СПЕЦІАЛЬНІ ПИТАННЯМАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ ТААЛГЕБРАЇЧНИХ СТРУКТУР

МІНІСТЕРСТВО КУЛЬТУРИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРИ І МИСТЕЦТВ

СПЕЦІАЛЬНІ ПИТАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ ТА АЛГЕБРАЇЧНИХ СТРУКТУР

Робоча навчальна програма для студентів напряму підготовки 6.050101 «Комп’ютерні науки»

КИЇВ – 2012

2

Укладачі : Джалладова І. А., доктор фізико-математичних наук, професор Чайковська О. А., кандидат педагогічних наук, професор Затверджено на засіданні кафедри комп’ютерних наук Протокол № 14 від 28 серпня 2011 р. Рекомендовано до видання Головною вченою радою університету Протокол № 1 від 2011 р.

3

Опис дисципліни та її предмета. «Спеціальні питання математичної логіки і алгебраїчних структур» належить до циклу дисциплін вільного вибору студента напряму підготовки «Комп’ютерні науки» освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр». Викладається на 1 курсі в обсязі 108 год. (3 кредитів), підсумковим контролем знань є залік. Математична логіка є розділом математики, що зародилася в давні часи. Її головною відмінністю є дискретність, тобто протилежність неперервності. Дискретна математика включає традиційні розділи математики, які вже сформувалися (математичну логіку, алгебру, теорію чисел) і нові, що інтенсивно розвиваються. Методи математичної логіки широко застосовуються у різних галузях науки і техніки: у теорії розпізнавання образів, штучному інтелекті, теорії прийняття рішень, теорії скінчених автоматів та ЕОМ.

Курс «Спеціальні питання

математичної логіки та алгебраїчних структур» містить основи знань, необхідних сучасному фахівцеві для осмислення прикладних проблем, пов'язаних з широким застосуванням комп'ютерної техніки і інформаційних технологій. Мета курсу: забезпечити підготовку студентів для застосування методів математичної логіки та алгебраїчних структур при розв'язанні практичних задач. Сучасний фахівець повинен володіти основними теоретичними і практичними навичками, які викладаються у даному курсі. Завдання курсу:  ознайомити студентів з теоретичними основами і методами математичної

логіки та алгебраїчних структур;  створити

фундамент

для

подальшої

освіти

фахівців

у

галузі

комп'ютерних та інформаційних технологій;  прищепити студентам уміння і звичку до самостійного вивчення учбової

літератури з математичної логіки та алгебраїчних структур; У результаті вивчення курсу «Спеціальні питання математичної логіки та алгебраїчних структур» студент повинен знати: :

4 -

основні поняття математичної логіки та алгебраїчних структур і методи розв'язування практичних задач;

Студент повинен уміти: -

розв'язувати задачі з використанням основних теорем математичної логіки та алгебраїчних структур;

-

використовувати алгоритми розв'язку типових задач способи представлення математичних об'єктів.

Предмет курсу «Спеціальні питання математичної логіки та алгебраїчних структур» складає вивчення алгоритмів математичної логіки та алгебраїчних структур, а його зміст розкривається в темах цього курсу. Навчальний курс ґрунтується на знаннях, здобутих у процесі вивчення такої дисципліни, як «Вища математика» та «Дискретна математика». Студенти повинні знати основи двійкової математики, алгебраїчні закони та основи теорії множин. СИСТЕМА ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ Навчальна дисципліна «Спеціальні питання математичної логіки та алгебраїчних структур» оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 2-х модулів. Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100бальною шкалою за накопичувальною системою. Форми поточного контролю: -

виконання практичних завдань;

-

письмові відповіді на завдання самостійної роботи;

-

розрахунково-графічні роботи.

Модульний контроль: результат вивчення кожного модуля складає підсумок всіх форм поточного контролю та виконання модульної контрольної роботи. Підсумковий контроль знань: залік - проводиться у формі письмової відповіді на два теоретичних питання та розв’язання задачі.

-

Умови допуску студента до заліку: відсутність заборгованостей з практичних занять;

5 -

відсутність заборгованостей з модульних контрольних робіт; позитивні рейтингові бали за кожний модуль. Курс І, семестр 2 Змістовий модуль 1 ( ЗМ1)

Змістовий модуль 2 ( ЗМ2 )

Залік (КЗ)

Разом (підсумкова оцінка ПО)

33

47

20

100

Максимальна оцінка в балах

Максимальна кількість балів за 1-2 модулі (стартовий рейтинг) – 80 балів. Розрахунок підсумкової оцінки: ПО = ЗМ1 + ЗМ2 + КЗ Студент має можливість накопичити максимальну кількість балів у межах кожного модуля, використовуючи різні способи набуття знань.

№ з/ п 1.

3.

4.

5.

Бальна система оцінювання різних форм навчання студента в межах кожного модуля Назви виду роботи, Бали за 1 Бали за всі заняття способи набуття знань заняття (максимальні) Модуль 1 Модуль 2 Лекційні заняття: - відвідування, конспектування лекцій - експрес-опитування Практичні заняття: - виконання практичного завдання Самостійна робота: - письмові відповіді - виконання розрахунковографічних робіт Модульна контрольна робота Всього за модуль Залік Разом з дисципліни

до 1

1х4=4

1х6=6

до 1

1х1=1

1х5=5

до 3

3х3=9

3х6=12

до 2 до 3

2х2=4 3х1=3

до 12

12х1=12 33

до 20

2х3=6 3х2=6 12х1=12 47

20 33 + 47 + 20 = 100 балів

Трансформація рейтингової оцінки Сума набраних рейтингових балів при семестровому контролі переводиться в оцінки системи оцінювання ECTS. Система передбачає семибальну шкалу (A, B, C, D, E, FX, F) та подвійне (описове та статистичне) визначення цих оцінок. Підсумковий рейтинговий бал

Підсумкова оцінка за шкалою ECTS

Традиційна екзаменаційна оцінка

Традиційна залікова оцінка

6 91 – 100 84 – 90 76 – 83 66 – 75 61 – 65 21 – 60 0 – 20

A – відмінно B – дуже добре C – добре D – задовільно E – достатньо (задовольняє мінімальні критерії) FХ – незадовільно F – незадовільно (потрібна додаткова робота)

відмінно добре зараховано задовільно незадовільно

не зараховано

не допущено

не допущено

7

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН для студентів денної форми навчання № з/ п

1.

