Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 11 Kansrekenen
20/04/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2017 Versie: 20 april 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 11
Kansrekenen 11.1
Wat is kans?
Het woord kans gebruik je dagelijks als de mogelijkheid dat iets gebeurt, zoals: 3 de kans dat het morgen regent, 3 de kans dat je dit jaar slaagt voor het vak geschiedenis, 3 de kans dat je met een muntstuk tien keer na elkaar munt gooit, 3 de kans dat je op school betrapt wordt op roken, 3 de kans dat Club Brugge dit jaar kampioen in de eerste klasse van het Belgische voetbal wordt. Soms kun je zo’n kans schatten door gebruik te maken van stevige argumenten, wat vaak afhankelijk is van de informatie waarover je beschikt. Zo zul je de kans dat je dit jaar slaagt voor het vak geschiedenis anders inschatten als bekend wordt dat het proefwerk geschiedenis in juni aartsmoeilijk is. In dit hoofdstuk zullen we het hebben over kansen van gebeurtenissen die door toeval bepaald worden, bijvoorbeeld de kans dat in een groep van 23 mensen twee personen op dezelfde dag verjaren.1 Wiskundigen proberen zulke kansen op een wetenschappelijke manier te bepalen door van de concrete realiteit naar een ideaal model over te stappen. De volgende opdracht laat zien hoe dat werkt. 3 Opdracht 1. Neem een dobbelsteen. (a) Wat is de kans dat je, bij het opgooien van de dobbelsteen, een zes gooit? (b) Stel dat één hoek van die dobbelsteen net iets zwaarder is dan de andere hoeken. Hoe kun je nu de kans op het gooien van een zes inschatten? (c) Gooi 18 keer met jouw dobbelsteen en duid telkens in onderstaand schema aan of het een zes is (J) of niet (N). Leg daarna de dobbelsteen weg en vul de derde, vierde en vijfde kolom in. (d) Om het globaal gedrag van de proportie zessen grafisch voor te stellen, gebruik je de resultaten uit de vorige opdracht. Teken nu voor jouw resultaten een grafiek. Oplossing.
Op een dobbelsteen is de som van tegenoverliggende waarden altijd zeven.
1 = 16, 66 . . . %. 6 Bij het schatten van die kans denk je wellicht niet aan de dobbelsteen in je hand maar aan een ideale dobbelsteen: volledig symmetrisch en van binnen perfect homogeen zodat geen enkele zijde bevoordeeld is om bovenaan te landen. Zo’n eerlijke of zuivere dobbelsteen bestaat niet en het is zeker niet de dobbelsteen die jij in je hand hebt. Maar je gebruikt wel een ideaal model om iets te zeggen over jouw dobbelsteen.
(a) Geschatte kans op het gooien van een zes:
(b) Om een nieuw, ideaal model te maken, laten we ons inspireren door wat we experimenteel vaststellen: de dobbelsteen een (groot) aantal keer (laten) gooien.
Inspiratie voor dit hoofdstuk werd ontleend aan H. Callaert et al., Statistiek voor het secundair onderwijs: Kansrekening voor de tweede graad, Universiteit Hasselt (2005). 1 Die kans blijkt meer dan 50% te zijn, wat aantoont dat bij sommige kansproblemen je inuı̈tie er flink naast kan zitten.
XI-1
(c)
Worp nummer
Is het een zes? Ja of neen (J/N)
Getal N=0, J=1
Frequentie: aantal keer zes tot nu toe
Relatieve frequentie: frequentie gedeeld door aantal worpen tot nu toe
1
N
0
0
0 1
=0
2
J
1
1
1 2
= 0, 5
3
N
0
1
1 3
= 0, 33 . . .
4
J
1
2
2 4
= 0, 5
5
N
0
2
2 5
= 0, 4
6
N
0
2
2 6
= 0, 33 . . .
7
N
0
2
2 7
= 0, 28 . . .
8
N
0
2
2 8
= 0, 25
9
N
0
2
2 9
= 0, 22 . . .
10
N
0
2
2 10
= 0, 2
11
N
0
2
2 11
= 0, 18 . . .
12
N
0
2
2 12
= 0, 16 . . .
13
N
0
2
2 13
= 0, 15 . . .
14
N
0
2
2 14
= 0, 14 . . .
15
J
1
3
3 15
= 0, 2
16
J
1
4
4 16
= 0, 25
17
N
0
4
4 17
= 0, 23 . . .
18
N
0
4
4 18
= 0, 22 . . .
(d) Voor de grafiek zet je op de x-as het volgnummer van de worp. In de y-richting zet je de relatieve frequentie: de proportie zessen die je tot aan die worp hebt gevonden. De punten die je zo uitzet, kan je verbinden met lijnstukken. Dat geeft een zicht op het globaal gedrag van de proportie zessen wanneer het aantal worpen groter en groter wordt.
y 1.0 0.9
proportie zessen
0.8 0.7 0.6 0.5 b
b
0.4 b b
b
0.3 b
b
b b
0.2
b b
b b b
b b
y= b
0.1 b
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
totaal aantal worpen XI-2
x
1 6
Hoe vaker we gooien, hoe beter ons idee over het globaal gedrag van het gooien van en zes. Omdat gooien met een dobbelsteen veel tijd vergt, kun je een computer gebruiken. Hieronder zie je twee grafieken na 180 keer gooien. y 1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
proportie zessen
proportie zessen
y 1.0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0.1 20
40
60
80
100
120
140
160
180
x
20
40
60
totaal aantal worpen
80
100
120
140
160
180
x
totaal aantal worpen
Als je maar enkele keren met een dobbelsteen gooit, dan kun je de uitkomsten niet voorspellen. Maar op lange termijn zit er wel een regelmaat in: hoe vaker je de dobbelsteen opgooit, hoe meer de relatieve frequentie van een zes gooien naar 1/6 = 16, 66 . . . % gaat. In de volgende opdracht bereken je relatieve frequentie met de grafische rekenmachine. 3 Opdracht 2. Voer het experiment gooien met een eerlijke dobbelsteen 180 keer uit met behulp van je grafische rekenmachine. Bereken daarna de relatieve frequentie van een zes gooien. Oplossing. Eerst genereren we 180 willekeurige gehele getallen tussen 1 en 6.2 Daarna stockeren we deze getallen in een lijst, en tellen we hoe vaak er in de lijst een zes voorkomt (vul aan).
