئة المنوال َّية‬

‫التكرار ال�سابق لتكرار الفئة المنوال َّية التكرار الالحق لتكرار الفئة المنوال َّية‬

‫‪6‬‬

‫التكراري لإيجاد‬ ‫المتجمع ال�صاعد لإيجاد الو�سـيط بيان ًّي ��ا و ا�ستخدمنا المد َّرج‬ ‫ا�ستخدمن ��ا المنحني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫المنوال بيان ًّيا‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫أهم مزايا وعيوب مقايي�س النـزعة المركز َّية‪.‬‬ ‫عر�ضنا � َّ‬

‫‪8‬‬

‫المعياري‪.‬‬ ‫أهم مقايي�س الت�شـ ُّتت و�أدقَّها وهو االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫ق َّدمنا مفهوم الت�شـ ُّتت وع َّرفنا � ًّ‬

‫‪9‬‬

‫المعياري للبيانات غير المب َّوبة ‪.‬‬ ‫االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫حيث �س ترمز لمراكز الفئات في حالة الجدول‬

‫وللبيانات المب َّوبة هو‬ ‫التكراري ذي الفئات‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪10‬‬

‫ا�ستخدمنا الآلة الحا�سبة في �إيجاد الو�سط الح�سابي و االنحراف المعياري لبيانات غير مب َّوبة ‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫ق َّدمنا مفهوم االرتباط‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫ا�ستخدمنا �شكل االنت�شار لتحديد نوع و�ش َّدة االرتباط‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫أهم المقايي�س لدرا�سة االرتباط وا�ستخدمنا لح�سابه ال�صيغة ‪:‬‬ ‫عر�ضنا معامل االرتباط ك� ِّ‬

‫‪14‬‬

‫ق َّدمنا مفهوم الدرجة المعيارية د وا�ستنتجنا � َّأن ‪:‬‬ ‫ومنها عرفنا � َّأن د قد تكون موجب ًة �أو �سالب ًة �أو �صف ًرا‬

‫‪15‬‬

‫عر�ضنا تطبيقات حيات َّية على االرتباط والدرجة المعيار َّية‪.‬‬

‫الإح�صاء واالحتمال‬

‫‪202‬‬

‫‪� 1‬ضع عالمة‬

‫�أو عالمة‬

‫عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫يتم َّيز المنوال ب�إمكان َّية ح�سـابه للبيانات النوع َّية‪.‬‬ ‫�إذا كان ترتيب الو�سـيط لبيانات غير مب َّوبة ي�ساوي ‪ 23‬ف� َّإن عدد مفردات الظاهرة ي�ساوي ‪.46‬‬ ‫الح�سـابي للبيانات ‪ 3 ،4 ،2 ،1‬ي�سـاوي و�سـيطها‪.‬‬ ‫الو�سـط‬ ‫ُّ‬ ‫<‪0‬‬

‫المعياري‬ ‫توجد بع�ض الظواهر انحرافها‬ ‫ُّ‬

‫ف� َّإن‬

‫�إذا كانت‬ ‫ف� َّإن‬

‫�إذا كان‬

‫ٌ‬ ‫�سلبي ‪.‬‬ ‫االرتباط بين عدد �أيام غياب الطالب و تح�صيلهم الدرا�سي‬ ‫ارتباط ٌ‬ ‫في اختبا ٍر ما يكون االرتباط بين عدد الإجابات ال�صحيحة و عدد الإجابات الخاطئة �سلب ًّيا ‪.‬‬ ‫معامل االرتباط يمكن �أن ي�ساوي ‪.3‬‬ ‫البيانات التي لها معامل ارتباط ‪ 0.2‬يكون ارتباطها �أقوى من البيانات التي لها معامل ارتباط ‪. 5.9-‬‬ ‫الدرجة المعيار َّية �أكبر من ال�صفر دائم ًا‪.‬‬ ‫�إذا كان ��ت الدرجة المعيار َّية لدرجة طالب في اختب ��ا ٍر ما ت�ساوي ‪ 1‬و االنحراف المعياري لدرجات‬ ‫طالب �صفِّه ي�ساوي ‪ 1‬ف� َّإن درجة الطالب الأ�صل َّية = الو�سط الح�سابي لدرجات الطالب ‪.‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن معامل االرتباط بين �س ‪� ،‬ص ي�ساوي تقري ًبا ‪0.87‬‬

