الرياضيات2 by AWAL RS

‫رياضيات ‪2‬‬

‫الـمــدرس ـ ـ ــة ‪...................................................................................... :‬‬

‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢7/3784 :‬‬ ‫ردمك ‪9960 - 48 - 234 - 0 :‬‬

‫التعليم الثانوي نظام املقررات (م�سار العلوم الطبيعية) ‪1431‬هـ ‪1432 -‬هـ ‪2010 /‬م ‪2011 -‬م‬

‫اسم الطالب ‪...................................................................................... :‬‬

‫(م�سار العلوم الطبيعية)‬

‫‪1431‬هـ ـ ‪1432‬هـ‬ ‫‪2010‬م ـ ‪2011‬م‬

‫‪Rh äQôb‬ا‪ IQ‬الت‪Hô‬يـة ‪h‬التع∏يـم ‪J‬د‪¢�jQ‬‬ ‫‪g‬ـــ‪ò‬ا الــ‪µ‬ــتـــــا‪Wh Ü‬ــ‪Ñ‬ــعــ¬ ‪Y‬ــ∏ــ≈ ‪Øf‬قت¡ا‬

‫نظام المقررات‬

‫( م�ضار العلـوم الطبيعية )‬ ‫‪J‬عديل و‪J‬طوير‬ ‫ن ــور بنت �ضعيد عـ ــلي با‪b‬ـ ــادر‬ ‫ن‪é‬و‪ i‬بنت ر‪ ÖL‬محمد ال�ضوا‬ ‫ابت�ضام بنت �ضعيد عمر من�ضي‬ ‫لمـ ــيا‪ A‬بنت عبداˆ يحيى خا¿‬ ‫�ضلمى بنت عبود محمد باي‪õ‬يد‬ ‫ل‪é‬نة المرا‪L‬عة‬ ‫�ض ــامـي بن اأحمـ ــد رحيـ ـِّـم‬ ‫ثامر بن حمد العي�ضى‬ ‫الطباعة‬ ‫مها بنت عبدالع‪õ‬ير القدير‬ ‫اإيما¿ بنت عبداˆ الق‪ã‬مي‬ ‫اأ‪T‬ضر‪ ±‬على الت�ضميم ال‪Ø‬ني والتعليمي‬ ‫اأ‪ .‬مد بن عبد اˆ الب�ضي�ض‬ ‫‪`g1432 ``` 1431‬‬ ‫‪Ω2011 ``` 2010‬‬

‫‪ì‬‬

‫وزارة التربية والتعليم ‪ 1427 ،‬هـ‬

‫فهر�صة مكتبة الملك فهد الوطنية اأثنا‪ A‬الن�صر‬ ‫و‪R‬ارة التربية والتعليم‬ ‫ريا�ضيات ‪( 2‬التعليم ال‪ã‬انوي) ‪ -‬الريا�ض ‪`g1427 ,‬‬ ‫‪�27 * 21,¢U276‬ضم‬ ‫ردم∂ ‪9960-48-234-0:‬‬ ‫‪ - 1‬الريا�ضيات ‪-‬كت‪ Ö‬مدر�ضية ‪ - 2‬التعليم ال‪ã‬انوي‪-‬ال�ضعودية‪-‬‬ ‫كت‪ Ö‬درا�ضية اأ‪ ,‬العنوا¿‬ ‫‪1427/3784‬‬ ‫ديوي ‪510,712‬‬ ‫ر‪b‬م الإيدا´ ‪1427/3784 :‬‬ ‫ردم∂‪9960-48-234-0 :‬‬

‫اأ‪T‬ضر‪ ±‬على التاأليف والتطوير‬

‫‪ègÉæª∏d áeÉ©dG IQGOE’G‬‬

‫ل¡‪ò‬ا المق‪b Qô‬يمة م¡مة ‪ah‬ا‪F‬د‪Ñc I‬ي‪ëæ∏a Iô‬ا‪∏Y ßa‬ي¬ ‪h‬ل‪éæ‬ع‪¶f π‬ا‪a‬ت¬ ‪ûJ‬س¡د ‪�M ≈∏Y‬س‪ø‬‬ ‫‪S‬س∏‪æcƒ‬ا مع¬ ‪.‬‬ ‫ا‪PE‬ا لم ‪ëf‬ت‪ò¡H ßØ‬ا المق‪ »a Qô‬م‪µ‬ت‪Ñ‬ت‪æ‬ا الخا‪U‬سة ‪ »a‬ا‪ ôNB‬العا‪ Ω‬ل‪SÓ‬ست‪Ø‬اد‪éæ∏a I‬ع‪ π‬م‪µ‬ت‪Ñ‬ة‬ ‫مد‪SQ‬ست‪æ‬ا ‪ëJ‬ت‪. ¬H ßØ‬‬

‫حقو‪ ¥‬الطبع والن�صر محفو‪X‬ة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�صعودية‬

‫م‪™bƒ‬‬

‫‪Rh‬ا‪ IQ‬الت‪Hô‬ية ‪h‬التع∏يم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫م‪™bƒ‬‬

‫ا’‪E‬دا‪ IQ‬العامة ل∏تخ‪£‬يط ‪h‬الت‪ôjƒ£‬‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫م‪™bƒ‬‬

‫ا‪E‬دا‪ IQ‬التع∏يم ال‪ã‬ا‪…ƒf‬‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬ ‫ال‪jôÑ‬د ا’‪E‬ل‪µ‬ت‪E’ »fhô‬دا‪ IQ‬التع∏يم ال‪ã‬ا‪…ƒf‬‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬

‫مقدمة‬ ‫الحمد ِ‬ ‫رب العالمين‪ ،‬و ال�صـلة وال�صـلم علـى �صـ ِّيد المر�صـلين‪ ،‬وعلى اآله و�صحبه اأجـمعيـن‪ ،‬ومن‬ ‫ˆ ِّ‬ ‫تبعهم باإح�صـانٍ اإلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫هذا كتاب ريا�ص َّيات ( ‪ ) 2‬في نظام المقررات بالتعليم الثانوي الذي ناأمل اأن يجي‪ُ A‬مل ِّبـ ًيا لخطط التنمية‬ ‫إخراج جيلٍ قاد ٍر على مواكبة‬ ‫الطموحة التي تعي�صـها المملكـة العرب َّيـة ال�صـعود َّية وم َّتفقًا مع تطلُّعاتـها في ا ِ‬ ‫الع�صر ومتم�صـ ‪v‬يا مع النه�صة التي تحياهـا‪ ،‬ك ُّل ذلك وف≥ ا ِ‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫أهداف و�صـيا�صـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى ما َّدة الريا�صيـَّات على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�صـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫الحـاجات الأ�صـا�صـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫طرائ≥ تعليم وتعلُّم الريا�صيـَّات‪.‬‬ ‫الريا�صي‪.‬‬ ‫اأ�صـاليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�صي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�صـائل ريا�ص َّية‪.‬‬ ‫نوع َّية البنا‪A‬‬ ‫ِّ‬ ‫اأوجه ا�صـتخدامات الريا�ص َّيـات في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬ ‫و‪J‬بر‪ R‬ملم‪ í‬الكتا‪ Ü‬في التالي‪:‬‬ ‫‪ -1‬النطل‪ ¥‬في تنظيم منهـاج الريا�ص َّيـات من الأهداف العا َّمة للما َّدة واأهداف نظام المقررات بالتعليم الثانوي‪،‬‬ ‫بما يتل‪A‬م وخ�صائ�ض نـمو الطلب باتِّبا´ اأ�صـاليب وطرائ≥ ت�صـتند اإلى نظر َّيات التعلُّم المختلفة‪.‬‬ ‫المنطقي والتنظيم‬ ‫الريا�صي مع الجمع بين التنظيم‬ ‫الحلزوني في ُمعـالجة الـمحتوى‬ ‫‪ -2‬الأخذ بال تِّجاه‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ال�صيكولوجي‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -3‬روعي في عر�ض المو�صوعات اإبراز المفهومات والمباد‪ Ç‬العلمية والنظر َّيات ‪ ...‬وتمييزها وا�صـتخدامها‬ ‫في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعمي≥ معناها لدى الطلب‪.‬‬ ‫الريا�صي للحقائ≥ والنظر َّيات‪ ،‬ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات‪.‬‬ ‫‪ -4‬الهتمام بالبرهان‬ ‫ِّ‬ ‫العلميفيالبحثوال�صتق�صا‪A‬والو�صولاإلىال�صتنتاجاتوالقراراتوحلالم�صكلت‪.‬‬ ‫‪ -5‬تو‪X‬يفاأ�صاليبالتفكير ِّ‬ ‫‪ -6‬ال�صتمرار في تعزيز بنا‪ A‬المفهومات بال�صتناد اإلى معلومات الطالب ال�صابقة مع التع ُّم≥ في ذلك بما ي َّتف≥‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫وطبيعة المرحلة واإي�صا‪ ì‬كل مفهوم من خلل اأمثلة متنوعة؛ لم�صاعدة الطالب على التعلُّم ِّ‬

‫‪ -7‬اإبراز جهود علما‪ A‬الريا�ص َّيات العرب والم�صـلمين واأثرهم في بنا‪ A‬وتطوير العلوم الريا�ص َّية وتطبيقاتـها‪.‬‬ ‫‪ -8‬ربط المفهومات الريا�ص َّية ببي‪Ä‬ة الطالب وبالمفهومات التي تق َّدم لـه في الموا ِّد الأخرى‪ ،‬وتو‪X‬يـفها من‬ ‫المتعددة‪.‬‬ ‫خلل التطبيقات الحيات َّية‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -9‬ت�صمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ص َّية‪.‬‬ ‫‪ -10‬اإثرا‪ A‬المحتـوى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ِّ‬ ‫كل وحدة‪ ،‬اإ�صـافة اإلى التمارين التي تلي كل‬ ‫در�ض ؛ لتثبيت الحقائ≥ والمهارات وتاأكيد ا�صتمرارية التعلم ‪.‬‬ ‫‪ - 11‬اإدراج اأن�صطة اإثرائية با�صتخدام الحا�صب الآلي كلما اأمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -12‬تلخي�ض المفهومات والنظر َّيات ‪ ...‬التي ت�ص َّمنها محتوى ِّ‬ ‫كل وحدة من الوحدات وذلك في نـهايته‪.‬‬ ‫‪ -13‬اإدراجقائمةبالإجاباتالنهائ َّيةلبع�ضالتمارين ِّ‬ ‫لكلوحدةبـهدفتقويمالطالبلنف�صـهذاتـ ‪v‬يا‪.‬‬ ‫‪ - 14‬اإدراج الأهداف التعليمـ َّية ِّ‬ ‫لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪- 15‬ال�صتعانة بالر�صوم التو�صيح َّية والأ�صـكال في تو�صيح المفهومات الريا�ص َّية ك َّلما دعت الحاجة لذلك‪.‬‬

‫ولقد ا‪�o‬ضـت‪Ø‬يد حين اإعداد الكتا‪p Ü‬م َّما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬تو�صيف منهج ما َّدة الريا�ص َّيات في نظام المقررات بالتعليم الثانوي من الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫بالتطويرالتربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق َّررات الريا�ص َّيات بدول مجل�ض التعاون لدول الخليج العرب َّية‪ ،‬وبع�ض الدول العرب َّية وغير العرب َّية‪.‬‬ ‫هذا ويقع الكتاب في ثلث وحدات وهي‪:‬‬ ‫‪ -2‬القطو´ المخروطية‪.‬‬ ‫‪ -1‬الهند�صة التحليلية‪.‬‬ ‫‪ -3‬الم�صفوفات والمحددات‪.‬‬ ‫و اإ نَّنا لنرجو التوفي≥ وال�صـداد من اˆ ‪ -‬تعالى ‪ -‬واأن ُيحـقِّ≥ هذا الكتاب الأهداف الماأمولة له‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫واˆ من ورا‪ A‬الق�صد‪.‬‬

‫ل‪æé‬ـة التا‪C‬لي∞‬

‫ال¡‪æ‬د‪S‬سة الت‪∏ë‬ي∏ية‬

‫ال‪Mƒ‬د‪I‬‬ ‫ا’‪hC‬ل≈‬ ‫مق َّدمـ ـ ـ ـ ــة‬ ‫(‪ )1-1‬معادلة ِّ‬ ‫الخط الم�صـتقيم‬ ‫(‪ )2-1‬معادلــة الدائـ ــرة‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫ال‪Mƒ‬د‪I‬‬ ‫ال‪ã‬ا‪f‬ية‬

‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪�M‬سا‪ Ü‬الم‪ã∏ã‬ا‪ä‬‬

‫(‪ )1-2‬الزاوية الموجهة وقيا�صها‬ ‫(‪ )2-2‬الن�صب المثلثية الفرعية للزاوية الحادة‬ ‫(‪ )3-2‬الدوال المثلثية ( الدوال الدائرية )‬ ‫(‪ )4-2‬المتطابقات المثلثية‬ ‫(‪ )5-2‬الدوال المثلثية لكل من المجمو´ والفر‪¥‬‬ ‫(‪ )6-2‬الدوال المثلثية ل�صعف الزاوية ون�صفها‬ ‫(‪ )7-2‬العلقة بين قيا�صات زوايا المثلث واأطوال اأ�صلعه‬ ‫(‪ )8-2‬بع�ض تطبيقات ح�صاب المثلثات‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫‪62‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪152‬‬ ‫‪161‬‬ ‫‪164‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الم‪ü‬س‪aƒØ‬ا‪h ä‬الم‪ë‬ددا‪ä‬‬ ‫ال‪ã‬ال‪ã‬ة‬

‫(‪ )1-3‬الم�صفوفة‬ ‫(‪ )2-3‬جمع الم�صفوفات وطرحها و�صربها بعدد حقيقي‬ ‫(‪� )3-3‬صرب الم�صفوفات‬ ‫(‪ )4-3‬المحددات‬ ‫(‪ )5-3‬المعكو�ض ال�صربى لم�صفوفة‬ ‫(‪ )6-3‬حل اأنظمة معادلت من الدرجة الأولى با�صتخدام المحددات‬ ‫اأن�صطة اإثرائية‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫تمارين عامة‬

‫‪170‬‬ ‫‪183‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪214‬‬ ‫‪226‬‬ ‫‪238‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪255‬‬ ‫‪257‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪I‬‬ ‫ا’‪hC‬ل≈‬

‫ال¡‪æ‬د‪S‬ســة الت‪∏ë‬ي∏ ‪s‬يــة‬ ‫‪Analytic Geometry‬‬

‫الد‪¢ShQ‬‬ ‫مقدمة‬ ‫)‪(1-1‬‬

‫ِّ‬ ‫ا‪ÿ‬ط ا‪�Ÿ‬سـتقيم‬ ‫معادلة‬ ‫ معادلة ا‪ÿ‬ط ا‪�Ÿ‬ستقيم‬‫ ‪ƒJ‬ا‪ …R‬ا‪�Ÿ‬ستقيما‪Jh ä‬عامد‪g‬ا‬‫‪H -‬عد ‪f‬ق‪£‬ة ‪ øY‬م�ستقيم‬

‫)‪ (2-1‬معادلــة الـدا‪F‬ـ‪Iô‬‬

‫الهند�صـة التحليل َّية هي و�صـيل ٌة لمعالجة‬ ‫الهند�صـة باأ�ص ٍ‬ ‫جبري‪ ،‬ويرجع الف�صل‬ ‫ـلوب ٍّ‬ ‫في ا�صـتخدام هذا الأ�صـلوب اإلى العا ِلم‬ ‫العربي ثابت بن ق َّرة في القرن التا�صـع‬ ‫ِّ‬ ‫الميلدي؛ لتتح َّدد معالمه وت َّت�صح بعد‬ ‫يدي العا ِلم الفرن�ص ِّـي ( رينيه‬ ‫ذلك على ِّ‬ ‫ديكارت ) في القرن ال�صـابع ع�صـر‬ ‫الميلدي‪.‬‬

‫ا’‪gC‬دا‪±‬‬ ‫د‪Q‬ا‪S‬سـة ‪ √òg‬ال‪Mƒ‬د ‪Ip‬‬ ‫‪j‬ت‪ ™bƒ‬م‪ nø‬ال‪£‬ال‪H Ö‬عد‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ا ‪b n¿ƒµj ¿Cr‬اد ‪Qk‬ا ‪ ≈∏Yn‬ا ‪: ¿Cr‬‬ ‫ِّ‬ ‫ا‪ÿ‬ط ا‪�Ÿ‬سـتقيم ‪H‬ا‪ÌcC‬‬ ‫‪Lƒj -1‬د معادلة‬ ‫م‪jôW ø‬قة‪.‬‬ ‫‪ëjo -2‬دِّ د الع‪bÓ‬ة ‪ ÚH‬م�سـتقيم‪Ã Ú‬ع∏‪ƒ‬مية‬ ‫مي∏ي¡ما‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Nh‬ط‬ ‫مع∏‪ƒ‬مة‬ ‫‪f‬ق‪£‬ة‬ ‫‪�ëj -3‬سـ‪ Ö‬ال ‪Ño‬عد ‪ÚH‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫م�سـتقيم ‪.‬‬ ‫دا‪IôF‬‬ ‫‪Lƒj -4‬د م‪üf ∫ƒWh õcô‬س∞ ‪ô£b‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪H‬مع∏‪ƒ‬مية معادلت¡ا العامة‪.‬‬ ‫مع∏‪H Ωƒ‬ال‪�æ‬سـ‪Ñ‬ة‬ ‫م�سـتقيم‬ ‫‪ëjo -5‬دِّ د ‪Vh‬س™‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫مع∏‪ƒ‬مة‪.‬‬ ‫لدا‪IôF‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‬

‫(‬

‫ـ‪ Iô‬م‪ø‬‬ ‫‪Lƒj -6‬د معادلة‬ ‫المما‪ ¢S‬لــدا‪F‬ـ ‪m‬‬ ‫ِّ‬ ‫مع∏‪ƒ‬مة ‪∏Y‬ي¡ا‪.‬‬ ‫‪f‬ق‪£‬ة‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‬

‫(‬

‫الوحدة الأولى‬

‫مقدمـــــــة‬ ‫للإلمام بالدرا�سـة الجبر َّية للهند�سـة؛ نحتاج �إلى التذكير ببع�ض الم�صطلحات والقوانين‪ ،‬وقبول‬ ‫بع�ض الم�سـ َّلمات ال�ضرور َّية‪.‬‬

‫النقطة الهند�سـ َّية‬

‫هي �إحدى المفهومات التي ُبنـي عليها علم الهند�سـة‪ ،‬ونح�صل عليها بتقاطع َّ‬ ‫خطين ونرمز للنقطة‬ ‫ب�أحد الحروف ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪� ،‬س ‪… ،‬‬

‫الم�ستقيم‬

‫هو مجموع ٌة غير منتهي ٍة من النقط‪ ،‬و� ُّأي نقطتين مختلفتين يم ُّر بـهما م�سـتقي ٌم وحيد‪ .‬ويرمز‬ ‫للم�سـتقيم الما ِّر بالنقطتين َو ب بالرمز ب‪ ،‬و�إذا انتمت نقط ٌة �أخرى جـ ‪ -‬مث ًال ‪� -‬إلى هذا‬ ‫الم�سـتقيم ف�إ نَّه يمكننا �أن نرمز له ب�أحد الرمزين الآخرين ب جـ ‪ ،‬جـ ونر�سـمه كما في ال�شـكل‬ ‫( ‪.) 1-1‬‬ ‫ٍ‬ ‫بحرف ٍ‬ ‫واحد‬ ‫ونرمز في كثيرٍ من الحاالت للم�سـتقيم‬ ‫‪...‬‬ ‫فنقول الم�سـتقيم ل �أو �أو �أو‬

‫�شكل (‪)1-1‬‬

‫كيف يتع َّين ( يتح َّدد ) الم�سـتقيم ؟‬ ‫ـتقيم موازٍ له‪� ،‬أو‬ ‫يتع َّين الم�سـتقيم متى ُعلمت � ُّأي نقطتين عليه‪� ،‬أو بمعرفة نقط ٍة عليه وم�س ٍ‬ ‫عمودي عليه‪.‬‬ ‫ـتقيم‬ ‫ٍّ‬ ‫بمعرفة نقط ٍة عليه وم�س ٍ‬

‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫مقــدم ـ ــة‬ ‫ن�صف الم�سـتقيم‬ ‫هو مجموع ٌة جزئ َّي ٌة من الم�سـتقيم‪ ،‬ف�إذا كانت النقطة تقع على الم�سـتقيم ل ف� َّإن هذه‬ ‫النقطة تق�سـم الم�سـتقيم �إلى مجموعتين جزئ َّيتين من ل‪ ،‬ك ٌّل منهما ُي�س َّمى ن�صف م�سـتقيم‪.‬‬ ‫مبد�أ ٍّ‬ ‫ن�صفي‬ ‫ن�صفي الم�سـتقيم ل ‪ ،‬و�إذا انتمت نقطة ب �إلى �أحد‬ ‫كل من‬ ‫ُ�سمي النقطة‬ ‫ن ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫الم�سـتقيم ل كما في ال�شـكل ( ‪ ) 2-1‬ف�إ َّننا نرمز لن�صف الم�سـتقيم ل الذي تقع عليه ب بالإ�ضافة‬ ‫جـ ‪،‬‬ ‫ف� َّإن‬ ‫‪ ،‬و�إذا انتمت النقطة جـ �إلى ن�صف الم�سـتقيم‬ ‫�إلى بالرمز‬ ‫تنتم النقطة �إلى ن�صف الم�سـتقيم [ ب ف�إ نَّنا نرمز لن�صف الم�سـتقيم‬ ‫في حين �أ نَّه �إذا لم ِ‬ ‫في هذه الحالة بالرمز ب ( وهو ن�صف الم�سـتقيم الذي ال ينتمي �إليه مبد�ؤه )‪.‬‬

‫�شكل (‪)2-1‬‬

‫بالنظر �إلى ال�شـكل ( ‪ ) 2-1‬ي َّت�ضح � َّأن‬

‫القطعة الم�سـتقيمة‬ ‫�إذا كانت ‪ ،‬ب نقطتين من الم�سـتقيم ب ف� َّإن المجموعة الجزئ َّية منه والمك َّونة من النقطتين‬ ‫َو ب ونقاط الم�سـتقيم ب الواقعة بين هاتين النقطتين تُ�س َّمى قطع ًة م�سـتقيم ًة ويرمز لـها بالرمز‬ ‫�أي � َّأن‬ ‫كما في ال�شـكل ( ‪.) 3-1‬‬ ‫من الوا�ضح � َّأن‬ ‫طرفي ) القطعة الم�سـتقيمة‬ ‫ُ�سمي النقطتين ‪ ،‬ب نهايت ِّـي (‬ ‫ن ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫ونرمز �إلى طول القطعة الم�سـتقيمة‬ ‫�شكل (‪)3-1‬‬ ‫بالرمز‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪11‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫ُّ‬ ‫خط الأعداد الحقيق َّية ( المحور )‬ ‫ُّ‬ ‫ـتقيم ع َّرفنا عليه التالي‪:‬‬ ‫خط الأعداد الحقيق َّية هو ك ُّل م�س ٍ‬ ‫‪ 1‬نقطة �أ�صلٍ ( و ) تقابل العدد الحقيقي �صفر‪.‬‬ ‫الحقيقي واحد وتقع عن يـمين و‪ .‬ويم ِّثل طول القطعة الم�ستقيمة‬ ‫‪ 2‬نقطة ‪ -‬مث ًال ‪ -‬تقابل العدد‬ ‫َّ‬ ‫وحدة الطول‪.‬‬ ‫ـالب هو ا تِّجاه االنتقال من �إلى و‪.‬‬ ‫‪ 3‬ا تِّجا ٌه‬ ‫موجب هو ا تِّجاه االنتقال من و �إلى ‪ ،‬وا تِّجا ٌه �س ٌ‬ ‫ٌ‬ ‫ُن�س ِّمي مثل هذا الم�سـتقيم محو ًرا‪.‬‬ ‫و في الواقع هناك تقاب ٌل ( ت ) بين نقاط ِّ‬ ‫خط الأعداد و مجموعة الأعداد الحقيق َّية ‪ .‬ف�إذا كانت ب نقطة‬ ‫إحداثي النقطة ب على هذا المحور‪� .‬إذا رمزنا لـهذا المحور بـِ‬ ‫من هذا الم�سـتقيم ف�إ نَّنا ُن�س ِّمي ت ( ب ) � َّ‬ ‫‪ ،‬و�إذا رمزنا لـهذا المحور‬ ‫إحداثي ال�سين ُّـي للنقطة ب ونرمز له بالرمز‬ ‫ف�إ نَّنا نقول‪َّ � :‬إن ت ( ب ) هو ال‬ ‫ُّ‬ ‫بـِ‬ ‫‪.‬‬ ‫ال�صادي للنقطة جـ ورمزنا لذلك بالرمز‬ ‫إحداثي‬ ‫َّ‬ ‫إحداثي النقطة جـ الواقعة عليه ال َّ‬ ‫�سـ َّمينا � َّ‬ ‫ـتقيم مهما كان و�ضعه بترتيب نقاطه‪ ،‬وذلك بقولنا � َّإن ب قبل جـ كما في ال�شكل ( ‪) 4-1‬‬ ‫يمكننا توجيه � ِّأي م�س ٍ‬

‫�شكل (‪)4-1‬‬ ‫فيكون ب قبل‬ ‫حيث‬

‫‪،‬‬

‫�إحداثيـَّا ب ‪ ،‬جـ على هذا الم�سـتقيم ( المحور ) توال ًيا‪.‬‬

‫= ‪ 3‬ف� َّإن‬ ‫=–‪،4‬‬ ‫ف�إذا كان‬ ‫وب�إمكاننا �أن نكتب ذلك كالتالي‪:‬‬

‫وحدات طول‪.‬‬ ‫وحدات طول‪.‬‬

‫وعا َّمة الأمر‪:‬‬

‫الم�سـ ـ ـ ــتوي‬ ‫حد �أو نـهاية‪� ،‬أي �أ نَّه‪ :‬مجموع ٌة‬ ‫يق�ص��د بالم�سـتوي ‪ :‬ال�سـطح غي��ر المحدود الممت ُّد في االتجاهات جميعها بال ٍّ‬ ‫غير منتهي ٍة من النقط‪ ،‬ويتح َّدد بمعرفة ثالث ٍ‬ ‫نقط مختلف ٍة عليه وغيرِ واقع ٍة على ا�سـتقام ٍة واحد ٍة‪� ،‬أو بمعرفة‬ ‫عمودي عليه‪ ،‬ونرمز للم�سـتوي بالرمز ى ‪.‬‬ ‫ـتقيم‬ ‫ٍّ‬ ‫نقط ٍة منه وم�س ٍ‬

‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫مقــدم ـ ــة‬

‫إحداثي للم�سـتوي‬ ‫النظام ال‬ ‫ُّ‬ ‫لنر�سـم في الم�سـتوي ى المحورين ‪ ،‬المتقاطعين في النقطة و التي نع ُّدها نقطة �أ�صلٍ ٍّ‬ ‫لكل من هذين‬ ‫وحدتي الأطوال على هذين المحورين مت�سـاويتان‪.‬‬ ‫المحورين‪ ،‬ولنفر�ض � َّأن‬ ‫ِّ‬ ‫�سنق�صر اهتمامنا على الحالة التي يكون فيها المحوران ‪،‬‬ ‫بين النقط با�سـتخدام نظرية فيثاغورث كما في �شـكل ( ‪.) 5-1‬‬

‫متعامدين وذلك لتب�سـيط ح�سـاب الأبعاد‬

‫�إذا كانت نقطة من ى ‪ ،‬وال تقع على � ٍّأي من المحورين �أو ف�إ نَّه يوجد م�سـتقي ٌم وحي ٌد‬ ‫محور ال�صادات ويقطع محور ال�سينات في النقطة ‪ ،‬ويوجد كذلك م�سـتقي ٌم وحي ٌد �آخر‬ ‫محور ال�سينات ويقطع محور ال�صادات في النقطة ‪.‬‬

‫يوازي‬ ‫يوازي‬

‫�شكل (‪)5-1‬‬

‫إحداثي‬ ‫�سمي �ص �‬ ‫‪ ،‬و ُن ِّ‬ ‫َّ‬

‫إحداثي ال�سين ِّـي للنقطة‬ ‫بال‬ ‫إحداثي النقطة على المحور‬ ‫الحقيقي �س �‬ ‫�سمي العدد‬ ‫ِّ‬ ‫ُن ِّ‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫ٍ‬ ‫ال�صادي للنقطة ‪ .‬وهكذا نع ِّين لكلِّ‬ ‫إحداثي‬ ‫بال‬ ‫النقطة على المحور‬ ‫نقطة‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫وحيدا ( �س ‪� ،‬ص ) من الأعداد الحقيق َّية ترتبط به‪.‬‬ ‫زوجا مر َّتـ ًبا ً‬ ‫ً‬ ‫ف�إ نَّها ترتبط بالزوج المرتَّب ( �س ‪� ،) 0 ،‬أ َّما �إذا وقعت هذه النقطة على‬ ‫ف�إذا وقعت النقطة على المحور‬ ‫ف�إ نَّها ترتبط بالزوج المرتَّب ( ‪� ، 0‬ص )‪ ،‬و�أ َّما النقطة و ( نقطة الأ�صل ) ف�إ نَّها ترتبط بالزوج المرتَّب‬ ‫المحور‬ ‫(‪ ،)0 ، 0‬وعلى العك�س ف� َّإن َّ‬ ‫زوج مرتَّب من الأعداد الحقيق َّية يع ِّين نقط ًة وحيد ًة من الم�سـتوي ( كيف ؟ و لماذا ؟ )‪.‬‬ ‫كل ٍ‬ ‫وهكذا نجد �أ نَّه يمكن تعريف التقابل‬ ‫نم ِّثل النقطة ب�إحداثـ َّييها ونكتب ‪� ( :‬س ‪� ،‬ص ) �أو‬

‫بحيث يكون‬ ‫= ( �س ‪� ،‬ص )‬

‫( �س ‪� ،‬ص ) ؛ لذا يمكننا �أن‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪13‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ومن َّثم يمكننا �أن نكتب (‪ )1‬ما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫وذلك يعنـي � َّأن مجموعة نقط الم�سـتوي التي يكون‬ ‫‪2‬‬ ‫ال�صادي ٍّ‬ ‫وهي‬ ‫لكل منها هو �صفر �أي‬ ‫الإحداث ُّي‬ ‫ُّ‬ ‫والذي معادلته ‪� :‬ص = ‪0‬‬ ‫تم ِّثل مجموعة نقط المحور‬ ‫وذلك يعنـي �أنَّ مجموعة نقط الم�سـتوي التي يكون الإحداث ُّي‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�سين ُّـي ٍّ‬ ‫لكل منها هو �صفر �أي ( �س = ‪ ) 0‬وهي‬ ‫تم ِّثل مجموعة نقط المحور‬

‫والذي معادلته ‪� :‬س = ‪0‬‬

‫وتجدر الإ�شـارة هنا �إلى � َّأن‬ ‫الم�سـتقيم الموازي للمحور‬

‫( �س ‪� ،‬ص ) ‪� :‬س = ﻫ ‪،‬‬ ‫والذي معادلته ‪� :‬س = ﻫ ‪.‬‬

‫وبالمثل‬ ‫الموازي للمحور‬

‫تم ِّثل مجموعة نقاط‬ ‫تم ِّثل مجموعة نقاط الم�سـتقيم‬

‫و الذي معادلته ‪� :‬ص = د‪.‬‬

‫وفيما يلي بع�ض القوانين التي �سـبقت درا�سـتها؛ للإفادة منها في الدرا�سـة المقبلة‪.‬‬ ‫�إذا كانت (‬

‫)‪،‬ب(‬

‫إحداثي ف� َّإن ‪:‬‬ ‫) نقطتين في الم�سـتوي ال ِّ‬

‫‪ 1‬منت�صف القطعة الم�سـتقيمة‬

‫(‪ )1‬تُ�س َّمى الطريقة التي ا�ستخدمناها لكتابة المجموعات "طريقة كتابة المجموعة بال�صفة المم ِّيزة "وهي طريق ٌة تُ�ستخدم لكتابة مجموع ٍة ما‬ ‫يمكن كتابتها بال�صفة المم ِّيزة كالتالي‪:‬‬ ‫متى ُوجدت خا�ص َّي ٌة مع َّين ٌة تم ِّيز عنا�صرها ‪ ،‬فمث ًال ‪:‬‬ ‫وتقر�أ ‪:‬‬ ‫ت�ساوي مجموعة ِّ‬ ‫كلي مح�صو ٌر بين ‪7 , 1‬‬ ‫كل �س حيث �س عد ٌد ٌّ‬

‫‪14‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫مقــدم ـ ــة‬

‫‪ 2‬طول القطعة الم�صـتقيمة‬

‫( ال ُبعد بين النقطتين ‪ ،‬ب ) هو ‪:‬‬

‫‪ 3‬ميل الم�صـتقيم ب والذي يرمز له بالرمز م =‬

‫ﻓﺮﻕ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺼﺎﺩﻳﺔ‬ ‫ﻓﺮﻕ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ‬

‫اأي ا َّأن ميل الم�صـتقيم هو الن�صـبة بين ت¨ ُّير الإحداثيـَّات ال�صادية اإلى ت¨ ُّير الإحداثيـَّات ال�صـينية‬ ‫عند التح ُّرك من ٍ‬ ‫نقطة اإلى اأخرى على هذا الم�صـتقيم‪.‬‬ ‫وباخت�صارٍ نكتب ‪:‬‬

‫م=‬

‫حيث‬

‫ولما لمعادلة الم�صـتقيم بدللة الميل م والجز‪ A‬المقطو´ من محور ال�صادات د اأهم َّية خا�صة؛ لذا‬ ‫نختتم هذا البند بالتذكير بـها وهي ‪:‬‬

‫‪U‬ض = م �ض ‪ +‬د‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪15‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪1-1‬‬

‫الخط الم�سـتقيم‬ ‫معادلة‬ ‫ِّ‬

‫كما في ال�شكل ( ‪) 6 - 1‬‬

‫�شكل (‪)6-1‬‬

‫‪16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الخط الم�ضتقيم‬ ‫طرفي المعادلة على ب نح�صل على‬ ‫اإذا كانت ب ≠ ‪ 0‬في المعادلة ( ‪ ) 1-1‬فاإ نَّنا بعد ق�صـمة‬ ‫ِّ‬ ‫( ‪) 4-1‬‬

‫وهي على ال�صورة‬

‫�صمى المعادلة القيا�ضـ َّية للم�ضـتقيم‪ ،‬حيث م ميل الم�صـتقيم‪ ،‬د الجز‪ A‬المقطو´ من محور‬ ‫والتي ُت َّ‬ ‫ال�صادات‪.‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)1-1‬‬ ‫‪ 1‬التمثيل البيان ُّي لمعادلة الدرجة الأولى في مت¨ ِّيرين هو ُّ‬ ‫ـتقيم‪ ،‬لذا فاإنَّ المعادلة �ض ‪ +‬ب �ض ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫خط م�ص ٍ‬ ‫تُع ُّد المعادلة العا َّمة للم�صـتقيم‪ ،‬وتُ�ص َّمى هذه المعادلة اأحيا ًنا المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية في المت¨ ِّيرين �ض ‪� ،‬ض‪.‬‬ ‫‪ 2‬في ال�صورة العا َّمة لمعادلة الم�صـتقيم حيث ب ≠ ‪ 0‬يكون الميل م =‬ ‫لح‪ ß‬اأ نَّه في حالة ب = ‪ 0‬فا َّإن ميل الم�صتقيم يكون غير مع َّرف‪ ،‬ونقول‪ :‬ا َّإن الم�صتقيم ل ميل له‪ ،‬اأو اإنَّه م�صتقي ٌم‬ ‫غير مائل‪ ،‬وفي هذه الحالة تكون معادلة الم�صتقيم على ال�صورة ( ‪ ) 2-1‬ويكون الم�صتقيم مواز ًيا للمحور‬ ‫ال�صادي‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪) 1-1‬‬ ‫اأو‪L‬د ميل ‪x‬‬ ‫كل من الم�ضـتقيمات التالية‪:‬‬ ‫‪� 3‬ض ‪� 2 +‬ض – ‪0 = 5‬‬

‫‪� 3‬ض = ‪� 4‬ض ‪2 +‬‬

‫الحل‬ ‫المعادلة ‪� 3‬ض ‪� 2 +‬ض – ‪ 0 = 5‬على ال�صورة العا َّمة �ض ‪ +‬ب �ض ‪ +‬جـ = ‪0‬‬

‫‪Ω‬‬ ‫لإيجاد الميل يكون من الأ�صهل و�صع المعادلة ‪�3‬ض = ‪�4‬ض ‪ 2 +‬على ال�صورة القيا�صـ َّية �ض = م �ض ‪ +‬د‬ ‫‪� 3‬ض = ‪� 4‬ض ‪2 +‬‬

‫‪Ω‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪17‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫‪J‬دري‪)1-1( Ö‬‬ ‫اأوجد ميل الم�صـتقيم ‪� :‬ض – ‪=5‬‬

‫حـ ـ ــالت خــا‪U‬ضـ ـ ــة‬

‫‪l‬‬ ‫خا‪U‬ض ‪l‬ة و‪g‬ي كالتالي‪:‬‬ ‫للمعادلة القيا�ضـ َّية للم�ضـتقيم ∫ ‪U :‬ض = م �ض ‪ +‬د‬ ‫حالت َّ‬ ‫ـتقيم‬ ‫الحالة الأولى ‪ :‬اإ‪P‬ا كا¿ م = ‪ 0‬فاإ َّ¿ معادلة الم�ضـتقيم ‪�Jo‬ضب‪U í‬ض = د ‪ ,‬و‪g‬ي معادلة م�ض ‪m‬‬ ‫أفقي ميل¬ ي�ضـاوي ‪U‬ض‪ً Ø‬را‪.‬‬ ‫يوا‪R‬ي المحور ال�ضين َّـي‪ ,‬اأي اأ َّ¿ الم�ضـتقيم ال َّ‬ ‫• ميل الم�ضتقيم ‪U‬ض = ‪ .......... ƒg 3‬بينما الم�ضتقيم �ض = ‪ 3‬ميل¬ ‪ ( ........‬اأكمل ال‪Ø‬را‪) Æ‬‬ ‫الحالة ال‪ã‬انية ‪ :‬اإ‪P‬ا كا¿ د = ‪ 0‬فاإ َّ¿ معادلة الم�ضتقيم ∫ ‪�Jo‬ضب‪U í‬ض = م �ض ‪ ,‬و‪g‬ي معادلة‬ ‫م�ضتقيم يم ُّر بنقطة الأ‪U‬ضل وميل¬ م‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫الحالةال‪ã‬ال‪ã‬ة ‪ :‬اإ‪P‬ا كانت‬ ‫∫ على ال�ضورة ‪:‬‬

‫‪J‬ق™ على الم�ضـتقيم ∫ فاإ َّن¬ يمكن كتابة معادلة‬ ‫( ‪) 5-1‬‬ ‫( ‪) 6-1‬‬

‫وبــر‪g‬ــان ـهـ ـ ــا‪:‬‬ ‫بما اأ َّ¿‬

‫‪J‬ق™ على ∫ ‪ ,‬اإ ً‪P‬ا النقطة‬

‫‪J‬ح ِّق≥ المعادلة القيا�ضـ َّية‬

‫بطر‪ √òg ì‬المعادلة من المعادلة القيا�ضـ َّية نح�ضل على ‪:‬‬ ‫حي‪� ( å‬ض ‪U ,‬ض ) نقط ‪l‬ة اختيار َّي ‪l‬ة من الم�ضتقيم ∫ ‪ ,‬و ‪�Jo‬ض َّمى ‪ √òg‬المعادلة معادلة الم�سـتقيم‬ ‫‪fh‬ق‪£‬ة م‪.¬æ‬‬ ‫‪H‬د’لة مي∏¬‬ ‫‪m‬‬

‫‪18‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫الحالة الرابعة ‪� :‬إذا كانت النقطتان‬

‫واقعتين على ل ف�إ َّنه‬

‫‪،‬‬

‫يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة ‬ ‫وبرهانـها‪:‬‬ ‫نقط ٌة على ل � ًإذا يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة‬

‫بما � َّأن‬ ‫وبما �أنَّ‬ ‫من‬

‫( ‪) 7 -1‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫نقطتان على ل ف�إن ميله هو ‪:‬‬

‫ن�سـتنتج �أنَّ‬

‫ُت�س َّمى المعادلة على هذه ال�صورة معادلة الم�سـتقيم بداللة نقطتين عليه‪.‬‬ ‫الحظ �أ َّنه �إذا كان‬

