Deel VII Limieten, asymptoten en continuïteit ingevulde versie by Koen De Naeghel

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel VII Limieten, asymptoten en continuı̈teit (ingevulde versie)

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2020 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

Hoofdstuk 1

Louis Augustin Cauchy

, Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, 1821

Limieten van functies In Deel Precalculus 1 en 2 stonden basisbegrippen van functies en kenmerken van enkele elementaire functies centraal, waaronder veeltermfuncties en rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische en cyclometrische functies. Precalculcus gaat, zoals de naam al doet vermoeden, de zogenaamde calculus vooraf.

Wat is calculus? De calculus vindt zijn oorsprong in de 17e eeuw, als een systeem van sluiproutes om de zogenaamde uitputtingsmethode van Eudoxus toe te passen: een manier die in de Griekse Oudheid werd bedacht om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen (zie ook Deel Rijen).1 Naast het berekenen van lengtes, oppervlakten en volumes bleek de calculus ook geschikt om bepaalde meetkundige kenmerken in een punt van een kromme te onderzoeken, zoals raaklijn, normaal en kromming. Ook in de mechanica konden equivalente problemen worden opgelost, waardoor de calculus aan de oorsprong van de wiskundige natuurkunde kwam te liggen. Het uitzonderlijke succes van de calculus was in de eerste plaats mogelijk omdat het de lange, subtiele argumenten van de uitputtingsmethode verving door korte routineberekeningen (zie figuur onderaan), wat ook de herkomst van het woord calculus verklaart. Aanvankelijk lag de nadruk op de berekeningen zelf, en niet op hun logische verantwoording. Wiskundigen uit de 17e eeuw waren immers vertrouwd met de uitputtingsmethode van Eudoxus, en hadden er alle vertrouwen in dat ze op die methode konden terugvallen mochten hun resultaten in vraag worden gesteld. De overvloed aan nieuwe resultaten was echter zo groot dat de focus op het rigoreuze aspect verdween. De rekentechnieken waren gestoeld op zogenaamde infinitesimalen, die enkel intuı̈tief werden beschreven als objecten die kleiner zijn dan ieder positief reëel getal, maar toch groter zijn dan nul. Gaandeweg werd de kritiek op deze inuı̈tieve behandeling steeds groter.

2π

a2 a2 dϕ = 2 2

2π

2π dϕ = ϕ = a2 π 2 0

Å ã x3

a 4a3 π 2 V = (a − x )π dx = π xa −

= 3 3 −a −a Z

Ter illustratie: oppervlakte van cirkel en volume van bol bepaald met rekentechnieken van de calculus [10, p. 110]. Deze formules werden in de Griekse Oudheid al bewezen door Archimedes, doch de rekentechnieken van de calculus leiden tot een veel kortere redenering, en zijn daarenboven ook meteen toepasbaar op tal van andere figuren, zie Deel Integralen. 1 Het idee van de uitputtingsmethode gaat terug naar Antiphon van Rhamnus (ca. 480-411 v.Chr.), en werd enkele decenia later op punt gezet door Eudoxus van Cnidus (ca. 390-337 v.Chr.), zie [16]. De methode werd succesvol toegepast door Archimedes van Syracuse (287 v.Chr.-212 v.Chr.) die hiermee de oppervlakte en het volume van een bol kon bepalen, alsook de oppervlakte tussen een rechte en een cirkel of parabool. In de 17e eeuw berekende Pierre de Fermat hellingen van raaklijnen en oppervlaktes onder krommen. De ontdekking van de calculus wordt toegeschreven aan Isaac Newton 1671 (publ. 1736) [13] en Gottfried Wilhelm Leibniz 1684 [12].

VII-1

Pas in de 19e eeuw, toen nieuwe eisen aan de strengheid van de wiskunde werden gesteld, konden de rekentechnieken gerechtvaardigd worden, en dus ook alle resultaten die daaruit voortgevloeid waren. Het concept limiet van een functie stond hierin centraal, en gaf andere basisbegrippen zoals asymptoot, continuı̈teit, afgeleide en integraal een solide basis.2 De vraag Wat is calculus? kan dan ook als volgt beantwoord worden: calculus is de studie van limieten. In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen limieten van functies al zijdelings aan bod. In dit hoofdstuk bespreken we een intuı̈tieve definitie van limiet, voorzien van een interpretatie die formeel kan worden gemaakt. Asymptoten en continuı̈teit van functies worden, in hun brede betekenis, in de volgende hoofdstukken behandeld. In Deel Afgeleiden en Deel Integralen wordt dan de zogenaamde differentiaal- en integraalrekening uitgewerkt.

Een fysisch probleem dat leidt tot het limietbegrip Heel wat wiskundige en fysische problemen zijn te herleiden tot het berekenen van een zogenaamde limiet van een functie: wat gebeurt er met de functiewaarde f (x) naarmate de x-waarde dichter bij een constante a komt te liggen? Beschouw bijvoorbeeld een object dat op een getallenas beweegt, zodat op elk tijdstip t (in uur) de positie (in kilometer) wordt bepaald door:3 s(t) = −2t2 + 12t − 8. Zo wordt de plaats van het object op tijdstip t = 1 u gegeven door s(1) = 2 km. De beweging van het object is hieronder schematisch voorgesteld:

t = 6, s = −8 t = 3, s = 10 t = 0, s = −8 −10

t = 1, s = 2 −5

We stellen nu de volgende, elementaire vraag: hoe snel beweegt het object op tijdstip t = 1? We kunnen de formule snelheid is afstand gedeeld door tijd gebruiken om de zogenaamde gemiddelde snelheid over een tijdsinterval te berekenen: de mate waarmee de afstand over dat tijdsinterval verandert. Het adjectief gemiddelde benadrukt het feit dat de snelheid niet constant hoeft te zijn over dat interval. Zo vinden we voor het tijdsinterval [1, 2] als gemiddelde snelheid: vgem =

s(2) − s(1) (8 − 2) km = = 6 km/u. 2−1 1u

Voor de kleinere intervallen [1; 1, 2] en [1; 1, 02] verkrijgen we gemiddelde snelheid: vgem =

s(1, 2) − s(1) = 7, 6 km/u 1, 2 − 1

resp.

vgem =

s(1, 02) − s(1) = 7, 96 km/u. 1, 02 − 1

Hoe snel beweegt het object nu op tijdstip t = 1? Om aan deze ogenblikkelijke snelheid betekenis te geven, moeten we spreken over de limiet van de gemiddelde snelheid over steeds kleinere tijdsintervallen. Met behulp van de grafische rekenmachine kunnen we wel raden wat die ogenblikkelijke snelheid is:

In symbolen noteert men dan: s(1 + h) − s(1) = 8 km/u. h→0 h Hierbij stelt de variabele h een reëel getal voor (de lengte van het tijdsinterval) dat nadert naar een constante.4 De belangrijkste doelstelling van dit hoofdstuk is om zo’n limiet ook daadwerkelijk te kunnen berekenen. lim

2 In de tweede helft van de 18e eeuw ontstond de visie dat de calculus gebaseerd hoort te zijn op het limietbegrip. Woordelijke omschrijvingen van dat begrip werden gegeven door Jean-Babtiste le Rond D’Alembert 1765 [5, p.542] en Cauchy 1821 [4] (citaat vorige pagina). De eerste formele, kwantitatieve definitie van limiet kwam van Karl Weierstrass , gepubliceerd door zijn student Heinrich Eduard Heine in 1872 [11], zie [3, p. 608], en bekend als de ( , δ)-definitie. Het belang hiervan is dat het een rekenkundige behandeling van limietprocessen mogelijk maakt. De auteur is echter van mening dat een kennismaking met limietbegrip via ( , δ)-definitie [14]. didactisch ongeschikt is. Een sluitende theorie van infinitesimalen werd uiteindelijk in 1966 ontwikkeld door Abraham Robinson 3 Het symbool s vindt zijn oorsprong in spatium, het Latijnse woord voor (tussen)ruimte. Letter v verwijst naar de Engelse term velocity. 4 Dit in tegenstelling tot het begrip limiet van een rij, waar het rangnummer n natuurlijke getallen doorloopt en divergeert naar +∞. De verwantschap tussen limiet van een rij en limiet van een functie wordt uitgedrukt met het zogenaamde rijenkenmerk, zie voetnoot 5.

VII-2

1.1

Intuı̈tieve betekenis van limiet

Beschouw de functie f met als voorschrift

x3 − 1 . x−1 Bij het plotten van de grafiek merken we op dat er bij de x-waarde 1 geen y-waarde hoort. Toch kunnen we ons afvragen wat er gebeurt met de functiewaarden f (x) als x in de buurt van 1 ligt. Meer precies, nadert f (x) tot een specifiek getal L als x nadert tot 1? De laatste schermafdruk suggereert dat dit het geval is. f (x) =

Dankzij Deel Rijen kunnen we dit proces nauwkeurig omschrijven: we laten een rij van x-waarden naderen naar 1, en bekijken de bijbehorende rij van functiewaarden. We kiezen bijvoorbeeld de rij (un ) zoals aangegeven in de linkertabel en linkerfiguur hieronder. We merken op dat die rij van functiewaarden convergeert naar de y-waarde 3. n Als we een andere rij van x-waarden kiezen die convergeert naar 1, bijvoorbeeld met expliciet voorschrift vn = 1− 12 , dan blijkt ook die nieuwe rij van functiewaarden te convergeren naar 3, zie rechterfiguur hieronder.

f (un )

0, 75 2, 3125 1, 25 3, 8125 0, 9

2, 71

1, 1

3, 31

0, 95 2, 8525 1, 05 3, 1525

f 4 f (u2 ) .. .

3 f (u3 )

3 .. .

f (u1 ) 2

f (v2 ) 22222 f (v1 )

0, 99 2, 9701 1, 01 3, 0301 ↓

↓

x u1 u3 1 ... u2

v2 ... 1

Deze informatie suggereert de volgende conclusie: voor elke rij die convergeert naar 1 (met elke term 6= 1) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3. Daarom zeggen we dat f (x) nadert tot 3 als x nadert tot 1, en schrijven in symbolen: f (x) → 3

als

x→1

of kortweg:

lim f (x) = 3

x→1

hetgeen we lezen als: de limiet van f (x) als x nadert tot 1 is gelijk aan 3. In dit voorbeeld kunnen we de limiet ook intuı̈tief berekenen: we herkennen in x3 − 1 een merkwaardig product (zie Deel Parate kennis): x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) dus als x ≈ 1 (met x 6= 1) dan zal f (x) =

x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = = x2 + x + 1 ≈ 12 + 1 + 1 = 3. x−1 x−1

Op die manier kunnen we het limietgedrag van de functie f in x = 1 intuı̈tief omschrijven: lim f (x) = 3

x→1

betekent:

als x ≈ 1 (met x 6= 1) dan zal f (x) ≈ 3

Achter zo’n zinsnede schuilt steeds een interpretatie, zoals hierboven vermeld: voor elke rij die convergeert naar 1 (met elke term 6= 1) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3. VII-3

3 Intuı̈tieve definitie (limiet). Zij f een functie en a, L ∈ R. Zeggen dat de limiet van f in a is gelijk aan L, in symbolen lim f (x) = L

x→a

als x ≈ a (met x 6= a) dan zal f (x) ≈ L

betekent:

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term 6= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L.5 Voor a = ±∞ en/of L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie waar nodig de term(en) convergeert te vervangen door divergeert.6 Bij elk geval zeggen we dat de limiet van f in a bestaat. Voorbeeld 1. Limiet van f in a ∈ R is gelijk aan L ∈ R. Merk op dat de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van de limiet L heeft. Zo is in onderstaande voorbeelden de functiewaarde in a (als ze bestaat) telkens verschillend, en toch heeft in elk geval de limiet van f in a dezelfde uitkomst L.

y f

lim f (x) = L

x→a

a lim f (x) = L

x→a

Voorbeeld 2. Limiet voor a ∈ R en L = +∞ of L = −∞. Ook hier heeft de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van de limiet L.

y f

f a x

lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→a

Voorbeeld 3. Limiet voor a = +∞ en L ∈ R of L = +∞.

y f

L f

x lim f (x) = L

x→+∞

x lim f (x) = L

x→+∞

x lim f (x) = +∞

x→+∞

5 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Deze interpretatie is een afkorting van de formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk, en gaat als volgt. Voor a, L ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x 6= a) dan zal f (x) ≈ L formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui 6= a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar L, en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi 6= a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar L. Uit deze formele betekenis blijkt dat de schrijfwijze limx→a f (x) enkel zin heeft als aan de voorwaarde (1) van hierboven is voldaan, hetgeen equivalent is met ∀R ∈ R+ 0 : #(]a − R, a + R[ ∩ dom f ) = +∞. In dat geval noemt men a een ophopingspunt van dom f . Is dat niet het geval, dan is de limiet in a niet gedefinieerd. De behandeling voor a = ±∞ en/of L = ±∞ is analoog. Ten slotte vermelden we dat de formele betekenis van hierboven equivalent blijkt te zijn met de ( , δ)-definitie van Weierstrass uit 1872, zie voetnoot 2. 6 Wanneer L = ±∞ dan noemen we de limiet van f in a een oneindige limiet, ook wel oneigenlijke limiet genoemd.

VII-4

Kerurerr we de graÍiek van een functie, dan kunnen we daaruit limieten aflezen. nodig van de interpretatie van de intuïtieve definitie van lirniet

uoor elke

rij

d,i,e

conuergeert naar

('met elke temn

Bij zo'n oefeningen is een goed begrip

a) geldt dat de rij uan functi,ewaarden conuergeert naar L

meer bepaald:

(1)

rn'e

beschouwen enkel rijen (met elke term

a,) waarvoor de functiewaarde

van elke term bestaat, en

(2) er moet minstens één zo'n rij bestaan. Voor een verduidelijking verwijzen \i/e naar de formele betekenis in voetnoot 5.

O Modelvoorbeeld 1. Hieroncler

stir,i.r,t de grafiek vàn een functie /. Lees de gevraagde limieten af, en argutrenteer telkens je uitkomst door middel van de lnterpretatie van de intuïtieve definitie van limiet.

(u)

(b)

(c)

(d)

"$,

/(")

: .t

,:tnrÀr,-v3,,

(,ït[$ru\** + ,) \È\(

ut"',ttr1tuLril.t,í-3

lJó^\*"f-,rÁ"d"

L^-,

r,s,rltnrls,Ic$dÁ í. ï,/

*\rÍ(") - '/

Jg;/('): ]1,'i

/(")

'3'

: 'L

-.",

X*mhïïy-"

wa't .\,rí ru

ie)

L.*.

]g1/("):

warrr

nÁ,.(

o\i.',,t \. *u',,r'q6\r'o'ix 't

ou^L U *

\"\

ra\-.\.-,.r*:,nonov

( lt'À&'u-k'^''"'

\ 1- ''*'\t''

i.{ 5\. \' *T O*'u'-*-ful*\** *,í

Ë*:*V"Xt'*p*N\N,

r-r.'"{u'1e}t

r*rtir *^*u,Àr\* i)^1.t-". \\."N1 dff,\X*( (u'*L,- .r,\r''rÀ'ux -*\t"1tr-\ 1'r'u( ï' *.- **,^q-tt.à: . tS(.L'*d'\-'^*5O;: *

.\*<

qI,.,-

rrÊ\

]rytrf @)

-,/

*ï,

^ï:

(-\'!

íol

(h)

*.a ]'g'^f @:

tryuï'):/.

*uot

*n(&ru-q Lr_ w*luoq\t*ci{

IJJ

,IA, /(r) : rim l@):

r++-m

( nt'k&t"-\*e-

t\)

}ÈN

\il

À*.L***LS- L'r,u.n*,\ta$-í t'* want rr.<\*Ài*hr L.o"t"1*xtd*r L . uro*\1'\re\uu 1t .

)r.***u* fu*VL*\h"k *u..t .){'rort\à ^*h'. L \r.lí -* "*N\N\-Y\vnw \\ J\ í\ i \ \otN. uJ+1^\i* \:tu{*f,nirt{ -\ ,'qroa[,i UV* want ..*r\ok^À S* nf L"ti*^rtusrf\c,',ar v.,

';.a"

L.^q

(i)

-\,**J', .\

ul*L**.LS** VII-5

\N"*

*) \

Is het l'oorschrifb van eerr furrctie ;f gegel'en, dan kurrnerr w'e eerst de grnfiek plotten orrr daarrra lirnieten af te lezen. Expliciet aantonen dat een limiet van f in a uiet bestaat, kan door twee verschillende rijen te geven die elk conveïgeren/divergeren naar a, maàr waarvoor de bijbehorende rijen van functiewaarden elk naar ecn ander getal convergeren. Wat ook kan, is dat je één rij geeft die convergeert/divergeert naar o, maar waarvan de bijbehorende rij van functiewaarden divergeert.

O Modelvoorbeeld 2. Bepaal de vtilgende limieten met behrrlp van de grafiek van de functie.

Argumenteer telkens ie uitkomst door middel van de interpretatie lan de intuïtieve definitie van limiet. W'ees expliciet.

(b) lini rio f 1) ' ' r--so \rl

(u) u+-i-m lim sinr Oplossi,ng.

(a) De functie

ï(*): sinr is een elementaire functie, zodat we meteen

lírn sitr : /. want .5.r í ( r\ ,.\ -* *T\ \\ 1) .1 \ \*t\- \\ \*',) L ,u

de grafiek van

\rs

-t [\uÀ\ \ {\ | -L--L.t.

kunnen schetsen:

$*1 - tttl.v

0-)+ó

ï{r"rrro'/

i,ï í_

,--

(b) Het plotten van de functie f @): sin(]) levert

de volgende schermafdrukken.

