Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 3 Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties
01/10/2017
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 1 oktober 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 3
Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties Tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties kennen heel wat toepassingen. In dit hoofdstuk zullen we enkele daarvan bespreken. Daarbij zullen we gebruik maken van formules en eigenschappen uit de vorige twee hoofdstukken. (1) Snijpunten zoeken.
Hieronder zijn de grafieken van f en g getekend, met
Krijgen we twee functies f en g, dan kunnen we de grafiek van f samen met de grafiek van g plotten, zoals bijvoorbeeld hiernaast.
f (x) = πx2 + 2πx
Zijn die functies constant, van de eerste graad of van de tweede graad dan kunnen we de snijpunten van die grafieken algebra¨ısch bepalen.
en
g(x) = π(2x − 1) +
77 . 49
Hoeveel snijpunten hebben deze grafieken? f
(2) Ongelijkheden oplossen.
y
In het derde jaar heb je geleerd hoe je elke ongelijkheid van graad ´e´en kan oplossen, zoals: 5x + 4 ≥ 30x + 14. Nu leren we een werkwijze om elke ongelijkheid van graad twee op te lossen, bijvoorbeeld:
x
2(x2 − 6) ≥ 1 − (x − 4)2 . (3) Vraagstukken op tweedegraadsvergelijkingen en ongelijkheden.
g Sommige vraagstukken leiden tot een vergelijking of ongeljkheid van graad twee, zoals: Piet moet 1500 kg zand vervoeren met een kruiwagen en rijdt daarvoor een aantal keren heen en weer. Als hij per rit 25 kg meer zou laden, dan zou hij drie keren minder heen en weer moeten rijden. Hoeveel zand vervoert Piet per keer?
We leren zo’n vraagstukken op te lossen aan de hand van een stappenplan. (4) Vraagstukken op tweedegraadsfuncties. Bij sommige vraagstukken wordt een bepaald verschijnsel beschreven met een tweedegraadsfunctie, bijvoorbeeld: Een tennisster slaat een bal terug volgens een parabolische baan met vergelijking h(x) = −0, 24 x2 + 1, 4 x + 1, 88
met h(x) de hoogte van de bal (in meter) bij een horizontale verplaatsing x ten opzichte van de speelster. Na het lezen van de context moet je enkele vragen oplossen met behulp van je grafische rekenmachine. Dat kun je pas tot een goed einde brengen wanneer je de context van het vraagstuk goed begrepen hebt. In andere vraagstukken zijn zogenaamde extremumproblemen. Daarbij moet je nagaan wanneer iets zo groot mogelijk (maximaal) of zo klein mogelijk (minimaal) is, bijvoorbeeld: Van een re¨eel getal trekken we zijn kwadraat af. Wanneer is dit verschil zo groot mogelijk? Ook voor deze vraagstukken leren we een stappenplan aan. III-1
3.1
Snijpunten zoeken
3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de functies f (x) = −3x − 1 en g(x) = x2 − 2x − 3. (a) Schets beide grafieken in ´e´en assenstelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g. (c) Controleer je antwoord op vraag (b) met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossing. (a) Schets:
(b) Voor een x-waarde snijdt de grafiek van f met de grafiek van g ⇔
(c) Y=
<
...
WINDOW
ENTER
GRAPH
2ND
>
CALC
ENTER
III-2
5
ENTER
3.2
Ongelijkheden oplossen
3 Op ontdekking. Bepaal telkens algebra¨ısch alle x-waarden die aan de ongelijkheid voldoen. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (a) 5x + 4 ≥ 30x + 14
(b) 5x2 < 25 Oplossing.
(a) In het derde jaar heb je gezien hoe je elke eerstegraadsongelijkheid rechtstreeks kan oplossen (eerste manier). Maar je kan een ongelijkheid ook oplossen aan de hand van een tekentabel (tweede manier). Bij wijze van voorbeeld zullen we hier beide manieren uitwerken. . Eerste manier Breng alle termen met x naar linkerlid en alle termen zonder x naar rechterlid. 5x + 4 ≥ 30x + 14 ⇔
...
