Deel VI Rijen (leerweg vijf) by Koen De Naeghel

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel VI Rijen

22/03/2021

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2019 Versie: 22 maart 2021 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel VI

Discrete wiskunde - Rijen

5, 33 . . .

7, 11 . . .

9, 481481 . . .

Inhoudsopgave

Deel Rijen

1 Basisbegrippen 1.1 Definitie van een rij en enkele bijzondere rijen 1.2 Rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . . . .

. . . .

. 1 . 6 . 11 . 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voorschrift . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

2 Limiet van een rij 2.1 2.2 2.3 2.4

Intuı̈tieve betekenis van limiet . . . . . . . . . . . Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . Praktische berekening van limieten . . . . . . . . . Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing 1 - Limieten van convergente rijen met Toepassing 2 - Oneindige sommen . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Discrete veranderingsprocessen

20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . recursief . . . . . . . . . .

21 25 30 34 34 35 36

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Referentielijst

Hoofdstuk 1

Basisbegrippen Leerlingen die in het vierde jaar een richting met vijf wekelijkse lestijden wiskunde volgden, hebben het leerstofonderdeel rijen gekregen: definitie en voorstellingswijzen van een rij (opsomming, recursief en expliciet voorschrift), meetkundige en rekenkundige rijen. Daarbij kwamen ook formules aan bod om de som van de eerste n termen van zo’n rij te berekenen. Volgde je in het vierde jaar leerweg vier, dan heb je deze leerstof niet gezien. In dit hoofdstuk hernemen we dit onderdeel, wat klassikaal behandeld wordt voor de leerlingen die in het vierde jaar een richting met vier uur wiskunde per week volgden. Voor de anderen wordt dit overgelaten als zelfstudie.1

1.1

Definitie van een rij en enkele bijzondere rijen

3 Op ontdekking. Je kan elk natuurlijk getal weergeven met een aantal stipjes. Zo kun je 5 voorstellen als •

•

Bij sommige natuurlijke getallen kun je die stipjes herschikken tot een vierkant. Dat is zo bij 1, 4, 9 en 16: • •

•

• • •

• •

• • •

• • • •

• • •

• • • •

Zo’n natuurlijke getallen noemen we vierkantsgetallen (of kwadraatgetallen).2 Er zijn oneindig veel vierkantsgetallen, en daarom kun je ze nooit allemaal opschrijven. Om ze toch te kunnen opsommen, spreken we af dat we enkele (kleine) vierkantsgetallen opschrijven, gescheiden door komma’s. Daarachter schrijven we het beletselteken . . . zodat de lezer weet dat de opeenvolging van vierkantsgetallen niet eindigt. Concreet schrijven we de rij van de vierkantsgetallen dus als volgt: 1, 4, 9, 16, . . . Zo verkrijgen we een niet-eindigende opeenvolging van getallen, gescheiden door komma’s. Dat object wordt in wiskunde een rij genoemd. De getallen zelf noemen we de termen van de rij. Voor onze rij van vierkantsgetallen is dat: 1 , 4 , 9 , 16 , ... |{z} |{z} |{z} |{z} eerste term

tweede term

derde term

vierde term

We zeggen dat de eerste term rangnummer 1 heeft, de tweede term rangnummer 2 heeft, enzovoort. Dat is allemaal nogal veel schrijfwerk. Om dat te vermijden, zullen we elke term een kortere naam geven. Dat doen we als volgt. Eerst kiezen we een letter, bijvoorbeeld de letter u. Daarna schrijven we het rangnummer rechts onderaan de letter u. Dus de eerste term is u1 , de tweede term is u2 enzovoort. Voor onze rij van vierkantsgetallen wordt dat: 1 , |{z} 4 , |{z} 9 , |{z} 16 , . . . |{z} u1

Je merkt al snel een patroon op:

u5 = 52 = 25

is de vijfde term van de rij,

u10 = 102 = 100

is de tiende term van de rij,

u39 = 392 = 1521

is de negenendertigste term van de rij.

Dankzij dat patroon kun je elke term van de rij opschrijven: un = n2 1 Dit 2 De

is de n-term van de rij, ook wel algemene term genoemd.

hoofdstuk werd integraal overgenomen uit [5], de ingevulde versie voor leerlingen die in het vierde jaar leerweg vijf gevolgd hebben. benaming kwadraat komt van het Latijnse woord quadratus, wat vierkant betekent.

VI-1

Hierbij staat n voor een willekeurig natuurlijk getal verschillend van nul. Door in die formule de letter n te vervangen door bijvoorbeeld 100, vind je dat de honderdste term van de rij gelijk is aan u100 = 1002 = 10 000. De volledige rij noteren we met (un ). Samengevat is de rij van kwadraatgetallen: n2 , . . . 16 , . . . , |{z} 9 , |{z} 4 , |{z} (un ) = |{z} 1 , |{z} u3

Let op de haakjes! Zo wil un zeggen: de formule voor de n-de term, terwijl (un ) wil zeggen: de ganse rij. 3 Definitie. Een (reële) rij is een niet-eindigende opeenvolging van reële getallen, gescheiden door komma’s: (un ) = u1 , u2 , u3 , u4 , . . . 3 Afspraak. De opeenvolgende getallen u1 , u2 , u3 enzovoort noemen we de termen van de rij. De rangnummers van de opeenvolgende termen zijn 1, 2, 3 enzovoort. Samengevat ziet elke rij er als volgt uit: (un ) =

u1 |{z}

eerste term

u2 |{z}

tweede term

u3 |{z}

derde term

u4 |{z}

, ... ,

vierde term

un |{z}

, ...

n-de term

Je mag de letter u overal tegelijk vervangen door om het even elke andere beschikbare letter, zoals bijvoorbeeld v, w, x enzovoort. Dat is handig wanneer er meerdere rijen aan bod komen. 3 Modelvoorbeeld 1. Hieronder staan enkele voorbeelden van rijen. Beschrijf telkens het patroon en geef daarna de gevraagde term. (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . .

patroon: telkens plus 6

u6 = 37

(vn ) = 5, −10, 20, −40, 80, . . .

patroon: telkens maal −2

v6 = −160

(wn ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; . . .

patroon: telkens na de komma cijfer 9 toevoegen

w4 = 0, 9999

(xn ) = 39, 39, 39, 39, 39, . . .

patroon: telkens 39

x100 = 39

(yn ) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .

patroon: telkens 0 en 1 afwisselen, of telkens 1 min vorige term

y8 = 1

3 Enkele bijzondere rijen. beschrijving in woorden

rij door opsomming

algemene term

honderdste term

rij van de vierkantsgetallen

(un ) = 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .

un = n2

u100 = 10 000

rij van de natuurlijke getallen

(vn ) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

vn = n − 1

v100 = 99

rij van de even natuurlijke getallen

(wn ) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . .

wn = 2n − 2

w100 = 198

rij van de oneven natuurl. getallen

(xn ) = 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .

xn = 2n − 1

x100 = 199

rij van de machten van twee

(yn ) = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .

yn = 2n

y100 = 2100

harmonische rij 3

1 1 1 1 1 (hn ) = 1, , , , , , . . . 2 3 4 5 6

hn =

rij van de faculteiten 4

(fn ) = 1, 2, 6, 24, 120, . . .

fn = 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! (n-faculteit)

f100 = 100!

rij van de positieve priemgetallen

(pn ) = 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

onbekend 5

p100 = 541

1 n

h100 = 0, 01

3 De naam harmonische rij is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de harmonische boventonen tot de grondtoon, die ontstaan door een snaar in delen onder te verdelen. 4 100! = 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000, zo’n groot getal lees je met de Latijnse uitgangen: drieënnegentig vigintsextiljoen driehonderdzesentwintig vigintquintiljard tweehonderdvijftien vigintquintiljoen vierhonderddrieënveertig vigintquadriljard enzovoort. 5 Tot op de dag van vandaag (22 maart 2021) heeft nog niemand een (efficiënte) formule gevonden die priemgetallen genereert.

VI-2

3 Voorstellingswijzen. We kunnen een rij op verschillende manieren voorstellen. (1) Opsomming Je somt de eerste termen van de rij op, gevolgd door het beletselteken . . . . Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . (2) Recursief voorschrift Je geeft de eerste term(en) van de rij en daarna de algemene term in functie van de voorgaande term(en). ® u1 = 1 Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . heeft als recursief voorschrift (un ) un = 2un−1 voor n > 1. u3 = 2u2 = 2 · 2 = 4 OK!

Voorbeeld. Inderdaad: u1 = 1 OK! u2 = 2u1 = 2 · 1 = 2 OK!

u4 = 2u3 = 2 · 4 = 8 OK! enzovoort.

(3) Expliciet voorschrift Je geeft een formule voor de algemene term van de rij je waarmee je meteen een willekeurige term kan berekenen (zonder dat je eerst de vorige termen moet uitrekenen). Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . heeft als expliciet voorschrift un = 2n−1 . Voorbeeld. Inderdaad: u1 = 21−1 = 20 = 1 OK! u2 = 22−1 = 21 = 2 OK!

u3 = 23−1 = 22 = 4 OK! u4 = 24−1 = 23 = 8 OK! enzovoort.

3 Modelvoorbeeld 2. Hieronder staan enkele rijen gegeven door opsomming. Bepaal telkens een recursief voorschrift en (indien haalbaar) ook een expliciet voorschrift. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (an ) = 7, 8, 9, 10, 11, . . .

(cn ) = 2, 6, 12, 20, 30, . . . √ √ √ (dn ) = 0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .

(bn ) = −1, 1, −1, 1, −1, . . . Oplossing. ® recursief: (an )

a1 = 7 an = an−1 + 1

recursief: (cn )

voor n > 1

recursief: (bn )

b1 = −1

bn = −bn−1

cn = cn−1 + 2n

voor n > 1

expliciet: cn = n2 + n (soms haalbaar)

expliciet: an = 6 + n ®

c1 = 2

® recursief: (dn )

voor n > 1

expliciet: bn = (−1)n

expliciet: dn =

d1 = 0 √ dn = 2 − dn−1

√

voor n > 1

√ 2 + (−1)n 2 (soms haalbaar) 2

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. MODE

2ND

VI-3

(

X,T,Θ,n etc.

3 Enkele bijzondere rijen (vervolg). beschrijving in woorden

rij door opsomming

® rij van de driehoeksgetallen

rij van Fibonacci

(un ) = 1, 3, 6, 10, 15, . . .

(fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

expliciet voorschrift

recursief voorschrift

(un )

u1 = 1

un =

un = un−1 + n voor n > 1

   f1 = 1 (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 + fn−2 voor n > 2

n(n + 1) 2

zie later 7

3 Opmerking. We hebben de drie voorstellingswijzen geordend van zwak naar sterk.

(1) Opsomming is eerder zwak: als je het patroon niet ziet, dan kun je de volgende termen niet weten. Ken jij de zesde term van de volgende rij? (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, . . . (2) Recursief voorschrift is eerder matig: je kan termen berekenen, maar om bijvoorbeeld de honderdste term te kennen moet jij (of je rekenmachine) eerst de negenennegentig vorige termen berekenen. En dat kan wel een tijdje duren! Ken jij de honderdste term van de rij (un )? En de duizendste?    u1 = 1 (un ) u2 = 4   un = un−1 + 2un−2 voor n > 2. Oplossing. We vinden u3 = u2 + 2u1 = 4 + 2 · 1 = 6 en u4 = u3 + 2u2 = 6 + 2 · 4 = 14 enzovoort, zodat (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, 54, . . . Nu is u100 = u99 + 2u98 dus om de 100e term te kennen, moet je eerst de 99e en de 98e term kennen. Om die te berekenen, moet je dan weer eerst de 97e en de 96e term kennen enzovoort. Met gebruik van de grafische rekenmachine. Y=

2ND

TABLE

2ND

QUIT

2ND

( etc.

(3) Expliciet voorschrift is sterk want je kan meteen elke term berekenen! Als je bijvoorbeeld weet dat een expliciet voorschrift van de rij (un ) gegeven wordt door 8 4 · (−1)n + 5 · 2n 6 dan kun je in een oogwenk de vorige vragen oplossen, en dat zonder je grafische rekenmachine te gebruiken! un =

Oplossing. u6 =

4 · (−1)6 + 5 · 26 4 + 320 = = 54, 6 6

u100 =

4 + 5 · 2100 , 6

u1000 =

4 + 5 · 21000 . 6

6 Genaamd naar Leonardo van Pisa 1202 door de wiskundige François Édouard Anatole Lucas 1877. Leonardo van Pisa is beter bekend onder de naam Fibonacci, afgeleid van filius Bonacci wat zoveel betekent als zoon van Bonaccio. De rij van Fibonacci werd eerder beschreven door de Indische wiskundige Acharya Hemachandra ±1150. 7 Een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci bestaat, maar ligt niet voor de hand, zie Oefening 12. Ze staat bekend als de formule van Binet, genoemd naar Jacques Binet die ze in 1843 beschreven heeft. Toch had Daniel Bernoulli de formule in 1728 al ontdekt. 8 In Deel Vectorruimten wordt geleerd hoe je uit het recursief voorschrift zelf dit expliciet voorschrift kan vinden.

VI-4

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven zijn de rijen (un ) en (vn ) waarbij hun expliciet voorschrift wordt gegeven door un = 2n2 + 5

vn = 3 · (1, 4)n .

(a) Geef de rijen (un ) en (vn ) door opsomming (telkens minstens vier termen). Laat je berekeningen zien! (b) Komt het getal 547 063 voor in de rij (un )? Zo ja, welk rangnummer heeft die term? Los algebraı̈sch op. (c) Vanaf welk rangnummer n is un kleiner dan vn ? Oplossing. (a) We hebben: u1 = 2 · 12 + 5 = 7

v1 = 3 · (1, 4)1 = 4, 2

u2 = 2 · 22 + 5 = 13

v2 = 3 · (1, 4)2 = 5, 88

u3 = 2 · 32 + 5 = 23

v3 = 3 · (1, 4)3 = 8, 232

u4 = 2 · 42 + 5 = 37

v4 = 3 · (1, 4)4 = 11, 5248

u5 = 2 · 52 + 5 = 55

v5 = 3 · (1, 4)5 = 16, 13472

zodat (un ) = 7, 13, 23, 37, 55, . . . (b) Voor een rangnummer n is

(vn ) = 4, 2 ; 5, 88 ; 8, 232 ; 11, 5248 ; 16, 13472 ; . . .

un = 547 063 ⇔ 2n2 + 5 = 547 063 ⇔ 2n2 = 547 058 ⇔ n2 = 273 529 ⇔ n = 523

n = −523

⇔ n = 523

want n is een rangnummer dus n ∈ N0 .

Besluit: het getal 547 063 komt voor in de rij (un ) en die term heeft rangnummer 523. In symbolen: u523 = 547 063.

(c) Deze vraag kunnen we oplossen met behulp van de grafische rekenmachine. Terloops kunnen we ons antwoord op vraag (b) controleren. Met 2ND TABLE controleren we het antwoord op vraag (a). In die tabel merken we op dat de termen in de rij (un ) toenemen naarmate het rangnummer groter wordt. Daarom zeggen we dat de rij (un ) een stijgende rij is. Analoog is ook (vn ) een stijgende rij. Verderop in de tabel vinden we het gevraagde rangnummer n. Y=

2ND

QUIT

2ND

Antwoord. Vanaf rangnummer n = 15 is un kleiner dan vn . VI-5

( etc.

2ND

TABLE

1.2

Rekenkundige rijen

3 Op ontdekking. Gegeven is de rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . . Elke term is gelijk aan de vorige term plus een vast getal (namelijk 6). Daarom noemen we de rij (un ) een rekenkundige rij.9 Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan 6. Daarom noemen we 6 het verschil van deze rekenkundige rij, en schrijven dan v = 6. De rij (un ) ontstaat door te starten met 7 (de beginterm a) waarbij we telkens 6 optellen (het verschil v). Door de sommen niet helemaal uit te rekenen, wordt het patroon zichtbaar. Opsomming (un ) = 7 , 7 + 6 , 7 + 2 · 6 , 7 + 3 · 6 , 7 + 4 · 6 , . . . Elke term is dus gelijk aan de voorgaande term plus 6. Zo vinden we snel een recursief voorschrift. ( u1 = 7 Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + 6 voor n > 1 In de opsomming van de rekenkundige rij merken we een patroon op: u1 = 7 + 0 · 6

u3 = 7 + 2 · 6

u2 = 7 + 1 · 6

u4 = 7 + 3 · 6

Op die manier vinden we een expliciet voorschrift. Expliciet voorschrift un = 7 + (n − 1) · 6 3 Definitie. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de vorige term plus een vast getal v. Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan v. Daarom noemen we v het verschil van de rekenkundige rij. 3 Modelvoorbeeld 1. Ga na of de volgende rijen rekenkundig zijn of niet. Indien wel, geef dan het verschil v van de rekenkundige rij. 21 13 , 2, − , −15, . . . 2 2 (dn ) = 2, −5, 2, −5, 2, . . .