Bij verder inzoomen is het

resultaat eerder teleurstellend te noetrren.

l(nin=*10, Xnax=10

Itnin*-0. L, Xnax=O.1

Xnin=-1. l(nax*1

Een plot rnet het tekstzetprograrnma ffi$ (package gewelddadig gedrag van / rond r : 0 wel prijs.

pstricks

rnet optie plotpoints=SO00O) geeft het

Omgekeerd kunnen we inforrnatie over de grafiek varl een Íunctie achterhalen door limieten - voorlopig intuïtief - te berekenen. Daarvoor gaan we te werk zoals bij het inleidend voorbeeld van deze paragraaf.

O Modelvoorbeeld 3. Bepaal telkens de limiet met behulp van

een intuiïieve berekening. Maak nadien een

corïecte schets van de grafiek van de functie waarop je de berekende limiet ook kan aflezen.

(a) liq(ar -

(b) lim 4r2 -I7r+L5 ' ' r--+3

r-3

Oploss'ing.

lo')

\\r

\rw r,(\-

=\x-( x\"3-(

\*t

Lw."

\*3

(-'trv\x f 3)

lux-s) = \.

t\) \x"-fix r(:

\"( x- 3)

tx- 3). I rx-í)

l\\'kr3t$&-x+3)

\,"2")-\n

í\

\i--a

ht" ïÀ^

\-3

= ii

(_\x-o

=hx-(*",:-Ct

\f--rrx

Modelvoorbeeld 4. Gegeven is de grafiek van de firnetie

I\n):

)

x I i(

x-3

(^- í)

+í

x-3

sin

Zoek met behulp van je grafische rekenmachine de limiet van

in 0, en bepaal daarna deze limiet met behulp

vafl een inturtieve berekening.

"f("):

/.r(o.r) :o.51\l I r-(o."t),= o.Ss t?.J .-.

Oplossing. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan):

alsrt0(met zodat

"*0)

danzal

!(n)x:L

"l,l(o,.oot 1 = ".tgÏÍ) ï3 ;i -_

&..

li- tto" :.4z-+0 I

'We

kunnen deze limiet intuïtief berekenen door sin r af te schatten. In Deel Complexe getallen hebben we gezien z (in radialen) dicht bij 0 geldt:

dat voor waarden van

sinrrr, sinr=r- *rt, Dus als

0 (met

sinr

=,,l*t*#"u,

r-l*t*rrol"t - $17

enzovoort.

r + O) dan zal (vul aan):

Í(*):ttlg=. !

*\u }\\'k: \{ -{r

ol-t.

sinz=

-!f t{-t

vÏr-z

o --tL b

Utv li.. x x y*

"1\s

Wanneer we een x-waarde a enkel benaderen met getallen die kleiner zijn dan a, dan spreken we over de linkerlimiet van f (x) als x nadert tot a. Analoog voor de rechterlimiet. De intuı̈tieve betekenis van deze eenzijdige limieten wordt als volgt omschreven. 3 Intuı̈tieve definitie (linker- en rechterlimiet). Zij f een functie en a, L ∈ R. Zeggen dat de linkerlimiet van f in a is gelijk aan L, respectievelijk de rechterlimiet van f in a is gelijk aan L, in symbolen lim f (x) = L

x→ a

betekent:

als x ≈ a (met x < a) dan zal f (x) ≈ L

betekent:

als x ≈ a (met x > a) dan zal f (x) ≈ L

lim f (x) = L

x→ a >

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term < a resp. > a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L.7 Voor L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie de term convergeert naar L vervangt door divergeert naar +∞ resp. divergeert naar −∞.8 Bij elk geval zeggen we dat de linkerlimiet van f in a bestaat, respectievelijk de rechterlimiet van f in a bestaat. Voorbeeld 1. Linker- en rechterlimiet voor L ∈ R. Opnieuw heeft de functiewaarde f (a) geen enkele invloed op de waarde van zo’n eenzijdige limiet. De begrippen limiet, linkerlimiet en rechterlimiet in a worden enkel geassocieerd met het gedrag van een functie dicht bij a, niet in a.

y f

L2 L1

lim f (x) = L

lim f (x) = L1

x→a

lim f (x) = L1

x→ a

lim f (x) = L2

lim f (x) = L

lim f (x) = L2

x→ a

x→a

x→ a

Voorbeeld 2. Linker- en rechterlimiet voor L = +∞ of L = −∞.

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→ a

x→a

lim f (x) = +∞

x→ a

x→a

7 Daarbij nemen we opnieuw stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert, enkel termen u bevat waarvoor f (u ) i i bestaat. Voor a, L ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x < a) dan zal f (x) ≈ L formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui < a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar L, en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi < a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar L. Uit deze formele betekenis blijkt dat de schrijfwijze limx → a f (x) enkel zin heeft als aan de <

voorwaarde (1) van hierboven is voldaan, hetgeen equivalent is met ∀R ∈ R+ 0 : #(]a − R, a[ ∩ dom f ) = +∞. In dat geval noemt men a een linkerophopingspunt van dom f . Is dat niet het geval, dan is de linkerlimiet in a niet gedefinieerd. De behandeling voor rechterlimiet in a en/of L = ±∞ is analoog, met bijbehorende term rechterophopingspunt van dom f . In de literatuur staan de begrippen (linker- en rechter)ophopingspunt ook wel bekend onder de namen verdichtingspunt en limietpunt. Is a zowel een linker- als een rechterophopingspunt van dom f , dan is a noodzakelijk ook een ophopingspunt van dom f . De omgekeerde uitspraak is niet waar. 8 Wanneer L = ±∞ dan noemen we de linker- en rechterlimiet van f in a beide een oneindige limiet, ook wel oneigenlijke limiet genoemd.

VII-8

Opnieuw is een goed begrip nodig van deze intuiïieve definities: (1) we beschouwen enkel rijen (rnet elke terrrr ) a) waan'oor de functiervaarde van ellceterm bestaat, en (2) er moet minstens één zo'n rij bestaan.

(

resp.

O Mcdelvoorbeeld 1 (vervolg). Hierorider staat

de grafiek \,?n een Í'unctie /. Lees de gevraagde eenzijdige limieten aÍ, en argumenteer telkens je uitkomst door middel van de interpretatie van hur intuiïieve definitie.

(u)

lim f (r\:

r + -:1

"Y.,r@):z war,t .V.mrr\tr-.1

\ J

Lw (b)

"turl@):

Ll' Í4

want .)G,{ nIV.,-1;

\.,\\)

'.Nrtí,,r1ru\nà.Í1 - 3 (

o J

Iim f(r):.3

"\4,/{')

-l

Lt ,-*On1*\..,\ÀÍ -$

J** u,r.{ "nít, 41"\\"\r{*t}-".'in g)\ Í\"' \\

'h'

|ryf @):z

!yiÍ@)

,r't\tÏv'\*"n" < -? )

rlrnl/(t4)

: .-\ 'L

(d)

'?-

LhJ

(c)

,![r"f(r) :

.f-

jgn.

/(z)

: .ï-

tc\,E\r*i\t^r^

rlHht N . ul^${"{À .}.f. " <") ;\ rJ $.)r\\Àr-r4 ,r?'4 $ ) -)'

]'y,,f @): ."/

(e)

(f)

*u"t ÍsrÀr,'-<qLr-r*'..{5À-*""

( .3

N- &v"\^r'

t$'N n, *\S-5\*,1 ;: 1..,)

íol

(h)

rrryf @) want q{

]'y'rÍ(*)

: /.

)ry"f

: /.

\" ^u*^y5.i',* * ^o$'\*\*o-1' .\"\"-*-'ilro\**\À'J -"b \\

.r&h,áÀ-

)

*n-g

Bestaan linker- en rechterlimiet in a en hebben ze dezelfde waarde, dan bestaat ook de limiet in a, met dezelfde waarde. Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie. 3 Stelling (eenzijdige limieten). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a.9

Dan geldt:

⇔

lim f (x) bestaat

x→a

lim f (x) en lim f (x) bestaan en zijn gelijk

x→ a

en in dat geval hebben deze drie limieten dezelfde waarde. Voorbeeld 1. In elk van de onderstaande voorbeelden bestaat f in een geperforeerde omgeving van a, zodat de stelling van de eenzijdige limieten kan worden toegepast.

y f

L1 x

a x

lim f (x) = L

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = L1

x→a

x→ a

x→a

lim f (x) = L

lim f (x) = L2

x→a

lim f (x) = +∞

x→ a

x→a

lim f (x) = L

lim f (x) = /

x→a

lim f (x) = /

x→a

Voorbeeld 2. Wanneer het niet zo is dat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a, dan kan de stelling van de eenzijdige limieten niet worden toegepast. In dat geval kan de limiet in a bestaan, zelfs al bestaat de linkerof rechterlimiet in a niet. Dat is het geval als f niet onmiddellijk links van a bestaat of niet onmiddellijk rechts van a bestaat.

x lim f (x) = −∞

lim f (x) = /

x→ a

x→a

lim f (x) = L

lim f (x) = /

x→a

lim f (x) = −∞

lim f (x) = L

x→a

9 Met

f bestaat in een omgeving van a bedoelen we dat er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a + R[ ⊆ dom f . Zo’n waarde a noemt men ook wel een inwendige waarde (of inwendig punt) van dom f . Zeggen dat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a betekent dan precies dat a bestaat in een omgeving van a behalve eventueel in a zelf, formeel: ∃R ∈ R+ 0 : ]a − R, a + R[ \ {a} ⊆ dom f . Een geperforeerde omgeving van a wordt ook wel een verminderde omgeving van a, verwijderde omgeving van a of doorprikte omgeving van a genoemd. In de stelling van eenzijdige limieten kan de voorwaarde f bestaat in een geperforeerde omgeving van a nog worden afgezwakt tot: a is zowel een linker- als een rechterophopingspunt van dom f .

VII-10

1.2

Rekenregels voor limieten

limiet van een functie aflezen uit de grafiek van die functie. Andere limieten kunnen we dan weer intuïtief berekenen. Toch zijn er heel wat limieten waa"rvàn we de exacte waarde niet op die manier kunnen bepalen, Soms kunnen s/e een

bijvoorbeeld:

"Ir*

(J4"'

- 5" +

7z)

Het is dus noodzakelijk om limieten van functies ook algebraïsch te kunnen berekenen. Net zoals bij limieten van riien komen ook hier fundamentele limieten van pas, in combinatie met de rekenregels voor limieten.

O F\rndamentele limieten. In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen de volgerrde elementaire functies aan

bod.

Verwacht wordt dat je de grafieken van deze functies ten allen tijde onmiddellijk voor de geest kan halen. Op die manier ken je ook de vermelde limieten van déze elementaire functies. Hieruit bliikt ook dat de onderstaande elementaire functies / allemaal aan het volgend kenmerk voldoen: als a €

dom/ dan is lgi

/(r) :

Deze eigenschap zal later essentiëel blijken om limieten van courante functies praktisch te kunnen berekenen.

constante functie

identieke functie

absolute waarde-functie

f(r) :,

lim c: .{.

Í-+ - (fr

lirn c:.L

lim - -.0 r--r-e 1

1:.

.-.ào

lim r :

.'f.ào

r-++ó

c-)+@

omgekeerde functie

lim r :

Í-+ -có

lim 1/r : u---'-m

lim I :,:?o lim l:.*.cs

c*0

n+O I

,/.

./,.

lim {í:

uJ-6

lim r/ï:

.l").

,* ra:

.'o

r--+0

lirn l:.C r-"++6

derdemachtswortel-fu nctie

lim^/r: ./.

Í+u

lim

litp lrl :.Le.

ÍJ+m

positieve vierkantswortel-functie

2+O fr

r-+O|L

lim irl :.$r"

r+-É

lim

rj+m

/7:

.1.o"

VII-11

-b

lim i6: ..1x

++.€

exponentiële functie

exponentiële functie groeifactor a > 1

groeifactor0(a<1

f(r) :

f@):a"

lim a' : ..t h

lim at :

u--)-ó

Í+-m

lim a,':..O

lim

Í-++m

,-++oo

logaritmische functie

..O

: ..1 h

logaritnrische functie

grondtal0<a<1

grondtal a

f(*):

,-liT- "logr:

lim

Í--+-m

lirn "log,x : /.

lim "logr

c+0

t+O

,,,,i "ro*":

lim "log

.l.Do

a;+0

Í-+0

ll*

olog

r - .:. 9o

lim

r-++m

VII.12

- /.

r.:

Iim ologz

lim "loez: ..\'\

C*+U

r++€

"logr : /.

:: ix .=.oo

ologr:.*à

boogsinusfunctie

/(r):Arcsin r

./(r) : sinc

Iim

lXt-@

sin

,/ r : /.

liur

Í--m

Arcsinr

Iim Arcsinr

: /.

t+ -l

/,. lim sinr :,/. .2 -tlT, Atcsinr: ,/. Í--++@

lim Arcsinr

r4-1

."S. 'l

.=R L

lim Arcsinz:

a+L

lim Arcsinr: r--+L

lim Arcsins: r+7

../

E ,_

lim Arcsinr :,/.

r-++m

boogcosinusfunctie

: *f (")

"]iT- "o*': lim cosr : /.. Í++ó

lim

Arccos

*: /.

lim

Arccos

Í-+-€

r+ *1

(r)

"ot

lim Arccosr - T

{..^/

(r):Arccc,s

lim Arccosr:

r + -1

z+l

lim Arccosz: l c--+-1

z+ I

lim Arccosr: .9.

.Q.

lim Arccosr: ,/.

r-+1

lim

?--+*m

Arccos

*: /.

tan,r

/(r):Arctan r

"IT-

tann:

lim tanr :,/.

Í-++rc

liml! tanr :/,

Iim tanz:1.\

++-I

lim tane : -Í

-.-

-+-

lim tanr :.t.Da

1+8

VII-13

lim tanr:

-^L

licrr-+q

-.9o

lim Arctann:

i.N-

lim Arctanz:

-t.r

J--É

tanr: /.

2-r+6

.-.!l-

L'/

De intuïtieve deÍinitie van limiet van een Íunctie laat <-rns toe orn de rekenregels voor lirrrieten van rijen te vertalen naar rekenregels voor limieten van functies. De eigenschap geldt ook voor linker- en rechterlimieten van functies.

OEigenschap(rekenregelsvoorlimietenvanfuncties).Zijr€lR,"f*tgfuncties,aelRofo:*oozodat de limieten van

(u) (b)

llm

r-+ a

en .q in a beide bestaan. Dan geldt, indien het rechterlid geen onbepaaldheid is:rO

(/(r) + g(r)) :

lim (/(z)

r-a

r-+a /(r)

lim

lim e(r) + r-+a

lim f (r) - s@)): r-o.

Iím'iet uan sam'ís sorn ad,n li,m'i,eten

lim

I'im'iet uan uersch'íl is uerschil uan I'imieten

r+o. e(r)

(") l'41 (' Í(x)): ' (ri- Y1"1)

l'imiet uan ueeluoud is

(d) J'g (/(,) . g(r)): (jTi f f')) (ri- et"l)

Iirniet uan product

h- í1")) íe) J+; \9(r) / (f)

lim

I+A

- lg/!'l tim s(r)

limiet

prorhtct uan lim,ieten

li,mi,et uan quot'iënt i,s quot'i,ënt aan li,mi,eten

(/(r))' : (n/('))'/ \U )0

Sch,ets uan h.et betu'ijs uan

i,s

ueeluou,d uan

l'ímiet uan macht i,s macht uan limiet

(a) uoor a € lR.. 1r ].{oemen we Lirn f als

a (nret x

@):

a) dan za.l ï(")

-L

en lim r)a

g(r): M

dart betekent dit:

* L en g(r) = M

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (ur) die convergeert naar a (met elke term I a) geldt dat de bijbehorende rijen van functiewaarden U@")) en (9(u,)) convergeren/divergeren naar tr resp. &1, i.e. lim,-1n* Í(un) : tr en limr-a- 9(rr,r) : M. Wegens een rekenregel voor limieten van rijen is nu (als het rechterlid geen onbe' paaldheid is) lim,-1* U("") + g(u")) : L + fu[, zodat we mogen schrijven:

r = cr, (met r * a) dan zal ï(") + S@) = L + M waaruit lim,*o (/(")+g(")): L+M. Hiermeeis aangetoond dat-lim (f (") +g(r)) : Jgi/(")+tg1a(r). n als

Als het functievoorshrift kan uitgedrukt worden met de algebraïsche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking, dan kunnen .we een limict van zo'n functie algebrai'sch bepalen. Dat kan met behulp van de bovenstaande rekenregels en de fundarnentele limieten van hierboven.

O Modelvoorbeeld 1.

Berekerr algebraïsch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten.

Schrijf alle tussenstappen op, en verklaar elke overgang.

(a) liq(2ra) Oplossing.

,\i\

f,,

f*^ *") \ \._3 ,t

lJ\ Y_J

.t-.L*

3r\

os,*N-'\**&ftNÀ

.t = :, .(\-t^ \:_: z ï

\u\'\À'\À-^X r.^iu'lK

flrrL\ \^t*.V

-14,

\i,h

í I

\"'ur^t\,'${\"L\

tt)

r \ \ \L\^\,"Í t-rSri,u\ \t'tfrut*k

r\v

i I

I I I

\*x

w{$ L*Y {Tli

. {\ uuu,,k

\i\\,rrY trr',À\

ft\s.\k \Àt,.}(

(= t-,

wJ<\*\uqo'"k\ lrtt'1r,Ntvl

toBil ,ie formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteid dat de betreffende uitdmkkingen in beide lede.n bestaan in lR.: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort. rrZo'n schets varr het bewijs kal ftrrrneel worden gernaakt rnet behulp van de forrrrele }:etekenis van de interpretatie van de irrtui'tisre definitie van limieten l'an functies, zie voetnoot 5,

vII-14

In Deel Precalculus 1en 2 werden de zogenaamde

elern,enta'ír'e funct'ies irrgevoerd: veelterirÍ'urrcties, rationa,le err irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook de functies dic wc verkrijgcn door hun samenstclling.l' D" volgende stelling drukt uit dat voor zo'n furrctics de limiet in een waarde van het domein eenvoudig te berekenen valt.