‫‪203‬‬

‫�ص‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة ٍّ‬ ‫لكل ِم َّما يلي‪:‬‬

‫و االرتباط بين �س ‪� ،‬ص في‬ ‫�ش ��كل االنت�ش ��ار المجاور‬ ‫ٌ‬ ‫ارتباط ‪:‬‬ ‫هو‬

‫البيانات ‪:‬‬ ‫ثنائ َّية المنوال‬

‫متعددة المنوال‬ ‫ِّ‬

‫عديمة المنوال‬

‫وحيدة المنوال‬

‫�إذا كان ترتي ��ب الو�سـي ��ط لبيان ��ات مب َّوبة‬ ‫ي�سـاوي ‪ 16‬ف� َّإن عدد القراءات هو‪:‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫�س‬

‫ي�سـاوي‪:‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.2-‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.8-‬‬

‫ح معامل االرتب ��اط بين محي ��ط الدائرة و طول‬ ‫ن�صف قطرها ي�ساوي ‪:‬‬

‫المعياري للبيانات‪:‬‬ ‫د االنحراف‬ ‫ُّ‬ ‫‪ 3 ، 3 ، 3 ، 3 ، 3‬هو‪:‬‬

‫ﻫ �إذا كان‬ ‫المعياري‬ ‫َّ‬

‫�ص‬

‫�س‬

‫‪4‬‬

‫ف� َّإن االنحراف‬

‫�سلبي تام‬ ‫ٌّ‬

‫�سلبي غير تام‬ ‫ٌّ‬

‫ز معام ��ل االرتب ��اط بين �س‬ ‫‪�� � ،‬ص في ال�ش ��كل المجاور‬ ‫يمكن �أن ي�ساوي ‪:‬‬

‫جـ للبيان ��ات‪ 4 ، 4 ، 0 ، 2 ، 2 :‬تك ��ون قيم ��ة‬ ‫الو�سـيط هي‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫إيجابي تام‬ ‫� ٌّ‬

‫إيجابي غير تام‬ ‫� ٌّ‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.1-‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫ط �إذا كانت الدرجة المعيار َّية لدرجة طالب ت�ساوي‬ ‫‪ 1‬و االنح ��راف المعي ��اري لدرجات ط�ل�اب �صفِّه‬ ‫ي�سـ ��اوي ‪ , 2‬ف� َّإن انح ��راف درجة الطالب الأ�صل َّية‬ ‫عن الو�سط الح�سابي للدرجات ي�ساوي ‪:‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5-‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.5-‬‬

‫‪204‬‬

‫ي �إذا كان انحراف درجة طالب عن الو�سط‬ ‫الح�ساب ��ي لدرجات ط�ل�اب �صفِّه ت�ساوي‬ ‫االنح ��راف المعياري لدرج ��ات الطالب‪,‬‬ ‫ف� �� َّإن الدرج ��ة المعيار َّية لدرج ��ة الطالب‬ ‫ت�ساوي ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1-‬‬

‫ك �إذا كان الو�سط الح�سابي لدرجات ع ِّين ٍة من‬ ‫الطالب ي�س ��اوي ‪ 70‬و االنح ��راف المعياري‬ ‫ي�س ��اوي ‪ ,6‬ف� َّإن درج ��ة الطالب التي تنحرف‬ ‫انحرافين معياريين تحت الو�سط هي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪82‬‬

‫‪58‬‬

‫‪78‬‬

‫‪62‬‬

‫يو�ضح م�ساحات القا َّرات بالمليون كيلومتر مر َّبع ‪:‬‬ ‫‪ 3‬الجدول التالي ِّ‬ ‫القا َّرة‬ ‫الم�ساحة‬

