الرياضيات5

‫رياضيات ‪5‬‬ ‫التعليم الثانوي‬

‫الـمــدرس ـ ـ ــة ‪.................................................................................... :‬‬

‫‪1431‬هـ ‪1432 -‬هـ ‪2010 /‬م ‪2011 -‬م‬

‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢8/5365 :‬‬ ‫ردمك ‪978 - 9960 - 48 - 449 - 5 :‬‬

‫نظام املقررات (م�سار العلوم الطبيعية)‬

‫اسم الطالب ‪.................................................................................... :‬‬

‫‪1431‬هـ ـ ‪1432‬هـ‬ ‫‪2010‬م ـ ‪2011‬م‬

‫قررت وزارة التربيـة والتعليـم تدري�س‬ ‫ه���ذا ال��ك��ت��ـ��اب وط��ب��ع��ه ع��ل��ى نفقتها‬

‫نظام المقررات‬

‫( م�سار العلـوم الطبيعية )‬ ‫جلنة التعديل والتطوير‬

‫(رئي�سا )‬ ‫�أ‪ -‬نور بنت �سعيد باقادر‬ ‫ً‬

‫�أ‪ -‬ابت�سام بنت �سعيد من�سي‬ ‫�أ‪ -‬ملــياء بنت عـبـد اهلل خ ــان‬

‫�أ‪ -‬جنوى بنت رجـب ال�شـوا‬ ‫�أ‪� -‬سلمى بنت عبود بايزيد‬

‫جلنة املراجعة‬ ‫�أ‪� -‬سـامي بن �أحمد رحيـِّم‬ ‫�أ‪ -‬ثامر بن حمد العي�سى‬ ‫الطباعة‬ ‫�أ‪� -‬شادية بنت �أحمد باعزيز‬ ‫�أ‪� -‬إميان بنت عبداهلل القثمي‬ ‫�أ‪ -‬مها بنت عبد العزيز القدير‬ ‫‪ 1431‬ـــ ‪1432‬هـ‬ ‫‪ 2010‬ـــ ‪2011‬م‬

‫‪ì‬‬

‫و‪R‬ارة الت‪Hô‬ية والت©لي‪`g 1428 ، º‬‬

‫فه‪�ô‬ضة مكت‪Ñ‬ة المل∂ فهد الو‪W‬نية اأ‪K‬نا‪ A‬الن‪û‬ض‪ô‬‬

‫و‪R‬ارة ال‪HÎ‬ية والت©لي‪º‬‬ ‫‪H‬اقادر ‪ ،‬نور‬ ‫ريا�ضيات ‪ / .5‬نور ‪H‬اقادر; ‪Ÿ‬يا‪N A‬ان; ا‪H‬ت‪ù‬ضا‪ Ω‬من‪ù‬ض» ‪ - .‬ال‪ô‬يا�س ‪`g1428‬‬ ‫‪U 216‬س ‪� 27 x 21‬ض‪º‬‬ ‫ردم∂‪978 - 9960- 48 - 449 - 5 :‬‬ ‫‪ -1‬ال‪ô‬يا�ضيات ‪ -‬كت‪ Ö‬درا�ضية اأ‪N .‬ان ‪Ÿ ،‬يا‪( A‬مو‪D‬ل∞ م‪û‬ضار∑)‬ ‫ب‪ -‬من‪ù‬ض»‪ ،‬ا‪H‬ت‪ù‬ضا‪( Ω‬مو‪D‬ل∞ م‪û‬ضار∑) ‪ .ê‬ال©نوان‬ ‫‪1428 /5365‬‬ ‫ديو… ‪372^7‬‬ ‫رقم الإيداع ‪1428 /5365 :‬‬ ‫ردمك ‪978 - 9960- 48 - 449 - 5 :‬‬

‫اأ�سرف على التاأليف والتطوير‬

‫‪ègÉæª∏d áeÉ©dG IQGOE’G‬‬

‫له ــ‪ò‬ا الم≤‪ô‬ر قيمة مهمة وفا‪F‬دة ك‪Ñ‬ي‪ô‬ة ف‪ë‬اف‪ ß‬علي¬ واج©‪ π‬ن¶افت¬ ‪ûJ‬ض ــهد على ح‪ù‬ض ــن‬ ‫�ضلوك∂ م©¬ ‪.‬‬ ‫اإذا ل‪ëJ º‬ت‪H ßØ‬ه‪ò‬ا الم≤‪ô‬ر ف» مكت‪Ñ‬ت∂ ال‪î‬ا‪U‬ضة ف» ا‪ ôNB‬ال©ا‪ Ω‬ل‪�Ó‬ضت‪Ø‬ادة فاج©‪ π‬مكت‪Ñ‬ة‬ ‫مدر�ضت∂ ‪ëJ‬ت‪. ¬H ßØ‬‬ ‫ح≤و‪ ¥‬ال‪ ™Ñ£‬والن‪û‬ض‪ ô‬م‪Øë‬وظة لو‪R‬ارة الت‪Hô‬ية والت©لي‪ º‬ـ المملكة ال©‪Hô‬ية ال‪ù‬ض©ودية‬

‫موق™‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫موق™‬

‫ا’إدارة العامة للت‪î‬طيط والتطوير‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫موق™‬

‫اإدارة التعليم ال‪ã‬انو…‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬

‫البريد ا’إلكتروني ’إدارة التعليم ال‪ã‬انو…‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬

‫مقدمة‬ ‫الحمد ِ‬ ‫رب العالمين‪ ،‬و ال�صـالة وال�سـالم على �سـ ِّيد المر�سـلين‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين‪،‬‬ ‫هلل ِّ‬ ‫ومن تبعهم ب�إح�س ٍ‬ ‫ـان �إلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫هذا كتاب ريا�ض َّيات ( ‪ ) 5‬في نظام المقررات للتعليم الثانوي ال��ذي ن�أمل �أن يجيء ُمل ِّبـ ًيا لخطط‬ ‫التنمية الطموح التي تعي�شـها المملكـة العرب َّيـة ال�سـعود َّية ومتَّفقًا مع تط ُّلعاتـها في �إخرا ِج ٍ‬ ‫جيل قاد ٍر‬ ‫كل ذلك وفق � ِ‬ ‫على مواكبة الع�صر ومتم�شـ ًّيا مع النه�ضة التي تحياهـا‪ُّ ،‬‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫أهداف و�سـيا�سـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى هذا الكتاب على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�سـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫< الحـاجات الأ�سـا�سـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫ ‬ ‫< طرائق تعليم وتع ُّلم الريا�ضيـَّات‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الريا�ضي‪.‬‬ ‫< �أ�سـاليب التفكير‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�ضي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�سـائل ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫< نوع َّية البناء‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫< �أوجه ا�سـتخدامات الريا�ض َّيـات في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬ ‫ ‬ ‫وتبرز مالمح الكتاب في التالي‪:‬‬ ‫‪ -1‬االنطالق في تنظيم منهـاج الريا�ض َّيات من الأهداف العا َّمة للما َّدة و�أهداف نظام المقررات للتعليم‬ ‫الثانوي‪ ،‬بما يتالءم وخ�صائ�ص نـمو الطالب باتِّباع �أ�سـاليب وطرائق ت�سـتند �إلى نظر َّيات التع ُّلم‬ ‫المختلفة‪.‬‬ ‫‪ -2‬الأخ��ذ باالتجاه الحلزوني في معالجة المحتوى الريا�ضي مع الجمع بين التنظيم المنطقي‬ ‫والتنظيم ال�سيكولوجي‪.‬‬ ‫‪ -3‬روع���ي ف��ي ع��ر���ض المو�ضوعات �إب���راز المفهومات وال��م��ب��ادئ العلمية وال��ن��ظ��ر َّي��ات ‪ ...‬وتمييزها‬ ‫وا�سـتخدامها في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعميق معناها لدى الطالب‪.‬‬ ‫‪ -4‬االهتمام ببرهان الحقائق والنظر َّيات‪ ،‬ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات‪.‬‬ ‫العلمي في البحث واال�ستق�صاء والو�صول �إلى اال�ستنتاجات والقرارات‬ ‫‪ -5‬توظيف �أ�ساليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫وحل الم�شكالت‪.‬‬ ‫التعمق في ذلك‬ ‫‪ -6‬اال�ستمرار في تعزيز بناء المفهومات باال�ستناد �إلى معلومات الطالب ال�سابقة مع ُّ‬ ‫بما يتَّفق وطبيعة المرحلة و�إي�ضاح كل مفهوم من خالل �أمثلة متنوعة؛ لم�ساعدة الطالب على‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫التع ُّلم‬ ‫ِّ‬ ‫‪� -7‬إب���راز جهود علماء الريا�ض َّيات العرب والم�سـلمين و�أث��ره��م في بناء وتطوير العلوم الريا�ض َّية‬ ‫وتطبيقاتـها‪.‬‬

‫‪ -8‬ربط المفهومات الريا�ض َّية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تق َّدم لـه في الموا ِّد الأخرى‪ ،‬وتوظيـفها‬ ‫من خالل التطبيقات الحيات َّية المتع ِّددة‪.‬‬ ‫‪ -9‬ت�ضمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫‪� -10‬إثراء المحتـوى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ك ِّل وحدة‪� ،‬إ�ضـافة �إلى التمارين التي‬ ‫تلي كل در�س؛ لتثبـيت الحقـائق والمهـارات وت�أكيـد ا�سـتمرار َّية التع ُّلم‪.‬‬ ‫‪� -11‬إدراج �أن�شطة �إثرائية با�ستخدام الحا�سب الآلي كلما �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -12‬تلخي�ص المفهومات والنظر َّيات ‪ ...‬التي ت�ض َّمنها محتوى ك�� ِّل وح��دة من ال��وح��دات وذل��ك في‬ ‫نـهايته‪.‬‬ ‫‪� -13‬إدراج قائمة بالإجابات النهائ َّية لبع�ض التمارين لك ِّل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪� -14‬إدراج الأهداف التعليمـ َّية لك ِّل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪ -15‬اال�ستعانة بالر�سوم التو�ضيح َّية والأ�شـكال في تو�ضيح المفهومات الريا�ض َّية ك َّلما دعت الحاجة‬ ‫لذلك‪.‬‬ ‫ولقد اُ�سـتفيد حين �إعداد الكتاب ِم َّما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬تو�صيف منهج م��ا َّدة الريا�ض َّيات في نظام المقررات للتعليم الثانوي من الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫التربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫بالتطوير‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق َّررات الريا�ض َّيات ب��دول مجل�س التعاون ل��دول الخليج العرب َّية‪ ،‬وبع�ض ال��دول العرب َّية وغير‬ ‫العرب َّية‪.‬‬ ‫هذا ويقع الكتاب في �أربع وحدات و هي ‪:‬‬ ‫‪ -2‬التفا�ضل ‪ -3 .‬تطبيقات التفا�ضل ‪ -4 .‬التكامل‬ ‫‪ -1‬النهايات و االت�صال ‪ .‬‬ ‫و �إنَّنا لنرجو التوفيق وال�سـداد من الـله ‪ -‬تعالى ‪ -‬و�أن ُيحـقِّق هذا الكتاب الأهداف الم�أمولة له‪.‬‬ ‫ ‬ ‫واللـه من وراء الق�صد‪.‬‬ ‫لجنـة الت�أليف‬

‫الوحدة‬ ‫ا’‪C‬ولى‬

‫النهايات وا’ت‪ü‬سا∫‬

‫(‪ )1-1‬النهايات ‪.............................................................‬‬ ‫(‪ )2-1‬ح‪ù‬ضاب النهايات ‪......................................................‬‬ ‫(‪ )3-1‬ال‪üJ‬ضا∫ ‪..............................................................‬‬ ‫اأن‪û‬ض‪£‬ة اإ‪ôK‬ا‪F‬ية ‪.......................................................‬‬ ‫‪©J‬لمت ف» ‪ √òg‬الوحدة ‪....................,......................‬‬ ‫‪J‬ماريـن عا َّمـة ‪........................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫ال‪ã‬انية‬ ‫(‪)1-2‬‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫(‪)4-2‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪57‬‬

‫التفا‪V‬سل‬

‫ن‪òÑ‬ة ‪J‬اأري‪î‬ية ‪......................................................‬‬ ‫م©د∫ الت¨ي‪ ô‬ف» فت‪ô‬ة ‪..............................................‬‬ ‫م‪û‬ضت≤ة الدالة ‪.......................................................‬‬ ‫قواعد ال‪T‬ضت≤ا‪.................................................... ¥‬‬ ‫‪Ñ£J‬ي≤ات ‪g‬ند�ضية وفي‪õ‬يا‪F‬ية على الم‪û‬ضت≤ة ‪...........................‬‬ ‫اأن‪û‬ض‪£‬ة اإ‪ôK‬ا‪F‬ية ‪......................................................‬‬ ‫‪©J‬لمت ف» ‪ √òg‬الوحدة ‪.........................................‬‬ ‫‪J‬ماريـن عا َّمـة ‪......................................................‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪114‬‬

‫الوحدة‬ ‫ال‪ã‬ال‪ã‬ة‬

‫تطبيقات التفا‪V‬سل‬

‫(‪ëJ )1-3‬لي‪ π‬الدالة (‪120 .................................................. )1‬‬ ‫(‪ëJ )2-3‬لي‪ π‬الدالة (‪133 ................................................... )2‬‬ ‫(‪ )3-3‬ر�ض‪ º‬المن‪ë‬نيات ‪149 ....................................................‬‬ ‫اأن‪û‬ض‪£‬ة اإ‪ôK‬ا‪F‬ية ‪154 .....................................................‬‬ ‫‪©J‬لمت ف» ‪ √òg‬الوحدة ‪159 ..............................................‬‬ ‫‪J‬ماريـن عا َّمـة ‪160 ......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫التكامل‬

‫(‪ )1-4‬التكام‪Zπ‬ي‪ô‬الم‪ë‬دد ‪166 ..................................................‬‬ ‫(‪ )2-4‬التكام‪ π‬الم‪ë‬دد ‪175 ....................................................‬‬ ‫(‪ )3-4‬التكام‪H π‬الت©وي†س ‪186 ...............................................‬‬ ‫اأن‪û‬ض‪£‬ة اإ‪ôK‬ا‪F‬ية ‪193 ......................................................‬‬ ‫‪©J‬لمت ف» ‪ √òg‬الوحدة ‪197 ............................................‬‬ ‫‪J‬ماريـن عا َّمـة ‪199 ......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫ا’‪C‬ولى‬

‫النهايات وا’ت‪ü‬سا∫‬ ‫‪Limits and Continuity‬‬

‫)‪ (1-1‬النهايات‬ ‫)‪ (2-1‬ح�ساب النهايات‬ ‫)‪ (3-1‬ا’ت‪ü‬سا∫‬

‫اإن درا�س ــة نهاي ــة دال ــة ُي ‪n‬ع ـ ُّـد فاتح ــة‬ ‫لدرا�س ــة فرع مهم في الريا�سيات وهو‬ ‫ما يعرف بح�ساب التفا�سل والتكامل‪.‬‬

‫‪o‬يتو ‪s‬ق™ م‪ ø‬الطالب بعد درا‪S‬سـة هذه الوحدة ا‪C‬ن يكون قاد ‪k‬را على ا‪C‬ن ‪:‬‬

‫‪ -1‬ي© ‪ ±ôu‬نهاية دالة عند ن≤‪£‬ة وك‪ò‬ل∂ النهاية اليمنى و الي‪ù‬ض‪. iô‬‬ ‫‪ -2‬ي‪ù‬ضت‪î‬د‪ Ω‬المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» للدالة ف» اإي‪é‬اد النهاية اليمنى والنهاية‬ ‫الي‪ù‬ض‪ iô‬والنهاية للدالة عند ن≤‪£‬ة ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ي‪ùë‬ض ــ‪ Ö‬النهاي ــة عند ن≤‪£‬ة ل ـ ‪x‬‬ ‫ـك‪ π‬من ‪ :‬دالة ك‪ã‬ي‪ô‬ة ال‪ ë‬ــدود ‪ ،‬الدالة‬ ‫الن‪ù‬ض ــ‪Ñ‬ية ‪ ،‬دالة ال‪òé‬ر الت‪Hô‬ي©» ‪ ،‬دالة ك‪ù‬ض‪ô‬ية ‪J‬ت†ضمن ج‪ò‬و ‪k‬را ‪HôJ‬ي©ية ‪،‬‬ ‫دالة م‪õé‬اأة ‪ ،‬الدوا∫ الم‪ã‬ل‪ã‬ية ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ي‪ åëÑ‬ا‪üJ‬ضا∫ دالة عند ن≤‪£‬ة ‪.‬‬ ‫‪-5‬ي‪ åëÑ‬ا‪üJ‬ضا∫ دالة على فت‪ô‬ة ‪.‬‬ ‫‪ -6‬يت© َّ‪†©H ±ô‬س ‪N‬وا‪U‬س الدوا∫ المت‪ü‬ض ــلة عل ــى فت‪ô‬ة م¨ل≤ة من ‪∫ÓN‬‬ ‫ن¶‪ô‬ية ال≤ي‪ º‬ال≤‪ü‬ضو‪ ، i‬ن¶‪ô‬ية ال≤ي‪ º‬الو�ض‪£‬ى ‪ ،‬ن¶‪ô‬ية ‪H‬ل‪õ‬انو ‪.‬‬ ‫‪ -7‬ي‪ù‬ض ــت‪î‬د‪ Ω‬ن¶‪ô‬ية ال≤ي‪ º‬ال≤‪ü‬ض ــو‪ i‬ف» اإ‪ÑK‬ات ا ‪qn‬أن للدالة قيمة ع¶مى‬ ‫وقيمة ‪U‬ض¨‪.iô‬‬ ‫‪ -8‬ي‪ù‬ض ــت‪î‬د‪ Ω‬ن¶‪ô‬ي ــة ‪H‬ل‪õ‬انو ف» اإ‪ÑK‬ات ا ‪qn‬أن للدال ــة ج‪ò‬ر ‪k‬ا ف» فت‪ô‬ة م©ينة‬ ‫من م‪é‬الها‪.‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫النهايات‬

‫‪1-1‬‬

‫م‪ùÑ‬ض§‬ ‫در�ضت �ضا‪k≤H‬ا الدوا∫ ال‪≤ë‬ي≤ية ‪ ،‬وف» ‪ √òg‬الوحدة ندر�س نهايات الدوا∫ عند قي‪ º‬م©ينة و‪H‬اأ�ضلوب َّ‬ ‫دون الد‪N‬و∫ ف» الت‪Ø‬ا‪U‬ضي‪ π‬الدقي≤ة ‪ ،‬مهتمين ‪H‬ال≤واعد وال≤وانين الت» ‪ùJ‬ض ‪u‬ه‪ π‬اإي‪é‬اد نهايات الدوا∫ ‪.‬‬ ‫ا َّإن درا�ض ــة نهاية الدالة ‪t ©J‬د فا‪k ëJ‬ة لدرا�ض ــة ف‪ ´ô‬مه‪ º‬ف» ال‪ô‬يا�ض ــيات ي‪î‬تل∞ عن عل‪ º‬ال‪ ôÑé‬والهند�ضة‬ ‫و‪g‬و ما ي©‪ùëH ±ô‬ضاب الت‪Ø‬ا�ض‪ π‬والتكام‪. π‬‬ ‫ونعني بدرا�سة نهاية الدالة عند قيمة مع َّينة التعرف على �سلو∑ الدالة عندما يقترب مت¨يرها من‬ ‫هذه القيمة ‪.‬‬ ‫ولت≤‪ô‬ي‪ Ö‬م‪Ø‬هو‪ Ω‬نهاية الدالة عند قيمة م© َّينة ن≤د‪ Ω‬الأم‪ã‬لة التالية ‪:‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)1-1‬‬

‫اإذا كانت د(�س) = ‪�3‬س فاإننا لدرا�ضـة �ضـلو∑ الدالة د عندما ياأ‪ òN‬المت¨ي‪� ô‬س قي ‪k‬ما ق‪ô‬ي‪Ñ‬ـة من ال©دد ‪1‬‬ ‫(قي ‪k‬ما اأك‪ ôÑ‬من ‪ 1‬وقي ‪k‬ما اأ‪U‬ض¨‪ ô‬من ‪ )1‬نك ‪u‬ون ال‪é‬دو∫ التال» ‪:‬‬ ‫�س‬

‫‪1^01‬‬

‫‪1^001‬‬

‫‪1^0001‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0^9999‬‬

‫‪0^999‬‬

‫‪0^99‬‬

‫د(�س)‬

‫‪3^03‬‬

‫‪3^003‬‬

‫‪3^0003‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2^9997‬‬

‫‪2^997‬‬

‫‪2^97‬‬

‫ن‪Ó‬ح ــ‪ ß‬من ال‪é‬دو∫ ومن ال‪û‬ض ــك‪ )1-1( π‬المم ‪ πãu‬للدالة د اأن¬ كلما اقت‪ Hô‬ــت قيمة �س من ال©دد ‪ 1‬فا َّإن‬ ‫قيمة د(�س) ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ‪.3‬‬ ‫ون≤و∫ ف» ‪ √òg‬ال‪ë‬الة ا َّإن نهاية الدالة د(�س) ‪ùJ‬ضاو…‪ 3‬عندما‬ ‫ي≤ت‪ô‬ب �س من ال©دد ‪ 1‬ون© ‪ ôÑu‬عن ذل∂ ‪H‬اأحد ال‪ô‬م‪õ‬ين ‪:‬‬ ‫ﻧــــــــــــﻬﺎ د(�س) =‪ 3‬اأو د(�س) ‪ 3‬عندما �س ‪1‬‬

‫س‬

‫‪١‬‬

‫وحي‪ å‬ا َّإن د (‪ 3 = )1‬ف≤د يت‪Ñ‬ادر اإلى ال‪gò‬ن ‪H‬ا َّأن نهاية الدالة‬ ‫عن ــد ‪m‬‬ ‫عدد ما ‪ùJ‬ض ــاو… دا‪k F‬ما قيمة الدالة عند ‪ g‬ــ‪ò‬ا ال©دد اإل ا َّأن‬ ‫الم‪ã‬ا∫ التال» يدح†س ‪òg‬ا العت≤اد ‪.‬‬ ‫‪T‬ضك‪) 1-1( π‬‬

‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫النهايات‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)2-1‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫اإذا كانت د(�س) = �س ‪� ،‬س ≠ ‪ 2‬فاإننا لدرا�ضة �ضلو∑ الدالة د عندما ي≤ت‪ô‬ب المت¨ي‪� ô‬س من ال©دد ‪ 2‬ن‪Ñ‬داأ‬ ‫‪2‬‬‫‪©H‬ملية ال‪N‬ت‪ü‬ضار ‪J‬و‪k N‬يا لل‪ù‬ضهولة‪:‬‬ ‫�س‪�( 4 - 2‬س ‪�( )2 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫د(�س) = �س =‬ ‫= �س ‪� ، 2 +‬س ≠ ‪2‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ ºK‬نك ‪u‬ون ال‪é‬دو∫ التال» ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2^01‬‬

‫‪2^001‬‬

‫‪2^0001‬‬

‫‪1^9999‬‬

‫‪1^999‬‬

‫‪1^99‬‬

‫د(�س)‬

‫‪4^01‬‬

‫‪4^001‬‬

‫‪4^0001‬‬

‫‪3^9999‬‬

‫‪3^999‬‬

‫‪3^99‬‬

‫‪4‬‬

‫ن‪Ó‬ح ــ‪ ß‬من ال‪é‬دو∫ و من ال‪û‬ض ــك‪ ) 2-1 ( π‬المم ‪ πãu‬للدالة د ا َّأن قيمة‬ ‫الدال ــة ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ‪ 4‬كلما اقت‪ Hô‬ــت قيمة �س من ال©دد ‪∫ÓN 2‬‬ ‫قي‪ º‬اأك‪ ôÑ‬اأو اأ‪U‬ض¨‪ ô‬من ال©دد ‪.2‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫ﻧــــــــــــﻬﺎ �س = ‪4‬‬ ‫اأ… ا َّإن ‪:‬‬ ‫س ‪2- ٢‬‬ ‫و‪g‬ك ــ‪ò‬ا ن‪é‬د ا َّأن للدال ــة نهاية عند ال©دد ‪ 2‬على ال‪ Zô‬ــ‪ º‬من اأنها ‪Z‬ي‪ô‬‬ ‫م© َّ‪ô‬فة عند ‪òg‬ا ال©دد ‪.‬‬ ‫لح ــ‪ ß‬ا َّأن قيمة ﻧــــــــــــﻬﺎ د(�س) ‪ùJ‬ض ــاو… ‪ ©o H‬ــد من‪ë‬ن» الدالة عن‬ ‫س‬

‫‪٢‬‬

‫الم‪ë‬ور ال‪ù‬ضين» عند �س = ‪2‬‬

‫‪T‬ضك‪)2- 1( π‬‬

‫وال‪B‬ن يمكننا ‪≤J‬دي‪ º‬الت©‪ô‬ي∞ التال» ‪:‬‬

‫‪ô©J‬ي∞ (‪)1-1‬‬

‫ن≤ ــو∫ ا ‪qn‬أن للدال ــة د(�س)النهاي ــة ∫ عندم ــا ي≤ت‪ô‬ب �س من ال© ــدد ‪ ،‬اإذا اقت‪Hô‬ت قيمة د(�س) من‬ ‫ال©دد ∫ كلما اقت‪ô‬ب �س من ال©دد دون اأن ي‪ù‬ضـاوي¬ ‪ .‬ون© ‪ ôÑqp‬عن ذل∂ ‪H‬ال‪ô‬م‪ õ‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫‬ ‫�س‬ ‫اأو د(�س) ∫ عندما �س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪11‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫(‪)1-1‬‬ ‫من الت©‪ô‬ي∞ ال‪ù‬ضا‪ ≥H‬يت†ض‪ í‬ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬النهاية اإن وجدت فه» وحيدة ‪.‬‬ ‫‪ 2‬اإي‪é‬اد ﻧــــــــــــﻬﺎ د(�س) ل يت‪£‬ل‪ Ö‬اأن ‪J‬كـ ـ ــون الدالة م© َّ‪ô‬فة عند �س = ولكن مــن ال‪ ΩRÓ‬وجود فت‪ô‬ة‬ ‫س‬ ‫ﻗﻴـﻤﺎ أﻛﺒﺮ ﻣﻦ‬ ‫مهـم ــا كانت ‪U‬ض ــ¨ي‪ô‬ة حو∫ ال©دد ‪J‬كون الدال ــة م© َّ‪ô‬فة عليها‪ .‬اأ… ا َّإن ‪ √òg‬ال‪Ø‬ت‪ô‬ة ‪J‬ت†ض ــمن ً‬ ‫اﻟﻌﺪد (يمين¬ م‪Ñ‬ا‪T‬ض‪k ô‬ة ) وقي ‪k‬ما اأ‪U‬ض¨‪ ô‬من¬ ( ي‪ù‬ضار√ م‪Ñ‬ا‪T‬ض‪k ô‬ة ) ‪ .‬ان¶‪T ô‬ضك‪. ) 3-1 ( π‬‬

‫‪T‬ضك‪)3- 1( π‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)3-1‬‬ ‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪J‬اأ َّم‪ π‬الدالة د(�س) =‬

‫�س ‪2 +‬‬

‫اإذا كان �س‬

‫‪0‬‬

‫اإذا كان �س‬

‫‪0‬‬

‫المم َّ‪ã‬ل ــة ف» ‪T‬ض ــك‪ )4-1( π‬والت ــ» يت¨ي‪ô©J ô‬ي‪Ø‬ها حو∫ ال©دد ‪U‬ض ــ‪ôØ‬‬ ‫ودعنا ندر�س �ضـ ــلو∑ ‪ g‬ــ‪ √ò‬الدالة عندما ي≤ت‪ô‬ب �س من ال‪ü‬ض ــ‪ ôØ‬من‬ ‫جهة اليمين ‪J‬ار ‪k‬ة ومن جهة الي‪ù‬ضار ‪J‬ار ‪k‬ة اأ‪.iôN‬‬ ‫جهة اليمين ( �س ‪)0‬‬ ‫�س‬ ‫د(�س) = �س‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪0^01‬‬

‫‪0^001‬‬

‫‪0^0001‬‬

‫‪0^000001‬‬

‫‪٠ 0^0001‬‬ ‫‪٠ 0^00000001‬‬

‫جهة الي‪ù‬ضار ( �س ‪)0‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪T‬ضك‪)4-1( π‬‬

‫‪0^0001-‬‬

‫‪0^001-‬‬

‫‪0^01-‬‬

‫�س‬

‫‪1^9999‬‬

‫‪1^999‬‬

‫‪1^99‬‬

‫د(�س) = �س ‪2 +‬‬

‫النهايات‬ ‫نالح‪ ß‬من الجدولين ومن ال�سكل ( ‪ ) 4-1‬اأ َّن ‪:‬‬ ‫(‪ )1‬قيمة الدالة ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ‪U‬ض‪ ôØ‬كلما اقت‪ô‬ب �س من ال©دد ‪U‬ض‪ ôØ‬من جهة اليمين ون≤و∫ ا َّإن نهاية الدالة ‪ùJ‬ضاو…‬ ‫‪U‬ض‪k ôØ‬ا عندما ي≤ت‪ô‬ب �س من ال‪ü‬ض‪ ôØ‬من جهة اليمين ‪ ،‬ون© ‪ ôÑu‬عن ذل∂ رم‪k õ‬يا كما يل» ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪0‬‬ ‫س‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫(‪ )2‬قيم ــة الدالة ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ‪ 2‬كلما اقت‪ô‬ب �س من ال©دد ‪U‬ض ــ‪ ôØ‬من جهة الي‪ù‬ض ــار ون≤ ــو∫ ا َّإن نهاية الدالة‬ ‫‪ùJ‬ضاو… ‪ 2‬عندما ي≤ت‪ô‬ب �س من ال‪ü‬ض‪ ôØ‬من جهة الي‪ù‬ضار ‪ ،‬ون© ‪ ôÑu‬عن ذل∂ رم‪k õ‬يا كما يل» ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪2‬‬ ‫س‬

‫‪٠‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ô©J‬ي∞ (‪)2-1‬‬ ‫النهاية اليمنى للدالة ‪:‬‬ ‫ن≤و∫ ا ‪qn‬إن النهاية اليمنى للدالة د عندما ي≤ت‪ô‬ب �س من ال©دد ‪ùJ‬ضاو… ∫ ونكت‪ Ö‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) = ∫‬ ‫اإذا كانت قيمة د(�س) ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ∫ كلما اقت‪ô‬ب �س من ال©دد من جهة اليمين ‪.‬‬ ‫النهاية الي�سرى للدالة ‪:‬‬ ‫ن≤و∫ ا ‪qn‬إن النهاية الي‪ù‬ض‪ iô‬للدالة د عندما ي≤ت‪ô‬ب �س من ال©دد ‪ùJ‬ضاو… ∫ ونكت‪ Ö‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س) = ∫‬ ‫اإذا كانت قيمة د(�س) ‪≤J‬ت‪ô‬ب من ال©دد ∫ كلما اقت‪ô‬ب �س من ال©دد من جهة الي‪ù‬ضار ‪.‬‬ ‫من الت©‪ô‬ي∞ ال‪ù‬ضا‪ ≥H‬يت†ض‪ í‬اأن¬ لإي‪é‬اد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) ( اأو ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س) ) ل ‪H‬د من وجود فت‪ô‬ة مهما‬ ‫�س‬ ‫كانت ‪U‬ض¨ي‪ô‬ة يمين ( اأو ي‪ù‬ضار ) ال©دد م‪Ñ‬ا‪T‬ض‪k ô‬ة ‪J‬كون الدالة م© َّ‪ô‬فة عليها ‪.‬‬ ‫والآن يمكننا الربط بين التعريفين ( ‪ ) 2-1 ( ، ) 1-1‬لتقديم النظرية التالية ‪:‬‬

‫نظرية (‪(1-1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫‬ ‫�س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) = ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س) = ∫‬ ‫�س‬

‫وﺑﺎﻟﻌﻮدة إﻟﻰ اﳌﺜﺎل ) ‪ ( ٣-١‬ﳒﺪ ﱠأن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د)س(‬

‫�س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د)س( ؛ ﻟﺬا ّ‬ ‫ﻓﺈن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د)س( ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ وﺟﻮد‪.‬‬

‫�س‬

‫�س‬

‫‪٠‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪13‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)4-1‬‬ ‫يم ‪ πãu‬ال‪û‬ضك‪ ) 5-1 ( π‬المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» ‪x‬‬ ‫لك‪ π‬من الدوا∫ د ‪g ،‬ـ ‪،‬‬

‫‪T‬ضك‪)5- 1( π‬‬

‫ومن¬ ن‪é‬د ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) = ‪ = 3‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س)‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ 2‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g +‬ـ(�س) = ‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧــــــــــــﻬﺎ‪g -‬ـ(�س) = ‪2‬‬ ‫س‬

‫‪٢‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g +‬ـ(�س) ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪g -٢‬ـ (�س)‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬

‫‪ 3‬نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪�( +١‬س) = ‪, 0‬‬ ‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪�( -١‬س) لي‪ù‬س لها وجود ( لماذا? )‬

‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪g ٢‬ـ (�س) لي‪ù‬س لها وجود‬

‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪�( ١‬س) لي‪ù‬س لها وجود‬

‫ومن ال‪é‬دي‪ ô‬ذك‪ √ô‬اأن¬ اإذا كانت الدالة د ‪Z‬ي‪ ô‬م© َّ‪ô‬فة عند �س = ‪ ،‬وكانت قيمة الدالة ‪J‬تــ‪õ‬اي ـ ــد ‪J‬ـ ـ ــ‪õ‬اي ‪k‬دا‬ ‫حد ودون ‪J‬وق∞‪ ،‬وذل∂ كلما وكي‪Ø‬ما اقت‪Hô‬ت قيمة �س من ال©دد ‪ ،‬فاإننا‬ ‫‪J‬ناق‪ü‬ضا) ك‪Ñ‬ي ‪ôk‬ا ‪x ÓH‬‬ ‫(اأو ‪J‬تناق‪ü‬س ‪k‬‬ ‫ن≤و∫ ا َّإن ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) لي‪ù‬س لها وجود ; اإذ ل‪ º‬ن‪é‬د عد ‪k‬دا ح≤ي≤ ‪k‬يا ‪≤J‬ت‪ô‬ب من¬ الدالة كلما اقت‪ô‬ب �س من ‪.‬‬ ‫ونكت‪ Ö‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∞ ( اأو ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = – ∞ )‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫‪14‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫النهايات‬ ‫ف©لى �ض‪Ñ‬ي‪ π‬الم‪ã‬ا∫ ن‪é‬د ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪∞= 2‬‬ ‫�س ‪� 0‬س‬ ‫ان¶‪ ô‬ال‪é‬دو∫ التال» وال‪û‬ضك‪ )6 -1( π‬المم ‪ πãu‬لمن‪ë‬ن» الدالة‬ ‫‪1‬‬ ‫د(�س) = ‪ 2‬لتت‪ ≥≤ë‬من ذل∂ ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫د(�س) = �س‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10 ±‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪100 ±‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1000 ±‬‬

‫‪100‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪1000000‬‬

‫‪J‬دري‪)1-1( Ö‬‬

‫‪T‬ضك‪) 6-1( π‬‬

‫‪1‬‬ ‫ان¶‪ ô‬ال‪û‬ضك‪ ) 7-1( π‬المم ‪ πãu‬لمن‪ë‬ن» الدالة د(�س) = �س واأكم‪ π‬ال‪ôØ‬ا‪: Æ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪� +‬س = ‪.......‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪� -‬س = ‪.......‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪1‬‬ ‫�س ‪� +٠‬س �س ‪� -٠‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪.......‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪T‬ضك‪) 7 -1( π‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪15‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تمارين (‪(1-1‬‬ ‫‪ 1‬اإ‪P‬ا كان ال‪û‬سكل الم‪é‬اور يم ‪ãu‬ل المن‪ë‬ني البياني للدالة د)‪S‬س( فا‪C‬وجد م‪ ø‬الر‪S‬سم ‪ -‬اإن ا‪C‬مك‪ -ø‬ك ‪kv‬ال مما يلي ‪:‬‬ ‫د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪١-‬د(�س)‪ ،‬د(‪)1-‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س)‪ ،‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‪ ،‬د( ‪) 1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬‫‪١‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ +‬د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ -‬د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‪ ،‬د( ‪) 0‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫د ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) ‪ ،‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‪ ،‬د( ‪) 3‬‬ ‫‪-٣‬‬ ‫�س‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪ 2‬في كلٍّ مما يلي ا‪C‬وجد ‪ -‬اإن ا‪C‬مك‪ -ø‬نهاية الدالة المعطاة عند كلٍّ م‪ ø‬النقا• ‪ , 1- , 0 , 2‬و‪P‬ل∂‬ ‫با‪S‬ست‪î‬دامالمن‪ë‬نيالبيانيللدالة‪:‬‬

‫د‬

‫‪16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪`g‬‬

‫و‬

‫النهايات‬ ‫‪ 3‬في كلٍّ مما يلي ار‪S‬سـم المن‪ë‬ني البيـاني للـدالة ‪K ,‬م ا‪C‬وجـد ‪ -‬اإن ا‪C‬مك‪ -ø‬نـهاية الـدالة عندما يقترب‬ ‫‪S‬سم‪ø‬العـددالمذكـور‪:‬‬ ‫د(�س) = ‪�2‬س ‪3 +‬‬

‫‪� ،‬س‬

‫د(�س) = �س‪�2 + 2‬س ‪2 +‬‬

‫‪� ،‬س‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪�3‬س ‪ 2 -‬اإذا كان �س ‪1‬‬ ‫د(�س) =‬

‫�س‪ 1 + 2‬اإذا كان �س ‪1‬‬

‫‪� ،‬س‬

‫‪1‬‬

‫‪ 4‬اأعـد ‪ô©J‬ي∞ الـدالة د(�س) = �س ‪ ºK ، 4 +‬ار�ضـ‪ º‬المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يـان» لها ‪ ،‬واأوجـد من ال‪�ô‬ضـ‪ : º‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‬ ‫‪٤-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪17‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪2-1‬‬

‫ح�ساب النهايات‬ ‫‪ôَّ ©J‬فنا �ض ــا‪k≤H‬ا على ‪ôW‬ي≤ة حد�ض ــية لإي‪é‬اد نهاية دالة ‪H‬الإفادة من المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» لها‪ ،‬وحي‪ å‬اإن¬ لي‪ù‬س‬ ‫م ــن ال‪ù‬ض ــه‪ π‬ر�ض ــ‪ º‬المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» لك‪ã‬ي‪ ô‬م ــن الدوا∫ فاإننا �ض ــنت©‪ ±ô‬ف» ‪òg‬ا ال‪Ñ‬ند عل ــى ‪ ¥ôW‬ج‪ôÑ‬ية‬ ‫ل‪ùë‬ضاب نهايات الدوا∫ ن‪ù‬ضت‪î‬ل‪ü‬ضها من الن¶‪ô‬يات التالية الت» �ضن≤‪Ñ‬لها ‪H‬دون ‪gôH‬ان ‪.‬‬

‫نظرية (‪(2-1‬‬ ‫‪ 1‬نهاية الدالة الثابتة‬ ‫اإذا كانت د(�س) = ‪ç‬‬ ‫‪ 2‬نهاية الدالة المحايدة‬ ‫اإذا كانت د(�س) = �س‬

‫فا ‪qn‬إن ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ç = ç‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫فا ‪qn‬إن ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س =‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫لت‪ùØ‬ضي‪ √òg ô‬الن¶‪ô‬ية ‪J‬اأ َّم‪ π‬ال‪û‬ضكلين التاليين ولح‪ ß‬اأن¬ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ف» ال‪û‬ضك‪ )8-1( π‬المم ‪ πãu‬لمن‪ë‬ن» الدالة ال‪ã‬ا‪H‬تة د(�س) = ‪ ، ç‬قي‪ º‬الدالة ‪≤ÑJ‬ى ‪K‬ا‪H‬تة مهما ‪¨J‬ي‪ô‬ت‬ ‫يو�ض‪ í‬ا َّأن ‪:‬‬ ‫قي‪� º‬س و‪òg‬ا ‪u‬‬ ‫ل‪é‬مي™ قي‪. º‬‬ ‫د(�س) ‪ ç‬عندما �س‬ ‫‪ 2‬ف» ال‪û‬ضك‪ )9-1( π‬المم ‪ πãu‬لمن‪ë‬ن» الدالة الم‪ë‬ايدة د(�س) = �س ‪ ،‬قيمة الدالة ‪≤J‬ت‪ô‬ب من كلما‬ ‫اقت‪Hô‬ت قيمة �س من ‪ ،‬اأ… ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫عندما �س‬ ‫د(�س)‬

‫‪18‬‬

‫‪T‬ضك‪)8 - 1( π‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪T‬ضك‪)9 - 1( π‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)5-1‬‬ ‫‪ 1‬ن�سـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪4 = 4‬‬ ‫‪7-‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 2‬ن�سـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪, 7-‬‬ ‫‪7-‬‬

‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها (‪8- = )8-‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪,‬‬

‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻧـــــــــــــــﻬﺎ ‪1 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻧـــــــــــــــﻬﺎ �س‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬

‫نظرية (‪(3-1‬‬ ‫العمليات الجبرية على النهايات‪:‬‬ ‫اإذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س) = ∫‪ , 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(2‬س) = ∫‪ 2‬فاإن ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪ 1‬نـهاية المجموع ( اأو الفرق )‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها(د‪�(1‬س) ‪ ±‬د‪�(2‬س))= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س) ‪ ±‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫د‪�(2‬س) = ∫‪2∫ ± 1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪ 2‬نـهاية ال�سرب‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (د‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�(2‬س)) =ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س) ‪ .‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫د‪�(2‬س) = ∫‪2∫ . 1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪ 3‬نـهاية الق�سمة‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س)‬ ‫د (�س) �س‬ ‫∫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪= 1‬‬ ‫= ∫ حي‪0 ≠ 2∫ å‬‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫�س‬ ‫د‪�(1‬س)‬ ‫د‪�(2‬س)‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬

‫(‪)2-1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫وك‪ò‬ل∂ عندما �س‬ ‫‪ 1‬ك ‪ πw‬من الن¶‪ô‬ية (‪ )2-1‬و الن¶‪ô‬ية (‪U )3-1‬ض‪ë‬ي‪ë‬ة عندما �س‬ ‫عدد ‪m‬‬ ‫‪ 2‬يمكن ‪©J‬مي‪ º‬ال‪ô≤Ø‬ة (‪ )1‬وال‪ô≤Ø‬ة (‪ )2‬من الن¶‪ô‬ية (‪ )3-1‬ل ‪u‬أ… ‪m‬‬ ‫منت¬ من الدوا∫ ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪-‬‬

‫‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫نتي‪é‬ة (‪)1-1‬‬ ‫‪ 1‬ا�ضتنا ‪k‬دا اإلى ف≤‪ô‬ة (‪ )2‬من ن¶‪ô‬ية (‪ )3-1‬وف≤‪ô‬ة (‪ )1‬من ن¶‪ô‬ية (‪ )2-1‬ن‪ù‬ضتنت‪ è‬نـهاية ال†ض‪ô‬ب ف» ‪K‬ا‪H‬ت ‪:‬‬ ‫اإذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫‪ ،‬وكان ‪ ç‬عدد ‪k‬ا ‪K‬ا‪H‬ت ‪k‬ا فاإن ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫(‪ .ç‬د(�س) ) = ‪. ç‬‬ ‫د(�س) = ‪∫ . ç‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫فم‪ : Ók ã‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪�4‬س = ‪ 4‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪8 = 2 4‬‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ 2‬ا�ضتنا ‪k‬دا اإلى ف≤‪ô‬ة (‪ )2‬من ن¶‪ô‬ية (‪ )3-1‬و ف≤‪ô‬ة (‪ )2‬من مل‪ë‬وظة (‪ ، )2-1‬و حي‪ å‬ا َّإن ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫د(�س) = د(�س) د(�س) ‪ 000‬د(�س) ‪ ،‬ن‪ù‬ضتنت‪ è‬نهاية قوة دالة‪:‬‬ ‫ن ﻣﻦ اﳌﺮات‬

‫اإذا كانت ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫‪ ،‬فاإن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) ¿ = ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‬ ‫�س‬

‫ن = ∫ ن ‪ ،‬حي‪ å‬ن‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫فم‪ : Ók ã‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪ = 3‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪125 = 5‬‬ ‫�س ‪5‬‬ ‫�س ‪5‬‬

‫نهاية دالة كثيرة الحدود‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)6-1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪� 5‬س‪� 2 - 2‬س ‪ = )7 +‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪� 5‬س‪ - 2‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪� 2‬س ‪ +‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪7‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫= ‪79 = 7 + 4 × 2 - 24 × 5‬‬ ‫لح ــ‪ ß‬ا ‪qn‬أن نهاي ــة دال ــة ك‪ã‬ي‪ô‬ة ال‪ë‬دود د(�س) = ‪� 5‬س‪ � 2 – 2‬ــس ‪ 7 +‬عندما �س‬ ‫ن‪ü‬س النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬ ‫عند �س = ‪ ، 4‬وعامة الأم‪ ô‬ف» ‪qp‬‬

‫‪ 4‬ما ‪ »g‬اإل قيمة الدالة‬

‫نتي‪é‬ة (‪)2-1‬‬ ‫ل ‪qp‬أ… دالة ك‪ã‬ي‪ô‬ة حدود د(�س) ‪ ،‬فا ‪qn‬إن ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = د( )‬

‫‪20‬‬

‫وم©ن ــى ذل ــ∂ ا َّأن ح‪ù‬ض ــاب نهاية ا ‪u‬أ… دال ــة ك‪ã‬ي‪ô‬ة حدود د(�س)عندم ــا �س‬ ‫د(�س) عن �س ‪H‬ال©دد ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫يت‪H º‬الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض ــ‪ ô‬ف»‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)7-1‬‬ ‫اأوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪� 2‬ص‪� 5 - 3‬ص‪�3 + 2‬ص ‪(8 -‬‬ ‫�ص‬ ‫‪٣‬‬

‫‪4‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ( ‪� 2‬س‪� 5 - 3‬س‪� 3 + 2‬س ‪10000 = 4)10( = 4) 8 - 3 3 + 2)3( 5 - 3)3(2 ( = 4) 8 -‬‬ ‫‪٣‬‬

‫‪J‬دري‪)2-1( Ö‬‬ ‫اأوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س ‪� 2 - 7‬س‪)1 + 5‬‬ ‫�س‬ ‫‪١‬‬

‫‪35‬‬

‫نهاية الدالة الن�سبية‬

‫‪©J‬ل‪ º‬ا َّأن قاعدة الدالة الن‪ù‬ض‪Ñ‬ية ‪ »g‬د(�س)= د‪�(1‬س) حي‪ å‬ك ‪ Óv‬من د‪�(1‬س) ‪ ،‬د‪�(2‬س) ك‪ã‬ي‪ô‬ة حدود ‪ ،‬وعلي¬ فاإن¬‬ ‫د‪�(2‬س)‬ ‫يمكننا ال‪H §Hô‬ين ال‪ô≤Ø‬ة (‪ )3‬من الن¶‪ô‬ية (‪ )3-1‬والنتي‪é‬ة (‪ )2-1‬لل‪üë‬ضو∫ على النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)3-1‬‬ ‫اإذا كانت ك ‪ πlq‬من د‪�(1‬س) ‪ ،‬د‪�(2‬س) ك‪ã‬ي‪ô‬ة حدود فا ‪qn‬إن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س)‬ ‫د‪) (1‬‬ ‫د (�س) =‬ ‫�س‬ ‫د‪) (2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫حي‪ å‬د‪0 ≠ ) ( 2‬‬

‫‪ √òg‬النتي‪é‬ة ‪©J‬ن» اأن¬ يمكن ح‪ù‬ضاب نهاية ا ‪u‬أ… دالة ن‪ù‬ض‪Ñ‬ية د(�س) عندما �س‬ ‫‪H‬ال©دد ف» د(�س) و ذل∂ ‪ûH‬ض‪ •ô‬اأ َّل يكون ال©دد ج‪k ò‬را لم≤ا‪ Ω‬الدالة ‪.‬‬

‫‪H‬الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض‪ ô‬عن �س‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)8-1‬‬ ‫اأوجد نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪�5‬ص‪4+3‬‬ ‫�ص ‪� ٢‬ص‪3-‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫( لح‪ ß‬ا َّأن ال©دد ‪ 2‬لي‪ù‬س ج‪k ò‬را للم≤ا‪) Ω‬‬ ‫‪�5‬س‪4 + 3)2(5 4 + 3‬‬ ‫نــ‬ ‫= ‪44 -‬‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪= 3 -‬‬ ‫‪3-2‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪21‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫والآن ماذا لو كان العدد جذ ًرا لمقام الدالة الن�سبية ?‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)9-1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها س‪٤ - ٢‬‬

‫لإي‪é‬اد �س ‪� 2‬س ‪ 2 -‬ن‪Ó‬ح ــ‪ ß‬ا َّأن ال© ــدد ‪ 2‬ج ــ‪ò‬ر لم≤ ــا‪ Ω‬الدالة ; ل ــ‪ò‬ا ل يمكننا ا�ض ــت‪î‬دا‪ Ω‬نتي‪é‬ة‬ ‫(‪ ، )3-1‬ولكن من الوا�ض‪ í‬اأن¬ يمكننا ‪ùH‬ضهولة ‪ùÑJ‬ضي§ الدالة ‪H‬الت‪ë‬لي‪ π‬وال‪N‬ت‪ü‬ضار كما يل» ‪:‬‬ ‫س ‪�( ٤ -‬س ‪�( )2 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫= �س ‪2 +‬‬ ‫�س ‪= 2 -‬‬ ‫(�س ‪)2 -‬‬ ‫‪٢‬‬

‫س‬

‫‪٢‬‬

‫‪٤‬‬

‫‬‫و‪J‬كون ن ـ ـ‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫(�س ‪4 = 2 + 2 = )2 +‬‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪= 2 -‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(و‪ »g‬النتي‪é‬ة ن‪ùØ‬ضها الت» ح‪ü‬ضلنا عليها ف» م‪ã‬ا∫ (‪H )2-1‬ا�ضت‪î‬دا‪ Ω‬ال‪é‬دو∫ والمن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» للدالة )‬

‫لح‪ ß‬ا َّأن ال©دد ‪g 2‬و ج‪ò‬ر ل‪ùÑ‬ض ــ§ الدالة كما ‪g‬و ج‪ò‬ر لم≤امها ‪ ،‬و‪òg‬ا ي©ن» ا َّأن ( �س – ‪ ) 2‬عام‪x π‬‬ ‫لك‪ π‬من‬ ‫ال‪ùÑ‬ض§ و الم≤ا‪ ; Ω‬و ل‪ò‬ل∂ اأمكننا الت‪ë‬لي‪ π‬و ال‪N‬ت‪ü‬ضار ‪.‬‬

‫ومن ال‪é‬دي‪ ô‬ذك‪ √ô‬اأن¬ ل ‪u‬أ… دالتين د‪ ، 1‬د‪: 2‬‬ ‫اإذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(1‬س)= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�(2‬س) = ‪U‬ض‪k ôØ‬ا‪،‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫فاإ َّن‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها = د‪�( 1‬س) = ‪U‬ض‪t ©J ôØ‬د كمية ‪Z‬ي‪ ô‬م© َّينة‪.‬‬ ‫�س‬ ‫د (�س) ‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫‪2‬‬

‫لماذا نع ‪ُq‬د ‪U‬ض‪ ôØ‬كمية غير مع ‪nq‬ينة ?‬ ‫‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫‪U‬ض‪� = ôØ‬س تعني ا ‪qn‬أن ‪U‬ض‪� ôØ‬س = ‪U‬ض‪k ôØ‬ا‬ ‫‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫و‪ »g‬م©ادلة مت‪≤≤ë‬ة �س‬ ‫اأ… ا ‪qn‬أن حلها لي‪ù‬س عد ‪k‬دا م‪ë‬د ‪k‬دا ( ‪Z‬ي‪ ô‬م© ‪qn‬ين )‬

‫ويمكن ‪©J‬يين قيمتها ( اإن وجدت ) ‪H‬اإج‪ô‬ا‪£N A‬وات ‪ùÑJ‬ضي§ ج‪ôÑ‬ية كما ‪g‬و ال‪ë‬ا∫ ف» م‪ã‬ا∫ (‪)9 -1‬‬

‫‪22‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬ ‫ولإي‪é‬اد نهاية دالة ن‪ù‬ض‪Ñ‬ية د(�س) عندما �س‬

‫ن≤د‪ Ω‬ال‪£î‬ة التالية ‪:‬‬ ‫‪u‬‬

‫ن≤و‪H Ω‬الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض‪ ô‬ف» د(�س) عن �س ‪H‬ال©دد ( و اإن ‪éJ‬او‪R‬نا ‪T‬ض‪ •ô‬النتي‪é‬ة (‪ ) )3-1‬فاإذا ح‪ü‬ضلنا على ‪:‬‬ ‫عدد حقيقي ‪ ،‬كان ‪òg‬ا ال©دد ‪g‬و قيمة النهاية ‪.‬‬

‫عدد م¨اير لل�سفر‬ ‫�سفر‬

‫‪ ،‬قلنا ا َّإن نهاية الدالة عندما �س‬

‫لي‪ù‬س لها وجود ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫( ومن اأم‪ã‬لة ذل∂ ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ , 2 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪ ،‬ان¶‪ ô‬ال‪û‬ضكلين (‪) )7-1( ، )6-1‬‬ ‫�س ‪� ٠‬س �س‬ ‫‪٠‬‬ ‫�سفر ‪ ،‬فاإنن ــا ن‪ é‬ــ‪ …ô‬عمليات ‪ùÑJ‬ض ــي§ ج‪ôÑ‬ية للت‪î‬ل‪ü‬س من ال©ام‪�( π‬س – ) الم‪ù‬ضـ ـ ‪ ÖÑu‬لل‪ü‬ض ــ‪ ،ôØ‬ومن ‪ºK‬‬ ‫�سفر‬ ‫ن‪ùë‬ض ــ‪ Ö‬النهاية ‪H‬الت©وي†س م‪ô‬ة اأ‪ ،iôN‬فن‪üë‬ض‪ π‬على اإحد‪ i‬ال‪ë‬التين ال‪ù‬ضا‪≤H‬تين ‪ ،‬و ي© ‪t‬د الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض‪ ô‬ف»‬ ‫‪ √òg‬ال‪ë‬الة ‪£N‬وة ‪Z‬ي‪ ô‬اأ�ضا�ضية ف» ال‪. πë‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)10-1‬‬ ‫�ص‪8 + 3‬‬

‫اأوجد نـ ـ‬ ‫�صـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها =‬ ‫‪� 2‬ص ‪�2 +‬ص‬‫‪2‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫لح‪ ß‬ا َّأن الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض‪ ô‬ي©‪U »£‬ض‪ôØ‬‬ ‫‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫(�س ‪�( )2+‬س‪�2 - 2‬س ‪)4 +‬‬ ‫�س‪8 + 3‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪� ٢-‬س‪�2 + 2‬س �س‬ ‫�س (�س ‪)2+‬‬ ‫‪٢-‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪�2 - 2‬س ‪4 +‬‬ ‫= �س‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬‫(‪4 + )2-( 2 - 2)2-‬‬ ‫=‬ ‫= ‪6-‬‬ ‫‪2-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪23‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫نهاية دالة ال‪é‬ذر التربيعي‬ ‫نظرية (‪(4-1‬‬ ‫اإذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g‬ـ (�س) = ∫ ‪ .‬فاإن ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها = ‪g‬ـ (�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g‬ـ (�س) = ∫ ‪T ،‬ض‪ô‬ي‪£‬ة اأن ‪J‬كون ∫ ‪.‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫(‪)3-1‬‬ ‫‪ 1‬الن¶‪ô‬ية (‪U )4-1‬ض‪ë‬ي‪ë‬ة ف» حالة �ص‬

‫‪+‬‬

‫( اأو �ص‬

‫‪-‬‬

‫)‪.‬‬

‫‪ 2‬ا‪T‬ضت‪Wô‬نا ف» الن¶‪ô‬ية (‪ )4-1‬ا َّأن ∫ ‪ ; 0‬و ذل∂ لأن¬ ‪:‬‬ ‫ف» حالة ∫ ‪ ، 0‬يكون ∫‬ ‫و ‪òg‬ا ي©ن» اأن النهاية لي‪ù‬س لها وجود ‪.‬‬ ‫ف» حالة ∫ = ‪ ، 0‬قد ي‪ë‬د‪ ç‬اأن ‪J‬كون دالة ال‪òé‬ر الت‪Hô‬ي©» ‪Z‬ي‪ ô‬م©‪ô‬فة حو∫ ال©دد ; مما‬ ‫ي©ن» عد‪ Ω‬وجود النهاية‬ ‫فمث ً‬ ‫ال ‪ :‬اإذا كانت ‪g‬ـ (�س) = �س ‪ ، 1-‬د (�س) = �س ‪ 1-‬فاإن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g‬ـ (�س) = ‪H ، 0‬ينما ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س) لي‪ù‬س لها وجود‪ ،‬لأن الدالة د ‪Z‬ي‪ ô‬م©‪ô‬فة حو∫‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ال©دد ‪ ، 1‬ان¶‪T ô‬ضك‪)10-1 ( π‬‬ ‫و ال‪B‬ن يمكنن ــا التو‪U‬ض ــ‪ π‬م ــن الن¶‪ô‬ي ــة (‪)4-1‬‬ ‫والنتي‪é‬ة (‪ )2-1‬اإلى النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)4-1‬‬

‫‪T‬ضك‪)10- 1( π‬‬

‫اإذا كانت ‪�( g‬س) ك‪ã‬ي‪ô‬ة حدود فا ‪qn‬إن ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪g‬ـ (�س) = ‪g‬ـ ( ) ‪ ،‬حي‪g å‬ـ ( )‬ ‫�س‬ ‫ﻓﻤﺜ ًﻼ ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬

‫‪١-‬‬

‫‪�3‬س‪�4 - 2‬س ‪٣ = 9 = 2 + )1-(4- 2)1-( 3 = 2 +‬‬

‫‪J‬دري‪)3-1( Ö‬‬

‫‪24‬‬

‫اأوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪1-‬‬ ‫�س‬ ‫‪٥‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪0‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬

‫نهاية الدالة الك�سرية‬ ‫وف≥ ‪ôW‬ي≤ة ح‪ù‬ضاب نهاية الدالة الن‪ù‬ض‪Ñ‬ية ن≤و‪g Ω‬نا ‪ùëH‬ضاب نهاية دالة ك‪ù‬ض‪ô‬ية ( دالة نا‪éJ‬ة عن ق‪ù‬ضمة دالتين )‬ ‫‪J‬ت†ضمن ج‪ò‬و ‪k‬را ‪HôJ‬ي©ية ‪.‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)11-1‬‬ ‫نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �ص ‪1-‬‬ ‫اأوجد‬ ‫�ص ‪� ١‬ص ‪1-‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫من الوا�ض‪ í‬ا ‪qn‬أن الت©وي†س الم‪Ñ‬ا‪T‬ض‪ ô‬ي©‪»£‬‬ ‫‪U‬ض‪ôØ‬‬ ‫�س ‪1+‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫�س ‪1+‬‬ ‫�س ‪� = ١‬س ‪� 1-‬س ‪� ١‬س ‪1-‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪1 = 1 = 1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫= �س ‪�( ١‬س ‪� ()1 -‬س ‪� )1+‬س ‪� ١‬س ‪1 +‬‬ ‫‪1+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ن‪ùÑ‬ض§ الدالة ‪H‬ال†ض‪ô‬ب ف» م‪ô‬اف≥ ال‪ùÑ‬ض§ و ال‪N‬ت‪ü‬ضار ‪.‬‬ ‫‪ ،‬ل‪ò‬ا فاإننا ‪qp‬‬

‫نهاية الدالة الم‪õé‬ا‪C‬ة‬ ‫‪ ،‬فاإن¬ ‪:‬‬ ‫لإي‪é‬اد نهاية دالة م‪õé‬اأة عندما �ص‬ ‫اإذا كان ــت الدالة ل يت¨ي‪ô©J ô‬ي‪Ø‬ها حو∫ ‪ ،‬فاإننا ن‪ùë‬ض ــ‪ Ö‬النهاية م‪ù‬ض ــت‪î‬دمين ال≤اع ــدة الم© َّ‪ô‬فة ‪H‬ها الدالة‬ ‫حو∫ ‪.‬‬ ‫اإذا كانت الدالة يت¨ي‪ô©J ô‬ي‪Ø‬ها حو∫ ‪ ،‬فاإننا ن‪ùë‬ض‪ Ö‬ك ‪ Óv‬من النهاية اليمنى و النهاية الي‪ù‬ض‪ iô‬عند ‪ ،‬و من‬ ‫‪ ºK‬ن‪ù‬ضتنت‪ è‬قيمة نهاية الدالة اإن كان لها وجود ‪H‬الإفادة من ن¶‪ô‬ية ((‪. )1-1‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)12-1‬‬ ‫اإذا كانت د(�س) =‬

‫اأوجد اإن اأمكن ‪:‬‬

‫�س ‪ 1 +‬اإذا كان‬

‫�س ‪2‬‬

‫�س ‪ 1 +‬اإذا كان‬

‫�س ‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪25‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ال‪πë‬‬ ‫‪H‬ما ا َّأن قاعدة الدالة حو∫ ال©دد ‪U‬ض‪ »g ôØ‬د(�س) = �س ‪ ، 1 +‬فا َّإن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س ‪1 = 1 +0 = )1 +‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫يت¨ي‪ô©J ô‬ي∞ الدالة حو∫ ال©دد ‪. 2‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪ +‬د(�س)= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪�( +‬س‪( )1 + 2‬لماذا?)‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪5=1+ 2‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪ -‬د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪�( -‬س ‪( )1 +‬لماذا?)‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‪3=1+2‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪ +‬د(�س) ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪ -‬د(�س) ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) لي‪ù‬س لها وجود‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪J‬دري‪)4-1( Ö‬‬ ‫اإذا كانت د(�س) = �س – ‪ ، 4‬فاأوجد اإن اأمكن ‪:‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‬ ‫�س‬ ‫‪٣‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س )‬ ‫�س‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺣﺴﺎب ﻧﻬﺎﻳﺔ داﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ ًة دون إﻋﺎدة ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ﻣﺴﺘﻨﺪﻳﻦ إﻟﻰ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫نظرية (‪(5-1‬‬ ‫اإذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫ ‪ ،‬فاإن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ∫‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ د)س( ﻛﺜﻴﺮة ﺣﺪود ﱠ‬ ‫ﻓﺈن ﻧــــــــــــﻬﺎ د)س( = د ) (‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺣﻞ اﻟﺘﺪرﻳﺐ )‪ (٤-١‬ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د)س( = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها س ‪١= ١- = ٤ - ٣ = ٤ -‬‬

‫�س‬

‫‪٣‬‬

‫�س‬

‫‪٣‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د)س( = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها س ‪٠ = ٤ - ٤ = ٤ -‬‬

‫�س‬

‫‪26‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪٤‬‬

‫�س‬

‫‪٤‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬

‫نهايات الدوا∫ الم‪ã‬ل‪ã‬ية‬

‫اإذا ‪J‬اأملنا المن‪ë‬ن» ال‪Ñ‬يان» ‪x‬‬ ‫لك‪ π‬من الدالتين د(�س) = جا �س ‪ ،‬د(�س) = جتا �س ف» ال‪û‬ضـ ــك‪ )11-1( π‬نتو‪U‬ض ــ‪π‬‬ ‫‪ùH‬ضهولة اإلى الن¶‪ô‬ية التالية ‪:‬‬

‫نظرية (‪(6-1‬‬

‫اإذا كانت �س ‪R‬اوية م≤ي‪ù‬ضة ‪H‬الت≤دي‪ ô‬الدا‪( …ôF‬ال‪ô‬اديان) ‪ ،‬فاإن ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا �س = جا‬ ‫�س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جتا �س = جتا‬ ‫�س‬