O Stelling (limiet berekenen door substitutie). Zij a e lR en /

een veeltermfunctie of een rationale, irraf bestaat in een linkerof

tionale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie zctdat rechteromgeving van a. Dan geldt:

(r): f (a) (b) rèa Iim /(tr):1(ri* n) \r +c / (.)

l'31 f

waarbij tr een willekeurige functie in

voorstelt zodat

bestaat in ecn linkerof rechteromgeving van lirn**o

Schets uan h.et bewijs. Het bewijs van (a) volgt uit de funda.mentele lirnieten en de rekenregels voor iimietcn van functies, zie hierboven. Om (b) aan te tonen, noemen we !: g(r),limr-ol: lim"-+o S@): L en f (L): M. We moeten aantonen dat lim,-o f @@)): M. De schrijfwijze lim,-o g(r): -L betekent:

r = c (rriet r * a) dan zal g(r) x L hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (r,l.) die convergeert naar o (met elke term I a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden (g(u,)) convergeert naar L. Daar /(I) : &1 bestaat, is tr € dorn/ zodat lim"4; f (") : &í wegens (a), hetgeen uitdrukt dat voor elke rii ('ur) die convergeert naar tr (met elke terrn I L) geldt dat de bijbehorende rij van functiervaa,rden (,/(u")) convergeert naar M. Omdat -L € dom/, is de eis dat voor zo'n rij (u") elke term I .L overbodig. Stellen we nu (or,) : (S(?r")) dan convergeert de rij (/(9(u"))) naar als

zodat we mogen schrijven:

alsr=a(met r#a) danzal f(g(r))=M waaruit lim,-o f G@)): M. Hierrnee is aangetoorrd dat lirn,-o l(n) : / (lim"-" X). Voorbeeld, t. f b):2r4 is een veeltermfunctie en / bestaat in een omgeving van 3, zodat llq(zr4) :2. 34 :162.

f("): r/í

Voorbeeld

9. Bij het berekenen van limieten volgt de verantvroording van overgangen soms uit berekeningen die

ís een irrationale functie en

bestaat in een rechteromgeving van 0, zodat

]g1r/ï:r/o:o' verderop worden uitgevoerd.

lrià1"(cosr)

ï "/ Jl\0" / ,/ ], \), .'\4t

J 4

ti,r.., (l-L

ln(cos 0)

(n* ""r")

want

lnz

want

cos

bestaat in een omgeving van

]5;

cosr,

zie verder

is een goniometrische functie die bestaat in een omgeving van 0

-ln1-o Voorheelrl

4. f G):

*L is een rationale functie, maar

/(0)

bestaat niet. Dus

bestaat niet in een linkerof

rechteromgeving van 0. Daarom kan de steliing limiet berekenen door substitutie hier niet worden toegepast.

en inderdaad (vul aan):

igl/(.r)

f.?'

terwijl

fQ):/.

S. f ("): sign(r) bestaat in een omgeving van 0, maar / is geen elementaire functie zodat de iimiet in 0 niet noodzakelijk gelijk is aan /(0). En inderdaad (vul aan):

,s,piVoorbeel,d

van

lyof @

:-/.

terwijl

/(o)

: a.

Voorbeeld 6. f @): yG+ /-r is een irrationale functie en /(0) bestaat, maa.r / bestaat niet in een linkerof rechteromgevirrg van 0 zodat de liuriet irr 0 niet noodzakelijk gelijk is aan /(0). En inderdaad (vul aan): 'x

!ryof

@):,/. terwijl

/(o) :Q.

12D. t.rm elementair verwijst naar de zogenaamde elementaire operaties optelling, vermenigvuldiging, deling en (n-de machts)worteltrekking. Formeel zeggen we dat een functie (in één variabele) een elementa'ire Junctie is indien het voorschrift kan opgebouwd

worden uit een eindige combinatie van constante functies, elementaire operaties en algebraïsche, exponentièle en logaritmische functies en hun inverse functies onder herhaaldelijke sarnenstelling [14]. Tot de elememtaire functies behoren dus ook de zogenaarnde hyperboli,sch,e de cosrnus hgperbolieus eosh s - {=+-: en de tangens hgperbolieus tan}r r : # funeties - zoals de sinus lryperboh,eus sinh ar = 4#, (zie DeeI Afgeleiden) - en hun inversen, de 'ínuerse hgperboli.sche functíes - zoals de arcsinus hyperbolicus Arcsinh r : t" (" + V?*+ f , a" ) arcasinus h,yperbolicus Arcsinha: ln (r + Jrz - 1) enàe arctangens h.uperbolicnts Arctanhr: à t" (r*e). Elementaire functies werden

tussen 1833 en 1841 in een reeks a.rtikelen geïntroduceerd door Joseph Liouville

vil-15

V- [i3].

Vaak moeten we een limiet van een functie f in a berekenen waarvoor f (a) niet bestaat, zodat limiet berekenen door substitutie niet kan. In dat geval kan het helpen om de limiet te vereenvoudigen door de volgende stelling toe te passen, die precies uitdrukt dat de begrippen limiet, linkerlimiet en rechterlimiet in a enkel geassocieerd worden met het gedrag van een functie dicht bij a, niet in a. Hieronder formuleren we de stelling voor (tweezijdige) limieten van functies. Voor linker- en rechterlimieten van functies is het resultaat analoog.13 3 Stelling (limiet berekenen door vereenvoudiging). Zij f en g functies en a ∈ R zodat f en g beide bestaan in een geperforeerde omgeving van a. Dan geldt:14 als f (x) = g(x) in een geperforeerde omgeving van a dan is lim f (x) = lim g(x) x→a

x→a

Schets van het bewijs voor het geval de limiet van f in a bestaat. Noemen we lim f (x) = L dan betekent dit: x→a

als x ≈ a (met x 6= a) dan zal f (x) ≈ L hetgeen we interpreteren als: voor elke rij (un ) die convergeert naar a (met elke term 6= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert/divergeert naar L, i.e. limn→+∞ f (un ) = L. Daar f (x) = g(x) in een geperforeerde omgeving van a, zullen de rijen (f (un )) en (g(un )) op eindig veel termen na gelijk zijn aan elkaar. Bijgevolg is ook limn→+∞ g(un ) = L, zodat we mogen schrijven: als x ≈ a (met x 6= a) dan zal g(x) ≈ L waaruit lim g(x) = L. Hiermee is aangetoond dat lim f (x) = lim g(x). x→a

x→a

Voorbeeld 1. We berekenen: (4x − 5)(x − 3) 4x2 − 17x + 15 = lim x→3 x→3 x−3 x−3 lim

= lim (4x − 5) x→3

want 4x2 − 17x + 15 = (4x − 5)(x − 3) wegens stelling limiet berekenen door vereenvoudiging Inderdaad, als x 6= 3 is (4x − 5)(x − 3) = 4x − 5 x−3 dus de functies (4x − 5)(x − 3) en g(x) = 4x − 5 x−3 zijn gelijk in een geperforeerde omgeving van 3, zodat f (x) =

lim f (x) = lim g(x)

x→1

=4·3−5

x→1

wegens stelling limiet berekenen door substitutie

= 7. Voorbeeld 2. We berekenen: √ x lim √ = lim x → → x 0 x x>0 >

wegens stelling (rechter)limiet berekenen door vereenvoudiging Inderdaad, als x > 0 is √ √ x x x √ √ = √ = x x x

wegens fundamentele limiet.

13 In dat geval vervangt men in de opgave van de stelling de termen geperforeerde omgeving door linkergeperforeerde resp. linkergeperforeerde omgeving. 14 Met het onderdeel lim x→a f (x) = limx→a g(x) bedoelen we in deze context: de limiet van f in a bestaat als en slechts als de limiet van g in a bestaat, en in dat geval is de waarde van beide limieten gelijk. De bovenstaande schets van het bewijs kan eenvoudig vervolledigd worden tot een (formeel) bewijs van deze uitspraak.

VII-16

1.3 Praktische berekening van limieten In de vorige paragraaf hebben we geleerd dat

heel wat limieten van functies algebrai'sch berekend kunnen worden met behulp van de rekenregels voor limieterr van functies, geconrtrineerd met fundamentele limieten. Om het vele schrijfwerk in te korten is er, net zoals bij limieten van rijen, een prakt'ische bereken'ing uan lim'ieten Toch moeten we enige voorzichtheid aan de dag leggen: waar bij een rij (u,) slechts één type limiet aa^n bod kwam

,\T*u" onderscheiden we

bij

een functie

/ vijf soorten limieten

]':1/("),

_lim

(waarbij a € R):

/(r), ,liXr*/(o), ]y',Í("),

)ryr^f@)

We zullen de praktische berekening van limieten van functies dan ook in meerdere stappen bespreken. Als eerste komt de limiet van / in a aan bod. Als a € dom / dan laat de stelling limiet berekenen door substitutie ons toe orn deze limiet voor een grote klasse van functies te berekenen.

O Praktische berekening van limiet van een functie in o.15 Zij a € JR en / een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies zodat f bestaat in een linkerof rechtergeperforeerde omgeving van íu. Om de limiet van

in a te berekenen:

Jrgl/(r) gaan we 'inuullen: vervang r in /(r) door a. Indien /(o) niet bestaat, dan kan de limiet bepaald worden door (1) de stelling limiet berekenen door ve.reenvoudiging, of (2) de eenzijdige limieten in a te berekenen (zie verder).

O Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraïsch de volgende limieten. Bij een limiet van f in a € iR mag je aannernen dat f bestaat irr eerr linkerof rechtergeperforeerde omgeving van a. Werk rnet exacte waa,rden. Alle tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets.

(a) lim 3\/í' 4 r+z

(")

(b) lim sinr

íd) lim ' ' r-+2

Oploss'ing.

l\\àq"

I-Tl' 'j\'.-\ (n\ :.),ï - | \nn :<^L -?È

2log (23

"F,

(r (r

15r

2)k + 5) 2)(r +

3l 1i- q/

\h"ft ao: ègrx-o1x\r. ''r!^. il*Jo#,"

urr^\ \*rt' K-À;

rt\

L4 b\o' L\\

Lr* \*L

'\$'",

''t,{l-'\'-

{.v"- r(v

u-l*qtL,=\

LN-e\

u*4\("ï\ =tï\ \oN* \<.-

ri_

tt( deze praktische berekening van

lz*vuÀur)

t-à ut)

Y "\I 4

tuo",.\i[

.,.-,.

-ï

[: t(\

'oBij

ltFi

\Ll'X = \r\..{ \\ \(--E \.,,, .Fl 1J

\,$'\r

\S*r'

\. t( x.t.3 ":

1.à

limiet zijn de voorwaa.rden op f cruciaal. Zo bestaat de iimiet van J(r) : sign(r) in a : 0 niet,

a:0niet,terwijlJ(a)=0. Ookbestaatdelimietvan/(e) :t/i+J4ir. Blindelingstoepassenvandepraktische zou hier telkens tot een verkeerd antwoord leiden. Is men niet zeker dat / bestaat in een linkerof rechter(geperforeerde)

terwijl/(o):0.

h_*

berekening omgeving van n,, dan dient men de eenzijdige limie.ten in a te berekenen, zie Oefening 28.

VII.17

Vervolgens besprekerr we de praktische berekening van lirrieten om de limiet van een functie f in *oo te noteren:16

: I als Í++rc _ lir,n /(r) als ,lT* .f (r): L

in *co. De eigenlijke procedure steurrt op

ook: ,f (+oo) - l,, dan schrijven we ook: /(-*) : I. dan schrijven we

De rekenregels voor limieten en de fundamentele limieten van functies leren ons hoe we met de symbolen rekenen. Zoleiden devolgenclelimieten (met a,b€R en b> 0, en metm,n €Ns en nz ) 1):

lim

s-+*rc

* r) : 1*,

notatie

cle

lim (àr) : :tco, z-+*rc li+

=)t€

*2n

: agr., Iim r2n+r: ' z-+*m

*co

moeten

*oo,

,I1; i: o, ,Ii_ \/i : +u:, "IlL "-+fi: -crt, "IT* 'i/r: I alvast tot bewerkingen met reële getallen en o

*rc

die ook in Deel Rijen werden vastgelegd:

+ (:too) : *oo, á. (+oo) : foo, (+"o)t"' : foo, (**)t'*t 1

: o' TF*:

*oo,

z^+1i/-$

- -N'

- too,

'V-.o: I

De andere fundamentele limieten die we in de vorige pa,ragraaf hebben gezien, geven ons ook nog (met a €

ai* : *oo, ír-* : 0,

alsa>1: als0<cr.(1:

sin(*oo):/

cos(*oo)

: -|oo,

RÍ \ {0i):

: / o*- : 0, o-@ : foo, "log (+oo) - -oo, "log (-oo) : / ta.n(+oo): / Arcsin(*oo) : / Arccos(*oo):/ Arctan(*oo):*ï "log (+oo)

"log (-oo)

in geen geval uit het hoofd geleerd worden! Maak dus geen in te studeren fonnula.rium, maar onthoud deze limieten visueel door de grafieken van eiementaire functies voor de geest te halen en hun limieten aÍ te lezen. Deze bewerkingen moeten

Met de notaties /(+"") van hierboven kan de stelling limiet be.rekenen door substitutie nu uitgebreid worden tot limiet van / in *oc, hetgeen ons opnieuw toelaat om deze limiet voor een grote klasse van functies te berekenen.

o Praktische berekening van limiet van een f"n"liu in *oo.l7 Zij I

eeu veel[ennf'urrclie oÍee1 r,,tiorrale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrisctre functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om de limiet van f in *oo te berekenen:

,!1* /('r)

lim- -f ('t) "

gaan we inuullen: vervang r in f (r) door foo resp. -oo. Om de uitkomst verder te berekenen houd.en we, naast de bewerkingen met reële getallen en de svmbolen *oo, ook rekening met de rekenregels voor limieten van functies en de fundamentele limieten uit de vorige pa^r.agraaf.

O Modelvoorbeeld 2.

Bereken algebraïsch cle volgencle linrieten. Werk rnet exacte waarden. Alle tussenstarrpen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets.

(")

,{1;(""

+5*2

-71

(")

"IT_5% I (Cll ,. lrm ' ' 'JJArctan(l -

-R (b) L-+-6 Iim -; :rr

r:2)

Oplossing.

te) b:._^(*'+<xt-{ = 6*1'+( ( *t'-I : {x

{(("\*)-\

-i--'t"Y

\ 1. *\

\..

: \\

16lees/(+oo) alstlelim,'ietuart'J intoo,enzekerniet alsrlefunctietuaard,euun,Í i,rt*tnwarlt+ooisgeengetal. Analoogvoor/(-oo). 17ook bii deze praktische berekening varr lirniet is cle voorwaarde op / van belalg, tlelar na het vervangen van 56 door *oo 6e uitkomst

nog moet berekend worden aan de hand ra,n de bewerkingen die hierboven werden opgesomd.

vII-18

{--\

----:J

\\-\Àv*À"CL

tt) b:_

()

-\ x3

í- *.\l

t) l i

*ào

,-ll Àx <*_-___,_: (\ \

nÁ '- s^ _^t

*t.

i j

--)Y

(.) I

^i\

\urt

(

't-*

a F-.É

311

\^ *x

-*-" (-)

rb.)

h\-. \'À*lt-*)

t^u)*u.

\t-

( -")'-)

(t-

\..Lo* A

\\"À.o

t- *)

A l\

?L L

(n *))

Ten slotte bespreken we de praktische berekening van de lirrker- en rechterlirniet van een functie / irr o € lR. Ook hier steunt de werkwijze op een alternatieve notatie om limieten te noteren. Daarvoor voeren we symbolen at en a- in:18

(r) : t'

dan schrijven we ook:

lirn /(r) : l, als r+a

dap schrijven we ook:

als

l1m f

a+a

í{*) : t "\* *\y f @): f

kortweg: f (a-):

f (o*)

of kortweg: of

Opnieuw leren de rekenregels voor limieten en de fundamentele limieten van functies ons hoe we met de symbolen a-f a- moeten rekenen. Zo leiden de volgende fundamentele limieten:

,. Ilm-

r+O alvast

tot

.. rm

-r/\^

de bewerkingen

r+O

JTàl/r-o en ]ry\{í:l

-: I

11 ;t.,- : *oo, t,-- : -oo' \fiT:0

en t/a- : /

De andere fundamentele limieten geven ons verder nog (met o € R.f

aLsa)1:"log(0*) :-*,

"iog(O-) :7

\ {O}),tn

err als0(a(1:"log(0+) :+oo.

"log(O-)

Opnieuw onthoud je deze en andere bewerkingen aan de hand van de grafieken van elementaire functies. Met de notaties /(rzr) van hierboven kan de stelling limiet berekenen door substitutie nu uitgebreid worden tot linkerof reclrter limiet van / in a. Zo kunnen ook de eenzijdige lirnieten voor een grote klasse van functies berekend worden.

O Praktische berekening van lirniet varr een functie in aÍ. Zij a € R en /

een veeltermfunctie of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cvclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om de rechter- of linkerlimiet van f in a te berekenen:

jgX/(,), jgi/(") gaan v/e inuullen: veïvang r in /(r) door a+ ïesp. o*. Om de uitkomst verder te berekenen houden we, naast de bewerkingen met reële getallen en de symbolen o.i en *oo, ook rekening rnet de rekeruegels voor limieten van functies en de fun<lamentele lirnieten uit de vorige paragraaf.

O Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraïsch

de volgende limieten. \Verk met exacte waarden. AlIe tussenstappen opschrijven! Duid daarna de verkregen informatie aan op een schets.

,.3 *;lrm ta) ' r+OI'-lI

-\/

(b) lim ' ' r+1

/;o:x

,. L, r ir 3loq (:rirm ) r+ l -' O 'I

((r1 lrfir

/6-T@T; -q

r+n slllÍ

/'l\

Oploss'irr,g.

t.) \y" = t,-i-\^\,iti

r\ \,rs^

\*o,:.

) I

X-x

=--/ " 4/r o"

)

)<LY

-\)

o t-t)

=3.L:j(t*r.=+*. (3

(-_'

O Modelvoorbeeld 4. berekenen.

Bereken algebraisch de volgeude limiet door afzonderlijk de linker- en rechterlimiet te

c..rr\.Àon .'-'*1".

r-: \,tb-rw ' Oplossing. \ul,J- 3) = \*1,,'1

]g1rn(u'z

* e)

= \"., \"(*-5)

. Ï:g \n[k- r\{-x r3)) =

lia+;

,u*,,'L\*^L' \Àn -t[]L\n',n { ur.'- '."r .

ï;*[uí L]= ti^ uí =./^

> * o I (r), hoor je f (a+ ) te lezen als de rv:hterlimiet uan f in c,r want a+ is geen getal. Arraloog voor J(a*). r8Daar

=.- *

een

kortschrift is voor lirn,

aan

lgDeze opsomming van bewerkingen met aa is geenszins volledig, zie bijvoorbeeld Oefening 31.

VII-19

f in a, en zeker niet aJs tle functieuaarde

{.."1'^ M.k$-v*À*L\':. -)(\-

Lx"

rL)

-\(x

W _.ra

.[;

=-G -{?. -{'^Í U

L+^\ --À.

,'L* t \ir^ \\, ("'') *.o

Lc)

\: t\"{o-)-) {, -,1\ \\ \* í\ . \\(". \

)

\"\"t*\LLt'r-\' ' t1 nl J

ï\

-_-ffi-.-1

,x,

^\1Lt. ï

.\)

\à.

: \\,

I,r'tí\

x--(

lÀVv

l--"*---l-^**'> x

-/\

nw(s\

Bij

cle prirktische berekerdirg van

liurieten aijrr veilgerele tussenuitkoursten onbepaa.ld (zie ook Deel Rijen):20

(=) , (:) , (* * *), (o *), (oo),

(*o)

(1-)

In Deel Afgeleiden zien we

een algemene methode om de rneestc'onbepaaldheden op te heffen.?l Voor rationale irrationale functies kunnen enkel de volgende onbepaaldheden voorkomen:

(:) (* - *), (0."c). í9!) \oc,/ , \0/ , Voor een (e*nzijdige) limiet va,n een rationale firnctie f ín a € voudigen, en teller en noemer te ontbinden in factoren.

O Modelvoorbeeld 5.

krrn je zo'n oubepaaldheid opheffcn door te

verc-'en-

Bereken algebraïsch de volgende lirniet. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna

met behulp van je grafische rekenmachine. nz llllt-

r-z llrz , \ x \t-L) .'.-

Oplosszng.

*28

32r

$ir;\rïÀrrr$r

\..^ xL- Lx x*L -xl t MxL* ir-x \ L\ t""-\'uf-** " =ti\

-)n

r-r

t.|\-\n.

\\qt^..t'tr.,.'-\t<*r

=(i

',r.!.\, I

* - t,N6'Às,r"

** \L Y*u'VÀr{ x -L

lt[V,

]. noLrrrr/

\.s--'Li n.lr$1pt.\ t$\tÀ(

,,.\Àtm/

Lóoí \< *L

- JE- :T

ïrï

-ïr

L:_

zwív,

\"*

x-q-

X-L rNrtta, X*r.\oun*r

-3 -L

-- t\ lrh

T n

\rttL

-l

L\* - L) .( - r.

t\\

(-r+\)

!'^/\ ='L. \\\): È'\

\a'.

Con trole met behulp uan de grafische rekenmach'ine.

lï=t llotl Plotz Plol3 r\Y1E I x2-2x ) / [ 1 1xe-x3-3zx*2

r\Y2= l\Y3=

t\Y1 =

VÁRS ll Y-VARS Il 1

EXEm

Furc. Yr

coLoR

ion...

: :

(2.

)

v;(2.óóïi'

Pararnetric... Po1ar...

tOn/of Í...

l\Ys=

t(2:tàtóàïi

a\Y r=

l\Ys=

zoln d.t geval kan men niet meteen beslissen wat de werkelijke uitkomst is van de limiet! Net daarom plaatst men zo'n onbepaaldheid tussen haa.kjes D.t ( 3 ) etc. om het even welke waarde karr hebben, werd voor het eerst opgemerkt door Leonhard Euler !- 1755. 21De algemene methode om onbepaaldheden op te heffen, wordt de regel uan d,e l'Hospital genoernd.

vII-20

Vror de limiet van een ratiouale firnctie (zie ook Deel Rijen):

lim

-Tr,-J: í*): \oo/

srz

-2xz*6

Deze berekening leidt

kun je een onbepa.a,ldheid opheffen door het voorschrift te uranipuleren

rim

.73 5-i-!:5-*

Í+-m

-12 -z-1--

-=**- _

b -t-L - ' +-

tot het inzicht dat zo'n rationa.le functie

5-0-0:_q. -2+O

dezelfde limiet

in *oo heeft als de functie die we

ve,rkrijgen door de hoogste,graadstermen in teller en noe.mer te beschouwen:

.. 5r2-7r-3 /m\ .. 5r2 .. 5 ,99- J# + 6 : \;/ : "IT- jrz :,llT* Z: -i' 5

Vslalgsmenen leidt

tot

een uitbreiding van onze

O F\rndamentele lirnieten (vervolg). Zij

lijst van fundamentele limieten van functies. d,,e € N en

ai,ó; € 1R..

(a) De limiet van een veeltermfunctie in *oo wordt bepaald door de hoogstegraadsterm: lir,n (a6

Í+1:m

* arr I

azrz

+-.. I

aard)

: lirr' Í+i@

a4rd

{b) De limiet van een rationale functie in *m wordt bepaald door de hoogstegraadsterm

va,n de

teller en de

hoogstegraadsterm van de noemer: ao + a...D * a2rz +.. . + adrd\ :llm,. rirr í -f t-+te -|t€ \ b"+btr+brr'z+*+b"f bo-tlrr*bz:rz b'r' ) " ' t ";*;\

Modelvoorbeeld 6. Bereken algebraïsch de volgende verkregen informatie aan op een schets.

(") r+trc lim

(b) Iim (r3 + slxz ' ' r-+-m'

(23

5n2

adrd fioae

limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Duid 7rs

(") ï--@lim ,.

(d)

3r2 8r5

"itl-

28r +56

-2r+8 3:rz

2""

Oploss'ing.

G1 \,1" \*.'r ( IUJ "-\a'

*'-\)

\*1" x? x-j*

...' {\'.\'''= \_

(

Lr)

{È't:t-{\ \* Y*-D'

3xt-Lk \ \

\ tq

-t *( =h* \<^ -q i\.

-\: \^u y- _c,.

=-\-.(-*\ 3

(t)

\- x "r.

x rJ- : "v L\.[

r\, \

3 kt/

ïY

x3 .= .r

\r*

Y*{

tx-

* -Ls-

\ \" x"q \ex h \c:

= O. VII-21

Ook voor de overige onbepaaldlieden bij lirnieten van ratiorrale en irrationale functies kunnen er worden. Die illusteren we aan de hand van volgend modelvoorbeeld.

'uu'istregels toegepast

O Modelvoorbeeld 7.

Bereken algebraÍsch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine

(a) Iim t/zoztl # " r--+-rc'

20tg !x4

,. 1/zn+3-r

+ 54r

r+3

^/,;, v -1

r. lrln lDl u +*m

(d)

r-J

,. rrrn

I r"4I'

\ J--++m lv

l_r.\ _._, /

c"r +- è

Oplossirtg.

-.rffi

(,^)

\y *{

,o,u x-* Ï-oi3 xh\\\\

=\b\-

1-cr

(-d

'LuL.:.

Lu'Lt

{.-*)

i-; t\

Lru

\r',rt

\-= *,>

{

=/ F,

\ '1G-

x"l

\l-

h,.\{V'

)(.-.-rp

r-_*:*_-'

:\*

\xt.\!-

X.. -'r'

w',g,&.

\v\ >-\

Y'Á- )< ( o

'':

"-x

\t -

=U\\-.

-,.,p

: -[:S

']-'.t\rxft:.

Controle met befur,lp uan

à.e

E Plotl Plotz PIot3 ;-Fr\Y r EJ 2020X'-2019X+541

YzEfi{ïzx

l\ysEIJm-x],/{x-s)

ï<

= grdfische

-fi:-J : -,1

reken.mn.chi.n.e..

FARsI F-vARsl F

'n'""ri;l

I|EttElis c0L0R unction... 2 ! Paramelric,.. 3: Polar... :0nzOf f ...

ii;;;ËFffi_,xr

v;ï

',\Y s =

VIï.22

:liaiiii)

Enrsn' -0.666664815

l\Ys=

{ -1080}

(1@86|

-t.2483896t9

(3)

T$\ \\-L]-r"à,-r\f,\. L.) \i**

LY\3 -Y

'x* 3

x-3

W(\d^dl\ o rx t,JL\t*/

ï. Cf**;VYo-u Y - 3

Ltt x- 3 \,"'.\o*'* .* \tV i t'*ntí

1ffi--il\v.L\y

Lxr3

=\"*x-3

x-3

Lxt'j

\\",-r*^\i\,ÀJ(

v x [\i->.t: )=\o \(-3 .i \ \Y) (x-3).\\Lk\3 i

\it.,

..-

(n-l).(n+À) = o'-À/

=f **)

Lx+ 3 * ,."

í\

\-3

-r-r

tr1

Ï--l

x=3 tu'r'.,$,u'."\I\, ,^ o .\,,,n

LN*;\'\t"*\rr v-3

tx-i)$ï.xr3

\LN

x-3

i. Í----\

.lX3\.(\

ï-x+

3 \*) \

:-:.- _\

"-\

fim

{Ft:

\x"-(x+x

--\

3v3

t-x\)-\

í* - *\/ \^

\<- \

À"

.,..\à\*

\xL-(x t\

tQ b!)

* ,o.Lt,..

a*\*\Às*s^

*\*.

r zí.

t\^

* \;r,.."L.*

1E--r:,N5*tr;

+ Lx

Yt-(x :\iu X* +* ./<i

+\ -},á" ^

\ u.LL-(x\\ t LX

\Jt\\

X*1

=(?)

q-(

!r-

\ LX

\x\ -- x -(

-( \

h- x t

\ X-

1\È

t-,

_( \ \ -/

.*\.\n'o^

\uutt'rt r'-lrÀrrr*vu;Lap

x l-<\ \)

,rT \x-.

\,^ * \eN*

\-o+*r+L.

In het onderstaaude schema vatten we de vuistregels sarnen fie tot nu toe aan bod kn'a.rnen olrr een onbepaaldheid bij een limiet van een rationale of irrationale functie aan te paftken. Hierbij verwijzen (1), (2) en (3) naar de richtlijnen onderaan. Na het toepasscn van de vuistregels, onderneemt men een nieuwe poging om de limiet te berekenen cloor opnieuw de praktische berekening toe te passen (inuullen). Is de uitkomst nog steeds or.rbepaald, da,n worden de r.rristregels opnieuw toegepast.

lim

t1a

r* a

(=) ,(3)

lim f(r)

tim J(r), lim /(z) /(r), fr+a rta

afzorderen

in teller

z+ïm

> veelterm op veelterm? neem hoogstegraadstermen en

noenreï (1) (2), vereenvoudigen

> geen veelterm op veelterm?

a,fzorrderen in teller en lrot-! mer (3), vereenvoudigen

> veelte,rm? neem hoogstegraadsterm

breuken gelijknzunig rnaken,

(*-*)

vereenvoudigen

(o'*)

> geen veelterm? als quotiënt sclrrijveu, * afzonderen in teller en noemer {2), vereenvoudigen

als quotiënt schrijven, vereen-

als quotiênt schrijven, vereen-

voudigen

(1) Is de getalwaande van een veelterm in r : a gelijk aan nul, dan is die veelterm deelbaar door r - a (kenmerk van deelbaarheid). Gebruik het schema van Horner om het quotiënt bij deling van die veelterm door r - a te

vinden.

(2) Om

bij

t/n * fi t/a+ t/^.

een vorm

tweeterm

bij een vorm

(3) Om

een factor a,f te zonderen, vermenigvuldig je teller en roemer met de toegevoegde

ffi r"n factor r

af te zonderen, scba'ijf je:

VLJ:

en maak je gebruik

Yrz

van

l,rl

: í calsr>0

{*ruror.o.

geen rationaie of irrationale functie, dan kunnen ook de volgende onbepaaldheden voorkomen:

(oo), (*o), (1-) In heel wat gevallen kun je zo'n onbepaaldheid opheffen door de limiet te herschrijven als een macht van e. In Deel Afgeleiden wordt deze techniek uitvoerig behandeld. Daarom houden we het hier op één voorbeeld.

O Modelvoorbeeld 8. Ga na dat de volgende limiet leidt tot de vermelde onbepaaldheid. Bereken daarna algebrarsch de lirniet. Alle tussenstappen opschrijven! Controlee.r je a,nt,woord met behulp van je grafische rekenmachine.

lim:r# :

z+O

Oplossing.

n\l

tJ,\\c' X T-'.\ \<- r) \

ïtr: \\

\"tt \ .-b

\r-rr, \<.-(5 t)

: o

\ j*

tn rr e-

( \*x \fu* \(-

)

G;r ('t)

)

€,

\TI-23

(oo)

r' o\

--(u

)

Het karr voorkomerr in'at de praktische berekeriing vir,n limieten vuistregels niet toegepast kunnen worden, bi.jvoorbeeld:2z /1\ (;) :

"t1}!"'*

tiet tot

een resultaat leidt. en dat ook de vorige

o'sin(+oo): o' I

In sommige gevallen kan de lirniet van zo'n Íunctie bepaald worderr door deze functie in een (geperÍbreerde) onrgeviug van a in te slui,tert tussetr twee andere functies. ï/aaívan de lirniet in a wel algebraïsch berekend kan worden. De werkwijze steunt op het volgend resultaat met gevolg, waarvan analoge forrnuleringen gelden voor eenzijdige limieten en/of het geval dat o : *oo. Een (schets va.n het) bewijs is telkens gelijklopend aan dat van de eerdere stelling limiet berekenen door vereenvotrdiging.

O Stelling (limiet vàn eën ongelijkheid). Zij Í enginabeicle "ngfunctiesena€lRzoclatclelimietenvan/ bestaan. Dan geldt:zs als

/(z) < g(r) in een geperforeerde

orngeving van a dan

is r-a lirn f @) S lirn g(z) T-&

O Gevolg (insluitstelling voor functies).z4 Zij f , s en h functies en o €

lR met de eigenschap dat

een

geperforeerde omgeving van a geldt:

f (") 3 s@) 3 h(r). Dan geldt:

(i) als lim l(r) = .L en lim iz(r) : .L met -L € IR, dan ook lim g(rr) : L, t-a r-& rèa (ii) als lim /(r): +oo en lim h("): *oo, dan ook lim g(r): *oo, TlA r-a r-a

(iii) als lim /(r) : -oo en lim h(r) : -oc, Í44 r+a o Modelvoorbeeld 9.

dan ook lim Í1a

S@): -@.

Gegeven is de grafiek van de functie

/(r)

in 0 met behulp van de insluitstelling voor functies.

/1\ l,_/. ".ir

Bepaal algebraïsch de iimiet van

: " .t" (:)

{*" *\t^- .. e \{r*

oploss'íns.

-L1 **h)(À-

- {_ ( M"(t*\ (

a\-Lkv.,u,r-x

) =\ -)<{x 1qxl,!\{x .'J Ï-T-;r<Ëi {\

\,,r,.í. Xár)

y) ( \^t" * h^^{L\ <'}r* x i*i Y^o v^o u \

il. \1..

tM \

è \

\t{t :o

r- (1*

i '

=, \"rt *?.

àu',n

(,-"\

'\^

\r\rr\(Q =o.

X;r"à

ïait <urj:.) Y.i

!'-?O 'fr

)\i'["r^R-

(") """ i

\'-\.qÀ" -x> "r^{,\\;\, x. J \rutt-t 1_

..,

\^'t \LX)

ï.^rr x *:,.o

limiet van product is prorluct van limieten initieel niet "CI"dat -d".lt-i"a toegÊpast worden. z3Hierbij gaan we uit voor de hand liggende ongelijkhederr tussen een reëel getal L en de syr:rbolen tm, rnet r&rlê *oo tr < *oo. ! 24De insluitstelling (voor functies) wordt in de volksnrond ook wel de sand,uíchregel genoemd. De Engelse tem voor insluitstelling is squeeze theorem. ii \ \ \ \ vTl-24 j) --(\ \ \. r .,.-" "S ,1.

bestaat, mag de

\krur.op, \.r-\r-hnr"l*ru'.\v'v\uJrv-Seh Ix

[

( \Lq

'{,e.

aln

J-,'n

. * ['r-o l.tÀ"]X\tt.

