Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 2 Tweedegraadsfuncties
11/09/2017
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 11 september 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk
2
Tweedegraadsfuncties
1i
'-l
c
\-i:;;',-r-r
een funct'ie. Zo heb je in het derde jaar de constante functi,es en de eerstegraadsfunct'i,e.s gezien, waarbij de gra,fiek steeds een rechte is. Dat zullen we in de eerste paragrafen herhalen. Daarna bestuderen we de zogenaamde tweedegraadsfunct'ies.
Heel wat verschijnselen rondom ons kun
2.L
je beschrijven met
Definitie en basisbegrippen van een functie (herhaling)
o Op ontdekking.
Een kaars is 15 cm lang. Vijf uur later is ze opgebrand. Met elk we de lengte van de kaars y (in centimeter). Vul aan:
r:0 F--+ O:L{ r:5 F-------+ g:.O r: I F----) y: LU
&
-
f:-2 c\\- urr'r :
c**làíl
|,o
tijdstip
r
ta,.r 4.
(in uren) associëren
u: 'c)' : ( tr\ ïL\"i-hI\ '------+ y /.
'*
r associëren we hoogstens één getal y. Zo'n verband noemen we een funct'ie. We kururen een functie vergelijken met een apparaat dat bij elke input r ofwel één output heeft, ofwel geen enkele output heeft: Met elk getal
input
finctie
één output
functie
geen output!
1
input
-24 We kunnen deze functie ook voorstellen met een tabel en met een grafiek (vul aau).
> Tabel van enkele functiewaarden:
>
Gra,fiek:
v 15
\
72 o
6 3
-2
-1 II.1
Hierorrder herhalen we de defi.rritie va"n eerr furrctie. Daarbij horen heel wat begripperr. Op dit rnoment is Lret vooral belangrijk dat je bij een concreet (eenvoudig) voorbeeld van een functie het dornein, het beeld, de nulwaarden, de tekentabel en de tabel stijgen/dalen uit de grafiek van de functie kan aflczen.1
Th
1
O Definitie. Een functie / is een verband dat met elk getal r O Modelvoorbeeld. In het
hoogstens óén getal y associeert.
assenstelsel hiernaast staat een
grafiek afgebeeld.
(a) Waarom is dit de grafiek van een functie /? (b) Benoem de grafiek. (c) Lees uit deze grafiek af: domein, beeld, nulwaarden, snijpunt(en) met de assen, tekentabel en tabel stijgen/dalen. Gebruik de correcte notaties. Oplossi.ng.
i"\
$)
a'*-
t.\*
Lum-oo.'
\5"*r
\\b..tfit
\*\= n \o*)-),,
o1k>-aa
L-3\\eoL
\".^1$> L_l'\.Kd\ L)-A^
\\=
L*r,\.. L
* t*\rn*s'L\- :-
r.r.lo.lJqw {ilo'Àr
tr$\.k
\-4^ lïï\\
X:-{-
\
Àt)\*N \ - L\
r'q'*-
\
1-
d.'l
\\* r'l
i t}to.,l-\ rLnr^\4,.,'.c*'\*\
!-o**\ÀL
t-
fito'Lu:
rta'"\'!-'
-3
\rq )k \-À.\\.nxl\'o.'\L*,
.r,1,r..\r,,,1,*
Jr)
\,'\
rnHir.,
\*\ t" ntfu*u ( I'ttro.>lr'r'n. en rïï'+lrr*t)
./
lEen formele besprekirrg van de begrippen functievoorschrift en gtafiek, dourein, beeld err nulwaarden \a,n een functie kornt aan bod in Hoofdstuk F\rncties. In de derde graad beschrijven we hoe je in het algemeen de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van een functie kan opsteilen. TT-2
Soms kunneïI we van een firnctie / het zogenaamde functieuoorschrift geven. Dat is een formule waarmee je voor elk getal z meteen het getal y kan berekenen. Daa,rmee kun je een tabel van functiewaarden en de grafiek maken.
2.2
Constante functies (herhaling)
O Op ontdekking. Bekijk de volgende functie
/.
V.tl de tabel en de gra.fiek aan. Welke vorm heeft de gra.fiek?