(an ) = 1, 4, 9, 16, 25, . . .

(cn ) = 19,

(bn ) = −10, −3, 4, 11, 18, . . . Oplossing.

21 − 19 = −8, 5 2 13 c3 − c2 = − − 2 = −8, 5 enzovoort 2 rekenkundig met verschil v = −8, 5

rij (an ): a2 − a1 = 4 − 1 = 3

rij (cn ): c2 − c1 =

a3 − a2 = 9 − 4 6= 3 niet rekenkundig rij (bn ): b2 − b1 = −3 − (−10) = 7

rij (dn ): d2 − d1 = −5 − 2 = −7

b3 − b2 = 4 − (−3) = 7 enzovoort

d3 − d2 = 2 − (−5) 6= −7

rekenkundig met verschil v = 7

niet rekenkundig

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij. Dan kan ze als volgt worden voorgesteld. (1) Opsomming (un ) = a, a + v, a + 2v, a + 3v, a + 4v, a + 5v, . . . ® u1 = a (2) Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + v voor n > 1

waarbij a, v ∈ R

(3) Expliciet voorschrift un = a + (n − 1)v Bewijs van (3). Uit (1) volgt: (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

zodat un = a + (n − 1)v.

9 De benaming rekenkundig is ontleend aan het feit dat elke term het rekenkundig gemiddelde is van zijn linker- en rechterterm. Zo is in dit voorbeeld de tweede term 13, en dat is het rekenkundig gemiddelde van de linkerterm 7 en de rechterterm 19. Inderdaad: 13 = 7+19 . 2

VI-6

3 Modelvoorbeeld 2. De hoeveelste term van de rekenkundige rij (un ) = 5, 14, . . . is 6458? Los algebraı̈sch op. Oplossing. De rij (un ) is rekenkundig: 41 , . . . , 6458 32 , |{z} 23 , |{z} 14 , |{z} (un ) = |{z} 5 , |{z} |{z } , . . . u2

Expliciet voorschrift: un = a + (n − 1)v

= 5 + (n − 1) · 9 = 9n − 4. Nu is un = 6458

⇔

9n − 4 = 6458

⇔

9n = 6462

⇔

n = 718.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine: OK! 3 Modelvoorbeeld 3 (enkelvoudige intrest). Mieke heeft 5000 EUR gespaard. Met dat geld koopt ze bij de bank een kasbon met een rentevoet van 1, 5%. We spreken van enkelvoudige intrest omdat Mieke elk jaar 1, 5% van haar kapitaal van 5000 EUR krijgt. Hoeveel geld heeft ze in het totaal na 15 jaar? Oplossing. Mieke krijgt elk jaar 1, 5% van 5000 EUR, dus 5000 ·

1, 5 = 75 EUR. 100

Op het einde van het 1e jaar: 5000 + 75 = 5075 EUR. Op het einde van het 2e jaar: 5075 + 75 = 5150 EUR. Op het einde van het 3e jaar: 5150 + 75 = 5225 EUR enzovoort. Telkens plus 75 EUR dus rekenkundige rij: voorbeeld van een kasbon

(un ) = 5075, 5150, 5225, 5300, . . . Expliciet voorschrift: un = 5075 + (n − 1) · 75. Op het einde van het 15e jaar: u15 = 5075 + (15 − 1) · 75 = 6125 EUR.

3 Modelvoorbeeld 4. Bepaal drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als hun som gelijk is aan 21 en hun product gelijk is aan 315. Oplossing. We kunnen de drie opeenvolgende termen schrijven als x−v , x , x+v

voor zekere x, v ∈ R.

Wil er aan de voorwaarden voldaan zijn, dan moet ® x − v + x + x + v = 21,

(1)

(x − v) · x · (x + v) = 315. (2) ⇔

Uit (1):

3x = 21

x = 7.

In (2):

(7 − v) · 7 · (7 + v) = 315

⇔

49 − v 2 = 45

⇔

v2 = 4

⇔

v = 2 of v = −2.

. 1e mogelijkheid: x = 7 en v = 2 Dan zijn de drie opeenvolgende termen 7 − 2 , 7 , 7 + 2 dus 5 , 7 , 9. . 2e mogelijkheid: x = 7 en v = −2 Dan zijn de drie opeenvolgende termen 7 − (−2) , 7 , 7 + (−2) dus 9 , 7 , 5.

VI-7

3 Op ontdekking. Gegeven is de rekenkundige rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . . Bereken eens de som van de termen tot en met een bepaald rangnummer: s1 = 7 s2 = 7 + 13 = 20 s3 = 7 + 13 + 19 = 39 s4 = 7 + 13 + 19 + 25 = 64 s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 = 95. Om bijvoorbeeld s100 (de som van de eerste 100 termen) te berekenen, heb je heel veel werk. Daarom zou het handig zijn om een formule te hebben die ons meteen het antwoord geeft. We zullen die formule ontdekken met een voorbeeld. s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 s5 = 31 + 25 + 19 + 13 + 7 + 2s5 = 38 + 38 + 38 + 38 + 38 5 · 38 Zo vinden we meteen dat s5 = = 95. Die redenering kunnen we ook voor een ander rangnummer maken. 2 Zo vinden we meteen dat de som van de eerste 100 termen gelijk is aan:

s100

100 7 + (7 + 99 · 6) 100(u1 + u100 ) = = 30 400. = 2 2

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij en n ∈ N0 willekeurig. Dan is sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un =

n(u1 + un ) 2

Bewijs. De rij (un ) is rekenkundig dus (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

Dan is

···

a + (n − 1)v

a + (n − 3)v

+ ···

2a + (n − 1)v

···

2a + (n − 1)v

a+v

a + 2v

a + (n − 1)v

a + (n − 2)v

2sn

2a + (n − 1)v

2sn = n · 2a + (n − 1) · v =n·

(a) + a + (n − 1) · v |{z} | {z } u1

= n · (u1 + un ) zodat

voor zekere a, v ∈ R.

sn +

dus

sn =

n(u1 + un ) . 2

VI-8

3 Modelvoorbeeld 5. Bereken de som van de eerste twintig termen van de rij (un ) = 0, 5 ; 2 ; 3, 5 ; 5 ; . . . Oplossing. De rij is rekenkundig met beginterm u1 = a = 0, 5 en verschil v = 1, 5 zodat 20 · (u1 + u20 ) 2

s20 =

u20 = a + (20 − 1) · v = 0, 5 + 19 · 1, 5 = 29 20 · (0, 5 + 29) 2

= 295. 3 Modelvoorbeeld 6. Kaatje en Joris zijn twee studenten. Voor een bepaald vak moeten ze elk een dik boek van 5000 bladzijden lezen. Kaatje studeert regelmatig en leest elke week 120 bladzijden. Joris houdt meer van uitgaan. Hij leest de eerste week geen enkele bladzijde, de tweede week 8 bladzijden, de derde week 16 bladzijden, de vierde week 24 bladzijden enzovoort. (a) Hoeveel bladzijden heeft Kaatje in totaal na n weken gelezen? En Joris? (b) Na hoeveel weken heeft Kaatje het boek uit? En Joris? (c) Na hoeveel weken heeft Joris in totaal evenveel bladzijden gelezen als Kaatje? Oplossing. (a-b) Kaatje:

120 |{z}

aant. blzn. in week 1

120 |{z}

aant. blzn. in week 2

120 |{z}

Het dikste boek ter wereld is Artamène ou le Grand Cyrus en werd rond 1650 geschreven door Georges en/of Madeleine de Scudéry. Het werk telt 13 095 pagina’s.

, . . . een constante rij.

120 |{z}

aant. blzn. in week 4

aant. blzn. in week 3

Totaal aantal bladzijden van n weken: 120 + 120 + · · · + 120 = 120n. {z } | n keer

Kaatje heeft het boek uit na n weken als

(a-b) Joris:

0 |{z}

aant. blzn. in week 1

8 |{z}

aant. blzn. in week 2

16 |{z}

aant. blzn. in week 3

⇔

120n = 5000

⇔

n = 41, 66 . . .

24 |{z}

dus na 42 weken.

, . . . een rekenkundige rij met a = 0 en v = 8.

aant. blzn. in week 4

Totaal aantal bladzijden van n weken: sn =

n(0 + 8(n − 1)) n(u1 + un ) = = 4n2 − 4n. 2 2

Joris heeft het boek uit na n weken als ⇔

4n2 − 4n = 5000

⇔

n2 − n − 1250 = 0

⇔

D = (−1)2 − 4 · 1 · (−1250) = 5001 √ 1 ± 5001 n= 2

⇔

n = 35, 85 . . .

n = −34, 85 . . .

⇔

n2 − 31n = 0

⇔

n(n − 31) = 0

⇔

n=0

Dus na 31 weken heben ze evenveel bladzijden gelezen. VI-9

n = 31.

dus na 36 weken.

3 Modelvoorbeeld 7. Schrijf de volgende som uit, en bereken het resultaat met een formule: 45 X

(3k − 8) = 3 · 20 − 8 + 3 · 21 − 8 + 3 · 22 − 8 + · · · + 3 · 45 − 8

k=20

52 |{z}

55 |{z}

58 |{z} u3

n(u1 + un ) 2

26(u1 + u26 ) 2

26(52 + 127) 2

+ ··· +

127 |{z}

rekenkundig

met n = 45 − 20 + 1 = 26

= 2327.

3 Modelvoorbeeld 8 (som van de getallen 1 tot en met n). Bedenk een formule voor de som van de eerste n natuurlijke getallen (met n ∈ N0 ): 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

Bereken daarna zonder rekenmachine de som 1 + 2 + 3 + · · · + 100.10

Oplossing. We hebben n X

k =

k=1

1 |{z}

2 |{z}

3 |{z} u3

n(u1 + un ) 2

n(1 + n) 2

n(n + 1) . 2

+ ··· +

n |{z}

rekenkundig

Hieruit volgt dat 100 X

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · · + 100 =

n(n + 1) 2

100(100 + 1) 2

10 100 2

met n = 100

= 5050.

10 In 1787 verblufte een tienjarige knaap zijn leraar J.G. Büttner. Die had namelijk de jaarlijke gewoonte om zijn klas een half uur zoet te houden met de opdracht tel eens de getallen van 1 tot en met 100 op. Na enkele seconden gaf de leerling zijn schrijfbord af, met daarop één enkel getal: 5050. In een oogwenk had hij op eigen houtje een algemene formule bedacht. Zijn leraar herkende in de leerling een jong genie. Hij gaf hem een wiskundeboek cadeau, en vroeg aan zijn assistent Martin Bartels om de jonge leerling bijlessen te geven. De tienjarige jongen groeide later uit tot één van de beste wiskundigen die de mensheid ooit gekend heeft: Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

VI-10

1.3

Meetkundige rijen

3 Op ontdekking. Gegeven is de rij (un ) = 5, 10, 20, 40, 80, . . . Elke term is gelijk aan de vorige term maal een vast getal (namelijk 2). Daarom noemen we de rij (un ) een meetkundige rij.11 Bij elke term is het quotiënt met z’n voorgaande term gelijk aan 2. Daarom noemen we 2 het quotiënt van deze meetkundige rij, en schrijven dan q = 2. De rij (un ) ontstaat door te starten met 5 (de beginterm a) waarbij we telkens met 2 vermenigvuldigen (het quotiënt q). Door de vermenigvuldigingen niet volledig uit te rekenen, wordt het patroon zichtbaar. Opsomming (un ) = 5 , 5 · 2 , 5 · 22 , 5 · 23 , 5 · 24 , . . . Elke term is dus gelijk aan de voorgaande term maal 2. Zo vinden we snel een recursief voorschrift. ( u1 = 5 Recursief voorschrift (un ) un = un−1 · 2 voor n > 1 In de opsomming van de meetkundige rij merken we een patroon op: u1 = 5 · 20

u3 = 5 · 22

u2 = 5 · 21

u4 = 5 · 23

Op die manier vinden we een expliciet voorschrift. Expliciet voorschrift un = 5 · 2n−1 3 Definitie. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de vorige term maal een vast getal q. Als alle termen verschillend zijn van nul, dan is bij elke term het quotiënt (of de verhouding) met z’n voorgaande term gelijk aan q. Daarom noemen we q het quotiënt (of de reden) van de meetkundige rij.12 3 Modelvoorbeeld 1. Ga na of de volgende rijen meetkundig zijn of niet. Indien wel, geef dan het quotiënt q van de meetkundige rij. 1 1 (an ) = 9, −3, 1, − , , . . . 3 9

(cn ) = 7, −7, 7, −7, 7, . . . √ √ 2 1 , ,... (dn ) = 2, 2, 1, 2 2

(bn ) = 1, 2, 6, 24, 120, . . . Oplossing. a2 1 −3 =− = a1 9 3 1 a3 1 = − enzovoort = a2 −3 3 1 meetkundig met quotiënt q = − 3 b2 2 rij (bn ): = =2 b1 1 b3 6 = = 3 6= 2 b2 2

c2 −7 = −1 = c1 7 c3 7 = −1 enzovoort = c2 −7 meetkundig met quotiënt q = −1 √ d2 2 rij (dn ): = d1 2 √ d3 1 2 =√ = enzovoort d2 2 2 √ 2 niet meetkundig meetkundig met quotiënt q = 2 3 Eigenschap. Zij (un ) een meetkundige rij. Dan kan ze als volgt worden voorgesteld.13 rij (an ):

rij (cn ):

(1) Opsomming (un ) = a, aq, aq 2 , aq 3 , aq 4 , aq 5 , . . . waarbij a, q ∈ R ® u1 = a (2) Recursief voorschrift (un ) un = un−1 · q voor n > 1 (3) Expliciet voorschrift un = aq n−1

Bewijs van (3). Uit (1) volgt: (un ) = |{z} a , aq , aq 2 , aq 3 , . . . |{z} |{z} |{z} u1

11 De

zodat un = aq n−1 .

benaming meetkundig is ontleend aan het feit dat, indien alle termen van de rij positief zijn, elke term het zogenaamde meetkundig gemiddelde is van zijn linker- en rechterterm. Zo is in dit voorbeeld de tweede term 10, terwijl het meetkundig gemiddelde van de linkerterm √ 5 en de rechterterm 20 gelijk is aan 5 · 20 = 10. 12 Het woord reden is een synoniem van het woord verhouding. Men kan eenvoudig aantonen dat een rij zowel rekenkundig als meetkundig is als en slechts als die rij een constante rij is: (un ) = a, a, a, a, . . . met a ∈ R. 13 Het expliciet voorschrift u = aq n−1 mag niet gebruikt worden als q = 0 en n = 1. n

VI-11

3 Modelvoorbeeld 2 (vouw-probleem).14 Een beddelaken is 0, 4 mm dik. (a) Als je het laken dubbel vouwt, hoe dik is het dan? En als je het twee keer, drie keer of vier keer dubbel vouwt? (b) Mocht het beddelaken groot genoeg zijn, hoeveel keer moet je het dan dubbel vouwen om tot de maan te reiken? De gemiddelde afstand aardemaan bedraagt 384 400 km. Oplossing. (a) Na 1 keer vouwen: dikte 0, 4 · 2 = 0, 8 mm, na 2 keer: 0, 4 · 22 = 1, 6 mm.

Na 3 keer vouwen: dikte 0, 4 · 23 = 3, 2 mm, na 4 keer: 0, 4 · 24 = 6, 4 mm.

(b) Na n keer vouwen: dikte 0, 4 · 2n mm.

Na n keer vouwen tot of voorbij maan als 0, 4 · 2n ≥ 384 400 000 000 mm. Met behulp van de grafische rekenmachine: na n ≥ 40 keer vouwen.

Britney Crystal Gallivan (◦ 1985) vouwt een laken elf keer dubbel.

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij waarvan het product gelijk is aan 1000 en de kleinste term gelijk is aan 2. Oplossing. We kunnen de drie opeenvolgende termen van klein naar groot schrijven als x , x , x·q voor zekere x, q ∈ R met q 6= 0. q Wil er aan de voorwaarden voldaan zijn, dan moet  x  (1)  q =2   x · x · x · q = 1000 (2) q

Uit (2):

x3 = 1000

In (1):

10 =2 q

⇔

x = 10.

q = 5.