‫�أفريقيا‬ ‫‪30‬‬

‫�أوروبا‬ ‫‪5‬‬

‫�آ�سيا‬ ‫‪50‬‬

‫الأمريكيتان‬ ‫‪47‬‬

‫�أ�ستراليا‬ ‫‪8‬‬

‫المجموع‬ ‫‪140‬‬

‫م ِّثل هذه البيانات با�ستخدام القطاعات الدائر َ​َّية ‪.‬‬ ‫�صحة الإن�سـ ��ان‪ ،‬لأ نَّه يحتوي على �سـموم كثيرة منها النيكوتين‪ ،‬ففي تجرب ٍة ب�سـيطة‬ ‫‪ 4‬ي�ؤ ِّث ��ر التدخين في َّ‬ ‫و�س ِّـجلت كم َّية النيكوتين بالملغرام في ٍّ‬ ‫كل منها فكانت على‬ ‫�أُخذت ‪� 6‬سـجائر من � ٍ‬ ‫أنواع كثيرة من التبغ ُ‬ ‫النحو التالي‪� . 21.2 ، 16 ، 10 ، 15.7 ، 18.1 ، 12.3 :‬أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫مقايي�س النـزعة المركز َّية جميعها ( التي در�سـتها ) لكم َّية النيكوتين في هذه ال�سـجائر‪.‬‬ ‫المعياري لكم َّية النيكوتين‪.‬‬ ‫االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫‪� 5‬إذا كانت �أبعاد الطرق بالكيلومتر بين م َّكة المكرمة ٍ‬ ‫وعدد من المدن الأخرى في المملكة العرب َّية ال�سـعود َّية‬ ‫مو�ضحة بالجدول‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫المدينة‬ ‫الم�سافة‬ ‫المدينة‬ ‫الم�سافة‬

‫الريا�ض الطائف المدينة‬ ‫المنورة‬ ‫‪442‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪989‬‬ ‫نجران �أبـها الخبر‬ ‫‪1452 606‬‬ ‫‪898‬‬

‫الدمام‬

‫بريدة‬

‫تبوك‬

‫جدة‬

‫طريف‬

‫‪1456‬‬ ‫حائل‬ ‫‪894‬‬

‫‪915‬‬ ‫الخرج‬ ‫‪1069‬‬

‫‪1133‬‬ ‫العال‬ ‫‪822‬‬

‫‪72‬‬ ‫عنيزة‬ ‫‪968‬‬

‫‪2722‬‬ ‫عرعر‬ ‫‪2484‬‬

‫الح�سـابي و الو�سـيط لم�سـافة الطرق بين هذه المدن ومكة المكرمة‪.‬‬ ‫�أوجد الو�سـط‬ ‫َّ‬ ‫هل يوجد منوال لم�سـافات الطرق بين هذه المدن ومكة المكرمة؟‬

‫‪205‬‬

‫‪� 6‬إذا كانت �أرباح بائع في �أ�سـبوعين متعاقبين كما يلي‪:‬‬ ‫الأرباح بمئات الرياالت‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬

‫‪75‬‬

‫‪80‬‬

‫‪90‬‬

‫‪100‬‬

‫عدد الأيام (التكرار)‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫ف�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الو�سـيط لأرباح البائع في الأ�سـبوعين المتعاقبين‪.‬‬ ‫المنوال للأرباح‪.‬‬ ‫المعياري للأرباح‪.‬‬ ‫جـ االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫‪ 7‬الجدول التالي ُيع ِّبر عن �أوزان ع ِّين ٍة تت�أ َّلف من مئة �شخ�ص‪:‬‬ ‫مراكز الفئات‬

‫‪61‬‬

‫‪64‬‬

‫‪67‬‬

‫‪70‬‬

‫‪73‬‬

‫التكرار‬

‫‪5‬‬

‫‪18‬‬

‫‪42‬‬

‫‪27‬‬

‫‪8‬‬

‫�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫الو�سـيط للأوزان ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫المنوال للأوزان ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫المعياري للأوزان‪.‬‬ ‫جـ االنحراف‬ ‫َّ‬ ‫‪ 8‬اكتب �أطوال طالب �صفِّك لأقرب �سنتيمتر و من َّثم ‪:‬‬ ‫ك ِّون جدو ًال تكرار ًّيا يم ِّثل الأطوال وفق فئات منا�سـبة ‪.‬‬ ‫ار�سم المد َّرج التكراري و الم�ض َّلع التكراري للأطوال ‪.‬‬ ‫جـ �أوجد الو�سـيط ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا للأطوال‪.‬‬ ‫د �أوجد المنوال ح�سـاب ًّيا وبيان ًّيا للأطوال‪.‬‬ ‫المعياري للأطوال‪.‬‬ ‫ﻫ �أوجد االنحراف‬ ‫َّ‬

