Hoofdstuk 13 Analytische meetkunde ingevulde versie by Koen De Naeghel

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 13 Analytische meetkunde

25/03/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Eerste druk: 2017 Versie: 25 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Hoofdstuk 13

Analytische meetkunde Meetkunde is het onderdeel van de wiskunde dat zich toespitst op het zoeken van patronen en structuren in vormen. Zo hadden we het in een vorig hoofdstuk al over vormen in de ruimte. In dit hoofdstuk hebben we het over vlakke meetkunde. Naarmate meer eigenschappen bewezen zijn, krijgen we steeds vaker de mogelijkheid om een nieuwe eigenschap hetzij synthetisch, hetzij analytisch te bewijzen.1 3 Synthetisch bewijzen betekent: door te redeneren met eigenschappen die al bekend zijn, zonder coördinaten en formules te gebruiken of zelfs te vernoemen. Een typisch voorbeeld hiervan is het dertiendelige boek De elementen van Euclides van Alexandrië , geschreven rond 300 v.Chr. Bij opbouw vertrekt men van primitieve ideeën (zoals punten, rechten en hun onderlinge relaties) samen met enkele welgekozen axioma’s waaruit dan eigenschappen worden uit afgeleid. 3 Analytisch bewijzen betekent: met behulp van coördinaten. Hierbij staat een (rechthoekig) assenstelsel centraal. Door aan elk punt een koppel coördinaten toe te kennen, kunnen we meetkundige vormen zoals rechten, cirkels, parabolen. . . weergeven met vergelijkingen, waarop dan algebraı̈sch rekenwerk kan worden uitgevoerd. De pioniers van de analytische meetkunde waren René Descartes en Pierre de Fermat uit de 17e eeuw. In dit hoofdstuk hebben we het over analytische meetkunde. We starten met een herhaling van wat je in het derde jaar hebt opgebouwd. Daarna komen vergelijkingen van rechten en cirkels aan bod.

13.1

Punten en coördinaten in het vlak (herhaling)

3 Coördinaten van een punt.2 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch of cartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O.

P (a, b)

b 1

Pierre de Fermat (1601-1665)

De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel reële getallen (a, b). Dat koppel noemen we het koppel cartesische coördinaten van P , kortweg: de coördinaten van P . In symbolen: P (a, b)

co(P ) = (a, b)

maar niet

P = (a, b).

Hierbij noemen we a de x-coördinaat en b de y-coördinaat van P . 1 Deze

bewoording werd ontleend aan C. Impens, Wiskunde vanaf nul, Gent, 2016. Naast de synthetische en analytische bewijsmethode bestaan er nog andere. Zo gebruikt men in de algebraı̈sche meetkunde technieken uit de abstracte algebra. Aan de grondslag ligt de analytische meetkunde die via de klassieke projectieve meetkunde leidde tot de moderne algebraı̈sche meetkunde, in de jaren ’50 en ’60 van de vorige eeuw ontwikkeld door Alexander Grothendieck en Jean-Pierre Serre . 2 Het begrip cartesisch assenstelsel is genoem naar René Descartes 1637, doch eerder bedacht door Pierre de Fermat 1636. De gelatiniseerde naam voor René Descartes was Renatus Cartesius, vandaar de term cartesisch.

XIII-1

Th 1

3 Afstand tussen twee punten. Beschouw twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ). Dan is de afstand tussen de punten A en B gelijk aan y » 2 2 |AB| = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) B y2 3 In plaats van |AB| noteert men ook wel d(A, B).

|y2 − y1 |

Bewijs. Uit de stelling van Pythagoras volgt: 2

|AB| = |x2 − x1 | + |y2 − y1 | »

zodat |AB| =

|x2 − x1 | 2

(x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) .

3 Midden van een lijnstuk. Beschouw twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ). Noem M het midden van [AB]. Dan is x + x y + y y 1 2 1 2 co(M ) = , 2 2 B y2 Bewijs. Noem co(M ) = (k, l). Uit de stelling van Thales volgt: M l k − x1 |M A| 1 = ⇒ k − x1 = · (x2 − x1 ) x2 − x1 |BA| 2 A y1 1 ⇒ k = (x1 + x2 ) . 2

Th 2

Een gelijkaardige redenering bewijst dat l =

1 (y1 + y2 ). 2

De laatste eigenschap gaat over een driehoek. Herhaal dat een zwaartelijn van een driehoek een rechte is die door een hoekpunt van de driehoek gaat en door het midden van de overstaande zijde. Hieronder bewijzen we dat de drie zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn. Th 3

3 Zwaartepunt van een driehoek. Beschouw drie punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) en C(x3 , y3 ). Dan snijden de drie zwaartelijnen van ∆ABC elkaar in één punt Z, die we het zwaartepunt van de driehoek noemen, en is co(Z) =

x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 , 3 3

Bewijs. Noem M1 het midden van [BC]. Dan is x + x y + y 2 3 2 3 co(M1 ) = , . 2 2

