Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad by Koen De Naeghel

Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad Koen De Naeghel

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina . http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com Auteursrecht omslagfoto: coremax/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile coramax Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c 2009 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 ISBN 978-1-326-03654-6 Derde druk, oktober 2014

VOORWOORD De kwaliteit van het onderwijs is sterk afhankelijk van de visie op de leerstof. Van een leerkracht wiskunde wordt in de eerste plaats verwacht dat hij voldoende wiskundige achtergrondkennis heeft. Op die manier wordt duidelijk wat de essentie van zijn leerstof is en waarom bepaalde technieken worden toegepast. Waarom is het ontbinden in factoren zo belangrijk? Wanneer is een functie Riemann-integreerbaar? Vergelijk het met een bergbeklimmer: hoe hoger hij klimt, des te meer overzicht hij over het dal heeft en hoe groter de kans is dat hij die structuur helder kan overbrengen. Naast een degelijke kennis van de leerinhouden is het van fundamenteel belang dat een leerkracht ook een visie √ heeft over hoe de leerstof wordt aangebracht. Hoe leg je uit dat 3 2 = 21/3 ? Hoe kom je tot een definitie van een logaritmische functie? Uiteraard is zo’n visie subjectief en kunnen tegengestelde meningen best verdedigbaar zijn. Maar net door ervaringen te delen met collega’s kan een leerkracht die visie toetsen, bevestigen en bijstellen. De auteur wil zijn visie dan ook niet opdringen of een andere moraliserende vorm handhaven. De boodschap van dit boek is dus niet: zo moet het, maar wel: zo kan het (misschien) ook. Dit werk is niet gebaseerd op een of meerdere commerci¨ele handboeken, maar is een onderdeel van een cursus [5] wiskunde voor de derde graad dat werd geschreven vanuit de filosofie: leer wiskundige begrippen, eigenschappen en werkwijzen aan zoals die zich binnen de wiskunde op een natuurlijke en onoverkomelijke manier opdringen. De keuze voor invulbladen wordt gemotiveerd het citaat [10]: It is as if information presented to the eye and ear must first pass through the hand in order really to enter the brain. Klaus J¨anich

Praktische richtlijnen De inhoud van dit werk is afgestemd op de derde graad van het algemeen en technisch secundair onderwijs met studierichtingen vanaf drie wekelijkse lestijden wiskunde. 3 Het leeuwendeel van dit boek is gesplitst delen. Deel A bestaat uit niet-ingevulde werkbladen voor de in twee leerlingen, waarbij de instructies in het grijs vermeld staan. Deel B bevat de ingevulde werkbladen, waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is. 3 Deze syllabus maakt gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermafdrukken werden in de syllabus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan. 3 Oefeningen vergezeld met het symbool ? zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen. 3 Enkele oefeningen werden ontleend aan een handboek, alsook de context van enkele werkbladen. In dat geval werd een verwijzing [·] voorzien naar de referentielijst achteraan dit boek. 3 Dit boek is digitaal beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/ . Het symbool geeft aan dat de digitale versie een link naar een relevante webpagina voorziet en verwijst naar een geogebra-applet.

Woord van dank Dit boek werd geschreven naar aanleiding van een gelijknamige werkwinkel die gegeven werd op de dag van de wiskunde in 2009 en 2010 aan de KULAK. Mijn dank gaat dan ook uit naar de toenmalige stuurgroep wiskunde Diocesane Pedagogische Begeleidingsdienst Bisdom Brugge, o.l.v. Geert Delaleeuw (voorzitter en vakbegeleider) en Luc Gheysens (vakbegeleider), van wie ik de kans kreeg om deze werkwinkel aan te bieden. De inleiding van dit boek werd gepubliceerd in Wiskunde & Onderwijs [4], een tijdschrift voor wiskunde en didactiek Ten slotte dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf, in het bijzonder mijn oud-leerlingen.

Brugge, oktober 2014

— KDN iii

INHOUDSOPGAVE

Voorwoord

iii

Inleiding

Werkbladen voor de leerlingen

1 Basisbegrippen in verband met functies

2 Homografische functies

3. Inverse functies, van exponentiÂ¨ ele functies naar logaritmische functies

4 Toepassingen op matrices

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden

6 Extremumproblemen

7 Telproblemen zonder herhaling

Ingevulde werkbladen

1 Basisbegrippen in verband met functies

2 Homografische functies

3. Inverse functies, van exponentiÂ¨ ele functies naar logaritmische functies

4 Toepassingen op matrices

5 Verloop van veeltermfuncties met afgeleiden

6 Extremumproblemen

7 Telproblemen zonder herhaling

Referentielijst

102

Bronnenlijst voor afbeeldingen

104

INLEIDING We bespreken twee hoofdredenen om - vanuit de functie als leerkracht - voldoende aandacht te besteden aan didactiek.

1. Aanreiken van wiskundige begrippen Leerlingen uit het middelbaar onderwijs krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren, zoals (we beperken ons even tot de derde graad): functie primitieve functie homografische functie

overgangsmatrix logaritme rijen

afgeleide algemene sinusfunctie complexe getallen

De inhoud van de leerstofonderdelen ligt in grote mate vast: enerzijds uit het leerplan, anderzijds uit de wiskunde zelf (wiskundige correctheid, conventies en folklore). Zo is bijvoorbeeld de definitie van een homografische functie een vast gegeven: ax + b waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc. cx + d Het voor de leerling vlot begrijpen van deze inhoud staat rechtstreeks in verband met de manier waarop die inhoud aangeboden wordt. Die manier waarop kent - in tegenstelling tot de inhoud van de leerstofonderdelen - een grote vrijheid. Want ook al bevat het leerplan pedagogisch-didactische wenken, de stap naar hoe je het effectief aanbrengt blijft reusachtig. Zo kan bijvoorbeeld het begrip homografische functie op verschillende manieren aangebracht worden: meteen door de definitie te geven, of aan de hand van een toepassing, of door te starten met enkele voorbeelden enzovoort. En dan sta je als lesgever voor de keuze. Welke manier kies je? Hierin ligt een grote uitdaging voor de leerkracht. f (x) =

De auteur is van mening dat het het keuzeproces gestuurd moet worden vanuit de - vaak persoonlijke - visie van de leerkracht op het benaderen van wiskundige concepten. Pas dan zal de leerkracht met overtuiging en enthousiasme lesgeven: namelijk precies wanneer zijn keuzes stroken met de visie die hij/zij heeft op het aanbrengen van wiskunde. Uiteraard dringen zich modeverschijnselen op. Enkele decennia geleden neigde men eerder naar de stijl 1 Bourbaki, denk maar aan de zogenaamde moderne wiskunde die de volgende opbouw kent (nog steeds de schrijfstijl van heel wat syllabi aan het hoger onderwijs): 1. definitie, 2. eigenschappen (met bewijs), 3. voorbeelden. Tegenwoordig pleit men meer voor een aanpak in het genre van: 1. voorbeelden, 2. definitie, 3. eigenschappen (met of zonder bewijs). De jongste trend is om de voorbeelden uit de startfase ook aan te wenden om de definitie te verklaren en om eigenschappen te introduceren. We kunnen dan eerder spreken van een fase op verkenning of op ontdekking waar je leerlingen in een actieve modus plaatst: zelfstandig (maar begeleid) ontdekken waarom nieuwe begrippen zich opdringen en wat hun eigenschappen zijn. Bovendien: wat leerlingen zelf verkend/ontdekt hebben, begrijpen ze beter en onthouden ze dus langer. Denk bijvoorbeeld aan de formules voor verwante hoeken, zoals sin(π − α). Een leerling die 1 Nicolas Bourbaki [11] verwijst naar een groep van (voornamelijk) Franse wiskundigen uit de 20ste eeuw die een reeks wiskundige boeken schreven met bedoeling een volledige behandeling te geven van de moderne wiskunde. De nadruk lag op strengheid en volledigheid. Bourbaki introduceerde het symbool ∅ voor de lege verzameling, ⇒ voor de implicatie, N, Z, Q, R, C voor de gangbare getallenverzamelingen, CA voor het complement van een verzameling A alsook de termen injectief, surjectief en bijectief.

deze formules uit het hoofd leert, kan snel door de mand vallen: wat met sin(α − π)? Maar een leerling die de formule sin(π − α) zelf gevonden heeft (gestuurd, door af te lezen op de goniometrische cirkel) zal zijn slaagkans verhogen. Deze visie heeft ook een historisch draagvlak. Hoe kwamen wiskundigen aan hun begrippen, zoals inverse functie of afgeleide? Hoe vond men destijds eigenschappen als de rekenregels van logaritmen? Omdat die regels zich eigenlijk op een natuurlijke wijze opdringen. Dat laatste illustreren we met het aanbrengen van rationale machten. 1

Voorbeeld 1. Wat is 2 3 ? √ 1 Elke leerkracht wiskunde weet dat 2 3 = 3 2. Maar hoe krijg je dat aan de leerlingen uitgelegd? Door hen te tonen dat het zich opdringt. 1

Op ontdekking Wat is 2 3 ? Wat dit ook is, we willen wel dat de gekende regenregels voor gehele machten nog steeds blijven gelden. 1 3 1 Zo wensen we dat 2 3 = 2 3 ·3 = 21 = 2. √ 1 Maar dan is 2 3 √ een oplossing van x3 = 2, die als oplossing 3 2 heeft. 1 3 Dus moet 2 3 = 2. Na ons pleidooi voor een zelfstandig (begeleid) ontdekken, keren we terug naar de vraag die een leerkracht zich erg vaak stelt of hoort te stellen: hoe leg ik het zo goed mogelijk uit? We zijn van mening dat die vraag kan beantwoord worden aan de hand van een gestuurd denkproces. De leerkracht kan zichzelf enkele didactische wenken eigen maken, door het bewust stellen van enkele meer specifieke vragen, zoals bijvoorbeeld: Vraag 1. Welke oplossingsmethode lijkt het meest logisch voor de leerlingen? Vraag 2. Waarin ligt de oorsprong van die oplossingsmethode? Wat is de essentie? Vraag 3. Kunnen we die methode visueel ondersteunen? We geven toelichting door zo’n proces te bespreken bij de volgende basisvraag. Voorbeeld 2. Beschouw de functie f (x) = 3x − 2. Bereken f (2 − x). In de ogen van een leerkracht is het duidelijk dat de oplossing als volgt gevonden wordt (wat meteen de meest logische methode lijkt): f (2 − x) = 3(2 − x) − 2 = −3x + 4. Voor de meeste leerlingen is deze regel niet duidelijk. Hoe leg je het uit? Een mogelijke uitleg zou kunnen zijn: Uitleg 1. f (x) = 3x − 2. Vervang x door 2 − x. Dan is f (2 − x) = 3(2 − x) − 2 = −3x + 4. Toch hebben leerlingen bedenkingen bij deze uitleg: Hoe weet je dat x = 2 − x? Is x dan gelijk aan 1? Dat zijn terechte vragen. Een manier om hiermee om te gaan is: de vragen beantwoorden. Maar als die vraag elk jaar opnieuw komt, dan horen we te reflecteren over onze uitleg. Misschien kunnen we het beter op een andere manier uitleggen. Waarom werkt deze oplossingsmethode? Bovenstaande redenering vindt zijn oorsprong in het eenvoudige feit dat, in een functievoorschrift f (x), de variabele x een zogenaamde dummy variabele is. We mogen dus even goed de letter x vervangen door een andere letter t, zodat f (t) = 3t − 2. Laten we de variabele t nu ook afhangen van de variabele x via t = 2 − x, dan vinden we inderdaad f (2 − x) = 3(2 − x) − 2 = −3x + 4. Een tweede poging is dan ook: Uitleg 2. f (x) = 3x − 2. Dus f (t) = 3t − 2. Stel t = 2 − x. Dan is f (2 − x) = 3(2 − x) − 2 = −3x + 4.

Leerlingen die nu de vraag stellen waarom t = 2 − x kun je helpen met: omdat je graag f (2 − x) wil kennen en er staat f (t). Daarom stellen we t = 2 − x. Erg logisch dus. En dan denken we onze goede uitleg gevonden te hebben. Maar zijn we daar zo zeker van? Wiskundigen hebben niet de minste problemen met een uitdrukking zoals: omdat f (x) = 3x − 2, is f (t) = 3t − 2. Maar laten we niet vergeten: hoe meer letters er in een redenering opduiken, hoe sneller leerlingen het noorden kwijt zijn. We kunnen de oplossingsmethode nog verder terug brengen naar de essentie. We hebben een nieuwe letter t ingevoerd om precies de verwarring bij vervang x door 2 − x op te heffen. Maar moet dat wel een letter zijn? In principe kunnen we x vervangen door elk symbool dat - om de wiskundige juistheid te bewaren - een getal voorstelt. Bijvoorbeeld het symbool 2 . En uiteraard, f :R→R

is logisch equivalent met

x 7→ f (x) = 3x − 2

f :R→R

7→ f ( ) = 3 · − 2.

Bovendien zorgt het symbool voor visuele ondersteuning: Uitleg 3. f (x) = 3x − 2. Dus f ( ) = 3 · − 2. Dan is f ( 2 − x ) = 3 · 2 − x − 2 = −3x + 4. Het symbool kan ook aangewend worden om rekentechnische eigenschappen te onthouden. Ervaring leert dat de rechterkolom 3 beter wordt begrepen - en onthouden - dan de linkerkolom. En dat geldt niet alleen voor leerlingen met lettervrees. a

log (x1 · x2 ) =a log x1 +a log x2

n 0

((f (x)) ) = n(f (x))n−1 · f 0 (x) 0

kun je aanleren met

log ( · 4) =a log +a log 4

( n )0 = n n−1 · 0

( · 4)0 = 0 · 4 + · 40

(f · g) (x) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x)

2. Aanreiken van werkwijzen Een tweede reden om als leerkracht voldoende aandacht te besteden aan didactiek is het aanreiken van werkwijzen. Leerlingen worden geacht bepaalde (basis)werkwijzen meester te worden, waarmee zij wiskundige begrippen in een concrete situatie kunnen toepassen. Daar waar sterke leerlingen geen behoefte hebben aan een stappenplan, vallen minder sterke leerlingen uit de boot. Net zoals een minder begaafde kok behoefte heeft aan een welomlijnd recept, zo hebben ook minder sterke leerlingen nood aan een structureel recept om een type oefening aan te pakken. Als voorbeeld beschouwen we de werkwijze voor het bepalen van nulwaarden van een functie f . Vraag Recept

Bepaal de nulpunten van een functie f . Los op: f (x) = 0.

Als leerkracht ben je geneigd te denken dat leerlingen zo’n recept zelf wel weten te vinden. Maar ervaring leert toch anders. Zelfs voor sterke leerlingen (zoals zesde jaar ASO, 8 lestijden per week) blijkt het volgende erg waardevol: Vraag Recept

Bepaal de vergelijking van de raaklijn t in het punt P (a, ·) aan de grafiek van een functie f . De vergelijking van de raaklijn t wordt gegeven door: t : y − f (a) = f 0 (a)(x − a).

Bereken f 0 (x), daarna f 0 (a) en vul alles in. Mogen leerlingen hun receptenboek gebruiken tijdens toets of proefwerk? Daarin heb je als leerkracht - behoudens het leerplan - de keuze. Wil je keukenpieten die zonder boek koken maar eerder basisgerechten maken, of chefs met een kookboek in de hand waarvan je meer gewaagde gerechten verwacht?

Tot slot Over theater zegt men: of je publiek echt iets begrijpt van wat je vertelt, hangt af van hoe je het vertelt. Met onderwijs is het (bijna) net hetzelfde. Het idee van dit boek in een notendop! 2 Het 3 Het

symbool kun je uitspreken als doosje. Zodat je later bij 2 − x de 2 − x in het doosje legt. symbool 4 kun je uitspreken als dakje.