De opeenvolgende termen van de meetkundige rij zijn dus 2, 5, 10 of 10, 5, 2. 3 Modelvoorbeeld 4 (samengestelde intrest). Mieke heeft opnieuw 5000 EUR gespaard. Deze keer plaatst ze dat geld op een spaarrekening. De bank belooft haar een rentevoet van 1, 5%. Dus elk jaar zal de bank 1, 5% van het saldo dat ze het jaar voordien had op de rekening storten. De intrest zal Mieke op haar spaarrekening laten staan, zodat die intrest het jaar nadien op zijn beurt ook weer intrest oplevert. Daarom spreken we van samengestelde intrest. Hoeveel geld staat na 15 jaar op de spaarrekening van Mieke? En na 100 jaar? Oplossing. Op het einde van het 1e jaar: 5000 + 1, 5% van 5000 = 5000 + 5000 ·

1, 5 100

Bij samengestelde intrest groeit kapitaal exponentiëel aan. Is dit plaatje correct?

= 5000 + 5000 · 0, 015 = 5000(1 + 0, 015) = 5000 · 1, 015 = 5075 EUR. Op het einde van het 2e jaar: 5000 · 1, 0152 = 5151, 125 EUR. Telkens maal 1, 015 dus meetkundige rij: (un ) = 5075 ; 5151, 125 ; 5228, 39 . . . ; 5306, 81 . . . ; 5386, 42 . . . ; . . . Op het einde van het 15e jaar: 5000 · 1, 01515 ≈ 6251, 16 EUR.

Op het einde van het 100e jaar: 5000 · 1, 015100 ≈ 22 160, 23 EUR.

14 Men heeft lang gedacht dat je een stuk papier of een laken, ongeacht zijn grootte, maximaal zeven of acht keer dubbel kunt vouwen. In 2002 echter verbaasde de 17-jarige Gallivan de wereld door een vel papier maar liefst twaalf keer dubbel te vouwen. Het jaar voordien had ze een formule gevonden voor de minimale lengte die een laken of papier moet hebben om het n keer in dezelfde richting dubbel te (2n +4)(2n −1) vouwen: L(n) = πd waarbij d staat voor de dikte van het laken of het papier [8]. Willen we een beddelaken van 0, 4 mm 6 dubbel vouwen tot de maan, dan moet het laken L(40) ≈ 2, 5 · 1017 km lang zijn, goed voor de afstand die het licht in zo’n 26 763 jaar aflegt, ongeveer een vierde van de diameter van ons zonnestelsel. Als je het wereldrecord van Gallivan wil verbreken, hoe lang moet je strook papier met dikte 0, 1mm dan zijn?

VI-12

3 Op ontdekking. Gegeven is de meetkundige rij (un ) = 1, 7, 49, 343, 2401, . . . Bereken eens de som van de termen tot en met een bepaald rangnummer: s1 = 1 s2 = 1 + 7 = 8 s3 = 1 + 7 + 49 = 57 s4 = 1 + 7 + 49 + 343 = 400 s5 = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801. Om bijvoorbeeld s10 (de som van de eerste 10 termen) te berekenen, heb je veel werk. Daarom zou het handig zijn om een formule te hebben die ons meteen het antwoord geeft. We zullen die formule ontdekken met een voorbeeld.

−

s5 7s5

= =

s5 − 7s5

+ +

7 + 72 7 + 72

+ +

73 73

+ +

74 74

− 75

1 − 75 = 2801. Die redenering kunnen we ook voor een 1−7 ander rangnummer maken. Zo vinden we meteen dat de som van de eerste 10 termen gelijk is aan:

Dus s5 (1 − 7) = 1 − 75 . Zo vinden we meteen dat s5 =

s10 =

1 − 710 = 47 079 208. 1−7

3 Eigenschap. Zij (un ) een meetkundige rij en n ∈ N0 willekeurig. Als het quotiënt q 6= 1 dan is sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un = u1

1 − qn 1−q

Bewijs. De rij (un ) is meetkundig dus (un ) = |{z} a , aq , aq 2 , aq 3 , . . . |{z} |{z} |{z} u1

Dan is

−

dus

= a

qsn

sn − qsn

= a

voor zekere a, q ∈ R.

+ aq

+ aq 2

aq n−1

+ aq 2

···

aq n−1

aq n

···

−

aq n

sn (1 − q) = a − aq n = u1 − u1 q n = u1 (1 − q n ).

We delen beide leden door 1 − q. Dat mag want q 6= 1 (zie gegeven). We vinden sn =

u1 (1 − q n ) 1−q

= u1 ·

1 − qn . 1−q

VI-13

3 Modelvoorbeeld 5. Bereken de som van de eerste tien termen van de rij (un ) = −2, 4, −8, 16, −32, . . . Oplossing. De rij is meetkundig met beginterm u1 = a = −2 en quotiënt q = −2 zodat s10 = u1 ·

1 − q 10 1−q

= −2 ·

1 − (−2)10 1 − (−2)

= −2 ·

1 − 1024 3

= 682. 3 Modelvoorbeeld 6. Schrijf de volgende som uit en bereken het resultaat met een formule: 6 X

2−k = 2−0 + 2−1 + 2−2 + 2−3 + 2−4 + 2−5 + 2−6

k=0

1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64

= 1+ = u1 · = 1·

1 − qn 1−q

met u1 = 1, q =

meetkundig

1 en n = 7 2

1 − (0, 5)7 1 − 0, 5

= 1, 984 375 =

127 . 64

3 Modelvoorbeeld 7. Beschouw de meetkundige rij (un ) = 0, 9 ; 0, 09 ; . . . (a) Geef de som van de eerste tien termen van de rij (un ). Controleer je antwoord met behulp van de formule. (b) Bereken met behulp van je rekenmachine de som van de eerste elf termen. Wat merk je op? (c) Beschouw nu de zogenaamde rij van de partieelsommen (sn ) = s1 , s2 , s3 , . . . Naar welk getal evolueert deze rij? Kun je dit aantonen? Oplossing. De rij is meetkundig met u1 = a = 0, 9 en q =

1 = 0, 1. 10

(a) We vinden s10 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · + 0, 000 000 000 9 = 0, 999 999 999 9. Controle met behulp van de formule: s10 = u1 ·

1 − qn 1 − (0, 1)10 = 0, 9 · = 1 − (0, 1)10 = 0, 999 999 999 9 1−q 1 − 0, 1

OK!

(b) We vinden s11 = 1−(0, 1)11 = 0, 999 999 999 99 6= 1 dus de grafische rekenmachine maakt een afrondingsfout! (c) De rij van de partieelsommen is (sn ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; . . . Deze rij evolueert naar 1 want 0, 999 . . . = 1. Inderdaad:

0, 999 . . . = 3 · 0, 333 . . . 1 =3· 3 = 1. VI-14

Oefeningen 1 Basisbegrippen

Basis ?

Verdieping ? ??

1 Definitie van een rij en enkele bijzondere rijen

1 2 3

4 5 6

2 Rekenkundige rijen 3 Meetkundige rijen

13 14 15

16 17 18 19

20 21 22

23 24

Uitbreiding ? ??

10 11

Oefeningen bij §1.1 B

Oefening 1. Geef telkens de rij door opsomming (minstens vijf termen). Toon je bewerkingen en controleer met behulp van je grafische rekenmachine (indien mogelijk).   (a) an = 2n − 1  f1 = 0 (f) (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 − fn−2 voor n > 2 n+1 (b) bn = n+3 ® g1 = 2 n (g) (gn ) (−2) 2 (c) cn = gn = (gn−1 ) − gn−1 voor n > 1 n √ √  h1 = 0 (1 + 5)n − (1 − 5)n   √ (d) dn =   n h2 = 1 2 5 (h) (hn ) ®  h3 = 2   e1 = 1  (e) (en ) hn = hn−1 + hn−2 + hn−3 voor n > 3 en = en−1 + 5 voor n > 1

Oefening 2. Gegeven zijn de volgende rijen. Bepaal met je grafische rekenmachine telkens de tiende term. ã Å ® 1 n a1 = 1 (d) d = 1 + n (a) (an ) n an = an−1 + 17n2 voor n > 1   u1 = 5 Å ã (b) (bn ) 1 3  un = un−1 + 3 un−1

   e1 = 2 (e) (en ) e2 = 1   en = 2en−1 − en−2

voor n > 1

(f) (fn ) =

voor n > 2

1 1·3 1·3·5 , , ,... 2 2·4 2·4·6

Oefening 3. De grafische rekenmachine kan sommige rijen ook voorstellen in MODE Function. Bepaal een voorschrift (recursief of expliciet) van de twee rijen waarvan je de eerste termen in onderstaande schermafdrukken kan aflezen. MODE

Function

ENTER

2ND

ENTER

ANS ENTER

VI-15

× 2ND ANS

ENTER

Oefening 4. Aan Karen en Kristel werd gevraagd om de vijfde term in de rij (un ) = 1, 16, 81, 256, . . . te bepalen. Karen gaf als n-de term un = n4 . Kristel zag dit eenvoudig voorschrift niet en schreef un = 10n3 − 35n2 + 50n − 24. (a) Toon aan Karen en Kristel beiden de eerste vier termen juist hebben. (b) Geef voor beide meisjes de vijfde term. (c) Is de rij van Karen gelijk aan de rij van Kristel?

Oefening 5. De volgende rijen worden gegeven door opsomming. Bepaal telkens de zesde en de zevende term, en geef een recursief voorschrift van de rij. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. (a) (an ) = 8, 5, 2, −1, −4, . . .

(f) (fn ) = 4, 7, 10, 13, 16, . . .

1 1 1 (b) (bn ) = 3, −1, , − , , . . . 3 9 27 1 1 (c) (cn ) = 9, − , 9, − , 9, . . . 9 9

(h) (hn ) = 3, −9, 27, −81, 243, . . .

(d) (dn ) = 1032 , 1016 , 108 , 104 , 102 , . . .

(i) (in ) = 0, 7; 0, 77; 0, 777; 0, 7777; 0, 77777; . . .

(e) (en ) = 7, −7, 7, −7, 7, . . .

1 1 1 1 (j) (jn ) = 1, , , , , . . . 3 5 7 9

(g) (gn ) = 3,

25 13 17 , , 7, , . . . 3 3 3

Oefening 6. Gegeven zijn de volgende rijen. Bepaal telkens een expliciet voorschrift. ® √ ® u1 = 3 v1 = 5 (a) (un ) (b) (vn ) 2 un = un−1 + 4 voor n > 1 vn = vn−1 voor n > 1

B??

Oefening 7. De volgende rijen worden gegeven door opsomming. Bepaal telkens de zesde en de zevende term, en geef een expliciet voorschrift van de rij. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. 1 1 1 1 (a) (an ) = 1, , , , , . . . 2 3 4 5

(f) (fn ) =

7 14 21 28 35 ,− , ,− , ,... 4 9 16 25 36

(b) (bn ) = 3, 6, 9, 12, 15, . . .

(g) (gn ) = −4, 1, 6, 11, 16, . . .

1 1 1 1 1 (c) (cn ) = − , − , − , − , − , . . . 4 9 16 25 36

(h) (hn ) = x, −

x3 x5 x7 x9 , 4 , − 6 , 8 , . . . waarbij x ∈ R 2 3 3 3 3 3 5 7 9 (i) (in ) = 1, , , , , . . . 2 3 4 5

(d) (dn ) = 1, −2, 3, −4, 5, . . . 1 1 1 (e) (en ) = −3, 1, − , , − , . . . 3 9 27

(j) (jn ) = 2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; 2, 00001; . . .

Oefening 8. De volgende rijen worden gegeven door opsomming. Bepaal telkens de vijfde en de zesde term, en geef een recursief voorschrift van de rij. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. √ √ √ √ 5+1 5−1 3− 5 2 (a) (un ) = , 1, , ... (b) (vn ) = 2, 5, 26, 677, . . . 2 2 2 2

Oefening 9. Gegeven zijn de volgende rijen. Bepaal telkens een expliciet voorschrift. ® ® u1 = 2 v1 = 3 (a) (un ) (b) (vn ) un = −2un−1 + 4 voor n > 1 vn = 3vn−1 − 1 VI-16

voor n > 1

Oefening 10 (Torens van Hanoi). 15 In een Indiase tempel bevindt zich een grote kamer met drie staven. Op de eerste staaf zijn er 64 gouden schijven gestapeld, gerangschikt van groot naar klein. De priesters van Brahma moeten de schijven verplaatsen volgens de regels van het spel: . men mag slechts één schijf tegelijk van een ene naar een andere staaf verplaatsen, . men mag nooit een grotere schijf op een kleinere plaatsen. Wanneer de volledige toren naar een andere staaf verplaatst is, is de opdracht van de priesters vervuld, waarna - zo gaat de legende verder - de wereld zal vergaan. (a) Noem un het aantal verplaatsingen nodig bij een toren van n schijfjes. Bepaal de eerste drie termen van de rij (un ). (b) Bepaal een recursief voorschrift voor de rij (un ).

simulatie van de Torens van Hanoi met drie schijven

(c) Bepaal een expliciet voorschrift voor de rij (un ). (d) Als de priesters één schijf per seconde verplaatsen, hoe lang duurt het dan voordat het spel beëindigd is? U?

Oefening 11 (de rij van Fibonacci). De rij van Fibonacci (fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . heeft als recursief voorschrift    f1 = 1 (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 + fn−2

voor n > 2

en is genoemd naar Leonardo van Pisa die de rij noemt in zijn boek Liber Abaci uit 1202. Deze rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een konijnenpopulatie, vandaar de bijnaam konijnenrij. Fibonacci gebruikte hiervoor de volgende regels:16 . in de eerste maand hebben we één jong paar,

Leonardo van Pisa (±1170 - ±1250)

. een paar is volwassen vanaf de tweede maand, . een volwassen paar krijgt elke maand één nieuw paar nakomelingen, . de konijnen sterven niet. (a) Geef de groei van de konijnen weer door de volgende tabel aan te vullen. maand

volwassen paren

jonge paren

totaal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(b) Noem un het totaal aantal paren konijnen na n maanden. Geef de eerste twaalf termen van de rij (un ). (c) Bewijs dat (un ) de rij van Fibonacci is door aan te tonen dat un = un−1 + un−2 voor n > 2. (d) Bereken met behulp van het recursief voorschrift het totaal aantal paren konijnen na 20 maanden. 15 Deze logische puzzel met bijbehorend fictief verhaal werd in 1883 bedacht door François Édouard Anatole Lucas [9]. De meeste oplossingen beperken zich tot het aantonen van ongelijkheid un ≤ 2un−1 + 1 voor n > 1, terwijl men net de gelijkheid wil aantonen. 16 Een recente, historische analyse van Fibonacci en zijn werk wijst erop dat hij zijn inspiratie niet uit de voorplanting van konijnen haalde, maar wel die van bijen [13].

VI-17

U??

Oefening 12 (formule van Binet). De positieve oplossing van de tweedegraadsvergelijking x2 = x + 1 wordt de gulden snede genoemd, en wordt genoteerd met ϕ. Anders gezegd: √ 1+ 5 ϕ= = 1, 618 . . . 2 (a) Bewijs dat een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci (fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . gegeven wordt door de zogenaamde formule van Binet:17 fn =

ϕn − (1 − ϕ)n √ 5

door aan te tonen dat de vooropgestelde rij voldoet aan het gewenste recursief voorschrift.

Jacques Philippe Marie Binet (1786 - 1856)

(b) Bereken met behulp van het expliciet voorschrift de 20e term in de rij van Fibonacci.

Oefeningen bij §1.2 en §1.3 B

Oefening 13. De volgende rijen worden gegeven door opsomming. Bepaal telkens de vijfde term en een expliciet voorschrift. Geef ook aan of het een rekenkundige of een meetkundige rij is en vermeld in dat geval de reden q of het verschil v. 1 2 3 4 (a) (an ) = − , − , − , − , . . . 2 3 4 5

9 3 3 (c) (cn ) = −3, − , − , − , . . . 4 2 4

1 1 1 (b) (bn ) = −1, , − , ,... 5 25 125

√ √ (d) (dn ) = 4, 8, 2, 2, . . . 1 en sn = 31. Bereken n en un . 2

Oefening 14. Van een meetkundige rij (un ) is u1 = 16 en q =

Oefening 15. Van een rekenkundige rij (tn ) is t1 + t2 + t3 = 39 en t4 + t6 = −34. Bereken t1 en v.