L.4

Toepassingen

Toepassing 1 - Goniometrische limieten In het begin van clit hoofdstuk kwamen enkele lirnieten van goniometrische functies aan bod, die we bepaald hebben aan de hand van een intuitieve berekening. Zo vonden we in Modelvoorbeeld 4 op pagina VII-7 dat de limiet van onderstaande functie / in 0 gelijk is aan 1. De waarde van die limiet kun je ook aflezen uit de grafiek.

Omdat deze limiet fundamenteel blijkt in een verdere opbouw van de calculus (zie Deel Afgeleiden), zullen we dit nu ook algebrai'sch berekenen. Dat doen we aan de hand van een meetkundig argument.

O Stelling (bijzondere goniometrische limiet). Er geldt: 11p

stls

r--)U

Bewijs. Neem r e ]0,iIwilekeurig. Dan is r de kleinst positieve hoekwaarde in radialen van een hoek o in het eerste kwadrant, zie onderstaande figuur. Nu is r de lengte van de cirkelboog die hoort bij de hoek a, zodat

(vul de verantwoordingen aan):

sinr(c(tann -.J:1 i<.

sln

**". ,lilu-ï*\*

cos rt

r < liml lim r+O - r+0Sinf

\S".\"í

Ïr.xr.) o uc"w\x a1o"{L

< r+0COSU lim 1

\'*&xnu. /

+1<limr<l - r+ 0 sinz

L; tï

Um::I. s+U

SlJll

Nu is

een even functie zodat

Inderdaad,

sinr:

ook iiro -Íc+0 Slnrt

\ \ .,.. uuo*us{bN-\,ní v

e\\*'ur

LolY

'=4,

- -Y =-* \(-"t I\nl.r"t_:) - )nxx _

Wegens de stelling van de eenzijdige limieten mogen we besluiten

slnÍ : 1i* .U* Welnu. ' r--+0 *

{-0r* 4

h.h-x

=\u).

d" jrjà ,i",

1"_.o

ftnWX c\

\"N.. I x-b

\"'o^

k-s

A {_

tlttx:. VII-25

Deze bijzorrdere goniouretrische iirniet kan nu ingezet worden orn andere goniornetrische lirnieten te berekenerr, bijvoorbeeld door de techniek substitutie uan de uar'íabele toe te passen. We illustreren deze werkwijzerraet een voorbeeld:

sin(r ,. l1IIr-

noemt:r-3 danisr::Í*3

r-+3 r-3 sint ,, lll1}--*.

alsr-+3 danÍ+3-+3

r,+0 t

-t

Andere limieten kunnen dan weer berekend worden door het bijbehorend functievoorschrift te manipuleren (zie stelling limiet berekenen door vereenvoudiging). Daarbij kunnen de forrnules van de goniometrie uit Deel Goniometrie van pas komen, zie Bijlage A. Beschouw bijvoorbeeld de limiet van de volgende functie / in 0. Ook deze limiet kan met een intuïtieve berekening gevonden worden, zie Oefening 9 van dit hoofdstuk. Je kan die limiet ook a,flezen uit de grafiek.

iimiet nu ook algebraïsch berekenen aa-n de hand van de voorgaande goniometrische limiet. Beide limieten worden in de wiskunde gezien als b'ijzond,ere gon'iometrische l'imieten.

\Me kunnen deze

O Stelling (bijzondere goniometrische limieten - vervolg). Er geldt:

cosr ,. ]Tà- " :n' 1

Bewijs. We hebben (vul de verantwoordingen aan):

,. I-cosr r--ta r

,. l-cosu r--+o r.

: li* r-+o :llm,.

l*cos;r I * crls z

*uo,

sinr ,.

r-+0 .J;

r-+O

\r*, l\

*^r't (:l-- ,rit \

r(l 'it'" f cosc) ,

):\

(,t* \

\Yè^\

sinr I * cos z

*"".

\ri$t*- \+,í l**nv"tra*

{ Jh

r.ia

x\ = t-

uÀr-,1.'"* orrr.!

tunrx v

:*rJ =

.Lrí\N"\ ^'a*\ Y !**.\J

:..L. \'Ï'o =t, .q --t.rr =o l-\t ! \':n*

O Modelvoorbeeld. Bereken algebraïsch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijvenl Controleer daarna met behulp van je grafische rekcnmachine.

sin(3r) (a,l llm^ r r-'}U I

(b)

I - cosÍ sin Í

Oplossin,g.

t,r)

T":\-

:* \o. {"'F{ ï.t\ttrtn

Ll )<

n^.*

L-a

LL \

1\r

3. \tx^ Inx\

L-."

: 3.t. =-3

VII-26

tt*" t* L.*o

h,',

''r

e'u* \\IÀ.r*\,Àb ----:)

:\.-utt/

L-^"

* o^ t

\'\* ***)o!'otl*rt

ttt

t \* l-* L.^t

L*.

\\i\ Yrriu

)rJ-

É'. t

O _.L

=€)

L1,,"L" ^p**h"\"!r*iltJ

Toepassing 2 - Meetkundige problemen In de vorige toepassing hebben we een limiet berekend aan de hand van een meetkundig argument. Omgekeerd kunnen limieten nu ook meetkundige probiemen oplossen. Dit illusteren we met een r,:raagstuk, waarvan het eindantwoord vaak a.ls paradoraal wordt ervarerr.25

O Probleem.26 In de figrrur hieronder zie je

(een deel van) de cirkel met straal 1 en middelprrnt Àí(1,0). Een punt ,4 bevindt zich op de y-as zodat lOAl : h, 12. Laat B het punt op de cirkel zijn zodat de lengte van de boog fu ook geliik is aan h. Noem P het snijpunt van de rechte AB rrret de r-as. Wat gebeurt er met P als lz nadert tot 0?

(a) Probeer eerst intuïtief en rnet nattevingerwerk een idee te krijgen voor de limietpositie van het punt P.

(b) Bepaal de coórdirraten van de prrnten A en B, en stel de vergelijking van de rechte

op.

(") Toon aan dat de positie van het punt P gegeven wordt door

, /D\ co(P)

(h-hcosh

- (;

,0,J

(d) Welke (eenzijdige) limiet moet je nu berekenen om het probleem te beantwoorden? (e) Bepaal deze lirniet rnet behulp van je grafische rekenrnachine.

(f)

Bepaal deze limiet met behulp van een intuïtieve berekening. (g) Wat is nu de limietpositie van het punt P? Oplossing.

i*) \\*^\Àk\\"N h$" L"V \-rk 1*'t \ à$"\dLk ^*-SÉ \L\ ( \\ ,4\.- t. \ Èn. b {,R\= ( t- ^\, .r\i,\) L")

\'*,'l\\s

)*\= f\^

\'\\5.

4-* unh

x*\" - \. 1-

- c^\

\5\-e \t) h'b'x-nn \o* * =l

i..'\.u,*

* \"

\''t\'

)

tvL\ -L x +\ L- c,oh x = -k f,-

rl*xr, Jo* L *J.0,! \u,nío .

\"-')

x \\J

=o =,e

*\ : \ - \r.n\ \*, *t'L =i\!À J \h-twx\r\,/ \-)r^.rr-\'.r Xt\-h

25In deze context wijst de tetm parad.onar-ri niet op een onduidelijkheid of onvolkomenheid (in de wiskunde), maar wel op een situatie of probleernstelling waarbij het eerste antwoord dat in ons opkomt meestal fout is. Dat we sommige situaties in de wiskunde a,ls verra-ssend ervaren, komt omdat onze intuïtie - de directe waarneming van feiten, scherp en snel inzicht onafhankelijk van enig redeneerproces - zijn grenzen kent. Zie ook [6]. 26Dit vraagstuk werd ontleend aan [15] en 16, pagina 401. De (eeruijdige) limiet die in dit protrleern aan bod korrrt. kan algebra,r'sch berekend worden met behulp van de zogenaamde regel uart d,e I'Hospital. zie Deel Afgeleiden.

vrr-27

\e"uUq

1tL\**

t" \-\& \_l*".L

Lb.\ ' \*o )

to)

YrN-

-^\)"N

\À^',J.\

tl!ur"'rt-n\**

À, \' *" ( 'u*rh>

\** ,"}- \-\.^\ \- r"^ k

{

È ln(o")-- )-t1)ïr"' \, t\\\\

\'l^ \t''

\ï

\\\\

(

b"srr

(

o.oi) =

rt -

?..

-" -

\- r,*\

\\N \NNr' \r\"'cY\u^\on'\*\rtv'rvr1' À,

\ ."

J I N'N- \- 1'1 \*" r'uL

*Àt \- t\' *r\ t L*

\\\ \un L.c* irJ-

h - t'*tt.-\.

't\3

\_(\-\\r) V-Y* t-\] \\\.1\'

.rD

h-l\ -\. \ \ 'L\r Í

^1_ 4. T

":T í

\ï

7 3.

\* x"*\ (..1 \e- \^r,*,!1Á\,0-{rr- \ ttt\ ,nt'\r'\.n- \ ?.u)' \"*\ ^\N-

Hoofdstuk

Asymptoten In Deel Precalculus 1 hebben we de begrippen asymptoot en perforatie voor veeltermfuncties en rationale functies intuïtief benaderd. Limieten van functies laten ons nu toe om die begrippen precies te omscbrijven, en dit voor alle functies. Als inleidend voorbeeld beschouwen we de functie

waarvan de graflek hieronder gegeven is.

r\ÍÈ"

----2

hi\ )'{

-1 -1

I I I I I t

-3

-4

> Uit de grafiek van / lezen we af (vul aan):

lim f(e) : .-9s Omdat minstens één van de eenzijdige limieten van uerticale asymptoot aan de grafiek uan

lim f(r)' = .-.?"

r+-2-'

r : -2

Uit

lezen we af (vu} aan):

de grafiek van

/ in 2 gelijk is aan *oo, noemen we de rechte t : 2 een

eÍr

lim f (r):

I+'z

een uerti,cale asEmptoot aan d,e graf,ek uan

lim f (r)'

r+1-'

: à

Teken en benoem deze rechte in bovenstaand assenstelsel.

Verder is (vul aan):

zodat ook de rechte

Iim f(r)

r+ 2-

: ::3

.=.oo

is. Duid dit aan

het assenstelsel.

um rtrtrt ::.\J

Omdat /(1) niet bestaat, maar de eenzijdige limieten in 1 beide wel bestaan en hetzelfde reëel getal zijn, zeggen we: d,e grafiek uan f bere'ikt een perforati,ein r:7.

Uit de grafiek van

lezen we af (vu} aan):

,Iry* r@):

'4-

"I1;./("):

*'x

Omdat minstens één lran deze limieten bestaat in JR., zeggen we dat de gra,fiek van / een horizontale asEmptoot bereikt. Meer specifiek zeggen we: de rechte g : 1 is een horizontale asgmptoot uoor jr -+ -oo aan de grafi,ek uan f . Ook deze asymptoot tekenen en benoemenwe in het assenstelsel hierboven (voer dit uit).

\TI-38

2.1

Verticale asymptoot en perforatie

In deze paragraaf geven we een precieze omschrijving van de begrippen verticale asymptoot en perforatie. Daarna laten we zien hoe je voor een grote klasse van functies alle verticale asymptoten en perforaties algebraı̈sch kan berekenen. Op die manier kun je informatie over de grafiek van f achterhalen. 3 Definitie (verticale asymptoot). Zij f een functie en a ∈ R. We zeggen dat de rechte x = a een verticale asymptoot (kortweg V.A.) aan de grafiek van f is indien minstens één van de eenzijdige limieten van f in a gelijk is aan +∞ of gelijk is aan −∞, in symbolen: lim f (x) = ±∞

lim f (x) = ±∞

x→ a

x→ a >

Voorbeeld. Voor elk van de onderstaande functies f is de rechte x = a een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Dat duiden we aan door de rechte x = a te tekenen en te benoemen. Merk op dat het al of niet bestaan van de functiewaarde f (a) geen enkele invloed heeft op het al of niet hebben van een verticale asymptoot x = a.

V.A. x = a

lim f (x) = +∞

lim f (x) = L 6= ±∞

lim f (x) = /

x→ a

x→a

x→ a

lim f (x) = −∞

x→ a

lim f (x) = −∞

x→ a

x→a

dus x = a is V.A.

3 Definitie (perforatie). Zij f een functie en a ∈ R. We zeggen dat de grafiek van f een perforatie in a bereikt indien f (a) niet bestaat, maar de eenzijdige limieten in a beide wel bestaan en hetzelfde reëel getal zijn, in symbolen: a 6∈ dom f

lim f (x) = lim f (x) ∈ R

x→ a

Voorbeeld. In de linkerfiguur hieronder bereikt de grafiek van de functie f een perforatie in a. Voor de twee andere figuren is dat niet het geval.

a 6∈ dom f

a ∈ dom f

lim f (x) = lim f (x) ∈ R

dus geen perforatie in x = a

x→ a <

x→a >

dus perforatie in x = a VII-39

a lim f (x) 6= lim f (x)

x→ a <

x→a >

dus geen perforatie in x = a

Om verticale asyrnptoten eu perforaties van een functie / (algebrarsch) te berekerren, zullen we ons beperken tot de zogenaamde elementa'ire funct'ies: veeltermfuncties, rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook de functies die we verkrijgen door hun samenstelling. Is een rechte n: a een verticale asymptoot aan de grafiek zo'n functie /, dan blijkt /(a) niet te bestaan.r Door eerst het domein van / te berekenen, kunnen we op die manier de kanshebbeïs o voor een verticale asymptoot of perforatie

in a achterhalen.

O Praktische berekening. Zij / een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritrnische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om alle verticale asymptoten en perforaties van

te berekenen, gaan we als volgt te werk.

(1) Bereken dorn/. (2) De kanshebbers voor een V.A. of perforatiè in o zijn de randwaarden van dom / die niet tot dom / behoren. (3) Bereken voor elk van die kanshebbers a beide eenzijdige limieten lim

I+A

/(r)

lim /(r).

r+a

AIs minstens één van deze eenzijdige limieten gelijk is aan *oo, dan is de rechte t : o, een V.A. aan de grafiek van /. Is daarentegen de uitkomst van beide eenzijdige limieten hetzelfde reêel getal, dan bereikt de grafiek van / een perforatie in r : a. In elk ander geval is er geen V.A. of perforatie in r : a.

Modelvoorbeeld.

Gegeven is de functie

rz-4

r\L)- @_ilG (a) Bepaal algebrai'sch de eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van /. (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van / aan. (c) PIot de grafiek van / met je gra,fische rekennrachiue, en nraak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

Oplossing.

(

tr)

*\= \"o\\\NW"Àl (\l

:{x.wi YL-\ \*^,xq lrt

\Ë-\\L\

tlv 'x'{u {h! \)"

v#t

i : fo,.rLuf ï-.\\L \*\\t ' \ \\ Lt ) Y'"t'\h\'LL\'rt* \"\ \S,I*tH,w u*Lr"S*uLt*'*nnt\t

$rS"

.\'0vr

Lavr.-it^ \t\À\"\\\^'r'r's .\*r x :ó tN s-Controle met behulp van de grafi,sche rekenmachine bi,j (a).

mRil F-vARSlÍ1,F.*"tfi] Plotl Plot2

Plot3

i(Y;iiÏxà;lzi i x:ïiffiir t\Y?= l\Y3=

TflEE| COLOR

unclion... : Parametric... 3: PoIar...

:0nzOf Í...

l\Y{= l\Ys= l\Y6=

l\Yr= lBij andere, niet-elementaire functies kan het voorkomen dat een rechte z: o een verticale asymptoot aa,n de grafiek van J is, terwiji toch a € dom/. Dat is bijvoorbeeld het geval met de functie uit het inleidend voorbeeld van dit hoofdstuk. VII-40

{^'\n \$,\l*\*N. -) (t)

k*n\o$rr

x:s

N.-n

\*r" tu\tx\ = '\ -lo *-ao

51- \

(x-r-r.

= ó-h

,)axE

(o-4.ff =,/

{T = ./

u-r

\"*

^L _á.LJ

\"rr^ rií\ X-r

(

)

rt)\

\if\ \

= ko

L* \'\\U-*W

t,.-tr,[l an'"\\ffr..

'{,tr,r =o

Li\' ttl!\à.k, GK\A'

'*1\

'\) t

(v rxlr,) _ï -/o -\.) \ =\"1r., -: \l q' I

lr".

X: L

!{. =dr L

2.2

Horizontale asymptoot

Een horizontale asymptoot van een functie f beschrijft het gedrag op oneindig. Ook hier geven we een nauwkeurige omschrijving. De praktische werkwijze ligt voor de hand. 3 Definitie (horizontale asymptoot). Zij f een functie en b ∈ R. We zeggen dat de rechte y = b een horizontale asymptoot (kortweg H.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim f (x) = b

x→−∞

resp.

lim f (x) = b

x→+∞

Voorbeelden. Merk op dat de grafiek van een functie f een of meerdere snijpunten met een horizontale asymptoot kan hebben. Er kunnen zelfs oneindig veel snijpunten zijn. De grafiek kan ook twee verschillende horizontale asymptoten hebben. Tot slot kan de grafiek ook (gedeeltelijk) samenvallen met een horizontale asymptoot.

y f

f H.A. y = L

H.A. y = L

lim f (x) = L

lim f (x) = /

x→−∞

dus y = L is H.A. voor x → −∞

dus geen H.A. voor x → −∞

lim f (x) = L

x→+∞

dus y = L is H.A. voor x → +∞

y H.A. y =

π 2

y π 2

H.A. y = 1

f (x) = sign(x)

f (x) = Arctan x x − π2

−1

H.A. y = − π2

lim f (x) = −

x→−∞

π π lim f (x) = −1 2 x→−∞ 2

π 2 π 2 dus

dus y = − π2 is H.A. voor x → −∞

lim f (x) =

x→+∞

dus y =

π 2

H.A. y = −1

y = −1 is H.A. voor x → −∞

π 2

π π lim f (x) = 1 2 x→+∞ 2 π 2 dus

is H.A. voor x → +∞

VII-41

y = 1 is H.A. voor x → +∞ π2

π 2

Het (aigebraïscli) trerekerren var] hr:rizontale asyrnptoten houdt iri clat de liurieten van / in *:c trerekeud wortlerr. Willen we hiervoor de praktische werkwijze uit Hoofdstuk I toepassen, dan beperken we ons tot elementaire functies.