// y2 +y3 2

Noem co(Z1 ) = (k, l). Uit de stelling van Thales volgt: ⇒ ⇒

Neem op de zwaartelijn AM1 het punt Z1 met |Z1 A| = k − x1 |Z1 A| = x2 +x3 |M − x 1 A| 1 2

2 |M1 A|. 3

2 x2 + x3 · − x1 3 2 x1 + x2 + x3 k= 3

k − x1 =

M1 // C

x2 +x3 2

x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 , . Analoog 3 3 noemen we M2 het midden van [AC] en M3 het midden van [AB], en nemen we op de zwaartelijn BM2 het punt 2 2 Z2 waarvoor |Z2 B| = |M2 B| en op de zwaartelijn CM3 het punt Z3 waarvoor |Z3 C| = |M3 C|. Net zoals 3 3 hierboven vinden we dan dat x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 co(Z2 ) = , = co(Z3 ) 3 3 waaruit volgt dat Z1 = Z2 = Z3 . Bijgevolg ligt dit punt Z op de drie zwaartelijnen van de driehoek, zodat de drie zwaartelijnen van de driehoek concurrent zijn. De coördinaten van Z volgen nu uit het bovenstaande. en gelijkaardige redeneren voor de y-coördinaat leidt tot co(Z1 ) =

3 De

letter d is staat voor de eerste letter van distance, de Engelse term voor afstand.

XIII-2

13.2

Rechten

In het derde jaar heb je al heel wat begrippen en eigenschappen in verband met rechten gezien. Die vatten we nog eens samen op deze pagina. 3 Vergelijking van een rechte, rico en hellingshoek. Tekenen we een rechte op ons blad, dan kunnen we onderscheid maken tussen de volgende vormen: verticaal, horizontaal, stijgend of dalend. In het derde jaar heb je bij elke vorm de vergelijking van zo’n rechte opgesteld (zie hieronder). Omgekeerd, ken je de vergelijking van een rechte dan kun je weten welke vorm die rechte heeft. Meer bepaald geeft de rico (voluit: richtingscoëfficiënt) van de rechte aan hoe groot die stijging of daling is. Die informatie kunnen we ook nog op weergeven met de hellingshoek van de rechte (zie Hoofdstuk Goniometrie). Samengevat:

de rechte r is niet evenwijdig is met de y-as:

de rechte r is evenwijdig met de y-as:

r : y = mx + q

r:x=p

⊲ het getal m is de rico van de rechte

⊲ een verticale rechte heeft geen rico

⊲ de hellingshoek α voldoet aan

⊲ een verticale rechte heeft hellingshoek

−90◦ < α ≤ 0◦ r

0 ≤ α < 90◦

y q

+1 α

α +m x

α = 90◦ y

α x

⊲ verband tussen rico m en hellingshoek α: m = tan α

3 Standaardvergelijking. De vergelijking van een rechte r kan herschreven worden als r : ax + by = c

waarbij a, b, c ∈ R

3 Vergelijking van een rechte door twee punten. Beschouw een rechte r die niet verticaal is. Dan geldt voor elke twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) op de rechte r dat

r B

y2 − y1 rico r = x2 − x1

en de vergelijking van de rechte r is dan r : y − y1 = m(x − x1 )

y2 − y1

A x2 − x1 x1

3 Evenwijdige rechten. Beschouw twee rechten r1 en r2 die beide niet verticaal zijn. Dan zijn ze evenwijdig als en slechts als hun rico’s gelijk zijn. In symbolen: r1 // r2

⇔

rico r1 = rico r2

XIII-3

Kennen ril/e van twee niet-verticale rechten hun rico's, darr weten we of die rechten evenwijdig zijn of niet. Hieronder zullen we zien dat we dan ook weten of die rechten loodrecht op elkaar staan of niet.

TLq

O Loodrechte stand van rechten.4

Beschouw twee rechten 11 êÍr 12 die beide niet verticaal zijn. Dan staan ze loodrecht op elkaar als en slechts het product van hun rico's gelijk is aan -1.

In symbolen: 11

L 12 <+ ricorl . ricor2 : -l

Bewi,js als 11 st'ijgend en 12 dalend 'is. Teken het orthonormaal assenstelsel Ong met als oorsprong het snijpunt r,an de rechten rr eÍr 12. Teken daarna de rechte r : I die de rechte 11 snijdt in punt Á1 en de rechte 12 snijdt in punt Á2. Noem rftt : ricort en rT,Z

tiCO

rZ.

Dan is

coo:.t.p\ co A1

={-

- tL,'\"n)

coA2: Welnu:

[a-.\..i\ t {t\L

L12

tl\,> o1 x

ï \

/=r [-t- \ \ (NtL-'-,

*.t = tr-

+ i4--

I (qn,

4hU iíïhi

(

\\ Íl^!-o

t*\ (=r

:. Y) iï^ t |\u.'1 -- - L

{=\

L \'r't \nf-

ïr.(,o

'ÍL{ ,

tLloo

l,t

-{ n

Bewi,js als 11 dalend, en 12 sti,jgend,

Analoog aan het voorgaande

i,s.

bewijs.