‫ال�صادي وتكون معادلته‬ ‫ف�إنَّ الم�سـتقيم ل يوازي المحور‬ ‫َّ‬

‫الحالة الخام�سـة‪� :‬إذا كان الم�سـتقيم ل يقطع محور ال�سـينات عند ( ﻫ ‪ ) 0 ،‬ومحور ال�صادات‬ ‫عند (‪ ،0‬د)‬ ‫ف�إ َّنه يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة‬ ‫وبرهانـها‪:‬‬ ‫بما �أنَّ الم�سـتقيم ل يم ُّر بالنقطتين ( ﻫ ‪ ،0( ، ) 0 ،‬د) كما في ال�شـكل ( ‪� ) 7-1‬أو ( ‪.) 8-1‬‬

‫)‬ ‫)‬

‫(‬

‫�شكل (‪)7-1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪19‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ا ًإذا‬ ‫بالتعوي�ض عن الميل في المعادلة القيا�صـ َّية �ض = م �ض ‪ +‬د ينتج اأنَّ‬ ‫وبالق�صـمة على د حيث د≠‪ 0‬ينتج اأنَّ ‪:‬‬ ‫والجز‪A‬‬

‫تُ�ص َّمى هذه المعادلة معادلة الم�صـتقيم بدللة الجز‪ A‬المقطو´ من المحور‬ ‫المقطو´ من المحور ‪.‬‬ ‫مما تق َّدم ن�صـتطيع القول ‪ :‬اإنَّ المعادلة ِّ‬ ‫الخطـ َّية ب�صورتـها العا َّمة �ض ‪ +‬ب �ض ‪ +‬جـ = ‪ 0‬يمكن‬ ‫ا�صـتخدامها لتمثيل الم�صـتقيم في اأو�صاعه جميعها‪ ،‬واإنَّ المعادلة القيا�صـ َّية �ض = م �ض ‪ +‬د يمكن‬ ‫ا�صـتخدامها لتمثيل الم�صـتقيم في جميع الحالت عدا الحالة التي يكون فيها الم�صـتقيم مواز ًيا‬ ‫ال�صادي‪ ،‬فعندها ن�صـتخدم المعادلة‬ ‫للمحور‬ ‫ِّ‬

‫م‪ã‬ا∫ (‪) 2-1‬‬

‫اأو‪L‬د معادلة الم�ضـتقيم ال‪ò‬ي ميل¬ ي�ضـاوي – ‪ 4‬ويم ُّر بالنقطة ( – ‪.) 5 , 3‬‬

‫الحل‬ ‫معادلة الم�صـتقيم بدللة ميله والجز‪ A‬المقطو´ من محور ال�صادات هي �ض = م �ض ‪ +‬د‬ ‫وحيث ا َّإن ‪ :‬م = – ‪ 4‬ا ًإذا �ض = – ‪� 4‬ض ‪ +‬د‬ ‫وبما ا َّأن النقطة ( – ‪ ) 5 ، 3‬تقع على الم�صـتقيم فهي تحقِّ≥ معادلته‪.‬‬ ‫ا ًإذا ‪ + ) 3 – ( × 4 – = 5‬د د = – ‪7‬‬ ‫فتكون معادلة الم�صـتقيم المطلوبة هي ‪� :‬ض = – ‪� 4‬ض – ‪7‬‬

‫الحل بطريق ‪m‬ة اأخر‪i‬‬

‫معادلة الم�صـتقيم بدللة ميله ونقط ٍة منه هي ‪:‬‬ ‫وحيث ‪:‬‬

‫‪20‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫( اأكمل الحل )‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫م‪ã‬ال (‪) 3-1‬‬ ‫اأوجد معادلة الم�سـتقيم الما ِّر بالنقطتين ( ‪.) 6 ، 2 -( ، ) 2 ، 2‬‬

‫الحل‬ ‫بالتعوي�س بالنقطتين ( ‪ ) 6 ، 2 -( ، ) 2 ، 2‬في المعادلة‬ ‫ينت‪ è‬اأن ‪:‬‬

‫م‪ã‬ال (‪) 4-1‬‬ ‫ال�سادي ‪.3‬‬ ‫اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي مقطعه ال�سين ‪t‬ـي ‪ 2‬ومقطعه‬ ‫‪t‬‬

‫الحل‬

‫محوري الإحداث َّيات هي ‪:‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم بدللة مقطعيه من‬ ‫ِّ‬ ‫بما ا َّأن ه = ‪ ، 2‬د = ‪3‬‬ ‫ا ًإذا معادلة الم�سـتقيم المطلوبة ‪:‬‬

‫تدري‪)2-1( Ö‬‬ ‫طولي المقطعين من المحورين للم�ستقيم ‪�2 :‬ص – ‪� 4‬ص – ‪0 = 8‬‬ ‫اأوجد ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪21‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫توازي الم�سـتقيمات وتعامدها‬ ‫�أ َّو ًال ‪ -‬الم�سـتقيمات المتوازية‬ ‫ثابت‪ ،‬ولكن هل هناك عالقة بين ميليهما ؟‬ ‫� َّإن ال ُبعد بين م�سـتقيمين متوازيين ٌ‬ ‫للإجابة عن ذلك دعنا نر�سـم م�سـتقيمين متوازيين غير ر�أ�سـ َّيين ‪ ،‬كما في ال�شـكل ( ‪) 9-1‬‬

‫�شكل (‪)9-1‬‬

‫ولن�أخذ � َّأي نقطتين تقعان على‬

‫مث ًال ( ‪) 0 ، 3 – ( ، ) 3 ، 0‬‬

‫فيكون ميل الم�ستقيم ‬ ‫وبالمثل؛ لن�أخذ � َّأي نقطتين تقعان على‬ ‫ ‬ ‫نجد � َّأن ميل الم�ستقيم‬ ‫نالحظ � َّأن ميل الم�سـتقيم‬

‫‪22‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪ ،‬مث ًال ( ‪) 2 ، 2 ( ، ) 0 ، 0‬‬

‫= ميل الم�سـتقيم‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬

‫اأ َّما اإذا كان الم�سـتقيمان المتوازيان راأ�سـ َّيين كما في‬ ‫ال�سـكل ( ‪ ) 10-1‬فيكون ك ‪w‬ل من الم�سـتقيمين يوازي‬ ‫محور ال�سادات‪ ،‬وميله غير مع َّرف‪.‬‬

‫�سكل (‪)10-1‬‬

‫أزواج اأخرى من الم�سـتقيمات المتوازية ن�سل‬ ‫وباأخذ ا ٍ‬ ‫اإلى النتيجة ذاتـها‪ ،‬وعلى العك�س نجد ا َّأن الم�سـتقيمين‬ ‫لـهما الميل نف�سه اأي ا َّأن‬ ‫وعند تمثيل ‪x‬‬ ‫كل من ‪،‬‬ ‫كما في ال�سـكل ( ‪.) 11-1‬‬

‫بيان ًّيا نجد ا َّأن‬

‫‪⁄⁄‬‬

‫�سكل (‪)11-1‬‬

‫ويمكن تعميم ما �سـب≥ بالن¶رية التالية‪:‬‬ ‫ن¶رية (‪)1-1‬‬ ‫اإذا كانت معادلة الم�سـتقيم‬

‫هي‬

‫‪ ،‬ومعادلة الم�سـتقيم‬

‫هي‬

‫فا َّإن‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪23‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫م‪ã‬ال (‪) 5 -1‬‬ ‫ع ِّين الم�سـتقيمات المتوازية من بين الم�سـتقيمات ال‪B‬تية‪:‬‬

‫الحل‬ ‫نوجد ميل ‪x‬‬ ‫كل من الم�سـتقيمات‪:‬‬

‫فيكون‬

‫لأن‬

‫م‪ã‬ال (‪) 6 -1‬‬

‫اأوجد معادلة الم�سـتقيم الما ِّر بالنقطة ( – ‪ ) 3 ، 1‬والموازي للم�سـتقيم ‪� 3‬ص ‪� +‬ص – ‪0 = 5‬‬

‫الحل‬

‫ميل الم�ستقيم المعطى معادلته‬

‫اإذ ًا ميل الم�سـتقيم المطلوب معادلته هو م = – ‪ 3‬؛ ل َّأن الم�سـتقيمين متوازيان‪.‬‬ ‫وحيث اأن معادلة الم�سـتقيم بدللة ميله ونقط ٍة منه هي ‪:‬‬ ‫فا َّإن معادلة الم�سـتقيم المطلوبة هي ‪:‬‬

‫‪24‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬

‫ثان ًيا ‪ -‬الم�سـتقيمات المتعامـدة‬ ‫فيما �سـبق وجدنا � َّأن‬

‫‪⁄⁄‬‬

‫ميل‬

‫= ميل‬

‫�أو‬

‫‪،‬‬

‫ر�أ�سـ َّيان ‪.‬‬

‫والآن ماذا عن الم�سـتقيمين المتعامدين ‪ ,‬هل‬ ‫هناك عالق ٌة بين ميليهما ؟‬ ‫‪ ،‬م�سـتقيمان‬ ‫في ال�شـكل ( ‪) 12-1‬‬ ‫متعامدان ونقطة تقاطعهما ( ‪.) 0 ، 1‬‬

‫�شكل (‪)12-1‬‬

‫ولإيجاد ميل الم�سـتقيم‬

‫ن�أخذ � َّأي نقطتين عليه مثل ( ‪.) 2 ، 5 ( ، ) 0 ، 1‬‬

‫فنجد � َّأن ميل الم�ستقيم‬ ‫وبالمثل ن�أخذ � َّأي نقطتين على الم�سـتقيم مثل ( ‪) 2 ، 0 ( ، ) 0 ، 1‬‬ ‫فنجد � َّأن ميل الم�ستقيم‬ ‫الحظ �أن ميل × ميل‬ ‫أزواج �أخرى من الم�سـتقيمات المتعامدة ن�صل �إلى النتيجة ذاتـها‪ .‬وعلى العك�س فالم�سـتقيمان‬ ‫وب�أخذ � ٍ‬ ‫اللذان حا�صل �ضرب ميليهما‬ ‫هما م�ستقيمان متعامدان كما في ال�شكل ( ‪) 13-1‬‬

‫�شكل (‪)13-1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪25‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫ويمكن تعميم ما �سـب≥ بالن¶رية التالية‪:‬‬ ‫ن¶رية (‪)2-1‬‬ ‫اإذا كان الم�سـتقيمان‬

‫‪،‬‬

‫يم ِّثالن المعادلتين ‪:‬‬ ‫على الترتي‪،Ö‬‬

‫فا َّإن‬

‫(‪)1-1‬‬ ‫العمودي عليه مواز ًيا‬ ‫ال�سادي‪ ،‬ويكون الم�سـتقيم‬ ‫اإذا كان لي�س له مي ٌل فاإنَّه يكون مواز ًيا المحور‬ ‫ُّ‬ ‫َّ‬ ‫عمودي على المحور ال�سين ِّـي اأي‬ ‫المحور ال�سين َّـي‪ .‬واإذا كان ميل �سف ًرا فاإنَّه لي�س ل ـ‪ p‬مي ٌل فهو‬ ‫‪w‬‬ ‫ٍ‬ ‫ال�سادي ‪.‬‬ ‫مواز للمحور‬ ‫ِّ‬

‫م‪ã‬ال (‪) 7 -1‬‬ ‫ع ِّين الم�سـتقيمات المتعامدة من بين الم�سـتقيمات ال‪B‬تية‪:‬‬

‫الحل‬ ‫باإيجاد ميل ‪x‬‬ ‫كل من الم�سـتقيمات نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫فيكون‬ ‫م¨ايرة‬

‫‪26‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫؛ ل َّأن‬

‫لحظ ا َّأن‬

‫هو مقلوب‬

‫باإ�سار ٍة‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫م‪ã‬ال (‪) 8 -1‬‬ ‫وعمودي على الم�سـتقيم الما ِّر بالنقطتين ‪:‬‬ ‫ٍّ‬

‫اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يم ‪t‬ر بالنقطة‬

‫الحل‬ ‫ميل الم�ستقيم ‪:‬‬ ‫ميل الم�ستقيم‬

‫هو‬

‫بما ا َّأن الم�سـتقيمين متعامدان‪.‬‬ ‫ا ًإذا ميل الم�سـتقيم المطلوب معادلته هو‬

‫؛ لأن‬

‫معادلة الم�سـتقيم بدللة ميله ونقط ٍة منه هي ‪:‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم المطلوبة هي ‪:‬‬

‫تدري‪)3-1( Ö‬‬ ‫اإذا كانت ( ‪ ، ) 2 ، 3‬ب ( ‪� ، 5‬س ) ‪ ،‬جـ ( ‪ ، ) 1 ، 2‬د( ‪ ) 2– ، 3‬فاأوجد قيمة �س في ‪x‬‬ ‫كل‬ ‫من الحالتين ‪:‬‬ ‫الم�سـتقيم ب ‪ ⁄ ⁄‬الم�سـتقيم جـ د‬

‫الم�سـتقيم ب‬

‫الم�سـتقيم جـ د‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪27‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫م‪ã‬ال (‪) 9 -1‬‬ ‫منت�سفي �سلعين في م‪َّ ã‬ل‪ å‬يوازي ال†سلع ال‪ã‬ال‪ å‬م�ستخد ًما مف¡ومات‬ ‫اأثبت اأ َّن الم�سـتقيم الوا�سل بين‬ ‫ِّ‬ ‫ال¡ند�سـة التحليل َّية‪.‬‬

‫الحل‬

‫نفر�س ا َّأن رو‪D‬و�س المث َّلث هي ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ كما نفر�س ا َّأن د ‪ ،‬ه منت�سفا‬ ‫وا َّأن اإحداثـ َّيات النقا• ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ كما هي مب َّينة على ال�سـكل ( ‪.) 14-1‬‬

‫على الترتي‪،Ö‬‬

‫المطلوب ‪ :‬اإثبات ا َّأن‬ ‫د هـ ‪ //‬ب جـ‬ ‫اأي ا َّأن ‪ :‬ميل دهـ = ميل ب جـ‬

‫الإثبات ‪:‬‬

‫�سكل (‪)14-1‬‬

‫من قانون منت�س∞ القطعة الم�سـتقيمة نجد ا َّأن‬

‫ميل‬ ‫( بعد �سرب كل من الب�س§ والمقام في ‪)2‬‬

‫حيث‬ ‫= ميل ب جـ‬ ‫اإذ ًا ميل د‬

‫‪28‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫= ميل ب‬

‫( وهو المطلوب )‬ ‫د‬

‫ب‬

‫‪.‬‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬

‫م‪ã‬ال (‪) 10 -1‬‬ ‫اأثبت اأ َّن النقط‬

‫( ‪ ، ) 1 ، 0‬ب ( – ‪ ، ) 2 ، 1‬جـ ( ‪ ) 4 ، 3‬هي رو‪D‬و�ص م‪َّ ã‬ل ٍ‪b å‬ا‪F‬م ال‪õ‬اوية في ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫المطلوب اإثبات ا َّأن المث َّلث ب جـ قا‪F‬م الزاوية في‬

‫اأي اأن‬

‫ب‬

‫جـ ‪.‬‬

‫ميل‬ ‫ميل‬ ‫بما ا َّأن ‪ :‬ميل ب × ميل جـ = –‪1– = 1 × 1‬‬ ‫اإذ ًا‬

‫المث َّلث‬

‫قا‪F‬م الزاوية في‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪29‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫بعد نقطة عن م�ستقيم‬ ‫ُنع ِّرف ُبعد النقطة عن الم�سـتقيم ل الذي ل يم ُّر بـها باأ َّنه‪ :‬طول العمود النازل من على ل اأي ‪| :‬‬ ‫كما في ال�سـكل ( ‪.) 15-1‬‬

‫�سكل (‪)15-1‬‬

‫في حالة‬

‫يكون ُبعد‬

‫عن‬

‫م�ساوي ًا ‪(.........................‬اأكمل)‬

‫م‪ã‬ال (‪) 11 -1‬‬ ‫ليكن ل م�سـتقي ًما معادلته �ص ‪� 2 +‬ص = ‪ ،2‬اأوجد ُبعد النقطة ه ( ‪ ) 3 ، 1‬عن الم�سـتقيم ل ‪.‬‬

‫الــحل‬

‫�سكل (‪)16-1‬‬

‫‪30‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫|‬

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫نر�سـم من ﻫ عمو ًدا على الم�سـتقيم ل فيقطعه في د كما في ال�شـكل ( ‪ .) 16-1‬ف ُي�صبح المطلوب �إيجاد‬ ‫إحداثيي النقطة د‪ .‬ولذلك نقوم ‪� -‬أ َّو ًال ‪ -‬ب�إيجاد معادلة الم�سـتقيم ﻫ د‬ ‫؛ لذا يلزمنا معرفة �‬ ‫ِّ‬ ‫بما � َّأن معادلة الم�سـتقيم ل هي �س ‪� 2 +‬ص = ‪2‬‬ ‫�إذ ًا ميل الم�سـتقيم ل =‬ ‫وحيث � َّإن ﻫ د‬

‫ل ف� َّإن ميل ﻫ د = ‪2‬‬

‫بما � َّأن ﻫ د يم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 3 ، 1‬فتكون معادلته هي ‪:‬‬ ‫�ص – ‪� ( 2 = 3‬س – ‪) 1‬‬ ‫�ص – ‪� 2 = 3‬س – ‪2‬‬ ‫‪�2‬س – �ص = – ‪1‬‬ ‫ثان ًيا ‪ :‬نقوم ِّ‬ ‫بحل النظام المك َّون من المعادلتين‬

‫في العدد ‪ 2‬نح�صل على ‪� 4 :‬س – ‪� 2‬ص = – ‪2‬‬

‫طرفي المعادلة‬ ‫ب�ضرب‬ ‫ِّ‬ ‫وبجمع المعادلتين‬

‫ ‬ ‫َو‬

‫َو‬

‫نح�صل على ‪� 5‬س = ‪0‬‬

‫�س = ‪0‬‬

‫وبالتعوي�ض في المعادلة‬ ‫عن قيمة �س نجد � َّأن‬ ‫� ًإذا النقطة د هي ( ‪. ) 1 ، 0‬‬ ‫و�أخي ًرا ومن قانون طول القطعة الم�سـتقيمة ( ال ُبعد بين نقطتين ) ف� َّإن ‪:‬‬ ‫وحدة طول‪.‬‬

‫في المثال ال�سـابق ( ‪� ) 11-1‬إذا ا�سـتبدلنا معادلة الم�ستقيم ل (وهي ‪� :‬س ‪� 2 +‬ص = ‪) 2‬بالمعادلة العا َّمة‬ ‫للم�سـتقيم وهي �س ‪ +‬ب �ص ‪ +‬جـ = ‪ ، 0‬والنقطة هـ (‪ )3 ، 1‬بالنقطة‬

‫‪،‬‬

‫واتَّبعنا خطوات ِّ‬ ‫الحل ال�سـابق نف�سـها‪ ،‬ف�إ نَّنا ن�صل �إلى القانون التالي والذي ُيعرف بقانون ُبعد نقط ٍة عن‬ ‫ـتقيم‪.‬‬ ‫م�س ٍ‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪31‬‬

≈dhC’G IóMƒdG 0 = `L + ¢U Ü + ¢S ¬àdOÉ©e …òdG ∫ º«≤à`°ùªdG øY ádÉM »ah ,

á£≤ædG ó©Ho …hÉ`°ùj

…hÉ`°ùj ∫ º«≤à`°ùªdG øY Égó©Ho ¿Es Éa u ¿ƒfÉ≤dG Gòg ΩGóîà`°SG øµªjh .kIô`°TÉÑe ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG πëd IQƒ°üdG ≈∏Y ∫ º`` «≤à`°ùªdG ádOÉ©e ™°†f 2 = ¢`` U 2 + ¢S : ∫ º«≤à`°ùªdG ø`` Y ( 3 , 1 ) g á`` £≤ædG ó`` ©Ho OÉ`` éjEÓa 2 – = `L , 2 = Ü , 1 = ¿ƒµj h 0 = 2 – ¢U 2 + ¢S : ∫ ádOÉ©e íÑ°üoàa 0 = `L + ¢U Ü + ¢S º«≤à`°ùªdG øY ( 3 , 1 ) g á£≤ædG ó©Ho GPEk G

(12 -1) ∫Éãe 0 = 4 + ¢U 4 – ¢S 3 : ∫ º«≤à`°ùªdG øY ( 1 , 5 – ) g á£≤ædG ó©Ho óLhCG

πëdG

0 = 4 + ¢U 4 – ¢S 3 : ∫ º«≤à`°ùªdG ádOÉ©e : ¿ƒµj º«≤à` m °ùe øY ám £≤f ó©Ho ¿ƒfÉb ≥«Ñ£àHh , 4 = `L , 4 – = Ü , 3 = GPEk G º«≤à`°ùªdG øY g á£≤ædG ó©Ho

(2) äÉ«°VÉjQ

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬ ‫م‪ã‬ال (‪) 13 -1‬‬ ‫اأوجد ال ُبعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬حي‪: å‬‬

‫الحل‬

‫ال ُبعد بين م�سـتقيمين متوازيين هو ُبعد ا ِّأي نقط ٍة من اأحدهما عن الم�سـتقيم الآخر‪ ،‬لذا نع ِّين ا َّأي نقط ٍة من‬ ‫‪ ،‬وذلك بالتعوي�س عن �س = ‪ ( 0‬مث ًال) في معادلته فنجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫اأحد الم�سـتقيمين وليكن‬ ‫�ص = – ‪3‬‬ ‫�ص – ‪0 = 3 + 0‬‬ ‫انظر ال�سكل ( ‪.) 17-1‬‬ ‫ا ًإذا النقطة ( – ‪) 0 ، 3‬‬ ‫ـتقيم‬ ‫نوجد ُبعد النقطـة ( – ‪ ) 0 ، 3‬عن ‪� :‬س – ‪� 3‬ص – ‪ ، 0 = 4‬و ذلك من قانون ُبعد نقط ٍة عن م�س ٍ‬ ‫حيث = ‪ ، 1‬ب = – ‪ ، 3‬جـ = – ‪4‬‬ ‫فيكون ال ُبعد بين المتوازيين ( ُبعد النقطة ( – ‪ ) 0 ، 3‬عن ) ي�ساوي ‪:‬‬

‫�سكل (‪)17-1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪33‬‬

≈dhC’G IóMƒdG

(1-1) ø`jQÉ`ªJ »c ( Ü ) áªFÉ≤dG »`` a ¬`` Ñ`°SÉæj É`` ªH (

) á`` ªFÉ≤dG »`` a º`m ` «≤à`°ùe πs c ¿ô`` ≤àd ;( 18-1 ) πµ`` `°ûdG Ωó`` îà`°SG 1 : ám ë«ë°U Im QÉÑY ≈∏Y π°üëJ

»`°SCGQ Ö`Lƒe ¬`∏«e ôØ°U = ¬`∏«e 2 = ¬`∏«e 2 – = ¬`∏«e

(18-1) πµ°T

.2 – Éjk hÉ`°ùe 0 = 4 + ¢U ∑ – ¢S 6 º«≤à`°ùªdG π«e ¿ƒµj å«ëH ∑ Oóu M

. É«v ≤aCG 2 + ¢S ( 1 + ) = ¢U º«≤à°ùªdG π©éJ »àdG áª«b óLhCG

:á«JB’G äÉª«≤à`°ùªdG ø«H øe IóeÉ©àªdG äÉª«≤à`°ùªdGh ájRGƒàªdG äÉª«≤à`°ùªdG ø«u Y

ø«à£≤ædÉH Qt ÉªdG º«≤à`°ùªdG

(2) äÉ«°VÉjQ

‫معادلة الخط الم�ستقيم‬

‫‪ 5‬في الفقرات التالية �أوجد معادلة الم�سـتقيم ل ِّ‬ ‫مو�ض ًحا �إجابتك بالر�سـم ‪:‬‬

‫ل يم ُّر بالنقطة ( – ‪ ) 5 ، 2‬وميلـه – ‪.2‬‬ ‫ال�صادي في ( ‪.) 3 ، 0‬‬ ‫ل يوازي الم�سـتقيم �س ‪� +‬ص = ‪ 1‬ويقطع المحور‬ ‫َّ‬ ‫ل يتقاطع مع المحاور الإحداثـ َّية في ( – ‪.) 5 ، 0 ( ، ) 0 ، 3‬‬ ‫د ل يوازي الم�سـتقيم ‪� 2‬س – ‪� 3‬ص = ‪ 6‬ويم ُّر بالنقطة ( ‪.) 2 ، 7‬‬ ‫‪6‬‬

‫�أوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 3 ، 1‬ويوازي الم�سـتقيم ‪� 3‬س ‪� +‬ص – ‪0 =5‬‬

‫‪7‬‬

‫�أوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 4 ، 0‬ويكون عمود ًّيا علـى الم�سـتقيم �س ‪� 2 +‬ص ‪0 =11 +‬‬

‫العمودي ٍّ‬ ‫لكل من‪:‬‬ ‫المن�صف‬ ‫‪� 8‬أوجد معادلة‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫القطعة الم�سـتقيمة‬ ‫القطعة الم�سـتقيمة‬

‫حيث ( ‪ ، ) 4 ، 3‬ب ( ‪.) 1 – ، 5‬‬ ‫حيث جـ ( ‪ ، ) 1 – ، 2‬د ( – ‪.) 1 ، 3‬‬

‫‪� 9‬إذا كانت ( ‪ ، ) 4 ، 2‬ب ( – ‪ ) 1 ، 2‬ف�أوجد ك ًّ‬ ‫ال مـ َّما يلي ‪:‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم ب‪.‬‬ ‫العمودي على ب والما ِّر بالنقطة ‪.‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم‬ ‫ِّ‬ ‫معادلة الم�سـتقيم الذي يوازي ب ويم ُّر بالنقطة ( ‪.) 1 – ، 3‬‬ ‫‪� 10‬إذا كانت ( ‪ ، ) 4 ، 2‬ب ( – ‪ ، ) 2 ، 1‬جـ ( – ‪ ، ) 3 ، 3‬د( ‪ ) 5 ، 0‬ف�أثبت �أ َّن ال�شـكل ب جـ د‬ ‫متوازي �أ�ضالع‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪35‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪� 11‬إذا كان الم�سـتقيم �س = ‪ 5‬يقطع المحور ال�سين َّـي في نقطة‬ ‫في نقطة ب‪ ،‬ف�أوجد ك ًّ‬ ‫ال مـ َّما يلي ‪:‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم‬

‫ال�صادي‬ ‫‪ ،‬والم�سـتقيم �ص = ‪ 3‬يقطع المحور‬ ‫َّ‬

‫ب‪.‬‬

‫العمودي على ب والما ِّر في نقطة الأ�صل‪.‬‬ ‫معادلة الم�سـتقيم‬ ‫ِّ‬ ‫‪� 12‬أوجد ُبعد نقطة الأ�صل عن ٍّ‬ ‫كل من الم�سـتقيم �ص = ‪ ، 3‬الم�سـتقيم �س = – ‪ , 5‬الم�ستقيم �ص = �س‬ ‫‪� 13‬أوجد ُبعد النقطة ( ‪ ) 5 ، 4‬عن الم�سـتقيم الذي معادلته ‪� 5‬س – ‪� 12‬ص – ‪0 = 12‬‬ ‫‪� 14‬أوجد ُبعد النقطة ( – ‪ ) 3 – ، 1‬عن الم�سـتقيم الذي معادلته ‪� 3‬س ‪� 4 +‬ص = – ‪.6‬‬ ‫‪� 15‬أوجد ُبعد النقطة ( ‪ ) 4 ، 4‬عن الم�سـتقيم المار بنقطة الأ�صل وميله‬

‫‪.‬‬

‫‪� 16‬أوجد ُبعد النقطة ( ‪ ) 3 – ، 0‬عن الم�سـتقيم الذي مقطعه ال�سيني –‪ 4‬ومقطعه ال�صادي ‪. 2‬‬ ‫‪� 17‬أوجد ال ُبعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين‬

‫‪� 18‬أوجد طول العمود النازل من النقطة ( ‪ ) 2 ، 1‬على الم�سـتقيم ‪� 5‬س – �ص ‪0 = 23 +‬‬

‫‪36‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الدا‪F‬رة‬

‫‪2-1‬‬

‫‪Iô``FGó``dG á````dOÉ©e‬‬

‫لتكن نقط ًة ثابت ًة في الم�سـتوي ى ‪ ،‬عد ًدا حقيق ًّيا موج ًبا ‪ ،‬ا َّإن مجموعة نق§ الم�سـتوي التي تبعد‬ ‫ك ‪w‬ل منها عن مقدا ًرا ثابتًا ي�سـاوي تُ�س َّمى دا‪F‬رة‪ ،‬انظر �سـكل ( ‪) 19-1‬‬ ‫وتكون الدا‪F‬رة =‬ ‫ُت�س َّمى مركز الدا‪F‬رة‪ ،‬ون�سـت‪î‬دم الرمز ( ) للدللة على الدا‪F‬رة التي مركزها م‪ .‬و ُت�س َّمى‬ ‫ن�س∞ قطر الدا‪F‬رة‪ ،‬و ُي�س َّمى العدد الموج‪ Ö‬طول ن�س∞ قطر الدا‪F‬رة‬ ‫القطعة‬ ‫؛ للدللة على الدا‪F‬رة التي‬ ‫و ُيرمز له اأحيانًا بالـرمـز ‪ .‬كما ن�سـت‪î‬دم الرمز‬ ‫مركزها م وطول ن�س∞ قطرها ‪.‬‬

‫�سكل (‪)19-1‬‬

‫تعريف ( ‪)1 -1‬‬ ‫الدا‪F‬رة هي مجموعة نق§ الم�سـتوي المت�سـاوية الـ ُبعد عن نقط ٍة ثابت ٍة في الم�سـتوي‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪37‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫معادلة الدا‪F‬رة‬

‫إحداثي ؛ لإيجاد معادلة الدا‪F‬رة التي طول ن�س∞ قطرهـا ‪ ،‬ومركزها النقطة‬ ‫في الم�سـتوي ال ِّ‬ ‫يكفي اأن نوجد العالقة بين اإحداثي ِّـي ا ِّأي نقط ٍة اختيار َّي ٍة واقع ٍة على هذ√ الدا‪F‬رة ولتكن ( �س ‪� ،‬س )‬ ‫كما في ال�سـكل ( ‪.) 20-1‬‬

‫�سكل (‪)20-1‬‬ ‫با�سـت‪î‬دام قانون ال ُبعد بين النقطتين‬ ‫ولكن‬

‫‪،‬‬

‫نجد ا َّأن‬

‫وهذ√ هي معادلة الدا‪F‬رة المطلوبة وتُ�س َّمى المعادلة القيا�سـ َّية للدا‪F‬رة‪.‬‬

‫ن¶رية (‪)3-1‬‬ ‫معادلة الدا‪F‬رة‬

‫التي مركزها‬

‫هي‬

‫نتي‪é‬ة (‪)2-1‬‬ ‫معادلة الدا‪F‬رة التي مركزها ( ‪ ،‬ب ) = ( ‪ ) 0 ، 0‬وطول ن�س∞ قطرها‬

‫‪38‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫هي‪:‬‬

‫معادلة الدا‪F‬رة‬ ‫نتي‪é‬ة (‪)3-1‬‬ ‫المعادلة‬

‫ٍ‬ ‫حالت تبعـاً لقيمة جـ ‪:‬‬ ‫جـ لـ¡ا ثال‪ç‬‬

‫‪ 1‬اإذا كانت جـ <‪ 0‬فا َّإن المعادلة تم ِّثل دا‪F‬رةً‪.‬‬ ‫‪ 2‬اإذا كانت جـ = ‪ 0‬فا َّإن المعادلة تم ِّثل مجموع ًة ذات عن�سرٍ ٍ‬ ‫واحد ( ‪ ،‬ب ) وفي هذ√ الحالة‬ ‫تو‪D‬ول الدا‪F‬رة اإلى نقطة ( ‪ ،‬ب )‪.‬‬ ‫الحقيقي ل يكون �سـال ًبا‪.‬‬ ‫‪ 3‬اإذا كانت جـ > ‪ 0‬فا َّإن المعادلة تم ِّثل المجموعة ؛ ل َّأن مر َّبع العدد‬ ‫ِّ‬

‫م‪ã‬ال (‪)14 -1‬‬ ‫اُكت‪ Ö‬معادلة الدا‪F‬رة التي مرك‪õ‬ها نقطة الأ�سل وطول ن�سف ‪b‬طرها الوحدة‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بتطبيق النتيجة ( ‪ ) 2-1‬نكت‪ Ö‬مبا�سـر ًة‬ ‫تُ�س َّمى هذ√ الدا‪F‬رة دا‪F‬رة الوحدة و�سـتكون لـها اأهم َّية في درا�سـتنا الالحقة باإذن اˆ تعالى‪.‬‬

‫م‪ã‬ال (‪)15 -1‬‬ ‫اُكت‪ Ö‬معادلة الدا‪F‬رة التي مرك‪õ‬ها ( –‪ ) 2 ، 1‬وطول ن�سف ‪b‬طرها ‪ 3‬وحدات طول‪.‬‬

‫الحل‬

‫بالتعوي�س عن = – ‪ ، 1‬ب = ‪، 2‬‬

‫= ‪ 3‬في ال�سورة القيا�سـ َّية لمعادلة الدا‪F‬رة ‪:‬‬

‫تكون المعادلة المطلوبة هي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪39‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫تدري‪)4-1( Ö‬‬ ‫اأوجد معادلة الدا‪F‬رة التي مركزها ( –‪ ) 4– ، 3‬وطول ن�س∞ قطرها‬

‫م‪ã‬ال (‪)16 -1‬‬ ‫اأوجد معادلة الدا‪F‬رة التي مرك‪õ‬ها ( –‪ ) 5 ، 2‬وتم ‪t‬ر بالنقطة ( ‪.) 5 ، 3‬‬

‫الحل‬

‫نوجد طول ن�س∞ قطر الدا‪F‬رة با�سـت‪î‬دام قانون ال ُبعد بين نقطتين‪.‬‬ ‫طول ن�س∞ القطر‬ ‫بالتعوي�س في المعادلة القيا�سـ َّية ( ‪) 9-1‬‬ ‫تكون معادلة الدا‪F‬رة المطلوبة هي ‪:‬‬

‫م‪ã‬ال (‪)17 -1‬‬ ‫اأوجد مرك‪ õ‬وطول ن�سف ‪b‬طر الدا‪F‬رة التي معادلت¡ا‬

‫الـحل‬

‫نقارن هذ√ المعادلة بال�سورة القيا�سـ َّية لمعادلة الدا‪F‬رة وهي‬ ‫فنجد ا َّأن‬ ‫وحدة طول ‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬ ‫‪J‬دري‪)5-1( Ö‬‬

‫اأكمل ال‪Ø‬را‪: Æ‬‬ ‫‪àdG IôFGódG‬ي ‪É©e‬د‪: É¡àd‬‬ ‫وطول ن�سف قطرها‬

‫‪µj‬و¿ ‪õcôe‬ه‪É‬‬

‫‪.........................................................‬‬

‫‪....................................................‬‬

‫‪،‬‬

‫وحدة طول‬

‫‪¶f‬رية (‪)4-1‬‬ ‫‪É©ªdG‬د‪ád‬‬ ‫تم ِّثل دائر ًة اأو نقط ًة واحد ًة اأو مجموع ًة ‪N‬الي ًة‪.‬‬

‫الـ‪Ñ‬ر‪g‬ا¿‬

‫نح�سل على ‪:‬‬

‫با�سـتخدام طريقة اإكمال المر َّبع للمعادلة‬

‫وهي معادلة الدائرة على ال�سورة القيا�سـ َّية وا�سـتنا ًدا اإلى النتيجة ( ‪ ) 3-1‬نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫‪ )1‬اإذا كان‬

‫فا َّإن المعادلة تم ِّثل دائر ًة مركزها (‬

‫‪)Ü،‬‬

‫وطول ن�سف قطرها العدد‬ ‫‪ )2‬اإذا كان‬

‫فا َّإن المعادلة تم ِّثل النقطة ( ‪.) Ü ،‬‬

‫‪ )3‬اإذا كان‬

‫فا َّإن المعادلة تم ِّثل المجموعـة‬

‫‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪41‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫(‪)2-1‬‬ ‫‪É©ªdG‬د‪ád‬‬ ‫تُ�س َّمى ال�سورة العامة لمعادلة الدائرة وتتم َّيز بال‪B‬تي‪:‬‬ ‫‪ 1‬معادلة من الدرجة الثانية في المتغ ِّيرين �ص ‪� ،‬ص ‪.‬‬ ‫معامل‬ ‫‪ 2‬معامل‬ ‫‪ 3‬معامل �ص �ص = ‪0‬‬ ‫ولذا ن�سـتنت‪ è‬ا َّأن المعادلة من الدرجة الثانية في المتغ ِّيرين �ص ‪� ،‬ص ‪:‬‬ ‫اأي ا َّأن‬ ‫اأي ا َّأن‬

‫معامل‬ ‫‪ )1‬معامل‬ ‫‪ )2‬معامل �ص �ص = ‪0‬‬

‫= جـ ≠ ‪0‬‬ ‫‪0 =Ü‬‬

‫)‪)10-1‬‬

‫تم ِّثل ( على العموم ) دائر ًة اإذا كان ‪:‬‬

‫مثال (‪)18 -1‬‬ ‫و�س‪ í‬ما‪P‬ا تم ِّثل ‪w‬‬ ‫ِّ‬ ‫كل من المعادلت ال‪B‬تية‪:‬‬

‫الحل‬

‫نكت‪ Ö‬المعادلة المعطاة على ال�سورة العامة ( ‪) 10-1‬‬ ‫معامل‬ ‫وذل∂ بق�سـمة طرفيها على معامل‬ ‫فتُ�سب‪í‬‬ ‫وبمقارنتها بالمعادلة العامة نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫(لح‪ ß‬اأن‬

‫معامل �ص ‪ ،‬وكذل∂ ‪Ü‬‬

‫ا ًإذا المعادلة المعطاة تم ِّثل النقطة‬

‫‪42‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معامل �ص )‪.‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬ ‫بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة العامة نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫ا ًإذا المعادلة تم ِّثل دائر ًة مركزها ( ‪.) 4 ، 3– ( = ) Ü ،‬‬ ‫وطول ن�سف قطرها‬ ‫ن†سع المعادلة على ال�سورة العامة وذل∂ بق�سـمة طرفيها على ‪..............‬‬ ‫فيكون‬ ‫معامل‬ ‫معامل‬

‫ا ًإذا المعادلة تم ِّثل ‪..................‬‬

‫( اأكمل الفرا‪) Æ‬‬

‫مثال (‪)19 -1‬‬ ‫اأوجد مركز وطول ن�سف قطر الدائرة التي معادلتها‬

‫الحل‬ ‫بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة العامة نجد ا َّأن ‪:‬‬ ‫معامل‬ ‫معامل‬ ‫فيكون المركز هو النقطة ( ‪...................... = ) Ü ،‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪43‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫وطول ن�سف القطر‬ ‫( اأكمل الفرا‪) Æ‬‬

‫يمكن ح ُّل هذا المثال بطريق ٍة اأ‪N‬ر‪ i‬تعتمد على و�سع المعادلة المعطاة على ال�سورة القيا�سـ َّية ( ‪، ) 9-1‬‬ ‫وذل∂ باإكمال المر َّبع كما يلي‪:‬‬

‫وهي على ال�سورة‬ ‫ا ًإذا مركز الدائرة‬ ‫( اأكمل الفرا‪) Æ‬‬

‫‪¶f‬رية (‪)5-1‬‬ ‫يتقاطع الم�سـتقيم مع الدائرة اإ َّما في نقطتين‪ ،‬اأو في نقط ٍة واحد ٍة ‪ ،‬اأو اأ نَّهما ل يتقاطعـان‪.‬‬

‫ال‪Ñ‬ر‪g‬ا¿‬ ‫المعادلة العا َّمة ِّ‬ ‫للخط الم�سـتقيم‬ ‫والمعادلة القيا�سـ َّية للدائرة‬

