Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 12 Functies
25/03/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .
Eerste druk: 2017 Versie: 25 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk
19-
F\rncties
f ï,,,, l-,,':
In de derde graad zal wiskunde vooral over functies gaan. Dit hoofdstuk bereidt je daarop voor. Wb herhalen begrippen die al in Hoofdstuk Tweedegraadsfuncties aan bod kwamen, al worden ze nu op een meer formele manier omschreven.
1l-.L
Basisbegrippen (herhaling)'.-',,.
O Op ontdekking.
Een kaars is 15 cm lang. Vijf uur later is ze opgebrand. Met elk tijdstip we de lengte van de kaars y (in centimeter). Vul aan:
r:0
F-------+ , : l(
x::7,5
r :5
h-------+ g: .Q.
n
r: t F-----+ a: lf)
r
(in uren) associëren
F---'--+
: -2
U
: 9.
l*...--1 y :./
,: rt
F------+
y: à(* j'{t [r.n'tm"\l5f
\'1
Met elk getal r associëren we hoogstens één getal y. Zo'n verband noemen we een functie. We kunnen een functie vergelijken met een apparaat dat bij elke input r ofwel één output heefb, ofwel geen enkele output heeft: input
één output
functie
1
T2
I
input
geen output!
functie
-24 Het feit dat zo'n functie / en een getal r samen een getal y vastleggen, noteren we als Í(r) -y. Dat noemen we het functieuoorschrift. Je kan zo'n functie ook voorstellen met een tabel en met een grafiek (vul aan).
f.L(-3x ako<c<b
> Functievoorschrift: /(") : {
IO
>
raDer van enKere
>
Gra,fiek:
runctlewaaroen:
alsr)5
rl
-!
/(r) L/
u 1tr
td
t2
I t)
3
2
XïI.1
o
t
L(
{r
s
q
s
a
,1. .t.
.],
.o.
o.
z
O Definities en notaties. Een functie / is een verband dat met elk getal r hoogstens één getal y associeert. > Het feit dat zo'n functie / en een getal r samen een getal gr vastleggen, noteren we als Í(r) : A. > We noemen f (r) het (functie)voorschrift van de functie /.1 > De functiewaarde in een getal a is gelijk aan /(o). Dat is dus de y-waarde die bij a. hoort. Als we voor enkele getallen o de functiewaarde /(o) berekenen, verkrijgen we een tabel van enkele functiewaarden. > De grafiek van een functie is de verzameling van alle punten P met coórdinaat @, f @)).
fb1
ïn symbolen: sraf
f:
{P(r, f(r))
|
r
e R}
Als je de gra,fiek va,n een functie in een assenstelsel tekent of schetst, dan moet je die steeds benoemen. Dat kan met graf / of met gr - Í(r) of kortweg met /. Hieronder zie je de drie voorstellingswijzen vafl een functie en hun onderlinge wisselwerking: tekenen
invullen
tabel van enkele functiewaarden
functievoorschrift
f(")
rtl
ttraden" a,flezen
Modelvoorbeeld 1.
Beschouw de functie
f @) :3r
(a) Geef een tabel van enkele functiewaarden van (b) Teken in een assenstelsel de gra,fiek van /.
- I. t\\
/.
t\ ru
$\"
\
Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossi.ng.
[r\aÀo\-rtx" ton&\"U-$.t"t"
------
4_---__
- - --
*l--.',-
. - -._
_-.-. _.-
.-,, .-
-..----.,"-!.,...
..
X
4
-{
Kq Con,trole met behulp uan de grafische releenmachine.
E
@ITABLEI
Plotl Plqtz
tr
P!ot3
HINDot^l
r\YrE3X-Í.1
Xnin='2
l\Y2= l\Y3=
Xnax=2
XscI=1
l\Y4 =
Ynin= -5
l\Y5= r\Y6=
Ymax=5!
