الرياضيات4

‫رياضيات ‪4‬‬

‫الـمــدر�ســـــــة ‪...................................................................................... :‬‬

‫رقـ ـ ــم الإي ـ ـ ـ ــداع ‪14٢8/5360 :‬‬ ‫ردمك ‪978 - 9960 - 48 - 445 - 7 :‬‬

‫التعليم الثانوي نظام املقررات (م�سار العلوم الطبيعية) طبعة جتريبية ‪1431‬هـ ‪1432 -‬هـ ‪2010/‬م ‪2011 -‬م‬

‫اال�ســـــــــــــــــم ‪...................................................................................... :‬‬

‫نظام المقررات‬ ‫(م�سار العلوم الطبيعية)‬

‫‪1431‬هـ ـ ‪1432‬هـ‬ ‫‪2010‬م ـ ‪2011‬م‬

‫قررت وزارة التربيـة والتعليـم تدري�س‬ ‫ه���ذا ال��ك��ت��ـ��اب وط��ب��ع��ه ع��ل��ى نفقتها‬

‫نظام المقررات‬

‫( م�سار العلـوم الطبيعية )‬ ‫جلنة التعديل والتطوير‬

‫(رئي�سا )‬ ‫�أ‪ -‬نور بنت �سعيد باقادر‬ ‫ً‬

‫�أ‪� -‬إبت�سام بنت �سعيد من�سي‬ ‫�أ‪ -‬ملــياء بنت عـبـد اهلل خ ــان‬

‫�أ‪ -‬جنوى بنت رجـب ال�شـوا‬ ‫�أ‪� -‬سلمى بنت عبود بايزيد‬

‫جلنة املراجعة‬ ‫�أ‪� -‬سـامي بن �أحمد رحيـِّم‬ ‫�أ‪ -‬ثامر بن حمد العي�سى‬ ‫الطباعة‬ ‫�أ‪� -‬شادية بنت �أحمد باعزيز‬ ‫�أ‪� -‬إميان بنت عبداهلل القثمي‬ ‫�أ‪ -‬مها بنت عبد العزيز القدير‬ ‫طبعة تجريبية‬ ‫‪ 1431‬ـــ ‪1432‬هـ‬ ‫‪ 2010‬ـــ ‪2011‬م‬

‫ح‬

‫وزارة التربية والتعليم ‪ 1428 ،‬هـ‬

‫فهر�سة مكتبة الملك فهد الوطنية �أثناء الن�شر‬

‫وزارة الرتبية والتعليم‬ ‫ال�شوا ‪ ،‬جنوى‬ ‫ريا�ضيات ‪ / .4‬جنوى ال�شوا؛ �سلمى بايزيد ‪ - .‬الريا�ض ‪1428‬هـ‬ ‫‪� 248‬ص ‪� 27 x 21‬سم‬ ‫ردمك ‪978 - 9960- 48 - 445 - 7 :‬‬ ‫�أ‪ .‬بايزيد ‪� ،‬سلمى (م�ؤلف م�شارك)‬ ‫‪ -1‬الريا�ضيات ‪ -‬كتب درا�سية‬ ‫ب ‪ -‬العنوان‬ ‫‪1428 /5360‬‬ ‫ ‬ ‫ديوي ‪372.7‬‬ ‫رقم الإيداع ‪1428 /5360 :‬‬ ‫ردمك ‪978 - 9960- 48 - 445 - 7 :‬‬

‫له ��ذا الكتاب قيم ��ة مهمة وفائدة كبي ��رة فحافظ عليه واجعل نظافته ت�ش ��هد على‬ ‫ح�سن �سلوكك معه ‪.‬‬ ‫�إذا لم تحتفظ بهذا الكتاب في مكتبتك الخا�ص ��ة في �آخر العام لال�ستفادة فاجعل‬ ‫مكتبة مدر�ستك تحتفظ به ‪.‬‬ ‫حقوق الطبع والن�شر محفوظة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�سعودية‬

‫موقع‬

‫وزارة التربية والتعليم‬ ‫‪www.moe.gov.sa‬‬

‫موقع‬

‫الإدارة العامة للتخطيط والتطوير‬ ‫‪http://www.ed.edu.sa‬‬

‫موقع‬

‫�إدارة التعليم الثانوي‬ ‫‪www.hs.gov.sa‬‬

‫البريد الإلكتروني لإدارة التعليم الثانوي‬

‫‪Secondary-Education@curriculum.gov.sa‬‬

‫مقدمة‬

‫الحمد ِ‬ ‫رب العالمين‪ ،‬و ال�صـالة وال�سـالم على �سـ ِّيد المر�سـلين‪ ،‬وعلى �آله و�صحبه �أجـمعين‪،‬‬ ‫هلل ِّ‬ ‫ومن تبعهم ب�إح�س ٍ‬ ‫ـان �إلى يوم الدين وبعد ‪...‬‬ ‫ه���ذا كت���اب ريا�ض َّي���ات ( ‪ ) 4‬ف���ي نظام المق���ررات بالتعلي���م الثانوي الذي ن�أم���ل �أن يج���يء ُمل ِّبـ ًيا لخطط‬ ‫التنمي���ة الطم���وح الت���ي تعي�شـها المملكـة العرب َّيـ���ة ال�سـعود َّية ومتَّفقًا مع تط ُّلعاتـها ف���ي �إخرا ِج ٍ‬ ‫جيل قاد ٍر‬ ‫كل ذلك وفق �أه ِ‬ ‫عل���ى مواكب���ة الع�صر ومتم�شـ ًّيا مع النه�ض���ة التي تحياهـا‪ُّ ،‬‬ ‫التعليم فيهـا‪.‬‬ ‫���داف و�سـيا�سـ ِة‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم محتوى هذا الكتاب على المنطلق ِ‬ ‫ـات العا َّمة الآتية ‪:‬‬ ‫ولقد ا�سـ ُت ِند في‬ ‫ِ‬ ‫الحـاجات الأ�سـا�سـ َّية للطالب‪.‬‬ ‫ ‬ ‫طرائق تعليم وتع ُّلم الريا�ضيـَّات‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الريا�ضي‪.‬‬ ‫ �أ�سـاليب التفكير‬ ‫ِّ‬ ‫الريا�ضي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزم َّيـات ومهارات وم�سـائل ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫نوع َّية البناء‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫ �أوجه ا�سـتخدامات الريا�ض َّيـات في الحياة العمل َّيـة‪.‬‬

‫وتبرز مالمح الكتاب في التالي‪:‬‬

‫‪ -1‬االنطالق في تنظيم منهـاج الريا�ض َّيات من الأهداف العا َّمة للما َّدة و�أهداف نظام المقررات بالتعليم‬ ‫الثان���وي‪ ،‬بم���ا يتالءم وخ�صائ����ص نـمو الطالب با ِّتب���اع �أ�سـاليب وطرائق ت�سـتند �إل���ى نظر َّيات التع ُّلم‬ ‫المختلفة‪.‬‬ ‫‪ -2‬الأخ���ذ باالتج���اه الحلزون���ي ف���ي معالج���ة المحت���وى الريا�ضي م���ع الجمع بي���ن التنظي���م المنطقي‬ ‫والتنظيم ال�سيكولوجي‪.‬‬ ‫‪ -3‬روع���ي ف���ي عر����ض المو�ضوع���ات �إب���راز المفهوم���ات والمب���ادئ العلمي���ة والنظر َّي���ات ‪ ...‬وتمييزه���ا‬ ‫وا�سـتخدامها في مواقف تعليم َّية مختلفة بما ُيعين على تعميق معناها لدى الطالب‪.‬‬ ‫‪ -4‬االهتمام ببرهان الحقائق والنظر َّيات‪ ،‬ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات‪.‬‬ ‫‪ -5‬توظي���ف �أ�سالي���ب التفكير العلم ِّ���ي في البحث واال�ستق�ص���اء والو�صول �إل���ى اال�ستنتاجات والقرارات‬ ‫وحل الم�شكالت‪.‬‬ ‫التعمق في ذلك‬ ‫‪ -6‬اال�ستمرار في تعزيز بناء المفهومات باال�ستناد �إلى معلومات الطالب ال�سابقة مع ُّ‬ ‫بم���ا ي َّتف���ق وطبيع���ة المرحل���ة و�إي�ضاح كل مفهوم من خ�ل�ال �أمثلة متنوعة؛ لم�ساع���دة الطالب على‬ ‫الذاتي‪.‬‬ ‫التع ُّلم‬ ‫ِّ‬

‫‪� -7‬إب���راز جه���ود علم���اء الريا�ض َّي���ات الع���رب والم�سـلمي���ن و�أثره���م ف���ي بن���اء وتطوي���ر العل���وم الريا�ض َّية‬ ‫وتطبيقاتـها‪.‬‬ ‫‪ -8‬ربط المفهومات الريا�ض َّية ببيئة الطالب وبالمفهومات التي تق َّدم لـه في الموا ِّد الأخرى‪ ،‬وتوظيـفها‬ ‫من خالل التطبيقات الحيات َّية المتع ِّددة‪.‬‬ ‫‪ -9‬ت�ضمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب ك َّل معلومة ريا�ض َّية‪.‬‬ ‫‪� -10‬إث���راء المحتـ���وى بمجموعة تمـارين عا َّمة متنـ ِّوعة في نـهاية ك ِّل وح���دة‪� ،‬إ�ضـافة �إلى التمارين التي‬ ‫تلي كل در�س؛ لتثبـيت الحقـائق والمهـارات وت�أكيـد ا�سـتمرار َّية التع ُّلم‪.‬‬ ‫‪� -11‬إدراج �أن�شطة �إثرائية با�ستخدام الحا�سب الآلي كلما �أمكن ذلك‪.‬‬ ‫‪ -12‬تلخي����ص المفهوم���ات والنظر َّي���ات ‪ ...‬الت���ي ت�ض َّمنه���ا محت���وى ك ِّل وح���دة م���ن الوح���دات وذلك في‬ ‫نـهايته‪.‬‬ ‫‪� -13‬إدراج قائمة بالإجابات النهائ َّية لبع�ض التمارين لك ِّل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�سـه ذاتـ ًّيا‪.‬‬ ‫‪� -14‬إدراج الأهداف التعليمـ َّية لك ِّل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها‪.‬‬ ‫‪ -15‬اال�ستعان���ة بالر�س���وم التو�ضيح َّي���ة والأ�شـكال ف���ي تو�ضيح المفهومات الريا�ض َّي���ة ك َّلما دعت الحاجة‬ ‫لذلك‪.‬‬

‫ولقد اُ�سـتفيد حين �إعداد الكتاب ِم َّما يلي‪:‬‬

‫‪ -1‬تو�صي���ف منه���ج م���ا َّدة الريا�ض َّيات ف���ي نظام المقررات بالتعلي���م الثانوي م���ن الإدارة العا َّمة للمناهج‬ ‫التربوي بوزارة التربية والتعليم‪.‬‬ ‫بالتطوير‬ ‫ِّ‬ ‫‪ -2‬مق��� َّررات الريا�ض َّي���ات ب���دول مجل����س التعاون ل���دول الخلي���ج العرب َّية‪ ،‬وبع����ض ال���دول العرب َّية وغير‬ ‫العرب َّية‪.‬‬ ‫هذا ويقع الكتاب في �أربع وحدات وهي‪:‬‬ ‫‪ -1‬القطوع المخروطية ‪ -2 .‬المتتابعات ‪ -3 .‬المتباينات ‪ -4 .‬الدوال الحقيقية ‪ .‬‬ ‫و �إ نَّنا لنرجو التوفيق وال�سـداد من اهلل ‪ -‬تعالى ‪ -‬و�أن ُيحـقِّق هذا الكتاب الأهداف الم�أمولة له‪.‬‬ ‫ ‬ ‫واهلل من وراء الق�صد‪.‬‬ ‫لجنـة الت�أليف‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫القطوع المخروطية‬

‫مقدمة القطوع المخروطية ‪10 ...................................................‬‬ ‫(‪ )1-1‬القطع المكافئ ‪12 .....................................................‬‬ ‫(‪ )2-1‬القطع الناق�ص ‪28 .....................................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪46 ..............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪48 .......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫المتتابعات‬

‫(‪ )1-2‬المتتابعات ‪54 ..........................................................‬‬ ‫(‪ )2-2‬المتتابعة الح�سابية والهند�سية ‪60 ......................................‬‬ ‫(‪ )3-2‬المت�سل�سالت ‪77 .........................................................‬‬ ‫(‪ )4-2‬البرهان باال�ستقراط الريا�ضي ‪92 ......................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪99 .............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪100 ......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫المتباينات‬

‫(‪ )1-3‬المتباينات من الدرجة الأولى ‪106 .......................................‬‬ ‫الفترات الحقيقية ‪106 .................................................‬‬ ‫القيمة المطلقة للعدد الحقيقي (قيا�س العدد الحقيقي) ‪112 .........‬‬ ‫نظم المتباينات من الدرجة الأولى في متغير واحد ‪117 ...............‬‬ ‫(‪ )2-3‬المتباينات من الدرجة الثانية والثالثة ‪127 .............................‬‬ ‫�إ�شارة المقدار الجبري ( ‪� 2‬س‪�1 +2‬س‪127 ........................... ) +‬‬ ‫المتباينات من الدرجة الثانية في متغير واحد (المتباينات‬ ‫التربيعية) ‪........................................................‬‬ ‫المتباينات من الدرجة الثالثة في متغير واحد ‪.......................‬‬ ‫المتباينات الن�سبية ‪.................................................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪..............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫(‪)1-4‬‬ ‫(‪)2-4‬‬ ‫(‪)3-4‬‬ ‫(‪)4-4‬‬ ‫(‪)5-4‬‬

‫‪137‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪147‬‬ ‫‪149‬‬

‫الدوال الحقيقية‬

‫الدوالالحقيقية ‪154 ....................................................‬‬ ‫الدوال الجبرية ‪176 ...................................................‬‬ ‫العمليات على الدوال ‪196 ..........................................‬‬ ‫الدوال المت�سامية ‪212 .................................................‬‬ ‫بع�ض التطبيقات على الدوال الحقيقية ‪226 ............................‬‬ ‫تعلمت في هذه الوحدة ‪232 ............................................‬‬ ‫تماريـن عا َّمـة ‪234 ......................................................‬‬

‫الوحدة‬ ‫الأولى‬

‫القطوع المخروطية‬ ‫‪Conic Sections‬‬

‫الدرو�س‬ ‫(‪ )1-1‬القطع املكافئ‬ ‫(‪ )2-1‬القطع الناق�ص‬

‫يرجع ت�س ��مية القط ��وع المخروطية‬ ‫بهذا اال�س ��م �إلى �إمكانية الح�صول‬ ‫على ٍّ‬ ‫كل منها من تقاطع م�ست ٍو مع َّين‬ ‫ٍ‬ ‫�ري قائم‪ ،‬ويختلف‬ ‫مع‬ ‫مخروط دائ � ٍّ‬ ‫�ش ��كل المنحن ��ي النات ��ج باختالف‬ ‫�أو�ضاع الم�ستوي القاطع‪.‬‬

‫الأهداف‬ ‫درا�سـة هذه الوحد ِة � ْأن يكونَ‬ ‫يتوقع منَ الطالب بعدَ‬ ‫ِ‬ ‫قاد ًرا َعلى � ْأن ‪:‬‬

‫‪ُ -1‬يع ِّرف القطع المخروطي‪.‬‬ ‫‪ُ -2‬يع ِّرف ك ًّ‬ ‫ال من القطع المكافئ ‪ ،‬القطع الناق�ص‪.‬‬ ‫‪ -3‬يكت���ب معادل���ة ٍّ‬ ‫كل م���ن القط���ع المكاف���ئ ‪ ،‬القط���ع‬ ‫الناق�ص‪ ،‬بال�صورة القيا�سية‪.‬‬ ‫‪ُ -4‬يع ِّين �صفات ٍّ‬ ‫كل من القطع المكافئ ‪ ،‬القطع الناق�ص‪،‬‬ ‫بمعلومية معادلته‪.‬‬ ‫‪ -5‬يوج���د معادل���ة قط���ع مكاف���ئ مح���وره ي���وازي �أح���د‬ ‫المحورين الإحداثيين بمعلومية �شروط كافية‪.‬‬ ‫‪ -6‬يوجد معادلة قطع ناق�ص ‪ ،‬محوراه يوازيان المحورين‬ ‫الإحداثيين بمعلومية �شروط كافية‪.‬‬ ‫‪ -7‬ير�سم منحني القطع المخروطي‪.‬‬ ‫‪ُ -8‬يم ِّي���ز بين القط���وع المخروطي���ة بمعلومية معادلتها‬ ‫العا َّمة‪.‬‬ ‫‪ -9‬يوج���د االخت�ل�اف المرك���زي لقط ٍ���ع ٍ‬ ‫ف�س���ر‬ ‫ناق����ص و ُي ِّ‬ ‫داللته‪.‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫مقدمة‪:‬‬ ‫القطوع المخروطية‬

‫قطع مكافئ‬

‫قطع زائد‬

‫قطع ناق�ص‬ ‫�شـكل ( ‪) 1-1‬‬

‫نتع َّرف في هذه الوحدة على منحنيات ت�س� � َّمى بالقطوع المخروطية‪ ،‬و ترجع ت�س ��ميتها �إلى �إمكانية الح�ص ��ول على ٍّ‬ ‫كل‬ ‫ٍ‬ ‫دائري قائم‪ ،‬ويختلف �شكل المنحني الناتج باختالف �أو�ضاع الم�ستوي القاطع‪،‬‬ ‫مخروط‬ ‫منها من تقاطع م�ست ٍو مع َّين مع‬ ‫ٍّ‬ ‫يو�ضح الأنواع المختلفة للقطوع المخروطية‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 1-1‬‬ ‫المو�ضحة �أعاله‪ .‬انظر‬ ‫خا�ص� � ًة من القطوع‬ ‫َّ‬ ‫و ُيع ُّد ك ٌّل من الدائرة‪ ,‬النقطة‪ ،‬الم�س ��تقيم والم�س ��تقيمين المتقاطعين حال ًة َّ‬ ‫ال�شكل ( ‪. ) 2-1‬‬

‫دائرة‬

‫م�ستقيم‬

‫نقطة‬ ‫�شـكل ( ‪) 2-1‬‬

‫‪10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫م�ستقيمان متقاطعان‬

‫القطع المكافئ‬ ‫وتجدر الإ�ش ��ارة هن ��ا �إلى � َّأن للقط ��وع المخروطية �أهمي ًة كبير ًة في النواحي التطبيقية فت�ص ��ميم الك�شَّ ��افات‬ ‫ال�ض ��وئية والمرايا الم�س ��تخدمة في التل�س ��كوبات وبع�ض الميكروفونات الم�س ��تخدمة في الإر�سال التلفزيوني‬ ‫ٍ‬ ‫مقذوف تحت ت�أثير عجلة‬ ‫�يم‬ ‫و�أطباق االلتقاط يعتمد على ِّ‬ ‫خوا�ص القطع المكافئ ‪ ,‬كما � َّأن ك ًّال من م�س ��ار ج�س � ٍ‬ ‫الجاذبية مع �إهمال مقاومة الهواء وال�سال�سل المع َّلقة من طرفيها يم ِّثل قط ًعا مكاف ًئا‪.‬‬

‫ومن الثابت � َّأن م�س ��ارات كواكب المجموعة ال�شم�س ��ية في دورانهـا حول ال�ش ��م�س وقاعدة بع�ض الج�س ��ور تم ِّثل‬ ‫قطوعا ناق�صة‪.‬‬ ‫ً‬

‫قطع ٍ‬ ‫زائد عند �إطالقها على نواة ذرة‪.‬‬ ‫بينما ت َّتخذ ج�سيمات �ألفا م�سا ًرا على �شكل ٍ‬

‫المعادالت من الدرجة الثانية بمتغ ِّي ٍر واح ٍد‬

‫و�سوف نكتفي في هذه الوحدة بدرا�سة نوعين من القطوع المخروطية وهما القطع المكافئ والقطع الناق�ص‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪11‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪1-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫تعريف ( ‪)1-1‬‬

‫القطع المكافئ هو مجموعة نقاط الم�ستوي التي يت�ساوى ُبعد ٍّ‬ ‫كل منها عن نقط ٍة ثابت ٍة في‬ ‫م�ستقيم ٍ‬ ‫ثابت في الم�ستوي‪ .‬ت�ســ َّمى النقطـــة الثابتة "البـــ�ؤرة "ويرمز‬ ‫الم�ستوي مع ُبعدها عن‬ ‫ٍ‬ ‫لـها بالرمز ‪ ،‬وي�س َّمى الم�ستقيم الثابت "الدليل" ويرمز له بالرمـــز ‪.‬‬ ‫يو�ضح التعريف ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 3-1‬‬

‫م‬

‫حو‬

‫ر‬ ‫املق‬

‫ا‬

‫طع‬

‫ل‬ ‫الب‬

‫ؤرة‬

‫ب‬ ‫الر‬

‫أس‬

‫(‪)1-1‬‬

‫‪12‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 3-1‬‬

‫لدل‬

‫يل‬

‫القطع المكافئ‬

‫ال�صور القيا�سية لمعادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه �أ�صل المحورين‬ ‫من المعلوم � َّأن معادلة � ِّأي منحنٍ في الم�ستوي الإحداثي هي عالقة بين الإحداثي ال�سيني وال�صادي لنقط ٍة‬ ‫اختياري ٍة واقع ٍة على هذا المنحني ‪.‬‬ ‫وحيث � َّأن و�ض ��ع المحورين الإحداثيين ال يغ ِّير من �ش ��كل المنحني و�إنَّما يغ ِّير من معادلته فقط ‪,‬ف�إنَّنا لإيجاد‬ ‫محوري الإحداثيات في م�ستوي القطع المكافئ بحيث يكون‬ ‫معادلة القطع المكافئ في �أب�س ��ط �أ�شكالها نن�شئ‬ ‫ِّ‬ ‫حيث‬ ‫محور القطع منطبقًا على محور ال�سينات و ر�أ�سه نقطة الأ�صل و ب�ؤرته النقطة‬ ‫( تم ِّثل ال ُبعد الب�ؤري )‪ ،‬و بذلك تكون معادلة الدليل‬ ‫كما في ال�شكل ( ‪, ) 4-1‬‬ ‫واقع ٌة على منحني‬

‫و بفر�ض � َّأن النقطة‬ ‫القطع المكافئ ‪,‬‬ ‫و � َّأن النقطة هي موقع العمود النازل من النقطة‬ ‫على الدليل ‪,‬‬ ‫‪ ,‬ون�ستنتج من التعريف ( ‪َّ � ) 1-2‬أن‪:‬‬ ‫تكون‬ ‫�إذ ًا‬ ‫لماذا ؟‬

‫�شـكل ( ‪) 4-1‬‬

‫و بذلك نح�صل على المعادلة‬

‫والتي ت�س َّمى بالمعادلة القيا�سية للقطع المكافئ الذي ر�أ�سه �أ�صل المحورين و ب�ؤرته‬ ‫‪+‬‬ ‫حيث‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪13‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫نتيجة (‪)1-1‬‬ ‫بو�ضع المعادلة ( ‪ ) 1-1‬للقطع المكافئ ( المم َّثل بال�شكل ( ‪ )) 4-1‬على ال�صورة‬ ‫ن�ستنتج � َّأن‪:‬‬ ‫‪( 0‬لماذا ؟) ؛ لذا ف� َّإن القطع يقع بكامله في الربعين الأول‬ ‫‪ 1‬قيم يجب �أن تحقق ال�شرط‪:‬‬ ‫و الرابع‪.‬‬ ‫يف�س ��ر كون القطع متناظ ًرا حول‬ ‫‪ 2‬ك َّل قيم� � ٍة للمتغ ِّي ��ر �س يقابلها قيمتان متناظرتان للمتغ ِّير �ص ؛ وهذا ِّ‬ ‫المحور ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مفتوحا و فتحته متجهة نحو‬ ‫يف�سر كون القطع‬ ‫ً‬ ‫تتزايد بتزايد قيم �س و هذا ِّ‬ ‫والآن يمكننا ا�ستنتاج �صور قيا�سية �أخرى لمعادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه �أ�صل المحورين وذلك بالطريقة‬ ‫نف�سها التي ا�ستنتجنا بـها المعادلة ( ‪. ) 1-1‬‬ ‫ومن‬ ‫�إذا كانت ب�ؤرة القطع‬ ‫ف� �� َّإن‬ ‫ث � َّ�م معادل ��ة الدلي ��ل‬ ‫المعادلة القيا�سية للقطع تكون على ال�صورة ‪:‬‬

‫و يكون محور القطع منطبقًا على المحور ال�س ��يني‬ ‫و فتحته تتجه نحو ‪,‬‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪.) 5-1‬‬ ‫و من‬ ‫�إذا كانت ب�ؤرة القطع‬ ‫ف� �� َّإن‬ ‫ث � َّ�م معادل ��ة الدلي ��ل‬ ‫المعادلة القيا�سية للقطع تكون على ال�صورة‪:‬‬

‫و يكون محور القطع منطبقًا على المحور ال�صادي و‬ ‫فتحته تتجه نحو ‪,‬‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪. ) 6-1‬‬

‫‪14‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 5-1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 6-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫�إذا كانت ب�ؤرة القطع‬ ‫ومن َّثم معادلة دليله‬ ‫ف� َّإن المعادلة القيا�س ��ية للقط ��ع المكافئ تكون‬ ‫على ال�صورة ‪:‬‬

‫و يكون محور القطع منطبقًا على المحور ال�صادي‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪) 7-1‬‬ ‫و فتحته تتجه نحو‬

‫(‪) 2-1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 7-1‬‬

‫‪ 1‬يتَّ�ض ��ح م ��ن الأ�ش ��كال ( ‪َّ � ) 7-1 ( ، ) 6-1 ( ، ) 5-1 ( ، ) 4-1‬أن فتح ��ة القط ��ع المكافئ تتجه دو ًما من‬ ‫الر�أ�س �إلى الب�ؤرة ‪.‬‬ ‫‪ 2‬يمكننا تحديد محور القطع المكافئ من المعادلة القيا�سية لهذا القطع ف�إذا كان المتغ ِّير �س ‪ -‬مث ًال ‪ -‬في‬ ‫مربع كان محور القطع منطبقًا على المحور ال�سيني و تكون هناك حالتان‪:‬‬ ‫المعادلة غير ٍ‬ ‫�إذا كانت �إ�شارة معامل �س موجبة ف� َّإن فتحة القطع تتجه نحو اليمين و ب�ؤرته‬ ‫و معادلة دليله‬ ‫�إذا كانت �إ�شارة معامل �س �سالبة ف� َّإن فتحة القطع تتجه نحو الي�سار و ب�ؤرته‬ ‫و معادلة دليله‬

‫مثال (‪)1-1‬‬ ‫�أوجد معادلة القطع المكافئ الذي ب�ؤرته (‪ ) 2- ،0‬و ر�أ�سه النقطة (‪ )0،0‬ث َّم �أوجد معادلة دليله ‪.‬‬

‫الحل‬

‫بما � َّأن ر�أ�س القطع (‪ )0،0‬ف� َّإن الب�ؤرة (‪ )2 - ، 0‬تكون على ال�صورة‬ ‫و المعادلة القيا�سية للقطع على ال�صورة ‪:‬‬ ‫�إذ ًا معادلة القطع المكافئ المطلوبة هي ‪:‬‬ ‫و تكون معادلة الدليل على ال�صورة‬

‫‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪15‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)2-1‬‬ ‫ث َّم ار�سمه ‪.‬‬

‫ع ِّين الب�ؤرة و معادلة الدليل للقطع المكافئ‬

‫الحل‬

‫بمقارنة المعادلة‬

‫بالمعادلة القيا�سية‬

‫نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫و بما � َّأن محور القطع منطب ٌق على محور ال�سينات و فتحته تتجه نحو الي�سار ف� َّإن‪:‬‬ ‫ب�ؤرة القطع تكون على ال�صورة‬ ‫�أي � َّأن الب�ؤرة‬

‫‪ ,‬و معادلة دليله هي‬ ‫و معادلة الدليل‪:‬‬

‫لر�سم هذا القطع المكافئ ‪:‬‬ ‫نختار قي ًما منا�سب ًة لـ نع ِّو�ض بـها في المعادلة‬ ‫حيث < ( لماذا؟ )‬ ‫فنح�صل على قيم �ص المناظرة كما في الجدول التالي‪:‬‬

‫َّثم نع ِّين النقاط المختارة (�إحداها ر�أ�س القطع ) في الم�ستوى‬ ‫ونر�سم منحني القطع المكافئ ما ًّرا بـهذه النقاط ومتناظ ًرا‬ ‫حول المحور ‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪. ) 8-1‬‬ ‫الحظ �أن النقطتين (‪ ) 2 - ،1-( ، ) 2 ،1-‬الواقعتين‬ ‫على القطع تقابالن الب�ؤرة ب ( ‪ ) 0 ،1 -‬وتبعد ك ٌّل منهما عنها‬ ‫وحدة ‪.‬‬ ‫م�ســافة‬

‫‪16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 8-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫(‪) 3-1‬‬ ‫يمكنن ��ا م ��ن المعادالت القيا�س ��ية الأربع للقط ��ع المكافئ ا�س ��تنتاج � َّأن النقطتين الواقعتي ��ن على القطع‬ ‫‪.‬‬ ‫المكافئ و المقابلتين للب�ؤرة تبعدان عنها م�سافة‬ ‫نح�ص ��ل عل ��ى‬ ‫ مث�ل ً�ا ‪� -‬إذا ع َّو�ض ��نا ع ��ن‬‫فف ��ي المعادل ��ة القيا�س ��ية‬ ‫تقع ��ان عل ��ى ه ��ذا القط ��ع و تبع ��دان‬ ‫وذل ��ك يعن ��ي � َّأن النقطتي ��ن‬ ‫( �أي �ضعف ال ُبعد الب�ؤري)‪.‬‬ ‫عن الب�ؤرة م�سافة‬ ‫� َّإن تعيين هاتين النقطتين ي�س ��اعدنا على ر�س ��م القطع المكافئ ب�س ��هولة‪ ،‬فبالرجوع �إلى المثال ( ‪) 2-1‬‬ ‫يمكننا ر�س ��م القطع المكافئ باالكتفاء بتحديد الر�أ�س و النقطتين (‪ ) 2 - ،1 -( ، ) 2 ، 1 -‬المقابلتين‬ ‫منها‪.‬‬ ‫للب�ؤرة وعلى ُبعد‬ ‫(هل يمكنك �أن تكت�شف مقدار البعد بين النقطتين من المعادلة مبا�شرة؟ كيف ذلك؟)‬

‫مثال (‪)3-1‬‬ ‫‪ ,‬ث َّم ار�سم‬

‫اكتب معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه نقطة الأ�صل ودليله الم�ستقيم ‪:‬‬ ‫المنحني البياني لهذا القطع‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بما � َّأن ر�أ�س القطع ( ‪ , ) 0 ، 0‬ف� َّإن معادلة دليله‬

‫‪,‬‬

‫تكون على ال�صورة‬

‫وبالمقارنة نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫(لماذا ؟)‬

‫وبما � َّأن الدليل يقع تحت الر�أ�س‬ ‫�إذ ًا محور القطع منطب ٌق على المحور ال�صادي وفتحته نحو‬

‫‪,‬‬

‫�إذ ًا معادلة القطع المكافئ على ال�صورة القيا�سية ‪:‬‬

‫محور القطع‬

‫معادلة القطع المكافئ المطلوبة هي ‪:‬‬ ‫وللر�سم نع ِّين النقطتين المقابلتين للب�ؤرة وعلى ُب ٍعد منها ي�ساوي‬

‫�شـكل ( ‪) 9-1‬‬

‫و ال�شكل ( ‪ ) 9-1‬ي ِّو�ضح المنحني البياني لهذا القطع ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪17‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫ال�صور القيا�سية لمعادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه النقطة‬ ‫المعادلة القيا�سية للقطع المكافئ الذي محوره يوازي محور ال�سينات و ر�أ�سه‬ ‫� َّإن القطع المكافئ الذي محوره يوازي المحور ال�سيني ور�أ�سه‬ ‫في ال�شكل ( ‪ ) 10-1‬تكون ب�ؤرته‬ ‫( لماذا ؟ ) ‪,‬‬ ‫و معادلة دليله‬ ‫تقع على منحني القطع ‪,‬‬ ‫وبفر�ض � َّأن النقطة‬ ‫و� َّأن النقطة هي موقع العمود النازل من على الدليل ‪,‬‬ ‫ويكون كذلك‬ ‫تكون‬

‫‪1‬‬

‫(‪)4-1‬‬ ‫� َّإن القطع المكافئ الذي معادلته على ال�صورة ( ‪ ) 5-1‬يتَّ�صف بما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ر�أ�سه‬ ‫‪ 3‬فتحته في اتجاه‬ ‫‪ 4‬ب�ؤرته‬ ‫‪ 5‬معادلة دليله‬

‫‪18‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪.‬‬

‫وفتحته �إلى اليمين كـما‬

‫محور القطع‬

‫(لماذا؟)‬ ‫وبعد االخت�ص ��ار نح�ص ��ل على ال�ص ��ورة القيا�س ��ية لمعادلة‬ ‫القطع المكافئ ‪:‬‬

‫‪ 2‬محوره يوازي محور ال�سينات ومعادلته‬

‫وفتحته �إلى اليمين ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪) 10-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫وبمعالج ٍة مماثل ٍة لما �سبق في‬

‫نجد ما يلي‪:‬‬

‫المعادلة القيا�سية للقطع المكافئ الذي محوره يوازي محور‬ ‫وفتحته �إلى الي�سار هي‪:‬‬ ‫ال�سينات ‪ ,‬ور�أ�سه‬

‫‪1‬‬

‫محور القطع‬

‫�شـكل ( ‪) 11-1‬‬

‫المعادل ��ة القيا�س ��ية للقطع المكافئ الذي مح ��وره يوازي محور‬ ‫و فتحته �إلى الأعلى هي‪:‬‬ ‫ال�صادات‪ ,‬ور�أ�سه‬

‫‪1‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 12-1‬‬

‫د‬

‫المعادل ��ة القيا�س ��ية للقطع المكافئ الذي مح ��وره يوازي محور‬ ‫و فتحته �إلى �أ�سفل هي‪:‬‬ ‫ال�صادات‪ ,‬ور�أ�سه‬

‫‪1‬‬ ‫�شـكل ( ‪) 13-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪19‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫تدريب (‪)1-1‬‬ ‫اكتب الب�ؤرة و معادلة الدليل ومعادلة محور التناظر للقطعين المم َّثلين في ال�شكلين ( ‪) 13-1 ( ، ) 12-1‬‬

‫(‪)5-1‬‬ ‫ف�إنـَّنا نح�صل من المعادالت (‪، )6-1( ، )5-1‬‬ ‫في الحالة التي يكون فيها الر�أ�س‬ ‫(‪ )8-1( ، )7-1‬على ال�صور القيا�سية الأربع للقطع المكافئ الذي ر�أ�سه �أ�صل المحورين‪.‬‬

‫مثال (‪)4-1‬‬ ‫�أوجد معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه ( ‪ , ) 2 - ، 5‬ودليله �س ‪0 = 1 -‬‬

‫الحل‬ ‫معادلة الدليل‬ ‫�إذ ًا الدليل يوازي المحور ال�ص ��ادي‬

‫محور القطع يوازي‬

‫المحور ال�سيني‪.‬‬ ‫وحيث � َّأن الر�أ�س يقع يمين الدليل ‪ -‬انظر ال�شكل ( ‪- ) 14-1‬‬ ‫ف� َّإن فتحة القطع تتجه نحو ال�سينات الموجبة (�إلى اليمين) ؛‬ ‫وبذلك تكون المعادلة القيا�سية للقطع المكافئ على ال�صورة ‪:‬‬

‫ب‬

‫ولكن ر�أ�س القطع‬ ‫َّ‬ ‫ومعادلة الدليل‬

‫على ال�صورة‬

‫�إذ ًا المعادلة المطلوبة للقطع هي ‪:‬‬

‫‪20‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 14-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫مثال (‪)5-1‬‬ ‫‪,‬‬

‫�أوجد الر�أ�س والب�ؤرة ومعادلة الدليل للقطع المكافئ الذي معادلته ‪:‬‬ ‫ث َّم ار�سمه ‪.‬‬

‫الحل‬

‫بمقارنة المعادلة المعطاة بال�صورة القيا�سية ‪:‬‬

‫نجد � ًّأن‬

‫وحيث � َّأن محور القطع يوازي المحور‬

‫‪ ,‬وفتحته تتجه نحو‬

‫( لماذا؟ )‬

‫�إذ ًا الب�ؤرة‬ ‫معادلة الدليل‬ ‫يو�ضح المنحني البياني لهذا القطع‪.‬‬ ‫وال�شكل( ‪ِّ ) 15-2‬‬

‫�شـكل ( ‪) 15-1‬‬

‫الحظ‬ ‫منها‪.‬‬

‫�أنَّه لر�سم القطع ع َّينا ك ًّال من النقطتين المقابلتين للب�ؤرة وعلى ُبعد‬

‫ٍ‬ ‫وحدات‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪21‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫ال�صورة العامة لمعادلة القطع المكافئ‪:‬‬ ‫يمكنن ��ا بفك المربع الكامل في المعادالت الأربع (‪ )8-1( ،)7-1( ،)6-1( ،)5-1‬كتابة معادلة القطع‬ ‫محوري الإحداثيات على �إحدى ال�صورتين التاليتين‪:‬‬ ‫المكافئ‪ ،‬الذي يكون محوره مواز ًيا لأحد‬ ‫ِّ‬ ‫‪ 1‬عندما يكون محوره مواز ًيا لمحور ال�صادات ‪:‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫عندما يكون محوره مواز ًيا لمحور ال�سينات ‪:‬‬

‫و يمكنن ��ا التعبير عن هاتين ال�ص ��ورتين بال�ص ��ورة العام ��ة التالية لمعادلة القط ��ع المكافئ الذي محوره‬ ‫محوري الإحداثيات‬ ‫يوازي �أحد‬ ‫ِّ‬

‫‪1‬‬ ‫وبمقارنة هذه ال�صورة بال�صورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في متغيرين �س ‪� ،‬ص ولتكن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫�وري الإحداثيات ه ��ي معادلة من الدرجة‬ ‫نج ��د � َّأن معادل ��ة القطع المكافئ ال ��ذي محوره يوازي �أحد مح � ِّ‬ ‫الثانية في متغيرين �س ‪� ،‬ص تتم َّيز بالآتي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬معامل �س �ص ي�ساوي �صف ًرا‬ ‫‪� 2‬أحد المتغيرين من الدرجة الثانية والآخر من الدرجة الأولى‬ ‫ولمعرفة �صفات القطع المكافئ المم ِّثل للمعادلة ( ‪ ) 9-1‬؛ن�ضع المعادلة في �إحدى ال�صور القيا�سية‬ ‫وذلك ب�إكمال المربع على المتغ ِّير ذي الدرجة الثانية‪.‬‬

‫مثال (‪)6-1‬‬ ‫ب ِّين �أيـًّا من المعادالت التالية تم ِّثل قط ًعا مكافئًا ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪22‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫الحل‬ ‫ك ٌّل من المعادلتين (‪ )2( , )1‬تم ِّثل قط ًع ًا مكاف ًئا وذلك لتحقق ال�شرطين ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫معامل �س �ص ي�ساوي �صفرا‬ ‫�أحد المتغيرين من الدرجة الثانية والآخر من الدرجة الأولى ‪.‬‬

‫�أ ّما المعادلة (‪ )3‬فهي ال تم ِّثل قط ًعا مكاف ًئا لعدم تحقق ال�شرط الثاني (كال المتغيرين من الدرجة الثانية ) ‪.‬‬

‫مثال (‪)7-1‬‬ ‫‪ ،‬ث َّم ار�سمه ‪.‬‬

‫�أوجد الر�أ�س والب�ؤرة والدليل للقطع المكافئ الذي معادلته ‪:‬‬

‫الحل‬ ‫وب�إكمال المربع على �س نجد � َّأن ‪:‬‬

‫وهي على ال�صورة ‪:‬‬ ‫وبالمقارنة نجد � َّأن ‪�( :‬أكمل الفراغ )‬ ‫الر�أ�س‬ ‫وحيث � َّأن محور القطع يوازي المحور ‪, ..........................‬‬ ‫وفتحته تتجه نحو‬

‫�شـكل ( ‪) 16-1‬‬

‫‪..........................‬‬

‫�إذ ًا الب�ؤرة‬ ‫معادلة الدليل‬ ‫يو�ضح المنحني البياني لهذا القطع ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 16-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪23‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)8-1‬‬ ‫�سل�سل��� ٌة طرفاها مع َّلقان من نقطتين عند نف�س الم�ستوي‬ ‫الأفقي؛ حي���ث الم�سافة بين النقطتين ‪� 90‬سم وارتفاعهما‬ ‫ع���ن �سط���ح الأر�ض ‪� 60‬س���م ‪� ,‬أوجد معادل���ة المنحني الذي‬ ‫تم ِّثله ال�سل�سلة المع َّلقة �إذا كان �أدنى ارتفا ٍع لها عن الأر�ض‬ ‫هو ‪� 15‬سم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫قطع مكافئ‪.‬‬ ‫المنحني الذي تم ِّثله ال�سل�سلة المع َّلقة هو منحني ٍ‬ ‫ويكون االختيار المنا�سب للمحاور بحيث يكون محور القطع منطبقًا‬ ‫‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪) 17-1‬‬ ‫على المحور‬ ‫فتكون المعادلة القيا�سية للقطع على ال�صورة ‪:‬‬ ‫ارتفاع لل�سل�سلة يكون عند ر�أ�س القطع‪،‬‬ ‫وبما � َّأن �أدنى‬ ‫ٍ‬ ‫وحيث � َّأن النقطة ( ‪ ) 60 ، 45‬من نقاط القطع ( لماذا ؟) ‪,‬‬ ‫فهي تحقق معادلته ‬

‫المعادلة المطلوبة هي‪:‬‬

‫‪24‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 17-1‬‬

‫القطع المكافئ‬ ‫مثال (‪)9-1‬‬ ‫�أُطلق���ت قذيف��� ٌة م���ن نقط ٍة على �سطح الأر�ض وف���ي اتجا ٍه مع َّين بحيث يك ِّون م�ساره���ا قط ًعا مكافئًا محوره‬ ‫ر�أ�س ٌّ���ي وب�ؤرت���ه واقع��� ٌة عل���ى الأر�ض‪ ,‬ف����إذا بلغ �أق�صى ارتف���ا ٍع للقذيفة عن �سط���ح الأر����ض‪� 10‬أمتار‪�،‬أوجد ُبعد‬ ‫نقطة ال�سقوط عن نقطة االنطالق‪.‬‬

‫الحل‬

‫�شـكل ( ‪) 18-1‬‬

‫بما � َّأن الب�ؤرة تقع على �سطح الأر�ض ‪,‬‬ ‫�إذ ًا �أق�صى ارتفاع للقذيفة عن �سطح الأر�ض هو ُبعد الر�أ�س عن الب�ؤرة‬ ‫وبما � َّأن نقطتي االنطالق وال�سقوط تقابالن الب�ؤرة ‪,‬‬ ‫( الملحوظة ( ‪) ) 3-1‬‬ ‫�إذ ًا ك ٌّل منهما تبعد عن الب�ؤرة بمقدار‬ ‫ُبعد نقطة ال�سقوط عن نقطة االنطالق = ‪ 40= 20×2‬م‬

‫تدريب (‪)2-1‬‬ ‫اكتب معادلة القطع المكافئ في المثال ال�سابق ‪ .‬ثم �أوجد بدون ا�ستخدام الملحوظة ( ‪ُ , ) 3-1‬بعد نقطة‬ ‫ال�سقوط عن نقطة االنطالق ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪25‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تمـاريـن (‪)1-1‬‬ ‫قطع مكافئ فيما يلي‪:‬‬ ‫‪� 1‬أوجد الب�ؤرة و معادلة الدليل لك ِّل ٍ‬

‫د‬ ‫‪� 2‬أوجد �صفات القطع المكافئ في ك ٍّل م َّما يلي ث َّم ار�سمه ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪ 3‬في ك ٍّل م َّما ي�أتي �أوجد معادلة القطع المكافئ �إذا كان ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫‪26‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع المكافئ‬

‫‪� 4‬أوجد معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه ( ‪ ) 3 ، 4‬و يم ُّر بنقطة الأ�صل و محوره يوازي المحور ال�سيني ‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫�أوجد معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه ( ‪ ) 2 ، 1‬و يم ُّر بالنقطة ( ‪ ) 0 ، 1 + 3‬ومحوره يوازي محور ال�صادات ‪.‬‬

‫‪� 6‬أوجد معادلة القطع المكافئ الذي ب�ؤرته ( ‪ ) 3 ، 1‬و يتقاطع محوره مع دليله في النقطة ( ‪. ) 3 ، 5‬‬ ‫‪� 7‬أوجد معادلة مجموعة النقاط في الم�ستوي و التي يكون ُبعد ك ٍّل منها عن النقطة ( ‪ ) 1- ، 1‬م�ساو ًيا ل ُبعدها‬ ‫عن الم�ستقيم ‪� :‬س ‪0 = 5 +‬‬ ‫قطع مكافئ طول قاعدته ‪ 12‬مت ًرا ‪ ،‬و ر�أ�سه يرتفع ‪� 9‬أمتار فوق �سطح الأر�ض ‪.‬‬ ‫قو�س على �شكل ٍ‬ ‫ٌ‬ ‫‪8‬‬ ‫اكتب المعادلة المم َّثلة بـهذا القو�س ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪27‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫القطع الناق�ص‬

‫‪2-1‬‬

‫تعريف ( ‪)2-1‬‬

‫عدي ٍّ‬ ‫كل منها عن‬ ‫القط ��ع الناق�ص هو مجموعة نقاط الم�س ��توي التي يك ��ون مجموع ُب ّ‬ ‫نقطتين ثابتتين في الم�ستوي ي�ساوي مقدار ًا ثابت ًا‪ ،‬ت�سمى النقطتان الثابتتان " ب�ؤرتي‬ ‫القطع الناق�ص" ويرمز لهما بالرمزين‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪. ) 19-1‬‬ ‫من الوا�ض ��ح �أنـَّ ��ه كي يكون للتعريف معن � ً�ى ينبغي �أن يكون‬ ‫المق ��دار الثابت (مجموع ال ُبعدين ع ��ن الب�ؤرتين) �أكبر من‬ ‫ال ُبعد الب�ؤري (ال ُبعد بين الب�ؤرتين)‪,‬‬ ‫و� َّأن المقدار‬ ‫ف� ��إذا فر�ض ��نا � َّأن ال ُبع ��د الب� ��ؤري‬ ‫الثابت‬ ‫ف�إنَّه ينبغي �أن يكون ‪:‬‬

‫>‬

‫�شـكل ( ‪) 19-1‬‬

‫>‬

‫وفي الواقع ف�إنَّه يمكننا عمليـًّا الح�صول على منحني القطع‬ ‫�طح‬ ‫الناق� ��ص بتثبي ��ت طرف � ِّ�ي خي � ٍ�ط طول ��ه‬ ‫على �س � ٍ‬ ‫‪َّ ,‬ثم تحريك القلم‬ ‫م�س ��ت ٍو عند نقطتين ال ُبعد بينهما‬ ‫�شده ‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪. ) 20-1‬‬ ‫بمحاذاة الخيـط بعد ِّ‬ ‫�شـكل ( ‪) 20-1‬‬

‫‪28‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع الناق�ص‬ ‫(‪)6-1‬‬ ‫�إنَّ الم�ستقيم المار بالب�ؤرتين يم ِّثل محور تناظر للقطع الناق�ص ي�س َّمى المحور الأكبر (�أو المحور الب�ؤري ) ‪,‬‬ ‫أي�ضا محور تناظر للقطع‬ ‫كما � َّأن العمود على المحور الأكبر المار في منت�ص ��ف الم�سافة بين الب�ؤرتين هو � ً‬ ‫الناق�ص ي�س َّمى المحور الأ�صغر‪,‬‬ ‫وت�س َّمى نقطة تقاطع هذين المحورين مركز القطع الناق�ص ويرمز لها بالرمز م ‪.‬‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪) 21-1‬‬

‫×‬

‫×م‬

‫×‬

‫�شـكل ( ‪) 21-1‬‬

‫المعادلة القيا�سية للقطع الناق�ص الذي مركزه �أ�صل المحورين‬ ‫محوري الإحداثيات في م�ستوي القطع الناق�ص بحيث‬ ‫لإيجاد معادلة القطع الناق�ص في �صورة قيا�سية نن�شئ‬ ‫ِّ‬ ‫يكون محوره الأكبر منطبقًا على محور ال�سينات ومحوره الأ�صغر منطبقًا على محور ال�صادات ‪ ،‬ومركزه نقطة‬ ‫الأ�صل ‪ ،‬فتكون ب�ؤرتاه‬ ‫‪+‬‬ ‫وبفر�ض � َّأن النقطة‬

‫(ذلك � َّأن البعد الب�ؤري‬

‫)‪,‬‬

‫�إحدى نقاط القطع الناق�ص كما في ال�شكل ( ‪ ، ) 22-2‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪29‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫وبالتربيع واالخت�صار نح�صل على‪:‬‬ ‫×‬

‫ثم بالتربيع واالخت�صار م ّر ًة �أخرى نح�صل على‪:‬‬

‫وق�سمة المعادلة ال�سابقة على‬

‫وبو�ضع‬

‫×‬

‫نح�صل على ‪ :‬‬

‫×‬

‫�شـكل ( ‪) 22-1‬‬

‫وه����ي المعادل����ة القيا�سي����ة للقطع الناق�ص الذي مركزه �أ�صل المحوري����ن ومحوره الأكبر منطبقٌ‬ ‫على محور ال�سينات‪.‬‬

‫نتيجة (‪)2-1‬‬ ‫(‪)1‬‬

‫‪30‬‬

‫من المعادلة القيا�سية ( ‪ , ) 11-1‬نجد � َّأن منحني القطع الناق�ص المم ِّثل لـها يتقاطع مع محور ال�سينات‬ ‫‪� ,‬أي �أنَّه توجد نقطتا تقاطع للقطع الناق�ص مع المحور الأكبر‬ ‫‪ ،‬وعندها‬ ‫عندمـا‬ ‫ويكون ال ُبعد بينهما م�ساوي ًا‬ ‫أ�سي القطع هما‬ ‫ت�س َّميان ر� َّ‬ ‫وي�س َّمى ال ُبعد الأكبر‪.‬‬ ‫ ‬ ‫�أي‬ ‫وعنده ��ا‬ ‫وبالمث ��ل‪ :‬المنحن ��ي يتقاط ��ع م ��ع مح ��ور ال�ص ��ادات عندم ��ا‬ ‫هم ��ا نقطت ��ا تقاط ��ع القط ��ع م ��ع المح ��ور الأ�ص ��غر و ال ُبع ��د بينهم ��ا‬ ‫� َّأن‬ ‫و ي�س َّمى ال ُبعد الأ�صغر ‪.‬‬ ‫ي�ساوي‬ ‫( من الوا�ضح �أن > وهذا ما ت�ؤ ِّكده العالقة ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع الناق�ص‬ ‫(‪)2‬‬

‫( ‪) 12-1‬‬

‫بو�ضع المعادلة ( ‪ ) 11-1‬على ال�صورة ‪:‬‬

‫نجد � َّأن َّ‬ ‫يف�سركون القطع متناظ ًرا حول‬ ‫كل قيمة للمتغير �س يقابلها قيمتان متناظرتان للمتغير �ص ؛وهذا ِّ‬ ‫المحور ‪ ,‬كما نجد � َّأن قيم �س يجب �أن تحقِّق ال�شرط > > (لماذا؟) ‪.‬‬ ‫وبالمثل ‪� :‬إذا و�ضعنا المعادلة ( ‪ ) 11-1‬على ال�صورة ‪� :‬س =‬ ‫نجد � َّأن‬

‫‪....................................................‬‬

‫‪...................................................................................................................................‬‬

‫‪� ( .......................................................................................................................‬أكمل الفراغ )‬ ‫(‪)3‬‬

‫بالتعوي�ض عن �س بالقيمة‬

‫‪ ,‬‬

‫‪ ،‬في المعادلة ( ‪ ) 12-1‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫وبـهذا تتع َّين �أربع نقاط على القطع الناق�ص وهي ‪:‬‬ ‫النقطتان‬

‫وتقابالن الب�ؤرة‬

‫وتبعدان عنها م�سافة‬

‫‪,‬‬

‫والنقطتان‬

‫و تقابالن الب�ؤرة‬

‫و تبعدان عنها م�سافة‬

‫‪,‬‬

‫ويمكننا الإفادة من هذه النقاط في ر�سم القطع الناق�ص ‪.‬‬

‫ال�صورة القيا�سية الأخرى لمعادلة القطع الناق�ص‬ ‫الذي مركزه �أ�صل المحورين‬ ‫�إذا كان ��ت ب�ؤرتا القطع الناق�ص تقعان على المحور ال�ص ��ادي‬ ‫ف�إن المحور الأكبر يكون منطبقًا على المحور ال�صادي كما في‬ ‫ال�شكل ( ‪. ) 23-1‬‬

‫و‬

‫وت�صبح معادلة القطع الناق�ص على ال�صورة ‪:‬‬

‫�شـكل ( ‪) 23-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪31‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫(‪)7-1‬‬ ‫يمكننا تحديد المحور الأكبر للقطع الناق�ص من ال�صورة القيا�سية لهذا القطع ؛ ف�إذا كان العدد الأكبر‬ ‫ مث ًال ‪ -‬ف� َّإن المحور الأكبر يكون منطبقًا على‬‫مقام ًا للك�سر الذي ب�سطه المتغير‬ ‫المحور ال�سيني ‪.‬‬

‫مثال (‪)10-1‬‬ ‫�أوجد معادلة القطع الناق�ص الذي مركزه ( ‪ ) 0 ، 0‬و محوره الأكبر منطبقٌ على المحور ال�صادي و ُبعده‬ ‫الأكبر ‪ 12‬وحدة و ُبعده الب�ؤري ‪ 8‬وحدات ‪.‬‬

‫الحل‬

‫بما � َّأن المركز ( ‪ ) 0 ، 0‬و المحور الأكبر منطب ٌق على المحور ال�صادي‬

‫� ًإذا المعادلة على ال�صورة القيا�سية التالية ‪:‬‬ ‫ال ُبعد الأكبر‬ ‫ال ُبعد الب�ؤري‬ ‫و لم َّا كانت‬ ‫� ًإذا المعادلة المطلوبة هي‪:‬‬

‫مثال (‪)11-1‬‬ ‫ع ِّين الب�ؤرتين و ال ُبعدين الأكبر والأ�صغر للقطع الناق�ص الذي معادلته ‪:‬‬ ‫ث َّم ار�سمه‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫الحل‬ ‫المعادلة‬ ‫ال�سيني ( لماذا ؟) ‪,‬‬ ‫وهي على ال�صورة ‪:‬‬

‫‪32‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫قطع ناق�ص محوره الأكبر منطب ٌق على المحور‬ ‫هي معادلة ٍ‬

‫القطع الناق�ص‬ ‫وبالمقارنة نجد � َّأن‬ ‫وبما � َّأن‬ ‫�إذ ًا‬ ‫� ًإذا الب�ؤرتان‬ ‫وحدات ‬ ‫وحدات‬

‫ال ُبعد الأكبر =‬ ‫ال ُبعد الأ�صغر =‬ ‫لر�سم القطع الناق�ص‬ ‫نعين النقطتين المقابلتين لكل ب�ؤرة وتبعدان عنهما م�سافة‪:‬‬

‫×‬

‫×‬

‫�شـكل ( ‪) 24-1‬‬

‫وال�شكل (‪ )24-1‬يو�ضح المنحني البياني للقطع‬

‫مثال (‪)12-1‬‬ ‫ع ِّين الر�أ�سين و ال ُبعد الب�ؤري للقطع الناق�ص ‪:‬‬

‫الحل‬

‫بق�سمة المعادلة المعطاة على ‪ 36‬نح�صل على ‪:‬‬ ‫و هي على ال�صورة‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫و بالمقارنة نجد � َّأن‬ ‫و يكون ال ُبعد الب�ؤري‬ ‫المحور الأكبر منطبق على المحور ال�صادي‬

‫وحدة‪.‬‬

‫الر�أ�سين هما‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪33‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫تدريب (‪)3-1‬‬ ‫ار�سم منحني القطع الناق�ص في المثال ال�سابق‪.‬‬

‫مثال (‪)13-1‬‬ ‫قطع ٍ‬ ‫ناق�ص مركزه نقطة الأ�صل و محوره الأكبر منطبقٌ على محور ال�سينات و ُبعده الأكبر‬ ‫�أوجد معادلة ٍ‬ ‫ي�ساوي ‪ 2 6‬وحدة و يم ُّر بالنقطة ( ‪. ) 2 ، 3‬‬

‫الحل‬ ‫المحور الأكبر للقطع منطب ٌق على المحور ال�سيني و المركز (‪)0،0‬‬ ‫المعادلة القيا�سية على ال�صورة ‪:‬‬ ‫ال ُبعد الأكبر‬ ‫وحيث � َّأن النقطة ( ‪ ) 2 ، 3‬هي من نقاط القطع فهي تحقق معادلته‬ ‫�إذ ًا‬

‫� ًإذا معادلة القطع المطلوبة هي‬

‫‪34‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع الناق�ص‬

‫ال�صورتان القيا�سيتان لمعادلة القطع الناق�ص الذي مركزه‬ ‫المعادلة القيا�سية للقطع الناق�ص الذي مركزه‬ ‫ومحوره‬ ‫� َّإن القط ��ع الناق� ��ص ال ��ذي مرك ��زه‬ ‫الأكب ��ر ي ��وازي محور ال�س ��ينات ‪ ,‬كما في ال�ش ��كل ( ‪) 25-2‬‬ ‫تكون ب�ؤرتاه‬ ‫( لماذا ؟)‬ ‫تق ��ع عل ��ى منحني‬ ‫و بفر� ��ض � َّأن النقط ��ة‬ ‫القطع يكون‬ ‫( ح�سب التعريف)‬ ‫وبمعالج� � ٍة مماثل ٍة لما �س ��بق في ا�س ��تنتاج المعادلة (‪)11-1‬‬ ‫نح�ص ��ل على ال�ص ��ورة القيا�س ��ية لمعادلة القط ��ع الناق�ص‬ ‫و مح ��وره الأكبر يوازي محور‬ ‫ال ��ذي مرك ��زه‬ ‫ال�سينات وهي ‪:‬‬

‫و محوره الأكبر يوازي محور ال�سينات ‪.‬‬ ‫×‬ ‫×‬

‫×‬

‫�شـكل ( ‪) 25-1‬‬

‫(‪ )14-1‬‬ ‫(‪)8-1‬‬ ‫� َّإن القطع الناق�ص الذي معادلته على ال�صورة ( ‪ ) 14-1‬ي َّت�صف بما يلي‪:‬‬ ‫‪ 1‬مركزه‬ ‫‪ ،‬ونقطتا تقاطعه مع‬ ‫‪ 2‬مح ��وره الأكب ��ر ( الب� ��ؤري) يوازي محور ال�س ��ينات و معادلت ��ه‬ ‫القطع هما‪:‬‬ ‫وتم ِّث�ل�ان ر�أ�س � ِّ�ي القط ��ع و ال ُبع ��د بينهم ��ا‬ ‫(ال ُبعد الأكبر ) ي�ساوي‬ ‫‪ ,‬و نقطتا تقاطعه مع القطع هما‪:‬‬ ‫‪ 3‬محوره الأ�صغر يوازي محور ال�صادات و معادلته‬ ‫و ال ُبعد بينهما (ال ُبعد الأ�صغر ) ي�ساوي‬ ‫وال ُبع ��د بينهم ��ا (ال ُبع ��د الب� ��ؤري)‬ ‫‪ 4‬ب�ؤرت ��اه‬ ‫ي�ساوي‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪35‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫المعادلة القيا�سية للقطع الناق�ص الذي مركزه‬

‫و محوره الأكبر يوازي محور ال�صادات ‪.‬‬

‫نجد � َّأن المعادلة القيا�سية للقطع الناق�ص الذي مركزه‬ ‫بالأ�سلوب ال�سابق في‬ ‫الأكبر يوازي محور ال�صادات ‪ -‬كما ال�شكل ( ‪ - ) 26-1‬هي ‪:‬‬

‫تدريب (‪)4-1‬‬

‫و محوره‬

‫�شـكل ( ‪) 26-1‬‬

‫محوري القطع الناق�ص ‪.‬‬ ‫معادلتي‬ ‫م�ستفيدا من ال�شكل ( ‪� ) 26-1‬أوجد الر�أ�سين و الب�ؤرتين و‬ ‫ً‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬

‫(‪)9-1‬‬ ‫ف�إ َّنن ��ا نح�ص ��ل م ��ن المعادلتين ( ‪، ) 14-1‬‬ ‫ف ��ي الحال ��ة الت ��ي يك ��ون فيه ��ا المرك ��ز‬ ‫(‪ ) 15-1‬على ال�صورتين القيا�سيتين للقطع الناق�ص الذي مركزه �أ�صل المحورين ‪.‬‬

‫مثال (‪)14-1‬‬ ‫�أوجد المركز و الب�ؤرتين و الر�أ�سين للقطع الناق�ص الذي معادلته ‪:‬‬ ‫‪ ,‬ث َّم ار�سمه ‪.‬‬

‫الحل‬

‫المعادلة على ال�صورة القيا�سية‬

‫وبالمقارنة ف� َّإن ‪:‬‬

‫‪36‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫القطع الناق�ص‬

‫كذلك‬ ‫×‬

‫بما � َّأن المحور الأكبر ( الب�ؤري) موازٍ للمحور ال�سيني‬ ‫�إذ ًا الب�ؤرتان‬

‫�شـكل ( ‪) 27-1‬‬

‫ور�أ�سا القطع‬ ‫و ال�شكل ( ‪ ) 27-1‬يم ِّثل المنحني البياني للقطع‪.‬‬

‫الحظ‬

‫� َّأن َّ‬ ‫كل نقط ٍة مقابل ٍة ل ٍّأي من الب�ؤرتين على القطع تبعد عنها م�سافة‬

‫وحدة‬

‫مثال (‪)15-1‬‬ ‫�أوجد معادلة القطع الناق�ص الذي ب�ؤرتاه ( ‪ ) 1 - ، 2 ( ، ) 7 ،2‬و ُبعده الأ�صغر ‪ 6‬وحدات ث َّم ار�سمه ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫م�ستقيم يوازي المحور ال�صادي ‪ ،‬وهذا يعني‬ ‫بما � َّأن الإحداثي ال�سيني للب�ؤرتين ثابت ف� َّإن الب�ؤرتين تقعان على‬ ‫ٍ‬ ‫� َّأن المحور الأكبر (الب�ؤري) يوازي المحور ال�صادي ‪� ،‬إذ ًا ال�صورة القيا�سية للمعادلة هي ‪:‬‬