LIST
5:randInt(
MATH
1
5:sum(
2ND
6
L1
>
2ND
PROB
>
MATH
1
2ND
8
0
TEST
PASTE
1:=
STO>
2ND
6
ENTER
)
L1
Voor jouw simulatie is (vul aan): 33 1 = 18, 33 . . . % ≈ = 16, 66 . . . %. 180 6 In kansrekenen drukken we met getallen de lange termijn regelmaat van zo’n experiment uit. Die regelmaat wordt zichtbaar in de relatieve frequentie bij heel veel herhalingen. Kortom, de vraag Wat is kans? beantwoorden we in de tweede graad als volgt:3 relatieve frequentie van een zes gooien =
Th 1
kans is relatieve frequentie op lange termijn 2 Om toevalsgetallen aan te maken, bestaan er verschillende methodes. Men kan bijvoorbeeld een telefoonboek openslaan en telkens het laatste cijfer van een willekeurig telefoonnummer aanzien als een natuurlijk toevalsgetal tussen 0 en 9. Computers zijn niet in staat om toevalsgetallen te genereren, maar gebruiken een algoritme om zogenaamde pseudotoevalsgetallen te maken. De output is niet helemaal willeurig, omdat ze bepaald wordt door een of meerdere beginwaarden. Wie na het resetten van de grafische rekenmachine bovenstaande commando’s uitvoert, zal precies dezelfde lijst L1 verkrijgen. Dat komt omdat de beginwaarde van het algoritme dat pseudotoevalsgetallen genereert door de fabriek werd vastgelegd en dus voor iedereen hetzelfde is. Je kan de beginwaarde wijzigen door bijvoorbeeld jouw gsm-nummer in het basisscherm te tikken (zonder spaties en leestekens), gevolgd door STO> en MATH PROB 1:rand en ENTER. 3 De ideeën die hebben geleid tot het begrip kans gaan terug naar de 16e eeuw, toen kansspelen werden geanalyseerd. In 1933 stelde Andrey Nikolaevich Kolmogorov een abstracte definitie voor, opgebouwd vanuit drie basiseigenschappen, die axioma’s worden genoemd. Met behulp van die axioma’s worden dan andere eigenschappen bewezen, die we kanswetten noemen. Dat de relatieve frequentie van een gebeurtenis op de lange duur naar dit abstract begrip van kans convergeert, staat bekend als de wet van de grote getallen. De eerste vermelding van deze wetmatigheid werd opgetekend door Jakob Bernoulli in 1713. Zie derde graad 6u-8u wiskunde.
XI-3
11.2
Basisbegrippen
In elk kansprobleem komt een verschijnsel aan bod die aan toeval onderhevig is, bijvoorbeeld het gooien van een dobbelsteen of het het geslacht van een pasgeboren kind. Zo’n verschijnsel zullen we voortaan een (kans)experiment noemen. Typisch aan zo’n experiment is dat je het een (groot) aantal keer kan uitvoeren of waarnemen. Hierbij horen twee begrippen die later belangrijk zullen zijn om kansen te berekenen. Th 2
3 Definitie. Beschouw een (kans)experiment. . De uitkomstenverzameling U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment.4 . Een gebeurtenis G is een deelverzameling van de uitkomstenverzameling U . Hieronder laten we zien hoe je de uitkomstenverzameling van een experiment kan opschrijven. Herhaal uit Hoofdstuk Telproblemen dat het aantal elementen van een eindige verzameling A wordt genoteerd met #A en dit lezen als het kardinaalgetal van A. 3 Modelvoorbeeld 1. Noteer bij elk experiment de uitkomstenverzameling in symbolen. Bepaal daarna het aantal mogelijke uitkomsten. (a) Een muntstuk opgooien. (b) Twee keer na elkaar een munstuk opgooien. (c) Twee muntstukken tegelijk opgooien. (d) Twee dobbelstenen tegelijk gooien (een rode en een witte). (e) Vijf dobbelstenen tegelijk gooien. (f) Uit een kaartspel van 52 kaarten drie verschillende kaarten kiezen. (g) De verjaardag van een persoon in een gewoon kalenderjaar. (h) Het (wettelijke) geslacht van tien pasgeboren kinderen. Na het tossen (opgooien) van een muntstuk is de uitkomst kruis (kop) of munt.