Deel A Werkbladen voor de leerlingen

ONDERWERP

1 BASISBEGRIPPEN IN VERBAND MET FUNCTIES

In het vijfde en het zesde jaar werken we heel vaak met functies. Het is dan ook erg belangrijk dat je weet wat een functie is. Dit deel is dan ook bedoeld om je voorkennis in verband met functies aan te wakkeren. 3 Voorbeeld 1. Met elk reëel getal x associëren we een ander reëel getal y via de regel y = 2x − 1. Dit is een voorbeeld van een functie f . Zo is bijvoorbeeld: als x = 1

dan is y = . . .

als x = 0

dan is y = . . .

als x = 5

dan is y = . . .

als x = . . .

dan is y = 0

vul aan

Hoe noemen we een x waarvoor y = 0? Een . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deze functie kunnen we zien als een systeem waarbij elke input x een output y heeft. Schematisch:

De waarde van y hangt telkens af van de waarde van x. Daarom schrijven we in plaats van y ook wel f (x). We kunnen deze functie f op drie manieren voorstellen: vul aan

. Functievoorschrift: f (x) = 2x − 1 . Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2

−1

...

. Grafiek:

...

teken

y 3 2 1

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 A-4

De drie stappen functievoorschrift, tabel en grafiek zien we ook op de grafische rekenmachine. Om de plot goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. controleer Y=

2ND

TABLE

WINDOW

GRAPH

vul aan

In TABLE merken we dat Y1 negatief of positief kan zijn. Hoe zien we dat op de grafiek van f ?

..............................................................................................................

Deze informatie wordt weergegeven in de zogenaamde tekentabel van f . Deze tabel lijkt erg op onze tabel van enkele functiewaarden hierboven, maar in de tweede rij plaatsen we nu tekens in plaats van getallen. We schrijven een minteken als f (x) < 0 en een plusteken als f (x) > 0. Bij welke x-waarde is f (x) = 0? vul aan x

f (x)

...

â&#x2C6;&#x2019;

Algemeen. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is van de gedaante f (x) = ax + b

met a, b â&#x2C6;&#x2C6; R en a 6= 0

Voor de grafiek van een eerstegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: eerste vorm +1

tweede vorm. y

+a b

a<0

a>0

lineaire afname

lineaire groei

A-5

3 Voorbeeld 2. Met elk reëel getal x associëren we een reëel getal y via de regel y = x2 − 2x − 3. Dit is een ander voorbeeld van een functie f . Deze keer is dus f (x) = y = x2 − 2x − 3. Zo is bijvoorbeeld: als x = 0

dan is

f (0) = . . .

als x = 1

dan is

f (1) = . . .

als x = −2

dan is

f (−2) = . . .

als x = ?

dan is

f (x) = 0

Hoe noemen we een x waarvoor f (x) = 0? Een . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Om de nulwaarde(n) te bepalen gaan we als volgt te werk. Los op:

vul aan

f (x) = 0

vul aan

⇔ x2 − 2x − 3 = 0 D = b2 − 4ac = . . . ⇔

√ −b ± D = ... 2a

We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. . Functievoorschrift: f (x) = x2 − 2x − 3

vul aan

. Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2 ...

−1 ...

. Grafiek:

...

teken

y 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 −4

A-6

controleer en teken de plot in het venster

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

Op de vorige pagina vonden we dat de nulwaarden van f gelijk zijn aan x = −1 en x = 3. Hoe kunnen we de nulwaarden van f aflezen op de grafiek van f ? vul aan ..............................................................................................................

vul aan

Ook nu vertelt de tekentabel ons waar de grafiek van f boven of onder de x-as ligt. ...

x f (x)

···

... ···

···

Algemeen. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is van de gedaante f (x) = ax2 + bx + c

met a, b, c ∈ R en a 6= 0 .

Voor de grafiek van een tweedegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: eerste vorm

tweede vorm.

a<0

a>0

bergparabool

dalparabool

A-7

3 Voorbeeld 3. Met elk reëel getal x associëren we hoogstens ´ e´ en reëel getal y via de regel √ y = x. Dit is een ander voorbeeld van een functie f . Zo is bijvoorbeeld: als x = 1

dan is

y = ...

als x = 2

dan is

y = ...

als x = 4

dan is

y = ...

als x = 0

dan is

y = ...

als x = −1

dan is

y = ...

vul aan

Deze functie kunnen we zien als een systeem waarbij elke input x hoogstens ´ e´ en output y heeft. Schematisch:

of x

We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. . Functievoorschrift: f (x) =

√

. Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2

−1

...

. Grafiek:

...

vul aan schets

2 1

−1

Ook nu bepalen we de tekentabel van f : x

...

f (x)

A-8

vul aan

Voor dit voorbeeld bespreken we nog een belangrijk begrip: Het domein van f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) bestaat.

vul aan

In dit geval is dom f = . . .

Hoe kunnen we het domein aflezen op de grafiek van f ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Algemeen. . Een (reële) functie f is een verband dat aan elk reëel getal x hoogstens één reëel getal y associeert. . De drie voorstellingswijzen van een functie f en hun interactie kan als volgt worden voorgesteld:

functievoorschrift f (x)

invullen >

tabel van enkele functiewaarden x

< “raden”

f (x)

. . . −1 0 1 ·

tekenen >

grafiek y

...

y = f (x) 1

< aflezen

. Het domein van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) bestaat. Meetkundige betekenis. Het domein van f is de (loodrechte) projectie van de grafiek van f op de x-as.

y y = f (x)

dom f

. De nulwaarden (of nulpunten) van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) = 0. Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn (de x-waarden van) de snijpunten van de grafiek van f met de x-as. y

y = f (x)

O nulwaarden van f Hoe zoeken we alle nulwaarden van f ? Los op: f (x) = 0.

A-9

Oefeningen Oefening 1. Welke grafieken stellen de grafiek van een functie voor? Verklaar telkens je antwoord. (a)

(b)

−2

−1

(c)

−2

−1 −2

−1

−2

−1

−2

−1 −2

Oefening 2. Geef bij elke functie een tabel van enkele functiewaarden. Schets daarna de grafiek van de functie en lees hieruit het domein, de nulwaarden en de tekentabel af. Kun je het domein en de nulwaarden ook algebra¨ısch bepalen? (d) f (x) = −x2 + x + 6

(a) f (x) = −2x + 1 (b) f (x) =

1 x−2 2

(e) f (x) = 2x2 − 5x + 4

(f) f (x) = 3(x − 2)2

Oefening 3. Bepaal voor elke functie grafisch het domein, de nulwaarden en de tekentabel. (a)

(b)

y y = f (x)

−2

−1

y = f (x)

−1

−3

−2

−1

−2

−1 −2

(d)

(c)

y = g(x)

−2

−1

1 −1 −2

−3

−2

−1

1 −1 −2

y = g(x)

A-10

Oefening 4. [6, p.9] Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerde computers) per uur wordt gegeven door 1 W (x) = − x3 + 8x2 − 24x 2 Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. (a) Bepaal het theoretisch domein van de functie W (x). (b) Bepaal het praktisch domein van de functie W (x). (c) Hoeveel eenheden per uur moet het bedrijf produceren om een maximale winst te maken? Hoevel bedraagt die maximale winst? (d) Bij welke productie is de winst groter dan 36 euro per uur? Oefening 5. [2, p.22] De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functievoorschrift d(x) =

x4 − 10x3 − 400x2 + 1600x − 48000 12000

met d de diepte (in meter) en de x-as de huidige waterspiegel. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine (lengtes afronden op 1cm nauwkeurig). Maak gebruik van het commando’s in 2ND CALC. (a) Plot de grafiek met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt. (b) Hoe breed is de rivier nu? (c) In het droge seizoen daalt de rivier met 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Er vormt zich een eilandje in het midden van de rivier. Hoe hoog steekt het eilandje dan boven het waterpeil uit? (d) In het regenseizoen stijgt de rivier met 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Hoeveel breder is de rivier dan ten opzichte van de huidige breedte? Oefening 6. Gegeven zijn de functies f (x) = 8x2 − 9 en g(x) = −2x3 − 3x. (a) Plot met je grafische rekenmachine de grafieken van beide functies in ´e´en assenstelsel. (b) Deze twee grafieken snijden elkaar in drie punten. Bepaal deze punten met je grafische rekenmachine. Maak gebruik van het commando 2ND CALC 5:intersect. (c) Voor welke x-waarden ligt de grafiek van f onder de grafiek van g? ? (d) Schets beide grafieken op je blad. Hou daarbij rekening met je antwoord op vraag (d). ?

Oefening 7. [8, p.35] Gegeven is de functie f (x) = 0, 01 x5 + 100x4 − x3 . (a) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine en schets de grafiek op je blad. (b) Vul aan: als x evolueert naar −∞ dan evolueert f (x) naar . . . . (c) Geef f (−1000), f (−10 000) en f (−100 000). Heb je de vragen (a) en (b) correct beantwoord?

Oefening 8. Gegeven is de veeltermfunctie

y = f (x)

1 4 1 3 13 2 1 f (x) = x + x − x − x 14 14 14 14 waarvan de grafiek hiernaast is afgebeeld. (a) Hoeveel verschillende snijpunten heeft deze grafiek met de x-as? ? (b) Kun je dit aantonen zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine?

A-11

1 1

ONDERWERP

2 HOMOGRAFISCHE FUNCTIES

In dit deel bespreken we een bijzondere soort functies: degene waarvan de grafiek een zogenaamde hyperbool is: eerste vorm

tweede vorm.

Deze functies hebben alle een gelijke (Grieks: homo) grafiek. Daarom noemen we die functies homografisch. De hoofdvraag is nu: Wat is het functievoorschrift f (x) van een homografische functie? Om het antwoord op deze vraag te ontdekken, starten we met het meest eenvoudige voorbeeld: 3 Op ontdekking 1 (elementaire functie). 1 . x . Tabel van enkele functiewaarden: . Functievoorschrift: f (x) =

x f (x)

−4 ...

−2 ...

−1 ...

−0, 5

−0, 25

...

. Grafiek:

0, 25

...

0, 5

...

vul aan schets

3 2 1

−3

−2

−1

−1 −2 −3

De grafiek is duidelijk van de (eerste) vorm hierboven. Het is het meest eenvoudige voorbeeld van een homografische functie. Daarom noemen we f (x) = 1/x een elementaire functie. A-12

. We kunnen deze grafiek ook plotten met behulp van de grafische rekenmachine. Om goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. controleer en teken de plot in het venster Y= WINDOW GRAPH

. Uit de grafiek van f (x) = 1. Domein.

vul aan

1 lezen we meteen de volgende eigenschappen af. x

Hoe bepalen we grafisch het domein van een functie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In dit geval lezen we af: dom f = . . . 2. Nulwaarden. Hoe bepalen we grafisch de nulwaarden van een functie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In dit geval lezen we af: nulwaarden van f zijn . . . x

3. Tekentabel.

f (x) 4. Als x = 10 dan is f (x) = . . . Als x = 1000 dan is f (x) = . . . Als x → +∞ dan f (x) → . . .

Daarom zeggen we dat de rechte y = 0 een horizontale asymptoot is aan de grafiek van f . We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven

De grafiek nadert de rechte y = 0, maar hoe groot we onze x-waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! Overtuig jezelf met de grafische rekenmachine en TRACE. WINDOW

GRAPH

TRACE

5. Als x = 0, 1 dan is f (x) = . . . Als x = 0, 005 dan is f (x) = . . . Als x −>→ 0 dan f (x) → . . .

Daarom zeggen we dat de rechte x = 0 een verticale asymptoot is aan de grafiek van f . We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven De grafiek nadert de rechte x = 0, maar hoe klein we onze x-waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! A-13

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie

2x − 1 . x

We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. voer uit en teken de plot in het venster f (x) =

1 De grafiek van f heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie y = . Daarom noemen we f een x homografische functie. vul aan teken deze rechte bij de plot Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot aan de grafiek van f . van de grafiek van f hierboven

Deze uitkomst kunnen we ook achterhalen door f (x) te berekenen voor grote x-waarden:

Uit de grafiek van f lezen we af:

. Als x → +∞ dan f (x) → . . .

Als x = 1000 dan f (x) = . . . Als x = 10000 dan f (x) = . . . Dat invullen kan handiger met behulp van Y1 . VARS

Y-VARS

FUNCTION

Bereken op die manier:

gebruik Y1

Als x = 1.000.000 dan f (x) = . . .

Kunnen we de horizontale asymptoot y = 2 ook meteen aflezen uit het functievoorschrift f (x) =

2x − 1 ? x

......................................................................................................... Weet je ook waarom?

hint: voor grote x-waarden, wat is het aandeel van −1 in de teller?

......................................................................................................... ......................................................................................................... . Als x −>→ 0 dan f (x) → . . . Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . A-14

teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven

3 Op ontdekking 3. Gegeven is de functie f (x) =

3x + 1 . 2x − 2

Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad.

plot en schets

1 Ook deze grafiek heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie y = . Dus ook nu noemen we f x een homografische functie. Uit het functievoorschift f (x) =

3x + 1 lezen we af: 2x − 2

. Als x → +∞ dan f (x) → . . .

vul aan

teken deze rechte bij de plot Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot aan de grafiek van f . van de grafiek van f hierboven

Uit de grafiek van f lezen we af: vul aan . Als x −>→ . . . dan f (x) → . . .

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Dit kunnen we ook achterhalen door f (x) te berekenen voor x-waarden die dicht bij 1 liggen: Als x = 1, 1 dan f (x) = . . . Als x = 1, 001 dan f (x) = . . .

gebruik Y1

3x + 1 ? 2x − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hint: gebruik TABLE

Kunnen we de verticale asymptoot x = 1 aflezen uit het functievoorschrift f (x) =

Weet je ook waarom?

3 Op ontdekking 4. Gegeven is de functie f (x) =

6x + 12 . 2x + 4

deze pagina vullen we klassikaal in

(a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. 1 en kunnen we f een homografische (b) Lijkt de grafiek van f op de grafiek van de elementaire functie y = x functie noemen? Verklaar waarom (niet). Oplossing.

(a)

(b)

3 Definitie. Een homografische functie is van de gedaante f (x) =

ax + b cx + d

waarbij a, b, c, d â&#x2C6;&#x2C6; R met c 6= 0 en ad 6= bc

Opmerking. In de bovenstaande definitie is . c 6= 0 want anders is f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En welke vorm heeft de grafiek van f dan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ad 6= bc want anders is de grafiek van f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Eigenschap. Zij f (x) =

ax + b een homografische functie. Dan zijn er voor de grafiek twee mogelijke vormen: cx + d

eerste vorm

y = f (x)

tweede vorm. y = f (x)

y = ... y = ...

x = ...

A-16

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) =

modelvoorbeelden en toepassing klassikaal maken

3x − 2 . 3x + 2

(a) Toon aan dat f een homografische functie is. (b) Bepaal zonder grafische rekenmachine de horizontale en de verticale asymptoot aan de grafiek van f . (c) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f . (d) Controleer je grafiek in (c) door de grafiek van f te plotten. 3 Modelvoorbeeld 2. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

y 4 3 2 1

−4

−3

−2

y = f (x)

−1

−1 −2 −3 −4

3 Toepassing [3, p.152]. Een bak is gevuld met water. In die bak bevindt zich een scheidingswand met aan beide kanten 1 liter water. Links van de scheidingswand wordt een hoeveelheid kleurstof opgelost. Vermits de scheidingswand deze stof doorlaat treedt er diffusie op. De hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak wordt gegeven door K(t) = 2, 5 +

5 gram

1 liter

5 t+2

met K de hoeveelheid kleurstof (in gram) en t de tijd (in minuten) na het toevoegen van de kleurstof. (a) Hoeveel kleurstof werd er toegevoegd? (b) Hoe lang is de hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak groter dan 3 gram? (c) Hoe groot wordt de hoeveelheid kleurstof in de linkse helft na verloop van heel veel tijd? (d) Hoe kun je het resultaat in (c) fysisch verklaren?

A-17

Oefeningen Oefening 1. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord. (a) f (x) =

4x − 4 x+1

(b) f (x) =

−3x + 11 5x

(d) f (x) =

Oefening 2. Gegeven is de functie f (x) =

−4x + 2 . 7x − 6

7 3(x − 2)

3x − 2 9 − 6x

(a) Toon aan dat f een homografische functie is. (b) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f . (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f . Oefening 3. Bepaal bij de volgende homografische functies de verticale en de horizontale asymptoot. (a) f (x) =

2x + 5 x+3

−7x 2x + 3

(b) f (x) =

3x − 7 x−3

(d) f (x) =

−5x + 2 3−x

Oefening 4. De volgende grafieken stellen de grafiek van een homografische functie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

(a)

(b)

−3

−2

−1

−3

−1

−2

−2 −3 ?