Oefening 16. Bereken telkens de exacte waarde van de gevraagde som. (a) 1 + 2 + · · · + 101

1 1024

(d) 2 + 10 + 50 + · · · + 2 · 555

(b) 2 + 4 + 6 + · · · + 100 B?

Oefening 17. Een taart voor een huwelijksfeest bestaat uit zes lagen. De onderste laag is een cilinder met een hoogte van 17 cm en een diameter van 45 cm. De hoogte van een laag is telkens 80% van de hoogte vorige laag, en de diameter 2 van een laag is telkens van de diameter van de vorige laag. De taart moet in een balkvormige doos verpakt worden. 3 Welke afmetingen moet deze doos minstens hebben?

Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde). Twintig zachte kussens zijn op elkaar gestapeld. Elk kussen weegt 500 gram en is 25 cm dik. De dikte van een kussen vermindert met 2 cm per kilogram die op het kussen rust. Hoe hoog is de stapel? (A) 190 cm

(B) 310 cm

(D) 460 cm

(E) 481 cm

Oefening 19. Bertje zet op 1 januari 2020 een bedrag uit van 1000 euro. Hij krijgt elk jaar 3% rente. Hij neemt zich voor om vanaf 1 januari 2021 elk jaar 70 euro op te nemen van zijn rekening. (a) Stel een formule op die jaarlijks op 1 januari de stand van zijn rekening geeft (recursief of expliciet). (b) Hoeveel jaar kan Bertje dit volhouden zonder dat het saldo van zijn rekening onder 500 euro zakt? Verklaar! 17 In

1843 gepubliceerd door Binet [3] doch eerder bekend bij Abraham de Moivre [4] (1718), Daniel Bernoulli [2] (1726) en Leonhard Euler [7] (1730). Zie [11]. Voor een constructief bewijs van deze bewering die daarenboven ook op andere recursief gedefinieerde rijen kan worden toegepast, verwijzen we naar Deel Vectorruimten.

VI-18

B??

Oefening 20. Los telkens op door gebruik te maken van de formules voor rekenkundige en meetkundige rijen. (a) De hoeveelste term van de rekenkundige rij (un ) = 5, 14, 23, . . . is 239? Verklaar je antwoord. (b) Bepaal drie opeenvolgende termen in een rekenkundige rij zodat de som ervan 21 is en het product 280. (c) Zij (un ) een meetkundige rij met u5 = 686 en u8 = 2. Bepaal u6 en u7 . (d) Bepaal drie opeenvolgende termen a, b, c in een meetkundige rij zodat a + b + c = 18 en 2a + 3b + c = 0 (e) Geef een rekenkundige rij waarvoor de 11e term gelijk is aan 32 is en waarvoor de som van de 8e term en de 13e term gelijk is aan 61.

B??

Oefening 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2010 tweede ronde). Hoeveel is

(A) 1

B??

2 + 22 + 23 + · · · + 22010 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + 2010 2 2 2 2 (B) 2

(D) 22010

(E) 22011

Oefening 22. Een spiraal wordt in tegenwijzerzin opgebouwd uit oneindig veel lijnstukken (zie onderstaande figuur). Het eerste lijnstuk onderaan de figuur is het grootst en meet 1280 cm. Het tweede lijnstuk is 25% korter dan het eerste lijnstuk, enzovoort. Zo is elk volgend lijnstuk 25% korter dan het vorige lijnstuk. Alle binnenhoeken op de zo gevormde spiraal zijn 120◦ . (a) Bepaal de lengte van het 20e lijnstuk. (b) Bereken algebraı̈sch de lengte van de spiraal tot en met het 20e lijnstuk. Afronden op 1 mm nauwkeurig.

Oefening 23. Honderd koffers bevatten elk een gelijk aantal munten. Men neemt een x aantal munten uit de eerste koffer, het dubbel aantal uit de tweede koffer, driemaal zoveel uit de derde koffer enzovoort tot honderd maal zoveel uit de honderdste koffer. Op het laatste ligt er nog één munt in de honderdste koffer. In totaal liggen er nu nog 14 950 munten in de 100 koffers samen. Hoeveel munten waren er oorspronkelijk in elke koffer?

Oefening 24. Een ouderpaar woont 1 kilometer verderop en wandelt naar huis. Hun kindje loopt dubbel zo snel naar huis. Het komt thuis, loopt terug naar de ouders, loopt terug naar huis enzovoort tot de ouders ook thuis zijn. Je mag ervan uitgaan dat het kindje zich steeds direct omdraait en terugloopt. Noteer de afstand van het huis tot de plaats waar de ouders en het kindje de n-de keer samenkomen als un . (a) Geef de eerste vijf termen van (un ) door opsomming. Aanwijzing. Verdeel het traject in drie gelijke delen. (b) Geef een expliciet voorschrift van de rij un (c) Welke afstand heeft het kindje in totaal afgelegd? VI-19

On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la premiere plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on la puisse supposer [. . . ] Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765

Hoofdstuk 2

Limiet van een rij Heel wat wiskundige en fysische problemen zijn te herleiden tot het berekenen van de zogenaamde limiet van een rij: wat gebeurt er met de algemene term un naarmate het rangnummer n steeds groter wordt? Hoewel dit onderwerp kent heel wat variaties kent, blijft het basisidee hetzelfde. Beschouw bijvoorbeeld een cirkel met straal 12 . Enerzijds is de omtrek van deze cirkel gelijk aan π. Anderzijds kunnen we die cirkel benaderen met een (niet-gekruiste) regelmatige n-hoek, ingeschreven in de cirkel. In het vierde jaar heb je de formule opgesteld voor de omtrek van zo’n ingeschreven regelmatige n-hoek (zie figuur voor n = 5): π un = n sin . n Deze getallen vormen de rij (un ) waarvan hieronder enkele termen met de grafische rekenmachine berekend werden. Daar de omtrek van een (niet-gekruiste) regelmatige n-hoek steeds kleiner is dan de omtrek van de bijbehorende omgeschreven cirkel, zal elke term van deze rij (un ) een onderschatting van π zijn.

1 2

π 5

z5 omtrek vijfhoek = 5 · z5 = 5 sin

π 5

Naarmate n groter wordt, zal de regelmatige n-hoek de cirkel steeds beter benaderen. Anders gezegd: de omtrek van de cirkel is gelijk aan de limiet van de omtrek van de regelmatige n-hoek, waarbij het aantal zijden n onbeperkt toeneemt. In symbolen schrijven we dan: un → π

als

n → +∞,

of kortweg:

lim un = π.

n→+∞

Door een grote waarde van n te nemen, kunnen we het getal π met de term un benaderen. Zo vinden we met behulp van de grafische rekenmachine een benadering van π die juist is tot op drie cijfers na de komma: π u96 = 96 sin = 3, 141 0319 5 . . . 96 In dit voorbeeld hebben met behulp van een meetkundig inzicht aangetoond dat: π lim n sin = π. n→+∞ n Het is niet evident om deze limiet rechtstreeks te berekenen: vervangen we in un elke n door +∞ dan verkrijgen we: Å ã π u+∞ = (+∞) · sin = (+∞) · sin 0 = (+∞) · 0 = ? +∞ waarbij het helemaal niet duidelijk is dat de uitkomst gelijk is aan π! Hieruit blijkt dat het rekenen met oneindig erg subtiel is. Nemen we in plaats van de cirkel een andere kromme, dan kan de omtrek onbekend zijn. Door te leren hoe de limiet van een rij algebraı̈sch berekend kan worden, kunnen we de exacte waarde van die omtrek achterhalen. In dit hoofdstuk voeren we het begrip limiet van een rij intuı̈tief in en leren we hoe je limieten van eenvoudige rijen kan bepalen.1 Gaandeweg zien we hoe je toch wiskundig kan redeneren over oneindig. In het volgende hoofdstuk wordt deze kennis toegepast bij zogenaamde discrete veranderingsprocessen waarin het voorbeeld van hierboven thuishoort. 1 Voor

de kwantitatieve definities en formele bewijzen van de resultaten uit dit hoofdstuk verwijzen we naar Bijlage A (in opbouw).

VI-20

2.1

Intuı̈tieve betekenis van limiet

In het vorige hoofdstuk werden drie voorstellingswijzen van een rij gezien: opsomming, recursief voorschrift en expliciet voorschrift. Er is nu nog een vierde manier, namelijk de grafische voorstelling van een rij (un ) waarbij je enkele punten van de vorm P (n, un ) in een assenstelsel tekent. Hieronder zie je bijvoorbeeld de grafische voorstelling van de rij (un ) = −1, −1, 0, 2, 5, . . . Belangrijk is dat je de punten van deze grafiek niet met elkaar verbindt. Aansluitend laten we zien hoe je zo’n grafiek met je grafische rekenmachine kan plotten. Daarvoor heb je wel een recursief of expliciet voorschrift van de rij nodig.

y (un ) 5 4 3 2 1

−1

WINDOW

GRAPH

TRACE

In dit voorbeeld worden de termen un van de rij zo groot als men wil, op voorwaarde dat het rangnummer n groot genoeg is. Zo is bijvoorbeeld un > 10 000 van zodra n > 142 (ga na). We zeggen dat de rij un divergeert naar +∞, en schrijven in symbolen: un → +∞ Neem als tweede voorbeeld de rij vn =

als 3n n+1 .

n → +∞,

of kortweg:

lim un = +∞.

n→+∞

Plotten we de grafiek van deze rij, dan verkrijgen we een ander gedrag.

Deze keer liggen de termen van de rij zo dicht men wil bij 3, op voorwaarde dat hun rangnummer groot genoeg is. Zo is bijvoorbeeld |vn − 3| < 0, 005 als n > 599 (ga na). We zeggen dat de rij vn convergeert naar 3, en schrijven in symbolen: vn → 3 als n → +∞, of kortweg: lim vn = 3. n→+∞

VI-21

3 Beschrijvende definities. Zij (un ) een rij en L ∈ R. (a) We zeggen dat (un ) convergeert naar L als de termen van de rij zo dicht als men wil bij L liggen, op voorwaarde dat hun rangnummer groot genoeg is. In dat geval zeggen we: de limiet van de rij (un ) is gelijk aan L, in symbolen: un → L als n → +∞, of kortweg: lim un = L. n→+∞

(b) We zeggen dat (un ) divergeert naar +∞ als de termen van de rij zo groot zijn als men wil, op voorwaarde dat hun rangnummer groot genoeg is. In dat geval zeggen we: de limiet van de rij (un ) is gelijk aan +∞, in symbolen: un → +∞ als n → +∞, of kortweg: lim un = +∞. n→+∞

(c) We zeggen dat (un ) divergeert naar −∞ als de termen van de rij zo klein zijn als men wil, op voorwaarde dat hun rangnummer groot genoeg is. In dat geval zeggen we: de limiet van de rij (un ) is gelijk aan −∞, in symbolen: un → −∞ als n → +∞, of kortweg: lim un = −∞. n→+∞

(d) We zeggen dat (un ) divergeert als ze niet convergeert en niet divergeert naar ±∞. In dat geval zeggen we: de limiet van de rij (un ) bestaat niet, in symbolen: un → /

als

n → +∞,

of kortweg:

lim un = /.

n→+∞

3 Modelvoorbeeld 1. Stel telkens de rij grafisch voor. Vermeld daarna of de rij convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Geef ook telkens de limiet van de rij (indien ze bestaat).

(a)

un =

n n+1

(b)

un = (−1)n

n n+1

y 1.0

0.8

0.4

0.6 1 0.4

−0.4

0.2

−0.8 1

(c)

un = 2

(d)

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

n 1 un = 2 y

x VI-22

Is (un ) een rij, dan hangt de convergentie of divergentie enkel af van de termen un waarvan het rangnummer groot genoeg is. Bij een convergente rij (un ) wordt de waarde van de limiet dus niet beı̈nvloed door een eindig aantal termen van die rij te schrappen, en de nummering te laten beginnen vanaf de eerste niet geschrapte term. Dit gebeurt doorgaans stilzwijgend.2 3 Modelvoorbeeld 2. Vermeld bij elke rij of ze convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Geef ook telkens de limiet van de rij (indien ze bestaat). Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (a) (an ) = 2, 2, 2, . . .

(d) dn = (−n)n

(b) (bn ) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .

(e) en = 17 +

(f) (fn ) = −1032 , 1016 , −108 , 104 , −102 , . . .

1 n−3

Oplossing.

In de vorige modelvoorbeelden kwamen rijen aan bod die een bijzondere eigenschap vertonen. Hieronder benoemen we enkele van die veelvoorkomende kenmerken. 3 Definities (bijzondere rijen). (1) Een constante rij is een rij (un ) waarbij elke term gelijk aan de volgende term is: u1 = u2 = u3 = . . . (2) Een (monotoon) stijgende rij (resp. (monotoon) dalende rij) is een rij (un ) waarbij elke term kleiner dan of gelijk aan (resp. groter dan of gelijk aan) de volgende term is: u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ . . .

resp.

u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . .

(3) Een strikt stijgende rij (resp. strikt dalende rij) is een rij (un ) waarbij elke term kleiner dan (resp. groter dan) de volgende term is: u1 < u2 < u3 < . . .

resp.

u1 > u2 > u3 > . . .

(4) Een wisselrij is een een rij (un ) waarbij de termen afwisselend positief en negatief zijn: u1 ≥ 0,

u2 ≤ 0,

u3 ≥ 0, . . .

u1 ≤ 0,

u2 ≥ 0,

u3 ≤ 0, . . .

(5) Een naar onder begrensde rij is een rij (un ) waarvoor er een A ∈ R bestaat die kleiner dan elke term is: A < u1

A < u2

A < u3

en . . .

(6) Een naar boven begrensde rij is een rij (un ) waarvoor er een B ∈ R bestaat die groter dan elke term is: u1 < B

u2 < B

u3 < B

en . . .

(7) Een begrensde rij is een rij (un ) die zowel naar boven als naar onder begrensd is, dus waarvoor er A, B ∈ R bestaan zodat elke term groter dan A en kleiner dan B is: A < u1 < B

A < u2 < B

A < u3 < B

en . . .

1 heeft de rij met algemene term en = 17 + n−3 geen term die met n = 3 overeenkomt: de opeenvolgende termen hebben dus niet de rangnummers 1, 2, 3, . . . maar 4, 5, 6, . . .. Wil men toch het eerste rangnummer kenbaar maken, dan doet men dat met de notatie (en )n≥4 . 2 Zo

VI-23

Een van de basisdoelstellingen is om de convergentie of divergentie van een rij met een voorbeeld te illustreren, die aan een of meerdere van deze voorgaande begrippen voldoet. 3 Modelvoorbeeld 3. Geef telkens een voorbeeld van een rij die aan het gevraagde voldoet (expliciet voorschrift). (a) Een niet-constante rij die convergeert naar −37.

(d) Een meetkundige rij die divergeert naar −∞.

(b) Een begrensde rij die divergeert.

(e) Een rekenkundige rij die convergeert.

(f) Een strikt dalende rij die convergeert naar

√

Oplossing.

In dit verband vermelden we een fundamenteel resultaat. Hoewel de stelling inuı̈tief duidelijk is, blijkt het aan de basis te liggen van een formele opbouw van de klassieke analyse, zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit.3 We formuleren de stelling voor een stijgende rij. Voor een dalende rij geldt een analoog resultaat, waarvan de verwoording als oefening voor de lezer wordt gehouden. 3 Stelling. Zij (un ) een stijgende rij. (a) Als (un ) naar boven begrensd is, dan convergeert de rij. (b) Als (un ) niet naar boven begrensd is, dan divergeert de rij naar +∞. Deze stelling kan ingezet worden om te bewijzen dat bepaalde rijen convergeren zonder dat we daarvoor de waarde van de limiet moeten kennen. 3 Modelvoorbeeld 4. Beschouw de rij (un ) met als expliciet voorschrift un =

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) . 2 · 4 · 6 · · · (2n)

Bewijs dat deze rij convergeert. Oplossing.

3 Dat elke reële rij die stijgend en naar boven begrensd is ook convergeert naar een reëel getal, is een kenmerk waarmee de verzameling van de reële getallen zich fundamenteel onderscheidt van andere getallenverzamelingen zoals de rationale getallen. Zo is de rij (un ) bepaald door u1 = 2 en un = 21 (un−1 + u 2 ) voor n > 1 een stijgende rij van rationale getallen die naar boven begrensd is, maar niet convergeert n−1 √ naar een rationaal getal. De rij convergeert immers naar het reëel getal 2, zie Oefening 6, Oefening 11 en Oefening 22.