Controle met behulp van de grafische rekenmachine.
. Tweede manier Breng alle termen naar het linkerlid. Die vat je op als het voorschrift van een functie. Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken. 5x + 4 ≥ 30x + 14 ⇔
...
III-3
(b) Hieronder gaan we na of we ook tweedegraadsongelijkheden op twee manieren kunnen oplossen. . Eerste manier Breng alle termen met x naar linkerlid en alle termen zonder x naar rechterlid. Daarna probeer je om naar x toe te werken. . . 5x2 < 25 â&#x2021;&#x201D;
...
Controle met behulp van de grafische rekenmachine.
. Tweede manier Breng alle termen naar het linkerlid. Die vat je op als het voorschrift van een functie. Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken. 5x2 < 25 â&#x2021;&#x201D;
...
III-4
3 Modelvoorbeeld 1. Los de volgende ongelijkheid algebra¨ısch op: 2(x2 − 6) ≥ 1 − (x − 4)2 Vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Geef daarna de meetkundige betekenis van deze ongelijkheid. Oplossing. We passen meteen de juiste werkwijze toe: werk uit en breng alle termen naar het linkerlid. Die vat je op als het voorschrift van een functie. Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken. 2(x2 − 6) ≥ 1 − (x − 4)2 ⇔
...
Meetkundige betekenis. We kunnen het linkerlid van de ongelijkheid opvatten als een functievoorschrift f (x) = 2(x2 − 6). Analoog kunnen we ook het rechterlid van de ongelijkheid zien als een functie g(x) = 1 − (x − 4)2 . De oplossingen x van deze ongelijkheid 2(x2 − 6) ≥ 1 − (x − 4)2 zijn nu precies de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven of op de grafiek van g ligt.
III-5
3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven zijn de functies f (x) = −4x(x + 2)
en
g(x) = 2(x − 1).
(a) Schets beide grafieken in ´e´en assenstelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de grafiek van g ligt. Oplossing. (a) Schets:
(b) Voor een x-waarde ligt de grafiek van f boven de grafiek van g ⇔
...
III-6
3.3
Vraagstukken op tweedegraadsvergelijkingen en ongelijkheden
In deze paragraaf komen vraagstukken aan bod die leiden tot een vergelijking of een ongelijkheid van graad twee. De stappen hieronder kunnen je helpen om zo’n vraagstuk op te lossen. (1) Verken betekent: maak een tekening, een schets, een tabel of geef enkele voorbeelden zodat je het probleem beter begrijpt. Pas als je echt door hebt wat er gegeven is en wat er gevraagd wordt, kun je overgaan naar de volgende stap. (2) Noem x datgene wat je zoekt. Dat is een getal, een lengte, een hoeveelheid. . . die je moet zoeken. (3) Vergelijking/ongelijkheid betekent: de gegevens van het vraagstuk uitdrukken in x en daardoor een vergelijking of ongelijkheid opstellen. Eens je die tweedegraadsvergelijking of ongelijkheid gevonden hebt, dan moet je die oplossen om zo x te vinden. Het oplossen mag met de grafische rekenmachine, tenzij er expliciet in de opgave staat dat je het vraagstuk algebra¨ısch moet oplossen.
Vraagstuk (1) Verken
(2) Noem x
(4) Antwoord formuleren in een volzin. Let op de eenheden! (5) Controleer door jouw antwoord te toetsen aan de opgave van het vraagstuk.
(3) Vergelijking/ (3) ongelijkheid
De volgende modelvoorbeelden laten zien hoe deze stappen je helpen om vraagstukken op te lossen. 3 Modelvoorbeeld 1 (vraagstuk met vergelijking). Als we de zijden van een vierkant met 3 vermenigvuldigen, dan wordt de oppervlakte van het vierkant 392 m2 groter. Hoe lang is een zijde van het oorspronkelijke vierkant? Los algebra¨ısch op. Oplossing.