1.

1.

2.

Всього годин

Назви тем

Лекції

Види занять і розподіл годин Практ. Самос. роб. МК Форми контролю

МОДУЛЬ 1. СПЕЦІАЛЬНІ ПИТАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ Спеціальні поняття булевої 22 8 4 10 алгебри Булеві 12 2 10 відношення Модульна контрольна 2 2 робота № 1 Всього 36 8 6 20 2

Конспект, експрес-опитування, перевірка практичних завдань Перевірка практичних завдань, розрахунковографічна робота МКР

Модульний контроль

МОДУЛЬ 2. АЛГЕБРАЇЧНІ СТРУКТУРИ 2.

1.

2.

4.

Основи абстрактної алгебри Початки лінійної алгебри Початки алгебри многочленів Початки теорії груп

2.

5.

Групи та групи з операторами

2.

6.

Кільця

2.

7.

Тіла та модулі

2.

2.

2.

3.

8

2

2

6 10

2

4

Конспект, експрес-опитування, перевірка практичних завдань

6

Письмові відповіді, розрахунково- графічна робота

8

Письмові відповіді, перевірка практичних завдань

10

2

2

6

10

2

2

6

10

2

2

6

16

4

2

10

Конспект, експрес-опитування, перевірка практичних завдань Конспект, експресопитування, перевірка практичних завдань розрахунковографічна робота Конспект, експресопитування, перевірка практичних завдань Конспект, експресопитування, перевірка практичних завдань

Модульна контрольна робота № 2

2

Всього

72

12

12

46

2

Модульний контроль

108

20

18

66

4

ЗАЛІК

Разом дисципліни

2

з

МКР

8

ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ МОДУЛЬ 1. СПЕЦІАЛЬНІ ПИТАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ ТЕМА 1.1. СПЕЦІАЛЬНІ ПОНЯТТЯ БУЛЕВОЇ АЛГЕБРИ Лекція Поняття булевої функції. Табличний спосіб визначення булевих функцій, кількість булевих функцій. Елементарні булеві функції: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквівалентність, нерівнозначність, штрих Шеффера, стрілка Пірса. Суперпозиції булевих функцій, булеві формули. Основні тотожності булевої алгебри. Принцип двоїстості. Двоїсті та самодвоїсті функції. Теореми про кон’юнктивний та диз’юнктивний розклад. Канонічні

форми

булевих

функцій.

Досконала

диз’юнктивна

та

кон’юнктивна номальні форми булевої функції. Алгебра Жегалкіна. Замкнені класи та функціональна повнота, метод зведення. П’ять замкнених класів булевих функцій: функції, що зберігають константи, лінійні, монотонні та самодвоїсті функції. Теорема Поста про функціональну повноту. Релейно контактні та комбінаційні схеми. Мінімізація булевих функцій і схем. Література: 1, 4, 7, 10. Практичне заняття Тема: «Булева алгебра». Мета: набути навиків оперувати поняттями булевої алгебри, показати відмінність від звичайної алгебри та розуміти абстрактні алгебри. Завдання 1. Дати означення булевих функцій. Охарактеризувати таблиці істинності, булеві формули, тотожні перетворення, еквівалентність булевих формул, двоїсті та самодвоїсті функції. Навести алгоритм побудови досконалих диз’юнктивних нормальних форм (ДДНФ) і досконалих кон’юнктивних нормальних форм (ДКНФ) булевих функцій.

9 2. Встановити, чи є форма

M ( M1, M 2 , M 3 ) = M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∪ M1 ∩ M1 ∩ M 3 ∪ M 2 досконалою.

3. Встановити, чи є форма

M ( M1, M 2 , M 3 ) = M1 ∩ M 2 ∪ M1 ∪ M 3 ∪ M 2 ∩ M 3 ∪ M 1 ∩ M 3 скороченою.

4. Мінімізувати

в класі НФК множину М, задану як об’єднання своїх

конституант: M ( M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ) = ∪( 0,2,7,8,11,14,15) ,

де десяткові числа є числовими еквівалентами двійкових векторів, які визначають відповідні конституанти цієї множини.

5. Визначити складність мінімальної діжкової форми множини М, заданої своєю

нормальною формою

M ( M 1 , M 2 ,..., M 6 ) = M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∪ M 1 ∩ M 2 ∩ M 5 ∪ ∪ M1 ∩ M 3 ∩ M 4 ∩ M 6 ∪ M 2 ∩ M 4 ∩ M 5 ∩ M 6 .

6. Знайти число тупикових НФК множини

M ( M1, M 2 , M 3 , M 4 ) = M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∪ M 1 ∩ M 2 ∩ M 4 ∪ ∪ M 2 ∩ M 3 ∩ M 1 ∩ M 4 ∪ M1 ∩ M 3 ∩ M 4 .

7. Визначити ранг (число конституант) множини

M ( M 1 , M 2 ,..., M 6 ) = ( M 4 ∩ M 6 ∪ M 1 ∩ M 2 ) ∩ ( M 1 ∩ M 3 ∪ M 5 ∩ M 6 ) .

Завдання для самостійної роботи 1. Довести, що в афінній геометрії всі трикутники рівні. В афінній геометрії відсутнє поняття відстані між точками. Однак, як показує наступна задача, є інваріант трьох точок, які лежать на одній прямій.

2. Довести, що при афінних відображеннях зберігається відношення, в якому точка ділить відрізок. Запитання для самоперевірки 1. Що таке булеві змінні?

10

2. Навести визначення булевої функції.

3. Які є способи задання булевих функцій?

4. Скільки є булевих функцій n змінних?

5. Як формулюється принцип двоїстості?

6. Що називається досконалою диз’юнктивною нормальною формою (ДДНФ) булевої функції?

7. Що називається досконалою кон’юнктивною нормальною формою (ДКНФ) булевої функції?

8. Як трактується спосіб побудови ДДНФ булевої функції за таблицею істинності?