VI-24

2.2

Rekenregels voor limieten

Hoewel we van sommige rijen weten dat ze convergeren, kunnen we de exacte waarde van de limiet nog niet met zekerheid bepalen. Dat is bijvoorbeeld het geval met de volgende rij (zie Oefening 5): 1 1 1 , p , » p √ , ... (un ) = 1 , √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 333

Het is dus noodzakelijk om limieten van rijen ook algebraı̈sch te kunnen berekenen. Als het expliciet voorschrift van een rij kan uitgedrukt kan worden door de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking, dan blijkt de kennis van de volgende limieten voldoende te zijn, in combinatie met de rekenregels voor limieten die in deze paragraaf aan bod komen. 3 Fundamentele limieten. Zij c ∈ R. (a) De constante rij (un ) = c, c, c, . . . convergeert naar c. In symbolen: lim c = c n→+∞

(b) De rij van de strikt positieve natuurlijke getallen (un ) = 1, 2, 3, . . . divergeert naar +∞. In symbolen: lim n = +∞ n→+∞

(c) De harmonische rij (un ) = 1, 21 , 13 , . . . convergeert naar 0. In symbolen: 1 lim =0 n→+∞ n Door zo’n eenvoudige rijen op te tellen, te vermenigvuldigen, te kwadrateren . . . en het gedrag op oneindig bij te houden, kunnen we beredeneren wat de limiet van zo’n nieuwe rij is. 3 Op ontdekking. Beschouw de volgende rijen (un ) en (vn ). Vul aan: . expliciet voorschrift:

un =

2n n+1

opsomming:

(un ) = . . .

. expliciet voorschrift:

vn =

5n n+1

opsomming:

(vn ) = . . .

Gebruik makend van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan): . .

lim un = . . .

n→+∞

lim vn = . . .

n→+∞

Met deze twee rijen kunnen we nieuwe rijen maken, bijvoorbeeld (vul aan): . expliciet voorschrift:

un + vn = . . .

opsomming:

(un ) + (vn ) = . . .

. expliciet voorschrift:

un · vn = . . .

opsomming:

(un ) · (vn ) = . . .

. expliciet voorschrift:

u3n = . . .

opsomming:

(un )3 = . . .

Gebruik makend van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan): . . .

lim (un + vn ) = . . .

n→+∞

lim (un · vn ) = . . .

n→+∞

lim u3n = . . .

n→+∞

Is er een verband tussen de limiet van zo’n nieuwe rij en de limieten van de oorspronkelijke rijen (un ) en (vn )? VI-25

De verbanden die we hierboven opgemerkt hebben, blijken zich ook bij andere convergente rijen voor te doen. Zo kan men aantonen dat voor elke rij (un ) die convergeert naar 2 en voor elke rij (vn ) die convergeert naar 5 geldt dat de somrij (un ) + (vn ) altijd convergeert naar 7. We vatten die rekenregels samen in de volgende eigenschap, die men in de volksmond ook wel omschrijft als limiet is braaf. 3 Eigenschap (rekenregels voor limieten van convergente rijen). Zij r ∈ R en zij (un ) en (vn ) twee rijen die beide convergeren. Dan geldt:4 (a) (b) (c) (d)

lim (un + vn ) = lim un + lim vn

limiet van som is som van limieten

lim (un − vn ) = lim un − lim vn

limiet van verschil is verschil van limieten

n→+∞

lim (r · un ) = r · lim (un · vn ) =

n→+∞

(f)

lim

n→+∞

un vn

ã lim un

limiet van veelvoud is veelvoud van limiet

n→+∞

ã Å ã lim un · lim vn

n→+∞

limiet van product is product van limieten

n→+∞

lim un

ã =

n→+∞

limiet van quotiënt is quotiënt van limieten

lim vn

n→+∞ r

lim (un ) =

n→+∞

Å (e)

n→+∞

ãr

Å lim un

limiet van macht is macht van limiet

n→+∞

Door deze rekenregels te combineren met de drie fundamentele limieten van hierboven, kunnen we limieten van rijen nu ook algebraı̈sch berekenen. Daarbij moet je in staat zijn om elke overgang te verklaren. 3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch met behulp van de rekenregels voor limieten van convergente rijen. (a)

lim

n→+∞

5 n2

(b)

lim

n→+∞

1 √ 3 n

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de rij met als expliciet voorschrift wn =

5n2 +7n−3 −2n2 +6 .

(a) Mag je uit de rekenregels voor limieten van convergente rijen de onderstaande gelijkheid besluiten? Verklaar. 5n2 + 7n − 3 ? = lim n→+∞ −2n2 + 6

lim (5n2 + 7n − 3)

n→+∞

lim (−2n2 + 6)

n→+∞

(b) Hieronder wordt de limiet van de convergente rij (wn ) algebraı̈sch berekend. Verklaar elke overgang. 7 3 5+ − 2 5n2 + 7n − 3 n n = lim lim 6 n→+∞ n→+∞ −2n2 + 6 −2 + 2 n Å ã 7 3 lim 5 + − 2 n→+∞ n n Å ã = 6 lim −2 + 2 n→+∞ n

want . . .

Å ã 1 1 2 − 3 lim n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n = Å ã 1 2 lim (−2) + 6 lim n→+∞ n→+∞ n

want . . .

= ...

want . . .

lim 5 + 7 lim

4 Bij de formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteld dat de betreffende uitdrukkingen in beide leden bestaan in R: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort. Zo is (e) enkel geldig onder de voorwaarde dat vn 6= 0 op eindig veel rangnummers n na, en limn→+∞ vn 6= 0. Bij (f) wordt verondersteld dat (un )r gedefinieerd is op eindig veel rangnummers n na, en dat ook (limn→+∞ un )r gedefinieerd is.

VI-26

Het is wenselijk om deze rekenregels voor limieten van convergente rijen nu ook uit te breiden tot limieten van rijen die divergeren naar ±∞. Hier moeten we echter voorzichtig te werk gaan, want het rekenen met oneindig is erg subtiel. Dat bleek ook uit het inleidend voorbeeld van dit hoofdstuk. 3 Op ontdekking. Beschouw de volgende rijen (un ) en (vn ). Vul aan (met berekening of grafische rekenmachine): . expliciet voorschrift:

un = n

. expliciet voorschrift:

vn =

limiet:

−2n n+1

limiet:

lim un = . . .

n→+∞

lim vn = . . .

n→+∞

Met deze twee rijen kunnen we nieuwe rijen maken, bijvoorbeeld (vul aan): . expliciet voorschrift:

un + vn = . . .

limiet:

. expliciet voorschrift:

u2n = . . .

limiet:

lim (un + vn ) = . . .

n→+∞

lim (un )2 = . . .

n→+∞

Opdat de rekenregels van de vorige pagina nu ook zouden gelden voor rijen die divergeren naar ±∞, moeten we geschikte afspraken maken voor het rekenen met de symbolen ±∞. Zo is het bijvoorbeeld wenselijk dat: lim (un + vn ) = lim un + lim vn n→+∞ n→+∞ {z } | {z } | {z }

n→+∞

+∞

−2

Nu kan men aantonen dat voor elke rij (un ) die divergeert naar +∞ en voor elke rij (vn ) die convergeert naar −2 geldt dat de somrij (un ) + (vn ) divergeert naar +∞. Dat is de reden waarom we kunnen afspreken dat: def

+∞ − 2 = +∞. Analoog is het wenselijk dat:

Å ã2 lim (un )2 = lim un n→+∞ n→+∞ | {z } | {z } +∞

+∞

Men kan bewijzen dat voor elke rij (un ) die divergeert naar +∞ geldt dat de kwadraatrij (un )2 divergeert naar +∞. Dat is precies de reden waarom we kunnen afspreken dat: def

(+∞)2 = +∞. Geı̈nspireerd door dit voorbeeld komen we tot de volgende afspraken voor het rekenen met reële getallen en ±∞.

3 Definitie (bewerkingen met reële getallen en de symbolen ±∞). Voor a, b ∈ R stellen we (vul aan):5 −∞

+∞

−∞

b<0

+∞

b=0

a = +∞ ±∞ = ±∞

a = −∞ 0 = 0

−∞

a<0

a=0

a>0

+∞

b>0

+∞

5 Dat de afspraken die hier vastgelegd worden zinvol zijn, volgt precies uit (een bewijs van) de eigenschap rekenregels voor limieten van rijen die we verderop zullen formuleren: voor elke rij (un ) die divergeert naar −∞ en voor elke rij (vn ) die convergeert naar a geldt dat de somrij (un ) + (vn ) divergeert naar −∞, enzovoort. Passen we deze bewerkingen herhaaldelijk toe, dan verkrijgen/motiveren we voor n √ √ √ oneven: (±∞)n = ±∞, n ±∞ = ±∞ en voor n even: (±∞)n = +∞, n +∞ = +∞, n −∞ = /.

VI-27

We verwachten niet alleen dat je de afgesproken bewerkingen kent, maar ook dat je ze kan motiveren. 3 Modelvoorbeeld 3. Vul aan en motiveer je antwoord met behulp van rijen: 1 = ... +∞ Oplossing.

In bovenstaande tabellen werden niet alle bewerkingen gedefinieerd. Hieronder leggen we uit hoe dat komt. 3 Op ontdekking. Beschouw de volgende rijen (un ) en (vn ). Vul aan (met berekening of grafische rekenmachine): . expliciet voorschrift:

un =

3 n

limiet:

. expliciet voorschrift:

vn = n

limiet:

lim un = . . .

n→+∞

lim vn = . . .

n→+∞

We beschouwen nu de nieuwe rij (vul aan): . expliciet voorschrift:

un · vn = . . .

limiet:

lim (un · vn ) = . . .

n→+∞

Mochten we de eerdere rekenregels voor convergente rijen ook hier willen doordrijven, dan zou: ? lim (un · vn ) = lim un · lim vn n→+∞ n→+∞ | {z } | {z } | {z }

n→+∞

zodat bij deze oefening

+∞

? 0 · (+∞) = 3 Bij een andere keuze van de rij (un ) komen we uit op ? 0 · (+∞) = 5,

? 0 · (+∞) = π

? 0 · (+∞) = + ∞.

Op die manier hebben we aangetoond dat we de uitdrukking 0 · (+∞) niet eenduidig kunnen vastleggen: de uitkomst ervan hangt immers af van de beschouwde rijen. Daarom noemt men de uitdrukking 0·(+∞) onbepaald en om dit aan te duiden plaatsen we die uitdrukking tussen haakjes. Omdat ook 0 · (−∞) onbepaald is, schrijven we kortweg (0 · ∞). Op een gelijkaardige manier komen we tot de volgende (voorlopige) lijst van onbepaaldheden: ∞ ∞

Å ã 0 , 0

(∞ − ∞) ,

(0 · ∞)

Verwacht wordt dat je kan motiveren waarom zo’n uitdrukkingen onbepaald zijn. 3 Modelvoorbeeld 4. Vul aan en motiveer je antwoord met behulp van rijen: 0 = ... 0 Oplossing.

VI-28

We kunnen de rekenregels voor limieten van convergente rijen nu als volgt uitbreiden. 3 Eigenschap (rekenregels voor limieten van rijen). Zij r ∈ R en zij (un ) en (vn ) twee rijen zodat elk van hen convergeert of divergeert naar ±∞. Dan geldt, indien het rechterlid geen onbepaaldheid is:6 (a) (b) (c) (d)

lim (un + vn ) = lim un + lim vn

limiet van som is som van limieten

lim (un − vn ) = lim un − lim vn

limiet van verschil is verschil van limieten

n→+∞

lim (r · un ) = r · lim (un · vn ) =

n→+∞

(f)

lim

n→+∞

un vn

ã lim un

limiet van veelvoud is veelvoud van limiet

n→+∞

ã Å ã lim un · lim vn

n→+∞

limiet van product is product van limieten

n→+∞

lim un

ã =

n→+∞

limiet van quotiënt is quotiënt van limieten

lim vn

n→+∞ r

lim (un ) =

n→+∞

Å (e)

n→+∞

ãr

Å lim un

limiet van macht is macht van limiet

n→+∞

Met behulp van deze rekenregels en de drie fundamentele limieten van hierboven, kunnen we de limiet van een rij bepalen waarvan het expliciet voorschrift uitgedrukt is met de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking. 3 Modelvoorbeeld 5. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten. (a)

lim (3n3 + 70n + 1)

(b)

n→+∞

lim

n→+∞

√

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 6. Beschouw de rij met als expliciet voorschrift wn = −3n3 + 70n + 1. (a) Mag je uit de rekenregels voor limieten van rijen de onderstaande gelijkheid besluiten? Verklaar. ? lim (−3n3 + 70n + 1) =

n→+∞

lim

n→+∞

−3n3 + lim (70n + 1) n→+∞

(b) Hieronder wordt de limiet van de rij (wn ) algebraı̈sch berekend. Vul de berekening aan en verklaar elke overgang. lim (−3n3 + 70n + 1)

n→+∞

Å ã 70 1 = lim n −3 + 2 + 3 n→+∞ n n Å ã Å ã 70 1 3 = lim n · lim −3 + 2 + 3 n→+∞ n→+∞ n n Å ã3 Å Å ã Å ã ã 1 3 1 2 lim (−3) + 70 lim + lim = lim n · n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n 3

want . . . want . . . want . . .

=...

want . . .

=...

want . . .

6 Bij de formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteld dat de betreffende uitdrukkingen in beide leden bestaan in R: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort.

VI-29

2.3

Praktische berekening van limieten

Beschouw een rij (un ) waarbij een expliciet voorschrift kan uitgedrukt kan worden door de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking, bijvoorbeeld: √ p −3n2 + 7n 7n2 − 1 8 3 , u = of u = 9n2 + n − 3n. un = −3n + 70n + 1, un = − 3 , un = n n n n2 + 1 n In de vorige paragraaf hebben we geleerd dat de limiet van zo’n rij algebraı̈sch berekend kan worden met behulp van de rekenregels voor limieten van rijen, gecombineerd met drie fundamentele limieten.

Bij sommige oefeningen moet het voorschrift gemanipuleerd worden om deze rekenregels voor limieten van rijen te kunnen toepassen. Om het vele schrijfwerk in te korten, is er een praktische berekening van limieten die we hieronder zullen beschrijven. Daarna komen vuistregels aan bod om onbepaaldheden aan te pakken. 3 Praktische berekening van limiet van een rij.7 Om de limiet van een rij (un ) te berekenen: lim un

n→+∞

gaan we invullen: vervang in het expliciet voorschrift un elke n door +∞. Om de uitkomst verder te berekenen houden we, naast de bewerkingen met reële getallen en de symbolen ±∞, ook rekening met de rekenregels voor limieten van rijen. 3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! ã Å p 3 8 (b) lim −3n2 (a) lim − 3 n→+∞ n→+∞ n Oplossing.

Voor rijen waarbij een expliciet voorschrift kan uitgedrukt kan worden door middel van de algebraı̈sche operaties kunnen de volgende onbepaaldheden voorkomen: Å ã ∞ 0 , , (∞ − ∞) , (0 · ∞) . ∞ 0 Is het voorschrift een rationale vorm, dan kun je zo’n onbepaaldheid kan opheffen door het voorschrift te manipuleren: 7 3 7 3 5+ − 2 5 + +∞ − +∞ 5+0−0 5 5n2 + 7n − 3 ∞ n n = = = lim = =− . lim 6 2 6 n→+∞ n→+∞ −2n + 6 ∞ −2 + 0 2 −2 + +∞ −2 + 2 n Bovenstaande berekening leidt tot het inzicht dat een rij met rationaal voorschrift dezelfde limiet heeft als de rij die we verkrijgen door de hoogstegraadstermen in teller en noemer te beschouwen: 5n2 + 7n − 3 ∞ 5n2 5 5 = lim = = lim =− . 2 2 n→+∞ −2n n→+∞ n→+∞ −2 −2n + 6 ∞ 2 lim

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

7 We passen deze praktische berekening van limieten enkel toe op rijen waarvan het expliciet voorschrift een zogenaamde elementaire functie in de variabele n is (zie Deel Precalculus 1 en 2): een veeltermfunctie, rationale of irrationale functie, exponentiële of logaritmische functie, goniometrische of cyclometrische functie, of een samenstelling van voorgaande functies. Voor verdere verduidelijking verwijzen we naar Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit. Passen we deze praktische berekening toe op de drie fundamentele limieten van hierboven, 1 1 dan leiden deze inderdaad tot het gewenste resultaat: limn→+∞ c = c (met c ∈ R), limn→+∞ n = +∞ en limn→+∞ n = +∞ = 0.