(4) Antwoord
(5) Controleer
(1) Verken Teken het oude en het nieuwe vierkant en duid aan wat je weet en wat je zoekt.
(2) Noem x . . . (3) Vergelijking We weten dat oppervlakte nieuw vierkant gelijk is aan oppervlakte oud vierkant plus 392.
(4) Antwoord De lengte van het oorspronkelijke vierkant is gelijk aan . . . (5) Controle
III-7
3 Modelvoorbeeld 2 (vraagstuk met vergelijking). Piet moet 1500 kg zand vervoeren met een kruiwagen en rijdt daarvoor een aantal keren heen en weer. Als hij per rit 25 kg meer zou laden, dan zou hij drie keren minder heen en weer moeten rijden. Hoeveel zand vervoert Piet per keer? Oplossing.
kruiwagen
3 Modelvoorbeeld 3 (vraagstuk met ongelijkheid). De som van de kwadraten van twee opeenvolgende oneven natuurlijke getallen is meer dan 1 000 000. Bepaal de kleinste twee getallen die voldoen. Oplossing.
III-8
3.4
Vraagstukken op tweedegraadsfuncties
Tweedegraadsfuncties worden gebruikt om bepaalde verschijnselen rondom ons te beschrijven. Zo heeft bijvoorbeeld de baan van een uitgetrapte voetbal de vorm van een parabool (zie figuur).1 3 Modelvoorbeeld 1 (vraagstuk met context). Een tennisster slaat een bal terug volgens een parabolische baan met vergelijking h(x) = â&#x2C6;&#x2019;0, 24 x2 + 1, 4 x + 1, 88. Hierbij staat h(x) voor de hoogte van de bal bij een horizontale verplaatsing x ten opzichte van de speelster. Zowel de hoogte h(x) als de verplaatsing x worden in meter uitgedrukt. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. Lengtes afronden op 1 centimeter nauwkeurig. (a) (b) (c) (d) (e) (f)
De baan van een uitgetrapte voetbal heeft de vorm van een parabool.
Plot de grafiek van h en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt. Op welke hoogte raakt de speelster de bal? Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de functie h. Hoe ver van de speelster raakt de bal de grond? Wat is de maximale hoogte van de bal? Over welke afstand was de bal minstens 3 meter hoog?
Oplossing. (a) Om geschikte vensterinstellingen te vinden, bedenken we dat de y-waarde de hoogte voorstelt die in de praktijk positief is. Met TABLE gaan we na voor welke x-waarden de corresponderende y-waarde positief is, en nemen als Ymax iets meer dan de maximale y-waarde in de tabel (vul aan). Y=
2ND
TABLE
WINDOW
GRAPH
(b) (c) Theoretisch domein: dom h = . . . Praktisch domein: de positieve x-waarden waarvoor h(x) â&#x2030;Ľ 0. We zoeken de nulwaarden met het commando zero. Uit Table weten we dat de positieve nulwaarde zich tussen x = 6 en x = 7 bevindt. Als de grafische rekenmachine LeftBound? vraagt, dan tikken we 6 in. Bij RightBound? tikken we 7. Bij Guess? drukken we gewoon op ENTER. 2ND
CALC
2:zero
6
ENTER
7
ENTER
ENTER
Antwoord. Het praktisch domein is . . . 1 Strikt
genomen is de baan van een uitgetrapte voetbal enkel parabolisch in het luchtledige. Dat werd voor het eerst beschreven en aangetoond door Galileo Galilei in 1638, en zul je zien in het vak fysica in het zesde jaar. Hou je toch rekening met de luchtweerstand, dan is de parabool toch nog een goede benadering van de baan van een voetbal, op voorwaarde dat de speler de voetbal niet met effect speelt. De lezer moet zich bewust zijn van het feit dat niet alles wat op de vorm van een parabool LIJKT, daarom ook de vorm van een parabool IS. Zo beweerde Galilei in 1638 dat een opgehangen ketting de vorm heeft van een parabool. Twintig jaar later ontdekte de 16-jarige Christiaan Huygens dat Galilei ongelijk had. Wat het dan wel is, zien we in het vak wiskunde 6u-8u in de derde graad.