‫نظاما من معادل ٍة ِّ‬ ‫‪N‬طـ َّي ٍة واأ‪N‬ر‪ i‬من الدرجة الثانية ‪ ،‬وهو بالتالي قاب ‪l‬ل ِّ‬ ‫للحل بالتعوي†ص‬ ‫ي‪û‬س ِّكالن ً‬ ‫فنح�سل منه على معادل ٍة من الدرجة الثانية في اأحد المتغ ِّيرين‪ .‬وبما ا َّأن معادلة الدرجة الثانية في‬ ‫متغ ِّيرٍ ٍ‬ ‫واحد لـها اإ َّما ح َّالن اأو ح ٌّل واح ‪l‬د اأو ل يوجد لـها ح ٌّل‪ ،‬وذل∂ وف≥ مم ِّيز المعادلة‪ ،‬فاإ نَّنا ن�سـتنت‪è‬‬ ‫ا َّأن معادلت ِّـي الم�سـتقيم والدائرة لـهما ح َّالن على الأكثر‪ ،‬وبالتالـي يقطع الم�سـتقيم الدائرة في‬ ‫نقطتين على الأكثر‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬ ‫عندما يقطع الم�سـتقيم الدائرة في نقطتين ُي�س َّمى هذا الم�سـتقيم قاط ‪k‬عا للدائرة‪ .‬والجزء المح�سور منه‬ ‫دا‪N‬ل الدائرة وت ًرا‪ .‬وعندما يقطعها في نقط ٍة واحد ٍة ُي�س َّمى مما�سـ‪v‬ا للدائرة‪ ،‬واإذا لم يتقاطع الم�سـتقيم مع‬ ‫‪N‬ارجي كما هو مب َّين في ال‪û‬سـكل ( ‪.) 21-1‬‬ ‫الدائرة نقول‪ :‬ا َّإن الم�سـتقيم‬ ‫‪w‬‬

‫م�ستقيم ‪N‬ارجي‬

‫‪T‬سكل (‪)21-1‬‬

‫التما�ص كما‬ ‫مما�ص الدائرة تعامد√ مع ن�سف القطر الما ِّر من نقطة‬ ‫وقد �سـب≥ ل∂ درا�سـة ا َّأن من ا ِّ‬ ‫أهم ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪N‬وا�ص ِّ‬ ‫التما�ص مع الدائرة التي مركزها م‪ ،‬كما ا َّأن ُبعد المركز م‬ ‫مو�س ‪ íl‬في ال‪û‬سـكل ( ‪ ،) 22-1‬حيث نقطة‬ ‫هو َّ‬ ‫ِّ‬ ‫‪.‬‬ ‫المما�ص ي�سـاوي طول ن�سف القطر‬ ‫عن الم�سـتقيم‬ ‫ِّ‬

‫‪T‬سكل (‪)22-1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪45‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)20 -1‬‬

‫اأوجد نقط تقاطع الم�سـتقيم �س – �ص ‪ 0 = 2 +‬مع الدائرة التي مركزها ( ‪ ) 0 ، 1‬وطول ن�سف قطرها ‪.3‬‬

‫الحل‬ ‫‪É©e‬د‪ IôFGódG ád‬هي‬ ‫ومعادلة الم�سـتقيم هي‬ ‫بالتعوي†ص عن �ص في معادلة الدائرة نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫‪T‬سكل (‪)23-1‬‬

‫وبالتعوي†ص في معادلة الم�سـتقيم عن قيم �ص نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫فتكون نقطتا التقاطع هما ( – ‪ ، ) 3 ، 1 ( ، ) 0 ، 2‬انظر ال‪û‬سـكل ( ‪.) 23-1‬‬

‫‪J‬دري‪)6-1( Ö‬‬ ‫ي َّت†س‪ í‬من ال‪û‬سـكل ( ‪ ) 23-1‬اأ نَّه لو كان طول ن�سف قطر الدائرة ي�سـاوي ‪ 1‬بد ًل من ‪ 3‬لما تقاطعت مع‬ ‫الم�سـتقيم‪ .‬تحقَّ≥ من ذل∂ ِّ‬ ‫بحل المعادلتين‬

‫‪46‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬ ‫مثال (‪)21 -1‬‬ ‫اُدر�س تقاطع الم�سـتقيم‬

‫مع الدائرة‬

‫الحل‬

‫معادلة الم�سـتقيم‬ ‫نع ِّو�ص عن �ص من معادلة الم�سـتقيم في معادلة الدائرة فنح�سل على ‪:‬‬

‫هو الجذر الوحيد للمعادلة‪.‬‬ ‫بالتعوي†ص عن قيمة �ص في معادلة الم�سـتقيم ; تكون قيمة �ص المقابلة هي ‪:‬‬ ‫مما�ص لـها عند هذ√ النقطة‪ ،‬كما هو وا�س ‪ íl‬في‬ ‫وحيث ا َّإن الم�ستقيم يقطع الدائرة في نقطة وحيدة فهو ٌّ‬ ‫ال‪û‬سكل ( ‪.) 24-1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪T‬سكل (‪)24-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪47‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)22 -1‬‬ ‫اأث‪ âÑ‬اأ َّن الم�سـتقيم‬

‫مما�سا للدائرة التي معادلتها‬ ‫يكون ‪v‬‬

‫الحل‬ ‫بالتعوي†ص عن �ص من معادلة الم�سـتقيم في معادلة الدائرة‪ ،‬نح�سل على ‪:‬‬

‫ا ًإذا الم�سـتقيم يتقاطع مع الدائرة في نقط ٍة واحد ٍة فقط وهي ( – ‪) 0 ، 1‬‬ ‫مما�ص للدائرة‪.‬‬ ‫وهذا يثبت ا َّأن الم�سـتقيم‬ ‫ٌّ‬

‫‪J‬دري‪)7-1( Ö‬‬ ‫قم ِّ‬ ‫بحل المثال ال�سـاب≥ با�سـتخدام قانون ُبعد نقط ٍة عن م�سـتقيم‪.‬‬

‫مثال (‪)23 -1‬‬ ‫مما�س الدائرة ( م ) عند النقطة ( ‪. ) 1 ، 4‬‬ ‫دائرة مركزها ( ‪ ،) 3 ، 1‬اأوجد معادلة‬ ‫ِّ‬

‫الحل‬ ‫حيث ا َّإن ن�سف قطر الدائرة‬

‫المما�ص‪T ،‬سـكل (‪.) 25-1‬‬ ‫عمودي على‬ ‫ٌّ‬ ‫ِّ‬

‫وحيث ا َّإن ميل الم�سـتقيم‬ ‫المما�ص‬ ‫فا َّإن ميل‬ ‫ِّ‬ ‫المما�ص يم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 1 ، 4‬فا َّإن معادلته ‪:‬‬ ‫وبما ا َّأن‬ ‫َّ‬ ‫وذل∂ بالتعوي†ص في المعادلة ( ‪) 6-1‬‬

‫‪T‬سكل (‪)25-1‬‬

‫‪48‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬

‫مثال (‪)24 -1‬‬ ‫مما�س الدائرة التي قطرها‬ ‫اأوجد معادلة ِّ‬

‫‪.‬‬

‫عند النقطة ب منها حيث‬

‫الحل‬ ‫عمودي على القطر‪.‬‬ ‫المما�ص‬ ‫عمودي على ن�سف القطر فا َّإن‬ ‫المما�ص‬ ‫حيث ا َّإن‬ ‫ٌّ‬ ‫ٌّ‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫نوجد ميل القطر‬ ‫مما�ص الدائرة‬ ‫ويكون ميل ِّ‬ ‫المما�ص هي‬ ‫ا ًإذا معادلة‬ ‫ِّ‬

‫وذل∂ بالتعوي†ص في المعادلة ( ‪) 6-1‬‬

‫مثال (‪)25 -1‬‬ ‫اأوجد طول المما�س المر�سوم من النقطة (‪ )3- ، 8‬اإلى الدائرة (م) والتي معادلتها‬ ‫علما‪ k‬باأن طول المما�س المر�سوم من النقطة‬ ‫اإلى الدائرة (م) ي�ساوي طول القطعة الم�ستقيمة التي طرفاها النقطة ونقطة التما�س‪.‬‬

‫الحــل‬ ‫المما�ص المر�سـوم من‬ ‫من ال‪û‬سـكل ( ‪ ) 26-1‬ي َّت†س‪ í‬ا َّأن طول‬ ‫ِّ‬ ‫التما�ص ي�سـاوي‬ ‫النقطة ( ‪ ) 3 – ، 8‬اإلى نقطة‬ ‫ِّ‬ ‫�سلعي القائمة‬ ‫طول القطعة الم�سـتقيمة‬ ‫والتي تم ِّثل اأحد ِّ‬ ‫المما�ص‪.‬‬ ‫حيث‬ ‫في المث َّلث‬ ‫ِّ‬ ‫بمقارنة معادلة الدائرة المعطاة بالمعادلة العا َّمة للدائرة نجد اأنَّ ‪:‬‬ ‫‪T‬سكل (‪)26-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪49‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫وعليه يكون‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫مركز الدائرة‬

‫و من َّثم‬

‫‪2‬‬

‫وبتطبي≥ نظرية فيثاغورث على المث َّلث‬

‫‪50‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫نجد ا َّأن ‪:‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬ ‫(‪)3-1‬‬ ‫اإذا كانت نقطة في الم�سـتوي ‪ i‬وكانت ( م ) دائرة طول ن�سف قطرها‬

‫فا َّإن ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫حقيقي موج‪.Ö‬‬ ‫مما�ص منها اإلى الدائرة‪ ،‬طوله عد ‪l‬د‬ ‫‪N‬ار‪ ê‬الدائرة ويمكن ر�سـم ٍّ‬ ‫ٌّ‬

‫‪2‬‬

‫المما�ص المر�سـوم منها اإلى الدائرة ي�سـاوي �سفر‪.‬‬ ‫تقع على الدائرة وطول‬ ‫ِّ‬

‫‪3‬‬

‫مما�ص منها اإلى الدائرة‪.‬‬ ‫دا‪N‬ل الدائرة ول يمكن ر�سـم ٍّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪51‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تم`اري`ن )‪(2-1‬‬ ‫‪1‬‬

‫اأوجد معادلة الدائرة التي مركزها وطول ن�سف قطرها كما يلـي‪:‬‬ ‫)‪6 ، )0 ، 0‬‬ ‫)‪3 ، )5 ، 0‬‬ ‫)–‪، )3– ، 1‬‬ ‫د )‪، )4 ، 1‬‬

‫‪2‬‬

‫و�س‪ í‬ما‪P‬ا تم ِّثله ‪w‬‬ ‫ِّ‬ ‫كل من المعادلت ال‪B‬تيـة‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪ 3‬اأوجد قيمة ه التي ت‪é‬عل طول ن�سف قطر الدائرة �س‪� + 2‬ص‪� 6 – 2‬س ‪� g 2 +‬ص – ‪0 = 23‬‬ ‫ي�سـاوي ‪ 6‬وحدات طول‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪52‬‬

‫اأوجد معادلة الدائرة التي ُتحقِّ≥ ال‪û‬سـرو• المذكورة في ال‪Ø‬قرات التالية مو�سِّ ‪k‬حا اإجابت∂ بالر�سـم ‪:‬‬ ‫‪ ) 0 ، 2 ) õcôªdG‬وتم ُّر بالنقطة ( ‪.) 0 ، 0‬‬ ‫‪ ) 3 ، 0 ) õcôªdG‬وتم ُّر بالنقطة ( ‪.) 6 ، 0‬‬ ‫وتم�ص المحور ال�سين َّـي عند ( ‪.) 0 ، 3‬‬ ‫المركز على الم�سـتقيم �ص = �ص ُّ‬ ‫ال�سادي‪.‬‬ ‫وتم�ص المحور‬ ‫َّ‬ ‫د ‪ُّ ) 7 – ، 5 – ) õcôªdG‬‬ ‫هـ طرفا القطر ( – ‪n ) 3 ، 2‬و ( ‪.) 5 ، 6‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫معادلة الــدائ ــرة‬

‫‪5‬‬

‫اُدر�س تقاطع الم�سـتقيم مع الدائرة في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلـي‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪6‬‬

‫مما�س الدائرة عند النقطة الواقعة عليها في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلـي‪:‬‬ ‫�أوجد معادلة‬ ‫ِّ‬

‫د‬

‫‪7‬‬

‫المما�س المر�سـوم من النقطة ( ‪� ) 0 ، 1‬إلى الدائرة ‪:‬‬ ‫�أوجد طول‬ ‫ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪53‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪ 1‬معادلة الدرجة الأولى في متغ ِّيرين‬ ‫مجموعة نقط م�سـتقيم‪ ،‬وهي على ال�صورة العا َّمة لمعادلة الم�سـتقيم‪.‬‬

‫تُم ِّثل‬

‫هي معادلة ِّ‬ ‫الخط الم�سـتقيم بداللة الميل والجزء المقطوع من محور ال�صادات‬ ‫‪2‬‬ ‫وهي المعادلة القيا�سـ َّية للم�سـتقيم‪ ،‬ومنها �أوجدنا ال�صور المختلفة لمعادلة ِّ‬ ‫الخط الم�سـتقيم وهي ‪:‬‬ ‫وهي معادلة ِّ‬ ‫الخط الم�سـتقيم بداللة ميله ونقط ٍة منه‪.‬‬ ‫وهي معادلة ِّ‬ ‫الخط الم�سـتقيم بداللة‬ ‫نقطتين منه‪ .‬‬ ‫وهي معادلة ِّ‬ ‫الخط الم�سـتقيم بداللة مقطعيه من المحورين الإحداثـ َّيين‪.‬‬ ‫‪ 3‬لإيجاد ميل الم�سـتقيم بمعلوم َّية معادلته هناك طريقتان‪:‬‬ ‫بو�ضع المعادلة على ال�صورة العا َّمة‬ ‫فيكون ميل الم�سـتقيم‬ ‫بو�ضع المعادلة على ال�صورة القيا�سـ َّية‬

‫‪54‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫فيكون ميل الم�سـتقيم‬

‫تعلم‪ â‬في هذ√ الوحدة‬

‫‪T‬س ــر• تعام ــد م�س ــتقيمين ميالهم ــا‬ ‫ه ــو‬ ‫‪T 4‬س ــر• ت ــوازي م�س ــتقيمين ميالهم ــا‬ ‫وذل∂ في حالة ا َّأن الم�سـتقيمين غير راأ�سـ َّيين‪ ،‬حيث ا َّإن الم�سـتقيم‬ ‫هو‬ ‫ال�سادي ) ل ميل له‪.‬‬ ‫الراأ�سـي ( الموازي للمحور‬ ‫ِّ‬ ‫‪ُ 5‬بعد النقطة‬

‫ي�ساوي‬

‫عن الم�سـتقيم‬

‫‪ 6‬معادلة الدائرة هي معادل ‪l‬ة من الدرجة الثانية في المتغ ِّيرين‬ ‫معامل‬ ‫معامل‬ ‫فيها معامل‬ ‫على اإحد‪ i‬ال�سورتين التاليتين‪:‬‬ ‫مركزها‬ ‫•‬ ‫•‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫وتكون معادلة الدائرة التي‬ ‫طول ن�سف القطر‪.‬‬ ‫حيث‬

‫‪ 7‬يكون الم�سـتقيم قاط ًعا للدائرة اإذا تقاطع معها في نقطتين و مما�سـًّا لـها اإذا تقاطع معها في نقط ٍة‬ ‫واحد ٍة و ‪N‬ارج ًّيا عنها اإذا لم يتقاطع معها‪.‬‬ ‫ويت ُّم تحديد ذل∂ ِّ‬ ‫بحل النظام المك َّون من معادلة الم�سـتقيم ومعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫مما�ص الدائرة عند نقط ٍة عليها‪.‬‬ ‫‪ 8‬ا�سـتنا ًدا اإلى ‪N‬ا�س َّية تعامد‬ ‫المما�ص مع ن�سف القطر َّتم اإيجاد معادلة ِّ‬ ‫ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪55‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة (‬

‫) �أو عالمة (‬

‫) عن يمين ما يلـي ‪:‬‬

‫ميل محور ال�سـينات ي�سـاوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫أفقي‪.‬‬ ‫الم�سـتقيم الما ُّر بالنقطتين ( ‪ٌّ � ) 5 ، 1 ( ، ) 3 ، 1‬‬ ‫عمودي على الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = ‪0‬‬ ‫الم�سـتقيم الذي معادلته �س = ‪0‬‬ ‫ٌّ‬ ‫عمودي على الم�سـتقيم الذي معادلته �س = – ‪1‬‬ ‫الم�سـتقيم الذي معادلته �س = ‪1‬‬ ‫ٌّ‬ ‫الم�سـتقيم الذي ميله ي�ساوي ‪ 2‬ويم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 2 ، 3‬تكون معادلته �ص ‪� ( 2 = 2 +‬س ‪.) 3 +‬‬ ‫الم�سـتقيم الذي معادلته �س = ‪ 3‬يم ُّر بالنقطة ( ‪.) 2 – ، 3‬‬ ‫ُبعد نقطة الأ�صل عن الم�سـتقيم �ص = ‪ 3‬هو ‪ 3‬وحدات‪.‬‬ ‫ال ُبعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين �ص = ‪� ، 4‬ص = – ‪ 1‬هو ‪ 3‬وحدات‪.‬‬ ‫النقطة ( ‪) 0 ، 0‬‬

‫الدائرة (‬

‫) التي معادلتها‬

‫طول ن�صف قطر الدائرة التي معادلتها‬ ‫مما�س الدائرة (‬ ‫ميل ِّ‬ ‫�إذا كان الم�سـتقيم‬ ‫ي�سـاوي‬

‫‪56‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫)‪:‬‬

‫هو ‪ 6‬وحدات‪.‬‬ ‫عند النقطة ( ‪ ) 2 ، 1‬ي�سـاوي‬ ‫التما�س‬ ‫مما�سـا لل َّدائرة ف� َّإن ميل ن�صف القطر الما ِّر بنقطة‬ ‫ِّ‬ ‫ًّ‬

‫‪ 2‬لك ِّل بند فيما يلي �أربع �إجابات‪ ،‬واحدة منها فقط �صحيحة‪ ،‬حد ِّدهـا‪:‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫الم�سـتقيم‬

‫م�سـتقيمين متعامدين‪،‬‬ ‫هو‪:‬‬

‫م�ستقيمين متوازيين‪،‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫ميل الم�سـتقيم هو‪:‬‬

‫يم ُّر بالنقطتين ( ‪ ) 3 ، 2 ( ، ) 5 ، 1‬ف� َّإن ميل‬

‫يم ُّر بالنقطتين ( – ‪ ) 2 – ، 3 ( ، ) 2 ، 3‬ف� َّإن‬

‫معادلة الم�سـتقيم الما ِّر بالنقطة ( ‪ ) 5 – ، 5‬ويوازي محور ال�صادات هي‪:‬‬

‫د معادلة الم�سـتقيم الذي ميله ي�سـاوي ‪ 2‬ويم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 2 – ، 1‬هي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪57‬‬

‫� َّإن قيمة‬

‫عمود ًّيـا على الم�ستقيم‬

‫التي تجعل الم�ستقيم‬

‫هو‪:‬‬

‫� َّإن مركز الدائرة ( ) ‪:‬‬

‫‪� 3‬أوجد طول العمود النازل من النقطة ( – ‪ ) 1 ، 2‬على الم�سـتقيم �س ‪� 3 +‬ص ‪0 = 5 +‬‬ ‫‪� 4‬أوجد ُبعد نقطة الأ�صل عن الم�سـتقيم الذي ميله ي�سـاوي‬

‫ال�صادي ‪. 4‬‬ ‫ومقطعه‬ ‫ُّ‬

‫وتم�س الم�سـتقيم الذي معادلته ‪� 4‬س ‪� 3 +‬ص = ‪� ، 3‬أوجد طول‬ ‫‪ 5‬دائرة مركزها ( – ‪ُّ ) 3 – ، 2‬‬ ‫ن�صف قطرها ث َّم اكتب معادلتها‪.‬‬ ‫مع محور ال�سـينات‪.‬‬

‫‪� 6‬أوجد نقطت ِّـي تقاطع الدائرة‬

‫‪� 7‬أوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يم ُّر بمركز الدائرة التي معادلتها‬ ‫ويوازي الم�سـتقيم‬ ‫مما�س الدائرة التي قطرها‬ ‫‪� 8‬أوجد معادلة‬ ‫ِّ‬ ‫ب ( ‪ ، ) 0 ، 1‬جـ ( ‪) 2 – ، 3‬‬

‫عند النقطة جـ منها حيث ‪:‬‬

‫‪� 9‬أوجد معادلة �أ�صغر دائر ٍة تم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 3 ، 2‬ويقع مركزها على الم�سـتقيم �س ‪� +‬ص – ‪0 = 3‬‬

‫‪58‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫المما�سـين للدائرتين‬ ‫‪ 10‬ب ِّين �أ َّن‬ ‫َّ‬ ‫عند نقطة الأ�صل متعامدان‪.‬‬ ‫‪ 11‬لدينا المث َّلث‬

‫حيث ( ‪ ، ) 0 ، 3‬ب ( ‪ ، ) 4 ، 1‬جـ ( ‪: ) 6 ، 5‬‬

‫بدون ا�سـتخدام نظرية فيثاغورث �أثبت � َّأن المث َّلث‬

‫قائم الزاوية‪.‬‬

‫�أوجد معادلة ٍّ‬ ‫كل من �أ�ضالع المث َّلث ‪.‬‬ ‫�أوجد معادلة االرتفاع النازل على الوتر ‪ ،‬و �أوجد طوله‪.‬‬ ‫د‬

‫�أوجد معادلة الدائرة التي تم ُّر بر�ؤو�س المث َّلث‪ .‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪59‬‬

IóMƒdG äÉ``````ã`∏`ãªdG ÜÉ``°ù`M ‫«`ة‬f‫ا‬ãdG Trigonometry ¢ShQódG É¡°SÉ«bh á¡LƒŸG s ájhGõdG (1-2) IOs É◊G ájhGõ∏d á«YôØdG á«ãs∏ãŸG Ö°ùædG (2-2) ( ájs ôFGódG ∫GhódG ) á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (3-2) á«ãs∏ãŸG äÉ≤HÉ£àŸG (4-2) ‫ثلثات من اأهم‬Ÿ‫يعد علم ح�ساب ا‬ ‫سافات‬û‫العلوم التي اأثرت ‘ الكت‬ ‫اعات العلمية فهو‬ÎN‫وال‬ ‫�سيط‬Ñ‫من الو�سائل الهامة لت‬ ‫يعية‬Ñ‫ الط‬ç‫حو‬Ñ‫ من ال‬Ò‫الكث‬ . ‫والهند�سية وال�سناعية‬

x á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (5-2) ¥ôØdGh ´ƒªéŸG øe πµd É¡Ø°üfh ájhGõdG ∞©°†d á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (6-2) ∫GƒWCGh ås∏ãŸG ÉjGhR äÉ°SÉ«b ÚH ábÓ©dG (7-2) ¬YÓ°VCG äÉãs∏ãŸG ÜÉ°ùM äÉ≤«Ñ£J ¢†©H (8-2)

‫‪±GógC’G‬‬ ‫‪n¿ƒµj ¿Cr G Ip óMƒdG √òg á`°SGQO‬‬ ‫‪nó©H ÖdÉ£dG nøe ™bƒàj‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪: ¿Cr G ≈∏Yn GQk OÉb‬‬ ‫الموجهة وبع†س الم‪Ø‬اهي‪ º‬المتع ِّلقة بـها‪.‬‬ ‫‪o -1‬يع ِّر‪ ±‬الزاوية‬ ‫َّ‬ ‫‪ -2‬يوجد ال‪�æ‬ض‪ Ö‬المث َّلثية لزواي ٍة حادَّة‪.‬‬ ‫‪ -3‬يتع ِّر‪ ±‬الدوال المث َّلثية‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد قي‪ º‬الدوال المث َّلثية لزاوي ٍة مع‪£‬اة‪.‬‬ ‫‪ -5‬يوجد قيا�س ‪R‬اوي ٍة ‪oY‬لم‪ â‬قيمة اإحد‪ i‬دوالها المث َّلثية‪.‬‬ ‫دالتي ال‪é‬ي‪ Ö‬وجي‪ Ö‬التمام بيان ‪v‬يا‪.‬‬ ‫‪ -6‬يم ِّثل ِّ‬ ‫‪ -7‬ي�ضت‪æ‬ت‪ è‬المت‪£‬ابقات المث َّلثية ا’أ�ضا�ضية‪.‬‬ ‫‪ -8‬يبرهن ‪U‬ض‪ë‬ة مت‪£‬ابقات مث َّلثية‪.‬‬ ‫‪ -9‬يوجد الدوال المث َّلثية لم‪é‬مو´ ‪R‬اويتين اأو ال‪Ø‬ر‪ ¥‬بي‪æ‬هما‪.‬‬ ‫‪ -10‬يوجد الدوال المث َّلثية ل†ضعف الزاوية ول‪üæ‬ض‪Ø‬ها‪.‬‬ ‫‪ -11‬ي‪�ë‬ض‪ Ö‬م�ضاحة مث َّل‪oY ٍå‬ل‪ º‬م‪æ‬ه �ضلعان والزاوية‬ ‫الم‪üë‬ضورة بي‪æ‬هما‪.‬‬ ‫قانوني ال‪é‬ي‪ Ö‬وجي‪ Ö‬التمام في ح ِّل المث َّل‪.å‬‬ ‫‪ -12‬ي�ضت‪î‬دم‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -13‬ي‪َّ ë‬ل ت‪£‬بيقاتٍ حياتي ٍة وه‪æ‬د�ضي ٍة ‪Y‬ل≈ ح�ضا‪ Ü‬المث َّلثات‪.‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫‪1-2‬‬

‫‪É¡°SÉ«bh á¡LƒªdG‬‬ ‫‪ájhGõdG‬‬ ‫‪s‬‬ ‫عرف ــت فيما �صبق مفهوم الزاوية‪ ،‬والتي يمكن تعريفها باأنَّها اتحاد ن�صفي م�صتقيمين‬ ‫م�صتركي ــن ف ــي نقط ــة مبدئهما‪ .‬وتُ�ص َّم ــى نقطة الب ــدء راأ� ــس الزاوية و ُي�ص َّم ــى ن�صفا‬ ‫ب†صلعي الزاوية‪.‬‬ ‫الم�صتقيمين‬ ‫ِّ‬ ‫جـ في ال�صـكل ( ‪) 1-3‬م�صـتركان في نقطـة‬ ‫‪،‬‬ ‫فن�صـفا الم�صـتقيمين‬ ‫مبدئهـما و ُيكـ ِّونان الزاوية ‪ Ü‬جـ والتي نرمز لها بالرمز ‪ Ü‬جـ‬

‫�صـكل ( ‪) 1-2‬‬

‫’ح‪ß‬‬

‫ا َّأن ‪ Ü‬جـ = جـ ‪Ü‬‬

‫ن�صفي الم�صتقيمين اللذين‬ ‫وفي ح�صا‪ Ü‬المثلثات نحتا‪ ê‬في كثيرٍ من الأحيان اإلى مراعاة ترتيب‬ ‫ِّ‬ ‫ون�صميه �صلع البتداء وال‪NB‬ر‬ ‫تتكـ ـ َّون منهم ــا الزاوية باأن ن ِّ‬ ‫ُحدد اأحدهما ليكون هو ال†صل ــع الأول ِّ‬ ‫موجهةً‪ ،‬ويكون‬ ‫ون�صميه �صلع النتهاء‪ ،‬وفي هذه الحالة ِّ‬ ‫ليكون ال†صلع الثاني ِّ‬ ‫ن�صمي الزاوية زاوي ًة َّ‬ ‫اتجاهها من �صلع البتداء اإلى �صلع النتهاء‬

‫‪62‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الزاوية الموجهة وقيا�ضها‬ ‫تعريف ( ‪)1 - 2‬‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫ل َّأن‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ِّ 2‬‬ ‫موجه ٍة اتجاهان هما اتجاها دوران �صلع البتداء حول راأ�س الزاوية لينطبق على �صلع‬ ‫لكل زاوي ٍة َّ‬ ‫حي‪ å‬يدل اتجاه ال�صه‪º‬‬ ‫النتهاء‪ .‬وك ‪w‬ل من ال�صكلين ( ‪ ) 3-3 ( ، ) 2-3‬هو تمثي ‪l‬ل للزاوية‬ ‫على اتجاه دوران �صلع البتداء حول لينطبق على �صلع النتهاء‪.‬‬

‫�صـكل ( ‪) 2-2‬‬

‫�صـكل ( ‪) 3-2‬‬

‫تدري‪)1-2( Ö‬‬ ‫�ص‪� º‬صلع البتداء و�صلع النتهاء في ٍّ‬ ‫اكتب رمز ٍّ‬ ‫كل منها‪:‬‬ ‫الموجهة في ال�صكل ( ‪َّ ،) 4-3‬ث‪ِّ º‬‬ ‫كل من الزوايا َّ‬

‫هـ‬ ‫�صـكل ( ‪) 4-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪63‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫قيا�س الزاوية الموجهة‬ ‫الموجهة هو قيا�س زاوية دوران �صلع البتداء لينطبق على �صلع النتهاء ؛لذا يكون قيا�س الزاوية‬ ‫قيا�س الزاوية َّ‬ ‫الموجهة موج ًبا اإذا كان اتجاه الدوران موج ًبا ( عك�س اتجاه دوران عقار‪ Ü‬ال�صاعة ) كما في ال�صكل( ‪) 2-2‬‬ ‫َّ‬ ‫ويكون قيا�صها �صال ًبا عندما يكون الدوران بالتجاه ال�صالب ( اتجاه دوران عقار‪ Ü‬ال�صاعة ) كما في ال�صكل‬ ‫) ‪.) 3-3‬فـ ـاإذا فر�صن ــا ا َّأن قيا� ــس الزاوية الحا َّدة ‪ Ü‬جـ في ٍّ‬ ‫كل م ــن ال�صكلين ( ‪ ) 3-2 ( ، ) 2-2‬هو‬ ‫‪°30‬‬ ‫يكون قيا�س‬

‫في ال�صكل ( ‪) 2-2‬‬

‫=‬

‫في ال�صكل ( ‪) 3-2‬‬

‫تدري‪)2-2( Ö‬‬ ‫حدد اإ�صارة قيا�س ٍّ‬ ‫الموجهة في ال�صكل ( ‪.) 4-2‬‬ ‫ِّ‬ ‫كل من الزوايا َّ‬

‫تدري‪)3-2( Ö‬‬ ‫اأوجد قيا�س ٍّ‬ ‫الموجهة في ال�صكل ( ‪:) 5-2‬‬ ‫كل من الزوايا َّ‬

‫�صـكل (‪) 5- 2‬‬

‫‪64‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الزاوية الموجهة وقيا�ضها‬

‫الموجهة‬ ‫القيا�س العا ُّم للزاوية‬ ‫َّ‬

‫‪360 ± i‬‬

‫‪، i‬‬

‫‪،‬‬

‫‪360× 2 ± i‬‬

‫�صـكل ( ‪) 6-2‬‬

‫ومن ذل∂ ن�صتنت‪ è‬ا َّأن‪:‬‬ ‫موجه ٍة‬ ‫لك ِّـل زاويـ ٍة َّ‬

‫عـدد ‪Z‬ـير م ٍ‬ ‫ـنته من القيا�صـات الم‪î‬ـتلفة‪ ،‬نعـ ِّبر عـنه بال�صـي¨ة‪:‬‬

‫‪360 × + i‬‬

‫حي‪0 å‬‬

‫‪، 360 i‬‬

‫) ‪) 1-2‬‬

‫ن�صمي هذه ال�صي¨ة بالقيا�س العام للزاوية‬ ‫ِّ‬ ‫ون�صمي ‪ i‬بالقيا�س الرئي�س للزاوية‬ ‫ِّ‬

‫الموجهة المقا�صة بالتقدير الدائري هو‬ ‫ويكون القيا�س العام للزاوية َّ‬

‫‪ • 2 + i‬حي‪0 å‬‬

‫‪i‬‬

‫‪، •2‬‬

‫) ‪) 2-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪65‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل من ال‪ë‬التين التاليتين‪:‬‬

‫الموجهة‬ ‫اأوجد القيا�ضات الم‪î‬تل‪Ø‬ة للزاوية‬ ‫َّ‬ ‫القيا�س الرئي�س للزاوية‬ ‫القيا�س الرئي�س للزاوية‬

‫ال‪ë‬ل‬ ‫القيا�س الرئي�س للزاوية‬ ‫القيا�س العام هو‬

‫حي‪å‬‬

‫القيا�صات الم‪î‬تلفة للزاوية‬ ‫اأي ا َّأن قيا�صات‬

‫‪.‬‬

‫هي‪:‬‬ ‫هي‪:‬‬

‫القيا�س الرئي�س للزاوية‬ ‫حي‪å‬‬

‫القيا�س العام هو‬ ‫القيا�صات الم‪î‬تلفة للزاوية‬

‫اأي ا َّأن قيا�صات‬

‫‪66‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫هي‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫الزاوية الموجهة وقيا�ضها‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫موجه ٍة بدللة قيا�صها الرئي�س ‪ i‬وذل∂ على‬ ‫حي‪ å‬اأنَّه من الممكن التعبير عن ا ِّأي ٍ‬ ‫معلوم مثل هـ لزاوي ٍة َّ‬ ‫قيا�س ٍ‬ ‫؛‬ ‫حي‪å‬‬ ‫النحو التالي‪ :‬ه‬ ‫موجه ٍة اأحد قيا�صاتـها ه باأن نجمع اإلى ه اأو نطر‪ ì‬منها‬ ‫لذا فاإنَّه يمكننا الح�صول على القيا�س الرئي�س لزاوي ٍة َّ‬ ‫(اأو اأحد م†صاعفات ‪ •2‬اإذا كانت ه مقي�ص ًة بالتقدير الدائري )‪ ،‬وعليه يمكننا‬ ‫اأحد م†صاعفات الزاوية‬ ‫ولذل∂‬ ‫حقيقي ‪ i‬بحي‪ å‬ه‬ ‫‪ ،‬يوجـد عد ‪l‬د‬ ‫القول‪ :‬لكل ه‬ ‫‪w‬‬ ‫فا َّإن ك َّل ٍ‬ ‫موجهة‪.‬‬ ‫عدد‬ ‫قيا�صا دائر ًّيا لزاوي ٍة َّ‬ ‫حقيقي يع ُّد ً‬ ‫ٍّ‬

‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫اأوجد القيا�س الرئي�س والقيا�س العام ٍّ‬ ‫الموجهة التي قيا�ضاتـها‪:‬‬ ‫لكل من الزوايا‬ ‫َّ‬ ‫ث‪ º‬ع ِّبر عن ِّ‬ ‫كل زاوي ٍة بدللة القيا�س الرئي�س لـها‪.‬‬

‫ال‪ë‬ل‬ ‫القيا�س الرئي�س‬ ‫القيا�س العام‬

‫القيا�س الرئي�س‬ ‫القيا�س العام‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪67‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫القيا�س الرئي�س‬ ‫القيا�س العام‬

‫موجهة‬ ‫الو�ضع‬ ‫القيا�سي لزاوي ٍة َّ‬ ‫ُّ‬ ‫تعريف ( ‪)3 - 2‬‬

‫قيا�سي‪� ،‬إذا وقع ر�أ�سها على نقطة‬ ‫و�ضع‬ ‫الموجهة في ٍ‬ ‫في الم�ستوي الإحداثي يقال‪َّ � :‬إن الزاوية َّ‬ ‫ٍّ‬ ‫الأ�صل وانطبق �ضلع ابتدائها على الجزء الموجب لمحور ال�سينات‪.‬‬ ‫قيا�سي ؛ل َّأن ر�أ�س ٍّ‬ ‫كل منها يقع على نقطة الأ�صل‪،‬‬ ‫و�ضع‬ ‫الموجهة جميعها في ٍ‬ ‫في ال�شكل ( ‪ ) 7-2‬الزوايا َّ‬ ‫ٍّ‬ ‫و�ضلع االبتداء ٍّ‬ ‫لكل منها يقع على الجزء الموجب لمحور ال�سينات‪.‬‬

‫�شـكل ( ‪) 7-2‬‬

‫‪68‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الزاوية الموجهة وقيا�سها‬

‫قيا�سي‬ ‫و�ضع‬ ‫الموجهة في ال�شكل ( ‪ ) 8-2‬لي�ست في ٍ‬ ‫� َّأما الزوايا َّ‬ ‫ٍّ‬

‫�ضلع االبتداء ال يقع على‬ ‫الجزءالموجب للمحور ال�سيني‬

‫ر�أ�س الزاوية ال يقع على‬ ‫نقطة الأ�صل‬

‫ر�أ�س الزاوية ‪.........‬‬ ‫و�ضلع االبتداء ‪.......‬‬ ‫( �أكمل الفراغ )‬

‫�ضلع االبتداء ال يقع على الجزء‬ ‫الموجب للمحور ال�سيني‬ ‫�شـكل ( ‪) 8-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪69‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫(‪)3-2‬‬

‫د‬

‫تقع‬

‫�صـكل ( ‪) 9-2‬‬

‫الموجهة – في الو�صع القيا�صي – والتي قيا�صها الرئي�س ‪: i‬‬ ‫والجدول التالي ِّ‬ ‫يو�ص‪ í‬الربع الذي تقع فيه الزاوية َّ‬ ‫‪ i‬بالتقدير ال�صتيني‬

‫‪ i‬بالتقدير الدائري‬

‫الموجهة‬ ‫الربع الذي تقع فيه الزاوية َّ‬ ‫الأول‬ ‫الثاني‬ ‫الثال‪å‬‬ ‫الرابع‬

‫‪70‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الزاوية الموجهة وقيا�ضها‬ ‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫ح ِّدد ( مع التو�ضي‪ í‬بالر�ض‪ ) º‬الربع الذي تقع فيه ٌّ‬ ‫الموجهة ‪ -‬في الو�ضع القيا�ضي‪ -‬والتي‬ ‫كل من الزوايا‬ ‫َّ‬ ‫قيا�ضاتـها‪:‬‬

‫ال‪ë‬ل‬ ‫الموجهة التي قيا�صها‬ ‫الزاوية َّ‬

‫تقع في الربع الرابع ؛ ل َّأن‬ ‫ان¶ر �صكل ( ‪) 10-2‬‬ ‫�صـكل ( ‪) 10-2‬‬

‫الموجهة‬ ‫القيا�س الرئي�س للزاوية َّ‬ ‫الزاوية الموجهة تقع في الربع الثال‪ å‬؛ ل َّأن‬

‫القيا�س الرئي�س للزاوية الموجهة‬ ‫الموجهة تقع في الربع الثاني ؛ ل َّأن‬ ‫الزاوية َّ‬

‫ان¶ر �صكل ( ‪) 11-2‬‬

‫ان¶ر �صكل ( ‪) 12-2‬‬

‫�صـكل ( ‪) 11-2‬‬

‫�صـكل ( ‪) 12-2‬‬

‫الموجهة‬ ‫القيا�س الرئي�س للزاوية َّ‬ ‫الموجهة تقع في الربع الأول ؛ ل َّأن‬ ‫الزاوية َّ‬ ‫ان¶ر �صكل ( ‪) 13-2‬‬

‫’ح‪ ß‬اأن ‪:‬‬

‫�صـكل ( ‪) 13-2‬‬

‫تدري‪)4-2( Ö‬‬ ‫حدد الربع‬ ‫موجهـ ـ ٍة في الو�صع القيا�صي‪ِّ ،‬‬ ‫بفر� ــس ا َّأن القيا�ص ــات المعطاة في المثال ( ‪ ) 2-2‬هي لزوايا َّ‬ ‫الذي تقع فيه ك ُّل زاوي ٍة مع التو�صي‪ í‬بالر�ص‪.º‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪71‬‬

á``«fÉãdG IóMƒdG

(1-2) ø`jQÉ`ªJ x õeQ ÖàcG 1 :á«dÉàdG á¡LƒªdG ÉjGhõdG øe πc s

‫؟‬

¿ƒµJ ≈àe :ám ÑJôe êm GhRCG IQƒ°üH á«dÉàdG á¡LƒªdG ÉjGhõdG øY ôÑu Y 2 s

x ¢`` SÉ«b IQÉ`` °TEG Oóu M ºK ,( 14-2 ) πµ`` °ûdG »a »`x ` °SÉ«b ™`m ` °Vh »a áeƒ`` °SôªdG á`` ¡LƒªdG É¡æe πc É`` jGhõdG Ö`` àcG 3 s .¬«a ™≤J …òdG ™HôdGh

( 14-3 ) πµ`°T

(2) äÉ«°VÉjQ

‫الزاوية الموجهة وقيا�سها‬

‫‪� 4‬أوجد القيا�س الرئي�س ٍّ‬ ‫الموجهة التي قيا�ساتـها‪:‬‬ ‫لكل من الزوايا‬ ‫َّ‬ ‫و‬

‫هـ‬

‫‪� 5‬أوجد القيا�س العام ٍّ‬ ‫لكل من الزوايا التي قيا�ساتـها‪:‬‬

‫‪� 6‬إذا كان القيا�س الرئي�س لزاوي ٍة هو‬

‫ف�أوجد قيا�سين �سالبين و�آخرين موجبين لـها‪.‬‬

‫‪ 7‬ح ِّدد الربع الذي تقع فيه ٌّ‬ ‫الموجهة في الو�ضع القيا�سي والتي قيا�ساتـها‪:‬‬ ‫كل من الزوايا‬ ‫َّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪73‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫‪2-2‬‬