VI-30

Veralgemenen leidt tot een uitbreiding van onze lijst van fundamentele limieten van rijen. 3 Fundamentele limieten (vervolg). Zij d, e ∈ N en ai , bi ∈ R. (d) De limiet van een veeltermrij wordt bepaald door de hoogstegraadsterm: lim (a0 + a1 n + a2 n2 + · · · + ad nd ) = lim ad nd

n→+∞

(e) De limiet van een rationale rij wordt bepaald door de hoogstegraadsterm van de teller en de hoogstegraadsterm van de noemer: Å ã a0 + a1 n + a2 n2 + · · · + ad nd a d nd lim = lim 2 e n→+∞ b0 + b1 n + b2 n + · · · + be n n→+∞ be ne 3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! (a)

7n5 − 28n + 56 n→+∞ 3n2 − 2n + 8 lim

(b)

−16n5 + 3n2 n→+∞ (2n2 + 3n − 2)3 lim

Oplossing.

Komen er in het expliciet voorschrift van een rij machtswortels voor, dan wordt een onbepaaldheid aangepakt door vuistregels toe te passen, die we aan de hand van volgend modelvoorbeeld introduceren. 3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! p 0, 09 n2 − 90n + 0, 99 (a) lim n→+∞ √ 7n2 − 1 (b) lim n→+∞ n ä Äp 9n2 + n − 3n (c) lim n→+∞

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

VI-31

In het onderstaand schema vatten we de vuistregels samen die tot nu toe aan bod kwamen om een onbepaaldheid aan te pakken. Hierbij verwijzen (1) en (2) naar de richtlijnen onderaan. Na het toepassen van de vuistregels, onderneemt men een nieuwe poging om de limiet te berekenen door opnieuw de praktische berekening toe te passen (invullen). Is de uitkomst nog steeds onbepaald, dan worden de vuistregels opnieuw toegepast. lim un

n→+∞

∞ Å0ã , ∞ 0

(∞ − ∞) (0 · ∞)

. . . .

veelterm op veelterm na vereenvoudiging? neem hoogstegraadstermen geen veelterm op veelterm na vereenvoudiging? n afzonderen in teller en noemer (1), vereenvoudigen

. . . .

veelterm? neem hoogstegraadsterm geen veelterm? als quotiënt schrijven, n afzonderen in teller en noemer (2), vereenvoudigen

als quotiënt schrijven, vereenvoudigen

(1) Om bij een vorm

√

een factor n af te zonderen, schrijf je: … … … √ √ = n = n2 · 2 = n2 · n n2 n2

√ √ (2) Om bij een √ vorm√ ± 4 een factor af te zonderen, vermenigvuldig je teller en noemer met de toegevoegde tweeterm ∓ 4. Tot nu toe werden limieten van machten berekend waarbij de exponent een constant getal was, dus niet afhangt van n, bijvoorbeeld: lim n3 = (+∞)3 = +∞. n→+∞

Dit leidt tot de vraag hoe de limiet van een macht berekend wordt waarbij de exponent wel afhangt van n, bijvoorbeeld: lim 3−n

n→+∞

Als het grondtal een constante is, dan kan de volgende eigenschap worden gebruikt. 3 Fundamentele limieten (vervolg). Zij q ∈ R. (f) De meetkundige rij (un ) = q, q 2 , q 3 , . . . divergeert naar +∞ als q > 1, convergeert als −1 < q ≤ 1 en divergeert als q ≤ −1:  + ∞ als q > 1    1 als q = 1 lim q n = n→+∞  0 als − 1 < q < 1    / als q ≤ −1

3 Modelvoorbeeld 4. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! (a)

lim 3−n

(b)

n→+∞

Oplossing.

VI-32

5 · 2n + 5 n n→+∞ 2n + 2 · 5n lim

De praktische berekening van limieten kan ook worden toegepast op rijen waarbij een expliciet voorschrift un niet enkel door algebraı̈sche operaties uitgedrukt wordt, bijvoorbeeld: Å ã π π lim cos = cos = cos 0 = 1. n→+∞ n +∞ Het kan echter voorkomen dat deze praktische werkwijze niet tot een resultaat leidt, en dat ook de vorige vuistregels niet toegepast kunnen worden, bijvoorbeeld:8 lim

n→+∞

/ sin n ? sin(+∞) = = =? n +∞ +∞

In sommige gevallen kan de limiet van zo’n rij bepaald worden door de rij af te schatten door andere, meer elementaire rijen waarvan de limiet wel eenvoudig berekend kan worden. Het volgend resultaat rechtvaardigt deze techniek. 3 Stelling (limiet van een ongelijkheid). Zij (un ) en (vn ) twee rijen met de eigenschap dat vanaf een bepaald rangnummer n geldt: un ≤ vn . Dan geldt: (i) als un → a en vn → b met a, b ∈ R, dan is a ≤ b,

(ii) als un → +∞ dan ook vn → +∞,

(iii) als vn → −∞ dan ook un → −∞. Nemen we bijvoorbeeld de rijen

1 1 (vn ) = 1, , , . . . 2 3 dan is un ≤ vn voor elke n, zodat wegens de voorgaande stelling lim un ≤ lim vn , wat inderdaad het geval is. (un ) = 0, 0, 0, . . .

n→+∞

In symbolen:

∀n ∈ N0 : un ≤ vn

⇒

lim un ≤ lim vn .

n→+∞

Dit voorbeeld geeft aan dat uit un < vn voor elke n geenszins mag worden besloten dat ook lim un < lim vn . n→+∞

n→+∞

In symbolen: ∀n ∈ N0 : un < vn

6⇒

lim un < lim vn .

n→+∞

Door de termen van een rij zowel te onderschatten als te overschatten, kan de limiet van die rij afgeschat worden. 3 Gevolg (insluitstelling voor rijen).9 Zij (un ), (vn ) en (wn ) drie rijen met de eigenschap dat vanaf een bepaald rangnummer n geldt: un ≤ vn ≤ wn . Dan geldt: (i) als un → a en wn → a met a ∈ R, dan ook vn → a,

(ii) als un → +∞ en wn → +∞, dan ook vn → +∞,

(iii) als un → −∞ en wn → −∞, dan ook vn → −∞. 3 Modelvoorbeeld 5. Bereken algebraı̈sch de volgende limiet met behulp van de insluitstelling voor rijen. Alle tussenstappen opschrijven! sin n lim n→+∞ n Oplossing.

8 Omdat

de rij un = sin n divergeert, mag de rekenregel limiet van quotiënt is quotiënt van limieten initieel niet toegepast worden. insluitstelling (voor rijen) wordt in de volksmond ook wel de sandwichregel genoemd, waar het woord sandwich in een figuurlijke context gebruikt wordt om een situatie te beschrijven waarbij men klem zit tussen twee andere zaken, naar analogie van de sandwichman: iemand die met reclameborden op borst en rug op straat loopt [13]. De Engelse term voor insluitstelling is squeeze theorem. 9 De

VI-33

2.4

Toepassingen

Eerder dit hoofdstuk hebben we aangetoond dat bepaalde rijen convergeren zonder dat we daarvoor de waarde van de limiet hoeven te kennen. In deze paragraaf laten we zien hoe de rekenregels voor limieten van rijen kunnen ingezet worden om de waarde van die limiet te achterhalen. Als tweede toepassing van limieten van rijen komen niet-eindigende sommen van reële getallen aan bod.

Toepassing 1 - Limieten van convergente rijen met recursief voorschrift Zoals we reeds eerder hebben vermeld, hangt de convergentie of divergentie van een rij (un ) enkel af van de termen un waarvan het rangnummer groot genoeg is. Bij een convergente rij (un ) wordt de waarde van de limiet dus niet beı̈nvloed door in die rij een eindig aantal termen van die rij te schrappen, en de nummering te laten beginnen vanaf de eerste niet geschrapte term. Dus als de rij (un ) = u1 , u2 , u3 , u4 , . . . convergeert naar a, dan convergeert ook elke verschuiving van die rij naar a, zoals (un+1 ) = u2 , u3 , u4 , u5 , . . .

(un−1 ) = u0 , u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , . . .

Anders gezegd: lim un = a

n→+∞

⇒

lim un+1 = a en

n→+∞

lim un−1 = a.

n→+∞

Dit inzicht kan nu worden ingezet op een recursief voorschrift van de rij, om zo informatie over de limiet van die rij te verkrijgen. 3 Modelvoorbeeld. Bepaal telkens algebraı̈sch de limiet van de gegeven rij. Je mag daarbij aannemen dat deze rijen convergeren. … q q » » » √ √ √ √ 2 + 2 + 2 , 2 + 2 + 2 + 2 , ... (a) (un ) = 2 , 2 + 2 , (b) (vn ) =

1 2 3 5 8 13 , , , , , , ... 1 1 2 3 5 8

Oplossing.

VI-34

Toepassing 2 - Oneindige sommen Limieten van rijen laten ons toe om zinvolle uitspraken te doen over een niet-eindigende som van getallen, ook wel een reeks genoemd, zoals bijvoorbeeld de uitdrukking10 0, 999 . . . = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + . . . In dit geval is de bijbehorende rij (un ) = 0, 9 ; 0, 09 ; 0, 009 ; 0, 0009 ; . . . meetkundig met beginterm u1 = 0, 9 en quotiënt q = 0, 1, zodat we de uitdrukking S kunnen interpreteren als de limiet van de som van de eerste n termen van de rij (un ), vul aan: 0, 999 . . . = lim (u1 + u2 + · · · + un ) = lim u1 · n→+∞

n→+∞

1 − qn = ... 1−q

Een niet-eindigende som van strikt positieve getallen hoeft dus niet noodzakelijk gelijk te zijn aan +∞. 3 Modelvoorbeeld. Bepaal met behulp van rijen de uitdrukking 1+

1 1 1 + + + ... 2 4 8

Oplossing. Bewijs zonder woorden van 1 + 12 + 14 + 81 + · · · = 2.

Een subtiele wijziging in zo’n niet-eindigende som van getallen kan leiden tot een geheel andere uitkomst. Dat wordt geı̈llustreerd met het volgende, klassieke argument uit de wiskunde:11 Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... 1 + + + + + + + + ... = 1 + + 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 >1+ + + + + + + + ... 2 4 4 8 8 8 8 =1+

1 + 2

2 4

4 8

+ ...

=1+

1 + 2

1 2

+ ...

hetgeen leidt tot de zogenaamde divergentie van de harmonische reeks:12 1+

1 1 1 + + + · · · = +∞ 2 3 4

10 Voor

een formele behandeling van dit onderwerp verwijzen we naar Deel Reeksen. argument kan als volgt vertaald worden in een formele en sluitende redenering. Beschouw de harmonische rij (un ) = 1, 12 , 13 , 14 , . . . en de zogenaamde rij van partieelsommen (sn ) met sn = u1 +u2 +. . . un . Dan leiden de afschattingen in bovenstaand argument tot s2k > 1+ k2 voor k ≥ 2, zodat de termen van de rij (sn ) zo groot zijn als men wil, op voorwaarde dat het rangnummer groot genoeg is. Anders gezegd: de rij (sn ) divergeert naar +∞. Wie nog niet overtuigd is van de divergentie van de harmonische reeks, kan overhaald worden met de volgende redenering: mocht S = 1 + 21 + 13 + 14 + · · · ∈ R, dan zou S = 22 + 24 + 26 + · · · = 12 + 12 + 14 + 14 + 16 + 16 + · · · < 1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + · · · = S zodat S < S, hetgeen onmogelijk is. 12 Als eerste bewezen door Nicole Oresme ca. 1350 [10], een van belangrijkste filosofen van de late middeleeuwen. Van hem komt de beroemde uitspraak je ne sais donc que je ne sais rien, vrij vertaald: ik weet slechts dat ik niets weet. 11 Dit

VI-35

Oefeningen 2 Limiet van een rij

Basis ?

1 Intuı̈tieve betekenis van limiet

2 Rekenregels voor limieten

7 8 9

9 10

3 Praktische berekening van limieten

12 13

13 14 15

16 17

4 Toepassingen

Verdieping ? ?? 4

Uitbreiding ? ?? 6 11

13 15 18 19

Oefeningen bij §2.1 B

Oefening 1. Geef telkens een voorbeeld van een rij die aan het gevraagde voldoet (expliciet voorschrift). (a) Een meetkundige niet-constante rij die convergeert naar 0. (b) Een rekenkundige rij die divergeert naar −∞. (c) Een strikt stijgende rij die convergeert naar 541. (d) Een wisselrij die divergeert. (e) Een meetkundige rij die divergeert. (f) Een naar onder begrensde rij die divergeert.

Oefening 2. Stel telkens de rij grafisch voor (minstens vijf punten). Vermeld daarna of de rij convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Geef ook telkens de limiet van de rij (indien ze bestaat). Maak gebruik van je grafische rekenmachine. 2n − 3 5n + 1

(a) (an ) = 5; 5, 5; 5, 55; 5, 555; . . .

(e) en =

(b) bn = 10 − 0, 1 n

(f) fn = sin n

√

√ 3

√ 4

  g1 = −1 Å ã (g) (gn ) 1 9  gn = gn−1 + 2 gn−1

3, . . .

(d) dn = −3 + (−1)n

voor n > 1

B??

Oefening 3. Vermeld bij elke rij of ze convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Bewijs daarna je antwoord. Å ãn 1 1 1 1 (a) (an ) = 1, , , , . . . (b) bn = 1 − 3 7 9 10

Oefening 4. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Bewijs telkens je antwoord! (a) Er bestaat een dalende rij die niet convergeert maar die wel naar onder begrensd is. (b) Elke rij die begrensd is, convergeert. (c) Er bestaat een strikt stijgende rij die convergeert. (d) Elke dalende convergente rij is naar onder begrensd.

Oefening 5. Vermeld bij elke rij of ze convergeert, divergeert naar ±∞ of divergeert. Bewijs daarna je antwoord. 1 1 1 (a) (un ) = 1 , √ , p , » p √ , ... √ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 333

(b) (vn ) =

3 9 27 81 1 , , , ,... √ 3 2 4 8 16 3

VI-36

Oefening 6 (benaderen van vierkantswortels). Zij b > 1 een reëel getal en beschouw de rij

  u1 = b Å ã (un ) 1 b  un = un−1 + 2 un−1

voor n > 1.

√ In Oefening 11 en Oefening 22 zullen we aantonen dat deze rij convergeert naar b. Door de eerste termen te berekenen, kun je zo vierkantswortels van natuurlijke getallen benaderen. Dat zullen we in deze oefening laten zien. (a) Geef een benadering van

√

2 door de vierde term van de bovenstaande rij te berekenen. Toon je bewerkingen.

(b) Tot op hoeveel cijfers na de komma is deze benadering correct? (c) Met behulp van een computerrekenpakket kan de zesde term van de bovenstaande rij berekend worden. Deze 731 088 897 blijkt gelijk te zijn aan 886 627 013 566 048 . Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraak en bewijs je antwoord: 886 731 088 897 √ = 2. 627 013 566 048

Oefeningen bij §2.2 Oefening 7. Vul telkens aan en motiveer je antwoord met behulp van rijen. Geef in het geval van een onbepaaldheid een specifiek voorbeeld waarbij de uitkomst gelijk is aan −1729.

(e) (−17) · (+∞) = . . .

(a) (−∞) + (−∞) = . . . (b)

−∞ = ... +∞

(c)

−17 = ... −∞

(d) (−∞)4 = . . .

(f) (+∞) + (−∞) = . . . (g)

√

(h)

0 = ... +∞

+∞ = . . .

Oefening 8. Beoordeel telkens of de gelijkheid uit de rekenregels voor limieten van convergente rijen mag besloten worden. Verklaar telkens je antwoord. Å ã 6 lim (2n2 + 6n) 2n2 + 6n ? n→+∞ lim 2 + 6 2 + n ? n→+∞ = (a) lim n Å ã n→+∞ 3n3 − 1 = (c) lim lim (3n3 − 1) n→+∞ 3n − 12 1 n→+∞ n lim 3n − 2 n→+∞ n Å ã 2 6 lim + 2 lim (2n + 6) 6 2 2n + 6 ? n n→+∞ n + n2 ? n→+∞ Ån Å ã ã = = (b) lim (d) lim 1 n→+∞ 3n2 − 1 n→+∞ 1 1 3 − n3 n lim 3n2 − lim 3 − 3 n→+∞ n→+∞ n n

Oefening 9. Bereken telkens algebraı̈sch de limiet van de rij met behulp van de rekenregels voor limieten. 1 3n

(a) an =

(b) bn = 2 −

1 (c) cn = √ 5 n2

1 n

B? (d) dn =

4n + 2 n

B? (e) en =

2n + 1 n2

B?? (f) fn =

2n − 3 5n + 1

VI-37

Oefening 10. Hieronder worden limieten van rijen algebraı̈sch berekend met behulp van de rekenregels voor limieten. Vul telkens de berekening verder aan, en verklaar elke overgang. Wees volledig! (a)

U??