Bewi,js als 11 of 12 horízontaal 'is.

Stel dat 11 horizontaal (gegeven), zodat ry

/r2.

Dan is ricorl : 0, zodat ricorl .ricor2 + -1. Anderzijds is 12 niet verticaal Dus in dit geval geldt inderdaad dat 11 L12 {* ricorl .ricor2: -1. Het bewijs voor

is.

r2hofizontaal is analoog

Bewi.js als 11 en 12 be'ide dalend, of beide sti,jgend zijn.

Stel dat 11 Êrr12 beide dalend zijn. Dan is ricorl ( 0 en ricorz < 0 zodat ricorl .ricor2 ) 0. Hieruit volgt dat rico 11 .ricor2 I -1. Anderzijds staan twee dalende rechten nooit loodrecht op elkaar, zod.at 11 f. 12. Dus in dit geval geldt inderdaad dat 11 I 12 ë ricort.rícor2: -1. Het bewijs voor ?"1 en 12 beide stijgend is analoog. n aHet criterium ricorl .ricor2: -1 voor loodrechte stand kan niet gebruikt in het geval dat rr of12 verticaal is, omdat een verticale rechte geen rico heefb. Een meer algemeen criterium gaat als volgt: schrijven we twee willekeurige rechten r1,r2 in standaardvergelijking f i :, aifi * btg : q dan geldt: 11 L 12 ++ a1a2 * b1b2 : 0 ongeacht de vorm ran de rl en 12. Dit criterium geldt dus ook als rt of rz verticaal zijn.

XIïi.-\

(o\

O Modelvoorbeeld 1. Ga na welke rechten loodrecht op elkaar staan.

aiy-2r-8 b:5r*A:-7 c:&-59-9:0 Oplossi,ng.

rlÉr) ^" 6.-

-54r

,^ =, JLlt =*4-x l\

L',3= t--\

t^^L--!-

\C \wL*"L

Lw'dt'oc=la

-\ioa,"ur^T= {"ult.ti-coc :-,!, tru" t Lce

\di.rrrÍ,$_

O Modelvoorbeeld 2.

\tttl*\r,r$-

p,n

\rv,

^'.4-r[*À"

et\ t^.

Gegeven zijn de rechten

r.115

en b:Pxl2Y:0

a:(1-P)r+Y:g

ar.6

waarbij p € lR. Bepaal de waarde(n) vun p waarvoor a Oplossi,ng.

-[t-l\.x r\ l-x L

&1 \: \, \\u.

-tÀru IiL

nti"'"

f:8

-l3oek

oL, ttq=-1x+\\

b, \ =-\x-'\ àu4nut,ot = -\ x \.^\\/ I,. -(5=- x +\ --r

* 4A :14

d 2r

qie"r

(f-")

(,-

a.=

-({--\\. [u^ niurL= - f-v

u, rl* I L 6.5 \"tp 0,, \it,oL =

- 'l-

b = tL- \o-c

\-L

LL- \ . (-rt .l-

' --'1- , z:\ -. \:t -Iè{ï .19-ru Lr L \4-=o l"- -t!j-:rLLte_. ', ._ ï \L:o -\t*\ I c=' \=-r

(=\

\t:!.,

O Modelvoorbeeld 3. Toon aan dat de punten P(4,6), 8e2,2) en B(2, -4) de hoekpunten zijn van een rechthoekige driehoek. Oplossi.ng.

\\Jr-ï\S-\: I

\^ra \,u{n

\Q: \L:

r-- t Xt--X

*\-

ï_

q--t-1-)

-L-h

*tq-

_\ -(e Sv,

\^Ía\0.

1^0o 0.

Y.-:

- l-

1u LtÀL L* L\ql-tÀk\rnc\.ne. \sn

rul|-í

)

Loodlijn uit een punt op een rechte O Opbouw. De loodlijn

Gegeven is een rechte a en een punt P.

uit P op a is de rechte I door het punt P

en loodrecht op de rechte o.

Hoe bepalen we die loodlijn Í?

Werkwijze. I L a PeT

^\*t*^t

Modelvoorbeeld 4. Bepaal telkens deYvergelijking van de loodlijn I uit het punt

op de rechte o,

(a) o:r*5y:11 enP(I,A) (b) o: *-4:0enP(2;5)

tt) l,' 3-J, =q^at,[x-x,1

Oplossi,ng.

t"l

)-ïr=\^*1,

lx-o")

tiuco' = -41í b.rrn qibt

L.f,

I I

n\ il \ \ \ Àrb L nJ\À'ux\tÀÀL

A- VqÍL\-.uróJ-

: o.Ix-r\ jní n,/

=r 1-,

=\ Lr 3=-\

Middelloodlijn van een lijnstuk O Opbouw.

lijnstuk ïABl. De middelloodlijn van [ÁB] is de rechte m loodrecht op de rechte AB Gegeven is een

en door het midden van het

lijnstuk lÁM].