Oplossing. (a) U = {K, M }
en
#U = 2
Hierbij staat K voor kop en M voor munt. (b) U = {KK, KM, M K, M M }
en
#U = 4
De code KM betekent: kop bij 1e keer gooien, munt bij 2e keer gooien. (c) U = {KK, KM, M K, M M }
en
#U = 4
Markeer de muntstukken met een verschillend cijfer: 1 en 2. De code KM staat voor: muntstuk 1 is kop, muntstuk 2 is munt. (d) U = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}
#U = 6 · 6 = 36
en
Lees het koppel (5, 3) als: rode dobbelsteen is 5, witte dobbelsteen is 3. (e) U = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 2), . . . , (6, 6, 6, 6, 6)}
en
#U = 65 = 7776
Geef elke dobbelsteen een verschillende kleur: rood, wit enzovoort. De code (6, 5, 1, 4, 1) staat voor: rode dobbelsteen is 6, witte dobbelsteen is 5 enzovoort. (f) U = {(H2, K1, S5), . . .}
en
#U = 52 · 51 · 50 = 132 600
Het drietal (H2, K1, S5) lees je als: eerst harten 1, daarna klaveren 2 en ten slotte schoppen 5 gekozen. (g) U = {1jan, 2jan, . . . , 31dec}
en
#U = 365
Hierbij staat 1jan voor 1 januari enzovoort. (h) U = {JM M JJJM M JM, . . .}
en
#U = 2 · 2 · · · · · 2 = 210 = 1024
De code JM M JJJM M JM staat voor: 1e kind is een jongen, 2e kind is een meisje enzovoort. 4 Eigenlijk moeten we spreken van een uitkomstenverzameling van een experiment, want strikt genomen hangt de opsomming van uitkomsten af van de manier waarop we die uitkomsten opschrijven. Zo kan bij het experiment tweemaal opgooien van een munstuk een uitkomstenverzameling genoteerd worden als {(K, K), (K, M ), (M, K), (M, M )} = {KK, KM, M K, M M } (geordend), maar ook als {{K, K}, {K, M }, {M, M }} (ongeordend). Een subtiel onderscheid, en een doordachte keuze maken voor de schrijfwijze van de uitkomsten blijkt vaak de cruciale eerste stap bij het oplossen van een kansprobleem te zijn (zie derde graad wiskunde).
XI-4
3 Modelvoorbeeld 2. Je gooit één keer met een dobbelsteen en noteert hoeveel ogen je geworpen hebt. (a) Beschrijf het experiment in woorden. (b) Noteer de uitkomstenverzameling U in symbolen. (c) Noem A de gebeurtenis een even aantal ogen gooien. Geef de verzameling A door opsomming. Beschrijf A in woorden. (d) Beschouw de gebeurtenis B = {1, 4}. Beschrijf B in woorden. (e) Stel de verzamelingen U , A en B voor met venndiagrammen.
Oplossing. (a) Experiment: één keer gooien met een dobbelsteen.
De ontwikkeling van een dobbelsteen. De punten op een zijvlak worden ogen genoemd.
(b) Uitkomstenverzameling: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (c) A = {2, 4, 6}
In woorden: twee ogen gooien OFWEL vier ogen gooien OFWEL zes ogen gooien. (d) B = {1, 4} In woorden: één oog gooien OFWEL vier ogen gooien. (e)
U A
B 2 4
1
6 3
5
Gebeurtenissen met nul uitkomsten, één uitkomst of alle uitkomsten zijn bijzonder. Daarom geven we ze een naam. Th 3
3 Bijzondere gebeurtenissen. Beschouw een experiment met uitkomstenverzameling U . . Een onmogelijke gebeurtenis is een gebeurtenis G die geen enkele uitkomst bevat: G = ∅. . Een enkelvoudige gebeurtenis is een gebeurtenis G die precies één uitkomst bevat: #G = 1. Een samengestelde gebeurtenis is een gebeurtenis G die meerdere uitkomsten bevat: #G > 1. . Een zekere gebeurtenis is een gebeurtenis G die alle uitkomsten bevat: G = U . 3 Modelvoorbeeld 3. Je gooit met twee dobbelstenen, een rode en een witte. (a) Noteer de uitkomstenverzameling in symbolen. U = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} (b) In de volgende tabel staan gebeurtenissen beschreven in woorden. Som telkens de gebeurtenis op en benoem daarna de bijzondere gebeurtenissen. gebeurtenissen in woorden
gebeurtenissen opsommen
gebeurtenissen benoemen
de som van de ogen is 2
G = {(1, 1)}
enkelvoudige gebeurtenis
de som van de ogen is minstens 11
G = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}
samengestelde gebeurtenis
de som van de ogen is meer dan 12
G={}=∅
onmogelijke gebeurtenis
de som van de ogen is hoogstens 12
G = {(1, 1), . . . , (6, 6)} = U
zekere gebeurtenis
XI-5
In Hoofdstuk Telproblemen hebben we bewerkingen met verzamelingen gezien: doorsnede, unie, verschil en complement. Die bewerkingen kunnen we dus ook op gebeurtenissen uitvoeren, want elke gebeurtenis is een verzameling van uitkomsten van een experiment. Th 4
3 Bewerkingen met gebeurtenissen. Beschouw een experiment met uitkomstenverzameling U . Zij A en B twee gebeurtenissen. . De gebeurtenis waarbij A en B zich tegelijk voordoen, is de doorsnede: A ∩ B. We noemen A en B disjunct als ze niet tegelijk kunnen optreden: A ∩ B = ∅. . De gebeurtenis waarbij A of B zich voordoet is de unie: A ∪ B. . De gebeurtenis waarbij A en niet B zich voordoet, is het verschil: A \ B. . De gebeurtenis waarbij niet A optreedt, is het complement: A = U \ A. We noemen de gebeurtenis A de tegengestelde gebeurtenis van A. 3 Modelvoorbeeld 4. Je gooit één keer met een dobbelsteen. In de volgende tabel staan gebeurtenissen beschreven in woorden. Schrijf telkens de gebeurtenis in symbolen en stel voor met venndiagrammen. gebeurtenissen in woorden en in symbolen
gebeurtenissen met venndiagrammen
A
B
A = even aantal ogen gooien = {2, 4, 6}
2
1
4
3
6 B = hoogstens 4 gooien = {1, 2, 3, 4}
5 A
= even aantal ogen gooien en hoogstens 4 gooien
B A∩B
= {2, 4} = A ∩ B
A
= even aantal ogen gooien of hoogstens 4 gooien
B A∪B
= {2, 4, 6, 1, 3} = A ∪ B
A
= even aantal ogen gooien en niet hoogstens 4 gooien
B
A\B = {6} = A \ B
A
= niet een even aantal ogen gooien
= {1, 3, 5} = U \ A = A
XI-6
A
11.3
Rekenen met kansen
Bekijken we een experiment met uitkomstenverzameling U en gebeurtenis G, dan is in kansrekenen de hoofdvraag: Wat is de kans op de gebeurtenis G? Zoals we hierboven gezien hebben, kunnen we deze hoofdvraag ook herformuleren als: Wat is de relatieve frequentie op lange termijn van de gebeurtenis G? Dat getal zullen we noteren als P (G). We kunnen de hoofdvraag als volgt schematiseren:5
U G P (G) = ?