‫البـ�ؤرتان‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪37‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫جمع‬

‫و‬

‫والتعوي�ض عن‬

‫م‬

‫في‬

‫� ًإذا المركز‬ ‫ال ُبعد الأ�صغر‬ ‫و بتطبيق العالقة‬ ‫ف� َّإن‬

‫�شـكل ( ‪) 28-1‬‬

‫معادلة القطع الناق�ص هي ‪:‬‬

‫يو�ضح المنحني البياني للقطع ؛‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 28–1‬‬ ‫حيث‬

‫الحظ‬

‫وحدة‬

‫كما يلي‪:‬‬

‫�أنَّه يمكننا ح�ساب قيم‬

‫ومنها‬ ‫منت�صف‬ ‫كما يمكننا ح�ساب قيم‬

‫‪38‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫من الر�سم مبا�شرة ‪.‬‬

‫القطع الناق�ص‬

‫ال�صورة العامة لمعادلة القطع الناق�ص‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫مثال (‪)16-1‬‬ ‫ناق�صا ‪:‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من المعادالت التالية تم ِّثل قط ًعا ً‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫المعادلتان (‪ )3( ، )1‬تم ِّثالن قطعين ناق�صين و ذلك لتحقق ال�شرطين ‪:‬‬ ‫‪ )1‬معامل‬ ‫‪ )2‬معامل‬

‫ي�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫و معامل‬

‫لهما الإ�شارة نف�سها ( �أي � َّأن حا�صل �ضربـهما موجب)‪.‬‬

‫ناق�صا‬ ‫�أ َّما المعادلة (‪ )2‬فال تم ِّثل قط ًعا ً‬

‫(لماذا؟)‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪39‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)17-1‬‬ ‫معادلتي المحورين و الب�ؤرتين للقطع الناق�ص الذي معادلته ‪:‬‬ ‫�أوجد المركز و‬ ‫ِّ‬

‫الحل‪:‬‬ ‫ب�إكمال المربع على ٍّ‬ ‫كل من‬

‫نجد � َّأن ‪:‬‬

‫ناق�ص على ال�صورة القيا�سية‪:‬‬ ‫قطع ٍ‬ ‫وهي معادلة ٍ‬

‫و بالمقارنة نجد � َّأن‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬

‫المركز‬ ‫فيكـون‬

‫المحور الأكبر‬ ‫المحور الأ�صغر‬

‫(‪)2‬‬

‫فتكون الب�ؤرتان‬

‫‪40‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ومعادلته‬ ‫ومعادلته‬

‫القطع الناق�ص‬ ‫مثال (‪)18-1‬‬ ‫قطع ناق�ص مح���وره الأكبر �أفقي‪ ،‬و �أعلى نقط ٍة من���ه على ارتفاع ‪ 10‬م عن‬ ‫ج�س��� ٌر قاعدت���ه عل���ى �شكل ٍ‬ ‫مح���وره الأكب���ر و عر����ض قاعدته ‪ 30‬م ‪�.‬أوج���د ارتفاع النقطة من الج�سر الت���ي تبعد ‪ 6‬م عن المحور‬ ‫الأ�صغر للقطع ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫(‪�،6‬ص)‬ ‫‪ 10‬م‬

‫م‬ ‫�شـكل ( ‪) 29-1‬‬

‫و�ضع قيا�سي ‪.‬‬ ‫باختيار المحورين الإحداثيين كما في ال�شكل ( ‪ ) 29-1‬يكون القطع في ٍ‬ ‫وتكون معادلته على ال�صورة ‪:‬‬ ‫من ال�شكل نجد � َّأن‬ ‫فتكون معادلة القطع هي ‪:‬‬ ‫و بما � َّأن‬

‫نقط ٌة واقع ٌة على القطع فهي تحقق معادلته‬

‫وبذلك يكون االرتفاع المطلوب هو‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪41‬‬

‫الوحدة الأولى‬ ‫مثال (‪)19-1‬‬

‫(‪� )1‬أكبــر‬ ‫و�أ�صغر ُب ٍعد‬ ‫ٍ‬ ‫لكوكب ما عن‬ ‫ال�شم�س يحدثان‬ ‫عندما يكون‬ ‫هذا الكوكب‬ ‫أ�سي‬ ‫عند �أحد ر� ِّ‬ ‫القطع الناق�ص‬ ‫الذي يم ِّثل‬ ‫م�ساره حول‬ ‫ال�شم�س ‪.‬‬

‫م���دار الأر����ض ح���ول ال�شم����س ه���و قط��� ٌع ناق����ص يق���ع مركز‬ ‫ال�شم�س عن���د �إحـدى ب ـ�ؤرتيه‪ .‬ف ـ�إذا كـان ن�صف ال ُب ــعد الأكــبر‬ ‫مي ـ ً‬ ‫ـ�ل�ا ‪ ،‬ون�سـب���ة ُبع ـ���ده‬ ‫للق ـطـ ـ���ع ي�س���اوي‬ ‫‪� ،‬أوج���د �أكب���ر‬ ‫البـ ـ����ؤري �إل���ى ُبع���ده الأكب���ر ي�س���اوي‬ ‫و�أ�صغر ُب ٍ‬ ‫عد للأر�ض عن ال�شم�س(‪. )1‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫(نختار المحورين الإحداثيين كما في ال�شكل ( ‪,)) 30-1‬‬ ‫معطى‬

‫�أكبر ُب ٍعد للأر�ض عن ال�شم�س =‬ ‫مي ًال‬ ‫�أ�صغر ُب ٍعد للأر�ض عن ال�شم�س‬ ‫مي ًال‬

‫‪42‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شـكل ( ‪) 30-1‬‬

‫القطع الناق�ص‬

‫(‪)10-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 31-1‬‬

‫�شـكل ( ‪) 32-1‬‬

‫تدريب (‪)5-1‬‬ ‫اح�سب االختالف المركزي للقطع الناق�ص في ٍّ‬ ‫كل من المثالين ( ‪.) 12-1 ( ، ) 11-1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪43‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫تمـاريـن (‪)2-1‬‬ ‫‪1‬‬

‫قطع ٍ‬ ‫ناق�ص فيما يلي ‪:‬‬ ‫�أوجد المركز و الر�أ�سين و ال ُبعد الب�ؤري لك ِّل ٍ‬

‫د‬

‫‪2‬‬

‫�أوجد �صفات القطع الناق�ص في ك ٍّل م َّما يلي ث َّم ار�سمه ‪:‬‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫‪44‬‬

‫في ك ٍّل م َّما ي�أتي �أوجد معادلة القطع الناق�ص �إذا كان ‪:‬‬ ‫المركز (‪ )0،0‬و المحور الأكبر ينطبق على‬

‫و ال ُبعد الأكبر ‪ 8‬وحدات و ال ُبعد الأ�صغر ‪ 6‬وحدات ‪.‬‬

‫الر�أ�سان‬

‫و الب�ؤرتان‬

‫د‬

‫الب�ؤرتان‬ ‫الب�ؤرتان‬

‫و القطع يتقاطع مع محور ال�صادات عند‬ ‫و القطع يتقاطع مع محور ال�سينات عند‬

‫هـ‬

‫المركز‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫و المحور الأكبر يوازي‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫و ال ُبعد الأكبر ‪ 20‬وحدة و ال ُبعد الأ�صغر ‪ 16‬وحدة‪.‬‬

‫القطع الناق�ص‬

‫و الب�ؤرتان هما ( ‪ ) 5 ، 4- ( ، ) 5 ، 2‬و ال ُبعد الأ�صغر ‪ 8‬وحدات ‪.‬‬ ‫ز نقطتا تقاطع القطع مع المحور الأ�صغر هما ( ‪ ) 7- ، 2 ( ، ) 1 ، 2‬و ال ُبعد الب�ؤري ‪ 10 2‬وحدة‪.‬‬ ‫ح‬ ‫الر�أ�سان هما ( ‪ ) 8 ، 4 ( ، ) 0 ، 4‬و �إحدى الب�ؤرتين ( ‪. ) 2 ، 4‬‬ ‫‪� 4‬أوج���د معادل���ة مجموع���ة النقاط في الم�ستوي التي يكون مجم���وع ُبعديها عن النقطة (‪ ) 0 ، 0‬و النقطة‬ ‫( ‪ ) 0 ، 2‬ي�ساوي دائ ًما ‪ 4‬وحدات ‪ ,‬ث َّم ار�سم المنحني الممثِّل لـها ‪.‬‬ ‫‪ 5‬لتكن‬ ‫�أوجد قيمة‬

‫قطع ناق�ص ‪:‬‬ ‫معادلة ٍ‬ ‫حيث‬

‫نقطة تقع على منحني هذا القطع‪.‬‬

‫نقطتي تقاطعه مع هذا القطع‪.‬‬ ‫�أوجد معادلة المحور الأ�صغر و‬ ‫ِّ‬ ‫�أوجد االختالف المركزي لهذا القطع‪.‬‬ ‫مو�ض ًحا عليه الب�ؤرتين‪.‬‬ ‫د ار�سم القطع ِّ‬ ‫ناق�ص‪ .‬ف�إذا علمت �أ ًّن �أ�صغر و �أكبر ُب ٍ‬ ‫عد لهذا الكوكب من مركز‬ ‫‪ 6‬م�س���ار كوك���ب المر ِّيخ حول ال�شم����س قط ٌع ٌ‬ ‫ميل ‪ 154.4 ،‬مليون ٍ‬ ‫ال�شم����س هم���ا ‪ 129.5 :‬ملي���ون ٍ‬ ‫ميل على الترتي���ب ‪� ،‬أوجد معادلة م�سار المر ِّيخ حول‬ ‫ؤرتي القطع الناق�ص‬ ‫ال�شم�س‪ ,‬عل ًما ب�أ َّن مركز ال�شم�س يقع عند �إحدى ب� ِّ‬ ‫قطع ناق�ص يقع مركز ال�شم�س عند �إحدى ب�ؤرتيه‪ .‬ف�إذا كان ال ُبعد‬ ‫‪ 7‬يدور كوكب بلوتو في مدا ٍر على �شكل ٍ‬ ‫ميل و كان �أ�صغ���ر ُب ٍ‬ ‫عد بين بلوتو و ال�شم�س ‪ 2.7‬بليون ٍ‬ ‫الأكب���ر للقط���ع ‪ 7.2‬بلي���ون ٍ‬ ‫ميل ‪ ،‬ف�أوجد االختالف‬ ‫المركزي لمدار بلوتو‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪45‬‬

‫الوحدة الأولى‬

‫‪ 1‬ق َّدمنا مفهوم القطع المخروطي َّ‬ ‫وو�ضحنا �أهمية القطوع المخروطية في الحياة العملية ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ال�صور القيا�سية لمعادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه ( د ‪،‬‬

‫المحور اتجاه‬ ‫معادلة القطع ومعادلته فتحة‬ ‫القطع‬ ‫نحو‬ ‫ومعادلته‬ ‫اليمين‬

‫نحو‬ ‫ومعادلته الي�سار‬

‫نحو‬ ‫ومعادلته‬ ‫�أعلى‬

‫نحو‬ ‫ومعادلته‬ ‫�أ�سفل‬

‫حيث ال ُبعد الب�ؤري =‬

‫‪46‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الب�ؤرة‬

‫معادلة‬ ‫الدليل‬

‫)‬

‫ِّ‬ ‫المو�ضح‬ ‫ال�شكل‬ ‫لمنحني القطع‬

‫)‬

‫‪ 3‬ال�صور القيا�سية لمعادلة القطع الناق�ص الذي مركزه م ( د ‪،‬‬ ‫المحور المحور‬ ‫ِّ‬ ‫المو�ضح‬ ‫ال�شكل‬ ‫معادلة القطع الأكبر الأ�صغر الر�أ�سان الب�ؤرتان‬ ‫لمنحني القطع‬ ‫ومعادلته ومعادلته‬ ‫ومعادلته ومعادلته‬

‫ومعادلته ومعادلته‬ ‫حيث ‪:‬‬

‫‪ ,‬ال ُبعد الأكبر =‬

‫‪ ,‬ال ُبعد الأ�صغر =‬

‫‪ ,‬ال ُبعد الب�ؤري =‬

‫‪ 4‬ا�ستناد ًا �إلى ال�صورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في متغيرين وهي ‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫�أو‬ ‫�أو‬ ‫م َّيزنا معادلة ٍّ‬ ‫كل من القطعين المكافئ والناق�ص على النحو التالي‪:‬‬ ‫قطع مكافئ‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف� َّإن المعـادلة تم ِّثل معـادلة ٍ‬ ‫قطع ناق�ص‬ ‫�إذا كان‬ ‫ف� َّإن المعادلة تم ِّثل معادلة ٍ‬ ‫‪� 5‬أوردنا بع�ض التطبيقات الحياتية والعلمية على القطوع‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪47‬‬

‫تمـاريـن عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة ( ) �أو عالمة ( ) عن يمين ما يلي‪:‬‬ ‫هي‬

‫معادلة الدليل للقطع المكافئ‬ ‫ب�ؤرة القطع المكافئ‬

‫معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه ( ‪ ) 0 ، 0‬و ب�ؤرته ( ‪ )0 ، 5‬هي‬ ‫هو ( ‪) 3 ، 3‬‬

‫ر�أ�س القطع المكافئ الذي معادلته‬ ‫دليل القطع المكافئ يقع في االتجاه المعاك�س التجاه فتحته‬ ‫معادلة القطع المكافئ الذي ر�أ�سه �أ�صل المحورين و ب�ؤرته (‪ ) 0 ، 3 -‬هي‬ ‫المعادلة‬

‫قطع ناق�ص‬ ‫‪ ،‬تم ِّثل معادلة ٍ‬

‫القطع الناق�ص الذي نقطتا تقاطعه مع محوره الأ�صغر هما ( ‪ ) 6 -، 3 ( ، ) 2 ، 3‬يكون مركزه ( ‪)2 - ، 3‬‬ ‫معادلة المحور الأكبر للقطع الناق�ص‬

‫‪2‬‬

‫نقطتا تقاطع القطع الناق�ص‬

‫مع محوره الأكبر هما‬

‫ال ُبعد الب�ؤري للقطع الناق�ص‬

‫ي�ساوي ‪6‬‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة في ٍّ‬ ‫كل مما يلي‪:‬‬ ‫معادلة الدليل للقطع المكافئ الذي معادلته‬ ‫‪� 4‬س = ‪11‬‬ ‫‪�4‬ص = ‪7‬‬

‫‪48‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪�4‬ص = ‪11‬‬

‫هي ‪:‬‬ ‫�ص = ‪1‬‬

‫هما ‪:‬‬

‫ب�ؤرتا القطع الناق�ص الذي معادلته‬

‫معادلة القطع المكافئ المم َّثل بال�شكل المجاور هي ‪:‬‬

‫تكون فتحته نحو‪:‬‬

‫د القطع المكافئ الذي معادلته‬

‫هـ ب�ؤرة القطع المكافئ المم َّثل بال�شكل المجاور هي النقطة ‪:‬‬ ‫(‪) 0، 2-‬‬ ‫( ‪) 0 ، 1-‬‬ ‫( ‪) 0 ، 8-‬‬

‫( ‪) 0 ، 4-‬‬

‫و معادلة م�سار نقط ٍة تتحرك في الم�ستوي بحيث يكون ُبعدها عن النقطة (‪ )1 ،3‬ي�ساوي ُبعدها عن الم�ستقيم‬ ‫الذي معادلته �س = ‪ 3-‬هي‪:‬‬

‫ناق�صا مركزه (‪ ، )0،0‬نقطتا تقاطعه مع المحور الأكبر هما‪:‬‬ ‫ال�شكل المجاور يم ِّثل قط ًعا ً‬

‫ب( ‪) 3 ، 0‬‬ ‫(‪)0،1-‬‬

‫نقطتا تقاطع القطع الناق�ص الذي معادلته‬ ‫( ‪) 0 ، 9 - ( ، )0 ، 9‬‬ ‫( ‪) 0 ، 10 - ( ، ) 0 ،10‬‬

‫مع محوره الأ�صغر هما‪:‬‬ ‫( ‪) 9- ، 0( ، ) 9 ، 0‬‬ ‫(‪) 10- ، 0 ( ، ) 10 ، 0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪49‬‬

‫ال ُبعد الأكبر و ال ُبعد الأ�صغر و ال ُبعد الب�ؤري للقطع الناق�ص الم َّو�ضح في ال�شكل التالي ت�ساوي على الترتيب ‪:‬‬ ‫‪ 2 ، 3 4 ، 8‬وحدات‬ ‫‪ 4 ، 3 2 ، 16‬وحدات‬ ‫‪ 4 ، 3 4 ، 8‬وحدات‬ ‫‪ 2 ، 3 2 ، 4‬وحدات‬

‫‪ 3‬اكتب معادلة كلٍّ من القطوع الممثَّلة في الأ�شكال التالية ‪:‬‬

‫د‬

‫‪� 4‬صنِّف المنحني المم ِّثل لكل معادلة فيما يلي ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬

‫‪50‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪ 5‬ار�سم المنحنى البياني الممثل لكل معادلة فيما يلي ‪:‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫‪� 6‬أوجد معادلة كل من القطوع المخروطية التالية ‪-:‬‬ ‫قطع مكافئ ر�أ�سه النقطة ( ‪ ) 25 ، 0‬و ب�ؤرته النقطة ( ‪) 30 ، 0‬‬ ‫قطع ناق�ص ر�أ�ساه ( ‪ ) 20- ، 0 ( ، ) 20 ، 0‬و ُبعده الأ�صغر ي�ساوي ‪ 20‬وحدة‬ ‫قطع مكافئ ر�أ�سه النقطة ( ‪ ) 1 ، 3‬و معادلة دليله �ص = ‪1 -‬‬ ‫د قطع ناق�ص ر�أ�ساه النقطتان ( ‪ )2 - ، 3 ( ، ) 2 - ، 13‬و ب�ؤرتاه النقطتان ( ‪) 2 - ، 12 ( ، ) 2 - ، 4‬‬ ‫حدد نوع القطع الذي تم ِّثله المعادلة‬ ‫ِّ‬ ‫‪7‬‬ ‫عندما ت�أخذ �أي ًا من القيمتين‬

‫‪,‬‬

‫أ�سي و عر�ض قاعدته ‪200‬م ‪ُ ،‬يراد تعليق‬ ‫‪8‬‬ ‫قو�س تذكاري على �شكل منحني ٍ‬ ‫ٌ‬ ‫قطع مكافئ ارتفاعه ‪100‬م و محوره ر� ٌّ‬ ‫م�صباح بحيث يكون ُبعد الم�صباح عن ٍّ‬ ‫نقطتي تقاطع القو�س مع الخط الأفقي المار بالم�صباح م�ساو ًيا‬ ‫كل من‬ ‫ٍ‬ ‫ِّ‬ ‫�ضعف الم�سافة بين الم�صباح و ر�أ�س القو�س ‪ ،‬ف�أوجد ُبعد الم�صباح عن ر�أ�س القو�س‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫عدي‬ ‫ناق�ص ُبعداه ‪ 10 ، 6 :‬وحدات ُر�سم بداخله م�ستطي ٌل ر�ؤو�سه تقع على القطع مقابل ًة لب�ؤرتيه‪� .‬أوجد ُب ِّ‬ ‫قط ٌع ٌ‬ ‫هذا الم�ستطيل ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪51‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫الوحدة‬ ‫الثانية‬

‫المتتابعات‬ ‫‪Sequences‬‬

‫(‪ )1-2‬املتتابعات‬ ‫(‪ )2-2‬املتتابعه احل�سابية والهند�سية‬ ‫(‪ )3-2‬املت�سل�سالت‬ ‫(‪ )4-2‬الربهان باال�ستقراء الريا�ضي‬

‫‪52‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫من التطبيقات الطبيعية على متتابعة فيبونا�شي‬ ‫درا�سة بع�ض الت�شكيالت النباتية مثل زهرة‬ ‫دوار ال�شم�س والتي تترتب بذورها في منحنيات‬ ‫حلزونية في اتجاه عقارب ال�ساعة وفي عك�س‬ ‫ات�ج��اه ع�ق��ارب ال�ساعة ب ��أع��داد متعاقبة من‬ ‫متتابعة فيبونا�شي‪.‬‬

‫المتتابعات‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬

‫‪ُ -1‬يع ِّرف المتتابعة ويم ِّثلها بيان ًّيا ‪.‬‬ ‫‪ -2‬يوجد الحد العام لمتتابعة معطاة والعك�س ‪.‬‬ ‫‪ُ -3‬ي�م� ِّي��ز المتتابعة الح�سابية والمتتابعة‬ ‫الهند�سية ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوجد الحد المطلوب في متتابعة ح�سابية‬ ‫ومتتابعة هند�سية ‪.‬‬ ‫يعرف المت�سل�سلة المرتبطة بمتتابعة‪.‬‬ ‫‪ِّ -5‬‬ ‫‪ -6‬يوجد مجموع مت�سل�سلة ح�سابية وهند�سية ‪.‬‬ ‫‪ -7‬ي�ت� َّع��رف على مت�سل�سالت نمطية غير‬ ‫ح�سابية وغير هند�سية ‪.‬‬ ‫‪ -8‬يثبت �صحة قانون مجموع مت�سل�سلة نمطية‬ ‫با�ستخدام اال�ستقراء الريا�ضي ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪53‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫المتتابعات‬

‫‪1-2‬‬

‫� َّإن المتتابعات من الموا�ضيع المهمة التي نطبقها في حياتنا العملية وفي كثير من العلوم الأخرى ‪.‬‬ ‫يو�ضح متو�سط عدد �ساعات‬ ‫وللتعرف على مفهوم المتتابعة ن�أخذ على �سبيل المثال الجدول التالي والذي ِّ‬ ‫المذاكرة اليومية للطالب الع�شرة الأوائل في �إحدى المدار�س ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫ترتيب الطالب‬

‫متو�سط عدد �ساعات المذاكرة ‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫ن�سمي متو�سط عدد �ساعات المذاكرة وبالترتيب نف�سه متتابعة فنقول ‪َّ � :‬إن متتابعة عدد �ساعات‬ ‫ِّ‬ ‫المذاكرة للطالب الع�شرة الأوائل هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4،5،6،5،4،6،6،5،6،5‬‬ ‫الحظ � َّأن الأعداد ‪ 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬والتي تم ِّثل ترتيب الطالب هي �أعداد طبيعية‪.‬‬ ‫و�إذا نظرنا �إلى الجدول التالي ‪:‬‬ ‫العدد‬

‫‪1‬‬

‫�سالب معكو�سه ال�ضربي‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬

‫نجد � َّأن الأع��داد ‪ ...، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬في ال�سطر الأول هي �أعداد طبيعية ون�س ِّمي الأعداد‬ ‫المقابلة لها في ال�سطر الثاني وبالترتيب نف�سه متتابعة وهي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.....،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبهذا يت�ضح � َّأن المتتابعة هي قائمة مرتبة من الأعداد ‪ .‬ي�س َّمى ك ُّل ٍ‬ ‫عدد منها ح ًّدا ‪.‬‬ ‫ففي المتتابعة ‪ : 1‬الحد الأول ‪ ، 5‬الحد الثاني ‪ ، 6‬الحد الثالث ‪ ،... ، 5‬الحد العا�شر ( الأخير ) ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وفي المتتابعة ‪ : 2‬الحد الأول (–‪ ، )1‬الحد الثاني ( ) ‪ ،‬الحد الثالث ( ) ‪، ... ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الحد ال�سابع ( ) ‪...،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫�إال �أنه ال يوجد لهذه المتتابعة حد �أخير ( لماذا ؟ ) ؛ ولذلك يكون من المنا�سب و�صف المتتابعة‬ ‫‪ 1‬ب�أنها متتابعة منتهية ‪ ,‬والمتتابعة ‪ 2‬ب�أنها متتابعة غير منتهية ‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتتابعات‬ ‫والآن �إذا ت�أملنا الجدولين ال�سابقين نجد � َّأن كل عدد طبيعي يقابله عدد حقيقي وحيد ؛ لذا يمكننا �أن نع َّد‬ ‫المتتابعة دالة ‪ ،‬فتكون المتتابعة ‪ 1‬دالة مجالها ‪ ( 10 ، ... ، 4 ، 3 ،2 ، 1 :‬مجموعة الأعداد الع�شرة الأولى‬ ‫من مجموعة الأعداد الطبيعية ) ومجالها المقابل ومداها ‪ . 6 ، 5، 4‬وتكون المتتابعة ‪ 2‬كذلك دالة‬ ‫‪1 1‬‬ ‫مجالها ( مجموعة الأعداد الطبيعية ) ومجالها المقابل ومداها ‪ ...، ، ، 1‬وعليه يمكننا‬ ‫‪3 2‬‬ ‫تقديم التعريف التالي ‪:‬‬

‫تعريف (‪)1-2‬‬ ‫المتتابع��ة ه ��ي دال ��ة مجالها مجموع ��ة الأعداد الطبيعي ��ة �أو مجموع ��ة جزئية من على‬ ‫ال�صورة ‪ ،... ، 3 ، 2 ، 1‬ومجالها المقابل مجموعة الأعداد الحقيقية ‪.‬‬ ‫�سميت متتابعة منتهية ‪.‬‬ ‫د‪:‬‬ ‫ف�إذا كانت د متتابعة بحيث د ‪،...، 3 ،2، 1 :‬‬ ‫�سميت متتابعة غير منتهية‪.‬‬ ‫و�إذا كان عن�ص� � ًرا في مجال المتتابعة د ف�إننا نرمز لل�ص ��ورة د ( ) بالرمز‬ ‫الحد الرائي للمتتابعة ‪.‬‬

‫وي�س� � َّمى‬

‫(‪)1-2‬‬ ‫‪� 1‬سنقت�صر على درا�سة المتتابعة التي تخ�ضع لقاعدة على �صورة قانون جبري تتعين به قيم حدود المتتابعة‪،‬‬ ‫حيث يمكننا التعبير عن الحد الرائي ب�صيغة جبرية ون�سميه الحد العام للمتتابعة فالمتتابعة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ويم ِّثل قاعدة المتتابعة ‪.‬‬ ‫‪ – ...، ، ، 1‬مث ًال – حدها العام هو‬ ‫‪3 2‬‬ ‫�أوجد ‪ 39‬في المتتابعة ال�سابقة با�ستخدام قاعدة المتتابعة ‪.‬‬ ‫للداللة على المتتابعة التي حدها العام ‪ ،‬و هذا يعني � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 2‬ن�ستخدم الرمز‬ ‫�إذا كانت المتتابعة منتهية وعدد حدودها ‪.‬‬ ‫‪،... ، 3 ، 2 ، 1‬‬ ‫‪� ... ، ،... ، 3 ، 2 ، 1‬إذا كانت المتتابعة غير منتهية ‪.‬‬ ‫فمث ًال ‪ :‬المتتابعة غير المنتهية ‪2‬‬

‫يمكن كتابتها على ال�صورة ‪ ( ... ، 6 ، 4 ، 2‬تحقق من ذلك )‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪55‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪ 3‬يمكننا تمثيل المتتابعة‬

‫بيان ًّيا وذلك بتكوين الجدول المقابل ثم تمثيل الأزواج المرتبة ‪:‬‬

‫( ‪)3 ، 3 ( ، ) 2 ، 2 ( ، ) 1 ، 1‬‬ ‫‪… ،‬بنقاط ف ��ي ال �م �� �س �ت��وي الإح� ��داث� ��ي‬ ‫نع ِّينها دون ال�ت��و��ص�ي��ل بينها ( ل �م��اذا ؟ )‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪...‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪...‬‬

‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫اكتب الحدود الخم�سة الأولى لكل متتابعة ثم م ِّثلها بيان ًّيا ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫الحل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫( ‪)1‬‬

‫‪ 1 2‬متتابعة حدها العام‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪، 2 1 2 2 ،1 2 1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2 1 2 5 ، 3 1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪56‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪،2 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2‬‬

‫يو�ضح التمثيل البياني لهذه المتتابعة ‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ) 1-2‬الذي ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫�أي � َّأن الحدود الخم�سة الأولى لهذه المتتابعة هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2 ، 3 ، 2 2 ، 2 ،1 2‬‬ ‫ولتمثيل المتتابعة نك ِّون الجدول التالي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫�شكل (‪)1 - 2‬‬

‫‪1‬‬

‫المتتابعات‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪، 1 21‬‬ ‫‪، 16 24‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪، 4 22‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25 25‬‬

‫‪2 6‬‬ ‫‪ 24‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪ 20‬‬ ‫‪ 18‬‬ ‫‪ 16‬‬ ‫‪ 14‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪ 8‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪، 9 23‬‬

‫‪3‬‬

‫�أي � َّأن الحدود الخم�سة الأولى لهذه المتتابعة هي ‪:‬‬ ‫‪25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ ) 2-2‬يو�ضح التمثيل البياني لهذه المتتابعة ‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫�شكل (‪)2 - 2‬‬

‫( ‪)1‬‬

‫( ‪)1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫( ‪1 )1‬‬ ‫( ‪)1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪،1‬‬ ‫‪،1‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪)1‬‬ ‫( ‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪،1‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪،1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫�أي � َّأن الحدود الخم�سة الأولى لهذه المتتابعة هي ‪:‬‬ ‫�شكل (‪)3 - 2‬‬

‫‪1 ،1،1 ،1،1‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ ) 3-2‬يو�ضح التمثيل البياني لهذه المتتابعة ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د ‪3‬‬ ‫حدود المتتابعة جميعها مت�ساوية ‪ .‬وقيمة ٍّ‬ ‫كل منها ت�ساوي ‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫�أي � َّأن الحدود الخم�سة الأولى لهذه المتتابعة هي ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3،3،3،3،3‬‬ ‫يو�ضح التمثيل البياني لهذه المتتابعة ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 4-2‬‬ ‫ت�س َّمى مثل هذه المتتابعة ( متتابعة ثابتة )‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫�شكل (‪)4 - 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪57‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫�أوجد الحد العام ومن ث َّم الحد الع�شرين ٍّ‬ ‫لكل من المتتابعتين ‪:‬‬ ‫‪… ، 125 ، 64 ، 27 ، 8 ، 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3 27‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪64‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5 125‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫(‪8000 3)20‬‬

‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪)1–( 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪)1–( 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(–‪)1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(–‪)1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(–‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)1-‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪1‬‬

‫ما هو الحد العام للمتتابعة ‪ ... ، 25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1‬؟‬

‫‪58‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪20‬‬

‫( ‪)1‬‬

‫‪21‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬

‫المتتابعات‬

‫تمارين (‪)1-2‬‬ ‫‪ 1‬فيما يلي اكتب الحدود الخم�سة الأولى لكل متتابعة ثم م ِّثلها بيان ًّيا‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ ‪1‬‬ ‫د ‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ح ( –‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ز‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬فيما ي�أتي �أوجد الحد العام لكل متتابعة‪:‬‬ ‫‪... ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬‬

‫‪... ، 12 ، 9 ، 6 ، 3‬‬

‫د ‪... ، 16 ، 8 ، 4 ، 2‬‬ ‫‪... ، 9 ، 8 ، 7 ، 6‬‬ ‫و ‪... ، 32 ، 18 ، 8 ، 2‬‬ ‫هـ ‪... ، 1 ، 1 ، 1 ، 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫ح ‪1 1‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ز ‪... ، 13 ، 6 ، 1 ، 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81 27 9‬‬ ‫ط ‪ ،‬ف ‪ 2 ،‬ف ‪ 3 ،‬ف ‪ ... ،‬ي ‪ ،‬ب ‪ ،‬ب‪ ، 2‬ب‪... ، 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،1،‬‬ ‫‪� 3‬أثبت �أن الحد العام في المتتابعة ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫للمتتابعة‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ... ،‬ي�ساوي ثالثة �أمثال الحد العام‬

‫المو�ضح في ال�شكل المجاور وكان عدد الأنابيب المر�صو�صة‬ ‫ر�ص مجموعة من الأنابيب على النحو َّ‬ ‫‪� 4‬إذا َّتم ُّ‬ ‫واحدا‬ ‫في ال�صف الأول ( القاعدة ) ‪� 9‬أنابيب وفي ال�صف الأخير �أنبو ًبا ً‬ ‫اكتب المتتابعة التي تمثل عدد الأنابيب في ِّ‬ ‫كل �صف ‪.‬‬ ‫كم عدد حدود هذه المتتابعة ؟‬ ‫ما هو الحد ال�سابع في هذه المتتابعة ؟‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪59‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪2-2‬‬

‫المتتابعات الح�سابية والهند�سية‬

‫المتتابعات الح�سابية‬

‫�إذا ُطلب من �أحد البنَّائين بناء �س ��ور م ��ن الحجر لحديقة عامة فبنى في اليوم‬ ‫الأول ‪ 75‬حج� � ًرا ‪ ,‬و�أ�ض ��اف ف ��ي ِّ‬ ‫كل يوم ‪ 25‬حج ًرا زيادة عن اليوم ال�س ��ابق له حتى اكتم ��ل البناء ‪ .‬فكم‬ ‫حج ًرا بنى في اليوم العا�شر؟‬ ‫يمكننا ا�س ��تخدام ماي�س� � َّمى بالمتتابعة الح�سابية للإجابة على هذا ال�س�ؤال و�سيتم ذلك الحقًا في مثال‬ ‫( ‪ ) 8-2‬والآن ت�أمل المتتابعتين التاليتين ‪:‬‬ ‫‪..... ،3- ، 0 ، 3 ، 6 ، 9‬‬ ‫‪3- 3- 3- 3-‬‬

‫‪..... ، 11 ، 9 ، 7 ، 5 ، 3‬‬ ‫‪2+ 2+ 2+ 2+‬‬ ‫الفرق بين كل حد والحد ال�سابق له هو ‪2‬‬

‫الفرق بين كل حد والحد ال�سابق له هو ‪3-‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬‫‪4-‬‬

‫�شكل (‪)6-2‬‬

‫�شكل (‪)5-2‬‬

‫� َّإن مثل هاتين المتتابعتين والتي فيها الفرق بين ِّ‬ ‫حد والحد ال�س ��ابق له ي�س ��اوي مقدا ًرا ثابتًا ت�س� � َّمى‬ ‫كل ٍّ‬ ‫متتابعة ح�سابية ‪.‬‬

‫تعريف (‪)2-2‬‬

‫ت�س ��مى متتابع ��ة ح�س ��ابية �إذا كان‪ = 1- - :‬مق ��دار ًا ثابت ًا‬ ‫المتتابع ��ة‬ ‫‪ . 2‬ي�سمى المقدار الثابت بالفرق العام للمتتابعة الح�سابية ويرمز له بالرمز ف ‪.‬‬

‫تدريب (‪)1-2‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من المتتابعات التالية ح�سابية و�أوجد الفرق العام لها‪:‬‬

‫‪60‬‬

‫‪... ، 80 ، 48 ، 16‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪... ، 18 ، 6 ، 2‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪... ، 0 ،‬‬

‫‪،‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫الحد العام للمتتابعة الح�سابية ‪:‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫متتابعة ح�سابية فرقها العام ف ‪ ،‬وحدها الأول ‪ ، = 1‬ف�إننا نجد من التعريف ( ‪َّ � ) 2-2‬أن‬ ‫‪ 2‬وعليه يكون ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪ + 1-‬ف‬ ‫‪3+ = 4 ،3 ،2 ،‬ف‬ ‫‪ + 1 =2‬ف= ‪+‬ف‬ ‫‪+‬ف ‪+‬ف ‪+‬ف‬ ‫‪ + 2 =3‬ف= ‪2+‬ف‬ ‫‪ + 3 = 4‬ف= ‪3+‬ف‬ ‫‪3+‬ف‬ ‫وهكذا ن�ستنتج � َّأن الحد العام للمتتابعة الح�سابية هو ‪:‬‬

‫= ‪ )1- ( +‬ف‬

‫(‪)1-2‬‬

‫وتكون ال�صورة العامة للمتتابعة الح�سابية هي ‪ + ، :‬ف ‪ 2 + ،‬ف ‪ 3 + ،‬ف ‪ ) 1- ( + ، ... ،‬ف ‪... ،‬‬

‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫�أوجد ‪15‬في المتتابعة التي فيها‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫=‪، 6‬‬

‫=‬

‫‪2 + 1-‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫=‬

‫‪2 +1-‬‬

‫المتتابعة ح�سابية وفرقها العام ف = ‪2‬‬

‫وحيث � َّأن ‪ 6 = = 1‬ف�إنه من القانون ( ‪ ) 1-2‬يكون ‪:‬‬ ‫‪ 14 + =15‬ف = ‪34 = 28 + 6 = 2 14 + 6‬‬ ‫اكتب هذه المتتابعة بذكر الحدود الثالثة الأولى منها ‪.‬‬

‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫�أوجد ‪ 20‬في المتتابعة ‪... ، 8 - ، 3 - ، 2 :‬‬

‫الحل‬

‫‪5 - = )3-( - 8 - = 4 - 3 ، 5 - = 2 - 3 - = 1 - 2‬‬ ‫‪ 2 – 3 = 1 – 2‬المتتابعة ح�سابية فرقها العام ف = – ‪ ، 5‬وحيث = ‪2‬‬ ‫ف�إنه من القانون ( ‪ ) 1-2‬يكون ‪ 19 + = 20‬ف = ‪93 - = )5 -( 19 + 2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪61‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)5-2‬‬ ‫�أوجد ‪ 31‬للمتتابعة الح�سابية التي فيها ‪، 5 = 3‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪5= 3‬‬ ‫‪29 = 11‬‬

‫‪2+‬ف=‪5‬‬ ‫‪ 10 +‬ف = ‪29‬‬

‫‪31‬‬

‫= ‪29‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫بطرح ‪ 1‬من ‪ 2‬نح�صل على ‪ 8 :‬ف = ‪24‬‬ ‫وبالتعوي�ض في ‪ 1‬عن قيمة ف يكون ‪5 = 6 +‬‬ ‫� ًإذا ‪ 30 + = 31 ،‬ف = ‪89 = ) 3 ( 30 + 1 -‬‬

‫ف=‪3‬‬ ‫=–‪1‬‬

‫مثال (‪)6-2‬‬ ‫�أثبت � َّأن العدد ‪ 59‬هو �أحد حدود المتتابعة الح�سابية ‪... , 10 ، 3 ، 4 - :‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫=‪ ، 4-‬ف=‪7=)4-(-3‬‬ ‫= ‪ )1- ( +‬ف = ‪11- 7 = 7 )1- ( + 4-‬‬ ‫بفر�ض � َّأن = ‪ 59‬يكون ‪70 = 7 59 = 11 - 7 :‬‬ ‫� ًإذا ‪ 59‬هو الحد العا�شر في المتتابعة الح�سابية المعطاة ‪.‬‬

‫=‪10‬‬

‫تدريب (‪)2-2‬‬ ‫�إذا كانت المتتابعة في المثال ال�سابق منتهية وحدها الأخير ‪ 346‬فما عدد حدودها ؟‬

‫(‪)2-2‬‬ ‫يت�ض ��ح � َّأن المتتابعة الح�س ��ابية هي‬ ‫بو�ض ��ع القانون ( ‪ ) 1-2‬على ال�ص ��ورة = ف ‪ - ( +‬ف) ِّ‬ ‫دال ��ة م ��ن الدرجة الأول ��ى في مجالها و� َّأن معام ��ل هو الفرق العام لها �إ َّال �إذا كان ف = �ص ��فر‬ ‫فتكون المتتابعة الح�سابية دالة ثابتة ‪.‬‬ ‫تحقق با�ستخدام ال�شكلين (‪ )6-2(،)5-2‬من � َّأن حدود المتتابعة الح�سابية تقع على ا�ستقامة واحدة ‪.‬‬ ‫ما العالقة بين ميل الم�ستقيم الواقعة عليه حدود المتتابعة الح�سابية و الفرق العام لهذه المتتابعة ؟‬

‫‪62‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫مثال (‪)7-2‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من المتتابعات التالية ح�سابية و�أوجد الفرق العام لها‪:‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪1+ 4‬‬

‫‪1‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪ 1 + 4‬متتابعة ح�سابية ؛ لأنها دالة من الدرجة الأولى في ‪ ،‬وفرقها العام هو ‪ ( 4‬معامل )‪.‬‬ ‫‪ – 3‬متتابعة ح�سابية ؛ لأنها ‪ ، ...................‬وفرقها العام هو ‪� ( .......‬أكمل الفراغ )‪.‬‬ ‫‪ 1‬لي�ست ح�سابية ( لماذا ؟)‬ ‫اكتب المتتابعة ‪ 1 + 4‬بذكر الحدود الثالثة الأولى منها لتتحقق من �أنها ح�سابية ‪.‬‬

‫مثال (‪)8-2‬‬ ‫بالعودة �إلى الم�س�ألة المطروحة في مقدمة هذا الدر�س والمتع ِّلقة ببناء �سور الحديقة العامة ‪.‬‬ ‫�أوجد ك ًّ‬ ‫ال مما يلي ( با�ستخدام المتتابعات ) ‪:‬‬ ‫عدد الحجارة التي ُبنيت في اليوم العا�شر ‪.‬‬ ‫ن�صف مجموع عدد الحجارة التي بنيت في اليومين التا�سع والحادي ع�شر ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫عدد الحجارة التي ُبنيت في اليوم الأول = ‪ 75‬حج ًرا ‪.‬‬ ‫عدد الحجارة التي ُبنيت في اليوم الثاني = ‪ 100 = 25 + 75‬حج ًرا‬ ‫عدد الحجارة التي ُبنيت في اليوم الثالث = ‪ 125 = 25 + 100‬حج ًرا ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وهكذا‬ ‫فيكون لدينا متتابعة ح�سابية حدها الأول = ‪ 75‬وفرقها العام ف = ‪25‬‬ ‫عدد الحجارة التي ُبنيت في اليوم العا�شر = ‪ 300 = 25 9 + 75 =10‬حج ًرا ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�صف مجموع عدد الحجارة التي بنُيت في اليومين التا�سع والحادي ع�شر = ‪)11 + 9 ( 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪63‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫‪275 = 25 8 + 75 = 9‬‬ ‫‪325 = 25 10 + 75 = 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪300 = ) 325 + 275( 2 = ) 11 + 9 ( 2‬‬ ‫ما العالقة بين ‪ 11 ، 10 ، 9‬؟‬

‫الأو�ساط الح�سابية ‪:‬‬

‫‪+‬ي‬ ‫تعلم � َّأن الو�سط الح�سابي للعددين ‪ ،‬ي هو العدد ‪2‬‬ ‫وفي الواقع �إذا �أخذنا � َّأي ثالثة حدود متتالية من متتابعة ح�سابية ولتكن‬ ‫نجد � َّأن ‪ - 1+ = 1- -‬فيكون‬

‫=‬ ‫حيث‬

‫‪1-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 1 + ، ،1-‬حيث‬

‫‪2‬‬

‫‪1+‬‬

‫حد في متتابعة ح�سابية‬ ‫وهذا يعني � َّأن � َّأي ٍّ‬ ‫له ‪.‬‬ ‫هل يتفق هذا مع العالقة التي ا�ستنتجتها بين ‪ 11 ، 10 ، 9‬في مثال ( ‪ ) 8-1‬؟‬ ‫والآن �إذا ت�أملنا المتتابعة الح�سابية المنتهية ‪� ، :‬س‪� ، 1‬س ‪� ، 2‬س ‪� ، ... ، 3‬س م ‪ ،‬ي‬ ‫هل ات�ضح لك �سبب ت�سمية‬ ‫المتتابعة الح�سابية بهذا‬ ‫والتي حدها الأول وحدها الأخير ي ومح�صور بينهما م من الحدود الأخرى‬ ‫اال�سم؟‬ ‫نجد � َّأن ك ًّال من الحدود �س‪� ، 1‬س ‪� ، 2‬س ‪� ، ... ، 3‬س م هو و�سط ح�سابي‬ ‫للحدين ال�سابق والالحق له ؛ لذا يمكننا و�صف هذه الحدود ب�أنها �أو�ساط ح�سابية بين العددين ‪ ،‬ي ‪.‬‬ ‫الحظ � َّأن ي =‬

‫م‪2+‬‬

‫ي = ‪ ) .... ( +‬ف‬

‫‪ 2‬هو الو�سط الح�سابي للحدين ال�سابق والالحق‬

‫ف = ‪....‬‬

‫( �أكمل الفراغ )‪.‬‬

‫تعريف (‪)3-2‬‬ ‫الأو�ساط الح�سابية بين العددين ‪ ،‬ي هي الحدود الأخرى لمتتابعة ح�سابية حدها الأول وحدها‬ ‫ي‪-‬‬ ‫الأخير ي وفرقها العام ف = م ‪ ،‬حيث م عدد الأو�ساط الح�سابية‪.‬‬ ‫‪1+‬‬

‫‪64‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫�أوجد �أربعة �أو�ساط ح�سابية بين العددين ‪30 - ، 10‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫الحد الأول = ‪ ، 10‬الحد الأخير ي = –‪ ، 30‬عدد الأو�ساط المطلوبة م = ‪4‬‬ ‫ي ‪40- 10- 30- -‬‬ ‫= ‪8–= 5‬‬ ‫=‬ ‫ف=‬ ‫م‪1+4 1+‬‬

‫�س‪2 = 8 - 10 = 1‬‬ ‫الأو�ساط المطلوبة هي‬

‫‪� ، 10‬س‪� ، 1‬س ‪� ، 2‬س ‪� ، 3‬س‪= 30- ، 4‬‬ ‫‪10- 30‬‬‫ف = ــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5+‬ف‬

‫�س‪6- = 8 - 2 = 2‬‬ ‫�س‪14- = 8 - 6 - = 3‬‬ ‫�س‪22- = 8 - 14- = 4‬‬

‫الحظ �أن المتتابعة الناتجة من �إدخال ‪� 4‬أو�ساط ح�سابية بين العددين ‪ 30 – ، 10‬هي ‪:‬‬ ‫‪30 - ، 22 - ، 14 - ، 6 - ، 2 ، 10‬‬ ‫و�أنه يمكننا الت�أكد من �صحة الحل ب�إ�ضافة ف �إلى �س‪ 4‬للح�صول على ي‪.‬‬

‫تدريب (‪)3-2‬‬ ‫�أوجد ‪� 3‬أو�ساط ح�سابية بين العددين ‪. 30- ، 10‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪65‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫المتتابعة الهند�سية‬

‫بلغت قيمة �سيارة عند �شرائها ‪ 62500‬ريال ‪ ,‬ف�إذا كانت قيمتها‬ ‫في نهاية �أي �سنة تبلغ ‪ ٪ 80‬من قيمتها في ال�سنة ال�سابقة‪ .‬فكم‬ ‫ت�صبح قيمة ال�سيارة بعد مرور ‪� 6‬سنوات من �شرائها ؟‬ ‫يمكننا الإجابة على هذا ال�س�ؤال با�ستخدام المتتابعة الهند�سية‬ ‫و�سترى ذلك الحقًا ‪.‬والآن ت�أ َّمل المتتابعتين التاليتين ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, 1 , 3 , 9 , 27‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪..... , 32 , 16 , 8 , 4 ، 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫الن�سبة بين كل حدوالحد ال�سابق له هي ‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫الن�سبة بين كل واحدوالحد ال�سابق له هي‬ ‫‪24‬‬

‫‪28‬‬

‫‪21‬‬

‫‪24‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪16‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪27‬‬

‫‪32‬‬

‫‪2‬‬

‫‪... ,‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫�شكل (‪)8 - 2‬‬

‫�شكل (‪)7 - 2‬‬

‫� َّإن مثل هاتين المتتابعتين والتي تكون فيها الن�سبة بين ِّ‬ ‫حد والحد ال�سابق له ت�ساوي ن�سبة ثابتة ت�س َّمى‬ ‫كل ٍّ‬ ‫متتابعة هند�سية ‪.‬‬

‫تعريف (‪)4-2‬‬ ‫المتتابعـــة‬ ‫‪،2‬‬ ‫بالرمز ب ‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ت�سمى متتابعـــة هند�سية �إذا كان ‪:‬‬

‫‪1-‬‬

‫مقدار ًا ثابت ًا‬

‫‪،‬‬

‫‪ , 0 1‬ي�سمى المقدار الثابت بالن�سبة العامة للمتتابعة الهند�سية ويرمزله‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫تدريب (‪)4-2‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من المتتابعات التالية هند�سية و�أوجد الن�سبة العامة لها ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.....،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪... ، 12 ، 6 ، 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪... ، 18 ، 8 ، 2‬‬

‫الحد العام للمتتابعة الهند�سية ‪:‬‬

‫متتابعة هند�سية ن�سبتها العامة ب ‪ ,‬وحدها الأول‬

‫�إذا كانت‬ ‫� ّأن‬

‫‪،‬‬

‫‪ 1-‬ب‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ب‬

‫ب‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‬

‫ب‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬ب‬

‫ب‬

‫‪ ,‬ف�إننا نجد من التعريف ( ‪) 4-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2‬وعليه يكون ‪:‬‬ ‫‪,2 ,‬‬ ‫ب‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫ب‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬

‫ب‬

‫‪3‬‬

‫ب‬

‫ب‬

‫‪3‬‬

‫وهكذا ن�ستنتج � َّأن الحد العام للمتتابعة الهند�سية هو ‪:‬‬ ‫ب‬

‫(‪)2-2‬‬

‫‪1-‬‬

‫وتكون ال�صورة العامة للمتتابعة الهند�سية هي ‪ , :‬ب ‪ ,‬ب‪ , 2‬ب‪ , ... , 3‬ب ‪..., 1-‬‬

‫مثال (‪)10-2‬‬ ‫�أوجد الحد العام في المتتابعة التي حدها الأول ‪ 8‬وفيها‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫وحيث � َّأن‬ ‫�أوجد‬

‫‪1-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫المتتابعة هند�سية ون�سبتها العامة ب ‪3‬‬

‫‪ 8‬وبا�ستخدام القانون ( ‪ ) 2-2‬نجد � َّأن الحد العام هو ‪:‬‬

‫‪3 8‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪ 5‬في هذه المتتابعة ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪67‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أوجد الحد التا�سع في المتتابعة ‪، 2 ، 6 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المتتابعة هند�سية ون�سبتها العامة ب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وبما � َّأن ‪ 6‬ومن القانون ( ‪ ) 2-2‬يكون ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 9‬ب‪) ( 6 8‬‬ ‫‪2187‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪... ،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال (‪)12-2‬‬ ‫�أوجد ‪ 11‬لمتتابعة هند�سية فيها‬

‫الحل‬

‫‪4‬‬

‫‪32‬‬

‫‪4‬‬

‫‪، 32‬‬

‫‪256‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫ب‪32 3‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‪256 6‬‬ ‫‪256 7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪256‬‬ ‫بق�سمة ‪ 2‬على ‪ 1‬نجد � َّ​ّأن ب‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 8‬ب‬ ‫ب‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ب‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وبالتعوي�ض عن قيمة ب في ‪ 1‬يكون ( ‪2 )2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4096‬‬ ‫� ًإذا ‪ 11‬ب‪1024 4 10) 2 ( 4 10‬‬

‫مثال (‪)13-2‬‬

‫‪1‬‬ ‫�إذا كان‬ ‫‪243‬‬

‫هو �أحد حدود المتتابعة الهند�سية ‪ ... ، 9 ، 27 ، 81 :‬فما ترتيب هذا الحد ؟‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫هو يكون‬ ‫بفر�ض � َّأن ترتيب الحد‬ ‫‪243‬‬ ‫‪1 1‬‬‫؛ حيث ‪ , 81‬ب‬ ‫ب‬ ‫‪243‬‬

‫‪68‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9 1‬‬

‫)‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن الحد‬ ‫‪243‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪243 81‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪9‬‬

‫هو الحد العا�شر في هذه المتتابعة ‪.‬‬

‫(‪)3-2‬‬ ‫يو�ضح � َّأن المتتابعة الهند�سية هي دالة قاعدتها على �صورة �أ�سية فيها الأ�سا�س هو الن�سبة‬ ‫القانون ( ‪ِّ ) 2-1‬‬ ‫العامة ب ‪ ،‬والأ�س يحتوي على المتغير ومثل هذه الدالة ( التي يدخل متغيرها في الأ�س )ت�س َّمى دالة �أ�سية‬ ‫با�ستخدام ال�شكلين ( ‪ ) 8-2 ( ، ) 7-2‬تحقَّق من � َّأن حدود المتتابعة الهند�سية تقع على ٍ‬ ‫خط منحنٍ‬

‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من المتتابعات التالية هند�سية و�أوجد ن�سبتها العامة وحدها الأول‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫‪3‬‬ ‫‪) (2‬‬ ‫‪5‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1- ) (2‬متتابعة هند�سية ؛ لأنها دالة �أ�سية ‪ ,‬الن�سبة العامة ب ( الأ�سا�س )‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬‫‪ ) (2‬بالقانون ( ‪)) 2-1‬‬ ‫‪ ( 2‬يمكن �إيجاد ‪ 1‬مبا�شرة بمقارنة‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬متتابعة هند�سية ؛ لأنها ‪ , ......‬الن�سبة العامة ب ‪�( ......‬أكمل الفراغ)‪.‬‬

‫وحدها الأول‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ( 3 13‬الحظ � َّأن ‪3‬‬

‫‪)1- ) 3 ( 3‬‬

‫لي�ست هند�سية ( لماذا ؟ )‬

‫�أوجد الحدود الثالثة الأولى من المتتابعة ‪ 3‬وتحقَّق من �أنها لي�ست هند�سية‪ ،‬هل هي ح�سابية ؟‬

‫انظر تعريف الدالة الأ�سية والر�سم البياني لها في وحدة الدوال الحقيقية ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪69‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫حل الم�س�ألة المطروحة في مقدمة الدر�س با�ستخدام المتتابعات ‪.‬‬ ‫ق� �ي� �م ��ة ال � �� � �س � �ي� ��ارة ف�� ��ي ن � �ه� ��اي� ��ة ال� ��� �س� �ن ��ة الأول� � � � � � ��ى‬

‫‪62500‬‬

‫ق� �ي� �م ��ة ال � �� � �س � �ي� ��ارة ف � ��ي ن� �ه���اي���ة ال� ��� �س� �ن ��ة ال � �ث� ��ان � �ي� ��ة‬ ‫‪80‬‬ ‫‪32000‬‬ ‫قيمة ال�سيارة في نهاية ال�سنة الثالثة ‪40000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫وهكذا يكون لدينا متتابعة هند�سية فيها ‪:‬‬ ‫‪80 80‬‬ ‫‪ , 50000‬الن�سبة العامة ب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10 100‬‬ ‫� ًإذا قيمة ال�سيارة بعد مرور ‪� 6‬سنوات من �شرائها هي ‪:‬‬ ‫‪5 80‬‬ ‫‪ 6‬ب‪) ( 50000 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 16384‬ريال ‪.‬‬

‫‪50000‬‬

‫تدريب (‪)5-2‬‬ ‫�سقطت كرة ر�أ�س ًيا من ارتفاع معين ‪ .‬ف�إذا كانت الكرة ترتد كل‬ ‫بارتفاع قدره ‪ 3‬االرتفاع‬ ‫م ّرة عند اال�صطدام بالأر�ض �إلى �أعلى‬ ‫ٍ‬ ‫‪4‬‬ ‫ال�سابق مبا�شرة ‪.‬‬ ‫ف�إذا كان االرتفاع الذي ارتدت �إليه الكرة بعد اال�صطدام الأول‬ ‫م�ستخدما المتتابعات – االرتفاع الذي ترتد‬ ‫هو ‪� 10‬أقدام �أوجد –‬ ‫ً‬ ‫�إليه الكرة بعد اال�صطدام الثامن ‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪50000‬‬ ‫‪40000‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫الأو�ساط الهند�سية‪:‬‬ ‫ي‬ ‫�س‬ ‫�س ن�س ِّمي �س بالو�سط المتنا�سب للعددين ‪ ،‬ي‬ ‫تعلم �أنَّنا لأي تنا�سب على ال�صورة‬ ‫ي‬ ‫ويكون �س‪ 2‬ي ( حا�صل �ضرب الطرفين حا�صل �ضرب الو�سطين ) �س‬ ‫جــ‬ ‫ومن الناحية الهند�سية‪:‬‬ ‫‪21‬‬ ‫تعلم كذلك � َّأن االرتفاع المر�سوم من ر�أ���س القائمة في مثلث قائـــم‬ ‫ع‬ ‫الزاوية على الوتر يق�سم المثلث �إلى مثلثين مت�شابهين ففي ال�شكــــل‬ ‫جـ ‪ 1‬د‬

‫(‪ ) 9-2‬جـ د ي�شابه جـ ب د ويكون‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫ع‬ ‫‪1‬‬ ‫وهكذا نجد �أنه من المنا�سب و�صف الو�سط المتنا�سب ب�أنه و�سط هند�سي ‪.‬‬

‫جـ‬

‫ب‬

‫‪2‬‬

‫�شكل (‪)9-2‬‬

‫تعريف (‪)5-2‬‬ ‫الو�سط الهند�سي للعددين ‪ ،‬ي حيث ي ‪ 0‬هو العدد‬

‫والآن �إذا �أخذنا � َّأي ثالثة حدود متتالية في متتابعة ولتكن‬ ‫‪1+‬‬

‫‪، 1-‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪، 1-‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪،‬‬

‫حيث‬

‫‪2‬‬

‫نجد � َّأن‬ ‫حد في متتابعة هند�سية هو و�سط هند�سي للحدين ال�سابق والالحق له ‪.‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن � َّأي ٍّ‬ ‫‪1-‬‬

‫هو الو�سط الهند�سي للحدين‬

‫ي‬

‫‪. 1+‬‬

‫و �إذا ت�أملنا المتتابعة الهند�سـية المنتـهية ‪� ، :‬س‪� ، 1‬س‪� ، 2‬س‪� ، ... ، 3‬س م ‪ ،‬ي‬ ‫نجد � َّأن ك ًّال من الحدود المح�صورة بين العددين ‪ ،‬ي هو و�سط هند�سي للحدين‬ ‫ال�سابق والالحق له ؛ لذا يمكننا و�صف هذه الحدود ب�أنها �أو�ساط هند�سية بين‬ ‫العددين ‪ ،‬ي‪.‬‬ ‫‪.....‬‬ ‫‪ ( .....‬حاول �أن تكمل الفراغ )‬ ‫� َّأن ي م ‪ 2 +‬ي بم ‪ 1+‬ب‬

‫هل ات�ضح لك �سبب ت�سمية‬ ‫المتتابعة الهند�سية بهذا‬ ‫اال�سم؟‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪71‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫تعريف (‪)6-2‬‬ ‫الأو�ساط الهند�سية بين عددين ‪ ،‬ي هي الحدود الأخرى لمتتابعة هند�سية حدها الأول‬ ‫وحدها الأخير ي ‪ ،‬و�إذا كان عدد الأو�ساط م ف�إن الن�سبة العامة هي ‪:‬‬ ‫م‪ 1+‬ي‬ ‫ب‬

‫م‪ 1+‬ي‬

‫�إذا كان م زوجي‬ ‫�إذا كان م فردي ‪،‬‬

‫ي‬

‫‪0‬‬

‫(‪)4-2‬‬ ‫يت�ضح من التعريف ( ‪� ) 6-2‬أنه �إذا كان المطلوب �إيجاد عدد فردي من الأو�ساط الهند�سية بين‬ ‫ِّ‬ ‫عددين فيجب �أن يكون لهذين العددين الإ�شارة نف�سها وفي هذه الحالة يكون لدينا مجموعتين من‬ ‫الأو�ساط الهند�سية‪.‬‬

‫مثال (‪)15-2‬‬

‫‪189‬‬ ‫�أوجد و�سطين هند�سيين بين العددين ‪، 7‬‬ ‫‪8‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫ب‬

‫‪189‬‬ ‫‪،7‬ي‬ ‫‪8‬‬ ‫م‪ 1+‬ي‬

‫الو�سطين هما‬

‫‪،‬م ‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫�س‬ ‫‪2‬‬

‫‪189‬‬ ‫‪)7 ( 8‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪) ( 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫( )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪189‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪3‬‬

‫كيف يمكنك التحقق من �صحة الحل ؟‬ ‫‪189‬‬ ‫هل يمكنك �إيجاد ‪� 3‬أو�ساط هند�سية بين العددين ‪، 7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪72‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫‪27‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫�أوجد ثالثة �أو�ساط هند�سية بين العددين ‪768 ، 3‬‬

‫الحل‬ ‫‪ ، 3‬ي ‪ ، 768‬م ‪3‬‬ ‫ب‬

‫م‪ 1+‬ي‬

‫وهذا يعني � َّأن هناك حالتان ‪:‬‬

‫‪768 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪±‬‬

‫‪4‬‬

‫‪256‬‬

‫‪4±‬‬

‫�س‪12 4 3 1‬‬ ‫‪ 1‬ب ‪4‬‬

‫الأو�ساط الهند�سية هي ‪:‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪48 4 12‬‬

‫�س‪192 4 48 3‬‬ ‫�س‪) 4 ( 3 1‬‬ ‫‪ 2‬ب‬

‫‪4‬‬

‫الأو�ساط الهند�سية هي ‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫�س‪48 )4 ( ) 12 ( 2‬‬ ‫�س‪)4 ( 48 3‬‬

‫‪192‬‬

‫اكتب المتتابعة الناتجة من �إدخال الأو�ساط الهند�سية الثالثة بين العددين ‪ 768 ، 3‬في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين (‪)2( ، )1‬‬ ‫�أكمل الفراغ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬الو�سط الهند�سي بين العددين ‪ 192 ، 12‬هو ‪� ........‬أو ‪........‬‬ ‫‪ 2‬الو�سطان الهند�سيان بين العددين ‪ 192 ، 3‬هما ‪........ ، ........‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪73‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تمارين (‪)2-2‬‬ ‫‪ 1‬ب ِّين �أ ًّيا من المتتابعات التالية ح�سابية و�أيها هند�سية ‪.‬‬ ‫‪65 ، 46 ، 27 ، 8‬‬ ‫‪7‬‬

‫هـ‬

‫‪2‬‬

‫ز‬

‫‪3 5‬‬

‫‪... ، 19 ، 1 ، 12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د‬ ‫‪... ، 3 ، 1 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬‫و ‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ح �س ‪� 8 ،‬س‪� 16 ، 2‬س‪... ، 3‬‬

‫‪� 2‬أوجد الحدود الأربعة الأولى في ٍّ‬ ‫كل من المتتابعات التالية ‪:‬‬

‫هـ‬

‫‪1‬‬

‫‪، 18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،5‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫د‬ ‫و‬

‫‪،6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪،1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪، 0000‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬‫‪1-‬‬

‫‪0,1‬‬

‫‪� 3‬أوجد الحد المطلوب في المتتابعات المعطاة في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 12‬في ‪... ، 0 ، 2 ، 4‬‬