III-9
(d)
(e) We zoeken het hoogste punt van de grafiek van h met het commando maximum. We schatten dat de x-waarde van de top tussen x = 2 en x = 4 ligt. 2ND
CALC
4:maximum
2
ENTER
4
ENTER
ENTER
Berekening:
Antwoord. De maximale hoogte van de bal is ongeveer . . . (f) We plotten de rechte y = 3 en bepalen met intersect de snijpunten van de rechte met de grafiek van h. De snijpunten moeten we met de cursor benaderen. y=
<
ENTER
GRAPH
2ND
CALC
ENTER
ENTER
Berekening:
Antwoord. De bal was minstens 3 meter hoog over een afstand van ongeveer . . .
III-10
5:intersect
Bij een extremumprobleem wordt gevraagd om na te gaan wanneer iets zo groot mogelijk (maximaal) of zo klein mogelijk (minimaal) is. Een maximum of een minimum wordt ook wel een extremum genoemd. De stappen hieronder kunnen je helpen om zo’n extremumprobleem op te lossen. (1) Verken betekent: maak een tekening, een schets, een tabel of geef enkele voorbeelden zodat je het probleem beter begrijpt. Pas als je echt door hebt wat er gegeven is en wat er gevraagd wordt, kun je overgaan naar de volgende stap. (2) Stel de vraag Voor welke . . . is . . . . . . maximaal of minimaal? Het eerste is de onbekende x, het tweede is het functievoorschrift f (x). Typisch is dat de functie f een eerstegraadsfunctie of een tweedegraadsfunctie is. Zijn er twee onbekenden, dan moet je op zoek gaan naar een verband tussen de onbekenden. Dat staat vaak verborgen in de opgave van het vraagstuk (gegevens). (3) Maak tabel stijgen/dalen van de functie f . Dat mag met de grafische rekenmachine, tenzij er expliciet in de opgave staat dat je het vraagstuk algebra¨ısch moet oplossen. In elk geval moet je bij de tabel stijgen/dalen rekening houden met het praktisch domein: de kleinst en grootst mogelijke waarde van x moeten in je tabel vermeld staan.
Extremumprobleem (1) Verken
(2) Stel de vraag
(3) Maak tabel stijgen/dalen
(4) Antwoord
(4) Antwoord formuleren in een volzin. Let op de eenheden! (5) Controleer eventueel door jouw antwoord te toetsen aan de opgave van het extremumprobleem.
(5) Controleer
De volgende modelvoorbeelden laten zien hoe deze stappen je helpen om extremumproblemen op te lossen. 3 Modelvoorbeeld 2 (extremumprobleem). Van een re¨eel getal trekken we zijn kwadraat af. Wanneer is dit verschil zo groot mogelijk? Oplossing. (1) Verken Schrijf enkele voorbeelden op.
(2) Stel de vraag Voor welke . . . . . . is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maximaal/minimaal? Dus functie = . . .
(3) Maak tabel stijgen/dalen
(4) Antwoord Dit verschil is zo groot mogelijk voor . . . (5) Controle III-11
3 Modelvoorbeeld 3 (extremumprobleem). Een rechthoekig terrein heeft een omtrek van 36 m. Hoe groot moeten de lengte en de breedte van het terrein genomen worden opdat de oppervlakte van het terrein maximaal wordt? Los algebra¨Ĺsch op. Oplossing.
III-12