3 Op ontdekking. Een oplichter heeft een dobbelsteen vervalst door in enkele stippen een gaatje te boren en die gaatjes op te vullen met een zwaar metaal. Bij één keer gooien is de uitkomstenverzameling nog steeds gelijk aan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maar de oplichter heeft nu de kansen op de uitkomsten beı̈nvloed. Zo verkreeg hij bij 1000 worpen 129 keer een drie en 448 keer een zes. Nu dat bekend is, kunnen we de kans op de gebeurtenis een zes gooien schatten (vul aan): P (6) = relatieve frequentie van een zes gooien op lange termijn ≈
448 = 44, 8%. 1000
Voor de andere zijvlakken geldt eenzelfde redenering, zodat we de volgende tabel verkrijgen (vul aan): uitkomst
1
2
3
4
5
6
frequentie na 1000 worpen
?
?
129
?
?
448
(geschatte) kans
?
?
12, 9%
?
?
44, 8%
(a) Is het mogelijk dat P (2) = −10%? NEE (b) Is het mogelijk dat P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 70%? NEE (c) Is het mogelijk dat P ({3, 6}) = 60%? NEE Oplossing. (a)
lange termijn
relatieve frequentie van een twee gooien {z } |
−−−−−−−−→
rel. freq. 1 + rel. freq. 2 + · · · + rel. freq. 6 | {z }
−−−−−−−−→
relatieve frequentie van 3 of 6 gooien {z } |
−−−−−−−−→
P (2) ≥ 0
aantal keer 2 ? = ≥0 aantal worpen 1000
(b)
lange termijn
P (1) + P (2) + · · · + P (6) = 1
aantal keer 1 + · · · + aantal keer 6 1000 = =1 aantal worpen 1000 (c)
lange termijn
P ({3, 6}) = P (3) + P (6)
aantal keer 3 aantal keer 6 aantal keer 3 ofwel 6 = + aantal worpen 1000 1000 5 In de notatie P (G) verwijst de letter P naar het Engelse woord voor kans: probability. Het is gebruikelijk om de kans op een gebeurtenis met één uitkomst zoals P ({6}) korter te noteren als P (6).
XI-7
De redenering die we in de vorige ontdekking gemaakt hebt, kan nu veralgemeend worden voor andere experimenten. Th 5
3 Basiseigenschappen. Beschouw een experiment met uitkomstenverzameling U . Dan geldt: (1) De kans van een gebeurtenis is een getal dat groter of gelijk aan nul is. (2) De som van de kansen van alle mogelijke uitkomsten is gelijk aan 1. (3) De kans van een gebeurtenis is de som van de kansen van alle uitkomsten die bij die gebeurtenis horen. Deze basiseigenschappen kunnen gebruikt worden om kansen te berekenen. 3 Modelvoorbeeld 1. De oplichter geeft nu ook de andere frequenties prijs, zodat we nu voor elke uitkomst de kans kunnen schatten (vul aan): uitkomst
1
2
3
4
5
6
frequentie na 1000 worpen
52
118
129
132
121
448
5,2%
11,8%
12,9%
13,2%
12,1%
44,8%
(geschatte) kans
Noem A de gebeurtenis een oneven getal gooien en B de gebeurtenis minstens vijf gooien. Maak nu gebruik van de basiseigenschappen om de volgende kansen te berekenen. (d) P (A ∪ B)
(a) P (A)
(e) P (A \ B)
(b) P (B) (c) P (A ∩ B)
(f) P (A)
Oplossing. (a) P (A) = P ({1, 3, 5}) = P (1) + P (3) + P (5) = 30, 2% (b) P (B) = P ({5, 6}) = P (5) + P (6) = 56, 9% (c) P (A ∩ B) = P ({1, 3, 5} ∩ {5, 6}) = P (5) = 12, 1% (d) P (A ∪ B) = P ({1, 3, 5} ∪ {5, 6}) = P ({1, 3, 5, 6}) = P (1) + P (3) + P (5) + P (6) = 75% Merk op: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (e) P (A \ B) = P ({1, 3, 5} \ {5, 6}) = P ({1, 3}) = P (1) + P (3) = 18, 1% Merk op: P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) (f) P (A) = P (even getal gooien) = P ({2, 4, 6}) = P (2) + P (4) + P (6) = 69, 8% Merk op: P (A) = 1 − P (A) De kans op een unie, verschil of tegengestelde van gebeurtenissen kan ook beredeneerd worden als relatieve frequentie op lange termijn. Daarbij kunnen we dan de formules voor unie, verschil en complement van eindige verzamelingen gebruiken die we in Hoofdstuk Telproblemen hebben gezien. Zo is in het modelvoorbeeld van hierboven rel. freq. A =
118 + 132 + 448 1000 − (52 + 129 + 121) = = 1 − rel. freq. A 1000 1000
zodat op lange termijn P (A) = 1 − P (A). Zo’n algemene formule wordt een kanswet genoemd. Hieronder hebben we de belangrijkste kanswetten opgesomd. Th 6
3 Kanswetten. Beschouw een experiment met uitkomstenverzameling U en twee gebeurtenissen A, B. Dan geldt:6 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) P (A) = 1 − P (A) 6 De eerste formule wordt de somregel genoemd. Ze kan veralgemeend worden voor meer dan twee gebeurtenissen. Voor drie gebeurtenissen wordt de somregel als volgt: P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C).