‫‪T‬ضك‪)11- 1( π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جا �س‬ ‫و‪H‬الإفادة من ف≤‪ô‬ة (‪ )3‬من ن¶‪ô‬ية (‪ ، )3-1‬و حي‪ å‬ا َّإن ظا �س = جتا�س ‪ ،‬قا �س = جتا�س ‪ ،‬قتا �س = جا�س ‪,‬‬ ‫جتا�س‬ ‫نتو‪U‬ض‪ π‬اإلى النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬ ‫ظتا �س = جا�س ‪َّ ،‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)5-1‬‬ ‫اإذا كانت �س ‪R‬اوية م≤ي‪ù‬ضة ‪H‬الت≤دي‪ ô‬الدا‪ ( …ôF‬ال‪ô‬اديان ) فا ‪qn‬إن ‪:‬‬ ‫نهاية ا ‪qp‬أ… دالة م‪ã‬ل‪ã‬ية مت¨ي‪gô‬ا �س عند ن≤‪£‬ة من م‪é‬الها ‪ùJ‬ضاو… قيمة الدالة عند ‪ √òg‬الن≤‪£‬ة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪27‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)13-1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا �س = جا ‪0 = 0‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جتا �س = جتا • = ‪1-‬‬ ‫•‬ ‫�س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها• ظا �س = ظا • = ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬

‫نظرية (‪(7-1‬‬ ‫جا �س‬ ‫اإذا كانت �س ‪R‬اوية م≤ي‪ù‬ضة ‪H‬ال‪ô‬اديان فا ‪qn‬إن ‪ :‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا (‪R‬اوية)‬ ‫ال‪õ‬اوية ‪ 0‬ال‪õ‬اوية‬

‫يمكننا الت©‪Ñ‬ي‪ ô‬عن ‪ √òg‬الن¶‪ô‬ية ‪≤H‬ولنا ‪:‬‬

‫=‪1‬‬

‫نهاية حا‪U‬ض‪ π‬ق‪ù‬ضمة جي‪R Ö‬اوية على ال‪õ‬اوية ن‪ùØ‬ضها عندما ‪J‬و‪D‬و∫ ال‪õ‬اوية اإلى ال‪ü‬ض‪ùJ ôØ‬ضاو… واحد ‪.‬‬ ‫و‪ √òg‬الن¶‪ô‬ية لها اأ‪g‬مية ف» ح‪ù‬ضاب نهايات دوا∫ ‪J‬ت†ضمن دوا ‪k‬ل م‪ã‬ل‪ã‬ية ‪ ،‬كما اأن لها اأ‪g‬مية ف» الوحدة ال≤ادمة‬ ‫من ‪òg‬ا الكتاب ‪.‬‬ ‫والجدول التالي ِّ‬ ‫يو�سح البرهان الحد�سي لهذه النظرية ‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�س‬ ‫جا �س‬ ‫�س‬

‫‪0^1‬‬

‫‪0^01 ±‬‬

‫‪0^001 ±‬‬

‫‪0^0001 ±‬‬

‫‪0^998334166‬‬

‫‪0^999983333‬‬

‫‪0^999999833‬‬

‫‪0^999999998‬‬ ‫‪1‬‬

‫و ن‪û‬ضي‪g ô‬نا اإلى اأننا ل‪ùë‬ضاب جا �س ا�ضت‪î‬دمنا ال‪B‬لة ال‪ë‬ا�ض‪Ñ‬ة ‪©H‬د و�ض©ها على الن¶ا‪ Ω‬الدا‪ …ôF‬وال‪ …ò‬رم‪√õ‬‬ ‫�س‬ ‫‪ RAD‬و ي¶ه‪ ô‬على ال‪û‬ضا‪T‬ضة ‪ôH‬م‪U õ‬ض¨ي‪ R ô‬و ذل∂ ‪H‬ال†ض¨§ على الم‪Ø‬ا‪J‬ي‪ í‬التالية ‪:‬‬ ‫‪MODE‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪28‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪MODE‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬ ‫نتي‪é‬ة (‪)6-1‬‬ ‫اإذا كانت �س ‪R‬اوية م≤ي‪ù‬ضة ‪H‬ال‪ô‬اديان فا ‪qn‬إن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها ظا�س�س = ‪1‬‬ ‫‪٠‬‬

‫‪ 2‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جتا�س‬ ‫�س ‪0 = 1 -‬‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬

‫وف» الواق™ يمكننا ‪ùH‬ضهولة التو‪U‬ض‪ π‬للنتي‪é‬ة ال‪ù‬ضا‪≤H‬ة ‪H‬الإفادة من ن¶‪ô‬ية (‪ ) 7 – 1‬حي‪: å‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جا �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ظا�س�س = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا �س ‪ = 1‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪� ٠‬س جتا�س = ‪ 1‬جتا‪1 =1 1 = 0‬‬ ‫�س ‪ ٠‬جتا�س �س‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪ 2‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جتا �س‬ ‫�س ‪ = 1 -‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬

‫�س‬ ‫‪ 2-‬جا‪2 2‬‬

‫�س‬

‫(من المت‪£‬ا‪≤H‬ة جتا ‪�2‬س = ‪ 2 - 1‬جا ‪� 2‬س)‬

‫�س‬ ‫جا ‪2‬‬

‫�س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪2‬‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪� -‬س ‪� ٠‬س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫جا ‪2‬‬ ‫= ‪ -‬ن ـ�سـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫جا‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬لأن �س‬

‫‪2‬‬

‫= ‪0 = 0 1-‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)14-1‬‬

‫‪2‬‬ ‫�س‬

‫=‬

‫‪0‬‬

‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪�1‬س‬ ‫‪2‬‬

‫اإذا كانت �ص زاوية مقي�سة بالراديان فاأوجد ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا‪� 5‬ص‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �ص قتا �ص‬ ‫�ص‬ ‫�ص ‪� ٠‬ص‬ ‫‪٠‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س قتا �س = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪ = 1‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها‪ ٠‬جا‪�1‬س = ‪1 = 1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫جا �س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫�س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا ‪� 5‬س = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ 5‬جا ‪� 5‬س‬ ‫‪�5‬س ‪� 0‬س‬ ‫�س‬ ‫�س ‪5 ٠‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا ‪� 5‬س‬ ‫‪0‬‬ ‫‪� 5‬س‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ،‬لأن �س‬ ‫= ‪�5 5‬س ‪� 5 0‬س‬ ‫=‪5=1×5‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪29‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)15-1‬‬ ‫‪�3‬ص ‪ 2 -‬ظا ‪3‬‬ ‫‪ ،‬فاأوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�ص) ‪ ،‬حيث �ص زاوية مقي�سة بالراديان ‪.‬‬ ‫اإذا كانت د(�ص)‬ ‫= ‪�3‬ص ‪ 2 +‬جا ‪� 2‬ص‬ ‫�س‬ ‫‪٠‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫‪ 2‬ظا ‪�3‬س‬ ‫‪-3‬‬ ‫�س‬ ‫‪�3‬س ‪ 2 -‬ظا ‪� 3‬س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪�3 ٠‬س ‪ 2 +‬جا ‪� 2‬س �س‬ ‫‪ 2‬جا ‪�2‬س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫�س‬ ‫=‬

‫ظا ‪�3‬س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪� 3 2 - 3‬س ‪�3 ٠‬س‬ ‫جا ‪�2‬س‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪�2 2 2 + 3‬س ‪�2 ٠‬س‬

‫‪ ،‬لأن �س‬

‫‪ù≤H‬ضمة ك‪ π‬من ال‪ùÑ‬ض§ والم≤ا‪ Ω‬على �س‪.‬‬

‫‪� 3‬س‬ ‫‪� 2‬س‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫= ‪٣- = 1 3 2 - 3‬‬ ‫‪1 2 2+3‬‬

‫‪7‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)16-1‬‬ ‫‪ 8‬جتا ‪�2‬ص ‪8 -‬‬ ‫اإذا كانت �ص زاوية مقي�سة بالراديان ‪ ،‬فاأوجد نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪�4‬ص‬ ‫�ص‬ ‫‪٠‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ 8‬جتا ‪�2‬س ‪ 8 -‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪( 8‬جتا ‪�2‬س ‪ )1 -‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪( 8‬جتا ‪�2‬س ‪)1 -‬‬ ‫‪�2*2‬س‬ ‫‪�4‬س = �س‬ ‫�س ‪�4 ٠‬س = �س‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫جتا ‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫=‪ 4‬ن ـ ـسـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪�2 ٠‬س‬ ‫‪٢‬‬

‫=‪0=0 4‬‬

‫‪30‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫; لأن‬

‫�س‬

‫‪0‬‬

‫‪�2‬س‬

‫‪0‬‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬

‫تمارين (‪(2-1‬‬ ‫في التماري‪ ø‬م‪ 1 ø‬اإلى ‪ 28‬اح�سب قيم النهايات اإن ا‪C‬مك‪: ø‬‬ ‫‪ 1‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪15‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪�7‬س‬

‫‪ 3‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪�5‬س ‪)3 -‬‬

‫‪ 4‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪�3‬س‪�4 - 2‬س ‪)1 +‬‬

‫‪ 5‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س‪)8 - 3‬‬

‫‪ 6‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪�2‬س‪�3 - 4‬س‪)1 + 2‬‬

‫‪ 7‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪�3‬س‪�2 - 2‬س ‪�( )7 +‬س‪)1 + 4‬‬

‫‪ 8‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (‪�2 - 3‬س)‬

‫�س‬

‫�س‬

‫�س‬

‫‪1-‬‬

‫�س‬

‫‪2-‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 10‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬

‫‪ 11‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪�2‬س‬ ‫�س ‪� 2-‬س‪1 + 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫�س‬

‫‪ 9‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س‪�2 + 4‬س ‪)11 +‬‬ ‫�س‬

‫�س‬

‫‪4-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 +‬‬

‫‪ 13‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪2 -‬‬ ‫�س ‪� 2‬س‪� + 2‬س ‪2 -‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪16 - 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪�8 - 2‬س ‪15 +‬‬ ‫‪ 14‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‬

‫�س‪4 + 2‬‬ ‫‪ 15‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪� 2-‬س ‪2 +‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪� 2 - 2‬س ‪15 -‬‬ ‫‪� 17‬س ‪� 5‬س‪�4 - 2‬س ‪5 -‬‬

‫‪ 16‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪� 2 - 2‬س ‪8 -‬‬ ‫�س‪16 - 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪8 -‬‬ ‫‪� 18‬س ‪� 2‬س ‪2 -‬‬

‫‪ 19‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪13 +‬‬

‫‪ 20‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪�2 + 2‬س ‪1 +‬‬

‫�س‬

‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪ 21‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬

‫�س‪� - 2‬س ‪2 -‬‬

‫‪ 22‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪19 + 4‬‬

‫‪ 23‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬

‫‪�2‬س ‪3 - 3 +‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪� -3‬س‬ ‫‪� 24‬س ‪� 9‬س ‪9 -‬‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪3-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪31‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 25‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪8‬‬

‫‪�2‬س ‪2-‬‬ ‫�س‪4 - 2‬‬

‫‪ 26‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪2‬‬

‫‪� - 2‬س‬ ‫�س ‪2- 2 +‬‬

‫‪ 27‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪4‬‬

‫‪�2‬س ‪3 +‬‬

‫‪ 28‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪5‬‬

‫�س‪�4- 2‬س‪5-‬‬

‫‪� 29‬إذا علمت � َّأن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ( �س‪�5+ 2‬س ‪ ، 21 = ) 1-‬فما قيمة ؟‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 ++‬ب ‪ ،‬فما قيمة ب �إذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س) = ‪ 3‬؟‬ ‫‪� 30‬إذا كانت د (�س) = �س‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪� 2‬س ‪� 5 +‬إذا كان �س ‪3‬‬ ‫‪� 31‬إذا كانت د (�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪� 2 +‬إذا كان �س ‪3‬‬ ‫ف�أوجد ‪:‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫�س ‪1‬‬

‫‪� 32‬إذا كانت د (�س) =‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫�س ‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫�س‪5 - 2‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س ‪2-‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪� 2-‬س ‪3‬‬

‫�س ‪3+‬‬

‫�إذا كان‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫�س ‪3‬‬

‫�س ‪3‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س)‬ ‫ف�أوجد �إن �أمكن ‪:‬‬ ‫�س ‪3‬‬ ‫‪2‬‬‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 33‬ف��ي كلٍّ مم��ا يلي اح�س��ب نهاية الدالة المعط��اة عند النقط التي يتغي��ر حولها تعريف‬ ‫الدالة �إن كان لهذه النهاية وجود ‪:‬‬ ‫‪� 2‬س ‪1 +‬‬ ‫د (�س) =‬ ‫‪� - 7‬س‬ ‫د (�س) =‬

‫‪32‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫�س‪5 + 2‬‬ ‫‪�( 2‬س ‪)4+‬‬ ‫�س‪10 - 2‬‬

‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬ ‫�إذا كان‬

‫‪� 2‬س ‪2‬‬‫‪� 2‬س ‪5‬‬ ‫�س ‪3‬‬ ‫‪� 3‬س ‪5‬‬ ‫�س ‪5‬‬

‫ ‬

‫ح‪ù‬ضاب النهايات‬ ‫�س‪11- 2‬‬ ‫�س ‪5 +‬‬

‫د (�س) =‬ ‫د د (�س) =‬

‫اإذا كان‬ ‫اإذا كان‬

‫�س ‪4‬‬ ‫�س ‪4‬‬

‫س‬ ‫س‬

‫�س‪5 + 2‬‬ ‫‪ 34‬اإذا كانت د (�س) =‬ ‫�س‬

‫اإذا كان‬ ‫اإذا كان‬

‫�س ‪1‬‬ ‫�س ‪1‬‬

‫وكانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) موجودة ‪ ،‬فما قيمة ؟‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪ 35‬اإذا كانت د (�س) =‬

‫‪� - 3‬س‬ ‫�س‪1+ 2‬‬

‫اإذا كان‬ ‫اإذا كان‬

‫�س ‪3‬‬ ‫�س ‪3‬‬

‫وكانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) موجودة ‪ ،‬فما قيمة ؟‬ ‫�س ‪3‬‬ ‫فــي التماريــ‪ ø‬مــ‪ 36 ø‬اإلى ‪ 49‬اإ‪P‬ا كانــ‪S â‬س زاوية مقي�ســة بالراديان فاح�ســب نهاية الدالة‬ ‫المعطاة عند النقطة المذكورة‪:‬‬ ‫جا ‪� 3‬س‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫ظا ‪� 2‬س‬ ‫‪ 37‬د (�س) = ‪�3‬س‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫‪ 38‬د (�س) = �س ظتا �س‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫‪ 36‬د (�س) =‬

‫س‬

‫ظا (�س ‪) •4 +‬‬ ‫‪ 39‬د (�س) = �س ‪• +‬‬ ‫‪4‬‬

‫عندما �س‬

‫‪٤‬‬

‫‪ 40‬د (�س) = (�س ‪ )2 +‬ظتا (�س ‪)2 +‬‬

‫عندما �س‬

‫‪2-‬‬

‫‪•-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪33‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 41‬د (�س) = جا ‪�2‬س ظا ‪�3‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫جا (�س‪)2-‬‬ ‫‪ 42‬د (�س) = �س‪� - 2‬س ‪2-‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪2‬‬

‫‪ 43‬د (�س) = ظا ‪�3‬س قتا ‪�5‬س‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪34‬‬

‫�س‪�3 - 2‬س‬ ‫د (�س) = جا ‪�2‬س‬ ‫جا ‪�5‬س ‪ -‬جا ‪�3‬س‬ ‫د (�س) =‬ ‫جا ‪�2‬س‬ ‫جتا ‪�3‬س ‪1 -‬‬ ‫د (�س) = �س‬ ‫جتا �س ‪1 -‬‬ ‫د (�س) = جا �س‬ ‫‪�2‬س ‪ +‬جتا �س ‪1-‬‬ ‫د (�س) =‬ ‫‪� 3‬س‬ ‫جا ‪�5‬س ‪� -‬س جتا ‪� 5‬س‬ ‫د(�س) =‬ ‫�س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫عندما �س‬

‫‪0‬‬

‫ال‪üJ‬ضا∫‬

‫ا’ت‪ü‬سا∫‬

‫‪3-1‬‬

‫ا َّإن كلمة ا‪üJ‬ضا∫ ‪©J‬ن» ا�ضتم‪ô‬ار ‪k‬ا دون ان≤‪£‬ا´ اأو اعت‪ô‬ا�س ‪ .‬كاأن ن≤و∫ ال‪õ‬من مت‪ü‬ض‪ ; π‬اإذ ا َّإن ال‪õ‬من ل ي≤‪õØ‬‬ ‫من ال‪ù‬ضاعة ال‪ã‬ال‪ã‬ة و اأر‪K ™H‬وان‪ m‬اإلى ال‪ù‬ضاعة ال‪ã‬ال‪ã‬ة و‪N‬م‪ù‬س ‪K‬وان‪ - m‬م‪ - Ók ã‬دون اأن يم‪ ô‬على ل‪¶ë‬ات ‪R‬منية‬ ‫‪H‬ينهما ‪ .‬و اإذا ق‪ò‬فت ك‪ô‬ة فا َّإن م‪ù‬ضار‪g‬ا يكون مت‪ü‬ض ‪ Ók‬اإذ ل يمكن اأن ‪îJ‬ت‪¶J ºK »Ø‬ه‪ ô‬ف‪é‬اأة ‪.‬‬ ‫وف» ‪òg‬ا الدر�س نت©‪ ±ô‬على ا‪üJ‬ضا∫ الدالة وال‪ …ò‬ي© ‪t‬د ‪N‬ا‪U‬ضية مهمة ‪J‬تمت™ ‪H‬ها الك‪ã‬ي‪ ô‬من الدوا∫ ال‪≤ë‬ي≤ية‪.‬‬ ‫و�ضن‪Ñ‬داأ ‪H‬درا�ضة ا‪üJ‬ضا∫ الدالة عند ن≤‪£‬ة ومن ‪ ºK‬ننت≤‪ π‬اإلى درا�ضة ا‪üJ‬ضا∫ الدالة على فت‪ô‬ة ‪.‬‬

‫ات‪ü‬سا∫ الدالة عند نقطة‬ ‫من الناحية الهند�ض ــية ن≤و∫ ا َّإن الدالة مت‪ü‬ض ــلة عند ن≤‪£‬ة اإذا ل‪ º‬ين≤‪ ™£‬من‪ë‬نيها عند ‪ √òg‬الن≤‪£‬ة‪ .‬اأ…‬ ‫اإذا اأمكننا ر�ض ــ‪ º‬من‪ë‬ن» الدالة حو∫ الن≤‪£‬ة وم‪ô‬و ‪k‬را ‪H‬ها دون اأن ن‪ô‬ف™ راأ�س ال≤ل‪ º‬عن الورقة الت» ن‪�ô‬ض ــ‪º‬‬ ‫عليها ‪.‬‬ ‫ول©‪ π‬الن¶‪ ô‬اإلى ن≤ا• عد‪ Ω‬ال‪üJ‬ضا∫ ( ن≤ا• الن≤‪£‬ا´ ) ي‪ù‬ضاعد∑ على اإدرا∑ الم‪Ø‬هو‪ Ω‬ال‪ …ôÑé‬ل‪üJ‬ضا∫‬ ‫الدال ــة عند ن≤‪£‬ة ‪ .‬فاإذا ‪J‬اأملنا الأ‪T‬ض ــكا∫ التالية ن‪é‬د ا َّأن عد‪ Ω‬ا‪üJ‬ض ــا∫ من‪ë‬ن ــ» الدالة عند �س = جـ قد‬ ‫ي‪ô‬ج™ اإلى اأحد الأ�ض‪Ñ‬اب التالية ‪:‬‬ ‫الدالة ‪Z‬ي‪ ô‬م©‪ô‬فة عند جـ ‪ ،‬كما ف» ‪T‬ضك‪) 12 -1 ( π‬‬ ‫نهاية الدالة عند جـ لي‪ù‬س لها وجود ‪ ،‬كما ف» ال‪û‬ضكلين ( ‪) 14 -1 ( ، ) 13 -1‬‬ ‫قيمة الدالة عند جـ ل ‪ùJ‬ضاو… قيمة نهاية الدالة عند جـ ‪ ،‬كما ف» ‪T‬ضك‪) 15 -1 ( π‬‬

‫‪T‬ضك‪)12- 1( π‬‬

‫‪T‬ضك‪)13- 1( π‬‬

‫‪T‬ضك‪)14- 1( π‬‬

‫‪T‬ضك‪)15- 1( π‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪35‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫وعليه ن‪é‬د اأنه يلز‪ Ω‬لت�سال الدالة د عند النقطة ﺟـ تحقق ال�سروط‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫‪ 1‬د (�س) معرفة عند ج� ( اأ… ا َّإن د (ج�) لها وجود ) ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ن � � � � � � ��ها د (�س) ل�ها وجود ‪.‬‬ ‫�س ج�‬ ‫‪ 3‬ن � � � � � � ��ها د (�س) = د(ج�)‬ ‫�س ج�‬ ‫ان¶ر ‪T‬سكل (‪)16-1‬‬

‫‪T‬سكل (‪)16- 1‬‬

‫وحي ��‪ å‬ا َّإن تحقق ال�س ��رط (‪ )3‬ي†سمن تحقق ال�سر‪W‬ين (‪ ; )2( ، )1‬ل َّأن ت�ساو… قيمة الدالة وقيمة النهاية عند‬ ‫ج� يعني وجودهما ‪ ,‬فاإنه يمكننا تعريف ات�سال الدالة عند نقطة جبر ‪v‬يا على النحو التالي ‪:‬‬

‫تعريف (‪)3-1‬‬ ‫اإذا كانت الدالة د معرفة على فترة ف ‪ ,‬وكانت ج� نقطة دا‪N‬لية في هذه الفترة ( اأ…‬ ‫لي�ست عند ا ‪q m‬أ… من ‪W‬رفي الفترة ) فاإننا نقول ا ‪qn‬إن د مت�سلة عند النقطة ج� اإذا كانت‬ ‫ن � � � � � � ��ها د(�س) = د(ج�)‬ ‫�س ج�‬ ‫وعل ��ى الرغ ��م من اأننا ا‪N‬ت�سرنا ال�سروط الث‪KÓ‬ة لت�سال دالة عند نقطة ف ��ي التعريف ال�سابق اإل اأننا لدرا�سة‬ ‫الت�سال �سنبح‪ å‬تحقق هذه ال�سروط بالترتي‪ Ö‬نف�سه‪.‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)7-1‬‬ ‫ا�ستنا ًدا اإلى تعريف (‪ )3-1‬والنتا‪ )5-1( ، )3-1( ، )2-1( èF‬نتو�سل اإلى النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬ ‫ك ‪lq‬ل من دالة كثيرة الحدود ‪ ,‬الدالة الن�سبية ‪ ,‬الدوال المثلثية هي دالة مت�سلة عند كل نقطة في م‪é‬الها‪.‬‬

‫‪36‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت�سال‬ ‫تدري‪)5-1( Ö‬‬ ‫بالإفادة من ال�سكل التالي الذ… يمثل منحني الدالة د ‪ ,‬اأوجد نقاط عد‪ Ω‬الت�سال للدالة د مبينًا ال�سب‪: Ö‬‬

‫مثال (‪)17-1‬‬ ‫‪= (¢S)O âfÉc GPEG‬‬

‫‪4 – 2¢S‬‬ ‫‪2 – ¢S‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪a‬ا‪ åëH‬ات�صال الدالة د ع‪æ‬د ‪2 = ¢S‬‬

‫‪¿Éc GPEG‬‬

‫‪2 ≠ ¢S‬‬

‫‪¿Éc GPEG‬‬

‫‪2 = ¢S‬‬

‫الحل‬ ‫د(‪4 = )2‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها د(�س) = ن � � � � � � ��ها‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫= ن � � � � � � ��ها‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫= ن � � � � � � ��ها (�س ‪ = 4 = 2 + 2 = )2 +‬د(‪)2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫ا ًإذا الدالة مت�سلة عند �س = ‪ , 2‬ان¶ر ‪T‬سكل ( ‪) 17 -1‬‬ ‫�س‪4 – 2‬‬ ‫�س – ‪2‬‬ ‫( �س – ‪� ( ) 2‬س ‪) 2 +‬‬ ‫( �س – ‪) 2‬‬

‫‪T‬سكل (‪)17- 1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪37‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)18-1‬‬ ‫إ‪= ( ¢S ) O âfÉc GP‬‬

‫‪1 + ¢S 2‬‬

‫‪3 – ¢S‬‬ ‫‪a‬ا‪ åëH‬ات�صال الدالة د ع‪æ‬د ‪2 = ¢S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪¿Éc GPEG‬‬ ‫‪¿Éc GPEG‬‬

‫‪2 ¢S‬‬ ‫‪2 ¢S‬‬

‫الحل‬

‫د(‪5 = 1 + 2 2 = )2‬‬ ‫يتغير تعريف الدالة حول �س = ‪2‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها ‪ +‬د (�س) = ن � � � � � � ��ها ‪�2( +‬س ‪)1 +‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫‪T‬سكل (‪)18- 1‬‬

‫=‪5 =1+2 2‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها ‪ -‬د (�س) = ن � � � � � � ��ها ‪�( -‬س ‪)3 -‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪1 = 3 – 22‬‬ ‫ا ًإذا ن � � � � � � ��ها ‪ +‬د (�س) ن � � � � � � ��ها ‪ -‬د ( �س)‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬

‫ن � � � � � � ��ها د ( �س) لي�س لها وجود‬ ‫�س ‪2‬‬

‫الدالة د غير مت�سلة عند �س = ‪ , 2‬ان¶ر ‪T‬سكل ( ‪. ) 18 -1‬‬ ‫لح‪ ß‬ا َّأن ن � � � � � � ��ها ‪ +‬د ( �س) = د ( ‪ , )2‬ونقول في هذه الحالة ا َّإن الدالة د مت�سلة من اليمين عند �س = ‪. 2‬‬ ‫�س ‪2‬‬

‫‪38‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت�سال‬ ‫تعريف (‪)4-1‬‬ ‫‪ 1‬اإذا كان ��ت الدال ��ة د معرفة عند ج� وعلى يمينها مبا‪T‬سر ًة فاإننا نقول ا ‪qn‬إن د مت�سلة من اليمين‬ ‫عند ج� اإذا كانت‪ :‬ن � � � � � � ��ها‪ +‬د ( �س) = د (ج��)‬ ‫�س‬

‫ج�‬

‫‪ 2‬اإذا كانت الدالة د معرفة عند ج� وعلى ي�سارها مبا‪T‬سر ًة فاإننا نقول ا ‪qn‬إن د مت�سلة من الي�سار‬ ‫عند ج� اإذا كانت‪ :‬ن � � � � � � ��ها‪ -‬د ( �س) = د (ج��)‬ ‫�س‬

‫ج�‬

‫‪ 3‬تكون الدالة د مت�سلة عند ج� اإذا كانت مت�سلة من اليمين ومن الي�سار عند ج�‬ ‫فف ��ي المث ��ال (‪ )18-1‬الدال ��ة د غير مت�سلة عند �س = ‪ ; 2‬لأنها غير مت�سلة من الي�سار عن ��د � ��س = ‪( ? GPÉ`` ªd ) 2‬‬

‫مثال (‪)19-1‬‬ ‫‪= (¢S ) O âfÉc GPEG‬‬

‫الحل‬

‫‪¢S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫‪1 ¢S ¿Éc GPEG‬‬ ‫‪1 ¢S ¿Éc GPEG‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a‬ا‪ åëH‬ات�صال الدالة د ع‪æ‬د ‪1 = ¢S‬‬

‫�سنقو‪ Ω‬بحل هذا المثال بالإفادة من تعريف ( ‪: ) 4-1‬‬ ‫د(‪1 = 1 = )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها ‪ +‬د (�س) = ن � � � � � � ��ها ‪� +‬س = ‪ = 1‬د (‪)1‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الدالة مت�سلة من اليمين عند �س = ‪1‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها د (�س) = ن � � � � � � ��ها ‪ = 1 = 1 = 1‬د(‪)1‬‬ ‫‬‫�س ‪� -1‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الدالة مت�سلة من الي�سار عند �س = ‪1‬‬ ‫من ‪ 2 ، 1‬ن�ستنت‪ è‬اأن الدالة مت�سلة عند �س = ‪1‬‬ ‫اأعد حل المثال بدون ا�ست‪î‬دا‪ Ω‬تعريف ( ‪. ) 4-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪39‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫ات�صال الدالة على فترة‬ ‫م ��ن الناحية الهند�سي ��ة نقول � َّإن الدالة د مت�صلة على الفترة ف �إذا �أمكننا ر�س ��م المنحني المم ِّثل لها في هذه‬ ‫الفترة دون �أن نرفع ر�أ�س القلم عن الورقة التي نر�سم عليها وهذا المعنى ُيعبر عنه جبر ًيا بالتعريف التالي ‪:‬‬

‫تعريف (‪)5-1‬‬ ‫‪ 1‬تكون الدالة د مت�صلة على الفترة المفتوحة‬ ‫لهذه الفترة‪.‬‬ ‫‪ 2‬تك ��ون الدال ��ة د مت�صل ��ة عل ��ى الفت ��رة المغلق ��ة‬ ‫ومت�صلة من اليمين عند ومن الي�سار عند ب‪.‬‬

‫‪ ،‬ب �إذا كانت مت�صلة عند كل نقطة تنتمي‬ ‫‪ ،‬ب �إذا كانت مت�صلة عل ��ى‬

‫‪،‬ب‬

‫ويمكننا �صياغة التعريف ال�سابق رمز ًيا كما يلي‪:‬‬ ‫‪ 1‬تكون الدالة د مت�صلة على الفترة المفتوحة ‪ ،‬ب �إذا كانت نـــــــــــــــها د(�س) = د(جـ)‬ ‫�س جـ‬ ‫جـ ‪ ،‬ب‬ ‫‪ 2‬تكون الدالة د مت�صلة على الفترة المغلقة ‪ ،‬ب �إذا تحققت ال�شروط التالية ‪:‬‬ ‫ن�ســـــــــــــــهاجـ د(�س) = د(جـ)‬

‫جـ‬

‫‪،‬ب‬

‫نـــــــــــــــها ‪ +‬د(�س) = د( )‬ ‫�س‬

‫ب‬

‫نـــــــــــــــها ‪ -‬د(�س) = د(ب)‬ ‫�س ب‬

‫‪-‬‬

‫� ِ‬ ‫أعط تعريفًا الت�صال الدالة د على ٍّ‬ ‫كل من الفترات ن�صف المغلقة ‪:‬‬ ‫‪،‬ب‬

‫‪40‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬ب‬

‫‪،‬‬

‫‪،∞ – ، ∞،‬ب‬

‫‪+‬‬

‫الت�سال‬ ‫مثال (‪)20-1‬‬ ‫‪4‬‬‫‪1- = ¢S ¿Éc GPEG‬‬ ‫‪2 ¢S 1- ¿Éc GPEG ¢S5 + 2¢S = (¢S)O âfÉc GPEG‬‬ ‫‪2 = ¢S ¿Éc GPEG‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪a‬ا‪ åëH‬ات�صال الدالة د على ‪2 , 1-‬‬

‫الحل‬

‫‪ 1‬ف ��ي ‪ 2 ، 1-‬الدال ��ة كثي ��رة ح ��دود فه ��ي مت�سلة عند كل عدد ف ��ي هذه الفترة ح�س‪ Ö‬نتي‪�� é‬ة ( ‪) 6-1‬‬ ‫الدالة مت�سلة على ‪2 ، 1-‬‬ ‫‪ 2‬ن � � � � � � ��ها‪ +‬د(�س) = ن � � � � � � �‬ ‫�ها‪� ( +‬س‪�5 + 2‬س ) = (‪ = 4- = 1- 5 + 2)1-‬د(‪)1-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫الدالة مت�سلة من اليمين عند �س = ‪1-‬‬ ‫‪ 3‬ن � � � � � � ��ها‪ -‬د(�س) = ن � � � � � � ��ها‪� ( -‬س‪�5 + 2‬س ) = ‪ 14 = 2 5 + 2 2‬د(‪)2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫الدالة غير مت�سلة من الي�سار عند �س = ‪2‬‬ ‫الدالة غير مت�سلة على ‪ 2 ، 1-‬و لكنها مت�سلة على ‪2 ، 1-‬‬

‫(‪)4-1‬‬ ‫‪ 1‬ك ‪w‬ل م ��ن دال ��ة كثي ��رة الحدود ‪ ,‬الدال ��ة الن�سبية ‪ ,‬ال ��دوال المثلثية هي دالة مت�سل ��ة على م‪é‬الها ‪.‬‬ ‫‪ 2‬اإذا كان ��ت الدال ��ة مت�سل ��ة عل ��ى ‪x‬‬ ‫كل م ��ن الفترتين ‪ ,‬ج � � ‪ ،‬ج� ‪ ,‬ب فاإنها تك ��ون مت�سلة على‬ ‫‪،‬ب ‪.‬‬ ‫‪ 3‬اإذا كانت الدالة مت�سلة على الفترة ف فهي مت�سلة على اأ… فترة جز‪F‬ية من ف ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪41‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)21-1‬‬ ‫‪¢S2 - 5‬‬ ‫‪= (¢S)O âfÉc GPEG‬‬ ‫‪3 - ¢S2‬‬

‫‪¿Éc GPEG‬‬ ‫‪¿Éc GPEG‬‬

‫‪2 ¢S 1‬‬‫‪3 ¢S 2‬‬

‫‪a‬ا‪ åëH‬ات�صال الدالة د على م‪é‬ال¡ا ‪.‬‬

‫الحل‬

‫م‪é‬ال الدالة = ‪3 ، 1-‬‬ ‫الدالة مت�سلة على ‪x‬‬ ‫كل من الفترتين ‪ 3 ، 2 ، 2 ، 1-‬لأنها كثيرة حدود فيهما‪.‬‬ ‫ولكي تكون الدالة مت�سلة على ‪ 3 ، 1-‬يلز‪ Ω‬اأن تكون مت�سلة ي�سار العدد ‪ 2‬ح�س‪ Ö‬ملحو‪X‬ة ( ‪) 4-1‬‬ ‫د(‪1 = 3 – 2 × 2 = )2‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها‪ -‬د(�س) = ن � � � � � � ��ها‪�2 - 5 ( -‬س ) = ‪ = 1 = 2 × 2 - 5‬د(‪)2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫الدالة مت�سلة من الي�سار عند �س = ‪2‬‬ ‫الدالة مت�سلة على ‪3 ، 1-‬‬ ‫نق � ِّ�د‪ Ω‬فيما يلي الن¶رية التالية والتي تفيدنا ف ��ي الحكم على ات�سال دوال نات‪é‬ة من عمليا‪ ä‬على دوال اأ‪N‬ر‪.i‬‬

‫ن¶رية )‪(8-1‬‬ ‫اإذا كان ��ت ك ‪lq‬ل م ��ن الدالتين د‪ ,1‬د‪ 2‬مت�سلة على م‪é‬الها ف� �ا ‪qn‬إن ك ً‪ Óq‬من الدوال ال‪B‬تية هي‬ ‫دالة مت�سلة على م‪é‬الها‪.‬‬ ‫‪ 3‬د ‪.‬د‬ ‫‪ 2‬د د‬ ‫‪ 1‬د‪ + 1‬د‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 –1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د‬ ‫‪1‬‬ ‫د‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫د‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4‬د‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وم ��ن ذل ��∂ ن‪é‬د ا َّأن ك ‪ Óvq‬من دال ��ة القيا�س لدالة كثيرة حدود ودالة ال‪é‬ذر التربيع ��ي لدالة كثيرة حدود هي دالة‬ ‫مت�سلة على م‪é‬الها‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت�سال‬ ‫مثال (‪)22-1‬‬ ‫‪ 1‬الدالة د(�س) = ‪�3‬س ‪ +‬جا �س مت�سلة على م‪é‬الها ; لأنها حا�سل جمع كثيرة حدود ودالة جي‪ Ö‬وك ‪w‬ل‬ ‫منهما مت�سلة على م‪é‬الها ‪.‬‬ ‫‪ 2‬الدالة د(�س) = ( ‪�2‬س ‪� ) 1 +‬س ‪ 4 -‬مت�سلة على م‪é‬الها ; لأنها حا�سل ‪V‬سرب دالة كثيرة حدود‬ ‫في دالة قيا�س لدالة كثيرة حدود وك ‪w‬ل منهما مت�سلة على م‪é‬الها ‪.‬‬ ‫‪ 3‬الدالة د(�س) = ‪� - 4‬س‪ 2‬مت�سلة على م‪é‬الها ‪ ; 2،2-‬لأنها دالة جذر تربيعي لدالة كثيرة حدود‪.‬‬ ‫‪ 4‬الدالة د(�س) = جتا �س مت�سلة على م‪é‬الها ‪ ; 1 -‬لأنها نات‪ è‬ق�سمة دالة جي‪ Ö‬تما‪ Ω‬على دالة‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫كثيرةحدود وك ‪w‬ل منهما مت�سلة على م‪é‬الها ‪.‬‬

‫تدري‪)6-1( Ö‬‬ ‫ا‪b‬ر¿ كل دالة ‪ »a‬القا‪F‬مة ) ( ‪H‬اأ‪Sh‬ص™ ‪a‬تر‪ I‬ت‪ ¿ƒµ‬الدالة مت�صلة عل«¡ا ‪ »a‬القا‪F‬مة )‪.(Ü‬‬ ‫)‪(Ü‬‬

‫) (‬ ‫جتا �س‬ ‫‪ )1‬د(�س) = �س‪1 - 2‬‬ ‫‪ )2‬د(�س) = �س‪1 -2‬‬ ‫‪ )3‬د(�س) = ‪�2‬س �س‪1-2‬‬

‫– – ‪1 ،1‬‬ ‫– – ‪1 ،1‬‬ ‫– – ‪1 ،1‬‬

‫ون ��ود اأن ن�سي ��ر هن ��ا اإلى اأن العديد من الدوال الت ��ي ت¶هر في التطبيقا‪ ä‬تكون مت�سل ��ة على م‪é‬التها ومن‬ ‫اأمثلة ذل∂ ‪:‬‬ ‫ح‪é‬م الكرة ب�سفته دالة في ن�سف القطر ‪.‬‬ ‫ال�سرعة والت�سار´ ب�سفتهما دالتين في الزمن ‪.‬‬ ‫القيا�س الم‪Ä‬و… للحرارة ب�سفته دالة في القيا�س الفهرنهايتي ‪.‬‬ ‫اأ َّما عد‪ Ω‬الت�سال في¶هر في بع†س التطبيقا‪ ä‬مثل الدوال ال‪î‬ا�سة بالدوا‪F‬ر الكهربا‪F‬ية المع َّر‪V‬سة ل‪Ó‬نقطا´ ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪43‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪ƒN‬ا‪ ¢U‬الد‪h‬ال ال‪ª‬ت�صلة‬ ‫بع†سا من ‪N‬وا�س ال ��دوال المت�سلة على فترة مغلقة من ‪ÓN‬ل بع† ��س الن¶ريا‪ ä‬والتي‬ ‫فيم ��ا يلي نق � ِّ�د‪ً Ω‬‬ ‫نقبلها دون برهان; وذل∂ لما لهذه ال‪î‬وا�س من اأهمية كبيرة في درا�ستنا القادمة‪.‬‬

‫‪¶f‬ر‪j‬ة ال≤«‪ º‬ال≤�ص‪iƒ‬‬

‫ن�س ِّم ��ي ك ‪ Óv‬م ��ن القيم ��ة الع¶مى والقيمة ال�سغر‪ i‬للدال ��ة قيمة ق�سو‪ i‬لها‪ .‬وقد �سب ��ق لنا التعرف على‬ ‫مفهومي القيمة الع¶مى والقيمة ال�سغر‪ i‬للدالة‪ ,‬وا�ست‪î‬دا‪ Ω‬المنحني البياني للدالة لإي‪é‬اد ‪x‬‬ ‫كل منهما‪.‬‬ ‫والن¶ري ��ة التالية تزودنا ب�سرط ي†سمن وجود قي ��م ق�سو‪ i‬للدالة‪ ,‬اأما الطر‪ ¥‬ال‪é‬برية لإي‪é‬ادها ف�سوف‬ ‫ندر�سها في الوحدة الثالثة من هذا الكتاب‪.‬‬

‫ن¶رية )‪(9-1‬‬

‫" ن¶رية الق«‪ º‬الق�ص‪" iƒ‬‬ ‫اإذا كان ��ت الدال ��ة د مت�سلة على الفترة المغلق ��ة ‪ ،‬ب فا ‪qn‬إن للدالة قيمة ع¶مى‬ ‫نرمز لها بالرمز ‪ ` `Y‬وقيمة �سغر‪ i‬نرمز لها بالرمز ‪U‬ص` ` على هذه الفترة ‪.‬‬

‫‪ √ògh‬ال‪¶æ‬رية تع‪ »æ‬اأن¬ ‪:‬‬ ‫اإذا كان ��ت الدال ��ة د مت�سل ��ة على الفترة المغلقة ‪ ،‬ب فاإن ��ه يوج� ��د �س‪� ,1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U‬ص` = د(�س‪ )1‬د(�س) د(�س‪ = )2‬ع � � �س‬

‫‪ ،‬ب بحي� ��‪å‬‬

‫‪،‬ب‬

‫يو‪V‬س‪ í‬هذه الن¶رية‪.‬‬ ‫وال�سكل ( ‪ِّ ) 19-1‬‬ ‫اإذا تحرك ��ت �سيارة على ‪ §�x � N‬جبلي مت�سل من ننقطة‬ ‫مع َّين ��ة اإل ��ى اأ‪�� N‬ر‪ i‬فاإنها ل ب ��د واأن تم ��ر باأعلى نقطة‬ ‫واأدنى نقطة ‪ÓN‬ل رحلتها‪.‬‬

‫‪T‬سكل (‪)19- 1‬‬

‫‪44‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

∫‫ا‬°üJ‫ال‬ )7-1( ÖjQ‫د‬J . i‫و‬°ü≤‫ ال‬º«≤‫ ال‬ájô¶f áë°U øe ≥≤ëàà‫ ل‬3 , 2- ‫∏ى‬Y á∏°üàe ∫‫ لدوا‬ä‫«ا‬æëæe ‫دة‬Y º°�Q‫ ا‬1 x »a 2 ‫ اأوجد‬ºK i‫و‬°ü≤‫ ال‬º«≤‫ ال‬ájô¶f ≥≤ëJ ‫ ل‬á∏ãs ªª‫ ال‬á‫» كون الدال‬a ÖÑ°ù‫ ال‬ô‫ اذك‬á«‫ال‬à‫ا∫ ال‬µ°T‫ الأ‬øe π‫ك‬ .á‫ ل∏دال‬iô¨°ü‫ ال‬᪫≤‫ى وال‬ª¶©‫ ال‬᪫≤‫ ال‬øµe‫اإن اأ‬

)23-1( ∫‫ا‬ãe 4 , 2- ‫∏ى‬Y iô¨°U ᪫b‫ى و‬ª¶Y ᪫b 2‫ �س‬1 = )‫ د(�س‬á‫أن ل∏دال‬s ‫ ا‬âÑK‫اأ‬ 2

πë‫ال‬

)20- 1( πµ°T

1 . ‫ة حدود‬ô«ã‫¡ا ك‬f‫ لأ‬4 , 2- ‫∏ى‬Y á∏°üàe 2‫ �س‬2 = )‫ د(�س‬á‫الدال‬ 4 , 2- ‫∏ى‬Y iô¨°U ᪫b‫ى و‬ª¶Y ᪫b á‫ل∏دال‬ á‫ ل∏دال‬πãu ªª‫ ) ال‬20-1 ( πµ°û‫ ال‬øe ß‫لح‬ ‫ا‬k ôØ°U = ` ` °U iô¨°ü‫ ال‬᪫≤‫ وال‬, 8 = ` ` ` Y ‫ى‬ª¶©‫ ال‬᪫≤‫أن ال‬s ‫ا‬

á«°U‫ا‬N í°V‫و‬J »à‫ و ال‬á‫ال« ــ‬à‫ ال‬áé«àæ‫ اإلى ال‬π°U‫و‬àf s ‫ اأن‬i‫ ــو‬°ü≤‫ ال‬º«≤‫ ال‬ájô¶f øe ‫ ــادة‬a‫الإ‬H ‫ا‬æ浪j ™‫ ــ‬b‫ ــ» الوا‬a‫و‬ :á∏°üàª‫ ال‬á‫ ل∏دال‬iôN‫اأ‬

)8-1( áé«àf . ‫ة‬ôàØ‫∏∂ ال‬J ‫∏ى‬Y ‫دودة‬ëe ‫ون‬µJ á≤∏¨e ‫ة‬ôàa ‫∏ى‬Y á∏°üàª‫ ال‬á‫الدال‬ . iô¨°U ᪫b ‫ى ول¡ا‬ª¶Y ᪫b ‫دودة ل¡ا‬ëe á‫ ه» دال‬á≤∏¨e ‫ة‬ôàa ‫∏ى‬Y áaôs ©e ‫ة حدود‬ô«ã‫ ك‬á‫أ… دال‬s ‫ ا‬s‫ اأن‬í°†àj ≥Ñ°� ‫ا‬ªe

45

)5( ‫ريا�ضيات‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪jô¶f‬ة ال≤ي‪ º‬ال‪Sƒ‬ص‪£‬ى‬ ‫‪(10-1)ájô¶f‬‬ ‫‪: ≈£°SƒdG º«≤dG ájô¶f‬‬ ‫اإذا كا‪ f‬ــ‪ â‬الدال ــ‪ á‬د ‪ ∏Y á∏°üàe‬ــى ال‪ôàØ‬ة ال‪a Ü , á≤∏¨ª‬ا ‪qn‬إن د ‪J‬اأ‪ òN‬ج‪ ™«ª‬ال≤«‪º‬‬ ‫الوا‪ ø«H á©b‬د( ) ‪ ,‬د(‪.)Ü‬‬ ‫‪: ¬fCG »æ©J ájô¶ædG √ògh‬‬ ‫اإذا كا‪ âf‬الدال‪ á‬د ‪∏Y á∏°üàe‬ى ال‪ôàØ‬ة ال‪ , Ü , á≤∏¨ª‬وكان د( ) ∑ د(‪ )Ü‬اأو د(‪ ∑ )Ü‬د( )‪,‬‬ ‫‪µj å«ëH Ü ,‬ون د( جـ ) = ∑‪.‬‬ ‫‪a‬اإ‪j ¬f‬وجد ‪Y‬دد واحد ‪∏Y‬ى الأ‪ πb‬جـ‬ ‫و‪ æ浪j‬ــا ‪¡°ùH‬ول ــ‪ á‬ال‪ æàb‬ــا´ ‪ áë°üH‬ه‪ √ò‬ال‪ ájô¶æ‬ه‪æ‬د�‪«k °‬ا ‪H‬اأ‪ ¬f‬اإذا كا‪ f‬ــ‪ â‬الدال‪ á‬د ‪∏Y á∏°üàe‬ى ‪ Ü ,‬ك‪ª‬ا‬ ‫‪H‬ال‪ °û‬ــ‪ ) 21-1 ( πµ‬وا‪ fôàN‬ــا ا ‪s‬أ… ‪ ª«b‬ــ‪ ∑ á‬وا‪ ø«H á©b‬د( ) ‪ ,‬د(‪ )Ü‬و‪ 檰�Q‬ــا ال‪ º«≤à°ùª‬الأ‪U »≤a‬س = ∑ ‪a‬ا ‪s‬إن‬ ‫‪ »æëæe‬د ‪ Öéj‬اأن ‪ ™£≤j‬ه‪ò‬ا ال‪ á£≤f »a º«≤à°ùª‬واحدة ‪∏Y‬ى الأ‪.πb‬‬ ‫اإذا ‪ aòbo‬ــ‪ â‬ك‪ô‬ة ‪a‬و‪â∏°U‬‬ ‫اإل ــى ا‪ ØJQ‬ــا´ ‪ b‬ــد‪Ω 2 √Q‬‬ ‫‪ ©H‬ــد ‪ ç1‬واإل ــى ا‪ ØJQ‬ــا´‬ ‫‪ b‬ــد‪©H Ω7 √Q‬د ‪a ç5‬اإ‪¡f‬ا‬ ‫‪ e‬ــ‪ ø‬ال‪ª‬و‪D‬ك ــد ‪ µJ‬ــون ‪b‬د‬ ‫و‪ â∏°U‬اإلى ا‪ØJQ‬ا´ ‪b‬د‪√Q‬‬ ‫‪ »a Ω4‬ال‪ àØ‬ــ‪ô‬ة ال‪á«æeõ‬‬ ‫‪ ç1 ø«H‬و ‪ç5‬‬

‫‪)21- 1( πµ°T‬‬

‫لح‪ »a ß‬ال‪ ) 22-1 ( πµ°û‬ا ‪s‬أن د(‪ 4 )1‬د(‪, )5‬‬ ‫‪ªæ«H‬ا ل ‪j‬وجد ‪Y‬دد جـ ‪ å«ëH 5 ,1‬د(جـ) = ‪ ( 4‬ل‪ª‬اذا? )‬ ‫‪)22- 1( πµ°T‬‬

‫‪46‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ال‪°üJ‬ا∫‬ ‫و‪ a‬ــ» الوا‪ b‬ــ™ ‪ æ浪j‬ــا الإ‪ a‬ــادة ‪ e‬ــ‪ jô¶f ø‬ــ‪ á‬ال≤« ــ‪ º‬الو�‪ £°‬ــى ‪ a‬ــ» ال‪ë‬ال ــ‪ á‬ال‪î‬ا‪ °U‬ــ‪ á‬ال‪ à‬ــ» ‪ ¡«a‬ــا‬ ‫د( ) ‪ ,‬د(‪ àØ∏àîe )Ü‬ــان ‪ a‬ــ» الإ‪°T‬ا‪Q‬ة – ‪ªe‬ا ‪j‬د∫ ‪∏Y‬ى ا ‪s‬أن ال©دد ‪ª¡æ«H ™≤j ôØ°U‬ا – ‪ »a‬ا�‪àæà°‬ا‪ ê‬اأ‪j ¬f‬وجد ‪Y‬دد‬ ‫‪µJ Ü ,‬ون ‪æY‬د√ د(جـ ــ) = ‪ , 0‬وه‪ò‬ا ‪e‬ا ‪üæJ‬س ‪ ¬«∏Y‬ال‪ jô¶æ‬ــ‪ á‬ال‪à‬ال«‪ á‬وال‪±ô©J »à‬‬ ‫واح ــد ‪ ∏Y‬ــى الأ‪ b‬ــ‪ π‬جـ‬ ‫‪.ƒfGõ∏H ájô¶æH‬‬ ‫‪(11-1) ájô¶f‬‬ ‫‪ƒfGõ∏H ájô¶f‬‬ ‫اإذا كا‪ f‬ــ‪ â‬الدال ــ‪ á‬د ‪ ∏°üàe‬ــ‪∏Y á‬ى ‪ Ü ,‬وكا‪ âf‬اإ‪°T‬ا‪ JQ‬ــا د( ) ‪ ,‬د(‪a ø«àØ∏àîe )Ü‬ا ‪qn‬إن‬ ‫‪. Ü,‬‬ ‫واحدا ‪∏Y‬ى الأ‪ πb‬جـ‬ ‫ل∏دال‪ á‬ج‪Qk ò‬ا ‪k‬‬ ‫و‪°ùØf‬ـ‪ ô‬ه‪ √ò‬ال‪ ájô¶æ‬ه‪æ‬د�‪«k °‬ا ‪H‬اأ‪ ¬f‬اإذا كا‪ âf‬الدال‪ á‬د ‪á∏°üàe‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪∏Y‬ى ‪ Ü ,‬وكا‪ âf‬د( ) ‪ ,‬د(‪ »a ø«àØ∏àîe )Ü‬الإ‪°T‬ا‪Q‬ة‬ ‫ول«‪ øµ‬د( ) ‪ , 0‬د(‪0 )Ü‬‬ ‫ك‪ ª‬ــا ‪ »a‬ال‪a ) 23-1 ( πµ°û‬ا ‪s‬إن ‪ »æëæe‬د ل‪H‬د اأن ‪ëe ™£≤j‬و‪Q‬‬ ‫ال‪æ«°ù‬ا‪ á£≤f »a ä‬واحدة ‪∏Y‬ى الأ‪. πb‬‬ ‫‪)23- 1( πµ°T‬‬

‫‪ãe‬ا∫ (‪)24-1‬‬ ‫‪¢`` S å`` «M , 5 –2¢`` S = (¢`` S)O â`` fÉc GPEG‬‬ ‫‪.ƒfGõ∏H ájô¶f Éek óîà°ùe‬‬

‫‪3 , 2 »`` a πbC’G ≈`` ∏Y Gók ` `MGh GQk ò`` L á`` dGó∏d ¿s CG â`` ÑKCÉa , 3 , 2‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫الدال‪ á‬د ‪∏Y á∏°üàe‬ى ‪ 3 , 2‬لأ‪¡f‬ا ك‪ô«ã‬ة حدود‬ ‫د(‪1- = 5 – 22 = )2‬‬ ‫د(‪ , )2‬د(‪àØ∏àîe )3‬ان ‪ »a‬الإ‪°T‬ا‪Q‬ة‬ ‫د(‪4 = 5 – 23 = )3‬‬ ‫وا�‪æà°‬ا ‪k‬دا اإلى ‪õ∏H ájô¶f‬ا‪f‬و ‪a‬اإ‪j ¬f‬وجد ج‪ Qò‬واحد ‪∏Y‬ى الأ‪ πb‬ل∏دال‪3 , 2 »a á‬‬

‫‪J‬د‪)8-1( ÖjQ‬‬ ‫‪f‬ا‪ûb‬س ‪ áë°U‬ال©‪Ñ‬ا‪Q‬ة ال‪: á«JB‬‬ ‫ل∏دال‪ á‬د(�س) = جا �س ‪ +‬ج‪à‬ا �س ‪ ,‬ح«‪� å‬س‬

‫ط‬ ‫ط‬ ‫‪,‬ط‬ ‫‪ ,‬ط ج‪ Qò‬واحد ‪∏Y‬ى الأ‪»a πb‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪47‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪(3-1) øjQɪJ‬‬ ‫‪ 1‬ا‪ ¿ô``b‬كل‪O s‬ال``ة ‪ »``a‬ال≤ا‪``ªF‬ة ) ( بال‪ù‬ص‪ ÖÑ‬ال‪ …Ou Dƒª‬ا‪E‬لى ع``د‪ Ω‬ات�صالها ع‪æ‬د ‪ 0 = ¢S‬و ‪P‬ل∂‬ ‫من ال≤ا‪ªF‬ة ) ‪:( Ü‬‬ ‫(‪)Ü‬‬

‫()‬ ‫ج‪à‬ا �س ‪1 -‬‬ ‫‪ 1‬د(�س) = �س‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪ 2‬د(�س) =‬ ‫�س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ ‫‪2‬‬‫‪0‬‬ ‫�س ‪ 1 +‬اإذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪ 3‬د(�س) =‬ ‫�س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ ‫‪1‬‬‫=‪0‬‬

‫‪ f‬ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ¡ا د(�س) ≠ د(‪)0‬‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫د(�س) ‪æY áaôs ©e ô«Z‬د �س = ‪0‬‬ ‫‪ f‬ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــ¡ا د(�س) ‪e ô«Z‬وجودة‬

‫�س‬

‫‪0‬‬

‫‪ »a 2‬كلٍّ م‪ª‬ا ‪j‬ل» ابحث ات�صال الدالة ع‪æ‬د ال‪£≤æ‬ة ال‪òª‬ك‪:IQƒ‬‬ ‫د(�س) =‬

‫�س‪� + 2‬س ‪20 -‬‬ ‫�س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ ‫‪5‬‬‫�س ‪5 +‬‬ ‫‪1‬‬‫اإذا كان �س = ‪5-‬‬

‫د(�س) =‬

‫د(�س) =‬

‫‪48‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫جا ‪� 2‬س‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪0‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س = ‪0‬‬

‫�س ‪3 +‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س‬

‫‪� - 3‬س‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪5-‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪0‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪0‬‬

‫ال‪°üJ‬ا∫‬

‫د د(�س) =‬

‫هـ د(�س) =‬

‫و د(�س) =‬

‫�س ‪5 +‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪2‬‬

‫�س‪4 - 3‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪2‬‬

‫�س‪9 - 2‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪3‬‬

‫‪� 2‬س‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪3‬‬

‫�س ‪ 12 +‬اإذا كان‬

‫�س ‪4‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س = ‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س�س‪�4 -‬س اإذا كان‬ ‫‪4-‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪2‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪3‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪4‬‬

‫�س ‪4‬‬

‫‪ »a 3‬كلٍّ م‪ª‬ا ‪j‬ل» ا‪C‬و‪L‬د ‪b‬ي‪ª‬ة ∑ ال‪ »à‬تج©ل الدالة م‪�à‬صلة ع‪æ‬د ال‪£≤æ‬ة ال‪òª‬ك‪: IQƒ‬‬ ‫جا �س ج‪à‬ا �س اإذا كان‬ ‫�س‬ ‫د(�س) =‬ ‫اإذا كان‬ ‫∑‬

‫د(�س) =‬

‫د(�س) =‬

‫�س‪27 - 3‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫∑ ‪11 + 2‬‬

‫�س ‪0‬‬ ‫�س = ‪0‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪3‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س = ‪3‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪3‬‬

‫∑ �س ‪5 +‬‬

‫اإذا كان‬

‫�س ‪2‬‬

‫‪� 8‬س‬

‫اإذا كان‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪æY‬د �س = ‪0‬‬

‫‪æY‬د �س = ‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪49‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 4‬ابحث ات�صال كلٍّ من الدوال الآتية على مجالها ‪:‬‬

‫د(�س) =‬

‫‪6‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س‪2 + 2‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س = ‪2-‬‬ ‫‪� 2-‬س ‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س = ‪1‬‬

‫‪� - 3‬س‬

‫�إذا كان‬

‫‪2‬‬

‫د(�س) =‬

‫د(س) =‬

‫د د(�س) =‬

‫هـ د(�س) =‬

‫�س ‪1 +‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪1‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪0‬‬

‫�س ‪2‬‬

‫�س ‪2 +‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪2‬‬

‫�س ‪4‬‬

‫ ‬ ‫‪�2‬س ‪3 +‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�س ‪6 +‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫ ‬ ‫�س ‪1 +‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪1‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪ + 1‬جا �س‬ ‫ط‬

‫‪� ( + 2‬س ‪) 2 -‬‬ ‫‪� - 2‬س‬ ‫و د(�س) = ‪1‬‬ ‫‪� 2‬س‪� - 2‬س‬

‫‪50‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪� 2‬س ‪1‬‬‫‪� 1‬س ‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫�س ‪5‬‬ ‫�س ‪0‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪0‬‬

‫�س‬

‫�إذا كان‬

‫�س‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س ‪1‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س = ‪1‬‬

‫�إذا كان‬

‫�س ‪1‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫ال‪°üJ‬ا∫‬ ‫‪ 5‬ا‪P‬ك‪S ô‬ص‪ ÖÑ‬ات�صال كلٍّ من الدوال الآتية على مجالها ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫د(�س) =‬ ‫�س‪�5 + 2‬س ‪6 +‬‬

‫د(�س) = ‪�10‬س‪�3 - 5‬س‪�4 + 3‬س ‪2 -‬‬ ‫‪� - 10‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫د(�س) = ‪� + 1‬س‬

‫د د(�س) = �س‪�3 - 2‬س ‪10 -‬‬

‫هـ د(�س) = �س‪� + 2‬س ‪6 -‬‬

‫و د(�س) =‪�2‬س ‪� - 25 +‬س‬

‫جا �س‬ ‫‪R‬‬ ‫د(�س) = �س ‪1 +‬‬

‫‪ ì‬د(�س) = �س ج‪à‬ا �س‬

‫‪2‬‬

‫… د(�س) =‬

‫• د(�س) = �س ‪� + 2 -‬س ‪7- 3 +‬‬

‫�س‪�2 - 2‬س ‪15 -‬‬ ‫�س ‪5 -‬‬

‫‪ 6‬ا‪ »æëæe º°�Q‬دال‪ á‬د ‪∏Y áaôs ©e‬ى – ‪µJ å«ëH , 0‬ون ‪∏Y á∏°üàe‬ى – ‪1 – , 0‬‬ ‫‪ 7‬اأ‪ âÑK‬ا ‪s‬أن ل∏دال‪ á‬د(�س) = ‪� - 9‬س‪� + 2‬س ‪ª¶Y ᪫b‬ى و‪∏Y iô¨°U ᪫b‬ى ‪1 , 0‬‬ ‫‪ a 8‬ــ» ‪x‬‬ ‫‪îà°ùe‬د‪ e‬ــا ‪õ∏H ájô¶f‬ا‪f‬و‪:‬‬ ‫واحدا ‪∏Y‬ى الأ‪ a πb‬ــ» ال‪ôàØ‬ة ال‪òª‬كو‪Q‬ة‬ ‫ك‪ ªe π‬ــا ‪ »∏j‬اأ‪ âÑK‬ا ‪s‬أن ل∏دال‪ á‬ج ــ‪Qk ò‬ا ‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫د(�س) = ‪�4‬س‪� - 3‬س ‪1 -‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1,0‬‬

‫د(�س) = �س‪� - 2‬س ‪1 +‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2,1‬‬

‫‪ 9‬اإذا كان ال‪ πµ°û‬ال‪éª‬او‪ »æëæe πãu ªj Q‬هـ ( �س ) ‪5 , 2 »a‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫وﻛﺎﻧﺖ د(س) = هـ (�س) ‪ ،‬ﻓﺄﺛﺒﺖ أﻧﻪ ‪:‬‬ ‫‪j‬وجد ج‪ Qò‬واحد ‪∏Y‬ى الأ‪ πb‬ل∏دال‪ á‬د ‪5 , 2 »a‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪51‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫)‪£°ûfCG‬ة ‪«FGôKEG‬ة( ‪ëdG ΩGóîà°SG‬ا‪°ùM »a »dB’G Ö°S‬ا‪¡ædG Ü‬ايا‪:ä‬‬ ‫�صب≥ لنا ا�صتخدام برنام‪è‬‬

‫في ‪x‬‬ ‫كل من ‪ :‬حل المعادل‪ ، ä‬تمثيل معادلة الدرجة الثانية ‪ ،‬اإجرا‪ A‬بع†س‬

‫التطبيقا‪ ä‬على الم�صفوفا‪ ، ä‬و اإيجاد جذور كثيرة الحدود و تحليلها اإلى عوامل ‪.‬‬ ‫والمثال التالي يو‪V‬ص‪W í‬ريقة ا�صتخدام البرنام‪ è‬في ح�صاب النهايا‪: ä‬‬

‫مثـ ـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫‪4 + ¢S5 - 2¢S‬‬ ‫‪¡`` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `f‬ا‬ ‫‪4 - ¢S 4 ¢S óLhCG‬‬

‫الحل‬

‫بعد فت‪ í‬البرنام‪ è‬نقوم باإتبا´ التالي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬نكتب الدالة في �صريط الإدخال ‪K ،‬م ندخلها بالنقر على مفتاح الإدخال ‪ enter‬في لوحة‬ ‫الموجود ي�صار �صريط الإدخال) ‪ ،‬فنح�صل على ال�صكل التالي ‪:‬‬ ‫المفاتي‪( í‬اأو بالنقر على ‪R‬ر‬

‫‪52‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫اأن�صطـة اإ‪K‬را‪F‬ـيـة‬ ‫المو‪V‬صحة في ال�صكل التالي‪:‬‬ ‫‪ 2‬ن†صع المو‪�D‬صر على اأيقونة اإيجاد النهاية ‪ Find Limit‬في �صريط اأدوا‪ ä‬الأوامر َّ‬