9. Як трактується спосіб побудови ДКНФ булевої функції за таблицею істинності?

10. Що називається поліномом Жегалкіна булевої функції? Скільки різних поліномів Жегалкіна може існувати для булевої функції?

11. Як отримати поліном Жегалкіна з диз’юнктивної нормальної форми булевої функції?

12. Що називають функціонально замкненим класом булевих функцій?

13. Приклади функцій із п’яти відомих замкнених класів булевих функцій.

14. Що таке функціонально повна система булевих функцій? Що називають базисом?

15. Сформулювати теорему Поста. У чому полягає основний результат теореми?

16. Навести приклади базисів із булевих функцій.

17. Навести приклади функціонально повних наборів, що складаються з однієї функції.

18. Що називають імплікантою, простою імплікантою булевої функції? Навести приклади.

19. Що називають скороченою диз’юнктивною нормальною формою булевої функції?

11

20. Що називають мінімальною диз’юнктивною нормальною формою булевої функції?

21. Що називають тупиковою диз’юнктивною нормальною формою булевої функції?

22.

Сформулювати

способи

отримання

мінімальної

диз’юнктивної

нормальної форми за скороченою диз’юнктивною нормальною формою булевої функції.

23. Як використовується метод Квайна?

24. На чому заснований метод Карно? Література: 3, 9, 14, 15. ТЕМА 1.2. БІНАРНІ ВІДНОШЕННЯ Практичне заняття Мета: набуття навиків будувати, класифікувати, аналізувати відношення. Завдання 1. Довести, що якщо відношення R1

i R2 рефлексивні, то рефлексивні і

відношення R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 .

2. Довести, що якщо відношення R1

i R2

симетричні, то симетричні і

відношення R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 .

3. Довести, що кінцева множина потужності n містить

p! p!⋅( n − p )! різних

підмножин потужності p ≤ n .

4. Довести, що 5. Довести, що



Mi

i

M i

i

- найменша множина, яка містить всі множини M i .

- найбільша множина, яка міститься у всіх множинах M i .

6. Довести, що якщо M a , M b , M c iM d не порожні, то:

а) M a ⊂ M b iM c ⊂ M d ↔ M a × M c × M c ⊂ M b × M d ; б) M a = M b iM c = M d ↔ M a × M c = M b × M d .

7. Довести, що

(Ma × Mb ) ∪ (Mc × Md ) ⊂ (Ma ∪ Mc ) ×( Mb ∪ Md ) .

12 8. Довести, що:

а) ( M a ∪ M b ) × M c = ( M a × M c ) ∪ ( M b × M c ); б) M a × ( M b ∪ M c ) = ( M a × M b ) ∪ ( M a × M c ) ; в) ( M a ∪ M b ) × ( M c ∪ M d ) = ( M a × M c ) ∪ ( M b × M c ) ∪ ( M a × M d ) ∪ ( M b × M d ) ; 9. Побудувати бінарне відношення:

а) рефлексивне, симетричне, нетранзитивне; б) рефлексивне, транзитивне, несиметричне; в) нерефлексивне, асиметричне, нетранзитивне.

10. Дати відповідь: які з наступних відношень є однозначними, які – зворотно

однозначними і які – взаємно однозначними а) ( x, y ) ∈ R ↔ y

º

áàòüêî

б) ( x, y ) ∈ R ↔ y

º

ñèí

õ;

õ;

2 в) ( x, y ) ∈ R ↔ x = y ; 2 г) ( x, y ) ∈ R ↔ x = y ;

д) ( x, y ) ∈ R ↔ x + 5 > 3 − y ?

11. Нехай М – множина всіх паралелограмів на площині,

A1 - множина

квадратів, A2 - множина прямокутників, A3 - множина ромбів на площині. Знайти результати наступних операцій: Ai ∪ A j ,

1. Довести

Ai ∩ A j ,

Ai ∩ A j ,

i, j = 1,2,3.

Завдання для самостійної роботи тотожні перетворення формул алгебри Буля за допомогою

основних законів математичної логіки.

2. Навести алгоритм побудови ДДНФ і ДКНФ булевих функцій за допомогою таблиці істинності.

3. Навести алгоритм побудови ДДНФ і ДКНФ булевих функцій за допомогою законів алгебри Буля.

4. Навести алгоритм мінімізації ДДНФ і ДКНФ булевих функцій методом Квайна.

13

5. Навести алгоритм мінімізації ДДНФ і ДКНФ булевих функцій методом карт Карно. Запитання для самоперевірки 1. Які приклади бінарних відношень є рефлексивними, симетричними, нетранзитивними?

2. Що таке

рефлексивне, транзитивне, несиметричне відношення? Навести

приклади.

3. Що таке нерефлексивне, асиметричне, нетранзитивне відношення?

Література: 10. Модульна контрольна робота № 1 Мета МКР: закріпити теоретичні та практичні знання, які студент набуває під час вивчення теми, спеціальні питання логіки та відношень. Вимоги до змісту МКР: модульна контрольна робота проводиться у вигляді письмової роботи, містить 4 питання. Типовий варіант МКР 1. Теоретичне питання.

2. Тотожні перетворення формул алгебри Буля.

3. Побудова ДДНФ і ДКНФ булевих функцій.

4. Мінімізація ДДНФ і ДКНФ булевих функцій.

МОДУЛЬ 2. АЛГЕБРАЇЧНІ СТРУКТУРИ ТЕМА 2.1. ОСНОВИ АБСТРАКТНОЇ АЛГЕБРИ Лекція Основні поняття алгебраїчних структур. Означення алгебраїчної структури. Стійкі

множини.

Індуцьована

алгебраїчна

структура.

Факторструктури.

Представлення, гомоморфізми. Добуток алгебраїчних структур. Практичне заняття Тема: «Основні поняття теорії алгебраїчних структур та дії з ними».

14

Мета: навчити студентів оперувати поняттями алгебраїчних структур, показати відмінність від понять звичайної алгебри та розуміти абстрактні алгебри. Завдання

Встановити, чи утворює групу алгебра з носієм { 0,1,2,..., p − 1} сигнатурою –

1.

операцією додаванням по модулю р. З’ясувати, чи утворює групу алгебра з носієм { 0,1,2,..., p − 1} сигнатурою –

2.

