Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 3 Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties
01/10/2017
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 1 oktober 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk
3
Toepassingen op tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties Tweedegraadsvergelijkingen en tweedegraadsfuncties kennen heel wat toepassingen. In dit hoofdstuk zullen we enkele daarvan bespreken. Daarbij zullen we gebruik maken van formules en eigenschappen uit de vorige twee hoofdstukken.
(1) Snijpunten zoeken. Hieronder zijn de grafieken van
Krijgen we twee functies Í en g, dan kunnen we de gra"fiek van / samen met de grafiek van g plotten, zoals bijvoorbeeld hiernaast.
f@)
Zijn die functies constant, van de eerste graad of van de tweede graad dan kunnen we de snijpunten van die gra.fieken algebrarsch bepalen.
:nr2 +2trr en
/
s@)
en g getekend, met
:r(2r-I)+X.
Hoeveel snijpunten hebben deze grafi.eken?
(2) Ongelijkheden oplossen. In het derde jaar heb je geleerd
hoe je elke onge' lijkheid van graad één kan oplossen, zoals:
5r*4>30r*14. Nu leren we een werkwijze om elke ongelijkheid van graad twee op te lossen, bijvoorbeeld:
2(*'-6) >1-("-4)". (3) Vraagstukken op tweedegraadsvergelijkingeng\ ongelijkheden. Sommige vraagstukken leiden tot een vergelijking of ongeljkheid van graad twee, zoals: P'i,et moet 1'500 kg zand uervoeren met een bu'iwagen en rijd,t daaraoor een aantal lceren heen en weer. Als hij per ri,t 25 kg rneer zou laden, d,an zou hij drie keren m'inder heen en weer moeten rijden. Hoeueel zand, uer"uoert P'iet per keer?
We leren zo'n vraagstukken op te lossen aan de hand van een stappenplan.
(4) Vraagstukken op tweedegraadsfuncties. Bij sommige vraagstukken wordt een bepaald verschijnsel beschreven met Een tenn'isster slaat een
bo,l teru,g
uolgens een paraboli^sche baan met uergeli,jki,ng
h(r): met
h(r)
d"e
een tweedegraadsfunctie, bijvoorbeeld:
-0,24n2
*7,4r + 1,88
hoogte aan de bal (i,n meter) bi,j een horizontale uerplaats'ing
n ten
opz'ichte uan de speelster.
Na het lezen van de contert moet je enkele vragen oplossen met behulp van je grafische rekenmachine. Dat kun je pas tot een goed einde brengen \Manneer je de context van het vraagstuk goed begrepen hebt. In andere vraagstukken zijt zogenaamde ertrvmumproblemen. Daarbij moet je nagaan wanneer iets zo groot mogelijk (maximaal) of zo klein mogelijk (minimaal) is, bijvoorbeeld: Van een reëel getal treklcen we z'ijn kwad,raat
af. Wanneeris
Ook voor deze waagstukken leren we een stappenplan aan.
III-1
d'ít uersch'il zo groot mogeli,jk?
3.1
l^t
Snijpunten zoeken
O Modelvoorbeeld.
Gegeven zijn de functies
l@) : -3r -
1 en
9(r) : t2 - 2r -
3.
(a) Schets beide grafieken in één assenstelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal algebraïsch de snijpunten van de grafiek van / met de grafiek va,rl g. (c) Controleer je antwoord op vraag (b) met behulp van je gra,fische rekenmachine. Oplossi,ng.
(a)
Schets:
(b) Voor een r-waarde snijdt de grafiek varr
(+
E*\ i*!cw,, hr.slr" L 'ttq*
\n=1tn
=
\"
).o
(Ê:\ .- 3 \(-- tl- = xL- t-k q
/
!
met de gra.fiek van g
\'tu\YÀ^,{45*,3'.
r
X tX-L =s
t- L\ =ï: i {j=
\
X=
-,L !x
\*,'5*f,, L (")
L
q
./
\1-
nogl^lu*
EF-ïNpolrlrcRAPHl
b' \" (-t.\t.\ '-_'., @lcAlcl
-\
ew
V(n.Wf) *q
tr
rErrdnE|n [: value Tzzero
3: minimum
{: maximum
iEintersecà i: dgzdx Z: f f (x)dx Ílrtt
X:0
tr
tr
E-NrER-l
Sacohd cu.fue?