‫‪ 3‬ننقر حي‪ å‬و‪V‬صعنا المو‪�D‬صر فيظهر مربع حوار عنوان¬ ‪ ، Calculus Limit‬مكتوب في¬ المتغير ‪.Variable‬‬ ‫نقوم بكتابة النقطة المراد اإيجاد النهاية عندها ‪K . Limit Point‬م نختار من قا‪F‬مة ‪Approach From‬‬ ‫يو‪V‬ص‪ í‬ذل∂ ‪:‬‬ ‫جهة النهاية ‪ :‬الي�صرى ‪ Left‬اأو اليمنى ‪ Right‬اأو ال‪K‬نين معا ‪ . Both‬وال�صكل التالي ‪u‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪53‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫المو‪V‬صحة‬ ‫‪ 4‬ننقر على ‪R‬ر التب�صيط ‪ Simplify‬في مربع الحوار ال�صـاب≥ فنح�صل على النهـاية المطلوبة‬ ‫َّ‬ ‫في ال�صكل التالي ‪:‬‬

‫تدريب‬ ‫ا‪C‬وجد با�صتخدام الحا�صب ال‪B‬لي ك ‪ Óv‬من النهايات التالية ‪:‬‬ ‫نــ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪4 -2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س ‪3 -‬‬ ‫�س ‪� 9‬س ‪9 -‬‬

‫‪54‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬

‫‪ 1‬مفهوم النهاية والنهاية اليمنى والنهاية الي�صرى لدالة عند نقطة ‪.‬‬ ‫‪ 2‬اإيجاد نهاية دالة عند نقطة با�صتخدام المنحني البياني لها ‪.‬‬ ‫‪ 3‬ح�صاب نهايا‪ ä‬بع†س الدوال ونلخ�صها فيما يلي ‪:‬‬ ‫اإذا كان ــت د دال ــة كثي ــرة حدود اأو دالة جذر تربيعي لدالة كثيرة حدود غي ــر �صالبة حول اأو دالة قيا�س‬ ‫لدال ــة كثي ــرة حدود اأو دالة مثلثية فاإننا نح�صل عل ــى ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) بالتعوي†س المبا�صر في قاعدة د عن‬ ‫�س‬ ‫�س بالعدد اأ… ا َّإن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د (�س) = د( )‬ ‫�س‬ ‫اإذا كان ــت د دال ــة ن�صبي ــة اأو دالة ك�صرية تت†صم ــن جذو ‪k‬را تربيعية فاإننا بالتعوي† ــس المبا�صر اإ َّما اأن‬ ‫عدد مغاير لل�صفر‬ ‫نح�ص ــل عل ــى ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س)‪ ،‬و تك ــون ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(� ــس)= د( ) ‪ ،‬اأو نح�صل على‬ ‫�صفر‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�صفر‬ ‫مم ــا يعني ع ــدم وجود النهاية ‪ ،‬اأو نح�صل على حالة عدم التعيي ــن‬ ‫وعندها نقوم باخت�صار الدالة‬ ‫�صفر‬ ‫( بالتحليل اأو ال†صرب في المراف≥ ) ‪K‬م نعود للتعوي†س المبا�صر م َّرة اأخرى ‪.‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا �س = ‪، 1‬‬ ‫�س ‪� 0‬س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ظا �س = ‪، 1‬‬ ‫�س ‪� 0‬س‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جتا �س ‪1‬‬ ‫�س ‪0 = -‬‬ ‫�س‬ ‫‪0‬‬

‫‪ 4‬اإذا كانت د دالة مج‪õ‬اأة وكان تعري∞ د ل يتغير حول فاإننا نوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) با�صتخدام القاعدة‬ ‫�س‬ ‫المع َّرفة بها الدالة حول ‪ ،‬اأ َّما اإذا كان تعري∞ الدالة يتغير حول فاإننا نوجد ك ‪ Óv‬من النهاية اليمنى والي�صرى‬ ‫للدالة عند ومنها نوجد ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) اإن اأمكن ‪.‬‬ ‫�س‬ ‫‪ 5‬تكون الدالة د مت�صلة من اليمين عند نقطة جـ اإذا كانت نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـه ــا ‪ +‬د(�س) = د(جـ) و تكون مت�صلة‬ ‫�س جـ‬ ‫من الي�صار عند جـ اإذا كانت نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـه ــا‪ -‬د(�س) = د(جـ)‬ ‫�س جـ‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪55‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪ 6‬تك���ون الدال���ة د مت�صلة عند نقطة ج���ـ �إذا كانت نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـه ــا د(�س) = د(جـ) و بعبارة �أخرى ‪:‬تكون‬ ‫�س جـ‬ ‫الدالة د مت�صلة عند نقطة جـ �إذا كانت مت�صلة من اليمين ومن الي�سار عند جـ ‪.‬‬ ‫‪ 7‬تكون الدالة د مت�صلة على ‪ ،‬ب �إذا كانت مت�صلة عند كل نقطة في هذه الفترة ‪.‬‬ ‫‪ 8‬تكون الدالة د مت�صلة على ‪ ،‬ب �إذا كانت مت�صلة على‬

‫‪ ،‬ب ومت�صلة من اليمين عند�س =‬

‫ومن الي�سار عند �س = ب ‪.‬‬ ‫‪ 9‬الدوال التالية مت�صلة على مجالها ‪:‬‬ ‫دالة كثيرة الحدود‬ ‫الدالة الن�سبية‬ ‫الدوال المثلثية‬ ‫دالة الجذر التربيعي لدالة كثيرة حدود‬ ‫دالة القيا�س لدالة كثيرة حدود‬ ‫‪� 10‬إذ كانت د دالة مت�صلة على‬

‫‪ ،‬ب ف� َّإن د ‪:‬‬

‫لها قيمة عظمى وقيمة �صغرى في هذه الفترة ‪.‬‬ ‫دالة محدودة على هذه الفترة‬ ‫ت�أخذ جميع القيم الواقعة بين د( ) ‪ ،‬د (ب)‪.‬‬ ‫لها جذر واحد على الأقل في ‪ ،‬ب ب�شرط � َّأن �إ�شارتي د( ) ‪ ،‬د(ب) مختلفتان ‪.‬‬ ‫‪ 11‬ا�ستخدام الحا�سب الآلي لإيجاد نهاية دالة ‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪ 1‬اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي ‪:‬‬ ‫�إذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪ ، 5‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪ ، 5‬ف� َّإن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) =‬ ‫‬‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ ، 7 ، 5 ، 1‬غير موجودة )‬

‫‪6‬‬ ‫�إذا كانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪ ، 3‬ف� َّإن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س‪- 2‬‬ ‫د (�س)‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)=‬

‫(‪)7 ، 2 ، 3 ، 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = �س‬ ‫‪�2‬س ‪ 3 +‬عندما‬ ‫(‪1 ، 4 ، 1‬‬ ‫ــــــــ ‪ ،‬غير موجودة )‬ ‫عندما‬

‫‪2‬‬

‫�س ‪9 -‬‬ ‫د �إذا كانت د(�س) = �س ‪3 -‬‬ ‫‪2‬‬

‫عندما‬

‫‪2+ 2‬‬

‫(‪)4 ، 3 ، 2 ، 6‬‬

‫�س‬ ‫�س‬ ‫س ‪3‬‬

‫عندما س ‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪، 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ف�إنّ نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـه ـ ـ ـ‪1‬ـا د(�س) =‬ ‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪ ،‬وكانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) موجودة ف�إن =‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬

‫جا ‪� 5‬س‬ ‫هـ ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ظا ‪� 3‬س =‬ ‫�س‬ ‫‪0‬‬ ‫( ‪)1، 9 ، 3 ، 5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25‬‬

‫ظا �س ‪� -‬س‬ ‫و ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪0‬‬

‫هي‪:‬‬

‫( ‪ ، 1 – ، 1 ، 0‬غير موجودة )‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪57‬‬

‫ز �إذا كانت الدالة د مت�صلة عند �س = ‪ 3‬وكانت ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ( ‪ 2 + 8‬د ( �س) ) = ‪ 22‬ف� َّإن د (‪=)3‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫( ‪) 3 ، 7 ، 14 ، 22‬‬ ‫عندما‬

‫‪� - 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪� 14 - 2‬س‬

‫ح �إذا كانت د(�س) =‬

‫عندما‬

‫‪2‬‬

‫عندما‬

‫�س ‪4 -‬‬

‫�س ‪2‬‬ ‫‪� 2‬س ‪4‬‬ ‫�س ‪4‬‬

‫ف� َّإن مجموعة جميع النقط التي تكون عندها الدالة غير مت�صلة هي‪:‬‬ ‫‪،‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4، 2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪) 4 ، 2 ،0‬‬

‫ط الدالة المت�صلة على – ‪ 1 ، 1‬هي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫ـــــــــ‬ ‫)‬ ‫‪ ، 2‬د(�س) =‬ ‫(د(�س) = �س ‪ ، 1 +‬د(�س) = س ‪ ،‬د(�س) =‬ ‫�س ‪2+‬‬ ‫�س‬ ‫‪ 2‬ا�ستخ��دم المنحن��ي البياني للدالتين د ‪ ،‬هـ في ال�شكل المجاور لإيجاد النهايات التالية �إن‬ ‫كانت موجودة و�إذا لم تكن موجودة فاذكر ال�سبب ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (د(�س) ‪ +‬هـ (�س))‬ ‫�س‬ ‫‪0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ⎥د(�س) ‪ .‬هـ (�س)⎥‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫د(�س) ‪1-‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪ 2‬هـ(�س)‪2 +‬‬

‫‪ 3‬اح�سب النهايات التالية ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س‬

‫‪4‬‬

‫�س ‪�( 5 +‬س‪)3 - 2‬‬

‫‪� 5‬س ‪3 - 1 -‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪�2 - 8 2‬س‬ ‫‪ 7 - 7‬جتا ‪�2‬س‬ ‫هـ ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪� 0‬س ‪�3 +‬س‬

‫‪58‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س‪81 - 4‬‬ ‫�س ‪� 4‬س‪�3 -2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫د ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪� 0‬س ‪3 -‬‬

‫‪ 4‬ا‪C‬وجد ن≤ا• ‪Y‬دم الت�صا∫ – اإن وجدت – لكل‪ x‬من الدوا∫ التالية ‪:‬‬ ‫‪�5‬س‬ ‫د(�س) = �س‪�6 + 3‬س ‪2-‬‬ ‫د(�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪�3 -‬س‬ ‫‪�5‬س ‪ 2 +‬عندما �س ‪3‬‬ ‫د(�س) =‬ ‫‪10‬‬ ‫عندما �س = ‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪ 5‬اإذا كانت د(�س)=‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫د د(�س) =‬

‫عندما �س ‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫عندما �س ‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫عندما �س ‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫(�س) =‬ ‫‪2-‬‬

‫ابح‪ å‬ات�صال ‪x‬‬ ‫كل من الدوال التالية عند �س = ‪ : 2‬د ( �س ) ‪،‬‬ ‫ب ‪u‬ين ما اإذا كانت العبارة التالية �صحيحة اأم ل ‪:‬‬ ‫اإذا كانت الدالة د ‪ +‬مت�صلة عند �س = فا َّإن ك ‪ Óv‬من الدالتين د ‪،‬‬

‫عندما �س ‪2‬‬

‫عندما �س ‪2‬‬ ‫عندما �س ‪2‬‬

‫( �س ) ‪ ( ،‬د ‪� ( ) +‬س )‬ ‫مت�صلة عند �س =‬

‫‪ 6‬ا‪C‬وجد ‪b‬يم ‪ Ü ،‬التي تج©ل الدالة د) �‪ ( ¢‬مت�صلة ‪Y‬ل≈ مجالها حي‪:å‬‬ ‫‪4‬‬‫د(�س) =‬

‫عندما‬

‫�س = ‪2-‬‬

‫‪�2‬س ‪1 -‬‬

‫عندما ‪� 2-‬س ‪2‬‬

‫ب‪9+‬‬

‫عندما �س = ‪2‬‬ ‫في ال�صكل المجاور‪:‬‬

‫‪ 7‬بالإفادة من المنحني البياني للدالتين د ‪،‬‬ ‫اأ‪K‬بت ا َّأن الدالة هـ (�س) = د (�س) ‪8 +‬‬ ‫(�س)‬ ‫دالة مت�صلة على ‪6 ، 1‬‬ ‫م�صتخدما نظرية بل‪õ‬انو ‪ -‬ا َّأن منحني الدالة ‪:‬‬ ‫اأ‪K‬بت ‪-‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ل ( �س ) = د( �س ) ‪+‬‬

‫( �س ) يقطع المحور ال�صيني في ‪6 ، 1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪59‬‬

‫‪óMƒdG‬ة‬ ‫‪�ãdG‬نية‬

‫‪π°V�ØàdG‬‬ ‫‪Derivatives‬‬

‫)‪Îa ‘ Ò¨àdG ∫ó©e (1-2‬ة‬ ‫)‪≤à°ûe (2-2‬ة ‪dGódG‬ة‬ ‫)‪¥�≤à°T’G óYGƒb (3-2‬‬ ‫)‪ (4-2‬ت‪£‬بي≤�‪°Sóæg ä‬ية ‪ah‬ي‪õ‬ي�‪F‬ية‬ ‫‪≤à°ûŸG ≈∏Y‬ة‬

‫للتفا�ض ��ل اأهمي ��ة كبي ��رة اإذ ُيع� � َّول علي ��ه كثير ًا في‬ ‫ح�ضاب م�ض ��ارات ال�ضواريخ واالأقم ��ار ال�ضناعية‪،‬‬ ‫بل الكواكب والنجوم‪.‬‬

‫‪ -1‬يع ِّرف التغير في ‪q m‬‬ ‫كل من �س ‪ ،‬د(�س) ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يوجد معدل التغير لدالة في فترة زمنية مع ‪qn‬ينة ‪.‬‬ ‫‪ -3‬يع ِّرف م�ضتقة الدالة عند نقطة ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد م�ضتقة الدالة با�ضتخدام التعري∞ ‪.‬‬ ‫يف�ض ��ر العاقة بين قابلي ��ة الدالة لا�ضتقاق عن ��د نقطة وات�ضالها‬ ‫‪ِّ -5‬‬ ‫عند هذه النقطة ‪.‬‬ ‫يف�ض ��ر الح ��االت التي تكون فيه ��ا الدالة ‪Z‬ير قابل ��ة لا�ضتقاق عند‬ ‫‪ِّ -6‬‬ ‫نقطة ‪.‬‬ ‫‪ -7‬ي�ضتخدم قواعد اال�ضتقاق الإيجاد م�ضتقة دالة معطاة ‪.‬‬ ‫‪ -8‬ي�ضتخدم قاعدة الت�ضل�ضل الإيجاد م�ضتقة دالة مركبة معطاة ‪.‬‬ ‫‪ -9‬يوجد الم�ضتقات العليا لدالة معطاة ‪.‬‬ ‫‪ -10‬يوج ��د معادل ��ة المما� ��س لمنحني الدال ��ة وكذلك معادل ��ة العمود‬ ‫للمنحني عند نقطة با�ضتخدام الم�ضتقة‪.‬‬ ‫‪ -11‬يحل م�ضائل عملية على الم�ضافة وال�ضرعة والت�ضارع ‪.‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫نبذة ت�أريخية‬ ‫يع� � ُّد التفا�ض ��ل والتكامل الركيزة التي ي�ستند �إليها العديد من ف ��روع الريا�ضيات ‪ ،‬وتتخلل تطبيقاته ج َّل‬ ‫فروع المعرفة الأخرى كالعلوم الطبيعية والهند�سية والبيولوجية والعلوم الم�سلكية واالقت�صادية‪.‬‬ ‫وف ��ي الواق ��ع � َّإن الق�ضي ��ة الأ�سا�سية في ح�ساب التفا�ض ��ل ( اال�شتقاق ) هي درا�س ��ة المعدل الذي تتغير‬ ‫ب ��ه قيمة دالة نتيجة تغير قيمة متغيرها ‪�،‬أما ح�س ��اب التكامل فيبحث في الق�ضية العك�سية‪،‬وهي محاولة‬ ‫�إيجاد الدالة بمعرفة المعدل الذي تتغير به‪.‬‬ ‫وت�ؤكد لنا الدرا�سات الحديثة الموثقة لت�أريخ الريا�ضيات � َّأن علماءنا الم�سلمين هم الذين و�ضعوا الأ�س�س‬ ‫الأولى لح�ساب التفا�ضل والتكامل ‪ ،‬فعلى �سبيل المثال نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫العال ��م الم�سل ��م ثابت ب ��ن ق ��رة ( ‪ 221‬ﻫ ‪ 288 -‬ﻫ ) �أوجد حجم الج�سم المتول ��د من دوران القطع‬ ‫المكافئ حول محوره والذي يم ِّثل �أحد تطبيقات التكامل‪.‬‬ ‫تو�صل �إل ��ى المتطابقة المعروفة‬ ‫العال ��م الم�سل ��م الح�س ��ن بن الهيثم الب�ص ��ري ( ‪ 354‬ﻫ ‪ 430 -‬ﻫ ) َّ‬ ‫با�سمه والتي تكتب بالرموز الحديثة على النحو التالي ‪:‬‬ ‫( ‪)1+‬‬ ‫)‬ ‫‪( +‬‬ ‫=‬ ‫وقد كان لهذه المتطابقة �أهميتها في تطور علم التفا�ضل و التكامل ‪.‬‬ ‫العال ��م الم�سل ��م �شرف الدي ��ن الطو�سي ( المتوفى عام ‪ 610‬ﻫ ) من خ�ل�ال درا�سته للمعادالت التي‬ ‫درجتها ‪ ,3‬في كتابه ( قوام الح�ساب ) يفكر بالدالة دون �أن يذكر ا�سمها ‪ ،‬لكنه لج�أ �إلى �شكل �آخر‬ ‫من هذا المفهوم الذي ُعرف الحقًا بالم�شتق ‪.‬‬

‫ولكي يحل هذه المعادالت ‪ ،‬يدر�س الطو�سي القيمة العظمى للعبارات الجبرية وي�أخذ" الم�شتق الأول"‬ ‫له ��ذه العب ��ارات – دون �أن ي�ستعم ��ل ا�سم ��ه – ثم يعدمه ويبرهن على �أن ج ��ذر المعادلة التي يح�صل‬ ‫*‬ ‫عليها �إذا ما ع ِّو�ض به في العبارة الجبرية ‪� ،‬أعطى القيمة العظمى للعبارة‪.‬‬ ‫وقد �أخذ العلماء الغربيون في ع�صر نه�ضتهم من علومنا ونتاج علمائنا ال�شيء الكثير ‪ ،‬وقاموا بتطويره‬ ‫حت ��ى ن�ش� ��أ التفا�ض ��ل والتكامل عل ��ى يد العال ��م االنجليزي نيوت ��ن ( المتوفى ع ��ام ‪1727‬م ) ‪ ،‬والعالم‬ ‫الألماني اليبنتز ( المتوفى عام ‪1716‬م)‬ ‫* تاري ��خ الريا�ضيات العربي ��ة بين الجبر والح�ساب ‪/‬د‪.‬ر�شدي را�شد ‪ ,‬ترجمة د‪.‬ح�سين زي ��ن الدين ‪/‬مركز درا�سات الوحدة‬ ‫العربية ‪1989‬م‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫معدل التغير في فترة‬

‫‪1-2‬‬

‫‪¨àdG ∫ó©e‬ي‪ôàa »a ô‬ة‬ ‫تمهيدا لدرا�ضة مفهوم معدل تغير الدالة عند نقطة(اأوم�ضتقة‬ ‫ندر�س هنا معدل تغير الدالة في فترة;وذلك ً‬ ‫الدالة )‪.‬‬

‫‪¨`àdG‬ي‪ô‬‬

‫في حياتنا اليومية نتعامل مع عبارات كثيرة تحمل في طياتها معنى التغير ‪ ،‬فمث ًا ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اإذا كان ��ت درج ��ة الح ��رارة لي ًا ‪ ،5 25‬ثم اأ�ضبحت ‪ 5 40‬نها ًرا ‪ ،‬فا َّإن درج ��ة الحرارة تكون قد تغيرت ‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بالزيادة‪ ،‬ونقول ا َّإن مقدار التغير في درجة الحرارة هو ‪15‬‬ ‫اإذا تحركت �ضيارة ب�ضرعة ‪100‬كلم‪�/‬ضاعة ثم تناق�ضت �ضرعتها اإلى ‪60‬كلم‪�/‬ضاعة ‪ ،‬فا َّإن �ضرعة ال�ضيارة تكون‬ ‫قد تغيرت ‪40‬كلم‪�/‬ضاعة بالنق�ضان ‪ ،‬ونقول ا َّإن مقدار التغير في �ضرعة ال�ضيارة هو ‪40 -‬كلم‪�/‬ضاعة‪.‬‬

‫تعري∞ (‪)1-2‬‬

‫اإذا كان �س يتغير من �س‪ 1‬اإلى �س‪ ، 2‬فا ‪qn‬إن الفرق �س‪� - 2‬س‪ 1‬ي�ض ‪qn‬مى التغير في �س ‪ ،‬ويرمز له بالرمز‬ ‫∆ �س ويقراأ ( دلتا �ضين ) ‪ ،‬اأي ا َّإن ‪� ∆ :‬س = �س‪� - 2‬س‪1‬‬ ‫فمث ًا ‪ :‬اإذا تغير �س من ‪ 1.6-‬اإلى ‪ ، 5.3‬فا َّإن ∆ �س = ‪6.9 = ) 1.6 -( - 5.3‬‬

‫‪¨àdG‬ي‪ádGódG »a ô‬‬ ‫اإذا كانت لدينا الدالة �س = د(�س) وتغير �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪ ، 2‬وكانت د(�س‪� = )1‬س‪ ، 1‬د(�س‪� = )2‬س‪،2‬‬ ‫فا َّإن التغير في الدالة د هو ‪� ∆ :‬س = �س‪� - 2‬س‪ 1‬اأو ∆ �س = د(�س‪ - )2‬د(�س‪)1‬‬

‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫‪x »a ô«¨àdG QGó≤e óLhCÉa , 7 = 2¢S ≈dEG 3 = 1¢S øe ô«¨àj ¢S ¿Éch1+ ¢S3 = ¢U ¿ÉcGPEG‬‬ ‫‪¢U , ¢S øe πc‬‬

‫الحل‬

‫∆ �س = ‪ ، 4 = 3 - 7‬وحيث ا َّإن‬ ‫فا َّإن ∆ �س = ‪12 = 10 - 22‬‬

‫�س‪3= 1‬‬ ‫�س‪7= 2‬‬

‫�س‪10 = 1 + 3 3 = 1‬‬ ‫�س‪22 = 1 +7 3= 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪63‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪Iôàa »a ádGódG ô«¨J ∫ó©e‬‬ ‫يو�ض‪ í‬مفهوم معدل تغير‬ ‫تعل ��م ا َّأن المع ��دل هو الن�ضبة بين مقدارين م ��ن نوعين مختلفين ‪ ،‬والمثال التال ��ي ِّ‬ ‫الدالة في فترة ‪.‬‬

‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫تحرك ��ت �ضيارة في خ ��ط م�ضتقيم بحيث تكون الم�ضاف ��ة ف بالكيلو متر‬ ‫التي تقطعها بعد ن �ضاعة تعطى بالدالة ف = د(ن) ‪،‬‬ ‫ف‪180= 1‬كلم بعد �ضاعتين‬ ‫فاإذا قطعت م�ضافة‬ ‫ف‪450= 2‬كلم بعد خم�س �ضاعات‬ ‫ف�ضنجد ا َّأن الم�ضافة التي قطعتها في الفترة الزمنية من ن‪ 2= 1‬اإلى‬ ‫ن‪ 5 =2‬هي ‪:‬‬ ‫∆ ف = ف‪ - 2‬ف‪ 270= 180 - 450 = 1‬كلم‬ ‫والزمن الذي ا�ضتغرقته هو‪:‬‬ ‫∆ ن = ن‪ - 2‬ن‪� 3 = 2 - 5 = 1‬ضاعات‬ ‫وبق�ضمة ∆ ف على ∆ ن نح�ضل على المقدار‬

‫=‬

‫= ‪90‬كلم‪�/‬ضاعة‬

‫ا َّإن هذا المقدار ( المعروف فيزيائ ًّيا بال�ضرعة المتو�ضطة لل�ض�يارة عندم�ا يتغير ن من ‪ 2‬اإلى ‪ )5‬يع ِّب�ر عن‬ ‫معدل تغير الدالة‪ :‬ف = د(ن) عندما يتغير ن من ‪ 2‬اإلى ‪5‬‬ ‫وعامة االأمر فا َّإن معدل تغير ا ِّأي دالة �س = د (�س) يعطى بالتعري∞ التالي ‪:‬‬

‫تعري∞ (‪)2-2‬‬

‫معدل تغير الدالة �س = د (�س) عندما يتغير �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪ 2‬هو المق�دار ‪:‬‬ ‫∆�س د (�س‪ -)2‬د (�س‪)1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫حيث‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∆�س‬ ‫�س‪� - 2‬س‪1‬‬

‫الح ��‪ ß‬ا ‪qn‬أن مع ��دل تغير الدالة د عندما يتغير �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪ 2‬ي�ضاوي معدل تغير الدالة دعندما يتغير‬ ‫�س من �س‪ 2‬اإلى �س‪ ; ) ?GPɪd ( 1‬لذا فا ‪qn‬إن هذا المعدل ي�ض ‪qn‬مى معدل تغير الدالة د في الفترة التي طرفاها‬ ‫�س‪� ، 1‬س‪2‬‬

‫‪64‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫معدل التغير في فترة‬

‫‪Iôàa »a ádGódG ô«¨J ∫ó©ªd »°Sóæ¡dG ô«°ùØàdG‬‬ ‫ف ��ي ال�ضكل (‪ )1-2‬المم ِّثل لمنحن ��ي الدالة �س = د(�س)‬ ‫نجد اأنه عندما يتغير �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪ ، 2‬فاإنَّ �س يتغير‬ ‫من �س‪ 1‬اإلى �س‪، 2‬‬ ‫ومن الوا�ض‪ í‬ا َّأن معدل تغير الدالة د عندما يتغير �س‬ ‫من �س‪ 1‬اإلى �س‪ 2‬وهو‪:‬‬ ‫∆�س د (�س‪ -)2‬د (�س‪)1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∆�س‬ ‫�س‪� - 2‬س‪1‬‬ ‫يم ِّث ��ل هند�ض ًّيا مي ��ل الم�ضتقي ��م ل القاط ��ع لمنحني‬ ‫الدالة في النقطتين (الوتر المار بالنقطتين)‪:‬‬

‫�ضكل (‪)1-2‬‬

‫(�س‪ ، 1‬د(�س‪ ، ) )1‬ب (�س‪ ، 2‬د(�س‪ ; ) )2‬لذا‬ ‫ن�ضتخدم الرمز م للداللة على معدل التغير ‪.‬‬

‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫‪� = ( ¢S)O ádGódG ô«¨J ∫ó©e óLhCG‬س ‪3^21 , 3 IôàØdG »a , 2 -‬‬

‫الحل‬

‫م=‬ ‫وبفر�س �س‪� ، 3 = 1‬س‪ ، 3.21 = 2‬فا َّإن ‪:‬‬ ‫م=‬ ‫=‬

‫=‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪0.476‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪65‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫‪= (¢S)O âfÉc GPEG‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪¢S‬‬ ‫‪¢S2 - 5‬‬

‫‪ÉeóæY‬‬

‫‪1 ¢S 0‬‬

‫‪ÉeóæY‬‬

‫‪5 ¢S 1‬‬

‫‪0^5 = 2¢S ≈dEG 2^4 = 1¢S øe ¢S ô«¨àj ÉeóæY O »a ô«¨àdG ∫ó©e óLhCÉa‬‬

‫الحل‬ ‫=‬

‫م=‬ ‫=‬

‫=‬

‫‪0.947 -‬‬

‫تدريب (‪)1-2‬‬ ‫اختر للمجموعة ( ) ما ينا�ض�بها من المجموعة ( ب ) بو�ضع العدد المنا�ضب في‬ ‫�ضحيحة‪:‬‬ ‫مجموع�ة ( )‬

‫مجموع�ة ( ب )‬

‫‪ æ‬معدل تغير الدالة ‪ :‬د(�س) = ‪ 8‬في الفترة ‪ 4 ،1‬هو‬

‫‪8‬‬

‫‪ æ‬ميل الوتر المار بالنقطتين ( ‪ ، 0‬د(‪ ، 2 ( ، ) )0‬د(‪ ) )2‬لمنحني‬ ‫الدالة ‪ :‬د(�س) = �س‪�2 - 3‬س هو‬

‫‪4‬‬

‫‪ æ‬ال�ضرعة المتو�ضطة لج�ضيم يتحرك في خط م�ضتقيم وفق المعادلة ‪:‬‬ ‫ف = ن‪ 2‬عندما يتغير ن من ‪ 1‬اإلى ‪ 3‬هي‬

‫‪66‬‬

‫لتح�ضل على عبارة‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪2‬‬ ‫�ضفر‬

‫معدل التغير في فترة‬

‫‪)1-2) øjQɪJ‬‬ ‫‪�ªàdG »a‬ري‪G 9 ≈dEG 1 øe ø‬أ‪¨àdG ∫ó©e óLh‬ي‪d�àdG ∫GhódG øe xπµd ô‬ية‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫د(�س ) = ‪�2‬س ‪1 -‬‬

‫‪ ،‬في الفترة ‪3.4 ، 3‬‬

‫‪2‬‬

‫د(�س ) = ‪�5 - 8‬س‬

‫‪ ،‬اإذا كان �س‪� ∆ ، 2 = 1‬س = ‪0.2‬‬

‫‪3‬‬

‫د(�س ) = �س‪�5 + 3‬س‬

‫‪ ،‬اإذا كان �س‪� ، 1 = 1‬س‪2 - = 2‬‬

‫‪4‬‬

‫د(�س ) = ‪�2‬س ‪1 +‬‬

‫‪ ،‬عندما يتغير �س من �ضفر اإلى ‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫د(�س ) = �س ‪2 +‬‬

‫‪ ،‬عندما يتغير �س من (‪ ) 2 -‬اإلى (‪) 2.3 -‬‬

‫‪6‬‬

‫د(�س ) =‬

‫‪7‬‬

‫د(�س ) = جا �س‬

‫‪8‬‬

‫د(�س ) =‬

‫‪ ،‬عندما يتغير �س من‬ ‫‪ ،‬في الفترة‬

‫اإلى ‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫�س ‪1 -‬‬

‫عندما‬

‫�س ‪3‬‬

‫‪�3‬س ‪1 -‬‬

‫عندما‬

‫�س ‪3‬‬

‫في الفترة ‪3 ، 2.8 -‬‬ ‫عندما يتغير �س من ‪ 4‬اإلى ‪4.5‬‬ ‫اإذا كان �س‪� ∆ ، 0 = 1‬س = ‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫د(�س ) =‬

‫�س‪1 - 2‬‬

‫عندما‬

‫‪� 1‬س ‪5‬‬

‫‪� - 3‬س‬

‫عندما‬

‫�س ‪5‬‬

‫في الفترة ‪6 ، 4‬‬ ‫عندما يتغير �س من ‪ 3‬اإلى ‪4‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪67‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪10‬‬

‫يتح ��رك ج�سي ��م في خط م�ستقيم بحيث يكون ُبعده عن نقطة ثابت ��ة بال�سنتيمتر بعد ن ثانية معطى‬ ‫بالدالة ف = ن‪2 – 2‬ن ‪ ، 5 +‬اح�سب ك ًّال من ‪:‬‬ ‫�سرعة الج�سيم المتو�سطة في الفترة الزمنية ‪3 ، 2‬‬ ‫�سرع ��ة الج�سي ��م المتو�سط ��ة خالل الثانية الخام�س ��ة من حركته ( �أي عندم ��ا يتغير ن من‬ ‫‪� 4‬إلى ‪) 5‬‬

‫‪11‬‬

‫يتحرك ج�سيم في خط م�ستقيم بحيث يقطع في زمن ن ثانية م�سافة بالأمتار قدرها‬ ‫ف(ن) =‬

‫‪12‬‬

‫‪ ،‬اح�سب ال�سرعة المتو�سطة للج�سيم في الفترة الزمنية ‪4.5 ، 4‬‬

‫اح�سب معدل تغير الدالة �ص = د(�س) المم َّثل منحنيها في ال�شكل‬ ‫المجاور وذلك في ٍّ‬ ‫كل من الفترات‪:‬‬ ‫‪6،0 ، 6،2 ، 2،0‬‬

‫‪13‬‬

‫�إذاكان معدل تغير الدالة د في الفترة‬

‫‪ 1.3 ،‬ي�ساوي ‪ 2‬وكانت د( ‪،5.6 =)1.3‬‬

‫د( ) = ‪� ، 5‬أ وجد قيمة ‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫�إذاكانت د(�س) = ‪� 2‬س ‪� 3 - 2‬س‬ ‫�أوجد معدل تغير الدالة د في الفترة ‪� ، 1‬س‬ ‫م�ستخدم ��ا نتيجة الفق ��رة ال�سابقة ‪� ،‬أوجد ميل الم�ستقيم ل القاط ��ع لمنحني الدالة د والمار‬ ‫ً‬ ‫بالنقطتين ‪:‬‬

‫( ‪ ، 1‬د (‪ ، 2 ( ، ) )1‬د (‪) )2‬‬

‫ار�سم منحني الدالة د ‪ ،‬والم�ستقيم ل على ال�شكل نف�سه ‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫م�ضتقة الدالة‬

‫‪2-2‬‬

‫‪≤à°ûe‬ة ‪dGódG‬ة‬ ‫ا َّإن مفه ��وم م�ضتق ��ة الدال ��ة اأو ما ي�ض َّمى بمع ��دل تغير الدالة‬ ‫عند نقطة والذي يع ُّد من اأهم المفاهيم الريا�ضية واأثراها‬ ‫بالتطبيقات هو امتداد لمفهوم معدل تغير الدالة في فترة‪.‬‬ ‫ف� �اإذا كان لدين ��ا الم�ضتقي ��م ب القاط ��ع لمنحن ��ي الدال��ة‬ ‫�س=د (�س) في النقطتين ‪� ( :‬س ‪ ،‬د (�س ) ) ‪،‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ب ( �س ‪ +‬ه ‪ ،‬د (�س ‪+‬ه)) ‪،‬فا َّإن ميل الم�ضتقيم ب‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫والمم ِّثل لمعدل تغير الدالة د في الفترة التي طرفاها‬ ‫�س‪� ،0‬س‪ + 0‬ه ‪ ،‬ي�ضاوي المقدار ‪:‬‬ ‫�ضكل (‪)2-2‬‬ ‫د(�س‪ +0‬ه ) ‪ -‬د(�س‪)0‬‬ ‫‪ ،‬حيث ه ‪0‬‬ ‫ه‬ ‫واإذا ث َّبتن ��ا النقطة ‪ ،‬وح َّركن ��ا النقطة ب على منحني الدالة بحيث تقت ��رب �ضي ً‪Ä‬ا ف�ضي ً‪Ä‬ا من النقطة‬ ‫‪ ،‬ويتح� � َّول الم�ضتقي ��م ب اإلى مما�س للمنحني عن ��د النقطة ‪،‬كما في ال�ضكل (‪ ،)2-2‬نكون بذلك‬ ‫ق ��د جعلنا العدد ه متغي ًرا يقترب �ضي ً‪Ä‬ا ف�ضي ً‪Ä‬ا من ال�ضف ��ر (بينما اأبقينا العدد �س‪ 0‬ثابتًا) وح�ضلنا‬ ‫د(�س ‪ +‬ه ) د(�س )‬ ‫علىالدالة م (ه� ) ‪ 0 :‬ه ‪ ، 0 -‬ه ‪0‬‬ ‫والتي نهايتها عندما ه� ‪ 0‬تم ‪qn‬ثل بميل المما�س للمنحني عند النقطة ‪ ،‬اأي اإن ‪:‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها د(�س‪ +0‬ه ) ‪ -‬د(�س‪)0‬‬ ‫= ميل المما�س لمنحني الدالة د عند النقطة ( �س‪ ،0‬د ( �س‪))0‬‬ ‫ه‬ ‫ه� ‪0‬‬ ‫‪ 0‬يعن ��ي ا ‪qn‬أن‪� :‬س ‪ +‬ه�‬

‫وحي ��ث اإن ه�‬ ‫توؤول اإلى العدد �س‬ ‫ن � � � � � � �‪�0‬ها د(�س ‪ +‬ه ) ‪ -‬د(�س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬بمعدل تغير الدالة عند النقطة �س‬ ‫فاإننا ن�ض ‪qn‬مي‬ ‫‪0‬‬ ‫ه‬ ‫ه� ‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫�س‪ ، 0‬مما يجع ��ل الفترة التي طرفاها �س ‪� ،‬س ‪ +‬ه‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫تعري∞ ( ‪)3- 2‬‬

‫اإذا كانت الدالة د مع ‪qn‬رفة على فترة ف ‪ ،‬وكانت �س‪ 0‬نقطة داخلية في هذه الفترة ‪ ،‬فا ‪qn‬إن النه�اية ‪:‬‬ ‫ن � � � � � � ��ها د(�س ‪ +‬ه ) د(�س )‬ ‫‪0‬‬ ‫ ‪ - 0‬اإن وجدت ‪ -‬ت�ض ‪qn‬مى معدل تغير الدالة اأو م�ضتقة الدالة د عند‬‫ه‬ ‫ه� ‪0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫�س‪ ، 0‬ويرمز لها بالرمز (�س‪ ، )0‬ويقال‬ ‫عندئذ ا ‪qn‬إن الدالة د قابلة لا�ضتقاق عند �س‪0‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪69‬‬

á«fÉãdG IóMƒdG : ¿En Éa , 0¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb O ádGódG âfÉc GPEG ¬fCG í°VGƒdG øe (1-2 )

(0¢S)O - ( g +0¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f = (0¢S) g 0 `g

. ( ?GPɪd ) Ió«Mh (0¢S) ᪫b ¿ƒµJh ¿Eqn Éa , ( º«≤dG ¢†©H â«æãoà°SG ¿EGh ) É¡dÉée øe ¢S Égô«¨àªd ᪫b πµd ¥É≤à°TÓd á∏HÉb O á`` dGódG â`` fÉc GPEGh : É¡JóYÉbh ,¥É≤à°TÓd á∏HÉbh áaô©e O ÉgóæY ¿ƒµJ »àdG ¢S º«b áYƒªée É¡dÉée , ¢S »a ák dGO óqo ©J (2 - 2)

(¢S)O - (g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f = (¢S) g 0 `g á≤à°ûe GQk É°üàNG hCG ) O á`` dGó∏d á≤à°ûªdG ádGódÉH á`` dGódG ≈`` ªs °ùJ . á≤à°ûª∏d ÉkØjô©J É¡JóYÉb ót ©Jh , ( O ádGódG ø`` e á`` «FõL á`` Yƒªée

∫É`` ée ¿Cs G â`` éàæà°SG ∂`` ∏©d . O ∫Éée

(¢S)O = ¢U á`` dGódG á≤à°ûªd õeôj ó`` b ¬fCG √ôcP ô`` jóédG ø`` eh ¢U ¢S , ,(¢S)O ¢S ،(¢S) : á`` ÄaɵàªdG RƒeôdG øe …Cx É` `H ¢U : ¿Cs G ádGódG á≤à°ûe ≈∏Y ád’ó∏d ¢S õeôdG ìGôàbG ÖÑ°S πs ©dh (3-2) πµ°T

¢U∆ É¡`` ` ` ` ` ` ` ` ` `f (¢S)O - (g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f = g ¢S∆ 0 ¢S∆ 0 `g - (3-2) πµ°T ô¶fG -

¢U ≈∏Y ∫ój ¢S õeôdG ¿Cs G ≈dEG ô«°ûf ¿CG Oƒfh . áÑcôªdG ∫GhódG ¥É≤à°TG »a á`°UÉîdG ¬à«ªgCG õeôdG Gò`` ¡d ¿Cs G É`` ªc (áÑ°ùf hCG ) ᪰ùb π°UÉM ¬fCÉH ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈∏Yh *Éæg √ô«°ùØJ øµªj ’h , ¢S ≈dEG áÑ°ùædÉH ¢U ¥É`` ≤à`°TG á`` «∏ªY ¢U ¢U ¢U∆ õeôdG ∫ÉM ƒg ɪc õeôdG Ωóîà°ùf ¢S óæY á≤à°ûªdG ᪫b ÜÉ°ùëdh Åaɵj …òdGh 0 ¢S ¢S ¢S∆ ¢S = ¢S 0 (0¢S) ¢U 0 ( áÑ°ùf hCG ) ᪰ùb π°UÉM ¬fCG ≈∏Y ¢S ≈dEG ô`¶ædG øµªj ¬fCG Ék≤M’ iôæ°S *

(5) äÉ«°VÉjQ

70

ádGódG á≤à°ûe (1-2) OƒLh ¿Es Éa , ( 0

`g) ôØ°U ≈dEG ∫hDƒj ( 2 - 2 ) , ( 1 - 2 ) ø«fƒfÉ≤dG øe πc x »a ô°ùµdG ΩÉ≤e ¿Cs G ɪH . ( ?GPɪd ) ôØ°üdG ≈dEG ∂dòc §°ùÑdG ∫hDƒj ¿CG Ö∏£àj á≤à°ûªdG ºK øeh ájÉ¡ædG

ádÉM ¬LGƒæ°S – äóLh ¿EG – á≤à°ûªdG OÉéjE’ ájÉ¡ædG ÜÉ°ùM óæY ÉæfCG óéf áXƒë∏ªdG √òg ≈dEG GOk Éæà°SGh .ájÉ¡ædG ÜÉ°ùëd ¢†jƒ©àdG πÑb á浪ªdG QÉ°üàN’G äÉ«∏ª©H Ωƒ≤æ°S ÉæfEÉa Gòd ; ø««©àdG ΩóY

(5-2) ∫Éãe 1 = ¢S óæY 2¢S = (¢S)O ádGódG á≤à°ûe óLhCG 1 - 2( g +1) É¡`` ` ` ` ` ` ` f (1)O - ( g +1)O = g g 0 `g (`g +2) `g É¡`` ` ` ` ` ` ` f 1-2`g+`g2+1 2=0+2= g = g 0 `g 2

πëdG

É¡`` ` ` ` ` ` ` f = (1) 0 `g É¡`` ` ` ` ` ` ` f = 0 `g

: »∏j ɪc (1) Oó©dÉH É¡«a ¢†jƒ©àdG ºK , ádGódG IóYÉb OÉéjEÉH ≥HÉ°ùdG ∫ÉãªdG πM Éæ浪j ™bGƒdG »a

¢S - 2( g + ¢S) É¡`` ` ` ` ` ` ` f (¢S)O - (g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f = = (¢S) g 0 `g 0 `g g (`g + ¢S2) `g É¡`` ` ` ` ` ` ` f 2¢S -2 g + ¢S g2+ 2¢S É¡`` ` ` ` ` ` ` f = ¢S2 =0 + ¢S2 = g g 0 `g 0 `g 2 = 1 2 = (1) ¢S2 = (¢S) : ¿Eu G …CG 2

»a iôNCG á£≤f …Cu G ó`` æY á≤à°ûªdG ᪫b OÉéjEG É`` °†jC k G Éæ浪j Gò`` ¡Hh 0 = 0 2 = (0) : Ók ãªa ∫Éée 1=¢S óæY »æëæª∏d ¢SɪªdG π«e s¿CG øe ≥≤ëààd ; (4-2) πµ°T ô¶fG . (0) ƒg 0 = ¢S óæY »æëæª∏d ¢SɪªdG π«e s¿CG h , (1) ƒg (4-2) πµ°T

71

(5) äÉ«°VÉjQ

¢SɪªdG π«e OÉ`` éjEG π«¡°ùJ »`` a á≤à°ûªdG ᫪gCG â`` cQOCG ∂`` ∏©d . ∫Éée »a á£≤f …Cu G óæY ádGódG »æëæªd

á«fÉãdG IóMƒdG (6-2) ∫Éãe . á≤à°ûªdG ∫Éée Oóu Mh ,

5 , 1-

¢S å«M , 5 + ¢S3 = ¢U ádGódG á≤à°ûe óLhCG 5 , 1-

πëdG

≈∏Y 5 + ¢S3 = (¢S)O

(5 + ¢S3 ) - 5 + ( g + ¢S ) 3 É¡`` ` ` ` ` ` ` f (¢S)O - (g + ¢S)O = g g 0 `g 5 + ¢S3 - 5 + g 3+ ¢S 3 `g3 3 = 3 É¡`` ` ` ` ` ` ` f = g É¡`` ` ` ` ` ` ` f = g 0 `g 0 `g

É¡`` ` ` ` ` ` ` f = (¢S) 0 `g É¡`` ` ` ` ` ` ` f = 0 `g

5 , 1- = ∫Éée ¿Es Éa , ádGódG ∫Éée »aôW óæY ≥≤ëàj ’ …òdGh (3-2) ∞jô©àdG Ö°ùMh óæY »æëæªdG Gòg ¢Sɪe ¿Cs Gh , 5 + ¢S3 = ¢U : º«≤à°ùªdG §îdG øe AõL ƒg O ádGódG »æëæe ¿Cs G ßM’ π«ªdG ¿ƒµj ¿CG ∂dP øe èàæjh , 3 ¬∏«e …òdGh ¬°ùØf 5 + ¢S3 = ¢U º«≤à°ùªdG ƒg ¬WÉ≤f øe á£≤f …Cu G .»æëæªdG •É≤f ™«ªéd Ék àHÉK

(2-2)

( ¢S)O - ( g + ¢S)O 0 0 = (g) Ω ádGódG ¿Es Éa 0¢S Oó©dG ∫ƒM É¡Øjô©J ô«¨àj O ádGódG âfÉc GPEG g ( ¢S)O ( g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f 0 Ö`` ∏£àj 0 = ( ¢S) OÉéjEG ¿Cs G »æ©j Gògh , 0 = g ∫ƒM É¡Øjô©J g 0 `g 0 x ÜÉ°ùM 0 = g óæY iô°ù«dG h ≈檫dG ájÉ¡ædG øe πc

ô«¨àj

: Öàµfh 0¢S óæY ≈檫dG á≤à°ûªdÉH - äóLh ¿EG - ≈檫dG ájÉ¡ædG »ªu °ùf ( ¢S)O - ( g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f 0 á≤à°ûªdÉH - äóLh ¿EG - iô`` °ù«dG ájÉ¡ædG »ªu °ùf É`` ªc 0 =( ¢`` S) + g `g 0 0 ( ¢S)O - ( g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f 0 0 = ( ¢S) : Öàµfh 0¢S óæY iô°ù«dG g 0 `g 0 ∫ = (0¢S) ∫ = (0¢S) = (0¢S) : ¿Cs G èàæà°ùf ájÉ¡ædG Ωƒ¡Øe øeh ¿ƒµJ ádGódG ¿Es Éa , ɪgÓc hCG ɪgGóMEG óLƒJ ºd hCG iô°ù«dGh ≈檫dG á≤à°ûªdG hn É°ùàJ ºd GPEG ¬fCG »æ©j Gò`` gh . OƒLh É¡d ¢ù«d (0¢S) ¿Es G ∫ƒ≤fh , 0¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z , Ü , ≈∏Y áaôs ©e O ádGódG âfÉc GPEG ¬fCG âéàæà°SG ∂∏©d »`` g ±ô`` £dG ó`` æY É`` gOÉéjEG ø`` µªj »`` àdG á`` ≤à°ûªdG ¿Es É` `a . §≤a (Ü) »g Ü ±ô£dG óæYh , §≤a ( ) + (5) äÉ«°VÉjQ

72

ádGódG á≤à°ûe (7-2) ∫Éãe . äóLh ¿EG (2) óLhCÉa ,

¢S

2 - ¢S = (¢S)O âfÉc GPEG

πëdG 2 Oó©dG ∫ƒM É¡Øjô©J ô«¨àj ádGódG 2 ¢S 2 ¢S

(5-2) πµ°T

2 = ¢S ¿Éc GPEG ¿Éc GPEG

0 = 2 - ¢S 2- ¢S = (¢S)O ¢S -2

g 0 - 2 - g + 2 É¡`` ` ` ` ` ` ` `f (2)O - ( g + 2)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f = 1 = 1+É¡`` ` ` ` ` ` ` `f= g +É¡`` ` ` ` ` ` ` `f= = (2) + + g g 0 `g 0 `g 0 `g 0 `g g0 - ( g + 2) - 2 É¡`` ` ` ` ` ` ` `f (2)O - ( g + 2)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f 1- = (1-) -É¡`` ` ` ` ` ` ` `f = g -É¡`` ` ` ` ` ` ` `f= = =(2) g g 0 `g 0 `g 0 `g 0 `g . OƒLh É¡d ¢ù«d (2) (2) (2) GPEk G . »æëæª∏d ¢Sɪe ójóëJ Q sò©àj 2 = ¢S óæY ¬fCG ø«u Ñj …òdG (5-2) πµ°T ô¶fG 2 ¢S ¿Éc GPEG ( ? ∫Éée Ée ) 2 ¢S ¿Éc GPEG . äóLh ¿EG (0) óLhCÉa

1 1-

(2-2) ÖjQóJ (¢S)O : ¿Cs G øe ≥≤ëJ ≥HÉ°ùdG ∫ÉãªdG »a

0 ¢S

¿Éc GPEG

3

0 ¢S

¿Éc GPEG

2¢S

(8-2) ∫Éãe = (¢S)O âfÉc GPEG

πëdG

3-3 (0)O - ( g + 0)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f =(0) 0=0 +É¡`` ` ` ` ` ` ` `f = g +É¡`` ` ` ` ` ` ` `f = + g (6-2) πµ°T 0 `g 0 `g 0 `g 2 3 - g É¡`` ` ` ` ` ` ` `f (0)O - ( g + 0)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f =(0) g -0 `g = g 0 `g . OƒLh É¡d ¢ù«d (0) OƒLh É¡d ¢ù«d (0) ¿Cs G »æ©j Gògh , ( ?GPɪd )OƒLh É¡d ¢ù«d ájÉ¡ædG √ògh ( ? èàæà°ùJ GPÉe ) . Ók °UCG ¢Sɪe ¬d ¢ù«d 0 = ¢S óæY ádGódG »æëæe ¿Cu G ßM’h (6-2) πµ°T ô¶fG

73

(5) äÉ«°VÉjQ

á«fÉãdG IóMƒdG

∫É°üJ’Gh ¥É≤à°T’G á«∏HÉb ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ¿ƒµJ ød É¡fEÉa á£≤f óæY á∏°üàe ô«Z ádGódG âfÉc GPEG ¬fCG ≥HÉ°ùdG ∫ÉãªdG øe âéàæà°SG ∂fCG ós H’ : ∫ƒ≤f ¿CG ôNBG ô«Ñ©àH Éæ浪jh , ÉgóæY ¢Sɪe OƒLh á«fɵeEG Ωó©d ∂dPh ; á£≤ædG √òg óæY .ÉgóæY á∏°üàe ¿ƒµJ ¿CG ós H’ á£≤f óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉ≤dG ádGódG ¥É≤à°TG á«∏HÉb ¿Cs ÉH ó«ØJ »`` àdGh ( 1-2) áXƒë∏ªdG øe ádƒ¡°ùH êÉàæà°S’G Gòg ≈dEG ∫ƒ`` °UƒdG Éæ浪j ™bGƒdG »`` ah ¢S á£≤ædG óæY ádGódG 0 s Gk ôØ°U = ( ¢S)O - ( g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f : ¿ƒµJ ¿CG IQhô°†dÉH Ö∏£àJ 0 0 ` g 0 ( ¢S)O - ( g + ¢S)O É¡`` ` ` ` ` ` ` f : •ô`°ûdG ≥≤ëàj ¿CG …CG 0 0 0 `g : ƒg ¬≤≤ëJ ܃∏£ªdG •ô°ûdG íÑ°üj h 0 ¢S 0 `g ¿Eqn Éa , g + ¢S = ¢S : ¿Cqn G ¢VôØHh 0 ¢S óæY á∏°üàe ádGódG ¿ƒµJ ¿CG …CG , ( ¢S )O = ( ¢S )O É¡`` ` ` ` ` ` ` f 0

¢S

0

0

¢S

: á«dÉàdG ájô¶ædG ÉæàÑKCG ób ¿ƒµf Gòµgh

(1-2) ájô¶f ¢S óæY á∏°üàe ¿ƒµJ O ¿Eqn Éa , ¢S á£≤f óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb O ádGódG âfÉc GPEG

0

0

x »Øa ; ájô¶ædG √òg áë°U ¿GócDƒj (6-2) , (5-2) ø`` «dÉãªdG ¿Es G É¡dÉée ≈∏Y ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ádGódG ɪ¡æe πc ádGódG ¬«a …òdGh (7-2) ∫ÉãªdG Ées CG . ( ?GPÉ`` ªd ) É¡dÉée ≈∏Y á∏°üàe ∂dòc »gh , ±GôWC’G ¬`` æe ≈`` æãà°ùªdG ô«Z ájô¶ædG √òg ¢ùµY ¿Cs G ≈∏Y ócDƒ«a, ÉgóæY á∏°üàe É¡fCG øe ºZôdG ≈∏Y 2 = ¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z : ¿Es G …CG , í«ë°U á£≤ædG √òg óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ¿ƒµJ ¿CG IQhô°†dÉH ¢ù«d á£≤f óæY á∏°üàªdG ádGódG : ø«ÑÑ°S óMCG ≈dEG -É«v °Sóæg -™Lôj ób á£≤f óæY á∏°üàªdG ádGódG ¥É≤à°TG á«∏HÉb ΩóY ¿Cs G ™bGƒdG »a ∫ÉãªdG »a ɪc, ( øcôdG πµ°T òNCÉj ádGódG »`` æëæe ÉgóæY ) á«æcQ á£≤ædG ¿ƒ`` µJ ¿CG . »æëæª∏d ¢Sɪe óLƒj ’ ÉgóæYh, (7-2) ‫و‬

0¢S

(7-2) πµ°T

¿ƒµj ød »dÉàdÉHh, (

Qƒëª∏d Éjk RGƒe) á£≤ædG √òg óæY É«v °SCGQ ¢`` SɪªdG ¿ƒ`` µj ¿CG - (7-2) πµ°T ô¶fG - π«e ¬d (5) äÉ«°VÉjQ

74

ádGódG á≤à°ûe ΩCG É¡«æëæe ≈`` ∏Y 0¢S á£≤f óæY ¥É≤à°TÓd á`` ∏HÉb á∏°üàªdG á`` dGódG âfÉc GPEG Ée ±É`` °ûàcG É`` v `«∏ªY É`` æ浪jh m óM ( ±Éc x ≈dEG ) ó`` jGõàªdG ô«ÑµàdG ô«KCÉJ âëJ á£≤ædG √ò`` ¡d …ƒàëªdG »æëæªdG AõL ™°†f ¿CÉ` `H ∂`` dPh ; ’ : ¿Cs G ÉfóLh GPEÉa (8-2) πµ°ûdG »a ɪc ( Gô«eÉchCG) IôÑu µe á°SóY ΩGóîà°SÉH ádGódG âfÉc ( ¢Sɪe ) »`` °SCGQ ô«Z º«≤à°ùªd É¡k HÉ°ûe hóÑj ¿CG ≈`` dEG ÉÄk «°ûa ÉÄk «°T º«≤à°ùj »`` æëæªdG Aõ`` L 1 ¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb 0 ádGódG âfÉc( »°SCGQ ¢Sɪe ) »°SCGQ º`` «≤à°ùªd É¡k HÉ°ûe hóÑj ¿CG ≈dEG ÉÄk «°ûa ÉÄk «°T º«≤à°ùj »`` æëæªdG Aõ`` L 2 ¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z 0

,ô«ÑµàdÉH ÉgDhÉØNEG øµªj ’ á«æcQ á£≤f) 0¢S ∫ƒM ô«ÑµàdG OGR ɪ¡e áeÉ≤à°S’G ≈dEG ¬éàj ’ »æëæªdG AõL 3 ¢S óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z ádGódG âfÉc (¢SɪªdG ójóëJ ÉgóæY Qò©àjh 0

¥É`` ≤à°TÓd á`` ∏HÉb ô`` «Z á`` dGódG (3 (á«æcQ á£≤f)

¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z ádGódG (2 (»°SCGQ ¢Sɪe )

¥É≤à°TÓd á∏HÉb ádGódG (1 (»°SCGQ ô«Z ¢Sɪe)

(8-2) πµ°T

á≤jô£dÉHh Iô`` Ñu µe á°SóY ô«KCÉJ âëJ (4-2) πµ`` °ûdG »a ¢SɪàdG á`` £≤f …ƒàëªdG »æëæªdG Aõ`` L ™`` °V . á£≤ædG √òg óæY ¢SɪªdG øe ÉÄk «°ûa ÉÄk «°T Üôà≤j »æëæªdG ¿Cs G ßM’h , É¡°ùØf á≤HÉ°ùdG z »æëæªdG π«ªH { »æëæª∏d ¢SɪªdG π«e øY ô«Ñ©àdG ≈∏Y ¥ÉØJÓd ÉÑk Ñ`°S ¿Éc É`æg ¬à¶M’ Ée π`ãe πs `©dh

(3-2) ᪫b OÉéjEG Éæ浪j ¬fEÉa , ádGódG ∞jô©J É¡dƒM ô«¨àj »`` ` àdG 0¢S á£≤ædG óæY á∏°üàe O á`` dGódG â`` fÉc GPEG ( ¢S QÉ°ùj ≈∏Y hCG ) ø«ªj ≈∏Y ( ¢S) IóYÉb »a ¢†jƒ©àdÉH – äóLh ¿EG - ( ( ¢S) hCG) ( ¢S) 0 0 0 0 x ᪫b OÉéjEÉH Éæd íª°ùj 2 = ¢S óæY ádGódG ∫É°üJG ¿Cs G óéf (7-2) ∫ÉãªdG »Øa , Ik ô°TÉÑe ,(2) øe πc : IóYÉ≤dG »a ¢†jƒ©àdÉH (2) 1 = (2) 2 ¢S ¿Éc GPEG 1 = (¢S) 1- = (2) 2 ¢S ¿Éc GPEG 1∫ÉãªdG »Øa , ¢S óæY ádGódG ∫É°üJG Éæjód âÑãj ºd ¿EG ( ¢S) IóYÉb »a ¢†jƒ©àdG øe QòëdG Öéj ¬fCG ’s EG 0 óæY ádGódG ∫É°üJG ΩóY ¿Cs ’ ;0 2 (0) ɪæ«H , ( ?GPɪd ) 0 ¢S ¿Éc GPEG ¢S2= ( ¢S) : ( 8-2 ) . (0) OƒLh ΩóY ≈dEG iOs CG QÉ°ù«dG øe 0= ¢S

75

(5) äÉ«°VÉjQ

á«fÉãdG IóMƒdG

(2-2) øjQɪJ Ö°ùMG ºK,ádGódG á``≤à°ûe OÉ``éjE’ á≤à°ûªdG ∞``jô©J Ωó``îà°SG 8 ≈dEG 1 ø``e ø``jQɪàdG »``a 1 = ¢S , 5 = ¢S , 1 ¢S , 2 = 0 = ¢S ,

:IÉ£©ªdG á£≤ædG óæY ɡફb

1 ¢S 5- = ( ¢S)O 1- ¢S2- = ( ¢S)O

2

3 - = ¢S ,

3 = ( ¢S)O

1

4

6 = ¢S ,

7 + ¢S4 = ( ¢S)O

3

¢S - 5 = ( ¢S)O

6

2 = ¢S ,

1 + ¢S - 2¢S = ( ¢S)O

5

1 + 3¢S4 = ( ¢S)O

8

1 - = ¢S ,

¢S = ( ¢S)O

7

2

3

OóM u ºK , á``dGódG á≤à°ûe OÉ``éjE’ á≤à°ûªdG ∞jô©J Ωó``îà°SG 14 ≈dEG 9 ø``e ø``jQɪàdG »``a : á≤à°ûªdG ∫Éée ¢S3 + 2¢S2 = ( ¢S)O 5 0 ≠ ¢S , ¢S = ( ¢S)O 1 ¢S , 1 - ¢S = ( ¢S)O

¢S2 - 1= ( ¢S)O

9

¢S ,

1 - 2¢S = ( ¢S)O

11

0 ¢S ,

¢S = ( ¢S)O

13

10 12 14

1 , 1-

- OƒLh É¡d ¿Éc ¿EG - ádGódG á≤à°ûe OÉéjE’ á``≤à°ûªdG ∞jô©J Ωóîà°SG 20 ≈dEG 15 øe ø``jQɪàdG »``a p Gh , ádGódG ∞jô©J É¡dƒM ô«¨àj »àdG á£≤ædG óæY :á≤à°ûªdG OƒLh ΩóY ádÉM »a É«v °Sóæg GQk ôÑe §YC ¢S2 = ( ¢S) O 2 ¢S ¿Éc GPEG 4- ¢S4 2 ¢S ¿Éc GPEG

¢S 2

= (¢S)O

¢S ¢S = ( ¢S)O

16 18 20

7 + ¢S = (¢S)O 1 ¢S ¿Éc GPEG ¢S 3 1 ¢S

¿Éc GPEG

3

3 ¢S ¿Éc GPEG 1- ¢S4 3 ¢S ¿Éc GPEG 1+ ¢S 2

15

=(¢S)O

17

=(¢S)O

19

(5) äÉ«°VÉjQ

76

ádGódG á≤à°ûe ºK ,á≤à°ûªdG ∞jô©J Éeóîà°ùe ádGódG á≤à°ûe OÉ`` éjE’ 20 ≈dEG 15 øe øjQɪàdG »a πëdG π`` ªµà°SG k .á≤à°ûªdG ∫Éée OóM qp

21

O ádGó∏d »`` fÉ`«ÑdG π«ãªàdG í`` °Vƒj u QhÉ`éªdG πµ`` °ûdG 22 :ÉgóæY ¿ƒµJ »àdG ¢S º«b ójóëàd πµ°ûdG Ωóîà°SG . ÖÑ°ùdG ôcP ™e , ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z ádGódG .ôØ°üdG …hÉ°ùJ ádGódG á≤à°ûe , Q ádGó∏d »fÉ`«ÑdG π«ãªàdG í°Vƒj u QhÉ`éªdG πµ`` °ûdG 23 :ÉgóæY ¿ƒµJ »àdG ¢S º«b ójóëàd πµ°ûdG Ωóîà°SG . ÖÑ°ùdG ôcP ™e , á∏°üàe ô«Z ádGódG . ÖÑ°ùdG ôcP ™e , ¥É≤à°TÓd á∏HÉb ô«Z ádGódG

¥É≤à°TÓd á∏HÉb h 3 - , 1 - ≈`` ∏Y á∏°üàe ¿ƒµJ å«ëH 1 - ≈`` ∏Y áaôs ©e O á`` dGO »`` æëæe º`` °SQG 24 4 , 3 - , 1 - ≈∏Y

,

77

( ¢S )O -(´)O É¡`` ` ` ` ` ` ` `f u 25 ¢S - ´ ¢S ´ =(¢S) On : ᨫ°üdÉH ( 2 -2 )á≤à°ûªdG ∞jô©J áHÉàc øµªj ¬fCG ∞«c í`` °Vh 2 ¢S = ( ¢S)O : ádGódG á≤à°ûe OÉéjE’ ᨫ°üdG √òg Ωóîà°SG ºK