YscI=1
l\Yr=
Xres=1 oX=O.01515151515151
l\Y8=
l\Ye=
ïr€ceStePr0. 430303034303..
O Afspraak. Waar een gra,fiek (plaatselijk) stopt,
tekenen we ofuel een
r
ofwel een o.
Dat beslissen we als volgt:
r
net tot de grafiek, net niet tot de gra^fiek.
is een uolle bol en betekent: het punt behoort nog
o is een holle bol en betekent: het punt behoort
Modelvoorbeeld 2. Teken hiernaast de erafiek van de functie
(
11r)
z t:{-r I
[-z rln het d,e
als
-2111Q alsr:'A-
alsr>à
/ vereenzelvigen met zijn voorschrift /(r). Een volledige doch lange omschrijving aIs f(n) : 12 - 3 kunnen we zo verkorten tot: beschouw d,e functie f(x) : x2 - S.
vervolg zullen we een functie
functie f met
als
functieuoorschrtft
Xïl-z
beschouw
De graÍiek van een functie is steeds een verzameling van purrten in het vlak (kortweg grafiek). Het omgekeerde is niet vÍaaJ: sommige grafieken zijn niet de grafiek van een functie omdat er bij sommige r-waarden meerdere g-waarde horen.
O Modelvoorbeeld 3.
Gegeven zijn de volgende grafieken. Bepaal telkens warrneeï de grafiek ook de grafiek van
een funetie is.
(")
(b)
Oplossing.
Ln\
\)-
Lor\.r,'nn*
(t)
*\*J*.
' \ J\ \b5{.X}ttu x-u )o.d^L\n,\\*oN,* * N
5rb2
u
tNo.aÀL
Domein, beeld en nulwaarden. Beschouw > Het domein van g-waarde hoort.
In
/ zijn alle r-waarden
een functie
waarbij er
/.
een
sy'rnbolen:
dom/
: {r € R | /(r)
bestaat}
/
Meetkundi,ge beteken'i,s. Het domein van is de loodrechte projectie van de gra,fiek va,n op de r-as.
/
\ Het beeld (of bereik) van er een r-waarde hoort. In symbolen:
/
Ln'\ .rL
zijn alle gr-waarden waarbij
bld/: {/(") lr e R} Meetkundi,ge beteleen'is. Het beeld van / is de loodrechte / op de g-as.
projectie van de grafiek van
xt\ -3
\l-r,:(l
ul r,s f
De nulwaarden van
f
zijn alle r-waarden met
./(r) =
0.
In s;'mbolen:
{reR|/(r):0} Meetkundige betekenis. De nulwaarden van / zijn de r-waarden waar de grafiek va.n / de r-as snijdt.
nulwaarden van
/
Ten slotte herhalen we ook hoe je de tekentabel en de tabel stijgen/dalen (of verloop) van een functie uit zijn grafiek kan a,flezen.2
O Modelvonrbeeld 4.
Bepaal telkens domein, beeld, nulwaarden, tekentabel en tabel stijgen/dalen va.n de functie.
Oplossi,ng.
r\*\t
-j.+*L
x
f-t,+*L
\tr\
i
i\LLt=f-4-.\o"L rI ,t:\
. \Ntth^\t: x=*{*
I
s, ,rrn3,-ux,n[or,
,- \o*\-À'$'
i* \xl
-3
\*l= t- A.,-tL u L-À,.rtu L 't*Luto.n^\t1..
i \u**-Ào]..-,
-v
-L .\
rvl
r k: - il- tw ). : L
\tq
t-I {À}sJJ
( t\ no\*ifqr-\*\' JNJ \
r
v
F--ï
'
,
|
r
i\
a\-
Írl.^
\\x\
\
I \\\
ï*uk\
**,/
2Voor een precieze omschrijving van de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van een functie verwijzen we naÍLr de derde graad.