‫‪IOÉëdG ájhGõ∏d á«YôØdG á«ã∏ãªdG Ö°ùædG‬‬ ‫طولي �صلعي ــن من اأ�صال´ المثل‪ å‬القائ‪ º‬الزاوية‬ ‫عرفن ــا �صابقًا ا َّأن الن�صبة بين ِّ‬ ‫ت�ص َّم ــى ن�صب ــة مثلَّثية‪ ،‬وهنا∑ �صت ن�ص ـ ٍـب مثلَّثي ٍة ِّ‬ ‫لكل زاوي ٍة ح ــا َّد ٍة‪ ،‬در�صنا منها‬ ‫القائ‪ º‬الزاوية في كما في‬ ‫الن�صب الأ�صا�صية الثال‪ ،ç‬ففي المثل‪å‬‬ ‫ال�صكل ( ‪ ) 15-2‬الن�صب المثلَّثية الأ�صا�صية للزاوية الحا َّدة هي‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫�صـكل ( ‪) 15-2‬‬

‫ُعر‪ ±‬باقي الن�صب المثلَّثية للزاوية الحا َّدة‪:‬‬ ‫وفيما يلي ن ِّ‬

‫تعريف ( ‪)3 -2‬‬

‫اإذا كانت زاوي ًة حا َّد ًة في مثل ٍَّ‪ å‬قائ‪ º‬الزاوية فا َّإن‪:‬‬ ‫‪ 1‬قاطع الزاوية هو مقلو‪ Ü‬جيب تمام الزاوية ورمزه‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫‪ 2‬قاطع تمام الزاوية هو مقلو‪ Ü‬جيب الزاوية ورمزه‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫‪X 3‬ل تمام الزاوية هو مقلو‪X Ü‬ل الزاوية ورمزه‬

‫=‬

‫‪74‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫المجاور‬ ‫= المقابل‬

‫اأي ا َّأن ‪:‬‬

‫ال‪�æ‬ض‪ Ö‬المثلثية ال‪Ø‬ر‪Y‬ية للزاوية ال‪ë‬ادة‬ ‫ت�ص َّمى الن�صب المثلَّثية الثال‪ ç‬ال�صابقة بال‪�æ‬ض‪ Ö‬المثلَّثية ال‪Ø‬ر‪َّ Y‬ية للزاوية ال‪ë‬ا َّدة‪.‬‬

‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫اأوجد ال‪�æ‬ض‪ Ö‬المث َّلثية ال‪Ø‬ر‪َّ Y‬ية للزاوية ال‪ë‬ا َّدة هـ ‪ ,‬اإذا ‪Y‬لم‪ â‬اأ َّن‬

‫ال‪ë‬ل‬ ‫المقابل‬ ‫بما ا َّأن‬ ‫الوتر‬ ‫اإذن نر�ص‪ º‬مث َّلثـًا قائ‪ º‬الزاوية كما في ال�صكل ( ‪) 16-2‬‬ ‫فيكون‬ ‫�صـكل ( ‪) 16-2‬‬

‫وحدات‬

‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫المجاور‬ ‫المقابل‬

‫تدري‪)5-2( Ö‬‬ ‫المتممة للزاوية ه ‪.‬‬ ‫في المثال ال�صابق اأوجد الن�صب المث َّلثية الفرع َّية للزاوية الحا َّدة جـ ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪75‬‬

‫‪ãdG IóMƒdG‬ا‪f‬ي``‪á‬‬ ‫‪óJ‬ري‪)6-2( Ö‬‬ ‫ال‪î‬ا‪U‬سة‪:‬‬ ‫‪Y‬رفت �سا‪H‬قًا قي‪ º‬الن�س‪ Ö‬المث َّلثية االأ�سا�س َّية للزوايا ال‪ë‬ا َّدة‬ ‫َّ‬ ‫في ال‪é‬دو∫ التالي‪:‬‬ ‫‪ájhGõdG‬‬ ‫الن�سبة‬

‫ال‪î‬ا‪U‬سة‪.‬‬ ‫ا�ست‪î‬د‪ Ω‬هذه القي‪ º‬الإي‪é‬اد قي‪ º‬الن�س‪ Ö‬المث َّلثية ال‪Ø‬ر‪َّ Y‬ية لهذه الزوايا‬ ‫َّ‬

‫مث‪É‬ل (‪)5-2‬‬ ‫اأوجد القيمة العدد َّية للمقدا‪:Q‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫‪76‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫والتي تل‪� َّî‬س‬

‫ال‪ Ö°ùæ‬المثلثية ال‪Ø‬ر‪Y‬ية لل‪õ‬اوية ال‪Éë‬د‪I‬‬

‫‪(2-2) ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫‪ 1‬ا‪C‬و‪L‬د ‪b‬يمة ‪x‬‬ ‫‪ πc‬م‪:ø‬‬

‫‪ 2‬ا‪PE‬ا ‪¿Éc‬‬ ‫‪ 3‬ا‪PE‬ا ‪`g ¿Éc‬‬

‫مث َّلث`ً‪Éb É‬ئ‪ º‬ال‪õ‬اوية ‪a »a‬ي¬‬

‫‪CÉa‬و‪L‬د‬

‫‪.‬‬

‫‪M‬ي‪R `g å‬اوية ‪َّ ÉM‬د‪CÉa I‬و‪L‬د ‪ »bÉH‬ال‪ Ö°ùæ‬المثلث َّية لل‪õ‬اوية ‪.g‬‬

‫‪ 4‬ا‪C‬و‪L‬د ال≤يمة العدد َّية ‪x‬‬ ‫ل‪ πµ‬م‪ ø‬الم≤‪É‬دير ال‪Éà‬لية‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪77‬‬

‫‪ãdG IóMƒdG‬ا‪f‬ي`‪á‬‬

‫‪3-2‬‬

‫‪( ájs ôFGódG ∫GhódG ) á«s ãs∏ãªdG ∫GhódG‬‬

‫‪Y‬رفن ــا �سا‪ً H‬ق ــا ا َّأن دائ ــرة الوحدة هي دائ ــر ‪l‬ة مركزها نقطة االأ‪U‬س ــل وطو∫ ن�س∞‬ ‫قطرها الوحدة‪ ،‬ومعادلتها‪:‬‬ ‫نقط ًة ‪Y‬لى دائرة الوحدة كما في ال�سكل ( ‪) 17-2‬‬ ‫فاإذا كانت‬ ‫واأ�سقطنا منها ‪Y‬مو ًدا ‪Y‬لى م‪ë‬و‪ Q‬ال�سينا‪ ä‬يالقيه في ‪ ،‬ن‪�ë‬سل ‪Y‬لى المثلَّ‪å‬‬ ‫القائ‪ º‬الزاوية في الذي فيه‪:‬‬

‫وتكون الزاوية‬ ‫‪ØH‬ر�س ا َّأن قيا�س الزاوية‬

‫في و�سعها القيا�سي‪.‬‬ ‫هو ‪ i‬ن‪é‬د ا َّأن‪:‬‬

‫وهذا يعني ا َّأن النقطة‬ ‫لذا فا َّإن هذه النقطة تُ�س َّمى ‪ً £≤f‬ة مثلَّثي ًة لل‪õ‬اوية‬

‫�سـكل ( ‪) 17-2‬‬

‫(‪)4-2‬‬ ‫الموجهة اأو قيا�سها وي�ستد∫ من ال�سيا‪ ¥‬اأيهما المق�سود ‪H‬الرمز‪.‬‬ ‫ُي�ستعمل الرمز ن‪�Ø‬سه للداللة ‪Y‬لى الزاوية َّ‬ ‫موجه ٍة قيا�سها ‪ ،‬حي‪å‬‬ ‫وفيما يلي ُنع ِّر‪ ±‬النقطة المث َّلثية ال ِّأي زاوي ٍة َّ‬

‫‪78‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫تعريف ( ‪)4 -2‬‬

‫موجـه ٍة في الو�ضـع القـيا�سي وقيا�سها ( النقطة المثلَّثية للزاوية ) هي‬ ‫النقطة المثلَّثية لزاوي ٍة َّ‬ ‫نقطة تقاطـع �ضـلع انتهـاء هذه الزاوية مع دائرة الوحـدة‪ ،‬ويكـون �إحداثيها ال�سـيني هو‬ ‫و�إحداثيها ال�صادي هو‬

‫فمث ًال‪� :‬إذا كـانت النقطـة المث َّلثية للزاويـة هي ‬

‫ ‬

‫كما في ال�شـكل ( ‪ ) 18-2‬ف� َّإن‬

‫�شـكل ( ‪) 18-2‬‬

‫� َّإن ل ِّ‬ ‫الموجهة يقطع دائرة‬ ‫موجه ٍة في الو�ضع القيا�سي نقط ًة مث َّلثي ًة وحيد ًة ؛ل َّأن �ضلع االنتهاء للزاوية َّ‬ ‫��كل زاوي ٍة َّ‬ ‫الموجهة في الو�ضع القيا�سي هو ف� َّإن‬ ‫الوحدة في نقط ٍة واحد ٍة فقط‪ ،‬وهذا يعني �أنَّه �إذا كان قيا�س الزاوية َّ‬ ‫قيمة ٍّ‬ ‫ُيع ُّد دا َّل ًة (تطبيق ًا) في ت�س َّمى‬ ‫‪،‬‬ ‫تكون وحيد ًة ؛ لذا ف� َّإن ك ًّال من‬ ‫‪،‬‬ ‫كل من‬ ‫دا َّل ًة مث َّلثي ًة (دا َّل ًة دائرية )‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪79‬‬

‫الوحدة الثانيـة‬

‫دا َّلتا ال‪é‬ي‪ Ö‬وجي‪ Ö‬التمام‬ ‫تعريف ( ‪)5 -2‬‬ ‫اإذا كانت النقطة‬

‫نقط ًة مثلَّثي ًة للزاوية فا َّإن‪:‬‬

‫‪ 1‬الدالَّة‬

‫حي‪å‬‬

‫تُ�ص َّمى دالَّة الجيب‬

‫‪ 2‬الدالَّة‬

‫حي‪å‬‬

‫تُ�ص َّمى دالَّة جيب التمام‬

‫وتجدر الإ�صارة هنا اإلى ا َّأن قيمة الدالَّة المث َّلثية لزاوي ٍة حا َّد ٍة هي ذاتـها قيمة الن�صبة المث َّلثية لهذه الزاوية‪.‬‬

‫نتي‪é‬ة (‪)1-2‬‬ ‫‪ 1‬اإ َّن ك ‪v‬‬ ‫‪ Ó‬من ا’إحدا‪K‬ي ال�ضي‪æ‬ي وا’إحدا‪K‬ي ال‪ü‬ضادي ’ ِّأي نق‪ٍ £‬ة ‪Y‬ل≈ دائرة الوحدة ’ يزيد ‪Y‬ن ‪ 1‬و’‬ ‫يقل ‪Y‬ن ‪;1 -‬‬ ‫لذا فا َّإن‬ ‫‪ 2‬ا�صتنا ًدا اإلى ا َّأن النقطة المث َّلثية للزاوية ه هي النقطة‬ ‫دالتي الجيب وجيب التمام للزوايا الربعية‪:‬‬ ‫ن�صتنت‪ è‬قي‪ِّ º‬‬

‫وبالن¶ر اإلى ال�صكل ( ‪) 19- 2‬‬ ‫كما يلي‪:‬‬

‫�صـكل ( ‪) 19-2‬‬

‫‪80‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫( اأكمل الفراغ )‬

‫موجه ٍة في الو�صع القيا�صي وقيا�صها الرئي�س ‪ ،‬فا َّإن النقطة المث َّلثية‬ ‫قيا�صا لزاوي ٍة َّ‬ ‫‪ 3‬اإذا كان ه ً‬ ‫للزاوية هي ذاتـها النقطة المث َّلثية للزاوية ؛ وعليه فاإنَّه ح�صب الملحو‪X‬ة ( ‪ ) 2-2‬يكون‪:‬‬

‫) ‪) 3-2‬‬ ‫) ‪) 4-2‬‬

‫’‪ßM‬‬

‫ا َّأن هاتين القاعدتين تبقيان �صحيحتين‬

‫ومن الجدير بالذكر اأنَّه يمكن ا�صت‪î‬دام القاعدة ( ‪ ( ) 3 – 2‬اأو القاعدة ( ‪ ) ) 4 – 2‬للتعبير عن قيمة‬ ‫جيب تمام ( اأو جيب ) قيا�س زاوي ٍة بدللة القيا�س الرئي�س لهذه الزاوية‪.‬‬ ‫فمث ًال‪ :‬للتعبير عن‬

‫بدللة القيا�س الرئي�س للزاوية‬

‫نكتب‪:‬‬

‫(عب َّرنا عن الزاوية بدللة القيا�س الرئي�س ث‪ º‬ا�صت‪î‬دمنا القاعدة ( ‪ ) 3 – 2‬بفر�س ‪i‬‬

‫( ا�صت‪î‬دمنا القاعدة ( ‪ ) 3 – 2‬بفر�س‬

‫)اأو نكتب‪:‬‬

‫ث‪ º‬ح�صلنا على القيا�س الرئي�س بالطر‪) ì‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪81‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫مثال (‪)6 -2‬‬ ‫اأوجد ك ‪v‬‬ ‫‪ Ó‬من القي‪ º‬التالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫ال‪ë‬ل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫دا َّلة ِّ‬ ‫ال¶ل‬ ‫بالرجو´ اإلى ال�صكل ( ‪ ) 17 – 2‬نجد ا َّأن‬ ‫هو‬ ‫قيا�س‬ ‫يقت†صي كون‬

‫وهذا يقت†صي ا َّأن‬

‫‪82‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫اأ َّما اإذا كان‬ ‫حي‪ i å‬قيا�س الزاوية‬ ‫ه ــي النقط ــة المث َّلثي ــة للزاوي ــة ه ‪ ،‬فـ ـا َّإن وج ــود الع ــدد‬ ‫اأي‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫‪øe »LhR OóY‬‬ ‫‪øe …Oôa OóY‬‬ ‫مـ َّم� ‪S‬ش‪ ≥Ñ‬يمكنن� تعري∞ دالَّة ‪u‬‬ ‫ال¶ل كم� يلي‪:‬‬

‫ت©ري∞ ( ‪)6 -2‬‬

‫اإذا ك�ن‪ â‬النقطة‬

‫نقط ًة مثلَّثي ًة للزاوية ‪،‬‬

‫ف� َّإن ال‪ó‬الَّة ‪:�X‬‬ ‫تُ�ش َّمى دالَّة ‪u‬‬ ‫ال¶ل‪.‬‬

‫حيث‬

‫‪àf‬ي‪)2-2( áé‬‬ ‫‪ 1‬من التعري∞ ( ‪ ) 6-2‬ن�شتنت‪ è‬ب�شهول ‪m‬ة ا َّأن ك ‪ Óv‬من‪:‬‬ ‫حيث‬

‫‪.±ôs ©e ô«Z‬‬

‫ومن النتي‪é‬ة ( ‪ ) 1-3‬ن‪ óé‬ا َّأن‪:‬‬

‫‪ 2‬ا‪S‬شتن� ًدا اإلى الق�ع‪ó‬تين ( ‪ ) 4-2 ( ، ) 3-2‬ن�شتنت‪ è‬الق�ع‪ó‬ة الت�لية‪:‬‬ ‫) ‪) 5-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪83‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬

‫تد‪Q‬ي‪)7-2( Ö‬‬ ‫اأ‪c‬م‪ π‬ال‪Ø‬را‪a Æ‬يما يل»‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪w‬‬ ‫دوال مث َّلثي ‪l‬ة اأ‪N‬ر‪i‬‬ ‫ت©ري∞ ( ‪)7 -2‬‬ ‫اإذا ك�ن‪ â‬النقطة‬

‫نقط ًة مثلَّثي ًة للزاوية ف� َّإن‪:‬‬

‫‪ 1‬ال‪ó‬الَّة‬ ‫حيث‬

‫تُ�ش َّمى دالَّة الق�طع ‪.‬‬

‫‪ 2‬ال‪ó‬الَّة‬ ‫حيث‬

‫تُ�ش َّمى دالَّة ق�طع التم�‪.Ω‬‬

‫‪ 3‬ال‪ó‬الَّة‬ ‫حيث‬

‫‪84‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫تُ�ش َّمى دالَّة ‪X‬ل التم�‪.Ω‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫(‪)5-2‬‬ ‫ا َّإن دا َّل ‪u‬تي الق�طع وال¶ل لهم� الم‪�é‬ل نف�شه وذلك ل َّأن ك ‪ Óv‬من‬ ‫اأي‬

‫مع َّر ‪ ±l‬ب�شر• كون‬

‫كذلك ف� َّإن دا َّل ‪u‬تي ق�طع التم�‪ Ω‬و‪X‬ل التم�‪ Ω‬لهم� الم‪�é‬ل نف�شه ل َّأن ك ‪ Óv‬من‬ ‫اأي‬

‫مع َّر ‪ ±l‬ب�شر• كون‬

‫تد‪Q‬ي‪)8-2( Ö‬‬ ‫تحقَّ≥ من ا َّأن‬

‫‪àf‬ي‪)3-2( áé‬‬ ‫من القواع‪ó‬‬

‫ن�شتنت‪ è‬ا َّأن‪:‬‬

‫تد‪Q‬ي‪)9-2( Ö‬‬ ‫اأو‪ óL‬قيم ‪x‬‬ ‫كل من دالَّة الق�طع وق�طع التم�‪ Ω‬و‪X‬ل التم�‪ Ω‬للزواي� الربعية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪85‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫مثال (‪)7-2‬‬ ‫‪f‬قط ‪k‬ة مث َّلثي ‪k‬ة للزاوية ال‪ƒ‬ا‪©b‬ة ‪ »a‬الربع الثا‪ ,»f‬اأوجد ‪b‬ي‪ º‬الدوال المث َّلثية‬

‫ل‪øµà‬‬ ‫جمي©¡ا للزاوية‬

‫ال‪πë‬‬

‫‪.‬‬ ‫نقطة مث َّلثية‬

‫النقطة‬

‫تقع على دائرة الوح‪ó‬ة‬ ‫تحق≥ المع�دلة‪:‬‬

‫( اخترن� ال‪é‬ذر ال�ش�ل‪ Ö‬ل َّأن ه تقع في الربع الث�ني )‬ ‫ا ًإذا‬

‫وب�شهول ‪m‬ة ن‪ óé‬ا َّأن‪:‬‬

‫’‪ßM‬‬ ‫‪86‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪،‬‬ ‫ا َّأن‬ ‫الربع الث�ني ‪.‬‬

‫مو‪ÑL‬ت�ن بينم� ب�قي ال‪ó‬وال المث َّلثية للزاوية‬

‫‪S‬ش�ل‪Ñ‬ة وذلك ل َّأن‬

‫تقع في‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫‪b‬ا‪Y‬د‪ I‬ا’إ‪T‬سا‪Q‬ا‪ä‬‬ ‫‪ ،‬وهذا يعني ا َّأن‬ ‫‪،‬‬ ‫نقط ًة مثلَّثي ًة للزاوية ف� َّإن‬ ‫راأين� اأنَّه اإذا ك�ن‪â‬‬ ‫هي اإ�ش�رة نف�شه� ; لذا ف�إنَّه يمكن ت�شمية محور‬ ‫هي اإ�ش�رة نف�شه� واإ�ش�رة‬ ‫اإ�ش�رة‬ ‫ال�شين�‪ ä‬بمحور ‪L‬ي‪ Ö‬التم�‪ Ω‬ومحور ال�ش�دا‪ ä‬بمحور ال‪é‬ي‪ Ö‬ان¶ر �شكل ( ‪) 20 - 2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 20-2‬‬

‫وع�مة الأمر ف� َّإن اإ�ش�را‪ ä‬ال‪ó‬وال المثلَّثية‬ ‫َّ‬ ‫اأي‬ ‫إ�ش�رتي‬ ‫‪L‬ميعه� تعتم‪ ó‬على ا ‪u‬‬ ‫‪ ،‬وال�شكل ( ‪) 21 - 2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫إ�ش�رتي‬ ‫ا ‪u‬‬ ‫ي‪u Ñ‬ين ال‪ó‬وال التي اإ�ش�رته� مو‪ÑL‬ة في ‪x‬‬ ‫كل من‬ ‫الأرب�´ الأربعة‪ ،‬وم� ‪S‬شواه� تكون ‪S‬ش�ل‪Ñ‬ة‪.‬‬ ‫ويمكن تل‪î‬ي�‪ ¢‬ق�ع‪ó‬ة الإ�ش�را‪ ä‬في ال‪óé‬ول ال‪B‬تي‪:‬‬ ‫الربع الذي تقع فيه الزاوية‬

‫اإ�ش�رة‬

‫‪،‬‬

‫�شـكل ( ‪) 21-2‬‬

‫اإ�ش�رة‬

‫‪،‬‬

‫اإ�ش�رة‬

‫‪،‬‬

‫الأول‬ ‫الث�ني‬ ‫الث�لث‬ ‫الرابع‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪87‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫تد‪Q‬ي‪)10-2( Ö‬‬ ‫الم‪ƒ‬ج¡ة ‪ »a‬ال‪Vƒ‬سع القيا�س»‪u ©a ,‬ي‪ ø‬الربع ال‪ …ò‬تقع ‪a‬ي¬ ‪ »a‬ال‪ë‬ا’‪ ä‬ال‪à‬الية‪:‬‬ ‫اإ‪P‬ا ‪c‬ا‪ âf‬الزاوية‬ ‫َّ‬

‫‪b‬ي‪ º‬الدوال المث َّلث َّية‬

‫ال‪U�î‬شة ‪:‬‬ ‫عرف‪ â‬فيم� ‪S‬ش‪ ≥Ñ‬قيم ال‪ó‬وال المثلَّثية للزواي� الربعية وللزواي� الح� َّدة‬ ‫َّ‬ ‫وفي هذا ال‪Ñ‬ن‪ ó‬نتع َّر‪ ±‬مفهو‪ Ω‬مثلَّث المر‪L‬ع و‪R‬اوية المر‪L‬ع ‪ ،‬ون�ش ــت‪ Ωóî‬مفهو‪ Ω‬مثلَّث المر‪L‬ع في اإي‪�é‬د‬ ‫ع�م ‪m‬ة‬ ‫قواع‪óL ó‬ي‪ó‬ة لتعري∞ ال‪ó‬وال المثلَّثية ‪ ،‬ومن َّ‬ ‫ثم ن�ش ــت‪óî‬مه و‪R‬اوية المر‪L‬ع م ًع� في ا‪S‬ش ــتنت�‪ ê‬ق�ع‪m ó‬ة َّ‬ ‫ال‪U�î‬ش ــة ; وذلك ب�إر‪�L‬عه�‬ ‫لإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المثلَّثية لزاوي ‪m‬ة ‪Z‬ير ربعي ‪m‬ة مرت‪Ñ‬ط ‪m‬ة ب�إح‪ ió‬الزواي� الح� َّدة‬ ‫َّ‬ ‫( ب�إ‪S‬شن�ده� ) اإلى الزاوية المرت‪Ñ‬طة بـه�‪.‬‬

‫وب�لإف ــ�دة من ه ــذه القواع‪ ó‬نو‪ óL‬قيم ال ــ‪ó‬وال المثلَّثية لزاوي ‪m‬ة ُعلم ــ‪ â‬قيمة اإح‪ ió‬دوالـه ــ� المثلَّثية‪ ،‬وذلك‬ ‫ا‪S‬شتكم� ًل ل‪ó‬را‪S‬شتن� ال�ش�بقة لـهذا المو‪V‬شو´ في ح�لة الزاوية الح� َّدة ‪.‬‬

‫مث َّلث المرجع ( مث َّلث ا’إ�سناد )‬ ‫المو‪L‬هة و‪Z‬ير الربعية‬ ‫لتكن الزاوية َّ‬ ‫‪V‬شـلع انتهـ�‪ A‬هذه الزاوية‪.‬‬

‫‪88‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫في الو‪V‬شع القي�‪S‬شي‪ ،‬ولتكن‬

‫نقطة واقعـة على‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫�إذا �أنزلنا عمو ًدا من على المحـور ال�سيني يقطعه في النقطة ‪ -‬كما في ال�شكل ( ‪ –) 22 - 2‬نح�صـل على‬ ‫القائم الزاوية في ‪ ،‬والذي ُي�س َّمى مثلَّث مرجـع الزاوية ( �أو مثلَّث �إ�سناد الزاوية هـ)‬ ‫المثلث‬ ‫‪.‬‬ ‫ويكون طول وتره‬ ‫المرتبط بالنقطة ‬

‫‪،‬‬

‫ ‬ ‫وفي الواقع �إذا �أخذنا ال�شكل (‪ )22 - 2‬ومثَّلنا عليه النقطـة المثلَّثية للزاوية وهي‬ ‫ثم �أنزلنا عمو ًدا على المحور ال�سيني يقطعه في النقطة ‪ -‬كما في ال�شكــل ( ‪ - ) 23-2‬نـحـ�ص ـ ــل‬ ‫مت�شابـهين (لماذا ؟ )‬ ‫‪،‬‬ ‫القائم الزاوية في ‪،‬ويكون المثلَّثان‪:‬‬ ‫على المثلَّث‬

‫´( ‪،‬‬ ‫×‬

‫�شـكل ( ‪) 22-2‬‬

‫)‬

‫´‬ ‫�شـكل ( ‪) 23-2‬‬

‫وعليه يكون ‪:‬‬

‫وحيث � َّأن النقطتين‬ ‫لـهما الإ�شارة نف�سها وكذلك‬

‫‪،‬‬

‫لـهما الإ�شارة نف�سها‪.‬‬

‫تقعان في الربع نف�سه‪ ،‬ف� َّإن‬

‫‪،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪89‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫وبذلك نح�شل على الق�ع‪ó‬تين ‪:‬‬ ‫) ‪) 9-2‬‬ ‫) ‪) 10-2‬‬

‫ومن ه�تين الق�ع‪ó‬تين نح�شل على القواع‪ ó‬الت�لية ‪:‬‬ ‫) ‪) 11-2‬‬ ‫) ‪) 12-2‬‬ ‫) ‪) 13-2‬‬ ‫) ‪) 14-2‬‬

‫وبـهذه القواعـ‪ ó‬ي�ش‪ íÑ‬ب�إمك�نن� اإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المثلَّثية للزاوية ‪Z‬ير الربعية ب�‪S‬شت‪óî‬ا‪ Ω‬مثلَّث ‪™Lôe‬‬ ‫‪.‬‬ ‫والذي طول وتره‬ ‫الزاوية المرت‪ §Ñ‬ب�لنقطة‬

‫(‪)6-2‬‬ ‫هي النقطة‬ ‫ا َّإن القواع‪ ó‬ال�ش ــ‪ â‬ال�ش ــ�بقة هي قوع‪ ó‬ع� َّم ‪l‬ة لتعري∞ ال‪ó‬وال المث َّلثية لزاوية حيث‬ ‫‪ ،‬وتكون هذه القواع‪ ó‬في اأب�ش§‬ ‫المرت‪ §Ñ‬بـه� مث َّلث المر‪L‬ع للزاوية والذي طول وتره‬ ‫نقط ًة مث َّلثي ًة للزاوية ‪.‬‬ ‫‪ ،‬وعن‪ó‬ه� تكون‬ ‫‪U‬شوره� عن‪ó‬م� يكون‬

‫‪90‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫مثال (‪)8-2‬‬ ‫م‪ƒ‬ج¡ ‪m‬ة ‪ »a‬ال‪Vƒ‬سع القيا�س» و‪c‬ا¿ ‪V‬سلع ا‪¡àf‬ائ¡ا يم ‪t‬ر بالنقطة ( ‪a ,) 4- , 3‬ا‪�Q‬س‪º‬‬ ‫اإ‪P‬ا ‪c‬ا‪âf‬‬ ‫‪b‬يا�سا لزاوي ‪m‬ة َّ‬ ‫‪k‬‬ ‫مث َّلث المرجع للزاوية ‪ ºK‬اأوجد ‪b‬يمة ‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ πc‬م‪: ø‬‬

‫ال‪πë‬‬ ‫نر‪S‬شم مث َّلث المر‪L‬ع للزاوية المرت‪ §Ñ‬ب�لنقطة ( ‪ ،) 4- ، 3‬كم� في ال�شكل ( ‪) 24-2‬‬ ‫وحيث ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫وعليه ف� َّإن‪:‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 24-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪91‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫‪a‬اأوجد ‪b‬يمة ‪x‬‬ ‫‪ πc‬م‪: ø‬‬

‫اإ‪P‬ا ‪c‬ا¿‬

‫ال‪πë‬‬ ‫بفر‪ ¢V‬ا َّأن‬

‫هي النقطة المرت‪ §Ñ‬بـه� مث َّلث المر‪L‬ع للزاوية يكون‬ ‫ا ًإذا‬

‫بم� ا َّأن‬ ‫ب�فترا‪ ¢V‬ا َّأن‬

‫‪ ،‬ان¶ر ال�شكل ( ‪) 25 – 2‬‬

‫وح‪ó‬ة تكون‬

‫وبم� ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫; ل َّأن‬ ‫وعليه ف� َّإن‪:‬‬

‫في الربع الث�لث‬ ‫هـ‬

‫�شـكل ( ‪) 25-2‬‬

‫‪92‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫‪R‬اوية المرجع ( ‪R‬اوية ا’إ�سناد )‬ ‫مر‪L‬ع للزاوية ‪،‬تُ�شـ ـ َّمى الزاوية الح� َّدة الم‪�é‬ورة للمحور ال�ش ــيني بزاوية المرجع‬ ‫ف ــي ا ‪u‬أي مث َّل ــث ‪m‬‬ ‫( ا’إ�س ــناد ) للزاوي ــة فمث ـ ًـ‪ : Ó‬ف ــي ال�ش ــكل ( ‪ ) 23 - 2‬تك ــون ‪R‬اوي ــة المر‪ L‬ــع للزاوي ــة ه ــي‬ ‫الح� َّدة‪ ،‬ويمكن تعري∞ هذه الزاوية على النحو الت�لي‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫ت©ري∞ ( ‪)8 -2‬‬ ‫‪R‬اوي ًة ‪Z‬ير ربعي ‪m‬ة في و‪V‬شعه� القي�‪S‬شي وقي�‪S‬شه� ه ف� َّإن الزاوية الحـ� َّدة‬ ‫اإذا ك�ن‪ â‬الزاوية‬ ‫والمحور ال�ش ــيني تُ�شـ ـ َّمى ‪R‬اوية المر‪ L‬ــع للزاوية‬ ‫المح�ش ــورة بي ــن ‪V‬ش ــلع انته ــ�‪ A‬الزاوي ــة‬ ‫( اأو ‪R‬اوية المر‪L‬ع للزاوية ه )‪ .‬ويرمز له� ب�لرمز ‪.‬‬

‫وال�شكل (‪ )26 - 2‬ي‪u Ñ‬ين ‪R‬اوية المر‪L‬ع في الح�ل‪ ä‬الم‪î‬تلفة – من حيث الموقع – للزاوية‬ ‫التي قي�‪S‬شه� الرئي�‪. ¢‬‬

‫في الربع الأول‬

‫في الربع الث�ني‬

‫في الربع الث�لث‬

‫في الربع الرابع‬ ‫�شـكل ( ‪) 26-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪93‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫(‪)7-2‬‬

‫اإذا ك�ن‪â‬‬

‫في الربع الأول‬

‫اإذا ك�ن‪â‬‬

‫في الربع الث�ني‬

‫اإذا ك�ن‪â‬‬

‫في الربع الث�لث‬

‫اإذا ك�ن‪â‬‬

‫في الربع الرابع‬

‫مثال (‪)10-2‬‬ ‫اأوجد ‪R‬اوية المرجع ´ للزاوية هـ ‪ »a‬و‪V‬س©¡ا القيا�س» ‪x »a‬‬ ‫‪ πc‬م‪ ø‬ال‪ë‬ا’‪ ä‬ال‪à‬الية‪:‬‬

‫ال‪πë‬‬ ‫تقع في الربع الرابع‬ ‫ان¶ر ال�شكل ( ‪) 27-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 27-2‬‬

‫تقع في الربع الث�ني‬

‫ان¶ر ال�شكل ( ‪) 28-2‬‬

‫‪94‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 28-2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫القي�‪ ¢S‬الرئي�‪¢‬‬ ‫تقع في الربع الث�لث‬ ‫ان¶ر ال�شكل ( ‪) 29-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 29-2‬‬

‫القي�‪ ¢S‬الرئي�‪¢‬‬ ‫تقع في الربع الأول‬ ‫ان¶ر ال�شكل ( ‪) 30-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 30-2‬‬

‫تد‪Q‬ي‪)11-2( Ö‬‬ ‫ع ‪Ñu‬ر عن الزاوية ب‪ó‬للة ‪R‬اوية المر‪L‬ع في ‪x‬‬ ‫كل من الح�ل‪ ä‬الت�لية‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪95‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬

‫اإي‪é‬اد ‪b‬ي‪ º‬الدوال المث َّلثية‬ ‫والذي طول وتره ‪ ،‬يكون طول ال†شلع‬ ‫في مث َّلث المر‪L‬ع للزاوية المرت‪ §Ñ‬ب�لنقطة‬ ‫وعليه يكون ‪:‬‬ ‫وطول ال†شلع المق�بل لـه� م�ش�و ًي�‬ ‫الم‪�é‬ور للزاوية م�ش�و ًي�‬

‫ان¶ر �شكل ( ‪ - ) 31 - 2‬وحيث ا َّأن‪:‬‬

‫ف�إن‬ ‫�شـكل ( ‪) 31-2‬‬

‫ومن ذلك ن‪ óé‬ا َّأن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫عن‪ó‬م� تكون‬ ‫عن‪ó‬م� تكون‬

‫في الربع الأول اأو الرابع‪.‬‬ ‫في الربع الث�ني اأو الث�لث‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫عن‪ó‬م� تكون‬ ‫عن‪ó‬م� تكون‬

‫في الربع الأول اأو الث�ني‪.‬‬ ‫في الربع الث�لث اأو الرابع‪.‬‬

‫وهكذا نتو‪U‬شل اإلى الق�ع‪ó‬ة الت�لية والتي تع ‪ ót‬ق�ع‪ً ó‬ة ع� َّم ًة لإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المث َّلثية‪:‬‬

‫قيمة ا ‪u‬أي دا َّل ‪m‬ة مثلث َّي ‪m‬ة لزاوية ت�ش�وي قيمة ال‪ó‬ا َّلة المث َّلثية نف�شه� لزاوية المر‪L‬ع‬ ‫م�ش‪Ñ‬وق ًة ب�إ�ش�رة هذه ال‪ó‬ا َّلة في الربع الذي تقع فيه الزاوية ‪) 15-2 ) .‬‬

‫‪96‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫هـ‬

‫اإ‪P‬ا ‪c‬ا¿‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ πc‬م‪: ø‬‬

‫‪a‬اأوج ــد با�س ــ‪îà‬دا‪ Ω‬القا‪ Y‬ــد‪b ) 15 - 2 ( I‬يم ــة‬

‫‪.‬‬

‫ال‪πë‬‬ ‫المق�بل‬ ‫الم‪�é‬ور‬ ‫ب�أخذ المق�بل‬

‫‪ ،‬الم‪�é‬ور‬

‫‪،‬‬

‫يكون الوتر‬

‫في الربع الث�ني‬

‫�شـكل ( ‪) 32-2‬‬

‫المق�بل‬ ‫الوتر‬ ‫الم‪�é‬ور‬ ‫الوتر‬

‫تد‪Q‬ي‪)12-2( Ö‬‬ ‫اأع‪ ó‬حل المث�ل ( ‪ ) 9 – 2‬ب�‪S‬شت‪óî‬ا‪ Ω‬الق�ع‪ó‬ة ( ‪) 15 – 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪97‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫مثال (‪)12-2‬‬ ‫اأوجد ‪v c‬‬ ‫‪ Ó‬م‪ ø‬القي‪ º‬ال‪à‬الية‪M ,‬يث الزوايا الم©طا‪ »a I‬و‪V‬س©¡ا القيا�س» ‪:‬‬

‫ال‪πë‬‬ ‫بفر‪ ¢V‬اأن‬ ‫تكون ‪R‬اوية المر‪L‬ع‬

‫( ل َّأن‬

‫تقع في الربع الث�ني )‬

‫بفر‪ ¢V‬ا َّأن‬ ‫يكون القي�‪ ¢S‬الرئي�‪¢‬‬ ‫تقع في الربع الرابع‬

‫بفر‪ ¢V‬ا َّأن‬ ‫تكون‬

‫‪98‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫( ل َّأن ه تقع في الربع الث�لث )‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫بفر‪ ¢V‬ا َّأن‬ ‫تكون‬

‫( ل َّأن ه تقع في الربع الث�لث )‬

‫تد‪Q‬ي‪)13-2( Ö‬‬ ‫كل من دالة ال‪é‬ي‪ Ö‬ودالة ‪L‬ي‪ Ö‬التم�‪ Ω‬ودالة ‪u‬‬ ‫لكل من الزواي� المعط�ة في المث�ل ( ‪ ) 10 - 2‬اأو‪ óL‬قيم ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ال¶ل‪.‬‬ ‫ال‪U�î‬شة الت�لية‪:‬‬ ‫وفي الواقع يمكنن� من الق�ع‪ó‬ة الع� َّمة ( ‪ ،) 15 - 2‬ا�شتق�‪ ¥‬القواع‪ó‬‬ ‫َّ‬

‫اأو ‪b -’k‬ا‪Y‬د‪ I‬الدوال المث َّلثية للزاوية‬

‫ال‪ƒ‬ا‪©b‬ة ‪ »a‬الربع الثا‪»f‬‬

‫) ‪) 16-2‬‬ ‫فمث ً‪: Ó‬‬

‫‪K‬ا‪f‬يا‪b -k‬ا‪Y‬د‪ I‬الدوال المث َّلثية للزاوية‬

‫ال‪ƒ‬ا‪©b‬ة ‪ »a‬الربع الثالث‬

‫) ‪) 17-2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪99‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬ ‫فمث ً‪: Ó‬‬

‫‪K‬الثا‪b -k‬ا‪Y‬د‪ I‬الدوال المث َّلثية للزاوية‬

‫ال‪ƒ‬ا‪©b‬ة ‪ »a‬الربع الرابع‬

‫) ‪) 18-2‬‬

‫فمث ً‪: Ó‬‬

‫(‪)8-2‬‬ ‫ا َّإن القواع‪ ó‬ال�ش�بقة ت‪Ñ‬قى ‪U‬شحيح ًة اإذا ا‪S‬شت‪óÑ‬لن� ب�لزاوية‬ ‫مع َّرفة‪.‬‬

‫ا َّأي ‪R‬اوي ‪m‬ة اأخر‪ i‬وذلك بفر‪ ¢V‬ا َّأن دالة ‪u‬‬ ‫ال¶ل‬

‫تد‪Q‬ي‪)14-2( Ö‬‬ ‫اأع‪U ó‬شي�‪Z‬ة القواع‪ ó‬ال�ش�بقة في ح�لة ا‪S‬شت‪óî‬ا‪ Ω‬القي�‪ ¢S‬ال‪ó‬ائري‪.‬‬ ‫وال‪B‬ن على ‪V‬شو‪ A‬القواع‪ ) 18 - 2 ( ، ) 4 - 2 ( ، ) 3 - 2 ( ó‬يمكنن� ا‪S‬شتنت�‪ ê‬الق�ع‪ó‬ة‬ ‫الت�لية ل ‪u‬أي ‪R‬اوي ‪m‬ة ‪:‬‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫هـ حيث‬ ‫فمث ً‪: Ó‬‬

‫‪100‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫مع َّرفة‬

‫) ‪) 19-2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫مثال (‪)13-2‬‬ ‫با�س‪îà‬دا‪ Ω‬الق‪ƒ‬ا‪Y‬د ال‪ù‬سابقة اأوجد ‪v c‬‬ ‫‪ Ó‬م‪ ø‬القي‪ º‬ال‪à‬الية‪:‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫اأوجد ‪b‬يمة المقدا‪: Q‬‬

‫ال‪πë‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪101‬‬

‫ال‪Mƒ‬د‪ I‬الثا‪f‬يـة‬

‫ا ًإذا قيمة المق‪ó‬ار‬

‫(‪)9-2‬‬ ‫ال‪U�î‬شة‪ ،‬ف�إنَّن� لإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المث َّلثية للزاوية‬ ‫اإذا ك�ن‪R â‬اوية المر‪L‬ع للزاوية لي�ش‪ â‬من الزواي�‬ ‫َّ‬ ‫ن�شت‪ Ωóî‬ال‪B‬لة الح�‪S‬ش‪Ñ‬ة‪.‬‬ ‫ف�ل‪B‬لة الح�‪S‬ش‪Ñ‬ة التي ا‪S‬شت‪óî‬من�ه� ‪S‬ش�بقً� لإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المث َّلثية للزواي� الح� َّدة يمكن ا‪S‬شت‪óî‬امه� كذلك‬ ‫لإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المث َّلثية ل ‪u‬أي ‪R‬اوية‪.‬‬ ‫فمث ً‪ : Ó‬لإي‪�é‬د‬