(5) äÉ«°VÉjQ

‫الوحدة الثانية‬

‫‪¥É≤à°T’G óYGƒb‬‬

‫‪3-2‬‬

‫اأو‪L‬دن ــا ا‪B‬نفًا م�ستقات العديد من الدوا∫ با�ست‪î‬دام تعري∞ الم�ستقة ‪ ,‬ونظ ًرا ل َّأن هذه الطريقة ‪Z‬ال ًبا ما‬ ‫تتطلب الكثير من الجهد والوق‪ , â‬فقد �سعى الريا�سيون لالإفاد‪ I‬من تعري∞ الم�ستقة في ا�ستنتا‪ ê‬قواعد‬ ‫اأ�سا�سي ــة متنوعة تمكننا من اإيجاد الم�ستقة بفاعلية و�سهولة ‪e‬با‪T‬صر ‪k‬ة ‪hO‬ن ال∏‪é‬و‪ A‬ا‪E‬ل≈ ‪©J‬ر‪ ∞j‬الم‪û‬ص‪≤à‬ة‬ ‫‪Sh‬ص‪ Ωóu ≤æ‬ه‪ √ò‬ال≤وا‪ ∫ÓN øe óY‬ال‪æ‬ظر‪j‬ا‪ ä‬ال‪à‬الية ‪àfh‬ا‪¡éF‬ا ‪:‬‬

‫‪f‬ظر‪j‬ة (‪)2-2‬‬

‫" ‪ûe‬ص‪≤à‬ة ال‪ó‬الة ال‪ã‬اب‪à‬ة "‬ ‫اإ‪P‬ا كان‪ â‬د(�س) = ‪ , ç‬حي‪ ç å‬عدد ثاب‪ , â‬فا ‪qn‬إن (�س) =‪, 0‬‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫ا‪ hC‬ب©بارة ا‪NC‬ر‪0 = ç ¢S : i‬‬

‫وبعبـار‪ I‬لفظيـة نقـو∫ ‪ûe :‬صـ‪≤à‬ة ال‪ó‬الـة ال‪ã‬اب‪à‬ـة ه» ال‪ó‬الـة ال�صفر‪j‬ـة ‪.‬‬

‫الـبرهان‬

‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س ‪ +‬ه) ‪ -‬د(�س)‬ ‫(�س)=‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪ = ç - ç‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها ‪0 = 0‬‬ ‫ه‬ ‫هـ ‪ 0‬ه‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬

‫لحظ اأن¬ يمكننا تف�سير هذه النظرية هند�س ‪v‬يا با َّأن الدالة الثابتة يم ‪u‬ثلها م�ستقي‪ º‬يوا‪ …R‬المحور ال�سيني‬ ‫وميل¬ ي�ساو… �سف ًرا ‪ ,‬وا َّأن مما�س هذا الم�ستقي‪ º‬عند ا ‪u‬أ… نقطة من نقا‪ ¬W‬هو الم�ستقي‪ º‬نف�س¬‪.‬‬

‫مثا∫ (‪)9-2‬‬ ‫‪¢S‬‬

‫‪0 = 17‬‬

‫‪¢S‬‬

‫‪0= 5‬‬

‫‪1‬‬‫‪3 ¢S‬‬

‫‪f‬ظر‪j‬ة (‪)3-2‬‬

‫" ‪b‬ا‪óY‬ة ال≤وة "‬ ‫اإ‪P‬ا كان‪ â‬د(�س) = �س ن حي‪� å‬س ‪ ,‬ن‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫ا‪ hC‬ب©بارة ا‪NC‬ر‪¢S ¢S : i‬ن = ن ‪¢S‬‬

‫‪78‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪ ,‬فا ‪qn‬إن (�س) = ن �س‬ ‫(‪)4-2‬‬

‫ن‪1-‬‬

‫=‬

‫قواعد ال�ستقاق‬ ‫الـبرهان‬

‫(�س)= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س ‪ +‬ه) ‪ -‬د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها (�س ‪ +‬ه) ‪� -‬س‬ ‫ه‬ ‫ه‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫(ح�سب نظرية ‪P‬ات الحدين )‬ ‫وحي‪ å‬ا َّإن ‪�( :‬س ‪ +‬ه ) = ن �سن ‪ -‬ه‬ ‫ن‬

‫=‪0‬‬

‫فا َّإن (�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ ‪0‬‬

‫ن‬

‫�سن ‪� 1 +‬س ه ‪� 2 +‬س ه ـ ‪ + ... +‬ه ‪� -‬س‬ ‫ه‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ه ن ‪1-‬‬ ‫�سن ‪2-‬‬ ‫�سن ‪1-‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ـ‬ ‫ه‬ ‫هـ (‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫= ‪� 1‬س ‪ = 1-‬ن‬ ‫ه‬ ‫ن ‪1-‬‬

‫ن‬

‫ن ‪2-‬‬

‫ن‬

‫ن‬

‫‪2‬‬

‫ن‬

‫مثا∫ (‪)10-2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪¢S = (¢S)O‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪¢S = (¢S)O‬‬

‫)‪¢S 3 = (¢S‬‬

‫‪7‬‬

‫)‪¢S 8 = (¢S‬‬

‫نتيجة (‪)1-2‬‬ ‫‪ûe‬ص‪≤à‬ة ال‪ó‬الة الم‪ë‬ا‪ój‬ة ه» ال‪ó‬الة الوا‪jóM‬ة;ذل∂ ا‪s C‬ن ‪¢S = (¢S)O‬‬

‫)‪ ,1 = (¢S‬ا‪ …C‬ا‪s E‬ن ‪� ¢S :‬س =‪1‬‬

‫(‪)4-2‬‬ ‫�سنقبل ب�سحة النظرية (‪ ) 3-2‬في حالة ن‬

‫‪� ,‬سريطة اأن يكون ‪� :‬سن‪ 1-‬مع َّرفـًا ‪.‬‬

‫‪f‬ظر‪j‬ة (‪)1-2‬‬ ‫اإ‪P‬ا كان‪ â‬ك ‪lq‬ل من الدالتين ‪ :‬د‪ ,1‬د‪ 2‬قابلة لال�ستقاق عند �س ‪ ,‬فا ‪qn‬إن ك ً‪q‬ال من الدوا∫ ‪:‬‬ ‫د‬ ‫(د‪ + 1‬د‪ , 2‬د‪ - 1‬د‪ ,2‬د‪ . 1‬د‪ , 2‬د‪ 12‬حي‪ å‬د‪�( 2‬س) ‪ )0‬قابلة لال�ستقاق عند �س وتكون ‪:‬‬ ‫( ‪) 5 -2‬‬ ‫‪b 1‬ا‪óY‬ة الم‪é‬مو´ ‪(:‬د‪ + 1‬د‪�( )2‬س) = ‪�(1‬س) ‪�(2 +‬س)‬ ‫( ‪) 6 -2‬‬ ‫‪b 2‬ا‪óY‬ة الفر‪(: ¥‬د‪ - 1‬د‪�( )2‬س) = ‪�(1‬س) ‪�(2 -‬س)‬ ‫‪b 3‬ا‪óY‬ة ال†صر‪(: Ü‬د‪ . 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(2‬س) ‪�(1 .‬س) ‪ +‬د‪�( 1‬س)‪�( 2 .‬س) ( ‪)7 -2‬‬ ‫د‪�(2‬س)‪�( 1 .‬س) ‪ -‬د‪�( 1‬س)‪�( 2 .‬س)‬ ‫د‪1‬‬ ‫(‪) 8 -2‬‬ ‫‪b 4‬ا‪óY‬ة ال≤‪ù‬صمة ‪( :‬‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫د‪2‬‬ ‫د‪�(2‬س)‬ ‫ع ‪u‬بر عن القواعد الأربع ال�سابقة با�ست‪î‬دام الرم‪õ‬‬

‫�س‬

‫‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪79‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫وفيما يلي نع َّبر عن هذه القاعدات ب�صورة لفظية ت�سهي ًال لحفظها ‪:‬‬ ‫= م�شتقة الأولى ‪ +‬م�شتقة الثانية‬

‫‪ 1‬م�شتقة مجمـوع دالتين‬ ‫‪ 2‬م�شتقة الفرق بين دالتين = م�شتقة الأولى ‪ -‬م�شتقة الثانية‬ ‫‪ 3‬م�شتقة حا�صل �ضرب دالتين = الثانية م�شتقة الأولى ‪ +‬الأولى م�شتقة الثانية‬ ‫الثانية م�شتقة الأولى ‪ -‬الأولى م�شتقة الثانية‬ ‫‪ 4‬م�شتقة ناتج ق�سـمة دالتين =‬ ‫مربع الثانية‬ ‫وبالنظر �إلى الدالتين كب�سط ومقام يمكننا �أن نكتب ‪:‬‬ ‫المقام م�شتقة الب�سط ‪ -‬الب�سط م�شتقة المقام‬ ‫م�شتقة ناتج ق�سـمة دالتين =‬ ‫مربع المقام‬

‫الـبرهان‬ ‫(د‪ + 1‬د‪�( )2‬س ‪ +‬ﻫ) ‪( -‬د‪ + 1‬د‪�( )2‬س)‬ ‫‪( 1‬د‪ + 1‬د‪�( )2‬س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�( 1‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ +‬د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪� ( 1‬س ) ‪ +‬د‪� ( 2‬س )‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�( 1‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪� ( 1‬س ) ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪� (2‬س )‬ ‫= ‪�(1‬س) ‪�(2 +‬س)‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫‪ 2‬يترك تدريب ًا للطالب وهو ممـاثل لبرهان (‪. )1‬‬ ‫(د‪ . 1‬د‪�()2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪( -‬د‪ . 1‬د‪�()2‬س )‬ ‫‪( 3‬د‪ . 1‬د‪�( )2‬س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫د‪�( 1‬س ‪ +‬ﻫ) ‪ .‬د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�( 2‬س )‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫د‪�( 1‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ .‬د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�(2‬س ‪ +‬ﻫ)‪ +‬د‪�( 1‬س) ‪ .‬د‪�( 2‬س‪ +‬هـ) ‪ -‬د‪�(1‬س)‪.‬د‪�(2‬س)‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫د‪�(1‬س)‪ .‬د‪�(2‬س‪ +‬هـ) ‪ -‬د‪�(1‬س)‪.‬د‪�(2‬س)‬ ‫د‪�(1‬س ‪ +‬ﻫ )‪.‬د‪�(2‬س‪ +‬هـ) ‪ -‬د‪�(1‬س)‪.‬د‪�(2‬س‪ +‬هـ)‬ ‫‪ +‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫ـ‬ ‫ه‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪� ( 2‬س )‬ ‫د‪�( 1‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ -‬د‪� ( 1‬س )‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪ .‬د‪�( 2‬س ‪ +‬ﻫ ) ‪ +‬ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�( 1‬س)‪.‬‬ ‫هـ‬ ‫ـ‬ ‫ه‬ ‫ـ‬ ‫ه‬ ‫‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫= ‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�( 2‬س) ‪ +‬د‪�(1‬س) ‪�(2 .‬س) ؛( ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د‪�( 2‬س‪ +‬هـ) = د‪�( 2‬س) ؛ ل َّأن د‪ 2‬قابلة لال�شتقاق فهي مت�صلة عند �س )‬ ‫هـ‬

‫‪0‬‬

‫( لماذا؟ )‬

‫الحظ � َّأن ‪�(1 :‬س) ‪ .‬د‪�( 2‬س) = د‪�( 2‬س) ‪�( 1 .‬س)‬ ‫‪ 4‬يترك تدريب ًا للطالب ويعالج بطريقة ممـاثلة لطريقة برهان (‪. )3‬‬

‫‪80‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال�ستقاق‬ ‫(‪)5-2‬‬ ‫يمكن تعمي‪ º‬قاعدتي الجمع والفرق ( ‪ )6 -2 ( , )5 -2‬ل ‪u‬أ… ‪m‬‬ ‫عدد منت ‪ ¬m‬من الدوا∫ ولتكن‪ :‬د‪ ,1‬د‪ ,2‬د‪ ,...,3‬د‬ ‫القابلة لال�ستقاق عند �س بالقاعد‪ I‬التالية ‪:‬‬

‫ن‬

‫‪ ...‬دن ) (�س) = ‪�(1‬س)‬

‫(د‪ 1‬د‪ 2‬د‬

‫‪3‬‬

‫‪�(2‬س)‬

‫‪�(3‬س) ‪...‬‬

‫ن(�س) (‪)9 - 2‬‬

‫نتيجة (‪)2-2‬‬ ‫‪ øe 1‬ال≤ا‪JóY‬ي‪ùf ) 7 -2 ( , ) 3 -2 ( ø‬ص‪b èàæà‬ا‪óY‬ة ال†صر‪K »a Ü‬اب‪h â‬ه» ‪:‬‬ ‫اإ‪P‬ا كان ‪ ç‬عد ًدا ثابتًا والدالة د قابلة لال�ستقاق عند �س ‪ ,‬فا ‪qn‬إن ‪ . ç( :‬د ) (�س) = ‪�( . ç‬س) (‪)10-2‬‬

‫‪ øe 2‬ال≤ا‪óY‬ة ( ‪ùf ) 8 -2‬ص‪b èàæà‬ا‪óY‬ة الم≤∏و‪h Ü‬ه» ‪:‬‬ ‫ (�س)‬‫‪1‬‬ ‫اإ‪P‬ا كان‪ â‬الدالة د قابلة لال�ستقاق عند �س ‪ ,‬وكان‪ â‬د(�س) ‪ 0‬فا ‪qn‬إن ‪ ( :‬د ) (�س)=‬ ‫د(�س)‬

‫‪2‬‬

‫(‪)11-2‬‬

‫مثا∫ (‪)11-2‬‬ ‫د(�س) = ‪� 6‬س‬ ‫د(�س) = ‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫�س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�س‬ ‫‪7‬‬ ‫‪� 7‬س‬ ‫‪8‬‬‫(�س) = ‪� 7 - = 87- = 14 - = 2 7 -‬س‬ ‫�س‬ ‫(�س )‬ ‫�س‬ ‫وح�سب الملحو‪X‬ة (‪ )4-2‬فاإن¬ يمكننا كذل∂ اإيجاد (�س) من قاعد‪ I‬القو‪ I‬كما يلي ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫د(�س) = �س‬

‫‪7-‬‬

‫(�س) = ‪� 4 6‬س‪� 24 = 3‬س‬

‫‪3‬‬

‫(�س)= ‪� 7-‬س‪� 7- = 1-7-‬س‬

‫‪8-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪81‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نتيجة (‪)3-2‬‬ ‫من القاعدات ‪ )10-2) , (9 -2) , (4 -2) , (3-2( :‬مجتمع ًة ن�ستنتج ا َّأن ‪:‬‬

‫‪ ,‬وم�ستقتها كثير‪ I‬حدود من الدر‪L‬ة ن – ‪1‬‬

‫دال ــة كثي ــر‪ I‬الحدود من الدر‪L‬ة ن هي قابلة لال�ستقاق �س‬ ‫تعطى بالقاعد‪ I‬التالية ‪:‬‬

‫�س‬

‫ن�سن ‪� 2 + … +‬س‪�1 + 2‬س ‪ = 0 +‬ن ن�س ن ‪� 2 2 + …+ 1 -‬س ‪1 +‬‬

‫( ‪) 12 -2‬‬

‫لعل¬ تاأكد ل∂ ا َّأن م�ستقة الدالة ال‪î‬طية د(�س) = �س ‪ +‬ب هي الدالة الثابتة (�س) =‬ ‫(ا‪P‬كرالتف�سير الهند�سي لذل∂ )‬

‫مثا∫ (‪)12-2‬‬ ‫اأو‪L‬د م�ستقة ‪x‬‬ ‫كل من الدالتين التاليتين ‪:‬‬ ‫‪) 7 + ¢S ) 3¢S 2 = (¢S)O‬‬

‫‪9 - 2¢S 2 - 3¢S 7 + 5¢S 3 = (¢S)O‬‬

‫الحل‬ ‫(�س) = ‪� 5 3‬س‪� 3 7 + 4‬س‪�2 2 - 2‬س ‪0 +‬‬ ‫= ‪� 15‬س‪� 21 + 4‬س‪� 4 - 2‬س‬ ‫(�س) = (�س ‪) 7 +‬‬

‫�س ‪� 2‬س‪� 2( + 3‬س‪) 3‬‬

‫= (�س ‪� 3 2( )7 +‬س‪� 2 + )2‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪�6‬س‪�( 2‬س ‪�2 + ) 7 +‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪�6‬س‪�42+ 3‬س‪�2 + 2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪�8‬س‪�42 + 3‬س‬

‫‪3‬‬

‫�س �س ‪7 +‬‬

‫‪1‬‬

‫اأعد حل فقر‪( I‬ب) و‪P‬ل∂ باإ‪L‬را‪ A‬عملية ال†سرب اأو ًل ‪ ,‬ث‪ º‬عملية ال�ستقاق‪.‬‬

‫‪82‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال�ستقاق‬ ‫مثا∫ (‪)13-2‬‬

‫‪2‬‬

‫اأو‪L‬د م�ستقة الدالة د(�س) =‬

‫الحل‬ ‫(�س) =‬

‫‪� 6‬س‬

‫اإ‪P‬ا كان‬

‫‪� 6‬س‬

‫‪2‬‬

‫اإ‪P‬ا كان‬

‫ا‪E‬ذا ‪c‬ان‬

‫‪1 ¢S‬‬

‫‪¢S 3‬‬

‫‪ 1 + 3¢S2‬ا‪E‬ذا ‪c‬ان‬

‫‪1 ¢S‬‬

‫�س ‪1‬‬ ‫�س ‪1‬‬

‫اأ َّما عند �س =‪ 1‬ف�سنبح‪ å‬الم�ستقة بعد بح‪ å‬ات�سا∫ الدالة ؛ و‪P‬ل∂ ح�سب الملحو‪X‬ة ( ‪) 3 -2‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‬‫�س ‪1‬‬ ‫‪+‬‬

‫د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪� 3( +‬س‪3=1 3= )2‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = ‪ = 3‬د(‪)1‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫د(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‪�2( -‬س‪3=1+1 2= )1 + 3‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫وهذا يعني ا َّأن الدالة مت�سلة عند �س = ‪1‬‬

‫( ‪� 6( = ) 1‬س) = ‪6‬‬ ‫�س = ‪1‬‬

‫( ‪� 6( = ) 1‬س‪6 = )2‬‬

‫(‪6= )1‬‬

‫�س = ‪1‬‬

‫مثا∫ (‪)14-2‬‬

‫اأو‪L‬د م�ستقة الدالة �س = ‪� 2‬س ‪ , 3 +‬ث‪ º‬اح�سب ميل المما�س لمنحني هذه الدالة عند النقطة ( ‪. ) 5 , 1‬‬ ‫‪� 3‬س – ‪2‬‬

‫الحل‬ ‫�س‬

‫�س =‬

‫( ‪� 3‬س –‪) 2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪� 2‬س ‪� 2 ( – 3 +‬س ‪�A ) 3 +‬س ‪� 3‬س– ‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪� 3‬س – ‪) 2‬‬

‫( ‪� 3‬س ‪�2( - )2() 2 -‬س ‪�6 )3()3 +‬س ‪�6 - 4 -‬س ‪9 -‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪� 3‬س – ‪) 2‬‬ ‫(‪� 3‬س – ‪) 2‬‬ ‫�س‬ ‫‪13‬‬‫=‬ ‫ا ًإ‪P‬ا‬ ‫‪2‬‬ ‫�س (‪� 3‬س–‪) 2‬‬

‫�س‬ ‫ميل المما�س لمنحني الدالة عند النقطة ( ‪= ) 5 , 1‬‬ ‫�س‬

‫�س = ‪1‬‬

‫‪13‬‬‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪) 2–1 3‬‬

‫= ‪13 -‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪83‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثا∫ (‪)15-2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اأو‪L‬د النقطة الواقعة على المنحني ‪� :‬س =‬ ‫�س‪2 + 2‬‬

‫الحل‬

‫�س‬ ‫�س = ‪6‬‬

‫‪¢U‬‬ ‫والتي يكون عندها ‪0 = ¢S‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س �س‪2 + 2‬‬

‫ ( �س �س‪) 2 + 2‬‬‫=‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س‪)2 + 2‬‬ ‫‪�12‬س‬‫‪�2‬س‬‫=‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س‪�( 2)2 + 2‬س‪)2 + 2‬‬ ‫�س‬

‫�س =‪0‬‬ ‫�س =‪0‬‬

‫‪�12‬س‬‫‪2‬‬ ‫(�س‪)2 + 2‬‬ ‫�س = ‪6‬‬ ‫= ‪ , 3‬ا ًإ‪P‬ا النقطة المطلوبة هي ( ‪) 3 , 0‬‬ ‫‪2+0‬‬ ‫‪�12-‬س = ‪0‬‬

‫=‪0‬‬

‫تدريب (‪)3-2‬‬ ‫اقرن ‪qn‬‬ ‫كل دالة من القا‪F‬مة الأولى بم�ستقتها في القا‪F‬مة الثانية ‪ ,‬و‪P‬ل∂ بكتابة رق‪ º‬الدالة عن يمين م�ستقتها ‪:‬‬ ‫ال≤ا‪F‬مة ا’‪hC‬ل≈‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬د(�س) = �س‬

‫‪ 2‬د(�س) = �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬د(�س) = ‪� 2‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪84‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ال≤ا‪F‬مة ال‪ã‬ا‪f‬ية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(�س) = ‪� 2‬س ‪2 -‬‬ ‫(�س) = �س‬ ‫(�س)= ‪� 1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‪2-‬‬ ‫(�س) =‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬ ‫م�شتقا‪ ä‬الدوال المثلثية‬ ‫�شنبداأ باإيجاد م�شتقة ٍّ‬ ‫كل من دالتي الجي‪ Ö‬وجي‪ Ö‬التمام با�شت‪î‬دام تعري∞ الم�شتقة وبالإفادة من النهايتين ‪:‬‬ ‫جا �س‬ ‫جتا �س ‪1 -‬‬ ‫ـها‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ـ‬ ‫ن‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها �س = ‪، 1‬‬ ‫(حيث �س ‪R‬اوية مقي�شة بالراديان ) ‪،‬‬ ‫�س = ‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ثم ن�شتنت‪ è‬من هاتين الم�شتقتين م�شتقا‪ ä‬بقية الدوال المثلثية ‪.‬‬

‫‪ô¶f‬ي‪)5-2( á‬‬

‫"‪" Ö«édG ádGO á≤à°ûe‬‬ ‫اإذا كانت د(�س) = جا �س ‪ ،‬فا ‪qn‬إن (�س) = جتا �س‬ ‫‪Ñ©H hCG‬ار‪� : iôNCG I‬س جا �س = جتا �س‬

‫�س‬ ‫( ‪)13 -2‬‬

‫‪gôÑ`dG‬ا¿‬ ‫د(�س ‪ +‬ه ) ‪ -‬د( �س ) ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا(�س ‪ +‬ه ) ‪ -‬جا �س‬ ‫(�س) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫=‬ ‫ه‬ ‫ه‬ ‫ـ‬ ‫ه‬ ‫‪0‬‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا �س جتاه ‪ +‬جتا �س جا ه ‪ -‬جا �س‬ ‫( من متطابقة جي‪ Ö‬مجموع ‪R‬اويتين )‬ ‫=‬ ‫ه‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫جا �س ( جتاه ‪ )1 -‬جتا �س جا ه‬ ‫= ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪+‬‬ ‫ه‬ ‫ه‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫جتا ه ‪1 -‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها جا ه‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫= جا �س هـ ‪ 0‬ه ‪ +‬جتا �س هـ ‪ 0‬ه‬ ‫= جا �س ‪ + 0‬جتا �س ‪ = 1‬جتا�س‬ ‫‪ô¶f‬ي‪)6-2( á‬‬

‫"‪" ΩɪàdG Ö«L ádGO á≤à°ûe‬‬ ‫اإذا كانت د(�س) = جتا �س ‪ ،‬فا ‪qn‬إن (�س) = ‪ -‬جا �س‬ ‫‪Ñ©H hCG‬ار‪� : iôNCG I‬س جتا �س = ‪ -‬جا �س‬

‫�س‬ ‫( ‪)14 -2‬‬

‫‪gôÑ`dG‬ا¿‬

‫يترك تدريب ًا للطال‪. Ö‬‬

‫‪EG‬ر‪T‬ضا‪ :O‬ا�شت‪î‬دم متطابقة جي‪ Ö‬تمام مجموع ‪R‬اويتين ‪ :‬جتا(�س ‪ +‬ه ) = جتا �س جتاه ‪ -‬جا �س جا ه‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪85‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نتيجة (‪)4-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫�س ظا�س = قا‪�2‬س‬

‫‪ ،‬حيث �س‬

‫ط‬ ‫‪ + 2‬نط ‪ ،‬ن‬

‫( ‪)15 -2‬‬

‫‪2‬‬

‫�س ظتا�س = ‪ -‬قتا‪�2‬س‬

‫‪ ،‬حيث �س‬

‫‪،‬ن‬

‫( ‪)16 -2‬‬

‫‪3‬‬

‫�س قا�س = قا�س ظا�س‬

‫‪ ،‬حيث �س‬

‫ط‬ ‫‪+ 2‬نط ‪،‬ن‬

‫( ‪)17 -2‬‬

‫‪4‬‬

‫�س قتا�س = ‪ -‬قتا�س ظتا�س ‪ ،‬حيث �س‬

‫‪،‬ن‬

‫( ‪)18 -2‬‬

‫‪gôÑ`dG‬ا¿‬

‫جا �س‬ ‫‪ 1‬ظا �س = جتا �س‬

‫نط‬

‫نط‬

‫جا �س‬ ‫�س ظا�س = �س جتا �س‬ ‫�س جتا �س‬

‫جتا �س �س جا �س ‪ -‬جا �س‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا �س‬ ‫‪1‬‬ ‫جتا�س جتا�س ‪ -‬جا �س (‪ -‬جا�س ) جتا‪�2‬س ‪ +‬جا‪�2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ = 2‬قا �س‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫جتا �س‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫جتا‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ً‬ ‫بقية ال‪Ø‬قرا‪ ä‬تترك تدريبا للطال‪ Ö‬بتطبي≥ قاعدة المقلو‪ ; Ü‬حيث ‪ :‬ظتا �س = ظا �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قا �س = جتا�س ‪ ،‬قتا �س =‬ ‫جا�س‬ ‫انتبه عند ح‪ ßØ‬القاعدا‪ ä‬المثلثية ال�شت ال�شابقة اإلى ا ‪qn‬أن الإ‪T‬شارة ال�شالبة تظهر في م�شتقا‪ ä‬دوال التمام ‪ :‬جتا ‪ ،‬ظتا ‪ ،‬قتا‬

‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫اأوجد م�شتقة ٍّ‬ ‫‪c‬ل من الدالتين التاليتين ‪ ،‬ثم ا‪�M‬ش‪ Ö‬قيمة ‪c‬ل م�شتقة عند النقطة المعطاة‪:‬‬ ‫ط‬ ‫‪�)Q‬ص( = �ص‪� Éb 2‬ص ‪� ,‬ص = •‬ ‫‪�)O‬ص( = �ص – ‪� ÉL‬ص ‪� ,‬ص = ‪2‬‬

‫الحل‬

‫(�س) = ‪ -1‬جتا �س‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫( ) =‪ -1‬جتا ( ) =‪1 = 0 - 1‬‬

‫ر (�س) = (قا �س) (‪�2‬س) ‪� +‬س‪( 2‬قا�س ظا�س) = ‪�2‬س قا�س ‪� +‬س‪ 2‬قا�س ظا�س‬ ‫ر (ط) =‪2‬ط قا ط ‪ +‬ط‪ 2‬قا ط ظا ط = ‪2‬ط (‪ + )1-‬ط‪2- = 0 )1-( 2‬ط‬

‫‪86‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬

‫قاعدة الت�شل�شل‬ ‫�شب≥ لنا درا�شة عملية تركي‪ Ö‬دالتين د‪ ،1‬د‪ ، 2‬وعرفنا ا َّأن قاعدة الدالة المركبة ( د‪ o 2‬د‪ ) 1‬هي ‪:‬‬ ‫( د‪ o 2‬د‪�( ) 1‬س) = د‪ ( 2‬د‪�( 1‬س) ) ‪ -‬انظر ال�شكل (‪- )9 -2‬‬

‫‪T‬شكل (‪)9-2‬‬

‫ونح ــن ال‪B‬ن ب‪ü‬ش ــدد درا�شة قاعدة ا‪T‬شتقا‪ ¥‬الدال ــة المركبة ( م�شتقة دالة الدالة ) والتي تعرف ‪،π`` °ù∏°ùàdG IóYÉ≤H‬‬ ‫�ص‬ ‫بكونه حا�شل ق�شـمة (اأو ن�شبة)‪.‬‬ ‫و�شيكون من الم‪Ø‬يد هنـا اأن ن�شر‪ – ì‬دون تع ‪t‬م≥ – كي∞ يمكننا النظر اإلى‬ ‫�ص‬ ‫تاأ َّم ــل ال�ش ــكل (‪ )10-2‬ولحـ ــ‪ ß‬اأنن ــا جعلنـ ــا النقطـ ــة‬ ‫(�س ‪ ،‬د(�س )) على منحني الدالة ‪� :‬س = د(�س) نقطـة اأ�شل لمحورين‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫جديدي ــن همـ ــا ‪`` � :‬ص ‪� ,‬ص ‪ ،‬وبذل ــ∂ اأ�شب‪ í‬من الممك ــن كتابة معادلة‬ ‫المما�س عند النقطـة (�س ‪ ،‬د(�س )) على ال‪ü‬شورة‪:‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫�ص ( م�شتقيم يمر باأ�شل المحورين الجديدين )‬

‫�ص = (�س )‬ ‫‪0‬‬ ‫وهذا يعني ا َّأن ‪:‬‬ ‫�ص‬ ‫(�س ) = �ص ( ح‪ü‬شلنـا عليـها بعمليـة ق�شـمة )‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وال‪B‬ن وبع ــد هذا ال�شر‪ ì‬الموج ــز ‪ ،‬يمكننا تقديم المث ــال التالي والذي‬ ‫نو‪V‬ش‪ í‬من خ‪Ó‬له قاعدة الت�شل�شل ‪.‬‬ ‫‪u‬‬

‫‪T‬شكل (‪)10-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪87‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫�شنناق�س في هذا المثال م�شتقة الدالة‪� :‬س = ( �س‪ 3)1-2‬ب‪ü‬ش‪Ø‬تها دالة مركبة ;اإذ يمكننا اأن نع َّدها دالة مركبة من الدالتين ‪:‬‬ ‫د‪�( 1‬س) = �س‪ ، 1-2‬د‪�( 2‬س) = �س‪ ; 3‬ل َّأن ( د‪ o 2‬د‪�( )1‬س) = د‪ ( 2‬د‪�(1‬س) ) = د‪�(2‬س‪� ( = )1-2‬س‪) 1-2‬‬ ‫�ص‬ ‫وهذا يعني ا َّأن �س =( د‪ o 2‬د‪�( )1‬س) = د‪ ( 2‬د‪�( 1‬س)) ‪ ،‬ومن ثم �ص =( د‪ o 2‬د‪�( )1‬س) = �ص د‪ ( 2‬د‪�( 1‬س))‬ ‫‪3‬‬ ‫فاإذا فر‪V‬شنا ا َّأن ع = د‪�( 1‬س) ‪ ،‬تكون �س = د‪ ( 2‬ع ) = ع‬ ‫�ص‬ ‫´‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ ( 2‬ع ) =‪ 3‬ع‪� ( 3 =2‬س‪)1 -2‬‬ ‫= ‪�( 1‬س) = ‪�2‬س ‪،‬‬ ‫وتكون‬ ‫´‬ ‫�ص‬ ‫�ص‬ ‫بكونها ن�شبة فاإنه يمكننا كتابة ‪:‬‬ ‫وا�شتنا ًدا اإلى اأنه يمكننا النظر اإلى‬ ‫�ص‬ ‫´‬ ‫�ص �ص‬ ‫( ‪) 19-2‬‬ ‫�ص‬ ‫�ص = ´‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪� ( 3‬س‪) 1 -2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪�2‬س = ‪�6‬س ( �س‪�2 -4‬س‪) 1 +2‬‬

‫= ‪�6‬س‪�12 -5‬س‪�6 + 3‬س )‪� ):Ö«©µàdG ∂ØH ¥É≤à°T’G Gòg áë°� øe ≥s≤ëJ‬ص‪( á≤à°ûªdG OÉéjEG ºK, 3) 1 -2‬‬ ‫و اإذا ع َّبرنا عن ال‪ü‬شي¨ة ( ‪ ) 19-2‬بدللة الدالتين د‪ ، 1‬د‪ 2‬نح‪ü‬شل على ال‪ü‬شي¨ة ‪:‬‬ ‫( د‪ o 2‬د‪�( )1‬س) = ‪ ( 2‬د‪�( 1‬س)) × ‪�(1‬س)‬

‫( ‪) 20-2‬‬

‫ا َّإن ال‪ü‬شي¨تين ‪ ) 20-2 ( ، ) 19-2 ( :‬هما �شورتان متكاف‪Ä‬تان لقاعدة الت�شل�شل والتي تن‪ü‬س عليها النظرية التالية ‪:‬‬

‫‪ô¶f‬ي‪)7-2( á‬‬ ‫‪π°ù∏°ùàdG IóYÉb‬‬ ‫اإذا كانت الدالة د‪ 1‬قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س ‪ ،‬الدالة د‪ 2‬قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند د‪�(1‬س) ‪ ،‬فا ‪qn‬إن الدالة‬ ‫المركبة د المعـ ‪qn‬رفة بالقاعـدة ‪ :‬د(�س) = د‪(2‬د‪�(1‬س)) تكون قابلة ل‪TÓ‬شـتقا‪ ¥‬عنـد �س ‪،‬‬ ‫ونعرف بالقاعدة ‪�( :‬س) = ‪ ( 2‬د‪�( 1‬س)) ‪�(1‬س) ‪.‬‬ ‫‪qp‬‬ ‫�ص‬ ‫´‬ ‫�ص‬ ‫‪Ñ©H hCG‬ار‪ : iôNCG I‬اإذا كانت ع = د‪�(1‬س) ‪� ،‬س = د‪( 2‬ع)‪ ،‬فا ‪qn‬إن ‪� :‬ص =‬ ‫�ص‬ ‫´‬

‫‪88‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬ ‫م ــن الوا‪V‬ش ــ‪ í‬ا َّأن ‪�É`` °�C’G‬ص الذي تق ــوم عليه‬ ‫�ص د‪ (2‬د‪�(1‬س)) = ‪ ( 2‬د‪�(1‬س))‬ ‫قاع ــدة الت�شل�ش ــل ل‪T‬شتق ــا‪ ¥‬دال ــة الدالة هو‬ ‫م�شتقة دالة الدالة = م�شتقة الدالة ال‪î‬ارجية‬ ‫ال‪T‬شتق ــا‪ ¥‬م ــن ال‪ î‬ــار‪ ê‬اإلى الداخ ــل ;حيث‬ ‫بالن�شبة للدالة الداخلية‬ ‫‪ CGó`` Ñf‬با‪T‬شتق ــا‪ ¥‬الدال ــة ال‪î‬ارجي ــة بالن�شب ــة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س ‪� ( 3 = )1-‬س ‪) 1-‬‬ ‫للدالة الداخلية ‪ ،‬ثم ‪†f‬ض` ``‪ Üô‬بم�شتقة الدالة‬ ‫�ص‬ ‫الداخلي ــة ‪ ،‬وعلى هذا الأ�شا� ــس فاإنه �شيكون‬ ‫من ال�شهل اأن ن�شتنبط قاعدا‪ ä‬خا�شة من قاعدة الت�شل�شل ل‪T‬شتقا‪ٍّ ¥‬‬ ‫كل من ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫‪ 1‬دالة القوة لدالة‪� :‬س = ه (�س) ‪ ،‬ومنها دالة الجذرالتربيعي ‪� :‬س = هـ (�س)‬ ‫‪ 2‬الدالة المثلثية لدالة (دالة مثلثية ‪R‬اويتها دالة ) ‪ ،‬مثل ‪� :‬س = جا (ه (�س) )‬

‫‪1‬‬

‫م�شتقة الدالة‬ ‫الداخلية‬

‫‪�2‬س‬

‫نتيجة (‪)5-2‬‬ ‫" ‪" ádGód Iƒ≤dG IóYÉb‬‬

‫ن‬

‫اإذا كانت الدالة ه قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س ‪ ،‬وكانت �س = ه (�س) ‪ ،‬حيث ن‬ ‫�ص‬ ‫ن‪1-‬‬ ‫فا ‪qn‬إن ‪� :‬ص = ن ه (�س) ن ‪ .1 -‬ه (�س) ‪T ،‬شريطة اأن يكون ه (�س)‬ ‫مع ‪qn‬رفًا ‪.‬‬

‫‪Ñ©H hCG‬ار‪: iôNCG I‬‬

‫�ص ه (�س)‬

‫ن‬

‫= ن ه (�س)‬

‫ن‪1-‬‬

‫‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪) 21-2‬‬

‫وبعبارة ل‪Ø‬ظية نقول ‪�É°�CÓd áÑ°ùædÉH Iƒ≤dG á≤à°ûe = ádGO Iƒb á≤à°ûe :‬ص ‪�É°�C’G á≤à°ûe ¬°ùØf‬ص‬ ‫وعلى الر‪Z‬م من ال�شهولة في ا�شتنباط هذه النتيجة بال‪T‬شتقا‪ ¥‬من ال‪î‬ار‪ ê‬اإلى الداخل ‪ ،‬اإ َّل اأننا �شنترك للطال‪Ö‬‬ ‫القيـام بالتدري‪ Ö‬التالي ‪:‬‬

‫تدري‪)4-2( Ö‬‬ ‫بره ــن عل ــى �شح ــة النتيج ــة ( ‪ ) 5 -2‬با�شت‪ î‬ــدام ال‪ü‬شي¨ ــة ( ‪ ) 19-2‬لقاع ــدة الت�شل�ش ــل ‪ ،‬وذل ــ∂ ب‪Ø‬ر‪V‬س ‪:‬‬ ‫ع = ه (�س) ‪ -‬كما في المثال ( ‪- )17 - 2‬‬ ‫لح‪ ß‬اأنه يمكن اإيجاد م�شتقة الدالة‪� :‬س = ( �س‪ 3) 1-2‬الواردة في المثال ( ‪ )17-2‬مبا‪T‬شر ًة بتطبي≥ النتيجة‬ ‫( ‪.) 5 -2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪89‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪� ádGódG á≤à°ûe óLhCG‬ص =‬ ‫) �ص‪) 1 +2‬‬

‫‪� óæY‬ص = ‪1 -‬‬

‫‪6‬‬

‫الحل‬

‫�س = ( �س‪)1 +2‬‬

‫–‪6‬‬

‫�ص‬

‫�ص �س‪1 +2‬‬

‫�ص = ‪� ( 6 -‬س‪)1 +2‬‬

‫–‪1 -6‬‬

‫من النتيجة ( ‪) 5 -2‬‬

‫‪�12‬س‬‫‪6‬‬‫(‪�2‬س) =‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫( �س ‪) 1 +‬‬ ‫( �س‪) 1 +2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪3 = 3 22 = 12 = )1-(12‬‬‫((‪32 72 72 7)1+2)1-‬‬ ‫�ص‬ ‫�س = ‪1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫و�شيكون من الم‪Ø‬يد تقديم النتيجة التالية والتي تع ‪t‬د حالة خا�شة من النتيجة ( ‪ ) 5 -2‬عند ن = ‪ ; 2‬وذل∂‬ ‫ت�شهي ً‪ Ó‬ل‪T‬شتقا‪ ¥‬دالة الجذر التربيعي ‪.‬‬

‫نتيجة (‪)6-2‬‬ ‫" ‪" »©«HôàdG QòédG IóYÉb‬‬ ‫اإذا كانت الدالة ه قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س ‪ ،‬وكانت ‪� :‬س = هـ (�س) ‪ ،‬حيث ه (�س) ‪ ، 0‬فا ‪qn‬إن‬ ‫�ص‬ ‫ه (�س)‬ ‫ه (�س)‬ ‫هـ (�س) =‬ ‫‪Ñ©H hCG ،‬ار‪: iôNCG I‬‬ ‫�ص =‬ ‫( ‪) 22-2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪ 2‬ه (�س)‬ ‫‪ 2‬ه (�س)‬

‫وبعبارة ل‪Ø‬ظية نقول ‪QòédG »∏ãe QhòéªdG á≤à°ûe = »©«HôàdG QòédG á≤à°ûe :‬‬ ‫لعل∂ تو�شلت اإلى ا َّأن دالة الجذر التربيعي تكون قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬على مجالها الم�شـتثنى منـه اأ�ش‪Ø‬ـارها ‪.‬‬

‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫‪�)O : ádGódG á≤à°ûe óLhCG‬ص( = ‪� - 9‬ص‪. ∫Éée Oóu Mh , 2‬‬

‫الحل‬

‫(�س) = �ص ‪� - 9‬س = ‪�2-‬س = ‪�-‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� -9 2‬س‪� -9 2‬س‬ ‫‪� -9 2‬س‬

‫وحيث ا َّإن‬

‫‪90‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪2‬‬

‫معـ ‪qn‬رفة ب�شـرط ‪� - 9 :‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� 3 -‬س ‪ ، 3‬فا ‪qn‬إن مجا ل = ‪3 ، 3 -‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬ ‫نتيجة (‪)7-2‬‬ ‫اإذا كانت الدالة ه قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س ‪ ،‬وكانت ك ‪lq‬ل من الدوال المثلثية التالية مع ‪qn‬رفة ‪ ،‬فا ‪qn‬إن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫جا(ه (�س)) = جتا(ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)23 -2‬‬

‫جتا(ه (�س)) = ‪ -‬جا(ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)24 -2‬‬

‫ظا(ه (�س)) = قا‪(2‬ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)25 -2‬‬

‫ظتا(ه (�س)) = ‪ -‬قتا‪( 2‬ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)26 -2‬‬

‫قا(ه (�س)) = قا (ه (�س)) ظا (ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)27 -2‬‬

‫قتا(ه (�س)) = ‪ -‬قتا (ه (�س)) ظتا (ه (�س)) ‪ .‬ه (�س)‬

‫( ‪)28 -2‬‬

‫و بعبارة ل‪Ø‬ظية عامة نقول ‪:‬‬ ‫‪ájhGõdG á≤à°ûe × É¡°ùØf ájhGõ∏d áÑ°ùædÉH á«ã∏ãªdG ádGódG á≤à°ûe = ádGO É¡àjhGR á«ã∏ãe ádGO á≤à°ûe‬‬ ‫لح‪ ß‬اأنه يمكن التحق≥ ب�شهولة من �شحة هذه النتيجة بالنظر اإلى الدالة المثلثية ب‪ü‬ش‪Ø‬تها دالة خارجية ‪ ،‬واإلى‬ ‫الزاوية ب‪ü‬ش‪Ø‬تها دالة داخلية ‪.‬‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫‪� : ádGódG á≤à°ûe óLhCG‬ص = ‪� 3 ÉL‬ص‬

‫الحل‬

‫من القاعدة ( ‪ ) 23-2‬نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫�ص‬

‫�س ‪�3‬س = ‪ 3‬جتا ‪� 3‬س‬

‫�ص = جتا ‪� 3‬س‬

‫لح‪ ß‬اأنه يمكن الحل بدون القاعدة ( ‪ ، ) 23-2‬وذل∂ بتطبي≥ قاعدة الت�شل�شل ( ‪ ) 19-2‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫ن‪Ø‬ر‪V‬س ع = ‪� 3‬س فتكون �س = جا ع ‪،‬‬

‫�ص �ص‬ ‫�ص = ´‬

‫´‬

‫�ص = جتا ع × ‪ 3 = 3‬جتا ‪� 3‬س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪91‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫‪x á≤à°ûe óLhCG‬‬ ‫‪: á«dÉàdG ∫GhódG øe πc‬‬ ‫‪2‬‬

‫�ص = ‪� 5 ) ÉX‬ص‪) 7 + 3‬‬

‫�ص = ‪�ÉàL‬ص‬

‫‪5‬‬

‫�ص = ‪� 9ÉL‬ص‬

‫الحل‬ ‫�س = جتا �س‬

‫‪2‬‬

‫�ص‬

‫�ص = ‪ -‬جا�س‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪� 2 -‬س جا �س‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬ح�ش‪ Ö‬القاعدة ( ‪. ) 24-2‬‬

‫�ص �س‬

‫‪2‬‬

‫�س = ظا ( ‪� 5‬س‪) 7 + 3‬‬

‫�ص‬

‫‪� 5‬س‪7 +3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص = قا ( ‪� 5‬س ‪� ) 7 +‬ص‬ ‫= ‪�15‬س‪ 2‬قا‪�5( 2‬س‪)7 +3‬‬

‫‪ ،‬ح�ش‪ Ö‬القاعدة ( ‪. ) 25-2‬‬

‫�س = ( جا�س )‬

‫‪9 5‬‬

‫�ص‬

‫�ص = ‪ (9‬جا �س )‬

‫‪8 5‬‬

‫= ‪ (9‬جا �س )‬

‫‪8 5‬‬

‫= ‪ 9‬جا‪� 8‬س‬

‫‪5‬‬

‫‪ ،‬ح�ش‪ Ö‬القاعدة ( ‪.) 21-2‬‬

‫�ص جا �س‬

‫‪5‬‬

‫�ص �س‬

‫جتا �س‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫جتا �س‬

‫‪ ،‬ح�ش‪ Ö‬القاعدة ( ‪. ) 23-2‬‬

‫‪�5‬س‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫= ‪� 45‬س‪ 4‬جا‪� 8‬س‪ 5‬جتا �س‬

‫‪5‬‬

‫تدري‪)5-2( Ö‬‬ ‫‪ : ÆGôØdG πªcCG‬اإذا كانت الدالة هـ قابلة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س ‪ ،‬ن‬

‫فاإن ‪:‬‬

‫�ص جان (هـ (�س)) = ن جا ن ‪( 1 -‬هـ (�س)) ‪ .‬جتا (هـ (�س)) ‪...........‬‬

‫‪92‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬

‫الم�شتقا‪ ä‬العليا‬ ‫�ص‬ ‫ا َّإن م�شتق ــة الدال ــة �س = د(�س ) هي دالة اأخر‪� i‬ص = �س يمكن ت�شميتها بالم�شتقة الأولى للدالة‬ ‫د ; لأن ــه اإذا كانت قابل ــة ل‪TÓ‬شتقا‪ ¥‬عند �س فا َّإن م�شتقتها (م�شتقة الم�شتقة ) ت�ش َّمى بالم�شتقة الثانية‬ ‫�ص‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫للدالة د ‪ ،‬وتكت‪ Ö‬على ال‪ü‬شورة ‪:‬‬ ‫�ص = �ص‪�( = 2‬س)‬ ‫�ص‬ ‫وبالمثل ت�ش َّمى م�شتقة الم�شتقة الثانية ‪ -‬اإن وجد‪ - ä‬بالم�شتقة الثالثة وتكت‪ Ö‬على ال‪ü‬شورة ‪:‬‬ ‫‪�3‬ص‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫�ص‪� = 2‬ص‪�( = 3‬س)‬ ‫�ص‬ ‫وهكذا ‪ ،‬اإ َّل اأننا نكت‪ Ö‬الم�شتقة النونية للدالة د على ال‪ü‬شورة ‪:‬‬ ‫¿�ص‬ ‫(ن)‬ ‫�ص¿ = د (�س) ‪ ،‬اإذا كان العدد الطبيعي ن ‪4‬‬ ‫لح‪ ß‬ا ‪q‬أن د(ن) تدل على الم�شتقة النونية للدالة د ‪ ،‬بينما دن هي القوة النونية لهذه الدالة‪.‬‬

‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫‪� : ádGó∏d á«fÉãdG á≤à°ûªdG óLhCG‬ص = ‪�ÉàL‬ص‬

‫الحل‬ ‫�ص‬

‫�ص = ‪ -‬جا �س‬

‫‪�2‬ص‬ ‫�ص‪� = 2‬ص ‪ -‬جا �س = ‪ -‬جتا �س‬

‫مثال (‪)23-2‬‬ ‫‪�)O : ádGó∏d áãdÉãdG á≤à°ûªdG ᪫b Ö°ùMG‬ص( = ‪�3‬ص‪�2-4‬ص‪� + 3‬ص‪�4 - 2‬ص ‪� óæY 2 +‬ص = ‪1‬‬

‫الحل‬

‫(�س) = ‪�12‬س‪�6 -3‬س‪�2 + 2‬س ‪4 -‬‬ ‫(�س) = ‪�36‬س‪�12 -2‬س ‪2 +‬‬ ‫(�س) = ‪�72‬س ‪12 -‬‬ ‫(‪60 =12 - 1 72 = )1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪93‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)24-2‬‬

‫‪�2‬ص‬ ‫‪� âfÉc GPEG‬ص = �ص ‪� ÉX‬ص ‪� + 1(2 = 2 : ¿s CG âÑKCÉa ,‬ص ( ‪� Éb‬ص‬ ‫�ص‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫�ص‬ ‫�ص = ظا �س ‪� + 1‬س قا �س‬ ‫‪2‬‬

‫= ظا �س ‪� +‬س قا‪�2‬س‬

‫‪�2‬ص‬ ‫‪ = 2‬قا �س ‪ +‬قا �س ‪� + 1‬س ‪ 2‬قا �س قا �س ظا �س‬ ‫�ص‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪ 2‬قا‪�2‬س ‪� 2 +‬س قا‪�2‬س ظا �س‬

‫= ‪ 2‬قا‪�2‬س ( ‪� + 1‬س ظا �س )‬ ‫= ‪� + 1 ( 2‬س ) قا‪�2‬س‬

‫تدري‪)6-2( Ö‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اإذا كانت �س = �س‬ ‫فاختر للمجموعة الأولى ما ينا�شبها من المجموعة الثانية لتح‪ü‬شل على عبارة �شحيحة ‪.‬‬ ‫‪≈dhC’G áYƒªéªdG‬‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫‪� 1‬ص‪= 2‬‬ ‫�ص ‪2‬‬ ‫‪� ( 2‬ص ) =‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪� 3‬ص ‪� 2 +‬س =‬ ‫�ص‬

‫‪94‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪á«fÉãdG áYƒªéªdG‬‬ ‫�س‬

‫‪4-‬‬

‫‪�2‬س‬

‫‪3-‬‬

‫‪�4‬س‬

‫‪2-‬‬

‫‪� -‬س‬

‫‪2-‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬

‫‪)3-2) øjQɪJ‬‬ ‫في التما‪Q‬ين من ‪ 1‬ا‪E‬ل≈ ‪ 36‬اأوجد ‪M‬يثما وجد‪: ä‬‬ ‫‪ 2‬د(�س ) = ‪35 -‬‬

‫‪ 1‬د(�س ) = ‪2‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪ 4‬د(�س ) = ‪� 2‬س‬

‫‪ 3‬د(�س ) = ‪3 + 3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 6‬د(�س ) = ‪�7 -14‬س‬

‫‪ 5‬د(�س ) = ‪�3‬س ‪4 -‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫د(�س ) = �س‪3‬‬

‫‪ 7‬د(�س ) = �س‬

‫‪5‬‬

‫‪ 9‬د(�س ) = �س‬

‫‪ 10‬د(�س ) = �س‪8 + 7‬‬

‫‪ 11‬د(�س ) = ‪�3‬س‪�2 + 3‬س ‪1 +‬‬

‫‪ 12‬د(�س ) = �س‪�15 - 2‬س ‪4 +‬‬

‫‪ 13‬د(�س ) = �س‪� ( 2‬س‪) 1 - 3‬‬

‫‪ 14‬د(�س ) = ( �س‪� - 4 ( ) 2 + 4‬س )‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 15‬د(�س ) = ‪� -‬س‪5 ( 4‬‬ ‫ ‪2‬‬‫‪ 17‬د(�س ) = �س‪� 6‬س‬

‫‪2‬‬

‫�س)‬

‫‪ 16‬د(�س ) = ( �س‪�3- 3‬س ‪� ( )9 -‬س‪)6 +10‬‬ ‫‪ 18‬د(�س ) = �س ( �س‪�( )3 +2‬س‪)4 - 2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪19‬‬ ‫د(�س ) = �س‪4 + 2‬‬

‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪20‬‬ ‫د(�س ) = ‪�5‬س ‪1-‬‬

‫‪�3‬س‪2 + 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫د(�س ) = ‪�2‬س ‪1 +‬‬

‫ن‪2 + 2‬ن ‪3 -‬‬ ‫‪ 22‬د(ن ) =‬ ‫ن‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪95‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪2‬م‪ - 2‬م ‪5 +‬‬ ‫‪ 23‬م‬ ‫د( ) = م‪ + 2‬م ‪2 -‬‬ ‫‪ 25‬د(�س ) = �س‬

‫‪3 2‬‬

‫‪ 27‬د(�س ) =‬

‫�س‬

‫‪�2‬س‬

‫�إذا كان �س ‪1‬‬

‫�س‪� 1+ 2‬إذا كان �س ‪1‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪ 24‬د( م ) = ‪ + 1‬م ‪ +‬م‪ + 2‬م‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪26‬‬ ‫د(�س) = �س‬ ‫‪�2 - 5‬س �إذا كان �س ‪2‬‬ ‫‪ 28‬د(�س) =‬ ‫‪�2‬س ‪� 3 -‬إذا كان �س ‪2‬‬

‫‪ 29‬د(�س ) = ‪�3 – 6‬س‬

‫‪ 30‬د(�س ) = �س‪� 2‬س‬

‫‪ 31‬د(�س ) = ‪� +1‬س‪ - 2‬جتا �س‬

‫‪ 32‬د(�س ) = �س‪ 5‬ظتا �س‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 33‬د(�س ) = �س ‪ 5 +‬جا �س‬

‫‪ 34‬د(�س ) = ( �س ‪ ) 1 -‬قتا �س‬

‫�س‬ ‫‪35‬‬ ‫د(�س ) = ‪ + 1‬جا�س‬

‫‪�3‬س‬ ‫‪36‬‬ ‫د(�س ) = ظا�س‬

‫‪� 37‬أوجد مجال الم�شتقة ٍّ‬ ‫لكل من الدوال المعطاة في التمارين ‪:‬‬ ‫‪31 ، 23 ، 22 ، 20 ، 19 ، 17 ، 11 ، 9 ، 5 ، 3‬‬ ‫‪� 38‬إذا كانت د(�س ) = ‪�2‬س ‪ ، 1 -‬ف�أوجد �إن �أمكن ميل المما�س لمنحني هذه الدالة عند ٍّ‬ ‫كل من النقاط‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( ‪) 5 ، 2 -( ، ) 0 ، ( ، ) 2 ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪� 39‬إذا كانت د(�س ) = �س‪�2 2‬س ‪ 1‬حيث �س ‪ ، 1‬ف�أوجد قيم �س التي يكون عندها (�س) = ‪0‬‬ ‫ ‪+‬‬‫�ص‬ ‫‪� 40‬أوجد النقاط على المنحني �ص = ‪�2‬س‪�5 + 3‬س‪ 7 + 2‬التي يكون عندها �س = ‪16‬‬

‫‪96‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قواعد ال‪T‬شتقا‪¥‬‬ ‫في التما‪Q‬ين من ‪ 41‬ا‪E‬ل≈ ‪ 62‬اأوجد �ص ‪:‬‬ ‫�ص‬ ‫‪3‬‬‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪� 42‬س = ( �س ‪�3 -‬س ‪)1 +‬‬ ‫‪� 41‬س = ( �س‪�2 + 2‬س )‬ ‫‪� 43‬س = �س‪3 + 2‬‬

‫‪� 44‬س = ‪�7‬س‪�4 + 3‬س‬

‫‪1‬‬ ‫‪� 45‬س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(�س ‪)8 +‬‬

‫�س‬ ‫‪� 46‬س =‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪�5‬س ‪)1 +‬‬

‫‪� 47‬س = ‪� 5‬س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬

‫‪� 48‬س = (�س ‪� 9)4 +‬س‪4 - 2‬‬

‫‪� 49‬س = قتا ‪�2‬س‬

‫‪� 50‬س = جا (�س‪)6 + 2‬‬

‫‪� 51‬س = قا (�س‪)8 - 3‬‬

‫‪� 52‬س = ظتا ‪�3‬س‬

‫س‬ ‫‪� 53‬س = ظا ـــــــــ‬ ‫‪٩‬‬

‫‪� 54‬س = جتا �س‪4 + 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪� 55‬س = جتا ( �س‪�4 + 2‬س ‪)7 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� 56‬س = ظا �س جتا ‪�3‬س‬

‫‪� 57‬س = جا�س قتا (‪�3‬س ‪) 1 +‬‬

‫‪� 58‬س = قا‪�5 2‬س‬

‫‪� 59‬س = ظا‪� 3‬س ‪1 -‬‬

‫‪� 60‬س = جتا (‪�3‬س‪)6 - 2‬‬

‫‪� 61‬س = (�س ‪ )1 +‬جا‪�5‬س‬

‫‪� 62‬س = �س ظتا‪�2‬س ‪ -‬قا �س‬

‫‪2‬‬

‫�ص‬ ‫‪ 63‬اإذا كانت �س = ع‪ ، 1 + 2‬ع = �س‪ ، 1 - 2‬فاأثبت ا َّأن ‪� :‬ص = ‪�2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪ 64‬اإذا كانت �س = ‪7‬ع‪ ، 3 + 2‬ع = �س ‪ ،‬فاأوجد‬ ‫�ص �س = ‪1-‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪97‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪� 65‬أوجد الم�شتقة الثانية لكلٍّ من الدوال التالية عند النقطة المعطاة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫د(�س ) = �س ‪� -‬س‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪� ،‬س = ‪2-‬‬ ‫د(�س ) = �س ‪3 +‬‬ ‫ط‬ ‫د(�س ) = جا �س ‪ -‬جتا �س‬ ‫‪� ،‬س = ‪4‬‬ ‫د د(�س ) = ‪2‬جتا �س‬

‫ط‬ ‫‪� ،‬س = ‪2‬‬

‫‪� 66‬أوجد الم�شتقة الثالثة لكلٍّ من الدوال التالية ‪:‬‬ ‫د(�س ) = ‪�6‬س‪�9 - 4‬س ‪6 +‬‬ ‫د(�س ) = �س (�س‪�3 + 2‬س)‬ ‫د(�س ) = ‪�3‬س ‪4 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د‬ ‫د(�س ) = �س‪2‬‬ ‫هـ د(�س ) = �س‪ + 4‬ظا �س‬ ‫و د(�س ) = جا �س ‪� 8 -‬س ‪7 +‬‬ ‫‪� 67‬إذا كانت د(�س ) = جا �س ‪ ،‬ف�أثبت � َّأن ‪�( :‬س) = – د(�س) ‪.‬‬ ‫‪� 68‬إذا كانت د(�س ) = جا ‪� 3‬س ‪ ،‬ف�أثبت � َّأن ‪ :‬د(‪�( )4‬س) = ‪ 81‬د (�س) ‪.‬‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫�ص ‪2‬‬ ‫‪� 69‬إذا كانت �ص = جتا �س ‪ ،‬ف�أثبت � َّأن ‪� (:‬س ) ‪� -‬ص �س‪1 = 2‬‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫�ص ‪2‬‬ ‫‪� 70‬إذا كانت �ص = جا‪� 2‬س ‪ ،‬ف�أثبت � َّأن ‪� (4 :‬س ) ‪16 = ) 2 ( -‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫‪98‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تطبيقا‪ ä‬هند�شية وفيزيا‪F‬ية على الم�شتقة‬

‫‪4-2‬‬

‫‪J‬ط‪Ñ‬يقا‪g ä‬ند‪S‬شية وفي‪õ‬يا‪F‬ية عل≈ الم�شتقة‬ ‫نقدم في هذا الدر�س بع†س النماذ‪ ê‬الهند�شية وال‪Ø‬يزيا‪F‬ية الب�شيطة لتطبيقا‪ ä‬الم�شتقة ‪.‬‬ ‫‪u‬‬

‫اأو’‪J -v‬ط‪Ñ‬يقا‪g ä‬ند‪S‬شية‬ ‫لعـ ـ َّل فك ــرة م�شتقة الدالة ن�شاأ‪ ä‬لح�شا‪ Ü‬مي ــل المما�س لمنحني الدالة ‪ ،‬وقد عرفن ــا عند درا�شة م�شتقة‬ ‫الدالة ا َّأن المعنى الهند�شي للم�شتقة عند نقطة هو ميل المما�س لمنحني الدالة عند هذه النقطة ‪.‬‬ ‫ومن الجدير ذكره ا َّأن لهذا الت‪�Ø‬شير اأثره في تو�شيع م‪Ø‬هوم المما�س من‬ ‫مما�س دا‪F‬رة والذي يو�ش∞ باأنه الم�شتقيم الذي ي�شترك مع الدا‪F‬رة‬ ‫في نقطة واحدة ‪ §≤a‬ت�ش َّمى نقطة التما�س ‪ ،‬اإلى مما�س ل ‪u‬أي منحن‪m‬‬ ‫�س= (�س)والذي يمكن و�ش‪Ø‬ه باأنه الم�شتقيم الذي ي�شترك مع‬ ‫المنحني في النقطة (�س ‪ ،‬د( �س )) ‪ ،‬وميله ( �س )‪ ،‬انظر ‪T‬شكل‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫يو‪V‬ش‪ í‬ا َّأن المما�س للمنحني عند قد ي�شترك معه في‬ ‫(‪ )11-2‬الذي ‪u‬‬ ‫نقط اأخر‪.i‬‬ ‫وحي ــث ا َّإن المما� ــس م�شتقيم يمك ــن تعيينه تعيينًا تا ‪v‬م ــا باإيجاد معادلته‬ ‫بدلل ــة ميله ونقطة علي ــه ‪،‬فاإنه يمكن كتابة معادلة المما�س ل لمنحني‬ ‫الدالة �س = د (�س) عند النقطة (�س ‪� ،‬س ) ‪ -‬اإذا كانت (�س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫موجودة ‪ -‬على ال‪ü‬شورة ‪:‬‬

‫ال�شكل (‪)11-2‬‬

‫�س ‪� -‬س = ( �س ) ( �س ‪� -‬س ) (‪)29 – 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫واإذا كان الم�شتقيم ع عمودي ًا على المما�س ل‪ ،‬ويمر بنقطة التما�س‬ ‫(�س‪� ،0‬س‪ ،).‬ك ـ ــما فــي ال�شك ــل (‪ ،)12-2‬ف ـ ـاإن مي ــل الم�شتقيـ ــم‬ ‫‪1‬‬‫ع = (�س ) ‪ ،‬حيث (�س‪ ،0 )0‬لأن ‪»∏«e Üô°V π°�ÉM‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ،1- …hÉ°ùj øjóeÉ©àªdG ø«ª«≤à°ùªdG‬وعليه ت‪ü‬شب‪ í‬معادلة الم�شتقيم ´‬ ‫والذ‪ i‬ي�ش َّمى "‪ "»æëæª∏d (ºXÉædG hCG) Oƒª©dG‬على ال‪ü‬شورة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫�س ‪� -‬س = (�س ) ( �س ‪� -‬س ) (‪)30– 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫ال�شكل (‪)12-2‬‬

‫‪0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪99‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫(‪)6-2‬‬ ‫اإذا كانت (�س )= �ش‪ً Ø‬را ‪ ،‬فا ‪qn‬إن المما�س ل يكون موا‪ً R‬ياللمحور‬ ‫‪0‬‬ ‫ال�شيني ومعادلته‪� :‬س = �س ‪ ،‬وفي هذه الحالة ي‪ü‬شب‪ í‬ع العمود‬ ‫‪0‬‬ ‫للمنحني موا‪R‬يـًا للمح ــور ال‪ü‬شادي ومعادلته ‪� :‬س =�س ‪ ،‬انظر‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T‬شكل (‪. )13-2‬‬ ‫‪T‬شكل (‪)13-2‬‬

‫مثال (‪)25-2‬‬

‫‪qm ádOÉ©e óLhCG‬‬ ‫‪�ɪªdG øe πc‬ص ‪�)O ádGódG »æëæªd Oƒª©dGh‬ص( = ‪� 2‬س ‪� óæY 1 -‬ص = ‪2‬‬

‫الحل‬

‫‪1 = 1‬‬ ‫(�س) = ‪2‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪� 2‬س ‪1 -‬‬