Xï\
-A
L?-.2 Elementaire functies
.zĂŻ*tr,''
'
Heel wat verschijnselen rondom ons kun je beschrijven met w'iskund'ig model, met als doel de verschijnselen te onderzoeken en voorspellingen te doen. In zo'n wiskundig model staat het begrip functie centraal. Zo worden wiskundige modellen met functies specifiek gebruikt in
> fysica valsnelheid in functie ran > chemie
de
tijd,
hoeveelheid opgeloste suiker in water in functie van de temperatuur,
> economie het aantal verkochte artikelen in functie van de prijs, > bouwkunde doorbuiging van een balk in functie lan de afstand tot de klem, > landbouw de wortelmassa van een plant in functie van de hoeveelheid groen,
Bij het brouwen lran bier zetten eencellige organismen (gisten) de suikers om in koolzuur en alcohol.
> milieukunde de gemiddelde temperatuur in functie de hoeveelheid CO2 dat jaarlijks uitgestoten wordt, > bosbouw de hoogte van een eik in functie van het aantaljaren na aanplant, > sociologie het aantal mensen die op de hoogte zijn van een gerucht in functie van de tijd na het lanceren ervan. F\rncties die vaak in zo'n model voorkomen zijn bijvoorbeeld constante, lineaire en kwadratische functies die we verderop zullen herhalen. Die veelvoorkomende functies kunnen verkregen worden uit zogenaamde elementa'ire funct'ies.3
, In deze paragraa,f bespreken we enkele van die elementair fulcties. De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor lL3 d" derde graad. Zo vinden we tret erg belangrijk dat je de gra.fiek van zo'n eleurentaire functie onrniddellijk voor de geest kan halen, want
uit zo'n grafiek kun je
de belangrijkste eigenschappen van die functie a,flezen.
O Rechte. > F\mctievoorschrift: f
(*): ,.
> Tabel van enkele functiewaarden;
-1 0123 f(*) *3*2*10123
> Grafiek:
-r'--'*A'
2-
Eigenschappen van de functie f @)
/: 2. Beeld bld/: P 3. Nulwaarden r :0 I.
Dome'in dom
7
r@)
-)/
I
: r,
ng
4. Tekentabel 5. Tabel stijgen/dalen 3We noemen zo'n elementaire functie ook wel een moed,erfunctie genoemd, omdat ze met behulp van de transformaties verschuiven, uitrekken en spiegelen aanleiding geven tot een klasse van functies die vaak in een wiskundig model wordt gebruikt.
.XĂŻ\-5
Parabool.
f(r) -
> Functievoorschrift:
12
> Tabel van enkele functiewaarden:
> Grafiek:
> Eigenschappen van de functie L. Dome'in
*
\*\
2.
t_\L\_Xt : [o.\*L
Beerd. Nulwaarden
4.
f(r) = *2,
X:e
Tekentabel
5. Tabel stijgen/dalen 6. Symmetri,eën. Bij de gra,fiek van f (r) : 12 merken we een symmetrie op: als we een willekeurig punt P van de gra"fiek om de g-as spiegelen, dan behoort dat nieuw punt I opnieuw tot de grafiek. Daarom noemen we de y-as 'is een symmetri,e-as uan We zeggen dan dat
f
d,e
grafiek uan J.
een eaen functi,e is.
|
Í("
Í(*):
I
\ \ /
\
2
1
Zo is bijvoorbeeld het spiegelbeeld van
P(2,4) om de g-as gelijk aan Q(2,4), dat weerom tot de grafiek behoort omdat /(-2) :4. X\\-e
Algemeen P(r, f (r))
is het
spiegelbeeld
om de a-as gelijk
va,rr
a.an
dat weerom tot de gra,fiek behoort omdat /(-") : ï(r).
Q?*,J(r)),
*2
o Kubische parabool. > F\rnctievoorschrift: Í(r):
*3
> Tabel van enkele functiewaarden:
>
Gra,fiek:
> Eigenschappen van de firnctie .f(") .,
x5
I.