N:'1.515!.52
Y:2.3259871
E-NrERl
6u.ets?
X.'1.515152
III-2
curoe?
Y5'l
tENrERl
Y:2.32598?1
Intersection
ll='?
Y:5
3,2
Ongelijkheden oplossen
O Op ontdekking. Bepaal telkens algebrai'sch alle r-rvaarden die aan
de ongelijkheid voldoen. Controleer nadien
met behulp van je grafische rekenmachine.
(a) 5r + 4> 30r + (b) 5r2 < 2s
14
OpIossi,ng.
(a) In het derde jaar heb je gezien hoe je elke eerstegraadsongelijkheid rechtstreeks kan oplossen (eerste manier). Maar je kan een ongelijkheid ook oplossen aan de hand van een tekentabel (tweede manier). Bij wijze van voorbeeld zullen we hier beide manieren uitwerken.
> lEerste manier I Breng alle termen met
5r*4>30r*14 -.í.x- ?s \< >
-
(=\
naar linkerlid en alle termen zonder
rrr'L \Àrrto*L
r\
vÉí
-h
ríx ), 4-o Y(
x(
\=.r
r
k(
Ll"
r
naar rechterlid.
a^$aL\* Llí!ttL\"À
\1
-l fS"t-*t\*U"** k\\
4s
-ï-( 9
?'
\tL.*u, \ È J-br -k]
-u(
-t
1:io'x\\\ Controle met behulp uan de grafi,sche rekenmach'ine. Plotl Ptotz r\YTESX+4
Plot3 1 r value 2zzero
r\YaE30X+14I
I\Y3= l\Y4= l\Y5= l\Y6= l\Y?= I\YsE
3: mlnimum 4: maximum
ntersect
6: d,Jzdx 7: Jf(xldx Intèrcêction
T\Y9=
x:'0.1
Y:2
Tweede manier Breng alle termen naar het linkerlid. Die vat je op als het voorschrift van een functie. Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken.
5r*4>30r*14
.(x- joX rh-th;ro (-\ -ï(x --\o )o <+
TdL\"\,L!\
\tu,ct **L"vor-L\0-vaw \r,Ln
"
r\,uSr$ea,\srt,
\-*
ap
'\"Ln
: -t( x - rr3" =
o
6 - l(r< -to :È €=\
x ( -L<. \',kur*N.
\=l-x.-9J. - \
III-3
k--L
5
(b) Hieronder
gaan we na of we ook tweedegraadsongelijkheden op twee manieïen kunnen oplossen.
> | Eerste manier lBreng alle termen met probeer je om naar r toe te werken. . . 5r2
r
naar linkerlid en alle termen zonder
r
naar rechterlid. Daarna
<25
4+ ..xL ( (
'Xx ([l
\.,.
\'JirD*L
L
\ou1
\tt"to"\qu\uL,
A\.nrutí
\.
2.0,À -3 gl-*rG[ \.**-LL * ( [-rr- r(
tJ^k hrfr\Y
{
Controle met behulp uan Plotl PlotZ
d,e
grafische rekenmach'ine.
Plot3
YaE25l
:
value zero
Yg= Yq= Y5= Yo=
: :
maximum
:
YrH5X2
minimum
lntersect
d9ldx 7: Jf {x)dx :
l\Y?= l\Ys=
Intersectlon
l(Ê2.236068
Y:e5
Tweede ma,nier Breng alle termen naar het linkerlid. Die vat je op als het voorschrifb van een Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken.
5r2 <25
<+
..(xL-:-( <s L._-
nau\"Lq NLn ,r"
x
"
LUr\J.\-vn-w \.Lx\ = (*L-z(
mrÀs:c.n^\u^.'
\* \ \-Ln
=o
(:\
( xL-
t(
=o
(=\
x ={-{
\x
=
*{?