> functievoorschrift: f @) : 2 > Tabel van enkele functiewaarden:
> Grafiek:
\ar,*'.,v^L
l'v'
\o,im\À"t À,\r'
Controle met behulp van de gra,fische rekenmachine:
E
@|ïABLEI
Plotl Plotz
l\YrE2l
Plot3 I
l\Yz= l\Y3= I\Y4= t\Y5= l\Ys= t\Y?=
2
, z z 2 2
z
\Ya=
l\Yr=
Uit de grafiek van de functie lezen we de volgende kenmerken af (vul aan). >
\\}*í
dom/:..\(.-
N*
>
Tekentabel:
\ ).- nÀ
>bld/: tr{ > Nulwaarden'
T-
\-\.hr ï\
t 3-*
> Tabel stijgen/dalen:
',^t6iN..ft Àrl$'\s"
\a"\'\el'rtqLx-aa II.3
Tb2
O Definitie. Een constante firnctie is een functie
/
l@):o ïr 3
O Eigenschap. De
o Voorbeeld. y1"y
$r"Lx1 2.3
waa.rbij oelR
gra"fiek van een constante functie
f (r)
:
a is een horizontale rechte:
Welke van de volgende functies zijn constant?
: ts
J l\\ 1s("):o u)NS À&l$t
I
8*v
met als voorschrifb
n1"1: -\/70+2orrz
NLE1
qp\ÀL\
| 4*1:,
\Àr.rr\rn-vor,,
*@): rla
|
0
ï\* ,r$^*[
li@):*'
x
Eerstegraadsfuncties (herhaling)
o Op ontdekking. Bekijk de volgende
functie
/.
Vul de tabel en gra,fiek aan. \Ublke vorm heefb de grafiek?
> F\rnctievoorschrift: f (n\ : griTi\ \ S"-qsÀJ-as > Tabel vau enkele functiewaardèh-: J \
\t
r@)
>
\"/
+t
u{
+3
Gra,fiek:
I
I
\-rl
\atto
\
I
I I
I
I /
II-4
+t-
.\
+3
.tt
vo.H
L "\.\. t
,
rr:,NÈc[\)" \tn = 3x- r
I
I I I I
+3
c)
+J
Iticl6
^91,xl5-aa
Controle met behulp van de grafische rekenmachine
E
fïrNpolg-l
Plotl Plotz \YrE3X-11 \Ye=
Plot3
INDOI^I
Xmin='5 Xmax=5
XscI=1 Ymin= -5
Yg=
\Yr=
\Ys= :\Y6= \Yr=
Ymax=51
YscL=1
Xres=1 aX=O. A3787878787878 T raceStep =A . O7 57 57 575757...
\Ye= \Ys=
Uit de gra,fiek van de functie lezen we de volgende kenmerken af (vul aan). Bereken
>
\).k5"V
dom/: ..\\.-
>
Tekentabel:
rr
\:-* >
bld/: .. \K
\5&'-r
> Nulwaarden: 'X
\\"È',nil1
= l-" 3
t\*
/(r)
\ 1-*
=" \n (:) 3x- a 1-
|
o
+
> Tabel stijgen/dalen:
o
t
O Definitie. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is een functie / met als voorschrift
f@):anlb Hierbij noemen we or
Th5
*
waarbij o,ó€lR en a+0
ó de standaardaoT\n van de eerstegraadsfunctie.
Eigenschap. De grafiek van een eerstegraadsfunctie stijgende rechte als a > 0:
Í(r) : ar *
b is een dalende rechte als
O Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn lineair?
.
à I
L' t
(=\ X: Th4
de nulwaarden ook algebraïsch.
1\
'ï EcKcrra iN6hh
r{*):, tlg("):2t-3 | ;, h(r) :
Jrl.-+l-""t C\ J
*35 + th7
( ,(")
r
: zots
ï(EE I "'', rra: *, I I k('): ,/E II-5
a < 0 en een
Modelvoorbeeld.
Gegeven is de functie
l@) : *0,17 t: *
28.
(a) Teken, zonder gebruik te maken van de gra.fische rekenmachine, de grafiek van de functie snijpunten met de assen aarl.
/.
Duid de
(b) Plot de grafi.ek met behulp van de grafi.sche rekenmachine en noteer geschikte vensterinstellingen. (c) Geef het domein, het beeld, de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van de firnctie /. Oplossi.ng.
(a) Om de grafiek van
een eerstegraadsfunctie op te borrwen, doorlopen we de volgende stappe.n.
tDs[À.\ruc = -o,ft (o
Stap 1. Vorm: \
Teken de vorrn.
Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is ..X =o =à Teken de y-as, daarna de r-as.
Stap 3. Snijpunt met de r-as: dan mÀtnYo.,*L
-
'lr*itiart."1] 0 -..t
(b) Uit
onze schets van de gra,fiek
xmin=
.
ïnax=
- ào
<
o
,[\(
(") \o-\
C=r
e\
is.\:O
-o.S x rL\ :o x = L\ =Á\|0, o
in (a) leiden
"Y\ we geschikte vensterinstellingen af.
urnu\,- qr n-n e,,,r ""' \rur.\ "-"'"'\
ynin= . .:
)
) t[r,.u..
\:L\ )
lO (o
ï*o= ... eí' >
.ïtË?e-
uf^t\
tt
X - ,la
tt*\
*o'\-,"!1*À
t C1
5-,
r"a\
*1
=\rrnr \ ' \\L \xà,\ \
.,
t\
=
\"v,*\ÀrL,
\-t 2.4 Tb
6
l*r
Definitie van een tweedegraadsfunctie
O Definitie. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is een functie / met als voorschrift
Í(r) : Hierbij noemen we ar2
*
O Voorbeeld. Sblke van
í' f(r\:
12
-t/zr
*
* c waarbij a, b, c € IR. en o,* o
c de standaardaorm rran de tweedegraadsfunctie.
de volgende functies zijn kwadratisch?
It\ l"ri.;: -nz -r 4r - J :r'r:2 In(")
br
arz + br
I t1"7 :2r3 * 2r + I Neg \ it.l: t2 - r *z -r2 = -x
I r("):r/P*5
13
Om de gra,fiek van willekeurige tweedegraadsfunctie f (") : an2 +bn+c te begrijpen, zullen we eerst een heel eenvoudig geval bespreken, namelijk a : 1, b : 0 en c : 0. Daarna zullen we deze grafiek transfonneren.
II-6
2.5
De elementaire functie f @) : t2
o Bespreking. > F\rnctievoorschrift: f @): n2 > Tabel van enkele functiewaarden:
-3
-2
0'5
-1,5
5 .h. r.r(
Í(r)
1,5
o. oè( L rJí.h.
.5
> Grafiek:
\ I
I
\ \
\*ín*'v*tS\K (.\^L\
\
I
_\
\
/
À
> d.om/
btd/
:
va,rr de
'.
\e(ÀoÀ-.
I
\
Uit de gra.fiek
'
I
functie lezen we de volgende kenrnerken af (vul aan)- Bereken de nulwaarden ook algebrar'sch.
\SkrT\rk-do
\L
: ...\J = Lt,\D. L
Nulwaarden: X --o
\5u"5\o*)-* ,L*niL"t, L^ o*, \n =o '.:r'
\o = o
C=\ )< =g > Tekentabel:
> Tabel stijgen/dalen:
> svmmetrieën:
\" {r^ 'À r5n"*f',;.-on Á.nn" L 1r\.r. vn" 5* u'pa'..^,a.{íL ? =: ^5ip*n-on,
t-w'\*tl*$5r.g\.
2.6
De transformatie verschuiven volgens de r-as en volgens de
O Op ontdekking.
/
Gegeven is de functie l@): 12. Voer de volgende stappen en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van /.
doorr-2: t+l
,q!\\s
g-as \t'l
uit op het functievoorschrift van
I
volgens X.-as met Í). naar'
-]
i l\'= or2 \
'
/
\"1
l1=o
t-
l
t\ ,\.n.\*,f,r**
= xL- hx ik-'. Itl a:
> f("):*2
9
X:. o
I o. L/'
c o
vervangrdoorr*3: verschuif volgens .X.-as met 3 . naa.
I fz@):(.x
jj \{ ix.e
*tY jI
o
I
= xLrtx +b nVÀua^L >f
(r) :.rz
X
Y
5
:o
\
9
g^
lï=.'r
I
f
I
I ruu,
*&,í
,fu("):12*4
Í@):31
, 1..,"r.,u,')oo*
\
naar &,
verschuif volgens
I
/
f+(,)
:.xLt t/
lrr".rrurrrrdoorr-B: I
verschuif volgens'X .-as met
I
u.
I
ts(*):
3
.
naaruL
\.