Hoe bepalen we het middelloodvlak m?

Werkwijze.

L AB

Mem

O Modelvoorbeeld 5.

Gegeven zijn de punten

Á(*1,3)

B(5,7). Bepaal de middelloodlijn van [ÁB].

Oplassi.ng.

tïVr,i

q-\1

= Ítit,.ttn

J,)

Ix-o,\

+\=(-+,+)=('.t)

\.,rto

\,',

\t = u)L-9 r : xL_xl = - ït x- L)"

)-í

xni-[

1jt] |

\,"*

,t-" 1, 4-4-( \rt ,

toltl

. 4\rc\ ,

{x,

1,,,

Afstand van een punt tot een rechte O Opbouw. Th5

Gegeven zijn een punt

De afstand van

pult P tot

rechte

P en een rechte r.

is de kortste a,fstand tussen punt P en een willekeurig punt Á van rechte r.

Noem Q het voetpunt van de loodlijn I uit het punt P op de rechte

Het is duidelijk dat (zie figuur):

vAer:d,(P,A)>d(P,Q). Hieruit volgt dat de afstand van punt P tot rechte r gelijk is aan d(P, Q).

In symbolen: d,(P,r): d,(P,Q). Hoe beoalen we die afstand?

Voorlopige werkwijze.

(1) Bepaal loodlijn I uit P op (2) Bepaal snijpunt Q : lnr (3) d(P'r) : d(P'Q)

Voorbeeld.s Gegeven zijn het punt P(5,2) tot de rechte r.

en de rechte

r :3n *

:24.

Bepaal de afstand van het punt P

Oploss'ing.

,n-fl\

\I*\t.-, L

tr\

1tr) n"}\'^*lq

"t\1 \'r,

=ï,nu

,rK tl' ia :j) r,ir rL )= 3

I,rrr*-=-É ih

\-, {-f-=5-(x-í\ =\ 1-, ;*-(,=\\-Lo

í\J

=\ ï-,

hX-3'01 =,,!\ r--j t*Á. =r\'L \i( rgeIijkingu*,ou.u|h'"r,danverkrijgenwe3'5+4.2l24.DatdegeIijkheid I

niet geldt, betekent precies dat punt P niet op de rechte r ligt. Intui'tief kun je verrnoederr dat het verschil tussen het linker- en rechterlid verband houdt met de afstand van het punt P tot de rechte r. Toch mag je niet verwachten dat het verschil precies gelijk is aan die afstand.

(1) Afstand

is positief, dus moeten we de absolute waarde nemen:

r:3z*4a:24 (2)

Een vergelijking van de rechte

,,!*+!o:T 5 5"

en invullen van

co(P): (5,2) geeft 13.5+4.2-241 :l#

d,(P,r).

maar op een evenredigheid na bepaaid; even goed is

eninvullenvanco(P):(b,2)geeft

t*! 5 ,-'41 l3 5t -:1 5 t5

d,(P,r).

Op die manier is het aannemelijk dat de afstand van een punt tot en rechte in het algemeen als volgt te berekenen valt, wat leidt tot een formule die we op de volgende pagina zullen bewijzen: voor een rechte r : ar * W : c en een punt P(r1, 3ri ) is

ffi@

Va' + b"

aL-,

ma:

\/a1 + b'

/ # Val + o"

l-.*-ul+* + o'

(cr,yr) g,--" invullen van co(P): en '----'lenvanco(P):(r1,s1)geeft r ffi*r

lVa"

ffi

Va' + o"

ffil Va' + 0'

l1o,a"r. I

Ludwig Otto Hesse V- (1811-1874) schreefin zijn cursussen voor studenten een vergelijking van een rechte altijd in de vorige, bovenstaande vorm. Daarom noemt men zo'n vergelijking ook wel de Hesse normaalvorm lan een rechte.

XIII

Net zoals er een formule is om de afstand tussen twee punten te berekenen, is er ook een formule om de a,fstand van een punt tot een rechte te berekenen.

1b6

O AfstandvaneenpurÉtoteenrechte. Beschouweenpunt P(rt,yt) eneenrechter:ar*bA:". Danis de afstand van het punt P tot de rechte r gelijk aan larr * bat f";-':-;'6 v0'' + o'

dlPrl *\7'

Bewijs. Noem Q@z,yz) het voetpunt van de loodlijn uit het punt P op de rechteL.

r'.ariby:,

> Stap L. We weten dat Q e ,.Hieruit uolgt, @*r 1Ugr:;l > Stap 2. We weten dat PQ I r. Hieruit volgt:6 ricoPQ. ricor

: -1 =+

frz

- at .

,9 : - 11, D

a(az-at):b(rz-rt) > Stap 3. We schrijven (a2 + (az

b2)

bz) .