\"**\À)',
(-\ -{< (x<[ï. '\t\**L,\=l-tl .GI
\t,U\I$*\-Lt \oor
III-4
x.\
\.*t-
'wU\À.1 \o^,r\.rníL
functie.
t(A
y
Modelvoorbeeld 1. Los de volgende ongelijkheid
algebraïsch op:
2(*'-6)>1-@-4' Vereenvoudig je eindresultaat zoveel als mogelijk. Geef daarna de meetkundige betekenis van deze ongelijkheid. Oplossi,ng. W'e passen meteen de juiste werkwijze toe: werk uit en breng alle termen naa,r het linkerlid. Die vat je op als het voorschrift van een functie. Los nu de ongelijkheid op door een tekentabel van die functie te maken.
2(*'-6)>1-(*-4)' <+ .?-xL * \L > 4- *
(:r 3**\x
t3
(*-tx
+r[)
)o
t"L\$Lx\ YL,l,cru
q-L".
\Í-wx\_o-\rl
*. \.r$,$n*\st" \*
ycr,r*.,
\,Lx ._ 3 xL_ tx
+3
.
oq
"t = t-
t x - \ r\\ 3
k* " L j\.,.
q-tr t'o.(..,
I't \.u".\Àr\-',
L-r
+J'\"txt x( \-w $'í., \ )' \r3 x L- I * x. \:E-l \.) L \r \t -r
\'\-o*L, \=l-.o\*t
\* +^l
U L+,r-L
Meetkundi,ge beteken'is. We kunnen het linkerlid van de ongelijkheid opvatten als een functievoorschrift /(r) : 2(r' * 6). Analoog kunnen we ook het rechterlid van de ongelijkheid zien als een functie g(r) :1 - (" - a)2. De oplossingen r van deze ongelijkheid 2(r'- 6) > 1 - (r - 4)2 zijn nu precies de r-waarden wàarvoor de grafiek van / boven of op de grafiek van g ligt.
Pïotl Plotz
Pïot3
rtvra2[x2-s)
;{Y;Ëï::ïi:à:;tj l\Y3= l\Yc= l\Ys= l\Ys=
l\Yr=
INDOI^I
Xmin= -5 Xmax=10
Xscl=1
YmÍn= -15 Ymax=51
Yscl=1
Xres=1 aX=O. 05681818181818
TraceSlep=0. I 13636363636...
III-5
O Modelvoorbeeld 2.
Gegeven zijn de functies
f @) :
-4r(r
+2) en s@) :2(r - 1).
(a) Schets beide grafieken in één assenstelsel. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal algebraïsch alle z-waarder rn/àa,rvooï de gra.fiek van / boven de grafiek van g ligt. Oplossing.
(a)
Schets:
LÀ\. v^*ot", L*"o L m'"t \
(b) Voor een r-waarde ligt de grafiek van
/
boven de gra,fiek van g
t lts (=r .- \x Lx- *t\ > 'r-Lx-r) <+
\*
e\ .-\xL-\v ) i-x-l(=d h>&-ltrxti-)o \r.*-rr^\.-tn
\t^^v. \.r.*\.,\,U v *x\,,Ln
* NÀ^*Ào* \*\
\,LK
--o
F\ -\:l-tok {l-:s \ \"L\uI*" {:r f-* t(x-ï =o / IJur*\*r -'-
iT=-\ïL-'\ :33 *t.t\,,. /. r{il -( i
€\
\<
h
-(\"tx\ í=\
*( - {3i
\*f"l*L,. \
(x(
-( t \ï3
{a3
\
o.$*"
.-(
+
{rr
ï1
V^À,.*. \,ïÁu.,
3.3
[o'
tuè.v.
t"t
Vraagstukken op tweedegraadsvergelijkingen en ongelijkheden
In
deze paragraaf komen waagstukken a,an bod die leiden tot een vergelijking of een ongelijkheid van graad twee. De stappen hieronder kunnen je helpen em zo'Ír waagstuk op te lossen.