:
"t,
Domein Loodrechte projectie van de grafiek op de r-as:
dom/
: . \ïl-
2. Beeld Loodrechte projectie van de grafiek op de y-as:
bld/: .K 3. Nulwaard,ea De r-waarden waar de grafiek
de r-a.s snijdt:
f:.O Tekentabel Plaats alle nulwaarden en reële randpunten van het domeia in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f(r):
5.
Tabel stijgen/d,alen Plaats de relatieve extrema (maxima en minima) en reële randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek
van
xil7
/
aan:
6. SymmetrieënBij de grafiek van J(r) : 13 merken we de volgende symrnetrie op: als we een willekeurig punt P van de grafiek spiegelen om de oorspïong, dan behoort dat nieuw punt I opnieuw tot de grafiek. Daarom noemen we de oorsprong een symmetrie-middelpunt aan de grafiek uan f We zeggen dan dat
f
.
een oneaen funct'ie is.
ï(*) : 13
f
@):
13
t,
I
I 't/
2-
{,i I t,,
al
Algemeen is de puntspiegeling Yan P(r, f (r)) om de oorsprong gelijk aan Q?r,-f @)), dat weerom tot de grafiek behoort omdat Í(-x): -f (r).
Zo is bijvoorbeeld de puntspiegeling var]
P(1,5;3,375) om de oorsprong gelijk aan Q(-1,5,-3,375), dat tot de grafiek behoort omdat /(-1,5) : -3,375.
ïb\
O Definities.
Beschouw een functie
/.
> De g-as is een symmetrie-as van
gra,f
het spiegelen om de y-as hetzelfde is.
In dat geval noemen we / In symbolen:
/
als de grafiek
a:
een even functie.
r@)
Vredom/tf?r):f@)
De oorsprong is een symmetrie-middelpunt van gra,f / als de grafiek na het spiegelen om de ooïsprong hetzelfde is. In dat geval noemen we / een oneven functie.
In syrnbolen:
Vr € dom/ : f ?r):
-f
@)
xl\-8
v:f@)
O Vierkantswortel-functie. > F\-urctievoorschrift:
tro
l@): J"
3
> Tabel van enkele functiewaarden:
\L \\ 4-h\.-.
> Grafiek:
t,\3"..
-ro
=tx
/ 1
> Eigenschappen van de functie f
l.Dome'in \
.'
(r): .{r: I
r\n^\ = \lv' =to.ry\\
1
2. Beeld
\\d Nulwaard,en
k=o Tekentabel
\\ 5. Tabel sti,jgen/dalen
\n 6. Symmetrieën "
\n-)-an"^ol.'. l5t*tf,r*-d^
t;W\
f=
n5tsr,èrr*
{il\S\
\* S ds*\,-Lu
t\r"\"N{^N\*
xl\-e
+
À"'',}",\-'}*
O Derdemachtswortel-functie. > F\rnctievoorschrift: f @) :
i/*
> Tabel van enkele functiewaarden:
/(")
1.m *{Ï
I
\\
-ï/
> Grafiek:
-t5$,,.
> Eigenschappen van de functie f (r) 7.
Dome'in r
2.
Beeld
11
\m"\:\\.-
\r\ru
Nulwaard,en
k=b 4.
Telcentabel
u$ 5. Tabel sti,jgen/daten
6. Symmetrieë4
'.tr \\
\\
: {r:
d.{ï,",
1m \\
9)
O H5perbool. > F\rnctievoorschrift: f(r\
: !
fr
> Tabel van enkele functiewaarden:
r@
| -o p( :ol ïL
-V
\
t
\ f-. )-
I
\ \ 1
\ > Eigenschappen van de functie f
r' Domein
*\
t"
3. Nulwaarden
\q'-l
\^ 5. Tabel sti,jgen/dalen
6. Symmetrieën
1 _: :Ë
K. =l-0...o L0'l o.tr"
\ 2 Beeld'
{4:
L
1t"3
Transformaties van functies
.8!.ir,,x, I
In Hoofdstuk Tweedegraadsfuncties hebben we op de parabool zogenaamde transformat'ies toegepast: verschuiven, spiegelen en uitrekken volgens de z-as of de gr-as. Op die manier toonden .we aan dat de grafiek van een willekeurige tweedegraadsfunctie f@): arz +br *c kan verkregen worden door transformaties uit te voeren op de grafiek van g(r) :
12.