.lpel'

als een kwadraat.

lPQl'

- *r)' + (u" - a#) : a2 (rz b2 (r2 - *r)" * o' (y, - y)2 * b' (y, "r)' + : a2(rz - *r)' * zab(r2 * r)(az - y) * b'(a, - a)' : (o@r- r,) * u(y, * È) 1a2

(@,

a)2

0zi

1-t^

> Stap 4. We berekenen d(P,r).

d(P,r):

d'(P,O)

,@ V

lo(rz-rt)+b(yz-st)l

./FW

l-a*t-bw*arz+bazl

'/FW l-ort -bW+cl {az y

fiz

larl*bar-cl

JFaP

loek 2.t25

O Modelvoorbeeld 6. Bepaal telkens de afstand

nr.1(c)(e)

(a) P(5, 2) en rk +

(b) a(-4, 2)' en b' ** z

van het gegeven punt

:Z+

de gegeven rechte.

-*,.J- : -t

(d) .D(*8,

í,\\ÍIt{-"--F h'.3x-ï-1 .:-t (h) rLl*r \\''':-

tot

27) en

d: \ = - ** - t lJ-

lr\\ \.\orr,^-u_, ,[F,t

\\Jl

\\*tt'I

6Bi; de uitwerking van stap 2 gaan we ervan uit dat de rechte r stijgend of da.lend is. De lezer gaat moeiteloos na dat in geval r horizontaal of verticaal is, eveneens geldt dat a(Uz - At) : b(nz - ar).

XIII-\

\'"u áL1

\ t

Middenparallel van twee parallelle rechten O Opbouw.

Gegeven zijn twee parallelle rechten 11

ErL r2.7

De verzameling van alle punten op gelijke aÍstand van 11 err 12 is een rechte rn.

Die rechte noemen we de middenparallel van 11 en

r"2 (vervolledig de schets).

Hoe bepalen we die middenparallel?

Voorlopige werkwijze.

O Voorbeeld.

Neem een willekeurig punt P(r, y) in het vlak.

Dan

is P e m <+

d,(P,r1) = d,(P,rz)

Gegeven zijn de parallelle rechten

rLi2fr-A -5

en12

i2r *y:3.

Bepaal hun middenparallel.

Oplossi,ng.

"q*r''

\r[ql\..

Dm'í

-\\o*,q1*,.! \+( *.q\ )' t'

e lh- ts-\

KV*,t = L(Vl")

L-r 'i-*,rí

(=, tr = À

(-" h.7

u"-r-5=

*#: \

Vergelijking van de middenparallel. wordt de middenparallel van 11

Beschouw trvee rechten rL

*r Lx-1=\ k'" i ar

cL e{L 12 :

ar I

n=*À

\^:Lx-"6-=h" :

cz. Dan

eÍr 12 gegeven door

alx

*lvA: e*c2 2

Modelvoorbeeld 7. Gegeven zijn de rechten 11 :9íx - 3y : 5 en 12: -6r

a-t

(a) Toon aan dat 11 e;rr 12 evenwijdig zijn. (b) Bepaal de middenparallel vall 11 e\ 12.

Oploss'ing.

t . / s r,. ïL,1 X-:rn =( no,o\-l Í\.1,4\x-[,1=to,

t;i \ I \r:-t**i\U (,t\ h", À\x-t\: samenvallende rechten

ií hêï{anse vlak.

rr'a,L-s

\ nrt^rt\.1='lico'u'r=t=t Lru

\-'i.4ïx-t'ur=-t Xu'rt\\\r--

!+\ I k,, ï;lq:l

tsamenva]lendzijn.Deverzameling,,u,,hl"puntenopgelijkeafstand\antwee

XIrr-5

Bissectrices van twee snijdende rechten O Opbouw.

Gegeven zijn twee snijdende rechten 11 eÍr 12.

De verzameling van alle punten op gelijke afstand vàD 11 en 12 is de unie van twee rechten b1 en

b2.

Die rechten noemen we de bissectricgs (of deellijnen) van 11 en 12 (vervolledig de schets). Hoe bepalen we die bissectrices?

"Werkwijze. Neem een willekeurig punt P(à,il in het vlak. Dan is P € hUbz <+ d(P,r1) : d,(P,rz)

-*oek t.t25

nr.4(a)

Modelvoorbeeld 8. Gegeven zijn de rechten rr ;2:Í

- A : -6 e\ 12 : 4r *

: *1.

(a) Toon aan dat rL eD. rz snijdend zijn. (b) Bepaal de bissectrices van 11 eil 12. Oplossi,ng.