(1)
Verken-] betekent: maak een tekening, een schets, een tabel of geef enkele voorbeelden zodat je het probleem beter begrijpt. Pas ais je echt door hebt wat er gegeven is en wat er gevraagd wordt, kun je overgaan naar de volgende stap.
|
(2) | N;;;-ldatgene wat je zoekt. Dat is een getal, heid. . . die je moet zoeken. (3) | Vergelijking/ongelijkheid I betekent: de
een
Vraagstuk I
lelgte, een hoeveel-
(1) Verken
gegevens van het vraagstuk
uit-
drukken in r en daardoor een vergelijking of ongelijkheid opstellen. Eens je die tweedegraadsvergelijking of ongelijkheid gevonden hebt, dan moet je die oplossen om zo r te vinden. Het opiossen mag met de grafische rekenmachine, tenzij er expliciet in de opgave staat dat je het vraagstuk algebrai'sch moet oplossen.
()
lAntwoord I formuleren in een volzin. Let op de eenheden!
(5)
[Cr"ttoËl
I (2) Noem
r
I (3) Vergelijking/
door jouw antwoord te toetsen aan de opgave van het vra^ag-
ongelijkheid
stuk.
De volgende modelvoorbeelden laten zien hoe deze stappen je helpen om vraagstukken op te lossen.
I
we de zijden van een vierkant met 3 vermenigr,ruldigen, da,n wordt de oppervlakte van het vierkant 392 m2 groter. Hoe lang is een zijde van het oorspronkelijke vierkant? Los algebrai'sch op.
(4) Antwoord
Oplossing.
(5) Controleer
O Modelvoorbeeld 1 (vraagstuk met vergelijking). Als
I
(1) lve*en-l Teken het oude en het nieuwe vierka.rrt en duid aan wat je weet en wat je zoekt.
t
lx
LrÈUui
I
v
\\\
(2)
F;;e
(3)
l%Glijkidl
\.
r
3X
311/
v
We wàte., dat oppervlakte nieuw vierkant gelijk is aan oppervlakte oud vierkant plus 392.
t
G*\ (=d
\ 3tL
*
)x" \'*
lA"fi;Al
\
t
. N\o{.'(0s^" N-\t\Lov\.-\ rv$Lor\
bun
(4)
q
X
ï_
X
=
F\
* :\sl
€\
X:\
r 35L
15L )<
De lengte van het oorspronkelijke vierkant is gelijk aan
(5) lC'"t.ol"-l
ooL
4
futltr.t
h^
[ï
..X = \
l--I
rl lrt
I
'\Y
III.7
tln"l
CIKl
\ 31L
1-,1-
Modelvoorbeeld 2 (vraagstuk met vergelijking). Piei moet 1500 kg zand vervoeren met een kruiwagen en rijdt daarvoor een aantal keren heen en v/eer. Als hij per rit 25 kg meer zou laden, dan zou hij drie keren minder heen en weer moeten rijden, Hoeveel zand vervoert Piet per keer? Oplossi,ng.
Lq'$*Xt),J A\àhL
iLoÀ*
^ **r( i.,1 \^rr{J. .Ï-{à' .' "
xk\
c "t j"à ï
cuL,
ïtu;
Ë,'jffi n\*Vg(í
ttt ,S*yj
kruiwagen
x ,*\Àz**L1r1l,0,í to,;L;SloÀq
*
t*. È\rrrr_., .ïL^ (o.;L
a,,"À,ol-"U*
tj\
^}'"r[,t) ]
Nc-uào.\ÀcJ{to,:Xhv
\
t\JLt'\ t.. -- &x a^ ti-\: 4-(oo -
(x
'
,t<0..
(xtl(X*-*)
=
r *it**,5,"
i
k\ (L\
r'.(\t (tSSg_ * j\ \
y
I
(:\ 4-(or = &(or .- i x \ l5c!_.- \( x
\dooro1,.',,"ni'r.,\*o.r\^q!"1
Jt
r
)
i-.---ï---.-
-.q'GN
Àcrrtt0(
ouL',
i:\ . i1 : \{,.rikn,.