XI-8
3 Modelvoorbeeld 2. Een muntstuk is vervalst. Er is bekend dat bij één keer gooien de kans op kop gelijk is aan 58%. Bereken de kans op munt. Maak gebruik van kanswetten. Alle tussenstappen opschrijven! Oplossing. We hebben: P (M ) = P (K) = 1 − P (K) = 1 − 58% = 100% − 58% = 42%. 3 Modelvoorbeeld 3. Een illegaal casino wordt verdacht van dubieuze praktijken. Bij een controle ontdekt men een verzwaarde dobbelsteen. Door de dobbelsteen heel vaak op te gooien, komt men te weten dat P ({1, 2, 3}) =
1 3
en
P ({2, 3}) =
1 10
en
P ({2, 3, 4}) =
1 . 4
Men vermoedt ook dat de gebeurtenis een zes gooien bij deze verzwaarde dobbelsteen onmogelijk is. Bereken de volgende kansen. Maak gebruik van kanswetten. Alle tussenstappen opschrijven!
Meettoestel om verzwaarde dobbelstenen te ontdekken.7
(a) P ({1, 2, 3, 4}) (b) P (1) (c) P ({4, 5}) Oplossing. Voorstelling met venndiagrammen:
U A
B 2 1
4 3 5
6
(a) P ({1, 2, 3, 4}) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
1 1 1 + − 3 4 10
= 0, 4833 . . . = 48, 33% (b) P (1) = P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) =
1 1 − 3 10
= 0, 2333 . . . = 23, 33% (c) P ({4, 5}) = P ({1, 2, 3, 6}) = 1 − P ({1, 2, 3, 6}) = 1 − P ({1, 2, 3}) + P (6) =1−
Å
1 +0 3
ã
= 66, 66% 7 Je
stopt de dobbelsteen tussen de pennetjes en geeft hem een zetje zodat hij rond draait. Als de dobbelsteen telkens met dezelfde zijde naar boven stopt, dan is de dobbelsteen verzwaard. Als alternatief kun je de dobbelsteen laten vallen in een hoog glas dat gevuld is met water en zout. Als de dobbelsteen elke keer met dezefde kant boven op de bodem eindigt, dan is hij verzwaard.
XI-9
11.4
De regel van Laplace
Als we een eerlijke dobbelsteen gooien, dan gaan we uit van een ideaal model waarbij geen enkele zijde bevoordeeld is om bovenaan te landen. Elke uitkomst in U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} heeft dan dezelfde kans, een zogenaamde gelijke (of uniforme) kansverdeling: P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6). Omdat de som van de kansen van alle mogelijke uitkomsten gelijk is aan 1 (basiseigenschappen pagina IX-8), moet dus P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1 zodat de kansen worden gegeven door de onderstaande tabel (vul aan). uitkomst (geschatte) kans
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
Bij zo’n uniforme kansverdeling kun je nu de kans op elke gebeurtenis heel snel berekenen. Zo is de kans op het gooien van een twee of een vijf dan gelijk aan: P ({2, 5}) = P (2) + P (5) =
1 1 + = 33, 33 . . . % 6 6
of korter: P ({2, 5}) =
#{2, 5} 2 = = 33, 33 . . . %. #{1, 2, 3, 4, 5, 6} 6
Deze tweede werkwijze wordt de regel van Laplace genoemd. Th 7
3 Regel van Laplace 8 . Beschouw een experiment met uitkomstenverzameling U . Als elke uitkomst in U dezelfde kans heeft (uniforme kansverdeling) dan is voor elke gebeurtenis G: P (G) =
aantal gunstige uitkomsten #G = #U aantal mogelijke uitkomsten
In een kansprobleem wordt er gevraagd om de kans op een bepaalde gebeurtenis te berekenen. Daarbij kun je als volgt te werk gaan. (1) Noteer de uitkomstenverzameling U in symbolen. (2) Geef de gebeurtenis G door opsomming. (3) Als elke uitkomst in U dezelfde kans heeft (uniforme kansverdeling) dan mag je de regel van Laplace gebruiken om de kans op G te berekenen: P (G) =
Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749 - 1827)
#G . #U
Als niet elke uitkomst in U dezelfde kans heeft, dan mag je de regel van Laplace niet gebruiken! In dat geval moet je P (G) berekenen via basiseigenschappen en kanswetten uit de vorige paragraaf, en zogenaamde kansbomen (zie volgende paragraaf). 3 Modelvoorbeeld 1. Donald gaat op schoolreis. Hij moet in een rode bus stappen, maar hij is kleurenblind en niemand wil hem helpen. Dus stapt hij maar in een willekeurige bus. Als er in totaal drie groene, twee rode en vier blauwe bussen op de parking staan, wat is dan de kans dat Donald in de juiste bus stapt? Oplossing. (1) Uitkomstenverzameling: U = {G1 , G2 , G3 , R1 , R2 , B1 , B2 , B3 , B4 } Heeft elke uitkomst in U dezelfde kans? Ja! Regel van Laplace mag. (2) Gebeurtenis: G = {R1 , R2 }
(3) Kans: P (G) =
#G 2 = = 22, 22 . . . % #U 9
8 Genoemd
naar Laplace die het belang van deze regel in 1779 heeft ingezien, doch eerder beschreven door Bhaskara II in 1150 en door Girolamo Cardano in 1545. In onze formulering van de regel van Laplace gaan we ervan uit dat het experiment een eindig aantal uitkomsten heeft.