‫‪ 7‬في ‪... ، 34 ، 27 ، 20‬‬ ‫‪2 1 1‬‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫د ‪ 6‬في‬ ‫‪3 2 3‬‬ ‫و ‪ 5‬في ‪... ، 3 2 ، 6 ، 3‬‬

‫‪ 13‬في ‪... ، 1 ، 4 ، 16‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫هـ ‪ 8‬في ‪... ، 2 ، 3 ، 4‬‬ ‫‪5 5 5‬‬ ‫ز ‪ 20‬في ‪� 2‬س ‪� 2 ، 3‬س ‪� 2 ، 1‬س ‪... ، 1‬‬

‫حيث �س عدد ثابت‬

‫ح ‪ 15‬في �س ‪� 2‬ص ‪�3 ،‬س ‪� 3‬ص ‪� 5 ،‬س ‪� 4‬ص ‪ ... ،‬حيث �س ‪� ،‬ص عددان ثابتان‬ ‫‪3‬‬ ‫�س �س‪� 2‬س‬ ‫ط ‪ 11‬في �ص ‪� ،‬ص ‪� ،‬ص ‪ ... ،‬حيث �س ‪� ،‬ص عددان ثابتان ‪� ،‬س ‪� ، 0‬ص ‪0‬‬

‫‪74‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتتابعة الح�سابية والهند�سية‬ ‫‪ 4‬متتابعة ح�سابية فيها‬

‫‪4‬‬

‫‪،2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪� ، 46‬أوجد ‪. 50‬‬

‫‪ 5‬متتابعة ح�سابية ح ُّدها الثامن ينق�ص عن حدها الثالث بمقدار ‪ ، 20‬والحد الثالث �ضعف الحد الثامن‪،‬‬ ‫فما المتتابعة وما قيمة ٍّ‬ ‫كل من هذين الحدين ؟‬ ‫‪� 6‬إذا كان ‪ 87‬هو �أحد حدود المتتابعة الح�سابية ‪ ... ، 1 ، 5 ، 9 :‬ف�أوجد ترتيبه ثم ب ِّين هل العدد‬ ‫‪ 333‬هو �أحد حدود هذه المتتابعة ؟‬ ‫‪ 7‬ما هو الحد ال�سابع في متتابعة هند�سية حدها الثاني ‪ 6‬وحدها الخام�س ‪. 162‬‬ ‫‪� 8‬أوجد المتتابعة الهند�سية التي يزيد فيها الحد الثالث عن الثاني بمقدار ‪ 6‬والحد الرابع يزيد عن الحد‬ ‫الثالث بمقدار ‪. 4‬‬ ‫‪� 9‬أوجد عدد حدود المتتابعة الهند�سية المنتهية التي فيها‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ ، 4‬ب ‪ ، 2‬وحدها لأخير ‪. 8‬‬

‫‪� 10‬أوجد الأو�ساط المطلوبة ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫و�سطا ح�ساب ًيا بين ‪73 ، 83‬‬ ‫ثالثة �أو�ساط ح�سابية بين ‪32 ، 64‬‬ ‫�أربعة �أو�ساط ح�سابية بين ‪13 ، 2‬‬ ‫د‬ ‫ً‬ ‫و�سطا هند�س ًيا بين ‪150 ، 6‬‬ ‫هـ و�سطين هند�سيين بين ‪243 ، 9‬‬ ‫و و�سطين هند�سيين بين ‪896 ، 14‬‬

‫‪1‬‬ ‫ز ثالثة �أو�ساط هند�سية بين ‪. 16 ، 16‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪75‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫ا�ستخدم المتتابعات في حل التمارين من ‪� 11‬إلى ‪: 15‬‬ ‫‪َّ � 11‬إن الحر�ص على �إنقا�ص الوزن الزائد ظاهرة �صحية ف�إذا �أراد �شخ�ص وزنه ‪ 120‬كلغم �إنقا�ص وزنه‬ ‫بمعدل ‪ 2‬كلغم كل �أ�سبوع ‪ ,‬فبعد كم �أ�سبوع يكون وزن الرجل ‪ 90‬كلغم �إذا ا�ستمر على هذا المع َّدل ؟‬ ‫‪ُ 12‬يراد لف �شريط على بكرة ف�إذا كانت اللفة الأولى ت�ستهلك طو ًال قدره ‪� 12‬سم واللفة الثانية ت�ستهلك‬ ‫طو ًال قدره ‪� 15‬سم والثالثة ت�ستهلك طو ًال قدره ‪� 18‬سم وهكذا ‪ ...‬فما الطول الذي ت�ستهلكه اللفة‬ ‫العا�شرة ؟‬ ‫قدما في الثانية الأولى‬ ‫‪ 13‬قفز رجل مظلي من فوق طائرة ب�شكل ر�أ�سي نحو الأر�ض ف�إذا قطع م�سافة ‪ً 16‬‬ ‫قدما كل ثانية ‪ .‬فما هي الم�سافة التي‬ ‫و�إذا كانت الم�سافة التي يقطعها �أثناء نزوله تزيد بمعدل ‪ً 32‬‬ ‫قطعها المظلي بعد ‪ 20‬ثانية من لحظة القفز ؟‬ ‫‪ 14‬خزان مملوء بالماء �سعته ‪ 800‬م‪ , 3‬ي�ستهلك منه كل يوم ن�صف كمية الماء الموجودة فيه ‪.‬‬ ‫�أوجد كمية الماء التي تبقى في الخزان بعد ‪� 8‬أيام ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بعد كم يوم يبقى في الخزان ‪ 32‬من الكمية الأ�صلية من الماء ؟‬ ‫‪َّ � 15‬إن تر�شيد ا�ستهالك الكهرباء مطلب ديني وح�ضاري ف�إذا كان ا�ستهالك الكهرباء في مدينة جدة‬ ‫يزداد يوم ًّيا مع بداية ف�صل ال�صيف بحيث يبلغ ا�ستهالكها في كل يوم ‪ % 105‬من ا�ستهالكها في‬ ‫اليوم ال�سابق ‪ .‬فكم يكون ا�ستهالكها في اليوم الثالثين من بداية ال�صيف �إذاكان ا�ستهالكها في‬ ‫اليوم الأول ي�ساوي ‪ 60‬جيجا واط ؟‬

‫‪76‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المت�سل�سالت‬

‫المت�سل�سالت‬

‫‪3-2‬‬

‫ليكن لدينا المتتابعة ‪26 ، 17 ، 10، 5 ، 2 :‬‬ ‫�إذا و�ض ��عنا �إ�شارة الجمع بين ِّ‬ ‫كل حدين متتاليين نح�صل على ال�صورة ‪:‬‬ ‫‪1 26 + 17 + 10 + 5 + 2‬‬ ‫تُ�س� � َّمى ه ��ذه ال�ص ��ورة بالمت�سل�س ��لة المرتبط ��ة بالمتتابع ��ة‪26 ، 17 ، 10 ، 5 ، 2 :‬‬ ‫وبالمثل ال�صورة ‪2 ... + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 :‬‬ ‫تُ�س َّمى بالمت�سل�سلة المرتبطة بالمتتابعة‪... ، 21 ، 15 ، 10 ، 6 ، 3 ، 1 :‬‬ ‫الحظ � َّأن عدد حدود المت�سل�س ��لة ‪ 1‬ي�س ��اوي عدد حدود المتتابعة المرتبطة بها و� َّأن المت�سل�س ��لة‬ ‫‪ 2‬غير منتهية وكذلك المتتابعة المرتبطة بها ‪.‬‬ ‫م َّما �سبق يمكننا تقديم التعريف التالي ‪:‬‬

‫تعريف (‪)7-2‬‬ ‫�إذا كانت‬ ‫المنتهية ‪:‬‬ ‫و�إذا كانت‬ ‫‪+2 +1‬‬

‫متتابعة منتهية عدد حدودها ف�إن المت�سل�سلة المرتبطة بها هي المت�سل�سلة‬ ‫‪+ .... + 3 + 2 + 1‬‬ ‫متتابعة غير متنهية ف�إن المت�سل�سلة المرتبطة بها هي المت�سل�سلة غير المنتهية‪:‬‬ ‫‪.... + 3‬‬

‫الحد العلوي‬

‫(‪)5-2‬‬ ‫يمكن ا�ستخدام الحد العام‬

‫للمتتابعة ورمز المجموع‬

‫للتعبير ب�صورة مخت�صرة عن المت�سل�سلة المرتبطة بها ؛ فالمت�سل�سلة‬ ‫المنتهية في تعريف ( ‪ ) 7-1‬تكتب على ال�صورة‬ ‫بينما تكتب المت�سل�سلة غير المنتهية على ال�صورة‬

‫الدليل‬

‫=‪1‬‬ ‫الحد ال�سفلي‬

‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪77‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫اكتب المت�سل�سالت الآتية ب�صورة مخت�صرة ‪.‬‬ ‫‪2 ( + ... + 17 + 7 + 1‬‬

‫‪2‬‬

‫– ‪... + ) 1‬‬

‫‪22 + 17 + 12 + 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪128 64 32 16 8 + 4 + 2‬‬

‫الحل‬ ‫المت�سل�سلة المعطاة ترتبط بالمتتابعة ( غير المنتهية ) ‪2 ( , ... , 17 , 7 , 1 :‬‬ ‫حيث‬

‫=(‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫–‪)1‬‬

‫� ًإذا المت�سل�سلة المعطاة هي‬

‫(‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬

‫–‪)1‬‬

‫المت�سل�سلة ترتبط بالمتتابعة ‪22 , 17 , 12 , 7 :‬‬ ‫وهذه المتتابعة ح�سابية ( لماذا ؟ ) وعدد حدودها = ‪4‬‬ ‫وح ُّدها العام‬

‫= ‪(+‬‬

‫= ‪(+7‬‬

‫–‪ ) 1‬ف ‪ ,‬حيث = ‪ , 7‬ف = ‪5 = 7 – 12‬‬

‫–‪5 = 5 × ) 1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2+‬‬

‫(‪) 2 + 5‬‬ ‫� ًإذا المت�سل�سلة المعطاة هي‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫المت�سل�سلة ترتبط بالمتتابعة ‪128 64 32 16 8 + 4 + 2 :‬‬ ‫وهي متتابعة هند�سية ( لماذا ؟ ) ‪ ,‬عدد حدودها = ‪7‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫÷‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪,‬‬ ‫وح ُّدها العام‬ ‫= ب‬ ‫‪2 2 4‬‬ ‫‪ ,‬حيث = ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪) 2 ( = 1- ) 2 ( 2‬‬ ‫‪1 7‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫� ًإذا المت�سل�سلة المعطاة هي‬ ‫=‪1‬‬

‫‪78‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪2‬‬

‫– ‪... , ) 1‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬ ‫‪5‬‬

‫اكتب المت�سل�سلة‬

‫=‪1‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫بالتعوي�ض عن قيم‬ ‫‪5‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪3 2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪3 2‬‬

‫‪1-‬‬

‫مف�صلة ‪.‬‬ ‫ب�صورة َّ‬

‫بالأعداد من ‪� 1‬إلى ‪ 5‬على التوالي نح�صل على ‪:‬‬

‫=‪3 2‬‬ ‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪1–1‬‬

‫‪3 2+‬‬ ‫‪6 +‬‬

‫‪1–2‬‬

‫‪3 2+‬‬ ‫‪18 +‬‬

‫‪1–3‬‬

‫‪3 2+‬‬

‫‪1–4‬‬

‫‪3 2+‬‬

‫‪1–5‬‬

‫‪162 + 54 +‬‬

‫المت�سل�سالت الح�سابية والهند�سية المنتهية ‪:‬‬ ‫تعريف (‪)8-2‬‬ ‫ت�س ��مى المت�سل�س ��لة المنتهية‬

‫=‪1‬‬

‫مت�سل�س ��لة ح�س ��ابية �أو هند�س ��ية �إ ذا كانت المتتابعة‬

‫ح�سابية �أو هند�سية على الترتيب‪.‬‬

‫فمث ًال ‪ :‬المت�سل�س ��لة الواردة في مثال ( ‪ ) 17-2‬فقرة (ب) هي مت�سل�س ��لة ح�س ��ابية منتهية بينما المت�سل�سلة‬ ‫في فقرة (جـ ) هند�سية منتهية ‪.‬‬

‫تدريب (‪)6-2‬‬ ‫ب ِّين نوع كل مت�سل�سلة فيما يلي ثم اكتبها ب�صورة مخت�صرة‪:‬‬ ‫‪+ ... + 13 + 9 + 5‬‬

‫‪+ ... + 27 + 9 + 3‬‬

‫مجموع المت�سل�سالت الح�سابية والهند�سية المنتهية‪:‬‬ ‫�إذا كان ��ت لدين ��ا المت�سل�س ��لة المنتهي ��ة ‪ 15 + 12 + 9 + 6 + 3‬ف�إنه يمكننا �إيجاد مجموعها مبا�ش ��ر ًة فيكون‬ ‫المجموع = ‪45 = 15 + 12 + 9 + 6 + 3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪79‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫�أ َّما �إذا كان عدد حدود المت�سل�س ��لة كبي ًرا ف�إنه من غير المنا�س ��ب عمل ًّيا �أن نوجد المجموع بالطريقة ال�س ��ابقة‬ ‫نف�سها ؛ لذا ف�إننا �سنبحث عن قانون لإيجاد مجموع ٍّ‬ ‫كل من المت�سل�سلة الح�سابية والهند�سية المنتهية و�سنرمز‬ ‫لمجموع المت�سل�سلة المنتهية‬ ‫�أي � َّأن جــ =‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫بالرمز جــ ( مجموع من الحدود )‬ ‫‪+ ... +‬‬

‫‪3‬‬

‫�أ َّو ًال‪ -‬مجموع المت�سل�سلة الح�سابية المنتهية‪:‬‬ ‫�إذا ا�س ��تخدمنا ال�ص ��ورة العام ��ة للمتتابعة الح�س ��ابية في كتاب ��ة مجموع المت�سل�س ��لة الح�س ��ابية المنتهيةجــ‬ ‫بطريقتين مختلفتين ثم �أجرينا عملية الجمع بينهما على النحو التالي ‪:‬‬ ‫جــ =‬ ‫جــ =‬

‫‪ + ( +‬ف)‬ ‫‪( +‬‬

‫‪ 2‬جــ = ( ‪+‬‬

‫‪( + ... +‬‬

‫–ف) ‪+‬‬

‫– ف ) ‪ + ( + ... +‬ف ) ‪+‬‬ ‫)‪+ ( +‬‬

‫) ‪+ ( + . .. +‬‬

‫)‪+ (+‬‬

‫)‬

‫من المرات‬

‫نجد � َّأن ‪:‬‬

‫‪2‬جــ = ( ‪) +‬‬ ‫وهكذا ن�ستنتج القانون التالي لإيجاد مجموع المت�سل�سلة الح�سابية المنتهية بداللة حدها الأول وحدها الأخير‬ ‫وعدد حدودها ‪.‬‬ ‫جــ‬ ‫= ‪2‬‬

‫( ‪+‬‬

‫)‬

‫(‪)3-2‬‬

‫وبم ��ا � َّأن = ‪ ) 1- ( +‬ف ف�إن ��ه يمكنن ��ا كتاب ��ة القانون ال�س ��ابق بداللة الح ��د الأول والفرق العام ف‬ ‫وعدد الحدود على ال�صورة التالية ‪:‬‬

‫جــ = ‪ )1 - ( + 2 2‬ف‬

‫‪80‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫(‪)4-2‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫�أوجد مجموع المت�سل�سلة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪20‬‬ ‫=‪1‬‬

‫(‪)1– 2‬‬

‫= ‪ 1 – 2‬فالمت�سل�سلة ح�سابية وفيها ف = ‪1 = 1 – 1 2 = 1 = ، 2‬‬

‫بما � َّأن‬

‫عدد الحدود = ‪ 20‬وبتطبيق القانون ( ‪ )4-2‬يكون ‪:‬‬

‫جــ‪400 = 40 10 = 38 + 2 10 = 2 ) 1– 20 ( + 1 2 20 = 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ويمكن تطبيق القانون ( ‪ )3-2‬حيث ‪39 = 1 – 20 2 = 20‬‬

‫فيكون جــ‪400 = 40 10 = 39 + 1[ 20 = 20‬‬ ‫‪2‬‬

‫قارن بين القانونين ال�سابقين من حيث �سهولة تطبيقهما ‪.‬‬

‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫�أوجد مجموع المت�سل�سلة الح�سابية‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪6‬‬

‫= –‪4‬‬

‫‪10 = 13‬‬

‫‪15‬‬ ‫=‪1‬‬

‫عل ًما ب�أ َّن‬

‫‪ 5 +‬ف = –‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 12 +‬ف = ‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫وبطرح ‪ 1‬من ‪ 2‬نح�صل على ‪:‬‬

‫‪ 7‬ف = ‪14‬‬

‫‪6‬‬

‫= ‪10 = 13 ، 4-‬‬

‫ف=‪2‬‬

‫وبالتعوي�ض في ‪ 1‬عن قيمة ف = ‪ 2‬ينتج � َّأن ‪:‬‬ ‫‪4– = 2 5 +‬‬

‫= ‪14-‬‬

‫� ًإذا جــ‪2 ) 1-15 ( + )14-( 2 [ 15 = 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫= [ ‪� = 28 + 28 -‬صفر‬ ‫‪2‬‬

‫ا�ستخدمنا القانون ( ‪) 4-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪81‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫عل ًما ب�أ َّن ‪، 13 = 1‬‬

‫�أوجد عدد حدود المت�سل�سلة الح�سابية‬

‫الحل‪:‬‬

‫جــ =‬

‫‪2‬‬

‫( ‪+‬‬

‫)‬

‫‪= 80‬‬

‫‪2‬‬

‫( ‪) 5 – 13‬‬

‫= ‪ ، 5-‬ج ـ = ‪80‬‬

‫‪4 = 80‬‬

‫= ‪20‬‬

‫تدريب (‪)7-2‬‬ ‫�أوجد مجموع �أول ‪ 200‬عدد طبيعي ‪.‬‬

‫تدريب (‪)8-2‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫‪16‬‬ ‫=‪1‬‬

‫مت�سل�سلة ح�سابية حدها الأول ( ‪ ) 4-‬ومجموعها ‪ 8‬فما هو فرقها العام ؟‬

‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫َّ‬ ‫لر�ص ‪ 66‬علبة طالء ‪.‬‬ ‫�إذا اتبعنا الأ�سلوب‬ ‫المو�ضح في ال�شكل المجاور ِّ‬ ‫فما هو عدد ال�صفوف التي تنتج عن ذلك ؟‬

‫الحل‪:‬‬ ‫بفر�ض � َّأن ال�صف الأول هو ال�صف العلوي ‪ ,‬نجد من ال�شكل المجاور � َّأن ‪:‬‬ ‫عدد العلب في ال�صف الأول = ‪1‬‬ ‫عدد العلب في ال�صف الثاني = ‪2‬‬ ‫عدد العلب في ال�صف الثالث = ‪3‬‬ ‫وهكذا ‪...‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن لدينا متتابعة ح�سابية حدها الأول = ‪ , 1‬وفرقها العام ف = ‪1‬‬ ‫وحدها العام ( عدد العلب في ال�صف الرائي )‬

‫=‬

‫والمطلوب عدد حدودها �إذا كان مجموع هذه الحدود = ‪66‬‬

‫‪82‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫جــ =‬

‫‪2‬‬

‫‪ ) 1– ( + 2‬ف =‬ ‫)=‬

‫( �أو جــ = ( ‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وحيث �إن جــ = ‪66‬‬ ‫( ‪66 = ) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 = 132 – +‬‬ ‫( ‪0 = ) 11 – ( ) 12 +‬‬ ‫= ‪( 12 -‬مرفو�ض )‬ ‫= ‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= ) 1– + 2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪) +1‬‬

‫(‪)) +1‬‬

‫عدد ال�صفوف الناتجة = ‪� 11‬صف ًا‬

‫كم علبة ن�ضع في ال�صف ال�سفلي �إذا كان لدينا ‪ 78‬علبة ؟‬

‫ثان ًياً‪ -‬مجموع المت�سل�سلة الهند�سية المنتهية‪:‬‬ ‫با�ستخدام ال�صورة العامة للمتتابعة الهند�سية في كتابة مجموع المت�سل�سلة الهند�سية المنتهية نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫جــ = ‪ +‬ب ‪ +‬ب‪ + 2‬ب‪ + ... + 3‬ب‬ ‫جــ ‪ 0‬ب = ب ‪ +‬ب‪ + 2‬ب‪ + ... + 3‬ب ‪ + 1-‬ب‬ ‫جــ ‪ -‬جــ ‪ 0‬ب = ‪ – 0 + ... + 0 + 0 +‬ب‬ ‫جــ ( ‪ - 1‬ب ) = ( ‪ - 1‬ب )‬ ‫وبالق�سمة على ( ‪ - 1‬ب ) حيث ب ‪ 1‬ن�ستنتج القانون التالي لمجموع المت�سل�سلة الهند�سية المنتهية بداللة‬ ‫حدها الأول ون�سبتها العامة ب وعدد حدودها ‪.‬‬

‫جــ = (‪ -1‬ب ) ‪ ،‬ب‬ ‫‪-1‬ب‬

‫‪1‬‬

‫(‪)5-2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪83‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫�أ َّما �إذا كانت ب = ‪ 1‬ف� َّإن المت�سل�سلة ت�صبح ‪+ ... + + :‬‬ ‫جــ =‬

‫(‬

‫ح ًّدا )‬ ‫(‪)6-2‬‬

‫‪ ،‬ب=‪1‬‬

‫المت�سل�سلة ‪ ( + ... + + :‬ح ًّدا ) ح�سابية منتهية ( لماذا ؟ )‬ ‫ا�ستخدم القانون ( ‪ ) 4-2‬ال�ستنتاج القانون ( ‪.) 6-2‬‬

‫مثال (‪)23-2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أوجد مجموع المت�سل�سلة الهند�سية ‪) 4 ( 256‬‬

‫‪1-‬‬

‫=‪1‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪1- 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ ، 256‬ب = ‪ ( 4‬لماذا ؟ )‬ ‫= ‪) 4 ( 256‬‬ ‫وبما � َّأن = ‪ 4‬ف�إنه ح�سب القانون ( ‪ ) 5-2‬يكون ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫)‬ ‫‪) 4 -1(256‬‬ ‫)‬ ‫‪-1(256‬‬ ‫‪4 255 1 - 256‬‬ ‫= ‪340‬‬ ‫=‬ ‫‪= 256 3‬‬ ‫=‬ ‫جــ‪= 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 -1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‬

‫مثال (‪)24-2‬‬ ‫�أوجد مجموع المتتابعة ‪96 - ، ... ، 12 ، 6 - ، 3 :‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫‪، 2-= 3 = 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫= ‪2 - = 6-‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫المتتابعة هند�سية ن�سبتها العامة ب = ‪ ، 2 -‬وحدها الأول = ‪3‬‬ ‫ولإيجاد عدد حدودها ن ن�ضع = ‪ ( 96 -‬الحد الأخير )‬ ‫فيكون ‪ :‬ب ‪96 – = 1 -‬‬

‫‪84‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫‪96 – = 1 - ) 2 – ( 3‬‬ ‫( – ‪32 – = 1 - ) 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( – ‪) 2 – ( =1 - ) 2‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫–‪5=1‬‬ ‫(‪ - 1‬ب ‪)64 - 1( 3 )6 )2 -( - 1( 3 )6‬‬ ‫= – ‪63‬‬ ‫=‬ ‫مجموع المتتابعة جــ‪ - 1 = 6‬ب =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2-( - 1‬‬

‫تدريب (‪)9-2‬‬ ‫‪5‬‬

‫�إذا كانت‬

‫مت�سل�سلة هند�سية مجموعها ‪ 121‬ون�سبتها العامة ‪ 3‬ف�أوجد حدها الأول ‪.‬‬

‫مثال (‪)25-2‬‬ ‫يت�ضاع���ف ن���وع من البكتريا كل يوم بعد زراعت���ه ‪ .‬اح�سب مجموع �أعداد البكتريا التي يمكن ر�صدها في‬ ‫الأيام الع�شرة الأولى من زراعتها �إذا كان عددها في اليوم الأول ‪. 800‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫تت�ضاعف البكتريا وفق المتتابعة ‪... ،3200 ،1600 ، 800 :‬‬ ‫وهذه المتتابعة هند�سية ن�سبتها العامة ب = ‪ 2‬وحدها الأول = ‪800‬‬ ‫فيكون المجموع المطلوب هو‪:‬‬ ‫(‪ - 1‬ب‪)10 2 - 1(800 ) 10‬‬ ‫‪818400 = ) 1023– ( × 800 – = 2 -1‬‬ ‫جــ‪ 1 = 10‬ب =‬ ‫‬‫ ‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪85‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫المت�سل�سالت والأنماط ‪:‬‬ ‫عند درا�سة المتتابعات الح�سابية والهند�سية عرفنا ال�صورة العامة والحد العام ٍّ‬ ‫لكل منهما ‪ .‬وال ُب َّد �أنك الحظت‬ ‫أنواع من المتتابعات لي�ست ح�سابية وال هند�سية على الرغم من � َّأن حدودها تتتابع وفق ٍ‬ ‫نمط مع َّين �أي �أنها‬ ‫وجود � ٍ‬ ‫تخ�ضع لقاعدة جبرية ( لها حد عام )‪.‬‬ ‫والأمثلة التالية هي لمتتابعات نمطية لي�ست ح�سابية وال هند�سية ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- = ... ، 3 – ، 2 – ، 1 – 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= ... ، 9 ، 4 ، 1 2‬‬ ‫‪= ... ، 28 ، 9 ، 2 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1+‬‬

‫� ِ‬ ‫أعط �أمثلة �أخرى لمتتابعات نمطية لي�ست ح�سابية وال هند�سية ‪.‬‬ ‫و�إذا تفكرن ��ا ف ��ي هذا الكون الف�س ��يح الذي �أبدعه الخالق �س ��بحانه وتعالى نجد � َّأن هن ��اك العديد من الظواهر‬ ‫الطبيعي ��ة التي تخ�ض ��ع لأنماط مع َّينة يع ُّد اكت�ش ��افها وتنظيمها ف ��ي متتابعات عددية من المهارات الريا�ض ��ية‬ ‫المهمة ‪ .‬ومن �أ�ش ��هر المتتابعات النمطية المرتبطة بالظواهر الطبيعية تلك التي اكت�ش ��فها العالم فيبونا�ش ��ي‬ ‫( ‪ 1250– 170‬م ) وتعرف بمتتابعة فيبونا�شي ( ‪) Fibonacci sequence‬‬ ‫وهي ‪... ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1 :‬‬ ‫‪21 = 13 + 8 13 = 8 + 5 8 = 5 + 3 5 = 3 + 2 3 = 2 + 1 2 = 1 + 1‬‬

‫وهذا يعني � َّأن ‪1 = 2 = 1 :‬‬

‫‪،‬‬

‫=‬

‫‪+ 1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪3‬‬

‫هل هذه المتتابعة ح�سابية ؟ هل هي هند�سية ؟‬ ‫�أوجد الحدود الثالثة التالية للعدد ‪ 21‬في متتابعة فيبونا�شي‪.‬‬ ‫والآن بعد عر�ض هذه الأمثلة المختلفة لمتتابعات نمطية غير ح�س ��ابية وغير هند�س ��ية ‪ ،‬لع َّلك تت�ساءل ماذا عن‬ ‫مجاميع المت�سل�سالت النمطية المنتهية غير الح�سابية وغير الهند�سية ؟‬ ‫في الواقع �سنقت�ص ��ر على �إثبات �صحة قوانين البع�ض منها ال�سيما مجاميع المت�سل�سالت الم�شهورة وذلك عند‬ ‫درا�سة مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي ‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫معلومات �إثرائية‪:‬‬ ‫�أو ًال‪ -‬لقد كان لعلمائنا الم�س ��لمين الأوائل الف�ض ��ل في ح�س ��اب مجاميع بع�ض المت�سل�س�ل�ات النمطية غير‬ ‫الح�س ��ابية وغي ��ر الهند�س ��ية ‪ ,‬فه ��ذا العالم الح�س ��ن بن الهيثم الب�ص ��ري ( ‪ 1039 – 965‬م ) قد اكت�ش ��ف‬ ‫المتطابقة المعروفة با�سمه « متطابقة ‪ * »Alhazen‬وهي بالرموز الحديثة ‪:‬‬ ‫( ‪)1+‬‬

‫‪+ 1+‬‬

‫=‬

‫)‬

‫(‬

‫وتُّعد هذه المتطابقة تعميم ًا للمتطابقتين المعروفتين �آنذاك ‪:‬‬ ‫‪) 1 + ( = + ... 3 + 2 + 1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) 1 + 2 ( ) 1 + ( = 2 + ... 23 + 22 + 21 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪� ،‬أي مجموع �أول من الأعداد الطبيعية المرفوعة لأي �أ�س طبيعي وكانت‬ ‫حيث �أمكن منها ح�ساب‬ ‫الو�س ��يلة التي اتبعها الح�س ��ن الكت�ش ��اف هذه المتطابقة – والتي و�ص ��فها الغربيون ب�أنها طريقة عبقرية –‬ ‫هي م�ض ��اهاة م�ساحة الم�ستطيل الخارجي لمجموع م�ساحات الم�ستطيالت الداخلية له والمبينة في ال�شكل‬ ‫التالي ‪:‬‬ ‫)‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬

‫‪1+‬‬

‫( ‪)1 +‬‬

‫* د ‪ .‬عا�صم �ضيف ‪ /‬كتاب ح�ساب التفا�ضل والتكامل ‪ /‬القاهرة ‪ 2005 /‬م‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪87‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫ثان ًيا‪ -‬تم اكت�ش ��اف متتابعة فيبونا�ش ��ي عند درا�س ��ة التكاثر في الأرانب والتي ي�س ��تغرق الزوج منها �ش ��ه ًرا بعد‬ ‫والدته ليتزاوج و�شه ًرا �آخر لينجب ‪.‬‬ ‫ت�أمل ال�شكل التالي والحظ تزايد عدد �أزواج الأرانب في نهاية كل �شهر وفق متتابعة فيبونا�شي َّثم ا�ستخدم‬ ‫ال�شكل نف�سه لتو�ضيح عدد الأزواج في نهاية ال�شهر الخام�س ‪:‬‬

‫البدء بزوج حديث الوالدة‬

‫‪1‬‬

‫عدد أزواج األرانب في نهاية الشهر األول‬

‫‪2‬‬

‫عدد أزواج األرانب في نهاية الشهر الثاني‬

‫‪3‬‬

‫عدد أزواج األرانب في نهاية الشهر الثالث ‪4‬‬ ‫عدد أزواج األرانب في نهاية الشهر الرابع‬

‫‪5‬‬

‫عدد أزواج األرانب في نهاية الشهر اخلامس ‪....‬‬

‫وقد ا�ستخدمت هذه المتتابعة لو�صف تركيبات مختلفة في الطبيعة من �أهمها ال�شكل الحلزوني ل�صدفة بحرية ‪.‬‬ ‫ت�أ َّمل ال�شكل الحلزوني في ال�شكل التالي والذي يعرف بحلزون فيبونا�شي ‪ ،‬ونح�صل عليه ب�أن نر�سم مربعات‬ ‫متتالية تتتابع �أطوال �أ�ض�ل�اعها وفق متتابعة فيبونا�ش ��ي ابتدا ًء بمربع طول �ضلعه الوحدة ؛ و ذلك يعني �أن يكون‬ ‫طول �ضلع � ِّأي مربع بد ًءا من المربع الثالث و الذي طول �ضلعه وحدتين م�ساو ًيا لمجموع طولي �ضلعي المربعين‬ ‫ال�سابقين له مبا�شر ًة ‪ ،‬ثم نر�سم في ِّ‬ ‫كل مربع ربع دائرة طول ن�صف قطرها ي�ساوي طول �ضلع هذا المربع ‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪88‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪13‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫ومن التطبيقات الطبيعية على متتابعة فيبونا�ش ��ي كذلك درا�س ��ة بع�ض الت�ش ��كيالت النباتية مثل زهرة دوار‬ ‫ال�ش ��م�س والت ��ي تترتب بذورها ف ��ي منحنيات حلزونية في اتجاه عقارب ال�س ��اعة وفي عك� ��س اتجاه عقارب‬ ‫ال�س ��اعة ب�أعداد متعاقبة من متتابعة فيبونا�ش ��ي ‪ ،‬وال�شكل التالي يبين � َّأن عدد المنحنيات في اتجاه عقارب‬ ‫ال�س ��اعة ‪ 8‬وفي عك�س اتجاه عقارب ال�ساعة ‪ 13‬وهما عددان متعاقبان في متتابعة فيبونا�شي ‪ ،‬ويتغير هذان‬ ‫العددان في فترة �أخرى من زمن نمو الزهرة ولكن بعددين �آخرين متعاقبين من هذه المتتابعة ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪13‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9 10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫يو�ض ��ح تعاقب �أعداد المنحنيات الحلزونية في مخروط ال�ص ��نوبر وفق متتابعة فيبونا�ش ��ي‬ ‫وال�ش ��كل التالي ِّ‬ ‫وبالطريقة نف�سها في زهرة دوار ال�شم�س‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫وقد ظهرت في ع�ص ��رنا الإ�س�ل�امي الزاه ��ر بع�ض التطبيقات على هذه المتتابعة في ت�ص ��اميم الم�س ��اجد‬ ‫والزخارف الإ�سالمية ‪.‬‬ ‫ن�شاط ‪ :‬بالتعاون مع زمالئك في ال�صف ابحث عن مزيد من التطبيقات الحياتية لمتتابعة فيبونا�شي ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪89‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تمارين (‪)3-2‬‬ ‫‪� 1‬أوجد مجموع المت�سل�سلة في كلٍّ من الفقرات التالية ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪20‬‬

‫هـ‬ ‫ز‬ ‫ط‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪)1+‬‬

‫(‪3‬‬

‫‪)2+‬‬

‫‪5‬‬

‫د‬

‫‪3‬‬

‫و‬

‫‪2‬‬

‫ح‬

‫(– ‪) 3‬‬

‫ى‬

‫‪100‬‬

‫(‪2‬‬

‫–‪)5‬‬

‫(‪3‬‬

‫–‪)2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‪)2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪) 4 ( 12‬‬

‫‪10‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪2( +‬‬

‫–‪))1‬‬

‫‪� 2‬أوجد مجموع الحدود ال�ستين الأولى من المتتابعة الح�سابية ‪... ، 3 ، 2 – ، 7 – :‬‬ ‫‪� 3‬أوجد مجموع المت�سل�سلة الح�سابية‬ ‫‪� 4‬إذا كان مجموع المت�سل�سلة الح�سابية‬

‫‪19‬‬

‫عل ًما ب� َّأن ‪، 130 =12 :‬‬

‫‪19‬‬

‫= ‪116‬‬

‫( ‪ ) 5 + 3‬هو ‪ 215‬فما هو عدد حدودها ؟‬

‫الحد الأول كي ي�صبح مجموعها – ‪ 14‬؟‬ ‫‪ 5‬كم ح ًّدا ي�ؤخذ من المتتابعة الح�سابية ‪ ... ، 17 ، 21 ، 25‬ابتدا ًء من ِّ‬ ‫‪� 6‬أوج ��د مجم ��وع الأع ��داد ال�ص ��حيحة المح�ص ��ورة بي ��ن ‪ 400 ، 100‬وتقب ��ل الق�س ��مة عل ��ى ‪.11‬‬ ‫حد فيها ثالثة �أ�ضعاف الحد ال�سابق له‬ ‫‪ 7‬متتابعة هند�سية حدها الأول ‪ 2‬وحدها الأخير ‪ 162‬ف�إذا كان كل ٍّ‬ ‫ف�أوجد مجموعها ‪.‬‬

‫‪90‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المت�سل�سالت‬ ‫‪ 8‬مجموع الحدين الأول والثاني في متتابعة هند�س ��ية حدودها موجبة هو ‪ 18‬ف�إذا كان حدها الثالث ‪24‬‬ ‫‪ ،‬فما مجموع الحدود الخم�سة الأولى منها ؟‬ ‫‪� 9‬أوجد عدد حدود المت�سل�سلة الهند�سية ( ‪ ) 3‬والتي مجموعها ي�ساوي ‪195‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 10‬موظ ��ف يب ��د�أ العمل براتب �ش ��هري ق ��دره ‪ 6000‬ريال ‪� ,‬إذا كان الموظف يح�ص ��ل على عالوة �س ��نوية‬ ‫قدره ��ا ‪ 300‬ري ��ال �ش ��هر ًيا فك ��م يكون مجم ��وع ما يح�ص ��ل عليه من روات ��ب في نهاية ال�س ��نة الخام�س ��ة ؟‬ ‫‪ 11‬تع َّه ��د مقاول في بناء م�ش ��روع ب� ��أن يدفع غرامة في حالة ت�أخِّ ره في ت�س ��ليم الم�ش ��روع بحيث يدفع في‬ ‫الي ��وم الأول ‪ 1000‬ري ��ال �أ َّم ��ا ف ��ي الأيام الأخ ��رى ف�إنه يدفع ف ��ي كل يوم غرام ��ة تزيد ‪ 50‬ري ��ال عن اليوم‬ ‫ال�س ��ابق ل ��ه ‪ ،‬ف� ��إذا كان مجموع الغرامات الت ��ي دفعها المقاول ه ��و ‪ 15300‬ريال فكم عدد �أي ��ام الت�أخير ؟‬ ‫‪ 12‬يريد ح�سام �أن يوفِّر مبلغًا من المال من خالل توفير ‪ 3‬رياالت في اليوم الأول ثم ‪ 6‬رياالت في اليوم‬ ‫الثاني ثم ‪ 12‬ريا ًال في اليوم الثالث‪ ،‬وهكذا يوفِّر ك َّل يوم �ضعف ما وفَّره في اليوم ال�سابق مبا�شرة ‪� .‬أوجد‬ ‫يوما ‪.‬‬ ‫مجموع مايوف ِّره بعد ‪ً 15‬‬ ‫‪ 13‬خ َّزان ماء فارغ ‪�ُ ،‬ص َّب فيه ‪ 128‬لت ًرا من الماء في ال�ساعة الأولى ُّثم ُ�ص َّب فيه ك َّل �ساعة تليها ن�صف‬ ‫كمية الماء التي ُ�ص َّبت في ال�ساعة ال�سابقة �أوجد �سعة الخزان عل ًما ب�أنه امتلأ في ‪� 8‬ساعات ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪91‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪4-2‬‬

‫البرهان باال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫يع ُّد اال�ستقراء �أحد �أ�ساليب التفكير وي�ستند فيه العقل الب�شري على �أمثلة �أو ملحوظات �أو تجارب �أو‬ ‫اختبارات متواترة تتعلق بق�ضية من الق�ضايا للو�صول منها �إلى ق�ضية عامة ‪ ،‬ف�أ�سلوب اال�ستقراء ينتقل‬ ‫به الم�ستقرئ من الخا�ص �إلى العام معتمدا على فكره ومهاراته في �إجراء التجربة �أو القيا�س ‪ ،‬غير � َّ​ّأن‬ ‫يتو�صل �إليها ‪.‬‬ ‫هذا ال يحتِّم �صدق الق�ضية التي َّ‬ ‫فعلى �سبيل المثال نجد � َّأن ال�سوائل تتمدد بارتفاع درجة حرارتها بينما ال تنطبق هذه الخا�صية على‬ ‫الماء عندما تكون درجة حرارته بين ال�صفر و�أربع درجات مئوية ‪.‬‬ ‫وفي الريا�ضيات نجد – مث ًال – �أن َّ العبارة الريا�ضية ع ( )‪6 11 2 5 3 )1 2( :‬‬ ‫=‪1‬‬

‫�صحيحة عند‬

‫‪ 1‬؛ ل َّأن‬

‫أي�ضا عند‬ ‫و�صحيحة � ً‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪1‬‬ ‫=‪1‬‬

‫(‪1 )1– 2‬‬

‫الطرف الأي�سر ‪1 6 1 11 21 5 1‬‬ ‫الطرفين مت�ساويان‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫=‪1‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪ 4‬يختلف الأمر حيث‬

‫العبارة غير �صحيحة عند‬

‫‪92‬‬

‫‪3‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪9 5 3 1 )1‬‬

‫‪ 3‬؛ لأن‬ ‫َّ الطرف الأي�سر ‪9 6 )3( 11 2)3( 5 33‬‬ ‫الطرفين مت�ساويان‬

‫�إ َّال � َّأن هذا كله ال يكفي لإثبات �صحة هذه العبارة‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪ 2‬؛ ل َّأن‬ ‫الطرف الأي�سر ‪4 6 )2( 11 2)2( 5 32‬‬ ‫الطرفين مت�ساويان‬

‫وهي �صحيحة كذلك عند‬

‫فعند‬

‫‪4 3 1 )1‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫=‪1‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪1‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪16 7+ 5 3 1 )1‬‬

‫الطرف الأي�سر ‪22 6 )4( 11 2)4( 5 34‬‬ ‫الطرفين غير مت�ساويان‬ ‫‪� 4‬أي � َّأن العبارة لي�ست �صحيحة ‪.‬‬

‫البرهان باال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫وقد نجد في مثال �آخر � َّأن العبارة ت�صح حتى ‪ 1000‬ثم تكون غير �صحيحة عند ‪ 1001‬؛ لذلك ف�إننا في‬ ‫الريا�ضيات ال نتخذ اال�ستقراء �أ�سلو ًبا للبرهان لكننا نعتمد على حالة خا�صة منه تعرف باال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫تو�صل �إليها الريا�ضيون عن طريق اال�ستقراء ‪.‬‬ ‫لإثبات �صحة العديد من القوانين والعبارات الريا�ضية التي َّ‬ ‫واال�ستقراء الريا�ضي له مبد�أ ن�صوغه على النحو التالي ‪:‬‬ ‫مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫لإثبات �صحة عبارة لإثبات �صحة عبارة ريا�ضية ع ( ) ‪،‬‬ ‫الخطوة الأولى ( الأ�سا�سية )‬ ‫نثبت �صحة ع ( ‪� ، ) 1‬أي نثبت �صحة العبارة عند‬

‫ن َّتبع الآتي ‪:‬‬

‫‪ 1‬والتي ت�س َّمى نقطة البدء‬

‫الخطوة الثانية ( اال�ستقرائية )‬ ‫نثبت �صحة ع ( ‪ ) 1‬مفتر�ضين �أ َّن ع ( ) �صحيحة ‪.‬‬ ‫� َّإن الخطوتين ال�سابقتين تكفيان لإثبات �صحة ع ( ) ‪،‬‬ ‫ع (‪� )1‬صحيحة‬

‫ع (‪� )2‬صحيحة ع (‪� )3‬صحيحة‬

‫؛ ل َّأن الخطوة اال�ستقرائية تعني � َّأن ‪:‬‬ ‫‪...‬‬

‫نتيجة (‪)1-2‬‬ ‫�إذا كانت نقطة البدء هي‬ ‫ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫هـ ( بد ًال من‬

‫‪ ) 1‬ف�إنه يمكن �صياغة مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي على‬

‫– ‪ , ... , 3 , 2 , 1‬هـ – ‪� 1‬إذا كانت ‪:‬‬ ‫تكون ع ( ) �صحيحة‬ ‫ع (هـ) �صحيحة َو (ع ( ) �صحيحة ع ( ‪� )1‬صحيحة )‬ ‫والآن قبل �أن نبد�أ با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي في حل الأمثلة يلزمنا التذكير ب�إحدى الخوا�ص المهمة‬ ‫للرمز و هي ‪:‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪1+‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪93‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫مثال (‪)26-2‬‬ ‫‪.‬‬

‫با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي �أثبت �صحة العبارة الريا�ضية التالية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1 ( 2‬‬ ‫ع( )‪:‬‬ ‫=‪1‬‬

‫الحل‬

‫‪ 1‬نثبت �صحة ع ( ‪ ) 1‬بو�ضع‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1‬في ع ( ) فيكون ‪:‬‬

‫=‪ ، 1‬الطرف الأي�سر‬

‫=‪1‬‬

‫الطرفين مت�ساويان‬

‫نثبت �صحة ع ( ‪: )1+‬‬

‫‪1 )1 1( 1‬‬

‫ع (‪� )1‬صحيحة ‪.‬‬

‫‪ 2‬بفر�ض �صحة ع ( ) ‪:‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪1‬‬ ‫‪1+‬‬

‫=‪1‬‬ ‫‪1+‬‬

‫‪( )1‬‬

‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 2‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 2‬‬ ‫‪)1‬‬

‫(‬

‫‪()1‬‬

‫‪)1‬‬ ‫‪ )2‬كما يلي ‪:‬‬ ‫‪)1‬‬

‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 2‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪1+‬‬

‫( من خ�صائ�ص الرمز‬

‫( من الفر�ض )‬

‫‪)2‬‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫ع(‬

‫‪� ) 1‬صحيحة‬

‫من ( ‪ ) 2 ( ، ) 1‬تكون ع ( ) �صحيحة‬ ‫�أنه من ال�سهل �إثبات �صحة ع ( )‬

‫‪.‬‬ ‫‪ ،‬حيث الطرف الأيمن من العبارة (‬

‫مت�سل�سلة ح�سابية منتهية حدها الأول ‪ ، 1‬وحدها الأخير وعدد حدودها ‪ ،‬فيكون ‪:‬‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫‪94‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫=‪1‬‬

‫جــ‬

‫)‬

‫‪1( 2‬‬

‫)‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫=‪1‬‬

‫) هو‬

‫البرهان باال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫مثال (‪)27-2‬‬ ‫�أثبت �صحة العبارة الريا�ضية ع ( ) ‪:‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬ ‫=‪1‬‬

‫الحل‬

‫‪2‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1‬نثبت �صحة ع (‪: )1‬‬ ‫‪1‬‬

‫الطرف الأيمن =‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫الطرفين مت�ساويان‬

‫ع ( ‪� ) 1‬صحيحة ‪.‬‬

‫‪ 2‬بفر�ض �صحة ع ( ) ‪:‬‬ ‫نثبت �صحة ع (‬

‫‪1+‬‬

‫(‬ ‫(‬

‫ع(‬

‫=‪1‬‬ ‫‪1+‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪ ( 2) 1‬ــــــــ‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪( 2) 1‬‬

‫(‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪()1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪2‬‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪)1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫=‪1‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫=‪1‬‬

‫‪=3‬‬

‫=‪1‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬

‫‪:)1‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪ ، 1‬الطرف الأي�سر‬

‫‪3‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪)1 1 (1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2‬‬

‫‪) 4‬‬ ‫(‬

‫‪()1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪2‬‬

‫الطرف الأي�سر ‪.‬‬

‫‪� ) 1‬صحيحة‬

‫من ( ‪ ) 2 ( ، ) 1‬تكون ع ( ) �صحيحة‬

‫‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪95‬‬

‫الوحدة الثانية‬ ‫(‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫ومن الجدير ذكره � َّأن الطرف الأيمن من العبارة ع ( ) ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫نمطية منتهية لي�ست ح�سابية وال هند�سية ومجموعها جــ هو الطرف الأي�سر من العبارة ‪،‬‬ ‫( ‪)1‬‬ ‫‪ 3‬وهو جــ‬ ‫وهكذا نكون قد برهنا على �صحة قانون مجموع المت�سل�سلة‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫�أوجد مجموع المت�سل�سلة‬ ‫‪3‬‬

‫هو مت�سل�سلة‬ ‫‪2‬‬

‫=‪1‬‬

‫مثال (‪)28-2‬‬ ‫با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي ادر�س �صحة العبارة الريا�ضية التالية‬ ‫ع( )‪:‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫الحل‬

‫(‬

‫‪1 )1‬‬

‫نبحث �صحة ع ( ‪: ) 1‬‬ ‫الطرف الأيمن‬

‫‪1‬‬ ‫=‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫الطرفين غير مت�ساويين‬

‫‪ ، 3‬الطرف الأي�سر‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 )1 1(1‬‬

‫‪2‬‬

‫ع ( ‪ ) 1‬غير �صحيحة ‪.‬‬

‫� ًإذا العبارة غير �صحيحة ‪.‬‬ ‫�أننا لو افتر�ضنا �صحة ع ( ) لوجدنا � َّأن ع (‬ ‫ع ( ) لي�ست �صحيحة ( لماذا ؟ )‬

‫‪96‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪� )1‬صحيحة ( تحقق من ذلك ) ومع هذا ف� َّإن‬

‫البرهان باال�ستقراء الريا�ضي‬ ‫مثال (‪)29-2‬‬ ‫�أثبت �صحة العبارة الريا�ضية ع ( ) ‪:‬‬

‫( –‪2 )1‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪1‬‬

‫– ‪1‬‬

‫‪1+‬‬

‫الحل ( ح�سب النتيجة ( ‪) ) 1-2‬‬ ‫‪ 1‬نثبت �صحة ع ( ‪: ) 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫الطرف الأيمن =‬

‫‪ ، 8 2 2‬الطرف الأي�سر ( ‪2 ) 1 – 2‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪2‬‬

‫الطرفين مت�ساويان‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪2‬‬

‫–‪2 )1‬‬ ‫–‪1‬‬

‫‪( 1+ 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2+‬‬

‫‪1+‬‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪2‬‬

‫(‬

‫ع(‬

‫=‪2‬‬

‫‪1+‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪1+‬‬

‫( –‪2 )1‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪2‬‬

‫‪:)1‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪8‬‬

‫ع ( ‪� ) 2‬صحيحة ‪.‬‬

‫‪ 2‬بفر�ض �صحة ع ( ) ‪:‬‬ ‫نثبت �صحة ع (‬

‫‪1+2‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪2 )1‬‬

‫(‬ ‫(‬

‫‪1+‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪2 )1‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2+‬‬

‫الطرف الأي�سر‬

‫‪� )1‬صحيحة‬

‫من ( ‪ ) 2 ( ، ) 1‬تكون ع ( ) �صحيحة‬

‫– ‪. 1‬‬

‫تدريب (‪)10-2‬‬ ‫بالتعاون مع زميلك في ال�صف ا�ستخدم مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي للبرهنة على �صحة القانون ( ‪ ) 4-2‬لمجموع‬ ‫المت�سل�سلة الح�سابية المنتهية ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪97‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫تمارين (‪)4-2‬‬ ‫في التمارين من ‪� 1‬إلى ‪� 6‬أثبت با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراءالريا�ضي �صحة العبارات المعطاة‬ ‫ ‪1‬‬

‫ع(‬

‫)‪:‬‬

‫ ‪2‬‬

‫ع(‬

‫)‪:‬‬

‫ ‪3‬‬

‫ع( )‪:‬‬

‫ ‪4‬‬

‫ع( )‪:‬‬

‫ ‪5‬‬

‫ع(‬

‫)‪:‬‬

‫ ‪6‬‬

‫ع(‬

‫)‪:‬‬

‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫(‬

‫‪)1‬‬

‫(‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5( 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫(‬ ‫ب‬

‫‪1‬‬

‫‪1-‬‬

‫(‬

‫‪)1‬‬

‫(‬ ‫(‪3‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪)1‬‬ ‫‪)1‬‬

‫‪)1‬‬ ‫‪2()1‬‬

‫‪)1‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‪ 1‬ب )‬ ‫‪ 1‬ب‬

‫قانون ( ‪) 5-2‬‬

‫‪7‬‬ ‫ �أثبت با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي �صحة العبارة التالية ‪:‬‬ ‫‪)3 ()1‬‬ ‫(‬ ‫– ‪2،1‬‬ ‫ع( )‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪3‬‬

‫‪98‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1‬المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية �أو مجموعة جزئية منها وحدها العام هو قاعدة الدالة‬ ‫ويمكن به ايجاد كل حد في المتتابعة ‪.‬‬ ‫منتهية‬ ‫= ‪� 1‬إذا كانت‬ ‫يوجد مت�سل�سلة مرتبطة بها هي‬ ‫‪ 2‬لكل متتابعة‬ ‫∞‬ ‫= ‪� 1‬إذا كانت‬ ‫غيرمنتهية‬ ‫‪ 3‬بع� ��ض الم�ص ��طلحات والقوانين على المتتابعات الح�س ��ابية والهند�س ��ية والملخ�ص ��ة في الج ��دول التالي ‪:‬‬ ‫نوع المتتابعة‬ ‫ح�سابية وفرقها العام ف‬ ‫هند�سية ون�سبتها العامة ب‬

‫الحد العام فيها‬ ‫–‬

‫‪1-‬‬

‫‪1-‬‬

‫(‬ ‫ب‬

‫مجم���وع المت�سل�سل���ة المرتبط���ة‬ ‫بالمتتابعة‬ ‫)‬ ‫‪( 2‬‬ ‫جــ‬

‫‪ ) 1‬ف جــ‬ ‫‪1-‬‬

‫جــ‬ ‫جــ‬

‫‪( 2 2‬‬ ‫(‪ 1‬ب )‬ ‫‪ 1‬ب‬ ‫‪،‬ب ‪1‬‬

‫‪)1‬ف‬ ‫‪،‬ب ‪1‬‬

‫‪� 4‬إذا كانت ‪� ،‬س‪� ، 1‬س‪� ،2‬س‪� ، ... ،3‬س م‪ ،‬ي متتابعة ح�سابية (�أو هند�سية) ف� َّإن ‪� :‬س‪� ،1‬س‪� ، 2‬س‪� ،... ،3‬س‬ ‫ي‬ ‫ت�سمى �أو�ساط ح�سابية ( �أو هند�سية ) بين العددين ‪ ،‬ي ويكون ف‬ ‫م ‪1‬‬ ‫م‪ 1+‬ي‬ ‫�إذا كان م زوجي‬ ‫)‬ ‫(�أو ب‬ ‫ي‬ ‫م‪ 1+‬ي‬ ‫‪0‬‬ ‫�إذا كان م فردي ‪،‬‬

‫م‬

‫‪ 5‬حل بع�ض التطبيقات الحياتية على المتتابعات والمت�سل�سالت الح�سابية والهند�سية ‪.‬‬ ‫‪� 6‬إثبات �ص ��حة بع�ض العبارات الريا�ض ��ية با�س ��تخدام مبد�أ اال�س ��تقراء الريا�ضي والذي ي�س ��تند على تحقيق‬ ‫ال�شرط التالي ‪:‬‬ ‫ع ( ‪� ) 1‬صحيحة َو ( ع ( ) �صحيحة ع ( ‪� ) 1‬صحيحة )‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪99‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫ ‪1‬‬

‫�ضع عالمة (‬ ‫�إذا كانت‬

‫) �أو عالمة (‬

‫متتابعة ح�سابية ف� َّإن‬

‫) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫�إذا كانت الن�سبة العامة لمتتابعة هند�سية موجب ًة ف� َّإن جميع حدودها موجبة ‪.‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫‪1‬‬

‫‪،2 ،‬‬

‫‪3‬‬

‫�إذا كانت‬

‫‪1‬‬

‫‪،2 ،‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ ... ، 4 ،‬متتابعة ح�سابية ف�إن‬ ‫‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫‪...،‬‬

‫المتتابعة الثابتة ‪... ، ، ،‬‬

‫‪3‬‬

‫–‬

‫متتابعة هند�سية ف�إن‬ ‫حيث‬

‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪–1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫– ‪ 0‬متتابعة هند�سية وح�سابية في �آن مع ًا ‪.‬‬

‫�إذا كان عدد النقاط في كل �شكل من الأ�شكال المتتالية ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬

‫حدا من حدود المتتابعة ف� َّإن عدد النقاط‬ ‫‪ُ ... ،‬يمثل ً‬ ‫‪4‬‬

‫في ال�شكل ‪ 14‬هو ‪. 27‬‬ ‫الحد الخام�س في المتتابعة التي فيها‬

‫‪1‬‬

‫‪، 4‬‬

‫المتتابعة لو �س ‪ ،‬لو �س‪ ، 2‬لو �س‪ ... ، 3‬هي متتابعة ح�سابية ‪.‬‬ ‫الو�سط الح�سابي بين جا �س ‪ 3 ،‬جا �س هو ‪ 2‬جا �س ‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪ 3‬هو ‪1‬‬

‫�إذا كانت‬ ‫‪10‬‬ ‫=‪1‬‬

‫(‪5‬‬

‫متتابعة هند�سية ن�سبتها العامة ب ف�إن‬

‫‪50‬‬

‫‪ 47‬ب‬

‫‪3‬‬

‫‪570 )1‬‬

‫�إذا كان مجموع الحد الأول والحد الثاني فى متتابعة هند�سية ي�ساوي �صفر ًا ف�إن الن�سبة العامة لهذه‬ ‫المتتابعة ت�ساوي ‪1‬‬ ‫�إذا كانت الن�سبة العامة للمتتابعة الهند�سية‬ ‫ ‪2‬‬

‫ت�ساوي ‪ 1‬ف�إن مجموع المت�سل�سلة‬

‫‪15‬‬ ‫=‪1‬‬

‫‪15‬‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي ‪:‬‬ ‫المتتابعة الح�سابية ‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫(فرقه ��ا الع ��ام ‪ 4‬وحده ��ا العا�شر ‪ ،37‬فرقها الع ��ام ‪ 4‬وحدها العا�شر ‪ ،43‬فرقه ��ا العام ‪ 3‬وحدها‬ ‫العا�شر‪)27‬‬ ‫�إذا كانت ‪� ، 8‬س ‪ ... ، 1 ، 2 ،‬متتابعة ح�سابية ف� َّإن �س (‬ ‫�إذا كانت‬

‫‪� ، 9 ، 27‬س ‪ ... ، 1 ،‬متتابعة هند�سية ف� َّإن �س‬

‫‪) 11 ، 5 ، 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) 3 ،3،3‬‬

‫(‬

‫د ف ��ي المتتابع ��ة الح�سابي ��ة ‪ ، ... ، 11 ، 7 ، 3‬ل ‪ ... ، 63 ،‬يك ��ون ل ( ‪) 59 ، 33 ، 15‬‬ ‫هـ الحد ال�ساد�س للمتتابعة الهند�سية التي حدها الأول ‪ 32‬ون�سبتها العامة‬ ‫(‪)1 ،30 ،1‬‬ ‫لو ‪25‬‬ ‫و‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫هو‬ ‫‪20‬‬ ‫لو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫لو‬ ‫العددين‬ ‫بين‬ ‫الح�سابي‬ ‫الو�سط‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬ي�ساوي‬

‫)‬

‫ز الو�سط الهند�سي بين العددين ‪ 5 ، 20‬هو ( ‪ ، 10 ، 4‬غير مع َّرف )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، 2‬غير مع َّرف )‬ ‫‪ 8‬هو ( ‪، 1‬‬ ‫ح الو�س ��ط الهند�س ��ي بي ��ن العددي ��ن ‪، 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪101‬‬

‫ط الو�سطان الهند�سيان بين العددين ‪ 80 ، 10‬هما ( ‪ 20‬و ‪ ، 40‬غير مع َّرفين ‪،‬‬

‫‪) 8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ 29‬هو‬

‫ي مجموع الحدود الع�شرة الأولى من المتتابعة الح�سابية التي فيها‬

‫‪1‬‬

‫‪,1‬‬

‫( ‪) 300 ، 63 ، 150‬‬ ‫ ‪3‬‬

‫�إذا كانت ك ٌل من المتتابعتين‬

‫‪� ، 1‬س ‪� ، ... ،‬ص ‪15 ،‬‬ ‫‪� ، 18‬ص ‪� ، 8 ،‬س‬

‫هي متتابعة ح�سابية‬

‫�أوجد قيمة ٍّ‬ ‫كل من �س ‪� ،‬ص ‪.‬‬ ‫�أثبت �أن المتتابعة الأولى مكونة من ‪ 8‬حدود ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫متتابعة هند�سية حدها الأول �س ون�سبتها العامة �س‪� ، 3‬أوجد ترتيب الحد الذي قيمته �س‪. 22‬‬

‫‪5‬‬

‫ف�أوجد حدها الأول‬

‫�إذا كان مجم ��وع ن م ��ن الحدود الأولى في متتابعة ح�س ��ابية ‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫وفرقها العام وحدها العا�شر‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫كم عدد الأو�ساط الح�سابية بين ‪ 20 ، 4‬بحيث يكون مجموع المت�سل�سلة الناتجة ي�ساوي ‪ 48‬؟‬

‫‪7‬‬

‫�أوجد مجموع الحدود ال�ستة الأولى للمت�سل�سلة الهند�سية التي حدها الأول ي�ساوي ( ‪� 1‬س �ص)‪،‬‬ ‫ون�سبتها العامة �س �ص ‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫مقعدا وكل �صف يليه فيه‬ ‫قاعة درا�سية فيها ‪� 15‬صفًا من المقاعد ‪ ،‬يوجد في ال�صف الأول ‪ً 25‬‬ ‫مقعدان زيادة عن ال�صف ال�سابق له مبا�شر ًة ‪� .‬أوجد عدد المقاعد في القاعة الدرا�سية ‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪9‬‬

‫مربع طول �ضلعه ‪� 8‬سم ‪ُ ،‬ن ِّ�صفت �أ�ضالعه و ُو ِّ�صلت هذه المنت�صفات لتك ِّون مرب ًعا ‪ ،‬ف�إذا كررت‬ ‫هذه العملية كما في ال�شكل المجاور ف�أوجد ما يلي‪:‬‬ ‫طول �ضلع المربع ال�سابع ‪.‬‬ ‫مجموع م�ساحات المربعات الناتجة من تكرار العملية ‪ 10‬مرات ‪.‬‬

‫ ‪10‬‬

‫با�ستخدام مبد�أ اال�ستقراء الريا�ضي �أثبت �صحة العبارة التالية‬ ‫ع( )‬

‫=‪1‬‬

‫‪:‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪103‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫المتباينات‬ ‫‪Inequalities‬‬

‫(‪ )1-3‬متباينات الدرجة الأوىل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫الفرتات احلقيقية‬ ‫القيمة املطلقة للعدد احلقيقي (قيا�س العدد احلقيقي)‬ ‫نظم املتباينات من الدرجة الأوىل يف متغري واحد‬

‫(‪ )2-3‬املتباينات من الدرجة الثانية والثالثة‬ ‫�إ�شارة املقدار اجلربي ( ‪�2‬س‪� 1 + 2‬س ‪). +‬‬ ‫ ‬ ‫املتباينات من الدرجة الثانية يف متغري واحد (املتباينات‬ ‫الرتبيعية)‬ ‫املتباينات من الدرجة الثالثة يف متغري واحد‬ ‫ ‬ ‫املتباينات الن�سبية‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪104‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪1-‬‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة‬ ‫�أن يكون قاد ًرا على �أن‪:‬‬