0 Praktische berekening.

Om alle horizontale asymptoten van een functie werk (hieroncler voor f; -+ +oor analoog voor.r -+ -oo).

(1) Bereken

te berekenen) gaan we als volgt te

lirn

f(r\. r-++m " ' ' (2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal ó, dan is de rechte 9 de grafiek van f . In elk ander geval is er geen H.A. voor ?r -+ +oo. O Modelvoorbeeld.

ó een

H.A. voor u -+ +oo aan

Beschouw de funetie

J'e):1/S"r+r-tr. (a) Bepaal algebrai'sch de eventuele horizontale asymptoten aan de grafick van /. (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van / aan. Oplossi,ng.

t^)^VI

- :]")

Ïy-( .N

b"N

ï *- -

Ï.r.rv,

-a

X-.-À.

("r' '* *)

x :

r/.L

\ê$ \[+"\:*qs

futt oqp"\\r.rn-x - - b,

'tn *

.;-' -\ f í.I^ ^" - ix\I ix'"\r \ X\''J trl -- Ïr.r^ v-'r \\ \\ \'- *r {\

\J-\'x \* I o-'\

t = (*

\{r-ï^ \)'^'+x*jr.'\ r,-;-

= x-\q. x-t \

=L* X-ta

\^_

- >\l

r3r l*'l* \EJ"-.,.' \ ).' r \3X .,,

.r--;-

\\rr"'Lx 1{'r x \lx-

\,)- /,

\jÍ \x\.\5r'l1( \

--í'X

ier.r-rlcr.> o

\*t\l"\k Controle met hehu,lp uan

Plotl Plotz

Plot3

TTYTEJgX?+X-3XI

l\Y?= l\Ys= l\Yc = t\Ys=

d,e

\; s'\.{nrx*\,x*"1,\ \,

{T t: \\'ït-_

lrr -4 - 4 tr_ll\

grrtfische rekenmachi,ne bi,j (a).

VHRS TIEftET'F COLOR

t('1@@@Q|

t(|O0,OO)

uncLion...

2: Parametric... 3: Polan... 4 : On.t Of f

...

\Ys=

vII-42

. ....5????,.Ê9339.

........ "..9,. 1É9ÉAA?9.1. Yr { 108ÊCI@Ê} Iu u uuu: u

l\Yz=

t6?a',oauaua-ua

1e'

t..

2.3 In

Schuine asymptoot

deze laatste paragraaf bespreken we schuine asymptoten. De definitie wordt opgebouwd

in het voigende voorbeeld.

O Op ontdekking. Beschouw de functie / met onderstaande grafiek (volle lijn). In hetzelfde de rechte A :2r i- 1 getekend (stippellijn).

(a) Duid op de figuur

een positieve c-waarde aan. Hoe kun je het verschil

* Gxr

\""$"

ï{") -

(2r

assenstelsel is ook

+I) uit de figuur a,flezen?

(b) Wat geberrt er met het getal f@)-(2r+l)

als

divergeert naar foo?

*.t*

uanlomdat(vulaan):

aand,egrafieh

*'ï.;(\*-tt-x+r)):È. Definitie (schuine asymptoot). Zlj f

een functie en aoó € iR met o

een schuine asymptoot (kortweg S.A.) voor

rim (t@-(az+à)) \ /

Í--m

-+ *oo (resp.

-0

resp.

-+ +oo)

,liïL

10.

We zeggen dat de rechte

aa,n de gra.fiek van

t,l -

(az + b))

is indien:

A: ar+b

Voorbeeld "Í. Net zoals bij een horizontale asymptoot kan de grafiek van een functie / een of ureerdere snijpunten met een schuine asymptoot hebben. Controleer de uitkomst van de onderstaande limieten.

Í(*):*lip (/(r) - r) :0 dus E: r is S.A. voor r +

f (r)

: r-

Í-fÉ

too

dus

VII-43

y: r

is S.A. voor

too

_ rr 12

L-*!r\.- Lo*tru'' {*rL\f -*

'r-

\n':\-

\tL

}1\-(\t"

i=\\-F-\4 n1\

\'u {- {. \ xt / x^1,r\ =-

x - !*.

*.5\

(r*f \- 1:\

\\,\or

\*'

t:tx

& \=x

\l,N È= h-\x- 'Ë -4-+Lx

x--

\s" x-

\È'

-.và

L \{

.Íx"

\"ix '=

=(ï

t-\

ï\

Y-

-*G "x'

t i^ \\ {mr x '- !* "^5-\

De grafiek van een functie / kan ook twee verschillende schuine asyrnptoten hebben, of één horizontale asymptoot en één schuine asymptoot. Controleer de uitkomst van de onderstaande limieten. Voorbeeld

Al,

l@):r-2Arctanr

S.A.y:rlr.t

"f(r)

: J"'+*+"

\O1

S.A.g:Zr*È -. _tim Í+-m dus Y :

(/(z)

t*r

dus Y :

Iim f (ri: ' -!2

r+-m"'

isS.A. voor Í -+ -oo

ti+- (/(r)

_ zJt-€

-(*+r)) :o

- r)) : voor

7r is S.A.

rl.rrr ous g

- -i

Iim

r -|

fi.4. voor ir -+ -oo

/ 1.r (2r+:)l:0 Ifb)' ' 2'J

r+tm\"' dus y

+oo

* 2r + $ is S.A. voor r -+ +oo

Om voor een gegeven functie de schuine asymptoten algebra,rsch te berekenen) steunen we op de volgende eigenschap die we formuleren voor de limieten in *oo. Voor de limieten in -oo is het resultaat met bijbehorend bewijs analoog.

O Eigenschap. Zij /

een functie en a, b €

lR.

met o

0. Dan geldt:

hm (7(r)

J+ïó

-(ar*b)):o /

llm f(,) :A r-)+@ f

lim (/(z) - ar) = [

c+-f€

Bewijs. Verond.erstel eerst aat

"I1;(f

f"l -

"u1;(/

(az + a))

- (ar+ ó)) = 0. Dan geldt (vul aan):

: o =+ o*) o "!g(l{,) - -"ITLa:

b*.(\" X* *r!

k*-"\ =L. x-\^'^ o

Irfo,

/ f(r\ b\ lim l"'*' \ u -a-:l r, l

Orngekeerd, stel

TL\

datr*)+oo lim Í(*) :

,!y*(/(") -

ar) -

\itx L:

lli

)** \_

t rÀ

=0"4=O.o:o \?s

-.o

r-++m

:..\i* tim Ï@) =+ Í-'+oó Í

{o'kU

fr,-r*t"/

*i-t

f@)-(ar+b) ,. llm

.\"*

Verder is dan ook (vul aan):

*u,'t trsnf-.6nk\,

à:

Y-\E

)(

aLt

lim (/(z) - ar) :6.

"n r-++rc

lim íf(r)-ar)'

J_-}{6r..

\,'o (\"

" -;;;'

\lo

\* Dzur

d\-

{.s = rdl

is (vul aan):

lim b:0

c+ jm

want

t^' *\\ =o

'^ u$NN. Ur*í,\.'mkt

n 'hnn\n,t

\^rr,\*/

LN'f \-;k-{*à"-'Lt/ ."\n= .

X-l-\Àr,r,,v

(- - ") b)__(X"

h _?-r-

\")o* x -7{-

= * :- \tÀ.** L- *) * \ =Ó

\* g= **\"n\\ n* --:"t8{ .}.:".ko-(*-*\ : 5: -(-t\t\*" í") = * L\t&'c*tn*) tlr

\rr^

\(n N"

l\ \ar r<- \ \ """N :>'.-\'* I

ï\. \-l-\..

Y\*

r-íT +x tÁ 'frfr-x '[K-t.-.t'l^

yY-* \i* \ x--b L"-Á=(*

\'^ \J'\\

\x'\x -------:-

\il-"

-v

-\"" -

t mnlt Y (o

[!'.*'-r \*

\) :-

l*\\tooq

\:-S*-("-à

k- -

0"0.h.

\,o

\\*F *

Y-1. *

- -\

\x*ï-x* tL

-x -à

r \y \\lsor x - \"'

"^"

5*\

Dankzij de vorige eigenschap kunnen schuine asymptoterr nu ook berekend worden. Op die manier kunnen we grafieken van functies beter begrijpen.

O Praktische berekening. Om alle

(I)

Bereken

,Iru

/ te berekenen, gaan we als volgt te

schuine asymptoten van een functie

werk (hieronder voor ,r -+ +oo, analoog voor

-+ -oo).

(2) Ats deze limiet bestaat en geliik is aan een reëel getal a, bereken d""

,IT-(/(r)

(3) AIs ook deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte g ,t -+ +oo aan de grafiek van -f. In elk ander geval is er geen S.A. voor z -) +oo.

O Modelvoorbeeld (vervolg).

Besehou'\À/ de

: ar *

ó een S.A. voor

functie

rQ)

ar).

1/s"'

+i - sr.

In een vorig modelvoorbeeld hebben we berekend dat de rechte y aan de grafiek van ./ is.

: fi een horizontale

asyrnptoot voor s -+ +oo

(a) Bepaal algebraïsch de eventuele schuine asymptoten aan de grafiek vadr Í. (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van / aan. *(c) Plot de grafiek van met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je / de verkregen infrlrmatie aanduidt en benoemt. Oplossi,ng,

("\ '/N Xp.\\\uorx^ \*

\\'(sr x^ -

uJooN * t,

qqÀ\U'{orx- \n"" ( li.

\i* Y.- -o. = \'* X- -À >- \r*

x.._È

- 3v

-x

-íxr -\;) -3v

\x\.

3) n

= {\*'-3 *3 = - 3 *3

*fi

\q"\,h'rt"

= -t

K-_

=xJ

Controle met behulp uan de grafische releenmach'ine bi,j (a). Plotl Plot2

Plot3

v'plllËI'-gx

z('rOA66l

Plotl Plot2 :5..?99?Ê3333.

Y2ÊYi/Xl

Plot3

rrv,aJ!ilïil-ex I\Y2EY1/X

l\Y:EYr-( -6X)l r\Y4=

l\Y5=

Ys= Yo=

r\Ys=

Ys=

l\Ys=

l\Yr=

VII.45

z{ -L8660)

vtï':ï6óóói 1"""' " ""

\{"LLv*Uil,t

(*'\^ -)

L') b\_h*-''f =

F:L'f-r-il \\)lr\x

-3x-(-tt

\\urit"1.'. t3X \r

{TF-3x

)<* -r f\

\lu^ '\<-

-r

r\,

\.Nn

x- *\ Í\^ \Lw'"

\--.x

\x\.

-x 1\T-T-\g* L

-3

\ \\ L:: \\t"L*\k. \: ',.xrL -'/ =-tx- \

L\)

-t =t

"")t\

\\x

tà \\-&,' \L"0.\X blulo"'t*L \1-*.

\f.\"g=4-

(L.-\^N***\)

.-\\)=\

\rhr, \.\a*.\ < \

J5-L -olt,

'...

\h. -1=-[r.-

[

We suggest the phrase given by some unknown mathematician: “When you draw a continuous function, the chalk never separates from the blackboard”. Menahem Friedman en Abraham Kandel, Calculus Light, 2011 [20, p.87]

Hoofdstuk 3

Continuı̈teit In wetenschappen staat het begrip continu voor een proces dat zonder abrupte veranderingen verloopt, een kenmerk dat we bij heel wat verschijnselen rondom ons kunnen aanvoelen. Zo zal bij een object dat zich verplaatst de snelheid op een continue manier veranderen in functie van de tijd.1 Om het kenmerk continuı̈teit precies te omschrijven, moeten we ons echter wenden tot de wiskunde. Meer bepaald laat het begrip limiet ons toe om dit te doen. Anderzijds kunnen heel wat eigenschappen van limieten van functies eenvoudiger verwoord dankzij het concept continuı̈teit.

3.1

Continuı̈teit van een functie in a

Als inleidend voorbeeld beschouwen we het (wiskundig) proces om een decimale voorstelling van het getal π 2 te benaderen. Daarbij kiezen we een benadering van π, en kwadrateren het resultaat. Als we π met tien of meer decimalen benaderen, dan lijkt onze benadering van π 2 te stagneren. Ook het kwadraat van de voorgeprogrammeerde waarde van π geeft hetzelfde resultaat (voer uit).

In werkelijkheid is onze rekenmachine te beperkt om dit proces nog verder uit te voeren, en stagneert ons benaderingsproces van π 2 niet. Zo vinden we met een computerrekenpakket zoals Maple: 2 3, 141 592 653 58 = 9, 869 604 401 027 825 886 816 4.

We vertrouwen er echter op dat steeds betere benaderingen van π zullen leiden tot steeds betere benaderingen van π 2 . Dit proces hoort ook niet af te hangen van de manier waarop we π benaderen. Zo konden we evengoed starten met 3

3, 142

3, 141 593 ,

3, 141 592 654

enzovoort.

Voeren we de functie f (x) = x in, dan kunnen we dit kenmerk intuı̈tief omschrijven: als x ≈ π dan zal f (x) ≈ f (π) hetgeen we als volgt interpreteren: voor elke rij die convergeert naar π, geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (π). Dit kenmerk van de functie f en het getal π zullen we omschrijven als f is continu in π. Samengevat: 1 betekent: als x ≈ π dan zal f (x) ≈ f (π) f is continu in π x De gelijkenis met het begrip limiet is treffend: continuı̈teit geeft weer dat de limietwaarde L gelijk is aan de functiewaarde f (π) lim f (x) = L

x→π

betekent:

als x ≈ π (met x 6= π) dan zal f (x) ≈ L

Dit verband zal ons toelaten om de continuı̈teit na te gaan door een limiet te berekenen. Toch zijn de begrippen limiet en continuı̈teit wezenlijk verschilend. Zo moet bij f is continu in π de functiewaarde f (π) bestaan, terwijl dat bij de limiet van f in π niet hoeft. Dat wordt ook bij hun interpretatie duidelijk gemaakt: waar we bij continuı̈teit alle rijen toegelaten die convergeren naar π, beperken we ons bij limiet tot rijen die convergeren naar π maar waarbij elke term verschillend is van π. 1 Er zijn echter ook processen die niet continu zijn, zoals bijvoorbeeld degene die het resultaat zijn van een telling: 0, 1, 2 enzovoort. In dat geval spreken we van een discreet veranderingsproces, zie Deel Rijen.

VII-48

3 Intuı̈tieve definitie (continuı̈teit van een functie in a). Zij f een functie en a ∈ R. Zeggen dat f is continu in a

1 x

betekent:

als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a)

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a).2 Is f niet continu in a, dan zeggen we ook wel: f is discontinu in a. Voorbeeld 1. De functie f met onderstaande grafiek is continu in a.

y f

f (a)

a f is continu in a

Voorbeeld 2. Wil f continu zijn in a, dan moet f (a) bestaan. Dus als a 6∈ dom f , dan is f niet continu in a. Dat is het geval bij onderstaande voorbeelden.

f a x

f is discontinu in a

Voorbeeld 3. Ook als f (a) bestaat, kan f niet continu zijn in a. In tegenstelling tot het limietbegrip heeft de functiewaarde f (a) wel degelijk een invloed op de continuı̈teit in a.

f (a)

f is discontinu in a

2 Daarbij

nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen ui bevat waarvoor f (ui ) bestaat. Net zoals bij de intuı̈tieve definitie van limiet is ook deze interpretatie is een afkorting van een formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk voor continuı̈teit, en gaat als volgt. Voor a ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a) formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar f (a), en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f , convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar f (a). Uit deze formele betekenis blijkt dat de uitspraak f is continu in a enkel zin heeft als f (a) bestaat, i.e. a ∈ dom f . Op die manier is automatisch aan voorwaarde (1) voldaan, daar men bij a ∈ dom f steeds de constante rij (un ) = a, a, a, . . . kan beschouwen, waarvan de rij van bijbehorende functiewaarden (f (un )) = f (a), f (a), f (a), . . . vanzelfsprekend convergeert naar f (a). Is a 6∈ dom f dan is f niet continu in a. De formele betekenis van hierboven blijkt equivalent met de zogenaamde . In 1872 [23] publiceerde zijn ( , δ)-definitie. Deze eerste formele, kwantitatieve definitie van continuı̈teit kwam van Karl Weierstrass student Heinrich Eduard Heine deze definitie, gebaseerd op de lezingen van Weierstrass, zie [1, p.178]. Een woordelijke doch exacte omschrijving van het begrip continuı̈teit gaat echter terug naar Bernard Bolzano 1817 [3, p.11] en onafhankelijk herformuleerd door Louis Augustin Cauchy [10, p.34-35], zie [19].