‫‪1‬‬ ‫ميل المما�س للمنحني عند �س = ‪ 2‬هو ‪= )2( :‬‬ ‫‪1-2‬‬

‫=‪1‬‬

‫وبما ا ‪qn‬أن د(‪ ، 2 = 1 - 2 2 = )2‬ا ًإذا نقطة التما�س هي ( ‪) 2 ، 2‬‬ ‫‪�ɪªdG ádOÉ©e‬ص ‪� :‬س ‪� -‬س = ( �س ) ( �س ‪� -‬س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�س ‪� ( 1 = 2 -‬س ‪) 2 -‬‬ ‫�س = �س‬ ‫‪1‬‬‫‪� : Oƒª©dG ádOÉ©e‬س ‪� -‬س = (�س ) ( �س ‪� -‬س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫�س ‪� ( 1- = 2 -‬س ‪) 2 -‬‬ ‫�س = ‪� -‬س ‪4 +‬‬ ‫يو‪V‬ش‪ í‬ك ً‪ Óq‬من المما�س والعمود لمنحني الدالة ‪.‬‬ ‫انظر ‪T‬شكل ( ‪ ) 14 -2‬الذي ‪qp‬‬

‫‪100‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪T‬شكل (‪)14-2‬‬

‫تطبيقا‪ ä‬هند�شية وفيزيا‪F‬ية على الم�شتقة‬ ‫(‪)7-2‬‬ ‫ا�شتن ــا ًدا اإل ــى ا ‪v‬أن مي ــل الم�شتقيم ي�شاوي ظ ــل ‪R‬اوية ميله ( الزاوي ــة التي ي‪ü‬شنعها ج ــز‪ A‬الم�شتقيم الواقع‬ ‫ف ــو‪ ¥‬المح ــور ال�شيني م ــع التجاه الموج‪ Ö‬للمحور ال�شيني ) فاإنه يمكنن ــا تعيين ‪R i‬اوية ميل المما�س ل‬ ‫للمنحني �س = د(�س) عند �س‪ 0‬من الع‪Ó‬قة‪:‬‬ ‫انتبه !‬ ‫ظا ‪� ( = i‬س‪ ، )0‬حيث‬

‫‪°0‬‬

‫‪°180 i‬‬

‫ف‪Ø‬ي المثال ال�شاب≥ ‪R‬اوية ميل المما�س ل عند �س = ‪ 2‬هي ‪;°45‬‬ ‫ل َّأن ظا ‪ - 1 = ) 2 ( = i‬انظر ‪T‬شكل ( ‪- ) 14 -2‬‬ ‫بينما ‪R‬اوية ميل العمود ع عند �س = ‪ 2‬هي ‪) ? GPɪd ( °135‬‬

‫( �س ) ‪0‬‬

‫‪R i‬اوية حـادة‬

‫( �س ) ‪0‬‬

‫‪R i‬اوية من‪Ø‬رجة‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫( �س ) = ‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪°0 = i‬‬

‫مثال (‪)26-2‬‬ ‫‪�)O ádGódG »æëæe ≈∏Y á£≤ædG óLhCG‬ص( ==‪� 2‬ص‪� 6 - 3‬ص‪�ɪªdG ÉgóæY ¿ƒµj »àdGh 1 + 2‬ص ‪º«≤à°ùªdG Éjk RGƒe‬‬ ‫�ص = ‪�6 -‬ص ‪1 +‬‬

‫الحل‬

‫بما ا َّأن ميل الم�شتقيم �س = ‪�6 -‬س ‪ 1 +‬هو ‪6 -‬‬ ‫أي†شـا ‪( ¬°ùØf π«ªdG ɪ¡d ¿ÉjRGƒàªdG ¿Éª«≤à°ùªdG ) 6 -‬‬ ‫ا ًإذا ميل المما�س المـوا‪R‬ي لـه هو ا ً‬ ‫وهذا يعني ا َّأن (�س) = ‪6 -‬‬ ‫‪� 6‬س‪� 12 - 2‬س = ‪6 -‬‬ ‫‪� 6‬س‪� 12 - 2‬س ‪0 = 6 +‬‬ ‫�س‪� 2 - 2‬س ‪0 = 1 +‬‬ ‫( �س ‪0 = 2)1 -‬‬ ‫�س = ‪1‬‬ ‫وحيث ا َّإن د(‪ ، 3- =1 + 2)1( 6 - 3)1( 2 = )1‬ا ًإذا النقطة المطلوبة هي ( ‪. ( 3- ، 1‬‬

‫اأوجد معادلة هذا المما�س ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪101‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫ثان ًيا‪J -‬ط‪Ñ‬يقا‪ ä‬في‪õ‬يا‪F‬ية‬ ‫لعـ ـ َّل اأول ا�شت‪î‬دام ــا‪ ä‬الم�شتقة في ال‪Ø‬يزيا‪ A‬كانت لح�شا‪ Ü‬ال�شرع ــة والت�شارع في م�شا‪F‬ل الحركة ‪ ،‬ثم اأ�شبحت‬ ‫اأداة ل ‪Z‬ن ــى عنه ــا في �شيا‪Z‬ة قوانين الحرك ــة وقوانين فيزيا‪F‬ية اأخر‪ ، i‬و�شنق‪ü‬ش ــر اهتمامنا هنا على ح�شا‪Ü‬‬ ‫ال�شرعة والت�شارع للج�شيما‪ ä‬التي ت�شير في خـط م�شـتقيم ‪،‬فاإذا كان لدينا ج�شيم يتحرك في خط م�شتقيم وف≥‬ ‫المعادلة ‪ :‬ف = د( ن ) ‪ ،‬فا َّإن �شرعته المتو�شطة في فترة ‪R‬منية مع َّينة ‪-‬كمـا تعلم ‪ -‬هي ∆ف ‪،‬‬ ‫∆ن‬ ‫ن�شميها �‪ á`` «`¶ë∏dG º«`` °ùédG áYô`` `°‬باأنـها نهاية ال�شرعة‬ ‫و�شنعـ ـ ‪u‬رف ال‪B‬ن �شرعة الج�شيم عند اللحظة ن ‪ ،‬والتي ‪u‬‬ ‫ف‬ ‫المتو�شط ــة عندم ــا ∆ ن ‪ ، 0‬وحي ــث ا َّإن قيمة هذه النهاية في حال وجـودها هي‬ ‫‪ ،‬فاإنه يمكننا القول‬ ‫ن‬ ‫با َّأن ‪:‬‬ ‫‪á≤à`` °ûe »g ( ¿ )O = ± ádOÉ©ªdG ≥`` ah º«≤à`` °ùe §N »`` a ∑ô`` ëàj º«`` °ùéd ( áYô`` °ùdG ) á`` «¶ë∏dG áYô`` °ùdG‬‬ ‫‪ ، øeõ∏d áÑ°ùædÉH áaÉ°ùªdG‬ونع ‪u‬بر عن ذل∂ رمز ‪v‬يا على النحو التالي ‪:‬‬ ‫ف‬ ‫ع= ن‬

‫(‪)31 – 2‬‬

‫وكم ــا ا َّأن ال�شرع ــة هي م�شتق ــة الم�شافة بالن�شبة للزمن ‪ ،‬فا َّإن الت�شارع ‪áÑ`` °ùædÉH áYô`` °ùdG á≤à`` °ûe ¬fCÉH ±ôs ©j‬‬ ‫‪ ، øeõ∏d‬ونع ‪u‬بر عن ذل∂ رمز ‪v‬يا على النحو التالي ‪:‬‬ ‫ف‬ ‫‪ =ä‬ن‬

‫(‪)32 – 2‬‬

‫‪2‬ف‬ ‫لعل∂ اأدركت ا َّأن الت�شارع هو الم�شتقة الثانية للم�شافة بالن�شبة للزمن ‪ ،‬اأي ا َّإن ‪= ä‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ن‬

‫‪102‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تطبيقا‪ ä‬هند�شية وفيزيا‪F‬ية على الم�شتقة‬ ‫مثال (‪)27-2‬‬ ‫=‪ 3‬ن‪ 4 - 3‬ن ‪ ، 7 -‬حي ـ ـ ـ ــث ن مق ـ ـ َّدرة بالثوانـ ــي ‪،‬‬ ‫اإذا تحرك ج�شيم على خط م�شتقيم وف≥ المعادلة ‪ :‬ف =‬ ‫ف مق َّدرة بالأمتار ‪ ،‬فاأوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫�‪. ácôëdG AóH øe ø«à«fÉK ó©H º«°ùédG áYô°‬‬ ‫‪m 3 ó©H º«°ùédG ´QÉ°ùJ‬‬ ‫‪. ácôëdG AóH øe ¿GƒK‬‬

‫الحل‬

‫‪. º«°ùédG áYô°� √óæY Ωó©æJ …òdG øeõdG‬‬

‫ف‬ ‫ع= ن‬ ‫ا ًإذا �شرعة الج�شيم بعد ثانيتين من بد‪ A‬الحركة هي ‪:‬‬ ‫ع‬ ‫ن = ‪ 32 = 4 - 2)2( 9 = 2‬م ‪ç /‬‬ ‫ع‬ ‫‪ 18 = ä‬ن‬ ‫‪ =ä‬ن‬ ‫ا ًإذا ت�شارع الج�شيم بعد ‪ 3‬ثوان‪ m‬من بد‪ A‬الحركة هو ‪:‬‬ ‫‪ä‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ن = ‪ 54 = 3 18 = 3‬م ‪ç /‬‬ ‫ع = ‪ 9‬ن‪4 - 2‬‬

‫ا َّإن انعدام �شرعة الج�شيم يعني ا َّأن ع = ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬ن ‪ 0= 4-‬ن = ‪9‬‬

‫( ‪) ?GPɪd‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ــــــ ثانية‬ ‫اأي ا َّإن الزمن الذي تنـعدم عنده �شرعة الج�شيم = ‪٣‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪) ?òFóæY‬‬ ‫( ‪´QÉ°ùàdG ᪫b »g Ée‬‬

‫تدري‪)7-2( Ö‬‬ ‫اإذا تح ــرك ج�شي ــم على خط م�شتقي ــم وف≥ المعادلة ف = جا ن ‪ ،‬فاأثبت ا َّأن مجم ــوع مربعي �شرعته وت�شارعه‬ ‫ي�شاوي واحد ًا‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪103‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪)4-2) øjQɪJ‬‬ ‫في التما‪Q‬ين من ‪ 1‬ا‪E‬ل≈ ‪ 8‬اأوجد معا‪O‬لة ٍّ‬ ‫‪c‬ل من المما‪ ¢S‬والعم‪ Oƒ‬لمنحني الدالة عند قيم ‪ ¢S‬المعطاة‪:‬‬ ‫‪ 1‬د(�س ) = ‪�3‬س‪�2 + 3‬س ‪1 +‬‬

‫‪� ،‬س = ‪1‬‬

‫‪ 2‬د(�س ) = �س‪� + 4‬س‪1 + 2‬‬

‫‪� ،‬س = ‪2-‬‬

‫‪ 3‬د(�س ) = ( �س ‪2 + 3 ) 8 -‬‬

‫‪� ،‬س = ‪8‬‬

‫‪ 4‬د(�س ) = ‪�2‬س ‪4‬‬ ‫‪� -‬س‬

‫‪� ،‬س = ‪4‬‬

‫‪�3-1‬س‬ ‫‪ 5‬د(�س ) =‬ ‫�س‪2 - 2‬‬

‫‪� ،‬س = ‪0‬‬

‫‪ 6‬د(�س ) = �س‪16 + 2‬‬

‫‪� ،‬س = ‪3‬‬

‫‪ 7‬د(�س ) = ظا �س‬

‫ط‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬

‫‪ 8‬د(�س ) = جا �س ‪ +‬جتا �س‬

‫‪� ،‬س ط‬ ‫= ‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 9‬اأوجد النقطة على منحني الدالة �س = (‪�2‬س ‪ 3) 3 +‬والتي يكون عندها المما�س موا‪ً R‬يا المحور ال�شيني ‪.‬‬

‫‪ 10‬اأوجد النقط على منحني الدالة �س = ‪� + 1‬س والتي يكون عندها ميل العمود للمنحني ي�شاوي ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 11‬اأوج ــد النق ــط عل ــى منحن ــي الدال ــة د(�س ) = �س ‪ 1 -‬والت ــي يك ــون عنده ــا المما�س موا‪ً R‬ي ــا الم�شتقيم‬ ‫�س ‪� +‬س =‪ ، 0‬ثم اأوجد ‪R‬اوية ميل هذا المما�س ‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تطبيقا‪ ä‬هند�شية وفيزيا‪F‬ية على الم�شتقة‬ ‫مما�شا لمنحني الدالة �س = �س‪� Ü + 2‬س ‪ +‬جـ عند النقطة‬ ‫‪ 12‬اإذا كان الم�شتقيم �س = �س ‪2 +‬‬ ‫‪v‬‬ ‫(‪ ، ) 2 ، 0‬فاأوجد ك ‪ Óv‬من ‪ ، Ü‬جـ‬ ‫‪ 13‬اأوجد النقطة على منحني الدالة د(�س ) = �س‪ 2‬والتي تكون عندها ‪R‬اوية ميل المما�س ت�شاوي ‪30‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 14‬اأوجد معادلة المما�س لمنحني الدالة �س = �س‪� 6 - 2‬س ‪ 4 +‬الذي يوا‪R‬ي الم�شتقيم �س ‪� 2 -‬س ‪0 = 1 +‬‬

‫ف��ي التما‪Q‬ي��ن م��ن ‪ 15‬ا‪E‬ل≈ ‪ 20‬اأوجد ال�ش��رعة والت�ش��ا‪ ´Q‬عن��د قيم ن المعطاة م�ش��ت‪î‬د ًما‬ ‫ال�شنتيمتر والثانية و‪M‬دا‪ ä‬للم�شافة وال‪õ‬من ‪:‬‬ ‫‪ 15‬ف = ن‪3 - 2‬ن ‪5 +‬‬

‫‪ ،‬ن=‪5‬‬

‫‪ 16‬ف = ‪3‬ن‪2 - 3‬ن‪5 + 2‬ن‬

‫‪ ،‬ن=‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ،‬ن=‪3‬‬

‫‪ 17‬ف = ‪ 128‬ن – ‪ 16‬ن‬

‫‪ 18‬ف = ( ن ‪ ( ) 1 -‬ن‪ 2 - 2‬ن ‪) 7 +‬‬

‫‪ ،‬ن=‪4‬‬

‫‪ 19‬ف = ( ن‪ + 2‬ن ‪ ( ) 1-‬ن‪ + 2‬ن ‪) 2 +‬‬

‫‪ ،‬ن=‪2‬‬

‫‪ 20‬ف = ن ‪2 +‬‬ ‫ن‪1 + 2‬‬

‫‪ ،‬ن=‪1‬‬

‫مترا بعد ن ثانية ‪ ،‬بحيث ف = ن‪2 + 3‬ن‪، 3 + 2‬‬ ‫‪ 21‬يتحرك ج�شيم في خط م�شتقيم فيقطع م�شافة ف ً‬ ‫اأوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫الم�شافة التي يقطعها الج�شيم بعد ثانيتين ‪.‬‬ ‫�شرعة الج�شيم بعد ‪ 12‬ثانية ‪.‬‬ ‫ت�شارع الج�شيم بعد ‪ 20‬ثانية ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 22‬يتحرك ج�س��يم في خط م�س��تقيم فيقطع م�س��افة ف قد ًما بعد ن ثانية‪ ،‬بحيث ف = ن‪2 -4‬ن‪ + 3‬ن‪،5 – 2‬‬ ‫�أوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫الزمن الذي تنعدم عنده �سرعة الج�سيم ‪.‬‬ ‫ت�سارع الج�سيم حين تنعدم �سرعته ‪.‬‬ ‫‪ 23‬يتحرك ج�سيم في خط م�ستقيم بحيث يكون ُبعده عن نقطة الأ�صل بالأمتار بعد ن ثانية هو ‪:‬‬ ‫ف = ن ‪ +‬جتا ن ‪ ،‬حيث ن‬

‫‪ ، 0‬ط ‪� ،‬أوجد ت�سارع الج�سيم في اللحظة التي تنعدم فيها �سرعته ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 24‬يتحرك ج�سيم في خط م�ستقيم فيقطع م�سافة ف مت ًرا بعد ن ثانية ‪ ،‬بحيث ف = ‪ 3‬ن‪ -3‬ن‪6 +2‬ن ‪، 5 +‬‬ ‫�أوجد �سرعة الج�سيم في اللحظة التي ينعدم فيها ت�سارعه‪.‬‬

‫‪106‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫اأن�شطة اإثرا‪F‬ية‬

‫)‪á≤à°ûªdG OÉéjEG »a »dB’G Ö°�ÉëdG ΩGóîà°�G (á«FGôKEG ᣰûfCG‬‬ ‫نو‪V‬ش‪ í‬من خ‪Ó‬ل المثالين التاليين ‪W‬ريقة ا�شت‪î‬دام برنام‪è‬‬ ‫‪u‬‬

‫في اإيجاد م�شتقة الدالة ‪.‬‬

‫مثـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫‪�) O âfÉc GPEG‬ص( = �ص‪� 5 - 3‬ص‪�) óLhCG , 3 + 2‬ص( ‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪1‬‬

‫نكت‪ Ö‬الدالة وندخلها فنح‪ü‬شل على ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫المو‪V‬شحة‬ ‫ن†ش ــع المو‪TD‬شر على اأيقون ــة اإيجاد الم�شتقة ‪ Find Derivative‬في ‪T‬شري ــط اأدوا‪ ä‬الأوامر َّ‬ ‫في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪107‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪108‬‬

‫‪3‬‬

‫تنقر حيث و�شعنا المو‪�D‬شر فيظهر مرب™ حوار عنوانه ‪ ، Calculus Diffeerentiat‬م‪µ‬تو‪a Ü‬ي¬ ال‪ª‬ت¨ير‬ ‫‪. Variable‬نق ــوم بكتاب ــة رتب ــة الم�شتق ــة ‪ ، Order‬وال�ش ــكل التالي يو�ش‪ í‬ذل∂(لح ــ‪ ß‬اأن الرتبة‬ ‫المفتر�شة هي ‪ 1‬وتدل على ا َّأن المطلوب هو الم�شتقة الأولى للدالة ) ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫المو�شحة‬ ‫ننق ــر على زر التب�شيط ‪ Simplify‬في مرب™ الح ــوار ال�شابق فنح�شل على الم�شتقة المطلوبة َّ‬ ‫في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫اأن�شطة اإثرا‪F‬ية‬ ‫مثـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫‪c GPEG‬ا‪�( O âf‬س) = ‪�2‬س ‪�( óLhCG , 1 +‬س) ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫‪ 1‬نطبق الخطوتين رقم (‪ )2( ، )1‬في المثال ال�شابق فنح�شل على ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫)‪( 2x + 1‬‬

‫‪ 2‬ننق ــر حيث و�شعن ــا المو‪�D‬شر فيظهر مرب™ ح ــوار عنوان ــه ‪ ، Calculus Differentiate‬م‪µ‬تو‪a Ü‬ي¬‬ ‫يو�ش‪ í‬ذل∂ ‪:‬‬ ‫ال‪ª‬ت¨ير ‪ Variable‬نقوم بكتابة رتبة الم�شتقة ‪ ، Order‬وال�شكل التالي ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪109‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪3‬‬

‫المو�شحة‬ ‫ننق ــر على زر التب�شيط ‪ Simplify‬في مرب™ الح ــوار ال�شابق فنح�شل على الم�شتقة المطلوبة َّ‬ ‫في ال�شكل التالي‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫لح‪ ß‬ا َّأن الرمز (‬

‫‪d‬‬ ‫‪dx‬‬

‫) يدل هنا على الم�شتقة الثانية ‪.‬‬

‫تدري‪Ö‬‬ ‫�س‬ ‫اإذا كانت د (�س) = جـا‪ ، 2 2‬فاأوجد با�شتخدام الحا�ش‪ Ö‬ال‪B‬لي ك ًل من ‪�( :‬س) ‪�( ،‬س)‬

‫‪110‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬

‫‪1‬‬

‫نب ــذة تاأريخي ــة عن من�شاأ علم التفا�شل والتكامل و دور العلماء الم�شلمين في و�ش™ الأ�ش�س الأولى لهذا‬ ‫العلم ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫الفرق ( �س‪� - 2‬س‪ ، )1‬ي�ش َّمى التغير في �س و يرمز له بالرمز ∆ �س ‪.‬‬

‫‪ 3‬معدل تغير الدالة �س = د(�س) عندما يتغير �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪ 2‬هو المقدار ‪:‬‬ ‫∆�س د(�س‪ - )2‬د(�س‪)1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫‪،‬‬ ‫∆�س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪� - 2‬س‪1‬‬ ‫ويم ِّثل هند�ش ‪v‬يا ميل الم�شتقيم ل القا‪ ™W‬لمنحني الدالة في النقطتين (�س‪ ، 1‬د(�س‪ ، ) )1‬ب (�س‪ ، 2‬د(�س‪. ) )2‬‬ ‫د(�س‪+0‬هـ) ‪ -‬د(�س )‬ ‫‪ 4‬مي ــل المما� ــس لمنحن ــي الدالة د عند النقطة �س‪ 0‬ي�ش ــاوي ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫‪ ، 0‬وهذه‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫النـهاي ــة ‪ -‬اإن وج ــدت ‪ -‬ت�ش َّمى بمع ــدل تغير الدالة اأوم�شتق ــة الدالة د عند �س‪ 0‬و يرم ــز لها بالرمز‬ ‫(�س ) ‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫د(�س ‪ +‬هـ) ‪ -‬د(�س)‬ ‫‪ 5‬م�شتقة الدالة د هي الدالة (�س ) = ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫‪ 6‬اإذا كانت الدالة قابلة لل�شتقاق عند نقطة �س‪ ، 0‬فاإنها تكون مت�شلة عند �س‪ ،0‬و العك�س غير �شحي‪،í‬‬ ‫اأي ا َّإن الدال ــة المت�شل ــة عند نقطة لي� ــس بال†شرورة اأن تكون قابلة لل�شتق ــاق عند هذه النقطة ‪ ،‬و قد‬ ‫يرج ــ™ �شب‪ Ö‬عدم قابلية ا�شتقاق الدالة المت�شلة عن ــد نقطة اإلى كون النقطة ر‪æc‬ية اأو كون ‪dG‬مما�س‬ ‫ر‪�CG‬ض ‪v‬يا عند هذه النقطة ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫القواعد الأولية لل�شتقاق وهي ‪:‬‬ ‫م�شتقة الدالة الثابتة هي الدالة ال�شفرية ‪.‬‬ ‫م�شتقة الدالة المحايدة هي الدالة الواحدية ‪.‬‬ ‫م�شتقة حا�شل �شرب ثابت في الدالة ت�شاوي حا�شل �شرب الثابت في م�شتقة الدالة ‪.‬‬ ‫م�شتقة مقلوب الدالة ت�شاوي �شال‪ Ö‬م�شتقة الدالة على مرب™ الدالة ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪111‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫م�شتقة مجمـوع دالتين = م�شتقة الأولى ‪ +‬م�شتقة الثانية ‪.‬‬ ‫م�شتقة الفرق بين دالتين = م�شتقة الأولى – م�شتقة الثانية ‪.‬‬ ‫م�شتقة حا�صل �ضرب دالتين = الثانية م�شتقة الأولى ‪ +‬الأولى م�شتقة الثانية ‪.‬‬ ‫الثانية م�شتقة الأولى ‪ -‬الأولى م�شتقة الثانية‬ ‫م�شتقة ناتج ق�سـمة دالتين =‬ ‫مربع الثانية‬ ‫م�شتقة دالة القوة ‪� :‬س �س ن = ن �س ن ‪� ،1 -‬شريطة �أن يكون �س ن ‪ 1 -‬مع َّرفـًا‬ ‫م�شتقة دالة كثيرة الحدود ‪� :‬س‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫ن �س ن ‪� 2 +…+‬س‪�1 +2‬س ‪ = 0 +‬ن ن �س ن ‪� 2 2 +…+ 1 -‬س ‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫م�شتقات الدوال المثلثية ‪:‬‬ ‫�س جا �س = جتا �س‬

‫�س جتا �س = ‪ -‬جا �س‬

‫�س ظا �س = قا‪�2‬س‬

‫�س ظا �س = ‪ -‬قتا‪�2‬س‬

‫�س قا �س = قا �س ظا �س‬

‫�س قتا �س = ‪ -‬قتا �س ظتا �س‬

‫لقاعدة الت�سل�سل �صيغتان متكافئتان هما ‪:‬‬ ‫�س د‪( 2‬د‪�( 1‬س)) = ‪( 2‬د‪�(1‬س))‬

‫‪�( 1‬س)‬

‫�ص‬ ‫�ص‬ ‫�س = ع‬

‫ع‬ ‫�س‬

‫‪ 10‬قواعد ا�شتقاق دوال مركبة وهي ‪:‬‬ ‫م�شتقة قوة دالة = م�شتقة القوة بالن�سبة للأ�سا�س نف�سه م�شتقة الأ�سا�س ‪.‬‬ ‫م�شتقة الجذر التربيعي = م�شتقة المجذور‬

‫مثلي الجذر ‬

‫م�شتقة دالة مثلثية زاويتها دالة = م�شتقة الدالة المثلثية بالن�سبة للزاوية نف�سها م�شتقة الزاوية ‪.‬‬

‫‪112‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫‪11‬‬

‫م�شتق ــة الم�شتق ــة ‪ -‬اإن وج ــدت ‪ -‬ه ــي دالة ت�ش َّم ــى بالم�شتقة الثاني ــة ‪ ،‬و م�شتق ــة الم�شتقة الثانية‬ ‫‪ -‬اإن وجدت ‪ -‬هي دالة ت�ش َّمى بالم�شتقة الثالثة ‪ ،‬و هكذا ‪...‬‬

‫‪ 12‬معادلة المما�س لمنحني الدالة �س = د (�س) عند النقطة ( �س ‪� ،‬س ) ‪ -‬اإذا كانت (�س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫موجودة ‪ -‬هي ‪� :‬س ‪� -‬س‪� ( = 0‬س ) ( �س ‪� -‬س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫و معادلة العمود للمنحني هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫�س ‪� -‬س = (�س ) ( �س ‪� -‬س )‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ ،‬حي‪� ( å‬س‪0 )0‬‬

‫‪ 13‬تعريف ال�شرعة والت�شارع لج�شيم يتحرك في خط م�شتقيم وفق المعادلة ف = د ( ن ) ‪:‬‬ ‫ال�شرعة ( ال�شرعة اللحظية) هي م�شتقة الم�شافة بالن�شبة للزمن ‪.‬‬ ‫الت�شارع هو م�شتقة ال�شرعة بالن�شبة للزمن (اأو هو الم�شتقة الثانية للم�شافة بالن�شبة للزمن) ‪.‬‬ ‫‪ 14‬ا�شتخدام الحا�ش‪ Ö‬ال‪B‬لي لإيجاد م�شتقة دالة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪113‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة (‬

‫) �أو عالمة (‬

‫) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬

‫�إذا كانت د(�س) = �س‪ ، 2‬وكان معدل تغير الدالة د في ‪ 3 ، 1-‬هو ‪ ، 4‬ف� َّإن = ‪2‬‬ ‫د(�س) ‪ -‬د(�س‪)0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫(�س‪� = )0‬س �س‪� 0‬س ‪� -‬س‪0‬‬ ‫الدالة المت�صلة عند نقطة الب َّد �أن تكون قابلة لال�شتقاق عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫�إذا كانت ( ) موجودة ‪ ،‬ف� َّإن ‪ ،‬ن ـ ـ‬ ‫�س ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) = د( )‬ ‫�إذا كانت الدالة غير قابلة لال�شتقاق عند نقطة ‪ ،‬ف�إنها تكون غير مع َّرفة عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫ل ِّأي دالتين ‪ :‬د ‪ ،‬ر ‪ ،‬يكون (د ‪ .‬ر) = ‪ .‬ر‬ ‫‪2‬‬

‫�إذا كانت د(�س ) = ‪ .‬ر (�س ) ‪ ،‬حيث ثابت ‪ ،‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫(�س) = ‪ . 2‬ر (�س ) ‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .‬ر (�س ) ‪.‬‬

‫ميل المما�س لمنحني الدالة د(�س ) = �س‪ 3 – 2‬عند �س = – ‪ ، 1‬ي�ساوي – ‪2‬‬ ‫‪� 7‬س ‪5 +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫د‬ ‫�إذا كانت د(�س ) = ‪�3‬س ‪ ، 2 -‬ف� َّإن ‪�( :‬س) = ‪3‬‬ ‫�إذا كانت ‪�( 1‬س) = ‪�( 2‬س) ‪ ،‬ف� َّإن د‪�( 1‬س) = د‪�( 2‬س) ‪.‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ ‪0‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها‬ ‫هـ ‪0‬‬

‫‪114‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫قتا ( �س ‪ +‬ﻫ )‪ -‬قتا �س‬ ‫= ‪ -‬ظتا �س‬ ‫ﻫ‬ ‫جا‪� ( 2‬س ‪ +‬ﻫ )‪ -‬جا ‪�2‬س‬ ‫= ‪ 2‬جتا ‪� 2‬س‬ ‫ﻫ‬ ‫‪2‬‬

‫مجال دالة الجذر التربيعي ي�ساوي مجال م�شتقتها ‪.‬‬ ‫�ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪:‬‬ ‫إن‬ ‫�‬ ‫ف‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫‪،‬‬ ‫َّ‬ ‫�إذا كانت �ص = ع ‪ +‬ع‬ ‫�س‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫�إذا كانت د(�س ) = جتا‪� 2‬س ‪ ،‬ف� َّإن (�س) = ‪ -‬جا‪�2‬س ‪.‬‬ ‫�س ظتا‪�2(4‬س ‪ 8 - = ) 7 +‬ظتا‪�2 ( 3‬س ‪ . ) 7 +‬قتا‪�2 ( 2‬س ‪) 7 +‬‬ ‫‪� 3‬ص ء�ص‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪ ( = 3‬ء�س )‬ ‫�س = ظا‪�2‬س = �س قا‪�2‬س‬ ‫�إذا كانت د(�س ) = �س‪�3 + 3‬س‪ ، 2‬وكانت (�س) = ‪ ،12‬ف� َّإن = ‪2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫(‪ ، 3 = )1‬ف� َّإن زاوية ميل المما�س لمنحني الدالة د عند النقطة (‪ ، 1‬د(‪ ))1‬هي ‪30‬‬

‫‪5‬‬

‫مما�سا يوازي المحور ال�سيني ‪.‬‬ ‫�إذا كانت د(�س ) = قا �س ‪ ،‬ف� َّإن لمنحني الدالة د عند �س = ‪َّ​َ ، 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذا كانت زاوية ميل المما�س لمنحني الدالة د(�س ) = �س ‪ 2 +‬عند �س = ‪ 1‬هي ‪ ، 45‬ف� َّإن = ‪2‬‬ ‫مما�سـا لمنحني الدالة د‬ ‫�إذا كان الم�ستقيم ل َ​َّ‬ ‫عند �س = ‪ ، 2‬كما في ال�شـ ـ ــكل المجـ ـ ــاور ‪،‬‬ ‫ف� َّإن ‪1 = )2( :‬‬ ‫‪1‬‬‫�إذا كانت �ص = ‪�3‬س ‪ 1 +‬هي معادلة العمود لمنحني الدالة د عند النقطة (‪ ، )1 ، 2‬ف� َّإن (‪3 = )2‬‬ ‫ال�سرعة المتو�سطة لج�سيم يتحرك في خط م�ستقيم وفق المعادلة ‪ :‬ف = ‪2‬ن ‪ ، 5 +‬في الفترة الزمنية‬ ‫‪ 3 ، 2‬ت�ساوي �سرعته عند � ِّأي لحظة �أثناء حركته‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪115‬‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة في كلٍّ مـما يلي ‪:‬‬ ‫ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د( �س ) ‪ -‬د( ‪) 1‬‬ ‫�س ‪ 1 -‬هي‪ ،6 - ، 6 ، 5 -( :‬غير موجودة ) ‪.‬‬ ‫�إذا كانت د(�س ) = ‪�3 – 1‬س‪ ، 2‬ف�إن‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�إذا كانت د(‪ ، 4 = )1-( ،3= )1-‬ف�إن ن ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــها د(�س) هي ‪ ، 4 ،3 ، 1- ( :‬غير موجودة)‪.‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫�إذا كان �س ‪1‬‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن د تكون عند �س = ‪1‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪� 2+‬إذا كان �س ‪1‬‬ ‫( مت�صل���ة وقابل���ة لال�شتقاق ‪ ،‬مت�صلة وغير قابلة لال�شتقاق ‪ ،‬غي���ر مت�صلة وغير قابلة لال�شتقاق‪ ،‬غير مت�صلة‬ ‫وقابلة لال�شتقاق) ‪.‬‬ ‫د �إذا كانت د(�س)=‬

‫‪�4‬س ‪� 1 +‬إذا كان �س ‪2‬‬

‫‪ ،‬ف� َّإن (‪ )2‬هي ‪ ، 3 - ، 8 ، 4 ( :‬غير موجودة ) ‪.‬‬

‫�س ‪� 7 -‬إذا كان �س ‪2‬‬ ‫هـ �إذا كانت د(�س ) = ‪� 5‬س ‪� 3 -‬س ‪ ،‬ف� َّإن (‪ )3‬هي ‪ ، 8 ، 6 ، 2 ( :‬غير موجودة ) ‪.‬‬ ‫‪ ، 9 ، 0‬ف� َّإن عدد النقاط التي تكون عندها الدالة غير قابلة‬ ‫و �إذا كانت د(�س ) = �س ‪� ، 4 -‬س‬ ‫‪2‬‬

‫لال�شتقاق هو ‪. ) 4 ، 3 ، 2 ، 1 ( :‬‬ ‫ز �إذا كانت د(�س ) = �س‪ . 2‬ر(�س )‪ ،‬ر(‪ ، 6 = )3‬ر (‪ ، 5 = )3‬ف� َّإن (‪ )3‬هي ‪. ) 81 ، 45 ، 36 ،11(:‬‬

‫‪4‬‬ ‫ح �إذا كانت د(�س ) = �س ‪ ،‬ف� َّإن ميل المما�س لمنحني الدالة عند �س =‪1‬هو‪. ) 4 ، 3 ،1- ،4-( :‬‬ ‫�ص‬ ‫ت�ساوي ‪2- ( :‬ط ‪2 ،‬ط ‪2 ،‬ط ‪ ، 1 -‬ط‪. ) 2‬‬ ‫ط �إذا كانت �ص = �س‪ +2‬جا �س ‪ ،‬ف� َّإن‬ ‫�س‬ ‫�س = ط‬ ‫ى �إذا كانت د(�س ) = جا �س ‪ ،‬ر(�س ) = جتا �س ‪ ،‬ف� َّإن (د ‪ .‬ر) (�س ) =‬ ‫(‪2، 1 ، 0‬جتا ‪�2‬س ‪ ،‬جتا‪� 2‬س ‪ -‬جا‪� 2‬س ) ‪.‬‬ ‫ك �إذا كانت (‪ ، 0= )3‬ف� َّإن معادلة المما�س لمنحني د عند (‪ )9 ، 3‬هي ‪:‬‬ ‫( �س =‪� ،3‬س = ‪� ،9‬ص = ‪� ،3‬ص =‪. )9‬‬ ‫ل �إذا تحرك ج�سيم في خط م�ستقيم وفق العالقة ‪ :‬ف = ن‪9 -3‬ن‪24 +2‬ن ‪ ، 16 -‬ف� َّإن الزمن الذي ينعدم‬ ‫عنده ت�سارع الج�سيم هو ‪. ) 3 ، 2، 1 ، 0( :‬‬

‫‪116‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪� 3‬إذا كانت د(‪ ، 3 = )2( ، 5 = )2‬ر(‪ ، 1 = )2‬ر (‪ ، 2 = )2‬ف�أوجد قيمة كلٍّ من ‪:‬‬ ‫د‬ ‫( ر ) ‪2 +‬د (‪)2‬‬ ‫(د ‪ .‬ر) (‪)2‬‬ ‫(‪3‬د ‪ 2 -‬ر) (‪)2‬‬ ‫‪ 4‬في النظرية ( ‪� ، ) 4-2‬أثبت الفقرة (‪ )4‬با�ستخدام الفقرة (‪ ، )3‬وباعتبار � َّأن ‪:‬‬ ‫د‪1‬‬ ‫د=‬ ‫د ‪ .‬د‪ = 2‬د‪1‬‬ ‫د‪2‬‬ ‫جا�س‬ ‫�س �إذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪� 5‬إذا كانت د (�س) =‬ ‫‪� 0‬إذا كان �س = ‪0‬‬ ‫هل د مت�صلة عند �س = ‪ 0‬؟‬ ‫هل (‪ )0‬لها وجود ؟‬ ‫�أوجد (�س) عندما �س ‪.‬‬ ‫�ص‬ ‫‪� 6‬إذا كانت �ص = جا �س ‪ +‬جتا �س ‪ ،‬ف�أثبت � َّأن ‪� ( :‬س ) ‪� +‬ص = ‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪� 7‬إذا كانت د (�س) =‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫�س ‪ +‬ب �س ‪ +‬جـ �إذا كان �س ‪0‬‬

‫‪�2‬س ‪5 +‬‬

‫�إذا كان �س ‪0‬‬

‫‪ ،‬‬

‫وكانت (‪ )0‬مع َّرفة ‪،‬‬

‫ف�أوجد قيم ‪ ، :‬ب ‪ ،‬جـ‬ ‫‪� 8‬إذا كانت د(�س) = ‪�3‬س ‪:‬‬ ‫�أثبت با�ستخدام التعريف � َّأن (�س) = ‪3‬‬ ‫‪�3 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫�أوجد نقطة على منحني د بحيث يكون ميل المما�س لمنحني د عندها م�ساو ًيا ‪ ، 2‬ثم �أوجد‬ ‫معادلة العمود للمنحني عند هذه النقطة ‪.‬‬

‫ن‬ ‫‪ 9‬يتحرك ج�سيم في خط م�ستقيم وفق العالقة ‪ :‬ف = ‪ 2‬جا ‪ ، 2 2‬حيث ن‬ ‫الج�سيم في اللحظة التي تكون فيها �سرعته ‪ 12‬م ‪ /‬ث ‪.‬‬

‫‪ ، 0‬ط ‪� ،‬أوجد ت�سارع‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪117‬‬

áãdÉãdG IóMƒdG

π°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J

IóMƒdG áãdÉãdG

Applications of Derivatives

(1) ádGódG π«∏– (1-3)

≈∏Y ¥É≤à°TÓd ádGódG á`` «∏HÉb ¿EG ≈∏Y Iô«Ñc IQó`` ≤H ÉfOhõJ Iô`` àa √ò`` g ≈`` ∏Y É`` ¡cƒ∏°S •É`` Ñæà°SG DƒÑæàdG »a ≠dÉH ôKCG Gò¡dh ,IôàØdG ∫ɪ©à°SG óæY á`` «ª∏©dG èFÉàædÉH ¬JÉ≤«Ñ£J »`` a π°VÉØàdG ÜÉ`` °ùM ∂∏ØdGh AÉ`` jõ«ØdG »`` a IQô`` ≤ªdG .OÉ°üàb’Gh á°Sóæ¡dGh Ωƒ∏©dGh

(2) ádGódG π«∏– (2-3) äÉ«æëæŸG º°SQ (3-3)

(5) äÉ«°VÉjQ

118

(1) ádGódG π«∏ëJ

¿CG IóMƒdG √òg á`°SGQO ó©H ÖdÉ£dG øe ™bs ƒàjo : ¿CG ≈∏Y GQk OÉb ¿ƒµj

á`` °SGQO »`` a ≈`` dhC’G á≤à`` °ûªdG Ωóîà`` °ùj -١ .ádGO OGôWG ¢Sƒ≤J á°SGQO »a á«fÉãdG á≤à°ûªdG Ωóîà°ùj -2 .ádGO »æëæe á`` dGO »`` æëæªd ÜÓ`` ≤f’G §`` ≤f ó`` Lƒj -3 .IÉ£©e á`` dGód á`` «∏ëªdG iƒ`` °ü≤dG º`` «≤dG ó`` Lƒj -4 .IÉ£©e á`` dGód á`` ≤∏£ªdG iƒ`` °ü≤dG º`` «≤dG ó`` Lƒj -5 .á≤∏¨e Iôàa ≈∏Y á∏°üàe .iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y á«∏ªY πFÉ°ùe πëj -6 øe OhóM äGô«ãc ∫GhO äÉ«æëæe º`` °Sôj -7 .ôãcC’G ≈∏Y á©HGôdG áLQódG

119

(5) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

1-3

(1) ádGódG π«∏ëJ áeó≤e IóMƒdG √òg »ah á≤à°ûªdG ≈∏Y ᣫ°ùÑdG á«FÉjõ«ØdGh á«°Sóæ¡dG äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©H á≤HÉ°ùdG IóMƒdG »a Éæ°SQO (¥É≤à°TÓd á∏HÉ≤dGh á∏°üàªdG ) Ωɶàf’G áæ°ùM ádGódG ∑ƒ∏°ùH á≤∏©àªdG á≤à°ûªdG äÉ≤«Ñ£J á°SGQO ±ó¡à°ùf ójóëJ »a á¨dÉH ᫪gCG äGP äÉ`` eƒ∏©e ≈∏Y ∫ƒ°üë∏d Ió«L á∏«°Sh á≤à°ûªdG ó©oJ PEG ;É`` ¡d πãu ªªdG »`` æëæªdGh .É¡«æëæeh ádGó∏d Éë°VGh k Ók «∏ëJ Ö∏£àJ »àdG á«≤«Ñ£àdG πFÉ°ùªdG πM »ah ádGódG »æëæe πµ°T øe IOÉ`` aE’ÉH ∂dPh ¢`` Sƒ≤àdGh OGô`` W’G å`` «M øe ádGódG ∑ƒ`` ∏°S á`` °SGQO É`` æg á`` dGódG π`` «∏ëàH ó`` °ü≤f .¥É≤à°T’G

( ¢übÉæàdGh ójGõàdG ) OGôW’G – ’k hCG

x »a O ádGódG Éæ∏eCÉJ GPEG ( 3-3 ) , ( 2-3 ) , ( 1-3 ) ∫ɵ°TC’G øe πc

ôØ°U É¡à≤à°ûeh áàHÉK ádGódG (3-3) πµ°T

áÑdÉ°S É¡à≤à°ûeh á°übÉæàe ádGódG (2-3) πµ°T

áÑLƒe É¡à≤à°ûeh IójGõàe ádGódG (1-3) πµ°T

:¬fCG óéf IôàØdG »a á£≤f …Cu G óæY ¢SɪªdG π«e ájhGRh , Ü , IôàØdG »a IójGõàe ádGódG ( 1-3 ) πµ°ûdG »a Ü, ¢S , 0 (¢S) : ¿Cs G »æ©j Gògh , IOÉM ¿ƒµJ Ü , »a á£≤f …Cu G óæY ¢SɪªdG π`` «e ájhGRh , Ü , IôàØdG »a á`` °übÉæàe ádGódG ( 2-3 ) πµ`` °ûdG »`` a Ü, ¢S , 0 (¢S) : ¿Cs G »æ©j Gògh , áLôØæe ¿ƒµJ Ü , IôàØdG Ü , IôàØdG »a á£≤f …Cu G óæY ¢SɪªdG h , Ü , IôàØdG »`` a áàHÉK ádGódG ( 3-3 ) πµ`` °ûdG »`` a Ü, ¢S , 0 (¢S) :¿Cs G »æ©j Gògh , É«k ≤aCG ¿ƒµj : á«dÉàdG ájô¶æ∏d Gôk «°ùØJ ót ©jo ≥HÉ°ùdG í«°VƒàdG ¿Es G (5) äÉ«°VÉjQ

120

(1) ádGódG π«∏ëJ (1-3) ájô¶f m , IôàØdG √òg »a á«∏NGO á£≤f πc óæY ¥É≤à°TÓd á∏HÉbh ± Iôàa ≈∏Y á∏°üàe ádGO O âfÉc GPEG : òFóæY ± ≈∏Y IójGõàe ¿ƒµJ O ¿Eqn Éa , ± »a á«∏NGO á£≤f πc óæY 0 (¢S) âfÉc GPEG (1 ± ≈∏Y á°übÉæàe ¿ƒµJ O ¿Eqn Éa , ± »a á«∏NGO á£≤f πc óæY 0 (¢S) âfÉc GPEG (2 ± ≈∏Y á`àHÉ`K ¿ƒµJ O ¿Eqn Éa , ± »a á«∏NGO á£≤f πc óæY 0 (¢S) âfÉc GPEG (3 ádGódG á≤à°ûe óLƒf ¿CÉ` `H ádGó∏d ¢übÉæàdGh ójGõàdG äGôàa ójóëJ Éæ浪j ¬`` fCG óéf ájô¶ædG √òg ≈`` dEG GOk É`` æà°SGh .É¡JQÉ°TEG ¢SQófh

(1-3) ∫Éãe 5 ¢S 4 – 2¢S = (¢S)O ádGó∏d ¢übÉæàdGh ójGõàdG äGôàa óLhCG

πëdG 4 ¢S 2

(¢S)

: (¢S) IQÉ°TEG ¢SQóf 2

¢S

0

(¢S)

(4-3) πµ°T

:¿CG óéf ≥HÉ°ùdG ∫hóédG øeh 2,∞

≈∏Y á°übÉæàe ádGódG

∞ , 2 ≈∏Y IójGõàe ádGódG

]2 , ∞ ∞,2

¢S

, 0 (¢S)

¢S

,0

(¢S)

( 4-3 ) πµ°ûdG »a í°VƒªdG ádGódG »æëæªd »fÉ«ÑdG π«ãªàdG ™e ≥aGƒàj ¬«dEG Éæ∏°UƒJ Ée ¿Cs G ßM’

121

(5) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (2-3) ∫Éãe 2 2¢S 12 3¢S 4 4¢S 3 (¢S)O ádGódG OGôWG ¢SQOG

πëdG ¢S 24 0 ¢S 24

1 ¢S hCG 2

¢S

¢S 12 + 3¢S 12

2

0 ¢S hCG 0 (1 ¢S) (2 ¢S)

¢S 12 + 3¢S 12 (¢S)

2

0 (¢S)

0 ( 2 – ¢S + 2¢S ) ¢S 12

: ¿Cs G »æ©j ∫hóédG Gògh 1 ,0 , 2 , ∞ ∞,1 , 0,2

x ≈∏Y á°übÉæàe ádGódG øe πc x ≈∏Y IójGõàe ádGódG øe πc

ádGó∏d »fÉ«ÑdG π«ãªàdG í°Vƒj u …òdG ( 5-3 ) πµ°T ô¶fG

(5-3) πµ°T (5) äÉ«°VÉjQ

122

(1) ádGódG π«∏ëJ (1-3) ÖjQóJ • • ≈∏Y IójGõàe ¢S ÉX ( ¢S ) O ádGódG ¿Cs G âÑKCG , 2 2 . ( 6-3 ) πµ°T ô¶fG , á«FõédG É¡dÉée äGôàa ≈∏Y IójGõàe ádGO π¶dG ádGO : ¿Cs G óéf ≥HÉ°ùdG ÖjQóàdG Aƒ°V ≈∏Y

(6-3) πµ°T

Éæà°SGQO »a ᫪gCG øe É¡d ɪd á«dÉàdG á≤«≤ëdG ºjó≤J Éæ浪j ¬fEÉa , ¬∏«e ájhGR πX ƒg º«≤à°ùªdG π«e ¿Es G å«Mh .á∏Ñ≤ªdG ¿CG ≈∏Y ,ôÑcCG ¬∏«e ájhGR …òdG º«≤à°ùª∏d ôÑcC’G π«ªdG ¿ƒµj ,ø«ª«≤à°ùe »∏«e áfQÉ≤e óæY .Ék ©e ( ø«àLôØæe hCG) ø«JOÉM ¿ÉàjhGõdG ¿ƒµJ

, ( 7-3 ) πµ°ûdG ≈dEG ô¶ædÉH Ók ãªa ∫ π«e

2

∫ π«e ¿Cs G ádƒ¡°ùH óéf

1

: ¿Cs ÉH ∂dP øe ≥≤ëàdG ∂浪j h 45 ÉX (7-3) πµ°T

123

(5) äÉ«°VÉjQ

60 ÉX

áãdÉãdG IóMƒdG

( ÜóëàdGh ô©≤àdG ) ¢Sƒt ≤àdG – É«k fÉK , ¬°Sƒ≤Jh ô¡¶dG AÉæëf’ ÉÑk æéJ ; ¢Sƒ∏édG »a á«ë°üdG óYGƒ≤dG ´ÉÑJG Ωõ∏j ¬fCG º∏©J .ÉHk ós ëe Ók µ°T òNCÉj ’ ≈àM ô©s ≤e É¡°†©H á°Sƒs ≤e äÉ«æëæe øe •ÉªfCÉH É¡∏«ãªJ øµªj IójóY ∫ɵ°TCG ÉæJÉ«M »ah ( 8-3 ) πµ°T ô¶fG , Üós ëe ôNB’Gh

(8-3) πµ°T

(5) äÉ«°VÉjQ

124

(1) ádGódG π«∏ëJ . ÉHk óëJ hCG Gôk ©≤J É¡«æëæe ¢Sƒ≤J å«M øe ádGódG ∑ƒ∏°S ¢SQóf »∏j ɪ«ah x »a O ádGó∏d »fÉ«ÑdG »æëæªdG Éæ∏eCÉJ GPEÉa ( 10-3 ) , ( 9-3 ) ø«∏µ°ûdG øe πc

(10-3) πµ°T

(9-3) πµ°T

Ü , »a É©k «ªL ¬JÉ°Sɪe ¥ƒa ™≤j ƒgh , Ü , ≈∏Y ô©s ≤e ( 9-3 ) πµ°ûdG »a πãs ªªdG »æëæªdG : ¿Cs G óéf Ü , »a É©k «ªL ¬JÉ°Sɪe âëJ ™≤j ƒgh , Ü , ≈∏Y Üós ëe ( 10-3 ) πµ°ûdG »a πãs ªªdG »æëæªdG

(1-3) ∞jô©J : ∫ƒ≤f ÉæfEÉa , ± IôàØdG ≈∏Y áaôqn ©e O ádGódG âfÉc GPEG . IôàØdG √òg »a ¬JÉ°Sɪe ™«ªL ¥ƒa ™≤j »æëæªdG ¿Éc GPEG , (≈∏YC’ ¢Sƒqn ≤e) ô©qn ≤e O ádGódG »æëæe .IôàØdG√òg»a¬JÉ°Sɪe™«ªLâëJ™≤j»æëæªdG¿ÉcGPEG,(πØ°SC’¢Sƒqn ≤e)Üóëe qn OádGódG»æëæe

(2-3) ÖjQóJ πµ°ûdG »a ø«à∏㪪dG `g , O ø«àdGódG ø«H ¿QÉb . ¢Sƒ≤àdGh OGôW’G å«M øe ( 11-3 ) : ¬`` fCG ß`` MÓf ( 10-3 ) , ( 9-3 ) ø`` «∏µ°ûdG ≈`` dEG IOƒ`` ©dÉH (11-3) πµ°T

»KGóME’G OGR ɪ∏c …CG ø«ª«dG ≈dEG QÉ°ù«dG øe ∑ôëàf ÉeóæY , ô©≤ªdG »æëæª∏d πãu ªªdG ( 9-3 ) πµ`` °ûdG »`` a : ¿Cs G »æ©j Gògh ( ∂dP ô°ùa u ) »æëæª∏d ¢SɪªdG π«e OGR , ¢SɪàdG §≤æd »æ«°ùdG Ü,

¢`` S , 0 (¢S) ¿ƒ`` µJ ( 1-3 ) á`` jô¶ædG Ö`` °ùMh , Ü ,

≈`` ∏Y Ió`` jGõàe á`` dGO

»KGóME’G OGR ɪ∏c …CG ø«ª«dG ≈dEG QÉ°ù«dG øe ∑ôëàf ÉeóæY , ÜóëªdG »æëæª∏d πãu ªªdG ( 10-3 ) πµ°ûdG »a : ¿Cs G »æ©j Gògh , »æëæª∏d ¢SɪªdG π«e ¢ü≤f , ¢SɪàdG §≤æd »æ«°ùdG Ü, ¢S , 0 (¢S) ¿ƒµJ ¬«∏Yh , Ü , ≈∏Y á°übÉæàe ádGO

125

(5) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG :á«dÉàdG ájô¶ædG áë°U ∫ƒÑb Éæ浪j ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈∏Y

(2-3) ájô¶f »a á«∏NGO á£≤f πc óæY ø«Jôe ¥É`` ≤à°TÓd á∏HÉbh , ± IôàØdG ≈∏Y áaôqn ©e O á`` dGódG â`` fÉc GPEG m : òFóæY , IôàØdG √òg ± ≈∏Y Gôk ©≤e ¿ƒµj O ádGódG »æëæe ¿Eqn Éa , ± »a á«∏NGO á£≤f πµd 0 (¢S) âfÉc GPEG ± ≈∏Y ÉHk óëe ¿ƒµj O ádGódG »æëæe ¿Eqn Éa , ± »a á«∏NGO á£≤f πµd 0 (¢S) âfÉc GPEG ∂dP ; ± »a á«∏NGO á`` £≤f πµd 0 = (¢S) É¡«a »àdG ádÉëdG ¢`` ûbÉæJ ºd ( 2-3 ) á`` jô¶ædG ¿Cs G ß`` M’ k ¿ƒµj ádÉëdG √òg »a O ádGódG »æëæe ¿Cs G .( ¢Sƒs ≤e ô«Z ) ɪk «≤à°ùe É£N . ( 2-3 ) ájô¶ædG ≈dEG Góæà°ùe ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J á°SGQód ¬YÉÑJG Ωõ∏j …òdG AGôLE’G ∞°U k

(3-3) ∫Éãe 2

¢S (¢S)O ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J ¢SQOG

πëdG

¢S 2 (¢S) ¢S

0

2 (¢S)

≈∏Y ô©≤e ádGódG »æëæe .ádGódG »æëæe í°Vƒj …òdG ( 12-3 ) πµ°T ô¶fG

(12-3) πµ°T

: ¿Cs G ≈dEG π°UƒàdG Éæ浪j ≥HÉ°ùdG ∫ÉãªdG Aƒ°V ≈∏Y 0

å«M , `L ¢S Ü 2¢S

(¢S)O á«©«HôJ ádGO …Cs G

¿Éc GPEG ≈∏Y ÉHk óëeh , 0 ¿Éc GPEG ≈∏Y Gôk ©≤e É¡«æëæe ¿ƒµj .πØ°SC’ Ék °Sƒs ≤e πØ°SC’ ¬àëàa …òdG ™£≤dGh , ≈∏YC’ Ék °Sƒs ≤e ≈∏YC’ ¬àëàa …òdG ™£≤dG ¿ƒc ™e ≥Øàj Gògh 0

(5) äÉ«°VÉjQ

126

(1) ádGódG π«∏ëJ (4-3) ∫Éãe

1 ¢S , 0 ¢S

(¢S)O ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J ¢SQOG 0 ¢S ,

0 (13-3) πµ°T

πëdG

1¢S , 2 ¢S

(¢S)

2 3 ¢S

(¢S)

¢S2 4 ¢S

¢S ΩÉ≤ªdG IQÉ`` °TEG »g (¢S) IQÉ`` °TEG ¿Es Éa , Ö`` Lƒe §°ùÑdG ¿Es G å`` «Mh

3

¢S ¢S

¢S ¿Cs ’ ; É¡°ùØf ¢S IQÉ°TEG ¬d …òdGh

2

3

∞ , 0 ≈∏Y ô©≤eh , 0 , ∞ - ≈∏Y Üóëe ádGódG »æëæe : ¿Cs G »æ©j ∫hóédG Gògh ( 13-3 ) πµ°T »a í°VƒªdGh ádGó∏d »fÉ«ÑdG »æëæªdG ™e èFÉàædG √òg ≥aGƒJ ßM’

(5-3) ∫Éãe 1 + 2¢S 3 - 3¢S

(¢S)O ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J ¢SQOG

πëdG ¢S 6 - 2¢S 3

(¢S)

6 - ¢S 6 (¢S) 1

127

(5) äÉ«°VÉjQ

¢S

6

¢S 6

0 6 - ¢S 6

0 (¢S)

áãdÉãdG IóMƒdG

: ¿Cs G »æ©j ∫hóédG Gògh ∞ , 1 ≈∏Y ô©≤eh , 1 , ∞ - ≈∏Y Üós ëe O »æëæe (14-3) πµ°T

.ádGó∏d »fÉ«ÑdG »æëæªdG í°Vƒj …òdG ( 14-3 ) πµ°T ô¶fG

ÜÓ≤f’G á£≤f ,((1) O ,1) á£≤ædG ∫ƒM ô©≤e ≈dEG Üóëe øe ô«¨àj ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J ¿Cs G óéf (5-3) ∫ÉãªdG Éæ∏eCÉJ GPEG .É¡dƒM ¬°Sƒ≤J πµ°T ô«¨jo – π°üàªdG – »æëæªdG ¿ƒµd ; ÜÓ≤fG á£≤f á£≤ædG √òg πãe ≈ªs °ùJ

(2-3 ) ∞jô©J ÜÓ≤fG á£≤f ≈ª°ùJ ((`L) O , `L) á£≤ædG ¿Eqn Éa , `L = ¢S óæY á∏°üàe O ádGódG âfÉc GPEG . `L ∫ƒM O »æëæe ¢Sƒ≤J ô«¨J GPEG , O ádGódG »æëæªd( ±É£©fG ) ¿Cs G ’EG , 0 ¢S ∫ƒM ô«¨àj ádGódG »`` æëæe ¢Sƒ≤J ¿ƒc øe ºZôdG ≈∏Y ¬fCG óéf ( 4-3 ) ∫É`` ãe ≈`` dEG IOƒ`` ©dÉH 0 ¢S óæY Ók °UCG áaô©e ô«Z ádGódG ¿ƒµd ; ÜÓ≤fG á£≤f ¬d ¢ù«d »æëæªdG ? O ádGódG »æëæªd ÜÓ≤fG á£≤f »dÉàdG πµ°ûdG »a ((`L) O , `L) á£≤ædG ót ©J’ GPɪd

(5) äÉ«°VÉjQ

128

(1) ádGódG π«∏ëJ ɪe , ÜÓ≤f’G á£≤f ∫ƒM ô«¨àJ

IQÉ°TEG ¿Cs ÉH ∫ƒ≤dG ( 2-3 ) á`` jô¶ædGh ( 2-3 ) ∞jô©àdG ø`` e É`` æ浪j ¿B’Gh : á«dÉàdG áé«àædG π«é°ùàd ƒfGõ∏H ájô¶f ΩGóîà°SG Éæd í«àj

(1-3) áé«àf 0=(`L) ¿EÉa,ÉgóæYáaô©e ádGódGâfÉch, `L=¢SóæYÜÓ≤fGá£≤f OádGódG»æëæªd¿ÉcGPEG ádGódG ¿ƒµJ ¿CG ºuàëj Gòg h ,(`L)-

( `L )+ âfÉc GPEG áaôs ©e ¿ƒµJ ( `L ) ¿Cs ÉH áé«àædG √òg º¡a π¡°ùjh 0 ( `L ) ¿ƒµJ ƒfGõ∏H ájô¶f Ö°ùMh , `L óæY á∏°üàe O

(1-3) . áaôs ©e ô«Z É¡«a ¿ƒµJ »àdG ádÉëdG »a O ádGó∏d ÜÓ≤f’G §≤f á°SGQód ¥ô£àf ød á£≤ædG ¿ƒµJ ¿CG …Qhô°†dG øe ¢ù«∏a , 0 ( `L ) âfÉc GPEG á≤HÉ°ùdG áé«àædG ¢ùµY ¿Es G …CG ) ÜÓ`` ≤fG á£≤f ((`L) O , ` ` L) .( í«ë°U ô«Z

1 2

¢S (¢S)O âfÉc GPEG : Ók ãªa

4

0 –

(15-3) πµ°T

¢S

,0

¢S 12 (¢S)

¿Es Éa 0 ¢S ∫ƒM ô«¨àJ’ O IQÉ°TEG ¿Cs G »æ©j Gògh 2

¿Cs G øe ºZôdG ≈∏Y ÜÓ≤fG á£≤f â°ù«d (0 , 0) á£≤ædG ¿Cs G »æ©j ɪe ( 15-3 ) πµ°T ô¶fG , 0 (0)

ƒëædG ≈∏Y ∂dPh á«fÉãdG á≤à°ûªdG ΩGóîà°SÉH O ádGó∏d ÜÓ≤f’G á£≤f õ««ªJ Éæ浪j ¬fCG óéf ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈∏Yh : »dÉàdG ,É¡dƒM

129

IQÉ°TEG äô«¨J GPEÉa , `L ∫ƒM

(5) äÉ«°VÉjQ

IQÉ°TEG ¢SQóf ºK , 0 ( `L ) ÉgóæY »àdG `L º«b óLƒf . ÜÓ≤fG á£≤f ( ( `L ) O , `L ) âfÉc

áãdÉãdG IóMƒdG (6-3) ∫Éãe 3 – ¢S 2 3¢S 4 4¢S (¢S)O ádGódG »æëæªd ÜÓ≤f’G §≤f óLhCG

πëdG 2 + 2¢S 12 - 3¢S 4 (¢S) 0 ¢S hCG 2 ¢S

¢S 24 - 2¢S 12 (¢S) 0 ( 2 - ¢S ) ¢S 12

0 (¢S)

(16-3) πµ°T

(3- ,0) ( (0)O ,0)

(15- ,2) ( (2)O ,2) ɪg ÜÓ≤fG »à£≤f ádGódG »æëæªd ¿Cs G óéf ∫hóédG øeh .ádGó∏d »fÉ«ÑdG »æëæªdG í°Vƒj …òdG ( 16-3 ) πµ°T ô¶fG

(3-3) ÖjQóJ : »JCÉj ɪd π∏u Y O ádGó∏d ¿Cs G óéf ádGó∏d πãu ªªdG QhÉéªdG πµ°ûdG øe .`L á£≤ædG óæY ÜÓ≤fG á£≤f

(5) äÉ«°VÉjQ

130

(1) ádGódG π«∏ëJ

(1-3) øjQɪJ :¢übÉæàdGh ójGõàdG äGôàa á≤à°ûªdG ΩGóîà°SÉH OóM u 12 ≈dEG 1 øe øjQɪàdG øe xπc »a 7 - ¢S 6 + 2¢S ( ¢S)O

1

¢S 2 - ¢S 2 + 3 - ( ¢S)O

2

3

(1 - ¢S ) ( ¢S)O

3

¢S 3 - 3¢S ( ¢S)O

4

( 3 + ¢S ) 2( 2 - ¢S ) ( ¢S)O 4 ¢S 2 3 ( ¢S)O 2 + ¢S + ¢S - 4 5 + 2¢S 2 - 4¢S 8 ( ¢S)O

5

2

•2,0 • •, 2 2 2, 2-

¢S ÉL ( ¢S)O

8

¢S ,

¢S ÉàL ( ¢S)O

9

¢S - 4 ( ¢S)O 3 - ¢S ( ¢S)O 9 + 2¢S ¢S , 16 + 2¢S ( ¢S)O ¢S

10

2

ó`` jGõàdG äGô`` àa Oó`` M , O á`` dGódG á`` ≤à°ûe »`` æëæe π`` ãªj …ò`` dGh »`` dÉàdG πµ`` °ûdG ≈`` ∏Y OÉ`` ªàY’ÉH . O ádGó∏d ¢übÉæàdGh

131

(5) äÉ«°VÉjQ

7

¢S , ¢S ,

0

6

11 12 13

áãdÉãdG IóMƒdG x »a :äóLh ¿EG ÜÓ≤f’G §≤f óLhCGh ádGódG »æëæe ¢Sƒ≤J ¢SQOG 19 ≈dEG 14 øe øjQɪàdG øe πc ¢S 6 + 3¢S ( ¢S)O