‫‪ -1‬يميز الفترات الحقيقية ب�أنواعها ويمثلها‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -2‬يعرف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي‬ ‫وي�ستخدم خوا�صها‪.‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪ -3‬يوجد مجموعة الحل لنظم المتباينات‬ ‫من الدرجة الأولى في متغير واحد بما ي�شمل‬ ‫متباينات القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫‪ -4‬يحدد �إ�شارة المقدار الجبري‬ ‫( ‪� 2‬س ‪� 1 +‬س ‪.)0 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -5‬ي��وج��د مجموعة ال�ح��ل للمتباينات من‬ ‫الدرجة الثاينة والثالثة والمتباينات الن�سبية‬ ‫في متغير واحد‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪105‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫‪1-3‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأولى‬ ‫الفترات الحقيقية‬ ‫نوعا‬ ‫ع َّرفنا �سـابقًا خط الأعداد الحقيقية ‪ ،‬وفي هذا البند �سـندر�س �أجزا ًء معينة من هذا الخط تم ِّثل ً‬ ‫خا�صا من المجموعات الجزئية من الأعداد الحقيقية تُعرف بالفترات الحقيقية ‪ ،‬وتنق�سم الفترات‬ ‫ًّ‬ ‫الحقيقية �إلى ق�سمين ‪ :‬فترات محدودة و فترات غير محدودة ‪.‬‬

‫الفترات المحدودة‪:‬‬

‫�إذا كان ‪ ،‬ب عددين حقيقيين ‪،‬‬

‫ب ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪� ،‬س ب والتي نرمز لـها بالرمز ‪ ،‬ب‬

‫‪ 1‬المجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س‬ ‫تُ�سـ َّمى الفترة المغلقة من �إلى ب ‪ ،‬ونم ِّثلها على خط الأعداد كما في ال�شـكل ( ‪) 1-3‬‬ ‫�شكل (‪)1-3‬‬

‫على هذا ال�شـكل الدائرتان المظ َّللتان عند العددين ‪ ،‬ب تعنيان � َّأن ‪ ،‬ب تنتميان �إلى الفترة ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫�أننا قد �أهملنا ذكر نقطة الأ�صل والنقطة المقابلة للعدد واحد ‪ .‬ويمكننا �أن نم ِّثل الفترة ‪ ،‬ب‬ ‫كمافي ال�شـكل ( ‪. ) 2-3‬‬ ‫ب‬

‫�شكل (‪)2-3‬‬

‫‪ 2‬المجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س ‪� ،‬س ب والتي نرمز لـها بالرمز ‪ ،‬ب‬ ‫تُ�سـ َّمى الفترة المفتوحة من �إلى ب ‪،‬ونم ِّثلها على خط الأعداد كما في ال�شـكل ( ‪. ) 3-3‬‬

‫ب‬

‫�شكل (‪)3-3‬‬

‫� َّأن الدائرتين المفرغتين عند العددين ‪ ،‬ب تعنيان � َّأن ‪ ،‬ب ال ينتميان �إلى‬

‫‪106‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪،‬ب ‪.‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪� ،‬س ب و التي نرمز لـها بالرمز‬ ‫‪ 3‬المجموعة الجزئية من الأع��داد الحقيقية �س ‪� :‬س‬ ‫‪ ،‬ب المم َّثلة بال�شـكل ( ‪ ، ) 4-3‬والمجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية‬ ‫�س ‪� :‬س ‪� ،‬س ب والتي نرمز لـها بالرمز ‪ ،‬ب المم َّثلة بال�شـكل ( ‪ُ ، ) 5-3‬يطلق على‬ ‫ٍّ‬ ‫كل منهما ا�سـم الفترة ن�صف المفتوحة ( �أو ن�صف المغلقة ) من �إلى ب ‪.‬‬

‫�شكل (‪)4-3‬‬

‫�شكل (‪)5-3‬‬

‫(‪)1-3‬‬ ‫‪َّ � 1‬إن الفترات ال�سابقة والتي ك ٌّل منها ُيم َّثل بقطعة م�سـتقيمة على خط الأعداد الحقيقية ‪� ،‬إحداثي ًا طرفاها‬ ‫هما العددان ‪ ،‬ب ‪�ُ ،‬س ِّميت فترات محدودة ؛ ل َّأن طول القطعة الم�سـتقيمة التي تم ِّثل �أ ًّيا منها و الذي‬ ‫يع ُّد طو ًال للفترة نف�سـها ي�سـاوي ب ‪ ، -‬و هو عدد مح َّدد ‪.‬‬ ‫‪ ، 2‬ب رم��ز لفترة مغلقة من �إل��ى ب ‪ ،‬حيث ‪ ،‬ب ع��ددان حقيقيان وهما طرفا الفترة ‪ ،‬بينما‬ ‫‪ ،‬ب رمز لقطعة م�سـتقيم طرفاها النقطتان ‪ ،‬ب ‪ .‬وفي حالة كون ‪ ،‬ب على خط الأعداد بحيث‬ ‫تكون قبل ب ف� َّإن هذه القطعة تم ِّثل الفترة �س ‪� ،‬س ب كما بال�شـكل (‪. )6-3‬‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫ب �شكل (‪)6-3‬‬

‫‪ 3‬هناك فرق بين ‪ ،‬ب ‪ ، ،‬ب ؛ ل َّأن الأخيرة مجموعة مك َّونة من العددين الحقيقيين ‪ ،‬ب فقط ‪ ،‬في‬ ‫حين � َّأن الأولى تعنـي الأعداد جميعها المح�صورة بين العددين الحقيقيين ‪ ،‬ب بالإ�ضافة �إلى العددين‬ ‫أي�ضا‪� ،‬أي � َّأن �أعدادها جميعها محدودة بالعددين ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫‪،‬ب� ً‬ ‫هذا و� َّإن‬ ‫وبمعنـى �آخر‬

‫‪،‬ب‬

‫‪،‬ب‬ ‫‪،‬ب – ‪،‬ب‬

‫‪،‬ب‬ ‫‪،‬ب‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪107‬‬

‫الوحدة الثالثة‬

‫الفترات غير المحدودة‪:‬‬ ‫�إذا كان عد ًدا حقيق ًيا وا�ستخدمنا الرمز ∞ ( و ُيقر�أ ما ال نـهاية ) للداللة على كمية �أكبر من � ِّأي عدد حقيقي‬ ‫موجب‪ ،‬و الرمز –∞ (و ُيقر�أ �سالب ما ال نـهاية ) للداللة على كمية �أ�صغر من � ِّأي عدد حقيقي �سالب*‪ ،‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪� ،‬س‬

‫‪ 1‬المجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س‬ ‫وهي مجموعة الأعداد الحقيقية التي تكبر العدد الحقيقي �أو ت�سـاويه ‪ ،‬يرمز لـها بالرمز ‪∞ ،‬‬ ‫وتُ�سـ َّمى الفترة ن�صف المغلقة (�أو ن�صف المفتوحة) من �إلى ما ال نـهاية وتُم َّثل بال�شـكل ( ‪.) 7-3‬‬

‫�شكل (‪)7-3‬‬

‫والمجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س‬

‫‪� ،‬س‬

‫وهي مجموعة الأعداد الحقيقية التي تك ُبر العدد الحقيقي ‪ ،‬يرمز لـها بالرمز‬ ‫وتُ�سـ َّمى الفترة المفتوحة من �إلى ما ال نـهاية وتُم َّثل بال�شـكل ( ‪. ) 8-3‬‬

‫‪∞،‬‬

‫�شكل (‪)8-3‬‬

‫‪� ،‬س‬

‫‪ 2‬المجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س‬ ‫وهي مجموعة الأعداد الحقيقية التي ت�صغر العدد الحقيقي �أو ت�ساويه ‪ ،‬يرمز لـها بالرمز – ∞ ‪،‬‬ ‫وتُ�س َّمى الفترة ن�صف المغلقة ( �أو ن�صف المفتوحة ) من �سـالب ما النـهاية �إلى وتُم َّثل بال�شـكل ( ‪) 9-3‬‬

‫�شكل (‪)9-3‬‬ ‫* الرمزان ∞ ‪ ∞ – ،‬لي�سا عددين حقيقيين‪.‬‬

‫‪108‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأولى‬ ‫والمجموعة الجزئية من الأعداد الحقيقية �س ‪� :‬س‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪� ،‬س‬

‫وهي مجموعة الأعداد الحقيقية التي ت�صغر العدد الحقيقي ‪ ،‬يرمز لـها بالرمز – ∞ ‪ ،‬وتُ�سـ َّمى‬ ‫الفترة المفتوحة من �سـالب ما ال نـهاية �إلى وتُم َّثل بال�شـكل ( ‪. ) 10-3‬‬

‫�شكل (‪)10-3‬‬

‫مجموعة الأعداد الحقيقية وهي �س ‪� :‬س ‪� ∞ – ،‬س ∞ يرمز لـها بالرمز – ∞ ‪∞ ،‬‬ ‫وتُ�سـ َّمى الفترة المفتوحة من �سالب ما ال نـهاية �إلى ما النـهاية ‪ ،‬وتُم َّثل بخط الأعداد الحقيقية نف�سـه �أو‬ ‫كما في ال�شـكل ( ‪. ) 11-3‬‬

‫�شكل (‪)11-3‬‬

‫(‪)2-3‬‬ ‫‪�ُ 1‬س ِّميت الفترات ‪ ، ، ∞ – ، ، ∞ – ، ∞ ، ، ∞ ،‬والتي ك ٌّل منها ُيم َّثل بن�صف‬ ‫م�سـتقيم على خط الأعداد الحقيقية �إحداثي مبدئه هو العدد وكذلك الفترة – ∞ ‪، ∞ ،‬‬ ‫فترات غير محدودة ؛ ل َّأن طول ٍّ‬ ‫كل منها غير مح َّدد ‪.‬‬ ‫‪ 2‬مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ‪ +‬ت�سـاوي �س‪� :‬س‬ ‫ومجموعة الأعداد الحقيقية ال�سـالبة – ت�سـاوي �س‪� :‬س‬ ‫ومجموعة الأعداد الحقيقية‬ ‫�أي � َّأن – ∞ ‪∞ ،‬‬

‫–‬

‫–∞‪0،‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� ،‬س ‪� ، 0‬أي � َّأن‬ ‫‪� ،‬س ‪� ، 0‬أي � ّأن َ‬

‫‪+‬‬ ‫–‬

‫‪∞،0‬‬

‫–∞‪0،‬‬

‫‪. ∞،0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪109‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)1-3‬‬ ‫كل من المجموعات الآتية با�ستخدام رموز الفترات‪ ،‬و� ِ‬ ‫ع ِّبر عن ٍّ‬ ‫أعط الو�صف المنا�سب لها ( مفتوحة ‪،‬‬ ‫مغلقة ‪ ،‬ن�صف مفتوحة )‬ ‫�س ‪� :‬س‬

‫د‬

‫‪� 3 ،‬س ‪. 10‬‬

‫�س ‪� :‬س‬

‫‪7–،‬‬

‫�ص ‪� :‬ص‬

‫‪� 2 ،‬ص ‪. 5‬‬

‫�ص ‪� :‬ص‬

‫‪� ،‬ص ‪. 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س – ‪. 2‬‬

‫هـ‬

‫�س ‪� :‬س‬

‫الحل‬

‫�س‬

‫‪.0‬‬

‫‪ 10 ، 3‬فترة ن�صف مفتوحة‪.‬‬ ‫– ‪ 0 ، 7‬فترة مغلقة‪.‬‬ ‫‪ [ 5 ، 2‬فترة مفتوحة‪.‬‬

‫د‬

‫– ∞ ‪ 3 ،‬فترة مفتوحة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫– ‪ ∞ ، 2‬فترة ن�صف مفتوحة‪.‬‬

‫هـ‬

‫تدريب (‪)1-3‬‬ ‫) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬

‫�ضع عالمة (‬

‫طول الفترة ‪7 = 10 ، 3‬‬ ‫الفترة – ‪ ∞ ، 2‬محدودة‬ ‫‪7،2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪110‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪4،3‬‬ ‫‪5،1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪∞، 2 -‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫مثال (‪)2-3‬‬ ‫تمثيل الفترة – ‪ 4 ، 1‬هو ‪:‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪4‬‬

‫تمثيل الفترة ‪ 7 ، 3‬هو ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫–‪4،1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 7 ، 3‬هي تقاطع المجموعتين المم َّثلتين في الفقرتين ( ) َو (ب) وتم َّثل كالآتي ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1-‬‬

‫وي َّت�ضح من ذلك � َّأن – ‪4 ، 1‬‬ ‫‪ 7 ، 3‬هي ا تحاد المجموعتين المم َّثلتين في الفقرتين ( ) َو (ب) وتم َّثل كالآتي ‪:‬‬ ‫د –‪4،1‬‬ ‫‪7،3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4،3‬‬

‫‪4‬‬

‫وي َّت�ضح من ذلك � َّأن – ‪4 ، 1‬‬ ‫هـ تمثيل – ∞ ‪ ∞ ، 7 3 ،‬هو ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫–‪7،1‬‬

‫‪7،3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫و تمثيل – [ – ‪ [ 4 ، 1‬هو‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1-‬‬

‫� َّأن – – ‪ 4 ، 1‬هي مت ِّممة المجموعة المم َّثلة في الفقرة ( ) و هي –‪. 4 ، 1‬‬ ‫‪∞،4‬‬ ‫– ∞ ‪1– ،‬‬ ‫و� َّأن – – ‪4 ، 1‬‬ ‫هذا و� َّإن المجموعة المم َّثلة في الفقرة (ﻫ) يمكن التعبير عنها بال�صورة – ‪7 ، 3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪111‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫تدريب (‪)2-3‬‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل مما يلي ع ِّبر عن المجموعة المم َّثلة على خط الأعداد با�سـتعمال ترميز الفترات ‪.‬‬

‫القيمة المطلقة للعدد الحقيقي ( قيا�س العدد الحقيقي )‬ ‫تعلم � َّأن القيـ ــمة المطل ـ ــقة للعدد الحقيـ ـ ــقي �س و التـ ــي يرمـ ــز لهـ ــا بالرم ـ ــز �س ُتفـ ـ َّـ�سر هند�س ًياب�أنهـا الم�سافة‬ ‫بي���ن النقطة المم ِّثلة للع���دد �س ونقطة الأ�صل على خط الأع���داد ‪ .‬ونظ ًرا ل َّأن مجموعة الأع���داد الح ـ ـ ـق ـ ــيقيـة‬ ‫‪ +‬ف�إنه ‪� :‬س يكون �س ‪� 0‬أو �س ‪� 0‬أو �س ‪ ، 0‬و�إذا كان �س ‪ 0‬تكون – �س ‪0‬‬ ‫= – ‪0‬‬ ‫وبذلك يمكننا كتابة التعريف التالي ‪ :‬‬

‫تعريف (‪)1-3‬‬ ‫�إذا كان �س عد ًدا حقيق ًيا ف� َّإن القيمة المطلقة للعدد الحقيقي �س ( قيا�س العدد الحقيقي �س )‬ ‫تُع َّرف على النحو التالي ‪:‬‬ ‫�إذا كان �س ‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�إذا كان �س ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�إذا كان �س ‪0‬‬ ‫�س‬

‫فمث ًال ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 7‬؛ ل َّأن ‪0 7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪) 2‬‬

‫(‬ ‫‪5‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪، 2‬لأن‬ ‫‪) 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ 2‬عدد �سالب �أى �أن‬ ‫‪ 2‬؛ لأن ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫وه���ذا ي�ؤ ِّكد � َّأن مفهوم القيمة المطلقة للع���دد الحقيقي ما هو �إ َّال عملية التخلُّ�ص من الإ�شـارة ال�سـالبة للعدد �إن‬ ‫وجدت ‪� .‬أي � َّأن القيمة المطلقة ل ِّأي عدد حقيقي هي عدد غير �سـالب ‪ ،‬ويمكن التعبير عن ذلك رمز ًّيا بقولنا ‪:‬‬ ‫�س‬

‫‪112‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ف� َّإن �س‬

‫‪+‬‬

‫‪� ، 0‬أي � َّأن �س‬

‫‪0‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫مثال (‪)3-3‬‬

‫�س‬ ‫ما هي قيمة �س من �أجل � ِّأي عدد موجب ‪ ،‬ومن �أجل � ِّأي عدد �سـالب ؟‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪ 1‬عندما �س ‪ 0‬ف� َّإن �س‬ ‫‪ 2‬عندما �س ‪ 0‬ف� َّإن �س‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫�س‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬

‫(‪)3-3‬‬ ‫يمكننا كتابة تعريف قيا�س العدد الحقيقي �س ب�صورة مخت�صرة على النحو التالي ‪:‬‬ ‫عندما �س ‪0‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س عندما �س ‪0‬‬ ‫ب�ضم عالقة الت�سـاوي �إلى �إحدى الحالتين فقط‪.‬‬ ‫كما �أ نه يمكننا االكتفاء ِّ‬

‫مثال (‪)4-3‬‬ ‫ع ِّبر ع َّما ي�أتـي با�سـتخدام تعريف قيا�س العدد الحقيقي ‪:‬‬ ‫�س ‪3‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫�س – ‪3‬‬

‫‪� 2‬س ‪5‬‬ ‫�س – ‪3‬‬ ‫– ( �س – ‪) 3‬‬ ‫�س – ‪3‬‬ ‫‪� – 3‬س‬

‫عندما �س – ‪0 3‬‬ ‫عندما �س – ‪0 3‬‬ ‫عندما �س‬ ‫عندما �س‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪113‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪�2‬س ‪5‬‬ ‫( ‪�2‬س ‪) 5‬‬

‫‪� 2‬س ‪5‬‬

‫عندما ‪�2‬س ‪0 5‬‬ ‫عندما ‪�2‬س ‪0 5‬‬

‫‪�2‬س ‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫عندما �س‬ ‫عندما �س‬

‫‪�2‬س ‪5‬‬

‫مثال (‪)5-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المعادلة ‪� :‬س ‪4‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫عندما �س ‪0‬‬ ‫�س ‪4‬‬ ‫�أو‬ ‫�س ‪4‬‬ ‫�س ‪ 4‬عندما �س ‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫�س ‪� 4‬أو �س‬

‫�س‬

‫و هذا يعني � َّأن ‪� :‬س ‪4‬‬

‫مجموعة الحل ف‬

‫‪4 ،4‬‬

‫‪4‬‬

‫و عا َّمة الأمر‪:‬‬ ‫�إذا كان �س‪ ،‬ل عددين حقيقيين و كان ل ‪ ، 0‬ف�إن ‪:‬‬ ‫�س ل‬

‫�س‬

‫ل‬

‫�أكمل الفراغ فيما يلي ‪:‬‬ ‫�س ‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫( �س ‪..... ) 2‬‬

‫�س ‪� .....‬أو �س ‪.....‬‬

‫والحظ � َّأن �س ‪ 3 2‬تعني �أنه على خط الأعداد يكون ُبعد‬ ‫العدد �س عن العدد ‪ 2‬م�ساو ًيا ‪ 3‬وحدات ؛ وعليه ف�إنه توجد قيمتان‬ ‫للعدد �س تحققان المعادلة و هما ‪ . 5 ، 1 :‬انظر �شكل (‪)12-3‬‬

‫تدريب (‪)3-3‬‬

‫‪3‬‬ ‫�أوجد قيم �س �إذا كانت الم�سافة بين �س والعدد‬ ‫‪2‬‬

‫‪114‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل (‪)12 - 3‬‬

‫ت�ساوي ‪10‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫خوا�ص القيمة المطلقة للعدد الحقيقي‬ ‫�سبق لك درا�سة �إحدى الخوا�ص المهمة للقيمة المطلقة للعدد الحقيقي و هي ‪:‬‬

‫س‬

‫�س‪ = 2‬س‬ ‫فمث ًال ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)5 ( ، 3 3‬‬ ‫‪�( ،5 5‬س ‪)5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س ‪5‬‬ ‫وعلى �ضوء ذلك يمكننا تف�سـير حل المعادلة ( �س ‪ - 25 2) 3 +‬مث ًال ‪ -‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س ‪)3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫�س ‪� 2‬أو �س ‪8‬‬ ‫�س ‪5 3‬‬ ‫�س ‪5 3‬‬

‫خوا�صا �أخرى للقيمة المطلقة للعدد الحقيقي من خالل النظرية التالية ‪:‬‬ ‫وفيما يلي نورد ًّ‬

‫نظرية (‪)1-3‬‬ ‫�إذا كان �س ‪� ،‬ص‬ ‫‪� 1‬س‬ ‫‪� 3‬س‬ ‫�س‬ ‫‪� 5‬ص‬ ‫‪2‬‬

‫ف� َّإن ‪:‬‬

‫ �س‬‫�س‬

‫‪� - 2‬س‬ ‫‪� 4‬س �ص‬

‫‪2‬‬

‫�س‬ ‫�ص‬

‫‪� ،‬ص ‪0‬‬

‫�س‬

‫�س‬

‫�س �ص‬

‫‪� 6‬س �ص‬

‫�ص‬

‫�س‬

‫الـبرهان‪:‬‬

‫�سنبرهن الخوا�ص (‪ ، )5( ، )4( ، )3‬و ُيترك للطالب التحقق من الخوا�ص الباقية ب�أمثلة عددية ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�س �ص‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫( �س )‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫(�س �ص) ( لماذا ؟ )‬

‫�س‪� 2‬ص‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�ص‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫�ص‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪115‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫�س‬ ‫بما �أن �ص �ص �س‬ ‫�س‬ ‫�إذا �ص �ص �س‬ ‫�س‬ ‫�ص �ص �س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪ ،‬لأن �ص‬ ‫�ص‬ ‫�ص‬

‫‪3‬‬

‫ح�سب الخا�صية (‪)4‬‬ ‫‪0‬‬

‫اذكر الخا�صية التي تبرر �صحة ٍّ‬ ‫كل مما يلي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫�س –‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫– �س‬

‫‪� ،‬س‬

‫�س‬

‫‪� ،‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪0‬‬

‫مثال (‪)6-3‬‬ ‫‪� 6‬س �ص‬ ‫�أثبت �أ َّن ‪:‬‬ ‫‪�3‬س‬

‫الحل‪:‬‬

‫الطرف الأيمن‬

‫‪� 6‬س �ص‬ ‫‪�3‬س‬ ‫‪� 2‬ص‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� 2‬ص‬

‫‪116‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪� 2‬ص حيث �س ≠ ‪0‬‬

‫�ص‬ ‫الطرف الأي�سر‬

‫‪� 6‬س �ص‬ ‫‪�3‬س‬

‫ح�سب الخا�صية (‪)5‬‬

‫ح�سب الخا�صية (‪)4‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫نُظم المتباينات من الدرجة الأولى في متغ ِّير واحد‬ ‫المتو�سـطةحلالمتبايناتمنالدرجةالأولىفيمتغيرواحد‪،‬و�سنراجعذلكفيهذاالبند‬ ‫در�سـتفيالمرحلة ِّ‬ ‫نقدم من خاللها متباينات تت�ضمن القيمة المطلقة ‪.‬‬ ‫ثم ندر�س نظم المتباينات من الدرجة الأولى و ِّ‬ ‫نبد�أ بالتذكير بخ�صائ�ص عالقة التباين التي �سبق درا�ستها ‪:‬‬ ‫ف�إن ‪:‬‬ ‫ليكن ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ‬ ‫جـ ب جـ‬ ‫ب‬ ‫جـ ب جـ‬ ‫ب ‪ ،‬جـ ‪0‬‬ ‫جـ ب جـ‬ ‫ب ‪ ،‬جـ ‪0‬‬ ‫وفيما يلي نورد خ�صائ�ص �أخرى لعالقة التباين �ستفيدنا في درا�ستنا الالحقة ‪:‬‬ ‫ليكن ‪ ،‬ب‬ ‫ب‬ ‫ب‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ف�إن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب �إذا كان‬ ‫‪1‬‬ ‫ب �إذا كان‬ ‫ب �إذا كان‬ ‫ب �إذا كان‬

‫ب ‪0‬‬ ‫ب‬

‫(‪)1-3‬‬

‫‪0‬‬

‫فرديا‬ ‫زوجيا ‪ ، ،‬ب‬ ‫زوجيا ‪ ، ،‬ب‬

‫‪+‬‬

‫(‪)2-3‬‬

‫‪-‬‬

‫� ِ‬ ‫أعط �أمثلة عددية لتت�أكد من �صحة هذه الخ�صائ�ص ‪.‬‬

‫(‪)4-3‬‬ ‫ب بد ًال من‬

‫ب‬

‫‪َّ � 1‬إن الخ�صائ�ص ال�سابقة تبقى �صحيحة �إذا كان لدينا‬ ‫‪ 2‬تتغير عالقة التباين من �إلى ( �أو من �إلى ) ‪ ،‬و بالعك�س في الحاالت التالية ‪:‬‬ ‫�ضرب طرفي متباينة في ( �أو ق�سمتهما على ) عدد �سالب ‪.‬‬ ‫قلب طرفي متباينة لهما الإ�شارة نف�سها ‪.‬‬ ‫رفع طرفي متباينة �سالبين لأ�س زوجي ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪117‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)7-3‬‬

‫�س ‪5‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة‬ ‫‪3‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫�س ‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س ‪2 3 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪5 2 3‬‬

‫‪ 2‬ثم م ِّثل مجموعة حلها على خط الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ب�ضرب طرفي المتباينة في العدد ‪3‬‬ ‫ب�إ�ضافة العدد ‪� 5‬إلى طرفي المتباينة‬

‫�إذ ًا مجموعة حل المتباينة المطلوبة هي ‪� :‬س ‪� :‬س‬ ‫ونمثلها علي خط الأعداد كما في ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫‪� ،‬س ‪2 3‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 3‬‬

‫‪،5‬‬

‫‪5‬‬

‫نظم المتباينات من الدرجة الأولى في متغير واحد‬ ‫�إذا ربطنا متباينتين من الدرجة الأولى في �س بحرف العطف ( َو ) �أو بحرف العطف ( �أو ) ف�إننا نح�صل على‬ ‫نظام متباينتين من الدرجة الأولى في �س ‪ .‬و�إذا كان رابط النظام هو الرابط ( َو ) ف� َّإن قيم �س التي تحقِّق هذا‬ ‫النظام يجب �أن تنتمي �إلى ف‪ 1‬مجموعة حل المتباينة الأولى و �إلى ف‪ 2‬مجموعة حل المتباينة الثانية ‪� ،‬أي تنتمي �إلى‬ ‫ف‪ 1‬ف‪ ، 2‬كما � َّأن كل قيمة لـِ �س تنتمي �إلى ف‪ 1‬ف‪ 2‬تحقِّق المتباينة الأولى والمتباينة الثانية م ًعا وهذا يعنـي � َّأن ‪:‬‬ ‫مجموعة حل النظام المك َّون من متباينتين والرابط ( َو ) هي ف ف‪ 1‬ف‬

‫‪2‬‬

‫ويمكننا �أن ن�سـتنتج ب�شـكل م�شـابه � َّأن ‪:‬‬ ‫مجموعة حل النظام المك َّون من متباينتين والرابط ( �أو ) هي َف ف‪ 1‬ف‬

‫‪2‬‬

‫مثال (‪)8-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل النظام التالي و م ِّثلها على خط الأعداد‪:‬‬ ‫‪� 5‬س ‪11‬‬

‫‪118‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪َ 1‬و ‪� 2‬س‬

‫‪6 3‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬ ‫الحل‪:‬‬

‫‪� 5‬س ‪1 11‬‬

‫‪� 5‬س‬

‫�س‬

‫‪10‬‬

‫مجموعة حل المتباينة الأولى ف‬

‫‪1‬‬

‫‪� 2‬س ‪6 3‬‬

‫‪� 2‬س ‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬

‫مجموعة حل المتباينة الثانية ف‬

‫‪2‬‬

‫� ًإذا مجموعة حل النظام ف‬

‫ف‬

‫‪1‬‬

‫ف‬

‫∞‪2 ،‬‬ ‫ونم ِّثلها بال�شـكل المجاور ‪:‬‬

‫َف‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬ ‫∞‪2 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪2 ،‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫∞‪2 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫∞‪2 ،‬‬

‫‪3-‬‬

‫�أ نه في حالة ا�سـتبدال الرابط ( �أو ) بالرابط ( َو ) في المثال ال�سـابق ‪ ،‬ف� َّإن مجموعة حل النظام الناتج‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫∞‬ ‫∞‪2 ،‬‬ ‫ف‪ 1‬ف‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪2 ،‬‬

‫مثال (‪)9-3‬‬ ‫‪�3‬س ‪2‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل النظام التالي وم ِّثلها على خط الأعداد ‪� :‬س ‪� 2 7‬س ‪� 4‬أو‬ ‫‪4‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫�س ‪� 2‬س ‪7 4‬‬

‫– �س ‪11‬‬

‫المتباينة �س ‪� 2 7‬س ‪4‬‬ ‫∞ ‪[ 11 ،‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حلـها هي ف‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�3‬س ‪2‬‬ ‫‪� 3 2‬س ‪� 3 8 2‬س ‪6‬‬ ‫المتباينة‬ ‫‪4‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حلـها هي ف‪[ ∞ ، 2 [ 2‬‬ ‫∞ ‪11 ،‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل النظام ف ف‪ 1‬ف‬ ‫‪2‬‬ ‫ونم ِّثلها بال�شـكل المجاور ‪:‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬

‫�س ‪2‬‬ ‫‪[∞،2‬‬

‫‪11‬‬‫‪2‬‬ ‫�أ نه با�س� �ـتبدال الرابط ( َو ) بالرابط ( �أو ) في المثال ال�س� �ـابق ‪ ،‬ف� َّإن مجموعة حل النظام الناتج‬ ‫‪∞،2‬‬ ‫∞ ‪11 ،‬‬ ‫َف ف‪ 1‬ف‬ ‫‪2‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪119‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)10-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة التالية وم ِثّلها على خط الأعداد ‪:‬‬ ‫– ‪� 2 3‬س ‪5 1‬‬

‫ ‬

‫الحل‪:‬‬

‫� َّإن هذه المتباينة هي في حقيقة الأمر نظام مك َّون من متباينتين بالرابط ( َو ) وهذا النظام هو ‪:‬‬

‫‪� 2‬س ‪َ 3 – 1‬و ‪� 2‬س ‪5 1‬‬

‫المتباينة ‪� 2‬س ‪�2 3 – 1‬س – ‪� 4‬س – ‪ً � ،2‬إذا مجموعة حلها ف‬ ‫المتباينة ‪� 2‬س ‪� 2 5 1‬س ‪� 4‬س ‪ً � ، 2‬إذا مجموعة حلها ف‪2 ، ∞ – 2‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل النظام ف ف‪ 1‬ف‪2 ، 2 – 2 ، ∞ – ∞ ، 2 – 2‬‬ ‫ونم ِّثلها كما في ال�شـكل التالي‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫–‪∞،2‬‬

‫وتجدر الإ�شـارة هنا �إلى � َّأن هذا النوع من النظم يمكن حله كمتباينة واحدة ‪ ،‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫– ‪� 2 3‬س ‪5 1‬‬ ‫– ‪� 2 4‬س ‪4‬‬ ‫–‪2‬‬

‫�س ‪2‬‬

‫ومن َثم تكون ف‬

‫‪120‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫–‪2،2‬‬

‫ب�إ�ضافة العدد (– ‪� )1‬إلى الأطراف جميعها‬ ‫بق�سمة الأطراف جميعها على العدد ‪2‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫و الآن و قب ��ل �أن نق ��وم بحل متباينات من الدرجة الأولى بمتغير واحد و التي تحتوي على القيمة المطلقة ‪ ،‬ال‬ ‫ب َّد من تقديم النظريتين التاليتين ‪:‬‬

‫نظرية (‪)2-3‬‬ ‫�إذا كان �س ‪ ،‬ل عددين حقيقيين وكان ل ‪ 0‬ف�إن ‪:‬‬ ‫�س‬

‫الـبرهان‪:‬‬ ‫�س‬

‫�س‬

‫ل‬

‫ل‬

‫�س ل �أو �س‬

‫ل‬

‫�إذا كان �س‬

‫ل‬

‫‪0‬‬

‫�أو‬ ‫– �س‬ ‫( �س‬ ‫�س‬

‫ل‬

‫ل َو �س‬ ‫ل �أو �س‬

‫ل �إذا كان �س ‪0‬‬

‫�س‬

‫ل َو �س‬

‫‪� ) 0‬أو ( �س‬

‫‪)0‬‬

‫ل انظر ال�شـكل (‪)13-2‬‬ ‫ل‬

‫ل‬

‫�صفر‬

‫�شكل (‪)13 - 3‬‬

‫نظرية (‪)3-3‬‬ ‫�إذا كان �س ‪ ،‬ل عددين حقيقيين وكان ل ‪ 0‬ف�إن ‪:‬‬ ‫�س‬

‫ل‬

‫ل �س ل‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪121‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫الـبرهان‪:‬‬ ‫�س‬

‫�س‬

‫ل‬

‫�إذا كان �س ‪0‬‬

‫ل‬

‫�أو‬ ‫– �س‬ ‫‪0‬‬

‫�س – ل‬

‫ل‬

‫�إذا كان �س‬

‫‪0‬‬

‫�س ل �أو – ل �س ‪ 0‬انظر ال�شـكل ( ‪)14-2‬‬ ‫‪ ، 0‬ل �أو �س‬

‫�س‬

‫�س [ ‪ ، 0‬ل‬

‫–ل‪0،‬‬

‫[–ل‪0،‬‬

‫�س [ – ل ‪ ،‬ل‬ ‫–ل‬

‫�س ل‬ ‫ل‬

‫�صفر‬

‫ل‬

‫�شكل (‪)14 - 3‬‬

‫في ٍّ‬ ‫كل من النظريتين ال�سابقتين ناق�ش الحالة التي يكون فيها ل ‪0‬‬

‫(‪)5-3‬‬ ‫ل ‪ ،‬يكون النظام المكافئ لـها �س ل �أو �س – ل‬

‫‪ 1‬في الحالة التي تكون فيها �س‬ ‫�أ َّما في الحالة التي تكون فيها �س ل ‪ ،‬تكون المتباينة المكافئة لـها – ل �س ل ‪.‬‬ ‫‪ 2‬المتباينة �س‬ ‫–∞‪–،‬ل‬

‫ل ت�ؤول �إلى نظام متباينتين بالرابط ( �أو ) ‪ ،‬مجموعة حله هي ‪:‬‬

‫بينما المتباينة �س‬ ‫[–ل‪،‬ل ‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫[ ل ‪ [ ∞ ،‬؛ �أي �أنها اتحاد فترتين غير محدودتين ‪.‬‬ ‫ل ت�ؤول �إلى نظام متباينتين بالرابط ( َو ) ‪ ،‬مجموعة حله هي الفترة المحدودة‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫مثال (‪)11-3‬‬ ‫‪ ، 2‬ثم م ِّثل مجموعة الحل على خط الأعداد ‪.‬‬

‫�أوجد مجموعة حل المتباينة �س ‪1 -‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫�س – ‪1‬‬

‫�س – ‪� 2 1‬أو �س – ‪2– 1‬‬

‫‪2‬‬

‫ح�سب النظرية ( ‪) 2-3‬‬

‫‪� 3‬أو �س – ‪1‬‬

‫�س‬

‫أو س‬

‫س‬

‫‪،3‬‬

‫س‬

‫‪،3‬‬

‫– ‪1– ،‬‬

‫– ‪1– ،‬‬ ‫– ‪1– ،‬‬

‫مجموعة حل املتباينة هي ‪، 3‬‬

‫و نم ِّثلها كما في ال�شكل المجاور‪:‬‬

‫مثال (‪)12-3‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة‬ ‫‪5‬‬

‫‪ ، 4‬ثم م ِّثل مجموعة الحل على خط الأعداد‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4-‬‬

‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪20-‬‬

‫�س ‪20 2 -‬‬

‫‪18-‬‬

‫�س‬

‫‪4‬‬

‫‪22‬‬

‫ح�سب النظرية (‪)3-3‬‬ ‫ب�ضرب الأطراف جميعها في العدد ‪5‬‬ ‫ب�إ�ضافة العدد ‪� 2‬إلى الأطراف جميعها‬

‫مجموعة حل المتباينة = ‪22 ، 18-‬‬ ‫و نم ِّثلها كما في ال�شكل المجاور‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪123‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫تدريب (‪)4-3‬‬ ‫اكتب المتباينة ‪� 1 – 12‬س‬

‫‪ 1 + 12‬على �صورة متباينة تت�ضمن القيمة المطلقة ‪.‬‬

‫�أوجد قيم �س �إذا كانت �ضعف الم�سافة بين �س و العدد ‪ 4‬ال تقل عن ‪. 6‬‬

‫مثال (‪)13-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل النظام التالـي وم ِّثلها على خط الأعداد ‪.‬‬ ‫‪� – 10‬س ‪َ 17‬و �س‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪� – 10‬س ‪17‬‬

‫‪12‬‬ ‫�س – ‪7‬‬

‫– �س ‪7‬‬

‫مجموعة حل المتباينة الأولى هي ف‪، 7 – = 1‬‬ ‫�س‬

‫–‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫�س‬

‫‪12‬‬

‫ح�سـب النظرية ( ‪) 3-2‬‬

‫مجموعة حل المتباينة الثانية هي ف‪12 ، 12– = 2‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل النظام هي ‪:‬‬ ‫ف=ف‬

‫‪1‬‬

‫ف‪، 7 – = 2‬‬

‫–‪12 ، 12‬‬

‫ف = – ‪12 ، 7‬‬

‫تدريب (‪)5-3‬‬ ‫ا�سـتبدل الرابط ( �أو ) بالرابط ( َو ) في المثال ال�سـابق ومن َثم �أوجد مجموعة الحل للنظام ‪ .‬وم ِّثلها على‬ ‫خط الأعداد ‪.‬‬

‫‪124‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫المتباينات من الدرجة ا أل�ؤلى‬ ‫أولى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫تمارين (‪)1-3‬‬ ‫‪ 1‬ع ِّبر با�ستخدام ترميز الفترات عن كلٍّ من المجموعات التالية و�أع� ِ‬ ‫�ط الو�صف‬ ‫المنا�سب لـها ( محدودة ‪ ،‬غير محدودة )‪:‬‬ ‫�س ‪� :‬س‬

‫‪� ،‬س ‪. 7‬‬

‫�ص ‪� :‬ص‬

‫‪� ،‬ص ‪. 23 -‬‬ ‫�س ‪. 10‬‬

‫�س ‪� :‬س‬

‫‪1- ،‬‬

‫د‬

‫�ص ‪� :‬ص‬

‫‪� 0 ،‬ص ‪. 9‬‬

‫هـ‬

‫�ص ‪� :‬ص‬

‫و‬

‫�س ‪� :‬س‬

‫‪.‬‬ ‫‪� 9 - ،‬س ‪. 3 -‬‬

‫‪ 2‬مثِّل المجموعات التالية على خط الأعداد‪ ،‬ثم ع ِّبر عنها با�سـتعمال ترميز الفترات‬ ‫ب�أب�سـط ما يمكن‪:‬‬ ‫– ‪. 20 ، 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 7،5 2‬‬ ‫‪. 11 ، 2‬‬ ‫‪2،1‬‬ ‫د ‪2 ، 12 -‬‬ ‫‪. 2،1‬‬ ‫‪. ،1‬‬‫هـ ‪1 ، -‬‬ ‫‪� 3‬أوجد القيمة المطلقة لكلٍّ من الأعداد التالية ‪:‬‬ ‫‪30 - 5 ، 3 - 2 ، 1- ، 13 ، 7‬‬‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬حل ك ًّال من المعادالت التالية ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪125‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪� 5‬س ‪7 = 1 -‬‬

‫�س ‪0 = 3 +‬‬

‫‪� - 6‬س = ‪2‬‬

‫‪� 5‬أوجد مجموعة حل كل متباينة فيما يلي ‪ ،‬ثم مثِّل مجموعة الحل على خط الأعداد‪:‬‬ ‫‪2-‬‬

‫‪� 5 8‬س ‪13 2 -‬‬

‫‪4‬‬

‫‪� - 3‬س‬

‫�س ‪2 -‬‬

‫‪5‬‬

‫د‬

‫�س ‪4 +‬‬

‫‪3‬‬

‫هـ �س ‪3 +‬‬

‫‪9‬‬

‫و‬

‫‪�2 - 3‬س‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬

‫ز �س‬

‫ط ‪� - 4‬س ‪1 -‬‬

‫ح �س ‪1-‬‬ ‫ي ‪� 3 + 6‬س‬ ‫‪7-‬‬

‫‪6-‬‬

‫‪20‬‬

‫‪� 6‬أوجد مجموعة حل نظام المتباينات وم ِّثل مجموعة الحل على خط الأعداد في ٍّ‬ ‫كل مما يلي‪:‬‬ ‫‪� 5 - 12‬س ‪2‬‬

‫َو‬

‫‪� 5‬س ‪6 -‬‬ ‫�ص ‪1 +‬‬ ‫‪� 2‬ص ‪2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-‬‬

‫�س ‪1 +‬‬

‫�أو‬

‫‪1‬‬

‫�أو‬

‫�س ‪2‬‬ ‫�س ‪8 11 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( �س ‪َ 1-‬و �س‬

‫�ص ‪1 -‬‬

‫َو‬

‫‪� 2‬ص ‪7 -‬‬

‫‪� 3‬س ‪� 2 4 -‬س ‪6 -‬‬

‫َو‬

‫د ‪� 2‬س‬ ‫هـ �س ‪3 -‬‬ ‫و‬

‫�س‬

‫�أو‬

‫‪11‬‬

‫ز ( �س ‪َ 1-‬و �س‬

‫ح �س ‪2 -‬‬

‫‪7‬‬

‫‪)2‬‬

‫�أو‬ ‫َو‬

‫‪� 3‬س ‪2 -‬‬

‫�س ‪2 +‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪� 7‬أوجد قيم �س �إذا كانت الم�سافة بين �س و نقطة الأ�صل �أكبر من �أو ت�ساوي ‪ 1‬و الم�سافة‬ ‫بين �س و العدد ( – ‪� ) 3‬أ�صغر من �أو ت�ساوي ‪. 2‬‬

‫‪126‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪2-3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫المتباينات من الدرجة الثانية والثالثة‬ ‫�إ�شارة المقدار الجبري ( ‪� 2‬س‪� 1 + 2‬س ‪) 0 +‬‬ ‫قبل البدء بدرا�سـة متبـاينات الدرجة الثـانية و الثـالثة و المتبـاينات الن�سبيــــة يلزمـــنــا بحـــث �إ�شـــارة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬و نقـ�صـد بذلــك تحديـــد‬ ‫المقـدار الجبري ( ‪� 2‬س ‪� 1 +‬س ‪ )0 +‬حيث ‪0 ، 1 ، 2‬‬ ‫قيم �س التي تجعل د ( �س ) = ‪� 2‬س‪� 1 + 2‬س ‪ 0 +‬موجبة و تلك التي تجعلهـا �سـالبة و ذلك بعـــد‬ ‫تحديد قيم �س التي تجعل د ( �س ) = ‪ ( 0‬و هي جذور المقـدار الجبري �أي جذور الدالة د ( �س )) ‪.‬‬ ‫و �سندر�س في هذا البند �إ�شـارة د (�س) = ‪� 2‬س‪� 1 + 2‬س ‪ 0 +‬في الحاالت الثالث التالية ‪:‬‬ ‫عندما ‪� 0 = 1 ، 0 = 2‬أي عندما تكون د ( �س ) دالة ثابتة ‪.‬‬ ‫عندما ‪، 0 = 2‬‬ ‫عندما‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� 0‬أي عندما تكون د ( �س ) دالة من الدرجة الأولى ‪.‬‬ ‫�أي عندما تكون د ( �س ) دالة من الدرجة الثانية (دالة تربيعية) ‪.‬‬

‫�إ�شارة الدالة الثابتة‬ ‫تعلم � َّأن الدالة الثابتة د ( �س ) = حيث‬ ‫�أي � َّأن ‪:‬‬

‫الدالة الثابتة د (�س) = حيث‬

‫‪ 0‬لي�س لها جذور ‪ ،‬و � َّأن ‪ :‬‬ ‫‪ ، 0‬لها نف�س �إ�شارة‬

‫موجبة‬

‫د ( �س ) موجبة‬

‫�سالبة‬

‫د ( �س ) �سالبة‬

‫�س‬

‫‪.‬‬

‫التف�سير الهند�سي لقاعدة �إ�شارة الدالة الثابتة‬

‫الدالة الثابتة د( �س )= ‪ 0 ،‬تُم َّثل هند�س ًيا بالم�ستقيم �ص = و هو م�ستقيم يوازي المحورال�سيني‬ ‫ويمر بالنقطة ( ‪ . ) ، 0‬ويكون لدينا حالتان ‪:‬‬ ‫الم�ستقيم واقع فوق‬ ‫‪ 1‬موجبة‬ ‫المحورال�سيني‪،‬وذلك يعني �أنَّ د ( �س ) موجبة ‪ .‬انظر‬ ‫�شكل ( ‪. ) 15-2‬‬

‫�شكل ( ‪) 15-3‬‬

‫‪� 2‬س ��البة الم�ستقيم واقع تحت المحور و‬ ‫ذلك يعني �أنَّ د ( �س )�سالبة‪ .‬انظر �شكل (‪) 16-2‬‬

‫لماذا لم ت�شمل قاعدة �إ�شارة الدالة الثابتة الحالة = ‪ 0‬؟‬

‫�شكل ( ‪) 16-3‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪127‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫�إ�شارة دالة الدرجة الأولى‬ ‫‪،‬‬

‫تعلم � َّأن جذر دالة الدرجة الأولى د(�س) = �س ‪ +‬ب حيث ‪ ،‬ب‬

‫‪ 0‬هو �س =‬

‫‪-‬ب‬

‫( لماذا ؟ ) ‪،‬‬

‫ولتحديد �إ�شارة هذه الدالة نحل ك ًّال من المتباينتين �س ‪ +‬ب ‪� ، 0‬س ‪ +‬ب ‪ 0‬فنجد �أنه ‪:‬‬ ‫�إذا كانت‬

‫‪ 0‬ف� َّ​ّإن‬

‫�إذا كانت‬

‫‪ 0‬ف� َّ​ّإن‬

‫�س ‪ +‬ب ‪0‬‬

‫�س‬

‫‪-‬ب‬

‫�س ‪ +‬ب ‪0‬‬

‫�س‬

‫‪-‬ب‬

‫�س ‪ +‬ب ‪0‬‬

‫�س‬

‫‪-‬ب‬

‫�س ‪ +‬ب ‪0‬‬

‫�س‬

‫‪-‬ب‬

‫وبمقارنة �إ�ش ��ارة الدالة يمين وي�س ��ار جذرها مع �إ�ش ��ارة ( معامل �س ) نتو�ص ��ل �إلى قاعدة تحديد �إ�شارة دالة‬ ‫الدرجة الأولى و هي ‪:‬‬ ‫دالة الدرجة الأولى د(�س)= �س ‪ +‬ب حيث‬ ‫وعك�س �إ�شارة ي�سار جذرها ‪.‬‬

‫‪ 0‬لها نف�س �إ�شارة ( معامل �س ) يمين جذرها‬

‫ونو�ضح ذلك على خط الأعداد كما يلي ‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫ب‬‫ــــــ‬

‫إشارة د (س) = س ‪ +‬ب‬

‫‪128‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫مثل إشارة‬

‫عكس إشارة‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫التف�سير الهند�سي لقاعدة �إ�شارة دالة الدرجة الأولى‬ ‫دالة الدرجة الأولى د ( �س ) = �س ‪ +‬ب حيث‬

‫‪ 0‬تُم َّثل هند�س ًّيا بالم�ستقيم �ص = �س ‪ +‬ب وهو م�ستقيم‬

‫ميل ��ه ويقطع المحور ال�ص ��ادي عند �ص = ب والمحور ال�س ��يني عند جذر الدال ��ة �س =‬

‫‪-‬ب‬

‫( لماذا ؟ )‬

‫‪-‬ب‬

‫ولر�سمه نع ِّين نقطتي تقاطعه مع المحورين (‪ ، 0‬ب ) ‪� ، )0 ، ( ،‬أو � ِّأي نقطتين اختياريتين ‪.‬‬ ‫وكما تعلم ف� َّإن زاوية ميل الم�ستقيم ولتكن هـ هي الزاوية التي ي�صنعها جز�ؤه الواقع فوق المحور ال�سيني مع‬ ‫االتجاه الموجب لمحور ال�سينات ‪ ،‬ونم ِّيز هنا بين حالتين ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 0‬هـ زاوية حادة‬ ‫وهذا يعني � َّأن جزء الم�ستقيم يمين الجذر يقع �أعلى المحور ال�سيني �أي � َّأن د ( �س ) تكون هنا موجبة‪،‬وجز�ؤه‬ ‫ي�سار الجذر يقع �أ�سفل المحور ال�سيني �أي � َّأن د ( �س ) تكون هنا �سالبة‪.‬‬ ‫انظر �شـكل ( ‪ ) 17 - 3‬والمم ِّثل للدالة د ( �س ) = ‪� 2‬س – ‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫هـ زاوية منفرجة ‬

‫وهذا يعني � َّأن جزء الم�ستقيم يمين الجذر يقع �أ�سفل المحور ال�سيني �أي � َّأن د ( �س ) تكون هنا �سالبة‪،‬وجز�ؤه‬ ‫ي�سار الجذر يقع �أعلى المحور ال�سيني �أي � َّأن د( �س ) تكون هنا موجبة‪.‬‬ ‫انظر �شـكل ( ‪ ) 18 - 3‬و المم ِّثل للدالة د ( �س ) = ‪� 2 – 3‬س‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫�شكل ( ‪) 17-3‬‬

‫�شكل ( ‪) 18-3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪129‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫مثال (‪)14-3‬‬ ‫ادر�س �إ�شارة الدالة د ( �س ) = ‪� 2‬س – ‪ 5‬مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫نوجد جذر الدالة‪ :‬د ( �س ) = ‪� 2 0‬س – ‪0 = 5‬‬ ‫�س = ‪2‬‬ ‫وحيث � َّأن معامل �س هو ‪ ، 0 2‬ف� َّإن �إ�شارة د (�س) تكون كما هو مو�ضح على خط الأعداد التالي ‪:‬‬

‫د ( �س ) ‪� 0‬س ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�أى �أن د ( �س ) ‪� 0‬س ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ولر�سم الم�ستقيم المم ِّثل للدالة نعين النقطتين ‪:‬‬ ‫( ‪ . )0 ، 52 ( ، ) 5 - ، 0‬انظر �شـكل ( ‪) 19-3‬‬ ‫تحقَّقمن�صحةالحلوذلكبالتعوي�ضفيد(�س)عن�سبقيماختيارية‬ ‫من ٍّ‬ ‫كل من الفترتين ‪، 52 ، 52 ، - :‬‬

‫�شكل ( ‪) 19-3‬‬

‫تدريب (‪)6-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد الفترة التي تكون فيها الدالة د (�س) = ‪� 2 - 3‬س موجبة و الفترة التي تكون فيها �سالبة‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫�إ�شارة الدالة التربيعية ‬ ‫�إذا كان لدينا الدالة التربيعية د ( �س ) = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪ ،‬حيث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪0 ،‬‬ ‫�س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ = ‪ 0‬وهي كما تعلم معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد ولح ِّلها‬ ‫ف� َّإن د( �س )= ‪0‬‬ ‫نحدد �إ�شارة الدالة التربيعية‬ ‫حاالت ثالث تب ًعا لقيمة المميز ب‪ 4 - 2‬جـ ( اذكر هذه الحاالت ) ‪ ،‬وفيما يلي ِّ‬ ‫وفق هذه الحاالت ‪:‬‬

‫‪130‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫الحالة الأولى‪:‬‬ ‫�إذا كان ب‪ 4 - 2‬جـ ‪ ، 0‬وكان ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬هما جذرا د ( �س ) بحيث ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫ف�إنه يمكننا كتابة د( �س ) على ال�صورة د( �س ) = ( �س ‪ -‬ل‪� ( ) 1‬س ‪ -‬ل‪ ( ) 2‬لماذا ؟ )‬ ‫وبالتالي يمكننا الح�صول على �إ�شارة د ( �س ) بالإفادة من �إ�شارة عواملها كما هو مو�ضح في الجدول التالي‪:‬‬ ‫س‪-‬ل‬

‫‪1‬‬

‫صفر‬

‫صفر‬

‫س‪-‬ل‬

‫‪2‬‬

‫صفر‬

‫(س ‪ -‬ل‪( )1‬س ‪ -‬ل‪)2‬‬

‫صفر‬

‫د (س) = (س ‪ -‬ل‪( )1‬س ‪ -‬ل‪)2‬‬

‫وهذا يعني � َّأن �إ�شارة د(�س) تكون‬ ‫الحالة الثانية‪:‬‬

‫مثل �إ�شارة‬

‫�إذا كانت �س ل‪� 1‬أو �س ل‬

‫‪2‬‬

‫عك�س �إ�شارة �إذا كانت ل‬

‫‪1‬‬

‫�س ل‬

‫‪2‬‬

‫�إذا كان ب‪ 4 - 2‬جـ = ‪ ، 0‬وكان ل هو جذر د (�س ) ف�إنه يمكننا كتابة د (�س ) على ال�صورة‬ ‫د (�س)= ( �س ‪ -‬ل )‪( 2‬لماذا ؟)‬ ‫وحيث � َّأن (�س ‪ -‬ل )‪ 2‬موجب مالم تكن �س = ل (لماذا ؟) ؛ ف� َّإن �إ�شارة د(�س) تكون مثل �إ�شارة‬ ‫�س ‪ -‬ل‬ ‫الحالة الثالثة‪:‬‬ ‫�إذا كان ب‪ 4 - 2‬جـ ‪ ، 0‬وكان ع‪ ، 1‬ع‪ 2‬هما جذرا د ( �س ) بحيث ع‪ = 1‬ل ‪ +‬م ت ‪ ،‬ع‪ = 2‬ل ‪ -‬م ت‬ ‫ف�إنه يمكننا كتابة د(�س) على ال�صورة ‪ :‬د ( �س ) = ( �س ‪ ( -‬ل ‪ +‬م ت )) (�س ‪ ( -‬ل ‪ -‬م ت ) )‬ ‫= ( ( �س ‪ -‬ل )‪ + 2‬م ‪) 2‬‬ ‫وحي ��ث � َّأن المق ��دار (� ��س ‪ -‬ل )‪ + 2‬م ‪ 2‬موج ��ب دائ ًم ��ا (لماذا؟ ) ؛ ف� َّإن �إ�ش ��ارة د ( �س ) تكون مثل �إ�ش ��ارة‬ ‫�س ونلخ�ص ما �سبق بالقاعدة التالية ‪:‬‬ ‫�إذا ا�ستثنينا قيم �س الحقيقة التي تجعل د(�س)=‪ 0‬ف�إن �إ�شارة الدالةالتربيعية‬ ‫د(�س)= �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ حيث ‪ ، 0‬تكون مماثلة لإ�شارة (معامل �س‪ )2‬لجميـــــــع قيــم‬ ‫�س الحقيقة �إال �إذا كان لهذه الدالة جذران حقيقيان ووقعت �س بين الجذرين ف�إن �إ�شارتها تكون‬ ‫مخالفة لإ�شارة‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪131‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫التف�سير الهند�سي لقاعدة �إ�شارة الدالة التربيعية‬ ‫الدالة التربيعية د (�س) = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪ 0 ،‬تُم َّثل هند�س ًيا بالقطع المكافئ �ص = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ‬ ‫وهو قطع مكافئ محوره يوازي المحور ال�ص ��ادي ‪ ،‬وتتحدد فتحة القطع ح�س ��ب �إ�شارة فتكون فتحته �إلى �أعلى‬ ‫�إذا كانت ‪ 0‬و تكون الفتحة �إلى �أ�سفل �إذا كانت ‪0‬‬ ‫نف�سر �إ�شارة الدالة التربيعية وفق الحاالت الثالث للمميز ‪:‬‬ ‫وفيما يلي ِّ‬ ‫‪� 1‬إذا كان المميز موج ًبا ف�إ َّن ‪:‬‬ ‫منحني القطع يقطع محور ال�س ��ينات عند الجذرين‬ ‫ل‪ ، 1‬ل‪ 2‬وج ��زء المنحني الواقع بين هذين الجذرين‬ ‫فقط يقع تحت محور ال�سينات �إذا كانت موجبة �أو‬ ‫يقع فوق محور ال�سينات �إذا كانت �سالبة ‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪)20 – 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪� 2‬إذا كان المميز ي�ساوي �صف ًرا ف�إنّ ‪:‬‬ ‫منحني القطع يم�س محور ال�س ��ينات عند جذر الدالة‬ ‫ب‬‫ل = ‪ 2‬و ه ��و الإحداث ��ي ال�س ��يني لر�أ� ��س القطع و‬ ‫بالتالي فالمنحني يقع فوق محورال�س ��ينات �إذا كانت‬ ‫موجب ��ة �أو يقع تحت محـــور ال�س ��ينــات �إذا كانـــت‬ ‫�سالبة ‪.‬‬

‫�شكل (‪)20 - 3‬‬

‫�شكل (‪)21 - 3‬‬

‫انظر �شكل ( ‪) 21 – 3‬‬ ‫‪� 3‬إذا كان المميز �سال ًبا ف�إ َّن ‪:‬‬ ‫منحن ��ي القطع ال يقط ��ع محور ال�س ��ينات ويكون‬ ‫واق ًعا بكامله فوق محـــــور ال�س� �ـينـــات �إذا كانـــــت‬ ‫موجبة �أو يقع تحت محـــور ال�سينـــات �إذا كانـــت‬ ‫�سالبة‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ) 22 – 3‬‬

‫‪132‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل (‪)22 - 3‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪3 4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1-‬‬

‫تدريب (‪)7-3‬‬ ‫حدد �إ�شارة الدالة المم َّثلة في كل �شكلٍ مما يلي ‪:‬‬ ‫ِّ‬

‫(‪)6-3‬‬ ‫يتم ر�سم منحني القطع المكافئ المم ِّثل للدالة التربيعية ب�أن نع ٍّين النقاط التالية ‪:‬‬ ‫‪-‬ب‬

‫‪-‬ب‬

‫نقطة ر�أ�س القطع وهي ( ‪ ،‬د ( ‪ ( ) ) 2‬ا�ستنتجنا هذه النقطة من معادلة القطع)‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نقطتي التقاطع مع المحور‬

‫( �إن وجدت ) ‪� ،‬أو � ِّأي نقطتين اختياريتين يمين وي�سار نقطة‬

‫الر�أ�س ‪ ،‬ولل�سهولة نختار نقطتين متناظرتين حول محور القطع ( الإحداثي ال�سيني ٍّ‬ ‫لكل منهما يبعد‬ ‫البعدنف�سه عن الإحداثي ال�سيني للر�أ�س ) ‪ ،‬وحبذا �أن تكون �إحداهما نقطة التقاطع مع المحور‬

‫‪.‬‬

‫ثم نر�سم منحني القطع ما ًرا بهذه النقاط ‪.‬‬

‫مثال (‪)15-3‬‬ ‫ادر�س �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من الدوال الآتية مع التو�ضيح بالر�سم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫د (�س) = ‪� 8 + 5‬س ‪� 4 -‬س‬ ‫د (�س) = �س‪� 4 - 2‬س ‪4 +‬‬

‫د (�س) = ‪� 2 -‬س‪� 6 + 2‬س ‪7 -‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪133‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫د (�س) = ‪� 8 + 5‬س ‪� 4 -‬س‬

‫‪2‬‬

‫للدالة جذرين حقيقيين مختلفين ‪ ،‬وهما ‪:‬‬

‫ب‪ 4 - 2‬جـ = (‪0 144 = 5 )4-( 4 - 2)8‬‬ ‫ ‪144 8‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫�س‬ ‫أو‬ ‫�‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫أو‬ ‫�‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س = ‪)4-( 2‬‬ ‫وحيث � َّأن معامل �س‪ 2‬هو ‪0 4-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إ�شارة د(�س)‬

‫د (�س) ‪� 0‬إذا كانت �س‬ ‫�أي � َّأن‬

‫‪1‬‬‫د (�س) ‪� 0‬إذا كانت ‪2‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 2-‬أو �س‬

‫�س‬

‫‬‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫ولر�سم منحني القطع المكافئ المم ِّثل للدالة ف�إ َّن ‪:‬‬ ‫‪ 0‬فتحة القطع تكون �إلى �أ�سفل‪.‬‬ ‫جذرا الدالة هما ‪5 ، 1- :‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬‫نقطتي التقاطع مع هما ‪) 0 ، 2 ( ، ) 0 ، 2 ( :‬‬ ‫ب = ‪8-‬‬‫‪ ، 1 = )4-(2‬د (‪9 = 4 - 8 + 5 = )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ر�أ�س القطع هو ( ‪) 9 ، 1‬‬ ‫وال�شكل (‪ )23-3‬يو�ضح التمثيل البياني للدالة‬ ‫�شكل (‪)23 - 3‬‬

‫‪134‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫د (�س) = �س‪� 4 - 2‬س ‪4 +‬‬ ‫ب‪ 4 - 2‬جـ = (‪0 = 4 1 4 - 2)4-‬‬ ‫ب ‪)4-(-‬‬‫�س = ‪2 = 1 2 = 2‬‬ ‫وحيث � َّأن معامل �س‪ 2‬هو ‪0 1‬‬ ‫� ًإذا د (�س) ‪� 0‬س‬

‫واحدا ( مكر ًّرا مرتين ) ‪ ،‬و هو ‪:‬‬ ‫للدالة جذ ًرا ً‬

‫‪2 -‬‬

‫ولر�سم القطع المكافئ المم ِّثل للدالة نع ِّين النقط المبينة في الجدول‬ ‫رأس القطع نقطتان اختياريتان‬ ‫تقاطع مع‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫�ص‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫�شكل (‪)24 - 3‬‬

‫و ال�شكل ( ‪ ) 24 – 3‬يو�ضح التمثيل البياني للدالة ‪.‬‬ ‫د(�س) = ‪� 2 -‬س‪� 6 + 2‬س ‪7 -‬‬ ‫ب‪ 4 - 2‬جـ = (‪0 20 - = )7-( )2-( 4 - 2)6‬‬ ‫وحيث � َّأن معامل �س‪ 2‬هو ‪ً � ، 0 2-‬إذا د(�س) ‪� 0‬س‬ ‫وللر�سم ‪:‬‬ ‫�س = ‪ ، 3 = 6-‬د ( ‪5- = ) 3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 )2-( 2‬‬ ‫ر�أ�س القطع‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫‪7‬‬‫‪7‬‬‫ص‬ ‫‪2‬‬ ‫و ال�شكل ( ‪ ) 25 – 3‬يو�ضح التمثيل البياني للدالة ‪.‬‬

‫لي�س للدالة جذورحقيقية ‪.‬‬

‫�شكل (‪)25 - 3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪135‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫(‪)7-3‬‬ ‫‪� 1‬إذا ك��ان من ال�سهل �إيجاد ج��ذور الدالة التربيعية ف�إنَّه ال �ضرورة لح�ساب المميز عند درا�سة‬ ‫�إ�شارتها‪،‬فمث ًال‪:‬‬ ‫الدالة د (���س) = �س‪� - 2‬س ‪ 2 -‬ي�سهل �إيجاد جذورها بتحليلها �إل��ى عاملين ومن ثم درا�سة �إ�شارتها‬ ‫كمايلي‪:‬‬ ‫د (�س) = ‪0‬‬