[") ÍLL,\:s-x-t \u^lit'\L=V \-tr ï \* \ÀtoruL= -L

t!) l(tm^

t=;''-:-

eu*

bar"r"

*\\"\r*-,TN \(

-.t

t ro q.t # ,i^^'l"L \uÀ lr-p nr",1\tu.L

\-l- tNÍt,t

\e\.u\á [ttr.) =[ttrq c=\ I rx -5+ tl

- ltx r\

\L\LL

ï_'\ 4-'

(:t

(:r

(

Lk-\\\ t\

oï

(á

,í L\-\+[= - (\xtl\L

t\o\l-: \x\\\4r

s- *\ot" \x

\*L\r'.,Àrtírt

-\x-tïu l

*^t,-'\[*-ï;lï, \*1,

q\r-( rr'

( \\(\

els r,ry I

,W.^\

,.4:

13.3 Cirkels h ielxl,

íà.8

vlak. Vaak kan zo'n vorm gezien worden als een verzameling van punten, waarbij de ligging (of plaats) van die punten bepaald is door een of meerdere voorwaarden. Daarom noemen we zulke vormen meetkund'ige plaatsen. Zokenje al enkele bijzondere rechten als meetkundige plaats. De vlakke meetkunde zoekt patronen en structuren van vormen in het

> De middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de afstand tot het ene eindpunt van het lijnstuk gelijk is aan de afstand tot het andere eindpunt van het lijnstuk. > De middenparallel van twee parallelle rechten zijn alle punten waarvan de afstand tot de ene rechte gelijk is aan de afstand tot de andere rechte. > De bissectrices van twee snijdende rechten zijn.alle punten waarvan de afstand tot de ene rechte gelijk is aan afstand tot de andere rechte.

Andere meetkundige plaatsen zijn bijvoorbeeld de ltegelsned,en.

> Een cirkel is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de afstand tot een vast punt (middelpunt) een vast getal (straal) is.

k:g

> Een parabool is de meetkundige plaats van alle punten waarva,n de afstand tot een vast punt (brandpunt) gelijk is aan de a,fstand tot een vaste

tijn (richtlijn).

> Een elli,ps is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten (brandpunten) een vast getal is. j'r

> Een

hEperbool is de meetkundige plaats van alle punten v/aarvalr het verschil van de afstanden tot twee vaste punten (brandpunten) een vast getal is.

E,en kegelsned,e is de doorsnede van een dubbele kegel met een vlak. Die doorsnede is steeds een cirkel, ellips, parabool of hyperbool.

In Hoofdstuk Cirkels heb je al enkele enkele basisbegrippen in verband met cirkels gezien. In deze laatste paragraaf bestuderen we nu de cirkels met analytische meetkunde.

O Definitie (herhaling). Zij M een punt en r > 0 een reëel getal. De cirkel met middelpunt M verzamelingvanalleprrntenPdieopafstandrvanpuntMliggen.W

O Op ontdekking.

Gegeven is het punt

M(1,3) en het getal r

en straa,l

is de

:2.

(a) Construeer in een assenstelsel de cirkel C(M,r). (b) Wb,araan moet de coórdinaat van een willekeurig punt P voldoen om op de cirkel C(M,r) te liggen? (c) Gegeven zijn de punten Á(3,3), B(0, 1) en C(2,4). Bepaal met behulp van de vergelijking van de cirkel of deze punten binnen, op of buiten de cirkel C(M,r) liggen. Oplossi,ng.

L*)

u[N,'à

tL)

\l(*$' \ sm^nn J

\\art..

,ro,.,

url\r\,,*v'n1u,'.-t

(-\ Rl _), 'l

w=ï) SL:LIj

L i=r Lt\\3\=

"{u$

-4

L.\

\aL r./ c L'gL

rt^"1

\,\

,\t\\.\\ :t- \u^

r\.[H.B) > tF\ ( o -t\t \ (,-r\"/ \ irtrr ( 1-- r\' \( h- j\',/ Nre.\ [(n-t] G=\ \

Nr.rn

{rv..

L .^ut,&_,

q\.r n \r{tt

í\ 0

\-/

(r L* t- Qr.qt L,** U

XIli.-l\

th8

O Vergelijking van een cirkel. Beschouw een punt M(a,b)en een positief van de cirkel C(M,r) met middelpunt M en straal r gegeven door

reëel getal

Dan wordt de vergelijking

C:(x-o)2+(a-b)':r' BeuÍ,js. Neem een willekeurig punt P(r,

y). Dan is

Ltn.\\

*ffi=n,

[. '

<+ O Modelvoorbeeld 1.

[*-^)tf L\-t\L

Gegeven is het punt

rL.

M(-4, -3)

en het getal

r:5.

(a) Bepaal de vergelijking van de cirkel C(M,r). (b) Ligt het punt P(1,"3 op de cirkel C(M,r)? Verklaar je antwoord. (c) Geef twee andere punten die op de cirkel C(M,r) liggen. OpIossi,ng.

(q Uttt.-'1 , b.*.)t-(\*j\L=L(. (t\ \ LL -. G*\\" + G3+:\"='L( f tr)

\"\x- [ * * \\t t tr1+ :1t = rC r

Lour- ru e-rn-1

È ut".\t \]C\

N$srl'nnLl t, o

[

t-h, f xr..u-a) ,t&_ l*^*\"\*tr$,*.rt_

de vergelijkins van de cirkel met middelp unt

Oplossi,ng.

t,, t"- *\' * (Ttf

t,,

(x-

íco.,

Modelvoorbeeld 2. Bepaal

r-\t + (

\\&n,

\+{\= J <) XIII.IL

í'

M (r, -

aie

puoá (; , t)

bevat.