‫ن�شت‪ Ωóî‬مف�تي‪ í‬ال‪B‬لة الح�‪S‬ش‪Ñ‬ة ال‪B‬تية على التوالي‪:‬‬

‫في¶هر على ال�شـ��شة‬ ‫فيكون‬ ‫وعلى الر‪Z‬م من كون اإي‪�é‬د هذه القيم ب�‪S‬ش ــت‪óî‬ا‪ Ω‬ال‪B‬لة الح�‪S‬ش ــ‪Ñ‬ة اأم ًرا ‪S‬ش ــه ً‪ Ó‬اإل اأنَّه ي‪Ñ‬قى للقواع‪ ó‬ال�ش ــ�بقة‬ ‫ال‪U�î‬شة‪.‬‬ ‫اأهميته� في اإي‪�é‬د قيم ال‪ó‬وال المث َّلثية للزواي�‬ ‫َّ‬

‫‪102‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫‪óJ‬ري‪)15-2( Ö‬‬ ‫ا�ستخد‪ Ω‬االآلة الحا�سبة الإكمال الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪ádGódG‬‬

‫‪GõdG‬و‪áj‬‬

‫اإيجا‪ O‬قيا�س زاوي ‪m‬ة ‪Yo‬لمت قيمة اإحدى ‪O‬والـها المث َّلثية‬ ‫�ش ــب≥ لن ــا اإيجاد قيا�ص زاوي ‪m‬ة حا َّد ‪m‬ة ‪o‬علم‪ â‬قيمة اإحد‪ i‬ن�ش ــبها المث َّلثية‪ ،‬وفي الحالة العا َّم ــة فاإنَّه يمكننا اإيجاد‬ ‫قيا�ص ا ِّأي زاوي ‪m‬ة ‪o‬علم‪ â‬قيمة اإحد‪ i‬دوالـها المث َّلثية مبا�شر ًة اإذا كان‪ â‬زاوي ًة ربع َّي ًة‪ ،‬اأو بالإفادة من زاوية‬ ‫المرجع للزاوية اإذا كان‪ â‬زاوي ًة ‪Z‬ير ربع َّي ‪m‬ة ‪ ،‬و�شنق�شر درا�شتنا على اإيجاد قيم التي تحقِّ≥ ال�شر• ‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬

‫مثال (‪)15-2‬‬ ‫في كل مما يلي اأوجد قيمة ‪g‬ـ حي‪) å‬‬

‫) ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫( زاوية ربعية )‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪103‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫في الربع الثاني اأو الرابع‬

‫اإذا كان‪â‬‬

‫في الربع الثاني‬

‫اإذا كان‪â‬‬

‫في الربع الرابع‬

‫في الربع الثالث اأو الرابع‬ ‫(با�شت‪î‬دام ال‪B‬لة الحا�شبة)‬

‫اإذا كان‪ â‬في الربع الثالث‬ ‫اإذا كان‪ â‬في الربع الرابع‬ ‫ا�شت‪î‬دمنا ال‪B‬لة الحا�شبة لإيجاد قيمة وف≥ الطريقة التي �شب≥ لك درا�شتها وذلك على النحو التالي‪:‬‬

‫‪óJ‬ري‪)16-2( Ö‬‬ ‫اأوجد قيمة اإذا علم‪ â‬ا َّأن‬

‫‪104‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫حيث‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫لدالتي الجيب وجيب التمام‬ ‫البياني‬ ‫التمثيل‬ ‫ِّ‬ ‫ُّ‬

‫خوا�ص هذه الدالة والتي �سندر�سها م�ستقب ًال – �إن �شاء اهلل تعالى –‬ ‫يو�ضح الكثير من‬ ‫� َّإن التمثيل البياني للدالة المثلَّثية ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫كما يفيدنا في التع ُّرف على التغ ُّيرات التي تحدث لـهذه الدالة عندما تكبر الزاوية �أو ت�صغر‪.‬‬ ‫و�سنكتفي في هذا البند بتمثيل ٍّ‬ ‫كل من دالة الجيب وجيب التمام‪.‬‬

‫البياني لدالة الجيب �ص‬ ‫التمثيل‬ ‫ُّ‬

‫جا �س‬

‫تم ِّثل الإحـداثي ال�ص��ـادي للنقـطة المث َّلثية للـزاوية ‪ ،‬وبمالحـظة‬ ‫ا�س��ـتنا ًدا �إلى � َّأن قيمة‬ ‫الأ�شكال ( ‪ ) 36 – 2 ( ، ) 35 – 2 ( ، ) 34 – 2 ( ، ) 33 – 2‬نجد � َّأن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 33-2‬‬

‫‪2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 34-2‬‬

‫‪3‬‬ ‫(�أكمل الفراغ)‬ ‫�شـكل ( ‪) 35-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫‪4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 36-2‬‬

‫عليه فاإنَّه يمكننا الح�شول على منحني الدالة‬ ‫التالي والذي يب ِّين بع†ص القيم‬ ‫ال‪î‬ا�شة للزاوية‬ ‫َّ‬

‫وقيم‬

‫وذلك كما يلي‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪) 37-2‬‬

‫‪106‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫حيث‬ ‫المنا‪X‬رة لـها‪.‬‬

‫بتمثيل نقا• الجدول‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫وحيث ا َّإن‬

‫(قاعدة (‪))4-2‬‬

‫‪،‬‬ ‫فاإ َّن ــه يمكنن ــا تمثي ــل المنحن ــي‬ ‫ال�شكل ( ‪ ) 37-2‬فنح�شل على ال�شكل ( ‪.) 38-2‬‬

‫المو�ش ــح في‬ ‫وذل ــك بتك ــرار ر�ش ــم المنحن ــي َّ‬

‫�شـكل ( ‪) 38-2‬‬

‫البياني لدا َّلة جيب التما‪� Ω‬س‬ ‫التمثيل‬ ‫ُّ‬

‫جتا �س‬

‫بالعودة اإلى الأ�شكال ( ‪ ) 36-2 ( ، ) 35-2 ( ، ) 34-2 ( ، ) 33-2‬ومالحظة اأنَّه بتغ ُّير قيمة من �شفر‬ ‫تناق�ش ــا بد ًءا من‬ ‫( والتي تم ِّثل الإحـداثي ال�ش ــيني للنقطة المث َّلثية للزاوية )‬ ‫اإلى تتغير قيمة‬ ‫ً‬ ‫) حتى ت�ش ــل اإلى العدد ( )‬ ‫الع ــدد ( ) وحت ــى الع ــدد ( )‪ .‬ث ــم تتزاي ــد ( بتغ ُّي ــر م ــن اإلى‬ ‫م َّر ًة اأخر‪.i‬‬ ‫وبتمثيل نقا• الجدول التالي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪107‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫حيث‬

‫يمكننا الح�صول على منحني الدالة‬

‫كما في ال�شكل ( ‪.) 39-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 39-2‬‬

‫( قاعدة ( ‪) ) 3-2‬‬

‫وحيث � َّإن‬ ‫ ‪،‬‬ ‫ ‬ ‫ف�إنَّه يمكننا تمثيل المنحني‬ ‫ال�شكل ( ‪ ) 39-2‬فنح�صل على ال�شكل ( ‪.) 40-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 40-2‬‬

‫‪108‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫المو�ضح في‬ ‫‪ ،‬وذلك بتكرار ر�سم المنحني‬ ‫َّ‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬

‫(‪)10-2‬‬ ‫قيم تقريبي ‪m‬ة لهذه الدالة للزواياالم‪î‬تلفة‪،‬‬ ‫يمكننا با�ش ــت‪î‬دام التمثيل البياني للدالة المثلَّثية الح�شول على ‪m‬‬ ‫باأن نن�ش ــ‪ Å‬عمو ًدا على المنحني‬ ‫فمث ًال من ال�ش ــكل ( ‪ ) 39-2‬يمكننا اإيجاد قيم ‪m‬ة تقريبي ‪m‬ة للعدد‬ ‫يقطع المنحني في نقطة ثم ن�شق§ من عمو ًدا على المحور ال�شادي يقطعه في نقطة‬ ‫من‬ ‫تقري ًبا )‪.‬‬ ‫( وهي هنا‬ ‫‪ ،Ü‬يكون اإحداثيها ال�شادي هو القيمة التقريبية للعدد‬

‫‪óJ‬ري‪)17-2( Ö‬‬ ‫من ال�شكل ( ‪ ،) 37-2‬اأوجد قيم ًة تقريبي ًة للعدد‬

‫‪.‬‬

‫‪óJ‬ري‪)18-2( Ö‬‬ ‫م ِّثل على ال�شـكل نف�شه ك ًّال من دالتي الجـيب وجـيب التمـام حيث‬ ‫عندما‬

‫ثم تحقَّ≥ من ا َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪109‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫‪J‬م`ا‪(3-2) ø`jQ‬‬ ‫‪ 1‬ب ‪u‬ين اأ ‪v‬يا من النقا• التالية ‪g‬ي نقط ‪l‬ة مث َّلثية‪:‬‬

‫‪ 2‬اإذا كانت‬ ‫قيمتان لقيا�س‬

‫نقط ‪k‬ة مث َّلثي ‪k‬ة للزاوية‬ ‫‪َّ K ,‬م اأوجد في ك ‪u‬ل م َّرة‬

‫حي‪å‬‬

‫‪ 3‬ب ‪u‬ين اأ ‪v‬يا من القيم التالية موج ‪k‬با واأيها �سال ‪k‬با‪:‬‬

‫‪ 4‬بدون ا�ستخدا‪ Ω‬االآلة الحا�سبة اأوجد اإن اأم‪µ‬ن قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬

‫‪ 5‬اكتب قيم الدوال المث َّلثية ال�ست للزاوية في ٍّ‬ ‫كل من االأ‪T‬س‪µ‬ال التالية‪:‬‬

‫‪110‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪ ,‬فاأوجد‬

‫وب ‪u‬ين اأنَّ¬ توجد‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫‪� 6‬أوجد قيم الدوال المث َّلثية ال�ست �إذا كان �ضلع االنتهاء للزاوية في الو�ضع القيا�سي يم ُّر بالنقطة‪:‬‬ ‫د‬ ‫‪� 7‬أوجد قيم الدوال المث َّلثية الخم�س الأخرى في الحاالت التالية‪:‬‬ ‫تقع في الربع الثالث‬ ‫تقع في الربع الرابع‬ ‫تقع في الربع الثاني‬ ‫د‬ ‫هـ‬ ‫ ‬ ‫‪� 8‬إذا كان‬

‫‪� 9‬أوجد زاوية المرجع‬

‫للزاوية‬

‫ف�أوجد ك ًّال من‪:‬‬

‫ ‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتية ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫ح‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪111‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬ ‫‪ 10‬بدون ا�ستخدا‪ Ω‬االآلة الحا�سبة اأوجد اإن اأم‪µ‬ن قيمة ٍّ‬ ‫كل مـ َّما يلي‪:‬‬

‫‪ 11‬بدون ا�ستخدا‪ Ω‬االآلة الحا�سبة اأ‪K‬بت اأنَّ‪:‬‬

‫‪ 12‬با�ستخدا‪ Ω‬االآلة الحا�سبة اأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل مـ َّما يلي‪:‬‬

‫‪ 13‬اإذا كانت زاوية تقع في الربع الثال‪ å‬حي‪å‬‬

‫‪ 14‬اأ‪K‬بت اأنَّ‪:‬‬

‫‪112‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫فاأوجد‪:‬‬

‫الدوال المث َّلث َّية ( الدوال الدائر َّية )‬ ‫‪ 15‬ار�سم المنحني البياني للدالة‪:‬‬

‫‪ 16‬ار�سم المنحني البياني للدالة‪:‬‬

‫‪ 17‬ار�سم المنحني البياني للدالة‪:‬‬

‫‪ 18‬ار�سم المنحني البياني للدالة‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪113‬‬

‫الوحدة الثانيـة‬

‫‪4-2‬‬

‫المت‪£‬ا‪≤H‬ا‪ ä‬المث∏‪s‬ثي‪á‬‬ ‫تعلم من درا�ش ــتك ال�ش ــابقة ا َّأن المتطابقة هي عالق ‪l‬ة ريا�ش َّي ‪l‬ة �شحيح ‪l‬ة لجميع‬ ‫قيم المتغير فيها‪ ،‬واإذا تا َّأملنا العالقة الأ�شا�ش َّية في ح�شا‪ Ü‬المثلَّثات ‪:‬‬ ‫حيث زاوي ‪l‬ة حا َّدة‪.‬‬ ‫ن�شتنت‪ è‬ب�شهول ‪m‬ة ا َّأن هذه العالقة هي متطابقة اأي اأنَّها عالق ‪l‬ة �شحيح ‪l‬ة‬ ‫هي نقط ‪l‬ة واقع ‪l‬ة‬ ‫; وذلك ل َّأن النقطة المثلَّثية ل ِّأي زاوي ‪m‬ة‬ ‫تحقِّ≥ معادلة‬ ‫على دا‪F‬رة الوحدة‪ ،‬وهذا يعني ا َّأن النقطة‬ ‫دا‪F‬رة الوحـدة ‪:‬‬ ‫وهكذا نجد ا َّأن‪:‬‬ ‫( ‪) 20-2‬‬

‫ت‪�o‬ش َّمى المتطابقة ( ‪ ) 20-2‬بالمتطابقة الأ�شا�ش َّية الأولى في ح�شا‪ Ü‬المثلَّثات‪.‬‬ ‫والنظر َّية التالية تت†ش َّمن متطابقتين اأ�شا�ش َّيتين اأخريين‪.‬‬

‫ن¶رية (‪)1-2‬‬

‫لأي زاوية هـ فاإن ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪) 21-2‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪) 22-2‬‬

‫البر‪g‬ان‬ ‫‪1‬‬

‫‪W‬رفي المتطابقة الأ�شا�ش َّية الأولى على‬ ‫لح‪ ß‬اأنَّه يمكننا الح�شول على المتطابقة ( ‪ ) 21-2‬بق�شمة‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 2‬مترو∑ كتدريب للطالب‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫المتطابقات المثلثية‬ ‫(‪)11-2‬‬ ‫‪ 1‬ت‪�o‬شـ ـ َّمى المتطابق ــات الثالث ال�ش ــابقة بالمتطابقات االأ�سا�سـ ـ َّية في ح�س ــا‪ Ü‬المث َّلث ــات ; ذلك اأنَّه يمكن‬ ‫‪m‬‬ ‫متطابقات اأخر‪.i‬‬ ‫�شحة‬ ‫ا�شت‪î‬دامها في اإثبات َّ‬ ‫‪ 2‬لإثبات �شحة متطابق ‪m‬ة مث َّلثي ‪m‬ة هنا∑ ثالث ‪W‬ر‪:¥‬‬ ‫‪m‬‬ ‫خطوات ريا�شـ ـ َّي ‪m‬ة منا�ش ــب ‪m‬ة نثب‪ â‬اأنَّه ي�ش ــاوي‬ ‫‪W‬رفي المتطابقة وباإجراء‬ ‫الطريق ــة االأول ــ≈‪ :‬ناأخذ اأحد ِّ‬ ‫الطرف ال‪B‬خر‪.‬‬ ‫واحدا‪.‬‬ ‫الطريقة الثانية‪ :‬نثب‪ â‬ا َّأن ك ًّال من الطرفين ي�شاوي مقدا ًرا ً‬ ‫الطريقة الثالثة‪ :‬ننطل≥ من متطابق ‪m‬ة معلوم ‪m‬ة لن�شتنت‪ è‬المتطابقة المطلوبة‪.‬‬

‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫اأ‪K‬بت اأ َّن‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬ ‫الطرف الأي�شر‪.‬‬

‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫�سحة المتطابقة‬ ‫اأ‪K‬بت َّ‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬ ‫الطرف الأي�شر‬ ‫ا ًإذا الطرفان مت�شاويان‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪115‬‬

‫الوحدة الثانيـة‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬ ‫�سحة المتطابقة‬ ‫اأ‪K‬بت َّ‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأي�شر‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫‪óJ‬ري‪)19-2( Ö‬‬ ‫�شحة المتطابقة ال�شابقة بد ًءا بالطرف الأيمن‪.‬‬ ‫اأثب‪َّ â‬‬ ‫وفيم ــا يل ــي ن�س ــتخد‪ Ω‬المتطابقات االأ�سا�سـ ـ َّية في اإيجا‪ O‬قيم ال ــدوال المث َّلثية لزاوي ‪m‬ة ما م©ل ــو ‪ Ωl‬اإحدى قيم‬ ‫‪O‬والـها المث َّلثية‪.‬‬

‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫اإذا كان‬

‫الحل‬ ‫بما ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫‪116‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫فاأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫المتطابقات المثلثية‬

‫وحيث ا َّأن تقع في الربع الثاني ( لماذا ? ) ‪ ،‬فا َّإن‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫اإذا كانت الزاوية‬

‫في الربع الثال‪ å‬وكان‬

‫‪ ,‬فاأوجد قيمة‬

‫‪َّ K‬م اأوجد قيمة‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬

‫بما ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬ ‫( لح‪ ß‬اأنَّنا اأهملنا القيمة ال�شالبة ل َّأن ه في الربع الثالث )‬ ‫بما ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪117‬‬

‫الوحدة الثانيـة‬ ‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫فاأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫اإذا كان‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫وبما اأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫ل َّأن‬

‫في الربع الأول‬

‫وبما اأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫‪óJ‬ري‪)20-2( Ö‬‬ ‫اأعد حل المثال ( ‪ ) 9-2‬با�شت‪î‬دام المتطابقات الأ�شا�ش َّية‪ ،‬ومن َّثم قارن بين الطر‪ ¥‬الثالث التي اأمكن بـها‬ ‫حل هذا المثال من حيث ال�شهولة‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫المتطابقات المثلثية‬

‫‪J‬م`ا‪(4-2) ø`jQ‬‬ ‫�سحة ٍّ‬ ‫كل من المتطابقات االآتية‪:‬‬ ‫‪ 1‬اأ‪K‬بت َّ‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬ ‫ح‬ ‫•‬ ‫ي‬ ‫∑‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪119‬‬

‫الوحدة الثانيــة‬

‫ل‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫�س‬

‫ ‬ ‫‪� 2‬إذا كان‬

‫ ‬ ‫حيث‬

‫‪� 3‬إذا كان ‬

‫ ‬ ‫حيث‬

‫‪� 4‬إذا كان ‬

‫ ‬ ‫حيث‬

‫‪ 5‬اح�سب قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪ :‬‬ ‫ ‬ ‫‪� 6‬إذا كان‬ ‫فما قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬

‫‪120‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬

‫حيث‬

‫�إذا كان‬ ‫�أوجد قيمة ‬

‫و�إذا كان‬

‫الدوال المث َّلث َّية ل‪µ‬ل من المجمو´ وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫‪5-2‬‬

‫الدوا∫ المث∏‪s‬ثي‪ á‬ل‪µ‬ل‪ øe x‬المجم‪ ´ƒ‬وال‪¥ôØ‬‬ ‫اأو‬ ‫في هذا الدر�ص نتع َّرف �شي≠ الدوال المثلَّثية لمجمو´ زاويتين‬ ‫بدللة الدوال المثلَّثية للزاويتين ‪ ، ،‬وهذه ال�شي≠‬ ‫الفر‪ ¥‬بينهما‬ ‫‪o‬تع ــرف بمتطابقات المجمو´ والفر‪ ¥‬وت‪o‬ع ُّد من المتطابقات المه َّمة في ح�ش ــا‪Ü‬‬ ‫المثلَّثات ;ذلك اأنَّه ‪o‬ي�ش ــتند اإليها في ا�ش ــتنتا‪ ê‬العديد من المتطابقات الأخر‪i‬‬ ‫كما �شنر‪ i‬ذلك لحقًا اإن �شاء اهلل تعالى ‪.‬‬

‫جيب تما‪ٍّ Ω‬‬ ‫كل من المجمو´ وال‪Ø‬ر‪¥‬‬ ‫اأ َّو ‪k‬ال – ‪o‬‬ ‫ن¶رية (‪)2-2‬‬ ‫ل ِّأي زاويتين قيا�شاهما ‪،‬‬

‫البر‪g‬ان‬

‫بفر�ص‬

‫فا َّإن‪:‬‬ ‫( ‪) 23-2‬‬

‫( لال‪W‬ال´ فق§ )‬ ‫ثالث نق§ مث َّلثية للزوايا‬ ‫على الترتيب تكون ‪:‬‬

‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 41-3‬نجد ا َّأن‪:‬‬ ‫قيا�ص‬ ‫الوترين‬

‫�شـكل ( ‪) 41-2‬‬

‫قيا�ص‬ ‫متطابقان (لماذا ?)‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪121‬‬

‫الوحدة الثانيـة‬

‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫( ‪O‬ون ا�ستخدا‪ Ω‬االآلة الحا�سبة )‪.‬‬

‫اأوجد قيمة‬

‫الحل‬ ‫‪°‬‬

‫=‬

‫‪+°‬‬

‫‪°‬‬

‫=‬

‫‪°‬‬

‫‪– °‬‬

‫=‬

‫*‬

‫–‬

‫=‬

‫‪°‬‬

‫*‬

‫–‬

‫نتيجة (‪)4-2‬‬ ‫يمكننا من النظر َّية (‪ )2-2‬ا�شتنتا‪ ê‬القاعدة التالية وت�ش َّمى قاعدة الدوال المث َّلثية للزاوية‬ ‫وذلك ل ِّأي زاوي ‪m‬ة ‪:‬‬

‫حيث‬

‫‪122‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫مع ‪q‬رف‪) 24-2 ( 0‬‬

‫الدوال المثلثية لكل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬ ‫‪( 2-2 ) ájs ô¶f øe‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬اإذا و�س ‪r‬عنا‬

‫بد ًل من‬

‫في المتطابقة الأولى ينت‪ è‬ا َّأن‪:‬‬

‫من القاعدة ( ‪( 17-2‬‬

‫‪ 3‬المتطابقة الثالثة تنت‪ è‬مبا�سر ًة من المتطابقتين الأولى والثانية‪.‬‬

‫نظرية (‪)3-2‬‬ ‫ل ِّأي زاويتين قيا�ساﻫما ‪،‬‬

‫فا َّإن‪:‬‬ ‫) ‪( 25-2‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬ ‫بو�س ‪p‬ع (‬

‫) بد ًل من‬

‫في المتطابقة ( ‪ ) 23-2‬ينت‪ è‬ا َّأن‪:‬‬ ‫; من القاعدة (‪(19-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪123‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال )‪)23-2‬‬ ‫اأوجد قيمة‬

‫) دون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة (‪.‬‬

‫الحل‬

‫’‪ ßM‬اأنَّه يمكننا كتابة‪:‬‬

‫فنح�سل على النتيجة ال�سابقة نف�سها‪.‬‬

‫نتيجة (‪)5-2‬‬ ‫‪،‬ل ِّأي زاوي ٍة ‪.‬‬

‫من الن¶ر َّية ( ‪ ) 3-2‬ن�ستنت‪ è‬قاعدة الدوال المث َّلثية للزاوية‬

‫حيث‬

‫مع َّرف‪.‬‬

‫) ‪( 26-2‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬

‫مترو∑ كتدريب للطالب‪.‬‬ ‫ومن الجدير بالذكر ا َّأن العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتا َّمتين التي �سبق درا�ستها في‬ ‫خا�س ‪l‬ة من النتيجة ( ‪ ) 5-2‬عندما تكون زاوي ًة حا َّدة‪.‬‬ ‫مق َّرر ريا�س َّيات (‪ )1‬ﻫي حال ‪l‬ة َّ‬

‫‪124‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المثلثية لكل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫جيب ٍّ‬ ‫كل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬ ‫ثان ًيا – ُ‬ ‫نظرية (‪)4-2‬‬ ‫ل ِّأي زاويتين قيا�ساﻫما ‪،‬‬

‫فا َّإن‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪( 27-2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( 28-2‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬ ‫‪1‬‬

‫(‪ªd‬ا‪)? GP‬‬

‫‪ 2‬مترو∑ كتدريب للطالب‪.‬‬

‫مثال )‪)24-2‬‬ ‫اأوجد بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة المقدار‪:‬‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪125‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫تدريب )‪)21-2‬‬ ‫اأكمل التالي‪:‬‬

‫‪X‬ل ٍّ‬ ‫ثال ًثا – ُّ‬ ‫كل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬ ‫نظرية (‪)5-2‬‬ ‫ل ِّأي زاويتين قيا�ساﻫما ‪،‬‬

‫بحيث يكون ك ‪w‬ل من‬

‫مع َّرفًا‪ ،‬فا َّإن‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬

‫حيث‬

‫) ‪( 29-2‬‬

‫‪2‬‬

‫حيث‬

‫) ‪( 30-2‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬ ‫‪1‬‬ ‫من المتطابقتين ( ‪( 23-2 ( ، ) 27-2‬‬

‫‪126‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المثلثية لكل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫وبق�سمة ٍّ‬ ‫كل من الب�سط والمقام على‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫نح�سل على‪:‬‬

‫‪ 2‬مترو∑ كتدريب للطالب‪.‬‬

‫مثال )‪)25-2‬‬ ‫بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪ ،‬اأوجد قيمة‪:‬‬

‫الحل‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪127‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال )‪)26-2‬‬ ‫اإذا كان‬ ‫فاأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬

‫الحل‬

‫لح�ساب القيم المطلوبة يلزمنا اإيجاد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬ ‫اأو ًل‪ -‬لإيجاد قيم الدوال المث َّلثية المطلوبة للزاوية نجد اأنَّ‪:‬‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫باأخذ المقابل‬

‫يكون المجاور‬

‫حيث زاوية المرجع للزاوية ‪.‬‬

‫فيكون الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫تقع في الربع الثالث‬

‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫ان¶ر ال�سكل ( ‪( 42-3‬‬

‫�سـكل ( ‪( 42-2‬‬

‫ثان ًيا‪ -‬لإيجاد قيم الدوال المث َّلثية المطلوبة للزاوية‬ ‫المقابل‬ ‫الوتر‬

‫‪128‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫نجد اأ َّن ‪:‬‬ ‫حيث زاوية المرجع للزاوية‬

‫‪.‬‬

‫الدوال المثلثية لكل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫باأخذ المقابل‬

‫يكون الوتر‬

‫و يكون المجاور‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬

‫تقع في الربع الثاني‬

‫المقابل‬ ‫المجاور‬

‫ان¶ر ال�سكل ( ‪( 43-2‬‬

‫�سـكل (‪( 43-2‬‬

‫’‪ ßM‬اأنَّه يمكننا اإيجاد القيم ال�سابقة با�ستخدام المتطابقات الأ�سا�سية اأو با�ستخدام قواعد مث َّلث‬ ‫المرجع ٍّ‬ ‫لكل من الزاويتين ‪،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪129‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫تدريب )‪)22-2‬‬ ‫اأوجد ( بدون ا�ستخدام ال‪B‬لة الحا�سبة ) قيمة المقدار‬

‫تدريب )‪)23-2‬‬ ‫ما نوع المث َّلث الذي تحقِّق زواياه العالقة‬

‫‪130‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المثلثية لكل من المجموع وال‪Ø‬ر‪¥‬‬

‫‪(5-2) ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫‪ 1‬بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪ ،‬اأوجد قيم الدوال الآتية‪:‬‬ ‫د‬ ‫ﻫـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫‪ì‬‬

‫‪ 2‬با�ستخدام متطابقات المجموع اأثبت اأنَّ‪:‬‬

‫‪ 3‬اإذا كان‬ ‫‪ 4‬اإذا كان‬

‫فاأوجد قيمة‬ ‫حيث تق™ في الرب™ الأول فاأوجد قيمة‬

‫كل من الحالت الآتية‪ ،‬اأوجد قيمة ٍّ‬ ‫‪ 5‬في ٍّ‬ ‫كل من الدوال‪:‬‬ ‫حيث في الرب™ الأول‪.‬‬

‫حيث‬ ‫حيث‬

‫في الرب™ الثاني‬

‫حيث‬

‫في الرب™ الثالث‬

‫حيث في الرب™ الثالث‪.‬‬ ‫حيث في الرب™ الأول‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪131‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫ ‬ ‫‪� 6‬إذا كان‬ ‫على افترا�ض �أ َّن ‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫زاويتان حا َّدتان‪.‬‬

‫‪� 7‬أثبت �صحة ٍّ‬ ‫كل من المتطابقتين‪:‬‬

‫‪132‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫ ‬ ‫ف�أثبت �أ َّن‬

‫وذلك بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪،‬‬

‫الدوال المثلثية ل�سعف الزاوية ون‪ü‬س‪Ø‬ها‬

‫‪6-2‬‬

‫‪É¡Ø°üfh ájhGõdG ∞©°†d á«ãs∏ãªdG ∫GhódG‬‬ ‫ـي≠ مثلَّثي ٍة لدوال‬ ‫انطال ًق ــا من متطابق ــات المجموع يمكننا الح�س ــول على �س ـ ٍ‬ ‫و ُتع ــرف ﻫ ــذه ال�س ــي≠ بمتطابقات‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س ــع∞ الزاوي ــة‪:‬‬ ‫�سي≠ مثلَّثي ٍة لدوال ن�س∞ الزاوية‪:‬‬ ‫الم�ساع‪Ø‬ات‪ ،‬ومنها يمكننا ا�ستنتا‪ٍ ê‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫نظرية (‪)6-2‬‬ ‫ل ِّأي زاوي ٍة قيا�سها فا َّإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫) ‪( 31-2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( 32-2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ ،‬لجميع قيم المع َّرفة عليها ﻫذه العالقة‬

‫) ‪( 33-2‬‬

‫‪gôÑdG‬ا¿‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬مترو∑ كتدريب للطالب‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪133‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫نتيجة (‪)6-2‬‬ ‫‪ ،‬وبا�ستخدام المتطابقة الأ�سا�س َّية الأولى نح�سل على المتطابقتين‪:‬‬

‫من المتطابقة‬

‫)‪( 34- 2‬‬ ‫) ‪( 35-2‬‬ ‫ومن ﻫاتين المتطابقتين يمكننا كتابة �سي¨ة مث َّلثية ٍّ‬ ‫لكل من‬

‫‪،‬‬

‫بدللة‬

‫كما يلي‪:‬‬

‫) ‪( 36-2‬‬ ‫) ‪( 37-2‬‬ ‫وال‪B‬ن اإذا ا�ستبدلنا بـ‬

‫في المتطابقتين ( ‪ ) 37-2 ( ، ) 36-2‬فاإننا نتو�سل اإلى الن¶رية التالية‪:‬‬

‫نظرية (‪)7-2‬‬ ‫ل ِّأي زاوي ٍة قيا�سها فا َّإن‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫) ‪( 38-2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( 39-2‬‬

‫‪3‬‬

‫حيث‬

‫تُ�س َّمى المتطابقات الثال‪ ç‬ال�سابقة بمتطابقات الأن‪ü‬سا‪.±‬‬

‫‪134‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫) ‪( 40-2‬‬

‫الدوال المثلثية ل�سعف الزاوية ون‪ü‬س‪Ø‬ها‬

‫مثال )‪)27-2‬‬ ‫اإذا كان‬

‫فاأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬

‫‪،‬حيث‬

‫الحل‬ ‫بما ا َّأن‬ ‫فا َّإن‬

‫; ل َّأن في الربع الثاني‪.‬‬

‫’‪ ßM‬اأنَّه يمكن الح�سول على الجواب نف�سه با�ستخدام ا ٍّأي من المتطابقتين ( ‪.( 35-2 ( ، ) 32-2‬‬

‫’‪ ßM‬اأنَّه يمكن ا�ستخدام المتطابقة ( ‪ ) 33-2‬لإيجاد‬

‫وذلك بعد اإيجاد‬

‫;ل َّأن‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪135‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫اأي ا َّأن‬

‫في الربع الأول‬

‫( لماذا اخترنا القيمة الموجبة ? )‬

‫مثال )‪)28-2‬‬ ‫‪áª«b óLhCG‬‬

‫( بدون ا�ستخدام ال‪B‬لة الحا�سبة )‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بو�سع‬

‫تكون‬

‫وبما اأن‬ ‫اإذ ًا‬

‫( لماذا اأﻫملنا القيمة ال�سالبة ? )‬

‫‪136‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المثلثية ل�سعف الزاوية ون‪ü‬س‪Ø‬ها‬

‫مثال )‪)29-2‬‬ ‫اكتب‬

‫بدللة‬

‫الحل‬

‫مثال )‪)30-2‬‬ ‫اأثبت �سحة المتطابقة‪:‬‬

‫الحل‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫‪( 32- 2( ، ) 31-2 ) øe‬‬ ‫‪( 20-2 ) øe‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪137‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫( بق�سمة ٍّ‬ ‫كل من الب�سط والمقام على جتاﻫ )‬ ‫الطرف الأي�سر‬

‫‪138‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫الدوال المثلثية ل�سعف الزاوية ون‪ü‬س‪Ø‬ها‬

‫‪(6-2) ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫‪ 1‬بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة‪ ،‬اأوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬

‫د‬ ‫ﻫـ‬

‫و‬

‫ز‬

‫‪ì‬‬

‫‪ 2‬اإذا كانت‬

‫‪،‬‬

‫فاأوجد قيمة‬

‫‪ 3‬اإذا كانت‬

‫‪،‬‬

‫‪ 4‬اإذا كانت‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪ 5‬اإذا كانت‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪ 6‬اإذا كانت‬

‫‪ ،‬حيث‬

‫‪ 7‬اكتب‬

‫بدللة‬

‫‪ ،‬واكتب‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫فاأوجد قيمة‬ ‫فاأوجد قيمة‬ ‫فاأوجد قيمة‬

‫فاأوجد قيمة‬ ‫بدللة‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪139‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪ 8‬برهن �أ َّن ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪� 9‬أثبت �صحة ٍّ‬ ‫كل من المتطابقات الآتية‪:‬‬

‫د‬

‫‪140‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه‬

‫‪7-2‬‬

‫‪¬YÓ°VCG ∫GƒWCGh ås∏ãªdG ÉjGhR äÉ°SÉ«b ø«H ábÓ©dG‬‬ ‫تعلم اأنَّه ل ِّأي مثلَّث �سـ ـ َّتة عنا�س ــر وﻫي اأطوال اأ�سالعه الثالثة وقيا�سات زواياه الثال‪،ç‬‬ ‫ويتع َّي ــن المث َّل ــث بمعلوم َّية ثالثة عنا�س ــر منها‪ ،‬على اأن يكون اأحدﻫا على الأقل �س ــل ًعا‪،‬‬ ‫ويكون ح ‪t‬ل المثلَّث ﻫو اإيجاد العنا�سر الثالثة الباقية‪.‬‬ ‫وفي ﻫذا الدر�ض �س ــنبحث عن العالقات بين قيا�س ــات زوايا المثلَّث واأطوال اأ�س ــالعه‪،‬‬ ‫وانطالقًا من ﻫذه العالقات �س ــنتناول َّ‬ ‫حل المثلَّث باأنواعه المختلفة ا�س ــتكما ًل لدرا�سة‬ ‫ِّ‬ ‫طولي‬ ‫حل المثلَّث قا‪F‬م الزاوية‪ ،‬وقبل ذلك يلزمنا ا�ستنتا‪ ê‬قانون م�ساحة المثلَّث بدللة ِّ‬ ‫�سلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما‪.‬‬ ‫وتجدر الإ�سارة ﻫنا اإلى اأنَّنا �سن�ستخدم الرموز ‪،‬‬ ‫‪ ،‬للدللة على اأطوال اأ�سالع المثلَّث‬ ‫المقابلة للزوايا ‪ ، ،‬على الترتيب‪.‬ان¶ر �سكل‬ ‫) ‪( 44-2‬‬

‫�سـكل ( ‪( 44-2‬‬

‫طولي �سلعين فيه والزاوية المح‪ü‬سورة بينهما‬ ‫م�ساحة المث َّلث بدللة‬ ‫ِّ‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من ال�سكلين ( ‪ ) 46-2 ( ، ) 45-2‬اإذا كان ﻫو طول الرتفاع النازل على‬ ‫ﻫي‬ ‫فا َّإن م�ساحة‬ ‫في‬

‫�سـكل ( ‪( 45-2‬‬

‫�سـكل ( ‪( 46-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪141‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫وعليه فا َّإن‬

‫) ‪( 41-2‬‬

‫وكذلك فا َّإن‬

‫) ‪( 42-2‬‬

‫أي�سا‬ ‫وا ً‬

‫) ‪( 43-2‬‬

‫طولي �س ــلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما‬ ‫وبذلك نكون قد َّ‬ ‫تو�س ــلنا اإلى قانون م�س ــاحة المثلَّث بدللة ِّ‬ ‫والذي ن�سو‪Z‬ه على النحو التالي‪:‬‬

‫طولي ا ِّأي �سلعين من اأ�سالعه في جيب‬ ‫م�ساحة ا ِّأي مثل ٍَّث ت�ساوي ن�س∞ حا�سل �سرب ِّ‬ ‫الزاوية المح�سورة بينهما‪.‬‬

‫مثال )‪)31-2‬‬ ‫اأوجد م�ساحة المث َّلث‬

‫�سم‬

‫اإذا كان‬

‫�سم‬

‫الحل‬ ‫م�ساحة‬ ‫�سم‬

‫مثال )‪)32-2‬‬ ‫مث َّلث متطابق ال�سلعين فيه‬

‫�سم ‪ ،‬اأوجد م�ساحة‬

‫الحل‬ ‫م�ساحة‬ ‫�سم‬ ‫�سم‬

‫�سم‬

‫‪142‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫�سـكل ( ‪( 47-2‬‬

‫‪.‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه‬

‫تدريب )‪)24-2‬‬ ‫طولي �سلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما لإثبات ا َّأن‪:‬‬ ‫ا�ستخدم قانون م�ساحة المث َّلث بدللة ِّ‬ ‫�سلعي القا‪F‬مة‪.‬‬ ‫طولي ِّ‬ ‫‪ 1‬م�ساحة المث َّلث القا‪F‬م الزاوية ت�ساوي ن�س∞ حا�سل �سرب ِّ‬ ‫‪ 2‬م�ساحة المث َّلث المتطابق الأ�سالع والذي طول �سلعه �ض ت�ساوي‬

‫‪.‬‬

‫قانون الجيب‬ ‫من العالقات ( ‪ ) 43-2 ( ، ) 42-2 ( ، ) 41-2‬ن�سـتنت‪ è‬اأنَّه في ا ِّأي مث َّل ٍث‬

‫تكون‬

‫م�ساحة المث َّلث‬ ‫وبالق�سمة على‬

‫نح�سل على العالقة ‪:‬‬ ‫) ‪( 44-2‬‬

‫وبالإفادة من خوا�ض التنا�سب نح�سل على �سور ٍة اأخرى لهذه العالقة وﻫي‪:‬‬ ‫) ‪( 45-2‬‬ ‫ا َّإن ﻫذه العالقة ‪ -‬ب�سورتيها ‪ -‬تع ِّبر ريا�س ًّيا عن قانون ُيعرف بقانون الجيب والذي يمكن �سيا‪Z‬ته على النحو‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫اأطوالُ اأ�سالع ا ِّأي مثلَّث تتنا�سب مع جيوب الزوايا المقابلة لـها‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪143‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال )‪)33-2‬‬ ‫اإذا كان المث َّلث‬

‫فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫اأوجد‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بما ا َّأن‬

‫من قانون الجيب‬

‫ا ًإذا‬ ‫�سم‬

‫( ا�ستخدمنا ال‪B‬لة الحا�سبة لإيجاد النات‪) è‬‬

‫قانون جيب التَّمام‬ ‫مث َّلثـًا حاد الزاوية في ‪ ،‬وليكن‬ ‫ليكن المث َّلث‬ ‫كما في ال�سكل ( ‪( 48- 2‬‬

‫ﻫو طول الرتفاع النازل من‬

‫على‬

‫�سـكل ( ‪( 48-2‬‬

‫من الوا�س‪ í‬ا َّأن‪:‬‬

‫بتطبيق ن¶رية فيثا‪Z‬ور‪ ç‬على‬

‫وحيث ا َّأن‪:‬‬

‫بتطبيق ن¶رية فيثا‪Z‬ور‪ ç‬على‬

‫فا َّإن‬ ‫وبما ا َّأن‬

‫‪ ،‬فاإنَّنا نح�سل على العالقة‬ ‫) ‪( 46-2‬‬

‫‪144‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه‬

‫وفي الحقيقة يمكننا الح�س ــول على العالقة ( ‪ ) 46-2‬نف�س ــها في حالة كون المث َّلث‬ ‫في كما في ال�سكل ( ‪( 49-2‬‬