‫�س‪� - 2‬س ‪0 = 2 -‬‬ ‫( �س ‪� ( ) 2 -‬س ‪0 = ) 1 +‬‬ ‫�س = ‪� 2‬أو �س = ‪1 -‬‬

‫وحيث � َّأن معامل �س‪ 2‬هو ‪0 1‬‬ ‫� ًإذا �إ�شارة د(�س) تكون كما هو مو�ضح على خط الأعداد التالي ‪:‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ 2‬هناك دوال تربيعية يمكن تحديد �إ�شارتها مبا�شر ًة بدون ا�ستخدام قاعدة �إ�شارة الدالة التربيعية‪،‬‬ ‫ومنها‪:‬‬ ‫الدالة التربيعية التي فيها معامل �س ي�ساوي �صفر وك ٌّل من معامل �س‪ 2‬والحد الثابت موجب تكون‬ ‫موجبة �س ‪ .‬فمث ًال ‪ :‬د(�س) = �س‪� 0 5 + 2‬س‬ ‫الدالة التربيعية التي قاعدتها على �صورة مربع كامل تكون موجبة لجميع قيم �س الحقيقية المغايرة‬ ‫لجذر الدالة ‪.‬‬ ‫فمث ًال ‪ :‬د(�س) = ( �س ‪) 1 -‬‬

‫‪2‬‬

‫‪136‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‬

‫‪1 -‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫المتباينات من الدرجة الثانية في متغير واحد ( المتباينات التربيعية )‬ ‫في هذا البند نحل المتباينات من الدرجة الثانية في متغير واحد مثل ‪:‬‬ ‫‪� 2‬س‪� 3 + 2‬س ‪5 -‬‬

‫‪� ، 0‬س‪� 4 1 + 2‬س ‪� ،‬س ‪� 7 2 -‬س‪� ، 2‬س‬

‫‪2‬‬

‫والتي يمكن كتابتها على �إحدى ال�صور القيا�سية التالية حيث‬ ‫‪،‬‬

‫�س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪0‬‬ ‫�س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪، 0‬‬

‫‪� 3‬س ‪10 -‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪0‬‬ ‫�س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪0‬‬

‫ت�سمى هذه المتباينات بالمتباينات التربيعية و نعتمد في ح ِّلها على �إ�شارة المقدار ( �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ) ‪.‬‬

‫مثال (‪)16-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة‪� :‬س‪� + 2‬س ‪� 2‬س ‪12 +‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫نبد�أ �أو ًال بكتابة المتباينة على ال�صورة القيا�سية ‪� :‬س‪� - 2‬س ‪0 12 -‬‬ ‫نبحث �إ�شارة د(�س) = �س‪� - 2‬س ‪12 -‬‬ ‫د(�س) = ‪0‬‬

‫�س‪� - 2‬س ‪0 = 12 -‬‬

‫( �س – ‪� ( ) 4‬س ‪0 = ) 3 +‬‬ ‫�س = ‪� 4‬أو �س = – ‪3‬‬ ‫وحيث � َّأن معامل �س‪ 2‬هو ‪ 0 1‬ف� َّإن �إ�شارة د(�س) تكون كما هو مو�ضح على خط الأعداد التالي ‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫وهذا يعني � َّأن المتباينة �س‪� - 2‬س ‪ 0 12 -‬تتحقق �إذا كانت �س ‪� 3 -‬أو �س ‪4‬‬ ‫‪[ ،4‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل المتباينة = ‪[ 3- ، -‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪137‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫� َّأن قيمة ( �س‪� - 2‬س ‪ ) 12 -‬عند الجذرين ‪ 4 ، 3 -‬ت�س ��اوي �ص ��ف ًرا ‪ ،‬وعليه ف� َّإن مجموعة حل المتباينة‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪ 0 12 -‬هي ‪[ 3- ، -‬‬ ‫�أكمل الفراغ التالي‪:‬‬

‫‪[ ،4‬‬

‫مجموعة حل المتباينة �س‪� - 2‬س ‪ 0 12 -‬هي ‪..............................................................‬‬

‫تدريب (‪)8-3‬‬ ‫ا�ستفد من حل المثال ( ‪ ) 15-3‬واكتب �أمام كل متباينة فيما يلي مجموعة حلها‪:‬‬ ‫‪� 8 + 5‬س ‪� 4 -‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‪� 4 - 2‬س ‪ 0 4 +‬‬ ‫‪� 2 -‬س‪� 6 + 2‬س ‪0 7 -‬‬

‫مثال (‪)17-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة الحل للمتباينة‪� :‬س‪0 9 - 2‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫يمكنن ��ا حل هذه المتباينة بدون بحث �إ�ش ��ارة المقدار ( �س‪ )9 - 2‬وذلك بالإف ��ادة من خوا�ص القيمة المطلقة‬ ‫على النحو التالي ‪:‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫�س‪� 0 9 - 2‬س‪9 2‬‬ ‫�س‬

‫‪3‬‬ ‫�س‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬‫� ًإذا مجموعة حل المتباينة المعطاة هي ‪[ 3 ، 3-‬‬ ‫ابحث �إ�شارة المقدار ( �س‪ ) 9 - 2‬و تحقق من �صحة الحل ‪.‬‬

‫نظرية ( ‪) 3-3‬‬

‫تدريب (‪)9-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة الحل ٍّ‬ ‫لكل من المتباينات الآتية‪:‬‬ ‫‪� 5‬س ‪� 3 -‬س‪، 0 1 - 2‬‬

‫‪138‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�س‪0 > 8 + 2‬‬

‫‪،‬‬

‫�س‪0 5 - 2‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫المتباينات من الدرجة الثالثة في متغير واحد‬ ‫‪ 0‬هي معادلة من‬ ‫‪،‬‬ ‫تعلم � َّأن المعادلة �س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ +‬د = ‪ ، 0‬حيث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ‪ ،‬د‬ ‫الدرجة الثالثة في متغير واحد‪ ،‬و�إذا ا�ستبدلنا �أحد الرموز الآتية ‪ ، ، ،‬ب�إ�شارة الم�ساواة في‬ ‫هذه المعادلة ف�إننا نح�ص ��ل على �صورة قيا�سية لمتباينة من الدرجة الثالثة في متغير واحد‪ ،‬و�سنقت�صر‬ ‫ف ��ي هذا البند على حل متباينات من الدرجة الثالثة قابلة للتحليل حيث نحللها �إلى عاملين �أحدهما من‬ ‫الدرجة الأولى و الآخر من الدرجة الثانية وندر�س �إ�شارة كل عامل ثم نح�صل على �إ�شارة حا�صل �ضرب‬ ‫العاملين ومنها ن�ستنتج حل المتباينة‪.‬‬

‫مثال (‪)18-3‬‬ ‫‪2‬‬

‫�أوجد مجموعة الحل للمتباينة ‪� :‬س‪� 6 - 3‬س‬

‫‪� 11 -‬س ‪6 +‬‬

‫الحل‬

‫ن�ضع المتباينة على ال�صورة القيا�سية ‪:‬‬ ‫�س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪0 6 -‬‬ ‫ونحلل المقدار ( �س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪ ) 6 -‬با�ستخدام‬ ‫الق�س ��مة المطولة �إلى عاملين ب�أن نق�س ��م المقدار على‬ ‫( �س ‪ ) 1-‬؛ ل َّأن العدد واحد هو جذر للمقدار (نح�صل‬ ‫عليه بالتجريب) فيكون‪:‬‬ ‫�س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪� ( =6 -‬س ‪� ( ) 1 -‬س‪� 5 - 2‬س ‪)6 +‬‬ ‫و من َثم ندر�س �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من العاملين للح�صول على �إ�شارة حا�صل ال�ضرب ( �إ�شارة المقدار ) ‪:‬‬ ‫فالعامل ( �س ‪ ) 1 -‬من الدرجة الأولى ‪ ،‬جذره هو الواحد و معامل �س فيه موجب ‪.‬‬ ‫�أم ��ا العام ��ل ( � ��س‪� 5 - 2‬س ‪ ) 6 +‬فمن الدرجة الثانية جذراه هما ‪ ( 3 ، 2‬لماذا ؟ ) و معامل �س‪ 2‬فيه‬ ‫يو�ضح �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من ‪:‬‬ ‫موجب ‪ .‬والجدول التالي ِّ‬ ‫( �س ‪� ( ، ) 1 -‬س‪� 5 - 2‬س ‪ ، ) 6 +‬حا�صل ال�ضرب ( �س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪) 6 -‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪139‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫ن�ستنتج من الجدول ال�سابق � َّأن المتباينة �س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪ 0 6 -‬تتحقق �إذا كانت ‪:‬‬ ‫‪� 1‬س ‪� 2‬أو �س ‪3‬‬ ‫‪،3‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل المتباينة المعطاة هي ‪2 ، 1‬‬ ‫�أعد حل المثال ال�سابق بتحليل المقدار ( �س‪� 6 - 3‬س‪� 11 + 2‬س ‪� ) 6 -‬إلى عوامل من الدرجة الأولى ‪.‬‬

‫مثال (‪)19-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة ‪� :‬س‪� 3 - 3‬س‪� + 2‬س ‪3 -‬‬

‫‪0‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫نحلل المقدار ( �س‪� 3 - 3‬س‪� + 2‬س ‪ )3 -‬بطريقة التجميع ‪ -‬بد ًال من طريقة الق�سمة المط َّولة ‪ -‬على النحو التالي ‪:‬‬

‫�س‪� 3 - 3‬س‪� + 2‬س ‪3 -‬‬ ‫= �س‪� ( 2‬س ‪� ( + ) 3 -‬س ‪) 3 -‬‬ ‫= ( �س ‪� ( ) 3 -‬س‪) 1 + 2‬‬ ‫�س‬

‫وبما � َّأن �س‪0 1 + 2‬‬ ‫ف� َّإن �إ�شارة المقدار ( �س‪� 3 - 3‬س‪� + 2‬س ‪ ) 3 -‬هي الإ�شارة نف�سها للمقدار ( �س ‪ ) 3 -‬والذي جذره ‪ ، 3‬ونو�ضح‬ ‫هذه الإ�شارة على خط الأعداد التالي ‪:‬‬

‫� ًإذا المتباينة �س‪� 3 - 3‬س‪� + 2‬س ‪ 0 3 -‬تتحقق �إذا كانت �س ‪3‬‬

‫تدريب (‪)10-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة ‪� :‬س‬

‫‪3‬‬

‫‪140‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫مجموعة الحل = ‪3 ، -‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫المتباينات الن�سبية‬

‫د(�س)‬ ‫العبارة الن�سبية هي العبارة التي يمكن كتابتها على ال�صورة‬ ‫هـ (�س)‬

‫حيث ك ًّال من د (�س) ‪ ،‬هـ (�س)‬

‫كثيرة حدود ‪ ،‬والمتباينات التي تت�ضمن عبارات ن�سبية ت�س َّمى متباينات ن�سبية ومن الأمثلة عليها ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪2-‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫ولحل مثل هذه المتباينات ن�ض ��عهـا في �ص ��ورة قيا�س ��ية ؛ وذلك بجعل الطرف الأي�س ��ر �ص ��ف ًرا َو و�ض ��ع‬ ‫د(�س)‬ ‫‪ ،‬ثم ندر�س �إ�شـارة ٍّ‬ ‫كل من الب�سط د (�س) ‪ ،‬المقام هـ (�س)‬ ‫الطرف الأيمن على ال�صورة‬ ‫هـ (�س)‬ ‫د(�س)‬ ‫و منها نوجد حل المتباينة ‪.‬‬ ‫‪ .‬و من َثم نح�صل على �إ�شـارة ناتج الق�سمة‬ ‫هـ (�س)‬

‫مثال (‪)20-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة الحل للمتباينة ‪� :‬س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪3 +‬‬

‫‪0‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫ندر�س �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من الب�سط ( �س ‪ )1 -‬و المقام ( �س ‪) 3 +‬‬ ‫�س‬ ‫و من َثم نح�صل على �إ�شارة ناتج الق�سمة �س ‪ 13 -+‬كما في الجدول التالي ‪:‬‬

‫س‪1-‬‬ ‫س‪3+‬‬ ‫س‪1-‬‬ ‫س‪3+‬‬

‫صفر‬

‫غير مع َّرف‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪141‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫وعليه ف� ّإن �س ‪� 0 3 +‬إذا كانت ‪� 3 -‬س ‪ ، 1‬وحيث � َّأن المقدار �س ‪ 3 +‬ي�ساوي �صف ًرا‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫�إذا كانت �س = ‪ 1‬ف� َّإن مجموعة حل المتباينة �س ‪ 0 3 +‬هي ‪1 ، 3-‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫في المثال ال�سابق � َّأن مجموعة الحل فترة مفتوحة عند �س = ‪ 3 -‬؛ ل َّأن المقدار �س ‪ 3 +‬غير مع َّرف‬ ‫عند �س = ‪ ( 3 -‬جذر المقام )‬ ‫و عامة الأمر ف� َّإن الفترة المم ِّثلة لحل المتباينة الن�س ��بية ( في ال�ص ��ورة القيا�س ��ية ) تكون مفتوحة عند جذور‬ ‫المقام‪� ،‬أما جذور الب�سط فقد تُغلق الفترة �أو تُفتح عندها ح�سب وجود الم�ساواة‪.‬‬ ‫ومما �سبق نجد � َّأن ‪:‬‬

‫�س ‪1 -‬‬ ‫مجموعة حل المتباينة �س ‪3 +‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫ومجموعة حل المتباينة �س ‪3 +‬‬

‫‪ 0‬هي ‪........................‬‬ ‫‪ 0‬هي ‪.........................‬‬

‫( �أكمل الفراغ )‬

‫مثال (‪)21-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة ‪� - 3 :‬س‬ ‫�س ‪4 +‬‬

‫‪2‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪� - 3‬س‬ ‫�س ‪4 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� - 3‬س‬ ‫�س ‪0 2 - 4 +‬‬ ‫‪� -3‬س‪�2-‬س ‪8-‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫‪� 3‬س ‪5-‬‬‫‪0‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬

‫‪0‬‬

‫يو�ض ��ح �إ�ش ��ارة ٍّ‬ ‫كل من ( ‪� 3-‬س ‪�(،)5 -‬س ‪،)4 +‬‬ ‫‪ ، 5‬جذر المقام هو ‪ 4-‬و الجدول التالي ِّ‬‫جذر الب�س ��ط هو ‪3‬‬ ‫‪� 3‬س ‪5-‬‬‫و�إ�شارة ناتج الق�سمة �س ‪4 +‬‬

‫‪142‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬ ‫ـ‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫ـ‪4‬‬

‫‪ 3‬س ‪5 -‬‬‫س‪4+‬‬ ‫‪ 3‬س ‪5 -‬‬‫س‪4+‬‬

‫صفر‬

‫‪� 3‬س ‪5-‬‬‫وعليه ف� َّإن �س ‪4 +‬‬ ‫‪� 3‬س ‪5-‬‬‫‪5‬‬‫=‬ ‫�س‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫�‬ ‫ا‬ ‫ر‬ ‫�صف‬ ‫ي�ساوي‬ ‫ً‬ ‫‪3‬‬ ‫وحيث � َّأن المقدا ّر �س ‪4 +‬‬ ‫‪� 0‬إذا كانت �س‬

‫‪� 4-‬أو �س‬

‫ف� َّإن مجموعة الحل للمتباينة المعطاة هي ‪4- ، - :‬‬

‫غير مع َّرف‬

‫‪5‬‬‫‪، 3‬‬

‫‪5‬‬‫‪∞، 3‬‬

‫ناق�ش مدى �صحة الإجراء التالي لحل المتباينة في المثال ال�سابق ‪:‬‬ ‫‪� - 3‬س‬ ‫‪� - 3 2‬س ‪� ( 2‬س ‪) 4 +‬‬ ‫�س ‪4 +‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة في المثال ال�سابق ب�ضرب طرفي المتباينة بالمقدار ( �س ‪) 4 +‬‬

‫‪2‬‬

‫مثال (‪)22-3‬‬ ‫‪� 4‬س‪�4 - 2‬س ‪1+‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة ‪� :‬س ‪1 -‬‬

‫‪0‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫الب�سط ( ‪�4‬س‪�4 - 2‬س ‪ : ) 1 +‬من الدرجة الثانية له جذر واحد هو ‪ ( 12‬لماذا ؟ ) ‪ ،‬معامل �س‪ 2‬موجب ‪.‬‬

‫المقام ( �س ‪ : ) 1 -‬من الدرجة الأولى جذره هو الواحد ‪ ،‬معامل �س موجب ‪.‬‬

‫‪� 4‬س‪�4 - 2‬س ‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وعليه ف� َّإن �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من ‪�4 ( :‬س ‪�4 -‬س ‪� ( ، ) 1 +‬س ‪ )1 -‬و �إ�شارة ناتج الق�سمة ‪� :‬س ‪1 -‬‬ ‫تكون كما في الجدول التالي ‪:‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪143‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪�4‬س‪�4 - 2‬س ‪1 +‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪�4‬س‪�4 - 2‬س ‪1 +‬‬ ‫غير مع َّرف‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫� ًإذا مجموعة حل المتباينة المعطاة هي ‪� (................................‬أكمل الفراغ )‬

‫مثال (‪)23-3‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل المتباينة ‪1‬‬ ‫�س‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫يمكننا حل هذه المتباينة بتطبيق الخا�صية ( ‪ ) 1 - 3‬؛ ل َّأن ‪� 4‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س ‪� 2‬أو �س‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫�س‪4 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪4‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫مجموعة الحل هي ‪2- ، - :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2-‬‬

‫تحقق من �صحة الحل بو�ضع المتباينة المعطاة على ال�صورة القيا�سية ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لماذا ال يمكننا كتابة ‪� :‬س‬ ‫‪4‬‬ ‫في الواقع ح�سب الخا�صية ( ‪ ) 1 - 3‬نجد � َّأن ‪:‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫(�س‬ ‫�أو‬ ‫(�س‬

‫‪4‬؟‬

‫‪� 4‬إذا كان �س ‪) 0‬‬

‫�س ‪4‬‬

‫‪)0‬‬

‫�س ‪0‬‬

‫‪� 4‬إذا كان �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 14‬بو�ضعها على ال�صورة القيا�سية ؟‬ ‫هل ِّ‬ ‫تف�ضل حل المتباينة �س‬

‫تدريب (‪)11-3‬‬ ‫اختر الإجابة ال�صحيحة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مجموعة حل المتباينة �س‪2‬‬ ‫‪،3‬‬ ‫( ‪3- ، -‬‬

‫‪144‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪ 19‬هي ‪:‬‬ ‫‪3 ، 3- ،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪0 - 3 ، 3-‬‬

‫)‬

‫والثالثة‬ ‫الثانيةلأ�ؤلى‬ ‫الدرجة ا‬ ‫الدرجة‬ ‫المتباينات من‬ ‫المتباينات من‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫تمارين (‪)2-3‬‬ ‫‪ 1‬ادر�س �إ�شارة كلٍّ من الدوال الآتيـة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (�س) = ‪� 3 -‬س‬

‫د (�س) = ‪1-‬‬ ‫د (�س) = ‪� 3‬س ‪7 -‬‬

‫د د (�س) = ‪� 3 - 7‬س‬ ‫و د (�س) = �س‪1 - 2‬‬

‫هـ د (�س) = �س‬ ‫ز د (�س) = �س‪1 + 2‬‬

‫ح د (�س) = �س ‪� -‬س‪2 - 2‬‬

‫ط د (�س) = �س‪� 8 - 2‬س ‪16 +‬‬

‫ى د (�س) = ‪�4 -‬س‪�10 + 2‬س ‪25 -‬‬

‫ك د (�س) = ‪� 4‬س‪� 8 - 2‬س ‪3 +‬‬

‫ل د (�س) = ‪�10‬س ‪� 25 -‬س‪1 - 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬ادر�س �إ�شارة كلٍّ من الدوال الآتية مع التو�ضيح بالر�سم ‪.‬‬ ‫د (�س) = ‪� 2‬س‬

‫د (�س) = ‪4‬‬ ‫د (�س) = ‪� - 4‬س‬

‫‪2‬‬

‫د د (�س) = �س‪� + 2‬س ‪1 +‬‬

‫‪� 3‬أوجد قيم ك في كلٍّ من الحاالت التالية ‪:‬‬ ‫الدالة د (�س) = �س‪ 3 + 2‬ك �س ‪ +‬ك لها جذور حقيقية ‪.‬‬ ‫الدالة د (�س) = �س‪ - 2‬ك �س ‪ ( +‬ك ‪ ) 3 +‬لي�س لها جذور حقيقية ‪.‬‬ ‫الدالة د (�س) = �س‪ ( + 2‬ك ‪� ) 3 +‬س ‪4 +‬ك موجبة دائ ًما ‪.‬‬ ‫�أوجد مجموعة الحل لكل متباينة في التمارين من ‪� 4‬إلى ‪: 35‬‬ ‫‪� 5 5‬س‪0 1 - 2‬‬ ‫‪� - 16 4‬س‪0 2‬‬ ‫‪� 7‬س‪1 4 + 2‬‬ ‫‪� 6‬س‪0 1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ( 9‬س ‪� ( ) 1 -‬س ‪0 ) 3 +‬‬ ‫‪� 6 8‬س ‪� 9 -‬س‪1 2‬‬ ‫‪� 5 11‬س‪� 2 - 2‬س �س ‪1 +‬‬ ‫‪� 10‬س‪� 5 - 2‬س ‪0 6 -‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪145‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪� 12‬س ( ‪� - 7‬س )‬ ‫‪� - 3 ( 14‬س )‬

‫‪� 13‬س‪� + 2‬س ‪2 +‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� ( 15‬س ‪� ( ) 5 -‬س‪) 3 + 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪� ( 16‬س ‪� 2 - 3 ( ) 2 -‬س ) ( ‪� 12‬س ‪� ( 17 0 ) 1 +‬س ‪� ( ) 3 +‬س‪� - 2‬س ‪0 ) 30 -‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪�16‬س‬

‫‪� 19‬س‪� 3 + 3‬س‪� 2 + 2‬س‬

‫‪� 18‬س‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪� 21‬س‪1 + 3‬‬

‫�س‪� + 2‬س‬

‫�س ‪5 +‬‬ ‫‪� 23‬س ‪3 -‬‬

‫‪0‬‬

‫‪� 20‬س‬

‫‪� 22‬س‪18 + 3‬‬

‫‪� 2‬س‪� 9 + 2‬س‬

‫‪5 24‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬

‫‪6‬‬

‫‪�2‬س‪10- 2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪28‬‬ ‫�س ‪7 -‬‬ ‫‪30‬‬

‫�س ‪5 +‬‬ ‫‪25‬‬ ‫�س‪� + 2‬س ‪42 -‬‬

‫‪� ( -‬س ‪) 7 +‬‬

‫‪�2‬س‪�4 + 2‬س ‪20 -‬‬ ‫س‬

‫‪2‬‬

‫‪�2‬س‪�8 - 2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪32‬‬ ‫س‪�4 + 3‬س‬ ‫‪4 34‬‬

‫س‬

‫‪146‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‬ ‫‪27‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬

‫‪�5‬س‪3 + 2‬‬ ‫‪29‬‬ ‫س‪1 - 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫(�س ‪)5 +‬‬ ‫‪31‬‬ ‫س‪4 - 2‬‬

‫‪0‬‬

‫�س‪8 - 3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬س ‪2 +‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪35‬‬ ‫س‪3 + 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪19‬‬

‫المتباينات من الدرجة الأ�ؤلى‬

‫‪7‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪ 1‬الفترات الحقيقية و�أنواعها وتمثيلها على خط الأعداد ‪ ،‬والجدول التالـي ُيلخِّ �ص ذلك‪:‬‬ ‫الفـترة‬

‫م�سماها‬

‫رمزهـا‬

‫�س‬

‫‪:‬‬

‫�س ب‬

‫‪،‬ب‬

‫فترة مغلقة من �إلى ب‬

‫�س‬

‫‪:‬‬

‫�س ب‬

‫‪،‬ب‬

‫فترة مفتوحة من �إلى ب‬

‫�س‬

‫‪:‬‬

‫�س ب‬

‫‪،‬ب‬

‫فترة ن�صف مغلقة ( �أو ن�صف مفتوحة ) من �إلى ب‬

‫�س‬

‫‪:‬‬

‫�س ب‬

‫‪،‬ب‬

‫فترة ن�صف مغلقة ( �أو ن�صف مفتوحة ) من �إلى ب‬

‫�س‬

‫‪� :‬س‬

‫‪،‬‬

‫فترة ن�صف مغلقة من �إلى‬

‫�س‬

‫‪� :‬س‬

‫‪،‬‬

‫فترة مفتوحة من �إلى‬

‫�س‬

‫‪� :‬س ب‬

‫‪، -‬ب‬

‫فترة ن�صف مغلقة من – �إلى ب‬

‫�س‬

‫‪� :‬س ب‬

‫‪، -‬ب‬

‫فترة مفتوحة من – �إلى ب‬

‫�س‬

‫�س‬

‫‪، -‬‬

‫فترة مفتوحة من – �إلى وهي نف�سها‬

‫‪-:‬‬

‫تمثيلها‬

‫‪ 2‬القيمة المطلقة ل ِّأي ٍ‬ ‫عدد حقيقي و خوا�صها‪.‬‬ ‫‪ 3‬مجموعة حل نظام متباينتين من الدرجة الأولى في متغ ِّيرٍ واحد هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫ف‪� 2‬إذا كان النظام بالرابط َو‬

‫ف‬

‫‪1‬‬

‫ف‪� 2‬إذا كان النظام بالرابط �أو‬

‫ف‬

‫حيث ف‪ 1‬هي مجموعة حل المتباينة الأولى ‪ ،‬ف‪ 2‬هي مجموعة حل المتباينة الثانية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪147‬‬

‫الوحدة الثالثة‬ ‫‪ 4‬حل متباينات من الدرجة الأولى بمتغ ِّيرٍ واحـد تحتوي على القيمة المطلقة ا�سـتنا ًدا �إلى نظريتين مه َّمتين‬ ‫تتع َّلقان بالقيمة المطلقة وهي ‪:‬‬ ‫�س‬

‫ل‬

‫�س‬

‫ل‬

‫حيث �س ‪ ،‬ل‬

‫�س ل �أو �س‬ ‫‪-‬ل‬

‫�س‬

‫ل‬‫ل‬

‫‪،‬ل ‪0‬‬

‫‪ 5‬قاعدة �إ�شارة ٍّ‬ ‫كل من الدالة الثابتة و دالة الدرجة الأولى و الدالة التربيعية ‪:‬‬ ‫�إ�شارة الدالة الثابتة د(�س) = ‪ ،‬حيث‬

‫‪ ، 0‬مثل �إ�شارة‬

‫�إ�شارة دالة الدرجة الأولى د(�س) = �س ‪ +‬ب ‪،‬‬

‫�س‬

‫‪ ، 0‬مثل �إ�شارة ( معامل �س ) يمين جذرها وعك�س‬

‫�إ�شارة ي�سار جذرها‪.‬‬ ‫با�ستثناء جذور الدالة التربيعية د(�س) = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪،‬‬

‫‪ 0‬ف� َّإن �إ�شارة الدالة التربيعية مثل �إ�شارة‬

‫(معام ��ل �س‪)2‬لجمي ��ع قيم �س الحقيقية �إ َّال �إذا كان لهذه الدالة ج ��ذران حقيقيان ووقعت �س بينالجذرين‬ ‫ف� َّإن �إ�شارتها تكون مخالفة لإ�شارة‬ ‫‪ 6‬حل متباينات من الدرجة الثانية والثالثة ومتباينات ن�سبية وذلك بالإفادة من �إ�شارة المقدارالجبري‬ ‫( ‪� 2‬س‪� 1 + 2‬س ‪) 0 +‬‬

‫‪148‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫عالمة (‬ ‫‪� 1‬ضع ‪1‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ ‪1، 3‬‬‫‪3‬‬ ‫ –‬ ‫‬‫‬‫‪0 ، 2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪7،2‬‬

‫) �أو عالمة ( ) عن يمين ما يلي ‪:‬‬

‫‪7،2‬‬

‫‪= 7،5 - 7،5‬‬ ‫*‪! # ،33] -./012‬‬ ‫يم ِ ّثل‪34567‬‬ ‫المجموعة‬

‫*;‪389:‬ـكل‪: :‬‬ ‫ال�ش‬

‫ُ‬

‫}‪{4‬‬ ‫=‪3< 4‬‬ ‫تقاطع فترتين غير محدودتين فترة محدودة‬ ‫'&‪" $%‬‬ ‫�س‬ ‫‪�*+,‬إذا)(‪%‬كان‪�" Œ‬س‪ 77 =8 Œ‬ف� َّإن‬

‫]–‪[7#7‬‬

‫‪7،7-‬‬

‫] –‪[5#5‬‬

‫‪Œ%() *+,‬‬ ‫‪&' 55 > Œ‬ف�‪َّ $%‬إن "�س‬ ‫كان "�س‬ ‫�إذا‬ ‫–‪12 – 8 Œ! " 8 –ŒŒ 33 Œ‬‬ ‫�ص ‪� 8 -‬س �ص = ‪12-‬‬ ‫‪�2‬س !‬ ‫ ‪"2‬‬‫‪� 2‬س ‪� - 5 2- = 5 -‬س �س‬ ‫ ‬

‫]‪4 – -‬‬

‫‪5،5-‬‬

‫�إذا كان �س ‪� ، 0‬ص ‪ ، 0‬ف� َّإن �س �ص‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫مجموعة حل المتباينة (س ‪ 0 2)1-‬هي‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫�ص‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪� 2‬ضع خطًّ ا تحت الإجابة ال�صحيحة فيما يلي‪:‬‬ ‫ُيم ِّثل المجموعة ( ‪، 2 ، 7 ، 2 ، 7 ، 2‬‬

‫ال�شكل‬ ‫"‪7‬‬ ‫ ‪، ( = [ ،4 [3،‬‬‫!‪2‬‬

‫ ‪[2-،‬‬‫د‬

‫‪[ 3 ،2 -‬‬

‫‪)7 -‬‬

‫‪) 4،3[ - ، 4،3 -‬‬

‫‪، 2،2-[ ( = [ ،2‬‬ ‫‪، [3،2- ( = 3،2‬‬

‫‪2 ،2-‬‬

‫‪) [2،2- ،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪) 3 ،2‬‬‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪149‬‬

‫هـ �ص‪+‬‬ ‫و‬ ‫�إذا كانت ف‪ ، [ 4 ، 3 [ = 1‬ف‪ [ 7 ، 3 = 2‬ف� َّإن ف‪1‬‬ ‫‪2 ، 3- ( = 2 ، 3-‬‬

‫( ف‪ ، 3 - 1‬ف‪، 1‬‬

‫ط �س ‪� 2‬أو �س‬

‫ف‪= 2‬‬

‫‪ ، 5 ، 5- ( = 2 ، -‬غير مح َّدد )‬

‫( �س ‪� ، 3 = 1 -‬س ‪� ، 3 = 1 -‬س ‪) 3 = 1 -‬‬ ‫‪2-‬‬

‫( �س‬

‫ي مجموعة حل المتباينة ‪� - 25‬س‬

‫‪� ، 2‬س ‪2 -‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪� ، 0‬س‬

‫‪ 0‬هي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫( [ ‪5 ، 5-‬‬

‫‪2،0 ، 1 ،‬‬

‫‪) 4،3‬‬

‫ز طول الفترة ‪[ ، 3 -‬‬

‫ح ( �س ‪9 = 2) 1 -‬‬

‫)‬

‫‪[ 5- ، - [ ،‬‬

‫‪،5‬‬

‫[ ‪5- ، - ،‬‬

‫[‪) [ ،5‬‬

‫ك الفترة التي تكون فيها الدالة د(�س) = ( �س ‪� - 4 ( )2 -‬س‪ ) 2‬موجبة هي ‪:‬‬ ‫( ‪، [2،2-‬‬

‫‪، [ ،2‬‬

‫‪[2-، -‬‬

‫ل �إذا كانت د(�س) هي الدالة المم َّثلة في ال�شكل المجاور ف� َّإن‬ ‫مجموعة حل المتباينة د(�س)‬ ‫([‪، [∞،3‬‬

‫ ‬

‫‪ 0‬هي ‪:‬‬ ‫‪3، -‬‬

‫‪،‬‬

‫‪) 2-، -‬‬

‫م �إذا كانت د(�س) هي الدالة المم َّثلة في ال�شكل المجاور ف� َّإن‬ ‫مجموعة حل المتباينة د(�س) ‪ 0‬هي ‪:‬‬ ‫([‪[2-، - ،[5،2- ، 5،2-‬‬

‫‪150‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪) [ ،5‬‬

‫‪) [2-، -‬‬

‫‪ 3‬اختر للمجموعة ( ) ما ينا�سـبها من المجموعة ( ب ) ‪.‬‬ ‫مجموعـة ( )‬ ‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المعادلة �س = ‪ 4‬هي‬ ‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المتباينة �س‬

‫‪ 4‬هي‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المتباينة �س‬

‫‪ 4‬هي‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المتباينة �س‬

‫‪ 4‬هي‬

‫مجموعة ِّ‬ ‫حل المتباينة �س‬

‫‪ 4‬هي‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫موجبة �س‬ ‫‪� 4‬إذا كانت الدالة د ( �س )‬

‫�سالبة �س‬

‫مجموعـة ( ب )‬ ‫‪4 ، 4‬‬‫‪4 ، 4‬‬‫‪4 ، 4‬‬‫‪،4‬‬ ‫ ‪4-،‬‬‫ ‪4 ، 4-‬‬‫‪4 ، 4- -‬‬

‫‪0،2‬‬‫‪2- ، -‬‬

‫‪،4‬‬ ‫‪4،0‬‬

‫فادر�س �إ�شارة هـ ( �س ) = د ( �س ) ( �س – ‪� ( ) 4‬س ‪. ) 2 +‬‬ ‫‪� 5‬أوجد مجموعة حل النظام ومثِّلها على خط الأعداد في كلٍّ من الفقرات التالية ‪:‬‬ ‫‪� - 4‬س‬ ‫�س ‪3-‬‬ ‫َو ‪�3 - 2‬س ‪�2‬س ‪. 8 -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫�أو ‪� 3‬س ‪. 5 2 +‬‬ ‫‪� 2‬س ‪3 7 -‬‬ ‫( �س ‪َ 3‬و �س‬

‫‪) 2-‬‬

‫�أو‬

‫( �س ‪َ 5‬و ‪� 2‬س ‪. ) 10‬‬

‫‪� 6‬أوجد مجموعة الحل لكلٍّ من المتباينات التالية ‪:‬‬ ‫�س‪� 3 - 2‬س‬

‫‪� ( 2‬س ‪) 7 +‬‬

‫( �س – ‪) 4‬‬

‫ ‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪�2‬س‪�3 - 2‬س ‪28 -‬‬ ‫ ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫س‪9 - 2‬‬ ‫‪ 7‬اكتب متباينة تربيعية مجموعة حلها هي ‪6 ، 2‬‬ ‫‪ 8‬عددان حا�صل �ضربهما ي�ساوي عد ًدا �سال ًبا ‪ ،‬ف�إذا كان �أحد العددين يزيد عن الآخر بمقدار ‪ 2‬فما‬ ‫هي القيم الممكنة لأ�صغر هذين العددين‪.‬‬ ‫د‬

‫‪9‬‬‫‪2‬‬ ‫‪�2‬س‪�4 - 3‬س ‪� 2 -‬س ‪4+‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪151‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫‪Real Functions‬‬

‫(‪ )1-4‬الدوال احلقيقية‬ ‫(‪ )2-4‬الدوال اجلربية‬ ‫(‪ )3-4‬العمليات على الدوال‬ ‫(‪ )4-4‬الدوال املت�سامية‬ ‫(‪ )5-4‬بع�ض التطبيقات على الدوال احلقيقية‬

‫� َّإن تمثيل الدال ��ة بيان ًّيا له �أهمية‬ ‫كبيرة في النواح ��ي التطبيقية ‪،‬‬ ‫فعلى �س ��بيل المثال نج ��د � َّأن ك ًّال‬ ‫م ��ن وزن الطفل و م�ؤ�ش ��ر �س ��وق‬ ‫الأ�سهم وتخطيط القلب وكذلك‬ ‫ت�س ��ارع ال ��زالزل ‪ -‬والت ��ي ُتع� � ُّد‬ ‫جميعه ��ا دوا ًّال متغيرها الزمن ‪-‬‬ ‫تُم َّثل بمنحنيات بيانية ‪.‬‬

‫ُيتو َّقع من الطالب بعد درا�سـة هذه الوحدة �أن يكون قاد ًرا على �أن ‪:‬‬ ‫‪ -1‬يع ِّرف الدالة الحقيقية ومجاله ومداها‪.‬‬ ‫‪ -2‬يوجد جذور دالة وقيمها وقاعدتها‪.‬‬ ‫‪ -3‬يميز منحني الدالة با�ستخدام اختبار الخط الر�أ�سي‪.‬‬ ‫‪ -4‬بالإفادة من منحني الدالة يحدد ‪ :‬مجالها‪ ،‬مداها‪ ،‬قيمها‪ ،‬جذورها‪ ،‬نقطة التقاطع مع المحور‬ ‫‪ ،‬محدوديتها ‪ ،‬تناظرها‪ ،‬اطرادها‪.‬‬ ‫‪ -5‬يعرف ت�ساوي دالتين‪.‬‬ ‫‪ -6‬يدر�س محدودية الدالة وتناظرها واطرادها بطريقة جبرية‪.‬‬ ‫‪ -7‬يميز منحني الدالة الأحادية با�ستخدام اختبار الخط الأفقي ‪.‬‬ ‫‪ -8‬يذكر قاعدة ومجال و�إ�شارة ويمثل بياني ًا كال من ‪ :‬الدالة الثابتة‪ ،‬دالة الدرجة‬ ‫الأولى‪ ،‬والدالة التربيعية‪.‬‬ ‫‪ -9‬يحدد المجال والمدى للدالة المجز�أة ويمثلها بياني ًا‪.‬‬ ‫‪ -10‬يعيد تعريف دالة القيا�س لمقدار من الدرجة الأولى �أو الثانية ويحدد مجالها‬ ‫‪،‬مداها ويمثلها بياني ًا‪.‬‬ ‫‪ -11‬يعيد تعريف دالة �صحيح �س ويحدد مجالهاومداها ويمثلها بياني ًا‪.‬‬ ‫‪ -12‬يمثل بياني ًا ك ًال من ‪ :‬دالة مقلوب �س‪ ،‬دالة جذر �س‪.‬‬ ‫‪ -13‬يوجد مجال الدالة الن�سبية ومجال دالة الجذر التربيعي لمقدار من الدرجة الأولى �أو الثانية‪.‬‬ ‫‪ -14‬يجري العمليات الجبرية الأربع على الدوال ويحدد الدالة الناتجة‪.‬‬ ‫‪ -15‬يوجد قاعدة الدالة الناتجة من تركيب دالتين‪.‬‬ ‫‪ -16‬يثبت �أن ك ًال من دالتين معطاة هي دالة عك�سية للأخرى‪.‬‬ ‫‪ -17‬يوجد الدالة العك�سية لدالة من الدرجة الأولى‪.‬‬ ‫‪ -18‬يمثل بياني ًا ك ًال من ‪ :‬الدالة الأ�سية ‪ ،‬الدالة اللوغارتمية ‪ ،‬دالة الجيب‪ ،‬دالة جيب التمام ‪.‬‬ ‫‪ -19‬يحل تطبيقات حياتية على الدوال‪.‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫الدوال الحقيقية‬

‫‪1-4‬‬

‫تُع ُّد الدالة من المفاهيم الأ�سا�سية في الريا�ضيات ‪ ،‬وتبرز �أهميتها في الدرا�سات الم�ستقبلية للريا�ضيات‬ ‫والعل ��وم الأخ ��رى وفي مج ��االت عديدة في حياتنا اليومي ��ة‪ ،‬فنجد ‪ -‬مث ًال – � َّأن الدال ��ة تم ِّثل العديد من‬ ‫العالقات نذكر منها ‪:‬‬ ‫العالقة بين الدرجات الفهرنهايتية والدرجات المئوية للحرارة‪.‬‬ ‫العالقة بين كمية اال�ستهالك للكهرباء والمبالغ الم�ستحقة �شهر ًيا‪.‬‬ ‫العالقة بين الم�سافة التي يقطعها ج�سيم يتحرك في خط م�ستقيم والزمن‪.‬‬ ‫العالقة بين م�ساحة مربع وطول �ضلعه‪.‬‬ ‫وق ��د عرف ��ت من درا�س ��تك ال�س ��ابقة � َّأن الدالة ( التطبيق ) م ��ن مجموعة غير خالي ��ة �إلى مجموعة‬ ‫غير خالية هي عالقة من �إلى يرتبط فيها كل عن�ص ��ر في بعن�ص ��ر واحد فقط في ‪،‬‬ ‫ون�س ِّمي مجال الدالة َو المجال المقابل لها‪.‬‬

‫ومن �أمثلة الدوال ‪:‬‬

‫المعطاة بالمخطط ال�سهمي المجاور ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ت‪:‬‬ ‫ع ِّبر عن قاعدة هذه الدالة ب�صيغة لفظية ‪.‬‬ ‫التي قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س ‪� 3 +‬س ( مجموعة الأعداد الكلية )‬ ‫‪ 2‬د‪:‬‬ ‫تو�ض ��ح � َّأن كل عن�ص ��ر في المجال له �ص ��ورة في‬ ‫� َّأن قاعدة الدالة د والمعطاة على �ص ��ورة قانون ِّ‬ ‫المجال المقابل تزيد عليه بمقدار ثالثة ‪.‬‬

‫تعد دوا ًّال ‪:‬‬ ‫ومن �أمثلة العالقات التي ال ُّ‬ ‫‪ 1‬العالقة ع من �إلى المعطاة ب�شبكة التربيع المجاورة ‪.‬‬ ‫� َّأن ع ال تم ِّثل دالة لوجود �أكثر من نقطة على الخط الر�أ�سي عند العدد ‪.6‬‬ ‫‪ 2‬العالقة هـ من �إلى التي قاعدتها ‪ :‬هـ (�س) = �س ‪� 1 -‬س‬ ‫اذكر ال�سبب في كون هذه العالقة ال تم ِّثل دالة ‪.‬‬

‫‪154‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫أي�ضا درا�سـة �أنواع مختلفة من الدوال منها ‪ :‬الدوال المثلثية ودوال كثيرات الحدود والمتتابعات‪،‬‬ ‫هذا وقد �سبق لك � ً‬ ‫ولع َّلك تذكر � َّأن المجال والمجال المقابل ٍّ‬ ‫لكل من هذه الدوال هو مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ‪.‬‬ ‫� َّإن مثل هذه الدوال ت�س َّمى بالدوال الحقيقية ‪.‬‬

‫تعريف (‪)1-4‬‬

‫الدال ��ة الحقيق ��ة هي دال ��ة ك ٌّل من مجاله ��ا ومجالها المقابل مجموع ��ة جزئية من مجموعة‬ ‫الأعداد الحقيقية ‪.‬‬ ‫وفيما يلي نعر�ض �أهم المفاهيم الخا�صة بالدالة الحقيقية والتي تع َّرفت على بع�ضها �سابقًا‪.‬‬

‫قاعدة الدالة الحقيقية‬

‫تماما بثالث عنا�ص ��ر �أ�سا�سية‬ ‫من المعلوم � َّأن � َّأي دالة تتحدد ً‬ ‫هي ‪ :‬المجال َو المجال المقابل َو القاعدة‪.‬‬ ‫وقاع ��دة الدالة هي طريقة ربط كل عن�ص ��ر من مجال الدالة‬ ‫ب�ص ��ورته من المجال المقابل ‪ ،‬وقد تكون هذه القاعدة عبارة‬ ‫لفظية �أو مخطط �سهمي �أو �شبكة تربيع �أو جدول �أو قانون‪.‬‬ ‫و في الدوال الحقيقية غالـ ًبا ما تكون القاعدة قانو ًنا جبر ًّيا‬ ‫يمكن ت�شبيه الدالة الحقيقية ب�آلة تاخذ كل‬ ‫يت�ض ��من عمليات جمع �أو طرح �أو �ضرب �أو ق�سمة �أو ا�ستخراج عن�صر �س من المجال وت�صنعه لتنتج العن�صر �ص‬ ‫الج ��ذر ‪ ،‬بحيث يع ِّين لكــل �س مجــال الدالة قيــمة وحيـدة‬ ‫� ��ص المجـــــ ��ال المقــــابل هي قيمةالدالـــــ ��ة عند �س (�أي‬ ‫�صورة �س) ‪ ،‬ونح�صل عليها ب�إجراء العمليات الح�سابية المت�ضمنة في القانون على المتغير �س ‪.‬‬ ‫ن�سمي �س المتغير الم�ستقل (�أو متغير الدالة ) َو �ص المتغير التابع ‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫وحيث � َّأن الرمز د(�س) يرمز لقيمة الدالة د عند �س ف�إنه يمكنناالتعبير‬ ‫عن قاعدة د بالمعادلة �ص = د(�س) ‪،‬‬ ‫فعلى �سبيل المثال �إذا كانت قاعدة الدالة د هي د(�س) = ‪�2‬س ‪ 1 +‬‬

‫ف�إنه يمكن التعبير عن هذه القاعدة بالمعادلة �ص = ‪�2‬س ‪.1 +‬‬ ‫�إ َّال �أنه لي�س كل معادلة في المتـغيرين �س ‪� ،‬ص تم ِّثل دالة ‪،‬فالمعـادلة �ص = �س‪ -‬مث ًال ‪ -‬ال تم ِّثل دالة ( لماذا؟ )‬ ‫‪2‬‬

‫تع ��رف ه ��ذه ال ��دوال بال ��دوال الجبري ��ة ‪� ،‬أما الدوال الت ��ي لها قانون غي ��ر جبري مثل ال ��دوال الأ�س ��ية واللوغاريتمية والمثلثي ��ة فتعرف بالدوال المت�س ��امية‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪155‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫مجال الدالة الحقيقي‬ ‫بما � َّأن المجال والمجال المقابل للدالة الحقيقية هو مجموعة جزئية من ف�إننا نكتفي بالتعبير عن الدالة‬ ‫بذكر قاعدتها فقط ‪ ،‬ونق�صد بذلك � َّأن مجالها هو �أكبر مجموعة جزئية من تكون الدالة فيها معرفة �أي‬ ‫� َّأن ‪:‬‬ ‫مجال الدالة د = �س ‪� :‬س‬

‫‪ ،‬د(�س) مع َ​َّرفة‬

‫وفي بع�ض الأمثلة قد ُيعطى مجال الدالة بمجموعة جزئية من المجموعة ال�سابقة‪.‬‬

‫(‪)1-4‬‬ ‫ال�شرط "د(�س) مع َّرفة" يعني � َّأن د(�س) ؛ لذا ف�إنه يلزمنا لإيجاد مجال الدالة �أن نحــــذف مـــن‬ ‫قيم �س التي تجعل الدالة غير معرفة ‪ ،‬ومن هذه القيم تلك التي يتطلب �إيجاد قيمة الدالة عندهـــا �أن‬ ‫نق�سم على ال�صفر �أو نوجد جذ ًرا تربيع ًّيا ( �أو لوغاريت ًما ) لعدد �سالب ‪.‬‬ ‫فمث ًال ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مجال الدالة د(�س) = �س ‪ 2 -‬هو ‪ 2 -‬؛‬ ‫لأننا لو �أعطينا �س القيمة ‪ 2‬لأ�صبح مقام الك�سر �صف ًرا وال يمكن �إجراء الق�سمة على ال�صفر‪.‬‬ ‫مجال الدالة د(�س) = �س هو ‪ ( ،0‬لماذا؟ )‬ ‫و�سنبحث الحقًا بمزيد من التف�صيل في �إيجاد مجال الدالة الحقيقية‪.‬‬ ‫و�أما عن المجال المقابل ف� َّإن ما يهمنا فيه هو المجموعة الجزئية منه والتي تُعرف بالمدى‪.‬‬

‫مدى الدالة الحقيقة‬ ‫تعلم � َّأن مدى الدالة هو المجموعة الجزئية من المجال المقابل التي تت�ألف من جميع �صور عنا�صر المجال‬ ‫‪ ،‬وعليه ف� َّإن مدى الدالة الحقيقية د هو مجموعة جزئية من عنا�صرها جميع قيم الدالة ؛ �أي � َّأن ‪:‬‬ ‫مدى الدالة الحقيقية د = �ص ‪� :‬ص = د(�س) ‪� ،‬س مجال الدالة‬ ‫وفي الواقع هناك بع�ض الدوال التي ي�صعب �إيجاد مداها مما يجعلنا ال نهتم ب�إيجاد المدى �أحيا ًنا‪.‬‬

‫‪156‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬

‫�إيجاد قيمة دالة حقيقية‬ ‫َّإن إيجاد قيمة الدالة* عند قيمة معطاة ملتغيرها من املهارات املهمة التي تتطلبها دراستنا الالحقة‪ .‬‬

‫مثال (‪)1-4‬‬ ‫�إذا كانت د (�س) = �س‪�2 - 2‬س ‪ ، 1 +‬هـ (�س) = �س ‪ 6 +‬حيث �س ‪ ، 6 -‬ف�أوجد ‪:‬‬ ‫ د (‪ ، )0‬هـ (‪)0‬‬ ‫د (‪ ، )1‬هـ (‪ )6 -‬‬ ‫ ‬ ‫د (‪ ، )3‬هـ (‪)3‬‬ ‫هـ هـ (�س‪)5 - 2‬‬ ‫ ‬ ‫د د (ن) ‬

‫الحل‪:‬‬ ‫د (‪4 = 1 + 3 2 - 23 = )3‬‬ ‫هـ (‪3 = 6 + 3 = )3‬‬ ‫د (‪0 = 1 + 1 2 - 21 = )1‬‬ ‫هـ (‪0 = 6 + 6- = )6 -‬‬ ‫د (‪1 = 1 + 0 2 - 20 = )0‬‬ ‫هـ (‪6 = 6 + 0 = )0‬‬ ‫( عو�ضنا عن كل �س بـ ن في د )‬ ‫د د (ن) = ن‪2 - 2‬ن ‪1 +‬‬ ‫هـ هـ (�س‪� = )5 - 2‬س‪� + 6 + 5 - 2‬س‪ ( 1 + 2‬عو�ضنا عن كل �س بـ (�س‪ ) 5 - 2‬في هـ )‬

‫وم ��ن الجدي ��ر ذكره �أنه يمكننا �أحيا ًنا ‪ ،‬ا�س ��تنتاج قاع ��دة الدالة بمعلومية عدة قيم لها (كم ��ا في المتتابعات)‬ ‫وذلك �إن كانت هذه القيم تخ�ضع لنمط معين ‪.‬‬

‫مثال (‪)2-4‬‬ ‫�أوجد قاعدة الدالة د في ٍّ‬ ‫كل من الحالتين ‪:‬‬ ‫د (‪ ، 0 = )0‬د (‪ ، 1 = )1‬د (–‪ ، 1 = )1‬د (‪ ، 4 = )2‬د (–‪4 = )2‬‬

‫د (‪ ، 1 = )1‬د (‪ ، 1 = )2‬د(– ‪ ،1- = )3‬د ( ‪1‬‬ ‫‪2 – = )1‬‬‫(‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عندما نذكر كلمة دالة ف�إننا نق�صد بها دالة حقيقية ؛ ذلك � َّأن درا�ستنا �ستكون مقت�صرة على الدوال الحقيقية ‪ .‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪157‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الحل‬ ‫د (‪0 = 0 = )0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (–‪)1–( = 1 = )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (‪2 = 4 = )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (–‪)2–( = 4 = )2‬‬ ‫‪2‬‬

‫قاعدة الدالة د هي د (�س) = �س‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫د (‪1 = 1 = )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د (‪2 = )2‬‬ ‫‪1 1‬‬‫د (– ‪3- = 3 = )3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د( ‪= 3 =) 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ( ـــــــ‬ ‫‪ = 2– = )1‬ـــــــــــــــ‬‫‪2‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫قاعدة الدالة د هي د (س) = �س‬

‫ـــــــ‬ ‫‪2‬‬

‫جذور الدالة‬ ‫� َّإن مفهوم جذر كثيرة الحدود الذي �سبق لك درا�سته يمكن تعميمه ل ِّأي دالة‪.‬‬

‫تعريف (‪)2-4‬‬ ‫يقال للعدد ب�أنه جذر ( �أو �صفر ) للدالة د �إذا كان د ( ) = ‪0‬‬ ‫فمن المثال (‪ )1-4‬فقرة (ب) نجد � َّأن العدد ‪1‬هو جذر للدالة د ‪ ،‬وكذلك العدد (‪ )6-‬هو جذر للدالة هـ ‪.‬‬

‫تدريب (‪)1-4‬‬ ‫‪� 1‬إذا كانت د(�س) = �س‪ ، 1 – 3‬ف�أوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫د ( –‪ ، ) 5‬د (–�س ) ‪ ،‬د ( �س ‪ +‬هـ )‬

‫جذر الدالة د‬

‫‪� 2‬إذا كانت د ( ‪ ،1 =) 1‬د (–‪ ، 1 = )1‬د( ‪ ، 1 = ) 2‬د (–‪ ، 1 = )10‬فا�ستنتج قاعدة الدالة د ‪.‬‬

‫‪158‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬

‫التمثيل البياني للدالة‬ ‫� َّإن تمثيل الدالة بيان ًّيا له �أهمية كبيرة في النواحي التطبيقية ‪ ،‬فعلى �س ��بيل المثال نجد � َّأن ك ًّال من وزن الطفل‬ ‫و م�ؤ�شر �سوق الأ�سهم وتخطيط القلب وكذلك ت�سارع الزالزل ‪ -‬والتي تُع ُّد جميعها دوا ًّال متغيرها الزمن ‪ -‬تُم َّثل‬ ‫بمنحنيات بيانية ‪.‬‬

‫ر�سم بياني لوزن �أحد الأطفال‬

‫ر�سم بياني يو�ضح تخطيط القلب ل�شخ�ص �سليم‬

‫ر�سم بياني لم�ؤ�شر �سوق الأ�سهم‬

‫ر�سم بياني يو�ضح ت�سارع �أحد الزالزل‬

‫والتمثيل البياني للدالة د والتي مجالها هو تمثيل جميع النقاط ( �س ‪� ،‬ص ) التي تحـــقـــــــــق المعــادلــــــــة‬ ‫‪� ،‬ص = د (�س) فــــــي الم�ستـــوي‬ ‫�ص = د(�س) ؛ �أي �أنه تمثيل لنقاط المجموعة ‪� ( :‬س ‪� ،‬ص )‪� :‬س‬ ‫ــ�ضا منــها ثـــم‬ ‫الإحداثي ‪ .‬وعلى الرغم من �أننا قد ال ن�ستطيع تمثيل جميع هذه النقاط �إال �أنه يمكننا تمثيـل بع ً‬ ‫التو�صيل بينها بمنحنيات منا�سبة بحيث تعطي �صورة تقريبية للدالة ‪.‬‬ ‫ومن الجدير ذكره �أنه لي�س كل مجموعة نقط مم َّثلة في الم�ستوي الإحداثي تُم ِّثل دالة ‪ ،‬و يمكننا تمييز منحنيات‬ ‫الدوال عن غيرها من المنحنيات با�ستخدام النظرية التالية ‪:‬‬

‫نظرية (‪)1-4‬‬ ‫اختبار الخط الر�أ�سي ‪:‬‬ ‫�إذا قطع �أي م�ستقيم ر�أ�سي منحني الداله ف�إنه يقطعه في نقطه واحدة فقط ‪.‬‬ ‫تف�سر النظرية با�ستخدام مفهوم الدالة ‪.‬‬ ‫حاول �أن ِّ‬

‫�أال تُذكرك هذه النظرية بطريقة تمييز‬ ‫الدالة بوا�سطة �شبكة التربيع‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪159‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)3-4‬‬ ‫�إذا ت�أملنا المنحنيين في ال�شكلين التاليين نجد �أ َّن ‪:‬‬ ‫القط ��ع المكاف ��ئ ف ��ي �ش ��كل ( ‪ ) 1-4‬ال ُيم ِّثل دالة لوجود خط ر�أ�س ��ي يقط ��ع المنحني في �أكث ��ر من نقطة‪.‬‬ ‫المنحنى في �شكل ( ‪ُ ) 2-4‬يم ِّثل دالة ل َّأن � َّأي خط ر�أ�سي يقطع المنحني ف�إنه يقطعه في نقطة واحدة فقط‪.‬‬

‫�شكل (‪)1-4‬‬

‫�شكل (‪)2-4‬‬

‫وعمليـً ��ا يمكن ��ك اختب ��ار الخ ��ط الر�أ�س� �ـي بتمري ��ر قلمك‬ ‫عب ��ر منحني الدال ��ة د عمود ًيا على المحور ال�س ��يني ‪ -‬كما‬ ‫م ��ا ف ��ي ال�ش ��كل( ‪- ) 3-4‬ليق ��وم مق ��ام الخط الر�أ�س ��ي‪.‬‬

‫تدريب (‪)2-4‬‬ ‫حدد �أ ًّيا من المنحنيات التالية تم ِّثل دالة‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫‪160‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل (‪)3-4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫يو�ض ��ح خوا�ص الدالة ‪� -‬سنرى ذلك الحقًا ‪ -‬كما �أنه‬ ‫وفي الواقع ُيع ُّد منحني الدالة �ص ��ورة مرئية لها ؛ ذلك �أنه ِّ‬ ‫يو�ضح كثي ًرا من المفاهيم المتعلقة بالدالة ‪ ،‬فمن منحني الدالة يمكننا ‪ -‬مث ًال ‪ -‬ا�ستنتاج ما يلي ‪:‬‬ ‫‪ 1‬قيم ( �أو قيم تقريبية ) من مجال الدالة تقابل قي ًما معلومة للدالة وبالعك�س ‪ ،‬ومن �أهم هذه القيم ‪:‬‬ ‫قيمة الدالة عند ال�ص ��فر والتي تمثل الإحداثي ال�ص ��ادي لنقطة تقاطع منحني الدالة مع المحور‬ ‫جذور الدالة وهي الإحداثيات ال�سينية لنقط تقاطع منحني الدالة مع المحور‬

‫‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫انظر �شكل ( ‪ ) 4-4‬حيث جذور الدالة هي ‪� :‬س‪� ، 3- = 1‬س‪� ، 0.6- 2‬س‪، 9 = 3‬‬ ‫�أما د(‪0,7 )0‬‬ ‫القيمة ال�ص ��غرى والقيمة العظمى للدالة ( �أ�ص ��غر و�أكبر قيمة للدالة ) ‪،‬ففي ال�ش ��كل ( ‪ ) 5-4‬القيمة‬ ‫ال�صغرى = ‪ ، 2‬القيمة العظمى = ‪. 5‬‬ ‫‪ 2‬مجال الدالة ومداها ‪،‬‬ ‫ففي ال�شكل ( ‪ ) 5-4‬المجال = ‪ ، 8 ، 1‬المدى = ‪. 5 ، 2‬‬

‫�شكل (‪)4-4‬‬

‫ت�سمى د( �س‪ )0‬قيمة عظمى ( �أو �صغرى ) للدالة د �إذا كان د( �س )‬

‫�شكل (‪)5-4‬‬

‫د(�س‪� ( ، )0‬أو د( �س )‬

‫د(�س‪) )0‬‬

‫�س مجال د‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪161‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫وننبـ ��ه هن ��ا �إلى �أننا قد نجد عند �أح ��د ( �أو كال ) طرفي �أو خالل منحني الدالة‬ ‫دائ ��رة مفـرغ ��ة كما ف ��ي ال�ش ��كل ( ‪ ) 6-4‬و هذا يدل عل ��ى � َّأن النقط ��ة المعينَّـة‬ ‫به ��ذه الدائ ��رة لي�س ��ت م ��ن نق ��اط الدال ��ة ‪ .‬و يرج ��ع ذلك �إل ��ى ك ��ون الإحداثي‬ ‫ال�س ��يني لهذه النقطة ال ينتمي �إلى مجال الدالة ‪ ،‬ففي ال�ش ��كل (‪ )6-4‬نجد � َّأن‪:‬‬ ‫مجال الدالة = ‪[ 5 ، 2‬‬ ‫مدى الدالة = ‪ 6 ، 1‬وهذا يعني � َّأن ‪:‬‬ ‫القيمة ال�صغرى للدالة = ‪ ، 1‬بينما لي�س لهذه الدالة قيمة عظمى ‪.‬‬

‫تدريب (‪)3-4‬‬ ‫با�ستخدام منحني الدالة �ص = د(�س) المعطى في ال�شكل التالي �أكمل الفراغات ‪.‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬

‫‪162‬‬

‫مجال د = ‪ ،..................‬ومدى د = ‪..............................‬‬ ‫القيمة العظمى للدالة = ‪...............................................‬‬ ‫د (‪ ، ........ = )0‬د (‪........................................ = )11‬‬ ‫د (�س) = – ‪� 2‬س = ‪� ........‬أو �س = ‪...........................‬‬ ‫جذور الدالة د هي‪.................................. ، ........ ،........‬‬ ‫نقطة التقاطع مع المحور هي ‪.....................................‬‬ ‫د تكون موجبة في ٍّ‬ ‫كل من الفترتين ‪................... ، ............. :‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل (‪)6-4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬

‫ت�ساوي دالتين‬ ‫تعريف (‪)3-4‬‬ ‫تكون الدالتان د ‪ ،‬هـ مت�ساويتين ونكتب د = هـ �إذا وفقط �إذا كان لهما المجال نف�سه ف وكان‬ ‫�س ف‬ ‫د (�س) = هـ (�س)‬ ‫� َّإن ال�شرط د(�س) = هـ (�س) �س ف في التعريف ال�سابق يعني � َّأن ك ًّال من الدالتين تع ِّين ال�صورة نف�سها‬ ‫ل ِّأي عدد في المجال ‪.‬‬

‫مثال (‪)4-4‬‬

‫د (�س) = �س‬

‫‪2‬‬

‫الدالتان د ‪ ،‬هـ اللتان قاعدتاهما ‪:‬‬

‫هـ (�س) = �س حيث �س ‪1‬‬ ‫غير مت�ساويتين ( �أي � َّأن د هـ ) لأن مجاليهما غير مت�ساويين فمجال د = ‪� ،‬أما مجال هـ = ‪∞ ، 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫الدوال د ‪ ،‬هـ ‪ ،‬ر المع َّرفة كما يلي ‪:‬‬ ‫د(�س) = �س‪ 2‬حيث �س ‪10-‬‬ ‫هـ (�س) = ( �س – ‪�2 + 2) 1‬س – ‪ 1‬حيث �س –‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ر(ن) = ن‬ ‫حيث ن ‪10-‬‬ ‫‪ 1‬لها المجال نف�سه ‪،10-‬‬ ‫جميعها مت�ساوية ( �أي � َّأن د = هـ = ر ) لأن‬ ‫‪2‬‬ ‫د(�س) = هـ (�س) = ر (�س) �س‬