{\^UÀd,
4-----r
ó.t<-1
I
-__--d..\
4-(\*rí
O Modelvoorbeeld 3 (vraagstuk met ongelijkheid). De som van de kwadraten van twee
opeenvolgende
oneven natuurlijke getallen is meer dan 1000 000. Bepaal de kleinste twee getallen die voldoen. Oploss'ing.
i \ ;' ;--n*-t r"o\e*t il" $À {r}.h^l \r) 'fb\y_t \\
tt)
'ffi "
W\
tr)
! \*. \.*N. ourtur 1\*_\, n L*n Lf )
\,{
\ l
= 3h
\k-.rÀow\À
*
I
-'\o\., \O,.r
\u$*t}.'rt*,.x
{'
( t o* .Fr r*f \ ttrJt = L oot cts ) {,rsooot, 3L *
F\
\ rt.". x
\r..
}J
\o(" t t.i\" : ,a^
\\
i"
Í\í.\* \ \o\= -
etË
r-v---:-T4
\urr}.*,,r..*'u'1t,,r.,",..,,,"risr'L\, r. j
-)
x a J*\"\-\ot.r*:.. LU l"rot.1o-..\\*L
!L L,"",$,.\* .-
.{-oec
i
4- oo]_
frL '1tr- s
rx.
\s\ ï.r,\
(lu ) t ot* co:
ïr\ ( {wscÉs
O1Ll, 1(:
À, ':[alË: ---'---:::ï:'-r1:-rX *rrri.\.r
rit\,n-;ra i\ Á"{? i rr<, -r.t',(."i.5,,i.\\.1o. t;'^1+
",lr.il,i\\..'l ir-"\
3.4
t(
Vraagstukken op tweedegraadsfuncties
Tweedegraadsfuncties worden gebruikt om bepaalde verschijnselen rondom ons te beschrijven. Zo heett bijvoorbeeld de baan van een uitgetrapte voetbal de vorm van een parabool (zie figuur).1
O Modelvoorbeeld 1 (vraagstuk met context). Een tennisster slaat
een bal
terug volgens een parabolische baan met vergelijking
h(r):
-0,24c.2
*r,4r + 1,88.
Hierbij staat h(r) voor de hoogte va,n de bal bij een horizontale verplaatsing De baan van een uitgetrapte r ten opzichte van de speelster. Zowel de hoogte h(r) ats de verplaatsing r voetbal heeft de vorm van worden in meter uitgedrukt. Los de volgende vragen op met behulp van je een parabool. grafische rekenmachine. Lengtes afronden op 1 centimeter nauwkeurig. (a) Plot de gra,fiek van h en neem een schets over opje blad. Noteer de vensterinsteliingen dieje gebruikt hetrt. (b) Op welke hoogte raakt de speelster de bal? (c) Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de firnctie h. (d) Hoe ver van de speelster raakt de bal de grond? (e) Wat is de maximale hoogte van de bal? (f) Over welke afstand was de bal minstens 3 meter hoog? Oplossi,ng.
(a) Om geschikte vensterinstellingen te vinden, bedenken we dat de g-waarde de hoogte voorstelt die in praktijk positief is. Met TABLE gaan we na voor welke r-waarden de corresponderende gr-waarde positief en nemen als Ymax iets meer dan de maximale grwaarde in de tabel (vul aan).
E
de is,
@FABLEI INDOI^I
Xmin=.:..1 Xmax=. árr
Xscl=1
Ynin=..:l Ymax=..-......(
Yscl=1
Xres=1 oX=0,20833333333333 TraceStep=O. 416666666666...
(b)
\trf
-=
t$\\s..i \$"
(c) Theoretisch domein: domh:
.
?-e-
r-<,,ar&.L\rtq u'..\.na.\cYtrh/ trm&tror.' x\'rh/
\\t
Praktisch domein: de positieve r-waarden waarvoor
h(r) > 0.