In
deze paragraaf herhalen we deze transformaties en pa*ssen we ze toe op grafieken van andere functies. Opnieuw is deze kennis van groot belang voor de derde graad.
Verschuiven O Op ontdekking (herhaling). voorschrift van
/
t*vervanS rdoorr_ 2: f I
:
Gegeven is de functie f @) 12. Voer de volgende stappen en observeer wat er gebeurt met de grafiek van t.T
orL,,rr,'.,'.
,i
verschuif volgens .X.-as met .L. nr
I
'----
I
,/,
r@):
"2
I '*=l
Ii
=o
3*
,/ ,/'
ïz(u):r2+r f
(*): *'
1;;i {i=ï
vervangydoory-4:
**
verschuif volgens
h.ouu,
5* r+@):.*-t't
///
ï'(,):
F*}L\
uit op het functie.
'(\\-rz
'N
-_-a---
Th
5
O Algemeen.
We kunnen de graÍiek van een functie
/
verschuiven door de volgende transformaties
> Í(r)
Í(r)
L I
uit te voeren. i;rtt
verschuif volgens z-as met
I
k naar rechts:
I I
r door :r - k
vervanB I
o"rr"h,'rif volgens y-as met k naar boven:
I
fvervanSydooryi-k
r@-k)
f(r) + k
Modelvoorbeeld
1. Gegeven is functie f
@): * Ut
de volgende transformaties aan en schets
bij elke stap
de nieuwe srafiek.
r
1
J \&) -
grafiiz --.'---'-t-
-
I
t\\)
lvervang
\door ..\=.3
verschuif volgens
.t-as met
.3. naar dàr'
I
I:r'
n(d: **3 I
llernarrg X. door ..>(
LL
I
verschuif volgens .X.-as met L. nu*t I
I
h(r):;
S*\'
triwur
1
;-3 ÀlwrNrn tr';N\'u\ .L-4
\$.-t\" =\\\\-31
\or"\ 0
=.
\tt\
\tt
{ti.fa .-l
I
-
--t
"'.---
I I
I
Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op au frr*tie /(r) - 7n o de functie g(r) \tr +7 - 13 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het beeld van de functie g is.
:
Oplossing.
"i=\({
^5
G\tn 1=3t4 ->x
| \n"ru'1)\'( 5- \3 ft^'\qq-ï-d. r\ï\.$*Ir J Lot'
\tR = \x+\ -t3 t
5=
\rt u..l',.\,rr
\ir''':* L-\
'r^[
ttt$, F \3,t o1 X\-re
li.\.W-\3<,i
Uitrekken en spiegelen O Op ontdekking 1 (herhaling). functievoorschrift van
ï(r): 12
/
Gegeven is de functie f(r): s2. Voer de volgende stappen en observeer wat er gebe,urt met de grafiek van /.
/>=tr
1k--:L , I =\
\ ï: ;-
l*vervans r door
1nï,
|:
f
ï.ï
uit op het
i\ I
-- -l--i
rek uit volgens X .-as met facnr fu.
I
I
,-,, iv=rb 'o\t):\r) / \ /I\1
i]=i,
I
u"rrrurr* y door
Jg:
I
-----'-
I I
-_+-I
,b=\ l,*=: i1=r
/)'---L ')iu -a
rt^\,^2 J\t):r-
lx--]\
',
iii ii _----l---i-l*
o'?
l."u *, volgers \-* ;;rL"to, 3.
l_r
h(r):3az Jx=r
l1='r
l":.