Als bijzonder geval bekijken we even de cirkel met middelpunt de oorsprong cirkel, zie Hoofdstuk Goniometrie.

ïh9

O Goniometrische cirkel. De vergelijking van

straal 1. Dat is de goniometrische

de goniome-

trische cirkel is

0)' + fu -

0)2

: 12 :+ V;F:I

Elke (georiënteerde) hoek a bepaalt een (beeld)punt Eo op de goniometrische cirkel. Bij definitie is

: I cos o :

sin

cos

zodat co0o: (cosa,sincr). Dat punt ligt op de goniome" trische cirkel zodat de coórdinaat van Eo aan de vergelijking van die cirkel moet voldoen:

+a2:l

de 3r-coórdinaat van het beeldpunt E, de r-coórdinaat van het beeldpirnt .8"

| \Z / . \l (cosa)'*(sino)-:1

C:12

sin2a*cos2o=1

Zo vinden we de grondformule van de goniometrie terug.

In het algemeen kan de vergelijking van een cirkel met middelpunt M(a,b) en straal r als volgt uitgewerkt worden:8

- ")'+ (y -b)2 :r" ê C: 12 -2ar*a2 +a2 -2by *b2:r2 <+ C:12 +92 -2o*-2ba+a2 +b2 -12 :0. C: (r

\crruJ Is de vergelijking van een cirkel volledig uitgewerkt, dan kunnen we ze herschrijven in deí(, - o)' + (y die manier vinden we het middelpunt M(a,b) en de straal r van de cirkel terug.

O Modelvoorbeeld 3. Ga telkens na of de vergelijking een cirkel bepaalt. middelpunt M en de straal r van de cirkel. (u)

- b)' :

12. Op

ja, geef dan de coórdinaat van het

*'+a2+zr-6y*5:o

r( t-r.L+LnLr' .\r( \\L\ r'\\ \ Oplossi,ng. J U (b)

c:\ u"ot

(=\

'\t

(x+ 11' r

t ?G )È:O

r?}*

tv r

J=O

l\- j\t -

(r.o\' ,r n5.f $) \'\ ?-.x.\_- \ *-* FT

r,uut& rur

\ï-

t"r{

4=\

x ut q/ N

[") *t:-.x"{kf-*+ (x t

lx rr\L * (ï\i\t

F\ [xtt-\t -(\i3\'=

^w,"r.

3L-

.,,V )

\4, G

r u3),N"-).w 0q [rrl

+S:<r

'rt *) [r.,r, + otL (\

- \* 3 \3\ -L(

\^l$.-

L v$ vax e"'.. a&d-

sElke cirkel is dus de oplossingsverzameling van een tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden

Í eL g. Daar

een pa.rabool met

symmetrie-asevenwijdigmetdeg-asalsvergelijkinglg:ar2 lbr*cheeft(meta,b,c€lRenal0),watka.ngeschrevenwordenals

a* +bn-y*c:

0, is ook zo'n parabool de oplossingsverzameling van een tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden r en gr. Ten slotte kan ook de vergelijking van de hyperbool g: ] herschreven worden als rg - 1 :0, zodat ook deze hyperbool de oplossingsverzameiing van e€n tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden c en g is. Het is precies deze gelijkaardige beschrijving die de nauwe verwantschap tussen cirkels, parabolen en hyperbolen belicht.

xilr-13

Cirkel door drie niet-collineaire punten O Opbouw.

Gegeven zijn drie niet-collineaire punten A,

B en C.

Dan is er precies één cirkel die door deze drie punten gaat, en het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van AABC (vervolldig de schets).e Die cirkel noemen we de omgeschreven cirkel van AABC. Hoe bepalen we de vergelijking van die omgeschreven cirkel?

Werkwijze.

(1) bepaal de middelloodlijn m\ van [ABl (2) Bepaal de middelloodlijn m2 van [BC] (3) M emtnrn2 (4)

d(M,A)

o Modelvoorbeeld 4. Gegeven zijn de punten A(\'l-U.' Bl-1.4\ \ ' "" die de punten A, B erC bevat.

C(t3

Bepaai ,\ ).

de vergelijking \a,n de cirkel

Oplossi,ng.

uLy$\+t\*H-\U . =\r,tott*,.tx-*,)

t")

=\ [\.,h-, \= h,*-a" --Nry\il1.u. \.,t ', \- \ ' : \itt

N.'-

fX -x t\

\m \L

Lun q\., \s,\-;.r,'fu\

í-rrt3 \ l-r

t3\

+\--\6,\

|rrrf-'. X (, = \\u r,*-1x*\-x*,o* ttr'., \lóutwu

)\n, i 1=!:-* =\-'!11= lnN.-_=\\*=l[ {"=,

b\ -L=-Ltm,,u\ = W=W ,zt" H..rd,t"k

c,i.k"r-

L , (kXIti-t\

=í[il t\t*

(

5s1t=

(o.