операцією множення по модулю р. Чи є полем алгебра з носієм

3.

{ 0,1,2,..., p − 1}

сигнатурою – операцією

множення по модулю р. Показати, що відношення ≤ в множині цілих чисел від 1 до k можна задати

4.

трикутною матрицею суміжності. Довести, що люба підмножина частково впорядкованої множини має не

5.

більш однієї верхньої і одної нижньої грані. Для множини двійкових векторів довжини 4 побудувати граф, задаючи

6.

відношення

(

)(

X a ≤ X b ↔ ∀xai , xbi xai ≤ xbi

).

З’ясувати, чи задає цей граф алгебру, якщо так, то встановити результат операцій множення і додавання. Позначимо через

7.

M a × M b , ρ = Ra × Rb ,

Ra = M a , ≤ ,

Rb = M b , ≤

множина, для котрого

( ma , mb ) ρ (ma i

i

j

)

, mb j ↔ mai ≤ ma j

&

mbi ≤ mb j

.

Показати, що: а) Ra × Rb - частково впорядкована множина; б) Ra × Rb є ланцюгом тільки в тому випадку, якщо Ra або Rb складається з одного елементу.

8.

9.

Довести, що будь – який ланцюг є дистрибутивною решіткою. Інтервал

[ a, b]

в частково впорядкованій множині складається з всіх

елементів x , які вдоволяють умову a ≤ x ≤ b . Довести, що:

15

а) перетин двох інтервалів є інтервалом (може бути, порожнім); б) будь – який інтервал в решітці є підрешіткою.

10.

Розглянемо об’єднання множин взаємно простих чисел М і множини всіх

добутків, співмножниками котрих є елементи множини М; визначимо додавання і віднімання в цьому об’єднанні як обчислення найменшого спільного кратного і найбільшого спільного дільника відповідно. Встановити, чи є сукупність об’єднання розглянутих множин і операцій додавання і віднімання булевою алгеброю. Завдання для самостійної роботи E

1. Матриця ij , у якої на (i, j ) -м місці стоїть 1, а на інших місцях – нулі, називається матричною одиницею (не плутати з одиничною матрицею!).

E Матричні одиниці ij (i, j = 1,..., n ) утворюють базис векторного простору Ln (K ) . Виписати таблицю множення алгебри Ln (K ) в цьому базисі.

2. Матриці виду λE (λ ∈ K ) називаються скалярними. Очевидно, що будь-яка скалярна матриця перестановочна з усіма квадратними матрицями того ж порядку. Довести зворотне: будь-яка квадратна матриця, перестановочна з усіма квадратними матрицями того ж порядку, скалярна.

3. Довести, що в алгебрі L 2 ( R) матриці виду a − b   , a, b ∈ R b a  ,

утворюють підалгебру, ізоморфну алгебрі комплексних чисел.

4. Довести, що в алгебрі L 2 (C ) розглянутої як алгебра над R , матриці виду a − b     b a  , a, b ∈ C   ,

утворюють підалгебру, ізоморфну алгебрі кватерніонів.

Запитання для самоперевірки 1. Що таке структура взагалі?

2. Які види структур?

3. Що таке алгебраїчна структура?

4. Як визначається добуток алгебраїчних структур?

16

Література: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10. ТЕМА 2.2. ПОЧАТКИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ Завдання для самостійної роботи Зробити конспект наступних питань: «Системи лінійних рівнянь» «Базис и розміреність векторного простору» «Лінійні відображення» «Визначники. Деякі застосування визначників» «Лінійні функції. Лінійні відображення фактор модуля. Лінійні відображення в пряму суму. Лінійні відображення прямої суми» «Базиси векторного простору. Кінцевомірні векторні простори. Підпростори векторного простору» «Ранг лінійного відображення. Двоїстість» Запитання для самоперевірки 1. Що таке базис і розмірність?

2. Навести приклади застосування визначників.

3. Що таке базиси векторного простору?

4. Як визначається ранг лінійного відображення?

Література: 3, 8, 9, 10. ТЕМА 2.3. ПОЧАТКИ АЛГЕБРИ МНОГОЧЛЕНІВ Практичне заняття Тема: «Основна теорема алгебри комплексних чисел. Корені многочленів з дійсними коефіцієнтами» Мета: набуття навиків оперувати поняттями алгебри многочленів, розв’язувати рівняння третього степеня. Завдання 1. Навести алгоритм побудови і основні властивості алгебри многочленів, а

також загальні властивості коренів многочленів.

17 2. Пояснити основну теорему алгебри комплексних чисел. Що таке корені

многочленів з дійсними коефіцієнтами?

3. Охарактеризувати теорію подільності в евклідових кільцях. Дати означення

многочленів з раціональними коефіцієнтами; многочленів від декількох перемінних і симетричних многочленів.

4. Кубічні рівняння. Поле раціональних дробів.

Знайти корені многочленів, лишки, розв’язати кубічні рівняння.

5. Перелічити ненаведені многочлени ступенів ≤ 4 над полем Z 2 і довести, що

існує рівно 6 не наведених многочленів ступеня 5. Завдання для самостійної роботи

1. В кільці Z[ i] розкласти на прості множники числа 2, 3 і 5 і пояснити, в чому принципова різниця між цими трьома випадками.

2. Довести, що розмірність простору однорідних многочленів ступеню d від n змінних дорівнює С nd =

n(n + 1)...(n + d − 1) d!

(число сполучень з повторами з n по d).

3. Довести, що многочлен ( х1 + х 2 − х3 − х 4 )( х1 − х 2 + х3 − х 4 )( х1 − х 2 − х3 + х 4 )

,

є симетричним. Запитання для самоперевірки 1. Що таке алгебра многочленів?

2. Як формулюється основна теорема алгебри?

3. Що таке симетричні многочлени? Навести приклади.

4. Що таке циклічні групи?

5. Що таке гомеоморфізм? Навести приклади. Література: 2, 6, 4.

ТЕМА 2.4. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ГРУП Лекція Означення і приклади груп. Групи в геометрії і фізиці. Циклічні групи.

18

Системи породжуючих. Розбиття на сміжні класи.