−3n2 + 7n −3n + 7 = lim = 1 n→+∞ n→+∞ n+1 1+ n lim

lim (−3n + 7) −3 · lim n + lim 7 n→+∞ n→+∞ Å ã = = ... 1 1 lim 1 + lim lim 1 + n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n

n→+∞

7 −3 + −3n2 + 7n n = (b) lim = lim 1 n→+∞ n→+∞ n2 + 1 1+ 2 n

Å ã 7 lim −3 + n→+∞ n Å ã = 1 lim 1 + 2 n→+∞ n

7 −3 + −3n2 + 7n n (c) lim = = lim 1 n→+∞ n→+∞ n3 + 1 n+ 2 n

Å ã 7 −3 + n→+∞ n Å ã = 1 lim n + 2 n→+∞ n lim

1 lim (−3) + 7 · lim n→+∞ n ã = ... Å 1 2 lim 1 + lim n→+∞ n→+∞ n

n→+∞

1 lim (−3) + 7 · lim n→+∞ n ã = ... Å 1 2 lim n + lim n→+∞ n→+∞ n

n→+∞

Oefening 11 (benaderen van vierkantswortels - vervolg). Zij b > 1 een reëel getal en beschouw de rij uit Oefening 6:   u1 = b Å ã (un ) 1 b  un = un−1 + voor n > 1. 2 un−1

In deze oefening√tonen we aan dat de rij (un ) convergeert. In Oefening 22 zullen we bewijzen dat de limiet van deze rij gelijk is aan b. (a) Toon aan dat elke term van de rij (un ) positief is. (b) Toon aan dat elke term van de rij (un ) groter dan of gelijk aan

√

b is.

Oefeningen bij §2.3 Oefening 12. Beschouw de rij (un ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; 0, 9999 ; . . ..

(a) Ga na aan dat een expliciet voorschrift van deze rij gegeven wordt door un = 1 − (0, 1)n . (b) Bereken algebraı̈sch de limiet van de rij (un ). Oefening 13. Bepaal telkens algebraı̈sch de limiet van de gegeven rij.

1 1 1 1 (a) (an ) = 1, , , , , . . . 4 9 25 36

(b) (bn ) =

1 1 1 1 1 , , , , ,... 2 4 8 16 32

5 8 11 14 B? (c) (cn ) = 2, , , , , . . . 2 3 4 5 V

(d) (dn ) = 5, 5,

17 13 37 , , ,... 3 2 5

Oefening 14. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Å ã Ä ä p 1 n 1 (a) lim 6 + n2 − 12 (e) lim 5 + n→+∞ n→+∞ 7 10 (b) (c)

(d)

lim

n→+∞

2n + 7 n2 + 2

(n + 1)4 n→+∞ (3n − 1)2 1 n lim

lim

n→+∞

n+1

3n2 − 5n n→+∞ 5n2 + 2n − 6 Å Å ãn ã 1 1 (g) lim · + 2020 n→+∞ 2021 2 Å ã 2n − 3 4 (h) lim n→+∞ 3n + 7 (f)

VI-38

lim

Oefening 15. Bereken telkens algebraı̈sch de limiet van de rij met behulp van de insluitstelling voor rijen. Alle tussenstappen opschrijven!

B??

B? (a) un =

(−1)n n+2

B? (b) un =

sin n + cos n n5

V? (d) un =

(c)

lim

n→+∞

Äp ä n2 + n + 1 − n

(e)

1 + 2 · 10n n→+∞ 5 + 3 · 10n

(f)

lim

n→+∞

3n2 − 5n + 4 2n − 7

4 · 10n − 3 · 102n n→+∞ 3 · 10n−1 + 2 · 102n−1 lim

n→+∞

Oefening 18. Volgende redenering is fout omdat ze leidt tot de valse uitspraak 5 = 0. Geef aan welke stap(pen) fout zijn, en verklaar waarom. Ä 1 än Ä 1 än n 1 5 = lim 5 = lim 5 n ·n = lim 5 n = lim 5 +∞ = lim 50 = lim 1n = 1+∞ = 0. n→+∞

√

lim

Oefening 17. Waar of vals? Beoordeel de volgende berekening. Indien vals, duid aan welke gelijkheden fout zijn en verklaar waarom. Maak nadien een correcte berekening, waarbij je alle tussenstappen opschrijft. Äp Ä√ ä ä lim 4n2 − 7n + 6 − 2n = lim 4n2 − 2n = lim (2n − 2n) = lim 0 = 0 n→+∞

n 4n

Oefening 16. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Ä√ ä Å ã √ n(n + 2) n3 (a) lim 2n + 1 − 2n − 1 (d) lim − 2 n→+∞ n→+∞ n+1 n +1 (b)

B??

n − cos n n + cos n

n→+∞

Oefening 19. Waar of vals? Beoordeel de volgende berekening. Indien vals, duid aan welke gelijkheden fout zijn en verklaar waarom. Å ã sin n sin n lim sin n = lim n · = lim n · lim = 0. n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n | {z } 0

Oefeningen bij §2.4

B??

Oefening 20. Bereken telkens algebraı̈sch de limiet van de gegeven rij. Je mag daarbij aannemen dat deze rijen convergeren.    a1 = 10  c1 = 10 Å ã (a) (an ) (c) (c ) 1 5 1 n  an = an−1 + 20 voor n > 1  cn = cn−1 + voor n > 1 2 3 cn−1  ®  b1 = 3 d1 = 1 (b) (bn ) b p (d) (dn )  bn = 3 + n−1 voor n > 1 dn = 3 + dn−1 voor n > 1 5

Oefening 21. Bepaal telkens de oneindige som met behulp van rijen. (a) 1 +

1 1 1 1 + + + + ... 3 9 27 81

(b) 1, 1 + 1, 21 + 1, 331 + 1, 4641 + . . . U

√

2+1+

√

2 1 + + ... 2 2

(d) 1+q+q 2 +q 3 +q 4 +. . . waarbij q ∈ R met −1 < q < 1

Oefening 22 (benaderen van vierkantswortels - vervolg). Zij b > 1 een reëel getal en beschouw de rij uit Oefening 6:   u1 = b Å ã (un ) 1 b  un = un−1 + voor n > 1. 2 un−1 In Oefening 11 hebben we aangetoond alle termen van deze rij strikt positief zijn, en dat de rij (un ) convergeert. √ (a) Bewijs dat de limiet van deze rij gelijk is aan b. √ (b) Geef een rij van rationale getallen die convergeert naar het irrationaal getal 3 = 1, 732 050 80 . . .. VI-39

Hoofdstuk 3

Discrete veranderingsprocessen Met een discreet veranderingsproces bedoelen we een situatie waarbij een grootheid op een discrete (dat wil zeggen niet-continue) manier verandert in functie van tijd, plaats of een andere onafhankelijke variabele.1 Zo’n grootheid kan dan gemodelleerd worden met een rij, waarvan kenmerken zoals (strikt) stijgend en dalend, het limietgedrag en de som van een al dan niet eindig aantal termen informatie geeft over dit veranderingsproces. Beschouw bijvoorbeeld een patiënt die elk uur een bepaalde hoeveelheid medicijn inneemt. Het lichaam zal tijdens elk uur ook een procentueel aandeel van het aanwezige medicijn afbreken. De hoeveelheid medicijn die na elke inname in het lichaam aanwezig is, gedraagt zich dan als discreet veranderingsproces. Noemen we un de hoeveelheid medicijn na de n-de inname, dan wordt het poces gemodelleerd met de rij (un ), die dan met wiskundige technieken onderzocht kan worden. Zo kan bijvoorbeeld de hoeveelheid in te nemen medicijn afgestemd worden op de limietwaarde die men wenst na te streven. In dit hoofstuk laten we enkele situaties aan bod komen waarbij het discreet veranderingsproces aan de hand van een rij gemodelleerd wordt. De context kan zowel wiskundig, wetenschappelijk, medisch als economisch zijn. 3 Modelvoorbeeld 1. In een klein bos staan 4000 aangeplante bomen. Elk jaar kapt men 20% van de bomen en plant men er 1000 nieuwe. (a) Bepaal het aantal bomen na 5, 10, 15 en 20 jaar. (b) Wat zal er op langere termijn gebeuren? Verklaar je antwoord met behulp van een berekening. Algebraı̈sch oplossen! Oplossing.

De oudste bekende en nog levende boom ter wereld is de Methuselah, een 4853 jaar oude pijnboom [13].

1 Het leerstofonderdeel rijen behoort tot de zogenaamde discrete wiskunde: de studie van wiskundige patronen en structuren die au fond discreet zijn, dat wil zeggen dat er gehele, los van elkaar staande zaken bekeken worden. Hiermee onderscheidt de discrete wiskunde zich van de continue wiskunde zoals analyse. De meeste objecten die bestudeerd worden binnen de discrete wiskunde zijn aftelbare verzamelingen zoals de natuurlijke of rationale getallen.

VI-40

Een fractaal kan omschreven worden als een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan zogenaamde schaalinvariantie: ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt ziet de figuur er steeds van hetzelfde type uit.2 Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk een fractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen heeft de figuur steeds dezelfde vorm. Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeld de Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling.

Mandelbrot verzameling Benoit Mandelbrot (1924 - 2010)

Mandelbrot verzameling, ingezoomd

Julia verzameling Gaston Julia (1883 - 1978)

3 Modelvoorbeeld 2 (sneeuwvlok van Koch).3 Op een gelijkzijdige driehoek worden de volgende drie stappen herhaaldelijk toegepast: (1) verdeel elke zijde in drie gelijke delen; (2) op elke zijde teken je op het middelste deel een nieuwe gelijkzijdige driehoek dat naar buiten wijst; (3) van elke (oude) zijde laat je het middelste deel weg. Hieronder zie je zo’n gelijkzijdige driehoek nadat deze stappen één, twee, drie en vier keer werden toegepast.

In de limiet verkrijgen we de zogenaamde sneeuwvlok van Koch: de figuur die bestaat uit de punten van de oorspronkelijke driehoek die nooit verwijderd zullen worden. Stel dat de drie zijden van de oorspronkelijke gelijkzijdige driehoek lengte 1 hebben. (a) Duid een punt aan dat tot de sneeuwvlok van Koch behoort. (b) Bepaal algebraı̈sch de omtrek van de sneeuwvlok van Koch. ?

Oplossing.

2 We geven hier slechts een vage omschrijving van het begrip fractaal, dat volstaat voor onze doeleinden. Over deze figuren werd reeds in de 17e eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op Karl Weierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een fractaal gaf. Eens deze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echte hype. 3 Helge von Koch 1904. Op de link https://www.youtube.com/watch?v=PKbwrzkupaU is een filmpje te zien waarbij je inzoomt op een deel van de sneeuwvlok van Koch.

VI-41

Ook economische problemen leiden soms tot onverwachte wiskundige resultaten. Het volgende probleem vindt zijn oorsprong in de 17e eeuw, die pas een halve eeuw later werd opgelost.4 3 Probleem (continu samengestelde intrest). Als een geldschieter een som geld investeert aan een intrest, zodat op elk moment de intrest op het bedrag aan dat bedrag wordt toegevoegd, hoeveel geld bezit deze persoon dan op het einde van het jaar? Gedeeltelijke oplossing. We zullen het probleem aanpakken door de tijdstippen waarop de intrest wordt toegevoegd steeds dichter bij elkaar te kiezen: na elk jaar, elk half jaar, elke maand, elke dag enzovoort. Bij elke situatie verkrijgen we een eindkapitaal, die de oplossing van het probleem steeds beter zal benaderen. Laat ons, om de gedachten te vestigen, aannemen dat het oorspronkelijke kapitaal gelijk is aan K = 100 000 EUR en dat de rentevoet op jaarbasis 5% is. Noem i = 0, 05. . Als de intrest pas op het einde van het jaar wordt toegevoegd, dan is het saldo op het einde van het jaar gelijk aan K + i · K = K(1 + i) = 105 000 EUR. . Als de intrest halfjaarlijks wordt toegevoegd, wat is het saldo dan op het einde van het jaar? Na

1 2

van het jaar is het kapitaal aangegroeid tot: K +K ·i·

Å ã 1 i =K 1+ . 2 2

Het totale saldo op het einde van het jaar is dan gelijk aan het bedrag na 21 van het jaar, vermeerderd met de intrest die dit bedrag opgebracht heeft gedurende de tweede helft van het jaar: ã Å ã Å ãÅ ã Å ã Å i 1 i i i 2 i +K 1+ ·i· =K 1+ 1+ = K 1+ K 1+ = 105 062, 5 EUR. 2 2 2 2 2 2 . Als de intrest trimesterieel wordt toegevoegd, wat is het saldo dan op het einde van het jaar? Na

1 3

van het jaar is het kapitaal aangegroeid tot: K +K ·i·

Å ã 1 i =K 1+ 3 3

Na 32 van het jaar is het saldo dan gelijk aan het bedrag na 31 jaar, vermeerderd met de intrest die dit bedrag opgebracht heeft gedurende het tweede trimester van het jaar: Å ã Å ã Å ãÅ ã Å ã i i 1 i i i 2 K 1+ +K 1+ ·i· =K 1+ 1+ =K 1+ 3 3 3 3 3 3 Het totale saldo op het einde van het jaar is dan gelijk aan het bedrag na 23 van het jaar, vermeerderd met de intrest die dit bedrag opgebracht heeft gedurende het derde en laatste trimester van het jaar: Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã i 2 i 2 1 i 2 i i 3 K 1+ +K 1+ ·i· =K 1+ 1+ = K 1+ = 105 083, 796 . . . EUR 3 3 3 3 3 3 . Als de intrest elk n-de deel van het jaar wordt toegevoegd (met n ∈ N0 ), wat is het saldo dan op het einde van het jaar? Redeneren we analoog zoals hierboven, dan vinden we dat het totale saldo op het einde van het jaar gelijk is aan: Å ã i n K 1+ n In deze opeenvolgende situaties wordt het eindkapitaal bepaald door de rij Å ã Å ã Å ã i 2 i 3 i 4 (kn ) = K(1 + i) , K 1 + , K 1+ , K 1+ 2 3 4 = 105 000 ; 105 062, 5 ; 105 083, 796 . . . ; 105 094, 533 . . .

...

;

...

De context van het probleem maakt het aannemelijk dat deze rij (strikt) stijgend is, en naar boven begrensd is. Wegens de vorige stelling convergeert deze rij. Maar naar welk getal? 4 Het

probleem van continue samengestelde intrest werd in 1685 gesteld door Jacob Bernoulli [1].

VI-42

Vervangen we in de vorige bespreking beide getallen K en i door 1, dan verkrijgen we de meer eenvoudige rij Å ã 1 2 1+ 2

(un ) = 1 + 1 ,

Å ã 1 3 1+ 3

Å ã 1 4 1+ 4

...

waarvan we het gedrag op oneindig met de grafische rekenmachine kunnen onderzoeken.