−1

1 −1 −2

y = f (x)

−3

Oefening 5. [14, p.33] Van de grafiek van de functie f (x) =

ax + 5 bx − 6

waarbij a, b ∈ R en b 6= 0

is de rechte x = −2 een verticale asymptoot en de rechte y = 4 een horizontale asymptoot. (a) Bepaal a en b. (b) Schets de grafiek van f .

A-18

y = f (x)

?Oefening 6. [6, p.58] In de leraarskamer staat een koffiezetapparaat. Voor dat apparaat moet de school 100 EUR huur betalen per maand. Per kop koffie bedragen de materiaalkosten 0, 20 EUR. (a) Schrijf de kosten K van een kop koffie in functie van het aantal maandelijks gedronken koppen koffie x. (b) Bepaal de gemiddelde kost per kop koffie. (c) Wat wordt de gemiddelde kost per kop koffie als het aantal maandelijks gedronken koppen koffie erg groot wordt? ?

Oefening 7. [2, p.38] Bepaal telkens een voorschrift van de homografische functie f die voldoet aan de gegeven voorwaarden. (a) De x-waarde â&#x2C6;&#x2019;4 is een nulwaarde van de noemer is x = 3 een nulwaarde van de functie f is en de rechte y = 2 is een asymptoot. (b) De x-waarde â&#x2C6;&#x2019;1 is een nulwaarde van de functie f , de rechte x = 5 is een asymptoot en het punt P (4, 10) behoort tot de grafiek van f .

A-19

A-20

−2

Grafiek:

f (x)

...

−1

−2 2

−2

−1

−2

Grafiek:

...

−1

...

... ...

...

−2

−1

...

−1 ...

...

Tabel van enkele functiewaarden:

Functievoorschrift: . . .

Functievoorschrift: f (x) = 2x + 1

...

−2

Grafiek:

...

−1

...

−2

−1

...

vul aan

...

vul aan

vul aan vul aan / klassikaal vul aan / klassikaal

Tabel van enkele functiewaarden:

Functievoorschrift: . . .

(c) Omdat we gewoon zijn om een functie in de letter x te zien, en niet in y, verwisselen we de letters x en y. Vul de rechterkolom aan.

De middelste kolom stelt een nieuwe functie g(y) = x voor, die we de inverse functie van f noemen.

. Vul het functievoorschrift van g aan. Hoe kun je overgaan van links naar midden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Schets nu de grafiek van g. Hoe kun je overgaan van links naar midden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Vul eerst de tabel van enkele functiewaarden in. Hoe ga je over van links naar midden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) De functie f is bijzonder in die zin dat er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort. Daarom noemen we f een inverteerbare functie. Op deze manier kunnen we een nieuwe functie g maken, namelijk het verband dat aan elke y-waarde die x-waarde associeert. Vul nu de middelste kolom aan:

(a) Vul de linkerkolom aan. Hoe kunnen we uit de grafiek van f afleiden dat f een functie is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2x + 1. Na de vragen (a), (b) en (c) is de bladzijde verdeeld in drie kolommen.

1. Inverse functies

¨ INVERSE FUNCTIES, VAN EXPONENTIELE NAAR LOGARITMISCHE FUNCTIES

ONDERWERP

3 Definitie. Een functie f noemt inverteerbaar als er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort. In dat geval is het verband dat met elke y-waarde die x-waarde associeert een nieuwe functie g:R→R

y 7→ x = g(y)

die we de inverse functie van f noemen. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt worden voorgesteld. grafiek

y = f (x)

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0 1

f (x) = y

f (x)

... ·

oplossen naar x

∨

∧

oplossen naar y

tabel omdraaien

∨

∧

spiegelen om y = x

tabel omdraaien

∨

∧

spiegelen om y = x

grafiek

x = g(y)

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0 1

x = g(y)

g(y)

... ·

< O

3 Op ontdekking (vervolg). We hernemen de functie f (x) = 2x + 1 en de inverse functie g(y) =

1 1 x− . 2 2

Eens we de tabel van f kenden, hoe hebben we de tabel van g gevonden? ............................................................................................................. Dat levert een belangrijk verband op tussen f (x) en g(y). Wat dat verband is ontdek je bij het oplossen van de volgende vragen. (a) Bereken f (2) en g(5). Wat merk je op? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Besluit: f (2) = . . .

g(5) = . . .

(b) Probeer iets analoog te bekomen met f (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Besluit: f (3) = . . .

g(. . .) = . . .

Besluit: als f (x) = . . .

g(.|. {z . . .}.) = . . . y

dan is

g(. . .) = . . .

Dat besluit blijkt ook in het algemeen waar te zijn. 3 Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt: f (x) = y

⇔

A-21

x = g(y)

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de grafiek van een functie f .

y = f (x)

(a) Waarom is deze functie inverteerbaar? (b) Teken de grafiek van de inverse van f . Oplossing.

los op / klassikaal

−2

−1

−1 −2

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Is de functie f inverteerbaar? Zo ja, bepaal dan het functievoorschrift van de inverse functie. Oplossing. los op / klassikaal y

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de functie f (x) = (x − 1)3 − 2. Is de functie f inverteerbaar? Zo ja, bepaal dan het functievoorschrift van de inverse functie. Oplossing.

los op / klassikaal

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

A-22

2. Van exponentiÂ¨ ele functies naar logaritmische functies 3 Op ontdekking 1 [6, p.141]. Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1dm2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2 ) op x weken na de ontdekking. We hebben . Functievoorschrift: f (x) = . . . Salvinia Molesta op de Finniss rivier, AustraliÂ¨e

. Tabel van enkele functiewaarden: â&#x2C6;&#x2019;2

x f (x)

â&#x2C6;&#x2019;1

...

vul tabel in ontdek patroon bepaal voorschrift teken grafiek

. Grafiek:

8 7 6 5 4 3 2 1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1

Los de volgende vragen op, indien mogelijk algebraÂ¨Äąsch. (a) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 8dm2 ? (b) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 128dm2 ? (c) Na hoeveel weken bedraagt de totale omvang van de waterplantjes 5dm2 ? Oplossing.

A-23

los op / klassikaal

Opmerking. Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebra¨ısch oplossen. Met behulp van de grafische rekenma x chine vinden we de oplossingen door het snijpunt van f (x) = 2 met y = 5 te zoeken. vul venster aan

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer . . . weken en . . . dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5dm2 . Besluit. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvolle vensterinstellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatieve manier om dit soort vragen op te lossen.

vul aan vul tabel in ontdek patroon teken grafiek . Functievoorschrift: g(y) = ?

De functie f (x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . . We zoeken de inverse functie van de functie f . . Functievoorschrift: f (x) = 2x . Tabel van enkele functiewaarden: x f (x) = y

−2

−1

0, 25

0, 5

. Tabel van enkele functiewaarden:

x = g(y)

. Grafiek:

x y = f (x)

7 ·2

−1 −1

. Wegens de eigenschap van inverse functies geldt (overgang van tabel f naar tabel g): f (x) = y

⇔

x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrijven 1 g(y) = 2 log y. Zo wordt bovenstaande formule 2x = y

⇔

In woorden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x = 2 log y

voor alle x ∈ R en y ∈ R+ 0. klassikaal

......................................................................................................... 1

Lees: ‘de 2-logaritme van y’. Soms noteert men naast 2 log y ook log2 y.

A-24

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule. (a)

(b)

(c)

(d)

log 8 = . . .

want 8 = 2...

log 32 = . . .

log 1024 = . . .

log 2 = . . .

(e)

(f)

(g)

(h)

log 1 = . . .

los op

log 0 = . . . 1 log = ... 4 log (−8) = . . .

3 Logaritme berekenen met behulp de grafische rekenmachine. Het getal 2 log 12 berekenen we met de grafische rekenmachine als volgt 2

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van je rekenmachine (a)

(b)

log 8 = . . . log 0, 000001 = . . .

(c)

(d)

log 4096 = . . .

los op

log (−3) = . . .

3 Op ontdekking 1 (vervolg). Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1dm2 van deze waterplantjes. (a) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 5dm2 bedraagt. (b) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 100 m2 bedraagt. Oplossing. los op / klassikaal

2 Deze

werkwijze steunt op een formule die later zal worden aangetoond (rekenregels voor logaritmen).

A-25

3 Op ontdekking 2. Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechts de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1km2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in km2 ) op x weken na de meting door het instituut. Ook nu heeft de grafiek van f een inverse.

vul tabellen in . Functievoorschrift: f (x) = . . . . Functievoorschrift: g(y) = ? teken grafieken . Tabel van enkele functiewaarden: . Tabel van enkele functiewaarden: â&#x2C6;&#x2019;3

x f (x) = y

...

â&#x2C6;&#x2019;2 ...

â&#x2C6;&#x2019;1 ...

...

x = g(y)

. Grafiek:

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;2

. Wegens de eigenschap van inverse functies geldt (overgang van tabel f naar tabel g): â&#x2021;&#x201D;

f (x) = y

x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 1/2 en we schrijven g(y) =

1 2

log y. Zo wordt bovenstaande formule x 1 =y 2

â&#x2021;&#x201D;

1 2

log y

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule. ... 1 1 1 1 1 (a) 2 log = . . . want = (c) 2 log (â&#x2C6;&#x2019;1) = . . . 16 16 2 (b)

1 2

log

1 64

= ...

(d)

1 2

voor alle x â&#x2C6;&#x2C6; R en y â&#x2C6;&#x2C6; R+ 0.

los op

log (16) = . . .

3 Op ontdekking 2 (vervolg). Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1km2 van deze plantjes. (a) Bepaal algebraÂ¨Äąsch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 0, 1km2 bedraagt. (b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebraÂ¨Äąsch hoeveel weken vÂ´oÂ´or de meting de omvang van de plantjes 5km2 was. Oplossing. los op / klassikaal

A-26

3. Definitie van een logaritmische functie 3 Definitie. Zij a ∈ R+ 0 \ {1}.

De logaritmische functie met 3 grondtal a is de inverse functie van de exponenti¨ele functie met grondtal a.

In symbolen: g:R→R

is de inverse functie van

x 7→ g(x) = log x

f :R→R

x 7→ f (x) = ax

3 Eigenschap. Zij g(x) = a log x een logaritmische functie. Dan zijn er voor de grafiek twee vormen mogelijk:

eerste vorm y

tweede vorm. y

y = a log x

y = a log x +1 ·a O

+1 ·a

0<a<1

a>1

logaritmische afname

logaritmische groei vul aan / klassikaal

Uit de grafiek van g lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom g = . . .

bld g = . . .

(b)

Nulwaarden: . . .

(c)

De rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d)

Voor 0 < a < 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

en voor a > 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

3 Eigenschap (grondformule van logaritmen). ax = y

⇔

x = a log y klassikaal

In de grondformule kunnen we y elimineren, dan krijgen we de formule . . .

klassikaal

In de grondformule kunnen we y elimineren, dan krijgen we de formule . . .

3 Voorbeelden. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de rekenmachine. (a)

3 Men

log 25 = . . .

(b) 3

log 1,7

= ...

(c)

log 1052 = . . .

los op

gebruikt ook de term ‘basis’ in plaats van ‘grondtal’. Soms noteert men naast a log y ook loga y. Lees: ‘de a-logaritme van y’.

A-27

3 Bijzondere logaritme. De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse 4 logaritme en noteren we korter door 10 log x = log x. Dit is de logaritme die rechtstreeks op je grafische rekenmachine staat.

Toepassing - Schrijven van grote machten in wetenschappelijke notatie Sommige getallen zijn zo groot of zo klein dat het onhandig wordt hen in decimale vorm te schrijven, bijvoorbeeld5 5 720 467 000 000 000 000 000 000

0, 000 000 0061.

Voor zo’n getallen hanteert men de wetenschappelijke notatie, waarbij getallen geschreven worden in de vorm a · 10b

met

a ∈ R en b ∈ Z.

Het getal a noemt men de mantisse (of significant) en b de exponent. Een genormaliseerde versie betekent dat a gelegen is tussen −10 en 10. Bovenstaande getallen in (genormaliseerde) wetenschappelijke notatie zijn 5, 720 467 · 1024

6, 1 · 10−9 .

De meeste rekenmachines en computerrekenpakketten geven zeer grote en kleine getallen weer met behulp van de wetenschappelijke notatie. Op het scherm kunnen exponenten in bovenschrift zoals 107 niet handig worden weergegeven. Daarom wordt een alternatieve manier gebruikt: de letter E, die gelezen wordt als: maal tien tot de macht . . . .

het getal van Avogadro in E-notatie

Voor het omzetten van een macht in wetenschappelijke notatie kunnen logaritmen gebruikt worden, waarbij we steunen a op een gevolg van de grondformule van logaritmen: y = a log y . Nemen we als grondtal a = 10, dan verkrijgen we (symbolisch): = 10log Deze methode werkt ook voor machten die buiten het bereik van de grafische rekenmachine liggen. 3 Modelvoorbeeld. Schrijf 5273 in wetenschappelijke notatie. Oplossing. Oplossing. Als we de grafische rekenmachine gebruiken dan verkrijgen we:

De term overflow wil zeggen dat het getal 5273 te groot is voor je grafische rekenmachine, die getallen tot 100 cijfers aankan. Dus 1099 lukt nog, maar 10100 lukt niet meer. Met behulp van logaritmen kunnen het getal 5273 toch in wetenschappelijke notatie schrijven. klassikaal

Zo weten we nu dat 5273 een getal is met

...

cijfers.

5 Het

vul aan

eerste getal spreek je uit als ‘vijf-quadriljoen zevenhonderdtwintig-triljard vierhonderdzevenenzestig-triljoen’. Het grootste getal dat ooit in een serieus wiskundig bewijs werd gebruikt, is het getal van Graham uit 1971 (opgenomen in het Guinness Book of Records). Het verscheen als bovengrens van de oplossing van een probleem uit Ramsey-theorie, een tak van de wiskunde.

A-28

Oefeningen op §2 en §3 Oefening 1. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen. Controleer je resultaat met je grafische rekenmachine. 2 9 5 3 log (1) log 125 (6) 4 √ (2) 4 log 64 (7) 3 log 3 (3)

(4)

100

(5)

log 8

log 10000 1 10 log 10

(8)

(9)

log 0 log 3

(10)

log (−4)

Oefening 2. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen. Controleer je resultaat met je grafische rekenmachine. (1)

(2)

100

(3) (4) (5)

log 1

log 10 1 4 log 2 √ 3 log 3 3 1 2

(6)

log 0, 01 1 9 log 3

(7)

1 5

(8)

log 533 √ 3 3 log 3 log 3

125

(9)

log 4

log 125

(10)

Oefening 3. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = 3x . (a) Hoe kun je 3 log 2 aflezen op de grafiek van f ? Duid aan!

(b) Bereken 3 log 2 met je grafische rekenmachine en ga na of de uitkomst overeenkomt met je schatting in (a). y y = 3x 8

7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 −1

−2 Oefening 4. [2, p.96] Een zeester groeit exponentieel. Bij een eerste meting (31 juli) heeft het een diameter van 2 cm. Vervolgens wordt het tot en met 70 dagen later (9 oktober) elke dag zo’n 1, 0226 keer groter. (a) Noem f (x) de diameter van de zeester op x dagen na 31 juli. Bepaal het functievoorschrift van f . (b) Op welke dag is de zeester 4cm groot? Los algebra¨ısch op (met logaritmen). Oefening 5. Bepaal telkens de y-waarde. Controleer met je grafische rekenmachine. (a)

log y = 4

(b)

1 16 log y = 2

log y = 5

1 3

log y = −1

Oefening 6. De volgende grafieken stellen telkens de grafiek van een logaritmische functie f (x) = x log voor. Bepaal Grafiek 1 functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Grafiek 2 telkens een mogelijk y y

3 y = f (x)

−1

−1 −2

−1 −2 y = f (x)

Oefening 7. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen. Controleer je resultaat met je grafische rekenmachine. (1)

log 5

(6)

(7)

10log 1

(3)

log 1000 1 log 10 √ log 10

(8)

log 1005

(4)

ln e3

(9)

(5)

log 1

(10)

(2)

log 38 √ ln 7 e

Oefening 8. Schrijf telkens in wetenschappelijke notatie. Schrijf je werkwijze duidelijk op. (a)

2014

2015

123456

(b)

?Oefening 9. Bepaal telkens het grondtal a.