["-ïl-ï/
*L
fu'{eur'
*-tx+5\L = *-[x\1\
=
VuI aan: de grafiek vm .fr is een d,alparabool met top
"(.3.\\
,1,/.) en symmetrie-as ,,
ï, r,
II-8
.
X
= -3
k):
'rz
O Onthoud.
De grafiek van
/(r) : (r -
tt)2
+ I is
een dalparabool met top
?(k,l)
en symmetrie-as tr
:
k:
f(*)-(r-tt)2+l Tabel van enkele functiewaarden:
lr+:
U l,+I
t+rr
[.
t3
r1
"(k,r)| +L I
O Modelvoorbeeld 1-. Nevenstaande grafiek stelt
de gra,fiek va,n een tweedegraadsfunctie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift. Controleer nadien met de grafi sche rekenmachine. Oplossi,ng.
\(q \-
=
(k-\")'*
\,
\t \ [\I\ =
tx+r-f-
= Xtt\x\ = (x t3\[x
=\
I
(-t.-t) Lq'rurr*",
3
À*\oÀn^J
rr)
,r\'\k\.L\*\t-t^{v
O Modelvoorbeeld 2. Eendalparabool P:y: coórdinaten van de top ? van deze parabool.
(r-k)' +l snijdt der-as inr:
-2ettfr:4.
Bepaalde
Oplossi.ng.
Tt\ (a-.)
1\&,,
!:\*".
T À&l *.. u.,r.N.\rLeul.r-"hJ
\u"
II-9
fiï\tuIí*:'L; \-ï,
\"
: -s
2.7
lli
De transformatie spiegelen om de r-as
t91 )
("):
*'. Voer de volgende stappen Gegeven is de functie f gebeurt grafiek observeer wat er met vafl en de ;f .f .
O Op ontdekking.
uit op het functievoorschrift van
l------
jx=c
,/,
Í(r):rz f
,l
Ix-it
1i,l'''
)1=,o
y
rr"r'uo,
--
)3
't
" t-.---"''' I
door
-y:
i--'
/(,
- -2t,
,:
I
lsniegel
,/
om de X .-as
I i"' l{r):-r2 l:=t!
'1^ t)
/).:-1
.1. jir , '-* It) 9::--''l l
{
tï--.-a
/
\
'-
/s Á
,/
3
$
{
I I
vi
I I
\
\'i
,/ " f@):*' ydoory_
2: '"r*r,* rN\- u.,,\^Ní I lt*U,Unry-.q= o*. ) f
I ,/
fz@)
:'
\u
xL-
U
= - YL r [x -\
?_
n\nÀoÀvow
Vul aan: de gra,fiek van f a is een bergparabool met ton ?(.3,.
,
!.) "" symmetrie-as .Y:3
l'II.1O
L
OOnthoud.Degra,fiekvan/(r):*{n-k)'+Iiseenbergparaboolmettopf&,1)ensymmetrie-asr:k:
f@)<a[r*k)2+I ?(k,l)
|
{\
"tr
Tabel van enkele functiewaarden:
Modelvoorbeeld L. Onderstaande grafieken zijn ontstaan door de transformaties verschuiven volgens r-as, verschuiven volgens y-as en spiegelen om de r-a,s toe te passen op de parabool met vergelijking U - 12. Bepaal voor elke grafiek het bijbehorende functievoorschrifb.
Oplossi,ng.
\*, = [x-nlLr( (
\"tn
=
x-
tĂŻn
(
Ix - Gt\f + (-t) =
.\ (k /
\s
+1_)
- {_
- [x*Ă?y II-11
Modelvoorbeeld 2. Een bergparabool ? heeft (a) (b) (c) (d)
als top
T(-27;I8,2).
Schets zo'n bergparabool. Welke assen kun je nu al tekenen? Geef de vergelijking van zo'n bergparabool.
Bepaal algebraïsch
d.e
snijpunten van de parabool met de assen. Vervolledig nadien je schets.
Geef geschikte vensterinstellingen om de parabool met je grafische rekenmachine te plotten zodat de top van de parabool de snijpunten van de parabool met de assen zichtbaar zijn.