‫‪206‬‬

‫‪ 9‬يب ِّين الجدول التالي الدرجات النهائية ل�سبعة طالب في مادتي ريا�ض َّيات (‪َ )1‬و ريا�ض َّيات (‪)2‬‬ ‫الطالب الطالب الطالب الطالب الطالب الطالب الطالب‬ ‫(‪)7‬‬ ‫(‪)6‬‬ ‫(‪)5‬‬ ‫(‪)4‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫الدرجة في‬ ‫ريا�ض َّيات (‪)1‬‬ ‫الدرجة في‬ ‫ريا�ض َّيات (‪)2‬‬

‫‪75‬‬

‫‪82‬‬

‫‪65‬‬

‫‪90‬‬

‫‪77‬‬

‫‪87‬‬

‫‪68‬‬

‫‪70‬‬

‫‪85‬‬

‫‪55‬‬

‫‪90‬‬

‫‪70‬‬

‫‪82‬‬

‫‪60‬‬

‫ار�سم �شكل االنت�شار للبيانات ال�سابقة ‪.‬‬ ‫حدد نوع االرتباط و �ش َّدة االرتباط ‪.‬‬ ‫اح�سب معامل االرتباط و منه ِّ‬ ‫جـ في � ِّأي المادتين كان تح�صيل الطالب (‪� )4‬أف�ضل ‪.‬‬ ‫‪� 10‬أثبت �أن ال�صيغة التالية لمعامل االرتباط هي �صيغ ٌة مكافئة لل�صيغة ( ‪)16 - 3‬‬

‫‪� 11‬أج ��رى مع ِّل� � ٌم اختبارين لطالب ��ه ‪ ،‬الأول درجته النهائي ��ة ‪ 100‬فكان الو�سط الح�ساب ��ي للدرجات ‪ 70‬و‬ ‫االنح ��راف المعياري ‪ ، 6‬و الثاني درجته النهائية ‪ 40‬فكان الو�سط الح�سابي للدرجات ‪ 30‬و االنحراف‬ ‫المعي ��اري ‪ ، 3‬ف� ��إذا ح�صل �أحد الطلبة على الدرجتي ��ن ‪ 35 ، 75‬في االختبارين على الترتيب ‪ ،‬ففي � ِّأي‬ ‫االختبارين كان تح�صيله �أف�ضل ؟‬ ‫‪ 12‬اختار مع ِّلم الريا�ض َّيات طالبين ع�شوائ ًّيا من ال�صف فكان الفرق بين درجتيهما في �أحد االختبارات ‪12‬‬ ‫و الفرق بين درجتيهما المعياريتين ‪ 1.5‬ف�أوجد االنحراف المعياري لدرجات الطالب عل ًما ب� َّأن الو�سط‬ ‫الح�سابي لدرجات طالب ال�صف ‪.60‬‬

‫‪207‬‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫الح�ساب التوافقي ونظرية ذات الحدين‬

‫‪11‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪ 4 1‬طرق ‪.‬‬ ‫‪ 105 2‬طريقة ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 12‬كلمة‬

‫‪،‬‬

‫‪ 16‬كلمة ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 240‬عد ًدا‬

‫‪،‬‬

‫‪ 864‬عد ًدا ‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 21952000‬لوحة ‪،‬‬

‫‪ 14152320‬لوحة ‪.‬‬

‫‪ 720 6‬طريقة ‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫( ‪) -‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪9 6‬‬