I J='!
Gegeven is de functie f (r) : 1/r. Yoer de volgende stappen err observeer wat er gebeurt rnet de gra.fiek van /.
Op ontdekking 2.
/
van
-h -\ o I b )L o
f
,/ " f(d:rt f
u"ruur,,
y
door
-y:
I
lspiegel
om de K.-as
'n,rr:.-E. - -,:- :*-j / i ,/ \Í.Rl I o -r-v I
x\\-14
uit op het functievoorschrift
Th6
O Algemeen.
We kunrren de grafiek van een functie
/
uitrekken door de voigende transformaties uit te voeren.
ï(")
r@)
,ef. ,rit volgens r-as met factor |
u"t,ru.rs
,
aoo,
rek
I
f,
I
f
I
fG)
k
We kunnen de grafiek van een functie
>
L uit
À:
/
I
È:
y door ky
r@)
uit te voeren.
> /(r) I
spregel om de u-as:
I
|
vervang
spiegelen door de volgende transformaties
l@) I
volgens g-as met factor
,rervang
y
I
spiegel om de y-as:
I
door - g
I
I
I
- f(r)
f
Modelvoorbeeld L. Gegeven is functie f
(*): r.
vervan8
z door
-z
?")
Vul de volgende transformaties aa^n. Teken bij elke stap de
nieuwe grafiek op het assenstelsel.
> Í('): '
/
uor*ru .K door .X:3. f
X.\+q'"6"^.
X.-.do n*.
:,ÀL
f
h@)=r-3 vervang
.X doot
..Lx.
lludL:\t,, "-ar\gÀ(; fz@)
:2r - 3
f""*""'\uï'-\ ,\,.s"À\ 5r k
.-'Ào
I
rz@):-2r*S
/
O Modelvoorbeeld 2.
-\ofn" \"
I
-: í:ííTi
Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie f @): 1/i om de functie S@): te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het beeld van de functie g is.
,:" olb,,rns \tn ïT_,. . ri *\..,t;'::l i -
.''
\,.(,.fi,rur3r'\ i;ie..ffii* \t^=\aaT
I
xt.f
ËS;\f
{r.ti:l,jlt
\ \ ' j\w*q.*r*"ii;-r'i 1 I \nrl=ï'ffi' \n,rl=\\-,1t.*u\ i\w+,:r1utor"i'-! 4 *t"-t["6m*-nn ' I \niu51Y;'tl;^, 1* J
w
,-^.r1n,1
,$Lffi'1\rà1"i-'."."1
LL.A Constante, lineaire en kwadratische functies (herhating) Passen we transformaties toe op de basisfuncties constante, I'inea'i,re en kwadrat'is che fun ct'íes.a
/ (r)
: I, I @) : r
en Í
(*) : nz
lrI
-LQ,^
dan verkrijgen we de zogenaamde
Constante functies
ïh7
O Definitie. Een constante functie is een firnctie
/
met als voorschrift
f@):a 0 Voorbeeld.
Welke van de volgende functies zijn constant?
:ts f Èl l'r;ilJ" _r.i-Áo. trT , I nt"l : -\/to*sin60" = -G *B Í"f(")
Th8
waarbij a€R
_
r{rul 1t1"1:Br-T
I
l,:,:,:l u't"t: ï *,J 'uktqÁ I
-4--u5%
èr\.*,*gïu.'-1ÁTfuàk\
O Eigenschap. Een constante functie f (*) : a kan verkregen worden door transformaties ïoe te"passen op de elementaire functie g(*) = 1. De gra^fiek is dus een horizontale rechte.
Lineaire functies rh9
/ met als voorschrift f (r) : ar * b waarbij a, b € IR en a'* o
O Definitie. Een lineaire functie (of eerstegraadsfunctie) is een functie
0 Voorbeeld.
Welke van de volgende functies zijn lineair?