‫‪،10-‬‬

‫� َّأن هـ (�س) = ( �س – ‪�2 + 2)1‬س – ‪� = 1‬س‪�2 – 2‬س ‪�2 + 1 +‬س – ‪� = 1‬س‪) 2‬‬

‫(‬

‫مثال (‪)5-4‬‬ ‫�إذا كانت د ‪ ،‬هـ دالتين مت�ساويتين وكان د (‪ ، 5 = )3‬هـ (�س) = �س‪ – 2‬م ‪ ،‬ف�أوجد قيمة م ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫د = هـ‬

‫هـ ( ‪ = ) 3‬د ( ‪) 3‬‬ ‫‪ – 23‬م = ‪ 5‬م = ‪4 = 5 – 9‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪163‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫خوا�ص الدوال الحقيقية‬ ‫نتع َّرف هنا �أهم الخوا�ص التي يتمتع بها الكثير من الدوال الحقيقية‪ ،‬ولها ارتباط وثيق بالتمثيل البياني‬ ‫لمنحني الدالة‪ .‬فدرا�س ��ة هذه الخوا�ص تعطي ت�ص ��و ًرا تقريب ًّيا لمنحني الدالة‪ ،‬ومن جهة �أخرى يمكننا‬ ‫مالحظة هذه الخوا�ص ب�سهولة من المنحني البياني المم ِّثل للدالة‪.‬‬

‫�أوال ‪-‬المحدودية‬

‫تع َّرفت �سابقًا على الفترات المحدودة وهي ‪ ، :‬ب ‪ ، ،‬ب ‪ ، ،‬ب ‪،‬‬ ‫وفيما يلي نتعرف مفهوم الدالة المحدودة وما له من ارتباط بالفترات المحدودة‪.‬‬ ‫ف�إذا نظرنا �إلى ال�شكل ( ‪ ) 7-4‬المم ِّثل للدالة د المعرفة على ف = ‪، 4 ، 1‬‬ ‫ف�سنجد � َّأن منحني الدالة يقع بكامله بين الم�ستقيمين الأفقيين ‪:‬‬ ‫�ص = ‪� ، 2‬ص = ‪5‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن منحني الدالة محدود بهذين الم�ستقيمين ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أي�ضا بالم�ستقيمين �ص = ‪� ، 1‬ص= ‪5 2‬‬ ‫�أن المنحني محدود � ً‬ ‫( اذكر معادلتي م�ستقيمين �آخرين المنحني محدود بهما )‬ ‫� َّإن مثل هذه الدالة ت�س َّمى دالة محدودة ‪ .‬ويمكننا التعبير عن ذلك‬ ‫بالمتباينة‪ 2 :‬د (�س) ‪� 5‬س ف‬

‫‪،‬ب‬

‫�شكل (‪)7-4‬‬

‫تعريف (‪)4-4‬‬

‫ت�سمى الدالة د التي مجالها ف دالة محدودة �إذا ُوجِ د عددان حقيقيان ل ‪ ،‬م بحيث يكون ‪:‬‬ ‫ل د(�س) م �س ف‬

‫(‪)2-4‬‬ ‫‪ 1‬الفترة ف في التعريف ال�سابق قد تكون محدودة �أو غير محدودة ‪.‬‬ ‫�صحيحا �إذا حذفنا عالقة الت�ساوي من �أحد ( �أو كال ) طرفي المتباينة ‪.‬‬ ‫‪ 2‬التعريف ال�سابق يبقى‬ ‫ً‬ ‫‪ 3‬منحن ��ي الدالة في التعريف ال�س� �ـابق المحدود بالم�س ��تقيمين � ��ص = ل ‪� ،‬ص = م هو محـدود‬ ‫أي�ضا ب� ِّأي م�ستقيمين‬ ‫� ً‬ ‫�ص = لَ ‪� ،‬ص = َم حيث لَ ل ‪ ،‬م َم ( لماذا؟ )‬ ‫ب ِّين لماذا تكون الدالة د التي تحقق المتباينة ‪ :‬د (�س) ل ‪� ،‬س ف حيث ل ‪ 0‬دالة محدودة على ف ؟‬

‫‪164‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫تدريب (‪)4-4‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من الدوال التالية محدودة على مجالها و�أوجد مدى ٍّ‬ ‫كل منها‪.‬‬

‫ما العالقة بين محدودية الدالة ومداها ؟‬ ‫ف ��ي الواق ��ع ‪،‬كل دال ��ة مداه ��ا فت ��رة مح ��دودة تحق ��ق �ش ��رط التعري ��ف (‪ ،)4-4‬فمث�ل ً�ا ‪ :‬م ��دى الدال ��ة‬ ‫كل دالة مداها فترة محدودة هي دالة محدودة‬ ‫د= ل ‪ ،‬م ل د(�س) م وهذا يعني � َّأن ‪:‬‬

‫تدريب (‪)5-4‬‬

‫اختر الإجابة ال�صحيحة من بين القو�سين ‪:‬‬ ‫الفترة التي يمكن �أن تكون مدى لدالة محدودة هي ( ‪، 2 ،‬‬

‫مثال (‪)6-4‬‬

‫‪. ) 0 ، 2- ،‬‬

‫�أثبت �أ َّن الدالة د(�س) = ‪�3‬س ‪� 2 ، 2 -‬س ‪ 4‬محدودة ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫( ال�ضرب ‪ 3‬لجميع الأطراف )‬ ‫‪�3 6‬س ‪12‬‬ ‫‪� 2‬س ‪4‬‬ ‫‪�3 4‬س – ‪ ( 10 2‬طرح ‪ 2‬من جميع الأطراف )‬ ‫الدالة د محدودة على ‪4 ، 2‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن ‪ 4‬د(�س) ‪10‬‬ ‫� َّأن مدى الدالة = ‪ 10 ، 4‬و � َّأن القيمة ال�صغرى للدالة هي ‪ 4‬بينما لي�س للدالة قيمة عظمى ‪.‬‬

‫مثال (‪)7-4‬‬ ‫�أثبت �أ َّن الدالة د(�س) = �س‪ 1 + 2‬محدودة على [ ‪0 ، 3 -‬‬

‫الحل‬

‫‪� 3‬س ‪� 0 0‬س‬‫�س ‪0، 3-‬‬ ‫�أي � َّأن ‪ 1‬د (�س) ‪ 10‬د محدودة على – ‪0 ، 3‬‬ ‫ما مدى الدالة د ‪ ،‬وما القيمة العظمى و القيمة ال�صغرى لهذه الدالة ؟‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ( 9‬لماذا؟ )‬

‫‪� 1‬س‪10 1 + 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪165‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫ثان ًيا – التناظر ‬

‫يهتم الريا�ضيون بالتناظر حول المحور ال�صادي وحول المحور ال�سيني‬ ‫وحول �أ�صل المحوريين ‪.‬‬ ‫ونج ��د ف ��ي حياتنا الكثير م ��ن التطبيقات على التناظرات ‪ ،‬و بالن�س ��بة‬ ‫لمنحنيات الدوال ف� َّإن درا�سة التناظر عليها تقت�صر على التناظر حول‬ ‫المحور ال�صادي وحول �أ�صل المحورين‪.‬‬ ‫لماذا ال يكون منحني الدالة غير ال�صفرية متناظ ًرا حول المحور ال�سيني ؟‬ ‫�إذا ت�أ َّملنا ك ًّال من ال�شكلين ( ‪) 9-4 ( ، ) 8-4‬‬

‫�شكل (‪)8-4‬‬

‫�شكل (‪)9-4‬‬

‫نجد � َّأن منحني الدالة في �شكل ( ‪ ) 8 -4‬متناظر حول المحور ال�صادي و�أنه ل ِّأي نقطة ن (�س ‪� ،‬ص) واقعة‬ ‫أي�ض ��ا‪َّ � .‬إن مثل‬ ‫على المنحني يكون نظيرها حول المحور هو َن (– �س ‪� ،‬ص) نقطة واقعة على المنحني � ً‬ ‫هذه الدالة ت�س َّمى دالة زوجية‪.‬‬ ‫بينما نجد في ال�ش ��كل ( ‪َّ � ) 9-4‬أن منحني الدالة متناظر حول نقطة الأ�ص ��ل‪ .‬و�أنه ل ِّأي نقطة ن (�س ‪� ،‬ص)‬ ‫أي�ض ��ا‪ .‬ومثل‬ ‫واقعة على المنحني يكون نظيرها حول نقطة الأ�ص ��ل َن (– �س‪� – ،‬ص) نقطة على المنحني � ً‬ ‫هذه الدالة ت�س َّمى دالة فردية ‪.‬‬ ‫وف ��ي الواق ��ع � َّإن وجود النقطتين (�س ‪� ،‬ص) ‪� –( ،‬س ‪� ،‬ص) على منحني الدالة الزوجية د يعني � َّأن د(�س)‬ ‫=د(–�س)‪،‬بينم ��ا وج ��ود النقطتين (� ��س ‪� ،‬ص) ‪� –(،‬س‪�– ،‬ص) عل ��ى منحني الدالة الفردي ��ة د يعني � َّأن‬ ‫د(�س) = – د(– �س) ‪.‬‬ ‫وهكذا يمكننا تقديم التعريف الجبري التالي للدالة الزوجية والدالة الفردية ‪.‬‬

‫تعريف (‪)5-4‬‬

‫ت�س َّمى الدالة د التي مجالها ف‬ ‫‪ 1‬دالة زوجية �إذا وفقط �إذا كان د(– �س) = د(�س)‬ ‫‪ 2‬دالة فردية �إذا وفقط �إذا كان د(– �س) = ‪ -‬د(�س)‬

‫‪166‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�س ف‬ ‫�س ف‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫(‪)3-4‬‬ ‫‪ 1‬يت�ض ��ح من التعريف ( ‪� ) 5-4‬أنه يلزم لدرا�س ��ة تناظر الدالة د تحقق ال�ش ��رط ‪�:‬س ف – �س ف‬ ‫وهذا ال�شرط متحقق لجميع الدوال المع َّرفة على �أو على فترات �أطرافها مت�ساوية في القيمة العددية‬ ‫– ‪،‬‬ ‫‪، ، – – ،‬‬ ‫مثل ‪، – ، ، – :‬‬ ‫‪ 2‬يمكننا الإفادة من خا�صية التناظر في ت�سهيل عملية ر�سم منحني الدالة وذلك ب�أن نر�سم جزء المنحني‬ ‫لقيم �س ‪ ، 0‬ثم ب�إجراء التناظر نكمل ر�سم الجزء الآخر لقيم �س ‪ 0‬‬ ‫‪ 3‬هناك الكثير من الدوال لي�ست زوجية وال فردية وهي التي تكون فيها ‪ :‬د(– �س) ال ت�ساوي �أ ًّيا من د(�س)‪.‬‬ ‫هل يمكن �أن تكون الدالة زوجية وفردية في �آنٍ م ًعا ؟ ما هي قاعدة هذه الدالة ؟‬

‫تدريب (‪)6-4‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من الدوال التالية زوجية و�أيها فردية و�أيها لي�ست زوجية وال فردية ‪.‬‬

‫مثال (‪)8-4‬‬ ‫ب ِّين �أ ًّيا من الدوال التالية زوجية و�أيها فردية و�أيها لي�ست زوجية وال فردية ‪.‬‬ ‫د(�س) = �س ‪3 +‬‬ ‫د(�س) = ‪�3‬س‬ ‫د(�س) = �س ‪1 + 2‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫د (�س) = �س‪1 +2‬‬

‫د(‪� -‬س) = (‪� -‬س)‪� = 1 + 2‬س‪ = 1 +2‬د(�س)‬

‫د دالة زوجية‬

‫د (�س) = ‪�3‬س د(‪�-‬س) = ‪�-(3‬س) = ‪�3-‬س = ‪-‬د(�س) د دالة فردية‬ ‫د(�س) د لي�ست زوجية‬ ‫د (�س) = �س ‪ 3 +‬د(‪� -‬س) = ‪� -‬س ‪3 +‬‬ ‫د (�س) = ‪� -‬س ‪ 3 -‬د لي�ست فردية ‪.‬‬‫�أي � َّأن د لي�ست زوجية وال فردية‬ ‫ار�سم المنحني البياني ٍّ‬ ‫لكل من الدوال ال�سابقة لتتحقق من �صحة الحل ‪.‬‬

‫تدريب (‪)7-4‬‬ ‫�أثبت �أن الدالة ‪ :‬د(�س) = �س‪ 3‬متناظرة حول �أ�صل المحورين ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪167‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫ثال ًثا ‪ِّ -‬‬ ‫االطراد‬

‫نق�صد بدرا�سة اطراد الدالة التعرف على �سلوك الدالة من حيث اطراد التغير في قيمتها ازديا ًدا �أو نق�صا ًنا‬ ‫�أو اطراد ثباتها وذلك عندما تتزايد قيمة متغيرها‪.‬‬ ‫ف�إذا ت�أملنا م�سار منحني الدالة د في ال�شكل ( ‪ ) 10-4‬من الي�سار �إلى اليمين نجد � َّأن هذا المنحني يرتفع �أثناء‬ ‫تغير (تزايد) قيمة �س من �إلى جـ ‪ ،‬بينما ينخف�ض من جـ �إلى هـ ويعاود االرتفاع م َّرة �أخرى من هـ �إلى ز ‪ ،‬ثم ي�سير‬ ‫�أفق ًّيا من ز �إلى ب ‪ ،‬وحيث � َّإن ارتفاع منحني الدالة يعني تزايد قيمتها ‪ ،‬كما � َّأن انخفا�ض المنحني يعني تناق�ص‬ ‫قيمة الدالة ويدل الم�سار الأفقي للمنحني على ثبات قيمة الدالة ف�إننا نقول عن الدالة د �أنها متزايدة في الفترتين‬ ‫‪ ،‬جـ ‪ ،‬هـ ‪ ،‬ز ‪ ،‬ومتناق�صة في جـ ‪ ،‬هـ ‪ ،‬وثابتة في ز ‪ ،‬ب‬

‫�شكل (‪)10-4‬‬

‫وفي الواقع يمكننا جبر ًّيا التعبير عن الدالة المتزايدة في ‪ ،‬جـ ‪ -‬مث ًال ‪ -‬ب�أنه ‪ :‬‬ ‫‪ ،‬جـ ف� َّإن �س‪� 2‬س‪ 1‬د( �س‪ ) 2‬د( �س‪) 1‬‬ ‫�س‪� ، 1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫قدم التعريف الجبري التالي للدوال َّ‬ ‫المطرِ دة المتزايدة ‪ -‬المتناق�صة ‪ -‬الثابتة‬ ‫وعليه ُن ِّ‬

‫تعريف (‪)6-4‬‬ ‫�إذا كانت الدالة د معرفة على ف وكان �س‪� ، 1‬س‪ 2‬ف ‪:‬‬ ‫د ( �س‪ ) 2‬د (�س‪ )1‬ف� َّإن د ت�س َّمى داله متزايدة على ف‪.‬‬ ‫�س‪� 2‬س‬ ‫د ( �س‪ ) 2‬د (�س‪ )1‬ف� َّإن د ت�س َّمى داله متناق�صة على ف‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ( �س‪ = ) 2‬د (�س‪ )1‬ف� َّإن د ت�س َّمى داله ثابتة على ف‪.‬‬

‫‪168‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫تدريب (‪)8-4‬‬ ‫اكتب نوع اطراد ٍّ‬ ‫كل من الدوال المم َّثلة في الأ�شكال التالية على مجالها‪.‬‬

‫مثال (‪)9-4‬‬ ‫ادر�س اطراد ٍّ‬ ‫كل من الدالتـين التاليتـين على ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (�س) = �س‬ ‫د (�س) = ‪� 5 - 7‬س‬

‫الحل‪:‬‬ ‫د (�س) = ‪� 5 – 7‬س‬ ‫بحيث �س‪� 2‬س‪ 1‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫بفر�ض � َّأن �س‪� ، 1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫( لماذا ؟ )‬ ‫‪� 5‬س‪� 5- 2‬س‬‫�س‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�5 – 7‬س‪�5 – 7 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫الدالة متناق�صة على‬ ‫د(�س‪ )2‬د(�س‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د (�س) = �س‬ ‫ثان ًيا‪ -‬في الفترة ‪، 0‬‬ ‫�أو ًال ‪ -‬في الفترة ‪2- ، -‬‬ ‫بفر�ض �س‪� ، 1‬س‪ ∞ ، 0 2‬بحيث �س‬ ‫بفر�ض �س‪� ، 1‬س‪ 0 ، - 2‬بحيث �س‪� 2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف� َّإن ‪� :‬س‪� 2‬س‪� 1‬س ‪� 2‬س‬ ‫ف� َّإن ‪� :‬س‪� 2‬س‪� 1‬س‪� 22‬س‪( 12‬لماذا؟)‬ ‫‪1‬‬ ‫د (�س‪ )2‬د (�س‪)1‬‬ ‫د (�س‪ )2‬د(�س‪)1‬‬ ‫الدالة متزايدة في ‪، 0‬‬ ‫الدالة متناقصة في ‪0 ، -‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫ار�سم المنحني البياني ٍ ّ‬ ‫لكل من الدالتين ال�سابقتين لتتحقق من �صحة الحل ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪169‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫تدريب (‪)9-4‬‬ ‫ادر�س اطراد الدالة د(�س) = �س‪ 4 - 3‬على‬ ‫والآن ومن خالل خا�صية االطراد يمكننا التقديم لأحد المفاهيم المهمة في درا�سة الدوال‪.‬‬

‫الدالة الأحادية‬

‫�إذا ت�أملن ��ا التعري ��ف ( ‪ ) 6-4‬نجد � َّأن الدالة د المتزايدة ( المتناق�ص ��ة ) على مجالها ف تحقق ال�ش ��رط ‪:‬‬ ‫د(�س‪ )1‬د(�س‪� )2‬س‪� ، 1‬س‪ 2‬ف‬ ‫�س‪� 1‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫وفي الواقع � َّإن الدالة التي تحقق مثل هذا ال�شرط ت�س َّمى دالة �أحادية ( �أو دالة متباينة )‬

‫تعريف (‪)7-4‬‬

‫ت�سمى الدالة د التي مجالها ف دالة �أحادية �إذا كان كل عن�صر في مدى الدالة هو �صورة لعن�صر واحد‬ ‫فقط في مجالها‪� ,‬أي �إذا كان‪� :‬س‪� 1‬س‪ 2‬د (�س‪� )1‬س‪� ، 1‬س‪ 2‬ف‬

‫� َّإن ه ��ذا التعريف يعني �أنه ال يوجد عن�ص ��ران مختلفان في مجال الدالة‬ ‫الأحادية لهما ال�صورة نف�سها ‪.‬‬ ‫انظر ال�شكل ( ‪ ) 11- 4‬والحظ � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬الدالة د ‪:‬‬

‫دالة �أحادية ؛ لتحقق ال�شرط ‪.‬‬

‫‪ 2‬الدالة هـ ‪:‬‬

‫؛ لي�ست دالة �أحادية ؛ لأن ‪:‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫�س‪ 2‬بينما هـ (�س‪ = )1‬هـ (�س‪)2‬‬

‫(‪)4-4‬‬ ‫الدالة الثابتة لي�ست دالة �أحادية ( لماذا ؟ )‬ ‫ومثلها الدالة الزوجية ؛ لأن د(‪� -‬س) = د(�س) بينما �س ‪� -‬س ‪.‬‬

‫‪170‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل (‪)11-4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫ويمكنن ��ا في الواقع ‪ -‬على غرار نظرية اختبار الخط الر�أ�س ��ي ‪ -‬تقديم النظرية التالية لتمييز الدالة الأحادية‬ ‫من المنحني البياني للدالة ‪.‬‬

‫نظرية (‪)2-4‬‬

‫" اختبار الخط الأفقي "‬ ‫اذا قطع �أي م�ستقيم �أفقي منحني الداله الأحاديه ف�إنه يقطعه في نقطه واحدة فقط ‪.‬‬

‫ف�سر هذه النظرية با�ستخدام مفهوم الدالة الأحادية ‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫مثال(‪)10-4‬‬

‫�إذا ت�أملنا منحني الدالة في ٍّ‬ ‫كل من ال�شكلين التاليين نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬الدالة في ال�شكل ( ‪ ) 12-4‬دالة �أحادية ؛ لأن �أي خط �أفقي قاطع للمنحني يقطعه في نقطة واحدة فقط‪.‬‬ ‫‪ 2‬الدالة في ال�شكل ( ‪ ) 13-4‬لي�ست دالة �أحادية ؛ لوجود خط �أفقي يقطع المنحني في �أكثر من نقطة‪.‬‬

‫�شكل (‪)12-4‬‬

‫�شكل (‪)13-4‬‬

‫قارن بين الدالتين ال�سابقتين من حيث التناظر واالطراد‪ .‬ماذا تالحظ ؟‬ ‫كيف يمكنك ا�ستخدام قلمك في اختبار الخط الأفقي ؟‬

‫تدريب(‪)10-4‬‬ ‫حدد �أ ًّيا من منحنيات الدوال التالية تم ِّثل دالة �أحادية ؟‬ ‫ِّ‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪171‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫تمارين (‪)1-4‬‬ ‫‪� 1‬إذا كانت د(�س) = ‪�2‬س‪�5 - 3‬س ‪ ،‬ف�أوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫د (‪ ، )1‬د (‪ ، )1-‬د (‪� -‬س) ‪ ،‬د ( ن‪. ) 2‬‬ ‫نقطة تقاطع د مع المحور‬

‫‪.‬‬

‫جذور الدالة د ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 2‬إذا كانت هـ (�س) = �س ‪� ،‬س ‪ 0‬ف�أجب عما يلي‪:‬‬ ‫ما �إحداثيات النقطة على منحني الدالة هـ التي تحقق المعادلة هـ (�س) = ‪ 12-‬؟‬ ‫بين ما �إذا كانت النقطة ( ‪1‬‬ ‫�س ‪� ،‬س‪ ) 1‬حيث �س‪ 0 ≠1‬تقع على منحني الدالة هـ ‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪1‬‬ ‫هل منحني هـ يتقاطع مع المحوريين ؟‬ ‫‪� 3‬أوجد قاعدة للدالة د في كلٍّ من الحالتين ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د (‪ ، 27- = )3-‬د ( ‪ ، 64- =) 4-‬د ( ‪ ، 27 =) 3‬د (‪ ، 1 = )1‬د (‪8 = )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د (‪ ، 2- = )1-‬د ( ‪ ، 2- = ) 2-‬د (‪ ، 1- = )0‬د (‪ ، 0 = )1‬د (‪4 = )5‬‬ ‫‪� 4‬إذا كانت د(�س) = ‪�2 – 1‬س‪ ، 2‬ف�ضع عالمة (‬

‫) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية‪:‬‬

‫د (‪ = )5‬د ( ‪ + ) 3‬د ( ‪) 2‬‬ ‫د (‪ = )3-‬د ( ‪) 3‬‬ ‫د ( ‪ ) 3‬د( ‪) 3‬‬ ‫جذور د هي ‪2 - ، 2‬‬ ‫نقطة تقاطع منحني د مع المحور‬

‫‪172‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫هي (‪. )1 ، 0‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫المم َّثلة في الأ�شكال من (‪� )1‬إلى (‪ )12‬ثم �أوجد �إن �أمكن‪:‬‬ ‫‪ِّ 5‬‬ ‫حدد الدوال من بين المنحنيات ُ‬ ‫مجال الدالة ومداها ‪.‬‬ ‫جذور الدالة ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫نقطة التقاطع مع المحور‬

‫‪.‬‬

‫د القيمة العظمى والقيمة ال�صغرى للدالة ‪.‬‬

‫با�ستخدام منحني الدالة د الممثَّل بال�شكل المجاور �أوجد ‪:‬‬ ‫د (‪)1-‬‬ ‫قيمة تقريبية لـ د(‪)2‬‬

‫قيم �س حيث د(�س) = ‪2‬‬ ‫د القيم التقريبية لـِ �س عندما د(�س) = ‪1‬‬ ‫هـ قيم تقريبية لجذور الدالة‬ ‫و القيمة العظمى والقيمة ال�صغرى للدالة‬ ‫ز المجال والمدى للدالة‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪173‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪� 7‬أوجد قاعدة الدالة د الممثَّلة في ال�شكل التالي ‪:‬‬

‫حدد ما �إذا كانت الدالتان د ‪،‬‬ ‫‪ 8‬في كلٍّ مما يلي ِّ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� ( ،‬س ) = ‪� - 1‬س‪ ، 3‬حيث �س‬ ‫د(�س) = ‪� - 1‬س‬

‫مت�ساويتين �أم ال ‪ ،‬مع ذكر ال�سبب ؟‬

‫د(�س) = �س‪4 - 2‬‬ ‫د(�س) = �س ‪� ،‬س ‪0‬‬

‫‪،‬‬

‫( �س ) = ( �س ‪� ( ) 2 -‬س ‪) 2 +‬‬

‫‪،‬‬

‫( �س ) = ن‬

‫‪1 ، 1-‬‬

‫‪،‬ن ‪0‬‬

‫‪� 9‬إذا كانت د(�س) ‪ ،‬هـ (�س) دالتين مت�ساويتين ف�أوجد قيمة م في كلٍّ من الحالتين ‪:‬‬ ‫د (�س) = م �س‪�5 + 3‬س ‪ ،‬هـ ( ‪� = ) 1-‬صفر‬ ‫هـ (�س) = ‪�2‬س – ‪ ، 5‬د( ‪ = ) 2-‬م‬ ‫ٍّ‬ ‫‪10‬‬ ‫لكل من الدوال المم َّثلة في الأ�شكال‬ ‫التاليةادر�سك ًّالمنالخوا�ص‪:‬المحدودية‪-‬‬ ‫التناظر‪ -‬االطراد‪.‬‬

‫‪ 11‬في كلٍّ مما يلي �أثبت � َّأن الدالة محدودة على مجالها ‪ ،‬ثم �أوجد مداها ‪.‬‬ ‫د (�س) = �س‪� 1- ، 1 - 3‬س ‪0‬‬ ‫د (�س) = ‪�3 - 2‬س ‪� 1- ،‬س ‪ 2‬‬ ‫د (�س) = ‪�2 - 1‬س‪� 2 ، 2‬س ‪5‬‬

‫ ‬

‫د د (�س) = ( �س ‪� 3 ، 1 + 2) 5 -‬س ‪4‬‬

‫‪ 12‬ب ِّين �أ ًّيا من الدوال التالية زوجية و�أيها فردية و�أيها لي�ست زوجية وال فردية‪.‬‬ ‫د (�س) = ‪�2-‬س‪7 + 2‬‬ ‫ ‬ ‫د (�س) = ‪�5‬س‬ ‫د (�س) = ‪�4‬س‪� - 3‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪174‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ ‬

‫د د ( �س) = ‪�3‬س‪� - 2‬س‪2 + 4‬‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫‪ 13‬ادر�س اطراد كلٍّ من الدوال التالية على مجالها ‪.‬‬ ‫د (�س) = ‪�2‬س ‪5 +‬‬

‫د (�س) = ‪�3 - 10‬س‬

‫د (�س) = ‪�6‬س‪4 + 2‬‬

‫د د (�س) = ‪� + 2‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫و د (�س) = ‪�2 - 5‬س‬

‫هـ د (�س) = ‪� - 1‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 14‬في ال�شكل المجاور جزء من منحني دالة ‪.‬‬ ‫ا�ستخدم اللون الأحمر لإكمال الر�سم بحيث تكون الدالة زوجية‬ ‫حدد الفترة التي تكون فيها الدالة متناق�صة ‪.‬‬ ‫في ‪ ، 6 ، 6-‬ثم ِّ‬ ‫ا�ستخدم اللون الأخ�ضر لإكمال الر�سم بحيث تكون الدالة فردية في‬ ‫حدد الفترة التي تكون فيها الدالة غير متناق�صة ‪.‬‬ ‫‪ ، 6 ، 6‬ثم ِّ‬‫‪15‬‬ ‫الـممثَّلة في الأ�شكال التالية ‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫حدد الدوال الأحادية من بين الدوال ُ‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪175‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪2-4‬‬

‫الدوال الجبرية ‪Algebric Functions‬‬ ‫الدالة الجبرية هي الدالة الحقيقية التي يكفي لح�ساب ٍّ‬ ‫كل من قيمها �إجراء عملية �أو �أكثر على متغيرها‬ ‫من العمليات الجبرية الخم�سة وهي الجمع والطرح وال�ضرب والق�سمة وا�ستخراج الجذر‪.‬‬ ‫وفي هذا البند نعر�ض �أهم الدوال الجبرية التي �ستقابلها كثي ًرا في درا�ستك عل ًما ب�أنه قد �سبق لك‬ ‫درا�سة البع�ض منها‪.‬‬ ‫‪ )1‬دوال كثيرات الحدود‬ ‫هذا النوع من الدوال له �أهمية خا�صة �إذ يظهر في العديد من الم�سائل الريا�ضية والفيزيائية والتطبيقية‪،‬‬ ‫وكما علمت ف� َّإن قاعدة دالة كثيرة الحدود من الدرجة ن هي ‪:‬‬ ‫د(�س) = ن �س ن ‪ +‬ن‪� 1-‬س ن‪� 1 + . . . + 1-‬س ‪+‬‬ ‫حيث ن ‪ ،‬ن ‪، 1 ، ... ، 1-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ ،‬ن ≠‪ ،0‬ن‬

‫مجال دوال كثيرات الحدود = ‪ ،‬ومن �أهم هذه الدوال ‪:‬‬ ‫الدالة الثابتة‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = حيث‬

‫عدد حقيقي ثابت‬

‫مجالها = ‪ ،‬مداها =‬ ‫�إ�شارتها ‪..................................................................................‬‬ ‫تم َّثل بيان ًّيا بـ ‪� (.............................................................‬أكمل الفراغ )‬ ‫ومن الوا�ضح � َّأن الدالة الثابتة دالة محدودة وهي دالة زوجية‪� ،‬أما عن اطرادها فهو وا�ض ٌح من م�س َّماها‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ) 14-4‬المم ِّثل لهذه الدالة لتتحقق من جميع ما �سبق ‪.‬‬ ‫ماهي القيمة العظمى والقيمة ال�صغرى للدالة الثابتة ؟‬

‫ال�شكل (‪)14-4‬‬

‫‪176‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫دالة الدرجة الأولى‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س ‪ +‬ب‬

‫حيث ‪ ،‬ب‬

‫‪0‬‬

‫‪،‬‬

‫مجالها = ‪...............‬‬ ‫�إ�شارتها ‪..................................................................................‬‬ ‫تمثل بيان ًّيا بـ ‪� ( ............................................................‬أكمل الفراغ )‬ ‫وبالنظر �إلى ال�شكل ( ‪ ) 15-3‬المم ِّثل للدالة نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة =‬ ‫‪ 2‬الدالة متزايدة �إذا كانت‬

‫‪ 0‬ومتناق�صة �إذا كانت‬

‫‪0‬‬

‫تو�صلت �إلى � َّأن دالة الدرجة الأولى دالة �أحادية‪.‬‬ ‫لعلك َّ‬

‫ال�شكل (‪)15-4‬‬

‫وبو�ضع = ‪ ، 1‬ب = ‪ 0‬في قاعدة دالة الدرجـة الأولى ف�إننا نح�صل على الـدالة ‪:‬‬ ‫د(�س) = �س وت�س َّمى الدالة المحايدة وهي حالة خا�صة من دالة الدرجة الأولى ‪،‬‬ ‫وتم َّثل بيان ًّيا بالم�ستقيم �ص = �س وهو م�ستقيم يمر في نقطة الأ�صل وين�صف الربعين‬ ‫الأول والثالث ‪ .‬انظر �شكل ( ‪. ) 16-4‬‬ ‫حددمجالومدىالدالةالمحايدة‪.‬ثمادر�سخا�صيتيالتناظرواالطرادلهذهالدالة‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫ال�شكل (‪)16-4‬‬

‫�أكمل الفراغ ‪:‬‬ ‫الدالة د(�س) =‪� -‬س تم َّثل بيان ًّيا بخط م�ستقيم يمر في نقطة الأ�صل وين�صف الربعين ‪.............‬و ‪.............‬‬ ‫وهذه الدالة متناظرة حول ‪ .....................‬ومن حيث اطرادها فهي ‪.........................‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪177‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫(‪)5-4‬‬ ‫ك ٌّل من الدالة الثابتة ودالة الدرجة الأولى ت�س َّمى دالة خطية لأنها تم َّثل بيان ًّيا بخط م�ستقيم ‪.‬‬

‫تدريب (‪)11-4‬‬ ‫لكل دالة فيما يلي اذكر ‪ :‬مجال الدالة ‪ ،‬مداها ‪ ،‬نوع اطرادها ‪ ،‬ثم م ِّثلها بيان ًّيا‪.‬‬ ‫د( �س ) = ‪3-‬‬

‫‪1‬‬ ‫د( �س ) = ‪� 4‬س‬

‫د( �س ) = ‪� -‬س ‪2 +‬‬

‫الدالة التربيعية‬

‫‪0≠ ،‬‬

‫قاعدتها‪ :‬د (�س) = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ حيث ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ‬ ‫مجالها =‬

‫قاعدة �إ�شارتها ‪........................................................................... :‬‬ ‫تمثل بيان ًّيا بـ ‪ ..........................................‬ر�أ�سه ( ‪ ) ....... ، ........‬ومحوره ‪...........‬‬ ‫وتتحدد فتحته ح�سب ‪� ( ....................................................‬أكمل الفراغ ) ‪.‬‬ ‫وبالنظر �إلى ال�شكل ( ‪ ) 17-4‬المم ِّثل لهذه الدالة نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫د( ‪، ) 2-‬‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة =‬ ‫ب‬‫‪ ، -‬د( ‪) 2‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪0‬‬

‫�إذا كان‬

‫‪0‬‬

‫‪ 2‬الدالة يتغير �إطرادها من متناق�صة �إلى متزايدة �إذا كانت ‪ ،0‬ومن متزايدة �إلى متناق�صة �إذا كانت ‪0‬‬ ‫حدد الفترة التي تكون فيها الدالة متناق�صة والفترة التي تكون فيها الدالة متزايدة في كال الحالتين ‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)17-4‬‬

‫تو�صلت �إلى � َّأن الدالة التربيعية لي�ست �أحادية ‪.‬‬ ‫لعلك َّ‬

‫‪178‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫مثال (‪)11-4‬‬ ‫ار�سم المنحني البياني للدالة د(���س) = �س‪� 6 + 2‬س ‪ ، 8 +‬ومن الر�سم ح�� ِّدد مدى الدالة وادر���س خا�صية‬ ‫االطراد لها‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫لر�سمالقطعالمكافئالمم ِّثللهذهالدالةوالذيفتحتهلأعلىنوجدنقطةر�أ�سالقطعونقطتيتقاطعهمعالمحور ‪:‬‬ ‫ب ‪6 -‬‬‫�س = ‪3- = 1 2 = 2‬‬ ‫الر�أ�س هو (‪)1- ، 3-‬‬ ‫د(‪1- = 8 + )3-( 6 + 2)3-( = )3-‬‬ ‫�س‪� 6 + 2‬س ‪� ( 0 = 8 +‬س ‪� ( ) 4 +‬س ‪0 = ) 2 +‬‬ ‫�س = ‪� 4-‬أو �س = ‪2-‬‬ ‫نقطتي التقاطع مع هما (‪)0 ، 2-( ، ) 0 ، 4-‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ ) 18-4‬يبين منحني الدالة ومنه نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫ال�شكل (‪)18-4‬‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة = ‪( ، 1-‬ما القيمة ال�صغرى لهذه الدالة ؟)‬ ‫‪ 2‬الدالة متناق�صة في الفترة ‪ 3- ، -‬ومتزايدة في الفترة ‪،3-‬‬ ‫ومن الجدير ذكره �أنه قد يع َّبر عن قاعدة الدالة ب�أكثر من معادلة في فترات جزئية من مجالها وتعرف مثل‬ ‫هذه الدالة بالدالة المج َّز�أة ‪.‬‬

‫مثال (‪)12-4‬‬

‫‪� 1‬س‪ 1 + 2‬عندما �س‬ ‫دالة مج َّز�أة يتغير تعريفها حول (�أي قبل وبعد) العدد‪1‬‬ ‫الدالة د(�س) = ‪2‬‬ ‫‪� – 4‬س عندما �س ‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪1‬‬

‫( العدد ‪ 1‬هو طرف للفترتين الجزئيتين في المجال )‬

‫ ‪= 1،‬‬‫مجالها = ‪، 1‬‬ ‫نحدد الفترة التي تنتمي �إليها قيمة �س ونع ِّو�ض بهذه‬ ‫ولإيجاد قيمة الدالة المج َّز�أة عند �أي قيمة لــــِ �س ف�إننا ِّ‬ ‫القيمة عن �س في المعادلة المع َّرفة بها الدالة في هذه الفترة ‪ ،‬فمث ًال ‪:‬‬ ‫د (‪� – 4( = )0‬س) = ‪4 = 0 - 4‬‬ ‫�س = ‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫×‬ ‫د (‪� 12 ( = )1‬س‪= ) 1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س = ‪2 1‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪179‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫د (‪� 1 ( = )2‬س‪3 = 1 + 2)2( × 1 = ) 1 + 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫�س = ‪2‬‬

‫ولتمثيل هذه الدالة بيانيا ف�إننا نمثل كال المعادلتين على ال�شكل نف�سه كما يلي ‪:‬‬

‫في الفترة ‪ ، 1 ، -‬د(�س) = ‪� - 4‬س هي دالة‬ ‫في الفترة ‪ ، ، 1‬د(�س) = ‪� 1‬س‪1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫من الدرجة الأولى وتم َّثل بيان ًّيا بجزء من الم�ستقيم‬ ‫وهي دالة تربيعية وتم َّثل بيان ًّيا بجزء من قطع مكافئ‬ ‫�ص= ‪� - 4‬س ‪ ،‬ولر�سمه نع ِّين نقطة طرف الفترة‬ ‫فتحته لأعلى ور�أ�سه عند �س = ‪ ، 1 0‬وعليه‬ ‫ونقطة �أخرى اختيارية في هذه الفترة كما هو مبين‬ ‫ف�إننا لر�سمه نع ِّين نقطة طرف الفترة ( النقطة التي‬ ‫في الجدول التالي‪:‬‬ ‫�إحداثيها ال�سيني طرف الفترة وهو العدد‪ ) 1‬ونقطة‬ ‫‪0‬‬ ‫�س ‪1‬‬ ‫�أخرى ( �أو �أكثر ) اختيارية في هذه الفترة كما هو‬ ‫مبين في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�ص ‪3‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫�ص‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬

‫وحيث � َّأن ( ‪ ) 3 ، 1‬نقطة طرف هذه الفترة لي�ست‬ ‫ ‪ 1 ،‬ف�إننا عند‬‫من نقاط الدالة لأن ‪1‬‬ ‫تعيين هذه النقطة ن�ضع دائرة م َف َّرغة حولها‪.‬‬

‫وال�شكل ( ‪ ) 19-4‬يو�ضح التمثيل البياني للدالة د(�س) ومنه نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة = ‪، 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬الدالة متناق�صة في ‪ ، 1 ، -‬ومتزايدة في ‪، 1‬‬ ‫ال�شكل (‪)19-4‬‬

‫تدريب (‪)12-4‬‬ ‫ �س عندما ‪� 5-‬س ‪2-‬‬‫عندما ‪� 2-‬س ‪2‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = ‪2‬‬ ‫عندما ‪� 2‬س ‪5‬‬ ‫�س‬ ‫ما مجال الدالة ؟‬ ‫م ِّثل الدالة بيان ًّيا ‪ ،‬ومن الر�سم �أوجد مدى الدالة وادر�س خا�صيتي التناظر واالطراد لها ‪.‬‬

‫‪180‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬

‫‪ )2‬دالة القيمة المطلقة ( دالة القيا�س )‬ ‫�سنبد�أ بدرا�سة �أب�سط �صورة لهذه الدالة ثم ننطلق لدرا�سة دالة قيا�س لمقدار من الدرجة الأولى �أو الدرجة الثانية ‪.‬‬

‫دالة قيا�س �س‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س‬ ‫مجالها =‬ ‫وبا�ستخدام تعريف قيا�س العدد الحقيقي يمكن �إعادة تعريفها ( كتابة قاعدتها ب�صورة مج َّز�أة ) على النحو التالي ‪:‬‬

‫�س �إذا كانت �س ‪0‬‬ ‫د (�س) =‬ ‫ �س �إذا كانت �س ‪0‬‬‫وهذا يعني � َّأن هذه الدالة يتغير تعريفها حول العدد �صفر وهو �صفر الدالة ( جذرها ) ‪.‬‬

‫التمثيل البياني للدالة‬ ‫‪ 1‬في الفترة ‪ ، ، 0‬د (�س) = �س وتم َّثل بيان ًّيا ‪ 2‬في الفترة ‪ ، 0، -‬د(�س) = ‪� -‬س وتم َّثل‬ ‫بن�صف الم�ستقيم �ص = �س الذي مبد�ؤه نقطة الأ�صل بيان ًّيا بن�صف الم�ستقيم �ص =‪� -‬س الذي مبد�ؤه نقطة‬ ‫الأ�صل وين�صف الربع الثاني‪.‬‬ ‫وين�صف الربع الأول‪.‬‬ ‫فيكون التمثيل البياني للدالة د(�س) = �س كما في ال�شكل ( ‪ ) 20-4‬م�شاب ًها لر�سم العدد ‪ ،7‬ويمكن تمثيل‬ ‫هذه الدالة بر�سم الم�ستقيم �ص = �س الذي يم ِّثل الدالة المحايدة هـ (�س) = �س ‪ ،‬ثم �إجراء تناظر حول‬ ‫المحور ال�سيني لجزء الم�ستقيم الواقع تحت المحور ال�سيني‪ .‬انظر �شكل ( ‪) 21-4‬‬

‫�شكل (‪)20- 4‬‬

‫�شكل (‪)21- 4‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪181‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 20- 4‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ ،‬وهذا يتفق مع كون د(�س) = �س‬

‫‪ 1‬مدى الدالة = ‪، 0‬‬ ‫ومعنى ذلك � َّأن دالة القيا�س غير �سالبة ‪ ،‬و� َّأن قيمتها ال�صغرى ت�ساوي ال�صفر‪.‬‬ ‫‪ 2‬الدالة متناظرة حول المحور‬

‫‪� 0‬س‬

‫‪� ،‬أي �أنها دالة زوجية‪ ( .‬تحقق من ذلك جبر ًّيا )‬

‫‪ 3‬الدالة متناق�صة في الفترة ‪ 0 ، -‬ومتزايدة في الفترة ‪،0‬‬

‫( تحقق من ذلك جبر ًّيا )‬

‫مثال (‪)13-4‬‬ ‫�أعد تعريف الدالة د(�س) = �س ‪ ، 2 -‬ثم ار�سم المنحني البياني لها وع ِّين مجالها ومداها‪.‬‬

‫الحل‬ ‫د(س) =‬

‫س_‪2‬‬

‫إذا كانت س _ ‪0 2‬‬

‫س ‪2‬‬

‫‪_2‬س‬

‫إذا كانت س _ ‪0 2‬‬

‫س ‪2‬‬

‫هذا ويمكن �إعادة تعريف د(�س) على خط الأعداد ببحث �إ�شارة ( �س ‪ ) 2 -‬كما يلي ‪:‬‬ ‫�س = ‪� ( 2‬صفر الدالة �أو �صفر القيا�س ) وهو العدد الذي يتغير حوله تعريف الدالة‬

‫�س ‪0 = 2 -‬‬

‫‪2‬‬ ‫�إ�شارة (�س ‪)2 -‬‬ ‫د (�س) = �س ‪2 -‬‬

‫‪+‬‬

‫�س ‪2 -‬‬

‫‪-‬‬

‫‪� - 2‬س‬

‫صفر‬

‫ولتمثيل د(�س) بيان ًّيا نم ِّثل ن�صفي الم�ستقيمين المبين جدوالهما فيما يلي ‪:‬‬ ‫�ص = �س ‪� ، 2 -‬س ‪2‬‬

‫�ص = ‪� - 2‬س ‪� ،‬س ‪2‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫�ص‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫�ص‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫يو�ضح التمثيل البياني لـِ د (�س) ‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 22-4‬‬ ‫ال�شكل (‪)22- 4‬‬

‫‪182‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫يمكن تمثيل الدالة بتعيين النقطة التي �إحداثيها ال�سيني �صفر الدالة ونقطتين �أخريين ( يمين وي�سار �صفر‬ ‫الدالة) الإحداثي ال�سيني ٍّ‬ ‫لكل منهما يبعد البعد نف�سه عن �صفر الدالة كما بالجدول التالي ‪:‬‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫�ص‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫( �أكمل الفراغ )‬

‫مجال الدالة = ‪ ، ...............‬مدى الدالة = ‪...................‬‬

‫مثال (‪)14-4‬‬ ‫م ِّثل الدالة د(�س) = �س‪� 6 - 2‬س ‪ 8 +‬وع ِّين مجالها ومداها ‪.‬‬

‫الحل‬

‫نبحث �إ�شارة (�س‪� 6 -2‬س ‪ ) 8 +‬ثم نعيد تعريف د(�س) على خط الأعداد كما يلي ‪:‬‬ ‫�س‪� 6 - 2‬س ‪0 = 8 +‬‬

‫( �س ‪� ( ) 4 -‬س ‪0 = ) 2-‬‬

‫�س = ‪� 2‬أو �س = ‪� ( 4‬صفرا الدالة )‬ ‫‪4‬‬

‫�إ�شارة (�س‪� 6 - 2‬س ‪) 8 +‬‬ ‫د(�س) = �س‪� 6 - 2‬س ‪8 +‬‬

‫�س‪� 6 - 2‬س ‪8 +‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫�صفر ‪�( -‬س‪� 6 - 2‬س ‪� )8 +‬صفر �س‪�6- 2‬س ‪8+‬‬

‫�أي � َّأن ‪:‬‬ ‫�س‪� 6 - 2‬س ‪� 8 +‬إذا كانت �س ‪2‬‬ ‫د(�س) = ‪� -‬س‪� 6 + 2‬س ‪� 8 -‬إذا كانت ‪� 2‬س ‪4‬‬ ‫�س‪� 6 - 2‬س ‪� 8 +‬إذا كانت �س ‪4‬‬ ‫ولتمثيل د(�س) بيان ًّيا ف�إنه ‪:‬‬ ‫في ٍّ‬ ‫كل من الفترتين ‪، 4 ، 2 ، -‬‬

‫‪ ،‬د(�س) = �س‪� 6 - 2‬س ‪ ، 8 +‬ويم ِّثلها جزء من قطع مكافئ‬

‫‪ ، ، 4‬وعليه يمكننا ر�سم المنحني البياني للدالة في‬ ‫فتحته لأعلى ور�أ�سه عند �س = ‪2 ، - 3‬‬ ‫ٍّ‬ ‫كل من هاتين الفترتين بتعيين نقطة طرف الفترة ( عند �صفر الدالة ) ونقطة اختيارية كما هو في الجدول‬ ‫التالي ‪:‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪183‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�صفرا الدالة‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫�ص‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫وفي الفترة ‪ ، 4 ، 2‬د(�س) = ‪�-‬س‪� 6 + 2‬س ‪ 8 -‬ويم ِّثلها جزء من قطع مكافئ فتحته لأ�سـفل ور�أ�سه عند‬ ‫�س = ‪ ، 4 ، 2 3‬لذا نع ِّين نقطة ر�أ�س القطع ونقطتي طرفي الفترة ( عند �صفري الدالة ) المبينة في‬ ‫الجدول التالي‪:‬‬ ‫�س‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫�ص‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫يو�ضح منحني الدالة ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 23-3‬‬ ‫مجال الدالة = ‪ ،......‬مدى الدالة =‪� ( .......‬أكمل الفراغ )‬ ‫�أنه من الممكن تمثيل هذه الدالة بتمثيل القطـع المكافئ‬ ‫�ص =�س‪�6 - 2‬س ‪ 8+‬ثم �إجـراء تناظر حول المحور ال�سـيني‬ ‫لجزء القطع الواقع تحت المحور ال�سـيني‪ .‬انظر �شكل (‪.)24-3‬‬

‫ال�شكل (‪)23- 4‬‬

‫ومما �سبق نجد �أنه‪:‬‬ ‫يمكننا لتمثيل الدالة د(�س) = �س‪� 6 - 2‬س ‪ 8 +‬تعيين النقط‬ ‫المبنيـة في الجدول الأول الخا�ص بمنحني القطع الذي معادلتـه‬ ‫�ص = �س‪� 6 - 2‬س ‪ 8 +‬م�ضـافًا �إليـه النقطـة ( ‪) 1 ، 3‬‬ ‫المناظرة لر�أ�س هذا القطع ‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)24- 4‬‬

‫تدريب (‪)13-4‬‬ ‫�أعد تعريف الدالة د(�س) = �س‪� 6 + 2‬س ‪ 9 +‬ثم ار�سم المنحني البياني لها ‪.‬‬

‫‪184‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬

‫‪ )3‬دالة ال�صحيح ( الدالة الدرجية )‬ ‫�صحيح العدد الحقيقي‬ ‫نقدمه من خالل‬ ‫قبل درا�سة دالة �صحيح �س يلزمنا التعرف على مفهوم �صحيح العدد الحقيقي �س والذي ِّ‬ ‫المثال التالي‪:‬‬ ‫قام معلم التربية الريا�ضية بت�شجيع طالبه على الرك�ض لم�سافات طويلة بهدف تدريبهم وذلك ب�أن يمنح كل‬ ‫طالب درجة واحدة عن كل كيلومتر كامل يرك�ضه وال يمنح درجة عن �أجزاء الكيلومتر ويبين الجدول التالي‬ ‫الم�سافات التي رك�ضها خم�سة طالب والدرجات التي منحهم �إياها معلمهم‪.‬‬ ‫ا�سم الطالب‬

‫محمد‬

‫�أحمد‬

‫عامر‬

‫عمر‬

‫ح�سين‬

‫الم�سافة المقطوعة بالكيلومتر‬

‫‪3.85‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪5.2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3.5‬‬

‫الدرجة الم�ستحقة‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫و�إذا قارنت الدرجة الم�ستحقة لكل طالب بالم�سافة التي قطعها ذلك الطالب ف�إنك تالحظ � َّأن الدرجة‬ ‫�صحيحا‪ ،‬و� َّأن الدرجة الم�ستحقة ت�ساوي‬ ‫الم�ستحقة ت�ساوي الم�سافة المقطوعة عندما تكون هذه الم�سافة عد ًدا‬ ‫ً‬ ‫�أكبر عدد �صحيح �أ�صغر من الم�سافة المقطوعة عندما تكون هذه الم�سافة عد ًدا غير �صحيح‪ .‬وهذا يعني �أنه‬ ‫�إذا كانت الم�سافة المقطوعة ت�ساوي �س ف� َّإن الدرجة الم�ستحقة هي �أكبر عدد �صحيح �أ�صغر من �أو ي�ساوي �س‪،‬‬ ‫ن�سمي هذا العدد �صحيح العدد �س‪.‬‬ ‫ِّ‬

‫تعريف (‪)8-4‬‬ ‫�إذا كان �س ‪ ،‬ف� َّإن �صحيح العدد �س و الذي يرمز له بالرمز �س هو �أكبر عدد �صحيح‬ ‫�أ�صغر من �أو ي�سـاوي �س‪.‬‬ ‫فمث ًال ‪ :‬‬ ‫‪ 3 = 3.9 = 3.5 = 3.1 = 3‬‬ ‫�س = ‪ 3‬‬ ‫�إذ ًا ‪� 3‬س ‪4‬‬ ‫‪4- = 3.1- = 3.5 - = 3.9 - = 4‬‬‫�س = ‪ 4-‬‬ ‫�إذ ًا ‪� 4-‬س ‪3-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3.9‬‬

‫‪3.1- 3-‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪3.5-‬‬

‫‪3.1‬‬

‫‪3.9-‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4-‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪185‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫وعا َّمة األمر‬

‫ن‬

‫ن �س ن ‪) 1-4 (............. 1 +‬‬

‫ف� َّإن ‪� :‬س = ن‬

‫�س‬

‫ن‪1+‬‬

‫ن = �س‬

‫من العالقة ( ‪ ) 1-4‬نجد � َّأن ‪:‬‬ ‫�س‬

‫�س‬

‫�س ‪ 1 +‬‬ ‫حيث‬

‫= �س ‪+‬‬

‫ ‬

‫�س ‪+‬‬ ‫فمث ًال ‪� :‬س ‪� = 2 +‬س ‪ ( 2 +‬تحقق من ذلك ب�إعطاء قيم مختلفة لـ ِ �س )‬

‫مثال (‪)15-4‬‬ ‫�أوجد مجموعة حل ٍّ‬ ‫كل من المعادالت التالية ‪:‬‬

‫الحل‬

‫�س = ‪2‬‬ ‫�س = ‪2‬‬

‫�س ‪8 - = 1 -‬‬ ‫‪� 2‬س ‪3‬‬

‫�إذ ًا مجموعة الحل = ‪3 ، 2‬‬ ‫�س ‪8 - = 1 -‬‬

‫�س ‪8 - = 1 -‬‬

‫�س = ‪7 -‬‬ ‫ ‪� 7‬س ‪6-‬‬‫�إذ ًا مجموعة الحل = ‪6 - ، 7 -‬‬ ‫والآن ندر�س دالة ال�صحيح التي على ال�صورة د(�س) = �س ‪+‬‬

‫دالة �صحيح �س‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س‬ ‫مجالها =‬ ‫مداها =‬

‫‪186‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫حيث‬

‫و�سنبد�أ بدرا�سة �أب�سطها وهي ‪:‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫التمثيل البياني لهذه الدالة‬ ‫‪ ،‬فتكون د(�س) = ن عندما ن �س ن ‪ 1 +‬وب�إعطاء ن قي ًما‬ ‫نفر�ض � َّأن �س = ن حيث ن‬ ‫�صحيحة مختلفة ولتكن من ‪� 2-‬إلى ‪ 2‬ف�إنه يمكن كتابة قاعدة د(�س) ب�صورة مجز�أة على النحو التالي ‪:‬‬

‫د( �س ) =‬

‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫عندما‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬

‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وبذلك يت�ضح � َّأن الدالة ثابتة في الفترات الجزئية ن�صف المغلقة من مجالها ‪ ،‬فيكون التمثيل البياني لها عبارة‬ ‫عن قطع م�ستقيمة ن�صف مغلقة ( بمعنى �أنها ال تحوي �أحد طرفيها ) وك ٌّل منها يوازي المحور ‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ، ) 25-4‬والحظ � َّأن التمثيل البياني للـدالة د(�س) = �س ي�شبه الدرج ؛ لذا ُ�سم ِّيت بالدالة‬ ‫الدرجية‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)25- 4‬‬

‫� َّأن �أ�صفار (جذور) هذه الدالة هي عنا�صر الفترة ‪ ، 1 ، 0‬والتي تم ِّثل مجموعة حل المعادلة �س = ‪0‬‬

‫تدريب (‪)14-4‬‬ ‫اختر الإجابة ال�صحيحة من بين القو�سين ‪:‬‬ ‫دالة �صحيح �س على مجالها هي دالة ( ثابتة ‪ ،‬متزايدة ‪ ،‬غير متناق�صة )‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪187‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)16-4‬‬ ‫م ِّثل الدالة د(�س) = �س ‪ 3 +‬حيث �س‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪ ، 3 ، -1‬ثم ح ِّدد مداها‪.‬‬

‫د (�س) = �س ‪� = 3 +‬س ‪3 +‬‬ ‫‪ ،‬فتكون د( �س ) = ن ‪ 3 +‬عندما ن �س ن ‪1 +‬‬ ‫نفر�ض � َّأن �س = ن حيث ن‬ ‫ونعيد تعريف الدالة على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪ 2= 3+ 1‬عندما ‪� 1-‬س ‪0‬‬‫‪ 3 = 3 + 0‬عندما ‪� 0‬س ‪1‬‬ ‫د (�س)=‬ ‫‪ 4 = 3+ 1‬عندما ‪� 1‬س ‪2‬‬ ‫‪ 5 = 3 + 2‬عندما ‪� 2‬س ‪3‬‬ ‫يو�ضح التمثيل البياني للدالة‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 26-4‬‬ ‫مدى الدالة = ‪5 ، 4 ، 3 ، 2‬‬

‫ال�شكل (‪)26- 4‬‬

‫‪ )4‬الدالة الن�سبية‬

‫د‪�(1‬س)‬ ‫حيث ٍّ‬ ‫كل من د‪� (1‬س ) ‪ ،‬د‪� (2‬س ) كثيرة حدود‪.‬‬ ‫وهي الدالة التي قاعدتها على ال�صورة د ( �س )= د (�س)‬ ‫‪2‬‬

‫وهذه الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن مقامها د‪� (2‬س ) ‪0‬‬ ‫�أي � َّأن مجال الدالة = ‪� -‬س ‪ :‬د‪� ( 2‬س ) = ‪. 0‬‬

‫و�سنبد�أ بدرا�سة �أب�سط �صورة لهذه الدالة ب�شيء من التف�صيل ثم نقت�صر في درا�ستنا للدوال الن�سبية‬ ‫الأخرى على تحديد مجالها‪.‬‬

‫‪188‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬

‫دالة مقلوب �س‬

‫‪1‬‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س‬

‫مجالها = ‪ ( 0 -‬لماذا؟ )‬

‫ولتمثيلها بيان ًّيا نك ِّون الجدول الآتي باختيار قيم منا�سبة للمتغير �س وح�ساب قيم �ص المناظرة ‪.‬‬ ‫�س‬ ‫�ص‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬‫‪4‬‬ ‫‪4-‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2-‬‬

‫‪1‬‬‫‪1-‬‬

‫‪2‬‬‫‪1‬‬‫‪2‬‬

‫‪4‬‬‫‪1‬‬‫‪4‬‬

‫وال�شكل ( ‪ ) 27-4‬يو�ضح التمثيل البياني للدالة ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ومن الجدير ذكره �أن المعادلة �ص = �س يمكن �أن تكتب على ال�صورة �س‬ ‫�ص = ‪1‬وهذه المعادلة تمثل قطعا زائذا محوره الم�ستعر�ض �ص = �س ال‬ ‫يوازي �أيا من المحورين الإحداثيين ‪.‬‬ ‫ومن ال�شكل ( ‪) 27-4‬نالحظ �أن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة = ‪0 -‬‬ ‫‪ 2‬الدالة متناظرة حول نقطة الأ�صل �أي �أنها دالة فردية ‪.‬‬ ‫‪ 3‬الدالة متناق�صـة في ٍّ‬ ‫كل من الفترتين ‪0، - ، ، 0‬‬ ‫ال�شكل (‪)27- 4‬‬ ‫انتبه الدالة لي�ست متناق�صة على مجالها‪.‬‬ ‫‪ 4‬الدالة �أحادية‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 5‬منحني الدالة يقترب من ٍّ‬ ‫كل من المحورين ‪ ،‬ولكنه ال يقطعهما ( لأن �س ‪� ، 0‬س ‪)0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ادر�س �إ�شارة الدالة د(�س) = �س‬

‫مثال (‪)17-4‬‬ ‫�أوجد مجال ٍّ‬ ‫كل من الدالتين الآتيتين ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪� -‬س‬ ‫�ص = �س ‪1 +‬‬

‫الحل‬

‫�ص =‬

‫�س ‪7 -‬‬ ‫�س‪�3+ 2‬س‪4-‬‬

‫الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س ‪0 1 +‬‬ ‫وحيث � َّأن �س ‪� 0 = 1 +‬س = – ‪1‬‬ ‫� ًإذا مجال الدالة = ‪1 – -‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪189‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س ‪�3 +‬س – ‪0 ≠ 4‬‬ ‫�س‪�3 + 2‬س ‪� ( 0 = 4 -‬س ‪� ( ) 4 +‬س ‪0= ) 1 -‬‬ ‫� ًإذا مجال الدالة = ‪1 ، 4 - -‬‬

‫�س = ‪� 4-‬أو �س = ‪1‬‬

‫نشاط إثرائي‬

‫ا�ستخدم برنامج‬

‫لر�سم ٍّ‬ ‫كل من الدالتين في المثال ال�سابق ‪.‬‬

‫تدريب (‪)15-4‬‬ ‫اقرن كل دالة من القائمة الأولى بمجالها في القائمة الثانية‪ ،‬وذلك بكتابة رقم الدالة عن يمين مجالها ‪:‬‬ ‫القائمة الأولى‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬د(�س) = �س ‪8 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬د(�س) = (�س ‪)8 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬د(�س) = �س‪8 + 3‬‬

‫القائمة الثانية‬ ‫– –‪8‬‬ ‫– –‪2‬‬ ‫– ‪8‬‬

‫‪ )5‬دالة الجذر التربيعي‬ ‫�سنهتم هنا بدرا�سة دالة الجذر التربيعي التي على �صورة د(�س) = هـ (�س) حيث هـ (�س) كثيرة حدود‬ ‫من الدرجة الثانية على الأكثر‪ ،‬ومن الوا�ضح � َّأن مثل هذه الدالة تكون مع َّرفة ب�شـرط � َّأن هـ (�س) ‪0‬‬ ‫وعليه ف� َّإن مجالها = �س ‪� :‬س‬

‫‪ ،‬هـ (�س) ‪0‬‬

‫و�سنبد�أ بدرا�سة �أب�سط �صورة لهذه الدالة ب�شيء من التف�صيل ثم نقت�صر في درا�ستنا لغيرها من دوال‬ ‫الجذر التربيعي على تحديد مجالها‪.‬‬ ‫دالة جذر �س‬ ‫قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س‬ ‫مجالها = ‪،0‬‬

‫‪190‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫( لماذا؟ )‬

‫الدوال الجبرية‬

‫التمثيل البياني للدالة‬ ‫المعادلة �ص = �س تم ِّثل الجزء الموجب للقطع المكافئ‬ ‫�ص‪� = 2‬س المم َّثل في �شكل ( ‪) 28-3‬‬ ‫�ص = ‪� ±‬س )‬ ‫( �ص‪� = 2‬س‬ ‫وعليه يمكننا تمثيل الدالة �ص = �س بتعيين نقطة طرف الفترة‬ ‫( المجال ) ونقطتين اختياريتين من مجال الدالة كما في الجدول‬ ‫التالي ‪:‬‬

‫�س‬ ‫�ص‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫ال�شكل (‪) 28- 4‬‬

‫يو�ضح التمثيل البياني لهذه الدالة ومنه‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 29-4‬‬ ‫ن�ستنتج � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ )1‬مدى الدالة = ‪ ، 0‬؛ ذلك � َّأن ‪:‬‬ ‫د(�س) = �س ‪� 0‬س ‪، 0‬‬ ‫�أي � َّأن الدالة غير �سالبة وقيمتها ال�صغرى ت�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫‪ )2‬الدالة متزايدة على مجالها‪ ،‬وهذا يعني �أنها �أحادية‪.‬‬