XI-10
3 Modelvoorbeeld 2. Je gooit twee keer met een zuivere dobbelsteen. Wat is de kans dat je in totaal een zeven gegooid hebt? Oplossing. (1) U = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} Heeft elke uitkomst dezelfde kans? Ja! Regel van Laplace mag. (2) G = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} (3) P (G) =
6 #G = = 16, 66 . . . % #U 36
3 Modelvoorbeeld 3. Beschouw het experiment kiezen van een cijfer met behulp van nevenstaand rad. Als het rad stilstaat op een scheidingslijn, dan moet je nog eens draaien. Bereken de kans op de gebeurtenis het cijfer is even of een drievoud. Oplossing. (1) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Heeft elke uitkomst dezelfde kans? Nee! zo is bijvoorbeeld P (1) 6= P (2). Regel van Laplace mag niet. (2) G = {2, 4, 6, 3} (3) P (G) = P (2) + P (4) + P (6) + P (3) P (G) =
wegens basiseigenschap (3)
1 1 1 1 + + + = 75% 4 4 8 8
3 Modelvoorbeeld 4. Je gooit zeven keer een eerlijk muntstuk op. (a) Wat is de kans dat je geen enkele keer munt gegooid hebt? (b) Wat is de kans dat je in het totaal precies één keer munt gegooid hebt? (c) Wat is de kans dat je minstens twee keer munt gegooid hebt? Oplossing. U = {KKKKKKK, KM M KM KM, . . .}
en
#U = 27 = 128
Heeft elke uitkomst dezelfde kans? Ja! Regel van Laplace mag. (a) G = {KKKKKKK}
#G 1 = = 0, 78 . . . % #U 128 (b) G = {M KKKKKK, KM KKKKK, . . . , KKKKKKM } P (G) =
#G 7 = = 5, 46 . . . % #U 128 (c) P (minstens twee keer munt) = P (hoogstens één keer munt) P (G) =
P (minstens twee keer munt) = 1 − P (hoogstens één keer munt) Å ã 1 7 P (minstens twee keer munt) = 1 − + = 93, 75% 128 128 3 Modelvoorbeeld 5. In een zakje zitten drie ballen, genummerd met de cijfers 1, 2 en 3. Er wordt lukraak een bal uit het zakje genomen. Het getal dat op de bal staat, wordt genoteerd en de bal wordt opnieuw in het zakje gelegd. Op dezelfde manier wordt er een tweede en een derde trekking gedaan. Achteraf blijkt dat de som van de drie genoteerde cijfers gelijk is aan 6. Wat is de kans dat de bal met het cijfer 2 drie keer werd getrokken? Oplossing. (1) U = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2)} Heeft elke uitkomst dezelfde kans? Ja! Regel van Laplace mag. (2) G = {(2, 2, 2)} (3) P (G) =
#G 1 = = 14, 28 . . . % #U 7 XI-11
In het begin van dit hoofdstuk hebben we de kans geschat dat je, bij het opgooien van een dobbelsteen, een zes gooit. Dat deden we door een dobbelsteen een (groot) aantal keer op te gooien en de relatieve frequentie van een zes gooien te berekenen: P (6) ≈ relatieve frequentie van een zes gooien =
aantal keer een zes gegooid . totaal aantal keer gegooid
In dat quotiënt herkennen we de regel van Laplace: het aantal gunstige uitkomsten gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten. Op die manier kun je nu ook in andere situaties kansen schatten met behulp van relatieve frequenties, op voorwaarde dat je beschikt over voldoende data. Er zijn heel wat instanties die gegevens verzamelen en ter beschikking stellen. Een betrouwbare bron is bijvoorbeeld de Algemene Directie Statistiek - Statistics Belgium, afgekort Statbel.9 Zo kun je op de website van Statbel zogenaamde sterftetafels terugvinden: een overzicht van de sterftecijfers onder een bevolking. Die tabellen zijn gebaseerd op waarnemingen van sterftecijfers over een bepaalde periode. In bijlage A vind je de de sterftetafels van mannen en vrouwen uit België terug, telkens voor het jaar 2016. 3 Modelvoorbeeld 6. Schat de volgende kansen met behulp van de gegeven sterftetafels in de bijlagen. Schrijf telkens je berekening op. Dus niet enkel het eindantwoord noteren! (a) De kans dat een pasgeboren meisje 72 jaar wordt. (b) De kans dat Lowie, die nu 7 jaar oud is, ooit 55 kaarjes zal mogen uitblazen. (c) De kans dat een man van 42 jaar er binnen 20 jaar niet meer zal zijn. Hoe oud wordt Lowie?
Oplossing.
(a) In de sterftetafel voor vrouwen lezen we bij geboorte, overlevenden 1 000 000 en bij 72, overlevenden 849 028. Zo vinden we 849 028 = 84, 90 . . . %. P (pasgeboren meisje wordt 72) ≈ 1 000 000 (b) In de sterftetafel voor mannen zien we bij 7, overlevenden 995 349 en bij 55, overlevenden 936 775. Dus P (jongen van 7 wordt minstens 55) ≈
936 775 = 94, 11 . . . %. 995 349
(c) Wegens een eerdere kanswet is P (man van 42 jaar wordt geen 62 jaar) = P (man van 42 jaar wordt minstens 62 jaar) = 1 − P (man van 42 jaar wordt minstens 62 jaar) ≈1−
885 804 974 147
= 100% − 90, 93 . . . % = 9, 06 . . . %.