(a)

(b)

log 9 = 2

(c)

log 125 = 5

(d)

1 2 a log 7 = −1

log 4 =

Oefening 10. Voor n ∈ N0 houdt log n verband met het aantal cijfers in de decimale voorstelling van n, zo blijkt uit de onderstaande tabel (vul aan). n log n aantal cijfers van n 1

...

100

...

999

...

1000

...

(a) Geef het verband tussen log n en het aantal cijfers van n ∈ N0 . (b) Bepaal het aantal cijfers van het getal 1324 en 5273 . (c) Het grootste priemgetal tot op heden6 bekend werd ontdekt op 23 augustus 2008 en is gelijk aan 243 112 609 − 1 Bepaal het aantal cijfers van dit getal. 6 De

Electronic Frontier Foundation

looft 150.000 dollar uit voor de vinder van een priemgetal met tenminste 100 miljoen cijfers.

A-30

ONDERWERP

4 TOEPASSINGEN OP MATRICES

1. Matrices en aantal verbindingen in grafen 3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilië en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b3 in Brazilië zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c2 in Canada. Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilië (voor elke i en j).

Algerije

Brazili¨e

b1 2 a1

Canada

3 2

b2 3 a2

1 b3

c3 b4

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo’n soort problemen wat effici¨enter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap 1. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

2 · 3 + |{z} 1 · 2 + |{z} 0 · 1 + |{z} 1·0 =8 |{z}

via b1

Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

...

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

...

A-32

via b2

via b3

via b4

(∗)

vul aan

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

  3 2  1 · 1 = 8 0

Analoog herken je:

...

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

...

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

...

  ... . . .  ... ·   = ... . . . ...

...

  ... . . .  ... ·   = ... . . . ...

vul aan

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q.

Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: bereken   3 0 2 2 0 0 2 1 0 1   = ... · 3 0 2 1 1 0 4 {z } 0 1 0 | P | {z } Q

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazili¨e gelijk aan het (. . . , . . .)-de

vul aan

element van de matrix P · Q en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd.

a1 a2

2 1

1 0

0 2

1 1

matrix P =

2 1

1 0

0 2

1 1

Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 % b1 ’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1 , namelijk a1 % b1 = 2. Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazili¨e naar Canada voor.

% b1 b2 b3 b4

3 2 1 0

0 0 0 1

2 0 4 0

 3 2 matrix Q =  1 0

0 0 0 1

 2 0  4 0

A-33

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

3 Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s1 , s2 , s3 en s4 . (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sj met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). metro van Londen (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap 1. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s1 naar s4 via ´e´en tussenstop is

· . .}. + .|. .{z · . .}. + .|. .{z · . .}. = . . . .|. .{z · . .}. + .|. .{z via s1

via s2

via s3

via s4

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗∗) herkennen we:   ... . . . aantal verbindingen van s1 naar s4  ... ... ... ... ·  . . . = . . . via ´e´en tussenstop is ...

vul aan (∗∗)

vul aan

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: vul aan en bereken     ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ·  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . ... ... ... ... ... ... ... ... | {z } | {z } P

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met één tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix

vul aan

P 2 en dat is gelijk aan . . . A-34

(c) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstops berekenen? klassikaal

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. 2ND

MATRIX

EDIT

2ND

MATRIX

ENTER

1:[A]

ENTER etc.

∧ . . . ENTER

voer uit en vul de vensters aan

2ND

QUIT

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

vul aan Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. vul aan (d) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstops berekenen? werk uit matrix . . .

en dus gelijk aan . . .

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix . . .

en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . .

noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf. A-35

vul aan vul aan

2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen 3 Op ontdekking [12, p.110]. We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad ten opzichte van het platteland. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in 2014 wonen er 60 000 mensen in de stad en 40 000 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Jan Van Eyckplein,Brugge

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05

0, 97

0, 95

platteland

stad

0, 03 Ook hier kunnen we het probleem wat efficiënter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap 1. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na één jaar:

0, 95 · 60 000 | {z }

0, 03 · 40 000 {z } |

aandeel van stad

Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

= 58 200

aandeel van platteland

...

(∗) vul aan

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗) herkennen we: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na één jaar:

0, 95

60 000 0, 03 · = 58 200 40 000

...

... ·

... ...

= ...

vul aan

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q.

Om met één bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: bereken 0, 95 0, 03 60 000 · = ... 0, 05 0, 97 40 000 | {z } | {z } P

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd. .

stad platteland

stad

platteland

0, 95 0, 05

0, 03 0, 97

0, 95 matrix P = 0, 05

0, 03 0, 97

Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad . platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad . platteland = 0, 05.

1 Een

overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-36

(a) Hoe kunnen we met Â´eÂ´en bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? klassikaal

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

A-37

werk uit

3 Modelvoorbeeld. De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt één maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na één maand is de situatie als volgt: . Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. . Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. . Van de oorspronkelijke insecten is er niet één meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na één maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis)

Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

100

eitje

larve

0, 05

insect

0, 2

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap 1. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na ´e´en maand:

.|. .{z · . .}.

aandeel van eitjes

.|. .{z · . .}.

aandeel van larven

In de bewerking (∗∗) herkennen we: aantal eitjes na ´e´en maand:

...

  ... ... ·  ...  = ...

...

= ...

(∗∗)

aandeel van insecten

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

...

.|. .{z · . .}.

vul aan

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging: vul aan en bereken     ... ... ... ... . . . . . . . . . ·  . . .  = . . . ... ... ... ... | {z } | {z } P

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2 Een

Lesie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal 0. Het model van Leslie (beschreven door P.H. Leslie 1945) vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts ´ e´ en sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-38

(b) Hoe kunnen we met Â´eÂ´en bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? werk uit

A-39

werk uit

Oefeningen

Oefening 1. [1, p.49] Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met ´e´en tussenstop op een willekeurig eiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland. ?

(d) Is het mogelijk om via ten hoogste ´e´en tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op met behulp van matrices.

Oefening 2. [12] Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde. Na één jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van het jaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren het jaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jonge dieren zijn en 30 volwassen dieren. (a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf. (b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren? Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 3 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van de markt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgende wijzigingen voor: 3 Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest. 3 Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest. 3 Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest. We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet. (a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf. (b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices. Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door een lage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Lesie-model, de volgende gegevens zijn bekend: 3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar, 3 éénjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven, 3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar, 3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen heben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes. (a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf. (b) Stel de Lesie-matrix op. (c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 éénjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijn vangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

3 Enige

gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

A-40

?Oefening 5. [12] We bekijken erfelijke eigenschappen die gecontroleerd worden door twee genen, genoteerd A en a. De mogelijke combinaties zijn AA, Aa en aa. Zo’n paren noemt men genotypes. Bij leeuwebekken wordt de kleur van de bloem bepaald door twee genen: AA geeft rode bloemen, Aa roze bloemen en aa witte bloemen. genotype ouders genotype nakomeling AA Aa aa

AA − AA

AA − Aa

AA − aa

Aa − Aa

Aa − aa

aa − aa

1 0 0

0,5 0,5 0

0 1 0

0,25 0,5 0,25

0 0,5 0,5

0 0 1

De tabel wordt als volgt gelezen: als bijvoorbeeld beide ouders genotye Aa heben, dan is de kans dat de nakomeling genotype aa heeft gelijk aan 0, 25. Een kweker heeft leewebekken van ieder genotype: noem x0 het percentage planten van genotype AA, y0 het percentage planten van genotype Aa en z0 het percentage planten van genotype aa. Iedere plant wordt bevrucht met hetzelfde genotype.

leeuwenbekken (Antirrhinum)

(a) Stel de evolutie van de planten voor met een graaf. (b) Naar welke waarde evolueren de percentages rode, roze en witte bloemen? ?

Oefening 6. Voor een aantal steden (noem dit aantal n) wil men een vluchtschema voor vliegtuigen ontwerpen waarbij volgende voorwaarden voldaan moeten zijn: voor elke stad is er een directe vlucht van en naar hetzelfde aantal steden en tussen elke twee steden is er juist één vlucht met hoogstens één tussenstop. Grafen die aan deze eigenschap voldoen, noemt men sterk regulier4 . Ga na dat voor 2 ≤ n ≤ 5 enkel n = 2 en n = 5 een oplossing kent.

Petersen-graaf

4 Men

kan aantonen dat er voor n ∈ {6, 7, 8, 9} geen sterk reguliere graaf is, maar voor n = 10 wel: de zogenaamde Petersen-graaf (genoemd naar Julius Petersen 1898 maar eerder ontdekt door Sir Alfred Bray Kempe 1886).

A-41

ONDERWERP

5 VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES MET AFGELEIDEN

In dit deel onderzoeken we een belangrijk verband tussen een functie f en haar afgeleide f 0 . De afgeleide f 0 van een functie blijkt bepaalde informatie te geven over de functie f zelf. Welke informatie dat is merk je in de volgende 3 Op ontdekking 1. Na de vragen (a), (b) en (c) is de bladzijde verdeeld in twee kolommen. De linkerhelft gaat over de veeltermfunctie f (x) = x2 . De rechterhelft gaat over de afgeleide f 0 . (a) Linkerhelft. Lees uit de grafiek van f het verloop (tabel stijgen/dalen) van f af. (b) Rechterhelft. Bereken de afgeleide functie f 0 (x), teken de grafiek van f 0 en lees de tekentabel van f 0 af. (c) Linkerhelft en rechterhelft. Welk verband is er tussen de tabel stijgen/dalen van f en de tekentabel van f 0 ? Oplossing. . Functie: f (x) = x2

. Afgeleide functie: f 0 (x) = . . .

. Grafiek:

vul aan

y 2

f (x) = x

−2

−1

−2

−1

. Tabel stijgen/dalen van f (x) x

vul aan

−1

x f 0 (x)

We merken het volgend verband op tussen deze tabellen. f′ . . . . . . . . .

f stijgend

f ′ negatief

f ......... Weet je ook waarom? Neem bijvoorbeeld x = 1 f is . . . . . . . . . in x = 1

f ′ (1) | {z }

rico raaklijn

raaklijn in x = 1 is . . . . . . . . . A-42

−1

. Tekentabel van f 0 (x)

f (x)

= ...

vul aan

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x3 + x2 − 8x + 6.

teken de plot in het venster (b) Bepaal grafisch de tabel stijgen/dalen van f . vul aan 0 (c) Bepaal algebra¨ısch de tekentabel van de afgeleide f en leid daaruit de tabel stijgen/dalen van f af. (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing. (a) Y=

WINDOW

GRAPH

(b) Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, hebben we het minimum en het maximum van de functie nodig. Die bepalen we met behulp van de commando’s 2ND CALC 3:minimum en 2ND CALC 4:maximum Maximum: x = . . . Minimum: x = . . . x

Tabel stijgen/dalen van f :

f (x)

(c) Om de tekentabel van f 0 te maken, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. f 0 (x) = . . . Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0 ⇔ ...

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

x f 0 (x) f (x) A-43

vul aan

3 Besluit.

1. Vraag: Bepaal algebra¨ısch de tabel stijgen/dalen van f . 2. Recept: Maak de tekentabel van f 0 Stap 1. f 0 (x) = . . . Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0 ⇔ ...

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

...

f 0 (x)

f (x)

% max

... −

−

min %

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = −x3 + 3x2 − 2 vul aan

Bepaal algebra¨ısch de tabel stijgen/dalen van f . Oplossing. Recept: Maak de tekentabel van f 0 Stap 1. f 0 (x) = . . .

Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0 ⇔ ...

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

x f 0 (x) f (x)

Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

A-44

Oefeningen Oefening 1. Bepaal algebra¨ısch de tabel stijgen/dalen van de volgende veeltermfuncties. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. (a) f (x) = −2x3 + 9x2 − 24x − 6

(g) f (x) = −x4 + 8x3 − 18x2

(b) f (x) = x3 + 3x2 + 3x − 7

(h) f (x) = −x4 + 4x3 − 5

3 1 (i) f (x) = − x4 + x2 − 2x 4 2

(d) f (x) =

1 4 x − 2x2 + 2 4

(j) f (x) = −x3 + 12x

(e) f (x) = 2x3 + 6x2

(k) f (x) = x4 − 26x2 − 48x + 12

(f) f (x) = x5 − 8x3

(l) f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 4

Oefening 2. [7, p.163] Een wandelaar maakt een tocht in een licht heuvelachtig gebied. De hoogte h van de wandelaar in functie van de tijd t is te beschrijven met de functie met als voorschrift h(t) = −21t3 + 65t2 + 100

waarbij 0 ≤ t ≤ 3.

Hierbij is h uitgedrukt in meter en t in uren. Op welke tijdstippen t moet de wandelaar stijgen? Los algebra¨ısch op. Oefening 3. [13] Het pijnstillend effect van een medicament kunnen we beschrijven met de formule w(t) = −

100 2 200 t + t. 9 3

Hierbij stelt w(t) de tijdelijke werking van de tablet voor (uitgerukt in procent) op tijdstip t (in uren). (a) Wat is de snelheid van de tijdelijk werking na 1 uur? (b) Wanneer is de werking maximaal? Los algebra¨ısch op. Oefening 4. [13] Vanaf een klip schiet Paul een kei weg met zijn katapult. De hoogte van de kei boven het zeeniveau kunnen we berekenen met volgende formule waarin h de hoogte in meter voorstel en t de tijd in seconden: h(t) = −5t2 + 15t + 30. Los de volgende vragen algebra¨ısch op. Controleer nadien je antwoord met de grafische rekenmachine. (a) Van welke hoogte schiet Paul de kei weg? (b) Met welke snelheid stijgt/daalt de kei na 1 s en na 3 text? (c) Op welk tijdstip bevindt de kei zich het hoogst? ?Oefening 5. Voor een functie f wordt de grafiek van de afgeleide functie f 0 gegeven (links). Schets een mogelijke grafiek van f (rechts). y y

y = f 0 (x)

−2

−1

y = f (x)

−2

A-45

−1

Oefening 6. [7, p.131] Gegeven zijn de grafieken van enkele functies (a) tot en met (e) en de grafieken van de bijhorende afgeleide functies (1) tot en met (5). Welke functie hoort bij welke afgeleide? (Vul de tabel aan.) (a)

(b)

−2

−1

−2

−1

functie

afgeleide functie

(a)

...

(b)

...

(c)

...

(d)

...

(e)

...

−1

−2

−1

−1 −2

(2)

(3)

−1

−2

−1

−1 −2

(4)

−2

−1

−2

−1

1 −1 −2

(5)

−2

−1

(e)

(1)

−2

−1

−2

(d)

−2

−1

−2

(c)

1 −1 −2

A-46

ONDERWERP

6 EXTREMUMPROBLEMEN

3 Modelvoorbeeld 1 [9, p.126]. Van een rechthoekig stuk karton met afmetingen 20 cm op 10 cm snijden we in elke hoek een vierkant met zijde x weg en plooien we het karton langs de stippellijnen, om zo de doos zonder deksel rechts te bekomen. Voor welke x is de inhoud van de doos maximaal? Los algebra¨ısch op. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing. Met een GeoGebra-applet applet zoals hierboven 1 komen we er snel achter dat de inhoud van de doos afhankelijk is van de waarde van x. (Dit kun je ook zelf beredeneren: wat is de inhoud van de doos als x bijna 0 cm is?) We lossen het vraagstuk oplossen aan de hand van een stappenplan. Stap 1. Stel de goede vraag en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke . . . is .|. . . . . . . {z . . . . . . . . .}. maximaal/minimaal (schrappen wat niet past)? functie

Stap 2. Zoek het functievoorschrift. Dus functie van | {z } = inhoud | {z de doos} f (x)

1 Deze

oppervlakte grondvlak × hoogte

lengte grondvlak × breedte grondvlak × hoogte

(. . . . . . . . . . . . . . .) · (. . . . . . . . . . . . . . .) · . . .

..........................................

4x3 − 60x2 + 200x

dynamische applet vind je terug op de website http://www.geogebratube.org/student/m165830

A-48

vul aan vul aan

Stap 3. Stel de nieuwe vraag. 3

Voor welke x is f (x) = 4x â&#x2C6;&#x2019; 60x + 200x maximaal? Recept: Maak een tekentabel van f 0 .

volg het recept voor de tabel stijgen/dalen van f

Stap 3.1 f 0 (x) = . . . Stap 3.2 Nulwaarden van f 0 : Los op â&#x2021;&#x201D;

f 0 (x) = 0 ...