Гомоморфізми.

Гомеоморфізми. Практичне заняття Тема: «Основні поняття теорії груп». Мета: набуття навиків оперувати основними поняттями теорії груп. Завдання 1. Виконати завдання з наведення прикладів групи в геометрії і фізиці.

2. Розв’язати приклади циклічної групи.

3. Розв’язати приклади системи породжуючих.

4. Виконати завдання з розбиття на суміжні класи.

5. Виконати завдання з визначення гомоморфізмів. Завдання для самостійної роботи 1. Довести, що в матриці рангу τ будь-який мінор порядку τ , утворюваний перетином τ лінійно-незалежних рядків з τ лінійно-незалежними стовпчиками, відмінний від нуля.

2. Нехай n – просте число. Довести теорему Вільсона: (n - 1)!≡ -1

(mod n)

3. Найменшим загальним кратним елементом а і b цілісного кільця називається їх загальне кратне (тобто елемент, який ділиться на а і на b), яке ділить всі їх загальні кратні. Воно позначається через [ а, b] чи НОК (а, b). Довести, що в евклідовому кільці для будь-яких елементів а і b існує найменше загальне кратне [ а, b] , причому

( a, b )[ a, b] ~ ab

Запитання для самоперевірки 1. Що таке групи?

2. Як формулюється задача розбиття на суміжні класи?

3. Що таке системи породжуючих? Навести приклади.

4. Що таке циклічні групи?

6. Що таке гомеоморфізм?

7. Навести приклади гомоморфізмів. Література: 2, 7, 8, 9.

19

ТЕМА 2.5. ГРУПИ ТА ГРУПИ З ОПЕРАТОРАМИ Лекція Групи. Підгрупи. Факторгрупи. Подання. Добуток груп. Прямий добуток груп. Комутативні групи; моногенні групи. Центр групи; комутант. Групи з операторами. Стійкі підгрупи з операторами. Фактор групи груп з операторами. Подання груп з операторами. Підгрупи фактор груп з операторами. Теорема Жордана – Гьольдера. Групи перетворень. Подання групи в групу перетворень. Розповсюдження групи перетворень. Інваріанти групи операторів. Групи автоморфізмів. Транзитні групи. Однорідний простір. Примітивні групи. Практичне заняття Тема: «Групи. Види груп. Дії з групами та їх підкласами. Знаходження тупикових груп». Мета: набуття навиків оперувати поняттями: «групи» та «групи з операторами». Завдання 1. Знайти мінімальну НФК множини М, визначеного в чотирьохмірному

просторі: M ( M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ) = ∪(1 − 00,−110,0101,−0 − 1,0010,−01−,0 − 0 − ) .

2. Визначити зменшення потужності сигнатури монографа G

M

(M ) ,

який

визначає множину M ( M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ) = ∪( 0,4,6,7,8,9,11,13,15) ,

після мінімізації в класі НФК.

3. Визначити потужність класу множин, кожне з котрих не містить два n

перетини

M i i =1

n

i

M i i =1

в n - мірному просторі.

4. Визначити зменшення потужності носія монографа G

множину M ( M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ) = ∪( 0,1,2,3,5,11,15) ,

після мінімізації в класі НФК.

M

( M ) , який визначає

20 5. Інваріанти

групи операторів. Групи автоморфізмі. Транзитні групи.

Однорідний простір. Примітивні групи. Завдання для самостійної роботи 1. Знайти число векторів n -мірного векторного простору над кінцевим полем з q елементів.

2. Довести, що простір всіх неперервних функцій на будь-якому проміжку числової прямої безкінцевомірний.

3. Знайти число базисів n -мірного векторного простору над полем з q елементів.

4. Знайти число k-мірних підпросторів n -мірного векторного простору над полем з q елементів.

5. Довести, що поле R як векторний простір над Q не є лічильномірним.

6. Довести, що з будь-якої обчислювальної множини векторного простору, що породжує, можна вибрати базис.

7. Довести, що будь-яка незліченна множина векторів в лічильномірному векторному просторі лінійно залежна (і, отже, будь-який базис рахунковий).

8. Довести, що будь-яку (кінцеву чи обчислювальну) лінійно незалежну систему векторів обчислювальномірного векторного простору можна доповнити до базису.

9. Довести, що будь-який підпростір обчислювального векторного простору не більше, ніж обчислювальномірний (тобто обчислюється чи кінцевомірний). Привести приклад обчислювального підпростору обчислювального векторного простору, який не співпадає з усім простором.

10. Використовуючи лінійні відображення, довести, що ранг добутку двох матриць (не обов’язково квадратних) не перевершує ранг кожної з них, а якщо одна з цих матриць невирожденна, то ранг добутку дорівнює рангу іншої матриці.

Запитання для самоперевірки 1. Що таке підгрупи?

2. Як формулюється Теорема Жордана – Гьольдера?

3. Що таке інваріанти групи операторів? Навести приклади.

4. Що таке транзитні групи?

6. Що таке однорідний простір?

21

7. Навести приклади примітивних груп. Література: 1, 2. ТЕМА 2.6. КІЛЬЦЯ Лекція Поняття кільця. Кільця з операторами. Дільники кулі. Кільця цілісності. Підкільця. Відношення еквівалентності в кільці. Ідеали. Фактор кільця. Властивості ідеалів. Максимальні ідеали. Гомоморфізми кілець. Підкільця та ідеали. Фактор кілець. Добуток кілець. Пряма композиція підкілець. Практичне заняття Тема: «Основні поняття. Дії з кільцями та їх підкласами». Мета: набуття навиків оперувати поняттями «кільце», «півкільце», «ідеал», «фактор кілець». Завдання 1. Довести, що в любому комутативному кільці

( a + b)

n

n −1

= a + ∑ C ( n, i ) ⋅ a n − i b i + b n n

i =1

.

2. Довести, що в любому комутативному кільці

aman = am+ n , 3. Розглянувши сукупність

( ab ) n = a nb n ,

(a )

m n

= a mn .

M ,0,+,× , де 0+0=0 і 0 × 0=0, з’ясувати, чи є вона:

кільцем, тілом, полем.