‫‪990 7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 24 11‬طريقة‬

‫‪ 5040 12‬طريقة ‪.‬‬

‫‪6840 13‬‬

‫‪ 840 14‬طريقة‬

‫‪ 84 15‬طريقة ‪.‬‬

‫‪336 16‬‬

‫‪ 715 17‬طريقة‬

‫‪ 24 18‬طريقة ‪.‬‬

‫‪ 648‬عد ًدا‬

‫‪ 448‬عد ًدا ‪.‬‬

‫‪ 1680 19‬كلمة‬

‫‪20‬‬

‫‪ 48 21‬طريقة‬

‫‪ 24 22‬طريقة‬

‫‪ 1260 23‬طريقة ‪.‬‬

‫‪210210 25‬‬

‫‪34560 26‬‬

‫‪24‬‬

‫‪2161250‬‬

‫‪12967500‬‬

‫‪208‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪)3 -‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪32‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪)4 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2520 6‬‬

‫‪209‬‬

‫‪11880 7‬‬

‫‪8‬‬

‫الوحدة االحتمال‬ ‫الثانية‬

‫‪2‬‬

‫( ‪)2 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫ‬

‫‪4‬‬ ‫ﻫ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻫ‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪210‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﻫ‬ ‫ز‬

‫ح‬

‫ي‬

‫ك‬

‫ط‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻫ‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪211‬‬

‫الوحدة الإح�صاء‬ ‫الثالثة‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)1 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 16‬طالب‬ ‫‪ 29‬طالب‬ ‫عدد الطالب الذين تقل درجة ٍّ‬ ‫كل منهم عن ‪ 11‬ي�ساوي ‪4‬‬ ‫‪ 11‬ع�ضو‬

‫‪� 7‬أع�ضاء‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)3 -‬‬ ‫‪ 1‬الو�سـط الح�سـابي = ‪ 2.5‬مليون ‪ ،‬الو�سـيط = ‪ 2.25‬مليون ‪ ،‬المنوال = ‪ 2.25‬مليون‬ ‫‪ 2‬الو�سـط الح�سـابي =‪ ، 10‬الو�سـيط =‪ ، 8.8‬المنوال = ‪8.4‬‬ ‫‪ 3‬الو�سـط الحـ�سابي = ‪ ، 1068850‬الو�سـيط = ‪ ، 1061870‬عدد الحجاج ال منوال لـه‬ ‫‪4‬‬

‫‪4.914‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫الح�سـابي = ‪ ، 112.5‬الو�سـيط = ‪ ، 118.25‬المنوال = ‪119.29‬‬ ‫‪ 5‬الو�سـط‬ ‫ُّ‬ ‫‪6‬‬

‫‪69.4‬‬

‫‪68.5‬‬

‫‪67.5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪152.3‬‬

‫‪153‬‬

‫‪154.3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪36.7‬‬

‫‪35.8‬‬

‫‪33.308‬‬

‫‪20 9‬‬

‫‪5 10‬‬

‫‪212‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)4 -‬‬ ‫‪2.4 1‬‬

‫‪2.49 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10 4‬‬

‫‪2.5 5‬‬

‫‪1.7 6‬‬

‫‪9.8 7‬‬

‫‪2.6 8‬‬

‫‪19.6‬‬

‫‪14.46‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)5 -‬‬ ‫‪2‬‬

‫ارتباط �سلبي غير تام‬

‫ارتباط �إيجابي غير تام‬

‫‪ 3‬ارتباط �إيجابي غير تام‬ ‫‪5‬‬

‫ارتباط �إيجابي قوي ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫ارتباط �سلبي �ضعيف ‪.‬‬ ‫ارتباط �إيجابي �ضعيف ‪.‬‬ ‫ارتباط �إيجابي تام ‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫ارتباط �سلبي قوي ‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫ارتباط �إيجابي قوي ‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ارتباط �إيجابي قوي ‪.‬‬

‫‪213‬‬

‫ارتباط �سلبي تام‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)6 -‬‬ ‫‪ 4‬الريا�ضيات ‪ ،‬الكيمياء ‪ ،‬الأحياء ‪ ،‬الفيزياء ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0.58‬‬

‫الو�سـط الح�سـابي =‪ ، 15.55‬الو�سـيط = ‪ ، 15.85‬عديمة المنوال ‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫ارتباط �إيجابي قوي ‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫‪214‬‬