VII-49

Kennen we de grafiek vau een Í'unctie, dan kunnen we daaruit de continuïteit in elke r-waa.r'de aflezen. oefeningen is een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuïtieve definitie van continuïteit uoor elke

rij

di,e conuergeert n&&r a geldt dat de bi.jbeh,orende

ríj

uan functíewaard,en conaergeert naar

Bij

zo'n

f (a)

nreer bepaald:

(i)

we beschouwen enkel rijen wàaïvoor de functiewaarde van elketerm bestaat, en

(2) er moet minstens één zo'n rij bestaan. Van zodra a

€ dornf dan is meteen

aan voorv/aarde (2) voldaan, daar we dan de constante

tij a,a,a,...

kunnen

beschouwen. Voor een verduidelijking verwijzen rre naar de formele interpretatie in voetnoot Z,

O Modelvoorbeeld 1. Hieronder staat de grafiek van

een functie /. Pas telkens aan tot een ware uitspraak (sclrrappen wat niet past) en argurnerrteer het al of riiet continu zijn door middel van de interpretatie va"rr de intuïtieve definitie van continuiïeit: de functie f is

-5

-2

-.J

(")

continu/diseenti** in

(d)

,eentinuldiscontinu in

(e)

contiuu/.dis'ee+tinr+

íf\

eo+ti*-,/discontinu in

(S)

continu/diren*inr+ in

[r'n

1tg1a1^

OIV'"

Lnq

$. 1r,n\=[!.\,,--*t Lo" \'a1u^\\

-1

want

-"$r,S \a&(

via

ï'-

r.t.l-r--- -r !

t I t" w,"n"\\.V,,'[*ÍÀao^[

','\ vo', \'xL\;\r\r*"\, 'SÀt r

\*Xi'.**Sr* ^r*f *\Nnm,\\ir\rr-so

Hebben we voor een functie f en a ∈ R dat de limiet van f in a bestaat en gelijk is aan f (a), dan is f continu in a. Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie. 3 Stelling (continuı̈teit en limiet). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linkerof rechtergeperforeerde omgeving van a.3

Dan geldt:

⇔

f is continu in a

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk

x→a

Voorbeeld 1. In elk van de onderstaande voorbeelden bestaat f in een linkerof rechtergeperforeerde omgeving van a, zodat de stelling van continuı̈teit en limiet kan worden toegepast.4

y f

f (a)

y f

f (a)

lim f (x) = f (a)

x→a

f is continu in a

lim f (x) = /

x→a

f is discontinu in a y

y f (a)

lim f (x) = f (a)

x→a

f (a)

lim f (x) 6= f (a)

f (a) = /

x→a

f is discontinu in a

x→a

f is discontinu in a

3 Voorbeeld 2. Wanneer het niet zo is dat f bestaat in een linkerof rechtergeperforeerde omgeving van a, dan kan de stelling van continuı̈teit en limiet niet worden toegepast. In dat geval kan f continu zijn in a, zelfs al bestaat de limiet in a niet. Dat is het geval als f niet onmiddellijk links van a bestaat en niet onmiddellijk rechts van a bestaat. Men noemt a dan een geı̈soleerd punt van dom f .5

y f

f (a)

lim f (x) = /

x→a

f is continu in a 3 Met f bestaat in een linkergeperforeerde omgeving van a bedoelen we dat er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a[ ⊆ dom f . Analoog voor f bestaat in een rechtergeperforeerde omgeving van a. In de stelling van continuı̈teit en limiet kan de voorwaarde f bestaat in een linkerof rechtergeperforeerde omgeving van a nog worden afgezwakt tot: a is een linkerof rechterophopingspunt van dom f . 4 Zoals gebruikelijk betekent een schrijfwijze als lim x→a f (x) = f (a) voluit: linker- en rechterlid bestaan en zijn aan elkaar gelijk. 5 Formeel is a een geı̈soleerd punt van dom f als er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a + R[ ∩ dom f = {a}.

VII-51

Net zoals we bij limieten van functies kunnen spreken over linker- en rechterlimiet, kent ook het begrip continuı̈teit een eenzijdig analogon. 3 Intuı̈tieve definitie (linker- en rechtercontinuı̈teit). Zij f een functie en a ∈ R. Zeggen dat 1 x 1 f is rechtscontinu in a x

f is linkscontinu in a

betekent:

als x ≈ a (met x ≤ a) dan zal f (x) ≈ f (a)

betekent:

als x ≈ a (met x ≥ a) dan zal f (x) ≈ f (a)

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ≤ a resp. ≥ a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a).6 3 Voorbeeld. Ook eenzijdige continuı̈teit wordt beı̈nvloed door het al of niet bestaan en de waarde van f (a). Hieronder hebben we geschrapt wat niet past.

y f

f (a)

y f

f (a)

f is linkscontinu/rechtscontinu

continu/discontinu in a

y y

f (a)

f is linkscontinu/rechtscontinu

continu/discontinu in a

Hebben we voor een functie f en a ∈ R dat de linkerof rechterlimiet van f in a bestaat en gelijk is aan f (a), dan is f linkscontinu resp. rechtscontinu in a. Onder bepaalde voorwaarden geldt ook de omgekeerde implicatie. 3 Stelling (eenzijdige continuı̈teit en eenzijdige limiet). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linker- resp. rechtergeperforeerde omgeving van a.7 Dan geldt respectievelijk:

1 x

⇔

x→ a

1 f is rechtscontinu in a ⇔ x

x→ a

f is linkscontinu in a

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk <

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk >

6 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Voor a ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x ≤ a) dan zal f (x) ≈ f (a) formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui ≤ a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar f (a), en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi ≤ a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar f (a). Uit deze formele betekenis blijkt dat de uitspraak f is linkscontinu in a enkel zin heeft als f (a) bestaat, i.e. a ∈ dom f . Op die manier is automatisch aan voorwaarde (1) voldaan, daar men bij a ∈ dom f steeds de constante rij (un ) = a, a, a, . . . kan beschouwen, waarvan de rij van bijbehorende functiewaarden (f (un )) = f (a), f (a), f (a), . . . vanzelfsprekend convergeert naar f (a). Is a 6∈ dom f dan is f niet linkscontinu in a. De behandeling voor rechtercontinuı̈teit in a is analoog. 7 De voorwaarde f bestaat in een linker- resp. rechtergeperforeerde omgeving van a kan nog worden afgezwakt tot: a is een linker- resp. rechterophopingspunt van dom f .

VII-52

Ook de stelling vau eenzijdige lirnieten kent nu eerr analogoÈ vooï contiruiïeit, die ook geldig trlijkt ïys,ilneer & een geïsoleerd punt uan dom/ is. Het resultaat kan rechtstreeks aan de hand van de voorgaande intuïtieve definities en hun interpretaties beredeneerd worden.

O Stelling (eenzijdige continui'teit). Z1j./

is continu in

een functie en & €

a, +)

R. Dan geldt:

is linkscontinu in

eu .f is rechtscontinu in rr

Ook nu kunnen we de intrutieve definitie gebruiken om uit de grafiek va,n een functie eenziidige continurteit af te lezen.

Ó Modelvoorbeeld 2. Hieronder staat de grafiek van een functie /.

Pas telkens aan tot een ware uitspraak (scluappen wat niet past) en argumenteer het àl of niet links- of rechtscontirru zijn door middel van de interpretatie van de intuïtieve definitie van continuïteit: de functie .f is

(')

eer*ti*u/linl+me*tinu/reenmee++i*+i

(b)

.r)

discontinu in

-3^

want er:\N,(À- &n \ra

Lt *vuoÉ^fhdaí-

*u"\q\r\*\o-lÀ y -*fgt.&à\rJÁÀ*/ r*u\ ulidï^$k nd.ÀJ :) = t yi\/ rN( **\*t, .-\. - 3 . \un \^ t"bi V'u, d^ 3 . "À-,* - \nrN*n*\*\.'n \l\dÁí - t .""-t""À"-r.""*,""/rechtseontinuT4iscontir* in eontinu/tin*tee*+in+r/rechtscontinu/{iscontiilr ["\L rlr.',ít^'4uJ('\r\íd.r-t Alt". \r^ in--) *.r,, .e.r\f,*,\*^un1 .( !Qa\oo.\- 0M À,L trJ^{a^"\t!^Á -I (ntrr\-

$r" !t

."-

uut

(\u\-q\r.V$"\* .<- | tr.*s.r N,r.n,\a L\*\t^rtÀ. \D\v^ÀL\À.uno^Lv'urH oJnw$qrÀ*dÀí\(fiÀ,"À,b.o\.tnr^.tu^&.{corr&r. "A\,Jrr"sa^qu,Uiló.r-\'tct t\oYut"),- r) udÀ\,,tL

'\ r) =ir.

(")

Con t i n

/li nkscdnti

r/r,

(tcLnlr,.\nn^".$- á)

^ (d)

i " \, ^ ,tYoor.À\r.'r*\i. cd,*'íen,\qÀV Ndíi o

\a\À*mÀ* l5r1 Til\l\Llrol rq\ar^\r.r^'buruá0\n*tn'{to$sd'ruuar\-,)=h. tL1 \ arÀ X

't"'

nu/diÊ,

À\i't'luiNtrr'^ r'n'o '

\:)'1':*\,

N**-l**."*N/reen*eee*ti*trldiscontinu ,

;;..---'

'È\

À1vq

YlL\u

{,tr\mrL..u-Í M: uíMÀq'J

Y t\n ^rr"y'-t\ .tr" ï\. ^nÀMcÀ"\'uu \ , ,\"i\ in 1 \arrt ..-{ 4'\d-\

uLc u*vl*r\,1"\futrr

(")

tt'^.qr,rirhí-x --*..;'r..L .

u\r\:'c-:.1,. /.\ (r .

\ ío\

crnrd'urotvax"

"^5Àn"r\il=z-

3.2 Continuiteit van een functie Kennen we van een functie het voorschrift, dan kunnen we de continuïteit in a algebra,isch nagaan door limieten te berekenen. Op die ma,nier verkrijgen we informatie over de grafiek van "f.

O Modelvoorbeeld 1. Ga algebraisch na of de volgende functie continu

is in 1. Maak nadien een correcte schets

van de gra.fiek van "f.

als

o pt o s s

rf-

ins. c r"\,N_

\^\=

\\*,SN \À

rl1

$À"N,x

q,.u,.

't*\sth.\-\$-J *5 5tr\ o " s[tuo'$q*k^ t\\)t\ {$\L functievoorschrift /(r) stap is bij o=1R te

\í,,,K,r c\^

rN,

U\\^S\E

+rÀ,

r*L

*[, i\ f

w - (r

om een gegeven alle bepalen waarvoor f continii is in o. Die vraag kan voor sommige functies erg lastig zijn. Tclch is ze essentiëel, daar het antwoord belaagrijke informatie over Een volgende

de gra.fiek prijsgeeft.

Wil een functie

contimr zijn in een waarde a, d.an moet /(a) bestaa,n, i.e. a € dom /. Functies die tot een klasse van funeties die zich in zekere zín goed gedragen.

ellee

waarde

van hun domein continu zijn, behoren

O Definitie (continuiteit van een functie). Een functie / is continu als / continu is in elke a € dom/. Voorbeeld -1. In elk van de onderstaande voorbeelden is f continu.

is continu

Voorbeeld,9. In elk van de onderstaande voorbeelden is domein te vinden is zodat f niet continu is in a.

is continu

niet continu, omdat er telkens een waarde a van het

is niet continu

is niet contimr

is niet continu

De intuitieve definitie va,n continuïteit in a laat ons toe om de rekenregels voor limieten van rijen te vertalen naar de invloed va"n continuiïeit in a bij de (algebrarsche) bewerkingen van functies die we in Deel Precalculus t hebben gezien.

O Stelling (continui'teit bij bewerkingen van functies). Zij de volgende functies continu:

f +9, f -9, r.f, Schets uan het bewijs. Net zoals

f", Í'g,

"f en

ï,

continue functies cn

r € nR.. Dan zijn ook

fog, gol.

bij een (schets van het) bewijs van de rekenregels voor iimieten van functies uit

Hoofdstukl,toon-menaà,n:(1)alsfengbeidecontinuzijnina€lR,danzijnookdefunctiesf+g,f-g, r . f, f', f .g continu in o, onder voorbehoud dat a tot het domein van de nieuwe functie behoort, en (2) "n f als / continu is in a en g continu is in /(o), dan is de samengestelde functie g o / eveneens continu in a. Uit de deÍinitie continuïteit van een functie volgt nu het

gestelde.

vII-54

\q\u*-; uru$It,

\*'L'**'t t*r"5L'"

\-\*5L"^

\t='' il(\{\.

: \*"' \(x\ *r- (\

bl\" u-\r1 \k^^v

(:\

Ln5"tb"

\l.tx

\-L \" V*,1

x-t

(Ë)

r [xt-')

x*t

\* \*!

L* \*,. 1_

tx1- t

tLx+l\

"1_

: \t)

\un b"\,

r^f,À.

crJi,r,.u

^ ir"'

t',

s\N^N",

\\tr

u\' " \N\À*x*\*\*\" \qho!-\"koX*\L \* = tt> i n)

oq*

.Wanneer

we bovenstaande stelling combineren met de fundamenteie limieten die we in Hoofdstuk t hebben gezien, verkrijgen we dat elke elementaire functie continu is, wat ook meteen de term elementa'i,r rechtvaardigt. Als tweede gevolg verrnelden we een verfijning van eerr resultaat dat al in Hoofdstuk 1 a,ari bod kwarn: lirniet berekerreu door substitutie.

O Gevolg 1 (continuïteit van elementaire functies). Zij f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, e.xponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een einclige samenstelling van deze functies. Dan is

continu.

O Gevolg 2 (limiet varr een samenstelling).

Z1j a € lR en

iim

r4'a

waarbij

een willekeurige functie

O Modelvoorbeeld 2.

een functie. Dan is

l) /(n) : f íu^ \f +@ /

voorstelt zodat

]r41

tr bestaat in lR en zodat / continu is in lim tr.

Gegeven is de functie

r@):." (*) (a) Is / continu? Verklaa.r je antwoord. (b) Bepaal alle o € IR waarvoor / continu is in

*Tr2

Oploss'ing.

Heel wat stellingen die we irr het vervolg van dit hoofdstuk en in Deel Afgeleiderr en Deel Integralen zullen zien, vermelden eigenschappen van functies die zích goed gedragen ouer een i,nterual. De volgende clefi.nitie is dan ook bedoeld om die stellingen goed te kunnen formuleren. Daarbij zal de rol van het gesloten interval essentieel blijken.s

O Definitie (continui'teit van een functie over een interval). Zij

een functie en

c,b €

met o <

ó.

We zeggen:

> > >

/ / /

/ / over [a,b] als /

is continu over ]a,b[ als is continu over [o,b[ als

continu is in elke c e)a,,b[,

is continu

continu is in elke

ce )o,,à[ en rechtscontinu is in a, c€la,ó[ en rechtscontinu is in o en linkscontinu is in

ó.

Analoge definities gelden voor intervallen van de vorm la,bl, fa, *oo[, ]a, *oo[, ]-oc, b] en ]-oo, à[.

O Modelvoorbeeld 3. (a) Is (b) Is (c) Is

/ / /

Gegeven is de functie f

continu?

continu over 10,1]? continu over ]0,1]?

(r):!

\\''N'

$*,

Verklaar telkens je antwoord.

cnr\,-t u

een gesloten interval is (waarbij een singleton {r} wordt opgevat als een gesloten interval fr, kenmerk voor een ander type interval niet aan de orde is.

vli-55

r]).

Men gaat eenvoudig na dat een soortgelijk

3.3

Fundamentele stellingen

Heel wat meetkundige kenmerken gaan enkel op voor grafieken van continue functies^ In deze paragraaf behandelen we twee hoofdresultaten. Hoewel ze beide evident lijken, spelen ze een fundamentele rol in een strenge opbouw van de calculus, zie ook Deel Afgeleiden en Deel Irrtegralen. De bewijzen van deze twee stellingen zijn bevat in Bijlage B.

/ continu is over [o,ó] betekent intuiïief dat de grafiek van / geen sprongen vertoont tussen a enh, zodat we de graf,ek uan f kunnen tekenen zonder onze pen op te heffen. Bijgevolg zou de functie / elke waa.rde tussen f (a) en /(b) moeten bereiken. De precieze formulering van deze bewering gaat als volgt. Dat een functie

O Tussenwaardestelling van Bolzano.e

f een functie, r € IR en a,ó € IR met a ( (t) / is coritinu over [a, b], en

Zlj

b. Als:

(2) r is een waarcle strikt tussen /'(o) en /(à), dan bestaat er minstens éên c € ]a, ó[ waarvoor f (c)

Meetlrundige betekcnis. Indien een functie / en een getal r voldoen aan de voorwaarden (1) en (2) dan is er minstens één punt op de grafiek van / met abscis ]a, à[ en ordinaat r (duid aa.n), Bernard Bolzano V-

(1781

N,eriroq r

\r N

v'on\*\-,V

\*tu"".r,\\i.. \

\^k"l

1848)

il,J

\fi\

Voorbeeld. Als een fuuctie / en een waarde r € lR niet aan beide voorwaarden (t) en (?) voldoen, dan kan de tussenwaardenstelling va,n Bolza,no niet worden toegepast. In dat geval kan het zo zijn dat er geen c e la,bl

bestaat waaïvoor

fk) :

is niet continu in

e ]a,

ó[

er bestaat geen c e ]o,bl

waarvoor fk) :,

is niet rechtscontinu in a er bestaat geen c e ]o,ó[ \Á/aarvoor f (c): r

r ligt niet tussen /(a)

en /(b)

er bestaat geen c e ]a, b[ wàarvo or f (c) - v

gVoor

het eerst geformuleerd en aangetoond door Bolzano 181? [3] voor het bijzonder geval r : 0, waaruit het algerneen geval eenvoudig kan worden afgeleid door /(*) - r te beschouwen in piaats ran /(:u), Dat bijzonder geval zullen we verderop de wortelstelliírg noemen, en trlijkt dus equivalent te zijn rnet de tussenwaardestelling van Bcilzano. Omdat de meetkundige tretekenis van de tussenwaardestelling evident liikt, werd dit resutaat - zonder schroom - al voor 1817 gebruikt, onder meer door Cal Fliedrich Gauss \7- in enkele van zijn bewijzen van de zogenaarnde hoofdstellíng uan de algebra, zie [5, p.414]. De eerste die een duidelijk begrip van de tussenwaa.rdestelling had, en meteen ook een intuïtief begrip van continuiïeit, was Simon Stevin !.-. Hij beredeneerde dat een veelterm niet van teken kan veranderen

zondereennulwaardetebereiken. Zie[24,p.4-4] en[5,p.

f ]. HetwasechterBolzanodiealseerstedenoodzaakvaneenbewijsvande

tussenwaardestelling inzag, en daarmee voor de eerste keer significante delen van de grondslagen van de reéle analyse beschreef, zie [22, p.182] en i16, p.92]. Het bewijs van Bolzano wordt door sommigen als ondeugdelijk beschouwd daar hij geen precieze notie van het begrip reëel getal had. Een t,ewijs van tussenwaardestelling dat daaraan voldoet,'r'erscheen pas bij Karl Weierstrass V- 1S74 [36], Zie [31, p,286],

VII-56

Naast de tussenwa,ardestellitig va.rr Bolzano vermelden we uog een tweede hoofdresultaat over continue functies. Opnieuw lijkt de meetkuldige betekenis evident. Eea rigoureus bewijs ligt allerminst voor cle hand, zie Bijlage B.