We zoeken de nulwaarden met het com-
zero. Uit Table weten we dat de positieve nulwaarde zich tussen z : 6 en r : 7 bevindt. Als de grafische rekenmachine teftBound? vraagt, dan tikken we 6 in. Bij RightBouad? tikken we 7. Bij Guess?
mando
drukken $/e gewoon op
ENTER,
@lcAr_clF',"'"l
tr l-ENrERl
trlENrERllENrERl Yr:-0.4{xz+1,{x}1.88
:
value ro
i
minimum
:
maxiÍnum
:
interEect
,de/dx 7: Jf (x)dx
Antwoord,.Het praktisch domein
i, ..Lo',
tS(tf . .l : Lo', t, 5t]
rStrikt genomen is de baan van een uitgetrapte voetbal enkel parabolisch in het luchtledige. Dat werd voor het eerst begchreven en a,angetoond door Galileo Galilei \r,: in 1638, en zul je zien in het vak fysica in het zesde jaar. Hou je toch rekening met de luchtweerstand, dan is de pa.rabool toch nog een goede benadering van de baan van e€n voetbal, op voorwaa.rde dat de speler de voetbal niet met effect speelt. De lezer moet zich bewust zijn van het feit dat niet a.lles wat op de vorm va.n een parabool LIJKT, daarom ook de vorm varl een parabool IS. Zo beweerde Galilei in 1638 dat een opgehangen ketting de vorm heeft van een parabool. Twintig jaar later ontdekte de 16-ja.rige Christia"an Huygens Vr dat Galilei ongelijk had. Wat het dan wel is, zien we in het vak wiskunde 6u-8u in de derde graad.
III-9
(d)
"\aor
u&xn-
< *\''tY\ =o ?.
\cr'. = t.(\$",.
:
t5t,tr,,
(e) We zoeken het hoogste punt van de grafiek van h met het commando naxinum. van de top tussen r :2 en r : 4 ligb.
@
IïALCI
lZ,*"xin*l
\Me schatten dat de r-waa.rde
E IENqERIIENGEI
trbNGnl
iEÏlnÍGÍ*t value Tzzero 1:
3 : mi
nimum
lEmaximum 5: intergect
6tdv/dx (x)dx
7: Jf
6ucts?
X=ï
Berekening:
L\ \ (
1"5Lt, "..
.
'1
,5t
V:3.6q
l..\
Antwoord,. De maximale hoogte van de bal is ongeve"r
..3$ï
ÍM
(f) We plotten de rechte g : 3 en bepalen met intersect de snijpunten van de rechte met de grafiek vart h. De snijpunten moeten we met de cursot benaderen.
@
lcAlel
Fntersect
Plotl Plote Plot3 r\Yr E -9. 24X2+t.4X+1. 88 r\YzE3l l\Y3=
rHknll!ÍiÊl
l\Ys= l\Ys= l\Yz=
iEintersect 5: dsldx 7: Íf (xldx
1
1: val.ue
?ize"o
3: minlmum 4: maxinum
l\Yr= l\YB=
tr ICNïER-I
Sccond cufuê?
X:1.25?5?58
Berekening:
Y:3
Inter8egtion
ï:ê,95?09\
**j(À,,^-
\("r(t(.. ,.i) e,. Gi(q.1\tr... \l) s\,,* \SNh..-or5((-- = i\5L\---
Antwoord,. De bal was minstens 3 meter hoog over een a"fstand van ongeveet
lN.- l o
.
Y:3
.
3.1L,?
|lW
\""\"y
1\3
x ^^,^\\'\y'
iI
/
"\t $:i1'. oS;,b,-"" een ertrenumprobleem wordt gevraagd om na te gaa.n waÍureer iets zo groot mogelijk (maximaal) of zoËïèiílilogelijk (minimaal) is. Een maximum of een minimum wordt ook wel een extremum genoemd. De stappen hieronder ,
Bij
kunnen je helpen om zo'n extremumprobleem op te lossen.
(1) | Verken I betekent: maak een tekening, een schets, een tabel of geef enkele voorbeelden zodat je het protrleem beter begrijpt. Pas als je echt door hebt wat er ge'geven is en wat er gevraagd wordt, kun je overgaan naar de volgende stap.