(t1"1:2s17
{fl"):"
fh\ jrr"j :2r-s : I nr"l
rh
10
-3br + "/tr
NÊe\.
r
elementaire functie g(n)
E
: r.
V---}y l,{*r:*' I u,", : ./"t lx\ \"\,J q.i\*u; r\\,ffi,tlur r
=
O Eigenschap. Een lineaire fiurctie I @) : ar *
,/
\l
b kan verkregen worden door transformaties toe te pàssen op de De grafiek is dus een dalende rechte als o ( 0 en een stijgende rechte als o > 0.
<ïl
F;ïl
4Dit patroon zet zích niet verder voor veeltermfuncties van hogere graad. Zo leveren transformaties op de elementaire functie (x) : ,3 f enkel voorschriften a(r - k)2 + I op (drie parameters), terwijl een willekeurige leubi,sche functàe ar.3 + bn2 * cn * d is (vier parameters).
xh-16
ï\$-,
Kwadratische functies fh 11
O Definitie.
Een kwadratische firnctie (of tweedgraadsfrurctie) is een functie
Í(r):arz+br+c O Voorbeeld.
f\\ rh 12
.
J
/
met als voorschriftin standaard,uortn
waarbij a,ó,c€1R. en o,+o
\Melke van de volgende functies zijn kwadratisch?
r@):*2
("nór:1/2r2_
[t(r1:2s / '^'it$;l'1ffi*[ lltel lt't"r:-,*, / ÈF'\["]\[t-.7 !
r*n
I o@1:(5r-r)2
[*t",:\/rr+r +[F*l=**f,
O Eigenschap. Een kwadratische Í(r) : ar2 + br * c kan herschreven worden in
Í(r) : a(r -
k)2
+I
b
'4
topuorrn:5
en t: f(k)
waarbij k - -2"
Op die manier kan een kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(r) : 12. De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a, > 0.
E"ïl I
T(k.r.l) t)tI *1
r(È./)i
|.
+r
+1
t*:-* Modelvoorbeeld. Bepaal
een functievoorschrift van de lineaire en kwadratische functie hieronder. Enkel roosterpunten gebruiken! Geef daarna domein, beeld, nulwaarden, tekentabel en tabel stijgen/dalen.
Optoss,ins.
\tr(\ í\ :. tu\ \\ $L ho,: * 3
\t"\tn=-ar '\
"
'
:\ tu:-3h \ \'lo Lw r\$ ==r -'! iL:-!
5Ln: Iu^
5tn
sMerk de analogie op tussen de vergelijking van een rechte g - U : m(r - 11) met vergelijking van een pa,rabool a - l: a(r - k)2 met T(/c, l) de top van de parabool.
\r\^\n=-ï"*ï.
-r xu.1z
=r t = - ï
a.tx-1'1ï =
rL
- \(x rtf
P(q,yr)
ti\c!
l- = -t, T,:U
5ct:-3 =r (:-I ó
+v
rt
een willekeurig punt van de rechte en de
í;, li+ *3,',
ï
,i
|
/
it- \\ /o(
- \(* *r-f +r1tn =
\.nr=-ï"*\
* \arr'ny= \\.
t \m^\= \\ . \$-L\=\1.' ,. oÀrDÀ[$., Lo 1\
'-"
."
\LL\ = 1-x.L)
n
ni,\rrxn"[or.,r
\r og
:. (
,= \tx ttf f t =s (:r - \(trt\ï =-ï,'
(=r *ax\\=*"
(=r
fn "-
"Ix:-\
c=r X = 4lg \o
o,'\ o\L
'
\\n '\r\r\,N1-X$Á*,
\xt
*\uxrt\t'' -KIN\ortL' x | _f_K _f +\ï s + o f\r o,(x\l ' $-
xI \(-x\
-t/
.) \h^x \