4. Довести, що в кожній решітці:

а) ( a ≤ b ) & ( c ≤ d ) → a ∪ c ≤ b ∪ d ; б) ( a ≤ b ) & ( c ≤ b ) → a ∪ c ≤ b ; в) ( a ≤ b ) → ( ∀c )( a ∪ c ) ≤ ( b ∪ c ) ; г) ( a ≤ b ) & ( c ≤ d ) → a ∩ c ≤ b ∩ d ; д) ( a ≤ b ) & ( a ≤ c ) → a ≤ b ∩ c ; е) ( a ≤ b ) → ( ∀c )( a ∩ c ) ≤ ( b ∩ c ) .

5. Довести, що в кожній решітці для любих елементів a, b, c :

а) a ∪ b ∩ c ≤ ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c ) ;

22

б) a ∩ ( b ∪ c ) ≥ a ∩ b ∪ a ∩ c ; в) a ≤ b → a ∪ b ∩ c ≤ ( a ∪ c ) ∩ b .

6. Довести, що решітка є медулярною тоді і тільки тоді, коли для любих трьох

елементів a, b, c a ∩ b ∪ c ∩ ( a ∪ c) = ( a ∩ b ∪ c) ∩ ( a ∪ c) .

7. Довести, що решітка дистрибутивна тоді і тільки тоді, коли для любих трьох

елементів a, b, c a ∩ ( b ∪ c ) ∪ b ∩ c = ( c ∪ a ∩ b) ∩ ( a ∪ b) . Завдання для самостійної роботи М 1. Нехай М – будь-яка множина і 2 - множина всіх його підмножин. Довести, що 2 М - кільце відносно операцій симетричної різниці А∆В = ( А \ В) ∪ ( В \ А)

і перетин, які взяли в якості складання і множення відповідно. Довести, що це кільце комутативне і асоціативне.

2. Довести, що всі кінцеві підмножини множини М утворюють підкільця кільця 2 М з задачі 1.

3. Довести, що підмножина L поля К є підполем тоді і тільки тоді, коли: 1) L замкнуто відносно віднімання і ділення; 2) L ∈ 0,1 .

4. Довести, що поле Q не має нетривіальних підполів (тобто відмінних від нього самого). М 5. Довести, що кільце 2 з задачі 1 перетворюється в алгебру над полем Z 2 , якщо визначити в ньому множення на елементи цього поля по правилах M 0 A = , 1A = A ∀A ∈ 2 .

Запитання для самоперевірки 1. Що таке кільця і кільця з операторами?

2. Як формулюється властивості ідеалів?

3. Що таке максимальні ідеали? Навести приклади.

4. Як знаходиться добуток кілець?

5. Що таке однорідний простір?

23

6. Навести приклади примітивних груп. Література: 1, 2,6,8 ТЕМА 2.7. ТІЛА ТА МОДУЛІ Лекція Тіла і тіла з операторами. Підтіла. Гомоморфізми тіл. Поле відношень кільця цілісності. Поле раціональних чисел. Визначення модулів. Унітарні модулі. Векторні простори. Підмодулі і фактормодулі. Добуток модулів. Пряма сума кінцевого сімейства підмодулів. Додаткові підмодулі. Лінійні комбінації. Вільні сімейства. Базиси. Сума і пряма сума любого сімейства підмодулів. Модулі формальних лінійних комбінацій. Аннулятори. Точні модулі. Побудова многогенних модулів. Лінійні форми. Спряжений модуль. Ортогональність. Спряжений до фактормодуля. Спряжені до прямої суми. Координатні форми. Спряжені базиси. Двоїстість для скінченновимірних векторних просторів. Двоїстість для довільних векторних просторів. Лінійні рівняння. Лінійні рівняння на векторному просторі. Спряжене лінійне відображення. Практичне заняття Мета: набуття навиків оперувати поняттями «тіло», «підтіло», «анулятор», «модуль». Завдання 1.

Опрацювати

теоретичні

основи

прослуханого

лекційного

матеріалу.

Ключові слова: тіла, підтіла, гомоморфізми тіл; поле відношень кільця цілісності, поле раціональних чисел; визначення модулів, унітарні модулі, векторні простори, підмодулі і фактор-модулі; добуток модулів; пряма сума кінцевого сімейства підмодулів; додаткові підмодулі; лінійні комбінації; базиси.; сума і пряма сума любого сімейства підмодулів; модулі формальних лінійних комбінацій.

2.

Знайти множину «заборонених фігур», виводячи частково впорядковану

множину з класу решіток.

24

Метричний простір є сукупністю множини М із заданими в ньому

3.

відстанями s ( ma , mb ) між двома будь – якими елементами ma , mb ∈ M , вдовольняє наступні умови. Довести : 

s ( ma , mb ) > 0,

ÿêùî

ma ≠ mb ,

i

s( ma , mb ) = 0 ,

якщо

елементи

співпадають; 

s( ma , mb ) = s( mb , ma ) ;



s( ma , mb ) + s ( mb , mc ) ≤ s ( ma , mc ) (умова трикутника).

Завдання для самостійної роботи 1. Ознайомитися з поняттям кілець ендоморфізмів і навести приклади.

2. Побудувати квадратичні розширення кільця.

3. Провести порівняльний аналіз поняття «кваторніонів» з поняттям

«комплексних чисел».

4. Охарактеризувати моноїдну алгебру і групову алгебру.

5. Законспектувати питання: «Розширена моноїдна алгебра».

6. Вибудувати звуження тіла скалярів. Базиси відносно підтіла. Первісні

елементи векторного підпростору. Первісні рішення системи лінійних рівнянь.

7. Запропонувати застосування до простору лінійних співвідношень між

заданими елементами векторного простору.

8. Ознайомитися з поняттями «підтіло», «асоційоване з підпростору».

9. Запропонувати застосування кільця ендоморфізмів тіла відносно його

підтіл. Запитання для самоперевірки 1.

Що таке тіла і кільця цілісності?

2.

Як формулюються властивості лінійних комбінацій?

3.

Що таке підмодулі і фактор-модулі? Навести приклади.

25

4.

Як знаходиться добуток модулів?

5.

Що таке однорідний простір ?

6.

Навести приклади ануляторів і точних модулів.