Stap 3.3 Tekentabel van f 0 : aandacht voor het praktisch domein! x f 0 (x) f (x) Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. voer uit, vul window aan en teken de plot in het venster Y= WINDOW GRAPH

Antwoord. De inhoud van de doos is maximaal voor x =. . . .

A-49

3 Modelvoorbeeld 2 [15, p.VII.26]. Een kampeerder heeft de toelating gekregen om langs de oever van een rivier een rechthoekig terrein af te spannen (op die plaats vertoont de rivier geen bochten). Hij heeft een koord van 40 m. Bereken algebra¨ısch de lengte l en de breedte b opdat de oppervlakte zo groot mogelijk zou zijn. Aan de oever van de rivier hoeft geen draad gespannen te worden.

Oplossing. Met een GeoGebra-applet zoals hierboven 2 (gemaakt met GeoGebra) zien we in dat de oppervlakte van het terrein afhangt de waarde van l en de waarde van b. (Dit kun je ook zelf beredeneren: als de breedte b bijna 20 m is, wat is de lengte l dan en wat is de oppervlakte dan?) We gebruiken opnieuw ons stappenplan om ons vraagstuk op te lossen. Stap 1. Stel de goeie vraag en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke . . . . . . is .|. . . . . . . {z . . . . . . . . .}. maximaal/minimaal (schrappen wat niet past)? functie

Stap 2. Zoek het functievoorschrift.

Dus functie van het terrein | {z } = oppervlakte {z } |

vul aan vul aan

f (x)

oppervlakte rechthoek

lengte × breedte

... · ... Probleem: twee letters l en b Oplossing: Zoek een verband tussen l en b ........

welk gegeven nog niet gebruikt?

.................................................. ⇒ l = ............................................ =

(. . . . . . . . . . . .) · . . .

40b − 2b2

Dus f (x) = 40x − 2x2

2 Deze

dynamische applet vind je terug op de website http://www.geogebratube.org/student/m165843

A-50

volg het recept voor de tabel stijgen/dalen van f

Stap 3. Stel de nieuwe vraag. 2

Voor welke x is f (x) = 40x â&#x2C6;&#x2019; 2x maximaal? Recept: Maak een tekentabel van f 0 . Stap 3.1 f 0 (x) = . . . Stap 3.2 Nulwaarden van f 0 : Los op â&#x2021;&#x201D;

f 0 (x) = 0 ...

Stap 3.3 Tekentabel van f 0 : aandacht voor het praktisch domein! x f 0 (x) f (x) Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine.

voer uit, vul window aan en teken de plot in het venster Y= WINDOW GRAPH

Antwoord. De oppervlakte van het terrein is maximaal voor b = . . .

A-51

en l = . . . .

Oefeningen Oefening 1. Een bedrijf produceert CD-spelers. Bij een productie van x CD-spelers per dag is de winst gelijk aan −20x2 + 600x − 1000 euro. Hoeveel CD-spelers moet het bedrijf per dag produceren om een maximale winst te hebben? Los algebra¨ısch op. Oefening 2. [9, p.126] Boer Sjarel wil met 1500 m draad een rechthoekig veld omheinen en het daarna in drie rechthoeken verdelen zoals aangegeven op onderstaande figuur. Voor welke afmetingen is de totale oppervlakte het grootst? Los algebra¨ısch op.

= draad

l Oefening 3. [9, p.131] Petra wil haar vriendin verrassen met een doosje. Ze heeft een lint van 2, 4m en wil haar doos met vierkantig grondvlak insnoeren zoals op onderstaande figuur (uiteraard loopt het lint ook door op de achterzijden). Voor welke afmetingen van de doos is de inhoud van de doos maximaal? Bereken algebra¨ısch.

= lint

z Oefening 4. Een ondernemer produceert olijfolie. De kostenfunctie is gegeven door de veeltermfunctie K(x) = 0, 01 x3 + 0, 05 x2 + 1200 waarbij x het aantal geproduceerde olijfolie is, in eenheden van 100 liter. De olijfolie wordt verkocht tegen een prijs van 83 euro per eenheid. Hoeveel liter olijfolie moet de ondernemer produceren om een maximale winst te hebben? Bereken algebra¨ısch. Oefening 5. [13, p.59] Uit een rechthoek van 40 cm lang en 20 cm breed snijden we zes vierkanten weg: vier aan de hoekpunten van de rechthoek en twee in het midden van de langste zijdes. Met het overblijvende deel maken we een (taart)doos. Hoe groot moet de zijde van het vierkant genomen worden zodanig dat de doos maximale inhoud heeft? Los algebra¨ısch op. Oefening 6. [15] Een bedrijf produceert kalmeringsmiddelen. De totale kosten voor de productie van q dozen wordt gegeven door K = q 2 + 10q + 600. Marktonderzoek heeft uitgewezen dat, teneinde een volledige afzet te hebben, men de verkoopprijs p van een doos best instelt op p = 110 − 2q. Bepaal algebra¨ısch hoeveel dozen men moet produceren opdat de winst maximaal is.

A-52

Oefening 7. Een atletiekpiste heeft een omtrek van 400m. Ze bestaat uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. Bepaal algebra¨ısch de afmetingen van de piste waarvoor de rechthoek binnen de piste een zo groot mogelijke oppervlakte heeft. Hoeveel bedraagt deze maximale oppervlakte? Oefening 8. [7, p.167] Een meubelfabrikant produceert tuinmeubelen. Voor een designtafel hangt de prijs af van de hoeveelheid q die hij per maand kan produceren p = −q 2 + 6q

met 0 ≤ q ≤ 6

waarbij q het aantal geproduceerde tafels per maand in eenheden van 100 stuks is en p de prijs in 10 000 euro. De meubelfabrikant moet ook rekening houden met de kosten K(q) = q 3 . Bepaal algebra¨ısch bij welke productie de winst maximaal is. Oefening 9. [8, p.45] Een veranderlijke rechthoek heeft een deel van de x-as als basis. De twee andere hoekpunten liggen op de parabool y = 4 − x2 (zie figuur). Hoe groot moeten de afmetingen van deze rechthoek zijn opdat de oppervlakte van de rechthoek maximaal zou worden? Los algebra¨ısch op. Aanwijzing. De basis van de rechthoek op de x-as is een interval van de vorm [−a, a] (zie figuur).

y 4 2

y =4−x

?Oefening 10. [15] Men schat dat het aantal stemgerechtigden in een bepaalde stad de volgende jaren als volgt zal verlopen N (t) = 30 + 12t2 − t3

met 0 ≤ t ≤ 8

waarbij t de tijd in jaren is en N (t) het aantal stemgerechtigden (in duizenden) na t jaar. Wanneer zal de mate van de toename van het aantal stemgerechtigden het grootst zijn?

−2

−1

?Oefening 11. Een cilindervormig vat met hoogte van 32dm heeft een inhoud van 8000 liter en is geheel gevuld met water. Als men de kraan opendraait stroomt het vat leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule h(t) = 0, 0008t2 − 0, 32t + 32. Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment waarop de kraan opengedraaid wordt en h de hoogte van de waterspiegel in decimeter. (a) Bepaal algebra¨ısch de snelheid waarmee de waterspiegel daalt na 20 minuten. (b) Wanneer is de snelheid waarmee de waterspiegel daalt het grootst? Verklaar wiskundig! ?Oefening 12. Een man maakt een autorit. De afgelegde weg van de auto in functie van de tijd t (in uur) wordt gegeven door s(t) = t3 − 16t2 + 64t met 0 ≤ t ≤ 10 waarbij s de afstand in vogelvlucht van de auto tot het huis van de man is (in kilometer) op tijdstip t. Hierbij staat t = 0 voor het moment dat de man van thuis vertrekt. (a) Hoe ver is de man van zijn huis verwijderd na twee uur? (b) Bepaal algebra¨ısch de maximale snelheid van de auto.

A-53

ONDERWERP

7 TELPROBLEMEN ZONDER HERHALING

1. Variaties zonder herhaling 3 Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 23 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. mogelijkheden zijn er voor de drie podiumplaatsen? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 23, in volgorde geplaatst. We noemen dit een variatie zonder herhaling van 3 uit 23. Gevraagd is het aantal variaties zonder herhaling van 3 uit 23. Dat getal noteren we met 3 V23 en kunnen we berekenen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen.

23 leerlingen

Joke Karen .. .

1ste

2de

3de

Joke

Karen

Piet

Leonard

Ann .. .

Joke

˙˙ ˙

Hoeveel

Volgorde: ja Herhaling: nee klassikaal aanvullen

3 V23 = 23 · 22 · 21 = 10 626 mogelijkheden

23 · 22 · 21 · 20 · 19 . . . · 2 · 1 23! 23! = = 20 · 19 . . . · 2 · 1 20! (23 − 3)!

Gebruik van de grafische rekenmachine. 23

MATH

PRB

2:nPr

3 Algemeen. Het aantal variaties zonder herhaling van p uit n is

Vnp =

ENTER

vul venster aan

n! (n − p)!

3 Voorbeeld 1. Het alfabet telt 26 letters. Hoeveel woorden met 6 verschillende letters kun je hiermee vormen?

los op (met schema)

Oplossing.

1 Tenzij

anders vermeld staan de letters p en n steeds voor natuurlijke getallen met p ≤ n.

A-54

3 Voorbeeld 2. In een lokaal zijn 30 plaatsen beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen de 23 leerlingen van klas 6dEcMT plaatsnemen?

los op (met schema)

Oplossing.

2. Permutaties zonder herhaling 3 Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 23 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de totale uitslag? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 23 verschillende leerlingen uit 23, in volgorde geplaatst. Dus een variatie zonder herhaling van 23 uit 23. We noemen dit ook een permutatie zonder herhaling van 23.

Volgorde: ja Herhaling: nee

Gevraagd is het aantal permutaties zonder herhaling van 23. Dat getal noteren we door P23 en kunnen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen, verkrijgen we een eenvoudige formule.

23 leerlingen

Joke Karen .. .

1ste

2de

...

23ste

Hans

Eva

...

Joke

klassikaal aanvullen

˙˙ ˙ P23 = 23 · 22 · 21 · . . . · 2 · 1 = 23! = 2, 58 . . . · 1022 mogelijkheden 23 = V23 =

23! 23! = (23 − 23)! 0!

daarom spreken we af dat 0! = 1

3 Algemeen. Het aantal permutaties zonder herhaling van n is Pn = n! 3 Voorbeeld. Hoeveel woorden kun je vormen met de verschillende letters van het woord “Brugge”? Zo’n woorden hoeven niet voor te komen in het woordenboek, ´e´en zo’n woord is bijvoorbeeld“‘guerb”.

los op (met schema)

Oplossing.

3 Oefening. Op de eerste rij van een auditorium worden 10 zitplaatsen gereserveerd voor 10 eregasten. Drie ervan laten weten verhinderd te zijn. De overige 7 eregasten worden alle 7 naast elkaar gezet (dus geen lege zetel tussenin). Op hoeveel manieren kunnen deze eregasten plaatsnemen?

thuis oplossen

A-55

3. Combinaties zonder herhaling 3 Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 23 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. De eerste drie leerlingen vormen een selectieploeg voor het schoolkampioenschap. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die selectieploeg? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 23, waarbij de volgorde onbelangrijk is. We noemen dit een combinatie zonder herhaling van 3 uit 23.

Volgorde: nee Herhaling: nee

3 Gevraagd is het aantal combinaties zonder herhaling van 3 uit 23. Dat getal noteren we met C23 en kunnen we berekenen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen.

klassikaal bespreken

23 leerlingen 3 leerlingen Piet Jasper .. .

Joke Karen Piet

˙˙ ˙ 3 C23 |

1ste

2de

3de

Joke

Karen

Piet

˙˙ ˙ P3 } 3 3 dus C23 · P3 = V23

{z 3 V23

23!

3 V23 (23−3)! = P3 3! 23! = = 1771 mogelijkheden 3!(23 − 3)!

3 ⇒ C23 =

Gebruik van de grafische rekenmachine. 23

MATH

PRB

3:nCr

3 Algemeen. Het aantal combinaties zonder herhaling van p uit n is Cnp = 3 Opmerking. Men schrijft Cnp ook als

ENTER

vul venster aan

n! p! (n − p)!

n 3 . Zo is bijvoorbeeld = C32 = 6. p 2

3 Voorbeeld. Op een school zitten 97 leerlingen in het zesde jaar. Uit dat zesde jaar wordt een werkgroep van vijf leerlingen gekozen die een galabal voorbereiden. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor deze werkgroep? los op (met schema)

Oplossing.

A-56

Oefeningen - Reeks A Oefening 1. De code van een bankkaart bestaat uit een reeks van vier cijfers, bijvoorbeeld 9118. Een dief is te weten gekomen dat de code van je bankkaart bestaat uit vier verschillende cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor je code? Oefening 2. Op hoeveel verschillende manieren kun je een groepje van 8 verschillende letters uit het alfabet van 26 letters maken? Een groepje betekent dat de volgorde waarin je de letters kiest geen rol speelt. Oefening 3. Op hoeveel manieren kun je 7 verschillende boeken op een boekenrek plaatsen? Oefening 4. In een lokaal zijn 30 plaatsen beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen 23 leerlingen plaatsnemen? Oefening 5. Twee jongens en een meisje kiezen elk ´e´en gebakje als nagerecht uit een aanbod van 6 verschillende taartjes. Op hoeveel manieren kan deze keuze gebeuren ? Oefening 6. Voor het schilderen van vijf klaslokalen beschikt men over acht mogelijk kleuren. Op hoeveel verschillende manieren kan dit schilderen gebeuren als elk lokaal een andere kleur moet hebben? Oefening 7. Hoeveel anagrammen

bestaan er van het woord ‘wiskunde’ ?

Oefening 8. Je wil een salade maken met drie verschillende ingrediënten en je hebt er zes om uit te kiezen: sla, tomaat, wortelen, komkommer, witte kool en radijsjes. Hoeveel verschillende salades kun je met die ingrediënten samenstellen? Oefening 9. In een kamer staan zes stoelen op een rij. Er komen vier personen de kamer binnen. Elke persoon neemt plaats op een stoel. Op hoeveel manieren kan dit? Oefening 10. Acht vrienden gaan samen tennissen. Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen? Oefening 11. Deelnemen aan de lotto kan door een enkelvoudig bulletin met 14 roosters in te vullen. In elk rooster kruist men zes getallen van 1 tot 45 aan. Op hoeveel manieren kan men één rooster invullen? ?Oefening 12. Op hoeveel manieren kan men een enkelvoudig bulletin invullen? Je mag aannemen dat elk van de 14 roosters op een andere manier wordt ingevuld en de volgorde waarin je de roosters invult geen rol speelt. Oefening 13. Je hebt acht steden waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen. Men wil elke stad met elke andere verbinden via een rechte weg. Hoeveel wegen moeten er gemaakt worden?

enkelvoudig lottobulletin

Oefeningen - Reeks B Oefening 14. Op hoeveel manieren kunnen 15 leerlingen in twee groepen van 7 en 8 leerlingen ingedeeld worden? Oefening 15. Hoeveel diagonalen heeft een regelmatige tienhoek? Oefening 16. Met de cijfers 0, 1, . . . , 9 worden getallen van 6 verschillende cijfers gevormd (een getal begint niet met het cijfer 0). Hoeveel getallen kunnen we vormen? ?Oefening 17. Met de cijfers 0, 1, . . . , 9 worden codes van 6 verschillende cijfers gevormd. Hoeveel van zo’n codes bevatten het cijfer 7? Oefening 18. In een firma werken 15 arbeiders en 10 bedienden. (a) Op hoeveel manieren kan een comit´e van drie werknemers samengesteld worden bestaande uit 3 arbeiders?

regelmatige tienhoek

(b) Op hoeveel manieren kan een comit´e van vijf werknemers samengesteld worden bestaande uit 3 arbeiders en 2 bedienden? Oefening 19. Het Latijns alfabet bestaat uit 5 klinkers en 21 medeklinkers. We beschouwen ook de 7 Griekse letters α, β, γ, δ, µ, ν, λ. Hoeveel woorden bestaan uit 3 verschillende klinkers, 2 verschillende medeklinkers en 4 verschillende Griekse letters? ?Oefening 20. Op hoeveel manieren kan men acht kaarten trekken uit een kaartspel van 52 kaarten (volgorde niet belangrijk) als er bij die acht kaarten (a) precies drie azen moeten zijn? (b) ten hoogste drie azen moeten zijn? 2 Een anagram is een woord die volledig bestaat uit de letters van een gegeven woord. Die woorden hoeven niet voor te komen in het woordenboek. Bijvoorbeeld, ‘pplae’ is een anagram van het woord ‘appel’.