We vermoeden dat ook deze rij stijgend en naar boven begrensd is, en dus convergeert. Dat werd in 1748 ook formeel aangetoond door Euler, die de waarde van de limiet handmatig berekende tot op 18 cijfers na de komma [6]. 3 Stelling (Euler). De rij (un ) met expliciet voorschrift un = (1 + n1 )n convergeert naar het getal van Euler, in symbolen: ã Å 1 n = e = 2, 718 281 8 . . . 1+ n→+∞ n lim

Door deze limiet te manipuleren, kunnen we het vorige probleem verder oplossen. 3 Probleem (continu samengestelde intrest - vervolg). Als een geldschieter een som geld investeert aan een intrest, zodat op elk moment de intrest op het bedrag aan dat bedrag wordt toegevoegd, hoeveel geld bezit deze persoon dan op het einde van het jaar? Volledige oplossing. We nemen opnieuw aan dat het oorspronkelijke kapitaal gelijk is aan K = 100 000 EUR en dat de rentevoet op jaarbasis 5% is. Noem i = 0, 05. Als de intrest continu aan het kapitaal wordt toegevoegd, dan is het saldo op het einde van het jaar gelijk aan (vul aan):

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Op deze manier hebben we ook aangetoond dat we de uitdrukking 1+∞ niet eenduidig kunnen vastleggen: de uitkomst ervan hangt af van de beschouwde rijen in het grondtal en de exponent van de macht. Deze nieuwe onbepaaldheid behoort tot de volgende (blijkbaar definitieve) lijst van onbepaaldheden die hieronder met limieten van rijen geı̈llustreerd worden. Å ã ∞ 0 , , (∞ − ∞) , (0 · ∞) , 00 , ∞0 , (1∞ ) ∞ 0 17n ∞ = = lim 17 = 17 n→+∞ n n→+∞ ∞ Å ã 17 0 (b) lim n1 = = lim 17 = 17 n→+∞ n→+∞ 0 n (a)

(e)

lim

(f)

lim ((n + 17) − n) = (∞ − ∞) = lim 17 = 17

n→+∞

1 · (17n) = (0 · ∞) = lim 17 = 17 n→+∞ n n→+∞ lim

(g) VI-43

lim

n→+∞

17−n

(− n1 )

= 00 = lim 17 = 17 n→+∞

1 lim (17n ) n = ∞0 = lim 17 = 17

n→+∞

lim

n→+∞

Ä 1 än = (1∞ ) = lim 17 = 17 17 n n→+∞

Oefeningen 3 Discrete veranderingsprocessen

Basis ? 1

Oefening 1. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Å ã 1 3n B (a) lim 1 + V (c) n→+∞ n Å ã 3 n ? B (b) lim 1 + V (d) n→+∞ n B?

1 2 3

n n−1

ãn+1

n−1 n−5

ã5n

n→+∞

1 5

Å lim

lim

Verdieping ? ??

Uitbreiding ? ?? 6

Oefening 2. [12] Een zaagtand wordt opgebouwd uit oneindig veel gelijkbenige rechthoekige driehoeken (zie onderstaande figuur). De eerste driehoek met rechthoekszijde 1 m heeft de grootste oppervlakte. Bij elke volgende driehoek zijn de afmetingen de helft van de afmetingen van de vorige driehoek. Bepaal algebraı̈sch de oppervlakte van de volledige zaagtand.

... B?

Oefening 3. Een spiraal wordt in tegenwijzerzin opgebouwd uit oneindig veel lijnstukken (zie onderstaande figuur). Het eerste lijnstuk onderaan de figuur is het grootst en meet 4, 9 cm. Het tweede lijnstuk is 25% korter dan het eerste lijnstuk, enzovoort. Zo is elk volgend lijnstuk 25% korter dan het vorige lijnstuk. Alle binnenhoeken op de zo gevormde spiraal zijn 120◦ . De volledige spiraal bestaat uit oneindig veel lijnstukken. Bereken algebraı̈sch de lengte van die volledige spiraal.

B??

Oefening 4. Een patiënt neemt 5 mg van een bepaald geneesmiddel in. Na zes uur heeft het lichaam 30% van het geneesmiddel afgebroken, waarop de patiënt opnieuw 5 mg inneemt, enzovoort. (a) Bepaal de hoeveelheid geneesmiddel in het lichaam van de patiënt na 6 uur, 12 uur, 18 uur en 24 uur. (b) Hoeveel geneesmiddel bevat het lichaam van de patiënt na verloop van tijd? Los algebraı̈sch op. (c) Men wenst een limietwaarde van 25 mg na te streven. Hoeveel geneesmiddel moet de patiënt dan elke zes uur innemen? VI-44

Oefening 5. Een ouderpaar woont 1 kilometer verderop en wandelt naar huis. Hun kindje loopt dubbel zo snel naar huis. Het komt thuis, loopt terug naar de ouders, loopt terug naar huis enzovoort tot de ouders ook thuis zijn. Je mag ervan uitgaan dat het kindje zich steeds direct omdraait en terugloopt. Noteer de afstand van het huis tot de plaats waar de ouders en het kindje de n-de keer samenkomen als un . (a) Geef de eerste vijf termen van (un ) door opsomming. Aanwijzing. Verdeel het traject in drie gelijke delen. (b) Geef een expliciet voorschrift van de rij un (c) Bepaal met behulp van vraag (b) algebraı̈sch de totale afstand die heeft het kindje heeft afgelegd. (d) Kun je het antwoord op vraag (c) ook beredeneren zonder eerst vraag (a) op te lossen?

Oefening 6 (Achilles en de schildpad). 5 De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De schildpad krijgt een voorsprong en start in punt A (zie figuur). Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad intussen bij punt B aangekomen. Arriveert Achilles bij dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen bij punt C, enzovoort. Zo zou men kunnen stellen dat de achterstand van Achilles steeds kleiner wordt, maar Achilles haalt de schildpad ogenschijnlijk nooit in. Deze redenering druist in tegen de intuı̈tie, en wordt daarom een paradox genoemd: in werkelijkheid zou Achilles de schildpad wel inhalen. Veronderstel dat Achilles tien keer zo snel loopt als de schildpad, en dat hij er 10 seconden over doet om het punt A te bereiken.6 Achilles als de schildpad lopen beiden aan een constante snelheid. Toon aan dat Achilles de schildpad wel degelijk inhaalt, en bepaal algebraı̈sch het tijdstip waarop dit gebeurt.

Oefening 7 (driehoek van Sierpiński). 7 Op een (volle) gelijkzijdige driehoek worden de volgende drie stappen achtereenvolgens en herhaaldelijk toegepast: (1) neem van elke (volle) driehoek het midden van elke zijde; (2) verbind telkens de drie middens tot een nieuwe driehoek; (3) verwijder telkens die nieuwe driehoek. Hieronder zie je zo’n (volle) gelijkzijdige driehoek nadat deze stappen één, twee, drie, vier en vijf keer werden toegepast.

In de limiet verkrijgen we de zogenaamde driehoek van Sierpiński: de figuur die bestaat uit de punten van de oorspronkelijke (volle) driehoek die nooit verwijderd zullen worden. Stel dat de drie zijden van de oorspronkelijke gelijkzijdige driehoek lengte 1 hebben. (a) Duid een punt aan dat tot de driehoek van Sierpiński behoort. (b) Bepaal algebraı̈sch de oppervlakte van de driehoek van Sierpiński. 5 Het filosofisch probleem Achilles en de schildpad is een onderdeel van de zogenaamde paradoxen van Zeno, vernoemd naar de Griekse filosoof Zeno van Elea (ca. 490 - 430 v.chr.). Men neemt aan dat Zeno deze problemen heeft opgesteld om de leer van Parmenides van Elea (ca. 515 v. Chr.) te ondersteunen, dat in tegenstelling tot onze zintuigelijke waarneming stelt dat beweging een illusie is. 6 De snelheid van schildpadden mag niet onderschat worden. Zo haalt de Afrikaanse pannenkoekschildpad Malacochersus tornieri 1km/u, en kunnen over een kortere afstand sprintjes doen met een snelheid van 4 tot 8 kilometer per uur. 7 Waclaw Sierpiński 1915. Op de link https://www.youtube.com/watch?v=TLxQOTJGt8c is een filmpje te zien waarbij je inzoomt op een deel van de driehoek van Sierpiński.

VI-45

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (1) (a) (an ) = 1, 3, 5, 7, 9, . . . 1 3 2 5 3 (b) (bn ) = , , , , , . . . 2 5 3 7 4 32 8 (c) (cn ) = −2, 2, − , 4, − , . . . 3 5 (d) (dn ) = 1, 1, 2, 3, 5, . . . (e) (en ) = 1, 6, 11, 16, 21, . . . (f) (fn ) = 0, 1, 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, 0, −1, −1, 0, . . .

(g) (gn ) = 2, 2, 2, 2, 2, . . .

(h) (hn ) = 0, 1, 2, 3, 6, . . . (2) (a) a10 = 6529 (b) b10 = 1, 224 777 9 . . . (c) c10 = 187 (d) d10 = 2, 593 742 4 . . . (e) e10 = −7

(f) f10 = 0, 176 197 05 . . . ®

(5) (a) a6 = −7 en a7 = −11, recursief voorschrift (an ) (b)

(c)

(d) (e) (f)

(g)

(h)

(i)

(j)

a1 = 8

an = an−1 − 3 voor n > 1   b1 = 3 1 1 en b7 = , recursief voorschrift (bn ) b6 = −  bn = − 1 · bn−1 voor n > 1 81 243 3  c = 9 1  1 c6 = − en c7 = 9, recursief voorschrift (cn ) 1  cn = − 9 voor n > 1 cn−1 ® √ d1 = 1032 p d6 = 10 en d7 = 10, recursief voorschrift (dn ) dn = dn−1 voor n > 1 ® e1 = 7 e6 = −7 en e7 = 7, recursief voorschrift (en ) en = −en−1 voor n > 1 ® f1 = 4 f6 = 19 en f7 = 22, recursief voorschrift (fn ) fn = fn−1 + 3 voor n > 1   g1 = 3 29 g6 = en g7 = 11, recursief voorschrift (gn )  gn = gn−1 + 4 voor n > 1 3 3 ® h1 = 3 h6 = −729 en h7 = 2187, recursief voorschrift (hn ) hn = (−3) · hn−1 voor n > 1   i1 = 0, 7 i6 = 0, 777 777 en i7 = 0, 777 777 7, recursief voorschrift (in )  in = in−1 + 7 voor n > 1 10n    j1 = 1 1 1 1 j6 = en j7 = , recursief voorschrift (jn )  11 13  jn = 1 + 2 voor n > 1 jn−1 VI-46

(6) (a) un = 3 + (n − 1) · 4 n−2

(b) vn = 52

1 1 1 en a7 = , expliciet voorschrift an = 6 7 n (b) b6 = 18 en b7 = 21, expliciet voorschrift bn = 3n 1 1 1 (c) c6 = − en c7 = − , expliciet voorschrift cn = − 49 64 (n + 1)2

(7) (a) a6 =

(d) d6 = −6 en d7 = 7, expliciet voorschrift dn = (−1)n−1 · n 1 1 1 (e) e6 = en e7 = − , expliciet voorschrift en = (−1)n · n−2 81 243 3 42 49 7n (f) f6 = − en f7 = , expliciet voorschrift fn = (−1)n+1 · 49 64 (n + 1)2 (g) g6 = 21 en g7 = 26, expliciet voorschrift gn = −4 + (n − 1) · 5

2n−1 x13 x11 n+1 x en h = , expliciet voorschrift h = (−1) · 7 n 310 312 32n−2 11 13 2n − 1 (i) i6 = en i7 = , expliciet voorschrift in = 6 7 n 1 (j) j6 = 2, 000 001 en j7 = 2, 000 000 1, expliciet voorschrift jn = 2 + n 10 √  5+1  √   u1 = √ 7−3 5 2 (8) (a) u5 = 5 − 2 en u6 = , recursief voorschrift (un ) un−1  2  √ u =  n 5+1

(h) h6 = −

voor n > 1

(b) v5 = 458 330 en v6 = 2, 1006 . . . · 1011 , recursief voorschrift (vn )

v1 = 2

2 vn = vn−1 +1

voor n > 1

4 2 · (−2)n−1 + 3 3 1 1 n n−1 (b) vn = 3 − · 3 + 2 2

(9) (a) un =

(10) (a) u1 = 1, u2 = 3 en u3 = 7 ® u1 = 1 (b) (un ) un = 2un−1 + 1 voor n > 1 (c) un = 2n − 1

(d) 584, 9 . . . miljard jaar (11) (b) (fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . (d) f20 = 6765 (12) (b) f20 = 6765 5 n , geen rekenkundige rij, geen meetkundige rij (13) (a) a5 = − , expliciet voorschrift an = − 6 n+1 1 (−1)n 1 (b) b5 = − , expliciet voorschrift bn = n−1 , geen rekenkundige rij, wel meetkundige rij met reden q = − 625 5 5 3 3 (c) c5 = 0, expliciet voorschrift cn = −3 + (n − 1) · , rekenkundige rij met verschil v = , geen meetkundige 4 4 rij Ç √ ån−1 2 (d) d5 = 1, expliciet voorschrift dn = 4 · , geen rekenkundige rij, wel meetkundige rij met reden 2 √ 2 q= 2 (14) n = 5 en u5 = 1 (15) t1 = 23 en v = −10 (16) (a) 5151 (b) 2550 VI-47

16 383 1024 1 1 · 556 − (d) 2 2 (c)

(17) De lengte van en de breedte van de doos moeten beide minstens 45 cm zijn en de hoogte van de doos moet minstens 62, 717 76 cm zijn. (18) (B) (19) (a) Noemen we un het saldo op 1 januari na n jaar, dan wordt een recursief voorschrift van de rij (un ) gegeven door ® u1 = 960 (un ) un = 1, 03 · un−1 − 70 voor n > 1. (b) 10 jaar (20) (a) de 27e term (b) 4, 7, 10 of 10, 7, 4 (c) u6 = 98 en u7 = 14 (d) 18, −18, 18 of 6, −12, 24 (e) (un ) = 2, 5, 8, 11, . . .

(21) (E) (22) (a) 5, 412 201 70 . . . cm (b) ongeveer 5103, 8 cm (23) 301 (24) (a) (un ) = (b) un =

1 1 1 1 1 , , , , ,... 3 9 27 81 243

1 3n

Hoofdstuk 2 (7) (a) −∞

(2) (a) convergeert, lim an = 5, 55 . . . n→+∞

(b) onbepaald

(b) divergeert naar −∞, lim bn = −∞ n→+∞

(d) +∞

(d) divergeert, lim dn = / (e) convergeert, lim en = 0, 4

(e) −∞

(f) divergeert, lim fn = /

(g) +∞

(g) convergeert, lim gn = −3

(h) 0

n→+∞

(f) onbepaald

n→+∞

(8) (a) nee

(3) (a) convergeert (b) convergeert (4) (a) (b) (c) (d)

(b) nee (c) ja

vals vals waar waar

(d) ja (9) (a) 0 (b) 2

(5) (a) convergeert (b) divergeert naar +∞

577 = 1, 414 215 68 . . . (6) (a) 408 (b) vijf cijfers na de komma (c) vals

(e) 0 2 (f) 5 VI-48

(10) (a) −∞

(16) (a) 0 1 (b) 2 2 (c) 3 (d) 1 √

(b) −3 (c) 0

(12) (b) 1 (13) (a) 0

3 2 (f) 15

(e)

(b) 0 (c) 3 (d) +∞

(17) vals, −

(14) (a) +∞

(19) vals

(b) 0

(20) (a)

(b)

(e) +∞ 3 (f) 5 (g) 2020 16 (h) 81

lim an = 40

n→+∞

lim bn =

n→+∞

lim cn =

n→+∞

lim dn =

n→+∞

3 2 (b) +∞

(21) (a)

(15) (a) 0

√ (c) 4 + 2 2 1 (d) 1−q

(b) 0 (c) 1 (d) 0

Hoofdstuk 3 (1) (a) e3 (b) e3 (c) e (d) e20 (2) 0, 66 . . . m2 (3) 19, 6 cm (4) (a) 8, 5 mg; 10, 95 mg; 12, 665 mg en 13, 8655 mg (b) 16, 66 . . . mg (c) 7, 5 mg (5) (a) (un ) = (b) un =

7 4

1 1 1 1 1 , , , , ,... 3 9 27 81 243

1 3n

VI-49

15 4 …

5 2

√ 2

Referentielijst [1] Jac. Bernoulli, Quaestiones nonnull de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685, Acta eruditorum, p. 21923, 1690. [2] D. Bernoulli, Observationes de seriebus quae formantur ex additione vel subtractione quacunque terminorum se mutuo consequentium, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 3, p. 85-100, 1728. [3] J.P. Binet, Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux différences finies, d’un ordre quelconque à coefficients variables, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences 17, p. 559-567, 1843. [4] A. de Moivre, Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis, London, 1730. [5] K. De Naeghel, Wiskunde Aan zet: een cursus wiskunde voor vierde jaar ASO leerplan a, print-on-demand online publishing Issuu.com, 2016. Beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be/wiskundeaanzet.htm . [6] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausannae : apud Marcum-MIchaelem Bousquet & socios, 1748. [7] L. Euler, Observationes analyticae, Novi commentarii ascaemiae scientiarum imperialis Petropolotanae, 11, p. 124-143, 1765. [8] B.C. Gallivan, How to Fold Paper in Half Twelve Times: An Impossible Challenge Solved and Explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002. [9] F.E.A. Lucas, Récréations Mathématiques Vol. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1883. [10] N. Oresme, Quaestiones super geometriam Euclidis, bewerkt door H.L.L. Busard, Leiden, 1961. [11] Website Štefan Porubský, http://www.cs.cas.cz/portal/contents.htm [12] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ [13] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

VI-50