14

27 + 2 ¢S 9 - 3¢S 2 ( ¢S)O

15

¢S 2 - 4¢S

( ¢S)O

16

1 + 2¢S 3 + 3¢S 3 - 4¢S ( ¢S)O

17

8 2 ¢S - ¢S ( ¢S)O

18

1 ¢S + ¢S ( ¢S)O

19

3

0 ≠ ¢S , 1 ≠ ¢S ,

4

á£≤f ¬d ádGó``dG »`` æëæe ¿Cs ÉH É``ªk ∏Y Ü , »àª«b óLhCÉ` ` `a , 2¢S Ü + 3¢S

20

( ¢S)O âfÉc GPEG ( 2 , 1 ) »g ÜÓ≤fG

21

x »a ∂dPh , O á`` dGódG »æëæªd ÜóëàdGh ô©≤àdG äGôàa ó`` jóëàd QhÉéªdG πµ`` °ûdG Ωó`` îà°SG øe πc : á«dÉàdG ä’ÉëdG O ádGódG »æëæe πãªj πµ°ûdG ádGódG »æëæe πãªj πµ°ûdG ádGódG »æëæe πãªj πµ°ûdG

(5) äÉ«°VÉjQ

132

(2) ádGódG π«∏ëJ

2-3

(2) ádGódG π«∏ëJ Ö∏£àJ á«≤«Ñ£J πFÉ°ùe πëf ºKs øeh , ádGó∏d iƒ°ü≤dG º«≤dG OÉéjE’ á≤à°ûªdG Ωóîà°ùf ¢SQódG Gòg »`` a . ádGó∏d iƒ°ü≤dG º«≤dG ójóëJ

ádGó∏d iƒ°ü≤dG º«≤dG

º«≤dG OÉéjE’h , ádGó∏d iƒ°üb ᪫b ≈ªs °ùJ ádGó∏d iô¨°üdG ᪫≤dGh ≈ª¶©dG ᪫≤dG øe Óv c ¿Cs G º∏©J Éæ∏«îJ GPEÉa . á«∏ëªdG iƒ°ü≤dG º«≤dG Ωƒ¡Øe ºjó≤J Ak GóàHG Éæeõ∏j á≤à°ûªdG ΩGóîà°SÉH ádGód iƒ°ü≤dG , ájOhCG ¿É©«b É¡∏∏îàJ ∫ÉÑL á∏°ù∏°S ºªb øe áYƒªée πãu ªj ( 17-3 ) πµ°ûdG »a O ádGódG »æëæe ¿Cs G .á«∏ëe iô¨°U Ék ª«b ájOhC’G ¿É©«bh á«∏ëe ≈ª¶Y Ék ª«b ∫ÉÑédG ºªb »ª°ùf u ÉæfEÉa

(17-3) πµ°T

: ‹ÉàdG ∞jô©àdG Ëó≤J Éæ«∏Y πu¡°ùj ≥HÉ°ùdG Qƒ°üàdG ¿s EG

(3-3) á«∏ëªdG iƒ°ü≤dG º«≤dG ∞jô©J

á«∏ëªdG ≈ª¶©dG ᪫≤dG ¿ƒµJ å«ëH `L …ƒëJ ± áMƒàØe Iôàa äóLh GPEG , `L óæY á`` «∏ëe ≈ª¶Y ᪫b O ádGó∏d ¿Eqn G ∫ƒ`` ≤f . ± ¢S (¢S)O (`L)O : ¿ƒµJ ¿CG »æ©j ∂dPh , ± »a ≈ª¶Y ᪫b (`L)O á`` £≤ædG »`` ª°ùf É`` ªc,Ω` ` Y õ`` eôdÉH É`` ¡d õ`` eôfh O á`` dGó∏d á`` «∏ëe ≈`` ª¶Y á`` ª«b (`` `L)O »`` ª°ùf qp . á«∏ëe ≈ª¶Y á£≤f ((`L)O , `L) á«∏ëªdG iô¨°üdG ᪫≤dG ¿ƒµJ å«ëH `L …ƒëJ ± áMƒàØe Iôàa äóLh GPEG , `L óæY á«∏ëe iô`` ¨°U ᪫b O ádGó∏d ¿Eqn G ∫ƒ`` ≤f . ± ¢S (¢S)O (`L)O : ¿ƒµJ ¿CG »æ©j ∂dPh, ± »a iô¨°U ᪫b (`L)O á£≤ædG »`` ª°ùf ɪc, Ω` ` ` ` °U õ`` eôdÉH É`` ¡d õeôfh O á`` dGó∏d á«∏ëe iô`` ¨°U á`` ª«b (`` `L)O »`` ª°ùf qp . á«∏ëe iô¨°U á£≤f ((`L)O , `L) . É¡æe Üô≤dÉHh `L ∫ƒM óMGh πëe »a IQƒ°üëe É¡fC’ á«∏ëe º«≤dG √òg ≈ªqn °ùJ

133

(5) äÉ«°VÉjQ

‫الوحدة الثالثة‬ ‫(‪)2-3‬‬ ‫‪ 1‬القيمة الق�صوى المحلية توجد عند نق‪£‬ة دا‪N‬لية ‪a‬ي مج‪ ∫É‬الدالة‪.‬‬ ‫‪ 2‬لي‪ù‬س كل قيمة ع¶مى محلية اأك‪Ñ‬ر من كل قيمة ‪U‬صغرى محلية ‪ ،‬ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪) 18-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)18-3‬‬

‫‪ 3‬ق ``د يك ``ون للدالة اأك‪ã‬ر من قيم ``ة ع¶مى ( اأو ‪U‬صغرى ) محلي ``ة ‪ ،‬بينم‪’ É‬يكون ل¡ ``‪ É‬اأك‪ã‬ر من قيمة‬ ‫ع¶مى (اأو ‪U‬صغرى) ‪a ،*á≤∏£e‬في ال‪û‬صكل (‪ )17-3‬نجد اأن ك ‪ Óv‬من د (ج`‪ ، )1‬د (ج`‪ ، )3‬د( ج`‪)5‬‬ ‫‪g‬ي قيمة ع¶مى محلية وكذل∂ ك ‪ Óv‬من د ( ج`‪ ، )2‬د ( ج`‪g )4‬ي قيمة ‪U‬صغرى محلية ‪.‬‬ ‫‪ 4‬اإ‪P‬ا ك‪É‬ن ``‪ â‬الدال ``ة مع َّر‪a‬ة على ‪a‬تر‪ I‬مفتو‪M‬ة ‪َّ Éa‬إن كل قيمة ق�ص ``وى م‪£‬لقة ‪g‬ي قيمة ق�صوى محلية‬ ‫ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪ ، ) 19-3‬اأم‪ É‬اإ‪P‬ا ك‪É‬ن‪ â‬الدالة مع َّر‪a‬ة على ‪a‬تر‪ I‬مغلقة ‪َّ Éa‬إن القيمة الق�صوى الم‪£‬لقة‬ ‫تكون ق�صوى محلية ب‪û‬صر• اأ’ تق™ عند اأ‪M‬د ‪W‬ر‪a‬ي الفتر‪، I‬ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪) 20-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)19-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)20-3‬‬

‫* القيم ``ة الع¶م ``ى ( اأو ال�صغ ``رى ) الم‪£‬لقة ‪`` g‬ي القيمة الع¶مى ( اأو ال�صغرى ) الت ``ي عر‪a‬ن‪� ÉgÉ‬ص‪É‬بق‪ Ék‬واإنم‪ É‬اأ‪V‬صفن‪ É‬كلم ``ة م‪£‬لقة ‪g‬ن‪ É‬لتميي‪ Égõ‬عن‬ ‫المحلية ‪ ،‬كذل∂ لكون¡‪ É‬اأك‪Ñ‬ر قيمة ( اأو اأ‪U‬صغر قيمة ) للدالة على ا’إ‪g . ¥ÓW‬ذا و اإن لم ن‪ûî‬س ا’لت‪�ÉÑ‬س ‪Éa‬إنن‪ É‬لن ن†صي∞ ‪g‬ذ√ الكلمة ‪.‬‬

‫‪134‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬ ‫م‪)7-3( ∫Éã‬‬ ‫ال‪û‬صكل ( ‪ ) 21-3‬يم‪ã‬ل المنحني ال‪Ñ‬ي‪É‬ني ل‪ çÓã‬دوا∫ ك‪ã‬يرا‪ ä‬الحدود د ‪، `g ،‬‬

‫‪T‬صكل (‪)21-3‬‬

‫ومن¬ نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬للدالة د قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ ، 0‬اأي ا َّإن د (‪ )0‬قيمة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬ ‫قيمة ع¶مى محلية عند �س ‪ ، 1-‬اأي ا َّإن ‪ )1-( ` `g‬قيمة ع¶مى محلية‪.‬‬ ‫‪ 2‬للدالة ‪`g‬‬ ‫قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ ، 1‬اأي ا َّإن ‪ )1( ` `g‬قيمة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬ ‫‪ 3‬للدالة‬

‫قيمة ع¶مى محلية عند �س ‪ ، 0‬اأي ا َّإن (‪ )0‬قيمة ع¶مى محلية‪.‬‬ ‫قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ ، 2-‬اأي ا َّإن (‪ )2-‬قيمة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬ ‫قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ ، 1‬اأي ا َّإن (‪ )1‬قيمة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬

‫’‪ ßM‬من ال‪û‬صكل ( ‪ ) 21-3‬ا َّأن ‪:‬‬ ‫(‪، 0 )1-( ، 0 )0‬‬

‫(‪، 0 )1‬‬

‫(‪، 0 )0‬‬

‫(‪0 )1( ، 0 )2-‬‬

‫) ‪( ? èàæà°ùJ GPÉe‬‬ ‫لع َّل الن¶رية الت‪É‬لية تو‪D‬كد ‪U‬صحة ا�صتنت‪É‬ج∂‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪135‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪(3-3) ájô¶f‬‬ ‫‪( Fermat´s Theorem) äÉeô«a ájô¶f‬‬

‫اإ‪P‬ا ك‪É‬ن للدالة د قيمة ق�صوى محلية عند �س = ج` ‪ ،‬وك‪É‬ن‪ â‬الدالة ق‪É‬بلة ل‪TÓ‬صتق‪ ¥É‬عند‪qn Éa ، Ég‬إن‬ ‫( ج` ) = ‪U‬صف ‪k‬را ‪.‬‬

‫(‪)3-3‬‬

‫أﻻ ﺗﺬﻛﺮك ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﺑﺎﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ) ‪( ١-٣‬‬

‫‪ 1‬قد يكون للدالة قيمة ق�صوى محلية عند نق‪£‬ة ج` ‪ ،‬بينم‪É‬‬ ‫( ج` ) ‪Z‬ير مع َّر‪a‬ة ‪a ،‬م‪ : Ók ã‬الدالة د ( �س ) �س‬ ‫ل¡‪ É‬قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪0‬‬ ‫بينم‪Z )0( É‬ير مع َّر‪a‬ة ‪ ،‬ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪ ، ) 22-3‬اإ’ ا َّأن م‪ã‬ل‬ ‫‪g‬ذ√الدالة‪Z‬يرالق‪É‬بلةل‪TÓ‬صتق‪¥É‬لي‪ù‬ص‪aâ‬ين‪¥É£‬د‪Q‬ا�صتن‪gÉ‬ن‪.É‬‬

‫‪T‬صكل (‪)22-3‬‬

‫‪ 2‬ا َّإن عك‪ù‬س الن¶رية ( ‪ ) 3-3‬لي‪ù‬س ‪U‬صحيح ‪ ، Ék‬اأي اإنَّ¬ قد تكون ( ج` ) ‪، 0‬‬ ‫بينم‪( É‬ج` ‪ ،‬د (ج`)) لي‪ù‬ص‪ â‬نق‪£‬ة ق�صوى محلية ‪a ،‬م‪: Ók ã‬‬ ‫الدالة د ( �س ) �س‪ 3‬لي‪ù‬س ل¡‪ É‬قيمة ق�صوى محلية عند �س ‪0‬‬ ‫على الر‪Z‬م من ا َّأن (‪ ، 0 )0‬ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪. ) 23-3‬‬ ‫‪U‬ص∞ ا‪W‬راد ‪g‬ذ√ الدالة ‪M‬و∫ �س ‪0‬‬ ‫‪ 3‬من الوا‪V‬ص‪a í‬ي الم‪ ) 7-3 ( ∫Éã‬ا َّأن ا‪W‬راد الدالة يتغير ‪M‬و∫ النق‪£‬ة‬ ‫الق�صوى المحلية وعلى وج¬ ال‪�î‬صو‪U‬س ‪َّ Éa‬إن ‪:‬‬ ‫النق‪`` £‬ة الع¶م ``ى يتغير ‪M‬ول¡‪ É‬ا‪`` W‬راد الدالة م ``ن الت‪õ‬اي ``د ق‪Ñ‬ل¡‪ É‬اإلى‬ ‫التن‪É‬ق�س بعد‪.Ég‬‬ ‫النق‪`` £‬ة ال�صغ ``رى المحلية يتغير ‪M‬ول¡ ``‪ É‬ا‪W‬راد الدالة م ``ن التن‪É‬ق�س‬ ‫ق‪Ñ‬ل¡‪ É‬اإلى الت‪õ‬ايد بعد‪.Ég‬‬

‫‪136‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪T‬صكل (‪)23-3‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬ ‫وا’‪B‬ن يمكنن ``‪ É‬ب‪’É‬إ‪É`` a‬د‪ I‬من ن¶رية ( ‪ ) 1-3‬ومن ‪a‬ق ``ر‪a )3( I‬ي الملحو‪X‬ة ( ‪¡a ) 3-3‬م الن¶رية الت‪É‬لية والتي‬ ‫تعد بم‪Éã‬بة ا‪N‬ت‪ QÉÑ‬لتميي‪ õ‬النق§ الق�صوى المحلية وت�صنيف¡‪ É‬ب‪�É‬صت‪î‬دا‪ Ω‬الم‪û‬صتقة ا’أولى ‪.‬‬

‫‪(4-3) ájô¶f‬‬ ‫اإ‪P‬ا ك‪É‬ن ``‪ â‬الدال ``ة د ق‪É‬بلة ل‪TÓ‬صتق‪a ¥É‬ي ‪a‬تر‪ I‬مفتو‪M‬ة تحوي ج` وك‪É‬ن‪ ( â‬ج` ) = ‪ 0‬عند ‪Fm‬ذ ‪:‬‬ ‫‪ )1‬اإ‪P‬ا تغي ``ر‪ ä‬اإ‪T‬ص ``‪ IQÉ‬م ``ن موج ``ب ق‪Ñ‬ل ج` اإل ``ى �ص‪É‬لب بعد‪qn Éa ، Ég‬إن د ( ج ` ` ) تكون قيمة‬ ‫ع¶مى محلية‪.‬‬ ‫‪ )2‬اإ‪P‬ا تغير‪ ä‬اإ‪T‬ص‪ IQÉ‬من �ص‪É‬لب ق‪Ñ‬ل ج` اإلى موجب بعد‪qn Éa ، Ég‬إن د ( ج` ) تكون قيمة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬ ‫‪ )3‬اإ‪P‬ا ك‪É‬ن‪ â‬ل¡‪ É‬ا’إ‪T‬ص‪ IQÉ‬نف‪ù‬ص¡‪M É‬و∫ ج` ( اأي موج‪Ñ‬ة ( اأو �ص‪É‬ل‪Ñ‬ة ) ق‪Ñ‬ل ج` وبعد‪، ) Ég‬‬ ‫‪qn Éa‬إن د ( ج` ) لي‪ù‬ص‪ â‬قيمة ق�صوى محلية للدالة‪.‬‬ ‫وعل ``ى ‪V‬ص ``و‪ A‬م‪� É‬ص‪Ñ‬ق ‪Éa ،‬إنن‪’ É‬إيج‪É‬د النق§ الق�صوى المحلي ``ة للدالة نوجد قيم ج` التي عند‪ ( Ég‬ج` ) ‪، 0‬‬ ‫‪K‬م ند‪�Q‬س اإ‪T‬ص‪M IQÉ‬و∫ ج` ‪Éa ،‬إ‪P‬ا تغير‪ ä‬اإ‪T‬ص‪M IQÉ‬ول¡‪ É‬ك‪É‬ن‪( â‬ج` ‪ ،‬د(ج`)) نق‪£‬ة ق�صوى محلية ‪ ،‬ويكون‬ ‫ت�صنيف¡‪ É‬اإلى ع¶مى اأو ‪U‬صغرى و‪a‬ق الن¶رية ال‪ù‬ص‪É‬بقة ‪.‬‬

‫م‪)8-3( ∫Éã‬‬ ‫‪¢S 24 3¢S 2 = (¢S)O ádGó∏d á«∏ëªdG iô¨°üdGh á«∏ëªdG ≈ª¶©dG §≤ædG óLhCG‬‬

‫الحل‬

‫(�س) ‪� 6‬س‪24 - 2‬‬ ‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 6‬س‪0 24 - 2‬‬

‫�س‪4 2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪T‬صكل (‪)24-3‬‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪم رﻣﺰ اﻻﻃﺮاد ﻟﺘﺴﻬﻴﻞ ﺗﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻘﺼﻮى اﶈﻠﻴﺔ‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪137‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫ومن الجدو∫ يت†ص‪ í‬ا َّأن ‪:‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬قيمة ع¶مى محلية عند �س ‪ 2-‬و‪g‬ي د (‪32 )2-‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ 2‬و‪g‬ي د (‪32- )2‬‬ ‫المو‪V‬ص‪ í‬للمنحني ال‪Ñ‬ي‪É‬ني للدالة ‪.‬‬ ‫ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪) 24-3‬‬ ‫‪u‬‬

‫(‪ ) 32 ، 2-‬نق‪£‬ة ع¶مى محلية‪.‬‬ ‫(‪ ) 32- ، 2‬نق‪£‬ة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬

‫’‪ ßM‬ا َّأن الدالة ‪a‬ي ‪g‬ذا الم‪g ∫Éã‬ي ك‪ã‬ير‪M I‬دود من الد‪Q‬جة ال‪Éã‬ل‪ã‬ة وا َّأن عدد النق§ الق�صوى المحلية‬ ‫ل¡ذ√ الدالة ‪g‬و ‪2‬‬

‫تد‪Q‬يب (‪)4-3‬‬ ‫‪ -1‬ق``‪QÉ‬ن بين د‪Q‬ج``ة دال``ة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود وع``دد النق§ الق�صوى المحلية ‪x‬‬ ‫لكل من ال``دوا∫ المو‪V‬صحة ‪a‬ي‬ ‫ال‪û‬صكلين(‪.)23-3( ، )21-3‬‬ ‫‪ -2‬علل لم‪ É‬ي‪É‬أتي ‪:‬‬ ‫عدد النق‪ •É‬الق�صوى المحلية لدالة ك‪ã‬ير‪M I‬دود من الد‪Q‬جة ن ‪M ،‬ي‪ å‬ن‬

‫• ‪g‬و على ا’أك‪ã‬ر( ن ‪. ) 1‬‬

‫م‪)9-3( ∫Éã‬‬ ‫‪(¢S) O ádGó∏d á«∏ëªdG iô¨°üdGh á«∏ëªdG ≈ª¶©dG §≤ædG óLhCG‬‬

‫الحل‬

‫‪¢S‬‬ ‫‪1 + 2¢S‬‬

‫(�س) (�س‪� - )1 + 2‬س(‪�2‬س)‬ ‫‪� - 1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س‪)1 + 2‬‬ ‫(�س‪)1 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(�س) ‪� - 1 0‬س‪� 0 2‬س‬ ‫و‪M‬ي‪ å‬ا َّإن مق‪ ΩÉ‬الم‪û‬صتقة موجب دا‪k F‬م‪ ( É‬لم‪PÉ‬ا ? ) ‪َّ Éa ،‬إن اإ‪T‬ص‪g IQÉ‬ي اإ‪T‬ص‪ IQÉ‬ال‪ùÑ‬ص§ نف‪ù‬ص¡‪. É‬‬ ‫‪2‬‬

‫ومن الجدو∫ يت†ص‪ í‬ا َّأن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬قيمة ع¶مى محلية عند �س ‪ 1‬و‪g‬ي د (‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬قيمة ‪U‬صغرى محلية عند �س ‪ 1‬و‪g‬ي د ( ‪1 - )1‬‬ ‫‬‫‬‫‪2‬‬

‫‪138‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫(‪ ) 1 ، 1‬نق‪£‬ة ع¶مى محلية‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪ ) 12- ، 1‬نق‪£‬ة ‪U‬صغرى محلية‪.‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬ ‫‪a‬ي الو‪M‬د‪ I‬ا’أولى وعند د‪Q‬ا�صة ن¶رية القيم الق�صوى للدالة ‪ ،‬والتي تفيد ب‪َّ É‬أن ‪:‬‬ ‫{ الدالة المت�صلة على ‪a‬تر‪ I‬مغلقة ‪ ،‬ب ل¡‪ É‬قيمة ع¶مى ( م‪£‬لقة ) وقيمة ‪U‬صغرى ( م‪£‬لقة ) ‪a‬ي الفتر‪ ، I‬ب ‪z‬‬ ‫وعدا بتو‪V‬صي‪W í‬ريقة اإيج‪É‬د القيم الق�صوى ( الم‪£‬لقة ) للدالة ‪a‬ي ‪ ،‬ب ‪ ،‬و‪ Ég‬نحن ب�صدد الو‪AÉa‬‬ ‫ق‪£‬عن‪k É‬‬ ‫ب¡ذا الوعد ‪ ،‬م‪ù‬صتندين اإلى ‪a‬قر‪ )4( I‬من الملحو‪X‬ة ( ‪ ) 2-3‬والتي نف¡م من¡‪ É‬اأن¬ اإ‪P‬ا ك‪É‬ن للدالة قيمة ق�صوى‬ ‫( م‪£‬لقة ) على ‪ ،‬ب ‪َّ Éa ،‬إن ‪g‬ذ√ القيمة اإم‪ É‬اأن تكون ق�صوى محلية ( توجد عند اأ‪M‬د جذو‪ Q‬الم‪û‬صتقة ) اأو‬ ‫تكون عند اأ‪M‬د ‪W‬ر‪a‬ي الفتر‪ ، I‬ب ‪.‬‬ ‫‪Ü , ≈∏Y á∏°üàªdG ádGó∏d á≤∏£ªdG iƒ°ü≤dG º«≤dG OÉéjEG á≤jôW‬‬ ‫‪ 1‬نوجد قيم الدالة عند جذو‪ Q‬الم‪û‬صتقة و‪P‬ل∂ اإن وجد‪a ä‬ي ‪ ،‬ب‬ ‫‪ 2‬نوجد قيمة الدالة عند ‪q m‬‬ ‫كل من ‪ ،‬ب ( ‪W‬ر‪a‬ي الفتر‪) I‬‬ ‫‪ 3‬نق ``‪QÉ‬ن بي ``ن القيم الت ``ي ‪�M‬صلن‪ É‬علي¡‪a É‬ي ال‪£î‬وتي ``ن (‪a )2( ، )1‬يكون اأك‪Ñ‬ر‪g Ég‬و‬ ‫القيمة الع¶مى الم‪£‬لقة للدالة واأ‪U‬صغر‪g Ég‬و القيمة ال�صغرى الم‪£‬لقة للدالة ‪.‬‬

‫م‪)10-3( ∫Éã‬‬ ‫‪(¢S)O øµàd‬‬

‫‪º«b …Cu G óæY ø«u Hh , 1 , 0 IôàØdG ≈∏Y ádGó∏d á≤∏£ªdG iƒ°ü≤dG º«≤dG óLhCG , 3¢S ¢S‬‬

‫‪. iƒ°ü≤dG º«≤dG √òg óLƒJ ¢S‬‬

‫الحل‬ ‫الدالة مت�صلة على الفتر‪، 1 ، 0 I‬‬ ‫(�س) ‪� 3 - 1‬س‬

‫‪2‬‬

‫(�س) ‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ولكن ‪3‬‬ ‫‪ 1‬د ( ‪) 33‬‬

‫‪� 3 - 1‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪1،0‬‬ ‫‪) 33 ( - 33‬‬

‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪3 3 3‬‬ ‫‪27 - 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪9‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪139‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫د(‪0 0 0 )0‬‬

‫‪2‬‬

‫د(‪0=1 1 )1‬‬

‫‪ 3‬ب‪É‬لمق‪QÉ‬نة بين القيم د ( ‪ ، ) 33‬د (‪ ، )0‬د (‪ ، )1‬نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫القيمة الع¶مى الم‪£‬لقة ‪3 2‬‬ ‫�س‬ ‫عند‬ ‫توجد‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪T‬صكل (‪)25-3‬‬

‫القيمة ال�صغرى الم‪£‬لقة ‪ 0‬و توجد عند كل من �س ‪� ،0‬س ‪1‬‬ ‫ان¶ر ‪T‬صكل (‪ )25-3‬الذي يو‪V‬ص‪ í‬المنحني ال‪Ñ‬ي‪É‬ني للدالة ‪a‬ي الفتر‪1 , 0 I‬‬

‫م‪)11-3( ∫Éã‬‬ ‫‪. 2،2‬‬

‫اأوجد القيم الق�صوى الم‪£‬لقة للدالة د(�س) �س‪ 3‬على‬

‫الحل‬ ‫‪2،2‬‬

‫الدالة مت�صلة على‬ ‫(�س) ‪� 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫(�س) ‪0‬‬

‫‪ 1‬د (‪0 )0‬‬ ‫د( ‪)2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫�س ‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫د(‪8 )2‬‬ ‫‪ 3‬بمق‪QÉ‬نة القيم د (‪ ، )0‬د ( ‪ ، ) 2‬د (‪ ، )2‬نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫القيمة ال�صغرى الم‪£‬لقة للدالة د ( ‪)2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪T‬صكل (‪)26-3‬‬

‫القيمة الع¶مى الم‪£‬لقة للدالة د(‪8 )2‬‬ ‫وال‪û‬صكل ( ‪ ) 26-3‬يو‪V‬ص‪ í‬المنحني ال‪Ñ‬ي‪É‬ني للدالة ‪.‬‬ ‫’‪ ßM‬ا َّأن القيم الق�صوى الم‪£‬لقة ل¡ذ√ الدالة وجد‪ ä‬عند اأ‪W‬را‪ ±‬الفتر‪ I‬المغلقة ؛ ‪P‬ل∂ ا َّأن ‪g‬ذ√ الدالة‬ ‫– كم‪ É‬عر‪� âa‬ص‪É‬بق‪ – Ék‬لي‪ù‬س ل¡‪ É‬قيمة ق�صوى محلية ‪.‬‬

‫‪140‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬

‫‪iƒ°ü≤dG º«≤dG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪T‬صرو‪ ÉW‬مع َّينة‬ ‫ا َّإن الت‪Ñ£‬يق ``‪ äÉ‬الت ``ي ن‪ù‬صت¡د‪g É¡a‬ن‪g É‬ي الم‪ù‬ص‪FÉ‬ل التي تت‪£‬لب تحديد قيم ``ة ق�صوى لع‪Ó‬قة تحقق‬ ‫ك‪É‬لح�صو∫ على اأك‪Ñ‬ر ‪Q‬ب‪ í‬اأو اأقل ‪ùN‬ص‪ IQÉ‬اأو اأك‪Ñ‬ر ‪M‬مولة اأو اأقل م‪ù‬ص‪MÉ‬ة اأو اأق�صى �صرعة ‪ ...‬اإل‪ ï‬وت‪ù‬ص َّمى م‪ã‬ل ‪g‬ذ√‬ ‫القي ``م ب‪É‬لقيم ``ة الم‪ã‬لى ؛ لذا ‪َّ Éa‬إن ‪g‬ذ√ الم‪ù‬ص‪FÉ‬ل تعر‪ ±‬ب` {‪ zá«∏ãeC’G π``FÉ°ùe‬وي¡تم ب¡‪ É‬الك‪ã‬يرون ممن ي‪û‬صتغلون‬ ‫بحقل العلو‪ Óa Ω‬يك‪É‬د ي‪î‬لو ت‪�î‬ص�س علمي من م‪ã‬ل ‪g‬ذ√ الم‪ù‬ص‪FÉ‬ل ‪.‬‬ ‫اإ’ اأنن‪� É‬صنرك‪ uõ‬ا‪g‬تم‪É‬من‪g É‬ن‪ É‬على الم‪ù‬ص‪FÉ‬ل ال¡ند�صية من¡‪. É‬‬ ‫ولتو‪V‬صي‪W í‬ريقة ‪M‬ل ‪g‬ذ√ الم‪ù‬ص‪FÉ‬ل �صنقو‪ Ω‬ابتدا ‪ Ak‬بمن‪É‬ق‪û‬صة تف�صيلية للم‪ù‬ص‪É‬ألة الت‪É‬لية على �ص‪Ñ‬يل الم‪: ∫Éã‬‬ ‫اإ‪P‬ا اأ‪Q‬دن ``‪ É‬ا�صت‪`` î‬دا‪� Ω‬صي‪W êÉ‬ول¬ ‪’ Ω 100‬إ‪WÉM‬ة ق‪£‬عة من ا’أ‪VQ‬س عل ``ى ‪T‬صكل م‪ù‬صت‪£‬يل ‪a ،‬م‪g É‬ي ا’أبع‪É‬د ال‪ΩRÓ‬‬ ‫ات‪ ÉgPÉî‬ل¡ذ√ الق‪£‬عة لتكون م‪ù‬ص‪MÉ‬ة ا’أ‪VQ‬س اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن ?‬ ‫علين ``‪ É‬اأو ‪ ’k‬اأن نف¡ ``م الم‪ù‬ص‪É‬أل ``ة ؛ و’أجل ‪P‬ل∂ دعن ``‪ É‬ن‪î‬ت‪ QÉ‬قي ‪k‬م‪ É‬ممكن ``ة ’أبع‪É‬د ‪g‬ذ√ الق‪£‬ع ``ة ونح‪ù‬صب الم‪ù‬ص‪äÉMÉ‬‬ ‫الن‪É‬تجة‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ -2‬الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة = ‪525 = 15 × 35‬‬

‫‪ -1‬الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة = ‪400 = 10 × 40‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ -3‬الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة = ‪600 = 20 × 30‬‬

‫أي†ص‪،É‬ولكنم‪gÉ‬وا’‪N‬تي‪QÉ‬ا’أن‪ù‬صبل¡ذ√ا’أبع‪É‬دللح�صو∫علىالم‪ù‬ص‪MÉ‬ةالم‪ã‬لى‪.‬‬ ‫‪g‬ذاويمكنن‪É‬تجريبا‪N‬تي‪QÉ‬ا‪ä‬اأ‪N‬رىا ‪k‬‬ ‫‪`` a‬ي الواق ``™ لحل ‪g‬ذ√ الم‪ù‬ص‪É‬ألة يمكنن‪ É‬اأن نن¶ر اإلي¡‪ É‬على اأن¡‪ É‬م‪ù‬ص‪É‬ألة اإيج‪É‬د قيمة ع¶مى لدالة ‪ ،‬والدالة ‪g‬ن‪g É‬ي‬ ‫م‪ù‬ص‪MÉ‬ة الم‪ù‬صت‪£‬يل ‪ ،‬واإ‪P‬ا ‪a‬ر‪V‬صن‪ É‬ا َّأن ‪W‬و∫ الم‪ù‬صت‪£‬يل �س وعر‪V‬س الم‪ù‬صت‪£‬يل ‪U‬س ‪� ،‬صتكون الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة ‪:‬‬ ‫‪� Ω‬س ‪U‬س‬ ‫وق ``د ت‪Ñ‬دو الم‪ù‬ص‪É‬ألة ‪U‬صع‪Ñ‬ة ’أو∫ و‪g‬لة لكون الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة متوقفة على متغيرين ‪ ،‬اإ’ اأن¡م‪a É‬ي الواق™ مرت‪É£Ñ‬ن بع‪Ó‬قة‬ ‫محي§ الم‪ù‬صت‪£‬يل‬ ‫‪� ( 2‬س ‪U‬س ) ‪100‬‬ ‫ومن¡‪U É‬س‬ ‫‪a‬تكون ‪Ω‬‬

‫�س‬

‫‪� 50‬س‬

‫‪� - 50‬س‬

‫�س (‪� 50‬س )‬

‫اأي ا َّإن د ( �س )‬

‫‪� 50‬س �س‬

‫‪2‬‬

‫‪� - 50‬س‬ ‫�س‬ ‫‪T‬صكل (‪)27 - 3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪141‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫و‪M‬ي‪ å‬ا َّإن اأبع‪É‬د ا’أ‪VQ‬س ’يمكن اأن تكون �ص‪É‬ل‪Ñ‬ة ‪َّ Éa‬إن ‪:‬‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫‪� - 50‬س ‪0‬‬

‫�س ‪50‬‬

‫وعلي¬ يمكنن‪ É‬القو∫ ب‪َّ É‬أن مج‪ ∫É‬الدالة‬

‫‪50 ، 0‬‬

‫وا’‪B‬ن من الوا‪V‬ص‪ í‬ا َّأن الم‪ù‬ص‪É‬ألة ’تعدو اأن تكون‪:‬‬ ‫اإ‪P‬ا ك‪É‬ن‪ â‬د ( �س ) ‪� 50‬س �س‪ 2‬على ‪Éa ، 50 ، 0‬أوجد قيمة �س التي ت‪Ñ‬ل≠ عند‪ Ég‬الدالة قيمت¡‪ É‬الع¶مى‬ ‫‪a‬يكون الحل كم‪ É‬يلي ‪:‬‬ ‫الدالة مت�صلة على ‪50 ، 0‬‬ ‫(�س) ‪� 2 50‬س‬ ‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 2 50‬س ‪0‬‬

‫�س ‪25‬‬

‫د (‪625 2)25( 25 50 )25‬‬ ‫د (‪0 )0‬‬ ‫د (‪0 2)50( 50 50 )50‬‬ ‫ب‪É‬لمق‪QÉ‬نة بين القيم د (‪ ، )25‬د (‪ ، )0‬د (‪ )50‬نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫‪T‬صكل (‪)28-3‬‬

‫القيمة الع¶مى للدالة ‪g‬ي ‪ 625‬وتوجد عند �س ‪ 25‬وعند‪ Ég‬تكون ‪U‬س ‪25 25 50‬‬ ‫ا ‪k‬إ‪P‬ا اأبع‪É‬د ا’أ‪VQ‬س ال‪RÓ‬مة لجعل الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن ‪g‬ي ‪. Ω 25 ، Ω 25 :‬‬ ‫و‪g‬ذا يعني اأن تكون ا’أ‪VQ‬س على ‪T‬صكل مرب™ ‪W‬و∫ ‪V‬صلع¬ ‪. Ω 25‬‬ ‫’‪ ßM‬اأن¬ يمكن التحقق من ‪U‬صحة الحل بر�صم دالة الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة والتي تم‪ã‬ل ق‪ ™£‬مك‪a ÅaÉ‬تحت¬ ’أ�صفل‬ ‫و‪Q‬اأ�ص¬ ‪ 25 Ü-‬وم‪¶MÓ‬ة القيمة الع¶مى ل¡‪ ، É‬ان¶ر ‪T‬صكل ( ‪) 28-3‬‬ ‫‪2‬‬

‫تد‪Q‬يب (‪)5-3‬‬ ‫اإ‪P‬ا كن ``‪a É‬ي الم‪ù‬ص‪É‬أل ``ة ال‪ù‬ص‪É‬بقة نريد اإ‪`` WÉM‬ة ا’أ‪VQ‬س من ‪çÓK‬‬ ‫م‪ù‬صتفيدا من ال‪û‬صكل ( ‪. ) 29-3‬‬ ‫ج¡‪a äÉ‬ق§ ‪Éa ،‬أعد الحل‬ ‫‪k‬‬ ‫‪T‬صكل (‪)29-3‬‬

‫‪142‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬ ‫مم‪� É‬ص‪Ñ‬ق يت†ص‪ í‬اأن¬ لحل م‪ù‬ص‪FÉ‬ل ا’أم‪ã‬لية يمكن ات‪ ´ÉÑ‬ال‪£î‬وا‪ ä‬الت‪É‬لية ‪:‬‬ ‫‪:á«∏ãeC’G πFÉ°ùe πM äGƒ£N‬‬ ‫‪¡a 1‬م الم‪ù‬ص‪É‬ألة ‪ ،‬وو‪V‬ص™ نمو‪g êP‬ند�صي ل¡‪ É‬اإن اأمكن ‪.‬‬ ‫‪ 2‬تحديد المج¡و∫ ( اأو المج‪gÉ‬يل ) ‪ ،‬و‪g‬و المتغير الذي يو‪KD‬ر على الكمية المراد اإيج‪É‬د‬ ‫قيمت¡‪ É‬الق�صوى ‪.‬‬ ‫‪ 3‬التع‪Ñ‬يرعنالكميةالمراداإيج‪É‬دقيمت¡‪É‬الق�صوىب�صفت¡‪É‬دالة‪a‬يمتغيروا‪M‬د‪a‬ق§‪،‬و‪P‬ل∂‬ ‫ب‪�É‬صت‪î‬دا‪ Ω‬المعلوم‪ äÉ‬المع‪a IÉ£‬ي الم‪ù‬ص‪É‬ألة وال‪û‬صكل ال¡ند�صي ‪.‬‬ ‫‪ 4‬تحديد مج‪ ∫É‬الدالة –و‪g‬و ‪a‬ي م‪ù‬ص‪FÉ‬لن‪ É‬الم‪ù‬صت¡د‪a‬ة ‪a‬تر‪ I‬مغلقة –و‪P‬ل∂ من واق™ الم‪ù‬ص‪É‬ألة ‪.‬‬ ‫‪ 5‬اإيج‪É‬د القيمة الق�صوى ب‪É‬ت‪ ´ÉÑ‬ال‪£‬ريقة التي اأو‪Q‬دن‪� ÉgÉ‬ص‪É‬بق‪. Ék‬‬

‫م‪)12-3( ∫Éã‬‬ ‫ق‪£‬ع ``ة من الو‪ ¥Q‬المق ``وى م‪ù‬صت‪£‬يلة ال‪û‬صكل اأبع‪É‬د‪� 30 Ég‬صم ‪� 16 ،‬صم ‪o‬ق‪£‬ع‪ â‬م ``ن اأ‪Q‬ك‪É‬ن¡‪ É‬ا’أ‪Q‬بعة اأ‪Q‬بعة مربع‪äÉ‬‬ ‫مت‪ù‬ص‪É‬وي ``ة الم‪ù‬ص‪MÉ‬ة ‪K ،‬م ‪K‬ني‪ â‬ا’أج ``‪õ‬ا‪ A‬ال‪ IRQÉÑ‬لتك ‪u‬ون ‪U‬صندو ‪k‬ق‪ É‬بدون ‪ ، AÉ£Z‬ا‪ùM‬صب ‪W‬و∫ ‪V‬صل™ المرب™ المق‪£‬و´‬ ‫لكي يكون ‪M‬جم ال�صندو‪ ¥‬اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بفر‪V‬س ا َّأن ‪W‬و∫ ‪V‬صل™ المرب™ المق‪£‬و´ ‪g‬و �س‬ ‫كم‪a É‬ي ال‪û‬صكل ( ‪ ، ) 30-3‬تكون اأبع‪É‬د ال�صندو‪ ¥‬الن‪É‬ت‪g è‬ي ‪:‬‬ ‫( ‪� 2 30‬س ) ‪� 2 16 ( ،‬س ) ‪� ،‬س‬ ‫والم‪£‬لوب ‪g‬و القيمة الع¶مى لحجم ال�صندو‪¥‬‬ ‫و‪M‬ي‪ å‬ا َّإن الحجم ال‪£‬و∫ العر‪V‬س ا’‪Q‬تف‪´É‬‬ ‫‪َّ Éa‬إن الحجم ( ‪� 2 30‬س ) ( ‪� 2 16‬س ) �س‬ ‫اأي ا َّإن د(�س ) ‪� 4‬س‪� 92 3‬س‪� 480 + 2‬س‬ ‫‪T‬صكل (‪)30-3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪143‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫و‪M‬ي‪ å‬ا َّإن اأبع‪É‬د ال�صندو‪ ’ ¥‬يمكن اأن تكون �ص‪É‬ل‪Ñ‬ة ‪َّ Éa‬إن‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫‪�2 16‬س ‪0‬‬

‫�س‬

‫‪�2 30‬س ‪0‬‬

‫�س ‪15‬‬

‫‪8‬‬

‫و‪g‬ذا يعني ا َّأن مج‪ ∫É‬الدالة ‪g‬و ‪8 ، 0‬‬ ‫و’إيج‪É‬د القيمة الع¶مى للدالة د(�س ) ‪� 4‬س‪� 92 - 3‬س‪� 480 + 2‬س على ‪8 ، 0‬‬ ‫لدين‪�( É‬س) ‪� 12‬س‪� 184 - 2‬س ‪480 +‬‬ ‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 12‬س‪� 184 - 2‬س ‪0 480 +‬‬

‫‪� 3‬س‪� 46 - 2‬س ‪0 120 +‬‬

‫( ‪� 3‬س ‪� ( ) 10 -‬س ‪0 ) 12 -‬‬ ‫�س ‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اأو‬ ‫�س ‪12‬‬

‫‪8،0‬‬

‫د ( ‪10 480 2) 10 ( 29 - 3) 10 ( 4 ) 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪19600 27600 - 47200 43200 27600 4000‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪- 27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫د (‪0 )0‬‬ ‫د (‪0 )8‬‬ ‫القيمة الع¶مى للدالة ‪g‬ي د ( ‪19600 ) 10‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M‬جم ال�صندو‪ ¥‬يكون اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن عندم‪ É‬يكون ‪W‬و∫ ‪V‬صل™ المرب™ المق‪£‬و´ ‪� 10‬صم‬ ‫‪3‬‬

‫‪144‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تحليل الدالة (‪)2‬‬ ‫م‪)13-3( ∫Éã‬‬ ‫يق ``™ ‪M‬ق ``ل بترو∫ ‪`` a‬ي ال‪Ñ‬حر عند النق‪`` £‬ة التي ت‪Ñ‬ع ``د ‪ 2‬كلم عن اأقرب نق‪`` £‬ة على ال‪ù‬ص‪MÉ‬ل و‪`` g‬ي ب ‪ ،‬نود اأن‬ ‫ن†ص‪ ï‬ال‪Ñ‬ترو∫ من اإلى الم�صف‪ IÉ‬التي تق™ على ال‪ù‬ص‪MÉ‬ل عند‬ ‫النق‪`` £‬ة ج` وت‪Ñ‬عد ‪ 6‬كلم ع ``ن ب‪،‬و‪P‬ل∂ بوا�ص‪£‬ة اأن‪É‬بيب تح‪â‬‬ ‫�ص‪ í£‬ال‪Ñ‬حرعلى ‪ §`` N‬م‪ù‬صتقيم ‪M‬تى نق‪£‬ة ك على ال‪ù‬ص‪MÉ‬ل ‪،‬‬ ‫‪`` K‬م ب‪É‬أن‪É‬بيب على الي‪É‬ب‪ù‬صة على ‪ §`` N‬م‪ù‬صتقيم من ك اإلى ج` ‪،‬‬ ‫كم‪a É‬ي ال‪û‬صكل ( ‪) 31-3‬‬ ‫اإ‪P‬ا ك‪É‬ن ``‪ â‬تكلفة ا’أن‪É‬بيب تح ``‪� â‬ص‪ í£‬ال‪Ñ‬حر ‪g‬ي ‪500 000‬‬ ‫‪Q‬ي‪/ ∫É‬كلم‬

‫‪T‬صكل (‪)31-3‬‬

‫وعل ``ى الي‪É‬ب‪ù‬صة ‪Q 300 000‬ي‪ / ∫É‬كلم ‪Éa .‬أين يجب اأن تكون ك‬ ‫لكي نحقق اأقل تكلفة ?‬

‫الحل‬ ‫بفر‪V‬س ا َّأن ‪o‬بعد ك عن ب ‪g‬و �س ‪ ،‬يكون ‪:‬‬

‫‪W‬و∫ اأن‪É‬بيب الي‪É‬ب‪ù‬صة ‪g‬و ‪o‬بعد ك عن ج` و‪g‬و ‪� - 6‬س‬ ‫‪W‬و∫ اأن‪É‬بيب ال‪Ñ‬حر ‪g‬و ‪o‬بعد ك عن و‪g‬و‬

‫�س‪4 + 2‬‬

‫( ا�صت‪î‬دمن‪ É‬ن¶رية ‪a‬ي‪ZÉã‬و‪) çQ‬‬

‫وب‪É‬لت‪É‬لي نجد ا َّأن ‪ :‬تكلفة اأن‪É‬بيب الي‪É‬ب‪ù‬صة = ‪� - 6 ( 300 000‬س )‬ ‫�س‪4 + 2‬‬ ‫تكلفة اأن‪É‬بيب ال‪Ñ‬حر = ‪500 000‬‬ ‫اأي ا َّإن التكلفة الكلية = ‪� - 6 ( 300 000‬س ) ‪� 500 000 +‬س‪4 + 2‬‬ ‫اأي ا َّإن ‪:‬‬ ‫د ( �س ) ‪� 300 000 - 1800 000‬س ‪500 000 +‬‬

‫�س‪4 + 2‬‬

‫�س ‪0‬‬

‫و‪M‬ي‪ å‬ا َّإن ا’أبع‪É‬د ‪Z‬ير �ص‪É‬ل‪Ñ‬ة ‪Éa‬إن‬ ‫َّ ‪� - 16‬س ‪0‬‬ ‫�س‪4 + 2‬‬ ‫وعلي¬ يكون المج‪∫É‬‬

‫�س ‪6‬‬ ‫‪ ، 0‬و‪g‬ذا محقق �س‬

‫‪6،0‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪145‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫ولكي نحقق �أقل تكلفة نوجد القيمة ال�صغرى للدالة د ‪.‬‬ ‫‪�2 500000‬س‬ ‫(�س) ‪+ 300 000 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� 2‬س ‪4 +‬‬ ‫ ‬ ‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 500000‬س‬

‫‪300 000‬‬ ‫‪�5‬س‬ ‫‪3‬‬

‫�س ‪4 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‪4 + 2‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪� 9‬س‬

‫�س‪4 + 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪� 9‬س‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ولكن �س‬

‫‪25‬‬ ‫‪� 9‬س‪� - 2‬س‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪�16‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪36‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬

‫�س‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫�س‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6،0‬‬

‫‪3‬‬ ‫د ( ‪2600 000 ) 2‬‬ ‫د(‪)0‬‬

‫‪2800 000‬‬

‫د ( ‪40 500 000 ) 6‬‬ ‫�أي � َّإن القيمة ال�صغرى تتحقق عند ‪ 3‬؛ لذا يجب �أن تكون ك على بعد ‪1 1‬كلم من ب لكي نحقق �أقل تكلفة ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 162 277.66‬‬

‫‪146‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

)2( ‫تحليل الدالة‬

(2-3) øjQɪJ x »a : äóLh ¿EG á«∏ëªdG iô¨°üdGh á«∏ëªdG ≈ª¶©dG §≤ædG óLhCG 9 ≈dEG 1 øe øjQɪàdG øe πc 15 - ‫ �س‬2 - 2‫د(�س ) �س‬

1

2

) 1 + ‫ ( �س‬- 4 ) ‫د(�س‬

2

3 + 3) 2 - ‫د(�س ) ( �س‬

3

8 - 3‫د(�س ) �س‬

4

15 - ‫ �س‬9 + 2‫ �س‬6 - 3‫د(�س ) �س‬

5

3 + 2‫ �س‬2 - 4‫�س‬ 0 ‫ �س‬، 2 + ‫�س‬ ‫�س‬ 1 + ‫�س‬ 1 ‫ �س‬، 1 - ‫�س‬ 1 + ‫�س‬ 4 ‫ �س‬، 4 - ‫�س‬

) ‫د(�س‬

6

) ‫د(�س‬

7

) ‫د(�س‬

8

) ‫د(�س‬

9

iô¨°üdG á``ª«≤dGh á≤∏£ªdG ≈``ª¶©dG ᪫≤dG ó``LhCG 15 ≈``dEG 10 ø``e ø``jQɪàdG ø``e xπc »``a :É¡ÑfÉéH áæ«ÑªdG IôàØdG »a ádGó∏d á≤∏£ªdG

147

)5( ‫ريا�ضيات‬

2،3- ،

1 + ‫ �س‬4 - 2‫ �س‬2 ) ‫د(�س‬

10

3 ،0 ،

16 + ‫ �س‬12 - 3‫د(�س ) �س‬

11

1،1- ،

2 + 4‫د(�س ) �س‬

12

4،4- ،

36 + 2‫ �س‬12 - 4‫د(�س ) �س‬

13

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪14‬‬

‫د(�س )‬

‫�س‬ ‫‪� + 1‬س‬

‫‪15‬‬

‫د(�س )‬

‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� + 3‬س‬

‫‪16‬‬

‫اأوجد عددين ‪Z‬ير �ص‪É‬ل‪Ñ‬ين مجموع¡م‪ 40 É‬و‪UÉM‬صل ‪V‬صرب¡م‪ É‬اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن ‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫ق‪£‬عة اأ‪VQ‬س م‪ù‬صت‪£‬يلة ال‪û‬صكل محي‪ ، Ω 600 É¡£‬اأوجد ‪o‬بعدي ق‪£‬عة ا’أ‪VQ‬س لكي تكون م‪ù‬ص‪MÉ‬ت¡‪ É‬اأك‪Ñ‬ر‬ ‫م‪ É‬يمكن ‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫م‪õ‬ا‪ ´Q‬لدي¬ �صي‪W êÉ‬ول¬ ‪ Ω 400‬يود اأن ي‪ù‬ص ‪u‬و‪ Q‬ب¬ ‪M‬ق ‪ Ók‬م‪ù‬صت‪£‬ي ‪ Ók‬مت‪k NÉ‬م‪ É‬لن¡ر ‪ ،‬اأوجد ا’أبع‪É‬د ال‪ΩRÓ‬‬ ‫ات‪ ÉgPÉî‬للحقل لتكون م‪ù‬ص‪MÉ‬ت¬ اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن عل ‪k‬م‪ É‬ب‪َّ É‬أن الج‪ Aõ‬المت‪NÉ‬م للن¡ر ’ يحت‪ êÉ‬اإلى ت‪ù‬صوير ‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫ق‪£‬ع ``ة من الو‪ ¥Q‬المق ``وى مربعة ال‪û‬صكل ‪W‬و∫ ‪V‬صلع¡ ``‪� 12 É‬صم ‪ ،‬ق‪£‬ع‪ â‬من اأ‪Q‬ك‪É‬ن¡ ``‪ É‬اأ‪Q‬بعة مربع‪äÉ‬‬ ‫مت‪ù‬ص‪É‬وي ``ة الم‪ù‬ص‪`` MÉ‬ة ‪K ،‬م ‪K‬ني‪ â‬ا’أج ``‪õ‬ا‪ A‬ال‪ IRQÉÑ‬لتك` ` ‪u‬ون ‪U‬صندو ‪k‬ق‪ É‬بدون ‪ ، AÉ`` £Z‬ا‪ùM‬صب ‪W‬و∫ ‪V‬صل™‬ ‫المرب™ المق‪£‬و´ لكي يكون ‪M‬جم ال�صندو‪ ¥‬اأك‪Ñ‬ر م‪ É‬يمكن ‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫مجم ``و´ محي‪£‬ي م‪ù‬صت‪£‬يل ومرب™ ‪� 56‬صم ‪Éa ،‬إ‪P‬ا ك‪É‬ن ‪`` W‬و∫ الم‪ù‬صت‪£‬يل ‪KÓK‬ة اأم‪ ∫Éã‬عر‪V‬ص¬ ‪Éa ،‬أوجد‬ ‫محي§ ‪x‬‬ ‫كل من الم‪ù‬صت‪£‬يل والمرب™ ليكون مجمو´ م‪ù‬ص‪MÉ‬تي¡م‪ É‬اأ‪U‬صغر م‪ É‬يمكن ‪.‬‬

‫‪21‬‬

‫اأوج ``د ‪o‬بع ``دي الم‪ù‬صت‪£‬ي ``ل ال ``ذي ل¬ اأك‪`` Ñ‬ر م‪ù‬ص‪`` MÉ‬ة ويمكن‬ ‫و‪V‬صع ``¬ ‪a‬ي ن�ص∞ دا‪`` F‬ر‪ I‬ن�ص∞ ق‪£‬ر‪ Q Ég‬كم ``‪a É‬ي ال‪û‬صكل‬ ‫المج‪É‬و‪.Q‬‬

‫‪21‬‬

‫ج‪ù‬صيم يتحرك ‪a‬ي ‪ §N‬م‪ù‬صتقيم ‪a‬يق‪ ™£‬م‪ù‬ص‪aÉ‬ة ‪ ±‬مت ‪k‬را بعد ن ‪ÉK‬نية ‪ùM‬صب الع‪Ó‬قة ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5، 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4،2 ،‬‬

‫‪ ±‬ن‪ 6 - 3‬ن‪ 24 + 2‬ن ‪15 +‬‬ ‫م‪ É‬اأقل �صرعة ممكنة ل¡ذا الج‪ù‬صيم ‪a‬ي الفتر‪? 10 ، 0 I‬‬

‫‪148‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪�Q‬صم المنحني‪äÉ‬‬

‫‪äÉ«æëæªdG º°SQ‬‬

‫‪3-3‬‬

‫ل` َّم‪ É‬ك‪É‬ن بي‪É‬ن الدالة ‪U‬صو‪ IQ‬مر‪F‬ية ل¡‪ É‬؛ لذا ك‪É‬ن من ال‪ù‬ص¡ل علين‪ É‬اأن ن‪ù‬صتن‪ §Ñ‬من بي‪É‬ن الدالة م‪ É‬نو ‪t‬د معر‪a‬ت¬‬ ‫عن �صلوك الدالة ‪.‬‬ ‫المو‪V‬ص‪a í‬ي‬ ‫‪Éa‬إ‪P‬ا ت‪É‬أملن‪ - É‬على �ص‪Ñ‬يل الم‪ – ∫Éã‬منحني الدالة د‬ ‫َّ‬ ‫ال‪û‬صكل ( ‪ ) 32-3‬نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪ ، 1 ،2‬ومت‪õ‬ايد‪ I‬على ‪3 ،1‬‬

‫الدالة متن‪É‬ق�صة على‬

‫منحن ``ي الدالة مح ``دب على ‪ ، 1 ،2‬ومقعر على ‪3 ،1‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬نق‪£‬ة ‪U‬صغرى محلية ‪g‬ي ( ‪) 1 ، 1‬‬ ‫الدالة ل¡‪ É‬نق‪£‬ة انق‪Ó‬ب ‪g‬ي ( ‪) 12 ، 1‬‬ ‫ﺷﻜﻞ )‪(٣٢-٣‬‬ ‫ولعل ``∂ ’‪a â`` ¶M‬ي د‪Q‬ا�صتن ``‪ É‬لل‪Ñ‬ندي ``ن ال‪ù‬ص‪É‬بقين كي ``∞ ا�صتفدن‪É‬‬ ‫م ``ن ‪a‬ك ``ر‪ I‬بي ``‪É‬ن الدالة ‪`` a‬ي تر�صي ``‪ ï‬واإي†ص ``‪ ìÉ‬المف‪gÉ‬ي ``م المتعلقة‬ ‫ب‪ù‬صل ``وك الدال ``ة ‪ .‬اأم ``‪ É‬الق†صية التي ت¡من ``‪g É‬ن‪¡a É‬ي كيفي ``ة ا’إ‪Éa‬د‪I‬‬ ‫م ``ن د‪Q‬ا�صة �صلوك الدال ``ة لر�صم منحني¡‪ É‬؛ ‪P‬ل ``∂ ا َّأن ال‪£‬ريقة التي‬ ‫‪�Q‬صمن ``‪ É‬ب¡ ``‪ É‬بع†س ال ``دوا∫ – �ص‪É‬ب ‪k‬ق ``‪ – É‬والتي تعتم ``د على تحديد‬ ‫ع` ` َّد‪ I‬نق‪ •É‬من المنحني ‪`` K‬م التو‪U‬صيل بين¡‪ É‬ب‪ §`m ` î‬منحن‪ m‬من‪�É‬صب‪،‬‬ ‫لي‪ù‬ص ``‪ â‬دقيق ``ة دا‪k F‬م‪ É‬؛ اإ‪ P‬ا َّإن �صل ``وك الدالة قد يتغير بين النق‪ •É‬المنتق‪Ña ، IÉ‬ي ``ن ا ‪u‬أي نق‪£‬تين ‪a‬ي الم‪ù‬صتوي‬ ‫يمك ``ن ‪�Q‬ص ``م عدد ‪Z‬ير منت ` ‪ ¬`m‬من المنحني ``‪ äÉ‬ك ‪w‬ل من¡‪ É‬ل ``¬ نم‪ ¬£‬الم‪î‬تل∞ م ``ن ‪M‬ي‪ å‬ا’‪`` W‬راد والتقو�س ‪.‬‬ ‫وم ``ن ‪ ∫ÓN‬الم‪ ∫Éã‬الت‪É‬لي نقد‪W Ω‬ريقة دقيقة لر�ص ``م منحني دالة ك‪ã‬ير‪M I‬دود ‪ ،‬تتج َّلى من ‪ÓN‬ل¡‪ É‬ق‪±É£‬‬ ‫الج¡د الذي بذلن‪a √É‬ي د‪Q‬ا�صة �صلوك الدالة ‪.‬‬

‫م‪)14-3( ∫Éã‬‬

‫‪2 ¢S 3 3¢S = (¢S) O ádGódG »æëæe º°SQG‬‬

‫الحل‬ ‫‪1‬‬

‫(�س)‬

‫‪� 3‬س‪3 2‬‬

‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 3‬س‪3 2‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‪1 2‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪149‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫والجدول المقابل يبين ا‪W‬راد الدالة والنق§ الق�صوى المحلية وهي ‪:‬‬ ‫( ‪ ، 1‬د ( ‪ )4 ، 1 ( ))1‬نقطة عظمى محلية‬ ‫(‪ ، 1‬د(‪ ) 0 ، 1( ))1‬نقطة �صغرى محلية‬

‫‪2‬‬

‫(�س) ‪� 6‬س‬ ‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 6‬س ‪0‬‬

‫�س ‪0‬‬

‫والج ــدول المقاب ــل يبين تقو� ــس المنحني‬ ‫ونقطة ا’نق‪ ، 0 (ÜÓ‬د( ‪) 2 ، 0 ( )) 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫يمكننا من ‪ÓN‬ل د‪Q‬ا�صة ا’‪W‬راد والتقو�س ت�صو‪Q‬‬ ‫نم ــ§ المنحن ــي وتم‪ã‬ي ــل نم ــوذ‪ ê‬تقريبـ ــي‬ ‫للمنحن ــي كما ف ــي ال‪û‬ص ــكل المقاب ــل وال‪ò‬ي‬ ‫يظه ــر الحاجة اإلى نق ــاط م�صاعـ ــد‪ I‬قـ ـبـ ــل‬ ‫�س ‪ ، 1‬و بعد �س ‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫نك ‪u‬ون الجدول التالي للنقاط ا’أ�صا�صية ( الق�صوى المحلية وا’نق‪ ) ÜÓ‬وللنقاط الم�صاعد‪I‬‬ ‫عـ ـم انق‪� ÜÓ‬صـ ـ‬ ‫م‬ ‫�س‬ ‫د( �س )‬

‫–‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫–‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫تقا‪ ™W‬م™‬ ‫تقا‪ ™W‬م™‬ ‫‪5‬‬

‫‪150‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫نم ‪ ãu‬ــل نقاط الج ــدول بيان ‪v‬ي ــا ون�صل بينه ــا على ‪V‬ص ــو‪ A‬النموذ‪ê‬‬ ‫التقريبـ ــي للمنحني ‪ ،‬فنح�صل عل ــى منحني الدالة المو‪V‬ص‪ í‬في‬ ‫ال‪û‬صكل ( ‪) 33-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)33-3‬‬

‫‪�Q‬ص‪ º‬المنحنيا‪ä‬‬ ‫وهك‪ò‬ا نجد من الم‪ã‬ال ال�صاب≥ اأن¬ يمكننا ‪�Q‬ص‪ º‬دالة ك‪ã‬ير‪ I‬حدود باتبا´ الطريقة التالية ‪:‬‬ ‫‪:OhóM Iô«ãc O ádGO »æëæe º°SQ á≤jôW‬‬ ‫‪-1‬نوجد (�س)ومنهاند‪�Q‬سا‪W‬رادالدالة‪،‬ونع ‪qp‬ينالنقاطالق�صوىالمحليةللدالةاإنوجد‪.ä‬‬ ‫‪ -2‬نوجد (�س) ومنها ند‪�Q‬س تقو�س منحني الدالة ‪ ،‬ونع ‪qp‬ين نق§ ا’نق‪ ÜÓ‬اإن وجد‪. ä‬‬ ‫‪ -3‬نر�ص‪ º‬نموذج ‪k‬ا تقريبـي ‪k‬ا للمنحني با’إفاد‪ I‬من د‪Q‬ا�صة ال‪î‬طوتين (‪)2( ، )1‬‬ ‫‪ -4‬نرتب النقاط ا’أ�صا�صية ( النقاط الق�صوى المحلية ونق§ ا’نق‪ ) ÜÓ‬في جدول‪،‬‬ ‫م†صاف‪k‬ا اإليها بع†س النقاط الم�صاعد‪ I‬في بداية ونهاية الجدول – لتحديد م�صا‪ Q‬المنحني‬ ‫قبل وبعد النق§ ا’أ�صا�صية – وحب‪ò‬ا لو ت†صمنت نق§ التقا‪ ™W‬م™ المحو‪Q‬ين ‪.‬‬ ‫‪ -5‬نم ‪ãqp‬ل نقاط الجدول بيان ‪qk‬يا ‪ ،‬ون�صل بينها وف≥ النموذ‪ ê‬التقريبي للمنحني ‪.‬‬ ‫وف ــي الواق ــ™ �صنرك‪ õ‬اهتمامنا عل ــى ‪�Q‬ص‪ º‬منحنيا‪ ä‬دوال ك‪ã‬ي ــرا‪ ä‬حدود من الد‪Q‬جة الرابع ــة على ا’أك‪ã‬ر ‪،‬‬ ‫وحي ــث اإن ــ∂ ’ب َّد قد اأتقنت ‪�Q‬ص‪ º‬منحني دالة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود من الد‪Q‬جة ا’أولى – والتي تم َّ‪ã‬ل ب‪ §î‬م�صتقي‪º‬‬ ‫– وك‪ò‬ل∂ منحني دالة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود من الد‪Q‬جة ال‪ã‬انية – والتي تم َّ‪ã‬ل بقط™ مكاف‪ – Å‬فاإننا �صنقت�صر في‬ ‫ا’أم‪ã‬لة والتما‪Q‬ين على دوال الد‪Q‬جة ال‪ã‬ال‪ã‬ة والرابعة فق§ ‪.‬‬

‫م‪ã‬ال (‪)15-3‬‬ ‫‪( 4 ¢S ) 3¢S = (¢S) O ádGódG »æëæe º°SQG‬‬

‫الحل‬

‫د(�س ) �س‪� 4 4‬س‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫(�س) ‪� 4‬س‪� 12 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫(�س) ‪0‬‬ ‫‪� 4‬س‪0 2‬‬ ‫اأو‬ ‫�س ‪0 3‬‬

‫‪� 4‬س‪� 12 3‬س‪0 2‬‬

‫‪� 4‬س‪� ( 2‬س ‪) 3‬‬

‫‪0‬‬

‫�س ‪0‬‬ ‫�س ‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪151‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫والج ــدول المقاب ــل يبي ــن ا‪ W‬ــراد الدال ــة‬ ‫والنق ــ§ الق�ص ــوى المحلي ــة له ــا وه ــي‬ ‫( ‪ ، 3‬د( ‪ ) 27 - ، 3 ( )) 3‬وهي �صغرى محلية‬