A-57

Deel B Ingevulde werkbladen

ONDERWERP

1 BASISBEGRIPPEN IN VERBAND MET FUNCTIES

dan is

y=1

als x = 0

dan is

y = −1

als x = 5

dan is

y=9

1 2

dan is

y=0

als x =

Hoe noemen we een x waarvoor y = 0? Een nulwaarde (of nulpunt).

Deze functie kunnen we zien als een systeem waarbij elke input x een output y heeft. Schematisch:

De waarde van y hangt telkens af van de waarde van x. Daarom schrijven we in plaats van y ook wel f (x). We kunnen deze functie f op drie manieren voorstellen: . Functievoorschrift: f (x) = 2x − 1 . Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1

f (x)

−5

−3

−1

. Grafiek:

y y = f (x) 3 2 1

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3

B-58

De drie stappen functievoorschrift, tabel en grafiek zien we ook op de grafische rekenmachine. Om de plot goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. Y=

2ND

TABLE

WINDOW

GRAPH

In TABLE merken we dat Y1 negatief of positief kan zijn. Hoe zien we dat op de grafiek van f ? Als f (x) < 0 dan ligt de grafiek van f onder de x-as. Als f (x) > 0 dan ligt de grafiek van f boven de x-as. Deze informatie wordt weergegeven in de zogenaamde tekentabel van f . Deze tabel lijkt erg op onze tabel van enkele functiewaarden hierboven, maar in de tweede rij plaatsen we nu tekens in plaats van getallen. We schrijven een minteken als f (x) < 0 en een plusteken als f (x) > 0. Bij welke x-waarde is f (x) = 0? 1 2

x f (x)

â&#x2C6;&#x2019;

Algemeen. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is van de gedaante f (x) = ax + b

met a, b â&#x2C6;&#x2C6; R en a 6= 0

Voor de grafiek van een eerstegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: eerste vorm +1

tweede vorm. y

+a b

a<0

a>0

lineaire afname

lineaire groei

B-59

dan is

f (0) = −3

als x = 1

dan is

f (1) = −4

als x = −2

dan is

f (−2) = 5

als x = ?

dan is

f (x) = 0

Hoe noemen we een x waarvoor y = 0? Een nulwaarde (of nulpunt).

Om de nulwaarde(n) te bepalen gaan we als volgt te werk. Los op:

f (x) = 0 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 D = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 ⇔

√ √ −b ± D 2 ± 16 2±4 = = = 3 of − 1 2a 2·1 2

We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. . Functievoorschrift: f (x) = x2 − 2x − 3 . Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2

−1

−3

−4

−3

. Grafiek:

y y = f (x) 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 −4

B-60

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

Op de vorige pagina vonden we dat de nulwaarden van f gelijk zijn aan x = −1 en x = 3. Hoe kunnen we de nulwaarden van f aflezen op de grafiek van f ? De nulwaarden van f zijn (de x-waarden van) de snijpunten van de grafiek met de x-as. Ook nu vertelt de tekentabel ons waar de grafiek van f boven of onder de x-as ligt. −1

x f (x)

3 −

Algemeen. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is van de gedaante f (x) = ax2 + bx + c

met a, b, c ∈ R en a 6= 0

Voor de grafiek van een tweedegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: eerste vorm

tweede vorm.

a<0

a>0

bergparabool

dalparabool

B-61

3 Voorbeeld 3. Met elk reëel getal x associëren we hoogstens ´ e´ en reëel getal y via de regel √ y = x. Dit is een ander voorbeeld van een functie f . Zo is bijvoorbeeld: als x = 1

dan is

y=1

als x = 2

dan is

als x = 4

dan is

y=2

als x = 0

dan is

y=0

als x = −1

dan is

y=/

√

2 = 1, 41 . . .

(bestaat niet)

Deze functie kunnen we zien als een systeem waarbij elke input x hoogstens ´ e´ en output y heeft. Schematisch:

of x

We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. . Functievoorschrift: f (x) =

√

. Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2

−1

. Grafiek:

1, 41 . . .

1, 73 . . .

y y = f (x) 2 1

−1

Ook nu bepalen we de tekentabel van f : 0

x f (x)

////

B-62

4 2

Voor dit voorbeeld bespreken we nog een belangrijk begrip: Het domein van f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) bestaat. In dit geval is dom f = R+ Hoe kunnen we het domein aflezen op de grafiek van f ? Het domein van f is de projectie van de grafiek op de x-as. 3 Algemeen. . Een (reële) functie f is een verband dat aan elk reëel getal x hoogstens één reëel getal y associeert. . De drie voorstellingswijzen van een functie f en hun interactie kan als volgt worden voorgesteld:

functievoorschrift f (x)

invullen >

tabel van enkele functiewaarden x

< “raden”

f (x)

. . . −1 0 1 ·

tekenen >

grafiek y

...

y = f (x) 1

< aflezen

. Het domein van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) bestaat. Meetkundige betekenis. Het domein van f is de (loodrechte) projectie van de grafiek van f op de x-as.

y y = f (x)

dom f

y = f (x)

O nulwaarden van f Hoe zoeken we alle nulwaarden van f ? Los op: f (x) = 0.

B-63

ONDERWERP

2 HOMOGRAFISCHE FUNCTIES

In dit deel bespreken we een bijzondere soort functies: degene waarvan de grafiek een zogenaamde hyperbool is: eerste vorm

tweede vorm.

x f (x)

−4

−2

−0, 25

−0, 5

−1

−0, 5

−0, 25

−2

−4

−1

. Grafiek:

0, 25

0, 5

y y= 3

1 1

0, 5

0, 25

1 x

2 1

−3

−2

−1

−1 −2 −3

De grafiek is duidelijk van de (eerste) vorm hierboven. Het is het meest eenvoudige voorbeeld van een homografische functie. Daarom noemen we f (x) = 1/x een elementaire functie. B-64

. We kunnen deze grafiek ook plotten met behulp van de grafische rekenmachine. Om goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. Y=

WINDOW

. Uit de grafiek van f (x) =

GRAPH

1 lezen we meteen de volgende eigenschappen af. x

1. Domein. Hoe bepalen we grafisch het domein van een functie? Projectie van de grafiek op de x-as. In dit geval lezen we af: dom f = R0 2. Nulwaarden. Hoe bepalen we grafisch de nulwaarden van een functie? Snijpunten van de grafiek met de x-as. In dit geval lezen we af: nulwaarden van f zijn: / (geen). 3. Tekentabel.

x f (x)

− |{z}

grafiek onder x-as

+ |{z}

grafiek boven x-as

1 4. Als x = 10 dan is f (x) = = 0, 1 10 1 Als x = 1000 dan is f (x) = = 0, 001 1000 Als x → +∞ dan f (x) → 0 Daarom zeggen we dat de rechte y = 0 een horizontale asymptoot is aan de grafiek van f . We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. De grafiek nadert de rechte y = 0, maar hoe groot we onze x-waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! Overtuig jezelf met de grafische rekenmachine en TRACE. WINDOW

GRAPH

TRACE

1 = 10 0, 1 1 Als x = 0, 005 dan is f (x) = = 200 0, 005 Als x −>→ 0 dan f (x) → +∞ Daarom zeggen we dat de rechte x = 0 een verticale asymptoot is aan de grafiek van f . We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn.

5. Als x = 0, 1 dan is f (x) =

De grafiek nadert de rechte x = 0, maar hoe klein we onze x-waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden!

B-65

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie

2x − 1 . x We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. f (x) =

1 De grafiek van f heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie y = . Daarom noemen we f een x homografische functie. Uit de grafiek van f lezen we af: . Als x → +∞ dan f (x) → 2 Dus de rechte y = 2 is een horizontale asymptoot aan de grafiek van f . Deze uitkomst kunnen we ook achterhalen door f (x) te berekenen voor grote x-waarden: Als x = 1000 dan f (x) =

2 · 1000 − 1 = 1, 999 1000

Als x = 10000 dan f (x) =

2 · 10000 − 1 = 1, 9999 10000

Dat invullen kan handiger met behulp van Y1 . VARS

Y-VARS

FUNCTION

Bereken op die manier: Als x = 1.000.000 dan f (x) = 1, 999999 Kunnen we de horizontale asymptoot y = 2 ook meteen aflezen uit het functievoorschrift f (x) =

2x − 1 ? x

2 is de co¨efficient van de hoogstegraadsterm in de teller. Weet je ook waarom? Als we in f (x) de x vervangen door een groot getal, dan is het aandeel van −1 in de teller erg klein. Dus voor grote x-waarden is 2x − 1 2x f (x) = ≈ =2 x x . Als x −>→ 0 dan f (x) → −∞ Dus de rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

B-66

3 Op ontdekking 3. Gegeven is de functie

3x + 1 . 2x − 2 Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. f (x) =

y y = f (x)

3 2

x=1 1 Ook deze grafiek heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie y = . Dus ook nu noemen we f x een homografische functie. Uit het functievoorschift f (x) = . Als x → +∞ dan f (x) → Dus de rechte y =

3 2

3x + 1 lezen we af: 2x − 2

3 is een horizontale asymptoot aan de grafiek van f . 2

Uit de grafiek van f lezen we af: . Als x −>→ 1 dan f (x) → +∞ Dus de rechte x = 1 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Dit kunnen we ook achterhalen door f (x) te berekenen voor x-waarden die dicht bij 1 liggen: Als x = 1, 1 dan f (x) = 21, 5 Als x = 1, 001 dan f (x) = 2001, 5 Kunnen we de verticale asymptoot x = 1 aflezen uit het functievoorschrift f (x) = In TABLE staat ERROR naast x = 1. Dus als x = 1 bestaat f (x) niet. Weet je ook waarom? Als we in f (x) de x vervangen door 1, dan krijgen we f (0) =

4 3·1+1 = 2·1−2 0

Met andere woorden: x = 1 is een nulpunt van de noemer. . Als x −<→ 1 dan f (x) → −∞ B-67

bestaat niet!

3x + 1 ? 2x − 2

3 Op ontdekking 4. Gegeven is de functie f (x) =

6x + 12 . 2x + 4

(a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. 1 (b) Lijkt de grafiek van f op de grafiek van de elementaire functie y = en kunnen we f een homografische x functie noemen? Verklaar waarom (niet). Oplossing.

1 . x Dus we kunnen f geen homografische functie noemen.

(a)

(b) De grafiek lijkt niet op de elementaire functie y = Reden:

f (x) =

−2

Kunnen we dit meteen uit het voorschrift afleiden?

6x + 12 2x + 4 =3· 2x + 4 2x + 4

Ja:

✄ ✄ 6 ✁x + ✂12 ✁ ✂ ✄ f (x) = ✄ ✂2 ✁x + ✂4 ✁

6 · 4 = 12 · 2

3 Definitie. Een homografische functie is van de gedaante f (x) =

ax + b cx + d

waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc

Opmerking. In de bovenstaande definitie is . c 6= 0 want anders is f (x) =

ax + b a b = x+ . d d d

En wat is de grafiek van f dan? Een rechte. . ad 6= bc want anders is de grafiek van f een rechte met een gaatje (dat noemen we een perforatie). 3 Eigenschap. Zij f (x) =

ax + b een homografische functie. Dan zijn er voor de grafiek twee mogelijke vormen: cx + d

eerste vorm

y = f (x)

tweede vorm. y = f (x)

y= y=

x=−

a c

d c

x=−

B-68

d c

a c

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) =

3x − 2 . 3x + 2

(a) Toon aan dat f een homografische functie is. (b) Bepaal zonder grafische rekenmachine de horizontale en de verticale asymptoot aan de grafiek van f . (c) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f . (d) Controleer je grafiek in (c) door de grafiek van f te plotten. Oplossing. (a) Het functievoorschrift f (x) is van de vorm

ax + b waarbij |{z} c 6= 0 en |{z} a · d 6= |{z} b · c. cx + d 3

−6

Hieruit volgt dat f een homografische functie is.

(b) We hanteren de formules voor de verticale en horizontale asymptoot van een homografische functie. a 3 H.A.: y = = = 1 c 3 d 2 V.A.: x = − = − c 3 (c) Om de grafiek van een homografische functie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. H.A.: y = 1 Teken H.A. daarna de x-as.

y = f (x)

Stap 2. V.A.: x = −2/3 Teken V.A. daarna de y-as.

y=1 Stap 3. Snijpunt met de y-as: dan x = 0 en dus y = f (0) = −1. Teken snijpunt, daarna de grafiek van f .

(d) We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine.

B-69

x=1

3 Modelvoorbeeld 2. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

y 4 3 2 1

−4

−3

−2

y = f (x)

−1

−1 −2 −3 −4

Oplossing. Een homografische functie is van de vorm f (x) =

ax + b cx + d

waarbij c 6= 0 en ad 6= bc.

We gaan op zoek naar de letters a, b, c en d. We hanteren de formules voor de verticale en horizontale asymptoot van een homografische functie. a H.A.: y = = −3 dus a = −3c. c d V.A.: x = − = 1 dus d = −c. c Verder lezen we ook gemakkelijk het snijpunt met de y-as af: a·0+b = −1 dus b = −d. c·0+d    a = −3 −3x + 1 . Bijvoorbeeld, kiezen we c = 1 dan is d = −1 en hebben we f (x) =  x−1  b=1 als x = 0 dan y =

Bevestiging volgt na controle met de grafische rekenmachine.

   a = −6 Kiezen we bijvoorbeeld c = 2, dan is d = −2   b=2

en hebben we f (x) =

−6x + 2 2(−3x + 1) −3x + 1 = = . 2x − 2 2(x − 1) x−1

Dit verklaart waarom we altijd ´e´en van de vier parameters (bijvoorbeeld c) vrij mogen kiezen. B-70

5 gram

1 liter

5 . K(t) = 2, 5 + t+2 met K de hoeveelheid kleurstof (in gram) en t de tijd (in minuten) na het toevoegen van de kleurstof. (a) Hoeveel kleurstof werd er toegevoegd? (b) Hoe lang is de hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak groter dan 3 gram? (c) Hoe groot wordt de hoeveelheid kleurstof in de linkse helft na verloop van heel veel tijd? (d) Hoe kun je het resultaat in (c) fysisch verklaren? Oplossing. 5 = 5. Dus de hoeveelheid toegevoegde kleurstof is 5g. 1·0+2 (b) We zoeken de tijdstippen t waarvoor K(t) > 3. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we (a) We hebben K(0) = 2, 5 +

Tijdens het tijdsinterval [0, 8[ is de hoeveelheid kleurstof in de linkerhelft groter dan 3 gram. (c) Eigenlijk is de vraag: wat wordt K(t) voor grote waarden van t? Dat achterhalen we door K(t) te berekenen voor grote t-waarden: 5 = 2, 5049 . . . 1000 + 2 5 Als t = 10000 dan K(t) = 2, 5 + = 2, 50049 . . . 10000 + 2 Als t = 1000 dan K(t) = 2, 5 +

Dus als t → +∞ dan K(t) → 2, 5. Dus de hoeveelheid kleurstof in de linkerhelft streeft naar 2, 5g.

(d) Na verloop van tijd zal de kleurstof zich gelijkmatig over de hele bak verdelen. 5 In beide helften is dan = 2, 5g kleurstof. 2

B-71

B-72

−2

Grafiek:

y =f (x)

−1

−2

Grafiek:

g(y) = x

−1

−2

−3

−2

−1

−3

−2 −1

−1

Tabel van enkele functiewaarden:

Functievoorschrift: g(y) =

Functievoorschrift: f (x) = 2x + 1

1 1 y− 2 2

x = g(y)

−2

Grafiek:

g(x) = y

−1

−2

−1

−2

−3

−1

1 1 x− 2 2 Tabel van enkele functiewaarden:

Functievoorschrift: g(x) =

. Vul het functievoorschrift van g aan. Hoe kun je overgaan van links naar midden? De vergelijking y = 2x + 1 oplossen naar x. De middelste kolom stelt een nieuwe functie g(y) = x voor, die we de inverse functie van f noemen. (c) Omdat we gewoon zijn om een functie in de letter x te zien, en niet in y, verwisselen we de letters x en y. Vul de rechterkolom aan.