Oplossi,ng.
t^) n \e,r*: A :\a\" x
/l
Lvorxt r"
\uynrmÀvlE-an:
{a *^ L
rr
I I
x: - L\
I
r L\.L
L q-*
rltn\rr-\,t- - ar, . Àal,'loo-
t:
I t
I
t\) 5:. - & -r-r$ + t") ,*S^51^&ffi)-*, L*'^ ":? (:, 3: - ï-1 t\\,L = - \to.\. \q-\("\..t Y.dr! !r \rq.q*Àr!.. {F\- t y - d.á , J\
X*
r^
r^
J
I I I
Gr\ L\I
l
=o
t (:\ -(*+Lt\-+\\,L=o
(:r
=-(o_ Xltnr*= (
x + L\\n -- a\ .L h ftï1 =t\,rl-F r=\ .k +. G.\
tL) xto^"
{t rinrn = -\oc
{*": (o.vm
Fr
(
Y
=
-L\ rf\m- (
-1L,13...
-rr.L[.,.
de gra,fische rekenmachine: we plotten de bergparabool en laten de coórinaten van de Controle met behulp top berekenen. Dat doen we met het commando naxinun. Controleer zelf de nulwaarden met behulp van het commando zero.
E
lïrNpon
reRAPH-l
@
reALcl
|Z*a-in'nl
E
fENrERl
1: value 2lzero
3: mÍninum
intersect 7: Jf (xldx :
b:: clgldx dgzdx
LeÍt Eound?
X:'33.75
Y=-27.3625
tr FNcïl
RiSht Bound?
x;'18.75
Y;'19.t625
6u€cs?
N:'18.?5 TT.L2
Y3-rr9.8625
lío.ximum
X='2?
Y=18.2
2.8
De transformatie uitrekken volgens de y-as
lrC
Gegeven is de functie g(r): 12. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van g en observeer wat er gebeurt met de grafiek van g.
O Op ontdekking.
| f
vervang y d.oor
2'g:
|
i
.b *v
rek uit volgens de tL-as met fador U.
l\ f
\'i
'-
r,- V /x:o olJr. r ly:-. :..ï-lX lr.r ó' u-r rl i,,-r
"fr(r)
il,1
vervangrdoorr-2:.
ïz(r):..1-
.v t\-1-\
vervangydoorE*3:
r@)
:..:- Lx-t-\" n \
-
[1r,*-l
: 1-[vL-lx\\ \3 = L*- \.x \ 44 nV*)*Àtorw g(*) :
12
vervang
ft(*)
) \'^\\*,LL nuI Lry T (l- J\
y door -y:
:. - xV
vervangrdoorr*3:
fu"r'urr* ydoory_
I
,/
I
2:
ru^\Àr\-vt" ï-tu n\-r
r@):
-t-tt\ii-v
'1
\
'c
t6e'{4\ïr\-
:= -L(x\ t br" +1\ -L \ . II-13 I -n\ru-\aa"LvOrlx,/
-,'(x"*:*-tí
. V.$*À.\.tr'"\.t1
\ t-a;?-)
T']x
7
Eigenschap. Beschouw een tweedegraadsÍ'unctie Í(") : a(r - k)2 * I met a,lt,I .' lR en a I 0. Dan kunnen we Uln\ de grafiek van / verkrijgen uit de grafrek van g(r): 12 door volgende transformaties in volgorde toe te passen:
(1) (2) (3) (4)
spiegel om de g-as (enkel als a
.
< 0),
rek uit volgens de g-as met factor
l"i:
=
\.,
*''"1'\"'
verschuif volgens de r-as met k naar rechts, verschuif volgens de gr-as met I naar boven.
Bijgevolg zljn er twee mogelijkhed en voor de grafiek van
E=
ol
/:
F;ól
of
dalparabool
bergparabool
T&,t)l
.
.o Lo1 1. ,1art rnooi tl.,r\C1"
r\iÀ,
rïfl1 í-; o
ó\bD
).)*'t
A1ilir.í La'+i''
,\^,o/I .f\
+\
I
Tabel van enkele functiewaarden:
k+1
ï(r)
!,
1-
r-
k+2
Tabel van enkele functiewaarden:
k+I
X.+:
!,'t\s.,, !-rrJ
f(r\
t
Ltr
k+2
t+* \(il;"
l,r'1u,, 1-tï*; (!",, - [\r+
1, =
^
*
1,
Modelvoorbeeld 1. Onderstaande grafieken stellen de grafiek van een tweedegraadsfunctie f (r) : a(r-k)2 +l met o,,b, I e R en a f 0 voor. Bepaal voor elke grafiek het bijbehorende functievoorschrifh. Je mag enkel roosterpunten gebruiken! Controleer nadien met de grafische rekenmachine.