‫(�س) ‪� 12‬س‪� 24 - 2‬س‬

‫‪2‬‬

‫(�س) ‪0‬‬

‫‪� 12‬س‪� 24 - 2‬س ‪0‬‬

‫‪� 12‬س ( �س ‪) 2 -‬‬

‫‪� 12‬س ‪0‬‬ ‫‪ 0‬اأو‬ ‫�س ‪0 2 -‬‬

‫والجدول المقابل يبين تقو�س المنحني ونق§ ا’نق‪ÜÓ‬‬ ‫( ‪ ، 0‬د (‪)0 ، 0( ))0‬‬

‫‪h‬هي‬

‫(‪ ، 2‬د(‪) 16 - ، 2( ))2‬‬

‫‪3‬‬

‫ال‪û‬صكل المقابل يم‪ã‬ل النموذ‪ ê‬التقريبـي لمنحني الدالة ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫يو‪V‬ص‪ í‬النق§ ا’أ�صا�صية والنق§ الم�صاعد‪. I‬‬ ‫الجدول التالي ‪u‬‬ ‫�ص ـ ـ‬

‫م‬

‫�س‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1-‬‬

‫د( �س )‬

‫‪0‬‬

‫‪27-‬‬

‫‪16-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫تقا‪ ™W‬م™‬ ‫‪5‬‬

‫‪152‬‬

‫انق‪ÜÓ‬‬

‫انق‪ÜÓ‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تقا‪ ™W‬م™ المحو‪Q‬ين‬

‫يو‪V‬ص‪ í‬المنحني البياني للدالة ‪.‬‬ ‫ال‪û‬صكل ( ‪u ) 34-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)34-3‬‬

‫�س ‪0‬‬ ‫�س ‪2‬‬

‫‪�Q‬ص‪ º‬المنحنيا‪ä‬‬ ‫م‪ã‬ال (‪)16-3‬‬ ‫ا‪�Q‬ص‪ º‬منحني الدالة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود د التي لها ال‪î‬وا�س التالية ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫د (‪ )5‬د(‪ ، 0 )2‬د (‪ )4‬د(‪ ، 4 )1‬د(‪2 )3‬‬

‫‪2‬‬

‫( �س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪2‬‬ ‫( �س) ‪ 0‬اإذا كان ‪� 2‬س‬ ‫( �س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪4‬‬

‫‪، 4‬‬

‫‪3‬‬

‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪3‬‬ ‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬

‫(‪)2‬‬

‫(‪0 )4‬‬

‫(‪0 )3‬‬

‫من (‪ )2‬نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫ومن (‪ )3‬نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫وبتم‪ã‬ي ــل النق§ المعطا‪ I‬في (‪)1‬‬ ‫والتو�صي ــل بينها وف ــ≥ النموذ‪ ê‬التقريبـي نح�صل عل ــى المنحني البياني‬ ‫للدالة كما هو مو‪V‬ص‪ í‬في ال‪û‬صكل ( ‪. ) 35-3‬‬

‫‪T‬صكل (‪)35-3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪153‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫)‪äÉ«æëæªdG º°SQ »a »dB’G Ö°SÉëdG ΩGóîà°SG (á«FGôKEG ᣰûfCG‬‬ ‫في ‪�Q‬ص‪ º‬القطو´ الم‪î‬رو‪W‬ية و بع†س الدوال الحقيقية ‪ .‬و فيما يلي ن�صت‪î‬دم‬ ‫�صب≥ ل∂ ا�صت‪î‬دام برنام‪è‬‬ ‫ه ــ‪ò‬ا البرنام ــ‪ è‬في ‪�Q‬ص‪ º‬منحنيا‪ ä‬دوال ك‪ã‬يرا‪ ä‬الحدود ‪ .‬و ننب¬ هنا اإلى اأن¬ عند ا�صت‪î‬دام البرنام‪ è‬لر�ص‪º‬‬ ‫منحن ــي الدال ــة قد يظهر على ناف‪ Iò‬الر�ص‪ º‬ج‪ Aõ‬من المنحني ’ يبين ال‪û‬صكل العام ل¬ ‪ .‬و لحل ه‪ √ò‬الم‪û‬صكلة‬ ‫يل‪õ‬من ــا ا�صت‪ î‬ــدام اأيقونا‪ ä‬الت�صغير و التكبير ‪ -‬الموجود‪ I‬على ‪T‬صري ــ§ اأدوا‪ ä‬ا’أوامر في ناف‪ Iò‬الر�ص‪- º‬‬ ‫نو‪V‬ص‪ í‬ه‪ √ò‬ا’أيقونا‪ ä‬في ال‪û‬صكل التالي ‪:‬‬ ‫والتي يمكننا بها تغيير اأبعاد حي‪ õ‬الر�ص‪ ، º‬و ‪u‬‬ ‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ü‬س¨ير ) ا‪C‬و الت‪©Ñ‬يد ( ‪Zoom out‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في ت�صغير حي‪ õ‬الر�ص‪ ( º‬اأي في ت�صغير التفا�صيل وعر‪V‬س ج‪ Aõ‬اأكبر من المنحني )‬ ‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ü‬س¨ير ‪ªY‬ود ‪jv‬ا ‪Zoom vertical out‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في ت�صغير حي‪ õ‬الر�ص‪ º‬عمود ‪v‬يا‬ ‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ü‬س¨ير ا‪v ≤aC‬يا ‪Zoom horizontal out‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في ت�صغير حي‪ õ‬الر�ص‪ º‬اأفق ‪v‬يا‬

‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ѵ‬ير ) ا‪C‬و الت≤ر‪Zoom in ( Öj‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في تكبير حي‪ õ‬الر�ص‪ ( º‬اأي في تكبير التفا�صيل وعر‪V‬س ج‪ Aõ‬اأ�صغر من المنحني )‬

‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ѵ‬ير ‪ªY‬ود ‪jv‬ا ‪Zoom vertical in‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في تكبير حي‪ õ‬الر�ص‪ º‬عمود ‪v‬يا‬ ‫ا‪≤jC‬و‪f‬ة الت‪ѵ‬ير ا‪v ≤aC‬يا ‪Zoom horizontal in‬‬ ‫ت�صت‪î‬دم في تكبير حي‪ õ‬الر�ص‪ º‬اأفق ‪v‬يا‬

‫‪154‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪�Q‬ص‪ º‬المنحنيا‪ä‬‬ ‫يو‪V‬ص‪W í‬ريقة ‪�Q‬ص‪ º‬منحني دالة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود د(�س) �س‪� ( 3‬س ‪ ، ) 4 -‬والتي قمـنا بر�صمها‬ ‫والم‪ã‬ـال التالي ‪u‬‬ ‫في م‪ã‬ال (‪. )15-3‬‬

‫م‪ã‬ـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫‪( 4 - ¢S ) 3¢S (¢S)O ádGódG »æëæe º°SQG‬‬

‫الحل‬ ‫بع ــد فت ــ‪ í‬البرنام‪ è‬ننقر على اأيقونة ناف‪ Iò‬الر�ص‪ º‬في الم�صت ــوي ‪2D-plot Window‬‬

‫‪T‬صري§ اأدوا‪ ä‬ا’أوامر فت‪o‬فت‪ ín‬ناف‪ Iò‬للر�ص‪ ºK ، º‬نقوم باتبا´ التالي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫الموجود‪ I‬في‬

‫نكت ــب المعادل ــة في ‪T‬صري ــ§ ا’إد‪N‬ال وند‪N‬لها ‪ ºK ،‬ننق ــر على اأيقونة الر�ص ــ‪Plot º‬‬

‫اأدوا‪ ä‬ا’أوامر في ناف‪ Iò‬الر�ص‪ º‬فنح�صل على ال‪û‬صكل التالي ‪:‬‬

‫في ‪T‬صري§‬

‫( ’ح‪ ß‬ا َّأن عدم ‪X‬هو‪ Q‬ال‪û‬صكل العام للمنحني ي�صتدعي ا�صت‪î‬دام اأيقونا‪ ä‬الت�صغير )‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪155‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫ن�صت‪ î‬ــدم اأيقونا‪ ä‬الت�صغي ــر ‪ -‬معتمدين على التجريب ‪ -‬للو�صول اإل ــى ال‪û‬صكل العام للمنحني ‪،‬‬ ‫فم‪ ã‬ـ ‪k‬ـ‪ Ó‬بالنقر عل ــى اأيقونة الت�صغير ‪ Zoom out‬نقر‪ I‬واحد‪ I‬و عل ــى اأيقونة الت�صغير عمود ‪v‬يا‬ ‫مو‪V‬ص‪ í‬في ال‪û‬صكل التالي ‪:‬‬ ‫‪ Zoom vertical out‬نقرتين نح�صل على منحني الدالة كما هو َّ‬

‫‪2‬‬

‫تد‪Q‬يب‬ ‫ا�صت‪î‬دم برنام‪ Derive 6 è‬في ‪�Q‬ص‪ º‬المنحني البياني للدالة في م‪ã‬ال ( ‪) 14-3‬‬

‫‪156‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪�Q‬ص‪ º‬المنحنيا‪ä‬‬

‫‪(3-3) øjQɪJ‬‬ ‫‪a‬ي ك‪ xπ‬م‪ ø‬الت‪ª‬ار‪ øj‬م‪ 1 ø‬ا‪E‬ل≈ ‪ 9‬ار�سم ال‪ª‬نحني ال‪Ñ‬يا‪f‬ي ل∏دالة ال‪£©ª‬اة‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫د(�س ) �س ( �س ‪) 3‬‬ ‫د(�س )‬ ‫‪� 1‬س‪� 3‬س‪� 3 2‬س ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د(�س ) �س‪� 3 3‬س‪� 3 2‬س ‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫د(�س ) ‪� 2‬س‪� 3 3‬س‪� 12 2‬س‬

‫‪5‬‬

‫د(�س ) �س‪� 2 4‬س‪2 2‬‬

‫‪6‬‬

‫د(�س ) �س‪� ( 3‬س ‪) 3‬‬

‫‪7‬‬

‫د(�س ) ‪� 2‬س‪� 4 4‬س‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫د(�س )‬

‫‪9‬‬

‫د(�س ) ‪� 6‬س‪� 2‬س‪5 4‬‬

‫‪� 3‬س‪� 4 4‬س‪1 3‬‬

‫ا�صت‪î‬دم برنام‪ Derive 6 è‬لتتحق≥ من �صحة ‪�Q‬صم∂ للمنحنيا‪ ä‬في التما‪Q‬ين من ‪ 1‬اإلى ‪. 9‬‬ ‫‪10‬‬

‫ار�سم منحني الدالة كثيرة الحدود د التي لها الخوا�ص التالية ‪:‬‬

‫‪ -1‬د (‪)5‬‬

‫‪ ، 25‬د(‪)4‬‬

‫‪ ، 32‬د (‪)2‬‬

‫‪-2‬‬

‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪0‬‬ ‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان ‪� 0‬س‬ ‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪4‬‬

‫‪-3‬‬

‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪2‬‬ ‫(�س) ‪ 0‬اإذا كان �س ‪2‬‬

‫‪ ، 16‬د (‪ ، 0 )0‬د ( ‪)1‬‬ ‫‪، 4‬‬

‫(‪)0‬‬

‫‪7‬‬

‫(‪0 )4‬‬

‫‪0 )2( ،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪157‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫ ‪ 11‬ار�سم منحني دالة كثيرة الحدود د التي لها الخوا�ص التالية ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د (‪ )1‬د ( ‪ ، 2 )1‬د(‪ )2‬د ( ‪ ، 11 )2‬د ( ‪ ) 1‬د ( ‪) 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ، 5‬د (‪3 )0‬‬ ‫‪2‬‬

‫(�س) ‪� 0‬إذا كان �س ‪1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪، 1‬‬

‫(�س) ‪� 0‬إذا كان ‪� 0‬س‬

‫(‪)1‬‬

‫(‪)0‬‬

‫(‪0 )1-‬‬

‫(�س) ‪� 0‬إذا كان ‪� 1-‬س ‪0‬‬ ‫(�س) ‪� 0‬إذا كان �س ‪1-‬‬

‫(�س) ‪� 0‬إذا كان �س‬ ‫‪-3‬‬

‫(�س) ‪� 0‬إذا كان‬ ‫(�س) ‪� 0‬إذا كان �س‬

‫‪158‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪، 12‬‬

‫( ‪) 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪0 ) 12‬‬

‫تعلمت في ه‪ √ò‬الوحد‪I‬‬

‫‪1‬‬

‫كيفي ــة تحليل الدالة با�صت‪î‬دام التفا‪V‬صل ’�صتنتا‪ ê‬بع†س ال‪î‬وا� ــس المهمة للدالة ومنحنيها ‪ ،‬والجدول‬ ‫التالي يل‪�î‬س ه‪ √ò‬ال‪î‬وا�س للدالة د ‪.‬‬ ‫‪á«°UÉîdG‬‬ ‫د مت‪õ‬ايد‪ I‬على ‪±‬‬ ‫د متناق�صة على ‪±‬‬ ‫منحني د مقعر على ‪±‬‬ ‫منحني د محد‪ Ü‬على ‪±‬‬ ‫(جـ ‪ ،‬د (جـ)) نقطة انق‪ÜÓ‬‬ ‫(جـ ‪ ،‬د (جـ)) نقطة عظمى محلية‬ ‫(جـ ‪ ،‬د (جـ)) نقطة �صغرى محلية‬

‫‪•ô°ûdG‬‬ ‫(�س)‬ ‫(�س)‬ ‫(�س)‬ ‫(�س)‬ ‫( جـ )‬ ‫( جـ )‬ ‫( جـ )‬

‫‪ ، 0‬لكل نقطة دا‪N‬لية في ‪±‬‬ ‫‪ ، 0‬لكل نقطة دا‪N‬لية في ‪±‬‬ ‫‪ ، 0‬لكل نقطة دا‪N‬لية في ‪±‬‬ ‫‪ ، 0‬لكل نقطة دا‪N‬لية في ‪±‬‬ ‫‪ 0‬و اإ‪T‬صا‪ IQ‬تتغير حول جـ‬ ‫‪ 0‬و اإ‪T‬صا‪ IQ‬تتغير من موجب قبل جـ اإلى �صالب بعدها‬ ‫‪ 0‬و اإ‪T‬صا‪ IQ‬تتغير من �صالب قبل جـ اإلى موجب بعدها‬

‫‪2‬‬

‫‪�Q‬ص‪ º‬منحني دالة معطا‪ I‬با’إفاد‪ I‬من ال‪î‬وا�س الوا‪Q‬د‪ I‬في الجدول ال�صاب≥ ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫اإيجاد القي‪ º‬الق�صوى المطلقة لدالة مت�صلة على فتر‪ I‬مغلقة ‪ Ü ،‬وذل∂ باإيجاد ج‪ò‬و‪ Q‬الم‪û‬صتقة ولتكن‬ ‫جـ‪ ، 1‬جـ‪ ، 2‬جـ‪ ، ... ، 3‬جـن ‪ ºK‬المقا‪Q‬نة بين القي‪ º‬د( ) ‪ ،‬د(جـ‪ ، )1‬د(جـ‪ ، )2‬د(جـ ‪ ، ... ، )3‬د(جـن)‪ ،‬د(‪)Ü‬‬ ‫فتكون اأ�صغرها هي القيمة ال�صغرى المطلقة للدالة ‪ ،‬واأكبرها هي القيمة العظمى المطلقة للدالة ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫ح ــل م�صا‪F‬ل حياتية عل ــى القي‪ º‬الق�صوى وذل∂ باأن نر�ص‪T º‬صك ‪ Ók‬هند�ص ‪v‬ي ــا اإن اأمكن ‪ ،‬ونعبر عن المقدا‪Q‬‬ ‫المطل ــو‪ Ü‬اإيجاد القيم ــة الق�صوى ل¬ بكون¬ دالة في متغير واحد وذل∂ با’إف ــاد‪ I‬من معطيا‪ ä‬الم�صاألة ‪،‬‬ ‫‪ ºK‬نحدد مجال الدالة من ال‪û‬صروط الطبيعية للم�صاألة ‪ ،‬واأ‪N‬ي ‪k‬را نتب™ ال‪î‬طوا‪ ä‬الوا‪Q‬د‪ I‬في الفقر‪) 3 ( I‬‬ ‫ال�صابقة لتحديد القيمة الق�صوى المطلوبة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪159‬‬

‫‪áeÉY øjQɪJ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪V‬س™ ‪ÓY‬مة )‬

‫( ا‪C‬و ‪ÓY‬مة )‬

‫( ‪ªj øY‬ي‪ ø‬ال©‪Ñ‬ارا‪ ä‬التالية ‪:‬‬

‫قد يوجد عند ج‪ Qò‬الم‪û‬صتقة نقطة انق‪ ÜÓ‬للدالة ‪.‬‬ ‫اإذا كانت ( جـ ) ‪ ، 0‬فا َّإن (جـ ‪ ،‬د ( جـ )) نقطة انق‪.ÜÓ‬‬ ‫عدد نق§ ا’نق‪ ÜÓ‬للدالة د ( �س ) �س‪� + 4‬س‪ 3‬هو ‪. 2‬‬ ‫قيم ــة الت ــي تجع ــل للدالة د( �س )‬

‫�س‪� 12 -3‬س‪� 45 + 2‬س نقطة انق‪ ÜÓ‬عند �س ‪ 4‬هي ‪. 1‬‬

‫القيمة العظمى المحلية للدالة اأكبر من كل قيمة �صغرى محلية للدالة نف�صها ‪.‬‬ ‫اإذا كانت ( جـ )‬

‫‪ ، 0‬فا َّإن د لها قيمة ق�صوى محلية عند جـ ‪.‬‬

‫اإذا كان للدالة د قيمة عظمى مطلقة عند �س جـ ‪ ،‬فاإن ( جـ ‪ ،‬د( جـ )) نقطة عظمى محلية ‪.‬‬ ‫القيمة الق�صوى للدالة هي اأكبر قيمة للدالة ‪.‬‬ ‫�س ‪ 2‬في الفتر‪ 2 ، 1 I‬ت�صاوي ‪2‬‬ ‫القيمة العظمى للدالة د ( �س ) ‪� + 1‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫القيمة ال�صغرى للدالة د ( �س ) �س‪� 6 - 3‬س‪� 9 + 2‬س في الفتر‪ 3 ، 1-] I‬هي ‪16 -‬‬ ‫منحن ــي الدال ــة المم َّ‪ ã‬ــل في ال‪û‬صكل المج ــاو‪ Q‬يو‪V‬ص‪ í‬اأن¬ عند �س ‪3‬‬ ‫يوجدنقطة انق‪ ÜÓ‬للدالة د ‪.‬‬ ‫منحني الدالة‬

‫المم َّ‪ã‬ل في ال‪û‬صكل المجاو‪ Q‬يو‪V‬ص‪ í‬اأن¬ عند �س ‪ 0‬يوجد‬

‫نقطة �صغرى محلية للدالة د ‪.‬‬ ‫منحن ــي الدال ــة المم َّ‪ã‬ل في ال‪û‬صكل المجاو‪ Q‬يو‪V‬ص‪ í‬اأن¬ عند �س ‪ 0‬يوجد‬ ‫نقطة انق‪ ÜÓ‬للدالة د ‪.‬‬

‫‪160‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ا‪N‬تر ا’‪LE‬ا‪H‬ة ال‪ü‬سحيحة ‪a‬ي‪`ª‬ا ‪∏j‬ي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫�س‪�2 - 2‬س ‪ 5 +‬فا َّإن د مت‪õ‬ايد‪ I‬على ‪:‬‬

‫اإذا كانت د ( �س )‬ ‫‪1 - ، ∞ - )1‬‬

‫‪1 ، ∞ - )3‬‬

‫‪1 ، 1- )2‬‬

‫‪∞ ،1 )4‬‬

‫اإذا كـانت د ( �س ) ‪� ( 1‬س ‪ 3) 2‬فا َّإن منحني د محد‪ Ü‬على ‪:‬‬ ‫‪∞، 2‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪2- ، ∞- )2‬‬

‫‪)4‬‬

‫‪)3‬‬

‫اإذا كـانت د ( �س ) ( �س ‪ 4) 4‬فا َّإن منحني د مقعر على ‪:‬‬ ‫‪4 ، ∞ - )2‬‬

‫‪)1‬‬ ‫د‬

‫‪)3 ، 2( )2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪) 2 ، 0 ( )3‬‬

‫‪)0 ، 2( )4‬‬

‫‪� 2‬س‪ 1 - 2‬فا َّإن قيمة �س التي يكون عندها نقطة انق‪ ÜÓ‬هي ‪:‬‬

‫اإذا كـانت (�س)‬ ‫‪)1‬‬

‫‪R‬‬

‫‪3 ، 3 - - )2‬‬

‫‪)3‬‬

‫‪)4‬‬

‫اإذا كـانت د ( �س ) ( ‪� 2‬س ‪ 3 3) 4 -‬فا َّإن نقطة ا’نق‪ ÜÓ‬للدالة د هي ‪:‬‬ ‫‪)2 ، 3( )1‬‬

‫‪h‬‬

‫‪∞ ،4 - )3‬‬

‫منحني الدالة في ال‪û‬صكل المجاو‪ Q‬يو‪V‬ص‪ í‬ا َّأن منحني د مقعر على ‪:‬‬ ‫‪3 ، 3 - )1‬‬

‫هـ‬

‫‪∞ ،4 )4‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪� )3‬صفر‬

‫‪ )4‬غير موجود‪I‬‬

‫منحني الدالة المم َّ‪ã‬ل في ال‪û‬صكل المجاو‪ Q‬يو‪V‬ص‪ í‬ا َّأن قيمة �س‬ ‫التي يكون عندها نقطة انق‪ ÜÓ‬لمنحني الدالة د هي ‪:‬‬ ‫‪3 )1‬‬

‫‪� )2‬صفر‬

‫‪1 )3‬‬

‫‪ )4‬غير موجود‪I‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪161‬‬

‫ح �إذا كـانت د ( �س )‬ ‫�صغرى محلية هي ‪:‬‬

‫‪� 1‬س‪� 1 - 3‬س‪� 6 - 2‬س ‪ 8 +‬ف� َّإن قيمة �س التي يكون عندها للدالة قيمة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2- )2‬‬

‫‪� )1‬صفر‬ ‫ط �إذا كـانت د( �س ) = �س‬

‫‪3‬‬

‫‪3 )3‬‬

‫‪�6‬س‬

‫‪5 )4‬‬

‫‪ ،‬د (‪ )1‬قيمة ق�صوى محلية للدالة ف� َّإن ت�ساوي‬ ‫‪4 )4‬‬ ‫‪3 )3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4- )1‬‬

‫‪2 )2‬‬

‫‪ )1‬د(�س) �س‪1 - 2‬‬

‫‪� - 1 )2‬س‬

‫ي الدالة التي لها قيمة عظمى محلية من بين الدوال التالية هي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ )4‬د(�س) �س‬

‫‪ )3‬د (�س)=‪� - 1‬س‬

‫‪3‬‬

‫ك عدد النقاط الق�صوى المحلية للدالة د ( �س ) �س‪� 9 + 3‬س هو ‪:‬‬ ‫‪� )1‬صفر‬ ‫ل �إذا كـانت د( �س )‬ ‫‪1 )1‬‬

‫‪1 )2‬‬

‫‪2 )3‬‬

‫�س‪� 2 – 2‬س ‪� ،‬س‬

‫‪ 3 ، 2‬ف� َّإن القيمة العظمى المطلقة للدالة د هي ‪:‬‬

‫‪1- )2‬‬

‫‪8 )4‬‬

‫م القيمة ال�صغرى المطلقة للدالة د( �س )‬ ‫‪2 )1‬‬

‫‪3 )4‬‬

‫‪� )2‬صفر‬

‫ن �إذا كانت د ( �س ) = جا �س ‪ ،‬حيث �س‬

‫‪3 )3‬‬ ‫‪� 4‬س‬ ‫�س‪1 + 2‬‬ ‫‪1- )3‬‬

‫‪ ،‬حيث �س‬

‫‪ 4 ، 0‬هي ‪:‬‬ ‫‪4 )4‬‬

‫‪ ، 0‬ط ‪ ،‬ف� َّإن قيـمة �س الـتي يكون عندها قيمة عظمى‬

‫مطلقة هي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ط‬

‫‪� )2‬صفر‬

‫‪ )3‬ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪ )4‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫�س �إذا كـانت الدالة م �س �ص ‪� 3 ،‬س ‪� +‬ص ‪ ، 60‬حيث �س ‪� ،‬ص عددان غير �سالبين ‪ ،‬ف� َّإن قيمتي‬ ‫�س ‪� ،‬ص على الترتيب التي تجعل م �أكبر ما يمكن هما ‪:‬‬ ‫‪36 ، 8 )1‬‬

‫‪162‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪45 ، 5 )2‬‬

‫‪30 ، 10 )3‬‬

‫‪10 ،30 )4‬‬

‫‪ 3‬اأوج ــد قيم ــة ‪x‬‬ ‫كل م ــن ‪ Ü ،‬اإذا كان للدالة د( �س ) �س ‪ � + 3‬ــس‪� Ü + 2‬س قيمــة �صغ ـ ــرى محلي ـ ــة‬ ‫عند �س‬ ‫‪4‬‬

‫‪ ، 4‬ونقطة انق‪ ÜÓ‬عند �س‬

‫‪.1‬‬

‫متوا‪R‬ي م�صتطي‪ äÓ‬قاعدت¬ على ‪T‬صكل مرب™ ومجمو´ اأ‪W‬وال اأحرف¬ جميعها ‪� 300‬ص‪ ، º‬اأ‪K‬بت ا َّأن حجم¬‬ ‫ي�صاوي �س‪� 2 - 75 ( 2‬س ) ‪ ºK‬اأوجد اأبعاد متوا‪R‬ي الم�صتطي‪ äÓ‬عندما يكون حجم¬ اأكبر ما يمكن ‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫اعتما ‪k‬دا على الر�ص‪ º‬المجاو‪ Q‬ال‪ò‬ي يم‪ã‬ل ك ‪ Óv‬من منحني و منحني للدالة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود د ‪.‬‬ ‫اأوجد للدالة د ك ‪ Óv‬من ‪:‬‬

‫‪ -1‬فترا‪ ä‬الت‪õ‬ايد والتناق�س ‪.‬‬ ‫‪ -2‬فترا‪ ä‬التقعر والتحد‪. Ü‬‬ ‫‪ -3‬قي‪� º‬س التي يوجد عندها قيمة �صغرى محلية اأو قيمة عظمى محلية ‪.‬‬ ‫‪ -4‬قي‪� º‬س التي يوجد عندها نقطة انق‪. ÜÓ‬‬ ‫هل يمكن∂ حل فقر‪ ) ( I‬دون ا�صت‪î‬دام منحني ?‬ ‫ا‪�Q‬ص‪ º‬منحني الدالة د عل ‪k‬ما با َّأن ‪ :‬د(‪ ، 2 )1‬د(‪ ، 4 )1-‬د(‪ )0‬د(‪)2‬‬

‫د(‪3 )2-‬‬

‫ما د‪Q‬جة ك‪ã‬ير‪ I‬الحدود د ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪163‬‬

‫�‪Mƒd‬د‪I‬‬ ‫�‪á©H�ôd‬‬

‫�‪ɵàd‬م‪π‬‬ ‫‪The integral‬‬

‫)‪ɵàd� (1-4‬م‪ëŸ� ÒZ π‬د‪O‬‬

‫)‪ɵàd� (2-4‬م‪ëŸ� π‬د‪O‬‬ ‫)‪ɵàd� (3-4‬م‪¢†jƒ©àdÉH π‬‬

‫‪󫡪àdG »`` a Gƒ`` ªgÉ°� ø`` jòdG øe‬‬ ‫لح�ض ��ا‪ Ü‬الت‪µ‬ام ��ل العال ��‪ º‬الم�ضل‪º‬‬ ‫الم‪û‬ض¡ ��ور {الح�ضن بن ال¡ي‪ zºã‬و‪b‬د‬ ‫‪ƒg ºã«¡dG øHG ¿CG ó`` MGh ô«Z âÑKCG‬‬ ‫الذي اأوجد م‪é‬م ��و´ �ضل�ضلتي ا’أ�س‬ ‫ال‪ã‬ال‪ å‬والراب™ ل‪Ó‬أعداد الط‪Ñ‬يعية‪،‬‬ ‫عندم ��ا كان يق ��و‪ Ω‬بح�ض ��ا‪ Ü‬ح‪ºé‬‬ ‫الم‪�é‬ض‪ º‬الدوراني النا‪ èJ‬من دوران‬ ‫‪b‬طع ��ة ‪b‬ا‪F‬مة من ‪b‬ط™ م‪µ‬اف‪ Å‬حو∫‬ ‫محور عمودي عل ��≈ محور ‪J‬ما‪K‬ل¡ا;‬ ‫حي ��‪� å‬ضاعد ذل ��∂ عل ��≈ اكت‪û‬ضا‪±‬‬ ‫الت‪Ø‬ا�ضل والت‪µ‬امل‪.‬‬

‫‪ ™bs ƒàjo‬من �‪©H ÖdÉ£d‬د ‪Mƒd� √òg á`°S�QO‬د‪� I‬أ¿ ‪� ≈∏Y �Qk OÉb ¿ƒµj‬أ¿ ‪:‬‬

‫‪ -1‬يتعر‪ ±‬م‪¡Ø‬و‪ Ω‬الدالة ا’أ‪U‬ضلية ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يتع ��ر‪ ±‬م‪�� ¡Ø‬و‪ Ω‬الت‪µ‬ام ��ل ‪Z‬ي ��ر المح ��دد و‪N‬وا‪U‬ض ��ه ‪.‬‬ ‫م�ضت‪î‬دم ��ا القواعد ا’أ�ضا�ضية‬ ‫‪ -3‬يوج ��د الت‪µ‬امل ‪Z‬ي ��ر المحدد لدالة‬ ‫ً‬ ‫للت‪µ‬امل و‪N‬وا‪U‬س الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد معادلة منحني دالة بد’لة ميله ونقطة عليه ‪.‬‬ ‫‪ -5‬يتعر‪ ±‬م‪¡Ø‬و‪ Ω‬الت‪µ‬امل المحدد و‪N‬وا‪U‬ضه ‪.‬‬ ‫م�ضت‪î‬دم ��ا القواعد ا’أ�ضا�ضية للت‪µ‬امل‬ ‫‪ -6‬يوج ��د الت‪µ‬امل المحدد لدالة‬ ‫ً‬ ‫و‪N‬وا‪U‬سالت‪µ‬املالمحدد‪.‬‬ ‫ي‪�Ø‬ض ��ر الع‪bÓ‬ة بي ��ن الت‪µ‬امل المحدد والم�ضاح ��ة المح‪ü‬ضورة بين‬ ‫‪qp -7‬‬ ‫منحني دالة وفترة ‪.‬‬ ‫‪ -8‬ي�ضت‪î‬د‪ Ω‬الت‪µ‬امل المحدد في اإي‪é‬اد م�ضاحة مح‪ü‬ضورة بين منحني‬ ‫دالة وفترة ‪.‬‬ ‫‪ -9‬ي�ضت‪�� î‬د‪W Ω‬ريقة الت‪µ‬امل بالتعوي†س في اإي‪�� é‬اد بع†س الت‪µ‬ام‪Ó‬ت‬ ‫‪Z‬ير المحددة وبع†س الت‪µ‬ام‪Ó‬ت المحددة ‪.‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪1-4‬‬

‫�‪ëªd‬د‪O‬‬ ‫�‪ɵàd‬م‪ô«Z π‬‬ ‫‪s‬‬ ‫كم ��ا ا ‪s‬أن الت‪Ø‬ا�ض ��ل ي‪î‬ت‪�� ü‬س بعملية اإي‪�� é‬اد الدالة الم‪û‬ضتق ��ة ‪ ،‬فا ‪s‬إن‬ ‫الت‪µ‬ام ��ل ي‪î‬ت‪ü‬س بالعملي ��ة الع‪�µ‬ضية ل‪TÓ‬ضتقا‪ ¥‬وه ��ي عملية اإي‪é‬اد‬ ‫دالة بمعلومية م‪û‬ضتقت¡ا ‪.‬‬ ‫‪�J‬ض ‪s‬م≈ كل دالة نا‪éJ‬ة ع ��ن العملية الع‪�µ‬ضية ل‪TÓ‬ضتقا‪ ¥‬دالة اأ‪U‬ضلية‬ ‫( اأو م‪û‬ضتقة ع‪�µ‬ضية ) ‪.‬‬

‫‪J‬عري∞ (‪)1-4‬‬ ‫اإذا كانت الدالة د مت‪ü‬ضلة عل≈ فترة ‪ ±‬فا ‪qn‬إن كل دالة ∫ ‪J‬حق≥ الع‪bÓ‬ة ‪:‬‬ ‫‪qp‬‬ ‫ل‪µ‬ل نقطة دا‪N‬لية في ‪�J ±‬ض ‪qn‬م≈ دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د‪.‬‬ ‫∫ ( �س ) د ( �س )‬ ‫’ح‪ ß‬ا ‪s‬أن الدالة ∫ مت‪ü‬ضلة عند كل نقطة دا‪N‬لية في ‪. ±‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)1-4‬‬ ‫�أ‪s � âÑK‬أ¿ �‪d‬د�‪� ád�O »g 3¢S ( ¢S ) ∫ ád‬أ‪∏d á«∏°U‬د�‪¢S 3 ( ¢S ) O ád‬‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫∫ ( �س ) ‪� 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫∫ دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د‬

‫د ( �س )‬

‫هل ∫ ( �س ) = �س‪ 3‬هي الدالة ا’أ‪U‬ضلية الوحيدة للدالة د ( �س ) = ‪� 3‬س‪? 2‬‬ ‫من الوا�ض‪ í‬ا ‪s‬أن ك ‪ Óv‬من الدوا∫ ‪:‬‬ ‫∫‪� ( 1‬س ) �س‪� ( 2∫ ، 1 + 3‬س ) �س‪� ( 3∫ ، 3 3‬س ) �س‪2 + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هي دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د ; ’ ‪s‬أن ‪:‬‬ ‫∫ ( �س ) ∫ ( �س ) ∫ ( �س ) د ( �س )‬ ‫‪1‬‬

‫‪166‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫وفي الوا‪ ™b‬ا ‪s‬أن كل دالة عل≈ ال‪ü‬ضورة ‪� :‬س‪ ç + 3‬حي‪ ç å‬عدد ‪K‬ابت هي دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د ; ذل∂ ’ ‪s‬أن‬ ‫م‪û‬ضتقة ال‪ã‬ابت ‪�J‬ضاوي ‪U‬ض‪ً Ø‬را ‪.‬‬ ‫وبذل∂ نتو‪U‬ضل اإل≈ النتي‪é‬ة التالية ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت‪µ‬امل المحدد‬ ‫نتي‪é‬ة (‪)1-4‬‬ ‫اإذا كانت الدالة ∫ دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د فا ‪qn‬إن كل دالة عل≈ ال‪ü‬ضورة ‪� ( ∫ :‬س ) ‪ ، ç +‬حي‪ ç å‬عدد ‪K‬ابت‬ ‫هي دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د‬ ‫هذ√ النتي‪é‬ة ‪J‬عني اأنه اإذا كان للدالة د دالة اأ‪U‬ضلية ∫ فاإنه يوجد عدد ‪Z‬ير منته من الدوا∫ ا’أ‪U‬ضلية للدالة د‪،‬‬ ‫ك ‪w‬ل من¡ا عل≈ ال‪ü‬ضورة ‪� ( ∫ :‬س ) ‪ç‬‬ ‫�‪`ëªd‬د‪ O‬للدالة د ‪،‬‬ ‫‪�J‬ض ‪s‬م≈ هذ√ الدوا∫ ا’أ‪U‬ض�لية ‪É`µàdÉH‬م‪ô«Z π‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ õ`` eôdÉH ¬`` d õ`` eôjh‬د ( �س ) �س ‪ ،‬و يق ��راأ ‪µJ‬امل د ( �س )‬ ‫بالن�ض‪Ñ‬ة ل�‪� p‬س ‪،‬‬

‫لعل ��ه ا‪†J‬ض ��‪ í‬ل∂ اأن �ض‪�J Ö�� Ñ‬ضمي ��ة الت‪µ‬امل ‪Z‬ير‬ ‫المح ��دد هو اأنه ’ يع‪�� Ñ‬ر عن دالة محددة بل عن‬ ‫عدد ‪Z‬ير منته من الدوا∫ ا’أ‪U‬ضلية !‬

‫وي�ض ‪s‬م≈ العدد ال‪ã‬ابت ‪.πeɵàdG âHÉK ç‬‬ ‫اأي ا ‪s‬أن‪:‬‬ ‫د (�س) �س‬

‫∫(�س) ‪ç +‬‬

‫وبالرجو´ اإل≈ الم‪ã‬ا∫ ( ‪ ) 1-4‬ن‪é‬د ا ‪s‬أن ‪� 3 :‬س‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫(‪)1-4‬‬ ‫�س‪ç + 3‬‬

‫‪b‬واعد الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد‬ ‫معلوما‪J‬نا في ا’‪T‬ضتقا‪�J ¥‬ض ِّ¡ل علينا ‪J‬قدي‪ º‬القواعد ا’أ�ضا�ضية التالية للت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد حي‪K ç å‬ابت الت‪µ‬امل ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫∑ �س‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪3‬‬

‫جتا �س �س‬

‫¿‬

‫�س‬

‫‪ 4‬جا �س �س‬ ‫‪� 2Éb 5‬س �س‬ ‫‪� 2Éàb 6‬س �س‬ ‫‪� Éb 7‬س ‪� ÉX‬س �س‬ ‫‪� Éàb 8‬س ‪� ÉàX‬س �س‬

‫∑ �س ‪ ، ç +‬حي‪∑ å‬‬ ‫¿‪1+‬‬ ‫�س‬ ‫¿ ‪ ، ç + 1 +‬حي‪ å‬ن‬ ‫جا �س ‪ç +‬‬

‫‪1‬‬

‫جتا �س ‪ç +‬‬ ‫‪� ÉX‬س ‪ç +‬‬ ‫‪� ÉàX‬س ‪ç +‬‬ ‫‪� Éb‬س ‪ç +‬‬ ‫‪� Éàb‬س ‪ç +‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪167‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)2-4‬‬ ‫�س‬

‫�س ‪ç +‬‬

‫‪� 4‬س ‪� 4‬س ‪ç +‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� 4 ç +‬س‬ ‫�س‪� 3‬س‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪6‬‬‫�س‬ ‫�س‪� 7 -‬س ‪ç 6 -‬‬ ‫‪� 7 1‬س‬ ‫�س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪3‬‬ ‫�س ‪ 3‬ﺀ �س‬ ‫�س‪ 2‬ﺀ �س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1+3‬‬

‫د‬ ‫‪`g‬‬

‫’إي‪é‬اد ‪µJ‬امل ‪b‬وة للمت¨ير �س‬ ‫( م¨ايرة للعدد ‪ )1-‬ن†ضي∞ ‪1‬‬ ‫ل‪Ó‬أ�س ونق�ض‪ º‬عل≈ ا’أ�س ال‪é‬ديد‪.‬‬

‫‪OóëªdG ô«Z πeɵàdG ¢UGƒN‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ç‬‬ ‫‪ç + 6 1‬‬‫‪�6‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 ç+‬‬

‫‪3‬‬

‫�س‪ç + 5‬‬

‫ف ��ي الوا‪ ™�� b‬يم‪µ‬ننا ب�ض¡ولة من الع‪bÓ‬ة ( ‪ ) 1-4‬ا�ضتن‪Ñ‬ا• ‪N‬وا‪U‬س الت‪µ‬ام ��ل ‪Z‬ير المحدد و التي ‪J‬ن‪ü‬س علي¡ا‬ ‫الن¶رية التالية ‪:‬‬

‫‪(1-4) ájô¶f‬‬ ‫‪OóëªdG ô«Z πeɵàdG ¢UGƒN‬‬ ‫اإذا كان ٍ ‪q‬‬ ‫ل‪µ‬ل من الدالتين د‪ ، 1‬د‪ 2‬دالة اأ‪U‬ضلية فا ‪qn‬إن ‪:‬‬ ‫‪µJ )1‬امل ال†ضر‪ Ü‬في ‪K‬ابت ‪ ∑ :‬د‪� ( 1‬س ) �س ∑ د‪� ( 1‬س ) �س ‪ ،‬حي‪0 - ∑ å‬‬ ‫‪µJ )2‬امل الم‪é‬مو´ ‪ ( :‬د‪� ( 1‬س ) ‪ +‬د‪� ( 2‬س ) ) �س د‪� ( 1‬س ) �س ‪ +‬د‪� ( 2‬س ) �س‬ ‫‪µJ )3‬امل ال‪Ø‬ر‪ ( : ¥‬د‪� ( 1‬س ) د‪� ( 2‬س ) ) �س‬ ‫د‪� ( 1‬س ) �س د‪� ( 2‬س ) �س‬ ‫انت‪Ñ‬ه !‬

‫د‪�( 1‬س) �س ‪ .‬د‪�( 2‬س) �س‬

‫د‪�( 1‬س) ‪ .‬د‪�( 2‬س) �س‬ ‫د‪�( 1‬س)‬ ‫د‪�( 1‬س) �س‬ ‫�س‬ ‫د‪�( 2‬س)‬ ‫د‪�( 2‬س) �س‬

‫(‪)1-4‬‬

‫عدد ٍ‬ ‫يم‪µ‬ن ‪J‬عمي‪ º‬ال‪Ø‬قر‪J‬ين (‪ )3( ، )2‬من ن¶رية ( ‪ِّ ’ ) 1-4‬أي ٍ‬ ‫منته من الدوا∫ عل≈ النحو التالي ‪:‬‬ ‫(د‪�(1‬س) د‪�(2‬س) ‪ ...‬د¿(�س)) �س‬

‫‪168‬‬

‫د‪�(1‬س) �س‬

‫د‪�(2‬س) �س ‪ ...‬د¿ (�س) �س‬

‫وبا’إفادة من القواعد ا’أ�ضا�ضية و‪N‬وا‪U‬س الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد يم‪µ‬ننا اإي‪é‬اد الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد للعديد‬ ‫من الدوا∫ ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت‪µ‬امل المحدد‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)3-4‬‬ ‫يم‪µ‬ننا اإي‪é‬اد‬

‫( �س‪� 3 - 4‬س‪� A ) 10 + 2‬س عل≈ النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪� 3‬س‪� 2‬س ‪� 10 +‬س‬

‫( �س‪� 3 - 4‬س‪� ) 10 2‬س‬ ‫�س‪�3 4‬س ‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪ç‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪10‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪ç‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ç‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 5‬س‪� - 5‬س‪� 10 + 3‬س ‪ ، ç +‬حي‪ç + 2ç 3 - 1ç ç å‬‬ ‫‪3‬‬ ‫من الم‪ã‬ا∫ ال�ضاب≥ ن‪é‬د اأنه عند اإي‪é‬اد الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد يم‪µ‬ننا ا’كت‪Ø‬ا‪ A‬باإ�ضافة ‪K‬ابت واحد للنا‪ èJ‬الن¡ا‪F‬ي‬ ‫ذل∂ ا ‪s‬أن العمليات ال‪Ñé‬رية عل≈ ا ِّأي ٍ‬ ‫أي†ضا ‪.‬‬ ‫عدد من ال‪ã‬وابت ‪J‬عطي مقدا ًرا ‪K‬ابتًا ا ً‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)4-4‬‬ ‫�أوجد ك ًّال من ‪:‬‬ ‫( ‪� Éàb + 9‬س ‪� ÉàX‬س ) �س‬

‫( �س‪� ( 2) 1 - 2‬س ‪� ) 3 +‬س‬

‫الحل‬ ‫( ‪� Éàb + 9‬س ‪� ÉàX‬س ) �س‬

‫‪� 9‬س ‪� Éàb‬س ‪ç +‬‬

‫�س ‪1‬‬ ‫�س‬

‫�س‬

‫ل‪é‬اأن ��ا هنا اإل≈ اإج ��را‪ A‬عملية ال†ض ��ر‪ ºK ،Ü‬اإي‪é‬اد‬ ‫الت‪µ‬امل‪’ ،‬أنه ’ ‪J‬وج ��د ‪b‬اعدة عامة ’إي‪é‬اد ‪µJ‬امل‬ ‫حا‪U‬ض ��ل ال†ض ��ر‪( Ü‬وكذل ��∂ نتعام ��ل م ��™ عملي ��ة‬ ‫الق�ضمة)‬

‫( �س‪� ( 2)1 2‬س ‪� ) 3 +‬س‬ ‫( �س‪� 2 4‬س‪� () 1 + 2‬س ‪� ) 3 +‬س‬ ‫( � ``س‪`` � 3 5‬س‪`` � 2 4‬س‪� 6 3‬س‪� 2‬س ‪� ) 3‬س‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫�س‪� 3‬س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪� 3 + 2 + 3 6 4 2 5 3 + 6‬س ‪ç +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 6‬س‪� 5 + 6‬س‪� 2 5‬س‪� 2 4‬س‪� 2 + 3‬س‪� 3 + 2‬س ‪ç +‬‬ ‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪169‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫�س‬

‫( �س ‪� ) 1 -‬س‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪1-‬‬

‫( �س ‪� - 2‬س ‪� ) 2‬س‬ ‫‪ ( .................................‬اأكمل ال‪Ø‬را‪) Æ‬‬

‫‪J‬دري‪)1-4( Ö‬‬ ‫�س ‪9 2‬‬ ‫اأوجد ‪� :‬س ‪ 3‬ﺀ �س ‪.‬‬ ‫ون‪î‬ت‪ º‬هذا ال‪ Aõé‬بتقدي‪ º‬النتي‪é‬ة التالية التي ‪J‬و‪ِّ D‬كد ا ‪s‬أن عمليتي ا’‪T‬ضتقا‪ ¥‬والت‪µ‬امل متعاك�ضتان ‪.‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)2-4‬‬ ‫‪ 1‬في الع‪bÓ‬ة ( ‪ ) 1-4‬اإذا ع ‪s‬و�ضنا عن د ( �س ) ب� ∫ ( �س ) نتو‪U‬ضل اإل≈ ا ‪s‬أن ‪:‬‬ ‫∫ ( �س ) �س = ∫ (�س) ‪ç +‬‬

‫(‪)2-4‬‬

‫‪ 2‬با‪T‬ضتقا‪W ¥‬رفي الع‪bÓ‬ة ( ‪ ºK ، ) 1-4‬التعوي†س عن ∫ ( �س ) ب� د ( �س ) نتو‪U‬ضل اإل≈ ا ‪s‬أن ‪:‬‬ ‫�س‬

‫د( �س ) �س = د (�س)‬

‫(‪)3-4‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)5-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪170‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫( ‪� 3‬س‪� 4 2‬س ) �س‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س �س‬ ‫�س‬

‫‪� 3‬س‪� 4 2‬س ‪ç +‬‬

‫انت‪Ñ‬ه!‬ ‫اإذا ‪o‬كت‪ Ö‬رم‪ õ‬الت‪µ‬امل ‪Ñb‬ل رم‪ õ‬ا’‪T‬ضتقا‪ ¥‬فاإن‬ ‫النا‪ èJ‬يحوي ‪K‬ابت الت‪µ‬امل ‪.ç‬‬

‫الت‪µ‬امل المحدد‬

‫‪OóëªdG ô«Z πeɵàdG ≈∏Y á«°Sóæg äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫اإذا كان لدين ��ا دال ��ة د مع�ادل ��ة منحني¡ا ‪U‬س = د ( � ��س ) ‪ ،‬فا ‪s‬إن ميل المنحني ( اأي ميل مما�ضه ) عند ا ِّأي‬ ‫نقطة �س ‪ -‬كما ‪J‬عل‪o - º‬يعط≈ بالدالة ( �س ) ‪.‬‬ ‫وبالع‪�µ‬س ‪ ،‬اإذا كان لدينا ميل المنحني اأي ( �س ) فاإننا نح‪ü‬ضل با�ضت‪î‬دا‪ Ω‬الت‪µ‬امل ‪Z‬ير المحدد عل≈ عدد‬ ‫‪Z‬ير منته من المنحنيات‪ ،‬معادلة ‪x‬‬ ‫كل من¡ا عل≈ ال‪ü‬ضورة ‪:‬‬ ‫‪U‬س =‬

‫( �س ) ﺀ �س‬

‫‪U‬س =د (�س) ‪ç +‬‬

‫فم‪: Óً ã‬‬ ‫اإذا كان ميل منحنٍ عند ا ِّأي نقطة �س هو ‪� 2‬س فا ‪s‬إن المعادلة‬ ‫‪U‬س‬

‫‪� 2‬س �س‬

‫‪U‬س‬

‫�س‪J ç + 2‬م ِّ‪ã‬ل عد ًدا‬

‫‪Z‬ير منته من المنحنيات ( القطو´ الم‪µ‬اف‪Ä‬ة ) و ال‪û‬ض‪µ‬ل ( ‪) 1-4‬‬ ‫بع†ضا من¡ا ‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫يو�ض‪ً í‬‬ ‫ول‪µ‬ي نح‪ü‬ضل عل≈ مع�ادلة منحنٍ مع ‪s‬ين من¡ا يل‪õ‬منا ‪J‬عيين ‪b‬يمة‬ ‫ال‪ã‬ابت ‪ ç‬مما يتطل‪ Ö‬وجود ‪T‬ضر• ا‪NB‬ر يم ِّي‪ õ‬هذا المنحني ‪،‬‬ ‫فاإذا علمنا ا ‪s‬أن المنحني يمر بالنقطة ( ‪ - ) 1 ، 0‬م‪- Óً ã‬‬ ‫فاإننا بالتعوي†س عن �س بالعدد ‪U‬ض‪Ø‬ر و عن ‪U‬س بالعدد ‪1‬‬ ‫في المعادلة ‪U‬س‬ ‫‪ç + 2)0( 1‬‬

‫‪T‬ض‪µ‬ل (‪)1-4‬‬

‫�س‪ ç + 2‬نح‪ü‬ضل عل≈ ‪:‬‬ ‫‪1 ç‬‬

‫فت‪µ‬ون معادلة المنحني الذي ميله ‪� 2‬س و يمر بالنقطة ( ‪ ) 1 ، 0‬هي ‪U :‬س‬

‫�س‪1 + 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪171‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫م‪ã‬ا∫ (‪)6-4‬‬ ‫�أوج``د م©‪ á``dOÉ‬م‪ …òd� O »``æëæ‬م«∏``¬ ‪æY‬د � ‪u‬أ… ‪É``°ùj ¢S á£≤f‬و… ) ‪ ( 9 ¢S 6 2¢S 3‬و ‪ôªj‬‬ ‫‪.( 7 , 2 ) á£≤ædÉH‬‬

‫الحل‬ ‫حي‪ å‬ا ‪s‬إن ( �س )‬ ‫اإذ ًا‬

‫‪U‬س‬ ‫‪U‬س‬ ‫‪U‬س‬

‫‪� 3‬س‪� 6 2‬س ‪9‬‬

‫( ‪� 3‬س‪� 6 - 2‬س ‪ ) 9 -‬ﺀ �س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪� 9‬س ‪ç +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫�س‪� 3 3‬س‪� 9 2‬س ‪ç +‬‬

‫ولتعيين ‪b‬يمة ال‪ã‬ابت ‪ ç‬نع ِّو�س بالنقطة ( ‪ ) 7 - ، 2 -‬في المعادلة ال�ضابقة فنح‪ü‬ضل عل≈ ‪:‬‬ ‫‪ç + )2 (9 2)2 (3 3)2 ( 7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ç + 18 + 12 8‬‬

‫‪ç‬‬

‫‪5‬‬

‫اإذ ًا معادلة المنحني المطلو‪ Ü‬هي ‪:‬‬ ‫‪U‬س = �س‪� 3 3‬س‪� 9 2‬س ‪5‬‬

‫‪172‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت‪µ‬امل المحدد‬

‫‪(1-4) øjQɪJ‬‬ ‫‪1‬‬

‫اأ‪ÑK‬ت ا ‪s‬أن ∫ ( �س )‬

‫‪2‬‬ ‫�س ‪� 6+‬س هي دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د ( �س )‬

‫�س ‪3 +‬‬ ‫�س‪�6 + 2‬س‬

‫‪jQɪàd� »a‬ن من ‪� 19 ≈dE� 2‬أوجد‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س‪� 7‬س‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪� 6‬س‬

‫�س‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬

‫‪6‬‬

‫( ‪� 4‬س‪� 3 - 3‬س‪� ) 2‬س‬

‫‪7‬‬

‫( �س‬

‫‪9‬‬

‫( ‪b - 2‬تا‪�2‬س ) �س‬

‫‪� 1‬س‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫�س ‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪4‬‬

‫�س‬

‫�س‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬

‫‪7‬‬

‫‪� 5‬س‪� ) 2‬س‬

‫‪10‬‬

‫( جا �س ‪� 4 +‬س ) �س‬

‫‪11‬‬

‫( ‪� 3‬س‪b - 2‬ا �س ‪X‬ا �س ) �س‬

‫‪12‬‬

‫( جا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪�2‬س ) �س‬

‫‪13‬‬

‫�س‪� ( 2‬س‪� ) 5 - 2‬س‬

‫‪14‬‬

‫( �س‪� ( ) 2 + 2‬س‪� ) 3 2‬س‬

‫‪15‬‬

‫‪� Éàb‬س ( ‪� ÉàX‬س ‪ +‬جا �س ) �س‬

‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬

‫�س ‪�5 2‬س ‪6 +‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س ‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫‬‫�س‬ ‫‪19‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� 4‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫اأوجد جتا ‪�2‬س ‪� 1 -‬س با�ضت‪î‬دا‪ Ω‬المتطابقة جتا ‪� 2‬س ‪ 2- 1‬جا‪�2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫اأوجد ‪ + 1‬جا �س �س ب†ضر‪x Ü‬‬ ‫كل من ال‪�Ñ‬ض§ و المقا‪ Ω‬بمقدار منا�ض‪. Ö‬‬ ‫‪17‬‬

‫�س ‪27 - 3‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س ‪)4 - 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪173‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫ ‪22‬‬

‫�أوجد ك ًّال من‪:‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫( �س �س ‪� ) 1 -‬س‬

‫ ‬

‫جتا �س �س‪� 1 + 2‬س‬

‫ د‬

‫‪23‬‬ ‫ �إذا كانت د ( �س )‬

‫‪3‬‬

‫ء‬ ‫ء �س ( �س جا �س‪) 2‬ﺀ �س‬ ‫‪3‬‬ ‫ء‬ ‫�س‪ 1 - 3‬ﺀ �س‬ ‫ء �س‬

‫�س‪�3 + 2‬س ‪� 2‬س ‪ ،‬ف�أوجد ( ‪) 2‬‬

‫‪24‬‬ ‫ �أوجد معادلة المنحني د الذي ميله عند � ِّأي نقطة �س ي�ساوي (‪ )1 -‬و يمر بالنقطة ( ‪) 3- ، 2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ �أوج ��د معادل ��ة المنحن ��ي د ال ��ذي يم ��ر بالنقط ��ة ( ‪ ) 5 ، 1 -‬وميله عن ��د � ِّأي نقطة � ��س ي�ساوي‬ ‫ ‬

‫( ‪� 4‬س‪� 2 + 3‬س ‪) 5 +‬‬

‫‪26‬‬ ‫ �أوجد معادلة المنحني د الذي ميله عند � ِّأي نقطة �س ي�ساوي ( جا �س ‪ ) 1 +‬ويمر بالنقطة ( ‪) 1 ، 0‬‬ ‫‪27‬‬ ‫ �إذا كان ميل العمود لمنحنٍ د عند � ِّأي نقطة �س ي�ساوي ‪ 21-‬ف�أوجد معادلة هذا المنحني عل ًما‬ ‫�س‬ ‫ب�أنه يمر بالنقطة ( ‪) 4 - ، 2‬‬ ‫ ‬

‫‪174‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫الت‪µ‬امل المحدد‬

‫‪2-4‬‬

‫�‪ëªd‬د‪O‬‬ ‫�‪ɵàd‬م‪π‬‬ ‫‪s‬‬ ‫اإذا كان لدينا دالة د مت‪ü‬ضلة عل≈‬

‫‪ ، Ü ،‬وكانت ∫ دالة اأ‪U‬ضلية للدالة د فاإنه ‪ -‬كما ‪J‬عل‪- º‬‬

‫د ( �س ) �س ∫ ( �س ) ‪ ، ç‬حي‪K ç å‬ابت الت‪µ‬امل ‪.‬‬ ‫ومن الوا�ض‪ í‬ا ‪s‬أن ‪b‬يمة هذا الت‪µ‬امل عندما �س ‪ Ü‬هي ∫ ( ‪ ç + ) Ü‬و ‪b‬يمته عندما �س هي ∫ ( ) ‪. ç +‬‬ ‫وال‪�� Ø‬ر‪ ¥‬بي ��ن ها‪J‬ي ��ن القيمتي ��ن ∫ ( ‪»`` gh ) ( ∫ ) Ü ( ∫ ç + ) ( ∫ ç + ) Ü‬‬ ‫‪b‬يمة محد ‪s‬دة ‪ -‬م¡ما كانت ‪b‬يمة ‪�J ، ç‬ض ‪s‬م≈ ‪µJ‬ام ً‪ Ó‬محد ًدا للدالة د ‪.‬‬

‫‪J‬عري∞ (‪)2-4‬‬ ‫اإذا كانت د دالة مت‪ü‬ضلة عل≈ ‪ ، Ü ،‬و كان د ( �س ) �س ∫ ( �س ) ‪ç +‬‬ ‫فا ‪qn‬إن المقدار ∫ ( ‪ ) ( ∫ ) Ü‬ي�ض ‪qn‬م≈ ‪ɵJ‬م ‪k‬ال م‪ë‬د ‪ �Ok‬للدالة د عل≈ ‪õeôjh ، Ü ،‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫‪õeôdÉH ¬d‬‬ ‫د ( �س )‪� A‬س ‪ ،‬و يقراأ ‪µJ‬امل د ( �س ) بالن�ض‪Ñ‬ة ‪p‬ل� �س من اإل≈ ‪.Ü‬‬ ‫‪Ü‬‬ ‫اأي ا ‪s‬إن ‪:‬‬ ‫د ( �س ) �س ∫ ( ‪) ( ∫ ) Ü‬‬ ‫وي�ض ‪qn‬م≈ العددان ‪ πeɵàdG …ónq M Ü ،‬حي‪ å‬هو الحد ال�ض‪Ø‬لي و ‪ Ü‬هو الحد العلوي ‪.‬‬ ‫يرم‪ õ‬للمقدار ∫ ( ‪ ) ( ∫ ) Ü‬في التعري∞ ال�ضاب≥‬ ‫بالرم‪� ( ∫ õ‬س )‬ ‫‪Ü‬‬

‫د (�س) �س‬

‫و عليه ي‪µ‬ون ‪:‬‬ ‫∫(�س)‬

‫‪Ü‬‬

‫∫(‪) ( ∫ )Ü‬‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪)7-4‬‬ ‫اأوجد ك ‪ Óv‬من ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� 2‬س �س‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫•‬ ‫‪2‬‬

‫جتا �س �س‬

‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬

‫( �س ‪ ) 1 +‬س‬ ‫‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪175‬‬

á©HGôdG IóMƒdG !¬ÑàfG OóY ƒg OóëªdG πeɵàdG ádGO ’ »≤«≤M 1

πëdG 2 3 ¢S 3 ( 2 2 ) ¢S ¢S 2 1 1 3 2 ¢S 8 21 - 23 1 • ‫ط‬ • ‫ـــ‬ 2 0 - 1 0 ÉL - 2 ÉL ¢S ÉL ¢S ¢SÉàL ٢ 0 0 4 2 ¢S 2 3 ( ¢S + ¢S ( 1 + ¢S ) ) 4 114 4 (1 ) 27 1 2 1 + ( 1 6 ) ( 2 + 4 4 4 4 )

: OóëªdG πeɵàdG ¢UGƒN ≥Ñ£æJ ¢UGƒîdG √òg ¿Cs G ™bGƒdG »ah , OóëªdG ô«Z πeɵàdG ¢UGƒN ≈∏Y ( 1-4 ) ájô¶f ∫ÓN øe Éæaôs ©J : á«dÉàdG ájô¶ædG ¬«∏Y ¢üæJ Ée Gògh OóëªdG πeɵàdG ≈∏Y

(2-4) ájô¶f OóëªdG πeɵàdG ¢UGƒN

≈∏Y á∏°üàe 2O , 1O ø«àdGódG øe πlq c âfÉc GPEG : âHÉK »a Üô°†dG πeɵJ -1 Ü Ü ∑ å«M , ¢S ( ¢S ) O ∑ ¢S ( ¢S ) O ∑ : ´ƒªéªdG πeɵJ -2 Ü Ü Ü ¢S ( ¢S ) 2O + ¢S ( ¢S ) 1O ¢S ( ( ¢S ) 2O + ( ¢S ) 1O ) : ¥ôØdG πeɵJ -3 Ü Ü Ü ¢S ( ¢S ) 2O ¢S ( ( ¢S ) 2O - ( ¢S ) 1O ) - ¢S ( ¢S ) 1O : ¿Eqn Éa Ü ,

( 2-4 ) ájô¶f øe ( 3 ) , ( 2 ) ø«Jô≤ØdG º«ª©J øµªj ¬fEÉa OóëªdG ô«Z πeɵàdG »a ∫ÉëdG ƒ`` g É`` ªch m OóY m …Cu ’ . ∫GhódG øe ¬àæe

(5) äÉ«°VÉjQ

176

OóëªdG πeɵàdG : ¿Éà«dÉàdG ¿Éàjô¶ædG É¡«∏Y ¢üæJ OóëªdG πeɵà∏d iôNCG ¢UGƒN ∑Éægh

(3-4) ájô¶f : ¿Eqn Éa Ü , ¢S ( ¢S ) O

Ü

¢S ( ¢S ) O

≈∏Y á∏°üàe O ádGódG âfÉc GPEG 0

Ü

¢S ( ¢S ) O

: ¬fCG »æ©J ájô¶ædG √ògh . Gôk Ø°U …hÉ°ùJ πeɵàdG ᪫b ¿Es Éa πeɵJ Gós M ihÉ°ùJ GPEG . §≤a πeɵàdG IQÉ°TEG ô«u ¨J πeɵJ …ós M ø«H ádOÉѪdG

(8-4) ∫Éãe 0 ¢S 2¢S 2

¢S ( 1 + 3¢S ) ( (7 - 4) ∫Éãe »a (`L) Iô≤a øe )

¢S A ( 1 + 3¢S )

1- -

3

1-

274

3 1 2 2

(4-4) ájô¶f : ¿Eqn Éa Ü , ] `L âfÉch Ü , ≈∏Y á∏°üàe O ádGódG âfÉc GPEG `L Ü Ü ¢S ( ¢S ) O ` `L + ¢S ( ¢S ) O = ¢S ( ¢S ) O : »dÉàdG ƒëædG ≈∏Y ájô¶ædG √òg º«ª©J øµªj , Ü,

¿

` L , . . . , 2 ` L , 1 ` L âfÉch , Ü , : ¿Es Éa Ü

¢S ( ¢S ) O

+ . . . + ¢S ( ¢S ) O

¿

` L ...