‫منفر‪ ê‬الزاوية‬

‫�سـكل ( ‪( 49-2‬‬

‫حيث يكون‬ ‫ويكون‬

‫( لماذا ? )‬

‫وم َّما �سبق نجد اأنَّه يمكننا كذلك ا�ستنتا‪ ê‬العالقتين‪:‬‬ ‫) ‪( 47-2‬‬ ‫) ‪( 48-2‬‬

‫ا َّإن العالقات الثال‪ ) 48-2 ( ، ) 47-2 ( ، ) 46-2 ( ç‬تع ِّبر ريا�س ًّيا عن قانون ُيعرف بقانون جيب التمام‬ ‫والذي يمكن �سيا‪Z‬ته على النحو التالي‪:‬‬ ‫مطروحا منه �سع∞‬ ‫طولي ال�سلعين ال‪B‬خرين‬ ‫ً‬ ‫مر َّبع طول ا ِّأي �س ـ ٍـلع في مثل ٍَّث ي�س ــاوي مجموع مر َّبعي ِّ‬ ‫طولي ﻫذين ال�سلعين في جيب تمام الزاوية المح�سورة بينهما‪.‬‬ ‫حا�سل �سرب ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪145‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال )‪)34-2‬‬ ‫�سم ‪،‬‬

‫مثلَّث‪ l‬فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫اأوجد‬

‫‪.‬‬

‫الحل‬ ‫العالقة ( ‪( 47-2‬‬

‫ا ًإذا‬

‫�سم‬

‫مثال )‪)35-2‬‬ ‫مث َّلث‪ l‬فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫�سم ‪ ،‬اأوجد ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫من العالقة ( ‪ ) 46-2‬نجد ا َّأن‪:‬‬

‫ا ًإذا‬

‫‪146‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫(با�ستخدام ال‪B‬لة الحا�سبة)‪.‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه‬

‫ُّ‬ ‫حل المث َّلث‬ ‫اأوجدنا في ٍّ‬ ‫كل من الأمثلة ( ‪ ) 35-2 ( ، ) 34-2 ( ، ) 33-2‬اأحد عنا�سر المث َّلث بمعلوم َّية عنا�سر اأخرى فيه‪،‬‬ ‫قانوني الجيب وجيب ال َّتمام‪.‬‬ ‫وذلك بالإفادة من‬ ‫ِّ‬ ‫وفيما يلي ن�ستخدم ﻫذين القانونين ِّ‬ ‫لحل المث َّلث في الحالت التالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ُّ‬ ‫حل المث َّلث اإذا ُعلم فيه زاويتان وطول �سل™ ‪:‬‬

‫في ﻫذه الحالة نح�س ــب قيا�ض الزاوية الثالثة اأو ًل ;بطر‪ ì‬مجموع قيا�س ـ ِّـي الزاويتين المعلومتين من‬ ‫طولي ال�سلعين ال‪B‬خرين‪.‬‬ ‫با�ستخدام قانون الجيب نح�سب ِّ‬

‫َّثم‬

‫مثال )‪)36-2‬‬ ‫ُح َّل المث َّلث‬

‫‪،‬‬

‫الذي فيه‬

‫‪،‬‬

‫�سم‬

‫الحل‬ ‫العنا�سر المجهولة ﻫي‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫ا ًإذا‬ ‫العالقة (‪(45-2‬‬

‫وبما اأن‬ ‫ا ًإذا‬ ‫ا ًإذا‬

‫وكذلك‬

‫�سم‬

‫�سم‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪147‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪َ 2‬ح ُّل المث َّلث اإذا ُعلم فيه طول �سلعين وقيا�ض الزاوية المح‪ü‬سورة بينهما ‪:‬‬ ‫في ﻫذه الحالة ن�س ــتخدم قانون جيب التمام لح�س ــاب طول ال�س ــلع الثالث‪ ،‬ثم ن�س ــتخدمه م َّر ًة اأخرى لح�ساب‬ ‫لنح�س ــل على قيا�ض‬ ‫قيا�ض اإحدى الزاويتين ‪Z‬ير المعلومتين ثم نطر‪ ì‬مجموع قيا�س ـ ِّـي الزاويتين من‬ ‫الزاوية الثالثة‪.‬‬

‫مثال )‪)37-2‬‬ ‫ُح َّل المث َّلث‬

‫‪،‬‬

‫الذي فيه‬

‫الحل‬ ‫العنا�سر المجهولة ﻫي‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫بما ا َّأن‬ ‫ا ًإذا‬

‫ومن العالقة ( ‪ ) 47-2‬نجد ا َّأن‪:‬‬

‫ا ًإذا‬

‫‪148‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪،‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه‬ ‫ُّ‬ ‫حل المث َّلث اإذا ُع ‪p‬لم اأطوال اأ�سالعه الثالثة‬ ‫‪3‬‬ ‫قيا�سي زاويتين ثم نطر‪ ì‬مجموعهما من‬ ‫في ﻫذه الحالة ن�ستخدم قانون جيب التمام لنح�سب‬ ‫ِّ‬ ‫على قيا�ض الزاوية الثالثة‪.‬‬

‫لنح�سل‬

‫مثال )‪)38-2‬‬ ‫ُح َّل المث َّلث‬

‫الذي فيه‬

‫�سم ‪،‬‬

‫�سم‬

‫الحل‬ ‫العنا�سر المجهولة ﻫي الزوايا الثال‪.ç‬‬ ‫من العالقة ( ‪ ) 46-2‬نجد ا َّأن‪:‬‬

‫ا ًإذا‬ ‫وكذلك فا َّإن‪:‬‬

‫ا ًإذا‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪149‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪(7-2) ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫‪ 1‬اأوجد م�ساحة المث َّلث‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحالت الآتية‪:‬‬

‫�سم‬

‫�سم ‪.‬‬

‫�سم‬

‫‪.‬‬ ‫�سم ‪.‬‬

‫�سم‬

‫‪2‬‬

‫مثلَّث‪ l‬فيه‬

‫�سم‬

‫‪3‬‬

‫مثلَّث‪ l‬فيه‬

‫�سم‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫�سم وم�ساحته‬

‫‪ .‬اأوجد‬

‫�سم‬

‫فيه‬ ‫�سم‬

‫مثلَّث‪ l‬فيه‬

‫طـول قطـرها �سم ‪،‬‬ ‫‪ 7‬دا‪F‬ر ‪l‬ة‬ ‫‪.‬‬ ‫اأوجد طول الوتر‬ ‫‪ُ 8‬ح َّل المث َّلث‬

‫�سم‬ ‫‪،‬‬

‫�سم ‪ .‬اأوجد‬ ‫�سم ‪ .‬اأوجد‬

‫ن‪ü‬سـ‪Ø‬ا قطـرين فيها ‪ ،‬بحيث‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحالت الآتية‪:‬‬ ‫�سم ‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫�سم‬ ‫�سم‬

‫‪150‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪.‬‬

‫�سم ‪ .‬اأوجد ‪.‬‬

‫مثلَّث‪ l‬فيه‬

‫‪ 5‬المث َّلث‬

‫�سم ‪ .‬اأوجد‬

‫‪.‬‬

‫�سم ‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث و�أطوال �أ�ضالعه‬

‫د‬

‫‪.‬‬

‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬

‫�سم‬ ‫�سم‬ ‫�سم‬

‫‪� 9‬أثبت �أنَّه ال يمكن ر�سم المث َّلث‬ ‫‪� 10‬أوجـد قيا�س زوايا متوازي الأ�ضـالع‬ ‫�سم ‪.‬‬

‫�سم ‪.‬‬ ‫�سم ‪.‬‬

‫�سم‬ ‫�سم‬ ‫حيث‬

‫�سم ‪.‬‬ ‫�سم‬ ‫الذي فيه‬

‫�سم‬ ‫�سم‬

‫‪.‬‬ ‫�سم‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪151‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪8-2‬‬

‫‪äÉãs∏ãªdG ÜÉ°ùM äÉ≤«Ñ£J ¢†©H‬‬ ‫ن�س ــتعر�ض في ﻫذا الدر�ض بع�س ًا من التطبيقات الحياتية والهند�سية على ح�ساب‬ ‫المثلثات ‪.‬‬

‫اأو ًل‪ -‬تطبيقات حياتية‬

‫ي�ستخدم ح�ساب المث َّلثات في تناول الكثير من التطبيقات الحياتية ( العملية )‪ .‬وقد در�سنا‬ ‫بع�سا من ﻫذه التطبيقات على حل المث َّلث القا‪F‬م وفيما يلي ندر�ض‬ ‫في مقرر ريا�سيات ( ‪ً ) 1‬‬ ‫بع�سا ا‪B‬خر من التطبيقات الحياتية على ِّ‬ ‫حل المث َّلث حاد الزوايا اأو منفر‪ ê‬الزاوية‪.‬‬ ‫ً‬

‫مثال )‪)39-2‬‬ ‫ُيراد ح‪Ø‬ر ن‪Ø‬قٍ عبر ٍ‬ ‫جبل من النقطة اإلى النقطة ‪ ،‬ف ُر�س ــدت الم�س ــافة من النقطة‬ ‫الأر�ض اإلى ٍّ‬ ‫كل من النقطتين ‪ Ü ،‬فكانت ‪ 524‬م ‪231 ،‬م على التوالي‪.‬‬ ‫فاأوجد طول الن‪Ø‬ق‪.‬‬ ‫فاإذا كانت الزاوية‬

‫الحل‬ ‫ال�سـ ــكل ( ‪ ) 50-2‬يم ِّث ــل ر�سـ ـ ًما تو�س ــيح ًّيا للم�سـ ـاألة حيث‬ ‫يم ِّثل طول النفق‪.‬‬ ‫با�ستخدام قانون جيب التمام يكون ‪:‬‬

‫‪152‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫على �س ــط‪í‬‬

‫بع�ض تطبيقات ح�سا‪ Ü‬المثلثات‬

‫ا ًإذا طول النفق‬ ‫�سـكل ( ‪( 50-2‬‬

‫مثال )‪)40-2‬‬ ‫ـاط‪Ä‬ي نـه ٍر ‪،‬‬ ‫اإذا كان الموق ــ™ عل ــى الأر� ــض وكان الموقع ــان ‪ ،‬موقعي ــن متقابلين على ‪T‬س ـ ِّ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫فاأوجد عر�ض النهر ‪ ،‬اإذا كـان يبعد عن‬ ‫عل ًمـا باأ َّن ال‪û‬سـاط‪ Å‬والأر�ض ي‪û‬سكِّالن الم�ستوي ن‪�Ø‬سه‪.‬‬

‫الحل‬ ‫ال�سـكل ( ‪ ) 51-2‬يم ِّثل ر�س ًما تو�سيح ًّيا للم�ساألة حيث يم ِّثل عر�ض النهر‪.‬‬

‫�سـكل ( ‪( 51-3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪153‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫با�ستخدام قانون الجيب يكون‪:‬‬

‫� ًإذا عر�ض النهر‬

‫ثان ًيا‪ -‬تطبيقات هند�سية‬

‫عرفت �سابقًا � َّأن ميل الم�ستقيم المار بالنقطتين‬

‫هو‬

‫‬‫‪-‬‬

‫كما عرفت � َّأن �صـورة معـادلة الم�ستقيم بداللة الميل والجزء المقطوع من المحور ال�صادي هي‬ ‫وا�س��تنا ًدا �إل��ى مفه��وم ظ��ل الزاوي��ة ف�إ َّنن��ا �س��نع ِّبر عن مي��ل الم�س��تقيم بدالل��ة زاوية تُ�س�� َّمى‬

‫زاوية ميل الم�ستقيم‪ ،‬وتُع َّرف على النحو التالي‪:‬‬

‫تعريف ( ‪)9 -2‬‬ ‫زاوية ميل الم�س��تقيم هي الزاوية التي ي�صنعها جز�ؤه الواقع فوق المحور ال�سيني مع االتجاه الموجب لمحور‬ ‫ال�سينات‪ .‬وفي حالة كون الم�ستقيم �أفق ًّيا ف� َّإن زاوية ميله تُع َّرف ب�أنَّها �صفر‪.‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن زاوية ميل الم�ستقيم ولتكن تحقِّق ال�شرط‬ ‫الحظ في ال�شكل ( ‪َّ � ) 52-2‬أن زاوية ميل الم�ستقيم هي بينما زاوية ميل الم�ستقيم هي‬ ‫‪� ،‬أ َّما زاوية ميل المحور ال�صادي فهي ( كذلك الأمر بالن�سبة‬ ‫و� َّأن زاوية ميل المحور ال�سيني هي‬ ‫أ�سي (يوازي المحور ال�صادي))‪.‬‬ ‫ل ِّأي‬ ‫ٍ‬ ‫م�ستقيم ر� ٍّ‬

‫‪154‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫بع�ض تطبيقات ح�سا‪ Ü‬المثلثات‬

‫�سكل (‪(52-2‬‬ ‫وبالن¶ر اإلى ال�سكل ( ‪( 53-2‬‬ ‫نالحظ ا َّأن زاوية ميل الم�ستقيم ﻫي‬ ‫وا َّأن‬ ‫ميل الم�ستقيم‬

‫( لماذا ? )‬

‫وبذلك ن�سل اإلى النتيجة التالية‪:‬‬ ‫�سكل (‪(53-2‬‬

‫نتيجة (‪)7-2‬‬

‫ميل الم�ستقيم ي�ساوي ظل زاوية ميله‪ ،‬اأي اأنَّه اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم ﻫي فا َّإن ميله‬ ‫ويكون‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫زاوي ًة حا َّدة‬

‫) = زاوي ًة في الربع الأ َّول )‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫زاوي ًة منفرجة‬

‫) = زاوي ًة في الربع الثاني )‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫) الم�ستقيم ل اأفقي (‪.‬‬ ‫‪Z‬ير مع َّرف‬

‫) الم�ستقيم ل راأ�سي (‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪155‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال )‪)41-2‬‬ ‫اأوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫ميل الم�ستقيم‬ ‫ميل الم�ستقيم‬

‫( با�ستخدام ال‪B‬لة الحا�سبة )‪.‬‬

‫مثال )‪)42-2‬‬ ‫اأوجد زاوية ميل الم�ستقيم في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين التاليتين‪:‬‬ ‫الم�ستقيم يم ‪t‬ر بالنقطتين ( ‪.( 3 ، 5 ( ، ) 3– ، 2‬‬ ‫الم�ستقيم يم ‪t‬ر بالنقطتين (–‪.( 3 ، 3–( ، ) 2 ، 2‬‬

‫الحل‬ ‫ميل الم�ستقيم‬

‫ميل الم�ستقيم‬

‫حيث‬

‫‪156‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫زاوية المرجع لزاوي ٍة ت�ساوي‬

‫بع�ض تطبيقات ح�سا‪ Ü‬المثلثات‬

‫مثال )‪)43-2‬‬ ‫اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم حيث‬

‫فاأوجد ميل الم�ستقيم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫زاوي ًة في الربع الثاني ; ل َّأن‬

‫ميل الم�ستقيم‬

‫لح‪ß‬‬

‫اأنَّه يمكن حل ﻫذا المثال با�س ــتخدام المتطابقات الأ�سا�س ــية لح�ساب المث َّلثات وذلك على النحو‬ ‫التالي‪:‬‬

‫لأن‬

‫عندما‬

‫ميل الم�ستقيم‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪157‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫مثال )‪)44-2‬‬ ‫اأوجد زاوية ميل ا‪�Ÿ‬ستقيم الذي معادلته هي ‪:‬‬

‫الحل‬

‫زاوي ًة في الربع الأ َّول ; ل َّأن‬

‫زاوي ًة في الربع الثانى ; ل َّأن‬

‫‪158‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫بع�ض تطبيقات ح�سا‪ Ü‬المثلثات‬

‫‪(8-2) ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫م�سا ‪ ìl‬يقف في نقطة النقطتين‬ ‫‪ 1‬ر�سد َّ‬

‫‪،‬‬

‫فاإذا كان‪:‬‬

‫اأوجد ال ُبعد بين النقطتين‬ ‫‪ ،‬والزاويتان اللتان راأ�ساهما نـهايتا هذا ال�سل™ قيا�ساهما‬ ‫‪ 2‬قطعة اأر�ض مث َّلثة ال‪û‬سـكل طول اأحد اأ�سالعها‬ ‫إ�سمنتي‪ .‬اأوجد طول ال�سور‪.‬‬ ‫ُيراد اإحاطتها ب�سو ٍر ا‬ ‫‪، ،‬‬ ‫ٍّ‬ ‫محطتان لبثِّ الأموا‪ ê‬الال�سـلك َّية تقعان على ‪T‬ساط‪ Å‬بح ٍر وتر�سالن اإ‪T‬س ٍ‬ ‫َّ‬ ‫‪3‬‬ ‫ـارات ل�س‪Ø‬ين ٍة في البحر تق™ على بعد‬ ‫‪،‬‬ ‫كم من اإحداهما‪ ،‬وعلى بعد كم من الأخر‪ ،i‬فاإذا كان قيا�ض الزاوية بين الإ‪T‬سارتين ي�ساوي‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬ ‫أفقي واحد‪.‬‬ ‫المحطتين عل ًما باأ َّن ال‪û‬ساط‪ Å‬م�ستقي ‪l‬م‬ ‫فاأوجد البعد بين‬ ‫والمحطتين وال�س‪Ø‬ينة في م�ست ٍو ا ٍّ‬ ‫‪ 4‬لإيجاد ُبعد �سخر ٍة في البحر من نقط ٍة‬ ‫ووجد اأ َّن‬ ‫ال‪û‬ساط‪ Å‬فوجدها‬ ‫عن النقطة ‪.‬‬

‫‪T‬سخ‪ü‬ض الم�سافة من اإلى نقطة على‬ ‫على ال‪û‬ساط‪ Å‬قا�ض‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ ،‬فاأوجد ُبعد ال‪ü‬سخرة‬

‫‪ 5‬اأوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله في ٍّ‬ ‫كل من الحالت التالية‪:‬‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪159‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪6‬‬

‫�أوجد زاوية ميل الم�ستقيم‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت التالية‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬

‫‪7‬‬

‫�أوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله في ٍّ‬ ‫كل م َّما يلي ‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫�أوجد زاوية ميل الم�ستقيم الذي معادلته هي‪:‬‬

‫د‬

‫‪9‬‬

‫‪160‬‬

‫�إذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم‬ ‫ف�أوجد قيمة الثابت ك ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫هي‬

‫وكانت‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬

‫و�سع قيا�سي‪.‬‬ ‫الموجهة وق َّدمنا ك ًّال من قيا�سيها العام والر‪F‬ي�ض َّ‬ ‫وو�سحنا متى تكون في ٍ‬ ‫‪ 1‬ع َّرفنا الزاوية َّ‬ ‫‪ 2‬ع َّرفنا الن�سب المث َّلثية الفرع َّية للزاوية الحا َّدة با�ستعمال المث َّلث القا‪F‬م الزاوية وﻫي‪:‬‬ ‫الوتر‬ ‫المجاور‬ ‫الوتر‬ ‫المقابل‬ ‫المجاور‬ ‫المقابل‬ ‫‪ 3‬ع َّرفنا النقطة المث َّلثية‬ ‫كال‪B‬تي‪:‬‬

‫موجه ٍة ‪ ،‬ومن َّثم ع َّرفنا دوال الجيب وجيب ال َّتمام وال¶ل للزاوية‬ ‫لزاوي ٍة َّ‬

‫كما ع َّرفنا دوال القاطع وقاطع ال َّتمام وظل ال َّتمام‪.‬‬ ‫والذي طول وتره‬ ‫‪ 4‬ا�ستخدمنا مث َّلث مرجع الزاوية المرتبط بالنقطة‬ ‫في اإيجاد قاعدتين اأخريين لتعري∞ دالتي الجيب وجيب ال َّتمام وﻫما‪:‬‬

‫تو�سلنا اإلى قواعداأخرى لتعري∞ باقي الدوال المث َّلثية‪.‬‬ ‫ومن َّثم َّ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪161‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪� 5‬أوجدنا با�ستخدام مث َّلث المرجع وزاوية المرجع القاعدة العا َّمة التالية‪:‬‬ ‫قيمة � ِّأي دالة مث َّلثية لزاوية ت�ساوي قيمة الدالة المث َّلثية نف�سها لزاوية المرجع م�سبوق ًة ب�إ�شارة هذه الدالة في‬ ‫الربع الذي تقع فيه الزاوية ‪.‬‬ ‫)‬ ‫وا�ستخدمنا القواعد التالية لإيجاد قيم الدوال المث َّلثية ( بفر�ض � َّأن مع َّرفًا‪،‬‬

‫‪ 6‬م َّثلنا المنحني البياني ٍّ‬ ‫لكل من دالة الجيب ودالة جيب ال َّتمام‪.‬‬ ‫‪ 7‬ا�ستنتجنا المتطابقات الأ�سا�سية في ح�ساب المث َّلثات وهي‪:‬‬

‫�صحة متطابقات مث َّلثية �أخرى‪.‬‬ ‫وا�ستخدمناها في �إثبات َّ‬ ‫‪� 8‬أوجدن��ا قي��م الدوال المث َّلثي��ة لزاوية بمعلوم َّية �إحدى قيم دواله��ا المث َّلثية وذلك �إ َّما با�س��تخدام مث َّلث المرجع �أو‬ ‫القاعدة العا َّمة �أو المتطابقات الأ�سا�سية ‪.‬‬

‫‪162‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫تعلمت في هذه الوحدة‬ ‫‪ 9‬ا�ستنتجنا الدوال المث َّلثية ٍّ‬ ‫لكل من المجموع والفرق وهي‪:‬‬

‫‪ 10‬ا�ستنتجنا متطابقات الم�ضاعفات وهي‪:‬‬

‫‪ ،‬لجميع قيم المع َّرفة عليها هذه العالقة‪.‬‬ ‫كما ا�ستنتجنا متطابقات الأن�صاف وهي‪:‬‬

‫حيث‬ ‫طولي �ض��لعين فيه والزاوية المح�ص��ورة بينهما‪َّ ،‬ثم ا�ستنتجنا �أنَّه في � ِّأي مثلث‬ ‫‪ 11‬ا�س��تنتجنا قانون م�س��احة المث َّلث بداللة ِّ‬ ‫يكون ‪:‬‬ ‫كما يكون ‪:‬‬

‫(قانون الجيب )‬ ‫(قانون جيب التمام)‬

‫بع�ضا من التطبيقات الحياتية على ِّ‬ ‫قانوني الجيب وجيب ال َّتمام في ِّ‬ ‫حل المث َّلث‪.‬‬ ‫‪ 12‬ا�ستخدمنا‬ ‫حل المث َّلث َّثم در�سنا ً‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 13‬ع َّبرنا عن ميل الم�ستقيم بداللة ِّ‬ ‫ظل زاوية ميله‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪163‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬س™ عالمة )‬

‫( اأو عالمة )‬

‫( عن يمين ما يلي‪:‬‬

‫قيا�سي وقيا�سها‬ ‫و�سع‬ ‫اإذا كانت الزاوية في ٍ‬ ‫ٍّ‬

‫نقط ًة مث َّلثي ًة للزاوية الواقعة في الربع الرابع فا َّإن‬

‫اإذا كانت‬ ‫اإذا كانت‬ ‫اإذا كان‬

‫القيا�سي فا َّإن زاوية المرجع‬ ‫في الو�سع‬ ‫ِّ‬ ‫مع َّرفًا فا َّإن‬

‫اإذا كان‬

‫فا َّإن‬

‫اإذا كانت‬

‫حيث‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال‪ü‬سحيحة في ٍّ‬ ‫كل مـ َّما يلي‪:‬‬ ‫القيا�سان المختلفان للزاوية نف�سها ﻫما‬

‫‪164‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪ ،‬فا َّإن القيا�ض الر‪F‬ي�ض لها ﻫو‬

‫فا َّإن‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫اإذا كانت‬ ‫الأول‬

‫قيا�سي وقيا�سها‬ ‫و�سع‬ ‫في ٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫الثالث‬

‫اإذا كان‬ ‫الأول‬ ‫د‬

‫فاإنَّها تقع في الربع‪.‬‬

‫الرابع‬ ‫في الو�سع القيا�سي فا َّإن الزاوية‬

‫الثالث‬

‫تقع في الربع‬

‫الرابع‬

‫ي�ساوي‬

‫ﻫـ‬

‫و اإذا كانت تقع في الربع الرابع وكان‬

‫ز اإذا كانت‬

‫فا َّإن‬

‫ي�ساوي‬

‫فا َّإن‬

‫‪ ì‬زاوية ميل الم�ستقيم المار بالنقطتين‬

‫ﻫي‬

‫ط‬

‫ي‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪165‬‬

‫‪� 3‬إذا كان‬

‫ف�أوجد‪:‬‬

‫د‬ ‫‪� 4‬إذا كان‬

‫حيث‬

‫ف�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‬ ‫‪ 5‬بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة �أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من‪:‬‬

‫د‬ ‫‪� 6‬إذا كانت‬

‫زاويتين حا َّدتين وكان‬

‫�صحة المتطابقات الآتية‪:‬‬ ‫‪� 7‬أثبت َّ‬

‫د‬

‫‪166‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫ف�أثبت �أ َّن‬

‫ ‬ ‫‪� 8‬إذا كان‬ ‫‪ُ 9‬ح َّل المث َّلث‬

‫ف�أوجد قيمة حيث‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من الحاالت الآتية‪:‬‬ ‫�سم‬ ‫�سم‬ ‫�سم‬

‫‪10‬‬

‫�سم‬ ‫�سم‬

‫متوازي �أ�ضالع فيه‬

‫�سم‬

‫�أوجد طول ٍّ‬ ‫كل من‬

‫القطرين‪.‬‬ ‫‪� 11‬أوجد محيط المث َّلث‬

‫‪12‬‬

‫الذي فيه‬

‫�سم‬

‫مث َّلث متطابق ال�ضلعين زاوية الر�أ�س قيا�سها‬ ‫‪.‬‬ ‫اح�سب قيمة لتكون م�ساحته‬

‫وم�ساحته‬

‫�سم‪.‬‬

‫‪ ،‬وطول ٍّ‬ ‫كل من ال�ضلعين المتطابقين‬

‫‪.‬‬

‫‪َ 13‬ز ْو َرقان تح َّركا من ٍ‬ ‫مكان واحد‪ ،‬ف�إذا كانت �سرعة الأ َّول ‪ 30‬كم‪� /‬ساعة‪ ،‬و�سرعة الثاني ‪ 40‬كم‪� /‬ساعة‪ .‬ف�أوجد‬ ‫‪،‬‬ ‫اتجاهي حركتيهما‬ ‫ال ُبعد بين الزورقين بعد �ساعتين من لحظة تح ُّركهما عل ًما ب�أ َّن الزاوية بين‬ ‫ِّ‬ ‫ال منهما يتح َّرك في ٍّ‬ ‫وك ًّ‬ ‫خط م�ستقيم‪.‬‬ ‫‪� 14‬إذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم‬

‫ت�ساوي‬

‫‪ ،‬وزاوية ميل الم�ستقيم‬

‫ت�ساوي‬

‫‪ .‬ب ِّين �أ َّن‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪167‬‬

‫‪äGOó`ëªdGh‬‬ ‫‪äÉ``aƒØ°üªdG‬‬ ‫‪u‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪áãdÉãdG‬‬

‫‪Matrices and Determinants‬‬

‫‪¢ShQó`dG‬‬ ‫(‪ )1-3‬الم‪ü‬س‪Ø‬وفـة‬ ‫(‪ )2-3‬جم™ الم‪ü‬س‪Ø‬وفات وطرحهاو�سربها‬ ‫حقيقي‬ ‫بعد ٍد‬ ‫ٍّ‬ ‫(‪� )3-3‬سر‪ Ü‬الم‪ü‬س‪Ø‬وفات‬ ‫(‪ )4-3‬المحدِّدات‬ ‫(‪ )5-3‬المعكو�ض ال�سربي لم‪ü‬س‪Ø‬وفة‬ ‫(‪ُّ )6-3‬‬ ‫حل اأنظمة معادلتٍ من الدرجة‬ ‫الأولى با�ستخدام المحدِّدات‬

‫ظه ــرت فك ــرة الم�س ــفوفات عل ــى يد‬ ‫العال ــم البريطان ــي كيل ــي �سـ ــنة ‪1858‬م‬ ‫حيث ا�سـتخدمها في تب�سـيط درا�سـة ن¶م‬ ‫المعادلت من الدرجة الأولى‪ ،‬وقد تطورت‬ ‫مو�سوعا‬ ‫فكرة الم�سفوفات حتى اأ�سبحت‬ ‫ً‬ ‫ريا�س َّيا له اأ�سـ�سه وقواعده وا�سـتخداماته‬ ‫ف ــي ِّ‬ ‫حل كثيرٍ من الم�سـ ــكالت الريا�سـ ـ َّية‬ ‫والحيات َّية‪.‬‬ ‫ال�س‬

‫∞ الثاني‬

‫العمود‬

‫الثالث‬

°üdG

©dG

Oƒª ådÉãdG

±GógC’G n¿ƒµj ¿Cr G Ip óMƒdG √òg á`°SGQO nó©H ÖdÉ£dG nøe ™bƒàj p : ¿Cr G ≈∏Yn GQk OÉb .áaƒØ°üªdG ±ôu ©jo -1 .äÉaƒØ°üªdG ´GƒfCG õ«u ªjo -2 Im Qƒ°üH ám «Ø°Uh mäÉfÉ«H π«ãªàd äÉaƒØ°üªdG Ωóîà°ùj -3 .máª¶æe , ™ªédG ) äÉaƒØ°üªdG ≈∏Y ájs ôÑédG äÉ«∏ª©dG s…ôéoj -4 .( »≤«≤M Om ó©H áaƒØ°üe Üô°V , ìô£dG x .iôNCÉH ák aƒØ°üe Üô°†j -5 .áãdÉãdGh á«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üe IOuóëe óLƒj -6 áÑJôdG ø``e ám `aƒ``Ø`°`ü`ª`d »``Hô``°`†`dG ¢``Sƒ``µ`©`ª`dG ó``Lƒ``j -7 .á«fÉãdG øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG πs ëj -8 .äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG πs ëj -9 .äGOuóëªdG ΩGóîà°SÉH äGô«¨àe çÓK »ah

»fÉãdG ∞

áãdÉãdG IóMƒdG

1-3

á```aƒ``Ø°üªdG

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à`` `°SG ä’ÉéªdG ≈às ` ` °T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc ¿Es G äÉaƒØ°üªdG ót ©oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà`` `°SG π¡u `°ùj mπµ`` `°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg ójhõàd á`` `°ù«FôdG Ö«dÉ`` `°SC’G øe ót ©J Éªc ,É¡ª«¶æJh äÉeƒ∏©ªdG ¢VôY »a ák dÉ©s a Ik GOCG áª∏c ™ªL äÉaƒØ`` °üªdGh .¬H á`` °UÉîdG èeGôÑdG π`` ªYh äÉeƒ∏©ªdÉH »`` dB’G Ö`` `°SÉëdG s ,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π`` ãe Im ô«ãc Ωƒ∏Y m »a ¬à«ªgCG RôÑJ »`w ` °VÉjQ Ωl ƒ¡Øe »gh áaƒØ`` °üe á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ,OÉ°üàb’G º∏Yh ,¢ùØædG º∏Yh ,´ÉªàL’G º∏Yh . á«fhôàµdE’G áÑ`°SÉëdG ä’B’G Ö«côJ »ah É¡YGƒfCÉH

áaƒØ°üªdG äGQÉÑàN’G óMCG »a ø∏°üM ºjôeh áªWÉah á`°ûFÉYh ÖæjR :äÉÑdÉ£dG ¿Cs G ¢VôØæd , 72, 85 , ó«MƒàdG IOs Ée »a 88 , 70, 84 ,75 :Ö«JôàdG ≈∏Y á«JB’G äÉ`LQódG ≈∏Y ¿Cs G ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG IOs Ée »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG IOs Ée »a 90, 63 OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG Égôct òJ ≈∏Y Gôk «ãc óYÉ`°ùj ’ äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d ¢Vô©dG Gòg ¿CG øµªªdG øeh á«`` `°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH ák Hƒ©`` °U ôeC’G Gòg s äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J :»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a ák ª¶æe

ºjôe

áªWÉa

á°ûFÉY

ÖæjR

88 90 84

70 63 58

84 72 76

75 85 60

áÑdÉ£dG

IOs Ée áLQO ó«MƒàdG äÉ«°VÉjôdG AÉjõ«ØdG

(2) äÉ«°VÉjQ

170

á`` aƒ``Ø` °üªdG

m ` °U áKÓK - ,Im óªYCGh ±ƒØ` m ` °U πµ`` `°T ≈∏Y ≥HÉ`` `°ùdG ∫hóédG »a äÉeƒ∏©ªdG ÉæÑJQ Éæsf CG ßM’ á©HQCGh ±ƒØ` :»JCÉj Éªc -Im óªYCG ™HGôdG Oƒª©dG ådÉãdG Oƒª©dG »fÉãdG Oƒª©dG

88 90 84

70 63 58

84 72 76

∫hs C’G Oƒª©dG 75 85 60

∫hs C’G ∞°üdG s »fÉãdG ∞°üdG s ådÉãdG ∞°üdG s

äÉLQO øe ¿ƒs µàj »`` fÉãdG ∞`` °üdGh s ó«MƒàdG IOs Ée »a äÉÑdÉ£dG äÉ`` LQO øe ¿ƒs ` `µàj ∫hs C’G ∞`` °üdÉa s ,AÉjõ«ØdG IOs Ée »a äÉÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ƒs µà«a ådÉãdG ∞`` °üdG s Ées CG ,äÉ«`` °VÉjôdG IOÉe »a äÉÑdÉ£dG øe ¿ƒs µàj »fÉãdG Oƒª©dGh ,É©k e çÓãdG OGƒªdG »a ÖæjR áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ƒs µàj ∫hs C’G Oƒª©dG ¿Cs G Éªc »a áªWÉa áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ƒs µàj ådÉãdG Oƒ`` ª©dGh ,É©k e çÓãdG OGƒªdG »a á`` `°ûFÉY áÑdÉ£dG äÉLQO .É©k e çÓãdG OGƒªdG »a ºjôe áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ƒs µà«a ™HGôdG Oƒª©dG Ées CG ,É©k e çÓãdG OGƒªdG :»JB’Éc GQk É°üàNG ôãcCG Im Qƒ°üH á≤HÉ`°ùdG äÉeƒ∏©ªdG áHÉàc Éææµªjh

( äÓNóe ) hCG ô`` °UÉæY áaƒØ°üªdG É¡æe ¿ƒs µàJ »àdG OGóYC’G ≈ªs ` ` °ùoJh áaƒØ`` °üe IQƒ`` °üdG √òg ≈ªs ` ` °ùoJh u ¿ƒµjh ,áaƒØ`` °üªdG ådÉãdG Oƒª©dGh »fÉãdG ∞°üdG s »a ™≤j …òdG ô°üæ©dG Ók ãªa ál æ«s ©e ál d’O É¡«a mô`` °üæY πµd .äÉ«°VÉjôdG IOs Ée »a áªWÉa áÑdÉ£dG áLQO ≈∏Y ∫t ój 63 ƒgh m .Im óªYCG á©HQCGh ±ƒØ°U áKÓK »a ák YsRƒe Gôk °üæY 12 áaƒØ°üªdG √òg ô°UÉæY OóY ¿Cs G ßM’ .á©HQCG »a áKÓK :CGô≤oJh 4 × 3 áÑJôdG øe ál aƒØ°üe É¡sfEG :∫É≤jo Gòd

(1 -3) ∞jô©J mπ«£à`°ùe m∫hóL »a ák ÑJôe ,Gôk °üæY Ω øe ∞sm dDƒe …OóY øY IQÉÑY áaƒØ°üªdG x º«¶æJ m . , Ω å«M GOk ƒªY ,ÉvØ°U Ω øe m¿ƒs µe

171

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG w ¬àëJ ±ôëH m :πãe §N áaƒØ°üª∏d õeôæ`°S

(2 -3 ) ∞jô©J

ÉkaƒØ°U …ƒàëJ âfÉc GPEG ,¿ƒf »a º«e :CGô≤Jh áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG ¿Es G ∫ƒ≤f . , å«M , áaƒØ°üe É¡sf EG GQk É°üàNG ∫ƒ≤fh , ÉgOóY Ik óªYCGh ÉgOóY áHÉàµH ∂dP øY ôÑu ©fh

(1-3) .á«s ≤«≤◊G OGóYC’G áYƒª› ¤EG »ªàæJ ÜÉàµdG Gòg ‘ ám aƒØ°üe u…CG ô°UÉæY .äÉfÉ«ÑdG º«¶æàd ám ≤jôW Oô› É¡æµdh ájOóY áª«b É¡`d ¢ù«d áaƒØ°üŸG . IóªYC’G OóY ±ƒØ°üdG OóY áaƒØ°üe u…CG ô°UÉæY OóY Ég ô°UÉæY OóY s¿EÉa ; IóªYC’G øe É¡dh ±ƒØ°üdG øe Ω É¡`d áaƒØ°üŸG âfÉc GPEÉa Gôk °üæY .IóªYC’G OóY πÑb Éªk FGO ±ƒØ°üdG OóY ô¡¶j áaƒØ°üŸG áÑJQ ‘

1 2 3

(1-3) ∫Éãe .( 1-3 ) ∞jô©àdG Ö`°ùM áaƒØ°üe øY IQÉÑY ƒg á«dÉàdG ájOó©dG äÉª«¶æàdG øe Óv c ¿Es G

(2) äÉ«°VÉjQ

172

á`` aƒ``Ø` °üªdG

.IóªYCG áKÓKh ø«Ø°U »a áÑJôe ô°UÉæY áà`°S øe áfƒs µe áaƒØ°üªdG ¿Cs G ßM’ ∫hs C’G Oƒª©dG ô°UÉæY Éªæ«H 4 , -2 , 3 »g »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæYh -1 , 3 , 2 »g ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY ¿Es G ( 2-3) ∞jô©àdG Ö`°ùMh 4 , -1 »g ådÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæYh -2 , 3 »g »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæYh 3 , 2 »g . 3 = , 2 = Ω å«M 3 × 2 áÑJôdG øe áaƒØ°üe ¿Es G :∫ƒ≤f , 2 = , 3 = Ω å«M 2 × 3 áÑJôdG øe áaƒØ°üe ¿ƒµJh , 4 = , 1 = Ω å«M 4 × 1 áÑJôdG øe áaƒØ°üe .( ? GPÉªd ) 2 × 2 áÑJôdG øe »¡a áaƒØ°üªdG Ées CG

(1-3) ÖjQóJ .

x IóªYC’Gh ±ƒØ°üdG ô°UÉæY ø«u Y ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a :äÉaƒØ°üªdG øe πµd x »a ô°UÉæ©dG OóY Ée :á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe πc 12 × 12 áÑJôdG øe áaƒØ°üe 2 8 × 7 áÑJôdG øe áaƒØ°üe 1 × áÑJôdG øe áaƒØ°üe 4 × Ω áÑJôdG øe áaƒØ°üe 3 ,

áaƒØ°üª∏d áes É©dG IQƒ°üdG áes É©dG IQƒ°üdG ≈ªs `°ùoJ »àdGh á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y Öàµf Éæsf EÉa

× Ω áÑJôdG øe áaƒØ°üe âfÉc GPEG . áaƒØ°üª∏d

ådÉãdG Oƒª©dG

173

(2) äÉ«°VÉjQ

»fÉãdG ∞°üdG

áãdÉãdG IóMƒdG »g ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY ¿Es G å«M óMGh , ... ,´ óMGh , ... ,áKÓK óMGh ,¿ÉæKG óMGh ,óMGh óMGh :CGô≤oJh :Ók ãªa ,É«k fÉK Oƒª©dG Ö«JôJ ºs Ko ’k hs CG ∞°üdG s Ö«JôJ Öàµf ÉæsfCG ßM’ ∞`` °üdG s »a OƒLƒªdG ô`` °üæ©dG ƒg 13 Éªæ«H ,ådÉãdG Oƒ`` ª©dGh ∫hs C’G ∞`` °üdG s »a Oƒ`` LƒªdG ô`` °üæ©dG ƒ`` g 31 ¿Cs G »æ©j Gògh ,∫hs C’G Oƒª©dGh ådÉãdG ΩGóîà`°SÉHh ,ΩÉ©dG ô°üæ©dÉH »æ«©dG Oƒª©dGh …OÉ°üdG ∞°üdG ô°üæ©dG »ª`u °ùf s »a OƒLƒªdG ô°üæ©dG ƒgh :»dÉàdG ƒëædG ≈∏Y Im ô°üàîe ám ≤jô£H áaƒØ°üªdG áHÉàc øµªj ô°üæ©dG Gòg :Öàµfh Ékahô©e ∂dP ¿Éc GPEG áaƒØ°üªdG áÑJQ áHÉàc øY AÉæ¨à`°S’G øµªjh 3 × 4 áÑJôdG äGP

(2-3) ∫Éãe áaƒØ°üª∏d áes É©dG IQƒ°üdG ÖàcG

πëdG

(3-3) ∫Éãe âfÉc GPEG .