- '-ï-
Oplossi.ng.
{tn \
-l
-,*-
( = 3 x-h\tt3
+: {K\:-L[x-\f \
LLx\=t[*tl-f h
Lrx\=
-\(x*\\t-L -..^-"t -
-(
II-14
,
Modelvtrorbeeld 2. Gegeven is de functie
f@):+-!@+z)2. (a)
Geef een tabel ,ao-n-"ti"*aarden van (negen waarden, rond de top).
(b) Schets met behulp van je resultaat vraag (a) de grafiek van de functie
/
J
op
in
nevenstaand assenstelsel.
. 1 oplossins. Lo1':ifr \'
-t -(
\t\
-"1
*o( v
L*1.\)
-L
-3 3(
È\
cL
=
-L.
o
o
3Ív
Modelvo<rrbeeld 3. Gegeven is de firnctie
Í(r) :
Z(r + 5)2 +
3.
(a) Geef de volgende kenmerken van de grafiek van J: berg- of dalparabool, coórdinaten van de top,
vergelijking van de symmetrieas en de snijpunten met de asse.n van de grafiek van / (algebraïsch). (b) Scheis de grafiek van / in een assenstelsel waarop je jouw resultaten uit vraag (a) aanduidt. (c) Welke transformaties moet je uitvoeren op de parabool g - 12 om de grafiek van / te verkrijgen? volledig! Oplossi.ng.
I,a\-\L{ÀoiLulÉ.L\
A
:r*}
(.t\
o
*\o1T(ï"\= \(-<r*) X=-( x\qt.W\,ÍL-AÀ' J \ )í' À\\.^'* M'\.r"X:o
)-
f+ 1 : L[c, rs\L + 3 (=\ 1= í3
M r(o53)
x
\ Àrr11urw\rw'x-dn..
\nr.* .).--o i (=\ :-t" .<J t 3 :o -tr tj" t(\=' -I.
(=rL(x bcer."\
Modelvoorbeeld 4. Een parabool P
[c)
gaat door het punt S(0,
ïr,rrrtr
*27) en heeft het punt ?(3, 18) als top.
(a) Schets zo'n parabool ir een assenstelsel. Hoeveel mogelijkheden zijn (b) Bepaalctilvergelijking van de paraboo,.
er?
Oplossi.ng.
tf,) \ \= o(.x-:1Lt K
Lo.\
an-
Àl x:o
r1'--l-\
Lrr^',*
f.A , iÀ -) -'L'\ : íL. :) \ \\ .
+
-r E_.--)
lat
(
-hl
"\-
.J
(x- r1' v \k II-15
G:^
r \\
\,
ï
$snoki'-'h-ttulL. r)
_-.
de
Wees
\\',\Lv"À*rt\, s
[\r^v.]"11
t'\ r"*\*À*,' \o=
*v
I uo*1 \}.*'\ .ro,;*ufu^1_*')\S"
j
t-xv \Lo \ = | \uv,*1* \*r **(
j
Vo |
rmi'\*tr*'2(
-,r,,'h-I-(
k *'
= r-tx*<f \ttt**1r\\nr \-3
J r-.m{ry{ *nuvs t*/ 'X"= L(vr<i"tl,
2.9
O Op ontdekking. Bij
de volgende tweedegraadsfirncties wordt het voorschrift telkens gegeven in standaardvorm.
Kun je het voorschrift telkens herschrijven in de vorm
(u) f(*):12 -6r+8
- xL-:-.(.g
(") f(r):
-2r2 +4r *3
ï(*) : a(r -
+31
-sL+l
\
standaardvorm
t
:
{
-t(Y-"\t-
+ l7
tLd.t\s{tn \o,^\*\-J, \& \ L\ \[-r\\ ]\
: -:-(("-o\ a\
k)2
standaardvorm
- t(xL- r-x - +\ -L( xt-r"x.t t-r"L**
Th8
tt
De grafiek van een willekeurige tweedegraadsfunctie
l-6,
\+\
ï\
Loqr*Nt,\1*&,1- í\\Nt\
O Eigenschap. Elke kwadratische functie f (r) : ar2 + br *
f(r):a(r-k)2+l
\ (t;
c kan herschreven worden
waarbij
n:-fi
t1
\n topuarm;
en I:f(k)
(.=
'
-
P\ nrl
Op die manier kan elke kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire : 12. De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalpa,rabool als a > 0.