Література: 1, 2. Модульна контрольна робота №2 Мета МКР: закріпити теоретичні та практичні знання, які студент набуває під час вивчення модуля. Вимоги до змісту МКР: модульна контрольна робота проводиться у вигляді письмової роботи, містить 4 питання. Типовий варіант модульної роботи 1. Теоретичне питання.

2. Дії в полі комплексних чисел.

3. Знайти лишки від ділення певного числа на задане.

4. Логічні питання по алгебраїчним структурам. ПИТАННЯ ДО ЗАЛІКУ 1. Алгебраїчні структури. Основні поняття.

2. Абелеві групи.

3. Кільця і поля.

4. Підгрупи, підкільця і підполя.

5. Поле комплексних чисел.

6. Кільця лишок.

7. Векторні простори.

8. Алгебри.

9. Алгебра матриць.

10. Системи лінійних рівнянь.

11. Базис і розмір векторного простору.

12. Лінійні відображення.

13. Визначники. Деякі застосування визначників.

14. Побудова і основні властивості алгебри многочленів.

15. Спільні властивості коренів многочленів.

26 16. Основна теорема алгебри комплексних чисел.

17. Корені многочленів з дійсними коефіцієнтами.

18. Теорія подільності в евклідових кільцях.

19. Многочлени з раціональними коефіцієнтами.

20. Многочлени від декількох перемінних.

21. Симетричні многочлени.

22. Кубічні рівняння.

23. Поле раціональних дробів.

24. Начала теорії груп. Визначення і приклади.

25. Групи в геометрії і фізиці.

26. Циклічні групи.

27. Системи породжуючих.

28. Розбиття на суміжні класи.

29. Гомоморфізми. Визначення і приклади.

30. Гомеоморфізми.

31. Кільця з операторами.

32. Дільники кулі. Кільця цілісності.

33. Підкільця.

34. Відношення еквівалентності в кільці. Ідеали. Фактор-кільця.

35. Властивості ідеалів.

36. Максимальні ідеали.

37. Гомоморфізми кілець.

38. Підкільця та ідеали фактор-кілець.

39. Добуток кілець.

40. Пряма композиція підкілець.

41. Тіла і тіла з операторами.

42. Підтіла.

43. Гомоморфізми тіл.

44. Поле відносно кільця цілісності.

45. Поле раціональних чисел.

46. Визначення модулів.

27 47. Унітарні модулі. Векторні простори.

48. Підмодулі і фактор-модулі.

49. Добуток модулів. Пряма сума кінцевого сімейства півмодулів. Додаткові

півмодулі.

50. Лінійні комбінації.

51. Вільні сімейства. Базиси.

52. Сума и пряма сума будь-якого сімейства пів модулів.

53. Модулі формальних лінійних комбінацій.

54. Аннулятори. Точні модулі. Будова моногенних модулів.

55. Лінійні функції.

56. Лінійні відображення фактор-модуля.

57. Лінійні відображення в пряму суму.

58. Лінійні відображення прямої суми.

59. Ендоморфізми модуля.

28

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПІДГОТОВКИ ПРАКТИЧНОГО ЗАВДАННЯ Практичне заняття, як одна із форм навчальних занять, розрахована на виконання студентами в електронному вигляді певної задачі з використанням ПК. На практичному занятті вони глибше опановують складні питання, беруть участь в їх колективному творчому обговоренні, оволодівають науковими методами аналізу певних явищ і проблем. Під час виконання практичної роботи створюються умови для перевірки та виявлення інтелектуального рівня студентів. Навчальні програми з переліком тем та питань дисципліни «Спеціальні питання математичної логіки і алгебраїчні структури» студенти отримують на першому практичному занятті. Для самостійного опанування тем предмета студенти можуть використовувати не тільки зазначений список основної літератури, а також інші джерела інформації, можливості Internet та додаткову літературу. На першому практичному занятті викладач вказує на основні теми предмета для практичного засвоєння, роз’яснює загальні положення, надає рекомендації по вивченню та опануванню всіх розділів, загострює увагу на найбільш важливих «вузлових» питаннях. На заключній лабораторній роботі розглядаються теми, які стали найбільш важкими для самостійного опанування. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Самостійна робота є однією із складових навчального процесу, на яку припадає значний обсяг навчального часу. При цьому студент є активним учасником навчального процесу, набуває навичок самоорганізації, самостійного пошуку інформації, прийняття рішень і т.ін. Правильна організація самостійної роботи

дозволяє

максимально

індивідуалізувати

навчання,

підвищити

ефективність навчального процесу в цілому. Самостійна

робота

студентів

складається

з

роботи

з літературою

(доповнення конспектів лекцій, написання рефератів, ознайомлення з додатковою інформацією в мережі

Інтернет) та роботи

на персональному комп’ютері з

певними програмними продуктами. Кожен студент повинен написати реферат або

29

виконати індивідуальне завдання за погодженням із викладачем. Теми для самостійної роботи студентів (у тому числі рефератів) та їх обсяг визначаються даною робочою програмою. Одним із видів самостійної роботи є опрацювання лекційного матеріалу, визначення головного у змісті лекції, засвоєння її основних моментів. Щоб зрозуміти і добре засвоїти лекційний матеріал, до кожної наступної теми слід ретельно готуватись: систематично опрацьовувати матеріал попередньої лекції, і, якщо

це

необхідно,

опрацювати

рекомендовану

літературу,

повторювати

пройдений матеріал, на який лектор посилається при викладанні нового, якщо з певних причин лекція пропущена, її необхідно законспектувати і опрацювати самостійно, незрозумілі питання з’ясувати на консультації. Для ґрунтовного засвоєння першоджерел необхідно вдумливо конспектувати їх, вдаючись до різних видів запису (витяги, тези, цитати і т.ін.). Готуючись до відповіді, важливо, в першу чергу, визначити напрями наукових досліджень з певної проблеми та впровадження їх результатів у практику. Доцільно підготувати власні спостереження та висновки, обґрунтовуючи їх теоретичними положеннями та рекомендаціями. Особлива увага під час самостійної роботи повинна приділятись набуттю навичок практичної роботи на комп’ютерах з тими програмними продуктами, що вивчаються. Потрібно ознайомитись із основними теоретичними відомостями про програмний продукт за допомогою спеціальної літератури, лекційного та методичного матеріалу або довідкової системи програми. Після цього можна виконувати конкретні практичні завдання. Викладач систематично контролює самостійну роботу студентів: перевіряє конспекти першоджерел, виконання завдань практичних завдань, надає необхідну допомогу для активізації навчальної діяльності студентів. При вивченні дисципліни студенти можуть застосовувати наступні форми самостійної роботи: − самостійне поглиблене вивчення матеріалу на основі конспекту лекцій, їхніх презентацій, рекомендованої й учбово-методичної літератури, періодичних видань з тем лекцій;