2

+ ¢S ( ¢S ) O

≈∏Y á∏°üàe ádGO O âfÉc GPEG `L

1

`L

, • ¿ å«M ¢S ( ¢S ) O

Ü

. ICGõée ∫Ghód äÓeɵJ OÉéjEG »a ájô¶ædG √òg Éfó«ØJh

177

(5) äÉ«°VÉjQ

á©HGôdG IóMƒdG 1 ¢S 0 ¿Éc GPEG 4

(9-4) ∫Éãe

¢S3

2

(¢S)O âfÉc GPEG

¢S 1 ¿Éc GPEG 2 + ¢S

¢S ( ¢S ) O

4

0

óLhCG

πëdG

4 , 0 ≈∏Y á∏°üàe O ádGódG ¿Cs G ßM’ ¢S ( ¢S ) O

4

1

¢S ( 2 + ¢S )

+ ¢S ( ¢S ) O 4

1

1

+ ¢S 2¢S 3

¢S ( ¢S ) O

0 1

4

0

0

2 1 3 4 ¢S ( ¢S 2 + ) + 2 0 ¢S 1 ٢ ٤ 1 ‫ـــــــــــ‬ (1 2+ 2 )-(4 2+ ) + 0-1 ٢

2

29 2

1 2- 2

16 + 1

(2-4) ÖjQóJ : óMGh πeɵàH »JCÉj ɪs Y ôÑu Y 3 3 ¢S ( ¢S ) O ¢S ( ¢S ) O 5 1(5) äÉ«°VÉjQ

178

OóëªdG πeɵàdG

: áMÉ°ùªdG h OóëªdG πeɵàdG : »∏j Ée ßM’h (4-4) , (3-4) , (2-4) ∫ɵ°TC’G πeCÉJ : (2-4) πµ°ûdG »a ¢Vô©dG ∫ƒ£dG `e »g ( π«£à°ùªdG ) á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe 1 á©Hôe äGóMh 6 2 3 4 4 4 ¢S 2 ¢S 2 ¢S A ( ¢S ) O 1 1 2 4 1 `e (2) , (1) ¢S ( ¢S ) O 1 : (3-4) πµ°ûdG »a

6 1 2 4 2

(2-4) πµ°T

1 ´ÉØJQ’G IóYÉ≤dG 2

`e »g ( å∏ãªdG ) á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe 1 1 2 4 2¢S 4 4 ¢S ¢S ¢S ( ¢S ) O 1 2 0 2 4 0 `e (2) , (1) ¢S ( ¢S ) O 1 : (4-4) πµ°ûdG »a

á©Hôe äGóMh 8 ((3-4)) πµ°T

8

1 (0 - 2 4 ) 2

`e

1

`e »g ( ±ôëæªdG ¬Ñ°T ) á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe 1

1 (21 -24 ) 2

1 2 ) (1 3) 15 9 á©Hôe IóMh 2 3 2 ٤ 2¢S 4 4 ¢S ¢S ¢S ( ¢S ) O 2 ١ 2 1 1

2

`e

4 4

(3 3

((4-4)) πµ°T

15 2

¢S ( ¢S ) O (( )∫-(Ü)∫)∑ =

179

(5) äÉ«°VÉjQ

Ü

4

( ( ¢S ) ∫ . ∑ ) ¿Es Éa

1

`e

(2) , (1) ∑ ¿Éc GPEG ¬fCG ßM’

á©HGôdG IóMƒdG ø«H Ió«WƒdG ábÓ©dG øY ∞°ûµdG øe ¿ƒ«°VÉjôdG øµªJ ™bGƒdG »ah Ü ájƒà°ùªdG á≤£æªdG áMÉ°ùeh ¢S ( ¢S ) O OóëªdG πeɵàdG äÉ``æ«°ùdG Qƒ`` ` `ëeh O á`` ÑdÉ°ùdG ô`` «Z á`` dGódG »``æëæe ø«H IQƒ°üëªdG Ü ¢S , ¢S ø«ª«≤à°ùªdGh äÉaôëæe √ÉÑ°TCG IóY ≈dEG á≤£æªdG √òg áFõéJ øe Gƒ≤∏£fG å«M √ÉÑ°TCG OóY IOÉjõH GƒeÉb ºK , ( 5 – 4 ) πµ°ûdG »a í°Vƒe ƒg ɪc ájô¶ædG äÉÑKEG Gƒ∏é°ù«d ÉÄk «°ûa ÉÄk «°T É¡JÉYÉØJQG ¢ü«∏≤àH äÉaôëæªdG : á«dÉàdG (5-4) πµ°T

(5-4) ájô¶f IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG »g `e âfÉch , Ü , »a á`` ÑdÉ°S ô«Zh á∏°üàe O á`` dGódG â`` fÉc GPEG äÉæ«°ùdG Qƒëeh O »æëæe ø«H Ü ¢S ( ¢S ) O `e : ¿Eqn Éa Ü ¢S , ¢S ø«ª«≤à°ùªdG h

ø«ª«≤à°ùªdGh äÉæ«°ùdG Qƒëeh O ádGO »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG ÜÉ°ùM øe Éæ浪J ájô¶ædG √òg ¿Es G πeɵàdG ΩGóîà°SÉH ( Ü , IôàØdGh O »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG …CG ) Ü ¢S , ¢S Ü, ¢S 0 ( ¢S ) O âfÉc GPEG ÉeCG , Ü , ¢S 0 ( ¢S ) O ¿ƒµJ ¿CG •ô°ûH OóëªdG Ü, ¢S 0 ( ¢S ) O ¿ƒµJ ¿CG »¡jóÑdG øe ¬fEÉa

(6-4) πµ°T

ƒg ( O ) »æëæe ¿CG í°Vƒj qn …òdGh (6 – 4) πµ°T ô¶fG , »æ«°ùdG QƒëªdG ∫ƒM ôXÉæàdG ô«KCÉJ âëJ ¬°ùØf O »æëæe äÉæ«°ùdG Qƒëeh O »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG ¿Es Éa ¬«∏Yh áMÉ°ùªdG …hÉ°ùJ `e øµàdh , Ü ¢S , ¢S ø«ª«≤à°ùªdGh ø«ª«≤à°ùªdGh äÉæ«°ùdG Qƒëeh (O ) »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG Ü ¢S , ¢S Ü `e :Gk PEG ¢S ( ¢S ) O : á«dÉàdG áé«àædG ≈dEG π°Uƒàf ∂dòHh (5) äÉ«°VÉjQ

180

OóëªdG πeɵàdG (3-4) áé«àf ø«H IQƒ`` °üëªdG á`` MÉ°ùªdG »`` g ` ` e â`` fÉch , Ü , »`` a á`` ÑLƒe ô`` «Zh á`` ∏°üàe O á`` dGódG â`` fÉc GPEG Ü ¢S A( ¢S ) O ¢S ø«ª«≤à°ùªdGh äÉæ«°ùdG Qƒëeh O »æëæe - `e : ¿Eqn Éa Ü ¢S ,

(2-4) »æëæe ø«H áMÉ°ùªdG óLƒf ÉæfEÉa , Ü , øe á«FõL äGôàa »a ô«¨àJ O ádGódG IQÉ°TEG âfÉc GPEG ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG ≈∏Y π°üëæa áéJÉædG äÉMÉ°ùªdG ™ªéf ºK øeh , IóM ≈∏Y á«FõL Iôàa πch O . Ü , IôàØdGh O »æëæe ` `L , »a áÑdÉ°S ô«Z O âfÉch Ü , ` `L âfÉc GPEG : Ók ãªa áMÉ°ùªdG ¿Es Éa , ( 7 -4 ) πµ°ûdÉH ɪc Ü ,`` L »a áÑLƒe ô«Zh : »g Ü ¢S , ¢S ø«ª«≤à°ùªdGh äÉæ«°ùdG Qƒëeh O »æëæe ø«H ¢S ( ¢S ) O (7-4) πµ°T

Ü

`L

¢S ( ¢S ) O

`L

2

`e + 1 `e

á``dGO »æëæe ø``«`H IQƒ``°`ü`ë`ª`dG á``MÉ``°`ù`ª`dG ¿Cs É` ` H ∂°ùØf ™``æ` bG : »``g Ü ¢S ,

¢S ø«ª«≤à°ùªdGh äÉæ«°ùdG Qƒ``ë`eh O ¢S | ( ¢S ) O |

2 ¢S , 1

`e

Ü

`e

(10-4) ∫Éãe

¢S ø«ª«≤à°ùªdG h äÉæ«°ùdG Qƒëe h 2¢S (¢S)O »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG óLhCG

πëdG

2 ,1- »a ( ¢S ) O IQÉ°TEG åëÑH ’k hCG CGóÑf

(8-4) πµ°T

á©Hôe äGó``Mh 3

181

(5) äÉ«°VÉjQ

9 3

¢S A2¢S

2

1 (1+ 8) 3

2 ,1

¢S

0 2¢S = ( ¢S )O 2 ¢S A(¢S)O áHƒ∏£ªdG áMÉ°ùªdG Gk PEG 112 3¢S 1 3 3 ((1 ) 2 ) 3 1- 3 ( 8-4 ) πµ°ûdG »a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe »gh

á©HGôdG IóMƒdG (11-4) ∫Éãe 6 ,1 IôàØdG h 3 - ¢S

( ¢S ) O »æëæe ø«H IQƒ°üëªdG áMÉ°ùªdG óLhCG

πëdG 3

¢S

0 3 - ¢S

0 ( ¢S ) O

: »dÉàdG OGóYC’G §N ≈∏Y í°Vƒe ƒg ɪc ( ¢S ) O IQÉ°TEG ¿ƒµJh

(9-4) πµ°T

: ¿Cs G óéf ¬æeh 3 ,1

¢S

0 ( ¢S ) O

6 ,3

¢S

0 ( ¢S ) O

2 3 ¢S 3 3 - `e ( ¢S 3 ¢S A( 3 ¢S ) ¢S A( ¢S ) O ) 1 2 1 1- 1 1 9 2 (2-)- (6-4)- (3- 2 )-(9- 2 )]-= 2 6 ¢S 6 6 ( ¢S 3 ¢S A ( 3 ¢S ) ¢S A ( ¢S ) O `e ) 3 2 3 3 2 9 9 9 36 ( ( 9 ) 18 18 ) ( 18 2 2 2 2 ) 13 9 k á©Hôe IóMh 2 2 + 2 2 `e + 1 `e =`e »g áHƒ∏£ªdG áMÉ°ùªdG GPEG ( 9 - 4 ) πµ°ûdG »a á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe »gh

: ¿Cs ÉH ∂d ócCÉà«d (10-4 ) πµ°ûdG πeCÉJ 6 , ¢S | 3 - ¢S | `e 1 . ∂dP ≈dEG GOk Éæà°SG áMÉ°ùªdG Ö°ùMG ºK (10-4) πµ°T (5) äÉ«°VÉjQ

182

OóëªdG πeɵàdG

(2-4) øjQɪJ : óLhCG 16 ≈dEG 1 øe øjQɪàdG »a ¢S ¢S ¢S

2 4

¢S

2

¢S 7( 3 + ¢S 5 - 2¢S )

2

21 2

8 - 3¢S 2 ¢S 2 - ¢S 23 ¢S 1 +2¢S 3 6 ¢S |6 - ¢S | 0 ¢S ( ¢S ÉL - ¢S ÉàL ) ¢S ( ¢S ÉX 4 + 4 ) 2

¢S ( ¢S ) O

¢S ( ¢S ) O

183

3

7

(5) äÉ«°VÉjQ

1

0

óLhCÉa

óLhCÉa

,

,

• 2

• 4

0 0

6

2

¢S 2

4

¢S (¢S 2 - 2¢S )

6

¢S ( 2¢S - 1 ) ¢S 4

8 ¢S

12

0

3

1-

5

6

¢S ¢S ÉL

14 16

2

1

1 2 1 ¢S 2 4 - ¢S3 + ¢S 1 4 + ¢S 11 ¢S | ¢S | 2¢S

10

3

1-

¢S ( ¢S ÉX ¢S Éb - ¢S2 )

• 2

• 3 • 2

0

2 ¢S 1 ¿Éc GPEG ¢S 3 ¢S 2 ¿Éc GPEG 2 = (¢S)O âfÉc GPEG 2 ¢S ¿Éc GPEG

¢S

7 9 11 13 15

17

2

2 ¢S ¿Éc GPEG 2 - ¢S3

= (¢S)O âfÉc GPEG

18

á©HGôdG IóMƒdG ¢S ( ¢S ) O

4

0

óLhCÉa ,

¢S 1 2 ¢S

1 ¢S 0 ¿Éc GPEG

=(¢S)O âfÉc GPEG

19

: »∏j ɪe xπc »a ∑ »≤«≤ëdG Oó©dG ᪫b óLhCG

20

1 ¢S ¿Éc GPEG

6 ¢S 3

∑2 2

¢S ∑2

30

2

12 ¢S ( 5 ¢S 2 + 2¢S ∑ )

1 ∑ 1-

x øY ôÑu Y : óMGh πeɵàH »∏j ɪe πc ¢S ¢S 2

1 ¢S 2 + ¢S

5

1 3

¢S

0

21

1

+ ¢S 2¢S

2 + ¢S 1

1 3

2-

x »`` a áë°U øe ≥≤ëJ ºK OóëªdG πeɵàdG ΩGó`` îà°SÉH á∏∏¶ªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe Ö°ùMG »∏j ɪe πc

22

: áMÉ°ùªdG ø«fGƒb ΩGóîà°SÉH èJÉædG

(‫)ﺟـ‬

(‫)ب‬

( )

(5) äÉ«°VÉjQ

184

OóëªdG πeɵàdG : á«JB’G äÓeɵàdG øe xπc OÉéjE’ QhÉéªdG πµ°ûdG »a áë°VƒªdG äÉMÉ°ùªdG Ωóîà°SG Ü

¢S ( ¢S ) O ¢S ( ¢S ) O ¢S ( ¢S ) O ¢S ( ¢S ) O

23

` `L O O

(1 Ü(2

`L ( 3 (4

»æëæe ø«H IQƒ°üëªdG á≤£æªdG áMÉ°ùe πeɵàdG ΩGóîà°SÉH óLhCG 32 ≈dEG 24 øe øjQɪàdG »a : IQƒcòªdG IôàØdGh O ádGódG 7 ,1- ,

3 + ¢S 2

( ¢S ) O

24

5,2 ,

¢S 4 - 3

( ¢S ) O

25

6 ,0 ,

¢S 2 - 8

( ¢S ) O

26

4 ,1 ,

| ¢S - 3|

( ¢S ) O

27

¢S - 4

( ¢S ) O

28

2 - ¢S - 2¢S

( ¢S ) O

29

( 3 - ¢S ) ( 2 - ¢S ) ¢S ( ¢S ) O

30

2 ,2- , 3 ,1- , 3 ,2 ,

185

(5) äÉ«°VÉjQ

2

4,0 ,

¢S -

( ¢S ) O

31

• 2 ,0 ,

¢S ÉàL

( ¢S ) O

32

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪3-4‬‬

‫الت‪µ‬امل بالت©‪ƒ‬ي†‪¢‬‬ ‫نو�جه �أحيا ‪k‬نا تكامالت على �ل�سورة د ( ه ( �س ) ) ‪� ( .‬س )ﺀ �س ول يمكن �إيجادها با�ستخد�م‬ ‫�لقو�عد �لأ�سا�سية مبا�سر ‪k‬ة ‪،‬‬ ‫فاإذ� فر‪V‬سنا ع‬ ‫ع‬ ‫تكون �س‬ ‫ومنها ع‬

‫ه ( �س )‬ ‫( �س )‬

‫ع‬ ‫( بالنظر �إلى �س ب�سفتها ن�سبة )‬

‫( �س ) ‪� .‬س‬

‫وي�سب‪ í‬لدينا ‪:‬‬

‫د(ع) ع‬

‫د ( ه ( �س ) ) ‪� ( .‬س ) �س‬

‫(‪)4-4‬‬

‫و�إذ� �أوجدن ــا ه ــذ� �لتكامل ‪ ،‬نكون قد �أجرين ــا �لتكامل بطريقة {‪µàdG‬ام ``‪H π‬ا‪ƒ©àd‬ي†‪ ، z¢‬و�سبب هذه‬ ‫�لت�سمية � َّأن �لتكامل يعتمد على �لتعوي�س عن �لد�لة ه ( �س ) بالمتغير ع ‪.‬‬

‫مثال (‪)12-4‬‬ ‫�أوجد ‪� 2‬س ( �س‪) 3 + 2‬‬

‫‪62‬‬

‫�لحل‬

‫نفر‪V‬س � َّأن ع‬ ‫فتكون ع ‪� 2‬س �س‬ ‫�إذ ‪� 2 �k‬س ( �س‪� 62) 3 + 2‬س‬

‫�س‬

‫�س‪3 + 2‬‬

‫( �س‪) 3 + 2‬‬

‫‪62‬‬

‫ع‬

‫‪62‬‬

‫‪� 2‬س �س‬

‫ع‬

‫‪ 1‬ع‪ + 63‬ث‬ ‫‪63‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبالتعوي�س عن ع بدللة �س يكون ‪� 2 :‬س ( �س ‪� ) 3 +‬س‬

‫‪� ( 1‬س‪) 3 + 2‬‬ ‫‪63‬‬ ‫�أوج ــد ‪ � 2‬ــس ( � ــس‪� 2) 3 + 2‬س با�ستخد�م �لتكامل بالتعوي�س ‪ ،‬ث ــم تحق≥ من �سحة �لنات‪ è‬بفك‬ ‫�لتربي™ و�ل�سرب ثم �لتكامل‪.‬‬

‫‪186‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪63‬‬

‫ث‬

‫�لتكامل بالتعوي�س‬ ‫مثال (‪)13-4‬‬ ‫�أوجد‬

‫ظا‪�4‬س قا‪�2‬س �س‬

‫�لحل‬

‫نفر‪V‬س � َّأن ع‬ ‫فتكون ع قا‪�2‬س �س‬ ‫�إذ ‪ �k‬ظا‪�4‬س قا‪�2‬س �س‬ ‫ع‪ 4‬ع ‪ 1‬ع‪ 5‬ث‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1‬ظا‪� 5‬س ‪ +‬ث‬ ‫‪5‬‬ ‫ظا �س‬

‫(‪)3-4‬‬ ‫يمكننا تطبي≥ طريقة �لتكامل بالتعوي�س في حالة كون ( �س ) د�لة ثابتة ( �أو د�لة م�سروبة في ثابت ) ولم‬ ‫يو‪V‬سحان كيفية ذلك ‪.‬‬ ‫يحت ‪p‬و �لتكامل �لمطلوب على هذه �لد�لة �لثابتة ( �أو على �لثابت ) ‪ ،‬و�لمثالن �لتاليان ِّ‬

‫مثال (‪)14-4‬‬ ‫�أوجد جتا ( ‪� 7‬س ‪� ) 5 -‬س‬

‫�لحل‬

‫نفر‪V‬س � َّأن ع‬ ‫فتكون ع‬

‫‪� 7‬س ‪5‬‬ ‫‪� 7‬س‬

‫�إذ ‪ �k‬جتا ( ‪� 7‬س ‪� ) 5 -‬س‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫ع‬

‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫جتاع ع‬

‫ع‬

‫جتاع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جاع ‪ +‬ث‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 1‬جا ( ‪� 7‬س ‪ + ) 5‬ث‬ ‫‪7‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪187‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)15-4‬‬ ‫�أوجد �س �س‪4 2‬‬

‫�لحل‬

‫�س‬

‫‪ 1‬ع‬ ‫نفر‪V‬س � َّأن ع = �س‪ 4 - 2‬فتكون ع ‪� 2‬س �س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ع ع‬ ‫�إذ ‪� �k‬س �س‪� 4 - 2‬س‬ ‫ع ‪ 2‬ع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‬‫(�س‬ ‫( �س ‪ + ) 4 -‬ث‬ ‫ع ‪+‬ث‬ ‫‪+‬ث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س �س‬

‫(‪)4-4‬‬ ‫يمكننا �أحيا ‪k‬نا �إيجاد تكامالت على �ل�سورة د ( ه ( �س ) ) ‪� ( .‬س ) ‪� ( .‬س )ﺀ �س با�ستخد�م �لأ�سلوب‬ ‫�لذي �تبعناه في طريقة �لتكامل بالتعوي�س م™ �لتعوي�س عن ( �س ) بدللة ع ‪ ،‬و�لمثال �لتالي يو‪V‬س‪ í‬ذلك‪:‬‬

‫مثال (‪)16-4‬‬ ‫�أوجد ( �س ‪� - 1 ) 5 +‬س‬

‫�س‬

‫�لحل‬

‫نفر‪V‬س � َّأن ع‬

‫‪� -1‬س فتكون ع‬

‫‪ -‬ع‬

‫‪� -‬س‬

‫�س‬

‫�س ‪ - 1 5‬ع ‪5 +‬‬ ‫ومن �لفر‪V‬س نجد � َّأن ‪� :‬س ‪ - 1‬ع‬ ‫(‪-6‬ع) ع ‪ -‬ع‬ ‫�إذ ‪� ( �k‬س ‪� - 1 ) 5 +‬س �س‬ ‫(ع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪188‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‪6‬ع‬‫ع‪6 - 5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ع‬

‫) ع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ع‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 6‬ع‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫ث‬

‫(‪� - 1‬س)‪� - 1( 4 - 5‬س)‬

‫‪3‬‬

‫ث‬

‫ث‬

‫‪ -6‬ع‬ ‫(ع‪. )6-‬ع‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ع‬

‫�لتكامل بالتعوي�س‬ ‫�أوجدن ــا ف ــي �لأمثلة �ل�سابقة تكامالت غي ــر محددة با�ستخد�م �لتكام ــل بالتعوي� ــس ‪ ،‬و�لآن �إذ� �نتقلنا �إلى‬ ‫ح�ساب تكامل محدد با�ستخد�م �لتعوي�س ‪a ،‬ما‪ GP‬عن ‪µàdG OhóM‬ام‪? π‬‬ ‫يو‪V‬س‪ í‬لك �لإجابة على هذ� �ل�سو‪�D‬ل !‬ ‫لعل �لمثال �لتالي ِّ‬

‫مثال (‪)17-4‬‬ ‫لإيجاد‬

‫‪0‬‬

‫ط‬ ‫ـــــ‬ ‫‪٣‬‬

‫جا ‪� 3‬س ﺀ �س با�ستخد�م �لتكامل بالتعوي�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫نفر‪V‬س � َّأن ع ‪� 3‬س فتكون ع ‪� 3‬س‬ ‫ثم نكمل �لحل باإحدى �لطريقتين ‪:‬‬

‫ع‬

‫�س‬

‫ال‪£‬ري≤ة ال‪hC‬ل≈‪:‬‬

‫ال‪£‬ري≤ة ال‪ã‬ا‪f‬ية‪:‬‬

‫نوجد �لتكامل غير �لمحدد‬

‫نغير حدود �لتكامل وف≥ �لفر‪V‬س ع ‪�3‬س‬ ‫ع ‪0 0 3‬‬ ‫�س ‪0‬‬ ‫ط‬ ‫ط‬ ‫ط‬ ‫ع ‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫جا ‪� 3‬س �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫جا ع ع‬

‫(‪ -‬جتا ع) ث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫فيكون‪:‬‬ ‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫جتا ‪� 3‬س ث‬

‫‪0‬‬

‫ومن تعري∞ �لتكامل �لمحدد يكون‪:‬‬ ‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫جا ‪� 3‬س �س‬

‫ط‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫جا ع ع‬ ‫‪3‬‬ ‫ط‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬‫( جتا ط ‪ -‬جتا ‪)0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ (‪)1- 1-‬‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪ -‬جتا ع )‬

‫ط‬ ‫ـــ‬ ‫‪1‬‬ ‫جتا ‪� 3‬س‬ ‫‪ ٣ 0‬جا ‪� 3‬س �س‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ط‬ ‫‪1‬‬‫) ‪ -‬جتا (‪)0 3‬‬ ‫جتا (‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫(جتا ط جتا ‪)0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ (‪)1- 1-‬‬‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫و�أخي ــر ‪ �k‬نختم بتقديم �لنتيجة �لتالية �لمنبثق ــة من �لعالقة (‪ )4-4‬و�لتي ت�س ِّهل عملية �إيجاد تكامل حا�سل‬ ‫‪V‬سرب قوة د�لة في م�ستقة �لد�لة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪189‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫نتيجة (‪)4-4‬‬

‫ن‪1+‬‬

‫هـ (�س)‬ ‫ن‪1+‬‬

‫ن‬

‫ه (�س) ‪�( .‬س) �س‬

‫حيث ن ‪1-‬‬

‫ث‬

‫تدريب (‪)3-4‬‬ ‫�أثبت �سحة �لنتيجة ( ‪ ) 4-4‬با�ستخد�م �لتعوي�س ع ه ( �س )‬ ‫لح ــ‪� ß‬أن ــه يمكن ــك – ��ستن ــاد ‪� �k‬إلى مفهوم �لد�لة �لأ�سلي ــة – �لتحق≥ من �سحة ه ــذه �لنتيجة وذلك‬ ‫با�ستقا‪� ¥‬لطر‪� ±‬لأي�سر بالإفادة من �لقاعدة ( ‪) 21-2‬‬ ‫وفيما يلي نعيد حل ٍّ‬ ‫كل من مثال ( ‪ ) 15 – 4 ( ، ) 12 – 4‬با�ستخد�م �لنتيجة ( ‪: ) 4 – 4‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( �س ‪)3 +‬‬ ‫ث‬ ‫‪� 2‬س ( �س‪ 62) 3 + 2‬ﺀ �س‬ ‫‪63‬‬ ‫(�س)‬

‫ه (�س)‬

‫�س �س‪4 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪� 2‬س ( �س‪) 4 - 2‬‬ ‫(�س)‬

‫مثال (‪)18-4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪� 0‬س‪� 2‬س‪� 1 + 3‬س‬

‫‪2 1‬‬ ‫‪� 3 0 3‬س‪� ( 2‬س‪) 1 + 3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ث‬

‫�أوجد ‪� 2 0‬س‪� 2‬س‪1 + 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫(�س‪)4 - 2‬‬

‫‪3‬‬

‫ث‬

‫�س‬

‫(�س) ه (�س)‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫(�س‪)1 + 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫(�س ‪)1 + 3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫( ��ستخدمنا نتيجة ( ‪) ) 4 – 4‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪) 1- 39 ( 2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪190‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬

‫�لحل‬

‫�س‬

‫ه (�س)‬

‫(�س‪)4 - 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫(‪)1 + 3 2‬‬

‫‪) 1 - 27 ( 2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫(‪)1 + 3 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪52‬‬ ‫‪9‬‬

‫�لتكامل بالتعوي�س‬

‫تمارين )‪)3-4‬‬ ‫ا‪hC‬ج‪ ó‬الت‪µ‬ام‪ äÓ‬ال‪JB‬ية ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫�س‪� 1 2‬س �س‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫�س‬ ‫(‪� 4‬س )‬

‫�س‬

‫‪8‬‬

‫�س �س‪� 3 2‬س‬

‫‪9‬‬

‫جتا ( ‪� 3 -1‬س ) �س‬

‫‪10‬‬

‫‪ 2‬قا‪� 2 (2‬س ‪� ) 7‬س‬

‫‪11‬‬

‫قتا‪� 5 -2 ( 2‬س ) ظتا (‪� 5 -2‬س ) �س‬

‫‪12‬‬

‫( �س‪ ) 2 2‬جتا ( �س‪� 6 3‬س ‪� ) 9‬س‬

‫‪13‬‬

‫قا ( ‪� 3‬س ‪ ) 1‬ظا ( ‪� 3‬س ‪� ) 1‬س‬

‫‪14‬‬

‫( ظا �س ‪ 3) 3‬قا‪�2‬س �س‬

‫‪15‬‬

‫جا �س ‪ 3‬جتا �س �س‬

‫‪16‬‬

‫جتا‪� 4‬س جا �س �س‬

‫‪17‬‬

‫ظتا‪�4 3‬س قتا‪�4 2‬س �س‬

‫‪6‬‬ ‫�س ‪� 2‬س‬ ‫‪3 18‬‬

‫( ‪� 7 3‬س )‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪19‬‬

‫(‪�2‬س ‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪� 2‬س ‪) 3‬‬

‫‪12‬‬

‫�س‬

‫‪� 6 8‬س �س‬ ‫( �س ‪� 5 ( ) 2‬س )‬

‫‪88‬‬

‫‪�2‬س ‪1‬‬

‫�س‬

‫�س ‪� 2‬س ‪1‬‬

‫‪1- 20‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫(�س‬

‫�س‬

‫‪3‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪4‬‬

‫�س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪191‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪21‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫( ‪� 5‬س‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪� 3 ( 2 0 23‬س‬

‫‪3‬‬

‫‪25‬‬

‫‪0‬‬

‫‪- 27‬‬

‫‪192‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫ط‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪� 12‬س‪� 35 ( ) 3‬س‪� 36 6‬س‪� ) 2‬س ‪� 4 22‬س �س ‪� 3 -‬س‬

‫‪� 2‬س‪� 9 ( ) 2‬س‪� 4 2‬س ) �س‬

‫جا �س‬ ‫�س‬ ‫جتا‪� 3‬س‬ ‫ط‬ ‫‪4‬‬

‫قا‪� 2‬س‬ ‫‪� 2‬س‬ ‫(‪ 2‬ظا �س)‬

‫‪24‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� 3‬س ‪2 -‬‬ ‫�س ‪1‬‬

‫‪26‬‬

‫‪- 28‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫ط‬ ‫‪6‬‬

‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫�س‬

‫جتا �س‬ ‫جا �س‬

‫�س‬

‫ظا ‪� 3‬س قا ‪� 3‬س �س‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫�أن�سطة �إثر�ئية‬

‫)‪£°ûfCG‬ة ‪«FGôKEG‬ة( ‪ëdG ΩGóîà°SG‬ا‪EG »a »dB’G Ö°S‬ي‪é‬ا‪µàdG O‬ام‪:π‬‬ ‫نو‪V‬س ــ‪ í‬م ــن خ ــالل �لمثالين �لتاليين طريق ــة ��ستخد�م برنام ــ‪è‬‬ ‫ِّ‬ ‫و�لتكامل �لمحدد ‪.‬‬

‫في �إيجاد �لتكام ــل غير �لمحدد‬

‫مثـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫�أوجد ( �س‪� 3 5‬س‪� ) 2 3‬س‬

‫�لحل‬

‫بعد فت‪� í‬لبرنام‪ è‬نقوم باتباع �لتالي ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫نكتب �لد�لة وندخلها فنح�سل على �ل�سكل �لتالي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫ن�س ــ™ �لمو‪�D‬س ــر على �أيقونة �إيج ــاد �لتكام ــل ‪Find Integral‬‬

‫�ل�سكل �لتالي ‪:‬‬

‫�لمو‪V‬سحة في‬ ‫في �سريط �أدو�ت �لأو�م ــر َّ‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪193‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪194‬‬

‫‪3‬‬

‫ننق ــر حيث و‪V‬سعنا �لمو‪�D‬سر فيظهر مرب™ حو�ر عنو�ن ــه ‪ ، Calculus Integrate‬مكتوب فيه �لمتغير‪.‬‬ ‫‪ . Variable‬نخت ــار م ــن قائم ــة ‪ Integral‬نوع �لتكامل ‪ :‬غير مح ــدد ‪ ، Indefinite‬ثم نكتب �لثابت‬ ‫يو‪V‬س‪ í‬ذلك ‪:‬‬ ‫‪ Constant‬وليكن ‪ ، c‬و�ل�سكل �لتالي ‪qn‬‬

‫‪4‬‬

‫�لمو‪V‬س‪í‬‬ ‫ننق ــر على ‪R‬ر �لتب�سيط ‪ Simplify‬في مرب™ �لحو�ر �ل�ساب≥ فنح�سل على �لتكامل �لمطلوب َّ‬ ‫في �ل�سكل �لتالي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫�أن�سطة �إثر�ئية‬ ‫مثـ ـ ـ ـ ــال‬ ‫�لحل‬

‫‪1‬‬ ‫�أوجد ‪� ( 0‬س‪� 3 5‬س‪� ) 2 3‬س‬ ‫كما في �لمثال �ل�ساب ــ≥ �إل �أننا في (‪ )3‬نختار من قائمة ‪Integral‬‬

‫نط ِّب ــ≥ �لخط ــو�ت (‪)3( ، )2( ، )1‬‬ ‫ن ــوع �لتكام ــل ‪ :‬محدد ‪ ، Definite‬ثم نكتب �لحد �لعلوي ‪ Upper Limit‬و�لحد �ل�سفلي ‪،Lower Limit‬‬ ‫يو‪V‬س‪ í‬ذلك ‪:‬‬ ‫و�ل�سكل �لتالي ِّ‬

‫و �أخيـ ـ ‪k‬ر� ننق ــر على ‪R‬ر �لتب�سيط ‪ Simplify‬في مرب™ �لحو�ر �ل�ساب≥ فنح�سل على قيمة �لتكامل �لمحدد‬ ‫مو‪V‬س‪ í‬في �ل�سكل �لتالي ‪:‬‬ ‫�لمطلوب كما هو َّ‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪195‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫تدريب‬ ‫با‪S‬صت‪óî‬ا‪ Ω‬الحا‪S‬ص‪ Ö‬ال‪B‬لي ا‪hC‬ج‪: ó‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪� 5‬س ‪1 -‬‬ ‫( ظا �س ‪� ) 3 -‬س‬ ‫( �س‪�5 2‬س ‪)6‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪3 -‬‬

‫‪196‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫تعلمت في هذه �لوحدة‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫�إذ� كان ــت �لد�ل ــة د مت�سل ــة عل ــى فترة ‪ ، ±‬فا َّإن كل د�لة ل تحق≥ �لعالق ــة ‪ :‬ل ( �س )‬ ‫ِّ‬ ‫لكل نقطة د�خلية في ‪ ±‬ت�س َّمى د�لة �أ�سلية للد�لة د ‪.‬‬ ‫د ( �س ) �س‬

‫د ( �س )‬

‫ل ( �س ) ث ‪ ،‬حيث ل د�لة �أ�سلية للد�لة د ‪ ،‬ث عدد ثابت ‪.‬‬

‫�لقو�عد �لأ�سا�سية للتكامل غير �لمحدد وهي ‪:‬‬ ‫(�س)‬ ‫ن ‪1‬‬

‫ن‪1+‬‬

‫ك �س‬

‫�س‬

‫ك �س ث‬

‫جتا �س �س جا �س ث‬

‫ن‬

‫�س‬

‫ث ‪ ،‬ن ‪1-‬‬

‫جا �س �س ‪ -‬جتا �س ث‬ ‫قتا‪� 2‬س �س ‪ -‬ظتا �س ث‬

‫قا‪� 2‬س �س ظا �س ث‬

‫قتا �س ظتا �س �س‬

‫قا �س ظا �س �س قا �س ث‬

‫‪-‬قتا �س ث‬

‫‪4‬‬

‫خو��س �لتكامل غير �لمحدد وهي ‪:‬‬ ‫تكامل حا�سل ‪V‬سرب ثابت في د�لة ي�ساوي حا�سل ‪V‬سرب �لثابت في تكامل �لد�لة‪.‬‬ ‫تكامل حا�سل جم™ ( �أو �لفر‪ ¥‬بين ) د�لتين ي�ساوي حا�سل جم™ ( �أو �لفر‪ ¥‬بين ) تكاملي �لد�لتين‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫لإيجاد معادلة منحني د�لة د بمعلومية ميل �لمنحني ( �س ) ونقطة و�قعة عليه ن�ستخدم �لعالقة ‪:‬‬ ‫�س‬

‫‪6‬‬

‫( �س ) �س‬

‫�إذ� كانت د د�لة مت�سلة على‬ ‫فا َّإن ‪:‬‬

‫ب‬

‫د ( �س ) �س‬

‫�س‬

‫د ( �س ) ‪ +‬ث‬

‫‪ ،‬ب وكان د ( �س ) �س‬ ‫ل ( �س )‬

‫ب‬

‫ل ( �س ) ‪ +‬ث‬

‫ل(ب)‪ -‬ل( )‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪197‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪7‬‬

‫التكامل المحدد له خوا�ص التكامل غير المحدد نف�سها وخوا�ص �أخرى هي ‪:‬‬ ‫د ( �س ) �س‬ ‫ب‬ ‫ب‬

‫‪8‬‬

‫د ( �س ) �س‬ ‫د ( �س ) �س‬

‫‪0‬‬

‫ب‬ ‫جـ‬

‫د ( �س ) �س‬

‫د ( �س ) �س ‪ +‬ج ـ‬

‫ب‬

‫د ( �س ) �س ‪ ،‬حيث جـ ـ‬

‫‪،‬ب‬

‫لإيج���اد م�ساح���ة منطقة مح�صورة بين منحني دالة د والفترة ‪ ،‬ب با�ستخدام التكامل المحدد‬ ‫‪ ،‬نبحث �إ�شارة د ( �س ) ‪ ،‬و تكون ‪:‬‬ ‫ب‬

‫الم�ساحة=‬

‫‪-‬‬

‫ب‬

‫د(�س) �س‬ ‫د(�س) �س‬

‫�إذا كانت د(�س)‬ ‫�إذا كانت د(�س)‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫�أما �إذا تغيرت �إ�شارة د ( �س ) في فترات جزئية من ‪ ،‬ب ‪ ،‬ف� َّإن الم�ساحة ت�ساوي مجموع‬ ‫الم�ساحات المح�صورة بين منحني د وكل فترة جزئية ‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫طريقة التكامل بالتعوي�ض حيث �أوجدنا د (ﻫ ( �س )) ‪� ( .‬س ) �س بتحويله �إلى ال�صورة د( ع ) ع‬ ‫وذلك با�ستخدام التعوي�ض ع ﻫ ( �س ) ‪ ،‬ثم �أوجدنا تكامالت على ال�صور ‪:‬‬ ‫د ( ﻫ ( �س ) ) �س‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫( �س ) دالة ثابتة‬

‫د ( ﻫ ( �س ) ) ‪� ( .‬س ) �س‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫( �س ) = ثابت‬

‫( �س )‬

‫د ( ﻫ ( �س ) ) ‪� ( .‬س ) ‪� ( .‬س ) �س‬ ‫وط َّبقنا هذه الطريقة في �إيجاد التكامل المحدد‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫قاعدة مهمة في ح�ساب التكامل وهي ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫هـ (�س)‬ ‫ﻫ (�س) ‪�( .‬س) �س‬ ‫ن ‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫ا�ستخدام الحا�سب الآلي لإيجاد التكامل المحدد وغير المحدد ‪.‬‬

‫ ‬

‫‪198‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ن‪1+‬‬

‫ث‬

‫حيث ن‬

‫‪1‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫( ا‪ÓY hC‬مة )‬ ‫‪V‬ص™ ‪ÓY‬مة )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‬ ‫�س �س‪� 3‬س‬ ‫‪ 4 2‬ﺀ �س‬ ‫ث‬ ‫‪� 1‬س �س‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ب‬

‫ب‬

‫د ( �س ) ه ـ ( �س ) �س‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫( ‪ øY‬يمي‪ ø‬ال©‪Ñ‬ا‪Q‬ا‪ ä‬التالية ‪:‬‬

‫د ( �س ) �س ‪.‬‬

‫ب‬

‫ه ـ ( �س ) �س‬

‫( �س ) �س د ( ‪ ) 3‬د ( ‪) 1‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� 2 -‬س‬

‫�س‬ ‫‪-‬‬

‫�إذ� كان‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫�س‬

‫�إذ� كان ‪ 2‬د ( �س )ﺀ �س‬

‫ ‪ 18‬فا َّإن‬‫‪5 ، 1^7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫د ( �س )ﺀ �س ‪ 2^5‬فا َّإن ‪2‬‬

‫�لم�ساحة �لو�قعة بين �لمنحني �س �س ‪ 3‬و�لفترة‬

‫‪4 ،2‬‬

‫‪5‬‬

‫د ( �س ) �س ‪0^8‬‬

‫ت�ساوي ‪ 22‬وحدة مربعة ‪.‬‬

‫في �ل�سكل �لمجاور م�ساحة �لمنطقة �لمظللة �لمتناظرة‬ ‫‪2‬‬

‫حول ( ‪ ) 0 ، 1‬و �لمح�سورة بين محور �ل�سينات ومنحني �لد�لة د ت�ساوي ‪ 1 2 -‬د ( �س ) �س‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪199‬‬

‫ ‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة في كلٍّ مـما يلي ‪:‬‬ ‫�إذا كانت ل ( �س ) ‪� 2‬س‪� 4 2‬س ‪ 5‬دالة �أ�صلية للدالة د ف� َّإن د ( ‪) 9 ، 8 ، 6 ، 1 ( ) 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ث)‪.‬‬ ‫�س‬ ‫ث‪،‬‬ ‫ث ‪� 7 ،‬س‬ ‫�س �س �س ( �س ‪ 4‬ث ‪� 4 ،‬س‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� ( 0‬س ‪� ) 2 -‬س ( ‪) 2 ، 0 ، 6 ، 14‬‬ ‫ط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قا �س ث ‪) 1 - ،‬‬ ‫د ‪ 4 0‬قا �س �س ( ظا �س ث ‪، 1 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ �إذا كان ‪ 1‬د ( �س ) �س ‪ ، 4‬ف� َّإن ‪ 5 ( 1‬د ( �س ) ‪� ) 3 -‬س ( ‪) 18 ، 17 ، 20 ، 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ، 4‬ف�إ َّن ‪ 0‬د ( �س ) �س ( ‪) 6 ، 2 ، 8 ، 0‬‬ ‫و �إذا كان ‪ 0‬د ( �س )ﺀ �س ‪ 2 3 ، 4‬د ( �س ) ﺀ �س‬ ‫‪8‬‬ ‫(‪) 1 ، 2 3 ، 2 ،2‬‬ ‫ف� َّإن‬ ‫ز �إذا كان ‪� 0‬س‪� 2‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ح �إذا كان ‪� ( 0‬س‪� 2 2‬س ك ) �س = ‪ 30‬ف� َّإن ك ( ‪) 6 ، 12 ، 3 ، 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ط �إذا كان ‪ 1‬د ( �س ) �س ‪ 6 ، 4‬ك د ( �س ) �س = ‪ 12‬ف� َّإن ك = ( ‪) 2 - ، 2 ، 3 ، 3 -‬‬ ‫ب‬ ‫د ( �س )ﺀ �س ‪ ، 8‬مـ­‪ 9 1‬وحدات مربعة ‪.‬‬ ‫ي ال�شكل المجـاور يم ِّثل منحني الدالة د ‪� ،‬إذا كان‬ ‫مـ ‪ 11 2‬وحدة مربعة ‪ ،‬ف� َّإن م�ساحة المنطقة المظللة ت�ساوي‪:‬‬ ‫( ‪ 9‬وحدات مربعة ‪ 20 ،‬وحدة مربعة ‪ 10 ،‬وحدات مربعة ‪ 11 ،‬وحدة مربعة )‬

‫‪200‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪3‬‬

‫ا‪hC‬ج‪ ó‬الت‪µ‬ام‪ äÓ‬ال‪JB‬ية ‪:‬‬ ‫‪�3 4‬س‪�2- 2‬س‪3 2‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬‫�س‬ ‫ط ‪ 2‬جا �س ‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫جا‪�2‬س جا �س ‪1‬‬

‫هـ‬ ‫ز‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬

‫جا �س‬

‫�س‬

‫( جا �س جتا �س )‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪3 2‬‬

‫�س ‪� -‬س‬

‫‪1‬‬

‫�س ‪1‬‬ ‫�س ‪1‬‬

‫�س‬ ‫جتا �س �س‬

‫د‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫و‬

‫�س‬ ‫�س‬ ‫جتا‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬

‫ح‬

‫‪3‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫�س (‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪� -‬س‬

‫)‪� 4‬س‬

‫‪ 4‬في كلٍّ مما يلي ا‪ùM‬ص‪ Ö‬م‪ù‬صا‪M‬ة الم‪≤£æ‬ة الم¶للة ‪:‬‬

‫) (‬

‫)ب(‬

‫‪� 5‬أوجد معادلة �لمنحني د �لذي ميله عند � ِّأي نقطة �س ي�ساوي �س ‪ 8‬ويمر بالنقطة ( ‪) 12 ، 1‬‬ ‫‪� 6‬إذ� كان مي ــل منحن ــي د�ل ــة د عند � ِّأي نقطة �س ي�ساوي ( ‪� 3‬س‪� 6 - 2‬س ‪ ، ) 9 -‬وكان للد�لة قيمة‬ ‫عظمى محلية ت�ساوي ‪ ، 10‬فاأوجد معادلة �لمنحني ثم �أوجد �لقيمة �ل�سغرى �لمحلية للد�لة د‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪201‬‬

‫‪HƒLCG‬ة ‪àdG ¢†©H‬مارين‬

‫ال‪ IóMƒ‬ال‪¡æ‬ايا‪h ä‬ال‪�J‬صا∫‬ ‫ال‪hC‬ل≈‬ ‫‪8 12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 17‬‬

‫‪12 18‬‬

‫‪1‬‬‫‪6‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪2 14‬‬

‫( ‪)2-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪25‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4 - 26‬‬

‫‪4 30‬‬

‫‪31‬‬

‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪13‬‬

‫‪،‬‬

‫‪11‬‬

‫‪32‬‬

‫لي�س لها وجود‬

‫‪،‬‬

‫‪5-‬‬

‫‪،‬‬

‫لي�س لها وجود‬

‫‪34‬‬

‫‪6‬‬

‫‪35‬‬

‫‪37‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬‫‪9‬‬

‫‪38‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 39‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6 41‬‬

‫‪43‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪46‬‬

‫�سفر‬

‫‪49‬‬

‫‪4‬‬

‫‪44‬‬

‫‪3 36‬‬

‫‪42‬‬

‫‪3‬‬‫‪2‬‬

‫‪1 45‬‬

‫‪� 47‬سفر‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪48‬‬

‫( ‪)3-1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪202‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪3‬‬

‫‪39‬‬ ‫د‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫هـ‬

‫‪ ، 1-‬ب ‪6-‬‬

‫‪6‬‬

‫ال‪IóMƒ‬‬ ‫ال‪ã‬ا‪f‬ية‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪36‬‬

‫‪5‬‬‫‪48‬‬

‫الت‪Ø‬ا‪V‬صل‬

‫( ‪)1-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5- 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1- 3‬‬ ‫‪2 2- 4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪، 9-‬‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫ط‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫ع ≈ ‪ 0^96‬م ‪ /‬ث‬

‫‪12‬‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪8‬‬

‫‪30 - 6‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬م‪/‬ث ‪،‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬م‪/‬ث‬

‫‪1- ، 7- ، 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪� 2‬س ‪، 1 -‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)2-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫(�س) ‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫(�س)‬

‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬‫‪5‬‬

‫(‪0 )3 -‬‬

‫‪،‬‬

‫(‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫(�س) ‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫(‪4 )6‬‬

‫‪4‬‬

‫(�س) ‪2 -‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5‬‬

‫(�س) ‪� 2‬س ‪، 1 -‬‬

‫‪1‬‬‫‪5‬‬

‫(‪2- )5‬‬ ‫(‪3 )2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪203‬‬

‫( ‪)2-2‬‬ ‫‪6‬‬

‫(�س) ‪� 2 -‬س‬

‫‪،‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬

‫(�س)‬

‫‪2‬‬

‫‪� 3‬س‬

‫‪،‬‬

‫(‪)1 -‬‬

‫‪8‬‬

‫(�س) ‪� 12‬س‬

‫‪،‬‬

‫(‪0 )0‬‬

‫‪9‬‬

‫(�س) ‪2 -‬‬

‫‪10‬‬

‫(�س) ‪� 4‬س ‪3 +‬‬

‫‪11‬‬

‫(�س) ‪� 2‬س‬ ‫‪5‬‬‫(�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬ ‫(�س) ‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫(�س)‬ ‫‪� 2‬س ‪1 -‬‬ ‫(‪ )7 -‬لي�س لها وجود‬

‫‪16‬‬

‫( ‪ ) 0‬لي�س لها وجود‬

‫‪17‬‬

‫( ‪ ) 1‬لي�س لها وجود‬

‫‪18‬‬

‫(‪)2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪19‬‬

‫( ‪ ) 3‬لي�س لها وجود‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪204‬‬

‫(‪)0‬‬

‫‪1‬‬‫‪3‬‬

‫‪ 21‬في ‪15‬‬

‫(�س)‬

‫‪� 1‬إذا كان �س ‪7-‬‬ ‫‪� 1-‬إذا كان �س ‪7-‬‬

‫في ‪16‬‬

‫(�س)‬

‫‪� 2‬إذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪� 2-‬إذا كان �س ‪0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫( ‪)2-2‬‬ ‫في ‪17‬‬

‫(�س)‬

‫في ‪18‬‬

‫(�س)‬

‫في ‪19‬‬

‫(�س)‬

‫في ‪20‬‬

‫(�س)‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫�إذا كان �س ‪1‬‬ ‫�إذا كان �س ‪1‬‬

‫‪� 4‬إذا كان �س‬ ‫‪� 4‬إذا كان �س‬ ‫‪�2‬س �إذا كان �س‬ ‫‪� 4‬إذا كان �س‬ ‫‪�2‬س �إذا كان �س‬

‫‪�2‬س �إذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�إذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪�2-‬س �إذا كان �س ‪0‬‬

‫( ‪)3-2‬‬

‫‪ ، 2 38‬ال يمكن ‪2 - ،‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪125 8‬‬‫‪،‬‬ ‫‪( ، ) 14 ، 1 ( 40‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�ص‬ ‫‪64‬‬ ‫‪56‬‬ ‫�س‬

‫)‬

‫�س = ‪1-‬‬

‫( ‪)4-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫معادلة المما�س ‪� :‬ص ‪� 11‬س ‪5 -‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة المما�س ‪� 36 :‬س ‪� +‬ص ‪ ، 0 51 +‬معادلة العمود ‪� :‬س ‪� 36 +‬ص ‪0 754 -‬‬

‫‪ 3‬معادلة المما�س ‪� :‬ص ‪2‬‬

‫‪ ،‬معادلة العمود ‪� :‬س ‪� 11 +‬ص ‪0 67 -‬‬ ‫‪ ،‬معادلة العمود ‪� :‬س‬

‫‪8‬‬

‫‪ 4‬معادلة المما�س ‪� 9 :‬س ‪� 4 -‬ص ‪ ، 0 12 -‬معادلة العمود ‪� 4 :‬س ‪� 9 +‬ص ‪0 70 -‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪205‬‬

‫( ‪)4-2‬‬

‫‪ 5‬معادلة المما�س ‪� 3 :‬س ‪� 2 -‬ص ‪0 1-‬‬

‫‪ ،‬معادلة العمود ‪� 4 :‬س ‪� 6 +‬ص ‪0 3 +‬‬

‫‪ 6‬معادلة المما�س ‪� 3 :‬س ‪� 5 -‬ص ‪0 16 +‬‬

‫‪ ،‬معادلة العمود ‪� 5 :‬س ‪� 3 +‬ص ‪0 30 -‬‬

‫‪ 7‬معادلة المما�س ‪� 12 :‬س ‪� 3 -‬ص ‪ 4 -‬ط ‪3 3 +‬‬

‫‪ ، 0‬معادلة العمود ‪� 3 :‬س ‪� 12 +‬ص ‪ - 3 12 -‬ط ‪0‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ،‬معادلة العمود ‪� :‬س‬

‫معادلة المما�س ‪� :‬ص‬ ‫‪3‬‬‫‪)0،‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫‪1‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪،‬‬ ‫) ‪(،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪) 1- ، 0 ( ، ) 1 ، 2‬‬

‫‪ 12‬ب ‪ ، 1‬جـ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪، 1 ( 13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� 14‬ص ‪� 2‬س ‪12 -‬‬ ‫‪� 7 15‬سم ‪ /‬ث ‪� 2 ،‬سم ‪ /‬ث‬

‫‪2‬‬

‫‪� 5 16‬سم ‪ /‬ث ‪،‬‬

‫‪� 4‬سم ‪ /‬ث‬

‫‪� 32 17‬سم ‪ /‬ث ‪،‬‬

‫‪� 32‬سم ‪ /‬ث‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪� 33 18‬سم ‪ /‬ث ‪� 18 ،‬سم ‪ /‬ث‬

‫‪2‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪� 65‬سم ‪ /‬ث ‪� 76 ،‬سم ‪ /‬ث‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪� 1‬سم ‪ /‬ث ‪� 1 ،‬سم ‪ /‬ث‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 124‬م ‪ /‬ث‬ ‫‪ 480‬م ‪ /‬ث ‪،‬‬ ‫‪ 19‬م ‪،‬‬ ‫‪ 1‬ث ‪1 ،‬ث‬ ‫�صفر ث ‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬قدم ‪ /‬ث‪ 1 - ، 2‬قدم ‪ /‬ث‪ 2 ، 2‬قدم ‪ /‬ث‬ ‫‪2‬‬

‫‪� 23‬صفر م ‪ /‬ث‬ ‫‪ 5 24‬م ‪ /‬ث‬

‫‪2‬‬

‫‪206‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫ط‬ ‫‪4‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ ، 0‬ب ‪ ، 2‬جـ ‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫�لنقطة ( ‪ ، ) 3 ، 3‬معادلة �لعمود ‪� :‬س ‪� 2‬س ‪0 9 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�سم ‪ /‬ث‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫ال‪IóMƒ‬‬ ‫ال‪ã‬ال‪ã‬ة‬

‫‪،‬‬

‫‪13‬‬

‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪Ñ£J‬ي≤ا‪ ä‬الت‪Ø‬ا‪V‬صل‬

‫( ‪)1-3‬‬

‫‪ 1‬متز�يدة على ‪ ، ∞ ، 3 -‬متناق�سة على ‪3 - ، ∞ -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬متز�يدة على ‪، ∞ -‬‬ ‫‪∞،‬‬ ‫‪ ،‬متناق�سة على‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬متز�يدة على ٍّ‬ ‫كل من ‪∞ ، 1 ، 1 ، ∞ -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫متز�يدة على ٍّ‬ ‫كل من ‪ ، ∞ ، 1 ، 1- ، ∞ -‬متناق�سة على ‪1 ، 1 -‬‬ ‫‪4‬‬‫‪4‬‬‫متز�يدة على ٍّ‬ ‫كل من ‪، ∞ -‬‬ ‫‪2،‬‬ ‫‪ ، ∞ ، 2 ،‬متناق�سة على‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫كل من ‪ ، ∞ ، 2 ، 1 ، 0‬متناق�سة على ٍّ‬ ‫متز�يدة على ٍّ‬ ‫كل من ‪0 ، ∞ - ، 2 ، 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪2‬‬‫متز�يدة على ٍّ‬ ‫‪∞،‬‬ ‫‪، 0،‬‬ ‫كل من‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪2‬‬‫متناق�سة على ٍّ‬ ‫‪،0 ،‬‬ ‫كل من ‪، ∞ -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ط ‪3‬ط‬ ‫‪3‬ط‬ ‫ط‬ ‫متز�يدة على ٍّ‬ ‫‪،‬‬ ‫كل من ‪، 0‬‬ ‫‪ 2 ،‬ط ‪ ،‬متناق�سة على‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ط‬ ‫ط‬‫‪ ، 0 ،‬متناق�سة على ‪، 0‬‬ ‫متز�يدة على‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫متز�يدة على ‪ ، 0 ، 2 -‬متناق�سة على ‪2 ، 0‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪207‬‬

‫( ‪)1-3‬‬

‫‪11‬‬

‫متزايدة على ‪3 - 3‬‬

‫‪2 3 3، 2‬‬

‫كل من ‪2 3 - 3 ، ∞ -‬‬ ‫متناق�صة على ٍّ‬

‫‪∞، 2 3 3 ،‬‬

‫‪ 12‬متزايدة على ‪ ، ∞ ، 2‬متناق�صة على ٍّ‬ ‫كل من ‪2 ، 0 ، 0 ، ∞ -‬‬ ‫‪ ،‬نقطة االنقالب ( ‪) 0 ، 0‬‬ ‫‪ 14‬مقعر على ‪ ، ∞ ، 0‬محدب على ‪0 ، ∞ -‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ،‬نقطة االنقالب (‬ ‫‪ ، ∞ ،‬محدب على ‪، ∞ -‬‬ ‫‪ 15‬مقعر على‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 16‬مقعر على ٍّ‬ ‫‪ ،‬محدب على ‪1 ، 0‬‬ ‫كل من ‪∞ ، 1 ، 0 ، ∞ -‬‬ ‫نقطتا االنقالب ( ‪) 1 - ، 1 ( ، ) 0 ، 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 17‬مقعر على ٍّ‬ ‫‪1،‬‬ ‫‪ ، ∞ ، 1 ،‬محدب على‬ ‫كل من ‪، ∞ -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪)2،1( ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫نقطتا االنقالب (‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 18‬مقعر على ٍّ‬ ‫‪ ،‬محدب على ‪2 ، 0‬‬ ‫كل من ‪0 ، ∞ - ، ∞ ، 2‬‬ ‫نقطة االنقالب ( ‪) 0 ، 2‬‬ ‫‪ 19‬مقعر على ‪ ، ∞ ، 1‬محدب على‬ ‫‪20‬‬

‫∞ ‪1 ،‬‬

‫‪ ،‬ال توجد نقطة انقالب‬

‫=‪ ، 1-‬ب=‪3‬‬

‫( ‪)2-3‬‬ ‫‪� ) 16 - ، 1 ( 1‬صغرى محلية‬ ‫‪ ) 4 ، 1 - ( 2‬عظمى محلية‬ ‫‪ 3‬ال توجد نقط ق�صوى محلية‬ ‫‪ 4‬ال توجد نقط ق�صوى محلية‬ ‫‪ ) 11 - ، 1 ( 5‬عظمى محلية ‪� ) 15 - ، 3 ( ،‬صغرى محلية‬ ‫‪ ) 3 ، 0 ( 6‬عظمى محلية ‪ ،‬ك ٌّل من ( ‪� ) 2 ، 1 ( ، ) 2 ، 1‬صغرى محلية‬ ‫‪ ) 2 2 - ، 2 - ( 7‬عظمى محلية ‪( ،‬‬ ‫‪ 8‬ال توجد نقط ق�صوى محلية‬

‫‪208‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪2، 2‬‬

‫‪� ) 2‬صغرى محلية‬

‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬

‫( ‪)2-3‬‬

‫( ‪ ) 2 ، 3‬عظمى محلية ‪� ) 6 ، 5 ( ،‬سغرى محلية‬ ‫‪ 31‬قيمة عظمى مطلقة ‪ 1- ،‬قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪ 32‬قيمة عظمى مطلقة ‪� ،‬سفر قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪ 3‬قيمة عظمى مطلقة ‪ 2 ،‬قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪ 100‬قيمة عظمى مطلقة ‪� ،‬سفر قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قيمة عظمى مطلقة ‪،‬‬ ‫قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫قيمة عظمى مطلقة ‪� ،‬سفر قيمة �سغرى مطلقة‬ ‫‪19‬‬ ‫�لعدد�ن هما ‪20 ، 20 :‬‬ ‫�أبعاد �لأر‪V‬س هي ‪ 150 :‬م ‪ 150 ،‬م‬ ‫�أبعاد �لحقل هي ‪ 100 :‬م ‪ 200 ،‬م‬ ‫طول ‪V‬سل™ �لمرب™ �لمقطوع ‪� 2‬سم‬ ‫محيط �لمرب™ ‪� 24‬سم ‪ ،‬محيط �لم�ستطيل ‪� 32‬سم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ،‬‬ ‫�أبعاد �لم�ستطيل هي‬ ‫‪2‬‬ ‫�أقل �سرعة ممكنة ‪ 12‬م ‪ /‬ث‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪ ، 3‬ب ‪24 -‬‬‫‪ 4‬متو�‪R‬ي �لم�ستطيالت هو مكعب بعده ‪� 25‬سم‬

‫ال‪IóMƒ‬‬ ‫الراب©ة‬

‫الت‪µ‬امل‬

‫( ‪)1-4‬‬ ‫‪� 12‬س ث‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪� 6 - 3‬س ث‬ ‫�س‬ ‫‪14‬‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‬‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - 15‬قتا �س �س ث‬

‫�س‪ 3‬ث‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪209‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 9 4 4‬‬ ‫‪18‬‬ ‫�س‬ ‫ ‪5‬‬‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ظتا �س ث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 23‬‬

‫( ‪)1-4‬‬

‫�س‪� 2 - 2‬س ث‬

‫‪24‬‬

‫‪4‬‬

‫�س‬

‫‪5‬‬

‫�ص ‪� -‬س ‪1 -‬‬

‫‪25‬‬

‫�ص �س‬

‫‪26‬‬

‫�ص ‪ -‬جتا �س �س ‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫�ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪27‬‬

‫‪� 4 4‬س‬

‫‪3 3 1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫�س‪� 9 2‬س ث‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1 19‬‬ ‫ث‬ ‫�س‪� 8 - 3‬س‬ ‫ث‬ ‫‬‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ظا �س ‪ -‬قا �س ث‬

‫‪4‬‬

‫�س‪2‬‬

‫‪� 5‬س ‪8‬‬

‫( ‪)2-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪210‬‬

‫‪4 2‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪254‬‬ ‫‪9- 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2- 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ط‪9 - 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪361‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� 5‬أو ‪3 -‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 12‬وحدة مربعة‬ ‫‪ 3‬وحدات مربعة ‪،‬‬ ‫‪ 72‬وحدة مربعة‬ ‫‪5‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪ 33 25‬وحدة مربعة‬ ‫‪32 28‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16 31‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪17‬‬

‫�صفر‬ ‫‪31‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�صفر‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ 13‬وحدة مربعة‬

‫‪ 20 26‬وحدة مربعة‬ ‫‪19 29‬‬ ‫وحدة مربعة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1 32‬وحدة مربعة‬

‫( ‪)3-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫(‪� 7 3‬س)‬ ‫‪49‬‬ ‫‪1‬‬‫ث‬ ‫‪�2(2‬س ‪)1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� 1 ( 2‬س)‬‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� 2‬س �س ‪ 1 -‬ث‬ ‫ث‬

‫‪1‬‬‫‪� 4(2‬س‪)2‬‬ ‫‪1‬‬‫جا (‪� 3 - 1‬س) ث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ظتا‪� 5 - 2( 2‬س) ث‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قا (‪� 3‬س ‪ )1‬ث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(جا �س ‪ )3‬ث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ظتا‪� 4 4‬س ث‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1594322‬‬ ‫‪26‬‬ ‫ث‬

‫‪2‬‬

‫‪7 90‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫�س)‬ ‫‬‫(‪5‬‬ ‫ ‪89‬‬‫‪90‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( ‪� 1‬س)‬ ‫( ‪� - 1‬س) ‪ +‬ث‬ ‫‬‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪21‬‬

‫�صفر‬

‫‪23‬‬

‫‪512‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪24‬‬

‫‪27‬‬

‫( ‪�6 8‬س)‬

‫ث‬ ‫(‪� - 5‬س)‬

‫‪22‬‬

‫‪25‬‬

‫‪1‬‬‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪26‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪89‬‬

‫ث‬

‫( �س‪ 3)3 2‬ث‬

‫ظا (‪� 2‬س ‪ )7 +‬ث‬ ‫‪1‬‬ ‫جا (�س‪� 6 3‬س ‪ )9‬ث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(ظا �س ‪ 4)3 -‬ث‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جتا‪� 5‬س ث‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12 3 48‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬‫‪3‬‬ ‫‪2 -2‬‬

‫‪� 28‬صفر‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪211‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪35‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬

‫د ‪� 2‬س ‪1‬‬ ‫و ‪� 2‬س‬ ‫ث‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫ح ‪1‬‬ ‫(‪� 2‬س ‪ + 5)3 -‬ث‬ ‫‪10‬‬

‫�صفر‬

‫�س ث‬

‫هـ ‪ 2 -‬جتا �س‬

‫ث‬

‫ز �س جا‪� 2‬س ث‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫( �س‪)1 - 4‬‬

‫‪4‬‬

‫ث‬

‫وحدة مربعة‬

‫معادلة المنحني ‪� :‬ص‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وحدة مربعة‬

‫‪3‬‬ ‫(�س ‪6 - )8‬‬

‫‪ 6‬معادلة المنحني ‪� :‬ص �س‪� 3 3‬س‪� 9 2‬س ‪ ، 5‬القيمة ال�صغرى المحلية‬

‫‪212‬‬

‫ريا�ضيات (‪)5‬‬

‫‪22‬‬