. Schets nu de grafiek van g. Hoe kun je overgaan van links naar midden? Grafiek van f spiegelen om de rechte y = x.

(a) Vul de linkerkolom aan. Hoe kunnen we uit de grafiek van f afleiden dat f een functie is? Bij elke x-waarde hoort hoogstens één y-waarde. (b) De functie f is bijzonder in die zin dat er bij elke y-waarde hoogstens één x-waarde hoort. Daarom noemen we f een inverteerbare functie. Op deze manier kunnen we een nieuwe functie g maken, namelijk het verband dat aan elke y-waarde die x-waarde associeert. Vul nu de middelste kolom aan: . Vul eerst de tabel van enkele functiewaarden in. Hoe ga je over van links naar midden? Tabel van f omdraaien.

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2x + 1. Na de vragen (a), (b) en (c) is de bladzijde verdeeld in drie kolommen.

1. Inverse functies

¨ INVERSE FUNCTIES, VAN EXPONENTIELE NAAR LOGARITMISCHE FUNCTIES

ONDERWERP

y = g(x)

y 7→ x = g(y)

die we de inverse functie van f noemen. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt worden voorgesteld. grafiek

y = f (x)

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0 1

f (x) = y

f (x)

... ·

oplossen naar x

∨

∧

oplossen naar y

tabel omdraaien

∨

∧

spiegelen om y = x

tabel omdraaien

∨

∧

spiegelen om y = x

grafiek

x = g(y)

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0 1

x = g(y)

g(y)

... ·

< O

3 Op ontdekking (vervolg). We hernemen de functie f (x) = 2x + 1 en de inverse functie g(y) =

1 1 x− . 2 2

Eens we de tabel van f kenden, hoe hebben we de tabel van g gevonden? Door de tabel van f om te draaien. Dat levert een belangrijk verband op tussen f en g. Wat dat verband is ontdek je bij het oplossen van de volgende vragen. (a) Bereken f (2) en g(5). Wat merk je op? We hebben f (2) = 5 en g(5) = 2. Dus vullen we in g de uitkomst van f (2) in, dan hebben we terug 2. Besluit: f (2) = 5 en g(5) = 2. (b) Probeer iets analoog te bekomen met f (3). Nu is f (3) = 7 en g(7) = 3. Besluit: f (3) = 7

g(7) = 3.

Besluit: als f (x) = y

1 1 1 1 g(2x + 1) = (2x + 1) − = x + − = x | {z } 2 2 2 2 y

dan is

g(y) = x.

Dat besluit blijkt ook in het algemeen waar te zijn. 3 Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt: f (x) = y

⇔

B-73

x = g(y)

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de grafiek van een functie f .

y = f (x)

(a) Waarom is deze functie inverteerbaar?

(b) Teken de grafiek van de inverse van f .

y = g(x)

Oplossing. (a) Bij elke y-waarde hoort hoogstens ´e´en x-waarde. Dus f is inverteerbaar. (b) We spiegelen de grafiek van f om de eerste bissectrice (de rechte y = x).

−2

−1

−1 −2

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Is de functie f inverteerbaar? Zo ja, bepaal dan het functievoorschrift van de inverse functie. Oplossing. Wanneer we de grafiek van f schetsen, dan zien we dat er bij sommige √ y4=2 waarden meerdere x-waarden horen. Bijvoorbeeld, bij y = 4 hoort x = √ en x = − 4 = −2. Dus f is niet inverteerbaar. Ook als we de vergelijking y = f (x) trachten op te lossen naar x, dan merken we dit: y = x2

⇔

√

y y = f (x) 4

−2

x = − y.

Dus bij sommige y-waarden horen twee x-waarden. Dus f is niet inverteerbaar.

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de functie f (x) = (x − 1)3 − 2. Is de functie f inverteerbaar? Zo ja, bepaal dan het functievoorschrift van de inverse functie. Oplossing. Wanneer we de grafiek van f schetsen (plot eerst met de grafische rekenmachine), dan vermoeden we dat er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort. Dus we vermoeden dat f inverteerbaar is.

y y = f (x)

Om dit zeker te weten - en tegelijk de inverse te bepalen - trachten we de vergelijking y = f (x) op te lossen naar x: y = (x − 1)3 − 2

⇔

y + 2 = (x − 1)3 p 3 y+2=x−1 p 3 y + 2 + 1 = x.

Bij elke y-waarde hoort dus (hoogstens) ´e´en x-waarde. Dus f is inverteerbaar √ en de inverse functie is g(x) = 3 x + 2 + 1. Controle met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

B-74

2. Van exponenti¨ ele functies naar logaritmische functies 3 Op ontdekking 1 [6, p.141]. Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1dm2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2 ) op x weken na de ontdekking. We hebben . Functievoorschrift: f (x) = 2x Salvinia Molesta op de Finniss rivier, Australi¨e

. Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1

f (x)

0, 25

0, 5

. Grafiek:

f (x) = 2x 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1

Los de volgende vragen op, indien mogelijk algebra¨ısch. (a) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 8dm2 ? (b) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 128dm2 ? (c) Na hoeveel weken bedraagt de totale omvang van de waterplantjes 5dm2 ? Oplossing. (a) Voor welke x is

f (x) = 8 ⇔ 2x = 8

zie onderbroken lijn in bovenstaande grafiek

⇔ x=3

Dus na 3 weken is de totale oppervlakte 8dm2 . (b) Voor welke x is

f (x) = 128 ⇔ 2x = 128 ⇔ x=7

Dus na 7 weken is de totale oppervlakte 128dm2 . (c) Voor welke x is

f (x) = 5 ⇔ 2x = 5

zie volle lijn in bovenstaande grafiek

⇔ x =?

B-75

Opmerking. Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebra¨ısch oplossen. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we de oplossingen door het snijpunt van f (x) = 2x met y = 5 te zoeken.

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer 2 weken en 2 dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5dm2 . Besluit. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvolle vensterinstellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatieve manier om dit soort vragen op te lossen. De functie f (x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want bij elke x-waarde hoort hoogstens ´e´en y-waarde. We zoeken de inverse functie van de functie f . . Functievoorschrift: f (x) = 2x

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

x f (x) = y

−2

−1

0, 25

0, 5

x = g(y)

. Grafiek

0, 25

0, 5

−2

−1

. Grafiek

x y = f (x)

7 ·2

−1 −1

x = g(y) +1 ·2

. Wegens de eigenschap van inverse functies geldt (overgang van tabel f naar tabel g): f (x) = y

⇔

x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrijven 1 g(y) = 2 log y. Zo wordt bovenstaande formule: 2x = y

⇔

x = 2 log y

voor alle x ∈ R en y ∈ R+ 0.

In woorden: de 2-logaritme van y is dat getal waartoe je 2 moet verheffen om y te bekomen.

1 Lees:

‘de 2-logaritme van y’. Soms noteert men naast 2 log y ook log2 y.

B-76

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule. (a)

(b)

(c)

(d)

log 8 = 3 log 32 = 5

log 1024 = 10

want 8 = 23

(e)

want 32 = 25

(f)

(g)

(h)

want 1024 = 2

want 2 = 21

log 2 = 1

log 1 = 0

want 1 = 20

log 0 = /

want 0 = 2... kan niet!

1 = −2 log 4

want

log (−8) = /

1 1 = 2 = 2−2 4 2

want − 8 = 2· kan niet!

3 Logaritme berekenen met behulp van de grafische rekenmachine. Het getal 2 log 12 berekenen we met de grafische rekenmachine als volgt 2

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van je rekenmachine (a)

(b)

log 8 = 3 log 0, 000001 = −19, 9315685 . . .

(c)

(d)

log 4096 = 12 log (−3) = /

f (x) = 5 ⇔ 2x = 5

⇔ x = 2 log 5 = 2, 32192809 . . . Dus na 2, 32 . . . weken is de totale oppervlakte 5dm2 . (b) Voor welke x is

f (x) = 10000 ⇔

⇔

2x = 10000 x = 2 log 10000 = 13, 2877123 . . .

Dus na 13, 28 . . . weken is de totale oppervlakte 100m2 .

2 Deze

werkwijze steunt op een formule die later zal worden aangetoond (rekenregels voor logaritmen).

B-77

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

−3

x f (x) = y . Grafiek:

−2 4

−1 2

0, 5

0, 25

y x = g(y) . Grafiek:

0, 5

0, 25

−3

−2

−1

y = f (x) 6

4 1 ·3 2 2

3 2

−2 −1 −1

−2

x = g(y)

−2

1 · 2

. Wegens de eigenschap van inverse functies geldt (overgang van tabel f naar tabel g): f (x) = y ⇔ x = g(y) De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 1/2 en we 1 2

schrijven g(y) =

log y. Zo wordt bovenstaande formule x 1 =y ⇔ x= 2

1 2

3 Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule. 4 1 1 1 1 1 2 (a) log = 4 want = (c) 2 log (−1) = / 16 16 2 (b)

1 2

log

1 64

want

1 = 64

6 1 2

(d)

1 2

voor alle x ∈ R en y ∈ R+ 0.

log y

log (16) = −4

want − 1 = 2... kan niet!

want 16 = 24 =

−4 1 2

3 Op ontdekking 2 (vervolg). Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1km2 van deze plantjes. (a) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 0, 1km2 bedraagt. (b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebra¨ısch hoeveel weken v´o´or de meting de omvang van de plantjes 5km2 was. Oplossing. (a) Voor welke x is

(b) Voor welke x is

f (x) = 0, 1 x 1 ⇔ = 0, 1 2 ⇔ x=

1 2

log 0, 1 = 3, 32192809 . . .

f (x) = 5 x 1 ⇔ =5 2 ⇔ x=

1 2

log 5 = −2, 321928 . . .

Dus 2, 32 . . . weken voor de meting.

Dus na 3, 32 . . . weken. B-78

3. Definitie van een logaritmische functie 3 Definitie. Zij a ∈ R+ 0 \ {1}.

De logaritmische functie met 3 grondtal a is de inverse functie van de exponenti¨ele functie met grondtal a.

In symbolen: g:R→R

f :R→R

is de inverse functie van

x 7→ g(x) = log x

x 7→ f (x) = ax

3 Eigenschap. Zij g(x) = a log x een logaritmische functie. Dan is de grafiek van g van de vorm:

eerste vorm y

tweede vorm. y

y = a log x

y = a log x +1 ·a x

+1 ·a

0<a<1

a>1

logaritmische afname

logaritmische groei

Uit de grafiek van g lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom g = R+ 0

(b)

Nulwaarden: x = 1

(c)

De rechte x = 0 is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d)

Voor 0 < a < 1 is lim g(x) = +∞

bld g = R

x→ 0 >

en voor a > 1 is lim g(x) = −∞ x→ 0 >

3 Eigenschap (grondformule van logaritmen). ax = y

⇔

x = a log y

In de grondformule kunnen we y elimineren, dan krijgen we de formule x = a log ax

In de grondformule kunnen we y elimineren, dan krijgen we de formule a

log y

3 Voorbeelden. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de rekenmachine. (a)

3 Men

log 25 = 5

(b) 3

log 1,7

= 1, 7

(c)

log 1052 = 52

los op

gebruikt ook de term ‘basis’ in plaats van ‘grondtal’. Soms noteert men naast a log y ook loga y. Lees: ‘de a-logaritme van y’.

B-79

0, 000 000 0061.

Voor zo’n getallen hanteert men de wetenschappelijke notatie, waarbij getallen geschreven worden in de vorm a · 10b

met

a ∈ R en b ∈ Z.

6, 1 · 10−9 .

het getal van Avogadro in E-notatie

log 52

, dus 10 73 5273 = 10 log 52 = 1073·

log 52

= 10125,2682441... = 10125+0,2682441... = 10125 · 100,2682441...

= 10125 · 1, 85457365 . . . = 1, 85457365 . . . · 10125 Zo weten we nu dat 5273 een getal is met 126 cijfers. 5 Het

B-80

ONDERWERP

4 TOEPASSINGEN OP MATRICES

Algerije

Brazili¨e

b1 2 a1

Canada

3 2

b2 3 a2

1 b3

c3 b4

2 · 3 + |{z} 1 · 2 + |{z} 0 · 1 + |{z} 1·0 =8 |{z}

via b1

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

via b2

via b3

via b4

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

3 · 3 + 0 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 = 11

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

3 · 2 + 0 · 0 + 2 · 4 + 1 · 0 = 14 B-82

(∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is

  3 2  1 · 1 = 8 0

  3 2  1 · 1 = 11 0

  2 0  1 · 4 = 14 0

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:   3 0 2 2 1 0 1  2 0 0 8 1 4   · = 3 0 2 1 1 0 4 11 1 14 | {z } 0 1 0 P | {z } Q

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilië gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrix P · Q en dat is gelijk aan 14. Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd.

a1 a2

2 1

1 0

0 2

1 1

matrix P =

2 1

1 0

0 2

1 1

Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 % b1 ’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1 , namelijk a1 % b1 = 2. Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazili¨e naar Canada voor.

% b1 b2 b3 b4

3 2 1 0

0 0 0 1

2 0 4 0

 3 2 matrix Q =  1 0

0 0 0 1

 2 0  4 0

B-83

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

3 Modelvoorbeeld. De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s1 , s2 , s3 en s4 . (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sj met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naar s1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

metro van Londen

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

1 · 0 = 15 3 · 4 + |{z} 2 · 1 + |{z} 1 · 1 + |{z} |{z}

via s1

via s2

via s3

(∗∗)

via s4

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗∗) herkennen we:   1 1 aantal verbindingen van s1 naar s4  1 2 3 1 · 4 = 15 via ´e´en tussenstop is 0

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging:       1 2 3 1 1 2 3 1 15 3 7 15 2 0 0 1 2 0 0 1  3 5 10 2        3 0 0 4 · 3 0 0 4 =  7 10 25 3  1 1 4 0 1 1 4 0 15 2 3 18 | {z } | {z } P

(c) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstops berekenen? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s1 naar s4 met twee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s1 , dan levert dat 1 mogelijkheid van s1 naar s1 , daarna 15 mogelijkheden van s1 naar s4 . Analoog met een andere eerste tussenstop levert: aantal verbindingen van s1 naar s4 via twee tussenstops is

1| {z · 15}

via eerst s1

2·3 |{z}

via eerst s2

3·7 |{z}

via eerst s3

· 15} |1 {z

= 57

via eerst s4

We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P 2 :   15 3 aantal verbindingen van s1 naar s4  1 2 3 1 ·  7  = 57 via twee tussenstops is 15

Om met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via twee tussenstops te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging P · P 2 = P 3 .

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. 2ND

MATRIX

EDIT

2ND

MATRIX

ENTER

1:[A]

ENTER etc.

∧ . . . ENTER

2ND

QUIT

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (4, 1)-de element van de matrix P 3 en dus gelijk aan 46. Opmerking. De matrix P 3 noemen we de driestapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstops berekenen? Analoog als in (c) doen we dat door P 11 te berekenen. Ter informatie: met behulp van de grafische rekenmachine vinden we  149 869 761 75 960 622 175 822 703  75 960 622 32 716 288 74 726 032 11 P = 175 822 703 74 726 032 170 475 048 139 575 045 73 743 273 171 209 552

 139 575 045 73 743 273   171 209 552 128 430 948

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (1, 1)-de element van de matrix P 11 en dus gelijk aan 149 869 761. Opmerking. De matrix P 11 noemen we de elfstapsverbindingsmatrix van de totale graaf. B-85

Jan Van Eyckplein,Brugge

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf: 0, 05

0, 97

0, 95

platteland

stad

0, 95 · 60 000 | {z }

aandeel van stad

Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na ´e´en jaar:

0, 03 · 40 000 {z } |

= 58 200

(∗)

aandeel van platteland

0, 05 · 60 000 + 0, 97 · 40 000 = 41 800

0, 95

60 000 0, 03 · = 58 200 40 000

0, 05

60 000 0, 97 · = 41 800 40 000

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: 60 000 58 200 0, 95 0, 03 · = 40 000 41 800 0, 05 0, 97 {z } | {z } | P

stad platteland

stad

platteland

0, 95 0, 05

0, 03 0, 97

0, 95 matrix P = 0, 05

0, 03 0, 97

Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad . platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad . platteland = 0, 05.