O Extremumstelling van'W'eierstrass.l Z1j f een functie en a,b € lR met a < b. Als / continu is over

[o,,b] dan bereikt rninstens één keer hazr,r kleinste waarde rn en srinsterrs één keer haar grootste waarde r1'{ over [o, b].

In syrnbolerr: 1c,d € fa.bl

:Vr e ftt,,bl, Í(") < ï(") < f @) . m

l\1

Meetkundige betekenis. Indien een functie / continu is over [a, ó] dan ireeft de grafiek van / een globaal minimum P(c,m,) en een globaal maximum Q@,,M) over [o, b] (duid aan).

Karl Theodor Wilhelnr Weierstrass V'(1815 - 1897)

t\:

Lrn,Yq

toegepast. In dat geval kan het zo zijn dat de grafiek van / geen globaal urinimum of geen globaal maximurn over [a,b] heeft. Mogelijk is / zelfs níet begrensdover [a,b].11

is niet eontimr in

de grafiek van

is begrensd over [a,

is niet linkscontintr in a de grafiek van

ireeft

geen maximum over [a,

/ b]

à]

heeft

geen minimum over

lo,, b]

is begrensd over [o,

is niet linkscontinrr in de grafiek varr

heeft

geen maximum over fa, ól

.f is niet begrensd over

fa, b]

loDeze stelling kwam voor als Hatrytlehrsatz in Weierstra-ss' lezingen van 1861 [34], en werrl gepubiiceerd door Georg Cantor in 1870 [9], p.2O6l. De extrenrumstelling van \Veierstrass werd echter al eerder geformuleerd en bewezen door Bernard Bolzano y-- in de jaren 1830 rraar pas gepubliceerd in 1930 [4], zie [30, p.304]. ttN{.t J_r"l:gl*t"4-r*.,ig, lr] tredoelenweformeel: 1b,B €R:Vrr € [a.b] ;b<"f(;r) S -B. Als/continuisover [o,b] danvolgtuitde extremumstelling van Weierstrass dat / begrensd is over [a, b], met biivoorbeeld b : rn de minimale waarde van / en B : M de rnaximale waarde van 1Ê over la,ó]. In het bijzonder is elke functie die minstens één keer haar kleinste waarde rn en minstens één keer haar grootste waarde M over la,bj bereikt, ook begrensd. Het omgekeerde is echter niet waar: een functie / kan begrensd zijn over [c.b], waa.rbij de grafiek van / geen globaal maximum of globaal minimum bereikt (zie linkervoorbeeld hierboven). De extremumstclling van Weierstrass impliceert dat zo'n functie / niet continu is over [a, b]. zi,e l2Z,

VII.57

3.4

Toepassingen

Toepassing

I - "Wortelstelling

Passerr we de tussenwaardestelling van Bolzano toe voor r - 0, dan kunnen we het bestaan van nulwaarden van continue functies aantonen.t2 Een nulwaarde c van een functie / is een oplossing van de vergelijking f @):0. Daar een oplossing vàn een vergelijking ook rvel een wortelgenoemd wordt, verklaart dit de naam van het volgende resultaat.

O Wortelstelling. Zij f een functie en a, ó € lR met o ( b. Als: (1) / is continu over [a, b], en (2) 0 is een waarde strikt tussen /(a) en /(b), dan bestaat er minstens één c € ]o, b[ waarvoor /(c) : g. Intutt'íeuc beteheni,s. Als we een punt onder de z-as met een purrt boven de r-as verbinden zond,er onze pen ap te heffen, dan zal deze grafiek de r-as rninstens één keer snijden (voer uit zodat je de grafiek van een Íïnctie I

verkrijgt).

Mtnr'1

L1,\ur^

W*t*-;.À.^.'y fut*Nr* \-'*- H'f^z

O Modelvoorbeeld. Toon telkens met behulp van de wortelstelling aan dat de functie /

rninstens één reële

nulwaarde heeÍï. Controieer nadierr met behulp van je grafische rekenmachirre.

(u) /(t) : -3r5 * 3r f

(U)

/(z):tr-cosu

0plossàng.

(^)\.\À\"\\'k \-\ :3 u'\r) Cr"rY$nut' ,l.hf

\ \

\\\ \

, ow

<L;' blN,ruN-rr \.rrro\tv: -ll_nr

-\\

\{^'* \eru\ei}\h\^t

\i) '! \t) \* x-1il L,*\\"\ t\",k''u) ê-

lÈ .LL u.Joa^\J$í\\ .\

c\ :e,

\trl\*l, o. \rruv\\ a b.-l )\

De redenering van het modelvoorbeeld (a) hierboven laat zich meteen veralgemenen tot alle veeltermfuncties met oneven graad.

O Gevolg.

Elke reële veelterm met oneven graad heeft minstens één reële nulwaarde.

Bewi,js. Het volstaat om de uitspraak aan te tonen voor reêle veeltermen met one\€n graad en hoogstegraadsterm

gelijkaanl(gana). Is/(r) -rk1'ak-ítk-t+...+a,tr+aometk€Nonevqne1.ai€lRdanis: : : 1+oo)À : foo.

"Ii-.f(t)

"]l1;tr

Hieruit volgt het bestaan van o.b e lR zodat,f(o) < 0 < /(t). Tevens is / een veeltermfunctie, dus / is continu in elke r-waarde van zijn domein 1R., zodat / continu is over [a, b]. Uit de wortelstelling volgt nu het bestaari van een c € ]o, b[ waarvoor /(c) : 0, zodat / minstens één nulwaarde heeft. n 12Eens een nulwaarde van een continue functie J in een bepaald interval [a, t] gelokaliseerd is, kan de werkwijze uit het bewijs van de tussenwa,arde.qtelling van Bolzaao in Biilage B gebruikt worden orn rlie nulwaarde te benaderen. Deze manier van vrerken wortlt ook wel de halueringsmeth.ode of bi.sectdemethode genoernd. De twee functies in het rnodelvoorbeeld hierboven geven aan dat er we1 dcgelijk behoefte is om nulwaarden van functies te benaderen, daar wij hun nulwaarden niet algebraïsch kunnen bepalen.

VII-5:8

{*[1 \t\rLr*[-ÀL ----2 (") l\x, \Ln

L-

\\tr\u

=è

1=\

\-\

iJ +-fxt3:s {-x(- 3x-J: .. rr*".

\ {-br

f\/

5C-{.

\^n" * : X-'f \x\^ \t{ * '' \* \'x

(!*)o J

o{l.uÀÀ. .

tavo,

t\I['\3"'

*l \ r"L1u\o*'

\to,

n \(

"--wL

,*(\\

\* or** \. \t \È W)>o

\ M" t( "r,. È-nr i.Ê- \$=

N\n\'"

$N,.,N' \ro. L\-\ r,SAÀ. 1r*

L= c.\j10---

Toepassing 2

- Fixpuntstelling van Brouwer

In de wiskunde slaat de term fi,rpuntstell'íng (of dekpuntstelli,ng) op een resultaat dat er voor een functi,e / dat aan bepaalde voorwaarden voldoet rninstens êén'puntp is waarvoor f (p): p.13 Ond"r de honderden fixpuntstellirrgen die ele wiskunde kent. is de Èxpuntstelling van Brorrwt-r welliclt het meest bekencl. De eenclimensionale versie iriervan is een toepassing op de tussenwaardestelling van Bolzano. Hoewel clit geval intuitief duidelijk is, kan het toch minder evidente problemen oplossen, zoals we irr. Toepassing 3 zullen zien.ra

O Fixpuntstelling van Brouwer (eendimensionaal geval). Zij f een furrctie en a, ó € IR met o < b, Als: (1) (2)

continu is over [o, ó], en

< voor elke r e [a,ó], " f@) <b dan is er minstens één c e [a, b] waarvoor /(c)

c, een fixprrnt van

genaamd.

over fa, ó]

Intuïtieue beteken'is. Als we in een vierkant zoals hieronder een punt op de linkerzijde rnet een punt op de rechterzijde verbinden zonder onze pen op te heffen, dan zal deze grafiek eike diagonaal minstens één keer sniiden (voer uit zodat je de grafiek van een functie / verkrijgt).

Luitzen Egbertus Jan

Brouwer

V-

(1881

1966)

n*$\r\ï* ï=\n

\( "'")

Q-u.

j=X

\i" )-*N*e\"^ )+r)

\e) =c-

cL'

r\trzl ^

\('\ c) - L

5=t

Bewijs. Als /(a) : a of ï(b): b, dan zijn we klaar. Voor het vervolg van het bcwijs nrogen we dus aannenren dat a < /(a) en l(lr) < à. Beschouw de hulpfurctie h{r) : .x * /(r). Deze functie h voldoet aan de twee

voorwaarden van de wortelstelling, want:

(1) h is contirru over [a,b] want f en g(r): r zljn continu over [o,b], err (2) 0 is een waarde tussen h(a) en h(ó) want h,(a) : a - f (a) ( 0 en h(b) : Wegens de wortelstelling bestaat er minstens één e € ]0,1[ waa,rvoor h(c)

(D >

0, waaruit volgt dat

lk) : ".

O Modelvoorbeeld.

Toon met behulp varr de fixpuntstelling van Brouwer aan dat de volgende vergelijkingen een reële oplossing hebben. Voorzie telkens je redenering van een vierkant met bijbehorende grafiek.

(a) 2-'

(b)

sinr: r

Oplossing.

€__.

Lil

'.\

r r

-_ \l'ttirL\o.bJ

13In deze context spreekt m€n van een puntp, daar zo'n functie f niet noodzalielijk een reë1e functie in één va.riabele is, maar algemeen een verband is dat met elk element van een verzameling Á hoogstens één ander element van ,4 associeert. Veelal is die verzameling Á een (gesloten en begrensd,e) deelverzameling van 1R', meetkundig opgevat als een n-dimensionale ruimte" waarbij de elementen p € Á C 1R.a logischerwijze punten worden genoemd. raHet driedimensionale geval van de fixpuntstelling van Brouwer rverd in 1904 bewezen doeir Piers Bohl V[?]. Vervoigeus bewees Brouwer ditzelfde geval in 1909 [7]. Jacques Hadamard V'- bewees het algemene geval in 1910 [21]. Brouwer vond hier in 1912 een alternatief bewijs voor [8] . Zie [38]. Veralgemeningen van deze stelling staven de verrassende uitspra]<en dat het altijd ergens op aarde . volmaakt windstil is, dat er na het kammen van een behaarde bol altijd een kruintje is, en dat hoe lang je ook roert in een kopje koffie er altijd een punt van de vloeistof is dat zich weer op precies dezelfde plek bevindt als aan het begin [25j. Voor verrassende gevolgen van het eendimensionale gelral van de fixpuntstelling van Brouwer, de wortelstelling en de tussenwaardestelling van Bolzano verwijzen we naar Toepassing 3 en Oefening 18, 19 en 20-

VII-59

uru**\

H,\,\,íÀ,/&-t

-_)

\/,r\

(

u.- (r

\.n*", J

\r^\ià'!-l^'

'"s-ofi*

Lo$ tq o(:-*()n*'Lu:'.etn"tkg\* trur*rí,r-Lr u u*oq*Lvo*r{*.* ' \ t-L q')

\\..*-.' -\'r i"\lE\Lc\:r\

Nr,* (") \n Lt)

c'\\'

'/L =L \*r, N k-=.

,,o;rr\

\--ilU\i-.'*L\^**

\- ) \t^ \

,xcoN'i*u'í.&v"*o\L o 5 ),"s.x .( EL lcortlrt.- x e- Lo ' ïl

\* oT t\N.rr..

Àxt"

-us-"

\ra,urRr

rL,. L't.' tu.-J.-' \Nq,,.*,f,, \o'sil*$' c:<'

rrtr n**riltr*, r{-r.- Le-\\-

Toepassing 3 - Fysische problemen Heel wat fysische grootheden worden beschrel'en door een functie in plaats of

tijd, die continu is. Bijvoorbeeld:

de windsnelheid, temperatuur en luchtdruk op een plaats op aarde verandert continu in functie van die plaats,

de lengte van ecn veer die opspringt, verandert continu in Í'unctie van de

de aantrekkingskracht die een object op bepaalde hoogte boven het aardoppervlak ondervindt, verandert continu

tijd,

in functie van de hoogte,

de snelheid van een rijd.encle auto verandert continu in fi:nctie vau cie

tijd.

Binnen een geschikte context kunnen we daarop de tussenwaar,rdestelling van Bolzano toepassen. Ter illustratie bespreken we twee problemen die in een niet homogene of niet gelijkmatige situatie als verrassend worden ervaren.

O Probleem 1. Twee nrilssa's 'worden rnet elkailr verborrden door een dunne veer, die niet noodzakelijk homogeen is. De veer wordt uitgerokken tot een lengte van lm, en op een getallenas gelegd zoals aangegeven op nevenstaande figuur (bovenste deel). Daarna wordt het systeerrr losgelaten, zodat de veer inkrimpt zoals op de figuur hierrraast te zien is (onderste deel). Daar de veer niet noodzakeiijk homogeen is, hoeft deze inkrimpirrg niet gelijkmatig te gebeureu. Toon aan dat er een punt op de veer is die op dezelfde plaats ligt als voorheen.

Oplossi,ng. Beschouw een waarde r € [0, 1]. Wanneer de veer uitgerokken is, hoort bij deze r-waarde een welbepaald punt P op de veer. Na het kislaten van de veer-, heeft dit punt P rnogelijk een anclere plaats op de getailenas gekregen. De bijbehorende waaïde noteren we nu rnet /(r).

welnu,

t{r} \.x

nlÊà*g

ffi{

4!!rq

!''+wi

3la

.rad$a

[o.tl \( t- \rc'r l}u

r*,f,;rr':

ae.<

x e- Lo.tJ" [ï-\ ê (W) \*oiq^\,l-\l^N'\5u** t<u.:',.ní .r.tr Nrir,vr\u.r.' rtu^- re Lo.t1 uJde.{{)or f,,,\.\ilro *- -,i*\r\-,,:\.. \-t\" \ [N{ À lLrwí \-À^ $v*h*"* ' -) ) \

(c):c.

Probleem 2. Een dunne metalen ring wclrdt opgewarmd, zodat de temperatuur in elk punt van de ring opgedreven wordt. Die opwarming hereft niet gelijkrnatig te gebeurerr, zodat op elk rnoi*ent verschiilerrde puuten van cle ring een verschillenile temperatuur kunnen hebben. Toon aan clat er op elk tijdstip t steeds twee purrten op de ring zijn die rccht tegenover elkaar liggen en 1ryaàrvoor cle tcmperatuur in clie twee punten hetzelfde is.

Oplossing.

'We

voeren een assensteisel in met als oorsprong het middelpunt van de ring, en zodat de straal van Bij elke ]roekwaarde 0 e 10,2a'] hoort nu eer punt P van de cirkei rnct als cocirdinaten

de ring gelijk is aan 1.

co(P) = De ternperatuur in zo'n punt P zullen

u,'e

(cos 0, sin d).

met ?(0) noteren. Beschouw nu de functie

Í(o):T(o) -T{o +r) 'wernu,

\;r =\to\.- ï(\1 \tt-n) Lr,. \"t . ï(1t) = \L\\ - ï1")

\M-\\L\\À(

\* \"r =\ol '^

\\' \1

tr^.\r,.,..

z'* \t

" \o* 1r^

w\\À'J

tir.

\l-**r

trrl =\Ls1 -

vii-60

f,-"".rt,s-*\

*r'*t \ik \.\ *" \arn.^ 0""\t: = -\tt \Nr.s, t"l \.^ coÀst" oru I o,\]

\utr,*1*\r,"

Qrx**)*

\u-\qprn\, !*o*À\\\n*\ var. \b,nvrs \o\.À., ) tt':as,'L L € 1 o.x f ufod* \"\ =o u'r'ir'.-\

\t(

( ca' ( c+t'\'rit(cr"\

-.NN\$"\x V."r =o ;\ \t "\ - \ ('t 1t\: . =\ TLc) = \t<*+rt) \*\.*1nÀ*t ibr \; \.*1À"'or in E"

r\t-'x1 4""

m*\Non qs-

L^\.tXoorfu\S

tot* \q u*\t"1

uyrk \"\ --\t) l^ \"\4o

{.* \Às- \-X \(*