Raaklijn in een punt aan een cirkel O Opbouw.

Gegeven is een cirkel

C(M,r)

en een punt Á op de cirkel.

Dan is er precies één rechte Í door dat punt die de cirkel raakt, namelijk de rechte door Á die loodrecht staat op de middellijn ÁM (vervolledig de schets).lO

Die rechte

noemen we de raaklijn in

Á aan de cirkel C.

Hoe bepalen we de vergelijking van die raaklijn?rl

Wbrkwijze. t L AM

Aet

Modelvoorbeeld 5. Gegeven is het punt A(2,6) en de cirkel C : (r

* 2)' + (A -

3)2

:25.

(a) Toon aan dat het punt Á op de cirkel C ligt. (b) Bepaal de standaardvergelijking van de raaklijn in Á aan de cirkel C. Oplossi,ng.

\ o q, ftr ,- \r[f*-tu1\\+ 0

(.\"

. (=r.

r\)

í^ .L ít ir- / t\\ (t-3f=e_( (rr$-+

(.*-*l

\_,

\i.,"

1L1 I*

3- [ =

-L-L

Ft."?) -l

\-'

qi^t=

-\3

["-L)

3\- \\ .: -\ lx-r-) t,, \x r i\: tt"

loZie Hoofdstuk Cirkels

-í"C-. t--"1'ia;--b)2 : rz en co(Á) : (q,ai da^n wordt de vergelijking van de raakiijn in Á aan de cirkel C gegeven door t:(r-o)(q-")+(y -ó)(gr -U):12. Deze werkwijzewordtindevolksmond dehannoni,caregeJgenoemd. Hetbewijsvandeze eigenschap laten we als oefening voor de lezer.

=\ k:\x\j\=L(I

tao

Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte C(M,r) en een rechte a. Dan zijn er drie mogelijkheden voor hun onderlinge ligging. De eventuele snijpunten bepalen we door het gemeenschappelijk stelsel van hun vergelijkingen op te lossen. Beschouw een cirkel

rechte

ligt buiten cirkel

geen snijpunten

rechte raakt cirkel

rechte is verlengde koorde van cirkel

één snijpunt

twee snijpunten

G7í(M;l

@@'")

C(NI,r)

O Modelvoorbeeld 6. Onderzoek telkens de onderlinge ligging van de cirkel en de rechte. Bepaal ook alle eventuele snijpunten.

(a) C: s:2+y2:25en a:2r-U:7I (b) C: ï2+yz =9en aiï-y:g (c) C : (* - l)' * y2 : 25 en a : 3r * 4a Oplossi.ng.

Onderlinge ligging van twee cirkels Beschouw twee cirkels Ct(Mt,r1) en Cz(Mz,r2). Dan z4n er zeven mogelijkheden voor hun onderlinge ligging. De eventuele snijpunten bepalen we door het gemeenschappelijk stelsel van hun vergelijkingen op te lossen. cirkels liggen buiten elkaar

cirkels raken elkaar uitwendig

cirkels snijden elkaar

geen snijpunten

één snijpunt

twee snijpunten

rt I rz < d,(M1, M2)

rr * rz - d(Mt, Mz)

cirkels raken elkaar inwendig één

lrt

,zl

snijpunt :

cirkels zijn concentrisch

cirkels zijn samenvallend

geen snijpunten

d(ML, Mz)

d,(Mt, Mz)

< lrt *

Mt:

rzl

Oplossing.

_is

Mt: Mz eÍL T1 -

:49

hr ( o .i\

=1,r

Lttt..nt\

W =(.\i

L[s,.\\À ] \. \\r.r \s*\" riwM\rqq"\À*

(.\ $-r, r) ;(r) \\,q:.L\ rn"\-t=\I=t/ =V'=r ^r"4

u*oo-1

Mz en

de onderlinge ligging van de twee cirkels.

(a) Q : n2 +Y2 : 1 en C2 : (r- S)' + (A +g)2 : + (b) Ct : (r + 1)2 + (A * 2)2 : \ en C2 : *' + (y- 3)2 - I (c) Q: (, -3)'+ (y *2)2 :4enC2: @+t)2 + (a -5)2

:M: L Ur\ ( r-3\ e\ \,L = \\ [[ur.\\r.) :

- ,rl < d(Mu Uz) < rt * rz

cirkel ligt binnen cirkel

O Modelvoorbeeld 7. Onderzoek telkens

(n) M,(os)

lry

Nwo"r

=3 |

="[T \.t\tn $") .

\.L:E

: t l\...

( \t r-rr-\

\EV

Nt(-,,t) er..l \1a\ Llnt .u À =\ l-'-.)t r ((-ït :( . LLttn,tr,-1 =

lu^ t-t

\rI^ t n \lr,[\iurr.. t,v

*'it-R

\"t-tll

tnnr&. t u

i*uo\i11^ !" a\l \

\ i-35 r,r \,ï.t(.\,ih{1),íÉ)