functie g(r)
"(k,l)l II-16
+1
+1
Bewi,js. We herschrijven het functievoorschrift van
f@):ar2+br+c
: L(
/
als volgt:
standaardvorm
* s-\ !-* ov ípJ 3-x L -íN-fL\ t-aï il*
xlr \ \\
\'r-ru
f ,
\ .ï/, * L\
'((x t\
\L
b+
1-l
\*
0.,
\
( xn '
^_v
a-
.lZ
I
iL
+
\ ctt,
\
&,/
L
,
n
\
r
ur.l
-t
h ít-
e
tY-\À
h
hru t-\
-L-+
ti 1-4,-
I
hti-
ír)
.9
*\(x*H) r'-
L.
t
*l
,9\
IL
lfr.il
n
I
l-aqvqi"/
\b
Tq
* U+\rutY \ c'v
'\\."r\^*o1r
O Modelvoorbeeld 1.
\
: *[\--\"\
\\
= o- ot tL =1"
Gegeven
tr
zijn de volgende tweedegraadsfu:rcties.
Zet telkens het functievoorschrift om
naar toovorm.
(u) "f(")
tt) \Lx\*--3x"-(xtt J
:3rz - 6r*5
Oplossi,ng.
(") \o= :[x-Lf -\
-\
: cut I
t La-
I
=1-
I
=\-fi
\.--\Ut=\L) 3.f-t
:) \o=
L.o,Lvilr : tx-
3
'=\t' -r-'\í-ít-í.Í-í\rt L) \ t,'
t*< =t/
=
[x- l)" * u \u1tn"J
rf VL = 3 (*ï-t-x =
\tn
: * 3. (x -i"f v\,,
t r\ vL
-- *_ I
3xt-[x+( "i.ll I
II-17
w
I
=à
\tx\= -3.('*í\- *
Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de tweedegraadsfirnctie l@)
:
4r2
-
24r
*
35.
(a) Schets, zonder gebmik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie /. (b) Geef geschikte vensterinstellingen om de grafiek van / met je grafische rekenmachine te plotten.
/.
(c) Onderzoek het verloop van de functie Oplossi,ng.
(a) Om de gra,fiek van een tweedegraadsfunctie
op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.
t t
Stap L. Vorm: ..\.1 uYr*L^>" Schets de vorm.
Stap 2. Symmetrie-as, *
: -*dus r : -Ê
=a
Teken de symmetrie.as, daarna de y-as.
T(:3 , :I ) Duid de toP aan'
Stap 3. Top:
ÍÀ{Àttu\-
\, =\ .:\ =11--jf-rt.t-r)t =
Stap 4.
Snijpunt met de 3ras: dan is Teken de
ef
r-as.
;T(3f
-[
.X =o rr,
="(,
(b) Dankz ij (a) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen (vul aan).
E Plotl Plotz
t!Írrpor+-l Plot3
INDOI^I
i\v;Ëaià:r,ii;àËi
Xmin=:-.ï/ Xmax-.
-t
XscL=L
Ya= Yg=
Yml
Ymax=
\Yl=
YscI=1
\Ys= r\Y6=
z
n=,:.\
ío
Xres=1 aX=0,20833333333333
Yz=
TraceStep=4, 416666666666...
te onderzoeken, dan bedoelen we om het domein, beeld, tekentabel en tabel stijgen/dalen van de functie / te geven. Dat kan zowel manueel als met behulp van de
(c) Als we vràgen om het verloop van de functie
/
grafi sche rekenmachine.
\\rrnuuL,*
t^"\
. \L\ tno
*
C\
\
=
L-r r*L
r*,\loan^\s!'..
\^ \ \S =" (4 h xt-L\\ \3( =o b:
\crrs\n\À,
r
"\"i( = {-L =\1'
-\./t=ï=3í i=+=L(
ce\ x: x
-h
L(
u-\n II-18
\A
\ qE"^,/
Modelvoorbeeld 3. Bepaal telkens algebraiisch de tekentabel van de functie /. Geef daarna alle r-waarden waaxvoor de gra^fiek van / onder de r-as ligt. Controleer je resultaten met je grafische rekenmachine.
t^
/(") : -i*" *2r *8 (U) /(") :1712 - 5r * 3 (u)
Oplossi,ng. Om de tekentabel van een functie
(a) f(r),2 : -'=r,
/
(c)
/(") : -,t2 * 6r - I
(a)
/(") : -7r *
13
te bepalen, hebben we de nulwa,arden van
/
nodig.