ô°UÉæ©dG ™«ªL º«b ø«u ©a

πëdG

¿Es Éa 3 × 2 áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG ¿Cs G ÉªH :»g º«b â`°S ¬d ¿Es Éa »dÉàdÉHh

(2) äÉ«°VÉjQ

174

á`` aƒ``Ø` °üªdG

≥s≤ëJ (1)GPEG §≤ah GPEG

Öàµfh ¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG

»a ™°VƒdG »a √ô«¶f …hÉ`°ùj »a ô°üæY πc )

(3 -3 ) ∞jô©J

ø«àaƒØ°üª∏d ∫É≤j :É©k e ¿É«dÉàdG ¿ÉWô°ûdG x 1 .É¡`°ùØf áÑJôdG Éª¡æe πµd 2 º«b ™«ªéd

(4-3) ∫Éãe å«M ,

¿Cs G âª∏Y GPEG

º«b ø«u Y

πëdG

: ¿Cs G óéf ø«àaƒØ°üe …hÉ`°ùJ ∞jô©J øe

(2-3) ÖjQóJ : ¿Éc GPEG ¢S áª«b óLhCG

(1)

175

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

äÉaƒØ°üªdG ´GƒfCG ¢†©H áaƒØ°üªdG ¿Es Éa ¿Es Éa

á∏«£à`°ùªdG áaƒØ°üªdG

É¡«a ¿ƒµJ »àdG ádÉëdG »ah . å«M áÑJôdG øe ál aƒØ°üe »g ¿ƒµJ ÉeóæYh áÑJôdG øe »g ∞°üdG x áaƒØ°üe ≈ªs `°ùoJ s áaƒØ°üe ¿Cs G …CG ,∞°U m áaƒØ°üe ≈ªs `°ùoJ áaƒØ°üªdG áÑJôdG øe »g Oƒª©dG áaƒØ°üe ¿Cs G …CG , OƒªY

á©HôªdG áaƒØ°üªdG

,É¡`JóªYCG OóY …hÉ`°ùj É¡aƒØ°U OóY ¿Cs G …CG ( áÑJôdG øe GQk É°üàNG hCG ) áÑJôdG øe ál aƒØ°üe »g áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ô°UÉæ©H á©Hs ôªdG áaƒØ°üªdG »a IQƒ°üdG ≈∏Y »àdG ô°UÉæ©dG »ª`u °ùfh áaƒØ°üªdG »a Ók ãªa

»g »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ô°UÉæY ¿ƒµJ .áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ≈ªs `°ùjo ô°UÉæ©dG √ò¡`H ôt ªj …òdG ô£≤dGh

(2) äÉ«°VÉjQ

176

á`` aƒ``Ø` °üªdG

ájô£≤dG áaƒØ°üªdG

¿ƒµ«a ,»°SÉ°SC’G ô£≤dG ≈∏Y á©bGƒdG ô°UÉæ©dG GóYÉe ,QÉØ°UCG Égô°UÉæY ™«ªL ál ©Hs ôe ál aƒØ°üe »g .ôØ°ü∏d Gôk jÉ¨e πbC’G ≈∏Y ÉgóMCG É¡`d õeôjo h .GóMGh k …hÉ`°ùJ (

IóMƒdG áaƒØ°üe

ô°UÉæ©dG …CG ) »°SÉ`°SC’G Égô£b ô°UÉæY ™«ªL ál jô`£b ál aƒØ`°üe »g .¢SÉÑàd’G ¢ûîf ºd GPEG õeôdÉH hCG õeôdÉH

ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG õeôjh .

áÑJôdG øe âfÉc GPEG õeôdÉH É¡`d õeôjo h QÉØ`°UCG Égô`°UÉæY ™«ªL ál aƒØ°üe »g .¢SÉÑàd’G ¢ûîf ºd GPEG õeôdÉH hCG áÑJôdG øe âfÉc GPEG õeôdÉH É¡`d

(5-3) ∫Éãe 3 × 2 áÑJôdG øe á∏«£à`°ùe 5 × 1 áÑJôdG øe ∞°U áaƒØ°üe 1 × 3 áÑJôdG øe OƒªY áaƒØ°üe

,áãdÉãdG áÑJôdG øe hCG 3 × 3 áÑJôdG øe á©Hs ôe áaƒØ°üe Égô£b ô°UÉæYh 6 , 2 , 3 »g »°SÉ`°SC’G Égô£b ô°UÉæY 7 , 2 , 5 »g ( …ƒfÉãdG ) ôNB’G

177

(2) äÉ«°VÉjQ

áaƒØ°üªdG áaƒØ°üªdG áaƒØ°üªdG

áaƒØ°üªdG

áãdÉãdG IóMƒdG

»°SÉ°SC’G Égô£b ô°UÉæY áãdÉãdG áÑJôdG øe ájô£b áaƒØ°üe »g

áaƒØ°üªdG

:äÉaƒØ°üªdG øe πw c

»g Ö«JôàdG ≈∏Y ÉgRƒeQh IóMh áaƒØ°üe »g :äÉaƒØ°üªdG øe πw c »g Ö«JôàdG ≈∏Y ÉgRƒeQh ájôØ°U áaƒØ°üe »g s ¿Cs G ßM’ .iôNC’G øY ∞∏àîJ É¡æe Im óMGh πc

(3-3) ÖjQóJ :»∏j Éª«a CÉ£îdG ø«u Ña

å«M

ák aƒØ°üe âfÉc GPEG

ô°UÉæ©dG øe ¿ƒs µàj ôl £b áaƒØ°üªdG √ò¡`d ál jôØ°U ál aƒØ°üe

å«M

…hÉ`°ùJ É¡sfEÉa ák jôØ°U ák aƒØ°üe âfÉc GPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

178

á`` aƒ``Ø` °üªdG

(1-3) ø`jQÉ`ªJ »g ¿óe ™HQCG 1 :»dÉàdG ∫hóédG

s ø«àæjóe …Cu G ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »a ák ë°Vƒe

O 211 22 185 0

`L 70 46 0 185

Ü 65 0 46 22

0 65 70 211

Ü `L O

.äÉeƒ∏©ªdG √òg πãu ªJ ák aƒØ°üe ÖàcG -’k hs CG :»∏j Ée óLhCG ’k hs CG »a áHƒ∏£ªdG áaƒØ°üªdG »g ¿s CG ¢VôØH -É«k fÉK ?∂dP »æ©j GPÉeh ?∂dP »æ©j GPÉeh

ø«H ábÓ©dG »g Ée `L

áaƒØ°üª∏d »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY ™«ªL ÖàcG O áaƒØ°üª∏d »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæY ™«ªL ÖàcG `g ? g , O øe ¬LÉàæà`°SG øµªj GPÉe h ?ÖÑ`°ùdG AGóHEG ™e ßMÓJ GPÉeh º«b ™«ªéd

ÉeóæY 2

:»∏j Ée πªcCG ì áÑJôdG øe áaƒØ°üe 1

?’ ΩCG ΩÉY mπµ`°ûH äÉaƒØ°üªdG ≈∏Y ≥Ñ£æJ ’ áæ«s ©e ¢UGƒîH ™às ªàJ áaƒØ°üe »g x

179

(2) äÉ«°VÉjQ

óLhCG R

¿Cs G ßMÓJ πg •

áãdÉãdG IóMƒdG : »`∏j Ée ø«ªj øY

áeÓY hCG

áeÓY ™°V

áÑJôdG øe ám aƒØ°üe ô°UÉæY OóY …hÉ`°ùj áãdÉãdG áÑJôdG øe ám aƒØ°üe ô°UÉæY OóY x »a π«gÉéªdG º«b óLhCG 3 : ¿Éc GPEG »JCÉj Éªs `e πc

(2) äÉ«°VÉjQ

180

á`` aƒ``Ø` °üªdG

≈∏Y `g :»g ∫hs C’G ∞°üdG áaƒØ°üe ¿s CG âª∏Y GPEG áaƒØ°üªdG ÖàcG 4 s ô°UÉæY ¿s CGh , å`` dÉãdG ∞s` °üdG ô``°UÉæY ¿s CGh ,Ö``«JôàdG ≈∏Y `g :»g »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæYh ,Ö«JôàdG ∞°üdG s ô°UÉæY »g ™HGôdG ∞°üdG s ô°UÉæY Éªæ«H , »a mô°üæY πu c Üô°V ó©H ¬°ùØf ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY »g . »a mô°üæY πu c Üô°V ó©H ¬°ùØf »fÉãdG

(2) ∫hóL

150

100

150

100

(1) ∫hóL

¤EG `L , Ü , ¿óŸG øe äÓ∏¡`dÉH Ió`MGƒdG á≤«bódG ‘ á«ØJÉ¡`dG äÉŸÉµŸG QƒLCG ÚÑj u (1) ∫hó÷G øe äÓ∏¡`dÉH IóMGƒdG á≤«bódG ‘ á«ØJÉ¡`dG äÉŸÉµŸG QƒLCG πãu Á (2) ∫hó÷Gh g , O ÚàæjóŸG . g,n On ÚàæjóŸG ¤EG n`L , Ün , ¿óŸG .Égô°UÉæY OóYh É¡àÑJQ ÚHh u (1) ∫hó÷G øY È©J u »àdG .(2) ∫hó÷G øY È©J u »àdG x º«b óLhCÉa øe πc

181

(2) äÉ«°VÉjQ

áaƒØ°üŸG ÖàcG áaƒØ°üŸG ÖàcG s¿CG âª∏Y GPEG

áãdÉãdG IóMƒdG Im QÉÑY ≈∏Y π°üëàd ;

»a Ö°SÉæªdG ºbôdG ™°VƒH ( Ü ) áYƒªéªdG øe É¡Ñ°SÉæj Ée ( ) áYƒªéª∏d ôàNG 6 : áë«ë°U ( ) á`Yƒªée

( Ü ) á`Yƒªée ∞°U áaƒØ°üe 1 OƒªY áaƒØ°üe 2 ájôØ°U áaƒØ°üe 3 ájô£b áaƒØ°üe 4 IóMh áaƒØ°üe 5

0 0 0 1

áãdÉãdG áÑJôdG øe á©Hs ôe áaƒØ°üe 6 2 × 2 áÑJôdG øe á©Hs ôe áaƒØ°üe 7

1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

4 × 1 áÑJôdG øe áaƒØ°üe

:»JCÉj Éªs Y ÖLCÉa

âfÉc GPEG

?π«∏©àdG ™e ál ©Hs ôe ál aƒØ°üe πg .»°SÉ°SC’G Égô£b ô°UÉæY ÖàcÉa ák ©Hs ôe ák aƒØ°üe âfÉc GPEG ?π«∏©àdG ™e ák ∏«£à`°ùe ák aƒØ°üe íÑ°üJ π¡a ,QÉØ°UCG É¡∏s c »a ådÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY ¿s CG Éæ°Vôa ƒd ?IóMh áaƒØ°üe ¿s EG ∫ƒ≤f ≈àeh ?ájô£b ál aƒØ°üe ¿s EG ∫ƒ≤f ≈àe

(2) äÉ«°VÉjQ

182

»≤«≤M Om ó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL x

m É¡`Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL »≤«≤M Oó©H x äÉaƒØ°üªdG ™ªL x äÉ`` LQO ¿Cs G ¢`` VôØH π`` °üØ∏d AÉjõ«ØdGh äÉ«`` °VÉjôdG »JOÉe u »`` a ˆGóÑYh óªMCG ø`` e πc :»∏j Éªc »fÉãdG »`°SGQódG u π°üØdGh ∫hs C’G »`°SGQódG u

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟ ﱢﺪﺭﺍﺳﻲ ﺍﻷﻭﱠﻝ‬

‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟ ﱢﺪﺭﺍﺳـﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ﻋﺒﺪﺍﷲ‬

‫ﺃﺣﻤﺪ‬

‫ﻋﺒﺪﺍﷲ‬

‫ﺃﺣﻤﺪ‬

46 35

47 41

43 31

45 38

G ` ` °S’ ª `dG ` ` ` º `` OGƒ` `

äÉ«°VÉjôdG AÉjõ«ØdG

ƒg ø««s `°SGQódG ø«∏°üØdG »a ˆGóÑYh óªMCG äÉLQO ´ƒªée ¿Es Éa ‫ﻋﺒﺪﺍﷲ‬

‫ﺃﺣﻤﺪ‬

46 + 43 35 + 31

47 + 45 41 + 38

°S’G `º ` ` ` ` ` ` ` ` `ª` dG OGƒ`

äÉ«°VÉjôdG AÉjõ«ØdG

:»∏j Ée áHÉàc Éææµªj äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉHh ∫hs C’G »`°SGQódG u π°üØdG äÉLQO áaƒØ°üe »fÉãdG »`°SGQódG u π°üØdG äÉLQO áaƒØ°üe

183

(2) äÉ«°VÉjQ

2-3

áãdÉãdG IóMƒdG ø««s `°SGQódG u ø«∏°üØdG äÉLQO ´ƒªée áaƒØ°üe ∂dP Öàµfh

»a ¬`°ùØf ™bƒªdG Éª¡`d øjô°üæY πc ™ªéH ô°UÉæY ≈∏Y Éæ∏°üM óbh :»dÉàdG ∞jô©àdG í°†àj ∂dòHh IQƒ°üdG ≈∏Y

(4 -3 ) ∞jô©J

áÑJôdG øe Éª¡æe πc ø«àaƒØ°üe

âfÉc GPEG

»gh É¡`°ùØf áÑ`JôdG øe áaƒØ`°üe ƒg Éª¡Yƒª`ée ¿Es Éa å«M áÑJôdG øe ÉàfÉc GPEG §≤ah GPEG

ø«àaƒØ°üe …Cu G ™ªL ™«£à°ùf Éæsf CG »æ©j ∞jô©àdG Gòg ¿Es G m :IQƒ°üdÉH Éª¡Yƒªée Öàµf ¿CG Éææµªj òÄæ«Mh É¡`°ùØf

øjôXÉæàªdG øjô°üæ©dG ´ƒªée ƒg É¡«a ô°üæY πc É¡`°ùØf áÑJôdG øe IójóL áaƒØ°üe ≈∏Y π°üëf ÉæsfCG …CG »a ™°VƒdÉH

(6-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

v c – øµeCG ¿EG – óLhCÉa :øe Ó 3

(2) äÉ«°VÉjQ

184

»≤«≤M Om ó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL x

( ±ôs ©e ) øµªe ™ªédG ¿Es Éa

»gh É¡`°ùØf áÑJôdG øe

πëdG

ø«àaƒØ°üªdG ¿Cs G ÉªH 1

∞jô©àdG øe

áÑJôdG øe Éªæ«H

áÑJôdG øe

áÑJôdG »a ¿ÉàØ∏àîe ¿ÉàaƒØ°üe ¿Cs G ÉªH 2 .Éª¡©ªL øµªj ’ ¬sfEÉa (? GPÉªd)

OÉéjEG øµªªdG øe 3

äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«s ∏ªY ¢UGƒN t (7-3) ∫Éãe âfÉc GPEG :»∏j Ée óLhCÉa

185

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG πëdG

:¿Cs G ßM’ 1 2

(2) äÉ«°VÉjQ

186

»≤«≤M Om ó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL x

:ôeC’G áes ÉYh : ¿Es Éa

áÑJôdG øe äÉaƒØ°üe çÓK

_ +_ =

=_, =

=_ âfÉc GPEG = _ +_ 1

.á«s dGóHEG äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ªY ¿Cs G âÑãj Gògh 2

.á«s ©«ªéJ äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ªY ¿Cs G âÑãj Gògh

(8-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

óLhCÉa

πëdG ( ? GPÉªd )

¿Eq Éa ¬«∏Yh

¿Cs G »æ©j Gògh G kPEG

áÑJôdG øe á©Hs ôªdG äÉaƒØ°üª∏d »©ªédG ójÉëªdG ô°üæ©dG »g

áÑJôdG øe äÉaƒØ°üª∏d »©ªédG ójÉëªdG ô°üæ©dG »g

187

(2) äÉ«°VÉjQ

¿Cs G í°Vƒj u Gògh

:ôeC’G áes ÉYh

ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG

áãdÉãdG IóMƒdG (9-3) ∫Éãe ¿Es Éa

âfÉc GPEG

( ? GPÉªd )

¿Es Éa ¬«∏Yh

ójÉëªdG ô°üæ©dG

¿Cs G …CG

:¿Es G ∫ƒ≤f áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g ∂dòch áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g .áæµªªdG

u º«b πµd

:¿Cs G

ßM’

:ôeC’G áes ÉYh

¿Éc GPEG

≈ªs `°ùoJ ¢Sƒµ©ªdG CGô≤jo h

¿Es Éa

É¡`°ùØf áÑJôdG øe

õeôdÉH

áaƒØ°üª∏d õeôfh

áÑJôdG øe

å«M

¿ƒµjh , áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG áaƒØ°üª∏d »©ªédG

(4-3) ÖjQóJ :»∏j Ée óLhCÉa

âfÉc GPEG áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG 1 2

(2) äÉ«°VÉjQ

188

»≤«≤M Om ó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL x

äÉaƒØ°üªdG ìôW (5 -3 ) ∞jô©J

(

¥ôØdG hCG ) ìô£dG á«∏ªY ¿Es Éa É¡`°ùØf áÑJôdG Éª¡`d ø«àaƒØ°üe

âfÉc GPEG

:»JB’Éc ±ôs ©oJ áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g

å«M ,

å«M

âfÉc GPEG ¬sf CG »æ©j ∞jô©àdG Gòg ¿Es Éa

(2-3) ( ? GPÉªd )

(10-3) ∫Éãe óLhCÉa

âfÉc GPEG

πëdG

(5-3) ÖjQóJ ?ßMÓJ GPÉe

189

(2) äÉ«°VÉjQ

ø«H ¿QÉb ºs Ko

óLhCG ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a

áãdÉãdG IóMƒdG

m áaƒØ°üe m »≤«≤M Oó©H Üô°V x (11-3) ∫Éãe ô«Ñ©àdG Éææµªj ¬sfEÉa .∞WÉ©e 7 , ÉHk ƒK 30 , IAÉÑY 21 óMGƒdG Ωƒ«dG »a áWÉ«N π¨`°ûe êÉàfEG ∫ó©e ¿Éc GPEG áaƒØ°üªdÉH óMGƒdG Ωƒ«dG »a ¬LÉàfEG ∫ó©e øY á``aƒ`` Ø°üªdÉH ¬``∏«ãª`J ø`µ` ª«a ÉkØ` £©e , ÉHk ƒK

, IAÉÑY

:ƒgh ΩÉjCG á©HQCG »a êÉàfE’G ∫ó©e Ées CGh

±ôs ©J ádÉëdG √òg »ah , Oó©dÉH áaƒØ°üªdG ô°UÉæY ™«ªL Üô°V øe âfƒs µJ Üô°V á«∏ªY á«∏ª©dG √òg ≈ªs `°ùoJh

áaƒØ°üªdG ¿Cs G ßM’

¿Cs G …CG , áaƒØ°üªdG ∫ÉãeCG á©HQCG É¡sfCÉH

áaƒØ°üªdG

m áaƒØ°üªdG .»≤«≤M Oó©H x

(12-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

¿Es Éa :»JCÉj Éªc Üô°V á«∏ª©H áaƒØ°üª∏d QôµàªdG ™ªédG á«∏ªY øY ô«Ñ©àdG øµªjh »æ©J

øµdh

¿Es Éa »dÉàdÉHh G kPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

190

»≤«≤M Om ó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL x

u .»≤«≤M Om ó©H áaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ª©d »JB’G ∞jô©àdG ¿É≤HÉ`°ùdG ¿’ÉãªdG í°Vƒj x

áaƒ``Ø°üªdG Üô``°V π``°UÉM ¿Es É` a ,

å«M

¿Éch

áÑJôdG øe

áaƒØ°üe

(6 -3 ) ∞jô©J

âfÉc GPEG ` áaƒØ°üªdG ƒg »≤«≤ëdG Oó©dÉH ¿Cs G …CG

(3-3) ¿Es Éa »dÉàdÉHh

¿Es Éa

âfÉc Éªd ¿Cs G »æ©j Gògh

(13-3) ∫Éãe ¿ƒµJ ÉeóæY

áaƒØ°üªdG óLhCÉa

âfÉc GPEG

πëdG

(6-3) ÖjQóJ :∑ áª«b ¿ƒµJ ÉeóæY

191

(2) äÉ«°VÉjQ

óLhCG ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a

áãdÉãdG IóMƒdG

¿Éch

áÑJôdG øe ø«àaƒØ°üe

âfÉc GPEG Ü `L O `g h

¿ÉgôÑdG

áë°U äÉÑKEÉH Éæg »Øàµæ`°Sh

(14-3) ∫Éãe : ¿Es Éa

âfÉc GPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

192

øe

(7-3) ÖjQóJ x mÖ`°SÉæe ∫Éãe m AÉ£YEÉH h , g , O , `L , Ü ¢UGƒîdG øe ≥s≤ëJ .É¡æe πµd

(15-3) ∫Éãe ¿s CG âÑKCG

äÉaƒØ°üªdG πc áYƒªée

å«M

¢VôØH

πëdG

193

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

(16-3) ∫Éãe øe ≥s≤ëJh

âfÉc GPEG .èJÉædG áë°U

πëdG : πt ëdG ¿ƒµj ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG ≥ah ≈∏Y

:¿Cs G óéæa

(8-3) ÖjQóJ ¿Cs ÉH Éªk ∏Y

(2) äÉ«°VÉjQ

194

195

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (4-3) :»dÉàdG ƒëædG ≈∏Y ám Yô`°ùH ∫ÉãªdG Gòg πt M øµªj Gòd ,Éæg áªFÉb

(2) äÉ«°VÉjQ

196

197

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG •

…

∑ ¿s CG âª∏Y GPEG

: Ö`°ùMÉa ø«Hh É¡æ«H ¿QÉbh .¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG ≥s≤ëJh .¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG ≥s≤ëJh

∂dòch

?äóLh ¿EG »g Éeh ,Éª¡æ«H ábÓY óLƒJ πg ?’ ΩCG Éª¡æ«H ábÓY óLƒJ πg

∂dòch

O `g

∂dòch

.¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG ≥s≤ëJh

∂dòch

:¿ƒµJ ÉeóæY . ∑ áaƒØ°üªdG óLhCÉa 2 øjôªàdG »a Éªc âfÉc GPEG `g

Ü (2) äÉ«°VÉjQ

198

Ü `L O ( 1-3 ) ájô¶ædG øe h , g , O , `L , Ü äGô≤ØdG áë°U âÑKCG

199

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

äÉaƒØ°üªdG Üô°V á∏ãeC’G ∫ÓN øe iôNCG áaƒØ°üÃ áaƒØ°üe Üô°V OÉéjEG á≤jôW í°Vƒæ°S : á«dÉàdG

3-3

(18-3)) ∫Éãe :»JB’É`c ø`` «bƒØàªdG É¡`HÓ``£d É`` jGóg Ωó≤J u á`` jƒfÉ``ãdG ¢SQGó``ªdG ió`` MEG â`` fÉc GPEG u Ö`` àc áKÓK í`` æªJ m πµd .…ƒfÉãdG ∫hs C’G ∞`` °üdG s QÉÑàNG »a πFGhC’G Iô`` `°û©dG øe óMGh u Öàc á`` `°ùªN íæªJh m πµd .…ƒfÉãdG »fÉãdG ∞°üdG s QÉÑàNG »a πFGhC’G áKÓãdG øe óMGh .ÉHk Éàc 45 = 5 × 3 + 3 × 10 = ø«bƒØàª∏d á`°SQóªdG É¡eó≤J u »àdG ÖàµdG OóY ¿Es Éa :»JB’Éc äÉaƒØ°üªdÉH ∂dP øY ô«Ñ©àdG øµªjh

Üô°V π°UÉëc

:Öàµfh ø«bƒØàªdG áaƒØ°üe

¿Cs G ¢VôØf

:Öàµfh ÖàµdG áaƒØ°üe

¿Cs G ¢VôØfh

áHÉàc øµªj ¬sfEÉa ,ÖàµdG ´ƒªée áaƒØ°üe ¿Cs G ¢VôØHh :»JCÉj Éªc áaƒØ°üªdG »a áaƒØ°üªdG

áÑJôdG øe

áÑJôdG øe :¿Cs G ßM’ 1 2

(2) äÉ«°VÉjQ

200

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

(19-3) ∫Éãe OóYh äGôÑu µªdG OóY å«M øe É¡æ«H Éª«a ∞∏àîJ RÉØ∏àdG øe êPÉªf áKÓK èàæj ™fÉ°üªdG óMCG ¿Éc GPEG :»JB’G ∫hóédG »a Éªc ∂dPh äÉeÉªs °üdG (٣) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬

(٢) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬

3 10

1 12

(١) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬

2 8

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻜ ﱢﺒﺮﺍﺕ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼ ﱠﻤﺎﻣﺎﺕ‬

áaƒØ°üªdÉH ∂dP ô°üàîfh

:»JB’G ∫hóédG »a ø«Ñe ƒg Éªc øjô¡`°T ∫ÓN ™æ°üªdG Gòg êÉàfEG ¿Éc GPEGh ‫ﺍﻟﺸـﻬﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

8 20 12

‫ﺍﻟﺸـﻬﺮ ﺍﻷﻭﱠﻝ‬

10 16 15

(١) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬ (٢) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬ (٣) ‫ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺝ‬

áaƒØ°üªdÉH ∂dP ô°üàîfh

m ªs °Uh äGô m Ñu µe øe êÉàfE’G Gò¡`d Ωõ∏j Ée ¿Es Éa :ƒg äÉeÉ ∫hs C’G ô¡`°û∏d áeRÓdG äGôÑu µªdG OóY »fÉãdG ô¡`°û∏d áeRÓdG äGôÑu `µªdG OóY ∫hs C’G ô¡`°û∏d áeRÓdG äÉeÉªs °üdG OóY »fÉãdG ô¡`°û∏d áeRÓdG äÉeÉªs °üdG OóY

201

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG :»JB’Éc ∫hóL »a ∂dP π«é`°ùJ øµªjh ‫ﺍﻟﺸـﻬﺮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬

72 424

‫ﺍﻟﺸـﻬﺮ ﺍﻷﻭﱠﻝ‬

81 422

‫ﻋﺪﺩ ﺍﳌﻜ ﱢﺒﺮﺍﺕ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺼ ﱠﻤﺎﻣﺎﺕ‬

áaƒØ°üªdÉH ∂dP ô°üàîfh

:»JCÉj Éªc áaƒØ°üªdG »a áaƒØ°üªdG Üô°V π°UÉëc áHÉàc øµªªdG øe ¿Es G

: ¿Cs G ßM’ :¿Cs G »æ©j Gògh áÑJôdG øe áÑJôdG øe áÑJôdG øe ±ƒØ°U OóY …hÉ`°ùj IóªYCG OóY 1 IóªYCG OóY …hÉ`°ùj IóªYCG OóY Éªæ«H ±ƒØ°U OóY …hÉ`°ùj ±ƒØ°U OóY 2

(20-3) ∫Éãe âfÉc GPEG áaƒØ°üe ƒg

»a

Üô°V π°UÉM ¿Es Éa (2) äÉ«°VÉjQ

202

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

IóªYCG »a øe ∫hs C’G ∞°üdG s Üô°†H

»a ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY ’k hs CG óLƒf ô°UÉæY OÉéjE’h :»∏j Éªc ( Ö«JôàdG ≈∏Y )

»`fÉãdG ∞°üdG s ô`°UÉæY »`fÉãdG ∞°üdG s ô`°UÉæY ( Ö«JôàdG ≈∏Y )

IóªYCG »a øe »fÉãdG ∞°üdG s Üô°†H ∂dPh

»a »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY óLƒf ºs Ko :¿ƒµ«a

:¿Cs G »`a ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a ∫hs C’G ∞°üdG s ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a ∫hs C’G Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée »a »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée »a ådÉãdG Oƒª©dGô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞°üdG s ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

203

(2) äÉ«°VÉjQ

ßM’

áÑJôdG øe

á`ÑJôdG øe

áaƒØ`°üªdG ƒg

âfÉc GPEG »a

Üô`°V

(5-3) …hÉ`°ùj ≈dhC’G áaƒØ`` °üªdG IóªYCG OóY ¿ƒµj ¿CG Öéj ,( áaôs ©e ) áæµªe Üô`` °†dG á«∏ªY ¿ƒµJ ≈àM 1 .á«fÉãdG áaƒØ°üªdG ±ƒØ°U OóY . IóªYCG OóYh ±ƒØ°U OóY øe ÉeÉªJ áaƒØ°üªdG áÑJQ 2 k Oós ëàJ

(21-3) ∫Éãe

πëdG áÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d

±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY

.ÉgOÉéjEG øµªj ’

±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY

á`ÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d

±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY

á`ÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d

±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY

(2) äÉ«°VÉjQ

204

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

¿ƒ`µj ¿CG ƒ`g

ø«àaƒØ`°üªdG Ó`c Oƒ`Lh •ô`°T ¿Cs G ∫É`ãªdG Gò`g ø`e í`°†às j ±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY

±ƒØ°U OóY

:ôeC’G áes ÉYh øe Óv c ¿Es Éa

.±ôs ©e

áÑJôdG øe áaƒØ°üe øe Óv c ¿Es Éa

áÑJôdG øe :¿Cs G …CG IQƒ°üdÉH

Öàµf

âfÉc GPEG á°UÉîdG ádÉëdG »ah s

(22-3) ∫Éãe âfÉc GPEG v c -øµeCG ¿EG -óLhCÉa :øe Ó

πëdG :¿ƒµJh ÉgOÉéjEG øµªj

.ÉgOÉéjEG øµªj ’

205

(2) äÉ«°VÉjQ

. ¿EÉa

±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY ¿Cs G ÉªH 1

¿Es Éa ±ƒØ°U OóY

IóªYCG OóY ¿Cs G ÉªH 2

áãdÉãdG IóMƒdG OÉéjEG øµªj ’ ¬sfEÉa ±ƒØ°U OóY

:¿ƒµjh ÉgOÉéjEG øµªj

( ? GPÉªd ) ÉgOÉéjEG øµªj

(23-3) ∫Éãe :s¿CG âª∏Y GPEG

:øe Óv c óLhCÉa

(2) äÉ«°VÉjQ

206

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

πëdG

(24-3) ∫Éãe :s¿CG âÑKCÉa

âfÉc GPEG

πëdG

øªjC’G ±ô£dG G kPEG

.ô`°ùjC’G ±ô£dG

207

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«s ∏ªY ¢UGƒN t (25-3) ∫Éãe .á«dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¿s CG âÑKCG

ΩGóîà`°SÉH

πëdG

¿Cs G óéf

øe

.á«dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¿Cs G äÉÑKE’ »Øµj Gògh ( ? GPÉªd )

¿Cs G á¶MÓeh ( 21-3 ) ∫ÉãªdG ≈dEG ´ƒLôdÉH ÉæsfEÉa ∂dòc

É¡«a ¿ƒµj á°UÉN ∑Éæg ¿Cs G øe ºZôdG ≈∏Y ám «dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¿Cs G Éæd ócCÉàj l s ä’ÉM

(9-3) ÖjQóJ .Éª¡æ«H ¿QÉb ºs Ko

øe Óv c óLhCÉa

âfÉc GPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

208

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

(26-3) ∫Éãe v c óLhCÉa : øe Ó

âfÉc GPEG

πëdG 1

:¿Cs G

ßM’

.á«©«ªéJ ál «∏ªY äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY ¿Cs G í°Vƒj u Gògh Üô`` °V á«∏ª©d ™«ªéàdG á«`` °UÉN í«`` °Vƒàd ≥HÉ`` °ùdG ∫ÉãªdG ¢Vô©H Éæ«ØàcG É`` æfs CG ô`` còdÉH ô`` jóédG ø`` eh . …ô¶ædG äÉÑKE’G ¿hO äÉaƒØ°üªdG

209

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (27-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

¿Es Éa ( ∂dP øe ≥s≤ëJ )

¿Cs G óéf πãªdÉHh

¿Cq G èàæà`°ùf

IóMƒdG áaƒØ`` °üe ¿Es Éa .

áÑJôdG

(28-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

Üô°†dG π°UÉM óLhCG

πëdG

√ògh ,ájôØ°U áaƒØ°üe èJÉædG ¿ƒµ«d ø«àjôØ°U ô«Z ø«àaƒØ`` °üe Üô`` °V ¿ÉµeE’ÉH ¬sfCG ø«s Ñàj ∫ÉãªdG Gòg øe . á«s ≤«≤ëdG OGóYC’G áYƒªée »a á∏«ëà`°ùe ádÉëdG (2) äÉ«°VÉjQ

210

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

(3-3) ø`jQÉ`ªJ áaƒØ°üe

áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG 1 x áÑJQ óLhCÉa :á«JB’G äÉaƒØ°üªdG øe πc

áaƒØ°üe

211

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG h

x Üô°†dG π°UÉM óLhCG : IQƒ°U §`°ùHCÉH èJÉædG ÖàcGh »∏j Éªs `e πµd

: ¿s CG âÑKCÉa

âfÉc GPEG

Ü `L ( ™«ªéàdG á«°UÉN )

O (2) äÉ«°VÉjQ

212

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

âfÉc GPEG

Ü `L O

:¿Cs G âÑKCÉa

âfÉc GPEG

Ü `L

¿Cs G âÑKCÉa

:¿Cs G âÑKCÉa

âfÉc GPEG

âfÉc GPEG 8

213

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

äGOó``ëªdG u u ™e §ÑJôj ¢SQóf ±ƒ°Sh ,áaƒØ°üªdG IOóëe Ol óY ám ©Hôe ám aƒØ°üe πc u ≈ªs °ùj »≤«≤M w IOÉaEÓd ,áãdÉãdGh á`` «fÉãdG áÑJôdG øe á©HôªdG äÉaƒØ`` °üªdÉH á£ÑJôªdG äGOó`u ` ëªdG u »ah ,á`` «fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ`` °üªd »Hô`` °†dG ¢Sƒµ©ªdG OÉéjEG »a É¡æe áª¶fCG πM m .äGô«¨àe áKÓK hCG øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ä’OÉ©e

4-3

õeôdÉH É¡d õeôjh IOóëe u ¿Es Éa

âfÉc GPEG Öàµfh

QGó≤ªdG ¿Cs G ßMÓJ ¿CG π¡°ùdG øe h ,á«fÉãdG áÑJôdG øe

IOóëªdG ¿Cs G ∫É≤j 2 u

ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG Üô°V π°UÉM ¬æe ÉMhô£e »°SÉ°SC’G ô£≤dG »a ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG Üô°V π°UÉM k .ôNB’G ô£≤dG »a .á≤∏£ªdG áª«≤dG ≈dEG ¿Gõeôj ’

ø«£îdG ¿Cs G í°VGƒdG øe 3 (2) äÉ«°VÉjQ

214

äGOó`` ëªdG

(29-3) ∫Éãe øe πx c IOóu ëe óLhCÉa

âfÉc GPEG

πëdG

. ¢S áª«b óLhCÉa

âfÉc GPEG (10-3) ÖjQóJ

á«fÉãdG áÑJôdG øe IOóëªdG ¢UGƒN .∞jô©àdG øe ám dƒ¡°ùH É¡LÉàæà°SG øµªj ,á«fÉãdG áÑJôdG øe IOóëª∏d É°UGƒN u u »∏j Éª«a v Ωó≤f

¿ÉgôÑdG (30-3) ∫Éãe óLhCÉa

âfÉc h ,

âfÉc GPEG

215

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG : á«fÉãdG á«s °UÉîdG . §≤a É¡JQÉ°TEG ô«¨àJ IOóu ëªdG áª«b ¿s EÉa ( É¡jOƒªY ø«H hCG ) É¡«sØ°U ø«H á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée Im Oóu ëe »a Éædós H GPEG

¿ÉgôÑdG

(31-3) ∫Éãe IOóu ëe óLhCÉa ,

âfÉc GPEG x IOóëe øe πc u ( ÜÉ°ùM ¿hóH ) óLhCG ºK

πëdG

¿Cs ’

(GPÉªd)

(2) äÉ«°VÉjQ

216

äGOó`` ëªdG

: áãdÉãdG á«s °UÉîdG u »a ÉHk hô°†e Éàk HÉK GOk óY …hÉ°ùj á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée IOum óëe ( …OƒªY óMCG hCG ) »Øs °U óMCG ¿Éc GPEG ∞°üdG . Gôk Ø°U …hÉ°ùJ IOuóëªdG ∂∏J áª«b ¿s EÉa ôNB’G ( Oƒª©dG hCG )

¿ÉgôÑdG

(32-3) ∫Éãe x IOóëe ? Gôk Ø°U …hÉ°ùJ ø«à«dÉàdG ø«àaƒØ°üªdG øe πc u ¿ƒµJ GPÉªd Qôu H

πëdG .( .(

u Üô°V øe èl JÉf »fÉãdG s∞°üdG s¿C’ ; »a ∫hC’G Oƒª©dG Üô°V øe èl JÉf »fÉãdG Oƒª©dG s¿C’ hCG ) »a ∫hC’G ∞°üdG »a ∫hC’G Oƒª©dG Üô°V øe èl JÉf »fÉãdG Oƒª©dG s¿C’ hCG )

u Üô°V øe èl JÉf »fÉãdG s∞°üdG s¿C’ ; »a ∫hC’G ∞°üdG

:ø«à«dÉàdG ø«à«s °UÉîdG êÉàæà°SG Éææµªj áãdÉãdG á«s °UÉîdG ≈dEG GOk Éæà°SG ¿B’Gh : á©HGôdG á«s °UÉîdG .ôØ°üdG …hÉ°ùJ ( ¿ÉjhÉ°ùàe ÉgGOƒªY hCG ) ¿ÉjhÉ°ùàe ÉgÉsØ°U »àdG á«fÉãdG áÑJôdG øe IOóëªdG áª«b u

: á°ùeÉîdG á«s °UÉîdG m hCG ) ∞°U .Gôk Ø°U …hÉ°ùJ IOóëªdG √òg áª«b ¿Es Éa GQk ÉØ°UCG á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée Im Oóëe x ô°UÉæY ™«ªL âfÉc GPEG u u »a ( OƒªY

217

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (11-3) ÖjQóJ x áª«b ¿ƒµd GQk ôu Ñe §YC p G :Gôk Ø°U …hÉ°ùJ á«dÉàdG äGOóëªdG øe πc u

áaƒØ°üªdG IOóëe u ¿Es Éa

âfÉc GPEG

(1-3)

(7-3) .áãdÉãdG áÑJôdG øe IOóëe u

≈ª°ùJ 1

øe É¡«∏Y π°üëfh

(2) äÉ«°VÉjQ

218

äGOó`` ëªdG

(33-3) ∫Éãe IOóëe u óLhCÉa

âfÉc GPEG

πëdG

(12-3) ÖjQóJ x áª«b Ö°ùMG :á«dÉàdG äGOóu ëªdG øe πc

,ÉkØfBG ÉgÉæéàæà`` °SG »àdG á«fÉãdG áÑJôdG äGOóëe u ¢UGƒîH ™àªàJ áãdÉãdG áÑJôdG äGOóëe u ¿Cs G ôcòdÉH ôjóédG øeh :»∏j Éª«a ∂dP í°†à«°Sh ,äGOóëªdG ÜÉ°ùM §«°ùÑJ »a Góv L Ió«Øe ¢UGƒîdG √ògh u

219

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (34-3) ∫Éãe x IOóu ëe Ö°ùMG :á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe πc

ÜÉ°ùM óæY áª«b ≈∏Y π°üëæa

(2) äÉ«°VÉjQ

220

äGOó`` ëªdG

u ådÉãdGh ∫hs C’G ø«sØ°üdG ø«H ∫óÑf ô°UÉæY ¢†©H ¿Cs G ßMÓf ÜÉ°ùM óæY u Gòd ; Ql ÉØ°UCG ådÉãdG ∞°üdG :»∏j Éªc ≈∏Y π°üëæa ( á«fÉãdG á«s °UÉîdG )

øe ¬sfEÉa Gòd;

u »a ∫hC’G ∞°üdG Üô°V øe èl JÉf ådÉãdG ∞°üdG ¿Cs G ßMÓf ÜÉ°ùM óæY s ¿ƒµJ áãdÉãdG á«s °UÉîdG ( ? GPÉªd ) ( ? GPÉªd )

(35-3) ∫Éãe áª«b Ö°ùMG

πëdG

221

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

(4-3) ø`jQÉ`ªJ v c óLhCG :á«dÉàdG äGOóu ëªdG øe Ó

•

∫

∑

…

v c óLhCÉa :»∏j Éªs `e Ó

âfÉc GPEG

: ¿s CG âÑKCÉa á«fÉãdG áÑJôdG øe ø«àaƒØ°üe

(2) äÉ«°VÉjQ

222

äGOó`` ëªdG

x áª«b GPÉªd ø«u H ,ÜÉ°ùM ¿hóH :Gôk Ø°U …hÉ°ùJ á«JB’G äGOóu ëªdG øe πc

x IOóu ëe ,ÜÉ°ùM ¿hO Ik ô°TÉÑe óLhCG ºK , Ö°ùMG , ,á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe πc

øµàd

223

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

¿Éc GPEG

¿s CG âÑKCG

:s¿CG âÑKCÉa ,ÉkàHÉK GOk óY ∑ ¿Éch ,á«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

x áª«b óLhCÉa :øe πc

¢S ÉàL ¢S ÉL 2

:s¿CG âÑKCG

(2) äÉ«°VÉjQ

224

äGOó`` ëªdG

:¿Cs G …CG §≤a É¡JQÉ°TEG ô«u ¨j áãdÉãdG áÑJôdG øe Im Oóëe u »a »fÉãdGh ∫hC’G ø«sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdG ¿Cs G âÑKCG

.ådÉãdGh »fÉãdG ø«sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdGh ådÉãdGh ∫hC’G ø«sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdG ∂dòch .§≤a É¡JQÉ°TEG ô«u ¨j áãdÉãdG áÑJôdG øe Im Oóëe u »a øjOƒªY …Cu G ø«H ádOÉÑªdG ¿Cs G âÑKCG

225

(2) äÉ«°VÉjQ

IOóëªdG áª«b ¿Cs G âÑKCG u

áãdÉãdG IóMƒdG

5-3

m áaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG t 2 × 2 áÑJôdG øe ám ©Hs ôe ám aƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG á`°SGQóH óæÑdG Gòg »a »Øàµæ`` `°S :á«JB’G á∏Ä`°SC’G ≈∏Y Ö«éæ`°Sh ? ¬«∏Y π°üëf ∞«ch ? ó«Mh ƒg πg ? »Hô°V ¢Sƒµ©e áaƒØ°üª∏d óLƒj ≈àe l w .»Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG ∞jô©àH CGóÑf

,É¡`°ùØf áÑJôdG øe

ál aƒØ°üe ƒg -óLh ¿EG

¿Cs G …CG)

å«M

áaƒØ°üªdG ¿Cs G âÑKCÉa

âfÉc GPEG

πëdG ¿Cs G ÉªH

(2) äÉ«°VÉjQ

226

á«fÉãdG áÑJôdG øe ám ©Hôe ám aƒØ°üªd »Hô°V ¢Sƒµ©e óLƒj ≈àe ∫GDƒ°ùdG ≈∏Y áHÉLE’G Éæ«£©J á«dÉàdG ájs ô¶ædG l w .√OƒLh ádÉM »a ¢Sƒµ©ªdG Gòg OÉéjE’ ák ≤jôW Éæ«£©J Éªc

âfÉc GPEG m ¿Eq Éa òFóæYh Gôk Ø°U

¿ÉgôÑdG ¿ƒµ«a

å«M ,

¿CG ¢VôØæd

: πãªdÉH h

227

(2) äÉ«°VÉjQ

¿Cs G èàæj

øe

(8-4) (8-3) ( GOk ƒLƒe ¿Éc ¿EG )

âfÉc GPEG :Ók ¡°S Gôk eCG ,»Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¢ù«d ¿Es Éa ,Gôk Ø°U ¿Éc GPEÉa , áª«b óLƒf A»°T πc πÑbh ’k hs CG :»JB’Éc ø«s ©àj É«v Hô°V É°Sƒµ©e áaƒØ°üª∏d ¿Es Éa ,Gôk Ø°U ≠ ¿Éc GPEGh k .

áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ≈∏Y ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG »©°Vƒe ø«H ∫OÉÑf 1 x IQÉ`°TEG ô«u ¨f 2 áaƒØ°üª∏d ôNB’G ô£≤dG ≈∏Y ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG øe πc

. .

≈∏Y π°üëæa

(14-3) ÖjQóJ v c ¿s CG äÉÑKE’ á≤HÉ`°ùdG áXƒë∏ªdG »a IOQGƒdG á≤jô£dG ≥Ñu W ø«àaƒØ°üªdG øe Ó .iôNCÓd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG »g ( 36-3 ) ∫ÉãªdG

»a ø«JOQGƒdG

(37-3) ∫Éãe âfÉc GPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

228

229

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG (15-3) ÖjQóJ :»∏j Éªs `e ≥s≤ëJ ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a

1 2

(2) äÉ«°VÉjQ

230

øjô«¨àe »`à ≈dhC’G á``LQódG ø`è ø«àdOÉ©e ø`è m¿ƒs µe ΩÉ``¶f tπ``M m äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà°SÉH s ≥Ñ`°S Éª«a Éæ`°SQO á≤jô£dÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ƒs µe ΩÉ¶f m πM √òg øe ¢`x` UÉN ´ƒf m πù ` ëd äÉaƒØ`` °üªdG Ωóîà`` `°ùf Éægh ,á`` «s fÉ«ÑdG á`` ≤jô£dÉHh á`` js ôÑédG .áª¶fC’G

ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f Éæ«£YoCG GPEG Ók ãªa :á«JB’G á«s aƒØ°üªdG IQƒ°üdÉH ΩÉ¶ædG Gòg áHÉàc øµªj ¬sfEÉa ( ø«àaƒØ°üe …hÉ`°ùJ ∞jô©J øe ) :»dÉàdG ƒëædG ≈∏Y ÖàµoJ ¿CG øµªj IQƒ°üdG √ògh ( ø«àaƒØ°üe Üô°V ∞jô©J øe ) :¿Cs G Éæ°Vôa GPEGh äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe ≈ªs `°ùoJh π«gÉéªdG áaƒØ°üe ≈ªs `°ùoJh âHGƒãdG áaƒØ°üe ≈ªs `°ùoJh

231

(2) äÉ«°VÉjQ

¿Éc GPEG …CG , ôØ°U

âfÉc GPEGh

¿Cs ’ )

( ø«à«s ∏`` °UC’G ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f πM ¿Óµu ` ` `°ûj øjò∏dG ) ¢U , ¢S ø«dƒ¡éªdG OÉ`éjEG ¿B’G ÉfQhó≤ªH ¿Cs G í`` °VGhh ájs Oó©dG âHGƒãdG ád’óH

(9-3) u á≤jôW ¿Es G ≈∏Y ô°üà≤J äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ƒs µe ΩÉ¶f m πM ¿ƒµJ πw M É¡`d ¢ù«d »àdG ∂∏Jh ∫ƒ∏ëdG øe »FÉ¡` w f ’ Ol óY É¡`d »àdG áª¶fC’G ¿Cs G ∂dP; ó«Mh πw M É¡`d »àdG áª¶fC’G .ôØ°ü∏d ák jhÉ`°ùe ( äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe IOóëe u ) äÓeÉ©ªdG IOóëe u ÉgóæY

(2) äÉ«°VÉjQ

232

: èJÉædG áë°U øe ≥t≤ëàdG .ô`°ùjC’G ±ô£dG .ô`°ùjC’G ±ô£dG

:óéf ¢U , ¢S »àª«≤H √ÓYCG ø«àdOÉ©ªdG »a ô`°TÉÑªdG ¢†jƒ©àdÉH u øªjC’G ±ô£dG :≈dhC’G ádOÉ©ªdG »a øªjC’G ±ô£dG :á«fÉãdG ádOÉ©ªdG »a

233

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG : å«M ,

(2) äÉ«°VÉjQ

234

º«b áYƒªée

235

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

¿Cs ÉH Éªk ∏Y

¿s CG âÑKCÉa ,

âfÉc GPEG

¿s CG âÑKCÉa ,

âfÉc GPEG

(2) äÉ«°VÉjQ

236

âfÉc GPEG 5

:s¿CG âÑKCÉa

âfÉc GPEG 6

:»∏j Éªs `e Ωm É¶f πu c πu M OÉéjEG »a äÉaƒØ°üªdG Ωóîà`°SG 7

O `G H

237

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

6-3

u äÉaƒØ°üªdG ≥HÉ°ùdG ¢SQódG »a Éæeóîà`` `°SG áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ƒs µe ΩÉ¶f m πëd m u äGOóëªdG áLQódG øe ä’OÉ©e áª¶fCG πëd Éæg Ωóîà`` °ùf ±ƒ`` °Sh ,øjô«¨àe »a ≈dhC’G u .äGô«¨àe áKÓK »a iôNCGh øjô«¨àe »a ≈dhC’G

á«fÉãdG áÑJôdG äGOuóëe ΩGóîà°SÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f πt M -’k hCG ( 2-4 ) ΩÉ¶ædG πM øµªªdG øe ¬sfCG º∏©f : »dÉàdÉc ( ±òëdG á≤jôW ) ájôÑédG á≤jô£dÉH »a ádOÉ©ªdGh , »a ádOÉ©ªdG Üô°†H

: ÅaÉµªdG ΩÉ¶ædG ≈∏Y π°üëf ,

: ≈∏Y π°üëf ,

: ÅaÉµªdG ΩÉ¶ædG ≈∏Y π°üëf ,

»a

ádOÉ©ªdG øe

ádOÉ©ªdGh ,

»a

(2) äÉ«°VÉjQ

238

: ≈∏Y π°üëf ,

ádOÉ©ªdG øe

πs M ¿Óµu °ûJ ø«à∏dGh ¢U , ¢S øjô«¨àªdG »àª«b ¿Éc GPEÉa u ≈∏Y Éæ∏°üM ób ¿ƒµf : »dÉàdÉc ¢U , ¢S Öàµf ¿CG ™«£à°ùf á«fÉãdG áÑJôdG äGOóëe u ΩGóîà°SÉHh , ΩÉ¶ædG

ø«àHÉãdG ™°†f ¿CÉH ∆ øe É¡«∏Y π°üëfh ¢S ∆ õeôdÉH É¡d õeôfh ¢S ô«¨àªdG IOóu ëe Éªgh

239

(2) äÉ«°VÉjQ

»ªu °ùf

ø«àHÉãdG ™°†f ¿CÉH ∆ øe É¡«∏Y π°üëf h ¢U ∆ õeôdÉH É¡d õeôfh ¢U ô«¨àªdG IOóu ëe

øjô«¨àªdG Éàª«b ¬«a Oós ëàJ

¿Cs G ßM’

»ªu °ùf

áãdÉãdG IóMƒdG (42-3) ∫Éãe .äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH ( 39-3 ) ∫Éãe »a OQGƒdG ΩÉ¶ædG πs Mo

πëdG

: ΩÉ¶ædG »a : ¿ƒµJ

( 2 , 1- ) ƒg ΩÉ¶ædG πt M GPEk G

(43-3) ∫Éãe .äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH »dÉàdG ΩÉ¶ædG πs Mo

πëdG

( 0 , 0 ) ƒg ΩÉ¶ædG πt M GPEk G (2) äÉ«°VÉjQ

240

(17-3) ÖjQóJ x ΩGóîà°SÉH , : øe πc äGOóëªdG u

øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f πu ëd »°Sóæ¡dG ô«°ùØàdG t w É«v fÉ«H É¡∏ãu ªj øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG ádOÉ©e ¿Cs G º∏©f ( 2-4 ) ΩÉ¶ædG »àdOÉ©e ¿Cs G Éæ°Vôa GPEG h ,ºl «≤à°ùe §N u

ád’óH

»àdOÉ©e á`` HÉàc É`` ææµªj ¬`` fs EÉa ,Ö`` «JôàdG ≈`` ∏Y , ø«ª«≤à`` °ùªdÉH É`` «v fÉ«H π`` ãs ªJ u : »∏j Éªc äGOÉ°üdG Qƒëe øe ´ƒ£≤ªdG AõédGh π«ªdG

0 ≠∆ ÉeóæY ól «Mh πw M ¬d ΩÉ¶ædG ¿ƒc ô°ùØ u jo Gògh : Ók ãªa : ΩÉ¶ædG »a

241

(2) äÉ«°VÉjQ

π°üëf É«v fÉ«H ΩÉ¶ædG »àdOÉ©e π«ãªJ óæYh , 0 ≠ ∆ ¿Cs G óéf u ( 1-3 ) πµ°ûdG »a Éªc ø«©WÉ≤àe ø«ª«≤à°ùe ≈∏Y .ΩÉ¶ædG πt M »g ( 2 , 1 ) Éª¡©WÉ≤J á£≤f ¿Cs G ßM’

áãdÉãdG IóMƒdG

(2) äÉ«°VÉjQ

242

: ´GƒfCG áKÓK ≈dEG øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe áfƒs µªdG áª¶fC’G ∞«æ°üJ øµªj ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈∏Y 0 ≠ ∆ ¿ƒµJ ¬«ah ól «Mh πw M ¬d …òdG ΩÉ¶ædG ƒgh : π≤à°ùªdG ΩÉ¶ædG 1 ¬«a h ∫ƒ∏ëdG øe »FÉ¡f w ’ Ol óY ¬d …òdG ΩÉ¶ædG ƒ`` gh : π≤à`` °ùªdG ô`` «Z ΩÉ`` ¶ædG 2 0 = ¢S ∆ hn 0 = ∆ ¿ƒµJ 0 ≠ ¢S ∆ , 0 = ∆ ¿ƒµJ ¬«ah : πëdG π«ëà°ùe ΩÉ¶ædG 3

(44-3) ∫Éãe x ´ƒf Oóu M äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH : á«dÉàdG áª¶fC’G øe πc

1 2 3

πëdG 1 .π≤à°ùe ô«Z ΩÉ¶ædG GPEk G : á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y ΩÉ¶ædG Öàµf 2 ¿ƒµàa

.πëdG π«ëà°ùe ΩÉ¶ædG GPEk G : á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y ΩÉ¶ædG Öàµf 3 ¿ƒµàa .π≤à°ùe ΩÉ¶ædG GPEk G

243

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

m m t -kÉ«fÉK ΩGóîà°SÉH äGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe ä’OÉ©e çÓK ΩÉ¶f πM áãdÉãdG áÑJôdG äGOóu ëe m m , ¢S äGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe ä’OÉ©e çÓK øe ¿ƒs µªdG ( 5-4 ) ΩÉ¶ædG Éæjód ¿Éc GPEG : ´ , ¢U

(5-3) πt ëdG Gòg Öàµjo h É©k e çÓãdG ä’OÉ©ªdG ≥≤ëJ »àdG ´ , ¢U , ¢S º«b OÉéjEÉH ¿ƒµj ΩÉ¶ædG Gòg sπM ¿Es Éa . ( ´ , ¢U , ¢S ) áÑJôªdG á«KÓãdG IQƒ°U ≈∏Y øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f ádÉM »a Éªc - äGOóëªdG ΩGóîà`` °SÉH ´ , ¢U , ¢S º«b OÉéjEG Éææµªj ™bGƒdG »ah u : á«dÉàdG äÉbÓ©dG øe - øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG 0 ≠ ∆ ¿Cs G •ô°ûH :å«M å«M

(2) äÉ«°VÉjQ

244

πëdG

245

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

ƒg ΩÉ¶ædG πt M : ¿Cs G óéf ´ , ¢U , ¢S º«≤H

. ô°ùjC’G ±ô£dG

øªjC’G ±ô£dG :

ádOÉ©ªdG »a

. ô°ùjC’G ±ô£dG

øªjC’G ±ô£dG :

ádOÉ©ªdG »a

. ô°ùjC’G ±ô£dG

øªjC’G ±ô£dG :

ádOÉ©ªdG »a

m ΩGóîà`` °SÉH äGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe ä’OÉ`` ©ªdG ΩÉ¶f πt M øµªj ¬sfCG ≈dEG É`` æg IQÉ`` °TE’G QóéJh u ÉgÉæ°SQO »àdG ( ±òëdG á≤jôW ) ájôÑédG á≤jô£∏d ám ¡HÉ°ûe ám ≤jôW ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f πëd .øjô«¨àe »a : »dÉàdÉc ( 45-3 ) ∫ÉãªdG »a OQGƒdG ΩÉ¶ædG πt M øµªj : Ók ãªa : ¿Cs G èàæj ø«àdOÉ©ªdG ™ªéH : ¿Cs G èàæj

0 = ´ : ¿Cs G èàæj

.( 45-3 ) ∫ÉãªdG »a äGOóëªdG ΩGóîà°SÉH ¬«dEG Éæ∏°UƒJ …òdG ¬°ùØf πt ëdG ƒgh u ? π¡°SCG ø«à≤jô£dG …Ct G •

(2) äÉ«°VÉjQ

246

(20-3)ÖjQóJ : »JB’G ΩÉ¶ædG πs Mo äGOóëªdG ΩGóîà°SÉH 1 u

s èàæà°SÉa 0 ≠ ∆ âfÉc GPEG 2 : »JB’G ΩÉ¶ædG πM

247

(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

(6-3) ø`jQÉ`ªJ ( 5-4 ) øjQÉªJ øe

x ΩGóîà°SÉH :øe πc

: ΩÉ¶ædG πs Mo

äGOóu ëªdG

äÉaƒØ°üªdG .πëdG áë°U s øe ≥s≤ëJ ºs K

x »a ΩÉ¶ædG ´ƒf ø«u H äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH :»∏j Éªs `e πc

:¿Éª«≤à°ùªdG ¿Éc GPEG Ée ø«u H äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH

(2) äÉ«°VÉjQ

248

º«b óLhCG 6

: ΩÉ¶æ∏d ¿s CG âÑKCG äGOóu ëªdG ΩGóîà°SÉH 7 ( 0 , 0) ó«MƒdG πëdG

249

(2) äÉ«°VÉjQ

èeÉfôÑd á≤HÉ`` °ùdG äÉeGóîà`` °S’G ≈dEG áaÉ`` °VEG

‫ﺃﻧﺸﻄﺔ ﺇﺛﺮﺍﺋﻴﺔ‬

πëdG :á«dÉàdG äGƒ£îdG ™Ñàf ºKs èeÉfôÑdG IòaÉf íàØf

: »dÉàdG ƒëædG ≈∏Y áaƒØ°üªdG Öàµf ` ’k hCG áë°VƒªdG ôeGhC’G äGhOCG §jô°T »a ( Matrix Author ) áaƒØ°üªdG ¿ƒu µe áfƒ≤jCG ≈∏Y ô°TDu ƒªdG ™°†f 1 s : »dÉàdG πµ°ûdG »a

(2) äÉ«°VÉjQ

250

‫‪ûfCG‬ض‪FGôKEG á£‬ي‪á‬‬

‫‪2‬‬

‫ننقر حيث و‪V‬س ــعنا المو ِّ‪TD‬سر فيظ¡ر مربع‬ ‫ح ــوار عنوان ــ¬ ‪ Matrix Setup‬و‪G‬ل ``‪ò‬ي‬ ‫نح ـ ِّـدد ب¬ عدد ال�س ــفوف وعدد الأعمدة‬ ‫يو‪V‬س‪ í‬ذل∂‪.‬‬ ‫وال‪û‬سكل التالي ِّ‬

‫‪3‬‬

‫ننق ــر عل ــى زر مواف ــ≥ ‪ OK‬ف ــي مربع الحوار ال�س ــاب≥ فنح�س ــل عل ــى مربع ح ــوار ا‪B‬خر عنوان¬‬ ‫مو‪V‬س‪ í‬في ال‪û‬سكل التالي ‪:‬‬ ‫كما هو َّ‬

‫‪ 4‬ندخل عنا�سر الم�سفوفة عن�س ‪k‬را عن�س ‪k‬را كما في ال‪û‬سكل التالي‬ ‫( يمكن ا�ستخدام مفتاح الجدولة ‪ Tab‬للتنقل بين العنا�سر )‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪251‬‬

‫‪ãdG IóMƒdG‬ا‪áãd‬‬

‫‪5‬‬

‫ننقر على زر مواف≥ ‪ OK‬في مربع الحوار ال�ساب≥ ‪ ،‬فتظ¡ر الم�سفوفة مكتوبة على لوحة العر‪V‬س‬ ‫الجبري كما في ال‪û‬سكل التالي ‪:‬‬

‫ثانياً ـ ن�ص ِّمي الم�صفوفة وذل∂ على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪252‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫ن�ستح†سر المو ِّ‪TD‬سر عند ‪T‬سري§ الإدخال ونكت‪ Ö‬الرمز ال‪ò‬ي نختار√ للم�سفوفة وليكن ‪ ( A‬يمكن ا�ستخدام‬ ‫با�ستخدام‬ ‫‪T‬سري§ الرموز الإغريقية اأو لوحة المفاتي‪ í‬لكتابة الرمز ‪K ، ) A‬م نكت‪ Ö‬الرمز‬ ‫‪T‬سري§ الرموز الريا‪V‬سية‪ ،‬كما في ال‪û‬سكل التالي‪:‬‬

‫‪ûfCG‬ض‪FGôKEG á£‬ي‪á‬‬

‫‪K‬م على مفت ــاح الإدخال ‪ Enter‬في لوحة المفاتي‪ í‬اأو على الزر‬ ‫‪ 2‬ن†س ــ¨§ عل ــى المفت ــاح‬ ‫َّ‬ ‫الموجود ي�سار ‪T‬سري§ الإدخال‪ ،‬فنح�سل على ال‪û‬سكل التالي ‪:‬‬

‫ثالثاً ـ نوجد المح ِّددة والمعكو�س ال�صربي للم�صفوفة على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪K ،‬م ن†س¨§ على مفتاح الإدخال ‪Enter‬‬

‫نكت‪ Ö‬على ‪T‬سري§ الإدخال‬ ‫محددة الم�سفوفة في ال‪û‬سكل التالي ‪:‬‬ ‫المفاتي‪ ،í‬فنح�سل على ِّ‬

‫في لوحة‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪253‬‬

‫‪ãdG IóMƒdG‬ا‪áãd‬‬

‫‪2‬‬

‫‪K‬م ن†س ــ¨§ على مفتاح الإدخال ‪Enter‬‬ ‫‪َّ ،‬‬

‫نكت‪ Ö‬على ‪T‬س ــري§ الإدخال‬ ‫المفاتي‪ ،í‬فنح�سل على المعكو�س ال†سربي للم�سفوفة في ال‪û‬سكل التالي ‪:‬‬

‫‪óJ‬ري‪Ö‬‬ ‫المحددة والمعكو�س ال†سربي ‪x‬‬ ‫لكل من الم�سفوفات التالية‪ :‬م�ستعم ‪k‬ال برنام‪è‬‬ ‫اأوجد‬ ‫ِّ‬

‫‪254‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫في لوحة‬

‫تعلمت فــي هــذه الوحدة‬

‫‪ 1‬ع َّرفن ــا الم�س ــفوفة م ــن الرتب ــة‬ ‫�سف‪v‬ا عمو ‪k‬دا حيث‬

‫ـددي مو‪َّ D‬لفٌ من‬ ‫اأ َّن¡ ــا تنظيـ ـ ٌم ع ـ ٌّ‬ ‫‪m‬‬ ‫بحرف تحت¬ خ§‪.‬‬ ‫ورمزنا لـ¡ا‬ ‫تكونان مت�سـ ــاويتين ونكت‪Ö‬‬

‫‪ 2‬در�سـ ــنا ا َّأن الم�س ــفوفتين‬ ‫التاليان م ‪k‬عا‪:‬‬ ‫• اإذا كان لـ¡ما نف�س الرتبة‪.‬‬ ‫• اإذا كانت العنا�سر المتنا‪X‬رة بالو‪V‬سع في¡ما مت�سـاوية‪.‬‬

‫عن�سـ ـ ‪k‬را مرتبة في‬ ‫اإذا تحقَّ≥ ال‪û‬سـ ــرطان‬

‫‪ 3‬ذكرن ــا بع†س الأنواع الم‪û‬سـ ــ¡ورة للم�س ــفوفات‪ :‬الم�سـ ــتطيلة‪ ،‬المر َّبع ــة‪ ،‬القطرية‪ ،‬م�س ــفوفة الوحدة‬ ‫والم�سفوفة ال�سفرية‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫بيانات و�سف َّي ‪m‬ة ب�سور ‪m‬ة مخت�سر ‪m‬ة َّ‬ ‫منظمة‪.‬‬ ‫‪ 4‬ا�ستخدمنا الم�سفوفات لتمثيل‬ ‫عمليتي جمع م�س ــفوفتين وطرح¡ما ووجدنا اأنَّ¬ ل يمكن جمع م�س ــفوفتين ( اأو طرح¡ما ) اإل‬ ‫‪ 5‬ع َّرفن ــا‬ ‫ِّ‬ ‫اإذا كانتا من نف�س الرتبة ويكون نات‪ è‬جمع ( اأو طرح ) م�س ــفوفتين ‪x‬‬ ‫هو‬ ‫كل من¡ما من الرتبة‬ ‫عنا�سرها ناتجة من جمع ( اأو طرح ) العنا�سر المتنا‪X‬رة بالو‪V‬سع في‬ ‫م�سفوفة من الرتبة‬ ‫الم�سفوفتين‪.‬‬ ‫هي العن�سر‬ ‫‪ 16‬وجدنا ا َّأن عملية جمع الم�س ــفوفات اإبدالي ٌة وتجميعي ٌة والم�س ــفوفة ال�س ــفرية‬ ‫‪ ،‬وا َّأن ل ـ ِّ‬ ‫معكو�س ــا جمع ‪v‬يا وهو‬ ‫ـكل م�س ــفوف ‪m‬ة‬ ‫المحاي ــد الجمع ــي للم�س ــفوفات م ــن الرتب ــة‬ ‫‪k‬‬ ‫لـ¡ما الرتبة نف�سـ¡ا‪.‬‬ ‫حيث‬ ‫م�سفوف ‪k‬ة‪ ∑ ،‬عد ‪k‬دا حقيق ‪v‬يا‪ ،‬فا َّإن‬ ‫‪ 7‬اإذا كانت‬ ‫ناتج ٌة من ‪V‬سر‪ِّ Ü‬‬ ‫كل عن�سر‪ m‬من عنا�سر في‬

‫م�سفوف ٌة من الرتبة‬

‫عنا�سرها‬

‫فاإ ‪q‬ن ـ‪ ¬n‬يمك ــن‬ ‫من الرتبة‬ ‫‪ ،‬والم�سفوفة‬ ‫‪ 8‬اإذا كانت الم�سفوفة من الرتبة‬ ‫عنا�سرها ناتج ٌة من جمع حوا�سل ‪V‬سر‪ Ü‬عنا�ســر‬ ‫من الرتبة‬ ‫اإيجاد م�سفوفة ال†سر‪Ü‬‬ ‫�سف من �سفوف الم�سفوفة في العنا�سر المنا‪X‬رة لـ¡ا في ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫كل ‪m‬‬ ‫كل ‪x‬‬ ‫عمود من اأعمـدة الم�سفوفة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪255‬‬

‫‪ãdG‬ا‪áãd‬‬ ‫‪ãdG IóMƒdG‬ا‪áãd‬‬ ‫‪IóMƒdG‬‬

‫‪ 9‬عمل َّي ــة ‪V‬س ــر‪ Ü‬الم�س ــفوفات تجميعي ٌة وغي ــر اإبدالية‪ ،‬وم�س ــفوفة الوحدة‬ ‫بالن�سـبة لعملية ‪V‬سر‪ Ü‬الم�سفوفات المر َّبعة من الرتبة‬

‫هي م�س ــفوف ٌة محايد ٌة‬

‫محددة الرتبة الثانية والثالثة‪ ،‬وتع َّرفنا على خوا�س ــ¡ما وا�س ــتخدمنا ه‪ √ò‬الخوا�س في‬ ‫‪ 10‬ع َّرفن ــا ك ‪v‬ال من ِّ‬ ‫المحددات‪.‬‬ ‫تب�سي§ ح�سا‪Ü‬‬ ‫ِّ‬ ‫ـربي لم�س ـ ‪m‬‬ ‫ـفوفات مر َّبعـ ـ ‪m‬ة من الرتبة الثاني ــة ووجدنا ا َّأن‬ ‫‪ 11‬ق�س ــرنا درا�سـ ــتنا على اإيجاد المعكو�س ال†س ـ ِّ‬ ‫اإن وجد‪ -‬هو م�سفوف ٌة من الرتبة نف�سـ¡ا بحيث يكون‬ ‫ال†سربي لم�سفوفة‬ ‫المعكو�س‬ ‫َّ‬ ‫‪ 12‬ا�ستخدمنا الم�سفوفات ِّ‬ ‫نظام مك َّون‪ m‬من معادلتين من الدرجة الأولى في مت¨يرين‪.‬‬ ‫لحل ‪m‬‬ ‫المحددات ِّ‬ ‫‪m‬‬ ‫معادلت من الدرجة الأولى في مت¨يرين وفي ‪K‬ال‪ ç‬مت¨يرات‪.‬‬ ‫لحل اأنظمة‬ ‫‪ 13‬ا�ستخدمنا‬ ‫ِّ‬ ‫ال¡ند�سي‬ ‫وو‪V‬سحنا التف�سير‬ ‫‪ 14‬ق َّدمنا اأنواع الأنظمة المك َّونة من معادلتين من الدرجة الأولى في مت¨يرين َّ‬ ‫َّ‬ ‫ِّ‬ ‫لحل ه‪ √ò‬الأنظمة‪.‬‬ ‫محددة ومعكو�س م�سفوف ‪m‬ة مربع ‪m‬ة با�ستخدام الحا�س‪ Ö‬ال‪B‬لي‪.‬‬ ‫‪ 15‬عر‪V‬سنا اأن‪û‬سط ‪k‬ة اإ‪K‬رائي ‪k‬ة في اإيجاد ِّ‬

‫‪256‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪áeÉY ø`jQÉ`ªJ‬‬ ‫‪V 1‬صع عالمة ( ) اأو عالمة ( ) عن يمين ما يلي‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫م�سفوفات فا َّإن ‪:‬‬ ‫‪K‬ال‪ç‬‬

‫بفر‪V‬س ا َّأن‬

‫ِّ‬ ‫وال�سف الثاني من الم�سفوفة‬ ‫العن�سر الواقع في العمود الثالث‬

‫يرمز ل¬ بالرمز‬

‫لـ¡ا وجود م¡ما كانت رتبة‬ ‫من الرتبة الرابعة‬ ‫عدد عنا�سر‬

‫م�سفوفة مر َّبعة عدد عنا�سرها ي�سـاوي ‪.4‬‬ ‫م�سفوفة من الرتبة الرابعة‪.‬‬

‫ي�سـاوي‬

‫مع َّرف‪.‬‬

‫مع َّرف‬

‫مع َّرف‬ ‫مع َّرف‬ ‫بفر‪V‬س اأ َّن‬ ‫رتبة‬

‫مع َّرف‬ ‫من الرتبة‬

‫من الرتبة‬

‫فاإنَّ‪:‬‬

‫رتبة‬ ‫وعدد عنا�سر‬

‫عدد عنا�سر‬ ‫مع َّرف‪.‬‬ ‫غير مع َّرف‪.‬‬ ‫من الرتبة‬

‫مع َّرف‪.‬‬ ‫رتبة‬ ‫رتبة‬

‫رتبة‬ ‫رتبة‬ ‫م�سفوفة �سفرية‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪257‬‬

‫‪2‬‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي ‪:‬‬ ‫ف� َّإن قيمة �س ت�سـاوي ‪:‬‬

‫�إذا كانت‬

‫�إذا كانت رتبة الم�صفوفة‬ ‫ف� َّإن رتبة الم�صفوفة هي‬

‫هي‬

‫�إذا كانت‬

‫ف� َّإن‬

‫د �إذا كان‬

‫هـ‬

‫‪258‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫ورتبة الم�صفوفة‬

‫هي‬

‫ف� َّإن قيمة �س ت�سـاوي ‪:‬‬

‫ت�سـاوي ‪:‬‬

‫وكانت‬

‫ت�سـاوي ‪:‬‬

‫و‬ ‫محددة الم�صفوفة‬ ‫ِّ‬

‫‪3‬‬

‫ت�سـاوي ‪:‬‬

‫�أكمل الفراغات فيما يلي‪:‬‬ ‫الم�صفوفة المر َّبعة من الرتبة ‪ 2 × 2‬بحيث يكون‬

‫هي ‪...........‬‬

‫�إذا كانت‬ ‫وكان‬

‫( حيث �س ‪� ،‬ص زاويتان حا َّدتان )‬

‫ف� َّإن‬

‫د �إذا كانت‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬ ‫بينما‬

‫غير مع َّرفة ل َّأن ‪....................‬‬

‫هـ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪259‬‬

‫و �إذا كانت‬

‫ز‬

‫�إذا كانت‬

‫ف� َّإن‬

‫ح �إذا كانت‬ ‫ف� َّإن‬

‫ط المعادلة الم�صفوفية‬

‫تمثل نظام معادلتين هما ‪.................‬‬

‫ي م�صفوفة المعامالت للنظام ‪� 2‬س ‪� 5 +‬ص – ‪� 2 ، 0 = 3‬ص – �س = ‪ 6‬هي ‪......................‬‬

‫‪4‬‬

‫‪260‬‬

‫�أوجد المعكو�س الجمعي ُث َّم ال�ضربي‪� -‬إن �أمكن‪ -‬لك ِّل م�صفوف ٍة فيما يلي‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪5‬‬

‫وكانت‬

‫�إذا كانت‬

‫‪ ،‬ف�أوجد ك ًّ‬ ‫ال من ‪:‬‬

‫‪� 6‬أثبت �أ َّن �س = ‪ 3‬هو �أحد جذور المعادلة‬

‫‪� 7‬أثبت �أ َّن‬

‫‪� 8‬إذا علمت �أن‬

‫م�ستقيم يم ُّر بالنقطتين ( ‪.) 5،5- ( ، ) 1،2‬‬ ‫هي معادلة‬ ‫ٍ‬

‫ف�إن المعادلة الم�صفوفية ‪+‬‬

‫تكافىء مجموعة من �أربع معادالت في متغيرين‬

‫‪،‬‬

‫‪+‬‬

‫والمطلوب ‪:‬‬

‫) �أوجد ث َّم اكتب المعادالت الأربع الم�شـار �إليها‪.‬‬ ‫ب) ُحل المعادالت المذكورة في بثالث طرق مختلفة‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪261‬‬

‫‪� 9‬إذا كانت‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫متغيرات �س ‪� ،‬ص ‪ ،‬ع‬ ‫معادالت في ثالث‬ ‫تكافئ نظا ًما من ثالث‬

‫ف�إ َّن المعادلة الم�صفوفية‬ ‫) اكتب نظام المعادالت الم�شـار �إليها‪.‬‬ ‫ب) �أوجد مجموعة الح ِّل للنظام ال�سابق بطريقتين مختلفتين‪.‬‬

‫‪� 10‬أوجد معادلة القطع المكافئ الذي محوره يوازي محور ال�صادات ويم ُّر بالنقاط ( ‪، ) 1 ،2 ( ، ) 2،1‬‬ ‫( ‪� ( .) -2 ،-1‬إر�شاد ‪ :‬ا�ستخدم المح ِّددات في الحل )‪.‬‬ ‫‪� 11‬إذا كانت‬

‫‪262‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫م�صفوفتين بحـيث يكـون‬

‫ف�أثبت �أنَّ ‪:‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪≈dhC’G‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG‬‬ ‫( ‪)1-1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 3 12‬وحدات طول عن الم�ستقيم �س = ‪ 5 ، 3‬وحدات طول عن الم�ستقيم �س = – ‪o ، 5‬بعدها عن الم�ستقيم‬ ‫�س = �س ي�ساوي �سفر‪.‬‬ ‫‪ 4 13‬وحدات طول‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫وحدة طول‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫وحدة طول‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫وحدة طول‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪263‬‬ ‫‪263‬‬

‫( ‪)2-1‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬

‫تم ِّثل المجموعة الخالية‬ ‫تم ِّثل دائرة مركزها‬

‫وطول ن�صف قطرها = ‪6‬‬

‫تم ِّثل دائرة مركزها‬

‫وطول ن�صف قطرها =‬

‫تم ِّثل دائرة مركزها‬

‫وطول ن�صف قطرها =‬

‫هـ تم ِّثل المجموعة الخالية‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫هـ‬

‫‪5‬‬

‫الم�ستقيم قاطع للدائرة‪.‬‬ ‫مما�س للدائرة‪.‬‬ ‫الم�ستقيم ٌّ‬ ‫هـ الم�ستقيم قاط ٌع للدائرة‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪264‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫وحدة طول‬

‫مما�س للدائرة‪.‬‬ ‫الم�ستقيم ٌّ‬ ‫خارجي‪.‬‬ ‫الم�ستقيم‬ ‫ٌّ‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪3‬‬

‫وحدة طول‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫وحدة طول‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫معادلة االرتفاع النازل على الوتر هي‬

‫وطوله‬

‫د‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪265‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪á«fÉãdG‬‬

‫‪äÉã∏ãªdG ÜÉ°ùM‬‬ ‫( ‪) 1-2‬‬

‫‪4‬‬

‫هـ‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫اأو اأي قيا�سين �سالبين ا‪B‬خرين‬ ‫اأو اأي قيا�سين موجبين ا‪B‬خرين‬

‫( ‪) 2-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪266‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫هـ‬

‫( ‪) 3-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫لي�ست نقطة مثلثية‬ ‫�سالبة‬

‫‪4‬‬

‫نقطة مثلثية‬

‫لي�ست نقطة مثلثية‬

‫نقطة مثلثية‪،‬‬

‫‪3‬‬

‫نقطة مثلثية‬ ‫�سالبة‬

‫�صفر‬ ‫غير معرف‬

‫�صفر‬

‫‪7‬‬

‫هـ‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫هـ‬

‫‪13‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪267‬‬

‫( ‪) 4-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪268‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫( ‪) 5-2‬‬

‫( ‪) 6-2‬‬ ‫‪1‬‬

‫هـ‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫( ‪) 7-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪269‬‬

‫‪ 1‬ال ‪o‬بعد بين النقطتين ‪ ، Ü‬جـ‬

‫‪ 164^48‬م‬

‫( ‪) 8-2‬‬

‫‪ 2‬طول ال�سور ‪ 1336^64‬م‬ ‫‪ 3‬ال ‪o‬بعد بين المحطتين ‪ 287^28‬كم‬ ‫‪o 4‬بعد ال�سخرة عن النقطة ‪ 136 ≈ Ü‬م‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫هـ‬

‫�سفر‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪áãdÉãdG‬‬ ‫‪3‬‬

‫د‬

‫‪5‬‬

‫‪270‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪äGOóëªdGh äÉaƒØ°üªdG‬‬ ‫( ‪) 1-3‬‬

‫( ‪) 2-3‬‬

‫‪1‬‬

‫اليمكن الختالف الرتبة‬ ‫د‬ ‫هـ اليمكن الختالف الرتبة‬

‫و‬

‫ز‬

‫اليمكن الختالف الرتبة‬

‫‪3‬‬

‫د‬

‫هـ‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪271‬‬

‫( ‪) 2-3‬‬

‫‪5‬‬

‫د‬

‫( ‪) 3-3‬‬

‫‪2‬‬

‫اليمكن لأن عدد �أعمدة الم�صفوفة الأولى ≠ عدد �صفوف الم�صفوفة الثانية‬

‫د‬

‫و ال يمكن‬

‫‪3‬‬

‫‪272‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫هـ‬

‫ز‬

‫ال يمكن‬

‫( ‪) 4-3‬‬ ‫د‬

‫‪1‬‬ ‫و‬

‫هـ‬

‫ز‬

‫‪2‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪6‬‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫د‬ ‫ز‬

‫‪7‬‬

‫( ‪) 5-3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪8‬‬ ‫د‬ ‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪273‬‬

‫( ‪) 6-3‬‬ ‫‪3‬‬

‫النظام م�ستحيل الحل‬

‫النظام م�ستقل‬

‫النظام غير م�ستقل‪.‬‬

‫‪ 4‬الم�ستقيمان منطبقان‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫هـ‬

‫‪6‬‬

‫متارين عامة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫المعادالت هي ‪:‬‬ ‫الحل هو (–‪) 1 ، 3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪274‬‬

‫ريا�ضيات (‪)2‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