9 Statbel of AD Statistiek, het vroegere Nationaal Instituut voor de Statistiek (NIS) en Algemene Directie Statistiek en Economische Informatie (ADSEI), is een van de algemene directies van de (Belgische) Federale Overheidsdienst Economie, K.M.O., Middenstand en Energie Belgium. Op de officiële website https://statbel.fgov.be/nl kun je heel wat data gratis raadplegen zoals bevolkingsaantallen, inflatiecijfers, aantal faillissementen, meest populaire voornamen, aantal huwelijken, werkloosheidcijfers enzovoort.
XI-12
11.5
Kansbomen
Sommige (kans)experimenten zijn samengesteld omdat je ze kan zien als de opeenvolging van andere experimenten. Zo is bijvoorbeeld tweemaal een dobbelsteen gooien een samengesteld experiment: het is de opeenvolging van eenmaal een dobbelsteen gooien en eenmaal een dobbelsteen gooien. Die deelexperimenten mogen ook verschillend zijn, bijvoorbeeld nagaan of een willekeurige persoon man of vrouw is en daarna nagaan of de persoon rookt of niet rookt. Bij een samengesteld experiment kun je een kansprobleem vaak oplossen met een zogenaamde kansboom: dat is een boomdiagram waarbij elke knoop een (deel)gebeurtenis voorstelt en waarbij je op elke tak de kans op die gebeurtenis noteert. Hieronder laten we zien hoe je kansen kunt berekenen met een kansboom. 3 Op ontdekking. In een zak zitten twee gele en drie blauwe knikkers. Je trekt twee knikkers zonder teruglegging. (a) Wat is de kans dat je eerst een gele knikker genomen hebt en daarna een blauwe knikker genomen hebt? (b) Wat is de kans dat je in totaal twee knikkers van dezelfde kleur genomen hebt? Oplossing. Door met een stift op elke knikker een getal te schrijven, kunnen we de twee gele knikkers onderscheiden als G1 , G2 en de drie blauwe knikkers als B1 , B2 , B3 . Zo kunnen we alle mogelijke uitkomsten van het (samengesteld) experiment voorstellen in een boomdiagram.
(b) (a) (a) (a)
G2
G1 B1 B2 B3
(b) (a) (a) (a)
B1
G1 G2 B2 (b) B3 (b)
B2
G1 G2 B1 (b) B3 (b)
B3
G1 G2 B1 (b) B2 (b)
Marble Machine10
totaal aantal paden: 20
{z
G1
G2 B1 B2 B3
}
2e knikker
|
1e knikker
Elk pad van de wortel naar een eindknoop is even waarschijnlijk. Daarom mag de regel van Laplace (vul aan):
(a) P (eerst gele knikker en dan blauwe knikker) =
(b) P (in totaal twee knikkers van dezelfde kleur) =
#gunstige paden 6 = = 30% #mogelijke paden 20
#gunstige paden 8 = = 40% #mogelijke paden 20
10
De Marble Machine is zowel een kunstwerk als een muziekinstrument, gemaakt door de Zweedse muzikant Martin Molin in 2016. De machine bestaat uit 3000 met de hand gemaakte houten delen en gebruikt 2000 knikkers om muziek te maken. Het knikkerorgel is vrij te bekijken en te beluisteren op https://www.youtube.com/watch?v=IvUU8joBb1Q .
XI-13
Nu kunnen we het boomdiagram sterk vereenvoudigen door takken met eenzelfde kleur samen te nemen, waarbij we het het aantal takken met die kleur erbij noteren.
1e knikker
2e knikker 1
G (b)
3
B (a)
2
G
2
B (b)
G 2
3 B
Zo kunnen we de mogelijke en de gunstige paden gemakkelijker tellen. Nu merken we op dat de berekeningen van daarnet als volgt herschreven kunnen worden: (a) P (eerst gele knikker en dan blauwe knikker) =
#gunstige paden 2·3 2 3 = = · #mogelijke paden 5·4 5 4 #gunstige paden 2·1+3·2 2 1 3 2 = = · + · #mogelijke paden 5·4 5 4 5 4
(b) P (in totaal twee knikkers van dezelfde kleur) =
Door in het vorige boomdiagram elk getal te delen door het totaal aantal takken die uit de knoop links vertrekt, verkrijgen we de zogenaamde kansboom.
1e knikker
2e knikker 1 4
2 5
3 5
P (GG) =
2 1 · 5 4
B (a) P (GB) =
2 3 · 5 4
G (b)
G 3 4 2 4
G
B 2 4
B (b)
P (BB) =
3 2 · 5 4
De bewerkingen van hierboven kunnen we nu als volgt interpreteren. (a) Bij het trekken van de eerste knikker is de kans op geel gelijk aan 2/5, want precies twee van de vijf knikkers in de zak zijn geel. Als de eerste knikker geel is, dan is bij het trekken van de tweede knikker de kans op blauw gelijk aan 3/4, want precies drie van de vier overblijvende knikkers in de zak zijn blauw. De kans op 1e knikker geel en 2e knikker blauw is dus het product van twee kansen in de kansboom: P (1e knikker G en 2e knikker B)
=
P (1e knikker G) · P (2e knikker B als 1e knikker G) {z } | {z } | 2 3 5 4
(b) De kans op twee knikkers van dezelfde kleur betekent de kans op tweemaal geel ofwel tweemaal blauw. Die twee kansen kun je berekenen zoals in (a), en moet je optellen (basiseigenschappen pagina 8): P (tweemaal geel ofwel tweemaal blauw)
= =
P (tweemaal geel) + P (tweemaal blauw) P (1e knikker G) · P (2e knikker G als 1e knikker G) | {z } | {z } 2 1 5 4 + P (1e knikker B) · P (2e knikker B als 1e knikker B) | {z } | {z } 3 2 5 4
XI-14
In het vervolg kunnen we bij een samengesteld experiment meteen de kansboom maken, en daarna de gevraagde kans berekenen met de volgende kanswet. Th 8
3 Kanswetten (vervolg). Beschouw een eerste experiment met gebeurtenis A en een tweede experiment met gebeurtenis B. Dan geldt:11
P (B als A) A
P (A)
.. .