1 Een

overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

B-86

(a) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaar kennen. Dat is een aandeel van 0, 95 keer het aantal mensen in de stad na één jaar, plus een aandeel van 0, 03 keer het aantal mensen op het platteland na één jaar: aantal mensen in de stad na twee jaar:

0, 95 · 58 200 {z } |

aandeel van stad

0, 03 · 41 800 | {z }

= 56 544

aandeel van platteland

We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P · Q: 58 200 aantal mensen in de stad 0, 95 0, 03 · = 56 544 na twee jaar: 41 800

Om met ´e´en bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging 0, 95 0, 03 58 200 56 544 · = 0, 05 0, 97 41 800 43 456 {z } | {z } | P ·Q

Merk op dat we ook eerst P 2 kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met Q: 0, 95 0, 03 60 000 0, 904 0, 0576 60 000 56 544 0, 95 0, 03 · · = · = 0, 05 0, 97 40 000 0, 096 0, 9424 40 000 43 456 0, 05 0, 97 {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | P

Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van je grafische rekenmachine): 5 0, 95 0, 03 60 000 52 329 · ≈ 0, 05 0, 97 40 000 47 671 | {z } | {z } Q

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert? Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeld na 50 of zelfs 100 jaar. Analoog als in (a) doen we dat door P 50 · Q of P 100 · Q te berekenen. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we:

0, 95 0, 05

50 0, 03 60 000 37 848 · ≈ 0, 97 40 000 62 152 {z } | {z } Q

P 50

100 0, 95 0, 03 60 000 37 505 · ≈ 0, 05 0, 97 40 000 62 495 | {z } | {z } Q

P 100

Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld 200 of 250) dan merken we dat het aantal mensen in de stad evolueert naar 37 500.

B-87

roodkopvuurkever (Pyrochroa serraticornis)

Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

100

eitje

larve

0, 05

insect

0, 2

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap 1. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na ´e´en maand:

0 3000} | · {z

aandeel van eitjes

0| · {z 2000}

aandeel van larven

· 1000} |100 {z

= 100.000

(∗∗)

aandeel van insecten

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking (∗∗) herkennen we:   3000 aantal eitjes 0 0 100 · 2000 = 100.000 na ´e´en maand: 1000

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging:       0 0 100 3000 100.000 0, 05 0 0  · 2000 =  150  0 0, 2 0 1000 400 | {z } | {z } P

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Lesie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2 Een

B-88

(b) Hoe kunnen we met ´e´en bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):     2  40 000 3000 0 0 100 0, 05 0 0  · 2000 =  5000  30 1000 0 0, 2 0 {z } | {z } | Q

Na twee maanden zijn er dus 40 000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):     8  3000 40 000 0 0 100 0, 05 0 0  · 2000 =  5000  1000 30 0 0, 2 0 {z } | {z } | Q

Ook na acht maanden zijn er 40 000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft? Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 40 000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten. Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon:    3000     oorspronkelijk: Q = 2000     1000        100.000  na één maand: P · Q =  150    40         40 000     na twee maanden: P 2 · Q =  5000    30    3000     na drie maanden: P 3 · Q = 2000 zelfde als oorspronkelijk!     1000        100.000  na vier maanden: P 4 · Q =  150  zelfde als na één maand!   40         40 000     na vijf maanden: P 5 · Q =  5000  zelfde als na twee maanden!   30

De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde. Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten.

B-89

ONDERWERP

5 VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES MET AFGELEIDEN

. Afgeleide functie: f 0 (x) = 2x

. Grafiek:

f 0 (x) = 2x

f (x) = x

−2

−1

−2

−1

f (x)

min

−1

0 &

. Tekentabel van f 0 (x)

. Tabel stijgen/dalen van f (x) x

−1

f 0 (x)

−

We merken het volgend verband op tussen deze tabellen. f stijgend

f ′ positief

f dalend

f ′ negatief Weet je ook waarom? Neem bijvoorbeeld x = 1

f is stijgend in x = 1

f ′ (1) | {z }

rico raaklijn

raaklijn in x = 1 is stijgend B-90

= 2·1 > 0

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x3 + x2 − 8x + 6. (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal grafisch de tabel stijgen/dalen van f . (c) Bepaal algebra¨ısch de tekentabel van de afgeleide f 0 en leid daaruit de tabel stijgen/dalen van f af. Oplossing. (a) Y=

WINDOW

GRAPH

Tabel stijgen/dalen van f :

f (x)

max

1, 33 . . . &

min

(c) Om de tekentabel van f 0 te maken, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. f 0 (x) = 3x2 + 2x − 8 Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0 ⇔ 3x2 + 2x − 8 = 0 D = b2 − 4ac = 22 − 4 · 3 · (−8) = 100 √ √ −2 ± 100 −b ± D ⇔ x= = 2a 2·3 ⇔ x = −2

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

−2

x 0

4 = 1, 33 . . . 3

1, 33 . . .

f (x)

−

f (x)

max

min

B-91

3 Besluit.

1. Vraag: Bepaal algebra¨ısch de tabel stijgen/dalen van f . 2. Recept: Maak de tekentabel van f 0 Stap 1. f 0 (x) = . . . Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0 ⇔ ...

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

...

f 0 (x)

f (x)

% max

... −

−

min %

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = −x3 + 3x2 − 2 Bepaal algebra¨ısch de tabel stijgen/dalen van f . Oplossing. Recept: Maak de tekentabel van f 0 Stap 1. f 0 (x) = −3x2 + 6x Stap 2. Nulwaarden van f 0 : Los op

Stap 3. Tekentabel van f 0 :

f 0 (x) = 0

⇔

−3x2 + 6x = 0

⇔

x(−3x + 6) = 0

⇔

x=0

− 3x + 6 = 0

⇔

x=0

x=2

f 0 (x)

−

f (x)

min

max

Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

B-92

ONDERWERP

6 EXTREMUMPROBLEMEN

Oplossing. Met een GeoGebra-applet applet zoals hierboven 1 komen we er snel achter dat de inhoud van de doos afhankelijk is van de waarde van x. (Dit kun je ook zelf beredeneren: wat is de inhoud van de doos als x bijna 0 cm is?) We lossen het vraagstuk oplossen aan de hand van een stappenplan. Stap 1. Stel de goede vraag en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke x is inhoud van {z de doos} maximaal/minimaal (schrappen wat niet past)? | functie

Stap 2. Zoek het functievoorschrift. Dus functie van | {z } = inhoud | {z de doos} f (x)

1 Deze

oppervlakte grondvlak × hoogte

lengte grondvlak × breedte grondvlak × hoogte

(20 − 2x) · (10 − 2x) · x

(200 − 40x − 20x + 4x2 ) · x

200x − 60x2 + 4x3

4x3 − 60x2 + 200x

dynamische applet vind je terug op de website http://www.geogebratube.org/student/m165830

B-94

Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke x is f (x) = 4x3 − 60x2 + 200x maximaal? Recept: Maak een tekentabel van f 0 . Stap 3.1 f 0 (x) = 12x2 − 120x + 200 Stap 3.2 Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0

⇔

12x2 − 120x + 200 = 0

⇔

3x2 − 30x + 50 = 0 D = b2 − 4ac = (−30)2 − 4 · 3 · 50 = 300

⇔

√ √ −b ± D 30 ± 300 x= = 2a 2·3

⇔

x = 2, 113 . . .

x = 7, 886 . . .

Stap 3.3 Tekentabel van f 0 : aandacht voor het praktisch domein! x

2, 113 . . .

f 0 (x)

///

−

///

f (x)

///

max

///

Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

Antwoord. De inhoud van de doos is maximaal voor x = 2, 113 . . .cm.

B-95

Oplossing. Met een GeoGebra-applet zoals hierboven 2 (gemaakt met GeoGebra) zien we in dat de oppervlakte van het terrein afhangt de waarde van l en de waarde van b. (Dit kun je ook zelf beredeneren: als de breedte b bijna 20 m is, wat is de lengte l dan en wat is de oppervlakte dan?) We gebruiken opnieuw ons stappenplan om ons vraagstuk op te lossen. Stap 1. Stel de goeie vraag en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke l, b is oppervlakte van het terrein maximaal/minimaal (schrappen wat niet past)? {z } | functie

Stap 2. Zoek het functievoorschrift.

Dus functie van het terrein | {z } = oppervlakte | {z }

vul aan vul aan

f (x)

oppervlakte rechthoek

lengte × breedte

l · b Probleem: twee letters l en b Oplossing: Zoek een verband tussen l en b 40 = b + l + b ⇒ 40 = 2b + l

welk gegeven nog niet gebruikt?

⇒ l = 40 − 2b =

(40 − 2b) · b

40b − 2b2

Dus f (x) = 40x − 2x2

2 Deze

dynamische applet vind je terug op de website http://www.geogebratube.org/student/m165843

B-96

Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke x is f (x) = 40x − 2x2 maximaal? Recept: Maak een tekentabel van f 0 . Stap 3.1 f 0 (x) = 40 − 4x Stap 3.2 Nulwaarden van f 0 : Los op

f 0 (x) = 0

⇔

40 − 4x = 0

⇔

4x = 40

⇔

x = 10

Stap 3.3 Tekentabel van f 0 : aandacht voor het praktisch domein! x

f 0 (x)

///

−

///

f (x)

///

max

///

Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine. Y=

WINDOW

GRAPH

Antwoord. De oppervlakte van het terrein is maximaal voor b = 10m en l = 20m.

B-97

ONDERWERP

7 TELPROBLEMEN ZONDER HERHALING

Hoeveel

Volgorde: ja Herhaling: nee

Gevraagd is het aantal variaties zonder herhaling van 3 uit 23. Dat getal noteren we met 3 V23 en kunnen we berekenen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen.

23 leerlingen

Joke Karen .. .

1ste

2de

3de

Joke

Karen

Piet

Leonard

Ann .. .

Joke

˙˙ ˙

3 V23 = 23 · 22 · 21 = 10 626 mogelijkheden

23 · 22 · 21 · 20 · 19 . . . · 2 · 1 23! 23! = = 20 · 19 . . . · 2 · 1 20! (23 − 3)!

Gebruik van de grafische rekenmachine. 23

MATH

PRB

2:nPr

3 Algemeen. Het aantal variaties zonder herhaling van p uit n is

Vnp =

ENTER

n! (n − p)!

3 Voorbeeld 1. Het alfabet telt 26 letters. Hoeveel woorden met 6 verschillende letters kun je hiermee vormen? Oplossing.

26 letters

a b .. .

˙˙ ˙

c q z a d p .. .

6 V23 = 72 681 840 mogelijkheden

1 Tenzij

anders vermeld staan de letters p en n steeds voor natuurlijke getallen met p ≤ n.

B-98

3 Voorbeeld 2. In een lokaal zijn 30 plaatsen beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen de 23 leerlingen van klas 6dEcMT plaatsnemen? Oplossing.

30 plaatsen Ann plaats 1 plaats 2 .. .

Bruno

plaats 17 plaats 13 .. .

˙˙ ˙

...

Wouter

...

plaats 5

23 V30 = 5, 26 . . . · 1028 mogelijkheden

Volgorde: ja Herhaling: nee

Gevraagd is het aantal permutaties zonder herhaling van 23. Dat getal noteren we door P23 en kunnen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen, verkrijgen we een eenvoudige formule.

23 leerlingen

Joke Karen .. .

1ste

2de

...

23ste

Hans

Eva

...

Joke

˙˙ ˙ P23 = 23 · 22 · 21 · . . . · 2 · 1 = 23! = 2, 58 . . . · 1022 mogelijkheden 23 = V23 =

23! 23! = (23 − 23)! 0!

daarom spreken we af dat 0! = 1

5 letters b

r u g

˙˙ ˙

g r b e u .. .

e P5 = 5! = 120 mogelijkheden

B-99

Volgorde: nee Herhaling: nee

3 Gevraagd is het aantal combinaties zonder herhaling van 3 uit 23. Dat getal noteren we met C23 en kunnen we berekenen door de mogelijkheden schematisch voor te stellen.

23 leerlingen 3 leerlingen Piet Jasper .. .

Joke Karen Piet

˙˙ ˙ 3 C23 |

1ste

2de

3de

Joke

Karen

Piet

˙˙ ˙ P3 } 3 3 dus C23 · P3 = V23

{z 3 V23

23!

3 V23 (23−3)! = P3 3! 23! = = 1771 mogelijkheden 3!(23 − 3)!

3 ⇒ C23 =

Gebruik van de grafische rekenmachine. 23

MATH

PRB

3:nCr

3 Algemeen. Het aantal combinaties zonder herhaling van p uit n is Cnp = 3 Opmerking. Men schrijft

Cnp

ENTER

n! p! (n − p)!

n 3 ook als . Zo is bijvoorbeeld = C32 = 6. p 2

97 leerlingen

5 leerlingen

˙˙ ˙ 5 C97 = 64 446 024 mogelijkheden

B-100

REFERENTIELIJST

[1] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerboek matrices en stelsels (beknopte versie), Die Keure. [2] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8 leerboek analyse 1: reële functies, Die Keure. [3] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8 leerboek analyse 2: differentiaalrekening A, Die Keure. [4] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs 150 (2012), 128-133. [5] K. De Naeghel. Wiskunde In zicht. Print-on-demand online publishing Lulu.com, 2013. [6] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter vijfde jaar leerboek reële functies, Van In, 2004. [7] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter vijfde jaar leerboek rijen en afgeleiden, Van In, 2004. [8] P. Gevers, J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Tytgat, Delta 5 (6/8 lesuren) Analyse Deel 1, Wolters Plantyn, 2003. [9] P. Gevers, J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Tytgat, Delta 5 (4 lesuren) Analyse, Wolters Plantyn, 2004. [10] K. J¨ anich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994. [11] M. Mashaal, Bourbaki: een geheim wiskundig genootschap, Amsterdam: Natuurwetenschap & Techniek, 2009. [12] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002. [13] C. van Hoorebeke en H. Bingé, Analyse: Afgeleiden van reële functies, Mariagaard, Kwatrecht-Mechelen, 2012. [14] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, WoltersNoordhoff Groningen/Houten, 2006. [15] P. Wauters, Wiskunde voor toegepaste economische wetenschappen deel 1, Universiteit Hasselt, 2000.

102

BRONNENLIJST VOOR AFBEELDINGEN

Afbeelding

Pagina

Bron

leerlingen cartoon fietscomputer koffie Finniss rivier zeester metro Brugge roodkopvuurkever leeuwenbekken Petersen-graaf wandelaar CD-speler atletiekpiste auditorium lottobulletin

1 2 11 18 23,75 29 34, 84 36, 86 38, 88 41 41 45 52 53 55, 99 57

http://www.faronics.com/ http://www.glasbergen.com/ http://www.elan.cc/ http://www.thecoffeemansouthwest.co.uk/ http://www.weeds.crc.org.au/ http://www.dierenplaza.nl/ http://www.terragalleria.com/ http://www.op-reis.com/ http://forum.belgiumdigital.com/ http://www.bakker-hillegom.nl/ http://www.migration-population.ch/ http://www.tsang.nl/ http://image.made-in-china.com/ http://www.stabo.be/ http://www.combifin.be/ http://www.nationale-loterij.be/

104

Leerlingen in de derde graad krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren die moeilijk te visualiseren zijn. Leerkrachten wiskunde staan dan ook voor de uitdaging om die abstracte concepten op een eenvoudige maar efficiÂ¨ente en correcte manier uit te leggen. De kans op succes wordt in hoge mate bepaald door de manier waarop de begrippen worden aangebracht. In dit boek bieden we enkele didactische wenken aan om formules en praktische werkwijzen voor het oplossen van oefeningen over te brengen. We voorzien een zevental werkbundels voor in de klas. De behandelde onderwerpen komen voor op de leerplannen van het ASO en TSO met studierichtingen vanaf drie wekelijkse lestijden wiskunde: 3 rekenregels voor logaritmen en afgeleiden, 3 homografische, inverse en logaritmische functies, 3 toepassingen op matrices, 3 verloop van veeltermfuncties en 3 extremumproblemen, 3 telproblemen.

c 2009 Koen De Naeghel royalty percentage: 0%

ISBN 978-1-326-03654-6

90000

9 781326 036546