‫ال�شكل (‪) 29- 4‬‬

‫مثال (‪)18-4‬‬ ‫�أوجد مجال ٍّ‬ ‫كل من الدوال التالية‪:‬‬ ‫�ص = �س‪4 - 2‬‬ ‫�ص = �س ‪3 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د �ص = ‪�4 + 5‬س‪�-‬س‬ ‫�ص = �س‪9 + 2‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س ‪0 3 +‬‬ ‫� ًإذا مجال الدالة = ‪، 3-‬‬

‫�س ‪3 -‬‬

‫ال�شكل (‪)30- 4‬‬

‫من ال�شكل ( ‪َّ � ) 30-4‬أن منحنا هذه الدالة هو الجزء الموجب من القطع المكافئ �ص‪� = 2‬س ‪3 +‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪191‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س‪0 4 - 2‬‬ ‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪� 2‬أو �س ‪2 -‬‬

‫� ًإذا مجال الدالة = ‪2- ، -‬‬ ‫من ال�شكل ( ‪َّ � ) 31-4‬أن منحني هذه الدالة هو الجزء‬ ‫الموجب من القطع الزائد �ص‪� = 2‬س‪4 - 2‬‬ ‫‪،2‬‬

‫�س‬

‫الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س‪0 9 + 2‬‬ ‫وهذا متحقق �س‬ ‫� ًإذا مجال الدالة =‬

‫‪2‬‬

‫‪9-‬‬

‫من ال�شكل ( ‪َّ � ) 32-4‬أن منحني هذه الدالة هو الجزء‬ ‫الموجب من القطع الزائد �ص‪� = 2‬س‪9 + 2‬‬ ‫د الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن ‪�4 + 5‬س ‪� -‬س‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫ال�شكل (‪)31- 4‬‬

‫ال�شكل (‪)32- 4‬‬

‫ولحل هذه المتباينة نبحث �إ�شارة ( ‪�4 + 5‬س ‪� -‬س‪ ) 2‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪�4 + 5‬س ‪� -‬س‪0 = 2‬‬

‫�س‪�4 - 2‬س ‪0 = 5 -‬‬

‫( �س ‪� ( ) 5 -‬س ‪0 = ) 1 +‬‬

‫�س = ‪� 5‬أو �س = ‪1 -‬‬ ‫‪5‬‬

‫�إ�شارة (‪�4 + 5‬س ‪� -‬س‪)2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫فتكون مجموعة حل المتباينة ‪�4 + 5‬س ‪� -‬س‪ 0 2‬هي ‪5 ، 1-‬‬ ‫�أي � َّأن مجال الدالة = ‪5 ، 1-‬‬ ‫من ال�شكل ( ‪َّ � ) 33-4‬أن منحني هذه الدالة هو الجزء الموجب‬ ‫‪2‬‬ ‫من القطع الناق�ص (الدائرة) �ص‪�4 + 5 = 2‬س ‪� -‬س‬

‫‪192‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ال�شكل (‪)33- 4‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫‪2‬‬ ‫لماذا ال تم ِّثل المعادلة �ص = ‪�3-‬س ‪� +‬س ‪ 5 -‬دالة ؟‬

‫ن�شاط �إثرائي‬ ‫ا�ستخدم برنامج‬

‫لتح�صل على الأ�شكال الأربعة في المثال ال�سابق ‪.‬‬

‫تدريب (‪)16-4‬‬ ‫اقرن َّ‬ ‫كل دالة من القائمة الأولى بمجالها في القائمة الثانية ‪ ،‬وذلك بكتابة رقم الدالة عن يمين مجالها ‪:‬‬ ‫القائمة الثانية‬

‫القائمة الأولى‬ ‫‪ 1‬د(�س) = �س‪1-2‬‬ ‫‪ 2‬د(�س) = (�س‪)1-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 3‬د(�س) = ‪� -1‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪1 ، 1‬‬‫‪1 ، 1‬‬‫‪1- ، -‬‬

‫[‪[ ،1‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪193‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫تمارين (‪)2-4‬‬ ‫في التمارين من ‪� 1‬إلى ‪� 22‬أوجد مجال الدالة ثم ار�سم منحنيها ومن الر�سم �أوجد المدى‬ ‫والقيمة العظمى والقيمة ال�صغرى �إن �أمكن‪:‬‬ ‫‪ 1‬د(�س) = ‪1‬‬ ‫‪ 2‬د(�س) = – ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬د(�س) = ‪�2‬س – ‪5‬‬ ‫‪ 3‬د(�س) = ‪�3‬س‬ ‫‪ 5‬د(�س) = ‪� – 8‬س‬

‫‪ 6‬د(�س) = �س‪�4 + 2‬س ‪3 +‬‬

‫‪ 7‬د(�س) = – �س‪� 8 – 2‬س – ‪14‬‬

‫‪ 8‬د(�س) = ‪� (2‬س – ‪) 1‬‬

‫‪ 9‬د(�س) = – ( �س‪) 3 + 2‬‬

‫‪ 10‬د(�س) = ‪�3‬س‬

‫‪ 11‬د(�س) = �س – ‪5‬‬

‫‪ 12‬د(�س) = ‪�2– 1‬س‬

‫‪ 13‬د(�س) = �س‪�4 – 2‬س – ‪5‬‬

‫‪ 14‬د(�س) = �س‪� + 2‬س ‪2 +‬‬

‫‪ 15‬د(�س) = ‪� – 9‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪ 16‬د(�س) = ‪� 4‬س‪�4 + 2‬س ‪1 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪�2‬س عندما ‪� 0‬س ‪2‬‬ ‫‪ 17‬د(�س) =‬

‫‪4‬‬

‫عندما ‪� 2‬س ‪4‬‬

‫�س‪ 2+‬عندما ‪� 4‬س ‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س عندما �س ‪0‬‬ ‫‪ 19‬د(�س) =‬ ‫�س عندما �س ‪0‬‬ ‫‪ 21‬د (�س) = �س ‪ 1 +‬حيث �س ‪0‬‬

‫‪ 18‬د(�س) =‬

‫‪� -9‬س عندما �س ‪.‬‬ ‫�س‪ 1-2‬عندما �س ‪0‬‬

‫‪ 20‬د (�س) = �س ‪2 -‬‬ ‫‪ 22‬د (�س) = �س – ‪ 3‬عندما ‪� 1‬س ‪5‬‬

‫‪ 23‬ادر���س اط��راد ٍ ّ‬ ‫كل من ال��دوال المعطاة في التمارين من ‪� 1‬إلى ‪ 19‬من المنحني البياني لها‪.‬‬ ‫‪ 24‬ادر�س تناظر ٍ ّ‬ ‫كل من الدوال المعطاة في التمارين ‪15 ، 10 ، 8 ، 3 ، 2 ، 1‬‬

‫‪194‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال الجبرية‬ ‫‪� 25‬أوجد جذور كلٍّ من الدالتين ‪:‬‬ ‫د (�س) = �س ‪3 -‬‬

‫د (�س) = �س ‪5 +‬‬ ‫عندما‬ ‫عندما‬

‫‪� 1‬س ‪2‬‬‫�س ‪2‬‬

‫�س‬ ‫‪� 26‬إذا كانت د(�س) =‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ف�أوجد د( ‪ ، ) 12‬د ( ‪ ، ) 2‬د ( ‪ ) 5‬ثم ار�سم منحني الدالة ‪.‬‬ ‫�س عندما ‪� 5-‬س ‪0‬‬ ‫‪� 27‬إذا كانت د (�س) = ‪1‬‬ ‫عندما ‪� 0‬س ‪1‬‬ ‫�س عندما ‪� 1‬س ‪5‬‬ ‫ف�أوجد د (‪ ، )2-‬د( ‪ ، ) 0‬د ( ‪ ، ) 12‬د (‪ ، )2‬د (–‪ )5‬ثم ار�سم منحني الدالة ‪.‬‬ ‫‪� 28‬أوجد مجال كلٍّ من الدوال الن�سبية التالية ‪:‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫د (�س) =‬ ‫�س‪3-‬‬

‫‪�4‬س‬‫د (�س) =‬ ‫(�س‪�( )2-‬س‪)4+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬س‪ +2‬س‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫د (�س) =‬ ‫س‪7 +2‬‬

‫�س‪4 - 2‬‬ ‫هـ د (�س) =‬ ‫�س‪�4+2‬س ‪4+‬‬

‫س‬ ‫ـــــــــــــــــ‬ ‫د د (�س) =‬ ‫س‪1-3‬‬

‫و د (�س) =‬

‫‪� + 5‬س‬ ‫‪�5‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪� 29‬أوجد مجال كلٍّ من الدوال الجذرية التالية ‪:‬‬ ‫د (�س) = ‪�2‬س‪5 -‬‬ ‫د (�س) = ‪� -25‬س‬

‫‪2‬‬

‫د (�س) = ‪� -7‬س‬ ‫د د (�س) = �س‪36-2‬‬

‫هـ د (�س) = �س‪�4 + 2‬س‪4+‬‬

‫و د (�س) = ‪�3‬س‪�5 + 2‬س ‪2-‬‬

‫ز د(�س) = ‪�2-‬س‪�15 - 2‬س‪50+‬‬

‫ح د(�س) = ‪� -‬س‪�6 + 2‬س ‪9 -‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪195‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫العمليات على الدوال‬

‫‪3-4‬‬

‫�سوف نعمل على الربط بين دالتين حقيقيتين – من ال��دوال التي تع َّرفت عليها – بعملية قد تكون‬ ‫م�شابهة �أو غير م�شابهة لإحدى العمليات الأربع على الأعداد ‪ ،‬وذلك بهدف ا�ستحداث دوال جديدة ‪ ،‬ثم‬ ‫ندر�س خوا�ص بع�ض الدوال الجديدة ‪.‬‬

‫�أو ًال ‪ -‬العمليات الجبرية‬

‫�إذا كانت هناك طائرة تح ِّلق فوق بحيرة كما في ال�شكل ( ‪، ) 34-4‬‬ ‫ف�إنه عند �أي لحظة �س يكون ُبعد الطائرة عن قاع البحيرة ف(�س)‬ ‫م�ساو ًيا لمجموع ُبعدها عن �سطح البحيرة د‪���(1‬س) وعمق البحيرة‬ ‫تحت الطائرة مبا�شرة د‪�(2‬س)‪.‬‬ ‫�أي � َّأن ‪ :‬ف(�س) = د‪�(1‬س) ‪ +‬د‪�(2‬س)‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)34- 4‬‬

‫ن�س ِّمي الدالة ف دالة المجموع للدالتين د‪ ،1‬د‪ 2‬ونرمز لها بالرمز د‪ + 1‬د‪ ، 2‬فيكون‪:‬‬ ‫(د‪ + 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) ‪ +‬د‪�(2‬س)‬ ‫وفي الواقع يمكننا الربط بين �أي دالتين د‪ ،1‬د‪ 2‬بعملية جبرية للح�صول على �إحدى الدوال الجديدة التالية‪:‬‬ ‫د‬ ‫د‪ + 1‬د‪ ، 2‬د‪ - 1‬د‪ ، 2‬د‪ . 1‬د‪ ، 2‬د‪ 12‬وذلك بطريقة م�شابهة لطريقة الجمع والطرح وال�ضرب والق�سمة على ‪.‬‬

‫تعريف (‪)9-4‬‬

‫نعرف ك ًّال من ‪:‬‬ ‫ل ِّأي دالتين د‪ ،1‬د‪ِّ 2‬‬

‫دالة المجموع د‪ + 1‬د‪ 2‬بالقاعدة ‪( :‬د‪ + 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) ‪ +‬د‪�(2‬س)‬

‫دالة الفرق د‪ – 1‬د‪ 2‬بالقاعدة ‪( :‬د‪ – 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) – د‪�(2‬س)‬

‫دالة ال�ضرب د‪ . 1‬د‪ 2‬بالقاعدة ‪( :‬د‪ . 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�(2‬س)‬ ‫د‪�(1‬س)‬ ‫ب�شرط د‪�(2‬س) ≠ ‪0‬‬ ‫دالة الق�سمة دد‪ 1‬بالقاعدة ‪ :‬دد‪�( 1‬س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د‪�(1‬س)‬ ‫�إ�شارة الجمع في الطرف الأيمن تعني جمع دالتين بينما في الطرف الأي�سر تعني حا�صل جمع القيمتين د‪�(1‬س) ‪ ،‬د‪�(2‬س)‪.‬‬

‫‪196‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬ ‫(‪)6-4‬‬ ‫يت�ضح من التعريف ( ‪� ) 9-4‬أنه �إذا كان مجال د‪ 1‬هو ف‪ ، 1‬مجال د‪ 2‬هو ف‪ ، 2‬ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬مجال ٍّ‬ ‫كل من الدوال ‪ :‬د‪ + 1‬د‪ ، 2‬د‪ – 1‬د‪ ، 2‬د‪ . 1‬د‪ 2‬هو ف‪ 1‬ف‬ ‫د‬ ‫‪ 2‬مجال الدالة د‪ 1‬هو ف‪ 1‬ف‪� – 2‬س ‪ :‬د‪�(2‬س) = ‪ 0‬؛‬ ‫‪2‬‬ ‫�أي �أنه المجال الم�شترك للدالتين محذوفًا منه �أ�صفار المقام ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 3‬كما في الأعداد ‪ ،‬ف� َّإن عمليتي الجمع وال�ضرب على الدوال �إبدالية بينما ال يتحقق الإبدال‬ ‫ل ٍّأي من عمليتي الطرح والق�سمة ‪.‬‬

‫مثال(‪)19-4‬‬ ‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = �س‪ 9 + 3‬حيث ‪� 1 -‬س ‪ ،5‬د‪�(2‬س) = ‪�3‬س ‪5 +‬‬ ‫�أوجد قاعدة الدالة (د‪ + 1‬د‪ )2‬وح ِّدد مجالها ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫(د‪ + 1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) ‪ +‬د‪�(2‬س) = ( �س ‪�3 ( + ) 9 +‬س ‪� = ) 5 +‬س ‪�3 +‬س ‪14 +‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫بما � َّأن مجال د‪( 5 ، 1 – = 1‬معطى) ‪ ،‬مجال د‪ = 2‬؛ لأنها كثيرة حدود‬ ‫ف� َّإن مجال (د‪ + 1‬د‪ )2‬هو – ‪5 ، 1‬‬

‫= –‪5،1‬‬

‫في المثال ال�سابق � َّأن مجال (د‪ + 1‬د‪ )2‬هو مجال د‪ 1‬نف�سه‪.‬‬

‫و عا َّمة الأمر‬

‫�إذا كان مجال د‪ 1‬هو ف�إن مجال ٍ ّ‬ ‫كل من الدوال‪ :‬د‪ + 1‬د‪ ، 2‬د‪ – 1‬د‪ ، 2‬د‪ . 1‬د‪ 2‬هو مجال د‪ 2‬نف�سه‬

‫مثال (‪)20-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = �س ‪ ،‬د‪�(2‬س) = �س ‪ ،‬ف�أوجد الدالة (د‪ – 1‬د‪ )2‬وح ِّدد مجالها ‪ ،‬ثم اح�سب قيمة‬ ‫‪3‬‬‫(د‪ – 1‬د‪)2( )2‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫�س ‪� 2‬س ‪�(2-‬س‪)3-‬‬ ‫(د‪ –1‬د‪�( )2‬س) = د‪�(1‬س) – د‪�(2‬س) = �س ‪� - 3 -‬س = �س (�س‪)3-‬‬ ‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪197‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�س‪�2-2‬س‪6+‬‬ ‫(د‪ – 1‬د‪�( )2‬س) =‬ ‫�س ‪�3 +2‬س‬ ‫مجال د‪ ، 3 – = 1‬مجال د‪0 – = 2‬‬ ‫مجال (د‪ – 1‬د‪3 ، 0 – = ) 0 – ( ) 3 – ( = )2‬‬ ‫(د – د ) (‪6 = 6+)2(2-2)2( = )2‬‬ ‫‪3– = 2‬‬‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)2(3 -2)2‬‬ ‫�أنه يمكن ح�ساب قيمة (د‪ – 1‬د‪ )2( )2‬با�ستخدام التعريف ( ‪ ) 9-3‬كالآتي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(د‪ –1‬د‪ = )2( )2‬د‪ – )2(1‬د‪3– = 1 – 2– = 2 – 3 - 2 = )2( 2‬‬

‫مثال(‪)21-4‬‬ ‫د‬ ‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = �س – ‪ ،1‬د‪�(2‬س) = �س‪ ، 1 – 2‬ف�أوجد الدالة د‪ 12‬وح ِّدد مجالها ‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫د‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫د‪2‬‬ ‫�س‪�( 1-2‬س ‪�( )1-‬س ‪� )1+‬س ‪1+‬‬ ‫مجال ٍّ‬ ‫كل من الدالتين د‪ ، 1‬د‪ 2‬هو ؛ لأنهما كثيرتا حدود ‪.‬‬ ‫د‬ ‫مجال د‪� – = 12‬س ‪ :‬د‪�(2‬س) = ‪1 ، 1 – – = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د‬ ‫�أ َّن الدالة د‪ 12‬غير م�ساوية للدالة د التي قاعدتها ‪ :‬د(�س) = �س‪ 1+‬ومجالها – –‪ 1‬؛‬ ‫وذلك الختالف مجاليهما ‪.‬‬

‫مثال(‪)22-4‬‬ ‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = �س ‪ 2 +‬حيث �س – ‪ ، 2‬د‪�(2‬س) = ‪� - 3‬س حيث �س ‪� 3‬أوجد ك ًّ‬ ‫ال من د‪ . 1‬د‬ ‫د‬ ‫‪ ،‬د‪ 12‬وح ِّدد مجال ٍّ‬ ‫كل منهما‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫(د‪ . 1‬د‪�()2‬س) = د‪�(1‬س) ‪ .‬د‪�(2‬س) = �س ‪� - 3 2 +‬س = (�س‪�-3( )2+‬س) = ‪�-‬س‪� + 2‬س ‪6 +‬‬

‫‪198‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬ ‫مجال د‪، 2– = 1‬‬

‫‪ ،‬مجال د‪3 ، – = 2‬‬

‫– ‪3 ، 2– = 3 ،‬‬ ‫مجال (د‪ . 1‬د‪، 2– = )2‬‬ ‫د (�س) �س ‪� - 3 2 +‬س‬ ‫د‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫د‪2‬‬ ‫د‪�(2‬س) ‪� - 3‬س ‪� - 3‬س‬ ‫ �س‪� +2‬س ‪6 +‬‬‫(�س ‪� -3( ) 2 +‬س)‬ ‫‪Ð‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪� - 3‬س‬ ‫‪� - 3‬س‬ ‫د‪1‬‬ ‫مجال د‪[ 3 ، 2– = 3 - 3 ، 2– = 2‬‬ ‫د‪ 1‬د ‪ .‬د‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لعلك الحظت � َّأن د‪ = 2‬د حيث د‪�( 2‬س) = ‪� – 3‬س وهي دالة مجالها = – ‪3 ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د‪ 1‬د ‪ .‬د‬ ‫‪3 1‬‬ ‫ب ِّين لماذا ال تكون العالقة د‪ = 2‬د ‪ .‬د �صحيحة دائ ًما ؟‬ ‫‪3 2‬‬

‫مثال(‪)23-4‬‬ ‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = ‪�3‬س ‪ ، 6 +‬د‪�(2‬س) = ‪ ، 5‬فادر�س اطراد الدالة د دالة الفرق (د‪ - 1‬د‪ )2‬على مجالها وار�سم‬ ‫منحنيها ‪.‬‬

‫الحل‬

‫مجال ٍّ‬ ‫مجال دالة الفرق د هو‬ ‫كل من الدالتين د‪ ، 1‬د‪ 2‬هو‬ ‫لدرا�سة اطراد الدالة د(�س) = ‪�3‬س ‪ 5 – 6 +‬على‬ ‫نعيد تعريف الدالة د كما يلي ‪:‬‬ ‫‪�3‬س ‪� 0 = 6 +‬س = –‪� ( 2‬صفر القيا�س )‬ ‫د(�س) = ‪�3‬س ‪= 5 – 6 +‬‬

‫‪�3‬س ‪5 – 6 +‬‬

‫�إذا كان �س – ‪2‬‬

‫–‪�3‬س – ‪5 – 6‬‬

‫�إذا كان �س – ‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪199‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫د (�س) =‬

‫‪�3‬س ‪� 1 +‬إذا كان �س – ‪2‬‬ ‫– ‪�3‬س –‪� 11‬إذا كان �س – ‪2‬‬

‫اطراد الدالة ‪:‬‬

‫‪ 1‬في الفترة –‪،2‬‬ ‫د(�س) = ‪�3‬س ‪ 1 +‬دالة من الدرجة الأولى فيها معامل �س هو ‪0 3‬‬

‫‪ 2‬في الفترة – ‪2–،‬‬ ‫د(�س)= –‪�3‬س –‪ 11‬دالة من الدرجة الأولى فيها معامل �س هو – ‪0 3‬‬ ‫لر�سم الدالة نك ِّون الجدول التالي‪:‬‬ ‫�ص = ‪�3‬س ‪1 +‬‬

‫�س‬ ‫�ص‬

‫‪2‬‬‫‪5-‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫الدالة متزايدة في ‪،2-‬‬ ‫الدالة متناق�صة في ‪2-، -‬‬

‫‪4‬‬‫‪1‬‬

‫�ص = – ‪�3‬س – ‪11‬‬ ‫يو�ضح منحني الدالة‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 35-4‬‬

‫ال�شكل (‪)35- 4‬‬

‫والآن يمكننا الإفادة من مفهوم العمليات على الدوال لتحديد مجال دالة معطاة قابلة للتجزئة والمثال‬ ‫يو�ضح ذلك‪.‬‬ ‫التالي ِّ‬

‫مثال (‪)24-4‬‬ ‫�أوجد مجال كلٍّ من ‪3‬الدوال التالية ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪9 -‬‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫د‬ ‫د (�س) =‬ ‫�س ‪� -‬س‬ ‫�س ‪5 +‬‬

‫الحل‬

‫�س ‪7 +‬‬ ‫د (�س) =‬ ‫�س ‪1+‬‬

‫�س‬ ‫د(�س) = �س ‪ ،‬نفر�ض د‪�(1‬س) = �س‪ ، 3‬د‪�(2‬س) = �س ‪ ، 5 +‬فيكون‬ ‫‪5+‬‬ ‫د‪ 1‬مجالها هو ؛ لأنها كثيرة حدود‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫د‪ 2‬معرفة ب�شرط �س ‪0 5 +‬‬

‫‪200‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�س ‪5 -‬‬

‫مجال د‪[ ∞ ، 5 - [ = 2‬‬

‫‪2‬‬

‫العمليات على الدوال‬ ‫�س ‪0 = 5 +‬‬ ‫د‪�( 2‬س) = ‪0‬‬ ‫)‪،5- = 5- -‬‬ ‫‪،5‬‬‫مجال د = (‬ ‫< ماهو مجال الدالة د(�س) = �س‪� . 3‬س ‪ 5 +‬؟‬ ‫�س ‪0 = 5 +‬‬

‫�س = ‪5 -‬‬

‫�س ‪9 -‬‬ ‫د(�س) = �س ‪� -‬س ‪ ،‬بفر�ض د‪�(1‬س) = �س ‪ ، 9 -‬د‪�(2‬س) = �س ‪� -‬س ‪ ،‬ف� َّإن‬ ‫مجال د‪ ، = 1‬مجال د‪( = 2‬د‪�(2‬س) هي فرق بين دالة قيا�س و الدالة المحايدة ومجال ٍّ‬ ‫كل منهما )‬ ‫د‪�(2‬س) =‪� 0‬س – �س = ‪0‬‬ ‫)‪= ،0 -‬‬ ‫مجال د = (‬ ‫�س‪7 +2‬‬ ‫د‪1‬‬ ‫د(�س) =‬ ‫‪1+‬‬ ‫�س‬ ‫د‬ ‫‪2‬‬

‫�س = �س‬

‫د‪�(1‬س) = �س‪7 +2‬‬ ‫د‪�(2‬س) = �س ‪1 +‬‬

‫�س ‪0‬‬

‫–‬

‫د‪ 1‬معرفة ب�شرط � َّأن �س‪ 0 7 + 2‬وهذا متحقق �س‬ ‫مجال د‪ ( = 2‬لماذا؟ )‬

‫�س ‪0 = 1 +‬‬

‫د‪�(2‬س) = ‪0‬‬ ‫� ًإذا مجال د = ‪0 ، 1- -‬‬

‫�س = ‪1-‬‬

‫مجال د‪=1‬‬

‫‪� 1-‬س ‪0‬‬

‫تدريب (‪)17-4‬‬ ‫اقرن كل دالة من القائمة الأولى بمجالها في القائمة الثانية وذلك بكتابة رقم الدالة عن‬ ‫يمين مجالها‪:‬‬ ‫القائمة الأولى‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬د(�س) =‬ ‫�س‬ ‫‪ 2‬د(�س) = ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬د(�س) = �س‬

‫القائمة الثانية‬ ‫–‪0‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪،0‬‬ ‫– [ ‪[1، 0‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪201‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)25-4‬‬ ‫ار�سم منحني الدالة د(�س) = �س – ‪� + 2‬س ‪ ، 1 +‬ثم ا�ستفد من الر�سم في درا�سة اطراد الدالة على مجالها‪.‬‬

‫الحل‬

‫د(�س) = �س – ‪� + 2‬س ‪ 1 +‬دالة مجالها ؛ لأنها تم ِّثل مجموع دالتي قيا�س مجال ٍّ‬ ‫كل منهما ‪.‬‬ ‫نعيد تعريف الدالة د على خط الأعداد كما يلي ‪:‬‬ ‫�س – ‪2‬‬

‫�س ‪2 -‬‬

‫‪+‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬

‫‪+‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬

‫د (�س)‬

‫‪�2‬س ‪1 +‬‬

‫‪2‬‬ ‫�صفر‬

‫‪� - 2‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪� - 2‬س‬

‫‪+‬‬ ‫�صفر ‪� -‬س ‪1 -‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪� 2-1‬س‬

‫كل من العددين ‪ 2 ، 1-‬و� َّأن قيمة الدالة عند ٍّ‬ ‫( الحظ � َّأن الدالة يتغير تعريفها حول ٍّ‬ ‫كل منهما وهي ‪ 3‬الناتجة‬ ‫من التعوي�ض في القاعدة الأ�سا�سية د(�س) = �س – ‪� + 2‬س ‪ ، 1 +‬يمكن الح�صول عليها كذلك من‬ ‫القاعدة المج َّز�أة يمين وي�سار ٍّ‬ ‫كل من العددين )‬ ‫‪�2 - 1‬س �إذا كانت �س ‪1 -‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن ‪ :‬د(�س) = ‪3‬‬ ‫�إذا كانت ‪� 1 -‬س ‪2‬‬ ‫‪�2‬س ‪� 1 -‬إذا كانت �س ‪2‬‬ ‫(‬

‫�أنه يمكن االكتفاء بو�ضع عالقة الم�ساوة في �أحد المو�ضعين قبل �أو بعد العدد)‬

‫لر�سم الدالة كما في ال�شكل (‪ )26-4‬نك ِّون الجدول التالي‪:‬‬ ‫�ص = ‪�2 - 1‬س‬ ‫�ص = ‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�ص‬ ‫�ص = ‪3‬‬ ‫من ال�شكل (‪ )36-4‬نجد �أن‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫الدالة المتناق�صة ‪ 1- ، -‬وثابتة في ‪ 2، 1 -‬و متزايدة في ‪، 2‬‬

‫‪202‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ال�شكل (‪)36- 4‬‬

‫العمليات على الدوال‬

‫ثان ًيا – تركيب الدوال‬ ‫نع ِّرف فيما يلي عملية �أخرى على الدوال لي�س لها �شبيه في العمليات الجبرية الأربع ‪ ،‬ف�إذا كان لدينا – على‬ ‫�سبيل المثال – الدالتين ‪ :‬د (�س) = �س‪ ، 1 + 2‬د (�س) = �س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف� َّإن ‪ :‬د‪ ( 2‬د‪�(1‬س)) = د‪�(2‬س ‪� = )1 +‬س ‪1 +‬‬ ‫وهذا يعني � َّأن عملية التعوي�ض في د‪ 2‬عن المتغير بقيمة‬ ‫د‪�(1‬س) نتجت عنه دالة جديدة‪.‬‬ ‫ت�س َّمى هذه العملية بعملية تركيب الدالتين د‪ ، 1‬د‪ ،2‬وت�س َّمى‬ ‫الدالة الجديدة بدالة الدالة �أو الدالة المر َّكبة‪.‬‬

‫تعريف (‪)10 - 4‬‬

‫ل ِّأي دالتين د‪ ،1‬د‪ ،2‬ف� َّإن الدالة المركَّبة والتي رمزها د‪ 2‬د‪( 1‬ويقر�أ د‪ 2‬بعد د‪ )1‬تع َّرف بالقاعدة‬ ‫التالية‪( :‬د‪ 2‬د‪�( )1‬س) = د‪( 2‬د‪�( 1‬س))‬ ‫من ال�شكل ( ‪َّ � ) 37-3‬أن ‪:‬‬ ‫مجال (د‪ 2‬د‪� = )1‬س ‪� :‬س مجال د‪ ،1‬د‪�( 1‬س) مجال د‬

‫‪2‬‬

‫و�أنه �إذا كان مدى د‪ 1‬مجال د‪= 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫(كما في الدالتين ‪ :‬د‪�(1‬س) = �س ‪ ،‬د‪�(2‬س) = ‪�-‬س )‬

‫فلن يكون هناك وجود للدالة (د‪ 2‬د‪.)1‬‬

‫وفي الواقع �سنقت�صر في درا�ستنا على دوال قابلة للتركيب‬ ‫دون التطرق لمجال الدالة المركبة وذلك توخ ًّيا لل�سهولة‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)37- 4‬‬

‫مثال (‪)26-4‬‬

‫�إذا كانت د‪�(1‬س) = ‪�2‬س‪ ،3‬د‪�(2‬س) = ‪�4‬س ‪ ،‬ف�أوجد قاعدة ٍّ‬ ‫كل من الدالتين المركبتين د‪ ° 2‬د‪ ،1‬د‪ ° 1‬د‬

‫‪2‬‬

‫الحل‬

‫(د‪ 2‬د‪�( )1‬س) = د‪ ( 2‬د‪�(1‬س)) = د‪�2( 2‬س‪�2( 4 = )3‬س‪� 8 = )3‬س‬

‫‪3‬‬

‫(د‪ 1‬د‪�( )2‬س) = د‪ ( 1‬د‪�(2‬س)) = د‪�4( 1‬س ) = ‪�4( 2‬س )‪� 64 2 = 3‬س‪�128 = 3‬س‬

‫‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪203‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫نتيجة (‪)1-4‬‬ ‫من المثال ال�سابق نجد � َّأن (د‬ ‫لي�ست �إبدالية‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫د‪�( )1‬س) (د‬

‫‪1‬‬

‫د‪�( )2‬س) ‪ ،‬وهذا يعني � َّأن عملية تركيب دالتين‬

‫مثال (‪)27-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = �س ‪ ،‬هـ (�س) = ‪�5‬س ‪� ، 1 +‬أوجد (د هـ) (�س) ثم �أوجد (د هـ) (‪)3‬‬

‫الحل‬

‫‪2‬‬ ‫(د هـ) (�س) = د ( هـ (�س)) = د (‪�5‬س ‪= )1 +‬‬ ‫‪�5‬س ‪1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(د هـ) (‪8 16 1 3 5 = )3‬‬ ‫الحظ �أنه يمكن �إيجاد (د هـ) (‪ )3‬دون التعوي�ض بالقاعدة وذلك كما يلي ‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫(د هـ) (‪ = )3‬د (هـ (‪ = ))3‬د (‪ = )1 + 3 5‬د(‪8 = 16 = )16‬‬ ‫�أوجد (هـ ‪ 5‬د) (‪)3‬‬

‫مثال (‪)28-4‬‬ ‫�إذا كانت د (�س) = �س‪ ، 2‬هـ (�س) = ‪� 3‬س‪، 8 +2‬‬ ‫�أوجد ك ًّ‬ ‫ال من (هـ ‪ 5‬د) (�س) ‪( ،‬د ‪ 5‬هـ) (�س) ‪( ،‬د ‪ 5‬د) (�س)‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪( 1‬هـ ‪ 5‬د) (�س) = هـ (د (�س))= هـ (�س‪�(3 = )2‬س‪�3 = 8 +2)2‬س‪8 + 4‬‬ ‫‪( 2‬د ‪ 5‬هـ) (�س) = د (هـ (�س)) = د ( ‪�3‬س‪�3 ( = ) 8 + 2‬س‪�3 = 2) 8 + 2‬س‪8 +2‬‬ ‫‪( 3‬د ‪ 5‬د) (�س) = د (د (�س)) = د (�س‪�( = )2‬س‪� = 2)2‬س‬

‫‪4‬‬

‫‪204‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬ ‫ومن الجدير ذكره � َّأن عملية تركيب الدوال لها ارتباط وثيق ب�أحد المفاهيم المهمة في درا�سة الدوال والذي‬ ‫�سنقدمه فيما يلي‪:‬‬

‫الدالة العك�سية‬

‫‪1‬‬ ‫�إذا كانت لدينا الدالتان الأحاديتان ‪ :‬د (�س) = ‪�2‬س ‪ ،‬هـ (�س) = ‪� 2‬س ف� َّإن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 1‬د هـ) (�س) = د (هـ (�س)) = د ( ‪� 2‬س ) = ‪� 2 (2‬س ) = �س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 2‬هـ د) (�س) = هـ (د (�س)) = هـ ( ‪�2‬س ) = ‪�2 ( 2‬س ) = �س‬

‫الدالة المحايدة‬

‫�أي � َّأن (د هـ) (�س) = (هـ د) (�س) = �س‬ ‫نقول � َّإن ك ًّال من الدالتين د ‪ ،‬هـ دالة عك�سية للأخرى ‪.‬‬

‫تعريف (‪)11 - 4‬‬

‫الدالة العك�سية للدالة الأحادية د التي مجالها ومداها هي الدالة هـ التي مجالها‬ ‫ومداها �إذا وفقط �إذا كان ‪( :‬د هـ) = (هـ د) (�س) = �س‬

‫يرمـز للدالة العك�سية للدالة د بالرمـز د‬ ‫� َّأن العدد (‪ )1-‬في الرمز د‪ 1-‬لي�س �أُ�سـًّا و�إنما هو رمزليدل‬ ‫‪1‬‬ ‫على الدالة العك�سية ( د‪ 1-‬د )‬ ‫مثال (‪)29-4‬‬ ‫‪1-‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = ‪�2‬س ‪ ، 3 +‬هـ (�س) = ‪� 2‬س ‪ ، 2 -‬ف�أثبت �أ َّن ك ًّ‬ ‫ال‬ ‫من د ‪ ،‬هـ دالة عك�سية للأخرى‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(د هـ) (�س) = د (هـ (�س)) = د ( �س ‪� (2 = ) -‬س‬ ‫‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ــــــــ‬ ‫ــــــــ‬ ‫(هـ د) (�س) = هـ (د (�س)) = هـ ( ‪�2‬س ‪�2 ( 2 = ) 3 +‬س ‪� = 2 - ) 3 +‬س‬ ‫ك ًّال من د ‪ ،‬هـ دالة عك�سية للأخرى ‪.‬‬

‫) ‪� = 3 +‬س‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪205‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫وفي الواقع � َّإن ك ًّال من د ‪ ،‬هـ في المثال ال�سابق هي دالة من الدرجة الأولى �أي �أنها دالة �أحادية ‪.‬‬ ‫و�إذا م َّثلنا ك ًّال من هاتين الدالتين ( �أي د ‪ ،‬د‪ ) 1-‬و الدالة المحايدة �ص = �س على ال�شكل نف�سه ( ‪) 38-4‬‬

‫ال�شكل (‪)38- 4‬‬

‫نجد � َّأن ك ًّال من منحنيي الدالتين د ‪ ،‬د‪ 1-‬متناظران حول الم�ستقيم �ص = �س ‪ ،‬و� َّأن كل نقطة‬ ‫( �س ‪� ،‬ص ) واقعة على منحني د يناظرها نقطة ( �ص ‪� ،‬س ) تقع على منحني د‪.1-‬‬ ‫وذلك يرجع �إلى �أنه �إذا كان د(�س) = �ص ف�إن َّ د‪�(1-‬ص) = �س‬ ‫د‬ ‫س‬

‫ص‬ ‫د‬

‫‪1-‬‬

‫و عا َّمة الأمر ‪:‬‬ ‫منحنيا الدالتين د(�س) ‪ ،‬د‪�(1-‬س) متناظران حول الم�ستقيم �ص = �س‬

‫‪206‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬

‫كيفية �إيجاد الدالة العك�سية‬ ‫مما �سبق نجد �أنه يمكن �إيجاد قاعدة د‪ 1-‬من قاعدة د وذلك بالتبديل بين �س ‪� ،‬ص ثم التعبير عن �ص بداللة �س‬ ‫د(�س) = ‪�2‬س ‪3 +‬‬ ‫ففي المثال ال�سابق‪:‬‬ ‫�ص = ‪�2‬س ‪3 +‬‬ ‫وبالتبديل بين �س ‪� ،‬ص يكون ‪� :‬س = ‪�2‬ص ‪3 +‬‬ ‫�س ‪3-‬‬ ‫�ص = ‪ ( 2‬التعبير عن �ص بداللة �س )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أي � َّأن ‪ :‬د‪�(1-‬س) = �س‬ ‫‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال (‪)30-4‬‬

‫�إذا كانت د(�س) = ‪�4‬س – ‪ 1‬ف�أوجد د‪�(1-‬س)‬

‫الحل‬

‫د(�س) = ‪�4‬س – ‪1‬‬

‫�ص = ‪�4‬س ‪1 -‬‬

‫وبالتبديل بين �س ‪� ،‬ص يكون ‪� :‬س = ‪�4‬ص ‪1 -‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫�ص = ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪4‬‬ ‫�أي � َّأن د (�س) = ‪4‬‬

‫نتيجة (‪)2-4‬‬

‫�إذا كانت د(�س) = �س ‪ +‬ب ‪0 ≠ ،‬‬ ‫ف�إن د‪�(1-‬س) = �س ‪ -‬ب‬

‫د‬ ‫�س‬ ‫ضرب ثم جمع‬ ‫س‬

‫د‬

‫�س ‪ +‬ب‬

‫‪1-‬‬

‫طرح ثم قسمة‬

‫�س ‪ -‬ب‬

‫�أثبت �صحة هذه النتيجة ‪ ،‬ثم ا�ستخدمها في �إيجاد د‪�(1-‬س) في المثال ال�سابق ‪.‬‬

‫تدريب (‪)18-4‬‬

‫‪9‬‬ ‫�إذا كانت الدالة د (�س) = ‪� 5‬س ‪ 32 +‬تع ِّبر عن القيا�س الفهرنهايتي للحرارة‬ ‫بداللة القيا�س المئوي ( ال�سليلوزي ) ‪ ،‬ف�أوجد قاعدة الدالة العك�سية د‪.1-‬‬ ‫( ع َّما تع ِّبر هذه الدالة العك�سية ؟ )‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪207‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫(‪)7-4‬‬ ‫يت�ضح من التعريف ( ‪� ) 11-4‬أنه �إذا لم تكن الدالة �أحادية ف�إنه لن‬ ‫يكون لها دالة عك�سية ‪ ،‬فمث ً‬ ‫ال ‪:‬‬ ‫الدالة التربيعية المعرفة على لي�س لها دالة عك�سية‪.‬‬ ‫انظر �شكل ( ‪ ) 39-4‬والحظ � َّأن �صورة منحني الدالة �ص = �س‬

‫‪2‬‬

‫ال�شكل (‪)39- 4‬‬

‫بالتناظر حول الم�ستقيم �ص = �س هو المنحني �س = �ص‪ 2‬الذي ال يمثل‬ ‫دالة ‪.‬‬ ‫ونود �أن ن�شير هنا �إلى �أننا �إذا �أخذنا د (�س) = �س‪ 2‬في ‪ ، 0‬و التي مداها هو ‪، ، 0‬‬ ‫والدالة هـ (�س) = �س و التي مجالها و مداها كذلك ‪ ، 0‬ف�سنجد � َّأن هـ = د‪ 1-‬ل َّأن ‪:‬‬ ‫(د هـ) (�س) = د (هـ (�س)) = د( �س ) = ( �س )‪� = 2‬س‬ ‫(هـ د) (�س) = هـ (د (�س)) = هـ ( �س‪� ( = )2‬س‪� = ) 2‬س = �س ( لماذا؟ )‬

‫تدريب (‪)19-4‬‬ ‫يمكننا هند�س ًّيا تبرير � َّأن د = د‪ 1-‬في التدريب ال�سابق و ذلك بالعودة �إلى �شكل ( ‪ ) 27-4‬والذي‬ ‫‪1‬‬ ‫يو�ضح تناظر الدالة د (�س) = �س حول الم�ستقيم �ص = �س‬ ‫ِّ‬

‫‪208‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬

‫تمارين (‪)3-4‬‬ ‫د‪1‬‬ ‫حدد مجال كلٍّ منها‪:‬‬ ‫‪ 1‬في كلٍّ مما يلي �أوجد الدوال ‪ :‬د‪ + 1‬د‪ ، 2‬د‪ – 1‬د‪ ، 2‬د‪ . 1‬د‪ ، 2‬د ثم ِّ‬ ‫‪2‬‬ ‫د‪�(1‬س) = �س – ‪ ، 1‬د‪�(2‬س) = ‪�2‬س‪3 +2‬‬ ‫‪�4‬س‬ ‫‪�2‬س ‪5 +‬‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫د‬ ‫‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث‬ ‫د‪�(1‬س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪�3‬س‪2-‬‬ ‫‪�3‬س‪2-‬‬ ‫د‪ 1‬د‪2‬‬ ‫حدد مجال كلٍّ منها‪:‬‬ ‫ثم‬ ‫‪ 2‬في كلٍّ مما يلي �أوجد الدوال ‪ :‬د‪ . 1‬د‪، ، 2‬‬ ‫ِّ‬ ‫د‪ 2‬د‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د‪�(1‬س) = �س ‪ ، 1 +‬د‪�(2‬س) = �س‬ ‫‪� -4‬س‪2‬‬ ‫د‪�(1‬س) = �س ‪ ،‬د‪�(2‬س) =‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = ‪�3‬س ‪ ( ، 1 +‬د ‪ +‬هـ )(�س)‬ ‫�س ‪2 – 6 = 1 +‬‬ ‫‪ 1‬د‬ ‫�إذا كانت د(�س) = �س ‪ ،‬هـ (�س) = �س‪� 2‬س ‪ ،‬ف�أوجد هـ (�س) ‪.‬‬ ‫‬‫�إذا كانت د(�س) = ‪�5‬س ‪� +‬س‪ ، 2‬هـ (‪( ، 3 = )1‬د ‪ .‬هـ)(‪ ، 12 = )1‬ف�أوجد قيمة ‪.‬‬ ‫�إذا كانت د(�س) = ‪� + 6‬س ‪ ،‬هـ (�س) = �س‪�( ، 4 – 2‬س) = �س ‪، 1-‬‬ ‫�س ‪ ،‬ف�أوجد هـ (�س) ‪.‬‬

‫�أوجد قيمة �إذا علمت � َّأن جذر الدالة د هو ‪.3‬‬ ‫�أوجد قاعدة الدالة د ‪ .‬هـ ‪ ،‬ثم اح�سب (د ‪ .‬هـ) ( ‪. ) 4-‬‬ ‫د ‪ +‬هـ‬ ‫حدد مجالها‪.‬‬ ‫�أوجد قاعدة الدالة‬ ‫‪ ،‬ثم ِّ‬ ‫‪� 7‬أوجد مجال كلٍّ من الدوال الآتية ‪:‬‬ ‫د(�س) = ( �س‪�5 + 3‬س ) ‪�2‬س‪6-‬‬

‫‪� -5‬س‬ ‫د(�س) =‬ ‫�س‬ ‫‪5-‬‬

‫‪2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪209‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�س‪1 -3‬‬ ‫د(�س) =‬ ‫�س‪2+1+‬‬

‫د د (�س) =‬

‫‪�2‬س‪1-3‬‬ ‫هـ د(�س) =‬ ‫‪� 2 -6‬س‬

‫�س‪9 +‬‬ ‫�س ‪� +‬س‬

‫و د (�س) = �س‪�3-2‬س ‪� - 4+‬س‬

‫‪ 8‬في كلٍّ مما يلي �أوجد مجال الدالة ثم ار�سم منحنيها ومن الر�سم ع ِّين مداها و ادر�س‬ ‫وحدد ما�إذا كانت �أحادية �أم ال‪.‬‬ ‫اطرادها ِّ‬ ‫د (�س) = �س ‪4 +‬‬ ‫د (�س) = �س �س‬ ‫د (�س) = �س ‪� + 1 -‬س ‪3 +‬‬ ‫د د (�س) = �س ‪� - 1 -‬س ‪3 -‬‬ ‫هـ د (�س) = �س ‪� +‬س حيث ‪� 2 -‬س ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و د (�س) = �س حيث �س ‪0‬‬ ‫ز د (�س) = ‪� 2‬س‬ ‫‪ 9‬في كلٍّ مما يلي �أوجد ‪ :‬د هـ ‪ ،‬هـ د ‪ ،‬د د ‪ ،‬هـ هـ‬ ‫د(�س) = �س ‪ ، 1 +‬هـ (�س) = �س‪4 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د(�س) = ‪�3‬س‬ ‫‪ ،‬هـ (�س) = �س‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫د(�س) = ‪ ، 2 +‬هـ (�س) = �س ‪1-‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫هـ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪� 10‬إذا كانت د(�س) =‬ ‫�س‬ ‫�س ‪3+‬‬ ‫�أوجد ( هـ ‪ °‬د ) (�س) ‪ ( ،‬هـ ‪ °‬د ) (‪) 2-‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫�أوجد ( د ‪ °‬هـ ) (‪ ( ، )2‬هـ ‪ °‬هـ ) ( ‪) 2‬‬ ‫‪ 11‬فيما يلي ب ِّين � َّأن ك ًًّال من د(�س) ‪ ،‬هـ (�س) دالة عك�سية للأخرى ‪.‬‬

‫‪210‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫العمليات على الدوال‬ ‫‪� - 9‬س‬ ‫د (�س) = ‪�4 – 9‬س ‪ ،‬هـ (�س) = ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د (�س) = ‪�3‬س ‪ ، 4 +‬هـ (�س) = ‪� ( 3‬س ‪) 4 -‬‬ ‫�س‬

‫د (�س) = ‪�4‬س ‪ ، 8 -‬هـ (�س) = ‪2 + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د د (�س) = �س ‪ ،‬هـ (�س) = �س ‪2 +‬‬ ‫‪2‬‬‫‪� 12‬أوجد الدالة العك�سية لكلٍّ من الدوال الآتية ‪:‬‬ ‫�س ‪4-‬‬ ‫د(�س) = ‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫د(�س) = ‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫د د(�س) = ‪�2 - 2‬س‬ ‫د(�س) = ‪3 - 1‬‬ ‫‪13‬‬

‫�أثبت � َّأن الدالة العك�سية للدالة د(�س) = ‪� - 4‬س هي الدالة د(�س) نف�سها ثم ب ِّرر ذلك هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫�أثبت � َّأن الدالة العك�سية للدالة د(�س) = ب ‪� -‬س هي د(�س) نف�سها‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪211‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪4-4‬‬

‫الدوال المت�سامية ‪Transcendental Functions‬‬ ‫الدالة المت�سامية هي دالة حقيقية غير جبرية �أي �أنه ال يكفي لح�ساب � ٍّأي من قيمها �إجراء العمليات‬ ‫الجبرية على متغيرها‪ .‬وفي هذا البند نتعرف �أهم هذه الدوال ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫الدالة الأ�سية‬

‫�سبق لنا درا�سة الأ�س�س وخوا�صها ‪ ،‬وفيما يلي ندر�س الدالة الأ�سية والتي ُي�ستند �إليها في حل الكثير من‬ ‫الم�سائل في الفيزياء والأحياء والعلوم الأخرى ‪.‬‬ ‫فالدالة الأ�سية تدخل بكثرة في العالقات التي ت�صف الظواهر الطبيعية مثل ‪ :‬توقعات النمو ال�سكاني في‬ ‫بلد ما ومتابعة الن�شاط الكيميائي �أو الإ�شعاعي في التجارب العملية ‪.‬‬

‫تعريف (‪)12-4‬‬

‫الدالة العك�سية هي الدالة التي يكون فيها المتغير �أُ�سـ ـ ًا‪.‬‬

‫ومن الأمثلة على الدالة الأ�سية الدوال التالية ‪:‬‬ ‫د ( �س ) = ‪�2‬س ‬ ‫د ( �س ) = ‪3‬‬

‫‪� 2‬س ‪1 +‬‬

‫ ‬ ‫‪،‬‬

‫د ( �س ) = ‪10‬‬ ‫‪� 3‬س‬ ‫د ( �س ) = ( ‪) 5‬‬ ‫‪�-‬س‬

‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫ ‬

‫�أب�سط �صورة للدالة الأ�سية‬ ‫�س‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫لأن‬

‫‪0‬‬ ‫=‪1‬‬

‫�س‬

‫س‬

‫لي�س له معنى لبع�ض قيم �س ( لماذا؟ )‬ ‫�س‬

‫=‪1‬‬

‫هناك فرق بين الدالة الأ�سية د ( �س ) =‬

‫‪212‬‬

‫األسا‬

‫‪1 ≠ ، 0‬؛‬

‫وهذه دالة ثابتة ال تندرج في درا�سة الدالة الأ�سية ‪.‬‬

‫مجال هذه الدالة =‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫د(س) =‬

‫س‬

‫‪+‬‬

‫– ‪1‬‬ ‫حيث‬ ‫قاعدتـها ‪ :‬د ( �س ) =‬ ‫وهذا يعني � َّأن الدالة الأ�سية للأ�سا�س مع َّرفة لقيم‬ ‫�س‬

‫األس‬

‫�س‬

‫والدالة د ( �س ) = �س والتي تُعرف بدالة القوة ‪.‬‬

‫الدوال المت�سامية‬

‫التمثيل البياني للدالة الأ�سية‬ ‫يمكننا التعرف على المنحني البياني للدالة الأ�سية للأ�سا�س من خالل المثال والتدريب التاليين ‪:‬‬

‫مثال (‪)31-4‬‬ ‫ار�سم منحني ٍّ‬ ‫كل من الدالتين‪:‬‬

‫‪ 2‬د ( �س ) = ( ‪) 12‬‬

‫�س‬ ‫ ‬ ‫‪ 1‬د ( �س ) = ‪2‬‬

‫الحل‬

‫�س‬

‫‪ 2‬لر�سم الدالة �ص = ( ‪) 12‬‬

‫�س‬

‫�س‬ ‫‪ 1‬لر�سم الدالة �ص = ‪ 2‬‬

‫نك ِّون الجدول التالي ( باختيار قيم منا�سبة لـِ �س ‬

‫نك ِّون الجدول التالي ‪:‬‬

‫وح�ساب قيم �ص المناظرة )‬ ‫�س‬ ‫�ص=‪2‬‬

‫�س‬

‫‪3-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫�ص=( ‪) 12‬‬

‫‪0.5 0.25 0.125‬‬

‫‪1- 2- 3‬‬‫�س‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪0.125 0.25 0.5‬‬

‫وال�شكل (‪ِّ )40-4‬‬ ‫يو�ضح التمثيل البياني لهذه الدالة ‪ .‬وال�شكل (‪ِّ )41-4‬‬ ‫يو�ضح التمثيل البياني لهذه الدالة ‪.‬‬

‫ال�شكل (‪)41- 4‬‬

‫ال�شكل (‪)40- 4‬‬

‫تدريب (‪)20-4‬‬ ‫م ِّثل بيان ًّيا ك ًّال من الدالتين الأ�سيتين ‪:‬‬ ‫‪� 1‬ص = ‪�3‬س ‬

‫‪1‬‬ ‫‪� 2‬ص = ( ‪) 3‬‬

‫�س‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪213‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫�س‬

‫مـ َّما �سبق ن�ستنتج � َّأن التمثيل البياني للدالة الأ�سية د ( �س ) = يكون كما في ال�شكل ( ‪. ) 42-3‬‬

‫ال�شكل (‪)42- 4‬‬ ‫�س‬

‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 42-4‬ن�ستنتج الخوا�ص التالية للدالة الأ�سية د ( �س ) =‬ ‫‪ 1‬مدى الدالة =‬

‫‪+‬‬

‫وهذا يعني � َّأن‬

‫‪ 2‬الدالة متزايدة في حالة‬ ‫�أحادية‪.‬‬

‫�س‬

‫‪� 0‬س‬

‫‪� ،‬أي � َّأن الدالة موجبة دائ ًما‪.‬‬

‫‪ 1‬بينما هي دالة متناق�صة في حالة ‪0‬‬

‫‪ 3‬المنحني البياني للدالة يـمر بالنقطتين ( ‪ ) ، 1 ( ، ) 1 ، 0‬ل َّأن‬

‫‪0‬‬

‫‪ 1‬وهذا يعني �أنـها دالة‬ ‫‪1‬‬

‫=‪= ،1‬‬

‫‪ 4‬يقترب منحني الدالة من مـحور ال�سينات ( ولكنه ال يقطعه �إطال ًقا ل َّأن‬

‫�س‬

‫‪)0‬‬

‫(‪)8-4‬‬ ‫‪ 1‬يمكن ا�ستخدام المنحني البياني للدالة الأ�سية د ( �س ) =‬

‫�س‬

‫لإيـجاد قيم تقريبية لـجذور ُ�صم‬ ‫�س‬

‫بدون‬ ‫ا�ستخدام الآلة – فمث ًال – من ال�شكل ( ‪ ) 40-4‬المم ِّثل للدالة د ( �س ) = ‪ 2‬يتــ�ضـ ــح � ّأن َ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ = 2 2 = 2‬د ( ‪1.4 ) 2‬‬

‫‪ 2‬د(�س) =‬

‫‪� -‬س‬

‫تع ُّد دالة �أ�سية في �أب�سط �صورة �أ�سا�سها‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫فمث ًال ‪ :‬د ( �س ) = ‪ -2‬يمكن كتابتها على ال�صورة د ( �س ) = ( ‪) 2‬‬

‫�س‬

‫كما � َّأن د ( �س ) =‬

‫ن �س‬

‫ن‬

‫– ‪0‬‬

‫تع ُّد دالة �أ�سية في �أب�سط �صورة �أ�سا�سها حيث ن‬

‫فمث ًال‪ :‬د (�س) = ( ‪�2 ) 2‬س= يمكن كتابتها على ال�صورة د (�س) = ‪2‬‬

‫�س‬

‫‪214‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال المت�سامية‬ ‫مثال (‪)32-4‬‬ ‫�أوجد مـجال الدالة د ( �س ) = ‪� 2‬س ‪ ، 1 +‬ثم ار�سم منحنيها وادر�س اطرادها ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫(الحظ � َّأن د ( �س ) = ‪�2 2‬س )‬

‫مـجال الدالة =‬

‫نر�سم الدالة كما في ال�شكل ( ‪ ) 43-4‬بتكوين الجدول التالي ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪1 +‬‬

‫�ص=‪2‬‬

‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 43-4‬نـجد � َّأن الدالة متزايدة على‬

‫�شكل ( ‪) 43-4‬‬

‫الدالة الأ�سية الطبيعية‬ ‫� َّإن م���ن �أه���م الدوال الأ�س���ية الدالة الأ�س���ية للأ�س���ا�س غي���ر الن�س���بي ﻫ ‪ 2.7182818‬وت�س��� َّمى هذه الدالة‬ ‫والتي قاعدتـها د (�س)=ﻫ �س بالدالة الأ�س���يةالطبيعية لمالـها من �أهمية بالغة في و�ص���ف الكثير من الظواهر‬ ‫الطبيعية‪ ،‬وغال ًبا ما ي�شار �إليها بالعبارة " الدالة الأ�سية "‪.‬‬ ‫مكتوب �أعاله الرمز ‪ ex‬والذي يعني ﻫ �س حيث الحرف ‪e‬‬ ‫وفي الواقع يوجـد فــي الآل ــة الحا�سبة العلميـة مفتاح‬ ‫ٌ‬ ‫هو اخت�صار لـِ ‪ Exponential Function‬ومعناها دالة �أ�سية ‪ ،‬وي�ستخدم هذا المفتاح لإيـجاد قيمة‬ ‫الدالة الأ�سية عند � ِّأي قيمة لمتغيرها وذلك كعملية غير �أ�سا�سية في الآلة فمث ًال ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫التوالي‬ ‫على‬ ‫آتية‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫المفاتيح‬ ‫ن�ستخدم‬ ‫لإيـجاد ﻫ‬ ‫‪SHIFT‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2.718281828‬‬ ‫وهذه هي القيمة التقريبية ل ـ ـِ ﻫ في الآلة‪.‬‬

‫تدريب (‪)21-4‬‬ ‫�أوجد با�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة الدالة د ( �س ) = ﻫ �س عند ٍّ‬ ‫كل من �س = ‪� ، 3‬س = – ‪2.5‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪215‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫‪2‬‬

‫الدالة اللوغاريتمية‬ ‫�س‬

‫عرفت �س���ابقًا � َّأن لل�ص���ورة الأ�س���ية �ص = �ص���ورة مكافئة تم ِّكننا من الـح�صول على قيمة الأ�س �س �إذا‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س = لو �ص‬ ‫�أي � َّأن �ص =‬ ‫ُعلم ك ٌّل من ‪� ،‬ص وهي ال�صورة اللوغاريتمية �س=لو �ص ‪� ،‬ص‬ ‫‪ ،‬و�سنتعرف فيما يلي على الدالة اللوغاريتمية وعالقتها بالدالة الأ�سية‪.‬‬

‫�أب�سط �صورة للدالة اللوغاريتمية‬ ‫‪+‬‬

‫قاعدتـها ‪ :‬د ( �س ) = لو �س حيث‬ ‫وبما � َّأن �ص = لو �س‬ ‫ف� َّإن مجال الدالة =‬

‫�س =‬ ‫‪+‬‬

‫– ‪1‬‬

‫�ص‬

‫( وهذا يتفق مع مفهوم اللوغاريتم ) ‪ ،‬ومداها =‬

‫التمثيل البياني للدالة‬ ‫�سنم ِّثل الدالة اللوغاريتمية وندر�س خوا�صها في الحالة التي يكون فيها الأ�سا�س‬

‫‪1‬‬

‫مثال (‪)33-4‬‬ ‫ار�سم المنحني البياني للدالة د ( �س ) = لو‪� 2‬س‬

‫الحل‬

‫لر�سم المنحني �ص = لو‪�2‬س نك ِّون الجدول الآتي‬ ‫باختيار قيم منا�سبة ل ـ ـِ �س وح�ساب قيم �ص المناظرة ‪.‬‬ ‫�س‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8 4‬‬

‫�ص = لو‪�2‬س ‪0 1- 2- 3-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3 2‬‬

‫يو�ضح المنحني البياني لـهذه الدالة ‪.‬‬ ‫وال�شكل ( ‪ِّ ) 44-4‬‬

‫‪216‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�شكل ( ‪) 44-4‬‬

‫الدوال المت�سامية‬ ‫�إذا ر�س���ـمنا على ال�ش���كل نف�س���ه منحني الدالة الأ�س���ية �ص = ‪� 2‬سومنحني‬ ‫الدالة اللوغاريتمية �ص = لو‪�2‬س كما في ال�شكل ( ‪) 45-4‬‬ ‫نـجد � َّأن منحنيي الدالتين متناظران حول الم�ستقيم �ص = �س ‪.‬‬ ‫وعامة الأمر ‪:‬‬

‫�شكل ( ‪) 45-4‬‬ ‫�س‬

‫� َّإن منحنيي الدالتين د‪� ( 1‬س ) = ‪ ،‬د‪� ( 2‬س ) = لو �س حيث‬

‫‪1‬‬

‫متناظران حول الم�ستقيم �ص=�س ‪ ،‬وذلك يرجع �إلى � َّأن ك ًّال منهما دالة عك�سية للأخرى ؛‬ ‫حيث‬

‫( د‪ 1‬د‪� ( ) 2‬س ) = د‪ ( 1‬د‪� ( 2‬س ) ) = د‪ ( 1‬لو �س ) =‬ ‫�س‬

‫(د‪ 1‬د‪� ( ) 2‬س ) = د‪ ( 2‬د‪� ( 1‬س ) ) = د‪ = ) (2‬لو‬

‫وعليه ف� َّإن التمثيل البياني للدالة د ( �س ) = لو �س حيث‬

‫لو �س‬

‫�س‬

‫= �س‬

‫= �س‬

‫‪1‬‬

‫يكون كما بال�شكل ( ‪. ) 46-4‬‬ ‫لو �س ‪ ( 0‬الدالة �سالبة ) �إذا كان ‪� 0‬س ‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ ‬ ‫لو �س ‪ ( 0‬الدالة موجبة ) �إذا كان �س ‪1‬‬ ‫لو �س =‪� ( 0‬صفر الدالة ) �إذا كان �س = ‪1‬‬

‫‪ 2‬الدالة متزايدة على مـجالـها ‪ ،‬وهذا يعني �أنـها دالة �أحادية ‪.‬‬

‫�شكل ( ‪) 46-4‬‬

‫‪ 3‬المنحني البياني للدالة يـمر بالنقطتين ( ‪ ) 1 ، ( ، ) 0 ، 1‬؛ ل َّأن لو ‪ ، 0 = 1‬لو = ‪. 1‬‬ ‫‪ 4‬منحني الدالة يقترب من المـحور ال�صادي ولكنه ال يقطعه �إطال ًقا ( لماذا ؟ ) ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪217‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫الدالة اللوغاريتمية الطبيعية‬

‫� َّإن الدالة العك�سية للدالة الأ�سية الطبيعية هي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية وقاعدتـها د ( �س ) = لوﻫ�س ‪،‬‬ ‫ولـهذه الدالة من الأهمية مثل ما للدالة الأ�سية الطبيعية‪.‬‬ ‫ويـمكن ح�ساب قيمة هذه الدالة عند � ِّأي قيمة لـِ �س با�ستخدام الآلة الحا�سبة العلميــة كعملـيــة �أ�سا�سيـ ـ ــة ‪،‬‬ ‫�إذ يوجد في الآلة مفتاح مك ـتـوب علي ــه الرمــز ‪ ln‬والــذي يعن ــي لوﻫ �س حي ــث الرم ــز ‪ ln‬هــو اختــ�صــار‬ ‫‪ Natural Logarithmic Function‬فمث ًال ‪ :‬لإيـجاد لوﻫ‪ 68‬ن�ستخدم المفاتيح الآتية على‬ ‫التوالي ‪:‬‬ ‫‪4.219507705‬‬