*2r*g f(r)
> Nulwaarden: los op
€ (+
:o
-.!xttt-x +\ :o .- xL\\t t\t =s D
- ...\"'* h .t-t\. rt = to
:Í:... -h !Wo
e-'[-,\ ,L\L\T =t.\\,,, \<= -\tt1[il '1- \/ r-- 9-[a = -L.\^\...
> Tekentabel:
L\LR
L-L\<
?+' Dus de grafiek van
/ ligt onder den-asvooï " e..l* \, ï--L\TL U ] fff-[?
n
*
*L
Controle met behulp uan de grafi,sche rekenmachine. We plotten de parabool en laten de nulwaarden berekenen. Dat doen we met het commando zero (voer uit).
E
fïrNpoïl
|ïRAPHI
@IEALE :
value ero
i
ÍninimuÍn naximum
:
:
lz;;;l
tr
lïNtERl
intersect
deldx :.f f (x)dx :
tr
tENrERl
VE2.LZ075?
6uêss? N='1.969697
II-19
Y:2.120753
Zero
X='2.17113Ê
tt) \* =,r-\ *': (v t 3 'n").tÈ**[nrrr \,* ,1
\"
^" (=\ lrt{'-(x
t3:c:
\.tlr'\rrL\,
\J- \r^
\" L
N
-*\}'* *ï*
(.) \o= -x"ttx-\ w,À"un"br. \-* 1 \n '
0*\rr h"'. -oo \
="
(:\ - *ttL,.*5=o
c:\ x = *.!s=3 \o*or\-J.Àt-,
-N \*L5\"u*Wo*'k
t\
= - \vtt3 \.ÀrrJ*S*t \* uq
\^
Lx-o,,.{3t(
)<
r l-*.iL ull,.t*L
_\r.s,"".*\!r n
\Ln
=.-
e\ - \x\$:o (=\ x -- tr-. \
\rv*kÀ$-'
i3 "ri-
,t
\\n \o \ \q\ o..\*. L x - an'{oor k e I'lr"11 . t * L \t* U qv\tr)\ \ )
Modelvoorbeeld 4. Een parabool P snijdt de r-as in de punten P(*17,0) en Q(28,0).
t^,o
(a) Schets zo'n parabool in een assenstelsel. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor zo'n parabool? (b) Als je weet dat het punt ,9(-1,8) op de parabool ligt, bepaal dan de vergelijking van die parabool. Oplossi,ng.
(q t\Jh
\'
Lt)
'
1= o-(xv{il(x-rt1
Nu hnk
\rn no\. (:=\
,^\rk o\l^fuq
_)
Cn,\\ o 3
ï = a-(-.1 \t\)"(- 4,-Lt) (-= J--- -t z*À àE.L\ h("h (ï
t* * {\).tx-rr)
Qr\=-L
J)st
'**]- q'r*ilt ÀÀ^r IIJ
O Modelvoorbeeld 5. Een parabool P
{
gaat door de punten P(0,0),
8(80;-89,6) en,R(i20;-129,6).
Bepaal de
vergelijking van die parabool. Oplossing.
3'5'=^xt\L\+u Nr
rtr.ot\_
Io--rt.o\+\o{u
[\r \
i*ts '[ ï-e 1
G)
{ -tt.u= [-
rrn .\
I t--o
n- lo\-
=
tt.ïo ro
,r. . \ï-o1-
v
t. rï-o r r,
i,.".a \ \,.L = -\\.L \ { .{.ln*,* r \i"L =
|
n\r}r'*$-l
-\L\.L
\./t'N
t, Iu=... /Lítí, \À\.iu {\oo,tt:-t.\v I ,/ rr-"rn-+t=-{s\ I
I c =o
e5
%\k s,
\:ar64'X
-L
-{.2
{ t=-tc,o--"1'.Li/ I tt*c,- -\oq- -t.tt:-Ls\ [:=" [c=o = -too. -1-lv II thoóL=o.o\
x. II-20
(=\
/
t=-tl,
t o=0.61