Extremumprobleem I
(2) lSteldevraagl "Voor welke ...is ......maximaal of minimaal?" Het eerste is de onbekende r. het tweede is het functievoorschrift /(r). Tlpisch is dat de functie J een eerstegraadsfunctie of een tweedegraadsfunctie is. Zijn er twee onbekenden, dan moet je op zoek gaan naar een verband tussen de onbekenden. Dat staat vaak verborgen in de opgave lan het vraagstuk
(1) Verken
I (2) Stel de waag
(gegevens).
(J)
I
van de functie /. Dat mag met de grafische rekenmachine, tenzij er expliciet in de opgave staat dat je het waagstuk algebraïsch moet oplossen. In elk geval moet je bij de tabel stij-
@
(3) Maak tabel stijgen/dalen
I
gen/dalen rekening houden met het prakti.sch dome'in: de kleinst en grootst mogelijke waarde van r moeten in je tabel vermeld staan.
(4) Artwoord
(A) | Artwoord I formuleren in een volzin. Let op de een-
I
heden!
(5)
(5) Controleer
eventueel door jouw antwoord te toetsen aan de opgave van het extremumprobleem.
Íïr"fiGd
De volgende modelvoorbeelden laten zien hoe deze stappen je helpen om extremurnproblemen op te lossen.
O Modelvoorbeeld 2 (extremumprobleem). Van
een reëel getal trekken we zijn kwadraat af. Wanneer is
verschil zo groot mogelijk? Oplossi,ng.
"u '\ -\' -_ -\u ,^íu;.- 4Í:tL : -5\co "t *\&rrt. \Lr\ -( -(-t;'= ;!s tkc \ - \L = -t.\t-...
(1) | Verken I Schrijf enkele voorbeelden op.
o
\
(2) Ft"r
d";;sl
Dus functie
voor werke
.X...is
\l-\fiÀ*bd;x-ÈrL-*à*V'# at
: ïqNoL\u-r"x r\,LhuÀsnoY \**àr'u
= x-xL (3)
\E tL.L\ n{,\" L = -
Maak tabel stijgen/dalen
TÀ,L'
n \n
./
í\r.o<
\
(4) lA"t*oorílDit verschil is zo groot mogelijk noor ..X -(b) I
c;t"I"]
"(-Q"íf
=o.z(
"*"."h&tr{.
-(o{'f =oê\t\ l*-" o.\\ - i: frtt = o $t\ -/
o$r
dv
}L
=
- 1_ =4I G,)
n*
dit
*
_Boek
p.76
ó Modelvoorbeeld 3 (extremumprobleem).
Een rechthoekig terrein heeft een omtrek van 36 m. Hoe groot moeten de lengte en de breedte van het terrein genomen worden opdat de oppervlakte van het terrein maximaal wordt? Los algebraisch op. Oplassing.
tL)
NG\
\\rr,o-\.-
n*\.\*
:
a'L\,,
ÀrJí\
* \ \r\ O.'N^\\clLL-- Yctu \r-t Ï.rrvut'
\"\^\,.t t\
= \-.\ x,rr.,\\rr"
' t.*lg\\r* .,'
L"es^ \tÀ**L\. r\, +r-L = :t
=) t= = q\-L\t, \NrJrn-\
r
\
\or.u5im-x -*
.,J
!E -\ a-\À-
=
\$'-\
- \L+ {\y
f$qoqNasLl-
rf\
\T,i.,\-\"^-t : q,
Lq,-.
4i, _\ ?"
(. r)
5^t
,
A \\ t'^)
\
ar.-i,
\ \ t
l\
,"**\
\
\d$,\i.{X
h* o1g.[ar,\- 'u.. \nax*n^n $*. .k0í U*+ \,.o,)N*
rq
1i I
--
Àd\N
l^\^,nÀr^iLt't"
t .. * .= ï rrv \=l\-\,
=$qw
4o
5
l*--;*i S1 \t*u
-,J
i
*-*l
\li-*l.n''-:l l__l
i
L\*