‫=‬

‫‪ln‬‬

‫‪68‬‬

‫�أي � َّأن لوﻫ‪4.22 68‬‬ ‫< با�ستخدام الآلة الحا�سبة تـحقق من � َّأن لوﻫ ﻫ = ‪1‬‬

‫مثال (‪)34-4‬‬ ‫‪� 3‬س‬

‫�إذا كانت د ( �س ) = ﻫ‬

‫ف�أوجد قيمة �س التي تجعل د ( �س ) = ‪0.95‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫د ( �س ) =‪0.95‬‬

‫ﻫ‪� 3‬س = ‪0.95‬‬

‫‪� 3‬س = لوﻫ ‪0.95‬‬

‫لوﻫ‪0.95‬‬ ‫�س = ‪3‬‬

‫مثال (‪)35-4‬‬ ‫�أوجد مـجال ٍّ‬ ‫كل من الدوال اللوغاريتمية التالية ‪:‬‬ ‫‪ 2‬لو‪� ( 7‬س‪) 1 – 2‬‬ ‫‪ 1‬د ( �س ) = لوﻫ ( �س – ‪ ) 3‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪ 1‬الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س ‪ ( 0 3 -‬لـماذا ؟ ) وهذا يعني � َّأن �س ‪3‬‬ ‫� ًإذا مـجال الدالة = ‪، 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪1 2‬‬ ‫‪ 2‬الدالة مع َّرفة ب�شرط � َّأن �س‪0 1 - 2‬‬ ‫�س ‪� 1‬أو �س‬

‫‪1-‬‬

‫� ًإذا مـجال الدالة = ‪1- ، -‬‬

‫‪218‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪،1‬‬

‫‪0.02-‬‬

‫الدوال المت�سامية‬ ‫‪3‬‬

‫الدوال المثلثية‬

‫عرفنا �س���ابقًا الدوال المثلثية ‪ ،‬و ِلما لـهذه الدوال من �أهمية في درا�س���ة التفا�ضل م�ستقب ًال ‪ ،‬والذي يدخل بدوره‬ ‫في درا�سة تطبيقات كثيرة كدرا�سة ال�صوت والحركة والظواهر الكهرومغناطي�سية ؛ لذا نذ ِّكر هنا بـهذه الدوال‬ ‫ون�ستكمل درا�سة خوا�صها متناولين الدالتين الأ�سا�سيتين ‪ :‬دالة الـجيب ودالة جيب التمام ب�شيء من التف�صيل‪.‬‬

‫دالة الـجيب‬

‫قاعدتـها ‪ :‬د ( �س ) = جا �س ‪ ،‬مـجالـها =‬ ‫�س‬ ‫‪ ،‬ف� َّإن مدى دالة الـجيب = ‪1 ، 1 -‬‬ ‫وحيث � َّأن ‪ 1-‬جا �س ‪1‬‬ ‫ما هي القيمة العظمى والقيمة ال�صغرى لـهذه الدالة ؟‬ ‫�أ َّما �إ�شارة دالة الـجيب فهي تتحدد تب ًعا للربع الذي تقع فيه الزاوية �س ‪،‬‬ ‫جا �س موجبة �إذا كانت �س تقع في الربع الأول �أو الثاني‪.‬‬ ‫فتكون‬ ‫جا �س �سالبة �إذا كانت �س تقع في الربع الثالث �أو الرابع‪.‬‬

‫التمثيل البياني لدالة الـجيب‬

‫‪،‬‬ ‫‪ ،‬ن‬ ‫حيث � َّأن جا �س = جا ( �س ‪2 +‬ن ط ) �س‬ ‫ف���� َّإن دال���ة الـجيب تكرر نف�س���ـها كل فـت���رة طولـها ‪2‬ط ؛لذا ف�إن���ه لتمثيلها نـم ِّثل جـز ًءا م���ن منحـنيها في الفـترة‬ ‫‪2 ، 0‬ط بالإف���ادة م���ن نق���اط الـجدول ( ‪ ) 1-4‬ث َّـم بتكرار ر�س���م هذا الـجزء مر ًة تلو الأخرى نـح�ص���ل على‬ ‫منحني دالة الـجيب ‪ ،‬كما في ال�شكل ( ‪. ) 47-4‬‬ ‫�س‬ ‫جا �س‬

‫‪0‬‬

‫ط‬ ‫‪6‬‬

‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫ط‬

‫‪7‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪11‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬ط‬

‫‪°0‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪°60‬‬

‫‪°90‬‬

‫‪°120‬‬

‫‪°150‬‬

‫‪°180‬‬

‫‪°210‬‬

‫‪°240‬‬

‫‪°270‬‬

‫‪°300‬‬

‫‪°330‬‬

‫‪°360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5-‬‬

‫‪0.87-‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪0.87-‬‬

‫‪0.5-‬‬

‫‪0‬‬

‫جدول ( ‪) 1-4‬‬

‫�شكل ( ‪) 47-4‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪219‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫ومن الجدير بالذكر � َّأن الدالة التي ُير�سم منحنيها بتكرار جزء معين منه مر ًة تلو الأخرى ت�س َّمى دالة دورية‬ ‫وي�س��� َّمى �أ�ص���غر طول فترة يتكرر بـها منحني الدالة دورة الدالة‪ .‬وعليه ف� َّإن دالة الـجيب د ( �س ) = جا �س‬ ‫هي دالة دورية ودورتـها ‪2‬ط ‪.‬‬ ‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 47-4‬نـجد � َّأن ‪:‬‬ ‫‪ 1‬دالة الـجيب دالة مـحدودة على مـجالـها ( لـماذا ؟ )‬ ‫‪ 2‬د ( �س ) = جا �س متزايدة في الفترات ‪:‬‬ ‫‪5- ، ...‬ط ‪3- ،‬ط ‪- [ ،‬ط ‪ ،‬ط ‪3 [ ،‬ط‬ ‫‪5‬ط ‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومتناق�صة في الفترات ‪:‬‬ ‫‪7- ، ...‬ط ‪52 - ،‬ط ‪� ( ... ، ............ ، ............ ، ............ ،‬أكمل الفراغ )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬الدالة متناظرة حول نقطة الأ�صل ؛ �أي �أنـها دالة فردية‪.‬‬ ‫ويـمكن التحقق من ذلك جبر ًّيا بالـخا�صية التالية لدالة الـجيب ‪:‬‬ ‫�س‬ ‫ ‬ ‫جا ( ‪� -‬س ) = ‪ -‬جا �س‬

‫دالة جيب التمـام‬

‫مـجالـها =‬ ‫قاعدتـها ‪ :‬د ( �س ) = جتا �س ‪،‬‬ ‫( لـماذا ؟ )‬ ‫مداها = ‪ 1 ، 1-‬‬ ‫قيمتها العظمى = ‪ ............‬وقيمتها ال�صغرى = ‪� (............‬أكمل الفراغ )‬ ‫�إ�شارتـها تتحدد تب ًعا للربع الذي تقع فيه الزاوية �س ‪ ،‬فتكون ‪� ( :‬أكمل الفراغ )‬ ‫جتا �س موجبة �إذا كانت �س تقع في الربع ‪� .........‬أو ‪.........‬‬ ‫جتا �س �سالبة �إذا كانت �س تقع في الربع ‪� .........‬أو ‪.........‬‬

‫التمثيل البياني لدالة جيب التمـام‬

‫‪ ،‬ف�إنَّه كما هو الحال في دالة الـجيب يمكننا‬ ‫حيث � َّأن جتا �س =جتا ( �س ‪2 +‬ن ط ) �س ‪ ،‬ن‬ ‫الح�صول على المنحني البياني لدالة جيب التمام بر�سم جـزء من منحـنيها في الفـترة ‪2 ، 0‬ط بالإفادة‬ ‫م���ن نقاط الجدول ( ‪ ) 2-4‬ث َّـم بتكرار ر�س���م هذا الجزء نـح�ص���ل على منحني دال���ة جيب التمام ‪ ،‬كما في‬ ‫ال�شكل ( ‪.) 48-4‬‬

‫‪220‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال المت�سامية‬ ‫�س‬ ‫جتا �س‬

‫‪0‬‬

‫ط‬ ‫‪6‬‬

‫ط‬ ‫‪3‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫ط‬

‫‪7‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬ط‬ ‫‪3‬‬

‫‪11‬ط‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬ط‬

‫‪°0‬‬

‫‪°30‬‬

‫‪°60‬‬

‫‪°90‬‬

‫‪°120‬‬

‫‪°150‬‬

‫‪°180‬‬

‫‪°210‬‬

‫‪°240‬‬

‫‪°270‬‬

‫‪°300‬‬

‫‪°330‬‬

‫‪°360‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5-‬‬

‫‪0.87-‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪0.87-‬‬

‫‪0.5-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪0‬‬

‫جدول ( ‪) 2-4‬‬

‫�شكل ( ‪) 48-4‬‬

‫ومن ال�شكل ( ‪ ) 48-4‬نـجد � َّأن‪:‬‬ ‫‪ 1‬دالة جيب التمام دالة مـحدودة على مـجالـها ( لـماذا ؟ )‬ ‫‪ 2‬د ( �س ) = جتا �س متزايدة في الفترات ‪:‬‬ ‫‪... ،................. ، .................. ، .................. ، .................. ، ...‬‬ ‫( �أكمل الفراغ )‬ ‫ ‬ ‫ومتناق�صة في الفترات‪:‬‬ ‫‪... ،................. ، .................. ، .................. ، .................. ، ...‬‬ ‫‪ 3‬الدالة متناظرة حول المـحور ؛ �أي �أنـها دالة زوجية‪.‬‬ ‫تـحقق جبر ًّيا من � َّأن دالة جيب التمام دالة زوجية‪.‬‬ ‫( لـماذا ؟ )‪.‬‬ ‫‪ 4‬د ( �س ) = جتا �س هي دالة دورية ودورتـها ‪2‬ط ‬ ‫ونود �أن ن�ش���ير هنا �إلى � َّأن الـخا�ص���ية الدورية التي تتميز بـها دالتا الـجيب وجيب التمام جعلت هاتين الدالتين‬ ‫منا�سبتين في حل كثير من التطبيقات الفيزيائية ومن �أهمها ما يتعلق بالموجات ال�صوتية‪.‬‬

‫مثال (‪)36-4‬‬ ‫م ِّثل على ال�شكل نف�سه المنحني البياني ٍّ‬ ‫لكل من الدالتين ‪:‬‬ ‫د‪� ( 1‬س ) = جا �س حيث �س ‪ -‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫ط‬ ‫ثـم ادر�س اطراد كل منهما في ‪2 ، 0‬‬

‫‪ ،‬د‪� (2‬س ) = جتا �س حيث �س‬

‫‪3‬ط ط‬‫‪2 ، 2‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪221‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ل ـ ــر�س ـ ــم منح ـنـ ــي د‪�( 1‬س)=جا �س في الفترة ‪ -‬ط ‪ ،‬ط ‪ ،‬و منح ـن ــي د‪�( 2‬س)=جتا�س ف ـ ــي الفتـ ــرة‬ ‫[ ‪3-‬ط ‪2 ،‬ط نك ِّون الجدولين التاليين ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬

‫ط‬‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬ط ط‬

‫‪1-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪32 -‬ط ‪-‬ط ‪2-‬ط ‪0‬‬

‫ط‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-‬ط‬

‫د‪�( 1‬س) = جا�س ‪0‬‬ ‫�س‬ ‫د‪�( 2‬س) = جتا�س‬

‫‪0‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪0‬‬

‫�شكل ( ‪) 49-4‬‬

‫ط‬ ‫وال�شكل ( ‪ ) 49-4‬يو�ضح المنحني البياني للدالتين ‪ .‬ومن ال�شكل نـجد �أنه في الفترة ‪: 2 ، 0‬‬ ‫د‪� (1‬س ) = جا �س متزايدة ‪� ،‬أما د‪� ( 2‬س ) = جتا �س فهي متناق�صة ‪.‬‬ ‫�أنن���ا �إذا حركن���ا منحن���ي دالة الـجيب باالتـجاه ال�س���الب للمحور بـم�س���افة ‪2‬ط ف�س���ينطبق هذا‬ ‫المنحني على منحني دالة جيب التمام ‪ .‬ويرجع ال�سبب في ذلك �إلى العالقة ‪:‬‬ ‫ط‬ ‫جا ( �س ‪ =) 2 +‬جتا �س �س ‪.‬‬

‫تدريب (‪)22-4‬‬ ‫ال�شكل ( ‪ ) 50-4‬هو للمنحني د(���س)=ج��ت��ا �س في‬ ‫الفترة ‪ ،0‬ط ‪� .‬أكمـ ـ ـ ــل الر�س ـ ـ ــم لـتحـ ــ�صـ ــل علـ ــى‬ ‫منــحنـ ـ ــي د (���س)= جتا �س في الفترة ‪-‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫م�ستفيدا من كون دالة جيب التمام دالة زوجية‪.‬‬ ‫ً‬ ‫�شكل ( ‪) 50-4‬‬

‫‪222‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال المت�سامية‬ ‫مثال (‪)37-4‬‬ ‫ار�سم المنحني البياني للدالة د ( �س ) = ‪2‬جا �س حيث �س ‪-‬ط ‪ ،‬ط ثـم �أوجد مداها والقيمتين العظمى‬ ‫وال�صغرى لـها‪.‬‬

‫الحل‬

‫لر�سم منحني د ( �س ) = ‪2‬جا �س في ‪ -‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫نك ِّون الـجدول التالي ‪:‬‬ ‫�س‬

‫‪-‬ط‬

‫ط‬‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫ط ط‬

‫د (�س)‬

‫‪0‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫يو�ضح المنحني البياني للدالة ‪،‬‬ ‫و ال�شكل ( ‪ِّ ) 51-4‬‬ ‫ومنه نـجد � َّأن مدى الدالة = ‪، 2 ، 2 -‬‬

‫�شكل ( ‪) 51-4‬‬

‫القيمة العظمى = ‪ ، 2‬القيمة ال�صغرى = ‪2 -‬‬

‫مثال (‪)38-4‬‬ ‫ب ِّين ما �إذا كانت الدالة د ( �س ) = �س جا �س زوجية �أم فردية ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫د ( ‪� -‬س )= ‪�-‬س جا ( ‪�-‬س )‬ ‫= �س (‪ -‬جا �س )‬ ‫= ‪� -‬س جا �س = ‪ -‬د ( �س )‬

‫الدالة فردية ‪.‬‬

‫� َّأن د ( �س ) دالة فردية وهي عبارة عن حا�صل �ضرب دالتين �إحداهـما زوجية والأخرى فردية ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪223‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫دالة الظل‬

‫جا�س‬ ‫قاعدتـها ‪ :‬د ( �س ) = ظا �س = جتا �س‬ ‫ط‬ ‫مـجالـها = ‪� -‬س ‪� :‬س = ‪ + 2‬ن ط ‪ ،‬ن‬ ‫� َّأن مـجال دالة الظل = ( مـجال دالة الجيب مـجال دالة جيب التمام ) ‪� -‬س ‪ :‬جتا �س = ‪0‬‬ ‫�أما باقي الدوال المثلثية ف�إنه من ال�سهل على الطالب تذكرها و�إكمال الـجدول التالي ‪:‬‬ ‫الدالة‬

‫القاعدة‬

‫المـجال‬

‫القاطع‬

‫‪1‬‬ ‫د ( �س ) = قا �س = جتا �س‬

‫‪...............................‬‬

‫قاطع التمام‬

‫‪...............................‬‬

‫‪� -‬س ‪� :‬س = ن ط ‪ ،‬ن‬

‫ظل التمام‬

‫‪...............................‬‬

‫‪...............................‬‬

‫ن�شاط �إثرائي‬ ‫ا�ستخدم برنامج‬

‫لر�سم المنحني البياني ٍّ‬ ‫لكل من الدوال التالية ‪:‬‬

‫�ص = ظا �س ( ‪) y = tan x‬‬ ‫�ص = قا �س ( ‪) y = sec x‬‬ ‫�ص = قتا �س ( ‪) y = csc x‬‬ ‫د �ص = ظتا �س ( ‪) y = cot x‬‬

‫‪224‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫الدوال المت�سامية‬

‫تمارين (‪)4-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد مـجال كل دالة من الدوال التالية ثـم ار�سم المنحني البياني لـها وادر�س اطرادها‪.‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪� 1‬س ‪1 -‬‬ ‫د ( �س ) = ( ‪) 2‬‬ ‫د ( �س ) = ‪� -4‬س ‬ ‫‪� 2‬س‬ ‫د د ( �س ) = لو ‪�3‬س‬ ‫ ‬ ‫د ( �س ) = ‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و د ( �س ) = ‪ 2‬لو ‪�3‬س‬ ‫ ‬ ‫هـ د ( �س ) = ‪ 2‬لو ‪�3‬س ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬ار�سم منحني ٍّ‬ ‫كل من الدالتين ‪ :‬د‪� ( 1‬س ) = ( ‪� ) 2‬س ‪ ،‬د‪� ( 2‬س ) = ( ‪� -) 2‬س على ال�شكل نف�سه‪ ،‬ما هي‬ ‫العالقة بين هذين المنحنيين ؟‬ ‫‪ 3‬ار�س���م منحني الدالة د ( �س ) = ﻫ �س ثـم ار�س���م بالإفادة من مفهوم التناظر منحني الدالة د‪� (1-‬س )‪،‬‬ ‫ما هي قاعدة د‪�( 1-‬س) ؟‬ ‫‪� 4‬أوجد مـجال كلٍّ من الدوال التالية ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫د ( �س ) = لو ﻫ (‪�2‬س ‪)1 +‬‬ ‫د ( �س ) = �س ‪ + 4 -‬لو ‪� 4‬س‬

‫‪3‬‬

‫د ( �س ) = لو ‪� – ( 3‬س‪� 5 + 2‬س – ‪) 6‬‬ ‫�س‬ ‫هـ‬ ‫د‬ ‫د ( �س ) = �س‪� - 3‬س‬

‫‪ 5‬ار�سم منحني ٍّ‬ ‫كل من الدوال التالية ثـم ادر�س اطرادها و�أوجد القيمتين العظمى وال�صغرى لـها‪.‬‬ ‫ط‬ ‫د (�س) = جتا �س ‪� ،‬س ‪ -‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫د (�س) = جا �س ‪� ،‬س ‪32 -‬ط ‪ 2 ،‬‬ ‫د د ( �س )= ‪ 12‬جا �س ‪� ،‬س ‪ -‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫د ( �س ) = ‪2‬جتا �س‪� ،‬س ‪ -‬ط ‪ ،‬ط‬ ‫‪ 6‬ب ِّين ما �إذا كانت كلٌّ من الدوال التالية زوجية �أم فردية ‪.‬‬ ‫د ( �س ) = جا �س‪ 3 + 4‬جتا �س‬ ‫د ( �س ) = �س‪ 3‬جا ‪�2‬س ‪ 5 +‬‬

‫د ( �س ) = جا �س – ‪ 2‬جتا �س ‬ ‫‪ + 1‬جتا �س‬ ‫د د ( �س ) = �س‪� ، 3‬س ‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪225‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪5-4‬‬

‫بع�ض التطبيقات على الدوال الحقيقية‬ ‫بع�ضا‬ ‫للدوال الحقيقية الكثير من التطبيقات الحياتية في مختلف المجاالت‪ .‬وفيما يلي من الأمثلة نقدم ً‬ ‫من هذه التطبيقات‪.‬‬

‫مثال (‪)39-4‬‬ ‫وج��د م�صنع للغ�ساالت الكهربائية � َّأن تكلفة �إن��ت��اج �س‬ ‫غ�سالة ي�ساوي ( ‪� 500‬س ‪ ) 200 +‬ري���ا ًال‪ .‬ف���إذا ك��ان يبيع‬ ‫الغ�سالة الواحدة بـمبلغ ‪ 900‬ريال ‪ ،‬ف�أوجد الربح بالريال‬ ‫الذي يـحققه الم�صنع كدالة في عدد الغ�ساالت ‪ ،‬ثم اح�سب‬ ‫الربح الذي يحققه الم�صنع �إذا باع ‪ 50‬غ�سالة‪.‬‬

‫الحل‬

‫يـمكننا �أن نع َّد ك ًّال من ‪ :‬الربح ‪ ،‬التكلفة ‪ ،‬وكذلك ثـمن البيع‬ ‫دوا ًال في �س وهو عدد الغ�ساالت‪.‬‬ ‫وبفر�ض � َّأن دالة الربح هي د تكون ‪ :‬د ( �س ) = دالة ثـمن البيع – دالة التكلفة‬ ‫د ( �س ) = ‪� 900‬س – ( ‪� 500‬س ‪� 400 = ) 200 +‬س – ‪200‬‬ ‫� ًإذا الربح الذي يـحققه الم�صنع �إذا باع ‪ 50‬غ�سالة = د ( ‪ 19800 = 200 – 50 400 = ) 50‬ريال ‪.‬‬

‫مثال (‪)40- 4‬‬ ‫�إذا كانت الدالة م ( �س ) = ‪5‬ﻫ ‪� 0.4-‬س ت�ستخدم لـح�ساب عدد المليغرامات من‬ ‫دواء معين والتي توجد في دم المري�ض بعد �س من ال�ساعات من �إعطاء الدواء ‪.‬‬ ‫�أوجد عدد المليغرامات من الدواء التي توجد في الدم بعد ‪� 6‬ساعات ‪.‬‬ ‫بعد كم �ساعة من �إعطاء الدواء ي�صبح عدد المليغرامات في الدم ي�ساوي ‪. 2‬‬

‫الحل‬

‫‪226‬‬

‫بـما � َّأن عدد المليغرامات التي توجد في الدم بعد �س من ال�ساعات هو ‪ :‬م ( �س ) = ‪5‬ﻫ‬ ‫ ‪6 × 0,4‬‬‫� ًإذا عدد المليغرامات التي توجد في الدم بعد ‪� 6‬ساعات هو ‪ :‬م ( ‪5 = ) 6‬ﻫ‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪� 0,4-‬س‬

‫بع�ض التطبيقات على الدوال الحقيقية‬ ‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة وفق التتابع التالي ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬

‫(‬

‫‪6‬‬

‫×‬

‫‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪SHIFT‬‬

‫‪e‬‬

‫)‬

‫–‬

‫×‬

‫‪5‬‬

‫يظهر على ال�شا�شة ‪0,453589766‬‬

‫�أي � َّأن عدد المليغرامات المطلوب ≈ ‪ 0,45‬مليغـرام‬ ‫الزمن الذي ي�صبح بعده عدد المليغرامات من الدواء في الدم ي�ساوي ‪ 2‬هو �س الذي يحقق المعادلة ‪:‬‬ ‫م ( �س ) = ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ 0,4‬س ‪2‬‬‫لو‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪0,4‬‬ ‫–‬ ‫ﻫ‬ ‫‪5‬ﻫ ‪ 0,4 -‬س = ‪2‬‬ ‫ﻫ ‪5‬‬ ‫=‪5‬‬ ‫لو هــ ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س =‬ ‫‪0,4-‬‬

‫وبا�ستخدام الآلة الحا�سبة وفق التتابع الآتي ‪:‬‬ ‫‪2.29072683‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫وللح�صول على الزمن ب�أجزاء ال�ساعة ن�ضغط على ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫–‬

‫÷‬

‫‪5‬‬

‫‪a b/c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln‬‬

‫‪5,,,‬‬

‫فيظهر على ال�شا�شة ‪2 17 26.62‬‬

‫وهذا يعني � َّأن الزمن المطلوب = �ساعتان َو ‪ 17‬دقيقة َو ‪ 27‬ثانية‬ ‫لعلك �أدركت �أهمية االلتزام بالـجرعة والمواعيد المـحددة من الطبيب لتناول الدواء ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪227‬‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫مثال (‪)41-4‬‬ ‫تح�سب �شركة الكهرباء قيمة اال�ستهالك ال�شهري للكهرباء على �أ�سا�س تق�سيمه �إلى �شرائح بحيث تت�صاعد‬ ‫القيمة بت�صاعد كمية اال�ستهالك ؛وذلك للحد من اال�ستهالك الزائد للكهرباء‪.‬‬ ‫ف�إذا كانت كمية اال�ستهالك ال�شهري تتراوح من ‪1‬‬ ‫�إلى ‪2000‬كيلوواط ف� َّإن القيمة المتوجب دفعها ‪5‬‬ ‫هلالت لكل كيلو واط‪� .‬أما �إذا كانت كمية اال�ستهالك‬ ‫من ‪� 2001‬إلى ‪ 4000‬كيلو واط ف� َّإن القيمة المتوجب‬ ‫دفعها هي ‪ 5‬هلالت لأول ‪ 2000‬كيلو واط و‪10‬‬ ‫هلالت لكل كيلوواط �إ�ضافي ‪ ،‬وفي الحالتين ت�ضيف‬ ‫ال�شركة مبلغ ‪ 10‬رياالت كر�سوم خدمة‪.‬‬ ‫اح�سب قيمة اال�ستهالك ال�شهري للكهرباء‬ ‫بالريال �إذا كانت كمية الكهرباء الم�ستهلكة ‪:‬‬ ‫‪ 3500 3‬كيلو واط‬ ‫ ‬ ‫‪ 2000 2‬كيلو واط‬ ‫ ‬ ‫‪ 1220 1‬كيلو واط‬ ‫اكتب قيمة اال�ستهالك ال�شهري للكهرباء بالريال كدالة في كمية اال�ستهالك التي تتراوح من ‪� 1‬إلى‬ ‫‪ 4000‬كيلو واط ‪.‬‬

‫الحل‬

‫‪ 1‬نـح�سب قيمة ا�ستهالك ‪ 1220‬كيلوواط بالريال وذلك بال�ضرب في ‪ 0,05‬ريال ثـم �إ�ضافة ‪10‬‬ ‫رياالت فتكون قيمة اال�ستهالك = ‪ 71= 10 + 61 = 10 + 0,05 1220‬ريال ‪.‬‬ ‫‪ 2‬قيمة ا�ستهالك ‪ 2000‬كيلوواط = ‪ 110 = 10 + 100 = 10 + 0,05 2000‬ريال‪.‬‬ ‫‪ 3‬نـح�سب قيمة ا�ستهالك ‪ 3500‬كيلوواط بالريال على النحو التالي ‪:‬‬ ‫قيمة اال�ستهالك = ‪260 = 10 + 0,1 ) 2000 – 3500 ( + 0,05 2000‬ريال‪ .‬‬ ‫بفر�ض � َّأن قيمة اال�ستهالك ال�شهري هي ك ‪ ،‬وكمية اال�ستهالك ال�شهري هي �س ف� َّإن ك تكتب كدالة‬ ‫مـج َّز�أة على ال�صورة التالية ‪:‬‬ ‫�إذا كانت ‪� 1‬س ‪2 000‬‬ ‫ك (�س) = ‪� 0,05‬س ‪1 0 +‬‬ ‫‪� (0,1 + 0,05 2000‬س – ‪� 10 + ) 2000‬إذا كانت ‪� 2001‬س ‪4000‬‬ ‫ك (�س) = ‪� 0,05‬س ‪ 10 +‬‬ ‫‪� 0,1‬س – ‪ 90‬‬

‫‪228‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫�إذا كانت ‪� 1‬س ‪2000‬‬ ‫�إذا كانت ‪� 2001‬س ‪4000‬‬

‫بع�ض التطبيقات على الدوال الحقيقية‬ ‫مثال (‪)42-4‬‬ ‫�إذا كان وزن دمـاغ الطـفل لـحظة الوالدة يعطى بالدالة د ( �س ) = ‪� 0.025‬س‪،‬‬ ‫حيث �س وزن الطفل عند الوالدة بالكلغم ‪� .‬أما وزن دماغ الطفل عند بلوغه ال�سنة‬ ‫الثالثة من العمر فيعطى بالدالة ( �ص ) = �ص ‪ ، 0.5 +‬حيث �ص وزن دماغه‬ ‫عند الوالدة بالكلغم ‪.‬‬ ‫�أوجد وزن دمـاغ الطـفل عند بلوغه ال�سـنة الثالثة كدالة في وزن الطـفل عند الوالدة ‪.‬‬ ‫اح�سب وزن دمـاغ الطـفل عند بلوغه ال�سنـة الثالثة �إذا كان وزن الطفل عند‬ ‫الوالدة ‪ 3,4‬كلغم ‪.‬‬

‫الحل‬ ‫بفر�ض � َّأن وزن دماغ الطفل عند بلوغه ال�سنة الثالثة هو تكون دالة في �س حيث ‪:‬‬ ‫( �س ) = ‪ º‬د ( �س ) = ( د ( �س ) ) = ( ‪� 0,025‬س ) = ‪� 0,025‬س ‪0,5 +‬‬ ‫�أي � َّأن ( �س ) = ‪� 0,025‬س ‪0,5 +‬‬ ‫وزن دماغ الطفل عند بلوغه ال�سنة الثالثة �إذا كان وزن الطفل عند الوالدة ‪ 3,4‬كلغم هو ‪:‬‬ ‫( ‪ 0,585 = 0,5 + 3,4 0,025 = ) 3,4‬كلغم ‪.‬‬ ‫�أنه يـمكن �إيـجاد الوزن المطلوب كالتالي ‪:‬‬ ‫وزن دماغ الطفل عند الوالدة = د ( ‪ 0,085 = 3,4 0,025 = ) 3,4‬كلغم ‪.‬‬ ‫وزن دماغ الطفل عند بلوغه ال�سنة الثالثة =‬

‫( ‪ 0,585= 0,5 + 0,085 = )0,085‬كلغم ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪229‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫تمارين (‪)5 -4‬‬ ‫‪ 1‬م�صنع دراجات يبيع عدد �س دراجة �أ�سبوع ًّيا ب�سعر ع = ‪� 0.01– 200‬س ريال للدراجة الواحدة ‪.‬‬ ‫ف�إذا ُع ِلم � َّأن الم�صنع يتك َّلف مبلغًا قدره �ص =‪� 50‬س ‪ 2000 +‬ريال لإنتاج هذا العددمن الدراجات‪.‬‬ ‫�أوجد الربح الذي يـحققه الم�صنع بداللة �س ‪.‬‬ ‫اح�سب هذا الربح �إذا كانت �س = ‪. 7500‬‬ ‫‪ 2‬كرة حديدية طول ن�صف قطرها ‪� 4‬سم مغطاة بطبقة منتظمة من الـجليد ‪ ،‬ف�إذا كان �سمك طبقة الـجليد‬ ‫ي�ساوي �س �سم ف�أوجد حجم الـجليد الذي يغطي الكرة الحديدية بداللة �س ‪.‬‬ ‫‪ 3‬يقل ال�ضغط الـجوي �ض على طائرة بزيادة االرتفاع ‪ ،‬وهذا ال�ضغط الذي يقا�س بالمليمتر الزئبقي يعطى بالدالة‬ ‫�ض ( ك ) = ‪ 760‬ﻫ ‪ 0.145 -‬ك حيث ك ارتفاع الطائرة فوق �سطح البحر بالكلم ‪.‬‬ ‫�أوجد ال�ضغط الـجوي �إذا كانت الطائرة على ارتفاع ‪ 2‬كلم ‪.‬‬ ‫�أوجد االرتفاع الذي تكون عليه الطائرة عندما يكون ال�ضغط الـجوي م�ساو ًيا ‪ 490‬مليمتر زئبقي‪.‬‬ ‫‪ُ 4‬يح�سب اال�ستهالك ال�شهري للمياه على �أ�سا�س تق�سيمه �إلى �شرائح ‪.‬ف�إذا كانت كمية اال�ستهالك‬ ‫ال�شهري تتراوح من ‪� 1‬إلى ‪ 50‬متر مكعب ف� َّإن القيمة‬ ‫المتوجب دفعها ‪ 10‬هلالت لكل متر مكعب ‪� ،‬أما �إذا‬ ‫كانت كمية اال�ستهالك تتراوح من ‪� 51‬إلى ‪ 100‬متر‬ ‫مكعب ف� َّإن القيمة المتوجب دفعها هي ‪ 10‬هلالت لأول‬ ‫‪ 50‬متر مكعب و ‪ 15‬هللة لكل متر مكعب �إ�ضافي‪.‬‬ ‫اكتب قيمة اال�ستهالك ال�شهري للمياه بالريال كدالة في كمية اال�ستهالك بالمتر المكعب ‪.‬‬ ‫اح�سب قيمة اال�ستهالك ال�شهري للمياه �إذا كانت كمية المياه الم�ستهلكة �شهر ًّيا ‪:‬‬ ‫‪42 1‬م ‬

‫‪3‬‬

‫‪230‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫ ‬

‫‪50 2‬م ‬

‫‪3‬‬

‫ ‬

‫‪77 3‬م ‬

‫‪3‬‬

‫بع�ض التطبيقات على الدوال الحقيقية‬ ‫‪� 5‬شركة لت�أجير ال�سيارات ت� ِّؤجر ال�سيارة بـمبلغ ‪ 700‬ريال �أ�سبوع ًّيا وت�أخذ عن كل يوم �إ�ضافي مبلغ ‪150‬‬ ‫ريال ‪� ،‬إال �إذا تـجاوز ح�ساب الإيـجار باليوم ح�ساب الإيـجار بالأ�سبوع ف�إنـها ت�أخذ قيمة الإيـجار الأ�سبوعي ‪.‬‬ ‫اكتب تكلفة �إيـجار ال�سيارة كدالة في عدد الأيام �س حيث ‪� 7‬س ‪14‬‬ ‫( عل ًما ب� َّأن � َّأي جزء من اليوم ت�أخذ عليه ال�شركة ح�ساب يوم كامل ) ‪.‬‬ ‫استخدم تركيب الدوال لـحل ٍّ‬ ‫كل من التمرينين ‪. 7 ، 6‬‬ ‫‪ 6‬يت�سرب الزيت من ناقلة بترول مك ِّونـًا بقعة على �شكل دائرة ‪ .‬ف�إذا كان طول ن�صف قطر البقعة (بالقدم )‬ ‫بعد ن �ساعة يعطى بالدالة ‪( :‬ن) = ‪ 200‬ن ‪ ،‬ع ِّبر عن م�ساحة بقعة الزيت م كدالة في الزمن ن ‪.‬‬

‫‪� 7‬إذا كان عـدد ال�سـيارات المنتجـة من م�صـنع ما بعـد ن �سـاعة من العـمل اليـومي يعـطى بالدالة‬ ‫ت (ن) = ‪ 100‬ن – ‪ 5‬ن‪ 2‬وكـانت التكـلفة بالريـال لإنتـاج عـدد ت من ال�سـيارات تعـطى بالدالـة ك ( ت )‬ ‫= ‪ 15000‬ت ‪ ، 45000 +‬فع ِّبر عن التكلفة ك كدالة في عدد �ساعات العمل ن ‪.‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪231‬‬

‫الوحدة الرابعة‬

‫‪ 1‬الدالة الـحقيقية هي دالة ك ٌّل من مـجالـها ومـجالـها المقابل مـجموعة جزئية من مـجموعة الأعداد‬ ‫الـحقيقية ‪.‬‬ ‫‪ ،‬د ( �س ) مع َّرفة ‪.‬‬

‫‪ 2‬مـجال الدالة الـحقيقية د = �س ‪� :‬س‬ ‫‪ 3‬مدى الدالة الـحقيقية د = �ص ‪� :‬ص = د ( �س ) ‪� ،‬س مـجال الدالة د ‪.‬‬ ‫بع�ضا من قيمها‪.‬‬ ‫‪� 4‬إيـجاد قيمة الدالة عند قيمة معطاة لمتغيرها ‪ ،‬وكذلك �إيـجاد قاعدة للدالة بـمعلومية ً‬ ‫بع�ضا من قيمها ‪ ،‬جذورها ‪ ،‬نقطة‬ ‫‪ 5‬الإفادة من التمثيل البياني للدالة في تـحديد ‪ :‬مـجالـها ‪ ،‬مداها ‪ً ،‬‬ ‫التقاطع مع‬

‫‪� ،‬إ�شارتـها ‪ ،‬مـحدوديتها ‪ ،‬تناظرها ‪ ،‬اطرادها ‪.‬‬

‫‪ 6‬نظرية اختبار الخط الر�أ�سي والتي تن�ص على �أنه �إذا قطع � ُّأي م�ستقيم ر�أ�سي منحني الدالة ف�إنه‬ ‫يقطعه في نقطة واحدة فقط‪.‬‬ ‫‪ 7‬ل ِّأي دالتين د ‪ ،‬ﻫ ف� َّإن ‪:‬‬ ‫د ‪ ،‬ﻫ لـهما المـجال نف�سه ف ‪.‬‬ ‫د =ﻫ‬ ‫�س ف ‪.‬‬ ‫د ( �س ) = ﻫ ( �س ) ‬ ‫‪ 8‬الدالة د التي مـجالـها ف ت�س َّمى دالة مـحدودة �إذا وفقط �إذا وجد عددان حقيقيان ل ‪ ،‬م بـحيث يكون‬ ‫�س ف ‪.‬‬ ‫ل د ( �س ) م‬ ‫‪ 9‬الدالة د التي مـجالـها ف ت�س َّمى ‪:‬‬ ‫�س ف ‪.‬‬ ‫د (–�س) = د ( �س )‬ ‫زوجية �إذا وفقط �إذا كان‬ ‫�س ف‪.‬‬ ‫فردية �إذا وفقط �إذا كان د (–�س) = – د ( �س )‬ ‫‪ 10‬الدالة د المع َّرفة على ف تكون ‪:‬‬ ‫د ( �س ‪ ) 2‬د ( �س‪. ) 1‬‬ ‫متزايدة على ف �إذا كان �س ‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫د ( �س ‪ ) 2‬د ( �س‪. ) 1‬‬ ‫متناق�صة على ف �إذا كان �س ‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫د ( �س ‪ = ) 2‬د ( �س‪. ) 1‬‬ ‫ثابـتة على ف �إذا كان �س ‪� 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 11‬الدالة الأحادية هي الدالة التي ال يوجد عن�صران مـختلفان من مـجالـها لـهما ال�صورة نف�سها ‪.‬‬ ‫‪ 12‬نظرية اختبار الخط الأفقي والتي تن�ص على �أنه �إذا قطع م�ستقيم �أفقي منحني الدالة الأحادية‬ ‫ف�إنه يقطعه في نقطة واحدة فقط ‪.‬‬

‫‪232‬‬

‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪� 13‬إذا كانت د‪ ، 1‬د‪ 2‬دالتين ف� َّإن ‪:‬‬ ‫دالة المجموع د‪ + 1‬د‬

‫‪2‬‬

‫قاعدتـها ( د‪ + 1‬د‪� ( ) 2‬س ) = د‪� ( 1‬س ) ‪ +‬د‪� ( 2‬س ) ‪.‬‬

‫دالة الفـرق د‪ – 1‬د‪ 2‬قاعدتـها ( د‪ – 1‬د‪� ( ) 2‬س ) = د‪� ( 1‬س ) – د‪� ( 2‬س ) ‪.‬‬ ‫دالة ال�ضرب د‪ . 1‬د‪ 2‬قاعدتـها ( د‪ . 1‬د‪� ( )2‬س ) = د‪� ( 1‬س ) ‪ .‬د‪� ( 2‬س ) ‪.‬‬ ‫د‬ ‫د‪�(1‬س)‬ ‫‪1‬‬ ‫د‬ ‫حيث د‪� ( 2‬س ) ‪0‬‬ ‫دالة الق�سمة د‪ 1‬قاعدتـها د ( �س ) =‬ ‫د‪�(2‬س)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الدالة المركبة د‪ 1‬د‪ 2‬قاعدتـها ( د‪ 1‬د‪� ( ) 2‬س ) = د‪ ( 1‬د‪� ( 2‬س ) ) ‪.‬‬ ‫و � َّأن مـجال ٍّ‬ ‫كل من ‪ :‬د‪ + 1‬د‪ ، 2‬د‪ – 1‬د‪ ، 2‬د‪ . 1‬د‪ 2‬هو المـجال الم�شترك للدالتين ‪،‬بينما‬ ‫د‬ ‫مـجال د‪ 1‬هو المـجال الم�شترك للدالتين مـحذوفًا منه �أ�صفار المقام ‪� ،‬أما مـجال د‪ 1‬د‪ 2‬فلم‬ ‫نتطرق له‪.2‬‬ ‫‪ 14‬الدالة العك�سية للدالة الأحادية د والتي مـجالـها‬ ‫ومداها‬

‫ومداها‬

‫هي الدالة ﻫ التي مـجالـها‬

‫�إذا وفقط �إذا كان ‪ ( :‬د ﻫ ) ( �س ) = ( ه ـ د ) ( �س ) = �س ‪.‬‬

‫‪ 15‬الدالة العك�سية لدالة الدرجة الأولى د ( �س ) = �س ‪ +‬ب حيث ≠ ‪ 0‬هي د‪�(1-‬س) =‬

‫�س ‪ -‬ب‬

‫‪.‬‬

‫‪ 16‬ت�صنيف الدوال الـحقيقية والمو�ضح في المخطط التالي ‪:‬‬ ‫الدوال الحقيقية‬ ‫الدوال الجبرية‬ ‫دوال كثيرات الحدود‬

‫دالة القيا�س‬

‫الدالة الثابتة‬

‫دالة الدرجة الأولى‬

‫دالة ال�صحيح‬

‫الدالة الن�سبية‬

‫دالة الجذر التربيعي‬

‫الدوال المت�سامية‬

‫الدالة التربيعية‬ ‫الدالة الأ�سية‬

‫الدالة اللوغاريتمية‬

‫الدوال المثلثية‬

‫‪ 17‬التمثيل البياني وخوا�ص ٍّ‬ ‫كل من ‪ :‬الدالة الثابتة ‪ ،‬دالة الدرجة الأولى ‪ ،‬الدالة التربيعية ‪ ،‬دالة‬ ‫‪1‬‬ ‫القيا�س لمقـدار من الدرجة الأولى �أو الثانية ‪ ،‬دالة �صحيح �س ‪ ،‬الدالة الن�سبية د (�س) = �س ‪،‬‬ ‫الدالة الـجذرية د ( �س ) = �س الدالة الأ�سية ‪ ،‬الدالة اللوغاريتمية ‪ ،‬دالة الـجيب ‪ ،‬دالة جيب التمام ‪.‬‬ ‫‪� 18‬إيـجاد مـجال الدالة الن�سبية ومـجال دالة الـجذر التربيعي لمقدار من الدرجة الأولى �أو الثانية ‪.‬‬ ‫‪ 19‬حل بع�ض التطبيقات الـحياتية على الدوال ‪.‬‬ ‫ريا�ضيات (‪)4‬‬

‫‪233‬‬

‫تمارين عامة‬ ‫‪� 1‬ضع عالمة (‬

‫) �أو عالمة ( ) عن يمين العبارات التالية ‪:‬‬

‫‪�2‬س‬ ‫مـجال الدالة د ( �س ) = �س ي�ساوي مـجال الدالة‬

‫( �س ) = ‪. 2‬‬

‫مـجال الدالة د ( �س ) = ‪�-‬س هو ‪. 0 ، ∞ -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫الدالة د ( �س ) = ‪ 2‬ت�ساوي الدالة ( �س ) = �س ‪.‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫هـما –‪. 3 ، 2‬‬ ‫جذرا الدالة د ( �س ) =‬ ‫(�س‪�( )3-‬س‪)2+‬‬ ‫يتقاطع منحني الدالة د ( �س ) = �س‪� ( 2‬س – ‪� ( ) 3‬س ‪ ) 4 +‬مع مـحور ال�سينات في ثالث نقاط ‪.‬‬ ‫الدالة د ( �س ) = �س �س دالة فردية ‪.‬‬ ‫الدالة د ( �س ) = �س‪ 4‬جا �س دالة زوجية ‪.‬‬ ‫الدالة د ( �س ) = – ‪� + 3‬س متزايدة على ‪.‬‬ ‫الدالة المتزايدة على مـجالـها هي دالة �أحادية ‪.‬‬ ‫الدالة الأحادية هي دالة متناق�صة دائ ًما ‪.‬‬ ‫منحني الدالة د ( �س ) = �س‪ 2‬هو الم�ستقيم �ص = �س ‪.‬‬ ‫منحني الدالة د ( �س ) = ‪� 2‬س‪� 3 + 2‬س – ‪ 4‬مفتوح لأعلى ‪.‬‬ ‫الدالة المـحايدة هي دالة �أحادية ‪.‬‬ ‫حا�صل جمع دالتين فرديتين هو دالة زوجية ‪.‬‬

‫‪234‬‬

‫حا�صل جمع دالتين زوجيتين هو دالة زوجية ‪.‬‬ ‫حل المعادلة �س = –‪ 1‬هو –‪� 2‬س –‪. 1‬‬ ‫(د ﻫ) ( �س ) = د ( �س ) ‪ .‬ﻫ ( �س )‬ ‫الدالة د ( �س ) = ‪� 3‬س‪ 2 + 2‬لـها دالة عك�سية ‪.‬‬ ‫الدالة د ( �س ) = لو �س متناق�صة على مـجالـها ‪.‬‬ ‫ﻫ‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫�س‬

‫‪1‬‬

‫ﻫ‬

‫�س‬

‫‪2‬‬

‫ﻫ �س‬

‫‪1‬‬

‫�س‪� ، 1‬س‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة في كلٍّ مـما يلي ‪:‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫مـجال الدالة د ( �س ) = �س هو ‪:‬‬ ‫ ( ‪) + ، ، 0 ، ،1-‬‬

‫‪1‬‬ ‫�إذاكـانتد(�س)‪،‬ﻫ(�س)دالتينمت�ساويتينوكاند( ‪،1=) 2‬ﻫ(�س)= �س–‪2‬ف� َّإنقيمة ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫(‪) 3 ، 2 ،6‬‬ ‫الدالة المم َّثلة في ال�شكل المـجاور هي دالة ‪:‬‬

‫ ‬

‫( زوجية ‪ ،‬فردية ‪ ،‬لي�ست زوجية ولي�ست فردية )‬ ‫د الدالة د ( �س ) = جا �س‪ 2‬هي دالة ‪:‬‬

‫ ‬

‫( زوجية ‪ ،‬فردية ‪ ،‬لي�ست زوجية ولي�ست فردية )‬ ‫هـ الدالة المتناق�صة على مـجالـها من بين الدوال التالية هي ‪:‬‬

‫ ‬

‫�س‬

‫( د ( �س ) = �س ‪ ،‬د ( �س ) = ‪3‬‬

‫‪ ،‬د ( �س ) = – �س )‬

‫و الدالة الن�سبية من بين الدوال الآتية هي ‪:‬‬ ‫�س‪2 + 2‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪2+2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫( د ( �س ) = ‪�2‬س ‪ ،‬د ( �س ) =‬ ‫‪ ،‬د ( �س ) = �س )‬ ‫�س‬

‫‪235‬‬

‫ز التمثيل البياني للدالة د ( �س ) = ‪�-‬س‪ 2‬هو التمثيل البياني نف�سه لـِ ‪:‬‬ ‫( ( �س ) = – �س ‪� ( ،‬س ) = �س‪ ، 2‬النقطة ( ‪) ) 0 ، 0‬‬ ‫ح الدالة العك�سية للدالة د ( �س ) = �س هي الدالة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( د ( �س ) = �س ‪� ( ،‬س ) = – �س ‪ ،‬ﻫ ( �س ) = �س )‬ ‫د ) ( ‪ ) 10‬ت�ساوي ‪:‬‬ ‫ط �إذا كانت د ( �س ) = �س‪� ( ، 2‬س ) = ‪ 3‬ف� َّإن (‬ ‫( ‪) 2 ، 10 ، 2‬‬ ‫ى �إذا كانت د‪� ( 1‬س ) = �س‪� 2‬س ‪ ، 1 -‬د‪� ( 2‬س ) = �س‪ 1‬ف�إن مـجال الدالة ( د‪ . 1‬د‪ ) 2‬هو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬‫‪،‬‬

‫‪،1 ،‬‬

‫)‬

‫( ‪،1‬‬ ‫ك �إذا كان عدد �سـكان مدين ــة ما بعد ن م ـ ــن ال�سـن ــوات يعط ــى بالدال ـ ـ ــة‬ ‫د ( ن ) = ‪ 1000000‬ﻫ‪0.02‬ن ف��� َّإن عدد �سكان هذه المدينة الآن ي�س ـ ـ ــاوي ‪:‬‬ ‫(‪) 20000 ، 1000000 ، 1020202‬‬ ‫ل الدالة المم َّثلة في ال�شكل المـجاور هي الدالة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪4‬‬ ‫‬‫( د ( �س ) = �س ‪ ، 2 -‬د ( �س ) = �س ‪ ، 2 +‬د ( �س ) = �س – ‪) 2‬‬ ‫م ال�شكل الذي يـم ِّثل دالة �أحادية من بين الأ�شكال التالية هو ‪:‬‬

‫ن ال�شكل الذي يـم ِّثل دالة غير مـحدودة من بين الأ�شكال التالية هو ‪:‬‬

‫‪236‬‬

‫‪ 3‬فيما يلي اكتب تـحت كل منحني نوع الدالة المنا�سب من بين �أنواع الدوال الآتية ‪:‬‬ ‫دالة ثابتة ‪ ،‬دالة من الدرجة الأولى ‪ ،‬دالة تربيعية ‪ ،‬دالة قيا�س ‪ ،‬دالة �صحيح ‪ ،‬دالة ن�سبية ‪ ،‬دالة‬ ‫جذرية ‪ ،‬دالة �أ�سية ‪ ،‬دالة لوغاريتمية ‪ ،‬دالة مثلثية ‪.‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬

‫‪............‬‬ ‫‪............‬‬ ‫�س‬ ‫‪� 4‬إذا كانت د ( �س ) = �س‪� ( ،1 – 1 +2‬س ) = ‪� +1‬س‪ ، 1 +2‬ف�أثبت �أنَّ الدالتين د ‪،‬‬ ‫مت�ساويتان‪.‬‬ ‫‪ 5‬با�ستخدام المنحنيين للدالتين د ‪ ,‬في ال�شكل المـجاور ‪� ،‬أوجد ما يلي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪............‬‬

‫د(–‪.)3( , )4‬‬ ‫قيم �س التي تكون فيها د ( �س ) = ( �س ) ‪.‬‬ ‫مـجموعة حل المعادلة د ( �س ) = –‪. 1‬‬ ‫د الفترة التي تكون فيها د متناق�صة ‪.‬‬ ‫هـ المـجال والمدى ٍّ‬ ‫لكل من د ‪. ،‬‬

‫‪237‬‬

‫و‬

‫د(‪)0‬‬ ‫ �إذا كانت ‬ ‫�س‬

‫ �إذا كانت ‬ ‫‪ 6‬ار�سم المنحني البياني للدالة د ( �س ) = ‪0‬‬ ‫ ‬ ‫لو ‪�2‬س �إذا كانت ‬

‫�س ‪0‬‬ ‫‪� 0‬س ‪ 1‬‬ ‫�س ‪1‬‬

‫‪ 7‬اكتب قاعدة الدالة المـجز�أة المم َّثلة في ِّ‬ ‫كل �شكل من الأ�شكال التالية ‪:‬‬

‫ ‬ ‫(�أ )‬

‫ ‬ ‫( ب)‬

‫ ‬

‫( جـ )‬

‫‪ 8‬في ال�شكل المـجاور دائرة طول ن�صف قطرها ‪ ،‬وقيـا�س الزاوية المركزية م ب فيها ت�سـاوي‬ ‫�س راديا ًنا ‪.‬‬ ‫�أثبت � َّأن م�ساحة الـجزء المظلل في الدائرة ‪ -‬والذي ي�سـ َّمى قطعة‬ ‫دائرية ‪ُ -‬يعطى بالدالة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ( �س ) = ‪� ( 2 2‬س – جا �س ) ‪.‬‬ ‫ط‬ ‫ثـم �أوجد م�ساحة هذا الـجزء عندما = ‪� 3‬سم ‪� ،‬س = ‪3‬‬

‫‪238‬‬

‫�أجوبة بع�ض التمارين‬

‫الوحدة القطوع المخروطية‬ ‫الأولى‬

‫( ‪)1-1‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫) ‪ ،‬معادلة الدليل �ص =‬ ‫ب(‪- ،0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫ب ( ‪)0 ، 3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ ،‬معادلة الدليل �س = ‪3-‬‬ ‫‪4‬‬

‫ب (‪ ، )5 ،0‬معادلة الدليل �س = ‪1‬‬ ‫ب ( ‪ ، )4- ،2-‬معادلة الدليل �ص = ‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫�س‪� 20 = 2‬ص‬

‫ ‬ ‫�ص‪� 28 = 2‬س‬

‫(�س‪�( 4 = 2)3-‬ص ‪)3 -‬‬

‫(�ص ‪�( 8 - = 2)3 -‬س‪ )2+‬‬

‫(�ص ‪�( 14 = 2)4 -‬س ‪ ) 1 +‬و (�س‪�( 8 = 2)5-‬ص ‪)1 -‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫(�ص‪�( 9- = 2)3-‬س ‪)4 -‬‬

‫‪5‬‬

‫(�س‪= 2)1-‬‬

‫‪�( 3‬ص ‪)2 -‬‬

‫‪6‬‬

‫(�ص‪�( 8 - = 2)3-‬س ‪)3 -‬‬

‫‪7‬‬

‫(�ص ‪�( 12 = 2)1 +‬س ‪)2 +‬‬

‫‪8‬‬

‫�س‪�( 36 - = 2‬ص ‪)9 -‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪239‬‬

‫( ‪)2-1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫د‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫ز‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪240‬‬

‫الوحدة‬ ‫ ‬ ‫الثانية‬

‫المتتـابعات‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫– ‪18‬‬

‫( ‪)1-2‬‬

‫ح =‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫( ‪)2-2‬‬ ‫و ‪3 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪62‬‬

‫‪2‬‬

‫‪20‬‬

‫ز ‪� 2‬س ‪35 +‬‬

‫ح ‪� 29‬س ‪�16 +‬ص‬

‫‪186 – 4‬‬ ‫‪... ، 40 ، 44 ، 48 5‬‬

‫د ‪7‬‬

‫‪125‬‬

‫‪6‬‬

‫ط �س‬ ‫�ص‬

‫‪11‬‬

‫َو ح‪ ، 40= 3‬ح ‪20 = 8‬‬

‫‪ 87 6‬هو الـحد الـخام�س والع�شرون ‪ 333 ،‬لي�س �أحد حدود المتتابعة ‪.‬‬ ‫‪1458 7‬‬ ‫‪... ، 12 – ، 18 – ، 27 – 8‬‬ ‫‪6 9‬‬ ‫‪� 15 11‬أ�سبوع ‪.‬‬ ‫‪� 39 12‬سـم ‪.‬‬ ‫‪ 624 13‬قـدم ‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪ 3,125‬م‪3‬‬

‫‪� 5‬أيـام ‪.‬‬

‫‪ 246.968 15‬جيجا واط ‪.‬‬

‫‪241‬‬

‫( ‪)3-2‬‬ ‫‪8430 2‬‬ ‫‪2546 3‬‬ ‫‪10 4‬‬ ‫‪14 5‬‬ ‫‪6831 6‬‬ ‫‪242 7‬‬ ‫‪186 8‬‬ ‫‪4 9‬‬ ‫‪ 396 000 10‬ريال ‪.‬‬ ‫‪ 12 11‬يوم ‪.‬‬ ‫‪ 98301 12‬ريال ‪.‬‬ ‫‪ 6305 13‬لتر ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫تـمارين عـامة‬

‫�س = ‪3‬‬

‫‪� ،‬ص = ‪13‬‬

‫‪ 4‬الـحد الثـامن‬ ‫‪ 5‬ح‪، 5 – = 1‬‬ ‫‪4 6‬‬

‫ف = ‪ ، 4‬ح ‪31 = 10‬‬

‫‪� ( – 1 7‬س �ص )‬ ‫مقعدا ‪.‬‬ ‫‪ً 585 8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪242‬‬

‫‪� 1‬سـم‬

‫‪� 127,875‬سـم‪. 2‬‬

‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬

‫المتباينات‬

‫‪8‬‬ ‫�س = ‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬‫�أو �س = ‪5‬‬

‫‪ 3،2‬‬ ‫‪3- ، -‬‬

‫هـ ‪ 6 ، 12-‬‬ ‫ز‬ ‫ط ‪9- ، -‬‬

‫‪ ،7‬‬

‫�س = – ‪3‬‬

‫�س = ‪� 4‬أو �س = ‪8‬‬ ‫‪5 ،1‬‬‫د ‪،1-‬‬ ‫و ‪4 ، 1-‬‬ ‫ح‬

‫‪7- ، -‬‬

‫‪φ‬‬

‫ى ‪134 146-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،6‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫د ‪1، -‬‬ ‫‪، 11‬‬ ‫و ‪9- ، -‬‬ ‫ح ‪9،1‬‬

‫‪، 11‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪5 3‬‬‫‪ 2،2‬‬ ‫هـ ‪4 ، 2‬‬ ‫‪ ،5‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫ز ‪1- ، -‬‬ ‫‪� 7‬س‬

‫( ‪)1-3‬‬

‫‪1- ، 5-‬‬

‫( ‪)2-3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ك‬

‫‪3‬‬

‫‪4 ، 4-‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0، -‬‬

‫‪، 49‬‬ ‫‪1‬‬‫‪5‬‬ ‫ ‪5 ،‬‬‫‪8‬‬

‫ك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪6 ، 2-‬‬

‫ك‬ ‫‪6‬‬

‫‪9،1‬‬

‫‪φ‬‬

‫‪2‬‬‫‪9‬‬ ‫‪3، -‬‬

‫‪[ ،1‬‬

‫‪243‬‬

‫( ‪)2-3‬‬ ‫‪29 - 3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10 ، -‬‬

‫‪6 ، 1- 10‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪14‬‬

‫‪φ‬‬

‫‪، 5 15‬‬

‫‪3 -‬‬

‫‪3،‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2 2-‬‬

‫‪،2‬‬

‫‪5- ، - 17‬‬

‫‪1- ، 2- 19‬‬

‫‪،0‬‬

‫‪1 ، - 20‬‬

‫‪[ ،1- 21‬‬

‫‪3- ، - 22‬‬

‫‪3،2‬‬

‫‪3 ، 5 - 23‬‬

‫‪24 ، 4 24‬‬

‫‪7- ، - 25‬‬

‫‪6 ، 5-‬‬

‫‪1 ،1- 26‬‬

‫‪[ ،7‬‬

‫‪2 ، 2- 28‬‬ ‫‪2- ، - 31‬‬

‫‪3- ، - 29‬‬ ‫‪0 ، - 32‬‬

‫‪،2‬‬

‫‪34‬‬

‫‪2 2‬‬‫‪0- 3،3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 ، 1-‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2- ، -‬‬

‫‪،7‬‬

‫‪4-، -‬‬

‫‪3 ، 3-‬‬

‫د ‪1-، -‬‬

‫‪2،1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪244‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪، 10 + 3‬‬

‫‪0، 2-‬‬

‫‪7 ، 0 12‬‬

‫‪4- ، - 35‬‬

‫‪6 ، 3-‬‬

‫‪[ ،3‬‬

‫‪4- ، - 18‬‬

‫‪1- ، - 27‬‬

‫‪[3،1‬‬

‫‪1- ، - 33‬‬

‫‪،4‬‬

‫‪3 ، 2‬‬‫‪4، -‬‬

‫‪،7‬‬

‫‪[ 3،1‬‬

‫‪0 - 11 +1- ، 11 -1- [ 30 [ ، 3‬‬

‫تـمارين عـامة‬ ‫‪،1‬‬

‫‪4،0‬‬

‫‪،2‬‬

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫‪12‬‬

‫فردية ‬

‫\‬

‫الدوال الحقيقية‬ ‫( ‪)1-4‬‬

‫لي�ست زوجية وال فردية‬

‫زوجية‬

‫د زوجية‬

‫‪ 13‬متزايدة على ‬ ‫متناق�صة على‬ ‫متناق�صة في ‪ 0 ، -‬ومتزايدة في ‪، 0‬‬ ‫ ‬ ‫هـ متزايدة في ‪ 0 ، -‬ومتناق�صة في ‪، 0‬‬ ‫د متزايدة على‬ ‫و متناق�صة على‬ ‫‪14‬‬

‫د متناق�صة في ‪ 0 ، 4-‬‬ ‫د غير متناق�صة في ‪6 ،6-‬‬

‫‪25‬‬

‫عنا�صر الفترة ‪ 4 ، 3‬‬ ‫‪ ، 52‬‬ ‫‪ 5 ، 5-‬‬

‫‪29‬‬ ‫هـ‬

‫‪1- = 5‬‬ ‫د‬

‫عنا�صر الفترة ‪4- ،5-‬‬ ‫ ‪7،‬‬‫د ‪6- ، -‬‬ ‫و ‪2- ، -‬‬ ‫ح‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 52 ،10-‬‬

‫ز‬

‫‪7‬‬

‫( ‪)2-4‬‬

‫‪،3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪،6‬‬ ‫‪، 13‬‬

‫( ‪)3-4‬‬

‫‪6‬‬

‫= ‪2-‬‬ ‫هـ‬

‫‪5 ،5 -‬‬

‫‪4،3 -‬‬

‫و‬

‫‪ ، 1-‬‬

‫‪245‬‬

‫( ‪)4-4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،1‬‬‫‪2‬‬ ‫‪،4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3،2‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫زوجية‬ ‫زوجية‬

‫د‬

‫– ‪1 ، 0 ، 1-‬‬ ‫زوجية‬

‫د فردية‬

‫( ‪)5-4‬‬ ‫‪1‬‬

‫دالة الربح د ( �س ) = ‪� 0,01-‬س‪� 150 + 2‬س – ‪2000‬‬ ‫‪ 560500‬ريال ‪.‬‬

‫‪ 2‬حـجم الـجليد ح ( �س ) = ‪ 4‬ط �س‪� 12 + 3‬س‪� 48 + 2‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ال�ضغط الـجوي ≈ ‪ 568,68‬مليمتر زئبقي ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫االرتفاع الذي تكون عليه الطائرة ≈ ‪ 3,03‬كلم ‪.‬‬ ‫�إذا كانت ‪� 1‬س ‪50‬‬ ‫‪� 0,1‬س‬ ‫قيمة اال�ستهالك ك ( �س ) =‬ ‫‪� 0,15‬س – ‪� 2,5‬إذا كانت ‪� 51‬س ‪100‬‬ ‫‪ 4.2 1‬ريال‬

‫‪ 5‬د ( �س )‬

‫‪ 5 2‬ريال‬

‫عندما �س = ‪7‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪ ( 150 + 700‬س – ‪ ) 7‬عندما ‪� 7‬س ‪13‬‬ ‫‪1400‬‬ ‫عندما ‪� 13‬س ‪14‬‬

‫‪ 6‬م ( ن )= ‪ 40000‬ط ن‬ ‫‪ 7‬ك ( ن )= ‪ 1500000‬ن – ‪ 75000‬ن‪45000 + 2‬‬

‫‪246‬‬

‫‪ 9,05 3‬ريال‬

247