B
P (A ∩ B) = P (A) · P (B als A)
A en B
.. .
3 Modelvoorbeeld 1. De kans dat een zekere scheikundeproef lukt, is volgens de ervaring 32%. Het al of niet lukken van de proef hangt niet af van het resultaat van de vorige keer. (a) Bereken de kans dat de proef drie keer na elkaar mislukt. (b) Bereken de kans dat de proef tweemaal van de driemaal lukt. (c) Bereken de kans dat de proef minstens eenmaal van de driemaal lukt. Oplossing. We maken een kansboom (L betekent: de proef lukt en M wil zeggen: de proef mislukt):
1e keer
2e keer
0, 32 0, 32
0, 32 0, 68
L
0, 68
M (b)
P (LLM ) = 0, 32 · 0, 32 · 0, 68
0, 32
L
(b)
P (LM L) = 0, 32 · 0, 68 · 0, 32
0, 68
M
0, 32
L
(b)
P (M LL) = 0, 68 · 0, 32 · 0, 32
0, 68
M
0, 32
L
0, 68
M (a)
M
L
M 0, 68
0, 32 L
L 0, 68
3e keer
M
P (M M M ) = 0, 68 · 0, 68 · 0, 68
(a) P (proef mislukt driemaal) = P (M M M ) P (proef mislukt driemaal) = 0, 68 · 0, 68 · 0, 68 P (proef mislukt driemaal) = 31, 44 . . . % (b) P (proef lukt tweemaal) = P ({LLM, LM L, M LL}) P (proef lukt tweemaal) = P (LLM ) + P (LM L) + P (M LL) P (proef lukt tweemaal) = 0, 32 · 0, 32 · 0, 68 + 0, 32 · 0, 68 · 0, 32 + 0, 68 · 0, 32 · 0, 32 P (proef lukt tweemaal) = 20, 88 . . . % (c) P (proef lukt minstens eenmaal) = P (proef lukt geen enkele keer) P (proef lukt minstens eenmaal) = P (M M M ) P (proef lukt minstens eenmaal) = 1 − P (M M M ) P (proef lukt minstens eenmaal) = 100% − 31, 44 . . . % P (proef lukt minstens eenmaal) = 68, 55 . . . % 11 Deze formule wordt de productregel genoemd. De kans op de gebeurtenis B als A wordt ook wel een voorwaardelijke kans genoemd, en genoteerd als P (B | A).
XI-15
3 Modelvoorbeeld 2. Een bevolking bestaat uit 40% mannen en 60% vrouwen. Bij de mannen zijn er 35% rokers 65% niet-rokers. Bij de vrouwen zijn er 30% rokers en 70% niet rokers. We kiezen lukraak een persoon uit deze bevolking. (a) Wat is de kans dat een willekeurige persoon uit de groep een man is die rookt? (b) Wat is de kans dat een willekeurige persoon uit de groep een roker is? ?
(c) We kiezen een willekeurige roker uit deze bevolking. Wat is de kans dat deze persoon een vrouw is?
Oplossing. We maken een kansboom (M betekent: de persoon is een man, V betekent: de persoon is een vrouw en R wil zeggen: de persoon rookt):
geslacht
Niet-rokers leven gemiddeld acht jaar langer dan rokers.12
roker of niet-roker 0, 35
R
0, 65
R
0, 3
R
0, 7
R
M
0, 4
0, 6 V
(a) P (persoon is man en persoon is roker) = P (M ∩ R) P (persoon is man en persoon is roker) = P (M ) · P (R als M ) P (persoon is man en persoon is roker) = 0, 4 · 0, 35 P (persoon is man en persoon is roker) = 14% (b) P (persoon is roker) = P (R) P (persoon is roker) = P (M ∩ R) + P (V ∩ R) P (persoon is roker) = 0, 4 · 0, 35 + 0, 6 · 0, 3 P (persoon is roker) = 32% (c) We zoeken x = P (V als R). Die kans kunnen we aflezen uit de omgekeerde kansboom:
geslacht
roker of niet-roker
M 0, 32
R x
V
M R V We kunnen P (V ∩ R) nu uit elk van de twee kansbomen aflezen: ® ® P (V ∩ R) = P (V ) · P (R als V ) P (V ∩ R) = 0, 6 · 0, 3 ⇒ P (V ∩ R) = P (R) · P (V als R) P (V ∩ R) = 0, 32 · x Hieruit volgt dat x =
⇒
0, 6 · 0, 3 = 0, 32 · x.
0, 6 · 0, 3 = 56, 25%. 0, 32
12 Vergelijkend onderzoek van het Wetenschappelijk Instituut Volksgezondheid, 2014. Deze afbeelding werd ontleend aan de affiche van de International Tobacco Day uit 2010. De werelddag zonder tabak vindt jaarlijks plaats op 31 mei.
XI-16
Bijlage A
Sterftetafels Sterftetafel mannen uit BelgieĚˆ, 20161
XI-17
Sterftetafel vrouwen uit BelgieĚˆ, 20161
1 Bron:
Statbel (Algemene Directie Statistiek - Statistics Belgium). Alle gegevens zijn afkomstig uit het Rijksregister.
XI-18