30

− написання рефератів за переліком тем, запропонованих викладачем; − самостійна підготовка до практичних занять з використанням навчальних комп’ютерних програм; − підготовка до виконання тестів; − самостійна підготовка до іспиту, у тому числі з використанням навчальних комп’ютерних програм. Методи контролю: − тестування студентів перед виконанням практичних робіт; − опитування студентів під час захисту звітів з практичних робіт і на консультаціях, − проведення атестаційного контролю знань студентів під час іспиту. Необхідним елементом для самостійної роботи студентів є користування електронною бібліотекою університету на сайті КНУКіМ www.knukim.edu.ua. Окремою формою самостійної роботи студента є написання розрахунковографічних робіт. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОГРАФІЧНИХ РОБІТ Номер розрахунково-графічної роботи студент визначає за останньою цифрою номера своєї залікової книжки, якщо номер залікової книжки закінчується на нуль, то студент виконує варіант 10. На титульній сторінці розрахунково-графічної роботи студент має написати своє прізвище, ім’я, індекс групи, номер залікової книжки, номер варіанта розрахунково-графічної роботи. Зміст контрольних питань студент повинен переписати і дати на них письмові відповіді. Умови задач студент також повинен переписати і викласти в письмовому вигляді хід розв’язання задачі, а також відповідь. У кінці розрахунково-графічної роботи слід навести список використаної літератури, поставити дату та підпис. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ МОДУЛЬНОЇ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ Організація проміжного контролю знань

31

По завершенні вивчення кожного модуля студент виконує модульну контрольну роботу (далі МКР). Метою МКР є перевірка рівня засвоєння студентом теоретичного і практичного матеріалу модуля. Оцінка за МКР є оцінкою за модуль. Умови допуску до виконання МКР. До проведення МКР допускаються студенти, які виконали всі види робіт, що є обов’язковими складовими модуля. У випадку пропуску занять з поважних причин студент може відпрацювати матеріал теми

на додатковому занятті згідно встановленого графіка. Студент, який не

з’явився на МКР, у відомості зазначається «не з’явився» та йому виставляється 0 балів за модуль. Студент, який з поважної причини пропустив МКР, зобов’язаний надати відповідний документ та виконати МКР згідно встановленого кафедрою графіка. Порядок виконання МКР. Комплексна контрольна робота проводиться письмово на останньому практичному занятті у модулі відповідно встановленого графіка занять. Студент, який навчається за індивідуальним графіком, зобов’язаний скласти МКР у визначений деканатом час. Під час складання МКР студент не може користуватися додатковими матеріалами без дозволу викладача, у протилежному випадку, – він усувається від складання МКР, на роботі робиться відповідний запис, у заліково-екзаменаційну відомість виставляється 0 балів за МКР за модуль. Результати МКР

та оцінка за модуль

заносяться у заліково-екзаменаційну

відомість у визначеній шкалі протягом трьох робочих днів після складання МКР. Результати МКР доводяться до відома студентів не пізніше трьох днів після складання. Студент, який не погоджується з оцінкою, має право звернутися до викладача та отримати обґрунтоване пояснення. У випадку незгоди з рішенням викладача студент може звернутись з письмовою апеляцією до завідувача кафедри в день оголошення результатів. Завідувач кафедри та викладач мають розглянути апеляцію у присутності студента протягом двох днів з дня її подання та прийняти остаточне рішення щодо оцінки студента. У результаті апеляції оцінка не може бути зменшена. Якщо студент не звернувся з апеляцією у встановлений термін, то оцінка, виставлена викладачем, є остаточною.

32

Умови перескладання МКР. Модульний контроль проводиться лише один раз. Студент має право один раз перескласти модуль, оцінений «незадовільно» у термін, визначений деканатом, як виняток, у випадку, коли був не допущений до написання МКР. Загальні вимоги: -

завдання для контрольних робіт розроблено згідно з робочою

програмою; -

завдання до контрольної роботи видається та керується викладачем;

-

зарахування контрольної роботи вважається виконаним, коли студент

подає викладачу для перевірки письмову відповідь разом з виконаною практичною роботою. Питання, що включені до модульної контрольної роботи, оцінюються в діапазоні визначеному робочою програмою дисципліни. Структура кожного комплексу завдань для модульного контролю має ідентичну побудову і може включати такі види завдань: тестові завдання, теоретичне питання, що потребує розгорнутої відповіді, практичне завдання. Система нарахування балів визначена робочою програмою.

33

ЛІТЕРАТУРА 1. Бурбаки М. Алгебраїчні структури / М. Бурбаки. – К., Вища шк., 2002.

2. Винберг Є. Начала алгебри: учеб. пособие для студ. Вузов / Є. Винберг. – М.: МК МНУ., 1998.

3. Кузнецов О. П. Дискретна математика для інженера / О. П. Кузнецов, Г. М. Адельсон-Вельский. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4. Нефедов В. Н. Курс дискретной математики / В. Н. Нефедов, В. А. Осипова. – М.: Изд-во МАИ, 1992.

5. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов / Ф. А. Новиков– СПб.: Питер, 2003.

7. Трохимчук Р. М. Збірник задач з дискретної математики / Р. М. Трохимчук. – К.: РВЦ «Київський університет», 1997.

8. Трохимчук Р. М. Основи дискретної математики: практикум / Р. М. Трохимчук. — К.: МАУП, 2004.

9. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок / Ю. А. Шрейдер. – М.: Наука, 1971.

10. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. – М.: Высш. шк., 2001.